Álgebra - CONAMAT - 01.pdf

Algebra

3. Álgebra
Ar t u r o Ag u i l a r Má r q u e z
Fa b i á n Va l a p a i Br a v o Vá z q u e z
He r m á n Au r e l io Ga l l e g o s Ru iz
Mi g u e l Ce r ó n Vil l e g a s
Ri c a r d o Re y e s Fi g u e r o a
R E V I S I Ó N T É C N I C A
Ing. Carlos Lozano So usa (M.Sc.)
I n s titu to T e c n o ló g ic o y d e E s tu d io s S u p e rio re s d e M o n te rre y
C a m p u s E s ta d o d e M é x ic o
Prentice Hall
M éxico • A rg en tin a • B rasil • C o lo m b ia • C o sta R ica • C h ile • E cu ad o r
E sp a ñ a • G u a te m a la • P a n a m á • P erú • P u erto R ico • U rug uay • V enezuela

4. / D a t o s d e c a t a l o g a c i ó n b i b l i o g r á f i c a
Co l e g i o Na c i o n a l d e Ma t e m á t i c a s
Álgebra
Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607-442-289-4
Área: Matemáticas
form ato: 20 X 25.5 cm Páginas: 480
T odos los d e re c h o s reservados
E d ito res: L ilia M o reno O I vera
e-m ail: lilia.m o ren o @ p earson ed.co m
E d ito r de d e sa rro llo : A le ja n d ro G óm ez R uiz
S uperv isor d e producción: J u a n Jo sé G a rc ía G u zm án
P R IM E R A E D IC IÓ N , 2009
D .R . © 2 0 0 9 por P e a rso n E d u ca ció n d e M éxico, S A . d e C.V.
A tlaco m u lco 5 0 0-5° Piso
Indu strial A toto
53519 N au calp an de Ju á rez , E sta d o d e M éx ico
C á m a ra N a c io n a l d e la Indu stria E d ito rial M exicana. Reg. núm . 1031
P ren tice-H all e s m arca reg istrad a d e P e a rso n E ducación d e M é x ico , S .A . de C.V.
R eservados to d o s los d erech o s. N i la to ta lid a d ni parte d e e s ta p u b lic a ció n pueden re p ro ducirse, registrarse o tran sm itirse, p o r un
sistem a d e re cu p e rac ió n d e inform ación, e n nin g u n a form a ni p o r n in g ú n m edio, s e a e le ctró n ico , m ecán ico , fotoquím ico, m agnético
o e le ctro ó p tic o , por fotocopia, g ra b ac ió n o c u a lq u ie r otro, s in perm iso prev io por e sc rito d e l editor.
E l préstam o, a lq u ile r o cu alq u ier o tra form a d e c esió n de uso d e este e je m p la r req u erirá tam b ién la au to riza c ió n d e l ed ito r o d e sus
representantes.
ISBN : 97 8-6 07-4 4 2 -2 8 9 -4
P re n tice H a ll
es una m arca de
PEARSON
Im preso e n M éxico. P rin te d in M éxico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 0 9

5. Para los que enseñan y para los que aprenden
In g. Ar t u r o Sa n t a n a Pi n e d a

7. El poder de las matemáticas
El que domina las matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina al mundo.
In g. Ar t u r o Sa n t a n a Pi n e d a

9. Prefacio
E
l Colegio N a cio n a l d e M atem áticas e s u n a in s titu c ió n q u e , d e s d e s u fu n d a c ió n , h a im p a r tid o c u r s o s d e
re g u la riz a c ió n e n l a s á r e a s d e M a te m á tic a s , F ísic a y Q u ím ic a , c o n r e s u lta d o s a lta m e n te sa tis fa c to rio s.
E s p o r e llo q u e s u f u n d a d o r y d ir e c to r g e n e ra l, e l In g e n ie ro A r t u r o S a n ta n a P in e d a , d e c id ió p la s m a r
y c o m p a r tir la e x p e rie n c ia a d q u irid a e n e s te lib r o q u e re c o p ila l o a p r e n d id o e n to d o s e s to s a ñ o s y c u y o
p rin c ip io f u n d a m e n ta l e s q u e la p e r s o n a q u e a p r e n d e m a te m á tic a s , p ie n s a , a n a liz a , r a z o n a y p o r ta n to a c tú a
c o n ló g ic a .
A tra v é s d e e s t a in s titu c ió n y s u s d o c e n te s , s e h a lo g ra d o n o s ó lo r e s o lv e r e l p r o b le m a d e re p ro b a c ió n
c o n e l q u e lle g a e l e s tu d ia n te sin o , ta m b ié n , c a m b ia r s u a p re c ia c ió n s o b r e la m a te ria , d e ta l fo rm a , q u e s e v a
c o n v e n c id o d e q u e e s fá c il a p r e n d e r m a te m á tic a s y q u e p u e d e in c lu s o d e d ic a r s e a ella s. D e a h í q u e jó v e n e s
q u e h a n lle g a d o c o n s e r io s p r o b le m a s e n e l á re a , u n a v e z q u e d e s c u b re n s u p o te n c ia l h a n d e c id id o e s tu d ia r
a lg u n a c a r r e r a afín .
D e e s t a fo rm a, s e d e c id e u n i r á lo s d o c e n te s c o n m a y o r e x p e rie n c ia y tra y e c to ria d e n tr o d e la in s titu c ió n
p a r a q u e c o n ju n ta m e n te e s c rib a n u n lib r o q u e le jo s d e p r e s u n c io n e s fo rm a le s , m u e s tre la p a r te p r á c tic a q u e
r e q u ie r e u n e s tu d ia n te a l a p r e n d e r M a te m á tic a s y q u e l e s ir v a d e re fu e r z o p a r a l o s c o n o c im ie n to s a d q u ir id o s
e n e l a u la .
Enfoque
E l lib r o tie n e u n e n fo q u e 100 % p rá c tic o , p o r lo q u e la te o ría q u e s e tr a t a e s l o m á s b á s ic a p o sib le, s ó lo s e
a b o rd a n lo s c o n c e p to s e le m e n ta le s p a r a q u e e l e s tu d ia n te c o m p r e n d a y s e e je rc ite e n la a p lic a c ió n d e l a te o r ía
a n a liz a d a e n e l a u la , e n s u lib r o d e te x to y c o n s u profeso r.
D e e s t a m a n e ra , s e p o n e m a y o r é n fa sis e n l o s e je m p lo s , e n d o n d e e l e s tu d ia n te t e n d r á l a re fe re n c ia
p a r a re so lv e r lo s e je r c ic io s q u e v ie n e n a l fin a l d e c a d a t e m a y p o d e r a s í r e a f ir m a r lo a p re n d id o . E s ta m o s
c o n v e n c id o s d e q u e e s u n a m a te ria e n l a c u a l e l ra z o n a m ie n to e s f u n d a m e n ta l p a ra s u a p re n d iz a je , s in
e m b a rg o , la p r á c tic a p u e d e lo g ra r q u e e s te ra z o n a m ie n to s e d é m á s rá p id o y s in t a n t a d ific u lta d .
Estructura
E l lib r o e s t á fo r m a d o p o r d ie c is ie te c a p ítu lo s , lo s c u a le s lle v a n u n o r d e n e s p e c ífic o t o m a n d o e n c u e n ta
s ie m p re q u e e l e s tu d io d e la s M a te m á tic a s s e v a c o n s tru y e n d o , e s d e c ir, c a d a c a p ítu lo s ie m p r e v a lig a d o c o n
lo s c o n o c im ie n to s a d q u ir id o s e n lo s a n te rio re s.
C a d a c a p ítu lo e s tá e s tr u c tu r a d o c o n b a s e e n la te o ría , e je m p lo s y e je rc ic io s p ro p u e sto s. L o s e je m p lo s s o n
d e s a rro lla d o s p a so a p a so , d e ta l fo rm a q u e e l le c to r p u e d a e n te n d e r e l p ro c e d im ie n to y p o s te rio rm e n te re so lv e r
tos e je rc ic io s c o rre sp o n d ie n te s. L a s re s p u e s ta s a lo s e je rc ic io s s e e n c u e n tr a n a l fin al d e l libro, d e ta l fo rm a q u e e l
e stu d ia n te p u e d e v e rific a r s i l o s re so lv ió c o rre c ta m e n te y c o m p ro b a r s u a p re n d iz a je . P o r o tr o la d o , e n a lg u n o s
c a p ítu lo s a p a re c e u n a se c c ió n d e p ro b le m a s d e a p lic a c ió n , l a c u a l tie n e c o m o o b je tiv o h a c e r u n a v in c u la c ió n
c o n c a s o s d e la v id a c o tid ia n a e n d o n d e s e p u e d e n a p lic a r lo s c o n o c im ie n to s a d q u ir id o s e n c a d a te m a .
C o m o r e c o m e n d a c ió n s e p r o p o n e q u e s e re s u e lv a n lo s e je rc ic io s p r e lim in a re s d e a ritm é tic a q u e s e
e n c u e n tr a n e n u n a n e x o a l fin al d e l lib ro , a fin q u e e l le c to r h a g a u n d ia g n ó s tic o d e su s c o n o c im ie n to s
e n A ritm é tic a , l o s c u a le s s o n f u n d a m e n ta le s p a r a p o d e r in ic ia r e l a p re n d iz a je d e l Á lg e b ra . D e t e n e r a lg ú n
p ro b le m a c o n d ic h o s e je rc ic io s , s e re c o m ie n d a re to m a r l o s te m a s c o r re s p o n d ie n te s y c o n s u lta rlo s e n e l lib ro
d e A ritm é tic a .
V I I

10. Pk f a c o
E l p r im e r c a p ítu lo a b o r d a la te o r ía d e c o n ju n to s y ló g ic a , te m a s c la v e e n e l e s tu d io d e la s M a te m á tic a s .
S e d a n d e fin ic io n e s b á sic a s, o p e r a c io n e s c o n c o n ju n to s , d ia g r a m a s d e V e n n , p ro p o s ic io n e s ló g ic a s y a lg u n o s
p ro b le m a s d e a p lic a c ió n .
E n e l s e g u n d o c a p ítu lo s e p r e s e n ta n lo s c o n c e p to s b á s ic o s d e l Á lg e b ra , sim p lific a c ió n d e té rm in o s
se m e ja n te s, le n g u a je a lg e b ra ic o , o p e r a c io n e s c o n p o lin o m io s y a lg u n a s a p lic a c io n e s d e e s to s te m a s.
E n lo s c a p ítu lo s 3 y 4 , s e a n a liz a n lo s p r o d u c to s n o ta b le s y la fa c to riz a c ió n re s p e c tiv a m e n te , te m a s q u e
s o n h e r ra m ie n ta s ú tile s e n e l d e s a rro llo d e lo s sig u ie n te s a p a rta d o s , p o r lo q u e s u e s tu d io d e b e s e r c o m p le to
p a r a p o d e r fa c ilita r e l a p re n d iz a je d e o t r o s te m a s . A m b o s c a p ítu lo s n o s lig a n d ir e c ta m e n te a l c a p ítu lo 5,
fra c c io n e s a lg e b ra ic a s , e n e l c u a l s e in c lu y e n t e m a s c o m o e l m á x im o c o m ú n d iv is o r y e l m ín im o c o m ú n
m ú ltip lo , p a r a p a s a r a sí, a l e s tu d io d e la s fra c c io n e s d e s d e s u sim p lific a c ió n h a s ta s u s o p e ra c io n e s.
E l c a p ítu lo 6 , c o m p r e n d e e c u a c io n e s d e p r i m e r g ra d o , e n d o n d e e l o b je tiv o e s q u e e l e s tu d ia n te re su e lv a
e c u a c io n e s c o n u n a in c ó g n ita e n s u s d if e r e n te s form as, y p u e d a lle g a r a u n a d e la s g ra n d e s a p lic a c io n e s q u e
tie n e e l Á lg e b ra : e l p o d e r r e p r e s e n ta r u n p r o b le m a d e la v id a re a l c o n u n a e c u a c ió n , la c u a l, a l re so lv e rla , d é
a> lu ció n a d ic h o p r o b le m a . A l fin al h a y u n a s e c c ió n p a r a d e sp e je s d e fó rm u la s.
L a fu n c ió n lin e a l y a lg u n a s a p lic a c io n e s s e e s tu d ia n e n e l c a p ítu lo 7 , p a r a d a r p a s o a lo s s is te m a s d e
tc u a c io n e s e n e l c a p ítu lo 8, e n e l c u a l s e v e n lo s m é to d o s p a r a r e s o lv e r u n s is te m a d e d o s y tr e s e c u a c io n e s
c o n s u s re sp ec tiv o s p r o b le m a s d e a p lic a c ió n ; te r m in a e l c a p ítu lo c o n s o lu c ió n d e fra c c io n e s p a rc ia le s.
E n e l c a p ítu lo 9 , s e e s tu d ia la p o te n c ia c ió n , d e s d e l a s d e fin ic io n e s y te o r e m a s b á s ic o s c o m o e l d e s a rr o llo
d e b in o m io s e le v a d o s a u n a p o te n c ia “ n ” , y a s e a p o r e l te o r e m a d e N e w t o n o p o r e l d e triá n g u lo d e P a sc a l.
E n e l c a p ítu lo 10, s e sim p lific a n ra d ic a le s y s e r e s u e lv e n o p e r a c io n e s c o n e llo s, d a n d o p a u ta a l c a p ítu lo 11
q u e c o r re s p o n d e a lo s n ú m e ro s c o m p le jo s c o n s u s u m a , re s ta , m u ltip lic a c ió n y d iv isió n .
E l c a p ítu lo 12 c o r r e s p o n d e a l a s e c u a c io n e s d e s e g u n d o g r a d o — c o n s u s m é to d o s p a r a re so lv e rla s— ,
a p lic a c io n e s y s is te m a s d e e c u a c io n e s q u e c o n tie n e n e x p re s io n e s c u a d rá tic a s .
E n e l c a p ítu lo 13, e s tu d ia m o s la s d e s ig u a ld a d e s lin e a le s, c u a d rá tic a s , r a c io n a le s y c o n v a lo r a b s o lu to .
L o s lo g a r itm o s s e in tro d u c e n e n e l c a p ítu lo 14, d e s d e s u d e fin ic ió n , fo r m a e x p o n e n c ia l, p ro p ie d a d e s ,
a p lic a c io n e s, e c u a c io n e s c o n lo g a ritm o s y e x p o n e n c ia le s , fo rm a n p a r te d e é s te c a p ítu lo .
E n e l c a p ítu lo 15, s e e s tu d ia n la s p ro g re s io n e s, a r itm é tic a s y g e o m é tric a s . A l final, s e d a u n a a p lic a c ió n
fin a n c ie ra c o n e l te m a d e in te ré s c o m p u e s to .
E l c a p ítu lo 16, a n a liz a e l t e m a d e m a tric e s, la s c u a le s s e a b o r d a n p o r m e d io d e s u d e fin ic ió n , o p e r a c io n e s
y a p lic a c io n e s . T a m b ié n s e d a u n a in tr o d u c c ió n a lo s d e te rm in a n te s .
E l c o n te n id o d e l c a p ítu lo 17, e s e l d e ra íc e s d e u n p o lin o m io , e n d o n d e s e e s tu d ia c ó m o o b te n e rla s , lo s
te o re m a s d e re sid u o y d e l factor, a s í c o m o l a o b te n c ió n d e l a e c u a c ió n d a d a s s u s raíces.
V I I I

11. Agradecim ientos
S e g ú n B e n ja m ín F ra n k l in , in v e rtir e n c o n o c im ie n to s p r o d u c e s ie m p re l o s m e jo re s in tereses, p o r lo q u e e s p e ro
q u e o b te n g a s, a tra v é s d e e s te libro, l a s m á s g r a n d e s g a n a n c ia s p a r a tu fu tu ro p ro fe s io n a l.
Ar t u r o Sa n t a n a Pi n e d a
Di r e c t o r Ge n e r a l d e C O N A M A T
A m i m a d re p o r d a r m e la v id a y e n s e ñ a r m e a v iv irla , A n d r e y p o r s e r y e s t a r c o n m ig o , C h e m a e H ir a m
los a lu m n o s q u e s e v o lv ie ro n m is h e rm a n o s , a m i fa m ilia (E c h e v e rría , P in e d a y S á n c h e z ), a la U N A M , a l
in g e n ie ro S a n ta n a , R o x lle g a ste a tie m p o , a lo s c u a t r o fa n tá stic o s: H e r m á n , F a b iá n , R ic a r d o y M ig u e l, fue
u n p la c e r c o m p a r tir e s te tra b a jo . A m is a lu m n o s q u e fu e ro n y se rá n .
Ar t u r o Ag u i l a r Má r q u e z
A m is p a d r e s M a r ía E le n a y A lv a ro , p o r b r in d a r m e l a v id a , p o r s u s e n s e ñ a n z a s y c o n s e jo s ; a m i e s p o s a e h ijo s
(A n a , L ia m y D a n ie l), p o r q u e s o n l a r a z ó n d e m i v id a y m i in sp ira c ió n ; a m is h e r m a n o s B e le m , A d a lid y
T a n ia p o r a p o y a rm e in c o n d ic io n a lm e n te y s o b r e t o d o a m is c o m p a ñ e r o s y a m ig o s: R ic a rd o , M ig u e l, A r tu r o
y H e rm á n .
Fa b i á n Va l a p a i Br a v o Vá z q u e z
A E li y J o s é F e r n a n d o q u e s o n e l m o to r d e m i v id a y q u e s e h a n sa c rific a d o c o n m ig o ; a m is q u e r id o s p a d re s
H e r m á n y M a rb e lla , a m is h e r m a n o s F e r y L a lo ; a la m e m o ria d e m i q u e r id o tío C é s a r (q .e .p .d .); a m i tía
B la n c a ; a m is p r im o s C é s a r y B la n q u ita ; a l In g e n ie ro A r t u r o S a n ta n a y m is c o m p a ñ e r o s : F a b iá n , A rtu ro ,
M ig u e l y R ic a r d o q u e s i n e llo s n o h u b ie s e s id o p o s ib le r e a liz a r e s te libro .
He r m á n A . Ga l l e g o s Ru i z
A to d a m i fa m ilia m u y e n e s p e c ia l a L u p ita y A g u s tín , p o r h a b e r m e d a d o la v id a y s e r u n e je m p lo a se g u ir;
a m is h e r m a n o s E liz a b e th y H u g o p o r q u e r e r m e y s o p o rta rm e . Q u ie r o a d e m á s, re c o n o c e r e l e s f u e rz o d e m is
a m ig o s y c o m p a ñ e r o s A rtu r o , F a b iá n , H e rm á n y R ic a r d o c o n q u ie n tu v e la o p o r tu n id a d d e v e r c r is ta liz a d o
e s te su e ñ o .
Mi g u e l Ce r ó n Vi l l e g a s
A m is p a d re s R o s a y G e r a rd o , p o r d a r m e la v id a ; a m is h e r m a n o s Ja v ie r, G e r a r d o y A r tu r o ; u n e s p e c ia l
a g ra d e c im ie n to a m i e s p o s a M a . M e rc e d e s; a m is h ijo s R ic a r d o y A lia n p o r s u sa c rific io , c o m p r e n s ió n y
to le ra n c ia ; u n r e c o n o c im ie n to a m is a m ig o s H e r m á n , A r tu r o A ., F a b iá n , M ig u e l, R o x a n a y A r t u r o S. p o r
h a c e r re a lid a d n u e s tro s u e ñ o .
Ri c a r d o Re y e s Fi g u e r o a
U n a g ra d e c im ie n to e s p e c ia l a lo s a lu m n o s q u e to m a r o n c la s e c o n a lg u n o d e n o so tro s, y a q u e g ra c ia s a e llo s
lo g ra m o s a d q u ir ir l a e x p e rie n c ia p a r a p o d e r e s c rib ir e s te libro.
L o s A U T O R E S
I X

13. A cerca de los autores
A rtu ro A g u ila r M árq u ez. L le g ó c o m o e s tu d ia n te a C o le g io N a c i o n a l d e M a te m á tic a s , d e s a r r o lló h a b ilid a d e s
y a p titu d e s q u e le p e r m itie r o n in c o rp o r a r s e a l a p la n tilla d e d o c e n te s d e la In s titu c ió n . R e a liz ó e s tu d io s d e
A c tu a ría e n l a F a c u lta d d e C ie n c ia s d e l a U n iv e rs id a d N a c io n a l A u tó n o m a d e M é x ic o y h a im p a rtid o c la s e s
de M a te m á tic a s p o r m á s d e 11 a ñ o s e n C O N A M A T .
F a b iá n V alapai B ravo V ázquez. D e s d e m u y te m p r a n a e d a d , c o n l a p r e p a r a c ió n d e p r o f e s o r e s d e C O N A M A T ,
p a rtic ip ó e n c o n c u r s o s d e m a te m á tic a s a n iv e l n a c io n a l. P o s te rio rm e n te , s e i n c o r p o r ó a la p la n tilla d o c e n te
d e la m is m a in s titu c ió n d o n d e h a im p a r tid o la m a te ria d e M a te m á tic a s d u r a n te 12 a ñ o s . A l m is m o tie m p o ,
e s tu d ió la c a r r e r a d e D is e ñ o G r á f ic o e n la E s c u e la N a c io n a l d e A r te s P lá stic a s.
H e rm á n A u re lio G allegos R u iz . S e in ic ió c o m o p r o f e s o r e n C O N A M A T . R e a liz ó e s tu d io s e n la E s c u e la
S u p e r io r d e F ís ic a y M a te m á tic a s d e l I n s titu to P o lité c n ic o N a c i o n a l y A c tu a r ía e n la F a c u lta d d e C ie n c ia s
d e l a U n iv e r s id a d N a c io n a l A u tó n o m a d e M é x ic o . H a im p a rtid o c la s e s d e M a te m á tic a s y F ís ic a p o r m á s d e
15 a ñ o s e n C o le g io N a c io n a l d e M a te m á tic a s .
M iguel C e ró n V illegas. E s e g re s a d o d e la U n i d a d P ro fe sio n a l In te rd is c ip lin a ria d e In g e n ie ría y C ie n c ia s
S o c ia le s y A d m in is tr a tiv a s d e l In s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l, re a liz ó e s tu d io s d e In g e n ie ría I n d u s tria l y tie n e
m á s d e 15 a ñ o s d e e x p e rie n c ia e n d o c e n c ia .
R icardo R eyes F ig u e ro a . In ic ió s u tra y e c to r ia e n l a d is c ip lin a d e l a s M a te m á tic a s t o m a n d o c u r s o s e n
C O N A M A T . D e ja n d o v e r s u g r a n c a p a c id a d p a r a tr a n s m itir e l c o n o c im ie n to , s e in c o r p o r a c o m o d o c e n te e n
la m is m a in s titu c ió n d o n d e h a im p a rtid o la m a te ria d e M a te m á tic a s y F ís ic a d u r a n te 19 a ñ o s. R e a liz ó s u s
e s tu d io s d e M a te m á tic a s e n la E s c u e la S u p e r io r d e F ísic a y M a te m á tic a s d e l I n s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l,
y d e M a te m á tic a s P u r a s e n la U n iv e rs id a d A u tó n o m a M e tro p o lita n a .
X I

15. Contenido
Álgebra
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
Sim bología, 4 . Conjuntos, 5 . Conjuntos d e núm eros, 6 . Tipos d e números, 6 . Escritura y representación
d e conjuntos, 7 . C a rd in a lid a d , 8 . Conjuntos equivalentes, 9 . C onjuntos ¡guales, 1 0 . Conjuntos disjuntos,
1 0 . Subconjuntos, 1 1. Conjunto p o ten cia , 1 1. C onjunto universo, 1 2 . D iagram as d e Venn, 1 2 . Unión de
conjuntos, 1 4 . Intersección d e conjuntos, 1 5 . Conjunto complemento, 1 7 . D iferencia d e conjuntos, 19.
O p eracio n es d e conjuntos con diagram as d e Venn, 2 1 . Á lgebra d e conjuntos, 2 8 . Lógica, 2 9 . Tipos d e
pro p o sicio n es, 3 0 . Proposiciones compuestas, 3 0 . leyes d e D e M organ, 3 3 . Proposiciones condicionales,
3 3 . Relación d e proposiciones abiertas con conjuntos, 3 4 . C á lc u lo proposicional, 3 8 . Construcción d e las
tablas d e verd a d , 4 0 . Producto cartesiano d e conjuntos, 4 3 .
C a p í t u l o 2 Conceptos básicos de álgebra
Á lg e b ra , 4 6 . Expresiones a lg eb ra ica s, 4 6 . Red ucción d e términos sem ejantes, 4 6 . Valor num érico, 4 8 .
Lenguaje a lg eb ra ico , 5 0 . Polinomios, 5 2 . Suma, 5 2 . Resta, 5 4 . Sig nos d e ag ru pación, 5 6 . Reglas p a ra
suprimir los sig n o s d e a g ru p a ció n , 5 6 . M u ltip lica ció n , 5 8 . División, 6 3 . Ley d e los exp on en tes p a r a la
división, 6 4 .
C a p í t u l o 3 Productos notables
Definición, 7 4 . C u a d ra d o d e un binomio, 7 4 . C u a d ra d o d e un trinomio, 7 5 . Binomios conjugados, 7 7 .
Productos d o n d e s e a p lica n binom ios co n ju g a d o s, 7 8 . Binomios con término común, 8 0 . C u b o d e un
binomio, 8 3 . M ultiplicaciones que se resuelven con la ap licació n d e productos notables, 8 4 .
C a p í t u l o 4 Factorización
Definición, 8 8 . Factor común, 8 8 . Factor común por agrupación d e términos, 8 9 . Diferencia d e cuadrados,
9 1 . Trinomio cu ad rad o perfecto, 9 2 . Pasos p a ra factorízar un trinomio cu a d ra d o p erfecto , 9 2 . Trinomio de
la form a x 2 + b x + c , 9 5 . Trinomio d e la form a a x 2 + b x + c, 9 8 . Por agrupación d e términos, 9 9 . C a so s
esp ecia les, 1 0 0 . Sum a o diferencia d e cubos, 1 0 2 . Sum a o diferencia d e potencias impares iguales, 1 0 4 .
Factorización q u e com bina un trinomio cuad rad o perfecto y una diferencia d e cuadrados, 1 0 5 . Factorización
para com pletar el trinomio cuad rad o perfecto, 1 0 6 . Expresiones alg eb raicas donde se utilizan dos o más
ca so s, 1 0 7 . Descom posición en factores d e un polinomio por división sintética, 1 0 8 .
C a p í t u l o 5 Fracciones algebraicas
M áxim o común divisor (M C D ), 1 1 2 . M ínim o común múltiplo |mcm), 1 1 2 . Sim plificación d e fracciones
a lg e b ra ic a s, 1 1 4 . Sum a y resta d e fraccio nes con denom inador común, 1 1 6 . Sum a y resta d e fraccio ­
nes con denominadores diferentes, 1 1 7 . M ultiplicación d e fracciones alg eb raicas, 1 2 1 . División d e frac­
ciones alg eb raicas, 1 2 3 . C om binación d e operaciones con fracciones, 1 2 5 . Fracciones com plejas, 1 2 7 .
C a p í t u l o 6 Ecuaciones de prim er grado
Conceptos generales, 1 3 2 . Ecuaciones d e primer grado con una incógnita, 1 3 2 . C o n signos d e agrupación
y p rodu ctos in dicado s, 1 3 5 . Fraccio narias, 1 3 7 . C o n valo r absoluto, 1 4 0 . C o n literales, 1 4 2 . Problemas
so bre números, 1 4 3 . Problemas sobre e d a d e s, 1 4 6 . Problemas so bre m ezclas, 1 4 7 . Problemas sobre
X I I I

16. C O J TIN CO
monedas, 1 4 9 . Problemas so bre costos, 1 5 0 . Problemas sobre el tiempo requerido para re aliza r un trabajo,
1 5 2 . Problemas sobre com paración d e distancias y tiempos, 1 5 4 . Problemas d e ap lica ció n a la geometría
plana, 1 5 6 . D espejes d e fórmulas, 1 5 8 .
C a p í t u l o 7 Función lineal
Plano cartesiano, 1 6 2 . Lo calizació n d e puntos, 1 6 2 . Función, 1 6 3 . Constante, 1 6 3 . £ cu a c /ó n x = k, 1 6 3 .
lineal, 1 6 4 . G e n era lid a d es, 1 6 5 .
C a p í t u l o 8 Sistemas de ecuaciones
Ecuación lin eal, 1 7 4 . S o lu ció n d e una e cu a c ió n lineal, 1 7 4 . G rá fic a , 1 7 6 . Sistem a d e d o s ecu acio n es
lineales con dos v ariab le s, 1 7 8 . M é to d o s d e solución, 1 8 0 . Sistem a d e dos ecuaciones que se reducen a
lineales, 1 9 2 . M étodos para resolver un sistema d e tres ecuaciones lineales con tres variables, 2 0 1 . Reducción
(suma y resta), 2 0 1 . Determinantes, 2 0 6 . Descom posición d e una fracción a lg e b ra ic a en sum a d e fracciones
parciales, 2 0 9 .
C a p í t u l o 9 Potenciación
Definición, 2 1 8 . h o re m a s d e los exp on en tes, 2 1 8 . Potencia d e un binomio, 2 2 7 . Factorial d e un número,
2 2 7 . Binom io d e N ew to n , 2 2 7 . C á lcu lo d e l i-ésimo término, 2 3 0 . Triángulo d e Pascal, 2 3 1 .
C a p í t u l o 1 0 Radicación
R adical, 2 3 4 . Elementos d e un ra d ica l, 2 3 4 . R a íz p rin cip a l d e un radical, 2 3 4 . Radical com o exponente,
2 3 4 . Teorem as, 2 3 5 . Representación d e un exponente fra c cio n a rio co m o ra d ic a l, 2 3 6 . Teorem as, 2 3 7 .
C á lcu lo d e raíces, 2 3 8 . Simplificación, 2 4 0 . Introducción d e factores, 2 4 2 . Sum a y resta, 2 4 4 . M ultiplicación,
2 4 6 . C o n ín d ices diferentes, 2 4 8 . División, 2 4 9 . C o n ín d ices ¡guales, 2 4 9 . C o n ín d ices diferentes, 2 5 0 .
Racionalización, 2 5 1 . Racionalización del denominador d e una fracción, 2 5 1 . Racionalización del numerador
de una fracción, 2 5 4 .
C a p í t u l o 1 1 Números complejos
la m e ro s im aginarios, 2 5 8 . N úm ero im aginario pu ro , 2 5 8 . Sum a y resta, 2 5 9 . Potencias d e i, 2 6 0 . M ulti­
p lica ció n y división, 2 6 1 . Números com plejos, 2 6 3 . Sum a y resta, 2 6 4 . M ultiplicación p o r un e sc a la r, 2 6 5 .
M ultiplicación, 2 6 7 . División, 2 6 9 . Representación g rá fica , 2 7 0 . \6lor absoluto o m ódulo, 2 7 2 . C on ju ga do,
2 7 3 .
C a p í t u l o 1 2 Ecuaciones de segundo grado
Definición, 2 7 8 . Solución d e una ecuación d e segundo g ra d o com pleta, 2 7 8 . Fórm ula g en eral, 2 8 1 . Fac-
torización, 2 8 4 . Solución d e una ecuación d e segundo g ra d o incom pleta, 2 8 6 . M ixta s, 2 8 6 . Puras, 2 8 7 .
Función cu ad rática, 2 9 3 . A nálisis d e u n a función cu adrática, 2 9 3 . Relación entre las ra íces d e u n a ecu ación
de se g u n d o g ra d o , 2 9 6 . Deducción d e una ecu ación d e segundo g ra d o d a d as las raíces, 2 9 8 . Ecuaciones
con radicales, 2 9 9 . Sistem a d e ecuaciones cu ad ráticas, 3 0 1 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a
de ecu acion es cu ad ráticoJinea l con d o s incógnitas, 3 0 1 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a d e
cbs ecu acion es cuadráticas, 3 0 2 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a cu ad rático mixto, 3 0 2 .
C a p í t u l o 1 3 Desigualdades
Definición, 3 0 6 . P ropieda des d e la s desig ua ldades, 3 0 6 . Desigualdad lineal con una variable, 3 0 7 . Desigual­
d a d cu ad rática con una variable, 3 1 0 . M é to d o p o r ca so s, 3 1 0 . M é to d o p o r intervalos, 3 1 0 . M é to d o gráfico,
3 1 3 . D esiguald ad racional, 3 1 5 . M é to d o p o r c a so s, 3 1 5 . M é to d o p o r intervalos, 3 1 8 . D esiguald ad que
X I V

17. C C N T E N D O
tiene la expresión (x - a ) ( x - b) ( x - c ) ..., 3 2 0 . D esigualdades con valor absoluto, 3 2 1 . C a so s e sp e cia le s d e
d esig u a ldades co n valor absoluto, 3 2 2 . G rá fic a d e una desigualdad lineal con dos variables, 3 2 4 . Sistema
de desigualdades lineales con dos variables, 3 2 6 .
C a p í t u l o 1 4 Logaritmos
Definición, 3 3 0 . A p lica c ió n d e la defin ición d e logaritmo, 3 3 1 . Propiedades, 3 3 2 . A plicación d e las propie­
d ad es p a ra el desarrollo d e expresio nes, 3 3 3 . Ecuacio nes logarítm icas, 3 3 8 . Ecuacio nes expo n en ciales,
3 4 0 .
C a p í t u l o 1 5 Progresiones
Sucesión infinita, 3 5 2 . Sum a, 3 5 4 . Progresión aritmética o sucesión aritmética, 3 5 5 . Fórmula p a ra determ inar
el n-ésimo término en u n a progresió n aritmética, 3 5 6 . Fórmulas p a r a determ inar e l prim er término, núm ero d e
términos y la razón, 3 5 7 . Sum a d e los n prim eros términos en u n a progresión aritmética, 3 6 0 . Interpolación
de m edios aritméticos, 3 6 3 . M e d ia aritm ética o p ro m e d io aritmético, 3 6 4 . Progresión geom étrica o sucesión
geom étrica, 3 6 5 . Fórm ula p a ra obtener e l n-ésimo térm ino en una p ro g resió n g eo m étrica , 3 6 6 . Fórmulas
p a ra obtener e l I a término, núm ero d e términos y la razón, 3 6 8 . Sum a d e los n prim eros términos d e una
progresión geo m étrica , 3 7 1 . Progresión g eo m étrica infinita, 3 7 4 . Interpolación d e m edios geo m étrico s, 3 7 6 .
Interés com puesto, 3 7 8 . D e p re d a ció n , 3 8 1 .
C a p í t u l o 1 6 M atrices
Definición, 3 8 4 . O rd e n d e una matriz, 3 8 4 . N jm e r o d e elem entos d e una matriz, 3 8 5 . Tipos d e matrices,
3 8 5 . M u ltip lica ció n p o r un e sc a la r, 3 8 8 . Sum a, 3 8 9 . Resta, 3 9 1 . M ultiplicació n, 3 9 3 . Propiedades de
las m atrices, 3 9 4 . Determinantes, 3 9 5 . S e a la matriz d e ord en 2 , 3 9 5 . S e o la m atriz d e ord en 3 , 3 9 6 .
Propiedades, 3 9 6 . M atriz inversa, 3 9 8 . M é to d o d e Gauss-Jordan, 3 9 8 . Inversa d e una matriz para resolver
sistemas d e ecuaciones, 4 0 0 .
C a p í t u l o 1 7 Raíces de un polinomio
Teorema del factor y del residuo, 4 0 4 . R aíces, 4 0 5 . C á lcu lo d e las ralees p o r división sintética, 4 0 8 . Regla
ab los signos d e D esca rtes, 4 0 8 .
Solución a los ejercicio s, 41 3.
A n e xo : E jercicios p re lim in a re s, 4 5 5 .
X V

19. Álgebra

21. Ca p ít u l o ]
Co n j u n t o s y l ó g ic a
Teoría d e co n ju n to s
G
eorg Cantor fue un matemático alemán,
quien con Dedekind inventó la teoría
de conjuntos, base de las matemáticas
modernas. G racias a la presentación axiomáti­
ca de su teoría de los conjuntos, fue el primero
capaz de formalizar la noción de infinito, bajo
la forma de números transfinitos (cardinales y
ord i na les).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no siempre tienen el mismo
tamaño, el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es
enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales,
mientras que el de los reales no lo es: existen, por tanto, varios infinitos,
más grandes los unos que los otros.
L ó g ic a m a tem á tica
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demos­
tración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en que
“nos convenciera-, en que se presentara como evidente a nuestra mente
y lo aceptáramos como válido. Ésta era, por ejemplo, la forma de entender
la argumentación del mismo René Descartes (1596-1650).
Se cita, como ejemplo, la frase del matemático francés Jean Marie Duha-
mel (1797-1 8 72): “El razonamiento se hace por el sentimiento que nos
produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma
o regla alguna-.
Giuseppe Pea no (1858-1932) se levantó contra esta forma de argumentar
y, en esencia, defendía que “el valor de una demostración, de un proceso
argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie,
sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente
comprobable-.
Para Peano la lógica matemática era, realmente, la lógica de la matemá­
tica, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las
argumentaciones del quehacer de la matemática.
G e o rg C a n to r (1845-1918)

22. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Sim bología
É stos so n los sím b o lo s q u e s e utilizarán e n e l capítulo:
{ } C o nju nto.
€ E s un ele m e n to d e l co n ju n to o pertenece a l co njun to.
e N o es un ele m e n to d e l c o n ju n to o no pertenece a l co njun to.
I T a l q u e.
n(C) C a rd in a lid a d d e l c o n ju n to C.
U C o n ju n to universo.
<t> C o n ju n to vacío,
c S u b conjunto de.
<= S u b co nju nto prop io de.
<Z N o es su b c o n ju n to p ro p io de.
> M ay or que.
< M en or que.
> M ay or o igu al q u e.
< M e n o r o igu al q u e.
n In tersec ció n d e co n ju n to s,
u U nión de co n ju n to s.
A' C o m p le m en to d e l co n ju n to A.
= S ím bolo d e igualdad.
* N o e s igual a.
E l c o n ju n to contin úa.
=> E ntonces.
<=> S i y só lo si.
N o (es fa ls o que).
a y
v o
4

23. Ejemplos
Conjuntos
U n co n ju n to e s u na c o le c c ió n d e c o sa s u o b je to s c o n c a ra c te rístic a s defin idas. L o s con ju n to s s e re p re se n tan c o n letras
m ayúsculas y su s e le m en to s s e d e lim ita n c o n llaves y se p a ra n c o n com as.
Ejemplos
a) E l c o n ju n to d e las vocales.
A = { a, e, i, o, u }
b) E l c o n ju n to d e los dígitos.
B = { 0, 1 ,2 , 3, 4, 5 ,6 , 7 , 8 , 9 }
c ) E l c o n ju n to d e los núm ero s naturales.
N = { 1 ,2 , 3, 4 , 5 , 6 , . . . }
O bservación: los puntos su spensiv os in dican q u e e l c o n ju n to c o n tin ú a y que los e le m e n to s sig uien tes c o n se rv a n la
m ism a característica.
d) E l c o n ju n to d e los d ías d e la sem an a.
S = (lunes, m artes, m iércoles, jueves, viernes, sá b a d o , dom ingo}
é ) E l c o n ju n to d e los núm eros naturales en tre 5 y 10.
P = [ 6 , 7 , 8 , 9 }
Para in d icar que un e le m e n to pertenece o no a un co n ju n to s e utilizan los sím b o lo s e y í .
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
• • S e a e l c o n ju n to A = {a , e , i, o , u}, e n to n c e s
u pertenece a l c o n ju n to A y se re p re se n ta u e A.
x no pertenece a l co n ju n to A y s e re p re se n ta x «éA.
2 • • Sea e l c o n ju n to B = { 2 ,3 , 4, 5 , 8, 9 , 10 }, entonces
2 € f í , 5 € f í , 1 e B , 11 t B
_________________________________________________________________________________________________________________________Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJE ÍC IC IO 1
D ad os tos conjuntos: A - {a , e , i, o , u } y 8 - {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } co lo ca e o e se g ú n co rresp o nd a:
1. a
____ B 7 . ___A
2. c
____ A 8 . o _ ___B
3. 2
_____B 9 . e _ ___A
4 . 3
_____A 10. 8 _ ___B
5 . u
_____A 11. b _ ___B
6 . 5
_______B 12. 1 _ __A
V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e i
5

24. 1 Ca p ít u l o
ÁLGEBRA
Conjuntos d e números
O N úm eros n a tu ra le s: N = { 1 ,2 , 3 , 4 , 5, 6 ...}
O N úm eros e n te ro s: Z = { ... - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1 ,2 , 3, ...}
O N úm eros racionales: Q = \ x \x = —, p,qeZ ,q* 0 \
l J
Ejemplos
O N úm eros irracio n ales. N ú m ero s q u e no pu ed en ex p resarse co m o e l co cien te d e dos núm eros en teros.
Ejemplos
s¡2, l [ 5 , l ¡ 6 4 , e ,
O N úm eros reales. Es la u nión d e los núm eros racionales c o n los ¡n acio n ales.
Tipos d e números
O N úm eros d ígitos. Form an la base d e l siste m a de cim al
0, 1 ,2 , 3 ,4 , 5, 6, 7, 8 , 9
O N úm ero par. Son los divisibles e n tre 2.
Ejemplos
ú 2 ,4 , 6, 8, 10, 12, 14, 1 6 , .. .
O N úm ero im par. Son los n o divisibles e n tre 2.
Ejemplos
1, 3 ,5 , 7 , 9 , 1 1 , 1 3 ,1 5 , 17, 1 9 , .. .
O N úm ero p rim o . Sólo tie n e dos divisores, e n tre s í m ism o y la unidad.
Ejemplos
2 ,3 , 5, 7 ,1 1 , 13, 17, 1 9 , .. .
O N úm ero co m puesto. T iene dos o m ás d iv iso res prim os.
Ejemplos
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, . . .
O M últiplo d e u n núm ero . E l m ú ltiplo d e un n ú m ero k , e s n k , do n d e n e s un natural.
Ejemplos
M últiplos d e 3: 3 ,6 , 9, 12, 15, 18, ...
M últiplos d e 5: 5, 10, 15, 20, 2 5 , 30, . . .
6

25. Ejemplos
Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Escritura y representación de conjuntos
L os con ju n to s s e re p re se n tan de dos form as:
< F o rm a d esc rip tiv a o p o r co m p ren sió n . Se hace m en c ió n a la c a ra c te rís tic a p rin cip al d e los e le m e n to s d el
conjunto.
EJEM PLOS
• • R e p resen ta e n fo rm a desc rip tiv a e l co n ju n to S = { x e NI xe s d iv iso r de 6 }.
S olución
Este co n ju n to s e lee:
x pertenece a l c o n ju n to de los núm eros naturales, ta l q u e .r e s un d iv iso r d e se is .
x e s un a variable que cum ple c o n la s cara cte rística s d e l co n ju n to S.
2 • • • Si Q = [2, 3 , 5 ,7 , 11} re p re se n ta s u fo rm a d e scrip tiv a.
S olución
Q = [q € NI q e s p rim o m enor que 12}
O F orm a e n u m e ra tiv a o p o r ex ten sió n . Se e n lista n los e le m en to s d e l co njunto, s i a lg ú n ele m e n to se repite s e
co n sid era un a s o la vez.
EJEM PLOS
• • R e p resen ta e n fo rm a en u m erativ a e l c o n ju n to M = {m e. N \ m<5).
S olución
E l co n ju n to s e lee:
los núm eros n atu rales que s o n m enores que 5 y s u rep resen tació n e n form a en u m erativ a es:
M = { 1 ,2 , 3 ,4 }
2 • • R e p r e s e n t a e n fo rm a en u m erativ a e l c o n ju n to : A= [xe Z l x + 8 = 1 0 } .
S olución
Este c o n ju n to lo fo rm an los núm eros e n te ro s q ue sum ados c o n 8 d a n co m o re su lta d o 10, por tan to, s u form a e n u m e ­
rativa es:
A = { 2}
Ya q u e 2 + 8 = 10
7

26. 1 Ca p ít u l o
Álgebra
EJERC IC IO 2
Transform a a la fo rm a descrip tiva o enum erativa lo s sig u ie n te s conjuntos:
1. R={ 1 , 2 , 5 , 1 0 }
2. A = {at€AM 1 <at< 9 }
3. { jce^V lA T + 3 = 7 }
4. C=[ 1 ,2 , 4, 5 , 1 0 ,2 0 }
5. V= [ y e Z \ - 2 < y < 3 }
6. Q = {x I x es una vocal de la p a la b ra núm ero }
7. T=[xes u n dígito d e la c ifra 4 5 3 4 2 5 }
8. 5 = { Ares u n d íg ito prim o de la c ifra 7 2 9 6 3 4 }
9. U=[ 4 , 8 , 12, 1 6 , . . . }
10. M = { x € N\Ares d iv iso r par de 5 0 }
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s a c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
C ard in alid ad
E s e l núm ero d e e le m en to s qu e co n tien e un co n ju nto .
Ejem plo
¿ C u á l e s la c a rd in alid ad del c o n ju n to A = { at I x e s co m p u e sto m enor que 10, x e N} ?
S o lu ció n
E l co n ju n to A, e n form a enum erativa, es:
A = { 4 , 6 , 8, 9 }
E ntonces s u c a rd in alid ad e s 4 y s e denota: rt(A) = 4
C o n ju n to finito. Es a q u e l co n ju n to c o n c a rd in a lid a d definida.
Ejem plo
¿ E l c o n j u n t o B = { x I A re s u n d í a d e l a s e m a n a } e s f i n i t o ?
S o lu ció n
E l co n ju n to B e n form a en u m erativ a es:
B = ( lunes, m artes, m iércoles, ju ev e s, viernes, sá b a d o , d o m in g o }
El co n ju n to tie n e 7 ele m en to s, e s d e c ir s u c a rd in alid ad e s tá definida, por ta n to e s finito.
C o n ju n to infinito. Es a q u é l c u y a c a rd in alid ad no e s tá definida, por se r d e m a siad o g rand e p a ra cu an tific arlo .
Ejem plo
¿ E l c o n ju n to C = { x s NI Ares m últiplo de 3 } e s infinito?
S o lu ció n
E l co n ju n to C e n s u form a en u m erativ a es:
C = { 3 , 6 , 9 , 12, 1 5 ,... }
8

27. Ca p ít u l o 1
Conjuntos y lógica
EJ co n ju n to c o n tin ú a indefinidam ente, no s e puede d e te rm in a r s u núm ero d e ele m en to s, por tanto , s u c a rd in alid ad es
infinita y s e esc rib e com o:
n(C) = «o
C o n ju n to vacío o nulo. E s a q u e l que c are ce d e e le m en to s y s e d e n o ta c o n e l sím b o lo <|> o b ie n { }.
EJEM PLOS
1 • • ¿ E l c o n ju n to D = { * G W I 2 r - l = 0 } e s vacío?
S olución
El único valo r d e x qu e sa tisfa c e la igualdad e s - p ero no perten ece a l co n ju n to d e los núm eros naturales, por tanto,
d c o n ju n to D e s vacío.
D = { } = <|> s u c a rd in alid ad e s n (D ) = 0
2 • • ¿El c o n ju n to E = {x I .r e s u n núm ero par e im par } e s v a cío ?
Solución
El c o n ju n to E e s vacío, y a que n o h ay ningún n ú m ero que s e a par e im p ar a la vez.
EJER C IC IO 3
Encuentra la cardinalid ad d e b s sig u ie n te s conjuntos:
1. A = {xeN \xes\in div iso r d e 30 }
2. B - { x es v o cal d e la palab ra c a s a }
3. S = { x I x es una e sta c ió n d e l a ñ o }
4. R= [ x e N \ x + 3= 1 |
5. Q= { x e N \ x > 6 )
6 . T = {x gR\x = 6)
7. M={x<=N\x< 1 }
8. L - { * € N I .* es p a r d iv iso r de 2 0 }
9. J= {x€s n atu ral }
10. O = {x I x e s un mes d e l a ñ o }
V srific a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Conjuntos equivalentes
Sean A y B con ju n to s no vacíos, s e d ic e que A e s equivalen te a B s i y só lo s i tie n e la m ism a c a rd in alid ad ; s e denota:
A = B y s e lee A e s equiv alente a B.
Ejemplo
Si A = [ x e N \ x e s d iv iso r de 6 } y B = { a, e, i, o ) c o m p ru e b a que A e s equ ivalente a B.
Solución
Las c ard in alid ad es so n : n(A) = 4, n (B ) = 4 , por tanto , se con clu y e q ue am b os so n eq u iv alentes. A = B.
9

28. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Conjuntos iguales
S o n aq u ello s que tie n e n la m ism a c a rd in alid ad y los m ism os ele m en to s.
Ejem plo
¿ S o n iguales los c o n ju n to s A = { x € NI * e s d iv iso r d e 6 } y B = { 1, 2 , 3 , 6 )?
S o lu ció n
L o s con ju n to s e n s u form a en u m erativ a son:
Sus card in alid ad es so n : n (A ) = n (B) = 4
A m bo s tien en la m ism a cardin alid ad y los m ism os elem entos, por tanto, lo s conjuntos so n iguales, es decir, A = B.
Conjuntos disjuntos
S o n aq u ello s que no tie n e n ele m en to s co m u n es.
Ejem plo
¿ S o n disjuntos los c o n ju n to s R= { x e N \x e s d iv iso r de 5 } y S= { x e N \ 2 < x < 5 }?
S o lu ció n
L o s con ju n to s e n s u form a en u m erativ a son:
L o s co n ju n to s no tie n e n ele m en to s e n co m ú n , por tanto, los c o n ju n to s R y S so n disju n to s.
Verifica si so n eq u ivalen tes, ig u ales o disju n to s lo s sig u ien tes p a res d e conjuntos:
1. A y C
2. D y E
3. B y F
4. F yD
5. A y D
6. E yB
7. C y E
8. F yC
9. A y F
10. B y D
V# rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
A = { l , 2 , 3 , 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }
R = { 1 ,5 , } y 5 = { 3, 4, }
EJERC IC IO 4
Sean tos conjuntos:
A ={x<=N\x<5 }
B = { x € NI x es d iv iso r d e 8 }
C = { 1, 2, 3, 4 }
D = { 1, 2, 4, 8 }
E = [a, e, i, o)
F = {x I x es una vocal d e la p a la b ra m urciélag o }
1 0

29. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Subcon ¡untos
D ado un c o n ju n to Ss e dice q u e >4 e s su b c o n ju n to d e S, s i todos los e le m e n to s d e A e stá n co n te n id o s e n e l co n ju n to S
y s e d e n o ta por A c S. E l co n ju n to vacío e s su b co n ju n to d e cu alq u ier co n ju nto .
Ejemplo
D ados los c o n ju n to s S = {x I A res d íg ito } y A = { 2, 4 ,6 , 8 }, v erifica que A c 5.
S o lu ció n
El c o n ju n to S e n form a en u m erativ a e s: S = { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 , 8, 9 }
L o s ele m en to s d e A está n co n te n id o s e n 5, por ta n to , A c S .
S ubco n ju n to p ro p io . D a d o s d o s c o n ju n to s A y B, s e d ic e q u e B e s su b c o n ju n to pro pio d e A s i to d o s los e le m e n to s de
B e s tá n e n A y no so n eq u iv alentes.
Ejemplo
Sean los co n ju n to s L = { 2 ,4 , 5 , 6 , 8 } y M = { 2, 4 , 6 }, verifica que M <zL.
Solución
Los e le m en to s d e M e s tá n co n te n id o s e n L , y M no e s equiv alente a L, por co n sig u ie n te, A / <= L.
N úm ero d e su b co n ju n to s d e u n co n ju n to . E l núm ero d e sub con jun to s e s tá d a d o por la fórm ula:
N(s) = 2" c o n ti = c ard in alid ad
Ejemplo
D eterm ina e l núm ero de subconjuntos d e l conjun to:
R = {a, b, c , d }
Solución
L a c a rd in alid ad d e l co n ju n to e s 4, e n to n c es n = 4 y a l a p lic a r la fórm u la s e obtiene:
N ú m ero d e su b c o n ju n to s = 2 4 = 16
Conjunto potencia
Se le lla m a a s í a l co n ju n to que fo rm an todos los sub con jun to s d e un co njun to.
Ejemplo
E n cu e n tra e l co n ju n to p o ten cia de:
T= { 2 , 4 , 6 }
Solución
El núm ero d e su b c o n ju n to s d e Tes:
N(s)= 2 3 = 8
El c o n ju n to p o ten cia e s tá fo rm ad o por 8 sub con jun to s d e c e ro , uno, dos y tres ele m en to s, los cu ales son:
{{ } ’{ ^ }* { 4 } , { 6 } , { 2 ,4 } , { 2,6 } , { 4,6 } , { 2,4,6 } }
1 1

30. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Conjunto universo
S e a n A, B, C, . .. , su b c o n ju n to s d e un co n ju n to U, a este últim o s e le lla m a co n ju n to universo d e los c o n ju n to s dad o s.
Ejem plo
S e a U = { 0 , 1 , 2 , 3, 4 ,5 , 6 , 7 ,8 , 9 } y los c o n ju n to s A, B y C ta le s que:
A = [ 2 , 4 , 6 , 8 ),B = [ 1 , 2 , 3 , 4 } y C = { 1, 2, 6 , 7 )
C o m o A(z U, BczU,C c U , sie n d o í / e l co n ju n to universo.
EJERC IC IO 5
Resu elve b q u e se indica e n b s sig u ie n te s e je rcid o s:
1. S i W = { x, y, z}, h a lla e l núm ero d e su b c o n ju n to s d e W.
2. S i T= { x g NI 1 < x < l}, d e te rm in a e l núm ero d e su b c o n ju n to s d e T.
3. S i A = { x e NI x es p a r m enor que 10 }, halla e l núm ero de su b c o n ju n to s d e A.
4. S ea e l c o n ju n to L = { a ,fi, 6}, d e te rm in a e l c o n ju n to potencia.
5. S ea e l c o n ju n to M = [a, c, e,f), d e te rm in a e l c o n ju n to potencia.
6. S ea e l c o n ju n to N = {1 ,2 ,3 ,6 }, h a lla e l c o n ju n to potencia.
7. S ea e l c o n ju n to P= [ x e N I * e s un d iv iso r d e 9}, d e te rm in a e l co n ju n to potencia.
8. S ea e l c o n ju n to Q= [ x e N\ 4<x <1 }, d e te rm in a e l c o n ju n to potencia.
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
D iag ram as de Venn
E s la re p re se n ta c ió n d e u n c o n ju n to o c o n ju n to s y s u s o p e ra c io n e s, q u e d e lim ita n figuras p lan a s c o m o c írc u lo s o
re ctán g u lo s; p o r lo g e n e ra l los c írc u lo s d e lim ita n a los e le m e n to s d e l c o n ju n to o c o n ju n to s d a d o s y los rectángu los
d e lim ita n a l co n ju n to universo.
EJEM PLOS
• • R e p resen ta e n un d ia g ra m a d e V enn e l co n ju n to A = { 1, 2, 3, 4 }.
S o lu c ió n
2 • • R e p resen ta e n un d ia g ra m a d e V enn e l conjun to:
B = { x € NI Ares m ú ltiplo d e 3 m en o r que 17
1 2

31. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
S olución
EJ c o n ju n to f i e n form a e n u m erativ a e s: f i = { 3 , 6 , 9 , 12, 15 } y e l c o n ju n to universo so n los núm eros naturales.
P o r tanto, e l d ia g ra m a es:
N B
3 • • 'R e p r e s e n t a e n un d ia g ra m a de V enn los c o n ju nto s Q = { 1, 3, 5 } y P = { 1, 2 ,3 , 4 , 5 }.
S olución
E l co n ju n to Q e s un su b c o n ju n to pro pio de P, y a que to d o s los e le m en to s d e Q so n ele m en to s d e P, por co n sig u ien te,
la rep resen tació n d e am b os co n ju n to s e n un d ia g ra m a d e Venn es:
P
4 • • ■ R e p r e s e n ta e n u n d ia g r a m a d e V enn lo s c o n ju n to s U = { 2 ,4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 2 ,1 4 ,1 6 ,1 7 ,1 8 ,1 9 } , A = { 2 ,6 ,1 0 ,1 2 } y
f i = { 4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 7 }
S olución
L os e le m en to s que s e re p iten s e c o lo c an e n la región c o m ú n d e los c o n ju n to s A y B. L o s e le m en to s fa ltan tes de c a d a
conjun to s e co lo c an , respectivam ente, e n la región so b ra n te. Los e le m e n to s d e l universo que no a p are ce n e n los c o n ­
ju n to s s e c o lo c an fuera de ellos.
5 • • * Sean los conjuntos U = { 3 , 4 , 6 ,9 ,1 0 ,1 2 ,13 ,17 }, P = { 3 , 6 ,9 ,1 0 } y Q = { 4 ,12 }, represéntalos e n u n d iag ra m a d e Venn.
S olución
N o hay e le m e n to s e n co m ú n ; e n e l d ia g ra m a los con ju n to s e stá n se p a ra d o s c o n su s resp ectiv o s e le m e n to s y los e le ­
m ento s que no perten ecen a los con ju n to s s e c o lo c a n fuera d e ello s.
1 3

32. 1 Ca p ít u l o
Álgebra
6 • • • D ib u ja e n un d iag ra m a d e Venn los conjuntos U= { 2 ,4 ,5 ,6 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 ,1 3 ,1 6 ,2 1 ,2 3 } , M = { 2 ,5 ,9 ,1 0 J, N = { 2 , 4 ,6 , 9 }
y L= { 2 ,4 ,5 ,1 6 ,2 1 }
S o lu ció n
L o s e le m e n to s que s e re p iten s e c o lo c a n e n la región c o m ú n de los 3 con ju n to s y los d e m á s ele m en to s s e c o lo c a n en
sus c o n ju n to s co rre sp o n d ie n te s, d e la m ism a form a que e n los ejem p lo s an te rio re s.
Unión de conjuntos
S e a n Ay B con ju n to s no vacíos, enton ces la unión de A y B, s e define:
A \jB = { x \x e A ox< = B }
Su diag ra m a d e V enn se re p re se n ta so m b re an d o am bos co n ju n to s.
La un ión d e dos co n ju n to s e s e l c o n ju n to form ado por los e le m en to s d e am b os co n ju n to s.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
“o . 1 • • S ean los c o n ju n to s A = { 3 , 5 , 6 , 8, 10 } y B = { 2 ,6 , 8, 10, 12 }, h a lla AkjB.
.SL S o lu ció n
i u
E l c o n ju n to so lu c ió n d e la un ión de los c o n ju n to s A y B s o n to d o s los e le m e n to s d e am bos co n ju n to s, los ele m en to s
que s e re p iten só lo s e e s c rib e n u na vez.
P or tanto , e l co n ju n to es:
A u B = { 2 , 3 , 5 , 6 , 8 , 10, 1 2 }
1 4

33. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
2 • • ■ S i 5 = { x € NI Ares d iv iso r d e 2 0 } y 7 ’= [ x e NI ^ e s d iv is o r d e 6 }, h a lla y re p re se n ta e n un d ia g ra m a d e Venn
SkjT.
S olución
L a rep resen tació n e n form a e n u m erativ a d e los c o njuntos es:
S = { 1 , 2 , 4 , 5 , 1 0 ,2 0 }
T={ 1 ,2 , 3 , 6 }
E l c o n ju n to so lu ció n de la unión de los c o n ju n to s S y T e s:
S u T = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 0 , 2 0 }
D iag ram a d e V enn
N S T
3 • • - P a r a los con ju n to s U= { *1 Ares un d íg ito } ,/* = { x s U\xes p a r } y Q = { x e U\xes im par }.
D eterm ina y re p re se n ta e n un d ia g ra m a d e V enn P u Q .
S olución
L a rep resen tació n e n form a e n u m erativ a d e los c o njuntos es:
U = { 0 , 1, 2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 },P = { 0 , 2 ,4 , 6, 8 } y Q = { 1 ,3 , 5 , 7 , 9 }
El c o n ju n to so lu ció n de la u nión d e P y Q es:
P u < ? = { 0 , 1 ,2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
D iag ram a d e V enn
Intersección de conjuntos
S ean A y B co n ju n to s no vacíos, entonces la in tersecció n d e A y B s e define:
A n B = { x \ x e A y x e B }
1 5

34. Ejemplos
1 C a p i t u l o
Á L G E B R A
S u diag ra m a d e V enn se re p re se n ta so m b re an d o la región c o m ú n de a m b o s co n ju n to s.
En e s ta o p e rac ió n s e to m a n únicam ente los e le m en to s que s e re p iten e n los dos conjuntos.
EJEM PLOS
1 • • - S e a n los c o n ju n to s U= { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7 , 8 }, A = { 1, 2, 5, 6 } y B = { 1, 4, 5, 6, 7 }, p re c isa y re p re se n ta e n un
d ia g ra m a d e V enn A r B .
S o lu ció n
f ó r a e n c o n tra r e l c o n ju n to so lu c ió n de la in tersecció n d e los c o n ju n to s A y B, s e to m a n únicam ente los e le m e n to s que
se re p iten e n los co n ju n to s.
P or tanto , e l co n ju n to e s
D iag ram a d e V enn
A n f l = { 1,5,6}
E n c u e n tra la intersección de los c o n ju n to s C = { x I x e s un d íg ito } ,D = { .r e W l .r > 6 } y s u d ia g ra m a d e Venn.
S o lu ció n
L a tran sfo rm a ció n e n s u form a e n u m erativ a de los co n ju n to s es:
C = { 0 , 1, 2 ,3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 ,9 } ,D = {6, 7, 8, 9, 10, 11... }
Para h a lla r e l co n ju n to so lu c ió n d e la in tersecció n de los c o n ju n to s C y D , s e to m a n únicam ente los ele m en to s q ue se
repiten e n los 2 co n ju n to s.
P or co n sig u ien te, e l co n ju n to so lu ció n es:
C n D = { 6 , 7 , 8,9}
D iag ram a d e V enn
1 6

35. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
3 • • ■ P a r a : U = [ 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 },S = { x eU\ Ares p a r } y T= { x e U I x e s im par ). D eterm in a y re p re se n ta en
un d ia g ra m a d e V enn S n T .
S olución
L a fo rm a en u m erativ a de los con ju n to s es:
S = [0, 2 ,4 , 6,8}
T={ 1 ,3,5 ,7,9 }
L o s c o n ju n to s no tienen ele m en to s e n com ún.
P o r tanto, e l co n ju n to so lu c ió n e s vacío:
A n B = {}=(J>
D iag ram a d e V enn
E l d ia g ra m a de V enn no se so m b re a
Conjunto complemento
S ea U e l co n ju n to universo y A un su b c o n ju n to d e U, e l co m p le m e n to de A s e define:
A'={x\x<= U y x e A )
E l co n ju n to so lu c ió n co n tien e a los e le m e n to s que pe rte n ec e n a U y no pe rte n ec e n a l c o n ju n to A y s e re p re se n ta
c o m o A ' o Ac.
Su d ia g ra m a d e Venn se re p re se n ta so m b rean d o la región fu e ra d e l c o n ju n to A.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
"o_ 1 • • D e te rm in a d com plem ento y s u d iag ra m a d e V enn del con ju nto A = { 2,3,5,7 }, s i e l un iv erso es U= [xeN \x< 10 }.
.SL Solución
U J
E l c o n ju n to Uen s u form a en u m erativ a es:
U={ 1,2,3, 4 , 5 , 6 ,7 , 8,9, 10}
{con tinúa )
1 7

36. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a ció n )
P or co n sig u ien te, e l co m p le m e n to d e A es:
A ' = { 1,4,6, 8,9, 10}
D iag ram a d e V enn
2 • • - S e a í /= { ^ € V I^ :e s u n núm ero co m p u e sto m enor q u e 16 }. D e term in a e l co m p lem en to del con ju nto
M = { x e UI .r e s im par }.
S o lu ció n
L o s con ju n to s e n s u form a en u m erativ a son:
U = { 4,6,8, 9 , 10, 12, 14, 15 }
M = { 9 , 15 }
P or tanto , e l co n ju n to co m p le m e n to d e M e s: M ' = { 4, 6, 8, 10, 12, 14 }
D iag ram a d e V enn
3 • • ■ S e a n los co n ju n to s
U={ 2,3, 5 ,6 , 8, 9, 1 0 ,1 2 ,1 3 , 1 4 }
A = {2,5, 6, 9, 12 }
fi = {3,5, 6, 8,9}
D eterm in a A ' n B.
S o lu ció n
Se ob tiene e l co m p le m e n to d e A:
A ' = { 3 , 8, 10, 13, 1 4 }
Se obtiene la in te rse cc ió n d e A ' c o n e l co n ju n to B:
A ' n B = ( 3 , 8, 10, 13, 14 } n { 3 ,5 , 6, 8, 9 } = { 3, 8 }
P or tanto , e l co n ju n to so lu ció n es:
A ' n B = { 3,8}
4 • • S ean los c o njuntos:
A = { ^ € V U e s p a r m enor que 10 }
fi={AT€VI6<JC<10 }
C = {x e N\xes im par }
H a lla ( A u B ) n C
1 8

37. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
S olución
L os con ju n to s e n form a e n u m erativ a son:
A ={2, 4 , 6 , 8 } , » = {6, 7, 8 , 9 } y C = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... }
Se h a lla A u f l :
A u B = { 2 , 4 , 6 ,7 , 8 , 9 }
C o n e l c o n ju n to C y e l co n ju n to a n te rio r se h a lla la intersección:
( A u f i ) n C = { 2 , 4 ,6 , 7 , 8 , 9 } n { 1,3,5,7,9, 11, 13, 1 5 , . . . } = { 7 , 9 }
Finalm ente, e l co n ju n to so lu ció n es:
(A u f l ) n C = { 7 , 9 }
Diferencia de conjuntos
Sean A y B c o njuntos no vacío s, s e define la d ife re n c ia c o m o e l c o n ju n to que co n tien e a los e le m e n to s que pertenecen
a A y que no pe rte n ec e n a l c o n ju n to B. L a d ife re n c ia s e re p re se n ta c o m o A - B.
A - B = A c \ E f= [ x \ x z A y x í B )
Su d ia g ra m a d e V enn se re p re se n ta d e la m an e ra siguiente:
Ejemplo
Si A = { a , b, c, d, e ) y B = { a, e, /, o, u }, h a lla r A - By s u d ia g ra m a d e Venn.
Solución
El co n ju n to so lu c ió n co n tien e a los ele m en to s que pertenecen a A y que no p ertenecen a l co n ju n to B, enton ces:
A - B = { a, b, c, d, e } - {a, e, i, o, u ]
Por tanto, e l co n ju n to es:
A - B = [ b ,c ,d }
D iag ram a d e V enn
U
1 9

38. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJE LC IC IO 6
Sean b s conjuntos:
U = { x e Z l-4 < x< 7 )
A = { x el/lx < 3 i
B = {* g UI Ares un núm ero p a r m ay or que 1}
Representa e n diag ram a d e Venn y de term in a:
1. A u f i 3 . A' 5 . A - B
2 . A n B 4 . B' 6 . B - A
V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
E n los sig u ien tes ejem p lo s, se c o m b in a n las o peracio n es d e co njuntos.
EJEM PLOS
1 • • - D a d o s los c o n ju n to s i / = {Are7Vljc<9 },A = {jceTVI 3 < * < 8 } y B = { 1, 4 ,7 , 9 }, e n c u e n tra e l c o n ju n to solución
d e: A ' c \ B '
S o lu ció n
Se esc rib e n los c o n ju n to s U y A e n s u fo rm a en um erativa:
U= { 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 4 , 5 , 6 , 7 }
Se b u scan los c o m p lem en to s d e a m b o s conjuntos:
A ' = { 1 ,2 ,3 ,8 ,9 } B ' = { 2 ,3 ,5 ,6 ,8 )
Se e fe c tú a la op eració n y e l co n ju n to so lu ció n es:
A 'n B ' = { 1,2,3, 8, 9 } n { 2, 3, 5, 6, 8 }
= { 2 ,3 ,8 }
2 • • ' P a r a los c o njuntos:
P= [ x e N \ - 3 < x < 6 } R= { x e NI x e s p a r m enor que 16 }
Q = { x e N \ x e s d iv iso r d e 2 0 } S= {0,1, 2, 3, 4 ,6 , 7, 8, 9 }
D eterm in a (P - Q) u (R r S)
S o lu ció n
L o s con ju n to s e n form a en u m erativ a son:
P = { “ 2, - 1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ) P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Q = { 1,2,4,5, 10,20} S = { 0 , 1, 2 , 3 ,4 , 6 , 7 , 8, 9 }
Se obtien e la d ife re n c ia e n tre los c o n ju n to s P y Q:
P - Q = { - 2,-1,0, 1, 2 ,3 , 4, 5, 6 } - { 1,2,4, 5, 10,20}
P - 6 = { - 2, - 1 , 0, 3, 6 }
Se d e te rm in a la in tersecció n d e R y S:
R n S = { 2 , 4 , 6 , 8, 10, 12, 1 4 } n { 0 , 1,2,3, 4, 6, 7, 8,9}
R n S = { 2, 4, 6,8 }
Se d e te rm in a la unión:
( P - f i ) u (P n S )= [ - 2 , - 1 , 0 , 3 , 6 } v j {2, 4 , 6 , 8 }
( P - Q) u ( P n S) = { - 2 , - 1 , 0 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 }
2 0

39. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJE IC IC IO 7
Sean los conjuntos:
U = [ 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
A = [ x e UI Ares p a r m eno r qu e 10}
B = {x € UI Ares d iv iso r de 12 }
C = { x e U \ x < 6 }
D = [ x e U \ 2 < x < 6 )
E = { a: € £ / 1 * e s u n d íg ito }
F = { j r e í / l j c > 1 3 }
G = {x € U1 Ares p a r m ayo r qu e 10 }
Determina:
1. A u f l 12. D '
2. B u C 13. A - B
3. CkjD 14.C - D
4. DkjB 15.E - B
5. A n f l 16. B - A
6. A n D 17.A' C\B
7. C n E 18.AkjB'
8. B n C 19.B' n E '
9. A' 20.A '- G
10. B' 21.( A u f l ) '
11. C 22. ( A n f l ) '
23. ( A K jF ) n C
24. Bkj( F - G )
25. ( F - G ) n E '
26. ( F n G ) u D
27. £ ' n ( A u G )
28. (E \j F ) n ( A \ j G )
29. ( C u £ ) n ( F u G )
30. ( S u D ) u ( F n G )
31. ( B u D ) '- ( EkjG Y
32. ( A ' n B ' ) - ( E ' n F ' )
M irifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
O peraciones de conjuntos con diag ram as de Venn
EJEM PLOS
• • R e p resen ta e n un d ia g ra m a de V enn la sig u ien te o p e rac ió n (AuB)':
S o lu c ió n
Se d e te rm in a e l d ia g ra m a de la un ión del
c o n ju n to A c o n B.
E l co m p lem en to e s to d o lo que no pertenece a la unión,
por tanto, s u d ia g ra m a d e \fenn es:
(AkjBY
2 1

40. 2 • •■ R e p r e s e n ta e n un d ia g ra m a d e V enn la sig u ien te o p e rac ió n ( i í u f l ) n C.
S o lu ció n
D iag ram a d e Venn de (A u B) D ia g ram a de \fenn d e l c o n ju n to C
Ü A B
L a intersección de la unión d e A c o n B y e l co n ju n to C , es la región común entre las áreas so m b read as.
1 C a p í t u l o
______________________________________________________________________________________________________________
Á l G E B R A
3 • • R e p resen ta e n un d ia g ra m a d e V enn la sig u ien te o p e rac ió n ( A n B ) u ( A - C ) .
S o lu ció n
D iag ram a d e Venn (A n B) D ia g ram a de \fen n ( A - C )
Finalm ente, e l c o n ju n to so lu c ió n es la unión d e las á re a s som breadas.
U A B
( A n B ) u ( A - C )
2 2

41. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJERC IC IO 8
Realiza e l diag ram a d e Venn d e ca d a una d e la s sig u ien tes o p e racio nes:
1. A ' 4 . A n B n C 7 . ( A u C ) n ( B - C ) 10. ( A n B ) u ( B n C )
2. (A n B Y 5. ( A u S ) n C 8. ( A - f i ) u ( A n C ) 11. ( ( A - B ) u ( B n C ) ) '
3. A 'n B ' 6. B ' n ( A - C) 9. ( A n f i n C ) ' 12. ( A 'u f l ,) - ( A , u C ')
^ M irifica t u * r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c io n a * c o r r e s p o n d i a n t a
Ejemplo
Sean los c on ju nto s:
U = { a ,b ,c ,d fg ,h ,i) B = (b,d,g,h }
A = [a ,b,c,d) C = ( b , f g , h )
R ep resenta e n d ia g ra m a de V enn y halla e l co n ju n to so lu c ió n (A ' - B ) n C.
S olución
Para d e te rm in a r e l c o n ju n tó s e procede d e la sig u ien te m anera:
Se h a lla p rim e ro A ', s e realiza la d ife re n c ia c o n e l c o n ju n to B y, finalm ente, c o n e s ta ú ltim a o p e rac ió n s e realiza
la in tersecció n c o n e l co n ju n to C.
«
i
_
A '
B
(A ' - B ) n C = ( f )
EJE ÍC IC IO 9
Sean b s conjuntos:
U= {x l * e s u n d íg ito }
A = { x e U \ x <5 }
B = { xg UI Arsea p rim o }
C={ 2 , 4 , 5,8}
Representa en diag ram a d e Venn y determ ina e l conjunto so lu ció n .
1. A u B 4 . A ' n B ' 7. (A '- B ') n C
2. A n B 5. ( A u B ) n C 8. ( A - B ) ' n ( f l n C ) '
3. A 'kjB' 6. ( A u f i u C ) ' 9. (A -fl)'u C *
M irifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a
10. (A nB)' n ( A ' nB ')
11. (A -B )'n (B -C )'
12. (A' \ j B ' ) - ( A ' kjC)
2 3

42. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Se realizó u n a en cu e sta a 82 alum nos so b re e l tip o d e m ú sica q u e más les agrada; los resultados fueron los siguientes:
a 3 2 d e ello s les g u sta e l pop, a 33 les ag ra d a e l rock, a 36, e l reggae, a 10 les g u sta e l pop y e l rock, a 11 e l p op y
e l reggae, a 9 les a g ra d a e l ro ck y e l reggae, a 4 les g u sta n los 3 estilo s y únicam ente a 7 o tro s tip o s d e m úsica.
¿ C u án to s estu d ia n tes só lo prefieren rock?
¿ A cu án to s a lu m n o s só lo les a g ra d a e l reggae?
¿ C u án to s estu diantes prefieren únicam ente p o p y reggae?
¿C u ánto s a lu m n o s prefieren so la m e n te rock y reggae?
S o lu ció n
S e c o n stru y e e l diag ra m a de Venn, d e la sig u ien te m anera:
Se in ic ia c o n la z o n a e n la que s e in tersecan lo s 3 co n ju n to s.
4
Se o b tie n e n los a lu m n o s d e la z o n a do n d e s e interseca e l pop y e l ro ck únicam ente.
1 0 - 4 = 6
Se o b tie n e n los estu d ia n tes de la z o n a d o n d e s e in te rse ca e l pop y e l reggae, solam ente.
1 1 - 4 = 7
Se o b tie n e n los a lu m n o s d e la z o n a do n d e s e interseca e l rock y e l reggae únicam ente.
9 - 4 = 5
Se o b tie n e n los estu d ia n tes de la z o n a qu e únicam en te e sc u c h a n pop.
3 2 - ( 6 + 4 + 7 ) = 15
Se o b tie n e n los a lu m n o s d e l a z o n a que únicam ente e sc u c h a n rock.
3 3 - ( 6 + 4 + 5 ) = 18
Se o b tie n e n los estud iantes d e la z o n a que únicam ente esc u c h a n reggae.
3 6 - ( 7 + 4 + 5 ) = 20
L o s alum nos a quienes les gusten otros estilos, s e colocan en la z o n a que no corresp ond e a los conjuntos anteriores.
H d ia g ra m a d e V enn que s e o b tie n e es:
Finalm ente:
Los a lu m n o s q u e só lo prefieren rock, so n 18
Los a lu m n o s q u e só lo les a g ra d a reggae, so n 20
Los a lu m n o s qu e prefieren únicam en te p o p y reggae, so n 7
Los a lu m n o s qu e prefieren únicam en te rock y reggae, so n 5
2 4

43. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
2 E n una p rep arato ria s e o b tu v ie ro n los sig uientes d ato s d e 35 0 estudian tes:
2 00 alu m n o s a p ro b aro n la m ateria d e c á lc u lo d iferen cial;
160 estu d ia n tes a p ro b aro n física;
187 ap ro b a ro n historia;
112 ap ro b a ro n c á lc u lo d ifere n cia l e historia;
120 ap ro b a ro n c á lc u lo d ifere n cia l y físic a ;
9 5 a p ro b aro n física e historia;
80 a lu m n o s a p ro b aro n cálcu lo d ifere n cia l, fís ic a e historia.
Indica cu án to s d e e sto s 350 a lu m n o s apro baro n:
1. S ó lo una m ateria
2 E x ac ta m en te 2 m aterias
3. A l m enos una m ateria
4. C u a n d o m ucho 2 m aterias
Solución
O r a fo rm a d e resolver e s te tip o d e problem as e s la siguiente:
Se d e n o ta n los co n ju n to s d e los estu d ia n tes
U: C o n ju n to universo
C = { a lu m n o s qu e ap ro b a ro n c á lc u lo d ifere n cia l }
F = { a lu m n o s q u e ap ro b aro n físic a }
H = ( alum nos que a p ro b a ro n h isto ria }
C ard in alid ad d e los c o njuntos:
n ( U ) = 35 0 n ( C ) = 2 0 0 n(F)= 160 n ( H ) = 187
n(C rH )= 112 n(C nF )= 120 n(F nH ) = 9 5 n ( C n F n H ) = 80
P a ra c o n stru ir e l diag ra m a d e V enn s e o b tie n e n lo s sig u ien tes datos:
Se c o lo c a e l núm ero d e e stu d ia n te s que a p ro b aro n la s tre s m aterias; e s decir, la in tersecció n d e los tr e s con­
ju n to s: n(C r F r H) = 80
Se co m p le ta e l núm ero d e estu d ia n tes que ap ro b a ro n d o s m aterias ú n icam en te; e s d ecir, la in te rse cc ió n d e dos
conjuntos:
n ( C n H ) - n ( C n F n H ) = 112 - 80 = 32
n(C n F) - n(C n F n H) = 120 - 80 = 4 0
n ( F r H ) - n{C r F n H ) = 9 5 - 80 = 15
Se c o m p le ta e l n ú m ero d e e stu d ia n te s d e c a d a co n ju n to , e l c u a l e s e l n ú m ero d e e stu d ia n te s q ue a p ro b a ro n
una s o la m ateria.
Para e l co n ju n to C:
n(C) - [n(C n F ) - n ( C n F n / / ) ] - [ n ( C n f í ] - n ( C n f n f f ) ] - n ( C n F n H ) =
= 2 0 0 - 4 0 - 3 2 - 80 = 4 8 a lu m n o s só lo a p ro b aro n c á lc u lo diferen cial.
2 5

44. 1 Ca p ít u l o
Álgebra
De una fo rm a a n á lo g a s e obtien e para los c o n ju n to s F y H.
n(F) - [ n ( C n F ) - n ( C n F n H ) ] - [ n ( F n H ) - n ( C r F n H ) ] - n (C r\F n H ) =
- 160 - 4 0 - 15 - 80 = 2 5 alu m n o s só lo a p ro b aro n física.
n(H) - [ n ( F n H ) - n ( C n F n H ) ] - [ n ( C n H ) - n { C n F n H ) ] - n ( C n F n H ) =
= 187 - 15 - 3 2 - 80 = 6 0 só lo ap ro b a ro n historia.
ftira co m p le ta r e l d ia g ra m a s e d e te rm in a e l núm ero d e a lu m n o s que no ap ro b a ro n nin gun a m ateria.
E s la d ife re n c ia d e l to ta l d e e stu d ia n te s , d e los c u a le s s e o b tu v ie ro n l o s d a to s y e l to ta l de a lu m n o s d e los
co n ju n to s.
3 5 0 - [ « ( C ) + n (F |+ /i( //) -n ( C n F | - n ( C n H ) - n ( F n / / ) + n ( C n F n / / ) ]
3 5 0 - ( 2 0 0 + 160 + 1 8 7 - 1 2 0 - 1 1 2 - 9 5 + 8 0 ) = 3 5 0 - 3 0 0 = 50
D iag ram a d e Venn
F inalm ente:
Sólo u na m ateria:
S um a d e los a lu m n o s que a p ro b aro n una s o la m ateria d e c a d a con ju nto :
n { C ) + n ( F ) + n(H) - 2 n(C r F) - 2 n ( C n H ) - 2 n ( F r H ) + 3 n ( C n F n H)
2 0 0 + 1 6 0 + 187 - 2 (1 2 0 ) - 2 ( 1 1 2 ) - 2 ( 9 5 ) + 3 ( 8 0 ) = 133
E x actam en te 2 m aterias:
S um a d e los e stu d ia n te s que ap ro b a ro n 2 m aterias únicam ente:
n (C n H ) + n ( C n F ) + n { F n H )- 3 n ( C r F n H ) = 112 + 120 + 9 5 - 3 ( 8 0 ) = 87
A l m enos u na m ateria:
Son los estu d ia n tes que a p ro b aro n 1, 2 o 3 m aterias:
n(C )+ n (F )+ n (H )-n (C n F )-n (C n H )-n (F n H )+ n (C n F n H ) = 3 0 0
C u a n d o m u ch o 2 m aterias:
Son los estud iantes que a p ro b aro n 0, 1 o 2 m aterias:
3 5 0 - « ( C n F n H ) = 2 70
2 6

45. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJERC IC IO 1 0
Resu elve los sig u ie n te s problem as:
1. U n a em p re sa re a liz ó una e n c u e sta a 2 5 0 personas para sa b e r q u é p rogram a d e tele v isió n prefieren v e r en dom ingo.
Se les d ie ro n 3 o p c io n e s: d e p o rte s, películas o m u sic a le s. E l re su lta d o de la e n c u e s ta fue: 130 personas prefieren
deportes; 80 prefieren v e r películas; 40, m usicales; 2 5 prefieren deportes y películas; 20, películas y m usicales; 10, d e ­
portes y m u sicales; y só lo a 6 p erso nas les g u sta n los tre s tipos d e program as.
á) ¿ C u á n ta s prefieren ver s ó lo depo rtes?
b) ¿ C u á n ta s prefieren ver s ó lo un p ro gram a d e tele v isió n ?
c ) ¿ C u á n ta s prefieren ver películas o m usicales?
2. A los niños d e una o rg a n iz a c ió n c iv il s e le s a p o y a p a ra q u e h agan d ep o rte. U n a e n c u e s ta re v eló q u e lo s deportes
que m ás les ag ra d a n so n : n atación , fútbol, b é isb o l, en tre o tro s. L o s re su lta d o s de la e n c u e sta fueron: 7 s ó lo prefieren
natación; 2 8 s ó lo q u ie re n ju g a r fútbol; un o s ó lo quiere p ra ctic a r b é is b o l; 30, n a tació n y fútbol; 18, n a ta ció n y b éisb o l;
20, fútb ol y béisb o l; 12, los 3 deportes d e m ayo r p re fe re n cia y 20, otro s deportes.
á) ¿ C u án to s niños q u ie re n bé isb o l o natación ?
b) ¿ C u án to s niños prefieren fú tbo l o béisb o l?
c) ¿ C u á n to s niños fu eron en cu e stad o s?
d) ¿ C u án to s niños prefieren únicam en te 2 deportes?
3. U n a e m p re sa co n ce d e c o m o p re stac ió n a su s e m p le a d o s la a sis te n c ia a s u c lu b d e p o rtiv o ; e n é ste hay ca n c h a s de
squash, un gim n a sio , un bo liche y un a cafe te ría, do n d e s e pueden d iv ertir c o n ju eg o s d e m e sa o sim plem ente platicar.
A 7 0 personas s e les a p lic ó u n a e n c u e sta para sa b e r la a ctiv id ad d e esp a rc im ie n to d e s u preferen cia y s e en co n tró que:
2 0 prefieren boliche, 2 7 e l gim n asio, 24 sq u a sh , 8 boliche y gim nasio , 10 sq u a sh y bo lich e, 15 sq u a sh y g im n a sio y,
por últim o, 6 prefieren sq u a sh , g im n asio y b o lich e.
á) ¿ C u á n ta s únicam ente prefieren ju g a r boliche?
b) ¿ C u á n ta s únicam ente q u ie re n ju g a r sq u a sh ?
c ) ¿ C u á n ta s p ersonas só lo d e se a n e sta r e n e l gim nasio?
d) ¿ C u á n ta s p erso nas prefieren o tras activ id ad es?
é) ¿ C u á n ta s prefieren e l sq u a sh o e l boliche?
/ ) ¿ C u á n ta s no q u ie re n b o lic h e o sq u a sh ?
4. E n un su p e rm erc ad o s e h iz o una e n c u e sta a 6 0 p ersonas, p a ra sa b e r q u é tip o de b e b id a a lc o h ó lic a que e s té e n o fe rta
prefieren. L o s resultado s fueron: 12 c o m p ra ría n w hisky y te q u ila ; 16 vo d k a y te q u ila ; 14 w hisky y v o dka; 2 9 w hisky;
3 0 te q u ila ; 2 9 vodka y só lo 9 personas las 3 bebid as.
á) ¿ C u á n ta s p erso nas c o n te staro n que o tras bebidas?
b) ¿ C u á n ta s prefieren 2 tipos d e b e b id a únicam ente?
c) ¿ C u á n ta s quieren a l m enos u na d e las tr e s bebidas?
d) ¿ C u á n ta s q u ie re n só lo u n tip o d e bebida?
5. E n una fiesta infan til a lo s niños s e les pid ió s u o p in ió n a c e rc a d e l s a b o r d e l h e la d o q u e p referirían com er. L o s re su l­
tad o s fu eron los sig u ien tes: 9 q u ie re n d e ch o co late, vain illa y fre s a ; 12 d e fre s a y vainilla; 13 d e ch o co late y fresa;
15 de ch o co late y v ainilla; 18 d e fresa; 2 6 de v ainilla; 2 9 de ch o co late y 8 niños prefieren d e otros sab o res.
á) ¿ C u án to s niños h ab ía e n la fiesta?
b) ¿ C u án to s quieren só lo d e 2 sa b o res?
c) ¿ C u án to s só lo d e un sa b o r?
d) ¿ C u án to s no q u ie re n d e ch o co late o fresa?
Vferifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
2 7

46. Á lg eb ra de conjuntos
E n e l sig u ien te c u a d ro se m u e stra n d ifere n te s o peracio nes c o n c o n ju n to s. S e a n los c o n ju n to s U ,A ,B y C ta le s q u e
A c í / , B c í / y C c í / , d o n d e U e s e l c o n ju n to universo.
______________________________________O p eracio n es co n co n ju n to s_______________________________________
8. A u A = A
9. AkjA' = U
10. £/' = <|>
11. A r U = A
12. -4 n <J) = <J)
13. A n A = A
14. A rA '= (J)
1 C a p í t u l o
__________________________________________________________________________________________________________________________
Á l G E B R A
A so c ia tiva s C o n m u ta tiv a s
15. ( A u f l ) u C = A u ( f i u C ) 19. A u f l = f l u A
16. ( A n B ) n C = A n ( f í n C ) 20. A n B = B n A
D istributivas L e y es d e D e M o rg a n
17. A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C ) 21. (A ufi)' = A ' n B ’
18. A n ( £ u C ) = ( A n f l ) u ( A n C ) 22. (AnB)' = A 'kjB'
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • A plica las defin icio nes d e las o peracion es c o n con ju n to s y d e m u e stra que:
(AkjB)' = A' r B '
S o lu ció n
S i* € ( A u f l)'
E n to n ces x e U y x e ( A u f í )
S i * g (A u B), e n to n c e s x g A o x e B
S ixg A ox g B, en to n c es x s A' y x e B'
E n to n c e s x e (A ' n B')
P o r tanto, (A u B) ' = A ' n f í '
2 • • A p lic a las definicion es d e las o p eraciones c o n co n ju n to s y d e m u e stra que:
(A r B ) ' = A' kjB'
S o lu ció n
S i * e (A nfi)'
E n to n c e sxe U y x e (AnB)
Sixe (A n f í ) , e n to n c e sx £ A y x € B
S x x e A y x i B en to n c es x e A' o x e B ’
E ntonces a: € (A 'u B ')
Por tanto, (A n f i ) ' = A’ xjB'
Es más p ráctico realizar las dem ostracion es utilizando las leyes y o peracio nes d e co n ju n to s.
D efinición de co m p lem en to
D efinición de intersección d e c o n ju n to s
D efinición de co m p lem en to
D efinición de u nión de co n ju n to s
D efinición de co m p lem en to
D efinición de u nión de co n ju n to s
D efinición de co m p lem en to
D efinición de intersección d e c o n ju n to s
1. ( A ') ' = A
2. <$>' = U
3. A - A = ó
4. A -«J> = A
5. A - B = A r Br
6. A u <J> = A
7. A \jU = U
2 8

47. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
3 • • A p lic a las leyes y d e m u e stra que ( A n B ) u ( A n B') = A.
Solución
(A n B) u (A n B') = A n (B u B') L e y distributiva (18)
= A r U O p e rac io n es c o n co n ju n to s (9 )
= A O p e rac io n es c o n c o n ju n to s (11)
4 • • A plica las leyes y d e m u e stra q u e (A n B) u C = (A u C ) n (B u C ).
Solución
( A n B ) u C = C u ( A n B ) L e y c o n m u tativ a (19)
= ( C u A ) n ( C u f i ) L e y distributiva (17)
= ( A u C ) n ( f l u C ) L e y c o n m u tativ a (19)
5 • • A plica las leyes y d e m u e stra que A n (fi n C ) ' = (A - f i) u (A - C ).
S olución
A n ( B n C Y = A n ( B ' u C ) L e y d e D e M o rg a n (22)
= (A n f í ') u ( A n C ') L e y distributiva (1 8 )
= (A - B) u (A - C ) O p e rac io n es c o n co n ju n to s (5)
EJEIC IC IO 11
A p lica la s leyes y dem uestra la s sig u ien tes id e ntid ad es:
1. A - ( f l n C ) = (A -fl) u ( A - C )
2 . A - ( B u C ) = ( A - B ) n ( A - C )
3. A 'n ( B u C ) ' = ( A u f l u C ) '
4 . ( A n B n C ) ' = A' k jB 'k jC'
5 . ( A u f l ) n A '= A 'n B
6. A '- ( A u C ) ' = C -A
7. A u ( B n A ') = A u f l
8. A - (A - B)' = A -B
V» rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Lógica
L a ló g ica s e o c u p a d e l ra zo n a m ie n to a p artir d e las prem isas, las c u a le s so n propo sicion es que d a n la p a u ta para e l
p roceso ded u ctiv o e inductivo. A n a lic em o s algunos co n cep to s:
In ferir. P roceso d e unir ideas para llegar a conclusiones verdaderas a partir d e proposiciones verdaderas.
Proposición lógica. Es un e n u n c ia d o que s e c alific a co m o fa lso o v erdadero , p ero no am bo s a la vez.
2 9

48. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Ejemplos
a = “C u b a e s tá e n A m é ric a ” V erdadero ( v )
b = “ 4 e s núm ero im par" Falso ( / )
c = “ E1 ele fan te e s un ave” ( / )
p = “ L o s perros lad ra n " ( v )
q = “ H erm o sa tard e” N o e s u na p rop osició n ló g ica
N egación. Se obtien e negando o afirm an d o e l en u n ciad o y s e d e n o ta por e l sím b o lo (~).
Ejem plo
S ea la proposición:
a = “ 5 e s n ú m ero prim o”
L a negación d e la proposición es:
~ a = “ 5 no e s n ú m ero prim o"
Tipos d e proposiciones
Proposición lógica sim ple. Es a q u e lla que e s tá fo rm ad a por u n so lo en u n ciad o .
Ejemplos
l = “ E l d e lfín e s u n m am ífero"
r = “4 e s n ú m ero par"
Proposición lógica co m p u esta. Es aq u ella que form an 2 o m ás proposiciones sim ples unidas por uno o más conectivos
lógicos.
Ejemplos
a = “ 8 e s núm ero par y 5 e s n ú m ero prim o"
b = “C h in a e s tá e n A s ia o C o lo m b ia e s tá e n A m é ric a "
c = “ S i un volcán e stá e n P e rú , en to n c es e s tá e n A m é ric a ”
p = “ 8 e s núm ero par s i y só lo s i e s divisible p o r 2"
Proposiciones compuestas
E n e l sig u ien te c u a d ro s e m u e s tra n la s d is tin ta s p ro p o sic io n e s c o m p u e s ta s c o n s u resp ec tiv o c o n e c tiv o ló g ic o y
sím b o lo .
N om bre C onectivo lógico Sím bolo
N egación No
D isyun ción 0 V
C onj unción
y
A
Im plicación en to nces =>
D oble im plicación Si y só lo si
3 0

49. Ejemplos
Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
• • S ean las proposiciones:
a = “E1 l u c á n e s u n ave"
b = “ E1 león e s un m am ífero"
L a disy unció n en tre las propo sicio nes es:
a v = “E l tu c á n e s un a v e o e l león e s un m am ífero "
2 • • S ean las proposiciones:
p = “ 4 e s núm ero par"
q = “ 4 e s núm ero n atural".
L a co n ju n c ió n en tre las proposiciones es:
p a q = “ 4 e s núm ero p a r y e s n ú m ero n a tu ral’
3 • • ' S ean las proposiciones:
p = “x<&,x<=Z"
p a q = “ 2 es d iv iso r d e 6 y e s prim o”
p v q = “ 8 e s núm ero im par o e s co m p u e sto ’
La negación e n tre las proposiciones es:
~p = “x * 8 , *g Z ” o “* > 8 , a:€ Z ”
~(p a q) = “N o e s v erd ad q u e 2 e s d iv iso r de 6 y e s prim o”
“ (P v «?) = “ N o e s verd ad que 8 e s n ú m ero im par o e s co m p u e sto ’
4 • • S ean las proposiciones:
p = “ 3 0 e s m ú ltip lo d e 10”
q = “3 0 e s m ú ltip lo d e 5”
L a im plicación en tre las proposiciones es:
p ^ q = “ S i 3 0 e s m ú ltiplo de 10, enton ces e s m ú ltip lo d e 5”
5 • • S ean las proposiciones:
p - “C h in a e s tá e n A sia”
q = “C u b a e s tá e n A m é ric a ’
L a d o b le im plicación en tre las proposiciones es:
p o q = “C h in a e s tá e n A s ia s i y só lo s i C u b a e s tá en A m é ric a ’
3 1

50. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJERC IC IO 1 2
Sean la s sig u ie n te s p ro p o sicio n e s:
p = “ E sp a ñ a e s tá e n E u ro p a"
q = “ Ja p ó n e s tá e n A sia”
Escrib e la s sig uientes p roposiciones:
1. p A q
2. p v q
3. - p
4. - q
5. p=>q
8. p v ~ q
9. ~(p v q )
10. ~ {p a q)
6. p <=>q
7. - p A q
ta rific a tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
L a re p re se n ta c ió n d e u n a p ro p o sic ió n sim p le o c o m p u e sta s e ilu stra c o n los sig u ien tes eje m p lo s:
Ejemplos
S ean los sig u ien tes e nu nciados:
p = “ 9 e s m últiplo d e 3"
q = “ 5 e s d iv iso r d e 10”
E scrib e e n fo rm a sim b ó lic a los sig u ien tes e nu nciados:
1. 9 e s m ú ltiplo d e 3 y 5 e s d iv iso r de 10
Sean la s sig u ie n te s p ro p o sicio n e s:
a = “ L a g u a ca m a y a e s un ave"
b = “A Luis le g u sta e sc u c h a r a los R o llin g Stones”
Escrib e e n form a sim b ó lica los sig u ie n te s en u n cia d o s:
1. L a g u a ca m a y a e s un ave y a L uis le g u sta e sc u c h a r a los R o llin g Stones
2. L a g u a ca m a y a e s un ave y a Luis no le g u sta e sc u c h a r a los R o llin g Stones
3. L a g u a ca m a y a no e s un ave o a Luis no le g u sta e sc u c h a r a los R o llin g Stones
4. A L uis le g u sta e sc u c h a r a los R o llin g Stones o la g u a ca m a y a e s u n ave
5. L a g u a ca m a y a no e s un ave y a Luis le g u sta e sc u c h a r a los R o llin g Stones
6. N o e s verd ad que la g u a ca m a y a e s un ave y que a L uis le g u sta e sc u c h a r a los R o llin g Stones
ta rifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
EJERC IC IO 13
3 2

51. so| d uia¡3
Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Leyes de De M organ
L a negación de u na d isy u n c ió n e s la co n ju n c ió n d e las negaciones d e su s proposiciones.
~ ( p v q ) = ~ p q
L a negación de una co n ju n c ió n es la disy u n c ió n d e las negaciones d e su s proposiciones.
~ ( p v q ) = ~ p v ~ q
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
• • N ie g a la sig u ien te proposición:
a = “ 4 e s núm ero p a r o Ja p ó n e s tá e n A sia”
S olución
- a = “ 4 no e s núm ero p a r y Ja p ó n no e s tá en A s ia "
2 • • N ieg a la proposición:
b = “ L a g u a ca m a y a e s un ave y e l d e lfín e s un m am ífero"
S olución
~b = “ L a g u a ca m a y a no e s un a v e o e l d e lfín no e s u n m am ífero"
3 • • N iega la proposición:
c = “ E l león e s un m am ífero y e l tiburón no e s un pez"
S olución
~ c = “ E1 león no e s un m am ífero o e l tib uró n e s un pez”
EJERC IC IO 1 4
N iega la s sig u ien tes pro p o sicio n e s co m p uestas:
1. a = “E sp a ñ a e s tá e n E u rop a o 6 e s núm ero par"
2 . b = “ L o s perros lad ra n y 12 e s m ú ltip lo d e 3"
3 . c = “ 5 e s u n núm ero p a r y no e s m ú ltip lo de 15"
4 . d = “ 7 no e s prim o o e s d iv iso r de 2 1 ”
5 . e = “ 6 no e s núm ero im p ar y e l tu c á n no e s un ave”
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ■
Proposiciones condicionales
C onversa d e la im plicación. Si p =* q, la c o n v ersa se define c o m o q =* p.
Ejemplo
B illa r la c o n v ersa de la proposición:
p = * q = “ S i un volcán e s tá e n P e rú , en to n c es e s tá e n A m é ric a ”
S olución
L a c o n v ersa d e la p ropo sición es:
q= > p = “ S i un volcán e s tá e n A m é ric a, en to nces e stá e n Perú*
3 3

52. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
C ontrapositiva d e u n a im plicación. Si p =ó q, la c o n tra p o sitiv a s e define c o m o - q ^ - p .
Ejem plo
D eterm in a la co n tra p o sitiv a d e la proposición:
p=> q = “ S i un volcán e s tá e n P erú, en to n c es e s tá en A m é ric a ”
S o lu ció n
L a c o n tra p o sitiv a d e la p ropo sición es:
~q = > ~ p = “ S i un v olcán no e s tá e n A m é ric a, en to n c es no e s tá e n Perú*
Inversa d e u n a im plicación. S i p = * q , la inversa se define c o m o ~p=*~q.
Ejem plo
D eterm in a la inversa d e la proposición:
p=> q = “ S i 8 e s m ú ltiplo d e 4 , en to nces e s m últiplo d e 2 "
S o lu ció n
L a in versa d e la p ropo sición es:
- p ^ - q = “ S i 8 no e s m últiplo d e 4 , enton ces no e s m últiplo d e 2 ”
EJERC IC IO 15
D eterm ina la co n versa , contrapositiva e inversa d e las sig u ien tes im p licaciones:
1. p = * q = “ S i 3 e s d iv iso r d e 6 , e n to n c e s no e s par”
2. p = * q = “ Si Ares m últiplo de 5, en to nces e s d iv iso r d e 2 5 ”
3. p ^ q = “ Si un triá n g u lo es u n polígono, e n to n c es no e s un cuadrilátero*’
4. p= > q = “ Si M arte no e s un planeta, en to n c es la L u n a e s un satélite "
5. p = * q = “ S i 17 e s un n ú m ero prim o, enton ces no e s m últiplo de 5 0 ”
Vb rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Relación de proposiciones abiertas con conjuntos
Proposición a b ie rta . E s aq u é lla e n la que e l su je to e s una variab le. T od a proposición a b ie rta re p re se n ta un co njunto,
que re c ib e e l nom bre d e c o n ju n to so lu ció n d e la p roposición.
Ejem plo
E n c u e n tra y re p re se n ta e n un d iag ra m a d e V enn e l c o n ju n to so lu ció n d e la proposición:
p = “a :e s un n ú m ero p a r m eno r q u e 10"; x e N
S o lu ció n
C o n ju n to solución:
P = [ 2 , 4 , 6 ,8 }
D iag ram a d e V enn
3 4

53. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
C onjunción. L a co n ju n c ió n s e relacio n a c o n la intersección de co n ju n to s.
Ejemplo
D eterm ina y re p re se n ta e n un d ia g ra m a d e Venn e l co n ju n to so lu c ió n de la proposición:
p = “x es p rim o y x < 7 ’; x e N
S olución
L a proposición s e re p re se n ta d e la siguien te form a:
P = { 2, 3 ,5 , 7, 11, 13, 17 . . . } n { 1, 2 , 3,4, 5 , 6,7 }
P o r tanto, e l co n ju n to so lu c ió n es:
P = { 2 , 3 , 5,7}
D iag ram a d e V enn
D isyunción. L a disy unció n s e relacio n a c o n la un ión de co n ju n to s.
Ejemplo
E n cuentra y re p re se n ta e n un d ia g ra m a d e V enn e l co n ju n to so lu ció n d e la proposición:
q = “x e s p a r m enor que 10 o x < 6” ; x e N
S olución
L a proposición s e re p re se n ta d e la siguien te form a:
0 = { 2 ,4 , 6 , 8 } u { 1,2, 3 , 4 , 5}
E l c o n ju n to so lu ció n es:
Q = { 1 ,2 ,3 ,4,5,6,8}
D iag ram a d e V enn
N egación. L a negación s e relacio n a c o n e l co m p le m e n to d e un co njun to.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
-q_ 1 • • ¿ C u á l es e l c o n ju n to so lu ció n y e l d ia g ra m a d e V enn de c a d a una d e las sig u ien tes propo sicion es?
a = “* e s u n dígito par” - a = “x no e s un d íg ito par"
U J
Solución
E l co n ju n to so lu c ió n d e la p rop osició n a , e s: A = { 0 , 2,4, 6, 8 }
(ico n tin ú a)
3 5

54. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a ció n )
D iag ram a d e V enn
EJ c o n ju n to so lu ció n d e la p rop osició n ~ a, e s: A ' = { 1, 3 ,5,1,9 }
D iag ram a d e V enn
2 • • - ¿ C u á l e s e l c o n ju n to so lu c ió n de la neg ació n de la sig u ien te prop osició n?
a = “Ares p rim o m enor que 15 o Ares d iv iso r d e 15” ; x eN
S o lu ció n
A = { 2, 3 , 5, 7 , 11, 13 } u { 1,3,5, 15}
P o r co n sig u ien te, e l c o n ju n to so lu ció n es:
A = { 1,2,3,5,7,11, 13, 15}
L a negación d e la proposición es:
- a = “x no e s p rim o m eno r que 15 y * no e s d iv iso r d e 15"
E l c o n ju n to so lu ció n es:
A ' = { 4 , 6, 8,9, 10, 12, 14,... }
D iag ram a d e V enn
3 • • ¿ C u á l es e l c o n ju n to s o lu c ió n d e l a n e g a c ió n d e l a siguiente p r o p o s ic ió n ?
b = “Ares d iv is o r d e 6 y Ares p a r m e n o r q ue 10” ; x e N
S o lu ció n
B = { 1, 2 , 3 , 6 } n { 2, 4, 6, 8 }
P or co n sig u ien te, e l co n ju n to so lu ció n es:
B = ( 2,6}
3 6

55. Ca p ít u l o f
Conjuntos y lógica
L a negación de la proposición es:
~¿> = “x n o e s d iv iso r de 6 o .r no e s p a r m en or que 10" \ x s N
E l c o n ju n to so lu ció n es:
A' = { 1,3, 4 , 5 ,7 , 8,9,... }
D iag ram a d e V enn
N
Ék 4
3 m
i 'V 8
Im plicación. L a im plicación s e relacio n a c o n e l su b co n ju n to d e un co njunto.
Ejemplo
R ep resenta e n un d ia g ra m a de V enn la sig u ien te proposición:
« = “ s i un anim al e s un delfín , entonces e s u n m am ífero"
Solución
EJER C IC IO 1 6
• Determ ina e l co n ju n to so lu ció n y diag ram a d e Venn d e la s sig u ie n te s p ro p o sicio n e s:
I 1. a = “ x e s p a ry * < \ 0 " \ x e N
• 2. b = ‘t r e s p a r m enor que 12 y x< 5”;x eN
I 3 . c = “x e s m últiplo d e 3 o x < 8 " ; a: € N
[ 4. d = “Ares p rim o m en o r q u e 11 o * e s p a r m enor q u e 10”;x e N
Representa e n un diag ram a d e V enn la s sig u ien tes im p licaciones:
• 5. e = “ Si un ciu d a d an o e s d uranguense, e n to n c es e s m exicano"
1 6. / = “ S i un núm ero real e s prim o, en to nces es e n te ro "
3 7

56. Ca p í t u l o
Á L G E B R A
En las sig u ie n te s p ro p o sicio n e s determ ina la neg ación y represéntala e n un diag ram a d e Venn.
7. g = “x < T '-,x < = N
8. h = “x e s p a rox<V'-,xeN
9. i = “* > 4 y x e s par";x e N
10. j = “x < 5 yx e s prim o” ;x eN
V itrifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e ^
C álcu lo proposicional
C u a n d o u na proposición s e con struy e a p a rtir de o tras p roposiciones, m ediante c o n ec tiv o s lógicos, e l v alor de verdad
lo de te rm in a n los valores d e v erd ad d e la s prop osicio nes originales.
Dadas las propo sicio nes p y q, los v a lo re s d e verd ad de las proposiciones p v q, p a q, p => q, p <=> q y ~ p , \ o s
d e te rm in a n los valores d e v erd ad de p y q.
E l núm ero d e valores d e verdad e s tá d a d o p o r 2" d o n d e n re p re se n ta e l n ú m ero d e proposiciones,
fó ra verificar e l valor d e v erd ad de una p ropo sición co m p u e sta s e utilizan las sig u ien tes tab las.
Tabla de v e r d a d p a r a la d isy u n c ió n T ab la d e v e rd a d p a r a la c o n ju n c ió n
L a disyun ción e s v erdad era, s i una L a co n ju n c ió n e s verdadera, s i las dos pro posicion es
o las d o s propo sicio nes z so n v erdaderas. so n verdaderas.
p
p v q
V V
V
V
/ V
/
V
V
/ / f
T a bla d e v e r d a d p a r a la im p lic a c ió n
L a im plicación e s falsa, s i la prim era proposición
es v e rd ad e ra y la se g u n d a e s falsa.
p
p = > q
V
V V
V
/
i
/
V
V
/ /
V
p
<1
p ^ q
V V
V
V
/ f
/
V
f
/ / f
Tabla d e v e rd a d p a r a la d o b le im p lic a c ió n
L a d o b le im plicación e s verd adera, s i las dos
proposiciones so n v erdaderas o las dos so n falsas.
P <1p ^ q
V V v
V
/f
/
V
f
/ /
V
Tabla de v e r d a d p a r a la n e g a c ió n
E n la negación d e u na proposición, s u valor
d e verd ad e s e l c o n tra rio d e l original.
p
V
/
/v
v = V erdadero
/ = F also
3 8

57. s o jd u ia jgE JE M P L O S-----------------------------------------------------------------------------------------------•
• • C o n stru y e un a ta b la d e verd ad y d e te rm in a e l valo r d e verdad de la sig u ien te proposición:
a = “ 3 es d iv iso r d e 15 o 3 e s m ú ltiplo d e 2 ”
S olución
Se h allan los valores d e verd ad d e las proposiciones:
p = “ 3 e s d iv iso r d e 15” v
q = “ 3 e s m ú ltiplo d e 2” /
Se con struy e la ta b la d e verd ad para la disy unció n y a que e l co n ec tiv o lógico es “ o ".
p9
p v q
V
/
V
F inalm en te, e l valo r d e verdad p a ra la p ro p o sic ió n “a” es v erd ad ero ( v ).
2 • •■ D e te rm in a e l valo r d e verd ad de la sig u ien te proposición:
b = “ 15 no e s m ú ltiplo de 3 y 3 e s prim o"
S olución
Se d e te rm in a n los valores d e verdad d e las proposiciones:
p = “ 15 no e s m ú ltiplo de 3 " /
= “ 3 e s p rim o " v
Se con struy e la ta b la d e v erd ad para la con ju nción:
P A q
Finalm ente, e l valo r d e verdad p a ra la p rop osició n es fa lso ( / ) .
3 • • E n c u e n tra e l valo r de verdad d e la sig uiente proposición:
c = “ Si 2 e s núm ero par, enton ces 4 e s d iv iso r d e 10"
S olución
Se d e te rm in a n los valores d e verdad d e las proposiciones:
p = “ 2 e s núm ero p a r" v
q = “ 4 e s d iv iso r d e 10” /
Se con struy e la ta b la d e verdad para la im plicación:
P <1
p=*q
V
f f
P o r co n sig u ien te, e l valor d e v erd ad para la proposición es fa lso ( / ) .
Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógico
3 9

58. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJERC IC IO 1 7
Indica el v a lo r d e ve rd a d d e las sig u ien tes p ro p o sicio n e s:
1. a = “ 4 e s núm ero p a r y 5 e s m últiplo d e 2 ”
2. b = “L a v íbora no e s un rep til o e l c a n a rio e s un pez”
3. c = “ Si 21 es m últiplo d e 7 , enton ces 21 e s m últiplo de 2”
4. d= “ L a g u a ca m a y a e s un pez s i y só lo s i e l tib u ró n e s u n ave”
5. e = “ Si e l o ro e s un m etal, en to n c es e s un buen co n d u c to r de la e le c tric id a d ”
6. b = “ 3 e s d iv iso r de 18 o 18 e s m últiplo d e 24"
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Construcción de las tablas de verdad
U na ta b la d e verdad s e c onstruye p aso a paso, a l esta b le c e r los valores c o rresp o n d ien tes d e c a d a su b o p e rac ió n invo ­
lucrada, h a sta llegar a la exp resió n dad a.
D espués d e c o n stru ir u na ta b la d e verdad, e l resu ltad o puede s e r u na tau to lo g ía , una co n tra d ic c ió n o una c o n tin ­
g en cia. A n a lic em o s esto s co n cep to s:
T autología. P ropo sición co m p u e sta e n la que todas las co m b in a cio n es de valores so n verdaderas.
C o n trad icció n . P roposición co m p u e sta e n la c u a l todas las co m b in acio n es d e v alores so n falsas.
C o ntin gencia. P rop osición co m p u e sta e n donde las co m b in acio n es d e v alores so n v erdaderas y falsas.
EJEM PLOS
• • C o n stru y e la ta b la d e v erd ad p a ra p a ~ q y re a liz a una c o n clu sió n .
.1 . S o lu ció n
i u
E l n ú m ero d e proposiciones e s 2, por tanto, e l núm ero d e valores d e verdad es 2" = 2? = 4 , e l resultado in d ica e l núm ero
d e renglon es d e la tabla.
P rim ero se d e te rm in a la negación d e la p rop osició n q. F inalm ente la co n ju n c ió n s e re a liz a to m a n d o la p ropo sición
p y la negación de q a n te s o bten ida.
p q ~q
P A ~ q
V V
f f
V
/
V v
/
V
/ /
/ /
V
/
Se con clu y e q ue la ta b la d e v alo res d e verd ad es una co n tin g en cia.
4 0

59. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
2 • • 'C o n stru y e y d a una c o n clu sió n d e la ta b la d e v erd ad para ( p a q ) => ( p v q ).
Solución
Prim ero se e n cu e n tra la co n ju n c ió n d e p y q, d e sp u é s s e d e te rm in a la d isy u n c ió n d e p y q.
P o r u ltim ó s e re a liz a la im plicación d e la co n ju n c ió n y la d isy u n c ió n antes ob tenida.
p 4 P A i
p w q ( / > A ? ) = 5 ( p v q)
V V V V V
V
/ /
V V
/
V
/
V V
/ / / /
V
Se c onclu ye que la ta b la d e verd ad co n stru id a e s u na tau tología.
3 • • ■ R e a liz a una ta b la d e verdad y verifica si la sig u ien te p ro p o sic ió n ( p a q ) a ~ pe s u na co n trad icció n .
S olución
P rim ero se realiza la co n ju n c ió n de las prop osicio nes p y q, sim u ltáneam ente se n ieg a la p ropo sición q, finalm ente se
d e term in a la co n ju n c ió n d e los valores d e la prim era co n ju n c ió n c o n la negación d e p .
p
p A q
~ p
(p a q) a — p
V V V
f f
V
/ / f f
/
V
/
V
f
/ / /
V
f
L a p rop osició n resu ltó fa ls a p a ra todos los v alores, por co n sig u ien te, e s u na c o n trad icció n .
4 • • C o n stru y e la ta b la de verd ad p a ra p v (q a r).
S olución
E l núm ero d e proposiciones es 3, p o r tanto, e l núm ero d e valores d e verdad es 2" = 2 3 = 8 , e l resu ltad o in d ica e l núm ero
efe ren glones d e la tabla.
P rim ero s e en c u e n tra n los v alo res d e verd ad de la co n ju n c ió n d e las proposiciones q y r, finalm ente s e d e te rm in a
la d isy u n c ió n d e la p rop osició n p c o n la co n ju n c ió n a n te s dete rm in a d a.
p 4
r q A r p w { q A r )
V V V V v
V V
/ /
V
V
/
V
/
V
V
/ / /
V
/
V V V V
/
V
/ / /
/ /
V
/ /
/ / / / /
F inalm en te, la ta b la in d ica q u e s e tra ta d e una co n tin g en cia.
4 1

60. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
5 ••■ C o n s tru y e la ta b la d e v erd ad p a ra ~ p v ~ q .
S o lu ció n
p -p ~q
~ pw - q
V V
f f f
V
/ f
V v
/
V V
/ V
/ /
V V V
Los valores d e v erd ad de la ta b la ind ican que e s un a co nting en cia.
6 • • ‘C o n stru y e la ta b la d e v erd ad p a ra ~pv~-(~pvq).
S o lu ció n
p -p
~pvq ~(~pvq) ~~p v*~(~-p v q)
V V
f
V
f f
V
/ f /
V v
/
V V V
/
V
/ /
V V
/
V
L a ta b la es una co n tin g en cia.
7 • • V erifica s i la sig u ien te proposición e s tau to lo g ía
S o lu ció n
p«? ~p
p v q ) p v ( - p v ^ )
V V
f
V V
V
/ f /
V
/
V V V V
//
V V V
L a p ro posición resu ltó v e rd ad e ra p a ra todos los valo res, por tanto, e s tautolo gía.
8 • • V erifica s i la sig u ien te proposición e s tau to lo g ía (p a q) =* (p <=> q).
S o lu ció n
p p A q p * * q ( p A q ) =* ( p «=> q)
V V V V V
V
/ / /
V
/
V
f
.......¿ ........
V
/ / f
V V
L a p ropo sición resu ltó v e rd ad e ra p a ra todos los v alores, por co n sig u ien te, e s tau tología.
4 2

61. Ca p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
9 • • -C on stru ye la ta b la de verd ad p a ra - ( p a q ) v ~ (q <=> p ).
Solución
p4 P a q q< * p “ (P a q) ~ ( < ? « p )
~ ( p A $ ) V ~ ( 4 « = > p )
V V V V
f / /
V
/ / /
V V V
/
V
/ /
V V V
/ / /
V V
/
V
L a ta b la es u na co n tin g en cia.
EJERC IC IO 1 8
C o nstru ye la tab la d e ve rd a d para ca d a una d e las sig u ien tes p ro p o sicio n e s:
1 . p v - q
2. PA -q
3. ~p=>~q
4. ~(pvq)=>~q
5. (p*q)<*(pvq)
6. (pvq)A~(p=>q)
7. ( p = * q ) v ( q = > p )
8 . (P A ( p = * q ) ) = > p
9. (~ p A~q)=*~(pvq)
1 0. ( p v q )A (p v r )
1 1 . ~ p v ( ~ q <=> r)
V itrifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a
Producto cartesiano de conjuntos
D ados 2 c o n ju n to s A y B no v acío s, e l p ro d u c to c a rte s ia n o e s e l c o n ju n to (A x B) q ue c o n tie n e a to d as la s parejas
ordenadas, c u y o prim er ele m e n to pertenece a l co n ju n to A y s u seg u n d o ele m e n to pertenece a l c o n ju n to B.
A x B = {(a , b ) \ a e A y b e B )
E JE M P L O S
1 • • S i A = {1, 2} y f l = {jc,y}, d e te rm in a A x B .
aL Solución
u
Se a so c ia a c a d a un o d e los e le m en to s d e l prim er co njunto, c o n todos los ele m en to s d e l se g u n d o con ju nto :
A x B = { (1 ,x \ ( 1 ,y l ( 2 ,x \ ( 2 ,y)}
(ico n tin ú a)
4 3

62. 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
R epresentació n gráfica:
a:
-------
— '-----------------►
1 2 A
La re p resen tació n g ráfica tam b ién se c o n o ce c o m o d ia g ra m a sa g ita l.
2 • • ■ S i A = { 1, 2 } y fl = { 2, 3, 4 } y C = { 3, 4 , 6 }, h a lla ( A u B ) x ( B n C )
S o lu ció n
Se h a lla e l co n ju n to so lu c ió n d e las operacio n es indicadas y posteriorm en te s e realiza e l producto c artesia n o :
A u f í = { 1 ,2 ,3 ,4 }
B n C = { 3 , 4 }
( A u B ) x ( B n C ) = { ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) }
3 • • ■ S i A / = [ a , b , c ) , N = [ 1 , 2 , 3 } y Q = { x , y}, e n c u e n tra M x N x Q
S o lu ció n
E l p rod ucto c a rte s ia n o M x N x Q s e define com o:
M x N x Q = { (m , n , q ) I m s M, n e N y q e Q }
Entonces:
( a 1,x ),(a , l y ) , (a, Z x), (a, 2, y), (a, 3 * ) , (a, y)
M x W x e H ( A U ) , ( * . i,y),{b, 2,x),(b, 2,y),(b, 2x),(b, 3» y)
( g 1,x ) , ( c , l , y ) , ( G % x ) , ( c , 2 y ) , ( c , 3 , x ) , (c , i y )
EJERC IC IO 1 9
Cfedos b s sig u ie n te s conjuntos:
A = { 1 , 2 , 3 } , f l = { 2 , 4 } y C = { 3 , 5 , 6 }
Realiza b s sig u ien tes produ ctos cartesian o s y verifica q u e e l resultad o d e l inciso 6 e s igual a l o b te n id o e n e l inciso 7:
1. AxB 6 . A x(B xC )
2 . AxC 7 . (A xB ) xC
3 . BxC 8. ( A u B )x ( A n C )
4 . BxA 9 . ( A -B )xC
5 . CxB 10. ( A - C ) x ( A n C )
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s a c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
4 4

63. _____________Capítulo 2
Co n c e p t o s b á s ic o s de á lg eb r a
H
0
»C
1
<2
STÓRICA
^aJltrXOPW M U
a l-K h w a rizm i
M
atem ático á ra b e , co no cid o com o el
pad re del álg eb ra.
Sus obras incursionan en las ram as d e las ma­
tem áticas, astrología, astronom ía, geo grafía e
historia. Una d e sus ob ras importantes por su
contenido a lg eb raico es la que lleva por título
H isa b al-gabr w a'lm uqqabala, considerada uno d e los primeros libros de
álg eb ra.
Es el autor d e uno de los métodos geométricos más antiguos para resolver
ecuaciones d e segundo grado, e l cual se conoce como completar cuadrado.
En las ecuacio nes llam aba "co sa " (x a y en castellano) a la incógnita, a él
se d eb e que se utilice la letra "x" p ara representarla.
Se I b ruso d e d ic a d o a al-Khwarizm i
(780-850 d.C.)

64. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
Á lgebra
R am a d e las m atem áticas que tra ta a las can tid ad es d e m anera g en eral.
Expresiones alg eb raicas
Se conoce a s í a la com binación d e núm eros reales (co n sta n tes) y literales o letras (variables) que rep resentan cantidades,
m ediante o peracio nes d e su m a , resta, m ultip licación , división, po tenciación, etc éte ra.
Ejemplos
3 a + 2 b - 5 , e n e s ta exp resión so n co nstantes 3, 2, - 5 y las variables s o n a y b.
(z2 + 8)(5z4 - 7 ) , e n e s ta exp resión so n co nstantes 8, 5 y - 7, v a ria b le “z” y 2, 4 exponen tes.
T érm in o algebraico. E s un su m a n d o d e u n a ex p resió n alg e b raic a y representa una can tid ad. A to do térm in o algebraico
se le d e n o m in a m o n o m io y c o n sta de: coeficiente, b a se (s ) y ex pon ente(s).
Ejemplos
T érm ino Coeficiente B ase(s) Exponente(s)
- 8 / - 8
y
3
5 IB "'
1
3
m,n 1,*
| ( 2 , + i r
3
4
2x+ 1 - 2
T érm inos sem ejantes. D os o más térm inos so n sem ejantes cuand o los m ism os exponentes afectan a las m ism as bases.
Ejemplos
L o s sig u ie n te s té rm in o s tie n e n las m ism a s b a se s c o n s u s re sp e c tiv o s e x p o n e n te s ig u ale s, p o r lo c o n sig u ie n te so n
sem ejan tes.
- I b co n 4b - 8¿ y 1 c o n l x 2y l \ a b e 2 c o n a b e 2
6
Reducción d e términos semejantes
Para sim p lifica r ex presiones q ue involucren térm in os se m ejan te s, s e su m a n o restan los coeficientes.
E JE M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------•
■§. 1 § • S im plifica la ex p resió n - l a + 3a.
.1 . S o lu ció n
UJ
S e a g ru p an los coeficientes y s e re a liz a la o p e rac ió n qu e d a c o m o resultado:
- l a + 3 a = ( - 7 + 3 )a = - 4 a
2 • • - ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e sim plificar la e x p resió n - 6 x y 2 + 9xy* - x y 22
S o lu ció n
S e a g ru p an los coeficientes y s e re a liz a la o p e rac ió n para o b te n e r e l resultado:
- 6 x y 2 + 9 x y 2 - x y 2 = ( - 6 + 9 - \)x y 2 = 2xy2
P or co n sig u ien te, e l resu ltad o de la sim plificación e s: 2 x y 2
4 6

65. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
3 • • R educe la ex p resió n - l Q r 20 y b + 5 *20 / - 6**“ / + 1 Lr20 y".
Solución
Se e fe c tú a e l m ism o p ro ced im ien to que e n los eje m p lo s an terio res y s e ob tien e:
- \ 0 x 2ay b + 5 x 2ay b - 6 x 2ay b + 1 1x2ay b = ( - 1 0 + 5 - 6 + 1 1 ) x 2ay b = 0x 2ay b = 0
El resu ltad o es igu al a 0
4 • • Sim plifica la e x p resió n I x - 3 y + 4 z - 12 x + 5 y + 2 z - 8y - 3z.
Solución
Se a g ru p an los térm ino s sem ejan te s:
7 j c - 3 y + 4 z - 1 2 r + 5 y + 2 z - 8 y - 3 z = 7 j c - \ 2 x -3 y + 5 y - 8 y + 4 z + 2 z - 3z
Se realiza la red u cció n :
= (7 - \2 ) x + ( - 3 + 5 - 8)y + (4 + 2 - 3)z
= - 5 * - 6 y + 3z
P o r tanto, e l resu ltad o e s: - 5 x - 6 y + 3z
5 • • Sim plifica O Sa'b-lab* - S a 'b + OJSab* - ^ a 'b .
Solución
Se ex presan los d e cim ales e n fraccio n es, s e a g ru p a n y sim p lifican los térm in o s se m ejan te s.
0 5 a 3b - 3 a b s - S a ’fc+ 0 . 75 a b 3 ~ ^ - a 3b = ] - a 3b - 3 a b3 - 5a*¿>+ ^a b 3 ~ ^ a 3b
D A 4 3
= ^ a 3b - 5 a ib - ^ a i b - 3 a b 3 + ^ a b i
3 1 9 i
E ntonces, e l resu ltad o e s: ——a b - —a b '
6 4
EJERC IC IO 2 0
• Sim plifica:
! 1. 3 r - 8*
2. 6 a 2b + l a 2b
3. - 6xy2 - x y 2 - 3xy2
I 4. 4 x f i - 4 x f i
: 5. - U b + l ' t f b
6. - 3 ú + 5 a - 10a
I 7. 4 x - 3 * - 2 *
1 8. 7 a b + 4 a b - 3 a b
4 7

66. E je m p lo s
2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
9. S o 1 - 7 a 2 + 3 o 1- 2 a 2
1 0. - m + n + m + n
11. \ a 3b - j a 3b + ^ a 3b
4 5 6
12. - 3a**1 + 2<f+l - a * x + 2a*+l
13. 0.25¿>-0.4¿> + 0.2¿>
14. ^ a b 3c ~ ^ ° b 3c - a b 3c
15. 4/n’"2 - lOm*-2 + 3 n f~ 2
16. 8 * - 3 y - 9 * + 5 y - 2 r + y
17. 1 0 a - 7 ¿ > + 4 a + 5 ¿ - 1 4 a + 3 ¿ >
18. - 12tfi + 3 n - 4 m - \ 0 n + 5 m - n
19. \ l a 2b + 3 ab2 - & a 2b - \ 0 a b 2 - 3 a 2b + 6 ab 2
20. 9¿ \ ? c - S J b c * - 1 2 o V c + 3a 2b c 2 + 4 o V c
21. - 3 j t 2 + 2y2 - 7 + 1 0 ^ - 1 2 / + 1 5
22. - 8 1 m 2 - \7 m n + 15«2 + 20m 2 + 3m « - 17/i2+ 5 3 m 2 +18mw + 7/i2
23. j?**1 -'Sx3a~2 - 4¿°~2 + 8 / ° ” + l l x 3^ 2
24. - 3c T 5 + l f o T 2 + 2 ^ 5 - 3 ^ 2 - 8c T 5
25. - .^ - a 2 - \ a b + ) - a 2 + 5 a b -? > a 2 - ) - a b
4 2 2 2
2 6. - — b m~2 + - j í " - 1 - - b m~2 - 4 x m~l
3 10 2 4
27. 0 .5 * - 2 . 5 y + 0.4a:
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Valor numérico
E l v a lo r n u m érico d e u na e x p resió n a lg e b ra ic a s e ob tien e a l su s titu ir a las literales o letras c o n su s resp ectiv o s valores
num éricos y en to nces se realizan las o peracio nes indicadas.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • • D eterm in a e l valo r num érico de la ex p resió n : x 4y V \ s i x = 4, y = 3, z =
S o lu ció n
Se su stitu y en los resp ectiv o s valores d e x , y , z y s e e fe c tú a n las o p e rac io n e s indicadas para obten er e l v alor num érico
d e la expresión:
A V = ( 4 ) W ( 0 = ( 2 5 6 ) ( 9 ) ( ¿ ) = ^ ± = 288
E ntonces, e l resu ltad o e s: 2 8 8
4 8

67. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
2 • • ¿C u ál es e l v a lo r n um érico d e ^ + x = ^ y = ~¡'í
S olución
A l seg u ir los pasos d e l eje m p lo an terior, s e obtiene:
5 ^ 2 « y 5 (2 )¡ 2(2)U J 4 = 5 W _ 4 . 4
3 5 3 x 3 5 3 (2 ) 3 5 6
= 25 _ i + ±
3 5 24
_ 800 - 24 + 5 781
781
P o r tanto, e l valo r n um érico de la ex presión e s igual a:
120 120
781
120
3 • • ■ E ncu en tra e l valo r num érico d e 3rtt2 - 2 m n + n 2p \ s i m = - 3, n = 4, p = - 5.
Solución
Se su stitu y en lo s respectivos valores e n la e x p resió n y s e re aliz a n las operacio nes:
3m2 - 2m n + n2p = 3 ( - 3)2 - 2( - 3)(4) + (4)2( - 5)
= 3(9) - 2 ( - 3)(4) + ( 1 6 )(- 5)
= 2 7 + 2 4 - 8 0
= - 2 9
P o r co n sig u ien te, e l valor n um érico e s: -2 9
EJEÍC IC IO 21
Encuentra e l v a lo r num érico d e ca d a una d e la s sig u ien tes exp re sio nes si:
m = - 2 , n = 3, p = I , x = I ,y = 10,z = ^
4 3 2
1. 2m + « l S . Ü Z L . H l l
\ 2 m + n ) ti m
l m ~ n * y . i v w . 9.
3. Sp + 3 x 2 n z x
n
5. 5 m - 2 « + 3 y
. 2 z + 6 x 12. m 2 - 3 m n + rí2 20. — - p " + z "
4. 32
13. — - - + 3 21. (m -n)(p-x)
x z
6■ X*Z~P 14. 22. ( ó x - lp X lm 2- ^
3x + 4 z - 9 2 3 4
7 - ñ 15. 2 3.
z X m z p
8. + m + , 6 2 | l _ 8 | l + 3 24. 3 ( p - * ) '
9. J ? ! _ £ ± í 17. 2 r P - f - ^ 25. ^ + & 3 ^
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ■
49

68. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
L e n g u a je a lg e b ra ic o
m
7 + 7
f - q
2 x + 5
x
x- 1
d
2
y*
¿>+c
2
| ( * - 5 ) = 1 2
* jr+ l,x + 2
120 0 - tv
b2 + 7
| p + ^ ( p + i ) = 3
\¡a -b
x ( x - \ ) = ?>0
x 3 + 3 x 2
EJERC IC IO 2 2
• Expresa e n len g u aje alg eb raico las sig u ie n te s o racio n e s:
1. U n n ú m ero dism in u id o e n tres.
l 2. E l trip le d e un n ú m ero exced id o e n ocho.
3. E l c o c ie n te d e dos núm ero s cu alesq u ie ra .
4. L a parte m ayor d e 100 si la parte m enor e s x.
5. D os núm eros en te ro s consecutiv os.
6. T res nú m eros en te ro s pares co nsecutivo s.
I 7. E l c u ad ra d o d e la sum a d e d o s nú m eros cu alesq u ie ra .
•
• 8. L a su m a d e los c u ad ra d o s d e dos núm eros c ualesquiera.
! 9. E l re c íp ro c o de u n núm ero.
•
* 10. L a raíz c ú b ic a d e la d ife re n c ia d e dos nú m eros cu alesq u ie ra .
11. L a sum a d e las raíces cu ad ra d as d e d o s núm eros cu alesq u ie ra .
Lenguaje alg eb raico
E x presa oracio nes d e lenguaje c o m ú n e n térm in os a lg eb raico s.
Ejemplos
E x p resa las sig u ien tes oraciones d e l lenguaje c o m ú n a l lenguaje alg e b raic o .
L e n g u a je c o m ú n
1. U n núm ero cu alq u iera.
zU n núm ero cu alq u iera au m e n tad o e n sie te .
3. L a d iferen cia d e dos núm eros cu alesq u ie ra .
4.E l doble d e un n ú m ero ex ced id o e n cinco.
5.L a div isión de u n núm ero en te ro en tre s u antecesor.
6. L a m itad d e un núm ero.
7. E l cu ad ra d o de un núm ero.
aL a se m isu m a d e d os núm eros.
9. Las d o s terc era s partes d e un n ú m ero dism in u id o e n c in c o e s igual a 12.
10.T res núm eros naturales con secu tivos.
11. L a parte m ay or de 1200, s i la m enor e s w.
12.E l cu ad ra d o de un n ú m ero au m e n tad o e n sie te .
13.Las tre s qu intas p artes d e un núm ero m ás la m itad d e s u co n se cu tiv o eq uivalen a 3.
14.L a raíz cu a d ra d a d e la d ife re n c ia de dos can tid ad es.
15.E l producto d e u n núm ero positivo c o n s u an te ce so r eq u iv ale a 30.
16.E l c u b o de un núm ero m ás e l triple d el cu ad ra d o d e d ic h o núm ero.
5 0

69. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
12. D iez unidades m enos que c in c o veces u n núm ero.
13. L a se x ta parte d e la su m a d e dos núm eros.
14. L a su m a d e tre s núm eros pares consecutivo s e s igual a l trip le d e l m enor, más las tres cu artas partes d e l mayor.
15. U n n ú m ero d e dos cifra s, c u y o d íg ito d e las d e ce n as e s e l doble d el d e las unidades.
16. L a c u a rta p arte d e l producto d e tre s núm eros c u ale sq u ie ra m enos 4.
17. E l cu ad ra d o d e la su m a de dos núm eros e s igual a 49.
18. E l á re a d e un cu ad ra d o d e lad o x unidades.
19. E l p erím etro de un rectángu lo, s i se sabe que e l largo e s tre s veces s u an ch o .
2 0 . E l p erím etro d e un trián g u lo rectángu lo, s i s e sabe que e l c a te to m ay o r m ide tre s unidades m ás que e l c a te to m eno r
y que la hip oten usa e s dos unidades m ay or que e l c a te to m ayor.
21. E l precio d e un a rtíc u lo d ism inuido e n s u 15%.
2 2 . E l e x c e so d e 50 so b re e l doble d e un núm ero.
23. D os núm eros c u y a su m a s e a 80.
24. T res núm eros im pares con secu tivos.
25. E l á re a d e un rectáng ulo , s i s e sabe q ue s u largo m ide tre s unidades m enos que e l trip le d e s u an ch o .
26. L a e d a d d e una p erso n a hace 10 añ o s.
27. E l ex ceso d e l c u b o d e un núm ero so b re la m itad d e l m ism o.
28. L os á n g u lo s d e un triángulo, s i e l prim ero e s e l doble d e l seg und o.
29. L a c a n tid a d de a lc o h o l e n un re cip ie n te d e x litros d e u na m ez cla s i la c o n ce n tra c ió n d e a lc o h o l e s 30% .
30. L a e d a d d e A lb e rto s i tie n e cu a tro añ o s más que e l doble d e la e d a d d e P a tric ia.
31. L as dos terc era s partes d e un núm ero, m ás e l trip le d e s u con secu tivo , m enos s u recíp roco eq u iv ale a 10.
3 2 . E l doble d e un núm ero equivale a l trip le d e s u a n te c e so r ex ced id o e n sie te .
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i e n t e
E bd a una exp resió n alg e b raic a, s e re p re se n ta e n lenguaje c o m ú n d e la sig u ien te m anera:
E JE M P L O S
• • R ep resenta e n lenguaje co m ú n la exp resión: 3x - 8.
Solución
Prim ero s e ex p resa la m ultiplicación y posteriorm en te la difere n cia .
3 x - 8 = e l trip le d e un n ú m ero d ism in u id o e n ocho
2 • • • E x p resa 2 x + x 2 e n lenguaje co m ú n .
S olución
L a exp resió n q u e d a d e la sig uiente m anera:
2 x + X2 = la su m a d e l doble d e un núm ero y s u cu ad ra d o
O tra form a d e re p re se n tar e n lenguaje c o m ú n la m ism a expresió n es:
2 x + x 2 = doble d e u n núm ero au m e n tad o e n s u cu ad ra d o .
5 1

70. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
2 4
3 ••'Expresa en lenguaje común - * - l = — .
S o lu ció n
U na m anera de la ex p resió n e n lenguaje c o m ú n es:
Dos novenos d e u n núm ero d ism in u id o e n la u n id ad e q u iv a len a cu atro tercio s.
EJEIC IC IO 2 3
C am b ia las sig u ien tes exp re sio nes alg eb raicas a len g u aje com ú n:
1. x + 3 10. 3 y - 2 = 2 5
2. 2 a -11 11. -z+2=z
4
3 . 3a2 12. - j ( . r - y ) + 3 = A :+ y
6
4. - a 13. í = -! ■ (* -y)
6 y 5 '
5 . - 1 4 . x 2 - y 2
X
6 . ( a + b y 15. x 2 - 2 x
7 . * 3 + y 3
8. - 7 7 17.
c + 1 \ a - b
9 . 5 * = 3 0 18. x 2 + (¿ + l ) 2
V srific a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
P o lin o m io s
E xp resió n a lg e b ra ic a que c o n sta d e varios térm inos alg e b raic o s.
Sum a
E n la s u m a los polinom ios s e escrib en uno se g u id o d e l o tro y s e reducen los térm inos sem ejan tes.
E JE M P L O S
1 • • S um a los sig u ien tes p olinom ios: 5a3 - 3a2 - 6 x - 4 ; - 8a3 + 2a2 - 3 ; 7 a 2 - 9 x +1.
S o lu ció n
L o s po linom ios s e esc rib e n d e la sig u ien te form a y se realiza la red u cció n de térm ino s sem ejan te s:
(5a:3 - 3a2 - 6a: - 4 ) + ( - 8a3 + 2 a2 - 3 ) + ( J x 2 - 9a + l ) = - 3 t 3 + 6 x 2 - 15a- 6
P or tanto , e l resu ltad o e s: - 3 r 3 + 6 a 2 - 15* - 6
52

71. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
2 • • ■ E fectú a la sigu iente o p eració n : ( 2 x - l y - 3 z + 6) + (- 9 x + 4 z ) + (- x + 4 y + z - 8).
S olución
C o n un fin más práctico, s e o rd e n an los polinom ios hacien d o co in c id ir lo s térm inos sem ejantes e n c o lu m n a s; asim ism o,
s reducen los co eficie n te s térm in o a térm in o .
2 r - 7 y - 3 z + 6
+ - 9 c + 4 z
- x + 4y + z - 8
- 8 c - 3 y + 2 z - 2
E l resu ltad o d e la su m a e s: - 8 r - 3 y + 2 z - 2
3 • • R ealiza la s ig u ie n te o p e rac ió n : + í ) ‘
S olución
Se a c o m o d a n e n form a vertical los térm in os sem ejantes y s e re a liz a la o p e rac ió n co lu m n a por co lu m n a:
W ’ -s
P o r co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: Z c fl+I - ^ y *
EJERC IC IO 2 4
• Realiza b sig uiente:
! 1. S um a los polinom ios 3 x - 8 y - 2 z ; 7 x + 3 y + z
• 2. ¿ C u á l es la su m a d e - 5 m - 3w + 6 c o n 7 m + 2 n - 8?
3 . R e a liz a (1 l a - b + c ) + ( - 8 a - c)
\ 4 . E fe c tú a (3p - 5q - 6 r ) + (2p + 3q - 2 r) + ( - 12p + 4 q + r)
• 5. S um a 6*2 + 3 * - 2 c o n - . ^ + 7 * + 4
6. (8 a 2 - 6 a 3 + 4 a ) + (4 a + O1 - 4 a - 5 )
I 7 . (5*4 - 3 / + 6 c - 3 ) + ( - 3 x 4 + jr3 + 5.r2 - 7 j c + 3)
• 8. R e a liz a (5.C2 - 5a: + 6 ) + (Zc2 - 7 * + 4 ) + ( - 6 c 2 + 1 0c - 10)
I 9. S u m a y 3 - y ; 2 y 2- 5 y + 7 ; 4 y J - 5 y 2 + 3 y - 8
•
! 10. ¿ C u á l es e l resu ltad o de su m a r 8Z3 - 9 ; - 4z3 + 2z2 + 6 ; 5z2 - 2z3 - 7 z + 2?
• 11. E fe c tú a la su m a de 4 ¿ - 10^y - 12y2; 3 / - 10*2 + 5x y \ % x y - 3 ¿ - 2y 2
I 12. R e a liz a Ce5 - 3 x ) + (x* + 6 / ) + ( - / - 2)
* 13. ¿ C u á l es e l resu ltad o de la su m a d e - 15x?y - 3x*y* - ó t y 5; - 8 / y + 2 x f - 4 c / ?
\ 14. S um a / - y 4; - / y + / y 2 - Ay3; 3x4 + 5 / y - 4c2/ ; - 4 c 3y + 3 / y 2 - 3y4
15. R e a liz a (3a6 - 4 a 7) + ( 7a + 6 a 2) + ( - 3 a 2 + 7 a ) + ( - a 4- 4a 2)
5 3

72. E je m p lo s
2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
5 2 1 3 1 1 3
16. S um a los p olinom ios - x 2 - 5 x y + - y 2; - ~ x 2 + - x y - -y 2; - 2 x 2 + - x y - —y 2
2 3 3 2 4 2 4
a — l y f w f ? - ! » ) * £ |í4 * H * ( 4 - 4 * 4 ? )
1 8. S um a los po linom ios 7 / + ^ - * y 2 ; x i - ^ x 2y - y 3\ \ x * - \ x y 2- | y 3
6 5 8 2 3 4 5
19. B f c c tía ( , * - ! , ) + ( V - 2 y ) +
2 0. S u m a i 5 - / ; - E * y - | v - i y 5; | * V |* V -
22. ¿ C u á l e s e l resu ltad o de su m a r (5 a 31 - 2 a 21 + 7< f) + ( - 2 a 31 + 4 a * - 6 ( f ) l
23. S u m a 3 x 2fl- 5 x 2o- , + 4 ^ - 2; ^ + 4*2fl-, + ^ a- 2; - 3 x 2fl- 7 ^ - 2; ^ a- , + 3 r 2fl- 2
24. ¿ C u á l es e l resu ltad o de su m ar ^-b2' - ~ b x + b, - \ b 2' + b l - \ b y - b 2x + 2 b l
8 6 4 3
V ferifka t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c d ó n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a
Resto
E n e s ta o p eració n e s im portante identificar e l m in uendo y e l su straen d o , para posteriorm ente realizar la re d u cc ió n de
térm inos sem ejantes.
E JE M P L O S
1 • • R e a líz a la sig u ien te o p e r a c i ó n : ( 4 o - 2 ¿ > - 5 c )- ( 3 a - 5 b -7 c ).
S o lu ció n
E n e s te e je m p lo 4 a - 2 ¿ » - 5 c re p re se n ta a l m in u e n d o y 3 a - 5 b - 1 c a l su stra e n d o . Se su p rim e n lo s p a rén tesis y s e
procede a e fec tu a r la red u cció n de té rm in o s se m ejan te s.
(4 a -2 ¿ > - 5 c ) - ( 3 a - 5 ¿ > - 7 c ) = 4 t f - 3 t f - 2 ¿ > + 5 ¿ > - 5 c + 7 c
= a + 3 b + 2 c
P or co n sig u ien te, e l resu ltad o de la re sta e s: a + 3¿> + 2 c
2 • • ■ D e 1 6 r2- 7 x - 8 r e s t a r 6 r - 3 ^ : + 6.
S o lu ció n
E l m inuendo es 16*2- I x - 8 y el sustraendo es 6X2 + 3 x - 6, entonces a l sustraendo se le cam b ia e l signo - (ó*2 - 3 x + 6 ) =
- 6 x * + 3 * - 6 y s e a c o m o d a n los polin o m io s e n fo rm a vertical para realizar las operaciones e n tre los térm in os se m e ­
jan te s:
1 6 r - 7 * - 8
- 6 r + 3 x - 6
\ 0 x 2 - 4 x - 14
P or tanto , e l resu ltad o e s: 10.*2 - 4 x - 14
5 4

73. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
3 • • • R e s t a - ^ a 2b - 6 b * + 2 a* - ^ a b 2 d e ^ a 3 - 2 b * + ^ a 2b - a b 2.
- í - ^a 2b - 6 b 2 + 2 a 3 -^a b 2 j = - 2 a 3 + ^ a 2b + ^ a b 2 + 6 b 2
( )
Se a c o m o d a n los polinom ios y s e re d u c e n los térm in o s sem ejan te s:
Realiza la s sig u ie n te s op e racio nes:
1. D e 5 a 2 - 3 a + 2 r e s ta 8a2 - 5 a + 7
2 . ¿ C u á l es e l resu ltad o de ( 3 ^ - 5*2 - 6 x + 3 ) - (2*3 + 4 x - 8)?
3 . D e 4 a - 10a3 + 2 a 2 - 3 a - 4 re sta 5 a 5 - 3a 3 + 6 a - 3
4 . E fe c tú a ( 4 - 5 * V + 6 / y - 8xy*) - ( 1 2 r V - 3.xy4 + 4 * V - 9x*y)
5 . D e 7 - 8ú% + 3 o V - 6 a V + 2 abs re sta 5a 2b2 - 3 ab s + 8 - l a sb - 2a*b2
6 . R e a liz a (3 * a*2 - l x'* 1 - 8 * a + 3**"1) - (4*°*2 + 6 x a" - l x ° - 9 x a~i )
7 . D e 5a2m~ l + 6 a 2" - 8 a " * 1 - 3 a " ~3 re sta 12a*" - 5 a 2" ' 1 - 3 a " * 1 - 4 o " ‘ 3
11. R e sta 8a: - 3 y - 6 d e 5a: + 4 y - 1
12. R e a liz a (<t? + a - l ) - ( a 2 - a + 1)
13. R e s t a - 8 * 3 + 6*2- 3 * - 2 de 1 0 r3 - 1 2 * 2 + 2 j r - 1
14. ¿ C u á l es e l resu ltad o de re sta r 12a4 - 3 a 2 + a - 8 d e 14a4 - 5 a 2 - 3?
15. R e sta \6 x 6y - 3*3y 2 + 8 * y d e 4 r 7y5 + 9 ^ y 2 + H k 6y4
16. R e sta 3m*-6 - 7m ** + 8m '* - 1 2 m ^ ' d e - 6/w*"5 + 2m'~2 - 8n T x
17. R e sta 15o"*'0 - 3 a - 1 - 8a"'3 + 10a" d e 4a"*9- 5a"*2 - 3a"‘3 + 2a"
- a 3 + - a 2¿ > - a b 2 - 2 b 2
3 3
- 2 a 3 + ~^a2b + ^ a b 2 + 6 b
- ^ a 2 + ^ a 2b - ^ a b 2 + 4 b
Finalm ente, e l resu ltad o e s: - ^ a 2 + ^ a 2b - ^ a b 2 + 4b 2
EJERC IC IO 2 5
5 5

74. E je m p lo s
2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
18. R e s t a p de
3 5 6 2 6
^ 3 2 * 3 5 2 2 3 , 1 3 1 2 1 2 1 3
19. Resta 4* ? _ 2 _ 6 + 3 ^ 3 * 2 4 *
20. R e sta ^ a sb - ^ - a 3b * - 6 a * b 2 d e 3 a V - 8 < j 5ó - i < i V + ¿ a V
2 4 4 2
V » rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Signos d e agrupación
L o s signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben considerar co m o u na sola. Los
sign os son:
a ) C o rc h e te s [ J b ) P a ré n te sis ( ) c ) L laves { } d ) V ínculo
R eg b s para suprimir b s signos d e agrupación
S i e l s ig n o d e a g ru p a c ió n e s tá p re ce d id o p o r e l sig n o é s te s e su p rim e y las c an tid a d e s q u e e s tá n d e n tro d e é l
c o n se rv a n s u signo.
+ ( - a + b - c ) = - a + b - c
Si e l sig n o d e ag ru p ac ió n e s tá preced id o por e l sig n o é ste s e su p rim e y c a m b ia e l sig n o d e c a d a u na d e las
can tid ad es q u e s e e n c u e n tre n d e n tro de él.
- ( x - 2 y + 3 z ) = - x + 2 y - 3 z
- 2 7 = 3 ^ = - ( 2 x -3y ) = -2x + 3 y
Si e n u n a e x presión e x iste n varios sig n o s d e agru pación s e su p rim en aq u ello s q u e n o co n te n g an o tro s. E ste proceso
se repite h asta llegar a una exp resión que c a re z c a d e sign os d e ag ru p ació n .
E JE M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • S i m p l i f i c a 2 x + { - [ 5 y + ( 3 x - z ) + 2 - ( - x + y - z + 4 )] - ( - x + y )} .
S o lu ció n
Se suprim e e l vínculo:
2 x + { - [5y + f r - z ) + 2 - ( - x + y - Í Í 4 ) ] - ( - x + y ) }
= 2 x + { - [ 5 y + ( 3 x - z ) + 2 - ( - x + y - z - 4 ) j - ( - * + y)}
Se su p rim en los paréntesis:
= 2 x + { - [ 5 y + 3 x - z + 2 + . t - y + z + 4 ] + . r - y )
Se su p rim en los co rchetes:
= 2 * + { - 5 y - 3 x + z - 2 - * + y - z - 4 + x - y )
Se su p rim en las llaves:
= 2 x - 5 y - 3 x + z - 2 - x + y - z - 4 + x - y
Se a g ru p an y redu cen los té rm in o s sem ejan te s:
= 2 x - 3 x - x + x - 5 y + y - y + z - Z - 2 - 4
= - x - 5 y - 6
Por tan to, e l resu ltad o e s: - x - 5 y - 6
5 6

75. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
2 • • * Sim plifica: - x -
~ v + j y - x - y
)!
S olución
Se sig u e e l m ism o procedim iento que e n e l eje m p lo an terio r:
Sim plifica:
1. 3 x - [ 2 y - ( 5 x + 3 y ))
2 . - ( 6 a- 3 b ) - { 5 a - 9 b -( 2 c -9 b ))
3 . - K k - ( 8 * - 4 y + 2 z ) + ( 5 . r - 4 y - 2 z ) - ( l Q * - 3 y - 4 z )
4 . 4m + {(6m - 3n ) - (9n - 5m ) + (8m - 2 n)}
5 . 2 a - { 7 a - ( 3 a - 7 6 ) + ( 1 0 a - 9 ¿ > ) }
6. - ( r + y ) + [3 * - 2 y
+ { - 8* - 5 y - (6* - 8y - l y ) ) - <w]
7. 8xr2 - { 3 ^ - 6y - 2 x - ? > y - [9x2- 6 y - 4 x ] - ( 2 x 2 - 9 y + ó x ) - ^ 2)
8. - ( - 6 * + 3 y - (8 x - [2 y - 4 x - 2 x - 6 y + l ( k j - 9 y ) + 12r}
9. - 9 y + 3 z - { 5 j c - \ 0 y -8 z -( 2 x - 6 y + 7 z -[ 2 x -3 y ] ) |
10. - 6 x + {8y - ( 2 * - [ 4 r - 9 y - 6zJ - I x ) - 6 y ) - ( 8 * - [3y - 2z] - 9 y )
P o r tanto, e l resu ltad o e s: —7X + — y
4 12
EJERC IC IO 2 6
5 7

76. E je m p lo s
2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
M ultiplicación
Para realizar e s ta o p e rac ió n e s co n v en ien te re c o rd a r las reglas d e los signo s.
Reglo d e lo s signos
(+X+) = + (+ X -) = - (- )(+ )= - (- X - ) = +
L ey d e los exponentes p a ra la m ultiplicación. E n la m u ltip licació n de térm inos c o n la m ism a b a se los ex p o n en tes
se sum an.
amoT = a "t"
M o nom io p o r monom io
A l m ultip licar m ono m io s, prim ero s e m ultiplican los co eficie n te s y de sp u é s las bases.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 # • ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e ( - 5 x Y z K 3 x * y 6z)1
S o lu ció n
Se m ultip lican los coeficien tes y las bases:
( - S x Y z X l x Y z ) = ( - 5 X 3 ) x ‘ x 2 / y ‘ z z
Se a p lic a n las leyes d e los sign os y d e los exponentes:
= - 15r*f2y5* V +l
— is*yv
Por tan to, e l resu ltad o e s: - 1 5 * y 'z 2
2 • • R e a líz a la sig u ien te o p e rac ió n : j .
S o lu ció n
Se e fe c tú a e l p rodu cto d e las fraccion es y s e a p lic a la ley de los exponentes para las bases.
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o es:
3 • • R ealiza ( - abc)(3ac).
S o lu ció n
E n e s te e je m p lo , la base b no se re p ite e n am bos factores, por tanto , se p asa igual en e l resultad o.
( - a b c \3 a c ) = - 3¿ " b e " 1 = - 3d b d
E l resu ltad o de la m u ltip licació n e s: - 3a 2b c 2
4 • • R e a liz a ( 3 í!“-'y J“ ) ( - Z t <“- y “ )-
S o lu ció n
Se a p lic a e l m ism o p ro ced im ien to que e n los e je m p lo s a n te rio re s, no im p o rta q u e los e x p o n en tes d e las ba se s se a n
e xp resio nes a lg e b raic as.
( 3 ) ( - 2x4^ Y 0) = = - 6 * 6‘- y ‘
Por tan to, e l resu ltad o e s: - 6 : x*a~*ySa
5 8

77. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
5 • • E fe c tú a ( - 3 a 4¿ c ) ( 2 f l V ) ( - 5 a ó V ) .
S olución
( - 3 a V ) ( 2 a V ) ( - 5 a b V ) = ( - 3 ) ( 2 ) ( - 5 ) a 4+2+V +V +5+2 = 3 0 fl7* V
EJ resu ltad o d e l p rodu cto e s: 3 0 a V e 1
EJEIC IC IO 2 7
Resu elve las sig u ie n te s o p e racio nes:
1. (5 x X -3 * )
2. ( 4 x y 2) ( 6 ^ / z )
3. ( - 7 ú 5c2X2a4¿>c6)
4- (H (- H
5. ( - 1 0 m 6p ) ( - 5 m 2p 3)
Í ~ r ‘ m)
6 . ( 9 c 5m 9p 2
16. (6m 2w*n4*X - 7 m x~6n5)
17. ( - 9 ^ "y 2"“ ')(4r5y6)
18. ( - 3 * toy f,X - 2 * * y a>
2°.
21. (5ab)(-?>a2b )Q a 3b c)
7 . (-x y z )(x y z )
8. ( a c ) ( —4<a3¿>)
9 (-H (-Imv)
,0 . ( ^ v ) ( f a V c )
11- ( - f ^ ) ( f * v )
12. ^ |m /> 2j( - 1 5 m 6p)
13. ( 0 .5 m 6p 5) ( 0 .2 m 2n)
14. (0.4ü¿»cX 0.12^z)
15. (5 a mb ' c X - 2 a 2b3c)
2 2 . ( - 7 ¿ / z X r 2 x 6y 2) ( - 4xyz)
23. ( - 5 x ) ( 3 y X - 2 z )
24. ( 4 A X - V X 3 A X - 2 / )
25. ( i a V c ) ( ¡ flV ! ) ( 6 ac ) ( ^ a ‘ ¿.! )
26. f - | ^ ) g <P 6 c ) ( - I a c ) ( - 2 A>cI )
27. (4ú5/>3cX“ S a ^ b 'c X - 2a4* - W )
28- ( r ^ y4“) ( k v Í ( - ^ ‘ )
29. ( 3 ^ ly X - 4 ^ 4úX - 2 ^ - y a)
30. (2úf'ft6)(-2 fflV X - 5 f l 2m3n 5')
^ V srific a t u * r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e * c o r r e s p o n d i e n t e ■
P o lin o m io p o r m o n o m io
Se m u ltip lic a c a d a u no d e los té rm in o s d e l p o lin o m io por e l m o n o m io o viceversa, c o m o lo ilu stran los sig u ien tes
ejem plos:
E JE M P L O S
V»
I
1 • • R esuelve ( 5 * V - 3 * V z + 4xz4X - 3x 4y ).
S olución
Se m u ltip lica c a d a uno d e los térm inos d e l polin om io por e l m onom io:
( 5 * y - 3 * V z + 4x z \ - 3x*y) = (5x 5y \ - 3x*y) + ( - 3*4/ z X - 3x*y) + (4xz4X - 3*4y)
= - \ 5 x 9/ + 9 ^ y iz - \ 2 x sy z i
P o r tanto, e l resu ltad o e s: - 1 5 * y + 9/ y * z - 1 2 r5yz4
5 9

78. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
2 * R ealiza e l sig u ien te produ cto: ( - _2*X4d3*" ‘b21 - 5 a 3* ~ 2¿>2” 1 + 3 a 3*" V * * 2).
S o lu ció n
Se re a liz a e l p rod ucto d e l m on om io por c a d a uno d e lo s e le m en to s d e l polinom io:
(_ 7 a * * V - 2‘)(4 a 3” ,¿ 2* - 5 a 3” V ” 1 + 3a 3” 3*2**2)
= ( - 7a ” V " 2* ) ^ 3” V *) + ( - 7 r f +V 2* - 5 a3” 2*2” 1) + ( - 7 a*’ V "
= - 28a4” 2¿> + 35a4” V - 21a V
Luego, e l resu ltad o e s: - 2 8 a 4” 2¿> + 3 5 a 4” V - 2 l a V
3 • •■ R e s u e lv e e l sig u ien te producto: ~2 3) ( ” f ^
S o lu ció n
Se m ultiplica e l m ono m io p o rc a d a uno de los ele m en to s d e l polinom io:
( k - k * H ( - H
= - —J ? " + - x 2m~l - - x 2m~2
15 9 2
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: - y ^ * 2" + ^ x2"~' “ ^ * 2"~2
EJEI C I C I O 2 8
Realiza b s sig u ien tes pro d u cto s:
1. (4 a 2 - l a b ) ( 2 a b )
2. ( - 3m )(5m 4 - 3m 3 + 6m - 3)
3. (3x* - 2t)(.ry )
4. ( - 3 a b )(2 a 1 - l a b + 86?)
5. ( 6 a V - 7 a 2£3 + 4a¿>5)(4 a 5¿ 2)
6 . ( - 5xy2z ) (7x6y 2z - 3xsy - 4xz)
7. (5m3/i - 3 t n p + 6m 2)(Smp^)
8. (4 a 3c - l a b - 2 c \ - 3 a c )
9. (5m6/i - 3m n4 + 2m n )(3 m x*1 n2")
10. ( - 2 x fl"2X 7 r i - & r 2 + 6 r 3 - 9 - r + 2)
11. ( 3 á * + 'b * - 7 t t xbM - 4 a V “ , ) ( - 3 a '* V - x)
12. ( - 5 ^ - / í,x 5 / - / ’ - - 4*** 2 y 21” 2)
13. (3<f*2t?cm - 3 a * W + 2 a ‘"3¿ r ’c X - 4 a 3¿>2c5)
^X S a3” 3*2” 2)
6 0

79. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
, s -
i6- ( r4‘ v + r v - ¿ * ) ( H
17. - | a * * 5c - j ( - 5 a V )
18'
19. ( 4 a f c ) ^ a V c + í a " - 'í > 3" " j
20. Í - —m 'n 4 l í —m 2” V “ - - m ^ n 3"-1
V 5 J U 4 2 )
V arifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ,
P o lin o m io p o r p o li n o m i o
Para m u ltip lic ar po linom ios por polinom ios, se sig u e n los pasos indicados e n los sig u ie n te s ejem plos:
E JE M P L O S
1 • • E fectú a la siguien te op eració n : (S x 2 - 3 * - 2 )(4 * - i r 2 - 6).
S olución
Se e s c rib e n los fa c to re s d e la m u ltip lic a c ió n e n fo rm a e sc a lo n a d a (c o m o e n las m u ltip lic ac io n e s a ritm é tic a s), y s e
o rd e n an los polinom ios c o n re sp e c to a los exponentes e n form a a sc en d e n te o descen den te, se g ú n s e qu iera.
5a2 - 3 * - 2
x - 3*2 + 4 r - 6
Se m ultiplica e l prim er té rm in o d e l polinom io d e a b a jo por c a d a uno d e los térm inos d e l polin om io de arrib a.
5 a 2 - 3 * - 2 ( - 3 x 2)(5x2) = - 1 5 * 4
x - 3a2 + 4 * - 6 ( - 3 x 2) ( - 3 * ) = + 9*3
- \ 5 x * + 9 x i + 6¿1 ( - 3 x 2X - 2 ) = + 6^2
A continuació n s e m u ltip lic a d seg u n d o térm ino del polin om io d e ab ajo por c a d a uno d e los térm ino s d e l polinom io
d e a rrib a y los resultado s se c o lo c an d e b a jo d e s u s respectivos térm inos sem ejan te s d e l prim er resu ltad o.
5 a 2- 3 x - 2 (4*)(5*2) = 2Qxi
x - 3 ^ + 4 x - 6 ( 4 * ) ( - 3 x ) = - \ 2 x 1
- 1 5 * + 9j? + ó*2 ( 4 * ) ( - 2 ) = - 8*
+ 20*3 - 1 2 * 2 - & *
Se repite e l paso an te rio r para c a d a uno d e los térm in os sig u ien tes (s i e s que existe).
5*2 - 3 * - 2
x - 3 x l + 4 x - 6 ( - 6 ) ( 5 r ) = - 3 0 r 2
- 1 5 * + 9j? + ó*2 ( - 6) ( - 3 * ) = 18*
+ 2 0* ’ - 1 2 * 2 - 8 * ( - 6 ) ( - 2 ) = 12
- 30*2 + 18* + 12 ( c o n tin ú a )
6 1

80. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a ció n )
P or últim o, s e re a liz a la sum a.
5 / - 3 * - 2
x - 3 / + 4 * - 6
- 1 5 / + 9 / + 6x 2
+ 2 0 / - 1 2 / - 8a:
- 3 0 / + 18* + 12
- 1 5 / + 2 9 / - 3 6 / + lQ r + 12
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: - 1 5 / + 2 9 / - 3 6 / + 1 0 * + 12
2 • • ‘ E fe c tú a la sig u ien te op eració n : (5/ y - 3/ y 3 - 6xy)@ x*y - 4/ y 3 + 3*y).
S o lu ció n
Se a c o m o d a n los polinom ios de m anera vertical y s e re a liz a e l p ro ced im ien to d e sc rito e n e l eje m p lo anterior.
5 / y - 3 / y 3 - 6 Ay
x 3 * y - 4 / / + 3*y
1 5 / y 2- 9 / y 4 - i s * y
+ - 2 0 * y + 12 / y 6 + 2 4 / y4
________________+ 15 / y 2__________- 9 / y - 1 8 / y 2
1 5 / y 2 - 2 9 / y - 3 / y 2 + 1 2 / y 6 + 1 5 / y - 18/ y 2
P or tanto , e l resu ltad o e s: 1 5 / y 2 - 2 9 / y 4 - 3 / y 2 + 1 2 / y 6 + 15 / y 4 - 18 / y 2
3 • • ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e ^ m 2 - 3 m n + ^ / r
S o lu ció n
E ste e s un p rod ucto d e un po linom io p o r un binom io, los resultados d e los productos s e a com odan de m an e ra horizontal
y s e re aliz a n las reducciones d e térm ino s sem ejantes.
^ m 2 - 3 m n + ^ n 2 j ^ | m - ^ « j = | m 3 - 2 r o 2n + |
2 5 2 3 ? 1 3
tn n — - m n + — tnn ~~—n
4 2 6
5 , 13 2 31 2 1 3
= _ m n
El resu ltad o de la o p eració n e s: ^ m 3 - ^ j- m 2n + ^ r m i 2 - \n 3
3 4 18 6
4 • • O b tén e l re su lta d o de + 5 x “ ! - x ‘" + 2 x “
S o lu ció n
Se a c o m o d a n los polinom ios verticalm ente y e n o rd e n d ecrecien te y s e obtiene c o m o resultado:
2 / +3 + 5 * fl+2 - x a« + x a~2
x / +l + 2 / - / " '
2 / fl+4 + 5 / fl+i - / ‘+2 + / - 1
+ - t 4 / a+3 + \ 0 x 2‘* 2 -2* 2a+l + 2/ a"2
____________________-2/ 0+2 - S x ^ ' + x 2" ______________- * 2" 3
2 / a44 + 9 / fl+3+ 7 / fl+2 - 7 * 2a+l + / - + / - 1 + 2 / ° " 2 - / fl~3
62

81. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
EJE IC IC IO 2 9
Efectúa b s sig u ien tes productos:
1. ( x - T X x + 2)
2. (m + 9)(m - 8)
3. ( - * + 2 X 3 - * )
4. (3 * + 7 ) ( r + 4)
5. (2 x - 5 )(3 * + 2)
6. (5 * - 4y )(5* + Ay)
7. ( 3 * + 2 y X 3 * - y )
8. (n2 + 4 )(n 2 - 7)
» ( H X H
*
1 2. t f - 2 x y + y 2X x - y )
13. í*2 + 2 x y + y*)(x + y)
14. (m 2 - m n + n2)(m + n )
15. (m 2 + mw + rt2) ( m - « )
16. (S x 2 - i f - 4 x y X 3 x - 2 y )
17. (4 b 2 - 9 a 2 - 4 a b ) ( 3 a - 7 b )
18. (2 a 2 - 3 a + 4)(2tí - 1)
19. (5*4 - 3 * 2 - 6 ) ( 3 * - 4 )
2 0 . (** - 3 * + IX*2 - 1)
*
2 4 . (m x~l - rf~l)(m - n)
2 5 . ( ¿ > " - ¿ r , + ¿ r * 2x¿> + 1)
2 6 . (2 *"fI + * ^ 2 - * " X - ^ 3 - ^ 1)
2 7 . ( r 0*2- 2*“ + 3*e^l Xxfl+ * ° “ )
2 8 . (3*2 - 5 * - 2 ) ( 2 * 2 - 7 * + 4 )
2 9 . ( 4 * - 6 ^ - 9 X 3 * 2 + 2x + 1)
3 0 . Í4 * 3 - 2 r 2y + 6 x t f ) t f y - x y 2 - 2 / )
3 1 . (m + n - p X m - p - n )
3 2 . (2 m - 3 n + 5 p X n + 2 p - m )
3 3 . ( a + b - c ) ( a - b + c)
3 4 . (*2 - 2 * + IX *4- 2** + 2)
35‘ ( ^ 2 “ í ' r + ^ ) (6'*2’ 4 x “ 2)
3 6 . ( * " + * ^ , - * ^ V ' - * wt, + 0
3 7 . (2*2- +, + 3*2" - * a- lX r2 + 2 r + l )
3 8 . ( a 2¿>2 - o*¿» + a 4 - 3a b 3 + - 2 b 1 + a b )
3 9 . (3n T 2 - 2 / / T ' + m °X m 2 + 2ro - 1)
4 0 . (3*20 + * ^ - 5 * ? - V ^ - a r 3- 2- 6 * 3- 1)
41. (m 3- m + m 2 +1 )(m 2+ m -2m - 1)
4 3 . ( a * 1 - 2a*+2 - ¿T 3 + a " i )(a'-i - d ~ x + O
4 4 . ( a " 2 + 4tí**‘ - 5 f l T ''X ^ ' + ^ + «**)
( Jt Verifica tu s resultados en la sección da solucionas correspondíante i
División
A co n tin u a ció n s e m uestra la reg la de los sig n o s de e s ta operación:
R e g la d e l o s s i g n o s
(+ ) + (+ ) = + ( + ) * ( - ) = - ( - ) * ( + ) = -
(_> + ( _ ) = +
6 3

82. E je m p lo s
2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
Ley d e los exponentes pora la división
E n la div isión los ex p o n en tes d e las b ases iguales s e re stan .
a "
M o n o m io entre monom io
C u a n d o s e d iv id e n m ono m io s, prim ero s e re a liz a la d iv isió n de los co eficie n te s y d e sp u é s s e a p lic a la ley d e los e x p o ­
nentes para las bases. Si la divisió n d e los co eficie n te s no e s ex acta, en to nces s e d e ja e sp ecificad a; s i las b ases no son
iguales, enton ces se d e ja ex presado e l co cien te .
E JE M P L O S
1 • • R ealiza la sig u ien te o p e rac ió n : h c
8 a V c
Solución
Se div id en los co eficientes y las ba se s para obtener:
d ^ = = “ 5-v -v . = _ 2 a V 5
8 a V c 8
Finalm ente, e l resu ltad o e s: - 2c?bcs
2 ' ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e ?
- ó x r y c
S o lu ció n
L a d iv isió n d e lo s c o e fic ie n te s no e s e x ac ta , p o r ta n to , s e d e ja e x p re sa d a c o m o fracció n , la c u a l s e sim p lific a y s e
e fec tú a la división d e las bases.
- 10* V c _ W -, 5 5
- 6 * y c 6 3 * y e S**
P or tanto , e l resu ltad o e s: ^ .k 5y4
3 • • ■ R e a l i z a - ^ 1.
-A yz
S o lu ció n
Se a p lic a la ley d e los sign os para la divisió n y se div id en las b a se s.
= 3 * = V - y V - , = A Y = ( i ) ( i ) ( i ) = i
-xyz
El resu ltad o e s: 1
4 • • ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e 8 + 2 * 2fl+3y 3fl_l ?
S o lu ció n
Se div id en los co eficie n te s y se re sta n los ex p o n en tes p a ra obten er c o m o resultado:
_ 4 _ r ( 3 a - l H 2 a + 3 y S « - « ) - ( 3 e - l ) _ 4^0-l - 2 o - 3 y a - 4 - 3 o * l _ o - 3
6 4

83. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
EJE IC IC IO 3 0
Realiza la s sig u ie n te s d ivisio n es d e m onom ios:
9 a 6b '°
3 a 2b :
^ 7 T 9.
2.
- 7 x 5y 2
3.
-13¿>
4.
- 8 P W
5 13
' - 1 2a 2b 7
6. "
i 2 * y z 4
18x y 1?
17.- ^ a b + - ^ a b
2 x * y s z
8 * Y
18.
2 5 3 1 3
3 * 2 + ~ *6 2
\ 2 x ' 0o- i y Sb- 2
19.^ n mh ” + ^ a h 2
- ó x ^ y 21* ' 8 a 6 4 ^
- 1 0 a * ~ * b M
20.2 r 4v5 + 2
- 2 a * " * lb 2 "~ 5 r
4 8 a 2x* b 2x~2c x
- 1 6 a~ ' b 2" s c 2
21.3 m i n s p 6 + - ^ m i n p s
— 2 0 x Sm~2 y 9* z2m
- 6 x Y z 2
22.
x
23.- a m- 2b ñ~5 * - a m~s b " '
2 4
- ; A V — f o » V
8 2
24.- a " +,^ 2 + - a 2- 3V
4 3
- 5 a 6* 3
7 15
' i s * y
8. ^
6 6 a b
Verifica tu s resultados en la sección da soluciones correspondiente
P o lin o m io e n t r e m o n o m io
Se divide c a d a té rm in o d e l po linom io e n tre e l m onom io, c o m o s e m u estra e n los sig u ien tes eje m p lo s.
E J E M P L O S
--------------------------------
o , . 2 at4—5at3+jc2
-q _ 1 • • E f e c t ú a — 2
-------
S olución
Se divide c a d a té rm in o d e l po linom io e n tre e l m onom io.
2 * 4- 5 * 3+ * 2 2 * 4 5 * 3 . * 2
= ±± ± L _ + = _ 2 r 4~2 + 5 r3 2 _
= - 2 x 2 + 5 x - x ° = - 2 x 2 + 5 x - \
.2 - 2
X
r \ _ , \ 6 x t y sz - \ 2 x * y t z 2 + 6 x i y )
2 ■ D eterm ina e l c o c ie n te d e : f
-------------— .
- 4 x y
S olución
Al a p lic a r los pasos d e l eje m p lo a n te rio r s e o btiene:
16^ _ l 2^ ¿ £ + 6^ ¿ = 3 , 4- y - . ^ _ V y -
- 4 x y - 4x 2y - A x 2y 2
3
H resu ltad o e s: - 4 x i y * z + I x 2/ ? - ~ x y f
65

84. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
4 r 2"*1 + R r3" -2 — 12 r " +3
3 • • '¿ C u á l e s e l co cien te d e
-----------?
S o lu ció n
E l m o nom io divide a c a d a u no d e los térm in o s q u e c o n fo rm a n e l polinom io.
4 * 2- 1 Rx3- 2 12 x "+3 4 r?.44W„-?i 8 12
. _ Z r ( 2 * + l H - - 2 ) . Z r ( 3 - - 2 H « - 2 ) _ i f J — 3 H -
L. m*-2 ¿ - - 2 £ A A ¿ *
6 x 6 x " ~ 6x"~¿ 6 6
_ 2 2m*i-m+2 + £^3».-2-«t+2 _ 2 * " *}~"*2
3 3
= | y * 3 + ^ x J- - Z c s
2 4
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: “ •*'"+3 + ^ Ar2"'
EJE IC IC IO 31
Realiza las sig u ien tes divisiones:
x 2 + 2 x
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x
4 x 3 + 2 x 2
2 x 2
8 x 2y - 2 0 x 3
4 x 2
2 x 3 - x 2 + x
x
2 x 4 + 6 x 3 - 8 x 2
2 x 2
8 x 6 - 1 0 x 4 - 1 2 x 3
~ 4 x 2
2 7 m 4w6 - 15m 3n 6 + 3 m n 2
3mn2
3 2 a V + 4 8 f l V - f l V
8 o ¿ 3
2 8 x Y - 4 9 x 7y3 - 7 x 2y
7 x 2y
11. í i a 56 7 - I a V - a v j + 6 a V
12. f l a V - l a V + i a ' f t ’ V — a * 1
\ 4 2 6 / 4
15.
16.
17.
18.
19.
2 0.
g L'b yyc*z + 6 a i , b*yc Si - 8 a 4,¿>5yc 6z
¿<22W *
x 2fl-.y 3a+5- 1 2 x a46y
2 o - 6
6x -2y3^7
1 6 a 5" ”3¿»7" +l - 1 2 o 4" +V " - 5 + 8 a 3" “4¿>5"
_ 4 a 2- 5¿)4-,^
2 0q6"~4¿>3"<10 - S Oq7" - 2^ - ' + 8q5V
- 1 0 a 2"H'2¿>2"
l ^ - y v - r + l v - y - y - l ^ - y
L x ™ y ™ ¿ -
Yfarlfka tu s resultados en la sacdón da solucionas correspondíante
6 6

85. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
P o lin o m io e n t r e o t r o p o li n o m i o
A co n tin u a ció n se e n lista n los pasos a se g u ir para re a liz a r e s ta operación:
E JE M P L O S •
1 # • E fectú a la siguien te o p e rac ió n : f e - - f e * ? ..
c 3 x — 2
,SL Solución
1. Se c o lo c a n los polinom ios c o m o e n la divisió n c o n núm eros reales, y s e o rd e n an se g ú n co n v en g a c o n re sp e c to a
lo s exponentes:
3 x - 2 13 x * - 5 x + 2
2 Se to m a e l prim er té rm in o d e l dividend o, s e d iv id e e n tre e l prim er térm in o d e l div iso r y e l resu ltad o s e c o lo c a e n
3 x 2
la parte d e a rrib a : —— = x .
3X
X
3 x - 2 \ 3 x i - 5 x + 2
3. Se m u ltip lic a e l resu ltad o d e la div isión por c a d a uno d e los térm ino s d el div iso r; a c a d a resu ltad o s e le c a m b ia el
sig n o y s e a c o m o d a d e b a jo d e l d iv id en d o c o n s u térm in o se m ejan te : (*)(3x) = 3.x2; (xX ~ 2 ) = - 2x.
3 x - 2 I 3.x2 - 5a: + 2
- 3 x 2 + 2 x
4. S e reducen los térm inos sem ejantes y s e b a ja e l sig u ien te térm ino del dividendo, a la exp resió n resultante s e le llam a
prim er residuo.
3 r - 2 \ 3 x 2 - 5 x + 2
- 3 x 2 + 2 x
- 3 x + 2
5. Se repite e l prim er paso, es decir, s e d iv id e e l prim er térm in o d e l prim er residuo q u e resultó de la reducción anterior
entre e l prim er térm in o d e l d iv iso r y s e esc rib e e l resu ltad o arrib a : = - 1 .
3X
3 x - 2 \ 3 x i - 5 x + 2
- 3a? + 2 x
- 3 x + 2
6. Se m ultiplica e l resultado d e la división anterior por c a d a uno d e los térm inos d e l divisor y s e escribe e l resultado d e b a ­
j o d e cad a térm ino se m ejan te d e l residuo anterior (no olvides c am biar e l signo): (—1)(3at) = - 3.x; ( - l ) ( - 2 ) - 2.
at- 1
3 a : - 2 \ 3 x ¿- 5 x + 2
- 3 * 2+ 2 x
= 3 J + 2
3a: - 2
7. Se re a liz a la su m a y s i e l re sid u o e s c e r o c o m o e n e l e je m p lo , la d iv isió n te rm in ó ; e n c a s o c o n tra rio , s e s ig u e n los
pasos an terio res h asta o b te n e r c e r o co m o resid uo o a lg ú n po linom io d e g ra d o m enor a l d e l divisor.
3a: - 2 1 3 / - 5 * + 2
- 3 ^ + 2.x
=~ 3 F + 2
3a: - 2
Ó
P o r tanto, e l resu ltad o d el co cien te e s: a: - 1
6 7

86. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
2 • • • E fe c tú a la sig u ien te operación:
5 a 2 - 2 \ b 2 + 8a b
a + 3b
S o lu ció n
A l em p le ar los pasos d el eje m p lo anterior:
5 ú - 7 ¿ >
a + 3 b 15 a z + 8 a b - 2 l b 2
- 5 a 2 - 15 ab
- l a b - 2 \ b 2
l a b + 2 \ b 2
0
—j - = 5 a —> ( 5 a ) ( a + 3 b ) = 5 a 2 + 1 5 ab
= - l b (_ 7 ¿,)(a + y, ) = - 7 a b _ 2 \b 2
Por co n sig u ien te, e l c o c ie n te e s: 5a - I b
E n una división d e polinom ios, s i a l d iv id en d o le falta uno de su s térm inos, s e d e ja in dicado e l e sp a c io q u e o c u p a dicho
térm in o o s e esc rib e c o n c o e fic ie n te 0.
Ejem plo
¿ C u á l e s e l resu ltad o d e ^ a + a a — ! ?
a + a 2 + 1
S o lu ció n
Se o rd e n a ta n to e l d iv id e n d o c o m o e l d iv is o r e n o rd e n d e cre cie n te c o n re sp e c to a los e x p o n en tes y, e n e l c a s o d e l
dividendo , s e d e ja e l esp a c io co rresp o n d ien te a l té rm in o de ex pon ente 3:
a 2+ a + 1 I a4 + 0 a 3 - a 2- 2 a - 1
^ T = a 2 “ >( fl2) ( íj2 + a + l ) = tf4 + a 3 + a 2
- ^ r = - a - + ( - a ) ( a 2 + a + \ ) = - a 3 - a 2 - a
- ^ - = - 1 —» ( - l ) ( a 2 + a + \ ) = - a 2 - a- 1
EJERC IC IO 3 2
• D eterm ina e l co c ie n te d e las sig u ie n te s divisiones
I x 2 + 3 x + 2
I x + 1
: .r2 + 4 * + 3
! * + 3
: 3 x 2 + 5 x y + 6 y 2
1 ‘ x + 2 y
4 x 2 + l x + 1 2
x + 4
x 2 - 4 x - 1 2
x + 2
x 2 + 3 x - 1 8
x- 3
Se re a liz a la divisió n co m o e n los ejem p lo s an terio res:
a 2 - a - 1
___________
a2 + a + 1 I a4 + 0o s - a 2- 2 a - l
- a 4 - a 3- a 2
- ai - 2 * 2- 2 a
a3+ a 2+ a
- a2 - a - 1
a2+ a + 1
0
El resu ltad o de la div isión e s: a 2 - a - 1
6 8

87. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
7 m 2 - \ \ m n + 2%n2 ^ l Z ^ + B x 2 - 5 9 a : + 3 0
m - l n 4 x - 5
g x 2 - 9 x y - \ 0 y 2 ^ 8 g 3 - 4 4 a 2 + 4 4 g + 42
A r+y ' 4 a 2 - 8 a - 6
«4 + 2 n 2 - 4 8 27. ( , 3- / ) + ( , - y )
n 2 + 8
1 0.
m 6 - m 3 - 2 0 2 8 . ( 8 * 3 + 2 7 y 3) + ( 3 y + 2 x )
m —5
jr8 + 1 1jt4 + 1 8 2 9 . (jc6 - 8 / ) + ( ^ 2 - 2 y 2)
-r4 + 9
J2 x ,2- 9 x 6 + 14 30. (a 4 - a ) + ( a -1)
a:6 - 2
13 9a:2 - 6a: - 3 5 ^ * 3 + 4 8 * - 6 4 - 12*2
3a: + 5 ' a^ + 1 6 - 8a:
16m2 - 4 m - 6 32 4a:4 + A^y2 - 5 a ? 3 - 6 y 4
4 m + 2 ‘ 2 a 2 - A y - 2 y 2
15 15a2 - a - 2 8 33 6 x 4 - 8 x 2 - x * + x + 2
3 a + 4 ' 2 at2 -at- 1
8 a 2 - 6 a b - 2 7 b 2 _ 3 * 4 + 2 * 3 + 3 * - 6 * 2 - 2
16. 34. t
---------------
4 a - 9 ¿ > a: +at—2
4 9 m 2 - 5 6 m + 15 35 4 a:4 - 4a:3 - 1 3a:2 + 11a: + 4
7 m - 5 ' 2 a2 - 4 +a
|C 15a2 -a¿> -28¿>2 6 a:4 - 1 9a:3 - 1 2a:2 + 43a: + 30
1 o . 3 6 . ;
----------------------------------
5 a - 7 b 3 x - 5a: - 6
I 9 7 m 2 -31rnn + 12n2 3 ? 4 g 4 + 2 6 a 3 - 7 9 a 2 - 2 0 a + 42
m - 4 n a 2 + 8 a - 6
2Q 12a:2 - 5A y- 2 y 2 3g 1 2* 4 - 3 6 * 3- 2 9 * 2 + 3 8 * + 2 4
4 a: +y 2 a:2 - 5a: - 6
18m 4 - 2 1 m V - 1 5 w 4 2 8 a:4 - 1 7a:3 + 18a:+ 23a:2 - 2 4
6 m 2 + 3 « 2 4 a:2 - 3 r + 6
0 9 m 4 - 9 m 2 - 4 0 5a:4 - 9 a : 3 -2 3 a :2 + 36a: + 12
3 m 2 - 8 a:2 — 4
2 3 2 0 m 6 - 9 m 3 - 1 8 4 J 12 a:4 + 9a:3 - 1 1a:2 - 6a: + 2
4 m 3 + 3 3 a:2 - 2
2 4 15m 3 - 3 4 m 2 + 9 m + 10 4 2 1 0 a 4 - 4 1 a 3¿ > + 9 a V + 38a¿>3 + 14¿>4
3 m - 5 ' 2 a - 7 b
6 9

88. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
4 3 8a:6 - 3 2 *5 + \ 6 x i +1 9 * 3 + 3 4 a ? + 1 9 * - 1 0 ^ a m - a b }~ ' - a m~ 'b + b y
2 * - 5 a - b
m a+2 - 2 m a + m a~2
44
- r ( 4 - 2 0 3 2 2 W l 2 ^
45- U ^ -75^ +l5^ J +U " - r ) 5L
4 6 . + 5 2 .
m 2 + 2 m + l
m 2x*3 + 4 m 2'*2 + m 2x+l - 2 m 2x
m ' + m " '
m 2»S + 2 m 2»4 _ 3m 2^3 _ 4 m 2»2 + 2 m 2 ,„
ro,+3- 2 r o ,+1
5 3 3 2 17 4 - 3 0 w 5x+i + 4 6 m 5x + 5 m 5x~l - 2 3 m 5* '2 + 3 m 5,~3
4 7 8 2 1 8 3 •
5 2 2 .
2 ° - 3 f l - 2
4 8 . ( í " 3 + * “ ) + ( * + ! ) 4- 2 ^ " ; + Z t ; - ' - 4 ^ ' - 4-
*>4
^ .« -3 _ y n -1 + x m-2
( J ) V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
U n a em p re sa co n stru y e e stru c tu ra s pred iseñ ad as p a ra casas y edificios. S i x re p re se n ta e l núm ero de estru c tu ra s y
lo s co sto s d e producción so n : x 2 + 12* - 1200 para las ca s a s y 3a:2 + x + 2 0 0 0 para los edificios, ¿ c u á l es e l c o sto
to ta l de producción d e la c o m p a ñ ía?
S o lu ció n
E l c o sto total s e obtiene a l su m ar e l precio d e las ca s a s y e l d e los edificios.
x 2 + 12a:- 1200
3a:2 + .* + 2 0 0 0
4 a 2 + 1 3 * + 8 0 0
Por tan to, la em p re sa g a sta : 4 * 2 +1 3 * + 8 0 0
2 E l la rg o d e un te rre n o e n m etros lo d e te rm in a la e x p resió n 2 a 2 + 3a + 2 y s u a n c h o lo re p re se n ta 2*2 — 1, ¿ c u á l e s la
superficie del te rre n o e n m etros cu ad ra d o s?
S o lu ció n
Para ob ten er la superficie d el te rre n o s e m u ltip lic a s u largo por s u an ch o .
2a2 +3a + 2
x 2q - 1
4 a 3 + 6 a 2+ 4a
+ - 2 a 2- 3 a - 2
4 a 3 + 4a2 + a - 2
E n to nces, la superficie d e l te rre n o e s d e: 4 a 3 + 4 a 2 + a - 2 m etro s cuadrad os.
7 0

89. _________________Ca p í t u l o 2
Conce ptos básicos d e álgebra
A l ad quirir 2 * + 3 artículos s e p ag a un im p o rte d e 1Q*2 + 2 9 * + 21 pesos, ¿cuál es e l precio unitario d e los artículos?
S olución
Para o b te n e r e l p re cio unitario, s e divide e l im porte total en tre e l núm ero d e artícu lo s.
5* +7
________
2 x + 3 | 10*2 + 2 9 * + 21
- 1Q*2 - 1 5 *
14* + 21
- 1 4 * - 2 1
0
E l co sto d e c a d a a rtíc u lo e s: 5 * + 7 pesos.
O b se rv a e l siguien te plano de d istribución d e una casa, la cu a l s e proyecta e n un te rre n o rectangular.
D e a cu e rd o c o n é l, c a lc u la la superficie que a b a rc a la co n stru cció n , e x ce p to e l corredo r.
Solución
Se c a lc u la e l larg o y a n c h o del re ctán g u lo que a b a rc a la co nstrucción:
L a rg o = ( 6 * + l ) + ( 2 * - 1 ) + ( 5 * + 3 ) = 1 3 * + 3
A n c h o = (3 * + 2 ) + * + ( 5 * - 3 ) + ( 2 * - 1 ) = 1 1 * - 2
Se ob tiene el á re a d el re c tá n g u lo que o c u p a la c a s a y la del co rred o r:
Á re a d e l re ctán g u lo Á re a del c o rre d o r
Á re a = (L arg o )(A n ch o )
= (1 3 * + 3)< 11* — 2)
= 143*2 - 26 * + 3 3 * - 6
= 143*2 + 7 * - 6
Á re a = (L a rg o ) ( A nch o )
= ( ( 6 * + l ) + ( 2 * - l ) ) ( 2 * - l )
= ( 8 * ) ( 2 * - l )
= 16*2 - 8*
7 1

90. 2 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
EJE
Para sa b e r c u á l e s la su perficie, s e resta a l á re a d e l rectán g u lo e l á re a d e l corredor:
A = (143 *2 + 7 * - 6 ) - (1 6 r2 - 8 r)
= 143at2 + 7jc- 6 - 16*2 + 8*
= 1 2 7 ^ + 15a: - 6
P or tanto , la superficie e s: 127*2 + 15* - 6
ÍC IC IO 3 3
R esu elve b s sig u ie n te s problem as.
1. U n a p artícu la recorre 5t 2 + 4 / + 7 m etros, d e sp u é s re c o rre t 2 - 4 y, finalm ente, - 5 / + 3 m etros. ¿ C u á l e s la d istan c ia
total d e s u recorrid o?
2. U n a em p re sa ob tien e c o n la v en ta d e un a rtíc u lo u n ingreso d e 3*2 - I x + 6 4 0 0 y su s co sto s d e prod u cció n so n de
2JC2 - 9 * + 2 0 0 0 . ¿C u á l es la u tilid ad que obtiene d ic h a co m p a ñ ía?
3. U n o b re ro pin ta una barda, c u y a superficie e s d e Z x 2 + 6 x y + 9 y 2 m etro s cu ad ra d o s, si le fa ltan p o r pin tar 3 * 2 + 8 y 2
m etros cu ad ra d o s, ¿ q u é su p erficie lleva pintada?
4. U n p ro ducto tie n e un precio e n e l m erc ad o de 5 y + 3 pesos, si s e venden 3y + 1 productos. ¿ C u á l e s e l in greso q u e
se obtuvo?
5. Si un te rre n o re ctan g u la r m ide 4 r - 3 y m etros d e la rg o y 5 * + 2 y m etros d e an ch o , ¿ c u á l e s s u superficie?
6. L as dim e n sio n e s d e u na c a ja e n de cím etro s so n : 2 w - 3 de largo, 3tv + 1 d e a n c h o y 2 w + 1 d e a ltu ra . ¿ C u á l e s su
volum en?
7. S e tie n e n 12 * 2 - 5 x y - 2 y 2 litro s de a c e ite y s e v an a e n v a s a r e n b o te lla s d e 3 * - 2 y litros d e cap a cid a d , ¿ c u á n ta s
botellas s e van a e m p lear?
8. U n m óv il s e m ueve a ra zó n de 3f3 -12 + 4 / - 2 m etros por segundo, c a lc u la la d istan c ia que recorre e n un tie m p o de
21 + 1 segundos (d istan c ia = (v elocidad)(tiem po )).
Utiliza e l p lan o d e l e je m p b 4 d e la página anterior, para c alcu lar b sig uiente:
9. L a su p erficie d e las recám aras.
10. E l á re a d e l baño.
11. L a su p erficie d e la co cin a.
12. E l á re a d e l com edor.
V# rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ^
7 2

91. Ca p ít u l o 3
Pr o d u c t o s n o t a b l e s
E l trin o m io c u a d ra d o p e rfe c to
A
s í se denom ina a l resultado d e (a + b)2, que se obtiene mediante
un cu ad rad o d e lad o (a + b ); a l que conforman dos cuad rad os
d e á re a “ a 2* y "b2" , a s í com o d o s rectángulos d e á re a "a b ", por
tanto, el desarrollo d e la expresión (a + b)2 es:
(a + b )2 = a 2 + 2 a b + b2
E l c u b o p e rfe c to
Es la denom inación del resultado d e (a + b)3; p ara su desarrollo se propone
un cubo d e arista (a + b) cuyo volumen será la expresión (a + b)3. A este
cubo perfecto lo conforman dos cubos d e volumen " a 3" y " b 3" respectiva­
mente, tres paralelepípedos con volumen uc ? b u y otros tres con volumen
" a b 2", lo que d a el desarrollo d e la expresión:
(a + b )3 = a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b 3
b a
a+ b
a
a + b

92. S O j d l U S l j
3 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
Definición
L o s productos notables s e o b tie n e n c o n un sim ple desarro llo , s in n ecesid ad d e efe c tu a r e l producto.
C u ad rad o de un binomio
E l d e sa rro llo de la su m a d e dos c an tid ad e s a l c u ad ra d o e s igu al a l c u ad ra d o d e l prim er térm in o , m ás e l d o b le producto
d e l prim er térm in o por e l seg und o, m ás e l c u ad ra d o d e l se g u n d o ; e s ta regla g e n era l s e ex p resa c o n la fórm ula:
(a + b f = a2 + l a b + b2
A la ex p resió n resultante s e le c o n o ce c o m o trin o m io cu ad ra d o perfecto.
D em ostra ción
L a ex p resió n (a + b f e s equiv alente a (a + b \ a + b \ e n to n c e s a l re a liz a r e l producto d e los binom ios, s e ob tien e:
( a + b f = (a + b )(a + b ) = a 2 + a b + a b + b2 = a2 + 2 a b + b 2
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • * D esarrolla (* + 7 )2.
S o lu ció n
A l a p lic a r la regla gen eral:
- E l cu ad ra d o d e l prim er térm in o : (* )2 = x2
- E l d o b le p rodu cto d e l prim er té rm in o por e l seg u n d o : 2(x)(7) = 14*
- E l cu ad ra d o d e l seg u n d o térm in o : (7)2 = 49
Se su m a n los térm inos resu ltantes y s e obtiene:
( x + 7)2 = 14* + 49
2 • • - ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e d e sa rro lla r (3m + 5n ) 2?
S o lu ció n
Se a p lic a la fó rm ula c o n 3/w co m o prim er té rm in o y 5n c o m o seg u n d o térm in o
(3m + 5 r i f = (3 m f + 2(3 m )(5« ) + (5«)2
= 9m 2 + 30 m n + 2 5 n2
P or tanto , e l resu ltad o e s: 9m 2 + 3Qm n + 2 5n 2
3 • • D e sa rro lla ^ a + 3 j .
S o lu ció n
Se su stitu y en los térm inos e n la fó rm ula y se e fe c tú a n la s o p eracio n es, p a ra obtener:
( í fl + 3 ) = ( r ) + 2 ( i a ) 3) + (3)1 = + | 0 + 9 = ¿ a 2 + 3 a + 9
4 • • D esarrolla (5m2' "3 + n * f .
S o lu ció n
E n e s te e je m p lo los ex ponentes d e las ba se s so n expresion es a lg e b raic as, e ntonces, a l a p lic a r la fórm ula, s e ob tien e:
(5m 2*-3 + nixf = (5 m + 2(5m 2,- 3)(/i4‘) H ^ f = 2 5 lOm2*"3 «*+
7 4

93. C a p í t u l o 3
Productos notables
5 • • ■ D e s a r r o lla ( - 2 * - 3y)2.
S olución
E l b in o m io s e e x p resa de la sig uiente m anera: ( - 2 x - 3y)2 = ( ( - 2 * ) + ( - 3 y ) ) \ s e a p lic a la fórm ula:
( - 2 * - 3y f = ( ( - 2 * ) + ( - 3 y ) ) 2 = ( - 2*)2 + 2 ( - 2 r X - 3y ) + ( - 3y)2
= 4 x 2 + 12x y + 9y 2
P o r tan to : ( - 2 * - 3y)2 = 4 r + 12x y +
E l d esarro llo d e l cu a d ra d o de una d ife re n c ia d e dos c a n tid ad e s, e s igu al a:
(a - b)2 = a2 - la b + b1
E n e s te d e sa rro llo los térm ino s se su stitu y e n c o n sig n o positivo, c o m o lo ilu stran los sig u ien tes eje m p lo s:
E JE M P L O S
1 • • ¿C uál es e l resu ltad o d e d e sa rro llar (4x4 - 9 y 3)2?
I . Solución
AJ
Se a p lic a la fórm ula a n te rio r y s e obtiene:
(4y - 9y3)2 = (4x*)2 - 2 (4 * 4)(9y3) + (9 y 3)2
= 16*8 - 7 2 * 4y3 + 81y6
2 • • ■ D e s a r r o lla ( 3 x * y - 2x 5z f .
S olución
Se a p lic a la fórm ula d e la m ism a m anera que e n e l eje m p lo an te rio r y s e obtiene:
( 3 * y - 2*r*z)2 = (3x ’y f - 2(3¿ y ) ( 2 + (2*5z)2 = 9x 6y 2 - \2x*yz + 4 * 'V
F inalm en te, e l resu ltad o de la op eració n e s: 9 * y - 12x8y z + 4 r ‘°z2
C uad rad o de un trinomio
E l d e sa rro llo d e la ex presión : ( a + b + c f e s igual a la s u m a d e los c u ad ra d o s d e c a d a un o de los térm in o s, m ás los
d o b les productos d e las com b in acio n es en tre ellos:
(a + b + c )2 = a2 + b 2 + c2 + l a b + 2 a c + 2b e
D em ostración
L a e x p resió n (a + b + c f es equiv alente a l p rodu cto ( a + b + c ) ( a + b + c), entonces:
(a + b + c)2 = ( a + b + c )(a + b + c ) = a 2 + a b + ac + a b + b 2 + b c + a c + b e + c 2
A l sim p lifica r los térm inos sem ejan te s:
( a + b + c f = á 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 a c + Tbc
75

94. 3 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
•%_ 1 • • D esarrolla ( x + 2 y + 3z)2.
.1 . S o lu ció n
U J
Se a p lic a la fó rm ula y s e obtiene c o m o resultado:
( x + 2 y + 3z f = ( x f + (2y f + (3Z)2 + 2 (x ) (2y ) + 2 (x ) (3z ) + 2 (2 y ) (3Z)
= x 2 + 4 y 2 + 9z2 + 4 x y + 6 x z + 12y z
2 • • O b tén e l resu ltad o d e (4rn - I n - 5)2.
S o lu ció n
E l trin o m io s e e x p re s a d e la sig u ien te m anera: (4m - I n - 5)2 = (4m + ( - 7 n ) + ( - 5 ))2 y s e a p lic a la fó rm u la para
o b te n e r co m o resultado:
(4m - l n - 5 ) 2 = (4m f + ( - I n f + ( - 5 ) 2 + 2 (4 m ) ( - 7n ) + 2 ( 4 m ) ( - 5 ) + 2 ( - 7w)<- 5)
= 16m2 + 49w2 + 2 5 - 5 6m n - 4 0m + 7 0n
3 • • D e sa rro lla I + 2 * " + * " - '
S o lu ció n
A l a p lic a r la fórm ula s e obtiene:
= ^ y * 1 ) + ( 2 i ' ) 2 + ( y l ) , + 2 ^ y * ' ^ 2 y ) + 2 ^ * * ' j ( ^ l) + 2 ( 2 x - ) ( y 1)
= i x !-*! + 4 x 'm + x 2- 2 + 2 x 2mtl+ x 2' + 4 x 2- ‘
4
Se red ucen los térm in os se m e ja n te s y s e a c o m o d a n de form a d e crecien te, re sp e c to a los exponentes:
= - X 2- ' 2 + 2 x ? ~ " + S x 2’ + 4X2- + x 2^ 2
4
EJERC IC IO 3 4
Desarrolla la s sig u ien tes exp re sio nes:
1. ( r + 8)2 10. ( 4 - m )2 19. (2 x + 3y)2
2. ( m - 1 0 ) 2 11. ( y + 9)2 20. (jc + 0.2)2
3. ( a -3 )2 12. ( x - 1 2 ) 2 21. (4x3 + 5y)2
4. ( y + 1 )2 13. ( p + 15)2 22. (9 a 3 - a 2*»)2
5. ( y + 5 ) 2 14. (2 a - \ f 23. ( 6 /r n 4 + 3 n t p f
6. ( p - 6 J2 15. 24-
7. ( l - ¿ > ) 2 16. ( 3 a * - l)2 25. ^ l - | * y
8. ( r - 5 ) 2 17. (m n + 8 a )2 26. ^ - 2 y
9. (2 + n ) 2 18. ( 7 a - 3 b f 27. | —
3jc 4 y
7 6

95. C a p í t u l o 3
Productos notables
2 8 . (Sx2 + 4x y 7)2 38. (ó*3" " 2 + 5y4V ) 2 48. (x 2 - 2 x + l ) 2
29. <5ab - 3 x y Y 39. ( ( U t * - 0 . 8 / " 1) 2 49. ( x + y - 2 f
30. (m9 + 12 y4)2 40. í | * 3*-2 + | > ' - J“ j 50. ( 2 a - 3 6 + l ) 2
31. ( 3 r - 9 y ) 2 41. ^ + 3 / - j 51. (4 m + 5n + p)!
( Y*0 /í4*V°+l V
3 2 . ( ¿ - I ? ) 2 42. ± - + ^ - 2 _ 5 2. ( 3 ^ + 2y2 - l ) 2
33. (3*4“ - 5 + 2y * " ? 43. ( x + 2 y + 3 j ) 2 53. ^ i a + i f c + c
34. (m2” *6 - 4 n “ )2 44. ( 3 í - 2 y + l ) 2 54.
35. ^ 3 a , + i f l 3V ’ j 45. ( a + 6 f c - 5 c ) 2 55. | 2 + ~
36. ^ < ¡ 2- ' - | f c ) 46. (a 2 + 5 a + 4 ) 2 56. ( a ' - f r ' + c ' ) 2
37. <0,6m2' -0.5n4)2 47. (a 2 + 3 a - 2)2 57. (a 4* ' - 2 a 1- a 4- ' ) 2
V e rifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r a s p o n d i a n t a
Binomios conjugados
Son de la form a ( a + b )(a - b ) y s u resu ltad o e s la d ife re n c ia de los c u ad ra d o s d e am bas c a n tid ad e s, co m o s e ilustra
e n la fórm ula:
(a + b )( a - b ) = á * -b 2
D em ostración
Se re a liz a e l p rodu cto y s e ob tien e:
(a + b )(a - b ) = a 2 - a b + a b - b 2 = a2 - b 2
E JE M P L O S
1 • • D esarrolla ( x + 6 ) ( x - 6).
S olución
A m bo s té rm in o s s e e le v an a l cu ad rad o :
- E l cu ad ra d o d e l térm in o que no ca m b ia d e sig n o : ( x f = X1
- E l cu ad ra d o d e l térm in o que c a m b ia d e sig n o : (6)2 = 3 6
F inalm en te, s e re a liz a la d iferen cia y e l resu ltad o e s: X1 - 36
7 7

96. E je m p lo s
3 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
2 • • • D esarrolla (m - 4 ) (m + 4).
S o lu ció n
A l a p lic a r la fó rm u la s e o btiene:
(m - 4 )(m + 4 ) = (m )2 - (4)2 = m2 - 16
3 • • - R e s u e lv e (-2x* + 7 ) ( - 2 ^ - 7 ) .
S o lu ció n
L o s binom ios s e ex presan d e la sig u ien te m anera para a p lic a r la fórm ula:
( - 2** + 7 X - 2x> - 7 ) = [ ( - 2x>) + 7] [ ( - 2x>) - 7 J = ( - V ) 2 - (7 )2 = 4x6 - 49
^ ^ ^ .. f 10 3m 4 V 3w 4 10^
4 . . . ^ a r r o l l a
S o lu ció n
Se o rd e n an los térm in o s y s e a p lic a la fórm ula p a ra obtener:
p O 3m4 j p m 4 | 1 0 j = ^10 3w 4 j p O | 3w 4 j = ^10 J ^ 3 m 4J = 100 9m*
5 • • • R esuelve (5.*20 “ 3 + y4" ) ( 5 x ^ " 3 - y*").
S o lu ció n
A l a p lic a r la fórm ula s e obtiene:
(5*20-3 + f X S / - 3 - y " ) = (5a:20-3)2 - (y 4")2 = 25*40 "6 - y 8"
Productos donde se ap lican binomios conjugados
1 • • H resu ltad o de (m + ti -p) (m + n + p ) es:
S o lu ció n
L o s ele m en to s d e am b os factores se a g ru p an de la sig u ien te m anera:
(m + n - p ) ( m + n + p ) = [(m + n ) - p ] [(m + r i ) + p ]
Se a p lic a la fó rm u la p a ra los bin om ios co njugados:
= (m + n f - p 2
Se d e sa rro lla e l b in o m io y, finalm ente, e l resu ltad o es:
= m 2 + 2 m n + n 2 - p 2
2 • • 'D e s a r r o l l a ( x + y - 3 ) ( j t - y + 3).
S o lu ció n
E l p rod ucto s e ex p resa d e la sig u ien te m an e ra y s e procede a a p lic a r e l producto de bin om ios con ju g ad o s:
( * + y - 3 X * - y + 3 ) = [ * + ( y - 3 ) ] [ * - ( y - 3 ) ]
= (* )2 - ( y - 3 )2
= x 2 - y 2 + 6 y - 9
P or tanto , e l resu ltad o e s: x 2 - y 2 + 6 y - 9
7 8

97. C a p í t u l o 3
Productos notables
3 • • ■ ¿ C u á l es e l resu ltad o d e ( Z r - 3 y - z + 5 ) ( 2 x- 3 y + z - 5 ) ?
Solución
Se a g ru p an los térm ino s y s e a p lic a la fó rm u la p a ra bino m io s co n ju g ad o s:
C2 x - 3 y - z + 5 ) ( 2 x - 3 y + z - 5 ) = [ ( 2 r - 3 y ) - ( z - 5 ) ] [ ( 2 r - 3y) + <z- 5 ) ]
= ( 2 t - 3 y ) I - ( Z - 5 ) J
Se d e sa rro lla n los binom ios, s e e lim in a n los paréntesis y se o rd e n an los térm inos:
= (4xr2 - \2 x y + 9y 2) - (z2 - 10z + 2 5 )
= 4T2 - \2 x y + 9 y 2 - z2 + 10z - 2 5
= 4*2 + 9 y 2- z 2 - 1 2 * y + 1 0 z - 2 5
F inalm en te, e l resu ltad o e s: 4 r 2 + 9y2 - z2 - 12xry + 10z - 2 5
EJEIC IC IO 3 5
Desarrolla tos sig u ie n te s productos:
1. (* + 3 X * - 3 )
2 . ( f l - l X f l + 1)
3 . ( b + 2 X b - 2)
4 . ( k - S )(k + 8)
5 . ( 5 - y X 5 + y )
6 . ( 9 - 0 X 9 + a )
7 . (m - n )(m + «)
8 . ( * y - z X * y + z)
9 . (3 * + 5y)(3xr - 5y)
10. ( 4 m - 9 « X 4 m + 9 n )
1 1. {2b - 3cX 3c + 2 b )
12. ( 6 ^ + 1 X 6 ^ - 1 )
13. (3m 3 - 8 X 3 m 3 + 8)
14. (5*4y + 4zX - 4z + 5x*y)
15. {9abi - c 1){9abi + c1)
16. ( 7 a V - c d ^ i l a b3 + c d 5)
"• ( f - * M
18 ( J ' - M
,9- ( W X iH
2 0 . ( ^ - 1 ) ( 3 ^ + íL )
2 1. ( 3 a ^ + bix)(3a'-4 - b ix)
2 2 . ( S y ^ - ^ í ^ + Sy20-3)
2 3 . (a + b - c ) ( a + b + c)
2 4 . ( 0 - + cX¿» + - c)
2 5 . (m + t i + p ) { m - n - p )
2 6 . (A: + y - 3 X * : + y + 3 )
2 7 . (4 x + 3 y - z X 4 * - 3 y + z)
2 8 . ( ^ - A y + y V + / + -*?)
2 9 . (m 4 - m 2 - m){mA + m 2 + m )
3 0 . ( 2 r + 5 y - 3 z ) ( 2 * + 5 y + 3z)
3 1 . (a: + 2 y - 1) (a: + 2 y + 1)
3 2 .
7 9

98. 3 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
33. 37. ( m - 2 n + 3 p - 5 ) ( m + 2n - 3 p - 5 )
34. + 3 8 - ( * - y + * - 4 ) ( * - y - í + 4 )
35. ( a + ¿> + c + ¿ ) ( a + ¿ - c - ¿ ) 3 9 . (2 x + 3 y + 4Z - 7 ) ( 2 * + 3 y - 4 Z + 7)
36. ( * + y + z - l ) ( x - y + z + 1) 4 0 . ( x - y - 3 z - 5 ) ( x - y + 3 z + 5 )
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Binomios con término común
S o n d e la form a (x + a ) ( x + b ), s u re su lta d o e s u n trin o m io c u y o d e sa rro llo e s e l c u ad ra d o d e l té rm in o c o m ú n , m ás la
su m a de los térm in o s no com u nes por e l térm in o co m ú n , más e l producto d e los no co m u n es.
(x + a ) (x + b ) = x2 + (a + b ) x + ab
D em ostra ción
Se re a liz a e l p rod ucto d e los binom ios:
( x + a ) ( x + b ) = X 1+ a x + b x + ab
Se ag ru p an los térm ino s sem ejan te s y s e obtien e la fórm ula:
( x + á ) ( x + b ) = ¿ + a x + b x + a b = ¿ + ( a + b ) x + a b
E JE M P L O S
1 # • D esarrolla ( x - 6 ) (x + 4).
.1 . S o lu ció n
IA J
Se d e sa rro lla e l pro ced im ien to descrito :
- E l cu ad ra d o del té rm in o co m ú n : ( r ) 2 = x 2
- L a su m a de los térm ino s no c o m u n e s, m ultiplicad a por e l té rm in o co m ú n : ( - 6 + 4 ) (* ) = - 2 x
- E l p ro ducto d e los térm inos no co m u n e s: ( - 6 )(4 ) = - 24
Se su m a n los térm ino s a n terio res y se obtiene co m o resultado:
( x - 6 ) ( x + 4 ) = X i - 2 x - 2 4
2 • • E fe c tú a ( m - 3 ) (m - 5 ) .
S o lu ció n
A l a p lic a r la fórm ula, s e obtiene:
( r o - 3 ) ( m - 5 ) = m 2 + ( - 3 - 5 ) m + ( - 3 ) ( - 5 ) = m2 - 8 m + 15
3 • • R esuelve (5 x -4 ) ( 5 x - 2 ) .
S o lu ció n
(5 * - 4X 5» - 2 ) = (5*)2 + ( - 4 - 2 ) ( 5 x ) + ( - 4 ) ( - 2 )
= 25.x2 + ( - 6 ) (5 x ) + 8
= 25*2 - 3 < k + 8
8 0

99. C a p í t u l o 3
Productos notables
4 • • - E f e c t ú a la sig uiente o p e rac ió n : ( 7 —at) ( 7 + 3at).
Solución
E l térm in o c o m ú n es 7, c o n la ap lic ac ió n de la fórm ula s e o btiene:
( 7 -at) ( 7 + 3jt) = ( 7 ) 2 + ( - j r + 3 j r ) ( 7 ) + ( - J c ) ( a r ) = 4 9 + 1 4 * - 3 * *
5 • • * ¿C uál es e l resu ltad o d e ( n 4 + 10) (n4 - 8)?
Solución
Al a p lic a r la fó rm ula s e obtiene:
(n + 10)(n4 - 8) = ( « 4)2 + (1 0- 8 ) n 4 + (1 0) ( -8) = n8 + 2n 4 - 8 0
6 • - E f e c t ú a
Solución
Se a p lic a la fórm u la y s e obtiene:
7 • • - D e s a r r o l l a (* + y - 3 ) ( * + y +7).
Solución
Se a g ru p an los térm ino s e n co m ú n :
(* + y - 3 ) ( * + y + 7 ) = [ ( * + y ) - 3 ] [ ( * + y ) + 7]
Se a p lic a e l d e sa rro llo para e l producto de b in o m io s c o n térm in o co m ú n :
(* + y - 3 ) ( * + y + 7 ) = [ ( * + y ) - 3 ] [ ( * + y ) + 7J
= ( x + y )2 + ( - 3 + 7 ) ( x + y ) + ( - 3 ) (7 )
= (* + y )2 + (4 ) (* + y ) + ( - 21)
= * 2 + 2 x y + y 2 + 4 * + 4 y - 21
8 • • ' D esarrolla (2/n + 3 n - 4 ) (2 m - 5 n + 2).
Solución
Se ex p resa e l producto d e la sig u ien te m anera:
(2/n + 3 / I - 4 ) (2 m - 5 n + 2 ) = [(2m ) + (3 « - 4 )] [(2m ) + ( - 5 n + 2)J
A l d e sa rro llar e l producto de binom ios c o n té rm in o com ún, s e obtiene:
= { 2 m f + (3 « - 4 - 5n + 2 ) (2 /n ) + ( 3 « - 4 ) ( - 5 n + 2)
= 4 m 2 + ( - 2 n - 2 ) (2m ) + ( - 15/I2 + 6 n + 2 0 n - 8)
= 4m 2 + ( - 4m n - 4m) + ( - ló n 2 + 2 6 n - 8)
= 4 m 2 - 4m n - 4 m - 15n 2 + 2 6 n - 8
= 4 m 2 - 15n2 - 4 m n - 4 rn + 2 6n - 8
8 1

100. 3 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
EJEIC IC IO 3 6
Resuelve lo s sig u ie n te s productos:
1. ( x - 8 X * + 5 ) 2 1 . (x4 + 6 ) ( j f- 12)
2 . (m + 7 ) ( m - 4 ) 2 2 . (*5 - IX*5 + 2 )
3 . (x - 10X* - 2 ) 2 3 . ( a 3 - 5 X a - 2)
4 . ( x - 6 X * - 5 ) 24. ( x ^ ' + l X ^ ' - S )
5 . (x + 4)(x + 6 ) 2 5 . ( ü V + b*){í?xi + 2b4)
6 . ( n - 3X « + 4 ) 2 6 . (3 x " + 4 /X 3 * '" - 7 y f)
7 . ( x - l X x - 8 )
8. ( a + 3 X a - 9 )
9 . (x - 5 )(x + 2)
- H X* * 0
» H M
* ( W | H
10. (m - 3)(m + 8) 30. f - x y + | Y | - x y j
11. ( 2 x - 6 X 2 x + 4 ) 31. ^ I x + | ^ | y - ¿ x j
12. (3m + 6 X 3 m - 4 ) 32. g x » - I / j g x » + | / )
13. ( 6 x - 4X6x + 3) 33. (a + b + 3 )(a + b + 4 )
14. ( 4 x - 5 X 4 x - 2 ) 34. ( a - 2 b + l ) ( a - 2 b + 5)
15. ( l - 3 x X 2 - 3 x ) 35. ( * - y + 3 z) ( x - y - l z )
16. (4 + 5xX6 + 5x) 36. (2x + y + 2X2* + y - 1 )
17. (2 - 7xX2 + 6 x) 37. (m 2 + /t2 - 5X/H2 + n2 + 9)
18. ( 5 + 2 * X 5 - 9 x ) 38. (a + b- c X * -b- 3c)
19. (x2 - 10X*2 + 6) 39. ( r + 3 y - 4 z X * - 2 y + z)
2 0 . (m 3 - 4X m 3 - 8) 4 0 . (a + 5¿> + c X * - 5b + c)
V itrifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c d ó n d© s o lu c io n a s c o r r e s p o n d i a n t a =
8 2

101. E je m p lo s
C a p i t u l o 3
Productos notables
C u b o d e un b in o m io
E s d e la fo rm a (a + b f , s u d e sa rro llo e s u n po linom io d e cu a tro térm in o s a l que s e lla m a c u b o perfecto y s u d e sa rro llo
es e l c u b o d e l prim er térm in o , m ás e l trip le producto d e l cu ad ra d o d e l prim ero por e l se g u n d o , m ás e l triple producto
tfcl prim ero por e l c u ad ra d o d e l se g u n d o , m ás e l cu b o d e l se g u n d o .
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
D em ostración
L a e x p resió n (a + b )3 es eq uivalen te a l p rodu cto (a + b ) \ a + b), en to nces:
(a + b ) 3 = (a + b ) \ a + b ) = (a2 + 2 a b + b2)(a + b)
= a 3 + a 2b + 2 <fb + 2a b 2 + ab2 + b3
= a 3 + 3 a 2b + l a b 2 + b3
E JE M P L O S
1 • • D esarrolla (m + S f .
S olución
Se o btiene c a d a uno d e los térm inos que co n fo rm a n a l cu b o perfecto:
- E l c u b o d e l prim er térm in o : ( m f = m 3
- E l trip le d el c u a d ra d o d e l p rim ero por e l seg u n d o : 3(m )2( 5 ) = 15m2
- E l trip le d e l prim ero por e l cu ad ra d o d e l seg u n d o : 3(m )(5)2 = 3{mX25) = 7 5m
- E l cu b o d e l seg u n d o : (5 )3 = 125
E stos resultado s s e su m a n y s e obtiene:
(m + 5)3 = m 3 + 1 5 m 2 + 75m + 125
2 • • • D esarrolla e l sig u ien te b in o m io
(x - 4 f:
S olución
E l b in o m io s e e x p re sa d e la sig u ien te m an era: (* - 4 )3 = (* + ( - 4))3, s e obtiene c a d a u no d e los térm in o s d e l cu b o
perfecto:
- E l c u b o d e l prim er térm in o : (x)3 = x 3
- E l trip le d el c u a d ra d o d e l p rim ero por e l seg u n d o : 3 ( r ) 2( - 4 ) - - 12r
- E l trip le d e l prim ero por e l cu ad ra d o d e l seg u n d o : 3 ( * ) ( - 4 )2 = 3(*X 16) = 4 8 *
- E l cu b o d e l se g u n d o térm in o : ( - 4 )3 = - 6 4
F inalm en te, e l d esarro llo es:
(JC- 4 )3 = *3 - 1 2 *2 + 4 8 . v - 6 4
3 • • D esarro lla (- 2m - 3 n f .
Solución
El b in o m io s e re p re se n ta co m o : ( - 2m - 371 )3 = [ ( - 2 /n ) + ( - 3/¡)]3, s e a p lic a la regla g eneral:
( - 2m - 3 n f = ( - 2m f + 3 ( - 2m )2( - 3 « ) + 3 ( - 2m \ - 3n f + ( - 3« ) 3
= ( - 8m 3) + 3(4 m 2) ( - 3 n ) + 3 ( - 2 m )(9n2) + ( - 27 n 3)
= - 8m 3 - 36m2n - 5 4m n 2 - 27«3
( co n tim ta)
8 3

102. 3 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a ció n )
E l d esarro llo d e l cu b o de la d ife re n c ia d e dos c a n tid ad e s s e obtien e c o n la fórm ula:
( * - b ? = ¿ - 3 a 2b + 3ab2- P
A l u tilizar la fórm u la los térm in os s e su stitu y e n c o n sig n o positivo.
4 • • - ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e (3x4 - 2y 3)3?
S o lu ció n
Se a p lic a la fó rm ula y s e d e te rm in a que:
(3 x 4 - 2 / ) 3 = C k 4)3 - 3 < 3 /) 2(2y3) +3< V X 2 y 3)2 - (2y3)3
= 27 * “ - 3 ( 9 ^ 2 / ) + 3(3 x4)(4y6) - 8y9
= 27 * “ - 5 4 * V + 3 6 x Y - 8 /
¡ C I C I O 3 7
Desarrolla to s sig u ien tes bin om ios a l cubo:
1. ( r - 1 ) 3 9. ( 2 x + l ) 3 17. (3 w 4 - 4m 3n ) 3
2. ( r o + 6 ) 3 10. ( 3 a - 4 ) 3
, h j
3. ( r - 2 ) 3 11. ( 2 x + 3)3 ( , - i j
4. (a + 10)3 12. (1 - 4m )3
- ( H J
5. (n - 7)3 13. ( 3 x - 4y)3
a
6. (x + 3 ) 3 14. ( 5 n f + 2 n 5)3
2 1 (H * J
7. (1 -*)3 15. ( 3 x > y - 2 z y
a
8. ( \ 0 - m f 16. ( 4 ^ + 2x y f 24. (2jc2o_3 - 3 y 4fl+l)
^ Va r ¡fie a t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c d ó n d o s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e
M u ltip lic a c io n e s q u e s e re su e lv e n co n la a p lic a c ió n d e p ro d u cto s n o ta b le s
Se utiliza p a ra re so lv e r u n a m u ltip lic ac ió n d e p o lin o m io s, sie m p re q ue las c a ra c te rís tic a s d e los fa cto res perm itan
a p lic a r las reglas d e los p ro d u cto s notables. Se ag ru p an las ex p resio n e s y s e d e sa rro lla e l p rodu cto no table que c o rre s ­
p o n d a a la s cara cte rística s d e los m ism o s; c o n los fa cto res resultan tes s e a p lic a e l m ism o p ro ced im ien to h a sta o b te n e r
e l resu ltad o.
8 4

103. C a p í t u l o 3
Productos notables
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
■5 . 1 • • D esarrolla e l sig u ien te producto: ( x + 2 )(x - 2)<a^ + 3).
.1 . Solución
UJ
Se e lig e n los fa cto res (x + 2 )(x - 2 ), los que s e re su elv e n c o m o un p rodu cto d e binom ios con jugados:
( * + 2 )(x - 2 ) = x 2 - 4
E ntonces e l p ro ducto inicial s e re p re se n ta com o:
(x + 2 X x - 2 ) ( x 2 + 3 ) = (x2 - 4 X x 2 + 3)
Por últim o, s e a p lic a e l p rodu cto d e bino m io s c o n té rm in o com ún:
(x2 - 4Xx2 + 3 ) = (x2)2 + ( - 4 + 3X x2) + ( - 4X 3)
= x 4 - x 2 - 12
P o r tan to : (x + 2 )(x - 2XX2 + 3 ) = x 4 - x2 - 12
2 • • D esarrolla e l sig u ien te producto: ( x + 1) (x + 2 ) (x - 1) (x - 2 ).
S olución
De acu e rd o c o n la elecció n d e los factores e s co m o s e pro ced e a a p lic a r e l producto notable, en este c a s o re agruparem os
los facto res d e la sig u ien te m anera:
( x + 1) (x - 1) (x + 2 ) (x - 2)
A l d e sa rro llar m ediante binom ios c o n ju g ad o s, s e obtiene:
( x + 1) ( x - 1) = x 2 - 1 (x + 2) ( x - 2) = x 2 - 4
L a expresió n s e tra n sfo rm a en :
( x * 1) ( * - 1) ( x + 2 ) ( x - 2 ) = ( x 1 - 1) C t' - 4)
P o r últim o s e a p lic a n bin o m io s c o n térm in o co m ú n :
= (x2)2 + ( - l - 4 ) x 2 + ( - l X - 4 )
= x 4 - 5 x 2 + 4
Por tan to : (x + 1 ) (x + 2 ) ( x - 1) ( x - 2 ) = x 4 - 5x2 + 4
3 • • R esuelve e l siguien te producto: (x + 3)2(x - 3)2.
S olución
Se d e sa rro lla n lo s c u ad ra d o s d e los bino m io s:
( x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9 ; ( x - 3 )2 = x 2 - 6x + 9
L uego:
( x + 3)2(x - 3)2 = (x2 + 6x + 9)(x2 - 6 x + 9 ) = (x2 + 9 + 6x ) (x2 + 9 - 6 x)
A l a p lic a r bino m io s co n ju g ad o s se d e te rm in a que:
(x2 + 9 + 6x)(x2 + 9 - 6x ) = [(x2 + 9)2 - (6x)2 J = (x2)2 + 2(x2) (9 ) + (9 )2 - 3 6x2
= x4 + l&x2 + 81 - 3 6x2
= / - 1&T + 81
P o r tanto, e l resu ltad o e s: x 4 - 18X2 + 81
8 5

104. 3 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
EJERC IC IO 3 8
Realiza la s sig u ien tes m ultiplicaciones ap licand o produ ctos notables:
1. ( * - l X * + 1 X ^ + 2)
2. ( m + 8 X w - 8 X w + l ) ( m - l )
3. (3 * - 5X 3* + 2X 9*2 - 9 * - 10)
4. (5 * - 6)2 (5 * + 6)2
5. ( r o + 2 ) 3 ( m - 2 ) 3
6. ( - * - 6 )2 (x2 - Y lx + 3 6 )
7. (n2 - l ) ( / i 2 + 7)(/i4- 6 w 2 + 7 )
8. (*2 + y)2 (x 2 - y f (x* + y 2)2
9. (2m + 6)(2 m - 8X 4m 2 + 3 m + 1)
10. (9 - 6 * 3X 6*3 + 9 X 8 1 + 36*6)
11. ( r - 4X * + 5X * + 4X * “ 5)
*
13. [ ( Z t - y X Z t + y K V + y ') ) 2
14. (m 2 - m - 1 )(m 2 + m + 1)
15. ( x - y ) ( * í + y 2) ( * + y )
16. ( w - 2 ) ( m 2 - 4 ) 2 (m + 2)
17. ( r + y X ^ - y X ^ + y V - y 4)
18. (x + 1)(* - 3 )(* - 1)(* + 3)
19. (m4 + 5)(m - 2)(m 2 + 4)(m + 2)
20. [(« + 2 )(n - 2X «2 + 4)]3
^ Verifica tu * resultados en la sección de solucione* correspondiente i
8 6

105. Ca p ít u l o 4
Fa c t o r iz a c ió n
f íe r r e d e F e rm a t
a fe m á tico fra n cé s quien n a c ió en
Beaum ont d e Lom agne y fa lle c ió
en Toulouse. Ferm at p a rticip ó con
Pascal en la creació n d e la teoría matemática
d e la p ro b ab ilid ad ; Descartes y Fermat inven­
taron la geom etría a n a lític a , c a d a uno por su
b d o . Si todas estas aportaciones d e primera c a ­
tegoría no son suficientes p ara ponerlo a la ca b e za d e sus contemporáneos
en la matemática pura, podemos preguntarnos: ¿quién hizo m ás? Fermat
era cread o r innato. Era tam bién, en e l estricto sentido d e la p ala b ra , en lo
que se refiere a su cie n cia d e la m atem ática, un a ficio n ad o . Sin duda es
uno d e los más grandes a ficio n ad o s en la historia d e la c ie n c ia , y quizá
"sea el prim ero". La vid a d e Ferm at fue tranquila y laboriosa, pues tuvo una
extraordinaria suerte.
Pierre d e Ferm at
(1601-1665 d.C.)

106. 4 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
D e fin ic ió n
F a c to riza r e s e x p re sa r una su m a o d ife re n c ia d e térm in o s c o m o e l p rod ucto in dicado d e su s factores; é s to s se presentan
e n la form a m ás sim p le.
F a c to r com ún
Es la ex p resió n co m ú n que tie n e n to d o s los térm in o s d e u na expresió n a lg e b raic a.
E JE M P L O S
1 # • F a cto riza: x 6 - x ? + X2.
.1 . S o lu ció n
Para e n c o n tra r e l fa c to r c o m ú n s e to m a la le tra que s e re p ite y d e m e n o r ex p o n en te ( * 2) , d e sp u é s c a d a uno d e los
térm inos d e la exp resió n a lg e b ra ic a se divide e n tre e l fa c to r com ún:
— = * 4 = - x 3 — = 1
* 2 * * 2 * * 2
Los re su lta d o s s e ex presan d e la sig u ien te m anera:
x 6 - x s + x 2 = x 2( x 4 - x 3 + \)
2 • • F a cto riza: 1 6 a V c - 12a V e 3 + 2 0 a V ° .
S o lu ció n
Se b u sc a e l fa c to r c o m ú n d e los co eficien tes, q u e e s e l m áxim o c o m ú n d iv iso r d e ello s y tam b ién s e b u sc a e l factor
c o m ú n de las literales:
M C D (16, 12, 2 0 ) = 4 F actor c o m ú n lite ra l = a V
Se re aliz a n las divisiones té rm in o a té rm in o y e l resu ltad o de la fa cto rizació n es:
16a V e - 12a V e 3 + 2 0 a V ° = 4 a V ( 4 a V c - 3 a V + 5¿>8)
3 • • O b tén la fa cto rizació n de la expresió n: 1 8 x 2 - 12* + 54.
S o lu ció n
E l m áxim o c o m ú n d iv iso r d e los co eficientes e s 6 y n o e x iste un fa c to r c o m ú n literal, por ta n to , la e x p resió n tie n e sólo
un factor c o m ú n num érico y s e ex p resa com o:
18*2 - 12* + 5 4 = 6 (3 * 2 - 2 * + 9)
4 • • F a c t o r i z a : ( 2 a -3 ¿ > ) 2( 5 a - 7 ¿ > ) 3 - ( 2 a - 3 ¿ > ) 3( 5 a - 7 ¿ > ) 2.
S o lu ció n
E n e s ta expresió n e l factor c o m ú n e s tá c o m p u e sto p o r binom ios, por co n sig u ien te, s e to m a d e c a d a uno de e llo s e l de
m en o r ex pon ente y s e realiza la fa cto rizació n de la sig uiente m anera:
( 2 a - 3¿>)2 ( 5 a - 7 b f - ( 2 a - 3b f ( 5 a - 7¿>)2 = ( 2 a - 3¿>)2 ( 5 a - I b ) 2 [ ( 5 a - I b ) - ( 2 a - 3 b )]
88

107. E je m p lo s
C a p í t u l o 4
Foctorizoción
Se redu cen los térm in o s sem ejan te s d e l últim o factor:
= ( 2 a - 3 b f ( 5 a - 7 b )2 [5 a - I b - 2 a + 3b]
= ( 2 a - 3 b f ( 5 a - I b ) 2 [ 3 a - 4 b ]
F inalm en te, e l resu ltad o de la fa cto rizació n e s: ( l a - 3¿>)2 ( 5 a - lb ) ~ [ 3 a - 4 b ]
EJE IC IC IO 3 9
F a c to riz a rla s sig u ie n te s e xp re sio n e s:
1.¿F + íz 14.5 5 m V * + 110 m 2 n3 x 2 - 2 20m 2y3
2.c?b2 - 2 a * b 15.25jc7 - 1 0 r5 + 15jc3 - 5AÍ2
3.a*+ á * - a 2 16.9 a 2 - \2 a b + 1 5 a V -2 A a b l
4.1 8 ^ + 3 0 * 17. 12 m 2n + 2 4m2n2- 3 6m*n + 48m sn*
5.48*3 - 12*3 - 2 4 * ‘ 18.3 d b + 6 o V - 5 a V + 8 a V + 4a V
6.25 b2 + 3 5 b * - 4 5 b s 19. 16 r 3y 2 - 8*4y - 2 4*2y - 4 0 *2y3
7. l l a r - 12 l a 2* + 3 3 a 3 20.lO O a V c - 15QoZ>2c2 + 50a b V - 2 0 0ab e
8.9 a 5b - \ 2 a 2b2 + 15o¿>2 - 1 8 a V 21.9 3 a V y - 62a V y 2 - 1 2 4 a2x
9. 9*2 + 6 r + 3 22.
3
1
—
+
—
1
H
10.4*4 - 8 r3 + 1 2 r2 23.
—
+
£
CO
1
<***«
—
+
£
o\
11.6 r 2 - 6 r y - 6x 24.* 2( * + 2 ) - * ( * + 2 )
12.14*2/ - 28** + 5 6 * 25.4X2 (2 * - 5)2 + 8x?(2* - 5)
13.34o*2 + 5 1 a2y - 6&ay2 26.( 2 * - l ) ( * + 4 ) - ( 2 r - l ) ( 3 * + l )
V itrifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e,
Factor común por agrupación de términos
Se a g ru p an los térm in o s q ue ten g a n alg ú n fa c to r e n com ún, d e ta l m o d o que la ex p resió n re stan te pu eda fa cto riz a rse
com o s e m uestra e n los sig u ien tes e jem p lo s:
E JE M P L O S
1 • • Factoriza: a m + b m + a 1 + ab.
Solución
Se a g ru p an los térm ino s y d e los prim eros s e fa cto riz a “m " y de los segun dos .
a m + bm + a 2+ a b = (a m + b m) + (a 2+ a b ) = m (a + b ) + a ( a + b)
L a ú ltim a expresió n s e vuelve a facto riz a r to m a n d o co m o fa c to r c o m ú n e l b in o m io a + b y s e obtien e c o m o r e ­
sultado:
= ( a + b )(m + a)
8 9

108. 4 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
2 - ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e facto riz a r 6 a x +3 a 2- 4 b x - 2 a b l
S o lu ció n
Se a g ru p a n los térm inos y s e b u scan los re sp ec tiv o s fa cto res com un es d e c a d a uno p a ra poder factorizarlos y o bten er
c o m o resultado:
6 a x + 3 a 1 - 4 b x - l a b = (6a x + 3a2) + ( - 4b x - l a b ) = 3 a (2 x + á ) - 2 b (2 x + a )
= ( 2 x + a ) ( 3 a - 2 b )
3 • • - F a c to r i z a : 6 a 2x + 4 a b + 2 a - 3 a b x - 2 b 2 - b.
S o lu ció n
Se re p iten los m ism os pasos q ue e n los ejem p lo s a n terio res y s e o btiene:
6 á * x + 4 a b + 2 a - 3 a b x - 2 b 2- b = (6a 2x + 4 a b + 2 a ) + ( - 3 a b x - 2b2 - b)
= 2 a ( 3 a x + 2 b + \ ) - b ( 3 a x + 2 b + \ )
= (3 a x + 2 b + \ X 2 a - b )
EJERC IC IO 4 0
Factoriza las sig u ien tes exp resio nes:
1. m2 + m tt + m x + n x
2. 3 ^ - 1 - jr2 + 3at
3. a x - b x + a y - b y
4. 2 / - 6 ay2 - y + 3 a
5. aun - 2 b m - 3 a n + 6 b n
6. 4 a 1x - 5 a 2y + \ 5 b y - \ 2 b x
7. m2p 2 - 3 n p 2+ m 2z 2- 3 n z 2
8. 5m 2n + 5m p2 + n2p 2 + m n i
9. 3 a - 2 b - 2 b y + 3 a y
10. 2mx* + 3nx*+10m + 15«
11. b m 2 + b y 1 - cm 2 - cy2
12. y - 1 5 - 5 ^ + 3^2
13. 3 b z - b y - 9 m z + 3 m y
14. a3 + a2 + a + 1
15. 1 + 2¿r - 3<j2 - 6 o 3
16. a ^ - ^ + a * - ?
17. 4 a - l - 4 a b + b
18. 18m3 + \2 m 2 - 15m - 10
19. y^yz - x ¿ m + x y 2m - y zm 2
20. p V + m n 'p 2t + m ^ p f 2 + m V
V# rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
9 0

109. E je m p lo s
C a p í t u l o 4
Foctorizoción
D iferencia de cuadrados
L a d ife re n c ia d e c u ad ra d o s e s d e la fo rm a i2 - b2 y s u fa cto rizació n es:
a2 -b2 = (a+b)(a-b)
L o que d a co m o resu ltad o e l p ro ducto de binom ios c o n ju g ad o s.
E JE M P L O S
• • F a c to riza la expresió n: x 2 - 9 .
S olución
Se extrae la raíz c u ad ra d a d e l prim er y seg u n d o té rm in o s; los resu ltad os s e a c o m o d a n co m o s e in d ica e n la fórm ula.
J x 2 = x ; >/9 = 3
F inalm en te, la fa cto rizació n e s: x 2 - 9 = ( a : + 3 ) ( a : - 3 )
2 • • - O l o r i z a : ^ - - L .
S olución
Se a p lic a la fórm ula y s e obtiene co m o resultado:
16 , 1 ( 4 1 V 4 1 ^
T ^ - s - U ^ s J U ' - s J
3 * ¿C u ál es e l resu ltad o de fa c to riz a r x2a~4 - y 6"?
S olución
Se e x p resa n los ex p o n en tes de la sig u ien te m anera:
¿ a - * _ y tb = x 2{o-2) _ y 1lb)
Se e x tra en las raíces c u ad ra d as d e am bo s térm inos:
F inalm en te, s e obtiene:
4 • • F a c to riza la exp resión: (2x + 3)2 - (x - 1)2.
S olución
Se extrae la raíz c u ad ra d a de c a d a uno de los térm inos:
\¡(2 x + 3)? = Z t + 3 y j ( x - Í f = x - l
Se su stitu y en la s raíces obten idas e n la fórm ula:
(2 x + 3)J - ( x - l ) J = [ ( 2 r + 3 ) + ( x - l ) ] [ ( i r f 3 ) - ( * - l ) ]
Se redu cen los térm in o s sem ejan te s d e c a d a uno de los factores y s e ob tiene c o m o resultado:
= [2 x + 3 + * - l ] [ 2 * + 3 - a t + 1]
= [3 * + 2 ] [ * + 4]
9 1

110. E je m p lo s
4 Ca p í t u l o
Ál g e b r a
EJE LC IC IO 41
Factoriza las sig u ie n te s expresion es:
1.x 2 - \ 11.x 6 - 3 6 21.l - * 2‘
2.x 2 - 49 12.16 a V - c 6 22.- n ^ 2 y + m 6x~4y
3. 81 - * 2 13. x 2 - !
4
23.\ 6 x 6a - 4 9 y 2"
4.16a:2 - 9 14.x 2 - -
81
24. ( x - l ) 2 - ( y - 3 ) 2
5.a 4 - b 4 15.
* - 5
25. ( 2 x + l ) 2 - ( y + 5 ) 2
6.a:4 - 6 4 16. 26.
'ÍT
i
—
M
l
- 1
7.1 0 0 - 16at 17. 27. 4 (3 a t—2 ) 2 — 9 (j c—l ) 2
8.3 6a:2 - 1 18. 28. - ( x + 2 y ) 2 + \ 6 ( x + y f
9.4 - 2 5 a:2 19.
a 2x+6 - 9 b 6?
29.2 5 ( 4 * - 3 ) 2 - 9 ( 2 * + l ) 2
10.
Vfarifici
4 a 4 - 9 b 2c 2
i t u s r e s u l t a d o s e n
2 0 .
la s e c c ió n d e s o lu c i o n e s <
m io¥* - 2 5 3 0 .4 9x4 - 4 (x2 - 3a:)2
Trinomio cu ad rad o perfecto
Se co n o ce a s í a to d a ex p resió n d e la form a:
a 2 ± 2 a b + b 2
P o so s p a ro fa c to riz a r un trino m io c u a d ra d o p e rfe cto
1. P ara factorizar e s ta expresión, se d e b e v e rificar que los térm in os s e en c u e n tre n o rd enad os c o n re sp e c to a los e x ­
ponentes de m ayo r a m enor o viceversa.
2. Se e x tra en las raíces cu ad ra d as d e los térm in o s extrem os (p rim er y últim o térm inos):
- V ? = a \ b 2 = b
3. P ara co m p ro b a r que la ex p resió n e s u n trin om io cu ad ra d o perfecto, s e re a liz a e l doble producto d e las raíces:
C o m p ro b ac ió n = 2 ab
4. S i e l re su lta d o d e l p ro ducto e s ig u a l a l se g u n d o té rm in o d e l trin o m io , en to n c es é s te e s c u ad ra d o p e rfe c to y su
factorización e s igu al a l cu a d ra d o de una su m a o d ife re n c ia d e las raíces cu a d ra d a s d e los térm in o s extrem os.
a 2 ±2a b + b 2 = ( a ± b f
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
# • F a c to riza la exp resión: a:2 + 6a: + 9 .
S o lu ció n
S e o b tie n e n las ra íc e s c u a d ra d a s y s e co m p ru e b a que e l trin o m io es c u a d ra d o perfecto:
'f x 2 - x \ 9 - 3 C o m p ro b ac ió n = 2 ( r) ( 3 ) = 6x
Al to m a r e l sig n o d e l seg u n d o térm in o , la fa cto rizació n es:
a:2 + 6a: + 9 = (a: + 3)2
9 2

111. C a p í t u l o 4
Foctorizoción
2 • • Facto riza: 4 * 2 + 9 y 2 - l Z t y .
S olución
Se o rd e n an los térm in os d e la sig u ien te m anera:
4 X 2 + 9 y 2 - \ 2 x y = 4x> - \ 2 x y+ 9y 2
Se e x tra en las raíces d e los térm ino s extrem os y s e verifica q u e e l trinom io e s cu ad ra d o perfecto:
v 4 a:2 = 2 x s¡9y* = 3 y C o m p ro b ac ió n = 2 (2 r)(3 y ) = \2 x y
F inalm en te, e l resu ltad o de la fa cto rizació n es:
4 * 2 + 9 y 2 - \ 2 x y = 4 x 2 - \ 2 x y + 9 y 2 = ( 2 x - 3y ) 2
3 • • F a c to riza la sig u ien te ex presión : (m + / 1)2 + ( / « + « ) + ^ .
S olución
Se o b tie n e n las raíces d e los extrem os y se co m p ru e b a e l doble producto:
\ j ( m + n f = m + n = 5 C o m p ro b ac ió n = 2 ( m + w ) ^ j = /n + w
P o r tanto, la fa cto rizació n de la ex p resió n propuesta es:
(m + w)2 + (m + « ) + ^ = ^ ( m + « ) + ^ j = ( m +w + ^ j
4 F a c to riza la expresió n: 3 a - 2 \ / 1 5a h + 5b .
S olución
Las raíces d e los extrem os y la com p ro b ació n de que la exp resió n e s un trin o m io cu ad ra d o p erfecto es:
y¡3a y v 5b C o m p ro b ac ió n = 2 ^ y j 3 a j^ y ¡ 5 b ) = 2 sj ( 3 a ) ( 5 b ) = 2 \¡ \5 a b
P o r tanto:
3 a - 2 7 Í 5 Í * + 5b = ( S a - -J s b) !
^ 1
5 • • F a c to riza a:4 + 4a:8 + 4 .
S olución
Se o b tie n e n las raíces d e los extrem os y se c o m pru eba:
l~T _ L _ 1 f l \ i
\¡x* = a: = * 8 v 4 = 2 C o m p ro b ac ió n = 2 a:8 1(2) = 4a:8
P o r co n sig u ien te, e l trin o m io es c u ad ra d o perfecto y s u fa cto rizació n es:
x * + 4 a :8 + 4 = ( a:8 + 2
9 3

112. 4 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
EJE IC IC IO 4 2
Factoriza las sig u ie n te s expresion es:
1. o2 + 8 a + 16
2 . m2 - 10m + 25
3 . n2 - & n + 16
4 . X1 - 6 x + 9
5 . X*+ \ 2 x + 36
6 . 9 a 2 - 3 0 a + 2 5
7 . 3 6 + 121c2 - 1 3 2 c
8. 16a2 + 2 4 a b + 9¿>2
9 . 4 a 2 - 2 0 a b + 25¿>2
10. 9 a 2 + 6 a b + ¿>2
11. 4 a 2- 12a¿> +9¿>2
12. a 2 - 2 4 r 2a 3 + ! 4 4 r V
13. 100a4 - 6 0 a 2¿> + 9 b 2
14. a 8 + 36¿>2c 2+ 12a b e
15. 121 + 198a6 + 8 l a 12
16. 4 9 r6 - 7 0 a * y + 2 5 a y
17. 4 0 0 a '° + 4 0 a s + l
19. ^ - * + z 2
2 0 . 1 + - p + ¿ -
3 9
2 i . * 4- * y + ¿
4
2 2 .
2 5 36 3
2 3 . l6 m 6- 2 m V + ^ -
16
2 4 . 9{a + x f - 12 (a + at) + 4
2 5 . 4(1 + m )2 - 4 ( l + m ) ( n - l ) + ( / i - \ f
2 6 . 9 (a - b)2 + 12 (a - b )(a + b ) + 4 ( a + ¿>)2
2 7 . (m + «)2 - 2(m + w)(m - n ) + (m - « )2
2 8 . 4 a 2- 4 a (¿> - a ) + (¿> - a )2
2 9 . (m + a )2 - 2(m + a ) ( a + ¿>) + ( a + ¿>)2
3 0 . x + l f i x y + 2 y
3 1 . a * + 4 v S + 4
3
3 2 . a 3 - 1 0 a * + 2 5
1 i
3 3 . x * + 6 x * + 9
i ^
34. 16a: 2 - 8a: 4 + 1
2 1
3 5 . m * + 4 m ^ + 4
18. a:8 + 18a:4 + 81 3 6 . ^ - 6 ^ + 9
V t r l f k a t u s r e s u l t a d o s a n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
9 4

113. E je m p lo s
C a p í t u l o 4
Foctorizoción
Trinomio de la forma x2 + bx+ c
E sta ex p resió n re su lta d e l producto d e b in o m io s c o n té rm in o com ún. P a ra fa cto riz a rla s e re aliz a n los pasos ap lic ad o s
e n los sig uien tes e jem plos:
E JE M P L O S
• • F a c to riza la expresió n: x 2 + 1 í x + 24.
I . Solución
j j
Se extrae la raíz c u ad ra d a d e l térm in o cu ad rá tic o y s e c o lo c a e l resu ltad o e n am bos tactores:
x 2 + \ \ x + 2 4 = ( x )(jc )
Se c o lo c a e l sig n o d e l se g u n d o té rm in o (+ 1 b r) e n e l prim er fa c to r y s e m ultiplica e l sig n o d e l se g u n d o té rm in o por
d d e l terc er té rm in o ( + )( + ) = + p a ra ob ten er e l sig n o d e l seg u n d o factor:
x 2 + l l . r + 2 4 = ( * + ) ( x + )
A l se r los sig n o s d e lo s factores iguales, s e b u scan d o s c a n tid ad e s c u y o p ro ducto s e a igu al a l te rc e r té rm in o (2 4 )
y c u y a su m a s e a igual a 11; esto s núm eros s o n 8 y 3, q u e s e c o lo c a n e n e l prim er factor, e l m ayor, y e n e l seg u n d o
factor, e l m enor:
x2 + \ \x+ 2 4 = (x+&)(x+ 3)
F inalm en te, la fa cto rizació n e s: ( x + 8 ) ( * + 3 )
2 • • F a c to riza la expresió n: m 2 - 1 3 m + 3 0 .
Solución
L a raíz c u ad ra d a d e l térm in o cu ad rático es “m "; e l prim er fa c to r v a aco m p añ a d o d e l sig n o d e l seg u n d o térm in o (-1 3 m )
y e l seg u n d o factor va c o n e l sig n o q u e resu lta d e l p ro ducto d e los signos d e l seg u n d o y terc er té rm in o s ( - ) ( + ) = -
m 2 - 1 3 m + 3 0 = ( m - ) ( m - )
Se b u sc a n d o s ca n tid ad e s que m ultiplicadas d e n 30 y su m a d as 13, e stas c an tid a d e s s o n 10 y 3 , s e a c o m o d a n de la
siguiente form a y e l resu ltad o de la fa cto rizació n es:
m 2 - 13m + 30 = ( m - 1 0 ) ( m - 3)
C u an d o los sig n o s de los fa cto res s o n iguales (positivos o negativos), los núm eros buscados s e su m a n (ejem p lo s 1 y 2),
pero s i los sig nos d e los factores so n difere n te s, en to n c es los núm eros buscados se re sta n (e je m p lo s sigu ientes).
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • • F a cto riza: x 2 -1 8 - 7 * .
Solución
Se o rd e n an los térm ino s e n fo rm a d escen d en te c o n resp ecto a los exp o n en tes y s e extrae la raíz cu a d ra d a d e l térm ino
cuadrático:
x 2 - 7 x - 1 8 = ( * ) ( x )
9 5

114. 4 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
E n e l prim er fa c to r s e c o lo c a e l sig n o d e l té rm in o lin e a l ( - I x ) y e n e l seg u n d o s e co lo c a e l sig n o que re su lta de
m ultiplicar los sig n o s d e l té rm in o lin e a l ( - 7 * ) y e l in dependiente ( - 18)
x 2 - l x - \ % = ( x - ) ( * + )
Se b u scan dos núm eros c u y o producto s e a igual a 18 y c u y a re sta s e a 7. E n e s te c a s o los n ú m ero s q u e c u m p le n esta
c o n d ic ió n so n 9 y 2 ; e s im portante se ñ a la r qu e e l núm ero m ayor v a e n e l prim er factor y e l m enor e n e l seg und o.
x 2 - 7 * - 1 8 = ( a : - 9 ) ( * + 2 )
2 • • F a c to riza la ex presión : x * - x 2 - 6 .
S o lu ció n
S e ex trae la raíz c u a d ra d a d e l prim er térm in o, s e e sc rib e n los sig n o s y s e b u sc a n d o s núm eros que a l m ultiplicarse den
6 y a l restarse 1 para que la expresió n factorizada sea:
x * - x 2 - 6 = ( x 2 - 3 ) ( x 2 + 2 )
3 F a c to riza la ex presión : x 2 + x y - 2 0 y 2.
S o lu ció n
D espués d e e x tra er la raíz cu ad rad a, a co m o d ar los sig n o s y b u sc a r los núm eros, la fa cto rizació n es:
x 2 + x y - '2 d y 2 = ( x + 5 y ) ( x - 4 y )
4 • • F a c to riza la ex presión : 2 1 - 4 x - x 2.
S o lu ció n
Se o rd e n a e l trin o m io y s e fa cto riz a e l sig n o d e l térm in o cuadrático :
2 1 - 4 * - = - . r 2 - 4 * + 2 1 = - ( * ’ + 4 * - 2 1)
Al facto riz a r la últim a expresión:
- ( x 2 + 4 x - 2 l ) = - ( x + 7 )(at - 3)
Se m u ltip lic a e l seg u n d o factor por e l sig n o negativo y s e o rd e n a para que e l resu ltad o sea:
- ( * + 7 ) ( * - 3 ) - ( * + 7 ) ( - * + 3 ) - ( j r + 7 X 3 - x )
5 • • F a c to riza la expresió n: 5 + 4 a 3" - a6" .
S o lu ció n
Se o rd e n an los térm in o s y s e fa cto riz a e l sig n o negativo:
5 + 4 a 3" - a 6* = -< ?n + 4 a 3" + 5 = - ( a 6- - 4 a 3" - 5)
La exp resió n en c e rra d a e n e l parén tesis s e fa c to riz a a l igual que las an terio res:
- ( a 6" - 4 a * - 5) = - ( a * - 5 ) ( a * + l )
9 6

115. C a p í t u l o 4
Foctorizoción
Se m ultiplica e l sig n o por los térm ino s d e l prim er factor y e l resu ltad o d e la fa cto rizació n es:
- ( a 3" - 5 ) ( a 3" + 1 ) = ( - a 2" + 5 ) ( a 3" + 1) = ( 5 - a 3" ) ( a 3" + 1)
6 • • 'F a c t o r i z a : ( 2a: + 3 ) 2 - 3 ( 2a: + 3 ) - 2 8 .
S olución
Se ex trae la raíz c u a d ra d a d e l té rm in o c u a d rá tic o y s e re aliz a n los pro cedim ientos d e sc rito s e n los e je m p lo s an terio res
para o b te n e r co m o resultado:
( 2 x + 3)2 - 3 ( 2 * + 3 ) - 2 8 = ( ( 2 a t + 3 ) - 7 ) ( ( 2 a t + 3) + 4)
= ( 2 * + 3 - 7 ) ( 2 * + 3 + 4 ) = ( 2 * - 4 ) ( 2 * + 7 )
= 2 ( * - 2 ) ( 2 * + 7)
EJEI C I C I O 4 3
Factoriza las sig u ie n te s expresiones:
1.a:2 + 3a: + 2 21. y 4 - 6 / + 8 41. 2 4 - S x - X 1
2.ro2- l l m + 30 22. n* - 20w2 + 64 42. 12 + x - X 1
3.n2 - 7 n + 1 2 23. a* - 37 a 2 + 3 6 43.4 0 - 3 r - x2
4. y 2 - 15y + 56 24. * 4 - * 2 - 9 0 44. 4 2 - x2 + a:
5.x 2 + 7 x + 6 25. a 2b2 + a b - 12 45.16 + 6 ( 3 r ) - ( 3 x ) 2
6.x 2 + 7 x + 12 26. (5y)2 + 13(5y) + 42 46. 9 - 8(2x) - ( 2 x f
7.
a
+
a
0
■—*
+
27. y 6 - 5 / - 14 47. 7 7 - 4< 8r) - (8a:)2
8. ¿>2 - 7¿> + 10 28. m 2 - 4 m n - 2 \ n 2 48.143 + 2(5jt) - (5jc)2
9.m - 9 m + 20 29. 5 + 4¿> - ¿>2 49.jc20- 1 3 ^ + 36
10. y 2 + 4 y + 3 30. z ‘° + z5 - 2 0 50. ¿ 4, + ¿»2 ,- 7 2
11.* 2 - 5 * + 4 31. y i + 7 x y 2 - 6 Q x 2 51. y &, + 65yi , + 6 4
12.tí2 + 6w + 8 32. ( a - b ) 2 + 5 ( a - b ) - 2 452.2 - ^ - x 80
13.¿ - 1 6 a - 3 6 33. x y - 2 ¿ y 2 - 9 9 53. 4 5 + 4x0'*2 - x * 0*2*
14. y 2 + y - 3 0 34. w V + w V - 1 3 2 54.( x + \ f - 12(at + 1) + 32
15.x:2 - 18 - 7a: 35. /i2 - 34w + 28 8 55. (2a: - 7)2 - 3 ( 2 r - 7 ) - 88
16.
£
+
£
l
36. y 2 + 3 y - 55 0 56. (5a: + y)2 + (5a: + y ) - 42
17.a2 - 5 a b - 5 0 b 2 37. c 2 - 2 2 c - 9 6 8 57. ( 6 a + 5 )2 - 1 5 ( 6 t f + 5 ) + 50
18.m 2 - I t t u i - 3 0 /r 38. a 2 + 3 3 ^ + 25 2 58. 2 2 - 9(a: + 3 y ) - (a: + 3y)2
19.
8
1
£
+
%
39. x 2 + 4 4 r + 363 59. 2 4 + 5(1 - 4a:) - (1 - 4 x f
20.m l + 3 m2 - 4 40. / 2 - 9 9 / + 2 43 0 60. 10 y2 - 3 y (x - 2y ) - ( x - 2y)2
V e r if ic a t u s r e s u lt a d o s e n la s e c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ía n t e <
9 7

116. E je m p lo s
4 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
Trinomio de la forma a x 2 + fax + c
E n e s te trin o m io e l coeficien te d e l térm in o cu ad rá tic o es diferen te d e uno.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • • fa c to riz a la exp resión: 6 * 2 - 7 x - 3.
S o lu ció n
S e o rd e n an los térm ino s se g ú n la fo rm a a x 1 + b x+ c, s e m u ltip lic a y s e divide por e l co eficie n te d el té rm in o cuadrático,
e n e l c a s o d e l seg u n d o té rm in o só lo s e d e ja in d icad a la m ultip licación .
6 ( 6 x 2 - 7 * - 3 ) 3 6 * 2 - 7 ( 6 . r ) - 1 8 ( 6 x ) 2 - 7 ( 6 x ) - 1 8
6 6 6
L a ex p resió n d e l num erad or s e fa cto riz a c o m o un trin o m io de la fo rm a x 2 + b x + c .
(6at)2 - 7 ( 6jt) - 1 8 ( 6x- 9 ) ( 6jc + 2)
6 6
Se obtiene e l facto r c o m ú n d e c a d a bin o m io y se sim p lifica la fracción:
3 ( 2 , - 3 ) 2 ( 3 , + 1) , 6 ( 2 , —3 ) ( 3 , + I) , ( ^ _ 3 )(3j + |)
6 6
F inalm ente, la fa cto rizació n d e 6*2 - I x - 3 e s ( 2 x - 3 )(3 x + 1)
2 • • F a cto riza: 3 * 2 - 5 x -2.
S o lu ció n
S e m u ltip lic a y d iv id e la e x p re s ió n p o r 3 , p a ra q u e s e tra n s fo rm e e l n u m e ra d o r e n u n a e x p re s ió n d e la fo rm a:
x 2 + b x + c
5.1 2 f o * ’ - 5* - 2 ) 9 « » - 5 ( 3 « ) - 6 (3 * )’ - 5 ( 3 » ) - 6
3 3 3
Se fa cto riz a la exp resió n y se sim p lifica para o b te n e r co m o resu ltad o de la facto rizació n :
= ( 3 » - 6 ) ( 3 * + l ) = 3 ( * - 2 ) ( 3 * + l ) = { x _ 2 ) { 3 x +
Por co n sig u ie n te: 3 x 2 - 5 x - 2 = ( x - 2 ) ( 3 * + 1)
3 • • F a c to riza la sig u ien te ex presión : 6 ¿ r x 2 + 5 a x - 2 \ .
S o lu ció n
S e a p lic a n los pasos d escritos e n los ejem p lo s a n terio res y s e obtiene:
* 2 2 c 6 ( 6 a V + 5 a r - 2 l ) 3 6 a V + 5 ( 6 a x ) - 1 2 6 ( 6 a x ) 2 + 5 ( 6 a x ) -126
6 a x + 5 a x - 2 \ =
------------- = ------------------------- = ----------------------
6 6 6
( 6 o r + 1 4 ) ( 6 q t - 9 ) 2 ( 3 q t + 7 ) 3 ( 2 aJ: - 3 ) 6 (3 QJr + 7 ) ( 2 a t - 3) ( 3 j . , ^ ; )
6 6 6
F inalm ente, e l resu ltad o d e la factorización e s: 6tf2* 2 + 5 a r - 2 1 = ( 3 a r + 7 ) ( 2 a x - 3 )
4 • • • F a c to riza la sig u ien te exp resión: 5 + 1 \ x - \ 2 x 2.
S o lu ció n
Se o rd e n an los térm in o s y s e fa cto riz a e l sig n o negativo:
5 + 1 U - 1 2 * 2 = - 1 2 r 2 + 1 U + 5 = - ( l 2 r 2 - 1 h : - 5 )
9 8

117. C a p í t u l o 4
Foctorizoción
Se realiza la fa cto rizació n y s e obtiene:
1 2 ( 1 2 ^ - l L r - S ) _ 144*2 - l l ( 1 2 * ) - 6 0 _ ( \ 2 x ) 2 - l l ( l Z y ) - 6 0
12 12 12
_ ( 1 2 x - \ 5 ) ( 1 2 x + 4 ) _ 3 ( 4 * —5 ) 4 ( 3 * + 1 ) 1 2 ( 4 * - 5 ) ( 3a:+ 1 ) _ { u ^ , t)
Se m ultiplica e l sig n o por e l p rim er tac to r y se o rd e n an los térm inos:
- ( 4a: - 5 ) ( 3a: + 1 ) = ( ^a: + 5 ) ( 3a: + 1 ) = ( 5 - 4a: ) ( 3a: + 1)
F inalm en te, e l resu ltad o de la fa cto rizació n e s: ( 5 - 4 * ) ( 3 * + l)
Por a g ru p a c ió n d e térm ino s
E JE M P L O S
i í
• • F a c to riza e l trin o m io : 6a:2 + 1 3a: + 5.
Í_ Solución
Se m u ltip lica e l coeficiente d e l prim er térm in o por e l té rm in o independiente: ( 6 ) ( 5 ) = 30
Se b u scan d o s núm ero s que m ultip licados d e n 30 y su m a d o s 13, e n e ste c a s o los núm ero s so n 10 y 3 , por ta n to , e l
seg u n d o térm in o d e l trin o m io s e ex p resa co m o : 13a: = 1 0a: + 3at y s e procede a factorizar a g ru p an d o térm ino s:
ó * 2 + 1 3 * + 5 = 6a:2 + 1 0 * + 3 * + 5 = 2 x ( 3 x+ 5 ) + 1 ( 2 r + 5 ) = (3a: + 5 ) ( 2 * + 1)
F inalm en te, la fa cto rizació n e s: 6jc2 + 13^r + 5 = ( 3at + 5 ) ( 2jt + 1)
2 • • Facto riza: 8a:4 - 19 x 2 + 6.
S olución
Se m ultiplican los coeficien tes d e los e x trem o s d e la expresió n: ( 8 ) ( 6 ) = 4 8
L o s n ú m e ro s q u e m u ltip lic a d o s d a n 4 8 y s u m a d o s - 1 9 s o n - 1 6 y - 3 , p o r c o n s ig u ie n te , s e e x p re s a c o m o :
—19a:2 - - 16a:2 - 3a:2 y s e pro ced e a factorizar:
8a:4 - 19a:2 + 6 = 8a:4 - 1 6a:2 - 3a:2 + 6 = ( 8a:4 - 1 6a:2) + ( - 3a:2 + ó)
= 8 a 2 (x2 - 2 ) - 3 ( * 2 - 2 ) = ( x 2 - 2 ) ( 8 a 2 - 3)
F inalm ente: 8a:4 - 19a:2 + 6 = ( x 2 - 2 ) ( 8 a : 2 - 3 )
3 • • F a c to riza la exp resión: 15a2 - 2xy - 8y 2.
S olución
Se m ultiplican los coeficien tes d e los e x trem o s d e l trinom io: ( 1 5 ) ( - 8 ) = - 120
Se d e sc o m p o n e - 1 2 0 e n dos fa cto res, d e ta l m an e ra que re stad o s d e n c o m o resu ltad o e l c o e fic ie n te d e l térm in o
c e n tra l - 2 , e sto s núm eros son: - 12 y 10
L a expresió n s e de sc o m p o n e d e la sigu iente m anera:
15a:2- 2 x y - 8y2 = 15a:2 - \2 x y + \ 0 x y - 8 y = 3 x ( 5 x - 4 y ) + 2 y (5a: - 4y)
= (5a: - 4y )(3x + 2y)
Se c onclu ye q u e : 15a2 - 2 x y - 8y2 = (5a: - 4y)(3A: + 2y)
9 9

118. 4 Ca p í t u l o
Ál g e b r a
EJE IC IC IO 4 4
Factoriza las sig u ie n te s expresion es:
1. 5m 2 + 1 3 m - 6 11. 44z + 20z2 - 1 5 21. 10o8 + 2 9 a 4 + 10
2. 3a2 - 5 a - 2 12. 2b2 + 29¿> + 90 22. 6a2 - 4 3 a b - \ 5 b 2
3. 6y2 + 7 y + 2 13. 6y4 +5y2 - 6 23. 6 - 5 / - 6 r 4
4. 2x¡ + 3 x - 2 14. 14m4 - 4 5 n f - 14 24. 3Qx“ - 9 1 x 5 - 3 0
5. 4 rr + 15n + 9 15. (x r b 2 + 5 ab - 2 5 25. 6m 2- 1 \ m n + 4 n 2
6. 20«r2 + jc - 1 16. 15y2- b y - 2 b 2 26. 6a 2/ - 11 a x y - 3 5y2
7. 7a2 - 4 4 a - 35 17. 6 n2 - \ 3 m n - \ 5 m 2 21. 2Aa2 + 5 ab - \4 b 2
8. 2 / + 5 y + 2 18. 3 0 + 1 3 x - 3 x 2 28. 4 x iy2 + 3 x y - 10
9. 2Ü*2 + 13x + 2 19. 15 + 2¿>2 - 8 b* 29. 5a*b2 - \3 a 2b c - 6 c 2
10. 15m2 - 8wi - 12 2 0 . 3 0 ^ + 1 7 * 7 - 2 1 / 30. 2 m 2+ 9 m n - 110w2
V brifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d i e n t e
C a s o s e s p e c ia le s
E sto s trinom io s ta m b ié n s o n d e la form a a:? + b x + c \ s in em b a rg o , a lg u n o s c o e fic ie n te s so n fra c c io n a rio s o tien en
raíz cu ad ra d a.
E JE M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------•
o l l l
T L 1 • • F a c to riza la exp resión: 2 p 2 + — p + — .
c 1 2 1 2
.SL S o lu ció n
U J
E n e s te c a s o s e incluyen fracciones, en to nces los ex trem o s d e b e n ex p resarse co m o u na fracción que c o n te n g a e l m ism o
d e n o m in ado r, por tanto:
11 1 2 ( 1 2 ) , 1 1 1 2 4 , 11 1
2 p- + — p + — = — —-p~ + — p + — = — p + — p + —
1 2 ^ 12 12 K 12 12 \2y 12 12
Se m u ltip lican los co eficien tes nu m eradores d e los extrem os d e l trinom io: (2 4 )(1 ) = 24
Se b u sc a n dos núm eros que m u ltip licad o s d e n 2 4 y sum ados 11, e n e s te c a s o los núm eros s o n 3 y 8, por ta n to e l
trin o m io s e ex p resa com o:
, 1 1 1 2 4 , 3 8 1„2 1 2 1
2p~ + — p + — = — p + — p + — p + — = 2p~ + - p + - p + —
y 12 12 12 12 12 12 F 4 3 y 12
Se procede a realizar la fa cto rizació n d e l po linom io resultante:
2p!+i p+¡ p+^4 2p+3+K2p+^ H2p+i í p+S
E n to nces, s e con clu y e que: + P + ■££ = + ^ p + ^ j
2 9 3
2 • • ‘ F a c to riza la ex presión : 6x2 - — x - —.
S o lu ció n
Se c o n v ie rte n los co eficien tes d e l trin o m io e n u na fracción c o n d e n o m in a d o r com ún:
6x* _ 2 9 3 _ 2 9 _ J ( 2 ) _ = !2 0 29 6
2 0 10 2 0 2 0 10 (2 ) 2 0 2 0 2 0
100

119. C a p í t u l o 4
Foctorizoción
Se m ultiplican los nu m eradores d e los extrem os: (1 2 0 ) ( 6 ) = 7 2 0 , en to nces s e buscan d o s núm eros q u e m ultiplicados
cfcn 72 0 y restad o s 29, los c u a le s son: 4 5 y 16, por tanto, la exp resió n s e re p re se n ta com o:
120 , 2 9 6 120 , 4 5 16 6 ^ , 9 4 6
2 0 2 0 * 2 0 ~~ 20 * 2 0 * + 2 0 * 2 0 “ * 4 * + 5 * 2 0 ”
A l fectorizar se ob tiene co m o resultado:
* 2 9 4 v,
6 ,
3 • • F a c to riza la e x p resió n 3 * + 2 yfx - 8 .
Solución
Se m ultiplican los co eficientes d e los ex trem o s: (3)(8) = 24
Se b u sc a n dos núm ero s q u e a l m ultiplicarse d e n 2 4 y restad o s 2, e n e s te c a s o los núm eros so n 6 y 4, entonces:
3 * + 2 v * - 8 = 3 x + 6 > / x - 4 n / J - 8
Se ex p resa x = (%/*) y s e re a liz a la facto rizació n:
3 x + 6 v / . * : - 4 \ / * - 8 = 3 ( V * ) + 6 s j x - 4 s f x - 8 = 3 \ f x ( J x + 2 } - 4 ( J x + 2 )
= ( > C + 2 ) ( 3 > Z c - 4 )
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o de la fa cto rizació n e s: ( \ / j r + 2 ) ( 3 > í r - 4 )
EJE ÍC IC IO 4 5
Factoriza la s sig u ie n te s exp re sio nes:
10.2 x + \ l J x + \5
11.\ 2 x - 5 \ f x - 2
12.\ 5 x - 2 3 y j x - 2 S
, 2 3 1
+ _6~m + 3
13.
1 1
2 x - 5 x 1y * - 3 y
, 2 17 1
4 m + Í I m - ü
14.
2 1
6 x * - x * -4 0
1 2 . 17 1
6 ° 1 2 a 12
15.
2 1
3 x * + 5 x * - 2
2 , 1 1 -
3 - 1 2 * ^ - 8 ^
16.5 ( x + y ) - 6 sj x + y- 8
3 , 3 1
2 5 * " 2 0 * 12
17.
4 2 1
12x5 - 1 7 * V - 4 ° y
1 2 13 1 2
^ *
18.
4 2 2 4
+ 2 x 3y * - 1 5 y *
M irifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e 1
101

120. 4 Ca p í t u l o
Á L G E B R A
Sum a o diferencia de cubos
Dadas las expresiones de la forma: a3 + b3 y a3 -¿>3, para factorizarlas e s necesario extraer la raíz cúbica d e l primer
y segun do térm inos, para después sustituir los resultados e n las respectivas fórmulas.
a3+ b3 = (a+b)(a2- a b + b 2) a 3 - b3 = (a-b)(a2 + a b + b 2)
EJEM PLOS
1 • • F a cto riza: 27x 3 + 8.
I . S o lu ció n
j j
Se extrae la raíz c ú b ic a d e am bo s térm inos:
^ 2 T ? = 3 x ^ 8 = 2
Se su stituye e n s u fó rm ula respectiva, se d e sa rro lla n los exponentes y s e obtiene:
2 7jc3 + 8 = ( 3jc+ 2 ) ( ( 3at) 2 - ( 3at) ( 2 ) + ( 2 ) 2 )
= ( 3 * + 2 ) ( 9 * 2 - 6 * + 4 )
2 • • lá c to riz a : m 6- 2 1 6 .
S o lu ció n
Se ex traen las raíces cú b icas d e los térm inos y s e su stitu y en e n la fórm ula p a ra obtener:
m 6 - 2 1 6 = ( m 2 - 6 ) ( ( m 2) 2 + ( m 2 ) ( 6 ) + (6 )2
= ( m 2 - ó j j m 4 + 6 / n 2 + 3 ó )
3 #• - F a cto riza: V5 + 6 4 y 3.
S o lu ció n
Se re a liz a e l m ism o procedim iento que e n los eje m p lo s an terio res p a ra obtener:
* » + 6 4 / - ( ¿ » + 4 y ) ( ( * s )J - ( ^ ) ( 4 y ) + ( 4 y ) 2
= ( * 5 + 4 y ) ( t “ - 4 x 5y+ 16y2)
4 • • F a c to riza la sig u ien te ex presión : (x + y)3 + (x - y)3.
S o lu ció n
Se o b tie n e n las ra íc e s cú b icas d e los e le m en to s y s e su stitu y en e n la respectiva fórm ula:
l ] { x + y y = x + y tf(* -y)s = * - y
A l a p lic a r la fa cto rizació n d e la sum a d e cu b o s, d e sa rro llar y sim p lifica r s e obtiene:
( x * , T ^ X - j Y ) + ( x - , ) ) { ( ? * , Y - ( x * y X x - , ) * { x - , r )
= ( jc + y —y)(jc2 + 2x y + f - x 2 + y 2 + x 2 - 2 x y + y 2)
= 2 x [ x 2 + 3y2)
102

121. C a p í t u l o 4
Foctorizoción
5 • • * F a c to riza la sig u ien te e xp resión:
x -y
S olución
Se o b tie n e n las raíces cú b icas d e los e le m en to s:
l í i y } ¡ y
Se a p lic a la fa cto rizació n para una d ife re n c ia d e cu bos y e l resu ltad o es:
3 6
6 • • - F a c to riza la expresió n: 8 a 2 + 2 7bs.
Solución
Las raíces cú b icas son:
\ '8 a 5 = 2 am = 2 fl5 í m 5 = 3bm = 3bl
Se su stitu y en las raíces e n la fórm u la y la fa cto rizació n es:
E JEIC IC IO 4 6
Factoriza las sig u ie n te s expresiones:
i . & - 1 13.( f + \25b'2
2. y + 27 14.&*r6 + 7 2 9
3. S*3 + y 3 15.27m 6 + 343w9
4. 2 7 a 3- ó 3 16.
i i
. r 3 + y 3
5. 8 a 3+27¿>6 17. a ‘ - 8b‘
6. 6 4 o 3 - 729 18.
3 9
je2 + 1 2 5 y 2
7. 5 1 2 - 2 7 a 9 19. x 30*3 - y 6a
8. * * - 8 y 12 20. ( x + 2y y - ( 2 x - y y
9. 1 - 216/n3 21.
( x - y y + z y *
10. a 3 - 125 22. 2 7 m 3 - ( 3 m + 2 « ) 3
11. 2 7m 3 + 6 4 n9 23.( a + b y - ( 2 a + 3 b y
12. 3 4 3 ^ - 5 1 2 / 24.
103

122. E je m p lo s
Sum a o diferencia de potencias im pares iguales
D adas la s e x p resio n e s d e la fo rm a a" +b" o a" - b " s ie n d o n u n n ú m ero im par, s u fa cto riz a ció n e s d e la sig u ien te
form a:
a" + b- = (a + b )(a "-1 -a * * b + a r í b2 ab""2 + b"*)
a• = (a-¿> )(a- + a**b+ ar í b2 + ...+ a¿-2 +£"-')
E JE M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • F a c to riza la exp resión: * 7 + y 7.
S o lu ció n
Se extrae la raíz sé p tim a d e am bos térm in os:
4 C a p i t u l o
__________________________________________________________________________________________________________________________
Á l G E B R A
Se su stituye e n s u fó rm ula y s e obtien e co m o resultado:
* 7 + y 7 =(Ar+y)(Ar7-* - x ^ y + x ^ y 1 - j r 7“Y + * 7-5y 4- x 1^ + y 6)
= (x + y) ( * 6 - x 5y +x*y2 - * 3y 3 + x2y* - xy5 + y 6)
2 • • - F a c t o r i z a : * 5 - 3 2 .
S o lu ció n
Se d e sc o m p o n e 3 2 en su s factores prim os y se a p lic a la fórm ula:
j 5 - 32 = j 5 - 2 5 = (jc- 2 ) (jc5-1 + Í 5- 2 ( 2 ) + Í 5-3 ( 2 ) : + i 5"4 ( 2 ) J + (2 )4 )
= ( i - 2 ) ( i 4 + 2 i 5 + 4 i 2 + 8 j + 16)
F inalm en te, se tie n e que: i 5 - 32 = ( * - 2 )(* 4 + 2 j P + 4 j P + & x+16)
EJE*C IC IO 4 7
Factoriza la s sig u ie n te s e xp re sio n e s:
1. *3 + 6 4 y3
2. a 7 - 1 2 8
3. 2 4 3 - 32X5
4. * 7 + l
5. m s - n 5
6. * 7 -é» V
7. 1 - t f 5
8. * 5y 5 + 3 1 2 5
9. * 9 - l
10. * 9 + 5 1 2
V» rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
1 0 4

123. C a p í t u l o 4
Foctorizoción
Factorización que com bina un trinomio cuadrado perfecto
y una diferencia de cuadrados
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
-5. 1 # • Facto riza: x * - 2 x y + y 2 - a 2.
1 Solución
IA J
L a e x p resió n ¿ - 2xy + y* e s u n trinom io cu ad ra d o p erfecto y s u facto rizació n es:
x2 - 2xy + y* = ( x - y f
P o r tanto:
X * - 2 x y + y ! - a 2 = (x2- 2 x y + y2) - a 2 = ( x - y ) 2- a2
A l factorizar la d ife re n c ia de c u ad ra d o s se o b tie n e finalm ente:
= (x - y f - a = (x - y + a)(x - y - a )
2 • • - F a c t o r i z a la sig u ien te e x presión : 16a 2 - n i 2- 8mn - lów2.
Solución
Se a g ru p an los térm ino s d e la sig u ien te m anera y s e fa cto riz a e l sig n o negativo:
16a2 - n i 2- 8m n - \6n2 = 16a2 + ( - m 2- Smn - 16o2)
= 16a2 - (m2 + 8m n + 16a 2)
Se factoriza e l trin o m io cu ad ra d o perfecto:
= 16a2 - (m + 4«)2
Se factoriza la d ife re n c ia de c u ad ra d o s y s e o btiene finalm ente:
= [4a + (m + 4w )][4a - (m + 4n)]
= (4a + m + 4 « X 4 a - m - 4ri)
3 Factoriza: a 2 - 2ab + b2- 25m'° + 4 0 m V - 16n6.
Solución
Se a g ru p a n los té rm in o s q u e fo rm an trin o m io s c u a d ra d o s p erfecto s y p o ste rio rm e n te s e fa c to riz a la d ife re n c ia d e
cuad rados p a ra que finalm ente e l resu ltad o sea:
a2 - lab + b2 - 2 5 m 10 + 4Om V - 16n = ( a 2 - la b + b2) - (2 5m 10 - 4 0 w V + 16/t6)
= ( a - b ) 2 - (5m 5 - 4a 3)2
= [(a - b ) + (5m s - 4n3)][(a - b ) - (5m 5 - 4w3)]
= ( a - b + 5m 5- 4w3) ( a - b - 5m s+ 4«3)
EJERC IC IO 4 8
Factoriza la s sig u ien tes exp re sio nes:
1. m2 +2m + 1 - 4w2 6 . m2 - 6 r - 9 - . r 2 + 2 a m + a 2 11. m 2- 1 6 - / i 2 + 3 6 + 12/w - 8/2
2. y 2 - 6 y + 9 - z 2 7 . l - a 2 - 9 n 2 - 6 a n 12. J + l x y + y 2- \ 6 a 2 - 24abs - 9 b 10
3. jr2 - y 2+ 1 0 y - 2 5 8. ni2- r i 2 + 4 + 4 m- 1 - 2 w 13. 1 0 0 - 6 0 y + 9 y 2- m 2 + 2 a m p - a 2/>2
4. m * - n 6- 6 n 3 - 9 9. 2¿>y - y 2 + 1 - ti2 14. 25¿>2 + 10a¿> - 9 ti + a2- 6 m n - m 2
5. 4 9m 4 - 25m 2 - 9n2 + 3 0 m n 10. 25p2 - 2 m - m2 - 1 15. 4m 2 - 9a 2 + 49 n 2 - 30a¿> - 25¿>2 - 2 Smn
Verifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
1 0 5

124. 4 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Factorización p ara com pletar el trinomio cuadrado perfecto
O Caso I trin o m io d e la fo rm a x 2 + bx + c
Ejemplo
F a c to riza la ex presión : x 2 - 3 x -10.
S o lu ció n
Se to m a e l c o e fic ie n te d e l té rm in o lineal y se d iv id e e n tre 2 y e l resu ltad o s e e le v a a l cuad rado.
Se su m a y s e resta - a l trinom io, s e ag rup an los térm in os y s e fa cto riz a e l trin o m io cu ad rad o perfecto q u e resulta:
4 9
4
j 2- 3 x - \ 0 = x 2- 3 a t + —- —- 1 0 = fjc 2 - 3 j c + — - 1 0 = f ; r - - l -
4 4 4 J 4 \ 2 )
Se fa cto riz a la d ife re n c ia d e cu ad ra d o s y s e re d u ce n té rm in o s sem ejan te s:
F inalm ente, la fa cto rizació n q u e d a co m o : x 2 - 3 x - 1 0 = ( * + 2 ) ( . r - 5 )
O Caso II trinom io d e la fo rm a a x 2 + bx + c
Ejem plo
F a cto riza: 2 r 2 + 5 * + 2 .
S o lu ció n
Se factoriza e l coeficiente del térm ino cuadrático y s e co m p leta e l trinom io para la ex p resió n en cerrad a e n e l paréntesis:
Z t ! + 5 í + 2 = 2 ^ t ! + | i + l j = 2
' 5 N
2
' 5 N
2 "
2 5
x + 2 X +
2
2
-
2
2
+ 1
Se m u ltip lican por 2 los térm in os d e l prim er fa c to r y s e obtien e co m o resultado:
- 2 Í x + i j ( * + 2 ) - ( 2 * + l ) ( * + 2 )
O Caso II I p o r adición y su stracció n
Ejemplo
F a c to riza la ex presión : 4m* + 3m2n2 + 9n 4.
S o lu ció n
E l trin o m io no es c u a d ra d o perfecto, deb id o a que e l d o b le p rod ucto d e las raíces c u a d ra d a s d e l p rim e r y te rc e r té r ­
m inos, es:
2(2/w2)(3n2) = 1 2 m V
1 0 6

125. s o |d u i 9 l 3
C a p í t u l o 4
Foctorizoción
Ya q u e e l se g u n d o té rm in o e s 3 m V , s e le su m a 9 / n V y s e o b tie n e e l té rm in o q ue s e n ecesita p a ra q u e e l trinom io
9¿a c u a d ra d o perfecto, por co n sig u ien te, s e re sta tam b ién 9 m V p a ra no a lte ra r la expresión.
4tn + 3m 2n~ + 9n = 4m 4 + 3m2n2 + 9m2n2 + 9 « 4 - 9m~ n2
= ( 4 m4 + 12m V + 9/14) - 9 m V
= (2m 2 + 3 n 2)2 - 9 / n V
- (2m2 + 3ra2 + 3mn)(2m2 + 3H2 - 3mn)
F in alm ente: 4m 4 + 3 m V + 9w4 = (2m2 + 3n2 + 3mn)(2m2 + 3 « 2 - 3m «)
EJE IC IC IO 4 9
Factoriza la s sig u ie n te s exp resiones:
1. x2 - 3 x + 2 6 . n2 + 3 n - 54 11. ni + n2+ 1 16.121 + 21¿r2¿>2 + tf 464
2. x2 - * - 20 7 . a ^ + i o x + s 12. a 4 - ótf2 + 1 17. 3 6m 4 - 109/n2/?2 + 49n
3. m2 - 7 m + 10 8. 6m2 + 7m + 2 13. m 8 + 4 m V + 16w8 18. x 4 + x2y2 + y4
4. X2 - 2 x - 4 8 9. 3 a 2 - a - 4 14. x 4 - 45x2 + 100 19. a4 - 7a2b2 + 9b*
5. a 2 - - 40 10. 6x2-x- \ 2 15. 6 4ú4 +76a2 + 4 9 20.4/w8 - 5 3 m V + 49w8
V e r i f i c a t u s r e s u lt a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e ,
Expresiones alg e b raicas donde se utilizan dos o más casos
E x isten po linom ios q u e s e d e b e n fa c to riz a r d o s o más v e ce s c o n d ifere n te s m éto d o s; a co n tin u a ció n se ejem p lifican
algunos d e e s to s polinom ios:
E JE M P L O S
1 • • F a c to riza la ex presión : 2xi + 6x2- 8x.
Solución
Se ob tien e e l fa c to r com ún:
2x3 + 6 r 2 - 8 x = 2* (x 2 + 3 x - 4 )
Se factoriza e l trin o m io d e la fo rm a x 2 + bx + c y s e ob tien e:
= 2 * ( * + 4 X * - l )
2 • • ■ F a c to riz a : 3m 4 - 243.
Solución
Se fa cto riz a 3 que e s e l fa c to r com ún:
3/n4 - 2 4 3 = 3 (m4 - 81)
E l bin o m io se fa cto riz a c o n una d ife re n c ia de cu ad ra d o s:
= 3 (m2 - 9 ) (m 2 + 9 )
L a e x p resió n m 2 - 9 se factoriza em p le a n d o nuevam ente la d ife re n c ia d e c u ad ra d o s y s e ob tien e finalm ente:
= 3 (m - 3 ) (m + 3 ) {m + 9)
1 0 7

126. 4 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJE IC IC IO 5 0
Factoriza la s sig u ie n te s e xp re sio n e s:
1. ¿- 3X2 - 2 8 * 11. jc4 - 25JT2 + 144 2 1 . &x*+6xl - 2
2. 3 a 2 - 3 a - 6 12. a5- a 3b2 + a2b3- b s 2 2 . 5mxy3 + lQmy2 - 5mxy - lOm
3. 3m 3 - 3 m 13. a* -ab* 2 3 . a 6 - 7 2 9
4. y* - 3y2 - 4 14. aCx3 + l ) + 3 a t r ( A : + l ) 2 4 . ¿ - x y 6
5. m 3- m 2- m + 1 15. a 6 - 2 5 a 3 - 5 4 2 5 . a 2(-a2- b 2) - ( 2 a - l ) ( ¿ - b 2)
6. 6 o r2 - a x - 2 a 16. a 4 - a 3 + a - 1 26. 4as + 4a3 + 4a
7 . x* - ¿ + X * - x 17. 4 m Y - 4 m 2 2 7 . m3- 4 m - m 2 + 4
8. üax2 - 2a 18. 3mnpr + 3mnp - 18m/j 2 8 . y5- 4 0 / + 144y
9. a5 + a3 - 2 a 19. 2 5 6 - a 2 9 . rn - m
10. 6 4 - m6 20. a 8 - & 8 3 0 . 6m2y - 9 m 3 - my2
V s r if k a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Descom posición en factores de un polinomio por división sintética
D ado e l p o lin o m io a j f + +...+an_tx + aH, s u fa cto rizació n e s d e la form a
(x- * , ) ( * - X i ) \ . . ( x - x j , do n d e x„ x* .. s e ob tienen d e l co cien te:
P o sib les factores d e l polino m io = ^ ct01cs ^ 9b.
factores d e
E JE M P L O S
1 • • D esco m pó n por ev alu ació n : / - 3x2 - 4x + 12.
S o lu ció n
Se b u sc a n los d ivisores d e l té rm in o independiente y los divisores d e l co eficie n te d c x 3
D iv isores de 12 = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12} D ivisores d e 1 = { ± 1}
Se d iv id en los div iso res d e l térm in o independiente en tre los divisores d el c o e fic ie n te de x 3
{ ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , + 12}
É sto s so n los posibles valores para los cuales e l valor d el residuo d e la divisió n sin tética puede se r cero.
Se o rd e n an los c o e fic ie n te s d e l polin om io y, c o n los valores a n te rio re s, s e e fe c tú a n las o p eraciones in dicad as, si
la últim a o p e rac ió n e s c e ro , entonces, s e re sta a la lite ra l p a ra o b te n e r un factor, e s te p ro ced im ien to se repite las v e ce s
que s e a n e ce sa rio co m o se ilu stra a continuación:
__X '—'" ”
- 3
* (2X 1) = 2 ( 2 X - l ) = - 2 (2)(— 6 ) - 1 2
n 2 —► Prim er fa c to r (x - 2)
M
-------------- - 6 - — ■A - 2 —► S eg und o fa c to r (x - ( -
' ^ ( - 2 ) ( l ) = - 2 (- 2)(” 3 ) = 6
1**
------x_____ - 3 _ _ 0
-A 3 —► T erc er fa c to r (x - 3)
^ ^ ( 3 ) ( 1 ) = 3
1 0
L o s x v x2, x y .. so n los v alo res p a ra los qu e e l re sid u o de la d iv isió n sin té tic a e s c e ro , y e l n ú m ero de fa cto res e s
e l núm ero d e v a lo re s que la cu m plen.
F inalm ente, la d e sc o m p o sic ió n e n factores d e l po linom io p ro p u esto es:
x * - 3 x ! - 4 x + \2 = ( x - 2 X x + 2 ) ( x - 3 )
108

