LEONARDOPORTAL - MATEMATICA VOLUME UNICO - AULA POR AULA (1).pdf

Material do professor!

1. 10

E | Benigno Barreto Filho
Claudio Xavier da Silva

- Matematica

À] PROGRAMA LIVRO NA ESCO!
5

A MINASGERAIS
0 ESTADO

AUA À
POR AULA

«UN FTD

2. A presentacáo

A educagáo é um ato de amor e, portanto,
um ato de coragem. Nao pode temer o debate,
a análise da realidade;
náo pode fugir à discussáo criadora,
sob pena de ser uma farsa.

Paulo Freire

Caro estudante

© simples fato de os jovens estarem em permanente convivio
social, interagindo com informagdes e vivencias diversas, os faz
possuidores de conhecimentos e experiéncias valiosas, Essa vivéncia
conquistada encontrará, no professor, o elo para chegar a novas
informagdes, desta vez, de forma sistematizada, podendo, dai, cons-
truir ou aprofundar conhecimentos.

O pensamento acima, deixado por Paulo Freire, esteve presente na
elaboragäo desta obra. Mantendo o rigor matemático, desenvolvemos
as idéias e 0s conceitos básicos referentes ao conteido do ensino mé-
dio (2* grau).

Concluindo, podemos dizer que o nosso objetivo maior € cologá-
los diante de uma Matemática que os instigue e ao mesmo tempo
ofereça algumas das condigdes para a busca da compreensäo do

mundo.
24 E

3. C: omo este volume está organizado

Este volume é constituído por unidades que apresentam os seguintes itens:

O desenvolvimento
teórico utiliza uma
linguagem simples e
objetiva, através de
exemplos.evitando
formalismo
Precoce,sem
incorrerna falta
derigor
matemático.

Os exercíctos resolvidos
favorecem o esclarecimento
imediato das dúvidas e
dificuldades sobre a aplicagäo
do assunto em estudo.

Os exercicios propostos
io a oportunidade de
fixar o conteúdo e de
aprimorar a criatividade,
na busca de solugóes.

4. A ficha-resumo
cconstitui uma fonte de
pesquisa prática e
rápida, destacando as
principais conclusdes a
que se chegou no
desenvolvimento da
unidade.

Osexercicios complementares
permitem rever todo o
conteúdo estudado na
unidade e, ao mesmo tempo,
conhecer questóes dos
mais variados exames

Saiba um pouco mais
encerra a unidade,
trazendo artigos cuja
abordagem relaciona 0
assunto matemático
‘em estudo com a
nossa vida,

5. ¿Sumério

Conjuntos.

1. Revendo a teoria dos conjuntos.

1 Simbolos lógicos Perintnca Representa! Iuldnde Desigualéae
so-sabconjunios! ReunioIntesccio Conjunto vario Difeengal Complementar

2. Conjuntos numéricos A

Conjunto dos mers nto Conjunto Z ds nme icon Couto Q os
mers racionais Conjunto I, os números racional Conjunto R dos números rss

Exercicios complementar
Saiba um pouco mais.

Funçôes
1. Pré-requisitos para o estudo de fungdes.......
1 redo care Relig bia Digrama de fecal Gr cartero
2. Fungöes,
1 Det, con imagen e una fs! Imagen de un cinto!

220 de uma funcio Qualiado de uma funcio Dominio de uma funcio ral! Fungo
men Fedo composta

Ficha-resumo
Exercicios complementare …
Saiba um pouco mais

Fungáo polinomial do 1° grau.

1. Funçäo polinomial do 1 grau
"Fund crescent Fungi er
2. Caracteristicas importantes da fungo do 1 grau
1 Cason pair Raiz o u da echo pain J pea
3. Gráfico de uma funçäo do 1° grau
"Representa pic de un it do pal Cm Ca price
4. Estudo dos sinais da funcio do 1° grau. east
$. Inequagdes z
6. Sistemas de inequagaes .
7. 1nequagäo-produto
Inequagio-quociente
SUN
Exercicios complementaes „nn
Saiba um pouco mais

6. Fungáo polinomial do 2° grau

3. Raizes ou zeros da funçäo a.
4 Venice da parábola. :
1 inde u coded d i

5. Conjunto imagem da fungdo quadrétic .
6. Esad de sas da fango quadri
7.Inequaço.…

8. Sistema de inequaçües
9. Inequaçäo-produto
10. Imequaçäo-quociente.
Ficha-resumo u
Exercicioscomplementaes
Saiba um pouco Mäs u

Fungáo exponencial.

1. Töpicos básicos para fungio exponencial
1 poste mio ni-hguiv Expoente incio nega Propios das ports,
‘oj spore um ner ner Expocneraconal Propscade ds potencias, co
Space & um número acon Potencia cjo expte ¿un número Wacioeal

2. Equagdes exponenciais .

3. Fungáo exponencial
Gráfico da fun exponencial Carcterisias far on

4. Inequagdes exponenciais

Ficha-resumo en

Exercicios complementare .

Saiba um pouco mais.

Funçäo logarítmica

1. Logaritmo
1 Defnisäo xinéncia Nomenclatura

2. Conseqiiéncias da definigao …
"sistemas de logaritmos

3. Propriedades operatörias.
Jap sum dan agit den qin Logro depa

4, Mudanga de base … A
1 Coloarimo

5. Equaçôes logaritmicas

6. Funçäo logarítmica.

Careers

167

am

174
175
176

Exercícios complementares
Saiba um pouco mais.

7. Funçäo modular

1. Funçäo modular ccoo
Gráfico e fung modular

2. Equagdes modulares ...
inequacdes modulares.

Ficha-resumo ...

Exercicios complementares

Saiba um pouco mais

a)

Trigonometria......

1. Trigonometria no triángulo retingulo ..
Vagos een une up
(eae ate le a?

2. Trigonometria no círculo
¡Node oo Uta Ri cs ain Sais de

3. Funes gnome

iene ea a i ray

|i ae ec o Gi fa OS
a Spe Passa hase

4. Relaçôes trigonométricas...... 230
"ete eer anne Rc emir dos

5. Redugäo ao 1* quadrante
dicto D ging gar ap
REA EE ES
HET Rt are

6. Operaçôes com arcos e transformagäo em produto ..
"Tama tne m en es
"mae sea epa

7. Equagöes trigonométricas 248

232

Ficha-resumo «u...
Exercicios complementares
Saiba um pouco mais.

Progressóes

1. Seqiiéncia ou sucessäo
1 Noplo de eqltnei Temo geal e uma senc

2. Progressio aritmética.
1 Clsificag de uma PA. | Temo geral de uma PA | Representar pia dos
tema e ama PA neto tints repo de uma PAT Soma dr

3. Progressio geométric
1 Clasiicagto de uma PO. Represent
tts termor em BO. Proredades de una PG Soma dora termos de uma PO,
¡Soma dos eros de una RG inf Produto ds termos de uma PO. limitada

Ficha-resumo

282

8. Fungo polinomial do 2° grau mm)
1. Fangio quarts. 98
2. Gráfico da funçäo quadrática. 8

1 Relat ee concmidade de uma parole cof a

3. Raizes ou zeros da funçäo quadrática

4: Vertice da parábola.
sticando as condenadas do ve

5. Conjunto imagem da fungäo quadrática = 108

6 Estudo dos sinais da füngdo quadrätica

7 ne qUag0 mm

8. Sistema de incquagdes

9. Inequagdo-produt …

10. Inequaçäo-quociente

Ficha-resumo

Exercicios complementares

Saiba um pouco mais

Funçäo exponencial nl

1. Tépicos básicos para füngdo exponencial ……
poet ire ngu Eng eo gu Prop da pc

‘uj expone £ um número nr! Expoente racional Propriedaen ds potencias,
ponte € um ner racional Ponca cjo expert & un número acon

2. Equagdes exponenciais
3. Fungáo exponencial.. :
Gráfico d umo cxponcaciall Caracas de fg cn

4. Inequagdes exponenciais …

Ficha-resumo

Exercicios complementares .
Saiba um pouco mais

Fungáo logarítmica...

1. Logaritmo …
1 Detincio e existia Nomenciatur
2. Conseqüéncias da definigio ..
1 Sistemas de tgarrmos
3. Propriedades operatorias.
"agri een prob Lapin en qu agin da poa
4. Mudanga de base
1 Cologarimo
5. Equagdes logaritmicas
6. Funçäo logarítmica ...
1 carctersticas
7. Inequaçües logarítmicas...
Ficha-resumo .. 2
Exereicios complementares .
Saiba um pouco mais

9. Matrizes

1.Matrizes
Defngo Reset! Malo de uma mai ger

2.Tipos de matizes q
"Maina Maiz cla Mai

3. Matriz transposta

4, Igualdade de matrizes ..

