La Transformada Z y sus aplicaciones en la ingeniería

Transformada Z, que muestra las utilidades de usar la transformada Z, y sus aplicaciones en el campo de la ingeniería, se sabe que el control digital utiliza bastante aplicable La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias
La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente

1. La Transformada Z
M.I. Ricardo Garibay Jiménez

2. 8.1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA
TRANSFORMADA DE FOURIER EN
TIEMPO DISCRETO.
•Una generalización de la Transformada de Fourier es la
transformada Z.
Ventajas de la Transformada Z
•LaTransformadadeFouriernoconvergeparatodaslassecuencias
•LatransformadaZtienelaventajadeque,enproblemasanalíticos,
elmanejodesunotación,expresionesyálgebraesconfrecuencia
másconveniente
•ElempleodelatransformadaZenseñalesdiscretastienesu
equivalenteenlatransformadadeLaplaceparaseñalescontinuasy
cadaunadeellasmantienesurelacióncorrespondienteconla
transformadadeFourier.
•ElempleodelatransformadaZenseñalesdiscretastienesu
equivalenteenlatransformadadeLaplaceparaseñalescontinuasy
cadaunadeellasmantienesurelacióncorrespondienteconla
transformadadeFourier.

3. ()()()





jjk
k
xXexke Transformada de Fourier()()
k
k
Xzxkz




La transformada de la misma
secuencia tambien se define
como()()()
k
k
ZxkXzxkz




Segun la variable
compleja continua z
La correspondencia entre una secuencia y
su transformada se denota como: ()()xkXz
La transformada de Fourier es
simplemente conj
ze

 ()Xz
La transformada de Fourier es
la transformada Z tomando 1Z
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

4. Si tomamos j
zre

 ()()()
jjk
k
Xrexkre




 ()()()





jkjk
k
Xrexkre Im j
Ze

 Re 1 Plano Z
Círculo unitario

Latransformadaevaluadaenlospuntos
dedichacircunferenciaeslatransformada
deFourier.

5. 8.2 REGION DE CONVERGENCIA
La convergencia de la transformada Z
depende solamente de z ()
k
k
xkz




entonces:
La región en donde se cumple
la desigualdad es la región de
convergencia. Re
Im
Los valores sobre la
circunferencia definida
como están dentro de la región
de convergencia. 1
zz
LatransformadaZesunafunción
analíticaentodoslospuntosdela
regióndeconvergencia;deaquí
quelatransformadaZytodassus
derivadasconrespectoason
funcionescontinuasendicha
región.

6. 8.3 PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA Z
La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de
ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente
manipulaciones algebraicas.
a)SUPERPOSICIÓN
Se compone de las
características de:
1)Homogeneidad:
2)Aditividad:()()fkFz ()()afkaFz 11
()()fkFz 22
()()fkFz 1212
()()()()fkfkFzFz

7. si:12
()()()fkafkbfk
la transformada Z es:
1212
()()()()()ZfkZafkbfkZafkZbfk 12
()()()FzaFzbFz
b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO)
La respuesta del sistema se define por:()() k0ykfkm
La transformada de la salida y(k) se define a su vez
como:0
()()
k
k
Yzykz



 0
()()
k
k
Yzfkmz




Arreglar tamaño en texto y fórmulas

8. 12
()(0)(1)(2)
mmm
Yzfzfzfz

 12
(0)(1)(2)...
m
zffzfz


 Desarrollando:
La representación en diagrama de bloques para la propiedad de
corrimiento a la derecha se muestra abajo:()fk ()FZ -m
Z -m
()ZFZ (-)fkm
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

9. C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN
Para el siguiente sistema:()fk ()FZ ()hk 0
() () ( -)



i
yk hifk i ()HZ () () ()YZ HZFZ
Su salida se define
como una suma de convolución:()()ykYz ()(0)()(1)(1)....(1)(1)()(0)ykhfkhfkhkfhkf
Quedando:
0
()(0)()(1)(1)(2)(2)...()(0)




k
k
Yzhfkhfkhfkhkfz
Factorizando:0000
()(0)()(1)(1)(2)(2)...()(0)




kkkk
kkkk
Yzhfkzhfkzhfkzhkfz
La transformada queda:12
()(0)()(1)()(2)()....()()
k
YzhFzhzFzhzFzhkzFz