127. C a p í t u l o 4
Foctorizoción
2 • • - F a c t o r i z a e l polin om io: 6r* + x * - 3 l x + 10.
S olución
Se b u sc a n los divisores d e l té rm in o independiente y los d ivisores d e l co eficie n te d e £
D ivisores d e 10 = { ± 1, ± 2, ± 5, ± 10} D ivisores d e 6 = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 6}
P o sib le s factores d e l polinom io: {± 1, ± 2 , ± 5 , ± 10,± ± ± i ± \ , ± ^ ± ^ , ± ± ^ }
2 J o 5 ¿ 3 o 5 ]
Éstos s o n los posibles valores p a ra los que e l valo r d e l re sid u o de la división s in té tic a puede se r cero .
Se o rd e n an los co eficien tes d e l polinom io y, c o n los valores an te rio re s, s e e fe c tú a n las o p eraciones siguientes:
6 1 - 3 1 10
12 2 6 - 1 0
6 13 - 5 0
____________2 5 ________
6 15 0
___________- 1 5___________________
6 0
F inalm en te, la d esco m p o sició n e n facto res d e l p olino m io es:
6x3+ * J - 3 U + l O = 6 ( * - 2 ) ( x + 0 ; r - ± j = (x - 2)(2x + 5 X 3 * - 1)
3 • • * F a c to riza e l p o lin o m io: tn - 18m2 + 81.
S olución
Se b u sc a n los divisores d e l té rm in o independiente y los div iso res d e l co eficie n te d e m4
D ivisores d e 81 = { ± 1, ± 3, ± 9, ± 2 7 , ± 81} D iv isores de 1 = { ± 1}
Posibles factores d e l polinom io: { ± 1, ± 3 , ± 9 , ± 2 7 , ± 81}
É sto s so n los posibles valores p a ra los que e l valo r d e l re sid u o de la división s in té tic a puede se r cero .
Se o rd e n an los c o e fic ie n te s d e l p olinom io, se c o n sid e ra n los c e r o s d e los térm in os c ú b ic o y lineal y s e efec tú a n
las o p eraciones sig u ien tes:
3 —► Prim er fa c to r (m - 3)
3 — S egun do fa c to r (m - 3 )
- 3 — ► T ercer fa c to r (m - ( - 3 ) ) = (m + 3)
- 3 —► C u a rto fa c to r (m - ( - 3 ) ) = (m + 3)
F inalm en te, la d esco m p o sició n e n facto res d e l p olino m io es:
m4 - 1 8 ^ + 81 = ( m - 3 ) ( m - 3)(m + 3 )(m + 3 ) = (m - 3 ) \ m + 3 ) 2
1 0 - 1 8 0 81
3 9 - 2 7 - 8 1
1 3 - 9 - 2 7 0
3 18 27
1 6 9 0
- 3 0
1 3 0
- 3
1 0
P rim e r fa c to r (x - 2)
S egu ndo fa c to r ( x- ^ j
T erc er fa c to r ^x- j = { x +
1 0 9

128. 4 C a p í t u l o
Á L G E B R A
4 • • • F a c t o r iz a e l polinom io: 4 / - 9y2 - 6y- 1.
S o lu ció n
Se b u sc a n los divisores d e l té rm in o independiente y los divisores d e l co eficie n te d e y*.
D ivisores d e 1 = { ± 1} D ivisores d e 4 = { ± 1, ± 2, ± 4 }
Posibles facto res d e l polinom io: j ± l , ± ^ , ± - j
É stos s o n los posibles valores para los que e l v alor del residuo de la divisió n sin té tic a puede s e r c e ro .
Se o rd e n an los co eficie n te s d e l polinom io, s e co n sid era a l c e ro d e l té rm in o cú b ic o y s e e fe c tú a n las o p eraciones
siguientes:
4 0 - 9 - 6 - 1 | - 1 —► P rim er fa c to r ( y + 1)
- 4 4 5 1
4 - 4 - 5 - 1 0
____________- 2 3 1 __________
4-6-2 0 —► T erc er fa c to r (4y2 - 6 y - 2)
L a ex p resió n 4y2 - 6 y - 2 únicam ente se puede facto riz a r de la sig u ien te m anera:
4y2 - 6 y - 2 = 2 ( 2 / - 3 y - 1)
F in alm ente, la d e sc o m p o sic ió n e n factores d e l po linom io es:
4 / - 9vJ - 6 y - 1 = ( y + l ) ( y + j ) 2 (2 / - 3 y - l ) = ( y + W y + W f - 3y - 1)
j —► S egundo fa c to r ^ V + ~ j
EJE LC IC IO 51
Factoriza las sig u ien tes expresion es:
1. b * - b 2- b + 1 11. n* - 2 n 3 - 3 « 2 + 4 n + 4
2. \\? + 2w2 - w - 2 12. * 4 - 4 * * + 3 / + 4 * : - 4
3. j ? - 4 x 2 + x + 6 13. * 4 - 3 * , - 3 / + l l * - 6
4. ¿ + ¿ - l A x - 2 A 14. x s - 4 / + l Q r 6
5. 4 x * - l x + 3 15. a5 - 3 0 o 3 - 25<r - 3 6 a - 180
6. m 3 + 2m2 + m + 2 16. 2*5 - 5 * 4 - 12*3 + 2 3 r + 1 6 * - 12
7. 6 / + y 2 - l l y - 6 17. x , - 4 r > + 3 / - f e ’ + 3 2 * - 2 4
8. ¿»4 - 1 0 a 2 + 9 18. 6 ^ + 7*4 - 4 7 * 3 - 13*2 + 7 7 * - 3 0
9. 3 / + 4 * * - 5 9 * - 2 0 19. n6 - 14n4 + 4 9 «2 - 36
10. tn + 6m 3 + 3m + 140 20. 2 / - 3 r 5 - 35at4 - 2X2 + 3 * + 35
V e r if ic a t u s r e s u lt a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c io n a s c o r r e s p o n d ie n t e
110

129. Capítulo 5
Fr a c c io n e s a lg e b r a ic a s
N ico lá s d e C usa vio que uno d e los puntos débiles del pensamiento escolásti­
co d e la ép o ca, en lo que se refiere a la cien cia , había sido su incapacidad
para medir, mientras que él pensaba que el conocimiento debería sustentarse
en la medida. Sus teorías filosóficas neoplatónicas sobre la concordancia
de los contrarios, le condujo a pensar que los máximos y los mínimos están
siempre en relación.
Nicolás d e C usa (1401-1464)
C
ard enal alem án nacid o en C u sa y fa ­
llecido en Lodi (Italia). M á s filósofo que
m atem ático, a é l se d eb e la crítica a
b s conceptos d e la noción d e infinito: " ...p a ra
a lc a n z a r e l máximum y el mínimum h ay que
trascender la serie indefinida d e lo grande y
lo pequeño, y entonces se descubre que el
máximum y e l mínimum coinciden en la id ea d e in fin ito ...".
Nicolás d e Cusa (1401-1464)

130. 5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
M áxim o común divisor (M CD)
E l m áxim o c o m ú n d iv is o r de dos o m ás expresiones a lg e b raic as e s e l té rm in o o po linom io que d iv id e ex ac ta m en te a
to d as y c a d a una d e las expresiones dad as.
R egla para o b te n e r e l M CD :
O Se ob tiene e l m áxim o c o m ú n d iv iso r d e los co eficien tes.
O Se to m a n lo s fa cto res (m o n o m io o p olin om io) d e m enor expo nente que ten g a n e n c o m ú n y se m u ltip lican por
e l m áxim o c o m ú n d iv iso r de los co eficien tes.
E JE M P L O S
1 i • •
i
E n c u e n tra e l m áxim o c o m ú n d iv iso r de: \5 ¿ y h , 2 4xy*z, 36y Y .
S o lu ció n
S e ob tiene e l M C D d e 15, 2 4 y 36
15 24 36 3
5 8 12
M C D = 3
Se to m a n los factores q ue ten g a n e n c o m ú n y s e esc o g e n los d e m enor exp o n en te, e n e s te c a so : y2, z
Finalm ente, e l m áxim o c o m ú n divisor: 3y2z
2 • • O b t é n e l M C D d e los sig u ien tes polinom ios:
4m : + 8 m - 12, 2ro2 - 6 m + 4, 6m 2 + 1 8 / n - 2 4 ;
S o lu ció n
S e fa cto rizan los polinom ios:
4(m 2 + 2 m - 3 ) = 4(m + 3)(m - 1 )
2(m 2 - 3 m + 2 ) = 2 (m - 2 )(m - 1)
6(m 2 + 3 m - 4 ) = 6(m + 4 )(m - 1 )
Se obtiene e l M C D d e 4, 2 y 6
4 2 6 2
2 1 3
E l M C D d e los co eficie n te s 2, 4 y 6 e s 2.
El M C D d e los fa cto res e s m - 1
Por tan to, e l M C D d e los po linom ios e s: 2(m -1)
M ínim o común múltiplo (mcm)
E l m ínim o c o m ú n m últiplo d e d o s o m ás e xp resio nes a lg e b raic as e s e l térm in o a lg e b ra ic o q u e s e divide p o r to d as y
c a d a una d e las expresiones dad as.
R egla para o b te n e r e l m ín im o c o m ú n m últiplo:
© Se ob tiene e l m cm de los co eficien tes.
© Se to m a n lo s fa cto res q u e n o s e re p iten y, d e los que s e repiten, e l d e m ay o r ex p o n en te, y s e m u ltip lican p o r e l
m ínim o c o m ú n m últiplo d e los c o eficien tes.
112

131. C a p í t u l o 5
Fracciones algebraicas
E JE M P L O S
i 1
1
D eterm ina e l m em d e las sig u ie n te s ex presiones 15x2y2z, 24*y2z, 3 6 y V .
Solución
Se e n c u e n tra e l m em d e 15, 24, 36
15 24 36 2
15 12 18 2
15 6 9 2
15 3 9 3
5 1 3 3
5 1 1 5
1 1 1
m em = 23 x 32 x 5 = 360
El m em d e los co eficie n te 15, 2 4 y 3 6 e s 36 0
Se to m a n todos los facto res y s e e sc o g e n los d e m ayor ex pon ente e n e l c a s o de aq u ello s que se a n c o m u n e s y, los
que no, se e sc rib e n igual.
F inalm en te, e l m em e s 3 6 0 x 2y Z2
E ncu en tra e l m em de 4m 2 + 8m - 1 2 ; 2m2 - 6m + 4 ; 6m2 + 18m - 24.
S olución
Se fa cto rizan los polinom ios y s e esc o g e n los factores:
4m2 + 8m - 12 = 4(m 2 + 2/w - 3 ) = 4(m + 3)(m - 1)
2rn - 6 m + 4 = 2 (m2 - 3m + 2 ) = 2(m - 2 ) ( m - 1)
6ro2 + 18wj - 2 4 = 6(m 2 + 3 m - 4 ) = 6(m + 4 ) ( /n - 1)
Se obtiene e l m em d e los coeficientes d e 4, 2 y 6
4 2 6 2
2 1 3 2
1 1 3 3
1 1 1
m em = 22 x 3 = 12
E l m em d e 4 , 2 y 6 e s 12
E l m em d e los facto res e s: (m + 3 )(m - 2 )(m + 4 )(m - 1)
P o r co n sig u ien te, e l m em e s: 12(m + 3 ) ( m - l)(m - 2)(m + 4 )
EJERC IC IO 5 2
Determ ina e l m áxim o c o m ú n d iv is o r y e l m ínim o com ú n m últiplo d e la s sig u ien tes exp re sio nes:
I 1. 3 5 ^ y V ; 4 2 ^ y V ; 7 0 ^ 2
; 2 . 72m 3y4; 9 6m2y \ 1 2 0 m y 5
• 3. 4x2y ; 8x"y2, l^y z', lO x y V
1 4. ?.9í^bc\52ab2c\19,abc2
1 1 3

132. E je m p lo s :
5 C a p i t u l o
Á L G E B R A
5. 6 0 m V ; 7 5 m V +2; 105m«**‘
6. 72xayh' , 3 ^ 2^ l-44xa^ y b^
7. \ S a \ x -l ) 3; 24a (¿ -l ) 2; 3 0a \ x -l ) 4
8. 2 7 (a - b)(x + y)2; 45(a - b f ( x + y)
9. 2 4 (2 * + \ ) \ x - 7 ); 3 0 (* + 8)0* - 7 ); 3 6 (2 * + l)(j* + 8f
10. 38(a* + a 3¿>); 5 7 ^ ( 1 + b?\ 1 6 a \ \ + ¿>)3
11. x y + y ^ + x
12. m? - 1; m 2 - 1
13. m2 +mw; m n + «2; m 3 + m 2n
14. ^ - y ^ - ^ + y 2
15. 3 » ? - 6 r , .** - 4 r , . ^ y - 2 * y ,X * - x - 2
16. 3fl2 - a ; 2 7 a 3 - l ; 9 a 2 - 6 a + l
17. m2 - 2 m - 8 ; m 2 - m - 1 2 ; m 3 - 9 m 2 + 20m
18. 2 a 3 - 2 a 2; 3 a 2 - 3 a ; 4 a 3 - 4 a 2
19. 12¿>2 + 8¿> + 1; 2¿>2 — 5¿> — 3
20. y J - 2 y 2 - 5 y + 6 ; 2y3 - 5y2 - 6 y + 9 ; 2y2 - 5 y - 3
V» rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Sim plificación de fracciones alg ebraicas
U n a frac c ió n a lg e b ra ic a co n tie n e lite rales y s e sim p lific a a l fa c to riz a r a l n u m e ra d o r y a l d e n o m in a d o r y a l d iv id ir
aq u ello s factores que s e en c u e n tre n e n am b a s posiciones, co m o a c o n tin u a ció n se ejem p lifica.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
, 8 a 2 + 12a¿>
| • • S im plifica la sig u ien te e x p r e s ió n : — = .
8 a~
S o lu ció n
Se fa cto rizan ta n to e l num erado r co m o e l denom inador.
8 a 2 + 12a¿> _ ( 4 a ) ( 2 a + 3b)
8 a2 (2a)(4a)
U na vez fa cto riz a d o s los e le m e n to s d e la fracción, s e o b se rv a que e n am bo s s e e n c u e n tra la exp resió n (4a) la c u a l
se procede a l sim plificar
(4a)(2a + 3b) _ 2a + 3b
(2a)(4a) 2 a
2 • • ■ S im plifica la sig u ien te e x p re s ió n :
-------— — - .
15m - 12m ‘
S o lu ció n
S e fa cto rizan e l n um erado r y e l de n o m inad or, sim p lificand o e l té rm in o que s e repite e n am b o s (3m )
3 m l( 3 m ) 1
15m - 12 m 2 ~ ( 3 m ) ( 5- 4 m ) ~ 5 - 4 m
1 1 4

133. C a p í t u l o 5
Fracciones algebraicas
3 • • S im plifica la sig u ien te ex presión : .
x - 4y
Solución
Se fa cto rizan ta n to e l num erad or co m o e l denom inador.
6 x 2y - \ 2 x y 2 6x y j x -2y)
- ( x + 2 y ) ( x - 2 y )
U na vez facto rizad o s los ele m en to s d e la fracción, s e o b se rv a q u e e n am bo s s e e n c u e n tra la ex p resió n (x - 2y) la
cual s e pro ced e a sim plificar
6 x y ( x - 2 y ) _ 6xy
( x + 2 y ) ( x - 2 y ) ~ x + 2 y
4 • • Sim plifica
x 2+ a x - 3 x - 3 a '
Solución
Se fa cto rizan ta n to num erad or co m o d e n o m in a d o r
x2 - 6 x + 9 ( * - 3 ) 2 ( * - 3 ) 2
x 2 + a x - 3 x - 3 a ^t(a: + íz) — 3 ( a:+ « ) ( * - 3 ) ( * + a )
E n e s ta fra c c ió n e l e le m e n to que s e repite e n e l n u m era d o r y d e n o m in ad o r e s ( * - 3 ) , en to nces se re a liz a la sim ­
plificación
( * - 3 ) 2 * - 3
5 ■ S im plifica la sig u ien te exp resión: —
( * - 3 ) ( * + t f ) x + a
9 x - x 3
x - x - 6 x
S olución
Se fa cto rizan ta n to num erad or co m o d e n o m in a d o r
9 x - x * -y(9-AT2) ^ x ( 3 + x ) { 3 - x )
x* - x * - ó * 2 x 2( x 2 - x - 6 ) x 2 ( x -3 ) ( * + 2 )
L o s facto res qu e s e re p iten s o n ( r ) y (x - 3)
* ( 3 + * ) ( 3 - * ) ( 3 + * ) ( - l ) x + 3
x 2 ( x - 3 ) ( * + 2 ) * ( * + 2 ) “ * ( * + 2 )
...... „ 12 + 3 7 * + 2 * 2 - 3 * 3
Sim plifica la sig u ien te ex presión : + 51
-----2 6 t 2 ~+ 3 3 "
Solución
Se fa cto rizan ta n to num erad or co m o d e n o m in a d o r
12 + 3 7 * + 2 * 2 - 3 x 3 ( - l ) (3 jy -I-1 )(jc + 3 )(jr - 4 )
2 0 + 5 1 * - 26.x2 + 3 * 3 ( * - 5 ) ( 3 * + l ) ( * - 4 )
L o s fa cto res qu e se re p iten e n e l n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r (3* + 1) y (* - 4 ), s e dividen, obteniéndo se la sim p li­
ficación d e la fracció n
12 + 3 7 * + 2 * 2 - 3 * 3 _ ( - ! ) ( * + 3 ) * + 3
2 0 + 5 1 * - 2 6 x 2 + 3 * 3 ( * - 5 ) * - 5
1 1 5

134. E je m p lo s
5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJEIC IC IO 5 3
Simplifica las sig u ien tes fracciones algebraicas:
2a2 + la b
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1 0.
11.
3a2b
6 a V
3a2b - 6 a b 2
4a2 + \2 a
8 a 2
6 m 3 - 18/n2 - 2 4 /w
1 5 m - 9 m 2
m in - m 2n 2
n2 - m 2
4 x 2 - \ 2 x
2 x 3- 2 x 2- l 2 x
x 2 - 3xy - \ 0 y 2
5 y 2 + 4 x y - x 2
x 2+ 7 x - 7 S
x 2 - 3 6
/i2 - 5 w + 6
« 2 - 2 n - 3
2 a t - x y - 6 y 2
3 * 2 - 5 * y - 2 y 2
- a : 4 + 3 r 3y - 2A:2y 2
5a:3 - 4a: 2y - A y 2
I 2 3 r 2 + 1 0 A y + 8 y 2
a:2 - A y - 6 y 2
13.
14.
15.
a¿>2m2 - 2ab2m n+ ab2n2
abm2 - a b n 2
8 -at*
a:2 + 2a: - 8
* + y
* 2 - y 2
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
y3 - 2 7 * 3
y2 - A y- 6a:2
* 3- l
.r 3 - 3 A ^ y + 3 A y 2 - y 3
a:3 - 3Ay2 + 2 y 3
3 a x - b x - 3 a y + b y
by2 - b x 2 - 3ay2 + 3ax2
a2 + a b - a d - b d
l a 2b + 2 a b 2
y3+y2- 6y
3¿iy2 + 9ay + 2 y 2 + 6 y
3 * 2 - 3 * y
y z - x z -y»v +a:»v
ni2 +w-2
x - w x - y + wy
p + \ - p * - p 2
P* ~ P ~ 2 p 2 +2
2 a 3 -2 a ¿ > 2 + a 2 - ¿ r
l a b 2+ b 2 - 2 a * - a 2
x 2 + Zx2 - x - 2
x * + 4 x 2 + x - 6
x* + 4 x 2 + x - 6
x* +x2 - \ 4x- 2 4
y 3 - 9 y 2 + 2 6 y - 24
y 3 - 5 y 2 - 2 y + 24
™ ( y - i ) ( y 2 - 8 y + i 6 )
( / - 4 , ) ( ! - , * )
( a - 2 ) * ( a 2 + a - 1 2 )
( 2 - a ) ( 3 - a ) ¡
30.
^ V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Suma y resta de fracciones con denom inador común
E JE M P L O S
i * i* i i .i j 2 a - a 2b 3a+ 4a2b
# • D eterm in a e l resu ltad o d e i +
a2b a2b
S o lu ció n
Se sim plifica c a d a fracció n , s i e s posible.
2a - a 2b _ a ( 2 - a b ) _ 2 - a b 3 a + 4 a 2¿> _ a(3 + 4 a b ) _ 3 + 4ab
a2b a2b ab * a2b a2b ab
1 1 6

135. E je m p lo s
C a p í t u l o 5
Fracciones algebraicas
Se sum an las nuevas expresiones.
2 - a b ( 3 + 4ab
ab ab
C o m o los denom inadores s o n com unes, e n la fracció n resultante s ó lo s e redu cen los num eradores y e l den om in ado r
perm anece igual.
2- a b 3 + 4 ab 2 - a b + 3 + 4 a b 5 + 3ab
+ = =
-----------
ab ab ab ab
o c . 1 1 . a a 2 m + n t 5 m - 5 n n - m
Z E n cu e n tra e l resu ltad o d e + —
----------+
2 m - n 2m - n 2 m - n
S olución
En este c a s o ningún sum ando s e puede sim plificar, entonces e l c o m ú n d e n o m in a d o r e s 2m - n, y só lo s e re d u c e n los
num eradores.
2 m + n | 5 m - 5 n | n - m 2m + n + 5 m - 5 n + n - m 6 m - 3 n 3 ( 2 m - n ) ^
2 m - n 2 m - n 2 m - n 2 m - n 2 m - n 2 m - n
EJEÍC IC IO 5 4
Simplifica las sig u ie n te s fracciones algebraicas:
, 2 x 2 - l x | 6x2 +x 4 l m 2 - 6 m t 12m 2 - 3 m ? \2 x 2 - x + 5 . 6 + x - x 2
4m n 4 mn
2 ‘ ~ u 5 3 5 w _ 7 15w " 3
8x 2 8x 2
1 - a 21 - 2 a2
a a
l n - \8 n - 4
10n lOn
5 n2 - n 5 n2 - n
3 7 w ~ * % n -4 l l y 2 - 1 4 y 2 y 2 + y
+ 6 y 2 6 y 2
9.
22x
— +
--------------
22x
1 3 * - y
PT
1
H
«n
3 x 4 ■6 y
3 x - 2 y3 x - 2 y 3 x -’2y
6a + 5b a + 6b 3 a -- b
& a -2 b & a -2 b8 a - ■2b
^ V e rifica t u * r e s u l t a d o s « n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e 1
Suma y resta de fracciones con denom inadores diferentes
E JE M P L O S
1 • • E fectú a la siguien te o p e rac ió n : + •
S olución
Se o btiene e l m ínim o c o m ú n m últiplo d e los denom inadores y se realizan las o peracion es co rre sp o n d ie n te s.
3 * 5 y _ 3 * ( 2 * 2) + 5 y ( y 2) _ 6* 3 + 5 y 3
2 y 2 4 * 2 4 * 2y2 4 x 2y 2
2 R ealiza la siguiente o p e rac ió n y sim p lifica r a l m áxim o:
S olución
Se o btiene e l c o m ú n d e n o m in ad o r d e los d en o m in ad o res “x + h" y V , posteriorm en te s e pro ced e a re a liz a r la dife-
c n c i a d e fracciones
1 1 x - { x + h ) x - x - h - h
x + h x x ( x + h ) x ( x + h ) x (x + h )
1 1 7

136. 5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
3 • • 'E f e c t ú a ——^ .
x 2- 6 x + 9 x - 3
S o lu ció n
Se ob tiene e l m ínim o c o m ú n m últiplo de los deno m inado res y s e e fe c tú a n las operaciones:
3 x + 4 _ 3 jc( 1 ) + 4 (jc- 3 ) _ 3jt+ 4at- 1 2 _ 7at- 1 2
( , _ 3 y x - 3 ( x - 3 Y ( x - 3)2 ( * - 3 ) 2
4 • • R ealiza la sig u ien te o p e rac ió n :
------^-----------------.
( a t + / * ) - I
x2 - \
S o lu ció n
Se d e te rm in a e l c o m ú n d enom inador, é s te s e divide por c a d a u no d e los d e n o m in a d o re s y e l re su lta d o s e m u ltip lica
por s u num erador, los productos s e redu cen a l m áxim o.
1
_________1____________1____________1____l(x* - i j - ^ x 2 + 2xh + h2 - \ )
( x + h ) 2- \ x2 - \ ~ x 2+ 2 x h + h 2 - \ x 2 - \ ~ ( x 2 + 2 x h + h 2 - \ ) ( x 2- \ )
x 2- \ - x 2 - 2 x h - h 2 + 1 - 2 x h - h 2
(x> + 2 x h + h 2 - \ ) ( x 2- \ ) ( x 2 + 2 x h + h 2 - \ ) ( x 2- \ )
5 • • S im plifica la sig u ien te operació n : — - —¡-+Í*2 +l)2.
S o lu ció n
A los en tero s s e les c o lo c a la un id ad co m o denom inador:
* 2 , , a x 2
(* 2 + i)3 ( * 2 + i)
Luego, e l c o m ú n d e n o m in a d o r e s ( x 2 + 1)2, por ta n to
(x:2 + l)2 (•r 2 + 1 ) 5 (x 2 + l f
s e a p lic a la propiedad am• a" = a m*" y s e sim p lifica a l m áxim o e l num erador, entonces:
* > ( ! ) + ( * * + l p , » ♦ ( * ■ + !) 2 x 2 +1
(* 2 + l)* (-t2 + l) ^ (•t ! + 1)^
6 • • S im plifica la sig u ien te op eració n : — —— ( * 3—l ) 5 .
( ^ - 1 ) 3
S o lu ció n
2
E l c o m ú n d e n o m in ad o r d e e sta d ife re n c ia d e frac c io n e s e s (-r3 — l ) 3, en to nces:
x3
( * > - ! ) * ( ^ - 1 ) 3 ( x ! - l ) 3 (a P - l ) 3 ( ^ - 1 ) 5
118

137. C a p í t u l o 5
Fracciones algebraicas
Por tanto, la sim p lificació n es:
x 3
_ í / + l 2 Xfjr2 —1J2
/ • • • Efectúa y sim p lifica la sigu iente e x presión : — ¡ —.
S olución
E l c o m ú n d e n o m in a d o r e s e l producto de los d en o m in ad o res:
( s - W + ' f
Se realiza la operación:
j r ( ^ + l ) 2 at(at2 - 1)2 _ * ( * 2 + l ) ^ - 1) 2*2 _ j r ( ^ + l ) - j c ( j r a - l )
( * 2 - l ) * ( * 2 + l ) * ( * 2 - l ) * ( * 2 + l)5 ( * 2 - l ) 1 ( * 2 + l)1
* 3 + * - * 3 + *
(jt2 - 1)2 (cr2 + 1)2
2 x
( s - W + i f
E n e l d e n o m in a d o r los fa cto res está n e le v a d o s a l m ism o exponente, s e pueden m ultiplicar las b a se s, las c u a le s dan
com o resu ltad o u na d ife re n c ia d e cu ad ra d o s, por tanto:
* ( x 2 + i)1 *(■ **-1)1 _ 2x
( , ! + l)5 ( i * - 1 ) 1
2 l
8 • •■ S im p lif ic a la sig u ien te op eració n : — —^ x + ^ .
3 (jc+ 1 )3 3 (j c-2)"3
S olución
Se o btiene e l co m ú n d e n o m in a d o r y se procede a re a liz a r la diferencia:
( * - 2 ) 1 2 ( * + l)1 _ ( * - 2 ) M - 2 ( * + l ) H _ ( * - 2 ) - 2 ( * + l) _ * - 2 - 2 * - 2
3 ( * + 1)1 3 ( * - 2 ) 1 3 ( * + l ) l ( * - 2 ) 1 3 ( * + l ) 1 ( * - 2 ) 1 3 (jr + 1 )1 (jc - 2)3
Por últim o s e sim p lifica e l num erador, en to nces:
( * - 2 ) 1 2 ( * + l)1 _ - x- 4 _ * + 4
3 ( * + l ) 1 3 ( * - 2 ) 5 3 ( * + 1)1 ( * - 2 ) 1 3 ( * + l ) 1 ( * - 2 ) 1
1 1 9

138. 5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
• , c , •, <*+b a + 4b a + 5b
• • R ealiza y sim p lifica la op eració n
a2- a b - 2 0 b 2 a2 - 4 a b - 5 b 2 a2 + 5 a b + 4 b 2'
S o lu ció n
Se fa cto rizan los deno m in ad ores:
a! - a b - 2 0 b 2 = ( a - 5 b){a + 4 b)
02- 4 a b - 5 b 2 = ( a - 5 b ) ( a + b)
a2 + 5ab +4b2 = (a + 4b)(a + b)
L a exp resió n c o n los deno m inado res facto rizad o s es:
a + b a + 4b a + 5b
( a - 5 b ) ( a + 4 b ) ( a - 5 b ) ( a + b ) (a + 4b)(a+ b)
Se obtiene e l m ínim o c o m ú n m ú ltiplo de los d en o m in ad o res: (a - 5b \ a + 4b)(a + b)
Se resu elv e la fracció n:
( a+b )(a+b) - (a + 4b )(a+4 b ) + ( a - 5 b )( a + 5 b )
( a - 5 b ) ( a + 4 b ) ( a + b )
_ a2 +2ab +b2 - a 2 - & a b - \ 6 b 2 + a 2 - 2 5b2
{ a - 5 b )( a + 4 b )( a + b )
a2 - 6 a b - 4 0 b 2
(a - 5 b)(a + 4 b )(a+b)
E l n um erado r s e fa cto riz a , s i e s posible, para sim p lifica r a l m áxim o, entonces
( a - \0b)(a + 4b)
( a - 5 b ) ( a + 4b)(a+ b )
a - \ O b
( a - 5 b ) ( a + b )
EJERC IC IO 5 5
Efectúa y simplifica las sigu ientes o p e ra c io n e s algebraicas:
1. 7.
4-x: 1 0* ( * + / i ) 2 - 3 x 2 - 3
2 x + \ | 2 x + 3 g ( x + h ) 2 x 2
2 x 3 * { x + h )2 + 1 * 2 + l
3. * = « + £ = 2 9. _ ^ _ + . x
9 x 2 6 x x 2 - 9 * + 3
4. 2 ^ + 5 - ^ , 0> _ 2 _ + * + 2
6 * 4 x 2 x + \ x 2 - 1
5. — !— — L - n . - Í 2 L + . *
x + h + 2 x + 2 x 2 - 4 x + 2
6 . £ ± A ± i _ £ ± ! 12.
--_ J------+ 2
120

139. so|diua¡3
C a p í t u l o 5
Fracciones olgebraicas
1 3 7 * , 1 2 0 2 * 2 + 8 5 a: - 6 -a:2
a:2 + 6a: + 9 * 2 - 9 ' 2 x 2 + 2 x - 1 2 x 2 + 2 x - 8
1 4 . 2 x ( x - 2 ) ¡
-----------------------------------------------------------------------2 1 . , 4 x " 5 + 9
3 ( * - 2 )
A 2 + A — 1 2 1 8 -3 A T -A T 2 X 2 + 10.V + 2 4
15. 22. + ^ Í ± Z
---------¡ J *------
v ' { j f + i j 2 * + 1 1 a : + 1 5 3 a : + 7 a : - 6 6 a :2 + 1 1 a : - 1 0
3x(x2- 4 ) i x(3x2 + 2 Y m + n i 3m2
, 6 -
---------------i-------------------i“ 2 * --“ 1---------T-------! + TT"
( 3 a 2 +2)2 [ x 2 - 4 ) 2
m 1 - m n + t i 1 m + n wj3 + / i 3
^ - 2 » ( ^ t 2 ) i 4 « ( 5 - ^ ) i ^ 3 * + 2 y 5 j + y | 4 * - y
3 ^ 5 _ x2 j ! 3 ( ^ + 2 ) í a:2 + 3 A y - 1 0 y 2 x 2 + 4 x y - 5 y 2 x 2- 3 x y + 2 y 2
i g ( 8 a : - 3 ) ( 4 a : 2 + 3 a : ) ^ ( 8 a : + 3 ) ( 4 a : 2 - 3 a : ) * ^ a - b a - 2 b a 2 + 2 a b - 6 b 2
3 ( 4 , ’ - 3 , ) 1 " 3 ( 4 ^ + 3 * ) f ' 3 a + 3 ¿ " 6 a - 6 ' ’ + 9 “ J - 9 6 2
1 9 . 26. £ ± * _
X 2 + x - \ 2 x 2 + 5 x - 2 A s + r s 2- r 2 s - r
O V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
M ultiplicación de fracciones alg eb raicas
R egla para m ultip licar fracciones:
© D escom pon er e n factores los ele m en to s d e las fraccion es que s e v a n a m ultiplicar.
© Se sim p lifica n aq u ello s térm in o s q ue s e a n com un es e n e l n u m era d o r y d e n o m in a d o r de las frac c io n e s q u e se
van a m ultiplicar.
© M u ltip licar to d o s los térm ino s restantes.
E JE M P L O S
1 • • M u l t i p l i c a ^ - ^
3 y 4a: 2 y
S olución
Se re a liz a la m ultiplicación de fraccio nes y s e sim p lifica e l resu ltad o
2a:2 6 y 2 5 ^ _ 6 0aV _ 5 a^>>
3 y ‘ 4 a: ‘ 2 y “ 2 4a>-2 “ 2
2 • - S i m p l i f i c a : " 1 ± ® Ü ± « . * £ »
m - 5 5m + \5
S olución
Se fa cto riz a c a d a uno de los ele m en to s
m 2 + 9m + 18 5 m - 2 5 _ (m + 6 ) ( m + 3 ) 5 ( m - 5 )
m - 5 5m + \5 m - 5 5(m + 3 )
(contimía)
121

140. 5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
s e procede a realizar la m ultiplicación y la sim plificació n
( m + 6 ) ( m + 3 ) 5 ( m - 5 ) _ 5 ( m + 6 ) ( m + 3 ) ( m - 5 ) _
m - 5 5 ( m + 3 ) 5 ( / n - 5 ) ( m + 3 ) W
o ™ a2- 5 a + 6 6 a a2- 25
ó • • E fe c tú a y sim plifica: —
-----—-------=---------
3 a - 1 5 a - a - 3 0 2 a - 4
S o lu ció n
( a - 3 ) ( a - 2 ) 2 - 3 a { a + 5 ) ( a - 5 ) ( a - 3 ) ( a - 2 )2 -3 a { a + 5 ) { a - 5)
3 ( a - 5 ) ( a - 6 ) ( a + 5 ) ' 2 ( a - 2 ) 3 ( a - 5 ) ( a - 6 ) ( a + 5 ) 2 ( a - 2 )
6 a ( a - 3 ) ( g - 2 ) ( f l + 5 ) ( f l - 5 ) a ( a - 3)
6 ( < z - 5 ) ( f l- 6 ) (< z + 5 ) ( t f - 2 ) a - 6
F in alm ente, e l resu ltad o d e la m ultiplicación e s a ^° ^
a - 6 a - 6
EJE ÍC IC IO 5 6
Efectúa la m ultiplicación d e las fraccio nes algebraicas y simplifica:
1.
4 a 2 1 4 * 5b 2
lx * 5b* l a 2
2 5 2 . 3y
. 2 ‘
3 .
4 .
5 .
6.
7 .
8.
9 .
1 0.
* >
3 *
10
5 /l a
1 0 y 2 14a¿> 6a:2
1 6ab2 1 0 * 3 2 a 2
5a2x ' 4b3 ' 3bx
3 ^ b¿_ 2y_
4b ' 2y 2 ‘ 3 * 3
5m + 25 l t n + 1
6b
14 1 0 m + 5 0
b 2 - 5 b + 6 b 2 - 2 5
____________
3¿> — 1 5 2 b - 4 b 2 - b -3 0
2m 3+ 2m n2 x x 3- x
2m x2 - 2 m x a t+ 1 m 2x + n 2x
\ 4 ^ j - 2 A x n x - i _
2 4a: - 1 6 4 2a: - 6 3
3 0a:3 - 1 8a:2 4 2 * + 3 5
6 a:3 + 5a:2 6 0a: - 3 6
V# rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
2 0.
1x2 + 4 2x 1 5 a : - 3 0
3a:2 - 6a: 1 4a:2 + 8 4a:
a:2 +a: - 6 a:2 - 2a: - 3
a2 - 5a + 6 A:2 - 4a: - 5
x 2 - 1 0 a :+ 2 4a:2 - 2a: - 4 8
3 0 +a: -a:2* 2 - 1 2 * + 3 2
8a t + 1 0a: + 36 a2 +a: - 1
4a:2 + 4a: + 19a:2 + 9a: - 4
x 2 - 3a: - 4x 2 + 5 x + 6
x 2 - l x +12x 2 - 3 a: - 18
x 2 + 9a: + 18 2a^ + 7a: + 6
2X2 + 9 x + 94 x 2 + 9 x + 2
x 3 + 2 x 2 - 3 x 2 x 2 + 3x
4 x 2 + & x + 3X2 - X
x 3 - 2 7 a2 -i-a +1
a 3 - l x 2 + 3 a : + 9
x 2 + 5 a + 6 8 a : + 8 x2 - 5x
4x2 + 4x x2 - 9 x+2
2 n 2 + 5 n - 3 n 2 + 4 n + 4 3n
n2 - 2 n - S 6n2 - 5 n + \ n
2 + \ \ n - 4
2 + 5 n + 6
122

141. C a p í t u l o 5
Fracciones algebraicas
División de fracciones alg eb raicas
R egla para d iv id ir fracciones:
© R im e ro s e m u ltip lic a e l n u m e ra d o r de la p rim era frac c ió n p o r e l d e n o m in a d o r d e la se g u n d a , d e lo q u e re ­
s u lta e l n u m era d o r de la frac c ió n s o lu c ió n ; e l d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n so lu c ió n s e o b tie n e a l m ultip licar
e l d e n o m in a d o r de la p rim era frac c ió n por e l nu m erador d e la segunda. De preferen cia los productos s e d e ja n
indicados.
© S e sim plifican los térm in o s o factores q ue s e a n c o m u n e s, e n e l n u m era d o r y d e n o m inador, d e las fraccion es
q u e se v an a m ultiplicar.
© Se m u ltip lican todos los térm inos restantes.
E JE M P L O S •
1 # • R ealiza la siguien te división:
3n n
Solución
Se e fe c tú a n los productos cru za d o s y s e sim p lifica la expresión
m 2 2 m ( m 2) ( n 3) mV mn
3/i2 n3 3n2( 2 m ) 6 m n2 6
3 * 2
( 2 l ) 2
Sim plifica la sig u ien te div isión: .
Í T Í i J
Solución
Se re a liz a e l p ro d u c to d e m ed io s por m ed io s y ex trem o s p o r ex trem os, p a ra d e sp u é s sim p lifica r a l m áxim o.
3 x 2
( j 2 + l) ? _ 3 * * (* i + l ) _ 3x
x ( x ! + l f * ’ + *
( 7 7 ¡ J { 1
a 3- a 5a2- 5 a
3 • • R ealiza e l sig u ien te co cien te y sim plifica* 7 , • .
2a2 + 6 a 2a + 6
Solución
Se fa c to riz a n to d o s los ele m en to s y s e procede a e fe c tu a r la sim plificación.
a3- a 5a2 - 5 a a ( a - l ) ( a + l) S a ( a - l ) a ( a - l ) ( a + l ) ( 2 ) ( a + 3) a + 1
2 a 2 + 6 a 2 o + 6 2 a (a + 3>) 2 ( a + 3) ( 2 a ) ( 5 a ) ( a - l ) ( f l + 3) 5 a
4 • • Sim plifica la sig u ien te operación:
(* * + 0 5
( ^ + i )
(continúa)
1 2 3

142. 5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a c ió n )
S o lu ció n
E n e s te c a s o s e tie n e una frac c ió n so b re un en te ro , a l que s e le a g re g a la u n id a d c o m o d en o m in a d o r, p a ra despu és
realizar e l producto de m edio s y extrem os, entonces:
1 1
(aP + l)* (x* + l)* _ 1
____i _
( 7 7 I J - £ + 5 = ( ^ + , ) r ' = ( ^ + i ) í
c ^ I» 1 1 • • . • -X 4 a : 2 - y 2 6 x 2 + l x y + 2 y 2
O R esuelve la siguiente divisió n: — — T + ——— —- —
2A:2 + A y - y 2 3a: + 5 A y + 2 y
S o lu ció n
Se fa cto riz a c a d a uno d e los fa cto res y s e p rocede a realizar la división
4 a :2- y 2 t 6 x 2 + 7 x y + 2 y 2 _ ( 2 x + y ) ( 2 x - y ) < ( 3 x + 2 y ) ( 2 x + y )
2 x 2 + x y - y 2 + 3 a ^ + 5 x y + 2 y 2 ( 2 A : - y ) ( A : + y ) + ( 3 A : + 2 y ) ( A : + y )
( 2 x + y ) ( 2 . » : - y ) ( 3 A : + 2 y ) ( j : + y )
( 2 Jr - y ) ( j>)(3at + 2 y ) ( 2 x + >■)
6 • • E fectú a y sim p lifíc a la sig u ien te operación: ^ i + 4 + —? - y j + ^ . t - l — ^ j .
S o lu ció n
Se resu elven las o peracio n es d e n tro d e los paréntesis:
( x 2 + 5 x + 4 + 2 )| / V - 2 X + 1 - 9 ' ]
l * + 4 + * + i j T x - i J “ li J 1 l - 1 J
f x 2 + 5 a : + 6 ^ ( V -2a: - 8
Se fa c to riz a n los polinom ios resu ltantes y s e re su e lv e la división:
(* + 3 ) ( * + 2 ) | ( j r - 4 ) ( . r + 2 ) _(* jj)(* jj)(* --l) _ (-t + 3 ) ( ^ - l ) _ ¿ + 2 x - 3
i + l + x - \ ( a r + l ) ( a : - 4 ) ( i + 2 ) ( * + l ) ( y : - 4 ) x2 - 3 x - 4
EJERC IC IO 5 7
Realiza la s sig uientes o p e ra c io n e s y sim plifica a l m áxim o:
6 x 2
, 2 * l + 8 * 5 ( 2 x + 3 ) !
/ V
( 2 x + 3)
12* !
„ 1 2 a V 4 a 2b ( 2 x s + l ) i
\ 5 x 6y ¡ * 5 x 2 / 2x*
(2x' + \f
124

143. s o |d iu 3 lg
C a p í t u l o 5
Fracciones olgebraicas
4*3 a3 - 121a
5. 14. - 4 = 4 2 i
a 2 x 2 - l l x
x 2 - y 2 a + 7
-y3 + 125
6 ,5 ^ - 6 4
^ - 2a + 1 a:3 - 5a:2 + 2 5 a:
a2 - 9 [ a2 + 6a- 2 7
‘ a2 + 2a- 3 + a2 - 10a+ 9
a 2 + 9<z
_ x ’ - T r + lO a2 + 5at- 14 15 a2 + 7a- 2 6a2 + 1 3a+ 6
o . —
----------— + — - — — 1 /.
a 2 - 6a + 5 a 2 + 8 a + 7 2 5 a 3 - x 2 5 a 2 + 1 0 a + 1
9. 4 r i £ ± 3 + 4 ± i 2 £ ± 3 2 , 8 íI+_ « W 1 + 2 £ )
a: - 6a: + 9 a 2 + 3 a - 4 0 \ a + b ) l b )
. n 4a:2 - 2 3a: - 6 4a2 + 2 5a + 6 IQ ( 2 W 3 )
' 3a:2 - 1 4 a + 8 + x 2 + x - 3 0 ' \ A + 3 J H * A + 4 J
„ 6a:2 - 5 a : + 1 4 a 2 - 8 a - 5 ( 2 n - l \ ( 2 . . « - H
. 2. 2 1 . f a + é + J L ] ^ , _ _ £ _ )
x 3 - 3a:2 + 9a: a:3+ 2 7 ' l, a - b
8 a 2- 2 a - 3 4 a 2- 1 ( 1 W \ \
16a3- 9a + 4a2+ 3a ' 1 A3 + 2 / ( , * + a- 1 J
V t r i f k a t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a ,
Com binación de operaciones con fracciones
L a sim p lificació n d e este tip o d e o p eracio n es, e n las que s e c o m b in a n operacio n es básicas, s e b a sa e n la jera rq u iz a ció n
d e o p eraciones d e izq u ie rd a a d erecha, c o m o sigue:
C D ivisiones y productos
O Sum as y restas
E JE M P L O S
1 • • E fectú a y sim p lifica la siguien te frac c ió n a lg e b ra ic a
a2 + 2a a2 + 2a- 3 a2 - 2a- 8
a2 + 4a + 3 2a2 - a—1 2a2 —7a- 4
S olución
Se fa cto riz a c a d a uno de los p olinom ios de la exp resió n
a2 + 2a a2 + 2a-3 f a2 - 2a- 8 a(a + 2 ) (a+ 3 ) (a-1) t (a- 4 ) (a+ 2 )
x 2 + 4 a + 3 2 a 2 - a - 1 + 2 a 2 - 7 a - 4 ( a + 3 ) ( a + 1 ) ' ( 2 a + 1 ) ( a - 1 ) + ( 2 a + 1 ) ( a - 4 )
(1continúa)
1 2 5

144. 5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Se re a liz a e l producto
* ( * + 2 ) ( * + 3 ) ( . r - l ) _ * ( * + 2 ) ( .* : + 3 ) ( .r - l ) _ * ( * + 2)
( x + 3 ) ( * + 1) ‘ ( 2 * +1 ) ( * - 1) " (at + 3 )(a :+ 1 ) ( 2 a t + l ) ( j r -1) ~ ( j c + 1 ) ( 2 a t + 1)
P or últim o, s e re a liz a la división y s e sim plifica a l m áxim o:
x ( x + 2 ) t ( x - 4 ) ( x + 2) _ x ( x + 2 ) ( 2 . r - H ) U - 4 ) _ *
( * + l ) ( 2 * + l ) + ( 2 * + l ) ( * - 4 ) ( * + l ) ( 2 * + l ) ( * - 4 ) ( x + 2 ) x + \
2 • • - R e a l i z a y sim p lifica la sig uiente fracción :
x 2 + 6 x + 5 x 2 - 3x - 1 0 x
x2 +5x+ 6 jt2 — 4 jc—5 x + \
S o lu ció n
Se fa cto rizan las e xp resio nes y s e a p lic a la je ra rq u ía de las o p eraciones
( x + 5 ) ( x r + l ) ( * - 5 ) ( . r + 2 )
____x = { x + 5 ) ( x + \ ) { x - 5 ) ( x + 2 )__x _
( x + 3 ) ( * + 2 ) ( * - 5 ) ( * + l ) x + \ ( x + 3 ) ( a t + 2 ) ( x - 5 ) ( a : + 1 ) x + \
_ x + 5 x _ ( x + 5 ) ( x + \ ) - x { x + 3)
x + 3 x + \ (jc + 3)(a: + l)
x 2 + 6 x + 5 - x 2 - 3 x
( j c + 3 ) ( x + 1 )
3 j + 5
( * + 3 ) ( * + l )
EJERC IC IO 5 8
• Efectúa y simplifica las sig u ien tes expresiones:
: { x 2 - x - \ 2 x 2 - x - 5 6 | x 2 - 5 x - 24
! ' x2 - 4 9 x 2 + x - 2 0 + x + 5
! 2 a 2 - 8a + 7 a 2 - 3 6 [ a 2 - a - 4 2
I ' a 2 - l l ü + 3 0 a 3 - 1 + a 2 - 4 a - 5
• . 6 a 2 - l a - ? , 4a~ - 1 2 a + 9 2 a 2 - a - 3
l ' a 2 - l a 2 - 1 3 a 2 - 2 a - l
. 2 / 2 + 5 f + 2 t + 2 2 / 3 + 9 t2 + 4 /
4 . —
-------------+-—-------+--------------------
/ - 4 / + 1 6 / + 6 4 / + 1
I 2 3 * + 3 x 2 + x - 2
, J .
--------+-—:-------------+-------------=-------------
jc+ 3 x 2 - 2 x - & x 2 - \
Í 6 3x2 + 3 x x 2 + 2 x - % 2 x
: ' 3 x 2 - 8 x + 4 * 2 + 5 x + 4 2 * - l
! 7 6x 2 - 1 2 r
_| 2 x 2 - 5 x + 2___3 _
1 ' Z r 2 + 3 x - 9 + 2x 2 + 5 j c - 3 x + \
12 6

145. E je m p lo s
C a p í t u l o 5
Fracciones algebraicas
8 -r4 - 2 7 * at2 + 2 0at + 1 0 0 ^ - 1 0 0
‘ x 2 + 7 x - 3 0 ‘ * s + 3 * 2 + 9 * + x - 3
Sx2 — 10-T — 3 4 . r - 9 ^ + 1 4 ^ + 3
6 * 2 + 1 3 * + 6 ‘ 3 * 2 + 2 * + 9 * 2 + 1 2 * + 4
1 0 ** - 6 a : + 8 | * 2 - 3 x + 2
x 2 + x - 2 * x 1-? > x - \Q * x 2- 2 x - \ 5
11 x 2 + -r ~ 2 -c2 + 3.r | 2.T2 - 4 . t
‘ jc2 + 5at+6 * 2 - l + .r2 + . r - 6
1 2 •y3~ ^ A:2 , * 2 + 3 .r ^ x 2 + 3 x - 4 jt2 —j t —6
* 3 - 2 5 a : * x 2 + 5 * + 6 V2 + 6a: + 8 ^ - 6 ^ + 5
. M irifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Fracciones com plejas
En u na frac c ió n co m p le ja e l num erado r y e l d e n o m in a d o r s e co n fo rm a n p o r o peracio nes alg eb raicas.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • • S im plifica la ex p resió n
Solución
Se re aliz a n las o p eraciones d e n tro d e los paréntesis.
( . m n + m n2 - 1
( m ^ ) i n- nj = - n 7"
se resuelve la div isión y s e sim plifica a l m áxim o:
n (m n + m ) _ nm (n +1) _ m
n(n2 - l ) n ( n + l ) ( n - l ) n - \
y - 1 — ^
2 • • • R ealiza y sim p lifica la f ra c c ió n 2 L _.
y + 5
---------
y + 3
S olución
Se resuelve ta n to e l num erad or co m o e l d e n o m in a d o r y s e fa cto rizan lo s polinom ios resultantes, si e s posible
_ 5 _ ( y - l ) ( y + 3 ) - 5 y » + 2 y - 3 - S y* + 2 y - 8
y + 3 _ y + 3 _ y + 3 _ y + 3
. « 3 5 ~ (y + S ) ( y + 3 ) - 3 5 ~ y2 + 8 y + 1 5 —35 ~ y2 + 8 y —2 0
y + 3 y + 3 y + 3 y + 3
(y+4)(y—2 )
= y + 3
( y + 1 0 ) ( y - 2 )
y + 3
(icontinúa)
1 2 7

146. 5 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Se div id en las fracciones y s e sim p lifica a l m áxim o
( y + 3 ) ( y + 4 ) ( y —2 ) y + 4
( y + 3 ) ( y + 1 0 ) ( y - 2 ) y + 1 0
3 • • E fe c tú a y sim p lific a :
--------— X— —
¿ + 2 - ^ T 2
b -
b + 1
S o lu ció n
Se e lig e n las o peracion es se c u n d arias y s e re d u c e n h asta sim p lifica r la frac c ió n a l m áxim o:
b - \ b - \ b - 1 b - \
. . b2 + 2 b2 + 2 b2 + 2 b2 + 2
* + 2 ! ) - ( & - 2 ) * b2 + b - b + 2 * 1 + 2
6+1 ¿>+1 6 + 1 6+1
=
— ( f c + í j f P T i y * + 2 - < * + 1 ) 1
f c + 2 - fe> + 2
4 • • S im plifica la sig u ien te expresión:
( * - 2 ) 5 _ ( , + 2 ) ^
2 ( * + 2 ) í 2 ( * - 2 ) 5
x - 2
S o lu ció n
Se resuelve la parte su p e rio r d e la frac c ió n principal
( * - 2 ) 5 ( * + 2 ) 5 ( * - 2 ) 5 * 5 - ( * + 2 ) 1 4 ( * - 2 ) - ( * + 2 )
2 (x + 2 ) 2 2 ( x- 2 )i 2 ( x+ 2 ) 2 (x- 2 ) - 2 2 ( a : + 2 ) 5 ( a : - 2 ) 3 2 ( a t + 2 ) 3 ( a t - 2 ) 3
- 2
( í + 2 ) í ( x - 2 ) :
L uego, la frac c ió n o rig in al s e esc rib e co m o :
( * - 2 ) 5 ( * + 2 ) 2 - 2 - 2
2 (a + 2 ) ? 2 ( * - 2 ) 5 ( * + 2 ) 5 ( * - 2 ) 5 ( * + 2 ) 5 ( * - 2 ) Í
x - 2 x - 2 x - 2
Se re a liz a la div isión d e fracciones y la sim p lificació n es:
- 2
( x + 2 )5 ( x -2)1
128

147. C a p í t u l o 5
Fracciones algebraicas
EJEÍC IC IO 5 9
Simplifica las sig u ien tes fracciones com plejas:
1.
i + i
1 +
. - i
n
3. 1 -
2 + -
4.
5.
y - i
, 3
m + 4 + —
ÜL
„ - 4 - *
m
c i
.- i
y
1^ I
6 t i
a b
7.
8.
* 2 x 2 - y 2
_ y _ * + y _
£ Z Z + Z
, 7 12
1 — + —
0 ti—
16
n
------
rt
a - y > - — h
9
------------
a - 2 b -
4b2
a + b
1 0.
- + - + 4
x y y
y 2 x 2
11.
a - 2 b +
4 b 2
a + 3b
a + 2 b -
b¿
a + 2b
12.1 +
1 +
a + b /
1
12
1 + -
b
7 ,2
1 3 t 4
2 ° 4 2 a + 3*
( 2 * + 3)5 ( , + 1)
13.
14.
15.
2( * + l)2 2(2* + 3)2
2 x + 3
2 * ( * 2 - 5 ) 2 -
* 3
( ^ - 5 )
16.
x 2 - 5
( 3 * - l ) í (3 * + 1 )5
( 3 * + 1 ) 7 ( 3 * - 1 ) 7
( 3 * - 1 ) 1
( S * 2 + l)3 IQ J
3 ( 5 í 2 + l )
2
3 r*
( 5 ^ + 1 )
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i e n t e 1
1 2 9

149. C apítu lo £
Ec u a c io n e s de primer g r a d o
A
H STÓRICA
principios del siglo XIX tres matemáticos,
R jffini, Abel y G a lo is, encararon el pro­
blema d e resolver una ecuació n desde
un punto d e vista radicalm ente diferente.
M ás aue a Ruffini y A b el, es Evariste G a lo is a
quien le ca b e el título d e fundador del álgebra
moderna.
G a lo is n ació e l 2 5 d e octubre d e 181 1 en Bourg-la Reine, hasta los 12 años
d e ed ad lo educó su m adre, mujer culta y e scla re cid a . En 1 8 2 3 v ia ja a
París p ara internarse en e l Uceo Louis le G ra n d , institución fam osa por el
rigor d e su d iscip lin a.
A principios d e 1 8 2 7 despierta su interés por la m atemática, d iscip lina a
la que d e inm ediato se d ed ica por com pleto, descuidando los estudios de
g rieg o , latín, francés, retórica, considerados más importantes.
G a lo is publicó, en ab ril d e 1 8 2 9 , su primer artículo científico : un teore­
ma sobre las fraccio nes continuas p erió d icas. Al mes siguiente presentó a
la A cad em ia d e C ie n c ia s sus prim eras investigaciones sobre la s e cu a cio ­
nes a lg e b raica s d e primer grad o , trab ajo que fue recibido con friald ad y
desinterés por C au ch y, el m ayor matemático d e la ép o ca y presidente de
la A cad em ia. En ese mismo año e l ¡oven matemático entró en la Ecole
Préparatoire, institución destinada a form ar profesores. Dos meses después
era bachiller en letras y en cie n cia s.
Evariste G a b i s (1811-1832)

150. 6 C a p í t u l o
Ál g e b r a
Conceptos generales
I g u a ld a d . D os can tid ad es s o n iguales o equivalentes c u an d o tie n e n e l m ism o valor.
Ejemplos
( 2 + 3)2 = 2 5 (4 )2 + (3 )2 = 2 5 > /ó 2 5 = 2 5
E n tonces (2 + 3 )2, ( 4 f + (3 )2, yj62 5 s o n expresiones equivalentes y a que todas v alen 25
¿P o dríam o s d e c ir q u e * + 3 = 8 e s u na igualdad?
E c u a c ió n . U na e c u a c ió n e s u na igualdad c o n u n a o varias incó gnitas que se re p re se n tan c o n letras. L a s ecu a cio n e s
pu ed en se r fórm ulas que se utilizan para e n c o n tra r u na m agnitud.
Ejemplos
L a fó rm u la v = — se utiliza para e n c o n tra r la velocidad co n stan te d e un m óvil d e l q u e se c o n o ce la d ista n c ia reco rrid a
y e l tie m p o que e m p le ó e n recorrerla.
L a fó rm u la A = n r 2 se u tiliza para e n c o n tra r e l á re a d e un c írc u lo d a d a la longitud d e s u radio.
T am bién e x iste n ec u a c io n e s c o n expresion es a lg e b raic as, e n las que s e b u sc a e l v alor de una variable o re p resen tan
m odelos m atem áticos que resuelv an a lg ú n pro blem a d e la vida real.
Ejemplos
* + 2 = 8 * + y = 6 * 2 - 4 = 0
* - 2 * 2 - 4 * + 2
L as ecu a cio n e s e stá n form ad as d e la sigu iente m anera:
le r m iem bro = 2 d o m iem bro
S o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n . L a so lu c ió n o so lu cio n es d e una ec u a c ió n s o n los valores que h a c e n que la ig u ald a d s e
cu m p la.
Ejemplos
1. P a ra la e c u a c ió n * + 2 = 10, la so lu ció n e s * = 8, y a qu e a l su stitu ir c o n 8 a la literal *, s e obtiene: 8 + 2 = 10
2. P a ra la e c u a c ió n * + y = 8, una so lu c ió n e s * = 3, y = 5 ; porque: 3 + 5 = 8
3. Para la e c u a c ió n * 2 - 4 = 0 , las so lu cio n es son: * = - 2, * = 2 porque:
( - 2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0 , ( 2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0
G r a d o d e u n a e c u a c i ó n . E l g ra d o d e u n a e c u a c ió n s e o b tie n e d e l té rm in o d e m a y o r g ra d o q u e c o n te n g a a la(s)
incógn ita(s).
Ejemplos
1. L a e c u a c ió n 2 * + 3 = 5 , e s de prim er grado , porque la incógnita tie n e expo nente 1
2. L a e c u a c ió n * - 5 * + 6 = 0 , e s d e seg u n d o g ra d o , porque la in có g n ita tie n e exp onen te 2
3. L a e c u a c ió n * + y = 6, e s d e prim er g rad o, porque las variables tie n e n ex pon ente 1
A l a s ecu a cio n e s d e prim er g ra d ó s e les lla m a lin eales.
Ecuaciones de prim er grad o con una incógnita
E cu acio n es que s e re su elv e n m ediante la a p lic a c ió n de ecu a cio n e s equivalentes c o n o peracio nes e le m e n ta le s (sum a,
resta, m ultiplicación o d iv isió n ) a a m b o s m iem bros d e la e cu a ció n , h a sta obten er e l v alor de la incógnita.
1 3 2

151. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • • E n cu e n tra e l valor d e * e n la sig uiente ecu a ció n : 2x + 3 = 7.
S olución
Se ag ru p an los térm in o s que co n tie n en a la incógnita e n e l prim er m iem bro y las c o n stan tes e n e l segun do, se a p lic an
sum as, restas, m ultiplicacion es o divisiones, se g ú n co rre sp o n d a .
2x + 3 = 7 —» ( 2 * + 3 ) - 3 = 7 - 3 S e resta 3 e n a m b o s m iem bros
2x = 4 A l sim p lifica r
^ ( 2 * ) = ^ ( 4 ) S e m ultiplica p o r ^
2 4
2*= 2
* = 2
Se c o m p ru e b a la so lu ció n a l su stitu ir e n la e cu a ció n e l valo r d e a:, y s e verifica la igualdad.
2 (2 ) + 3 = 7
4 + 3 = 7
7 = 7
P o r tanto, la so lu ció n e s x = 2
2 • • E n cu e n tra e l valor d e la incógnita e n la e c u a c ió n m - 2 5 = 3m - 5.
S olución
m - 2 5 = 3 m - 5 —» m - 3 m = - 5 + 2 5 S e sum a 2 5 y s e re sta 3m
-T in = 2 0 A l sim p lifica r
w = ~ ^ S e divide e n tre - 2
m = - 1 0
Por tanto, m = - 10
3 • • • ¿C u ál es e l c o n ju n to so lu ció n d e la e c u a c ió n 2 0 * - 14 - 11* = 8 - 6 * + 2?
S olución
2 0 * - 1 4 - l l * = 8 - 6 * + 2 - > 2 0 * - 1 1 * + 6 * = 8 + 2 + 1 4
15* = 2 4
2 4 8
* = I 5 = 5
P o r co n sig u ien te, e l co n ju n to so lu c ió n e s \ j
T eorem a: s e a la ecu a ció n lin e a l a x = b
á) S i a * 0 , * = - e s so lu c ió n ú n ica
a
D em ostración:
a x = b
“ (* * ) = “ (* ) [\l 'a ]X = ^l
a a \ a ) a
, b b
1* = - - » * = -
a a
1 3 3

152. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
S upongam os a h o ra que x 0 e s solució n, e ntonces, a l su stitu ir e n ax = b obten em o s:
ax0 = b -> - ( a r 0) = - ( ¿ > ) -> Í - - < A * 0 = - - » * 0 = -
a a \ a ) a a
P or tanto , x = — es so lu c ió n única.
a
b ) S i a = 0 pero b * 0, e nton ces, a x = b no tie n e so lu ció n
D em ostración:
S ea a = 0, e nton ces, para to d o k e R , a k = 0 s i b * 0, e ntonces, ax * 0, por tan to, k no e s so lu c ió n de ax = b
c) S itf = 0 y ¿ » = 0 , to d o A: € / f e s so lu c ió n de a * =¿>
D em ostración:
Si a = 0, para to d o k s R , ak = 0, s i b = 0, entonces, cualqu ier núm ero real k e s so lu ció n de a x = b
E JE M P L O S
1 # • • D eterm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e la e c u a c ió n 2 * - 7 - 5 x = l l * - 6 - \4 x .
S o lu ció n
A l resolver la e cu a ció n s e obtiene:
2 x - 7 - 5 x = \ l x - 6 - \ 4 x - > 2 x - 5 x - \ \ x + \ 4 x = - 6 + 7
Qx = \
H c o n ju n to so lu ció n e s vacío, y a que to d o n ú m ero m ultip licado por c e r o e s c e r o (v e r inciso b del teo rem a).
2 • • - D e t e r m in a e l c o n ju n to so lu ció n d e la e c u a c ió n 3 y - 8 + 5 y + 6 = lOy - 2 -2y.
S o lu ció n
3 y - 8 + 5y + 6 = 1 0 y - 2 - 2 y —» 3 y + 5 y - 10y + 2 y = - 2 + 8 - 6
Oy = 0
E l c o n ju n to so lu c ió n s o n to d o s los núm eros reales, y a que c u a lq u ie r núm ero m u ltiplicad o por c e ro e s c e ro (ver
in ciso c d e l teo rem a).
EJERC IC IO 6 0
Resu elve la s sig u ien tes ecuaciones:
1. * + 2 = 5 10. 2 - 7 z = 1 3
2 . y - 4 = 6 11. S x- 6 = 6 x + 4
3 . 8 - z = 9 12. 12 + 7 * = 2 * + 2 2
4 . 1 0 - * = 12 13. 9 - 8y = 2 7 - 2y
5 . 2 * - 3 = 5 14. 2 z + 9 = z + 1
6 . 3 y + 2 = 11 15. 3 w - 3 = 4w +11
7 . 9 * - 6 = 18 16. 1 Qc + 21 = 1 5 - 2 *
8. 5 r + 7 = 3 17. 2 1 * - 3 = 3 * + 6
9 . 1 - 4 w = 9 18. 1 l y - 5 y + 6 = - 2 4 - 9 y
1 3 4

153. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
19. 8 * - 4 + 3 * = 7 * + * + 14 3 0 . 1 0 z - 5 + 7 z - 10 + 8z = 2 z - 6 + 4 z - 8
2 0 . - 9 * + 9 - 12* = 4 * - 13 - 5 * 3 1 . 3 * + 101 - 4 * - 3 3 = 108 - 1 6 x - 100
2 1 . 5 y + 6 y - 81 = 7 y + 102 + 65 y 3 2 . 14 - 12* + 3 9 * - 1&* = 2 3 9 - 6 0 * - 6 *
2 2 . 16 + 7 * - 5 + * = l l * - 3 - 2 * 3 3 . - 8 * + 4 8 - 3 0 * - 5 1 * = 3 * - 3L* + 170
2 3 . - 1 2 * - 8 - 3 * + 10 = 2 * - 9 + 6 * 34. 7 * + 5 - 2 * + 9 * = 1 4 * - 9 + 2 * - 1 1 * + 8
2 4 . 3 z - 8 + 6 z - 1 2 = z - 1 0 + 9 z - 13 3 5 . 3w> + 5 - I w + 9 w - 1 \w + 13 = 1 6 - 8iv
2 5 . 7 y - 10 + 2 y - 8 = 1 4y- 9 + 8y 36. 6 z + 1 2 z - 1 8 - 5 z = - 12z + 4 z - 11 + z
2 6 . a :- 6 - 5a: + 10a: = 9 * - 8 + 3 * 3 7 . 1 0 * - 8 + 3 * - 7 + a = 2 0 * - 10 - 6 *
2 7 . 2 z - 4 - 8 z + 9 = 1 0 z - 6 + z - 1 2 3 8 . 5 * - 8 - 8 * + 1 0 - 3 * = 9 - * + 6 - 5 * - 13
2 8 . 9 y - 1 - 14y + 8 = y - 9 + 1 5 y - 1 39. 2 y + 7 - 8y + 5 - 3 y = 1 4 - 6 y - 2 - 3y
2 9 . * - 7 - 1 2 * - 9 +3a = 1 4 * - 1 0 - a : + 7 4 0 . 1 2 z - 9 - 10z + 3 - 8 z = z - 9 + 3 z + 1 0 - 1 0 z
( J ; V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Con signos de agrupación y productos indicados
Para re so lv er e s te tip o d e e c u a c io n e s s e su p rim e n los sig nos d e ag ru p ac ió n o s e re a liz a n los productos indicados y s e
e s u e lv e la e c u a c ió n eq uivalen te que s e obtuvo .
E JE M P L O S
1 • • R esuelve la e c u a c ió n : 8* - (6 * - 9 ) + (3 * - 2 ) = 4 - (7 * - 8).
S olución
Se elim in a n los sig nos d e ag ru p ac ió n y s e re su e lv e la e c u a c ió n equiv alente que s e obtiene:
8* - (6 * - 9 ) + ( 3a - 2 ) = 4 - (7a: - 8) -> 8a- 6 * + 9 + 3a: - 2 = 4 - 7 a : + 8
8 * - 6 * + 3a: + 7 * = 4 + 8 - 9 + 2
12* = 5
5
Por tanto, la so lu ció n e s: x = ^
2 • • E n cu e n tra e l valor de la incógnita e n la sig u ien te ecu a ció n :
7 (1 8 -a:) - 6 ( 3 - 5a:) = - (7a: + 9 ) - 3 (2 * + 5 ) - 12
S olución
Se re su elv e n los productos indicados y s e d e term in a e l valor d e a: d e resolv er la e cu a ció n eq uivalen te:
7 (1 8 -x) - 6 (3 - 5a:) = - (7a:+ 9 ) - 3 (2 * + 5 ) - 12
1 2 6 - 7 a : - 18 + 3 0 * = - 7 a : - 9 - 6 * - 1 5 - 12
- 7 * + 3 0* + 7 * + 6 * = - 9 - 1 5 - 1 2 - 1 2 6 + 18
3 6 * = - 144
- 1 4 4
* = i r = - 4
P o r co n sig u ien te, * = - 4
1 3 5

154. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
3 • • • D eterm in a e l v alor de a :e n la sig uiente ecuación :
2a: - { 3a: - ( 9a: + 1 ) - 8 } = 1 2a: - { 9 - [ 3a: - ( 5 - 2a: ) - 1 0 ] + 1 8a: }
S o lu ció n
S e su p rim en los sig n o s de ag ru p ac ió n y s e resu elv e la ecu a ció n :
2 x — { 3 a : —( 9 a: + 1 ) - 8 } = 1 2 a t - { 9 - [ 3 x - ( 5 - 2 * ) - 1 0 ] + 1 8 a : }
2 a t - { 3 j c - 9 a t - 1 - 8 } = 1 2 j c- { 9 - [3 j c- 5 + 2 j c - 1 0 ] + 1 8 ^ t }
2 j r - { 3 j r - 9 j c - l- 8 } = 1 2 j c - { 9- 3 j c +5- 2 j c +10 + 1 8a: }
2 * - 3 * +9 x+ 1 + 8 = 1 2 * - 9 + 3 * - 5 + 2 a : - 1 0 - 1 8 *
2 x - 3 x + 9 x - \ 2 x - 3 x - 2 x + \ S x = - 9 - 5 - 1 0 - 1 - 8
P or co n sig u ien te, e l v alor d e x es:
4 • • - D e t e r m in a e l v alor de y e n la sig u ien te ecuación:
- 1 3 y - ( y - 4 ) 2 + 8 ( 2 y - 3 ) = 8 - ( y + 5 ) ( y - 5 ) - 1 0 ( y + l )
S o lu ció n
S e re aliz a n los productos notables, los p roductos indicados y s e resu elv e la ecuación :
- 1 3 y - ( y - 4 ) 2 + 8 ( 2 y - 3 ) = 8 - ( y + 5 ) ( y - 5 ) - 1 0 ( y + l )
- 1 3 y - ( y 2 - 8 y + 1 6 ) + 8 ( 2 y - 3 ) = 8 - ( y 2 - 2 5 ) - 1 0 ( y + l )
- 1 3 y —y 2 + 8 y —16 + 1 6 y —24 = 8 - y 2 + 2 5 —1 0 y - 1 0
—1 3 y—y 2 + 8 y + 1 6 y + y 2 + 1 0y = 8 + 2 5 - 1 0 + 16 + 2 4
2 1 y = 63
P or tanto , la so lu ció n e s: y = 3
EJERC IC IO 6 1
• Determ ina e l v a lo r d e la incógnita d e la s sig u ie n te s ecu acio n es:
: 1. x - (2 a: + 1) = 8 - (3 a: + 3 )
I 2 . 15a: - 2 0 = 6 * - (a: + 2 ) + ( - a + 3 )
: 3 . ( 5 - 3a:) - ( - 4 x + 6 ) = (& r + 1 1 ) - (3a: - 6 )
¡ 4 . Mx - 2 ) - 5<2r - 6 ) = 8(a: + 1 ) - 3(2x + 3 )
! 5 . 7 ( 3 r + l ) + 8 (2 * - 3 ) = 4(3x - 1) - 7 (a: - 4 )
6 . 30w - ( - » v + 6) + ( - 5»v + 4 ) = - ( 5 iv + 6 ) + ( - 8 + 3»v)
; 7 . - { 3 y + 8 - [ - 1 5 + 6 y - ( - 3 y + 2 ) - ( 5 y + 4 ) ] - 2 9 } = - 5
1 8. - 2 y - 3 - { - 4 y + 5 + [ - y + 2 - ( 3 y - l ) + 2 y - 5 ] } = - ( y - 4 )
1 3 6

155. E je m p lo s !
C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
9 . - 2 ( y - 1 ) + { - 4 { y - 1 ) - 5 [ y - 2 ( 4 - y ) + 3 y ] - ( y + 1 )} = 2 y - ( - 5 - y )
10. w - 2 [ w + 5(1 - 2»v) + 4»v J - (tv + 3 ) = - w + 3 (w + 2 ) + I w
11. * - 3 [ 2 r - ( * + 1) + 5(1 - * ) ] = x + ( 3 * - 7 ) - ( * + 3)
12. 7 (* - 4)2 - 3 ( * + 5)2 = 4(x + IX * - 1) - 2
13. 5(1 - a)2 - 6(*2 - 3 * - 7 ) = * (* - 3 ) - 2 r ( r + 5 ) - 2
14. (* + 1)} - U - l ) 3 = 6 r ( * - 3 )
15. 3(at-2)2 (jr + 5 ) = 3(at + l ) 2 ( * - l ) + 3
16. (* + 1)(at + 2)(at- 3 ) = ( x - 2 ) ( x + l ) 2
17. 2 x ( x - 4 ) - ( 2 x + 3 ) ( x - 4 ) = 4 x ( 2 * - 3 ) - 8 ( l - * ) 2
18. ( 3 * - 2)3 - (3 * - 4 ) ( 6 t - 5 ) - 45 * = 9 * '(3 * - 5 ) - 10 (* + 3 ) - 2 (6 * - l ) ( 6 r + 1)
1 0 * - [ ( 3 - 5 * ) 2 - 8 ] + ( 5 * - 3 ) ( 5 * + 4 ) } = 3 ( 6 * 2 - 4 ) - 9 { 3 * + ( 2 * - l ) ( * - 3 ) }
6 x + [3*+ (* - 7 )(*+ 7 )] - (2* + 3)2 J = -2.x2 + 5 [(a: +1)2 - 3(* + 6)J
( J > V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
19. 3* —
2 0. 1 2-
Fraccionarias
C u an d o a p a re c e n fra c c io n e s e n la e c u a c ió n , s e e lim in a n lo s d e n o m in a d o re s a l m u ltip lic a r lo s d o s té rm in o s d e la
igualdad por s u m ínim o c o m ú n m últiplo.
E JE M P L O S
1 • • E n cu e n tra e l valor d e Aren la sig uiente ecu a ció n : j + 5 = ^ - * .
6 3
Solución
Se m ultiplica por e l m ínim o c o m ú n m ú ltip lo de los d eno m inadores, e n e s te c a s o 6:
- + 5 = - —* -> 6 í —+ 5 | = 6 Í —- * | - > ^ + 30 = - - 6 *
6 3 U ) U ) 6 3
S e sim p lifica x + 30 = 2 - 6 *
* + 6 * = 2 - 3 0
7 * = - 2 8
2 8
* ~ T
P o r co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: * = - 4
2 ■ R esuelve la siguien te ecu a ció n :
3z
Solución
Se elim in a n los sign os d e ag ru p ació n ,
_ 2 _ _ _ z _ _ 2 10 5 ¿ 5 _z_ 2 _ _ | _ 2 _5___5_ _ 5 ^
3z 6 z 3 4 z 12z z 4 z 3 z 6 3 2 z 12 z 4
{continúa)
1 3 7

156. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Se m u ltip lican am b os m iem b ros por I2z, y s e resu elv e la e c u a c ió n que resulta.
( 2 1 2 5 5 5 \ \
\ 3 z 6 3 + 2z 12 z + 4 J
8 - 2 z - 8 z + 3 0 - 5 z = 6 0 + 3z
- 2 z - 8 z - 5 z - 3 z = 6 0 - 8 - 3 0
- 1 8 z = 2 2
22
Z - 1 8
11
9
F inalm ente: z = ~ ~ ^
3 ■ D eterm in a e l valor d e y e n la ecuació n:
1 + 2 y l - 2 y 3 y - 1 4
l + 3 y l - 3 y ” l - 9 y 2
S o lu ció n
S e fa cto rizan los deno m in ad ores:
l + 2 y l - 2 y _ 3 y - 1 4
l + 3 y l - 3 y ~ ( l + 3 y ) ( l - 3 y )
Se m u ltip lic a por e l m ín im o c o m ú n m últiplo q u e e s: (1 + 3 y ) ( l - 3 y ) y s e sim plifica:
l + 2 y l - 2 y _ 3 y - 1 4
. l + 3 y l - 3 y " ( l + 3 y ) ( l - 3 y ) J
. . .
( l + 3 y ) ( l - 3 y )
( l - 3 y ) ( l + 2 y ) - ( l + 3 y ) ( l - 2 y ) = - ( 3 y - 1 4 )
Se re a liz a n los productos indicados y se resuelve la ecu a ció n :
l + 2 y - 3 y —6 y 2 — ( l - 2 y + 3 y - 6 y 2) = —3 y + 14
1 + 2 y — 3 y - 6 y 2 — 1 + 2 y - 3 y + 6 y 2 = - 3 y + 1 4
- 2 y = - 3 y + 14
—2 y + 3 y = 14
y = 14
E n cu e n tra e l valor d e / e n la sig uiente ecuación :
1 5 3
/ 2 + 5 / + 6 / 2 + 3f + 2 / 2 + 4 / + 3
S o lu ció n
Se fa cto rizan los deno m in ad ores:
( / + 3 ) ( f + 2 ) ( / + 2 ) ( / + l) ( / + 3 ) ( / + l)
138

157. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
Se m ultiplica p o r (f + l ) ( / + 2 ) ( / + 3 ) , s e sim p lifica y resuelve la ecuació n:
( ' + ' X ' + 2 )(' + 3 )[ ( r + 3)(< + 2 ) - ( r + 2 ) ( r + 1 ) = ( r + 3 ) ( r + 1 ) ]
l ( / + l ) - 5 < f + 3 ) = 3 ( / + 2 )
t+ 1 - 5 / - 15 = 3 / + 6
/ - 5 / - 3 / = 6 + 1 5 - 1
- 7 / = 2 0
_ _20
7
EJEI C I C I O 6 2
Resu elve las sig u ie n te s ec u a c io n e s fraccio narias d e p rim e r g rad o :
8.
9 .
1 0.
11.
12.
13.
í x + r = 3 3
17.
5 5 4
—x — x = —
2 6 3
18.
5 2 3
6 X 3 X ~ 8
19.
5 5 3 1
9 * ~ 3 _ 4 * 2
2 0 .
4 2 7 1
- V _
_ “ — V M ___
2 1 .
3 5 5 10
5 1 1
- a : — = x + —
3 6 4
2 2 .
5a 7 2 a 5 a:
T - ? + T = 2 í ” ñ + i
2 3 .
^ + f = . o
2 4 .
a: + 1 0 + a: + 7
9 3
2 5 .
a: + 1 +a: - 3 _ 5
6 3 6
2 6 .
9a: + 1 2 3a: - 2 7
4 * 2 2 *
2 7 .
2a + 1 a — 3 4a— 1 a: - 6
2 8 .
6 3 3 2
3a: - 2 2a: + 1 6a: - 3 ,
5 1 0 2
2 9 .
| ( x + 9 ) + f ( x + l ) - I - 8 3 0 .
i ( z _ l ) _ ( z _ 3 ) = I [ z + 3 ] + I 3 1 .
4 7 5
3a: + 4 2 a:
3 2 .
IH H H H - t )
2 _ 4 _ 3
x 5 x
l x 5 ~ 5 x 2
5 x 4 2 x ~ 5 4x
_ 3
_____1_ = _ 4_____7_
2a:2 5a: 5a:2 4a:
± _ _ 2 _ _ 5
___6
x 2 x 3a:2 x
7 y - l 5 - 2 y 4 y - 3 1 + 4 y 2
3 2 y ~ 4 “ 3 y
H
V)
1
ro
1 5a: 3 a:2
3 4
a: - 5 a: + 5
4 6
3a- 2 2a: + 1
---------^ = 0
z- 4 z + 4
i
Ti­
ro
5
4 ^ - 1 2 a: + 1 2a: - 1
4 2 5
a: —1 a: + 1 a:2 --1
2 1 4
V t r l f k a t u * r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e so lu c io n e * c o r r e s p o n d i e n t e i
2 y 2 + 7 y + 3 2 y 2 + l l y + 5 y 2 + 8 y + 1 5
1 3 9

158. S O |d u i8 l3
6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
C on valor absoluto
E n e stas ecu a cio n e s s e a p lic a la defin ició n d e l v alor abso luto.
■ , j - a s i a<0
[ a s i a > 0
fó ra resolv er una e c u a c ió n c o n valor ab solu to , s e tie n e que s i I x I = a, s u so lu ció n e s tá d a d a por:
• • R esuelve la sig u ien te ecu a ció n : |6 — 3atI = 9.
S o lu ció n
S e a p lic a la defin ició n y s e o b tie n e n dos ecu a cio n e s, las cu ales s e resu elven por separad o:
o - x = a
E JE M P L O S
6 - 3 x = 9
- 3 x = 9 - 6
- 3 * = 3
* = - 1
- ( 6 - 3 x ) = 9
- 6 + 3 x = 9
3 r = 9 + 6
3a- = 15
x = 5
Por co n sig u ien te, las soluciones p a ra e s ta ecu a ció n so n : x = - 1 o x = 5
2 • • - E n c u e n t r a e l co n ju n to so lu c ió n de: |3 * - 1| = 2x + 5.
S o lu ció n
S e a p lic a la defin ició n y s e resuelven las ecuacio nes:
3 * - 1 = 2 r + 5
3 * - 2 r = 5 + 1
x = 6
- (3 x - 1 ) = 2 r + 5
- 3 * + 1 = 2 * + 5
- 3 r - = 5 - 1
4
- 5a- = 4 - > a = —
3 • •■ D e te rm in a e l c o n ju n to so lu ció n de: = 2 .
S o lu ció n
Se a p lic a la defin ició n y se resuelven las ecuacio nes:
x = 3
x + 3 = - 2 x
x + 2 x = - 3
3 x = - 3
A = - 1
Por co n sig u ien te, e l co n ju n to so lu c ió n e s { -1 ,3 }
140

159. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
4 • • D eterm ina e l c o n ju n to so lu c ió n de
* 2 - 5 . r + 6
x 2 - 9
= 2 .
S olución
Se fa cto rizan la s erp resio n es, se sim p lifica y s e a p lic a la definición:
* 2 - 5 * + 6
? —*
x - 2
x 2- 9 ( x + 3 ) ( x - 3 ) | x + 3
= 2
x - 2
= 2
x + 3
x - 2 = 2(x + 3)
x - 2 = 2x + 6
x - 2 x = 6 + 2
- x = ü
x = -&
P o r tanto, e l co n ju n to so lu c ió n es
\ x + 3 ) x + 3
x - 2 = - 2 ( x + 3)
x - 2 = - 2 x - 6
x + 2 x = - 6 + 2
3 x = - 4
4
* = _ 3
EJE IC IC IO 6 3
Encuentra e l valor d e la incógnita e n las sig u ien tes ecuacion es:
1. \ x + 1 1 = 8
2 . 13 - 2 y | = 5
3 . | 3wi + 4 | = 8
4 . | 5jc - 1 1 = 14
5 . 14 - 2 y | = 4
6 . \ - 2 m - 5 \ = \
1
* + 2
m- 1
= 2
= 0
2 / n + l
9 . I &r + 2 I = 2
10. \ 2 x - 5 \ = x + 2
x + 2
11.
\_
15
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
2 0.
2 1.
3 * - 2
I _ A
2 1 0
_ 3
2
1 2
.r 4
x - 3
* + 6
= 2
= 1
x - 2
3 x - l
= 5
= 1
x 2 + 3x + 2
= 4
x 2 -
3x
x 2 - 7 x
x 3 + 21
x 2 - 3 x + 9
£ } M irifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ,
1 4 1

160. E je m p lo s
6 C a p i t u l o
Á L G E B R A
C o n lite ra le s
E n e s ta s e c u a c io n e s las in có g n itas s e re p re se n ta n c o n las le tra s x y, z, m ie n tras q ue la s letras a, b, c, d m y n, s e
utilizan co m o co n stan tes.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
# • E n c u e n tra e l v alor d e x e n la e c u a c ió n : Sabcx - a b = 8abx + 1.
S o lu ció n
Sabcx - cib = 8abx + 1
8a bcx- 8abx = 1 + a b Se ag ru p an térm in os e n x
x (Sabe - 8ab) = 1 + ab Se fa c to riz a y s e d esp eja
_ 1 + ab
S a b c -S a b
2 • • D eterm in a e l valo r d e y e n la ecu a ció n : a -
S o lu ció n
m + n
= b -
m - n
m + n , m - n
a
-------------= b----------
a -
y
m + n
y
m -
= b -
y y £]
a y - ( m + n ) = b y - ( m - n )
ay - m - n = by - m + n
a y - b y = - m + n + m + n
y { a - b ) = 2n
Tn
y=
a - b
Se e lim in a n los deno m inadores
Se a g ru p a n térm ino s
Se factoriza
0 b b a
J • • R esuelve la e c u a c ió n 1 + - = p a ra z.
z a z
S o lu ció n
Se m ultiplica la e c u a c ió n por az, para elim in a r los d en om inadores:
az[ l + * = * + ‘ l
l z a z ]
a z+ a b = b z + a 2
a z - b z = a - a b
z (a - b ) = a ( a - b )
_ a ( a - b )
Z “ ( a - b )
z = a
Se ag ru p an los térm in o s c o n z
Se fa c to riz a e n a m b o s m iem bros y s e d e sp e ja z
Se sim plifica
1 4 2

161. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
EJERC IC IO 6 4
Resu elve las sig u ien tes ecu acio n es para la s incógnitas x, y o z, según sea e l ca so :
1. 2 b ( 2 a - x ) = x ( b - a ) + a(x + b) 6. =
n m
2. y + <P = ( a + y)! - o ( a + 1) 7. — - - 2
a ab b
3. a(x + b ) - ( x + a)2 = - x 2 8. ( y - m ) 2+ ( m - w ) 2 - ( y - « ) 2 = 0
4. l ) = a ( a y - ¿ > ) 9 . ( z + m ) 3 + ( z - m ) 3 = 2 ( z 3 + 6 m 3)
5 * ~ m - í V 1Q z + a | z - a _ z+¿> z-¿>
\ l x - n ) a - b a + b a + b a - b
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
R ir a resolver los sigu ientes problem as debes to m a r e n cu en ta la relación entre objetos, personas, etc., para establecer
una in có g n ita y un m odelo m ate m á tic o e n lenguaje a lg e b ra ic o que a l reso lv erlo d é e l v a lo r d e d ic h a in có g n ita y,
por tanto , la so lu ció n d e l problem a.
Problemas sobre números
L a su m a d e d o s núm eros e s 106 y e l m ayo r excede a l m enor e n ocho . E n c u e n tra los núm eros.
Solución
D atos: núm ero m ayor: x + 8
N ú m ero m enor: .r
Planteam iento:
x + (x + 8) = 106 la su m a de d o s núm eros e s 106
2 r + 8 = 106
2 r = 106 - 8
2 r = 9 8
9 8
X=Y
x = 4 9
Por co n sig u ien te, e l n ú m ero m ayor e s 4 9 + 8 = 5 7 y e l m enor e s 49
L a su m a d e tre s nú m eros e s 200. E l m ayor excede a l d e l m edio e n 32 y a l m enor e n 65. D eterm in a los núm eros.
Solución
Datos:
M ayor: x M edio : jc — 3 2 M enor: x - 65
Planteam iento:
x + (x - 3 2 ) + (x - 65) = 2 0 0 la su m a d e los tre s núm eros e s 20 0
3 * = 2 0 0 + 3 2 + 65
3 x = 2 9 7
29 7
x = 9 9
P o r tanto, los núm eros buscados son: M a y o r = 9 9 M e d io = 6 7 M eno r = 34
1 4 3

162. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Para los sig u ie n te s pro b lem as s e u tiliz a la n o tac ió n d e sa rro lla d a d e un n ú m ero . P o r e je m p lo , e n e l núm ero
37 2 = 3 ( 100) + 7 ( 10) + 2, 3 es e l dígito d e las centenas, 7 e l de las decen as y 2 el d e las unidades.
E n un n ú m ero d e d o s d íg ito s, e l d íg ito d e las d ecenas e s 3 u nidades m en o r que e l d e la s unidades. Si e l núm ero
e x ced e e n 6 a l cu ád ru p lo d e la su m a d e su s dígitos, h a lla e l núm ero.
S o lu ció n
Plan team iento :Datos:
D íg ito d e las unidades: *
D íg ito d e las de ce n as: x - 3
N úm ero: 1 0 ( x - 3 ) + *
N ú m e ro = 4 ( s u m a d e los d íg ito s) + 6
1 0 ( * - 3 ) + * = 4 ( * + * - 3 ) + 6
S e resu elv e la ecuació n:
1 0 * - 3 0 + * = 4 x + 4 * - 1 2 + 6
l Q r + * - 4 * - 4 * = - 1 2 + 6 + 30
3 * = 2 4
* = 8
E l dígito de las unidades es 8 y el d e las decenas es 5, por tanto , e l núm ero e s 58.
L a su m a d e los d íg ito s d e u n n ú m ero d e d o s díg ito s e s 9 . Si e l n ú m ero s e d iv id e p o r e l d íg ito d e las d e ce n as, e l
c o c ie n te e s 12. E n cu e n tra e l núm ero.
S o lu ció n
Datos:
D íg ito d e las unidades: x
D íg ito d e las de ce n as: 9 - x
N úm ero: 1 0 ( 9 - * ) + a:
Plan team iento :
Núm ero
D ígito d e la s decenas
1 0 ( 9 - * ) + *
9 - x
= 12
= 12
R esolviend o la ecu a ció n :
1 0 ( 9 - * ) + * = 1 2 ( 9 - * )
9 0 - 1 0 * + * = 1 0 8 - 12*
- 1 0 * + * + 1 2 * = 1 0 8 - 9 0
3 * = 18
* = 6
E l dígito d e la s unidades e s 6 y el d e las decenas es 3, por tanto , e l núm ero e s 36
EJERC IC IO 6 5
\ Resuelve b s sig u ie n te s problem as:
\ 1. L a su m a d e tre s núm eros en te ro s c o n se cu tiv o s e s 312. E n cu e n tra dich os núm eros.
•
• 2 . L a d ife re n c ia d e d o s núm eros es 17 y la su m a de am bos e s 451. D e term in a los núm eros.
3. L a su m a d e tre s núm eros entero s pares consecutiv os e s 276. D e term in a los núm eros.
" 4. L a su m a d e tre s núm eros en te ro s im pares co n secu tiv o s e s 45. E n c u e n tra los núm eros.
•
• 5. L a d ife re n c ia d e dos núm eros e s 36 y un m ed io d e l m ayor ex ced e e n dos a l m enor. D eterm in a los núm eros.
! 6. L a d ife re n c ia d e d o s núm eros e s 4 2 y los dos q u in to s d e l m ayor e q u iv a len a l m enor. ¿C u áles so n los núm eros?
•
1 7. U n n ú m ero excede e n seis a otro y e l doble d e l m ayo r equivale a l trip le d e l m enor. E n cuentra los núm eros.
1 4 4

163. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
8. U n n ú m ero excede e n 4 a o tro y la te rc e ra parte d e l m ayor e q u iv ale a la m itad d e l m enor. D e term in a los núm eros.
9 . E l e x c e so d e un núm ero so b re 2 0 e s igual a las tre s cu artas partes d e l m ism o núm ero. ¿ C u á l es e l núm ero?
10. E l exceso d e 30 so b re un núm ero es igual a las dos terceras partes d el núm ero, más 10 unidades. ¿C uál es e l núm ero?
11. L a su m a d e d o s núm eros e s 10 y la d ife re n c ia d e su s c u ad ra d o s e s 40. ¿C u áles so n los núm eros?
12. L a su m a d e d o s núm eros y la d ife re n c ia d e s u s c u ad ra d o s es 11. ¿C u áles so n los núm eros?
13. E l c u ad ra d o d e l e x c e so d e 12 so b re u n núm ero, m enos la m itad d e l nú m ero, e s ig u a l a l c u ad ra d o d e l núm ero, m enos
los tre c e m edios d e l núm ero. ¿ C u á l e s e l núm ero?
14. U n núm ero e s e l doble d e otro, s i am bos s e a u m e n tan e n 6, e l trip le d e l m ayor equivale a c in c o veces e l m enor. En­
c u en tra los núm eros.
15. U n núm ero e s la te rc e ra parte d e otro, s i am bo s se a u m e n tan e n 10, e l m ayor s e r á e l doble d e l m enor. D e term in a los
núm eros.
16. L a su m a d e tre s núm eros es 45, e l m ay o r excede e n 5 a l m ed iano y e n 10 a l m enor. E n cu e n tra los núm eros.
17. L a su m a d e dos núm eros es 6 0 y e l m ayor equivale cinco veces e l m enor aum en tado en 30. D eterm ina los núm eros.
18. L a sum a d e d o s núm eros e s 2 3 y e l doble d e l m ayor excede e n 6 a l trip le d e l m enor. ¿C u áles s o n los núm eros?
19. L a d ife re n c ia d e dos núm eros e s 8 y s i s e divide e l d o b le d e l m ay o r m ás d o s e n tre e l menor, s e obtiene c o m o co cien te
5. E n c u e n tra los núm eros.
20. D os núm eros e stá n e n la re la ció n 3:4 y e l m ayor eq u iv ale a l m eno r au m e n tad o e n 8. D e term in a los núm eros.
2 1 . L a su m a d e los d íg ito s d e un núm ero d e d o s c ifra s e s igu al a 8. Si los d íg ito s s e invierten, e l núm ero resultante excede
e n 11 a la s s e is qu intas p artes d e l núm ero orig in al. ¿ C u á l es e l núm ero?
2 2 . E n un núm ero d e d o s cifras, e l d íg ito d e las decen as ex ced e en 2 a l d e las unidades. Si a l núm ero se re sta 4 , el resultado
es e l sé x tu p lo d e la su m a de s u s dígitos. D e term in a e l núm ero.
2 3 . E n un núm ero d e d o s c ifra s e l d íg ito d e las decenas es 4 m enos q u e e l d íg ito d e las unidades. Si los dígitos s e invierten,
e l núm ero resultante es e l trip le m ás 6 d e l n ú m ero original. E n cu e n tra e l núm ero.
2 4 . L a s u m a d e lo s díg ito s d e u na c a n tid a d de dos c ifra s e s 9. S i los d íg ito s s e invierten, e l n ú m ero q ue re su lta excede en
9 a l n ú m ero original, ¿c u á l es e l núm ero ?
2 5 . L a c ifra d e las d e ce n as d e un n ú m ero d e d o s c if ra s e x ced e a l d e las unidades e n 5 y las dos terc era s partes d e la su m a
de su s c ifra s e s 6. ¿C u á l e s e l núm ero?
2 6 . L a s u m a d e los díg ito s d e un n ú m ero d e dos cifra s e s 11. Si e l n ú m ero s u p e ra e n 5 a l trip le d e la su m a d e su s dígitos,
¿ cuál es e l núm ero?
2 7 . L a su m a d e los d íg ito s d e un núm ero d e dos c ifra s es 9 . S i se resta 18 a l núm ero form ado a l invertir e l o rd e n d e los
dígitos d e l n ú m ero orig in al, e l resu ltad o e s la m itad d e l n ú m ero original, d e te rm in a e l núm ero.
2 8 . E n una c a n tid a d d e dos d ígitos, e l núm ero que o c u p a e l lugar d e las d e ce n as e s la m itad d e l d íg ito que o c u p a e l lugar
tfc las unidades. E l m ism o núm ero e s igual a la sum a d e o c h o veces e l d íg ito d e las d ecenas, m ás c u a tro v e ce s e l de
las unidades red ucid o e n d os. ¿ C u á l es la can tid ad ?
2 9 . L a su m a d e los d íg ito s de u n núm ero de dos c ifra s e s 16 y e l c o c ie n te d e l núm ero o rig in a l c o n e l n ú m ero que resulta
al inv ertir los d íg ito s e s uno, c o n un resid uo d e 18. ¿ C u á l e s e l núm ero?
3 0 . E n un núm ero d e dos cifra s, e l d íg ito d e las unidades eq u iv ale a las - partes d e l d íg ito d e las d ecenas. Si e l núm ero
se divide en tre la su m a d e su s dígitos, e l c o c ie n te es 6 y e l re sid u o 6, h a lla lo s núm eros.
31. E n un núm ero d e tre s cifras, e l dígito d e las unidades excede e n tre s a l d e las centenas y la su m a d e los tres dígitos es 7. Si
se invierten los dígitos d e las decenas y la s centenas e l núm ero resultante excede e n 9 0 a l orig in al. E ncu en tra e l número.
3 2 . E n u n núm ero de tr e s c ifra s, e l dígito de las d e ce n as excede e n 2 a l de las unidades y e n 4 a l de las c en ten a s. S i se
invierten e l dígito de las unidades y e l d e las cen ten a s, e l núm ero que re su lta e s 6 6 unidades m enor que e l d o b le del
núm ero original. ¿ C u á l e s e l núm ero?
1 4 5

164. 6 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
3 3 . E n un n ú m ero de tres c ifra s e l d íg ito d e las d e c e n a s e s la m ita d d e l d íg ito d e las unidades, m ie n tras q u e e l d e las
centenas e s e l su c e so r d e l d íg ito de las d e ce n as. Si s e intercam b ia e l d íg ito d e las d e ce n as por e l d e las c e n te n a s e l
núm ero o b ten id o es 4 4 unidades m enor que tre in ta veces la sum a d e los d íg ito s. D e term in a e l núm ero.
Vitrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre edades
L a e d a d d e C a r la excede e n 3 añ o s a la d e D a n ie l y e l doble d e la e d a d d e C a rla m ás 12 añ o s equivale a l trip le de
la d e D an iel. D e term in a a m b a s ed ad e s.
S o lu ció n
Datos:
E d a d de C a rla : *
E d a d de D a n ie l:* - 3
P lan team ien to :
2 (E d a d d e C a rla ) + 12 añ o s = 3<Edad de D an iel)
2 x + 12 = 3 (* - 3)
S e re su e lv e la ecuació n:
2x+ 12 = 3 (* - 3 ) -> 2 x + 12 = 3 x - 9
2 * - 3 * = - 9 - 12
- * = - 2 1
* = 21
P or tanto , C a rla tie n e 21 añ o s y D a n ie l 18.
L a e d a d d e A ntonio es e l doble d e la ed ad d e R am iro y d e n tro d e 6 añ o s s e r á d e ^ . ¿C u áles so n su s ed ad e s?
S o lu ció n
D atos: E d ad e s a c tu a le s: D en tro d e 6 años: P lan team ien to :
A n to n io 2x 2 x + 6 2 x + 6 = - ( x + 6)
R am iro * * + 6
R esolvem os la ecu a ció n :
3 (2 * + 6 ) = 5 (* + 6)
6 x + 18 = 5 * + 30
6 * - 5 * = 3 0 - 18
* = 1 2
F inalm ente, la e d a d d e R am iro e s 12 a ñ o s y la d e A n ton io e s 2 4
EJERC IC IO 6 6
* Resuelve los sig u ie n te s problem as:
1. L a su m a d e las ed ad es d e A n drés, C a rlo s y R odolfo e s d e 9 0 añ o s. L a e d a d d e A nd rés e x ced e e n 4 añ o s a la e d a d de
I C árlos y e n 11 a la d e R odolfo. D eterm in a las ed ad es d e los tres.
; 2. L a e d a d de F a b ian a e s la te rc e ra p arte d e la e d a d d e H ild a y la e d a d d e C e c ilia e s e l doble d e la e d a d d e F abiana. Si
la su m a d e su s ed ad es es d e 7 2 añ o s, d e te rm in a la e d a d d e C e cilia .
•
! 3. L a e d a d d e T an ia e x ced e e n 6 a la d e L u z, y la e d a d d e M a ría e s la se m isu m a d e las e d a d e s d e T an ia y L u z. Si la su m a
(fc su s ed ad es e s 42, d e te rm in a las e d a d e s de T an ia, L u z y M a ría.
•
; 4. C arlo s tie n e 18 añ o s y Ju a n 42, ¿ e n cu án to s añ o s la e d a d de J u a n s e rá e l d o b le d e la d e C a rlo s e n ese en to n ces?
1 4 6

165. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
5. L a e d a d d e C a rlo s e s e l triple d e la d e M a u ric io y d e n tro d e 10 añ o s s e rá e l doble. D e term in a las e d a d e s actu ale s de
C a rlo s y M auricio.
6. L a e d a d ac tu a l d e B á rb ara es la m itad de la d e fó tric ia . Si d e n tro d e veinte añ o s la e d a d de P a tric ia su p e ra rá e n 8 la
tfc B árbara, d e te rm in a las ed ad es actu ales.
7 . Ign acio tie n e 7 0 a ñ o s y A lv a ro 28. ¿H ac e c u á n to tiem p o la e d a d d e Ignacio e ra e l triple d e la de A lv a ro ?
8. H ace 6 añ o s la ed ad de A le ja n d ra e ra e l triple d e la de O rn a r y d e n tro d e 4 añ o s s e rá e l dob le. D e term in a su s ed ad es
actuales.
9. G a b rie la le d ic e a Sam anta: “ Si a m i ed ad le restas 4 años y a la d e A n g é lic a 12 nuestras edades serían iguales, ¿cuántos
años ten g o s i m i ed ad e s la m itad d e la de A ngélica?"
10. H é c to r le dice a M aría: “M i a b u e lo e s 4 0 añ o s m ás g ra n d e que y o y un c u a rto d e la su m a d e nuestras e d a d e s equivale
a m i e d ad . ¿ C u á n to s añ o s ten g o ? "
11. L a e d a d d e G u ille rm o excede e n 12 a la d e P atricia y h ace 7 añ o s la e d a d d e P atricia e r a — d e la ed ad d e G uillerm o.
H rila las e d a d e s d e G u ille rm o y P a tric ia hace 7 años.
3
12. L a e d a d d e C a m ilo s u p e ra e n 2 0 añ o s a la d e Jo a q u ín y e q u iv ale a - d e la e d a d de Ju lián . Si la sum a d e las e d a d e s de
C am ilo, Jo aq u ín y Ju liá n e s d e 6 0 añ o s, ¿ c u á le s so n su s ed ad e s?
3
13. L a e d a d d e Iván e s - d e la d e A n to n io y hace 5 añ o s e r a la m itad, d e te rm in a am b a s ed ad e s.
14. L a e d a d d e L u cian a so n lo s tr e s q u in to s d e la e d a d d e M arian a, s i d e n tro de 10 a ñ o s L u c ia n a te n d rá s ie te d é c im o s de
la e d a d que te n g a M a ria n a e n ese e nton ces, ¿cu á n to s añ o s tie n e L u cian a?
15. H ace 5 añ o s la e d a d de J u a n C arlos e ra dos te rc io s de la d e D a n ie l y de n tro d e 5 añ o s s e rá c u a tro quintos. H a lla las
edades a ctu ales.
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ^ ■
• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problemas sobre m ezclas
Un tanq ue c o n tien e 80 litros d e a g u a a l 5 % de sal. ¿ C u á n ta a g u a d e b e rá ag reg a rse p a ra te n e r a g u a a l 2% d e sal?
S olución
D atos: ^ I 1 v , [ I v , I 1 v
+ (80+x) Hitos
SOliirosdeagua
de agua al 2*
al 5* de sal
.riilrosdeagua de sal
P lanteam ien to:
Éste s e obtiene c o n la c a n tid a d d e s a l de c a d a recipiente:
5% d e 80 = 2 % d e (80 + * )
R esolv em os la ecu ació n:
n ¡ 5 ( 8 0 ) = í 5 5 ( 8 0 + J :) - * 5 (8 0 ) = 2 (8 0 +x)
4 0 0 = 160 + 2 *
4 0 0 - 160 = 2x
2 4 0 = 2x
120 = *
E sto significa que se d e b erá n a g re g a r 120 litros d e a g u a para o b te n e r a g u a a l 2% d e sal.
1 4 7

166. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
2 ¿ C u á n to s litros d e u na so lu c ió n a l 15% d e a lc o h o l s e d e b e n ag re g a r a o tra a l 6 % p a ra o b te n e r 180 litro s d e una
nueva so lu ció n a l 10% d e a lco h o l?
S o lu ció n
r ^
+
180 litros
(180-*) Huos al
6% de alcohol
al 10%
«litros al 15* de
alcohol
de alcohol
P lan team ien to :
É ste s e obtien e c o n la c a n tid a d d e alc o h o l d e c a d a recipiente:
EJE
15% d e a: + 6 % d e ( 1 8 0 - * ) = 10% de 180
H arneam os la e cu a ció n y la resolvem os:
l ^ - t + í ^ 0 ( l 8 0 _ -t ) = i ^ ( ' 8 0 ) < 5* + 6 (1 8 0 —* ) = 10(180)
1 5 * + 1 08 0 - 6 * = 1 800
9 * = 720
* = 8 0
S e d e b e n co m b in a r 80 litros a l 15% d e a lc o h o l con 100 litros a l 6 % p a ra obten er 180 litros a l 10% d e alcohol.
ÍC IC IO 6 7
Resuelve b s sig u ien tes problem as:
1. A 120 litros d e a g u a a zu c a ra d a a l 3% , ¿ c u á n ta a g u a s e d eb e evapo rar p a ra a u m e n ta r s u co n ce n tra c ió n a 5%?
2. A 80 litros d e a g u a a l 1.5% de sal, ¿ c u á n ta a g u a d e b e rá agreg arse p a ra dism in uir s u c o n ce n tra c ió n a l 1 %?
3. ¿ C u á n to á c id o c lo rh íd rico s e de b e ag re g a r a 120 g r d e u na so lu ció n a l 60 % d e l á c id o p a ra o b te n e r u n a nueva so lu ció n
con 7 0% ?
4. Si s e tie n e n 120 litros d e una so lu c ió n que co n tien e a z ú c a r a l 5% , ¿q u é c a n tid a d d e a g u a s e de b e ag reg ar p a ra obten er
una so lu ció n a l 2% ?
5 . De 50 litros d e a g u a a l 4 % de s a l, ¿ q u é c a n tid a d d e a g u a s e de b e ev ap o ra r para o b te n e r una nueva so lu c ió n a l 5% ?
6. U n ra d ia d o r c o n tie n e 1.5 litros d e u na m e z c la de a g u a y a n tic o n g e la n te . Si 3 0 % de la m e z c la e s a n tic o n g elan te ,
¿cuántos litros d e a n tico n g elan te puro se d e b e n añ ad ir p a ra q u e e n la nueva m ezcla represen te 50% ?
7. Se tie n e n 18 o n z as d e un a m ez cla d e a g u a herv id a y lech e d e fórm ula a l 20% . Si s e d e se a una m ez cla a l 15% d e leche
(fe fórm ula, ¿cu á n ta s on zas d e a g u a herv id a hay q u e ag reg a r?
8. E n una e m p re sa que fa b ric a m ate ria l m édico s e utiliza a lc o h o l e tílic o a l 10% p a ra lim p iar las á re a s de prod ucción . Si
a l a lm a c é n llega un c o n te n e d o r d e 2 0 lt c o n a lc o h o l e tílic o a l 15%, ¿ q u é c a n tid a d d e a g u a s e d e b e ag re g a r p a ra poder
ob ten er e l alc o h o l a l 10%?
9 . U n fa rm acéu tico d e b e p rep arar 7 5 m i de un a so lu c ió n c o n u n ingrediente a c tiv o a l 2 % . Si s ó lo tie n e e n e x isten cia
soluciones a l 4 y 1%, ¿ c u á n to de c a d a so lu c ió n d e b e rá m ezclar para la e la b o ra c ió n de la nueva so lu ció n a l 2% ?
10. Se re q u ie re n 100 m i d e una so lu c ió n a l 3.5% d e a lc o h o l, s i s ó lo s e tie n e n d isp o n ib les so lu c io n e s a l 5 y 2 % , ¿ q u é
c an tid ad d e c a d a so lu ció n d e b e rá m ezclarse p a ra obten er la solución requerida?
11. ¿ C u á n to s litros d e una so lu c ió n d e a lc o h o l a l 30 % d e b e n co m b in arse c o n o tra a l 3 % p a ra o b te n e r 3 0 litro s d e una
nueva so lu c ió n a l 12% ?
148

167. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
1
12. M ario quiere m ez cla r u na a le a c ió n de p iala a l 30% , c o n o lra a l 80% p a ra log rar u n a nueva a le a c ió n a l 60% . S i hay
3 0 onzas más d e la a le a c ió n a l 80% que d e la de 30% , ¿ c u á n ta s onzas h ay d e c a d a a le ac ió n ?
13. U n a p lan ta pro cesad o ra d e alim en to s d isp o n e de d o s tip o s de m erm elad a, u n a c o n 5 6 % y o tra c o n 8 0 % d e azú car. Si
d e se a p ro d u cir 2 40 0 litros d e m erm elada a l 70 % d e azú car, ¿ c u á n ta d e c a d a tip o d e b e rá utilizar?
14. Se m ezclan 12 0 0 0 gram o s d e una ale a c ió n de c o b re c o n 8 0 00 gram os d e o tra qu e c o n tien e 3 0 % m enos que la pri­
m era, y s e obtiene u na ale a c ió n c o n 80% de cobre, ¿ q u é porcentaje d e co b re hay e n c a d a ale ac ió n ?
^ V b rifle a t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o rre s p o n d i a n t a
• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problemas sobre monedas
E n e s te tip o d e problem as se to m a en c u e n ta que e l producto d e l núm ero d e b illetes, m onedas, e tc ..., por s u d e n o ­
m inació n nos d a e l valo r m onetario.
C arm en tie n e $ 110 e n m onedas d e $1 0 y $5, e l núm ero d e m onedas d e $ 10 excede e n 2 a las d e $5, ¿ c u á n ta s m o­
nedas d e $ 10 y d e $ 5 tie n e C arm en ?
S olución
D atos:
N úm ero de m o nedas d e $1 0: *
N úm ero de m onedas d e $ 5 : * - 2
P lanteam ien to:
L a su m a d e los p ro d u cto s d e l núm ero d e m onedas por la de no m inación d e la m on eda nos d a e l total:
(den o m in ació n ) (m onedas d e $ 10) + (d en o m in ac ió n ) (m onedas d e $ 5 ) = to tal
lQx + 5 (* - 2 ) = 110
R esolución:
10x + 5 ( * - 2 ) = 110 - » 1 0 * + 5 * - 1 0 = 1 1 0
10x + 5 * = 110 + 10
15* = 1 2 0
* = 8
C a rm e n tie n e 8 m onedas d e $1 0 y 6 m onedas d e $5.
C hrla re tira d e l b a n c o $ 5 0 0 0 , e n b ille te s d e $ 50 0, $ 2 0 0 y $ 1 00. S i e l n ú m ero de b ille te s de $ 2 0 0 e x ced e e n 3 a los
de $ 1 00, y e l n ú m ero d e b ille te s d e $100 e s e l d o b le d e lo s d e $ 5 00, ¿cu á n to s b ille te s d e c a d a d e no m inación re cib ió
C arla?
S olución
D atos:
B illetes d e $200: *
B illetes d e $100: * - 3
xz l
2
B illetes d e $500:
P lan team ien to :
2 0 0 * + 100(* -- 3 ) + 500
Se resu elv e la ecu ació n:
P i * ) -
= 5 0 0 0
2 0 0 * + 1 0 0 ( * - 3 ) + 2 5 0 ( * - 3 ) = 5 0 0 0
2 0 Q r + 1 OOx - 3 0 0 + 2 5 0 * - 7 5 0 = 5 0 0 0
2 0 0 * + 1 0 0 * + 2 5 0 * = 5 00 0 + 3 0 0 + 7 50
550 * = 6 050
* = 1 1
C a rla re cib ió 11 b ille te s d e $200, 8 d e $ 100 y 4 d e $500.
1 4 9

168. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJERC IC IO 6 8
Resuelve lo s sig u ie n te s problem as:
1. M arcos a h o rró $ 3 2 7 0 e n m onedas d e $ 10, $ 5 y $2. Si e l núm ero d e m onedas d e $ 10 e x ced e e n 2 0 a las d e $ 5 y en
15 a las d e $2, ¿cu á n ta s m onedas d e $ 5 pesos tie n e M arcos?
2 . P au lin a tie n e $ 9 300 e n b ille te s d e $ 1 0 0 0 , $500 y $ 2 0 0 . S i e l n ú m ero d e b ille te s de $500 e x ced e e n 2 a los de $ 1 00 0
y e n 3 a los de $200, ¿ cu á n to s billetes d e c a d a d e n om in ación tie n e P aulina?
3 . A ndrés tie n e 3 0 m onedas d e $ 5 y $10. Si e n to ta l dispone d e $200, ¿ cu á n ta s m onedas d e c a d a d e n o m in a ció n tiene?
4. J u a n tie n e 4 0 0 m onedas d e 50 0 y $1. Si e n to ta l d isp o n e d e $350, ¿ c u á n ta s m onedas de c a d a d e n o m in a ció n tien e?
5. S e d e se a re p artir $ 2 1 0 e n m onedas de $20, $ 1 0 y $ 5 , de ta l form a que e l n ú m ero de m onedas de c a d a d e n om in ación
a ra e l m ism o. ¿C u á n ta s m onedas se n e ce sita n de c a d a den o m in ació n ?
6 . Se d e se a te n e r $ 2 6 0 0 e n billetes d e $ 200 , $ 100 y $50, de ta l m an e ra q u e e l núm ero d e billetes d e m ay or d enom inación
se a u n o m ás q u e los d e m ed ian a d e n o m in a c ió n y d o s m ás que los de m eno r denom inació n, ¿cu á n to s b ille te s d e c a d a
d e no m inación se ten d rá ?
7 . G lo ria tie n e e l triple d e m onedas d e $ 5 que d e $ 1 0 y 10 m onedas m ás d e $ 2 que de $5. Si e n to ta l d isp o n e d e $ 3 92 ,
¿cuántas m onedas d e c a d a d e n o m in a ció n tiene?
8. Iván d a a s u h ijo $ 9 0 e n m on ed as d e $ 2 y 500, s i e l núm ero d e m onedas d e $ 2 e s la m itad d e l n ú m ero d e m onedas
de 500, ¿cu á n ta s m onedas d e $ 2 pesos le d a a s u hijo?
9 . F ab ián tie n e 12 m onedas de $ 5 y 3 3 d e $2, a l llegar e l d ía d o m in g o s u p a p á le d a e l doble n ú m ero d e m onedas d e $2
que d e $5, F a b iá n s e d a c u e n ta qu e tie n e la m ism a c a n tid a d d e d in e ro e n m onedas de $ 2 q ue de $5, ¿ c u á n ta s m onedas
efe $ 2 y de $ 5 le d io s u papá?
10. S ergio e s c o n d u c to r d e u n tran sp o rte co le c tiv o y c a m b ia e n e l b a n c o $ 7 9 5 p o r m onedas d e $ 5 , $2, $ 1 y d e 500. A l
sep arar las m onedas d e a c u e rd o c o n s u d e n o m in a ció n s e d a c u e n ta que e l n ú m ero d e m onedas d e $ 5 es la te rc e ra
parte d e l n ú m ero d e m onedas d e $2, la m itad de las d e $1 y e l doble d e 500, ¿ cu á n ta s m onedas d e $ 5 tien e?
11. R ica rd o c a m b ia un c h e q u e d e $ 6 4 0 0 p o r b ille te s d e $ 2 0 0 , $ 1 0 0 , $ 5 0 y $ 2 0 , y le pide a l c a je ro q u e e l n ú m e ro
de b ille te s d e $ 2 0 0 s e a la m itad d e los d e $ 100, la c u a rta parte de los d e $ 50 y la d é cim a parte d e los de $20, ¿cu á n to s
billetes d e $ 2 0 0 recib irá?
^ V ar¡fiea t u * r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e * c o r r e s p o n d i e n t e
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre costos
S an d ra pagó $6 6 p o r u na p a sta d e n ta l, u n ja b ó n y un cham pú. S i e l co sto d e la p a sta excede e n $ 15 a l d e l ja b ó n y
e n $ 3 a l d e l cham pú , d e te rm in a e l co sto d e c a d a u n o d e los artículos.
S o lu ció n
D atos:
C o sto d e la pasta para dien te s: x
C o sto d e l ja b ó n : x - 15
C o sto d e l ch am p ú : * - 3
Se plan tea la e cu a ció n y s e resuelve:
* + ( r - 15) + ( r - 3 ) = 6 6 -> 3 * - 18 = 66
3 x = 6 6 + 18
3 * = 84
84
X = T
* = 28
P o r tan to, los c o sto s d e los a rtícu lo s son: pasta d e n ta l $28, ja b ó n $13, c h a m p ú $25.
1 5 0

169. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
d e r l a escuela pidió e l presupuesto para la fotografía d e graduación d e un grupo d e 30 alum nos. A l momento d e realizar el
trato con e l estudio fotográfico se avisa que serán 10 alum nos m ás, si e l estudio respeta e l precio to tal y dism inuye e n $50
d costo d e la fotografía por persona, ¿cuál hubiese sido e l costo Arde la fotografía por alum no para e l grupo d e 3 0 alum nos?
S olución
D atos:
E l co sto total p a ra un grupo d e 30 alu m n o s e s: 30 *
E l co sto total p a ra un grupo d e 4 0 alu m n o s e s: 4 0 (* - 5 0 )
D ebido a q u e e l c o sto to tal e s e l m ism o, en to nces:
3 0 * = 4 0 (* - 50)
Se resu elv e la ecu a ció n :
3 0 * = 40*: - 2 0 0 0 -> 3 0* - 4 0 * = - 2 00 0
- 1 0 * = - 2 00 0
-2 0 0 0
- 1 0
* = 2 0 0
Por tanto, e l co sto de la fo to g rafía p a ra un g ru p o d e 3 0 alu m n o s e s d e $ 2 0 0 por c a d a uno.
E l c o sto d e p ro ducción por e je m p la r d e u n a rev ista se m a n a l e s d e 2 8 cen tav o s. E l in g reso d e l d istrib u id o r e s de
24 c en tav o s por c o p ia m ás 2 0 % d e los ingresos por c o n ce p to d e p u b lic id ad a n u n ciad a e n la rev ista c u a n d o so b re p a ­
sa n la s 3 0 0 0 c o p ia s. ¿C u á n ta s c o p ia s d e b e n publicarse y venderse c a d a se m a n a p a ra o b te n e r utilidades sem anales
(fe $ 1 0 0 0 ?
S olución
2 0 ( 2 4 6
S e a * e l n ú m ero d e ejem plares, e l 20% d e los ingresos es j j j j * I = J 2 5 * cuaiK*° so brep asan las 3 0 0 0 copias
28
C o sto to ta l por se m a n a = $ j ^ ( * + 30 00)
Ingreso to ta l por se m a n a = $
Se sa b e que:
P o r tanto.
Se resu elv e la ecu a ció n :
24
10 0í* *3000) + i f H
U tilid a d = In g reso s - C ostos
[ ^ ( • '+300° ) + ¿ " ] - S " - 3000) = '000
« Í S í * * 3000^ ^ 3000) - 1000}
500{-láo (-+ 3 00°) - lis *=1000}
- 2 0 ( * + 3 00 0 ) + 2 4 * = 5 0 0 0 00
- 2 0 * - 6 0 0 0 0 + 2 4 * = 5 0 0 000
4 * = 500 0 0 0 + 6 0 0 0 0
5 6 0 00 0
* 4
* = 1 4 0 000
E l distrib u id o r d e b e rá ven d er 140 0 0 0 e je m p la res p a ra o b te n e r utilidades d e $ 1 0 0 0 se m an a le s.
1 5 1

170. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJERC IC IO 6 9
Resuelve lo s sig u ie n te s problem as:
1. Ju lio pagó por un traje, una c a m is a y unos z a p a to s, $ 2 700. Si la c a m is a c u e s ta la se x ta parte d el tr a je y los za p a to s
cu estan e l doble d e la c am isa, ¿ c u á l e s e l precio d e los z a p a to s?
$2 5 0 0 0 y e l te rc e ro $ 1 8 0 0 0 m en os q u e e l p rim e ro . Si la e m p re s a invirtió $ 4 3 2 0 0 0 , ¿ c u á l e s e l p re cio d e c a d a
autom óvil?
reis días Ja z m ín g a n ó $ 1 500, ¿ c u á n to g a n ó e l m iércoles?
6. U n a c o m p u ta d o ra y un e sc rito rio c o sta ro n $ 15 100, s i por e l e sc rito rio s e pagó la sexta parte d e la c o m p u ta d o ra más
$400, d e te rm in a e l precio de c a d a uno.
7. E n e l c u rso d e á lg e b ra un p ro feso r pidió re so lv er 16 problem as a l a lu m n o m ás d e stac ad o d e la c la se , c o n la co n d ició n
(fe qu e por c a d a p rob lem a resuelto co rre c ta m en te e l estu d ia n te re c ib iría $30, y por c a d a p ro b lem a e rró n e o , perd ería
$10. D esp u és d e re so lv er lo s 16 problem as, e l p ro feso r le p a g ó $ 2 40 . ¿ C u á n to s p roblem as re so lv ió c o rre c ta m e n te e l
alum no?
8. L u is dice: “ S i trip lic o m i d in ero y pago $2 60 0 d e una d e u d a m e q u e d arían $13 00 0 ". ¿ C u á n to d in ero tie n e L uis?
9 . “C o m p ré 20 d isc o s por c ie r ta can tid ad , s i hub iera a d q u irid o 4 disc o s m ás por la m ism a c a n tid a d , e l c o sto d e c a d a
t is c o d ism in u iría e n $60. ¿ C u á l e s e l precio d e c a d a d is c o ? ' (S ugerencia: s e a a: e l p re cio de los 2 0 discos).
10. E l sa la rio b á sic o de u n pro feso r e s d e $ 4 0 p o r hora, pero recib e un ta n to y m edio d e e s ta c u o ta por c a d a h o ra cu ando
rebasa las 4 0 horas por sem an a. S i e l ch eq u e que recib e e s d e $ 2 800, ¿cu á n ta s horas d e tiem p o ex tra tra b a jó du ran te
11. E l precio de 30 kg de un a m ez cla de dos tipos de a rro z e s d e $ 10.20 p o r kilogram o. S i uno de los tipos d e arroz vale
$9.30 e l kilogram o y e l o tro $12, ¿ c u á n to s kilogram os d e c a d a tip o d e e ste g ra n o hay e n la m ezcla?
12. L as en trad as para e l esp e c tá c u lo de un circ o c u e s ta n $60 p a ra ad u lto y $4 0 p a ra niño. S i u na fa m ilia pagó $ 3 2 0 por
reis b o letos, ¿cu á n to s boletos d e c a d a c la se com p ró?
13. E n u n p a rtid o d e fú tb o l s e v en d iero n 12 0 0 0 b o leto s y s e reca u d aro n $ 8 0 0 0 0 0 . S i los precios e r a n d e $ 6 0 y $ 8 0 ,
¿cuán to s boletos s e vendiero n de c a d a clase?
14. J u a n m e z c la tre s tipos d e c a fé , e l p rim e ro tie n e un p re c io de $ 100 e l kilogram o, e l se g u n d o d e $ 7 0 y e l te rc e ro de
$105. L a m e z c la p e sa 2 0 k ilo gram os y la vende e n $ 9 0 e l k ilog ram o . Si la c a n tid a d d e l g ra n o d e $ 7 0 e s e l doble
que la d e l c a fé d e $ 100, ¿ cu á n to s k ilo g ram o s u tilizó d e c a d a g rano?
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
-----------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre el tiempo requerido p ara re a liza r un trab ajo
2. A le ja n d ra c o m p ró una c h a m a rra , una b lu sa y u n pantalón. E l pantalón c o stó la m itad d e la c h a m a rra y la b lu sa las
tres d écim as partes d el c o sto d e l pantalón. S i e n to ta l pagó $ 1 320, ¿c u á l fue e l c o sto d e c a d a prenda?
3. A d ria n a pagó por su reinscripción, co le g iatu ra y un e x am en ex traord inario , $ 6 4 0 0 . Si e l e x am en c u e s ta las dos quintas
partes d e la inscripción y las dos novenas partes d e la colegiatura, ¿ c u á n to paga d e c o leg iatu ra?
4. U n a e m p re sa c o m p ró a u to m ó v ile s p a ra tr e s d e s u s g e re n te s. E l p rim e r a u to m ó v il c o stó e l d o b le d e l seg u n d o m ás
5. Ja z m ín g a n ó e l m artes e l doble d e lo qu e g a n ó e l lu nes; e l m iércoles, e l doble d e lo que g a n ó e l m artes; e l jueves, e l
d o b le d e lo que g a n ó e l m iércoles; e l viernes, $30 m enos q ue e l ju eves y e l sá b a d o $ 10 m ás q ue e l viernes. Si e n los
la se m an a ?
U n e sta n q u e s e lle n a por una d e dos llaves e n 4 horas y la se g u n d a lo llena e n 6 horas, ¿ c u á n to tie m p o ta rd a rá n en
llenar e l estan q u e v acío s i s e a b re n am bas llaves a l m ism o tiem po ?
1 5 2

171. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
S olución
D atos:
P rim era llave
S egunda llave
L as dos llaves
P lanteam ien to:
T iem po to ta l de llenado:
4 horas
6 horas
* horas
E n una hora, e l estan q u e e sta rá lleno en :
4 d e s u cap acid ad
i d e s u cap acid ad
6
- d e s u cap acid ad
X
E n una ho ra las dos llaves lle n a rá n - d e la cap a c id a d d el estan q u e :
X
Se p lan te a la e c u a c ió n y s e resuelve:
I i _ 1
4 + 6 " *
i I - i
4 + 6 " *
3 * + 2 * = 12
5jc = 12
* = 2.4
2 .4 horas e qu iv alen a 2 horas, .4 (6 0 ) = 2 4 m inutos
P o r co n sig u ien te, las dos llaves ta rd a rá n 2 h o ra s y 2 4 m inutos e n llenar e l e stan q u e .
Para la re co lecció n de trig o s e utilizan dos co se c h a d o ra s, la prim e ra ta rd a 8 horas y las d o s ju n ta s ta rd a n 4 .8 horas,
¿ cu á n to tiem p o ta rd a rá la se g u n d a e n reco lectar e l trig o?
Solución
S ea * e l tiem p o que ta rd a la se g u n d a c o se ch a d o ra e n reco lectar e l trigo, entonces:
1_ = _1____1_
* ~ 4 .8 8
Se resu elv e la ecu a ció n :
I _ A _ i
* " 2 4 8
i 1 _ 1
* 8 " 4.8
2 4 = 5 * - 3 *
R esu lta que la se g u n d a c o se ch a d o ra ta rd a rá 12 horas e n reco lectar e l trigo.
2 4 = 2*
* = 12
EJER C IC IO 7 0
• Resuelve los sig u ie n te s problem as:
I 1. U n estan q u e s e lle n a c o n u n a d e d o s llaves e n 3 horas y c o n la se g u n d a e n 2 horas, ¿ c u á n to tiem p o ta rd a rá n e n llenar
I d estan q u e v acío si s e a b re n las dos llaves?
•
* 2. C ie rto tra b a jo lo puede realizar D a m iá n e n 4 horas y B e atriz e n 6 horas. ¿ E n cu á n to tiem p o lo re aliz a n am b o s?
3. U n a to rtille ría produ ce p o r d ía 3 50 k ilog ram o s c o n la m áquina A , c o n la m áquina B la m ism a p ro ducción s e obtien e
en dos días, si s e ponen a tra b a ja r am b a s m áquinas, ¿ c u á n to tiem p o ta rd a rá n e n producir los 3 5 0 kilos d e tortilla?
•
I 4. P a ra e n v a sa r lech e s e utilizan dos m áquinas, la prim e ra e n v a sa 2 40 0 bo tes e n 4 horas y la se g u n d a e n v a sa la m ism a
* c an tid ad e n 8 horas, ¿ c u á n to tiem p o tard a rán e n lle n a r los 2 4 0 0 botes d e leche a m b a s m áquinas?
•
• 5. P a ra s a c a r 2 0 00 0 c o p ia s s e tien en tre s c o piado ras, la prim era ta rd a 6 horas, la se g u n d a 8 horas y la te rc e ra 4 horas;
; si s e utilizan las tr e s copiad oras, ¿ c u á n to tiem p o tard a rán e n realizar e s ta tarea?
1 5 3

172. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
6. U n productor d e leche puede v a c ia r u n co n te n ed o r c o n u na llave d e d e sa g ü e e n 12 horas; este recip ien te puede s e r
llenad o c o n una llave e n 4 horas y c o n una se g u n d a llave e n 6 horas. S i e l co n te n ed o r inicialm ente e s tá v acío y se
abren las tre s llaves sim ultán eam en te, ¿ e n c u á n to tiem p o se puede llenar?
7 . C ie rta producción d e to m illo s s e re a liz a por la m áquina se rie -4 e n una hora 2 0 m inutos, y por las m áquinas se ries A
y fi e n 1 hora, ¿ c u á n to tiem p o ta rd a ría la m áquina se rie f i e n realizar la p rod ucció n d e tom illos?
8. U n a pipa d e 1 5 00 litros d e c a p a c id a d tie n e d o s llaves y un desag ü e. L a p rim era llave la lle n a e n 4 5 m inutos, la s e ­
gu n d a e n 30 y e l d e sa g ü e la vacía e n 6 0 m inutos. Si la p ipa e s tá vacía y s e ab ren las d o s llaves y e l desag ü e, ¿ cu á n to
tiem po ta rd a rá e n llenarse la pipa?
9 . T ánia y J o s é van a c o n stru ir c ie rta c a n tid a d d e ju g u e te s que s e co n fo rm a n d e tre s piezas c a d a uno. T an ia los construye
e n 2 horas y m ed ia y am b os ta rd a n una ho ra 5 4 m inutos, ¿ c u á n to ta rd a rá Jo sé e n co n stru ir lo s ju g u ete s?
10. E n una e sc u e la s e tie n e n que h a c e r ju e g o s de c u a tro hojas c a d a un o p a ra fo rm ar 120 0 e x ám en e s, p a ra e llo s e form an
dos gru p o s de 3 perso nas; e l prim er g ru p o ta rd a rá tres horas 4 0 m inutos, m ientras q u e los dos gru p o s tard arán 3 horas,
¿ cu á n to tiem p o ta rd a rá e l se g u n d o g ru p o e n te rm in a r los 1 20 0 exám enes?
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e =
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as sobre com paración de distancias y tiempos
E n e s te tip o d e problem as s e utilizan la s sig u ie n te s fórm ulas d e l m ovim iento re c tilín e o uniform e:
v = - d = vi / = -
t v
É stas se u san para d e te rm in a r la velo cidad, d ista n c ia y e l tiem po , respectivam ente.
U n au to m ó v il c o n v e lo c id ad co n stan te d e 21 m /s sale d e la m eta 5 seg und os d e sp u é s q u e un autom óvil, c u y a v e ­
lo cidad c o n sta n te e s d e 18 m /s, ¿ c u á n to tiem p o tran scu rre p a ra que e l seg u n d o alc a n c e a l prim ero?
S o lu ció n
D atos: Prim er autom óvil
Vel. 18 m/s
( / + 5) segundos
Segundo autom óvil
Vel. 21 m/s
i
tsegundos
Plan team iento :
L as d istan c ias re c o rrid a s so n las m ism as, p ero c a d a au to m ó v il c o n d istin to tiem p o, s i d = vt, entonces:
D istan cia re co rrid a por e l prim er au to m ó v il = d ista n c ia re c o rrid a por e l se g u n d o a u to m ó v il
1 8 (i + 5 ) = 2 1 (0
Se resu elv e la ecu a ció n :
1 8 ( / + 5 ) = 2 1 ( / ) - » 1 8 r+ 9 0 = 2 1 /
9 0 = 2 1 / - 1 8 /
9 0 = 3/
30 = /
E sto indica que e l seg u n d o a u to m ó v il d a r á a lc a n c e a l prim ero e n 30 seg und os.
154

173. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
E n c ie rta co m p e ten c ia de a tle tism o e l c o rre d o r A s e e n c u e n tra a 30 m etros ad e la n te del c o rre d o r B. E l c o rre d o r A
lleva u na v elocidad co n stan te d e 7 km /h y e l c o rre d o r B lleva una velo cid ad co n sta n te d e 8 km /h. S i los dos sa le n
a l m ism o tie m p o , ¿ d e s p u é s d e cu án to s m etros e l c o rre d o r B a lc a n z a rá a l c o rre d o r A l
S olución
D atos: C o rre d o r/! v = 7 km/h
C o rre d o r B v = 8 km /h
* m etros
3 0 m * m etros
P lan team ien to : ^ 3 0 + r
L a d ista n c ia e n k ilóm etro s para c a d a c o rre d o r e s y , resp ectiv am en te.
A l m om ento d e sa lir e l tiem p o e s e l m ism o para am b o s co rred o res, s i t = — , en to n c es;
v
tiem p o p a ra e l c o rre d o r A = tiem p o p a ra e l c o rre d o r B
x 30 + *
100 0 1000
Se resu elv e la ecu a ció n :
* _ 3 0 + *
7 0 0 0 ” 8 0 0 0
8
8 * = 7(3 0 + * ) &* = 2 1 0 + 7 *
8 r - 7 * = 2 1 0
* = 21 0
E l c o rre d o r B re co rre 21 0 + 3 0 = 2 4 0 m etros a n te s d e a lc a n z a r a l c o rre d o r A
EJERC IC IO 71
• Resuelve los sig u ie n te s problem as:
I 1. U n au to m ó v il q u e v iaja a 6 0 m /s p a sa p o r e l pu nto A 12 segun dos a n te s d e que un au to m ó v il que v iaja a 80 m /s pase
\ por e l m ism o punto, ¿ c u á n to tie m p o tra n sc u rre an tes d e que e l seg u n d o a u to m ó v il alcan ce a l prim ero?
• 2 . D os p erson as s e en c u e n tra n a una d ista n c ia d e 55 m etros, ¿ d esp u és d e c u á n to tie m p o s e e n c o n tra rá n s i la prim era
c am in a a 1 m /s y la se g u n d a a 1.2 m/s?
•
! 3 . U n a u to m ó v il c o n u na v e lo c id ad c o n sta n te d e 6 0 km /h v a p o r la a v en id a V iaducto, e n se n tid o c o n tra rio v iaja un
\ seg u n d o au to m ó v il a una velo cid ad co n stan te d e 9 0 km /h. S i la d ista n c ia que los s e p a ra e s de 2 5 km, ¿ d esp u és de
• cuánto tie m p o s e cru za rán ?
•
4 . U n p a r d e g u a rd ab o sq u e s tie n e n ap a ra to s d e ra diocom un icación, c o n un alc a n c e m áxim o de 2 k iló m e tro s. U no de
I ellos re a liz a s u reco rrid o h acia e l o e s te a las 12:00 p.m . a u na velo cid ad d e 4 km /h, m ien tras que e l o tro sa le d e la
* m ism a base a las 12:10 p.m . y c a m in a h a c ia e l e s te a una v elo cid ad d e 6 km /h. ¿ A q u é h ora d e ja n d e com u nicarse
; am bos g u ard ab o sq u es?
1 5 5

174. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
5. U n a lan c h a q u e v iaja a 12 m /s p a sa p o r d e b a jo d e un puente 3 se g u n d o s de sp u é s que u n b o te qu e v iaja a 9 m /s, ¿ d e s ­
pués d e cu án to s m etros la lan c h a a lc a n z a rá a l b o te?
6. D os au to m ó v iles se c ru z a n e n d ire c c ió n opuesta, s i e l prim ero lleva una velo cid ad d e 2 4 m /s y e l se g u n d o u na v e lo ­
c id a d de 26 m/s, ¿ cu á n to s segun dos tran scu rre n cu an d o los a u to m ó v iles e s tá n a 8 00 m u n o d e l otro?
7. U n m o to ciclista persigue a u n au to m ó v il, e l a u to m ó v il lleva una v e lo c id ad d e 80 k m /h y la m o to c icleta 120 km /h. Si
d au to m ó v il le lleva una ve n ta ja de 500 m, ¿ q u é d ista n c ia d e b e reco rrer la m otocicleta para alcan zarlo ?
8. U n a p erso n a q u e v iaja a 3 .6 k m /h p a sa p o r e l p u n to A a las 14:15 p .m .; 18 m in uto s d e sp u é s p a sa un a u to m ó v il por e l
m ism o pu nto a una v elocidad d e 6 8 .4 km /h, ¿ a qué h ora a lc a n z a e l au to m ó v il a la persona?
9. D o s personas s e en c u e n tra n a las 8:34 a.m ., la prim era c a m in a a 1.5 m /s hacia e l o e s te y la se g u n d a c a m in a hacia e l
este a 0 .5 m /s, ¿ a q u é h ora la d istan c ia e n tre ello s es d e 3 60 m ?
10. D os autom ó viles parten e n se n tid o co n trario d e l punto A, e l prim ero parte a las 20:12 p.m . con u na velocidad constante
(fc 4 0 km /h y e l seg u n d o a las 2 0 :1 6 p.m . a una velo cid ad co n stan te d e 30 km /h, ¿ a qué ho ra la d istan c ia entre e llo s
se rá d e 2 6 km ?
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e =
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Problem as de aplicación a la geometría plana
Para lo s sig u ien tes problem as s e tom an e n c u e n ta alg u n o s co nceptos b á sico s d e g eo m etría. A q u í s e pro porcio nan
alg u n as fórm ulas para e l cálcu lo d e p erím etros y áreas.
Figura P erím etro Á re a
R ectángulo P = 2(b + h) A =bh
C uad rad o P = 4 l A = l 2
T riángulo P = l l + l2 + l3
* i «
II
C írcu lo P = 2n i*
II
b = b ase, h = a ltu ra , / = lado, r = rad io
D os á n g u lo s c o m p le m e n ta rio s son a q u e llo s que su m a n 90°, ¿ c u á n to m ide u n á n g u lo s i s u co m p le m e n to e s e l doble
m ás 1 5 o?
S o lu ció n
D atos: Planteam iento:
Á n g u lo : x Á ng u lo + C o m p le m en to = 90°
C o m p le m en to : 2x + 1 5 ° x + ( 2 x + 1 5 ° ) = 90°
Se re s u e lv e la ecuación:
x + 2 x + 1 5 ° = 90°
3 * + 1 5 ° = 90°
3 * = 7 5 °
* = 2 5 °
P o r tan to, e l án g u lo e s d e 2 5 °
1 5 6

175. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
EJ p e rím etro d e u n triá n g u lo isósceles e s d e 4 8 c m . S i e l lado d ifere n te e q u iv ale a - d e la m e d id a d e los lados
iguales, ¿ c u á l e s la m edid a d e los lados d e l triá n g u lo ?
S olución
D atos:
M ed id a d e los lad o s iguales: x
M edida d e l lado diferente: - x
Planteam iento:
P e rím e tro = su m a d e los la d o s = 4 8
* + * + - * = 48
Se resuelve la ecuación:
3x + 3 x + 2 x = 144
8x= 144
* = 18
L o s lados d e l triá n g u lo isósceles so n 18 c m , 18 c m y 12 cm .
E l largo d e u n rectángulo m ide 4 m etros m enos q u e e l c u ád ru p le d e s u a ncho y s u perím etro m ide 32 m etros. ¿C uánto
m ide e l largo?
Solución
4 r - 4
Datos:
A ncho o altu ra: x
L arg o o base: Ax - 4
Perím etro: 3 2 m etros
L a fó rm ula para hallar e l perím etro d e un
rectángulo e s: P = 2(b + h)
Se plan tea la e cu a ció n y s e resuelve:
2[x + (Ax - 4)J = 32
2 [ 5 * - 4 ] = 32
5 x - 4 = 16
5 x = 16 + 4
5 * = 20
x = A
Por tanto , e l largo d e l re ctán g u lo mide:
4 (4 ) - 4 = 1 2 m etros
Si s e a u m e n ta n 8 m etros a los lados d e un c u ad ra d o e l á r e a a u m e n ta e n 144 m 2. ¿ C u á n to m id e e l lado d e l c u ad ra d o
original?
Solución
Datos:
L ado d e l prim er cu ad rad o : x
L ado d e l seg u n d o c u ad ra d o : x + 8
Á re a d e l prim er c u ad ra d o : x 2
Á re a d e l seg u n d o cu ad ra d o : (x + 8)2
□
at+8
L a d ife re n c ia de las á re a s e s igual a 144 m 2, s e plan tea
la e c u a c ió n y s e resuelve:
( x + 8 f - x 2 = 144
x2 + \6x + 6 A -x2 = \AA
16* = 1 4 4 - 6 4
16* = 80
80
16
x = 5
P o r ta n to e l lado d e l cu a d ra d o o rig in a l m ide 5 m etros.
EJERC IC IO 7 2
• Resuelve los sig u ie n te s problem as:
I 1. Si uno d e d o s ángulos co m p le m e n ta rio s m ide 34° m ás q ue e l otro, ¿ c u á n to m ide e l á n g u lo m ayor?
1 2. Dos ángulos so n suplem entarios si su m a n 180°, ¿cuál es la m ed ida d el án g u lo cuyo suplem ento es e l trip le del ángulo?
1 5 7

176. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
3. E l largo d e un re ctán g u lo m ide e l triple d e s u an c h o ; si e l perím etro m ide 9 6 cm , ¿cu á le s so n su s dim en sio n es?
4. E l largo de un re ctán g u lo m ide d ie z m etros m ás q ue e l d o b le d e s u a n c h o y s u perím etro m ide 164 m etros. ¿ C u áles
son su s d im en sio n es?
5 . E l a n c h o de un re ctán g u lo m ide c in c o m etros m enos q ue la c u a rta parte d e s u la rg o y s u p erím etro m ide 8 0 m etros.
¿ C u áles so n su s d im ensiones?
6 . E l perím etro d e u n trián g u lo e sc a le n o m id e 2 3 m etros. S i uno de los lad o s m ide dos m etros m enos q u e e l doble d el
seg u n d o lado y tre s m etros m ás q ue e l terc er lado, ¿ c u á n to m ide c a d a lado?
7 . L a base d e un triá n g u lo m ide 36 c m y s u á r e a 144 c m 2. ¿ C u á n to m ide la altu ra?
8. U n tro z o d e m ad e ra d e 14 c m s e divide e n dos p a rte s, d e ta l m an e ra q u e la lo n g itu d d e u na d e ellas e s las d o s qu intas
partes d e longitud d e la o tra, ¿ c u á l es la longitud d e c a d a parte?
9 . U n a c u e rd a d e 7 5 c m s e divide e n dos partes, d e ta l m anera que la longitud d e u na d e e lla s e s las tr e s quintas partes
tfcl to ta l de la cu erd a.
• S i c o n e l tro z o m ás pequeño s e fo rm a una circu n feren cia, d e te rm in a s u rad io .
• S i c o n e l tro z o de m ay o r longitud se fo rm a un c u ad ra d o , ca lc u la la longitud de u n o de su s lados.
10. Si s e a u m e n tan o c h o m etros a c a d a lado de un cu a d ra d o e l á re a a u m e n ta 160 m2. ¿C u á n to m ide e l lad o del cu ad rad o
original?
11. E l largo d e un rectángulo m ide e l d o b le d e s u ancho. Si s e a um entan c u atro m etros a c a d a lad o e l á re a a u m e n ta 124 m 2.
¿C uáles so n las dim ensiones d el rectángulo original?
12. E l largo de un re ctán g u lo m ide c in c o m etros m enos que e l triple d e s u an ch o . S i s e a u m e n tan 10 m etros a l la rg o e l
á -e a a u m e n ta 6 0 m2. ¿C u áles so n las d im e n sio n e s d e l nuevo rectáng ulo ?
13. L a d ife re n c ia e n tre las á re a s d e dos círc u lo s e s d e 2 09 Ttrn2. S i e l rad io del c írc u lo m ay or m ide once m etros m ás que
d radio d e l c írc u lo m enor, ¿ c u á n to m ide e l rad io d e l c írc u lo m ayor?
14. E l á r e a de un re ctán g u lo e s d e 24w2c o n u n a n c h o d e x. S i e l largo s e a u m e n ta e n 3 y n o c a m b ia e l an ch o , e l á re a
e s u lta n te es d e 3 3u2. D e term in a la s dim ensio nes d el re ctán g u lo inicial.
15. L a b a se d e u n triá n g u lo e x ced e e n dos a s u a ltu ra ; s i la base s e d ism in u y e e n 3 y la a ltu ra s e au m e n ta e n 2, e l á re a del
nuevo triá n g u lo es 3m2 m eno r que e l á re a d e l triá n g u lo original. D eterm in a las dim ensio nes d el triá n g u lo original
16. S e d e s e a m an d ar a d ise ñ a r u n a v e n ta n a N o rm a n d a (form a d e re ctán g u lo b a jo un se m ic írc u lo ). E l a n c h o e s d e tres
m etros, pero la a ltu ra h to d av ía no s e defin e. S i p a ra d ic h a ventana s e utilizan 2 4 m2 d e vidrio, d e te rm in a la altu ra
cfcl re ctán g u lo h.
17. Las dim en sion es d e un rectán g u lo está n e n re la ció n 2:1, s i estas dim en sion es s e au m e n tan e n 3 unidades, e l á re a del
nuevo rectán g u lo ex ced e e n 63w2a l á re a d e l rectán g u lo in icial, ¿c u á l es e l largo d e l re ctán g u lo inicial?
18. E l m arc o de u n a pintura re ctan g u la r m ide 5 c m d e a n c h o y tie n e un á r e a d e 2 3 0 0 c m 2. E l largo d e la pin tu ra m ide 20
cm m enos que e l triple d e s u an ch o . D e term in a las dim ensiones d e la pintura s in m arco.
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Despejes de fórmulas
A l inicio d e l cap ítu lo s e h a b ló de q ue una e c u a c ió n e s un a fórm u la para el c á lc u lo d e a lg u n a m agnitud. E n e s te c a s o
h a b rá fórm ulas que ten g a n m ás d e u na variable que re p resen ten c ie rta s m ag nitudes y d e p e n d e rá c u á l s e q u ie ra c o n o ce r
para hacer e l d esp eje.
Para d esp ejar una variable ba stará c o n ap licar la operación in versa a c a d a m iem bro d e la fórm ula. Si e l térm ino sum a,
se re s ta e l m ism o valor e n am bo s m iem bros, s i m ultiplica, s e div ide, s i es u na p o ten cia s e obtien e una raíz, etcétera.
158