5.Operagdes com matrizs .......
Taio e mates Suto de mueca! Malia de um aie rn por
‘uma mate Magie de mates

6. Mattzinversa

Ficha-resumo …

Exerecios complementares

Saiba um pouco mai

Determinantes

1. Estudo dos determinantes. 335
2. Cofator de um elemento a, 336
3. Teorema de Laplace 337
4, Regra de Sarrus E 339
5. Determinante de uma matriz quadrada de ordem n maior que 3 343
Ficha-resumo vo 345
Exercicios complementares 346
Saiba um pouco mais 348

Sistemas lineares

1. Equacio linear
2.Sistema linear.
1 Solio de um sistema inert Sema ier homogene
3. Regra de Cramer. med
4. Classificagdo de um sistema linear.
5. Escalonamento de sistemas
Ficha-resumo u
Exercicios complementares
Saiba um pouco mais.

Análise combicstória/Btnómio de Newton.. 366

1. Principio fndamental d contar
2. Fatorial...

3. Permutaçäo simples
4. Arranjo simples,

"Formula de aranjo simples

5.Combinagdo simples... ..375
Fórmula de combincio simples Problemas evene amanoe combiacio

6: Permutaçäo com elementos repetidos... > ul

10. 7.Números binomi a :
"casos aotveis Números Binomials complementares
1 Propricdades dos números binomio

8. Triángulo de Pascal...

9. Binômio de Newton ……
Termo gral do binomio de Newion

Ficha-resumo :

Exercicios complementares .

Saiba um pouco mais.

Probabilidade.

1. Elementos do estudo das probabilidades
"Experimento alatéro I Epage amostal I Evento

Multiplica de probabilidades Eventos independents
Ficha-resumo ,
Exercicios complementares
Saiba um pouco m

Geometria espacial

1. Töpicos de geometria plana... A =
Anges Das reas parias e uma ans rings Sms anç de tamal
Quarter Circa e eireunfertnci I Pligonos regulares (ea es)

POS mn ° 430
mentos do prisma Clasico Are da superficie prisma elo
pa ua 441
[elementos d prime Casino I Ares da superficie al da prie regla
Volume d pride Sesto travel da pire Y Tronco de pride
0 451

"elementos d um pli! Teorena de Euler Soma ds ngals du faces de
um poleo come Poids de Pla.

Ficha-resumo .

Exercícios complementare
Saiba um pouco mais

Geometria analítica 486
1. Pont... = E send
{Pao arm Didac ete dips oo di de pre
‘Condit de alaameno dt pots

11. 2.Reta..
Y saco ual da a Eur segment da eal Coste agar de amare
1 Equaco redada d etal Equsto da rt, conbecidos um poto ea dro
1 Equacs paramétics da rta Retaspnllast Reta concoremes! Ángalo entr
ua reas Disc cae port ea Área de um ing

3.Circunferéncia ...

quasi edi da eiranferne Equaco geral de ccaneréncia

igs do porto em reacio icunferinca

1 Posies da ret em rela cirunfrdcia

Ficha-resumo … .

Exercícios complementares

Saiba um pouco mais...

499

se 531

Numeros complexos

1. Conjunto dos números complexos
2. Forma algébrica ..
1 Caracteristicas e um número complexe 2 = a+ bi
3. Poténcias da unidade imaginária.
4. Adiçäo, subtragdo e multiplicagi
5. Conjugado de um número complexo .
1 Propriedades do conjugado
6. Divisio.
7.Representagdo geométrica de um número complexo.

556

1. $62
...563

1 Módulo de um número complet Argumento de um nimero completo

Exereicios complementares

sm

Saiba um pouco mai

Polinómios ..... 580

1. Polinómios … ser
aad apollo Vlr sante dun pl

2. Identidade de polinómios. 583

1 Poinömio dito Polini ideticameat ul
3. Adiçäo e subtraçäo de polinómios .
4. Multiplicagdo de polinômios ….

587

1 Método d he Teorema ren rs de D’Alembert
Dino plc de Bi Rein
6.Equagdes algébricas.
1 Rai où eo de uma equcio lc Teorema undamenal ca Age
{Retard iu Mop de uma ae ale samples Atze coa

Ficha-resumo
Exercícios complementares
Saiba um pouco mais.

596

12. Estatistica e Matematica financeira 615

Parte 1- Estatistica 616
1. Conceitos introdutórios ..616
1 Poyalaioe amos | regnen alt era | Disb de an
[I nttogramas «polígono de fregnc
2. Medidas de tendencia central. 64

"Media animé À Mediana | Mods
3. Medidas de disperso.
1 sie mi (D,) ara (Vo) Desvio po)
Parte II - Matemática financeira
4. Introdugdo.
5. Porcentagem
6. Lucro
7. Desconto.
8. Acréscimos sucessivos
9. Descontos sucessivos.
Ficha-resumo
Exercícios complementares
Saiba um pouco mais...

Resposta:

649

on

Referéncias bibliográficas

13. Conjuntos |

|

A
|

A rigueza An humanidade reside também em
sua diversidad. 4
Ela deve ser protegida em todos 25 se
aspectos — cultural, biológico, fitosópic
espiritual. Para isso a tolerñncia, a opiniño
Ao outro, a recnsa Ans verdades definit
devem ser sempre lembradas.

Texto de uma das medidas aprovadas na Conferencia dos
Premios Nobel, reunida no palácio do Eiséu= Paris

14. 1. Revendo a teoria dos conjuntos

No estudo dos conjuntos numéricos utilizaremos uma linguagem matematica-
‘mente adequada. Por esse motivo, vamos rever alguns itens daTeoria dos Conjuntos.

Símbolos lógicos
Com o auxilo dos símbolos lógicos, como estes que descrevemos abaixo, a
linguagem matemática tomase mais simples € compreensivel

(35 ESTI
ese]
[3x CT |
[= [penis area |
[=
E]

Pertinéncia

AEAÏ lese:a pertence a 4.

AEB lésezamio pertence aB.
3eAe-3€A 2.
Representaçäo

Um conjunto pode ser representado entre chaves de duas maneiras: por exten-
so, enumerando elemento por elemento ou abreviadamente, destacando uma pro-
priedade comum apenas 105 seus elementos.

,2,3,4,....temos:

Reco A nom 0 comas 44 Coros

15. Exemplo:
Os elementos do conjunto A sio os divisores positivos de 24. A representa-
ño entre chaves pode ser feita:

por extenso: A = (1,2,3,4,6,8, 12,24) ou

abreviadamente: A = {x | x € divisor positivo de 24)

Diagrama de Venn
É a representaçäo de um conjunto com o auxilio de uma linha fechada e náo-
entrelacada e seus pontos interiores.

Exemplo:
Seja o conjunto A = (1,2,3,4,6,8, 12,24).

Dois conjuntos sio iguais quando possuem os mesmos elementos.
A=B löse: A éigualaB.

Exemplo:
Dados os conjuntosA = (1,3,5) e B = (x1x € impar,positivo, menor que 7},
temos que:

A=B.

Desigualdade .
Dois conjuntos so diferentes quando existe pelo menos um elemento que per
tence a um dos conjuntos e näo pertence ao outro.

AæB lése: A diferente de B.

Exemplo:
Dados os conjuntosA = (9,11,13,
igual a7}, temos que:

ASE.

comet e

) e B= (x|x € impar positivo, maior ou

16. solvidos

Utiizar os símbolos € e €, relacionando os elementos com os conjuntos A = (ae, io, ule
B=(b.c.df)
ae A bues oces dea

dan bues oces aden

Representa, abrævsdamente € por exterso.o conjunto A dos múltiplos negatives de 3.

abreviadamente: À = [x|x <0e xé múliplo de 3)
porextenso: À = (-3, =6, -9, ~12, —15,..)

Relacionar os conjuntos ulizando os símbolos = ou #.
0) À = (1,3,5,7) e = (x|xé um nimero impar, poslivo, menor que 9)
1) A= (verde, amarelo) e B = {x 1x uma cor da bandeira do Bai)

2) A= (1,3,5, 7heB = (1,3,5, 7} poranto,A = B

10) A = (verde, amarelo) € B = (verde, amaelo, azul, branco; potanto, A = B.

Representar usando um diegrama de Vem, o conjunto A dos nümeros natures primos menores
do que D.

ropostos

Utlizando os simbolos € ou €, relacione os elementos com os conjuntos À = (1,3, 5, 7. e
= (-1,-3,-5, 7,1

DEIN O-teA © -3e8
b)5e8 d7eA n-7eA
Represent, abreviademente e por extenso, o conjunto A dado que: 2

8) os elementos de A580 as consoantes do nosso alfabeto
19) os elementos de A 0 números nlo-negativos cu escrita termina em 0 ou 5, na ordem das
Unidades simples

Relaciones conjuntosutlizando os simbolos = ou =
2) A= (0, 1, -9, ~3) €B = (xx um nimeropostivo)

DD A = (sábado, domingo) €B = ex € ca da semana)

©) A = (8S, SC, PR) eB = (xx siglo de um estado da regio sul do Basi)
GD) A= (O,H}eB = [xx é um elemento que compe a molécula da á3ue)

Use um diagrama de Venn para representa o conjunto dos números intros no-negativos meno-
res do que 100 e que sejam múliplos de 11.

e e on

17. Inclusdo — subconjuntos
Um conjunto A está contido em um conjunto B quando cada elemento de A
também pertence a B.Neste caso dizemos que A € subconjunto de 2.

