Álgebra de Baldor Dr Aurelio Baldor Edicion 2019
AleCastillo98
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Jan 28, 2025
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About This Presentation
Sumas y restas de signos
Slide Content
ALGEBRA a. batpor
CONCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMI- ‘animales que nz
FAO SRE BER EN edn yen, Ben EN
‘ibe Mecano mere un fos tonne fon bles im ence sate del ume, e
pen sn plete pute, a wade dele
PRELIMINARES
1) ALGEBRA es la rama de la Matemática que estudía la cantidad consi.
= derada del modo más general posible.
(2) SARACTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA
— GON LA ARITMETICA
El concepto de la cantidad en Algebra es mucho más amplio que en
Aritmética.
En Aritmética las cantidades se representan por números y Éstos ex-
presan valores determinados. Asi, 20 expresa un solo valor: veinte; para
presen un valor mayor o menor que ke abrá que escribir un mimera
distinto de 20.
En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se represen:
tan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores,
‘Asi, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re-
presentar 20.0 más de 20 0 menos de 20, a muestra elección, aunque cam-
jene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor
determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro
valor distinto del que le hemos asignado.
(3)noracion ALGEBRAICA
Los símbolos usados cu Algebra para representar las cantidades son Tos
nümeros y las Tetas.
FAO SRE BER EN edn yen, Ben EN
‘ibe Mecano mere un fos tonne fon bles im ence sate del ume, e
pen sn plete pute, a wade dele
PRELIMINARES
1) ALGEBRA es la rama de la Matemática que estudía la cantidad consi.
= derada del modo más general posible.
(2) SARACTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA
— GON LA ARITMETICA
El concepto de la cantidad en Algebra es mucho más amplio que en
Aritmética.
En Aritmética las cantidades se representan por números y Éstos ex-
presan valores determinados. Asi, 20 expresa un solo valor: veinte; para
presen un valor mayor o menor que ke abrá que escribir un mimera
distinto de 20.
En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se represen:
tan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores,
‘Asi, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re-
presentar 20.0 más de 20 0 menos de 20, a muestra elección, aunque cam-
jene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor
determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro
valor distinto del que le hemos asignado.
(3)noracion ALGEBRAICA
Los símbolos usados cu Algebra para representar las cantidades son Tos
nümeros y las Tetas.
6 © om
Los números se emplean
terminad:
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya
sean conocidas o, desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfa-
beto: a, b, ¢ de
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del
allabeto: u, Y, 10, x, Y, 2.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenctindolos
por medio de comillas; por ejemplo: a’, a”, a’, que se leen a prima, a se-
gunda, a tercera, o también por medio de subindices; por ejemplo: ay, da,
ds, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.
ra representar cantidades conocidas y de
(5) rormuras
Consecuencia de la generalización que implica la representación de
las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.
Formula algebraica es la representación, por medio de letras, de una
regla o de un principio general.
Asi, la Geometria enseña que el área de un rectángulo es
igual al producto de su base por su altura; luego, llamando À
al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula 7
A=bxh
representará de un modo general’el área de
cualquier rectángulo, pues el área de un vec-
tingalo dado se obtendrá con sólo sustituir y:
b y he en la fórmula anterior por sus valores
en el caso dado. Asi, si la base de un rec.
tängulo es 3 m. y su altura 2 m, su Área ser
EI area de otro rectángulo cuya A=bxh
base fuera 8 m. y su altura 34 m. sería: /
xh=3 m.X2 m.=8 m.
en
G) sianos pet auceona
Los signos empleados en Algebra son de tres clases: Signos de Ope-
ración, Signos de Relación y Signos de Agrupación.
(6) signos DE OPERACION
En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que
Suma, Resta, Multiplicación, División, Elévación a Poten-
raceién de Raíces, que se indican con los signos siguientes:
El Signo de la Suma es +, que se lee más. Ast ub se lee "a más D.
() En cl Cap. XVII, página 270, se exa ampliamente todo Jo relucionado con Las
ross algebralcr
A © 7
Signo de la Resta es — que se lee menos, Así, ab se lee “a me-
nos D".
El Signo de la Multiplicación es x, que se lee multiplicado por. Ast,
ax b se Ice “a multiplicado por 6".
En lugar del signo X sucle emplearse un punto entre los factores y
también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.
Asi, a,b y (a)(b) equivalen a ax b.
Entre factores literales o entre un factor mumérico y uno literal el
signo de multiplicación suele omitirse. Asi abe equivale a ax bx €; 5xy
equivale a 5 XxX y.
EI Signo de la División es +, que se lee dividido entre. Ast, a+b se
lee “a dividido entre 6”. También se indica la división separando el die
videndo y el divisor por una raya horizontal. Así, = equivale a m+n.
El Signo de la Elevación a Potencia es el exponente,
que es un número pequeño colocado arriba y a la de pg
echa de una cantidad, el cual indica las veces que dicha , ©
cantidad, Mamada base, se toma como factor. As,
Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es Ja unidad,
Ash, a equivale a al; mnx equivale a mnt
EI Signo de Raiz es V, llamado signo radical, y bajo este signo se co-
loca la cantidad a la cual se le extrac la raíz. Asi, Va equivale a rafz cuac
drada de a, 0 sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la can:
tidad a; YB equivale a raíz cúbica de b, o sea la cantidad que elevada
al cubo reproduce la cantidad b.
COEFICIENTE
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado
coeficiente del otro factor.
Asi, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a ¢ indica
que el factor & se toma como sumando tres veces, o sea da=a+a+a; en
el producto 6b, el factor 5 es coeficiente de b € indica que 5b=b+b+b4b-+b,
Estos son cocficientes numéricos,
En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que
el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab=b4+b4-b+b...a
veces, Este es un coeficiente literal.
En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el
coeficiente de los restantes... Así, en el producto abcd, a es el coefi
de bad; ab es el coeficiente de cd; abe es el coeficiente de d.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente
es la unidad. Asi, b equivale a 1b; abe equivale a 1abc.
Los números se emplean
terminad:
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya
sean conocidas o, desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfa-
beto: a, b, ¢ de
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del
allabeto: u, Y, 10, x, Y, 2.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenctindolos
por medio de comillas; por ejemplo: a’, a”, a’, que se leen a prima, a se-
gunda, a tercera, o también por medio de subindices; por ejemplo: ay, da,
ds, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.
ra representar cantidades conocidas y de
(5) rormuras
Consecuencia de la generalización que implica la representación de
las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.
Formula algebraica es la representación, por medio de letras, de una
regla o de un principio general.
Asi, la Geometria enseña que el área de un rectángulo es
igual al producto de su base por su altura; luego, llamando À
al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula 7
A=bxh
representará de un modo general’el área de
cualquier rectángulo, pues el área de un vec-
tingalo dado se obtendrá con sólo sustituir y:
b y he en la fórmula anterior por sus valores
en el caso dado. Asi, si la base de un rec.
tängulo es 3 m. y su altura 2 m, su Área ser
EI area de otro rectángulo cuya A=bxh
base fuera 8 m. y su altura 34 m. sería: /
xh=3 m.X2 m.=8 m.
en
G) sianos pet auceona
Los signos empleados en Algebra son de tres clases: Signos de Ope-
ración, Signos de Relación y Signos de Agrupación.
(6) signos DE OPERACION
En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que
Suma, Resta, Multiplicación, División, Elévación a Poten-
raceién de Raíces, que se indican con los signos siguientes:
El Signo de la Suma es +, que se lee más. Ast ub se lee "a más D.
() En cl Cap. XVII, página 270, se exa ampliamente todo Jo relucionado con Las
ross algebralcr
A © 7
Signo de la Resta es — que se lee menos, Así, ab se lee “a me-
nos D".
El Signo de la Multiplicación es x, que se lee multiplicado por. Ast,
ax b se Ice “a multiplicado por 6".
En lugar del signo X sucle emplearse un punto entre los factores y
también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.
Asi, a,b y (a)(b) equivalen a ax b.
Entre factores literales o entre un factor mumérico y uno literal el
signo de multiplicación suele omitirse. Asi abe equivale a ax bx €; 5xy
equivale a 5 XxX y.
EI Signo de la División es +, que se lee dividido entre. Ast, a+b se
lee “a dividido entre 6”. También se indica la división separando el die
videndo y el divisor por una raya horizontal. Así, = equivale a m+n.
El Signo de la Elevación a Potencia es el exponente,
que es un número pequeño colocado arriba y a la de pg
echa de una cantidad, el cual indica las veces que dicha , ©
cantidad, Mamada base, se toma como factor. As,
Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es Ja unidad,
Ash, a equivale a al; mnx equivale a mnt
EI Signo de Raiz es V, llamado signo radical, y bajo este signo se co-
loca la cantidad a la cual se le extrac la raíz. Asi, Va equivale a rafz cuac
drada de a, 0 sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la can:
tidad a; YB equivale a raíz cúbica de b, o sea la cantidad que elevada
al cubo reproduce la cantidad b.
COEFICIENTE
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado
coeficiente del otro factor.
Asi, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a ¢ indica
que el factor & se toma como sumando tres veces, o sea da=a+a+a; en
el producto 6b, el factor 5 es coeficiente de b € indica que 5b=b+b+b4b-+b,
Estos son cocficientes numéricos,
En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que
el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab=b4+b4-b+b...a
veces, Este es un coeficiente literal.
En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el
coeficiente de los restantes... Así, en el producto abcd, a es el coefi
de bad; ab es el coeficiente de cd; abe es el coeficiente de d.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente
es la unidad. Asi, b equivale a 1b; abe equivale a 1abc.
SIGNOS DE RELACION
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos
cantidades. Los principales son: |
=, que se lee igual a. Asi, a=b se lee “a igual a D". \
>, que se lee mayor que. Asi, x+y>m se lee ‘x + y mayor que m",
<, que se lee menor que. Así, a<b-+c se lee "a menor que be".
SIGNOS DE AGRUPACION
Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario. ( ), el parente-
agular o corchete [ }, las Haves | } y Inbarrao vínculo
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efec
tuarse primero. Asi, (a+ je indica que el resultado de la suma de a y à
debe multiplicarse por ¢; [a— bm indica que la diferencia entre a y b debe
multiplicarse por m: {a+b} + {c- d Jindica que la suma de a y b debe di-
se entre la diferencia de ¢ y de
MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS
EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA
Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia
entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas,
fundado este último cn la notación algebraica y en la generalización que
ésta implica.
Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B cs 5 veces la
edad de A, ¿qué edad tiene cada uno?
METODO ARITMETICO
Edad de A más edad de B=48 años.
Como la edad de B es 5 veces la de.À, tendrem
Edad de A más 5 veces la edad de A=48 años.
O sea, 6 veces la edad de A
luego, ER
| Edad de
METODO ALGEBRAICO
Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por x.
Sea =edad de A.
Entonces. 5x=edad de D.
10 ambas edades suman 48 años, tendremos: |
49x = 48 años;
© ca, 6x =48 años. |
CANTIDADES POSITIVAS Y Mrsarivas © (9)
Si 6 veces x equivale a 48 años, x valdrá la sexta parte de 48 años,
à Fe uch
= SE SEE
Entonces 28 aiiosx<6=40 años, edad de Be Ro
Gi ase cea mes
En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en
dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos,
se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la canti:
dad por medio de los signos + y —, anteponiendo el signo + a las cantidas
des tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponien:
do el signo — a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (Cat
Saas e
Ast, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo =.
a Ge wom (gon ee bo de haben, dune ON
“+ $100, y para expresar que debe $100, diremos que tiene — $100.
Los grados sobre cero del termómetro. se designan. con el signo. Y
los grados bajo cero con el signo —. Así, para indicar que el termómetro
marca 10° sobre cero escribiremos +10° y para indicar que marca 8° bajo
a e
Er citi e ar de mn paso Se
na con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de
un punto se representa con el signo —. Asi, si hemos recorrido 200 m,
a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido +200 m.
Y a ren 000 DEA llena deck puna celta O
El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el
po “transcurrido antes de Cristo, negativo. Asi, +150 años significa
160 años D.C. y — 78 años significa 78 años A.C.
En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la
porción que se halla del suelo hacia arriba y con el signo — la porción que
se balla del suclo hacia abajo. Asi, para expresar que la longitud del pos.
te que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m., escribiremos +15 m.,
y si la porción introducida en el suelo es de 8 m., escribiremos —8 m,
La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el sig
no —; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negati
Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya situación geográfica sea: +459
de longitud y —15° de latitud se hallará a 45° al este del primer meridia:
no y a 162 bajo el Ecuador.
ELECCION DEL SENTIDO POSITIVO
La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en
dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir,
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos
cantidades. Los principales son: |
=, que se lee igual a. Asi, a=b se lee “a igual a D". \
>, que se lee mayor que. Asi, x+y>m se lee ‘x + y mayor que m",
<, que se lee menor que. Así, a<b-+c se lee "a menor que be".
SIGNOS DE AGRUPACION
Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario. ( ), el parente-
agular o corchete [ }, las Haves | } y Inbarrao vínculo
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efec
tuarse primero. Asi, (a+ je indica que el resultado de la suma de a y à
debe multiplicarse por ¢; [a— bm indica que la diferencia entre a y b debe
multiplicarse por m: {a+b} + {c- d Jindica que la suma de a y b debe di-
se entre la diferencia de ¢ y de
MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS
EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA
Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia
entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas,
fundado este último cn la notación algebraica y en la generalización que
ésta implica.
Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B cs 5 veces la
edad de A, ¿qué edad tiene cada uno?
METODO ARITMETICO
Edad de A más edad de B=48 años.
Como la edad de B es 5 veces la de.À, tendrem
Edad de A más 5 veces la edad de A=48 años.
O sea, 6 veces la edad de A
luego, ER
| Edad de
METODO ALGEBRAICO
Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por x.
Sea =edad de A.
Entonces. 5x=edad de D.
10 ambas edades suman 48 años, tendremos: |
49x = 48 años;
© ca, 6x =48 años. |
CANTIDADES POSITIVAS Y Mrsarivas © (9)
Si 6 veces x equivale a 48 años, x valdrá la sexta parte de 48 años,
à Fe uch
= SE SEE
Entonces 28 aiiosx<6=40 años, edad de Be Ro
Gi ase cea mes
En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en
dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos,
se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la canti:
dad por medio de los signos + y —, anteponiendo el signo + a las cantidas
des tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponien:
do el signo — a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (Cat
Saas e
Ast, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo =.
a Ge wom (gon ee bo de haben, dune ON
“+ $100, y para expresar que debe $100, diremos que tiene — $100.
Los grados sobre cero del termómetro. se designan. con el signo. Y
los grados bajo cero con el signo —. Así, para indicar que el termómetro
marca 10° sobre cero escribiremos +10° y para indicar que marca 8° bajo
a e
Er citi e ar de mn paso Se
na con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de
un punto se representa con el signo —. Asi, si hemos recorrido 200 m,
a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido +200 m.
Y a ren 000 DEA llena deck puna celta O
El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el
po “transcurrido antes de Cristo, negativo. Asi, +150 años significa
160 años D.C. y — 78 años significa 78 años A.C.
En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la
porción que se halla del suelo hacia arriba y con el signo — la porción que
se balla del suclo hacia abajo. Asi, para expresar que la longitud del pos.
te que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m., escribiremos +15 m.,
y si la porción introducida en el suelo es de 8 m., escribiremos —8 m,
La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el sig
no —; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negati
Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya situación geográfica sea: +459
de longitud y —15° de latitud se hallará a 45° al este del primer meridia:
no y a 162 bajo el Ecuador.
ELECCION DEL SENTIDO POSITIVO
La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en
dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir,
10 @ acciona
que podemos tomar como sentido positivo el que queramos; pero una vez
fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a éste será el negativo,
Ast, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la dere
cha de un punto, el camino recorrido a la inquierda de ese punto será
negativo, pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorrido,
a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del
punto sería negativo.
Asi, si sobre el segmento AB tomamos como positivo el sentido de A
hacia B, el sentido de
B hacia A sería mega
tivo, pero si fijamos
como sentido positivo. A——————=B À
de B hacia A, el senti-
do de A hacia B seria
negativo.
No obstante, en la práctica se aceptan generalmente los sentidos posi
tivos de que se trat6 en el múmero anterior.
13) CERO es la ausencia de cantidad. Ast, representar el estado económi-
co de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas
Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores
que 0. Así, +3 es una cantidad que es tres unidades mayor que 0; +5 es
una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que —3 es una
cantidad que es tres unidades menor que 0 y —5 es una cantidad que es
cinco unidades menor que 0.
De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; así,
+6 es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor
la de menor valor absoluto: —3 es mayor que —5; —9 es menor que —4.
EJERCICIOS SOBRE CANTIDADES POSITIVAS
Y NEGATIVAS
1) Un hombre cobra $180. Paga una deuda de 500 y luego hace com-
pras por valor de $95, ¿Cuánto tiene?
‘Teniendo’$190, pagó $80; luego, se quedo con $60, Después hace un
gasto de $45 y como sólo tiene $50 incurre en una deuda de $45. Por lo
tanto, tiene actualmente — 45. R.
m EJERCICIO 1
1. Pedro debía 60 bolivares y recibió 320. Expresar su estado económico.
© Un hombre que tenía 1170 sucres hizo una compra por valor de 1516,
Expresar su estado económico.
9 "Tenía $200. Cobré $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo?
CANTIDADES vosrrivas y meoarivas 01)
pe peepee erage A
6. co rs so ¿gus debia, después cobré $40 y luego hice gastos
une
recibe $200 y hace un gasto de $10, ¢Cudmto uch? nn OM
2) A las 6 a.m, el termómetro marca —4°. A las 9 a.m. ha subido
7° y desde esta hora hasta las 6 p.m. ha bajado 11°. Ex my
ratura a las 5 p.m, A = es
_ Alas 6 a.m. marca —4°. Como a las 9 a.m, ha subido 7°, contamos
siete divisiones de la escala desde —4° hacia arriba y tendremos 8° sobre
cero (+31); como desde esta hora hasta las 5 p.m, ha bajado 11°, contando
11 divisiones de la escala desde +3%hacia abajo llegaremos a —8°, Luc:
go, a las 5 p.m. la temperatura es de =82. a
@ EJERCICIO 2
LR ru eee
Ro
Als Guam. ci termdiety ma = À 10 a.m. I temper
88 md al y dedo oa ott hana le pda ala 6 By
la temperatura a las 9 p.m. 9 Bm; RE ESS
3 AU T pme urine marc 438° y à as 10 pm. mara D
¿Cuántos grados In bajado ta vomperatund 12 Pm Maver A
4 Ale a am ol tcrmimetro marc “a> y al mediodía 45. (Gun
grados ha subido la temperatura? x pee
& Aas Dam oem mares 4% Is 9 am. ha abla 7
las 4 pm. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°, Expresar
la sempeiatura a las 11 pon? is
0 Alu Pam e semónaro mero 86, De ke 6 am à be
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las 8 am. y a las Ale, a N LE
%. Ate am à eme marca 18. De las 84, ta 1 am. ja
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hr Bores fe tempera sas 30 saa he ame he a
ee am
El dia 10 de diciembre un barco se halla a/56° al oeste del prim
meridiano, Del dia 10 al 18 recorre 7° haciaJel este. Expresar du lon
medias, De 7° haciaJel este. Expresar su I
8: primo de fro la sc de un taco eh 10 de ong
asie y 15% de lad ue. Del día primero al 2p ha recorrido 0 Hacia
ed yn cad o non de da al. xe m
2 y de esta bora a las $ p.m, ha
que podemos tomar como sentido positivo el que queramos; pero una vez
fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a éste será el negativo,
Ast, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la dere
cha de un punto, el camino recorrido a la inquierda de ese punto será
negativo, pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorrido,
a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del
punto sería negativo.
Asi, si sobre el segmento AB tomamos como positivo el sentido de A
hacia B, el sentido de
B hacia A sería mega
tivo, pero si fijamos
como sentido positivo. A——————=B À
de B hacia A, el senti-
do de A hacia B seria
negativo.
No obstante, en la práctica se aceptan generalmente los sentidos posi
tivos de que se trat6 en el múmero anterior.
13) CERO es la ausencia de cantidad. Ast, representar el estado económi-
co de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas
Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores
que 0. Así, +3 es una cantidad que es tres unidades mayor que 0; +5 es
una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que —3 es una
cantidad que es tres unidades menor que 0 y —5 es una cantidad que es
cinco unidades menor que 0.
De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; así,
+6 es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor
la de menor valor absoluto: —3 es mayor que —5; —9 es menor que —4.
EJERCICIOS SOBRE CANTIDADES POSITIVAS
Y NEGATIVAS
1) Un hombre cobra $180. Paga una deuda de 500 y luego hace com-
pras por valor de $95, ¿Cuánto tiene?
‘Teniendo’$190, pagó $80; luego, se quedo con $60, Después hace un
gasto de $45 y como sólo tiene $50 incurre en una deuda de $45. Por lo
tanto, tiene actualmente — 45. R.
m EJERCICIO 1
1. Pedro debía 60 bolivares y recibió 320. Expresar su estado económico.
© Un hombre que tenía 1170 sucres hizo una compra por valor de 1516,
Expresar su estado económico.
9 "Tenía $200. Cobré $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo?
CANTIDADES vosrrivas y meoarivas 01)
pe peepee erage A
6. co rs so ¿gus debia, después cobré $40 y luego hice gastos
une
recibe $200 y hace un gasto de $10, ¢Cudmto uch? nn OM
2) A las 6 a.m, el termómetro marca —4°. A las 9 a.m. ha subido
7° y desde esta hora hasta las 6 p.m. ha bajado 11°. Ex my
ratura a las 5 p.m, A = es
_ Alas 6 a.m. marca —4°. Como a las 9 a.m, ha subido 7°, contamos
siete divisiones de la escala desde —4° hacia arriba y tendremos 8° sobre
cero (+31); como desde esta hora hasta las 5 p.m, ha bajado 11°, contando
11 divisiones de la escala desde +3%hacia abajo llegaremos a —8°, Luc:
go, a las 5 p.m. la temperatura es de =82. a
@ EJERCICIO 2
LR ru eee
Ro
Als Guam. ci termdiety ma = À 10 a.m. I temper
88 md al y dedo oa ott hana le pda ala 6 By
la temperatura a las 9 p.m. 9 Bm; RE ESS
3 AU T pme urine marc 438° y à as 10 pm. mara D
¿Cuántos grados In bajado ta vomperatund 12 Pm Maver A
4 Ale a am ol tcrmimetro marc “a> y al mediodía 45. (Gun
grados ha subido la temperatura? x pee
& Aas Dam oem mares 4% Is 9 am. ha abla 7
las 4 pm. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°, Expresar
la sempeiatura a las 11 pon? is
0 Alu Pam e semónaro mero 86, De ke 6 am à be
fate a as de de por hon Era la one a hey a
las 8 am. y a las Ale, a N LE
%. Ate am à eme marca 18. De las 84, ta 1 am. ja
Fee BC eran ad pm ibe à ed ne
hr Bores fe tempera sas 30 saa he ame he a
ee am
El dia 10 de diciembre un barco se halla a/56° al oeste del prim
meridiano, Del dia 10 al 18 recorre 7° haciaJel este. Expresar du lon
medias, De 7° haciaJel este. Expresar su I
8: primo de fro la sc de un taco eh 10 de ong
asie y 15% de lad ue. Del día primero al 2p ha recorrido 0 Hacia
ed yn cad o non de da al. xe m
2 y de esta bora a las $ p.m, ha
12 © actos
10. El dia 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y
65° de latitud norte. Del día 6 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se
ha acercado 4° al Ecuador, Expresar su situación el día 11.
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después,
Expresar la fecha de su destrucción.
5) Un móvil recorre 40 m. en línea recta a la derecha de un pun-
to A y luego retrocede en la misma dirección a razón de 15 m. por segun-
do. Expresar a qué distancia se halla del punto A al cabo del 1%, 29, 30
y 49 segundo,
móvil ha recorrido 40 m. a la derecha del punto A; luego, su po-
sición es + 40 m., tomando como positivo el sentido de izquierda a derecha.
Entonces empieza a moverse de la derecha hacia la izquierda (sentido
negativo) a razón de 15 m. por segundo; luego, en el primer segundo se
acerca 15 m. al punto À y como estaba a 40 m, de ese punto, se halla a
40—15=25 m. a la derecha de A; luego, su posición es +25 m. R.
En el 29 segundo se acerca otros 15 m. al punto A; luego, se hallarä
a 25—15=10 m. a la derecha de A; su posición abora es + 10 m. R.
En el $e segundo recorre otros 15 m. hacia A, y como estaba a
10 m. a la derecha de A, habrá llegado al punto À (con 10 m) y recorri-
do 5 m. a la izquierda de A, es decir, 10—15=—5 m. Su posición ahora
55m R
En el 4? segundo recorre otros 15 m, más hacia la izquierda y como
ya estaba a 5 m. a la izquierda de A, se hallará al cabo del 49 segundo a
20 m. a la izquierda de A, 0 sea —5=15==20 mu; luego, su posición
ahora es 20m. R.
m EJERCICIO 3
(SENTIDO POSITIVO: DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO A ARRIBAS.
1. Espresar que un móvil se halla a 99 m. a la derecha del punto A; a
16 m. a Ma laquierda de À.
2, Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y
tiene enterrados 4
3. Después de caminar 30 m. a la derecha del punto À recoro 85 m. en
Sendo contrario ¿A qué distancia me hallo ahora de 4?
4 Si corro a la iquierda del punto B a razón de 6 m, por segundo, ga
qué distancia de me halla al cabo de TI segs?
5. Dos conredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que core
hacia Ta ger de 4 va a 8 m. por seg y el que corre hacia I derecha
a a 9 ay por seg. Expresa sus distancias del punto al cabo de 6 sep
5. Partiendo del tes de aid hacia I dered un ote d dos woes
a ma pista de 100 m. de fongieud, SÍ yo parto del mismo punto y doy
3 Vuela a la pita en sentido contrario, ¿qué distancia hemes recorrido?
1. Un poste de 40 pies de longitud tenía 15 pies sobre el suelo. Dias después
Se introdujeron 3 pies más. Expresar la parte que sobresale y la enterrada
10.
u.
12
18.
14
CANTIDADES POSITIVAS Y meanivas © 13
Un möril recorre 56 m. a la derceha del punto À y Juego en la mia
direción retrocedo 32 m. 2A que distancia se halla de as
a ln inquierda del nego rerocele
la misma dirección 15 m. ¿A qué distancia se halla de
in móvil recor 35 m, a Ea derecha de 2 y Juego retocede en la misma
diceción 47 wm. ¿A qué distancia se halla de Be
econ 39 m. a la iaquierda de M y luego retrocede en la
misma dirección 56 m. 2A qué distancia se ala de MP?
A partir del punto A una persona recorre 99 m. a la derecha y retro.
‘ede en a mima dirección, primero 58 m. y Mego 36 m. 2A qué daniel
se halla de Br x on: Sa 2
À recone 78 m. à dere de 4 y entonces emplee a seo:
la misma direciön, a sazón de 30 m. por sg, Esprear i
det punto Aal cabo del 19, ey ye eT
Un auto recorre 120 Km, a la inquerda del punto. M
à varón de 60 Km. por hora. ¿A qué distancia. se ha
a Cabo de da 19, 29,98 y 48 Bora?
luego retrocede
del punto M
(3) vator ABSOLUTO Y RELATIVO
dor absoluto de una cantidad es el número que representa la canı
tidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo es
el sentido de la cantidad, representado por el signo.
Asi, el valor absoluto de +58 es $8, y el valor relativo haber, expre:
sado por el signo +; el valor absoluto de —$20 es 520, y el valor relativo
deuda, expresado por el signo —.
Las cantidades 47° y —7° tienen el mismo valor absoluto, pero su
valor relativo es opuesto, pues el primero expresa grados sobre cero y el
segundo bajo cero; —8° y —11> tienen el mismo valor relativo (grados
bajo cero) y distinto valor absoluto.
colocando el múmero que corresponda a dicho valor entre dos líneas ve
tical
El valor absoluto de una cant
lad algebraica cualquiera se representa
Asi, el valor absoluto de +8 se representa [8].
(5) canrioanes ARITMETICAS Y ALGEBRAICAS
De lo expuesto anteriormente se deduce la diferencia entre cantida-
des aritméticas y algebraicas.
Cantidades aritenéticas son las que expresan solamente cl valor abso-
luto de las canti
o nos dicen el
idades representado por los números, pero
sentido o valor relativo de las cantidades,
hemos solamente |
Asi, cuando en Aritmética escribimos que una persona tiene $5, te:
idea del valor absoluto $5 de esta cantidad, pero con
esto no sabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda. Escribiendo
que el termómetro marca 8°, no sabemos si son sobre cero o bajo cero,
10. El dia 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y
65° de latitud norte. Del día 6 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se
ha acercado 4° al Ecuador, Expresar su situación el día 11.
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después,
Expresar la fecha de su destrucción.
5) Un móvil recorre 40 m. en línea recta a la derecha de un pun-
to A y luego retrocede en la misma dirección a razón de 15 m. por segun-
do. Expresar a qué distancia se halla del punto A al cabo del 1%, 29, 30
y 49 segundo,
móvil ha recorrido 40 m. a la derecha del punto A; luego, su po-
sición es + 40 m., tomando como positivo el sentido de izquierda a derecha.
Entonces empieza a moverse de la derecha hacia la izquierda (sentido
negativo) a razón de 15 m. por segundo; luego, en el primer segundo se
acerca 15 m. al punto À y como estaba a 40 m, de ese punto, se halla a
40—15=25 m. a la derecha de A; luego, su posición es +25 m. R.
En el 29 segundo se acerca otros 15 m. al punto A; luego, se hallarä
a 25—15=10 m. a la derecha de A; su posición abora es + 10 m. R.
En el $e segundo recorre otros 15 m. hacia A, y como estaba a
10 m. a la derecha de A, habrá llegado al punto À (con 10 m) y recorri-
do 5 m. a la izquierda de A, es decir, 10—15=—5 m. Su posición ahora
55m R
En el 4? segundo recorre otros 15 m, más hacia la izquierda y como
ya estaba a 5 m. a la izquierda de A, se hallará al cabo del 49 segundo a
20 m. a la izquierda de A, 0 sea —5=15==20 mu; luego, su posición
ahora es 20m. R.
m EJERCICIO 3
(SENTIDO POSITIVO: DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO A ARRIBAS.
1. Espresar que un móvil se halla a 99 m. a la derecha del punto A; a
16 m. a Ma laquierda de À.
2, Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y
tiene enterrados 4
3. Después de caminar 30 m. a la derecha del punto À recoro 85 m. en
Sendo contrario ¿A qué distancia me hallo ahora de 4?
4 Si corro a la iquierda del punto B a razón de 6 m, por segundo, ga
qué distancia de me halla al cabo de TI segs?
5. Dos conredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que core
hacia Ta ger de 4 va a 8 m. por seg y el que corre hacia I derecha
a a 9 ay por seg. Expresa sus distancias del punto al cabo de 6 sep
5. Partiendo del tes de aid hacia I dered un ote d dos woes
a ma pista de 100 m. de fongieud, SÍ yo parto del mismo punto y doy
3 Vuela a la pita en sentido contrario, ¿qué distancia hemes recorrido?
1. Un poste de 40 pies de longitud tenía 15 pies sobre el suelo. Dias después
Se introdujeron 3 pies más. Expresar la parte que sobresale y la enterrada
10.
u.
12
18.
14
CANTIDADES POSITIVAS Y meanivas © 13
Un möril recorre 56 m. a la derceha del punto À y Juego en la mia
direción retrocedo 32 m. 2A que distancia se halla de as
a ln inquierda del nego rerocele
la misma dirección 15 m. ¿A qué distancia se halla de
in móvil recor 35 m, a Ea derecha de 2 y Juego retocede en la misma
diceción 47 wm. ¿A qué distancia se halla de Be
econ 39 m. a la iaquierda de M y luego retrocede en la
misma dirección 56 m. 2A qué distancia se ala de MP?
A partir del punto A una persona recorre 99 m. a la derecha y retro.
‘ede en a mima dirección, primero 58 m. y Mego 36 m. 2A qué daniel
se halla de Br x on: Sa 2
À recone 78 m. à dere de 4 y entonces emplee a seo:
la misma direciön, a sazón de 30 m. por sg, Esprear i
det punto Aal cabo del 19, ey ye eT
Un auto recorre 120 Km, a la inquerda del punto. M
à varón de 60 Km. por hora. ¿A qué distancia. se ha
a Cabo de da 19, 29,98 y 48 Bora?
luego retrocede
del punto M
(3) vator ABSOLUTO Y RELATIVO
dor absoluto de una cantidad es el número que representa la canı
tidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo es
el sentido de la cantidad, representado por el signo.
Asi, el valor absoluto de +58 es $8, y el valor relativo haber, expre:
sado por el signo +; el valor absoluto de —$20 es 520, y el valor relativo
deuda, expresado por el signo —.
Las cantidades 47° y —7° tienen el mismo valor absoluto, pero su
valor relativo es opuesto, pues el primero expresa grados sobre cero y el
segundo bajo cero; —8° y —11> tienen el mismo valor relativo (grados
bajo cero) y distinto valor absoluto.
colocando el múmero que corresponda a dicho valor entre dos líneas ve
tical
El valor absoluto de una cant
lad algebraica cualquiera se representa
Asi, el valor absoluto de +8 se representa [8].
(5) canrioanes ARITMETICAS Y ALGEBRAICAS
De lo expuesto anteriormente se deduce la diferencia entre cantida-
des aritméticas y algebraicas.
Cantidades aritenéticas son las que expresan solamente cl valor abso-
luto de las canti
o nos dicen el
idades representado por los números, pero
sentido o valor relativo de las cantidades,
hemos solamente |
Asi, cuando en Aritmética escribimos que una persona tiene $5, te:
idea del valor absoluto $5 de esta cantidad, pero con
esto no sabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda. Escribiendo
que el termómetro marca 8°, no sabemos si son sobre cero o bajo cero,
14 © ace
Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las
«cantidades y además su sentido o valor relativo por media del signo,
Ast, escribiendo que una persona tiene +$5 expresamos el valor ab-
soluto $6 y el sentido o valor relativo (haber) expresado por el signo +;
escribiendo —$8 expresamos el valor absoluto $8 y el sentido o valor rela-
tivo (deuda) expresado por el signo — escribiendo que el termómetro mar-
ca +8° tenemos cl valor absoluto 8° y el valor relativo (sobre cero) expre-
sado por el signo +, y escribiendo ~9° tenemos el valor absoluto 9° y el
or relativo (bajo cero) expresido por el signo
Los signos + y — ticnen en Algebra dos aplicaciones: una, indicar las
operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido o condición de las
cantidades.
de suma o resta, van entre términos © expresiones in-
‘como por ejemplo en (+ 8) + (—4) y en (—1) — (+ 6h.
» van precediendo a un término, ya sea literal o numérico, expresan el
positivo o negativo, como por ejemplo en —a, +b, 4 7, 8
(AS) REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA SERIE
—/ ALGEBRAICA DE LOS NUMEROS
Teniendo en cuenta que el 0 en Algebra es la ausencia de la canti
dad, que las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas meno-
res que 0, y que las distancias medidas hacia la derecha o hacia arriba de
un punto se consideran positivas y hacia la izquierda o hacia abajo de un
punto negativas, la serie algebraica de los números se puede representar
de este modo:
5747372 +314 +5
RSS on m u
NOMENCLATURA ALGEBRAICA
(17) EXPRESION ALGEBRAICA es la representación de un símbolo alge-
— braico o de una o más operaciones algebraicas.
Ejemplos | (aa
18 ) TERMINO es una expresión algebraica que consta de un solo simbolo
“6 de varios simbolos no separados entre si por el signo + 0 —. Asi,
sr [Se dy la
APE
son términos.
Nonenciaruna Ascona 0 15
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el cocficiente, la
parte literal y el grado.
Por el signo, son términos positivos los que van precedidos del sig-
no + y negativos los que van precedidos del signo =. Asi, +a, +8x, + ab
son términos positivos y —x, — 60e y son términos negativos.
El signo + suele omitirse delante de los términos posiuvos. Asi,
a equivale a +4; Bab equivale a + 340.
Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es
positivo.
El cocficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el
primero, de los factores del término. Asi, en el término 5a el coeficiente
85 5; en — Barat el coeficiente es —3,
La parte literal la constituyen las letras que haya en el cérmino. Asi,
pe i
2ab ab
19) EL GRADO DE UN TERMINO puede ser de dos clases: absoluto ¥ con
relación a una letra.
Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus
Tactores literales. Asi, el término da es de primer grado porque el exp
mente del factor literal a cs 1; el término ab es de segundo grado porque
la suma de los exponentes de sus factores literales es 1 +1= 2; el término
ab es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores
literales es 2+1=3; Satbte? es de noveno grado porque la suma de los ex-
ponentes de sus factores literales es 4 4 3 +
El grado de un término con relación a una letra es el exponente de
dicha letra. Asi el término bx* es de primer grado con relación ab y de
tercer grado con relación a x; 4xiy! es de segundo grado con relación a x
y de cuarto grado con relación a y.
en xy la parte literal es xy;
la parte literal es
20) CLASES DE TERMINOS
“Término entero es el que no tiene denominador literal como da,
2a
barbs, À e
“Término fraccionario es el que tiene denominador literal como —,"-
| Término racional es cl que no tiene radical, como los ejemplos ante-
ab
tiores, e irracional el que tiene radical, como Vab, ——.
Términos homogéneos son los que tienen cl mismo grado absoluto,
Así, 4x!y y 6x3)? son homogéneos porque ambos son de quinto grado,
absoluto.
‘Términos heterogéneos son los de di
que es de primer grado, y 302, que es de
into grado absoluto, como ba,
segundo grado,
Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las
«cantidades y además su sentido o valor relativo por media del signo,
Ast, escribiendo que una persona tiene +$5 expresamos el valor ab-
soluto $6 y el sentido o valor relativo (haber) expresado por el signo +;
escribiendo —$8 expresamos el valor absoluto $8 y el sentido o valor rela-
tivo (deuda) expresado por el signo — escribiendo que el termómetro mar-
ca +8° tenemos cl valor absoluto 8° y el valor relativo (sobre cero) expre-
sado por el signo +, y escribiendo ~9° tenemos el valor absoluto 9° y el
or relativo (bajo cero) expresido por el signo
Los signos + y — ticnen en Algebra dos aplicaciones: una, indicar las
operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido o condición de las
cantidades.
de suma o resta, van entre términos © expresiones in-
‘como por ejemplo en (+ 8) + (—4) y en (—1) — (+ 6h.
» van precediendo a un término, ya sea literal o numérico, expresan el
positivo o negativo, como por ejemplo en —a, +b, 4 7, 8
(AS) REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA SERIE
—/ ALGEBRAICA DE LOS NUMEROS
Teniendo en cuenta que el 0 en Algebra es la ausencia de la canti
dad, que las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas meno-
res que 0, y que las distancias medidas hacia la derecha o hacia arriba de
un punto se consideran positivas y hacia la izquierda o hacia abajo de un
punto negativas, la serie algebraica de los números se puede representar
de este modo:
5747372 +314 +5
RSS on m u
NOMENCLATURA ALGEBRAICA
(17) EXPRESION ALGEBRAICA es la representación de un símbolo alge-
— braico o de una o más operaciones algebraicas.
Ejemplos | (aa
18 ) TERMINO es una expresión algebraica que consta de un solo simbolo
“6 de varios simbolos no separados entre si por el signo + 0 —. Asi,
sr [Se dy la
APE
son términos.
Nonenciaruna Ascona 0 15
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el cocficiente, la
parte literal y el grado.
Por el signo, son términos positivos los que van precedidos del sig-
no + y negativos los que van precedidos del signo =. Asi, +a, +8x, + ab
son términos positivos y —x, — 60e y son términos negativos.
El signo + suele omitirse delante de los términos posiuvos. Asi,
a equivale a +4; Bab equivale a + 340.
Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es
positivo.
El cocficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el
primero, de los factores del término. Asi, en el término 5a el coeficiente
85 5; en — Barat el coeficiente es —3,
La parte literal la constituyen las letras que haya en el cérmino. Asi,
pe i
2ab ab
19) EL GRADO DE UN TERMINO puede ser de dos clases: absoluto ¥ con
relación a una letra.
Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus
Tactores literales. Asi, el término da es de primer grado porque el exp
mente del factor literal a cs 1; el término ab es de segundo grado porque
la suma de los exponentes de sus factores literales es 1 +1= 2; el término
ab es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores
literales es 2+1=3; Satbte? es de noveno grado porque la suma de los ex-
ponentes de sus factores literales es 4 4 3 +
El grado de un término con relación a una letra es el exponente de
dicha letra. Asi el término bx* es de primer grado con relación ab y de
tercer grado con relación a x; 4xiy! es de segundo grado con relación a x
y de cuarto grado con relación a y.
en xy la parte literal es xy;
la parte literal es
20) CLASES DE TERMINOS
“Término entero es el que no tiene denominador literal como da,
2a
barbs, À e
“Término fraccionario es el que tiene denominador literal como —,"-
| Término racional es cl que no tiene radical, como los ejemplos ante-
ab
tiores, e irracional el que tiene radical, como Vab, ——.
Términos homogéneos son los que tienen cl mismo grado absoluto,
Así, 4x!y y 6x3)? son homogéneos porque ambos son de quinto grado,
absoluto.
‘Términos heterogéneos son los de di
que es de primer grado, y 302, que es de
into grado absoluto, como ba,
segundo grado,
16 @ aaa
m- EJERCICIO 4
. Digase qué clase de idrminos son los
À à fcner o no denominador y a si
guientes atendiendo al signo, a
Bar, dao, À, I Va —
ed Ge quin eradeyrde unde eo: rat Ale deren qui
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a
MONOMIO es una expresión algebraica [a
que consta. de un solo término, como 7 Wee
POLINOMIO es una expresión algebraica que consta de más de un
término, como a+b, atx-y, A+ 2x85 +7
Binomio es un polinomio que ar
consta de dos términos, como: athe
3
‘Trinomio es un polinomio que arbre a
consta de tres términos, como
@) EL GRADO de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una
letra.
Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor
grado. Ast, en el polinomio x*~5x?-+a*—8x el primer término es de
cuarto grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, y
el último, de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es el
cuarto.
HOMENCLATURA ALOtOMAICA @ 17)
Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor expo:
nente de dicha tetra en el polinomio, Así, el polinomio a?-+a'x? — ax es
de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x,
© EJERCICIO 5
1. Digase el grado absoluto de Jos siguientes polinomios:
a) asthe. ©) ahah abbr
D) atada dy xa DA aya.
2 Digase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una
de sus letras:
2) adds, 9 Galt dats taba tbn,
DCE A rhb
(a) CLASES DE POLINOMIOS
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene deno-
minador literal como x*+5x~6; 5 +2; fraccionario cuando alguno
de sus términos tiene letras en el denominador como E+2—8; racional
5
cuando no contiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracional
cuando contiene radical, como Va+Vb-VE-Vabc; homogéneo cuando 10,
dos sus términos son del mismo grado absoluto, como 4a°+5a*b + Gab? hA,
y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como
Hate,
Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos
los exponentes sucesivos de dicha letra, desde cl más alto al más bajo que
tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio x°+ #t— 2042 - x
es completo respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesi.
vos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el
polinomio at—a%b + ab — ab? + b* es completo respecto de a y b.
Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van
aumentando o disminuyendo,
Así, el polinomio x*--4x"+2x?—5x-+8 esté ordenado en orden des
cendente con relación a la letra ordenlatriz x; el polinomio a%—2%a8b + Gab?
= 5a?bs + 3ab*— b* está ordenado en orden descendente respecto de la letra
ordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.
(25) Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los expo-
—" nentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden des
cendente o ascendente, Así, ordenar el polinomio ~5x-tx°—8x-+x' x46 en
descendente con relación a x será escribir x°+x!—5x9—x? 34+ 6,
Ordenar el polinomio x'y—~7x%y!—5x* + 6xy'-+y°—x'y* en orden as.
cendente con relación a x será escribirlo: —
m- EJERCICIO 4
. Digase qué clase de idrminos son los
À à fcner o no denominador y a si
guientes atendiendo al signo, a
Bar, dao, À, I Va —
ed Ge quin eradeyrde unde eo: rat Ale deren qui
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a
MONOMIO es una expresión algebraica [a
que consta. de un solo término, como 7 Wee
POLINOMIO es una expresión algebraica que consta de más de un
término, como a+b, atx-y, A+ 2x85 +7
Binomio es un polinomio que ar
consta de dos términos, como: athe
3
‘Trinomio es un polinomio que arbre a
consta de tres términos, como
@) EL GRADO de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una
letra.
Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor
grado. Ast, en el polinomio x*~5x?-+a*—8x el primer término es de
cuarto grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, y
el último, de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es el
cuarto.
HOMENCLATURA ALOtOMAICA @ 17)
Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor expo:
nente de dicha tetra en el polinomio, Así, el polinomio a?-+a'x? — ax es
de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x,
© EJERCICIO 5
1. Digase el grado absoluto de Jos siguientes polinomios:
a) asthe. ©) ahah abbr
D) atada dy xa DA aya.
2 Digase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una
de sus letras:
2) adds, 9 Galt dats taba tbn,
DCE A rhb
(a) CLASES DE POLINOMIOS
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene deno-
minador literal como x*+5x~6; 5 +2; fraccionario cuando alguno
de sus términos tiene letras en el denominador como E+2—8; racional
5
cuando no contiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracional
cuando contiene radical, como Va+Vb-VE-Vabc; homogéneo cuando 10,
dos sus términos son del mismo grado absoluto, como 4a°+5a*b + Gab? hA,
y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como
Hate,
Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos
los exponentes sucesivos de dicha letra, desde cl más alto al más bajo que
tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio x°+ #t— 2042 - x
es completo respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesi.
vos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el
polinomio at—a%b + ab — ab? + b* es completo respecto de a y b.
Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van
aumentando o disminuyendo,
Así, el polinomio x*--4x"+2x?—5x-+8 esté ordenado en orden des
cendente con relación a la letra ordenlatriz x; el polinomio a%—2%a8b + Gab?
= 5a?bs + 3ab*— b* está ordenado en orden descendente respecto de la letra
ordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.
(25) Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los expo-
—" nentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden des
cendente o ascendente, Así, ordenar el polinomio ~5x-tx°—8x-+x' x46 en
descendente con relación a x será escribir x°+x!—5x9—x? 34+ 6,
Ordenar el polinomio x'y—~7x%y!—5x* + 6xy'-+y°—x'y* en orden as.
cendente con relación a x será escribirlo: —
18 @ aroma REDUCCION De TERMINOS aura nro 019
Término independiente de un polinomio. con relación a una letra es
el término que no tiene dicha letra. (27) TERMINOS SEMEJANTES
Asi, en el polinomio a?—a!4-3a~5 el término independiente con 7 Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte lite»
relación a la a es 5 porque no tiene a; en #- 694 84-92 +20 el térmi- val, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
no independiente es 20; en a ~ ah + dab + b* el término independiente
con relación a la a es B%y el término
es a? El término independiente con relación a una letra puede considerarse
que tiene esa letra con exponente cero, porque como se verá más adelante,
toda cantidad elevada a cero equivale a 1. Los términos dab y — ba%b no son semejantes, porque aunque tienen
Ast, en el primer ejemplo anterior, —5 equivale a —5a°, y en el últi iguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del pri:
mo ejemplo, b* equivale a ab?, mero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2.
Los términos — bx! y ab* no son semejantes, porque aunque tienen 104
mm EJERCICIO 6 mismos exponentes, las letras no son iguales,
1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radi-
eal ince que due ls polis sis ete a (28) neDUccION DE TERMINOS SEMEJANTES es una operación que tie:
Ne CRUE 7 ne por objeto convertir en un solo término dos o más términos sé:
y Ea, miejantes.
Re ees = # En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres ca
2, Escribir un polinomio de tercet grado absoluto; de quinto grado
Ito: de octavo grado almoluto; de décimoquinto. grado absolut. a
3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio 1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
€ quimo grado tespecto de la a: un polinomio de noveno! grado ree Se
pecto de In m.
4. De los siga orton: Se suman los cocficientes, poniendo delante de esta suma el mismo.
Tee aprés signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
©) Pan ea
1490.
©) Pirata, Gb Ban Soi 2
Scope? des que sean hamogineal y, des betrogence, Ejemplos |
5. De los siguientes. polinomios:
noires D unes er
Per DENE Mas ie)
ae Mle ge ee a Seta QE ime m
Mn a ae de cou pale een Els Danse e
e quinto grade absoluto; dos polinomios ‘completes, Do eee
1. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden (4) Sot F4 boi Bor, R
Han :
a) mitm mine, (5) = anti 70811 = — Net. R. Go) à
à Caxias,
O abia abad. tj ESERCICIO 7
ERAS
3 een aaa
Pe cee ae Late ar a
DU 5 nb. 2
RÉCENTS
Término independiente de un polinomio. con relación a una letra es
el término que no tiene dicha letra. (27) TERMINOS SEMEJANTES
Asi, en el polinomio a?—a!4-3a~5 el término independiente con 7 Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte lite»
relación a la a es 5 porque no tiene a; en #- 694 84-92 +20 el térmi- val, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
no independiente es 20; en a ~ ah + dab + b* el término independiente
con relación a la a es B%y el término
es a? El término independiente con relación a una letra puede considerarse
que tiene esa letra con exponente cero, porque como se verá más adelante,
toda cantidad elevada a cero equivale a 1. Los términos dab y — ba%b no son semejantes, porque aunque tienen
Ast, en el primer ejemplo anterior, —5 equivale a —5a°, y en el últi iguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del pri:
mo ejemplo, b* equivale a ab?, mero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2.
Los términos — bx! y ab* no son semejantes, porque aunque tienen 104
mm EJERCICIO 6 mismos exponentes, las letras no son iguales,
1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radi-
eal ince que due ls polis sis ete a (28) neDUccION DE TERMINOS SEMEJANTES es una operación que tie:
Ne CRUE 7 ne por objeto convertir en un solo término dos o más términos sé:
y Ea, miejantes.
Re ees = # En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres ca
2, Escribir un polinomio de tercet grado absoluto; de quinto grado
Ito: de octavo grado almoluto; de décimoquinto. grado absolut. a
3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio 1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
€ quimo grado tespecto de la a: un polinomio de noveno! grado ree Se
pecto de In m.
4. De los siga orton: Se suman los cocficientes, poniendo delante de esta suma el mismo.
Tee aprés signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
©) Pan ea
1490.
©) Pirata, Gb Ban Soi 2
Scope? des que sean hamogineal y, des betrogence, Ejemplos |
5. De los siguientes. polinomios:
noires D unes er
Per DENE Mas ie)
ae Mle ge ee a Seta QE ime m
Mn a ae de cou pale een Els Danse e
e quinto grade absoluto; dos polinomios ‘completes, Do eee
1. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden (4) Sot F4 boi Bor, R
Han :
a) mitm mine, (5) = anti 70811 = — Net. R. Go) à
à Caxias,
O abia abad. tj ESERCICIO 7
ERAS
3 een aaa
Pe cee ae Late ar a
DU 5 nb. 2
RÉCENTS
208 am
BES SF BRESSES
Bardattn. 20. y Bey 00) 200.
1x+20x+x. 30. —Ba"—5a—6a"—Dae,
0089. 81 Jattartara.
ara.
aya 8a! La
parti dats Set,
a
35
36." abb-tab™srabtsSad%4- 2002,
37, —m—m—6n—Tm—Bm.
Pimientos atea 0 ens,
Speers, so, tabtartatterta
Tas fat dela. o te ake
ms fm dm O
2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.
REGLA
Se restan los cocficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo
del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
(1) 20-30=-0. R (5) Borat R
12) 1-N1x= 7% Re 16)
(3) ~200b+ lab ==9ob. R. m
(4) Bor F180" = sen Re (0)
De lo regla anterior se deuce que dos términos semejnts do iguales coli.
cents y de signo contrario se anulan,
Asis ee se d
ey ty o.
EJERCICIO 8
Reducir
1. Be-6e. 5 400-510.
2 Ga-8a. 6 10, —mint6men,
3. Dab—15ab, T. Mpio). 1. 15440
4 Yab~9ad. 2x2. 12. SGD,
18. y). 23,
14. —Jab24gabt,
16, Try. 24
16. —10Lan+118mm. yg,
17. 50Bab-405ab.
18 —I024x42018% 96
10. —15ab+15ab. 2
A ar. 3. Sint mn.
a a 38. Bat+3br- Boars Abe
a Po 30. Larra,
a
2. 32 40. 085mxy= may.
3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos,
REGLA
Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo
término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la re
gla del caso anterior.
(1) Reducir 5a—8o+o=é012la.
Reduciendo los positivos: Sa-bo-b 210 = 27a.
Reduciendo los negativos: — Ba — de = — Mo,
Aplicondo a ostos resullados ablenidos, Za y — 14a, la regla del coso ente
flor, se tienes Jo Mo = da. R,
Esta reducción también suele hacerse tés
sa — 2040 = 20, —20~ da = — o;
(2) Red ue — abe + be.
ino a término, de esto manero:
= 804210 = 180, |
Site
Redicindo los postion: Ja EX b=
Roduciondo los negoïivoss — 2
Tendremos
> EJERCICIO 9
1 5. 19m=10m6m.
2 6. —Hab—15ab+26ab.
3 7
10
A =eH19e—18x, 8
BES SF BRESSES
Bardattn. 20. y Bey 00) 200.
1x+20x+x. 30. —Ba"—5a—6a"—Dae,
0089. 81 Jattartara.
ara.
aya 8a! La
parti dats Set,
a
35
36." abb-tab™srabtsSad%4- 2002,
37, —m—m—6n—Tm—Bm.
Pimientos atea 0 ens,
Speers, so, tabtartatterta
Tas fat dela. o te ake
ms fm dm O
2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.
REGLA
Se restan los cocficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo
del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
(1) 20-30=-0. R (5) Borat R
12) 1-N1x= 7% Re 16)
(3) ~200b+ lab ==9ob. R. m
(4) Bor F180" = sen Re (0)
De lo regla anterior se deuce que dos términos semejnts do iguales coli.
cents y de signo contrario se anulan,
Asis ee se d
ey ty o.
EJERCICIO 8
Reducir
1. Be-6e. 5 400-510.
2 Ga-8a. 6 10, —mint6men,
3. Dab—15ab, T. Mpio). 1. 15440
4 Yab~9ad. 2x2. 12. SGD,
18. y). 23,
14. —Jab24gabt,
16, Try. 24
16. —10Lan+118mm. yg,
17. 50Bab-405ab.
18 —I024x42018% 96
10. —15ab+15ab. 2
A ar. 3. Sint mn.
a a 38. Bat+3br- Boars Abe
a Po 30. Larra,
a
2. 32 40. 085mxy= may.
3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos,
REGLA
Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo
término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la re
gla del caso anterior.
(1) Reducir 5a—8o+o=é012la.
Reduciendo los positivos: Sa-bo-b 210 = 27a.
Reduciendo los negativos: — Ba — de = — Mo,
Aplicondo a ostos resullados ablenidos, Za y — 14a, la regla del coso ente
flor, se tienes Jo Mo = da. R,
Esta reducción también suele hacerse tés
sa — 2040 = 20, —20~ da = — o;
(2) Red ue — abe + be.
ino a término, de esto manero:
= 804210 = 180, |
Site
Redicindo los postion: Ja EX b=
Roduciondo los negoïivoss — 2
Tendremos
> EJERCICIO 9
1 5. 19m=10m6m.
2 6. —Hab—15ab+26ab.
3 7
10
A =eH19e—18x, 8
2e vaio hole 23
at,
12
13
ri
16
16
17.
18:
19.
20.
ALGA,
Latbtath—atb. 23, Set Lot teme. cid A
Za+8a+d0—150. E i lomos Ext St 0.54! =
Tab—1ab+200b-S1ob, ga. -Fabe-Fabzrabt- Habe 2;
ee 25, —2+80—1l0+150—T60. y pode
OT PEA 26. —Te+2LeHl4c—30c +82,
Fa at out 27, mm Kämn-lmn-mn+20mn.
=D LI J tat a
Seren 2 C7 Tey Deridey tido.
Be 2
1050? A640 Ba. $0:
aL
E > EJERCICIO 10
3. tler Daran, Reducit Jos polinomios siguientes
Ce 1
35 00110—176-810—b4+1100, 2
BS a 15e Bar Tata, 3
Bi. Blix —S0Lmix—G0Amix— Toma mir 65x. 4
AS
39. d0a—Slo+13004Ma—830—01e4-160,
20. —21ab+520b—600b+btad—31ab—ab—230b. 1. 2
Eee
(8) neouccion De UN rOLINOMIO QUE CONTENGA: TERMINOS otter See ue
SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES 20. )-2e-8a-9-80+Be,
Lh te Tin ms mt 115 Gm.
12 RER ORT Tay OE Baty yO.
19 Gana a
4
(1) Reduci el polinomio So — 6b + Be + 9a ~ 20: — b+ 6b —c. 16.
Se reducen por separado los de cada close: PR
Ga + Pa = Va.
=&-b+@=-e. ur.
en de Me c= 1%.
Tendremos: Ve=b=W8eR | à +5
(2) Reducir ef polinomio: 10
BA + ab? + GO — QUE — Pat — 15 Sob + 0 bob?
20,
Se roducen por separado los de coda clase:
VALOR NUMERICO
wc Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se
aducir el polinomio: obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después
sy et yt + byt 030 — Sty 64 y — byt, las operaciones indicadas.
at,
12
13
ri
16
16
17.
18:
19.
20.
ALGA,
Latbtath—atb. 23, Set Lot teme. cid A
Za+8a+d0—150. E i lomos Ext St 0.54! =
Tab—1ab+200b-S1ob, ga. -Fabe-Fabzrabt- Habe 2;
ee 25, —2+80—1l0+150—T60. y pode
OT PEA 26. —Te+2LeHl4c—30c +82,
Fa at out 27, mm Kämn-lmn-mn+20mn.
=D LI J tat a
Seren 2 C7 Tey Deridey tido.
Be 2
1050? A640 Ba. $0:
aL
E > EJERCICIO 10
3. tler Daran, Reducit Jos polinomios siguientes
Ce 1
35 00110—176-810—b4+1100, 2
BS a 15e Bar Tata, 3
Bi. Blix —S0Lmix—G0Amix— Toma mir 65x. 4
AS
39. d0a—Slo+13004Ma—830—01e4-160,
20. —21ab+520b—600b+btad—31ab—ab—230b. 1. 2
Eee
(8) neouccion De UN rOLINOMIO QUE CONTENGA: TERMINOS otter See ue
SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES 20. )-2e-8a-9-80+Be,
Lh te Tin ms mt 115 Gm.
12 RER ORT Tay OE Baty yO.
19 Gana a
4
(1) Reduci el polinomio So — 6b + Be + 9a ~ 20: — b+ 6b —c. 16.
Se reducen por separado los de cada close: PR
Ga + Pa = Va.
=&-b+@=-e. ur.
en de Me c= 1%.
Tendremos: Ve=b=W8eR | à +5
(2) Reducir ef polinomio: 10
BA + ab? + GO — QUE — Pat — 15 Sob + 0 bob?
20,
Se roducen por separado los de coda clase:
VALOR NUMERICO
wc Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se
aducir el polinomio: obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después
sy et yt + byt 030 — Sty 64 y — byt, las operaciones indicadas.
240 era Vator numerics © 25
G)vavon NUMERICO DE EXPRESIONES. simues (2) Vol mantis do EEE Lu 92, b=
BA fob baum sxaxy à
aa +
ee D en ee mins
es oo pr wines Ces oo FR En
ar osprey a
eme] nd
(2) Valor numérico de albo! para e=2, b=3,
Be VER va Vim.
9 Van a VAGUE + Ed
(soe VEIA
4 10.
1)! Voor nimásico de E
8 Sed v n 32 A Ant m.
Rte ii
Dr 0 m Ee, 18,
= EJERCICIO 11 7
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para (2) Valor numérico de 223 —b} {x2 + y) 10? + b){b— 0) poro
a=1 b=2 c=8, m
las. operaciones. indicadas
1 tab. 7 dentro de los poréntsi de.
2 sabre. een ben elechorte ones quo, CANA
man D ninguna ola, oi: og
10. am VIRE.
5. hato, 11, mn VR abe, as Monica
cite 2 We | Hable = BE ol =2x 16 7x
B EJERCICIO 13
(Gi) vaior NUMERICO DE EXPRESIONES COMPUESTAS Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes. para
a=1 b=2, 0= 2 200
1. (a+be 5 Cmispxersteyon—a 9 “Ge + bya
a = 2 (a+bNb=a). 5. (—bXd=o0—a)(m—p). D
(11) Hollar el valor numérico de o® — Sab + 36% pora a=3, b=4. 6 xemorde).
= =P 4=9-604192=141. R 3 (b—m)(o~n) +40". 7. WA c+d)—a(m-+-n)-+2%, (m ‘be
a0 02 E 11 ee“ +
G)vavon NUMERICO DE EXPRESIONES. simues (2) Vol mantis do EEE Lu 92, b=
BA fob baum sxaxy à
aa +
ee D en ee mins
es oo pr wines Ces oo FR En
ar osprey a
eme] nd
(2) Valor numérico de albo! para e=2, b=3,
Be VER va Vim.
9 Van a VAGUE + Ed
(soe VEIA
4 10.
1)! Voor nimásico de E
8 Sed v n 32 A Ant m.
Rte ii
Dr 0 m Ee, 18,
= EJERCICIO 11 7
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para (2) Valor numérico de 223 —b} {x2 + y) 10? + b){b— 0) poro
a=1 b=2 c=8, m
las. operaciones. indicadas
1 tab. 7 dentro de los poréntsi de.
2 sabre. een ben elechorte ones quo, CANA
man D ninguna ola, oi: og
10. am VIRE.
5. hato, 11, mn VR abe, as Monica
cite 2 We | Hable = BE ol =2x 16 7x
B EJERCICIO 13
(Gi) vaior NUMERICO DE EXPRESIONES COMPUESTAS Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes. para
a=1 b=2, 0= 2 200
1. (a+be 5 Cmispxersteyon—a 9 “Ge + bya
a = 2 (a+bNb=a). 5. (—bXd=o0—a)(m—p). D
(11) Hollar el valor numérico de o® — Sab + 36% pora a=3, b=4. 6 xemorde).
= =P 4=9-604192=141. R 3 (b—m)(o~n) +40". 7. WA c+d)—a(m-+-n)-+2%, (m ‘be
a0 02 E 11 ee“ +
260 merma
Coban 4pHepein—dmyOn+20p). 19. 3(e-0) VE Ha) VTP"
Amen) (mt pr bn +0). en
(EE pm # Ba 2-0 abe
(apsany(ian—24p)+omeayaopra 2 #8(0+6)2043b)
“a, sh 2. (el E
Ec A
EEE etal
EJERCICIOS SOBRE NOTACION ALGEBRAICA
Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden ha-
cerse las mismas operaciones que con los múmeros aritméticos. Como la
representación de cantidades por medio de símbolos o letras suele ofrecer
dificultades a Jos alumnos, ofrecemos a continuación algunos ejemplos,
41) Escritas lo somo del cuadrado de a con el cubo de b.
PBR
(2) Un hombro tenia Sa; después recibió $8 y después pons una cuento do $6,
¿Cuénto le queda?
Teniendo $a recibió $0 luego tenía Slo+8}, Si entonces gasto Se le quedon
Hars-ch R
(3) Compré 3 libros a Sa cada un; 6 sombreros a $b cada una y m Iojes $x
cada uno. ¿Cuéato ho gastado?
3 libres a fa importan $20,
$ sombreros a Sb importan Sb
m oies o de importan Sn.
Luego el gasto total ha sido de Habt me) Ro)
(4) Compro x Hbros iguales por $. ¿Cuánto me ha costado cada unot
Cada libro ha costado $2 R.
(5) Tenía $9 y gosté $x. ¿Cuánto me queda?
Me quedon $93). R-
EJERCICIO 14
Escribase la suma de a, by m
Escríbase la numa del cuadrado de m, el cubo de b y la cuarta poten:
cia de x.
a.
90.
- ve
oracion atownalca © 27
Siendo a un número entero, escríbanse los dos números enteros conse
cutivos posteriores a a.
Siendo x un número entero, escribanse los dos múmeros consecutivos
anteriores a x.
Siendo y un nümero entero par, escríbanse los tres números pares con:
sceutivos posteriores a y.
Pedro tenia $e, cobró $x y le regalaron $m. ¿Cuánto tiene Pedro?
Eserfbase la diferencia entre m y n.
Debía x bolívares y pagué 6. ¿Cuánto debo ahora?
|. De una jornada de x Km, ya se han recorrido m Km. ¿Cuánto falta
por andar?
Recibo $x y después $a. Si gasto $m, ¿cuánto me queda?
“Tengo que recorrer m Km. El lunes ando a Km., el martes b Km. y
el miércoles ¢ Kim. ¿Cuánto me falta por andar?
Al vender una casa en Sn gano $800, ¿Cuánto me costó la casa?
Si han transcurrido x días de un año, ¿cuántos días faltan por transcurrir?
o e eo sombre.
ve la suma del duplo de a con el triplo de b y la mitad de €.
Expresar la superficie de una sala rectangular que mide a m. de lan
PE im de ancho, sine Li
Una extensión rectangular de 25 m. de largo mide n m. de ancho. Ex
presar su superficie,
¿Cuál será la superlicie de un cuadrado de x m. de lado?
Si un sombrero cuesta $a y un traje $8, ¿cuánto importarán 3 sombreros
y 6 trajes? 2x sombreros y m trajes?
Escribase el producto de a+b por x47.
lo (540) trajes a $6 cada uno. ¿Cuámo importa la venta?
Compro (2 —8) caballos a (++) bolivares cada uno, ¿Cuánto porta
compras
À à le costa 6 ses oni cuca de a
Si por $a compro m kilos de azúcar, ¿cuánto importa un kilo?
Se, compran (n= 1) caballos por 9000 colons. ¿Cuánto importa Cada
pré a sombreros por x soles, ¿A cómo habria salido cada sombrero.
si hubiera comprado 4 menos por el mismo precio?
La superficie de un campo rectangular es m m2 y el largo mide 14 M.
Expresar el ancho.
Si hu ron ha comido x 41 Km. en a horas gle su velocidad por
Te
cf dinero que tengo lo empleo todo en comprar
Lo aes
‘x habitaciones, En el segundo piso hay
à el Eta
Pedro tiene a sucres; Juan tiene la tercera parte de lo de Pedro; En
la cuarta parte del duplo de lo de Pedro. La suma de lo que tienen
los tres es menor que 1000 sucres, ¿Cuánto falta a esta suma. para ser
igual a 1000 sucres?
Coban 4pHepein—dmyOn+20p). 19. 3(e-0) VE Ha) VTP"
Amen) (mt pr bn +0). en
(EE pm # Ba 2-0 abe
(apsany(ian—24p)+omeayaopra 2 #8(0+6)2043b)
“a, sh 2. (el E
Ec A
EEE etal
EJERCICIOS SOBRE NOTACION ALGEBRAICA
Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden ha-
cerse las mismas operaciones que con los múmeros aritméticos. Como la
representación de cantidades por medio de símbolos o letras suele ofrecer
dificultades a Jos alumnos, ofrecemos a continuación algunos ejemplos,
41) Escritas lo somo del cuadrado de a con el cubo de b.
PBR
(2) Un hombro tenia Sa; después recibió $8 y después pons una cuento do $6,
¿Cuénto le queda?
Teniendo $a recibió $0 luego tenía Slo+8}, Si entonces gasto Se le quedon
Hars-ch R
(3) Compré 3 libros a Sa cada un; 6 sombreros a $b cada una y m Iojes $x
cada uno. ¿Cuéato ho gastado?
3 libres a fa importan $20,
$ sombreros a Sb importan Sb
m oies o de importan Sn.
Luego el gasto total ha sido de Habt me) Ro)
(4) Compro x Hbros iguales por $. ¿Cuánto me ha costado cada unot
Cada libro ha costado $2 R.
(5) Tenía $9 y gosté $x. ¿Cuánto me queda?
Me quedon $93). R-
EJERCICIO 14
Escribase la suma de a, by m
Escríbase la numa del cuadrado de m, el cubo de b y la cuarta poten:
cia de x.
a.
90.
- ve
oracion atownalca © 27
Siendo a un número entero, escríbanse los dos números enteros conse
cutivos posteriores a a.
Siendo x un número entero, escribanse los dos múmeros consecutivos
anteriores a x.
Siendo y un nümero entero par, escríbanse los tres números pares con:
sceutivos posteriores a y.
Pedro tenia $e, cobró $x y le regalaron $m. ¿Cuánto tiene Pedro?
Eserfbase la diferencia entre m y n.
Debía x bolívares y pagué 6. ¿Cuánto debo ahora?
|. De una jornada de x Km, ya se han recorrido m Km. ¿Cuánto falta
por andar?
Recibo $x y después $a. Si gasto $m, ¿cuánto me queda?
“Tengo que recorrer m Km. El lunes ando a Km., el martes b Km. y
el miércoles ¢ Kim. ¿Cuánto me falta por andar?
Al vender una casa en Sn gano $800, ¿Cuánto me costó la casa?
Si han transcurrido x días de un año, ¿cuántos días faltan por transcurrir?
o e eo sombre.
ve la suma del duplo de a con el triplo de b y la mitad de €.
Expresar la superficie de una sala rectangular que mide a m. de lan
PE im de ancho, sine Li
Una extensión rectangular de 25 m. de largo mide n m. de ancho. Ex
presar su superficie,
¿Cuál será la superlicie de un cuadrado de x m. de lado?
Si un sombrero cuesta $a y un traje $8, ¿cuánto importarán 3 sombreros
y 6 trajes? 2x sombreros y m trajes?
Escribase el producto de a+b por x47.
lo (540) trajes a $6 cada uno. ¿Cuámo importa la venta?
Compro (2 —8) caballos a (++) bolivares cada uno, ¿Cuánto porta
compras
À à le costa 6 ses oni cuca de a
Si por $a compro m kilos de azúcar, ¿cuánto importa un kilo?
Se, compran (n= 1) caballos por 9000 colons. ¿Cuánto importa Cada
pré a sombreros por x soles, ¿A cómo habria salido cada sombrero.
si hubiera comprado 4 menos por el mismo precio?
La superficie de un campo rectangular es m m2 y el largo mide 14 M.
Expresar el ancho.
Si hu ron ha comido x 41 Km. en a horas gle su velocidad por
Te
cf dinero que tengo lo empleo todo en comprar
Lo aes
‘x habitaciones, En el segundo piso hay
à el Eta
Pedro tiene a sucres; Juan tiene la tercera parte de lo de Pedro; En
la cuarta parte del duplo de lo de Pedro. La suma de lo que tienen
los tres es menor que 1000 sucres, ¿Cuánto falta a esta suma. para ser
igual a 1000 sucres?
230 meer
NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO
EL concepto de número natural (yéase Ariumética Tebrico-Präctica, 93),
que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la gene:
Hlización y abstracción caracteristicas de la operatoria algebraica.
‘Algebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cual-
¡uier tipo especial de mámero, Conviene pues, considerar cómo se ha ampliado
El Campo de ls amor po la inde de muero ene, que ace
s leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos
me ciate, SP numere ment no mor sine pura elekuar Ia re y La
división en todos los casor. Baste por el momento, dado el nivel matemático
que alcamaremos a 10 largo de este texto, explicar cómo se ha llegado al
concepto de mimero real.
Para hacer más com
adoptaremos un doble eriteri
conocer la gradual aparición de las
ble 1a ampliación del campo de los números,
Par un Jado, un criterio hitäri que nos haga
mer la fra ls dins is de meron, pr ot, Un
eno inci. que nos ponga de a feras necedad mate:
Sales ham “obligado. a los ialemáticos a introducir nuevos entes mumérios
Este doble criti, justifiable por la indole didicuca de este libro, permitirá
A principiante alkanrar una comprensión cara del concepto formal abstracto)
de los mineros rales
HL NUMERO ENTERO Y EL NUMERO FRACCIONARIO
Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides. Apolonio, ete) ren
lizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios
(según muestran las tablillas cuneiformes que datan de 20001800 A.C) y los
egipcios (como se ve en el papiro de Rhind) conocían Jas fracciones.
Ta necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el
volumen, el peso, etc, llevó al hombre a introducir los mimeros fraccionarios.
‘Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para
medir una magnitud continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una
de estas dos cosas: que la unidad esté contenida un mimero entero de veces,
o que no esté contenida un número entero de veces. (21 En el primer caso,
representamos el resultado de la medición con un número entero, En el se-
gunda caso, tendremos que fraccionar la unidad clegida en dos, en tres, o en
Cuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fracción de la unidud
‘que este contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta
Última medición lo expresamos con un par de múmeros enteros, distintos de
cero, Mamados respectivamente numerador y denominador. El denominador
nos dará el número de partes en que hemos dividido la unidad, y el nume-
fador, el número de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos
de medir. Surgen de este modo los números fraccionarios. Son números frac-
cionarios 1/2, 1/8. 3/5. ete
{£25 Pe lan, 10519), ts sonido que no name te
penable Mopliae ch conespio de mömere mate, ya que —tegin &- cualquier principio
Sie a ase pede deme por cio We Los meros natures
(9 En da präcika sauts, en raión de
in into "a? css à
horas some KL conerpro of Nut © 29
Podemos decir también, que son números Eraccionarios los que nos per
con expresar el cociente de una división inexacta, o lo que es lo 'mismo, una
división en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor.
Como se ve, en oposición a los múmeros fraccionarios tenemos los nu:
meros enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente
de una división exacta, come por ejemplo, 1, 2, i etc.
6+2=
oi
sl
02
FL NUMERO RACIONAL Y EL NUMERO INRACIONAL
Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora
indé Y como surgieron Is mms Irncenalen UNI
E indudable que fueron lo gros quienes conocieron primero los nl
meros irracionales. Los historiadores de la! matemática, estan de acuerdo en
<tribuir a Pitágoras de Samos (540 A.C), e) descubrimiento de ecos müneroN
nda are ds de ia a iaa ÓN
Más tarde, Teodoro de Civene (400 A.C}, matemático de Is escuela pit
rica, demostró geométricamente que VE, VE, VE, YT, ete, son irracionales.
Euclides (300 A.C), estudió en el Libro X de sus “Elementos”, cortas
magnitudes que al ser medidas no. encontramos vimgún_número entero Ml
fracciomario que las exprese, Estas magnitudes se llaman inconmensurables, y
los mimeros que se originan al medir tales magnitudes se llaman iracionalos 0)
Ejemplos de tales magnitudes son la relación del Jado de un cuadrado co
1a diagonal del mismo, que se expresa con el múmero. irraciohal Var + Plt
y la relación de la circunferencia, al diámetro que se expresa con a
150:
Nas L-n-as. in
D
L) Al exponer iuemiicamente los meros rraconas, Eucies tos tam syruncion
cei do amt some, irae apn m mei mia
cho de que char names or Mesa no tl Expresó os dg
opa. Bond ESA D.C), al trade plc comment € noten
Mg, Gene de Cremona (UCI) en wna traci de un comentarlo
Aral sobre Fe ails esönennene omo 2 rail a ear tops Y slo!
cu, la acepción de palabra (rtbam) da por Euclides. Ee Leo se
sde vols la Edad Meslay prevaisienda en Mere ae l'ont de
NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO
EL concepto de número natural (yéase Ariumética Tebrico-Präctica, 93),
que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la gene:
Hlización y abstracción caracteristicas de la operatoria algebraica.
‘Algebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cual-
¡uier tipo especial de mámero, Conviene pues, considerar cómo se ha ampliado
El Campo de ls amor po la inde de muero ene, que ace
s leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos
me ciate, SP numere ment no mor sine pura elekuar Ia re y La
división en todos los casor. Baste por el momento, dado el nivel matemático
que alcamaremos a 10 largo de este texto, explicar cómo se ha llegado al
concepto de mimero real.
Para hacer más com
adoptaremos un doble eriteri
conocer la gradual aparición de las
ble 1a ampliación del campo de los números,
Par un Jado, un criterio hitäri que nos haga
mer la fra ls dins is de meron, pr ot, Un
eno inci. que nos ponga de a feras necedad mate:
Sales ham “obligado. a los ialemáticos a introducir nuevos entes mumérios
Este doble criti, justifiable por la indole didicuca de este libro, permitirá
A principiante alkanrar una comprensión cara del concepto formal abstracto)
de los mineros rales
HL NUMERO ENTERO Y EL NUMERO FRACCIONARIO
Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides. Apolonio, ete) ren
lizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios
(según muestran las tablillas cuneiformes que datan de 20001800 A.C) y los
egipcios (como se ve en el papiro de Rhind) conocían Jas fracciones.
Ta necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el
volumen, el peso, etc, llevó al hombre a introducir los mimeros fraccionarios.
‘Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para
medir una magnitud continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una
de estas dos cosas: que la unidad esté contenida un mimero entero de veces,
o que no esté contenida un número entero de veces. (21 En el primer caso,
representamos el resultado de la medición con un número entero, En el se-
gunda caso, tendremos que fraccionar la unidad clegida en dos, en tres, o en
Cuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fracción de la unidud
‘que este contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta
Última medición lo expresamos con un par de múmeros enteros, distintos de
cero, Mamados respectivamente numerador y denominador. El denominador
nos dará el número de partes en que hemos dividido la unidad, y el nume-
fador, el número de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos
de medir. Surgen de este modo los números fraccionarios. Son números frac-
cionarios 1/2, 1/8. 3/5. ete
{£25 Pe lan, 10519), ts sonido que no name te
penable Mopliae ch conespio de mömere mate, ya que —tegin &- cualquier principio
Sie a ase pede deme por cio We Los meros natures
(9 En da präcika sauts, en raión de
in into "a? css à
horas some KL conerpro of Nut © 29
Podemos decir también, que son números Eraccionarios los que nos per
con expresar el cociente de una división inexacta, o lo que es lo 'mismo, una
división en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor.
Como se ve, en oposición a los múmeros fraccionarios tenemos los nu:
meros enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente
de una división exacta, come por ejemplo, 1, 2, i etc.
6+2=
oi
sl
02
FL NUMERO RACIONAL Y EL NUMERO INRACIONAL
Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora
indé Y como surgieron Is mms Irncenalen UNI
E indudable que fueron lo gros quienes conocieron primero los nl
meros irracionales. Los historiadores de la! matemática, estan de acuerdo en
<tribuir a Pitágoras de Samos (540 A.C), e) descubrimiento de ecos müneroN
nda are ds de ia a iaa ÓN
Más tarde, Teodoro de Civene (400 A.C}, matemático de Is escuela pit
rica, demostró geométricamente que VE, VE, VE, YT, ete, son irracionales.
Euclides (300 A.C), estudió en el Libro X de sus “Elementos”, cortas
magnitudes que al ser medidas no. encontramos vimgún_número entero Ml
fracciomario que las exprese, Estas magnitudes se llaman inconmensurables, y
los mimeros que se originan al medir tales magnitudes se llaman iracionalos 0)
Ejemplos de tales magnitudes son la relación del Jado de un cuadrado co
1a diagonal del mismo, que se expresa con el múmero. irraciohal Var + Plt
y la relación de la circunferencia, al diámetro que se expresa con a
150:
Nas L-n-as. in
D
L) Al exponer iuemiicamente los meros rraconas, Eucies tos tam syruncion
cei do amt some, irae apn m mei mia
cho de que char names or Mesa no tl Expresó os dg
opa. Bond ESA D.C), al trade plc comment € noten
Mg, Gene de Cremona (UCI) en wna traci de un comentarlo
Aral sobre Fe ails esönennene omo 2 rail a ear tops Y slo!
cu, la acepción de palabra (rtbam) da por Euclides. Ee Leo se
sde vols la Edad Meslay prevaisienda en Mere ae l'ont de
300 ace
Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, con-
videramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto
de los múmeros enteros. Definimos el múmero racional como aquel número
gue puede exprese como codente de do eros Y el número racional como
quel múmero real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros
Llamamos número reales al conjunto de los números racionales € irra
cionales.
LOS NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Los números negativos no fueron conocidas por los matemáticos de la
antigücdad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C2), que en su Aritmética,
al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +.