177. C a p í t u l o 6
Ecuaciones d e primer gra d o
E JE M P L O S
---------------------------------------------------
1 • • E n la fó rm u la A = b h , d e sp e ja b.
.1 . Solución
U J
A
A = b h - » — = b
ti
A
P o r lanto, b = —
2 • • - D e s p e j a c d e la fó rm u la a2 = b 2+ c2.
S olución
a 2 = b 2 + c2 - » a 2- b 2 = c 2
'la2 - b 2 = c
P o r co n sig u ien te, c = J a 2 - b 2
3 • • ■ D e s p e ja R\ e n la fórm u la -^- = “ ■ + “ •
R, /c, R 2
S olución
_i_ j
_____i_ _ _ ¡_
+ R2 R, R , ~ R t
RlZ Rl = J _
R, R2 R t
R¿R2 - / ? , ) = l ( / f , / ? 2)
R, ^
F inalm en te, s e ob tien e: R] -
R t - R ,
4 • • Etespeja v d e la fó rm u la E = mgh + ,- ^ ~ .
S olución
. /wv’2 ^ . tnv2
E = m g h+— —> E - m g h = —^~
2 { E - m g h ) = m v2
2 ( E - m g h ) _ v 2
m
2 ( E - m g h ) ^
m
PorIanto, v = ) p £ z p * í
Se div id en am b o s m iem bros e n tre h
S e re sta ¿>2 a am bo s m iem bros
y s e ob tiene la raíz c u a d ra d a
Se re sta — a am bos m iem bros
2
Se resu elv e la frac c ió n
S e m u ltip lic a por /?,(/?, /?,)
S e d iv id e entre
Se re sta mgA
Se m u ltip lic a por 2
S e d iv id e en tre m
Se ob tien e la raíz c u ad ra d a
1 5 9

178. 6 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJEIC IC IO 7 3
Realiza b q u e s e indica e n c a d a caso:
1. D e sp e ja nd e la fórm ula P V = n r i
2. En P = 2 t + 2 a) d e sp e ja i
3. E n y = m x + b d e sp e ja m
a - t r
4. E n 5 =
1 - r
d e sp e ja r
5. D e sp e ja Fd e C = - ( F -3 2 )
6. D e sp e ja r d e A = n r 2
7. D e sp e ja b d e A = ^ h (B + b )
8. E n m = # d e sp e ja .r2
X-, a:,
11. E n u = a + ( n - \ ) d d e sp e ja * /
12. D e sp e ja r de u = ar*'1
13. D e sp e ja P0 d e P = P0ek
14. E n a =
V ' - V *
2d
d e sp e ja VQ
15. D e s p e jam d e F = G ^ f -
16. D e s p e ja / d e M = C ( l + i ) '
17. E n íg a = m ‘ , d e sp e ja m ¡
1+ m 2m¡
18. D e sp e ja x d e y = ax2 + b x + c
9. D e sp e ja /id e la fórm u la ( x - h ) 2 + ( y -A:)2 =
10. D e sp e ja F d e la fó rm u la r = ^ - y ¡ B 2+ C2 - 4 A F
2A
19. E n 1 = 1 - — d e sp e ja p'
f P P'
20. D e sp e ja / d e d = Vt + - a t 2
Y farlfka t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c d ó n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e
1 6 0

179. C a p ítu lo 7
Fu n c ió n u n ea l
F r o n tis Viéte (1540-1603)
E
ntre e l Renacim iento y e l surgim iento de
la matemática moderna (s. XVIl), se d esa­
rrolló un periodo d e transición en e l que
se asentaron las b ases d e d iscip lin as com o el
á lg e b ra , la trig o no m etría, los lo g aritm o s y
el a n á lisis infinitesim al. La figura más importante
d e este periodo fue el francés Frangois Viéte.
C o nsid erad o uno d e las padres del á lg e b ra , desarrolló una notación que
com bina símbolos con abreviaturas y literales. Es lo que se co no ce como
álg eb ra sin co p a d a, p ara distinguirla del álgebra retórica utilizada en la
antigüedad y e l álg eb ra sim bólica que se usa en la actu alid ad .
Uno d e sus hallazg o s más importantes fue establecer claram ente la distin­
ción entre va ria b le y parámetro, lo que le permitió plantear fam ilias enteras
d e ecuacio nes con una sola expresión y a sí ab o rd ar la resolución d e e cu a ­
ciones con un alto grad o d e g eneralid ad , en lo que se entendió com o una
aritm ética g en eralizad a.
Fran?ois V iéte (1540-1603)
HISTÓRICA

180. 7 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Plano cartesiano
E l plano c a rte sia n o s e form a c o n dos re c ta s p erp en d icu lares, cu y o p unto d e in tersecció n s e d e n o m in a orig en . L a re c ta
h o riz o n ta l re c ib e e l no m b re d e e je X o e je d e las a b s c is a s y la re c ta v e rtic a l recib e e l n o m b re d e e je y o e je d e las
ord enadas.
E l plano c a rte sia n o s e d iv id e e n c u a tro regiones llam adas “c u ad ra n te s" . A c a d a p unto P s e le a s ig n a un p a r o rd e ­
nado o c o o rd e n a d a P (x, y).
+ E je F
++
E je X
I I i
' ■ 1 1 1
m
* * » » *
0
I V
Localización de puntos
Para lo ca liz ar un pu nto P (x y ) e n e l plano c a rte sia n o s e to m a c o m o re feren cia e l o rigen , s e a v a n z a ta n to c o m o lo indica
e l prim er núm ero (a b scisa) hacia la d e re c h a o izquierda, se g ú n s e a s u sig n o , d e e s e punto se av an za hacia a rrib a o hacia
abajo, ta n to c o m o lo in d ica e l se g u n d o núm ero (o rd en a d a ) segú n s e a s u signo.
Ejem plo
G ráfica los puntos: ( - 5, 4 ), (3 , 2 ), ( - 2 , 0 ), ( - 1, - 3), (0 , - 4 ) y (5 , - 1) e n e l plano cartesia n o .
( - 5 , 4)
t - -
( - 2 , 0 )
( - 1 , - 3 )
(3, 2)
‘ ” T
( 0 , - 4 )
( 5 , - 1 )
EJERC IC IO 7 4
Localiza e n el p lan o c a rte sia n o y une b s puntos:
1. A (3, - 1) y fl(4 , 3)
2. A(0, 2 ) y B(3, 0)
3. A ( - 1 ,2 ), B(4, 5 ) y C (2, - 3)
4. A(0, 5 ), B(2, l ) y C ( - 3 , - 4 )
5. A (l, 3 ), B ( - 2, 1), C (2, - 3 ) y D (4, 2 )
Vb rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
162

181. C a p í t u l o 7
Función linea!
Función
E s la relación q u e existe entre dos conjuntos, de m anera q ue a los elem entos d e x les corresponde a lo m ás un elem ento d e y
Se d e n o ta por:
y = m
Se lee , y es igual a f d c x
donde: x: variable independiente
y: variable dependiente
/ ( * ) : regla d e co rre sp o n d e n c ia
Constante
Es la función q u e aso c ia un m ism o v alor a c a d a valor d e la variable independiente
y = k
L a rep resen tació n g rá fic a es una lín e a re cta paralela a l e je X, so b re la o rd e n a d a k
Ejemplo
G ráfica la fu n ció n y = 3
Solución
Se tra z a un a re cta p a ralela a l e je X, so b re la o rd e n a d a 3
Y
3 y = 3
Ecuación x = k
U na e c u a c ió n de la fo rm a x = k n o e s u na fu nción. L a re p re se n tac ió n g ráfica d e e s ta ec u a c ió n e s una re cta p a ralela
al e je Y que pasa por e l valor d e la a b sc is a k
Ejemplo
R ep resenta e n u na g ráfica la e c u a c ió nx =2
Solución
Se tra z a un a re cta p a ralela a l e je Y, q ue pasa so b re la a b s c is a 2
Y,
x = 2
1 6 3

182. 7 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
Lineal
L a función d e la form a y = m x + b se lla m a lineal, d o n d e los parám etros rn, b re p resen tan la pendiente y o rd e n a d a a l
origen, resp ectivam ente.
Ejemplos
S ean las funciones lineales:
1. y = 5x + 2 e n do n de: m = 5 ,b = 2
2. y = - 4 x + —
3. y = - x - l
4. y = - - x
5. y = 4
e n donde:
e n donde:
e n donde:
e n donde:
e n donde:
m = - 4 , b = —
m = - , b = - l
m = - - , b = 0
m = 0 ,b = 4
L a p e n d ie n te in d ic a e l n ú m e ro d e u n id a d e s q u e
in c re m e n ta o d is m in u y e y , c u a n d o x a u m e n ta . L a
o rd e n a d a a l o rig en es la d ista n c ia d e l o rig en a l punto
(0 , b \ e ste pu nto se e n cu e n tra so b re e l e je Y, y e s la
in tersecció n c o n la recta.
D onde:
A x = x2- x t
Ay= y2-y ,
D ados dos puntos d e la recta, la p endiente s e obtiene c o n la fórm ula:
A x x 2-x ¡
E JE M P L O S
• • ¿ C u á l e s e l v alor d e la pendiente d e la re cta que pasa p o r los puntos A ( - 1, 3 ) y fi(3 , 6)?
I . S o lu ció n
u
Sea:
A ( - 1 ,3 ) = ( x „ y ,), e n to n c es x, = - 1, y , = 3
B(3, 6 ) = (x2, y2), e n to n c e s x ? = 3 , y ? = 6
E sto s valores s e su stitu y en e n la fórm ula:
m=
_ y2 - y , _ 6 - 3 _ 6 - 3 _ 3
X.-A:, 3—( —1) 3+1 4
P o r tanto, e l valor de la pendiente e s -
4
1 6 4

183. 2 • • • ¿C uál es e l valo r d e la pendiente d e la re cta que p a sa por los puntos P { - 2, 1) y (2(2, - 4)?
S olución
Sea:
P {- 2, 1) = (* „ e n to n c e s x , = - 2 , y , = 1
(2(2, - 4 ) = (xp y2), e n to n c e s * 2 = 2, y2 = - 4
E stos v alores s e su stitu y en en la fórm ula:
- 4 " 1 5
x 2- x t 2 —( —2 ) 2 + 2 4 4
P o r co n sig u ien te, e l valor d e la pendiente e s
____________________________________________________________________________________________________________________C a p i t u l o 7
Función linea!
G eneralid ad es
O S i m > 0 , la función es c rec ie n te, e s decir, c u a n d o * au m e n ta, tam b ién lo h ace y.
O S i m < 0 , la función e s de cre cie n te , e s decir, c u a n d o x au m e n ta, y dism inuye.
X
O S i m = 0 , se tie n e u na función constan te.
1 6 5

184. 7 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
EJE LC IC IO 7 5
Determ ina la p end ien te d e la recta q u e p asa p o r b s puntos:
1. A ( - 2 ,4 ) y f í( 6 ,1 2 )
2. M ( l , 5 ) y f í ( 2 , - 7 )
3. t f ( - 4 , - 2 ) y f í ( 5 , 6 )
Vsrifica tu s resultados e n la sec d ó n de soluciones correspondiente
G r á f ic a
f ó r a g ra fic a r una función lineal s e lleva a c a b o lo siguiente:
I . Se lo ca liz a la o rd e n a d a a l o rig en, e s decir, e l punto (0, b).
I I . A partir de e s te punto s e lo c a liz a o tro a l to m ar a la pendiente c o m o e l increm ento o d e cre m e n to vertical so b re e l
increm en to horizontal.
E JE M P L O S
■%_ 1 • • G ráfica la función y= | * + 4.
.1 . S o lu ció n
i u
L a pendiente y o rd e n a d a a l orig en d e la función:
2
y = - x+ 4
2 2 increm ento vertical
m = - => —
---------------------;---------
3 3 in cre m e n to horizontal
b = 4 que re p re se n ta e l pu nto (0, 4).
2 T raz a la g ráfica d e la fu n ció n y = - - x + 2.
S o lu ció n
L a pendiente y o rd e n a d a a l orig en d e la función:
y = ~ 5
4 - 4
rn = — = —
5 5
- 4 d e cre m e n to vertical
5 in cre m e n to horizontal
b = 2 que re p re se n ta e l pu nto (0 , 2 ).
G ráfica d e la función
G ráfica d e la fu n ció n
1 6 6

185. C a p í t u l o 7
Función linea!
3 • • ■ 'D a z a la g ráfica de la fu n c ió n y = - 5 * - 3 .
S olución
L a p endiente y o rd e n a d a a l orig en d e la función:
y = - 5 x - 3
m = -5 = ^
- 5 d ecrem ento vertical
1 1 in cre m e n to horizontal
b = - 3 qu e re p re se n ta e l punto (0 , - 3).
G ráfica d e la función
O tra form a d e g ra fic ar u na fu n ció n lineal e s d a r v alores d e x, p a ra o b te n e r los respectivos v alores d e y, c o n e s to s d o s
valores s e fo rm an puntos coo rd en ad o s. A e ste p ro ced im ien to s e le lla m a tabulación.
Ejemplo
T raza la g ráfica de la fu n ció n y = 2x - 3.
S olución
Se c o n stru y e una ta b la c o n valo res arb itrario s e n x,
para o b te n e r los valores re sp e c tiv o s d e y.
X y =2* - 3 ( x , y )
- 2y = 2(~ 2) - 3 = - 7 ( - 2 , - 7 )
- 1y = T ír 1) - 3 = - 5 ( - 1 , - 5 )
0y = 2(0) - 3 = - 3 ( 0 , - 3 )
1y =2( i ) - 3 = -1 0, -1)
2y—2(2) - 3 = 1 (2,1)
G ráfica d e la función
EJE IC IC IO 7 6
G ráfica la s sig u ie n te s funciones y ecu acio n es:
—
11
1
(O 6.
-5
11
2 . y = n 7.
1
3. x= 4 8.
1 5
* = 2 * - 2
9.
y = r + 3
5 . y = 2 * + 5 10.
y = ~ * + 3
V e r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d a s o l u c i o n a s c o r r e s p o n d i e n t e 1
1 6 7

186. 7 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
Familia de rectas
Se h a visto la función y = m x + b c o n valo res c o n stan tes p a ra m y b . en e ste te m a a n aliza rem o s qué p a sa cu an d o s e fija
un o de los dos valores y e l o tro s e d e ja libre. E ste tip o de funciones re cib en e l nom bre de familia de rectas.
Ejemplos
1. y = 3x + b 2. y = - x + b 3. y = m x - l 4. y = m x + 6
E JE M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------•
• • G ráfica u na fa m ilia d e rectas d e la fu n ció n y = m x + 2.
S o lu ció n
L a función y = m x + 2 rep resenta to d as las rectas que tien en o rd e n a d a a l origen
2, e s decir, to d as las rectas que intersecan a l e je Y e n e l punto (0, 2 ).
S e grafican alg u n as d e las rectas, c o n algunos valores p a ra rn:
S i m = 2 , entonces s e tiene la re c ta y = 2 x + 2
S i m = - 2, en to n c es s e tie n e la re cta y = - 2 x + 2
S i m = 0 , entonces s e tiene la re c ta y = 2
2 • • G ráfica u na fa m ilia d e rectas d e la e c u a c ió n y = x + b.
S o lu ció n
L a función y = x + b re p re se n ta to d as las rectas que tien en pendiente 1
Se grafican alg u n as d e estas rectas, c o n algunos valores p a ra b:
S ib = - 2 , se tie n e la re c ta y = x - 2
S ib = -1, se tie n e la r e c ta y = x - 1
S i b = 0, s e tie n e la re cta y = x
S i b = 1, s e tie n e la re cta y = x + 1
Si¿> = 2, s e tie n e la re cta y = * + 2
G ráfica
EJE ÍC IC IO 7 7
G ráfica una fam ilia d e rectas para ca d a función:
1. y = m x + 4
2. y = m x - 3
3. y = m x + l
4. y = 2x + b
5. y = - x + b
6.
y = ^ x + b
V fcrifica t u * r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e * c o r r e s p o n d i e n t e
168

187. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
Si ten em o s dos variables * , y qu e c u m p le n la e c u a c ió n y = m x + b do n d e m , b s R, s e d ic e qu e dich as v ariab les s e
relacionan linealm ente.
Para lo a n te rio r e x is te n problem as d e la v ida real que s e pu ed en re p re se n tar c o n u n m odelo lineal y a s í d a r un
valor e stim a d o de la v a ria b le y para un c ie rto valo r d e la variable x.
Ejemplos
1. E l sa la rio s q u e recib e un e m p le ad o por tr a b a ja r * horas
2 . E l d e sg a ste d d e un a rtíc u lo q u e s e h a u sa d o t m eses
C inco m etros de te la tie n e n un c o sto de $300, e n c u e n tra un m odelo lin e a l para e l c o sto y d e te rm in a ¿ cu á n to c u e sta n
25m ? y ¿ cu á n to s m etros d e te la s e pu ed en co m p rar c o n $ 1 8 0 0 0 ?
S olución
Sean:
* : m etros d e te la
y: c o sto por m etro de te la
E l c o s to y d e * m etros d e te la s e re la c io n a c o n la fu n ció n y = m x + b
S i s e venden c e r o m etro s d e te la (* = 0 ), e l co sto e s c e ro pesos ( y = 0), e n to nces, a l su stitu ir estos v a lo re s en
la fu n ció n y = m x + b, s e tie n e que:
0 = m(0) + b - > b = 0
De ta l m anera que la función q u e d a de la fo rm a siguiente:
y = mx
S i * = 5 , e n to n c e s y = 300, q u e so n los d ato s iniciales d e l problem a, c o n ello s s e e n c u e n tra e l v alor d e la pen­
diente, cu an d o se su stitu y e n e n y = mx.
y = mx
300
3 00 = m (5 ) —> m = - j - = 6 0 -> m = 6 0
Por tanto, e l m od elo lineal es:
y = 60x
Se q u iere co n o ce r e l c o sto d e 2 5 m etro s de tela.
y = 60*
y = 6 0 (2 5 ) = 1500
Por co n sig u ien te, 2 5 m d e te la tie n e n un c o sto d e $1500
F inalm en te, s e d e se a sa b e r c u á n to s m etros d e te la s e pu ed en co m p ra r c o n $ 1 8 0 00
y = 60*
18 0 0 0 = 6 ü r
1 8 0 0 0
= *
60
3 00 = *
C o n $ 18 0 0 0 s e pueden co m p ra r 300 m etros d e tela.
___________________________________________________________________________________________________________________C a p i t u l o 7
Función linea!
1 6 9

188. 7 C a p í t u l o
Ál g e b r a
2 E l d e lfín m ular m ide 1.5 m etros a l na ce r y p e sa a lre d e d o r d e 30 kilog ram os. L o s delfines jó v e n e s s o n am am an tado s
d u ra n te 15 m eses, a l final d e d ich o periodo esto s c e tá c e o s m iden 2 .7 m etros y pesan 3 7 5 k ilo g ram o s.
S ea L y P la longitud e n m etros y e l p eso e n kilogram os, respectivam ente, p a ra un d e lfín m u lar d e i m eses.
a ) S i la re la ció n en tre L y t e s lineal, e x p re sa L e n térm inos d e f.
b ) ¿ C u á l e s e l au m e n to d ia rio d e la lo n g itu d para u n d e lfín joven?
c) E x presa P e n térm in o s d e f, s i P y f e stá n relacionados linealm ente.
d) ¿ C u á l e s e l peso de un d e lfín de c in c o m eses d e edad ?
S o lu ció n
a ) S i la re la ció n e n tre L y te s lineal, e x p re sa Le n térm in os d e f.
L = m t + b
C u a n d o e l d e lfín e s re cién n a c id o / = 0 y L = 1.5, a l su s titu ir e s to s v a lo re s e n la fu n c ió n a n te r io r s e tie n e que
b = 1.5 y e l m odelo q u e d a d e la siguien te form a:
3
L = mt + 1.5 - > L = mt + -
2
C u a n d o / = 15, L = 2 .7 , estos valores s e su stitu y en e n e l m odelo an te rio r p a ra d eterm inar la pendiente.
L = m i+ -
2 6
2.7 = m(15) + | —» 2 . 7 - 1 = 1 5 m -> ^ = 15m -» f s = m
P or tanto , la lo n g itu d Le n fu n ció n d e l tie m p o f e s :
b ) ¿ C u á l e s e l au m e n to d ia rio d e la lo n g itu d para u n d e lfín jo v e n ? ^
E n la fu n ció n lin e a l L, la parte que in d ica e l au m e n to e n la longitud d e l d e lfín e s: — f, por co n sig u ien te, s e divide
/ e n tre 30 y s e su stitu y e / = 1
J _ =_1_
30 30
E ntonces:
— f = — í — ) = — = — = 0.00267
2 5 2 5 \ 3 0 y 7 5 0 37 5
L uego, e l au m e n to d ia rio en la lo n g itu d de un d e lfín e s d e 0 .0 0 2 6 7 m.
c ) E xpresa P e n té rm in o s d e /, s i P y / e stá n relacionados linealm ente.
Se re p re se n ta e l p eso P e n función d e l tie m p o / c o n la función:
P = mt + b
C u a n d o e l d e lfín es neon ato s u p eso e s de 3 0 kilo gram os, e s decir,
/ = 0 y P = 30
A l su stitu ir esto s valores e n la fu n ció n a n te rio r s e o b tie n e e l v alor d e b,
P = nu + b
3 0 = m (0 ) + b b = 30
1 7 0

189. C a p í t u l o 7
Función linea!
E l m odelo m ate m á tic o para un d e lfín re c ié n n acido es:
P = m t + 3 0
L u ego, a los 15 m eses un d e lfín p e sa 375 kg, entonces:
S i t = 15 y P = 375, s e tie n e que:
P = m t + 3 0
345
3 7 5 = m ( 1 5 ) + 3 0 - > 3 7 5 - 3 0 = 1 5 m —> 3 4 5 = 1 5 m - > — = m - > m = 23
Por co n sig u ien te, e l p e so P e n térm in o s d e / s e ex p resa c o n e l m odelo:
P = 2 3 / + 3 0
d ) ¿ C u á l e s e l p eso d e un d e lfín de c in c o m eses d e ed a d ?
Para o b te n e r e l p eso P d e un d e lfín de 5 m eses d e e d ad , s e sustituy e / = 5 e n e l m odelo anterior:
P = 2 3 / + 3 0
P = 2 3 (5 ) + 30
P = 115 + 30
P = 145
P o r tanto, e l p eso d e un d e lfín d e c in c o m eses d e e d a d e s d e 145 kilog ram os.
EJE ÍC IC IO 7 8
Resuelve los sig u ien tes problem as:
1. U n ho m b re re c ib e $ 1 2 0 por 3 horas d e trab a jo . E x p resa e l su e ld o 5 (e n p e so s) e n térm in os d e l tie m p o / (horas).
2. U n b e b é pesa 3.5 k g a l nacer y 3 añ o s después a lc a n z a 10.5 kg. Supongam os q u e e l peso P (en kg) en la infancia e stá
relacionado linealm ente con la ed ad / (en años).
o) E x p re s a P e n térm in o s d e /.
b) ¿ C u á n to pesará e l niño cu an d o c u m p la 9 años?
c ) ¿ A q u é e d a d p e sa rá 2 8 kg?
3. L a c a n tid a d d e c a lo r C (e n calo ría s), re q u erid a para c o n v ertir u n g ra m o d e a g u a e n vapor, s e re la c io n a linealm ente
con la te m p e ra tu ra T( e n °F ) de la atm ó sfe ra. A 5 0 °F e s ta c o n v ersió n re q u ie re 592 c a lo ría s y c a d a a u m e n to de 15°F
au m en ta 9 .5 c a lo ría s la c a n tid a d d e calor. E x p re s a C e n térm in o s d e T.
4. E l d u e ñ o d e una fra n q u ic ia d e a g u a e m b o te llad a d e b e p a g ar $ 5 0 0 p o r m es, m ás 5% d e los ingresos m ensuales (I) por
c o n ce p to de uso d e la m arc a. Los c o sto s d e o p e rac ió n d e la fra n q u ic ia in clu y e n u n p a g o fijo d e $ 1 3 0 0 p o r m es de
se rv icio s y m ano d e obra. A d em ás, e l c o sto para e m b o te llar y d istrib u ir e l a g u a co m p re n d e 5 0 % de los ingresos.
a) D e term in a los gastos m ensuales G e n térm in o s d e /.
b) E x p resa la utilidad m en su al U e n térm inos d e / (utilidad = ingreso - co sto )
c) In d ic a e l ingreso m ensual n e ce sa rio para que no h a y a pérd id a ni g an an cia.
5. L a relación en tre las lecturas d e tem p e ra tu ra en las esc alas F ahrenheit y C e lsiu s, e s tá d a d a por: °C = í ( ° F - 3 2 )
á) E n cu e n tra la tem p e ra tu ra e n que la le c tu ra es la m ism a e n am b a s e sc alas.
b) ¿ E n qué valo r d e b e e sta r la lectu ra e n grado s F a h re n h eit p a ra que s e a e l doble de la lectu ra e n grados C e lsiu s?
V i t r i f i c a t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c c l ó n d a s o l u c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t a
171

191. Ca p ít u lo 8
Sis t e m a s de e c u a c io n e s
HISTÓRICA
(D
c
8
£
rM
G abriel C ram er
alem álico suizo nacido en Ginebra
en e l a ñ o 1 7 0 4 , quien fa lle ció en
Bagnols-sur-Céze, F ra n c ia , 1 7 5 2 .
Fue catedrático de matemáticas (1 7 2 4 -1 7 2 7 )
y de filosofía (1 7 5 0 -1 7 5 2 ) en la Universidad de G inebra. En 1 7 5 0 expu­
so en su obra Introducción al análisis d e las curvas a lgebraicas la teoría
newtoniana referente a las curvas alg eb raicas, clasificándo las según el
grado de la ecuación. Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leíbniz
y a había utilizado al final del siglo xvn para resolver sistemas de ecuaciones
lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de
la correspondencia de Leibniz.
G abriel C ra m e r (1704-1752)

192. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
Ecuación lineal
U na e c u a c ió n de la form a A x + B y + C = 0, d o n d e A, B y C son c o n sta n te s re a le s ta le s q u e A y B no son cero , recib e
e l nom bre d e lineal.
Ejem p lo s
1. 2x - 3 y - 4 = 0 , e s u na e c u a c ió n lineal c o n : A = 2, f l = - 3 y C = - 4
2. - 5x + Ay = 0 , e s u na e c u a c ió n lineal c o n : A = - 5 , B = 4 y C = 0
3. x + 2 = 0 , e s una e c u a c ió n lin e a l con: A = 1, B = 0 y C = 2
4. 2y - 3 = 0, e s u na e cu a ció n lin e a l c o n : ^ = 0, f i = 2 y C = - 3
U na e cu a ció n que se p ued e esc rib ir de la fo rm a A x + B y + C = 0 tam bién e s lineal.
Ejem p lo s
1. D a d a la e c u a c ió n 2x = 5 y - 6 , tam b ién se puede e sc rib ir d e la form a: 2 x - 5y + 6 = 0
2. Para que la e c u a c ió n - x - —y = 2 te n g a la form a A x + B y + C = 0, s e elim in a n lo s d en o m in ad o res a l m ultiplicar
2 4
por 4 c a d a térm in o de la igualdad:
4 ( f * —1 , ) - 4 ( 2 )
A l re a liz a r la s o p e rac io n e s se tran sfo rm a e n 1 Qx - 3 y = 8, finalm ente:
10* - 3y - 8 = 0
3. L a e c u a c ió n x - y ) - 3 y = 4 x +1, s e puede e sc rib ir d e la form a: Ax+ B y + C =0, a l realizar e l p rod ucto indicado,
e lim in a r d en o m in ad o res y sim plificar:
^ ( * - y ) - 3 y = 4 * + l
^ x - ^ y - 3 y = 4 x + l
2U * ' F - 3^ =2(4* + i)
x - y - 6 y = S x + 2
x - y - 6 y - S x - 2 = 0
Por tanto, la e c u a c ió n se tran sfo rm a e n : - I x - l y - 2 = 0
4. L a e c u a c ió n y = - ^ x - 2 a l m u ltip lic arla p o r 3 s e ob tiene 3y = 5 x - 6, p o r c o n sig u ie n te se puede e sc rib ir co m o :
5* - 3 y - 6 = 0
So lució n d e una e cu a c ió n lineal
U na e c u a c ió n lineal tie n e c o m o co n ju n to so lu ció n todos los p ares o rd e n a d o s {x, y), que satisfacen la e c u a ció n , donde
* y y son núm ero s reales.
174

193. Ejem plosC
Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
iM P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • • \fe rific a si lo s p ares o rd e n ad o s ( 1 , - 4 ) , ^ 2, - í ^ j , j , son so lu cio n es d e la ecu a ció n : I r - 3y-
S o lu c ió n
Se sustituye c a d a p a r o rd e n ad o e n la ecuación:
Ú P ara ( 1 , - 4 )
2 x - 3 y - 1 4 = 0
2 ( 1 )— 3 ( —4 ) —14 = 0
2 + 1 2 - 1 4 = 0
0=0
Por tanto, e l p a r o rd e n ad o (1 , - 4 ), e s solución.
Ú P a ra ( 2 -“ y ]
2 r - 3 y - 1 4 = 0
2(2)_3(’y)",4=0
4 + 1 0 - 1 4 = 0
0=0
Por co n sig u ien te, e l p a r o rd e n a d o ^ 2 , - ^ j es so lu c ió n ,
ú P ara
2 x - 3 y -1 4 = 0
1 + —- 1 4 = 0
4
E ntonces, e l p a r o rd e n a d o j no e s solu ción .
2 • • Vferificasi e l punto ( - 2 , 1), e s solución d e la e c u a c ió n Ar+ | = ^ (y~ * ) “ 5
S o lu c ió n
Se sustituye e l p unto e n la ecuación :
- 2 + | = | [ . - ( - 2 ) ] - 5
- 2 + | = | [ l +2 ]-S
1 4 = 0 .
(continúa)
175

194. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
- 2 * f - f ( 3 ) - 5
- 2 + i = ’ - S
2 2
I
2_ 2
P or co n sig u ie n te ( - 2 , 1), e s solución de la ecu ació n .
EJERC IC IO 7 9
1. V erifica si los p ares o rd e n a d o s ( 2 , - 3 ) , ( 7 ,0 ) y (1 ,5 ) so n solución d e la ecu a ció n : 3 * - 5 y - 2 1 = 0 .
2. V erifica si los p u n to s ( ^ ’j ) y son ^ ^ ‘ó n d e la ecu a ció n : 2 * + 4 y + 2 = 0 .
3. \fe rific a si los p ares o rd e n a d o s ( 3 , - 4 ) , ( - 3 , - 1 2 ) y ^ , 2j s o n so lu c ió n d e la e c u a c ió n : ~^x = ^ y + 4 -
4. V erifica si e l p unto e s so lución d e la ecu a ció n : 2 ( x - y ) - l = ^ ( x - Ú ) - y .
5. V erifica si e l p unto ^ so lu ció n d e la e c u a c ió n : i ( x + 2 y ) + ^ y = ^ ( x + l ) - i - j * .
Ü \ferifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente :
G rá fic a
L a g rá fic a d e u n a e c u a c ió n lin e a l A x + B y + C = 0, e s u n a re c ta q u e fo rm a n lo s p u n to s de su c o n ju n to so lu c ió n :
{ (x ,y )\A x + B y + C = 0 } .
EJEMPLOS
------------------------------------------------------------------------------------•
o
o. 1 • • ¿ C u á l e s la gráfica d e la e c u a c ió n 2x - 3y + 7 = O?
.22, S o lu c i ó n
UJ
P ara o b te n e r la gráfica, b a sta c o n c o n o c e r d o s puntos d e la recta, p a ra lo c u a l s e su stitu y en d o s v a lo re s arb itrario s para
x o y e n la ecu ació n , y c o n esto se o b tie n e n lo s d o s p untos qu e s e requieren.
S e a x = - 2, s e sustitu ye y se d e sp e ja y : S e a x = 1, s e su stitu y e y s e d e sp e ja y
2 * - 3 y + 7 = 0 2 x - 3 y + 7 = 0
2 ( - 2 ) - 3 y + 7 = 0 2 ( l ) - 3 y + 7 = 0
- 4 - 3 y + 7 = 0 2 - 3 y + 7 = 0
3 - 3 y = 0 9 - 3y= 0
- 3 y = - 3 - 3 y = - 9
- 3 - 9
y = \ y= 3
P or tanto, e l p unto e s ( - 2 ,1 ) Por co n sig u ien te, e l p unto e s (1 ,3 )
1 7 6

195. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
Por últim o, s e lo calizan los pun tos e n e l plano y se tra z a u na re cta so b re ellos.
Gráfica
Y
X
O tra form a d e gra fic ar A x + B y + C = 0, e s tran sfo rm a rla a la fo rm a y = m x + b y a p lic a r a lg u n o s d e los m éto d o s vistos
e n e l ca p ítu lo 7.
Ejem plo
G ráfica la e c u a c ió n 3x - A y - 12 = 0.
S o lu c ió n
Se d e sp e ja y e n la e c u a c ió n para ex p resa rla a la fo rm a y = m x + b
3 x - A y - \ 2 = 0
- A y = - 3 x + \2
- 3 x + \ 2
y=— i—
Y
G ráfica
E J E R C IC IO 8 0
Gráfica las sig u ie n te s ecuacio nes:
1. x + y - 3 = 0
2 . x - y + 2 = 0
3. 3 x - 2 y + 6 = 0
6. 2 x + 7 y= 0
7. - 3 x + 5 y - 1 0 = 0
8. S x = 2 y - 4
4. 4 j c + 3 y - 1 2 = 0
5. 3 x - A y = 0
U Orifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
177

196. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
S e h a visto que e l co n ju n to so lu c ió n d e la e c u a c ió n A x + B y + C =0, son todos los p a re s o rd e n a d o s (x y) q ue satisfacen
la ecu ació n .
E n un siste m a d e d o s e c u a c io n e s c o n d o s va ria b le s, q ue tiene la form a:
í aix + b ly = cl
[ a2x+ b 2y = c2
El c o n ju n to so lu c ió n lo form an todos los p ares o rd e n ad o s que satisfacen am bas ecuaciones, e s decir:
{ ( ^ ) | a ^ + ¿ > i y = C | } n { ( x , )y ) |f l 2x + V = C 2 }
C a d a e cu a ció n re p re se n ta una re cta e n e l plano, e nton ces, se pu ed en p resen tar tres caso s:
I. L as re c ta s se in tersec an en u n pu n to . L a s re c ta s só lo co in c id en e n un punto, por tanto, s e d ic e que e l siste m a
tiene una solución.
Ejem p lo
G ráfica y d e te rm in a la so lu c ió n d e l siguiente sistem a:
í x + 2 y = 4
\ 3 x - y = 5
S o lu c i ó n
S e gráfica c a d a una de las ec u a c io n e s a p a rtir d e encon trar la s interseccion es c o n los e je s XY.
x + 2y = 4 3 * -
y = $
S e a * = 0 S e a y = 0 S ea at = 0 S ea >^ = 0
x + 2 y = 4 x + 2 y = 4 3 x - y = 5 3 x - y = 5
( 0 )+ 2 y = 4
4 „
x + 2 ( 0 ) = 4 3 ( 0 ) - y = 5 3 x - ( 0 ) = 5
5
y m r 2
x = 4
y = - 5
" = J
L a in tersecció n con L a in tersecció n con L a in tersecció n c o n L a in tersecció n c o n e l
e l e je .y e s: ( 0 , 2 ) e l e je Ares: ( 4 ,0 ) d e j e .y e s: ( 0 , - 5 )
* CX ( f * ° )
G ráfica
L a so lu ció n e s e l punto d o n d e se intersecan las rectas, e n e s te c a s o (2 , 1)
1 7 8

197. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
II. L as rectas son coincidentes. D o s ec u a c io n e s re p resen tan re c ta s co in c id en tes si a l m ultip licar u na d e e lla s por un
núm ero re a l k, s e ob tien e la otra.
En un s iste m a d e re c ta s c o in c id e n te s e l c o n ju n to so lu c ió n e s infinito, e s d e c ir, e l c o n ju n to so lu c ió n so n to d o s lo s
puntos d e la s rectas.
Ejem plo
G ráfica y d e te rm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e l siguiente sistem a:
¡ x - 2 y = 6
\ 3 x - 6 y = \ S
S o lu c ió n
Se g ráfica c a d a recta.
x -2y = 6 3 * - 6y= 18
S e a * = 0 S e a y = 0 S e a * = 0 S e a y = 0
x - 2 y = 6 x--2y= 6 3 r - 6 y = 1 8 3 * - 6 y = 1 8
( 0 ) - 2 y = 6 x - 20 ) = 6 3 ( 0 ) - 6 y = 1 8 3 x - 6 ( 0 ) = 1 8
„ 6 ^
18 18
^ = - 3 * = 6
X = T
y= - 3 x = 6
E l punto e s: ( 0 , - 3 ) E l punto es: ( 6 , 0 ) E l punto e s: ( 0 , - 3 ) E l punto e s: ( 6 , 0 )
Se o b serv a q u e las in terseccio nes d e las rectas c o n los e je s, s o n los m ism os puntos.
G ráfica
L as r e c ta s co in c id e n e n to d o s s u s p u n to s, p o r ta n to , e l siste m a tiene un c o n ju n to infin ito d e so lu c io n e s.
Se o b serv a q u e si m u ltip licam o s la ec u a c ió n x - 2y = 6 , por 3, s e ob tiene la o tra ecu ació n .
n i . L as re c ta s son p aralelas. E n e s te caso , la s re c ta s no tien en n in g ú n punto e n c o m ú n , p o r tanto, e l siste m a no
tiene solución.
Ejem plo
G ráfica y d e te rm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e l sig u ien te sistem a:
¡ 2 x - y = 4
\ 4 x - 2 y = - \ 2
1 7 9

198. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
S o lu c i ó n
Se grafican la s recias.
2 c -- y = 4 4 c -2 y = - 12
S e a x = 0 S e a y = 0 S ea x = 0 S e a y = 0
T
II
1
a
2 x - y = 4 4 x - 2 y = - 1 2 4 x - 2 y = - 12
2 ( 0 ) - y = 4 2 x - ( 0) =4 4 ( 0 )~ 2 y = - 1 2 4jc— 2 ( 0 ) = —12
4 „ - 1 2 - 1 2
y = - 4
x m V 2 4
x = 2 y = 6 x = - 3
E l pu nto e s: ( 0 , - 4 ) E l punto e s: ( 2 , 0 ) El p u n to e s: ( 0 , 6 ) E l p unto e s: ( - 3 , 0 )
Se lo calizan los p un tos d e in tersecció n y s e grafican las rectas.
G ráfica
A l g ra fic a r la s re c ta s se o b se rv a que son p a ralela s, e s d e c ir, n o h a y u n p unto c o m ú n , p o r co n sig u ie n te no hay
so lución, e n to n c e s s e d ic e q u e e l co n ju n to so lu c ió n e s v a cío .
ÍC IC IO 81
Gráfica y determ ina e l co n ju n to so lu ció n d e los sig u ie n te s sistem as:
!x + y = 2 [ x - 5 y = \ 0 ¡ 3 x - 2 y = - 2
■ \ x - y = 6 [ 3 x - 1 5 y = - 1 5 [ 4 x + y = \
í2 x - 3 y = 6 [ x + 2 y = 3 [ \0 x + 6 y = 4
‘ 1 6 x - 9 y = 1 8 ' [ 5 x - 3 y = - l 1 \ 5 x+ 3y= 2
| Vferifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
7 [2 x + y = 5
[ 6 x + 3 y = - 9
Í2 x + 3 y= 5
• |5 x + 4 y= 2
M étodos d e so lució n
H a sta a h o ra se h a visto c ó m o re so lv er de fo rm a g ráfica u n siste m a d e e c u a c io n e s c o n d o s variab les, sin em b arg o , este
m éto d o e n alg u n as o c asio n e s puede ser poco preciso , por lo qu e e x iste n proced im ientos a lg e b raic o s y que a d e m á s de
ser p ráctico s re su lta n exactos.
1 8 0

199. Ejem plos!!]
Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
Reducción (suma y resta)
Este m éto d o c o n siste e n m ultiplicar las ec u a c io n e s d a d a s por algún núm ero, d e ta l form a que a l sum ar las e c u a c io n e s
e q u iv a len tes q ue resu ltan, u n a d e las v a ria b le s se elim in a p a ra obten er una e c u a c ió n c o n u na incó gnita, y a l reso lv erla
* d e te rm in a s u valor, para posteriorm en te su stitu irla e n alg u n a d e las ec u a c io n e s o rig in a les y a s í obten er e l v alor d e
la o tra incógnita.
MPLOS
1 # • R esuelve e l sigu iente siste m a d e ecu a cio n e s:
Í 2 * + 5 y = 1 9
[ 3 x - 4 y= - 6
S o lu c ió n
Se elig e la v a ria b le a elim in a r, e n e ste eje m p lo se to m a x, p a ra e lim in a rla s e n e ce sita que lo s co eficie n te s d e x d e c a d a
ecu ación sean iguales y d e d istin to signo. L a p rim e ra e cu a ció n s e m ultiplica p o r - 3 y la se g u n d a s e m u ltip lica p o r 2,
posterio rm ente se sum an las ec u a c io n e s y s e resu elv e la e c u a c ió n resu ltan te.
( 2 x + 5 y = \9) ( — 3 ) - 6 * - 1 5 y = - 5 7
( 3 * - 4 y = - 6 ) ( 2 ) 6 * - 8 y = - 1 2
- 2 3 y = - 6 9
- 6 9
* " = 2 3
y= 3
El v a lo r d e y = 3 s e sustituye e n c u a lq u ie ra d e las ecu acion es, para o b te n e r e l valor d e x.
2 x + 5 y = \9 - » 2 * + 5 ( 3 ) = 1 9
2 * + 1 5 = 1 9
2 * = 1 9 - 1 5
2x= 4
4
* = 2
Se puede co m p ro b a r e l resu ltad o a l su stitu ir los v a lo re s o b ten id o s e n la o tra ecuación :
3 x - 4 y = - 6 - > 3 ( 2 ) - 4 < 3 ) = - 6 - > 6 - 1 2 = - 6 - > - 6 = - 6
Por tanto, la solución d e l sistem a e s: x = 2, y = 3
2 R esuelve e l siguiente siste m a d e ecu a cio n e s:
í 5 * - 3 y = - 7
[ 3 x + 5 y = - l l
S o lu c ió n
En este eje m p lo s e elim in a la v a ria b le y , en to n c es s e m ultiplica la prim e ra e c u a c ió n por 5 y la se g u n d a p o r 3
(5 x - 3 y = - 7) ( 5 ) 2 5 x - \ 5 y = - 3 5
( 3 x + 5 y = - l l ) ( 3 ) ^ 9at+1 5 y = - 3 3
3 4 * = - 6 8
-6 8 „
X 34
(1continúa)
181

200. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
El valo r d e x = - 2, s e su stitu y e, e n c u a lq u ie ra d e las ecu acion es, para o b te n e r e l v a lo r d e y.
3 x + 5 y = - \ \ - * 3 ( - 2 ) + 5 y = - l l
- 6 + 5 y = - \ 1
5 y = - l l + 6
5 y = - 5
y= - 1
Por co n sig u ien te, la solución d e l sistem a e s: x = - 2, y = - 1
L o s sig u ie n te s c o n ju n to s in d ic a n e l c o n ju n to so lu ció n d e un s iste m a de re c ta s c o in c id e n te s y paralelas, re sp e c tiv a ­
m ente.
{ (x , y ) \0x+ 0 y= 0 } = { (x , y ) \xty e R }
{(*,7)|0*+()y=a,fl*0}=<l>
Q)
EJEMPLOS
------------------------------------------------------------------------------------•
o
o . 1 • • D eterm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e l sistem a:
E
6 x - 2 y = \ 0
3 x - y = 5
S o lu c i ó n
L a prim e ra e c u a c ió n se m u ltip lica por 1 y la segu nda p o r - 2 y s e sum an las ecu a cio n e s eq uivalentes:
( 6 * - 2 y = 1 0 ) ( l ) 6 x - 2 ^ = 1 0
( 3 x - y = 5 ) ( - 2) - 6 x + 2 y = - \ 0
0x + 0y = 0
Se o b tie n e la e c u a c ió n 0a: + Oy = 0 , p o r ta n to , h a y un c o n ju n to infinito d e so lu c io n e s; en to n c es, se tra ta d e d o s
rectas co incidentes, y s e dice que a l c o n ju n to so lu c ió n lo fo rm an to d o s los p ares o rd e n ad o s que satisfacen cu alq u iera
d e la s ecu a cio n e s.
2 ■ E n cu e n tra e l co n ju n to solución d e l sistem a:
- x + 2 y = 4
- 3 x + 6 y = 5
S o lu c i ó n
L a prim e ra e c u a c ió n se m u ltip lic a por - 3 y la seg und a por 1 y s e sum an las ecu a cio n e s equivalentes.
( - * + 2 y = 4 ) ( - 3 ) 3 * - 6 y = - 1 2
( - 3 * + 6 y = 5 ) ( 1 ) - 3 s + 6 y = 5
0 x + 0y = - 7
R esu lta la e c u a c ió n 0 * + Oy = - 7 , por co n sig u ien te, e l co n ju n to so lu ció n e s e l vacío.
1 8 2

201. Ejemplos^]
Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
EJE ÍCICIO 82
Determ ina la so lu ció n d e los sig u ien tes siste m a s d e ecu acio n es por e l m étod o d e redu cción:
1. \ X+y=?
\ x - y=2
2.
3.
1 2 * - 1 8 y = 1 3
- 1 2 * + 3 0 y = - 1 9
3 x - 4 y = - 2 6
2 x - 3 y = - \ 9
4.
3 x - 2 y = 0
x - y= - 1
5 ¡ 5 x - 2 y = 2
\ 7 * + 6 y = 3 8
5a+ 3b= 2\
2 a + 4b = 2
| J O rific a tus resultados en la sección de soluciones correspondiente,
7.
9.
Í
5 m + n = - \
3 m + 2 « = 5
[ 7 x +2 y = - 3
[ 2 x - 3 y = - 8
í 6m+ 4v= 5
[ 9 w - 8 v = 4
1 0.
11.
12.
3 x - 4 y = 7
9 x - l 2 y = 2 \
- 2 0 x + 5 y = 2
4 x - y = 5
7 p - q = 2
- 2 \ p + 3 q = 5
Sustitución
Este m éto d o co n siste e n d e s p e ja r una d e la s v a ria b le s d e c u a lq u ie ra d e la s d o s e c u a c io n e s y su stitu ir d ic h o d e sp e je e n
la e c u a c ió n restante, así re su lta u n a ec u a c ió n d e prim er grado , la c u a l se resuelve p a ra ob ten er e l v a lo r d e u n a d e las
variables. E ste prim er v a lo r s e su stituye en e l desp eje para de te rm in a r e l v a lo r d e la variable que falta.
:m p l o s
------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • T kterm in a los v a lo re s d e x y y e n e l sistem a: j 5* +3^ - j ' ' •
S o l u c i ó n
En este eje m p lo s e d e s p e ja * d e la p rim era ecu ació n .
3 * - 4 y = - l 1 - > 3 * = 4 y - l l
4 y -11
Se sustitu ye e l d e sp e je e n la o tra e c u a c ió n y se resuelve la e c u a c ió n d e prim er grado.
5 x + 3 y = l - » 5 ^ — ^ j + 3 y = l Se m u ltip lic a por 3
5 ( 4 y - l l ) + 9 y = 3
2 0 y - 5 5 + 9 y = 3
2 0 y + 9 y = 3 + 55
2 9 y = 5 8
58
y 29
y = 2
4 y - l l
Se sustitu ye e l v a lo r d e y = 2 e n e l desp eje * = — - —
4 ( 2 ) - l l 8 - 1 1 - 3
X 3 3 3
Por tanto, lo s v a lo re s son:
* = - 1
y= 2
183

202. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
2 • • 'D e t e r m i n a e l punto d e in tersecció n d e la s rectas:
[ - x + y= - 7
[ 5 * + 3 y = 3
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja y d e la prim era e c u a ció n .
- x + y= - 7
y = x- 7
El d e sp e je se su stitu y e e n la se g u n d a e cu a ció n .
5 x + 3 y = 3 5 x + 3 ( x - 7 ) = 3 5jc+ 3x- 2 1 = 3
8a:—2 1 = 3
8 x = 2 4
x = 3
Se su stitu y e x = 3, e n e l d e sp e je y = x - 7
y = 3 - 7 = - 4
y — 4
Finalm ente, e l p unto d e in tersecció n d e l siste m a e s ( 3 , - 4 )
3 • • - O b t é n e l co n ju n to so lu ció n del siste m a d e ecuacion es:
- 2 x + y = - 4
6 x - 3 y = 1 2
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja y d e la prim era e c u a ció n .
- 2 x + y = - 4 —» y = 2 x - 4
El d e sp e je se sustitu ye e n la se g u n d a e c u a c ió n y se re su e lv e la e c u a c ió n d e prim er grado .
6 * - 3 ( 2 * - 4 ) = 1 2
6 * - 6 x + 1 2 = 1 2
6 x - 6 x = 1 2 - 1 2
0x= 0
La e c u a c ió n Ox = 0 in d ic a que la s re c ta s son c o in c id e n te s y tie n e n c o m o c o n ju n to so lu ció n to d o s los nú m eros
reales, e s to sign ifica que e l siste m a tiene u n co n ju n to infinito d e solucio nes.
D eterm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e l sistem a:
3 x - 4 y = 7
6 x - 8 y = 3
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja xd e la prim era e c u a ció n .
3 x - 4 y = 7 -> 3 x = 4 y + 7 ->
1 8 4

203. Ejempl
Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
El d e sp e je s e sustituye e n la segunda ecu a ció n y se resu elv e la ecu a ció n d e prim er g rado.
2 ( 4 y + 7 ) - 8 y = 3
8 y + 1 4 - 8 y = 3
8 y - 8 y = 3 - l 4
0y = -11 L a e c u a c ió n no tie n e solución
Por tanto, e l co n ju n to so lu ció n e s v a cio .
EJE ? C IC IO 8 3
Determ ina la so lu ció n d e los sig u ie n te s siste m a s d e ecu acio n es por e l m étodo d e su stitució n:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2 x + y = - \0
x - 3 y = 2
7.
11 p - 3 q = - 2 8
\ 5 q - 4 p = \ 6
2 m - 5 n = \ 4
5 m + 2 n = -2 3
8.
¡ 7 x - y = 7 5
[ 5 x - 2 y = 4 2
6 r - 5 t = - \ 1
7 f - 8 r = 1 5
9.
f 12m- 1 6v= 2 4
[ 3m- 4v= 6
9 x - 2 y = - 3
7 y - \ 2 x = \ 7
10.
í - 5 ^ r - 1 5 y = 2
1 x + 3 y = 7
8 p - 3 q = 8
11.
í 2 x + y= 9
2 p + 9 q = \5 \8 x + 4 y = 3 6
3 x - 4 y = 3 2
5x+ y= 38
12.
i 4 p - 3 q = - 2
[ 2 0 p - \ 5 q = - \
( J Vferifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente ■
Igualación
En este m étodo s e e lig e una variab le, la c u a l se d e sp e ja d e a m b a s ecu a cio n e s, los d esp ejes se igualan y s e resu elv e la
e cu a ció n de prim er g ra d o q u e resu lta. P o r últim o, e l v a lo r que se ob tiene se su stitu y e e n c u a lq u ie ra d e los d e sp e je s
para h allar e l otro valor.
EJEMPLOS
1 • • D eterm ina e l punto d e in tersecció n d e la s rectas:
S o lu c ió n
Se d e sp e ja .rd e a m b a s ecu a cio n e s.
2 * - 3 y = 9
2x= 3 y+ 9
_ 3 y + 9
^ ““ "
í 2 x - 3 y = 9
\ 5 x + 6 y = -4 5
5 x + 6 y = - 4 5
5 x = - 6 y - 4 5
x = - 6 y- 4 5
5
(continúa)
1 8 5

204. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Se ig ualan lo s d e sp e je s y s e resuelve
la e c u a c ió n d e prim er grado.
3 y + 9 —6 y —45
2 5
5 ( 3 y + 9 ) = 2 ( - 6 y - 4 5 )
1 5 y + 4 5 = - 1 2 y - 9 0
1 5 y + 1 2 y = - 9 0 - 4 5
2 7 y = - 1 3 5
- 1 3 5
El v alor d e y = - 5 se sustituye e n
c u alq u iera d e los despejes.
y=-
2 7
= - 5
P or co n sig u ien te, e l p unto de intersección e s ( - 3 , - 5)
2 ■ R esu elv e e l sig u ien te sistem a:
S o lu c i ó n
S e d e sp e ja n d e am b a s ecuaciones.
6 m - 7 « = 4
2 m - 1 4 « = - l
x =
x -
3y+9
3 ( - 5 ) + 9 - 1 5 + 9
* — - 3
x = - 3
6 w - 7 / ; = 4
- 7 n = - 6 m + 4
- 6 m + 4
n=-
- 7
2w- 1 4m= - 1
- 1 4 / 7 = - 2 r o - l
- 2 m - \
n=
- 1 4
Se igualan los d e sp e je s y s e resuelve
la e c u a c ió n d e prim er grado.
- 6 m + 4 - 2 /7 7 -1
- 7 " - 1 4
- 1 4 ( -6 /7 7 + 4 ) = —7 ( —2/77—1 )
84/77-56=14/77 + 7
84/77-14/7 7= 7+ 56
70/77=63
6 3
70
9
777 =
777 =
10
E l v a lo r de m = — s e su stituye e n cu alq u iera
de los desp ejes.
- 2 /7 7 -1
77 =
— 14
- 1 4
14
77 =
- 1 4
14
77=;
14 ) ( 5 ) 5
Por tanto, la solución es:
9
777=
---
10
1
77= —
5
1 8 6

205. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
3 • • • D eterm ina e l c o n ju n to so lu ció n d e l sistem a:
2 x - y = 5
- 8 * + 4 y = - 2 0
S o lu c ió n
Se d e sp e ja y d e a m b a s e c u a c io n e s y se ob tien e:
- 2 x + 5 , S x - 2 0
2 x - y = 5 - » y = — ; - 8 * + 4 y = - 2 0 -> y =— -—
- 1
Se igu alan los despejes:
- 2x+ 5 _ 8jc- 2 0
- 1 4
4 ( - 2 j c + 5 ) = - l ( 8 ^ - 2 0 )
- 8 * + 2 0 = - 8 * + 2 0
-8j c + 8* = -2 0 + 2 0
0 x = 0
L a so lu ció n s o n to d o s lo s n ú m ero s re a le s y e l c o n ju n to so lu c ió n c o rre sp o n d e a to d o s lo s p a re s o rd e n a d o s que
satisfacen la ecuació n:
2 x - y = 5
4 • • D ite rm in a e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
S o lu c ió n
Se d e sp e ja Arde a m b a s ecu a cio n e s.
3 * + 4 y = - 2
3 x = - 4 y - 2
- 4 y - 2
x =■
3 * + 4 y = - 2
- 1 5 * - 2 0 y = 7
- 1 5 x - 2 0 y = 7
- 1 5 x = 2 0 y + 7
2 0 y + 7
y - 1 5
Se igu alan los despejes:
- 4 y - 2 _ 2 0 y + 7
3 - 1 5
- 1 5 ( - 4 y - 2 ) = 3 ( 2 0 y + 7 )
6 0 y + 3 0 = 6 0 y + 2 1
6 0 y - 6 0 y = 2 1 - 3 0
0 y = - 9
L a e c u a c ió n no tiene solució n, por tanto, e l co n ju n to so lu ció n e s v a cío .
187

206. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
EJE ? C !C IO 8 4
Determ ina la so lu ció n d e los sig u ien tes sistem as d e ecu acio n es por e l m étod o d e igualación:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
* - 2 . y = l l
x + 5 y = -17
7.
í 2 a + b = \
\ - 5 b - 6 a = - 9
í 3 m - 5 n = l
[ 9 w + 1 5 « = 9
tlJ t ri— 1
4 m - 2 « = 5
8.
4 a + 5 b = - 3
- 7 b + 3 a = - \ 3
9.
í 6m- 3v= 7
[ 8m- 5v= 1 0
- 2 x + 3 y = \8
- 5 y + x = - 2 3
10.
í 6 x - 2 4 y = 36
\ - 3 x + \ 2 y = - \ &
3 p - 2 q = - 5
2 p + q = - \
11.
i x + 3 y = 4
[ - 4 x - 1 2 ^ = 8
5 x + y = -2 0
12.
í 3 p - 9 q = 5
2 x - 3 y = - 8 1 P ~ 3 q = 6
U Vferlfica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Cram er (determinantes)
1. D e te rm in a n te d e 2 X 2. U n d e term in an te d e 2 X 2 e s u n arreglo rectangular de nú m eros d e la form a:
a b
c d
= a d - c b
EJEMPLOS
----------------------------------------------------
o
■q_ 1 • • E n cu e n tra e l v a lo r d e l determ inante
E
0)
íIP S o l u c i ó n
S e a p lic a la definición.
2 - 5
3 - 6
2 - 5
3 - 6
= ( 2 ) ( - 6 ) - ( 3 ) ( - 5 ) = - 1 2 + 1 5 = 3
P or tanto, e l resu ltad o e s 3
2 • • • ¿ C u á l e s e l v a lo r d e l siguiente d e term in an te
S o l u c i ó n
S e a p lic a la definición.
- i 3
3
- 1 5 + 1 2 _ 3
5 5
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o e s
188

207. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
3 • • ‘ D eterm ina
a 1
a2- b 2 a - b
S o l u c i ó n
Se a p lic a la definición.
a 1
a 2- b 2 a - b
= ( a ) ( a - b) - ( a 2 - b 2 ) ( 1 )= a2- a b - a 2 +b2 =b2- a b
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o e s b2- a b
4 • • Resuelve
x 3 - x
4 x - 3
x 2 x 2 + 3
9 x+ 9
S o l u c i ó n
Se a p lic a la definición.
x 3 - x
4 x - 3 ( * ) ( * - 3 ) - ( 4 ) ( 3 - * ) x 2 - 3 x - \ 2 + 4 x x 2+ x - \ 2
x 2 x 2+3
9 x+ 9
( * 2 ) ( x + 9) - ( 9 ) ( x 2 + 3 ) * 3+ 9 * 2 - 9 * 2 - 2 7 jc3 - 2 7
( * + 4 ) ( * - 3 )
( ^ - 3 ) ( ^ 2 + 3 x + 9 )
x + 4
x 2 + 3x+9
Finalm ente, e l resu ltad o e s
x + 4
x 2+ 3x+ 9
EJEÍC I C I O 8 5
Encuentra e l valor d e lo s sig u ien tes d e te rm in a n te s:
2 - 3
5 - 6
a a - b
5 4
4.
9 - 3
7.
a b
3.
- 4 2
6 - 3
6.
2 7
5 2
_ 2
_ 3 4
— f, —R
3 \_
A 1
n i — m m j 4 - 11
2.
0 —0
5.
‘ t L
8.
iwi / • ir i 1 / •
7 - 1 m m - n
- 3 1
9.
2 3
- 5 - 4
- 6 3
- 1 2
(_ j Vferifkra tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente 1
10.
a b - a
a -
a
1 1.
x x- 2
5 x - 2
x 5
5 x
1 8 9

208. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
2. D educción del m étodo de C ram er. S e a e l sistem a d e ecu a cio n e s:
aix + b iy = c x
a2x+ b2y = c 2
Por e l m éto d o d e red u cció n se d e te rm in a V ’
( o , * + )(*>2) ^ axb2x + b xb2y = b2Cx
( a2x+ b2y= c2 )(-¿>, ) - a ¿ ix - b xb2y = - b lc2
( a xb2- a 2bx ) x = b 2cl - b lc2
C\ bx
V l - V 2
c2 b2
axb2- a 2bxOy by
<h b2
De form a a n alo g a s e d e te rm in a “y ”
(axx+ b xy = cl ) ( - a2 ) ^ - a xa2x - a 2b ¡y = -a 2cx
( a2x+ b2y = c 2) (a, ) +axb2y = a xc2
(ap2 - a ^ ) x) y = axc2 - a 2cx
axCy
i
<r
1* 2C2
axb2- a j y x Oy by
a2b2
F inalm ente, la so lu ció n g e n era l d e l siste m a es:
<>i b2
x " - S T T y '
<h *2
E l m étodo d e C ra m e r c o n siste e n a p lic a r la s defin icio nes an te rio re s y segú n lo s re su lta d o s s e pu ede c o n clu ir que
las re c ta s son:
Ü C o n cu rren tes: si los de te rm in a n te s so n d ifere n te s d e c e ro .
I C oincidentes: si los d e te rm in a n te s son to d o s iguales a c e ro .
I P aralelas: si únicam ente e l d e te rm in a n te d e n o m in a d o r e s igual a cero .
R ectas co n cu rren tes. Si o c u rre que:
a, bx cx bx
Oy cy
* 0, * 0 y
a2 b2 c2 b2 a2 %
El sistem a tiene una so lución que e s e l pu nto P (x,y)
ayCy
a2Oí
°y by
02bi
c o n
ax bx
<h b2
* 0
1 9 0

209. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
Ejem plo
A plica e l m étodo de C ra m e r y d e te rm in a la solución d e l sistem a:
í 4 x - y = - 9
[ 3 x + 5 y = - \
S o lu c ió n
Se a p lic a la so lución g e n era l
x=
- 9 - 1 4 - 9
- 1 5
i
i
i-
1
1
1
1
£
i
j
i
3 - 1 - 4 + 2 7 2 3
4 - 1 2 0 + 3 23 4 - 1 2 0 + 3 23
3 5 3 5
Por tanto, la so lu ció n e s x = - 2, y -1, la s re c ta s son co n cu rre n te s
R e c ta s c o in c id e n te s . Si o c u rre que:
a, bxai
<h *>2 ¿2*2 <*2 ¿2
= 0
E l siste m a tie n e un c o n ju n to infinito d e so lu cio n es, e s decir, e s un siste m a d e d o s re c ta s co in c id en tes. P o r tanto, e l
co njunto e s tá fo rm ad o por to d o s los p a re s o rd e n ad o s que satisfacen cu alq u iera d e la s e c u a c io n e s d e l siste m a dado .
Ejem plo
A plica e l m étodo de C ra m e r y d e te rm in a la solución d e l sistem a:
2 * - y = 4
4 x - 2 y = 8
S o lu c ió n
Se a p lic a la so lu ció n g e n era l
4- 1
8- 2- 8 + 8 0
X
2- 1 - 4 + 4 0
4 - 2
2 4
4 8
2 -1
4 - 2
16 —16 _ 0
- 4 + 4 0
El siste m a son re c ta s co in c id en tes, por tanto, e l sistem a tiene un c o n ju n to infinito d e solu cio nes.
R e c ta s p a ra le la s . Si o c u rre que:
a. b. c b, a. c.
* 0
a\ b\ 4 bi a\ c\
= 0 , * 0 y
02 b2 C2 b2 02 c2
E ntonces e l siste m a no tie n e solución, e s decir, e l sistem a re p re se n ta re c ta s paralelas.
Ejem plo
D eterm ina e l c o n ju n to solución d e l sistem a:
2 x - y = 5
- 6 x + 3y=2
1 9 1

210. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
S o lu c i ó n
Se a p lic a la so lu ció n g eneral:
x=
5 - 1 2 5
2 3 1 5 + 2 17 - 6 2 4 + 3 0 34
2 - 1 6 - 6 0 2 - 1 6 - 6 0
- 6 3 - 6 3
EJE
P or co n sig u ien te, e l siste m a no tiene solució n.
tCICIO 86
D eterm ina la so lu ció n d e los sig u ie n te s siste m a s d e e c u a c io n e s por e l m étod o d e Cram er:
i 3 x - 4 y = 1 5
' í " :
2.
3.
•2x+ 3y= —12
f 4 m + 9 « = - 3 5
[ 3 m -8 w = 1 8
7 a - 1 0 6 = - 6 4
5 6 + 3fl=19
4 í 3 x —8 y = - 1 3
[ 5 y + 2 x = - \ 9
5.
6.
5 p - q = l
- 2 p + 3 q = 5
9 x - 4y= 8
7.
8.
6 x - 2 y = 3
( J \ferifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
9.
5 0 - 7 6 = 1 0
8 6 - 6 a = - 1 2
1 0 m - 3 « = 1 9
1 5 w - 2 4 « = 3 5
7m+ 2v= - 5
- 3 5m- 1 0v= 2 5
1 0.
11.
12.
2 x - 9 y = 3
\ 8 x - 8 \ y = - 5
5jc—11>-=—6
4 0 x - 8 8 > ,= - 7
6 0 /7 - 2 5 ^ = 1 5
- \ 2 p + 5 q = - 3
Sistema de dos ecuaciones que se reducen a lineales
D a d o un siste m a d e ec u a c io n e s c o n d o s va ria b le s, é ste se tran sfo rm a a:
¡a lx + b ly = c l
\a2X+b2y = c 2
EJEMPLOS
----------------------------------------------------
o
o . 1 • • R esu elv e e l siste m a d e ecuacio nes:
E
0 7
2 c + 1 9 = 3 ( y - x )
2 { x - 5 y ) = 5 ( y - 5 ) - & y
S o lu c i ó n
S e realizan la s op e rac io n e s ind icadas e n c a d a e cu a ció n y s e sim plifican.
2 x + \ 9 = 3 ( y - x ) 2 ( x - 5 y ) = 5 ( y - 5) - 8y
2 x + 1 9 = 3 y -3 x 2 x - 1 0 y = 5 y - 2 5 - 8 y
2 x + 3 x - 3 y = - \ 9 2 j c - 1 0 y - 5 y + 8 y = - 2 5
5 x - 3 y = - \ 9
Se obtien e e l sistem a de ecu a cio n e s:
2 x - l y = - 2 5
5 x - 3 y= - 19
2 x - l y = - 2 5
1 9 2

211. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
Q ue s e resu elv e por a lg ú n m étodo visto, por ejem p lo , red ucción.
( 5 x - 3 y = - 1 9 )( - 2 )
( 2 x - 7 y = - 2 5 ) ( 5 )
- \ 0 x + 6 y = 3 S
1 0 * - 3 5 > > - - 125
- 2 9 y = - 8 7
- 8 7
y - 2 9
y = 3
E ntonces, la solución d e l sistem a
2 * + 1 9 = 3 ( y - * )
2 ( x - 5 y ) = S ( y - 5 ) - S y
• • D eterm ina la so lu c ió n del siste m a d e ecuacion es:
e s
5 * - 3 y = - 1 9
5at—3 ( 3 ) = —19
5 * - 9 = - 1 9
5 * = - 1 9 + 9
5 x = - \0
_ -1 0
X 5
x = - 2
x = - 2
y = 3
j L - y= i
10 5 4
^ + 2 y = *
3 y 2
S o lu c ió n
Para elim in ar la s frac c io n e s se m u ltip lic a por e l m ín im o c o m ú n m ú ltiplo d e lo s d en o m in ad o res de c a d a ecu ació n .
( á - H H
2 0 * 2 0 y _ 20
10 5 4
2 * - 4 y = 5
S e obtiene e l siste m a d e ecu a cio n e s:
í 2 * - 4 y = 5
1 4 * + 1 2y = 1 5
y s e e lig e a lg ú n m étodo d e solución, e n e s te ca s o e l de igualación.
2 x - 4 y = 5
2 * = 5 + 4 y
x- 5+*y
2
4 * + 12 y = 1 5
4 * + 12y = 1 5
4 * = 1 5 - 1 2 y
^ 1 5 - B y
4
Se igu alan los d e sp e je s y s e resu elv e
la e c u a c ió n de prim er grado:
5 + 4 y _ 1 5 - 1 2 y
2 4
( 4 ) ( 5 + 4 y ) = ( 2 ) ( l 5 - 1 2 y )
2 0 + 1 6 y = 3 0 - 2 4 y
16y+ 24 y= 3 0 - 2 0
4 0 y = 1 0
10 1
y 4 0 4
Se su stitu y e y = - e n c u a lq u ie r desp eje:
* =
5 + 4 y
2
5 + 4
* =
* =
* = 3
2
5 + 1 6
(continúa)
193

212. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(icontinuación)
Por co n sig u ien te, la so lu ció n d e l sistem a
± . y= i
10 5 4
2 x 5
~ v +2y = ~
x = 3
1
y = 4
>•-D eterm in a la so lu c ió n del sistem a:
o + 5 , ¿>+5 _
—+6=— +3
2 ( « ~ 3 ) , , b- 1
5 5
S o lu c i ó n
S e elim in a n la s frac c io n e s a l m ultiplicarlas por e l m ínim o c o m ú n m ú ltiplo y s e sim plifican la s e cu a cio n e s.
a ( * - 3 ) * - i
^ M + ( 2 1 ) ( 6 ) = ( ^ 1 + ( 3 ) ( 2 I )
7 ( a + 5 ) + ( 2 1) ( 3 ) ( 6 + 5 ) + ( 3 ) ( 2 1 )
7 o + 3 5 + 2 1 6 = 3 6 + 1 5 + 6 3
7 o + 2 1 6 - 3 6 = 1 5 + 6 3 - 3 5
7 0 + 1 8 6 = 4 3
Se obtien e e l sistem a de ecu a cio n e s:
í 7 o + 1 8 6 = 4 3
[ 2 o - 6 = 0
Q ue s e resu elv e por algún m éto d o visto, por ejem p lo , su stitució n.
( 5 )
l f c l + l ( 5 ) = ^ l l
2 ( o - 3 ) + 5 = l ( 6 - l )
2 o - 6 + 5 = 6 - l
2 o - 6 = - l + 6 - 5
2 o - 6 = 0
De la segu nda e cu a ció n s e d e sp e ja a 6.
2 o - 6 = 0
2 o = 6
Se su stituye 6 = 2 a d e la prim era, y s e re su e l­
v e la e cu a ció n de prim er grado.
7 o + 1 8 6 = 4 3
7 o + 1 8 ( 2 o ) = 4 3
7 o + 3 6 o = 4 3
4 3
4 3 o = 4 3 -> o = —
4 3
0 = 1
Luego, si 6 = 2 o e n to n c e s 6 = 2 ( 1 ) = 2
Por tan to, la so lu ció n d e l sistem a
£ r * ‘ = í r «
2 ( o - 3 ) | , 6 - 1 1 6 = 2
5 5
1 9 4

213. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
4 • • Determina la solución del sistema:
5 > /a x + l= 2 ( 2 V 3 x + > /2 y )
S o lu c ió n
Se resuelven los productos indicados de cada ecuación y se simplifican:
5 ^ + 1 = 2 ( 2 7 3 * + ^ )
5 n /3 * + 1 = 4 V 3 * + 2 > /2 y
5 n / 3 * - 4 v 3 * - 2 n / 2 v = - 1
j 3 x - 2 - j 2 y = - \
(7 3 ^-7 3 = 2y - 2- f
3 x - j 3 = 2 y - J 2
3 x - 2 y = j 3 - j 2
Se obtiene el sistema de ecuaciones:
sÍ3 x -2 s¡ 2 y = -\
3 x - 2 y = j 3 - s Í 2
Que se resuelve por algún método visto, por ejemplo, Cramer.
* =
c, 6,
c 2 ¿>2
- 1 -2 \¡ 2
7 5 - 7 5 - 2 ( —! ) ( —2 ) - ( 7 5 - 7 5 ) ( - 2 7 5 )
a , 6,
a2 b2
7 3 - 2 7 5
3 - 2
( 7 3 ) ( - 2 ) - ( 3 ) ( - 2 7 2 )
1 8 - 3
y=
a iCi
73 -1
°2 C2373-72
a xb,73-275
°2b23-2
2 7 6 - 2 2 ( ^ - 1 ) 7 5 - 1 372 + 73
6 7 2 - 2 7 3 2 ( 3 7 2 - 7 ^ ) 3 7 2 - 7 3 3 7 2 + 7 3
3 7 2 7 6 + 7 3 7 6 - 3 x 5 - 7 3 _ 6 7 3 + 3 ^ - 3 7 2 - 7 3
( 3 ^ r - ( v 5 ) !
5 7 3 73
15 3
( 7 3 ) ( 7 1 - 7 2 ) - ( 3 ) ( - l )
( 7 3 ) ( - 2 ) - ( 3 ) ( - 2 7 2 )
_ 3 - 7 5 7 2 + 3 6 - 76 6 J 2 + 2 J 3
- 2 7 3 + 6 7 2 6 7 2 - 2 7 5 6 \2 + 2 \¡ 3
_ 36s¡2 +1273 - 6 7 6 ^ - 2 7 6 7 3
( 6 V 2 ) 2 - ( 2 7 3 )2
_ 3 6 7 5 + 1 2 7 3 - 1 2 7 3 - 6 7 2 _ 3 0 7 5 _ 72
7 2 -1 2 60 2
Finalmente, la solución del sistema es
1 9 5

214. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
5 • • • Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
S o lu c i ó n
Se multiplica la primera ecuación por 3
—+ —= i
x y
2 - 2 - u
x y
3 I —+ —= 1
x y
— =-13
1 L J L
_____
2+2 = 3
a: y
- - — = - 1 3
* -J L
______
Se suman las ecuaciones resultantes para eliminar a la variable y, entonces se resuelve la ecuación que se obtiene.
2 + Z = 3 - , 3 - » í - i o - * - - 2 - — i
* * * - 1 0 2
Luego se sustituye el valor de x = - 2 , en la ecuación i+ i = 1 y se obtiene el valor de la otra variable.
1 1 , 1 1 , . 1 , 1 , 1
- + -=1 -» 7— + — =1 "2 + - =I “> “=3 -> y= ~
x y í_Ij y y y 3
Por tanto, la solución al sistema de ecuaciones es at = —~ ; y = 2
6 ••■Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
S o lu c i ó n
El sistema se representa de la siguiente forma:
2+2=„
x y
— - - = - 1 3
x y
Se propone un cambio de variable:
Sea u = - y v = - , entonces se obtiene el sistema de ecuaciones:
x y
í 2m+ 3v=11
[ 10m- 2v= - 1 3
Que se resuelve por algún método visto.
Las soluciones del sistema son: m= - - ;v=4
1 9 6

215. Ca p i t u l o 8
Sstemas de ecuaciones
Luego, los re su lta d o s se sustituyen e n los cam b io s d e variable, para hallar e l v a lo r d e x y y.
S i w = - - entonces:
1
u = -
x
_ ! - !
2 ~ x
- x = 2
x = - 2
Por co n sig u ien te, la so lu c ió n del siste m a es:
S i v = 4 entonces:
x = - 2
1
y = 4
1
v = —
y
4 = 1
1
y m 4
U tiliza e l m étodo de C ra m e r p a ra re so lv er e l sistem a:
S o lu c ió n
Se a p lic a la so lución gen eral.
i + £ = 2 a b
2a x — = a 1
x=
cx 6,
c2 b}
a. bx
<h b2
2 i
■■
2a ” T
r a - í w g - i - f - i -
h L
2a
b
y=
<h b2
_ 3 o 2
3 a
b
1
- 2
a
I
2a a2
l
( - 3 a J ) ( * )
=a
2a
m - H i ) -s-
2- 4 a 2
—O
___
a _ 2 a
b ~ b
3 a2
a _ ( - 3 o 2 ) ( * ) _ - 3 a !6 t
_ 3a ( _ 3 a ) ( a ) - 3 a 2
b
Finalm ente, la so lu ció n d e l sistem a d e ec u a c io n e s es:
\ x = a
i y= h
197

216. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
EJERCICIO 87
D eterm ina la so lución d e los sig u ien tes sistem as d e ecu aciones:
‘ f
3(m + 2 ) - 2 ( n - 4 ) = 2n + m
2 ( w - l ) - m = n
13.
* + 1 2 y + 5 _ \
3 + 2 2
x _ y = l7
3 4 12
2 1.
£ _ Z - _ i * ♦ ‘ - 4
‘ ■ I
A T = y -3
2 y = 5 + *
9.
4 3 6
£ + Z _ 4
17.
x y
U 5— \T — 4
2 5
T — 1
x y
b = a +7
3 a = 2 b - \7
10.
2 x 5 ,
— + - y = l
3 6 y
2£ + £ = i
18.
1+ 1 - 2
* y 10
- 2 + - = —
20 5 4 a: y
- 7 m = 2 ( 3 /1 + 1 3 )
ln = 2 { m - 5 )
* 2 y 12
2+ i = - 6
a: .y
2+ 2 — , 6
3. 11.
2 5 " 5
3 £ _ ^ _ 3 3
19.
14 2 14
— T —— “ I O
j: y
7 ( * + 5 ) + 2 1 y = 3 ( y + 5 ) + 6 3
2 ( A : - 3 ) + 5 = y - l
— = 5
4. 12.
4 - 5
<1+ 5 P 4
2 0.
* J
1 4 - 8 5
6 4
t- — OJ
a: y
ax by 5ab
2 + 3 " 6
£+J£=2
b 2a 2
6.
J ñ x - J Í y = 2
14.
i ( x + l ) + ^ = 0
22.
J i x + J 2 y = 5
- i
n
■t-
X- + * = a + b
a b
b x ay _ ,
- + - f = 2 a b
a b
7.
5 12 3
2 x = 3 y - 22
15.
2 ( a - 2 ) + ¿ > = - 4
23.
1 L 2 á
a: y ( a + 6 ) ( a - ¿ > )
3 2 a-5b
x y a2- b 2
1 1
9 - + - = 5
* + ; , = ü 16.
m n ~>a
2 3 }
5at = 2 y + l - + £ = 1 2
m n
x J a + y \> b =
a2- b 2
a - b
x + y =
a - b
J a - J b
(J Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1 9 8

217. Ca p i t u l o 8
Sstemas de ecuaciones
P R O B L E M A S Y E JE R C IC IO S D E A P L IC A C IO N
L os sistem as d e ecu a cio n e s lineales so n u n a h erram ien ta im p ortan te p a ra la resolución d e problem as q ue involucran
a m ás d e d o s variab les, c u y a ap lic ac ió n e s frecuente e n la eco n o m ía, la adm in istració n, la física, etc éte ra.
En u na tien d a d e p a rta m e n ta l ponen e n o fe rta c a m isa s y p an talo n es q u e e stá n fu e ra d e tem p o rad a. E l prim er d ía se
ven dieron c in c o pantalones y siete c am isas, para to ta liz ar $ 1060, e l se g u n d o d ía d e v e n ta s s e invirtieron las c a n ti­
d a d es y s e g anaron $ 1 100. ¿ C u á l fue e l p re cio d e u n p antalón y d e un a c am isa?
So lució n
Se p lan te a c o n d o s v ariab les los p re cio s d e los artículos:
x. p re cio de u n pantalón.
y: p re cio d e una c am isa.
C o n los d a to s d e l pro blem a s e plantean las ec u a c io n e s sim ultáneas:
S e m ultiplica e l núm ero de o b jeto s por e l p re cio de c a d a uno de e llo s y la su m a s e r á la c a n tid a d d e la s v entas.
Í 5 * + T y = l 06 0
|7 * + 5 . y = l 100
E sta e c u a c ió n s e resu elv e por cu alq u iera d e los m étodos an te rio re s, e n e ste c a s o por e l d e reducción:
- 3 5 * - 49y = - 7 4 20
3 5 * + 25y = 5 500
- 24y = - 1 9 20
Se su stitu y e y = 80 e n c u a lq u ie ra d e la s e c u a c io n e s o rig in ales y s e o b tie n e x,
5x + 7 y = 1 060
5* + 7 (8 0 ) =1 0 60
5x + 5 60 = 1 060
x _ i o « t * o _ IOO
Por tanto, e l p re cio d e un pantalón e s d e $ 1 0 0 y e l d e u n a c a m is a d e $80
A l rev isar su s fa c tu ra s d e pago, e l señ o r M é n d e z s e p e rca ta d e q u e la e m p re sa d e m en sajería y p a q u etería L a P alo ­
ma, le c o b ró $ 1 9 2 4 por un e n v ío que e n total p e sa b a 2 9 kilog ram os, e n to n c e s pide a su se c re ta ria a c la ra r c u á n to le
cobraron por paquete. L a c o m p a ñ ía a c la ró que por los p a q u etes q u e en v ió a M onterrey co b ró a $ 9 2 por kilogram o
y por lo s que m andó a P ach u ca $3 0 e l kilogram o. ¿ C u á n to s k ilo g ram o s en v ia ro n a c a d a ciu d a d ?
So lució n
Se p lan te a c o n d o s v ariab les lo s d a to s que se d e b e n en contrar:
x: c a n tid a d d e kilogram os q u e se m an daron a M onterrey
y: c a n tid a d d e k ilog ram o s que s e en v ia ro n a P ach u ca
E n to tal se m an d aro n 29 kilogram os, e nton ces,
x + y = 29
L uego, s i p o r c a d a k ilo g ra m o q u e s e e n v ió a M o n te rre y y P a c h u c a s e c o b ró $9 2 y $ 3 0 , re sp ec tiv a m en te,
9 2 * + 3 0 y = 1 924
1 9 9

218. Ca p i t u l o
Á L G E B R A
e ntonces, e l siste m a es:
x + y = 29
92x + 3 0y = 1 9 2 4
e l c u a l s e re so lv e rá por e l m étodo de sustitución:
desp eje d e * sustitució n d e * = 2 9 - y e n 9 2 * + 30y = 1 9 2 4
x + y = 2 9 9 2 ( 2 9 - y ) + 30y= 1 9 24
x = 2 9 - y 2 6 6 8 - 92 y + 3 0 y = 1 9 24
- 6 2 y = 1 9 2 4 - 2 6 68
" 744
v =
---------= 1 2
^ - 6 2
A l su stitu ir y = 12 e n la prim era e c u a ció n ,
x + y = 29
x + 12 = 29
x = 2 9 - 12
* = 17
P or co n sig u ien te, se m an d aro n 17 kilos a M on terrey y 12 a Pachuca.
tCICIO 88
Resuelve los sig u ien tes problem as:
1. E n cu e n tra d o s nú m eros positivos c u y a sum a s e a 22 5 y s u d ife re n c ia se a 135
2. S i d o s á n g u lo s so n su p lem en tario s, su sum a e s de 180°, si la d ife re n c ia en tre d o s á n g u lo s su p lem en tario s e s 100°,
¿cuál e s e l v a lo r d e c a d a á n g u lo ?
3. L a d ife re n c ia d e d o s núm ero s e s 30 y ^ d e su su m a e s 26. D e term in a los núm eros.
4 . E ncu en tra d o s núm eros, c u y a d ife re n c ia d e su s recíprocos se a 2 y la su m a de su s re cíp ro co s se a 14.
5. E n un parque d e d iv ersio n e s 6 en tra d a s d e ad u lto y 8 d e niño cu e sta n $88 0 y 4 e n tra d a s d e adulto y 5 d e niño, $570,
¿cuál e s e l p re c io de e n tra d a por un a d u lto y p o r un niño?
6. U na c o le c c ió n d e m onedas a n tig u a s de $5 y $10, sum an la c a n tid a d d e $85. S i h ay 12 m on ed as e n total, ¿ c u á n ta s
m onedas de $ 10 hay?
7. E l perím etro d e un trián g u lo isósceles e s d e 4 8 c m , c a d a lado igual excede e n 9 c m a l la rg o d e la base. D e term in a las
dim e n sio n e s d e l trián g u lo .
8. U na a g en d a e le c tró n ic a y un trad u cto r c u e s ta n $1 300. S i la ag e n d a e le c tró n ic a tie n e u n co sto de $200 m ás q u e e l
traductor, ¿cuánto c u e s ta c a d a artícu lo ?
9. E l herm an o de A n ton io e s 3 v e ce s m ás g ran de que é l, hace 3 a ñ o s su h erm ano e r a 6 v e c e s m ás g ra n d e qu e A ntonio,
¿cu áles son su s e d a d e s actualm ente?
10. L o s ^ d e la sum a d e 2 núm eros e s 9 2 y los ^ d e s u d ife re n c ia e s 3. E n cu e n tra lo s núm eros.
3 8
11. C a rlo s y G a b rie l fu eron a l su p e rm erc ad o a co m p ra r lo n e ce sa rio para una reu n ió n c o n a m ig o s d e l co leg io , llevaban
un to ta l d e $500 para gastar. C a rlo s g a stó d o s terc era s partes d e s u dinero, m ie n tras q u e G a b rie l tr e s q u in ta s partes,
regresaron a c a s a c o n un total d e $ 180, ¿ c u á n to llevaba c a d a uno al ir a l sup erm ercado?
12. D ividir e l n ú m ero 5 5 0 e n 2 pa rte s, ta le s q u e s i d e los
¿cu áles son las partes?
\ d e la p rim era se re sta \ d e la segunda, se obtiene 160,
5 4
2 0 0

219. Ca p i t u l o 8
Sstemas de ecuaciones
13. E l co c ie n te d e 2 nú m eros e s 5 y su d ife re n c ia e s 56, ¿ cu á le s s o n los núm eros?
14. L a su m a d e 2 n ú m ero s e s 52, s u difere n cia , d iv id id a en tre e l m en o r d a 5 co m o co c ie n te y 3 c o m o residuo, ¿ cu á le s
son lo s núm eros?
15. Si a l d in ero que tie n e A le ja n d ra s e le añ ad e n $30, te n d rá e l triple de lo que tie n e B eatriz, y s i a B e atriz se le ag reg a n
$10, ten d rá la m ita d d e lo q u e tie n e A lejan dra, ¿ cu á n to d in ero tiene A lejan d ra y B eatriz?
16. U n a lan c h a v iajó c o rrie n te a rrib a 36 km e n 4 horas. Si la c o rrie n te h u b ie se sido d e l c u ád ru p lo , e l v ia je lo hubiera
hecho e n 6 horas, ¿cu ál e s la ra p id e z d e la lan c h a y de la c o rrien te?
17. U n g ra n je ro posee c ie r ta c a n tid a d d e a n im a le s, e n tre g a llin a s y borregos, d e ta l fo rm a que a l su m a r e l n ú m ero de
cab e za s e l resu ltad o e s 4 4 y la sum a d e las patas e s 126. ¿C u á n ta s g a llin a s y c u á n to s bo rreg o s tiene?
18. El m ism o g ra n je ro a l co m p rar los b o rreg o s y las g a llin as pagó u n to ta l d e $6 450. D esp u és y a l m ism o precio, ad q u irió
10 b o rreg o s y 14 ga llin as, por los c u a le s pagó $3 420, ¿ c u á l e s el c o sto de c a d a borrego y c a d a gallina?
19. Un vended or d e libros d e c ie n c ia s ven d ió tres d e g e o m e tría a n a lític a y 5 d e á lg e b ra lin e a l e n $870. A l d ía siguiente,
ven d ió 2 d e g e o m etría a n alítica y 3 de á lg e b ra lineal e n $540, ¿cuál e s e l p re cio d e c a d a libro?
2 0 . ¿ C u á n to s litro s de u na so lu c ió n a l 6% y c u á n to s de o tra a l 3 0 % s e d e b e n m ez cla r p a ra o b te n e r 50 litros de una nueva
solución a l 12%?
2 1 . Un m exicano esp e cialista e n m ez cla s de ca fé d e se a ex p o rta r e l g ra n o e n b o lsa s que c o n te n g a n un kilogram o. D ebe
c o m b in a r g ra n o s de los estad o s d e C h ia p a s y V eracruz. E l c o sto p o r k ilogram o d e e s to s tip o s d e c a fé e s $30 y $24,
respectivam ente. S i la b o lsa c u e s ta $25.50, ¿ q u é c a n tid a d d e c a d a c a fé lleva d ic h a m ezcla?
[ J Vteriftca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
Para re so lv er un siste m a d e este tipo, se pueden u tiliza r los m ism os m étodos e m p le ad o s para re so lv er los siste m a s d e
dos v ariables, au nqu e se re co m ie n d a em p le ar e l d e reducción y d e Cramer.
El siste m a puede te n e r solución única, c o n ju n to infinito d e so lu cio n es o no te n e r solución.
Reducción (suma y resta)
Se pro ced e d e la m ism a form a que e n los sistem as d e ec u a c io n e s c o n d o s va ria b le s, e s decir, se to m a n d o s d e la s tre s
e cu a cio n e s y s e elim in a un a d e las variables. P osteriorm ente, se tom a cu alq u iera d e la s e c u a c io n e s que se e lig ie ro n y
e n la que no s e u tilizó s e e lim in a la m ism a v a ria b le , d e ta l m anera que s e o b tie n e n d o s e c u a c io n e s c o n d o s variab les;
al h a lla r la solución d e l sistem a s e d e te rm in a e l v a lo r de la s d o s variables, d e sp u é s se sustitu yen e n cu alq u iera d e las
tres ec u a c io n e s origin ales, para o b te n e r la terc er variab le.
U E M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------•
"o . 1 • • & term in a la so lución del siste m a d e ecu aciones:
E
2 x - 3 y - 5 z = - 1 9
3 x - 4 y + z = - 2
x + y + z= 6
S o lu c ió n
2 x - 3 y - 5 z = - \ 9
-------------------( l )
3 x - 4 y + z = - 2
------------------( 2 )
x + y + z = 6
------------------( 3 )
(continúa)
2 0 1

220. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Se tom an d o s ecu a cio n e s, por eje m p lo la e c u a c ió n ( 1 ) y ( 2 ) y por e l m éto d o d e elim in a ció n se e lim in a x.
( 2 * - 3 y - 5 z = - 1 9 ) ( - 3 ) - 6 x + 9 y + 15z = 57
( 3 * - 4 y + z = - 2 ) ( 2 ) 6 x - 8 y + 2 z = - 4
y+ 17z= 5 3
-------------( A )
Se to m a n la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( 3 ) , s e e lim in ax y se o b tie n e la e c u a c ió n (B)
( 2 r - 3 y - 5 z = - 1 9 ) ( l ) 2 * - 3 y - 5 z = - 1 9
( x + y + z = 6) ( - 2 ) - 2 x - 2 y - 2 z = - \ 2
- 5 y - 7 z = - 3 1
-------------( 5 )
C o n la s e c u a c io n e s ( A ) y ( B) e l sistem a resultante es:
í y + 1 7 z = 5 3
| - 5 y - 7 z = - 3 1
Se re su e lv e e l siste m a que re su lta Se sustituy e e l v a lo r d e z = 3 e n las ec u a c io n e s
(fe las ec u a c io n e s ( A ) y ( B) . ( A ) o ( B) p a ra d e te rm in a r e l valor de y.
( y + 1 7 z = 5 3 ) ( 5 ) 5 y + 8 5 z = 2 6 5 y + 1 7 z = 5 3
( _ 5y - 7 z = - 3 l ) ( l ) - 5 y - 7 z = - 3 1 y + 1 7 ( 3 ) = 5 3
7 8 z = 2 3 4
y + 5 1 = 5 3
y - 5 3 - 5 1
Z = ? H y = 2
7 8
z = 3
Los v a lo re s z = 3, y = 2, s e sustituy en e n cu alq u iera d e la s tr e s e c u a c io n e s o rig in a les.
x + y + z = 6 -* x + 2 + 3 = 6
x + 5 = 6
x = 6 - 5
x= \
Finalm ente, la so lu ció n d e l siste m a e s * = 1, y = 2 , z = 3
2 • • R esu elv e e l sig u ien te sistem a:
* + 2 z = 6
3 y - 5 z = - 1 7
2 x + 3 y= - 1
So lu ció n
x + 2 z = 6
------------------------( l )
3 y - 5 z = - \ 7
-------------------( 2 )
2 x + 3 y = - 1
----------------------( 3 )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y se elim in a a y.
( 3 y - 5 z = - 1 7 ) ( - l ) - 3 y + 5 z = 1 7
( 2 * + 3y = - l ) ( 1) 2 x + 3 y = - 1
2x +5z=16
--------------(A)
202

221. Ca p i t u l o 8
Sstemas de ecuaciones
S e tom an la s e c u a c io n e s ( 1 ) y (A) y s e re su e lv e e l sistem a:
f x + 2 z= 6
l 2 * + 5 z = 1 6
( x + 2 * - 6 X - 2 )
( 2 * + 5 z = 1 6 ) ( l )
- 2 * - 4 z = - 1 2
2 * + 5 z = 1 6
z = 4
E l v a lo r d e z = 4 se sustituy e e n cu alq u iera d e
las e c u a c io n e s ( 1 ) o (A)
x + 2 z= 6
x + 2 ( 4 ) = 6
* +8=6
* =6 -8
* = - 2
f ó r a hallar e l v a lo r d e y, s e su stitu y e z = 4, e n la e c u a c ió n ( 2 )
Por tanto, la so lu ció n d e l siste m a es:
3 y - 5 z = - 1 7
3 y - 5 ( 4 ) = - 1 7
3 y - 2 0 = - 1 7
3 y = - 1 7 + 2 0
3 y = 3
3
y = 5
v = 1
* = - 2
y= 1
z = 4
3 • • I ^ te r m in a e l c o n ju n to so lu ció n d e l siguiente sistem a:
2 * - 3 y - 4 z = 5
5 * - 4 y - 2 z = 4
6 * - 9 y - 1 2 z = 5
S o lu c ió n
2 * - 3 y - 4 z = 5
---------------------( l )
5 * - 4 y - 2 z = 4
---------------------( 2 )
6 x - 9 y - 1 2 z = 5
---------------------( 3 )
Se tom an las ec u a c io n e s ( 1 ) y ( 2 ) y s e elim in a * .
(2 x - 3 y - 4 z = 5 ) ( - 5 )
( 5 * - 4 y - 2 z = 4 ) ( 2 )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y s e e lim in a *.
( 5 * - 4 y - 2 z = 4 ) ( - 6 )
( 6 * - 9 y - 1 2 z = 5 ) ( 5 )
- 1 0 * + 1 5 y + 2 0 z = - 2 5
1 0 * - 8y - 4 z = 8
7 y + 1 6 z = - 1 7
---------------------( A )
- 3 0 * + 2 4 y + 12z = - 2 4
3 0 * - 45y - 6 0 z = 25
- 2 1 y - 4 8 z = l
------------------------( B )
2 0 3

222. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
C o n la s e c u a c io n e s ( A ) y ( B), s e resu elv e e l siste m a d e e c u a c io n e s que se form a:
í 7 y + 1 6 z = - 1 7
| - 2 1 y - 4 8 z = l
( 7 y + 1 6 z = - 1 7 ) ( 3 ) 2 1 y + 4 8 z = - 5 1
( - 2 1 y - 4 8 z = l ) ( 1 ) - 2 1 y - 4 8 z = 1
1 y+ Oz = - 5 0
N o hay so lu ció n para la ec u a c ió n 0y+ 0 z = - 5 0 , por tanto, e l c o n ju n to so lu ció n e s vacío.
4 ■ D eterm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e l sistem a:
3 * - 5 y + 2 z = 6
x —3 y - 4 z = 5
6 * - 1 0 y + 4 z = 1 2
So lu ció n
3 x - 5y+ 2 z = 6
----------------------( l )
x - 3 y - 4 z = 5
----------------------( 2 )
6 * - 1 0 y + 4 z = 1 2
------------------( 3 )
Se to m a n la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( 2 ) y s e e lim in a X
( 3 * - 5 y + 2 z = 6 ) ( l ) 3 x - 5 y + 2 z = 6
( x - 3 y - 4 z = 5 ) ( - 3 ) - 3 x + 9 y + 12z = - 1 5
4 y + 1 4 z = - 9
-----------------( A )
Se to m a n la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y se e lim in a x.
( x - 3 y - 4 z = 5 ) ( — 6 ) - 6 * + 1 8 y + 2 4 z = - 3 0
( 6 * - 1 0 y + 4 z = 1 2 ) ( l ) 6 x - \ 0 y + 4 z = 1 2
8 y + 2 8 z = - 1 8
------------------( B )
Se re su e lv e e l siste m a que form an la s e c u a c io n e s ( A ) y ( B) .
Í 4 y + 1 4 z = - 9
{ 8 y + 2 8 z = - 1 8
(4y+ 1 4 z = - 9 ) ( - 2 ) - 8 y - 2 8 z = 1 8
( 8y + 2 8 z = - 1 8 ) ( l ) 8 y + 2 8 z = - 1 8
0 y + 0 z = 0
Por co n sig u ien te, e l siste m a tie n e un co n ju n to infinito d e soluciones.
5 • • R esuelve e l sistem a:
x _ 3 y _ 5 z = 9
6 4 6 2
£ _ y _ z _ 13
6 ~ 3 2 6
2 4 2 2
2 0 4

223. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
So lució n
Se elim in a n la s frac c io n e s d e c a d a e cu a ció n a l m ultiplicar por e l m ínim o c o m ú n m últiplo d e los d en om in ado res.
1 2 ) - > 2 * - 9 y - 1 0 z = 5 4
---------------------( l )
6 ) * - 2 y - 3 z = 1 3
------------------------( 2 )
* 3 y 5 z 9
646
V '
Í X
_ y _z
13 V
U" 3 ’2 ~
í-+ ^
z
2 4~ 22
Se tom an la s e c u a c io n e s (1 ) y ( 2 ) y s e elim in a x.
( 2 * - 9 y - 1 0 z = 5 4 ) ( — 1) - 2 * + 9y+ 1 0z = - 5 4
( x - 2 y - 3 z = \ 3 ) { l ) 2 x - 4 y - 6 z = 26
5y+ 4 z = - 2 8
------------------(A )
Se tom an la s e c u a c io n e s ( 2 ) y ( 3 ) y s e e lim in a x.
( * - 2 y - 3 z = 1 3 ) ( - 6 ) - 6 * + \2 y+ 18z = - 7 8
( 6 x + 3 y - 2 z = - \ 4 ) ( 1 ) 6 * + 3 y - 2 z = - \ 4
\5 y + 16z = - 9 2
------------------( 5 )
Se resuelve e l siste m a d e ec u a c io n e s en tre ( A ) y ( B)
í 5 y + 4 z = - 2 8
\ 1 5 y + 1 6 z = - 9 2
(5y+ 4 z = - 2 8 ) ( - 3 ) - 15y -12 z = 84 H v alor d e z s e sustituye e n c u a lq u ie ra d e las
( I 5 y + 1 6 z — 9 2 ) f l ) 1 5 y + 1 6 2= - 9 2 dos e cu acion es.
— sr 4r 28
5 y + 4 ( - 2 ) = - 2 8
2 = - - 5 y - 8 = - 2 8
4 5 y = - 2 8 + 8
z = ~ 2 5 y = - 2 0
20
^ = - y
y = - 4
L u eg o los v a lo re s d e y = - 4 , z = - 2 s e su stitu y e n e n c u a lq u ie ra d e la s tre s e c u a c io n e s o rig in a le s, p a ra h a lla r e l
v alor d e x.
x - 2 y - 3 z = 13
* - 2 ( - 4 ) - 3 ( - 2 ) = 1 3
* + 8 + 6 = 1 3
* + 1 4 = 1 3
* = 1 3 - 1 4
* = - 1
Por tanto, la so lu ció n es:
' * = - 1
y = - 4
z = - 2
2 0 5

224. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
Determ inantes
U n d e term in an te d e tre s por tres e s un a rre g lo rectan g u la r d e núm eros d e la siguiente form a:
6, b2 63
4 ^ * 3
fó ra h a lla r e l d e te rm in a n te d e un a rre g lo rectan g u la r d e n ú m ero s d e la fo rm a an terior, s e re p iten lo s 2 p rim ero s
ren g lo n es y s u so lu ció n e s tá d a d a por:
ci +a2 bi cl +ai bl ^
Para resolv er un siste m a d e tres e c u a c io n e s c o n tre s v a ria b le s d e la form a:
alx + b ly + c lz= d l
a2x + b 2y + c 2z= d 2
aix+ bJy + c iz= d i
Se a p lic a n las sig u ien tes fórm ulas:
4 b t a x 4 <*X b t4
4 4 ¿2 4^2 < h4 4
4 4
1» —*3 4^3 *3 4 4
a x
» y
< h b x
» 2
a x b x
< h¿ 2¿2 b 2¿2 < h b 2¿2
< h4 *3 4 ¿3 *3 4 ¿3
Ejem p lo
D eterm in a la so lu ció n d e l siguiente siste m a d e e c u a c io n e s por e l m étod o d e C ram er.
3 j t + 2 y - z = 1 2
x - y + 4 z = \ 9
5 x - 3 y + z = S
S o lu c i ó n
S e a p lic an la s fórm u las y s e hallan lo s d e te rm in a n te s.
12 2 - 1
19 - 1 4
8 - 3 1
12 2 - 1
19 - 1 4
8 - 3 1
12 2 - 1
19 - 1 4 ( - 1 2 + 5 7 + 6 4 ) - ( 3 8 - 1 4 4 + 8 ) 20 7
3 2 - 1
1 - 1 4
5 - 3 1
3 2 - 1
1 - 1 4
5 - 3 1
3 2 - 1
1 - 1 4
( - 3 + 3 + 4 0 ) - ( 2 - 3 6 + 5 ) 69
2 0 6

225. Ca p i t u l o 8
Sstemas de ecuaciones
( 5 7 - 8 + 2 4 0 ) - ( 1 2 + 9 6 - 9 5 ) _ 2 76
( - 3 + 3 + 4 0 ) - ( 2 - 3 6 + 5 ) 69
= 4
( - 2 4 - 3 6 + 1 9 0 ) - ( 1 6 - 1 7 1 - 6 0 ) 345
( - 3 + 3 + 4 0 ) - ( 2 - 3 6 + 5 ) 69
= 5
Finalm ente, la so lu ció n d e l sistem a d e ec u a c io n e s es:
x = 3
y= 4
z= 5
EJERCICIO 89
Resuelve los sig u ien tes siste m a s d e ecuacion es:
1.
2.
3.
2 x - y + 5 z = 16
x - 6 y+ 2 z = - 9
3 x + 4 y - z = 3 2
d - e - 4 f = - 4
2 d + 2 e + f = 11
d + e + 3 f = \3
x - 2 y + 3z= 10
2 x + y - 6 z = 1
4 x - 2 y - 9 z= 15
5.
6.
7.
4 / i - 2 m - 3 r = 1
m + 3 n - 5 r = - 4
3 m - 5 « + r = 0
- - - + - = 7
a b e
I + I - I = 5
a b e
A- U 2- = n
a b e
3 x - 2 y + z = \6
2 x + 3 y - 8 z = 2
x - y + 3z = 14
9.
10.
11.
m + r = 8
2 n - 3 r = 3
2 m + 3w - 4 r = 19
x = 2{\ + 2 y ) - 9 z
y = 2 ( 2 z - x ) - l 3
z = 2 ( y + 4 ) + 3x
x - y + z= 4
2 x + y - z = 5
x + 3 y - 4 z = - 5
4.
3 x + 5 y - z = 4
\ 0 y - 6 x - 3 z = \
4 z - \ 5 y + 9 x = - \
12.
2 3 1
— 1 1
a + b e
— 11
1 1
— X
_X
2
— 7
a b c
— /
3 1 1
= 8
a b c
— o
(_ j Vferifkra tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente ■
2 0 7

226. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
P R O B L E M A S Y E JE R C IC IO S D E A P L IC A C IO N
T re s pro feso res c o m p ra ro n libros: u n o d e e llo s p a g ó $84 5 p o r 3 d e álg eb ra, 5 d e g e o m e tría a n a lític a y 2 d e cálcu lo
d ifere n cia l; o tro p a g ó $ 5 8 0 p o r 2 d e g e o m e tría an alítica , 4 d e á lg e b ra y u no d e c á lc u lo d if e re n c ia l; e l ú ltim o d e
e llo s p a g ó $ 6 0 5 p o r u n o d e á lg e b ra , 3 d e g e o m e tr ía a n a lític a y 3 d e c á lc u lo d ife re n c ia l. ¿ C u á l e s e l p re c io
d e c a d a libro?
So lu ció n
S e a * : c o sto d e l libro d e álgebra
y c o sto d e l libro d e g e o m etría a n alítica
z: c o sto d e l libro d e c á lc u lo d iferen cial
El sistem a d e e c u a c io n e s que resuelve e l p ro b lem a es:
Se a p lic a e l m étodo de red u cció n p a ra e lim in a r r.
A l m ultip licar p o r - 2 la e c u a c ió n ( 2 )
y su m ar c o n la ecu a ció n ( 1 )
— 8x —4 y —2 z = —1 160
3 x + 5 y + 2 z = 845
3x + 5 y + 2 z =
.8 4 5..........( 1 )
4x + 2 y + z — 5 8 0
..........( 2 )
x + 3 y + 3z = 6 0 5
............( 3 )
A l m u ltip lic ar por - 3 la segunda
e cu a ció n y su m ar la e c u a c ió n ( 3 )
- \ 2 x - 6 y - 3 z = - 1 740
x + 3y + 3z = 6 0 5
- 5 x + y = - 3 1 5
Se re a liz a u n nuevo siste m a c o n las ec u a c io n e s resultan tes:
3 ( - 5x + y = - 3 \ 5 )
- 1 L t - 3 y = - 1 135
- \5 x + 3y = - 9 4 5
-\ \ x - 3 y = - \ 135
- \ \ x - 3 y= - 1 135
- 2 6 *
S i * = 80, e n to n c es
= - 2 0 8 0
- 2 080
* =
* =
- 2 6
- 5 ( 8 0 ) + y = - 3 1 5 4 0 0 +y = - 3 1 5 - > y = - 3 1 5 + 40 0 = 85
S i * = 80, y = 85, por tanto
3 (8 0 ) + 5 (8 5 ) + 2 z = 8452 4 0 + 42 5 + 2 z = 8 4 5 —>2z = 84 5 - 2 4 0 - 425
8 4 5 - 2 4 0 - 4 2 5
= 9 0
P or co n sig u ie n te, e l libro de á lg e b ra tie n e un p re cio d e $80, e l d e g e o m etría a n a lític a de $85 y e l d e c á lc u lo
d iferen cial c u e s ta $90
E J E R C IC IO 9 0
Resuelve los sig u ien tes problem as:
1. J o s é c o m p ró c ie rto d í a 3 p a le ta s, 5 h e la d o s y 2 d u lc e s , p o r to d o p a g ó $ 2 8 . A l d í a sig u ie n te , a d q u irió 4 p a le tas,
3 h e la d o s y 5 d u lce s c o n $25 y e l últim o d ía, una paleta, un helado y un d u lce que le c o sta ro n $7. ¿ C u á l e s e l costo
de c a d a golosin a?
2 0 8

227. Ejemplos
Ca p i t u l o 8
Sstemas de ecuaciones
2 . M iguel, Fabián y Ju an C a rlo s cierto d í a fueron a co m p rar ropa. M iguel co m p ró 3 cam isas, 4 pantalones y 3 playeras;
Fabián, 5 cam isas, 3 pantalo nes y 4 p lay eras y J u a n C arlos, 2 cam isas, 6 p an talo n es y u n a playera. S i pagaron $4 100,
$4 600 y $ 4 000, ¿cuál e s e l precio d e c a d a prenda?
3. E duardo, H ugo y A rturo fuero n a co m p ra r ropa. E duardo s e c o m p ró 3 playeras, 2 p an talo n es y 5 p ares d e c a lc e ta s y
pagó $1 710. H u g o ad q u irió 2 playeras, 3 pan talones y 4 p ares d e c a lc e ta s c o n $2 0 90 y A rtu ro , 4 play e ras, 2 p a n ta ­
lones y 3 p ares de c a lc e ta s p o r $1 730. ¿ C u á l e s e l p re cio d e c a d a artícu lo ?
4 . U n núm ero e s tá fo rm ad o p o r 3 dígitos, e l d íg ito d e la s c e n te n a s e s la sum a d e los o tro s dos, la su m a d e la s d e ce n as
y c e n te n a s e s ig u a l a 7 v e c e s la s unidades. D e te rm in a e l núm ero, d e ta l m a n e ra q u e si s e in v ie rten los d íg ito s, la
d iferen cia s e a 594.
Ü \fcrlffca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente,
Descomposición de una fracción algebraica en suma de fracciones parciales
Al re a liz a r una su m a d e frac c io n e s se ob tiene la sim p lificación d e la m ism a, por ejem p lo :
2 1 = 2 ( * + 2 ) + l ( x + 3 ) = 2x + 4 + x + 3 = 3x+ 7
x + 3 + x + 2 ( x + 3 ) ( x + 2 ) x 2 + 3 x + 2 x + 6 x 2 + 5 x + 6
Sin em b argo , e n o c asio n e s e s n e ce sa rio d e sc o m p o n e r una frac c ió n co m o la sum a d e su s frac c io n e s p arciales, esto
es, re a liz a r e l p ro c e so inverso.
C a so I. U n a frac c ió n d e la fo rm a d o n d e e l g ra d o d e P(x) e s m e n o r q u e Q{x) y
Q(x) = ( x + x ,X * + x j -...(x + x j , y n in g u n o s e repite, se p u e d e d e s c o m p o n e r e n la su m a d e las fra c c io n e s p a r ­
cia les c o m o sig u e :
P ( x) _ A | B Z
Q (x) x+x, x+x¡ x+xñ
EJEMPLOS
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 • • E x p resa + *— c o m o una su m a d e frac c io n e s parciales.
x - x - 6
So lució n
Se fa cto riz a e l d e n o m in a d o r y a c a d a factor lin e a l le co rresp o n d e una co nstan te c o m o num erador:
3x + \ 3x + \ A B
+
x 2 - x - 6 ( x - 3 ) ( x + 2 ) * - 3 x + 2
Se d e sa rro lla la su m a de frac c io n e s
3x + l = A ( x + 2 ) + B ( x - 3 )
( x - 3 ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 2)
P ara que se c u m p la e s ta ig u ald a d se igualan los num eradores, e l resu ltad o e s e l sig uiente:
3 x + 1 = A (x + 2 ) + B(x - 3)
3x + \ = A x + 2A + B x - 3 B
A l ag ru p ar los térm ino s que c o n tie n en x y lo s independientes, resulta:
3x+ l = x ( A + B ) + 2 A - 3 B
(continúa)
2 0 9

228. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
E n to n ces s e g e n e ra un siste m a d e d o s e c u a c io n e s c o n d o s in cógn itas, IjjL$b-\ que a * re s0 *v e r *° ^ co m o
resu ltad o A = 2 y B = 1
P or tanto, la frac c ió n co m o su m a d e p a rciale s es:
3 * + 1 = 2 | 1
x 2 - x - 6 x - 3 x+2
x + 4
2 • • E x p resa —r~— ,
------- c o m o una sum a d e frac c io n e s parciales.
x 3 + 3x2 + 2 x
So lu ció n
S e d e sc o m p o n e e n fa cto res e l d e n o m in a d o r d e la fracción:
x + 4 x+4
x 3 + 3 x 2 + 2 x x ( x + 2 ) ( x + l)
A c a d a d e n o m in a d o r le co rresp o n d e un a co n stan te c o m o sigue:
x + 4 A B C
x ( x + 2 ) ( x + 1) x x+2 x + 1
Se re su e lv e la sum a d e fraccion es
x+4 ¿ ( x + 2 ) ( x + l ) + S x ( x + l ) -h C x ( x + 2 )
* ( * + 2 X * + l ) * ( * + 2 ) ( * + l )
L o s nu m eradores s e igualan:
x + 4 = ^ ( x + 2 ) ( x + l) + f l x ( x + l ) + C x ( x + 2)
x + 4 = ^ ( x 2 + 3 x + 2 ) + f lx ( x + l) + C x (x + 2)
x + 4 = Ax2 + 3 A x+ 2 A + Bx2 + B x+ C x 2 + 2C x
Se a g rup an térm inos sem ejantes:
x + 4 = x2(A + B + C )+x(3A + B + 2C ) + 2A
A l igualar los resp ectiv o s co eficien tes, s e obtien e e l siguiente sistem a,
A + B + C =0
3A + B + 2 C =
2A = 4
El cu a l s e resuelve y e l resu ltad o e s: A = 2, B = 1 y C = - 3
P or tanto, la frac c ió n ex p resad a c o m o su m a d e frac c io n e s parciales es:
x + 4 _ 2 , 1 3
x ( x + 2 ) ( x + l ) x x+2 x +1
3 • • ¿ C u á l e s la d e sc o m p o sic ió n e n frac c io n e s p a rciale s — j p — - — 7
So lu ció n
Se d e sc o m p o n e e l den om in ad or:
4 x 2 - 2 x + 1 _ 4 x 2 - 2 x + 1 _ 4 x 2 - 2 x + 1
4 x J - x " x ( 4 x 2 - l ) ~ x ( 2 x + l ) ( 2 x - l )
2 1 0

229. Ejemplos
Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
a c a d a factor d e l d e n o m in a d o r le co rresp o n d e u na co n stan te de la siguiente m anera:
4 x 2 - 2 x + \ A B C
= — + +
x (2* + l ) (2* - l ) * 2x + \ 2 x - \
A l reso lver la fracció n d e l lado derecho:
4 x 2- 2 x+ 1 = A ( 2 x + \ ) ( 2 x - \ ) + B x ( 2 x - \ ) + C x (2 x + \)
x ( 2 x + l)(2x - 1) x (2 x + l ) ( 2 x - l)
A l ig u alar lo s n um erado res se obtiene:
4 x 2 - 2 x + l = A ( 2 x + l ) ( 2 x - l ) + B x ( 2 x - l ) + C x(2x + l)
4 x 2 - 2 x + l = A ( 4 x 2 - l ) + Bx ( 2 x - l ) + Cx( 2x + l)
4 x 2 - 2 x + l = 4A x2 - A + 2B x2 - BX+2CX2 + Cx
A l a g ru p a r térm in o s sem ejantes, se d e te rm in a que:
4 x 2 - 2 x + 1 = x2(4 A + 2 B + 2C) + x( - B + C ) - A
A l ig u alar lo s coeficien tes s e obtiene e l sig u ien te sistem a,
4 A + 2B + 2 C = 4
- B + C = - 2
- A = 1
Este sistem a d e ec u a c io n e s se resu elv e p o r c u a lq u ie r m étodo a lg e b raic o , d e l c u a l re su lta rán lo s sig u ien tes valores,
A = - l , B = 3 y C = 1, por tanto, la d e sc o m p o sic ió n de frac c io n e s parciales es:
4 x 2 - 2 x + \ _ 1 | 3 | 1
4 x i - x x 2 x + 1 2 x - \
C a so I I . U n a frac c ió n de la fo rm a donde e l g ra d o d e P(x) e s m e n o r q u e Q(x) y
Q(x)=(x + x¡y(x + x j ” ,.. (x + x¡y , to d o fa c to r que se re p ite n v e ce s, s e d e sc o m p o n e e n la su m a d e fra c c io n e s p a r­
d a le s c o m o sigue:
A B Z
- 3 - + ...+
( * + * i ) ( * + * , ) 2 "■ ( x + Xly
EJE M P LO S •
1 • • E x presa la fracción : ^ +^ 2
----- co m o u na su m a de frac c io n e s parciales.
S o l u c i ó n
Se d e sc o m p o n e e l d e n o m in a d o r e n factores:
x 2 + x - \ = x 2 + x - \ = x 2 + x - \
x 3 + 2 x 2 + x x ( x 2 + 2 x + \) x ( x + \ ) 2
(continúa)
211

230. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
A c a d a d e n o m in a d o r le co rresp o n d e una co n stan te c o m o num erador:
x 2 + x - \ = A + _ B _ + C
x ( * + l)2 * * + 1 (* + l)2
Se re su e lv e la sum a d e fracciones:
jc2 + j c - 1 = A ( x +1)2 + Bx(x + l ) + C r
x ( x + \)2 = x ( x + \ ) 2
Se igualan los num eradores:
* 2 + * - l = a(x2 + 2x+ \) + b[x2 + x ) + C r
A l a g ru p a r térm in os sem ejan te s se d e te rm in a que:
x 2 + x - \ = x 2(A + B ) + x (2 A + B + C )+ A
Se igualan los coeficientes d e am b os lad o s para o b te n e r e l siguiente sistem a.
A + B = 1
2A + B + C = 1
A= - 1
Q ue a l reso lv erlo por c u a lq u ie r m étodo, d a co m o resu ltad o : A = - l , B = 2 y C = l , p o r tanto, la d esco m p o sició n
e n frac c io n e s parciales es:
x 2 + x - l = 1 [ 2 | 1
x 3 + 2 x 2 + x x x + \ (x + \)2
2 • • ' ¿C u ál e s la d e sc o m p o sic ió n c o m o u na sum a d e frac c io n e s parciales d e 2 + 1 * ^ + 2 0 + 1 2 ^
So lu ció n
Se d e sc o m p o n e e l den om in ad or:
8 + 3 X - X 2 8 + 3 X - X 2
2 x 3 + 1 b r 2 + 2 0 * + 1 2 (2 * + 3 ) ( * + 2 ) 2
A c a d a factor lin e a l le co rresp o n d e u na co n stan te c o m o num erador,
+ 3 x - x 2 A B C
+ +
[2 x + 3 )(x + 2 Y 2 x + 3 x + 2 ( x + 2 y
A l re so lv er la su m a de frac c io n e s parciales re su lta que:
8 + 3 J - J 2 = A (x + 2 )2 + B (2 x + 3)(x+ 2) + C ( 2x+ 3)
(2x + 3)(x + 2 f (2x + 3)(x + 2 )2
2 1 2

231. Ca p i t u l o 8
Sstemas de ecuaciones
Se d e sa rro lla n lo s productos e igu alan los num eradores:
S + 3 X - X 2 = ¿ ( x 2 + 4 x + 4 ) + f l ( 2 x 2 + 7 * + 6 ) + C ( 2 x + 3 )
A hora, a l a g ru p a r térm inos sem ejantes,
8 + 3 x - x 2 = x2(A + 2 B )+x(4 A + 7 B + 2 C ) + 4 A + 6 B + 3C
Se igu alan los co eficien tes de am bos lad o s para fo rm ar e l sig u ien te sistem a,
A + 2 B = -1
4 A + 7 B + 2 C = 3
4 A + 6 B +3 C = 8
Q ue a l reso lv erlo por c u a lq u ie r m étodo s e d e te rm in a que: A = 5, B = - 3 y C = 2 , por tanto, la d e sc o m p o sic ió n en
fracciones parciales es:
S + 3 x - x 2 5 3 2
+
I x ' + l í x 2 + 2 0 x + ¡2 2x + 3 x + 2 ( * + 2 ) J
EJE ? C IC IO 91
D escom pón e n sum a d e fracciones parciales las sig u ien tes fracciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5 x + \
7.
( x + l ) ( x - l )
2 9 x - 5 6
( 3 x - 7 ) ( 2 x - 3 )
8
{ 5 x - 4 ) ( 5 x + 4)
x - \ 2
( x + 2 ) ( x - 5 )
\ 9 - 4 x
x 2 - \ \ x + 2 S
2 (2 x + 7 )
4 x 2 - 1
2 x + 5
9.
10.
11.
x 2 + 5 x + 6
5 x - \ 3
' 6 x 2 + \ 3 x - 5
5 x + \
12 + x - x 2
- l l ( * » 3 )
1 4 - 3 x - 2 x 2
3 r - 5
9jc2 - 1 2x + 4
[ J Nferifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
2 0.
2 1.
2 2.
4 * + 7 * - 1 2
* ( * + 2 ) ( x - 3 )
2 X 2 + 7 x + 14
( * + l ) ( * - 2 ) ( * + 4)
3x2 - 5 x - \ 7
( x + 3 ) ( x - 2 ) 2
\6 x 2 - 4 8 x + 15
2 x * - 7 x 2 + 3x
9 x 2 + 4 x - 4
x i + x 2- 2 x
30 - 3 0 x - 2 9 x 2
6 x 3 + 5x2 - 6x
2 x 2- 6 x - 2 6
x 3 + 2 x 2 - 5 x - 6
4 x 2 + 9 x + l l
2 x i - x 2 - 5 x - 2
- x2
x 3 + 3 x 2 + 3 x + l
- x 3 - 2 x 2 + 5 x - l
x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 - x
2 x i - 3 0 x
x 4 - 1 8 x 2 + 81
2 1 3

232. Ejemplos
8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
Caso I I I . U n a frac c ió n d e la fo rm a d o n d e e l g ra d o d e P (x) e s m e n o r q u e Q(x) y Q(x) co n tien e fa c to re s de
seg u n d o g ra d o y n ing uno d e e llo s s e repite, en to n c es s e puede d e sc o m p o n e r d e la siguiente m anera:
P (x ) A x + B | C x + D ( | M x + N p
Q (x) ax2 + bx + c a ¿ 2 +blx + cl aHx ? + b Hx + c n
EJEMPLOS
------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • E xpresa c o m o u na su m a d e frac c io n e s parciales la siguiente ex presión : ^
x + 3x
So lu ció n
S e fa cto riz a e l deno m inador:
4 x 2 + 6 4 x 2 + 6
x i + 3x * ( * * + 3 )
E l d e n o m in a d o r s e co n fo rm a d e un fa c to r lin e a l y un fa c to r cu ad rático , e n to n c e s la sum a se re p re se n ta com o:
4 x 2 + 6 = A + B x + C
x ( x 2 +3) x x 2 + 3
Se resu elv e la su m a d e fracciones y s e igu alan num eradores:
4x2 + 6 _ A (B x + C) a(x2 + 3) + ( B x + C ) x
¿ ( x 2 - ^ ) x + x 2 + 3 jc(a:2 + 3)
4x2 + 6 = A(X2 + 3) + (Bx + C )(x )
4x* + 6 = + 3A + Bx1 + Cx
4X1 + 6 = X2(A + B )+ C x + 3 A
P ara q u e se c u m p la la ig u a ld a d , lo s n u m e ra d o re s d e b e n s e r ig u ale s, e n to n c e s s e fo rm a e l sig u ie n te siste m a
A + B = 4
C = 0 , q u e a l re so lv erse d a: A = 2, B = 2 y C = 0, por tanto, la d e sc o m p o sic ió n e n frac c io n e s parciales es:
3A = 6
4 x 2 + 6 2 2 x + 0 2 2 x
= = - +
x* + 3x x x 2 + 3 x x 2 + 3
2 • • ■ D e s c o m p o n e n u na su m a d e frac c io n e s parciales la expresión:
4x* - 1 Lx2 + \ l x
[x 2 - 3 x + l) ( x 2 + 2 )
So lu ció n
E l d e n o m in a d o r c o n tie n e ú n ica m en te fa c to re s d e se g u n d o g ra d o , p o r ta n to , la s fra c c io n e s p a rc ia le s q u e d a n d e la
sig u ien te m anera:
4 x i - \ \ x 2 + \7 x = A x + B Cx + D
( x 2 - 3 * + l ) ( x 2 + 2 ) x 2 - 3 x + \ + x 2 +2
A l re so lv er la su m a de frac c io n e s e igualando n u m erad o res s e obtiene:
4 x ? - \ \ x ? + \ 7 x = (A x + B ){x 2+ 2) + (Cx+ D )(x 2 - 3 x + \ )
4 x i - \ \ x 2 + \ 7 x = A xi + 2A x + B x2 + 2 B + C x i - 3 C x 2 + C x + D x2 - 3 D x + D
2 1 4

233. Ca p i t u l o 8
Sistemas de ecuaciones
Se ag ru p an térm in o s sem ejan tes:
4 x 3- \ \ x 2 + \7 x = x3(A + C )+x2( B - 3 C + D ) + x(2A + C - 3 D ) + 2 B + D
P ara que se c u m p la la igualdad, los n u m erad o res d e b e n s e r iguales, enton ces:
A + C = 4
B - 3 C + D = - \ 1
2A + C - 3 D = 17
2B + D = 0
A l reso lver e l siste m a d e ec u a c io n e s se d e te rm in a q u e : A = l, B = 2, C = 3 y D = - 4
Por tanto, la d esco m p o sició n e n frac c io n e s p a rciale s es:
4 x i - \ \ x 2 + n x = x + 2 3 x - 4
( * 2 - 3 x + l ) ( x 2 + 2 ) x 2- 3 x + \ + x 2 +2
C a so IV. U n a frac c ió n d e la fo rm a j d o n d e e l g ra d o d e P(x) e s m e n o r q u e Q(x) y Q(x) co n tie n e fa c to re s de
segundo g ra d o y a lg u n o d e e llo s se repite, en to n c es a c a d a fa c to r d e la form a: (ax2 + b x + c)" le c o rre sp o n d e una sum a
efe fracciones:
A x + B [ C x + D t + M x + N
(ax2 + bx + c)” (ax2 +bx+c)"~l ax2 + bx + c
Ejem plo
c a p ■ • i i • • . 3x* +x* + 4 x 2 + 6 x + 3
E xp resa e n sum a d e frac c io n e s p a rciale s la sig uiente: x s + 2 x 3+ x
--------
S o lu c ió n
A l factorizar e l d e n o m in a d o r s e obtiene:
3 x 4 + * 3 + 4jc2 + 6 jc + 3 = 3x * + x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3
x 5 + 2 x 3+x x ( x 2 + 1)2
L a d esco m p o sició n es:
3x4 +x* + 4 X 2 + 6 x + 3 A B x + C D x + E
= — +
* ( * 2 + i ) 2 * (* 2 + i ) 2 * 2 + i
Se resu elv e la su m a de fracciones:
2x, + x ‘ + ‘\ x 2 + 6x + ’¡ = + 1 )' + {B x* C ) ( x ) + ( Q t + E ) ^ * 2 + l)
x ^ + l ) 2 = x ^ l ) 2
Se igu alan los num erado res y s e de sa rro llan los productos:
3x4+ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3 = Ax4 + 2A x 2 + A + B x2 + Cx+ D x4 + Dx2 + E x3 + Ex
Se ag ru p an tam bién lo s té rm in o s sem ejan tes:
3x4 + x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3 = x 4 (A + D ) + x 3( E ) + x 2(2A + B + D ) + x ( C + E ) + A
(continúa)
2 1 5

234. 8 C a p i t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
A + D = 3
D e e s ta ig u ald a d se fo rm a e l siste m a d e ecu a cio n e s
E = 1
2A + B + D = 4
C + E = 6
A = 3
A l reso lver e l sistem a d e e c u a c io n e s se o b tie n e n lo s sig u ien tes valo res:
A =3, B = - 2 , C = 5, D = 0 y E = 1
P or tanto, la d esco m p o sició n c o m o su m a de frac c io n e s p a rciale s es:
3x* + x 3 + 4 x 2 + 6 x + 3 3 5 - 2 x 1
= - + "
-------------T T +
x 5 + 2 x 3 + x a: (jc2 + l ) 2 * 2 + 1
E J E R C IC IO 9 2
Expresa c o m o una su m a d e fracciones parciales a las siguientes:
] 4 x 2 + x - 9 n 5 x 2 - 1 8 x - l
x 3 - 3 x ' 2 x i + Ax2 - 6 x - 2 0
4 x 2 - x - \ x 4 + x 3- 5 x 2 - 2 x + 9
3 x s + 3 x 2 + x + l * x 5 - 6 x 3 + 9x
2 x 2 - 3 x + 3 x 3 + x 2 + x + 1
3 - x 3 - 2 x 2 + x - 2 13‘ ( ^ + Ar_ i ) 2
x 2 - 1 9 - 5 x 4 - 9 x 2 + x - 7
4 - x* - 2 x 2 - 35 14' x 6 +
3x4 + 3 x 2 + 1
3x2 + 2 x - 2 2 x 4- x i - 9 x 2 + 3x + \ \
5- x 3 - l , 5 - x 5 + x 4 - 4 x 3 - 4 x 2 + 4 x + 4
- 6 x i + x 2- 3 2 x + 3 2 x 4 + 10x3 + 2 4 x 2 + 2 7 x + 1 6
6 ' * ‘ + 8 ^ + 1 5 16' x ( ^ + 3 x + 4 ) 2
x 4 - 2 x 3 - 4 x 2 - l l x - 6 - x 5 + x 4 - 2 x 3 + 4 x 2 - x + 2
7' x ' + x 3 - 6 x 17 x 4+2x4+ x2
S .t2 - 9 x - 8 4 ( x 2 + l)
8' * J - 5 x 2 + 5 * + 3 l8 ' *8 + 4 * ‘ + 4 x <
11jc3 - Sjc2 —3 0jc-8 3 x 5 - 3 j 2 + 4 ;t2 - 6 j t - 5
9‘ 2 r 4 + 3 x 2 - 35 19‘ (x 2 - 2 ) 2( x 2 f l )
- l x 2- 4 2 x + 2 4 2 x s- 4x, + \3x‘ - 3x2 + 5x- 5
10' x 3 + 5x2 - 3 * 20- (x ' - - \ ) ( x ' - - x + \)2
U O rific a tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
2 1 6

235. C ap ítu lo 9
Po t e n c ia c ió n
HISTÓRICA
0
1C
1
&
E x p o n e n t e d e u n a p o t e n c ia
E
l primero que colocó el exponente en una posición elevada con res­
pecto a la línea base fue Nicolás Chuauet en el siglo XV. Sin embargo,
lo colocaba directamente en el coeficiente, de modo que 5 x 2, lo
escribía como 5 2.
En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viéte en la que
utilizó una notación prácticamente igual a la actual, salvo en el detalle de uti­
lizar números romanos. Así, 5 x 2 lo escribía como 5x".
Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos nume­
rales romanos por los indoarábigos. N o deja de ser curioso, sin embargo,
que para la potencia cuadrada no utilizara la notación elevada, sino que
siguiera escribiendo, como muchos hasta entonces, x 2 como xx.
Estas expresiones son residuos de la época griega, en la cual los productos
x x (X2) o x x x ( x 3) sólo se entendían como áreas o volúmenes. Por eso noso­
tros, cuando calculamos el producto de un número x por sí mismo, decimos
que estamos elevando x "al cuadrado", aunque no pensemos en absoluto
en calcular el área de un cuadrado de lado x.