Factorizando ():Fz 12
()(0)(1)(2)....()()
k
YzhhzhzhkzFz


 ()()()YzHzFz
A demostrar
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

10. D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN”
Sean las secuencias ()()fkFz ()()gkGz
y
si entre ellas es posible establecer la
relación:0
()()
k
i
gkfi


para0, 1, 2, 3, ... , .kn 1
1
()()()
11
z
GzFzFz
zz



quedamax (1,)zR
con
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

11. E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR k
a
Sean las secuencias()()fkFz
y()()gkGz
Si entre ellas se establece la siguiente relación:()()
k
gkafk
entonces la transformada se determina
como sigue:()Gz 
0
()()()
kkk
k
ZgkZafkafkz




 1
0
()
k
k
fkaz





 1
()()
k
ZafkFaz



para; zaaR

12. F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN1
0
()
()
k
k
dXz
kxkz
dz




parazR
Derivando
Multiplicando por -z , 0
()
()
k
k
dFz
kfkzz
dz



 
()
()
dFz
ZkfkZ
dz
 zR
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

13. G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Es posible determinar el término inicial, , de una secuencia ,
a partir de la transformada correspondiente. (0)f ()fk 12
()(0)(1)(2)....Fzffzfz


Si
(0)lim()


z
fFz
entonces
H) TEOREMA DEL VALOR FINAL
Para f(k) donde (1)()zFz sea analítica para 1z 1
()lim(1)()


z
fzFz
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

14. 8.4 TRANSFORMADAS
COMUNES:
1) Impulso unitario (delta de Kronecker).
Definiendo la secuencia impulso unitario para ,
su transformada se determina de la siguiente forma:()1k 0k 
12
0
()()()(0)(1)(2).....
k
k
zZkkzzz



 ()1z
2) Retraso()()fkkm ()()
m
FzZkmz



15. 3) Escalón unitario
Definido por ()1
k
uk
La transformada es: 12
0
()()(0)(1)(2)...()...
kk
k
Uzukzuuzuzukz



 11
1
1

00
1
()limlim()lim
1









NNN
kk
NNN
kk
z
Uzzz
z 1
1
()
1
Uz
z


 1z
para
4) Serie geométrica () 0, 1, 2, 3, ... , .
k
fkakn 1
()()
k
ZafkFaz


 1
1
()
1
kaz
fka
az




Multiplicando y dividiendo
por a()
z
Fzza
za


Si se tiene una serie divergente y
Si se tiene una magnitud unitaria y
Si se tiene una serie convergente a
cero y 1a 1a 1a za 1z za
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

16. 5) Rampa discreta unitaria ()fkk
Multiplicando la ecuación anterior por
y considerando , se obtiene :z 1a 2
0(1)
k
k
z
kz
z





 1z 0
()




k
k
Fzkz
Para una secuencia geométrica se tiene:0






kk
k
z
az
za
Derivando con respecto a z:22
0
()
()()







kk
k
ddzzaza
az
dzdzzazaza 1
2
0()
kk
k
a
kaz
za






Arreglar tamaño en texto y fórmulas

17. 8.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS
DISCRETOS LINEALES.
Dicha representación emplea tres elementos básicos:
1) Unidad de retraso.
2) Unidad multiplicadora.
3) Unidad de suma.
1)UNIDAD DE RETRASO
La relación característica para esta unidad es ()(1)ykuk 1
Z () ( 1)yk uk ()uk 1
Z
 () ( 2)yk uk (1)uk ()uk 1
Z

Obtención de un retraso de dos unidades de tiempo
discreto

18. 2) UNIDAD MULTIPLICADORA()()ykauk
La relación característica para esta unidad es () ()yk auk ()uk a
3) UNIDAD DE SUMA12
()()()ykukuk
La relación característica para esta unidad es 1
()uk   2
()uk 12
() () ()yk uk u k 1
()uk  2
()uk 12
() () ()yk uk u k 

