La variación y la derivada

2. Elestudiodelavariación,constituyelalíneadirectriz
mediantelacualseconstruyeunodelosconceptosmás
importantesdelcálculo:
la derivada
Lasfuncionespuedencambiardemanerasmuydistintas,unas
puedensercrecientes,otrasdecrecientes,otrasnocrecenni
decrecen,unascrecenuniformemente,otraslohacenenforma
variada,etc.

3. Paracomprenderelcomportamientodeunafunción,es
necesariodeterminarcuántocambia;estoesdeenorme
utilidadsisepretendesabercuántocreceunafuncióno
cuántodecrece.Enrealidadeltérminovariaciónestá
estrechamenteligadoalprocesode:
medición del cambio
Unodelosrequisitosfundamentalesenelestudiode
cualquierfenómenoespodercuantificarloomedirlo,yen
estolamatemáticaproporcionaunagranayuda.

4. Losinstrumentosdemediciónquelamatemáticaproveealas
demásdisciplinascientíficasnoseparecenalosqueutilizan,
porejemplo,laFísicaolaQuímica;mientrasqueestas
disciplinasutilizaninstrumentosdelaboratorio,enlaciencia
matemáticasecreanmodelosabstractos.
Lamedicióndelcambioesunaspectoesencialdelavariación
y,portanto,unelementoclaveenlaformacióndelconcepto
de
derivada.

5. Ejemplo.Elprincipalindicativodelacontaminaciónambiental
enlasgrandesciudadessemideapartirdelaconcentraciónde
ozonoenlaatmósfera.EnlaciudaddeMéxicoseutilizael
ÍndiceMetropolitanodeContaminaciónAmbiental(IMECA).
Silaconcentracióndeozonofluctúaentre50y100puntos
IMECAsedicequeexisteunambientefavorableparalas
actividadeshumanas,sifluctúaentre100y200esno
satisfactorio;sivaríaentre200y300seconsideracomomalo,y
siestáentre300y500esdañinoparaelorganismo.Enla
segundasemanadelmesdeagostode1997seregistraronlas
concentracionesdeozonoenlaciudaddeMéxicoquese
muestranenlafigurasiguiente:

6. Deacuerdoconlosdatosdelagráficaelnivel
promediodeozonocambiadiariamente.
¿Cuántocambióelnivelmáximodeozonodelunesa
martes?Ascendió4unidades.
¿Cuántocambiódelmartesalmiércoles?
Cambióen51unidades.

7. Nótesequeelcambiosedacuandosepasa,deunestadoa
otro,deunestadoinicialaunestadofinal;portanto,para
medirelcambiodelavariablebastarestardesuvalor
adquiridoenelestadofinal,suvaloradquiridoenelestado
inicial: Cf–Ci=ΔC
ΔCrepresentaelcambio(aumentoodisminución)dela
concentracióndeozonoenlaatmósfera

8. Ejemplo2.Lacaídalibredelos
cuerposenlaLunasedescribeporla
fórmula
sesladistanciadecaídaenmetros,y
teltiempoempleadoencaeren
segundos.Elgráficodes(t)tienela
formamostradaenlafigura.
Tomandoencuentaestainformación,
¿cuántocambialadistanciaenquecae
uncuerpoentrelossegundos0y1?Si
seobservalagráficapareceque
cambia2m,sinembargo,estaforma
decalcularelcambioespocoprecisa.
¿Cómoeliminarestaimprecisión?
Contamosconlafórmuladelafunciónquerelacionaala
distanciayeltiempo,yportantopuededeterminarseelvalorde
ladistanciarecorridadelestadoinicialalestadofinal.