236. 9 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Definición
E s la o p e rac ió n e n la c u a l la c a n tid a d lla m a d a b a se s e d e b e m u ltip lic a r por e lla m ism a las v e c e s q u e lo in d iq u e e l
exp o n en te.
O a" = a a ■ d o n d e a e s la b a s e y n e l e x p o n e n te .
n - veces
E JE M P L O S
• • A l d e s a rro lla r* 4, s e obtiene:
.1 . S o lu ció n
u j
A l s e r e l expo nente 4, la b a se * s e m ultiplica 4 veces e lla m ism a:
x = *• *• *• *
Por co n sig u ien te, c u a n d o s e tie n e * 4, e s lo m ism o que si s e m ultiplica 4 veces la b a se *.
2 • • • ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e ( - 2 x f ?
S o lu ció n
Se m ultiplica la base por s í m ism a tre s v eces, por tanto:
( - 2 * r = ( - 2 , ) ( - 2 * ) ( - 2 , ) = - 8 ^
Finalm ente, s e obtiene: ( - 2 * ) ? - - 8 * 3
Teoremas d e los exponentes
S i a , b , m , n s R y a, b * 0, entonces:
© a" am = a 'tm
D e m o strac ió n
a ” - a m= (a ■ a - a a ... • á )(a • a a • a ... • á) = a - a a ■ a ...-a = a"+m
ti veces m v e c e s n + m v e ce s
E JE M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e * 3- * 5?
.SL S o lu ció n
tu
S e a p lic a e l te o re m a y s e ob tien e:
2 * E n cu e n tra e l resu ltad o d e (-5 m )(8 m 3X -2m 2).
S o lu ció n
Se m ultip lican los co eficie n te s ( - 5 )( 8 )( - 2 ) , d e sp u é s s e a p lic a e l te o re m a y s e obtiene:
(-5 m )(8 m 3)(-2 m 2) = 80w 1+3f2 = 80m6
218

237. E je m p lo s
C a p í t u l o 9
Potenciodón
D e m o s t r a c i ó n
mveces
a "
n veces rc
E JE M P L O S
m 5
• • ¿C u ál es e l re su lta d o d e — ?
m
S olución
Se a p lic a e l te o re m a y s e obtiene:
= m 5"2 = m }
E n cuentra e l resu ltad o de: .
- 3 m
S olución
P rim ero s e div id en los co eficien tes y desp ués s e a p lic a e l teorem a:
- 2 7 m 7 _ - 2 7
- 3 m 3 - 3
O a # = 1
D e m o s t r a c i ó n
Al a p lic a r e l te o re m a d e división, c o n m = n, re su lta que:
á am
Ejemplo
¿C uál es e l re su lta d o d e ( - 1 2 m 7)°?
S olución
Se a p lic a e l te o re m a y s e d e te rm in a que:
( - 1 2 m 7 ) ° = l
o a- = ¿
D e m o s t r a c i ó n
0-1» o
a = a = — = -
a c
a ... a = (r~"
- ti v e ce s
9m*
= a
2 1 9

238. 9 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Ejem plo
¿ C u á l e s e l resu ltad o d e ( - 3 * ) 2 ?
S o lu ció n
Se a p lic a e l te o re m a y desp ués se d e sa rro lla la potencia:
\-2 1 1 1
' ~ ( - 3 , ) ! ( - 3 x ) ( - 3 * )
Por tan to, s e tie n e q u e : (—3a:)-2 = —
yA
O ( « ■ ) " = o * -
D e m o strac ió n
( a - ) " = ( a " ) ( a ') ( a " ) . . . ( a " ) = d " = d m
mv e ce s
Ejemplo
¿ C u á l e s u na ex p resió n eq u iv alen te a (m 4) ?
S o lu ció n
S e a p lic a e l te o re m a y s e d e te rm in a que:
(m*f = m{* 3) = m a
O ( a
D em ostro ción
Al a p lic a r e l te o re m a de m ultiplicación, c o n m = n, entonces s e o btiene:
(abe)" = (abc)(abc)...(abc) = ( a a ‘..‘a)(bb...b)(cc...c) = aÑbÑcÑ
n v e ce s
Ejem plo
D eterm in a u na expresió n eq u iv alen te a : (a3 y 4 • z2) .
S o lu ció n
A l a p lic a r e l t e o r e m a s e o b tie n e q u e : ( a3 y 4 z 2)4 = x (* 4)y (4,<4)z<2,<4) = a 12 -y 16 - z8
• (:í í
D e m o strac ió n
nv e ce s
( « Y - (E 'í ( ÍEl ( - a a a ‘- a _ <*_
U J ~ { b ) { b ) { b ) " '{ b ) ~ b b b :.r b ~ bÑ
Ejem plo
¿ C u á l e s e l resu ltad o d e d e sa rro lla r I m 2n I ?
220

239. C a p í t u l o 9
Potenciodón
S olución
A plica e l teo rem a, y d e te rm in a que:
v 5 / , \ 5 / , \ 5
( m4 n3 Y ( m 4 ) ( n * ) m »»'5
I r 2 J " (r>)5 " |V)'
O
D e m o strac ió n
Í-T" = - = - = - =í-í
\b ) ( a \ " « 1 a" W
U J y
Ejemplo
¿C uál es e l resu ltad o d e d e sa rro llar j
S olución
Se a p lic a e l te o re m a y s e ob tiene q ue:
-2
?
íNsf
L u ego, a l e le v a r a l cu ad ra d o s e tie n e e l d esarro llo :
1 ( 2 * ) ’ “ 4**
3 y I 4 /
j | y J ( 3 y y 9 y 2
P o r tanto, | ~ j = %
EJER C IC IO 9 3
A p lica la defin ición y d e sarrolla la s sig u ie n te s potencias:
M 3
1 B - ' I
5. - ( 2a‘f 7 .
S T
2. H v f 4 . ( - 6 x V ) S
* ( H
8.[ - ( 2 a t ) !
Sim plifica la s sig u ie n te s e xp re sio n e s y muestra e l resultad o sin exp o n e n te s negativos:
9 . ( 3 y ) ( - 5 y 2) 12. ( - m V ) ( » T V )
■3- 4 4
« V a
18.( Á - Í J
10. x Y x - y
■3. 4
16 m3" 5 16. _2 _2 19.
( " í ” 2)a m « v 3 ;
tnim
H
pi| m
1
H
H
p—«
m
17
‘ 17 ítV
20.
( - 2 * ) ‘
221

240. 9 C a p í t u l o
Á L G E B R A
21. - 9 * ° 25. ( f l - V ) - ' 29. ( 2 a , )! ( 3 a ) 3 33. ^ ^
( a V )
22. 2 ( x - 5y)° 26. (* .* * ■ * > )- 30. 34. ^
23. 5 x ' 3 27. (z-J -z3 z0) '3 31.
24. - M - ’ 28. [ ( x + 2 , r f 32' {~ 0 j T
(6a ‘l _
( 3 . ) 3
Verifica tu s resultados en la sección da solucionas correspondían te
Sim plificación
Se a p lic a n los teo re m a s d e los ex p o n en tes, segú n s e p re sen te n e n la ex p resió n ; e s to sig n ific a que e l o rd e n e n q u e se
re alic e n e s ta rá d e te rm in a d o p o r las o p eraciones c o rre sp o n d ie n te s, a s í c o m o por los sig n o s d e a g ru p a c ió n que e sté n
involucrados.
E JE M P L O S
• • S im plifica la sig u ien te e x presión y d a e l resu ltad o c o n ex p o n en tes positivos.
w
S o lu ció n
Se a p lic a e l te o re m a (a-b)" = d b" y p osteriorm ente s e re a liz a e l p ro ducto de los expo nentes.
E l elem en to con ex p o n en te negativo s e tran sfo rm a a potencia positiva y s e re a liz a la m ultiplicació n de fracciones.
* V = — y6 =
X y x 6 y
y6
Por tan to, la sim p lificació n e s: ^
X
2 S im plifica la sig u ien te e xp resión y elim in a lo s ex p o n en tes negativos.
(* 2 + l p ( - r 2 + l)*
( * ’ + i f
S o lu ció n
E n e s ta e x p resió n la b a se involucrada e s e l b in o m io * 2 + 1, por lo q u e s e tra b a ja únicam en te c o n los ex p o n en tes, se
sim p lifica e l num erador y d e sp u é s s e sim p lifica la división c o m o sigue:
- P » . ) - H - ( , . . . )
( * 2 + 1)2 ( ^ + l ) 5
222

241. C a p í t u l o 9
Potenciodón
A l elim in a r e l expo nente negativo la exp resió n resultan te es:
= 7T í
P o r co n sig u ien te, la sim plificación es:
1
* 2 + l
3 ' S im plifica la sig u ien te expresión:
Solución
Se re a liz a la div isió n d e n tro d e l paréntesis:
y
= (2y ^ r
Se ele v a c a d a uno d e los fa cto res a l ex pon ente 2” , aq u ello s que re su lte n c o n exp onen te negativo s e tran sfo rm an
a s u ex presión equiv alente c o n ex pon ente positivo h a sta obten er la sim p lificació n deseada.
>2,-2 _ _ L _ L v«2._L _ y12
( 2 t y ! r = 2 -’ ^ v 4 T ; ,’ r
2 2 / ' Z2 4 a :8 z2
4 • • S im plifica a l m áxim o la sig u ien te expresión:
í 1 5
2
( 2 m " V ) ( i m r i y
Solución
Se resuelv en las potencias para c a d a uno de los paréntesis:
2 m 3 n ó í “
___________ 2 6m i n6 2 6m 2n 5
( 2 m “V ) ' ( 2 m n ) s ( W p V ) ( F w j p w )
Se m ultiplican los factores d e l d e n o m in a d o r y por últim o s e re a liz a la div isión:
2 m n _ 2 m 2n s 26m 2n s _ 06-* m2-7M5-<-i) _ o?
( í V ^ V l ' r V ^ - i w - 2 m " "2m"
E l resu ltad o co n tie n e ex p o n en tes negativos, entonces s e con vierte a exp onen te positiv o p a ra o b te n e r la sim plifi­
c ac ió n final:
. 6
-5 6 _ * 6 _
2 m n = 2 — - n = — —
m m
Por tanto, la sim p lificació n e s: ^ 7-
m
2 2 3

242. 9 C a p í t u l o
Á L G E B R A
5 • • • S im plifica la sig u ien te e x presión a l m áx im o y que no c o n te n g a ex p o n en tes negativos.
i i
S o lu ció n
Se desarrollan los paréntesis internos a l elevar c a d a uno d e los factores a l exp onen te correspondiente:
3
( , - y y ) M * V ) r
3
( * - v * r
Se resu elv e e l p rod ucto e n e l nu m erador d e la fracció n y s e realiza la división:
3
3 2 1 4
i+3Z
3' 5 5 '
x 6y 6z
*y« x 2y3z r y J
1 7 _ I 3
Se e le v a c a d a uno de los factores a la p o ten cia 3:
L o s e x p o n e n te s re su lta n te s so n n e g ativ o s, p o r lo q u e s e tra n s fo rm a n a o tro fa c to r e q u iv a le n te c o n e x p o n e n te
positivo
" 7 - 7 1 1 1
* y ~ É ' ~ H = ~ z ~ W
x 2 y 2 x 2y 2
P or co n sig u ien te, la sim p lificació n e s: l7 ,3
6 • • 'R e d u c e a s u m ín im a expresión:
x 2 y 2
( « y r - N T
(abcT
S o lu ció n
Se d e sa rro llan los parén tesis internos:
-1
1
c 5
-1
a V 4 V [ a 2b 2
{ a b e ) 1
1 ^ 1 { o’3
2 2 4

243. C a p í t u l o 9
Potenciodón
L u eg o , s i un a frac c ió n e s tá e le v a d a a un e x p o n en te negativo, é s ta e s ig u a l a s u recíp ro co e le v ad o a l expo nente
positivo, í ^ j = í “ J entonces:
r a v ‘ ra'b
' 1 >
c 3
[ « V “ J
3
a2b
L a e x p resió n resultante s e sim p lifica de div ersas fo rm as, u n a d e e llas e s m ultip licar las fra c c io n e s y p o r últim o
B a liz ar la divisió n resultante:
A 1 A
= a 3 = a'b'°c 3
V ¿rV 3l
< 1
c3fl^ V 3"3<rV3c 3
3
a'b
13
a *b~*
El factor c o n exp onen te negativo s e tra n sfo rm a e n o tro equ ivalente d e ex pon ente positivo:
7
P o r tanto, la sim p lificació n es:
7 ■ Reduce a s u m ín im a expresión:
a h 10
x 2+x 1
Solución
Se tran sfo rm a n c a d a uno de los su m an dos a exp onen te positivo y s e sim p lifica la frac c ió n co m p le ja resultante:
1 1 \ + x
X +X
= i -
¿ _ _ _ .y2 ( l + x ) _ 2
x-2+x~' Jl l ± x x*(\+ x) *
1 > *
X2 X x~
P o r tanto, la sim p lificació n e s: —
X
8 ■ S im plifica la sig u ien te e x presión y e lim in a los exponentes negativos.
a 2 - b~2
a1 + b ~ l
S olución
C a d a uno d e los sum ando s c o n ex pon ente negativo s e ex p resa e n otro equiv alente c o n expo nente positivo:
_1 1_
a '- b - 2 _ a2 ~b2
a-'+b~l 1 1
a b
{continúa)
2 2 5

244. 9 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a c ió n)
Las tran sfo rm a cio n e s d a n co m o re su lta d o u na frac c ió n com p leja, la c u a l a l sim p lifica rla s e obtiene:
J_ _ _ l_ b 2- a 2
~2 Íl_ _ a 2b 2 _ a b \ b 2 ~ ° 2) _ c ¡ b ( b + a ) ( b - a ) _ b - a
I + I b + a a 2b 2 ( b + a ) a 2b 2( b + a ) ab
a b a b
Por co n sig u ien te, la sim p lificació n e s: -
a b
EJE ÍC IC IO 9 4
Aplica tos te o re m as d e tos e xp o n e n te s y sim plifica ca d a una d e las sig u ie n te s e xp re sio n e s:
( * - 3 n * - 3 ) s
( * - 3 ) 3
1. \ x * y s z 2
3.
4.
x 2y3
x * y ^
x y z
2x - 'y ~ ¡
6.
_ 3 i I
a ~ 2b'c~2
3 4 I
a'~2b V 2
8.
9 .
4 a*b-
( 2 a w y
( * x 3y * z 4
W V z *
1 0.
11.
1 2.
13.
14.
15.
16.
( jr + 3 y ) 2 ( j r + 3 y ) 5
( 5 * y r - ( - ^ - y f
( * v r
x 2y *z
x * y 6z 2
( « V c 6)3
a ' b 2c
11 . -— l— T (2 a b -2) '
( 3 a 2b 3) - 1 }
18.
( m v y
(«V)i
19. [ ( ^ v r ^ y ^ f j 2
( * 2 ^ r
2 0.
2 1.
2 2.
23.
24.
( x - 2 y ) - 2 - ( x - 2 y r
( x - 2 y yr
a~3 - ¿ T 3
a~*+b~3
y -y
* ° - y
25. ( x - 2 + y ^ ) ( x - 2 - y - > )
x V ( y ~ 2 - x - 2)
26.
2 7 .
x - y
x y ~ 2 + x ~ 2y
x - ' + y - '
£} V # rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
2 2 6

245. E je m p lo s !
C a p í t u l o 9
Potenciodón
Potencia de un binomio
Factorial d e un número
A la e x p resió n r! s e le d e n o m in a “fa c to ria l d e i ' y s e define c o m o e l p rodu cto de to d o s los núm eros n atu rales a n te ­
riores a r.
r! = r ( r - l X r - 2 ) - ...-1 c o n r > 0
S i r = 0 , enton ces 0 ! - 1
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 O b tén e l resu ltad o de: 4!
Solución
Al a p lic a r la definición, s e o b tie n e que:
4! = 4-3-2-1 = 24
P o r tanto, 4! = 24
2 • • D eterm ina e l resu ltad o d e 6!
S olución
Se d e sa rro lla c a d a u no d e los factoriales y se realiza la o p eració n resultante:
6! = 6-5-4-3-2-l= 7 20
P o r co n sig u ien te, 6! = 72 0
Binomio d e N ewton
Para u n núm ero n e l d e sa rro llo de:
(a = + + ^ c f~ 2b 2 + n ^n 2^ ( f ~ 3bi + . . .
w (« — —2 ) . . . . ( « - r + 1)
. . . + - ^
-------------- ' ----}-cC t f + . . . + n a t f ’ + ¿>"
r!
E l p ro ced im ien to a n te rio r se lla m a teo rem a d e l b in o m io d e N ew to n o fórm u la p a ra e l bin o m io d e N ew ton.
S i n e s n a tu ra l, e l d esarro llo de (a + b)" cu m p le co n las siguientes c a ra c te rístic a s:
a ) E l prim er té rm in o e s a" y e l últim o térm in o e s b \
b ) A l d e sa rro llar e l bin o m io s e o b tie n e n (n + 1) térm inos.
c ) C o n fo rm e a u m e n ta n los térm in o s, la p o ten cia d e l p rim e r té rm in o a d ism in u y e e n 1 y la d e l se g u n d o té rm in o b
a u m e n ta e n 1.
d ) P ara obten er e l i-ésim o té rm in o s e u tiliza la fórm ula:
« simo, «(" - 'X" - 2) -•<" ~1+2)
( 1- 1 ) 1
2 2 7

246. 9 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJEM PLO S
---------------------------------------------------------•
1 • • D esarrolla: (x + 2y)4.
.1 . S o lu ció n
S e a p lic a e l d e sa rro llo d e l bin o m io d e N ew ton, hasta o b te n e r e l se g u n d o térm in o ele v ad o a l expo nente 4:
( ¿ + 2 y ) ‘ = ( x ) ‘ + 4 ( x ) ‘ - \ 2 y ) ' + M ‘ ~ 2 ( 2 y f + 4 (4 ~ ' K 4 ~ 2 ) (x )‘ - \ 2 y f *
♦ 4 <4 - ' ) ^ 2)(4 - 3> « ~ c W
Se d e sa rro llan los facto riales e n los denom inadores d e c a d a fracción, se d e sa rro llan las potencias y s e sim p lifica
a l m áxim o c a d a u n o de los su m an d o s:
= <*)‘ + 4 ( * ) W + W (2y)! + 4g 22) ( 1l) « P C W
= *‘ + 4<r'X2>.) + ( t f W ) + 4 « ( 8 / ) + (*°X 1 6 / )
Finalm ente, se re aliz a n los productos y s e obtiene e l d esarro llo :
= x* + 8 ^ y + 24x2y 2 + 32 ry ? + 16y4
2 • • - D e s a r r o lla : ( Z ^ - S y 2)5.
S o lu ció n
Se a p lic a e l te o re m a d e l bin o m io de N e w to n y s e tie n e que:
( 2 / - 3 / ) s = ( 2 tJ )5+ 5 (2 t 2)s - | ( - 3 / ) l + 5 Í 1 J 1 ( 2 / ) 5- 2(—3 / ) ' +
2!
+ 5(5^ 2) (^ - !(_ 3 y I) !+ S (S - l )(5-2)( S -3) (^ 5. 4(_ ^
, 5 ( 5 —1 )(5 —2 ) ( 5 — 3 ) ( 5 —4 )
Se sim plifican las fracciones y s e d e sa rro llan las potencias:
= (2V2)5 + 3 / ) ' + ^ ( 2 r !)í( - 3 y 2) 2 + ( Z «*)’( - 3 / ) 3 +
= 3 2 t 10 + 5 ( 1 6 t!)( - 3 / ) + 10(&t6) ( V ) + 1 0(4*4X - 2 7 / ) + 5 (2 t2)(81ys) + ( 2 í2) ° ( - 2 4 3 / ° )
Por últim o, s e re aliz a n los p ro d u cto s y s e ob tiene e l desarrollo:
= 32**° - 2 4 0 * y + 7 2 0 / y 4 - 1 0 8 Q r y + 8 1 Q ry 8 - 2 4 3 y 10
2 2 8

247. E je m p lo s
C a p í t u l o 9
Potenciodón
S i n e s e n te ro negativo o fraccio n ario , e l desarrollo de (a + b j cum ple co n las siguientes cara c te rístic a s:
á ) E l prim er té rm in o e s a" y no existe un últim o térm in o.
b ) E l núm ero de térm inos e s infinito.
c ) E l d e sa rro llo d e esto s bin om ios recibe e l nom bre d e se ries.
d ) C o n fo rm e a u m e n tan los térm in o s la p o ten cia d e l prim er té rm in o a d ism in u y e e n 1, y la d e l se g u n d o té rm in o b,
a u m e n ta e n 1.
é ) P ara obten er e l i-ésim o té rm in o s e u tiliza la fórm ula:
i-ésim o = n (n ~ » ) ( " ~ 2 ) " " ( n ~ ' + 2 )
0 - 1 ) !
EJEM PLOS
1 • • D esarrolla: ( x + l ) " 3.
Solución
Se a p lic a e l d esarro llo d e N ew to n h a sta obten er los térm inos deseados, e n este caso s e d e sa rro lla h a sta c in c o térm inos
21
+ ( - 3 ) ( - 3 - l ) ( - 3 - 2 ) w - v j í + ( - 3 ) ( - 3 - l ) ( - 3 - 2 ) ( - 3 - 3 ) (x)- , - . ( 1 ) V
3! ’ 4!
Se sim p lifica n to d o s y c a d a uno d e los co eficien tes d e c a d a térm in o , a s í c o m o los exponentes:
=(*)"*+(-3x*)_1(i) +
I'-=y y^ w 5c>2+ (~33~^)(,~5> w 6(D3+
= ^ - 3- 3 (a: -4X 1) + 6(J: - 5X 1 ) - 1 0 ( í - 6X l ) +
= JC-3 - l t - 4 + 6 t - 5 - l a t - 6 + 1 5 í - , - . . .
C o m o los ex p o n en tes s o n negativos, é sto s s e ex presan en s u eq u iv alen te positivo, lo que re su lta en:
\
___3 15 _
“ x 3 " ^ + / " / + / “ -
2 • • E ts a rro lla :(A :+ 2 )2 .
S olución
Al a p lic a r e l te o re m a d e N ew to n h a sta c in c o térm ino s:
( , + 2)3 = ( * ) 3 + ( Í ) Mí- '( 2 ) ' ' ) ( # - 3( 2 ) 3 +
+ E i ^ W i-3(2,3+E H p í H ) W i - , 2 r + _ .
y» ® ♦
{continúa)
2 2 9

248. 9 C a p í t u l o
Ál g e b r a
(c o n tin u a c ió n)
Se sim plifica c a d a uno d e los sum and os a l m áxim o:
- ( 4+ ( 0 * ) h 2 y 4 *r3(2)3+
- m
i - I 1 - 2 1-^5 _ 2
= x 2 + x 2 - - x 2 + - x 2 - - x 2 + ...
2 2 8
P or últim o, s e co n v ie rte n los ex p o n en tes negativos a positivos y s e obtiene e l d esarro llo :
\ 1 1 1
2 x 2 l x 2 %x2
= x 2 + —
-------r + —------=-+...
EJEIC IC IO 9 5
Desarrolla to s sig u ie n te s binom ios:
i . ( 3 - 2 * r 5 . ( ^ - l ) 6
9 ( H J
1 3 . (at- 1 ) " 4
z ( i + , r 6 . ( 2 - , ) ' 1 0 . (a:3 + 5 y 3) 3
i
14. ( 3a + 1 ) ’
3 . ( x - 2 y f 7 . p + f ' f . 1 . ( * - l ) -
4
1 5 . (at+ 2 ) '
* M f
, í f - . r
1 2 . ( 2at— 1) ~3 1 6 . (at- 2 ) ' 4'
V s r ifle a t u s r e s u lt a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
--------------
C á lcu lo del hésimo término
f ó r a d e te rm in a r e l i-ésim o té rm in o d e l b in o m io (a + b)R, se utiliza la sigu iente fórm ula:
i-ésim o
0 * - l ) !
E JE M P L O S
1 • • C a lc u la e l c u a rto té rm in o d e (2j»r+ 3) .
.1 . S o lu ció n
U J
E n e s te c a s o i = 4 , por tanto , e n e l nu m erador só lo h a b rá tres fa cto res num éricos:
4o. té rm in o = ^ ^ 1 ( 2 * ) ^ ( 3 ) ^ = | | M ( Z t )I ( 3 ) 5= I 0 ( 4 a » ) ( 2 7 ) = 1 0 8 0 .r:
E n to nces, e l c u a rto térm in o d e l b in o m io ( 2 * + 3)s e s: 1 0 8 0a:2
2 3 0

249. C a p í t u l o 9
Potenciodón
2 • • E tte rm in a e l sex to té rm in o de ( - t + l ) 2.
S olución
Para e n c o n tra r e l se x to té rm in o s e to m a e n c u e n ta qu e i = 6 y, p o r ta n to , só lo s e tie n e n c in c o térm in o s e n e l num erador,
luego:
S e x to té r m in o = í r í ^ R ~ 3h ^ l {x^ {lr =J - X~ h r =
2 5 6a: 2
Por tanto, e l se x to térm in o d e l b in o m io ( -* + 1)2 e s: T
2 5 6a: 2
E J E R C IC IO 9 6
D e te rm in a e l té rm in o q u e s e in d ica e n c a d a uno d e b s s ig u ie n te s e je rc id o s :
1. T ercer té rm in o d e ( 3a:+5 )7 5. O c tav o té rm in o d e (3 a: - 5 ) 10
2 . Q u in to té rm in o d e 6. S exto té rm in o de ( x - 2 ) " 4
3 . C u a rto té rm in o d e ( 4x y - 7 )6 7. Q u in to té rm in o d e ( a : - l) " ‘
1 1
4 . Sexto té rm in o de ( 8a: + l)S 8. C u a rto té rm in o d e (4 a :+ 9 ) 5
M irifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s e c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a
Triángulo d e Pascal
Al d e sa rro llar e l b in o m io (a + b)", los ele m en to s tie n e n co m o co eficientes:
, n ( / i - l ) w ( n - l ) ( n - 2 )
1 ,* ,
-----------------j-----L etcaera.
E sp ecíficam en te:
( a + b ) ° = 1
( a + b ) 1 = a + b
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b2
( a + b )3 = a 3 + 3><?b + 3 ab2 + b 3
y a s í sucesiv am ente.
E l triángulo de Pascal se fo rm a con los coefid entes d e los elem entos a l elevar un binom io a u na p o te n d a n con n e Z \
E ntonces s e to m a n los co eficientes d e los térm inos:
(a + b f 1
(a + b )1 1 1
(a + b)2 1 2 1
(a + b)3 1 3 3 1
(a + b)* 1 4 6 4 1
2 3 1

250. 9 C a p í t u l o
Á L G E B R A
A h o ra b ien , los e x trem o s d e c a d a p o ten cia sie m p re so n la unidad y lo s sig u ie n te s núm ero s d e c a d a p o ten cia se
o b tie n e n a l su m a r dos a dos los d íg ito s q ue s e tie n e n e n e l ren g ló n in m ed iato superior.
E JE M P L O S
1 • ® H a lla los co eficie n te s d e ( a + b f .
.1 . S o lu ció n
i u
A e ste bin o m io le a n te c e d e (<a + b)*, cuyo s co eficien tes son:
( a + b)* 1 4 6 4 1
luego se c o lo c a la unidad a los extrem os y s e su m a n d o s a dos d e la sig u ien te form a:
1 1 + 4 4 + 6 6 + 4 4 + 1 1
Finalm ente, los co eficien tes son:
( a + b)s 1 5 10 10 5 1
2 • • D esarrolla e l sig u ien te bin o m io (3 * - 2y)4.
S o lu ció n
A l to m a r los núm eros d e l trián gulo e n la fila d e un b in o m io c o n potencia 4, s e tiene:
(3 x - 2y)4 = l(3 x )4 + 4(3x)3( - 2 y ) + 6 ( 3 x ) \ - 2y )2 + 4 ( 3 * ) ( - 2y)3 + 1 ( - 2y)4
= (8Ur4) + 4(27A - 2y ) + 6 (9 * W ) + 4 ( 3 * ) ( - Sy3) + (1 6 y 4)
= 8 1* - 2 1 6 ^ y + 2 1 6 * V - 96*y3 + 16y4
3 • • D esarrolla e l sig u ien te bin o m io (x2 + 2y)6.
S o lu ció n
S e utilizan los coeficientes p a ra la p o ten cia 6 y s e obtiene:
(x 2 + 2 y f =
= l ( / ) ‘ + 6 fx 2f ( 2 y ) + 1 + 2 0 ( / ) 5(2y)3 + 1 5 ( / ) !(2y)4 + 6 ( / ) < 2 / 5 + 1(2 y f
= (* “ ) + (* x '°)(2 y ) + 1 5 ( / ) ( 4 / ) + 2 0 C / X 8 / ) + 1 5 ( / ) ( 1 6 / ) + 6 (^ K 3 2 y s) + ( 6 4 / )
=x a + 1 2 / ° y + 6 0 / / + 1 6 0 / / + 2 4 0 / / + 1 9 2 / / + 6 4 /
EJE ÍC IC IO 9 7
Desarrolla to s sig u ie n te s bin om ios c o n e l trián g u lo d e Pascal:
1. ( 2 x + l ) 4 4. (1 - x ) 6 7. (x 2 + 5y)6 10.
( H
2. (3 - 2y)7 5. (5 m - 2 r if
‘■ ( M í
11. ( r - 1 ) 12
3. ( r + 1)8 6. (a + 2b)* 9. ( x + y - 2 f 12.
m i
V e r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d i e n t e
2 3 2

251. Capítulo 10
Ra d ic a c ió n
HISTÓRICA
O
1C
o
s
C
E l sig n o ra d ic a l
hristoph Rudolff (1500-1545), alemán,
publica en 1 5 2 5 el primer tratado de
álgebra en alemán vulgar titulado Coss.
En esta obra aparece, por primera vez, el sím­
bolo Ó , para indicar la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número se
designaba antes del siglo XVI con un punto delante del número.
En el siglo XVIII Leonhard Euler utilizó por primera vez nuestro actual símbolo
de raíz, originado de la deformación de la letra V , la primera letra de la
palabra radix con la que se designaba a la raíz cuadrada.
Leonhard E uler (1707-1783)

252. Radical
L a ex p resió n Va recibe e l nom bre d e rad ical y s e d e fin e com o:
V a = b s i y s ó lo s i b" = a
Elementos d e un radical
U n rad ical e s u na ex p resió n alg eb raica, q u e s e form a c o n los siguientes e le m en to s:
coeficiente, rad ican d o e índice d e raíz
Ejemplos
10 C a p í t u l o
____________________________________________________________________________________
Á lG E B R A
C oeficiente R adicand o ín d ic e d e raíz
2 ^ 3
2 3 2
1 2 x y 3
5x*y¡3x2y
5* 3 ^ y 4
Raíz principal d e un radical
S e a a u n núm ero real y n e n te ro positivo m ayor a 1:
© S i a = 0 , e n to n c e s Va = 0
© S i a > 0 , e n to n c e s V a = b ta l q u e fr" = a
Ejemplos
y¡25 = ± 5 porque (5)2 = 2 5 y ( - 5)2 = 25.
/ T i ( í Y i
ÍT = 3porqueU J =T-
O S i a < 0 y n im p a r, e n to n c e s Va = b c o n b < 0
Ejem plo
l f - \ 02 4 = - 4 p o rq u e ( - 4 ) 5 = - 1 024.
© S i a < 0 y n p a r, e n to n c e s Va n o e s n ú m e r o r e a l.
Ejem plo
•J -9 no e s un núm ero real, y a que no existe un n ú m ero x , ta l que: x 2 = - 9 .
R ad ical com o exponente
S e a Va un núm ero real, en to nces e s te rad ical s e ex p resa com o:
V a = a■
2 3 4

253. E je m p lo s
C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
Teoremas
O ( " /a )" = a
D e m o strac ió n
Se ex p resa e l ra d ic a l \ ía c o m o exp o n en te, s e ele v a la ex p resió n y s e obtiene:
(V 5 )’ = ( a - ) " = < r = a
Por co n sig u ien te, ( \ ''a ) = a
Ejemplo
O b tén e l resu ltad o d e (n/5 ) .
Solución
Se a p lic a e l te o re m a y s e d e te rm in a que:
O v a " = a si a < 0 y /i e s im p a r
Ejemplo
D e term in a d re su lta d o de
S olución
Se a p lic a e l teo re m a y s e obtiene:
^ = - 2
( 7 5 ) ' = 3
O v a " = | a | s i a < 0 y n e s p a r
Ejemplo
O b tén la sig u ien te raíz: y ( - 8 1 )4 .
Solución
Se a p lic a e l teo re m a y e l resu ltad o e s:
*/(-8l)" = | — 811 =81
O Sea e l ra d ic a l " a " la expresión equivalente e s , donde e l índice e s e l d en o m in ad o r d e la fracció n y
el exponente d e l rad ican d o e l n u m erad o r.
D e m o strac ió n
El rad ical s e ex p resa c o m o exp onen te fraccio n ario y s e m u ltip lican los exponentes:
1 m
M P L O S
1 • • E x p resa \ x * c o n ex ponente fraccio n ario .
S olución
A l dividir e l exp onen te d e l rad ican d o por e l índice d e la raíz resulta:
2 • • ■ E x p r e s a V m c o n ex ponente fraccio nario .
S olución
E n este ca s o s e tra ta d e una raíz c u a d ra d a y e l exponente d e la base e s 1, por tanto , e l índice e s 2, entonces:
m - V m - m2
2 3 5

254. 10 C a p í t u l o
ÁlGEBRA
3 • • - E x p r e s a e l ra d ic a l Sy J ( a + b f c o n ex ponente fraccio nario .
S o lu ció n
Se d iv id e e l ex pon ente por e l índice y resulta:
^ ( f l + ó ) 3 = ( « + * ) *
4 • • - E x p r e s a e l ra d ic a l Ijx* + y4 c o n exponente fraccionario.
S o lu ció n
E l rad ican d o e s un p olino m io que se to m a c o m o un so lo ele m en to , e s to es:
Se a p lic a la división d e l exp onen te en tre e l índice y s e ob tien e:
’\lxr + 7 = lj(x‘ + y ‘ )‘ =(**+/)*
EJEÍC IC IO 9 8
Representa e n fo rm a d e exp o n e n te fra ccio n ario b s sig u ien tes radicales:
1. \/m
2. 17
3. V 7
6 . s ¡ 5 x
7.
i i . t ¡ x y
4. V a 1
*■ V M
9.
5. s ¡ ¿ ' 10. ’^ y f
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
12. ^ 7 + 7
13. ^ 7
14. ^ 7 + T j 7
15. t x + 2 y ) "
16. ¡ & - 1 &
>7. l - T x + t f
lo . vm \ n
19. y ¡ m ( n + p f
2 0 . H T n f ' V 7
Representación de un exponente fraccionario como rad ical
m
D ad a la ex p resió n a * s u re p resen tació n c o m o un rad ical e s: \ c F, donde e l num erad or e s e l expo nente d e l rad ical y
e l d e n o m in a d o r e l índice d e la raíz.
E J E M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
" 5 . 1 • • E x p resa e n form a d e rad ical: y 3.
.1 . S o lu ció n
t u
E l exp onen te d el rad ican d o e s la unidad y e l índice d e la raíz e s 3, por tanto:
¿ = 3n/ 7 = ^
2 3 6

255. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
2 • • ‘E scribe co m o rad ical: 4 (m + n ) * .
S olución
El exp onen te d el rad ican d o e s 2 y e l índice d e la raíz e s 5, e l coeficiente 4 p erm anece igual, por lo que resulta:
4 ( m + n ) s = 4 \,(m + n ) 2
3 • • - T r a n s f o r m a a rad ical la sigu iente e x presión : * 3 + y 3.
Solución
Se tra n sfo rm a a rad ical c a d a uno d e los su m an d o s y s e o btiene:
i i
x s + y * = +
EJEIC IC IO 9 9
R epresenta e n form a d e radical.
i
1. V 5. ( W ) ‘
3 2 1
9. - z 'y * 13.( 2 x+y)s
4
2 . 5 ’ 6 . ( S y f
2 1
10. ni* - ti* 14.
1
( m + n ) 2
2 2 1 1 2
3. m 3 7. l y 5 11. a 7 +¿>7 15.( a 3 + * 3) 3
4. (3 y )T
3 8
8. 3a s b 7
1 1
12. x * - y* 16.
V ar¡fiea t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ■
Teoremas
Los teorem as d e los exponentes tam b ién s e aplican a los radicales, y a que s e ex presan co m o ex ponentes fraccionarios.
© " j a - b c = "¿a-Vb-síc
D e m o strac ió n
Se e x p re sa e l radical co m o exp onen te fraccionario y s e a p lic a e l te o re m a co rresp o n d ien te d e exponentes p a ra obtener:
i i ¿ i
"Ja b e = (a b c ) "=¿1" bn c n = "ja • "jb ■ "je
Ejemplo
R ealiza: j 2 S y .
Solución
Se a p lic a e l te o re m a y s e d e te rm in a que:
! ¡ 2 ¡ ¿ r y = t l 2 l í ? l f r
2 3 7

256. 10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
o
n i.ib
D e m o strac ió n
Se ex p resa e l rad ical c o m o ex pon ente fraccio n ario y s e a p lic a e l teo re m a : , p a ra d e m o stra r que:
i i
a_ ( f l V a " sfa
b ~ { b ) ~ Vb
Ejem plo
Efectúa: y y .
S o lu ció n
Se a p lic a e l te o re m a para la div isión y d e sp u é s e l d e l producto p a ra obten er c o m o resultado:
¡5a _ v'5a _ v'5 4 a
\ 3 ~ &
O * $ 0 = ^ 0
D e m o strac ió n
A l a p lic a r los teo rem as d e los expon entes, s e d e m u e stra que:
i
i \ r i
Ejem plo
D esarro lla: \jt / 3 x .
S o lu ció n
C o n los respectivos teo rem as se d e te rm in a que:
C á lcu lo d e raíces
P a r a o b te n e r ra íc e s de c an tid a d e s n u m érica s o e x p resio n e s a lg e b raic as, s e a p lic a la fó rm u la c o m o s e ilu s tra e n los
sig u ien tes ejem plos:
a = a '
E JE M P LO S
1 # • O btén: v 16.
I . S o lu ció n
Se d e sc o m p o n e e l ra d ic an d o e n su s fa cto res prim os y s e a p lic a la fó rm u la a n te rio r para o b te n e r co m o resultado:
\/l6 = Jl* = 2^ = 22 =4
2 3 8

257. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
2 • • Obtén el resultado de: V^243.
S olución
Se expresa el radicando de la siguiente manera:
- 2 4 3 = ( - 3 ) 5
Se aplica la fórmula y se obtiene como resultado:
\/- 2 4 3 = = ( - 3 ) ' = - 3
3 • • Determina la raíz de: \64a:3 .
S olución
Se expresa cada uno de los elementos del radicando de la siguiente manera:
6 4 * 3 = 2 V
Se aplica el respectivo teorema de radicales para obtener como resultado:
^ 6 4 ? = = 2 ? J = 2 >x = 4 *
4 • • Efectúa la siguiente operación:
Solución
32x'-
V 2 4 3 y 0 '
Se descomponen los coeficientes en factores primos y se aplican los respectivos teoremas para obtener:
3Zr5 _
¡ ¥ 7 ~ \ ¡ ¥ 7 _ ix
\
243y V 35y° t ¡ ¥ y * 3| yT V
5 • • Encuentra el resultado de: g ]\ .
S olución
Se aplica el teorema de la división y se extrae la raíz:
3 *
U/t
1 u 3 * ( V I
5 y 2
4 1
Se multiplican las expresiones y se simplifica el resultado para finalmente obtener:
\ 5 x y 2 1
4 5 Ay2 3
6 • • ¿Cuál es el resultado de \/(í — 3a:)6 ?
Solución
Se aplica la fórmula para obtener como resultado:
^ ( 1 - 3 * ) 6 = ( 1 - 3x) ’ = ( 1 - 3x) 2
2 3 9

258. 10 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
7 • • - O b t é n e l resu ltad o d e N/ l - 8 * y + 1 6 *4y4 .
S o lu ció n
Se fa cto riz a la expresión:
i - 8 * y + i ó * y = ( i - 4 * y ) 2
Se a p lic a la fó rm u la p a ra ex tra er la raíz:
J l - S x 2y 2 + \ 6 x y = v ( i - 4 í y ) ! = ( i - 4 í y ) 5 = | i - 4 í y
Por tan to, la raíz d e la exp resió n e s: |l - 4x 2 y21
EJEÍ C I C I O 1 0 0
D eterm ina las sig u ie n te s raíces:
1. s ñ 2 9
2. ?/8
3. f l í i
4. v Í 9 6
5. f 2 S 6
6, M
V 16
7. 5 /2Í6
8. 4 3 ^ 3 2
9. */=64
1 0.
11. * / 2 7 m V
12. Í 5 / 2 Í 6 ? 1
13. x y 2i l l 6 x ‘ y ‘2
14. m n
32
m 5 „ > °
15.
y2" ¡2 5 x2m
. V srific a t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d í a n t e
x m \ y u
16. n/2 5
17. ± J { x + S ) '
J x ' - l x 2/ + /
18.
N/x:2 + 2 x y + y 2
3*
19. * * y¡x2 - \ 0 x y + 2 5 y 2
2 x - \ 0 y
2 0.
a:2 + 4 x y + 4 y 2
V
Sim plificación
U n ra d ic a l d e la fo rm a v a " c o n m > n , s e puede sim p lific a r ex p re sa n d o a m c o m o un p ro d u c to d e b a se s d o n d e e l
ex pon ente d e u na d e e llas e s m ú ltip lo d e n.
E JE M P LO S
«*»
1 • • S im plifica e l sig u ien te rad ical: n/ ? 2 .
.a>_ S o lu ció n
U J
E l rad ican d o s e d e sc o m p o n e e n fa cto res, d e la sig u ien te m anera:
x13 = x l2x
Se a p lic a e l teo re m a d e radicales para e l producto y s e obtiene:
= U x ,2x = Z lx12 ! l x = x * iJ x = x i !Íx
2 4 0

259. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
2 Reduce la sig uiente e xpresió n: j j 2 x 3y * zs .
Solución
E l c o e fic ie n te 7 2 s e descom po ne e n su s factores prim os y las b ases s e e x p resa n com o:
7 2 = 2 3 -32 = 2 2 - 2 - 3 2 * 3 = * 2* z 5 = z 4z
Se ap lic an los teo rem as c o rresp o n d ien tes y e l rad ical s e sim p lifica co m o sig ue:
> /72*3y V = y l ? ‘2 ‘$ ¿ x f z Az = 2 ^ -3U y U >/2*Z = 6 x y V > / S z
P o r co n sig u ien te, la sim p lificació n e s: 6 x y V %/2xz
3 • • S im plifica: ^ ^ 1 2 8 x :6y5z.
S olución
Se d e sc o m p o n e 128 e n facto res prim os y la b a se y s e ex p resa d e e s ta m anera:
1 2 8 = 2 7 = 2 6 -2 y s = y 3y 2
Se procede a sim p lificar la expresión:
F inalm en te, e l resu ltad o e s: 2 x 2y l¡ 2 y 2z
4 • • S im plifica la ex presión : — 3|5 4 q ^ c
3 V 8 a:
S olución
Se d e sc o m p o n e c a d a uno d e los ele m en to s q ue c o n fo rm a n e l rad ican d o y s e sim p lifica para o b te n e r co m o resu ltad o :
2 }l'5 4 a V c 7 _ 2 , 2 -3 3a W c 6c _ 2
3 V 8a:4 3 V 2 3a:3a: 3
3> a*b*c3 J 2 a c
3 3 V x
2 3a:3
2 í 3 a f r V , Í 2 a c
3 { 2 x
3 I _
o f r V J 2 «
a: V a:
E J E R C IC IO 101
Simplifica b s sig u ie n te s radicales:
1. , / ? 5. 9. 2{¡243xsy z
2. J Z l x W 6. (¡625x'y' 10. 5 t'8 0 a V e *
3. <J(Am,n1z‘ 7. 3 V 5 0 o V 11. 2\ll29m, na
4. \/2 7 m 5n '5 8. 5 j9 p ‘q 1 12. 2xl)x‘? z >
2 4 1

260. 10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
13. - 3 m ¡ /l 2 8 m 'V " 19. 25. v '9 m 5 - I 8 m ! n
2 /
14. i v í 8 a 5 20. \ l ^ r - 26. vW + 4 0 i V + 2 5 iy '
, 5 | ? / 3 2 a V 2 , „ \‘T I a 'b ’ - S i a ' b '
16. | * 6 0 m V p ! 2 2 . § 3y ^ 7 2 8 . * m J - 2 m B + n J ) J
17. ¿ * 7 Í V 23. 29. ! ¡ 2 K ( x + y y ( x - y y
, 8. 2 4 . £ * J “ Z 30. v 4 ,~ 4 m t m :
* 8 1 / ^ 7
V» rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Introducción de factores
S e e sc rib e e l fa c to r o los fa c to re s que s e d e se a n in tro d u cir e n e l radical, ele v ad o s a u n ex p o n en te igual a l índice d el
radical.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • Introduce e l co eficie n te d el ra d ic a l 3 \¡2 a la raíz.
.SL S o lu ció n
IA J
E l coeficien te s e introduce e n el rad ical e le v ad o a l cu ad rad o :
3 7 2 = 7 ( 3 7 - 2
Se re aliz a n las o peracion es co rre sp o n d ie n te s y s e ob tien e:
= \Í9 -2 = 7 Í 8
Por tan to : 3>¡2 = V Í8
2 • • 'I n t r o d u c e e n la raíz 2 x \ j y e l coeficien te.
S o lu ció n
S e c o lo c a d e n tro d el rad ical el co eficie n te 2x e le v ad o a l exp onen te 3:
2 , * = ^f ~ y
Se d e sa rro lla la p o ten cia y s e re a liz a e l p rodu cto para o b te n e r co m o resultado:
2 4 2

261. 3 ■ Introduce los factores e n e l ra d ic a l 2 x * y tfx y * .
S olución
Se c o lo c a e l co eficie n te d e n tro de la raíz c o n ex ponente 4:
Z r ’y V V = H V
Se d e sa rro lla la potencia y s e re a liz a la m ultiplicación:
= t ¡ \ 6 x Y x y 2 = t ¡ Í 6 7 7
P o r tanto, e l resu ltad o e s: *>j\6x9y 6
4 • • Introdu ce e l co eficiente e n e l rad ical: 7? ?í— .
b \ a
S olución
L a fracció n e n tra e le v a d a a l índice d e l radical, s e re aliz a n las o peracio nes y s e obtiene:
3 a J 2 b J Í 3 a ) 3 2¿> A l i a ? 2 b _ i \54a*b _ J 5 4 a ¿
b ¿ \ a \ V b ¿ ) a V b 6 a V a b 6 V b 5
3a
5 • • Introduce 3a e n e l rad ical de la expresió n: ,— — .
\¡2 a 'x
Solución
Se sig u e n los m ism os pasos que e n los ejem p lo s an te rio re s y s e obtiene c o m o resultado:
3 a ( 3 a )2 _ ¡ 9 a 2 _ H T
sj2a* x V 3* V I t f x \ 2 a x
6 Introduce e l co eficie n te d e l ra d ic a l —i — J x2 - y2 a la raíz.
* - y
Solución
E l co eficie n te s e introduce y s e e le v a a l cu ad ra d o y la fracció n resultante s e sim plifica:
EJER C IC IO 1 0 2
Introduce a la raíz b s factores:
3J5 4 . ^ 7.
5 y J l 5. - 5s/3
3
8.m 3rt \'wm
4 V 2 6. 9.
C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
\ x + y
x - y
. 5 a 2b 2c \J 2 a c
a 3|4b
b V 5a
2 4 3

262. 10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
•3- 15• 7 % ,7- — J ^ » .
4a: \ 3 y ^ 2 ? + a jc- 2
14. 16. (2 a + b ) M 18. Í ± 1 . U 1 - 20.
\ 3 a x - \ Va: - 1 A : + a \ 2 a *
V srific a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e =
Suma y resta
E stas operacio n es s e e fe c tú a n s i y só lo si e l índice d el rad ical y e l ra d ic an d o so n iguales (rad icales se m ejan te s).
a t f d + b T rf - c * fd = ( a + b - c ) 7 d
EJEM PLOS
1 • • R e a líz a la sig u ien te o p e rac ió n : 3 7 5 + 4 7 5 .
o_ S o lu ció n
UJ
L o s ra d ic a le s so n se m e ja n te s, p o r tanto , s e re a liz a la o p e rac ió n únicam ente c o n los co eficie n te s y s e o b tie n e c o m o
resultado:
3 \ ¡ 5 + 4 s Í 5 = ( 3 + 4 ) 7 5 = 7 n /5
2 • • - S i m p li f i c a la sig u ien te o peració n : 5 7 3 * + ó 7 3 x - 1 0 7 3 * .
S o lu ció n
L o s radicales so n se m ejan te s, en to nces se realiza la op eració n c o n los co eficien tes y e l resu ltad o es:
5 7 S + 6 7 S - 1 0 7 3 Í = (5 + 6 - 1 0 ) 7 3 Í = ^
3 • • - ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e ^ 7 5 - i 7 6 + ^ 7 6 - 7 5 ?
S o lu ció n
Se ag ru p an los radicales sem ejan te s:
\ ifs - i & + i & - í/5 = 11/5 - Vs - i ./ó+ i^6
3 4 2 3 4 2
Se re a liz a la reducción:
Finalm ente, e l resu ltad o e s: \ 5 + i v 6
3 4
2 4 4

263. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
4 • • - R e d u c e la sig uiente e xpresió n: 3 y s ¡ 2 x - 2 x y ¡ 3 y + 5 y \ ¡ 2 x + 7 x j 3 y .
Solución
Se a g ru p an los térm ino s sem ejan te s y se sim plifican p a ra obten er c o m o resultado:
3> yj2x - 2 x y f i y + 5 y \ / 2 x + 7 x ^ 3 y = 3 y j l x + 5 y j 2 x - 2 x y ¡ 3 y + 7 x y ¡3 y
= ( 3 y + 5 y ) y ¡ 2 x + ( - 2 x + 7 x ) f i y
= S y j 2 x + 5 x y ¡ 3 y
5 • • - Sim plifica la sig u ien te ex presión : 3 \¡2 0 + 4
J12 - 2 v '4 5 - v'75.
Solución
Los rad icales no so n se m ejan te s, entonces s e e fe c tú a n las sim plificacion es d e c a d a radical:
x/20 = \¡2?~-~5 = 2 y j5 -s/l2 = \¡2?~-3 = 2y¡3 V 45 = > / 3 M = 3 > / 5 N/7 5 = ^ 5 ^ 3 = 5 V3
Se re em p lazan los rad icales y s e re a liz a la red u cció n para obtener:
3v/2Ó + 4 7 Í 2 - 2n/ 4 5 - %/ 7 5 = 3 ( 2v/ 5 ) + 4 ( 2 V 3 ) - 2 ( 3 > / 5 ) - 5 > / 3
= 6n/5 + 8n/3 - 6>/5 - 5 > ^ = ( 6 - 6 ) n/5 + ( 8 - 5 ) n/3 = 3n/3
6 • • - E f e c t ú a l a siguien te o p e rac ió n : ^ 1 8x 2y i + x ^ ¡ 3 2 y i - 5 y¡ 2 x 2y i .
S olución
Se sim p lifica c a d a uno d e los radicales y s e re a liz a la operació n, e l resu ltad o es:
V T s T / -5 > / 2 ^ = + a: - 5 V 2 ? 7 y
= 3 t y y f f y + 2 2 x y y j2 y - 5 x y > ¡ 2 y
= 3 x y y j2 y + 4 x y s¡ 2 y - 5 x y sl 2 y = 2 x y^¡2 y
7 • • S im plifica a y j\2 a b + V98¿>sc- 5 ^ 3 0 ^ - b \ 18b e + a \í3 a b .
Solución
Se sim p lifica c a d a uno d e lo s radicales:
= a '¡ 2 2 3 a b + ^Í2 1 2 b 2b c - 5 ^ 3 a 2a b - b J 2 3 2bc + a ^ 3 a b
= a ( 2 s l ^ ) + 7 b s l 2 b c - - 5 [ a s /3 á b ) - - b ( 3 j 2 b c ) + a s Í 3 ^ b
= 2 a y / ^ + 7 b J 2 b c - 5 a y ¡ 3 ^ b - 3 b J 2 b c + a y ¡ rM
Se ag ru p an los térm inos sem ejan te s y s e re d u c e n para o b te n e r c o n » resultado:
= 2 a J 3 a b - 5 a > j3 a b + a j 3 a b + l b J 2 b c - 3 b 4 2 b c
= - 2 a j 3 a b + 4 b 4 ? b c
2 4 5

264. 10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJEIC IC IO 1 0 3
Realiza la s sig uientes o p e ra c io n e s c o n radicales:
1. 3n/ 5 + 2v5
2. 2 3 / 3 - 7 3 / 3 - 3 / 3
3. 4n/ 7 - 8 > / 7 + 6n/ 7 - 2 > / 7
4. 3 N /5 + 2 N /7 -4 X /5 + 6 V 7
5. 2 > / 3 - 4 v / 2 + 5 V 3 - 2 V 2 - 1 0 > / 3 - V 2
6. - 7 Í 0 - Í 7 Í 3 + Í V Í 0 + - 7 Í 3
4 6 2 3
7 £ ^ 2 7 5 ^ 6 5 ^ ^
12 “ 8 3 4 " 4 " 2
8. 6 3f i n - 1 0 3ím
9.
10. 5 f ¡ x y - 2 í l x y - ^ i f x y
11. */28 + v'175 - V63
12. 2> /Í8 + 5x/ 5 0 - 4n/2
13. 3 > /7 5 + 2n/ Í 2 - 4 > / 2 4 3
14. 2n/ 4 5 + 3 > / Í 8 + > / 2 Ó -n^
15. 2 > / 7 2 - 4 N/ l 8 + 5 V l 2 - 3 v / 4 8
16. 2>/98 - 3>/80 - n/3 3 8 + \/2 0
17. 3 \/4 0 5 - 2n/9 9 + 2 > /5 0 0 - 4 - / Í 3 3 Í
18. - v /4 5 0 - - V 8 0 0 - - %^ 2 0 + v'80
5 4 5
19. v '3 4 3 a 4 + a 2J \7 5 - 3 ^ 7 ?
O v ,r ific a tu s resultados en l a sección de soluciones correspondiente
2 0.
2 1.
2 2.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
3 8
a \ '4 b + yJ a 2b + J 2 S a 2b
3 / 2 ^ + 4 ^ 3 / 3 ^ + 3 3 7 5 7
4V 3 2 7- 4 X 2 3/512
2 a yf x y 2 - 3 ^ j a 2x y 2 + 4y\¡a * x
a 2b \ 'c + ^ - a 2 J b 2c - ] - b \ !a*c + ^ -a 2b ^ c
4 3 2
f o a V b \ l \ 6 2 a 9b 2 , ¡ 2 r i* l a 2b ^ 2 ¿ b
6 4 ° V 16 " 8
V4 9 ^ - V 5 0 Í V + ^n/ 9 ? -
x / x V - J 4 8 r 5y 2 - x y ^ A x y * + y > j2 7 x s
3x\¡2y + n/tsV -2 \/2?y -
2a \¡5Q b2c + 5 c \ 2 7 a 2b - 3 ^ 3 2 a V c + n/ V & c 2
3 ^ i y - 5 J 4 V - 2 x l ¡ 6 4 f +y\¡3¡2x
1 5 ¿ > t é a V + 6 a 3 '3 a V 4 - 5 { l 5 a 6b 7 - 6 Ú S a 9b H
i V 2 0 a 3 + i\'3 a ¿ > 3 - ^ f l / 5 ¿ r
x y ' J x f
5 a b ¡2a 5 1 ]5a¿>6 , |8 a 3 _ 5 a V
3 \ 9 b + 3*\ 12 " V 9 b + V 48
V 16a - 3 2 + >/25a - 5 0 - V 9 a - 1 8
x/*3 + 2jc2 + 3lCn/at + 2 — 5^/a:2 (a: + 2)
9 V * V - 3 x 2y3 - 2 x y yj 4 x - \ 2 y + 5 x sj x y 2 - 3 y 3
M ultiplicación
C o n ín d ic e s ig u a le s. C u a n d o lo s índices d e los rad icales s o n iguales, s e m u ltip lican los ra d ic an d o s y s e sim plifica,
d e s e r posible, e l resu ltad o.
* l a - ! ¡ b ‘ t¡c = \ !a b c
2 4 6

265. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
EJEM PLO S
---------------------------------------------------------•
■ § . 1 • • M ultiplica y sim p lifica la sig u ien te exp resión: 7 8 • 7 2 .
.1 . Solución
Se m ultiplican los rad icand os y e l rad ical resu ltante s e sim plifica, e l resu ltad o es:
7 8 -\/2 = 7 ( 8 ) ( 2 ) = 7 Í 6 = v^ = ( 2 4) 5 = 2 2 = 4
2 • • ■ R ealiza la sigu iente m u ltip licació n : l¡9 x y 2 • $ 9 x * y.
S olución
Se re a liz a e l p rodu cto d e los térm in o s internos d e los radicales y e l resu ltad o s e sim plifica:
{Í9x,? • ! ¡ 9 ? y = 3/(9*y2) ( 9 * 4y ) = ^ W = = # ' 3 r Y / = 3 x y &
3 • • - E f e c t ú a e l sig u ien te producto: ^ • sjó x^y5 • y]%xy4 .
S olución
Se re a liz a e l p rodu cto d e los radicales y e l resu ltad o s e m ultiplica por e l co eficiente para o b te n e r co m o resultado:
2 v ¿ ? 7 V i v = = f v W = f ( 2 2v / ^ ) = a 5 a
4 • • ■ R e a liz a la sig u ien te o p e rac ió n : j -
S olución
Se re a liz a e l p rodu cto d e l m ono m io por c a d a uno de los térm ino s d e l bin o m io :
Se sim p lifican los radicales y e l resu ltad o final es:
= \ X W) " W í ) = \ ¿ y 2 - \ * y 2J x
E J E R C IC IO 1 0 4
Efectúa y simplifica las sig u ie n te s operacion es:
n . i E - E E - E E1. 7 3 - 7 6
6 . - & 7 11.
2 . 7 Í 5 - 7 Í Ó 7 . \ E . \ 4 7 12.
3 . 7 Í 2 - 7 6 8. 13.
4 . ( 3 7ó) ( 3 7 Í 5 ) 9. 14.
5 . y jx / -yfxy 10. \!a \a* Ja* 15.
31' ^ | | 4í/ 7 )
15. ( - 2 E d > ^ - l 6 ¡ ? b ) [ £ F b ' )
2 4 7

266. Ejemplos
10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
I j í 21. ( V 3 - 4 ) 2 26.
17. 22- ( 7 - j 2 - & ) ( 7 s l 2 + S ) 2 7 . \ / l + x / í • V i - n / Í J l ^ i
18. s ¡ 6 ( S - * ) 23. ( \/2 m + n ) ( 7 2 m - 4 n ) 28. ■ tf' / * - S tl'3x2- 6 x y + 3 /
19. \ / 5 ( \ / 2 5 - v / s ) 24. + t f y + l j f ) 29. > f
20. 25. s f i + y - ^ - y 1 30. 'J (l + j 2 y . ; J ( j 2 - ¡ y
V srific a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
C o n índices diferentes
Para m ultiplicar ra d ic ale s c o n índices d iferen tes s e b u sc a un índice co m ú n , que re s u lta d e l m ín im o c o m ú n m ú ltiplo de
los índices d e los radicales y recib e e l nom bre d e m ín im o co m ú n índice.
EJEM PLOS
1 • • R ealiza la sig u ien te o p e rac ió n : \¡5x* J 3 x .
S o lu ció n
Los índices d e las raíces so n 3 y 2 resp ectivam ente, s e b u sc a e l índice com ún:
3, 2
3, 1
1, 1
2
3 e l m ínim o c o m ú n ín d ice e s 6
Se tran sfo rm a n las raíces a un índice 6, d e la sig u ien te m anera:
V i ? = ' ^ ( 5 , ' ) ' = ^ i v
Se e fe c tú a la m ultiplicación, s e sim p lifica e l rad ical y s e o b tie n e co m o resultado:
< S V * S V = ‘ / ( 5 V ) ( 3 V ) = V 5 2 . 3 3 . x 7 = \ ; 5 2 • 3 ? x 6x = x V é T S x
2 • • ■ R e a liz a la sig u ien te o p e ra c ió n : $[x*y J x y .
S o lu ció n
Se b u sc a e l m ínim o c o m ú n índice d e 4 y 2
4, 2
2, 1
1, 1
2
2 m ínim o c o m ú n índice = 4
Se tran sfo rm a n las raíces a índice 4 y s e re a liz a la m ultiplicación:
t ¡ 7 y j x y = ^ {* Í ( x y Y =
ijT y i¡x2y 2 = tj(x2y )(x 2y 2) = i[ 7 y * = x ífx y *
2 4 8

267. Ejemplos
C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
EJE IC IC IO 1 0 5
Efectúa las sig u ien tes op e rac io n e s:
l . i l i d i 5 . 3 9, \ f a \ í a < Ja 13. ]
14. j ( v V
3. “7 7 i. € 7 4Tx 11. n- ¡ 7 s¡y‘4y 15. iTxfy^z
4 . 7 v 7 2 A 8- 12- p - 4^ y
^ M tr if k a t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ló n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d i a n t a
División
C on índices iguales
Se re a liz a la div isión d e los radican dos y s e sim p lifica e l resu ltad o.
— - J*£
t I b ~ U
EJEM PLO S
---------------------------------- ^ =-----------------•
• • R esuelve la sig uiente op eració n : —7— -.
V 3a:2
S olución
Se hace la div isión y e l resu ltad o s e sim p lifica p a ra obtener:
^ = S = 7 2 t7 = 7 3 V = 3 *
7 3 ? V 3^
« n/ Í2 8 a V
Z • • E fectú a la siguiente o p e rac ió n : — ; ■ ■»■— .
V8fl ¿>
Solución
Se div id en las expresiones, s e sim p lifica e l resu ltad o y s e obtiene que:
= J ^ 4 f = J ñ * = = 2 !í>’ v'a = 4 é ! 7 ¿
V s T Í V 8 a !í>
_ l j U 5 x , y '2z .
3 • • ■ ¿C uál es e l re su lta d o d e ■ —?
y 3 2 0 * y z
Solución
L o s coeficientes d e las e xp resio nes s e sim plifican y se re a liz a la div isión c o n las b ases:
7 l 3 5 * V JZ j 2 7 J 2 7 ,0 1 J 27
n ^ 7 7 7 ^ x y z ^ xy
Se sim p lifica e l rad ical para o b te n e r finalm ente:
h 6 z 3 2 2 Z ^ 4 z ^
2 4 9

268. 10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
« g E .
\ 4 a b c
S o lu ció n
Se d e sc o m p o n e n los co eficie n te s e n sus factores prim os y se a p lic an los respectivos teo re m a s d e e x p onentes:
L / 8 - V f e - y 4,'( 2 T « w , p A V •]- * * * * *
« ¡ 4 r t e - “ V - ) l T O ^ - V 2 “ * c
J . - . J 2 J 1 . 1 ,.2 4 p ^ « V < »V
= V2 e = \ l i V = W = i r
Por co n sig u ien te, e l resu ltad o es:
4¿>
EJEJC IC IO 1 0 6
Realiza b s sig u ien tes co cien te s d e radicales:
m n y i x y ' V l 6 m - V u ■ v W ’a
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c d ó n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i e n t e
5 . Vlfi^ V 9 n / 9 ^ , 3 J » 2 » - « 17 \ l 2 4 3 y V 2
\jT2y 6x
2 5 ^ 7 6 L-3888a V | 0 j f l S t - w - 14 \ 14 0 4 s ‘y~* ]g t f 3 1 2 S y V
L 'M ? ' Í 5 4 Z- V 2 ' V 6 2 4 P ? ' ? 3 2 ? ?
3 v W f t V ? xM-gft u y 'S Q z V | 5 < t o r n a n 2 V - 3 7 5 m V
V 5 a c ' - J l í a b 9 ' > / Ü ü V ' v I 5 3 m V p 's V l W m V 5
4 v/l28-t y g v '5 6 7 m V , 2 v A 4 « y , fi v ^ i e m n V 2 2Q ¡ ¡ l l x ' y ' 2
■ jZ x 'y 2 ' -Jlx2 ' V 2 7 5 « V ‘ v' 5 W V \¡576x~f y~H
C o n índices diferentes
Se tran sfo rm a n los radicales a un índice co m ú n y s e re a liz a la división.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
O , n/Í2 8
-q_ | • • E f e c tú a la sig u ien te divisió n: - j = - .
.a». So lu ció n
t u
E l m ínim o c o m ú n índice d e 2 y 3 e s 6 , s e ex p resa c a d a uno d e los rad icales c o n e s te índice:
T Í 2 8 = V2 f = w ^ ( 277 = t / F t f 6 = & 7 = <*2^ 2 ‘ f = 5/2i '
Se rem p lazan los ra d ic ale s y s e e fe c tú a la división:
VÍ6 4 ? V 2
2 5 0

269. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
V * V *
Z • • Sim plifica: j ' •
¡Jx y
Solución
Se e n cu e n tra e l índice c o m ú n d e 8 y 4, s e tran sfo rm a n los radicales y s e obtiene:
5/1
EJE IC IC IO 1 0 7
Efectúa las sig u ie n te s divisiones:
2.
3.
3/6
S
\¡ 2 a 2b
t l a V
q
a .
■ t M r
■ J * 7
6. \ 4 Z a + ^ 2 4 a
6 12
. o / ' g , 4 . ^ ?
V x - l
t ¡ l 2 x 3y
■J6x2
7. € ? * { l l 2 5 a 2
n ^
\¡ 4 x y 2
15. 'í (f l- 6)5
$ ¡ ( a - b ) 5
- \ l i a b + V 4 a 2
g 7 l 2 a V
Ü 4 a b "+>fi
Vferíflca t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e i
R acionalización
Racionalización del denom inador d e una fracción
E sta o p e rac ió n tra n sfo rm a a l d e n o m in a d o r e n un a c a n tid a d racional.
C D e n o m in a d o r m o n o m io . E n una fra c c ió n de la fo rm a c o n m < n s e m ultiplica e l n u m era d o r y e l d e n o ­
m in ad o r por si b ”~m :
a _ a ' _ a 4 ^ '
"sjbm \ !b m ”'Jb"~m ”sfb*~mtm \ b ” b
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • R acionaliza e l d e n o m in a d o r de: -^= .
I
S olución
E l factor, por e l q u e s e m ultiplica e l num erad or y e l denom inador, re su lta d e la exp resió n l¡2 y es igual a : si2 5"1 - \ / A
Se re a liz a la m ultip licación y s e obtiene:
_ L = _ L ^ _ 3 ^ ~ _ 3 ^ 4
y 2 " ^ 2 ‘ ^ 7 " & = 2
2 5 1

270. Ejemplos
10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
2 • • - R a c i o n a l i z a e l d e n o m in a d o r de:
\l$ * y
S o lu ció n
E l fa c to r que m u ltip lica la exp resió n e s $j(5xy)*~* = \¡(5 x y f
A l re a liz a r la m ultiplicación, s e d e te rm in a que:
ix y 3 r y i j ( 5 x y f 3 xyt¡(5xyY I x y f a x y ) 3 3 a c j T i
r y
3 • • R acionaliza e l d e n o m in a d o r d e la e x p resió n ,3/— .
V 4a:
S o lu ció n
Se s e p a ra la exp resió n co m o e l c o c ie n te d e raíces, se m u ltip lic a n um erado r y d e n o m in ad o r por e l co n ju g a d o d e y/2?x
y s e ra c io n a liz a p a ra obten er co m o resultado:
J T _ i j l _ L/3 ^ / 2 ? _ 1
V 4 í ^ l ! ¥ ~ x & 2 í 2a:
C D e n o m in a d o r b in o m io . U n a e x p resió n d e la form a — s e racio n aliza m ultiplican do a l n u m era d o r y d e n o -
a ± b
m inador por e l co n ju g a d o d e l denom inador, e s to es:
Si e l d e n o m in a d o r es d e la fo rm a a + b , en to n c es e l co n ju g a d o e s a - b .
Si e l d e n o m in a d o r es d e la fo rm a a - b , enton ces e l co n ju g a d o e s a + b.
E l producto d e b in o m io s co n ju g ad o s es una d ife re n c ia d e cu ad ra d o s:
( a + b ) ( a - b ) = a 2- b 2
E n la m ultip licación ap lic an las leyes d e los exponentes y los radicales p a ra sim plificar las expresiones, c o m o s e
m uestra a c o n tin u a ció n e n los siguientes e jem p lo s:
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
• • R acio naliza e l num erad or d e la expresión:
S o lu ció n
E l conj ugado d e \¡S - 2 e s S + 2 q ue m ultiplica a l n um erado r y deno m inado r:
3 3 y / 5 + 2 3 ( > /5 + 2 ) 3J5 + 6 3 n / 5 + 6 „ ,7
J S - 2 ~ sÍ 5 - 2 \ Í 5 + 2 ~ ^ 2 . ( 2 ) 2 ~ 5 - 4 _ 1 +
E n to nces, e l resultado de la ra c io n a liza c ió n e s: 3\J5 +6
2 5 2

271. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
2 * R acion aliza e l d e n o m in a d o r de la expresión:
^ '3 x + 3 j 2 y
S olución
E l c o n ju g a d o d e l d e n o m in a d o r e s v 3 * - 3 ^ 2y , a l m ultip licar e l nu m erador y e l d e n o m in a d o r s e redu ce la exp resió n
y e l resu ltad o es:
_ - J z i - j r y x / 3 ^ - 3 ^ _ ( ' / ^ ) Í - 3 , / ^ - ' / f o y + 3 ( ' / 2 ^ ) ~
S x + l j l y ( 7 3 Í f - (3 v/ ^ )’
_ 3 * - 4 N/ 6 j t y + 3 ( 2 y )
t o - 9 ( 2 y )
_ 3 x - 4 sj 6 x y + 6 y
3 * - 1 8 y
A l final, e l resu ltad o de la ra cio n alizació n es:
Para ra cio n aliza r una ex p resió n , c u y o índice d e l rad ical es 3, s e m u ltip lic a p o r un a ex p resió n que d é c o m o resu ltad o
una su m a o d ife re n c ia d e cu b os.
Si e l d e n o m in a d o r es d e la form a (a + b ), su co n ju g a d o e s (a2 - a b + b2).
Si e l d e n o m in a d o r es d e la form a (a - b ), su co n ju g a d o e s (a2 + a b + b2).
L o s resultados d e la m u ltip licació n so n los siguientes:
( a + b X a 2 - a b + b2) = ai + bi ( a - b)(a2 + a b + b 2) = a 3 - b 3
Ejemplo
R acio naliza e l d e n o m in a d o r de la expresión:
* / í - r
S olución
E ntonces, e l co n ju g a d o d e l d e n o m in a d o r y f x - 1 es:
( \ Z í ) 2 + ( \ Z í ) ( l ) + ( l ) 2 o b ie n + + 1
A l m ultiplicar el num erado r y e l d e n o m in a d o r por e l c o njugado d e l denom inador, resulta una ex p resió n equivalente
que c are ce de raíces e n e l denom inador.
2 = 2 + & + ¡ = 2 ^ J ? + ^ + l ) = 2 ? f ? + 2 } f c + 2
iTx- 1 « 5 - r * 7 + « + i ( ^ ) ’ - ( i ) J x ~ '
EJERC IC IO 1 0 8
R acionaliza el deno m in ad o r en la s sig u ie n te s exp re sio nes:
6 * ^ 3a _
• ^ ^ O Ta
6. —= = 8. -V
1
1 - 1'25
& 3' f e
2
4 J L
J 5 ' i l ? t¡2xy ‘ I fi tf b
2 5 3

272. S O jd lU S lj
10 C a p í t u l o
Á L G E B R A
9.f á L
V 8A3y
12.
2
3 - V 2
10.
J 16 ab3
13.
\ 2 5 a2b5 1 - V 5 Í
11.
-1
14.
1 -V 3
1 - 2 7 3 i + S
1 5 . ,g.
16. —t=— 19.
4 ía - 4 2 b ' lTx -1
I7 . I z í 20.
Racionalización del numerador de una fracción
E sta o p e rac ió n perm ite tra n sfo rm a r e l num erad or e n una c a n tid a d racio n al.
J¡ym
S ea la f r a c c i ó n , la ra cio n alizació n d e l n um erado r es:
a
m4 i r _ V b " " 'V ™ __ ^ b m' H~m _ 'fb* _ b
a a " ¿ b ^ a t f b ™ a '4 b ™ a "'Ib™
EJEM PLOS
1 # • R acion aliza e l n um erado r e n la expresión:
S o lu ció n
E l fa c to r por e l cu a l s e m u ltip licará ta n to n um erado r c o m o d e n o m in a d o r e s J 5 x
J5 x_ = y¡5 x > / 5 = V 5 V = 5a: = 5 _
3a: 3 a ' J Sx 3a:>/5* l x j 5 x 3 j 5 x
2 • • • R a c io n a l iz a e l n um erado r e n la expresión:
4 a t - 9 y
S o lu ció n
Se fa cto riz a e l d e n o m in a d o r y s e m ultiplica por e l co n ju g a d o d e la exp resión \¡ 2 x - f e y para obtener:
= - J l i - f i y - J 2 j + ^ 3 y = ~ ( ^ f
4 x 2 - 9 y 2 ( 2 x + 3 y ) ( 2 x ~ 3 y ) \¡ 2 x + v 3 y ( 2 x + 3 y ) ( 2 x - 3 y ) ( j 2 ¿ - t - f i j )
=
___________2 x - 3 y__________
{ 2 x * 3 , ) [ 2 x - 3 , ^ 2 x + ^ y )
_ 1
__________
‘ ( 2 x + 3 y ) ( J l i + ^ Y y )
3 • • • R acio naliza la expresió n: J x + \¡3.
S o lu ció n
Se m ultiplica la exp resió n por s u co n ju g ad o , ta n to e n e l n um erado r c o m o e n e l denom inador, e n e s te c a s o J x -
r . _ J x + y /3 s f x - & _ ( ^ ) “ (> /3) _ a t - 3
+ 1 ¿ ¿ S ¿ c - J i
2 5 4

273. C a p i t u l o 10
Rod ¡coció n
4 • • R acio naliza e l num erad or e n la exp resión: m
y + 2
S olución
D ebido a que las raíces so n cú b icas, s e lo m a e l co n ju g a d o d e la exp resión: l j y + l l 2 c o m o
P o r lanío:
l¡y + t¡ 2 = & + 1Í2 f j y 2 - í¡ 2 y + 3/4 = ( f ó f + ( i ¡ 2 ) '
y + 2 y + 2 ^ - l ¡ T y + i [ i ( y + 2 )(? jy í - t f f y + l f i )
=
_______y*2 ____
( y + 2 ) ( j f - ! ¡ 2 - y + i . f 4 )
1
EJEÍC IC IO 1 0 9
R acionaliza tos num erad ores d e la s sig u ie n te s fra ccio n es:
1. 7 3 6 . —
3 *
2 5 7 8 3 7 ó J
' 1 2a:
* 1
4a:
w
u jI w l
+ 1
o ^
X 2
14.
x - 9
r tl*y
5 - 2 x y ’
, 0 . ^
6 x y
, 5 & S
J x + 2 j y
16.
\ 0 x - \ 2 y
17. y f x - s / 5
\ f x - 3
jc — 27
\ ¡ a - 2 \ f b
a - 8 ¿ >
& - f y
y 2 “ 4
18.
19.
2 0.
V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e i
2 5 5

275. Capítulo i i
Nú m e r o s c o m p l e jo s
Los n ú m e ro s co m p le jo s
O En el siglo XVI Rafael lo Bombelli fue uno de
los primeros en admitir la utilidad de que los
números negativos tuviesen raíces cuadra­
das. Fue el primero en escribir las reglas de
suma, resta y producto de los complejos.
O En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler
simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la
letra / (por imaginario), introdujo la forma binómica /2 = —1 y con él
definitivamente se introducen los imaginarios a la matemática.
O Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fun­
damental del álgebra: todo polinomio con coeficientes complejos tiene
al menos una raíz compleja, y estableció en 1831 la interpretación geo­
métrica de los complejos: x + yi -» (x, y).
O Otros términos que han sido usados para referirse a los números com­
plejos son: “sofisticados" por Cardano, "sin sentido" por Néper, "inex­
plicables" por Girard, "incomprensibles" por Huygens e "imposibles"
(diversos autores).
HISTÓRICA
Cari Friedrich G au ss
(1777-1855)

276. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Núm eros im aginarios
E l c o n ju n to d e los núm eros im aginarios surge de la n e ce sid ad d e ob ten er la raíz c u a d ra d a d e un núm ero negativo para
lo c u a l se d e fin e c o m o un id ad im aginaria: i = 7 = 1 .
Núm ero im aginario puro
Se den o m in a a s í a los núm eros d e la form a bi do n d e b e s un núm ero re a l y b * 0.
Ejemplos
L as sig u ien tes c a n tid ad e s so n núm eros im ag inarios puros:
2 ¡ , - 4 i , | í , S i
E n los siguientes ejem p lo s s e ilu stra c ó m o o b te n e r núm ero s im aginarios puros:
EJEM PLOS
iIT
1 # • O b té n e l resu ltad o d e: 7 = 2 5 .
S o lu ció n
Se ex p resa e l rad ican d o co m o : - 2 5 = 2 5 ( - l ) y s e a p lic a n los teo re m a s co rresp o n d ien tes d e radicales:
7 = 2 5 = 7 2 5 ( - l ) = 7 2 5 7 = 1 = 5 7 = í
S e su stitu y e -/—I = i para obtener:
7 ^ 5 = 5 7 = 1 = 5 i
2 • • ■ ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e 2 - J - 7 7 ?
V 16
S o lu ció n
Se a p lic a e l m ism o procedim iento que e n e l eje m p lo a n te rio r y s e ob tiene c o m o resultado:
EJE LC IC IO 1 1 0
Representa la s sig u ien tes raíces e n té rm in o s d e la u n id ad im aginaria i:
V s r i f i c a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
1.V—16 5. 7 -6 2 5 9.7 -1 2 5 13. 3 + 7 - 3 6
2. 7=36 6. 7=8 10. 7 -1 6 2 14. 2 - 7 -1 1 2
3.7=49 7. 7=50 11.
j ~ ñ
V 49
15.
4. 7-1 2 1 8. 7 = 5 4 12.
j - ?
16.
í - 7 * *
2 5 8

277. Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
EJEM PLOS
í i #.■
1
Suma y resta
Para re a liz a r e stas o p eraciones se su m a n o restan lo s co eficie n te s d e i:
ai + bi-ci = (a + b-c) i
E fe c tú a la sig uiente o p e rac ió n : 7 - 3 6 + 4 v - 9 .
S olución
Se o b tie n e n los n ú m ero s im aginarios puros:
v - 3 6 = ^ 3 6 ( - 1 ) = 6 7 - 1 = 6/ 7 - 9 = j 9 ( - l ) = 3 7 - 1 = 3i
Se rem p lazan los radicales y se realiza la o p eració n p a ra obten er co m o resultado:
7 = 3 6 + 4 7 = 9 = 6 / + 4 ( 3 / ) = 6 / + 1 2 / = ( 6 + 1 2 ) / = 18/
¿ C u á l es e l re su lta d o de: 7 = 5 + ^ v —4 5 - - i 7 - 2 0 ?
Solución
Se ex presan las raíces e n térm ino s d e la unidad im aginaria:
= ^/32 - 5 ( - l ) = 3 7 5 / 7 = 2 0 = y j l 2 - 5 ( - l ) = 2 7 5 /
3 #•
7 = 5 = v '5 ( - l ) = v/5/
Se su stitu y e n los núm eros y s e re aliz a n las operacio nes:
7 ^ + 1 ^ 4 5 - 1 x / ^ Ó = V 5i + ^ ( 3 x /5 i) - i ( 2 x / 5 í )
= 7 5 i + 2 7 5 / - 7 s /
= ( 7 5 + 2 7 5 - 7 5 ) i
= 2 7 5 i
D eterm in a e l re su lta d o de: i 7 - 4 + - 7 - 9 - - 0 - 2 5 .
2 5 3
S olución
Se extraen las raíces, s e m ultiplican por los co eficien tes y s e re a liz a la op eració n p a ra obten er c o m o resultado:
I ^ 4 + | 7 ^ _ I ^ = I ( 2 í ) + | ( 3 i ) 4 ( 5 / ) = i + | i 4 i
f , 6 5 V 8 .
= (1+H ,= Ü '
R ealiza la sig u ien te o p e rac ió n : 7 = 7 2 + 7 - 4 8 - 7 - 1 6 2 - 7 - 3 0 0 .
Solución
Se ex p resa c a d a uno d e los rad icales e n térm in os d e la u n id ad im aginaria:
7 = 7 2 = 7 3 6 2 - 7 = 1 = 6 7 2 / 7 = 4 8 = 7 1 6 ^ - 7 ^ = 4 7 3 /
7 = 1 6 2 = 7 8 1 = 2 - 7 = 1 = 9 7 2 / 7 = 3 0 0 = 7 1 0 0 - 3 • 7 = 1 = 1 0 7 3 /
{continúa)
2 5 9

278. 1 1 C a p i t u l o
Á L G E B R A
EJE
{c ontin uación)
Se sustituye y se procede a efectuar la operación:
7 —72 + > £ 4 8 - 7 -1 6 2 - 7 -3 0 0 = 6 72 i + 4 7 5 / - 9 7 2 / - 1 o75¿
= 6 7 2 ; - 9 7 2 ¡ + 4 7 3 / - 1075i
= ( 6 7 5 - 9 7 í ) ; + ( 4 7 3 - 1 0 7 3 ) ;
= - 3 ^ ; - 6 - / 3 i
= ( - 3 7 2 - 6 7 3 ) í o = - 3 ( 7 2 + 2 7 3 ) ;
Finalmente, el resultado de la operación es: ( —3 ^ 2 —6 7 5 ) i o = - 3 ( 7 2 + 2 7 5 ) ¡
LC IC IO 111
Efectúa las sig u ie n te s operacio nes:
1. 7 ^ 9 + 3 7 ^ 4 8. ! T ^ Z 7 + i ^ 5 0 4 ^ ñ
3 2 4
2. > P Í 6 + v/2 5 - > / =9 - > / 4 9. ^n/ 4i + 3 > / 9 - Í > / - 1 0 0 + 2
3. V ^ 4 -3 x ^ 1 + 4n - 9 -5 v1- 1 6 10. 1 3 - V (9 ) ( 4 ) + 4 > ^ 2 5 - 2 0 /
4. + 11. - s / - ? + at-s/^-9 — n/—16a:2
5. v ^ + v ^ - n / ^ 12. y J - l & x ' + x s . t & c - S x ^
6. 3 \ [ - 2 + 2 \ ¡ ^ S - sf^ 3 2 - v ^ d 8 13. « /-6 5 6 1 + V ^ 5 6
7. ^ + ^ 7 5 - ^ 9 8 - ^ 14. + £ * * / I ^
V srífic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Potencias d e /
Se o b tie n e n a l elev ar la u n id ad im ag in aria i = >/—I a la e n é s im a potencia, c o n n € N .
/ ' = / I2 = ( ^ T ) 2 = - 1 / 3 = / 2 / = - ! / = - i i 4 = i 2 -12 = ( - 1 ) ( - 1 ) = 1
P ara las potencias m ayores q u e 4 , los resultados so n equivalentes a los an terio res; c o n e l fin d e poder determ inarlos,
la potencia s e descom po ne d e la sig u ien te m anera:
i" = i 4" 4* = i* c o n « = 4 m +
D ond e n, m y k e N , ad em ás n > 4 y k < 4
2 6 0

279. Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
E J E M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------
] • • ¿ C u á l es e l re su lta d o d e i 13?
.1 . Solución
UJ
L a p o ten cia i 13 s e re p re se n ta co m o sigue:
Se a p lic a la fó rm ula a n te rio r y s e obtiene:
y ! 3 = y 12+1 = J - 4 ( 3 H
Por tanto, s e d e d u ce que: i = i
2 • • O b té n e l resu ltad o de: i'6 + 2 / 9 - i 11.
S olución
Se o b tie n e n los v alores d e las potencias d e /:
i 6 = ¿ « O - = y2 = _ ! i 9 « i * * = i> = i i u = j 4» * 3 = i 3 = - i
A l su stitu ir estas eq u iv alen cias y re a liz a r las o peracio nes s e d e te rm in a que:
i 6 + 2 i9 - i u = - l + 2 i - ( - i ) = - l + 2 i + i = - l + 3 í .
EJE ?CICIO 1 1 2
Desarrolla la s p otencias y sim plifica las o p e racio n e s:
1 .i 14 9. 2i,7 + 3í21 - y 5
2.i 15 10.i 55 - r + Í 77
3.3 i31 11. i 9 - 2 i 12 + i ,s - 3 Z 23
4.i 58 12.
i 1 0 0 — | 2 4
5.
y 6 5
13.
y 2 + y 4 + y 6 + y 8 + + y 2 - g j „ g g j ^ , .
6. 2 i 3 + 3 i 5 14. i 3 + i 5 + i 7 + i 9 + . . . + ; 2"+l s i n e s p a r o im par
7. i 8 - t 9 + i '° 15. H a lla e l resu ltad o de: i + i 2 + i 3 + . . . + / '“
8. i 4 + / 3 - 3 i 16 + 4 i 5 16. V erifica la siguien te igualdad: i"+l + i" +2 = - i " + i" +l
V e rifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r a s p o n d i a n t a
AAjItiplicación y división
Para re a liz a r e s ta s o p e rac io n e s, los ra d ic ale s s e tie n e n q u e e x p re sa r e n té rm in o s d e i, p osterio rm en te s e a p lic a n las
siguientes fórm ulas:
f ó r a n ú m e ro s im a g in a rio s la o p e ra c ió n * /- 2 • n/—2 * %/ ( - 2 ) ( - 2 ) , y a q u e v a - \íb - Va y = s ó l° so n
verdaderas s i a y so n positivos.
2 6 1

280. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
E JE M P L O S
------------------------------------------------------------------
-5 ^ 1 • • D e t e r m in a d resu ltad o de- v - 4 .
| N'6
iu S o lu ció n
Se exp resan las raíces e n térm in o s d e /, ¡ara d e sp u é s realizar la operación:
2 • • - E f e c t ú a e l p rod ucto de: 7 ^ 9 - 7 ^ 2 8 - J - j -
S o lu ció n
Se exp resan las raíces e n térm in o s d e i, re realiza e l producto y e l resu ltad o es:
3 • • E fe c tú a
S o lu ció n
S e o b tie n e n las raíces:
v - 2 5 = s/2 5 ( - l) = n/25 • - £ ¡ = 5 ¡ J ^ 4 = f i f í ) = 4 iv £ í = 2¡
Se su stitu y en las eq u iv alen cias y s e d e te rm in a que:
V -2 5 5 / 5
4 ^ 2 i 2

___________, . . , \ / - 4 8 + V—7 5 — \/-T 4 7
4 • • O b té n e l c o c ie n te d e:
--------------j —------------.
V—12
S o lu ció n
Se sim plifican lo s radicales, se realiza la div isión y s e obtiene c o m o resultado:
7 - 4 8 + 7 - 7 5 - 7 - 1 4 7 _ 4 > /3 f ■»5>/3 i - 7 > / 3 / _ 2 7 3 /
7 ^ 1 2 2%/3 i 2 7 3 /
= 1
5 • • S im plifica la sig u ien te exp resión: .
S o lu ció n
S e su stitu y en las equ ivalencias d e c a d a potencia y s e sim plifica:
i 4 - 2 / 2 + l ( l ) - 2 ( - l ) + l 1 + 2 + 1 4 2
i 3 - / 5 " ( - / ) - ( / ) ~ - 2 1 = - 2¿ = i
2 6 2

281. Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
EJEÍC IC IO 1 1 3
Realiza la s sig u ie n te s op e racio nes:
1. 7 ^ 3 - 7 ^ 2 7
2.
3 . ^ - 7 ^ - T ^
11.
12.
13.
14.
•/—12
7 ^ 5
7 = 8 - 7 ^ 6 4
7 ^
7 - 4 + y '- 4 9
T ío o
7 - 5 + 7 - 4 5 + v - 2 0
1 6 81
6 ' 2 5 V 4*
7. 5 ( 3 x / ^ + 2 v t 9 )
7 ^ 1 2 5
15. ( T ^ + T ^ - T ^ s o j + T ^
1 6 . ( i 3 + i 5 ) + ( l - , )
1
I7 - 74
i 4 - 2 i 2 + 1
8 . V - 1 8 ( V - 2 + V - 3
7 - 1 4 4
9.
1 0.
7 9
7 = 3 6
7 5
18.
19.
2 0.
f - i ™
;2«
;"-2
" ^ V - 2 ,- 3
i + i 2 + i 3 + ... + i ,“ '
i + / 2 + i 3 + . .. + i 9W
M irifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Números complejos
Se fo rm an por u na parte real y un a im aginaria.
Son de la form a z = a + bi, c o n a, b e R, donde:
a = R e (z ) parte real y b = Im (z ) parte im ag in aria
U n núm ero co m p le jo s e re p re se n ta de las siguientes form as:
fo rm a re c ta n g u la r o binom ial fo rm a ca rte sia n a
z = a + bi
z = a
z = b¡
z = (a , b)
z = ( a ,0 )
* « (0,b )
EJEM PLOS
• • R e p resen ta e n fo rm a c a rte s ia n a los núm eros co m p le jo s: z, = - 4 + 5i, Z j= 2 i, z, = 8.
Solución
F o rm a ca rte sia n a
Zi = - 4 + 5 / Z ,= ( - 4 , 5 )
z 2= 2 i z2= ( 0 , 2 )
2 3 = 8 23= ( 8 , 0 )
2 6 3

282. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
2 • • - R e p r e s e n ta e n form a binom ial o rectangular los siguientes núm eros com plejos: z ,= ( 3 , - 1 ) , Z j= ( 2 ,0 ) y z , = ( 0 , - 3).
S o lu ció n
F o r m a b in o m ia l
2, = ( 3 , - 1 ) 2 , = 3 - 1
2a = ( 2 , 0 ) 2, = 2
23 = (0 , - 3 ) z3 = - 3 /
EJEIC IC IO 1 1 4
Representa b s sig u ie n te s núm eros co m p tejo s e n s u fo rm a binom ial o cartesian a, se g ú n sea e l c a so :
1. 2 + 3 / 7.(0 , - 2 )
2. ( - 1 ,5 ) 8.
1
3
3. 7/ 9.(3 ,0 )
4 2 5 -
4 3 " 4 '
10.
5. 5 - 2 / 11.
( i -
« 8 H )
12.1 - /
V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Suma y resta
S e a n los núm eros co m p le jo s z = a + b i, w = c + d i
Se define:
z + w = (a + c) + (b + d)i = (a + c, b + d) z - w = ( a - c ) + ( b - d)i=(a - c , b - d )
E JE M P LO S
-q_ 1 • • S e a n los núm eros c o m p le jo s z = 2 + 3 / y w = - 4 + 6/, realiza: ( z + » v ) y ( z - » v ) .
S o lu ció n
i u
Se ap lica la fó rm ula para la su m a y la resta, p a ra obtener:
Z + »v = ( 2 + 3 / ) + ( - 4 + 6 / ) = ( 2 + ( - 4 ) ) + ( 3 + 6 ) / = - 2 + 9 /
Z - »v = ( 2 + 3 0 - ( - 4 + 6 / ) = ( 2 - ( - 4 ) ) + ( 3 - 6 > ' = 6 - 3 /
2 • • ■ ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e (4 - 2¡) + ( - 3 + 4 0 ?
S o lu ció n
Se ap lica la fó rm ula d e la re sta y s e obtiene:
( 4 - 2 0 + ( - 3 + 4 0 = ( 4 + ( - 3 ) ) + ( - 2 + 4 ) / = 1 + 2 / = (1,2)
2 6 4

283. Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
3 ••■Efectúa la siguiente operación: (- 5, - 4) - (- 6, 1).
S olución
Se rep resentan am b os c o m p le jo s e n s u form a rectan g u la r y s e re a liz a la op eració n :
( - 5 , - 4 ) - ( - 6 , 1) = ( - 5 - 4 i ) - ( - 6 + / ) = ( - 5 - ( - 6 ) ) + ( - 4 - 1) / = 1 - 5/
E ste resu ltad o tam b ién s e re p re se n ta c o m o ( 1 , - 5 )
4 •-R esu elv e: ( | + | i
S olución
Se ex p resa e l seg u n d o su m a n d o e n s u fo rm a rectangu lar y se e fe c tú a la sum a:
- 4 4 • ( 4 3
P o r co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: - ^ + ^ 1 o
AAjItiplicación por un e scalar
Para e fe c tu a r la op eració n s e m ultiplica e l e sc a la r por la parte real e im ag in aria d e l núm ero c o m p le jo co m o lo indica
la sig u ien te fórm ula:
c { a + b i ) = a c + b c i
E JE M P L O S
1 # • R ealiza la operació n : 3 ( 2 - 5 / ) .
.1 . Solución
i u
Se re a liz a la m u ltip licació n de 3 por am bos ele m en to s d e l n ú m ero com plejo :
3 ( 2 - 5 i ) = 3 ( 2 ) - 3 ( 5 / ) = 6 - 1 5 /
Por tanto, e l resu ltad o d e la op eració n e s: 6 - 1 5 /
2 • • - O b t é n e l resu ltad o de: 3 ( 7 -4/)- 2 ( - 3 + 2 /) .
S olución
Se re a liz a e l p rodu cto d e los e sc alare s por los núm eros co m plejos:
3 ( 7—4 / ) —2 ( —3 + 2 / ) = ( ( 3 ) ( 7 ) —( 3 ) ( 4 ) /) + ( ( —2 ) ( —3 ) + ( —2 ) ( 2 ) / )
= ( 2 1 - 1 2 / ) + ( 6 - 4/)
= ( 2 1 + 6 ) + ( - 1 2—4 ) /
= 2 7 - 1 6 /
265

284. 11 C a p í t u l o
Á L G E B R A
S o lu ció n
Se m ultip lican los co eficien tes, s e a g ru p an los térm ino s sem ejan te s y s e reducen:
8. ( 7 2 , - 3 ) - ( 0 , 2)
9. ( 7 3 , 7 2 ) - ( 0 , 0)
10. S i Z = 2 + 3 / y Z, = 5 - 4 i , e n c u e n t r a z + z ,
11. S i Zi = 3 — 2 / y z2 = 3 + 2i, o b tén Zi + z2
12. S i z, = 4 - 5 / y Z2 = 4 - 5/, en c u e n tra Zi - Z2
13. S i iv = 3 - 4 / y iv, = 2 + 7i, re a liz a iv, - iv
14. S i z = 1 - *', z , = 1 + / y Zi = i , e n c u e n tra z , - z + Zj
15. S i z1 = 7 — 3 / y z2 = 4 - , c a lc u la z ( + z2
16. S i z = 2 - 3i , z , = 10/ y Zj = 2 + 3 / , re a liz a Z+Z2 - z .
P or co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: 3 - —/
1. ( 3 , 2 ) + ( 7 , - l )
2. ( - 2 , 5 ) - ( - 3 , 5)
3. ( 1 , - 3 ) + ( - 3 , - 2 )
4. ( 0 , —6 ) —(—5, 0)
2 6 6

285. Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
17. Si z ,= - - - i y ¿2 = í 7 , 7 i ,e n c u e n t r a z,
5 O \ 5 O y
18. Si Z, = - + -i, 2, = 7 - 7 / y z 3 = 7 - 2 / , o b tén z , - ( ^ + Zj)
4 6 2 3 4
19. S i z, = 1 - i, Z¡ = - 2 + 5 i y z3 = 1 + 3 / , e n c u e n tra 2 , - 2 2 + 23
2 0 . Si z, - 3 - 2 1, z2 = - 4 - / , y z3 = - 2 - 3í, ¿ c u á l es e l re su lta d o d e 2 z , - 3z2 + 23?
2 1 . Si z, = 7 + 4 /, Zj = 6 - 2 / y z, = - 3 - 3/. E fe c tú a : z, - ^ + “ 23
1 3 2 3 3
2 2 . Si z, = 7 - - / , 2? = 4 - 7 /, y z3 = 1+ 7 '- E fe c tú a : 4 z , - - 2, + 5 z 3
2 4 3 2 4
^ V srific a t u * r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e * c o r r e s p o n d i e n t e .
M ultiplicación
S ean los núm eros co m p le jo s z = a + b i y w = c + di, se define e l producto co m o :
z • w = (a + b¡)(c + d i) = (a c - b d ) + (a d + b c)i
E JE M P L O S
• • R ealiza la sig u ien te o p eració n : (3 - 2 i ) ( - 4 + Si).
I . Solución
AJ
Se o b serv a que: a = 3 , b = - 2 , c = - 4 y d = 5, a p lic an d o la definición s e obtiene:
( 3 - 2 ¿ X - 4 + 5 0 = [ ( 3 K - 4 ) - (-2 X 5 )] + [(3 X 5 ) + ( - 2 ) ( - 4 ) ] i
= ( - 1 2 + 10) + ( 1 5 + 8)1
= - 2 + 2 3 / o ( - 2 , 2 3 )
2 • • H a lla e l resu ltad o d e: ( 2 - 5 0 ( 2 + 5/).
Solución
Se identifican los valores
a = 2 b = - 5 c = 2 d = 5
Se a p lic a la defin ició n: (a c - b d ) + (a d + b c )i, para d e te rm in a r que:
(2 - 5 0 ( 2 + 5 0 = [(2 )(2 ) - ( - 5)(5)J + [(2 )(5 ) + ( - 5 )(2 )j/
= ( 4 + 2 5 ) + ( 1 0 - 10)/
= 2 9 + 0 / o ( 2 9 ,0 )
3 • • ¿ C u á l es e l re su lta d o d e + j
Solución
Al a p lic a r la defin ició n s e obtiene:
(continúa)
2 6 7

286. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a ció n )
= 11 +
1 1 + 1 4
14 5 7 .
" 5 + 1 0 '
E J E R C IC IO 1 1 6
Efectúa las sig u ie n te s op eraciones:
1. ( 3 - 4 / ) < - 3 - 2 f )
2. (2 , 3 X 1 , - 1)
3 . (2 , 0X 3, 2)
4. (1 - ¿ X 2 , - 1)
5. ( 1 + 2 i ) 2
6. ( 7 2 , ^ ) ( 7 2 , V 3 )
7. S i z = ^ , ~ j y w = (2 ,3) , d e te rm in a z » v
8. S i z, = y Zz= ( ° » \ / 2 ) , e fe c tú a z, ^
9. S i w = 6 - 2 / y »v, = 3i, e n c u e n tra iv- w,
10. S i z = ( 4 , - l ) Zi= ( 2 , - 3 ) y z 2 = ( -1 * 1 ) o b tén z2(z + Z i)
11. S i z = 1 — 3* iv = Q , o j y v = 2 + /, d e te rm in a z ( » v -v )
12. S i z = ( l , 2 ) Z |= ( 2 ,0 ) y z 2= e n c u e n tra z- Z | - 4z2
13. S i z = 1 - 3i, d e te rm in a z2
14. S i iv = | , i j , e fe c tú a tv2
15. S i Zi = 3 + 2 / y z2 = 1 - 3 i, e n c u e n tra (zi * z2 )2
16. S i z = 1 + / y »v = 1 - i , re a liz a z2 • w 2
17. S i z = 2 / - 3 , w = 1 - 2 / y v = 4 + 3 # , re a liz a la op eració n : 2 z - 3 » v + v
18. S i z, = 6 - 3 í , Zj = 4 + 2 / y Z3 = ^ - ^ 1, d e te rm in a : ^ Z , + ^ Z 2 - 6 z3j
19. P ru e b a q u e s i z = a + b i y w = a - bi, en to n c es z* w = R e (z )2 + I m ( z ) 2
2 0 . P ru e b a que s i zl = 1+ / y z2= l - 1, e n to n c e s z," •z2" = [ R e ( z ,) + R e (z 2) J
■
21. P ru eb a q u e s i w = ( l , l ) e n to n c es iv2,= ( - 1 ) ( 2 ,0 ) " c o n n p a r e N
22. P ru e b a q u e s i w = ( l , l ) e n to n c es »♦**"= ( 0 ,2 ) " c o n n im par e N
Vb rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
2 6 8

287. Ejemplos
Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
División
z a + b i
Sean los c o m p le jo s z = a + W , w = x + y i, la div isión — =
-------:
T w x + yi
Se define com o:
z_ _ a + b i _ í a x + b y \ ( b x - a y ) .
w x + y i W + y 2 ) W + y 2 ) '
E JE M P L O S
• • R ealiza la sig u ien te o p eració n :
Solución
Se identifican los valores:
6 + 4 /
3 - 5 /
a = 6 b = 4 x = 3 y = - 5
Se a p lic a la definición:
6 + 4 /
3 - 5 / "
( 6 ) ( 3 ) + ( 4 ) ( - 5 )
( 3 ) 2 + ( - 5 )2
( 4 ) ( 3 ) - ( 6 ) ( - 5 )
( 3 ) 2 + ( - 5 )2
6 + 4 / 1 2 1 . f 1 2 1 )
nt0, 3^17 = ~n+Í7' 0 [“ n ’n j
• ( 1 8 ) + ( —2 0 ) (1 2 ) — (—3 0 )
9 + 2 5 9 + 2 5
_ 1 8 - 2 0 12 + 3 0 .
9 + 2 5 9 + 2 5 '
2 4 2 .
=
-------+ — i
3 4 34
1 2 1 .
= ” Í 7 + Í 7 I
H a lla e l resu ltad o de:
4 - /
2 + 3/
Solución
Los valo res d e a = 4, b = - 1 , x = 2 , y = 3, se a p lic a la definición:
4 - /
2 + 3/
( 4 ) ( 2 ) + ( - . ) ( 3 ) ( - l ) ( 2 ) - ( 4 ) ( 3 ). _ ( 8 ) + ( - 3 ) , ( - 2 ) - ( l 2 ) .
( 2 f + ( 3 )2 . ( 2 ) 2 + (3 )¡ . 4 + 9 4 + 9
= 8 - 3 - 2 - 1 2 .
4 + 9 4 + 9 1
5 - 1 4 .
" 1 3 + 13 '
- — — •
" 13 1 3 '
4 — / 5 14
P o r co n sig u ien te, ^ + / , e l c u a l e n s u fo rm a carte sia n a e s | 7^ , - 7^Í - - - 1
V1 3 ’ 1 3 J
2 6 9

288. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
3 • •' R e a liz a la sig u ien te o p e ra c ió n :
3- i '
S o lu ció n
Se obtienen los respectivos valores:
a =2 b =0 * = 3 y = -1
S u stituyen do e n la definición, s e obtiene:
2 (( 2 ) ( 3 ) + ( 0 ) ( - l ) '> (( 0 ) ( 3 ) - ( 2 ) ( - l ) V ( 6 W 2 V 3 1.
3 - / { (3 )2 + ( - ! ) ’ J 1 (3 )3 + ( - l ) 2 J 1 10 J 1 10 J 5 5
4 • • D e t e r m in a d resu ltad o de:
l + i
S o lu ció n
A l a p lic a r la definición s e obtiene:
/ ’(0)(1)+(1)(1)1 0) (D - ( o )( i)l0+1 1-0. 1 1.<
- _ 1 _ m
1+1 "
(1)2+ (1)2.
*r
(D2+ ( i) 2 .
1 + 1 1 + 1 2 2
Por tan to, —^ - - + —i
l + i 2 2
EJEÍC IC IO 1 1 7
Efectúa las sig u ie n te s operacio nes:
1. ‘ 8. S i Z\ = 3 + 2 i y z2 = 1 “ 2 /, e n c u e n tra —
1—21 Zi
2. 9 . S i z , = 3 + 2 / y z = l - i , re a liz a ~
• 3 + Z
3. -— — 10. S i z = l - 7 / y w = 1 + 2 / , d e te rm in a —
i »v
4 > / 2 -V 3 i i i s i z = 4 - 3 iy i v = l + 2 i , e f e c t ú a -
V2 + V3/ 2
5 1 2 \ 2 / 12 s ¡ z = i _ 3 / y = 2 + 7/ , ¿ c u á i e s e l resu ltad o d e — ?
V2 i z
6.
1 -
7. 2=
1 -
13. S i Zi = 3 - i , 22 = l + i y z3 = y¡2 + i, re a liz a Z| + 2?
z?
14. S i z , = 2 + i, Z2 = 1 + 2 i , 2j = 3 - 2 i y 2, = - 2 + 3/, efectú a:
Z3+Z4
V itrifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c d ó n d o s o lu c io n a s c o r r e s p o n d i a n t a
Representación gráfica
f ó r a re p re se n tar e n e l plano c a rte sia n o c u a lq u ie r n ú m ero co m p le jo de la form a z = a + b i, s e ubica a la p a rte r e a l e n
e l e je horizontal ( e je re a l) y a la p a rte im a g in a ria e n e l e je v ertical ( e je im aginario).
2 7 0

289. Ejemplos
Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
Sea e l núm ero c o m p le jo z = a + b¡, entonces s u re p resen tació n g ráfica es:
E J E M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------------------------•
• • G ráfica e l sig u ien te núm ero co m p lejo : z = 4 + 5/.
S olución
Se con vierte e n la fo rm a c a rte s ia n a z = ( 4 ,5 ) , y s u g ráfica es:
E je im aginario
2 • • - G r á f i c a : Z2 = - 4 - 6 / .
S olución
Se u b ic a e l p u n to ( - 4, - 6 ) e n e l plano y s e une c o n e l orig en m ediante un se g m en to de recta, y s e ob tiene la re p re ­
sen tació n g rá fic a d e z 2-
E je im aginario
E J E R C IC IO 1 1 8
Gráfica tos sig u ien tes núm ero s com plejos:
1. Z, = - 6 + 5 i 5 . 2 5 = 5 - 2 / 9 . v = ( 2 ,3 X 1 , - 1 )
2. *2= (A - 4 ) 6. * 6 = ( 6 -2) 10. w' = ~ i
3. * 3= ( - 1 . - 2 ) 7. * = ( l , 2 ) + ( - 3 , - 5 ) ,1 . >v2 = ( 3 , - 1 )(2 ,0 ) —( —1,— l)
_ (1 ,2 )-(2 ,-1 )
4. z . = - 2 + 4 ¡ 8. Z = ( - 4 , 6 ) - ( 1 , - 3 ) 12. ^
( ^ V itrifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a
2 7 1

290. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Valor absoluto o módulo
E l m ó d u lo d e un co m p le jo es la d istan c ia que existe d e l o rig en a l punto que d e te rm in a e l n ú m ero co m p le jo . Su m ag ­
n itud e s tá d a d a por la fórm ula:
z \ = \a + b¡\= sj[R e(z)J + [/m (z)J =>la2+ b2
y s u rep resen tació n g ráfica es:
Propiedades d el valor absoluto
S e a n los núm eros c o m p le jo s z y z,, en to nces:
1. | z | = 0 s i y s ó l o s i z = 0
2. |z + z , | S | z | + | z , |
3. |z ’Zi| = |*H*il
E JE M P LO S
1 • • O b té n e l m ó d u lo de z = 3 - 4i.
.1 . S o lu ció n
U J
Se sustituy e a = 3 y 6 = - 4 e n la fó rm u la y s e obtiene c o m o resultado:
| z 1 = 1 3 - 4 / 1= \/( 3 ) 2 + ( —4 ) 2 = \/9 + " Í6 = \j25 = 5
E l resu ltad o in d ica que e x iste n 5 unidades d e l o rig en al pu nto z = (3 , - 4)
2 • • - ¿ C u á l e s e l m ódulo d e l núm ero c o m p le jo z2 =
S o lu ció n
Se su stitu y en los valores y s e obtiene:
N =
- r f«
1 « s /3 .
__ i
- Ií-íY +í- ^ T
2 2 ' - \ ¡ l 2 ) +{ 2 j
3 • • • D e t e r m i n a e l v alor ab so lu to d e l núm ero c o m p le jo (1, 7 ).
S o lu ció n
Se su stitu y en los valores e n la fórm ula y re su lta que e l m ódulo d e z4 es:
|z4| = >/(1)2 + ( 7 ) 2 = V T T 4 9 = n/5 0 = 7 2 5 ^ 2 = 5 ^ 2
2 7 2

291. Ca p í t u l o 1 1
Núm eros complejos
4 • • • P a r a z = 3 + 4 / y w = 2 - /, p ru e b a q u e |z + »v| < |z|+|»v|.
Solución
Se ob tien e |z+>v|
\z + w\ = |( 3 + 4 / ) + ( 2 - / ) | = |5 + 3/|
= 7 3 4
luego,
H + H = | 3 + 4 i| + | 2 -i|
= V (3)2 + ( 4 ) 2 + j ( 2 ) 2 + (—l f
= 5 + 7 5
Ftor tanto , se c o m p ru e b a que:
|z+ »v| < | z | + | »v |
7 3 4 < 5 + 7 5
L as m agn itu des de los núm eros
com p lejos e n e l plano c a rte sia n o s e
re p resen tan tfc la sig u ien te m anera:
C o njugado
El co n ju g a d o d e l c o m p le jo z = a + b i ,s e define com o:
z = a - b i
Ejemplos
C o m p le jo C o n ju g a d o
3+7/ 3 - 7 /
- 4 - 8 / - 4 + 8/
- 3 - 3
-4 / 4/
T eorem a: s e a z = a + b i en to n c es z • z = a2 + b2
P r o p i e d a d e s
Sean los núm eros co m p le jo s z = a + b i y w = c + di, enton ces:
1. z + w = Z + w
2 . z ' »v = z • w
3. z + z = R e (z )
4. z - z = - 2 Im ( z )
5. \ z f = Z Z
6 ' S l Z * ° ' ~ z ~ ¡ ¡ j 7
2 7 3

292. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
D e m o stra c io n e s
1. Se d e te rm in a la su m a d e los c o m p le jo s z y w:
z + w = (a + b i ) + ( c + d i) = (a + c ) + ( b + d ) i
L uego e l co n ju g a d o d e z + w se define com o:
z + w = ( a + c ) - { b + d ) i
Se d e sa rro lla la o p e rac ió n , aso c ia n d o co m o s e o b se rv a y s e d e te rm in a que:
z + w = (a + c ) - ( b + d ) i = (a + c ) + ( - b - d ) i = ( a - b ) + ( c - d ) i = z + w
2. E l producto d e los co m p le jo s z y w es:
Z • w = (a + b i ) ( c + d i) = (a c - b d ) + (a d + b e ) i
Luego, e l co n ju g a d o d e z - w s e define co m o :
z • w = (a c - b d ) - {cid + b e ) i
Se d e sa rro lla la o p e rac ió n y s e ag ru p an d e la sig u ien te form a:
(a c - b d ) - (a d + b c ) i = (a c - b d ) + ( - a d - b e ) i
= (o c - H > X - ¿ ) ) + (fl ( ~ d ) + ( -b X c ) ) i
= (a - b i) (c - di)
= z - w
3. Se d e te rm in a la su m a d e l c o m p le jo z y s u c o n ju g a d o z :
z - z = ( a - b í) + (a + b i) = (a + a ) + { - b + b ) i = 2a + 0 ¡ = 2 a
P e ro a e s la parte real d e l c o m p le jo z, por lo ta n to
z + z = 2 R e(z)
4. Se ob tiene la d ife re n c ia d e l co n ju g a d o z y e l c o m p le jo z:
z - z = ( a - b i ) ~ ( a + b i) = ( a - a ) + ( - b - ¿>)i = Oa - 2 b i = - 2b i
P ero b i es la parte im ag in aria d e z, enton ces:
z - z = 2 Im (z)
5. S e ob tiene e l v alor ab so lu to de z y s e e le v a a l cuadrado:
| z f = (Va2 + b 2 )2 = a 2 + b 2
f t r o s i z = a + b i e n to n c es z - z = a 2+ b2 por lo tanto:
| z f = (V ü 2 +¿>2 ) = a 2 + b 2 = z z
6. S ien d o z = a + bi, s e re a liz a la div isión i obteniendo:
z
1 _ l + O i f ( l ) ( a ) + ( 0 ) ( f t )
z a + W [ a 2 + ¿ 2
a b
~ a 2 + b 2 a 2 + b 2 '
( o ) M - 0 ) W
a 2 +/»2} (a 2+ ^ H f l2+^2) í
2 7 4

293. E l d e n o m in a d o r d e c a d a té rm in o e s e l m ism o, enton ces s e tie n e q ue:
_ a - b i
z a 2 + b 2
P e ro z = a - b i y \ z |2 = a 1+ b2, e n to n c es s e obtiene:
1 = j _
W*
E JE M P L O S
1
Z 4* IV
• • S i z = 2 + 3 / y w = - 1 + / , d e te rm in a ^ = - .
iS*
Solución
Se a p lic a n la s prop iedades d e los com p lejo s:
z + w = z + w = (2 - 3 i) + ( - 1 - / ) = (2 - 1) + ( - 3 - l ) i = 1 -4 /
z ^ w = z w = (2 - 3 / ) ( - 1 - i) = - 5 + i
Luego,
Z + w 1 - 4 # 9 1 9 .
Z » v - 5 + / 2 6 2 6 *
2 • • - S i z = - 4 + / y w = - 2 + 5 / , d e te rm in a 7= — ^77=— r
(h' + »v) (z-z)
Solución
Se a p lic a n la s prop iedades d e los c o m p le jo s y s e obtiene:
z - z \ z \ 2
(» v + » v )(¿ -z ) [ 2 R e ( » v ) ] [ - 2 I m ( z ) ]
Se su stitu y en e l valor ab so lu to d e z, e l núm ero re a l d e w y e l núm ero im a g in ario d e z:
f
_________ ( - 4 ) 2 + ( l )2 17 17
[ 2 R e ( w ) ] [ - 2 I m ( z ) ] [ 2 ( - 2 ) ] - [ - 2 ( i ) ] ( - 4 ) ( - 2 / ) 8/
Se realiza la división:
17 = 17 1
8/ 8 i
P e ro i = - L = ■ 2 1 . = - i, e n to n c es s e o b tie n e ::
i |i| ( 0 ) + (1)
1 7 / a 1 7 .
= ¥ (“ ' ) = - J '
2 7 5
Ca p i t u l o 1 1
Núm eros complejos

294. 1 1 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJE IC IC IO 1 1 9
Encuentra e l v a b ra b s o lu t o o m ódulo d e b s sig u ien tes núm eros co m p le jo s:
1. 2 + 3 / 4. 3 i 7. j + v 2< 10.
G H
2. 5 - 4 / 5. 1 - 2 / 8. 11.
I -
3. 4 - 5 / 6. 6 - 7 / 9. ( 7 2 , o ) 12.7 2 - 3 /
D eterm ina e l conjug ado d e b s sig u ie n te s núm eros co m p le jo s:
13. 5 + 4 / 16. 5 / 19. ( 0 , - 3 ) 22.
( - 1 . - 1 )
14. ( - 5 , 0 ) 17. i /
» - 1 4
23.
- 4
15. 1 + / 18. (2,1 ) 21. - 2 + 6/ 24.
Í M
Sean b s núm eros co m p le jo s z = 2 / + 1, z, =: 4 - 2 / y z, = (5,1) dem uestra q u e :
25. |z + z , | < | z | + | z , | 28. K z .+ ^ K z J l =
I-W
26. |z - z ,| = | z | . | z , | 29. \zzrZz\ = | z | ‘U i |* k l
27. |z, + Z j + z | £ |z, + z ¡ |+ |z | 30. \ z r z 2\+ \z2 -z\ < I ^ K l -2.1+1«o
N ota: E s ta s de m o stracio n es no se incluyen en la s so lu cio n e s.
Sean b s co m p le jo s z = 2 - 3 í, w = 1 + i y v = 2 - i , de term in a:
3 1 . 3 6 . ( z - ¡ ) - ( w - w ) 4 1 . Z W
3 2 . iv + v - z - » v 3 7 . ( v - v ) ( z + »v) 42.
3 3 . T y 3 8 . ( z - , v ) ( » v - v ) 43.
Z + »v
V
|vf
v + »v
i ¡2
V + W\

------ Z + IV V • V
34. w v - z - v 3 9 . = 4 4 . 7=-
w + v
/ — \ / - \ v - V + Z — v + JV
3 5 . ( w - * v ) ( v - v ) 4 0 . — = 45.
z - z
Yfcrlflca t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c d ó n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e
2 7 6

295. ______________Capítulo 1 2
Ec u a c io n e s d e s e g u n d o g r a d o
E
STÓRICA
n la reseña del capítulo 2 se mencionó a
al-Khwarizmi y su método geométrico para
resolver ecuaciones de segundo arado,
que se conoce como método de completar el
cuadrado y consiste en lo siguiente:
Ejemplo
Sea la ecuación x 2 + 4 x = 45
O Se comienza por construir un cuadrado de lado x, ABCD, cuya área
será x 2.
O Se prolonga el lado AB y A D en 2 unidades, resultan 2 rectángulos;
la suma de dichas áreas es 2 x + 2 x = 4x, que da como resultado el
segundo término de la ecuación.
O la figura se completa con un cuadrado de 2 unidades por lado, cuya
área es 2 • 2 = 4 unidades cuadradas.
O El área total del cuadrado es x 2 + 4 x + 4 .
O Se suman 4 unidades cuadradas en ambos términos y se resuelve la
ecuación.
x2
x 2 + 4 x = 45
- 4 x + 4 = 45
(x + 2)2 = 4 9
Por tanto, una solución es x = 5.

296. Ejemplos
12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Definición
L a e cu a ció n de la fo rm a aX1 + b x + c = 0 , d o n d e a , b , c € R y a * 0, e s un a e cu a ció n de se g u n d o g ra d o ; al té rm in o a X
se le lla m a cu ad rático , a b x lin eal, c e s e l té rm in o independiente y s e cla sifica n d e la sig u ien te form a:
d e la igualdad s e o b tie n e n los valores d e x ,
x¡ = - 2 + \ = - \ o Xi = —2 —1 = — 3
Por tan to, las soluciones o ra íc e s d e la e c u a c ió n son: x t = - 1 o x 2 = - 3
2 • • D e term in a las raíces d e la e c u a c ió n : x * - 6 x - 2 7 = 0 .
S o lu ció n
Se d e ja n los térm inos e n x e n e l prim er m iem b ro y s e procede a c o m p le ta r e l trinom io cu ad ra d o perfecto.
C o m p letas: a x 2 + b x + c = 0
E cu aciones d e
se g u n d o grado M ixtas: a x2 + b x = 0, c o n c = 0
Incom pletas:
Puras: ax2 + c = 0, c o n b = 0
Solución de una ecuación de segundo grad o completa
L as ecu a cio n e s d e se g u n d o g ra d o tie n e n dos solu cio nes, tam b ién s e den om in an raíces.
Existen tr e s m étodos para re so lv er u na e c u a c ió n d e seg u n d o grado:
© C o m pletando el trin o m io c u a d ra d o perfecto
Para c o m p le ta r e l trin o m io c u ad ra d o perfecto s e su m a n , e n am b o s m ie m b ro s d e la igualdad , e l c u a d ra d o d e la
E JE M P L O S
---------------------------------------------------
1 # • R esu elv e la e c u a c ió n : x 2 + 4 x + 3 = 0.
S o lu ció n
S e d e ja n los térm inos e n a: e n e l prim er m iem b ro de la ecu ació n .
¿ + 4 r + 3 = 0 -> x 2 + 4 x = - 3
Se d e sp e ja a la incógnita
Se fa cto riz a e l trin o m io c u ad ra d o perfecto
Se ex trae la raíz c u a d ra d a e n am b o s m iem bros
( * + 2 ) 2 = l
x + 2 = ± \ f l
x + 2 = ± \
x = - 2 ± \
X * - 6 x - T J = 0 -> x 2 - 6 x = 2 7
Se fa cto riz a e l trin o m io c u ad ra d o perfecto
se a p lic a raíz c u a d ra d a e n a m b o s m iem bros.
( * - 3 ) ’ = 36
* - 3 = ± V 3 6
x -3 = ± 6
2 7 8

297. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
efe la igualdad s e o b tie n e n los v alores d e *,
* , = 3 + 6 = 9 o * 2 = 3 - 6 = - 3
Por tanto, las raíces d e la e c u a c ió n so n : * , = 9 o = - 3
3 • • E n c u e n tra la s raíces de la ecu a ció n : x 2 - 5 x - 6 = 0.
Solución
E l té rm in o independiente s e c o lo c a d e l lado d e re c h o d e l sig n o ig u a l y s e pro ced e a co m p le ta r e l trin o m io cu ad rad o
perfecto,
x 1 - 5 x- 6 = 0 - » * 2 - 5 * = 6
GB
i ' 2 5 2 5
Se s u m a | -^ | = — e n a m b o s m iem bros * 2 - 5 * + — = 6 + —
Se fectoriza e l trin o m io cu ad ra d o perfecto
( 5 V _ 4 9
2 J 4
5 i 49
Se a p lic a raíz c u a d ra d a x - — = ± J —
’ - K
efe la igualdad s e o b tie n e n los valo res d e *,
5 7 2 . 5 7 12 -
X, = 2 ~ 2 = ~ 2 = ~ ° * 2 = 2 2 = ~2 =
P o r tanto, las so lu cio n es d e la e c u a c ió n son:
* , = - 1 o * ? = 6
4 • • D eterm in a las so lu cio n es d e la e c u a c ió n x 2 + 4 x + 5 = 0.
S olución
Xl + 4 x + 5 = 0 - » x } + 4 x = - 5
x 2 + 4 x + 4 = - 5 + 4
( * + 2 ) 2 = - l
x + 2 = ± ^ \
x + 2 = ± i
x = - 2 ± i
de la igualdad s e o b tie n e n los valo res d e *, que s o n los núm eros com p lejo s:
* , = - 2 + i o * , = — 2 —i
5 • • R esuelve la e c u a c ió n 2 ¿ + 7 * + 3 = 0.
S olución
Se divide la e c u a c ió n entre 2 y s e co m p le ta e l trin o m io c u ad ra d o perfecto.
Se su m a
r 2
2
2-G B
. , 2 7 4 9 3 49
= — e n am b os m iem b ros B + - * + — = - - + —
2 16 2 16
(icontinúa)
2 7 9

298. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(c o n tin u a c ió n)
2 5
RJ-
s e fa cto riz a e l m iem bro izquierdo, , j (
16
se a p lic a raíz c u a d ra d a e n a m b o s m iem bros. x + ~l = ±4
4 4
x ~ l ± *
4 4
Finalm ente, las raíces d e la ecu a ció n so n : x¡ = o x¡ = -?>
6 • • D e term in a las so lu cio n es d e la e c u a c ió n 3.x2 - 5 x + 2 = 0.
S o lu ció n
Se div id en am b os m iem b ros d e la igualdad e n tre e l coeficiente d e l térm in o cu ad rático , q u e e n e s te ca s o e s 3,
& - 5 x + 2 = 0 ->
3 3
En la e c u a c ió n resultan te s e co m p le ta e l trin o m io cu ad ra d o p erfecto y se d e s p e ja * .
5 2 „ 2 5 2 5 2 2 5
* " 3 * + 3 = 0 ^ * - 3 * + 36 = " 3 + 36
H B
5
X “ 6 = :
X - ~ 6 = ± ~6
P or tanto , las raíces de la e c u a c ió n son: * , = 1 o -^ = ~
E n c u e n tra las raíces d e la e c u a c ió n 6*2 - 1 lx y + 3y2 = 0 , c o n y c o m o una c on stante.
S o lu ció n
S e divide la e c u a c ió n e n tre 6 y se c o m p le ta e l trinom io cu ad ra d o perfecto.
2 11 3 2 « a 11 3 2
2 11 121 2 3 2 121 2
* “ 6 * + M 4 ' ~ V W
( 11 Y 49 a
l x - ñ y ) m m f
1 1 4 . 7
^ - Í 2 > = ± Í 2 y
Por co n sig u ien te, las ra íc e s de la e c u a c ió n son:
7 11 18 3 7 11 4 1
"* = ñ y + Í 2 y = ñ y = 2 y ^ = - ñ y + l 2 y = l 2 y = 3 y
2 8 0

299. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
EJERCICIO 1 2 0
Determ ina la s raíces d e la s sig u ien tes ecu acio n es d e se g un d o g ra d o y co m p le ta e l trinom io cu a d ra d o perfecto, donde
y, z y w s o n variab le s y a y b constantes.
1. Xl + 5 x + 4 = 0 11. 2 x l + 5 x + 2 = 0
2. 6 x - 2 7 = - x 2 12. 10»v2 - 1 3 w - 3 = 0
3 . ^ + l U + 3 0 = 0 13. - 3X2 + 7 x + 6 = 0
4. y 2+ 1 0 = 6y 14. 3 6 r = 1 3 + 3 6 r
5. iv2 - 4 0 = 3 w 15. 4*2 + 5 f o = - 6 2
6. z2- 3 0 = 13z 16. - 3 2 a w - 15a2 = - I v ?
7. X1 - IOat + 2 4 = 0 17. x 2 + 3 b x - \ 0 b 2 = 0
8. x 2 + 8* = 2 4 0 18. b 2x 2 = b x + 30
9. 2 x + 5 = - ^ 19. a 2y 2 + 3a¿ry + 2¿>2 = 0
10. 3x2 = * + 2 20. 2 1 a y - \ 4 y 2 = 10a2
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s o c c ló n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a
Fórmula general
Deducción de la fórmula general para ecuaciones de segundo grado
Sea la e cu a ció n g e n era l d e se g u n d o grado:
a x 2 + b x + c = 0
L a e c u a c ió n s e divide e n tre a,
a x 2 + b x + c = 0 - > x 2 + - x + - = 0
a a
E1 té rm in o independiente s e c o lo c a x 2 + - x = - —
en e l se g u n d o m iem bro
2 b b~ b c
se co m p le ta e l trinom io cu ad ra d o p erfecto , x + - x + — y = — y
------
a 4¿í 4 a a
- 4 acf A ¿ V ¿>2 - 4 i
r 2 a J 4 fl2
se factoriza e l lado izquierdo, y s e re a liz a la re sta
en e l se g u n d o m iem bro
i i j , b . ¡b2 - 4ac
se realiza e l desp eje p a ra x, x + — - ± .
--------^—
2 a V 4 a~
b . J b 2 - 4a c
X + — = ±
-------------
2 a 2 a
b \ b 2 - 4a c
' “ S 1 -—
c «w i ac i i -b ± Jb 2- 4 a c
Se o btiene la fó rm u la g e n e ra l * = -
2 a
F inalm en te, las soluciones o raíces d e la e c u a c ió n son:
-b + \lb2- 4 a c - b - 'lb 2 - 4a c
r
----------- o x 2 =
2 a ¿ 2 a
2 8 1

300. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
X =
E J E M P L O S
-------------------------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • R esu elv e la e c u a c ió n - 5 x - 2 = 0.
.1 . S o lu ció n
S e identifican los valores d e a , b y c d e a cu e rd o c o n la e c u a c ió n dad a.
a = 3, b = - 5 , c = - 2
Se su stitu y en e n la fórm ula g en eral.
- ( - 5 )í>/ ( -5 ) 2 - 4 ( 3 ) ( - 2 ) 5 ± y' 25 + 2 4 5 í > / 4 9 5 ± 7
2 ( 3 ) “ 6 6 " 6
P a r a concluir, las raíces son:
5 + 7 12 „ 5 - 7 2 1
Í 1 = _ = _ = 2 ° , J
2 • • D e term in a la s raíces d e la e c u a c ió n 2 x * - 3 x = 0.
S o lu ció n
De acu e rd o c o n la ecu a ció n : a = 2, b = - 3, c = 0, los valores s e su stitu y en e n la fórm ula g en eral,
_ - ( - 3 ) í >/(^ 3 )2 - 4 ( 2 ) ( 0 ) _ 3 í n / 9 - 0 3 í & _ 3 í 3
X 2 ( 2 ) 4 4 4
n , , . , 3 + 3 6 3 3 - 3 0 _
P or tanto , las raíces so n : x . =
------= — = - o x , = = — = 0
4 4 2 4 4
3 • • E n cu e n tra las soluciones d e la e c u a c ió n ¿ - 9 = 0.
S o lu ció n
De acu e rd o c o n la ecu a ció n : a = 1, ¿ = 0, c = - 9 , s e su stitu y e n los valores e n la fórm u la g en eral,
_ - 0 ±n/(0 )2 - 4 ( 1 ) ( - 9 ) _ - 0 ± \ / 0 + 3 6 _ ±n/3 6 _ ± 6 _ a ,
2 (1 ) = 2 = 2 = 2 =J
P or co n sig u ien te, la so lu cio n es so n : * , = - 3 0 ^ = 3
4 • • D e term in a las ra íc e s de la e c u a c ió n x 2 + 4 x + 5 = 0.
S o lu ció n
De acu e rd o c o n la ecu a ció n : a = 1, b = 4 , c = 5, los valores se su stitu y en e n la fó rm u la gen eral,
- ( 4 ) ± V (4 )2 - 4 ( l ) ( 5 ) - 4 ± V l 6 - 2 0 - 4 ± ¿ A - 4 ± 2 i
2 (1 ) = 2 =2=2 = “ 2 ± '
F in alm ente, las raíces d e la ecu a ció n so n : jc, = - 2 + i, x 2 = - 2 - i
EJERC IC IO 121
Em plea la fórm ula g e n e ra l y encuentra la s raíces d e la s sig u ie n te s ecu acio n es:
1. * * + 1 5 = &r 3 . * 2 + 6 r = - 8 5 . 4.T2- 2 0 * + 2 5 = 0 7. 5y2 - 2 y - 3 = 0
2. ¿ = x + 6 4. x 2 - 2 x - 15 = 0 6. 6aT + 1 3 * - 5 = 0 8. x 2 - 6 * + 2 = 0
2 8 2

301. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
9. ^ + 2 r - 5 = 0 12. 36y2 - 24 y = - 8 5 15. y 2 - | a y = 0 18. X* ~ = Q
10. + 5 = 0 13. Wl-5 w = 0 16. aXl - b x = 0 19. a2x 2 + b2 = 0
11.
4x2 = - 4x- 17 14. | z 2 + - z = 0 17. a:2 - 2 5 = 0 20. a V - 1 6 = 0
3 6
Q V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Propiedades de las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado
L a e x p resió n / = b2 - 4¿tc e s e l disc rim in an te d e un a ec u a c ió n d e se g u n d o g rad o, y perm ite d e te rm in a r si las raíces
son reales o im aginarias.
1. S i / > 0 , las raíces so n reales y d ifere n te s.
2 . S i 7 = 0 , en to nces las raíces so n reales e iguales y s u valor e s: x = - -7 - .
2 a
3. S i / < 0 , en to nces las ra íc e s so n com p lejas.
E J E M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------------------------•
"q_ 1 • • D eterm in a e l ca rá c te r d e las raíces d e la e c u a c ió n 20* 2- * - 1= 0 .
.2. Solución
U J
A l su stitu ir los v alores d e a = 2 0 , b = - 1, c = - 1 e n e l d iscrim in an te, s e obtiene:
/ = ( - l )2 - 4 (2 0 ) ( - 1) = 1 + 80 = 81
De a cu e rd o c o n e l resu ltad o / > 0 , s e d e d u ce que la e cu a ció n tie n e 2 so lu cio n es reales y difere n te s.
2 • • 'E n c u e n tra e l c ará c te r d e las raíces d e la e c u a c ió n 4 / - 8y + 7 = 0 .
Solución
A l su stitu ir los v alores d e a = 4, b = - 8, c = 7 en e l d iscrim in an te, s e d e te rm in a que:
/ = ( - Sj2- 4 (4 ) ( 7 ) = 6 4 - 112 = - 4 8
E n e s te c a s o / < 0 , por tanto , las raíces so n co m plejas.
EJE ÍC IC IO 1 2 2
Determ ina e l ca rá c te r d e las raíces d e la s sig u ie n te s ecu acio n es:
1. x 2 - 8 * + 12 = 0 7 . x 2 + 4 x - 5 = 0
2 . x 1 + 6x + 16 = 0 8. w2 - 2w + 5 = 0
3 . j X2- 4 x + j= 0 9 . s l 6 y 2 - ( s l 2 - s f e ) y - \ = 0
4 . 36.x2 - 6 0 * + 2 5 = 0 10. x 2 + 6x + 9 = 0
5 . 4 x 2 - 3 * = 0 11. * 2 - 4 * + 5 = 0
6 . j? + 8 1 = 0 12. ¿ * 2 + 2 * + 5 = 0
( J ' v Vb rifle a t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o l u c i o n a s c o r r a s p o n d ia n t a
2 8 3

302. Ejemplos
12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Factorización
O tr a form a d e re so lv er u na e c u a c ió n d e se g u n d o g ra d o e s fa cto riz a n d o la e x p resió n e ig u alan d o a c e ro c a d a factor,
para posteriorm ente d e sp e ja r a la incógnita.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------•
1 # • R esu elv e la e c u a c ió n x2 - 7 * + 10 = 0.
S o lu ció n
C o n la form a j f + b x + c se fa c to riz a e l trin om io.
* 2 - 7 * + 10 = 0
( * - 5 X * - 2 ) = 0
C a d a factor s e iguala a c e ro y s e resu elv e c a d a ecu ació n .
* - 5 = 0 o * - 2 = 0
* = 5 o * = 2
Por tan to, las raíces de la e c u a c ió n son: * , = 5 o * 2 = 2
2 • • D e term in a p a r a * la e c u a c ió n * * + l l a r + 1 0 ^ = 0.
S o lu ció n
Se fa cto riz a e l trin om io.
* ^ + 11 ax+ \0a2 = 0
(x + \0á)(x + a ) = 0
C a d a factor s e iguala a c e ro y s e resuelve c a d a ecu ació n ,
* + 10a = 0 o x + a = 0
* = - 10a o x = - a
Por co n sig u ien te, las ra íc e s d e la e c u a c ió n so n : * , = - 10a o x2 = - a
3 • • R esu elv e la e c u a c ió n ó*2 - 7 * - 3 = 0.
S o lu ció n
C o n la form a ax2 + b x + c s e fa cto riz a la exp resió n
. 6 ( 6 * 2 - 7 * - 3 )
6 r - 7 * - 3 = 0 —» - i
------- = 0
6
3 6 ^ - 7 ( 6 x ) - 1 8 , 0
6
( 6 * - 9 ) ( 6 * + 2 ) Q
6
E l d e n o m in a d o r s e desco m pon e e n su s factores prim os (6 = 3 - 2 )
( 6 * - 9 ) ( 6 * + 2 ) = Q
3 - 2
Se re a liz a la sim p lificació n
( 2 * - 3X 3* + 1) = 0
C a d a facto r s e iguala a c e ro y s e resu elv e c a d a ecu ació n .
2 * - 3 = 0 o 3 * + 1 = 0
2 r = 3 o 3 * = - 1
P o r tanto , la s raíces o so lu c io n e s d e la e c u a c ió n son: * , = ^ ox> = - ^
2 8 4

303. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
4 • •■ D e te r m in a las raíces d e la e c u a c ió n 3x* + 1 9 * - 14 = 0 .
S olución
Se a p lic a e l fa c to r por ag ru p ac ió n d e térm in os y se fa cto riz a la expresión.
3*2 + 1 9 * - 14 = 0
Se d e sc o m p o n e 19*e n 2 1 * - 2 * , 3x2 + 2 U - 2 r - 14 = 0
Se ag ru p an térm in o s y s e fa cto riz a 3* (* + 7 ) - 2 ( * + 7 ) = 0
( 3 * - 2 ) ( * + 7 ) = 0
C a d a factor s e iguala a c e ro y s e resuelve c a d a e c u a ció n .
3 * - 2 = 0 o * + 7 = 0
x = \ o * = - 7
F inalm en te, las raíces son: * , = ^ o * , = - 7
5 • • D eterm in a las so lu cio n es d e la e c u a c ió n * 2 - 3n/2 * - 8 = 0.
S olución
Se fa cto riz a e l trino m io,
3\^2 jt — 8 = 0
( í - 4 ^ ) ( í + x / 2 ) = 0
C a d a factor s e iguala a c e ro y s e resuelve c a d a e c u a ció n .
i - 4 x/2 = 0 , 0 * + -Jl = 0
* = 4 x /2 0 * = - -jl
P o r co n sig u ien te, la s so lu cio n es d e la e c u a c ió n so n : * , = 4 > /2 o x¡ = - v‘2
EJEÍC IC IO 1 2 3
E m p lea el m étodo facto rizació n y resuelve la s sig u ien tes ecuaciones:
1. *2 - 5 * - 6 = 0 10. 14*2 - 3 3 * - 5 = 0 19.
2 . * ^ + l l * + 2 4 = 0 11. 20*2 + 3 * - 2 = 0 20.
3 . / - y -2 0 = 0 12. 5z2 = 1 7 z - 1 4 21.
4 . ¿ = * + 9 0 13. lOiv2 = 7 w + 6 22.
5 . - iv2 + 5u» - 4 = 0 14. 14*2 + 17* - 6 = 0 23.
6 . 3y2 - 1 ly + 10 = 0 15. - 2*2 = 7 * - 15 24.
7 . 3*2 - * - 2 = 0
8. 2y2 = 4 - 7 y
9 . 3*2 - 6 = 7 *
16. 6 r 2 + 11¿>* = 10¿»2
17. 2x2 + 2a2b2 = 5abx
18. a V - 2 a * - 3 = 0
25.
17 1
+— y + - =
67 6
5 1
1 2 * 6 ~~
1 2
— w
------
15 15
V it r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ■
2 8 5

304. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Solución de una ecuación de segundo grad o incompleta
M ixtas
T ie n e la fo rm a ax2 + b x = 0 ; p a ra o b te n e r las ra íc e s de la ex p re sió n s e a p lic a e l f a c to r co m ú n , y un a d e su s ra íc e s
siem p re es cero .
i í
EJEM PLO S
---------------------------------------------------------•
1 # • D e term in a las so lu cio n es d e la e c u a c ió n x2 - 5 x = 0.
I . S o lu ció n
Se fa cto riz a por fa c to r com ún.
* 2 - 5 * = 0
x ( x - 5 ) = 0
C a d a factor s e iguala a c e ro y s e resu elv e c a d a e c u a c ió n d e prim er grad o.
* = 0 o * - 5 = 0
x = 5
Finalm ente, las so lu cio n es d e la ecu a ció n son:
j, = 0o i2 = 5
2 • • D e term in a la s raíces d e la e c u a c ió n ( x - 3 )2- ( 2 x + 5)2 = - 16.
S o lu ció n
Se d e sa rro lla n los productos notables y se sim p lifica la expresión:
(x - 3)2 - ( 2 r + 5)2 = - 16
x l - 6 x + 9 - ( 4 x i + 20x + 25) + 16 = 0
^ - f o + 9 - 4 ^ - 2 0 * - 2 5 + 1 6 = 0
- 3x2- 2 6 x = 0
Se a p lic a fa cto rizació n p o r facto r co m ú n .
Se ig u ala a c e r o c a d a factor.
Por tan to, las raíces de la e c u a c ió n son:
x ( - 3a: - 2 6 ) = 0
* = 0 o - 3 * - 2 6 = 0
- 3 x = 26
2 6
* = ” T
n 26
x t = 0 o x 2= ~
286

305. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
EJERC IC IO 1 2 4
Encuentra las raíces d e las sig u ie n te s ecuacio nes:
1 .
X* + 6x = 0 6 . I X 1 - 5x = 0
2. 4 x 2 - 8 * = 0 7. ^ + | 4 = 0
6 2 3
3 . 5x- X 2 = 0 8 . (y + 4 f = ( 4 - y ) ( 4 + y)
4 . 3a:2 + 2a: = 0 9 . ^ = - 5 -
x + 2 4 - x
5 . X 2- x = 0 1 0 . 5 ( x + 3 ) - 5 ( x ? - l ) = X* + 7 ( 3 - x ) - l
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Puras
S o n d e l a f o r m a
ax2+ c = 0 , p a r a o b t e n e r s u s r a í c e s o s o l u c i o n e s s e d e s p e j a a: o s e f a c t o r i z a l a e x p r e s i ó n .
EJEMPLOS
# • R esuelve la e c u a c ió n x2- 9 = 0.
.1 . Solución
Se re a liz a e l desp eje para o b te n e r los sigu ientes valores d e x,
x 2 - 9 = 0 -> x 2 = 9 - > x = ±y¡9
x = ± 3
Por ta n to a:1 = 3 o x 2 = - 3
2 • • E n cu e n tra la s so lu cio n es de la e c u a c ió n j = ^ —7 .
a:- 3 a — 1
S olución
Se elim in a n los d en om in ad ores y s e sim plifica la expresión,
= - > ( 2 * - 3 X » - l ) = ( * - 2 X * - 3 )
x * 2x2 - 2 x - 3 x + 3 = x 2- 3 x - 2 x + 6
2x2- 2 x - 3 x + 3 - x 2 + 3x + 2 x - 6 = 0
^ - 3 = 0
se d e sp e ja a a:, X1 = 3
* = ±\¡3
P o r co n sig u ien te, las so lu cio n es d e la e c u a c ió n so n : at, = v‘3 o a^ = - n/3
3 • • ¿ C u á le s so n las raíces d e la e c u a c ió n 4 a 2 - 1 = 0 ?
S olución
Se fa cto riz a la expresión co m o u n a d iferen cia d e cuadrados, s e ig u ala a c e ro c a d a factor y s e d e sp e ja x.
4 a 2 —1=0 - » (2 a- 1 ) ( 2a+ 1 )= 0
2 a —1 = 0 ; 2 a + 1 = 0
1 1
*1 ~ 2 o x 2 ~ ~ 2
2 8 7

306. 12 C a p í t u l o
ÁlGEBRA
4 • • • E n c u e n tra las soluciones d e la e c u a c ió n x2 + 4 = 0.
S o lu ció n
Por co n sig u ien te, las so lu cio n es de la e c u a c ió n son:
5 • • • E n cu e n tra las soluciones d e la e c u a c ió n 2x2 + 16 2 = 0.
S o lu ció n
Por co n sig u ien te, las soluciones d e la e c u a c ió n son:
Determ ina la s raíces d e la s sig u ien tes ecuaciones:
1. X1 - 4 = 0
2 . 1 - x 2 = 0
3. h? -1 00 = 0
4. 3 r - 192 = 0
5. 4 / - 1 2 = 0
6. I6x2- O t = 0
7. 25z2 - 3 6 = 0
8. 135 = (2y + 3 ) (2y - 3)
9. (w+ 2)(2w - 1) = (w - 2)(w + 5 ) + 15
,0.
x - 2 2 x - 3
AT2 + 4 = 0 —> AT2 = — 4 —» AT = ± v '- 4
x = ± 2 i
x l = 2 i o x 2 = -2 ¿
2x2 + 162 = 0 -> 2X1 = - 162
* 2 = - 8 1
Se ex trae raíz c u ad ra d a a a m b o s m iem bros x = ± \ '- 8 1
x = ± 9 i
x x = - 9 i o x2 = 9i
EJERC IC IO 1 2 5
13. y 2 + 16 = 0
14. w2 + 2 5 = 0
15. ^ + 1 = 0
V # rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
2 8 8

307. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
E x isten div erso s problem as c u y a so lu ció n s e ob tiene a l p lantear y re so lv er una e c u a c ió n d e seg u n d o grad o.
L a su m a d e dos núm eros e s 18 y la d e su s c u ad ra d o s e s 180, ¿cuáles s o n los núm eros?
S olución
P rim er núm ero: x
S eg und o núm ero: 18 - x
E cuación:
X1 + ( 1 8 - * ) 2 = 180
x 2 + 3 2 4 - 3 6 * + X2- 180 = 0
2x2 - 3 6 r + 1 4 4 = 0
xiZ- 1 8 r + 7 2 = 0
( * - 1 2 X * - 6 ) = 0
* - 1 2 = 0 o j r - 6 = 0
x = 12 o a: = 6
F inalm en te, ten e m o s que los núm eros so n 12 y 6
a l dividir e n tre 2
s e resuelve la e cu a ció n
s e factoriza
c a d a factor se ig u ala c o n c e ro
E n / se g u n d o s la a ltu ra /», e n m etro s so b re e l nivel d e l su e lo , d e un proyectil e s tá d a d a por la e c u a c ió n h = 8 0 / - 5 /2,
¿ cu á n to ta rd a rá e l p roy ectil e n llegar a 3 2 0 m sobre e l niv el d e l suelo?
S olución
C on la e c u a c ió n h = 8 0 / - 5 / 2, s e o b tie n e la a ltu ra d e l proyectil e n c u a lq u ie r instante.
P ara d e te rm in a r e l tiem p o que ta rd a e l pro yectil e n te n e r u n a a ltu ra d e 320 m, este valo r s e e v alú a e n la ecuación
dada, es d ecir:
h = m - 5 t 2
3 2 0 = 8 0 / - 5 / 2
Se obtiene una ecu a ció n d e seg u n d o grad o, la c u a l s e resu elv e p a ra /
320 = 8 0 / - 512 s e iguala c o n c e ro
512 - 8 0 / + 32 0 = 0 s e d iv id e e n tre 5
/ 2 - 1 6 / + 6 4 = 0
( / - 8 )2 = 0 s e fa cto riz a
/ - 8 = 0 s e extrae raíz e n a m b o s m iem bros
/ = 8 s e obtien e e l valor d e /
por tan to, e l proyectil ta rd a rá 8 segun dos en e sta r a 320 m so b re e l nivel d e l suelo.
D eterm in a la s dim ensiones d e un rectángu lo, s i s u perím etro es d e 2 8 0 m y s u á re a e s d e 4 0 0 0 m2.
Solución
T
2 (b a se) + 2 (a ltu ra ) = perím etro
2x + 2 (a ltu ra ) = 2 8 0
x + (a ltu ra ) = 140
a ltu ra = 1 4 0- x
1 4 0 - *
2 8 9

308. 12 C a p í t u l o
Ál g e b r a
E l á re a d e un rectán g u lo e s e l p rodu cto d e la base por la altura:
Á re a: 4 1 4 0 - * ) = 4 000
Se re su e lv e la e c u a c ió n d e seg u n d o grado .
4 1 4 0 - * ) = 4 000
140* - 4 - 4 0 0 0 = 0
-4 +14Q* - 4 0 0 0 = 0
4 - 14Qr + 4 0 0 0 = 0
(* - 4 0 )(* - 100) = 0
* - 4 0 = 0 o * - 100 = 0
* = 4 0 o * = 100
De acu e rd o c o n lo anterior, las dim ensiones d el re ctán g u lo so n 4 0 y 100 m etros.
4 A p a rtir d e u na pieza c u a d ra d a d e h oja d e lata, s e de se a co n stru ir una c a ja c o n base c u a d ra d a y sin ta p a , quitand o
c u ad ra d o s e n la s e s q u in a s d e 2 c m p o r lad o y d o b lan d o h a c ia a rrib a los lados; s i la c a ja d eb e te n e r 9 8 cm 3, ¿cu áles
son la s dim e n sio n e s d e la p ieza d e hoja d e la ta que d e b e rá usarse?
S o lu ció n
Se co n stru y e u na figura c o n los d ato s que s e proporcionaron.
E l volum en d e la c a ja es:
V = (A lto )(L arg o )(A n ch o )
V = 2 ( x -4 )(* - 4 ) = 2 (* - 4)2 = 2 ( 4 - 8 * + 16) = 2 4 - 16* + 32, entonces
V = 9 8 = 2 4 - 16* + 32, s e obtien e una e c u a c ió n de se g u n d o grad o.
Se re su e lv e la ecu a ció n :
2 4 - 16* + 32 = 98
2 4 - 16* + 3 2 - 9 8 = 0
2 4 - 1 6 * - 6 6 = 0 s e d iv id e e n tre 2
4 - 8 * - 3 3 = 0 s e fa cto riz a
( * - 11)(* + 3 ) = 0
Los valores so n : * = 11 o * = - 3, la longitud de los lados d e la hoja d e la ta no pu ed en s e r negativos.
Finalm ente, la longitud d e l c u ad ra d o e s de 11 c m por lado.
5 U n co m e rc ia n te c o m p ró d e te rm in a d o núm ero d e pelotas c o n $ 7 2 0 y vendió alg u n a s, e x ce p to 18, g a n ó $ 6 e n c a d a
una. S a b ía que c o n e l din ero d e la v e n ta p o d ría h a b er co m p rad o 3 p e lo ta s más q u e an tes, ca lc u la e l p re cio d e c a d a
pelota.
a l m ultiplicar p o r - 1
s e obtien e u n a ecu ación d e seg u n d o grado
s e re su e lv e la e cu a ció n y s e obtiene:
2 9 0

309. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
S olución
P íe cio de c o m p ra d e c a d a pelota: x
N úm ero de pelotas:
x
fr e c io de v e n ta d e c a d a pelota: x + 6
T otal d e la venta: ^ ™ - 1 8 j ( . r + 6)
7 2 0
N ú m ero de pelotas c o m p ra d as c o n e l to ta l de la venta: + 3
x
C osto d e la co m p ra d e 3 pelotas m ás: x + 3 j
Ecuación:
( 7 2 0 - 1 8a:) (a: +6 ) _ . t ( 7 2 0 + 3 .y )
x x
n O x + 4 3 2 0 - 18a:2 - 1 0 8 a : = 7 2 0 a : + 3 a:2
2 1a:2 + 1 0 & * - 4 3 2 0 = 0 a l div id ir e n tre 3
7 a:2 + 3 6 a - 1 4 4 0 = 0
Se a p lic a la fó rm ula g en eral.
x =
- ( 3 6 ) ±v' (3 6 ) 2 - 4 ( 7 ) ( - 1 4 4 0 ) - 3 6 ± v ' 4 1 6 1 6 - 3 6 ± 2 0 4
2 ( 7 ) 1 4 14
E nton ces, las so lu c io n e s son:
- 3 6 - 2 0 4 _ 2 4 0 _ 1 2 0 q _ - 3 6 + 2 0 4 _ 168 _ ]2
* l _ 1 4 ~ 1 4 _ 7 0 — 14 - 14 -
L a s ra íc e s d e la e c u a c ió n so n : x¡ ^ o a , = 12 , p e ro e l p re cio d e un artíc u lo no puede s e r negativo, por
tanto, e l p re cio d e c a d a p elo ta e s $ 12.
EJERC IC IO 1 2 6
• Resuelve los siguientes problemas:
! 1. E n c u e n tra 2 núm eros en te ro s que su m e n 4 2 y c u y o producto s e a 40 5 .
5
2. E n c u e n tra 2 núm eros naturales que s u p rodu cto s e a 360 y e l co c ie n te d e l m ayor en tre e l m enor s e a — .
2
♦
• 3. E n c u e n tra 3 núm eros c o n secu tiv o s im pares, c u y a su m a de su s cu ad ra d o s s e a 83.
1 4. E n c u e n tra 3 núm eros en te ro s co n secu tiv o s pares, c u y a su m a d e su s c u ad ra d o s s e a 596.
2 9 1

310. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
5. L a su m a d e u n núm ero y s u recíp ro co e s — . H alla los núm eros.
6. L a su m a d e 2 núm eros es 25 y la su m a d e su s recíp ro co s e s j . E n cu e n tra los núm eros.
7. U n ag ric u lto r tie n e n e ce sid ad d e c e rc a r 2 5 0 0 0 m 2 d e s u p a rc e la ; d ic h a p ro p ied ad e s re ctan g u la r y c o lin d a c o n un
río, por lo q u e no n ecesita c e rc a r ese lado. ¿Q u é d im e n sio n e s tie n e e l te rre n o s i e l p ro pietario d ispone d e 4 5 0 m de
cerca?
8. L a base d e un triáng ulo e s 3 v eces s u altura. Su áre a es d e 150 m2, ¿cu áles so n las dim ensiones d e la base y la altura?
9. E n cu e n tra la longitud de los lados d e un trián gulo rectángu lo, c u y a su p erficie e s d e 6 m 2, perím etro de 12 m e hip o­
ten u sa d e 5 m.
10. Se d e se a co n stru ir un recipiente, sin tap a, d e fon do cu ad rad o y lados rectangulares, c o n u n a a ltu ra d e 6 m , s i e l m aterial
para e l fo ndo c u e s ta $ 8 0 0 p o r m etro c u ad ra d o y e l d e los lad o s $ 1 200, ¿ c u á l e s e l vo lum en que s e puede o b te n e r con
$ 1 2 8 000?
11. D eterm in a las dim ensiones d e un rectán g u lo c u y a a ltu ra e s i d e s u b a se y s u á re a e s d e 9 7 2 cm 2.
12. A lejan d ro tie n e 4 a ñ o s m ás que A lfre d o y e l c u a d ra d o d e la e d a d de A le ja n d ro , au m e n ta d o e n e l c u a d ra d o d e la ed ad
efe A lfred o , equ iv alen a 80 años. E n cu e n tra las e d a d e s d e A lejan d ro y A lfred o .
13. E l cu ad ra d o d e un núm ero d ism in u id o e n 13 eq u iv ale a l e x c e so de 5 0 so b re e l doble d e l núm ero. D e te rm in a dicho
núm ero.
14. E n c ie rto parque d e la C iu dad d e M éxico s e d e se a p lan tar 195 á rb o le s, de ta l m an e ra q u e e l núm ero d e é s to s por fila
e x ced a e n 2 a l núm ero de filas. D e term in a la c a n tid a d d e filas, a s í c o m o e l núm ero d e árb o le s por fila.
15. U n pro d u cto r d e conservas e n a lm íb a r d e se a envasar s u producto e n u n a la ta cilind rica, c u y a a ltu ra es d e 8 centím etros
y s u vo lum en d e 128 n cm 3. E n c u e n tra e l radio d e la lata.
16. M ario v a a c o n stru ir una c a ja sin ta p a , c u y o vo lum en d e b e s e r d e 3 1 2 c m 3; u tiliza rá una lám ina rectan g u la r e n la c u a l
a jr ta r á c u ad ra d o s d e 2 c e n tím e tro s por lado e n las esq u in as. Si é l sab e que la su p erficie to tal de la hoja a l q u ita r los
c u ad ra d o s e s d e 2 5 6 cm 2, ¿ cu á le s so n las dim ensiones d e d ic h a hoja?
17. L a e d a d ac tu a l de R ica rd o so n trec e m edios d e la e d a d d e s u hijo, e l próxim o a ñ o s u e d a d s e rá igu al a l c u a d ra d o de
la e d a d de s u hijo d ism in u id o e n 9 añ o s. D e term in a la ed ad ac tu a l de R icard o.
18. U n fam oso ju g a d o r de béisbol lan za una pelota verticalm ente h acia arriba, tan fuerte co m o le es posible. L a altu ra que
alcan za la p elo ta después d e / segundos la d e term in a la ecuación h = 4 0 / - S/2. ¿ C u á n to tie m p o le llev ará a la p elo ta
regresar a l su e lo ?
19. E n / seg und os la a ltu ra h e n pies, so b re e l niv el d e l su e lo , d e u n proyectil e s tá d a d a por la e c u a c ió n h = 240 / - 16i2,
¿cuánto ta rd a iá e l proyectil e n llegar a 9 0 0 ft so b re e l n ivel d e l suelo?
20. D os llaves llen an un de p ó sito e n 6 horas, ¿ c u á n to tiem p o n e cesitaría c a d a una, por se p a ra d o , para llen arlo s i una ta rd a
16 h más q ue la otra?
21. U n a p erso n a g a stó $ 2 0 0 0 en regalos, obseq u ió 30 a su s fam iliares y a m igos, e l resto los vendió y g a n ó $ 1 0 por regalo.
U na vez vendidos todos los ob seq uio s, s e d io c u e n ta de que podía co m p ra r la m ism a c a n tid a d in ic ial de regalos y 5
más. ¿ C u á l es e l c o sto d e c a d a presente?
22. E n c u e n tra las lo ngitu des d e los lad o s d e u n triá n g u lo re ctán g u lo , s i s u perím etro e s d e 2 4 unidades y s u á r e a e s d e 24
unidades c u ad ra d as.
V e r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e =
2 9 2

