Le modèle de Black Scholes

- Les hypothèses du modèle black scholes
- Le modèle black scholes
- Les formules black scholes
- les ratios de couverture d'une option européenne
- La volatilité implicite
- Les limites du modèle BS

1. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
UniversitéCadiAyyad
Faculté desSciences etTechniquesMarrakech
Modèle deBlackScholes
Preparé par : Evalué par :
Amal ELJADIRI Mme.Khadija AKDIM
Année Universitaire : 2012/2013

2. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
PLAN
IIntroduction
ILes Hypothèses du Modèle
ILe Modèle Black Scholes
ILes Formules de Black Scholes
ILes Ratios de Couverture d'une Option Européenne
ILa Volatilité Implicite
ILes Limites du Modèle BS
IConclusion

3. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Introduction
Un peu d'historique...
Robert C. Merton a été le premier à publier un article développant
l'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant les
travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Ceux-ci, publiés en 1973,
se fondent sur les développements de théoriciens comme Louis Bachelier
ou encore Paul Samuelson. Robert Merton et Myron Scholes (Fischer
Black était décédé en 1995) ont obtenu en 1997 le prix de la Banque de
Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel. Black a été
cité comme contributeur.

4. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Introduction
Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapport
le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent
à temps continu. Black et Scholes avaient proposé une formule pour
estimer la valeur théorique d'une option nancière de type européenne
(call ou put).
Le modèle de Black Scholes est devenu la référence en termes de
modèle d'évaluation des produits dérivés. Il a eu un impact majeur sur
les méthodes utilisées par les traders, tant vis-à-vis de l'évaluation du
prix des options que dans l'élaboration de technique de couverture. Ce
modèle constitue le point de départ de l'essor de l'ingénierie nancière
dans les années 1980 et 1990.

5. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Hypothèses du Modèle
Le temps est une fonction continue,
Les options sont de types européennes : elles ne peuvent s'exercer
qu'à la maturité,
Le sous-jacent considéré ne paye pas de dividendes pendant la période
considérée (ou du moins un dividende constant),
Le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien,
Il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage,
La vente à découvert est possible,
Les coûts de transactions sont nuls, et il n'y a pas de restriction sur
leurs volumes,
Il n'y a pas de taxes,
Il existe un taux d'intérêt sans risque, connu et constant pendant la
période considérée,
Les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exemple
acheter 1/100e d'action).

6. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Le Modèle Black Scholes
Énoncé
Le modèle de BlackScholes est, à l'origine, un modèle à deux actifs :
l'un risqué St (l'action sous-jacente à l'option), l'autre pas Rt(une
obligation).
Rt=e
rt
, où r le taux sans risque.
Le prix de l'action, St t>=0, est régi par l'équation diérentielle
stochastique (EDS) suivante :
dSt=Stdt+StdWt()
: paramètre réel: la volatilité de l'actif, > 0S0 : connu
Wt: mouvement Brownien sur un espace probabiliste (,F,P)

7. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Le Modèle Black Scholes
Signification
(*) =>
dSt
St
=dt+dWt
C'est le rendement du spotSt. Il est à peu près constant égal àdt, à
une (petite) perturbation aléatoiredWt. L' "amplitude" de cette
perturbation est mesurée par la volatilité.

8. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Le Modèle Black Scholes
Solution de l'EDS (*)
La solution est :
St=S0+
Z
t
0
Sudx+
Z
t
0
SudWu
Ou encore, en utilisant la Formule d'Ito :
St=S0e
(

2
2
)t+Wt
Rappel : La formule d'Ito
Si f : IR -> IR de ClasseC
2
, Alors :
f(Wt) =f(0) +
Z
t
0
f
0
(Ws)dWs+
1
2
Z
t
0
f
00
(Ws)ds

9. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Le Modèle Black Scholes
Exemple
Considérons un agent qui investit dans ce marché. Désignons partet
tles nombres respectifs d'obligations et d'actions détenues par l'agent
à l'instant t. La valeur du portefeuille de cet investisseur est :
Vt=t:Rt+t:St
la stratégie de nancement(t ,t) est un processus adapté : pour
déterminer la stratégie on n'anticipe pas sur le futur car on ne dispose
que de l'information jusqu'à l'instant t. Cela proscrit en particulier les
délits d'initiés. Nous supposons que cette stratégie est autonancée.
c'est à dire :
dVt=t:dRt+t:dSt
Donc le portefeuille actualisé
~Vt=e
rt
Vt
est aussi autonancé, et on a :
d~Vt=t:d~St

10. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Le Modèle Black Scholes
Exemple (suite)
- Le marché est viable : il existe une probabilité^Ppour laquelle~Stest
une martingale locale. C'est l'équivalent de l'AOA dans un marché
discret.
d^P=e
c:Wt
c
2
2
:T
;c=
r

~St=S0:e
:
^
Wt

2
:t
2;d~St=:~St:^Wt;^Wt=Wt
r

:t(MB)
- Le marché est complet : Tout actif de la forme : Zt=(St) (donc
toute variable aléatoire Ft mesurable) est réplicable (duplicable). Cela
résulte du théorème de représentation des martingales dû à Ito.
Résultat
En notant^El'espérance pour la probabilité^P, on a :
~Vt=^E( (~St)=Ft) =f(t;~St); (~St)martingale
Avec,
f(t;x) =
1
p
(2)
:
Z
+1
1
(x:e
:y:
p
(Tt)
):e
y
2
2dy

11. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Le Modèle Black Scholes
Pour une option
- Son prix est :
V0=~V0=f(0;S0)
- Avec :
f(0;S0) =
1
p
(2)
:
Z
+1
1
(S0:e
:y:
p
(T)
):e
y
2
2dy

12. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Formules de Black Scholes
Pour un Call
La valeur d'un actif à l'instant T est(StK)+, et à la date t est :
C=S0:N(d1)K:e
rT
:N(d2)
oùNest la fonction de répartition d'une N(0,1) :
N(x) =
1
p
(2)
:
Z
x
1
e
u
2
2du
et
d1=
log(
S0
K
) +T(r+

2
2
)

p
(T)
et
d2=d1
p
(T)
Pour un Put
La valeur d'un actif à l'instant T est(KSt)+, et à la date t est :
P=S0:N(d1) +K:e
rT
:N(d2)

13. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Formules de Black Scholes
Remarque :
- La Formule de Call Put Parity est bien vériée. En eet, puisque~St
est une martingale sous^P, on a :
CP=e
rT
:^E((STK)+)e
rT
:^E((KST)+)
Donc
CP=e
rT
:^E(ST)e
rT
:K
Finalement
CP=S0e
rT
:K
- Connaissant K,S0, r,et T, on peut facilement calculer la valeur du
Call et du Put sous Excel :

14. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Les Grecques
Les Grecques sont des indicateurs qui mesurent la sensibilité du prix par
rapport à un paramètre donné.
mesure la sensibilité du prix par rapport au sous jacent :
t(St) =
@f
@x

(t;St)
C'est aussi la quantité de l'actif risqué dans le portefeuille de
couverture !
mesure la sensibilité du delta par rapport au sous jacent :
t(St) =
@
@x

(t;St)
C'est aussi une mesure de la fréquence de rebalancement du portefeuille
de couverture !

15. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Les Grecques (Suite)
mesure la sensibilité du prix par rapport au temps :
t(St) =
@f
@t

(t;St)
mesure la sensibilité du prix par rapport au taux d'intérêt :
t(St) =
@f
@r

(t;St)
Vega (qui n'est pas une lettre grecque ! ! !) mesure la sensibilité du
prix par rapport à la volatilité :
Vegat(St) =
@f
@

(t;St)
C'est aussi un indicateur des précautions à prendre dans l'estimation de
la volatilité !

16. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Pour un Call/Put
Ce sont les valeurs des Grecques à t=0. Pour avoir celles en t, il sut
de remplacer T pat T-t.
x :=St

17. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Interprétation des Grecques pour un Call
DELTA :
=N(d1)
Il mesure la variation d'un Call en
euros pour une variation de 1 euro
du sous-jacent : si le delta de ce Call
est de 50%, alors la variation du
sous-jacent de 1 euro fera augmen-
ter la valeur du Call de 50 centimes.
Un delta intéressant se situe entre
25%et 75%. En eet, pour simpli-
er, le delta représente la probabi-
lité que le Call a de terminer dans
la monnaie à échéance. Plus le delta
est proche de zéro, plus le call est
risqué.

18. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Interprétation des Grecques pour un Call
GAMMA :
=
N
0
(d1)
St::
p
(Tt)
>0
Le gamma représente la variation du
delta par rapport à la valeur de l'ac-
tif sous-jacent. Mathématiquement
parlant, c'est la dérivée seconde de
la valeur d'un portefeuille par rap-
port au cours de l'actif. Il représente
donc la vitesse d'évolution du delta :
si le gamma est faible, le delta varie
lentement.

19. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Interprétation des Grecques pour un Call
THETA :
=
St:
2
p
(Tt)
N
0
(d1)
Ke
r(Tt)
rN(d2)
le thêta est le taux de variation d'un
Call dans le futur en fonction du
temps. Un thêta de -1%sur une
période de 24h signie que le Call
concerné perdra 1%de sa valeur
tous les jours à cause de la diminu-
tion de sa valeur temps. Il est donc
préférable de choisir un Call dont le
thêta est le plus petit possible sur-
tout si on investit sur le long terme.
Absence d'arbitrage, lorsque :
+r:St: +
1
2
:
2
:S
2
t:r:C=0

20. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Interprétation des Grecques pour un Call
RHO :
=K(Tt)e
r(Tt)
N(d2)>0
Il représente la variation de la valeur du Call par rapport aux taux
d'intérêts : Plus le taux d'intérêt est élevé plus le prix du call l'est, et
plus le taux d'intérêt est élevé moins on veut emprunter pour investir.
Ainsi il est plus intéressant de se positionner sur le call ce qui fait
grimper sa valeur. Mais il reste le paramètre qui inue le moins sur la
valorisation des Calls.

21. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Interprétation des Grecques pour un Call
VEGA :
Vega=St:
p
(Tt):N
0
(d1)>0
Le call est très sensible à la volatilité
car c'est elle qui peut amener l'ac-
tion sous le strike. Cela est d'autant
plus vrai dans la monnaie. Le véga
mesure la variation du prix d'une
option pour une variation de 1%
dans la volatilité implicite. La vo-
latilité étant une mesure du risque,
une hausse de cette dernière aug-
mente la valeur de l'option. Un call
avec un véga de 0,20 augmente de
0,20 Euros à la suite d'une hausse
de volatilité de 1%. Le véga est plus
élevé pour les options à long terme
que celles à court terme.

22. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Définition de la volatilité
C'est une mesure des amplitudes des variations du cours d'un actif
nancier : Plus la volatilité d'un actif est élevée, plus son cours varie
fortement sur une période donnée, et plus l'investissement dans cet actif
sera considéré comme risqué et par conséquent plus l'espérance de gain
(ou risque de perte) sera important.
Aurement dit, la volatilité permet de calculer l'amplitude des
variations positives et négatives de la valeur d'un titre autour de sa
valeur moyenne. Elle constitue une des mesures du risque
d'investissement.

23. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Types de Volatilité
- La volatilité historique : basée sur les variations historiques que le
cours d'un titre a connu. Elle peut être calculée sur diérents horizons
de temps suivant l'analyse désirée. La seule limite à cette méthode
repose sur le fait qu'il est dicile de se baser sur des données historiques
pour prédire les variations futures. Mais, elle est simple à calculer :
=
rP
i
(xix)
n
où : n est le nombre de périodes,xi,i=1; ::;nle cours de clôture du
titre à la période i etxla moyenne des cours passés.
- La volatilité implicite : correspondant au prix du risque d'une option.
Elle représente la volatilité anticipée par les acteurs du marché pour la
durée de vie de l'option et transparaît dans la prime de l'option. Ainsi,
plus la volatilité implicite est élevée et plus la prime de l'option sera
élevée et inversement.

24. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
La Volatilité Implicite
La volatilité implicite est la valeur du paramètre volatilité permettant
d'égaler le prix Black Scholes au prix du marché. Elle est obtenue par
inversion de la formule Black Scholes : C'est la solution de l'équation
C
B
() =C, où C est le prix d'une option européenne observé sur le
marché etC
B
son prix selon BS. Elle est unique en l'absence d'arbitrage.

25. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Calcul de la Volatilité Implicite
Le calcul s'eectue par itérations se basant sur le modèle de Black
Scholes et sur l'algorithme de Newton-Raphson. Le Calculateur de
volatilité implicite intégré au Calculateur d'options disponible dans les
outils de négociation en ligne donne le résultat en faisant entrer les
paramètres connus (S0,K,r,T,St).
http:==www:strategiesoptions:com=impliedvolatilitymatrix:html
L'investisseur peut ainsi comparer la volatilité implicite à la volatilité
historique de l'actif sous-jacent, et se forger sa propre opinion de la
volatilité à venir pour l'aider à implanter la stratégie sur l'option qu'il
juge optimale.

26. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Calculateur de la Volatilité Implicite en Ligne

27. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Calculateur de la Volatilité Implicite en Ligne

28. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Calcul de la Volatilité Implicite sous Excel
Via la fonction "Valeur Cible" dans Données...

29. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
La Volatilité Implicite selon BS
Le modèle de Black-Scholes implique que la volatilité implicite de toutes
les options sur le même sous-jacent doit être la même, et égale à la
volatilité historique du sous-jacent.

30. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
En Pratique..
Lorsqu'on calcule la volatilité implicite à partir des prix des diérentes
options observés sur le marché, on constate que :
La volatilité implicite est toujours supérieure à la volatilité du
sous-jacent.
Les volatilités implicites de diérentes options sur le même sous-jacent
dépendent de leur strikes et maturités.
Optionsd
0
AchatCAC40au20=02=06

31. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
La Surface de Volatilité
Le graphique trace les volatilités implicites des options sur l'indice S&P
500 du 23 janvier 2006.
Pour presque tous les strikes : la
volatilité implicite décroît en fonc-
tion du strike : Phénomène suskew.
Pour des très grands strikes : une
légère remontée de la volatilité im-
plicite : Phénomène susmile.
Les phénomènes de smile et skew
sont les plus prononcés pour les op-
tions de courte maturité ; la courbe
de volatilité implicite en fonction de
strike s'aplatit pour les grandes ma-
turités.

32. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Le Smile
Un `Smile' sourire signie que
ces volatilités implicites sont plus
élevées pour les puts et calls hors
de la monnaie que pour les options
à la monnaie.

33. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Le Skew
Quand il ne s'agit pas d'un 'sourire',
mais d'une pente sur la courbe, on
utilise le terme `skew' : un skew né-
gatif donnerai une courbe de pente
négatif par exemple.

34. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
La Volatilité Implicite
Skew,Smile..
Le phénomène de skew est dû au fait que le modèle de Black Scholes
sous-estime la probabilité d'un krach boursier ou d'un grand mouvement
de prix en général. Le traders corrigent cette probabilité en augmentant
les volatilités implicites des options loin de la monnaie.
le smile peut être expliqué par les primes de liquidité qui sont plus
élevées pour les options loin de la monnaie.

35. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Limites du Modèle BS
Erreur relative de pricing
Le modèle sous estime les prix dans le cas où :
- La maturité est petite,
- Les options d'achat sont fortement dans la monnaie.
Il n'est valable que pour les options européennes. Pour le pricing des
options exotiques, par exemple, supposons que l'on a besoin de pricer
un Call avec un prix d'exercice K et qui un a une barrière K' avec K'<
K, doit-on alors utiliser la volatilité implicite de K ? Ou celle de K' ? Ou
une combinaison linéaire des deux ?

36. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les Limites du Modèle BS
La Volatilité Implicite
Dans Black Scholes, on devrait avoir en théorie=(impl)= cte. Or,
on observe en pratique que c'est pas vrai.
Tant quedépend de K, elle dépend aussi de S0, ainsi elle dépend des
deux(K,S0), dans ce cas un changement deS0induit un changement
de, donc le risque Vega change également et il doit être couvert plus
et devrait être couvert plus correctement (et à moindre coût) que les
risques de delta.

37. Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Conclusion
La prophétie auto-réalisée
Fisher Black lui même ironisait sur le sujet :
Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ils
l'utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement
proches de ceux donnés par la formule, même lorsqu'il devrait exister un
écart important...
Les limites de BS nous poussent à utiliser d'autres modèles plus
adéquats avec les données du marché, les modèles à volatilité locale
(Dupire ) ou encore mieux, des modèles à volatilité stochastique (
Heston SABR ) et on les calibre an de retrouver le smile correct.