Ley de composición interna algebra ii

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About This Presentation

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE LEY DE COMPOSICION INTERNA


Slide Content

ÁLGEBRA
ESTUDIANTE: ACHARTE PRADO WILBER
CICLO: QUINTO


MATEMÁTICA COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA

AL
2021- BICENTENARIO -PERU















SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
2021-UNH

AL
2021- BICENTENARIO -PERU



PRÁCTICA CALIFICADA N° 01 LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA

1. Estudiar sus propiedades de la ley de composición interna, mediante las siguientes
operaciones en ⋇:
a. a⋇b = ab + 1; ∀a,b ∈ℤ
SOLUCION:
ASOCIATIVA
∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION:
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(ab + 1)*c=a*( bc + 1)………por definición
(ab + 1).c+1=a.(bc+1) +1……por definición
abc + c + 1 ≠ abc + a + 1…por distributiva multiplicativa con respecto a la adición

• * NO ES ASOCIATIVO EN Z

CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
�������??????�??????��
�∗�=�∗�
��+1=��+1 …………por definición

* ES CONMUTATIVO EN Z

ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�
�������??????�??????��:
�∗�=� �∗�=�∗� �∗�=�
Por definición
ae+1=a ea+1=ae+1 ea+1=a
ae=a-1 0=0 e=a-1/a
e=
�−1
�


*NO TIENE UN ELEMENTO NEUTRO EN Z

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�
�∗�

=� �

∗�=� �∗�

=�

∗�

b. a⋇b = a + b – 1; ∀a,b ∈ℤ
ASOCIATIVA
∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(�+�−1)∗�=�∗(�+�−1)…………��� ���??????�??????�??????��
(�+�−1)+�−1=�+(�+�−1)−1………………….��� ���??????�??????�??????��
�+�+�−2=�+�+�−2
* ES ASCIATIVO EN Z

CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
�∗�=�∗�
�+�−1=�+�−1 ……………por definición
∗�� ������??????�??????�� �� �

ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�

�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�+�−1=� �+�−1=� �+�−1=�+�−1
�=1 �=1 =
������??????�??????��� ������??????�??????��� ������??????�??????���
�+1−1=� 1+�−1=� �+1−1=1+�−1
�=� �=� �=�

* TIENE UN ELEMENTO NEUTRO EN Z

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

/ �∗�

=�

∗�=�
�∗�

=� �

∗�=� �∗�

=�

∗�
�+�

−1=1 �

+�−1=1 �+�

−1=�

+�−1
�´=2−� �

=2−�
Reemplazando ������������ ������������
�+(2−�)−1=1 2−�+�−1=1 �+2−�−1=2−�+�−1
1=1 1=1 1=1

• * TIENE UN SIMETRICO EN Z

c. a⋇b = (ab) / 2; ∀a,b ∈ℚ
+

ASOCIATIVA
∀�,�,�??????�
+
/ (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
�������??????�??????��
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
��
2
∗�=�∗
��
2
…………..por definición.
��
2
.�
2
=
��
2
.�
2
……………….por def inición.
���
4
=
���
4

ES ASOCIATIVO EN �
+



ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�
+
/ �∗�=�∗�=�

�������??????�??????��:
�∗�=� �∗�=�∗� �∗�=�
��
2
=�
��
2
=
��
2

��
2
=�
�=
2�
�
�=
2�
�

������??????�??????��� ������??????�??????��� ������??????�??????���
�(
2�
�
)
2
=�
(
2�
�
)�
2
=
�(
2�
�
)
2

(
2�
�
�
2
=�
2�
2
=�
2�
2
=
2�
2

2�
2
=�
�=� �=� �=�


* TIENE NEUTRO EN �
+



CONMUTATIVA
∀�,�??????�
+
/ �∗�=�∗�
�∗�=�∗�
��
2
=
��
2


* ES CONMUTATIVO EN �
+

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO SIMETRICO
DEMOSTRACION
∀�??????�
+
∃!�

∈�
+
/ �∗�

=�

∗�=�
�∗�

=� �

∗�=� �∗�

=�

∗�
��′
2
=
2�
�

�′�
2
=
2�
�

�.�

2
=
�′.�
2

��

=
2�
�
.2 �

�=
2�
�
.2 ������??????�??????���
�′=
2�
�
.2
�
�

=
2�
�
�
.2
�.(
4
�
)
2
=
(
4
�
).�
2

�

=
4�
�
�
=
4
�
�

=
4
�

4
2
=
4
2

������??????�??????��� ������??????�??????��� 2=2
�(
4
�
)
2
=
2�
�
=
4
2
=2
(
4
�
)�
2
=
2�
�
=
4
2
=2
2=2 2=2

* ES SIMETRICO EN �
+


d. a⋇b = (ab) / (a+b); ∀a,b ∈ℝ
+


ASOCIATIVA

DEMOSTRACION
∀�,�,�??????�
+
/ (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(��)
�+�
∗�=�∗
(��)
�+�
…………………… por definición
(��)
�+�
.??????
(��)
�+�
+??????
=
�.
(��)
�+�
�+
(��)
�+�
……………………… …… por definición
���
�+�
(��)+(�+�)�
�+�
=
���
�+�
�(�+�)+(��)
�+�

���
�+�
(��)+(��+��)
�+�
=
���
�+�
(��+��)+(��)
�+�

�
2
��+��
2
�
�
2
�+�
2
�+2(���)+��
2
+�
2
�

�
2
��+��
2
�
��
2
+2(���)+�
2
�+��
2
+��
2


* NO ES ASOCIATIVO EN �
+

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


CONMUTATIVA
∀�,�??????�
+
/ �∗�=�∗�
�∗�=�∗�
(��)
�+�
=
(��)
�+�


* ES CONMUTATIVO EN �
+


ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�
+
∃!�∈�
+
/ �∗�=�∗�=�

�������??????�??????��:
�∗�=� �∗�=�∗� �∗�=�
(��)
�+�
=�
(��)
�+�
=
(��)
�+�

(��)
�+�
=�
��=�(�+�) ��=�(�+�)
��=�
2
+�� ��=��+�
2

�=
�
2
+��
�
�=
��+�
2
�

�=�+� �=�+�
0=�…no es cierto 0=�…�� �� �??????����

* NO TIENE ELEMENTO NEUTRO EN �
+

ELEMENTO SIMETRICO

∀�??????�
+
∃!�

∈�
+
/ �∗�

=�

∗�=�
�∗�

=� �

∗�=� �∗�

=�

∗�
• * TAMPOCO TIENE SIMETRIA EN �
+


e. a ⋇ b = a + ba
2
; ∀a,b ∈ℝ

ASOCIATIVA

∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(� + ��
2
)∗�=�∗(� + ��
2
) ………………………por definición.
(� + ��
2
)+(�(� + ��
2
)
2
)=�+((� + ��
2
)�
2
) ………por definición
(�+��
2
)+(�(�
2
+2(�)(��
2
)+( ��
2
)
2
)≠ �+�
3
+ ��
4

∗�� �� ??????���????????????�??????�� �� �

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
�∗�=�∗�
(� + ��
2
)≠(� + ��
2
) ………

• * NO ES CONMUTATIVO EN R

ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�

�������??????�??????��:
�∗�=� �∗�=�∗� �∗�=�
(� + ��
2
)=�
�
2
=�−�
��
2
=0 …
∗�� �� ������ �� �

ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�
�∗�

=� �

∗�=� �∗�

=�

∗�

• TAMPOCO ES SIMETRICO EN R

f. a⋇b = a + b – 3; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(�+�−3)∗�=�∗(�+�−3)…………………por definición
(�+�−3)+�−3=�+(�+�−3)−3 ……….por definición
�+�+�−6=�+�+�−6

✓ ES ASOCIATIVO EN R.

CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
�∗�=�∗�
(�+�−3) =(�+�−3)
✓ ES CONMUTATIVO EN R

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�

�∗�=�∗�=�
DEMOSTRACION
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�+�−3=� �+�−3=� �+�−3=�+�−3
�=3 �=3

Reemplazando Reemplazando Reemplazando
�+3−3=� 3+�−3=� �+3−3=3+�−3
�=� �=� �=�


ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�
���������??????��
�∗�

=� �

∗�=� �∗�

=�

∗�
�+�

−3=3 �′+�−3=3 �+�

−3=�′+�−3
�

=6−� �

=6−�
Reemplazando Reemplazando Reemplazando
�+(6−�)−3=3 6−�+�−3=3 3 �+6−�−3=6−�+�−3
3=3 3=3 3=3



g. a⋇b = ab + 2; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
Demostración
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(��+2)∗�=�∗(��+2) ……por definición
(��+2).�+2= �.(��+2)+2 ……por definición
���+2�+2≠���+2�+2…………por distributiva multiplicativa con respeto a la adición

CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
������??????�??????��
�∗�=�∗�
��+2=��+2

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�

DEMOSTRACION
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
��+2=� ��+2=� ��+2= ��+2
�=−1 �=−1

Reemplazando
��+2=�
�(−1)+2=�
−�+2=�
2=�+�
2≠2� ………por lo tanto esta propiedad no cumple la ley de composición interna en R



ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�
Demostración
�∗�

=� �

∗�=−1 �∗�

=�

∗�
��

+2=−1 ��

+2=−1 ��

+2=�

�+2
��

=−1−2 �

=−
3
�

�

=
−3
�

Reemplazando a’=
−3
�
reemplazando a’=
−3
�
reemplazando a’=
−3
�


��

+2=−1 ��

+2=−1 ��

+2=�

�+2
�(
−3
�
)+2=−1 �(−
3
�
)+2=−1 �(−
3
�
)+2=(−
3
�
)�+2
−3�
�
=−3 −3=−3 −3+2=−3+2
−3=−3 −1=−1

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

h. a⋇b = a + b + 3; ∀a,b ∈ℝ

ASOCIATIVA
∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(�+�+3)∗�=�∗(�+�+3)
(�+�+3)+�+3=�+(�+�+3)+3
�+�+�+6=�+�+�+6


CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
�������??????�??????��
�∗�=�∗�
�+�+3=�+�+3


ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�

�������??????�??????��
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�+�+3=� �+�+3=� �+�+3=�+�+3
�=−3 �=−3
REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO
�+�+3=� �+�+3=� �+�+3=�+�+3
�+(−3)+3=� (−3)+�+3=� �+(−3)+3=(−3)+�+3
�=� �=� �=�

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�
�������??????�??????��
�∗�

=� �

∗�=� �∗�

=�

∗�
�+�

+3=−3 �′+�+3=−3 �+�

+3= �′+�+3
�

=−6−� �

=−6−�
�

=−6−�
REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO
�+�

+3=−3 �′+�+3=−3 �+�

+3= �′+�+3
�+(−6−�)+3=−3 −6−�+�+3=−3 �+(−6−�)+3=−6−�+�+3
�−6−�+3=−3 −3=−3 −3=−3
−3=−3

∃�

∈�/ �

= −�−�; ∀�∈�

i. a⋇b = a/b; ∀a,b ∈ℚ
ASOCIATIVA
∀�,�,�??????�/ (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
�
�
∗�=�∗
�
�



�
�
�
=
�
�
�

�
��

��
�
NO CUMPLE CON LA LEY DE COMPOSICION INTERNA EN LOS RACIONALES


CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
DEMOSTRACION
�∗�=�∗�
�
�

�
�
……..NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICION INTERNA EN Q

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�

�������??????�??????��
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�
�
=�
�
�
=�
�=�� �=��
�
�
=� �=�
2

1=�

NO CUMPLE CON LA LEY DE COMPOSICION INTE RNA EN Q

ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�
�������??????�??????��

No cumple


j. a⋇b = a/b; ∀a,b ∈ℤ
ASOCIATIVA
∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
�
�
∗�=�∗
�
�

�
�
�
=
�
�
�

�
��

��
�



CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
�������??????�??????��
�∗�=�∗�
�
�

�
�
…………NO CUMPLE LA LCI EN Z.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU



ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�,∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�
DEMOSTRACION
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�
�
=�
�
�
=�
�
�
=
�
�

�=�� �=�
2

�
�
=�
1=�

NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA EN Z

ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�

NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICION INTERNA.

k. a⋇b = a – b; ∀a,b ∈ℤ
+

ASOCIATIVA
∀�,�,�??????�
+
/ (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(�−�)∗�=�∗(�−�)
(�−�)−�=�−(�−�)
�+�−�≠�−�+�
CONMUTATIVA
∀�,�??????�
+
/ �∗�=�∗�
�������??????�??????��
�∗�=�∗�
�−�≠�−�
NO CUMPLE CON LA LEY DE COMPOSICION INTERNA
ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�
+
∃!�∈�
+
/ �∗�=�∗�=�
�������??????�??????��
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�−�=�
−�=�−�
−�=0
�=−0.......NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICION INTERNA EN �
+

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�
+
∃!�

∈�
+
/ �∗�

=�

∗�=�

�� �����??????�???????????? �?????? ��� �� ������??????�??????�� ??????�����?????? �� �
+


l. a⋇b = a
b
; ∀a,b ∈ℤ
+

ASOCIATIVA
∀�,�,�??????�
+
/ (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
�
�
∗�=�∗�
�

(�
�
)
�
≠(�)
�
�

�� �� ������ �?????? ??????���????????????�??????�??????�??????� �� �
+



CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
�������??????�??????��
�∗�=�∗�
�
�
≠�
�

�� �� �����??????�???????????? �?????? ������??????�??????�??????�??????� �� �
+


ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�
+
∃!�∈�
+
/ �∗�=�∗�=�
�������??????�??????��
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�
�
=� �
�
=�
�� ������� � �� ����??????���� �� ���
���������� e�������??????�����������??????� ��� ��� ���
�=1


POR LO TANTO NO ESTA PROPIEDAD NO CUMPLE LA ( LCI) EN �
+


ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�
+
∃!�

∈�
+
/ �∗�

=�

∗�=�

TAMPOCO CUMPLIRIA LA LCI YA QUE NO ENCONTRAMOS UN ELEMENTO NEUTRO
“e”

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

m. a⋇b = a – b; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀�,�,�??????� / (�∗�)∗�=�∗(�∗�)
DEMOSTRACION
(�∗�)∗�=�∗(�∗�)
(�−�)∗�=�∗(�−�)
(�−�)−�≠�−(�−�) ..
�� �� ������ (��??????) �� �?????? ���??????�??????�?????? �� (�)

CONMUTATIVA
∀�,�??????�/ �∗�=�∗�
DEMOSTRACION
�∗�=�∗�
�−�=�−�

ELEMENTO NEUTRO
∀�??????�∃!�∈�/ �∗�=�∗�=�
�������??????�??????��
�∗�=� �∗�=� �∗�=�∗�
�−�=� �−�=�
−�=�−� �=�+�
�=−0 �=2�

ELEMENTO SIMETRICO
∀�??????�∃!�

∈�/ �∗�

=�

∗�=�

TAMPOCO CUMPLIRIA PUESTO QUE NO SE HA ENCONTRADO UN ELEMEN TO
NUTRO


n. En (ℤ
+
,⋇) se define a⋇b = c, donde c es el menor entero mayor que la suma de a y b.
Podemos apreciar lo siguiente:
�
+
� �
+
→�
+

�+�≤�∗�=�
�>�+�
Calculamos por el método de tanteo, para comprobar si es cierto.
�=4 �>4+5
�=5 �>9
El menor entero, mayor que la suma de a y b será: 10.
Entonces diremos que ∗ cumple LCI en �
+

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


o. En (ℤ
+
,⋇) se define a⋇b = c, donde c es el mayor entero menor que el producto de a y
b.
SOLUCION
�
+
� �
+
→�
+

�=�∗�>�.�
&#3627408438;<&#3627408462;.&#3627408463;
Calculamos esto, por el método del tanteo.
&#3627408462;=2 &#3627408438;<2.5
&#3627408462;=5 &#3627408438;<10

Entonces el mayor entero, menor que el producto e a y b es 9.
Por lo tanto ∗ cumple LCI en &#3627408461;
+


p. En (ℤ
+
,⋇) se define a⋇b=c, donde c es al menos 5 unidades mayor que a+b
&#3627408461;
+
&#3627408485; &#3627408461;
+
→&#3627408461;
+

&#3627408462;⋇&#3627408463;=&#3627408464;
&#3627408464;+5>&#3627408462;+&#3627408463;
Calculamos por el método del tanteo
&#3627408462;=7 &#3627408464;+5>7+6
&#3627408462;=6 &#3627408464;>13

Entonces el numero c que al menos es cinco unidades mayores que a + b seria
18.


q. S es un conjunto de todas las funciones con valores reales en (ℝ, ⋇), definido por f⋇g
= h, donde h(x) = f(x) + g(x).

&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)+&#3627408468;(&#3627408485;) ……definición.

??????&#3627408454;&#3627408450;&#3627408438;????????????&#3627408455;??????&#3627408457;??????
∀&#3627408467;(&#3627408485;),&#3627408468;(&#3627408485;),&#3627408474;(&#3627408485;)∈&#3627408453; / (&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)∗(&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;))
DEMOSTRACION
(&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)∗(&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;))
(&#3627408467;(&#3627408485;)+&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)∗(&#3627408468;(&#3627408485;)+&#3627408474;(&#3627408485;))
(&#3627408467;(&#3627408485;)+&#3627408468;(&#3627408485;))+&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)+(&#3627408468;(&#3627408485;)+&#3627408474;(&#3627408485;))
∗&#3627408466;&#3627408480; &#3627408462;&#3627408480;&#3627408476;&#3627408464;??????&#3627408462;&#3627408481;&#3627408483;&#3627408476; &#3627408466;&#3627408475; &#3627408453;

AL
2021- BICENTENARIO -PERU



&#3627408438;&#3627408450;&#3627408449;&#3627408448;&#3627408456;&#3627408455;??????&#3627408455;??????&#3627408457;??????
∀&#3627408467;(&#3627408485;),&#3627408468;(&#3627408485;)∈&#3627408453;/ &#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408468;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)
DEMOSTRACION
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408468;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)+&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408468;(&#3627408485;)+&#3627408467;(&#3627408485;)

∗&#3627408466;&#3627408480; &#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408474;&#3627408482;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408481;??????&#3627408483;&#3627408476; &#3627408466;&#3627408475; &#3627408453;

&#3627408440;&#3627408447;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408440;&#3627408449;&#3627408455;&#3627408450; &#3627408449;&#3627408440;&#3627408456;&#3627408455;&#3627408453;&#3627408450;
∀&#3627408467;(&#3627408485;)∈&#3627408453;,∃!&#3627408466;∈&#3627408453;/ &#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408466;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
DEMOSTRACION
1. REEMPLAZANDO
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) &#3627408467;(&#3627408485;)+0=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)+&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) &#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)−&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)=0
Necesariamente &#3627408466;(&#3627408485;)≠0


2.
&#3627408466;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) 0+&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)+&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) &#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)=0

3.
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408466;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)+0=0+&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)

∗&#3627408475;&#3627408476; &#3627408481;??????&#3627408466;&#3627408475;&#3627408466; &#3627408466;&#3627408473;&#3627408474;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476; &#3627408475;&#3627408466;&#3627408482;&#3627408481;&#3627408479;&#3627408476; &#3627408466;&#3627408475; &#3627408453;


??????&#3627408499;??????&#3627408500;??????&#3627408501;&#3627408507;&#3627408502; &#3627408506;??????&#3627408500;??????&#3627408507;&#3627408505;????????????&#3627408502;

∗&#3627408449;&#3627408476; &#3627408481;??????&#3627408466;&#3627408475;&#3627408466; &#3627408466;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476; &#3627408480;??????&#3627408474;&#3627408466;&#3627408481;&#3627408479;??????&#3627408464;&#3627408476;,&#3627408477;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408481;&#3627408476; &#3627408478;&#3627408482;&#3627408466; &#3627408475;&#3627408476; &#3627408464;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;&#3627408466; &#3627408464;&#3627408476;&#3627408475; &#3627408466;&#3627408473; &#3627408466;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476; &#3627408475;&#3627408466;&#3627408482;&#3627408481;&#3627408479;&#3627408476;.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU



r. S un conjunto de todas las funciones con valores reales en (ℝ, ⋇) definida por f ⋇ g =
h; h(x)= f(x). g(x)

&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408468;(&#3627408485;) ……definición.

ASOCIATIVA
∀&#3627408467;(&#3627408485;),&#3627408468;(&#3627408485;),&#3627408474;(&#3627408485;)∈&#3627408453; / (&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)∗(&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;))
DEMOSTRACION
(&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)∗(&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;))
(&#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408468;(&#3627408485;))∗&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)∗(&#3627408468;(&#3627408485;) .&#3627408474;(&#3627408485;))
&#3627408467;(&#3627408485;).&#3627408468;(&#3627408485;).&#3627408474;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408468;(&#3627408485;) .&#3627408474;(&#3627408485;)

CONMUTATIVA
∀&#3627408467;(&#3627408485;),&#3627408468;(&#3627408485;)∈&#3627408453;/ &#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408468;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)
DEMOSTRACION
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408468;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408468;(&#3627408485;)=&#3627408468;(&#3627408485;) .&#3627408467;(&#3627408485;)

ELEMENTO NEUTRO
∀&#3627408467;(&#3627408485;)∈&#3627408453;,∃!&#3627408466;∈&#3627408453;/ &#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408466;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
DEMOSTRACION
1. REEMPLAZANDO
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) &#3627408467;(&#3627408485;) . &#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) &#3627408467;(&#3627408485;) . 1=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)=
&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)=1

2. REEMPLAZANDO
&#3627408466;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;) .&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;) 1 .&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)=
&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408466;(&#3627408485;)=1

3.
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408466;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408466;(&#3627408485;)=&#3627408466;(&#3627408485;) .&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;) .1=1 .&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408467;(&#3627408485;)

AL
2021- BICENTENARIO -PERU



ELEMENTO SIMETRICO
∀&#3627408467;(&#3627408485;)∈&#3627408453;,∃!&#3627408467;(&#3627408485;)

/ &#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)′=&#3627408467;(&#3627408485;)′∗&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408466;(&#3627408485;)
DEMOSTRACION
1. REEMPLAZANDO
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)

=&#3627408466;(&#3627408485;) &#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408467;(&#3627408485;)

=1
&#3627408467;(&#3627408485;) .&#3627408467;(&#3627408485;)

=1 &#3627408467;(&#3627408485;) .
1
&#3627408467;(&#3627408485;)
=1
&#3627408467;(&#3627408485;)

=
1
&#3627408467;(&#3627408485;)
con &#3627408467;(&#3627408485;)≠0 1=1
2.
&#3627408467;(&#3627408485;)′∗&#3627408467;(&#3627408485;)=&#3627408466;(&#3627408485;) REEMPLAZANDO
&#3627408467;(&#3627408485;)

.&#3627408467;(&#3627408485;)=1
1
&#3627408467;(&#3627408485;)
.&#3627408467;(&#3627408485;)=1
&#3627408467;(&#3627408485;)

=
1
&#3627408467;(&#3627408485;)
con &#3627408467;(&#3627408485;)≠0 1=1

3.
&#3627408467;(&#3627408485;)∗&#3627408467;(&#3627408485;)′=&#3627408467;(&#3627408485;)′∗&#3627408467;(&#3627408485;)
&#3627408467;(&#3627408485;) .
1
&#3627408467;(&#3627408485;)
=
1
&#3627408467;(&#3627408485;)
.&#3627408467;(&#3627408485;)
1=1

s. Sea S un conjunto formado por 10 personas, todas ellas con diferente estatura,
definida por a ⋇ b = c, donde c es la persona más alta de las 10 en S.


















1p.
2p.
3p.
4p.
5p.
6p.
7p.
8p.
9p.
10p.

S
1p. =talla 1
2p.=talla 2
3p.=talla 3
4p.=talla 4
5p.=talla 5
6p.=talla 6
7p.=talla7
8p.=talla 8
9p.=talla 9
10p=talla 10

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


2. Para toda operación binaria ⋇ definida a continuación, determínese cuál ⋇ es conmutativa y
cuál asociativo.
a. En ℤ, defínase ⋇ por a⋇b = a – b
ASOCIATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;,&#3627408464;??????&#3627408461; / (&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
DEMOSTRACION
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
(&#3627408462;−&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;−&#3627408464;)
(&#3627408462;−&#3627408463;)−&#3627408464;≠&#3627408462;−(&#3627408463;−&#3627408464;)

CONMUTATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;??????&#3627408461;/ &#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408462;−&#3627408463;≠&#3627408463;−&#3627408462;

b. En ℚ, defínase ⋇ por a ⋇ b = ab + 1
ASOCIATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;,&#3627408464;??????&#3627408452;/ (&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
(&#3627408462;&#3627408463;+1)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;&#3627408464;+1)
(&#3627408462;&#3627408463;+1).&#3627408464;+1=&#3627408462;.(&#3627408463;&#3627408464;+1)+1
&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408464;+1=&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;+1

CONMUTATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;∈&#3627408461;/&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408462;&#3627408463;+1=&#3627408463;&#3627408462;+1

c. En ℤ
+
, defínase ⋇ por a⋇b = 2
ab

ASOCIATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;,&#3627408464;??????&#3627408461;
+
/ (&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
DEMOSTRACION
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
2
&#3627408462;&#3627408463;
∗&#3627408464;=&#3627408462;∗2
&#3627408463;&#3627408464;

2
(2
&#3627408462;&#3627408463;
)&#3627408464;
≠2
&#3627408462;(2
&#3627408463;&#3627408464;
)


SE CUMPLE LA
CONMUTATIVIDAD EN
ESTE OPERADOR

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

CONMUTATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;∈&#3627408461;/&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
2
&#3627408462;&#3627408463;
=2
&#3627408463;&#3627408462;

d. En ℚ, defínase ⋇ por a⋇b = a + b – 1
ASOCIATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;,&#3627408464;??????&#3627408452;/ (&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
DEMOSTRACION
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
(&#3627408462;+&#3627408463;−1)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;+&#3627408464;−1)
(&#3627408462;+&#3627408463;−1)+&#3627408464;−1=&#3627408462;+(&#3627408463;+&#3627408464;−1)−1
&#3627408462;+&#3627408463;+&#3627408464;−2=&#3627408462;+&#3627408463;+&#3627408464;−2

CONMUTATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;∈&#3627408452;/&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408463;−1=&#3627408463;+&#3627408462;−1


3. ¿Falso o verdadero?
a. Si ⋇ es cualquier operación interna en cualquier conjunto S, entonces a⋇a = a; ∀a ∈S.
FALSO

b. Si ⋇ es cualquier operación interna conmutativa en cualquier conjunto S, entonces a⋇(b⋇c)
= (b⋇c) ⋇ a; ∀a,b,c ∈S
VERDADERO
c. Las únicas operaciones binarias importantes son aquellas definidas en conjuntos
numéricos.
VERDADERO


d. Una operación binaria ⋇ en un conjunto S es conmutativa si existe a,b ∈S, tal que a⋇b =
b⋇a
VERDABERO
e. Toda operación binaria definida en un conjunto de un solo elemento es conmutativo y
asociativo.
FALSO

• Se define, asociativa y
conmutativa en * por a*b=a+b-1

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


f. Una operación binaria en un conjunto S asigna al menos un elemento de S a todo par
ordenado de elementos de S.
VERDADERO
g. Una operación binaria en un conjunto S asigna a lo más un elemento de S a todo par
ordenado de elementos de S.
VERDADERO
h. Una operación binaria en un conjunto S asigna exactamente un elemento de S a todo par
ordenado de elementos de S.
VERDADERO
i. Una operación binaria en un conjunto S puede asignar más de un elemento de S a algún
par ordenado de elementos de S.
FALSO

4. En ℤ, se define ⋇ por medio de a⋇b = 2(a+b). Estudiar sus propiedades.
ASOCIATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;,&#3627408464;??????&#3627408461; / (&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
DEMOSTRACION
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
2(&#3627408462;+&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗2(&#3627408463;+&#3627408464;)
2((2(&#3627408462;+&#3627408463;))+&#3627408464;)=2(&#3627408462;+(2(&#3627408463;+&#3627408464;)
2(2&#3627408462;+2&#3627408463;+&#3627408464;)=2(&#3627408462;+2&#3627408463;+2&#3627408464;)
4&#3627408462;+4&#3627408463;+2&#3627408464;≠2&#3627408462;+4&#3627408463;+4&#3627408464;
✓ * no es asociativo en z

CONMUTATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;??????&#3627408461;/ &#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
2(&#3627408462;+&#3627408463;)=2(&#3627408463;+&#3627408462;)
2&#3627408462;+2&#3627408463;=2&#3627408463;+2&#3627408462;
✓ * es conmutativo en Z



ELEMENTO NEUTRO
∀&#3627408462;??????&#3627408461;∃!&#3627408466;∈&#3627408453;/ &#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408462;=&#3627408462;
DEMOSTRACION
&#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408462; &#3627408466;∗&#3627408462;=&#3627408462; &#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408462;
2(&#3627408462;+&#3627408466;)=&#3627408462; 2(&#3627408466;+&#3627408462;)=&#3627408462; 2(&#3627408462;+&#3627408466;)=2(&#3627408466;+&#3627408462;)
2&#3627408462;+2&#3627408466;=&#3627408462; 2&#3627408466;+2&#3627408462;=&#3627408462;

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

2&#3627408466;=&#3627408462;−2&#3627408462; 2&#3627408466;=&#3627408462;−2&#3627408462;

&#3627408466;=
&#3627408462;−2&#3627408462;
2
&#3627408466;=
&#3627408462;−2&#3627408462;
2

&#3627408466;=−
&#3627408462;
2
&#3627408466;=−
&#3627408462;
2


REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO
2&#3627408462;+2&#3627408466;=&#3627408462; 2&#3627408466;+2&#3627408462;=&#3627408462; 2(&#3627408462;+&#3627408466;)=2(&#3627408466;+&#3627408462;)
2&#3627408462;+2(−
&#3627408462;
2
)=&#3627408462; 2(−
&#3627408462;
2
)+2&#3627408462;=&#3627408462; 2(&#3627408462;+(−
&#3627408462;
2
))=2((−
&#3627408462;
2
)+&#3627408462;)
2&#3627408462;−&#3627408462;=&#3627408462; −&#3627408462;+2&#3627408462;=&#3627408462; 2&#3627408462;−
2&#3627408462;
2
=−
2&#3627408462;
2
+2&#3627408462;
2&#3627408462;=&#3627408462;+&#3627408462; 2&#3627408462;=2&#3627408462; 2&#3627408462;=2&#3627408462;
2&#3627408462;=2&#3627408462;

✓ * CUMPLE CON ELEMETO NEUTRO EN Z.

ELEMENTO SIMETRICO
∀&#3627408462;??????&#3627408461;∃!&#3627408462;

/ &#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408462;

∗&#3627408462;=&#3627408466;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408466; &#3627408462;

∗&#3627408462;=&#3627408466; &#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408462;

∗&#3627408462;
2(&#3627408462;+&#3627408462;

)=−
&#3627408462;
2
2(&#3627408462;

+&#3627408462;)=−
&#3627408462;
2
2(&#3627408462;+&#3627408462;

)=2(&#3627408462;

+&#3627408462;)
&#3627408462;+&#3627408462;

=−
&#3627408462;
4
&#3627408462;

+&#3627408462;=−
&#3627408462;
4

&#3627408462;

=−
&#3627408462;
4
−&#3627408462; &#3627408462;

=−
&#3627408462;
4
−&#3627408462;

REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO
2(&#3627408462;+&#3627408462;

)=−
&#3627408462;
2
2(&#3627408462;

+&#3627408462;)=−
&#3627408462;
2
2(&#3627408462;+&#3627408462;

)=2(&#3627408462;

+&#3627408462;)
2(&#3627408462;+(−
&#3627408462;
4
−&#3627408462;))=−
&#3627408462;
2
2((−
&#3627408462;
4
−&#3627408462;)+&#3627408462;)=−
&#3627408462;
2
2(&#3627408462;+(−
&#3627408462;
4
−&#3627408462;)=2((−
&#3627408462;
4
−&#3627408462;)+&#3627408462;)

2&#3627408462;−
2&#3627408462;
4
−2&#3627408462;=−
&#3627408462;
2

2&#3627408462;
4
−2&#3627408462;+2&#3627408462;=−
&#3627408462;
2
2&#3627408462;−
2&#3627408462;
4
−2&#3627408462;= −
2&#3627408462;
4
−2&#3627408462;+2&#3627408462;

&#3627408462;
2
=−
&#3627408462;
2

&#3627408462;
2
=−
&#3627408462;
2

2&#3627408462;
4
=−
2&#3627408462;
4
= −
&#3627408462;
2
=−
&#3627408462;
2



✓ * TAMBIEN CUMPLE EN Z

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

5. En ℤ, se define ⋇ por medio de a⋇b = a + b + 4. Estudiar sus propiedades.
ASOCIATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;,&#3627408464;??????&#3627408461; / (&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
DEMOSTRACION
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
(&#3627408462;+&#3627408463;+4)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;+&#3627408464;+4)
(&#3627408462;+&#3627408463;+4)+&#3627408464;+4=&#3627408462;+(&#3627408463;+&#3627408464;+4)+4
&#3627408462;+&#3627408463;+&#3627408464;+8=&#3627408462;+&#3627408463;+&#3627408464;+8

✓ * CUMPLE LA ASOCITIVIDAD EN Z

CONMUTATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;??????&#3627408461;/ &#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
DEMOSTRACION
&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408463;+4=&#3627408463;+&#3627408462;+4
✓ * CUMPLE LA CONMUTATIVIDAD EN Z


ELEMENTO NEUTRO
∀&#3627408462;??????&#3627408461;∃!&#3627408466;∈&#3627408461;/ &#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408462;=&#3627408462;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408462; &#3627408466;∗&#3627408462;=&#3627408462; &#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408466;+4=&#3627408462; &#3627408466;+&#3627408462;+4=&#3627408462; &#3627408462;+&#3627408466;+4= &#3627408466;+&#3627408462;+4
&#3627408466;=−4 &#3627408466;=−4
REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO
&#3627408462;+&#3627408466;+4=&#3627408462; &#3627408466;+&#3627408462;+4=&#3627408462; &#3627408462;+&#3627408466;+4= &#3627408466;+&#3627408462;+4
&#3627408462;+(−4)+4=&#3627408462; −4+&#3627408462;+4=&#3627408462; &#3627408462;+(−4)+4= −4+&#3627408462;+4
&#3627408462;=&#3627408462; &#3627408462;=&#3627408462; &#3627408462;=&#3627408462;


✓ * CUMPLE EL NEUTRO EN Z

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO SIMETRICO
∀&#3627408462;??????&#3627408461;
+
∃!&#3627408462;

/ &#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408462;

∗&#3627408462;=&#3627408466;
DEMOSTRACION
&#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408466; &#3627408462;

∗&#3627408462;=&#3627408466; &#3627408462;

∗&#3627408462;=&#3627408462;

∗&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408462;

+4=−4 &#3627408462;

+&#3627408462;+4=−4 &#3627408462;+&#3627408462;

+4=&#3627408462;

+&#3627408462;+4
&#3627408462;

=−4−4−&#3627408462; &#3627408462;

=−4−4−&#3627408462;
&#3627408462;

=−8−&#3627408462; &#3627408462;

=−8−&#3627408462;
REEMPLAZANDO
&#3627408462;+&#3627408462;

+4=−4 &#3627408462;

+&#3627408462;+4=−4 &#3627408462;+&#3627408462;

+4=&#3627408462;

+&#3627408462;+4
&#3627408462;+(−8−&#3627408462;)+4=−4 (−8−&#3627408462;)+&#3627408462;+4=−4 &#3627408462;+(−8−&#3627408462;)+4=−8−&#3627408462;+&#3627408462;+4
&#3627408462;−8−&#3627408462;+4=−4 −8−&#3627408462;+&#3627408462;+4=−4 &#3627408462;−8−&#3627408462;+4=−8−&#3627408462;+&#3627408462;+4
−4=−4 −4=−4 −4=−4

✓ * CUMPLE LA SIMETRIA EN &#3627408461;
+



6. Estudiar sus propiedades de ⨁: ℚ
*
x ℚ
*
→ ℚ
*
/ x⨁y= x + 1/y. Si ℚ
*
= ℚ - {0}
ASOCIATIVO
∀&#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408487;?????? ℚ−{0}/ (&#3627408485;⨁&#3627408486;)⨁&#3627408487;=&#3627408485;⨁(&#3627408486;⨁&#3627408487;)
DEMOSTRACION
(&#3627408485;⨁&#3627408486;)⨁&#3627408487;≠&#3627408485;⨁(&#3627408486;⨁&#3627408487;)
(&#3627408485;+
1
&#3627408486;
) ⨁ z≠z⨁(y+
1
z
)
(&#3627408485;+
1
&#3627408486;
)+
1
&#3627408487;
≠&#3627408487;+
1
(y+
1
z
)

✓ NO ES ASOCIATIVO Q

CONMUTATIVO
∀&#3627408485;,&#3627408486;??????ℚ−{0}/ &#3627408485;⨁y=&#3627408486;⨁&#3627408485;
DEMOSTRACION
&#3627408485;⨁y≠&#3627408486;⨁&#3627408485;
&#3627408485;+
1
&#3627408486;
≠&#3627408486;+
1
&#3627408485;

✓ NO ES CONMUTATIVO Q

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

ELEMENTO NEUTRO
∀&#3627408485;??????&#3627408452;−{0};∃!&#3627408466;∈&#3627408452;−{0}/ &#3627408485;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408485;=&#3627408485;
&#3627408485;∗&#3627408466;=&#3627408485; &#3627408466;∗&#3627408485;=&#3627408485; &#3627408485;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408485;
&#3627408485;+
1
&#3627408466;
=&#3627408485;
1
&#3627408466;
=0 …..no existe un elemento neutro.

