Le coniche

LE CONICHE NELLA GEOMETRIA

1. LE CONICHE NELLA GEOMETRIA IDEATO DA LORENZO LUCENTE 3°B

2. LE CONICHE le Coniche o Sezioni coniche Sono particolari curve che si ottengono con la intersezione tra un piano e un cono a due falde coniche non degeneri coniche degeneri

3. COS’ E’ UN CONO A DUE FALDE? RETTA r = (asse del cono) VERTICE V =(vertice del cono) AGOLO a =(angolo) Considerando una perpendicolare della retta ‘r’ tracciamo una circonferenza avente il centro sulla retta. Il cono a due falde è la superficie formata da tutte le rette ( dette generatrici ) passante per il vertice e un punto qualsiasi della circonferenza. L’angolo è formato tra l’asse e una qualsiasi generatrici

4. Tipi di sezione piane di un cono l'ellisse, ottenuta intersecando il cono con un piano che con il suo asse formi angoli maggiori di θ e minori o uguali a π/2; ciascuna di tali intersezioni appartiene a una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa; la circonferenza, a sua volta caso particolare di ellisse ottenuta dall'intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse, e anch'essa curva chiusa; la parabola, ottenuta per intersezione del cono con un piano parallelo a una delle sue rette generatrici (in questo caso l'angolo formato con l'asse della conica è uguale a θ); ogni parabola appartiene a una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa; l'iperbole, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a θ; anche l'iperbole è una curva aperta e, siccome il piano interseca entrambe le falde del cono, essa si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti rami della conica. Le cosiddette coniche degeneri si ottengono, invece, per intersezioni con piani passanti per il vertice del cono: il punto, ottenuto per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse angolo superiore a θ; nella fattispecie, il punto altro non è che il vertice di detto cono; la retta, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo pari a θ; la retta ottenuta è una delle generatrici del cono; una coppia di rette, ottenute per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a θ; tali due rette si incontrano al vertice del cono e sono bisecate dalla retta ottenuta per intersezione del piano secante con il piano a esso ortogonale e passante per l'asse del cono.

5. CONICHE NON DEGENERI Considerando un piano non passante per il vertice ‘V’ possiamo avere 4 tipi di coniche non degeneri . CIRCONFERENZA = intersezione tra il cono e un piano perpendicolare all’asse ELLISSE = intersezione tra il cono e un piano , forma con l’asse del cono un angolo maggiore di ‘a’ < 90 PARABOLA = piano che forma con l’asse del cono un angolo uguale ad ‘a’ IPERBOLE = intersezione con tra il cono ed un piano che forma con l’asse del cono un angolo uguale ad ‘a’

6. CONICHE DEGENERI Si parla di coniche degeneri quando il piano secante passa per il vertice UN PUNTO = quando il piano forma con l’asse un angolo maggiore di ‘a’ UNA RETTE = quando il piano forma con l’asse del cono un angolo uguale ad ‘ a ’ ; in questo caso la retta ottenuta coincide con una sua generatrice DUE RETTE = quando il piano forma con l’asse un angolo minore di ‘a’ ; in questo caso le rette sono incidenti e il punto di intersezione coincide con ‘V’

7. CONICHE COME LUOGHI GEOMETRICI Le coniche non degeneri sono dette anche ‘luoghi geometrici’ dei punti del piano. La circonferenza è il luogo geometrico dei punti ‘P’ del piano ed è fissa la distanza da un dato punto ‘O’ La parabola è il luogo geometrico dei punti ‘P’ del piano equidistanti da un punto fisso ‘F’ ( fuoco della parabola ) e da una retta ( direttrice ) L’ellisse è il luogo geometrico dei punti ‘P’ ed è fissa la somma della distanza dei punti ‘ F1 ’ e ‘ F2 ’ ( fuochi dell’ellisse ) L’iperbole è il luogo geometrico dei punti ‘P’ del piano, è costante il valore assoluto della differenza della distanza dei punti fissi ‘ F1 ’ e ‘ F2 ’ ( fuochi dell’iperbole )

8. EQUAZIONE DELLE CONICHE L’equazione delle coniche è un’equazione di 2° che si presenta: ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 A seconda della relazione che esiste tra i coefficienti avremo diversi tipi di coniche non degeneri: Se b^2 – ac = 0 l’equazione rappresenta una parabola Se b^2 – ac < 0 l’equazione determinata una ellisse Se a = c e b = 0 l’equazione rappresenta una circonferenza Se b^- ac > 0 l’equazione rappresenta una iperbole Se a + c = 0 l’equazione rappresenta una iperbole equilatera La condizione necessaria affinché la curva sia una circonferenza è che a = c e b = 0

9. ECCENTRICITA’ Una definizione alternativa delle sezioni coniche viene data a partire da una retta ‘D’ , la direttrice, un ‘ F ’ esterno a ‘D’ ,detto fuoco , e un numero ‘e’ > 0 ce prende il nome di ‘ ECCENTRICITA ’’. Per una ellisse e una iperbole si possono assumere due coppie fuoco + direttrice, ciascuna fornendo la stessa intera curva. La distanza del centro dalla direttrice è ‘a/ e’ ‘a ’ denota il semiasse maggiore dell'ellisse, oppure la distanza del centro da ciascuno dei punti di distanza minima dell'iperbole. La distanza del centro da un fuoco è ‘ ae ’ . Per una data lunghezza ‘a’ del semiasse maggiore, quanto più ‘e’ si avvicina a 1, tanto più piccolo è il semiasse minore.