KEB) ese: Acstäconido emB. ACBSWIREASIED

Exemplo:
Dados os conjuntos A = (1,3,5) €

B= (0, 1, 2,3, 4,5), temos:

(1,3, 5)C (0,1,2,3, 4,5) ou

ACB A

A negaçäo da inclusdo € representada por:

B) ése: A mio está contido em B. ACBOS3IXEA(XEB
Exemplo:
‘Dados os conjuntosA = (0,2,4) e B

B=(1,2,3,4,5), temos:
(0,2,4)2 (1,2,3,4,5)0u
AZ B,pois0 €ACOEB

Neste caso o conjunto A näo € subconjunto de B.
Dizer que*A contém B'equivale a dizer que*B está contido em A”.

ADB löse: A contém B.

Exemplo:
Dados os conjuntos A = (-1,0,1,2,3) € B = (~1,1,3),temos:
{-1,0, 1, 2,3} (-1, 1,3) 0u

ADB +

Dizer que*A näo contém B°é o mesmo que dizer*B náo está contido em”.
ADB löse: Ando contém B.

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {—5,
(5,3, 19D (=5,-4,=3,
ADB

1} B = (5, 4, —
1jou

2, —1),temos:

Sor @ E

18. >) a cera

'esolvidos

Utlizar os símbolos Cou €, relacionando os conjuntos: A = {xx ler do alfabeto latino);
B= (a, e,1,0,u) eC = (xIxéconsoamte do alfbeto latino)

a) Aes b)AeC © 8eA dceA

2) À & 8 (nem todo elemento de A pertence so conjuto 8)

1) À € C (nem todo elemento de A pertence 20 conjunto C)

©) BC Afcac elemento de 8 também pertence eo conjunto A)

) CCA cade elemento de Clumbem pertence ao conjunto A)

Utlizaros simbolos > ou 2, relacionando os conjuntos: À = {1,9,3,5,8, 13,91,
eC = 113,21, 34), de acordo com cada item:

Aes Dr cea daec
8) A> B(todo elemento de Bpertence ao conjunto A)

) 8 2 A nem todo elemento de A pertence so count 8)

©) C2 A (nem todo elemento de A pertence 20 conjunto C).

9) À 2 (todo elemento de C pertence ao conjunto A)

= (35,8)

ropostos Utlizando os símbolos C ou €, relacio-
‘eos conjuntos A= (xx um estado fi:

rando Ss sich: € ai €; MS. co da materia}, 8 = (sólido, liquido) €
ne os conjuntos À = (0, =1, ~3, =S), C= liquide, soso).

21-3, “Slee= (0-0. Ace Qaec

0) Aes 9 Aec DBeA CEA
DES d CeA

Reunido

(© conjunto reuniño de A com B € formado pelos elementos que pertencem aA,
a B ou a ambos.

(AUB) ese: AundoB. AUB= (xlxeAouxeB)

Cae POD a

Reco aroma soe conc e Cocos

19. Intersecçäo
O conjunto intersecgäo de A com € formado pelos elementos comuns aA € a 8.

AMB löse: Aintersecçäo B.

Conjunto vazio
Conjunto vazio é o conjunto que náo possui elemento.

(BAGH) | 1ese: conjuntovazio,

Diferença
© conjunto diferenga de A e B € formado por elementos de A que náo perten-
cemaB.

ARE lèse: A menos 8.

20. Complementar
© conjunto complementar de B em relaçäo 2 À é dado por
C,B =A — B Condicio:B CA).

[CyB tése: complementar de B em relagioad

‘ain am A= (63,2, 10e

Dados os conuntos À = (0, 1,2, 3, 4,5), 8 = 10,2, 4) eC
conjuntos.
AUB AUC O BUC SHANE ANC DBNC

(1,3, 5, determinar os seguintes

a AUB = (0,1,9,3,4,5)(ocomuntores 4) ANB= (0,2, 4)(oconjunointersecdo
rio de A com Bé formado pelos elemen- ‘de AcomBé formado pelos elementos
tos que pertencem 304, 20 Bou a ambos) comuns 20 Ae.80 8)

©) AUC=(0,1,2,3,4,5) @QANC=1,3,5)

BUC = (0,1,2,3,

Ej henc=0

Dedos os conjntos A = (-2, ~1, 0, 1,9), 8 = (0, 1,2) €C = (0, -1, -2), obteros conjuntos:

a6, le OLA OCA
2) C,B = À — 8 = 1-8, —1 (o conjunto diferenga € formado por elementos do A que ndo
péñencemao 8)

DEC AE 1,2

OLA=0

DEA=0 B

Iropostos

Dados os conjuntos À = (,, 1,0, I, B = I, €, i] €C = (0, ul, determine os conjuntos aba
a AUB oeuc HANC

DALE DANS pence

ads os conjunos A = (0, 3, 41,8 = 0, Me C = (2 -3, Nena

cornes

aCe woe OCA OCA

Se e oe

21. Dados os conjuntos A = [membrana celular, citoplasma, núcleo), B = (membrana celula,
itoplasma) eC = (núcleo), escreva os conjuntos.

DI CAC OCA OCA

(etec-SP)© conjunto Atem 20 elementos; AN Btem 12elementose AU Btem 60 elementos. O
número de elementos do conjunto BE
22 ©) 36 om 98 ose

(UFAL) Se Ae 8580 dois conjuntos nfo-vazios tis que:
AUB=(1,9,3,4,5,0,7,8,A—8=(1,3,0,)8-A=(4,8)

Entdo, AN 860 conjunto:

ae 0) (1,4) 085 267,9 00.3467,9
(UCSAI-BA) Très conjuntos no-vazios A, Be C sto tas que A = (0, 1), B UC = (0,8, 3),
AUB = (0,1,2)€ 8. € = (0). Nessas condigdes, € verdade que Bé o conjunto:

2) (0,1) 0,9 90,3 31,9 93

2. Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos, na forma como estio organizados atualmente, sio o
resultado de uma evolugäo científica e, como tal, podem sofrer inovagóes que aten-
‘dam à adaptaçäo do homem a0 seu mundo.

‘Vamos analisar como evoluíram os números no decorrer da história.

Conjunto Ndos números naturais

No estágio das cvilizagóes primitivas (encontradas ainda hoje em alguns locais
do planeta), as necesidades de contagem eram muito rudimentares,bastando a nu-
meraçäo que surgiu gradativa e naturalmente e que hoje representamos por 1,2,3,4,
5,6,7,8e9.

Posteriormente, a idéia de “nâo-existéncia” foi representada pelo zero, que al
uns autores aceitam como número natural.

‘O mais importante é perceber quäo maravilhosa foi essa criaçäo do homem, pois
‘com apenas dez símbolos conseguiu atender as necessidades da numeragäe escrita e,
‘com isso, resolver os problemas de operaçäo.

Atualmente esses algarismos combinados representam números que formam o
‘que denominamos conjunto N dos números naturais.

Entre os subconjuntos de N, merece destaque:
N*=(1,2,3,4,...

> O sinal * significa que o zero foi excluído do conjunto.

on e ¿a

22. E Ser

esolvidos

Enumerar os elementos, escrevendo os conjuntos.
a) A= (xlxeNe7 Sx<M1)OuA= kENI7<x< 11)
0) B= ikIx= n= 11 <n<SeneEN)ouB = RENIx=W-1e1<n<5en EN)

a) A = (7,8,9,10)
b) Comox = Sr! - 1,1 << Sen EN, tems:
n=1sx= 90-191
n=23x=20)-1=15
n= 3x = DB) = 1 = 53
n= Ames AA = 1 = 197
logo: 8 = (1,15, 53, 187)

e ns seb=1
a,
y 4

Determinar tes números naturals e consecuivos cya soma se 33.
Considerando tes números naturals e conseculvos (xx + 1 ex + 9),temos.
E = 30 = x = 10

Assim x= 10, x + 1 = 11ex + 2= 19

Portanto, os números 80 10,1 € 12.

ropostos Merge
Das ace rien
Ensreroco selene ecreesco-
juntos Quentasrizes tem a equacto
a) Am KENIX< 5) @- ax 2, quando a = 27
b) B= KENISSx<9)
DC mew vena Detemine 0 ers rats Impares x
E A
Sedo = 2eb=1,detemieorrm B
, Seo mess atin ce ios ns
ee cien asno ses numsp
Base Ste dee, Sterns mesa
ét dos números em ease tem end
Calcul 0 valor da expresso Sx — 3y + xy ae GBR een Ce PS.
parex= Bey = 7. des
Dites
DE o conto verde ds us no MN 9 89,1005,
po cos ros nico See
ou
Der Sata semeikadsnmen eb
991820 ©
ETES