ELEMENTO SIMETRICO

7. La función f: ℝ → ℝ es una ley de composición interna en ℝ definida por f(a,b) = a + b
2
. ¿Es
asociativo, conmutativo y/o admite?
(&#3627408467;(&#3627408462;)∗&#3627408467;(&#3627408463;))=&#3627408467;(&#3627408462;,&#3627408463;)
SOLUCION
ASOCIATIVA
∀&#3627408467;(&#3627408462;),&#3627408467;(&#3627408463;),&#3627408467;(&#3627408464;)??????&#3627408453;/ (&#3627408467;(&#3627408462;)∗&#3627408467;(&#3627408463;))∗&#3627408467;(&#3627408464;)=&#3627408467;(&#3627408462;)∗(&#3627408467;(&#3627408463;)∗&#3627408467;(&#3627408464;))

(&#3627408467;(&#3627408462;)∗&#3627408467;(&#3627408463;))∗&#3627408467;(&#3627408464;)=&#3627408467;(&#3627408462;)∗(&#3627408467;(&#3627408463;)∗&#3627408467;(&#3627408464;))
(&#3627408462;+&#3627408463;
2
)∗&#3627408467;(&#3627408464;)≠&#3627408467;(&#3627408462;)∗(&#3627408463;+&#3627408464;
2
)
(&#3627408462;+&#3627408463;
2
)+&#3627408464;
2
≠&#3627408462;+(&#3627408463;+&#3627408464;
2
)
2

∗&#3627408475;&#3627408476; &#3627408464;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;??????&#3627408479;??????&#3627408462; &#3627408473;&#3627408462; &#3627408462;&#3627408480;&#3627408476;&#3627408464;??????&#3627408462;&#3627408481;??????&#3627408483;??????&#3627408465;&#3627408462;&#3627408465;


CONMUTATIVO
solucion
∀&#3627408467;(&#3627408462;),&#3627408467;(&#3627408463;)∈&#3627408453;/&#3627408467;(&#3627408462;)∗&#3627408467;(&#3627408463;)=&#3627408467;(&#3627408463;)∗&#3627408467;(&#3627408462;
DEMOSTACION
&#3627408467;(&#3627408462;)∗&#3627408467;(&#3627408463;)=&#3627408467;(&#3627408463;)∗&#3627408467;(&#3627408462;)
&#3627408462;+&#3627408463;
2
≠&#3627408463;+&#3627408462;
2


∗&#3627408475;&#3627408476; &#3627408464;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;&#3627408466; &#3627408473;&#3627408462; &#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408474;&#3627408482;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408481;??????&#3627408483;??????&#3627408465;&#3627408462;&#3627408465;

8. En ℚ
*
se define ⋇ tal que a⋇b = 3ab. Verificar que ⋇ es asociativo, con elemento neutro,
conmutativo y además todos los elementos inversibles.
ASOCIATIVO
∀&#3627408462;,&#3627408463;,&#3627408464;??????&#3627408452;−{0}/ (&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)

DEMOSTRACION
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
3&#3627408462;&#3627408463;∗&#3627408464;=&#3627408462;∗3&#3627408463;&#3627408464;
3(3&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;)=3(&#3627408462;3&#3627408463;&#3627408464;)
9&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;=9&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;

✓ Cumple con la
asociatividad Q-{0}

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


CONMUTATIVA
∀&#3627408462;,&#3627408463;??????&#3627408452;−{0}/ &#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
DEMOSTRACION
&#3627408462;∗&#3627408463;=&#3627408463;∗&#3627408462;
3&#3627408462;&#3627408463;=3&#3627408463;&#3627408462;

✓ SI CUMPLE LA CONMUTATIVA EN Q -{0}



ELEMENTO NEUTRO
∀&#3627408462;??????&#3627408452;−{0},∃!&#3627408466;∈&#3627408452;−{0}/ &#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408462;=&#3627408462;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408462; &#3627408466;∗&#3627408462;=&#3627408462; &#3627408462;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408462;
3&#3627408462;&#3627408466;=&#3627408462; 3&#3627408466;&#3627408462;=&#3627408462; 3&#3627408462;&#3627408466;=3&#3627408466;&#3627408462;
&#3627408466;=
1
3
&#3627408466;=
1
3


Reemplazando Reemplazando Reemplazando
3&#3627408462;(
1
3
)=&#3627408462; 3(
1
3
)&#3627408462;=&#3627408462; 3&#3627408462;(
1
3
)=3(
1
3
)&#3627408462;
&#3627408462;=&#3627408462; &#3627408462;=&#3627408462; &#3627408462;=&#3627408462;

✓ Cumple con la propiedad del elemento neutro en &#3627408452;−{0}

ELEMENTO SIMETRICO
∀&#3627408462;??????&#3627408452;−{0}∃!&#3627408462;

∈&#3627408452;−{0}/ &#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408462;

∗&#3627408462;=&#3627408466;
&#3627408439;&#3627408440;&#3627408448;&#3627408450;&#3627408454;&#3627408455;&#3627408453;??????&#3627408438;??????&#3627408450;&#3627408449;
&#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408466; &#3627408462;

∗&#3627408462;=&#3627408466; &#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408462;

∗&#3627408462;
3&#3627408462;&#3627408462;

=
1
3
3&#3627408462;

&#3627408462;=
1
3

&#3627408462;

=
1
9&#3627408462;
&#3627408462;

=
1
9&#3627408462;


Reemplazando
3&#3627408462;(
1
9&#3627408462;
)=
1
3


1
3
=
1
3

Por lo tanto tiene simetría en Q-{0}.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


9. En ℕ se definen las leyes de composición interna ⋇ y ⨁ mediante:
x ⋇ y = x
x ⨁ y = x + y Estudiar sus propiedades de ⋇
respecto de ⨁

SOLUCION

ASOCIATIVA
∀&#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408487;??????&#3627408449; /(&#3627408485;∗&#3627408486;)⨁&#3627408487;=&#3627408485;⨁(&#3627408486;∗&#3627408487;)
Demostración
(&#3627408485;∗&#3627408486;)⨁&#3627408487;=&#3627408485;⨁(&#3627408486;∗&#3627408487;)
&#3627408485;⨁z=x⨁y
&#3627408485;+&#3627408487;≠&#3627408485;+&#3627408486;
∗ →⨁
&#3627408475;&#3627408476; &#3627408480;&#3627408466;&#3627408479;??????&#3627408462; &#3627408462;&#3627408480;&#3627408476;&#3627408464;??????&#3627408462;&#3627408481;??????&#3627408483;&#3627408476;

CONMUTATIVA
&#3627408485;⨁y=y⨁&#3627408485;
&#3627408485;+&#3627408486;=&#3627408486;+&#3627408485;
Si cumpliría la conmutatividad


10. Crear una tabla de composición de funciones del conjunto A = {1,2,3} en sí mismo.
SOLUCION
??????&#3627408485;??????−>??????
??????={1,2,3}
??????={1,2,3}


A x A

1

2

3

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

3

((3,1)

(3,2)

(3,3)


ELEMENTO NEUTRO
∀&#3627408485;∈&#3627408449;,∃!&#3627408466;∈&#3627408449;/ &#3627408485;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408485;=&#3627408485;
Demostración
&#3627408485;∗&#3627408466;=&#3627408466;∗&#3627408485;=&#3627408485;
Reemplazando
&#3627408485;∗&#3627408466;=&#3627408485;
&#3627408485;∗&#3627408486;=&#3627408485;&#3627408485;=&#3627408485;
NO es tiene elemento neutro , por lo que se
considera
Que tampoco existe un elemento simétrico.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

11. Crear una tabla de composición de funciones del conjunto A = {a,b} en sí mismo


°
F1 F2 F3 F4
F1 A A a A
F2 A A b B
F3 B B b A
F4 B b b B



12. Sea U un conjunto universal. Sea P(U) la familia de todos los conjuntos de U. ¿La intersección,
unión, diferencia de conjuntos y diferencia simétrica se hallan totalmente definidas? ¿Por qué?

✓ Si es unión porque es subconjunto a otro subconjunto
∀a, b, c ∈ P(u)/ AuB =C⇒ C ∈ P(u)
✓ Intersección ∀a, b, c ∈ P(u)/ A∩B =C⇒ C ∈ P(u)
✓ Diferencia ∀a, b, c ∈ P(u)/ A−B =C⇒ C ∈ P(u)

Entonces concluiremos diciendo que si están definidas.

13. ¿La adición y sustracción de ángulos son leyes de composición interna? ¿Por qué?

Rpta: La adición y sustracción son leyes de composición interna, porque al sumar o restar
dichos ángulos se obtiene otro ángulo.

14. Sea S un conjunto con exactamente un elemento ¿Cuántas operaciones binarias diferentes
pueden definirse en S? Respóndase a la pregunta si S tiene 2 elementos, si tiene 3 elementos,
si tiene “n” elementos.
SOLUCION:
Con un elemento 1 …….necesariamente tendría que haber un elemento mas para poder
operar
Con dos elementos 2 …..se podria operad de dos maneras distintas
Con tres elementos 3 ……se odria operar de tres formas distintas
Con n elementos…………..se operaria de n formas.
??????&#3627408485;??????−>??????
??????={&#3627408462;,&#3627408463;}
??????={&#3627408462;,&#3627408463;}
??????&#3627408485;??????={(&#3627408462;,&#3627408462;)(&#3627408462;,&#3627408463;)(&#3627408463;,&#3627408462;)(&#3627408463;,&#3627408463;)}
&#3627408441;1={(&#3627408462;,&#3627408462;)(&#3627408463;,&#3627408462;)}
&#3627408441;2={(&#3627408462;,&#3627408462;)(&#3627408463;,&#3627408463;)}
&#3627408441;3 ={(&#3627408462;,&#3627408463;)(&#3627408463;,&#3627408462;)}
&#3627408441;4 ={(&#3627408462;,&#3627408463;)(&#3627408463;,&#3627408463;)}

Evaluando con respecto a “a”.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

15. Pruébese que si ⋇ es una operación interna en un conjunto A, asociativa y conmutativa,
entonces (a⋇b) ⋇ (c⋇d) = [(d⋇c) ⋇ a] ⋇ b; ∀a,b,c,d ∈A. Supóngase que la ley asociativa se
cumple, como en la definición, sólo para ternas, esto es, supóngase sólo (x⋇y) ⋇ z = x⋇(y⋇z);
∀x,y,z ∈A
(a ⋇ b) ⋇ (c ⋇ d) = [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b
(a ⋇ b) ⋇ (d ⋇ c) = [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b conmutando
(d ⋇ c) ⋇ (a ⋇ b) = [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b conmutando
[(d ⋇ c) ⋇ a ] ⋇ b= [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b asociativa

16. Sea ∗ una operación binaria interna definida en ℚ por: &#3627408462;∗&#3627408463;=(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408462;): Hallar el valor de
verdad de las siguientes afirmaciones:

a) ∗ Es Conmutativa=(v)

SOLUCIÓN.

∀&#3627408514;,&#3627408515;∈ℚ &#3627408514;∗&#3627408515;=&#3627408515;∗&#3627408514;
&#3627408514;∗&#3627408515;=&#3627408515;∗&#3627408514;
(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408462;)=(&#3627408463;
2
−&#3627408462;)(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)
Conmutativa multiplicativa en los Q.
(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408462;)=(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408462;)
➢ &#3627408518;&#3627408532; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408526;&#3627408534;&#3627408533;&#3627408514;&#3627408533;??????&#3627408535;&#3627408514;.

b) ∃&#3627408524;∈ℚ (
&#3627409359;
&#3627408524;
)(&#3627408514;∗&#3627408515;)=(&#3627408524;&#3627408514;)∗&#3627408515;

SOLUCIÓN.
(
&#3627409359;
&#3627408524;
)(&#3627408514;∗&#3627408515;)=(&#3627408524;&#3627408514;)∗&#3627408515;→(F)
(
1
&#3627408472;
)(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408462;)=((&#3627408472;&#3627408462;)
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408472;&#3627408462;)
(
1
&#3627408472;
)(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408462;)=((&#3627408472;&#3627408462;)
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408472;&#3627408462;)
(&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408462;)
&#3627408472;
=(&#3627408472;
2
&#3627408462;
2
−&#3627408463;)(&#3627408463;
2
−&#3627408472;&#3627408462;)
➢ &#3627408527;&#3627408528; &#3627408532;&#3627408528;&#3627408527; ??????&#3627408520;&#3627408534;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408532;.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

c) 4∗(3∗1)=32.252=&#3627408509;
SOLUCIÓN:
4∗((3
2
−1)(1
2
−3))=32.252
4∗((8)(−2))=32.252
4∗−16=32.252
(4
2
−(−16))((−16)
2
−4)=32.252
(16+16)(256−4)=32.252
&#3627409361;&#3627409360;.&#3627409360;&#3627409363;&#3627409360;=&#3627409361;&#3627409360;.&#3627409360;&#3627409363;&#3627409360;
➢ ??????&#3627408532; &#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408528;



17. En ℚse define la operación ∗ por:a∗b=ab+a−b. Hallar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
a) ∀&#3627408514;,&#3627408515;,∈ℚ;(&#3627408514;∗&#3627408515;)∈ℚ

SOLUCIÓN:
(&#3627408514;∗&#3627408515;)∈ℚ
&#3627408514;&#3627408515;+&#3627408514;−&#3627408515;∈ℚ
(&#3627408514;&#3627408515;−&#3627408515;)+&#3627408514;∈ℚ
&#3627408515;(&#3627408514;−&#3627409359;)+&#3627408514;∈ℚ
??????&#3627408410; &#3627408428;&#3627408424;&#3627408421;&#3627408430;&#3627408412;&#3627408418;&#3627408424;&#3627408423; &#3627408425;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408429;&#3627408414;&#3627408423;&#3627408414;&#3627408412;&#3627408414; &#3627408410; &#3627408421;&#3627408424;&#3627408428; ℚ
➢ &#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408528;.
b) ∗&#3627408414;&#3627408428; &#3627408410;&#3627408428;&#3627408424;&#3627408412;&#3627408418;&#3627408410;&#3627408429;&#3627408418;&#3627408431;&#3627408410;.
SOLUCIÓN:
∀&#3627408514;,&#3627408515;,&#3627408516;∈ℚ (&#3627408514;∗&#3627408515;)∗&#3627408516;=&#3627408514;∗(&#3627408515;∗&#3627408516;).
(&#3627408462;∗&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;∗&#3627408464;)
(&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;−&#3627408463;)∗&#3627408464;=&#3627408462;∗(&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;−&#3627408464;)
(&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;−&#3627408463;)&#3627408464;+(&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;−&#3627408463;)−&#3627408464;=&#3627408462;(&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;−&#3627408464;)+&#3627408462;−(&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;−&#3627408464;)
&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408464;−&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;−&#3627408463;−&#3627408464;=&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408463;−&#3627408462;&#3627408464;+&#3627408462;−&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;−&#3627408464;
&#3627408514;&#3627408516;−&#3627408515;=−&#3627408514;&#3627408516;+&#3627408515;