311. Ejemplos
_________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
Función cuadrática
L a función c u a d rá tic a e s una función polino m ial d e la form a y = ax2 + bx + c, d o n d e a, b ,c y x s R con a * 0
Análisis d e una función cuadrática
1. L a función c u a d rá tic a re p re se n ta u na parábola, la c u a l puede s e r cón cava h acia arrib a o h acia ab ajo , dep en d e d el
coeficiente d e l térm in o cu ad rático .
2 . L a función to m a s u valor m áxim o o m ínim o e n e l punto (
{ 2a 4a
, e l cual s e lla m a v értice de la parábola.
3 . S i a > 0 , en to n c es la p a ráb o la es c ó n ca v a h acia a rrib a y s u vértice re p re se n ta e l p unto m ínim o d e la función.
4 . S i a < 0, en to n c es la p a ráb o la es c ó n ca v a hacia a b a jo y s u vértice re p re se n ta e l punto m áxim o d e la función.
5 . S i la g ráfica in terseca a l e je X e n 2 puntos, ésto s s e conocen co m o soluciones o raíces d e la ecu ación ax2 + bx + c = 0;
s i e s tangente, la e c u a c ió n ax2 + bx + c = 0 só lo tie n e u na raíz c u y o valor e s - , e n c a s o d e que la fu n ció n no
interseque a l e je d e la s X, en to nces las raíces no so n reales.
M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
• • G rá fic a y = X1 + 5* - 6 e indica las raíces.
S olución
Se re a liz a u na ta b la c o n u n núm ero suficiente d e valores p a ra x, los c u a le s s e su stitu y en e n la función.
T abla d e valores
-6
- 5
- 4
- 3
-2
- 1
0
- 6
- 1 0
- 1 2
49
4
- 1 2
- 1 0
-6
0
L a p a ráb o la c o rta e l e je d e la s X e n los valores x = - 6 y x = 1
P o r tanto, las ra íc e s so n : x = - 6 o x = 1
2 ■ E n c u e n tra las coo rdenadas del vértice, las raíces y tra z a la g ráfica de la p a ráb o la: y = x 1 - 4 x + 4.
Solución
Se identifican los v alores d e a, b y c y s e su stitu y en e n la fórm ula,
a = 1, - 4 , c = 4
Se o b serv a q u e e l valor d e a es m ayor que cero, enton ces la p a ráb o la es c ó n ca v a h a c ia a rrib a y s u vértice rep resenta
un p unto m ínim o.
Para d e te rm in a r las coordenad as d e l vértice s e utiliza la fó rm ula
_ b _ 4a c - b 2 }
2a 4 a )
(continúa)
2 9 3

312. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Al su stitu ir los valores e n la fórm ula s e obtiene:
_ ( - 4 ) 4 ( l ) ( 4 ) ( 4 )2
2 ( 0 ’ 4(1)
= V ( 2 , 0 )
Se re a liz a u na ta b la c o n un núm ero su ficien te de valores p a ra x, los que s e su stitu irá n e n la función.
T abla d e valores
- 1
L a parábola interseca e n un s o lo pu nto del e je d e las X, es decir, la p arábola es tan g en te a l e je X.
P o r tan to, la raíz d e la e cu a ció n e s x = 2
3 • • D e term in a las c o o rd en a d as d e l vértice, las raíces y tra z a la g ráfica d e la parábola: y = - x 2 + 2 x - 4
S o lu ció n
Se identifican los valores d e a, b y c y s e su stitu y en e n la fórm ula,
a = - \ , b = 2, c = - 4
Se o b se rv a que e l valo r d e a e s m en or q ue c e ro , enton ces la pa ráb o la e s cóncav a hacia a b a jo y s u vértice re p re se n ta
u n punto m áxim o.
Las c o o rd en a d as d el v é rtic e son:
v!
( b 4a c - b 2) ( 2 ) 4 ( - l ) ( - 4 ) - ( 2 ) !
L 2a 4a ) 2 ( - l ) • 4 ( - l )
= V ( 1, - 3 )
Se re a liz a una ta b la c o n un núm ero suficiente de valores p a r a * , q u e s e su stitu y en e n la función.
T abla d e valores
*
y
- 2 - 1 2
- 1 - 7
0 - 4
1 - 3
2 - 4
3 - 7
4 - 1 2
La p a ráb o la no interseca a l e je X.
Por co n sig u ien te, las raíces no so n reales
2 9 4

313. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
EJERC IC IO 1 2 7
Encuentra la s co o rd e n a d a s d e l v é rtic e y determ ina la s raíces d e la s sig u ien tes funciones:
1. y = 2x2 - 8 * + 6 6 . y = x2 - 2x + 1
2 . y = -2 x ? + 2 x +12 7 . y = x 2- 4 x + 1 3
3 . y = x * - x - 20 8 . y = 1 0 x - 2 5 - x 2
4. y = S + 4 x - 3 9. y = - 9 - x 2
5 . y = X* + 2 x + 5 10. y = 2 x 2- 6 x
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e
P R O B L E M A S Y E J E R C IC IO S D E A P L IC A C IÓ N
f ó r a en co n trar la so lu ció n ó p tim a (m áxim o o m ínim o) d e un problem a, es necesario plan tear u n a función cu adrática;
la a b sc is a del v értice re p re se n ta e l valor que o p tim iza a la fu n ció n y la o rd e n a d a e l v alor óptim o.
E n c u e n tra 2 nú m eros c u y a sum a s e a 2 0 y s u producto s e a m áxim o.
S olución
f t im e r n ú m ero = x
S eg und o núm ero = 2 0 - x
P ro d u cto = (x) (2 0 - x )
Se o b tie n e la fu n c ió n P(x) = (x) (2 0 - x ) = 20x - a 2
L a g ráfica d e la fu n ció n re p re se n ta u n a p a ráb o la c ó n ca v a h a c ia a b ajo , enton ces el v értice s e rá e l punto m áxim o;
e sto significa que e l valor d e x e n e l vértice d a r á un valo r m áxim o.
b _ 2 0 20
* ~ 2 a 2( - l ) ~ - 2
S i Ares 10, en to nces e l valo r d e 2 0 -a:, e s 10
P o r tanto, los v a lo re s so n 10 y 10
U n g ra n je ro d e se a c e rc a r un terre n o re c ta n g u la r y d isp o n e d e 3 2 0 m d e a la m b re , ¿ q u é dim e n sio n e s d e b e te n e r e l
terreno p a ra que s u á re a s e a m áxim a?
S o lu ció n x
Se d e te rm in a n la s dim e n sio n e s e n térm in o s d e un a variable,
2 ( b a s e ) + 2 (altu ra) = perím etro 160 - x
2x+ 2 (altu ra) = 320
x + (altu ra) = 160
a ltu ra = 1 6 0 - a :
E l á re a es e l producto d e la b a se por la altu ra, s e hace e l p ro ducto y c o n e s to s e o b tie n e la fu n ció n A (r).
A(a:) = a< 1 6 0 -a:)
A (a:)= 1 6 0 r - x 2
L a e c u a c ió n re p re se n ta u n a p a rá b o la c ó n ca v a h a c ia a b a jo , p o r lo q u e e l v é rtic e s e r á e l p unto m á x im o ; esto
significa que e l v alor d e Aren e l vértice d a iá un á re a m áxim a.
b 160 160
X ~ ~2a _ ~ 2 ( - l ) - _ -2
Se d e d u ce que las dim ensiones d el te rre n o s o n 80 m etros d e largo por 80 d e a n ch o .
2 9 5

314. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
E n c u e n tra dos núm eros en te ro s c u y a d ife re n c ia e s 12 y cu y o producto s e a m ínim o.
S o lu ció n
P rim e r núm ero: x
S egun do núm ero: x + 12
P ro d u c to = (* ) (x + 12)
S e ob tiene la fu n ció n P(x) = (* ) (* + 12) = x2 + 12*
L a función re p re se n ta u n a p a ráb o la c ó n ca v a h acia arriba, en to nces el v értice s e r á e l punto m ínim o; e sto significa
q u e e l v alor d e * e n el v é rtic e d a r á un valor m ínim o.
b (1 2 ) 12
X —T a - 2 0 J - T - 6
Si * e s - 6, en to nces e l valo r d e 12 + x , e s 6
P or tanto , los valores s o n 6 y - 6
EJE LC IC IO 1 2 8
Plantea fu n cio n es cu ad rática s y resu elve lo s sig u ie n te s problem as.
1. E n c u e n tra 2 núm eros c u y a su m a se a 100 y s u producto s e a m áxim o.
2. E n cu e n tra dos núm eros enteros c u y a d ife re n c ia s e a 2 0 y s u producto s e a m ínim o.
3. L a su m a d e 2 núm eros es 40, ¿ cu á le s so n los núm eros s i la su m a d e su s c u ad ra d o s e s un v alor m ínim o?
4. S e quiere c e rc a r un te rre n o re ctan g u la r c o n 2 20 m etros d e alam b re. E n c u e n tra las dim en sion es d e l te rre n o para q u e
su á re a s e a m áxim a.
5. S e a rro ja u n a p elo ta c o n u n a v elocidad d e 9 6 pies p o r se g u n d o , la a ltu ra s que a lc a n z a e n un tie m p o t lo d e te rm in a la
siguiente e c u a c ió n : s = 9 6 t - 32?. C a lc u la la a ltu ra m áx im a que alcan za.
6. D e u na hoja re ctan g u la r d e 7 6 c m d e perím etro s e co rta n c u a d ra d o s d e 2 c m p o r lado p a ra c o n stru ir una c a ja s in tapa.
D ite rm in a las dim ensiones d e la hoja p a ra ob ten er e l vo lum en m áxim o.
7. U n a e d ito ria l vende a los expen dio s d e revistas una publicación cie n tífica a $ 60 e l ejem p lar, y c a d a 50 e je m p la res que
exced an los 500, e l precio d e v e n ta d ism in uye $2, ¿ cu á n to s eje m p la res e x tra s d eb e a d q u irir un ex p en d io para que la
ed ito rial te n g a un ingreso m áxim o?
8. U n a ju g u e te ría vende * pelotas a p pesos c o n p = 150 - 4*, e l c o s to de p rod u cció n d e * p elotas e s C = 7 0 * - 2x2.
D eterm ina e l núm ero d e pelotas que d e b e v en d er la ju g u e te ría para o b te n e r una g a n an c ia m áxim a.
9. U n fa b rican te d e lápices distribuye a las p a p elería s 30 c a ja s c o n 100 láp ic es c a d a una a un p re cio d e $ 0 .80 p o r lápiz,
y por c a d a c a ja que e x ced a las 3 0 e l p re cio d e v en ta d ism in u y e e n 2 c e n ta v o s por lápiz. ¿C u á n ta s c a ja s d e b e ven d er
d fabricante a las papelerías p a ra o b te n e r ingresos m áxim os?
10. U n tro z o de ala m b re d e 100 c m s e p a rte e n dos tro zo s, un de ello s s e d o b la p a ra fo rm ar un triángu lo e q u ilá te ro , y e l
tro zo restante s e d o b la para fo rm ar un cu ad ra d o , ¿ có m o se d e b e c o rta r e l a la m b re para que la su m a d e las á re a s d el
trián g u lo y cu ad ra d o s e a m ínim a?
V srífic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Relación entre b s raíces d e una ecu ación d e segundo g rad o
E n tre los co eficientes y las raíces d e una e cu a ció n d e se g u n d o g ra d o e x iste n dos relaciones, la su m a y e l producto.
S ean las raíces d e la e c u a c ió n axl + b x + c = 0
- b + \lb2 - 4 a c - b - J b 2 - 4 a c
*'= fe fe
---
2 9 6

315. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
Suma de raíces
—b + 'J b 2 —4 a c - b - \ i b 2 - 4 a c ~b+ '■ ’b 2 - 4 a c + ( - b - J b 2 - 4 a c
X\+X2=
---------------------- + --------------------- = ------------------------------------------------------------------
2 a 2 a 2 a
- b + \¡b2 - 4a c - b - \ i b 2 - 4 a c _ - 2b _ _ b
2 a 2 a a
E nton ces, la su m a de las raíces es:
b
x t + x 2 = —
a
Producto de raíces
x x x , =
( - b + \ !b2- 4 a c \
i
<3-
1
i r
M
1
■t*
§ ( - b ) 2- ( J b 2 - 4 a c ) b>
( 2a )
[ 2a j (2 a)2 ( 2 a f
b 2 - b 2 + 4 a c 4 a c = c
4 a 2 4 a 2 a
P o r tanto, e l p rod ucto d e las ra íc e s es:
x , x , =
E JE M P L O S
■§_ 1 • • H a lla e l valor d e la su m a d e las raíces d e la e c u a c ió n X1 + x - 6 = 0.
U l
Se d e te rm in a n los valores d e los co eficie n te s de la e c u a c ió n y se su stitu y en e n la fórm u la.
a = 1, b = l , c = - 6
b
* l + * 2 = - J = - l
C o m p ro b a c ió n
L a s raíces d e la e c u a c ió n so n : x t = - 3 , x 2 = 2
+X2 = - 3 + 2 = - 1
P o r co n sig u ien te, x , + x 2 = - 1
2 • • E n c u e n tra e l valo r d e l producto de la s raíces d e la e c u a c ió n x 2 - 6 x + 9 = 0.
S o l u c i ó n
Se d e te rm in a n los valores d e los co eficie n te s de la e c u a c ió n y se su stitu y en e n la fórm ula.
a = \ , b = - 6 , c = 9
c
x r x 2 = -
a
x,x2 = j = 9
C o m p ro b a c ió n
L as raíces d e la e c u a c ió n so n : x t = 3 , x¡ = 3
U ,X x 2) = (3 )(3 ) = 9
Por tanto, x , x 2 = 9
2 9 7

316. E J E R C IC IO 1 2 9
Determ ina e l v a lo r d e la sum a y e l producto d e la s ra íce s m ediante la relació n entre ellas.
1. 4X2 - 9 = 0 6 . * 2 + 4 * + 3 = 0
2 . * * - 2 5 = 0 7 . - x 2 + * + 12 = 0
3 . x2- x = 0 8. 2 * 2 + * - l = 0
4. 3 ^ + 8jc = 0 9. 9x* + 27a: + 14= 0
5 . * 2 - 5 * + 6 = 0 10. x2 + lax + 12a2 = 0
V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
12 C a p í t u l o
_______________________________________________________________________________________
Á lG E B R A
Deducción de una ecuación de segundo g rad o d adas las raíces
S e a n * , , x¡, las ra íc e s d e la e c u a c ió n aX1 + bx + c = 0 , e n to n c es
* , +x¡ = - b y x x x2 = c
P or tanto , la e c u a c ió n es:
x 2 + bx + c = 0 - » x 2 — -at2) = 0
EJEM PLOS
• • D e term in a la ecu a ció n d e seg u n d o g rado, s i las raíces so n : - 3, 5 .
S o lu ció n
Se d e te rm in a * ,, x¡, y s e su stitu y en e n la fórm ula.
* , = - 3 o * ? = 5
* ’ - ( • * , + * 2) * + U *í) =o
* 2 - ( - 3 + 5 ) * + ( - 3 ) ( 5 ) = 0 s e sim p lifica
x 2 — 2 * —15 = 0
P or co n sig u ien te, la e c u a c ió n e s: * 2 - 2 * - 1 5 = 0
2 • • ■ E n c u e n tr a la e c u a c ió n de seg u n d o grado, s i las ra íc e s son: 1 - 4 i, 1 + 4i.
S o lu ció n
Se d e te rm in a * ,, *j, y s e su stitu y en e n la fórm ula.
* , = 1 - 4 / o * 2 = 1 + 4 /
* 2 - ( * , + * 2) * + ( * , * 2) = 0
* 2 - [ ( l - 4 i ) + ( l + 4 i ) ] * + [ ( l - 4 i ) ( l + 4 i ) ] = 0
Se sim plifican las o p e rac io n e s x 2 - 2 * + 1 7 = 0
F inalm ente, la e cu a ció n e s: * 2 - 2 * + 1 7 = 0
3 • • 'D e t e r m i n a la ecu a ció n d e seg u n d o g rado , s i s u s ra íc e s son: j .
S o lu ció n
S e su stitu y en e n la fó rm u la * , = - , x^ =
2 9 8

317. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
Por co n sig u ien te, la e c u a c ió n es:
x2 *2)=0
3 2
x 2 + - x - — = 0 s e m u ltip lic a por 20
2 0 2 0
2 0 * 2 + 3 * - 2 = 0
2 0 * 2 + 3 * - 2 = 0
EJE ÍC IC IO 1 3 0
Determ ina la ecu ació n d e se g un d o g ra d o , q u e tiene co m o raíces los va lo re s d a d o s .
1. 3, - 3
2. - 7 , 0
3. 4 i , - 4 i
4. 4, 1
5. - 5 , - 3
6. - 2 + 5 i, - 2 - 5i
* ! ■ ’
‘
9. b , - 3 b
10. 2 a , 5a
M irifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Ecuaciones con radicales
E n e ste tip o d e ecuaciones s e recom ien da d esp ejar d e la expresión un radical, qu e s e eleva a l cuadrado la igualdad para que
s e g e n e re u na e cu a ció n de prim ero o seg u n d o g ra d o ; en ca s o de q u e existan dos o más radicales, s e re p ite lo anterior.
EJEM PLOS
1 • • R esuelve la e c u a c ió n J x - 5 - 4 = 0.
Solución
Se d e sp e ja e l rad ical y s e e le v an am b o s m iem bros a l cu ad rad o :
\ x ~ - 5 = 4 - > ( v/ ^ T 5 ) 2 = ( 4 ) 2 —> * - 5 = 1 6 —> * = 16 + 5
* = 21
2 • • R esuelve n/3*2 - 4 * + 1 = * + 1.
S olución
Se e le v an a m b o s m iem bros d e la igualdad:
( v /3*2 - 4 * + l ) 2 = ( * + l ) 2
(icontinúa)
2 9 9

318. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Se re aliz a n las o peracion es y s e sim plifican los térm in o s
3x2 - 4x+ \ =x2 + 2x + \
3x2 - 4 x - x2 - 2 x - \ + \= 0
2x2 -6 x = 0
Se obtiene una e c u a c ió n d e seg u n d o g ra d o y s e fa cto riz a p a ra resolver:
2 * ( * - 3 ) = 0
2 * = 0 o * - 3 = 0
x = o o x =3
P or tanto , las so lu c io n e s son: x = 0 o x = 3
3 • • 'R e s u e l v e la sig u ien te ecu a ció n :
\fx +3 + \ 5 x -1 = 4.
S o lu ció n
Se d e sp e ja uno d e los radicales,
7 * + 3 + 7 5 * - l = 4 - > \ f x + 3 = 4 -\ l 5 x— 1
Se e le v an a l cu ad ra d o a m b o s m iem bros,
( ' / r + 3 ) 2 = ^ 4 - \ f 5 x - l } 2 —» a: + 3 = 1 6 - 8 J S x - l + ( 7 5 * - 7 ) 2
at + 3 = 1 6 - 8 >j5x— 1 + 5 x - \
x + 3 - 5 x + l - 1 6 = - 8 y/S x —í
- 4 v - 1 2 = - 8 V 5 7 = 1
s e divide p o r - 4, * + 3 = 2 7 5 * - 1
Para e lim in a r la raíz, d e nuevo s e e le v an a l cu ad ra d o am bo s m iem bros,
(at + 3 )2 = ( 2 V 5 j r - l ) 2 —» ** + 6 * + 9 = 4(5jr - 1)
* 2 + 6 * + 9 = 2 ( k - 4
x 2 - 14* + 13 = 0
(x - 1 3 X * - 1) = 0
x - 13 = 0 o x - 1 = 0
x= 13 o x= 1
Se su stitu y e n los valores q u e s e o b tie n e n e n la e cu a ció n d a d a ; s i la igualdad no s e cu m ple o s e o b tie n e n radicandos
negativos, en to nces la solución no s e ad m ite.
C o m p ro b a c ió n
Si jc= 13 S i * = l
n/Í3 + 3 + n/ 5 ( 1 3 ) - 1 = 4 7 í + 3 + 7 5 ( l ) - l = 4
7 1 6 + 7 6 4 = 4 7 4 + 7 4 = 4
4 + 8 = 4 2 + 2 = 4
12 * 4 4 = 4
P or co n sig u ien te,
x = 13 no e s so lu c ió n , finalm ente, x = l s í e s solució n.
3 0 0

319. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
EJE IC IC IO 131
Resuelve las sig u ien tes ecuaciones:
1. J i -5 = 2 10.yj3 + x + \ j 2 x - 1 = 3
2. = 3 11.n£ + 5 -n/ ^ 3 = 2
3 . y J l x - 4 - 3 = 0 12.
+
UJ
1
£ 1
*
+
—
II
l
4. s j 9 - x = x - 3 13.2 + 4 \J x = yJl6x + 5
5. 7 = * + V * - l 14.yj3x + 6 - ~Jx+ 3 = 1
6. \ 2 x + 5 - x = \ 15.\Jx +1 - \ U x - 3 - l
7 . 2 * = 5 + V 4 - * 16.- J 2 -X + y j l l + x = 5
8. \ fx + 2 + x = l0 17.J Y ^x + J Í +x = J 2
9. y j4 x + \3 + 2 x = \ 18.J x + y J x + \ = 3 + sj\0
^ V b rifle a t u s r e s u l t a d o s a n l a s e c c ió n d a s o lu c i o n a s c o rre s p o n d i a n t í
Sistema de ecuaciones cuadráticas
G eo m étricam ente e s te tip o d e sistem as d e ecu a cio n e s se g e n e ra n c u a n d o se in te rse ca n u na re c ta y una c u rv a c o n e c u a ­
ció n c u a d rá tic a (c ircu n feren cia, parábola, e lip se e h ip érb o la) o dos ecu a cio n e s c u a d rá tic a s; la so lu c ió n q ue sa tisfa c e
am bas ecu a cio n e s so n los puntos d e intersecció n.
Procedimiento paro la resolución d e un sistema d e ecu acion es cuadrático-lineal
aan dos incógnitas
1. D e la e c u a c ió n lineal s e d e sp e ja una incógnita.
2 . E l valor de la incógnita q u e s e d e sp e jó s e su stitu y e e n la m ism a incógnita d e la e c u a c ió n c u ad rá tic a, y s e ob tiene
una e cu a ció n c u a d rá tic a c o n u na so la incógnita.
3 . Se o b tie n e n las so lu c io n e s o raíces d e la e cu a ció n c u a d rá tic a , posteriorm ente ésto s s e e v alú an e n e l d esp eje, o b te ­
nien d o los puntos d e intersección.
Ejemplo
d i i • , í ^ + y 2 = io
R esuelve e l siste m a : j r+ y _ 2 - 0
S olución
Se d e sp e ja d e la e c u a c ió n lin e a l x +y - 2 = 0 una de las incógnitas,
* = 2 - y
* su stituye e n la e cu a ció n c u a d rá tic a la incógnita d e sp e ja d a y s e resu elv e la ecu a ció n :
x 2 + y2 = 10 - » ( 2 —y )2 + y 2 = 10
4 - 4y + y 2 + f - 10 = 0
2 / - 4 y - 6 = 0
y2 - 2 y - 3 = 0
( y - 3 X y + l ) = 0
y = 3 o y = - 1
{continúa)
3 0 1

320. 12 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Se su stitu y en los valo res d e y = 3, y = - 1 e n x - 2 - y , s e ob tien e:
S i y = 3 , * = 2 - 3 = - 1, s i y = - 1, x = 2 - ( - 1) = 3
P or tanto , la so lu ció n d e l siste m a s o n los puntos:
( - 1 , 3 ) y ( 3 , - 1 )
Procedim iento paro la resolución d e un sistema d e dos ecu acion es cu ad ráticas
1. L a s d o s ecu a cio n e s s e m u ltip lican p o r un núm ero, d e ta l fo rm a que a l efec tu a r la su m a d e las ecu a cio n e s e q u iv a ­
lentes, se e lim in a una d e las dos incógnitas.
2. Se re s u é lv e la e c u a c ió n d e seg u n d o g ra d o q u e s e obtuvo e n e l pu nto anterior.
3. P a ra concluir, las raíces o btenidas s e e v alú an e n alg u n a de las dos ec u a c io n e s orig inales, para o b te n e r los puntos
d e intersección.
Ejem plo
R esu elv e el
S o lu ció n
A l a p lic a r e l m étodo de red ucció n, s e m ultiplica por 3 la se g u n d a ecu ació n ,
x 2 + 3 y 2 = 31
9x* - 3 y 2 = 9
10*2 = 40
a l reso lver la ecu ació n , se d e te rm in a q u e,
x= 2 o x= - 2
E stos resu ltad os s e su stitu y en e n c u a lq u ie ra d e las ecu a cio n e s d a d as para en co n trar e l valo r d e y.
S i x = 2, y = - j3 x 1 — 3 = ^ 3 ( 2 ) J - 3 = V Í 2 —3 = >/9 = ± 3
S i x = - 2 , y = ’JSx1 - 3 = y*3 (-2 )2 — 3 = \ f \ 2 - 3 = >/9 = ±3
Finalm ente, las so lu cio n es son:
( 2 ,3 ) , ( 2 , - 3 ) , ( - 2 , 3 ) y ( - 2 , - 3 )
Procedim iento p ara la resolución d e un sistema cu ad rático mixto
1. L a s dos ecu a cio n e s s e m u ltip lican p o r un núm ero, d e ta l fo rm a que a l efec tu a r la su m a d e las ecu a cio n e s e q u iv a ­
lentes, se elim in e e l té rm in o independiente.
2. D e l punto a n te rio r s e obtiene una e cu a ció n c u a d rá tic a c o n dos incógnitas ig u alad a a c e ro , la c u a l se factoriza.
3. C a d a uno de los facto res s e igualan a c e r o y se d e sp e ja una d e las dos incógnitas, q u e d an d o una e n función de la
otra.
4. L o s d esp ejes an terio res s e su stitu y e n e n cu alq u iera d e las ecu a cio n e s o rig in a les, lo que g e n e ra u na e c u a c ió n de
seg u n d o g ra d o c o n u na incógnita.
5. Se d e te rm in a n las raíces d e la e c u a c ió n d e se g u n d o g ra d o y s e e v alú an e n s u re sp ec tiv a igualdad o b ten id a e n e l
paso 3, finalm ente s e o b tie n e n los puntos d e intersección.
3 0 2

321. _________________C a p í t u l o 12
Ecuaciones d e segundo gra d o
Ejemplo
R esuelve e l sistem a:
¡2a2 - 3 a b + b2 = 15
\ a 2 - 2 a b + b 2 = 9
Solución
Se e lim in a e l té rm in o independiente,
3 (2a 2 - 3 a b + b 2 = 15) ^ 6tj 2 - 9a¿> + 3b2 = 45
- 5 ( a 2 -2o¿>+¿>2 = 9 ) - 5 a 2 + 1 0 o ¿ > -5 ¿ 2 = ^ 5
a 2 + ab - 2 b 2 = 0
L a e c u a c ió n resu ltante s e resu elv e p a ra a:
(a + 2 b ) ( a - b ) = 0
a = -2b o <2 = ¿>
Se sustitu ye e n la se g u n d a e c u a c ió n y s e re su e lv e p a ra b, y s e d e te rm in a q u e,
si a = - 2b, en to n c es { - 2 b f - 2 ( - 2 b ) ( b ) + b 2 = 9
9¿>2 = 9
b = ± 1
s i a = b, en to n c es ( b f - 2 ( b ) ( b ) + b 2 = 9
0 * 9
Para a = b, la ecu a ció n e s inconsistente.
Se c alc u la n los valores d e a su stitu y e n d o b = 1 y b = - 1, e n la relació n ,
a = - 2b
P o r co n sig u ien te, las so lu cio n es e n e l o rd e n (a, b) son:
( - 2 , 1), ( 2 , - 1 )
EJERCICIO 1 3 2
Resuelve los sig u ien tes siste m a s d e ecuacion es:
J J * 2_4y = 0 6 J-»v2 + »v2 -
’ [ * - y = 0 \ w = 2 z - l
2 \ a 2 + b 2 = 9 ? j b 2 +
¿ \ a + b = 3 [ - a 2 -
- z 2 + 7 = 0
3a2 = 57
3/»2 = - 4 3
| 2a:2 - y 2 = 9
j * + y = 0
í 9X2 - 2y2 = 1
[ 9 ^ + 2 y 2 = l
4 J ^ = 8 o U 2 -¿> 2 = - 2 8
I 2 r - y = 0 [ a2 + b 2 = 36
í x * - x y + y 2 = 19 [ tf2 +a¿>+¿>2 = 4 9
’\ x - y = 2 l" ' \ a 2- a b - 2 b 2 = 0
3 0 3

322. 1 2 C a p í t u l o
Ál g e b r a
11.
x 2 + x y + 2 y 2 = 32
16.
a 2 - a b = - \ b 2
4
3d2 -¿>2 + 9 = 0
„ l
a 2 + 2 b 2 = 2¡7
- b 2 - a b = - 6
17.
6 m 2 - 6 m n + 3n2 - 1 5 = 0
2 7 2 60
m +2W = T
13. |
w2 + 2 w z + z2 = 4
18.
2 p2- 3 / * ? + «?2 =15
1 , 2 1 ,
w2 + 3 w z - 4 = 0
3P -3W + 3Í = 3
, 4 . .
a 2 - 2 a b - b 2 = - l
a 2 - 3 a b + b 2 = - 5
19.
10r2 - 1 5 r í - 5 í 2 - 1 0 = 0
, |
3w2 + 2w z + 2 z 2 = 18
20.
a b + 6 a 2 = 10
6iv2 + 3w z + 2 z 2 = 24 8a2 - 6 a b - 4 b 2 + 80 = 0
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
3 0 4

323. Ca p ít u l o 13
De s ig u a l d a d e s
Thomas H a rriot I 1560-1621)
I
ngresó a la Universidad de Oxford en el año
1577, cuando tenía 17 años de edad.
Fue un excelente astrónomo y el primer inglés
que tuvo un telescopio, además, uno de los pri­
meros que observó y habló de los manchas solares con lo que rompió en
definitivo con lo antigua concepción de lo perfección solar.
A lo largo de su vida escribió miles de páginas detallando sus estudios
y observaciones en campos tan diversos como la óptica, la química, la
balística, la astronomía y las matemáticas. Diez años después de su muerte
editaron su tratado sobre ecuaciones, en el que se pone de manifiesto su
destreza en la resolución de algunas ecuaciones de tercer y cuarto grado.
En este tratado de álgebra se dan algunas novedades en la notación. Una
de ellas es el empleo de los signos menor que y mayor que empleados en
la actualidad. Muchos matemáticos, por tanto, le han atribuido la paterni­
dad de los signos < y >.
T hom as H arriot (1560-1621)

324. 13 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Definición
E s la re la c ió n d e o rd e n q u e e x iste e n tre d o s c an tid a d e s y s e re p re se n ta c o n los sím b o lo s m e n o r q u e (< ) y m a y o r
q u e (>).
D ad a la exp resió n 3 x - 2 < 8, d o n d e x e s una variab le, s u so lu ció n e s e n c o n tra r e l co n ju n to de valores q ue la s a ­
tisfagan , s i e s to ocurre recib e e l nom bre d e c o n ju n to so lu ció n de la d esig u ald ad .
Ejem plo
\ferifica c u á l d e los sig u ien tes ele m en to s d e l c o n ju n to {-3 , 2 , 4 , 5 }, so n soluciones d e la d e sig u a ld a d 3xr — 2 < 8.
S o lu ció n
S e sustituy e c a d a valor e n la desigualdad:
Para x = - 3
3 ( - 3 ) - 2 < 8
- 9 - 2 < 8
- 11 < 8 D e sig u a ld a d verdadera
Para x = 2
3 (2 ) - 2 < 8
6-2<8
4 < 8 D esig ualdad verd ad era
R ir a x = 4
3 (4 ) - 2 < 8
12 - 2 < 8
10 < 8 D esig ualdad falsa
Para x = 5
3 (5 ) - 2 < 8
15 — 2 < 8
13 < 8 D esig ualdad falsa
En este eje m p lo los valo res que hiciero n verd ad era la d esig u ald ad so n so lu cio n es d e la ex p resió n .
Propiedades d e las desigualdades
S e a n a , b , c e R.
1. S i a > b y b > c, en to n c es a > c
2. Si a > b , e n to n c es a + c > b + c y a - c > b - c
3. S i a > b y c > 0 , e n to n c es ac> be y “ > “
a b
4. S i a > b y c < 0 , e n to n c es a c < b c y - c -
3 0 6

325. s o jd u isljEJEM PLOS
1 • •
C a p í t u l o 13
Desigualdades
Tabla d e d e sig u a ld a d e s
D e s ig u a ld a d In te r v a lo
x> a (a,~)
x< a ( - 00. a)
x£ a [a, «o)
x<Sa ( - ~ ,a )
a<x< b ( a, b)
a^xsb [a, b]
a <x íb (a, b]
a < , x < b [a, b)
-o o < X < oo (-00,00)
G r á f ic a 1 G r á f ic a 2
a oo
— oo a
a oo
— oo
b
a b
a b
■fr
£
bfota: (o, b) es un intervalo abierto, [a, b] es cerrado y (a, b] o [a, b) semiabierto o semicerrado.
Desigualdad lineal con una variab le
Para d e te rm in a r e l c o n ju n to so lu c ió n d e u n a d e sig u a ld a d , s e p ro c e d e d e la m is m a m a n e ra co m o e n u n a e c u a c ió n
lineal: s e d e sp e ja la v a ria b le y se to m a n e n co n sid era ció n las p ro p ied ad es d e las d esig u ald ad e s.
R esuelve la d esig u ald ad 6 x - 10 > 3 x + 5.
Solución
Al d e sp e ja r a: s e a g ru p an to d o s los térm in o s qu e co n te n g an la v ariable e n u no d e su s m iem bros, y los térm in o s in d e ­
pendientes e n e l otro, finalm en te, s e sim plifica.
6 * - 10 > 3 * + 5
R jr la propied ad 3, e l se n tid o d e la de sig u ald ad no c a m b ia
6 x - 3 x > 5 + 10
3 x > 15
15
J > 7
* > 5
se divide p o r 3
L a d e sig u a ld a d x > 5 , tie n e la form a x > a d e la tab la , por tanto , e l interv alo que re p re se n ta e l c o n ju n to solución
es ( 5 , o°), y s u rep resen tació n g ráfica es:
O ♦
3 0 7

326. 13 C a p í t u l o
Á L G E B R A
2 • • - D e t e r m in a e l in tervalo y g ráfica e l co n ju n to so lu c ió n d e la d esiguald ad : 2 * - 6 + 3 x > & * + 2 1 .
S o lu ció n
2 * - 6 + 3 x > & * + 2 1 - > 2 r + 3 j r - & r > 2 1 + 6
- 3 x > 27
P o r la prop iedad 4, e l se n tid o d e l sig n o d e la d e sig u ald ad ca m b ia
« 3
x < - 9
L a de sig u ald ad x < - 9, tie n e la form a x < a d e la ta b la , p o r ta n to , e l intervalo que re p re se n ta e l c o n ju n to so lu ció n
es ( -oo, - 9 ] y s u rep resen tació n g ráfica es:
- 9
2 x — 3
3 • • D e term in a e l c o n ju n to so lu ció n d e 3 < — - — < 7.
S o lu ció n
Se m ultiplica la d esig u ald ad por 5, p a ra e lim in a r e l denom inador.
3 < ^ y ^ < 7 - » (3 )(5 ) < 2 x - 3 < (7 )(5 ) -> 15 < 2 * - 3 < 3 5 -> 15 + 3 < 2 * < 3 5 + 3
Se su m a 3 a c a d a ex trem o de la d esig u ald ad 18 < 2 x < 3 8
18 2 x 3 8
S e divide e n tre 2 to d o s los m iem bro s — < — c —
Por la prop iedad 2 , e l sig n o d e la de sig u ald ad no ca m b ia 9 < x < 19
La de sig u ald ad tie n e la form a a < x < b, por tanto , e l intervalo so lu c ió n e s [9, 19) y la g ráfica es:
O
19
2 _ 3 *
4 • • ¿ C u á l e s e l intervalo so lu c ió n p a ra la sig u ien te d esig u ald ad 4 > — - — > - 2 ?
S o lu c ió n :
4 > > “ 2 - » (4 ) (7 ) > 2 - 3 * > ( - 2 ) ( 7 ) - > 2 8 > 2 - 3 x > - 1 4
Se re sta 2 a c a d a m iem b ro 2 8 - 2 > - 3 x > - 1 4 - 2
2 6 > - 3 r > - 1 6
Se d iv id e e n tre - 3 y s e c a m b ia e l se n tid o d e la de sig u ald ad ^ < x < —y
2 6 16
~ < X < T
L a de sig u ald ad tie n e la form a a < x < b, por co n sig u ien te, e l intervalo so lu c ió n es:
3 0 8

327. 5 ■ D eterm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e ( 5 * + 2)2 - 2x > (5 * - 4 ) ( 5a + 4 ) .
Solución
Se d e sa rro llan la s o peracio nes indicadas.
( 5 * + 2 ) 2 - 2 * > ( 5 * - 4 ) ( 5 * + 4 ) - > 2 5a2 + 2 0 * + 4 - 2a > 2 5a2 - 1
Se ag ru p an los térm inos y s e sim p lifican 2 5a2 + 2 0a: - 2x - 2 5a2 > - 16 - 4
Se divide e n tre 18 y s e sim p lifica 1 8* > - 20
■"20
P o r la prop iedad 3, e l sig n o no c a m b ia x >
P o r la prop iedad 3 , e l sig n o no c a m b ia a > — —
F inalm en te, re su lta que e l co n ju n to so lu ció n e s e l intervalo
f - f - i
18
10
9
EJE ÍC IC IO 1 3 3
Determ ina e l co n ju n to so lu ció n d e la s sig u ie n te s d e sig u ald ad e s:
1. 12a- 4 > 7a+ 11
. , 5 2 3 1
2 L 6 X " 5 > 4 X “ Í 0
2 . 3a + 9 > 7a - 3
5 -a a — 1 7 ^ a 7a- 3
‘ 2 4 " 3 12
3 . 2a- 5 <a- 9 2 3 . - 7 < 4 a + 1 < 1 3
4 . 4a - 2 > 1 2a + 6 2 4 . - 6 < 2 r - 3 < 4
5 . 2 r - 1 > 2 7 + 6a 2 5 . - 8 < 3a + 1 < - 2
6 . a- 9 < 8a- 1 2 6 . - 1 0 < a — 1 < — 2
7 . 2 x - 4 + 6 x < \ Q x - 7 2 7 . - 1 1 < 3a- 2 < 7
8 . 3a + 7 - 2 * > 4a- 3 + 2 * 2 8 . - 1 5 < a + 8 < - 2
9 . 0 . 6 r + 3 . 4 < 8 . 4 + 0 .1a 2 9 . - 5 < 3a + 1 < 1 3
1 0 . 4 (a- 3 ) - 8 < 5 -a 3 0 . 8 - a < 5a + 3 2 < a + 3 6
1 1 . 1 6a + ( 5 - a) > 3 0 3 1 . - 1 0 0 < 0 . 1a< 1 0
1 2 . ( 8a + 1)(a - 7 ) > ( 2a - 3 ) ( 4a + 5 ) 3 2 . a2 + 2 ^a2 + 5a<a2 + 3
1 3 . a(a + 1 2 ) > (a- 4 ) 2 3 3 . 1 < 5 ~ X <7
1 4 . (4a + 1 ) ( 2a - 2 ) > 8a(a + 5 ) 3 4 . - 6 < < 2
4
1 5 . * - ‘ > 3
3
3 5 . - 3 < < 1
1 6 _ 5 - ^ ± í . > n _ 3 r10. - J — — ^ 1 1 — JA
y - i 3 y - 2
6
3 7 2 < 4 ~~X < 6
2 2 £ 5 3
1 8 - \ + \ x - r ~ \
3 8 . 0 < 6 - ^a < 9
1 0 — r — á < —0 — — r 3 9 . 4 <a- ^ < 9
4 0 .
3 5 9
2 3
2 0 . — - —< 3a+ —
3 7 3
V a r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ■
C a p í t u l o 13
Desigualdades
3 0 9

328. 13 C a p í t u l o
Ál g e b r a
D esigualdad cuadrática con una va riab le
M étodo por caso s
P a r a e n c o n tra r e l co n ju n to so lu c ió n , s e fa c to riz a la exp resió n cuadrática, la e x p resió n q u e s e ob tiene s e d iv id e e n casos,
a los q u e s e hace un an álisis d e sig nos, c o m o s e ilu stra e n e l sig u ien te ejem p lo .
Ejemplo
D eterm in a e l c o n ju n to so lu ció n d e la de sig u ald ad x 2 + x - 6 < 0.
S o lu ció n
Se fa cto riz a la d e sig u ald ad y s e an a liz a n su s factores:
( * + 3 ) ( * - 2 ) < 0
E l producto d e los bin om ios e s negativo, entonces e x iste n 2 caso s:
C a s o I C a s o II
* - 2 < 0 y x + 3 > 0 * + 3 < 0 y * - 2 > 0
El c o n ju n to so lu c ió n d e c a d a c a s o re su lta d e la in tersecció n de los intervalos que s e o b tie n e n a l resolv er las d e s ­
igu aldades q ue d a n o rig en a c a d a c aso .
S o lu c ió n del c a s o I S o lu c ió n d e l c a s o II
x - 2 < 0 y * + 3 > 0 * + 3 < 0 y j c - 2 > 0
x < 2 y * > - 3 x < - 3 y x > 2
(-o o ,2 )n (-3 ,o o ) ( - o o , - 3 ) n ( 2,°o)
O
o
— H - I-H - H 4 H -1- H — ■■ I l- l -I' i H H - t I- I- I
- o o - 3 0 2 00 -oo-3 0 2
( - 3 ,o o ) n ( - o o ,2 ) = ( - 3 , 2 ) ( - o o ,- 3 ) n ( 2 , o o ) = (p
La un ión d e los intervalos e s e l c o n ju n to so lu ció n de la d esig u ald ad .
( - 3 , 2 ) u H - 3 , 2 )
Para concluir, e l co n ju n to so lu ció n es e l intervalo: ( - 3 ,2 )
M étodo por intervalos
S e fa cto riz a la exp resió n cu ad rá tic a, después s e b u scan valo res q ue h agan c e ro a c a d a factor, e n to n c es los v alores s e
indican e n la re c ta num érica y s e form an los intervalos a analizar.
Ejem plo
R esuelve la d esig u ald ad x 2 - 5 * - 6 > 0.
S o lu ció n
S e fa cto riz a la exp resió n cu ad rá tic a.
Ce- 6 ) (at + 1 ) > O
El c o n ju n to so lu ció n son los valores que hacen e l p ro ducto positivo.
3 1 0

329. C a p í t u l o 13
Desigualdades
Se b u scan los valores q ue h acen c e ro a c a d a factor.
* - 6 = 0 * + 1 = 0
x = 6 y , = - i
L o s v alores so n 6 y - 1 , se lo calizan e n la re c ta nu m érica y s e fo rm an lo s intervalos.
( - 0 0 , - 1 ) I ( - 1 , 6 ) |( 6 ,o o )
4
------------1— m ! > i i i i i i ó h ►
- o o - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 00
De c a d a interv alo s e to m a un valo r cu alq u iera, e l c u a l s e sustitu ye e n lo s fa cto res p a ra d e te rm in a r los sig n o s de
éstos. Posteriorm ente, s e m ultiplican los sig n o s p a ra to m a r c o m o so lu c ió n e l in tervalo o los intervalos qu e cu m plen
con la d esig u ald ad dada.
Para e l intervalo (-<*>, -1)
Se to m a e l valo r d e * = - 4 y se sustitu ye e n c a d a factor:
( - 4 - 6 ) ( - 4 + 1) = ( - 1 0 ) ( - 3 ) = 3 0
E l producto e s positivo ( - ) ( - ) = +
Para e l intervalo (- 1 , ó)
Se to m a e l valo r d e * = O y s e su stitu y e e n los factores:
(O - 6 ) (O + 1) = ( - 6 ) (1 ) = - 6
E l producto e s negativo ( - ) (+ ) = -
Para e l intervalo (ó, °°]
Se to m a e l valo r d e * = 7 y s e su stitu y e e n c a d a factor:
(7 - 6) (7 + 1) = (1) (8) = 8
E l producto e s positivo (+ ) (+ ) = +
E l in tervalo so lu c ió n e s la unión de los intervalos donde e l producto e s positivo, e s decir,
( - oo, - 1) U (6, oo)
O tra fo rm a d e resolver una d e sig u a ld a d c u a d rá tic a m ediante intervalos, es c o n stru ir una ta b la q u e ind iq u e los sig nos
resultantes d e c a d a factor y e l sig n o re su lta d e l p rodu cto d e d ich o s fa cto res.
Ejemplo
R esuelve la d esig u ald ad * 2 - 2 5 > 0.
Solución
Se fa cto riz a la ex presión cu ad rá tic a.
* 2 - 2 5 > O
( * + 5 ) (* - 5 ) > O
Se b u scan los valores q ue h acen c e ro a c a d a factor.
* + 5 = 0
* = - 5
* - 5 = 0
* = 5
3 1 1

330. 13 C a p í t u l o
Ál g e b r a
L os valores que h acen c e ro a l p rodu cto so n x = 5 y x = - 5 , e n to n c es los intervalos que s e form an son:
■<o, - 5 J i l - 5 , 5 j i [ 5 , - :
< — — A - f 1 1 1 1 1 1 1 1 4 — ►
- 5 - 3 0 1
Tabla d e sig n o s
In te r v a lo
( — ° ° i “ 51
p a r a x = - 6
I - 5 , 51
p a ra x = 0
[5 , °o)
p a ra x = 6
S ig n o d e x - 5
S ig n o d e x + 5
S ig n o d e l p ro d u cto ( x - 5) (x + 5)
- 6 - 5 = - 11
- 6 + 5 = - 1
( - ) ( - ) = +
0 - 5 = - 5
0 + 5 = + 5
( - X + ) = -
6 - 5 = + 1
6 + 5= + 11
( + X + ) = +
El c o n ju n to so lu ció n so n los valores que hacen e l p rodu cto positivo o cero .
P or tanto , e l co n ju n to so lu ció n e s ( - «>, - 5 ] u [5, ©o)
Ejem plo
R esuelve la sig u ien te d esigu aldad: ó * 2 < I x + 3.
S o lu ció n
Se a c o m o d a n los térm in o s e n uno de los m iem bros y se fa cto riz a la expresió n cu ad rática.
6 * 2 < 7 * + 3 -> 6 r 2 - 7 * - 3 < 0
( 2 * - 3 ) ( 3 x + 1) < 0
3 x + l = 02 * - 3 = 0
3
* = 2
E n tonces los intervalos q u e s e form an son:
. ( 4 1 ) ,( H
«
----
\ ó)
I I I I l<í> i 'i i j>
\¿ )
—i—i— ►
- 2 - I . 2 2
3 2
T abla d e sig n o s
( 4 } )
S ig n o d e 2 x - 3
S ig n o d e 3 x + 1
S ig n o d e l p ro d u cto ( 2 x - 3 ) ( 3 x + 1 ) ( — X —) = ( - X + ) = -
(Í-)
( + ) ( + ) =
El producto es menor que cero, entonces e l intervalo solución e s -
(49
3 1 2

331. Ejemplos
C a p í t u l o 13
Desigualdades
M étod o g ráfico
En las sig uientes gráficas la parte so m b re a d a rep resenta a l con ju nto so lu ció n de las diferentes desigualdades cuadráticas,
la línea c o n tin u a re p re se n ta un in tervalo cerra d o y la lín e a d isc o n tin u a o p u ntead a indica que e l intervalo so lu c ió n e s
a bierto , éste s e d e te rm in a a l en co n trar las raíces d e la e cu a ció n d e se g u n d o grad o.
figura 2
1
» 1
' 1
>
B 1
X l \ „ •
\ a > 0 /
figura 3
a > 0
X\
ax2 + bx + c > 0 —> ( - 005X , ) u ( x 2,‘>°)
figura 4
#
t
i
\ a >0 / _
X2 Xí X2
ax2+ bx + c< 0 - > [ * ,,* 2] ax2+ bx + c< 0 - > ( * ,, * 2)
figura 6
►— *
-------
*1' o ' x2
a< 0
ax2+ bx + c> 0 - > (x p X j)
figura 7 figura 8
/ \
/ \ ,
■ a < 0
ax2+ b x + c< 0 - » ( - ° ° , a : , ] u [ x 2,oo)
Los valo res d e x t y x 2 so n las ra íc e s d e la e cu a ció n c u a d rá tic a ax2 + b x+c = 0 c o n x¡ <x¡
EJEM PLOS
• • D eterm in a p o r m étodo g rá fic o e l c o n ju n to so lu ció n d e la de sig u ald ad x 2 + 2 x - 8 > 0 .
Solución
Se d e te rm in a n las raíces d e la e c u a c ió n x 2 + 2x - 8 = 0 , por c u a lq u ie r m étodo, por eje m p lo factorizació n.
( * + 4 ) ( * - 2 ) = 0
(<c o n tin ú a)
3 1 3

332. 13 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
D espués, c a d a factor s e iguala a c e ro y s e o b tie n e n las raíces:
* + 4 = 0 —> * = - 4 y * - 2 = 0 - > a = 2
P or tanto , las raíces so n : at, = — 4 , a2= 2 , y a que a, < x 2
L a de sig u ald ad tie n e la form a ax?+ bx + c > O d e l a fig ura 1, c o n a positiv o; la fó rm u la q u e re p re se n ta e l conjun to
2 • • R esu elv e por m étodo grá fic o la de sig u ald ad - 3a2 >2* - 1 .
S o lu ció n
Se a c o m o d a n los térm in o s, - 3a2 - 2a + 1 > 0, s e d e te rm in a n las raíces de la e c u a c ió n - 3a2 - 2a+ 1 = 0, las c u a le s son:
D eterm ina e l conjunto so lu ció n d e la s sig u ien tes d e sig u a ld a d e s p o r c u a lq u ie r m étodo.
1. -a2 + 9 > 0
2 . 1 6 -a2 > 0
3 . 2 5 -a2 < 0
4. a2 - 3 6 > 0
5 . a — 3a2 > 0
6 . -a2 + 5a< 0
7 . - 2a2 + 8a< 0
8 . a2 - a - 2 0 > 0
9 . 2x2 - 5a- 3 < 0
1 0 . 6a2 - 7a - 3 < 0
1 1 . a2 + 3a + 6 > - 2 * + 2
1 2 . ( 2a + 5 ) ( 2 x r - 3 ) > 3a- 1 2
1 3 . ( 3a - 2 ) (a + 5 ) < 14a - 8
14. ( * - 3 ) ( 2 * + 1 ) > 0
so lu ció n e s: ( - ° ° ,a, ] u [ a2 , ° ° )
Finalm ente, e l c o n ju n to so lu c ió n e s: ( - ® ° ,- 4 ] u [ 2 ,o o )
a, - 1 , a2 — —
E J E R C IC IO 1 3 4
3 1 4

333. Ejemplos
C a p í t u l o 13
Desigualdades
D esigualdad racional
E n e s te tip o d e desiguald ad es s e a n a liz a e l sig n o d e l nu m era d o r y d e l d enom inador, p a ra o b te n e r e l sig n o d e l co cien te ,
seg ún s e a la de sig u ald ad dada.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
• • R esuelve la d esig u ald ad - — - < 0.
3 x- 6
Solución
E n e l prim er m iem bro e l num erado r e s positivo, en to n c es p a ra que la divisió n s e a negativa, c o m o lo indica la d e sig u a l­
dad, e s n ecesario que e l d e n o m in a d o r s e a negativo, e s decir:
3 * - 6 < 0 - » x < 2
P o r tanto, e l in tervalo so lu ció n e s ( - «>, 2 )
2 • • R esuelve la d esig u ald ad - > 0.
Solución
E n e l prim er m iem b ro e l nu m erador e s positivo, en to n c es para que la d ivisió n s e a positiva e s n e ce sa rio que e l d e n o ­
m inador s e a positivo, e s decir:
5 * - 2 > 0
Por co n sig u ien te, e l intervalo so lu ció n e s
(H
M étodo por ca so s
L a d esig u ald ad d a d a s e tra n sfo rm a a o tra, la c u a l se c o m p a ra c o n c e ro y s e an a liz a n los sig n o s d e l co cien te .
EJEM PLOS
1 • • D eterm in a e l co n ju n to so lu c ió n de
------ > 2 .
E x + \
.SL Solución
UJ
Se a g ru p an los térm ino s e n un m iem b ro de la d esig u ald ad y s e re aliz a n las o p e rac io n e s indicadas:
— — 2>0 - * ~ 2 ( -t + l ) > 0 - * - > — — >0 - ^ > 0
x + \ x + \ x + \ x + l x + \
A l a p lic a r la propied ad 4 d e las d esig u ald ad e s, la nueva d e sig u ald ad a reso lver es:
^ < 0
x + \
E n un c o c ie n te e l d e n o m in a d o r d e b e s e r d istin to d e c e ro , e n to n c e s é s te re p re se n ta un in tervalo a b ie rto ; e n e s te
ejem plo el c o c ie n te e s m enor o igual a cero , e n to n c es e x iste n 2 caso s.
C a s o I C a s o II
* + l < 0 AT + 1> 0
3 1 5

334. 13 C a p í t u l o
Ál g e b r a
Solución del c a so I
* + 2 < o
*+1
Si* + 1 <0, entonces, por la propiedad 4, al multiplicar
por (* + 1) se invierte el signo de la desigualdad.
x + 2 > 0
La solución es la intersección de los intervalos.
*+l<0 -> *<-1 -> (-oo,-l)
x + 2 > 0 -> x > - 2 -> [-2,oo)
( -00,-1 )n[-2,oo)
lililí
lililí
-0 0 -2 -1 0 1 2 00
( -00,-1 )n[-2,oo) = [-2,-1)
Solución d d caso II
^ < o
* + 1
Si*+ 1 > 0, entonces por la propiedad 3, no se invierte el
signo de la desigualdad al multiplicar por (* + 1).
( S f ] (* + i ) s o ( * + i )
x + 2 < 0
La solución es la intersección de los intervalos.
*+l>0 -> *>-1 -» (-1,®°)
x + 2 < 0 x < - 2 -» ( -00,-2]
(-l,oo )n(-00,-2]
' i í i 1 1 i '1 1 1 t 1 1
-0 0 -2 -1 0 1 2 00
(-00,-2] n(-l,oo) = 0
El intervalo de soluciones es la unión de los intervalos resultantes en cada caso.
[ - 2 , - 1 )uH - 2 , - 1 )
Finalmente, la solución de la desigualdad es: [ -2, -l)
2 • • Resuelve la siguiente desigualdad —í— > —— .
2 - x x+1
S o lu ció n
De acuerdo con la desigualdad, existen 4 casos, los cuales se indican de la siguiente forma:
C aso I
2 — at>0 y * + l > 0
C aso II
2 - * > 0 y * + l < 0
C aso III
2- x< 0 y x + \ > 0
C aso IV
2 - x < 0 y * + l< 0
3 1 6

335. C a p í t u l o 13
Desigualdades
Solución d e l caso I
S i 2 - x > 0 - » x < 2 -> (-oo,2)
S i * + l > 0 -> x > - 1 -> (—l,oo)
Se m ultiplica la desigualdad por e l producto ( 2 - x ) ( x + 1),
d c u a l e s positivo, en to nces, e l se n tid o d e la d e siguald ad
L a so lu c ió n d e l prim er c a s o e s la in te rse cc ió n d e los 3
intervalos.
( - l , o o ) n [ l ,o o ) n (-oo,2 )
no c a m b ia d e d irección.
—i H - 1 - l - l - l—
- 0 0 - 1 0 1 2 ©o¿ ( 2-*>(í+1) - - ¿t(2- * X * +1)
1 ( * + 1 ) > 2 ( 2 - , )
* + l > 4 - 2 *
L a so lu ció n es:
x+ 2x> 4 - 1 -> 3 x > 3
X >1 —> [ l,o o )
( -00,2) n í " 1’00) n [ l , ~ ) = [ l,2 )
Solución d e l caso I I
Si 2 - x > 0 -> x < 2 -> ( -0 0,2)
L a so lu c ió n d e l se g u n d o c a s o e s la in te rse c c ió n d e los
3 interv alos.
S i AT+1 < 0 -> x < - \ -» (-«>,-1)
( -00,-1) n (-«>,1] n (-«>,2)
Se m ultiplica la d esigualdad por e l producto (2 -*)(*+ 1),
e l c u a l e s negativo, en to n c es e l se n tid o d e la d e sig ualdad
cam bia d e direc ció n .
¿ ( 2-*)(*+')s: ¿t(2-*x*+')
— I - I - M - I - I —
- 1 0 1 2
1(*+1)S2(2-*)
L a so lu ció n es:
x + \ < 4 - 2 x
x + 2 x < 4 - \ -> 3 x < 3 (-=0,-1)
*<1 -> ( - ° ° , l ]
Solución d e l caso I I I
S i 2 —JC < 0 -> x > 2 - » (2 ,00)
L a so lu c ió n d e l te rc e r c a s o e s la in te rse c c ió n d e lo s 3
intervalos
S i * + l > 0 -> x > - 1 -> ( - l,o o )
(2,oo) n ( - l ,o o ) r \
Se m ultiplica la d esigualdad por e l producto (2 - * ) ( * + 1),
el piiíil pe npQativn p ntnnrpe pl epntiHnHp la HpeicjiialHaHt i vUüi co iivgaiivu, tiu u i i tt o t i o tn u u u u t la utoiguuiuuu
cam bia d e direc ció n .
¿ ( 2 - ^ + 1 ) S ¿ t( 2 - ^ + I )
— I - M - I - 1 -1 —
-00 - 1 0 1 2
l ( * + l ) S 2 ( 2 - * )
L a so lu ció n es:
x + \ < 4 - 2 x
x + 2 x < 4 - \ (2,oo) n ( —I , 00) n ( - ° ° , l ] = 0
3 x < 3
x < \ —> ( - ° ° , l ]
3 1 7

336. E je m p lo s
13 C a p í t u l o
Á L G E B R A
S o lu c ió n d e l c a s o IV
S i 2 - * < 0 -> x > 2 -> ( 2 ,o o ) L a so lu c ió n d e l c u a rto c a s o e s la in te rse c c ió n d e lo s 3
S i * + l < 0 -> * < - 1 -> ( - o o , - l )
intervalos
Se m ultiplica la d e sig ualdad por e l producto (2 - * ) ( * + 1),
(2 ,oo) n ( - 00, - 1) n [l,o o )
d c u a l e s positivo, e n to n c es e l se n tid o d e la d e siguald ad
no c a m b ia de d irec ció n .
1 0 c r
_ i _ ( 2 _ A :)(x + 1 ) > _ i í ( 2 _ ^ + 1 ) - M - l - l - 1 - 1 —
-0 0 - 2 - 1 0 1 2
1( * + 1) > 2 ( 2 - , )
* + l > 4 - 2 *
L a so lu c ió n es:
* + 2 * > 4 - l ( 2 ,oo) r ( - 00, - 1 ) n [ 1,00) = 0
3 * > 3
x > \ —> [ l,oo )
La un ión d e los intervalos e s la so lu c ió n d e la d esig u ald ad .
( - 00, - 1 ) u [ 1,2 ) u * u * = ( — o . - l ) u [ 1, 2 )
M étodo por intervalos
C o n siste e n e n c o n tra r los v alores que h agan c e r o a l n u m e ra d o r y a l d e n o m in a d o r, p a ra d e te rm in a r los intervalos y
realizar e l an á lisis d e sig nos, c o m o se ilu stra e n los sig u ien tes ejem p lo s.
EJEM PLOS
3 1
• • R esu elv e
------ <
2 * + 3 x - 2
S o lu ció n
Se ag ru p an los térm in o s e n un m iem bro d e la d e sig u ald ad y s e re a liz a la o p e rac ió n indicada.
! _ < o 3 ( * - 2 ) - ( 2 * + 3 ) < Q ^ 3 r - 6 - 2 y - 3 <Q
2 * + 3 x - 2 2 x + 3 x - 2 ( 2 * + 3 ) ( * - 2 ) (2 x + 3 ) ( x - 2 )
x - 9
( 2 * + 3 ) ( j t - 2 )
<0
Se d eterm inan aq u ello s valores q u e h acen c e ro a l nu m erador y al d e n om in ado r, para o b te n e r los po sib les intervalos
que d a rán e l co n ju n to so lución.
* - 9 = 0 —» x = 9 ; 2 * + 3 = O - > * = ; * - 2 = 0 - » x = 2
E l deno m inado r d e b e d e s e r d ifere n te d e c e ro , por co n sig u ien te, p a ra x = ~ ^ y * = 2 , los in tervalos so n ab ie rto s y
p a ra * = 9 , e s cerrad o , e n to n c es los in terv alo s que s e van a a n a liz a r son:
3 \ / 3
— o o .
--
«— 4 . 11 ¿ 11— ►
- o o ►-2” 0 2 4 6 9 oo
■ 4 . 2 ( 2 , 9 ] [9,oo)
3 1 8

337. C a p í t u l o 13
Desigualdades
Tabla d e sig n o s
in te rv a lo
( - ! • * )
<2, 91 [9 ,0 0 )
Sig no d e x - 9 - - - +
Sig no d e 2 x + 3 - + + +
Sig no d e x - 2 - - + +
r in n n Hn x - ^
( - )
(_) - +
( - )
( + ) - +
S 9 n ° d e (2 x + 3)(x_ 2)
( - ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )
Si
x - 9
( 2 * + 3 ) ( , - 2 )
0 , en to nces e l in tervalo so lu ció n d e la de sig u ald ad e s j u (2 , 9J
2 • • R esuelve la d esig u ald ad +2} > 0 .
U “ 5 ) ( x + 3 )
S olución
Se b u sc a n los v a lo re s que h a c e n c e ro los fa cto res, c o n esto s valores s e co n stru y e n los intervalos q u e d a n o rig e n a l
c o n ju n to so lu ció n d e la d esig u ald ad .
R ú a e l fa c to r (** + 2), R ú a e l fa c to r (3 - x ) , 3 - * = 0 - » x = 3
í j+ 2 = 0 - »í! = - 2 - >j= ^
R ira e l fa c to r (* - 5), * - 5 = 0 - > * = 5
L a raíz e s im agin aria, e s to sig n ific a que e l lac to r sie m p re
R ú a e l fa c to r (* + 3), * + 3 = 0 - » * = - 3
ten d rá un valo r positivo.
L u ego, e l d e n o m in a d o r de b e s e r d istin to d e cero , e n to n c es p a ra x = 5 y x = - 3 , los intervalos so n a b ie rto s y para
x = 3 , e l in tervalo e s cerrad o .
< - « * - 3 ) . ( - 3 , 3 ] .1 3 ,5 ) |( 5 ,o o )
< t - O I I I i I * I
-------►
- o o —3 O 3 5 oo
Se con struy e la ta b la , no s e to m a e n c u e n ta e l fa c to r (x 2 + 2 ), y a q u e e s positivo e n to d o s los valores d e a:, y no
afecta a l sig n o d el co cien te .
in te rv a lo ( - - 3) ( - 3 , 31 [3 , 5) (5 , «o) 1
Sig no d e 3 - x + + - -
Sig no d e x - 5 - - - +
Sig no d e x + 3 - + + +
Sirmn rir *
( + ) + . ( + ) + < "> - . ( - ) -
Sl9" ° do (x - 5X x + 3) (-)(-) + (-)( + ) - ( - ) ( + ) - ( + ) ( + ) +
F inalm en te, la so lu ció n d e la de sig u ald ad e s: ( - oo, - 3 ) u [3, 5)
3 1 9

338. 13 C a p í t u l o
Ál g e b r a
EJEIC IC IO 1 3 5
Determ ina e l conjunto solución d e la s sig u ie n te s d e sig u ald ad e s.
5
4 x — 3
3
2 x - 5
>0
< 0
3. ^ < 0
2 x - 5
6
( * - 2 ) 2
5
>0
6-2*
> 0
6. ^ < 0
2 x - 4
7. * * 1 ¿ 0
x - 3
3 2
>
* + 1 x- 3
9. - i - < 2
3j»t+1 x- 4
>0.
* + 2 * - 2
V a r íf k a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
n. / (*+4\>°
( * - ! ) ( * + 2 )
J 2 (r 3 H 2 , - 3 ) SQ
1 3 .
( x + 6 ) ( x - l )
D esigualdad que tiene la expresión ( x - a) ( x - b) ( x - c )...
U n a form a p rá ctic a p a ra d e te rm in a r e l c o n ju n to so lu c ió n , e s c o n stru ir u na ta b la c o n los in terv alo s q u e s e fo rm an a l
en co n trar los valores q ue h acen c e ro a c a d a factor, c o m o s e ilu stra e n e l sigu iente e je m p lo .
Ejem plo
R esuelve la d esig u ald ad ( * - 2 ) ( * - 4 ) ( * + 2 ) > 0.
S o lu ció n
Se d e te rm in a n los valores q ue h acen c e ro a c a d a facto r para fo rm ar los intervalos.
R i r a * - 2 = 0 -> x = 2 ; í k r a . r - 4 = 0 -> * = 4 ; Para* + 2 = 0 -> x = - 2
( - 0 0 , - 2 ] I [ - 2 , 2 ] |[ 2 , 4 ] | [ 4 , o o )
«
-----------1 I l i l i \ * \ * \ -------►
— oo —4 —2 0 2 4 oo
Tabla d e sig n o s
In te rv a lo -2 1 1 - 2 . 2 ] [2 . 41 [4 . ~ ) I
Sig no d e x - 2 - - + +
Sig no d e x - 4 - - +
Sig no d e x + 2 - + + +
Sig no d e (x - 2 )(x - 4 )(x + 2) (-X -X -) — <-X-X + )» + (+)(-X + ) = -( + K+X + )- +
L a de sig u ald ad in d ica q u e e l producto e s positivo, en to n c es s e to m a n los in tervalos c u y o p rodu cto e s positivo, es
decir, [ - 2 , 2 ] y [ 4 ,° o ) , luego, la unión de e sto s in terv alo s e s e l co n ju n to so lu c ió n .
Finalmente, la solución de la desigualdad es: [ - 2 ,2 ] u [ 4 ,°o )
3 2 0

339. C a p í t u l o 13
Desigualdades
E J E R C IC IO 1 3 6
Determ ina e l co n ju n to solución d e la s sig u ie n te s d e sig u ald ad es.
1. ( * + 2 ) ( * - 4 ) ( 2 - * ) ( r + 1 ) > 0
2 . ¿ + 2 * 2- 4 x - 8 > 0
3. ¿ + 2x2- x - 2 < 0
4 . y - 1 2at+ 1 6 < 0
5 . x*> 9x
6. x * - l l ¿ - l& x - 8 > 0
V arifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r a s p o n d i a n t a
Desigualdades con valo r absoluto
E l co n ju n to so lu c ió n d e un a d e sig u a ld a d que involucra valor ab so lu to , e s tá d a d o por las sig u ien tes propiedades:
S ean o , /» g / ? y b > 0
1. | a | < b s e e x p re sa co m o : 3 . | a \ > b s e ex p resa com o:
- b < a < b o b ie n a > - b y a < b - a > b o a > b o b ie n a < - b o a > b
2 . | a | < b s e ex p resa co m o : 4 . | a \ > b s e ex p resa com o:
- b < a < b o b ie n a > - b y a < b - a > b o a > b o b ie n a £ - b o a > b
EJEM PLOS
# • D eterm in a e l c o n ju n to so lu c ió n d e |* + 1| < 7.
1 . Solución
J
L a d e sig u a ld a d | * + 1| < 7 , tie n e la fo rm a d e la prop iedad 1, en to nces:
- 7 < * + 1 < 7
O bien :
- 7 < * + 1 * + 1 < 7 -8 < * < 6
- 7 - \ < x x < 7 - 1
- 8 < jc x<6 - 8 6
P o r co n sig u ien te, e l co n ju n to so lu c ió n e s e l interv alo ( - 8, 6)
2►• E n c u e n tra e l co n ju n to so lu c ió n d e \2x- 11 > 7.
Solución
L a d e sig u a ld a d \2x - 11 > 7 tie n e la form a de la propiedad 4 , enton ces:
i
2
l
IV
-J 2 x- 1 > 7 - 3 > * > 4
-2x+ 1 > 7 2 x > 7 + 1
-2x> 7 - 1 2at> 8 — oo- 3 4 -
■ 4 ' a !
1
VI
H
x>4
P o r tanto, e l co n ju n to so lu c ió n e s e l interv alo ( - - 3 ] u [4,°o)
3 2 1

340. Ejemplos
13 C a p í t u l o
Á L G E B R A
C aso s esp eciales d e desig ualdad es co n valor absoluto
E n este tip o d e desigu aldades s e a p lic an las propiedades anterio res, para obten er d o s desigualdades lin eales; e l conjun to
so lu ció n d e la d e sig u ald ad e s la un ión o in tersecció n d e los intervalos so lu ció n d e c a d a d esig u ald ad ob tenida.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • D e term in a e l c o n ju n to so lu ció n d e la de sig u ald ad |* - 2 | > 3 x + 1.
S o lu ció n
L a d e sig u a ld a d |* - 2 | > 3 * + 1 tie n e la form a d e la fórm u la 4, en to nces s e re p re se n ta com o:
P r i m e r a d e s ig u a ld a d S e g u n d a d e s ig u a ld a d
- ( * - 2 ) > 3 * + 1
-a: + 2 > 3j c+ 1
- 3 x - x > - 2 + 1
- 4 * > - 1
- i
4
* - 2 > ( 3 x + l )
x - 2 > 3 x + 1
x - 2 x > \ + 2
- 2 r > 3
* 4
i i
1
— oo
1
3
1
L -1
1 1
oí
1 1
1 2
Finalm ente, las so lu cio n es d e c a d a d esig u ald ad son:
* 4 - » ( - “■?] ;X ~ ~ 2
Se d e te rm in a la unión de los intervalos:
Para concluir, la so lu c ió n de la d esig u ald ad es:
( - • i ]
2 • • R esu elv e la d e sig ualdad
x - \
x + 2
> 4 .
S o lu ció n
L a d e sig u ald ad tie n e la fo rm a d e la propied ad 3, enton ces se tie n e n las sig u ien tes d esig u ald ad es.
L a de sig u ald ad > 4» s e tra n sfo rm a a:
x- 1 x - \ —3at—9
> 4
----------4 > 0 > 0
x + 2 x + 2 x + 2
3 2 2

341. C a p í t u l o 13
Desigualdades
A l a p licar e l procedim iento para resolver u n a desigualdad racional, por e l m étodo d e intervalos, los valores q u e hacen
cero a l num erador y a l den om in ad or so n x = - 3 y x = - 2 , respectivam ente, e l den om in ado r de b e se r distin to d e cero ;
entonces e l intervalo es abierto, lo m ism o para e l num erador y a que la d esigualdad es estrictam ente m ay or que cero, por
tanto los intervalos que s e form an son:
( - o o , - 3 ) , ( - 3 , - 2 ) , ( - 2 , o o )
Tabla d e sig n o s
In te r v a lo ( - - 3 )
( - 3 , - 2 ) ( - 2 , 0 0 ) j
Sig no d e - 3 x - 9 + - -
Sig no d e x + 2 - - +
. 3 x - 9 +
* * * * 1 + 2
“ = +
+
E l conjun to so lu ció n para la desigualdad
x - l
- m h -
> 4 es: ( - 3, - 2 ) , de m anera sim ilar, s e obtiene e l conjun to solución
^ - 2 , ~ j ; la u n ió n d e las so lu cio n es o b te n id a s d a
x + 2
efe la d e sig u a ld a d - | ::— r I > 4 , d a n d o c o m o so lu c ió n e l intervalo
orig en a l co n ju n to so lu c ió n de la d esig u ald ad original, por co n sig u ie n te la so lu c ió n es:
( - 3 , - 2 ) u
3 ■ R esuelve la d esig u ald ad |* + 11 > 11 - 2 r | .
S olución
U na form a d e re so lv er e l eje rcic io e s elev ar a l c u a d ra d o a m b o s m iem bros,
(Iat + 11)2 > ( I 1 - 2 j c I)2 -> ( * + 1 )2 > ( 1 - 2* )2
x 2 + 2x+ \ > \ - 4 x + 4x2
0 > l - 4 x + 4x2- x 1- 2 x - \
0 > 3 x 2- 6 x
o bien , 3X2 - 6 x < 0
fectorizar, 3x{ x - 2 ) < O
L o s valores c o n factores iguales a cero so n : x = O y x = 2 , por consiguiente, los intervalos s e definen com o: ( - «>, O J,
[ 0 , 2 J y [ 2, oo )
Tabla d e sig n o s
In te r v a lo ( - 01 [0. 21
P , ~ > 1
Sig no d e 3 x - + +
Sig no d e x - 2
- - +
Sig no d e 3 x (x - 2)
( - ) ( - ) = + ( + X - ) = - ( + ) ( + ) = +
H intervalo d e so lu ció n es [ O, 2 ]
3 2 3

342. 13 C a p í t u l o
Á L G E B R A
EJE LC IC IO 1 3 7
Determ ina e l conjunto solución d e la s sig u ie n te s d e sig u ald ad e s:
1. W ^ 7
2 . W < 7
3 . | x - 5 | > 4
4 . |5at — 3| < 12
5 . |8 - 2 « j > 2
6. | 7 * - 1 | < 0
7 . \ 2 x - 1| < 19
8. |6 - | j j > 9
9 . - ( * - 1 0 ) < 1 0
10.
3 1
4 * ~ 2
< 1
8
11. | x - I I < 2 r
12. |2 * + 3| > * + 3
13. \ 2 - 2 x \ < x - 4
x + \
14.
15.
x - 2
* + 4
<1
>2
16. \ x \ < \ x - \ \
17. |3 * - 4| > |* + 4|
^ V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
G rá fica de una desigualdad lineal con dos variables
U na d esig u ald ad lin e a l que tie n e la form a:
a ) y < m x + b no incluye a la re cta c ) y > m x + b no incluye a la re c ta
b ) y < m x + b incluye a la re c ta d ) y > m x + b in cluy e a la re cta
E n un a d e sig u a ld a d lin e a l d e dos variables, e l c o n ju n to so lu ció n e s la región que s e fo rm a por e l c o n ju n to d e todos
los pares o rd enad os ( * ,y ) q ue sa tisfac en la d esig u ald ad .
EJEM PLOS
• • D e term in a la g ráfica d e l co n ju n to so lu c ió n d e y > - 2 .
S o lu ció n
Prim ero, s e g ráfica la recta y = - 2, c o n una lín e a punteada,
y a que e l sig n o de la d esig u ald ad re p re se n ta un intervalo
ab ierto.
L ueg o s e so m b re a la reg ión que co n tien e a to d o s los
puntos d e ord en ad a estrictam ente m ayores q u e - 2 , en este
c a s o so n todos los p u nto s que s e e n c u e n tra n por a rrib a de
la re cta punteada.
G rá fic a
Y
3
2
1
- 4 - 3 - 2 -1
- 1
- 2
1 2 3 4
y > - 2
3 2 4

343. C a p í t u l o 13
Desigualdades
2 • • 'E n c u e n tra la región d e l co n ju n lo so lu c ió n d e x < 5.
Solución
Se g ráfica la re c ia x = 5, e l sig n o d e la d e sig u a ld a d indica
que la lín e a e s con tinua.
E l c o n ju n to so lu c ió n so n los p u nto s d e l plano cu yas
abscisas so n m enores o iguales a 5.
Y
G r á f ic a
3
2
1
- 2 - 1
- 1
0 1 2 3 4 5
3 • • - D eterm in a la g ráfica d e l co n ju n to so lu c ió n de y > x + 2.
S olución
Se g rá fic a y = x + 2 ; é s ta s e re p re se n ta c o n u n a re cta
punteada, y a que e l sig n o re p re se n ta intervalo ab ie rto , la
c e t a divide a l plano c a rte sia n o e n 2 planos.
f ó r a d e te rm in a r la re g ió n s o lu c ió n d e l siste m a , s e
sustituy e u n p u n to perten eciente a una de las regiones y
32 v erifica q ue c u m p la c o n la d e sig u ald ad . Por eje m p lo ,
e l punto: ( - 1, 4)
y > * + 2
4 > - 1 + 2
4 > 1
E l punto s í sa tisfac e la d esig u ald ad .
G r á fic a
i
/
/
3 /
P la n o I /
V
/
/
/ 1
P la n o II
/
A • / ,
/
- 3 / - 2 - 10 1 2 3 A
/ _ i
/ 1
' - 2
L a regió n q u e es la so lu c ió n d e la desig u ald ad , e s e l
c o n ju n to d e puntos que e s tá n e n la re g ió n por a rrib a de
la re cta punteada, e s d ecir, e l c o n ju n to d e puntos que se
en cuen tran e n e l plano I.
P o r e l c o n tra rio , s i e l p u n to e le g id o n o sa tis fa c e la
desigu aldad , la regió n q u e re p r e s e n ta d co n ju n to so lución
se rá e l plano c o n tra rio a l punto.
3 2 5

344. 13 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJERC IC IO 1 3 8
Gráfica la s siguientes d e sig u ald ad e s lineales:
1. y > 6 4 . y < 3
2 . y < - 5 5 . * > 4
3 . y > 4 6. x ^ - 3
V itrifica t u s r e s u l t a d o s a n la s a c d ó n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t e
7 . j c< - 3
8. x>4
9 . 2 x -y> 3
10. 3 x - 2 y < 0
11. x + y< 1
a f * ! * !
Sistema de desigualdades lineales con dos variab les
E l c o n ju n to so lu c ió n d e un siste m a de d e sig u ald ad e s e s la in tersecció n d e las regiones so lu c ió n d e c a d a d e sig ualdad
lineal.
EJEMPLOS
i í y> 2
| • • R e p resen ta gráficam en te e l c o n ju n to so lu ció n d e l siste m a j ^ < _ J .
S o lu ció n
Se e n c u e n tra la regió n so lu c ió n d e c a d a d esig u ald ad . L a so lu ció n e s e l c o n ju n to d e to d o s los p u nto s que s e e n cu e n tre n
e n la in tersecció n d e las regiones.
- 4 - 3 - 2 - 1
x < - \
y > 2
1 2 3 4 X
—
1
VI
H
Y
4
3
CN
A
>>
1
- 4 - 3 - 20 1 2 3 4 X
2 • • • D e t e r m i n a gráficam ente e l co n ju n to so lu c ió n d el siste m a + * _ ^ Q.
S o lu ció n
El siste m a tie n e la form a:
y > * - 2
y < 1 - x
Se g ráfica la re c ta y = x-2, c o n lín e a c o n tin u a y a que
e l sig n o d e la d e sig u ald ad indica in tervalo c e rra d o ; luego,
s e g ráfica la re cta y = 1 - x , c o n u n a lín e a punteada, y a q u e
e l sig n o de la d esig u ald ad in d ica intervalo ab ie rto .
Se g rá fic a la re g ió n so lu c ió n d e c a d a d e sig u a ld a d y
la in te rse cc ió n d e la s regiones s o n to d o s los p untos que
satisfacen e l co n ju n to so lu c ió n del sistem a.
Gráfica
y > x- 2
3 2 6

345. C a p í t u l o 13
Desigualdades
Finalm ente, la g ráfica que re p re se n ta a la región que co n tie n e e l c o n ju n to de todos los p ares o rd enad os es:
G r á fic a
EJE 5 C IC IO 1 3 9
Determ ina la región q u e e s solución d e los sig u ie n te s sistem as:
1.
( J ) Vitrifica tu s resultados en la sección de soluciones correspondiente i
y > 2
x<3
6.
Í Z r - 3 y > 9
l y < 3 * - 1 0
y< -3
x < 4
7.
Í2A:+y<l
U - y>2
-2<x<2
y«
8.
¡x+2y>0
l * —3 y < 0
- l < y < 4
0<x<3
9.
[ x < y
¡ x + y < l
x+y> 3
10.
í y < x - 4
x-y<\
b < i - *
3 2 7

347. Ca p ít u l o 14
Lo g a r it m o s
HISTÓRICA
O
<c
s
&
J o h n N a p ie r
término logaritmo lo acuñó el matemá­
tico escocés John Napier, a partir de los
términos griegos lógos (razón) y arithmós
(número) para designar a la correspondencia,
que había descubierto, entre los términos de
una progresión aritmética y otra geométrica. Al principio los llamó "números
artificiales", pero luego cambió de opinión.
se le llama, en su honor, ne-
E
Al logaritmo que tiene por base el número
periano.
Pero fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a
usar los logaritmos con base 10. Briggs escribió acerca de su nuevo des­
cubrimiento: "Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar
la solución de los problemas aritméticos y geométricos, con su empleo se
evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones, y se transforman
en algo completamente simple, a través de la sustitución de la multiplica­
ción por la adición y la división por la substracción. Además, el cálculo de
las raíces también se realiza con gran facilidad".
Jo h n N a p ie r (1550-1617)

348. 14 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Definición
E l lo& ,N = a , e s e l ex p o n en te a , a l qu e s e ele v a la b a se b para o b te n e r e l a rg u m e n to N.
loghN = a <=* N = ba
C o n N y b núm eros reales positivos y b diferente d e 1
EJEM PLOS
• • E m p lea la d e fin ició n d e logaritm o para tra n sfo rm a r las sig u ie n te s ex presiones a s u fo rm a exponencial:
.SL F o rm a logarítm ica F o rm a exponencial
1. log3 2 4 3 = 5 2 4 3 = 35
2. ,o g ± = 6 - L = m 6
1 6 4 6 4 \ 2 )
3. l o g ^ - 3 2 - = I
4. log — = 3 f l V = - L
- 2 1 U J 2 7
2 • • T ran sfo rm a las sig u ien tes e x presiones exponenciales e n e x presiones logarítm icas:
F o rm a exponencial F o rm a logarítm ica
1. N = ( J lf lo g „ 5JV = 3
z 1o^ ¿ = - 3
3. ( s i s ) ' = 2 5 l o g , 25 = 4
4. x p = y lo g , y = p
EJE ÍC IC IO 1 4 0
C onvierte a s u form a exp o n en cial los sig u ien tes logaritm os:
1. l0 g 2 8 = 3 4. l0 g 6 ^ = - 2 7. lo g d > / 6 = i 10. l0g(,_ 1( 128 = 7
2. log, 16 = 4 5. l o g ^ 9 = 4 8. lo g 3( x - 1 ) = 2 11. log3,2 4 3 = 5
3. log3 81 = 4 6. lo g 7 3 4 3 = x 9. ^ . 6 2 5 = 4 12. l o g ,* .,, 2 5 6 = 8
Transforma a s u form a logarítm ica las sig u ien tes exp resio nes:
13. 172 = a 16. — = N 2 19. 2* = 2 5 6 22. — = 3-4
16 81
14. 62 5 = 54 17. Í | 1 = | 20. ( x - 2 ) ’ = 8 23. 5 ^ = 1 2 5
■
15. 6 4 ^ = 4 18. ( * + 3 ) = 24 21. x K = z 24. 44 1 = (3 x + 2)2
V s r i f i c a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
3 3 0

349. Ejemplos
C a p í t u l o 14
Logaritmos
Aplicación d e b definición d e logaritmo
En los sig u ien tes eje m p lo s s e a p lic a la defin ició n de lo g aritm o para en co n trar el valor d e la incógnita.
EJEM PLOS
1 • • E n c u e n tra e l valor d e a e n la ex presión : lo g a 2 1 6 = 3.
Solución
Se esc rib e e l logaritm o e n s u form a ex p o n en cial y se d e sp e ja la incógnita:
loga2 1 6 = 3 —> 2 1 6 = 0* —> 5/216 = a —> 6 = a
P o r co n sig u ien te, e l resu ltad o e s: a = 6
2 • • ' E n c u e n tra e l valo r d e m e n lo g m = 3.
Solución
Se tra n sfo rm a a s u form a exp o n en cial la e x p resió n y s e d e sa rro lla e l ex pon ente:
l o g ? m = 3 =
P o r tanto, e l resu ltad o es: m = 2s¡2
3 • • * D eterm in a e l valo r d e a: e n la expresió n: log 3 = x.
Solución
L a exp resió n se tra n sfo rm a a la form a exp onen cial.
lo g , — = x - » 3* = —!—
53 7 2 9 729
E l n ú m ero 72 9 s e d e sc o m p o n e e n fa cto res prim os y la ecu a ció n s e ex p resa com o:
3 * = - ?
-----»3* = 4 r—> y = y *
1 2 9 3
De la ú ltim a igualdad s e obtiene: x = - 6
EJE ÍC IC IO 141
Encuentra e l v a lo r d e la s incó g n itas e n la s sig u ien tes exp re sio nes:
1. l o g , 2 5 = 2 6. logd 4 9 = | 11. log27w = | 16. log* ^ = 0
2 . lo g , 6 4 = 3 7. log3 * = 4 12. lo g 3 x = - 2 17. l o g ^ — = x
2
3 . log>. 81 = 4 8. log2 m = 3 13. lo g * ¿ = 0 .2 18. lo g 160 . 5 = y
4 . logb 3125 = - 5 9. logQ5y = 5 14. lo g 8* = a333... 19. lo g , 5 1 2 = *
8
5. lo g , 32 = | 10. lo g ,W = | 15. log,, 2 1 6 = x
V e r if ic a t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o l u c i o n a s c o r r a s p o n d ia n t a
3 3 1

350. 14 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Propiedades
Para c u a lq u ie r M, N, b > 0 y b * 0 , s e cum p le que:
1. l o g „ l = 0 5. log,, M N = I0 & M + log,, N
2. logft b = 1 6. logft ~ = log,, M - lo g b N
3. logh M " = n log* M 7. logr AÍ = lnAf, ln = logaritm o n atu ral y e = 2 .7 1 828 1...
4. log* \ÍM = - log* M
ti
Im portante: la s sig u ien tes e x p resio n e s no so n igualdades.
logk (A / + W ) ^ l o g t M + l o g t /V l0g‘ ( ^ ' ) ’í ^ L^ '
D em o stracio nes de las propiedades d e los logaritm os:
1. lo g , 1 = 0
D e m o s t r a c i ó n :
S e a log* 1 = a , e s ta ex p resió n s e tra n sfo rm a a s u form a exponencial:
log* 1 = —> 1 = b a
f ó r a que ba = 1, s e d e b e cu m p lir q u e a = 0 , e n to nces, a l su stitu ir e s te resu ltad o se d e te rm in a que:
lo g * l = a = 0
2 . lo g , b = \
D e m o s t r a c i ó n :
S e a lo ghb = a , se a p lic a la definición de logaritm o y la ex p resió n exp o n en cial es la siguiente:
loghb = a —» b = ba
P ero b = b \ por c o n sig u ie n te bx = b° y a = 1
A l su stitu ir este resu ltad o s e ob tien e: lo g , b = a = 1
3. lo g , A /" = n lo g * A /
D e m o s t r a c i ó n :
S e a x = lo g , M , s u fo rm a ex p o n en cial e s b* = M , a l e le v a r e s ta ex presión a la e n é s im a p o ten cia s e d e te rm in a q u e :
(b x)H = M m -> b™ = M "
La form a lo g arítm ica d e e s ta expresió n: log,, M " = nx
Se su stitu y e * = log*A f, y s e obtiene: lo g , M " = n lo g , M
4. lo g , \ M = — lo g , M
n
D e m o s t r a c i ó n :
S e a x = lo g , A /, s u form a ex p o n en cial e s bx = M , s e extrae la raíz e n é s im a e n am bos m iem bros d e la igualdad:
= "sÍM
3 3 2

351. C a p i t u l o 14
Logaritmos
E l prim er m iem bro d e e s ta igualdad s e e x p re sa c o m o : b" = M
A h o ra e s ta nueva igualdad s e tra n sfo rm a a s u form a lo garítm ica: logh v M = -
n
Se su stitu y e x = I0& M , y s e d e te rm in a que: logh v 'M = - l o g b M
n
5. logh M N = logft M + log„ N
Dem ostración:
S ea x = log* M y y = log* N, é s ta es la form a ex p o n en cial de a m b a s expresiones:
b ' = M ; b y = N
A l m ultiplicar e s ta s exp resio nes s e o b tie n e : = M N -> b**y = M N
Se tra n sfo rm a a s u fo rm a logarítm ica: logfe M N = x + y
Se su stitu y e x = log* M y y = lo&, N, é s te e s e l resultado:
togft M N = log6 M + lo g ft
6. lo g ft ~ = logb M - logft N
Dem ostración:
S ea x = logfc M y y = logft N , é s ta es s u form a exponencial:
b ' = M ; b y = N
Se divide la p rim era ex p resió n e n tre la segunda:
* 1 = *L ^
b y N N
A d em ás s e tra n sfo rm a a s u form a lo g arítm ica la ú ltim a expresión:
lo g h~Ñ = x - y
A l final s e su stitu y e x = logfe M y y = log,, N y re s u lta que:
log„ ~ = logfc M - logb N
A p licació n de las propiedades para el desarrollo de expresiones
E l log aritm o d e u n a exp resión a lg e b ra ic a s e re p re se n ta d e form a d istin ta m ediante s u s p ro p ied ad es y v iceversa; una
exp resió n que c o n tien e varios logaritm o s s e tra n sfo rm a a o tra q u e co n te n g a un so lo argu m ento.
E J E M P L O S
• • C o n la a p lic a c ió n d e las p ropiedades de los logaritm os d e sa rro lla e s ta expresió n: lo g jV 2.
Solución
L a base x s e en cu e n tra a fe c ta d a por e l ex p o n en te 12, por tanto s e a p lic a la prop iedad 3 y s e obtiene:
lo g j* '2 = 121ogj.r
3 3 3

352. 14 C a p í t u l o
Á L G E B R A
2 • • - D e s a r r o ll a la sig u ien te expresió n: lo g 2 3 x 4 <Jy.
S o lu ció n
Se a p lic a la propiedad para e l logaritm o d e un p ro ducto (propiedad 5):
log 2 3 * 4 sjy = lo g , 3 + log2 x4 + lo g 2 J y
Se a p lic a n las propiedades 3 y 4 y la ex p resió n q u e d a así:
= lo g , 3 + 4 log2 x + ^ lo g 2 y
3 •• ■ D e s a rr o lla a s u fo rm a más sim p le la exp resión: logj.
\ ¡{x - 5 ) 3 .
S o lu ció n
Se a p lic a la propiedad 4 para e l radical:
log , V ( * - 5 )3 = ^ ' ° g , ( * - 5 ) 3
A hora a l a p lic a r la propiedad 3, s e d e te rm in a que:
= T [ 31o g y( - * - 5 ) ] = f l ° g , ( ^ - 5 )
4 • • ■ ¿ C u á l e s el d e sa rro llo d e la e x presión lo g „ ; — ^ r ?
( * - y )
S o lu ció n
Se a p lic a la propiedad para la div isió n (propiedad 6):
lo g , ^ 4 - = logü( x + y Y - l o g a ( * - y ) 2
(*-y)
Para o b te n e r la exp resió n que m uestre e l d esarro llo final se a p lic a la propiedad 3:
= 31ogd ( * +y) - 2 logd ( x - y)
5 • • D e sa rro lla la sig u ien te expresión
S o lu ció n
Se ap lic an las propiedades d e los logaritm os y s e sim p lifica a l m áxim o, p a ra obtener:
ln
E n se g u id a s e a p lic a la prop iedad d e l c o c ie n te y e l p rodu cto (pro pied ad es 5 y 6 ).
= 3 [ l n ^ 3’ + l n ( * + 1) - \n2x* ]
En e l su stra e n d o s e a p lic a nuevam ente la p ro p ied ad d e l producto, y re su lta que:
= 3 [ l n e 3* + l n ( * + 1) - (ln 2 + lnjr2) ]
3 3 4

353. C a p i t u l o 14
Logaritmos
Finalm ente, s e a p lic a la prop iedad d e l exp onen te y s e elim in a n los sig nos d e a g rup ación:
= 3 [ 3 * l n * + ln ( * + l ) - l n 2 - 2 1 n * ] = 9 * + 3 1n(* + l ) - 3 1 n 2 - 6 1 n *
6 • • 1 D esarrolla la sig u ien te ex presión : log
Solución
Se a p lic a la prop iedad p a ra la raíz d e un n ú m ero (p rop iedad 4):
. Í 3 ? 1 3 * 4
l0íW = 3l0g27
D espués se a p lic a la propied ad para e l logaritm o d e un c o c ie n te (propiedad 6):
= i ( l o g 3 * 4 - l o g 2 y 5)
A l a p lic a r la propied ad para e l logaritm o de u na m ultiplicació n s e obtiene:
= i [(lo g 3 + lo g a:4 ) - ( log 2 + log y5) ]
Se a p lic a tam b ién la propied ad 3 p a ra exponentes:
= i [(lo g 3 + 4 log x ) - (lo g 2 + 5 lo g y ) ]
Se can c ela n los sig n o s de ag ru p ac ió n y éste e s e l d e sa rro llo d e la expresión:
= ^ [log 3 + 4 lo g * - log 2 - 51ogy]
1 4 1 5
= 3 l0g 3 + 3 l0g ^ " 3 l0g 2 " 3 l0g y
7 • • ' E scrib e c o m o logaritm o la sig u ien te exp resión: log * + lo g y - log z.
S olución
L a su m a d e 2 log aritm os de igual b ase, s e ex p resa co m o e l lo g aritm o d e l p ro ducto de los argu m entos:
l o g * + l o g y - l o g z = log x y -log z
L a d ife re n c ia d e logaritm os d e igual b ase, s e ex p resa co m o e l logaritm o d e l c o c ie n te d e los argum en to s:
x y
lo g x y - l o g z = log —
P o r tanto:
x y
l o g * + l o g y - l o g z = log —
8 • • E x p resa c o m o logaritm o: 2 + 3 l o g / a + 1) - ^ loga(a - 1).
S olución
Se sa b e q ue logd a = 1, en to nces:
2 + 3 1 o g J( a + l ) - ^ logu( a -l) = 2\ogüa + 3 1 o g d(a + l ) - ^ l o g ^ a - l )
{continúa)
3 3 5

354. 14 C a p í t u l o
Á L G E B R A
(continuación)
Los co eficien tes re p resen tan los ex p o n en tes d e los argu m entos:
= l o g y + lo g ,( a + 1 f - lo g , (a -1)
Se a p lic a n las propiedades d e los logaritm os p a ra la su m a y d iferen cia:
. a2(a + \Y , a2(a + \y
= l o g . — ^ r - = lQg , 4V , ■
( a - . ) * — '
Por con sigu iente:
2 + 3 log¿ a + 1) - i lo g fl( a - 1) = log„
9 •• E sc rib e c o m o logaritnx) la sig u ien te e x presión : i log (* + 1) + i log ( x - 2 ) - 21og* - 31ogC* + 3 ).
S o lu ció n
A l a p lic a r las propiedades d e los logaritm os y s im p lific a rse ob tien e:
= l o g ( .r + 1) 3+ l o g ( * - 1 ) 3- lo g at2 - log (x + 3)3
= l o g ( .r + 1) 3+ lo g (* - 1 ) 3- [lo g a:2 + lo g (x :+ 3 )3]
= l o g ( ^ + l ) ^ - l ) ' 3- l o g ^ 2( j r + 3 ) 3
= i o s ( * + 0 f r - i ) ~ 3 _ , ( ( * + ' ) ( * - ' ) ) *
8 j! (í + 3)! g jP ( * + 3 ) 3
= log
v ( x + 3 r
1 0 • • E x p resa c o m o logaritm o: x - 3 + ^ ln (jc - 2 ) - i ln(^r + 1).
S o lu ció n
Se sa b e que ln e = 1, enton ces:
3 + | ln ( r - 2) - i \n(x+ 1) = ( x -3 ) ln e + | l n ( j c -2) - i (* + 1)
Al a p lic a r la s propiedades d e los logaritm os, s e tie n e que:
lne1*-3' + ln(x-2)S - ln(*+l)5 = ln*31 2* V',' " = i n ’P e
( x + l ) í V * + ‘
3 < « - 3 )
Por con sigu iente:
a : - 3 + \ ln (a: - 2 ) - i ln(x + 1 ) = ln ^ ^ f - -
3 3 6

355. C a p i t u l o 14
Logaritmos
EJE íC IC IO 1 4 2
Utiliza la s p ro p ied ad es d e los logaritm os para d e sarro lla r la s sig u ien tes exp resiones:
3 * 3( l - 2 * ) ‘
1. loga 7 4
2 . log6 3~
3 . lo g ,
4 . lo g 5 ^ y 2
5 . lo g j x 3y 2z
6 . t a ( 3 * V ) ’
7 . log (A r+ y)3(A r-z )
8. l Q g .4 -
2
,0 - l 0 g i M 7 T 7 ]
u . io g 4 7 3 ? 7
12. l o g \ ^ r + y ) V
13. log
14. lo g
•5. l o g . ^ f
( * - y )
i
16. log
17. log
18. lns
\ l x - 3 ( x + z f
( x + 3 ) ( y - 5 )
( * + 6 ) 4 V y - 2
W ( - r ( ^
A p lic a la s p ro p ie d a d e s d e tos lo g a ritm o s p a ra e x p re s a r tos sig u ie n te s lo g a ritm o s co m o e l lo g a ritm o d e un so to argu-
2 8 . 1 - log4 (m - 1 ) - lo g 4 (m + 1 )
m entó:
19. 2 1 n 5 + 2 1 n * 28.
2 0 . 3 1 o g m - 2 1 o g n 29.
2 1 . ^ l o g 7A r + i lo g 7 y 30.
2 2 . ln 8 + 4 * 31.
2 3 . |lo g w » + 4 1 o g w 32.
2 4 . 2 x + lo g , 3 33.
25. - ^ l o g t ( í + l ) - ^ l o g 6 ( í + 2 ) 34.
2 6 . lo g 3 + lo g > ’- l o g . r 35.
2 7 . lo g 2 x - log2 >• - lo g 2 z 36.
4
_ 5
34. i l O g l í + l l + ^ l O g f j T - l J - i l O g í - l
O v , r i ^ c a t u * r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e * c o r r e s p o n d i e n t e (
3 3 7

356. 14 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Ecuaciones logarítm icas
E n estas ecu a cio n e s las incógnitas s e en c u e n tra n afec ta d a s por logaritm os, s u so lu ció n s e ob tiene a l a p lic a r las p ro ­
piedades y la definición de logaritm o.
EJEM PLOS
• • R esu elv e la sig u ien te ecu a ció n : log 5 ( 2 * + 1) = 2.
S o lu ció n
UJ
A l a p lic a r la definición de logaritm o, la ex p resió n log s ( 2 x +1) = 2 se c o n v ie rte en:
2 * + l = 5 2
A h o ra a l resolver e s ta e c u a ció n , s e obtiene:
2 * + l = 5 2 - > 2 * + 1 = 2 5
2 * = 24
* = 12
2 • • '¿ C u á l e s so n los valores d e * que sa tisfac en la e c u a c ió n l o g ( * + 2 ) + l o g ( * - l ) = 1?
S o lu ció n
Se a p lic a la propiedad 5 para ex p resa rla e n térm in o d e un s o lo logaritm o:
l o g ( * + 2 ) + l o g ( * - l ) = 1 - » l o g ( * + 2 ) ( * - l ) = l - » lo g (* 2 + * - 2 ) = l
Se a p lic a la d e fin ició n d e logaritm o y s e resuelve fa cto riz a n d o la e c u a c ió n que resulta:
lo g ( * 2 + * - 2 ) = l -> * 2 + * - 2 = 10‘
x 2 + * - 2 - 1 0 = 0
* 2 + * - 1 2 = 0
( * + 4 ) ( * - 3 ) = 0
* + 4 = 0 y * - 3 = 0
Por co n sig u ien te, los valores que sa tisfac en las igualdades so n : * = - 4 y * = 3, y e l valor que sa tisfac e la e cu a ció n
e s * = 3
3 • • R esu elv e: lo g 3( 4 * - 5 ) = log3( 2 * + l ) .
S o lu ció n
S e a g ru p a n los logaritm os e n e l prim er m iem bro d e la igualdad y se a p lic a la propiedad 6:
log3( 4 * - 5 ) = log3( 2 * + l ) -> lo g 3( 4 * - 5 ) - l o g 3( 2 * + l ) = 0 -> loS3^ “ y = 0
Se a p lic a la d e fin ició n d e logaritm o y s e resuelve la ecu a ció n q u e resulta:
± ¡ = 1 .3” - » 1 - » 4 T - 5 - & + 1
2 * + l 2 * + l
2* = 6
* = 3
4 • • R esu elv e la e c u a c ió n : lo g 2 > / 3 * - l = 1 - lo g 2 J x + \ .
S o lu ció n
Se a g ru p a n los logaritm os e n un s o lo m iem bro d e la igualdad:
lo g , v 3 * - 1 + lo g , y jx + l = 1
3 3 8

357. C a p i t u l o 14
Logaritmos
Se a p lic a la propiedad 5 para ex p resa r la su m a de logaritm os c o m o e l lo g aritm o de un producto:
log2 (V 3* -i)(Va: +i) = 1
Se tra n sfo rm a la ex p resió n a s u fo rm a ex p o n en cial y s e m ultip lican lo s facto res:
( v / 3 ^ T ) ( V r + T ) = 2 ' - > ^ 3 x ? + 2 x - 1 = 2
P a ra e lim in a r la raíz se elev an a l cu a d ra d o am bos m iem bros d e la igualdad:
(V 3 * 2 + 2 * - l ) ’ = ( 2 ) ! - > 3 x 2 + 2 x —1 = 4
Se resuelve la e c u a c ió n resultante:
3x2 + 2 x - l = 4 -> 3x* + 2 r - 1 - 4 = 0 - > 3x" + 2 * - 5 = 0
3 x 2 + 5 * - 3 * - 5 = 0
x ( 3 r + 5 ) - 1 ( 3 * + 5 ) = 0
( 3 x + 5 ) ( * - 1 ) = 0
5
* = - - , * = 1
Por co n sig u ien te, los v alo res d e la incógnita so n : y 1 , e l valor q ue sa tisfac e la e c u a c ió n lo g arítm ica e s x = 1
5 • • R esuelve la e c u a c ió n : ln (* + 5 ) = 2 + l n * .
S olución
L os log aritm os s e c o lo c a n d e un so lo lad o d e la igualdad:
l n ( * + 5 ) - l n . r = 2
Se a p lic a la propiedad de división d e arg um entos:
l n ^ = 2
X
Se tra n sfo rm a a s u fo rm a ex p o n en cial y se resuelve la e cu a ció n resultante:
e1 = xe2 = x + 5 xe2 - x = 5
x
x ie2- 1) = 5
5
x —
e2- \
EJEIC IC IO 1 4 3
R esu elve las sig u ien tes ecu acio n es logarítm icas:
1. log2 ( * + 3) = 2 5. lo g V*2 + 6 4 = 1
2 . log4 ( 4 - 3 j c ) = 3 6. lo g 3 81 - lo g 3(jc - 4 ) = 2
3 . log6( 5at—9 )2 = 4 7. lo g 7( * + 9 ) + lo g 74 9 = 4
4 . log4 yj\5x+ l = 2 8. lo g 5 2 5 - log5 (at + 1 0 0 ) = - 1
3 3 9

358. 14 C a p í t u l o
Á L G E B R A
9 . l o g ( * + 3 ) 2 = l + l o g ( 3 * - l l ) 18. lo g ¿( . * - 3 ) + log - ( * + 2 ) = 4 + lo g ^ *
10. log j * + lo g 3( 2 * - 3 ) = 3 19. lo g 2( * + l ) + log2( 3 * - 5 ) = lo g 2( 5 * - 3 ) + 2
11. log(jc + 2 ) = - 1 + log(3a: — 14 )2 20. lo g ^ (V * + 1) = 1 + log,3y / x- 1
12. lo g 5( 4 —a:) 3 = log5 ( 6 + a:) 3 2 1 . l n ( x + l ) = 1 + l n ( j r — 1)
13. lo g ( 2 r + 10)2 — lo g ( 1 —a :) = 2 2 2 . l n * + l n ( * -3e) = l n 4 + 2
14. lo g 8( * - 4 ) + logg( a :- 1) = log8 5 *-log8 3 2 3 . l n ( * - 2 ) = ln 1 2 - l n ( * + 2 )
1
15. lo g 6 \^3r + l = log6 l/ \ 0 + lo g 6 t i x - 2 2 4 . ln ( * - 1 ) - ln ( * - 2 ) = 2
16. l o g ( 8 * + 4 ) + lo g ( 7 * + 1 6 ) = l o g ( j c - 2 ) 2 + 2 2 5 . ln( 2 * - 3 ) - l n + 1) = *
17. lo g 2(jc —1) — lo g , (3 jc + 1) = 3 - lo g , ( 6 * + 2 ) 26. ln (x2 + * ) + \ne = ln(jc + 1)
(^ . V» rifle a tu s resultados en la se cdó n d e soluciones correspondiente ^ ■=
Ecuaciones exponenciales
L as ecu a cio n e s que tie n e n la incógnita e n e l ex pon ente se llam an ecu a cio n e s ex p o n en c ia les y s u so lu ció n s e obtiene
a l a p lic a r los sig u ie n te s m étodos:
1. S i e l a rg u m en to o resu ltad o s e puede e x p resar c o m o p o ten cia d e la b ase, sólo s e igu alan ex p o n en tes.
2. Se a p lic a n las propiedades d e los logaritm os p a ra en co n trar e l valor d e la incógnita.
EJEM PLOS
• • E n cu e n tra e l v alor d e la incógnita e n la ecu a ció n : 2 *+1 = 32.
.1 . S o lu ció n
m
Se ex p resa a 32 c o n » 2 , s e sustituy e e n la ecu a ció n :
2 * +l = 3 2 - > 2 X*' = 25
En la e c u a c ió n resultan te las ba se s so n iguales, e n to nces, tam b ién los exponentes:
* + 1 = 5
Al re so lv er e s ta ecu ació n , se d e te rm in a q u e : * = 4
2 • • O b té n e l valor d e la incógnita e n la e c u a c ió n : 9' ~ 1 = 81*.
S o lu ció n
E l re su lta d o 81‘ se ex p resa co m o 9 2,, a l su stitu ir la eq uivalen cia:
9 « - ' = 8 F -> 9 , " l = 9 2*
Para q ue la igualdad s e cu m p la, ta n to bases c o m o ex p o n en tes d e b e n s e r iguales, e n to n c es:
Se resu elv e la e c u a c ió n y re su lta q u e : * = - 1
* - 1 = 2 *
3 4 0

359. C a p i t u l o 14
Logaritmos
3 • • R e s u é l v e l a sig uiente ecu a ció n : 4 * ~ 2 = 8 ,_ \
S olución
A m bas ba se s se d e sc o m p o n e n e n su s fa c to re s prim os y la ecu a ció n s e ex p resa com o:
4 *_2 = 8 ,_* - > < ? )*“ * = < ? ) '- * -> 2 a « - 2 > = 2 3 ( . - r t
Se elim in a n las b ases y se igualan los ex p o n en tes, p a ra ob ten er la ecu a ció n :
2 (* “ 2 ) = 3(1 -x)
F inalm ente s e resuelve la e cu a ció n y s e d e te rm in a e l valor de la incógnita:
2 ( * - 2 ) = 3 ( l - x )
2 x - 4 = 3 - 3 x
2x + 3x = 3 + 4
5 x = 7
7
* = ?
O r a fo rm a d e re so lv er u na e c u a c ió n ex p o n en cial es a p lic a r logaritm os, c o m o ilu stran los sig uien tes eje m p lo s:
EJEM PLOS
• • R esuelve la sig uiente ecu a ció n : 5x = 62S2.
1 Solución
AJ
Se a p lic a n logaritm o s a los dos m iem bros d e la igualdad:
logó* = lo g 6 2 5 2
Se a p lic a la propiedad 3 para d e sp e ja r a x y s e e fe c tú a n la s operacio nes:
* l o g 5 = 2 1 o g 6 2 5
^ _ 2 lo g 6 2 5 _ 2 (2 .7 9 5 9 ) _ tí
r lo g 5 0 .6 9 8 9
P o r tanto, x = 8
2 • • • ¿ C u á l es e l valor d e la in có g n ita e n la sigu iente ecu a ció n : 32,_l = 7 ?
S olución
Se a p lic a n logaritm o s e n am b o s m iem bros d e la igualdad,
log 32*-1 = log 7
Se a p lic a la propiedad 3, s e d e sp e ja a: y s e ob tiene c o m o resultado:
( 2 x - l ) l o g 3 = lo g 7 - > 2 x- 1 = ' - ^ 1
log 3
Í 2 8 l + i
x = J o g 3 _ = i 3 8 5 6
2
341

360. 14 C a p í t u l o
Á L G E B R A
3 • • ¿ C u á l e s e l v alor d e Aren la e c u a c ió n 32x- 5 (3 *) + 6 = 0?
S o lu ció n
E sta e c u a c ió n s e e x p re sa c o m o u na e c u a c ió n d e seg u n d o grado , d e la form a:
(3 O2 - 5 ( 3 * ) + 6 = 0
Se fa cto riz a y se re su elv e n las ecu a cio n e s resultantes:
( 3 í - 3 ) ( 3 , - 2 ) = 0
3* - 3 = 0 3* - 2 = 0
3* = 3 3* = 2
log 3* = log 3 lo g 3* = log 2
x log 3 = log 3 a: log 3 = lo g 2
log 3 0.477 1 _ x x _ log 2 0 3 0 1 0
* log 3 0.477 1 X log 3 0.4771
P or co n sig u ien te, las so lu cio n es de la e c u a c ió n son: 1 y 0.63 09
e2y + 4
4 • • R esu elv e la e c u a c ió n : —¿j— = 3.
S o lu ció n
L a e cu a ció n s e ex p resa d e la sig u ien te m anera:
¿ * + 4 = 3
e2y
Se d e sp e ja e l té rm in o e^\
- 3 e 2y = - 4 - 2 « * = - 4
^ = 2
E n am bo s m iem bros d e la igualdad s e a p lic a e l lo g aritm o natural y s e obtiene:
In e2y= ln2 2 y ln ¿ = ln 2 2y ( l ) = l n 2
2 y = ln2
y = U t i l
y = l n \ Í2
EJE ÍC IC IO 1 4 4
R esu elve la s sig u ien tes e c u a c io n e s exp o n en ciales:
s
II
H
•T)
8 . 7 3x-3 = 3 43 15. 5* = 6 2 5 i+*
2. 3* = 8 9 . 3to+s = 3 16. 4 9 l"2* = 7 ,
3 9 2* — 9° 10. 4 1+1 = 16,_l 17. 2 5 l "2 = 5'-J
4. 6 4 ‘ = 8 11. 5 2,-3 = 4 18. y = 24 3 ‘-2
5. ( 2 3 7 ) * = 2 .8 3 12. 3* = 0 .1 5 19. 2 _<**3) = 3 2 ’
6 . ( 2 4 ) * = 5.76 13. (0 .12 5)* = 1 2 8 20. 3** = 7 2 9
7. 5 X" ' = 25 14. 2 lx" = 256 21. 2 x‘~2x = 8
0.6 309
3 4 2

361. C a p i t u l o 14
Logaritmos
22. 2 5 ’ + 5 í+l = 75 0 27.
Í T = #
32.
II
+
1
U J V 81
23.6 2i+s - 3 6 = 0 28. 1 2 ^ _2x+3 = 1 72 8 33.
4 e ix - 5
e * - l
= 3
24.
4 x’+3, _ J _
16
29.5 ( 7 2l", ) = 7 ( 5 I+2) 34.
e x
e l - 2 e
3 6
x + 2 e 2 x-
25. 7 ( 3 ) x+,- 5 I+2 = 30. 2 ”2’ + 2~x = 2 35. e 2 x + l J 7 ^ = l - e
26. log2 (9 J-| + 7 ) = log2 (3»-1 + l ) 2 31.
e y - \ 2
2 - 3 ^ > ’ 7
36.
e x + e~x
e x - e ~ x
3
2
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e ^ ■
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------• P R O B L E M A S Y E J E R C I C I O S D E A P L I C A C I Ó N
L o s logaritm os so n una herram ienta ex ce le n te p a ra la so lu c ió n de p roblem as propios de las c ien cias, a co n tin u ació n
se ejem p lifica s u uso:
O Q uím ica
E n q u ím ic a los log aritm os s e em p le an p a ra c a lc u la r la acid ez d e las so lu cio n es.
pH = - l o g [ H ‘ ]
Donde:
p H = acid ez d e una so lución.
[ H * ] = c o n ce n tra c ió n d e iones d e hid róg eno e n io nes-gram o equiv alente p o r litro.
D eterm ina e l p H d e una solu ción , que tie n e una concentración d e iones d e hidrógeno d e 10” 8 iones-g/lt.
S o lu c ió n
L a c o n ce n tra c ió n d e iones d e hidro geno e n la so lu ció n e s de:
[ H * ] = 1 0 -8 io n e s-g /lt
Se su stitu y e e s te valo r e n la fórm ula y s e obtiene:
pH = - l o g [ H - ]
p H = - l o g [ lO"1] s e a p lic a la p ro p ied ad 3
p H = - ( - 8 ) l o g [ 1 0 ] = ( 8 ) ( l )
pH = 8
2 E n c u e n tra la c o n ce n tra c ió n de io n es d e hidrógeno de una so lu c ió n , s i s u p H e s d e 7.
S o lu c ió n
Se su stituye p H = 7 e n la fó rm u la y s e d e sp e ja [ H * ]
p H = - l o g [ H ’ ]
7 = - l o g [ H ' ]
- 7 = l o g [ H ' ]
a n ti l o g ( - 7 ) = [ H ’ ]
Por consiguiente, la concentración de iones de hidrógeno d e una solución es:
[ H’ ] = 10"7 iones-g/lt
3 4 3

362. 14 C a p í t u l o
Ál g e b r a
O Sism ología
E n sism o lo g ía lo s logaritm os se e m p le a n p a ra c a lc u la r la intensid ad d e un sism o por m ed io d e l sig uiente m odelo
m atem ático:
7* = I° g y
Donde:
IR = intensid ad d e l sism o (e sc a la R ichter)
A = am p litu d (m icró m etro s)
l = periodo (tiem po e n se g u n d o s q u e d u ra una o sc ila c ió n )
¿ C u á l e s la inten sidad d e un sism o e n la e s c a la R ic h te r s i s u am p litu d e s d e 8 00 0 m icróm etros y s u p erio d o d e 0 .0 9
segundos?
S o lu c ió n
Se sustituy e A = 8 0 0 0 m icróm etros y P = 0 .0 9 se g u n d o s e n la fórm ula:
A 8 0 0 0
* g7 7* = log^
= lo g ( 8 8 8 88.8 9)
= 4 .9 5
Por tan to, e l sism o tie n e u na in te n sid a d d e 4 .9 5 grados e n la e sc a la R ichter.
U n sis m o tie n e u na intensid ad d e 5 .7 g ra d o s e n la e s c a la R ichter, s i la am p litu d d e l m o v im ien to e s d e 9 021.37
m icróm etros, ¿ c u á l e s s u periodo?
S o lu c ió n
Se d e sp e ja la am plitu d d e la fórm ula:
A A
7* = 1° g y “ > a n ü lo gI R = -
A
t =
an ti lo g I R
Se sustitu ye e n e s ta últim a fó rm u la I R = 5 .7 y A = 9 0 2 1 .3 7 m icróm etros:
9 021 .37
I =
an ti log 5.7
= 9 0 2 U 7 _ =
501187.23
Por co n sig u ien te, e l periodo de una osc ila ció n e s de 0.0 179 segun dos.
O D ecaim iento radiactivo
O tr a a p lic a c ió n d e lo s lo g aritm o s s e lleva a c a b o e n e l d e c a im ie n to radiactiv o. E l d e c a im ie n to ra d iactiv o d e un
m aterial e s tá d a d o por la fórm ula:
C = C „ ( 2)~ '
D onde:
C = c a n tid a d de m aterial rad iactivo d e sp u é s d e c ie rto tiem po
t = a n tig ü e d ad d e l m aterial
C0= c an tid ad p resen te c u a n d o / = 0
n = vida m ed ia d el m aterial
3 4 4

363. C a p i t u l o 14
Logaritmos
E l tiem p o d e v id a m ed ia d e u n m aterial e s d e 2 5 años, ¿cuánto d e d ich o m aterial q u e d a después d e haber transcurrido
15 años?
S o lu c ió n
Se su stituye e n la fó rm u la n = 2 5 y / = 15 añ os:
C = C „ (2 ) • - » C = c„(2)'*
C - C . & T
C = C0 ( 0 .6 5 9 ) = 0 .6 5 9 C 0
P o r co n sig u ien te, q u e d a 0 .6 5 9 C 0 o 6 5 .9 % del m ate ria l inicial.
¿ C u á l e s la a n tig ü e d ad d e un a figura d e m ad e ra q ue tie n e la c u a rta parte d e s u c o n te n id o o rig in a l d e c a rb o n o 14, si
la v ida m ed ia d e l m aterial es d e 5 9 0 0 años?
S o lu c ió n
C on las propiedades d e los logaritm o s s e d e sp e ja /:
C = C „ ( 2 p j M 2 )"" - » l0 g ( ^ ) = l° g ( 2 )"”
Se su stitu y e C = ^ -C Q y n = 5 9 00 e n la últim a fórm ula:
4
V
( 5 9 0 0 ) log
4 0
c
— L A
( 5 9 0 0 ) lo g ( 0 .2 5 ) _ ( - 3 5 5 2 .1 5 )
801 .16 añ o s
0 .3 0 1 0
Por tanto, la an tig ü e d ad d e la pieza e s d e 11 801.16 añ o s.
L a d e sin te g rac ió n d e c ie rta s u s ta n c ia rad iactiv a s e rige por e l m o d elo m atem ático:
- 0 . 0 0 7 2 /
P = P0e
D onde p 0 es la c a n tid a d inicial d e su s ta n c ia y / e s e l tie m p o e n añ o s. ¿ C a lc u la e l tie m p o de vida m ed ia d e la
su stancia?
S o lu c ió n
E l tie m p o d e vida m ed ia e s e l tiem p o necesario p a ra que la m itad d e la su sta n c ia s e desin teg re, e s d e c ir p = - p 0.
entonces, se d e sp e ja t de la fórm ula:
m ' P_= ( r» °"ra |n -2 - = ine~°a m '
Po Po
l n —
ln — = - 0 . 0 0 7 2 / ln<? ^ - = 1
p 0 0.0 072
3 4 5

364. 14 C a p í t u l o
Ál g e b r a
Se su stitu y e P = ^ P o y s e re aliz a n las o peracion es:
1
n
ln — ln ——
t = t =
-------£ a _ = — ^ 1 = 9 6 .27
0 .0 0 7 2 0 .0 0 7 2 0.007 2
P o r co n sig u ien te, e l tiem p o d e vida m ed ia d e d ic h a su sta n c ia e s de 9 6 .2 7 añ o s.
O Población
El c re c im ie n to d e población e stá d e te rm in a d o por la fórm ula:
N = N , e a
Donde:
N = núm ero d e h a b ita n te s d e u na po b lació n e n d e te rm in a d o tiem p o
N 0 = núm ero d e h a b ita n te s e n una población in icial, c u a n d o / = 0
K = constante
í = tiem p o
8 E l m od elo m atem ático que rige e l c re c im ie n to de una población es:
N = 3 5 0 0 e°O25í
C alcu la e l núm ero d e habitantes que h a b rá e n 2 0 años.
S o lu c ió n
Se sustituy e e l valor d e / = 2 0 e n la fórm ula:
N = 3 5 0 0 e on25{™)
= 3 5 0 0 é ° - 5 = 5 7 7 0 .5 2
P or tanto , e n 20 a ñ o s h a b rá apro xim adam ente 5 7 7 0 h abitantes.
9 E l sig u ien te m od elo m uestra e l crec im ien to d e u na po b lació n de insectos:
N = &50(3)0,m,
D onde Ne s e l núm ero d e insectos y t e l tiem p o en d ías. ¿ E n qu é tiem p o la población s e r á d e 10 2 00 insectos?
S o lu c ió n
Se d e sp e ja / d e la fórm ula:
l n —
¡ V = 8 5 0 ( 3 n " " - = ( 3 ) ° * " l n — = 0.094 / ln ( 3 ) — ^ 5 2 - = ,
w 8 50 w 8 50 w 0 .0 9 4 ln (3 )
Se su stitu y e N = 10 200 e n la últim a fórm ula:
10200
, J n -.85Q l n ! 2 Z 4 8 4 9
0 .0 9 4 1 n (3 ) 0 .0 9 4 ln (3 ) 0.1 032
P o r co n sig u ien te, d e b e n tra n sc u rrir 2 4 .0 7 d ías para que s e increm ente la p oblación d e insectos a 10 200.
3 4 6

365. C a p i t u l o 14
Logaritmos
1 0 E n un c u ltiv o d e la b o ra to rio la s b a c te ria s a u m e n ta ro n d e u n a p o b lac ió n in ic ia l d e 4 8 0 a 1 2 0 0 e n c in c o horas.
¿C u án to ta rd a rá la población e n a u m e n ta r a 8 000?
S o lu c ió n
Se d e te rm in a e l v alor de k para la población in icial, d o n d e N 0 = 48 0 , N = 1 2 0 0 , t = 5,
N = N o e ‘ -> 1 2 0 0 = 4 8 0 ¿ * 5) -> ™ 9 . = e Sk - » ¿ * = 2.5
4 80
Se a p lic a log aritm o natural p a ra d e sp e ja r k:
ln ) = In 2 .5 - > S k In ( ¿ ) = ln 2 .5 - » ^ = _ l n | 5 _ = 0.9^162 =Q m
E nton ces, e l m odelo m ate m á tic o s e ex p resa co m o : N = N 0ea 'a l
Se su stitu y e e n la fó rm u la N = 8 0 0 0 y N 0 = 480
8 00 0 = 4 8 0 ¿ <QI83,Í
f ó r a d e sp e ja r / s e a p lic a n logaritm os naturales:
, 8 0 0 0
ln
— = e° 'm -> ^ 8 0 0 0 _ j a ie r = 0 . 183/ / = — 4 § 0 _ = , 5.37
4 80 4 8 0 4 8 0 0 .1 83
Por tanto, e n 15.37 horas o e n 15 h o ra s 2 2 m inutos 12 segun dos, la s b a c te ria s a u m e n ta rá n d e 4 80 a 8 00 0
O Ley del en friam ien to d e N ew ton
C o n e sta ley s e obtiene la tem p e ra tu ra Td e un cu erp o e n fu n ció n del tiem p o /; d o n d e T es la tem p e ra tu ra am biente,
e l m odelo m ate m á tic o que la rige es:
T = T '+ C e kl
Donde:
V = te m p e ra tu ra d e l am b ien te
T = tem p e ra tu ra del c u e rp o de sp u é s d e c ie rto tiem po , a d e m á s T < V
C y k = constan tes
U n a b a rra d e m eta l s e ex tra e d e u n h o m o c u y a te m p e ra tu ra e s d e 2 5 0 °C . S i la tem p e ra tu ra d e l a m b ien te e s d e 32°C
y d e sp u é s d e 10 m inutos la te m p e ra tu ra d e la b a rra es d e 9 0°C , ¿ c u á l e s s u te m p e ra tu ra d e sp u é s d e 30 m inutos?
S o lu c ió n
L a te m p e ra tu ra d e l a m b ie n te e s T ' = 3 2 ° C , la te m p e ra tu ra d e la b a r ra a l m o m e n to d e s a c a rla d e l h o m o e s d e
T = 2 5 0 °C y / = 0 . A l su stitu ir e s to s valo res e n la ley del en fria m ie n to d e N ew ton.
T = T + C e u 2 50 = 3 2 + C e m 2 5 0 = 3 2 + C
2 5 0 - 3 2 = C
2 1 8 = C
Se sustitu ye e l valo r d e C = 2 18°C e n la ley:
7’ = 3 2 + 2 1 8 ¿ ü
Se su stitu y e / = 10 m inutos y T = 9 0 °C e n la ley y s e d e sp e ja é*°0)
9 0 = 3 2 + 218¿*<lo) 9° ~ 3 2 = ¿ * <l0> 0 2 6 6 0 = e l0i
2 1 8
3 4 7

366. 14 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
E n la ú ltim a igualdad s e a p lic a logaritm o n a tu ral a am b o s m iem bros para d e sp e ja r a fc
ln 0 2 6 6 0 = ln^'°* ln 0 .2 6 6 0 = \ 0 k l n e ln 0.266 0
- 0 .1 3 2 4 = *
A l su stitu ir este valo r s e ob tiene q ue la ley d e l en fria m ie n to para la barra es:
T = 3 2 + 2 1 8 ¿~ <LI3WÍ
F inalm ente, s e su stitu y e t = 3 0 m inutos e n la fórm ula anterior:
T = 3 2 + 2 1 8 íf tll3M<30) T = 3 2 + 2 1 8 ífi972
= 3 2 + 2 1 8 ( 0 .0 1 8 8 3 )
= 3 2 + 4.10 49
= 3 6 .1 0 4 9 °C
P or co n sig u ien te, la tem p e ra tu ra d e la b a rra desp ués d e 3 0 m inutos e s d e: 36.1049 °C
EJEÍCICIO 1 4 5
Resuelve b s sig u ien tes problem as:
1. O b té n e l p H de u na solució n, c u y a c o n ce n tra c ió n e s d e 1 .9 0 x 10"s iones d e hidrógeno/lt.
2. L a c o n ce n tra c ió n de u na c o n se rv a de vinagre d e iones d e hidró geno e s d e 6 x 10“*. D e term in a s u pH.
3. ¿ C u á l es la c o n ce n tra c ió n de iones d e hid róg eno de un a su sta n c ia , cu y o p H es d e 9 ?
4. U n sism o s e presen ta c o n 6 0 0 0 m icróm etros d e am p litu d y un periodo d e 0 .3 seg und os. D e term in a la in tensidad d el
m ovim iento sísm ic o e n la e sc a la R ichter.
5. E n cu e n tra e l p erio d o d e un sism o d e 9 0 0 0 0 m icróm etros c o n intensidad de 5 grad os e n la e sc a la R ichter.
6. U n sis m o tiene u n periodo 0 .3 5 se g u n d o s d e du ración y a lc a n z a 4 grados e n la esc a la Richter. ¿C uál es s u am plitud?
7. E l tiem p o de v ida m ed ia d e un m aterial e s d e 4 0 años. ¿ C u á n to d e d ich o m aterial q u e d a despu és d e 30 a ñ o s?
8. L a v ida m ed ia d e l tritio es d e 12.5 añ o s. ¿C u á n to ta rd a rá e n desinteg rarse 30% d e un a m u estra d e e s te m etal?
9. L a d e sin te g rac ió n d e una su sta n c ia rad iactiv a e s tá da d a por e l sig u ien te m odelo:
v = v o€-°fl05í
D onde V0 e s la ca n tid a d inicial de m aterial y / e s e l tiem po. ¿ C u á l e s e l tiem p o de vida m ed ia d e d ich o m aterial?
10. E l m od elo que rige e l c re c im ie n to poblacional d e una ciu d a d es:
N = 15 000e°m ‘
D on de Ne s e l núm ero de hab itan tes y t e l tiem p o e n años. ¿ C u án to s habitantes h a b rá d e n tro d e 10 añ o s?
11. E n un c u ltiv o d e lab o ra to rio las b a cteria s a u m e n ta ro n d e una pob lació n in ic ial d e 150 a 83 0 e n 2 horas. ¿C u án to
tard arán e n llegar a 3 000?
12. L a población actual d e ratas en una ciud ad es d e 4 0 000 ; s i s e duplican c a d a 8 años, ¿cu án d o h a b rá 500 00 0 roedores?
13. D e l horn o d e una e s tu fa s e s a c a una ro sc a, c u y a tem p e ra tu ra e s d e 180°C. Si la te m p e ra tu ra d e l a m b ien te e s d e 2 5 °C ,
y d e sp u é s d e 8 m inutos la tem p e ra tu ra d e la ro sc a es d e 100°C, ¿ c u á l e s s u tem p e ra tu ra después d e 15 m inutos?
3 4 8

367. C a p i t u l o 14
Logaritmos
1
14. L a tem p e ra tu ra d e l a m b ie n te un a ta rd e e s d e 2 1°C. S i se sirv e a g u a para c a fé c o n u na tem p e ra tu ra d e 9 5°C , y despu és
de 4 m inutos la te m p e ra tu ra d e l a g u a e s d e 80°C, ¿ c u á l e s s u tem p e ra tu ra después d e 2 0 m inutos?
15. U n a b a rra de alu m in io s e en c u e n tra a u na te m p e ra tu ra de 4 0 0 °C y la tem p e ra tu ra am b ien tal e s d e 2 8 °C . S i despu és
d e 30 m inutos la te m p e ra tu ra d e la b a rra e s d e 300°C , ¿ c u á n to s m inutos d e b e n tra n s c u rrir p a ra que s u tem p e ra tu ra
se a d e 120°C ?
V e r i f i c a t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c i ó n d a s o l u c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a ^
3 4 9

369. Capítulo i 5
Pr o g r e s io n e s
Sucesión d e Fibon acci
Leonardo de Pisa nació en Italia y fue
educado en África del norte. Su obra
principal es Líber A p a c i [libro a ce rc o d el
á b a co ), donde expone la importancia del sis­
tema de numeración indoarábiga. Escrita en
1 2 0 2 sólo se conserva una versión de 1228, donde aparece un problema
sobre el nacimiento de conejos, que da origen a la sucesión de Fibonacci.
Por muchos años fue objeto de numerosos estudios que permitieron descubrir
muchas de sus propiedades, además de que Kepler la relacionó con la
sección áurea y el crecimiento de las plantas.
La sucesión de Fibonacci se define por:
f , = f 2 = 1
í, = í,-i + Í.-2 para n > 3
cuyos primeros términos son:
1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21,34,55, 89,...
L e o n a r d o d e P i s a " F i b o n a c c i "
(1170-1250)

370. so|diuajg
15 C a p í t u l o
Á L G E B R A
Sucesión infinita
U na su c e sió n e s de la form a:
a l , a 2 9 a3, a v . . . t am, . . .
d o n d e ane s e l té rm in o g e n era l y s e d e n o ta por:
* , = / ( * ) o { a ,}
S ien d o w u n núm ero natural, a sí: a , re p re se n ta e l prim er térm in o , a2 e l seg u n d o té rm in o , a 3 e l te rc e r térm in o , aK
e l vigésim o se x to térm in o y aH e l w-ésim o térm in o d e la su c e sió n .
EJEMPLOS
1 • • L a su c e sió n c o n w-ésimo té rm in o a = -7 - , c o n n s N , s e esc rib e com o:
4w
i I _L _L
4 ’ 8 ’ 1 2 ” ” 4 w * ”
2 • • E sc rib e la su c e sió n c o n w-ésim o té rm in o {3'}.
S o lu c ió n
Ya que n es n atu ral en to n c es to m a los valores 1, 2 , 3 , 4 ,...,
a , = 3 ' a2 = 3 2 a3 = 33 a 4 = 34 ... a„ = 3n
P o r co n sig u ien te, la su c e sió n es:
3 1, 32, 33, 34, .. ., 3 " ,... o 3 , 9 ,2 7 , 8 1 ,. ..
3 • • ■ E n c u e n tr a los térm in o s que co n fo rm a n la su c e sió n c o n térm in o g e n e ra l a„ = — —
w
S o lu c ió n
E l térm in o g e n era l es:
2 w - l
" ■ = —
Para d e te rm in a r los ele m en to s d e la sucesió n, s e su stitu y e n los núm eros naturales:
2 ( 0 - l 2 - 1 1
S iw = l , a , = - ^ — = — = - = 1
e . 2 ( 2 ) —1 4 - 1 3
2 = ~ 2 ~ = 2
, 2 ( 3 ) - 1 6 - 1 5
4 - = — = 3
Por tan to, los térm in o s d e la su c e sió n so n : 1, 4 , r — — -
2 3 w
3 5 2

371. C a p i t u l o 15
Progresiones
4 • • - D e t e r m in a los 4 prim eros térm inos d e { ( - l)" + l - 2n ).
S o lu c ió n
Se su stitu y en los v a lo re s d e rt = 1, 2 ,3 , 4 e n el té rm in o general:
S i n = 1 ,a , = ( - l ) ,+l - 2 ( 1 ) = (—l ) 2 - 2 = 1 - 2 = - 1
S i n = 2 , a 2 = (_ l ) 2+l - 2 ( 2 ) = ( - l ) 3 - 4 = - 1 - 4 = - 5
Si / i = 3 , a 3 = ( —l ) 3*4 - 2 ( 3 ) = ( - 1 ) 4 - 6 = 1 - 6 = - 5
S i „ = 4, = ( - ! ) * ' - 2 ( 4 ) = (—l ) 5 - 8 = — 1 — 8 = — 9
S o lu c ió n
Ete a cu e rd o c o n la regla g e n era l s e tie n e que:
a x = 2
01 = 3 0 ,= 3 ( 2 ) = 6
= 3fl2 = 3 ( 6 ) = 18
= 3 tí, = 3 (1 8 ) = 54
as = 3^4 = 3 (5 4 ) = 162
P o r co n sig u ien te, lo s 5 prim eros térm inos d e la su c e s ió n son:
2, 6 , 18, 54, 162
Escribe b s 5 prim eros térm in o s d e las sig uien tes sucesiones:
Se c onclu ye que los c u a tro prim eros térm in o s son:
- 1 , - 5 , - 5 , - 9
5 • • - D e t e r m in a los 5 prim eros térm inos d e la su c e sió n , s i a , = 2 y a -+ , = 3 a„.
EJERC IC IO 1 4 6
7. { ( „ - ! ) ( „ - 2 ) }
11. <*, = 2 , ^ = 2 * + 1
1 3
12. a x= — ,f l, + l = — - a ,
17. a, = 4 , 0 ^ , =
V n
K
18. a , = 3, a , r '
3 5 3

372. E je m p lo s
15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
Suma
D ad a u na su c e s ió n infinita a „ a3,..., a la su m a d e los p rim ero s m té rm in o s s e ex p resa com o:
m
5 X = <*,+ a 2+ a 3
1
d o n d e 1 y m so n los valores m ín im o y m áxim o d e la v ariab le d e la s u m a j .
E v a lu a c ió n d e u n a s u m a . Es e l resu ltad o de la su m a d e los prim eros m térm inos d e una su c e sió n .
E J E M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------------------------•
5
1 • • D e term in a la sum a:
/■i
S o lu c ió n
S e su stitu y en los valores 1, 2 , 3 , 4 , 5 e n el té rm in o g e n era l y s e realiza la sum a:
X / = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 2 5 = 55
Por tan to, la su m a e s: 55
6
2 • • E n c u e n tra e l resu ltad o d e la su m a : ^ ( j + 2 ) .
¡-i
S o lu c ió n
S e s u s titu y e n los valores: 3 , 4 , 5 , 6 e n e l té rm in o g e n e ra l, y s e s u m a n lo s re su lta d o s p a rciale s p a r a o b te n e r c o m o
resu ltad o final:
¿ 0 + 2 ) = ( 3 + 2 ) + ( 4 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 6 + 2 ) = 5 + 6 + 7 + 8 = 26
>-3
7
3 • • D e term in a la su m a : ^ 3 .
i-i
S o lu c ió n
D ebid o a que no existe y e n la fórm ula d e sustitu ción , 3 s e su m a 7 veces y s e obtiene:
¿ 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21
5
4 • • - ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e £ ( y + 2 ) ( y - 3 ) ?
S o lu c ió n
Se su stitu y en los en te ro s del 1 a l 5:
É 0 + 2 ) ( y - 3 ) = (1 + 2)(1 —3 ) + ( 2 + 2 ) ( 2 - 3 ) + ( 3 + 2 ) ( 3 - 3 ) + ( 4 + 2 ) ( 4 - 3 ) + (5 + 2 ) ( 5 - 3 )
1
Se re aliz a n las o peracion es d e los paréntesis y, por últim o, s e e fe c tú a la su m a para obtener:
= ( 3 ) ( - 2 ) + ( 4 ) ( - l ) + ( 5 ) ( 0 ) + ( 6 ) ( l ) + ( 7 ) ( 2 )
= - 6 - 4 + 0 + 6 + 14
= 1 0
5
Por tanto: 5 1 (y + 2 )(y — 3) = 1 0
3 5 4

373. C a p i t u l o 15
Progresiones
4
5 • • D eterm in a e l valo r d e c que c u m p la c o n la sig u ien te igualdad: ] £ (c j - l) 2 = 214.
H
S o lu c ió n
Se d e sa rro lla la sum a:
( c - 1)2 + (2 c - 1)2 + ( 3 c - 1)2 + ( 4 c - 1)2 = 214
Se d e sa rro lla n los bino m io s y s e re d u ce n los térm ino s sem ejantes, p a ra luego reso lver la e c u a c ió n resu ltante:
c2 - 2 c + l + 4 c 2 - 4 c + \ + 9 c 2 - 6 c + 1 + 16c2 - 8c + 1 = 2 1 4
30c2 - 2 0 c - 2 1 0 = 0
3 c 2 - 2 c - 2 1 = 0
Por co n sig u ie n te: c = 3 y
EJE tCICIO 1 4 7
D e t e r m i n a l a s s i g u i e n t e s s u m a s :
1. X ( 2 , - 3 ) 3. 5. X ( 0 > 1-77) 7 . £ ( - 2 ) ' - 9. £ „
jmi y-o J y-1 ¡.o ;-i
10 6 9 10 „
2- S ( y 2- 4 y ) 4. 6 . £ 2 8. 1 3 >0.
/■o y - ' y-i y “ 4 y-i
D e t e r m i n a e l v a l o r d e c q u e c u m p l a c o n l a s s i g u i e n t e s i g u a l d a d e s :
2 286
u ¿ H tt
V e r i f i c a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c i ó n d e s o l u c i o n a s c o r r e s p o n d i a n t a
Progresión aritmética o sucesión aritmética
L a su c e sió n a r a v ay . . . , an, es u na pro g resió n a ritm é tic a s i existe un núm ero re a l r, ta l que para to d o n ú m ero natural
m s e c u m p le que:
Donde la d ife re n c ia c o m ú n o ra zó n e s r = am- a m_ i
Ejemplos
D eterm ina s i las sig uien tes su cesio n es so n aritm éticas:
a ) 2,6, 10, 14,..., 4 n - 2
b ) - 3 , - 5 , - 7 , - 9 , . . . , - 2 n - l
c ) 2,4, 7, ll,.,.,” 2 + ” + 2
3 5 5

374. 15 C a p í t u l o
Ál g e b r a
S o lu c ió n
a ) D e la su cesió n : 2 , 6 , 10, 1 4 ,..., 4w - 2 , d e te rm in a la d ife re n c ia com ún:
r = a m- a m_ , = [ 4 ( m ) - 2 ] - [ 4 ( m - l ) - 2 ] = [ 4 m - 2 ] - [ 4 m - 4 - 2 ]
= 4 m - 2 - 4 m + 4 + 2
= 4
E sto sig n ific a q u e los té rm in o s d e la su c e s ió n s e e n c u e n tra n su m a n d o 4 a l té rm in o a n te rio r, p o r ta n to , la
su c e sió n e s aritm étic a .
b ) Se d e te rm in a la d ife re n c ia c o m ú n de la sucesión:
r = a m- a m_ , = [ - 2 ( m ) - l ] - [ - 2 ( m - l ) - 1 ] = [ -2m - \ ] - [ -2m +2- \ \
= - 2 m - 1 + 2/w - 2 + 1
= - 2
Por co n sig u ien te, la su c e sió n e s aritm étic a .
c ) Se d e te rm in a la ra zó n o d ife re n c ia com ún:
r = c¡m~ a m_ i =
( m ) 2 + (m ) + 2
2
\ m 2 +w i + 2 l\ m 2 - m + 2 ]
J l 2 I1 2 J
_ 2ttt
2
= m
L a d ife re n c ia no es c on stante, en to n c es la su c e sió n no e s aritm étic a .
Fórmula para determinar el n ésimo término en una progresión aritmética
S e a la p ro g resió n a ritm é tic a + a ,, o ,, a , , . . . , a H, c o n ra zó n r, e n to n c e s e l w-ésim o té rm in o d e la su c e sió n e s tá d a d o
por:
a m = a , + ( n - 1 )r
f ó r a to d o n > 1
D onde:
a R= w-ésim o térm in o d e la p rogresión
a , = prim er térm in o d e la progresión
n = núm ero de térm in os e n la p rogresión
r = ra zó n o d ife re n c ia c o m ú n —> r = an - = ... = = a 2 - a t
E JE M P LO S
j # • D e term in a e l 8o té rm in o d e la p rogresión -r 1, 4, 7, 10,...
<L S o lu c ió n
S e identifica e l prim er térm ino , e l núm ero d e térm inos y la ra zó n para sustitu ir e n la fó rm ula d e l w-ésimo térm in o :
<*, = 1, w = 8 y r = 4 - 1 = 3
i í
3 5 6