Comaros novos

23. ‘Se a soma das medidas dos lados de um Santa Casa-SP)A méchia artetica cos 100

triángulo retángul é igual 13 cm, calcule números de um conjuro € 56. Retendo-

à rea desse triángulo, sabendo que esses se 05 números 48 e 64 desse conjunto, à

números sdo consecutivos. méchaarméca dos nimerosrestantes seré
PET e) 56

‘A média aritmética des idades dos 30 alu- 285 d485

os de uma classe € 18 anos. Queléasoma

dessa indes? (fuvest$P) Um estucante terminou um ta-
‘balho que titan páginas. Pare numerarto-

(UFCE) Um número positvo Nde.doisalge- das ssas páginas, Iniciando coma página

‘isms € al que, 20 inverterem-se os dois 1, ele escreveu 970 algwrismos. Entdo ove-

algarsmos, o novo número formado exce- lordené:

¿de Nem 27 unidades. Se asoma dos algo- E eo

rismos de Né igual 11, qual ovelorde N? one ue

Conjunto Z dos números inteiros
Os números naturais comegaram a ser insuficientes diante de casos como o das
operagóes inversas. Na subtragño, por exemplo,näo havia possibilidade de se efetuar
a operaçäo quando o minuendo era menor que o subtracndo:

20

LA nimes negativo (o pertence 20 conjunto dos natu

Podemos dizer que os primeiros vestigios de números negativos foram encontra-
dos nos trabalhos de Diofanto de Alexandria por volta de 250 d.C. A idéia de negati-
vo foi dificil de ser aceita, mas amadureceu com a colaboragäo de varios matemäti-
os, principalmente Descartes e Newton.

Os números negativos foram reunidos aos naturais, configurando o que chama-
‘mos modernamente de conjunto Z dos números inteiros.

Alguns subconjuntos de Z merecem destaque:
21,123)
conjunto dos números inteiros näo-negativos)

> Convencionaremos que o asterisco agregado 20 símbolo de um conjunto numé-
rico significa a supressio do zero desse conjunto; o sinal + indica a supressio
dos números positivos;o sinal — indica a supressäo dos números negativos; ain-
da podemos ter as combinaçôes desses sinais: » com + e + com ~.

cor e en

24. ES eS ee m Le.
esolvidos

coa oem caret an doesnt cu.
on ON oe a) Sed.

8) 4 EN(onimero 4 € um elemento do conjunto dos números natuais)

1) -3 € N° Co número 3 náo é um elemento do conjunto dos números naturals em que o zero
excluido)!

©) -6 € Z(o nümero-6 € um elemento do conjunto des números intros)

© $2 nine Ja eum cme do conato rim eo

Determinar, no campo dos números intros, o conjunto verde da equagto:
A TF + 3004 De 7

(= 184364 D=7 weg

Sinn,

rl :
a=4,b=-lec=-3 si
IR a =i

como 1 € 26-3 62, eno: x

vom
ropostos Determine, no campo dos números inteiros, E

Lo conjunto verdade das equagdes:

ee ne nat
Due as Dar2a-2-0

3 ae OO + 12%

Die nara A

MEN 6 1R)ezt

A Pr Bera De
ote. nen =

a cigs cor |
REST Ache um número cujo produto por 12

b) 3% & 1, parax= 4 seja igual a0 mesmo número aumenta-
rn beer pb

y IA ra = 1e

‘A soma de tés números intros e conse-

y=-2 autos € 36. Quis do esses números?
(fuvest-5P) O valor da expressäo

21 328 paraa =10,x=2ey=1, €: (A soma de trés números inteiros pares e
910 0 e)-20 ‘consecutivos é 30. Quais so esses nü-
50d) 150 meros?

a e ont

25. Conjunto Qdos mimeros racionais

‘Adela de medir est ligada à de comparas ou seja,quantas vezes uma determina
da distancia ou superficie € maior ou menor do que determinada unidade adotada
‘como padräo,

Se. por exemplo,tentarmos medir altura de um prédio com uma unidade como
6 metro, podemos obter eventualmente um número näo inteiro e estaríamos diante
da idéia de uma fagño de metro.

© conjunto dos números racionais € formado por todos os números que podem

serescritos na forma Ë. onde a € um número inteiro qualquer €, um número inteiro

qualquer diferente de zero. É indicado por Q e representado da seguinte forma:

‘Todo número racional também pode ser escrito na forma decimal, que pode ser:
Exata: quando conseguimos representé-lo por um número finito de algarismos.

Exemplos:
S 046 pode ser escrito na forma isto 60,6 = 5 dsezeser

+ 7 pode ser escrito na forma fist 6,7 = 137 € Zei EZ?

y

18

a 218
0,18 pode ser escrito na forma F isto €,0,18 = 709;

18€Ze100.€Z*

Näo-exata, periódica: quando sua representagäo € periódica e possui um núme-
ro infinito de algarismos.

Exemplos:

+ 0,777..pode ser escrito na forma isto €,0,777..= 9:7 € Ze9 EZ"

pa er
ppild Le 99 Ez

= e Ea

. 0.1313... pode ser escrito na forma Fito 6,0,131

26. EX pe
solvidos

A
Cole 08 va AR)
Joresracionsis de: AUS

(Foves-SP)O velo de (0,2? + (016) €:
2) 0.0864 09568

1) 00336 ©) 0,6956
901056

(Cessranrio-R)) Considere a expresso

(Fuvest-SP) Calcule: au
ee fri 099... + EE. cterond us open:

DL 2 DER
Ge indicas esimpicando, temas:

Ol ok
pmorger-te a

ot o1
ot 38 1
90 om

er e =

27. LSO) Diino sane ie
ti chaos denice A

ia de min fib, em anos, €:
29 ow 91
ES

us tonúmero que deenos cescenar
hs stamos ce cto $ pr que
ensetoneigate!?

¿0459 Umma deis oguisosé
teu oars es eze ute

doagerismo des unidades. Se osalgarsmos.
{orem pesados entre, obtém-se um nd
mero que € unidades maior do que opi-

parax = 3. x

(Fuvest SP) Ache a média aritmética dos meio Enzo, a soma dos dos lgasmos €
números Be. 98 96 97
2 CE 9
Euvest.$P) Calcule 0 valor numérico de (Cesgranio-RI) Um tit, comendocomve-
Bin locidade constnte, completouamartona.
SSL, pare x = -0,1 ey = 0001 fem Mhocs. A ragdo do percuso que ele
Correu em 9M minutos fo
Determine, em U = 0, o conjunto verdade. 1 a a
a+ E 0%
1 q
Di 0%

(rons: 5) A deere ene Le ses

Valor aproximado 0,33 é igual axe do ve-
ler ao. Ent3oo valor de xé:

2) 0,0001 900 008
©) 0001 ETS

Conjunto I,dos números irracionais

Os números racionais nao solucionaram muitos problemas envolvendo a Geo-
metria e a Aritmética. Em determinadas figuras, alguns segmentos náo tém puma uni
dade de medida que caiba um número inteiro de vezes em cada um deles; sio os
chamados segmentos incomensuráveis. Os pitagóricos já haviam acusado essa dif-
culdade com relacáo à diagonal € ao lado do quadrado.

Exemplificando, para um quadrado de lado ¢ = 1 e diagonal d, temos:

at 8

Aplicando o teorema de Pitágoras no
triángulo ABC, obtemos:
g=r+r
2
Dee d=V2=1,4142..€Q

CS @ Cooper

28. Fica evidente que nem sempre a raiz de um número racional € um número +
cional. Para que a teoria dos números racionais evoluisse foi necessário o avango dos
estudos sobre infinitos e geometria analítica. Foram gastos alguns séculos para que,
entre tantas contribuigóes, chegässemos ao século XIX com Dedekind WR.
Dedekind, 1831-1916) e Cantor (Georg Cantor, 1845-1918), dando um rigor cient
co a essa teoria

© conjunto Il, dos números irracionais é formado por números cujas formas
decimais näo so exatas e nem periódicas.

Exemplos:

+ O número 1 = 3,141592... resultado da divisio da medida do compri-
‘mento de uma circunferéncia pela medida do seu diámetro.

+ O número e = 2,718..., conhecido como nümero de Euler (Leonhard
Euler,1707-1783).

* Radicais do tipo V2 = 1,4142... V3 = 1,7320...; 5 = 2,2360...

Conjunto Rdos números reais
O conjunto R dos números reais é formado pela reuniño do conjunto Q dos
números racionais com o conjunto Il, dos números irracionais.

$:013,0222..:3,1010010001. 7; ~ 4959 se; =789:x

Representacio dos conjuntos numéricos através de diagramas: .

Observe que o conjunto dos números irracionais é o complemento do conjunto
dos números racionais em relagäo a0 conjunto dos reais, e viceversa.

