Ley de senos y cosenos

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1. DEDUCCIÓN DE
FÓRMULAS
TEOREMAS DEL
COSENO
Y DEL SENO

2. RECUERDA…

3. LEY DEL SENO
LaLeydelSenorelaciona3
igualdadesquesiemprese
cumplen entrelosladosy
ángulos deuntriángulo
cualquiera.
1.-Se escoge el triángulo
formado por los puntos: A, M y
C obteniendo:
sen α= y/b
y = b·sen α
2.-Se escoge el triángulo
formado por los puntos: M, B y
C obteniendo:
sen β= y/a
y = a·sen β
A
b a
C
α β
φ
y
x
c-x
M
c
B
3.-Igualando las 2 ecuaciones
se tiene:
b·sen α= a·sen β
b = a
sen βsenα

4. Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:
b = a = c
sen βsenα sen φ

5. LEY DEL COSENO

6. Dado el siguiente triángulo suponga que conoce el
valor de los lados a, b y c.
C
a c
B
α β
φ
y
x b-x
M
b
A
1.-Escoger el triángulo
rectángulo formado por los
puntos: B, M y A. Usamos el
teorema de Pitágoras:
c² = y² + (b-x)²
c² = y² + b² -2bx + x²
c² = y² + x² + b² -2bx … (1)
2.-Escoger el triángulo formado por
los puntos: B, M y C. Usamos el
teorema de Pitágoras:
a² = y² + x² … (2)
cos α= x/a,entoncesx = a cosα…(3)
3.-Reemplazando (2) y (3)
en (1) se tiene :
c² = a² + b² -2bx
c² = a² + b² -2a·b·cosα

7. La Ley del Coseno sirve para analizar y resolver triángulos
que NO necesariamente son triángulos rectángulos.
Es decir que la Ley del Coseno permite encontrar el
valor de uno de los lados de un triángulo conociendo de
antemano el ángulo opuesto a dicho lado y los valores
de los otros dos lados.
Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:
c² = a² + b² -2a·b·cos α
a² = b² + c² -2b·c·cos β
b² = a² + c² -2a·c·cos φ
LEY DEL COSENO

8. a = b
Sen A Sen B
LEY DE TANGENTES
Entodotriángulolasumadedosladosesasu
diferenciacomolatangentedelasemisumadelos
ángulosopuestosadichosladosesproporcionalala
tangentedelasemidiferenciadelosmismoángulos.
c
a
b
A
B
C

9. a = b.CosC + c.CosB
b = a.CosC + c.CosA
c = a.CosB + b.CosA
LEY DE las proyecciones
A
B
C
c
a
b
Entodotriángulocadaladoesigualalasuma
delasproyeccionesdelosotrosdoslados
sobreél.

10. EJERCICIOS
De la figura, calcular : «X»
LEY DEL COSENO
A
B
C
30° 37°
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7

11. https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/TRIGONOMETRIA-PLANA/Ley-de-senos-
ejemplo-3-dos-lados-y-un-angulo
http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/images/flash/teoremasencos.swf
http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/resolucion_triangulos_rectangulos_obtus
angulos.swf
http://www.tareasya.com.mx/micrositios/bachillerato_matematicas/links_matematicas2.p
df
http://tutormatematicas.com/GEO/Trigonometria_ley_de_senos_y_cosenos.html
http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html
BIBLIOGRAFÍA