En el siglo VI, los hindtes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos
de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la
Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números.
negativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de
estos mimeros. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y —
para caracterizar los múmeros positivos y negativos. 4
La significación de los números relativos © con signos (positivos y nega-
tivos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el
resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades
pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de
medir la longitud geográfica de una región determinada; o de expresar el
grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar
de longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente
(Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o
grados bajo cero. Convencionalmente fijamos los nümeros positivos o con
igno + en una dirección, y los múmeros negativos o con signo —, en la direc
ción opuesta.
vobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la
derecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos re-
sultan los puntos À, B, G, ete. Si sobre sa misma semirrecta, a partir del punto
‘ero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendre-
‘mos los puntos a,b, , ete. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indie
ados a la derech del punto cero representan números positivos (A, B, C, etc);
los puntos señalados a la isquierda (a, b, €, etc), representarán números
negativos.
Históricamente, los múmeros negativos surgen para hacer po-
sible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una
operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor
un sustraendo mayor.
noras sobne EL concerto pr nuurne 0931
Los números y los simbolos literales negativos se distinguen por el signo =
se ee ln Mee pops néon do
an
en a as es os sree sa a
raul aa cee ass de ee Lio UN
DA seme cen ge te A coe
create rere lee pete pue
tere A oe Le à
prow ones
Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los
nd ES gee cen ul ciment de mp A
e ee
: oe
so ae
NUMEROS REALES
Teenage pisa ll
Neat Bet E
y
1
acca tac
eine Fractonanton E
Der
LEYES FORMALES DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES.
CON NUMEROS REALES.
Hemos visto sumariamente cómo a través del curso de la historia de las
matemäticas, se ha ido ampliando sucesivamente el campo de Tos números,
hasta llegar al concepto de número real, El camino recorrido ha sido, to
veces, el geométrico, que siempre desemboca en ética pura, formal:
Otras veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar
vo, en lo geométrico, Como ejemplos del primer caso, tenemos
cionales, introducidos como razón de dos segmentos con el
to de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible
a del resultado de la radicación inexacta. Y también, los numeros
ultado de medir magnitudes con.
mensurubles, y que hacen posible la división inexacta, Como ejemplo. del
segundo caso, están los múmeros negativos que aparecen por primera vez como
Faces de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando
| mimuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido
¿tando trabajamos con números naturales. Más tardo, estos números negativos
{tclauvon) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado. de una recta
Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico,
ven a exponer da ley formals (io e, que no toman en cuenta la mat
talera de los números) de la suma y de la multiplicación, ya que I
raciones fundamentales. pueden explicarse como
la expr
Iracionarios que surgen para expresar el
demas ope
versas de éstas, así, la resta,
Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, con-
videramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto
de los múmeros enteros. Definimos el múmero racional como aquel número
gue puede exprese como codente de do eros Y el número racional como
quel múmero real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros
Llamamos número reales al conjunto de los números racionales € irra
cionales.
LOS NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Los números negativos no fueron conocidas por los matemáticos de la
antigücdad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C2), que en su Aritmética,
al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +.
En el siglo VI, los hindtes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos
de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la
Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números.
negativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de
estos mimeros. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y —
para caracterizar los múmeros positivos y negativos. 4
La significación de los números relativos © con signos (positivos y nega-
tivos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el
resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades
pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de
medir la longitud geográfica de una región determinada; o de expresar el
grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar
de longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente
(Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o
grados bajo cero. Convencionalmente fijamos los nümeros positivos o con
igno + en una dirección, y los múmeros negativos o con signo —, en la direc
ción opuesta.
vobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la
derecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos re-
sultan los puntos À, B, G, ete. Si sobre sa misma semirrecta, a partir del punto
‘ero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendre-
‘mos los puntos a,b, , ete. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indie
ados a la derech del punto cero representan números positivos (A, B, C, etc);
los puntos señalados a la isquierda (a, b, €, etc), representarán números
negativos.
Históricamente, los múmeros negativos surgen para hacer po-
sible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una
operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor
un sustraendo mayor.
noras sobne EL concerto pr nuurne 0931
Los números y los simbolos literales negativos se distinguen por el signo =
se ee ln Mee pops néon do
an
en a as es os sree sa a
raul aa cee ass de ee Lio UN
DA seme cen ge te A coe
create rere lee pete pue
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prow ones
Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los
nd ES gee cen ul ciment de mp A
e ee
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so ae
NUMEROS REALES
Teenage pisa ll
Neat Bet E
y
1
acca tac
eine Fractonanton E
Der
LEYES FORMALES DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES.
CON NUMEROS REALES.
Hemos visto sumariamente cómo a través del curso de la historia de las
matemäticas, se ha ido ampliando sucesivamente el campo de Tos números,
hasta llegar al concepto de número real, El camino recorrido ha sido, to
veces, el geométrico, que siempre desemboca en ética pura, formal:
Otras veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar
vo, en lo geométrico, Como ejemplos del primer caso, tenemos
cionales, introducidos como razón de dos segmentos con el
to de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible
a del resultado de la radicación inexacta. Y también, los numeros
ultado de medir magnitudes con.
mensurubles, y que hacen posible la división inexacta, Como ejemplo. del
segundo caso, están los múmeros negativos que aparecen por primera vez como
Faces de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando
| mimuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido
¿tando trabajamos con números naturales. Más tardo, estos números negativos
{tclauvon) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado. de una recta
Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico,
ven a exponer da ley formals (io e, que no toman en cuenta la mat
talera de los números) de la suma y de la multiplicación, ya que I
raciones fundamentales. pueden explicarse como
la expr
Iracionarios que surgen para expresar el
demas ope
versas de éstas, así, la resta,
32 @ Ama
mn, la potenciación, la logaricmación y la radicación. Conviene ir
adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas
Jeyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormente
le platcarán as matemáticas superior. Por otra pare, el conjunto de cas
leyes formales constituirá una deliniciön indirecta de los múmeros reales y de
las operaciones fundamentales, Estas Jeyes que no requieren demostración, pues
son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.
11. Axioma de reciprocidad: si
Nil. Axioma de cramstividad: si a
b, tenemos que b= a.
y b=, tenemos que
SUMA © ADICION
1. Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igu:
es decir, única; asi, si a=D y c=d, tenemos que a 46 = D + 4.
IL. Axioma de commutatividad: a+ b= b 4 a.
HL Axioma de asociatividad: (0+D)+c=a + (b re).
IV, Axioma de identidad, o módulo de la suma: hay un mimero y sólo
un nümero, el cero, de modo que a +9=0+a=«; para cualquier valor de a.
De ahí que el cero reciba el nombre de elemento idémico o módulo de la suma.
MMULTIPLICACION
1. Axioma de uniformidad: el producto de dos mimeros es siempre igual,
es decir, único, así si a= y c=d, tenemos que ae = bd.
11. Axioma de conmutatividad: a
LL, Axioma de asociatividad: (ab) =a (be).
IV. Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que
beac.
Y. Axioma de identidad, o módulo del producto: hay un número y sólo
un número, el uno (1), de modo que a.1=1.a=a, para cualquier valor de a.
Vi, Axioma de existencia del inverso: para todo múmero real «+0
isinto de cero) corresponde un nümero rea), y sólo uno, x, de modo que
7. Este nümero x se llama inverso 0 recíproco de a, y se representa por 2/0.
la
AXIOMAS DE ORDEN
1. Tricotomfa: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una
‘én, y sólo una, entre ambos, que a>; a=b 0 a<b,
11. Monotonia de la suma: si @>b tenemos que a+e> bbe.
111. Monotonia de la multiplicación: si a > y € > 0 tenemos que ac > be.
rela
Noras sonne u concerro or Humiso 033
AXIOMA DE CONTINUIDAD:
1. Si tenemos dos conjuntos de meros reales A y B, de modo que todo
húmero de A es menor que cualquier mimero de B, existirá siempre un número,
real e con el que se verilique =, en que a es un número que está
dentro del conjunto A, y D es un número que está dentro del conjunto B,
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS RELATIVOS
UNA DE NUIAEROS RELATIVOS
En la suma o adición de mümeros relativos podemos considerar. cuntro
casos: sumar dos múmeros positivos; sumar dos números negativos; sumar un
positivo con ou negativo, y sumar el cero con un mimero positivo o negath
1) Suma de dor números positivos
Regla
Para sumar dos números positivos se procede a la suma
aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al —
resultado obtenido se le antepone el signo +. Así tenemos; —/
LUCE D
Podemos representar la suma de dos mimeros positivos del siguiente modo:
2) Suma de dos números negatives
Regla
Para sumar dos números negativos se procede a la suma.
aritmética de los valores absolutos de ambos, y al resultado
obtenido se le antepone el signo — Asi tchemos:-
Podemos representar Ta suma de dos números negativos del siguiente
modo:
mn, la potenciación, la logaricmación y la radicación. Conviene ir
adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas
Jeyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormente
le platcarán as matemáticas superior. Por otra pare, el conjunto de cas
leyes formales constituirá una deliniciön indirecta de los múmeros reales y de
las operaciones fundamentales, Estas Jeyes que no requieren demostración, pues
son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.
11. Axioma de reciprocidad: si
Nil. Axioma de cramstividad: si a
b, tenemos que b= a.
y b=, tenemos que
SUMA © ADICION
1. Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igu:
es decir, única; asi, si a=D y c=d, tenemos que a 46 = D + 4.
IL. Axioma de commutatividad: a+ b= b 4 a.
HL Axioma de asociatividad: (0+D)+c=a + (b re).
IV, Axioma de identidad, o módulo de la suma: hay un mimero y sólo
un nümero, el cero, de modo que a +9=0+a=«; para cualquier valor de a.
De ahí que el cero reciba el nombre de elemento idémico o módulo de la suma.
MMULTIPLICACION
1. Axioma de uniformidad: el producto de dos mimeros es siempre igual,
es decir, único, así si a= y c=d, tenemos que ae = bd.
11. Axioma de conmutatividad: a
LL, Axioma de asociatividad: (ab) =a (be).
IV. Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que
beac.
Y. Axioma de identidad, o módulo del producto: hay un número y sólo
un número, el uno (1), de modo que a.1=1.a=a, para cualquier valor de a.
Vi, Axioma de existencia del inverso: para todo múmero real «+0
isinto de cero) corresponde un nümero rea), y sólo uno, x, de modo que
7. Este nümero x se llama inverso 0 recíproco de a, y se representa por 2/0.
la
AXIOMAS DE ORDEN
1. Tricotomfa: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una
‘én, y sólo una, entre ambos, que a>; a=b 0 a<b,
11. Monotonia de la suma: si @>b tenemos que a+e> bbe.
111. Monotonia de la multiplicación: si a > y € > 0 tenemos que ac > be.
rela
Noras sonne u concerro or Humiso 033
AXIOMA DE CONTINUIDAD:
1. Si tenemos dos conjuntos de meros reales A y B, de modo que todo
húmero de A es menor que cualquier mimero de B, existirá siempre un número,
real e con el que se verilique =, en que a es un número que está
dentro del conjunto A, y D es un número que está dentro del conjunto B,
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS RELATIVOS
UNA DE NUIAEROS RELATIVOS
En la suma o adición de mümeros relativos podemos considerar. cuntro
casos: sumar dos múmeros positivos; sumar dos números negativos; sumar un
positivo con ou negativo, y sumar el cero con un mimero positivo o negath
1) Suma de dor números positivos
Regla
Para sumar dos números positivos se procede a la suma
aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al —
resultado obtenido se le antepone el signo +. Así tenemos; —/
LUCE D
Podemos representar la suma de dos mimeros positivos del siguiente modo:
2) Suma de dos números negatives
Regla
Para sumar dos números negativos se procede a la suma.
aritmética de los valores absolutos de ambos, y al resultado
obtenido se le antepone el signo — Asi tchemos:-
Podemos representar Ta suma de dos números negativos del siguiente
modo:
© mama
vo y ono negativo
8) Sums de wn número.
Regla abe
lara sumar un nümiero positivo y un número negative ff (4.6) 4+ (—2)=
un eg ner in NE
tos de ambos números, y al resultado obtenido se le
"pone el signo del riimero mayor. Cuando los dos núme.
Fenen igual valor absoluto y signos distintos la suma es
E A EEES |
Podemos representar la suma de un número positivo y otro negativo de
siguientes modos: ®
epee fica de la suma de un número positive y un número
ativol en que el mitnero positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo:
ci > la suma de un número positivo y un mimero
o negate ane mayor valor absolut que e positivo
¿mero positive y un número
Representación grálica de la suma de un número positive }
egauvor en que el valor absoluto de ambos números es igus
—
Doras sount a CONETPTO DE NUMERO © 35
Danilo sim palos aio
Regla
La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará
el mismo número positivo o negativo. à
Aa semer ©, (0940744
En general: > a+0=0+a=a
En que a puede ser positivo, negativo o nulo,
USTIACCION DE NUMEROS RELATIVOS
Llamamos opuesto de un mimero al mismo número con (CE RCE)
signo contrario, Ast, decimos que —m es opuesto de +m.
Ya vimos en un caso de la suma que:
La sustracción es una operación inversa de la suma que
consiste en hallar un número x (llamado diferencia), tal que,
sumudo con un número dado m, dé un resultado igual a otro
nümero 1, de modo que se verifique:
Llamando m’ al sto de m, podemos determinar
la alferenea e amande en amber ments de le TEEN
SRE :
igualdad (D, el número ms en efectos
Si observamos el primer miembro de esta igualdad nm)
veses que plan Pl dome de acia CR _
mbm’ =0, y como x+0=x, tendremos:
que es lo que queríamos demostrar, es decir, que para hallar la diferencia
entre n y m basta sumarle a n el opuesto de m (m). Y como hemos visto que
‚para hallar el opuesto de un mimero basta cambiarle el signo, podemos enun-
‘car la siguiente
Regla
Para hallar la diferencia entre dos si
meros relativos se suma al minuendo el sus.
(18) (44) = (+8) + (9) = 44
9-4) = (+ 8) + (14)
ES-49=-9+(-0=
CI-9=-9+(49=-4
IPRLSRNTACION GRAFICA DE LA SUSTRACCION DE NUMEROS RELATIVES
Por medio de la interpretación geométrica de la sustracción de números
relativos, podemos expresar la distancia, en unidades, que hay entre el punto
ue representa al minuendo y el punto que representa al sustraendo, así como
+l sentido (negativo © positivo) de esa distancia,
vo y ono negativo
8) Sums de wn número.
Regla abe
lara sumar un nümiero positivo y un número negative ff (4.6) 4+ (—2)=
un eg ner in NE
tos de ambos números, y al resultado obtenido se le
"pone el signo del riimero mayor. Cuando los dos núme.
Fenen igual valor absoluto y signos distintos la suma es
E A EEES |
Podemos representar la suma de un número positivo y otro negativo de
siguientes modos: ®
epee fica de la suma de un número positive y un número
ativol en que el mitnero positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo:
ci > la suma de un número positivo y un mimero
o negate ane mayor valor absolut que e positivo
¿mero positive y un número
Representación grálica de la suma de un número positive }
egauvor en que el valor absoluto de ambos números es igus
—
Doras sount a CONETPTO DE NUMERO © 35
Danilo sim palos aio
Regla
La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará
el mismo número positivo o negativo. à
Aa semer ©, (0940744
En general: > a+0=0+a=a
En que a puede ser positivo, negativo o nulo,
USTIACCION DE NUMEROS RELATIVOS
Llamamos opuesto de un mimero al mismo número con (CE RCE)
signo contrario, Ast, decimos que —m es opuesto de +m.
Ya vimos en un caso de la suma que:
La sustracción es una operación inversa de la suma que
consiste en hallar un número x (llamado diferencia), tal que,
sumudo con un número dado m, dé un resultado igual a otro
nümero 1, de modo que se verifique:
Llamando m’ al sto de m, podemos determinar
la alferenea e amande en amber ments de le TEEN
SRE :
igualdad (D, el número ms en efectos
Si observamos el primer miembro de esta igualdad nm)
veses que plan Pl dome de acia CR _
mbm’ =0, y como x+0=x, tendremos:
que es lo que queríamos demostrar, es decir, que para hallar la diferencia
entre n y m basta sumarle a n el opuesto de m (m). Y como hemos visto que
‚para hallar el opuesto de un mimero basta cambiarle el signo, podemos enun-
‘car la siguiente
Regla
Para hallar la diferencia entre dos si
meros relativos se suma al minuendo el sus.
(18) (44) = (+8) + (9) = 44
9-4) = (+ 8) + (14)
ES-49=-9+(-0=
CI-9=-9+(49=-4
IPRLSRNTACION GRAFICA DE LA SUSTRACCION DE NUMEROS RELATIVES
Por medio de la interpretación geométrica de la sustracción de números
relativos, podemos expresar la distancia, en unidades, que hay entre el punto
ue representa al minuendo y el punto que representa al sustraendo, así como
+l sentido (negativo © positivo) de esa distancia,
© aan | Horas sonne ri concerro ot muutio © 37
Para expresar la diferencia (4-4)—(~8) = +12, tendremos: según que sus lados tengan valores de un mismo sentido o de sentidos dis
vinos respectivamente.
| ie
7 ME Co a +8 +2 +6
3 =
Para expresar la diferencia (= 8) — (#4) = — 12, tendremos:
3 +3
pes — >
e “2 : |
ea a ft fe fe
roms
AULIPLICACION DE NUMEROS AELATIVOS
Regla POTENCIA DE MUMEROS RELATIVOS.
El producto de dos números relativos se alla multiplicando los valores AS RAO E
ohio de ambos. producto hallado Mevará signo positivo CH), sí Jos ere ee eee as ee en
iguo hos factores son iguales; llevará signo negativo (>), si los fac aun names eue calque 1.n>1. ©. in nimeo
des dienen signos distimos. Si uno de los factores es O el producto será 0. LU: tendremos la notación ar ade te le a Unease it
Cuando operamos con símbolos ners (+ (+926 {0 (HA endsima potencia, e indica «ue a debe tomarse como factor n
4 produce Sempre indicado, bien en ia (q ig eto (004
amma ab: bien en la foma abi y mie (yu = 0 00=0 1 la notación at, amamos potencia a producto x, He al
almenas al = & que tomamos come lator e, yfexponeate £ m que nos indica
‘Asie 7 ADS Wen Que lleno wear: cameo ar a e, À e opta de hallar
EI siguiente cuadro es un medio de re ok por + di to + por da sl producto x, la llamamos potenciación o elevación a potencia.
cordar Hciimente la ley de los signos en la, — por — dak — por + da — Ejemplo: 12
multiplicación de los múmeros relativos, 2. En este ejemplo, 4 es la base; 5 ¢s el exponente, y 1024 es la potencia.
Regla
La potencia de un número positivo siempre es posit
hencla de un número negativo será positiva si el exponente es ent
Y par: negativa si el exponente entero es impar. Asi: —»
EPNESENTACION GRAFICA DEL PHODUCTO DE DO NUMEROS RELATIVOS
El producto de dos números relativos puede expresarse geométricamente
como el ren de un rectingulo cuyo Jango y cuyo ancho vienen dados por
silos números. A esta Area podemos atribuirle un valor positivo o negativo,
Para expresar la diferencia (4-4)—(~8) = +12, tendremos: según que sus lados tengan valores de un mismo sentido o de sentidos dis
vinos respectivamente.
| ie
7 ME Co a +8 +2 +6
3 =
Para expresar la diferencia (= 8) — (#4) = — 12, tendremos:
3 +3
pes — >
e “2 : |
ea a ft fe fe
roms
AULIPLICACION DE NUMEROS AELATIVOS
Regla POTENCIA DE MUMEROS RELATIVOS.
El producto de dos números relativos se alla multiplicando los valores AS RAO E
ohio de ambos. producto hallado Mevará signo positivo CH), sí Jos ere ee eee as ee en
iguo hos factores son iguales; llevará signo negativo (>), si los fac aun names eue calque 1.n>1. ©. in nimeo
des dienen signos distimos. Si uno de los factores es O el producto será 0. LU: tendremos la notación ar ade te le a Unease it
Cuando operamos con símbolos ners (+ (+926 {0 (HA endsima potencia, e indica «ue a debe tomarse como factor n
4 produce Sempre indicado, bien en ia (q ig eto (004
amma ab: bien en la foma abi y mie (yu = 0 00=0 1 la notación at, amamos potencia a producto x, He al
almenas al = & que tomamos come lator e, yfexponeate £ m que nos indica
‘Asie 7 ADS Wen Que lleno wear: cameo ar a e, À e opta de hallar
EI siguiente cuadro es un medio de re ok por + di to + por da sl producto x, la llamamos potenciación o elevación a potencia.
cordar Hciimente la ley de los signos en la, — por — dak — por + da — Ejemplo: 12
multiplicación de los múmeros relativos, 2. En este ejemplo, 4 es la base; 5 ¢s el exponente, y 1024 es la potencia.
Regla
La potencia de un número positivo siempre es posit
hencla de un número negativo será positiva si el exponente es ent
Y par: negativa si el exponente entero es impar. Asi: —»
EPNESENTACION GRAFICA DEL PHODUCTO DE DO NUMEROS RELATIVOS
El producto de dos números relativos puede expresarse geométricamente
como el ren de un rectingulo cuyo Jango y cuyo ancho vienen dados por
silos números. A esta Area podemos atribuirle un valor positivo o negativo,
AS
DUETO. DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE
Regla
Vara multiplicar dos potencias de igual base,
eleva dicha base a la potencia que resulte de la
ma de los exponentes respectivos. Ejemplo:
ronca BE UNA orne
Regla ‘
Pata hallar fa potencia de una porenca se mul
Jican los exponentes y se mantiene la base prime (
ape e 7
Hay que poner especial cuidado en no confun-
> 1a patch de una "potencia, con la elevación de
aero wits potenti cuyo exponent, a la vez
<‘afecuido por otto exponente. As no es To mismo
D qu 16) elos A
VISION DE NUMEROS RELATIVOS.
Ya vimos, al tratar de las leye
formales de la multiplicación, que de
ucrdo con el axioma VI (existencia del inverso), a todo número real a0,
responde un número real, y sólo uno, x, de modo que ax =1 Este mi
ero x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/a.
El inverso de +4 es +}
El inverso o teciproco de un mümero rela- EL inverso de —
vo cualquiera distinto de cero tiene su mismo.
‚no.
La división es un operación inversa de la multiplicación que consiste
+ hallar uno de Tos factores, conocidos el otro factor y el producto. Es dec
do el dividendo d y el divisor d' hallar el cociente c, de modo que se ve.
que d'e= d.
MR dames que esta operación sólo cs posible si d' es distimo de cer
Aplicando el axioma de existencia del inverso, tenemos. que:
aya! word à
Sabemos ques YA" (wey = (el a)
Eliminando queda: ¢=1/d’ d
De lo cual deducimos la siguiente
Giese
ir un número cualquiera d por otro número disino de cere
sultiplicamos d por el reciproco d* (1/41. El cociente que resulte será posi
"Jos dos nümeros son del mismo siguo: y negativo, si son de signos cont
Con el siguiente cuadro podemos recordar Fácilmente la
cy de los signos de la división con números relativos.
= entre + da
Moras sonne 1 CONCEPTO De Humo 0139)
Ahora que estudiamos la división, podemos enunciar tres casos de la
elevación a potencia de un número cualquiera.
1), Sian nimov lkgpiern a 00,00 le
eleva a la potencia Oe igual a +1. As À
2) Si un número cualquiera a0, se eleva a un exponente
negativo cualquiera —m es igual al reciproco de la potencia am, de
exponente: positivo. Ast:
3} La división de dos potencias de igual base es igual
A la base elevada a la potencia que dé la diferencia de ambos
exponentes, Ast
un
WMIDAD DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS RELATIVOS.
Hemos visto en las operaciones estudiadas, a saber: suma, resta, mul
in, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma de
yrmidad. Quiere esto signilicar que cuando sometemos dos números rela:
cualquiera de Jas operaciones mencionadas, el resultado es uno, y sólo
1o, es decir, único. Sin embargo, cuando extraemos la raiz cuadrada de un
¡mero positivo, tenemos un resultado doble, Pues como veremos, al estudiar.
extracción de las raíces, un número positivo cualquiera siempre
ces dle grado par,una positiva y otra nega
Asi Vra==a porque:
«cación
del mismo modo: VFB= #8 (+8)? = (+8) (+8) = +04
ESE = + 64
POSIDILIDAD DE AMPLIAR EL CAMPO NUMERICO
Los némeros reales no cierran la posibilidad de ampliación del campo
numérico. ‘Tal posibilidad se mantiene abierta para la introducción de nuevos
entes, siempre que tales entes cumplan las leyes formales, Dentro de los
dle este texto, el estudiante todavía se enfrentará con una mueva ampliación
del campo numérico, Se trata del número complejo, que es un par de números
dados en un orden determinado y que esti constituido por un múmero real
y un número imaginario, Con estos números podremos representar un punto
‘ualgniera en el plano. En el capítulo XXXI se presentará una discusión
amplía: sobre estos. números,
DUETO. DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE
Regla
Vara multiplicar dos potencias de igual base,
eleva dicha base a la potencia que resulte de la
ma de los exponentes respectivos. Ejemplo:
ronca BE UNA orne
Regla ‘
Pata hallar fa potencia de una porenca se mul
Jican los exponentes y se mantiene la base prime (
ape e 7
Hay que poner especial cuidado en no confun-
> 1a patch de una "potencia, con la elevación de
aero wits potenti cuyo exponent, a la vez
<‘afecuido por otto exponente. As no es To mismo
D qu 16) elos A
VISION DE NUMEROS RELATIVOS.
Ya vimos, al tratar de las leye
formales de la multiplicación, que de
ucrdo con el axioma VI (existencia del inverso), a todo número real a0,
responde un número real, y sólo uno, x, de modo que ax =1 Este mi
ero x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/a.
El inverso de +4 es +}
El inverso o teciproco de un mümero rela- EL inverso de —
vo cualquiera distinto de cero tiene su mismo.
‚no.
La división es un operación inversa de la multiplicación que consiste
+ hallar uno de Tos factores, conocidos el otro factor y el producto. Es dec
do el dividendo d y el divisor d' hallar el cociente c, de modo que se ve.
que d'e= d.
MR dames que esta operación sólo cs posible si d' es distimo de cer
Aplicando el axioma de existencia del inverso, tenemos. que:
aya! word à
Sabemos ques YA" (wey = (el a)
Eliminando queda: ¢=1/d’ d
De lo cual deducimos la siguiente
Giese
ir un número cualquiera d por otro número disino de cere
sultiplicamos d por el reciproco d* (1/41. El cociente que resulte será posi
"Jos dos nümeros son del mismo siguo: y negativo, si son de signos cont
Con el siguiente cuadro podemos recordar Fácilmente la
cy de los signos de la división con números relativos.
= entre + da
Moras sonne 1 CONCEPTO De Humo 0139)
Ahora que estudiamos la división, podemos enunciar tres casos de la
elevación a potencia de un número cualquiera.
1), Sian nimov lkgpiern a 00,00 le
eleva a la potencia Oe igual a +1. As À
2) Si un número cualquiera a0, se eleva a un exponente
negativo cualquiera —m es igual al reciproco de la potencia am, de
exponente: positivo. Ast:
3} La división de dos potencias de igual base es igual
A la base elevada a la potencia que dé la diferencia de ambos
exponentes, Ast
un
WMIDAD DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS RELATIVOS.
Hemos visto en las operaciones estudiadas, a saber: suma, resta, mul
in, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma de
yrmidad. Quiere esto signilicar que cuando sometemos dos números rela:
cualquiera de Jas operaciones mencionadas, el resultado es uno, y sólo
1o, es decir, único. Sin embargo, cuando extraemos la raiz cuadrada de un
¡mero positivo, tenemos un resultado doble, Pues como veremos, al estudiar.
extracción de las raíces, un número positivo cualquiera siempre
ces dle grado par,una positiva y otra nega
Asi Vra==a porque:
«cación
del mismo modo: VFB= #8 (+8)? = (+8) (+8) = +04
ESE = + 64
POSIDILIDAD DE AMPLIAR EL CAMPO NUMERICO
Los némeros reales no cierran la posibilidad de ampliación del campo
numérico. ‘Tal posibilidad se mantiene abierta para la introducción de nuevos
entes, siempre que tales entes cumplan las leyes formales, Dentro de los
dle este texto, el estudiante todavía se enfrentará con una mueva ampliación
del campo numérico, Se trata del número complejo, que es un par de números
dados en un orden determinado y que esti constituido por un múmero real
y un número imaginario, Con estos números podremos representar un punto
‘ualgniera en el plano. En el capítulo XXXI se presentará una discusión
amplía: sobre estos. números,
rac Re
33) LA SUMA O ADICION es una operación que tiene por objeto reunir
dos o más expresiones algebraicas (umandos) en una sola expresión
algebraica (suma).
Asi, la suma de a y b cs a+D, porque esta última expresión es la reu-
nión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b.
La suma de a y —b es ab, porque esta última expresión es la
reunión de las dos expresiones dadas: a y — b.
CARACTER GENERAL DE LA SUMA ALGEBRAICA
En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Algebra
la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o dis.
minucién, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que
equivale a una resta en Aritmética,
Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una
cantidad positiva de igual valor absoluto.
Así, la suma de m y —n es mn, que equivale a restar de m cl valor
absoluto de —n que es inh
La suma de —2x y — dy es —2x—3y, que equivale a restar de —2 el
valor absoluto de —3y que es pl.
40
sun 94
(5) necia GENERAL PARA SUMAR
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a con:
tinuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos se-
mejantes si los hay.
L SUMA DE MONOMIOS
1) Sumar Sa, 6b y Be.
Los escribimos unos a continuación de otros con sus TEAHBBER,
propios signos, y como 5a=+5a, 66=+6b y Sc=+8c la suma sera”
EI orden de los sumandos no altera la suma. Asi, Ga 4 6b + 8c cs lo
mismo que 5a+8¢++6b 0 que Gb + Be 5a.
Esta es la Ley Conmutativa de la suma.
2) Sumar da, ab, ab, Tab? y 6b.
Tendremos:
Bach + dab 4 ab + Tab? + 60%.
Reduciendo los términos
semejantes, queda: eee A
8) Sumar 3e y 20.
Cuando algún sumando es negativo, suck
dentro de un paréntesis para indicar la sum
La suma seri: opera
80, — 15a, 9b, —4c y 8.
Ab Habe OU
inchuitse
+) Suma da,
Tendremos
Tab (—8D)+(—150)+90+(—4c)+8=70 Bb —150+9b4c+8=
0) Sumar fat, Jab, —20%, —Sab, dar, ¿0%
2 0b, 2.
25,
26
27
28.
2
30.
a
a
33) LA SUMA O ADICION es una operación que tiene por objeto reunir
dos o más expresiones algebraicas (umandos) en una sola expresión
algebraica (suma).
Asi, la suma de a y b cs a+D, porque esta última expresión es la reu-
nión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b.
La suma de a y —b es ab, porque esta última expresión es la
reunión de las dos expresiones dadas: a y — b.
CARACTER GENERAL DE LA SUMA ALGEBRAICA
En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Algebra
la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o dis.
minucién, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que
equivale a una resta en Aritmética,
Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una
cantidad positiva de igual valor absoluto.
Así, la suma de m y —n es mn, que equivale a restar de m cl valor
absoluto de —n que es inh
La suma de —2x y — dy es —2x—3y, que equivale a restar de —2 el
valor absoluto de —3y que es pl.
40
sun 94
(5) necia GENERAL PARA SUMAR
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a con:
tinuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos se-
mejantes si los hay.
L SUMA DE MONOMIOS
1) Sumar Sa, 6b y Be.
Los escribimos unos a continuación de otros con sus TEAHBBER,
propios signos, y como 5a=+5a, 66=+6b y Sc=+8c la suma sera”
EI orden de los sumandos no altera la suma. Asi, Ga 4 6b + 8c cs lo
mismo que 5a+8¢++6b 0 que Gb + Be 5a.
Esta es la Ley Conmutativa de la suma.
2) Sumar da, ab, ab, Tab? y 6b.
Tendremos:
Bach + dab 4 ab + Tab? + 60%.
Reduciendo los términos
semejantes, queda: eee A
8) Sumar 3e y 20.
Cuando algún sumando es negativo, suck
dentro de un paréntesis para indicar la sum
La suma seri: opera
80, — 15a, 9b, —4c y 8.
Ab Habe OU
inchuitse
+) Suma da,
Tendremos
Tab (—8D)+(—150)+90+(—4c)+8=70 Bb —150+9b4c+8=
0) Sumar fat, Jab, —20%, —Sab, dar, ¿0%
2 0b, 2.
25,
26
27
28.
2
30.
a
a
42 @ mem
Im, —m, — ma. 42. m’, Amt ee ono
a 43. x, Oy, de, —
*, Gab, 36%, —a. de 1,11, dab, dat, 60%.
mn, —6m, Ximo, 4m. 45. ap, oy Tay, —8, x
By, 5, Ta, dy. 46. Sa, 3b, 8 —b, qa, 6.
, Day, Bo Ty, 9%, p EE EN de
q te Sgt a
ab, Saba, ~a*D, 11003, 1
À Sn, Ama, =, Tm. 48. Gar, Dreh, Bares ant Gate har.
sb, La, 2b, -6.
3d, Bo, 4b, a; Be. 50. Jato,
IL. SUMA DE POLINOMIOS
1) Sumar a-b, 2a+3b=c y —4a+5b.
La suma suele indicarse incluyendo (a=
los sumandos dentro de paréntesis; así: /
Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a comti-
nuaciôn de otros con sus propios signos, y tendremos
a= b+ 20 +3b—c— dat 50 = at Tb—e R.
En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los
‘otras de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la
reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos.
av
Así, la suma anterior _ 20-+3b—¢
se verifica de esta manera: 7 —44+5b
are R
2) Sumar dm —2n +4, Gn+4p=5, Bn-6 y m—n—4p.
Tendremos: Sm—2n +4
bn+4p—5
in
mo ns
3m on R
6) PRUEBA DE LA SUMA POR EL VALOR NUMERICO
Se halla el valor numérico de los sumandos y de la suma para los mis
mos valores, que fijamos nosotros, de las letras. Si la operación está co-
rrecta, la suma algebraica de los valores numéricos de los sumandos debe
ser igual al valor numérico de la suma.
suma @ AB
Ja+2D—e; Bet nde,
Ta-4b+50 —Ta db
mp =
18
14
15.
16.
17
18
10
20.
a
pr
Sumar Ga—3b+Se—d, —24+c—4d y — 304 5b— c y probar ol resuliado:
d=4.
por el valor numérico para a = 1, b=2,
Tendremos: Ba—äb5e- d= 0 64+15— 4
—2+ dm — 44 3-16
Sat sb e 3410 3
So FRE 5 +5-2
La sumo de les valores numéricos de los sumandos 13—17 +4
lor numérico de la sumo que tombién es cero,
EJERCICIO 16
Hallar Ja suma de:
ax ay
Seip rar 9
mn; Barón; 25H Bam.
20400; 60—4e; abe.
Gina; dd
7
6
8
10.
u
12,
Ax +8.
Br
Bab; Ba-bte; abi
Txt 2y—4; 990045; —p 826; —648x y.
mon pi m42n—5; Sp—Gm+4; 24 5m=8.
Sat, Ha"; Haat 160"
Em Sims 22128,
Kt,
= 3a—Ab-Ae—d.
-+2ed—Bde; Abe—2abrrdde; ~Bbe—Ged—ah.
2 di dea; amd.
3) Sumar 8x2 4x7
Y, Sey HOR? —ay y GP Mer
Si Jos polinomios que se suman pueden ordenarse con relación a una
a, deben ordenarse todos con relación a una misma letra antes de
Bey of
este caso vamos a ordenar en orden Gx xy aye
con relación a x y tendremos: 2 D Bey
Ast,
Im, —m, — ma. 42. m’, Amt ee ono
a 43. x, Oy, de, —
*, Gab, 36%, —a. de 1,11, dab, dat, 60%.
mn, —6m, Ximo, 4m. 45. ap, oy Tay, —8, x
By, 5, Ta, dy. 46. Sa, 3b, 8 —b, qa, 6.
, Day, Bo Ty, 9%, p EE EN de
q te Sgt a
ab, Saba, ~a*D, 11003, 1
À Sn, Ama, =, Tm. 48. Gar, Dreh, Bares ant Gate har.
sb, La, 2b, -6.
3d, Bo, 4b, a; Be. 50. Jato,
IL. SUMA DE POLINOMIOS
1) Sumar a-b, 2a+3b=c y —4a+5b.
La suma suele indicarse incluyendo (a=
los sumandos dentro de paréntesis; así: /
Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a comti-
nuaciôn de otros con sus propios signos, y tendremos
a= b+ 20 +3b—c— dat 50 = at Tb—e R.
En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los
‘otras de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la
reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos.
av
Así, la suma anterior _ 20-+3b—¢
se verifica de esta manera: 7 —44+5b
are R
2) Sumar dm —2n +4, Gn+4p=5, Bn-6 y m—n—4p.
Tendremos: Sm—2n +4
bn+4p—5
in
mo ns
3m on R
6) PRUEBA DE LA SUMA POR EL VALOR NUMERICO
Se halla el valor numérico de los sumandos y de la suma para los mis
mos valores, que fijamos nosotros, de las letras. Si la operación está co-
rrecta, la suma algebraica de los valores numéricos de los sumandos debe
ser igual al valor numérico de la suma.
suma @ AB
Ja+2D—e; Bet nde,
Ta-4b+50 —Ta db
mp =
18
14
15.
16.
17
18
10
20.
a
pr
Sumar Ga—3b+Se—d, —24+c—4d y — 304 5b— c y probar ol resuliado:
d=4.
por el valor numérico para a = 1, b=2,
Tendremos: Ba—äb5e- d= 0 64+15— 4
—2+ dm — 44 3-16
Sat sb e 3410 3
So FRE 5 +5-2
La sumo de les valores numéricos de los sumandos 13—17 +4
lor numérico de la sumo que tombién es cero,
EJERCICIO 16
Hallar Ja suma de:
ax ay
Seip rar 9
mn; Barón; 25H Bam.
20400; 60—4e; abe.
Gina; dd
7
6
8
10.
u
12,
Ax +8.
Br
Bab; Ba-bte; abi
Txt 2y—4; 990045; —p 826; —648x y.
mon pi m42n—5; Sp—Gm+4; 24 5m=8.
Sat, Ha"; Haat 160"
Em Sims 22128,
Kt,
= 3a—Ab-Ae—d.
-+2ed—Bde; Abe—2abrrdde; ~Bbe—Ged—ah.
2 di dea; amd.
3) Sumar 8x2 4x7
Y, Sey HOR? —ay y GP Mer
Si Jos polinomios que se suman pueden ordenarse con relación a una
a, deben ordenarse todos con relación a una misma letra antes de
Bey of
este caso vamos a ordenar en orden Gx xy aye
con relación a x y tendremos: 2 D Bey
Ast,
440 mann
4) Sumar
b= Dibaba, 20% tab? 204 y Bab — ab? —
av + abr bt
Ordenando con relación a la a = 2202 + Hab +264
se tiene: 4 Sao — Gab? dalt bt 6
Gate ab =
m- EJERCICIO 17
Hallar la suma de:
as; bx, 8 BR A ad,
bb.
EU 2
ERGO nm Ten On.
DONS
DA. Sam Bam me
26. aah, 29430
26. aaa; atado; Batt! 6.
27. abs ~aibtatbt—ab%; Sat ida a, aah 43010280,
AA .
Wu. A BEA mater tbat ar
(63) suma DE POLINDMIOS CON COBFICIENTES FRACCIONARIOS
D Sumar Lea lay +9, Lay + both, byt tay?
“Tendremos:
pe dry + tyes
y pF
ints y
e A
th DT rai tad dde,
© EJERCICIO 18 A MN
Hallar la suma de:
1. deta days day
Bat hab:
ee
= 200; Jo Jo
Se io
M EJERCICIO 19
Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado
ei
‘Bm—5n4-6;, —Goe-+8—20ns
ten abs “ab Sua ten,
abt:
am.
02
4) Sumar
b= Dibaba, 20% tab? 204 y Bab — ab? —
av + abr bt
Ordenando con relación a la a = 2202 + Hab +264
se tiene: 4 Sao — Gab? dalt bt 6
Gate ab =
m- EJERCICIO 17
Hallar la suma de:
as; bx, 8 BR A ad,
bb.
EU 2
ERGO nm Ten On.
DONS
DA. Sam Bam me
26. aah, 29430
26. aaa; atado; Batt! 6.
27. abs ~aibtatbt—ab%; Sat ida a, aah 43010280,
AA .