??????&#3627408532; &#3627408519;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408532;&#3627408528;,&#3627408501;&#3627408528; &#3627408518;&#3627408532; &#3627408514;&#3627408532;&#3627408528;&#3627408516;??????&#3627408514;&#3627408533;??????&#3627408535;&#3627408514;.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


c) ∃!&#3627408518;∈ℚ,&#3627408414;&#3627408421;&#3627408414;&#3627408422;&#3627408414;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408423;&#3627408414;&#3627408430;&#3627408429;&#3627408427;&#3627408424; &#3627408425;&#3627408410;&#3627408427;&#3627408410;∗
SOLUCIÓN:
∀&#3627408514;,∈ℚ,∃!&#3627408518;∈ℚ &#3627408514;∗&#3627408518;=&#3627408518;∗&#3627408514;=&#3627408514;.
SOLUCIÓN:
??????) &#3627408514;∗&#3627408518;=&#3627408514;
&#3627408462;&#3627408466;+&#3627408462;−&#3627408466;=&#3627408462;
&#3627408466;(&#3627408462;−1)=1
&#3627408518;=
&#3627409359;
(&#3627408514;−&#3627409359;)
∉ℚ
????????????) &#3627408518;∗&#3627408514;=&#3627408514;
&#3627408466;&#3627408462;+&#3627408466;−&#3627408462;=&#3627408462;
&#3627408466;(&#3627408462;+1)=2&#3627408462;
&#3627408518;=
&#3627409360;&#3627408514;
&#3627408514;+&#3627409359;
∉ℚ
??????????????????) &#3627408514;∗&#3627408518;=&#3627408518;∗&#3627408514;
&#3627408462;&#3627408466;+&#3627408462;−&#3627408466;=&#3627408466;&#3627408462;+&#3627408466;−&#3627408462;
&#3627408514;−&#3627408518;≠&#3627408518;−&#3627408514;
??????&#3627408424; &#3627408417;&#3627408410;?????? &#3627408414;&#3627408421;&#3627408414;&#3627408422;&#3627408414;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408423;&#3627408414;&#3627408430;&#3627408429;&#3627408427;&#3627408424; &#3627408425;&#3627408410;&#3627408427;&#3627408410;∗
➢ ??????&#3627408532; &#3627408519;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408532;&#3627408528;.

d) &#3627408516;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408514; &#3627408537;∈ℚ−{&#3627409359;} &#3627408425;&#3627408424;&#3627408428;&#3627408414;&#3627408414; &#3627408418;&#3627408423;&#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408428;&#3627408424; &#3627408425;&#3627408410;&#3627408427;&#3627408410;∗

∀&#3627408537;,∈ℚ,∃!&#3627408537;′∈ℚ &#3627408537;∗&#3627408537;′=&#3627408537;′∗&#3627408537;=&#3627408518;.

SOLUCIÓN:
??????) &#3627408537;∗&#3627408537;′=&#3627408518;
&#3627408485;&#3627408485;

+&#3627408485;−&#3627408485;′=
1
(&#3627408485;−1)

&#3627408485;

(&#3627408485;−1)=
1
(&#3627408485;−1)
−&#3627408485;
&#3627408485;

(&#3627408485;−1)=
1
(&#3627408485;−1)
−&#3627408485;(&#3627408485;−1)
&#3627408485;

(&#3627408485;−1)=
1−&#3627408485;
2
+1
(&#3627408485;−1)

&#3627408537;

=
&#3627409360;−&#3627408537;
&#3627409360;
(&#3627408537;−&#3627409359;)(&#3627408537;−&#3627409359;)
∈ℚ−{&#3627409359;}
➢ &#3627408425;&#3627408424;&#3627408428;&#3627408414;&#3627408414; &#3627408414;&#3627408421;&#3627408414;&#3627408422;&#3627408414;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408418;&#3627408423;&#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408428;&#3627408424; &#3627408425;&#3627408410;&#3627408427;&#3627408410;∗
????????????) &#3627408537;

∗&#3627408537;=&#3627408518;
&#3627408485;

∗&#3627408485;=&#3627408466;

AL
2021- BICENTENARIO -PERU
&#3627408485;

&#3627408485;+&#3627408485;

−&#3627408485;=
2&#3627408485;
&#3627408485;+1

&#3627408485;

(&#3627408485;+1)=
2&#3627408485;
(&#3627408485;+1)
+&#3627408485;
&#3627408485;

(&#3627408485;+1)=
2&#3627408485;
(&#3627408485;+1)
+&#3627408485;(&#3627408485;+1)
&#3627408485;

=
2&#3627408485;+&#3627408485;
2
+1
(&#3627408485;+1)(&#3627408485;+1)

&#3627408485;

=
&#3627408485;
2
+2&#3627408485;+1
(&#3627408485;+1)(&#3627408485;+1)


&#3627408485;

=
(&#3627408485;+1)(&#3627408485;+1)
(&#3627408485;+1)(&#3627408485;+1)

&#3627408537;

=&#3627409359;∉ℚ−{&#3627409359;}
➢ ??????&#3627408424; &#3627408425;&#3627408424;&#3627408428;&#3627408414;&#3627408414; &#3627408414;&#3627408421;&#3627408414;&#3627408422;&#3627408414;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408418;&#3627408423;&#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408428;&#3627408424; &#3627408425;&#3627408410;&#3627408427;&#3627408410;∗
??????????????????) &#3627408537;

∗&#3627408537;=&#3627408537;∗&#3627408537;


2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)(&#3627408485;−1)
∗&#3627408485;=&#3627408485;∗
2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)(&#3627408485;−1)

2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)
2
&#3627408485;+
2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)
2
−&#3627408485;=&#3627408485;
2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)
2
+&#3627408485;−(
2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)
2
)
2&#3627408485;−&#3627408485;
3
(&#3627408485;−1)
2
+
2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)
2
−&#3627408485;=
2&#3627408485;−&#3627408485;
3
(&#3627408485;−1)
2
+&#3627408485;−(
2−&#3627408485;
2
(&#3627408485;−1)
2
)


&#3627409360;−&#3627408537;
&#3627409360;
(&#3627408537;−&#3627409359;)
&#3627409360;
−&#3627408537;=&#3627408537;−(
&#3627409360;−&#3627408537;
&#3627409360;
(&#3627408537;−&#3627409359;)
&#3627409360;
)∈ℚ−{&#3627409359;}
➢ ??????&#3627408424;&#3627408428;&#3627408414;&#3627408414; &#3627408414;&#3627408421;&#3627408414;&#3627408422;&#3627408414;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408418;&#3627408423;&#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408428;&#3627408424; &#3627408425;&#3627408410;&#3627408427;&#3627408410;∗

18. En el conjunto A = {1;2;3;4} se define una operación ⋇ por medio de una tabla tal que,
los elementos de cada columna y cada fila son diferentes, tiene a 4 como elemento neutro
y cada elemento es su propio inverso. Determinar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
SOLUCIÓN:
⋇ 1 2 3 4
1 4 3 2 1
2 3 4 1 2
3 2 1 4 3
4 1 2 3 4

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

a) (&#3627409360;⋇&#3627409361;)⋇(&#3627409360;⋇&#3627409362;) = &#3627409360;

SOLUCIÓN:
(&#3627409360;⋇&#3627409361;)⋇(&#3627409360;⋇&#3627409362;)=&#3627409360;
1⋇2=2
&#3627409361;≠&#3627409360;
➢ ??????&#3627408428; &#3627408415;&#3627408410;&#3627408421;&#3627408428;&#3627408424; &#3627408425;&#3627408410;&#3627408427;&#3627408410;∗
b) ⋇ &#3627408518;&#3627408532; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408526;&#3627408534;&#3627408533;&#3627408514;&#3627408533;??????&#3627408535;&#3627408528;
SOLUCIÓN:








➢ ??????&#3627408428; &#3627408412;&#3627408424;&#3627408423;&#3627408422;&#3627408430;&#3627408429;&#3627408410;&#3627408429;&#3627408418;&#3627408431;&#3627408410;,&#3627408425;&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408414;&#3627408428; &#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408413;&#3627408410;&#3627408413;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408424;


c) (&#3627409361;⋇&#3627409360;’ )⋇&#3627409361;’ = &#3627409360;
SOLUCIÓN:
Calculemos la inversa.
&#3627409360;⋇&#3627409360;

=&#3627409362;
&#3627409360;⋇&#3627409360;=&#3627409362;

&#3627409361;⋇&#3627409361;

=&#3627409362;
&#3627409361;⋇&#3627409361;=&#3627409362;

(&#3627409361;⋇&#3627409360;’ )⋇&#3627409361;’ = &#3627409360;
(&#3627409359; )⋇&#3627409361;’ = &#3627409360;
(&#3627409359; )⋇&#3627409361;’ = &#3627409360;
&#3627409360; = &#3627409360;

➢ ??????&#3627408428; &#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408413;&#3627408410;&#3627408413;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408424;

⋇ 1 2 3 4
1 4 3 2 1
2 3 4 1 2
3 2 1 4 3
4 1 2 3 4

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


19. Sea ℚ* en donde se define la operación ⋇ por: a⋇b = 1/a + 1/b ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
a) Si a ⋇ (2/3) = 5 ⟶ ab = – 15/7
SOLUCIÓN:

a⋇ (
2
3
)= 5
1
&#3627408462;
+
1
(
2
3
)
= 5
1
&#3627408462;
+
3
2
= 5
2+3&#3627408462;
2&#3627408462;
= 5
2+3&#3627408462;= 10&#3627408462;
2= 7&#3627408462;
2
7
= &#3627408462;
??????&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424;:
&#3627408410;&#3627408411; = –
&#3627409359;&#3627409363;
&#3627409365;


.
b) ∀a,b ∈ℚ* / a⋇(b⋇c) = (a⋇b)⋇c
SOLUCIÓN:
&#3627408462;⋇(&#3627408463;⋇&#3627408464;) = (&#3627408462;⋇&#3627408463;)⋇&#3627408464;
&#3627408462;⋇(
1
&#3627408463;
+
1
&#3627408464;
)= (
1
&#3627408462;
+
1
&#3627408463;
)⋇&#3627408464;
&#3627408462;⋇(
&#3627408464;+&#3627408463;
&#3627408463;&#3627408464;
)= (
&#3627408463;+&#3627408462;
&#3627408462;&#3627408463;
)⋇&#3627408464;
1
&#3627408462;
+
1
(
&#3627408464;+&#3627408463;
&#3627408463;&#3627408464;
)
=
1
(
&#3627408463;+&#3627408462;
&#3627408462;&#3627408463;
)
+
1
&#3627408464;

1
&#3627408462;
+
&#3627408463;&#3627408464;
&#3627408464;+&#3627408463;
=
&#3627408462;&#3627408463;
&#3627408463;+&#3627408462;
+
1
&#3627408464;

1
&#3627408462;
+
&#3627408463;&#3627408464;
&#3627408464;+&#3627408463;
=
&#3627408462;&#3627408463;
&#3627408463;+&#3627408462;
+
1
&#3627408464;

&#3627408464;+&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
&#3627408462; (&#3627408464;+&#3627408463;)
=
&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;+&#3627408462;
(&#3627408463;+&#3627408462;)&#3627408464;


2
7
.b = – 15/7

2
7
.b = –
15
7

b = –
15
2

??????&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424;:
&#3627408410;&#3627408411; = – &#3627409359;&#3627409363;/&#3627409365;
2
7
.–
15
2
= – 15/7

15
7
= –
15
7


??????&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408414;&#3627408428; &#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408413;&#3627408410;&#3627408413;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408424;

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

&#3627408464;+&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
&#3627408462;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408463;
=
&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;+&#3627408462;
&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408464;


(&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408464;)(&#3627408464;+&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;)= (&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;+&#3627408462;)(&#3627408462;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408463;)
&#3627408463;&#3627408464;&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408464;&#3627408463;+&#3627408463;&#3627408464;&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408464;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408464;&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408464;&#3627408462;&#3627408463;= &#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;&#3627408462;&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408462;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408462;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408463;&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408462;&#3627408463;
&#3627408463;&#3627408464;&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408464;&#3627408463;+&#3627408463;&#3627408464;&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;= &#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408463;&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408462;&#3627408463;
&#3627408515;&#3627408516;
&#3627409360;
+&#3627408515;
&#3627409360;
&#3627408516;+&#3627408514;&#3627408515;
&#3627409360;
&#3627408516;
&#3627409360;
= &#3627408514;
&#3627409360;
&#3627408515;
&#3627409360;
&#3627408516;+&#3627408514;&#3627408515;
&#3627409360;
+&#3627408514;
&#3627409360;
&#3627408515;
&#3627408503;&#3627408528;&#3627408531; &#3627408525;&#3627408528; &#3627408533;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408528; &#3627408518;&#3627408532; &#3627408519;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408532;&#3627408528;.