9. Deacuerdoconesteesquemayaprovechandoquesesabequeel
cambiosemidepormediodelasdiferencias,(estadofinal
menosestadoinicial),podemoscontestarrápidamentela
preguntaplanteada:
Como , entonces
y
de aquí que:
Esto quiere decir que un objeto en caída libre en la Luna, de 0 a 1
segundo recorre una distancia que cambia de 0 a 0.8 m

10. ¿Cuánto cambia la distancia del segundo 1 al segundo 2?
En este caso: Δs = s(2) –s(1) = 3.2 –0.8 = 2.4 m
Elresultadoanteriorindicaqueunobjetoencaídalibre,en
nuestrosatélite,recorre2.4mentrelossegundos1y2.
Pudierancalcularsemáscambios,hayqueresponderalapregunta:
¿cuántocambia?,loquenosllevahacialamedicióndelavariación,
quesehalogradomediantelasdiferencias.Conellassecuantificael
cambioyparaobtenerlassenecesita,deunvalorfinaldela
variable,xf,alqueselerestaelvalorinicialdelamismavariable,xi.
Estoentérminosmatemáticosseescribeasí:
xf -xi = Δx

11. ¿Cómo se comportan los cambios?
Yaintrodujimoslanotaciónquefacilitala
obtencióndediferencias,yportanto
tambiénfacilitalamedicióndelcambio.Los
cambiosqueocurrenenlanaturalezaoenla
sociedadtienendistintoscomportamientos,
haycambiosqueocurrenuniformemente
conrelaciónaltiempo,hayfenómenosque
cambianacadainstante,haytambién
fenómenosnaturalesenlosqueloscambios
sonmuycomplejos,comoeselcasodel
movimientodeloselectronesoel
movimientodelasmoléculas.

12. UnadelasfuncionesdelCálculoconsisteenencontrarlas
leyesquedescribanesoscambiosyasípoderlosmediry
predecir.
Aquísólonosocuparemosdeloscambiosqueocurrenen
algunosfenómenossencillos,estudiadosporlaFísica.
Iniciaremosconelanálisisdelfenómenodelacaídalibrede
loscuerpos.

13. Laleyquedescribelacaídalibredeloscuerposenlasuperficie
terrestreestádadaporlafórmulas(t)=4.9t²,endondesesla
distanciarecorridayteltiempo.
Los cambios de la distancia, Δs, están dados por medio de la
diferencia:
Δs = s(ti+ Δt) -s(ti)
despuésdealgunosprocedimientosalgebraicos:
Vamosaanalizarcómosecomportanloscambiosdela
distanciaquerecorreuncuerpoencaídalibre,primero
numéricamenteydespuésgeométricamente.
CAÍDA LIBRE

14. Elijamos cambios del tiempo de 1 en 1, es decir, para
Δt = 1
Analicemoslasucesióndecambiosdedistanciasy
comparemosentresísusmagnitudes.

15. Véasequelasdistanciasquerecorreelcuerpoaintervalosde
unsegundotambiéncambian.De0a1s,ladistanciarecorrida
fuede4.9m;de1a2s,ladistanciarecorridafuede14.7m;
enelintervalode2a3sladistanciafuede24.5m.Estoindica
queuncuerpoquecaelibrementerecorredistanciascadavez
másgrandesporcadasegundoquetranscurre,yesoscambios
dedistanciasestándadosprecisamenteporlafórmula:
Lasmagnitudesdelasdistanciasvarían,pero¿cuántocambian
esoscambios?

16. ¿CAMBIOS DE CAMBIOS?
Obsérvesequedelprimercambioalsegundoladistancia
aumenta9.8m;esdecir,de4.9cambiaa4.9+9.8=14.7;
delsegundocambioalterceroaumentatambién9.8m,
puesde14.7cambióa24.5;delterceroalcuartocambio
tambiénvaríalomismo.Estoquieredecirqueloscambios
dadoscambianasuvezenunamismamagnitud;los
cambiosdeloscambiossonconstantes.