Wu. A BEA mater tbat ar
(63) suma DE POLINDMIOS CON COBFICIENTES FRACCIONARIOS
D Sumar Lea lay +9, Lay + both, byt tay?
“Tendremos:
pe dry + tyes
y pF
ints y
e A
th DT rai tad dde,
© EJERCICIO 18 A MN
Hallar la suma de:
1. deta days day
Bat hab:
ee
= 200; Jo Jo
Se io
M EJERCICIO 19
Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado
ei
‘Bm—5n4-6;, —Goe-+8—20ns
ten abs “ab Sua ten,
abt:
am.
02
‘emp (130) Han cp
ecuael de segundo A
Be ta de deel te
Suet sane ose
mu |]
RESTA a
38) LA RESTA O SUSTRACCION es una operación que tiene por obje-
to, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sus-
traendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). 4
Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la dife-
ja tiene que ser el minuendo. i
FES de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será
a—b. En efecto: a= b será la diferencia si sumada con el sustraendo b
reproduce el minuendo a, y en efecto: ab
(65) REGLA GENERAL PARA RESTAR En
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continua
sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes,
si los hay.
1. RESTA DE MONOMIOS
5 De 4 restar 7. ï
Escribimos el minuendo — à con su propio signe yyy)
y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado fet
y la resta sei EL Ñ
electo: — 11 es la diferencia porque sumada
con el mutracndo 7 reproduce el minuendo —4:
46
Sets 42
2), Restar 4b de 2a,
Escribimos el minuendo 2a con su signo y a continua- 2a ab,
ción el sustraendo Ab con el signo cambiado y la resta será: 7
En efecto: 2a—4b es la diferencia, porque su:
mada con el sustraendo 4b reproduce el minuendo: —
9) Restar 4a%b de —Setb.
Escribo el minuendo —5a%b y para
à continuneiön el sustraendo 468 A
el signo cambiado y tengo: 2
bcs la diferencia, porque sumada con VAN
el sustraendo 4% reproduce el minnendo:_
4) De 7 restar —4.
Cuando el sustraendo es negativo suele incluirse den-
tro de un paréntesis para indicar la operación, de este mo à
do distinguimos el signo — que indica la resta del signo —
la el carácter negativo del sustraendo. Asi:
El signo — delante del paréntesis está para indicar la resta y este sigs
o tiene más objeto que decirnos, de ¡cuerdo con la regla general para
que debemos cambiar el signo al sustraendo —4. Por cso'a conti«
iuación del minuendo 7 esc
1) De Fxiyt restar — Bet
Fendremos: Tat —(- 8x")
0) De —¿ab restar ~ ab.
Tendremos: Fab-(-Yab)=—jab+jab=jab. Ra
que seña
yt + Baty?
pt R.
(4) canacten GENERAL DE LA RESTA ALGEBRAIC
En Aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la
algebraica tiene un carácter más general, pues puede significar dis.
¡ución o aumento,
Hay restas algebraicas, como las de los ejemplos 4 y 5 anteriores, en
¿ue la diferencia es mayor que el minuendo.
Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar una cantidad negativa equi-
vale a sumar la misma cantidad positiva.
M EJERCICIO 20
De:
Lf restar CET)
D 2a retar 3.
7. hae:
6. 18 Ba FRE:
6b. 14 Mm 36m
ya 5 En aly,
ecuael de segundo A
Be ta de deel te
Suet sane ose
mu |]
RESTA a
38) LA RESTA O SUSTRACCION es una operación que tiene por obje-
to, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sus-
traendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). 4
Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la dife-
ja tiene que ser el minuendo. i
FES de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será
a—b. En efecto: a= b será la diferencia si sumada con el sustraendo b
reproduce el minuendo a, y en efecto: ab
(65) REGLA GENERAL PARA RESTAR En
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continua
sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes,
si los hay.
1. RESTA DE MONOMIOS
5 De 4 restar 7. ï
Escribimos el minuendo — à con su propio signe yyy)
y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado fet
y la resta sei EL Ñ
electo: — 11 es la diferencia porque sumada
con el mutracndo 7 reproduce el minuendo —4:
46
Sets 42
2), Restar 4b de 2a,
Escribimos el minuendo 2a con su signo y a continua- 2a ab,
ción el sustraendo Ab con el signo cambiado y la resta será: 7
En efecto: 2a—4b es la diferencia, porque su:
mada con el sustraendo 4b reproduce el minuendo: —
9) Restar 4a%b de —Setb.
Escribo el minuendo —5a%b y para
à continuneiön el sustraendo 468 A
el signo cambiado y tengo: 2
bcs la diferencia, porque sumada con VAN
el sustraendo 4% reproduce el minnendo:_
4) De 7 restar —4.
Cuando el sustraendo es negativo suele incluirse den-
tro de un paréntesis para indicar la operación, de este mo à
do distinguimos el signo — que indica la resta del signo —
la el carácter negativo del sustraendo. Asi:
El signo — delante del paréntesis está para indicar la resta y este sigs
o tiene más objeto que decirnos, de ¡cuerdo con la regla general para
que debemos cambiar el signo al sustraendo —4. Por cso'a conti«
iuación del minuendo 7 esc
1) De Fxiyt restar — Bet
Fendremos: Tat —(- 8x")
0) De —¿ab restar ~ ab.
Tendremos: Fab-(-Yab)=—jab+jab=jab. Ra
que seña
yt + Baty?
pt R.
(4) canacten GENERAL DE LA RESTA ALGEBRAIC
En Aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la
algebraica tiene un carácter más general, pues puede significar dis.
¡ución o aumento,
Hay restas algebraicas, como las de los ejemplos 4 y 5 anteriores, en
¿ue la diferencia es mayor que el minuendo.
Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar una cantidad negativa equi-
vale a sumar la misma cantidad positiva.
M EJERCICIO 20
De:
Lf restar CET)
D 2a retar 3.
7. hae:
6. 18 Ba FRE:
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48 © atom
an? restar 22. Gar rer
a 2er „
Ty 46 gap
arb, Bhat
25. 250
E Lo mn
Be a a
Restar
ee ee 55. Gaia de
‘ te = >
] SUSE en om
] A 4 me ©
j Pe a ed 9. ds
; tg, 48 ob
bE ae a
Se Al See ee Gael * Es
E
m Bi af
7 a M let Sa
BU ab Ho OL 2m O0 dm à
I, RESTA DE POLINOMIOS
Guando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del n
cada uno de los términos del sustraendo, asi que a continuación del
minuendo escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus
cérminos.
ET
(D Do Ar Sy +2 rotar 2x4 Se 6.
La sintoccin se indica inchyanda el mahaim-
do en un poróneis precedido del signo — as
Ahora, dejamos el minvendo con sus propios sig-
tot y 0 continvación escribimos el suracnde
cambléndol ol signo a fodos sus terns y lon.
amos ses
Reduciendo los término semejats, Jendremos: ON
En lo préctico solo esse ef susroendo con su signos combiados debo-
jo del minvendo, de modo que los lémminos semejante queden an coloma y
tt hace I reducción e dio, parodies unos de alas on us propios signos,
a+ à
As lo rosa anterior so ver de esla manero: — 2% 8246
Date R
un 49
PRUEBA
La diferencia sumada con el sustraendo debo dar el minvendo,
En el cjemplo anterior, sumando la dile- BY AS
rencia 2x —3y de +6, con el sustinon- a +56
do 2x4 52-6, tendremos: AY + 2 Iminvondo)
(2) Restor — dab — ab? + 60°68 —atbt —Abt de Bolb? a — dab! + Cab.
Al escribir el sostracado, can sus signos combiados, debajo del minuendo,
debon ordenarse ambos con reloción a une misma letra.
‘Asi on osto caso, ordenan- of | <Batb = dott} bob?
do en arden descendente E23 EEE
cación a le m Ten, On dab + Bath — Gob — aa + Fab Ab,
La diferencia suma- où + 40% + Bab? — 6a%b? — Sat! + abs + abt
da con ol vaca. ee ee
de, deba demas ale FM o She
minvendo: fd + both? —Aofbt + babe Iminven
43) Restar — Boix + 6— Sax! — x" de ad + 8o%x + 7ax* —4 y probar el resul:
todo por el valor numérica,
Tort} Bate To À
Ffoctuemes la seso crdenondo con rolación xt SO E Baty — (
eae #4 Vor? 1 tate +70" = 10
La prueba del vor numérico ze elec hallando el valor numérico del mi
nuendo, del tasado con los signos cambiados y de lo dilerencio pora
Un mio valor de los loas el valor de coda Tera lo cxcogomos not
Reduciendo el valor numérico do minuendo y sosecendo con el Signo com.
bindo, debo damos el valor numéro de la dio
Asi, ca el ejemplo Tai} Bolt Tat 4
anterior pare + Soc Gar à
152, tendre 7 WPF Tax + leo + 70% —
B+ 1647 d=
a+204+16 - 6m
= +44 7—
m EJERCICIO 21
Des
441, testar amb. bat ath rater Set tad,
{hay testar +27. 10: JENS restar y
Port th, aan sonar Khe An,
in restar 3848. 12. RU Dpt restar Sy Bry 42071,
Oa restar Ta Sab 13. apbtend venas —a—bie~d.
Kaya restar YF. 14. ab 2ac-Bed--5de restar —dae-+8ab—Sed 54
84902 restar yz 16. 0010 restar 11x24 2 dad OR.
ENS) restar 2)
Sua. 16, PRG IL restar 1171431998) *—10
17. Gé Gmén—Snin? besar 19m? 24518,
A a Lay ey ED.
10. mediate arent rest iment ont dant 01
Bp; E hat OS Math,
an? restar 22. Gar rer
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BU ab Ho OL 2m O0 dm à
I, RESTA DE POLINOMIOS
Guando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del n
cada uno de los términos del sustraendo, asi que a continuación del
minuendo escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus
cérminos.
ET
(D Do Ar Sy +2 rotar 2x4 Se 6.
La sintoccin se indica inchyanda el mahaim-
do en un poróneis precedido del signo — as
Ahora, dejamos el minvendo con sus propios sig-
tot y 0 continvación escribimos el suracnde
cambléndol ol signo a fodos sus terns y lon.
amos ses
Reduciendo los término semejats, Jendremos: ON
En lo préctico solo esse ef susroendo con su signos combiados debo-
jo del minvendo, de modo que los lémminos semejante queden an coloma y
tt hace I reducción e dio, parodies unos de alas on us propios signos,
a+ à
As lo rosa anterior so ver de esla manero: — 2% 8246
Date R
un 49
PRUEBA
La diferencia sumada con el sustraendo debo dar el minvendo,
En el cjemplo anterior, sumando la dile- BY AS
rencia 2x —3y de +6, con el sustinon- a +56
do 2x4 52-6, tendremos: AY + 2 Iminvondo)
(2) Restor — dab — ab? + 60°68 —atbt —Abt de Bolb? a — dab! + Cab.
Al escribir el sostracado, can sus signos combiados, debajo del minuendo,
debon ordenarse ambos con reloción a une misma letra.
‘Asi on osto caso, ordenan- of | <Batb = dott} bob?
do en arden descendente E23 EEE
cación a le m Ten, On dab + Bath — Gob — aa + Fab Ab,
La diferencia suma- où + 40% + Bab? — 6a%b? — Sat! + abs + abt
da con ol vaca. ee ee
de, deba demas ale FM o She
minvendo: fd + both? —Aofbt + babe Iminven
43) Restar — Boix + 6— Sax! — x" de ad + 8o%x + 7ax* —4 y probar el resul:
todo por el valor numérica,
Tort} Bate To À
Ffoctuemes la seso crdenondo con rolación xt SO E Baty — (
eae #4 Vor? 1 tate +70" = 10
La prueba del vor numérico ze elec hallando el valor numérico del mi
nuendo, del tasado con los signos cambiados y de lo dilerencio pora
Un mio valor de los loas el valor de coda Tera lo cxcogomos not
Reduciendo el valor numérico do minuendo y sosecendo con el Signo com.
bindo, debo damos el valor numéro de la dio
Asi, ca el ejemplo Tai} Bolt Tat 4
anterior pare + Soc Gar à
152, tendre 7 WPF Tax + leo + 70% —
B+ 1647 d=
a+204+16 - 6m
= +44 7—
m EJERCICIO 21
Des
441, testar amb. bat ath rater Set tad,
{hay testar +27. 10: JENS restar y
Port th, aan sonar Khe An,
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Oa restar Ta Sab 13. apbtend venas —a—bie~d.
Kaya restar YF. 14. ab 2ac-Bed--5de restar —dae-+8ab—Sed 54
84902 restar yz 16. 0010 restar 11x24 2 dad OR.
ENS) restar 2)
Sua. 16, PRG IL restar 1171431998) *—10
17. Gé Gmén—Snin? besar 19m? 24518,
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LT a ae le ee tion ent
DA sd Gx —23x2—1G restar 89425010050 51718,
| at 1604554 Slap e414 restar Ba°d—15akb=+ 530%" a4 30".
a estar Debatir,
A A 8m,
gar Gal restar Bam *d1dam ts Han Bat,
yee lea? restar Ll LD Get 1603,
sm 19m restar BB SH 0m me I"
E EJERCICIO 22
Restar:
b de ba. 11. m&n?—amn de —Smi—at+bmn,
ay de 2x3. 12. 20x46 de rta
“ab de ets 13, mt ldm3+9 de Mmi=Bn +16.
Abe de 2246. 12, ab—besed de Sab+bberbad.
ae de x 3 16. Baatb—Sab?—b de at-dasb-br.
wit 10. mPOA de 6x2 —Bx4y— Gay
~ a 17. meyTn-Se+d de méme lier 1.
nn tp de Bream 5pe 18: Tañb-+6ab9En#0%.+0s de Gaty-9a*b—40ab*4-60%,
xl
m EJERCICIO 23
dy 2 de x43y—62. DUT de x5—Bxt 25x44 15.
in
he baba, PLD de ye)
Dl, 95x425x8—18et—U1xt—I6 de x9—6xt 892-9410
A A
29. 23y848yt—Loy?—By—5 de PAYNE D.
Mi mit miss Re nt
GO ION SES de Ki De BER Br.
26, rea Ge de at Be
27. Bav-iffar-2{Tartar-s de Bard lan Ga ar
DB, Bla la de 15
29. 1900? Gari—am— Bana de Dam —~21a™-2 49a amt,
o de — 50m dnt me.
(4) De 1 restar txt em
ER
arts
El senado +445 node con la de Pur
foreacia—4-— #= x2 nos da el minvondo: —,
Y Iminvendal.
(5) Restar ab? — 116% ++ Botbt — bi de of — 1.
Tendremos at -1
Voth — Bott — Pott bt
ot + Notb — bob! Hab BIT. Ro
De:
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A TG renar Gxy-xñtlé og, A restar
1 restar abat.
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9. mt restar abm—alfaim®—18am45m',
10. 16 restar bare td.
11 #21 tear ay)
12 Gé rear sel anto
8. Restar —By# 175 de xt.
14. Restar Day 1597 Baye de xdd,
10, Restar 10-2004 dat daD! de 5405.
ROLY Ba tó de ice
17. Restar DV EYES de yPty—Al,
IE Ron D ane de entoure
10. Restar -a’+6x-4 de xx Il,
20. Restar mind Tmni-äns de mi-1.
(42) nesra DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS
jemplos
At pe Be rome
Tendreman: Ja
Pe pa
AR
(2) Resor — 40
Tendremos:
406
totes
= EJERCICIO 24
De:
à. fot remar em 4
2 16 resar dot de 5
D he rear deb ide dal
een, ee 2
bp Be Mty 480x918 restar 9940 PONS
LT a ae le ee tion ent
DA sd Gx —23x2—1G restar 89425010050 51718,
| at 1604554 Slap e414 restar Ba°d—15akb=+ 530%" a4 30".
a estar Debatir,
A A 8m,
gar Gal restar Bam *d1dam ts Han Bat,
yee lea? restar Ll LD Get 1603,
sm 19m restar BB SH 0m me I"
E EJERCICIO 22
Restar:
b de ba. 11. m&n?—amn de —Smi—at+bmn,
ay de 2x3. 12. 20x46 de rta
“ab de ets 13, mt ldm3+9 de Mmi=Bn +16.
Abe de 2246. 12, ab—besed de Sab+bberbad.
ae de x 3 16. Baatb—Sab?—b de at-dasb-br.
wit 10. mPOA de 6x2 —Bx4y— Gay
~ a 17. meyTn-Se+d de méme lier 1.
nn tp de Bream 5pe 18: Tañb-+6ab9En#0%.+0s de Gaty-9a*b—40ab*4-60%,
xl
m EJERCICIO 23
dy 2 de x43y—62. DUT de x5—Bxt 25x44 15.
in
he baba, PLD de ye)
Dl, 95x425x8—18et—U1xt—I6 de x9—6xt 892-9410
A A
29. 23y848yt—Loy?—By—5 de PAYNE D.
Mi mit miss Re nt
GO ION SES de Ki De BER Br.
26, rea Ge de at Be
27. Bav-iffar-2{Tartar-s de Bard lan Ga ar
DB, Bla la de 15
29. 1900? Gari—am— Bana de Dam —~21a™-2 49a amt,
o de — 50m dnt me.
(4) De 1 restar txt em
ER
arts
El senado +445 node con la de Pur
foreacia—4-— #= x2 nos da el minvondo: —,
Y Iminvendal.
(5) Restar ab? — 116% ++ Botbt — bi de of — 1.
Tendremos at -1
Voth — Bott — Pott bt
ot + Notb — bob! Hab BIT. Ro
De:
Lo] remar acl. 9 9 restar Sasat—5.
A TG renar Gxy-xñtlé og, A restar
1 restar abat.
en
aora 051
ne ee
e T9928
9. mt restar abm—alfaim®—18am45m',
10. 16 restar bare td.
11 #21 tear ay)
12 Gé rear sel anto
8. Restar —By# 175 de xt.
14. Restar Day 1597 Baye de xdd,
10, Restar 10-2004 dat daD! de 5405.
ROLY Ba tó de ice
17. Restar DV EYES de yPty—Al,
IE Ron D ane de entoure
10. Restar -a’+6x-4 de xx Il,
20. Restar mind Tmni-äns de mi-1.
(42) nesra DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS
jemplos
At pe Be rome
Tendreman: Ja
Pe pa
AR
(2) Resor — 40
Tendremos:
406
totes
= EJERCICIO 24
De:
à. fot remar em 4
2 16 resar dot de 5
D he rear deb ide dal
A suma y RETA comomacas @ 53
1. Sate Lab 208 reste Sat + Restart
ae 2 » > de ab Le DDR de ar.
A vont ei abba? de abort bt atd—9ab2454 de ar,
. 1 D 10. 15ab de —ab+-10mn—8mx. 18.
Baraat À restar tet Fat
10. Eman o venas — an Em (CE Sve We oy A
1 Sat y Ep Sy! restar at ny ag + Mg de Dato
A vent ru
„rt EN N ee Ss SUMA Y RESTA COMBINADAS
B- EJERCICIO 25
Restar:
43)SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS
CON COEFICIENTES ENTEROS
dla donde dato
A Bmtr-pa mata
Bay de at day:
(1) De a? rostor la suma do Jab—6 y Io? — Bob + 5.
Arab +5
Eloctuemos primero la somos Sab—&
ra] i
A bet — yop sys A esse paye xyt + 250, Esta sumo, que es el sustraendo, hay que restarla de a* que set.
RO a 05 el minsondo, lege doboia do al mero dat ob], TEL
n.- ie ee ee DA Nes
nn Bn (2) De Ay 5/2 rear lo somo de + Sy 6 ty* con
= pues un DE 7 Re iy renee
w- ño it
dos Scr om lacra Det LIU
1 EJERCICIO 26 Bac
Elec hs reas siguen y Mallar el valor numérico de read ae ae Rn,
para a=1, b=2, ¢=3, #24 y= n RE LT By cane A
De: ! o de esto minvondo excrbié el sutraendo con
el ons ai os Beco ove pints eee ande com aa = AP.
2 ah}? restar —a%b-+6ab*—209. (2) De ta sume de +46 y Se Me Heitor Ki.
34a restar bee. wre 6
dette ru poto: Electuemos lo somos "Se 10 #8
De xt xy F Ly restar —L6xy—Gxy™+ Hy, PTE]
Sn en ES
orig mu et Series
dos y tandremoss —
8 Emin bon? ht restr mi
1. Sate Lab 208 reste Sat + Restart
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Baraat À restar tet Fat
10. Eman o venas — an Em (CE Sve We oy A
1 Sat y Ep Sy! restar at ny ag + Mg de Dato
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B- EJERCICIO 25
Restar:
43)SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS
CON COEFICIENTES ENTEROS
dla donde dato
A Bmtr-pa mata
Bay de at day:
(1) De a? rostor la suma do Jab—6 y Io? — Bob + 5.
Arab +5
Eloctuemos primero la somos Sab—&
ra] i
A bet — yop sys A esse paye xyt + 250, Esta sumo, que es el sustraendo, hay que restarla de a* que set.
RO a 05 el minsondo, lege doboia do al mero dat ob], TEL
n.- ie ee ee DA Nes
nn Bn (2) De Ay 5/2 rear lo somo de + Sy 6 ty* con
= pues un DE 7 Re iy renee
w- ño it
dos Scr om lacra Det LIU
1 EJERCICIO 26 Bac
Elec hs reas siguen y Mallar el valor numérico de read ae ae Rn,
para a=1, b=2, ¢=3, #24 y= n RE LT By cane A
De: ! o de esto minvondo excrbié el sutraendo con
el ons ai os Beco ove pints eee ande com aa = AP.
2 ah}? restar —a%b-+6ab*—209. (2) De ta sume de +46 y Se Me Heitor Ki.
34a restar bee. wre 6
dette ru poto: Electuemos lo somos "Se 10 #8
De xt xy F Ly restar —L6xy—Gxy™+ Hy, PTE]
Sn en ES
orig mu et Series
dos y tandremoss —
8 Emin bon? ht restr mi
540 acom
ra
EJERCICIO 27
De a? restar la suma de abs con 41-60.
De rar ma deo con ah 1
De fey restar la suma de dxy?—x? con Gey".
De Sort estar 1a suma a ON
De 6a restar la suma de 8a49b-3c con -Ta-0b43e.
De atbe restar la suma de «bee con ~2atb—c.
De manip restar a suma de —min—p con 2m—20+2p.
De Garde restar la suma de Sar—a con 2x dax-+7e?,
De 9-1 restar la suma de SatiGa—4 con 2e— Bets.
De 2121 restar la suma de 3x'—Oet44 con 11x Tri=0r
De abs restar la suma de ~Tab2/-Be%h—11_ con —Tat+Bab2—35a% 16.
De necinttin restar la suma de —Amt+ldnt-2önt8 con 19n--0n
Hand.
De atrBatmstm restar la suma de —Gam-Gamt=6 con Tat-Lieim?
bam Gm
Ber
ee
De la suma de eth con ob restar 2a-b,
De Ja suma de Bx+9 con 67-5 restar —2.
De la suma de x3-09° con 17-40 retar —9y41
De la suma de Aaftdab-3b? con a’ Ol Tab restar dattab-D
De la suma de x92 con —Lds"y ny? restar 3x4 109%.
De la suma de xt-Batypye com Sky restar xUP
de ve_6ntn? con Tnr-n-nt-0 remar = 9
„_Taeb4 3 de la suma de e—3a°O*4-Gab* con 220-1080
19° restar la suma de —4xiy 4180)? con
Restar B-mt de la suma de —Sm44mi-2m con —Tmt+bm+d
Restar —4 de la suma de To*-Llab+1% con —Tat4-ab+b:
Restar a=b=2e de la suma de 3a-304+5c; —Ta+8b-—1l5 a+2bte.
Restar a'-30%45 de la suma de ja+14a?—T9a48; after y Satta;
Restar la suma de m+l0mént-15nt con Iaido
de Gt min Sono,
Restar la suma de a%d-1a%bt+Babt-bt; —Tatb15atbt-25abt+abs y
sabi Ba*b%- ab de Ga®—GatbS—21ab—
Restar la suma de +545 con Autp4D1ebyeIsatyt—ye de ya
HI tdo,
Restar la suma de Bar+dar-t con at-Tartrare de Briana
42a
(4) Restor la sume de Sly + 634 — 5y® con — rt xy! Ty de lo sume
de x + Bet con Au Arie 3),
Eloctuemos la primera sume que será el
sustraondo:
Electuemos lo segunda sumo que será el mi
avendo;
o
10.
u
12
19
14,
16,
16.
nn © 55
Como esta sumo es el minvendo escribimos debajo
de ell, con los signos cambiados, la sume anterior
‘que oF el sustropndo y tenemes:
EJERCICIO 28
De la suma de x*+5 con 2x—6 restar la suma de x—4 con —x+6.
De la suma de Ba=5b+c con a-b--Re restar la suma de 7a+Ó con ~8b—Be.
De la suma de x2+1 con 5x°4+7—x? restar la suma de 9x+4 con Bao)
De la suma de @241 con att restar la suma de at42 con a-2.
De la suma de ab+bc+ac con —Tbe+Bae—9 restar la suma de ache
Hab con Bbc+öac-ab,
"> la suma de a?e—3x? con a4Sax? restar la suma de —Sate+1ox®
3 con Ea Ga,
De la suma de xtha3-3; —Sxt5—x% —Sxttde-tet restar la suma de
+88 con x
De la suma de min; —Tmn%17n5)
restar la suma de 6m con
De la suma de 74a; as
ee EM Pe.
estar la suma y! con Hay 40) 914 de la suma de six
ON
Restar la suma de a=1 con —a#1 de la suma de a8; 0-4; -Ja+h,
Restar la suma de a?4-D?—ab; 702800 +30"; —3a*—1702+ Tab de la
suma de 30%—a9+9ab-con —Sab—T0.
Restar la suma de mi-1; —*48m*-6m4-
de m2-16 con —1Bmt+ m3.
Restar la suma de x°=y8; “Bxtytxty2—Taty*—Byt; Expira ie de la
suma de —x3y47aty-+Llxyt con y.
Restar la suma de Tat=at-Ba; —B0l4+1a%—at+4; —Gat—~L1at—2a4 8;
Sabie det de la sama de —Se#fta-Beté com Sot—TohAlat
6008.
Restar la suma de 0%Tad249; —~20atx421a%—19axt; x°—Tax4 gan
—80 de la suma de —4x5+182°x?—8; ax 70 RL; 08-06.
Tey
Amin? y. —m*+6m*n?—80nt
114426 restar la suma
—Im=m41 de la suma
(44) SUMA_Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS
CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS
A) De Jo*— ¿0% restar la sumo de Fat br
Electuomos la sumo que será el susroondo= =>
PER
ra
EJERCICIO 27
De a? restar la suma de abs con 41-60.
De rar ma deo con ah 1
De fey restar la suma de dxy?—x? con Gey".
De Sort estar 1a suma a ON
De 6a restar la suma de 8a49b-3c con -Ta-0b43e.
De atbe restar la suma de «bee con ~2atb—c.
De manip restar a suma de —min—p con 2m—20+2p.
De Garde restar la suma de Sar—a con 2x dax-+7e?,
De 9-1 restar la suma de SatiGa—4 con 2e— Bets.
De 2121 restar la suma de 3x'—Oet44 con 11x Tri=0r
De abs restar la suma de ~Tab2/-Be%h—11_ con —Tat+Bab2—35a% 16.
De necinttin restar la suma de —Amt+ldnt-2önt8 con 19n--0n
Hand.
De atrBatmstm restar la suma de —Gam-Gamt=6 con Tat-Lieim?
bam Gm
Ber
ee
De la suma de eth con ob restar 2a-b,
De Ja suma de Bx+9 con 67-5 restar —2.
De la suma de x3-09° con 17-40 retar —9y41
De la suma de Aaftdab-3b? con a’ Ol Tab restar dattab-D
De la suma de x92 con —Lds"y ny? restar 3x4 109%.
De la suma de xt-Batypye com Sky restar xUP
de ve_6ntn? con Tnr-n-nt-0 remar = 9
„_Taeb4 3 de la suma de e—3a°O*4-Gab* con 220-1080
19° restar la suma de —4xiy 4180)? con
Restar B-mt de la suma de —Sm44mi-2m con —Tmt+bm+d
Restar —4 de la suma de To*-Llab+1% con —Tat4-ab+b:
Restar a=b=2e de la suma de 3a-304+5c; —Ta+8b-—1l5 a+2bte.
Restar a'-30%45 de la suma de ja+14a?—T9a48; after y Satta;
Restar la suma de m+l0mént-15nt con Iaido
de Gt min Sono,
Restar la suma de a%d-1a%bt+Babt-bt; —Tatb15atbt-25abt+abs y
sabi Ba*b%- ab de Ga®—GatbS—21ab—
Restar la suma de +545 con Autp4D1ebyeIsatyt—ye de ya
HI tdo,
Restar la suma de Bar+dar-t con at-Tartrare de Briana
42a
(4) Restor la sume de Sly + 634 — 5y® con — rt xy! Ty de lo sume
de x + Bet con Au Arie 3),
Eloctuemos la primera sume que será el
sustraondo:
Electuemos lo segunda sumo que será el mi
avendo;
o
10.
u
12
19
14,
16,
16.
nn © 55
Como esta sumo es el minvendo escribimos debajo
de ell, con los signos cambiados, la sume anterior
‘que oF el sustropndo y tenemes:
EJERCICIO 28
De la suma de x*+5 con 2x—6 restar la suma de x—4 con —x+6.
De la suma de Ba=5b+c con a-b--Re restar la suma de 7a+Ó con ~8b—Be.
De la suma de x2+1 con 5x°4+7—x? restar la suma de 9x+4 con Bao)
De la suma de @241 con att restar la suma de at42 con a-2.
De la suma de ab+bc+ac con —Tbe+Bae—9 restar la suma de ache
Hab con Bbc+öac-ab,
"> la suma de a?e—3x? con a4Sax? restar la suma de —Sate+1ox®
3 con Ea Ga,
De la suma de xtha3-3; —Sxt5—x% —Sxttde-tet restar la suma de
+88 con x
De la suma de min; —Tmn%17n5)
restar la suma de 6m con
De la suma de 74a; as
ee EM Pe.
estar la suma y! con Hay 40) 914 de la suma de six
ON
Restar la suma de a=1 con —a#1 de la suma de a8; 0-4; -Ja+h,
Restar la suma de a?4-D?—ab; 702800 +30"; —3a*—1702+ Tab de la
suma de 30%—a9+9ab-con —Sab—T0.
Restar la suma de mi-1; —*48m*-6m4-
de m2-16 con —1Bmt+ m3.
Restar la suma de x°=y8; “Bxtytxty2—Taty*—Byt; Expira ie de la
suma de —x3y47aty-+Llxyt con y.
Restar la suma de Tat=at-Ba; —B0l4+1a%—at+4; —Gat—~L1at—2a4 8;
Sabie det de la sama de —Se#fta-Beté com Sot—TohAlat
6008.
Restar la suma de 0%Tad249; —~20atx421a%—19axt; x°—Tax4 gan
—80 de la suma de —4x5+182°x?—8; ax 70 RL; 08-06.
Tey
Amin? y. —m*+6m*n?—80nt
114426 restar la suma
—Im=m41 de la suma
(44) SUMA_Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS
CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS
A) De Jo*— ¿0% restar la sumo de Fat br
Electuomos la sumo que será el susroondo= =>
PER
56 @ aerea
8
del minvondo Zo? ¿0% escribimos el
resoliado de esta sumo con los signos combio-
dos y tendremos "7" AN de
e
(2) Resor lo sumo de Sn Lot + 6 con Zn Lane 200 de la somo de pa
sagt
u
ffcctusmos la segunda suma que sr
el minuendo. detal
12
1.
Efeciuamos le primera suma que será Soit
ol sushaondos TA 2 14
»
Ahoto, de lo primera somo 1
restomos cta Úlimo sumo y a
tendremos: :
4
= EJERCICIO 29 6.
o
1.
a
de la suma de a+3b con 6- ab. A
4 Resear ta suma de dat 10
6. De ta suma de Let con — u
0 Restar Ja suma de ~te42y
1 De avt restar la suma de —
suma Y RETA combinan 057.
rear la suma de 20:4Le con
Restar la suma de Fest Lot 2 con Me. fat 2 dea suma de
jeje on Bei,
De la suma de Dat bey 458 com eier retar a sua
de Ber hear om et,
Restar la suma de 30109 con teo Fade HL de ta suma de
A con 5090 + Lab = 29
vesar la suma de tatty; dy
EJERCICIO 30
Hallar Ja expresión que sumada con 28-2345 da 3x—6,
Mallar la expresión que sumada con —52490—6c da 8x49.
¿Qué expresión sumada con a da ~Batb-+Sab2—4b?
Para obtener como resto x-5, ¿qué expresión debe restarse de x3-4x2 87
¿Que expresión hay que restar de mt-mntGnt para que la diferencia
Sek 4m
Si 48-04 es el reto y Gxtdx—8 ol sustacndo, ¿ou cx cl mimuendod
(De qué expresión e a vetado ob! sia diferencia ha sio 44% al 11}
Siendo et wstracndo Lx — ly, ¿cuál ha de ser el minuendo para que
diferencia sea =f?
Qué expresión hay que sumar con —tay-+5x2—8)# para que la suma se 1?
5i Om3=Smerrtömntont se resta de 9, ¿qué expresión hay que sumar
à la french para obtener we?
Si ot~fe48 es el susracndo de una diferencia y el resto es =
¿ae qué expresión se ha rede e primeras
508,
8
del minvondo Zo? ¿0% escribimos el
resoliado de esta sumo con los signos combio-
dos y tendremos "7" AN de
e
(2) Resor lo sumo de Sn Lot + 6 con Zn Lane 200 de la somo de pa
sagt
u
ffcctusmos la segunda suma que sr
el minuendo. detal
12
1.
Efeciuamos le primera suma que será Soit
ol sushaondos TA 2 14
»
Ahoto, de lo primera somo 1
restomos cta Úlimo sumo y a
tendremos: :
4
= EJERCICIO 29 6.
o
1.
a
de la suma de a+3b con 6- ab. A
4 Resear ta suma de dat 10
6. De ta suma de Let con — u
0 Restar Ja suma de ~te42y
1 De avt restar la suma de —
suma Y RETA combinan 057.
rear la suma de 20:4Le con
Restar la suma de Fest Lot 2 con Me. fat 2 dea suma de
jeje on Bei,
De la suma de Dat bey 458 com eier retar a sua
de Ber hear om et,
Restar la suma de 30109 con teo Fade HL de ta suma de
A con 5090 + Lab = 29
vesar la suma de tatty; dy
EJERCICIO 30
Hallar Ja expresión que sumada con 28-2345 da 3x—6,
Mallar la expresión que sumada con —52490—6c da 8x49.
¿Qué expresión sumada con a da ~Batb-+Sab2—4b?
Para obtener como resto x-5, ¿qué expresión debe restarse de x3-4x2 87
¿Que expresión hay que restar de mt-mntGnt para que la diferencia
Sek 4m
Si 48-04 es el reto y Gxtdx—8 ol sustacndo, ¿ou cx cl mimuendod
(De qué expresión e a vetado ob! sia diferencia ha sio 44% al 11}
Siendo et wstracndo Lx — ly, ¿cuál ha de ser el minuendo para que
diferencia sea =f?
Qué expresión hay que sumar con —tay-+5x2—8)# para que la suma se 1?
5i Om3=Smerrtömntont se resta de 9, ¿qué expresión hay que sumar
à la french para obtener we?
Si ot~fe48 es el susracndo de una diferencia y el resto es =
¿ae qué expresión se ha rede e primeras
508,
raat en uma dels leyenda Fu el
o. Rec Plane ño
Ps un tonto be eit moe com
SIGNOS DE AGRUPACION
©) te sde arco yrs on de care clas pr
sexis ordinario { }, el paréntesis angular o corchete | |. las Haves | |
y el vínculo o barra
(38) uso DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION N
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades
encerradas en ellos deben considerarse como wn todo, o sea, como una sola
cantidad. :
Asi. at (bé), que equivale a ar (+ b— ch
indica que la diferencia b—c debe sumarse con @
y ya sabemos que para efectuar esta suma escribi- (EE
mos a continuacién de a las demás cantidades con
su propio signo y tendrem 7
La expresión: srl
indica que a x hay que sumarle —2y +3;
luego, a continuación de x, escribimos
y + con sus propios signos y tendremos; ———/
Vemos, pues, que hemos suprimido el paré
no +, dejando a cada una de las cantidades que estaban dentro de él con
su propio signo.
58
pares © 59
La expresión
a—(b+ch que equivale a a
indica que de a hay que restar la suma b-+e y como na
para restar escribimos el sustraendo con los signos cam. | 2 (=A
biados a continuación del minuendo, tendremos: 7
La expresión x=(y+2)
indi
à que de x hay que restar —y 42; luego, (Hs
a y qu y uego, SEE
abiando los signos al sustraendo, tendremos:
Vemos, pues, que hemos suprimido el parent
no —, cambiando el signo a cada
tadas cn, el paréntesis.
El parémtesis any
tienen la misma signi
del mismo modo.
Se usan estos signos, que tienen distinta forma pero igual significa:
para mayor claridad en los casos en que una expresión que ya tiene
0.0 más signos de agrupación se incluyo en otro signo de agrupación
is precedido del sig:
de las cantidades que estaban ente.
culo o barra
vio y se suprimen
|. SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION
47 JREGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION
1) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja
‘ol mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan den-
tro de el.
2) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo — se cam:
bia ef signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Ejemplos | phase
04 lb —c)4+20—(a+b).
Esta expresión equivale 0 3
+Hol+b=c]+20= (te tb)
‘Como ol primer poréntesis vo precedido del signo + la suprimimos dejando
© las cantidades quo so hallon dentro con su propio signo y como el segundo
poréntesis va precidido del signo — lo suprimimes cambiando ol signo a las
contídades que so hallan deniro y tendremos;
o+(b=e +00 lot bl=a+bc+2—0—b= 20e R
(2) Suprimir los signos de agrupeción en Se+(—=x=y1=(=y + dalt {x = 6},
El paréntesis y los Ilavos estón pre
cedidas del signo +, luego los sup
mimos dejondo los contidades que 5) [y Fa tte
so hallon dentro con su propio signo
y como el corchoto vo precedido del
signo —, lo suptimimos combiando et
signo a las cantidades que se ballan
dentro, y tendremos
yey te 6
o. Rec Plane ño
Ps un tonto be eit moe com
SIGNOS DE AGRUPACION
©) te sde arco yrs on de care clas pr
sexis ordinario { }, el paréntesis angular o corchete | |. las Haves | |
y el vínculo o barra
(38) uso DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION N
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades
encerradas en ellos deben considerarse como wn todo, o sea, como una sola
cantidad. :
Asi. at (bé), que equivale a ar (+ b— ch
indica que la diferencia b—c debe sumarse con @
y ya sabemos que para efectuar esta suma escribi- (EE
mos a continuacién de a las demás cantidades con
su propio signo y tendrem 7
La expresión: srl
indica que a x hay que sumarle —2y +3;
luego, a continuación de x, escribimos
y + con sus propios signos y tendremos; ———/
Vemos, pues, que hemos suprimido el paré
no +, dejando a cada una de las cantidades que estaban dentro de él con
su propio signo.
58
pares © 59
La expresión
a—(b+ch que equivale a a
indica que de a hay que restar la suma b-+e y como na
para restar escribimos el sustraendo con los signos cam. | 2 (=A
biados a continuación del minuendo, tendremos: 7
La expresión x=(y+2)
indi
à que de x hay que restar —y 42; luego, (Hs
a y qu y uego, SEE
abiando los signos al sustraendo, tendremos:
Vemos, pues, que hemos suprimido el parent
no —, cambiando el signo a cada
tadas cn, el paréntesis.
El parémtesis any
tienen la misma signi
del mismo modo.
Se usan estos signos, que tienen distinta forma pero igual significa:
para mayor claridad en los casos en que una expresión que ya tiene
0.0 más signos de agrupación se incluyo en otro signo de agrupación
is precedido del sig:
de las cantidades que estaban ente.
culo o barra
vio y se suprimen
|. SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION
47 JREGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION
1) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja
‘ol mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan den-
tro de el.
2) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo — se cam:
bia ef signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Ejemplos | phase
04 lb —c)4+20—(a+b).