c) &#3627408514;⋇&#3627408514; = &#3627408514; ⟷ &#3627408514;
&#3627409360;
= &#3627409360;
SOLUCIÓN:
&#3627408462;⋇&#3627408462; = &#3627408462;
1
&#3627408462;
+
1
&#3627408462;
= &#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408462;
&#3627408462;
2
= &#3627408462;
2&#3627408462;
&#3627408462;
2
= &#3627408462;

2 = &#3627408462;
2

2 = 2
??????&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408414;&#3627408428; &#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408413;&#3627408410;&#3627408413;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408424;


20. Sean ⊠ y ⊗ operaciones definidas en ℤ por: &#3627408462;⊠&#3627408463; = (&#3627408463; – &#3627408462;) /2; &#3627408462;⊗&#3627408463; = (&#3627408462;+
&#3627408463;) /2. Resolver la ecuación: 2 ⊠(3⊗&#3627408485;) = (&#3627408485;⊗11) ⊠6

SOLUCIÓN:
2 ⊠(3⊗&#3627408485;) = (&#3627408485;⊗11) ⊠6
2 ⊠
(3+&#3627408485;)
2
=
(&#3627408485;+11)
2
⊠6

(3+&#3627408485;)
2

2
1
2
=
6
1

(&#3627408485;+11)
2
2


(3+&#3627408485;)−4
2
2
=
12− (&#3627408485;+11)
2
2

(3+&#3627408485;)−4
4
=
12− (&#3627408485;+11)
4


(3+&#3627408485;)−4=12− (&#3627408485;
+11)

&#3627408485;−1=1−&#3627408485;
&#3627409360;&#3627408537;=&#3627409360;
&#3627408537;=&#3627409359;

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

21. En el conjunto ℚ, definimos las siguientes operaciones: &#3627408462;⊠&#3627408463; = (1/2)&#3627408462; + 3&#3627408463;; &#3627408462;⊗
&#3627408463;= 3&#3627408462; + (3/2)&#3627408463;; &#3627408462;⊛&#3627408463; = 5&#3627408462; – 3&#3627408463;.&#3627408506;?????? &#3627408537;⊠&#3627408537; = &#3627409367;,&#3627408538;⊗&#3627408538; = &#3627409360;&#3627409359;. Hallar el valor
de &#3627408537;⊛&#3627408538;.

SOLUCIÓN:

a) &#3627408537;⊠&#3627408537; = &#3627409367;
(
1
2
)&#3627408485; + 3&#3627408485;=9
&#3627408485;
2
+ 3&#3627408485;=9
&#3627408485;+6&#3627408485;
2
=9
&#3627408485;+6&#3627408485;
2
=9
&#3627408485;+6&#3627408485;=18
&#3627408485;=
18
7


22. Se define la operación ⊛ en ℚ por: &#3627408462;⊛&#3627408463; = &#3627408462; + &#3627408463; – &#3627408462;&#3627408463;. Hallar el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones:
a. El cero es el elemento neutro en ⊛

SOLUCIÓN
∀&#3627408514;,∈ℚ,∃!&#3627408518;∈ℚ &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408518;⊛&#3627408514;=&#3627408514;.
i) &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408514;
&#3627408462;+&#3627408466;−&#3627408462;&#3627408466;=&#3627408462;
&#3627408466;=
0
(1−&#3627408462;)

&#3627408466;=
0
(1−&#3627408462;)
ℚ &#3627408538;&#3627408514; &#3627408530;&#3627408534;&#3627408518; &#3627408514;≠&#3627409359;
&#3627408466;=0
??????&#3627408532; &#3627408519;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408532;&#3627408528;,&#3627408529;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408528; "&#3627408514;" &#3627408517;&#3627408518;&#3627408515;&#3627408518; &#3627408532;&#3627408518;&#3627408531; &#3627408517;??????&#3627408519;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408518; &#3627408514; &#3627409359;

&#3627408518;⊛&#3627408514;=&#3627408514;
&#3627408466;+&#3627408462;−&#3627408466;&#3627408462;=&#3627408462;
&#3627408466;=
0
(1−&#3627408462;)
∉ℚ &#3627408538;&#3627408514; &#3627408530;&#3627408534;&#3627408518; &#3627408514;≠&#3627409359;
&#3627408466;=0
??????&#3627408532; &#3627408519;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408532;&#3627408528;,&#3627408529;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408528; "&#3627408514;" &#3627408517;&#3627408518;&#3627408515;&#3627408518; &#3627408532;&#3627408518;&#3627408531; &#3627408517;??????&#3627408519;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408518; &#3627408514; &#3627409359;

&#3627408515;).&#3627408538;⊗&#3627408538; = &#3627409360;&#3627409359;.
3&#3627408486; + (
3
2
)&#3627408486;=21
3&#3627408486; +
3&#3627408486;
2
=21
6&#3627408486;+3&#3627408486;
2
=21
6&#3627408486;+3&#3627408486;=42
9&#3627408486;=42
&#3627408486;=
42
9



&#3627408516;).&#3627408537;⊛&#3627408538;.
5&#3627408485; – 3&#3627408486;
5(
18
7
) – 3(
42
9
)
90
7
– 14
90
7
– 14
90−98
7

−&#3627409366;
&#3627409365;

AL
2021- BICENTENARIO -PERU
ii) &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408518;⊛&#3627408514;
&#3627408462;+&#3627408466;−&#3627408462;&#3627408466;= &#3627408466;+&#3627408462;−&#3627408466;&#3627408462;
0= 0
??????&#3627408532; &#3627408519;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408532;&#3627408528;

b. (&#3627408514; + &#3627408515;) ⊛ (&#3627408514; – &#3627408515;) = &#3627408514;
&#3627409360;
+ &#3627409360;&#3627408514; – &#3627409360;&#3627408515;
&#3627409360;

SOLUCIÓN
(&#3627408514; + &#3627408515;) ⊛ (&#3627408514; – &#3627408515;)= &#3627408514;
&#3627409360;
+ &#3627409360;&#3627408514; – &#3627409360;&#3627408515;
&#3627409360;

(&#3627408462; + &#3627408463;)+(&#3627408462; – &#3627408463;)−(&#3627408462; + &#3627408463;)(&#3627408462; – &#3627408463;)= &#3627408514;
&#3627409360;
+ &#3627409360;&#3627408514; – &#3627409360;&#3627408515;
&#3627409360;

&#3627408462; + &#3627408463;+&#3627408462;−&#3627408463;−(&#3627408462; + &#3627408463;)(&#3627408462; – &#3627408463;)= &#3627408514;
&#3627409360;
+ &#3627409360;&#3627408514; – &#3627409360;&#3627408515;
&#3627409360;

2&#3627408462;−(&#3627408462;
2
−&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;−&#3627408463;
2
)= &#3627408514;
&#3627409360;
+ &#3627409360;&#3627408514; – &#3627409360;&#3627408515;
&#3627409360;

−&#3627408462;
2
+2&#3627408462;+&#3627408463;
2
≠ &#3627408514;
&#3627409360;
+ &#3627409360;&#3627408514; – &#3627409360;&#3627408515;
&#3627409360;

??????&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408414;&#3627408428; &#3627408415;&#3627408410;&#3627408421;&#3627408428;&#3627408424;

c. &#3627408506;?????? &#3627408537;⊛&#3627409361; = &#3627409364; ⟶ &#3627408537; = – &#3627409361;/&#3627409360;
SOLUCIÓN

&#3627408537;⊛&#3627409361; = &#3627409364;
&#3627408485;+3−&#3627408485;3 = 6
&#3627408485;−3&#3627408485; = 6−3
−2&#3627408485; = 6−3
&#3627408485; = −3/2
??????&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408414;&#3627408428; &#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408413;&#3627408410;&#3627408413;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408424;
d. ⊛ es conmutativa
SOLUCIÓN

∀&#3627408514;,&#3627408515;,∈ℚ &#3627408514;⊛&#3627408515;=&#3627408515;⊛&#3627408514;
&#3627408462;+&#3627408463;−&#3627408462;&#3627408463; = &#3627408463;+&#3627408462; – &#3627408463;&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408463;−&#3627408462;&#3627408463; = &#3627408462;+&#3627408463; – &#3627408462;&#3627408463;
0= 0
??????&#3627408428; &#3627408412;&#3627408424;&#3627408423;&#3627408422;&#3627408430;&#3627408429;&#3627408410;&#3627408429;&#3627408418;&#3627408431;&#3627408410;,&#3627408425;&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408414;&#3627408428; &#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408413;&#3627408410;&#3627408413;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408424;.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU


23. Si en ℚ definimos la operación ⊛ por: &#3627408462;⊛&#3627408463; = &#3627408462;(1 – 2&#3627408463;) + &#3627408463;. Se afirman:
a. ∀&#3627408514;,&#3627408515;∈ℚ,&#3627408514;⊛&#3627408515; = &#3627408515;⊛&#3627408514;
SOLUCIÓN
&#3627408514;⊛&#3627408515; = &#3627408515;⊛&#3627408514;
&#3627408462;(1 – 2&#3627408463;)+ &#3627408463;=&#3627408463;(1−2&#3627408462;)+&#3627408462;
&#3627408462; – 2&#3627408463;&#3627408462;+ &#3627408463;=&#3627408463;−2&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;
&#3627408462;&#3627408463;=&#3627408462;&#3627408463;
??????&#3627408428; &#3627408412;&#3627408424;&#3627408423;&#3627408422;&#3627408430;&#3627408429;&#3627408410;&#3627408429;&#3627408418;&#3627408431;&#3627408410;,&#3627408425;&#3627408424;&#3627408427; &#3627408421;&#3627408424; &#3627408429;&#3627408410;&#3627408423;&#3627408429;&#3627408424; &#3627408414;&#3627408428; &#3627408431;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408413;&#3627408410;&#3627408413;&#3627408414;&#3627408427;&#3627408424;.
b. 0 &#3627408466;&#3627408480; &#3627408473;&#3627408462; ??????&#3627408465;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;??????&#3627408465;&#3627408462;&#3627408465; &#3627408477;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408462; ⊛ &#3627408486; ∀&#3627408462;∈ℚ
SOLUCIÓN
∀&#3627408514;,∈ℚ,∃!&#3627408518;∈ℚ &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408518;⊛&#3627408514;=&#3627408514;
i) &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408514;
&#3627408462;(1 – 2&#3627408466;)+ &#3627408466;=&#3627408462;
&#3627408462; – 2&#3627408466;&#3627408462;+ &#3627408466;=&#3627408462;
– 2&#3627408466;&#3627408462;+&#3627408466;=0
&#3627408466;(– 2&#3627408462;+1)=0
&#3627408466;=
0
(– 2&#3627408462;+1)
∉ℚ



ii) &#3627408518;⊛&#3627408514;=&#3627408514;
&#3627408466;(1 – 2&#3627408462;)+ &#3627408462;=&#3627408462;
&#3627408466; – 2&#3627408462;&#3627408466;+ &#3627408462;=&#3627408462;
– 2&#3627408466;&#3627408462;+&#3627408466;=0
&#3627408466;(– 2&#3627408462;+1)=0
&#3627408466;=
0
(– 2&#3627408462;+1)
∉ℚ
iii) &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408518;⊛&#3627408514;
&#3627408462;(1 – 2&#3627408466;)+ &#3627408466;=&#3627408466;(1 – 2&#3627408462;)+ &#3627408462;
&#3627408462; – 2&#3627408466;&#3627408462;+ &#3627408466;=&#3627408466; – 2&#3627408462;&#3627408466;+ &#3627408462;
0=0

&#3627409358; &#3627408527;&#3627408528; &#3627408518;&#3627408532; ??????&#3627408517;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517; &#3627408529;&#3627408514;&#3627408531;&#3627408514; ⊛,∀&#3627408514;∈ℚ

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

c. (1’ ⊛ 2)’ =
1
3

SOLUCIÓN
1(1 – 2.2 )′ + 2=
1
3

1(−3)′+2=
1
3

−1
3
+2=
1
3

−1+6
3
=
1
3

5
3

1
3


¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? ¿Por qué?
a. Es verdadero, porque cumple la propiedad conmutativa.
b. No es verdadero porque, no cumple el elemento neutro en los Q
c. No es verdadero, porque no se cumple la igualdad.