17. CAMBIOS GEOMÉTRICOS
Parareferirsealoscambiosdedistanciaseha
utilizadolanotaciónΔs,yparaloscambiosdeestos
cambioslanotaciónΔΔs

18. TambiénsepuedeinterpretarlanotaciónΔscomolas
diferencias,ylanotaciónΔΔscomolasdiferenciasdelas
diferencias.Siseprosigueconelanálisisdeloscambios,
ahorapuedepreguntarsenuevamentecómosecomportanlos
cambiosdeloscambiosdeloscambiosdelasdistancias.
Alanalizarloscambiosdedistanciaqueexperimentaun
cuerpoencaídalibresehanencontradoalgunascuestiones
quesonimportantesdedestacar:

19. Porejemplo,lasdiferenciasΔssecomportandemanera
queparecenseguirlaregla9.8t,parat≥1;enelcasode
lasdiferenciasdelasdiferenciaslareglaesevidente,pues
eslaconstante9.8,ylasdiferenciasdeéstasúltimasson
siempre0.Talparecequesiseobtienenlasdiferencias
reiteradamente,lasobtenidasalúltimovaldrán0.Esto
últimoesotrodelosaspectosimportantesdelavariación.
Elanálisisdelcomportamientodeloscambiosesuntema
muyimportanteparaestudiarlavariación,pueslos
movimientosestándeterminadosporloscambios,yel
comportamientodeloscambios(loscualesasuvez
puedenvariartambién,opermanecerconstantes)sonel
aspectoesencialdelavariación.

20. Cambios relativos: la rapidez media de la variación
Cuandoseestudiaronloscambiosdelasdistanciasenla
caídalibredeloscuerpossiempresehacíareferenciaal
cambiodeladistanciarecorridaenunintervalode
tiempo,esdecir,uncambiodedistanciarespectodeun
cambiodetiempo;enelcasodelcambiodeestadodelos
líquidossemideelcambiodetemperaturarespectodel
tiempo,enelcasodelaumentodeáreasdepolígonosse
habladelcambiodelárearespectodelalongituddesus
lados,etc.Loscasosparticularesdecambiorelativosmás
cercanamenterelacionadosconnuestraexperiencia
diariasonlarapidezdecambioylavelocidaddeun
objetomóvil.Ambassonmanifestacionesparticularesde
loscambiosrelativos,puesparasudeterminaciónse
requiererelacionarunoscambiosconotros.

21. ¿Qué tan rápido cambia un fenómeno?
La caída libre de los cuerpos en la superficie lunar está
descrita por la fórmula s₁(t) = 0.8t ² , y en la superficie,
terrestre por s₂(t) = 4.9t ² . Supóngase que dos cuerpos
se dejan caer simultáneamente tanto en la Tierra
como en la Luna. ¿Cuál de ellos cae con más rapidez?

22. Sisecomparanlasgráficaspodemospercibirqueenla
superficieterrestrecaenmásrápidoloscuerposqueenla
superficielunar,puesde0a1segundoseobservaque
s₂(t)esmásgrandeques₁(t);de2a3segundosse
observatambiénqueas₂(t)correspondeunamayor
distanciaques₁(t),comoseobservaenlatabla.

23. Paradarunarespuestainicialalapregunta:¿Quétanrápido
cambiaunfenómeno?Setuvoquerelacionarelcambiode
distanciarespectodelcambiodeltiempo,ylacomparación
fueexpresadapormediodeunarazón,esdecirelcambiode
distanciaentreelcambiodetiempo.Ademásesimportante
tambiénhacernotarquelalecturadelarapidezsefacilitasi
larazónquelamidesesimplificademodoqueenel
denominadorquedelaunidaddetiempo.¿Siseanalizala
rapidezdelosdosmovimientosperoaintervalosmáscortos,
prevalecerálamismasituación?
Larapidezconquecaenloscuerposesmayorenlasuperficie
delaTierraqueenlasuperficielunar,noimportandoquétan
pequeñosseanlosintervalosdetiempoquesetomen.
Véaselasiguientetabla.

24. MientrasenlaLunauncuerpoapenasrecorre0.2mentre0y0.5
senlaTierraenesemismointervalorecorreunadistancia
mayor,puesrecorre1.225m;entre0.5y1senlaLunauncuerpo
recorre0.6myencambioenlaTierraenesemismointervalo,
recorre3.675m.,etc.
Sepuedeafirmarquelarapidezconquecaeuncuerpoenla
Lunaescasi6vecesmenorquelarapidezconquecaeuncuerpo
enlaTierra.