Esta expresión equivale 0 3
+Hol+b=c]+20= (te tb)
‘Como ol primer poréntesis vo precedido del signo + la suprimimos dejando
© las cantidades quo so hallon dentro con su propio signo y como el segundo
poréntesis va precidido del signo — lo suprimimes cambiando ol signo a las
contídades que so hallan deniro y tendremos;
o+(b=e +00 lot bl=a+bc+2—0—b= 20e R
(2) Suprimir los signos de agrupeción en Se+(—=x=y1=(=y + dalt {x = 6},
El paréntesis y los Ilavos estón pre
cedidas del signo +, luego los sup
mimos dejondo los contidades que 5) [y Fa tte
so hallon dentro con su propio signo
y como el corchoto vo precedido del
signo —, lo suptimimos combiando et
signo a las cantidades que se ballan
dentro, y tendremos
yey te 6
60@ — access
(3) Simplificar m + 40-64 3m “nt 2m=1.
El vínculo o barra equivols « un paréntesis que encierra o las contidodes que
e hallan debajo de él y su signo es el signo de lo primera de los contidados.
‘que están debajo de di.
Así la expresión anterior eqivale as Un 6) 3m — (o +21
PE STE
Srprinicndo los nculos, tendremos, = m + né 42m n 2m +1
ans Re
m EJERCICIO 31
, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos
Y ht [oxy]
a 10. (5mt)H—omt5)-0.
3 nu. Fe
4 12.
5 Bet =
ya). 1
CAPE ru. 16. (era) bte) riad).
8 da [eta ffabx— 3p
—o+ mor)
(4) Simplificar Io expresión dat} — 5x
mato)
Suprimiendo el corchete, tenemos: Ba + À — 5x do 9x + 0 + x}
Suptimiendo los loves, tenemos: Za — Sr + a — 9x + a+ x,
Reduciondo términos semejontes, queda: Sa 13. R.
má: ineriores que
son los parénie-
se ordinarios, te-
æ EJERCICIO 32
impliticar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos
tes
-+a—(a+b), ON
e à A a
II Arm= [2-4 din Di
parres © 61
11. ~(-a+6)+[—(a+))(—2a430)-+(—b-ba—b)).
12 Tm*®—|—[m#-+3n—(5—n)—(—3+m)) (2n+3).
3. ar) —[a+0—a)-—ó+a)]).
14 352 y ao)
15. Ge~[-@ate)-+{—(ate)~2a~aFe}+2c}.
16. —(2m4n)—[2m-+{—m+(2m—BA=B)}—(w4 6).
17. 2044 (54 (0042 ar] (ape
A y) 42047).
Hb
20. HE +—0—0)] a
2 Eat DDR AA ER DIE (0)
22, [am nr FA) AL en) 8).
2 ARANA AA y
24. ~[-a+{—at(a~b)—a—DFe—[—(—a) +6] }).
11. INTRODUCCION DE SIGNOS DE AGRUPACION
Sabemos que —— at(-b4ej=a—b+e
luego, recíprocamente: ——— a-b+e=ar{-b+t0).
Hemos visto también que + a-ib-d=a-b+e
luego, recíprocamente: + a-bre=a-(b-c)
Del propio modo, a+b-c-d—eza+(b=0-(d4
Lo anterior nos dice que los términos de una expresión pueden agru-
pane de cualquier modo.
Esta es la Ley Asociativa de la suma y de la resta.
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
49) REGLA GENERAL PARA INTRODUCIR CANTIDADES
EN SIGNOS DE AGRUPACION
1) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación pre-
cedido del signo + se deja a cada una de las cantidades con el mismo sig.
no que tengan.
2) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación pre-
cedido del signo — se cambia el signo a cada una de las cantidades que se
Incluyen en él.
(3) Simplificar m + 40-64 3m “nt 2m=1.
El vínculo o barra equivols « un paréntesis que encierra o las contidodes que
e hallan debajo de él y su signo es el signo de lo primera de los contidados.
‘que están debajo de di.
Así la expresión anterior eqivale as Un 6) 3m — (o +21
PE STE
Srprinicndo los nculos, tendremos, = m + né 42m n 2m +1
ans Re
m EJERCICIO 31
, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos
Y ht [oxy]
a 10. (5mt)H—omt5)-0.
3 nu. Fe
4 12.
5 Bet =
ya). 1
CAPE ru. 16. (era) bte) riad).
8 da [eta ffabx— 3p
—o+ mor)
(4) Simplificar Io expresión dat} — 5x
mato)
Suprimiendo el corchete, tenemos: Ba + À — 5x do 9x + 0 + x}
Suptimiendo los loves, tenemos: Za — Sr + a — 9x + a+ x,
Reduciondo términos semejontes, queda: Sa 13. R.
má: ineriores que
son los parénie-
se ordinarios, te-
æ EJERCICIO 32
impliticar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos
tes
-+a—(a+b), ON
e à A a
II Arm= [2-4 din Di
parres © 61
11. ~(-a+6)+[—(a+))(—2a430)-+(—b-ba—b)).
12 Tm*®—|—[m#-+3n—(5—n)—(—3+m)) (2n+3).
3. ar) —[a+0—a)-—ó+a)]).
14 352 y ao)
15. Ge~[-@ate)-+{—(ate)~2a~aFe}+2c}.
16. —(2m4n)—[2m-+{—m+(2m—BA=B)}—(w4 6).
17. 2044 (54 (0042 ar] (ape
A y) 42047).
Hb
20. HE +—0—0)] a
2 Eat DDR AA ER DIE (0)
22, [am nr FA) AL en) 8).
2 ARANA AA y
24. ~[-a+{—at(a~b)—a—DFe—[—(—a) +6] }).
11. INTRODUCCION DE SIGNOS DE AGRUPACION
Sabemos que —— at(-b4ej=a—b+e
luego, recíprocamente: ——— a-b+e=ar{-b+t0).
Hemos visto también que + a-ib-d=a-b+e
luego, recíprocamente: + a-bre=a-(b-c)
Del propio modo, a+b-c-d—eza+(b=0-(d4
Lo anterior nos dice que los términos de una expresión pueden agru-
pane de cualquier modo.
Esta es la Ley Asociativa de la suma y de la resta.
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
49) REGLA GENERAL PARA INTRODUCIR CANTIDADES
EN SIGNOS DE AGRUPACION
1) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación pre-
cedido del signo + se deja a cada una de las cantidades con el mismo sig.
no que tengan.
2) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación pre-
cedido del signo — se cambia el signo a cada una de las cantidades que se
Incluyen en él.
62@ ac
Ejemplos |
KUN nc res ine aia. eee
pats recado del sign ++ al
Dejomos a cada cantidad con el signo que EI
= io Versuch
fione y tendremos.
RRA 4 en un
{2 Wrede Is rs ina His delo espere
paténtesis precedido del signo =. E
Cambiomos el signo o coda uno de les tes [Xl
últimos centidades y tendremos: 4
[> EJERCICIO 33
1
Introducir. los tres últimos términos de las 2.
expresiones siguientes dentro de un paréntesis pre _ 2.
cedido del signo +: Lib
6
Introducir los tres últimos términos de las 7.
expresiones, Siguientes dentro de un parémesis ©.
precedido del signo —: 5
en un pont roe del gro —
remos sign © 26 y pondremos ~2b,y canbiorenos los Sapo: que
Shin clan de los partes porque canbiondo eto signos combien los
caros ovale, tendremos
(go> [abla bINE (20 30)
m EJERCICIO 34
N
Hmmm
PH ee
Introducir todos los términos, me
nos el primero, de las
Pen un parentesis precedido del
7 5, 2a43b-1-2arfarlb-ajjh
; a de aD)
erin paris precedido dei, E OS
re e rr reci eo) TON
luna sociedad secreta de tipo políico-re
ieee on |
a vai por Eire y eos mas de Greta, sovcepen_fandamentles
I arse ted a tacdela de rotons os e
MULTIPLICACIÓN
(59) LA MULTIPLICACION es una operación que tiene por objeto, da-
das dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar: una
d, Hamada producto, que sea respecto del multiplicando, en
absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad
multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
EI orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, de
mostrada en Aritmética, se cumple también en Algebra.
Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abe puede escri.
bién bac o ach.
Esta es la Ley Conmutativa de ka multiplicación.
birse
(52) Los factores de ue producto pueden agruparse de cualquier modo.
Ast, en el producto | abed aX (eid) = (ab) x (ed)
abed, tenemos: A
Esta es la Ley Asociativa de la multiplicación.
63
Ejemplos |
KUN nc res ine aia. eee
pats recado del sign ++ al
Dejomos a cada cantidad con el signo que EI
= io Versuch
fione y tendremos.
RRA 4 en un
{2 Wrede Is rs ina His delo espere
paténtesis precedido del signo =. E
Cambiomos el signo o coda uno de les tes [Xl
últimos centidades y tendremos: 4
[> EJERCICIO 33
1
Introducir. los tres últimos términos de las 2.
expresiones siguientes dentro de un paréntesis pre _ 2.
cedido del signo +: Lib
6
Introducir los tres últimos términos de las 7.
expresiones, Siguientes dentro de un parémesis ©.
precedido del signo —: 5
en un pont roe del gro —
remos sign © 26 y pondremos ~2b,y canbiorenos los Sapo: que
Shin clan de los partes porque canbiondo eto signos combien los
caros ovale, tendremos
(go> [abla bINE (20 30)
m EJERCICIO 34
N
Hmmm
PH ee
Introducir todos los términos, me
nos el primero, de las
Pen un parentesis precedido del
7 5, 2a43b-1-2arfarlb-ajjh
; a de aD)
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luna sociedad secreta de tipo políico-re
ieee on |
a vai por Eire y eos mas de Greta, sovcepen_fandamentles
I arse ted a tacdela de rotons os e
MULTIPLICACIÓN
(59) LA MULTIPLICACION es una operación que tiene por objeto, da-
das dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar: una
d, Hamada producto, que sea respecto del multiplicando, en
absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad
multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
EI orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, de
mostrada en Aritmética, se cumple también en Algebra.
Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abe puede escri.
bién bac o ach.
Esta es la Ley Conmutativa de ka multiplicación.
birse
(52) Los factores de ue producto pueden agruparse de cualquier modo.
Ast, en el producto | abed aX (eid) = (ab) x (ed)
abed, tenemos: A
Esta es la Ley Asociativa de la multiplicación.
63
64 @ neve
@ ter ve tos senos
Distinguiremos dos casos:
1) Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es:
Signos iguales dan +7 signos diferentes dan —
En efecto:
1 (Fax (+0) = + ab,
porque según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene
que ser respecto del signo del multiplicando lo que el signo del multipli-
cador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador
tiene cl mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita
tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo del multiplicando
es +, luego, el signo del producto será +.
2. (a) x (Fd)
porque teniendo el multiplicador el mismo signo que la unidad positiva,
el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero
éste tiene —, luego, el producto tendrá =.
3. (ra) (=b)==ab,
porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva,
el producto tendrá signo contrario al multiplicando, pero el multipl
cando tiene +, luego, el producto tendrá =.
4 (ax (-b)=+ab,
porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva,
el producto ha de tener signo contrario al mulitplicando; pero éste tiene —,
luego, el producto tendrá +.
ab,
+ POr + = +
i Acid: © por da jo
Lo anterior podemos vesumirlo diciendo que — > POr ga |
© por + da —
2) Signo del producto de más de dos factores. En este caso, la regla es:
2) El signo del producto de varios factores es 4; cuando tiene un nv
mero par de factores negativos o ninguno,
Ast, (a) x (8) x (20) x (-@) Sabed
En efecto: Según se demostró antes, cl signo del producto de dos fac-
tores negativos es +; luego, tendremos:
(=a) x (—b) xx) = (a,b) x (0 —d) Et abJxfred)=abed.
b) EI siguo del producto de varios factores es — cuando tiene
mero impar de factores negativos.
Asi, (-a)x(~b) x(=0)==abe.
En efecto:
(=a) x ED) x (6) = (a) x (= d)) x (= (4 ab) x (0)
abe.
murricicacion — @ 65
LEY DE LOS EXPONENTES
'aza multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma bay
le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.
Asi, atx a? x at att
En efecto: at X 4° Xa*=aaaa x ana x aa = aanaaanaa:
(55) Ler DE Los corricienTes
7 El coeficiente del producto de dos facts ciel praca de I cogs
tenes de as facu
Asi, Bax db = 12ab,
En efecto; Como el orden de factores no td A0 S929 RARA
altera el producto, tendrem 7
(58) CASOS DE LA MULTIPLICACION
— Distinguiremos tres casos: 1) Multiplicación de monomios. 2) Mul-
tiplicación de un polinomio por un manomio, 3) Multiplicación de po-
nomios.
1.) MULTIPLICACION DE MONOMIOS
(57) recta
~~ Se multiplican los coeficientes y a continuacién de este producto se
escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada
letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los
actores. EI signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos (63),
(1) Multiplicar 2 por 207.
Ejemplos 2a? X dal = 2 X ES do? R
E signo del producto es + porque + por + da +.
(2) Mullplicar — xy por — Smxty?
(=a) x(— Say) = betel ee
El signo del producto es ++ porque — por — da +.
(3) Molpicas 30% por — Abt,
0% X (— db) = — 3 x doth =— 120169, Ro
El signo del producto es — porque + por — da —
(4) Malplicar — ob? por dobre,
Im ab?) x dombrc® 1X dota
El signo del producto es — porque — por + da
M EJERCICIO 35
Multipl
1. 2 por 0. S16 por 16, bo 2x por Sk 5x por
O a A ee ti
PR,
pees, R
@ ter ve tos senos
Distinguiremos dos casos:
1) Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es:
Signos iguales dan +7 signos diferentes dan —
En efecto:
1 (Fax (+0) = + ab,
porque según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene
que ser respecto del signo del multiplicando lo que el signo del multipli-
cador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador
tiene cl mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita
tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo del multiplicando
es +, luego, el signo del producto será +.
2. (a) x (Fd)
porque teniendo el multiplicador el mismo signo que la unidad positiva,
el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero
éste tiene —, luego, el producto tendrá =.
3. (ra) (=b)==ab,
porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva,
el producto tendrá signo contrario al multiplicando, pero el multipl
cando tiene +, luego, el producto tendrá =.
4 (ax (-b)=+ab,
porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva,
el producto ha de tener signo contrario al mulitplicando; pero éste tiene —,
luego, el producto tendrá +.
ab,
+ POr + = +
i Acid: © por da jo
Lo anterior podemos vesumirlo diciendo que — > POr ga |
© por + da —
2) Signo del producto de más de dos factores. En este caso, la regla es:
2) El signo del producto de varios factores es 4; cuando tiene un nv
mero par de factores negativos o ninguno,
Ast, (a) x (8) x (20) x (-@) Sabed
En efecto: Según se demostró antes, cl signo del producto de dos fac-
tores negativos es +; luego, tendremos:
(=a) x (—b) xx) = (a,b) x (0 —d) Et abJxfred)=abed.
b) EI siguo del producto de varios factores es — cuando tiene
mero impar de factores negativos.
Asi, (-a)x(~b) x(=0)==abe.
En efecto:
(=a) x ED) x (6) = (a) x (= d)) x (= (4 ab) x (0)
abe.
murricicacion — @ 65
LEY DE LOS EXPONENTES
'aza multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma bay
le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.
Asi, atx a? x at att
En efecto: at X 4° Xa*=aaaa x ana x aa = aanaaanaa:
(55) Ler DE Los corricienTes
7 El coeficiente del producto de dos facts ciel praca de I cogs
tenes de as facu
Asi, Bax db = 12ab,
En efecto; Como el orden de factores no td A0 S929 RARA
altera el producto, tendrem 7
(58) CASOS DE LA MULTIPLICACION
— Distinguiremos tres casos: 1) Multiplicación de monomios. 2) Mul-
tiplicación de un polinomio por un manomio, 3) Multiplicación de po-
nomios.
1.) MULTIPLICACION DE MONOMIOS
(57) recta
~~ Se multiplican los coeficientes y a continuacién de este producto se
escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada
letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los
actores. EI signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos (63),
(1) Multiplicar 2 por 207.
Ejemplos 2a? X dal = 2 X ES do? R
E signo del producto es + porque + por + da +.
(2) Mullplicar — xy por — Smxty?
(=a) x(— Say) = betel ee
El signo del producto es ++ porque — por — da +.
(3) Molpicas 30% por — Abt,
0% X (— db) = — 3 x doth =— 120169, Ro
El signo del producto es — porque + por — da —
(4) Malplicar — ob? por dobre,
Im ab?) x dombrc® 1X dota
El signo del producto es — porque — por + da
M EJERCICIO 35
Multipl
1. 2 por 0. S16 por 16, bo 2x por Sk 5x por
O a A ee ti
PR,
pees, R
66 ® acera
15,
I Ot por — Bom sbF,
[abr] | on tbe | = — gare
gos,
(6) Multiplicar — ah"? por — di
da
ae
16. mn por dime. 20. ru por im
"por ~Ga2bix,
yee por amp,
DS R
[= abe) x ee = don bin Re
- EJERCICIO 36
Multiplicar:
am por am
xt por xt
darle por abri.
Prier por am
A por des
Beene
AT} Multiplicar Zo%b por — fat.
[Got 1 —So'm)
18) Multiplicar — 2
(bat ger)
> EJERCICIO 37
Hleetuar:
Ey por —
Lo as por Sat, %
. 0
‘ 10.
a.
à 2.
58) PRODUCTO CONTINUADO
Multiplicad
Ejemplos ]
Sp ee
er
Er Carra,
Dto = —Fotbn. R.
oti
qe por
= Lan por — ab, y
Lario por athe:
attente por Late,
de más de dos monomios.
11) Efectuar (2a}|— 20%} {— ob.
(201 1—202b](—0b)
El signo del producto es ++ porque hoy un número par de factores negativos.
Muriuexcon 0.67
12) Efectuar (xy) — 3x") (— doy"),
ae a Re
El signo del producto es — porque tiene un número impor de factores megolivos.
m EJERCICIO 38
Multiplicar:
1. (atake). 7. Ca).
nie nie SMN em)
1 CO. ee.
5. abate. 1. (a"b*)(—a*\(—2ab)(—Ba%x),,
6. Ext Fark Farm). 22 AICA
Il MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
Sea el producto (a + b)e.
Multiplicar (a+ b) por c equivale a tomar la suma (a+b) como si
mando € veces; luego:
(a+ D)+ (a D)+ (a+ D).....€ veces
Le veces) + (b+b+b....c veces)
Sea el producto (a= bye.
Tendremos: (a=b)e={a-b)+{a-b)+{a-b)....c veces
(ata+a...c vece)—(D+D+b...c veces)
=ac-be.
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
O erario lisa
POR UN MONOMIO
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polino-
mio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan
los productos parciales con sus propios signos.
Esta es la Ley Distributiva de la multiplicación.
AD Multiplicar 3x7 —6e-+7 por dor”.
Tendremos: [I 6x +71 X dor? =3e (dor) — 6x(4ox) +71
Lo operación suole disponerse ash 77
15,
I Ot por — Bom sbF,
[abr] | on tbe | = — gare
gos,
(6) Multiplicar — ah"? por — di
da
ae
16. mn por dime. 20. ru por im
"por ~Ga2bix,
yee por amp,
DS R
[= abe) x ee = don bin Re
- EJERCICIO 36
Multiplicar:
am por am
xt por xt
darle por abri.
Prier por am
A por des
Beene
AT} Multiplicar Zo%b por — fat.
[Got 1 —So'm)
18) Multiplicar — 2
(bat ger)
> EJERCICIO 37
Hleetuar:
Ey por —
Lo as por Sat, %
. 0
‘ 10.
a.
à 2.
58) PRODUCTO CONTINUADO
Multiplicad
Ejemplos ]
Sp ee
er
Er Carra,
Dto = —Fotbn. R.
oti
qe por
= Lan por — ab, y
Lario por athe:
attente por Late,
de más de dos monomios.
11) Efectuar (2a}|— 20%} {— ob.
(201 1—202b](—0b)
El signo del producto es ++ porque hoy un número par de factores negativos.
Muriuexcon 0.67
12) Efectuar (xy) — 3x") (— doy"),
ae a Re
El signo del producto es — porque tiene un número impor de factores megolivos.
m EJERCICIO 38
Multiplicar:
1. (atake). 7. Ca).
nie nie SMN em)
1 CO. ee.
5. abate. 1. (a"b*)(—a*\(—2ab)(—Ba%x),,
6. Ext Fark Farm). 22 AICA
Il MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
Sea el producto (a + b)e.
Multiplicar (a+ b) por c equivale a tomar la suma (a+b) como si
mando € veces; luego:
(a+ D)+ (a D)+ (a+ D).....€ veces
Le veces) + (b+b+b....c veces)
Sea el producto (a= bye.
Tendremos: (a=b)e={a-b)+{a-b)+{a-b)....c veces
(ata+a...c vece)—(D+D+b...c veces)
=ac-be.
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
O erario lisa
POR UN MONOMIO
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polino-
mio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan
los productos parciales con sus propios signos.
Esta es la Ley Distributiva de la multiplicación.
AD Multiplicar 3x7 —6e-+7 por dor”.
Tendremos: [I 6x +71 X dor? =3e (dor) — 6x(4ox) +71
Lo operación suole disponerse ash 77
GB © acciona
(2) Multiplicar of — dats? + Sax
por = 20%,
ai — Au + So = xt
20
(3) Molilicar xy — By dh 2-8 xy por — Bip,
ya
EJERCICIO 39
Bass por —2x.
Baiy-ay? por Zax?
xindet3 por 2x,
a—Ja-H6a por Sab,
AUS por aba
608% por Ba.
ts
36e por ax»
a%-Satb=8abr por 4
(AY Mutipicar 3x47? Hey por
EJERCICIO 40
Multiplica
de
er
Brenn Home Bee. Re
10. amara por 2a.
LL ame 148 aman por Beim,
12, avait"
nt por mix. 16. IG ES
LT aya
‘m2, 18. PI RI por 2
rar Baer be
Apra
Day
ae
PER
IS por Sato,
iet+ 5x6 por At?
Gabi 9atxi—8 por Ass,
Agricoles por at,
HS por HER.
por Gay",
a 36e48 por deb.
a
hop, R
6 asp 6e por = Bett,
ct se byt por ty.
DoF Bah = 10a + Zoé.
uuirinucacion 0.69
ll. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
(G1))sea el produero (+00) +
Haciendo m+n=y tendremos:
(+00 (men) =(0+b—dy=ay+ by
ee Te
ome"
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
REGLA PARA MULTIPLICAR DOS. POLINOMIOS
Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de
los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y
se reducen los términos semejantes.
(1) Moliplicar 6 — 4 por 34-2.
Los dos factores deben ordenarse con relación à und
ana
o+3
Sa Re
Hemos multiplicado el primer término del muliplicador a por los dos térmis
ee y de inte da multiplicador 3 por los don
términos del muliplicando, escribiendo los productos parciales de modo que
somojontos queden en columna y hemos reducido los términos
(2) Multiplicar 4x —3y por —2y + 5x
Ordenando en orden descendente con relación o la x tendremos,
a a =
822 22%
Arts) 9/15) oo
EEE)
M EJERCICIO 41
Multiplicar:
1 6 u.
4 mn 12
3 a 13,
4
5
2.
9. 5a=Tb por a43b. 14
10. 76-3 por dx,
(2) Multiplicar of — dats? + Sax
por = 20%,
ai — Au + So = xt
20
(3) Molilicar xy — By dh 2-8 xy por — Bip,
ya
EJERCICIO 39
Bass por —2x.
Baiy-ay? por Zax?
xindet3 por 2x,
a—Ja-H6a por Sab,
AUS por aba
608% por Ba.
ts
36e por ax»
a%-Satb=8abr por 4
(AY Mutipicar 3x47? Hey por
EJERCICIO 40
Multiplica
de
er
Brenn Home Bee. Re
10. amara por 2a.
LL ame 148 aman por Beim,
12, avait"
nt por mix. 16. IG ES
LT aya
‘m2, 18. PI RI por 2
rar Baer be
Apra
Day
ae
PER
IS por Sato,
iet+ 5x6 por At?
Gabi 9atxi—8 por Ass,
Agricoles por at,
HS por HER.
por Gay",
a 36e48 por deb.
a
hop, R
6 asp 6e por = Bett,
ct se byt por ty.
DoF Bah = 10a + Zoé.
uuirinucacion 0.69
ll. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
(G1))sea el produero (+00) +
Haciendo m+n=y tendremos:
(+00 (men) =(0+b—dy=ay+ by
ee Te
ome"
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
REGLA PARA MULTIPLICAR DOS. POLINOMIOS
Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de
los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y
se reducen los términos semejantes.
(1) Moliplicar 6 — 4 por 34-2.
Los dos factores deben ordenarse con relación à und
ana
o+3
Sa Re
Hemos multiplicado el primer término del muliplicador a por los dos térmis
ee y de inte da multiplicador 3 por los don
términos del muliplicando, escribiendo los productos parciales de modo que
somojontos queden en columna y hemos reducido los términos
(2) Multiplicar 4x —3y por —2y + 5x
Ordenando en orden descendente con relación o la x tendremos,
a a =
822 22%
Arts) 9/15) oo
EEE)
M EJERCICIO 41
Multiplicar:
1 6 u.
4 mn 12
3 a 13,
4
5
2.
9. 5a=Tb por a43b. 14
10. 76-3 por dx,
10 @
PRAMAS OTE
10.
ve
(3) Maïiplicar 2-+02=20=0* por och.
ÑO
ite
Ordenando en orden ascendente
2 #8
fon reocién a lo o tendremos 7 2 zur 8
2 R
(4) Malilicar 6/2 + Be — Buy por Bet Ay? + 2.
D2 Sry + 6/2
Bt oy — à
sand BANS FOE
‘Ordenondo en orden descendente: ey — 10%)? + 122
— By + 20xy* — 2ay*
con relación a la x tendremos: 7
AA AR
(5) Maliplicar x 22 +82 por te
Bt +x=3)
barat
Ordenando en eden descendente. = AEH AOE
con relación a x, tendremos: /" 40160 +40 120
aera a
SA A le
(6) Matipliar 2—y kde por ay 45
id
xy a
un
o
ey er
ay Sa HF SE À
EJERCICIO 42
Multiplica
Hay? por y. 13.
anidan por ot i,
aber bb por ato. 16.
Ka por td. 6 x
Mara por al. mamans] por mL
meine por mn Bg por aes
e O por OA
Sy+5—by por 42. 20 WP beet por we
MEME por ame. 21. 0 Betbttab® por atb-2ab!—100%
Sat nb--208 por a=. 22. Bo DPI por Bey.
Sms por men 2 DB À por Yi
abet] por ae 24 da por detox? Bax,
26.
26.
a.
30.
AAA
Auiriuieacion 071
nn D por ima yo
2a—ha*+a"—A por ada,
3 por mi .
ear 2ab+5s.
SRE UNE por EE.
PRE por ya
31. IAN por yay,
BE manta nt por 2e Dpt
IN or ely ey
demote por aria
akb—e por a-b+c.
x#2p-: por xp ts,
B-ly+Bt por yeRı-x.
SPighhtoxyoxz—gz por x+ 742,
(63 )MULTIPLICACION DE POLINOMIOS CON
EXPONENTES LITERALES
Ejemplos | Gee
e 2
(1) Molílicar 0” = 4a" —20"" por of 20, min 2m
à Par Dos y
_— 2
das + 8a
mans por m2,
SES AO por bata
el |
Sater bette. por ada,
cd por SBE
dat—5a-+Dai—4 por aaah
BEBESS
(2) Multiplicar x = Ban xt por amt att dy
fis cyt agen ke
= GPE aE,
att? por al.
IED AI por xx.
mms dm tms por Du
ero depen por her,
ar por a4-24—1
Bat patate por aaa,
ana por meinte,
A e ad
10. tbat Ae Zar AAN DA por arbar-a.
11. abs por amo
gares,
TO yy,
PRAMAS OTE
10.
ve
(3) Maïiplicar 2-+02=20=0* por och.
ÑO
ite
Ordenando en orden ascendente
2 #8
fon reocién a lo o tendremos 7 2 zur 8
2 R
(4) Malilicar 6/2 + Be — Buy por Bet Ay? + 2.
D2 Sry + 6/2
Bt oy — à
sand BANS FOE
‘Ordenondo en orden descendente: ey — 10%)? + 122
— By + 20xy* — 2ay*
con relación a la x tendremos: 7
AA AR
(5) Maliplicar x 22 +82 por te
Bt +x=3)
barat
Ordenando en eden descendente. = AEH AOE
con relación a x, tendremos: /" 40160 +40 120
aera a
SA A le
(6) Matipliar 2—y kde por ay 45
id
xy a
un
o
ey er
ay Sa HF SE À
EJERCICIO 42
Multiplica
Hay? por y. 13.
anidan por ot i,
aber bb por ato. 16.
Ka por td. 6 x
Mara por al. mamans] por mL
meine por mn Bg por aes
e O por OA
Sy+5—by por 42. 20 WP beet por we
MEME por ame. 21. 0 Betbttab® por atb-2ab!—100%
Sat nb--208 por a=. 22. Bo DPI por Bey.
Sms por men 2 DB À por Yi
abet] por ae 24 da por detox? Bax,
26.
26.
a.
30.
AAA
Auiriuieacion 071
nn D por ima yo
2a—ha*+a"—A por ada,
3 por mi .
ear 2ab+5s.
SRE UNE por EE.
PRE por ya
31. IAN por yay,
BE manta nt por 2e Dpt
IN or ely ey
demote por aria
akb—e por a-b+c.
x#2p-: por xp ts,
B-ly+Bt por yeRı-x.
SPighhtoxyoxz—gz por x+ 742,
(63 )MULTIPLICACION DE POLINOMIOS CON
EXPONENTES LITERALES
Ejemplos | Gee
e 2
(1) Molílicar 0” = 4a" —20"" por of 20, min 2m
à Par Dos y
_— 2
das + 8a
mans por m2,
SES AO por bata
el |
Sater bette. por ada,
cd por SBE
dat—5a-+Dai—4 por aaah
BEBESS
(2) Multiplicar x = Ban xt por amt att dy
fis cyt agen ke
= GPE aE,
att? por al.
IED AI por xx.
mms dm tms por Du
ero depen por her,
ar por a4-24—1
Bat patate por aaa,
ana por meinte,
A e ad
10. tbat Ae Zar AAN DA por arbar-a.
11. abs por amo
gares,
TO yy,
720 nou
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS CON
COEFICIENTES FRACCIONARIOS
Ele Por er
ome E
3 Imitmn- Ans por Sn 208 — mn.
por dur
ee ode
+4 faye Ley por bat Say bye,
10. Amt En + Ent As por Si do
nurrieieacion @ 73
(65 )MULTIPLICACION POR COEFICIENTES SEPARADOS
La multiplicación de polinomios por el Método de coeficientes sepa:
rados abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:
1) Multiplicación de dos polinomios que contengan una sola leira y
estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra.
(1) Multiplicar 9 — 224 +52 = 2 por 23? + 4-2
por coelickentes separados,
3- 24 5-2
Escribimos solamente los coeficiontes con sus
signos y efectuamos la mulilicación: —
8
DH 61546
64 B= 742-046
no del multiplicando tiene x y el primer lérmiso del
1, ol primer término del producto tendrá x* y como en los
factores el exponente de x disminuyo uno unidad an cada término, en el pro-
ducto el exponemo do x disminuirá también una unidad en coda término, le.
90 ol producto sardı
2)
Escribimos solamente los cooficontes,
pero como en el multiplicando folla
el término en 0? y en el muliplica-
dor falla el 1érminoena*escrbimos.
‘cero en los lugares correspondientes.
a esos étminos y tendtemos. —
1+0-642— 7
20412 4414
+44 0244 0-28
140-8464 5284222
Como al primer lármino del multiplicando tiene ot y el primero del mul
oder lona, el primar término del producto tendió a y como en os foto:
ros ol exponente de © disminaye de Uno en uno, en el producto tembién dit
init do uno on uno, logo el producto see
OBSERVACION
Si en ambos factores ol exponente de la lero común disminuye de dos en dos,
de tres an tres, de cuatro en cuatro, ale, na es necesario poner cero en los.
lugares correspondientes a los términos que falten; sólo hay quo tener presen-
to quo en ol producto, los exponentes también bojorán de dos en dos, de tros
en Mes, de eva en cuatro, ele,
2) Multiplicación de dos polinomios homogéneos que contengan sólo
‚on letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a un:
de las letras.
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS CON
COEFICIENTES FRACCIONARIOS
Ele Por er
ome E
3 Imitmn- Ans por Sn 208 — mn.
por dur
ee ode
+4 faye Ley por bat Say bye,
10. Amt En + Ent As por Si do
nurrieieacion @ 73
(65 )MULTIPLICACION POR COEFICIENTES SEPARADOS
La multiplicación de polinomios por el Método de coeficientes sepa:
rados abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:
1) Multiplicación de dos polinomios que contengan una sola leira y
estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra.
(1) Multiplicar 9 — 224 +52 = 2 por 23? + 4-2
por coelickentes separados,
3- 24 5-2
Escribimos solamente los coeficiontes con sus
signos y efectuamos la mulilicación: —
8
DH 61546
64 B= 742-046
no del multiplicando tiene x y el primer lérmiso del
1, ol primer término del producto tendrá x* y como en los
factores el exponente de x disminuyo uno unidad an cada término, en el pro-
ducto el exponemo do x disminuirá también una unidad en coda término, le.
90 ol producto sardı
2)
Escribimos solamente los cooficontes,
pero como en el multiplicando folla
el término en 0? y en el muliplica-
dor falla el 1érminoena*escrbimos.
‘cero en los lugares correspondientes.
a esos étminos y tendtemos. —
1+0-642— 7
20412 4414
+44 0244 0-28
140-8464 5284222
Como al primer lármino del multiplicando tiene ot y el primero del mul
oder lona, el primar término del producto tendió a y como en os foto:
ros ol exponente de © disminaye de Uno en uno, en el producto tembién dit
init do uno on uno, logo el producto see
OBSERVACION
Si en ambos factores ol exponente de la lero común disminuye de dos en dos,
de tres an tres, de cuatro en cuatro, ale, na es necesario poner cero en los.
lugares correspondientes a los términos que falten; sólo hay quo tener presen-
to quo en ol producto, los exponentes también bojorán de dos en dos, de tros
en Mes, de eva en cuatro, ele,
2) Multiplicación de dos polinomios homogéneos que contengan sólo
‚on letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a un:
de las letras.
740 am
Un polinomio es homogéneo cuando tados sus términos son homogé-
neos, o sea, cuando la suma de los exponentes de las letras en cada término
¢ una cantidad constante,
El producto de dos polinomios homogéneos es otro polinomio ho-
mogénco.
Maltiplicar ot = Sat + Zaïnt — mt por %
‘por coeficientes saparados,
polinomio os homogéneo, porque la suma de los exponentes de los letras
‘en lodos los términos es 4 y el seguado también es homogéneo, porque le a tiene
de exponente 2 y lo m también tiene de exponente 2.
Escribimos solamonto los cocficientes, poniendo.
coro en el multiplicando en el lugar correspon:
diente ol tármina on an que falta y penien-
>
do cero en el mullipficodor on ol lugar corres: ER
IIS + 1941029 0+6
pondiente al lérmino en am que loli, y len-
domos: —
El primer término del producto tendrá 0° y, como el producto es homogéneo, la
suma de los exponentes de las leas en coda término se
Como en los factores, el oxponento de a disminuya ue unidad en cado lérmino
y al de m oumenta una wnidod en cado tétmino, en el producto se cumplirá la mis
ma ley, luego et producto serás
do Satin + 190% + 100%) — atm + Ame Ra
= EJERCICIO 45
Multiplicar por coelicientes separados:
L xt por x
2. paa por 207,
3. atan Beth} ab por a®—2ab402
POE por nt.
BORK por xt
©. a —Set—a +10 por
T Art BE 2 por dx! —8a2 10.
Bm! IIA por mFS soa.
PASO por a,
las Bat
por stay,
pe por ty
ee Mas HT.
10. x8¢2—5xe—Gxt-? por Ber ia
MULTIPLICACIÓN @ 75,
'RODUCTO CONTINUADO DE POLINOMIOS
=»
FR
2
3
4
5,
rs
7
(5)
Efectuar St + 3)lx— 2) e
Al pone ls lac ent pris a mii et ico
ts Gorin dos lavande a pede dedos Is ir je
tro maga pu lac’ oi y a ei a lo
1, Se cs cecuanos el peda 2-38" +9. Eto prado
mulfiplicomos por x—2 y tendremos: i ee
ann sage
Este producto so tl es
Bi eee sine
Een A 6 1542 — 18x,
En virtud de la Loy Asociativa de la muliplicación, podíamos también haber hallado,
al producto Selx +3 después ol producto lx ¿li Speo am
bos productos parciales, 4 We 216411 y luego mulip
cits ae
ei
Le as
AA+). 19. afa—Dla-2Xa—3)
(DA. LL RED:
i ne, a Eee Den.
en E Rar nee ie
MULTIPLICACION COMBINADA CON SUMA Y RESTA
1) Simpliticar {x de (x 4) +56 ~1)(x +2).
Pfectuaremos el primer producto (x-+3)(x—4); efectuaremos el segu
do producto Wx=1)(x-+2) y sumaremor ct
ur y 5 este segundo producto con el
(212) HR He) =
Efectuando el primer producto: (x + 3){x —4)
Efecttando el segundo sg en
nd und, AN
Sumando este segundo producto con et primero:
— 124088490
Axt hr
R.
Un polinomio es homogéneo cuando tados sus términos son homogé-
neos, o sea, cuando la suma de los exponentes de las letras en cada término
¢ una cantidad constante,
El producto de dos polinomios homogéneos es otro polinomio ho-
mogénco.
Maltiplicar ot = Sat + Zaïnt — mt por %
‘por coeficientes saparados,
polinomio os homogéneo, porque la suma de los exponentes de los letras
‘en lodos los términos es 4 y el seguado también es homogéneo, porque le a tiene
de exponente 2 y lo m también tiene de exponente 2.
Escribimos solamonto los cocficientes, poniendo.
coro en el multiplicando en el lugar correspon:
diente ol tármina on an que falta y penien-
>
do cero en el mullipficodor on ol lugar corres: ER
IIS + 1941029 0+6
pondiente al lérmino en am que loli, y len-
domos: —
El primer término del producto tendrá 0° y, como el producto es homogéneo, la
suma de los exponentes de las leas en coda término se
Como en los factores, el oxponento de a disminuya ue unidad en cado lérmino
y al de m oumenta una wnidod en cado tétmino, en el producto se cumplirá la mis
ma ley, luego et producto serás
do Satin + 190% + 100%) — atm + Ame Ra
= EJERCICIO 45
Multiplicar por coelicientes separados:
L xt por x
2. paa por 207,
3. atan Beth} ab por a®—2ab402
POE por nt.
BORK por xt
©. a —Set—a +10 por
T Art BE 2 por dx! —8a2 10.
Bm! IIA por mFS soa.
PASO por a,
las Bat
por stay,
pe por ty
ee Mas HT.
10. x8¢2—5xe—Gxt-? por Ber ia
MULTIPLICACIÓN @ 75,
'RODUCTO CONTINUADO DE POLINOMIOS
=»
FR
2
3
4
5,
rs
7
(5)
Efectuar St + 3)lx— 2) e
Al pone ls lac ent pris a mii et ico
ts Gorin dos lavande a pede dedos Is ir je
tro maga pu lac’ oi y a ei a lo
1, Se cs cecuanos el peda 2-38" +9. Eto prado
mulfiplicomos por x—2 y tendremos: i ee
ann sage
Este producto so tl es
Bi eee sine
Een A 6 1542 — 18x,
En virtud de la Loy Asociativa de la muliplicación, podíamos también haber hallado,
al producto Selx +3 después ol producto lx ¿li Speo am
bos productos parciales, 4 We 216411 y luego mulip
cits ae
ei
Le as
AA+). 19. afa—Dla-2Xa—3)
(DA. LL RED:
i ne, a Eee Den.
en E Rar nee ie
MULTIPLICACION COMBINADA CON SUMA Y RESTA
1) Simpliticar {x de (x 4) +56 ~1)(x +2).
Pfectuaremos el primer producto (x-+3)(x—4); efectuaremos el segu
do producto Wx=1)(x-+2) y sumaremor ct
ur y 5 este segundo producto con el
(212) HR He) =
Efectuando el primer producto: (x + 3){x —4)
Efecttando el segundo sg en
nd und, AN
Sumando este segundo producto con et primero:
— 124088490
Axt hr
R.