Courornauscos es) Couso

29. Ee s< er <— Fel icSas

esolvidos
Relacionar 0 elements e os conjuntos dacs, utlizando os símbolos € ou €.
2040 044.00
D ea d-teR

OEA = e ler dudo née a,

b) VB € Q(o número YE ndo pertence ao conjunto dos números racionais)

© 044. € Qe at.» lem cr co ner ins

& -1R*tonineo-1 estenertodocontro ds nimenrad en aieoze0 ec)

Assialar com Vas sentengas verres e com F as falsas

ON'CN Deco

DNez ONER

oz.ez pztce

2) V(o conjunto dos nümerosnatuais sem o nümer zero est cantidono conjunto dos números
atures)

19) FCO conjunto dos números nauri está contido no conjunto dos nümercsineos)

©) Floconjunto dos números intros nSo-negativs está contido no conjuro dos números inter
105)

8) Ftoconjuno dos números racionas ndo-postivos no está contidono conjunto dos números
racionais ndo-negativos)

+) VC conjunto dos números naturals está conto no conjunto dos números reas)

) Vioconjunto dos números intros positivos est contidono conjunto dos ners recionss)

Representar os seguintes conjuntos por extensto de seus elementos
2) A = RENIX< 6)

DB=REZI-4<x< 9)

OC=KENIK~1=7)

@)D= Kez" IE - = 0)

OE= ERI -x+1=0)

®A=KENIx=6)
© conjunto A € formado pelos números turis menores ou ¡guasa 6. Assim:
A=(0,1,2,3,4,5,6)

a= (ezI-4<x<9)
© conjunto 86 formado pelos números intlros compreendidos entre —4 e 9, exclusive o—4
einclusve 02 Desse modo:
B= (-3,-9,-1,0,1,9)

C= KENIR=1=71
O conjunto Ce formado por um número natual, riz da equagdo & — 1 = 7:
X= Ta Ka 74 IB
Endo: C= (4)

e e pl

30. DORE ritmo
oro Dé tomo plz chenden - =
ren
ar 0 (ndo conver en)
ee ns
fto.0 = 8)

elemento do conjunto dos núme-

OE= ERIM x + 1 = 0)
© conjunto £ € formado por números reais, sizes da equaçéo x - x + 1 = 0, onde
D=tec = 1 Assim:
e
Como 4 < 0, a equegño náo admite raz ea; ent 0 conjunto E um conjunto vaio.
E-0

a
oF vir
KR 2-3

(28) (+ M) rer, |,
Mea e ii

Determinar, em U = R, o conjunto verdade da equagdox! — & 1 = 0.

=2ec=-

Am BF doc (-2 84-108
„bei ge PA
= EJ Y 2 —x=1-44
v=(1-5,1+ 48)
ropost Aeoreserte cade um dos segues con
tos tos por extensáo de seus elementos:
Relcione os elementos e os conjuntos da E
os, Ulizando os simbolos € ou €. DAS RENERE
a) eR €)(02-01ez* D)B=RENIT<x<6}
Somer ez
OR orm eR. C= mezh> 3)
HG:NeR d= (eea"|-3<x<1)
Asia cam Vas sertengas verdad
nie. E
a)NCZ CR sc A e B como subconjuntos
Buen pace davon oc cs Caras
ON°CN nz. CQ —_
Once NER
Oras DRICR Ca (Bu CANE A -B) = 9

Conupsotnnencos 0) Cocos

31. (UFU-MG) Sejam os conjuntos A € 8. ASS
ale proposigo false
DXEA-BexEAexed

b) VA VBtemseA-BCA

© ACB=CaB=B— A
DIAIAUB= A

| EVA VBtemseAC AERC

(ack SP) Dados os conjuntos À Be C,näo-
vazios, sabe-se que À C 8. Eno sempre
setem.

D ANC=S

DANB=0

ounc=0

SHANBCC

DANCE

Deternine over es expresstes
(sy
AS

©) VIO + VBI - SORTE

0) YE > (NO - 3418 + 5498)

© (7 + 543) - (2/7 - 543)
nG-8)-4+8)
DE + 4340) (8-23 1)

ty (Vii VE) (M + Ex),
onde m >0

Focionslze os derominadores ds fogs:
+
DA
I+ 8
TR

d 2-4
rm ci
of oy

0% or

02

1 1
aces?) y = apts tigate

a8 02-(45+1

b) -2 © -28

og

Racionalize 0 denominador da frag,
1

IrR-

(Füvest:5P) Quel € 0 valor da expressäo

+1, -1,
AAA
of os
94 ow
93

Intervalos reais
Os intervalos reais sio subconjuntos dos números reais. Serio caracterizados

por desigualdades, conforme veremos a seguir.

Considerando dois números reais,a e b,sendo a < b,temos:

Intervalo fechado

Notaçäo: [a,b]

=(xERla=x=<b)

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre a e b,inclu-

siveacb.

Conus a

CES

32. Exemplo:

Notagäo: (2, 5] = (x € R|2<x<5)

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre 2 € 5, inclu-
sie2e5

Intervalo aberto

ry y

Notaçäo: Ja, bl = (x € Rla<x<b)
A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre a e b,nño
incluindo nem a nem b.

Exemplo:

Notagäo: 2, 5[ = (x€R|2<x<5)

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre 2 e 5, nio
incluindo 2 e 5.

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
ES >
Notagäo: (a, bl = («€ Rla<x<b}
A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre a €&,inclu-
indo a e no incluindo b.

Exemplo:

2 5
Notagäo: (2, 5[=(xER|2<x< 5)

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre 2 e 5,inclu-
indo 0 2 € nao incluindo o 5.

se e coun

33. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

a 5 R
Notagäo: Ja, b] = {x €Rla<x<b)

A este intervalo pertencem todos os nümeros compreendidos entre a e b,näo
incluindo a e incluindo b.

Exemplo:

z
Notagio: 2, 5] = (x ERI2< x = 5)

A este intervalo pertencem todos os múmeros compreendidos entre 2 e 5,n3o
incluindo o 2 e incluindo o 5.

Intervalos indicados pelo símbolo © (infinito)

a "e Notago: Ja, +00 [=(xERIx>a)
ce "a Notaçäo:] — ce, af = {x ERIx <a)
y "R Notagio: la, +o[=(xERIx>a]
5 m Nouçäo: ]-00,a] = (x ERIx <a)

R Notagáo:]-0o, +00[=R

7 E Os números reais a € b sio denominados extremos dos intervalos.
— O intervalo é sempre aberto na indicaçäo do infinito.

Resolvidos

| 4 Represertrnarearenlosintenals
a)i-1,3)= ke RI-1<x=3}
Dé = RERIS axe 6
© He, 1 = KERIX< 1)

»

= e tl

34. a 3 y =
+ y à
= 4 y

D Be KERIS<x<S)
D)-451= RE RI-4<x< 5)
OV, +001 = KERIXS V3)

Escii antago pr s seguis ie
pagos ‘els represen rea
Represente na ea el os tendo x
ÉTÉENEUTE EE] ome

= an me

DI-3,51= KERI-3<x=5)
O19, = KERIB <x< 6)
DIH = KERI~16x<5)
©) +e, 1)" ERX 1)
DA Fel = ERIx> 4)

9) RE = 10, +01 = (KERIx> 0}
D RE = joo, 01 = (KE RIx < 0)
DR. = (0, +0[ = KERIx>0)
DR®= WERIX # OI = R — (0)
DR

mR

— @ be

35. Unido e intersecgdo de intervalos

Aplicamos as definigöes de unio e de intersecçäo de conjuntos na representa-
ao gráfica dos intervalos, projetando-os num mesmo cixo.

Exemplos:
Sejam os intervalos |~
D1-3,21011,3)

2] e (1,3):

= 0
Reta real pt +} + 7

132 4

E, ——_——

13,21 019 >

Entio:

3,210 11,31=1-3,3]

by]-3,210 11,3]

0,3)

1-3,2) 9 (1,3) A

Entio: ]~3, 210 [1,3]= [1,2]

ropostos Determine neo dos seis in-
Determine a unido dos seguinesintervalos: ans

DIS D1-2,31n10,6)

BAUR

ce O1-3,21018,5)

DI-5,51U10,1 NI eal

9-14, D1-1,310 D, +

ns es mae

36. Ficha-resumo
Conjuntos: operagóes

AUB= (x|xAouxe B)
AQB= (xix €Aex €B} (xB =A — Bonde BCA

Conjuntos Numéricos — —— —
‘Conjunto dos números naturais N=(0,1,2,

Conjunto dos números naturals ndo-nulos N= (1,23,

Conjunto dos números inteiros. I=t..

1,0,1,2,3,..)

‘Conjunto dos números inteiros nâo-nulos PET:

-2,-1,1,2,3,..)
‘Conjunto dos números inteiros nionegativos Zu = (0,1,2,3,..)