25. Ladeterminacióndelarapidezrequiere,enprincipio,deuna
comparaciónentreelcambiodeladistanciayloquecambia
eltiempo.Entérminosmásprecisos,lacomparacióndelaque
sehablaesenrealidadunarazón,uncociente.
Cuandosedicequeelobjetollevaunarapidezde0.4m/s,
significaquecuandoeltiempocambiaen1s,ladistanciaque
recorreelobjetocambiaen0.4m;estopuedeescribirsecomo
4m/10s.Setieneque4/10esunnúmeroracional,endonde
elnumeradorrepresentaelcambiodeladistanciayel
denominadorelcambiodeltiempo.
Larapidezeselmódulodelarazóndelcambiodedistancia
entreelcambiodeltiempo.Estoseescribe:

26. Si la rapidez es r, la distancia s y el tiempo t, entonces, la
igualdad anterior queda como:
Lasbarrasdevalorabsolutoindicanquelarapidezsiempre
serápositiva.Laexpresiónanteriorpermitecalcularla
rapidezpromedioydarrespuestaasituacionesconcretas
acercadelavariación.Finalmentesepuedeconcluirquelos
cambiosrelativossemidenpormedioderazonesococientes
entrecambios,siemprequeseestudiaunfenómenode
variaciónloimportantenoessólodeterminarloscambios,
sinodeterminarquétanrápidocambiaesoquecambia,yla
mejorformadeaveriguarloespormediodelasrazones
entreloscambios.

27. EstaesunadelasideasmásimportantesdelCálculo
Diferencial.Ennuestroejemplosolohemostratadountipo
decambiosrelativos,larapidez.Sinembargo,existen
muchosotroscambiosrelativoscomolavelocidad,la
aceleración,elgasto,etc.
Vamosaextenderestanociónderapidezaladevelocidadde
movimiento.Habráquerecordarquelarapidezmediaesun
recursoparamedirloscambiosrelativos;esdecir,indica
cuántocambiaunavariablecuandootra-queestá
relacionadaconaquélla-cambiaenunadeterminada
magnitud.
Doscuerpossemuevendemodoquelarelaciónentrelas
distanciasquerecorrenrespectodeltiempoestándadaspor
lasfórmulas:s(t)=5t+5,ys(t)=20t-5t²;obsérvenselas
gráficasdelasFiguras

28. Enlosdoscasoslarapidezmediaaintervalosde1spuedeser
obtenidasóloviendolasgráficas.Paramayorprecisión,
podemosdeterminarlautilizandolasdiferencias.

29. La rapidez media dada por la expresión:
ComoΔsseobtienedes(ti+Δt)–s(ti),paraelcasoenque
s(t)=5t+5
Lasdiferenciasson:
Por tanto, r queda como sigue:

30. Estosignificaquelarapidezmediaconlaquesedesplaza
elcuerpoenelprimercasoessiemprede5m/s,para
cualquierΔt.¿PorquéafirmamosqueparacualquierΔt?
Si un cuerpo sigue una trayectoria recta y se desplaza con
la misma rapidez, entonces —dicen los físicos —se trata
deunmovimientorectilíneouniforme,surapidezmedia
nocambia:siempreesde5m/s;esconstante.
Analicemosloquesucedeenelsegundocaso.Calculemos
primerolarapidezmedia.Paraelloseprocededemanera
semejantealadelcasoanterior.

31. Demaneraquelarapidezmediademovimientose
obtienecomosigue:
Ahorautilíceselaexpresión
paracalcularlarapidezmediaenlosintervalosindicadosenla
gráfica.

32. Losresultadosindicanquelarapidezdelcuerpoestuvo
cambiandoenelintervaloqueduróelmovimiento.De0a1
segundossurapidezesde15m/s;de1a2segundos
cambió,a5m/s;de2a3tieneunarapidezde5m/s,yde3
a4segundossurapidezesde15m/s.Losdatosparecen
revelarqueelcuerpoalprincipiotieneunamayorrapidezy
amedidaqueseacercaasumáximaalturasurapidez
disminuye.¿Esposiblequesurapidezseanule?Despuésde
haberalcanzadosumáximaalturaelcuerpobaja,en
principioconmenorrapidezydespuéssurapidezaumenta.