160 mm
2) Simplificar x{a- bj? -4x(a-+ Dj.
Elevar una cantidad al cuadrado equivale a multiplicanla por sí mis:
mai así (a—b)* equivale a (a—2)(a—b)-
Desarrollando. x(a~b)*.
ta by = xfat —2ab + 05) atx — Babs + bir.
Desarrollando. 4x(a + D)2,
Ax(a + by = fa? + Lab + 05) = date + Baba + 4%,
x — 2abx + biz — (da’x + Babx + 4%)
x —2abx + bx — date — Sabx — 4%.
Sax 10abx 30%, R.
Restando este segundo
producto del primero:
[> EJERCICIO 47
en aros
See ces
Sal) Bay, 14 qerb—o abre ,
A A
een e ee mr ea
PANAS ir ete Sey E vires
en fara nae agen
Bm
(a=20) a 19.
to near) Mental
SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION
CON PRODUCTOS INDICADOS
Ejemplos ] (1) Simplico 50H fo —2 fo += lets}
Un cocficionto colocado junto a un signo
do agropación nos indice que hay que mul.
Silao por codo uno delos Mines en. N]
ae Seal age opte Au ENGEN k
Se Coto millon ~ A por 0+, ,
er ee nie
En el crs de la operación podemos reduc mi 5
Rien A redondo ls minor ono. , SUE E CAIDO
fonts der del cordate, tenemon "7
fot jo + do 4 2b}
+ lo 4 2b}
Efectuando la: multiplicación de —2 por ,
Hal = Mo 2, R
(20 = b) tenemos: 4
20. ANNAN)
Cameros or sieuos 0-77
(2) Simpliiar — ate + y) = 4[—x-+24— xb 2y —3Ix— yD) — 24).
Mat y il +24 — xt 2y —3 [x y —2)) 21]
MY —A[— 424 x + 2y = Bi + Sy + 6) 2)
Bx = By Af x24 = de + Sy 6} 2]
‘Suprimiondo prime-
o el vinculo, ten
Aromen dy — A[— x 864 107 1226]
Ale Me Wy +12]
3x y An — Ay — 48
A Ay = 48, Ra
EJERCICIO 48
Simplifica
1. Bal
2. —(erh)-3Rath(—at2).
8. [Bray 229) (BD)
4 (2
O Fa).
6 ER EEE"
7. mm) m+ [de tA),
Bader) 42042 (—a+0—142(0-0)]).
D. Se) ly +29 3-1],
10. mp am
D RER A259) E
12. (ath) 3-20.80 —(a+b)+(~a-)+2{—a+b)] ap,
18. F-24044
A E A
(69) CAmBIOS DE SIGNOS EN LA MULTIPLICACION
Las reglas generales para los cambios de signos en la multiplicación
son las siguientes: (+0) (4b) =+ab y (ra) (b)=+ab,
1) Si se cambia el signo a un número par de factores, el signo del
producto o varia,
En electo: Sabemos que
¿Cta EEE Rate
donde vemos que cambiando el signo a dos factores el signo del pro
ducto no varía.
2) Simplificar x{a- bj? -4x(a-+ Dj.
Elevar una cantidad al cuadrado equivale a multiplicanla por sí mis:
mai así (a—b)* equivale a (a—2)(a—b)-
Desarrollando. x(a~b)*.
ta by = xfat —2ab + 05) atx — Babs + bir.
Desarrollando. 4x(a + D)2,
Ax(a + by = fa? + Lab + 05) = date + Baba + 4%,
x — 2abx + biz — (da’x + Babx + 4%)
x —2abx + bx — date — Sabx — 4%.
Sax 10abx 30%, R.
Restando este segundo
producto del primero:
[> EJERCICIO 47
en aros
See ces
Sal) Bay, 14 qerb—o abre ,
A A
een e ee mr ea
PANAS ir ete Sey E vires
en fara nae agen
Bm
(a=20) a 19.
to near) Mental
SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION
CON PRODUCTOS INDICADOS
Ejemplos ] (1) Simplico 50H fo —2 fo += lets}
Un cocficionto colocado junto a un signo
do agropación nos indice que hay que mul.
Silao por codo uno delos Mines en. N]
ae Seal age opte Au ENGEN k
Se Coto millon ~ A por 0+, ,
er ee nie
En el crs de la operación podemos reduc mi 5
Rien A redondo ls minor ono. , SUE E CAIDO
fonts der del cordate, tenemon "7
fot jo + do 4 2b}
+ lo 4 2b}
Efectuando la: multiplicación de —2 por ,
Hal = Mo 2, R
(20 = b) tenemos: 4
20. ANNAN)
Cameros or sieuos 0-77
(2) Simpliiar — ate + y) = 4[—x-+24— xb 2y —3Ix— yD) — 24).
Mat y il +24 — xt 2y —3 [x y —2)) 21]
MY —A[— 424 x + 2y = Bi + Sy + 6) 2)
Bx = By Af x24 = de + Sy 6} 2]
‘Suprimiondo prime-
o el vinculo, ten
Aromen dy — A[— x 864 107 1226]
Ale Me Wy +12]
3x y An — Ay — 48
A Ay = 48, Ra
EJERCICIO 48
Simplifica
1. Bal
2. —(erh)-3Rath(—at2).
8. [Bray 229) (BD)
4 (2
O Fa).
6 ER EEE"
7. mm) m+ [de tA),
Bader) 42042 (—a+0—142(0-0)]).
D. Se) ly +29 3-1],
10. mp am
D RER A259) E
12. (ath) 3-20.80 —(a+b)+(~a-)+2{—a+b)] ap,
18. F-24044
A E A
(69) CAmBIOS DE SIGNOS EN LA MULTIPLICACION
Las reglas generales para los cambios de signos en la multiplicación
son las siguientes: (+0) (4b) =+ab y (ra) (b)=+ab,
1) Si se cambia el signo a un número par de factores, el signo del
producto o varia,
En electo: Sabemos que
¿Cta EEE Rate
donde vemos que cambiando el signo a dos factores el signo del pro
ducto no varía.
780 aaa
9 Si se campia el signo a un número impar de factores, el signo del
producto vari
En efecto: Sabemos que
(rays b)= bab y (Fa(-b)=-ab o (-a)(+b)=—ab,
londe vemos que cambiando el signo a un factor el signo del producto
va
ido los factores sean polinomios, para cambiarles el signo hay que
cambiar el signo a cada uno de sus términos. Asi, en el producto (ab)
¢~d}, para cambiar el signo al factor (a— b), hay que escribir (b—a), don-
le vemos que a, que tenia +, ahora tiene — y D, que tenía —, tiene aho-
a 4; para cambiar el signo a (cd) hay que escribir (d=0)
Por tanto, como cambiando el signo Sog =
+ un factor el producto varia su signo, [CNE Be
Iendremos: DIS
AOC EC TES)
Tratándose de más de dos factores aplicamos las reglas generales que
nos dicen que cambiando el signo a un número par de factores el producto
no varia de signo y cambiando el signo a un número impar de factores el
producto varía de signo.
y como cambiando el signo a dos factores
cl producto no varia de signo, tendremos:
Asi, tendremos: (+ a){+ b)(+ 6)
Hal (i bee)
(hal B40) =— (hay b)lte)
Gate g= all
y tambien: attache
Gral Ob) = (+ a) oe
Eat bitrate bo.
(ino
a bled) =
7 a tyle— a) =n) =
(b= a{e~a)(m—n)
{a b){d — cjtm —n)
(b= ay(d—ayn—_m)
Si se trata de polin
mios, tendremos:
(bad im=n)
(a~byld—c)(n—m)
=ajte-dy(n- m)
y también: (a-bye-a)tm-n)=
la bye dim)
ta— b}(e— dim —
47 À Uma de los ms eden
coe ee
noria donas Mena y
yat propias ‘on fos famosos Didlogos,
valen et Times, Fed,
DIVISION
) LA DIVISION es una operación que tiene por objeto,
ducto de dos factores (dividendo) y uno de los
el otto factor (cociente).
De esta definición se deduce que
sor reproduce el dividendo.
Asi, la operación de
do el pro.
factores (divisor), hallar
el cociente multiplicado por el divi
ir 6a* entre 8a, que se indica 6a? + 3a 6 SE,
consiste en hallar una €
sidad, (cociente) es 2a.
Es evidente que Ga?
en %
antidad que multiplicada por da dé Gar. Esa cie
a = 3e, donde vemos que si el dividendo
vide entre el cociente nos da de cocieme lo que antes era divi
or.
(m) ter De Los sicnos
~ La ley de los signos en la división es la
isma que en la muleipli-
à ox iguales dan + y signos diferentes dan
En efecto:
de tab tangy
porque el co
'e multiplicado por el divisor tiene qu
signo y siendo el dividendo positivo, como el
dar el dividendo
divisor es positivo, el
79
capiruno Y
9 Si se campia el signo a un número impar de factores, el signo del
producto vari
En efecto: Sabemos que
(rays b)= bab y (Fa(-b)=-ab o (-a)(+b)=—ab,
londe vemos que cambiando el signo a un factor el signo del producto
va
ido los factores sean polinomios, para cambiarles el signo hay que
cambiar el signo a cada uno de sus términos. Asi, en el producto (ab)
¢~d}, para cambiar el signo al factor (a— b), hay que escribir (b—a), don-
le vemos que a, que tenia +, ahora tiene — y D, que tenía —, tiene aho-
a 4; para cambiar el signo a (cd) hay que escribir (d=0)
Por tanto, como cambiando el signo Sog =
+ un factor el producto varia su signo, [CNE Be
Iendremos: DIS
AOC EC TES)
Tratándose de más de dos factores aplicamos las reglas generales que
nos dicen que cambiando el signo a un número par de factores el producto
no varia de signo y cambiando el signo a un número impar de factores el
producto varía de signo.
y como cambiando el signo a dos factores
cl producto no varia de signo, tendremos:
Asi, tendremos: (+ a){+ b)(+ 6)
Hal (i bee)
(hal B40) =— (hay b)lte)
Gate g= all
y tambien: attache
Gral Ob) = (+ a) oe
Eat bitrate bo.
(ino
a bled) =
7 a tyle— a) =n) =
(b= a{e~a)(m—n)
{a b){d — cjtm —n)
(b= ay(d—ayn—_m)
Si se trata de polin
mios, tendremos:
(bad im=n)
(a~byld—c)(n—m)
=ajte-dy(n- m)
y también: (a-bye-a)tm-n)=
la bye dim)
ta— b}(e— dim —
47 À Uma de los ms eden
coe ee
noria donas Mena y
yat propias ‘on fos famosos Didlogos,
valen et Times, Fed,
DIVISION
) LA DIVISION es una operación que tiene por objeto,
ducto de dos factores (dividendo) y uno de los
el otto factor (cociente).
De esta definición se deduce que
sor reproduce el dividendo.
Asi, la operación de
do el pro.
factores (divisor), hallar
el cociente multiplicado por el divi
ir 6a* entre 8a, que se indica 6a? + 3a 6 SE,
consiste en hallar una €
sidad, (cociente) es 2a.
Es evidente que Ga?
en %
antidad que multiplicada por da dé Gar. Esa cie
a = 3e, donde vemos que si el dividendo
vide entre el cociente nos da de cocieme lo que antes era divi
or.
(m) ter De Los sicnos
~ La ley de los signos en la división es la
isma que en la muleipli-
à ox iguales dan + y signos diferentes dan
En efecto:
de tab tangy
porque el co
'e multiplicado por el divisor tiene qu
signo y siendo el dividendo positivo, como el
dar el dividendo
divisor es positivo, el
79
capiruno Y
80 © Aa
cociente tiene que ser positivo para que multiplicado por el divisor repro-
duzca el dividendo: (+ a) x(+5)=+ ab.
El cociente no puede ser —b porque multiplicado por el divisor no
ividendo: (+a) x(~b) =—ab.
=ab.
PA +b porque (=0)x (+
3 ab.
4.
En resumen: entre +da +
entre —da +
+ entre —da —
entre +da —
LEY DE LOS EXPONENTES
Para dividir potencias de la misma base se deja ka misma base y seb
pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el ex
ponente del divisor,
Sea el cociente a
‘a, Decimos que
atverieleociente de esta di da por el divisor a? repro-
duce el dividendo, y en efecto: a? x =a",
(a) LEY DE LOS COEFICIENTES
Fle we del cociente es el cociente de dividir el cocficieme del
dividendo entre el coeficiente del divisor.
En efecto:
Me? + Ba = da
da es el cociente porque dex 5a= Ont y vemos que el coeficiente del
cociente des el cociente de dividir 20 entre 5.
(54) casos DE LA Division
estudiaremos tres casos: 1) División de monomios. 2) División de
nio por un monomio. 3) División de dos polinomios,
un pol
pisos — @ BY
! DIVISION DE MONOMIOS
De acuerdo con las leyes anteriores, podemos enunciar la siguiente:
75) REGLA PARA DIVIDIR DOS MONOMIOS
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a
cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene
en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. EI signo lo da
la Ley de los signos.
Ejemplos | a) oi
Ab? entre — Zub.
Obsörvese que cuando en el dividendo hay uno letra que no existe en el
divisor, en este coso c, dicho lotra oporece en el cocionte. Sucede la mismo,
que si la € estuviera en el divisor con exponente caro porque tendriemas:
a
porque day? X (= Sox] = — may.
Obsérvese que tros iguoles en el dividendo y divisor se concelon porque su
cacionto es 1. Asi, en este coso, y? del dividondo se cancela con y? del dive.
sor, igual que en Aritmética suprimimos los factores comunes en el numo.
tador y deneminador de un quebrado.
También, de acuerdo con lo Ley de los exponentes ÿ* + y®=y#3 = yt y ve.
semos més adelanto que y°=1 y 1 como factor puede swprimirse en el
(AD Dividir — xy "a" entro Days.
yaya
any
re
cociente tiene que ser positivo para que multiplicado por el divisor repro-
duzca el dividendo: (+ a) x(+5)=+ ab.
El cociente no puede ser —b porque multiplicado por el divisor no
ividendo: (+a) x(~b) =—ab.
=ab.
PA +b porque (=0)x (+
3 ab.
4.
En resumen: entre +da +
entre —da +
+ entre —da —
entre +da —
LEY DE LOS EXPONENTES
Para dividir potencias de la misma base se deja ka misma base y seb
pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el ex
ponente del divisor,
Sea el cociente a
‘a, Decimos que
atverieleociente de esta di da por el divisor a? repro-
duce el dividendo, y en efecto: a? x =a",
(a) LEY DE LOS COEFICIENTES
Fle we del cociente es el cociente de dividir el cocficieme del
dividendo entre el coeficiente del divisor.
En efecto:
Me? + Ba = da
da es el cociente porque dex 5a= Ont y vemos que el coeficiente del
cociente des el cociente de dividir 20 entre 5.
(54) casos DE LA Division
estudiaremos tres casos: 1) División de monomios. 2) División de
nio por un monomio. 3) División de dos polinomios,
un pol
pisos — @ BY
! DIVISION DE MONOMIOS
De acuerdo con las leyes anteriores, podemos enunciar la siguiente:
75) REGLA PARA DIVIDIR DOS MONOMIOS
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a
cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene
en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. EI signo lo da
la Ley de los signos.
Ejemplos | a) oi
Ab? entre — Zub.
Obsörvese que cuando en el dividendo hay uno letra que no existe en el
divisor, en este coso c, dicho lotra oporece en el cocionte. Sucede la mismo,
que si la € estuviera en el divisor con exponente caro porque tendriemas:
a
porque day? X (= Sox] = — may.
Obsérvese que tros iguoles en el dividendo y divisor se concelon porque su
cacionto es 1. Asi, en este coso, y? del dividondo se cancela con y? del dive.
sor, igual que en Aritmética suprimimos los factores comunes en el numo.
tador y deneminador de un quebrado.
También, de acuerdo con lo Ley de los exponentes ÿ* + y®=y#3 = yt y ve.
semos més adelanto que y°=1 y 1 como factor puede swprimirse en el
(AD Dividir — xy "a" entro Days.
yaya
any
re
820 ALGEBRA.
EJERCICIO 49
Divi
=24 entre 8 “mn enue mn. 15: Bue entre ant
—63 entre — fax? entre dañó, 16,
sas entre a, Las entre dy. 1.
aes ent ts. Seg cre bey: IR
Foie entre Ds Cape enue 8e. 19
Hath entre ab. 13. Amin! entre BR 20 “am
Shy? 14. —tosetoees entre = Sn ns
ene Bey. entre „anime,
(5) Dividir orbe? entre athe,
ee yee) we que A
en er ob &
16) Dividir —3x%ly%-® entre — Sy,
SIE Lp aan
y Tr y 4
= EJERCICIO 50
1. a entre ama, Grammy entre axe.
2 entre er, Bato entre gar?
3 ar entre Bae 8 ares entre Sty
St ene dent dam bee entre ante,
ET 10. “Gad entre Garde
7) Divide athe entro = Sore
Zone
8
Sethe
m EJERCICIO 51
Dividir
1. det entre &, 1
2, — Farb entre 8.
Bop entre — a
= Farbe entre — 10,
5, Zu? entre 2 1 Zas.
Int? entre —Lantnpt sa
piviion @ 83
Il. DIVISION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
(16 )Sea (a+0=0)+m. Tendremos:
ató=e_a be
+b chm =
GERS =m mm
b
En efect E #7, & el cociente de la división porque multiplic
cado por el divisor reproduce el dividendo:
A AAC
b
m=“xm+-xm—Lxmaabb—e
maca ae m
Podemos, pues, enunciar Ja siguiente:
77) REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos,
Esta es la Ley Distributiva de la división,
(1) Dividir 308 = 604% 4+ 90b* entro do,
do? Cato + Fob _ Soh _ tab Yb?
E ECO
Ho 20b +388, R
(2) Dividir 20%) — botijo — agua entre — 2094,
(orb o — game) + Zt
aps
2e
[32° = 60%6 ab?) + 30 =
206"
16 gare eben at ape gas apura,
entre —2at* ape,
Gatb'—Ba0b?—a%b9 entre Jota
st-Gxt10x#416% entre —5x,
1 De Gmn®10mtnt-20ment 12m ent
2. axtyl—batet entre det. ‘entre 2m?
Y. a*—hab Gat? entre —2a. 10. ar+a®-1 entre a,
de dei entre x. 1 Dan-gant2+gamrt entre dad,
5. 4x"—10x8—5x4 entre 23%, 12 aulntanipnt2—awahnr4 entre ath?
6. Gm'—8min+20mnt entre 2m. 13 cmb pn ppem tigt entre x4,
7
8.
EJERCICIO 49
Divi
=24 entre 8 “mn enue mn. 15: Bue entre ant
—63 entre — fax? entre dañó, 16,
sas entre a, Las entre dy. 1.
aes ent ts. Seg cre bey: IR
Foie entre Ds Cape enue 8e. 19
Hath entre ab. 13. Amin! entre BR 20 “am
Shy? 14. —tosetoees entre = Sn ns
ene Bey. entre „anime,
(5) Dividir orbe? entre athe,
ee yee) we que A
en er ob &
16) Dividir —3x%ly%-® entre — Sy,
SIE Lp aan
y Tr y 4
= EJERCICIO 50
1. a entre ama, Grammy entre axe.
2 entre er, Bato entre gar?
3 ar entre Bae 8 ares entre Sty
St ene dent dam bee entre ante,
ET 10. “Gad entre Garde
7) Divide athe entro = Sore
Zone
8
Sethe
m EJERCICIO 51
Dividir
1. det entre &, 1
2, — Farb entre 8.
Bop entre — a
= Farbe entre — 10,
5, Zu? entre 2 1 Zas.
Int? entre —Lantnpt sa
piviion @ 83
Il. DIVISION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
(16 )Sea (a+0=0)+m. Tendremos:
ató=e_a be
+b chm =
GERS =m mm
b
En efect E #7, & el cociente de la división porque multiplic
cado por el divisor reproduce el dividendo:
A AAC
b
m=“xm+-xm—Lxmaabb—e
maca ae m
Podemos, pues, enunciar Ja siguiente:
77) REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos,
Esta es la Ley Distributiva de la división,
(1) Dividir 308 = 604% 4+ 90b* entro do,
do? Cato + Fob _ Soh _ tab Yb?
E ECO
Ho 20b +388, R
(2) Dividir 20%) — botijo — agua entre — 2094,
(orb o — game) + Zt
aps
2e
[32° = 60%6 ab?) + 30 =
206"
16 gare eben at ape gas apura,
entre —2at* ape,
Gatb'—Ba0b?—a%b9 entre Jota
st-Gxt10x#416% entre —5x,
1 De Gmn®10mtnt-20ment 12m ent
2. axtyl—batet entre det. ‘entre 2m?
Y. a*—hab Gat? entre —2a. 10. ar+a®-1 entre a,
de dei entre x. 1 Dan-gant2+gamrt entre dad,
5. 4x"—10x8—5x4 entre 23%, 12 aulntanipnt2—awahnr4 entre ath?
6. Gm'—8min+20mnt entre 2m. 13 cmb pn ppem tigt entre x4,
7
8.
OS
(3) Dive Joy Bat Bayt
m EJERCICIO 53
Dividir;
1
2.
3
4
5
a
1
0
KI, DIVISION DE DOS POLINOMIOS
La división de dos polinomios se verifica de acuerdo con la siguiente:
(5) REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS
Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divi-
sor y tendremos el primer término del cociente.
Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y
el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escri-
biendo cada término debajo de su semejante, Si algún término de exe
producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar
que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.
Se divide el primer término del resto entre el primer término del
divisor y tendremos el segundo término del cociente.
Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y
el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.
pivison 085
Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del
divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta
que el residuo sea cero.
3e+2-8 |x+2
=A
(1) Dividir 3:9 + 2x —8 entre x + 2. A ei
8
448
EXPLICACION:
El dividendo y el divisor estön ordenados en orden descendente con relación
Dividimos el primer término del dividendo 3x* ente el primero del divisor
x y tenemos Gr? + x=3x. Este es el primor término dol cociente.
Multplicamos 3x por cada uno de los términos del divisor y como estos pro:
ductos hay que rostarlos del dividendo, tendremos: 3x X x=3s%, para cestar
— Bei; 30% 2 = 6x, para restar —6x,
Éstos productos con sus signes cambiados los escribimos debajo de los tôt.
minos semejantes con ellos del dividendo y hacemos la reducción; nos da
ak y bojomos ol —8,
ividimos
ciente. Es
tor y testar los productos del divi
(4) x x= —4, para rotar + day (=4)X2=—8, para restor 8.
Escribimos estos términos debajo de sus semejantes y haciendo la reducción
os da cero de residuo.
=— 4 y esto os ol segundo término del co.
minos del divi
RAZON DE LA REGLA APLICADA
Dividir 3 2x —8 entre x +2 es hollor uno centidad que multiplicada por
x +2 nos dé 382 + 2x —8, do acuerdo con la definición do división.
El término 3x* que contiene la mayor potencia dé xen el dividendo tiene q
ser el producto del término quo tiene la mayor potencia de x on el divisor q
4 x por el término quo tengo la mayor potencia de x en el cociente, luego.
vidiendo 3x? + x = 3x tendremos el término que contieno la mayor potencia
de x en al cociente.
Hemos mulplicado 3x por x + 2 que nor da 3x x y este producto lo res
lames del dividendo, EI residuo es — 4x —
Esto residuo — dx —8, se considera como un nuevo dividendo, porque tione
que ser el producto del divisor x 4 2 por lo que aún nos folta del cociente.
Divido — 4 entre x y me da de cocionto —4.
Este es el segundo término del cociente, Mullplicando —4 por x +2 ob.
"468. Restando esto producto del dividendo — 4x — 8 mo da cero
de residvo. Luego 3x —4 es la cantidod quo multiplicada por el divisor x +2
nos da el dividendo 3x? + 23 — 8, luego 3x — 4 es el cogiento do la división.
(3) Dive Joy Bat Bayt
m EJERCICIO 53
Dividir;
1
2.
3
4
5
a
1
0
KI, DIVISION DE DOS POLINOMIOS
La división de dos polinomios se verifica de acuerdo con la siguiente:
(5) REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS
Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divi-
sor y tendremos el primer término del cociente.
Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y
el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escri-
biendo cada término debajo de su semejante, Si algún término de exe
producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar
que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.
Se divide el primer término del resto entre el primer término del
divisor y tendremos el segundo término del cociente.
Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y
el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.
pivison 085
Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del
divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta
que el residuo sea cero.
3e+2-8 |x+2
=A
(1) Dividir 3:9 + 2x —8 entre x + 2. A ei
8
448
EXPLICACION:
El dividendo y el divisor estön ordenados en orden descendente con relación
Dividimos el primer término del dividendo 3x* ente el primero del divisor
x y tenemos Gr? + x=3x. Este es el primor término dol cociente.
Multplicamos 3x por cada uno de los términos del divisor y como estos pro:
ductos hay que rostarlos del dividendo, tendremos: 3x X x=3s%, para cestar
— Bei; 30% 2 = 6x, para restar —6x,
Éstos productos con sus signes cambiados los escribimos debajo de los tôt.
minos semejantes con ellos del dividendo y hacemos la reducción; nos da
ak y bojomos ol —8,
ividimos
ciente. Es
tor y testar los productos del divi
(4) x x= —4, para rotar + day (=4)X2=—8, para restor 8.
Escribimos estos términos debajo de sus semejantes y haciendo la reducción
os da cero de residuo.
=— 4 y esto os ol segundo término del co.
minos del divi
RAZON DE LA REGLA APLICADA
Dividir 3 2x —8 entre x +2 es hollor uno centidad que multiplicada por
x +2 nos dé 382 + 2x —8, do acuerdo con la definición do división.
El término 3x* que contiene la mayor potencia dé xen el dividendo tiene q
ser el producto del término quo tiene la mayor potencia de x on el divisor q
4 x por el término quo tengo la mayor potencia de x en el cociente, luego.
vidiendo 3x? + x = 3x tendremos el término que contieno la mayor potencia
de x en al cociente.
Hemos mulplicado 3x por x + 2 que nor da 3x x y este producto lo res
lames del dividendo, EI residuo es — 4x —
Esto residuo — dx —8, se considera como un nuevo dividendo, porque tione
que ser el producto del divisor x 4 2 por lo que aún nos folta del cociente.
Divido — 4 entre x y me da de cocionto —4.
Este es el segundo término del cociente, Mullplicando —4 por x +2 ob.
"468. Restando esto producto del dividendo — 4x — 8 mo da cero
de residvo. Luego 3x —4 es la cantidod quo multiplicada por el divisor x +2
nos da el dividendo 3x? + 23 — 8, luego 3x — 4 es el cogiento do la división.
86
(2) Dividir 284220)? May ento An. =
; BE = 3072 |
Ordenondo dividendo y divisor on or Las.
Sn dem con rección x ter: — 2 25m Tat by,
a een Mt ap
pres
EXPLICACION
Dividimos 2B6® + Ar =7x, Esto primer término del cociento lo mullplicamos
por coda uno de los léminos del diviton 7x x 4x=28e, para, restar
Path TR K By) = — y, pora estar + Sy. Escibimos eis términos
debojo de sis semejontes en el dividendo y les reducimos. El resdoo es
Day = 207%. Divido el primer término del residuo entre o primero del divisor
4. Este es el segundo término del cociente.
Muliplico 6y por cada uno de los términos del divisor. &y X
testar — 24, 6 X(—5y)= — 207, para restar +30y%,
támminos debajo de sus semejantes y haciendo la seducción nos de coro de
resido. 7x + dy es ol cociente de la división.
EJERCICIO 54
Dividi
"420-3 entre a3. 12. Gu2—1mn-b6m? entre mn.
20-3 entre a+l. 13. 3nt-Stmt+ldmn entre Sn-Dm.
K-204x entre x+5- 14. 1492438411) entre 8-17.
16. 0-38 entre x=y.
10. atu Bat2—202—B4 entre a-b.
AT. e deta entre x43,
: aa entre a+l.
a
5e48ab-215° entre at. 20. Qxt—x—BhTx entre 2x43.
‘Met—12422« entre 7x3. 91. By} 5y*—12y410 entre 242.
Rat 12ab-4b entre ba. 22, am-am-2a entre ama,
33. 1at+Mabt-95a2b-106% entre de—5b.
26 1ms-Imönt-5mtntämdnttämmt-nt entre Bm—n,
PRUEBA DE LA DIVISION
Puede verificarse, cuando la división es exacta, multiplicando cl divi-
sor por el cociente, debiendo darnos el dividendo si la operación está co-
recta,
43) Dividir 20° — 2 — 4x entro 2-+2x,
visor debemos tener presento
que en el dividendo falta el lér-
mino en x, luego debemos de-
jor un lugar para ese lármino:
m @ 87
(4) Dividir 30° 4 100% + 64o%b* — 21atb + Bob! entro 0° — dab — ob,
‘Ordenando con relación a la a en orden descendente:
30 — Dat + 10096? + 640°" + 32ab¢ | oF — Sab — dab
Bot Both 36 = bab
oth + 2206? + both
Gb — Mab? — Moibt
= 8096? + 400% + a2obt
Bab? — 40a" — S2abt
AP Didi Ey x — 28998 entre a 8 pt,
Al ordenar el dividendo tenemos #8 = xy! xty0— 810.
‘Aqui podemos observar que flan os términos on xy en xy”, dejramos
pues un espacio en xt! y 0) para el lámina en x)? y otro espa
cio entre «9% —x%y"® para término an x'y* y tendremos:
ee Libba may! ht
+ aye M ty R
Tu ao
sie = np a
16) Dividir Yo" 00" — 460" + 92 entre 8 — 30? — 6a,
Ordenoremos en orden ascendente porque con ello logramos que el primer
érmino del divisor sea positivo, lo cual siempro cs més cómodo. Ademös,
como on ol dividendo faltan los términos en ot y en a dejaremos los lugores
vacios correspondientes y tendremos:
RAM da? | B= 6a — 30?
AH 30200 Re
Net
— Da + 180+ Ja
= 6a +2008
Neo — 120? — éot
Bo — Gat —
Bath da
EJERCICIO 55
Dividir:
at—at—2a—1 entre at4a+1,
xPpLoxt—De entre x2—2045,
m>—Bmnta+20mend—Lomint entre mi=2mn-Bn?.
xtoxt=2e—1 entre xx.
NOG DIT add entre XA,
(2) Dividir 284220)? May ento An. =
; BE = 3072 |
Ordenondo dividendo y divisor on or Las.
Sn dem con rección x ter: — 2 25m Tat by,
a een Mt ap
pres
EXPLICACION
Dividimos 2B6® + Ar =7x, Esto primer término del cociento lo mullplicamos
por coda uno de los léminos del diviton 7x x 4x=28e, para, restar
Path TR K By) = — y, pora estar + Sy. Escibimos eis términos
debojo de sis semejontes en el dividendo y les reducimos. El resdoo es
Day = 207%. Divido el primer término del residuo entre o primero del divisor
4. Este es el segundo término del cociente.
Muliplico 6y por cada uno de los términos del divisor. &y X
testar — 24, 6 X(—5y)= — 207, para restar +30y%,
támminos debajo de sus semejantes y haciendo la seducción nos de coro de
resido. 7x + dy es ol cociente de la división.
EJERCICIO 54
Dividi
"420-3 entre a3. 12. Gu2—1mn-b6m? entre mn.
20-3 entre a+l. 13. 3nt-Stmt+ldmn entre Sn-Dm.
K-204x entre x+5- 14. 1492438411) entre 8-17.
16. 0-38 entre x=y.
10. atu Bat2—202—B4 entre a-b.
AT. e deta entre x43,
: aa entre a+l.
a
5e48ab-215° entre at. 20. Qxt—x—BhTx entre 2x43.
‘Met—12422« entre 7x3. 91. By} 5y*—12y410 entre 242.
Rat 12ab-4b entre ba. 22, am-am-2a entre ama,
33. 1at+Mabt-95a2b-106% entre de—5b.
26 1ms-Imönt-5mtntämdnttämmt-nt entre Bm—n,
PRUEBA DE LA DIVISION
Puede verificarse, cuando la división es exacta, multiplicando cl divi-
sor por el cociente, debiendo darnos el dividendo si la operación está co-
recta,
43) Dividir 20° — 2 — 4x entro 2-+2x,
visor debemos tener presento
que en el dividendo falta el lér-
mino en x, luego debemos de-
jor un lugar para ese lármino:
m @ 87
(4) Dividir 30° 4 100% + 64o%b* — 21atb + Bob! entro 0° — dab — ob,
‘Ordenando con relación a la a en orden descendente:
30 — Dat + 10096? + 640°" + 32ab¢ | oF — Sab — dab
Bot Both 36 = bab
oth + 2206? + both
Gb — Mab? — Moibt
= 8096? + 400% + a2obt
Bab? — 40a" — S2abt
AP Didi Ey x — 28998 entre a 8 pt,
Al ordenar el dividendo tenemos #8 = xy! xty0— 810.
‘Aqui podemos observar que flan os términos on xy en xy”, dejramos
pues un espacio en xt! y 0) para el lámina en x)? y otro espa
cio entre «9% —x%y"® para término an x'y* y tendremos:
ee Libba may! ht
+ aye M ty R
Tu ao
sie = np a
16) Dividir Yo" 00" — 460" + 92 entre 8 — 30? — 6a,
Ordenoremos en orden ascendente porque con ello logramos que el primer
érmino del divisor sea positivo, lo cual siempro cs més cómodo. Ademös,
como on ol dividendo faltan los términos en ot y en a dejaremos los lugores
vacios correspondientes y tendremos:
RAM da? | B= 6a — 30?
AH 30200 Re
Net
— Da + 180+ Ja
= 6a +2008
Neo — 120? — éot
Bo — Gat —
Bath da
EJERCICIO 55
Dividir:
at—at—2a—1 entre at4a+1,
xPpLoxt—De entre x2—2045,
m>—Bmnta+20mend—Lomint entre mi=2mn-Bn?.
xtoxt=2e—1 entre xx.
NOG DIT add entre XA,
BB © aus
ea ee
ie net
raies
eg
10. 22a%bt—Satd2+a%—40ab* entre a*b—2ab?-1009.
it apa aa as cian
en
Me
i Rr a
tree ne erate
18. yr Ay E entre y 20 =
en
er re
ee or Sore a a OT
à étonne
N ee
Re en Rte ES
Fa Ve emote = ay
DE GB «y entre LR AL D
ne IA
rer
in fier oa
een
ser,
Bee
Fine
Ne
me
(20) vrvision DE POLINOMIOS CON EXPONENTES LITERALES
(1) Dividir 308-4 1908 — rat — gar y gor
entre of = 3045,
Ordenando en orden descendente con rolación a la 0, tendremos:
Doo — 100% + Ir — a" + Sat | da
2" + Got — 50H
pivison @ 89
EXPLICACION
La di ter.
La diviión — a Hat? an,
ladiviien azo? om am,
(2) Dividir 388 — 17282 4 a Goo Je a — ZE oo 3001 — 2459 = At,
‘Ordenames en orden descendente con relación. x y tendremos:
ee ne | set geht aa
ne ewer ies wi
bet Tbe + es
SOL EE Beet
EXPLICACION
en shat
peu eat
La división — Bee #4 = Jen = — gate a te
La diviión PI Den e
EJERCICIO 56
Dividir:
ariba entre afl.
IRSA adn entre Ki
tan 8464351 me entre mild.
a ann tant LR entre ab art,
noO gare Dune gun EDEN entre xt Det
RIRS entre as #20 ar,
aa A Bat Dat entre aa
CT nn
IAN A entre reine,
A A Da entre ata
amamos entre arr
arab 4b" entre amb,
pu patea Gait 44608 —9Oa9+4 entre ato Gab
AR ee ON entre =>
Arten
ea ee
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10. 22a%bt—Satd2+a%—40ab* entre a*b—2ab?-1009.
it apa aa as cian
en
Me
i Rr a
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18. yr Ay E entre y 20 =
en
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ee or Sore a a OT
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N ee
Re en Rte ES
Fa Ve emote = ay
DE GB «y entre LR AL D
ne IA
rer
in fier oa
een
ser,
Bee
Fine
Ne
me
(20) vrvision DE POLINOMIOS CON EXPONENTES LITERALES
(1) Dividir 308-4 1908 — rat — gar y gor
entre of = 3045,
Ordenando en orden descendente con rolación a la 0, tendremos:
Doo — 100% + Ir — a" + Sat | da
2" + Got — 50H
pivison @ 89
EXPLICACION
La di ter.
La diviión — a Hat? an,
ladiviien azo? om am,
(2) Dividir 388 — 17282 4 a Goo Je a — ZE oo 3001 — 2459 = At,
‘Ordenames en orden descendente con relación. x y tendremos:
ee ne | set geht aa
ne ewer ies wi
bet Tbe + es
SOL EE Beet
EXPLICACION
en shat
peu eat
La división — Bee #4 = Jen = — gate a te
La diviión PI Den e
EJERCICIO 56
Dividir:
ariba entre afl.
IRSA adn entre Ki
tan 8464351 me entre mild.
a ann tant LR entre ab art,
noO gare Dune gun EDEN entre xt Det
RIRS entre as #20 ar,
aa A Bat Dat entre aa
CT nn
IAN A entre reine,
A A Da entre ata
amamos entre arr
arab 4b" entre amb,
pu patea Gait 44608 —9Oa9+4 entre ato Gab
AR ee ON entre =>
Arten
90. @ mes
DIVISION DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES
FRACCIONARIOS
, lo mismo
y el cociente por el divisor, deben
que los quebrados que se oblienen al mul
teducite @ 30 més simplo expresión.
m EJERCICIO 57
Divi
Le tee le
taeda
Jats Loy de entre x.
do Bey a Bag Ly eme de Lay ya
Fe tl — d+ Sab entre a
208.4 Linn — enire Ent = mn,
parto
cocer are @ 91
(62) vivision DE POLINOMIOS POR EL METODO
DE COEFICIENTES SEPARADOS
.. La división por coeficientes separados, que abrevia mucho la opera:
ción, puede usarse en los mismos casos que en la multiplicación.
2) División de dos polinomios que contengan una sola letra y estén
ordenadas en el mismo orden con relación a esa letra,
Dividir 8x0 — 16s + 6x1 + 2442 4 18:35 entro 4404 dh
=$ por coeficientes separados.
Escribimos solomente los coeficientes con sus signos teniendo cuidado de poner coro.
donde folte clgún término y se electón la división con ellos: E
16464 0+24+18—96 | 4+0+3=6
—8- 0-6+12 24404
1640412424
16+0-+12—24
FE 041926
= 018438
El primor término del cociente tiene » porque proviene de dividir x entre 2% y
‘como en ul dividendo y divisor el exponento de x disminuye una unidod en coda té.
ino, en el cociento también disminuirá uno unidad en cada término, luego el co:
ciento ef
2) División de dos polinomios homogéneos que contengan solamente
dos letras.
Dividir of — 7atb + ieh? — 27 ob? + 3006 — 24b* entra ei
— Bob + 4b? por coeficientes separados.
Tondromos: 174217 +3824 |1-3+4
4 1=445=6
52438
- 5415-20
EI primer Hérmino del cociento tiene 0° porque provieno do dividir oF entre of,
Como el caciente es homogéneo y en el dividendo y divisor el exponente de a di
minuye una unidad en cada Iérmino y el de b aumenta una unidad en cada término,
el cociente sordı
DIVISION DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES
FRACCIONARIOS
, lo mismo
y el cociente por el divisor, deben
que los quebrados que se oblienen al mul
teducite @ 30 més simplo expresión.
m EJERCICIO 57
Divi
Le tee le
taeda
Jats Loy de entre x.
do Bey a Bag Ly eme de Lay ya
Fe tl — d+ Sab entre a
208.4 Linn — enire Ent = mn,
parto
cocer are @ 91
(62) vivision DE POLINOMIOS POR EL METODO
DE COEFICIENTES SEPARADOS
.. La división por coeficientes separados, que abrevia mucho la opera:
ción, puede usarse en los mismos casos que en la multiplicación.
2) División de dos polinomios que contengan una sola letra y estén
ordenadas en el mismo orden con relación a esa letra,
Dividir 8x0 — 16s + 6x1 + 2442 4 18:35 entro 4404 dh
=$ por coeficientes separados.