‘Conjunto dos números inteiros näopostivos Z- = (..-3,-2,-1,0)

‘Conjunto dos números racionais Q=(clx=Zaezerer

© conjunto, dos nimerosiracionas € formado por números cujas formas de-
cimais nio sio exatas nem periódicas como, por exemplo: Y2 = 1,414..; V3= 1,732.05
R = 3.141592... = 2718,
O conjuntoR dos números reais € formado peta reuniño do conjunto dos nüme-
ros racionalsQ com o conjunto dos números irracional I,

Conjuntos numéricos: Intervalos reais ——
diagramas Dados os números reais a e b,tais que
a<b

[a,b] = (xeRlasx<b) — —;

5 Ja be WEeRla<x<b 4;
la, bl= RER Ex ED) =p

a,b) = (ee Rla<x<b)—— —

In +0 = (x RI x= a) 4 —

A ———

la, Heol = (x R1x> a) 5 —

eRIx<a) ———

Foo ® Cocos

37. E <= r< I< ¡>=

Complementares sata cas) Scan ox conos

A X= (lxezele+ she

| 68. Relaciones elementos € os conjuntos de- Y = y ly € Ze A > 1). O número de
os, Ulizandoossimialos € ou €. elementos do conto X Ye
aden at OS
©) ~7en 03 ©) maior que S
den Los
D6-Hez
ote TO, (Cesgrario RI) A inteseccño do conjunto

7 1 de todos os intros müiples de 6 como

Dosen «conjunto de todos os nteos múltplos de
D er || 15 60 conjuno de todos os intros müll-
ho 0100 plos de
D-J£eR FE oss
DoeR. 08 9%

92
67. Assinalecom Vas sentengas queestioem
concordincs e, com F, as que est em — 74, (UFU-MG)Dacos osconjuntos.

dore = cire de (cores postivos)
DNez | = mp de 3 (maps posto)
ONCE. S-onm
ETES n= mime de subconhntosde $
ÓN er | Forme, ne gal
D1c0 rer?)
DQCR, Lot os
0%
68 (UING)SeA ker |
2. Vest Unit) Dados os conjuros:
= n-aineNem = In In EN),
a= frerix<}e een Se Dr nina, eo M, €
subconunto dei, sempre que

©) efor menor que b
19) bformencr do que a
©) afor divsor de b
©) bfordivsorde a
©) ae bforem pares

;
erfengex«

emo u CN BE:

o fe]

T3 (CAMPS) ConcrandoN =10,1,9,
ated Ax ent 0neN

B= (x € NIK +4 < 9x +9), podemos
afar que

2) AU BtemB elementos
DAUB=A

QANB=A

d) ANB possui elementos

Onda

= @ eee

38. TA (UIRGS)A concigdo necesstis sufciente
para que À C 8, BC CeC © AE
o ©
»
9
oca
°

75, Represent os seguintes conjuntos por ex-
tensdo de seus elementos:
a) A= (xeNIx<4)
D) B= RENI< x < 6]
OC=kEZi-2<x<0)
DD=keNnbe--5=0)
DE= KERR + x= 0)
DF= Ke Qi + D = 0)

16. (MACK-SP) Seam os conjuntos
A= KERIO=x=3,8= KERIXS3)
eC=RERI-2<x 3)
Oconiunto 8 - An Ce:
ao
b) KERIX<0)
©) kERIx> -9)

6) RERI-2 Ex <0)
ORERI-2<x<3

(71. (UFU-MG)Sejam À Be Cts conjuntos em
|| umuniverso U. Qualaakemativa fla, den-
| tre as seguintes relacionadas?

@) CAN8)= CAUCE

D AU(ANDCA
OANAUBCB
DHANBUO=ANBUANO
HALENO=AUBINAVO

TB. Ftec-SP) Em cada uma das altemativas a
seguir tem-se um universo U e seus
subconjuntos, ndo-vezios, X Ye Z Asina-
le a atemata onde a regio colorida re-
presenta (X UY) Z.

Dig

®
v

o

ik
CO

A |.

(funesp) Um técnico de laboratrio mani-
¡ala dois recipientes que contém misures
{Gas substancias À € 8 Embora os volumes
(des misturessejam igus, num dos recpi-

ces propor de A pan Be $ una
en
4 se ha s cotta

‘nico recipiente, qual passrd a sera pro-
Porgdo de A para 87

39. 81 (UING)Ovelor ch expresso
cos OB +e 5b 6
on

» o2

El
1
4
1

oF

82 (£CC) expreso SED + ER eigule:
DOE as (108 +5)
DES 10 (V5 +5)
210/55

83 WEL Oval do press
ee
cere arr Se

E

QE LES

w os
een

(Fuvest-$P) Div um número por 0.0195
AMD equivale amuliplicódo por:

ow ons
o
»i ow
os

85 (FuvestSP)Simpificar

of ar

E ei
of (3)
or

Cousror we

CUU-MG) No diagrama abaixo, pare colo-
ride represent:

E

DENAAG DENS-F
DEN DE-G
OCEUr

a cen.) Apt tr con $e um

po eng canne À do
mesmo percurso, um atleta verificou que

a meo pue o rl

ps

ani conpimeno io opera?

nero)

Que mene aa acom

‘hado?
88 (PUCSP)Sea= 16ex = 1,95, quanto vale
a?
DE. D168
DEI 264
9%

89 Simplticando a exoressto LT,

comn EN, obtemosovelor: +
ot a0

DE 29

og

90 (ack SP)O valor de expresso
ON

recs comas

40. (UFSC-SC) O número 310 € dividido em 3
parcelas de modo que a segunda € igual à

3 púmet, teca ale Sco
Send. Cla mero ces aci.

os i 10.
accent <p
anime
DE DEN
DEI ©) SVE
DE
| 03-2
| ravens) a= + 0026: 004 eig
8) 895 9) 0,04
0) 095, ©) 885
58
Ces 3) Cole 0 vtr nunc de
FEN ox = 07 ey = 001
9 dues

0) Quel made de 27
1) Calcule 83 + 90

(FavestSP) Um nadedor disputando a pro
va dos 400 metros, nado live, completos
5 primeros 300 metros em 3 minutos e
51 segundos. Se este nadador mantiver a

exis commas “49,

mesma velocidad media nos Últimos 100
‘metros, completará prove em.

©) 4 minutos e 51 segundos

1) 5 minutos € Bsegundos

||) 5minutos e 28 segundos.

© 5 minutos e 49 segundos.
© minutos e 3 segundos

(Fovest-SP) Dados dois números reais ae 6
(Quesaisfazem as desigualdades 1< <2
23 < D = 5, pode-s ames que:

130. 903%

oye
ww. (( 22 E com be
(CES
écoreto aimer que

2) somerte|é verdadeño.

©) somente lé verdodeï

© somente ll évercadera,
¿somente el so verdaderas

© le go verdaderos.

Couvees

41. SAibA um ponc mais

O corpo
em números

Observar o corpo humano sob
0 aspecto numérico também é uma
maneira de conhecé-lo melhor.
Respeitando a individualidade de
cada sere considerando os va-
lores médios podemos desta-
car alguns números do corpo
humano.

Veias e artérias

Säo 97 000 quilómetros de veias,
artérias e vasos capilares. Se fossem
alinhados, eles dariam 2,5 voltas em torno
da Terra. As artérias menores se contraem e
relaxam num período entre 2 e 8 segundos.
As plaquetas sangüineas — moléculas.
responsäveis pela coagulago — vivem
‘apenas dez dias.

Sihaeta humana mostrando o siste culto

42. Cérebro e neurónios

© cérebro do homem pesa cerca de
1,4 quilo e o da mulher 1,25 quilo e
abriga 25 bithdes de neurónios.

Eles ficam fixos na camada
superficial, chamada córtex,
que tem apenas 1,3 a 1,4
milímetro de espessura.
As suas “pernas”
(exönios), que
transmitem os sinais
elétricos, podem ter

até 1 metro. A
velocidade do impulso
nervoso varia.

conforme a espessura
das fibras nervosas e
sua fungáo: as
sensagdes de pressäo
€ tato passam por
fibras de 8 micrometros.
(A metro dividido por 1.
milhä0), a uma velocidade
‘de 50 metros por segundo. Já
a dor e a temperatura viajam
por fibras de apenas 3
micrometros, a 15 metros por
segundo.

a]

Cérebre humano representado em um trabalho
de compataciogrfca

Adaptado da Revista Superinteresante, So Paulo,
Abril. 10, ano 9, 1995, p. 41.

44. 1. Pré-requisitos para o estudo
de funcóes

Produto cartesiano

Par ordenado
Entendemos por par ordenado um conjunto de dois elementos, sendo:

(ab)

DGytD=@-1,4
, ou seja, x = Ge para y + 1 = 4, ou seja, y = 3

Considerando dois conjuntos, A e B,näo-vazios,chamamos de produto cartesiano
de A por B o conjunto indicado por A X B,formado por todos os pares ordenados, nos
quais o primeiro elemento pertence 20 conjunto A e o segundo pertence ao conjunto:

AXB=((,)|x€AeyEB)
[Notaçäo:A x 8

Leitura: A cartesiano B
Elemento: par ordenado (x, y)

Exemplo:
Dados os conjuntos A = (5,6) e B = (2,3, 4), amos determinar o produto
cartesiano X B: ‘elementos do

2 na forma tabular

AXB=(6,3,6,3,6,0,(6,9,(6,9.6,9)
(ie Be ER TER;

‘elementos do B

‘Observe que os primeiros elementos dos pares ordenados pertencem ao
Conjunto A e os segundos elementos pertencem ao conjunto B. Esta for-
ma de representagäo € denominada forma tabular.