24. En ℚ definimos la operación ⊛ por: &#3627408462;⊛&#3627408463; = &#3627408462;+&#3627408463;+(1/5)&#3627408462;&#3627408463;. ¿Cuáles de las
afirmaciones siguientes son verdaderas?
a. La operación ⊛ es conmutativa
SOLUCIÓN
∀&#3627408514;,&#3627408515;∈ℚ,&#3627408514;⊛&#3627408515; = &#3627408515;⊛&#3627408514;
&#3627408462;⊛&#3627408463; = &#3627408463;⊛&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408463;+(
1
5
)&#3627408462;&#3627408463;=&#3627408463;+&#3627408462;+(
1
5
)&#3627408463;&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408463;+
&#3627408462;&#3627408463;
5
=&#3627408463;+&#3627408462;+
&#3627408463;&#3627408462;
5

&#3627408462;&#3627408463;=&#3627408462;&#3627408463;
&#3627408506;?????? &#3627408516;&#3627408534;&#3627408526;&#3627408529;&#3627408525;&#3627408518; &#3627408525;&#3627408514; &#3627408529;&#3627408531;&#3627408528;&#3627408529;??????&#3627408518;&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408526;&#3627408534;&#3627408533;&#3627408514;&#3627408533;??????&#3627408535;&#3627408514;,
&#3627408529;&#3627408528;&#3627408531; &#3627408525;&#3627408528; &#3627408533;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408528; &#3627408518;&#3627408532; &#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408528;.


b. La operación ⊛ es asociativa
SOLUCIÓN
∀&#3627408514;,&#3627408515;,&#3627408516;∈ℚ (&#3627408514;⊛&#3627408515;)⊛&#3627408516;=&#3627408514;⊛(&#3627408515;⊛&#3627408516;).
(&#3627408462;⊛&#3627408463;)⊛&#3627408464;=&#3627408462;⊛(&#3627408463;⊛&#3627408464;)

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

(&#3627408462;+&#3627408463;+(
1
5
)&#3627408462;&#3627408463;)⊛&#3627408464;=&#3627408462;⊛(&#3627408463;+&#3627408464;+(
1
5
)&#3627408463;&#3627408464;)

(&#3627408462;+&#3627408463;+
&#3627408462;&#3627408463;
5
)⊛&#3627408464;=&#3627408462;⊛(&#3627408463;+&#3627408464;+
&#3627408463;&#3627408464;
5
)
(
5&#3627408462;+5&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;
5
)+&#3627408464;+(
1
5
)(
5&#3627408462;+5&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;
5
)&#3627408464;=&#3627408462;+(
5&#3627408463;+5&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408464;
5
)+(
1
5
)&#3627408462;(
5&#3627408463;+5&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408464;
5
)
5&#3627408462;+5&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;
5
+&#3627408464;+(
5&#3627408462;&#3627408464;+5&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
25
)=&#3627408462;+
5&#3627408463;+5&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408464;
5
+(
5&#3627408463;&#3627408462;+5&#3627408464;&#3627408462;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
25
)
5&#3627408462;+5&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408463;+5&#3627408464;
5
+(
5&#3627408462;&#3627408464;+5&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
25
)=
5&#3627408462;+5&#3627408463;+5&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408464;
5
+(
5&#3627408463;&#3627408462;+5&#3627408464;&#3627408462;+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
25
)
5(&#3627408462;+&#3627408463;+&#3627408464;)+&#3627408462;&#3627408463;
5
+(
5(&#3627408462;&#3627408464;+&#3627408463;&#3627408464;)+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
25
)=
5(&#3627408462;+&#3627408463;+&#3627408464;)+&#3627408463;&#3627408464;
5
+(
5(&#3627408462;&#3627408463;+&#3627408462;&#3627408464;)+&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
25
)
&#3627408449;&#3627408476; &#3627408464;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;&#3627408466; &#3627408473;&#3627408462; &#3627408477;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408477;??????&#3627408466;&#3627408465;&#3627408462;&#3627408465; &#3627408462;&#3627408480;&#3627408476;&#3627408464;??????&#3627408462;&#3627408481;??????&#3627408483;,&#3627408477;&#3627408476;&#3627408479; &#3627408473;&#3627408476; &#3627408481;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476; &#3627408466;&#3627408480; &#3627408467;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408480;&#3627408476;.

c. 0 es el elemento neutro identidad
SOLUCIÓN
∀&#3627408514;,∈ℚ,∃!&#3627408518;∈ℚ &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408518;⊛&#3627408514;=&#3627408514;
SOLUCIÓN
i) &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408514;
&#3627408462;+&#3627408466;+(
1
5
)&#3627408462;&#3627408466;=&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408466;+
&#3627408462;&#3627408466;
5
=&#3627408462;


5&#3627408462;+5&#3627408466;+&#3627408462;&#3627408466;
5
=&#3627408462;
5&#3627408462;+5&#3627408466;+&#3627408462;&#3627408466;=5&#3627408462;
&#3627408466;(5+&#3627408462;)=0
&#3627408466;=
0
(5+&#3627408462;)
∉ℚ,&#3627408514;≠−&#3627409363;
ii) &#3627408518;⊛&#3627408514;=&#3627408514;
&#3627408466;+&#3627408462;+(
1
5
)&#3627408466;&#3627408462;=&#3627408462;
&#3627408466;+&#3627408462;+
&#3627408466;&#3627408462;
5
=&#3627408462;
5&#3627408466;+5&#3627408462;+&#3627408466;&#3627408462;
5
=&#3627408462;
5&#3627408466;+5&#3627408462;+&#3627408466;&#3627408462;=5&#3627408462;
&#3627408466;(5+&#3627408462;)=0

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

&#3627408466;=
0
(5+&#3627408462;)
∉ℚ,&#3627408514;≠−&#3627409363;

iii) &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408518;⊛&#3627408514;
&#3627408462;+&#3627408466;+(
1
5
)&#3627408462;&#3627408466;=&#3627408466;+&#3627408462;+(
1
5
)&#3627408466;&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408466;+
&#3627408462;&#3627408466;
5
=&#3627408466;+&#3627408462;+
&#3627408466;&#3627408462;
5

0=0
&#3627408501;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408534;&#3627408526;&#3627408529;&#3627408525;&#3627408518; &#3627408518;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408526;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408528; ??????&#3627408517;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408533;??????&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517; &#3627408529;&#3627408514;&#3627408531;&#3627408514; ⊛

d. ∀&#3627408514;∈ℚ,∃&#3627408514;’∈ℚ
∀&#3627408514;,∈ℚ,∃!&#3627408514;′∈ℚ &#3627408514;⊛&#3627408514;′=&#3627408514;′⊛&#3627408514;=&#3627408518;
SOLUCIÓN

i) &#3627408514;⊛&#3627408514;′=&#3627408518;
&#3627408462;+&#3627408462;′+(
1
5
)&#3627408462;&#3627408462;′=
0
(5+&#3627408462;)

&#3627408462;+&#3627408462;′+
&#3627408462;&#3627408462;′
5
=
0
(5+&#3627408462;)

5&#3627408462;+5&#3627408462;

+&#3627408462;&#3627408462;′
5
=
0
(5+&#3627408462;)

&#3627408462;

(5+&#3627408462;)=
0
(5+&#3627408462;)
−5&#3627408462;
&#3627408462;

=
0
(5+&#3627408462;)
2
−5&#3627408462;,∉ℚ,&#3627408514;≠−&#3627409363;


ii) &#3627408514;′⊛&#3627408514;=&#3627408518;
&#3627408462;

+&#3627408462;+(
1
5
)&#3627408462;′&#3627408462;=
0
(5+&#3627408462;)

&#3627408462;

+&#3627408462;+
&#3627408462;′&#3627408462;
5
=
0
(5+&#3627408462;)

5&#3627408462;

+5&#3627408462;+&#3627408462;&#3627408462;′
5
=
0
(5+&#3627408462;)

&#3627408462;

(5+&#3627408462;)=
0
(5+&#3627408462;)
−5&#3627408462;

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

&#3627408462;

=
0
(5+&#3627408462;)
2
−5&#3627408462;,∉ℚ,&#3627408514;≠−&#3627409363;


iii) &#3627408514;⊛&#3627408514;′=&#3627408514;′⊛&#3627408514;

&#3627408462;+&#3627408462;

+(
1
5
)&#3627408462;&#3627408462;

=&#3627408462;

+&#3627408462;+(
1
5
)&#3627408462;′&#3627408462;
&#3627408462;+&#3627408462;

+
&#3627408462;&#3627408462;

5
=&#3627408462;

+&#3627408462;+
&#3627408462;′&#3627408462;
5

0=0

&#3627408501;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408534;&#3627408526;&#3627408529;&#3627408525;&#3627408518; &#3627408518;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408526;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408528; &#3627408532;??????&#3627408526;&#3627408518;&#3627408533;&#3627408531;??????&#3627408516;&#3627408528; &#3627408529;&#3627408514;&#3627408531;&#3627408514; ⊛

25. En el conjunto A = {1;2;3;4} definimos la operación ⊛ tal que 3 es la identidad, cada
elemento es su propio inverso y los elementos (dé los resultados en una tabla) de cada
fila y cada columna son diferentes. Si a es la solución de la ecuación (x⊛3)’ = (2⊛4’)’
; hallar el valor de: [(a⊛2)’ ⊛ (a’ ⊛ 3’)] ’

SOLUCIÓN
⊛ 1 2 3 4
1 3 4 1 2
2 4 3 2 1
3 1 2 3 4
4 2 1 4 3

(&#3627408537;⊛&#3627409361;)’ = (&#3627409360;⊛&#3627409362;’)′
(&#3627408485;⊛3)’ = (2⊛4)′
(&#3627408485;⊛3)’ = (1)′
(&#3627408485;⊛3)’ = 3
Cuando “x”=3
(3⊛3)’ = 3
(3)’ = 3
3= 3
hallar el valor de: [(&#3627408462;⊛2)’ ⊛ (&#3627408462;’ ⊛ 3’)] ’
reemplazamos “3” en a
[(3⊛2)’ ⊛ (3′ ⊛ 3′)] ’
[(2)’ ⊛ (3⊛3)] ’
[(2) ⊛ (3)] ’
[2] ’
2.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU
Por lo tanto, x=3


26. Si en ℚ definimos la operación ⊛ por: &#3627408462;⊛&#3627408463; = &#3627408462;(1 – 2&#3627408463;) + &#3627408463;. ¿Cuáles de las
afirmaciones son verdaderas?
a. 2’ ⊛ 1’ = 1/3
SOLUCIÓN
2’ ⊛ 1’ =
1
3

1
2
⊛ 1 =
1
3

1
2
(1−2.1)+1 =
1
3

1
2
(1−2)+1 =
1
3



b. ∀&#3627408514;,&#3627408515;,&#3627408516;∈ℚ; (&#3627408514;⊛&#3627408515;)⊛ &#3627408516; = &#3627408514; ⊛ (&#3627408515;⊛&#3627408516;)
SOLUCIÓN
(&#3627408514;⊛&#3627408515;)⊛ &#3627408516; = &#3627408514; ⊛ (&#3627408515;⊛&#3627408516;)
( &#3627408462;(1 – 2&#3627408463;) + &#3627408463;)⊛ &#3627408464;=&#3627408462; ⊛( &#3627408463;(1 – 2&#3627408464;) + &#3627408464;)
( &#3627408462;−2&#3627408462;&#3627408463; + &#3627408463;)⊛ &#3627408464;=&#3627408462; ⊛( &#3627408463;−2&#3627408463;&#3627408464; + &#3627408464;)
( &#3627408462;−2&#3627408462;&#3627408463; + &#3627408463;)(1−2&#3627408464;)+&#3627408464;=&#3627408462; (1−2(&#3627408463;−2&#3627408463;&#3627408464; + &#3627408464; )+( &#3627408463;−2&#3627408463;&#3627408464; + &#3627408464;))
( &#3627408462;−2&#3627408462;&#3627408463; + &#3627408463;)(1−2&#3627408464;)+&#3627408464;=&#3627408462; (1−2&#3627408463;+4&#3627408463;&#3627408464;−2&#3627408464; )+( &#3627408463;−2&#3627408463;&#3627408464; + &#3627408464;))
( &#3627408462;−2&#3627408462;&#3627408463; + &#3627408463;)(1−2&#3627408464;)+&#3627408464;=&#3627408462; (1−2&#3627408463;+4&#3627408463;&#3627408464;−2&#3627408464; )+( &#3627408463;−2&#3627408463;&#3627408464; + &#3627408464;))
&#3627408462;−2&#3627408462;&#3627408464;−2&#3627408462;&#3627408463;+4&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408463;−2&#3627408463;&#3627408464;+&#3627408464;=&#3627408462;−2&#3627408462;&#3627408463;+4&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;−2&#3627408462;&#3627408464;+ &#3627408463;−2&#3627408463;&#3627408464; + &#3627408464;
&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;=&#3627408462;&#3627408463;&#3627408464;
??????&#3627408532; &#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408528;.

c. (&#3627409360;&#3627408537;)⊛ &#3627409361; = &#3627409360; ⊛ (&#3627409361;&#3627408537;)⟶ &#3627408537; = &#3627409359;
SOLUCIÓN
2&#3627408485;(1 – 2.3)+ 3=2(1 – 2.3&#3627408485;) + 3&#3627408485;
2&#3627408485;(1 – 6)+ 3=2(1 – 6&#3627408485;) + 3&#3627408485;
2&#3627408485;−12+ 3=2−12&#3627408485; + 3&#3627408485;
2&#3627408485;−9=2−9&#3627408485;
11&#3627408485;=11
&#3627408485;=1
??????&#3627408532; &#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408517;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408528;.