Escribimos solomente los coeficientes con sus signos teniendo cuidado de poner coro.
donde folte clgún término y se electón la división con ellos: E
16464 0+24+18—96 | 4+0+3=6
—8- 0-6+12 24404
1640412424
16+0-+12—24
FE 041926
= 018438
El primor término del cociente tiene » porque proviene de dividir x entre 2% y
‘como en ul dividendo y divisor el exponento de x disminuye una unidod en coda té.
ino, en el cociento también disminuirá uno unidad en cada término, luego el co:
ciento ef
2) División de dos polinomios homogéneos que contengan solamente
dos letras.
Dividir of — 7atb + ieh? — 27 ob? + 3006 — 24b* entra ei
— Bob + 4b? por coeficientes separados.
Tondromos: 174217 +3824 |1-3+4
4 1=445=6
52438
- 5415-20
EI primer Hérmino del cociento tiene 0° porque provieno do dividir oF entre of,
Como el caciente es homogéneo y en el dividendo y divisor el exponente de a di
minuye una unidad en cada Iérmino y el de b aumenta una unidad en cada término,
el cociente sordı
Re 4
EJERCICIO 58
Dividir por coeficientes separados:
siatpxtox enue sabe,
PODA entre I= BPA.
atra bo —a1b%412a*b"13a*b*4Tabi—be entre a?—2ab+-b%,
42m —5món + 20m’n*-10mint-10mm°—n® entre m!-Amni-nt,
2x0 5815 entre x +25.
TAE A2al—20AS entre aldea dal
IT TOA SL AGO entre 3x8 0,
5m m tt 19m 001 mt 192. S7mtAS entre mt Tm Omt-15,
DGI Bay" entre 22 47%,
Ga 120" Zutat ar 380? Ade+14 entre a 2a ba~%
1% ns Gn Ldn AID 16 entre Pda Sn,
Bx Ay Bee DOI E By A9 entre SRH.
ADN PO) DRE tnt GIE entre
PA ya
an +2 Jam '1—5a"4+20a"—1— 25a" entre add.
Tait 425084 Gare Ta 25
Ge O TAB ADAN entre
Bee aoe ted,
Gain Date + DRAMA AEA LGA entre at tee gares
COCIENTE MIXTO
En todos los casos de división estudiados hasta ahora el dividendo era
divisible exactamente por el divisor. Cuando cl dividendo no es divisible
exactamente por el divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y
esto origina los cocientes mixtos, asi llamados porque constan de entero y
quebrado.
Cuando la división no es exacta debemos detenerla cuando el primer
término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con
relación a una misma letra, o sca, cuando el exponente de una letra en cl
residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor y suma:
‘mos al cociente el quebrado que se forma, poniendo por numerador el re-
siduo y por denominador et di
vaton mumenico 0:93
Aa 6 |x+
(1) Dividir x? =x—6 entre x +3.
El residuo no tiene x, | que es de grado cero con relación a la x y el divisor
es de primer grado’ con relación a la x, luego aquí detenemos la divikön
‘porque el residuo es de grado inferior al divior. Ahora añadimos al co.
6
iento x—4 el quebrado — de mado semejante a come pracedemos en
Avitmético cuondo nos sobra un residuo.
(2) Divide de = doo? = Ant en n° como mt = at
bt — habe? — Baa doa RE nt
mo mt
EA nt ER,
= Amin + dnt Amt
A mt
2m 04
Hemos detenido la operación ol ser el primer termina del residuo 2008 on el
cual la m lene de exponente 1 mientas que en el primer lérmino del
la m fieno do exponento 2 y homos añadido ol cociante el quebrado
forma poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor.
NOTA
En el número 190, una vez conocidos los cambios de signos en las fracciones,
+0 Hatoró esta materia más ompliamente.
M EJERCICIO 59
Hallar el cociente mixto de:
18. Ba!—Ga*-+5ab*—959 entre 2a—30,
A O
1. et entre at, 8. xp? entre xy.
2. 0142 entre a. Dates entre La
3 E 10. My" entre 5-9.
4 20a°h-+80°74+7ab* entre da? U. 6498 entre xy.
E 478110 entre x 12 Asis entre xD.
7
4) VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
— CON EXPONENTES ENTEROS PARA VALORES
POSITIVOS Y NEGATIVOS
Conociendo ya las operaciones fundamentales con cantidades negati-
así como las reglas de los signos en la multiplicación y división, pode
llar el valor de expresiones algebraicas para cualesquiera valores de
mos
las letras, teniendo presente lo
EJERCICIO 58
Dividir por coeficientes separados:
siatpxtox enue sabe,
PODA entre I= BPA.
atra bo —a1b%412a*b"13a*b*4Tabi—be entre a?—2ab+-b%,
42m —5món + 20m’n*-10mint-10mm°—n® entre m!-Amni-nt,
2x0 5815 entre x +25.
TAE A2al—20AS entre aldea dal
IT TOA SL AGO entre 3x8 0,
5m m tt 19m 001 mt 192. S7mtAS entre mt Tm Omt-15,
DGI Bay" entre 22 47%,
Ga 120" Zutat ar 380? Ade+14 entre a 2a ba~%
1% ns Gn Ldn AID 16 entre Pda Sn,
Bx Ay Bee DOI E By A9 entre SRH.
ADN PO) DRE tnt GIE entre
PA ya
an +2 Jam '1—5a"4+20a"—1— 25a" entre add.
Tait 425084 Gare Ta 25
Ge O TAB ADAN entre
Bee aoe ted,
Gain Date + DRAMA AEA LGA entre at tee gares
COCIENTE MIXTO
En todos los casos de división estudiados hasta ahora el dividendo era
divisible exactamente por el divisor. Cuando cl dividendo no es divisible
exactamente por el divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y
esto origina los cocientes mixtos, asi llamados porque constan de entero y
quebrado.
Cuando la división no es exacta debemos detenerla cuando el primer
término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con
relación a una misma letra, o sca, cuando el exponente de una letra en cl
residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor y suma:
‘mos al cociente el quebrado que se forma, poniendo por numerador el re-
siduo y por denominador et di
vaton mumenico 0:93
Aa 6 |x+
(1) Dividir x? =x—6 entre x +3.
El residuo no tiene x, | que es de grado cero con relación a la x y el divisor
es de primer grado’ con relación a la x, luego aquí detenemos la divikön
‘porque el residuo es de grado inferior al divior. Ahora añadimos al co.
6
iento x—4 el quebrado — de mado semejante a come pracedemos en
Avitmético cuondo nos sobra un residuo.
(2) Divide de = doo? = Ant en n° como mt = at
bt — habe? — Baa doa RE nt
mo mt
EA nt ER,
= Amin + dnt Amt
A mt
2m 04
Hemos detenido la operación ol ser el primer termina del residuo 2008 on el
cual la m lene de exponente 1 mientas que en el primer lérmino del
la m fieno do exponento 2 y homos añadido ol cociante el quebrado
forma poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor.
NOTA
En el número 190, una vez conocidos los cambios de signos en las fracciones,
+0 Hatoró esta materia más ompliamente.
M EJERCICIO 59
Hallar el cociente mixto de:
18. Ba!—Ga*-+5ab*—959 entre 2a—30,
A O
1. et entre at, 8. xp? entre xy.
2. 0142 entre a. Dates entre La
3 E 10. My" entre 5-9.
4 20a°h-+80°74+7ab* entre da? U. 6498 entre xy.
E 478110 entre x 12 Asis entre xD.
7
4) VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
— CON EXPONENTES ENTEROS PARA VALORES
POSITIVOS Y NEGATIVOS
Conociendo ya las operaciones fundamentales con cantidades negati-
así como las reglas de los signos en la multiplicación y división, pode
llar el valor de expresiones algebraicas para cualesquiera valores de
mos
las letras, teniendo presente lo
94@ arcón
'OTENCIAS DE CANTIDADES NEGATIVAS
) ‘Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, porque
equivale a un producto en que entra un múmero par de factores negativos.
Así, (-2°=+ 4 porque (-2P=(=2) x(—2)
+ 16 porque (2)
(2) =+256 porque (-2)!=(—2)0x (2) = (+ 64) x (4-4) = + 256.
y asf sucesivamente.
En general, siendo N un nümero entero se tiene: (-
y
2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativo porque
equivale a un producto en que entra un número impar de factores ne-
gativos.
Asi, (= 2
— 8 porque =P)
— 32 porque (—2) = (—2)8> (— 2) = (+ 16) x (
128 porque (29 = (0% (—2)= (+68) x (
y asi sucesivamente.
En general, se tiene: (—a)*
aa,
(1) Valor numérico de x° — Axt + 2x — 4 pora x=
Sep eer de
(2-30 2P+21-2) —4
=—8-314) 4 2(-2]-4
Pa
E
wi SUES) EI
6 3
Seren
4-1-61+1- 201427
=446-30427=7. R
Nora
Para ejercicios de valor numérico de expresiones algebraicos con exponantos
nto, nogatives o fraccianarios, véase Teoria de ox Exponentes, pág. 4
MISCELANEA DE LAS OPERACIONES sUNDAMtNTALES © 95
® EJERCICIO 60
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para
1 at-2ab4b, 6. (Eye
2. dal—4atb + dalt, AS
3. at—Bat+2ac—Bbe, TIO
“Ba Bat Meiner. 8. (+b+-(a-b-die,
5. (ab be ame). 9, M2a+0)—da(b+c)=20la=b),
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para
=-L men
10.
1 (=x) + (xy + 8 nx mM).
1h) ++) Ey mr) 40 GF HM,
18. (x —2y) (En — 4m) + 4042-7
e
sE
El
AB xix 7 +m) (y) (98+ P=) + (IE (m8 — 2)
DEEE
[EJERCICIO 61
MISCELANEA
SOBRE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION
1 A las 7 a.m, el cermômeuro marca 45° y de las 7 a las 10 a.m. baja
a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 am. 9 ath.
y 10 am.
% Tomando como escala 1 em=10 m, represonar gr
quico Bet ado 410 m de A Y ar po © St
tea,
mente que un
ado a 36 m
3
4 y que añadir a Gx?—5x-h6 para que la suma sea 3x?
© Restar 20 +he-5 de 3 y sumar
6 cat Beta
7 Simplificar (ty) (NENE
8 Valor numérico de 3(a+0)-4(c-0)+- para a=2, b=3, c=1.
9 Restar st—aey-ty2 de gx?—sy? y sumar la diferencia con el resultado
de restar Gytx? de 2x?45xy4-6y2,
'OTENCIAS DE CANTIDADES NEGATIVAS
) ‘Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, porque
equivale a un producto en que entra un múmero par de factores negativos.
Así, (-2°=+ 4 porque (-2P=(=2) x(—2)
+ 16 porque (2)
(2) =+256 porque (-2)!=(—2)0x (2) = (+ 64) x (4-4) = + 256.
y asf sucesivamente.
En general, siendo N un nümero entero se tiene: (-
y
2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativo porque
equivale a un producto en que entra un número impar de factores ne-
gativos.
Asi, (= 2
— 8 porque =P)
— 32 porque (—2) = (—2)8> (— 2) = (+ 16) x (
128 porque (29 = (0% (—2)= (+68) x (
y asi sucesivamente.
En general, se tiene: (—a)*
aa,
(1) Valor numérico de x° — Axt + 2x — 4 pora x=
Sep eer de
(2-30 2P+21-2) —4
=—8-314) 4 2(-2]-4
Pa
E
wi SUES) EI
6 3
Seren
4-1-61+1- 201427
=446-30427=7. R
Nora
Para ejercicios de valor numérico de expresiones algebraicos con exponantos
nto, nogatives o fraccianarios, véase Teoria de ox Exponentes, pág. 4
MISCELANEA DE LAS OPERACIONES sUNDAMtNTALES © 95
® EJERCICIO 60
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para
1 at-2ab4b, 6. (Eye
2. dal—4atb + dalt, AS
3. at—Bat+2ac—Bbe, TIO
“Ba Bat Meiner. 8. (+b+-(a-b-die,
5. (ab be ame). 9, M2a+0)—da(b+c)=20la=b),
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para
=-L men
10.
1 (=x) + (xy + 8 nx mM).
1h) ++) Ey mr) 40 GF HM,
18. (x —2y) (En — 4m) + 4042-7
e
sE
El
AB xix 7 +m) (y) (98+ P=) + (IE (m8 — 2)
DEEE
[EJERCICIO 61
MISCELANEA
SOBRE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION
1 A las 7 a.m, el cermômeuro marca 45° y de las 7 a las 10 a.m. baja
a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 am. 9 ath.
y 10 am.
% Tomando como escala 1 em=10 m, represonar gr
quico Bet ado 410 m de A Y ar po © St
tea,
mente que un
ado a 36 m
3
4 y que añadir a Gx?—5x-h6 para que la suma sea 3x?
© Restar 20 +he-5 de 3 y sumar
6 cat Beta
7 Simplificar (ty) (NENE
8 Valor numérico de 3(a+0)-4(c-0)+- para a=2, b=3, c=1.
9 Restar st—aey-ty2 de gx?—sy? y sumar la diferencia con el resultado
de restar Gytx? de 2x?45xy4-6y2,
96 © aan
10.
u,
2
13
4
15.
10,
1%
18.
19,
20.
a
2.
2
28,
35.
20
2.
28.
29.
30.
2x 2Xt10x, 60-6843 entre
Restar el cociente de Lat — Lab? +7,03 entre Lat 4b de Lat 4 ab 4 be,
Restar la suma de ~Bab2—08 y 2atb4+Bab2—b8 de at=ab409 y la dife-
rencia multiplicarla. por «—ab+6%,
Restar la suma de xI-botAs, —65—Gu#3, —8x448x—3 de 2x16?
-+5x412 y dividir esta diferencia entre «ix 45,
Probar que REPO ACA) A) O) +21).
Hallar el valor numérico de (+49 FG —42(cH9)(6=)) para
¿Qué expresión hay que sumar a la suma de wh, x=6 y x942048 para
obtener Bat—dx4+-87
Restar —[3e+(—b+0)-204b)p de —2(a+0)=(a—0)].
Multiplicar SH] por 8et(2e to).
estar cociente ra Hei ento as ea de
Sl
Probar que. {x?=(8e+2)) (4x +0)]=xt0é—d (1340)
¿Qué expresión hay que sumar al producto de
Imst) arte 911201936293) para obtener Bety +B
+3" de cero. y multiplicar la diferencia por el cociente
ee pS
Simplificar («HI
VE sue fF ae VE
¿Por cuál expresión hay que divi
S45 para obtener x)
Simplificar 4x*—{3x—-G?—TFa)} 4 {x4(-3)}] y hallar su valor
para +=
¿De cuál expresión hay que restar —18x44-4y7491x—45_para que la
diferencia dividida entre 341-3 dé como codente x
Probar que (af b2)(a+bYa~b)=at—[92+2(0+2)—4(a+})—atb4}
Restar —xI=óx%+6 de 3 y sumar la diferencia con la suma de si=x+2
Y pa).
Hallar el valor numérico de
25.
el cociente de xt4Bxi—4x—19 entre
fuctiors
i matamiticos
métode >
Ghat cate got acs se marier ee
“sie XIX: La piedra angular de u ques
a y slo una" Eire en
og té Pam
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
Ni PRODUCTOS NOTABLES
(86) se
Fijas y cuyo re
sin verificar la mu
(08 notables a ciertos productos que cumplen reglas
ede ser escrito por simple inspección, es decir,
(9) @unonADo DE LA sumA DE Dos CANTIDADES
E
plicar este
ar al cuadrado a4 b equivale a multi
inomio por sí mismo y tendremos:
(E
Efecu
ducto,
nis el duplo de la pr
dal
ado ale La segun
9
10.
u,
2
13
4
15.
10,
1%
18.
19,
20.
a
2.
2
28,
35.
20
2.
28.
29.
30.
2x 2Xt10x, 60-6843 entre
Restar el cociente de Lat — Lab? +7,03 entre Lat 4b de Lat 4 ab 4 be,
Restar la suma de ~Bab2—08 y 2atb4+Bab2—b8 de at=ab409 y la dife-
rencia multiplicarla. por «—ab+6%,
Restar la suma de xI-botAs, —65—Gu#3, —8x448x—3 de 2x16?
-+5x412 y dividir esta diferencia entre «ix 45,
Probar que REPO ACA) A) O) +21).
Hallar el valor numérico de (+49 FG —42(cH9)(6=)) para
¿Qué expresión hay que sumar a la suma de wh, x=6 y x942048 para
obtener Bat—dx4+-87
Restar —[3e+(—b+0)-204b)p de —2(a+0)=(a—0)].
Multiplicar SH] por 8et(2e to).
estar cociente ra Hei ento as ea de
Sl
Probar que. {x?=(8e+2)) (4x +0)]=xt0é—d (1340)
¿Qué expresión hay que sumar al producto de
Imst) arte 911201936293) para obtener Bety +B
+3" de cero. y multiplicar la diferencia por el cociente
ee pS
Simplificar («HI
VE sue fF ae VE
¿Por cuál expresión hay que divi
S45 para obtener x)
Simplificar 4x*—{3x—-G?—TFa)} 4 {x4(-3)}] y hallar su valor
para +=
¿De cuál expresión hay que restar —18x44-4y7491x—45_para que la
diferencia dividida entre 341-3 dé como codente x
Probar que (af b2)(a+bYa~b)=at—[92+2(0+2)—4(a+})—atb4}
Restar —xI=óx%+6 de 3 y sumar la diferencia con la suma de si=x+2
Y pa).
Hallar el valor numérico de
25.
el cociente de xt4Bxi—4x—19 entre
fuctiors
i matamiticos
métode >
Ghat cate got acs se marier ee
“sie XIX: La piedra angular de u ques
a y slo una" Eire en
og té Pam
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
Ni PRODUCTOS NOTABLES
(86) se
Fijas y cuyo re
sin verificar la mu
(08 notables a ciertos productos que cumplen reglas
ede ser escrito por simple inspección, es decir,
(9) @unonADo DE LA sumA DE Dos CANTIDADES
E
plicar este
ar al cuadrado a4 b equivale a multi
inomio por sí mismo y tendremos:
(E
Efecu
ducto,
nis el duplo de la pr
dal
ado ale La segun
9
a)
980 sac prooucros moans @ 99
Construimos un cuadrado de a
unidades de lado, es decir, de lado a:
Construimos un cuadrado de hi
unidades de-lado, es decir, de lado b:
[rca ve
TN
Estas operaciones deben hacerse monlalmento y el producto escribio direc-
tamente.
Cuadrado de un monomio. Para efevor un
monomia ol cuadrado so eleva su coeficiente al
quedado y da maipo el esporante de cado. | MOLES IG
lotro por 2. Soa el monomio dab?, Decimos que
En olocto: ob) = dab? X dob? = 160904, Construimos dos rec-
Del propio mado: EVE Lingulos de largo @ y ancho
Cuadrado del 1° . - Uo = Véo?.
(2) Desarollar [40+ 5627, + Duplo del 1° por SOS = 40062.
Cuadrado del 2... DEF = 266%,
Luego a SO = 160% + Mob +2554. Re
Los we se hon de mayor fociidad, no doben eicibice
ease ck eam Uniendo estas cuatro figuras como se indica en la figura 13. {
sino verificarse. mentalmente.
13) Desorrollor (30% 4 Seit,
E 130? 5]? Pat + Mare) + 2500, R.
(4) Efectuar (Tax + 9y8}(7axt + 98),
Wrox 4: op yA = Vax! + y = AP + 1260 + Bly! Ro
un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de este cuadrad
(a+ 0) (a + D) = (a + DY, y como puede verse en Ia figura 1, esta área cs
formada por un cuadzado de área @, un cuadrado de área #° y dos recta
ulos de área ab cada uno o sea 2ab). Luego:
> EJERCICIO 62 tar bY = at + ab Mi,
Eseribir, por simple inspección, el resultado de:
1: (maa. ety TL (mn,
EG 1 GBS, Gate,
3 Gath, 3 (rim. 18 abt bxy 2
& (Om. à (esoo 18 (Sem.
DE 10: (Raabe MD. (and Toya
TEPRESENTACION GRAFICA DEL CUADRADO
DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geo-
nétricamente cuando los valores son positivos. Véanse los siguientes pasos:
Sea (or bre
980 sac prooucros moans @ 99
Construimos un cuadrado de a
unidades de lado, es decir, de lado a:
Construimos un cuadrado de hi
unidades de-lado, es decir, de lado b:
[rca ve
TN
Estas operaciones deben hacerse monlalmento y el producto escribio direc-
tamente.
Cuadrado de un monomio. Para efevor un
monomia ol cuadrado so eleva su coeficiente al
quedado y da maipo el esporante de cado. | MOLES IG
lotro por 2. Soa el monomio dab?, Decimos que
En olocto: ob) = dab? X dob? = 160904, Construimos dos rec-
Del propio mado: EVE Lingulos de largo @ y ancho
Cuadrado del 1° . - Uo = Véo?.
(2) Desarollar [40+ 5627, + Duplo del 1° por SOS = 40062.
Cuadrado del 2... DEF = 266%,
Luego a SO = 160% + Mob +2554. Re
Los we se hon de mayor fociidad, no doben eicibice
ease ck eam Uniendo estas cuatro figuras como se indica en la figura 13. {
sino verificarse. mentalmente.
13) Desorrollor (30% 4 Seit,
E 130? 5]? Pat + Mare) + 2500, R.
(4) Efectuar (Tax + 9y8}(7axt + 98),
Wrox 4: op yA = Vax! + y = AP + 1260 + Bly! Ro
un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de este cuadrad
(a+ 0) (a + D) = (a + DY, y como puede verse en Ia figura 1, esta área cs
formada por un cuadzado de área @, un cuadrado de área #° y dos recta
ulos de área ab cada uno o sea 2ab). Luego:
> EJERCICIO 62 tar bY = at + ab Mi,
Eseribir, por simple inspección, el resultado de:
1: (maa. ety TL (mn,
EG 1 GBS, Gate,
3 Gath, 3 (rim. 18 abt bxy 2
& (Om. à (esoo 18 (Sem.
DE 10: (Raabe MD. (and Toya
TEPRESENTACION GRAFICA DEL CUADRADO
DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geo-
nétricamente cuando los valores son positivos. Véanse los siguientes pasos:
Sea (or bre
100 © acciona
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Elevar (a—5) al cuadrado: equivale a eps (
multiplicar esta diferencia por si misma; luego: 7 =
ON
os EA eee
tendremos:
rado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado
rimera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la se
gunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
IT) Desarrollar (x — 51.
x57
42) Eloctuor [do — 30492
Mo? — 3082 = lé = 24a? 496% R
104425, 2
> EJERCICIO 63
Hserihir, por simple inspeceidn, e] resultado de:
Lote. 5 Get 9 Get AB. qi
2 cae rr 1 Game, de Gey
3 Wo Gen IL mme à 36 Cri der
o 8 Ra A
(83) PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA
DE DOS CANTIDADES
Sea el producto (at b){a 6}
ath
& |
ab © sea (at bab)
abbr
=
Efectuando esta mul-
tiplicación, tenemos: =
luego, Ja suma de dese
rado del minuendo (u
idades multiplicada por su diferencia es igual al
la diferencia) menos el cuadrado del sustracado,
(1 Efectuar (o + alto — at.
total = R
42) Elaciuor (20 + 36){20 — 3b)
(2a-t 3bllPe — 3h) = |20)*~ {3b} = dot ~ 96%. 8.
movucros woraus @ TO
(3) Elecluan($a”t +30") (Bo — So}.
Como el orden de los sumandos no altera la sumo, So! + 30% es lo mamo
que 30" +50", poro féngoso presento que 3a" — So"! no ca lo mismo
que Sort dam. Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir
el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraend
Tendromon: 50%" 30% Kante — ant) = Bol — (ot = 9a — 250% R
EJERCICIO 64
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
AAA & Dr. fl
em. 1.
ee EN
ET et TE
(0 Efectuor (a+ b + elle + bel. |
Este producto puedo conver (o+bæ+cllo+b—ci= (lo b) +e) {la + b)
sirso on la sumo de dos con- | be n
lidedes mulliplicada por zu
diforoncio, de esto modo: _
donde hemos desarrollado [a + bl? por la regla del Ter. coso, :
15) Blectuar [a +6 + co —b— 0).
Intoduciindo los doe úlimos términos del primer trnomio en un pordnla
precedido del signo +, lo cual no hace voriar los signos, y los dos úlimos
Términos del segunda \inamio en un poréhtss prececido del signo — pora
lo, cual hay que combior los signos lendremos.
(ot bella be) fo +(b+ el] lo (9401)
(beer
oF — (b* + 2be + €]
=P. Re
(6) Electuor (24-4 3y de] x = 3y + del.
126 + dy —del(2x— 3y +42) = [20 + By — 424] (2x — By = A]
PE (9 — 42
le (9p = 2472 + 162%)
Eh peer R
EJERCICIO 65
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
(Karen 6. LL per.
Es 7 12 Gerba FO tx)
(ab BD? 02 al
1 A).
(yt
(mins Dim) 9 (
(in nent). 10. Ba-beefka-brc).
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Elevar (a—5) al cuadrado: equivale a eps (
multiplicar esta diferencia por si misma; luego: 7 =
ON
os EA eee
tendremos:
rado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado
rimera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la se
gunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
IT) Desarrollar (x — 51.
x57
42) Eloctuor [do — 30492
Mo? — 3082 = lé = 24a? 496% R
104425, 2
> EJERCICIO 63
Hserihir, por simple inspeceidn, e] resultado de:
Lote. 5 Get 9 Get AB. qi
2 cae rr 1 Game, de Gey
3 Wo Gen IL mme à 36 Cri der
o 8 Ra A
(83) PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA
DE DOS CANTIDADES
Sea el producto (at b){a 6}
ath
& |
ab © sea (at bab)
abbr
=
Efectuando esta mul-
tiplicación, tenemos: =
luego, Ja suma de dese
rado del minuendo (u
idades multiplicada por su diferencia es igual al
la diferencia) menos el cuadrado del sustracado,
(1 Efectuar (o + alto — at.
total = R
42) Elaciuor (20 + 36){20 — 3b)
(2a-t 3bllPe — 3h) = |20)*~ {3b} = dot ~ 96%. 8.
movucros woraus @ TO
(3) Elecluan($a”t +30") (Bo — So}.
Como el orden de los sumandos no altera la sumo, So! + 30% es lo mamo
que 30" +50", poro féngoso presento que 3a" — So"! no ca lo mismo
que Sort dam. Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir
el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraend
Tendromon: 50%" 30% Kante — ant) = Bol — (ot = 9a — 250% R
EJERCICIO 64
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
AAA & Dr. fl
em. 1.
ee EN
ET et TE
(0 Efectuor (a+ b + elle + bel. |
Este producto puedo conver (o+bæ+cllo+b—ci= (lo b) +e) {la + b)
sirso on la sumo de dos con- | be n
lidedes mulliplicada por zu
diforoncio, de esto modo: _
donde hemos desarrollado [a + bl? por la regla del Ter. coso, :
15) Blectuar [a +6 + co —b— 0).
Intoduciindo los doe úlimos términos del primer trnomio en un pordnla
precedido del signo +, lo cual no hace voriar los signos, y los dos úlimos
Términos del segunda \inamio en un poréhtss prececido del signo — pora
lo, cual hay que combior los signos lendremos.
(ot bella be) fo +(b+ el] lo (9401)
(beer
oF — (b* + 2be + €]
=P. Re
(6) Electuor (24-4 3y de] x = 3y + del.
126 + dy —del(2x— 3y +42) = [20 + By — 424] (2x — By = A]
PE (9 — 42
le (9p = 2472 + 162%)
Eh peer R
EJERCICIO 65
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
(Karen 6. LL per.
Es 7 12 Gerba FO tx)
(ab BD? 02 al
1 A).
(yt
(mins Dim) 9 (
(in nent). 10. Ba-beefka-brc).
102 © aucurx
REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE LA SUMA
POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES A
El producto de fa suma por la diferencia de dos cantidades puede
representarse geométricamente cuando los valores de dichas cantidades son
positivos. | Véanse los siguientes. pasos: |
Sea (at b)(a~ 6) =a? — br
Construimos un cuadrado de a
unidades de lado, es decir, de lado a:
ua ve
| Construimos un cuadrado de b
| unidades de lado, es decir, de lado br
| = —
AI cuadrado de lado à le quitamos el cuadrado de la
do b (ligura 16), y trazando la Jinea de puntos obtenemos.
el rectángulo e, cuyos lados son b y (a— 5). Si ahora trasla:
fa forma indicada por la flecha en
la figura 17, obtenemos el rectángulo ABCD, cuyos lados
son (a+ by (a— b), y cuya área (figura 18) serás
(asd) (a—b) 2
@) uno os un mono
1) Elevemos «+ b al-eubo. E e
Tendremos: (a+DP=(04- b}{a he by{a + D) = (a+ Oa D) =
a+ ab + be
Efectuando esta a +b
multiplicación, StF ae 0
tenemos: LF ab + 2ab? + bE
WS Bab A Rabe bE
lo que:nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo
de la primera camidad más el triplo del cuadrado de la primera pora
segunda, más el triple de la primera por el cuadratlo de la segunda, más
el cubo de la segunda,
2) Elevemos ab al
cubo. “Tendremos: > | (@= b= (e— bla = (Bab 4 |
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
sa? 2 ab 4b
Bab ab = BF
Jo que nos dice que cl cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al
de Ia primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera
por la segunda, más el triplo de la: primera por el cuadrado de Ja segunda, L
“ bo de la segunda cantidad, 4
(1) Desarrollar (a+ 1%. P i
(ak IP Sort REDEN HH HN. A,
12) Desamollar lx = 27.
KERN PPT — GH O R
(3) Desarrollar (4x + SP.
a SP = Lx + Bde} 15) + 34) BSD = bia? + 2402 + 3004 + 125, Re
14) Desarollor {3 3P.
(6) = 8 y= RE IR) + II [BH Sa Pat RE Re
REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE LA SUMA
POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES A
El producto de fa suma por la diferencia de dos cantidades puede
representarse geométricamente cuando los valores de dichas cantidades son
positivos. | Véanse los siguientes. pasos: |
Sea (at b)(a~ 6) =a? — br
Construimos un cuadrado de a
unidades de lado, es decir, de lado a:
ua ve
| Construimos un cuadrado de b
| unidades de lado, es decir, de lado br
| = —
AI cuadrado de lado à le quitamos el cuadrado de la
do b (ligura 16), y trazando la Jinea de puntos obtenemos.
el rectángulo e, cuyos lados son b y (a— 5). Si ahora trasla:
fa forma indicada por la flecha en
la figura 17, obtenemos el rectángulo ABCD, cuyos lados
son (a+ by (a— b), y cuya área (figura 18) serás
(asd) (a—b) 2
@) uno os un mono
1) Elevemos «+ b al-eubo. E e
Tendremos: (a+DP=(04- b}{a he by{a + D) = (a+ Oa D) =
a+ ab + be
Efectuando esta a +b
multiplicación, StF ae 0
tenemos: LF ab + 2ab? + bE
WS Bab A Rabe bE
lo que:nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo
de la primera camidad más el triplo del cuadrado de la primera pora
segunda, más el triple de la primera por el cuadratlo de la segunda, más
el cubo de la segunda,
2) Elevemos ab al
cubo. “Tendremos: > | (@= b= (e— bla = (Bab 4 |
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
sa? 2 ab 4b
Bab ab = BF
Jo que nos dice que cl cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al
de Ia primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera
por la segunda, más el triplo de la: primera por el cuadrado de Ja segunda, L
“ bo de la segunda cantidad, 4
(1) Desarrollar (a+ 1%. P i
(ak IP Sort REDEN HH HN. A,
12) Desamollar lx = 27.
KERN PPT — GH O R
(3) Desarrollar (4x + SP.
a SP = Lx + Bde} 15) + 34) BSD = bia? + 2402 + 3004 + 125, Re
14) Desarollor {3 3P.
(6) = 8 y= RE IR) + II [BH Sa Pat RE Re
1048 scr
E» EJERCICIO 66
Lea eee
Dr de
‘aaa bod sone i nt TE
La multiplicación nos da:
e+e :-3 x-2 x46
+3 2-4 #45 Ber
FE ax Fern
rar 6 wer + 3x —10 EN]
En los cuatro ejemplos expuestos se cumplen las siguientes reglas:
1) El primer término del producto es el producto de los primeros tér.
minos de los binomios.
2) El cocficiente del segundo término del producto es la suma alge:
braica de los segundos términos de los binomios y en este término la x está
elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el pri:
mer término del producto.
5) El tercer término del producto es el producto de los segundos tér-
ninos de los binomios,
PRODUCTO DE DOS DINOMIOS DE LA FORMA Imx-+a) tm 4b).
El producto de dos binomios de esta forma, en los cuales los términos
n x tienen distintos coeficientes, puede hallarse fácilmente siguiendo tos
asus que se indican en el siguiente esquema.
Sea, hallar el producto de Ax + 5) (dx + 6):
Reduciendo los términos semejantes tenemos: 12x*+D8x 490 R.
(1) Mika b+ 7). —2)
Ejemplos Cofciente del segundo lérmino
Tevet tina,
raooueros horas @ 105
luego. (x4 712]
(2) Electuar (x—7Ite—6).
Cecticionte dol 7° 160mino 4.2...
Tercer término.
luego 18-7116)
Los poses intermedios deben suprimirso y ol producto escrbicss directamente
sin oscibir los operaciones intermedios.
(31 Efectuar: {a 1e +91. 4
Jo) (+9) =0%= 20-99. R.
14) Efectuar bé + 712+ 2).
LEAP ESS a+ OE + IR
Obsérvess que como el exponente de x en el primer término del producto
13 4, el exponente de x en el segundo término es la milad de 4, 0 see x
45) Eloctwor 1-12)" — 31.
(8 — 12) a) =a" 158 +96 R
= EJERCICIO 67
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
(ot Nae. Td (WEAKEN O18, (abLGab—6),
(pet) 3 (CHEN 14 (meme 20 O A!
ee, cae is neo a inca
IMARIO, 1G (atea 22 (DIA
45M
2. ae
2 res
is ale
por simple inspección, el resultado de:
EA 14 (IA OT.
BSD,
2 (erat (Ia. 28. (a2).
3 en), bos -+19). 29 (and
a (ap. (20842). 30. (ein).
ON (5). SL (mab,
© (monts) (on. 32. (yes
7 (aro DMarb10. (ay) E -bn.
8 (by. daria BL EA
TON ee 35: (ares)
10. (Jab=5 qe 8e BE fie
il y (once. 37. data!
1 (Ida. Gots), 58 (erat
13. (ers) PTS).
E» EJERCICIO 66
Lea eee
Dr de
‘aaa bod sone i nt TE
La multiplicación nos da:
e+e :-3 x-2 x46
+3 2-4 #45 Ber
FE ax Fern
rar 6 wer + 3x —10 EN]
En los cuatro ejemplos expuestos se cumplen las siguientes reglas:
1) El primer término del producto es el producto de los primeros tér.
minos de los binomios.
2) El cocficiente del segundo término del producto es la suma alge:
braica de los segundos términos de los binomios y en este término la x está
elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el pri:
mer término del producto.
5) El tercer término del producto es el producto de los segundos tér-
ninos de los binomios,
PRODUCTO DE DOS DINOMIOS DE LA FORMA Imx-+a) tm 4b).
El producto de dos binomios de esta forma, en los cuales los términos
n x tienen distintos coeficientes, puede hallarse fácilmente siguiendo tos
asus que se indican en el siguiente esquema.
Sea, hallar el producto de Ax + 5) (dx + 6):
Reduciendo los términos semejantes tenemos: 12x*+D8x 490 R.
(1) Mika b+ 7). —2)
Ejemplos Cofciente del segundo lérmino
Tevet tina,
raooueros horas @ 105
luego. (x4 712]
(2) Electuar (x—7Ite—6).
Cecticionte dol 7° 160mino 4.2...
Tercer término.
luego 18-7116)
Los poses intermedios deben suprimirso y ol producto escrbicss directamente
sin oscibir los operaciones intermedios.
(31 Efectuar: {a 1e +91. 4
Jo) (+9) =0%= 20-99. R.
14) Efectuar bé + 712+ 2).
LEAP ESS a+ OE + IR
Obsérvess que como el exponente de x en el primer término del producto
13 4, el exponente de x en el segundo término es la milad de 4, 0 see x
45) Eloctwor 1-12)" — 31.
(8 — 12) a) =a" 158 +96 R
= EJERCICIO 67
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
(ot Nae. Td (WEAKEN O18, (abLGab—6),
(pet) 3 (CHEN 14 (meme 20 O A!
ee, cae is neo a inca
IMARIO, 1G (atea 22 (DIA
45M
2. ae
2 res
is ale
por simple inspección, el resultado de:
EA 14 (IA OT.
BSD,
2 (erat (Ia. 28. (a2).
3 en), bos -+19). 29 (and
a (ap. (20842). 30. (ein).
ON (5). SL (mab,
© (monts) (on. 32. (yes
7 (aro DMarb10. (ay) E -bn.
8 (by. daria BL EA
TON ee 35: (ares)
10. (Jab=5 qe 8e BE fie
il y (once. 37. data!
1 (Ida. Gots), 58 (erat
13. (ers) PTS).
106 © arcano
Il, COCIENTES NOTABLES
92) Se lama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas
fijas y que pueden ser escritos por simple inspección.
93) COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS
DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA
DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
D Sea el cocieme ÉTÉ. Efectuando la división, tenemos:
ab be
ab bt
Lo anterior nos dice que:
1) La diferencia de los cusdrados de dos cantidades dividida por la
suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.
2) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la
iferencia de las cantidades cs igual a la suma de las cantidades,
AI Dividir 942 —y2 ere Ja yo
mer
Zap &
y
(2) Didi 1% tam 1
em
Te
(31 Didi (6 BF en (oF ble
lues ab ee,
(Eb) Fe
(4) Divide 1e + nf ent 110 +
died ale erica
ET)
=> EJERCICIO 69
Mallat, por simple inspección, el cociente
#1 e y Ax Qt I-(art
+ xa TN "Vea
ne 9 méga a
u E ee a So
Sim x ETC
11008 aes
AL robe M TR
Pa e ately
Fi wu
CET eH” (ada
=
(Ga) cociente DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS
DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA
O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
=o
ea a ace
1) Sea el cociente “> Hfectuanda la división, tenemos
a +8 lat ù
a ab dab FE
eb
ebb ab?
ab? + ba
we
2) Sea el cociente
Efectuando la división, tenemos:
a=b°
a -b | a=b
<a bat rar
ab
— ail + abs
Lo anterior nos dice que:
1) La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de
las cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el pro-
cto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda can-
lado
2) La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la dife:
rencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más
el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Il, COCIENTES NOTABLES
92) Se lama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas
fijas y que pueden ser escritos por simple inspección.
93) COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS
DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA
DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
D Sea el cocieme ÉTÉ. Efectuando la división, tenemos:
ab be
ab bt
Lo anterior nos dice que:
1) La diferencia de los cusdrados de dos cantidades dividida por la
suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.
2) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la
iferencia de las cantidades cs igual a la suma de las cantidades,
AI Dividir 942 —y2 ere Ja yo
mer
Zap &
y
(2) Didi 1% tam 1
em
Te
(31 Didi (6 BF en (oF ble
lues ab ee,
(Eb) Fe
(4) Divide 1e + nf ent 110 +
died ale erica
ET)
=> EJERCICIO 69
Mallat, por simple inspección, el cociente
#1 e y Ax Qt I-(art
+ xa TN "Vea
ne 9 méga a
u E ee a So
Sim x ETC
11008 aes
AL robe M TR
Pa e ately
Fi wu
CET eH” (ada
=
(Ga) cociente DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS
DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA
O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
=o
ea a ace
1) Sea el cociente “> Hfectuanda la división, tenemos
a +8 lat ù
a ab dab FE
eb
ebb ab?
ab? + ba
we
2) Sea el cociente
Efectuando la división, tenemos:
a=b°
a -b | a=b
<a bat rar
ab
— ail + abs
Lo anterior nos dice que:
1) La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de
las cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el pro-
cto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda can-
lado
2) La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la dife:
rencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más
el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
108 © atcusma
Ab Dividir 8 + y entre Bet y.
a+
a Bei Ri
EN par
(21 Divide E+ 1259" eno DEA.
D Sp Y
Rp 3015/8 FAP = 9 = e257.