33. Seinvestigaráahoralavelocidaddeloscambios
representadosenelgráfico,peroahoraaintervalosde0.5s.
Estosdatosindicanquelavelocidaddelcuerpova
disminuyendoamedidaquealcanzasumayoraltura.después
elcuerpovieneendescensoysisuvelocidaderapositivaenel
ascenso,entoncesesaceptablequeeneldescensose
considerenegativa.

34. Estonoeraclaroutilizandosólolaideaderapidez,yenesto
sehallasulimitación.Losgráficossiguientesmuestranlos
dosenfoques,elderapidezyeldevelocidad.
ElcomportamientodelagráficadelaFiguraessugerente;los
segmentostiendenaparecerseaunalínearecta.¿Siseguimos
reduciendolosintervalospodremosobtenerinformaciónmás
precisasobrelarapidezylavelocidad?

35. Nótesequelareduccióndelintervalonospermitióobtener
velocidadesquenopudimosapreciarcuandosetomaron
intervalosdeunoenuno.Estehechopermitepensarenla
posibilidaddequealreducirlosuficienteelintervalo
podemosobtenerlarapidezolavelocidadencualquier
punto?¿Quétanpequeñodebeserelintervaloparaconseguir
talexactitud?

36. Los cambios infinitamente pequeños
y la velocidad instantánea
Conlarapidezylavelocidadmediashemosestudiadola
variaciónporintervalosrelativamentegrandesperoenla
realidadloscambiosnosucedenasaltos.Enlagran
mayoríadelosfenómenosfísicosydeotrosfenómenos
estudiadosporotrasdisciplinas,loscambiosson
continuos,ocontinuosportramos.
Estoquieredecirquecambianacadainstante,dadalaley
dealgúnmovimiento,sólohemospodidocalcularsu
rapidezyvelocidadendeterminadosintervalos,yestoda
unaaproximaciónpocoprecisaacercadel
comportamientodeloscambios.

37. Sílavelocidaddeloscambiosesconstante,consóloutilizar
elconceptodevelocidadmediasepuedepredecirla
velocidadencualquierintervalooenuninstantecualquiera.
Seilustraráestoparaelcasodeldesplazamientodeun
cuerpoqueserigemediantelafórmula:
s(t) = 5t + 5.
Sesabequevestádadapor:
TambiénsesabequeΔsparaelcasoquenosocupaes
equivalentea5Δt,porloquevqueda:

38. Lavelocidadmediavdependedet,entoncespuede
expresarsecomo
v(t) = 5
nótesequevnoesafectadaporΔt,esdecir,noimportaque
tangrandeoquétanpequeñosealoquecambieeltiempo.
Detodasmaneras,larazónentreelcambiodedistancia
(Δs)yelcambiodeltiempo(Δt)siempreseráuna
constante.
Enelcasoenquelavelocidadvaríaacadainstante,como
eselcasodelcuerpoquesemuevedeacuerdoconla
fórmulas(t)=20t–5t²,elcálculoparecenosertan
sencillo.Porejemplo¿Cuáleslavelocidaddeestecuerpo
exactamenteent=1segundo?

39. Seintentaráresolverloanteriorconlafórmulainicialparael
cálculodelavelocidadorapidezmedia:
de donde v queda como:
Sehallegadoasíaunaindeterminación.¿Porqué?Porquese
haaplicadolafórmuladelavelocidadmediaparaun
problemaenelquesepidelavelocidadenuninstante.
¿Entoncesesimposiblecalcularlavelocidadexactamenteen
uninstante?

40. ¿Habrá algún método que permita calcular
la velocidad instantánea?
Elproblemaesaveriguarlavelocidadexactamenteenel
primersegundo,parecerazonableasignarvariacionesde
tiempodemaneraqueseacerquenat=1.Comoel
cocientequedalavelocidadmediaent=1seindetermina,
seinvestigaráahoraqueestápasandoconlasvelocidades
mediasmuycercadet=1.
Parasistematizarlosprocedimientosharemosquetisea
fijo;paraelcasoquenosocupati=1,yelquecambiaraes
tfdemodoqueloscambiosdedistanciadadospor:
seancadavezmáspequeñosrespectodeti.Seaplicaráun
acercamientoporladerecha.