375. C a p í t u l o 15
Progresiones
Por consiguien te:
*„ = * , + ( « - l ) r - » tí8 = l + ( 8 - l ) ( 3 )
a« = l + ( 7 ) ( 3 )
^ = 1 + 2 1 = 22
E nton ces, e l 8o térm in o de la p rogresión e s 2 2
2 • • ¿ C u á l es e l T térm in o e n la p rogresión 7 , 7 , 7 ... ?
2 6 6
S o lu c ió n
Se d e te rm in a n los valores d e los ele m en to s
1 „ 5 1 1
2 n = l y r = 6 ~ 2 = 3
A l su stitu ir e n la fórm ula, s e obtiene:
a , = a lH n - l ) r - » 0 , = I + ( 7 _ l ) ( l j = I + ó Q
a 1 = i * 2
1 + 4 5
fl’ = — = 2
Finalm ente, e l 1° térm in o e s ^
3 • • - S i e n una progresión aritm é tic a e l te rc e r y noveno té rm in o so n 11 y 35, d e te rm in a e l sé p tim o térm ino.
S o lu c ió n
Efe a cu e rd o a l problem a:
ai = a l + ( 3 - \ ) r as = a i + ( 9 - \ ) r
ai = a l + 2 r o* = tí, + 8 r
11 = tí, + 2 r 3 5 = a , + 8 r
Se g e n e ra un siste m a d e ec u a c io n e s c o n incógnitas tí, y r:
[tí, + 2 r = 11
[ t í , + 8 r = 35
Del c u a l, a l resolverlo, s e ob tiene q ue:
tí, = 3 yr = 4
L uego, e l séptim o térm in o es:
tí7 = tí, + ( 7 - l ) r = 3 + (6 )(4 ) = 3 + 2 4 = 2 7
Fórmulas para determinar el primer término, número d e términos y la razón
Todas estas fórm ulas s e ded u cen d e la fó rm u la a Ñ = a , + (n - l ) r y dependen d e los elem entos q ue s e tengan com o datos.
O P ara en co n trar e l prim er térm in o se d e sp e ja tí,:
aD = a , + ( n - \ ) r —> 1 )r = tí.
P o r tanto:
tí, - t í , - ( n - 1 >
3 5 7

376. E je m p lo s
15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
O P ara en co n trar la ra zó n s e d e sp e ja r:
aB = a x + (rt - l ) r -> <2, - <2, = (ai - l ) r -> r =
n — 1
P or co nsig uiente:
Ai — 1
O P a ra o b te n e r e l n ú m ero d e térm in o s s e d e sp e ja n:
aR = a , + ( n - \ ) r - > -> w = ^ ^ +1
En co n se cu e n cia :
a „ - a , + r
Ai —
--------!-----
r
E JE M P LO S
# • E n c u e n tra e l prim er térm in o d e una p rogresión aritm étic a , s i se sabe q ue e l 13° térm in o e s - 2 8 y la ra zó n e s - 6 .
S o lu c ió n
Se d e te rm in a n los valores d e los ele m en to s:
d I3 = - 28, aí = 13 y r = - 6
A l su stitu ir en la fó rm u la s e obtiene a ,:
<2, = <2, ? - ( a i - l ) r - > < 2, = - 2 8 - ( 1 3 - 1 ) ( - 6 )
<2, = - 2 8 - ( 1 2 X - 6 )
a , = - 2 8 + 72
<2, = 44
P or tanto , e l prim er térm in o e s 44
El p ro ced im ien to d e los de sp e je s es e l m ism o s i s e su stitu y en los valores d irectam en te e n la fórm ula:
a R = a , + ( n - l ) r
2 •• D e term in a la razón d e la progresión aritm é tic a cu y o prim er térm in o e s 6 y e l 16o e s 9 .
S o lu c ió n
Se d e te rm in a n los e le m en to s q u e s e tie n e n c o m o datos:
= = a , = 6 y n = 16
A l su stitu ir en la fó rm u la y d e s p e ja r r.
a B = a i + ( n - l ) r -> 9 = 6 + ( 1 6 - l ) r
9 - 6 = (1 5 )r
9 - 6 3 1
15 15 5
Finalmente, la razón de la progresión aritm ética es i
3 5 8

377. C a p i t u l o 15
Progresiones
3 • • ■ ¿ C u á l es e l núm ero d e térm inos que tie n e la p rogresión aritm é tic a + 4.5, 6 .6 ,..., 25 .5?
S o lu c ió n
Se o b tie n e n los datos:
tí, = 4.5, tí, = 2 5 .5 y r = 6 . 6 - 4 . 5 = 2 .1
Se su stitu y en los valores y s e d e sp e ja n:
tí, = tí, + (w - l ) r -> 2 5 .5 = 4 .5 + (n - 1 )(2.1)
2 5 . 5 - 4 . 5 + 2.1
" = T i
-----------
23.1
E nton ces, la progresión tie n e 11 térm inos.
EJEÍC IC IO 1 4 8
D e t e r m in a c u á le s d e la s s ig u ie n t e s s u c e s io n e s s o n a r it m é t ic a s :
1. 4 ,9 , 1 4 ,..., 5 « - l 4 . I2, 22, 32, . . . , n 2
Z 2, 4, 8 ,..., 2" 5. 2 , 4 , 6 ,..., 2 n
3 ' 1 ’ 6’f ( í W + ^ ) 6 . * + l , 2 * + 3 , 3 * + 5 , . . . , « * + 2 n - l
E n c u e n t r a e l t é rm in o q u e s e in d ic a p a ra c a d a u n a d e la s s ig u ie n t e s p r o g r e s io n e s a r it m é t ic a s :
7. E l 8o té rm in o en : + 2, 5, 8,... 12. E l 7o té rm in o en: + 120, 108, 96,...
5 3
8. E l 11° térm in o en : + 1, E l 12° térm in o en : + 0.5, 0 , - 0 . 5 , . . .
9. E l 15° térm in o en : + — »••• , 4 - E l ,8 ° térm in o e n : + - 5 , 22, 49,...
4 12 12 4
10. E l 10° térm in o en: + 1, 7 , 1 3 ,... 15. E l 13° térm in o en : + 15, 11.5, 8,...
11. E l 16° térm in o en: + 3 , ,... 16. E l 17° térm in o e n : + , 0.875, 1,...
4 2 4
D a d o s a lg u n o s e le m e n t o s d e u n a p r o g r e s ió n a r it m é t ic a , d e t e r m in a e l e le m e n t o q u e s e p id e :
17. E l 1“ térm in o s i e l 13° térm in o e s 6 7 y la razón e s 5
18. L a r a z ó n s i e l 1a térm in o e s 7 y e l 1 0 ° e s - l l
19. E l núm ero d e ele m en to s d e la p rogresión: + 120, 5 1 9 ,..., 3 3 12
2 13
20. L a ra zó n s i e l 1er té rm in o e s - y e l 8o - —
2 1 . E l 11° térm in o s i e l 3oe s - 4 y e l 7o e s - 16
2 2 . E l 1“ térm in o s i e l 20° e s - 6 2 .5 y la ra zó n e s - 2.5
2 3 . E l núm ero d e térm in o s d e la progresión: r - , - , . . . , -
4 8 8
2 4 . E l 1er térm in o s i e l 5o e s - 9 y e l 9o e s - 2 5
2 5 . E l 1“ térm in o s i e l 11° e s y la razón
2 6 . Si la ra zó n e s ^ d e l núm ero d e térm inos y e l 1” y últim o té rm in o son: 0 .1 5 y 3.75, resp ectiv am en te, d e te rm in a e l
núm ero de térm inos.
3 5 9

378. so |d iu a jg
15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
27. L a ra zó n s i e l c u a rto térm in o e s ^ y e l 11° e s 2
3 27
28. E l 5o té rm in o s i e l 2o e s — y e l octavo e s
------
4 4
29. E l 7 o té rm in o s i e l 3”° e s 4 « - 1 y e l 10° e s 1 \ n - 8
™ r« • . oo 4 4 « - 1 9 4 3 n - 2 0
30. E l 4 té rm in o s i e l o e s
--------- y e l 15 ---------------------- --------------
6 3
V e rifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Sumo d e los n primeros términos en una progresión aritmética
S ea la progresión a ritm ética:
* a v a r a 3 a„
E n to nces, la su m a d e los prim eros « térm in os s e define com o:
S» = Í X = a , + a 2 + a ¡ + . . . + a ,
Jm I
D e m o stra c ió n :
S = a , + a 2 +
......................+ a ^ ¡ + a„
S = a, + ( a,+ r) +
............+ [al + ( n - 2 ) r ] + [ai + ( n - \ ) r ]
Al c a m b ia r e l o rd e n d e los térm in os y realizar una sum a vertical, s e obtiene:
S = a t + (at+ r ) +
......................+ [a , + (« - 2 )r] + [a, + (« - 1 )r]
+ S = [at + (n - l ) r j + [a, + (« - 2 )rJ +
....................+ [a, + r] + a,
2S = [2a ,+ (n - l) r ] + [ 2 a ,+ (« - l) r ] +
..................+ [2at+(n - l ) r j + [2a ,+ (n - 1 )r]
I
------------------------------------------ « veces -------------------------------------------------1
Por tanto:
2 S = n [ 2 a , + ( r t - 1 ) r] - » S = ^ [ 2 o , + ( « - l ) r ]
A dem ás sa b e m o s q u e a n= + (n - 1 )r, en to nces:
s = |[o ,+ a , + ( n -l) r ]
L uego, la fórm ula para hallar la su m a d e los prim eros n térm inos e stá d e te rm in a d a por:
n ( a , + a . )
2
E JE M P LO S
• • D e term in a la su m a d e los prim eros 12 térm in o s d e la p rogresión a ritm ética:
* 2 , 7 , 12,...
S o lu c ió n
E n e s ta progresión los dato s son:
a t= 2, « = 1 2 y r = 7 - 2 = 5
P or co n sig u ien te, e l 12° térm in o es:
a 12 = * , + ( « - l ) i - > a l2 = 2 + ( 1 2 - 1 ) ( 5 )
flw = 2 + (U X 5)
a , 2 = 2 + 5 5 = 5 7
360

379. C a p í t u l o 15
Progresiones
L u ego, p a ra e n c o n tra r la su m a d e los 12 térm inos s e su stitu y en e n la fórm u la los sigu ientes valores:
a x= 2, a,2 = 5 7 y n = 12
F inalm en te,
^ " ( « ■ + « ! . ) .b 12 ( 2 + 5 7 ) 1 2 (5 9 )
E ntonces, la su m a de los 12 térm inos e s: 35 4
2 • • E n c u e n tra la su m a d e los 15 prim eros térm inos d e la progresión:
S o lu c ió n
Efe e s ta progresión los dato s son:
Se e n cu e n tra e l 15° térm ino:
19 17
3 ’ 3 '
19 fC 17 19 2
tí, = — n = 15 y r = —
-----— = - -
1 3 J 3 3 3
tí15 = tí, + ( « - l ) r - » a iS= j + ( l 5 - l ) ^ - | j -> a l s = J + ( I4 ) ( - | ]
19 28 .
a's= T ~ T
f ó r a e n c o n tra r la su m a d e los 15 térm in os, s e sustitu ye e n la fórm ula:
19 t< *
t í , = — n = 15 tíls = - 3
E nton ces, la su m a d e los 15 prim eros térm inos e s 25
EJEÍC IC IO 1 4 9
Resuelve los sig u ien tes problem as:
1. ¿ C u á l es la su m a d e los prim eros 8 térm ino s d e: 4- 1, 7, 1 3 ,...?
2 . D eterm in a la su m a d e los 9 térm in os q u e co n fo rm a n la p rogresión: 4- - 5 , . . . , 7
13 7
3 . E n c u e n tra la sum a de los prim eros 8 térm in o s d e: 4-3, — ,...
4 . ¿ C u á l es la su m a d e los 9 prim eros térm in o s de: 4- 120, 108, 9 6 ,...?
5 . E n c u e n tra la su m a de los 13 térm ino s d e: 4-15, 11.5, 8,...
6 . D eterm in a la sum a d e los 12 prim eros té rm in o s d e la progresión: 4- 21, 24, 2 7 .
7 . D eterm in a la su m a d e los 11 prim eros térm in o s d e: 4- - 1 5 , - 1 2 , - 9 ,...
8. ¿ C u á l es la sum a d e los térm inos d e la progresión: 4- 1 0 0 0 , 988,..., - 1 8 8 ?
9 . D eterm in a la su m a d e los térm ino s e n la progresión: 4-1, 2 , 3 , . . . / i
10. E n c u e n tra la sum a de los térm in o s de la progresión: 4- 2, 4, 6,...,2 w
3 6 1

380. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
11. ¿ C u á l es la su m a d e los térm ino s d e la progresión: -r 1 ,3 , 5 , .. ., 2 n - 1?
12. ¿C uál e s e l núm ero d e térm inos de una progresión aritm ética, cu y a su m a es 42. Si e l últim o térm ino es 31 y la razón es 5?
13. D eterm in a e l núm ero d e térm in o s d e una pro g resió n aritm étic a , c u y a su m a e s ^ , s i e l prim er té rm in o e s i y la
, 1
ra zó n —.
4
14. L a su m a d e 3 2 ele m en to s e n una p rogresión a ritm é tic a e s 1 200. Si la razón e s 3 , d e te rm in a e l prim er térm in o .
15. L a su m a d e 5 0 térm in o s d e una progresión aritm é tic a e s 2 550. S i la ra zó n e s 2, ¿ c u á l e s e l prim er y últim o térm in o
tfc la p rog resión ?
^ V ar¡fiea t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
P R O B L E M A S Y E J E R C I C I O S D E A P L I C A C I Ó N
U n co n stru cto r a p ila c ie rto núm ero d e bloq ues d e g ra n ito de la siguien te m an era: 15 bloques e n la b a s e y 2 m enos
e n c a d a fila su p e rio r a la an terior. Si e n la últim a fila su p e rio r co lo c ó 1, e n cu e n tra el to ta l de b lo q u e s q u e a piló .
S o lu c ió n
E l p ro b lem a in d ica que e l prim er té rm in o d e la p rogresión a ritm é tic a e s 15, y que a l d ism in u ir d e 2 b lo q u es por
fila, resulta:
-r 15, 13, 11,...
L o s dato s co nocidos so n : a x = 15, r = - 2 y a = 1, en to n c es s e debe d e c a lc u la r e l n ú m ero d e filas q ue s e pueden
apilar.
„ = 2lZ £l + i «= 1 H Í5 . + 1 =7+1 = 8
r - 2
Luego, la su m a e s tá d e te rm in a d a por:
" ( * , + < Ü 8 J 1 5 + 1) 128
S . j S‘
----------2 ~ T
E ntonces, e l co n stru cto r a p iló 6 4 bloqu es d e granito .
EJERC IC IO 1 5 0
1. E l estacio nam iento d e un c en tro co m ercial tie n e la sig u ie n te d isp o sició n d e lugares: la prim era fila tiene 50, la segu nda
47, y c a d a fila su b sig u ie n te tie n e 3 m enos que la anterior. S i la ú ltim a fila tie n e 2 3 lugares, ¿d e cuántos lugares dispone
el e stac io n a m ie n to ?
2. U n a lb a ñ il a p ila rá ladrillos d e ta l fo rm a que la base te n g a 50, la se g u n d a c a p a 48, la te rc e ra 46, y a s í su cesiv am en te
hasta que la c a p a su p e rio r te n g a 24, ¿cu á n to s ladrillos e n total a p ila rá e l alb a ñ il?
3. U n a e m p re sa va a re p artir e n tre 18 de sus e m p le ad o s $1 3 2 7 5 , c o m o b o n o d e pu n tu alid ad . S i la d ife re n c ia e n tre c a d a
uno de los bonos es d e $75, d e te rm in a cu á n to re cib ió e l tra b a ja d o r m ás puntual.
4. Se a p ila n 135 rollos de te la d e ta l m an e ra que la b a se te n d rá e l doble d e rollos que la últim a, y la d ife re n c ia d e rollo s
entre c a d a una d e las cap a s s e r á d e 1. ¿ C u á n to s rollos d eb e te n e r la últim a c ap a ?
5. S e van a c o lo c ar e n filas los asiento s p a ra u n auditorio, d e ta l m anera q u e la p rim era te n g a 20, la se g u n d a 23, la tercera
26 y a s í sucesiv am ente. Si e n total s e c o lo c a ro n 819 asien to s, ¿ cu á n ta s filas s e form aron?
V e r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n la s e c c ió n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d ie n t e
3 6 2

381. C a p i t u l o 15
Progresiones
hterpoloción d e medios aritméticos
L os m edios aritm étic o s so n los té rm in o s que se e n c u e n tra n en tre e l p rim e r y e l últim o térm in o , y de p en d e n d ire c ta ­
m ente d el valor de la razón.
L a in te rp o lac ió n d e m edios aritm étic o s co n siste e n e n c o n tra r los térm in o s de to d a la progresión a p artir d e co n o ce r
e l prim er y últim o térm in o.
E J E M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • In terp o la 4 m edios aritm étic o s en tre 5 y 32.5.
S o lu c ió n
Íaj
E n e s ta progresión los e le m en to s dado s son:
a x= 5 y a H = 3 2 .5
Para e n c o n tra r e l n ú m ero d e térm inos e s n e ce sa rio su m a r los m edios aritm étic o s m ás 2 (p rim e r y últim o térm ino ),
entonces:
n = 6
C o n los d a to s a n terio res s e e n c u e n tra la razón:
a , - a , 3 2 . 5 - 5
r = —— — —> r =
-------------
n- 1 6 - 1
= 2X 5
r 5
r = 5 .5
Por tanto, la pro g resió n e s tá d e te rm in a d a por:
+ 5, ( 5 + 5 .5 ) , (1 0 .5 + 5 .5 ) , (1 6 + 5.5 ), (2 1 .5 + 5.5 ), 32.5
+ 5, 10.5, 16, 2 1 .5 , 27, 32.5
Y los 4 m edios a ritm é tic o s son:
10.5, 16, 21.5, 27
2 • • Interp o la 5 m edios aritm étic o s en tre 11 y - 13.
S o lu c ió n
L os térm inos d ad os so n,
o ¡= 11, a = - \ 3 y n = l
Se obtiene la razó n,
a - a . - 1 3 - 1 1 - 2 4
r = — L -> r =
------------- = = - 4
n- 1 7 - 1 6
P o r co n sig u ien te, los m edios a ritm é tic o s son:
7 , 3 , - 1 , - 5 , - 9
3 6 3

382. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
M ed ia aritmética o promedio aritmético
O S e a n los núm ero s * , y x¿, entonces la m ed ia a ritm é tic a o prom edio a ritm é tic o s e define por:
2
O S e a e l c o n ju n to d e n ú m e ro s * , , x 2, * 3,...,* b, e n c o n s e c u e n c ia la m e d ia a ritm é tic a o p ro m e d io a ritm é tic o s e
d e term in a a sí:
* , + * 2 + * 3 + ...+ * ,
n
E JE M P LO S
# • E n e l g ru p o d e d a n z a s e in scribieron 9 alum no s, cu y as e d a d e s son: 12 ,1 3 , 1 3 ,1 4 , 1 5 ,1 2 ,1 4 ,1 5 , 11. D eterm in a la ed ad
p ro m edio d e l gru p o .
S o lu c ió n
Se su m a n todas las ed ad es y e l resu ltad o s e divide en tre e l núm ero de éstas, en to nces:
12 + 1 3 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 12 + 14 + 1 5 + 1 1
E d a d pro m edio =
--------------------------- = 13.2
P o r tan to, la e d a d prom edio e s d e 13.2 años.
2 ■ U n alu m n o tiene en s u s 4 prim eras evaluaciones las sig u ien tes calificaciones: 7 .6 ,9 , 8.4 y 7 .8. ¿Q ué calificació n necesita
te n e r en la q u in ta e v alu ac ió n p a ra e x en tar la m ateria c o n 8?
S o lu c ió n
S e a * la q u in ta e v alu ac ió n y e l prom edio 8, en to nces:
_ sum a d e las e v alu acio n es _ 7 .6 + 9 + 8.4 + 7 . 8 + *
P rom ed io =
-------------------------------------- 8 = -------------------------------
to tal d e evalu aciones 5
A l d e sp e ja r * d e la ex p resió n s e obtiene:
5 ( 8 ) - (7 .6 + 9 + 8.4 + 7 .8 ) = *
4 0 - 3 2 . 8 = *
7 .2 = *
P or co n sig u ien te, la c a lific a c ió n m ínim a que n e ce sita p a ra e x en tar e s 7.2
EJE ÍC IC IO 151
Resuelve b s sig u ien tes problem as:
1. In terp o la 5 m edios aritm étic o s e n la progresión, c u y o prim er y últim o té rm in o so n : 21 y 60.
2. Interp o la 7 m edios aritm étic o s e n la progresión, cu yos e x trem o s son: 5 y 17.
3. Interp o la 6 m edios aritm étic o s e n tre - y 3 .
4. Interp o la 7 m edios aritm étic o s e n tre 0 .5 y 8 -i.
5. Interp o la 6 m edios aritm étic o s en tre - 3 y 0 .5.
6. Interp o la 3 m edios aritm étic o s e n tre i y
7. ¿ C u á l es e l p ro m ed io d e un alu m n o c u y as calificacio n es son: 6 , 9, 8.4, 7 .8 y 10?
V » rifle a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d i e n t e
3 6 4

383. C a p i t u l o 15
Progresiones
P R O B L E M A S Y E J E R C I C I O S D E A P L I C A C I Ó N
L a co m p a ñ ía d e dulces L a P asita c o m p ró una m áquina registradora a un p re cio d e $ 1 2 000. A l c a b o de 6 a ñ o s la
vendió e n $5 520. L a d ep rec ia c ió n a n u a l e s con stante, c a lc u la e l valor de la registradora a l final d e c a d a año.
S o lu c ió n
É sta e s u n a progresión aritm étic a , cuyo s p re cio s in ic ial y final son: $ 1 2 0 00 y $ 5 52 0 resp ectivam ente, en to n ces,
se d e b e n interp o lar 5 periodos (años).
E n co n se cu e n cia :
a , = 1 2 0 0 0 , a n = 5 5 2 0 y n = l
Se e n cu e n tra la d ep rec ia c ió n a n u a l (raz ó n ):
rt- 1
5 5 2 0 - 1 2 0 0 0 - 6 4 8 0
r =
-------------------- =----------- = - 1 0 8 0
7 - 1 6
E l sig n o negativo in d ica que e l co sto d e la m áq uin a va a d ism in u ir $1 0 8 0 por añ o .
P o r tanto, e l valo r d e la m áquina a l fin al d e c a d a a ñ o es:
1“ año:$ 10 9 2 0 4o año:$ 7 68 0
2o año:$ 9 840 5o año:$ 6 60 0
3 " año:$ 8 7 60 6o año:$ 5 52 0
EJEÍC IC IO 1 5 2
1. E n un sa ló n de c la se s d e 15 a lu m n o s la e d a d prom edio e s 7 .8 ; 9 d e ello s tie n e n 8 a ñ o s ; la e d a d d e otros 3 e s 7. ¿C u á l
es la e d a d de los restantes s i tie n e n los m ism o s añ o s?
2 . ¿ C u á l e s la c alific a c ió n que de b e o b te n e r un a lu m n o e n e l c u a rto bim estre p a ra e x en tar c o n 8.5 la m a te ria d e biología,
si e n los 3 prim eros bim estres o b tu v o las sig u ien tes ev alu acio n es: 8.7, 7 .9 y 7 .6 ?
3 . D eterm in a e l prom edio d e una progresión aritm é tic a que se co n fo rm a d e o c h o térm inos, s u prim er térm in o e s 2 y e l
últim o 16.
4 . O b té n la m ed ia aritm é tic a d e la p rogresión aritm é tic a a v a¡,
5 . E l lado norte d e l te ja d o d e una c a s a lo form an 4 7 6 teja s, o rd e n ad a s d e ta l form a que la prim era h ile ra tie n e 80 y la
ú ltim a 56. D e term in a e l n ú m ero d e hileras y el d e tejas que c o n tien e c a d a hilera.
6 . Si e l lado n orte d e un te ja d o c o n sta d e x m enos 5 0 h ileras, y x e s e l n ú m ero d e te ja s que tie n e la p rim era hilera. Si
las hileras su b secu en tes exced en e n 4 te ja s a la an terior, y e l to tal d e te ja s utilizadas e s d e 576, d e te rm in a e l núm ero
efe hileras y m ediante una interp olació n pre cisa e l núm ero d e tejas d e c a d a hilera.
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c c ló n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t a
Progresión geométrica o sucesión geométrica
A la su c e sió n a v (%, a y ...t a ^ se le lla m a su c e sió n o progresión g eo m étrica, s i p a ra tod o am que p erten ezca a la su c e sió n
existe una co n stan te r d iferente d e cero , ta l que:
D onde la ra zó n c o m ú n e s r = ^ 5±L y s e d e n o ta c o n e l sím b o lo -H-
3 6 5

384. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
Ejemplos
D eterm in a c u á l de las sig uien tes su cesio n es es g eo m étrica.
a ) 3 , 6 , 3 2 -
. 1 I I J _
; 9 ’ 2 7 ’ 81 ’ 3 -
c ) 1 ,4 , 7 , .. ., 3 / i - 2
S o lu c ió n
a ) Se obtiene la ra zó n com ún:
, « . . . 3 - 2 1" " - 1 3 - 2 -
a m 3 - 2 — 3- 2 " “'
Se o b se rv a que los e le m e n to s d e la progresión: 3 ,6 , 1 2 ,..., 3 - 2 " " ' s e o b tie n e n a l m u ltip lic ar p o r 2 e l térm in o
que le precede, por ta n to la progresión e s geom étrica.
b ) Se d e te rm in a la ra zó n c o m ú n para la co m p ro b ació n :
1 1
r = 5=11 = 3 ^ lK' _ 3"+2 _ 3 - _ 1
a m _ ! _ J _ 3 " +2 3
3"*1
Significa que los térm inos su b sec u en te s de la progresión: ~ > “ 7 - 7^ x o b tie n e n a l m u ltip lic ar por
1 9 2 7 81 3
- en to nces s e deduce q u e e s progresión g eo m étrica.
c ) A l o b te n e r la razón d e la progresión:
r =
_ 3 ( m + l ) - 2 = 3m + 3 - 2 = 3 m + l
3 ( m ) - 2 3 m - 2 3 m - 2
L a p ro g resió n no e s g e o m é tric a , y a que los té rm in o s sig u ie n te s n o s e p u e d en o b te n e r a l m u ltip lic a r p o r la
razón resultante.
Fórmula p ara obtener el rrésimo término en una progresión geom étrica
S ea la progresión g e o m é tric a + + a , a » 03, . . . , aHy ra zó n c o m ú n r,e n to n c e s e l n -é sim o térm in o s e define co m o :
Donde:
an = n -é sim o té rm in o r = ra zó n d e la progresión
a¡ = prim er té rm in o ti = núm ero d e térm in o s d e la p rogresión
E JE M P LO S
• • D e term in a e l 9o té rm in o d e la pro g resió n + + 10, 2 0 , 40,...
S o lu c ió n
Se ob tiene la ra zó n a l d iv id ir uno d e los e le m en to s en tre s u a n te ce so r:
r_ -2
r~ 20 _ 10
3 6 6

385. C a p i t u l o 15
Progresiones
E nton ces, los e le m en to s dado s son:
a , = 1 0 , r = 2 y n = 9
A l sustituir, s e obtien e e l 9 o térm ino:
r - 1 -> a9 = 10(2)9 ~1 = 10(2)8
a9 = 10(256)
0 , = 2 5 6 0
F inalm en te, e l 9 o térm in o e s 2 5 60
2 • • D eterm in a e l T té rm in o d e + + 2 0 0 , 100, 50,...
S o lu c ió n
D ; la progresión s e tie n e n co m o datos:
a '= 2 0 0 ’ r = W o = \ yn = 7
L u ego, p a ra e n c o n tra r e l T térm in o se sustitu ye e n la fórm ula:
a „ = o , - r - - > a , = ( 2 0 0 ) f i j M
a , = ( 2 0 0 ) ( i )
( 1 ^ 2 00 25
fl’ = < 2 0 0 ) - U J = 6 4 - = T
25
E nton ces, e l T térm in o e s —
8
3 • • S i e n una p ro g resió n g eo m é tric a e l 3 ° y T térm inos s o n 18 y 1 458, ¿c u á l es e l 5o térm ino ?
S o lu c ió n
D ; a cu e rd o c o n e l problem a
a i = a xr i ~ ' a 1 = axr~x
18 = a xr 2 1458 = a xr 6
Se o b tie n e n las ecu a cio n e s:
a xr 2 = 1 8 y a xr 6 = 1458
P e ro a xr 6 = a xr 2- r 4 = 18r4, enton ces
18r4 = 1 4 5 8 -> - > r = 3
18
A l su stitu ir este valor, s e obtien e a x:
A ( 3 ) ! = 1 8 ^ a , = y = 2
E n co n se cu e n cia , e l 5 o té rm in o es:
as = a xr 4 = ( 2 ) ( 3 ) 4 = ( 2 ) ( 8 l ) = 162
3 6 7

386. 15 C a p í t u l o
Ál g e b r a
Fórmulas p ara obtener el 1 ® término, número d e términos y la razón
Todas la s fórm ulas su bsecu entes s e o b tie n e n de aH = a , • r*~'
© P a ra en co n trar e l 1" térm ino:
© P a ra en co n trar la razón:
<*■ = a .- '- " -' “ >
© P a ra de te rm in a r e l núm ero d e térm in o s que c o n tien e la progresión geom étrica:
^ = - _> n - l? g ag ~ l ° g q , + l ° gr
lo g r
E stas fórm ulas s e a p lic an , segú n las n ecesidades d e lo s eje rcic io s q ue s e d e b e n resolver, c o m o se eje m p lific a a c o n ­
tinu ación :
E J E M P L O S
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
# • E n u na p ro g resió n g eo m é tric a la razón e s - y e l 8o té rm in o e s - . C a lc u la e l 1“ térm in o .
E 2 8
S o lu c ió n
±¡
L o s d ato s e n este pro blem a son:
• „ i
aí = - n = a r = —
8 2
E ntonces, a l su stitu ir los valores e n nuestra fórm ula, s e obtiene:
a , = 4 A - > a , = - 4 ^ = - L = = 16
O
Por tan to, e l Ia térm in o de la p rogresión e s 16
2 • • ¿ C u á l e s la ra zó n d e la p ro g resió n geom étrica, c u y o l ” y 7 o térm in o e s j y 3 125 respectivam ente?
S o lu c ió n
L o s ele m en to s qu e se tie n e n co m o d ato s son:
¿ ¿r7 = 3 125 n = l
Luego, a l su stitu ir e n n uestra fórm u la s e obtien e e l valor de la razó n, entonces:
r = Í Í -> r . m . < S 6 S - 3
Finalmente, la razón d e la progresión e s 5
3 6 8

387. C a p i t u l o 15
Progresiones
3 ■ ¿ D e cu án to s térm in o s e stá fo rm ad a la sig u ien te p rogresión g e o m étrica?
+ + 1 ,2 , . . . ,5 1 2
S o lu c ió n
D ; la progresión s e tiene:
a, = 1 an = 512 r= y = 2
Se su stitu y en los valores p a ra ob ten er e l núm ero d e térm ino s.
= lo g (5 1 2 ) — log ( l ) + lo g (2) = 2 .7 0 9 2 - 0 + .30 10 _
l o g ( 2 ) .3 01 0
E l núm ero de térm in os d e la p ro g resió n ge o m é tric a e s 10
EJEÍC IC IO 1 5 3
De las sig u ie n te s su cesio n es d e term in a cuál e s ge o m é tric a:
1- 1 , 2 , 4 , . . . , 2 - 4 . - 4 , - 2 , 0 , .. ., 2 * - 6
2 ± i - ^ C , 3 ^ 3 3
3 * 2 ’ 4 2 " “ ' , . . . , «
3. 1, 2, 6 , . . . , « ! 6 . 3 ,6 , 1 2 ,..., 3-2"-'
D eterm ina e l térm in o q u e s e indica e n c a d a una d e las sig u ie n te s p ro g resio n es g e om étricas:
1 7 2 9 7 4 3 81
7 . E l 6o té rm in o d e - 1 , 3 , . . . 13. E l 12° térm in o de + + ^
3 6 4 3 2 1 6
3 2
8. E l 9o té rm in o d e + + - , 1 , - ,14. E l 9o té rm in o d e + + 1 , - m 3, m 6, ...
9 . E l 5o té rm in o d e + + - 5 , 1 0 , - 2 0 , . . . 15. E l 10° térm in o de + + n 4, n \1 ,...
10. E l r té rm in o d e -H- 2 5 , | | , . . . 16. E l T té rm in o d e ++
11. E l 10° térm in o d e + + - 9 , - 3 , - 1 , . . . 17. E l 13° térm in o de + + 2 31"4, 2 5*"5, 2 7” 6,..
12. E l 8o té rm in o d e + + 8 , 4 , 2 , . . . 18. E l 9o té rm in o d e + + a v a tr 2, <j,r4,...
D ado s a lg u n o s e le m e n to s d e una pro g resió n g e o m é tric a, halla e l e le m e n to q u e s e pide:
19. E l 1“ térm ino , s i la ra zó n e s — y e l 6o térm in o e s —
2 16
2 0 . E l 2o térm in o , s i s u ra zó n e s - 2 y e l T e s - 128
21. L a razó n, s i e l 1“ térm in o e s - y e l 5o e s
72 9
22. L a razó n, s i e l 1er térm in o e s - 8 y e l T e s
2 3 . E l núm ero d e térm in o s d e + + - 2 , - 6 , . . , - 1 6 2
2 1 64
2 4 . E l núm ero d e térm in o s s i la ra zó n e s - , e l Io térm in o e s - y e l últim o - - ---
5 2 7 8 1 2 5
2 5 . E l núm ero d e térm in o s d e + + 5 ‘ , 5 2**1 , . . . , 5 91*8
3 6 9

388. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
26. E l 1 " térm in o si e l 4 o e s ^ y e l T ^
27. E l 4 o té rm in o s i e l 2o e s 1 y e l 9o e s
m
-X~{ —x 7
28. E l 11° térm in o si e l 3 oe s 2 6‘" y e l 9 o e s 2 6*
^ V a r ¡ f i e a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c i ó n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
P R O B L E M A S Y E J E R C I C I O S D E A P L I C A C I Ó N
U n c u ltiv o d e 2 0 0 0 0 b a cteria s a u m e n ta s u po b lació n 2 5 % p o r h o ra. ¿ C u á n ta s b a c te ria s s e g e n e ra n e n la se x ta
hora?
S o lu c ió n
E l cu ltiv o e s e l 100% inicial d e b acterias, a la p rim e ra hora au m e n ta 25% , e s to in d ica q u e e l porcen taje ac tu a l es
125% o — d e la c a n tid a d in icial; luego, e l núm ero d e e le m e n to s que co n fo rm a n la su c e sió n e s e l té rm in o inicial
más los 6 té rm in o s siguientes.
De acu e rd o c o n los datos:
a . = 2 0 00 0 , r = - y n = l
4
A l su stitu ir en la fó rm u la p a ra obten er e l n -é sim o térm ino:
a n = a xr n~ x a 7 = 2 0 000 = 7 6 2 9 3 .9 * 7 6 2 9 4
EJE
P or tanto , a l c a b o d e 6 horas h a b rá ap ro x im ad a m en te 7 6 29 4 b acterias.
ÍC IC IO 1 5 4
1. D eterm in a la su c e sió n de 4 térm in os, c u y o prim er y cu a rto térm in o se a 9 y - 1, d e ta l m an era que los tre s prim eros
núm eros form en una p ro g resió n g e o m é tric a y los últim os 3, una progresión aritm étic a .
2. U n a g e n e ra c ió n c e lu la r e s la d iv is ió n de un a c é lu la e n 2 . Si s e tie n e n 8 c é lu la s in iciales, ¿ c u á n ta s c é lu la s s e han
g en erad o tra s 10 g e n eracio n es celu la re s?
3. T res nú m eros fo rm an una pro g resió n aritm é tic a c o n u na ra z ó n d e 2. S i e l seg u n d o núm ero s e in cre m e n ta e n 1 y e l
terc ero e n 5, los núm ero s resu ltan tes fo rm an una pro g resió n g e o m é tric a. D e te rm in a los n ú m e ro s de la p rogresión
a ritm ética
4. D eterm in a e l núm ero d e c élu las in iciales s i s e o b tu v ie ro n 9 8 304 de sp u é s de 14 g en eracio n es c elu lares.
5 . U n c u ltiv o de 25 00 0 b a cteria s a u m e n ta 5% e n 2 0 m inutos. ¿ C u á l s e r á la pob lació n d e b a cteria s a l tra n s c u rrir una
hora 2 0 m inutos?
6. D e l problem a a n te rio r e sta b le c e la fó rm u la g e n e ra l que d e te rm in a e l núm ero de b a cteria s e n t horas.
7. Se invierten $ 2 3 0 0 0 0 a una c u e n ta q u e d a p o r co n cep to de intereses 5 % anual. ¿C u án to s e te n d rá a l final d e 8 años?
8. E n cie rta ciud ad nacieron 32 5 0 0 bebés en e l a ñ o 2005, s i e l núm ero de nacim ientos s e in crem enta 2 0 % anual, ¿cuántos
bebés s e e stim a que n a zc an e n e l a ñ o 20 0 9 ?
9. Se tie n e un c u ad ra d o d e á r e a 1 0 2 4 cm 2 y s e inscribe o tro c u a d ra d o d e ta l m an e ra que los ex trem o s co in c id an c o n lo s
puntos m edios d e l prim ero; desp ués s e inscribe o tro cu a d ra d o e n e l seg u n d o c o n la m ism a disp osición. S i s e conoce
que e l á re a de un c u a d ra d o in scrito e s la m itad d e l á r e a d e l c u a d ra d o e n e l qu e s e inscribe, ¿c u á l e s e l á r e a d e l noveno
cu ad rad o inscrito?
V i t r i f i c a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c i ó n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
3 7 0

389. sojduisj]
C a p i t u l o 15
Progresiones
Suma d e los n primeros términos d e uno progresión geométrica
D educción d e la fórm ula.
Sea la pro g resió n g e o m é tric a -H- a t , a^, O j,.., a„, llam em o s S a la su m a d e los prim eros n térm in o s, enton ces:
«
S = ' £ a l = a , + a 2 + a , +
...................+ a „ ->
)■>
A l m ultip licar por la razón la igualdad:
S r = a t -r + a 2 r + a 3 r +
................aR -r -»
A l restar a la e cu a ció n 2 la e cu a ció n 1, ten em o s:
S r = a , r + a 2 r + a 3 -r +
......................+ aH r
- S = - a , - a¡ r - a ^ r
......................
S r - S = a n r - a i
E ntonces:
S ( r — 1 ) = f l . - r - a , pero aR = a ,r" _l
S { r - \ ) = a ^ ' r - a x
S ( r - l ) = a , r - - a ,
F inalm ente:
a . ( r - - l ) ( r " - l ) ( l - / )
* = ,
------r = a ' *------
r —1 r - 1 1 — r
(1)
(2)
E JE M P L O S
# • D eterm in a la su m a de los prim eros 8 térm in os d e la p ro g resió n geom étrica:
S o lu c ió n
En e s ta p rogresión los d ato s son:
4 3
° i =3 r = 2 n = 8
L u ego, a l su stitu ir e n la fórm u la s e obtien e la su m a d e los 8 térm in os:
S =
4 V 6 5 6 1
3 A 2 56
- 1
r - 1
i -
- ( 8Y 63051 - 6305
_ U Jl 2 5 6 J _ 9 6
Se c onclu ye que la su m a de los prim eros 8 térm inos d e la progresión es
6 3 0 5
96
3 7 1

390. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
2 • • " E n c u e n t r a e l Ia térm ino d e una progresión geom étrica, c u y a su m a d e los prim eros 10 térm inos es 341 y la razón e s - 2 .
S o lu c ió n
De acu e rd o a l problem a los d ato s son:
n = 10, r = - 2 y 5 = 341
Al su stitu ir en la fó rm u la y d e s p e ja r a, s e obtiene:
Q, ( r - - ' ) 4(-2)'°-l]
r - 1 - 2 - 1
Se sim p lifica la expresió n y s e d e sp e ja a x\
a , [ ( - 2 ) " - l ] q [ 1 0 2 4 - 1 ] ( 3)(3 4 1 ) -1 0 2 3
3 4 1 ' - 3 3 4 1 " - 3 a , _ 1023 “ 1023
Por tan to, e l Ia térm in o de la p rogresión e s - 1
3 • • - D e t e r m in a e l núm ero d e elem entos de u n a progresión geom étrica, cu y a su m a es 1093, su 1” térm ino es 1 y la razón es 3.
S o lu c ió n
De acu e rd o c o n e l problem a:
a , = 1, r = 3 y 5 = 1093
Al su stitu ir en la fó rm u la d e la su m a d e térm inos:
a . ( r - - l ) l ( 3 " - l )
5 = —
-------------------------1 0 9 3 =-—--------
r —1 3 - 1
A l sim p lifica r y d e sp e ja r n s e obtiene:
109 3 = — 2186 = 3 " - 1 2 1 8 7 = 3" ( 3 ) 7 = 3 "
2
P or co n sig u ien te, s e realizó la su m a d e los prim eros 7 térm inos d e la progresión.
l = n
EJE IC IC IO 1 5 5
E n c u e n t r a la s u m a d e lo s p r im e r o s té r m in o s q u e s e in d ic a n e n la s s ig u ie n t e s p r o g r e s io n e s g e o m é t r ic a s :
1. Seis térm in o s d e -H- - 9 , - 3 , - 1 ,
3 2
2 . Siete térm in o s d e -H- - , 1 , - , . . .
3 - N ueve térm inos d e -H- - 5 , 1 0 , - 2 0 , . . .
4. D iez térm in o s d e -H -9, 12, 1 6 ,...
5 . Q u ince térm in o s d e ¿ , -7 , i , . . .
8 4 2
6 . D ieciocho térm in o s d e -H- 2 , 4, 8 , .. .
3 7 2

391. C a p i t u l o 15
Progresiones
7. Doce térm inos d e + + > /3 , 3 , \ l x j ,...
8. Diez térm ino s d e - H - 1, - s / 2 , 2 , . . .
9. Veinte térm in os d e + + n , n2, n3,...
10. N ueve térm inos d e + + 2 1"2,2*_l, 2 \ . . .
11. « té rm in o s d e -H- o ,, a¡r2,
, • 1 1 1
12. «té r m in o s d e -H - — , — , — *•••
2 4 8
Resuelve los sig u ie n te s problem as:
13. E n cu e n tra e l núm ero d e térm inos d e una progresión geom étrica; s i la su m a e s 255, e l 1” térm ino es - 3 y la razón - 2.
14. D eterm ina la razón co m ú n de una progresión geom étrica si e l 1" térm ino e s - 8 y e l 6o térm in o - i .
15. ¿C uál es e l 1 “ térm ino d e u na progresión geom étrica, c u y a su m a d e lo s prim eros 8 térm inos e s y la razón es
81 3
31 1 1
16. ¿ C u á l es e l últim o térm in o d e u na pro g resió n ge o m é tric a c u y a su m a e s — , s u I o té rm in o e s — y la ra zó n - ?
6 4 4 2
17. D eterm ina e l 1 “ térm ino d e una progresión geom étrica si la su m a d e los prim eros 6 térm inos es 364 y la razón e s - 3.
18. ¿ C u á l e s la ra zó n d e una p ro g resió n geom étrica, si la su m a e s e l 1" térm in o e s ^ y e l últim o té rm in o es
19. E n c u e n tra e l núm ero de térm in o s d e una progresión geo m étrica, s i la su m a e s *^s , e l 1” térm in o e s X2 y la razón
es —.
x
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c c ló n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d í a n t a
P R O B L E M A S Y E J E R C I C I O S D E A P L I C A C I Ó N
U n a c o m p a ñ ía d e au to s tie n e e stim a d o ven d er 5 0 0 0 au to s e n 2 0 1 0 y du ran te los 10 añ o s sig u ien tes in c re m e n ta re n
5% anual las ventas con respecto a l año anterior. D eterm ina cuántos autom óviles pretende vender la com pañía e n ese
periodo.
S o lu c ió n
Ete a cu e rd o c o n e l pro blem a los d a to s son:
a , = 5 0 0 0 , r = 1 0 0 % + 5 % = 1 0 5 % = 1.05
S =
- f e )
5 10= 5ooo; , - , -0 5 ,°
10 1 1 - 1 .0 5
= 5 0 0 0 (1 2 .5 7 7 8 )
= 6 2 889.46 » 6 2 8 9 0 a u to s
P o r c o n sig u ie n te la c o m p a ñ ía p re te n d e vender ap ro x im ad a m en te 6 2 89 0 au to s e n los sig u ien tes 10 añ o s.
3 7 3

392. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
2 U n a e p id e m ia a ta c a a 2 5 0 0 habitantes d e u n a pob lació n e n 20 0 6, y p o r c a d a a ñ o que tra n sc u rre la c lín ic a d e sa lu d
d e la e n tid a d o b se rv a que las p ersonas que p ad ecen la en fe rm e d a d s e in cre m e n ta e n un 5 % ¿ C u á n to s habitantes
h ab rán padecido la e n fe rm e d a d para e l a ñ o 2 0 1 0 ?
S o lu c ió n
De acu e rd o a l problem a, los d a to s so n los sig u ien tes:
e n otros 4 trián g u lo s c a d a uno; e s te p ro ced im ien to s e repite p a ra c a d a triá n g u lo resu ltan te. ¿ C u á n to s trián g u lo s s e
ten d rán e n total de sp u é s d e realizar 6 veces e s ta o p e rac ió n ?
2. C a ro lin a tie n e p ap á y m am á, a s u vez ésto s tien en c a d a uno a s u padre y m adre, y a s í sucesivam en te. ¿C u á n ta s p e r­
sonas e n e l á rb o l g e n ea ló g ic o d e C a ro lin a existen h a sta 7 g en eracio n es a trá s, incluy én dola a e lla?
3. E n cie rta población la producción d e m aíz en el a ñ o 2001 fue d e 2 0 0 0 0 to neladas; p o r diversas cuestio nes e s a cantidad
ha te n id o una d ism in u ció n de 2 5 % anual. ¿Q ué c a n tid a d de m aíz s e produjo d e sd e 2001 h a sta 2006?
4. D urante e l a ñ o 2 0 0 5 c ie rto hospital atendió 5 110 partos; s in em bargo, este núm ero s e increm entó 10% anual. ¿C uántos
partos e stim a e l hospital a te n d e r desde 2 0 0 6 hasta e l a ñ o 2 0 1 0 ?
5. L a p o b lació n e n M éx ico e n e l a ñ o 2 0 0 0 e s tá cu an tific ad a e n 100 m illo nes d e personas. Si p a ra e l a ñ o 2002 las a u ­
to rid ad es re g istra ro n 104 m illo nes d e m exican os, ¿ a q u é ritm o e s tá c re c ie n d o la p o b lac ió n e n nuestro p aís? S i se
m antiene e s te crecim ien to , p a ra e l a ñ o 2 0 1 0 ¿ cu á n to s habitantes ten d rá e l te rrito rio m exicano?
(^} Verifica tu s resultados e n la sección de soluciones correspondiente
ü , = 2 5 0 0 , r = 1 0 5 % = 1.05 y n = 5
Sustitu yend o e n la fórm ula, s e obtiene:
1 — r
1 - 1 .0 5
2 500(1 - 1 .2 7 6 2 ) _ 2 5 0 0 ( - 0 .2 7 6 2 )
= 13 8 14 habitantes
- 0 . 0 5 - 0 . 0 5
P or tanto , p a ra e l a ñ o 2 0 1 0 h ab rán padecido la ep id e m ia 13 814 habitantes ap ro x im ad am en te.
EJERC IC IO 1 5 6
1. U n triá n g u lo eq u ilátero s e divide e n 4 trián g u lo s e q u ilá te ro s m ás p eq ueño s d e igu al á re a , ésto s a s u vez s e dividen
Progresión geométrica infinita
S ea u n a p rogresión g eo m étrica, c u y o 1“ valor e s a ,= 100 y la ra z ó n r = ¿ , ¿ q u é le su c e d e a la sum a de los prim eros
w térm in o s?
2 ’
El co m p o rtam ien to d e la progresión:

393. E je m p lo s
C a p í t u l o 15
Progresiones
5 , = 2 0 0 - 2 0 0 | — | s i « = 3= 2 0 0 - 2 0 0 ^ j
5» = 2 0 0 - 2001 - — I s i « = 8
5 , p = 2 0 0 - 2 0 0 1
------!------I s i « = 20
20 ( 1 0 4 8 5 7 6 )
De m an e ra que, co n fo rm e n crec e, e l té rm in o j s e hace m ás p equeño y tiende a cero .
E s p o r e s o q u e p a ra c u a lq u ie r p ro g resió n g e o m é tric a infinita, d o n d e la ra z ó n e s m e n o r q u e la u n id ad , s e debe
con siderar la su m a d e los prim eros n térm ino s igual a:
S , = — VW<1
" 1 - r 11
E JE M P L O S
• • D eterm in a la su m a de la p rogresión ge o m é tric a infinita: 9 , 3 , 1,...
S o lu c ió n
Los d a to s p roporcionados por la pro g resió n so n a x = 9, r = -
C o m o la ra z ó n \r\ < 1 entonces s e utiliza:
S - 5 " -
• ~ ~ r - S' ~ , 1 " 2 - 2
3 3
E n co n se cu e n cia , la su m a de té rm in o s d e la p ro g resió n ge o m é tric a infinita e s: ^
2 • • O b té n la ra zó n d e u na pro g resió n ge o m é tric a infinita si e l 1 " térm in o es 4 y la su m a e s 8.
S o lu c ió n
D ; a cu e rd o a l problem a, los d ato s son:
a , = 4 ,S „ = 8
A l su stitu ir e n la fó rm ula d e la su m a d e una p ro g resió n infinita:
ü, 4
= — 8 =
------
" 1 - r 1 - r
A l d e sp e ja r r d e la e cu a ció n s e obtiene:
8(1 — r) = 4 8 - 8 r = 4 - 8 r = - 4 r = ^
EJERC IC IO 1 5 7
Realiza b sigu iente:
• _ 3
I 1. E n c u e n tra la su m a infinita d e térm in o s de la progresión -H- - 6 , 3 , — ,...
• z
•
3 1 1
2 . D eterm in a la su m a d e térm in os d e la p rogresión infin ita -H- — , — , -
3 7 5

394. E je m p lo s
15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
3. ¿ C u á l es e l valo r d e la su m a infinita de térm in o s de la pro g resió n -H- 6 , 2 , ^ ,...?
9 3
4. ¿ C u á l es e l valo r d e la su m a de térm in o s d e la pro g resió n infinita + + — , - , 1,...?
5. L a su m a d e térm inos d e una pro g resió n infinita e s 3 y la razón e s — ■. D e term in a e l 1“ té rm in o d e la progresión.
6. E l 1" térm in o d e una pro g resió n infinita e s 2 >/3 y la su m a d e los térm in os e s 5 J 3 . E n c u e n tra la razón .
a 3a
7. E l 1 * té rm in o d e u na pro g resió n infinita e s — c o n b > a y a ,b e N y la su m a e s — . ¿ C u á l e s la ra zó n d e la pro gre-
áón? h 24
8. U n triá n g u lo e q u ilátero d e á re a 1 cm 2 s e d iv id e e n 4 triáng ulo s equ ilátero s m ás p eq ueño s d e á re a - cm 2, a s u vez, uno
efe los 4 trián g u lo s s e divide nuevam ente e n o tro s 4 trián g u lo s de — c m 2, y s e repite e l p ro ced im ien to sucesivam ente
16
con 1 d e los 4 trián gulos resultantes. ¿ C u á l e s e l resu ltad o d e la su m a d e las áreas d e los trián gulos?
9. S e tie n e un c u a d ra d o d e á r e a 1 0 2 4 cm 2 y s e inscrib e o tro cuad rado, de ta l m an e ra que los vértices extrem os co in cid an
con los puntos m edios d e l prim ero, y a s í sucesiv am ente. S i y a s e co n o ce que e l á re a d e un c u ad ra d o e s e l d o b le del
que se inscribe, d e te rm in a la su m a d e las áreas d e to d o s los cu ad ra d o s qu e s e pu ed en in scrib ir d e e s a m anera.
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
Interpolación d e medios geométricos
L a in te rp o lac ió n d e m edios g e o m é tric o s co n siste e n e n c o n tra r un c ie rto n ú m ero d e térm in o s, en tre e l I o y últim o, para
fo rm ar un a p ro g resió n geom étrica.
E JE M P LO S
# • In terp o la 4 m edios g eo m étrico s e n la pro g resió n -H- - 3,..., 96.
S o lu c ió n
A l in terp o lar 4 m edios geom étrico s, la p rogresión esta rá fo rm ad a por 6 térm ino s, en to nces:
a,= - 3, « = 6 y a ó = 96
Se procede a c a lc u la r la razón, a p artir de:
r = r = 6^ f = ^ 3 2 = - 2
U V-3
Por tan to, la pro g resió n q u e d a c o m o a co n tin u a ció n s e m uestra:
-3 , - 2 ( - 3), - 2 ( 6 ) , - 2 ( - 12), - 2 ( 2 4 ) , - 2 ( - 4 8 )
-3, 6, - 1 2 , 2 4 , - 4 8 , 9 6
Los m edios geom étrico s son:
6, - 1 2 , 2 4 , - 4 8
2 • • 'I n t e r p o l a 5 m edios g eo m étrico s e n la sig u ien te progresión: - H - 16,...,
ZX)
S o lu c ió n
L o s d ato s de la progresión so n : a, = 16, a , = y n = 7
ZjO
3 7 6

395. C a p i t u l o 15
Progresiones
At e d i a g e o m é t r i c a
© S e a n los núm ero s x, y x 2, en to n c es s u m ed ia g eo m é tric a s e define por:
sjx¡x2 s i x , y x 2 so n positivos
~ \jx ¡ x 2 s i x , y x* so n negativos
O S e a n los n ú m e ro s x „ x » x , , e n t o n c e s , s u m ed ia g e o m é tric a se d e fin e com o:
yjx ¡x2x 3-*xn
E JE M P L O S
i í
• • D eterm in a la m ed ia ge o m é tric a de 12 y 48.
§_ S o lu c ió n
Se b u sc a un té rm in o que form e una progresión g eo m é tric a c o n los e le m en to s dados, enton ces a l a p lic a r la fórm ula:
M edia g e o m é tric a = <]( 1 2 )(4 8 ) = y/576 = 2 4
E sto in d ica q ue la progresión g e o m é tric a form ada es:
12, 24, 48
Y s e co m p ru e b a c o n la ra zó n :
2 4 4 8 „
r = ~Í2 = 2 4 =
P o r tanto, la m ed ia ge o m é tric a e s 2 4
2 • • E n c u e n tra la m ed ia g eo m é tric a d e los núm eros 3 , 9 , 2 7 y 81.
S o lu c ió n
Se a p lic a la fórm ula:
M edia g e o m é tric a = ^/( 3) ( 9 ) ( 2 7 ) (81)
A l sim p lifica r la raíz s e obtiene:
t ¡ ¥ = V 3 * -3 2 = >/3* = 32n/3 = 9 J 3
F inalm en te, la m ed ia g eo m é tric a e s: 9 v'3
3 7 7

396. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
EJERCICIO 1 5 8
R e a liz a la in t e r p o la c ió n d e to s m e d io s g e o m é t r ic o s q u e s e in d ic a n :
1. C in c o m edias geom étricas e n tre i y 32.
4
2. T res m edias g eo m étricas en tre 12 y — .
3. C u a tro m edias geom étricas e n tre - 3 y - 96.
4. C in c o m edias g eo m étricas en tre 1 ^ y 6 144.
5. T res m edias g eo m étricas en tre 2 >/3 y 18 >/3.
I 26
6. C u a tro m edias geom étricas e n tre - y 2
7. Seis m edias g eo m étricas e n tre - 128 y - 1
( x ~ l ) 6
8. T res m edias g eo m étricas e n tre ( x - l ) 2 y .
81
a 2 8
9. T res m ed ia s g eo m étricas e n tre — y .
2 a
10. C u a tro m edias geom étricas e n tre y 4.
D e t e r m in a la m e d ia g e o m é t r ic a d e to s s ig u ie n t e s n ú m e ro s :
11. 6 y 9
12. - 4 y - 8
13. 5 y 25
14. 9 y 16
15. 2, 3 y 6
16. 4, 8 y 3 2
17. 1 ,3 , 9 y 2 7
*
' 8- 2 ’ 4 ’ ¥ y I ?
V itr ific a t u s r e s u lta d o s a n la s a c d ó n d a s o lu c io n a s c o rre s p o n d ia n ta
Interés compuesto
U n a d e las a p lic ac io n e s m ás im p ortantes d e las p ro g resio n es g eo m étricas e s e l in te ré s co m p u e sto , p o r s u c o n sta n t
uso en la eco n o m ía y la ad m in istració n .
C o n sid e ra un c a p ita l inicial d e $ 100, que s e invierte e n u na ta s a fija d e 10% d e interés a n u a l com p uesto. C a lc u l
e l in terés co m p u e sto por p erio d o e n los prim eros 5 añ o s.
A/, = 1 0 0 ( 1 + 0 .1 ) = 110 prim er a ñ o
M 2 = 110(1 + 0 . 1) = 121 se g u n d o año
3 7 8

397. E je m p lo s
C a p i t u l o 15
Progresiones
A/, = 1 2 1 ( 1 + 0 .1 ) = 133.1 te rc e r año
A/4 = 133.1(1 + 0 .1 ) = 146.41 c u a rto año
M s = 146.41(1 + 0 . 1 ) = 161.051 q u in to año
A h o ra bien , s i s e d e se a c a lc u la r e l m o n to que g e n e ra u n c a p ita l e n d e te rm in a d o tie m p o , c o n u na ta s a d e interés
fija, s e utiliza:
Donde:
M = C
M = m onto g e n e ra d o
C = c a p ita l inicial
i = ta s a d e interés porcen tu al an u al
n = núm ero d e cap italizacio n es a l añ o
t = tie m p o que s e invierte e l ca p ita l
H '
E JE M P L O S
• • U n a m a d e c a s a a h o rra e n u n b a n c o $ 5 0 0 0 , la institución b a n c a ria le d a un interés a n u a l d e 6% . C a lc u la e l m o nto que
o b ten d rá e n 12 añ o s.
S o lu c ió n
L os d ato s d e este pro blem a so n los sig u ien tes:
C = $ 5 0 0 0 i = 6 % a n u a l n = 1 p erio d o l = 12 añ o s
E nton ces, a l su stitu ir e n la fórm ula, s e obtiene:
v(**2)
A/ = C ^ l + ^ j -> Af = 5 0 0 0 ^ l + ~ y ~ j
M = 5 0 0 0 (1 .0 6 )'2
M = 10 060.9 8
P o r tanto, e s a a m a d e c a s a recib irá después d e 12 añ o s la c a n tid a d de $ 10 060.98
2 • • F e m a n d o in v ierte $ 3 000 e n un nego cio que le d a r á 10% de interés c o m p u e sto anual, cap italiz a b le sem estralm en te.
¿C u ál s e rá e l m o nto que recib irá a l c a b o d e 5 a ñ o s?
S o lu c ió n
Los d a to s de este p rob lem a son los sig u ien tes:
C = $ 3 0 0 0 i = 10% a n u a l n = 2 p e rio d o s / = 5 añ o s
E nton ces, a l su stitu ir e n la fórm ula, s e obtiene:
M = C ^ l + i j -> a/ = 3o o o^i + 2 ^ 2 | X>
A/ = 3 0 0 0 (1 .0 5 )10
M = 4 886.68
F inalm en te, F e m a n d o re c ib irá d e sp u é s d e 5 añ o s la c a n tid a d d e $4 886.68
3 7 9

398. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
3 • • C a lc u la e l tiem p o p a ra d u p lic a r una inv ersión de 10% d e interés a n u a l cap italiz a b le trim estralm en te.
S o lu c ió n
S i s e q u iere d u p lic a r e l cap ital, e s to in d ica q ue M = 2 C, luego la inv ersión e s c a p ita liz a b le trim e stralm e n te ( « = 4),
por tanto:
- N i ^ a c - c ^ f
2 = (1 .0 2 5 )4'
Se a p lic a n logaritm os d e la sig u ien te m an era para d e sp e ja r /:
lo g 2 = log (1 .0 2 5 )4' - > log 2 = 4 / (lo g 1.025)
1 =
lo g 2
4 log 1.025
1 = 1 años
E ntonces, s e con clu y e q ue e l tiem p o n e ce sa rio para d u p lic a r la inversión e s d e 7 años.
EJEÍC IC IO 1 5 9
D e t e r m in a e l m o n to q u e s e g e n e r a e n c a d a u n o d e b s s ig u ie n t e s p r o b le m a s :
1. $ 1 0 0 0 0 que s e in vierten a u na ta s a d e 10% d e interés c o m p u e sto an u al, d u ra n te 10 añ o s.
2. $3 2 00 0 s e in vierten a 12% d e interés c o m p u e sto anual, c a p ita liz a b le se m e s tra lm e n te du ran te 6 añ o s.
3. $3 2 158 que v e n ce n e n 7 .5 añ o s, a 6 % d e interés c o m p u e sto an u al.
4. $2 4 0 0 0 que v e n ce n e n 6 ^ añ o s, a 9 % d e interés c o m p u e sto an u al, c a p ita liz a b le cu atrim e stralm en te.
5. $ 9 5 0 0 que v en ce n e n 8 ^ años, a 4 % d e in te ré s co m p u e sto an u al, c a p ita liz a b le trim e stralm e n te.
3
6. $1 5 4 0 0 que v e n ce n e n 3 añ o s, a 6 - % d e interés co m p u e sto an u al, c a p ita liz a b le trim e stra lm e n te .
7. $ 9 5 0 que v en ce n e n 2 ^ añ o s, a 1 2 ^ % d e interés c o m p u e sto anual, c a p ita liz a b le trim e stra lm e n te .
8. $ 6 0 0 0 que v en ce n e n 3 ^ añ o s, a 1 0 - j % d e in te ré s co m p u e sto an u al, c a p ita liz a b le m en su alm en te.
9. $6 0 0 0 q u e v en ce n e n 3 ^ añ o s, a 10 j % d e in te ré s co m p u e sto a n u a l c a p ita liz a b le c u atrim e stralm en te.
3
10. $ 1 5 4 0 0 0 que v en ce n e n 3 añ o s, a 6 — % d e interés c o m p u e sto an u al, c a p ita liz a b le se m a n a lm e n te .
4
R e s u e lv e b s s ig u ie n t e s p r o b le m a s :
11. U n a c o m p a ñ ía d e seg u ro s p resen ta a un padre d e fa m ilia u n fid eicom iso p a ra q u e s u h ijo d e 8 añ o s recib a una cantidad
tfc $ 40 0 0 0 c u a n d o te n g a 2 2 añ o s. D e term in a la c a n tid a d in ic ial que d e b e d e stin a r s i s e le o fre c e un co n tra to c o n una
tasa de 6 % de interés c o m p u e sto a n u al, cap italiz a b le sem estralm en te.
12. U n a d e u d a de $ 9 0 00 d e n tro d e 5 a ñ o s, d e b e rá liquidarse c o n u n p a g o d e $ 14 747.55, ¿ a q u é ta s a d e in te ré s trim e stral
e stá co m p ro m etid o e l préstam o?
13. ¿Q u é ta s a d e interés co m p u e sto a n u a l d u p lic a u na in w rsió n e n 5 años?
3 8 0

399. 5 0 | d u i a | g
C a p i t u l o 15
Progresiones
14. ¿ Q u é ta s a de interés c o m p u e sto anual, cap italizable trim e stralm e n te, duplica e l valor d e la inversión e n 10 años?
15. ¿Q ué tiem p o s e n ecesita p a ra trip lica r una inversión c o n rendim iento de 10% d e interés co m pu esto anual, capitalizable
cuatrim estralm en te?
16. E l índice d e c rec im ien to q u e s e plantea p a ra u n a p o b lació n d e 6 7 0 0 habitantes e s d e 2 % anual. ¿C u á n to h a b rá crecido
la población e n 2 0 añ o s?
17. ¿ Q u é tie m p o habrá tra n s c u rrid o p a ra q u e un c a p ita l d e $ 5 3 0 0 s e co n v irtie ra e n $ 5 6 2 7.4 5, c o n un a ta s a d e in terés
c o m p u e sto an u al d e 2 % , cap italiz a b le m ensualm ente?
18. U n a e m p re sa pide u n p réstam o b a n c a rio d e $ 4 0 0 0 0 0 p a ra la c o m p ra de m aquinaria. Si d ich o c ré d ito e s tá su je to a
5 % de interés c o m p u e sto anual, cap italiz a b le se m estra lm e n te , y e l tie m p o para pag arlo e s d e 10 añ o s, ¿ c u á l s e rá e l
m onto q u e s e pagará?
19. E m ilia in v ierte $ 8 5 0 0 0 duran te 3 añ o s y recib e un m o nto de $ 9 2 881. ¿ C u á l fue la ta s a d e interés c o m p u e sto a n u a l
a la que fue so m e tid a d ic h a inversión?
2 0 . ¿ C u á l fue e l in te ré s que g e n e ra ro n $2 0 0 0 0 s i s e invirtieron c o n una ta s a de 12% d e in te ré s c o m p u e sto an u al, c a p ita ­
lizable m ensualm ente du ran te 4 añ o s?
M irifica t u s r e s u l t a d o s a n l a s a c c ió n d a s o lu c io n a s c o r r e s p o n d i a n t a
Depreciación
Se define c o m o la p érd id a d e valor de un a c tiv o físico (au to m ó viles y casas, e n tre otros), c o m o co n se cu e n cia d e l uso
o d e l tra n s c u rso d e l tiem po . M uchos d e ello s tie n e n una vida útil duran te un p erio d o finito.
E n e s te c a p ítu lo só lo s e ab o rd ará e l m étodo d e porcentaje fijo, que s e define com o:
S = C ( l - d ) '
Donde:
S : v alor d e salv am en to o v alor d e desecho
C : c o s to original d e l activ o
d : ta s a d e d ep rec ia c ió n anual
t: vida útil c a lc u la d a e n añ o s
E J E M P L O S
-------------------------------------------------------------------------------------------------------•
• • L a ta s a d e d ep reciació n de u n a u to m ó v il d e l a ñ o e s tá c a lc u la d a e n 8% anual. Si un c lie n te p a g a e n u n a a g e n c ia $120 0 0 0
por una unidad, ¿c u á l s e rá e l valo r d e d e se c h o del au to m ó v il a l final d e s u vida útil, s i se c a lc u la que es d e 5 a ñ o s?
S o lu c ió n
Efe a cu e rd o c o n los datos:
C = 120 000, d = 8% = 0.0 8 y t = 5
A l su stitu ir los valores en la fó rm u la y d e sa rro llar las o peracion es s e obtiene:
5 = 120 0 0 0 ( 1 - 0 .0 8 ) 5 = 120 0 0 0 (0 .9 2 )5 = 120 0 0 0 ( 0 .6 5 9 0 ) = 7 9 080
Por tanto, e l valo r d e l au to m ó v il a los c in c o añ o s es d e $ 7 9 08 0
2 • • U n a p iz z e ría c o m p ra u n a m o to c ic le ta e n $ 4 2 0 0 0 p a ra e l re p arto d e s u m erc an c ía. Se c a lc u la q u e s u v id a ú til s e rá
de 4 a ñ o s y a l fin al d e e lla s u v a lo r de d e se c h o s e r á d e $ 1 5 0 0 0 , d e te rm in a la ta s a de d e p re c ia c ió n a n u a l d e la m o ­
to cic le ta .
3 8 1

400. 15 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
S o lu c ió n
De acu e rd o c o n los dato s:
C = 4 2 000, 5 = 15 0 0 0 y / = 4
A l su stitu ir los v alo res e n la fó rm ula y d e sp e ja n d o d , s e obtiene:
15 0 0 0 = 4 2 0 0 0 ( 1 -¿Y * 1 - d = 4 15 0 0 0 1 - í / = 0.7 730
v ' V 4 2 000
d = 0 .227
d = 2 2 .7%
P or co n sig u ien te, la ta s a d e d ep rec ia c ió n e s d e 22.7%
3 • • ■ S e a d q u irió u n a m áquina de b o rd ad o , c u y o p re c io fu e d e $78 6 0 0 . S i s u valor d e d e se c h o e s d e $ 2 0 6 0 4 .5 0 y la ta s a
d e d ep rec ia c ió n e s de 20% an u al, c a lc u la la v ida útil d e la bordadora.
S o lu c ió n
De acu e rd o c o n los dato s:
C = 7 8 6 0 0 , S = 2 0 604 .50 y ¿ = 2 0 % = 0 .2 0
A l su stitu ir en la fórm ula:
S = C ( l - r f ) ' 2 0 6 0 4 .5 = 7 8 6 0 0 ( 1 - 0 .2 0 ) '
Se a p lic a n logaritm os para d e sp e ja r /:
_ lo g (2 0 6 0 4 .5 )- l o g ( 7 8 6 0 0 ) _
' _ lo g (0 .8 0 )
P or tanto , la v ida útil de la m áquina d e b ord ado es d e 6 años.
EJEIC IC IO 1 6 0
Realiza b s sig u ien tes problem as:
1. L a ta s a d e d e p re c ia c ió n d e un a m áquina e s tá c a lc u la d a e n 12% an u al. S i s u c o sto e s d e $ 2 0 0 0 0 0 , ¿ c u á l s e r á s u valor
(fe d esech o , s i tie n e un a v ida útil d e 10 años?
2. E l c o s to d e una im p reso ra e s d e $ 8 0 0 0 y s e c a lc u la que s u v ida ú til e s d e 3 añ o s. S i la ta s a d e d e p re c ia c ió n e s de
23% , d e te rm in a s u valor d e d esech o .
3. U n ag ric u lto r c o m p ró un tra c to r c o n valor d e $ 3 0 0 0 0 0 y c a lc u la q u e tie n e u n a v id a ú til d e 7 añ o s, a l c a b o d e los
cuales s u valo r d e d e se c h o e s d e $ 4 0 045. ¿C u á l e s la ta s a d e d e p rec ia c ió n d e l tra c to r?
4. U n ed ificio tie n e un c o s to d e $ 1 2 0 0 0 0 0 , s e le h a e stim a d o u n valo r d e sa lv am en to d e $ 2 2 6 432, y una probable v ida
útil d e 2 0 añ o s. D e term in a s u ta s a de d ep rec ia c ió n anual.
5. U n a e sc u e la ad q u irió un a c a m io n e ta e n $ 2 3 0 0 0 0 para e l tran sp o rte d e m aterial, s i la ta s a de d e p re c ia c ió n a n u a l e s
efe 12%, ¿ c u á l s e r á s u valo r a l c a b o d e 3 añ o s?
6. U n au to m ó v il tie n e un c o sto de $ 9 6 000, u na v ida útil d e 5 añ o s y un valo r d e salv am en to d e $3 1 457. D e term in a la
tasa de d ep rec ia c ió n an u al.
7. Se a d q u irió una p lan ta d e luz c u y o c o s to fu e de $ 2 2 0 000, s e le h a e stim a d o un valor d e sa lv am en to d e $ 30 2 3 8 ; si
la ta s a de d ep rec ia c ió n e s de 18% anual, ¿ c u á l e s s u vida útil?
V e r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n la s e c d ó n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d ie n t e
3 8 2

401. Ca p ít u l o 16
Ma t r i c e s
A rthur Cayley, matemático británico. En
1838 ingresó en el Trinity College de
Cambridge, donde estudió matemáti­
cas y fue nombrado profesor de esta disciplina;
permaneció en Cambridge durante el resto de
sus días. Uno de los matemáticos más prolíficos
de la historia, publicó a lo largo de su vida más de novecientos artículos
científicos. Es considerado como uno de los padres del álgebra lineal,
introdujo el concepto de matriz y estudió sus diversas propiedades. Con
posterioridad empleó estos resultados para estudiar la geometría analítica
de dimensión n.
A rthur C ayley (1821-1895)

402. 16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
Definición
U na m atriz e s un arre g lo rectangu lar d e núm eros d e la form a:
* 1 10,2
* 1 3 • • * ■ /
02, 022
* 2 3 • • * 2 »
* 3 1* 3 2 * » •
• * *
* « >
* - 2 * « 3 • * * « .
Los núm eros a ,„ a ¡2, a a,...¿i9 reciben e l nom bre d e elem entos d e la m atriz. P ara sim plificar la notación, la m atriz se
ex p resa: A = (a¿). E l prim er su b ín d ice d e c a d a e le m e n to in d ica e l rengló n, y e l se g u n d o la c o lu m n a d e la m atriz donde
se en c u e n tra e l ele m en to .
c , C2
" *m*12 * 1 3 • • *1»
*21 *22 * 2 3 *• *2» «2
a31 —> C o lu m n a
©
* 3 2* ffl .
• * 3 » * 3
4 |
Renglón
*,2*»3 •• *«-.
D onde: R „ R2, R „ so n ren g lo n es y C„ C2, . . . , CB so n co lu m n as.
Ejemplos
S ea la m atriz
- 216
- 3 4 - 5
16- 7
-401
D eterm ina: O j,,y a 43
S o lu c ió n
a2,: e s e l valo r que s e e n c u e n tra e n e l ren g ló n 2, c o lu m n a 1, e s decir, a2i = - 3
a¿. e s e l valor que s e e n c u e n tra e n e l ren g ló n 2 , c o lu m n a 2 , e s d ecir, 0^ = 4
e s e l v alor que s e e n c u e n tra e n e l ren g ló n 3, c o lu m n a 3, e s decir, = - 7
atí: e s e l valor que s e e n c u e n tra e n e l ren g ló n 4, c o lu m n a 3, e s decir, aa = 1
O rden d e una motriz
E l tam a ñ o de u na m atriz d e m renglones y n colum nas s e co n o ce c o m o o rd e n y s e d e n o ta p o r m x n.
Ejemplos
O rd e n = 1 x 3 O rd e n = 3 x 1 O rd e n = 2 x 2 O rd e n = 2 x 3
3 8 4

403. C a p i t u l o 16
Matrices
Número d e elementos d e una matriz
En u na m atriz d e m ren g lo n es y n co lu m n as, e l núm ero d e ele m en to s e s mxn, m veces n ele m en to s.
Ejemplos
[au ax2 tf13]
*n
*21
.*31.
O k
r * u *«2 ] [*11 *12 *13 1
i o
L *21 *22 J L *21 *22 *23 J
m xn= 3 X 1 = 3 w x « = 2 x 2 = 4 m x n = 2 x 3 =
3 elementos 4 elem entos 6 elem entos
m x n =1 x 3 = 3
3 elem en tos
Tipos d e matrices
M atriz c u a d ra d a . E s aq u e lla c u y o núm ero d e renglones e s ig u a l a l n ú m ero d e c o lu m n a s; e s decir, u n a m atriz d e n
renglones c o n n co lu m n as, recib e e l nom bre d e m atriz c u a d ra d a de o rd e n n.
r*„«12 I
«11*12*13
[ *21«22 J
«21*22 *23
.*31*32*33.
*11 «12 «13 • «1-
«21 «22 «23• «2«
«31«32«33 • «3»
*»■«„2«»3• * » .
M atriz c u ad ra d a de o rd e n 2
Ejemplos
M atriz c u a d ra d a d e o rd e n 2
M atriz ren g ló n . Es aq u ella d e o rd e n 1 xn
Ejemplos
A = [ 12-15]
O rd e n = 1 x 4
M atriz c o lu m n a . Es aq u ella d e o rd e n m x 1
M atriz c u a d ra d a d e o rd e n 3 M atriz c u a d ra d a de o rd e n n
r 2 " 7 1
310 '
A = 2- 1- 2
L4“ J 111
M atriz c u a d ra d a d e o rd e n 3
1« n «.2 «.3 « u - «i„ ]
« = [ - 3 7 3 - 1 ü ]
O rd e n = 1 x 5
« n
*2!
*31
Ejemplos
A =
[-5]
B
- 1
2
7
- 5
O rd e n = 2 x 1 O rd e n = 4 x 1
3 8 5

404. 16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
M a triz c e ro (m atriz n u la). E s a q u e lla e n la c u a l todos los e le m en to s so n c e ro .
Ejemplos
o = [ o o o] o =
0 ‘
0
0
0
' 0 0 0 ' r o 0
o =0 0 0 o =0 0
0 0 0 0 0
M atriz n ula d e
o rd e n 1 x 3
M atriz n ula de
o rd e n 4 x 1
M atriz nula de
o rd e n 3 x 2
M a triz nula de
ord e n 3
la tr iz diagonal. Es a q u e lla m atriz de o rd e n ti que tie n e e le m en to s d istin to s d e c e ro e n la d ia g o n a l prin cip al, e s decir,
n a m atriz c u a d ra d a M = ( m v ) , d o n d e = 0 siem pre q u e i * j
M
0 0 0 . 0
0tn20 0 .. 0
00
"*33
0 .. 0
0 0 0 mu.. 0
. 00 0 0
Ejemplos
A =
n
B
' - 4 0 0 0
10 0 '
0- 10 0
0 - 6 0 c=
0 0 - 6 0
0 0 - 1
0 0 0 1
M atriz id e n tid ad (m atriz u n id ad ). Es a q u e lla m atriz d iag o n a l de o rd e n ti, cu yos e le m en to s d istin to s de c e r o so n 1,
s e d e n o ta p o r IH
" 1 0 0 0 0 ... 0
0 1 0 0 0 ... 0
0 0 1 0 0 ... 0
0 0 0 1 0 ....0
0 0 0 0 0 ... 1
Ejemplos
1 0 ]
o i j
M atriz iden tid ad d e o rd e n 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
M atriz iden tid ad de o rd e n 3
M atriz tria n g u la r su p erio r. E s aq u ella m atriz c u a d ra d a de o rd e n ti, donde los e le m e n to s a^= 0, p a ra i >j, e s decir,
to d o s los e le m en to s d e b a jo de la d iag o n a l principal so n cero .
A =
*12*13 • • *.„
0*22*23 • *2»
0 0
*33 • *3,
0 0 0
• *™
3 8 6

405. E je m p lo s
C a p i t u l o 16
Matrices
Ejemplos
Va _ o ~1
2- 13 '
[í g
C =075
0 01
M atriz su p e rio r d e o rd e n 2 M atriz su p e rio r d e o rd e n 3
M atriz tria n g u la r inferior. E s aq u ella m atriz cu ad ra d a d e orden n , do n d e a¡j=0 , para t < /', e s decir, todos los elem ento s
por a rrib a d e la d iag o n a l prin cipal son cero .
A =
« u
0 0 . 0
« 2 . « 2 2
0 .0
« 3 .« 3 2« 3 3 •
0
« - .« „ 2« » 3 *
Ejemplos
i - í " i
2 0 0 0
5 7 0 0
9 4 1 0
13 6 1
M atriz in ferio r de o rd e n 2 M atriz inferio r de o rd e n 4
M atriz sim é tric a . Es a q u e lla m atriz cu a d ra d a d e o rd e n n, ta l que los e le m en to s
Ejemplos
r « n « > 2 1
L « 2 1 « 2 2 J
A =
L a m atriz A de o rd e n 2,
e s sim é tric a si:
{«.2 = «21
1
bn ¿>I2 ¿>, 3 ' 5 6 - 3 '
b2i bn b ^ C = 6 1 4
J
¿>„ ¿>32 ¿>33 - 3 4 2
L a m atriz B d e o rd e n 3,
es sim é tric a si:
6,2 =¿>21
bn = b iX
L a m atriz C de o rd e n 3,
es sim é tric a porque:
C 1 2 = C 2 ! = 6
*■13 ^31 ^
^23=^32 = 4
M atrices iguales. D os m atrices so n iguales s i tie n e n e l m ism o o rd e n y su s e le m en to s co rre sp o n d ie n te s so n re sp e c ti­
vam ente iguales.
E JE M P L O S
\ j \ 6 1 5 4 ( - 1 )2 5
# • D eterm in a s i las m atrices- 1 2 - 3
y
- i Ja - 3
1 0 3 1 0
S o lu c ió n
Las m atrices so n iguales porque so n d e l m ism o o rd e n y su s e le m en to s so n iguales:
sf\6 1 5
4 ( - 1 )2 5
- 1 2 - 3 = - i Ja - 3
1 0 3
1 0
3 8 7

406. 16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
2 • • " D e t e r m i n a e l valor de x , y , w y z , para que:
í" x + y 6 z T J - 1 2 1
[ 2»v 2 x - 3 y J [ 6 -7J
S o lu c ió n
L as m atrices tie n e n la m ism a dim ensión, a l realizar la igualdad de térm ino s s e obtiene e l sig u ien te sistem a:
x + y= - 1
6 z = 2
2»v=6
2 x - 3 y = - 7
A l re so lv er e l siste m a resu lta q u e x = - 2 , y = l , w = 3 y z =
EJE ÍC IC IO 161
D e t e r m in a to s v a lo r e s d e la s in c ó g n it a s , p a ra q u e la s m a tr ic e s s e a n ig u a le s .
1.
4.
II
r—
------
1
en -ci]
1 0 - * + 3
*1
Ly + i - 1. 5
•»%
+
o>
1 2 , + l ]= 1 6 -
7 3 - * ' x - 4
y - 1 2 - y- 1
8 2 8 2
0 z + 12 0 10
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c d ó n d e s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i e n t e
M ultiplicación por un e scalar
S e a A = ( a .) una m atriz d e o rd e n m x n y A u n núm ero real, e n to n c e s XA = ( ^ ) e s d ecir, si:
0„<*12
a 13 M iX a uXa, 3
<hi 022a n 02. ^*21 M 2 M s • k
A =<hi 0*2o s en to nces X A =M iX a nXah1• X aln
_omlOm 2 om 3 0^ . Xami
X am 2 X a mi• X a „
E sta nueva m atriz tam b ién recibe e l nom bre d e m a triz e sc a la r.
3 8 8

407. E JE M P L O S
l
I i -
S i A =
2 -1
4 6
0 - 2
1 3
d e te rm in a 3A.
S o lu c ió n
EJ e sc a la r 3 s e m ultiplica por c a d a u no d e los e le m en to s d e la m atriz.
3A =
6 - 3
12 18
0 - 6
3 9
2 - 1 '3 ( 2 )
3 ( - 0 1
6 - 3
4 6 3 (4 ) 3 (6 ) 12 18
0 - 2 3 (0 )3 ( 2 )
0 - 6
1 3 3(1) 3 (3 ) 3 9 .
P o r co n sig u ien te, 3A =
[ 6 - 3 4 1
S i B =
h - 2 i j
e n c u e n tra i B.
S o lu c ió n
El e s c a la r — m ultiplica a c a d a u no d e los térm in o s d e la m atriz.
M J -
-----------
1
[ 3 - i =
1 - 1
Por tanto, - B =
3 - i2
f - i
Sumo
Sean A = (a¡¡) y B = (b ¡) dos m atrice s d e o rd e n m x n , la su m a d e A y B e stá de te rm in a d a por:
A + B = (a¡p + ( b ^
D onde A + B e s la m atriz d e o rd e n m x n q u e re su lta d e su m a r los ele m en to s c o rresp ond ien tes.
E J E M P L O S
------------------------------------------------------------------------------------------------------•
-q_ 1 • • D e term in a A + B para las m atrices:
3 6 "2 - 1
A = 2 4 y B =6 - 7
- 1 0 4 0
D eterm in a A + B
3 8 9
C a p i t u l o 16
Matrices

408. 16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
S o lu c ió n
L as m atrices tie n e n e l m ism o ord en, e n e s te c a s o , 3 x 2 , entonces la su m a s e puede realizar; la d e fin ició n in d ica que
c a d a té rm in o de la p rim era m atriz s e su m a c o n los térm in o s co rresp o n d ien tes d e la se g u n d a m atriz, e s d ecir, s e sum an
a n + b u , a l2 + bí2, a , , + b2 l, . . . , a , , + b M ,
3 6 ' 2 - 1 ' 3 + 2 6 + ( —l) 5 5
A + B =2 4 + 6 - 7 =2 + 64 + ( - 7 )=8 - 3
- 1 0 4 0 - 1 + 4 0 + 0 3 0
P or tanto , A + B =
5 5
8 - 3
3 0
2 • • ‘ S ean las m a tric e s:
5 - 2 6 - 3 1
r~
>r.
1
cc
1
■—
1
C =
- 2 8 - 7 8 j y D = L 6 2 1 - 7 J
D eterm in a 3C + 2D
S o lu c ió n
Se d e te rm in a c a d a m atriz escalar:
3C =
2 D =
= [ 3 ( 5 ) 3 ( - 2 ) 3 ( 6 ) 3 ( - 3 ) ] = M 5 - 6 18 - 9 ]
[_3(—2 ) 3 ( 8 ) 3 ( - 7 ) 3 (8 ) J [ - 6 2 4 - 2 1 2 4 j
~2( l ) 2 ( - 4 ) 2 ( 8 ) 2 ( - 5 ) l _ f - 2 - 8 16 - 1 0 ]
2 ( 6 ) 2 ( 2 ) 2 (1 ) 2 ( - 7 ) J [ '2 4 2 ~'4J
Las m atrices tie n e n e l m ism o o rden, 2 x 4, a l su m ar s e obtiene:
= [ - 6 t -S Z H ¿ 1 2 :S]-R -28 _s -.¿9]
F in alm en te, 3 C + 2 0 = [ 13 J ¡
In v e rs o a d itiv o
E l inv erso ad itiv o d e u na m atriz A tfc o rd e n m x n e s - A .
S i A = e n to n c es - A = ( - a¡¡), es d ecir, e l inv erso a d itiv o d e una m atriz s e obtiene a l m u ltiplicar c a d a e lem en to
por e l e s c a la r - 1, e n o tras palabras, e l inverso a d itiv o d e u na m atriz A e s o tra m atriz - A , ta l q u e A + ( - A ) = 0, donde
O e s la m atriz c e r o o nula.
Ejem plo
r - 3 - 5
2 - 1 0 '
S Í A = [ 7 - 2
y B =- 4
- 1 0
5 7
1 3
, d e te rm in a - A , - B y verifica que A + ( - A ) = 0.
3 9 0

409. E je m p lo s
C a p i t u l o 16
Matrices
S o lu c ió n
Se o btiene la m atriz inverso ad itiv o d e la m atriz A y B .
A = [ 7 - 2 ] — * = H ) [ 7 J 2 ] - * - A =
- » - * = ( - 1 )
2 - 1 0
-4 5 7
-10 1 3
2 - 1 0
-4 5 7
-10 1 3
l ( 3) - 1 ( - 5 ) 1 _3 51
- 1 ( 7 ) l ( 2 ) J -. - 7 2 j
- 2 1 0 '
* - B =
r -
1
«n
1
10 - 1 - 3
Se realiza la o p e rac ió n A + ( - A )
A + (
r - 3 —5 l r 3 5 l r - 3 + 3 - 5 + 5 l r o 0 ]
~A)=[ 7 -2J + L - 7 2 J = [ 7 - 7 —2 + 2 J = |_0 o j
P o r tanto, - A = 1, — B =
-2
4
1
-5
1
-j 0
1
L-7 2J
10 -1-3
y A + ( - A ) = 0
Resta
La d ife re n c ia o r e s ta d e dos m atrices mxn.se define:
A - B = A + ( - B )
D onde - B e s e l in verso ad itiv o de B.
E JE M P L O S
• • E n c u e n tra A - B si
S o lu c ió n
Para d e te rm in a r la re sta, la se g u n d a m atriz s e m u ltip lic a por e l e s c a la r - 1, e n to n c es la nueva m atriz s e su m a c o n la
prim era y q u e d a co m o resultado:
A - B = A + <rM> [ f V ] - [ 4 " 2 ] = [ ? V ] + < - '> [ 4 ” 2 ]
ro 11
P o r co n sig u ien te, A - B = ^ \
’h: a
2 • • S ean las m atrices M =
- 3 1
4 5
0 1
y N =
2 - 4
- 1 0
0 3
, d e te rm in a r 3Af - 2 N .
S o lu c ió n
L a o p e rac ió n 3AÍ - 2 N s e puede e x p re sa r c o m o e n 3Af + ( - 2iV), s e o b tie n e n las m atrices e sc alare s y finalm ente se
sum an.
- 93 " - 4 8
3M =12 15 y - 7 N =2 0
0 3 0 - 6
(continúa)
3 9 1

410. 16 C a p í t u l o
Ál g e b r a
(c o n tin u a c ió n)
E ntonces,
- 93 ' ' - 4 8
1
VO
1
•t- 3 + 8 ' - 1 3 11
3 M - 2 N = 3 A # + ( - 2 N ) =12 15 +2 0 =1 2 + 2 15 + 0=14 15
0 3
vo
1
o
0 + 0 3 - 6
—
1
o__
F in alm en te, 3 M - 2 N e s
3 • • ' D a d a la sig u ien te igualdad:
- 1 3 11
14 15
0 - 3
\ m + 2 n i [ m - 2 - n i [1 0 8 l
3 _ . - . = „ „ , d e te rm in a e l v alor d e las in cógnitas.
L ! 4 j [ y 5 j [ 3 7 j
S o lu c ió n
Se realizan las op eracio n es indicadas.
[ m + 2 w ]\ m- 2 - n i [ 3 ( m + 2 ) - ( m - 2 ) 3 n - ( - n )r 2 m + 8
L ' 4 j - l > 5 j =
•
•r,
1
^T
> r
i
—
e
i
3 - y
[ 2 m + 8 A n l [1 0 81
3 - , 7 J = [ 3 7 J
L o s térm in o s resu ltan tes s e igu alan c o n los té rm in o s c o rre sp o n d ie n te s d e la m atriz d e l seg u n d o m ie m b ro , y se
obtien e e l siguien te siste m a d e ecu a cio n e s:
2 m + 8 = 10
4 n = 8
3 - y = 3
Al re so lv er e l siste m a se o b tie n e n los sig u ien tes valores: y = 0 , m = 1 y w = 2
EJE LC IC IO 1 6 2
Para las sig u ien tes m atrices, e fec tú a A + B , A - B , A - A , 4 A - 3 B y 2 A - 0 B
2 - 3 -
“ - [ ? 1 M ? i]
2. A = [ 2 0 1 ],J3= [ - 6 7 3 ]
2- 7 ' - 4 5 '
3. A =10 2 - 6
2 - 3
1 7 .
4. A =
5. A =
4 - 6
2
5
0 3 2
En las sig u ien tes igu aldades, d e term in a e l valor d e las incógnitas.
6. [ f l " 7 5 Í +2 Í 3 Í = [ 6 7 “ " I
[ v - 4 1 - c d \ [ - v - 3 O j [ - 1 - 7 5 J
7 i 0
1 1 „[1-64
~ [ - 3 2 7
I o l
3
B =i - 5 8
3
2 4 3
3 5 2
3 9 2

411. E je m p lo s
C a p í t u l o 16
Matrices
nx + \1 2 n 2 8 - n 1— IV3 ' * - 4 2 4 - 2 5
7. 2 5 0 - 3 y - l- 2-- 5 6 8. 11 9 12+- 1 z - 11=10 10 13
3 l - » v 2 4
0 ~ w .
- 72 v —1 3 - 4 6 - 4 V
V e rifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
M ultiplicación
S ea A = (a,¡) una m atriz d e o rd e n m x n, y B = (b#) una m atriz d e o rd e n n x p, la m u ltip licació n A B d a c o m o resultado
la m atriz C = (c#) d e o rd e n m x p , ta l que
*# = <*«*■j + a J>v + + a j> 4
Para:
i = 1 ,2 , 3, 4,..., m ; j = 1, 2 ,3 , 4 ,..., n
E l núm ero de colum nas d e la m atriz A , e s igual a l núm ero de renglones d e la m atriz B.
M atriz A M atriz B
m x n n x p
t i
________________________* t
Ejemplos
T am año d e A B e s m x p
M a tr iz
A M a tr iz B M a tr iz A B
2 x 3 3 x 4 2 x 4
1 x 2 2 x 3 1 x 3
5 x 4 4 x 2 5 x 2
3 x 1 3 x 1 N o definida
E JE M P L O S
• • R ealiza la m ultip licación d e las sig u ien tes m atrices:
-g .VE: a
S o lu c ió n
A e s u n a m atriz d e 2 x 2 y B d e 2 x 3, p o r tanto, la m u ltip licació n s e puede re alizar. A l a p lic a r la d e fin ició n s e procede
tfc la sig u ien te m anera: s e m ultiplica e l prim er ren g ló n por c a d a una d e las colum nas d e la se g u n d a m atriz.
g
A B =
Se realiza la m ism a op eració n c o n e l seg u n d o reng lón.
A B =
3 ( —O 2 ( 0 ) + 3(1) 2 ( 3 )
2 3 2 0 3]
5 4
----
1
•—4
■—4
1
— -» 4 (1 ) 5 ( 3 )
+ 3 ( 5 ) j = j l 3 2 l j
+ 4 ( 5 ) ] = [ e 4 3 5 ]
(continúa)
3 9 3

412. 16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
(c o n tin u a c ió n)
Finalm ente, se unen los resultado s para o b te n e r la m atriz A B ,
A B =
n 3 2 1 1
[ 6 4 3 5 J
S u o rd e n e s d e 2 x 3
2 • • D e t e r m i n a / ? 2s iR =
3 1 - 1
0 4 2
- 2 1 0
S o lu c ió n
Se tra n s fo rm a R 2 e n R 2 = RR-, e s to e s p o sib le s i R e s u n a m atriz c u a d ra d a y s e p ro c ed e a re a liz a r las o p e rac io n e s
indicadas e n e l eje m p lo anterio r.
R 2 =
3 1 - 1
0 4 2
- 2 1 0
3 1 - 1
0 4 2
- 2 1 0
3 (3 ) + l ( 0 ) - l ( - 2 ) 3(1) + 1 ( 4 ) —1(1) 3 ( —1) + 1 ( 2 ) —1(0)
0 ( 3 ) + 4 ( 0 ) + 2 ( - 2 ) 0 ( l ) + 4 ( 4 ) + 2 ( l ) 0 ( - l ) + 4 ( 2 ) + 2 (0 )
—2 ( 3 ) + 1 ( 0 ) + 0 ( —2 ) - 2 ( l ) + 1 ( 4 ) + 0 (1 ) - 2 ( - 1 ) + 1 ( 2 ) + 0 ( 0 )
116 - 1 ' '1 16 - 1
- 418 8 enton ces R 2 =- 4 18 8
- 6 2 4 - 6 2 4
Propiedades de las matrices
S ean las m atrices P , Q , R d e o rd e n m x n , 0 la m atriz nula de m x n, I la m atriz iden tid ad y r,s esc alare s, en to nces:
P r o p ie d a d e s 1
C o n m u ta t iv a d e la s u m a P + Q = Q + P
A s o c ia t iv a d e la s u m a P + ( Q+R)=( P + Q) + R
Id e n t id a d d e la s u m a p + o = 0+ P= P
D is t r ib u t iv a iz q u ie r d a r(P+Q) = rP+rG
D is t r ib u t iv a d e r e c h a ( 1r + s )P = r P + s P
In v e r s o a d it iv o P + ( - P ) = 0
A s o c ia t iv a d e la m u lt ip lic a c ió n d e e s c a la r e s( r s ) P = r ( s P )
A s o c ia t iv a d e la m u lt ip lic a c ió n P(Q R)= (PQ )R
Id e n t id a d d e la m u ltip lic a c ió n /p=p/=p
D is t r ib u t iv a p o r la iz q u ie r d a P[Q+ R)= PQ + PR
D is t r ib u t iv a p o r la d e r e c h a ( Q + R)P= QP+ RP
3 9 4

413. C a p i t u l o 16
Matrices
EJE IC IC IO 1 6 3
Para las sig u ie n te s m atrices d e te rm in a A B , B A , A(B - 2 Q y A (B C \ e n c a s o d e se r p osible.
1. A =
[s 7 ] y « = [ _ ¡ ]
2. A = [ 3 0 - l ] y B =
2 - 1
0 2
1 2
‘ 4 - 1 ' 0 - 1- 2 '
3. A =10 y B =- 2 0 - 1
- 3 2 - 1- 2 0
7. A =
í5 4 31 0 2 í 1 21
l • < r =
0
1
i
1 3 1 '
y B =- 2 0 - 1 8. A = 2 - 1
-------
i
—
i!>
O 0 1
4A=L3 2
V erifica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d a s o lu c i o n a s c o r r e s p o n d i e n t e 1
Determinantes
H d e term in an te d e un a m atriz A d e o rd e n n , e s un núm ero e s c a la r que s e relacio n a c o n la m atriz, m ediante una regla
de o peración. D e n o tad a por detA = | A \
Sea la m a triz d e o rd e n 2
H d e term in an te d e A e s tá d a d o por:
Por tanto.
A =r «ii o\21
L <*21 22 J
y H
= « n *«22—«12 ‘«21
X (+)
detA =
* u °i:
a a r
= «II «22 —«i2 «21
Ejemplo
E valúa e l d e term in an te de la m atriz:
A =
S o lu c ió n
C áda ele m e n to d e la m atriz se sustituy e e n la fó rm u la y s e realizan las o p eracio n es.
detA =
4 1
- 2 5
Finalmente, e l detA = 2 2
3 9 5

414. 16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
S eo la m a triz d e o rd e n 3
A =
au a ,2 al3
« 2 1 « 2 2 « 2 3
« 3 1 « 3 2 « 3 3
Se e sc rib e e l d e te rm in a n te d e 3 x 3, p a ra re so lv e rlo s e re p iten los d o s p rim e ro s re n g lo n e s y s e m u ltip lic an las
en trad as e n d iag o n a l co m o s e indica:
^ (_)
x (-)
* ( - )
d e t ( Á ) =
« 1 1 « 1 2 « 1 3
« 2 1 « 2 2 « 2 3
« 3 1 « 3 2 « 3 3
Por tan to, e l d e term in an te es:
detA = (au a B +a2l *«13+ «31 «12 ' «23) “(«21 « d «33 + « i i «32 «23 + « 3 i ‘«22 ‘ «13)
detA = a u *«22 «33 +«21 ‘«32 «13 + « 3 i ' «12 «23 ” «21' «12 ‘«33 “ «11 «32 ‘ «23“ «31 ‘ «22 «13
Ejem plo
E l d e term in an te d e la m atriz B , es:
2 - 1 0
B = - 2 3 4
- 5 1 6
S o lu c ió n
Se form a e l sig u ien te arreglo: s e a u m e n tan los dos prim eros ren g lo n es d e l determ in ante, c o m o s e indica, d e sp u é s s e
procede a su stitu ir los térm inos e n la fó rm ula y se realizan las o peracio nes indicadas e n la fórm ula.
Por co n sig u ien te, e l d e term in an te es:
d e t B = ( 2 ) ( 3 ) ( 6 ) + ( - 2 ) ( l ) ( 0 ) + ( - 5 ) ( - l ) ( 4 ) - ( - 2 ) ( - l ) ( 6 ) - ( 2 ) ( l ) ( 4 ) - ( - 5 ) ( 3 ) ( 0 )
= 3 6 + 0 + 2 0 - 1 2 - 8 - 0 = 36
En co n se cu e n cia , e l d e tB = 36
Propiedades
1. S i s e in tercam b ian dos renglones d e u na m atriz A de o rd e n n , e l d e term in an te d e la m atriz resu ltante e s:
detA = - detA
2. S i so n c e r o todos los e le m en to s d e un renglón o c o lu m n a de una m atriz A d e o rd e n n , en to nces
detA = 0
3. S i 2 ren glones so n iguales d e u na m atriz A d e o rd e n n , entonces
detA = 0
4. S i s e tie n e una m atriz A d e o rd e n n, y a s e a m atriz tria n g u lar su p e rio r o inferior, enton ces
detA = producto d e los ele m en to s d e la d iag o n a l principal
3 9 6

415. E je m p lo s
C a p i t u l o 16
Matrices
5. S i un ren g ló n d e una m atriz s e m u ltip lic a por un e s c a la r A., entonces
detA = A. detA
6. S i A y B so n m atrices d e o rd e n n, en to nces
d e tA fl = detA d etB
E JE M P L O S
• • V erifica la p ro p ied ad 2 s i A =
“ ■ E ° !
S o lu c ió n
Se o b serv a que e n uno d e los re n g lo n e s d e la m atriz todos so n cero s, luego s e procede a en co n trar e l d e term in an te de
la m atriz A
v - >
detA = = ( 0 ( O ) - ( o ) ( - 3 ) = 0 - 0 = 0
V )
F inalm en te, e l detA = 0, y s e v erifica la p ro p ied ad 2
2 • • ■ V erifica la p ro p ied ad 4 s i A = ^ ^ j .
S o lu c ió n
Se o b serv a que la m atriz es tria n g u lar superior, en to n c es e l p rodu cto de la d ia g o n a l principal es:
( 5 ) ( 4 ) = 2 0
L uego, s e procede a hallar e l d e term in an te d e la m atriz A
detA =
P o r tanto, detA = (5)(4) = 20
F inalm en te, s e verifica la propied ad 4
y - >
= (5 )(4)-(0 )(l) = 2 0 - 0 = 20
N + )
3 • • V erifica que el detA = 0 s i A =
S o lu c ió n
1 3 2
2 3 4
1 3 2
detA =
> < - >
\ ( + )
^ ( + )
* ( + )
d e t A = ( l ) ( 3 ) ( 2 ) + ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) + ( l ) ( 3 ) ( 4 ) - ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) - ( l ) ( 3 ) ( 4 ) - ( l ) ( 3 ) ( 2 )
= 6+1 2+1 2- 1 2- 1 2 - 6 = 0
( - )
P o r consigu ien te.
detA = 0
3 9 7

416. 16 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJE IC IC IO 1 6 4
Encuentra e l d e te rm in a n te d e las sig u ie n te s m atrices:
[2 - 3 1 r - 2 6 1 r 0 5 1
3 - 1 8 ' - 2 - 5 - 1
L 4 5 J
2. B =
. 1 - 7 J
[ !0 - 4 J
4 . E =5 6 4
0 4 - 3
5. D =- 4 - 1 - 3
1 0 - 6
V itrifica t u s r e s u l t a d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
M atriz inversa
D ad a u na m atriz c u a d ra d a P d e o rd e n n, si ex iste una m atriz Q ta l que:
PQ = QP = /„
E n to nces, s e dice que la m atriz g e s la m atriz inversa d e i* y s e d e n o ta P -1, d e ta l form a que:
P P l = P lP = In
Donde:
/„ : M atriz identidad d e o rd e n n
fó ra que e x ista la inversa de la m atriz P e s n e ce sa rio que la m atriz s e a c u ad ra d a y e l d e tP ^ O
M é t o d o d e G a u s s jo r d a n
S e u tiliz a la m atriz a u m e n ta d a , la c u a l s e o b tie n e a l unir la m atriz c u a d ra d a d e o rd e n n co n la m atriz id e n tid a d IH;
un a vez a u m e n ta d a la m atriz, por m e d io d e o peracio n es ele m en tale s, s e obtiene o tra m atriz.
> n Pn - Pi, \ 1 0 - 0 ' " 1 0 0 0 4.1 4.2 - 4 .,
P2I P22 ... P2n\ 0 1 ... 0
. . . 1 . .
. 1 . .
~
0 1 0 0 4 2| 422 ••• 42,
. . . . * ! * • ••• *
P„ P.2 ••• P „ ! 0 0 ... l_ 0 0 ... 1
4 „ 4,2 - 4 „ .
Si e n e l p ro c eso alg ú n ele m e n to de la d iag o n a l principal es cero , enton ces la m atriz no tie n e inversa.
E JE M P LO S
g - 1 • • • O b t é n * - | , s i * = p _ * J.
S o lu c ió n
Se au m e n ta la m atriz y s e e fe c tú a n las o p e rac io n e s indicadas:
1 0' - 3 !0 1
-
1- 3! o
0 1
* . L
1 i 1 0 0 -7- ii I2RX —Jfj -4^2
“1 ! 31 1
.
o !
3
¡ 3 I 1 0 i7
! 7
7
i
i
! -1
>
' I b * 0 -7
i
¡ - i2 0
•
i ¡
i
1
7
rp,- SKi-K,
3 9 8

417. C a p i t u l o 16
Matrices
P o r tanto, R _l =
2 • • D e term in a B~l s i B =
S o lu c ió n
3 1 '
7 7
1 _ 2
.7 7.
1 2 -1
2 1 0
4 - 2 3
12-1! 1
00 ' "l2-1 1 0 0 '
2 1 0
i o10 0 3 - 2 2 -10
4- 2 3lo01
2
4- 2 3 0 0 1
12-1 1 0 0 12- 1 ! 10 0 '
0 3 -2 2 -1 0 0 3 - 2 i 2 -1 0
0 10 - 74 0 -1 0 0 1 ¡ 8 - 1 0 3
-1R;+2R,-R,
12- 1 ! i0 0 ' 12 -! 10 0
0 3 0
i 18
- 2 1 0 10
1
- 72
0 0 18- 1 03
1r,-r,
0 0 1
i
: 8- 1 0
4
12 09- 1 0 3 100 - 3 4- i
0106- 7 2 ~010 6 -7 2
0 0 18- 1 0 3
2R~~tR¡
0 0
18
- 1 0 3
F in alm en te, B~ 1 =
- 3 4 -1
6 - 7 2
8 - 1 0 3
EJE ÍC IC IO 1 6 5
D e t e r m in a la m a triz in v e r s a d e la s s ig u ie n t e s m a t r ic e s :
3. C = 6. F =
[ - 3 2 ]
Q V e r if ic a t u s r e s u l t a d o s e n l a s a c c ió n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
5 4 3
2 1 0
- 1 2 - 3
n a l
1 _ l ' '- 4 - 2 f
1. A = 4 . D =2 3
ll
O
r-’
0 - 2
1-2 - 2 j
21
- 1- 2 3
r - i o í
21 -1
6 1 0 '
2. B = 5. E =- 1 1 2 8. H =2- 1 3
L 5 2j
12- 1
01 - 1
9. J =
4 0 2 1
- 3 2 - 1 - 2
1 5 2 - 3
0 - 3 1 - 2
3 9 9

418. s o |d u i 3 ¡ 3
16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
E JE M P LO S
1 • •
Inversa de una m atriz p ara resolver sistemas de ecuaciones
Sea e l sistema:
allx l + a lIx 2+ ...+ a ls m= cl
a2íx t + a 22x 2 + ...+ a 2llx l,= c 2
« » .* .+ « .2*2+•••+«-■*,=«,.
Si e l sistem a se expresa en forma matricial se obtiene:
^11«.2«.3• «1» "V «i
«2.«22«23• «2«x 2 «2
«31«32«33 • «3» x 3=
«3
«-1«<"2««3 • «»,. y .
Sea
«11 «12«13 • «U *1 «i
«21 «22«23• «2, x 2 «2
A =
«31«32«33 • «3,
,x =
*
y c=
C?
_««.«-2«»3 • «-». x * .
Entonces:
A X = C
Si existe A -1, s e multiplican por A ~ xa ambos miembros de la igualdad
Se obtiene: A~lA X = A~XC , pero A A ~ X = I entonces, I X = A~*C. —> X = A ~ XC .
Esta última expresión resuelve el sistem a de ecuaciones.
- 3 y = 7
Resuelve e l siguiente sistem a: i t + 4y _ _2‘
S o lu c ió n
Se definen las matrices A , X y C , entonces: A =
- P í ]
X = c=
B I
Luego, s e obtiene la matriz inversa A
- 31
° 1
n
4 0
11
4
° ’l
4
o
> L =*l?
- 31° 1 ^
- f c
11
1 o i - i —
¡ 11 11
o ii: —i 2
i o
o i
4_ y
11 11
J _ 2_
11 11.
4 0 0

419. C a p i t u l o 16
Matrices
4 3
11 11
12
11 11
P o r co n sig u ien te, A ~ l =
Finalm ente, p a ra h a lla r los valores d e las incógnitas s e a p lic a la expresió n: X = A ~ l C
E ntonces:
X =
4
2 '
11 í i
P l -
_ 12
. 11 11.
n ( 7 ) + n (_2)
- n ( 7 )+n ( - 2 )
[-J
- > X =
Por tanto, las so lu c io n e s d e l siste m a son:
x = 2 , y = - \
2 • •■ R e s u e lv e e l sigu iente sistem a:
x + y - 2 z = - 4
2 x - y - z = \
3 x - 2 y + z= 7
S o lu c ió n
Se defin en las m atrices A , X y C , en to n c es: A =
Se obtiene la m atriz A~'
1 1 - 2 x - 4 '
2 - 1 - 1, x =y
y C = 1
3 - 2 1 z m 7 _
1 1 - 210 o' 1 1 - 210 o ’
2-1 - 1010 0 - 3 3 - 2 10
3 - 2 10 0 1-2K, 0 - 5 7- 3 01
-3
'
1 0 0
1 1 - 2
2 1 „
0 1 -1 - — 0
3 3
0 - 5 7
- 3 0 1
10- 1
01 - 1
0 0 2
- - 0
- — 0
- — 1
1 0 - 1
0 1 - 1
0 0 1
- - o
- — o
1 o o
0 1 o
0 0 1
2 2
P o r tanto , A ' =
(continúa)
4 0 1

420. 16 C a p í t u l o
ÁLG EBR A
(c o n tin u a c ió n)
Finalm ente, para h allar los valores d e la s incóg nitas se a p lic a la expresión:
X = A lC
E ntonces:
x
1
2
_ 1
2
f
2
-4
X =
y
=
5
6
_ 7
6
1
2
1=
z
1
.6
5
6
1
2.
7
P or tanto , las soluciones d e l siste m a so n : x = \ , y = - \ y z = 2
1
- 1
2
EJEÍC IC IO 1 6 6
R e s u e lv e b s s ig u ie n t e s s is t e m a s d e e c u a c io n e s p o r e l m é to d o d e la in v e r s a d e u n a m a t r iz .
1.
2.
3.
í A x - y = 2 2
[ 3 x + 5 y = 5
7m+9w = -10
I n - ' i m = 1 6
6a + 7 b = -A
a - 2 b = 31
4.
5.
a - 2 b + c = \ 2
2 a + b - c = 3
a - b + 3 c = \3
2 x - y + 3 z = 5
x +4y+z= 12
3 x - 5 y - 2 Z = 7
£ } V a rífica t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c ió n d e s o lu c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
\ x + 2 y - z = \
6. < 3 * + y + 2 z = - 2
[x-y+Az = -6
4 0 2

421. C ap ítu lo 17
Ra íc e s d e u n p o l in o m io
Niccolo Fontana-Tartaglia (1 5 0 0 -1 5 5 7 )
oció en Brescia y murió en Venecia. Su
verdadero nombre era Fontana, pero
fue apodado Tartaglia por su tartamu­
dez, causada por una cuchillada asestada por
un soldado francés, que le derivó secuelas en el
habla. Fue el primero en idear un procedimiento general de resolución de
ecuaciones de tercer grado, manteniendo en secreto sus métodos. Cardano
le engañó bajo la promesa de mantener en secreto estos métodos pero,
faltando a su honor, los publicó. En 1 5 3 7 publicó su primer libro sobre
teoría balística.
N i c c o l o F o n t a n a - T a r t a g l i a
(1500-1557)

422. 1 7 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Teorema del factor y del residuo
Sea el polinomio/(*)= a ^ + ...+ a0 ybx + c r n binomio, entonces.*
a ) b x + c e s factor de /(*) si/ j = 0
b) b x + c no es factor de/(*) si/ j = k , con k * 0, donde k es el residuo del cociente de /(*) con b x + c , asimismo.
E JE M P LO S
- 7 resulta de resolver la ecuación b x + c = 0
b
1 # • D em uestra que 3* - 1 es factor del polinomio / ( * ) = 3** + 2x* - 19* + 6.
Í . S o lu ció n
u
E l binom io 3* - 1 , se iguala con cero y s e despeja x
3 * - l = 0 - + * = i
Este resultado de la ecuación se evalúa en /(* ):
Como el resultado d e j = 0 ’ entonces se concluye que 3a: — 1, si e s factor del polinomio.
2 • • O btén e l residuo de dividir 4** -1 l*2 - x + 14 entre x - 3.
S o lu ció n
Al aplicar el teorem a del residuo, se iguala con ce ro * - 3 y el resultado del despeje s e sustituye en el polinomio/( * ) =
4a3 - 1 1 * * - * + 1 4
/( 3 ) = 4(3)3 - 11(3)2 - (3 ) + 14 = 20
Por tanto e l residuo de la división e s 20
3 • • Identifica cuál de las siguientes expresiones 5* + 1, * - 4 y *+4, son factores del polinom io/;*) = 10x3 + 57.x2 + 71* + 12.
S o lu ció n
L as expresiones 5* + 1, * - 4 y * + 4, s e igualan con cero y s e despeja a * , para luego evaluar los valores obtenidos
en /(* ):
\3 /i V ( i \
+
1 j) « . y .
n - s j = ioi
/ ( 4 ) = 1 0 ( 4)3 + 5 7 ( 4)2 + 7 1 ( 4 ) + 1 2 = 18 4 8 , por tanto* - 4 , no es fector
/"(—4 ) = 1 0 (—4)3 + 5 7 ( —4)2 + 7 1 ( - 4 ) + 12 = 0 , por tanto*+ 4 , si es factor
4 0 4

423. C a p í t u l o 17
Raíces d e un polinomio
4 •••D e te rm in a e l valor de k , ta l q u e/(*) = 3k x i + (4k + 5 ) * ? - \ 9 x - 12, sea divisible por: x + 3.
Solución
Para q u e f ( x )s e a divisible por x + 3, se debe de cum plir q u e/ ( - 3 ) = 0, entonces:
/ ( - 3 ) = 3 * (-3)3 + (4k + 5 )(-3)2 - 19 (-3 ) - 1 2 = 0
Se resuelve la ecuación para k:
- 4 5 k + 90 = 0 -> k = 2
Por tanto, e l valor de k = 2 y e l polinomio queda expresado como:
f ( x ) = 6*3 + 13r2 - 19* - 1 2
5 • • -Determina los valores d e k, tales q u e /( * ) = kx* - (A2 - 2)x2 - (A + 3)2x - 20, se a divisible por: 3* + 2.
Solución
fó ra que e l polinomio sea divisible por 3x + 2, s e debe cum plir que j = 0» entonces:
Al desarrollar la expresión se obtiene la ecuación de segundo grado:
3A2 + 5 0 k - 177 = 0
5 9
Cuyas soluciones para A, son los valores, 3 y — —, entonces los polinomios son:
f ( x ) = 3a?- 7 r2 - 3 6 * - 2 0 y f ( x ) = - ^ [ l 7 7*3 + 3463x2 + 2500a: + 1 8 0]
Raíces
Ebdo e l polinom io f ( x ) = aRx f + + ...+ a, a:1 + a„ el núm ero d e raíces o c ero s corresponde a l grad o n del
polinomio y son aquellos valores que cum plen la condición f(x„ )= 0, éstos pueden se r reales, com plejos o am bos, de
acuerdo a las características propias del polinomio.
EJEMPLOS
----------------------------------------------------------
1 • • Demuestra que -2, 1 y 3 son raíces del polinom io/C r) =*3 - 2*2 - 5 * + 6.
Solución
Lu
Se sustituyen los valores - 2, 1 y 3 en e l polinomio:
/ ( - 2 ) = ( - 2)3 - 2 ( - 2)2 - 5 ( - 2 ) + 6 = -8 -8 + 1 0 + 6 = 0
/ ( l ) = ( l j J - 2 ( l )2- 5 ( l ) + 6= l - 2 - 5 + 6 = 0
/ ( 3 ) = ( 3 f - 2 (3)2 - 5 ( 3 ) + 6 = 2 7 - 1 8 - 1 5 + 6 = 0
Todos los residuos so n iguales a 0, por consiguiente, s e dem uestra que estos valores son raíces o ceros del poli­
nomio.
4 0 5

424. Ejemplos
1 7 C a p i t u l o
ÁLGEBRA
2 ••■ Prueba que - i, i y ^ son las raíces del polinomio f(x ) = 3x3 - x2 + 3x - 1.
S o lu ció n
Los valores - i, i y - son sustituidos en e l polinomio
/ ( - i ) = 3<-i)3 - ( - O2 + 3 (- i) - 1 = 3 ( - í3) - (i2) - 3i - 1 = - 3Í3 - i2 - 3 / - 1
= - 3 ( - i ) - ( - l ) - 3 i - l
= 3 /+ 1 - 3 Í - 1
= 0
/(O = 3(/)3 - ( i)2 + 3(/) - 1 = 3( /3) - (í2) + 3/ - 1 = 3i3 - i2 + 3/ - 1
= 3 ( - i ) - ( - 1 ) + 3 i - 1
= - 3 / + 1 + 3 / - 1
= 0
H * - -
Por tanto, se prueba que - i, t y - son las raíces del polinomio.
3 • • D eterm ina cuáles de los siguientes números 4, 1, 1 + i y - 1 - 2i son c ero s del polinom io/(*) = + 5x*+7x*+7x
-20.
S o lu ció n
Se sustituye uno a uno los números en e l polinomio, esto con e l fin de saber cuáles son raíces del mismo.
/ ( 4 ) = (4)4 + 5<4)3 + 7(4)2 + 7(4) - 20 = 696
/( 1 ) = (1)4 + 5<1)3 + 7(1)2 + 7(1) - 2 0 = 0
/ ( l + i ) = ( l + i)4 + 5 ( l + i)3 + 7 ( l + i)2 + 7(1 + i) - 20 = -2 7 + 3 li
/ ( - 1 - 2 i) = ( - 1 - 2i)4 + 5 ( - l - 2i)3 + 7 ( - l - 2i)2 + 7 ( - l - 2i) - 20 = 0
Por consiguiente, los valores 1 y - 1 - 2i son los únicos que son raíces del polinomio.
Si las raíces de un polinomio so n x v x 2, x y . .. , x Ñ entonces e l polinomio se puede expresar de la siguiente forma:
f ( x ) = ( x - - A*)(r - x j . . . ( x - *,)
EJEMPLOS
• • D eterm ina e l polinomio cuyas raíces son los números - 3, 0 y 4.
S o lu ció n
Dado que existen tres raíces, e l polinomio a obtener es:
/( * ) = (r-(-3 )X * -0 X * -(4 ))
/( * ) = <* + 3X*X*-4),
Se desarrolla e l producto de los binomios y finalmente e l polinomio es:
f(x) = x i- x 2- \ 2 x
4 0 6

425. C a p í t u l o 17
Raíces d e un polinomio
1 35
2 •• Determina e l polinomio de tercer grado con ceros en - 1, - y/(- 2) = - — .
2 8
Solución
Dado que e l polinomio es de tercer grado, se representa como:
/(*) = (x - - xjix - *,)
Y s e sabe q u e / ( - 2) = - ^ entonces:
8
/ • ( - 2 ) = ( - 2 + l ) ( - 2 - i ) ( - 2 - x , ) - > = ( - l ) ( - f ) ( - 2 - ^ )
Al resolver para x¡, se obtiene que:
1
Por tanto, e l polinomio que cum ple las condiciones establecidas es:
/w=(*+,)H)HH+
3 • • O btén e l polinomio de tercer grado si se sabe que sus raíces son: - 1 -1, - 1 + * y 5.
Solución
El polinomio se representa de la forma:
/ ( * ) = ( i - ( - 1 - í ) ) ( a t - ( - 1 + í ) ) ( j : - 5 ) = (jr + l + ; ) ( j r + l - ¿ ) ( j r - 5 )
A l desarrollar e l producto se obtiene:
f ( x ) = x s - 3 x l - & x - \ 0
4 • • E ncuentra e l polinomio de cuarto grado si se sabe que sus raíces son: 2i, - 3, y adem ás/ ( - 1) = -5 0 y /(O ) = - 48.
S olución
Al tratarse de un polinomio de cuarto grado se representa como:
f ( x ) = ( x - *,)(* - JjX * - Xy)(x - x j
/ ( * ) = (x-2i)(x+ $)(x-x3)( x -x 4)
f t r o se sabe q u e / ( - 1) = -5 0 , entonces:
/ ( - ! ) = (-1 - 2 i)(—1 + 3)(—1 - X j ) ( - 1 - r 4) - » - 5 0 = ( - 1 - 2 i ) ( 2 ) ( - l -JC ,)(-1 - * ,)
También s e cumple q ue/(O ) = - 4 8 , por tanto:
/ ( 0 ) = ( 0 - 2 / ) ( 0 + 3 ) ( 0 - j r , ) ( 0 - x 4) -> - 4 8 = ( - 2 j) ( 3 ) ( - jr s) ( - * 4)
4 0 7

426. 1 7 C a p í t u l o
Álgebra
Donde se genera e l siguiente sistema:
8
*3 *4 = T
I
*3+^4 + * ,* 4 =
2 4 - 2 /
1 + 2 /
El cual tiene com o soluciones *3 = 4 y*4 = -2/, por lo que e l polinomio queda definido como:
/( * ) = ( x - 2 /) ( * + 3 ) ( x -4 )(* + 2/) - + f ( x ) = Ai* - Jt3 - 8a2 - 4r - 48
C á lcu lo d e las raíces por división sintética
fó ra encontrar las raíces de un polinomio se em plea la división sintética, a sí com o los diversos métodos de factori­
zación y resolución de ecuaciones, adem ás de hacer uso de la regla de los signos d e Descartes.
Regla d e b s signos d e Descartes
Esta regla nos permite determinar e l tipo de raíz posible para un polinomio (positiva, negativa o compleja)
Sea e l polinomio f { x ) = aHx H + « V i*'*’1 + ...+ a, x ' + üo, entonces sucede que:
© E l número de raíces positivas es igual o menor en dos a l número de cambios de signo del polinomio.
© E l número de raíces negaivas es igual o menor en dos a l número de cam bios de signo de la evaluación f ( - x ) .
© E l número de raíces complejas depende del número de raíces positivas o negativas que tenga e l polinomio. Si
el polinomio con coeficientes reales tiene una raíz com pleja entonces tam bién tiene com o raíz su conjugado.
E JE M P L O S
-----------------------------------------------------------------------------------------------•
"o_ 1 • • Dado e l polinomio f ( x ) = x} - 2 x r - l \ x + 12, determ ina sus raíces.
S o lu ció n
LU
Si se aplica la regla de Descartes se observa que:
1. Existen dos cambios de signos e n /(* ), en consecuencia e l polinomio tiene dos posibles o ninguna raíz positiva
f ( ¿ ) = + x i - 2 x ¡ - n x + \ 2
2. Se evalúa /( - * ) , para determinar las posibles raíces negativas
f ( - x ) = - x 3- 2 x ‘ + 11* + 12
w
Se observa que sólo hay un cam bio d e signo, por tanto existe una posible raíz negativa.
De acuerdo con la regla de los signos de Descartes las posibles combinaciones de raíces son:
Raíces p o sitivas20
R aíces negativas1 1
R aíces co m p le jas02
4 0 8

427. C a p í t u l o 17
Raíces d e un polinomio
Se factoriza e l polinomio mediante e l uso de la división sintética, como a continuación se ilustra,
que el coeficiente de x3 es 1, se tom an únicamente los divisores de 12
Divisores de 12 = { ± 1, ± 2, ± 3 , ± 4, ±6, ± 12}
Éstos son los posibles valores para los cuales el valor del residuo de la división sintética puede ser cero.
Se ordenan los coeficientes del polinomio y, con los valores anteriores, s e efectúan las operaciones siguientes:
1 -2 - 1 1 12
1 - 1 -1 2
1 - 1 -1 2 0
4 12
1 3 0
- 3
1 0
- 3
Finalmente, las raíces del polinomio son: x , = 1, x 2 = 4 y x i = - 3
2 # •1 Dado e l polinomio /( * ) = x5 + 3x4 - 2x* - 10*2 - 12*, determ ina sus raíces.
S olución
Este polinomio carece de térm ino independiente, entonces una de las raíces es cero y mediante una factorización el
polinomio s e expresa como:
/(* )= x p ( * ) = x ( y + 3x3- 2 * 2 - 10* - 12)
Se aplica la regla de Descartes a l polinomio p ( x ) para determinar e l número de posibles raíces:
1. Existe un cam bio de signo en p(x), en consecuencia e l polinomio tiene una o ninguna posible raíz positiva
p ( x ) = ¿ + 3x3- 2 * 2 - 1 0 r - 12
w
2. Se evalúa e l polinomio p ( - *), para determ inar las posibles raíces negativas
p ( - x ) = + * - 3 * ?- 2 x ?+ 1 0 * - 12
Se observa que hay tres cambios de signo, por tanto existen tres, una o ninguna posibles raíces negativas.
De acuerdo con la regla de Descartes las combinaciones posibles de raíces son:
Raíz cero 1 1 1
R aíces p o sitivas1 1 0
R aíces negativas31 0
R aíces co m p le jas024
C on e l método de división sintética se factoriza e l polinomio p (x )
1 3 -2 -10 -1 2
o
2 10 16 12
1 5 8 6 0
- 3
- 3 - 6 -6
1 2 2 0
Se observa que no existe ningún divisor d e 2 que d é com o residuo cero en la división sintética, por tanto las dos
raíces restantes son complejas y conjugadas. H asta este momento la factorización del polinom io/(*)es:
f ( x ) = x ( x - 2 ) { x + Z ) ( x '* 2 x + 2)
(continúa)
4 0 9

428. 1 7 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
Se iguala a cero e l polinomio X1 + 2 x + 2 y se obtienen las raíces restantes:
-2± / (2)J —4 (1 )(2 ) - 2 ± V 4 ^ 8 -2 ± 7 = 4 -2±2i
* = I f f l = ^ — = ^ — = ^ - =- ,± '
Por tanto, las raíces del polinomio f ( x ) son:
X \ = 0, x 2= 2, x 3 = - 3, = - 1 + / ,x s = — 1 - i
3 • • D eterm ina las raíces del polinomio/(*) = 36* + 24** + 13*2 + 6* + 1.
S o lu ció n
E l polinomio se expresa de la siguiente manera:
/ ( * ) = 3 6 * + 2 4 * , + 4x2 + 9*2 + 6jt + 1
Se agrupan los términos
/ ( * ) = ( 3 6 ^ + 24X3 + 4X2) + (9 ¿ + 6 x + 1)
El fector com ún da:
f(x )= 4 x 2(9x2 + 6 x + 1 )+ \ (9 x ¡ + 6 x + 1 ) = (4 * * + 1) (9x* + 6 x + 1)
Para hallar las raíces d e f(x ), se iguala a cero e l polinomio, entonces
( 4 *2+ l ) ( 9*2 + 6* + 1) = 0
4 r2 + 1 = 0 ; 9a:2 + 6jc + 1 = 0
x ‘ = ; ( 3 * + l)2 = 0
4
/ 1
X = ± 2 ' * = " 3
se dice que existe multiplicidad cuando una raíz se repite dos o más veces, com o en este caso, por tanto las raíces del
polinomio son:
-i - i _ - i
*i - 2 ,X¡~ ~ 2 ’ X}~X*~ ~ 3
EJERC IC IO 1 6 7
• Indica c u á le s d e b s sig u ie n te s binom ios so n factores d e l polinom io propuesto:
: 1. f ( x ) = x3- 4x2- 7 * + 10; x - X x - 1,AT- 5
; 2. g(x) = 2xi + x2- 7 x - & ,2 x + 3 ,x + 2 ,x + 1
j 3 . p ( * ) = 3 *4- 8 * ’ - 8*2 + 3 2 * - 1 6 ; 3 x - 2 , * + 2 , * - 2
' 4 . f ( x ) = x * - ¿ + l x 2- 9 x - 1 8 ;* + 1, * + 3 / , * - 2/, * + 2/
•
! 5 . A ( * ) = y + 20*2 + 6 4 ; * + i , * - i , * + 2 i , * - 2 i
1 6. m (x) = x s +6Xt + 2 3 * * + 3 4 * * + 2 6 * ; * + 6, * , * + 1 - i , x - 1 + i , * + 2 + 3 i
4 1 0

429. C a p í t u l o 17
Raíces d e un polinomio
Determ ina e l resid uo q u e se o b tien e al d ivid ir e l polinom io p o r los b inom ios d a d o s :
7. C*3 + 13a? + 14* - 88) + ( x + 2)
8. (2 x i + 5 x i - x - 6 ) + (2 x + 1)
9. (6*^ + 3 7 ^ + 3 2 * - 1 5 ) + ( 2 x- 3 )
10. (¿l + 2 r3- 7 *2- 8 . r + 1 2 ) + ( * + l )
11. (5*4 - 2 6 * 3 + 15*2 + 3 & r - 8 ) + (A: + 2)
12. ( j ?- 3x4- 5*3 + 15a:2 + 4 * - 12) + (* + 3)
Determ ina tos va lo re s d e lepara qu e e l polinom io:
13. f ( x ) = ¿ - k x 2 - ( 5 k + l) x + 12,se a divisible p o r . r - 4
14. /( * ) = 2x3 + (2* + l) * z- ( * l + l ) x - 2 4 , sea divisible p o r2* + 3
15. f ( x) = jfcr3 - (k 2 - l)*2 + (7* + 5 ) x - 12, sea divisible por 3x - 1
16. /( * ) =(2Jc2 - 2 ) j ? - ( 5 * - l)*2 - (3/r2 — 4k + 3 ) x - 6 , s e a divisible por 5 x + 1
17. f ( x ) = k x * - 2 k x l - (4k 2 - 3 )x 2 + ( k - 2 ) x + 15, se a d iv is ib le por * + 3
Indica si tos va lo re s pro p u esto s so n raíces d e tos polinom ios:
18. /( * ) = * * - 1 2 ^ + 4 7 * - 6 0 ; x = 3 , x = 4 , x = 5
19. /( * ) = 2^ + 3 ^ + 18* + 27; x = 3 i , x = - 3 i , x =
20. / (a:) = ^ + 1 0 ^ + 2 7 ^ + 18; * = 1,at = - 2 , * = - 9
Determ ina c u á le s d e tos va lo re s pro p u esto s so n raíces d e tos polinom ios:
2 1. f ( x ) = 2 ¿ - 1 3 ^ + 7 * + 22; * = y jc = -2, jc = - 1
2 2 . / ( * ) = 5a3 - 17*2 + 1 3 r + 15; jc = 2 + / ,jc = - 2 - i , * =
23. /( x ) = 6x3 + 5jt2 - 19a: — 10; x = - \ , x = | * =
24. / ( a ) = a - 4 a3 + 7a2 - 16a + 12; x = - 3 , x = - \ , x = 2 i , x = - 2 i
25. /( a ) = 25a4- 100a3- 19a2 + 8 2 * - 2 4 ; x = 4 , x = \ , x ^ * = - |
Encuentra e l polinom io cu ya s raíces so n :
26. x = - 5 , x = 0, x = 1
27. x = 3 , x = - 3 , x = - 4
28. * = - x = 4/, x = —4/
29. , = ? f , = ^ = f
30. a = 4, a = - 5 , a = 3 - 2i, x = 3 + 2 i
31. x = i , x = - i , x = — x = -
Encuentra el polinom io q u e cum pla c o n la s sig uientes características:
32. Polinomio de tercer grado, con raíz en - , / ( l ) = 10, / ( - 1 ) = - 4
33. Polinomio de tercer grado con raíz en 1 ,/(1 ) = 0 , /( 0 ) = 1
34. Polinom io que sea de cuarto grado, con raíces, - 1 , i y - i , adem ás /( 3 ) = 40
35. Polinomio de cuarto grado con raíces en - 3 , multiplicidad 2 en raíz 1 y f ( 0 ) = - 3
36. Polinom io que sea de cuarto grado, multiplicidad 3 en la raíz 2 y f { - \ ) = -2 7
37. Polinomio de quinto grado con raíces 1, - 1 y / ( - 2 ) = 0, / (0) = - 2 , f { 2 ) = 60
4 1 1

430. 1 7 C a p í t u l o
Álgebra
Determ ina la s raíces d e b s sig u ien tes p o lin o m b s :
3 8 . f ( x ) = x3 - 5x2- x + 5
3 9 . m = x i - 1 2 ^ + 4 7 ^ - 6 0
4 0 . f ( x ) = 15X3 - 5 2 r - 3 Q r + 8
4 1 . / ( * ) = 2 * 3 + 1 3 * 2 + 3 0 * + 25
4 2 . / ( * ) =x* - 6x3- 13 *2 + 4 2 *
4 3 . / ( * ) = x* - * * + lO*2 - 1 6 * - 96
4 4 . / C * ) =6jc4 + * 3- 2 a * : 2- 4 2 r - 2 0
4 5 . / ( * ) = 2 ^ + 13x4 + 19** + jc2 + 1 7 a t- 12
V # r i f l e a t u s r e s u l t a d o s e n l a s e c c i ó n d e s o l u c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e
4 1 2

431. Solución a los ejercicios

432. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 1
1 . 8 4 . ®
2 . 8 5 . e
3 . e 6 . e
Ej e r c i c i o 2
1 . R = { i e W | x e s d i v i s o r d e 1 0 }
2 .A = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
3 . S = { 4 }
4 . C= { x e N | x e s d i v i s o r d e 2 0 }
5 . V= { - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 }
6 . ( 3 = {e ,o ,u}
7 . 7 - = { 2 , 3 , 4 , 5 }
8 S= { 2 , 3 , 7 }
9 . t / = { x e N | a r e s u n m ú l t i p l o d e 4 }
10 . M= { 2 , 1 0 , 5 0 }
Ej e r c i c i o 3
1 . n ( 4 ) - 8
2 . n ( f l ) - l
3 . « ( s ) - 4
4 . n ( t f ) - 0
5 . „ ( < ? ) —
Ej e r c i c i o 4
1 . I g u a l e s
2 . E q u i v a l e n t e s y d i s j u n t o s
3 . D i s j u n t o s
4 . D i s j u n t o s
5 . E q u i v a l e n t e s
6 . E q u i v a l e n t e s y d i s j u n t o s
7 . E q u i v a l e n t e s y d i s j u n t o s
8 . D i s j u n t o s
9 . D i s j u n t o s
10 . I g u a l e s
Ej e r c i c i o 5
1. 8 s u b c o n j u n t o s
2. 3 2 s u b c o n j u n t o s
3 . 1 6 s u b c o n j u n t o s
{ { ) • { * ) • { * ) - { * ! • { f ) \ a'
5 . { c , e ) , { c f } , { e , f ) , { a , c >e ) , { a , c , f } , { a , e , f ) ,
{ c .e .f ) .{ a ,c ,€ ,f) }
{ { } . { ' } . M . { 3 } . { ‘ } . M . { U } . { W } .
6 . { 2 , 3 ¡ , { 2 , 6 } , { 3 . 6 ¡ , { 1 , 2 , 3 j , { 1 , 2 , 6 } , { 1 , 3 , 6 } ,
{ 2 . 3 . 6 } . { U 3 . 6 } }
’ { { } - { ' } - { 3 } . { » } . { > . 3 } . { W } . { 3 . » } . { . . 3 , » } }
8 { { } • { 5 ) { 6 } . { 7 } . { 5 . 6 } . { 5 . 7 } . { 6 , 7 } . { 5 . 6 . 7 } }
6. «(r) -1
7 . n ( M ) - 0
8. n(¿)-4
9 " M - ~
10.n(o)-12
7 . e 1 0 . 8
8 . 8 1 1 .8
9 . e 1 2 . 8
Ej e r c ic io 6
l . J u f i » { - 3 , - 2 , - 1 ,0 ,1 ,2 ,4,6 }
2. A r B m { 2 }
3 . A ' m { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
4. fl' n {- 3, - 2, - 1,0,1,3,5,7 }
5 . 4 - B » { - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 }
6 B - A = { 4 , 6 }
4 1 4

433. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 7
1 . ¿ u S - { 0 , 1 . 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 1 2 1
2 . f l u C « { 0 4 . 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 2 }
3 . C u D « { 0 4 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
4 . D u B - { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 2 1
5 . - 4 n i ? - { 2 , 4 , 6 }
6. A n D » { 4 , 6 }
I . C r E « {0 4 ,2 ,3 ,4 ,5 J
8 . B r C™ { 1 , 2 , 3 , 4 }
9 . A - { U ,5 , 7 , 9 , 1 0 4 1 4 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 4 6 , 1 7 , 1 8 )
1 0 . B1 - { 0 . 5 , 7 , 8 , 9 4 0 , 1 1 , 1 3 , 1 4 , 1 5 4 6 , 1 7 , 1 8 }
I I . C - { 6 , 7 , 8 . 9 , 1 0 4 1 4 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 . 1 6 . 1 7 , 1 8 }
1 2 . U - { 0 4 , 2 , 7 , 8 , 9 , 1 0 4 1 4 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 4 6 , 1 7 , 1 8 }
W .A - B ■ { 0 , 8 }
1 4 . C - £ > - { 0 4 , 2 ¡
1 5 . E - A " { 0 , 5 , 7 , 8 , 9 }
1 6 . B - A m { \ ¿ , 1 2 }
1 7 . ^ n i ? - { 1 , 3 , 1 2 }
1 8 . A u B1 - { 0 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 3 , 1 4 , 1 5 4 6 , 1 7 , 1 8 }
1 9 . f l ' n F - { l 0 4 1 4 3 , 1 4 4 5 4 6 , 1 7 , 1 8 }
2 0 . A - G - { U ,5 , 7 , 9 , 1 0 4 1 4 3 , 1 5 , 1 7 }
2 1 . (A u B f m { 5 , 7 , 9 4 0 4 1 4 3 , 1 4 4 5 4 6 . 1 7 , 1 8 }
2 2 . (A n B f m { 0 , 1 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 4 0 , 1 1 , 1 2 4 3 , 1 4 4 5 , 1 6 4 7 , 1 8 }
2 3 . (A u f ) n C - { 0 , 2 , 4 ¡
2 4 . B u ( F - G ) - { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 1 2 , 1 5 , 1 7 }
2 5 . ( F - G ) n £ ' - { 1 5 , 1 7 }
2 6 . ( f n G ) u D - { 3 , 4 , 5 , 6 4 4 4 6 . 1 8 }
2 7 . r n ( i u C ) - { 1 2 . 1 4 ,1 6 , 1 8 }
2 8 . ( E u F ) n ( 4 u G ) « { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 4 4 4 6 , 1 8 }
2 9 . ( C u £ ) n ( F u G ) - { } - í
3 0 . ( S u D) u ( F n G) - {1 , 2 , 3 , 4 . 5 , 6 4 2 4 4 4 6 , 1 8 }
3 1 . ( f l u í í ' - ( £ u G ) ' = { 0 , 7 , 8 , 9 , 1 4 , 1 6 , 1 8 }
3 2 . ( J ' n f l ' ) - ( F n F > { 5 , 7 , 9 , 1 4 , 1 5 4 6 , 1 7 , 1 8 }
Ej e r c i c i o 8
i.
2.
3.
4.
5.
415

434. 6.
Á lG E B R A
7 .
8.
9 .
B’ n ( A - Q
( A v C ) r ( B - C )
( A - B ) u ( A n C )
( A r t B r C y
(A'uB'í-CA'uCT)
Ej e r c i c i o 9
1 . ^4 u f l ■ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
( ( A - B ) v ( B ^ C ) y
2 . - 4 n f l ■ { 2 , 3 }
3 . ^ ' u f l ' - { 0 , l , 4 , 5 . 6 , 7 , 8 , 9 )
4 1 6

435. Solución a los ejercicios
4. j f r\ B" m [ 6 . 8 , 9 }
6 ( A u B u C y - { 6 , 9 }
7 .
8 . (A - B)’ n (B r . O ' - { 3 , 6 , 7 , 8 , 9 }
9 . (A - B)’ u C • { 0 4 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
1 0 . (A n B ) 'n ( A n Bf) - { 6 , 8 , 9 )
1 1 . (4 - B ) 'n ( B - C ) ' - { 2 , 5 , 6 , 8 , 9 }
Ej e r c i c i o 1 0
l.
V D p a) 101 p e r s o n a s
b) 1 5 8 p e r s o n a s
( i
c) 1 00 p e r s o n a s
V /\6/\
J
\ 16 )
49
417

436. Á lG E B R A
a) 5 2 n i ñ o s
ó ) 7 3 n i ñ o s
c) 1 00 n i ñ o s
d) 3 2 n i ñ o s
3 .
a) 8 p e r s o n a s
b) 5 p e r s o n a s
c) 10 p e r s o n a s
d) 2 6 p e r s o n a s
é) 3 4 p e r s o n a s
f ) 3 6 p e r s o n a s
4 .
а) 5 p e r s o n a s
б ) 1 5 p e r s o n a s
c ) 5 5 p e r s o n a s
d) 3 1 p e r s o n a s
5 .
а) 5 0 n i ñ o s
б ) 1 3 n i ñ o s
c ) 2 0 n i ñ o s
d) 16 n i ñ o s
Ej e r c i c i o 1 2
1 . “ E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a y J a p ó n e s t á e n A s i a ”
2 . “ E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a o J a p ó n e s t á e n A s i a ”
3 . “ E s p a ñ a n o e s t á e n E u r o p a ”
4 . “ J a p ó n n o e s t á e n A s i a ”
5 . “ S i E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a , e n t o n c e s J a p ó n e s t á e n A s i a ”
6 . “ E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a , s i y s ó l o s i J a p ó n e s t á e n A s i a ”
7 . “ E s p a ñ a n o e s t á e n E u r o p a y J a p ó n e s t á e n A s i a ”
8 . “ E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a o J a p ó n n o e s t á e n A s i a ”
9 . “ N o e s v e r d a d q u e E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a o J a p ó n e s t á e n A s i a ”
10 . “ N o e s v e r d a d q u e E s p a ñ a e s t á e n E u r o p a y J a p ó n e s t á e n A s i a ”
2.
Ej e r c ic io 1 3
1 . f l A Ó
2 . Ú A ~ 6
3 . ~a v ~b
4 . 6 v a
5. ~a a ó
6 . ~ < a a 6 )
Ej e r c ic io 1 4
1 . ~a = “ E s p a ñ a n o e s t á e n E u r o p a y 6 n o e s n ú m e r o p a r ”
2 . -b - “ L o s p e r r o s n o l a d r a n o 1 2 n o e s m ú l t i p l o d e 3 ”
3 . = “ 5 n o e s n ú m e r o p a r o e s m ú l t i p l o d e 1 5 ”
4 . ~d= “ 7 e s p r i m o y n o e s d i v i s o r d e 2 1 ”
5 . ~e = “ 6 e s n ú m e r o i m p a r o e l t u c á n e s u n a v e ”
Ej e r c ic io 1 5
1.
C o n v e r s a :
“S i 3 n o e s p a r , e n t o n c e s e s d i v i s o r d e 6 ”
C o n t r a p o s i t i v a :
“S i 3 e s p a r , e n t o n c e s n o e s d i v i s o r d e 6 "
I n v e r s a :
“S i 3 n o e s d i v i s o r d e 6 , e n t o n c e s e s p a r ”
2.
C o n v e r s a :
“S i * e s d i v i s o r d e 2 5 , e n t o n c e s e s m ú l t i p l o d e 5 ”
C o n t r a p o s i t i v a :
“S i * n o e s d i v i s o r d e 2 5 , e n t o n c e s n o e s m ú l t i p l o d e 5 ”
I n v e r s a :
“S i * n o e s m ú l t i p l o d e 5 , e n t o n c e s n o e s d i v i s o r d e 2 5 ”
3 .
C o m e r s a :
“S i u n t r i á n g u l o n o e s u n c u a d r i l á t e r o , e n t o n c e s e s u n p o l í g o n o ”
C o n t r a p o s i t i v a :
“S i u n t r i á n g u l o e s u n c u a d r i l á t e r o , e n t o n c e s n o e s u n p o l í g o n o ”
I m e r s a :
“S i u n t r i á n g u l o n o e s u n p o l í g o n o , e n t o n c e s e s u n c u a d r i l á t e r o ”
4 .
C o n v e r s a :
“S i l a L u n a e s u n s a t é l i t e , e n t o n c e s M a r t e n o e s u n p l a n e t a ”
C o n t r a p o s it iv a :
“S i l a L u n a n o e s u n s a t é l i t e , e n t o n c e s M a r t e e s u n p l a n e t a ”
I n v e r s a :
“S i M a r t e e s u n p l a n e t a , e n t o n c e s l a L u n a n o e s u n s a t é l i t e ”
4 1 8