Pneeauano ma 01510008 Naas “) Focos

45. b) na forma gráfica

Observe que, para representar graficamente o produto cartesiano A X B,
0 elementos do conjunto A so dispostos no eixo das abscissas (horizon-
tal) e os elementos do conjunto B, no eixo das ordenadas (vertical estan-
do,cada par ordenado do produto, associado a um único ponto do gráfico,

er ic ios

‘esolvidos

Dedos os conjuntos M = (1, 3,5} eN = (2,4, determina o produto catesiono Mx NeN X M
as formes:

8) our DEN

© forma tabulr

MXN = {(, 9,01, 4), G, 9, 8.5, 2,65, 4}
NXM = (2, 1,2 3), 2,5) 4, D, (4,3, (4, 5))

1) forma gráfica .
MXN y NxM

2.8950
ah

i

46. | 2 Considerando os conjuntos A = (x€ Z| -9 € x < 1] ¢ 8 = (3,4), determinar A x Bnas formas:
2) tabular CES
Inicolmente, enumeramos os elementos do conjunto A:
A= eZ|-Q<x< 1) = A = (2, -1,0,1)
3-84
2) Na forma tabula, temos:
AXB= ((-9,3,(-2,0,-1,3,
4,4, 0,3,0,4),0,33.0, 9)
1) Na forma srfica, temos:

[Note que os pontos de abscissa iguala
zero pertencem a0 eo y

Determina o produto cartesiano dos conjuntos:

9 18,5] x (1) PIERRE)

BAT dr 1x,

ay

portes que formam a fura colorida

ropostos Dados os conjuntos E = te ENIx =),
F= (4,5)€ = (-1,0), determine a

Dados os conjuntos À = (3, 5,6) € ma tur dos produtos:

8 = (1,4), determine a forma tabular dos DEXF

Produtos: DFXE

D AXE OFx6

DIEZS DEXG

ines

47. Corsiderando os conjuntos € = (14,5) e SendoC= RE NI x < de
D = (2, 3), determine à forma gráfica dos D= RE Z1-1 «x <3), detemine a
produtos forms gráfica dos produto:
2 CXD cx bDxcC
boxe
Detemine © produto catesiano dos con-
juntos
Considerando os conurtos 2) 11,4) x (6)
AnWEZI-S Ex 9168 = (-1,2,31, ©) 2253 x11, 51
(determine a forma gráfica dos produtos: PIECE)
D AXE DABA
b)BxA On XB
Relacáo binária

Considerando dois conjuntos,A e B,náo-vazios, chamamos de relagäo binäria de
A em B qualquer subconjunto do produto cartesianoA X B.

Por convencio, chamamos de x os elementos do conjunto e de y os elementos
do conjunto B.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = (1, 2,3) e B = (4,6, 8), efetuando o produto car-
tesiano A X B,temos:

A *XB= (1, #, @, 6), 4,8), 2, #) @, 6). @, 8), G, 9, G,6),G,8))

‘Vamos considerar uma relaçäo binäria R do produto cartesiano À X B,em
que, por exemplo, y € o dobro de x.

Em simbolos:
R= (Gy) EAX Bly = 2x)
Lése:Relagio R formada por pares ordenados (x, y), pertencentes ao pro-
Auto cartesiano A X B,tal que y = 2x.

R=(@,9,6,0)

Quando € possivel expressar genericamente os elementos x e y dos pares
6%, y de R através de uma equaçäo como a do exemplo,y = 2x,chamamos
‘essa equacio de lei de correspondencia ou simplesmente lei da relagáo R.

Esta relaçäo pode ser representada por diagrama de flechas.

= "+

48. Diagrama de flechas
ee

© conjunto D dos primeiros elementos dos pares de R recebe o nome de domf-
nio da relacio e o conjunto B, de contradoménio (CD):

D=(2,3)

CD = 14, 6,8)

Os elementos do conjunto B que participam da relacio formam um conjunto
denominado conjunto imagem da relacio (Im):

Im = (4,6)

a

Gráfico cartesiano

O gráfico cartesiano dessa relaçäo será a
constituído apenas pelos pontos correspon- a
dentes dos pares ordenados (2, 4) € (3,6), es-
tando cada par associado a um único ponto.

No eixo das abscissas (horizontal) marca
‘mos os elementos do conjunto A;no eixo das
"ordenadas (vertical) os elementos do conjun-

108.
=

E >< « I< ic

esolvidos

Dados os courts À = (-1,0,1,2) €8 = (0,1,9,3,4,5}€0 elogdo

R= x,y) EA X Bly = x + 1), determinar:

18) os pares ordenados de relaçäo R

1) o conjunto domini eo conjunto imagem

©) o diegama de fechas

©) 0 rico catesiro |
Pause mon 00 ones ® toros |

49. i

8) niialmente, vamos determinar os pares ordenados (x, y, através da ei de corespondencia
dos elementos. y = x + 1, onde x € Aey € 8

x= 1 =y=-1+1=0€8,enid0(-1,0) ER
x=0=y=0+1=1€8entd0,(0,1) 68
x= 1m y= 14 120€ Bendo(t, 9) € R
x=9=y= 24 123€ Bentio(®,3)E R
R=(1,0,00,0,(1,9, 8,3)

b)D=(-1,0,1, em = (0, 1,2,31

©) Diagrama de fechas.

Dados os conjuntos M = (3, -2, ~1,0, 1) eN = (1,9,3, 5,6) e arelagdo
R= (0,1) EM X NI y = x8 + 1), determinar:

8) os pares ordenados da reloggo R

1) oconjuno dominio e o conjunto imagem

©) o diagrama de fechas.

d) o grfico cartesiano =
8) Determinagäo dos pares ordenados de relago:

X= 3 moy = (37 + 1 = 9 +1 = 10, mas (-3, 10) € R pois © número y = 10 no
pertence so conjunto N.

x= Ly = CY 41244125 EN entdo(-2,5) ER

x= Tay = (IF +1 2141 = 2EN,emtdo(-1, DER
X=0=y= (OF +1=0+1=1EN emo, NER

X= Tay= (I +1=1+1=26N, emo, ER

ose:

R= (2,5), (1,9,0, 9, 1,9)

@ Paso mn oe € nes

50. Bb) D=(-9, 1,0, 1heim= (1,9,5)
©) Diagrama de fechas.

ropostos

Dados os conjuntos

A=(-2,-1,0,1,8€

8 =(-1,0,1,9,3, 4,5] e relato

R= (0) SAXBIy=x+2,

determine.

8) 05 pares ordenados da reisgdo R

) o conjunto dominio € © conjunto ima-
sem

©) 0 diagrama de fechas.

9) o go cartesiano

Dados os conjuntos
M= (9, -1,0,1,9,3)€

N= (-1,0,9,3, 5) e arelagio
R= (0) EMXNIy == 1),

ie

Considerando a relag8o
R founeexety =
0 conosE = (23, -1,1,3,5)e

F=(-2, -1,0,1,3,) determine os pares
ordenados da relact.

Dados os conjuntos € = (0,2, 4, 6,8) e
D= (1,5,9, 13, 15,18) e arelocdo.
Rai VE CXDiy= 2x4 1), determi-
e o conlunto dominio € cono ima-
gem da relacio.

Considerando a relegóo
R= (0, Y) 1X Jy = 24) e os conjuntos
1= (2, -1,0,1,9,31€

1= (-1,0,1,9, 4, 6) faga 0 diagrama de
fechas da relacio.

Kesganior)
SeA = (DU KERI2<x <3}

EB = KERIT <x 9) desenhe 0 gi.
code A x8.

Faces

51. 2. Fungöes

Considerando dois conjuntos,4 e B,nâo-vazios e uma relagäo binária de em B,
dizemos que essa relaçäo € fungio de A em B se,e somente se,a cada elemento x do
Conjunto A corresponder um único elemento do conjunto B.

FASB lose: f éfuncio de A em B.

Ou,no caso de ser possível escrever uma lei de correspondencia através de uma
expresso matemática:

Y=) löse: y Efuncio de x,comx EAc y EB,

Exemplo:
‘Vamos considerar algumas relaçôes representadas pelos diagramas de fle-
chas e ver quais delas representam uma funçäo:

a

R, é funcio de A em B,pois a cada R, € funçäo dea emB,poisa cada

‘elemento do conjunto À corres- 10 do conjunto A corres-
onde um único elemento do ponde um único elemento do
conjunto. conjunto B.

