Lei dos senos e lei dos cossenos

Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
LEIS - SENOS E COSSENOS

2. LEIS – SENOS E COSSENOS
1


01. (Acafe 2019) Na figura abaixo, ABC e AED são triângulos retângulos. Se m(AC) ,=
ˆ
m(BAC) ,α=
ˆ
m(ADE)β= e
ˆˆ
m(ABC) m(DAE) 90 ,= = ° então m(BD) é


a) cosα⋅
b)
2
senα⋅
c) cos senαβ⋅⋅
d)
2
cos
sen
α
β
⋅
e)
2
sen
cos
α
β
⋅

02. (Ime 2019) Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos
ˆˆ
A, B e
ˆ
C, respectivamente. Os lados
a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções
trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

a)
ˆˆˆˆ
2 sen (A C) sen (A) sen (C)+= +
b)
ˆˆˆˆ
2 cos (A C) cos (A) cos (C)+= +
c)
ˆˆˆˆ
2 sen (A C) sen (A) sen (C)−= −
d)
ˆˆˆˆ
2 cos (A C) cos (A cos (C)−= −
e)
ˆˆˆˆ
2 cos (A C) sen (A) sen (C)+= +

03. (Ita 2018) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB 3 cm, BC 7 cm= = e CA 8 cm.= A
circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento
do segmento NK, em cm, é

a) 2.
b) 2 2.
c) 3.
d) 2 3.
e)
7
.
2

3. LEIS – SENOS E COSSENOS
2



04. (Eear 2017) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo
30 ,° seu lado oposto a esse ângulo mede

a)
R
2

b) R
c) 2R
d)
2R
3

05. (Ime 2016) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo

A. Sabe-se que
AB
AC AD, r
AC
= = e que ????????????̂=????????????. Portanto o valor de
2
senα é
a)
3r 1
4
−

b)
3r 1
4r
−

c)
r3
4
+

d)
3r 1
4r
+

e)
3r 1
4
+


06. (Ita 2016) Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que
BM MN NC.= = Sendo α a medida, em radianos, do ângulo

MAN, então o valor de cosα é

a)
13
.
14

b)
14
.
15

c)
15
.
16

d)
16
.
17

e)
17
.
18


07. (Ita 2016) Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB,
BC e AC, respectivamente, tais que

a) P é o ponto médio de AB;
b) M é o ponto médio de BC;
c) PN é a bissetriz do ângulo

APC.

Então, o comprimento do segmento MN é igual a

a) 10 4 3− b) 5 23− c) 6 33− d) 10 5 3− e) 53 5−

4. LEIS – SENOS E COSSENOS
3



08. (Col. naval 2014) Considere que ABC é um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência L. A altura
traçada do vértice B intersecta L no ponto D. Sabendo-se que AD 4= e BC 8,= calcule o raio de L e assinale a
opção correta.

a) 2 10
b) 4 10
c) 25
d) 45
e) 3 10

09. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD.



Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o
comprimento x do lado AB é igual a

a) d cosβ
b)
( )
d sen
sen
α
αβ+

c) d senβ
d)
( )
d cos
sen
α
αβ+

e) ( )( )d cos 180ºαβ−+

10. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD.



Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o
comprimento x do lado AB satisfaz a equação

a)
( )x sen
arctg
cos
αβ
αβ
α
 +
= +


b)
( )x sen
arctg
dcos
αβ
α
α
 +
=


c) ( )
22 2 2 2
x sen d cos 1 dαβ α++ =+

d) ( )
22 2 2 2
x sen d cos d tgαβ α α+− = + e) ( )
22 2 2
x sen d cos 1αβ α++ =

5. LEIS – SENOS E COSSENOS
4



11. (Epcar 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e
as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo não é

a) acutângulo.
b) equilátero.
c) obtusângulo.
d) isósceles.

12. (Epcar 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λde raio R Se esse mesmo
octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das
circunferências λe α é, nessa ordem, igual a

a) ( )22+
b) ( )22 2+
c) ( )22 2−
d) 22−

13. (Ime 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro Oe focos Fe F'. A reta r é tangente à elipse no ponto M
e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MFe MF'interceptam a reta s em H
e H', respectivamente. Sabendo que o segmento FHmede 2 cm, o comprimento F'H'é
a)
0,5cm
b) 1, 0cm
c) 1, 5cm
d) 2,0cm
e) 3,0cm

14. (Ita 2002) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo
20
π
cm, cujo ângulo oposto é de
15
°
. O comprimento da circunferência, em cm, é

a) 20
2(1 +3)
b) 400 (2 +3)
c) 80 (1 + 3)
d) 10 (23+ 5)
e) 20 (1 + 3)

15. (Ita 2000) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5 cm. Sabendo que  = arccos
3
5
e
????????????̂ = arcsen
2
5
, então a área do triângulo ABC é igual a
a)
5
2
cm
2

b) 12 cm
2

c) 15 cm
2

d)
25cm
2

e)
25
2
cm
2

6. LEIS – SENOS E COSSENOS
5
















GABARITO

1 - D 2 - A 3 - A 4 - B 5 - D
6 - A 7 - D 8 - C 9 - B 10 - B
11 - C 12 - C 13 - D 14 - A 15 - E