−1
2
+1 =
1
3

−1+2
2
=
1
3


1
2

1
3

??????&#3627408532; &#3627408519;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408532;&#3627408528;

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27. Sea ⊛una operación en ℚ. Si (2a+1)⊛(b – 2) = 2a + b + 1, hallar (- 3)’ ⊛ 4 .
SOLUCIÓN
(&#3627409360;&#3627408514;+&#3627409359;)⊛(&#3627408515; – &#3627409360;) = &#3627409360;&#3627408514; + &#3627408515; + &#3627409359;

❖ &#3627408485;=2&#3627408462;+1
&#3627408485;−1
2
=&#3627408462;

➢ &#3627408486;=&#3627408463; – 2
&#3627408486;+2=&#3627408463;

&#3627408485;⊛&#3627408486;=2&#3627408462; + &#3627408463; + 1
&#3627408485;⊛&#3627408486;=2 (
&#3627408485;−1
2
)+&#3627408486;+2 + 1
&#3627408485;⊛&#3627408486;=2 (
&#3627408485;−1
2
)+&#3627408486;+2 + 1
&#3627408485;⊛&#3627408486;=&#3627408485;−1+&#3627408486;+2 + 1
&#3627408485;⊛&#3627408486;=&#3627408485;+&#3627408486;+2

i) &#3627408537;⊛&#3627408518;=&#3627408518;⊛&#3627408537;
SOLUCIÓN
&#3627408485;+&#3627408466;+2=&#3627408466;+&#3627408485;+2
0=0

ii) ??????&#3627408527;&#3627408535;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408532;&#3627408528; &#3627408517;&#3627408518; (−&#3627409361;): &#3627408514;⊛&#3627408514;′=&#3627408518;
−3⊛−3′=−2
−3+−3

+2=−2
−3+−3

=−4
−3

=−1

(− 3)’ ⊛ 4
−1⊛ 4
−1+4+2
&#3627409363;

Desarrollamos el inverso a
través de:

∀&#3627408537;,∈ℚ,∃!&#3627408518;∈ℚ/ &#3627408537;⊛&#3627408518;
=&#3627408518;⊛&#3627408537;=&#3627408537;
i) &#3627408537;⊛&#3627408518;=&#3627408537;
SOLUCIÓN
&#3627408485;+&#3627408466;+2=&#3627408485;
&#3627408466;=−2

ii) &#3627408518;⊛&#3627408537;=&#3627408537;
SOLUCIÓN
&#3627408466;+&#3627408485;+2=&#3627408485;
&#3627408466;=−2

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28. Si definimos la operación ⊛ en ℚ por: &#3627408462;⊛&#3627408463; = &#3627408462; + &#3627408463; – &#3627408462;&#3627408463; y si a’ es el inverso de a,
entonces hallar 2’ ⊛ 3’.
SOLUCIÓN
2’ ⊛ 3’
1
2
+
1
3

1
2

1
3

3+2
6

1
6

5
6

1
6

&#3627409360;
&#3627409361;


Elemento Simetría.

i) &#3627408514;′⊛&#3627408514;=&#3627408518;
2⊛2

=
0
(1– &#3627408462;)
∉ℚ,&#3627408462;≠1
2+2

−2.2′=
0
(1– &#3627408462;)

2

(1−2)=
0
(1– &#3627408462;)
−2
2

(−1)=−2
2

=2
ii) &#3627408514;′⊛&#3627408514;=&#3627408518;
3⊛3

=
0
(1– &#3627408462;)
∉ℚ,&#3627408462;≠1
3+3

−3.3′=
0
(1– &#3627408462;)

3

(1−3)=
0
(1– &#3627408462;)
−3
3

(−2)=−3
&#3627409361;

=
&#3627409361;
&#3627409360;


Elemento Neutro.
i) &#3627408514;⊛&#3627408518;=&#3627408514;
&#3627408462; + &#3627408466; – &#3627408462;&#3627408466;=&#3627408462;
&#3627408466; (1– &#3627408462;)=0
&#3627408466; =
0
(1– &#3627408462;)
∉ℚ,&#3627408462;≠1

REEMPLAZANDO:
2’ ⊛ 3’
2+
3
2
−2∗
3
2

2+
3
2
−3
7−6
2

&#3627408505;??????&#3627408506;&#3627408503;&#3627408508;??????&#3627408506;&#3627408507;??????:
&#3627409359;
&#3627409360;

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29. Sea A = {a;b;c;d} y ⊛ la operación definida en A mediante la tabla adjunta. Hallar:
x = [(d⊛a’ )’ ⊛ b’ ]’














Si es conmutativa ⊛











30. Si A = {p;q;r;s}, se define la operación ⋇ mediante la tabla adjunta. ¿Cuántas de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
a. ⋇ es conmutativa.










⊛ a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
⋇ q r s p
q p s r q
r s p q r
s r p q s
p q r s p
➢ Primero para poder resolver este ejercicio
tenemos que identificar tres cosa:
1) conmutativa
2) elemento neutro e=a
3) a⊛a’=e
a⊛a=a
b⊛b =a
c⊛ c=a
d⊛ d=a
a’=a
b’=b
c’=c
d’=d
&#3627408477;∗&#3627408478;=&#3627408478;∗&#3627408477;
&#3627408478;=&#3627408478;………son iguales
&#3627408478;∗&#3627408479;=&#3627408479;∗&#3627408478;
&#3627408480;=&#3627408480;..……son iguales
&#3627408479;∗&#3627408480;=&#3627408480;∗&#3627408479;
&#3627408477;=&#3627408478;….no son iguales
&#3627408477;⊛&#3627408478;=&#3627408478;⊛&#3627408477;
&#3627408463;=&#3627408463;……….son iguales
&#3627408463;⊛c=&#3627408464;⊛b
&#3627408465;=&#3627408465;..……son iguales
&#3627408464;⊛&#3627408465;=&#3627408465;⊛c
&#3627408463;=&#3627408463;……. son iguales
x = [(d⊛a’)’ ⊛ b’ ]’
x= [(d⊛a)’ ⊛ b’ ]’
x= [d’ ⊛ b’ ]’
x= [d ⊛ b ]’
x= c’
x=c

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2021- BICENTENARIO -PERU

No es conmutativa ⋇


b. Existe un elemento neutro identidad para ⋇



• El elemento neutro de ⋇ es p








c. Todo elemento de A tiene un inverso respecto de ⋇












d. Si (p⋇q) ⋇ x = s ⟶ x = r







⋇ q r s p
q p s r q
r s p q r
s r p q s
p q r s p
(p⋇q) ⋇ x = s ⟶ x = r
(p⋇q) ⋇s
q⋇s
r
x=r……….. esta afirmación es verdadera


El inverso:
q’ = q
r’= r
s’ = r
p’ = p

AL
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31. Sea A = {a;b;c;d;e} y ⋇ una operación binaria asociativa definida en A según el cuadro adjunto.
Dado el sistema de ecuaciones: x⋇y = b, x⋇y’ = d.
Hallar el par ordenado: (x⋇d;y⋇c)













SOLUCION

&#3627408485;∗&#3627408486;=&#3627408463;
&#3627408485;∗&#3627408486;

=&#3627408465;


Si tenemos lo siguiente
&#3627408537;∗&#3627408517;;&#3627408538;∗&#3627408516;
Diremos que
&#3627408537;=&#3627408514;,&#3627408515;,&#3627408516;,&#3627408517;,&#3627408518;
&#3627408538;=&#3627408514;,&#3627408515;,&#3627408516;,&#3627408517;,&#3627408518;

&#3627408516;∗&#3627408517;;&#3627408518;∗&#3627408516;
Si buscamos en el cuadro

(&#3627408516;∗&#3627408517;;&#3627408518;∗&#3627408516;)
(&#3627408514;;&#3627408515;) ………este seria el par que se estaría buscando.



⋇ a b c d e
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
e e a b c d
----------------------------------------------------------------
Se puede observar que en el cuadro se cumple la
conmutativa
Y se tiene como elemento neutro a:
e = a
-------------------------------------------------------------------------
&#3627408462;∗&#3627408462;

=&#3627408466;
&#3627408462;∗&#3627408462;=&#3627408462;
&#3627408463;∗&#3627408466;=&#3627408462;
&#3627408465;∗&#3627408464;=&#3627408462;
&#3627408466;∗&#3627408463;=&#3627408462;

&#3627408462;′=&#3627408466;
&#3627408463;′=&#3627408466;
&#3627408464;

=&#3627408465;
&#3627408465;′=&#3627408464;
&#3627408466;′=&#3627408463;

&#3627408459;=&#3627408464;
&#3627408460;=&#3627408466;

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2021- BICENTENARIO -PERU

32. En el conjunto A = {p;q;r;s;t}, sea la operación definida en A, según lo indica el cuadro
adjunto. Si (px’)’ (tq’) = t’.
Hallar el valor de: xr












SOLUCION
&#3627408462;∗&#3627408462;

= &#3627408466;
&#3627408477;∗&#3627408478;=&#3627408480;
&#3627408479;∗&#3627408481;=&#3627408480;
&#3627408480;∗&#3627408480;=&#3627408480;
&#3627408481;∗&#3627408479;=&#3627408480;






33. Completar la siguiente tabla, de manera que se defina una operación binaria conmutativa en
S = {a,b,c,d}





p q r s t
p r s t p q
q s t p q r
r t p q r s
s p q r s t
t q r s t p
a b c d
a a b c d
b b d a c
c c a d b
d d c b a
&#3627408463;⋇&#3627408464;=&#3627408464;⋇&#3627408463;
&#3627408462;=&#3627408462;…….&#3627408480;&#3627408476;&#3627408475; ??????&#3627408468;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408480;.

&#3627408464;⋇&#3627408465;=&#3627408465;⋇&#3627408464;
&#3627408463;=&#3627408463;……..&#3627408480;&#3627408476;&#3627408475; ??????&#3627408468;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408480;.

&#3627408463;⋇&#3627408465;=&#3627408465;⋇&#3627408463;
&#3627408464;=&#3627408464;……….&#3627408480;&#3627408476;&#3627408475; ??????&#3627408468;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408480;.

Podemos decir de que el operador * es
conmutativo y su elemento neutro es :
e= s
Entonces
.&#3627408454;?????? (&#3627408477;&#3627408485;’)’ (&#3627408481;&#3627408478;’) = &#3627408481;’
(&#3627408477;∗&#3627408485;

)

∗(&#3627408481;∗&#3627408478;

)=&#3627408481;′
(&#3627408477;∗&#3627408485;

)∗(&#3627408481;∗&#3627408477;)=&#3627408479;
(&#3627408477;∗&#3627408485;

)∗&#3627408478;=&#3627408479;
Reemplazando
((&#3627408477;∗&#3627408478;

)´∗=&#3627408479;
(&#3627408477;∗&#3627408477;)′∗&#3627408478;=&#3627408479;
(&#3627408479;)

∗&#3627408478;=&#3627408479;
&#3627408481;∗&#3627408478;=&#3627408479;
&#3627408479;=&#3627408479;

Si nos fijamos en la tabla
r con r resulta q
por lo que podemos decir que
x=q

AHORA REEMPLAZANDO
EN xr
qr esta operación nos da p.


entonces el valor que
buscamos es P.

AL
2021- BICENTENARIO -PERU

34. En la siguiente tabla completar, de tal manera la operación binaria es asociativo en S =
{a,b,c,d} Supóngase que esto es posible.















35. Sea la operación ⋇ definida en S = {a, b, c, d, e}, mediante la tabla que se muestra. Encontrar:

⋇ a b c d e
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
e e a b c d




1.&#3627408463;⋇&#3627408462; = &#3627408463;
2.&#3627408465;⋇&#3627408465; =&#3627408466;
3.&#3627408464;⋇&#3627408464; = &#3627408466;
4.&#3627408466;⋇&#3627408464; = &#3627408463;
5.&#3627408462;⋇&#3627408463; = &#3627408463;
6.&#3627408463;⋇&#3627408463; = &#3627408464;
7.&#3627408463;⋇&#3627408466; = &#3627408462;
8.[(&#3627408462;⋇&#3627408464;) ⋇&#3627408466;]⋇&#3627408462;









a b c d
a a b c d
b b a c d
c c d c d
d d c c d
(&#3627408465; ⋇ &#3627408462;) ⋇&#3627408463;=&#3627408465;⋇(&#3627408462; ⋇ &#3627408463;)
&#3627408465; ⋇ &#3627408463; = &#3627408465; ⋇ &#3627408463;
&#3627408464;=&#3627408464;…….&#3627408480;&#3627408476;&#3627408475; ??????&#3627408468;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408480;.
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15.¿??????&#3627408464;&#3627408462;&#3627408480;&#3627408476; ⋇ &#3627408466;&#3627408480; &#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408474;&#3627408482;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408481;??????&#3627408483;&#3627408476;? ¿&#3627408451;&#3627408476;&#3627408479; &#3627408478;&#3627408482;é?

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