19. 8.5 OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA
DISCRETO MEDIANTE TRANSFORMADA Z: LA
ANTITRANSFORMADA Z.
8.5.1 MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES
PARCIALES.
Considérese una función 1
011
1
011
..........()
()
()...........
mm
mm
nn
nn
bzbzbzbqz
Fz
pzazazaza







Factorizando1
011
12
1
..........()
()
()()..........()
()
mm
mm
n
n
i
i
bzbzbzbqz
Fz
zpzpzp
zp







Cuando todos los polos de en la ecuación son diferentes 1
011
12
..........
()
()()...........()
mm
mm
n
bzbzbzb
Fz
zpzpzp




 01
12
.........
nn
n
zzz
dddd
zpzpzp


Arreglar tamaño en texto y fórmulas

20. El cálculo de los coeficientes es como sigue:i
d 00
12
()
()()..........()



m
z
n
b
dFz
ppp ()



i
i
izp
zp
dFz
z 1
011
12
...
() () ... ()





mm
mm
n
iiin
bzbzbzb
d
zpppppp
La secuencia resulta:
1
01122
()()().......
kkk
nn
fkZFzdkdpdpdp


Con polos múltiples queda121
1
011
2
..........
()
()()..........()
mm
mm
nnn
in
bzbzbzb
Fz
zpzpzp





La expansión de F(z), en este caso, tiene la forma:1
11
2
0122
111
() .....
()()


n
nn
zzz
Fzdddd
zpzpzp 2
22
2
122
222
.....
()()


n
nn
zzz
eee
zpzpzp ..... 1
11
2
122
111
.....
()()


n
nn
zzz
rrr
zpzpzp
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

21. TABLA 8.II
PARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RAÍCES
MÚLTIPLES()Fz ()fk 0k z
za k
a 2
2
()
z
za (1)
k
ka 3
3
()
z
za (1)(2)
2!
kkk
a
 4
4
()
z
za (1)(2)(3)
3!
kkkk
a

para
8.6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS
El concepto de función de transferencia ; la cual se define
como la relación de la transformada Z de la salida, , de un sistema
entre la transformada Z de su entrada,()Hz ()Yz ()Uz ()
()
()
Yz
Hz
Uz

Arreglar tamaño en texto y fórmulas

22. La expresión general aplicable a la función de transferencia es:1
011
1
011
... ()
()
() ...







mm
mm
nn
nn
bzbzbzbqz
Hz
pzazazaza 112
12
1
()
() () ... ()
() () ... ()
()







m
j
jm
n
n
i
i
zc
zczczc
zpzpzp
zp
Algunos sistemas tipicos:
1. Sistema en cascada12
() ()yk uk 1
()uk 2
()yk 1
()hk 2
()hk En el domino de Z: ()uz 2
()yz 12
() () ()Hz H z H z

23. 2. Sistema inverso1
()HZ 2
()HZ ()YZ ()uz ()()YzUz 1
2
1
()
()
Hz
Hz
 12
()()()1HzHzHz
La convolución en este caso resulta:00
()()()()()()
ii
ykhikiikik



Arreglar tamaño en texto y fórmulas

24. 3. Sistema realimentado()uk ()yk 1
()hk 2
()hk   1
12
()
()
1 ()()


Hz
Yz
HzHz
8.7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al
aplicársele una entrada acotada
Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos
se ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el
origen de radio unitario

25. 8.7.1 POLOS DE H(z) Y RESPUESTA TRANSITORIA
La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar
efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto
lineal.
A.-Polo real en .za
La respuesta característica es de la forma cos ()
k
Ark
Donde A y Φson constantes obtenidas de la expansión en fracciones
parciales y:22
rab 1
tan
b
a


 x x x x x x (4) Im z (2) (1) (3) (5) (6) Re z
Cambiar
dibujo

26. Casos:
1-. Sistema inestable.La respuesta a impulso es una
oscilación creciente en magnitud.
2-. Sistema inestable.La respuesta es una oscilación
parecida a un senoide con magnitud constante.
3-. Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida
a una senoide decreciente en magnitud.22
1ab 22
1ab 22
1ab x Im z Re z (2) (1) (3) (2) x (3) x (3) (2) x (1) x (1)
Cambiar
dibujo