®

R, näo € uma funcio de 4 em B, — R,mio € uma funcio de A em B,
pois o elemento 4 do conjunto À pois o elemento 6 do conjunto À

possui dois correspondentes em B näo possui correspondente no
@e-2. conjunto B.

Foros 5) Focos

52. Dominio, contradominio e imagem de uma funçao

‘Ao considerarmos uma funçäo f:A — B, temos que:

DE =A | lese:o dominio da funcáo f € igual ao conjunto A.

CD =B löse: o contradominio da fungio f € igual ao conjunto B.

Im(H_CB _ lése:o conjunto imagem da funçäo f está contido no contradominio B.
© conjunto formado pelos elementos do conjunto B, que estáo em correspon

déncia com os elementos do conjunto A, recebe o nome de conjunto imagem da
funcio f.

solvido

‘Dados os conjuntos A = (-2, =1,0, 1) eB = (=5, -2, 1,4,5,6) e erelagdo
R= (0) EAXB|y=>3x +1):
8) determinar a relecdo Rem forma de pares ordenados

1) constr um diagrama de flechas
©) veiica se essa elagdo € uma fundo. Em caso afirmativo determinar os conjuntos XP, COCA)
elm)
aye +1
Ke Ray a3-(-2)4+1=-6+1=-5€8 ml, =5) ER

x= Tey a3-(1) 12-3 +1 = 28, entlo(-1, 2) ER
ay =3-()+1=041=1€B,ertdo(0, DER

xe taya3-Q)+1=3+1= 468 etdo(1 ner

(2, -9), (1, -2, 0, 1,00, 9)

= —

© Arelacto Ré funcio de A em 8, pois a cedo elemento de A corresponde um único elemento
de 8 Assim:

DD = A, CDD = Beim = (-5, -2, 1,4)

Observe que 0 conjunto imagem, It, sempre está contido no conjunto 8, mas nem sem-
pre € igual ao conjunto 8.

val ® el

53. Imagem de um elemento

A cada elemento. pertencente ao dominio de uma fungioy = 09 corresponde
um único valor de y do contradominio dessa funcio, denominado imagem de x pela
funcio,.

Exemplo:

Considerando a fungäo f(x) = 2x? + 1, temos:

+ (0) =2- Cy + 152-14 1= 2+ 1 =3 (imagem de 1 pela funçäo
SE fA) = 3)

D = 2: CD +12 2% 4 +128 + 1 = 9 (a imagem de —2 pela
fungio fé C2) = 9)

+ 1@)=2-GP + 1= 2:94 1= 184 1= 19 (aimagem de 3 pela funcio
LE) = 19)

Como x representa todos os elementos do dominio da funçäo,o seu valor varia.
Como para cada elemento x do dominio há uma imagem y no contradominio,o
valor de y também varia,e varia na dependéncia de x.
Dai chamamos x de variável independente e y de variável dependente.

Raiz ou zero de uma funcao
Dada uma fungio f de A em B, chamamos raz (ou zero) da funcio / todo ele-
mento de A cuja imagem € zero

Exemplo:
Na funçäo f: R > R dada por f(x) = x? — 3x — 10, temos:

(2 € raz de pois fC-2)= (-2° — 3 * (2) ~ 10,ou seja,f(-2) = 0
4 mio € raiz de f, pois £(4) = # — 3 : 4 — 10,ou seja, fH) + 0

5 € riz de f pois £5) = 5° — 3 : 5 — 10,ou seja,f(5)

> Se o gráfico de uma funçäo f tem ponto no eixo Ox,entio esse ponto tem orde-
nada mula; logo,a abscissa dele é raiz de £

a,b e csio raizes de f.

Fes fosos

54. <= = F I

E
esolvidos
Dados os conjuntos A = (1, 2, 3)e 8 = (2, 3, 4, 5,6) earelegdoR = In y) E AX Bly= x+ 3],
pedese
2) determina a rlagdo em foma de pares ordenados
©) constr 0 igrama de eches
©) venta se ess relacio € uma funcio de A em 8
© Esaregoé une Angie de Aem 8

x= 1=y=1+3=4EBemo(1,4)€R | pois a cada elemento do conjunto À
X=32y=343=

R= (01,4, 5,6, 0)

EE)

Considerando a fungäo fi R + R, onde fx) = 3x — 1, determinar.
sw om 013)

a) 0) =3+0-1=0-
DKD=3-1-1=3- 18

| O

ropostos
Quoi das segintesrelagdes de A em B sto fungdes?

Og
e

i

55. Dados os conjuntos A = (-1,0,1,2,3)

EB = (-3, -2, ~1,0,1,9)¢ arelagdo
R= (x EAXBly=x- 9

8) determine a relagdo.em forma de pares
ordenados

1) consta um diagrama de fechas

©) identique se ese relagd0 € uma fundo

Dados os conjuntos
1,0,1,2,JeN=(0,1,9,3,41
earelagboR= (ox € Mx Nly = x +2)
8) determine a relacdo em forma de pares
ordenados.
) constus um diagrama de flechas
©) verifique se esa relagdo € uma funçdo
Considere as fungoes R => R eesboceo
fico caresano.
DHO=X+3 =
== + O
Dada a fungäo f por KO = y = x 9,
comx € Rey ER determine:
DIED ÊTES)

ot al)

Considerando a funcio Kx) = y =
<omx Re y € R determine

Dock Fungo 9 = y
ey ER calcule
D + 31) — 543) + KO)

Considerando a fungáo 1. R->R, onde

fx) = 4-3

8) calle o valor de kde modo que
fo =1

b) calcule a rai de £

Determine, se houver as aízes des fungóes
GER em R dadas por.

=x.comxer

PA
©) 160 = 18 = 4x

©) 900 = À = 10 + 95
1) = - OF -9

op
Dont tar

spé er cendres
RD + cae 5 0)

(PUQ) O gráfico da fungdo quacrática
160 = x8 + ax + 3 passa pelo poto
FCI, 2). Determine o valor de a.

at ÉTÉ) oeste) Sef) = Ly, quanto vole
DIO & (va) Hem)?
Qualidade de uma fungao
Funcdo injetora

Seja f uma fungäo de A em B (f A > B).Se para quaisquer elementos distintos
do conjunto A (x, # x,) correspondem elementos distintos do conjunto B (y, # y,),

dizemos que a funçäo € injetora (ou injetiva).

Exemplo:

Dados os conjuntos A = (=1,0,1,2) e

B= (—1,2,5,8,11),vamos determinar
a funcio FA > B definida pela lei
y=3x+2.

No diagrama de flechas, notamos que elementos distintos do conjunto A
correspondem a elementos distintos do conjunto B. Entäo, a funçäo € injerora

mm s

Faces

56. Fungdo sobrejetora
Seja f uma funcio de À em B (£A > B). Dizemos que f € uma funcio sobrejetora
(ou sobrejetiva) se o conjunto imagem for igual ao conjunto B.
Im)=B ou Im = CD

Exemplo:
Dados os conjuntos.

(-2,-1,0,1,3)eB=(0,1,4,9),
vamos determinar a funcio f.
onde y = x? parax EA y €B.

Im =B

Observando 0 diagrama de flechas, notamos que cada elemento do conjunto.B €
imagem de pelo menos um elemento do conjunto A; logo, o conjunto imagem da
fungio f € o proprio conjunto B e, portanto,a funcio € sobrejetora.

Funcdo bijetora

Uma funcio f de A em B (A > B) é bijetora (ou bijetiva) quando é, ao mesmo
tempo, injetora e sobrejetora. Nesse caso, para elementos distintos do conjunto À
correspondem elementos distintos do conjunto B (funcio injetora) e Im( = B (fun-
io sobrejetora).

Exemplo:
Dados os conjuntos A = (-3,0, 1,4)
€B = (0,3,4, 7), vamos determinar a
funcio £:A > B, definida pela lei
y=x+3panxCAcxeB,

à JÉbijetora pois/é injeton sobrejetora

| Resolvidos

Classificar as fungoes abaio, em inetor, sobreetor ou beton.
»

57. Inet, pois elements distitos do Sobrejeton, pos o conuto Image dan.
Conjano À sao emconespondince soe spies comme
comelemetos tintos do corn

2 HA

Bietora,pois para elementos isintos do Noé inetor, pois pelo menos um elemento,
conjunto A correspondem elementos die Be imagem de mais de um elemento de
‘isintos do conjumo Be Inc) = B. ‘A. Nio € sobrejetora, pois o conjunto ime-

gem da ungdo no € 0 préprio conjunto 8

isa as funçes representadas grficamente em njeor, sobrejetor ou beton.
oy » v

» »

ar
CCE

nee ren

Bijetora, pois para valores distintos quais» À fungto € sobrejetor, pois

‘ques do exo x corresponden valores dis- Im = CDD = R,

nos do exo y e o conjunto imagem da + Näo ¢ injetora, pois pelo menos um ele-
funcio € o pröprio conjunto des resis. mento (Y) do CD(P, é imagem de dos

clemetos dsinos (x, exp 0 D()

Qe e =