437. Solución a los ejercicios
C o n v e r s a :
“ S i 1 7 n o e s m ú l t i p l o d e 5 0 , e n t o n c e s e s n ú m e r o p r i m o ”
C o n t r a p o s itiv a :
“ S i 1 7 e s m ú l t i p l o d e 5 0 , e n t o n c e s n o e s n ú m e r o p r i m o ”
I n v e r s a :
“ S i 1 7 n o e s n ú m e r o p r i m o , e n t o n c e s e s m ú l t i p l o d e 5 0 ”
Ej e r c i c i o 1 6
1. { 2,4,6,8}
5 .
2' { 2’4 1
3 . { 1 , 2 , 3 , 4 . 5 . 6 , 7 , 9 , 1 2 , 1 5 , 1 8 , . . . )
4 . { 2 , 3 , 4 . 5 . 6 , 7 , 8 )
5.
7 . - * = “ x * T \ x e N
~ g = ux > 7 " ; x e N
8 . - h = “ x n o e s p a r y x < 8 ” ; x e N
- h = “ x n o e s p a r y x 2 8 " ; x e N
9 .~ i= “x $ 4 o x n o e s p a r” ; xe N
- / = “x < 4 o xno es par” ; x e AT
1 0 . ~ j = “ x i 5 o x n o e s p r i m o ” ; x e AT
~ j = “ x > 5 o x n o e s p r i m o ” ; x e N
4 1 9

438. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 1 7
1 . F a l s o 2 . F a l s o 3 . F a l s o 4 . V e r d a d e r o 5 . V e r d a d e r o 6 . V e r d a d e r o
Ej e r c i c i o 1 8
i . 3 .
2.
5 .
7 .
p R
p A q p v q(p A q)<=>(pV q)
V V v v V
V
f f
V
f
f
V
f
V
f
f f f f
V
p R ~R p v - q
V V f V
V
f
V V
f V f f
í
V V
p R P=>R R=*P (p=>R)v (q=>p)
V V V v V
V
f 1
V V
f
V V
!
V
f f
V V V
4 .
6.
8.
p R ~p - ?~p=*~q
V V
f L .
V
V
f f V V
f V V / f
f f
V V V
p R P=*RpA(p=»q){p A (p=> í))= » p
VV V V V
V
f f f
V
V V
f
V
1f
V
'
V
p R p v RP=*R“ (F = * í)(pv q) A ~ (p = > í)
V V V V
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V
f V f V V
f
V V V
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V
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p v q-(p vq )~R
~(pvq)=>~q
VV V
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V
f f f V V V
9 .
p R ~p ~R ~p*~q p v q- ( p v q )(—p A ~q)=>~(pv q)
V V
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V
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V
V
f f
V
f
V
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V
f
V V
f f
V
f
V
f f
V V V
f
v V
10. 11.
p R
r
~p ~R i - R ^ ñ~p V(~q*>r)
V V V
f f f f
V V
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V V
V
fVf V V V
V
f f f
V
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f
VVVf /
V
f
V
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V
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V V
f f
VV V V V
f f /
V V f
V
p R
r p v qp v r (pv q) A (pv r)
V V V v V V
V V
f
V V V
V
f
V V V V
V
f f V V V
f
VV V V V
f
V
/
V
f f
f f
V
f
V
f
f f f f f f
4 2 0

439. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 1 9
l . ^ x í . { ( l . 2 ) . ( l . 4 ) . ( 2 . 2 ) , ( 2 , 4 ) . ( i 2 ).(3 .4 )}
> 4 x C - {( l,3 ) ^ l,5 ),(l,6 ),( 2 ,3 ),
(2 ,5 ),(2 ,6 ),(3 ,3 ),(3 .S ),(3 ,6 )}
3 .íx C - { ( 2 ,3 ) ,( 2 ,5 ) ,( 2 ,6 ) ,( 4 ,3 ) ,( 4 ^ ) ,( 4 ,6 ) }
4. B x A - { ( 2 J ) ,(2 ,2 ) ,(2,3 ) ,(4 , i) ,(4.2) ,(4 .3 )}
5. C x í - {(3 ,2 ),(3 ,4 ),( J 2 ) , (5 ,4 ),(6 ,2 ),(6 ,4 )}
A x (B x C ) - {(1,2,3) ,( 1,2,5) ^1,2,6) ,( l ,4 ,3 ) ,( l, 4,5) ,( l, 4,6)
6. (2 ,2 ,3 ),(2 ,2 ,5 ),(2 ,2 ,ó) ,(2,4 ,3 ) ,(2,4 ,5 ) ,(2,4 .6 )
(3.2.3) ,(3,2 ,5 ) ,(3,2 ,6 ) ,(3.4 ,3 ), (3.4 ,5), (3 ,4,6)}
(«4x f l ) x C - { ( l ,2 ,3 ) ^1,2,5),(l,2 ,6 ),(l,4 ,3 ),(l,4 ,5 ),(l,4 ,6 )
7. (2 ^ ^ ),(2 ^ ^ ),(2 ,2 ,6 ),(2 ,4 ,3 ) ^ 2,4,5),(2,4,6)
(3.2.3) ,(3,2 ,5 ) ,(3,2 ,6 ) ,(3,4 .3 ), (3.4 ,5), (3 ,4 ,6 )}
8. (A u B) x (A n c) - { (l,3 ) ,(2,3 ) .(3,3 ) ,( 4 3 ) }
9. (A - B) x C - {(1,3) (1,5) (1 ,6 ) ,(3,3 ) ,(3 ,s ) ,(3 ,6 ))
1 0 . ( ^ - C ) x ( ^ n C ) - { ( l ,3 ) ,( 2 3 ) }
2
Ej e r c i c i o 2 0
1. -5* 10. 2n 19. ah-ab1
2.13a2b 20. a3b2 c - 2a2be2
3. -lOxy2 12.0 2 1 .7 *2 - 1 0 ^ + 8
4 .0 1 3 .0 .0 5 6 -^ 6 22. —8 ni2 * 4mn + 5n2
5.10a2b 14. -2abi c 23. 2*2**1 + Sx3*-2
6. -8a 15. -3m‘ "? 2 4 .-9a-*5 + 7x**2
7 . - x 16. - 3 * + 3 y 25. - — a2 + 3a6
4
8. 8ab 17.6
26.
6 20
9. -a2 18, -\\m-8n 21.-2x - 3 y
Ej e r c i c i o 21
i . - i
2 .5
10 5 “ '3
2 1 .—
12
3 .3
4. 1
1 1 ,® a . 1
144
11
2 2 . ^
16
5 . 14
‘ 5
. 2 3 . « ¡ 5
U _ 7
23. — —
156
7 .- 2
O ¿
14.24 4
24. 432
8 . - 6
9 . 2 4 1 5 .- — 2 0 . - —
8 6 1 * ?
Ej e r c i c i o 2 2
1. x -3
2. 3a+ 8
4 . 1 0 0 - x
5 . x , x +1
6 . 2 a , 2a * 2 , 2a* 4 c o n a eZ
7 .(,♦ ,)*
8 . x 2 * y 2
9 -
x
10. ^
11 .yfa*>íb
1 2 . 5 x - 10
1 4 . 2 x * ( 2 x *2 ) * (2 x + 4 ) - 3 ( 2 * ) + ^ ( 2 x * 4 )
1 5 . 2 y { l 0 ) + y m 2 l y
1 6 . -^ x y z - 4
1 7 . ( a + 6 ) * - 4 9
18. Am x2
1 9 . P - 2 ( 3 a + a ) ■ 2 ( 4 a ) - 8a
2Q.x+(x + 3) + (x + 5 )- P
2 1 . x - 0 . 1 5 x - 0 . 8 5 *
2 2 . 5 0 - 2 *
2 3 . x , 8 0 - x
2 4 . 2 x + 1 , 2 x + 3 , 2 x + 5 c o n x e Z
25.AmX[3x-3)
2 6 . x - 10
» .**-§
2 8 . x , 2 x , 1 8 0 ° - 3 x
2 9 . 0 . 3 0 x
3 0 . 2 x + 4
3 1 . - x + 3 ( x + l ) - — - 1 0
3 1 1 x
3 2 . 2 x - 3 ( x - l ) + 7
E je r c ic io 2 3
1 . U n n ú m e r o a u m e n t a d o e n t re s u n i d a d e s .
2 . E l d o b l e d e u n n ú m e r o d i s m i n u i d o e n o n c e u n i d a d e s .
3 . E l t r i p l e d e l c u a d r a d o d e u n n ú m e r o .
4 . L a s c i n c o s e x t a s p a r t e s d e u n n ú m e r o c u a l q u i e r a .
5 . E l r e c i p r o c o d e u n n ú m e r o .
6 . E l c u a d r a d o d e l a s u m a d e d o s c a n t i d a d e s d i f e r e n t e s .
7 . L a s u m a d e l o s c u b o s d e d o s n ú m e r o s .
8 . E l c o c i e n t e d e u n n ú m e r o e n t r e s u c o n s e c u t i v o .
9 . E l q u i n t u p l o d e u n n ú m e r o e q u i v a l e a t r e i n t a u n i d a d e s .
1 0 . E l t r i p l e d e u n n ú m e r o d i s m i n u i d o e n d o s u n i d a d e s e q u i v a l e a v e i n t i c i n c o .
4 2 1

440. Á lG E B R A
11 . L a s tre s c u a r t a s p a r t e s d e u n n ú m e r o a u m e n t a d o e n d o s u n i d a d e s e q u i v a l e n
a d i c h o n ú m e r o .
1 2 . U n a s e x t a p a r t e d e l a d i f e r e n c i a d e d o s c a n t i d a d e s a u m e n t a d a e n t re s u n i ­
d a d e s e q u i v a l e a l a s u m a d e d i c h o s n ú m e r o s .
1 3 . E l c o c i e n t e d e d o s n ú m e r o s e q u i v a l e a u n q u i n t o d e s u d i f e r e n c i a .
1 4 . L a d i f e r e n c i a d e l o s c u a d r a d o s d e d o s c a n t i d a d e s .
1 5 . L a d i f e r e n c i a d e l c u a d r a d o d e u n n ú m e r o c o n e l d o b l e d e l m i s m o .
1 6 . E l c u a d r a d o d e l a s e m i s u m a d e d o s c a n t i d a d e s .
1 7 . L a r a í z c u a d r a d a d e l c o c i e n t e d e l a s u m a d e l o s n ú m e r o s e n t r e l a d i f e r e n c i a
d e e l l o s .
1 8 . L a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e d o s n ú m e r o s e n t e r o s c o n s e c u tiT O S .
Ej e r c i c i o 2 4
1 . 1 0 x - 5 y - z
2 . -3m - n - 2
3 . 3 a - 6
A . - l p * 2 q - l r
5 . S x 2 + l O x + 2
6 . - 2 a 3 + f t r 2- 5
7 . 2 x 4 + x 3 + 2 x 2 - x
8 . x2 - 2x
9 .3yi - 3 / - 3 y - \
1 0 . 2 ? + 7 z 2 - 7 z - 1
1 1 . - 9 X 2 + 3 x 7 - 1 1 /
1 2 . x 5 + x 4 - x 3 + 6 x 2 - 3 x - 2
13 . -23x3y - x 2/ - 1 0 x y 5
14 . 4 x 4 - x f -Ay*
Ej e r c ic io 2 5
1 . - 3 / + 2 4 - 5
2 . x 3 - 5 x 2 - 1 0 x + l l
3 . - 5 a 5 + 4 a 4 - 7 a 3 + 2 a 2 - 9 a - l
4 . 1 5 x 47 - 1 7 x V - 5 x 7 4
5 . - a 56 - Aa 46 2 - 2 a 36 3 + 5ab5 - 1
6 . - X a *2 - 1 3 X * * 1 - X a +I2xa~l
7 . 1 0 a 2- 1 - 6 a 2" - 5 a " * 1 + a - 3
s V + ’ x 2 - ^ ^
4 3 3
9 . - m*n + - m 3» 2 - - m 2rr5 - 2mn*
3 5 3
2 5 1 5 3
1 1 . - 3 x + 7 7 + 5
12. 2a- 2
1 3 . 1 8 x 3 - 1 8 x 2 + 5 x + 1
1 4 . 2 a 4 - 2a2 - a + 5
1 5 . - 4 x V - 6x6 7 4 + 1 2x57 2
16 . A m '" + 2 « * - 2 + m ' “5 - 3/71“ * - 4 m ” 9
1 7 . - 1 5 f l * * B + 4 a ” 9 - 5 a " * 2 + V 1 - 8ü" + 5 a " ~ 3
1 8 . — n + - p
2 10 6
2 0 .- I Z a» i + “ . V + ! 5 « V * i a V
2 4 4 2
1 6 . I x2- 3 X 7 - V
O 3
, 7 . I f l * +— í*
3 12 24
19. W _ f , _ ]1 ,
22. 3a3* + 2 a 2 , + a ‘
2 3 .x 2a + x2a"2
2A.--b'- + -6 * + - 6
8 6 3
Ej e r c ic io 2 6
1. 8x + 7
2. - 1 l a + 3 6 + 2c
3 . - 2 3 x + 3 7
4 . 2 3 m - 1 4 n
5 . - 1 2 a + 2 6
6. - 1 8 x + 77
Ej e r c ic io 2 7
1 . - 1 5 X 2
2 . 2 4 X 8/ /
3 . - 1 4 a 96 c 8
2 5 . | x ^ + l x , - 2> - i x I- 3>
4 . - - x > /
10
5 . 5 0 n V
6 . - 3 c " m V
7 . 19X2 + 4 x - 1 2 7
8. -2x-2O7
9 . - 5 x - 2 7 + 1 8 z
1 0 . - 5 x + 5 7-8Z
11.2a- — 6
10
12.“ x+^7
1 5 15
7 . - x 2/ /
8. - 4 a46 c
9 . m n p
10 .l „ w
12. - 2 7 m7/»3
422

441. Solución a los ejercicios
1 3 . 0 . W V
14. Oimabcxyz
15. -10d ~ 2¿ " V
16. -42ms** V ‘ *5
íy.-íóx^’V " 5
1 8 .
19. i f l S" J¿2,* V * 4
4
2 0 .-2 x ," l y
2 1 .-3 0 d V d
Ej e r c i c i o 2 8
I.8 ^ 8 -1 4 ^ 2 ^
2. - l W + 9m4 - 18/n2 + 9m
3 . 3 x * y - 7 x * y - 2 x * y
4. -6d36 + 2 1 d V - 2 4 d 6 3
5. 2 4 d V - 2 8 d V + 16dV
6. - 3 5 * V * 2 + 1 5 * V * + 20x 2y V
7. 40m*np3 - 24m5 p4 + 48m3p3
8. - 1 2 d V + 21d3¿c4 +6dc5
9. 15 w**7»»2**1 - 9 r n '* V * * 4 + &^, *2^2,•l
10. -Mar**3 - IZ t”* 1 + lóx* + 18*fl"' - 4xa~1
II .- 9 a 3,*2¿3” 1 + 21d3 ,,lé3**2 +12fl2" 1* 2**2
12. -25r 5" y 3**1 + 10x5~ V " * 2 + 20x5**2y 3"’ 3
13. -U d **5*»*2^ * 5 +12<r*b>*3S -Sa'b^'c6
U . I « V - i « V - - < * 4
3 2 5
15.*V*8*V - Í * V
16. — « V e - - « V e * —« V e - - «i3c
25 5 25 20
17. -4fl6"*4í 2" c 4 + ^ .fl—V 4
2
18. -3X2" -3 + x2" -2 - r x2"*1
22. -56x9y 8z2
23.30xvz
24. 4 8 x V
25. § d » W
3
26. - V ¿ 4c4
27. 40d6,*463,*3d**2
28. - i v - y » 1
12
29. 2 4 x *‘V -*1
30. 20d8,’ 266m2,*3fl5**3
1 9.— o - ' i 3-*'
5
20. - ^ m 3“ V ~ 4 + m3” 2* * * 3 + y m3* * 5
Ej e r c i c i o 2 9
1 .x * - 5 x - 1 4
2. m2 + m - 72
3 .x 2 - 5 x + 6
4 .3X2 + 19x + 28
5. óx2 - l l x - 10
6. 25x2 - 16y2
9x2 + 3 x y - 2 y 2
n4 -3 n 2 - 2 8
4 j 31 3 ,
ü*s* -í*
x 3 - 3 x 2y + 3xy2 - y 3
x3 + 3x2y+3xy2 + y 3
m3 + n3
m3-n3
1 5 x 3 - 2 2 x 2y - 1 3 V + > 4 /
-27d3 + 51d2é + 40d¿2 - 2863
4a*-2a3-6a2 + l l d - 4
15 x5 -2 0 x 4 - 9X3 + 12x2 - 18x + 24
x4 - 3 x 3 + 3 x - l
15 10 18
10 ¿ - X S y + l l x S - l y *
6 2 0 15
^ + ^ + 63v _ V
3 0 4 0 2
,«.3 .
24. m* * rf
25.
26.
27.
x2- 5 + 2r2~ 4 -3 X 2- 3 -4 X 2- 2 + 2X2 * " 1
x2" 3 + 4 x2 í * 2 + x2**1 - 2 x 2a
28. 6x4 - 3 1 x 3 + 4 3 x2 -6x- 8
29. -18x4 - 25x2 - 1 4 x- 9
30. 4x5y - 6 x Y - 2 X 2/ -1 2 jy 5
31. m2 - 2mp - n2 + p2
32. -2m2 + 5mn -mp - 3n2 - np + 10p2
33. a 2 - i 2 +2bc- c1
3 4 .x 6 - 2 x 5 - x 4 + 4 x3- 4 x + 2
35.3x4 - l l x 3+ 20x2 - 7 x - 5
36. - x 2- * 4 + 2X2***5 - x2- * 2 + x2-
37. 2X2"*3 + 7*2"*2 + 7x2" ’ 1 + x2- - x2- 1
38. a6 - 2d462 - 4 d V + 7d65 - 2¿6
39. m"*2 - 2m" + 8 ^ ' - 3m"“2
40. 30x5,Ml + 3 4 x * - 31xs’ -' - 23X*"2 + 3 x * " 3
41. m6 + 2m* - 2m4 - 3m3 + 2m2 - m -1
42. i x5 + - x4 - —x3 - —x2 + —x + -
9 4 72 12 48 2
4 3 . - a 2'*3 + 2 a 2**2 + 2 a 2**1 - 4 d 2’ - d 2- 1 + o 2* " 2
44. d2**6 + d2**5 + 5d2**4 + 4d2**3 - d2**2 - Sd2" 1 - 5a2'
423

442. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 3 0 E j e r c i c i o 3 2
1 .3 a V 13. -3 a * 4V 4 V ' 3 l . x + 2 2 8 . 4X2 - 6xy + 9y2
2.H > x4 M . í ^ y - s y - v - 2 2 .X + 1 2 9 . x4 + 2X2y 2 + 4 /
3 . 2a V 15.1
3 . x + 3 y 3 0 . a 3 + a 2 + a
4 - - 4 P V 16. — a r 2
20
4 . x + 3 3 1 . X - 4
5 . -3a*b
5 . X - 6 3 2 .2 x 2 + x y + 3 /
6 . 5a6b6 18. -4 x y 5
6 . x + 6 3 3 . 3X2 + x - 2
7 - j x V
i9 . - < r A' é - 2
7. m -4 n 3 4 . 3X2 — x + 1
6
8 . x - 10 y 3 5 . 2 x 2 - 3x - 1
8 . - 2 . V
3
2 0 . 1 . V
9 .B 2 - 6 3 6 . 2 x 2 - 3 x - 5
2 1 .- f t7 4p 10. m3 + 4 3 7 .4 a 2 - 6 a - 7
10 . ^ V z
1 1 . - 2 » ^ ^
2 2 . - i c JJ 5-*
2
2 3 . 2 a V
1 1 . x 4 + 2
1 2 .x 6 - 7
3 8 . 6x2 - 3 x - 4
39. 7X2 + x - 4
12.5aM~6b2"*7 2 4 . - a 4" -1 i 2- 2
13.3 x - 7 4 0 . Sx2 - 9 x - 3
8
14. 4m - 3 4 1 . 4x2 + 3x- 1
Ej e r c i c i o 3 1
15. 5 a - 7 4 2 . 5 a 3 - 3 a 26 - 6 a 6 2 - 265
1 . x + 2
2 . 2 x + l
16. 2 a + 36 4 3 . 4 x 5 - 6 x 4 - 7 x 3 - 8 x 2 - 3 x + 2
3 . -5 x + 2y
4 . 2x* - x + 1
17. 7 m - 3
5 . x2 + 3 x - 4
18. 3 a + 46 4 5 . 4 x - U
6 . - 2 x 4 + ¿ x 2 + 3x
O
?
z
7. 9 m V - 5 m V + 1
19. 7 m - 3n 4 6 . 4m - - n
3
8 . 4o662 + 6 a 56 - i o 3
o
2 0 .3 x - 2 ^
« • i - 4 !
9 . 4 * V - 7 * V - 1
2 1 .3b»2 - 5b2 4 8 . x442- x 4 4 l+ x 4
10 . i a - 5
2
22. 3b»2 + 5 4 9 . a " - ' -6 > “ l
12. - - « V + 2o*64 - - t ? b
3 9
23. 5/n3 - 6
24. 5m2 - 3m - 2
2 5 .3 x 2 + 7 x - 6
5 0 . n f - 2b»*-1 + m T 2
5 1 . m " 2 + 3m**’ -2 rrf
5 2 . m ‘42 + 2m‘4' - m ‘
1 3 . ? x V - V / + 5 x 3
26. 2 a - 7 5 3 . -S m 2' 42 + bi2’4' + 3b»2*
5 4 4 1 0 2 2 5
5 r ) ' i i ’
7 2 7 .x 2 + x y + / 5 4 . x T A - x ’"4 3 - 2 x " 4 2 + x " 4'
Ej e r c i c i o 3 3
j u z u
16. 2 + 1 2 a * 6 > c '- 1 6 a 2 ,62V '
l . ó í 2 - / + 6 7 . 4 x + >>
17. J x ' - y 2 - 2 x 4y - í
2 . x2 + 2 x + 4 4 0 0 8 . 6f4 + f 3 + 7 f 2 - 2
6
18. -4a 3" * 2* 3" + 3a2M*',b2m~*‘ -■2a"4l6— 1
3 . 5 x 2 + 6 x y + .y2 9.40X 2 + 3 6 x + 8
19. - 2 a 4—‘ i - *40 + 5 t? m~*b*A -■ V - v - 2-
4 .1 5 y 2 + 1 4 y + 3 1 0 .9X2 - 1
20. 9 x V z 3 + 2 x 2‘- | / ' , z f4 2 -
5
5 . 2 0 x 2 - 7 x y - 6 y 2
6 . 12w3 - 8 w 2 - 1 3 h - 3
11.15X2 + 4 x - 3
12. 20x2 - 3 x - 9
4 2 4

443. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 3 4
1.**+ 16*+ 64
2. n ? - 2 0 m + 1 0 0
3 . / - 6 a + 9
4 . / + 27 + 1
5 . / + 1 0 7 + 2 5
6 ./- 1 2 /» + 3 6
7 .1 - 2 6 + é2
8 . / - 1 0 * + 2 5
9. 4 + 4n+ n2
10. 16 - 8m + m2
11. / + I87+8I
12.a2- 24*+ 144
1 3 . / + 3 Q p + 2 2 5
14. 4a2 - 4a + 1
15 16 6 9
16.9a2*2- 6 a*+ 1
1 7 . » / / + lítamn + 64a2
18.4Sb2-4 2 a 6 + 9 ¿ 2
19 . 4 / + 1 2 *7 + 9/
2 0 . i 2 + 0 . 4 r + 0 . 0 4
21. 1 6 /+ 4 0 /y + 2 5 /
22.81a6- 1 8 /6 + « V
23. 3 6 n V + Zfrnnp + 9m10/
24. a,0- 2 / 65 + 6,°
2 6 . - / - * / + 4 /
16
27.
4 1 1
9X2 3*7 I672
28.9*4+ 24/7’ + 16*2/ 4
29. 25a2/ - 3Cfa6x/ + 9 / / °
30. ml8+ 24m9/ + 144/
31.9*4-54*276+ 8 l / 2
3 2 . / * - 2 a V + 6 *
3 3 . 9 / * - 10 + 12*4’ - y , t l + 4 7 4 a ‘ 2
3 4 . , 2 - 8 m f a * 6« « + l ó n 6*
35.9a2,+ 3a4'64v + i a 6,¿ ^
36.15
25 5 4
37.0 3 6 » n * -0 .6 m V + 0.25n8
38. 36r6™"4+ 6 0 / “ ‘ 2 7 ^ z5 + 2 5 / " /
39. 0.09/* - 0 .4 8 /* / ‘ 1 + 0 .6 4 /* '2
40. — Z " 4
.16-2,
4X3- 2/
-3*
25
4 1 - + 3 * * " V * +97l6-;
*8- /«/>«
4 2 .
2 5 1 0 16
4 3 . / + 4 7 2 + 9 / + 4*7+ 6 x z + 1 2 t *
44. 9 / + 4 / - 1 2 * 7 + 6 * -47+ 1
4 5 . a 2 + 3 6 6 2 + 2 5 c 2 + 1 2 a 6 - l O a c - 6 0 &
46. a4 + 10a3 + 33a2 + 4 0 a + 16
4 7 . a4 + 6a3 + 5 a 2- 1 2 a+ 4
48. *4-4 /+ 6 /- 4 * + 1
4 9 . / + 2 * 7 + / - 4 x - 4 7 + 4
50. 4a2- 1 2 a 6 + 9 / + 4 a - 6 6 + 1
51. 1 6 » / + 2 5 /+ / + 40»»i»t + 8 m p + lQ np
5 2 . 9v4+ 4 7 4 + 1 + 1 2 / 7 2 - 6 / - 4 7 2
53. - a 2 + i ¿ 2+ c 2 + a c + - a 6 + - 6 c
4 9 3 3
53.4 4 4 ^ . 1 . 1
/ / / x y a yz
56. 0* + & + < * -2 a * /+ 2 o V - 2 ¿ V r
5 7. a2* ‘ 2 - 4a2* +1 + 2a2* + 4a21 -1 + a2* - 2
Ej e r c i c i o 3 5
1 . / - 9
2. a 2 - !
3 . Z - 4
4 . i 2 - 6 4
5 . 2 5 - /
6 . 8 1 - a 2
7 . » / - /
8 . / / - /
9 . 9 / - 2 5 7 2
10. l ó m 2 - 8 1 / r 2
11. 462- 9c2
12. 36*10 - 1
13. 9 m6 - 6 4
14.2 5 / / - 1 6 /
15.8 1 a2/ - c 14
16. 4 9 a8/ - c 2* 10
" 5 - 4
18. — i® - -
3 6 4
20 ^ "i5 5
2 1 . 9 b 2* ' 8- / *
22. 647*’“ 6 - 16*8*
2 3 . a2 + 2 a é + 62 - /
24. a2 - / + 2 6 c - /
25. » / - / - 2 » y > - /
26. / + 2*7 + / - 9
2 7 . I6/ -9/ + 6 7Z - /
28. *4 + / / + 7 4
29. » / - m 4- 2 » / - » /
30. 4 v 2 + 20*7 + 2 í / - 9z2
3 1 . / + 4 8 7 + 4 / - 1
„ 1 2 1 1 4 2
32. — m — » n +
---------»»
4 4 16 9
3 4 . - / " + 2 - — / " + / " “ 2
9 36 6 4
425

444. Á lG E B R A
3 5 . d2 + 2 a 6 + 6 2 - É 2 - 2 a / - ¿ 2
3 6 . x2 + 2xz + z - y + 2 y - 1
3 7 . m 2 - 10m + 25 - 4 ¿ + 12r t p - 9 ?
3 8 . x2 - 2xy + / - z2 + 8 z - 16
3 9 . 4 ^ + 1 2 x y + 9 y 2- 1 6 z 2 + 5 6 z - 4 9
4 0 . x2 - 2xy + y 2 - 9 ? - 3 0 z - 2 5
I 9 . X 3 - - X 2 + - X - -
2 4 8
2,. — í 3 + —s2)»* — ay2 + —
1 2 5 2 5 5 2 7
Ej e r c i c i o 3 6
1 . x 2 - 3 * - 4 0 2 1 .x8 - 6x4 - 7 2
8 1 6 3 2 6 4
| |
2 . m 2 + 3 m - 2 8 2 2 . x * ° + / - 2 2 3 . - ^ x ,2 + i * W v 2 + v 3
3 . x 2 - 1 2 x + 2 0
4 . x 2 - l l x + 3 0
2 3 . a 6 - 7 a 3 + 10
2 4 . x4" " 2 + 2X2" ’ ' - 3 5
2 4 . 8 / “ - 9 - 36X4- V 4" * ' + 5 4 ^ - 3/ ’ ^ 2 - 2 7 ^ ^
5 . x 2 + l O x + 2 4
6 . n 2 + n - 1 2
2 5 . a V + 3 a V 6 4 + 2 6 8
2 6 . 9.x2" - 9 x " / - 2 8 / *
Ej e r c i c i o 3 8
1 1 . x 4 - 4 1 / + 4 0 0
i «
1 . / + / - 2
7 . x 2 - 9 x + 8 2 7 V - I * - I
2 9
1 1 1
2 . m 4 - 6 5 m 2+ 6 4
L / / > + _ L »
8 1 2 2 5 ' 6 2 5
8 . a 2 - 6 a - 2 7 2 8 . - m 2 - - m - - 3 . 8 1 x 4 - 1 6 2 x 3 - 9 9 x 2 + 1 8 0 x + 100 1 3 . 2 5 6 / - 3 2 / / + y 8
9 3 0 5
4 . 6 2 5 x 4 - 1 8 0 0 / + 1 2 9 6 1 4 . m* - n? - 2 m - 1
9 . x2 - 3 x - 10 2 9 1 / - H y - - L 5 . m 6 - 1 2 m 4 + 4 8 m 2 - 6 4 1 5 . x 4 - y 4
1 6 3 2 4 8
6 . x4 - 72X2 + 1 2 9 6
✓
1 6 . m 6 - 12m 4 + 4 8 ^ - 6 4
1 0 . m + 5m - 2 4
3 0 . . V - » 3 7 . n 8 - 3 6 n 4 + 8 4 o 2 - 4 9 1 7 . x 8 - 2 / / + /
8 3 2
8 . x , 6 - 2 x 8/ + y 8 1 8 . x 4 - 1 0 / + 9
1 1 . 4 x 2 - 4 x - 2 4
9 . 1 6 m 4 - 4 m 3 - 2 0 0 / n 2 - 1 4 8 m - 4 81 9 . m 8 - 1 l m 4 - 8 0
4 9 7 0 5 » . 6 5 6 1 - 1 2 9 6 X 12 2 0 . n 12 - 4 8 n 8 + 7 6 8 / - 4 0 9 6
1 2 . W + 6 m - 2 4 3 2 . — x 4 + — x 2/ - — .y4
1 3 . 3 6 / - 6 x - 1 2
2 5 1 0 12
3 3 . a 2 + 2ab + 62 + 7 a + 7 6 + 12
1 4 . 16*2 - 2 8x+ 10 3 4 . a 2 - 4 a 6 + 4 Í 2 + 6 a - 1 2 6 + 5
1 5 . 2 - 9 x + 9 / 3 5 . x2 - 2 ^ + y 2 - 4 x z + 4 y z - 2 l /
1 6 . 2 5 / + 5 0 x + 2 4 3 6 . 4 / + 4 a y + y 2 + 2 x + y - 2
Ej e r c i c i o 3 9
1 7 . 4 - 2 x - 4 2 X 2 3 7 . m* + 2 / / / + n4 + 4 * / + 4 / - 4 5 1 . a ( a + 1) 1 4 . 55m\r?x + 2 n 3x2 - 4 / )
1 8 . 2 5 - 3 5 x - 1 8 / 3 8 . o 2- 6 2 + 3 / - 4 o c - 2 6 c 2 . a 36 ( 6 - 2 ) 1 5 . 5 / ( 5x5 - 2x3 + 3x- 1 )
1 9 . x 4 -4/ - 6 0 3 9 . / - 6 / - 4 / + x y - 3 * z + l l y z 3 . a 2( a 2 + a - 1 ) 1 6 . 3 a ( 3 f l - 4 6 + 5 a 262 - 8 6 3)
2 0 . r r f- \2rr? + 3 2 4 0 . a 2 + / - 2 5 6 2 + 2 a c 4 . 6 x 4( 3 x + 5 )
5 . 1 2 x ^ (4 - x - 2X2)
1 7 . 1 2k/o( 1 + 2o t i - 3 / n 2 + W / )
1 8 . a 26 ( 3 + 6 o 6 - 5 o 2/ + 8 o V + 4 a V )
Ej e r c i c i o 3 7
6 . 5 6 2( 5 + 7 6 2 - 9 6 3) 1 9 . 8 / y ( 2 x y - x2 - 3 - 5 / )
l . x 3 - 3 / + 3 x - l
7 . l l o ( x - l l a x + 3 a 2) 2 0 . 5 0 o 6 < ( 2 a 6 2 - 3 6 c + 6 ^ - 4 c )
2 . m 3 + 1 8 * / + 1 0 8 m + 2 1 6 8 . 3 o i< 3 a 4 - 4 a 6 2 + 5 6 - 6 a 263) 2 1 . 3 la2 xQaxy - 2 x 2y 2 - 4 )
3 . x 3 - 6 a 2 + 1 2 x - 8 9 . 3 ( 3 / + 2 x + 1) 2 2 . 2 x ( 3 x - l f t x + 3 )
4 . a 3 + 3 0 a 2 + 3 0 0 a + 1 0 0 0
1 0 . 4 x 2( / - 2 x + 3 ) 2 3 . 3 ( x + 1 X 2 - x )
5 . / - 2 1 / + 1 4 7 n - 3 4 3 11.6A x - y - l ) 2 4 . x ( x + 2 X x - 1)
6 . x3 + 9X2 + 2 7 x + 2 7 1 2 . 1 4 x V - 2 x + 4 / ) 2 5 . 4 / ( 2 * - 5 X 2 x - 3 )
7 . 1 - 3 x + 3 x 2 - x 3
1 3 . 1 7 o ( 2 / + 3 a y - 4 / ) 2 6 . ( 2 x - 1 X 3 - 2 x )
8 . 1 0 0 0 - 3 0 0 m + 3 0 « 2 - m 3
9 . 8 / + 1 2 / + 6 x + 1
Ej e r c i c i o 4 0
1 0 . 2 7 a 3 - 1 0 8 a 2 + 1 4 4 a - 6 4 1 . ( m + rifan + x ) l l . ( 6 - c X y 2 + m 2)
1 1 . 8 / + 3 6 / + 5 4x+ 2 7 2 . ( x 2 + l X 3 x - l ) 1 2 . ( x + 3 X / - 5 )
1 2 . 1 - 1 2 m + 48/M2 - 6 4wí' 3 . ( x + y X a - 6 ) 1 3 . ( 6 - 3 m X 3 z - y )
1 3 . 2 7 / - 1 0 8 / y + 1 4 4 ^ - 6 4 / 4 . ( y - 3 a X 2 / - l ) 1 4 . ( a 2 + I X * + 1)
1 4 . 1 2 5 m + 1 5 0 m V + 6 0 m n ° + 8n 5 . ( f l - 2 6 X m - 3 n ) 1 5 . ( l - 3 f l 2X 2 f l + 1)
1 5 . 2 7 . / / - 5 4 x6/ / + 3 6 * V - 8 2 2 6 . ( a 2 - 3 ¿ X 4 x - 5 y ) 1 6 . ( 3 x - 7 X / + 1)
1 6 . 6 4 / + 9 6 / y + 4 8 / / + 8 / /
7 . ( m 2 - 3 n X ^ V ) 1 7 . ( 1 - 4 a X ¿ - 1)
1 7 . 2 7 m 12- 1 0 8 m " n + 1 4 4 m ‘° n 2 - 6 4 m 9/*3 8 . ( 5 m + n 2X m n + p 2) 1 8 . ( 3 m + 2 X 6 m 2 - 5 )
18 / + / + I x + —
9 . ( 3 a - 26X>*4 + 1) 1 9 . ( x r + myfaty- mz)
* v . ^ ^ ^ '
3 2 7 1 0 . ( 2 m + 3 n X x 4 + 5 ) 2 0 . ( / / + / / n ^ í 2 + m n 2)
4 2 6

445. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 4 1
i . ( * - i X * + i ) ■ 6 . ( a r * + l ) ( * - ¿ ) ( j r + i )
2 . ( * + 7 X * - 7 )
" H ) H )
3 . ( 9 - * X * + 9 ) i s . ( * * - / * ) ( * > ' + / * )
4 . ( 4 * - 3 X 4 * + 3 ) 1 9 . ( a * * 3 - 3 i ^ ) ( f l ' * J + 3 6 3' )
5 . ( a 2 + 6 2X a - 6 X a + 6 ) 2 0 . ( m 2**4 - s j p ^ + s )
6 - í*2 + 8 X * 2 - 8 ) 2 1 . ( l - * " ) ( l + * " )
7 . 4 ( 5 - 2 * X 5 + 2 * ) 2 2 . ( m 3" 2' -rtAx*y)j[mix~2y +
8 . ( 6 * - 1 X 6 * + 1) 2 3 . ( 4 * * - 7 / ) ( 4 * * + 7 / )
9 . ( 2 - 5 * X 5 * + 2 )
1 0 . ( 2 a 2 - 3 & X 2 a 2 + 3 6 c )
1 1 . ^ + Ó X ^ - ó )
1 2 . ( 4 a 26 * + c iX 4 a 2 6 * - / )
2 4 . ( * + > ' - 4 X * - j ' + 2 )
2 5 . ( 2 * + . y + 6 X 2 r - j ' - 4 )
2 6 . ( * - 4 ^ - 1 X * + 4 j * - 1 )
2 7 . ( 3 * - 1 X 9 * - 7 )
4-DH
•‘HH
»hm
2 8 . ( 3 * + 2 y X 5 x + 6 y )
2 9 . 4 ( 7 * - 9 X 1 3 * - 6 )
3 0 . 3 ¿ ( 3 * - 2 X 5 * + 6 )
Ej e r c i c i o 4 3
1 .(*+ 2 X * + i)
2. ( m - 6 X « - 5)
3 .( » - 4 X « - 3 )
4 .( y - 8 X y - 7 )
5 .(* + 6 X * + 1)
6 .(* + 4 X * + 3 )
7. (a + 6X^+4)
8. (6 - 5 X 6 - 2 )
9. ( m - 5 X « - 4 )
10.(y+ 3Xy+ 1)
1 1 .( r - 4 X * - 1)
12. (n+ 4 X n + 2)
13.(fl-18Xfl + 2)
14.0-+ 6XV-5)
1 5 .(r- 9 X v + 2 )
16. ( x - 10>>Xv- 8>»)
17. ( a - 106Xa+56)
18. (m - 10nXm+ 3n)
19. (x + Syfo- 7y)
20. (m2+ 4 X m - lX « + 1)
21. (y - 2 X v + 2 X ^ - 2 )
22. (n + 4 X n - 4 X n - 2 X n + 2 )
23. (a -6 X fl+ 6 X fl- IX * + 1)
3 1 .(y2 + 1 2 x X /-5 *)
32. ( a - 6 + 8 X * - 6 - 3 )
33. <*y - 1 i x * y + 9)
34. (m2/ + 12) ( m V - 11)
3 5 .(n -1 8 X n -1 6 )
36. (y+ 25 X y- 22)
3 7 .(c-4 4 X c+ 2 2 )
38 .(a+ 21X fl+ 12)
39. (*+ 33 X *+ 11)
40. ( t - 54X1-45)
4 1 .( * + 8 X 3 - * )
42- ( 4 - * X * + 3)
43. ( * + 8 X 5 - * )
44. (7 — *X *+ 6)
45. (8 - 3*X3*+ 2)
46. (2 * + 9 X 1 - 2 * )
47. (7 - 8*X8*+ 11)
48. (13 - 5*X5x+ 11)
4 9 .(* fl- 9 ) ( * a - 4 )
50. (62 , +9)(é2* - 8 )
51.(^* +64)(^ + l)
5 2 .(* 4’ + 2 ) ( l - * ‘,) ( l + * fl)( l + * 2a
5 3 .( 9 - * “
Ej e r c i c i o 4 2 2 4 . (í2 - 1 0 X * 2 + 9 ) 5 4 . ( * - 7 X * - 3 )
l . ( a + 4 ) 2 1 3 . ( 1 0 a 2 - 3 6 ) 2 2 5 . ( 2 m - n + 3 ) 2
2 5 . ( a i + 4 X a 6 - 3 ) 5 5 . 2 ( * - 9 X 2 * + 1)
2 . ( m - 5 ) 2 1 4 . ( a 4 + 6 be)2 2 6 . (,5a-b)2
2 6 . ( 5 y + 7 X 5 J - + 6 ) 5 6 . ( 5 * + >» + 7 X 5 * + j * - 6 )
3 . ( n - 4 ) 2 1 5 . ( 9 / + l l ) 2 2 7 . 4 /
2 7 . ( y - 7 X V + 2 ) 5 7 . 6 a ( 6 a - 5 )
4 . ( * - 3 ) 2 1 6 . ( 7 * 3 - 5 a y 2) 2 2 8 . ( 3 a - 6 ) 2
2 8 . ( m - 7 n X m + 3 n ) 5 8 . ( * + 3 y + 1 1 X 2 - * - 5y)
5 . Í T + 6 ) 2 1 7 . ( 2 0 a 5 + l ) 2 2 9 . ( 6 - m ) 2
2 9 . ( 5 - ¿ X l + ¿ )
í <
5 9 . 4 ( 4 * + 7 X 1 - * )
_
____ y
3 0 . ( z + 5 ) ( r - 4 ) 6 0 . ( * + 3 y X 4 > '- * )
6 . ( 3 a - 5 ) 2 1 8 . (* 4 + 9 ? 30.U x+ y}2y)
/ \ 2
Ej e r c i c i o 4 4
7 . ( 1 l e - 6 ) 2 3 1 . ( v a * + 2 )
l . ( 5 m - 2 X m + 3 ) 1 6 . ( 3 y + 6 X 5 y - 2 6 )
V /
/ v i \ \ 2
2 . ( 3 a + l X a - 2 ) 1 7 . ( n - 3 m X 6 n + 5 m )
8 . ( 4 a + 3 6 ) 2 2 ° ( - f + 1) 3 2 .á2 -5)
3 . ( 3 ^ + 2 X 2 ^ + 1 ) 1 8 . ( 3 * + 5 X 6 - * )
U i J
4 . ( 2 * - l X * + 2 ) 1 9 . ( 4 6 2 + 5 X 3 - 2 6 2)
1 \ 2
5 . ( 4 n + 3 X n + 3 ) 2 0 . ( 5 * - 3 y X 6 * + 7 y)
9 . ( 2 a - 5 6 ) 2 2 1 . ^ 3 3 . * ‘ +3]
6 . ( 4 * + 1 X 5 * - 1 ) 2 1 . ( 2 a 4 + 5 X 5 a 4 + 2 )
l 2 J J
, >1
7 . ( 7 a + 5 X « * - 7 )
8 . ( y + 2 X 2 ^ + 1)
2 2 . ( 2 a - 1 5 6 X 3 a + 6 )
2 3 . Í 3 * 2 - 2 X - 2 * 2 - 3 )
1 0 . ( 3 a + 6 ) 2
22 Í|* 2- |T
3 4 .4 * 4 - l |
9 . ( 4 * + 1 X 5 * + 2 ) 2 4 . ( 3 / - 1 0 X 1 Q / + 3 )
U 5 )
J
1 0 . ( 3 m + 2 X 5 m - 6 ) 2 5 . ( 2 m — n X 3 m - 4 n )
. \ ?
1 1 . ( 2 * + 5 X 1 0 * - 3 ) 2 6 . ( 2 a * - 7yX3ax+ 5y)
1 1 . ( 2 a - 3 6 ) 2
» H - í )
,J*2 j
___
1 2 . ( 6 + 1 0 X 2 6 + 9 )
1 3 . ( 2 / + 3 X 3 / - 2 )
1 4 . ( 2 ^ - 7 X 7 / / + 2 )
2 7 . ( 3 a - 2 6 X 8 a + 7 6 )
2 8 . ( * y + 2 X 4 * y - 5 )
2 9 . ( a 26 - 3 c X 5 a 26 + 2 c )
1 2 . a 2( 1 2 * 2a - l ) 2 2 4 . [ 3 a + 3 * - 2 J 2 3 6 . ( v m - 3 J 1 5 . ( 3 a 6 - 5 X 2 a 6 + 5 ) 3 0 . ( m + \0nX2m- l l n )
427

446. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 4 5
i. *+
4 " !
4 . 1 m + -
5 . m + -
3H)
H
■MH}
IfM)
a-i
*(í*í)H)
* ü ' - a * * f )
10.(Vx + 5)(2n/Í + 3)
1 1 . ( 3 > ^ - 2 ) ( 4n/ » + i)
12.(5m/x + 4)(3^-7)
13.1 x 2 - 3 y
14.
15.
2*3 + 5
*3 + 2
2x2 + y2
3*3 -8
3 * 3 - 1
16. ( J x + y - 2^5 J x + y+ 4
17.
18.
3 * * - 8 /
2 2
2*3 + 3/3
4*3 + 5y 2
2 2
4*3 - 5 /
Ej e r c i c i o 4 6
1 .(2 * - iX 4 / + 2 * + 1)
2 . ( * + 3 X ¿ - 3 * + 9)
3 .(2 * + > X 4 /~ 2 *y + / )
4 . (3o-5X9o2+ 3*25+5*)
5 .(2 a + 352X4ú2-6o52+ 954)
6.(4*2-9X16^ + 360 + 81)
7. (8 - 30^64 + 24oJ + 9o6)
8 . ( / - 2 / X * 4+ 2 / / + 4 / )
9 . (1 - 6mXl + 6m + 36*/)
10. (o - 5 X / + 5o + 25)
11. (3m + 4ni x W - \2mr? + lón6)
12. (7 * - 8 / X 4 9 / + 56*^ + 6 4 / )
13. (o2 + S ifya4 - 5o V + 256®)
14. ( 2 / + 9 X 4 * - 1 8 / + 81)
15. (3/n2 + 7nJX9m4 - 21 m V + 49b6)
i 1V 1 1 1 1
1 7 .1 a* - 2 5 < o 2 + 2 o < 5 < + 4 5 2
i 3
* - 5 / / + 2 5 /18. * 2 + 5y 2
19. í * 4*1 - y 2* * ^ 2 * x a¥ly 2a + y 4a)
2 0 . ( 3 y - ^ * 3 x y * 3 y 2)
21. ( * + _y)(/ - 4*y + 7 / )
22. (-2nX 27«* + 18oti + 4 / )
2 3 .- (o + 2 ¿ X 7 / + 19ab+ 13 b2)
24.¿(5 *-y )(7 /+ 5 ^ + 19/ )
Ej e r c i c i o 4 7
1 .(* + 4 > -X / -4 ^ + 1 6 /)
2. (o - 2 X / + 2o5 + 4o4 +8 0 3 + 16o2+32o+64)
3. (3 - 2*X81 + 54 *+ 3 6 / + 2 4 / + 16*4)
4. (*+ lXx6 - / + * - / + / - * + 1)
5. (m - «X"*4 + "**" + " í2/ + " * / + n*)
6 . ( * - o¿X*6 + /<»5 + * W + / / / + / f lV +«¿5* + a6*6)
7 .(1 -*2X1 + o + *22+*23+o4)
8 . (xy* 5X * V - 5 / / + 2 5 / / - 125xy+ 625)
9 . ( * - 1X / + / + / + / + / + / + / + *+ 1)
10. ( * + 2 X / - 2 / + 4 / - 8 / + 16*4 - 3 2 / + 6 4 / - 128r + 256)
Ej e r c i c i o 4 8
1. (m+ 2n+ lX m -2 n + 1)
2 . (y + * - 3 X y - * - 3 )
3 .( * - y + 5 X * + y - 5 )
4 . (m2- n s- 3 X ' / + / + 3)
5 . (7tt? - 5 m + 3BX7»*2 + 5m - 3n)
6 . (m + <2 - * - 3X"* + *2 + * + 3)
7 .(1 -*2 -3 n X l + *2+ 3n)
8 . (m-n+ IX"» + n+ 3)
9 .( 1 - y + 5 X 1 + y - 5)
10. (5/» + m* 1X5/»- m - 1)
11. (m - n + 2X"»+ n+ 10)
12. ( * + y + 4*2 + 35*X*+ y - 4*2- 3 / )
1 3 .(1 0 -3 y + m - o/»X10 - 3 y - m + ap)
14.(o+ 55 + m + 3nX*» + 5b-m-3n)
15. (2 m - 7n - 3*2- 55X2"» - 7n+ 3o + 55)
Ej e r c i c i o 4 9
1 .( * - 2 X * - i)
2 .( * - 5 X * + 4 )
3 .(m - 5 X " » - 2 )
4- ( * - 8 X * + 6)
5 .( 0 - 10Xa+4)
6 . (n + 9X " - 6)
7. (3*+ 4X*+ 2)
8 . (3m+2X2m+ 1)
4 2 8

447. Solución a los ejercicios
9 . ( 3 f l - 4X** + 1)
1 0 . ( 3 x + 4 X 2 x - 3 )
11 . ( « * + i » + l X ¿ - n + 1)
1 2. ( f l * -2f l - IX**2 + 2a -1)
1 3 . (m 4 - 2 m 2rf2 + 4 n 4X m 4 + 2! « V + 4 n 4)
1 4 . ( i 2 + 5 * - l O X ^ - 5 * - 1 0 )
1 5 . ( 8 a 2 - 6 a + 7 X 8 a 2 + 6 a + 7 )
1 6 . ( f l l6 l - a 6 + l l X f l 2é 2 + * ¿ ' + 1 1 )
1 7 . ( f r n 2 - 5 m n - Irfyfin? + 5 m n - 7/I2)
18.(*2+x7 +t2x»2-x7 + 7 2)
2 0 . ( 2 m 4 + 5 m V - l ¿ \2 m A- 5 m V - 7n 4)
Ej e r c i c i o 5 0
I.4r-7Xr+4)
2 . 3 ( a - 2 X « * + l )
3 . 3 m ( m - l X m + 1)
4 . ( y 2 + l ) ( y - 2 X y + 2 )
5 . ( m - l ) 2 ( m + 1)
6 . a ( 2 * + l X 3 * - 2 )
7 . * * + l X r - l )
8 . 2 a ( 2 * + 1 X 2 * - 1)
9 . « a 2 * 2X a - IX** + 1)
1 0 . ( 2 + m X 2 - m X 4 - 2 m + m 2X 4 + 2 m + m 2)
I I . ( * - 4 X r - 3 X * + 4 X * + 3 )
1 2 . ( a - 6 X * * 2 - * * 6 + 6 2X a + 6 )2
1 3 . a ( a 4 + 64X**2 + é 2X** + bYfl - 6 )
1 4 . a ( * + l ) 3
1 5 . (fl3 + 2X**2 + 3 a + 9X **~ 3 )
1 6 . ( a + I X * * - IX**2 - * > + ! )
1 7 . 4 m 2( y - 1 X ^ + 7 + 1)
1 8 . ImrAp- 2)(p + 3 )
1 9 . ( 4 + f lX 4 - * * X 1 6 + o2)
2 0 . ( a - ¿X**4 + ¿ ft* * 2 + ^ X * * + ¿ )
2 1 . 2 ( 2 * + 1 X 2 * - I X » 2 + 1)
22. 5 m (* y + 2 X y - lX y + 1)
2 3 . (* J+ 3 X * * - 3X**2 + 3 a + 9X**2 - 3 a + 9 )
2 4 . * * - 7 X * + 7 X * ? + » 7 + j f c ? - x y + y 2)
25. (a- l ) 2 (** - ¿X**+ b)
2 6 .4 a tf- a + lX**2 + * *+ 1)
2 7 . ( m - l X m + 2 X m - 2 )
2 8 . X y + 2 X y + 6 X y - 2 X y - 6 )
2 9 , m ( m 2 + 1 X « - 1 X " * + 1)
3 0 . -rr^lm -y)2
Ej e r c i c i o 5 1
1 . ( 6 - l ) 2 ( 6 + l )
2 . ( * r - l X » r + 1 X ^ + 2 )
3 - ( * - 3 X * - 2 X * + 1)
4 . ( * - 4 X * + 2 X * + 3 )
5 . ( * - 1 X 2 * - 1 X 2 * + 3 )
6 . ( m + 2 X « * + 1)
7 . ( y + 1 X 3 7 + 2 X 2 y -3 )
8 . ( a - 3 X a - l X * * + l X * * + 3 )
9 . ( * - 4 X * + 5 X 3 * + 1)
1 0 . ( m + 5 X m + 4X***2 - 3 m + 7 )
11.(n-2)2(n+ l)2
1 2 - ( * “ 2 ) 2 ( * + I X * - 1)
1 3 - ( * - l ) 2 ( * + 2 X * - 3 )
1 4 .( * - 3 X * - 2 X * - I X » + 1 f
15. (fl- 6X** + 2X*»+ 5X**2-**+ 3)
1 6 .(* - 3 X * - 2 X * + 1 X »+ 2X 2*- 1)
1 7 .( * - 3 X * - 2 X * - IX»2 + 2 * + 4 )
1 8 .(* - 2 X * - 1 X * + 3 X 2 * - 1X3*+5)
19. (n - 3X«+ 3 X " - 2X» + 2X**- IX » + 1)
20. ( * - 5 X * - 1X*+ 1 X2*+ 7X»2 + 1)
Ej e r c i c i o 5 2
M C D
I .7 # *
2. 2Amy
3.2*y
4 . 13a6c
5. 15mn‘
6. 11*V
7. ó a ^ - l ) 2
8. 9(a - ¿X* + y)
9 .6
10. 19a(l + b)
II.*+ 1
12. m - 1
13. m+ n
14. x -y
15. * - 2
16. 3a - 1
17. m - 4
18. « a - 1)
19. 26+ 1
20. y-3
mcm
2 1 0 # *
1 4 4 0 m V
4 0 # *
156 a W
2 100mV + 2
1 3 2 *+V +*
360 «**(*-1J4
135(a - bf(x + y)2
360(2*+ l)2(x - 7 X * + 8)2
228 a \l + b f
*«*+ 1)
(m - 1X«+ lX"*2 + "*+ O
n?n(m + n)
( * “ J')2(*+ 7)
3 x y ( * - 2 X * + 2 X * + l)
**(3fl- l)2(9to2+ 3fl+l)
m(m - 4X"* + 3X"* + 2X"* - 5)
12**V 1)
(26+ 1X66+ 1X6- 3 )
( y - 3Xy+ 2 )(y - 1X27+ lX 2 y+ 3 )
Ej e r c i c i o 5 3
2a + 26
5 . —
6.
7 . -
8.
9.
lab
2¿b_
a -2b
a + l
2a
2n?-fm- 8
5 - 3m
rn2n
n + m
2
*+2
* + 2y
* + 7
* + 1 3
* + 6
n -2
n* 1
10.
2 * + 3 ^
3 * + 7
11.
12.
13.
1 4 . -
5 * + 7
3 * + 4 7
* - 3 7
b(m-n)
m* n
* 2 + 2 * + 4
* + 4
15.^ - g .t Z
x - y
16.
72 + 3 > 7 +
7 + 2 *
17.
*-1
*-2
1 8 . ^
* + 27
19.
20.
* + 7
fl-*/
2ab
la *2
3 *
w-z
H + 2
y - x
2 4 . ^ ± 1
2-P
2 5 . - 1
21.
22.
2 3 .
2 6 .
27.
*+1
*+ 3
*-1
* - 4
2 8 .^
7 + 2
29.
30.
4-7
7(7+1)
(2 ~ a) ( fl4
a - l
4 2 9

448. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 5 4
1 4* - 3 3 3b- 1
Ax 2n
2 o ^ - 6 4 \9m - 9
fl An
Ej e r c i c i o 5 5
5 . -
n
7.
*2 + l
2x
9 . 1
6.
3y-5
2y
8 . 5
20
2.
3.
4.
7 * + 9
6x
3x* - 7 x - S
18*2
Ax2 + 7 * - 1 8
12*2
5 . -
6 . -
x * h * 2 ) ( x * l )
2h
7 . -
4 * 6 + 2H1
( ( , * * ) ’ - 3 ) ^ - 3 )
o
( ( * + * )’ + l ) ( * 2 + l )
x
x - 3
3x
S - i
x
x - 2
5 * + 1
( s-> )(* -> )
7*2 - 2 0 * + 3
- 9 ) ( , + 3)
Ej e r c i c i o 5 6
14.
15
5 * * - \ 2 x
3 ( x - 2 ) I
9x* + 12*3
I**
+ 1 2
1 6 . - -
14*
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
(3 *2 + 2 p ( * 2 - 4 p
2x - 24*
3(5- * 2) 2 ( * 2 +2)*
S*2
(l6 * 4 - 9 * 2p
* 2 - 3 * - 40
( . ♦ 4 ) ( , + 8 ) ( , - 3 )
2 * 2 + 2 *2 - 5 * + 3 4
3 ) ( , - 2 ) ( , + 4 )* +
4
* + 4
2 * + 5
3 m
m -mn + n2
2xz + 27xy-5y2
( * + 5 ^ ) ( * - 2 ^ ) ( * - ^ )
5fl
1 8 (fl+ 6 )
rs
r 2 - S2
1 . 82 2 5 . A 9 . 2
7ab x
4 jy 6
. 3 . B I + 1
7
2. - 6 . — — 1 0. -
y
4 2
i ( i - 3 )
1 1 . —
8bx 6 - 6 2*
4 1 6 *
8. 1
1 2 .2 ± 3
3 6 * - 5
2.
Ax2
aV
3.
x2( 2 x .3 f
,6 * i (2 * 3 + l)5
4 (x + y)
3
x2 * l
x2
x - 9
x + 9
*+1
* - 1
x2 - 6 * - » 5
x2 + * - 1 2
x2 - 1 1 * + 30
3*2 - 1 4 * + 8
2 * -1
2 * - 5
E je r c ic io 5 8
1
* - 7
a + i
fl2 + a + i
a * 1
fl- 1
f + 1
t
2 ¿ - 4 )
3 ( « * 3 )
X
óx2 - 7 x + 2
EJERCICIO 5 9
1 .—
x+1
„ B — 1
U . - 2 ± |
x + 5
16. X+6
Ax +1
14.
3 *+ 4
l , * + 3>
2 * + l
15 x2 +3x+ 2
í 2 - 9 * + 1 8
18 ^ fl- 1
Ej e r c i c i o 5 7
i . A 12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
7.
8.
10.
11.
12.
2n -1
430
x + 4
x
1
2 * -1
x + 11
x 2 - 7 x
* 2 - 2 * - 3 5
x2 - 8x
1
fl + 3
5x + l
2x2 + 3x
6
a + b
* 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 9
B
B2 +2
a2 + a6
a-b
x2 - !
x 3 + 2
óx2 +9
2*2 - * - 3
x - 3
x -1 0
t i .
* ( 2 x + 3)
3x2 + 5x
( * * ‘ ) ( * + 3)
2x2 - * - 2 5
x2 -25
y
2y-3
w+ 3
b i- 5

449. Solución a los ejercicios
5 . ? * y * 1
b -a
7.x
8.
9 .
10.
n - 3
n2 +4n
a-4b
a-3b
Ej e r c i c i o 6 0
1. x— 3
2. j»= 10
3. z = - 1
4 . x = - 2
5. x= 4
6 .^ = 3
7 . , - i
9. w = - 2
l 0 l " 7
1 1 . * = 5
12. * = 2
13.^= - 3
1 4 . z= - 8
Ej e r c i c i o 6 1
11. ab-b2
12. a-2b
13.
x + 2
1 4 .
1 5 .
1 6 .
2(x +1)5 (2 * + 3)5
x3 -1 0 *
p - i f
-2
( 3 * - l ) 5 ( 3 * - l ) 5
1 - 5 * 3
2 4
S x ^ S * 2 * ! ) *
1 5 . h= - 14
1 6 . * = - -
2
1 7 . * - -
1 8 . y = - 2
1 9 . * = 6
20. x = —
10
21.y= - 3
2 2 .* = 14
— S
24.2= 3
“ ■ ' - ¡ i
2 6 . * = -
30.2= —
19
31. xm-4
32. x - 3
33. * = - 2
3 4 . x - - -
3
3 5 . * — 1
37. No tiene solución
38. Todos los reales
39. Todos los reales
40. No tiene solución
23
7 .y = - 5 1 4 . * - - —
9
8 .y = 2 , , , - í
9. y — 1 1 6 . * = - 1
1 0 . h= 19 1 7 . * - ? ?
7
n . , - 1 1 8 . * = 0
12. X * - 1 9 . * - -
2
1 3 . * ■ - -
3
2 0 . x - - —
3 8
Ej e r c i c i o 6 2
1 . * = 18
2 . x - —
5
9 * = 8 1 7 2 - - — 2 5 . * = 1
2 6 . * = 3 5
y . * o w . z ^
1 0 . * - - 1 8 . * - -
3 7
3 * - - ? 11 * = - 8 1 9 * - - —
2 7 * - !
2 8 * — 2
4
4 r= - 6 1 2 * - ? Z 2 0 * -**. x — — V IX . X ■ XU. A " " —
11 11
xo. X ■
3
5 . * - - — 1 3 . * - — 2 1 . * - ’ 2 9 . x - -
2
6 x - -
13 11
1 4 * ■ - 2 2 * — ¡ í
9
3 0 x - - I
8
7 * - - *
3 31
1 5 z - * 2 3 * — Z .
2
3 1 2 - ^ 8/ . x ■ —
5
* ■ X,}. X " “ —
5 12
v i . ¿ ■
----
3
8 . * = 6 1 6 - * - ~ 2 4 . j = 2 3 2 . y= 6
Ej e r c i c i o 6 3
1
II
H
■I
H
*■«
8 . m = 1 1 5 . x
4 4
- s ^ n
2 . y —~ l . y — 4 9 . * = - ^ , * = 0 1 6 . x
_ 3
2
3 . m = - , m = - 4
3
1 0 . * = 7 , * = 1 1 7 . x
4 . , = 3 , * = - f
11 a r = - 3 , a : = - 3 18X
1 1
= 7 X = I
5 . _ y = 0 , ^ = 4 1 2 . * = 1 8 , * = - 2 1 9 . x
- ! • « - *
6 . m = - 3 , m = -
1 9
2 1 3 . * = - - , * = ^ 2 0 . x
_ 5 9 _ 5 3
8 8
1
1 4 . * = - 4 , * = 5 2 1 .x = - 9 , * = 3
Ej e r c i c i o 6 4
i . * = a 6 . * = m+ n
7 .* = b-a

450. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 6 5
I . 1 0 3 , 1 0 4 . 1 0 5
2 . 2 3 4 y 2 1 7
3 . 9 0 , 9 2 , 9 4
4 . 1 3 . 1 5 17
5 . 6 8 y 3 2
6 . 2 8 y 7 0
7.18 y 12
8 . 12 y 8
9 . 8 0
10.12
1 1 - 7 y 3
12.6 y 5
1 3 . 8
14. 24 y 12
15. 30 y 10
1 6 . 2 0 . 1 5 y 10
1 7 . 5 5 y 5
Ej e r c i c i o 6 6
1 . A n d r é s : 3 5 a ñ o s , C a r l o s : 3 1 a ñ o s , R o d o l f o : 2 4 a ñ o s
2 . 2 4 a ñ o s
3 . L u z : 11 a ñ o s , M a r í a : 1 4 a ñ o s , T a n i a : 1 7 a ñ o s
4 . D e n t r o d e 6 a ñ o s
5 . C a r l o s : 3 0 a ñ o s , M a u r i c i o : 1 0 a ñ o s
6 . B á r b a r a : 8 a ñ o s , P a t r i c i a 1 6 a ñ o s
7. 7 años
8 . Ornar: 16 años, Alejandra: 36 años
9 . 8 a ñ o s
1 0 .2 0 a ñ o s
I I . G u i l l e r m o : 4 8 a ñ o s , P a t r i c i a : 3 6 a ñ o s
1 2 . J o a q u í n : 1 0 a ñ o s , J u l i á n : 2 0 a ñ o s , C a m i l o : 3 0 a ñ o s
1 3 . A n t o n i o : 2 5 a ñ o s , I v a n : 1 5 a ñ o s
1 4 . 1 8 a ñ o s
1 5 . J u a n C a r l o s : 1 5 a ñ o s , D a n i e l 2 0 a ñ o s
Ej e r c i c i o 6 7
1 . 4 8 l i t r o s
2. 4 0 l i t r o s
3 . 4 0 g r a m o s
4 . 1 8 0 l i t r o s
5 . 1 0 l i t r o s
6 . 0 .6 l itr o s
7 . 6 o n z a s
8 . 10 l i t r o s
9 . 2 5 m i a l 4 % , 5 0 m i a l 1%
1 0 . 5 0 m i a l 5 % , 5 0 m i a l 2 %
11.10 litros al 30%, 20 litros al 3%
1 2 . 6 0 o n z a s a l 3 0 % , 9 0 o n z a s a l 8 0 %
1 3 . 1 0 0 0 l i t r o s a l 5 6 % , 1 4 0 0 l i t r o s a l 8 0 %
1 4 . 9 2 % y 6 2 %
1 8 .1 5 y 8
1 9 .1 4 y 6
2 0 .3 2 y 24
2 1 .3 5
2 2 .6 4
2 3 . 15
2 4 .4 5
2 5 .7 2
2 6 . 38
2 7 . 54
2 8 .2 4
2 9 .9 7
3 0 .9 6
3 1 . 124
3 2 .2 6 4
3 3 .4 3 6
Ej e r c i c i o 6 8
I . 1 8 0 m o n e d a s
2 . 7 d e $ 5 0 0 ,5 d e $ 1 0 0 0 , 4 d e $ 2 0 0
3 .2 0 d e $ 5 , 1 0 d e $ 1 0
4 . 1 0 0 d e 5 0 C , 3 0 0 d e $ l
5 . 6 m o n e d a s
6 . 8 d e $ 2 0 0 , 7 d e $ 1 0 0 , 6 d e $ 5 0
7 . 1 2 d e $ 1 0 , 3 6 d e $ 5 ,4 6 d e $ 2
8 . 3 0 m o n e d a s
9 . 6 d e $ 5 ,1 2 d e $2
1 0 .6 0 m o n e d a s
I I. 8 b i ll e te s
Ej e r c i c i o 6 9
1 . $ 6 0 0
2. c h a m a r r a : $ 8 0 0
p a n t a l ó n : $ 4 0 0
M u s a : $ 1 2 0
3 . $ 3 6 0 0
4 . 1 8 5 0 0 0 , 8 0 0 0 0 , 1 6 7 0 0 0
5 . $ 2 0 0
6 . e s c r i t o r i o : $ 2 5 0 0
c o m p u t a d o r a : $ 1 2 6 0 0
7 . 1 0 p r o b l e m a s c o r r e c t o s
8 . $ 5 2 0 0
9 . $ 3 6 0
10. 2 0 h o r a s e x t r a s
11. 2 0 k g d e $ 9 . 3 0
10 k g d e $ 12
12. 4 d e a d u l t o y 2 d e n i ñ o
1 3 . 8 0 0 0 d e $ 6 0 y 4 0 0 0 d e $ 8 0
1 4 . 4 k g d e $ 1 0 0
8 k g d e $ 7 0
8 k g d e $ 1 0 5
Ej e r c i c i o 7 0
1. 1 h o r a 12 m i n u t o s
2 . 2 h o r a s 2 4 m i n u t o s
3 .1 6 h o r a s
4 . 2 h o r a s 4 0 m i n u t o s
5 . 1 h o r a s
6 . 3 h o r a s
7 . 4 h o r a s
8 . 2 5 ^ m i n u t o s
9 . 7 — h o r a s
12
1 0 . 1 6 h o r a s 3 0 m i n u t o s
432

451. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 7 1
I. 3 6 s e g u n d o s
2 . 2 5 s e g u n d o s
3 . 1 0 m i n u t o s
4 . 1 2 : 1 8 p m
5 . 1 0 8 m e t r o s
6. 1 6 s e g u n d o s
7 . 1 . 5 k m
8 . 1 4 : 3 4 p m
9 . 8 : 3 7 a m
1 0 . 2 0 : 3 6 p m
Ej e r c i c i o 7 2
1 . 6 2 °
2 . 4 5 °
3 . a n c h o : 1 2 c m , l a r g o : 3 6 c m
4 . a n c h o : 2 4 m e t r o s , l a r g o : 5 8 m e t r o s
5 . a n c h o : 4 m e t r o s , l a r g o : 3 6 m e t r o s
6 . 6 , 7 y 10 m e t r o s
7 . 8 c m
8 . 1 0 y 4 c m
9 . r a d i o : — , l a r g o : 1 1 . 2 5 c m
x
10. 6 m e t r o s
I I . a n c h o : 9 m e t r o s , l a r g o : 1 8 m e t r o s
1 2 . a n c h o : 6 m e t r o s , l a r g o : 2 3 m e t r o s
1 3 . r a d i o : 1 5 m e t r o s
1 4 . a n c h o : 3 u n i d a d e s , l a r g o : 8 u n i d a d e s
1 5 . b a s e : 6 u n i d a d e s , a l t u r a : 4 u n i d a d e s
6 4 - 3 *
Ej e r c i c i o 7 4
i.
2.
3 .
1 6 . A -
8
1 7 . 1 2 u n i d a d e s
18. a n c h o : (O c m , l a r g o : 160 c m
Ej e r c i c i o 7 3
P v
r t
P -2< i
1. n -
2. Cm
11. dm
3 . m
4 . r .
mZ-b
a - s
C -s
9
u -a
n - 1
J ;
4 .
14
2
5 . F m - C + 3 2
• - 4
7 . ¿ ■ — - B
1 5 . m -
Fr‘
G M
1 6 . f - ( i — - 1
m ? t g a
8- x2 "
y2 - y l *m xl
m
1 8 . x -
-b ± \jb2 + 4a(y - c)
2a
9 . h - x ± y j r 2 - ( y - k f1 9 - p’ ■
P f
10. Fm
4 A
20. trn
f - p
- v ± \ 2 d f l + v2
433

452. Al g e b r a
5. 4 .
Ej e r c i c i o 7 5
1. tn — 1
2.m = - 12
3 . - 5
4 . m =
27
5 . m = —
14
Ej e r c i c i o 7 6
i.
J — 2
2.
3.
5.
6.
•F" *
x-4
434

453. Solución a los ejercicios
9 . 4 .
10.
Ej e r c i c i o 7 7
- i
2.
3 .
Ej e r c i c i o 7 8
1 . 5 = 4 0 /
2 . a ) / * = - r + 3 . 5
b ) F = 2 4 . 5 k g
c ) t = 10 a ñ o s 6 m e s e s
3 . c - » r + ! ™
3 0 3
Ej e r c i c i o 7 9
1 . ( 2 , - 3 ) , ( 7 , 0 ) s o n s o l u c i ó n
2. jes s o l u c i ó n
3 . ( 3 , - 4 ) , ( - 3 , - 1 2 ) s o n s o l u c i ó n
4 . [ 1 e s s o l u c i ó n
U 3 )
4 . a ) G = — / + 1 8 0 0
20
b ) 1 7 = ¿ / - l 8 0 0
20
c)R = $ 4 0 0 0
5 . a ) C = F = - 4 C P
b ) C = 1 6 0 ° y F = 3 2 C P
• m
5 . 1 - - . — I es solu ción
435

454. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 8 0
2.
3.
10.
436

455. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 81
. . ( 4 . - 2 )
2 . C o n j u n t o i n f i n i t o d e s o l u c i o n e s
( r e c t a s c o i n c i d e n t e s )
y
3 . C o n j u n t o v a d o ( r e c t a s p a r a l e l a s )
5 . 0 ,1
6 . C o n j u n t o i n f i n i t o d e s o l u d o n e s ( r e c t a s c o i n d d e n l e s )
Y
8 . - 2 , 3
Ej e r c i c i o 8 2
r - 3
1 > " 3
| 7 - 1
2.
1
*■ -
3
ym
' l ; : r
■I;:
‘ i;:
- 3
9 .
2
«■ -
3
4
1 0 . C o n j u n t o i n f i n i t o d e s o l u d o n e s
1 1 . N o h a y s o l u d ó n
1 2 . N o h a y s o l u c i ó n
7 . C o n j u n t o v a c í o ( r e c t a s p a r a l e l a s )
437

456. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 8 3 E j e r c i c i o 8 7
\ y — 2
U - 3
| n — 4
■ I ” . -
4 .
* ■ -
3
y - 3
Ej e r c i c i o 8 4
i > - 3
b — 4
2.
3
m - -
2
1
n - -
2
U - 1
! > -
b - 4
Ej e r c i c i o 8 5
1 . 2 3
2 . 6 2
3 . 0
4 . 3 9
Ej e r c i c i o 8 6
* - - 3
1
y — 6
m — 2
2 -« — 3
a — 2
3
6 - 5
•
x — 7
y - 1
=
CN r-i
■ ■
a. o-
6 .
2
' - 3
7
5.
j , . 8
\ y— 2
(;.r
- 1 2
9
U - i
¡ J 1 - 4
[ y- 0
U - 3
8.
2
f fjn -
3
1
r x - -
5
5 . —
6 . —
30
l.la b -a2
8 . n2 - 3 m n
7.
l „ - 2
(6 - 0
9 . C o n j u n t o i n f i n i t o
d e s o l u c i o n e s
1 0 . N o h a y s o l u c i ó n
1 1 . C o n j u n t o i n f i n it o
d e s o l u c i o n e s
1 2 . N o h a y s o l u c i ó n
9 .
5
u ——
6
_ 2
3
1 0 . C o n j u n t o i n f i n it o
d e s o l u c i o n e s
1 1 . N o h a y s o l u c i ó n
1 2 . N o h a y s o l u c i ó n
9 - I
a+b
a
x - 2
x+5
8.
- !
i
” " _ 3
9 . C o n j u n t o i n f i n i t o d e s o l u c i o n e s
1 0 . N o h a y s o l u c i ó n
1 1 . N o h a y s o l u c i ó n
1 2 . C o n j u n t o i n f i n i t o d e s o l u c i o n e s
r , - 1
b - 2
■i” .
- - 2
2
1 m -3
( n - 5
j * - V 3
f e 5
6.
8.
E je r c ic io 8 8
180
■i
■i
■ C
4 5
140°
4 0 D
4 .
5 I $ 8 0 p o r a d u l t o
| $ 5 0 p o r n i ñ o
6 . 5 m o n e d a s d e $ 1 0
■ f e
1 7 .
1
x - -
3
1
y — 2
>4
« - i
- I ;
*1;
- i ;
15I:
1 6 .
. 5
1-1
■ 2
- 3
■3
— 7
■1
i - 2
1
‘ 3
1^
'2
1 9 .
2 0.
1
* - 2
y — 4
x m w
ym s
21\ Xmb
[ y - a
2 2.
: - a 2
m b2
ma+b
b
1 2.
7 .
I L a d o s i g u a l e s - 1 9 c m
| B a s e - 1 0 c m
g I A g e n d a - $ 7 5 0
( T r a d u c t o r - $ 5 5 0
9 I H e r m a n o - 1 5 a ñ o í
| A n t o n i o = 5 a ñ o s
1 0. 7 3
1 6 5
2 3 > - fl+
I y a -
| P r i m e r a p a r t e - 3 5 0
I S e g u n d a p a r t e = 2 0 0
* l :
I 5 | A l e j a n d r a t ie n e = $ 1 2 0
I B e a t r i z t i e n e = $ 5 0
^ L a n c h a : 1 0 k m / h
C o r r i e n t e : 1 k m / h
1 7 1 2 5 g a l l i n a s
1 19 b o r r e g o s
l g 1 G a l l i n a s = $ 3 0
1 B o r r e g o s = $ 3 0 0
I 9 I Á l ^ b r a L = $ 1 2 0
I G e o m e t r í a A = $ 9 0
20.
2 1.
1 1 2 .5 I t d e l a d e 3 0 %
[ 3 7 . 5 I t d e l a d e 6 %
| V e r a c r u z = 0 . 7 5 k g
| C h i a p a s = 0 . 2 5 k g
11.
I c a r i o s t e n i a $ 3 0 0
I G a b r i e l t e n i a $ 2 0 0
438

457. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 8 9
X - 7
ym 3
2 - 1
2.
3 .
4 .
6.
d - 6
e— 2
/ - 3
x - 3
>-— 3
1
" 3
2
” 3
1
'■ 3
2 — 1
m — 3
n — 2
r ■ -1
1
a —
4
3
1^
" 2
Ej e r c i c i o 9 0
P a l e t a = $ 2
H e l a d o = $ 4
D u l c e = $ l
2.
C a m i s a = £ 3 0 0
P a n t a l ó n = $ 5 0 0
P l a y e r a = $ 4 0 0
Ej e r c i c i o 91
2 3
x + l x - l
— - — + — - —
3 x - 7 2 x - 3
1 1
5 . -
6.
7 .
8.
5 x - 4 5 * + 4
2 1 _
x + 2 ~ x - 5
_ 3
___1_
x - l x - 4
8 6
2 x - l 2 x + 1
1 1
x + 3 x + 2
3 2
7 .
8.
9 .
10.
11.
12.
* - 8
■V- 6
2 - 4
f l - 5
6— 2
c — 3
m - 7
n - 3
r - 1
x — 4
y - 3
2 - 2
x - 3
J--4
2 - 5
1
- i
c - 1
3 .
4 .
P a r e s d e c a l c e t a s = $ 5 0
P a n t a l ó n = $ 5 5 0
P l a y e r a = $ 1 2 0
C e n t e n a s = 8
D e c e n a s = 6
U n i d a d e s = 2
N ú m e r o = 8 6 2
_ 3
____2_
4 - x x+ 3
- i — J L
2x+7 x-2
1 3
3 * - 2 " ( 3 * - 2 ) 2
12. - - - í — + —
x x + 2 x - 3
2 1_ 1
x - 2 x + l x + 4
1 2 3
x + 3 + x- 2 " (x_ 2 ) 2
1 5 . - + — - — + — —
x 2x- 1 x - 3
, , 2 3 4
1 6 . - + +
--------
x x - l x + 2
1
________1_____5
2 x + 3 ~ 3 x - 2 ~ x
_ J _ + J
------
x + l x + 3 x - 2
_ 2
______6__ 3
x + I ~ 2 x + l + x - 2
2 1 1
( x + l ) 2 * + ' ( x + l ) 3
3 2
21.1+ 1
22.
* ( * - . f » - •
1 1 1 1
( x + 3 )2 + ar + 3 ’ ( x - 3f * * ' 3
Ej e r c i c i o 9 2
* x 2 - 3
1 . x - 2
x + l 3x*+1
J L .+ i = L
x - 2 ^ + 1
2 1
x 2 + 5 ~ x 2 - 7
1 2 x + 3
x - l x 2 + x + l
x + l 7 x
x 2 + 5 x2 + 3
7 I_ * + 3 • *+1
2 x + 5 3 x - 1
x x 2 - 2 x2 + 3
—
x - 3 x - 2x - 1
x - 3 | 5 x - l
2 x 2 - 7 x 2 + 5
x - 2 8
x2 + 5 x -3 x
3 x - l 1
x 2 + 4 x + 5 2 x - 4
439

458. Á lG E B R A
12. — + — -r-—
x^ - 3
X
13.
2 x + l
X 2 + X - 1
14.
i'3- ' )
x - 3 1 5
15.— + — !
----------—
* + 1 / 2 x2 - 2
16.
x + 1 1 1
x2 + 3 x + 4
(x 2 + 3 x + 4 ) '
,7v "
i '
+ 1
x 2 + l
18.-5-
______!—
19.
20.
( * H !
5 x + 17
3x4-1 1
x2 - 2 " " x2 + 1
. 1 4 - 34x 16
Ej e r c i c i o 9 3
1 . 2 7 / 1 3 . a 8 2 5 .1
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2. l ó x 2/
26 ?
3 . - ^ “
6 2 5
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4 . - 2 1 6 X 6/
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2 8 . ( x + 2 > ) 6
5 . - 3 2 * 30
I7 ’ 17fl4¿
2 9 . 1 0 8 a 9
6 . — m ~ *
1 6
1 8 . —
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I9 - ¿ ^ ° - 7
8 . 1 6 f l V 2 0. 1 6 x 4 3 2 . 1
9. - 1 5 / 2 1 . - 9 3 3 . o 2* 2
1 0. x / 2 2 . 2 3 4 . 7 2 a 13
1 1 . x
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1 2. -mn
* - = ?
EJERCICIO 9 4
1
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15.
16.
17.
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9.
4 x ,0zu
8
18. m V
EJERCICIO 9 5
1 .2 7 -5 4 x+ 3 6 v 2-8 x3
2. 1 + 4x+6j2+4zí + x4
3 .x 3- 6x2>> + 1 2 x / - g /
2 4 8
5 .x 6- 6 x 3+ 15x4 - 20X3 + 15x2- 6 x + 1
6. 1 6 -3 2 x+ 24v2- 8 x 3 + x4
7 . x10 + 5 x * / + lO x6/ + lO x4/ + 5 x V + / °
_ x 5 5x4 5X3 5x2 5x
8 .
---------+ + 1
32 16 4 2 2
9 81~ 2 7 + 6~~ " ¿ " ‘"íó
10. x9 + 1 5 xV + 75x3/ + 125/
„ 1 1 1 1 1
V x4 + ~6+ ‘ +
3
12 1 , 3 l 3 i 5 l 15
Sx3 16x4 ló x 5 32X6 128x7
a 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * "
10
19. 1 6 /°
2 0 . x2 + /
21. ( x -2yf
b3 -a 3
a3 *b 3
I
22.
2 3 .
24.
y - x
y
y * 1
/ - /
25' x4/
2 6 . x + >>
x2 - ^ * /
27.
*y
2 5 8 U
3 (3 x )s 9 (3x)3 8 l(3 x ) a 2 4 3 (3 x )j
80
1 6 . - 7 +
oo
oo
. 32 +
3 2
9x3
-----T
81x3
_ L + _ 2 L + _ z z _
7 + II+ 15
1155
2x4 8x4 l ó x4 128x4
4 4 0

459. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 9 6 E j e r c i c i o 9 9
1 . 1 2 7 5 7 5 a 5 5 . - 2 5 3 1 2 5 0 0 Ü T 5 i . «
2 . — a 4
8
, 1 7 9 2
2 . ’V ? i o . 5> ¿ ? - &
3 . - 4 3 9 0 4 0 a 5/ i ' - f c l l . N / f l + v í
4 2 2
a r
7 2 9 1 2 . W - #
*.
14
7 2 9 ( 8 a ) 3
8 !
5 1 2 a '
4 ^ í
1 3 . 5ví ( 2 a + / 4
Ej e r c i c i o 9 7
6 . > / * V 1 4 . v 'm + «
1 . 1 6 a4 + 3 2 a 5 + 2 4 a 2 + 8 a + 1
7 . 7 ^ 7
J f » , \ 2
2 . 2 1 8 7 - 1 0 2 0 6 y + 2 0 4 1 2 / - 2 2 6 8 Q / + 1 5 1 2 0 / - 6 0 4 8 / + 1 3 4 4 / - 1 2 8 /
1 5 ' l / ( * )
3 . a 8 + 8 a 7 + 2 8 a 6 + 5 6 a 5 + 7Qr4 + 5 6 a 3 + 2 8 a 2 + 8 a + 1
8 . 3 1 7 1 7
| .
4 . a 6 - 6 a 5 + 1 5 a4 - 2 0 a 5 + 1 5 a2 - 6 a + 1 1 6 . J i m - ' - » - 2 )
5 . 3 125OT5 - 6 2 5 0 m 4n + 5 0 0 0 W l V - 2 0 0 0otz« 5 + 4 0 O n n 4 - 3 2/í5
v \ /
6 . / + 16fl76 + 1 1 2 a V + 4 4 8 a V + 1 1 2 0 fl464 + 1 7 9 2 d V + 1 7 9 2 a 2¿ 6 + 1024a¿>7
+ 2566®
Ej e r c i c i o 1 0 0
1 1 . 3 m V
7 . a*2 + 3 0 x * ° y + 3 7 5 a 8/ + 2 5 0 0 a 6/ + 9 3 7 5 a 4/ + 1 8 7 5 0 a 2/ + 1 5 6 2 5 /
1 . 2 7
s * 7 . 7 x 5 . 2 1 a 3 . 3 5 a ¿
3 5 2 1 7 1
2 . 2 1 2 . 2 a 4
8 .
-----+-------+--------+-------+
1 2 8 6 4 3 2 16
— + ------+-------+ —
8 a 4/ 2/ a 7
3 . 3 1 3 . 2 a 5/
9 . a 5 + 3 a V - ó / + 3 a / - 1 2 x y + 1 2 a + / - 6 / + I2y - 8
4 . 14 1 4 . 2m n
r 10 S r 7
l0x* y - I 0 V
y y a 2 /
5 . 4
“ 7
1 1 . a 12- 1 2 a " + 6 6 a 10- 2 2 0 a 3 + 4 9 5 a 8 - 7 9 2 a 7 + 9 2 4 a 6 - 7 9 2 a 5 + 4 9 5 a 4 - 2 2 0 a 5
6 . ? 1 6 . 5 m 2 " * a 4>“ 3
+ 6 6 a 2 - 1 2 a + 1
4
3 2 4 0 2 0 5 5 1
7 . 6 1 7 . 2 ( 1 + a )
1 2 . — + — + — + — + — +■
a 3 a 4 a 5 a 2 8 a 3 2
8 . - 8
9 . - 4
' 8 . M
1 9 . —
2 2
1 0 . 2 a / 2 0 ^
H
Ej e r c i c i o 9 8
|
Ej e r c i c i o 1 0 1
w
l . m * u . ( * V ) 5
l . a v ' a l l . ó m n 2 V3»*3» 2 2 1 . ~¿*'I**y
2
2 . a 7 1 2 . ( / + / ) 5
2 . 3 a / > '3 ^ 1 2 . 2 * V 5vÍ 7 2 2 .
4 i
15 </2 V a /
3 . /
y
1 3 . ( a 7 - / ) 2
3 . 8o t i z2 v 'm 1 3 . - 6 m V v W 2 3 . - 1 ¡ -
4 \ 3
4 . ¿ 1 4 . 3
4 . 3 n w 5 v'm 2 M . / V & i 2 4 . | t / 4
II II
3 V a 2
5 . 6 7
|
1 5 . ( a + 2y) 5
9 X
5 . xyz2 J a 2.y 1 5 . 5 fl v 'f l i 4 2 5 . 3 m v 'm - 2 n
6 . ( 5 . ) 5 1 6 . a 5 - é 7
6 . 5 V 1 6 . ^ m 3 \¡ 2 0 m /^ 2 6 . | 4 a 2 + 5 / | V a
7 . ( 2 , ) í 1 7 . ( a 7 + / j 2 7 . 15fl2í v;2 6 M .x y 'fy 2 7 . 3 f l6 V fl4 - 2 a 6
3
V J
7 3
8 . 1 5 p Y j q 1 8 . - v a 2 8 . | m - n | v m - n
8 . ( 3 / ) 3
9
1 8 .
1 3
9 . 6 a y t / 3 a r
a
. 9 . ^ 2 9 . ^ - Ms- S ) 1
9 . ( 2 a v ) 5
1 9 . m 7 ( « + / » ) 2
✓
A *
2 2 13 7 1 0 . 1 0 / r v V é 5 2 0 . “ 3 0 .
1 0 . ( a 2/ 5 2 0 . a>m>n*
4 4 1

460. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 1 0 2
1. v' 45
2 . >/¡75
3 . v'128
u -V 8
11.
Va
6 . v'x3
7. > 5 7
. v W V
9 . t t V
10. V 5 0 d V 7
Ej e r c i c i o 1 0 3
1 .5n/5
2 . -6^ 3
3 . 0
4 . 8v9 - \ 5
5 . -3V 3 - 7n/2
ó .^ v 'ÍÓ + ^ V tt
7 . - - V 6
8
8 . -4Vm
9 . 3 yfx
10.
11. 4^7
12. 27\¡2
13. -17V 3
1 4 .8 ^ 5 + 7 ^
15. -2V 3
16. > 5 - 1 0 v 5
17. 4 7 V 5 -5 0 v T T
18. - 2 \ ' 2 + ^ v'5
19.9v'7a2
n M
\ 5b
2 7 /
13.
128xJ
14. v3ox2
15. V ü
16. \4 a3i + 4a2i 2 + a i3
17. ’
18.
19.2
x + 1
( x - 1 f
x2 + 2x + 4
\ x 2 - 4 x + 4
20. \2a*x
2 0 . 8 a V i
2 1 . l l x > Í 3 x
2 2 . -14X2 v 2
2 3 . 3 a y N /x
2 4 . — a i v ' 2 i + — a i v ' 3 i
6 4
2 5 . j ^ i v ' a
2 6 . - —
24
2 7 . 1 0 x v/y - 7 x 2 Nf i y
2&.-xy2j x y - x iy¿}x
2 9 . x > ¡2 y + 4 y '¡ 3 x
3 0 . - 2 f l K 2 ¿ + 1 6 a c V 3 ¿
3 1 . - 2 x v ' 7 - 3 y *' 4 x
3 2 . 1 0 o i V s a V - 6 a 2 i 3 v 3 o i 2
3 3 . ^ a v 5 a - ^ i v 3 ¿
3 4 . ^ x V í + - A y \ V
2 0 1 2
3 5 . - - a f y , j— + - a i 3 .
9 V i 3 V 3
3 6 . 6 > / a - 2
3 7 , - x > / x " + 2
3 8 . 1 0 * y N/ x - 3 y
Ej e r c i c i o 1 0 4
1 .3V2
2 .5\6
3 . 2 ^
4 .27VÍ0
5 - V
6 . a y ^ V
8 . 18a2i v 2 i
9 - 2 x / v 3*y
10. a4 >5
1 1.2a2 Va
12. Scb 2V6b
13.6asa
14. 8xV 7
15. - ó a V v T i
EJERCICIO 1 0 5
1 . ®
2 .x V x
3 . ' ^
4. xy6¡ m x * f
5 . 3 x ^ 7
Ej e r c i c i o 1 0 6
1. rt\m
2 . xy2
3 . 3aV«r
4 . 4 y v x
5 . 3 « V \ V
6 .6 a i
2a3
6 . a \ 4ai3
7 .x v '7 2 Í
16. — J —
5 x \ x
17.
am
1 8 .6 - 4 ^
1 9 . 5 - ®
20. ® x \ '2 - x
2 1 . 1 9 - 8 V 3
22.95
2 3 . 2 m - 3 n \ ' 2 m - 4 n 2
2 4 . x - y
25- | x + /
26. v 'T ^ y
27. | l - x |
2 8 .V 3 ( x - y )
29. |x+ y j^ x - ^
30. 1
l l . y t / y
1 2 .1 ’^
9 . a %
1 0 . x ‘J ?
8.9« V
1 3 .2 ’
1 4 . 2 / »
15 . ’& V ?
15.
3_2
7.
5 i4
9.
10.
11.
12.
13.
14.
3n*
4WI2
2
3 » 2
5z2
2 a V
5
4a^
3 i2
3 fl
2 /
16.
3mn
7
17. ¿ “^
18. | A
19.-
w
20.
A 4
442

461. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 1 0 7
' é " ' f
2 » |-
\ y
7. a Va n ' - J x
3 . ‘M
V 3
8. fl\'l08a6 ¡¡/••■JTTi
- s
9 é
14. v * -1
V b
I 0 ; f e
I S . ' ^ a - í ) 5
Ej e r c i c i o 1 0 8
3
8 .7 N 'S V
b
' 5 i ( 4 - ^ )
i M
5
16. V3fl + \2b
3 Ív 30°
6
iO. ~ ~ V25flJ¿:
5ab
1 7 .( l + x ) ( l - / x )
4 . 3 & . . ± ( . ♦ * 6 )
x + y
5. 2xv 3 ^ 1 9 .- ( l + ^ + í ? )
6. -Í-4n/ Ü V
*y
13 5 * * v '5 ,
20. s W - v 3 a ¿ + v’?
1 - 5 *
7. 1 4 . n/ 3 - 2
Ej e r c i c i o 1 0 9
. 3
n 7
■13 7 - 2\¡7
2 f 12 S U2
3i 13 5 + 2>'6
4 é
J
( x + 3 ) ( s k + \6 )
j 1
15
2 , ’^ V
x + ljx y +2y
6 '
1 6 1
S Ü ?
2(>/5x+v'6y)
|
>/* + v5
1
8 2\'4x
9 2
V * 2 +3>/* + 9
1 9 1
V v V v'a2 + 2 \'a¿ + 4 \ 'i2
10. — 2 0 .- 1
2yV3*
Ej e r c i c i o 1 1 0
1 . 4 /
2 . 6 /
5 . 2 5 /
6 . 2 V l i
9 . 5 ^ 5 /
1 0 . 9 v 2 /
1 3 . 3 + 6 /
1 4 . 2 - 4 v 7 /
3 . 7 / 7 . 5 V & l l . | j 5 r
4 . 1 1 / 8 . 3 \ & 1 2 - 1 6 . | - 2 v 2 »
Ej e r c i c i o 1 1 1
1 . 9 / 8 . ^n/ 3 / +
| *
2 . 3 + /
3 . - 9 /
4 . 1 1 /
5 . 6n&
6 . 0
9 . 1 1 - /
1 0 . 7
1 1 . 0
1 2 . 0
1 3 . 5 t f
7 . - 4 v ' 2 / + 3 v '3 i 1 4 . ^ x j j x i
Ej e r c i c i o 1 1 2
1 . - 1
2 . - /
3 . - 3 /
4 . - 1
5 . /
6 . /
7 . - /
8 . 3 / - 2
9 . 4 /
1 0 .1
1 1 . 3 / - 2
1 2 . 0
1 3 . - 1
1 4 . S i n e s p a r : 0
S i n e s i m p a r : - .
1 5 . 0
Ej e r c i c i o 1 1 3
1 . - 9
“ 7
n i
5
1 6 . 0
2 . - I 2 v ’3 í 7 . - 6 0 1 2 . v 2 - 4 1 7 . 1
4
3 . - * / ¡ f 8 . - ¿ - 3 \ 6 1 3 . — /
10
i 8 . - r
4 . - 2 9 . 4 / 1 4 . -
5
1 9 . 2 /
1 0 . 3 1 5 . 0 2 0 . - /
Ej e r c i c i o 1 1 4
• • ( « )
5 . ( 5 , - 2 ) 9 . 3
2 . - 1 + 5 / 6 . - - - /
2 7
” H )
3. ( 0 , 7 ) 7 . - 2 / 1 ! | - 8 /
‘ ■ ( H ) 8 ( - H
1 2 . ( 1 , - 1 )
Ej e r c i c i o 1 1 5
1 . ( 1 0 , i ) 4 . (5 , -6 )
7 ( H )
2 . ( 1 , 0 ) 5 . í — , - -
( 2 0 3)
8 . ( > / 2 , - 5 )
3 . ( - 2 , - 5 ) 6 . ( 0 ,1 ) 9 . (n/ 3 ,n^ )
443

462. Á lG E B R A
1 0 . 7 - / 1 5 . 1 1 - - / 20. 1 6 - 4 /
2
11.6 1 6 .4 - 10/ 2 1 .2 + 3 /
12.0 17.1 2 2 . 4 + 5 /
1 3 .- 1 + 11/ 18. - - + — /
2 6
1 4 .3 / 1 9 . 4 - 3 /
Ej e r c i c i o 1 1 6
1 . - 1 7 + 6 / 1 3 . - 8 - 6 /
2 . 5 + / 8 . - 2 + — / 1 4 . » - ! /
2 400 5
3 . 6 + 4 / 9 . 6 + 18/ 15.32 - 126/
4 . 1 - 3 / 10. - 2 + 10/ 1 6 .4
5 . - 3 + 4 / l l . - y + 4 / 17. - 5 + 13/
6 . - 1 + 2V6/ 1 2 ./ 18. - 3 + 4 /
19. ( a + b i ) ( a - b i ) - - = a2 - b 2¡2 = a2 * b 2
= R e(z)2 + Im (z)2
2 0 . ( 1 + / ^ ( 1 - / ) " =
= ( . - ^ r = ( . * * r
21. m»2" = ( l + /)2" =| ( l ♦ I1)2 J = (2»J° si n es par,
entonces n = 2 k con k e Z , sustituyendo:
< * r = ( * ) “ =<« - M * ■ ( - • • <
= H ) 5(2)“
- ( - .jW
2 2 . H ^ = ( l + / f =■ [ ( . ♦ / f J = ( 2 / ) ' = ( 0 .2 ) “
Ej e r c i c i o 1 1 8
Ej e r c i c i o 1 1 7
l . i = l
g - ! + 8/
5 5
_ 5-1 2/ _ -2 + 3/
2 . ——— 9. — —
13 2
3 . - 3 - / i o . - , 3 ' 9/
5
1 - 1 - 24tí
l l . - 2 + IL'
5 25
5 - 4 - v 2J p -129-107/
2 10
4V2-4»
6. 1 + /
U - 3
7.2±i 1 4 .-/
2
Ej e r c i c i o 1 1 9
l.y fo 16. - 5/ 3 1 .3 + 2/
2. v'41 3 2 .2 - 4 /
3. % 41 18. (2 .-1 ) 33. 1 + 8/
4 .3 19. (0 .3 ) 3 4 .2 - 9 /
5.45
H *
35.4
6. v'85 2 1 .- 2 - 6 / 36. 11
22. (- 1 .1 ) 3 7 .- 4 + 6 /
8.45 2 3 .-2 - ü / 3 8 .7 - 6 /
9.42 39.1 + - /
l 2 3 / 3
' « • J f
25 a 30. 40. f /
V J
No se incluye
o
h. S JíI
la solución
4 1 .1 1 = 2
3 13
12. V il 4 2 .2 ± í
5
1 3 .5 -4 / 43. 1
14.-5 44. —
12
1 5 .1 - /
Ej e r c i c i o 1 2 0
1.
2 . * — 9 ,^ - 3
3. x, " - ó .a j « - 5
4. y ,- 3 + / , y2- 3 - /
5. >f| - - 5 , h2»8
6 .z ,- 1 5 ,z 2- - 2
7 .z í- 6 ,z2- 4
8. x, « -2 0,x2 -12
9 . * , - - l + 2/,*2 — 1 -2 /
1 0 . ^ - 1 . x , — j
4 4 4

463. Solución a los ejercicios
13. * - 3 . * — -
1 5 .* ,— i . * , — ¿ i
Ej e r c i c i o 1 2 1
1 .* ,= 3 ,* ,= 5
2 . * , = 3 , * j = - 2
3 . * , = - 4 , * * = - 2
4. x , = 5,X2= - 3
7. * , = — , * = 1
8 .* ,= 3 -> /7 ,*2 = 3 + >/7
9 . x l = - l - y ¡ 6 , x 2 = - l + >¡6
10.*, = 2 - / ,* * = 2 + /
Ej e r c i c i o 1 2 2
1 . R e a l e s y d i f e r e n t e s
2 . C o m p l e j a s
3. Complejas
4 . R e a l e s e i g u a l e s
5 . R e a l e s y d i f e r e n t e s
6 . C o m p l e j a s
7 . R e a l e s y d i f e r e n t e s
8 . C o m p l e j a s
9 . R e a l e s y d i f e r e n t e s
1 0 . R e a l e s e i g u a l e s
11. Complejas
1 2 . R e a l e s e i g u a l e s
E je r c ic io 1 2 3
* . ■ - !
16. h>, — - a , H j- 5 a
1 7 . * , — » , * 2 - 2 6
18.*,
19. *,
2 0.*
5 6
' V * 2 “ ¿
_ 2 ¿ ^
10 a
T ^ " 2
1 1 .* ,=
1 3 1 3 .
12. * ,
13. w, = 0, *2 = 5
14. z,
1 5 .*,
16.*,
1 7 .*,
18.*,
1 9 .*,
2 0 . h,
0. * = - -
= - 5 ,* 2 = 5
1 1
■ I ^ = 2
4 4
; — . * * * -
a a
2 .
*2 - 6
* , - 8
* , - 3
j * , - 4
U , - 5
4.
5.
6.
*1-
* 2 -
*
* 2
> í ’
*
- 9
1 0
• I
«4
5
'3
«2
7 .
* , - !
2
* - 3
* , - 4
1
y * -2
2
3
*2 - 3
10.
11.
12.
13.
14.
15.
* ■ :
2
* - 5
* 2 ™4
7
Z- " F
■ k - j
H-, ■-
¿ 7
* — 5
* 4
Ej e r c i c i o 1 2 4
* - 0
2.
3 .
4.
5.
*2— 6
* - 0
* - 2
* , - 0
* 2 - 5
* i - o
2
* - 3
* , - 0
*2- !
E je r c ic io 1 2 5
1.
X1—2
*2 " 2
J * ' - 1
1*2-1
3 .
i * - - 1 0
h>? -10
4 . I * - 8
*2 "8
5 .
— >fo
-y¡3
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
20.
21.
* - f *
* 2 - | i
1
- - 7
2b
* 2" 7
z , - 2 &
* , — 3 \¿ 3
2 2.
2 3 .
2 4 .
2 5 .
2 v 7
*2 - 5 > / 7
1
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2-5 V 3
6.
7 .
8.
9 .
10.
5
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8.
9 .
10.
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1 4
11.
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6
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12.
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Z2" i
* — 6
13.
* , — 4/
* 2 - 6
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£
H*! ■-'/7
1 4 .
h, ——5 /
h-2-5/
f -*
■ ■
1 5 .
r.r
445

464. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 1 2 6
1 . 2 7 y 15
2. 3 0 y 12
3 . 3 . 5 y 7
4 . 1 2 , 1 4 y 16
5 . 1 y 5
6 . 5 y 20
? I l a r j j ) - 2 0 0 m
[ b a s e - 1 2 5 m
I l a r g o = 2 5 0 m
[ b a s e - l O O m
g [ a l t u r a = 10 m
( b a s e - 3 0 m
9 . 3 , 4 y 5
1 0 . 9 6 m 5
I a l t u r a = 18 m
1 4 .
J 2 [ A l e j a n d r o = 8 a ñ o s
[ A l f r e d o » 4 a ñ o s
1 3 . 7
[ á r b o l e s » 15
[ f i l a s - 13
1 5 . r = 4 c m
1 6 .
[ a n c h o =16c m
1 7 . 3 9 a ñ o s
18. 5 s e g u n d o s
1 9 . 7 .5 s e g u n d o s
20.
[ p r i m e r a l l a v e = 8 h
[ s e g u n d a l l a v e = 2 4 h
2 1. $ 20
22. 8 , 6 y 10 u n i d a d e s
11.
[ b a s e - 5 4 m
Ej e r c i c i o 1 2 7
1 . K ( 2 , - 2 ) x¡ - , , * j “ 3
2 K í - f )
3
4 . K ( - 2 , - 7 ) - 2 , * j m<¡7 -2
5 . v ( - 1 , 4 ) x , - - 1 + 2 i,x 2 — 1 - 2 /
6 . K ( 1 . 0 ) x , - l , x 2 - l
7. v [ 2 , 9) x , - 2 + 3 / , * j - 2 - 3 /
8 . K ( 5 , 0 ) x , - 5 , x 2 - 5
9 . K ( 0 , - 9 ) * , - 3 í , * j - - 3 /
1 0 K(i -I) 3
Ej e r c i c i o 1 2 8
1 . 5 0 y 5 0
2.-10 y 10
3 . 2 0 y 2 0
4 .5 5 y 5 5
5 . 7 2 p i e s
E je r c ic io 1 2 9
*1 + *2 “ 0
6 . 1 9 c m y 1 9 c m
7 . 5 0 0 q 'e m p l a r e s
8.20 p e l o t a s
9 . 3 5 c a j a s
( 5 6 . 5 c m
10
[ 4 3 . 5 c m
2.
X\ * X2 “ 0
2 5
3 .
4 .
* l* * 2 ml
*1*2-0
W - f
*t'*2m0
5 .
6.
x , x 2 - 6
* i + *2 - 4
*\ '*2 “ 3
7 .
8.
x . + X j - l
x, .x2 - 1 2
1
* ■ * - 3
9 .
10.
* +*2 — 3
14
V * 2 - 7
\*l+ *l—
\*i*2-'2o2
6 . x 2 + 4 x + 2 9 - 0
7 . 2 x 2 - 5 x + 2 - 0
8 . 2 0 x 2 + 1 9 x + 3 - 0
9 . X2 + 2 b x - i b 2 - 0
1 0 . x 2 - 7ax + 10*i2 - 0
7 . x - 3
, 3 ” ^
8 . X - 7 1 4 . x - 1
9 . x — 1 1 5 . x - 3
l O . x - 1 1 6 . x — 2 , - 7
1 1. x —4 1 7 . x — 1,1
1 2 . X - 1 1 8 . X - 9
Ej e r c ic io 1 3 0
1. x2 - 9 - 0
2 . x2 + 7 x - 0
S V + l ó - O
4 . x2- 5 x + 4 - 0
5 . x^ + S x + lS - O
Ej e r c ic io 1 3 1
1 . x - 4 9
2 . x - - 8
3 .- 1 3
2
4 . x - 5
5 . x - 5
6 . x - 2
Ej e r c ic io 1 3 2
1. ( 0 ,0 ) , ( 4 ,4 )
2 . ( 0 ,3 ) , ( 3 ,0 )
3 . ( 3 , - 3 ) , ( - 3 , 3 )
4 . ( 2 ,4 ) , ( - 2 , - 4 )
5 . ( - 3 , - 5 ) , ( 5 ,3 )
6 . ( 3 ,2 ) , ( - 3 , - 1)
7. ( 4 ,3 ) , ( 4 , - 3 ) , ( - 4 , 3 ) , ( - 4 , - 3 )
U ) { 3 )
9 . ( 2 , 4 > £ ) ,( 2 , - 4 v '2 ) , ( - 2 , 4 v S ) , ( - 2 , - 4 v ^ )
» . (7 , - 7 ) ,( - 7 , 7 ) , (2n7 , V 7 ) ,( - 2n^7, - V7)
11. ( 4 ,2 ) , ( - 4 , - 2 ) , ( 5 ,1 ) , ( — 5, — 1)
12. ( 5 , l ) , ( - 5 , -i) , ( -n/3 , 2 ^ 3 ) , ( A - 2n/3 ¡
13.(1, l ) X - l , - l ) , ( - 2 , 0 ) , ( 2 ,0 )
14. ( 3 ,2 ) , ( - 3 , - 2 ), (4 i, i ) , ( - 4 /, - 0
16. ( 3 ,6 ) , ( - 3 , - 6 )
,7.(2
18. ( - 2 , 1 ) , ( 2 , - 1 )
17 17
( ~ 1 , - 4 ) , ( 2 , - 7 ) , ( 1 , 4 ) , ( - 2 , 7 )
4 4 6

465. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 1 3 3
1 . ( 3 . - ) 21.
[ ! - )
2.- . 3 ) 22. - . 1 3 ]
3. - . - 4 ) 23. - 2 .3 )
4. 24. [ - 2 1 '
2 ’ 2 ,
5.- . - 7 ) 25.[ - 3 . - 1 ]
6.
- H
26.[ - 9 ,- 1
7.
H
27. - 3 ,3 )
8. — .2) 28. [ - 2 3 ,- 1 0 )
9. -00,1o ] 29. - 2 .4 )
10. -00.5] 30. [-4 ,1 )
11.
H
31. -1000,100)
12.
- i ]
32.[M i
5 5J
13.
H
33. -1 6 .8 )
14. 34.
21 1
. ” 2 ’ 2)
15.2. - ) 35.
_ 1 19
. 2i
16. (6.00) 36.
10 33
3 ’ 3i
17.[ -21, - ) 37. - 1 4 ,- 2
i
18. [6,00) 38.- 2 . 4 ]
19. - . -6] 39.
9 19]
2* 2 J
20.19 l
- 3 - J
40.
[“ •!)
Ej e r c i c i o 1 3 4
1. -3,3) 7. — , 0 ) u ( 4 , - )
2. [ - 4 4 ] 8.- , - 4
3.1- , - 5 ] u [ 5. - ) 9. |
[ + )
4.1[ — , - « ) u ( 6 . - ) 10.
[-H ]
5.
H ]
l l . l[ -00,-4
6.1 12.1[-0 0 .-1 ;
Ej e r c i c i o 1 3 5
4i-J
* ( - ! )
4 . ( - ~ , 2 ) w ( 2 . - )
5. ( - , 3 )
6. [ - 3 . 2 )
7 . ( - ~ , - l ] u ( 3 . ~ )
Ej e r c i c i o 1 3 6
1 . [ - 2 , - l ] u [ 2 . 4 ]
2 - [ 2 , ~ M - 2 )
3 - ( — - 2 M - 1 . 1 )
Ej e r c i c i o 1 3 7
2. ( - 7 .7 )
3 . ( — . l ) u ( 9 . ~ )
4.
- H
5 . ( - . 3 H 5 , - )
M
7. [ - 9 .1 0 ]
8. ( -00,-4 ) u ( 20,oo
9. [2 ,1 8 ]
Ej e r c i c i o 1 3 8
y - 6
8. ( - 1 ,3 ) u ( l l , » )
9.
10. 2 ) u ( 2,4 ]
l l - ( - 4 . - 2 ) u ( l . ~ )
12 ( — - 2 ) u | . 4 )
13. 6) u (1,4]
4. ( -00. -4)
5 . ( - 3 , 0 ) u ( 3 . - )
6. ( -00,-2 ) u ( 4.oo)
" ( i- )
12. ( -00,-2 ]u [0 .o o )
13.«
1 5 . ( - í . ° ) u ( ° . 4 )
1 7 .(-o o ,0 )u (4 ,o o )
2.
447

466. 8 .
9.
10.
2.
3.
6 .
y~ 3x-10
/
/
2 x - 3 y - 9 /
y
y
r
7.
8.
11. 4.
0<x<3
- X
9.
12. 5. 10.
4 4 8

467. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 1 4 0
1.8-2*
2. 16 = * 4
3.81 = 3 4
4 . 1 - 6 -
36
5 .9 - ( V 3 j
6. 343 = 7*
7. ¡6m (af
8. * - 1 = 3*
9. 625 = w*
10. 128 = (x- l ) 7
11. 243 = (3xJ*
12. 256 = ( 2 * - l)8
Ej e r c i c i o 1 4 1
1. x= 5
2 .x = 4
3- y = 3
4 * = 5
5. * = 4
6. a= 343
7. *=81
Ej e r c i c i o 1 4 2
1.41og„7
2 . - - l o g , 3
3 . - + - l o g *
3 3
4 . l o g 5 + l o g * + 2 1 o g ,
5- 3 l o g j * + 2 1 o g 3 y + l o g j z
6. 8 + 2 1 n 3 + 4 1 n *
7 . 3 1 o g ( * + , ) + l o g ( * - z )
8. l o g , 7 - 2 l o g , x
2 2
9 . l n * + 2 1 n , - 3 - 4 1 n z
1 0 . l o f e 3 + 3 l o g 5 * + 6 l o f e ( 1 - 2 * ) -
y logsx - lo g ^ 2 ~yt)
13.1ogl7a - 2
14. log5 6 2 5 -4
15. log* 4 - -
16. logj, 1 - 2
lo
1 7 108f U ' - 2
18. logj ( * + 3) - 4
19. logj 256 - *
2 0. 8 - 3
8 . m = 8
9 . / - 5
10. N = 8
1 1 .* = 3
1 2 .* = i
9
1 3 .6 = 2
1 4 .*= 2
21. log, z « w
22
23. log, 1 2 5 --3 *
24' 1^ 2 , 441- 2
15.*= 3
16 "=-f
17. * = - 6
1 8 .,= - -
19. * = - 3
11. - l o g 4 3 + l o g 4 * + 21o g 4 ,
12. 21o g(*+ , ) + l o g z
1 3 . 1 o g * - l o g ,
1 4 . l o g a + l o g 6 - l o g c - l o g ¿
1 5 . 1 o g j ( * + , ) - 4 1 o g j ( * - , )
16. 2 1 o g * - l o g ( * - 3 ) - 2 1 o g ( * + z)
1 7 . l o g ( * + 3 ) + ^ l o g ( , - 5 ) - 2 l o g ( * + 6 ) - 1 l o g ( , - 2 )
18' 3 ' 3 +| lD(X + l)+¿ In(X" 1)
19. \a25x1
2 0 .1 o g £
21. log, v’* V
22. In8z4*
23. logn4 vm2
24. logj 3-4‘
25. log^
“M í * * * ) *
26. log
£
27. logj —
y*
Ej e r c i c i o 1 4 3
1.* = 1
2. *=-20
3 .* = 9 , * = - —
5
4 .* = 17
5 . * = 6 , * = - 6
6 .* = 13
7. *= 4 0
8. *= 2 5
28' ^
2 9 .1 o g í í ¿
z<
30. l n - y
* 7
3 1 .ln-
32. log
" i * * #
( * - y f
fe**4
33 ,'o g j I—
34. log
l
10*6
ío*’***1 (* +1]5
log,2-
35. log- ^
“(gfj
9 .* = 17, * = 7
11. * = 8 , * - —
9
1 2 .* = -1
1 3 .* = 0 , * = - 3 5
1 4 .* = 6
1 5 .* = 3
. 6 , x = . 2 . , = l
4 4 9

468. Á lG E B R A
e + l e' +3
1/. * = 5
18. *= 6
19. *= 7
20. * = 4
2 1 .* = — - 2 5 .* =
------
«•-1 2-4*'
22. x= 4e 2 6 .* = -
*
2 3 .* = 4
2 4 .,= ^ - '
V e -1
EJERCICIO 1 4 6
1 1 *1 11
2 ' 3 ’ 4 ’ 5
2. 9.9, 9.99,9.999, 9.9999, 9.99999
3 2 5 10 17 26
’ 4 ’ 9 ’ 16 ’ 25
Ej e r c i c i o 1 4 4
4 . 1 . 2 . M . 2
4 5 3 7
\ .x — 4
log 3
1 9 . - 4
2 0 .* = V6 , * = - \ 6
s . i . M . ^
2 6 24 40
6 . - 1 , 4 ,- 9 ,1 6 , - 2 5
7 .0 ,0 ,2 ,6 ,1 2
3 .* = 0 2 1 .* = 3 ,* = - 1
1 2 3 4 5
8 " 2 ' ” 3 ' _ 4 * “ 5 , " 6
9 . 1 ,2 ,3 ,4 ,5
4 .x — —
2
2 2 .* = 2
5 .* = 1.20557 2 3 . * = - -
2
, o. i . - i . ! , - * . !
3 2 5 3
6 . x= 2 24. * = - ! , * = -2 1 1 .2 ,5 ,1 1 ,2 3 ,4 7
7. * = 3 2 5 .* = - 1
1 2 . 1 . 1 , 1 , 1 , 1
2 2 2
8 . * = 2 2 6 .* = 2
13 1 _ I _ 1 _ Z _ ! 2
3 ’ 3 ’ 3 ' 3 ’ 3
9 . *= -1 2 7 .* = 1082
2 log 2 - log 3
1 4 .2 7 ,- 9 ,3 ,- 1 ,1
10. *= 3
n y - 2 log 2 + 3 log 5
2 log 5
12. *=-1.72683
2 8 .* = 0 ,* = 2
29. * = 21og7+ log5
21og7- log5
30. * = 0
1 5 .- 1 ,- 1 ,- 2 , - 6 , - 2 4
16. -2 ,4 ,1 6 ,2 5 6 ,6 5 5 3 6
2^3
1 8 .3 ,1 ,- 1 ,1 ,- 1
« S . . - 2
31. j»= ln 11 - ln 13
Ej e r c i c i o 1 4 7
14. i = -
3
3 2 .* = 2 ,* = 1
1.48
2 . 165
8.21
9 . n2
15. x=-4
16’ x ~ |
33. *■ ln$ 2
3 4 .* = 0
3 . S I
140
4 . 126
10. " ( " ' l
2
11. c= 3
1 7 .* = -
3
3 5 .* - l n ( l - > £ )
5 .n/7 -1
6 . 18
12. c= 1
13. c= 3
36. * ■ In >¡5
7 " 7 — - f
Ej e r c i c i o 1 4 5
Ej e r c i c i o 1 4 8
1.pH = 4.7212
2 . pH = 3.2218
3 .1 x 10"9
9.138.62 años
10.18321 habitantes
11.3.5 horas
1. Si es 7. a , = 23
2 . No es 8, <*,, = 1
13.«,2 = - 5
14. fll8 = 454
19. n = 9
20. r = - I
4
4 . 4.3010 12. 29.15 años
3 . Si es 9. a,5 = ^5 .0 .9 segundos 13. T= 64.762°C 15. fli3 = - 2 721. au = -28
6 . 3500 micrómetros 14. T= 94.84°C
1 6 . 4 / 1 7 = H
7.59.46% 15./= 133.9 min 4 . No es 10. a)0= 55 22.4», = - 1 5
8 . 6.4321 años
5 . Si es l l . f l l6 = ^
4
17. a , = 7 23. n = 10
6 . Si es 12. *»7= 48 18. r= - 2 24. a , = 7
450

469. Solución a los ejercicios
25. o, = 27. r = —
6 4
26. n = 10 2
Ej e r c i c i o 1 4 9
1. 5¿ = 176 6 .5 I2 = 450
2 .5 9 = 9 7 .5n = 0
3. Sa= 31 8 .5 = 40600
n(n + l)
4.5^=648 9. 5 = —
-------
5 . 5 , , = - 7 8 10. 5= n(n+ 1)
Ej e r c i c i o 1 5 0
1. 365 lugares
2.518 ladrillos
3. $1375
4. 9 rollos
5. 18 filas
Ej e r c i c i o 1 5 1
1. 2 7 - , 3 4 .4 0 - , 4 7 ,5 3 -
2 2 2
2 . 6 ^ , 8 , 9 ^ , 1 1 , 1 2 ^ , 1 4 , 1 5 ^
3115-,f-2-2Í 2!
4 . 1 - , 2 - , 3 - , 4 - , 5 - , 6 - , 7 —
2 2 2 2 2 2 2
5 . - 2 5 , - 2 , - 1 . 5 , - 1 , - 0 . 5 , 0
.5411
6 ’ 3 ' 6
7. P r o m e d i o = 8 . 2 4
Ej e r c i c i o 1 5 2
1 . 8 a ñ o s
2 . 9 . 8 d e c a l i f i c a c i ó n
3 . P r o m e d i o = 9
a. + o
4 . P r o m e d i o = —
------—
29.07 = 8 n - 5
3 0 .» , = ^
O
11.5= n2
12. n= 12
13. n= 10
14. o, = - 9
15.fl, = 2 ,o ,= 100
5. 7 hileras y constan de 80, 7 6 ,7 2 ,6 8 ,6 4 ,6 0 ,5 6 tqas
6. 8 hileras de 58,62,66, 70,74, 78,82 y 86 tejas
Ej e r c i c i o 1 5 3
1. Si es 7. o 6 = - 81 13 . 0,2 = —
243
2. Si es 8 „ - 128
" “ “ - S i ?
14. 09 = m24
3. No es 9. o 5 = - 80 15.o,0= n u
4. No es 10. a7= —
128 n+ 1
5. No es
“ ■ - " " S í
17.fl,J = 227*-16
6. Si es
n “ -T ¿
18. a ,= o ,r16
1 9 . o, = 2 2 3 . n = 5 2 7 . o 4 =
2 0 . ^ = 4 2 4 . n = 8 2 8 . o „ =
2 1 . r= -
3
2 5 . i x = 9
4
2 6 . , , = !
Ej e r c i c i o 1 5 4
' • 4 r '
5 . 3 0 3 8 8 bacterias
9 , 3 , 1 , - 1 6 . o , = 2 5 0 0 0 ( 1 . 0 5 )
2 . 4 0 9 6 células 7 . $ 3 3 9 8 1 4 . 7
3 . 3 , 5 , 7 8 . 6 7 3 9 2 bebés
4 . 6 células 9 . 4 cm2
Ej e r c i c i o 1 5 5
¿?
ii
* \ t
, , S - = 1 * . ,
2 . 5 , = ^
7 4 8 6
, , , = ^
3 . 5 , = - 8 5 5 1 3 . n = 8
9 8 9 5 2 7
4 - 5 i o - 2 1 8 7
1 4 . r = —
2
5 5 - 3 2 7 6 7
5 S . J 8
1 5 . 0 , = 2 7
6 . 5 I 8 = 5 2 4 2 8 6
7 . 5 , 2 = 1 0 9 2 + 3 6 4 v ' 3 1 7 . 0 , = - 2
8 . 5 , 0 = 3 1 - 3 1 4 l
o o n 2 ' - »
9-J “ " n - 1
1 8 . r = -
2
1 9 . n = 7
10. 5 , = 5 1 1 -2 "J
Ej e r c i c i o 1 5 6
1 . 5 4 6 1 triángulos
2 . 1 2 7 personas
3 . 6 5 7 6 1 . 7 ton.
4 . 3 4 3 1 6 . 7 6 paitos
5 . 1 . 0 1 % por año, 1 1 0 . 4 millones
Ej e r c i c i o 1 5 7
1. 5= - 4 6. r = -
5
ll
fN
3 . 5 = 9 8 . 5 = - cm2
3
9 . 5 = 2 0 4 8 cm2
5 . 5 = *
8
m
2J
451

470. Á lG E B R A
Ej e r c i c i o 1 5 8
1 .1 ,2 ,4 ,8 ,1 6
2.4.1 i
3 9
3 .- 6 ,- 1 2 ,- 2 4 ,- 4 8
4 .6 ,2 4 ,9 6 , 384,1536
5 .6 ,6 ^ 3 ,18
2 8 32 128
' 3 ' 9 ’ 27’ 81
7 .- 6 4 ,- 3 2 , - 1 6 , - 8 . - 4 , - 2
( > - ! ) ' ( , - . f
8.
3 9
9.a,2,~
a
Ej e r c i c i o 1 5 9
1. $25937.4
2 . $64390.28
3 . $49783.2
4 . $43346.6
5 . $13324.4
6 . $18824.8
7. $1292.2
8 . $8723.2
9 . $8682.5
10. $188542
Ej e r c i c i o 1 6 0
1. $55700.19
2 . $3652.26
3.25%
4.8%
Ej e r c i c i o 1 6 1
\.a=2,b= - 1
2.x= -2,y= 4, z = 0
E je r c ic io 1 6 2
l.Á + B '
27
10. 1 ,n/ 2 ,2 ,2n6
11.3 sfc
12. -4>/2
13.5>/5
14. 12
15.^36
16.8^2
17.3V3
4
■ 1.11. $17483
25% trimestral
110% anual
13. 14.86%
14.7%
15.11.1 años
16.9955 habitantes
17.3 años
18. $655446.5
19. 3%
20. $12244.5
5 . $156738.56
6.2 0%
7. 10 años de vida útil
3 . f = 2 ,r = 1 ,t = 1,
4.x= 7,y= l , z = - 2
6 2h - 4 ° 1 ^ - 4 ° °1
0 4 J 0 Oj [O Oj
4 . A+B.
4A-3Bm
5 . A+Bm
3 - 9 31Jn i 1
3
_51 >4 >4
1- 4 8J
A
- 8-6J '
-
5 6 -
161 2 4 -0 8b
4 - 6 -
25 -30
1 f ¿si —
7 j
VjD ■
8 -12
161 714 1
3¡ 5 3 8
- 2 10
D
11
3
8 - 6
23 ,
3 19 _ 3 3
2 3 5 2
A-Am
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, 4 4 - 3 8 »
23
19
5
-1 27
26
_ 8
5
2 4 - 0 8 -
!Ȓ
0 6 4
,4 § o
6. { a - 7 ,¿ « 2 ,c - 2 ,d - 5 ,v — 3 , * - 4
7 . { « —3,wm-lO .x - 3 ,^ - 6
8 . {v- 4 ,h>—2 ,x - 3 ,.y - 7 ,z - 2
Ej e r c i c i o 1 6 3
1. ABm
2. ABm
3 .B A -
4 .ABm
5. ABm
6. ABm
7. ABm
-2 ],BAm
5 - j ]
5
- 5
5 - 4
- 5 0
- 6 1
- 7 - 7
- 5 - 5
- 8 -8]
- 2 - 4 j
3 V]
íñ
i
8 4 :
84 =
BAm
- 4 -21
- 8 - 8 J
' ' I
8 13j
4 2 0
1 -1 -3
7 5 3
1
5
i
5
f - 3 11 , 2 4 - 0 8 - í ” 6 21
11 3 ' 1 5 ' 17 - 3
0 2 j* [ 0 4 j 8 . 4 8 - 42 , 4 ( 8 - 2 C ) -40 , X ( Í C ) . 8 - 2
2 . 4+ 8 - [ -4 7 4 ] , 4 - B - [ 8 - 7 - 2 ] , 4 - 4 - [ c o o] 20 - 2 2 2 0
4 4 - 3 8 - [ 2 6 -2 1 - 5 ] , 2 4 - O S - [4 0 2]
3 .A+Bm
4 A - 3 B m
-2 -2
3 - 6
3 4
2 0 - 4 3
- 2 18
5 - 3 3
4 - 8 -
, 2 4 - 0 8 -
6 -1 2
-1 6
1 - 1 0
4 -14
2 0
4 -6
4 - 4 -
0 0
0 0
0 0
Ej e r c i c i o 1 6 4
1.det4 = 22
2 . d e tS - 8
3 . detC= - 50
4 . d e tD - 43
5 . detE= 122
452

471. Solución a los ejercicios
Ej e r c i c i o 1 6 5
2. B -
3 . C - -
J )
. 1
I
4 . D ■
5.
6 . F -
7 . G - ' -
8. H~'m
9 . / -
Ej e r c i c i o 1 6 6
6 2
7 7
12 3
. 7 7 .
5 1 1
6 6 2
_ 11 1
"66 2
_11 1
2 2 2
1 3 '
8 4 8
1_ 1
4_ 2
_5_
. 2 4 12 .
_ 5 _22
17 1 7 17
_1__ 22£
17 3 4 17
_1_ 4
. 171717
_1 _3
5 10 0
1 3 ?
5 5 5
1 3 4
~ 5 5 5
4 3 4 9 19
6 6 6
_ 1_ 1 1
6 6 6
_ 6 7 7 9 3 1
6 6 6
16 19 7
~ 3 3 3
5 i
- i i
3 3 - 3
- 3 1 8 - 3
6 - 1 2 6
5 - 1 4 - 3
- 1 0 4 6
2 - 1 1 - 8
2 6-8
2 - 1 - 3
- 2 6 18
- 2 6 8
4 3 4 9 - 1 9 1
-1 -1 1 -1
- 6 7 - 7 9 3 1 - 1
- 3 2 - 3 8 1 4 - 2
i . ! * " 5
\ y — 2
5 | « — 4
| n - 2
1.1— 11
u — 1
4 .
10
a=4
b — 3
c - 2
5.
*■5
y m2
2 — 1
2 - 1
y — i
2 — 2
Ej e r c i c i o 1 6 7
1 . ( x - l ) y ( x - 5 )
2 . ( x + l ) . y ( 2 x + 3 )
3 . ( x + 2 X 3 x - 2 ) . y ( x - 2 )
4 . ( 2 + l ) > > ( x + 3 / )
5 . ( 2 + 2 i) y ( 2 - 2 i)
6.(x ),(x + i - / ) . y ( * + 2 + 3 i)
7 . R e s i d u o - 7 2
8 . R e s i d u o - -
9 . R e s i d u o —
2
1 0 . R e s i d u o 12
1 1 . R e s i d u o 2 6 4
1 2 . R e s i d u o - 2 4 0
1 3 . k= 2
1 4 . ¿ = 3 , * = - 6
1 5 . k=6,k=j
1 6 . k= 4,k=
73
1 7 . * = 4 , * = - i
3
1 8 . T o d o s s o n r a l e e s
1 9 . T b d o s s o n r a í c e s
2 0 . N i n g u n o e s r a í z
21
2 2 .2 = 2 + 1 ,2 = - -
2 4 . 2= 2 / , x = - 21
2 5 . 2= 4 , 2 = ^
2 6 . / W =2, + 4 ^ - 5 2
2 7 . / ( x ) = x 3 + 4 x 2 - 9 x - 3 6
2 8 . / ( x ) = 3 x 3 - x 2 + 4 8 x - 16
2 9 . / (2) = 8J3 + 2Z2 - 4 3 2 - 3 0
3 0 . / (2) = 24 - S x 3 - 13*2 + 1 3 3 2 - 2 6 0
3 1 . / ( x ) = 6 x 4 - 5 ^ + 7x2- 5 x + 1
3 2 . / ( x ) = 3 x 3 + 5 2 2 + 4 2 - 2
3 3 . / ”(2> = X3 — X2 —X + 1
3 4 . / ( 2 ) = 24- 23- 22- 2 - 2
3 5 . / ( x ) = x4 - 6x2 + 8x - 3
3 6 . / ( 2 ) = x 4 - 4 t 3 + I62- 16
3 7 . / ( x ) = x5 + 2 x4- x - 2
3 8 . 2= -1,2= 1,2 = 5
3 9 . 2 = 5 , 2 = 4 , 2 = 3
4 0 . 2 = 1 - , 2 = , 2 = 4
4 1 .2 = - - 12 = — 2 + /, 2 = —2 — /
4 2 . 2= 2 , x =- 3 , 2= 7 ,2 = 0
43. 2= - 4 / , 2= 4 »,2 = - 2 ,2= 3
44. 2 = - ^ ,2= ^ , 2= -1 + / , 2= -1 - /
4 5. x = - / , x = 1,2= - 4 ,2= - 3 , x = -
453

473. Anexo: Ejercicios preliminares

474. Á lG E B R A
O p e ra c io n e s co n n ú m e ro s e n t e r o s :
1. 6 - 4 17.
- 1 2
3
2 . - 8 + 6 18.
\5_
- 5
3 . 3 + 7 19.
- 2 8
- 1 4
4 . - 5 - 7 20. - ( - 3 ) + ( 5 ) - 2 ( -
5. - 2 - 5 + 6 + 4
f. 1 ft R . l S 7
21.( - 2 ) + ( + 5 )
A tf, j . O
0. — J —O — 5 + J + + + /
7. 8 + 6 + 3 - 5 - 9 - 2
z z .
23.
+ \V + o — ZJ
7 —( 5 + 3 ) — ( —1
8. 4 + 5 - 1 + 2 - 7 - 3 24.5 - ( - 4 - 3 ) - (7
9 . - 2 + 6 - 8 - 1 2 + 1 0 - 3 - 7 25. 6 - 2 ( 1 - 3 - 4 ) -
10. 1 - 5 + 9 - 3 + 1 6 - 8 + 1 3 26.
13 + 1 5
7
11. 3 ( - 2 ) 27.
- 3 - 1 2 - 5
10
12. ( - 5 X - 4 ) 28.
3 0 + 6
9 + 3
13. - 6 ( 5 ) 29.
1 4 - 2
2 + 4
14. ( 4 X 3 X 5 ) 30.
8 + 5 + 7
6 - 3 - 7
15. 2 ( - 4 X - 3 ) 31.
2 ( 5 - 7 ) + 20
5 + 3
16. 3 - ( - 4 ) 32.
(4 - 3 ) + 3 ( 2 + 4 -
5 ( 4 ) - 6 ( 3 )
D e sco m p o sició n e n fa c t o r e s p rim o s tos s ig u ie n te s n ú m e ro s:
3 3 . 6 40. 4 6 0
34. 8 41. 125
35. 20 42.576
36. 50 43. 9 8 0
3 7 . 72 44. 1000
38. 120 45. 1120
39. 225 46. 1800
D e te rm in a e l M C D d e tos s ig u ie n te s n ú m e ro s:
4 7 . 8 y 6 53. 2 4 , 3 6 y 42
4 8 . 9 y 18 54.2 0 , 3 5 y 70
4 9 . 12 y 24 55.3 2 , 2 8 y 72
50. 36 y 18 56. 1 8 ,2 4 , 7 2 y 144
51. 6 , 18 y 48 57. 12, 2 8 , 4 4 y 120

475. ¿nexo: Ejercicios preliminares
D eterm ina e l mcm d e b s siguientes núm eros:
59. 6 y 3
60. 9 y 6
61. 12 y 18
62. 20 y 25
63. 2, 6 y 4
64. 8, 9 y 12
Efectúa las siguientes operacfones con fraccb n es:
«1 * 1
* M
73. I A I
7 7 7
9 3 7
74. L + l + 1
4 4 4
, 6 . 2 | + 5 ¡ + |
,7 . ' 1- 1
78. ¡ 2 - 1
6 6
7 9 - 2H4 4
80. 1t- 3t+ 2t
65. 7, 14 y 21
6 6. 3, 10, 12
67. 8 ,9 , 12 y 18
6 8. 2, 3, 6 y 12
69. 8, 12, 16 y 24
70. 4 ,6 , 15 y 18
89. - + — + —
6 15 30
90. V * + - L
2 3 24
91.
5 15 9
92. l l + l - l
2 4 8
- > ! - K
* 4 - f
95. > - 1 - 3 *
4 12 6
96. 5 ^ - 2 ^ + 4
97. « - I - 1 - - L
5 4 15 20
98' 2 ~ ' V T 2
8> 4 - f- T
* 'M-H
83. + 2
6 2
«1*1
* t A
8 6 . 1 + 1
87. « | . i
" 1*1*1
-H
I-i
101. - x -
3 8
102. - x -
6 3
3 9
103. 2 —x —
,04. f x 3 ±
105. l | x 2 |
,06. i x H x l^
3 6 78
457

476. Á lG E B R A
1 0 7 . - x - x -
3 6 8
1 1 2 .
4 1
1 5 + 6
, 0 8 - i x ¿ x á x15
1 1 3 .2 —* —
4 8
1 0 9 . - + —
5 15
1 1 4 .
r 4
no.
4 2
1 1 5 .
r 5
6 3
1 1 6 . 4 . "
5
E f e c t ú a l a s s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s :
1 1 7 . 6 2 1 2 5 . V 2 5
1 1 8 . 4 3 1 2 6 . V 8 Í
1 1 9 . ( - 2 ) 4 1 2 7 . V 6 4
1 2 0 . ( - 3 ) 3 1 2 8 . ^ 8
1 2 1 . - 5 2 1 2 9 . ^ 7
- m í
1 3 0 . V Í 6
»- ( i ) * 1 3 1 .^ 3 2
1 2 4 . v '4 1 3 2 . 3 /2 4 3
R a c i o n a l i z a l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s :
1 3 8 .
3
Í ^ 3
1 3 9 .
1
3 V 2
1 4 0 .
6
4 ^ 3
1 4 1 .
2
W 5
1 4 2 .
1 4
458

477. O p e r a c io n e s c o n n m e r o s e n t e r o s :
8 3 .5
1.2 12.20 2 3 .- 3
3
2 . - 2 1 3 .-3 0 24. 4
84. —
3.10 14.60 25.28
8
4 .- 1 2 15.24 26.4
85. -
5 .3 16.7 2 7 .- 2
4
6 .- 1 1 7 .-4 28. 3
8 6 .5
7.1 1 8 .-3 29.2 3
8 .0 19.2 3 0 .- 5
87. IZ
69 .- 1 6 20.13 31.2
10.23 21.3 32. 8
1 1 .-6 22. - 16
88.1
D e s c o m p o s ic ió n e n f a c t o r e s p r im o s lo s s ig u ie n t e s
n m e r o s :
3 3 .2 x 3
34. 2 x 2 x 2
35.2x2x5
36. 2 x 5 x 5
37.2x2x2x3x3
38.2x2x2x3x5
39.3x3x5x5
40.2x2x5x23
41.5x5x5
42.2x2x2x2x2x2x3x3
43.2x2x5x7x7
44.2x2x2x5x5x5
45.2x2x2x2x2x5x7
46.2x2x2x3x3x5x5
D e t e r m in a e l M C D d e lo s s ig u ie n t e s n m e r o s :
47.2 53.6
48.9 54.5
49. 12 55.4
50. 18 56.6
51.6 57.4
52.5 58. 12
D e t e r m in a e l m cm d e lo s s ig u ie n l
59.6 65.42
60. 18 66.60
61.36 67.72
62.100 68. 12
63. 12 ffí. 48
64.72 70.180
E fe c t a l a s s ig u ie n t e s o p e r a c i o n e s c o n f r a c c i o n e s :
71.5
" ■ i
72. — 78.1
5
6 1
7 3 .? 79. -
7 2
74. — 8 0 .?
4 8
34
75.— 81. -1
11
_ 29 3
76
82. -
3 2
S9ü
90.21
«■ 5
92.12
* 5
- I
95.-11
9 7 . 1
15
98 i
" ■ 5
100.
35
48
101.
2
102.
1
9
103.
117
40
104.
39
20
105.
19
6
106.
_5_
54
107.
1
18
108.
5_
16
109.
3
2
110.
5
2
111.
5
8
112.
8
5
113.2
114. —
27
" ‘ I
E fe c t a l a s s ig u ie n t e s o p e r a c i o n e s :
117. 36 124.2
118.64 125.5
119.16 126.9
120. - 27 127.8
121.-25 128.2
122. —
129.3
16 130.2
81
131.2
123. - —
16
132.3
R a c io n a liz a l a s s ig u ie n t e s e x p r e s i o n e s :
133.
134. —
7
135. '¡2
2_v6
3
6v5
5
136.
137.
138. —
2
.39.^2
6
.44
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25
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478. Álgebra es una rama fundamental de las matemáticas, muchas veces incomprendida, pero
valorada por todas aquellas personas que han logrado modelar problemas de la vida cotidia­
na y darles solución gracias a su dominio y comprensión. Además, cualquiera que pretenda
iniciar estudios en cursos de matemáticas avanzadas, sin duda, necesita dominar Álgebra
para tener éxito en su aprendizaje.
E l lib ro t ie n e p o r o b je t iv o c o n v e r t ir s e e n la r e f e r e n c ia i n m e d ia t a p a r a e n t e n d e r y a p r e n d e r lo
re la c io n a d o c o n e l Á l g e b r a . D iv id id o e n d ie c is ie te c a p ítu lo s , d o n d e s e e n c u e n t r a n t e m a s c o m o :
• C o n j u n t o s y ló g ic a .
• C o n c e p t o s b á s i c o s d e l Á l g e b r a .
• P r o d u c t o s n o t a b le s .
• F a c t o r i z a c ió n .
• F r a c c i o n e s a lg e b r a ic a s .
• E c u a c i o n e s d e p r im e r y s e g u n d o g r a d o c o n a p lic a c io n e s .
• F u n c i ó n lin e a l.
• S i s t e m a s d e e c u a c io n e s .
• P o t e n c ia c ió n .
• R a d ic a c ió n .
• N ú m e r o s c o m p le j o s
• D e s i g u a l d a d e s .
• L o g a r it m o s .
• P r o g r e s i o n e s .
• M a t r i c e s y r a íc e s d e u n a e c u a c ió n .
S i n d u d a a l g u n a , e s t e m a t e r ia l e s u n a h e r r a m ie n t a im p o r t a n t e p a r a e l p r o f e s o r , y a q u e e n ­
c o n t r a r á u n a a y u d a i n v a lu a b le p a r a t r a b a ja r la p a r t e p r á c t ic a c o n s u s e s t u d ia n t e s y r e f o r z a r
a q u e l l o s t e m a s q u e s e n e c e s it a n p a r a p o d e r in ic ia r c u r s o s m á s a v a n z a d o s c o m o : T r i g o ­
n o m e t r ía , G e o m e t r í a a n a lít ic a o e l m i s m o C á l c u l o .
B a jo e l f u n d a m e n t o d e q u e l a p e r s o n a q u e a p r e n d e M a t e m á t ic a s , p ie n s a , a n a liz a , r a z o n a
y , p o r t a n t o , a c t ú a c o n ló g ic a , e l lib r o s e p r e s e n t a c o n u n e n f o q u e 1 0 0 % p r á c t ic o . E s d e c ir,
s e a b o r d a c o n s e n c i l l e z la t e o r í a y s e p o n e m a y o r é n f a s is e n lo s e j e m p l o s q u e s e r v ir á n a l
e s t u d i a n t e p a r a r e s o l v e r lo s e je r c ic io s p r o p u e s t o s y v e r if ic a r s u a p r e n d i z a j e c o n s u l t a n d o la s
r e s p e c t iv a s r e s p u e s t a s q u e s e e n c u e n t r a n a l f in a l d e l lib ro . T a m b i é n e n c o n t r a r á u n a s e r ie d e
p r o b l e m a s d e a p l ic a c ió n , lo s c u a l e s v i n c u l a n la s m a t e m á t ic a s a s it u a c io n e s r e a le s .
P o r t o d o e llo , Álgebra e s u n lib ro d e r e f e r e n c ia o b l i g a d a q u e n o p u e d e f a lt a r e n la b ib lio te c a
p e r s o n a l d e c u a l q u i e r e s t u d i a n t e o p r o f e s o r , y a q u e e s u n a o b r a p a r a e l q u e a p r e n d e y p a r a
e l q u e e n s e ñ a .
P a r a o b t e n e r m á s i n f o r m a c ió n a c e r c a d e l C o l e g i o N a c i o n a l d e M a t e m á t ic a s v is ite :
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