27. 8.7.2. POLOS DOMINANTES
Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta
transitoria.Son los polos que están más cerca del circulo unitario.Ej p1 y p2.Ιm z 3
p 4
p Re z x x 1
p x x 2
p
8.8 RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS
LINEALES (FILTROS DIGITALES)
Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal
pura.()ut ()uk T Sistema discreto
lineal H(z)()Yk 
1
()utsenT 
1
()utsenkT

28. 
11
1
2
()
() ()





jTjT
senT
uz
zeze 1
01
12
...
()
() () ... ()




mm
m
n
bzbzb
Hz
zpzpzp 1
1p Si consideramos que todos los polos son distintos ()()()YzHzHz 11
012
12
() ...







jj
njTjT
zzzzeze
Yzaab
zpzpznzeze 0
()()
k
k
Hzhkz




Se tiene11
0
()()





jTjTk
k
Hehke 
1
11
0
()()cos






jT
k
HehkkTjsenkT 
11
00
()cos()



kk
hkkTjhksenkT
1.-
2.-11
0
()()





jTjTk
k
Hehke 
11
00
()cos()



kk
hkkTjhksenkT
Arreglar tamaño en texto y fórmulas

29. Por ser complejas111
()()()


jTjTjT
HeHeHe 111
()()()


jTjTjT
HeHeHe 11
1
()()()




jTjT
MHHeHe 1
1
()()


jT
He 1
1
()()




jT
He
y11
1
012
12
()
() ...
2










jj
njTjT
Mzzzzeze
Yz
zpzpznjzeze
De ahi:
Antitransformando:
01122111
()() () () .... () () ()

kkk
nn
ykkpppMsenT 
111
()()()ykMsenkT
Finalmente

30. 1
()0


jT
He Suprime la frecuencia 1
 1
()1
jwT
He
Amplifica la frecuencia1

8.8.1 PERIODICIDAD DE ()
jw
HeT 1
()
jwT
He
Factor de angulo fase
Una característica particular en los sistemas discretos, es que los
factores de ganancia y ángulo son periódicos en relación con la
frecuencia. 2
()j
jTT
ee




 Polar
Forma
0
3
4T
3/4j
e
 5/4j
e
 3/2j
e
 10
 145
 190
 1135
 1180
 1225
 1270
 1360

3
2T

5
4T

2
T

T
jT
e

4T

0j
e
/4j
e

/2j
e


2T
j
e

2j
e

4T

 0Re z ()
0
  




j T j T
c
Z e e

2T


T


3
4T

Im z

31. 8.8.2 INTRODUCCIÓN A FILTROS DISCRETOS.
La característica de ganancia de un filtro paso bajas ideal se
muestra abajo:()
jT
He
 1 1
ω 
2.-Filtro pasa altas:()
jT
He
 2
ω 1

32. 3.-Filtro pasa banda:()
jT
He
 1 2
ω 1
ω ω
Filtro paso bajas :el sistema caracterizado por la
ecuación en diferencias y función de transferencia ()()(1)ykukyk
para que la magnitud sea unitaria: 1
Así pues, la función de transferencia resulta: (1)
()
z
Hz
z




 (1)
()
jT
jT
jT
e
He
e







 (1)(cos)
(cos)
TjsenT
TjsenT




 222
(1)
()
cos2cos
jT
He
TTsenT




 1
tan
(cos)
senT
T
T






Arreglar tamaño en texto y fórmulas

33. El ancho de banda de un filtro pasa bajas se define como el
rango de valores de frecuencia dentro del cual se cumple :1
()
2
jT
He

 c
w 2
(1)1
212cos
c
T




 2cos(3cos)(1cos)
ccc
TTT
Arreglar tamaño en texto y fórmulas