42. Lasucesiónseaproximadeformaascendentea10.¿Quépasará
conestasucesiónsihacemosquelamagnituddelintervalosiga
disminuyendoinfinitamente?¿Quépasasielcambiodeltiempo
esinfinitamentepequeño,esdecirquetfestéinfinitamente
cercanoa1?
Paratenermáselementosseexploraráquépasasi
Δt = 0.00000000001
utilizando una calculadora se obtiene que la velocidad media es
v = 9.99999999995
¡Estenúmeroestámuchomáscercade10!

43. Todoindicaquelasucesióndevelocidadesmediasseacerca
cadavezmása10,demaneraqueladiferenciaentreeste
númeroylaúltimavelocidadmediaquepudiésemoscalcular,
seríainsignificante.Porlotanto,puedeplantearseuna
hipótesisbásica:
SiΔtesuncambioinfinitamentepequeño,enestecaso
infinitamentecercanoati=1,entonceslavelocidaddel
cuerpoent=1esexactamenteiguala10m/s.
¿Sucederálomismoconacercamientoat=1porlaizquierda?

45. Tambiénenestecasolasucesióndecocientesseacercaa10,
peroahoralohacedemaneradescendente.Esteresultado
refuerzanuestrahipótesisacercadelavelocidadinstantánea.
Analícenselasdossucesionesdevelocidadesmediasenuna
mismatabla:
Lassucesionesdecocientesquerepresentanalasvelocidades
medias,muycercadeti=1secomportandemodoquelas
dostiendena10,tantoporladerechacomoporlaizquierda.
¿SisesiguierareduciendoΔthastaquefuerainfinitamente
pequeñolasucesióndevaloresdelasvelocidadespromedio
excederíade10?Sinoloexcedenentoncesdiremosque10es
ellímiteotopedelcualnopasanambassucesiones.

46. Pararepresentaralavelocidadinstantáneautilizaremosla
notación:
VELOCIDADINSTANTÁNEA=
Enestascondicioneselcuerpoquesemuevedeacuerdocon
lafórmulas(t)=20t–5t²,tieneunavelocidadde10m/s
exactamenteent=1.Losprocedimientosnuméricosque
permitieronobtenerlasucesióndevelocidadesmedias
puedenquedarcondensadosenlasiguienteexpresión:

47. ¿Cómo se calcula la velocidad instantánea?
1.Elproblemaprincipalconsisteenlaimposibilidadde
calcularlavelocidadenuninstanteoenunpuntopormedios
aritméticosconocidos.
2.Laestrategiacentraldelmétodoconsiste,yaquese
desconocelavelocidadenunpunto,enexplorarquéocurre
conlasucesióndevelocidadesmediasmuycercadelpuntoen
cuestión,acercándoseaéstetantoporladerechacomoporla
izquierda.
3.Lasucesióndevelocidadesmediasqueresultadelos
cocientesentrecantidadescadavezmáspequeñasquese
obtienen,asuvez,alreducirelintervalodevariación.
4.Lavelocidadinstantáneaseevalúacuandoelcambiode
tiempoesinfinitamentepequeño.Lasucesióndecocientesde
cambioscadavezmáspequeñosdedistanciaytiempotiende
aunnúmero.Estenúmeroessulímite.Talnúmeroesla
velocidadInstantáneabuscada.

48. BIBLIOGRAFÍA
UNA INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA
MEDIANTE LA VARIACIÓN
CUADERNOS DIDÁCTICOS VOLUMEN 6
DR. CRISÓLOGO DOLORES FLORES
GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA S. A. DE C. V.
Presentación por:
Prof. Carlos Vázquez López
Cálculo Diferencial
Preparatoria Federal por Cooperación
Nicolás Bravo
Zihuatanejo Gro.