A ae Se GF + 1
(3) Divide 1— 640" ae 140,
E tot let &
ah etre =
3707. R
CH RL
EL 100340
Los posos inti deben sario y ii diecomente et ronca
fol
5 EJERCICIO 70
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
e rar EC jr Me
= Tab DT]
E ants
ER ie 18
=o A
in west
ee : so
FR: Pry es
1 ras mee
— e EU
95) COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS
IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA
O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
La división nos da:
NS
ab = bt
pnt hath ab? ab? + be
|
rl
de
nt,
cocieurts morames © 109
aby be
mo es exacta la divis
aso
DAA A
no es exacta la divin
a
Lo anterior nos dice que:
1) La diferencia de potencias iguales, ya sean pares 0 impares, ¢
siempre divisible por la diferencia de las bases.
2) La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por
la suma de las bases,
3) La suma de potencias iguales impares es siempre d
suma de las bases.
4) La suma de potencias igualos pares munca es divisible por la suma
ni por la diferencia de las bases.
ible por la:
Los resultados anteriores pue
modos ©
1) ab es siempre divisible por a—b, siendo n cualquier número
émero, ya sea par o impar.
2) av es divisible por «+ b siendo
8) a+ br es divisible por a+ b siendo n un número entero impar.
4) ab nunca es divisible por ab ni por ab siendo n un nis
0 entero par,
NOTA
La prueba de estas propiedades, fundada en el Teorema del Resi
en el número 102.
presse abreviadamente de exe
un número entero pa
10,
96) LEYES QUE SIGUEN ESTOS COCIENTES
Los resultados de 1, IT y TIL del número anterior, que pueden ser com:
probados cada uno de ellos en otros casos del mismo tipo, nos permiten
e las siguientes ley
3) El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el expone
te de las letras en el dividendo.
liendo el y
ure el primer término del divisor y el exponen:
cada término.
3) El exponente de D en el segundo té»
exponente aumenta 1
no del cociente es 1, y este
cada término posterior a éste,
4) Cuando el divisor es a—b todos los signos del cociente son E y
cuando el divisor es a+ ivamente + y =
Ab Dividir 8 + y entre Bet y.
a+
a Bei Ri
EN par
(21 Divide E+ 1259" eno DEA.
D Sp Y
Rp 3015/8 FAP = 9 = e257.
A ae Se GF + 1
(3) Divide 1— 640" ae 140,
E tot let &
ah etre =
3707. R
CH RL
EL 100340
Los posos inti deben sario y ii diecomente et ronca
fol
5 EJERCICIO 70
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
e rar EC jr Me
= Tab DT]
E ants
ER ie 18
=o A
in west
ee : so
FR: Pry es
1 ras mee
— e EU
95) COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS
IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA
O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
La división nos da:
NS
ab = bt
pnt hath ab? ab? + be
|
rl
de
nt,
cocieurts morames © 109
aby be
mo es exacta la divis
aso
DAA A
no es exacta la divin
a
Lo anterior nos dice que:
1) La diferencia de potencias iguales, ya sean pares 0 impares, ¢
siempre divisible por la diferencia de las bases.
2) La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por
la suma de las bases,
3) La suma de potencias iguales impares es siempre d
suma de las bases.
4) La suma de potencias igualos pares munca es divisible por la suma
ni por la diferencia de las bases.
ible por la:
Los resultados anteriores pue
modos ©
1) ab es siempre divisible por a—b, siendo n cualquier número
émero, ya sea par o impar.
2) av es divisible por «+ b siendo
8) a+ br es divisible por a+ b siendo n un número entero impar.
4) ab nunca es divisible por ab ni por ab siendo n un nis
0 entero par,
NOTA
La prueba de estas propiedades, fundada en el Teorema del Resi
en el número 102.
presse abreviadamente de exe
un número entero pa
10,
96) LEYES QUE SIGUEN ESTOS COCIENTES
Los resultados de 1, IT y TIL del número anterior, que pueden ser com:
probados cada uno de ellos en otros casos del mismo tipo, nos permiten
e las siguientes ley
3) El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el expone
te de las letras en el dividendo.
liendo el y
ure el primer término del divisor y el exponen:
cada término.
3) El exponente de D en el segundo té»
exponente aumenta 1
no del cociente es 1, y este
cada término posterior a éste,
4) Cuando el divisor es a—b todos los signos del cociente son E y
cuando el divisor es a+ ivamente + y =
10® nern
41) Hallar el cociente de 2! — pl entro xy.
Aplicando los loyos anteriores, tenemos:
od
xy
Como of divisor es x —y, odos los signos del cociente son ++.
(2) Hallar el cocionto de se — 1% ante mm.
mon
me
Come el divisor es mn los signos dol cociente alteran.
= mit an nh = nt mt = m2
(3) Hallar el cociente de x64 92 entre x 42.
14) Hallar el eocsente do 64a" ~ 7296" entre 20 4 2b.
Como 64e = (2a)* y 729b =(2b]", tendremos:
64a" — 7296* _ Pal — GE
Fr EEE
Po — (2aM8bI + 120 Pb) —(2oF(3b)* + (20)(30)! — (be
= Wa! — Bol +7228? — 108%? + 16206 — 2406. Ra
m EJERCICIO 71
Mallar, por simple inspección, el cociente de:
den
8. 26,
% a.
10.
ds ee ee
mz
12 24, 30,
5
cotes moramas
45) Hallar of coc
le de 0! +b! ene of £6,
ei
En los casos estudiados hasta ahora los exponentes del divisor han sido siem-
re 1. Cuando los exponentes del divisor sean
el exponente de o disminuirá en cado término 2, 3, 4, 5,
2, 3, 4, 5, ele,
sucederé que
etc, la b oparece
en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tic
On el dv, y eto expone cn codo Jimi Pair, uam 2
4, 5, ela,
Así, en esto coso, tondrames, STERN
Er
Sr cb HL fe
donde vemos quo ol exponento de a disminuye 2 en cade término y el de b
aumenta 2 en cada término.
(6) Hallar of coc
a
EJERCICIO 72
Escribir, por simple impección, el cociente de:
xt ae meta a aaa
he Er Ar <
Fr rb 7 0 a D
abs ass meme ment one
aus mn" au mi 4 amie
Fe an, at
Pd PT a
EJERCICIO 73
ISGELANEX
Escribir el cociente sin efectuar la división:
ua Tet Hay
: 3 ts .
Te E37 Y
ES
1 a.
10 =
am
41) Hallar el cociente de 2! — pl entro xy.
Aplicando los loyos anteriores, tenemos:
od
xy
Como of divisor es x —y, odos los signos del cociente son ++.
(2) Hallar el cocionto de se — 1% ante mm.
mon
me
Come el divisor es mn los signos dol cociente alteran.
= mit an nh = nt mt = m2
(3) Hallar el cociente de x64 92 entre x 42.
14) Hallar el eocsente do 64a" ~ 7296" entre 20 4 2b.
Como 64e = (2a)* y 729b =(2b]", tendremos:
64a" — 7296* _ Pal — GE
Fr EEE
Po — (2aM8bI + 120 Pb) —(2oF(3b)* + (20)(30)! — (be
= Wa! — Bol +7228? — 108%? + 16206 — 2406. Ra
m EJERCICIO 71
Mallar, por simple inspección, el cociente de:
den
8. 26,
% a.
10.
ds ee ee
mz
12 24, 30,
5
cotes moramas
45) Hallar of coc
le de 0! +b! ene of £6,
ei
En los casos estudiados hasta ahora los exponentes del divisor han sido siem-
re 1. Cuando los exponentes del divisor sean
el exponente de o disminuirá en cado término 2, 3, 4, 5,
2, 3, 4, 5, ele,
sucederé que
etc, la b oparece
en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tic
On el dv, y eto expone cn codo Jimi Pair, uam 2
4, 5, ela,
Así, en esto coso, tondrames, STERN
Er
Sr cb HL fe
donde vemos quo ol exponento de a disminuye 2 en cade término y el de b
aumenta 2 en cada término.
(6) Hallar of coc
a
EJERCICIO 72
Escribir, por simple impección, el cociente de:
xt ae meta a aaa
he Er Ar <
Fr rb 7 0 a D
abs ass meme ment one
aus mn" au mi 4 amie
Fe an, at
Pd PT a
EJERCICIO 73
ISGELANEX
Escribir el cociente sin efectuar la división:
ua Tet Hay
: 3 ts .
Te E37 Y
ES
1 a.
10 =
am
papes (247-212 AC ma da e
oper tere
Asics a ee
en ae
Na", contra cl sinne de lor 1o- Miles al deseuhnir el principio que leva su nombre.
camo YE]
TEOREMA DEL RESIDUO
97) POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL
Un polinomio como 392 6° — 8s +4 es entero porque ninguno de sus
términos tiene letras en el denominador y es racional porque ninguno de
sus términos tiene raiz inexacta. Este es un polinomio entero y racional en
x y su grado es à,
EI polinomio 4 Gat = dat +5
sacional en a y su grado cs
48443 es un polinomio entero y
RESIDUO DE LA DIVISION DE UN POLINOMIO ENTERO Y
RACIONAL EN x POR UN BINOMIO DE LA FORMA x-a
1) Vamos a hallar el residuo de la división de x 7x? + 172-0 en
we x—3,
Efectuemos la division: xt em 6 [et |
Zt Arts
~ axe 1x
1
> na
»
La división no es exacta y el residuo es y.
m2
ronea ort aciovo © 113
Si añora, en el dividendo x*~7x?+ 17% —6 sustituimos la x por 3, ten:
¡dicos 3°78) +17(3)—6=27 — 63-4 51-6 =
y vemos que el residuo de dividir cl polinomio dado entre x= 3 se obtiene
sustituyendo en el polinomio dado la x por +3.
2) Vamos a hallar el residuo de la división de 8x*=2x*=18:=1 en-
tre x42,
Efectuemos la división:
Si ahora, en el di
vendremas: oye
dendo 3x?—2x?— 18x —1 sustituimos la x por — 2,
(2 18-2) 1e M8 +6 -1=3
‘mos que el residuo de dividir el polinomio dado entre x +2 se obtiene
tuyendo en el polinomio dado la x por —2.
Lo expuesto anteriormente se prueba en el
9) TEOREMA DEL RESIDUO
residuo de dividir un polinomio encero y racional en x por un Dl:
io de la forma x — se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la
x por a,
el polinomio Ax 4 Bet 4 Gant + Mt
Dividamos este polinomio por x a y continuemos la operación
que el residuo R sea independiente de x. Sea Q el cociente de esta división,
Como en toda división inexacta el dividendo es igual al producto del
divisor por el cociente más el residuo, tendremos;
AN BOVE CREE + MOR N = (xQ Ro
Esta igualdad es cierta para todos los valores de x. Sustituyamos la x
por ay tendvemes: E E E ES
Pero (a—a)=0 y (a—a)Q=0x Q=0; luego, la igualdad anterior se
O gn 4 Bap IS
igualdad que prucba el teorema, pues nos dice que R, el residuo de la di
ón, es igual a lo que se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la
x por a, que era lo que queríamos demostrar.
oper tere
Asics a ee
en ae
Na", contra cl sinne de lor 1o- Miles al deseuhnir el principio que leva su nombre.
camo YE]
TEOREMA DEL RESIDUO
97) POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL
Un polinomio como 392 6° — 8s +4 es entero porque ninguno de sus
términos tiene letras en el denominador y es racional porque ninguno de
sus términos tiene raiz inexacta. Este es un polinomio entero y racional en
x y su grado es à,
EI polinomio 4 Gat = dat +5
sacional en a y su grado cs
48443 es un polinomio entero y
RESIDUO DE LA DIVISION DE UN POLINOMIO ENTERO Y
RACIONAL EN x POR UN BINOMIO DE LA FORMA x-a
1) Vamos a hallar el residuo de la división de x 7x? + 172-0 en
we x—3,
Efectuemos la division: xt em 6 [et |
Zt Arts
~ axe 1x
1
> na
»
La división no es exacta y el residuo es y.
m2
ronea ort aciovo © 113
Si añora, en el dividendo x*~7x?+ 17% —6 sustituimos la x por 3, ten:
¡dicos 3°78) +17(3)—6=27 — 63-4 51-6 =
y vemos que el residuo de dividir cl polinomio dado entre x= 3 se obtiene
sustituyendo en el polinomio dado la x por +3.
2) Vamos a hallar el residuo de la división de 8x*=2x*=18:=1 en-
tre x42,
Efectuemos la división:
Si ahora, en el di
vendremas: oye
dendo 3x?—2x?— 18x —1 sustituimos la x por — 2,
(2 18-2) 1e M8 +6 -1=3
‘mos que el residuo de dividir el polinomio dado entre x +2 se obtiene
tuyendo en el polinomio dado la x por —2.
Lo expuesto anteriormente se prueba en el
9) TEOREMA DEL RESIDUO
residuo de dividir un polinomio encero y racional en x por un Dl:
io de la forma x — se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la
x por a,
el polinomio Ax 4 Bet 4 Gant + Mt
Dividamos este polinomio por x a y continuemos la operación
que el residuo R sea independiente de x. Sea Q el cociente de esta división,
Como en toda división inexacta el dividendo es igual al producto del
divisor por el cociente más el residuo, tendremos;
AN BOVE CREE + MOR N = (xQ Ro
Esta igualdad es cierta para todos los valores de x. Sustituyamos la x
por ay tendvemes: E E E ES
Pero (a—a)=0 y (a—a)Q=0x Q=0; luego, la igualdad anterior se
O gn 4 Bap IS
igualdad que prucba el teorema, pues nos dice que R, el residuo de la di
ón, es igual a lo que se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la
x por a, que era lo que queríamos demostrar.
14 0 acceso
Nora,
Un polinomio ordenado en x suele expresarse abreviadamente por Ja
notación Pfs) y el resultado de sustituir en este polinomio la x por a se
escribe Pla)
Si el divisor es x+4, como x+a=x=(=a) el residuo de la división!
del polinomio ordenado en x entre x + a se obtiene sustituyendo en el po
linomio dado la x por —a.
En los casos anteriores el coeficiente de x en x=a y x+a es 1, Estos
binomios pueden escribirse lx à y 1x 4 a.
Sabemos que el residuo de dividir un polinomio ordenado en x entre
xa 6 13 a se obtiene sustituyendo la x por a, o sea, por © y el residuo
de dividirlo entre xcka d 1x +a se obtiene sustituyendo la'x por —a o
sea por 5
Por tanto, cuando el divisor sca Ja forma bx—a, donde b, que es el
coeficiente de x, es distinto de 1, el residuo de la división se abtiene sus-
tituyendo en el polinomio dado la x por y cuando el divisor sex de la
forma Dx 4 a el residuo se obtiene sustituyendo en el polinomio dado La“
por
=
En general, el residuo de dividir un polinomio orden:
binomio de la forma bx—a se obtiene sustituyendo en el po
la x por el quebrado que resulta de dividir el segundo
mio con el signo cambiado entre el coeficieme del primer término del
binomio.
U) Hallar, sin cfectuar la división, el residve de dividir
= Ta +6 ente x 4,
Sustiuyendo le x por 4, tendremos:
AT) 46 = 16-28 SR
12) Hallar, por inspocción, el residuo de dividir at Sa? 4 a— 1 entre 0:15,
Suatituyendo la a por ~5, tendremos:
O HIS) 198-4 125-5 1=—6 À
43) Hallar, por inspección, el residuo de Qe + 6x! — 12104) entre 2e 41.
Susttuyendo lo x por — +, tendremos:
(4) Hollor, por inspección, of residuo do a
Sustiluyendo la a por À, tendremos:
roma pet astouo @ 115
[> EJERCICIO 74
Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:
82643 entre x1 Y. @—2a42e—4 entre amó.
ME entre x41. 8 Gotxfiets entre Bel.
lo XII entre x2, 9. 12x1-21x+00 entre 3x3.
10. 16x)-11x*+10x418 entre ‘beh
entre m—4, 11. Gxi-12x 9x? 22 21 entre fu
ridad entre x48. 12. aa tada entre Zahl,
DIVISION SINTETICA.
(00) REGLA PRACTICA PARA HALLAR EL COCIENTE Y EL RESIDUO DE
LA DIVISION DE UN POLINOMIO ENTERO EN x POR x — ».
Be |
it
1) Dividamos x 5x%2+ 3x +14
urea de nn TE
Aquí vemos que el cociente "2x3 es un polinomio en x cuyo.
rado es 1 menos que el grado del dividendo; que el coeficiente del primer
¡érmino del cociente es igual al coeficiente del primer término del divi.
dendo y que el residuo es 5.
Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por
la siguiente regla práttica Mamada di sintética
1) EI cociente es un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el
Krado del dividendo,
2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coli.
diente del primer término del dividendo,
5) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene
multiplicando el cocficiente del término anterior por el segundo término
del binomio divisor cambiado de signo y sumando este producto con el
coeficiente del térmi
4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último tér»
10 del cociente por el segundo término del divisor cambiado de signo y
ando este producto con el término independiente del dividend
Apliquemos esta regla a la división anterior. Para ello escribimos s0-
los coeficientes del dividendo y se procede de este modo:
Dividendo.... # 2 +3% +1 Divisor x |
Cocticientes... 1 -6 +3 + 14] 4 30-3 Remand, tr
1X3= 3 (-2)X3=-6 (3)x3=- 9 Kon ei sigh
Simin.
ig 3 +56
Nora,
Un polinomio ordenado en x suele expresarse abreviadamente por Ja
notación Pfs) y el resultado de sustituir en este polinomio la x por a se
escribe Pla)
Si el divisor es x+4, como x+a=x=(=a) el residuo de la división!
del polinomio ordenado en x entre x + a se obtiene sustituyendo en el po
linomio dado la x por —a.
En los casos anteriores el coeficiente de x en x=a y x+a es 1, Estos
binomios pueden escribirse lx à y 1x 4 a.
Sabemos que el residuo de dividir un polinomio ordenado en x entre
xa 6 13 a se obtiene sustituyendo la x por a, o sea, por © y el residuo
de dividirlo entre xcka d 1x +a se obtiene sustituyendo la'x por —a o
sea por 5
Por tanto, cuando el divisor sca Ja forma bx—a, donde b, que es el
coeficiente de x, es distinto de 1, el residuo de la división se abtiene sus-
tituyendo en el polinomio dado la x por y cuando el divisor sex de la
forma Dx 4 a el residuo se obtiene sustituyendo en el polinomio dado La“
por
=
En general, el residuo de dividir un polinomio orden:
binomio de la forma bx—a se obtiene sustituyendo en el po
la x por el quebrado que resulta de dividir el segundo
mio con el signo cambiado entre el coeficieme del primer término del
binomio.
U) Hallar, sin cfectuar la división, el residve de dividir
= Ta +6 ente x 4,
Sustiuyendo le x por 4, tendremos:
AT) 46 = 16-28 SR
12) Hallar, por inspocción, el residuo de dividir at Sa? 4 a— 1 entre 0:15,
Suatituyendo la a por ~5, tendremos:
O HIS) 198-4 125-5 1=—6 À
43) Hallar, por inspección, el residuo de Qe + 6x! — 12104) entre 2e 41.
Susttuyendo lo x por — +, tendremos:
(4) Hollor, por inspección, of residuo do a
Sustiluyendo la a por À, tendremos:
roma pet astouo @ 115
[> EJERCICIO 74
Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:
82643 entre x1 Y. @—2a42e—4 entre amó.
ME entre x41. 8 Gotxfiets entre Bel.
lo XII entre x2, 9. 12x1-21x+00 entre 3x3.
10. 16x)-11x*+10x418 entre ‘beh
entre m—4, 11. Gxi-12x 9x? 22 21 entre fu
ridad entre x48. 12. aa tada entre Zahl,
DIVISION SINTETICA.
(00) REGLA PRACTICA PARA HALLAR EL COCIENTE Y EL RESIDUO DE
LA DIVISION DE UN POLINOMIO ENTERO EN x POR x — ».
Be |
it
1) Dividamos x 5x%2+ 3x +14
urea de nn TE
Aquí vemos que el cociente "2x3 es un polinomio en x cuyo.
rado es 1 menos que el grado del dividendo; que el coeficiente del primer
¡érmino del cociente es igual al coeficiente del primer término del divi.
dendo y que el residuo es 5.
Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por
la siguiente regla práttica Mamada di sintética
1) EI cociente es un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el
Krado del dividendo,
2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coli.
diente del primer término del dividendo,
5) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene
multiplicando el cocficiente del término anterior por el segundo término
del binomio divisor cambiado de signo y sumando este producto con el
coeficiente del térmi
4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último tér»
10 del cociente por el segundo término del divisor cambiado de signo y
ando este producto con el término independiente del dividend
Apliquemos esta regla a la división anterior. Para ello escribimos s0-
los coeficientes del dividendo y se procede de este modo:
Dividendo.... # 2 +3% +1 Divisor x |
Cocticientes... 1 -6 +3 + 14] 4 30-3 Remand, tr
1X3= 3 (-2)X3=-6 (3)x3=- 9 Kon ei sigh
Simin.
ig 3 +56
116® mani
El cociente será un polinomio en x de 2? grado, porque el dividendo
es de 3er. grado,
El coeficiente del
dividendo.
El cocficiente del segundo término del cociente es —2, que se ha ob-
tenido multiplicando el segundo término del divisor con el signo cambia-
do +3, por el coeficiente del primer término del cociente y sumando este
producto, 1x 8=8, con el coeficiente del término que ocupa en el dividen-
do el mismo lugar que el que estamos hallando del cociente, cl segundo
del dividendo —5 y tenemos — 5 + 3 =—2.
El cocticiente del tercer término del cociente es —3, que se ha obte-
ido multiplicando el segundo término del divisor con el signo cambia-
do +8, por el cocficiente del segundo término del cociente —2 y sumando
este producto: (-2) X 4= —6, con el coeficiente del término que ocupa en
el dividendo el mismo lugar que el que estamos hallando del cociente, el
tercero del dividendo +3 tenemos + 3 —6 = —
El residuo es 5, que se obtiene multiplicando el coef
termino del cociente —3, por el segunda término del divisor cambiado dé
signo +8 y sumando este producto: (— 3) x 3==9, con el término indepen-
diente del dividendo +14 Y tenemos +14 —9 = + 5,
Mn
que son el cociente y el residuo que se obtuvieron efectuando la división.
imer término del cociente es 1,
wal que en el
Con este método, en realidad, lo que se hace es sustituir en el poli-
nomio dado la x por +3,
2) Hallar, por división sintética,
el cociente y el resto de las divisiones 2x*—5x?-+ 6x! 4x ~105 enue x +2,
A a]
à ss
—4 (MAS 18 MX I 59x 2)= 104
5 a = 1
(rev
Como el dividendo es de 4? grado, el cociente es de de. grado.
Los coeficientes del cociente
son 2, —9, +24 y —62; luego, el
cociente es
Bei DIX = y el residuo es = 10
Con este método, hemos sustituido en el polinomio dado la x por
ont pe. nesoo @ 117
3) Mallar, por división sintétien, ee
el cociente y el residuo de dividit
Come este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos en
x y en x3, al escribir los coelicientes ponemos 0 en los lugares que debían
“ocupar los coeficientes de estos términos.
Tendremos:
1 +0 16 +0 202 +4
dect ell o
1 + oo —208
(residue) |
Como el dividendo es de 5? grado, el cociente es de 42 grado.
Los coeficientes del cociente
son 1, +4, 0, 0 y —202; luego, el
(Coca q O es
4) Hallarpor división sintética et coci Bet Sx? Te 8 ente Bie
y el resto de la división de— —
Pongamos el divisor en la forma x-+a dividiendo sus dos «érminos
por 2 y tendremos 2-44 =x+3. Ahora bien, como el divisor lo hemos
dividido entre 2, el cociente quedará multiplicado por 2; luego, los coli:
cientes que encontremos para el cociente tendremos que dividirlos entre 2
para destruir esta operación:
2-2 40 nee
= U eee BB.
2 Ha ee
(eda)
2, —4, +2 y —8 son los coeficientes del cociente: multipl
cados por 2; luego, para destruir esta operación hay que pas
divididos cure à y tendremos», = +1] =4 Como a EEE
cuciente es de tercer grado, el coci
y el residuo es —2 porque al residuo no le afecta la división del divisor
entre 2.
m EJERCICIO 75
Hallar, por “división sintética, el codi
de y el resto de las divisiones
4 2x2 entre «2.
6. 013006 entre a4,
nod n=48 entre 142.
2. a+ entre at2
3 NIDO entre xl Gon
El cociente será un polinomio en x de 2? grado, porque el dividendo
es de 3er. grado,
El coeficiente del
dividendo.
El cocficiente del segundo término del cociente es —2, que se ha ob-
tenido multiplicando el segundo término del divisor con el signo cambia-
do +3, por el coeficiente del primer término del cociente y sumando este
producto, 1x 8=8, con el coeficiente del término que ocupa en el dividen-
do el mismo lugar que el que estamos hallando del cociente, cl segundo
del dividendo —5 y tenemos — 5 + 3 =—2.
El cocticiente del tercer término del cociente es —3, que se ha obte-
ido multiplicando el segundo término del divisor con el signo cambia-
do +8, por el cocficiente del segundo término del cociente —2 y sumando
este producto: (-2) X 4= —6, con el coeficiente del término que ocupa en
el dividendo el mismo lugar que el que estamos hallando del cociente, el
tercero del dividendo +3 tenemos + 3 —6 = —
El residuo es 5, que se obtiene multiplicando el coef
termino del cociente —3, por el segunda término del divisor cambiado dé
signo +8 y sumando este producto: (— 3) x 3==9, con el término indepen-
diente del dividendo +14 Y tenemos +14 —9 = + 5,
Mn
que son el cociente y el residuo que se obtuvieron efectuando la división.
imer término del cociente es 1,
wal que en el
Con este método, en realidad, lo que se hace es sustituir en el poli-
nomio dado la x por +3,
2) Hallar, por división sintética,
el cociente y el resto de las divisiones 2x*—5x?-+ 6x! 4x ~105 enue x +2,
A a]
à ss
—4 (MAS 18 MX I 59x 2)= 104
5 a = 1
(rev
Como el dividendo es de 4? grado, el cociente es de de. grado.
Los coeficientes del cociente
son 2, —9, +24 y —62; luego, el
cociente es
Bei DIX = y el residuo es = 10
Con este método, hemos sustituido en el polinomio dado la x por
ont pe. nesoo @ 117
3) Mallar, por división sintétien, ee
el cociente y el residuo de dividit
Come este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos en
x y en x3, al escribir los coelicientes ponemos 0 en los lugares que debían
“ocupar los coeficientes de estos términos.
Tendremos:
1 +0 16 +0 202 +4
dect ell o
1 + oo —208
(residue) |
Como el dividendo es de 5? grado, el cociente es de 42 grado.
Los coeficientes del cociente
son 1, +4, 0, 0 y —202; luego, el
(Coca q O es
4) Hallarpor división sintética et coci Bet Sx? Te 8 ente Bie
y el resto de la división de— —
Pongamos el divisor en la forma x-+a dividiendo sus dos «érminos
por 2 y tendremos 2-44 =x+3. Ahora bien, como el divisor lo hemos
dividido entre 2, el cociente quedará multiplicado por 2; luego, los coli:
cientes que encontremos para el cociente tendremos que dividirlos entre 2
para destruir esta operación:
2-2 40 nee
= U eee BB.
2 Ha ee
(eda)
2, —4, +2 y —8 son los coeficientes del cociente: multipl
cados por 2; luego, para destruir esta operación hay que pas
divididos cure à y tendremos», = +1] =4 Como a EEE
cuciente es de tercer grado, el coci
y el residuo es —2 porque al residuo no le afecta la división del divisor
entre 2.
m EJERCICIO 75
Hallar, por “división sintética, el codi
de y el resto de las divisiones
4 2x2 entre «2.
6. 013006 entre a4,
nod n=48 entre 142.
2. a+ entre at2
3 NIDO entre xl Gon
AL Sheet entre Sl
Ext TD 1. 2-4 Tx5 entre 2x1.
Bald da—5 entre a! 18, fa—dat+5a+6 entre da+2,
14. dx da d+dx2—10x48 entre BL
fet] entre 2643,
COROLARIOS DEL TEOREMA DEL RESIDUO
DIVISIBILIDAD POR x
Un polinomio entero en x que se anula para x = a, o sea sustimyendo
en él la x por a. es divisible por x=.
Sea el polinomio entero P(x), que suponemos se anula para
decir, sustituyendo la x por a. Decimos que P(x) es divisible por x — a.
En efecto: Según lo demostrado en el Teorema del Residuo, el resi-
duo de dividir un polinomio entero en + por x—a se obtiene sustituyendo
en el polinomio dado la x por a; pero por hipótesis P(x) se anula al sust
uir la x por a, o’sca Pfa)=0; luego, el residuo de la división de Pix) ens
tre xa es cero; luego, P(x) es divisible por x—a.
Del propio modo, si Pfx) se anula para x=—a, P(x) es divisible por
ae divisible por x=, 0
ger di f=
a (aj=xta; si P(x) se anula para x
por bea; si P(x) se anula para
ible por x—
a
xt 0 por bxta,
Reciprocamente, si P(x) es divisible por x—a tiene que anularse para
#=a, es decir, sustituyendo la x por a; si P(x) es divisible por x-+a tiene
que anulatse para x ble por bx —a tiene que anularse
para x 27 y si es divisible por bx-+a tiene que anularse para x=—
;
17% 608 divisible
Este polinomio será divisible por «—2 si so anulo para x= 2,
Susiluyendo la x por 2, tendremos;
FARBEN HM
le por x=2.
luego es dí
(2) Halo, por impocción si 8 — 2 +3 es divisible por 1
Eso polinomio será divisible por x + 1 3 20 nula para x= — 1
Suaitoyedo la x por — 1, tendıemo
WAR +3=—
I por nt.
+3=0
luego es div
Teoma put nestouo @ 119
(2) Hallar, por inspección, si + 2x9 — D de x = 6 os divisible por x-+3 y ens
«contras el cociente de la división
Aplicaremosle división sintéticadel nömeroT0O con la eval hallamos simul:
éneamente el cociente y el residuo, si lo hay.
Tendremos: 1 +2 -2 41 6 |-
=3 +3 -3 +6 |—
T=) Hi 2
o
(residuo)
Lo anterior nos dice que el polinomio se anula al susiuic lo x por — 3 luego.
05 divisible por x-+3,
El cociente es de lercer grado y sus coeficientes son 1, —1, +1 y ~2, luego.
el cociomo os
Betr
Por tanto, s ol dividendo es xt + 20° = 2x8 + x = 6, el divisor x 43 y ol co:
ciento x 3322, y la división es exacto, podemos escribi
Re a
CONDICION NECESARIA PARA LA DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO
EN x POR UN BINOMIO DE LA FORMA x—
condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por
wir binomio de la forma x—a, que el término independiente del poli:
omio sea múltiplo del término a del binomio, sin tener en cuenta los
signos. Así, el polinomio xt 2x° —6x®+ 8x +7 no es divisible
or el binomio x=3, porque el término independiente del polinomio 7,
na es divisible por el término numérico del binomio, que es 3.
Esta condición no es suficiente, es decir, que aun cuando el ter
o independiente del polinomio sea divisible por el término a del
inomio, no podemos afirmar que el polinomio en x sea divisible por
= EJERCICIO 76
Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones si
1x6 entre x-8. A ario entre xt.
2 x44xix10 entre x42. 6. 4x-Bx#+Liet entre 2x1
fat entre 1 6 dd entre Ar]
Sin efectuar la división, probar que:
7. a+l es factor de ab 2042045,
3. x-5 divide a >5—6xt46x"—Gx#4 20-10,
D. 42-3 divide a AORTA.
10, In+2 no es factor de 3n°42n'—3ni—2n24-6n47,
Ext TD 1. 2-4 Tx5 entre 2x1.
Bald da—5 entre a! 18, fa—dat+5a+6 entre da+2,
14. dx da d+dx2—10x48 entre BL
fet] entre 2643,
COROLARIOS DEL TEOREMA DEL RESIDUO
DIVISIBILIDAD POR x
Un polinomio entero en x que se anula para x = a, o sea sustimyendo
en él la x por a. es divisible por x=.
Sea el polinomio entero P(x), que suponemos se anula para
decir, sustituyendo la x por a. Decimos que P(x) es divisible por x — a.
En efecto: Según lo demostrado en el Teorema del Residuo, el resi-
duo de dividir un polinomio entero en + por x—a se obtiene sustituyendo
en el polinomio dado la x por a; pero por hipótesis P(x) se anula al sust
uir la x por a, o’sca Pfa)=0; luego, el residuo de la división de Pix) ens
tre xa es cero; luego, P(x) es divisible por x—a.
Del propio modo, si Pfx) se anula para x=—a, P(x) es divisible por
ae divisible por x=, 0
ger di f=
a (aj=xta; si P(x) se anula para x
por bea; si P(x) se anula para
ible por x—
a
xt 0 por bxta,
Reciprocamente, si P(x) es divisible por x—a tiene que anularse para
#=a, es decir, sustituyendo la x por a; si P(x) es divisible por x-+a tiene
que anulatse para x ble por bx —a tiene que anularse
para x 27 y si es divisible por bx-+a tiene que anularse para x=—
;
17% 608 divisible
Este polinomio será divisible por «—2 si so anulo para x= 2,
Susiluyendo la x por 2, tendremos;
FARBEN HM
le por x=2.
luego es dí
(2) Halo, por impocción si 8 — 2 +3 es divisible por 1
Eso polinomio será divisible por x + 1 3 20 nula para x= — 1
Suaitoyedo la x por — 1, tendıemo
WAR +3=—
I por nt.
+3=0
luego es div
Teoma put nestouo @ 119
(2) Hallar, por inspección, si + 2x9 — D de x = 6 os divisible por x-+3 y ens
«contras el cociente de la división
Aplicaremosle división sintéticadel nömeroT0O con la eval hallamos simul:
éneamente el cociente y el residuo, si lo hay.
Tendremos: 1 +2 -2 41 6 |-
=3 +3 -3 +6 |—
T=) Hi 2
o
(residuo)
Lo anterior nos dice que el polinomio se anula al susiuic lo x por — 3 luego.
05 divisible por x-+3,
El cociente es de lercer grado y sus coeficientes son 1, —1, +1 y ~2, luego.
el cociomo os
Betr
Por tanto, s ol dividendo es xt + 20° = 2x8 + x = 6, el divisor x 43 y ol co:
ciento x 3322, y la división es exacto, podemos escribi
Re a
CONDICION NECESARIA PARA LA DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO
EN x POR UN BINOMIO DE LA FORMA x—
condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por
wir binomio de la forma x—a, que el término independiente del poli:
omio sea múltiplo del término a del binomio, sin tener en cuenta los
signos. Así, el polinomio xt 2x° —6x®+ 8x +7 no es divisible
or el binomio x=3, porque el término independiente del polinomio 7,
na es divisible por el término numérico del binomio, que es 3.
Esta condición no es suficiente, es decir, que aun cuando el ter
o independiente del polinomio sea divisible por el término a del
inomio, no podemos afirmar que el polinomio en x sea divisible por
= EJERCICIO 76
Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones si
1x6 entre x-8. A ario entre xt.
2 x44xix10 entre x42. 6. 4x-Bx#+Liet entre 2x1
fat entre 1 6 dd entre Ar]
Sin efectuar la división, probar que:
7. a+l es factor de ab 2042045,
3. x-5 divide a >5—6xt46x"—Gx#4 20-10,
D. 42-3 divide a AORTA.
10, In+2 no es factor de 3n°42n'—3ni—2n24-6n47,
NT @ 121
ivisión, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas Sustituyendo la a por =O en at
sate en cada emo y el residuo, si lo hay: q neo Ë B
11. 2t-2etta+6 entre ar2. Se anula; luego, a” b* es divisible por a b siendo n par. (- 0)
abr = (0) bts br bs
br
12 porque m es par y toda cantidad negativa elevada a un exponente par da
13. h na cantidad positiva,
y entre x-6.
36. 804-25 entre a-4. 4) +6" no es divisible por a+b sin es par.
16. IAN entre 4x1. Siendo n par, para que a" + b* sea divisible por a + b es necesario que
AT. 154 25nt—18n9— 16S 1711 entre Sto. se anule al susticuir la a por —b.
Susctuyendo la a por —b, EA
A
En los ejemplos sigui
ates, hallar el valor de la constante K (16
independiente el! polinomio). para que: tenemos: CRE dE
18 ixt=5x+K sea divisible por x. No se anula; luego, a" +6" no es divisible por a+ b cuando n cs pare
10. xPaihsP4de+K sea divisible por x~2. Er Se 5
20. at425atK sea divisible por a+3. 5) a 0% munca es divisible por ab, ya sea n par o impar.
31. 20x~7e2420x4K sea divisible por dx+1 Siendo n par o impar, para que a* +b" sea divisible por a~b es mece.
sario que se anule al sustituir la à por + b.
DIVISIBILIDAD DE «"+b" y 0"—b* POR a+bva=b Sustituyendo, | Re
ü „Vase ann)
Vamos a aplicar el Teorema del Residuo à la demostración de las re. tenemos: } WE 1
glas establecidas en el nümero 96. No se anula; luego, at + be munca es divisible por ab
Siendo n un número entero y positivo, se verifica: © EJERCICIO 77
1) ar br es siempre divisible por 4 b, ya sea m par o impar. Dee
En efecto: De acuerdo con el Teorema del Residuo, a® — b" será dis
on exacis las divisiones siguientes y en
caso negativo, diga cuál es el residuo: = E
sible por ab, si se anula sustituyendo a por +b. si e ano aria 1609-81)
Sustituyendo a por +b en ab", Dur ta an AS
tenemos: abet cee so Bar
Se anula; luego, a — 5° es siempre divisible por ab. , me Co Ea nee
2) aa br es divisible por a4 b sin es impar. r = =
Siendo n impar, a" + 6" será divisible por a+b si se anula al susti- |
tuir a por ~b. DIVISIBILIDAD DE
Sustituyendo a por —b en a* + br, EDS (DDD
ASA i a à his
Se anula; luego, a*+0% es divisible por a+b siendo m impar. siempre es divisible, 2) EE es dvisible si n es impo
o
ponente
b* porque n es impar y toda cantidad negativa elevada a un ex. |
ıpar da una cantidad negativa.
IT es divisible sin es par 41
9 a bn es divi
Siendo n par, ar
va por —b.
le por a 4-b sin es par.
" será divisible por a+ si se anula al sustituir
ivisión, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas Sustituyendo la a por =O en at
sate en cada emo y el residuo, si lo hay: q neo Ë B
11. 2t-2etta+6 entre ar2. Se anula; luego, a” b* es divisible por a b siendo n par. (- 0)
abr = (0) bts br bs
br
12 porque m es par y toda cantidad negativa elevada a un exponente par da
13. h na cantidad positiva,
y entre x-6.
36. 804-25 entre a-4. 4) +6" no es divisible por a+b sin es par.
16. IAN entre 4x1. Siendo n par, para que a" + b* sea divisible por a + b es necesario que
AT. 154 25nt—18n9— 16S 1711 entre Sto. se anule al susticuir la a por —b.
Susctuyendo la a por —b, EA
A
En los ejemplos sigui
ates, hallar el valor de la constante K (16
independiente el! polinomio). para que: tenemos: CRE dE
18 ixt=5x+K sea divisible por x. No se anula; luego, a" +6" no es divisible por a+ b cuando n cs pare
10. xPaihsP4de+K sea divisible por x~2. Er Se 5
20. at425atK sea divisible por a+3. 5) a 0% munca es divisible por ab, ya sea n par o impar.
31. 20x~7e2420x4K sea divisible por dx+1 Siendo n par o impar, para que a* +b" sea divisible por a~b es mece.
sario que se anule al sustituir la à por + b.
DIVISIBILIDAD DE «"+b" y 0"—b* POR a+bva=b Sustituyendo, | Re
ü „Vase ann)
Vamos a aplicar el Teorema del Residuo à la demostración de las re. tenemos: } WE 1
glas establecidas en el nümero 96. No se anula; luego, at + be munca es divisible por ab
Siendo n un número entero y positivo, se verifica: © EJERCICIO 77
1) ar br es siempre divisible por 4 b, ya sea m par o impar. Dee
En efecto: De acuerdo con el Teorema del Residuo, a® — b" será dis
on exacis las divisiones siguientes y en
caso negativo, diga cuál es el residuo: = E
sible por ab, si se anula sustituyendo a por +b. si e ano aria 1609-81)
Sustituyendo a por +b en ab", Dur ta an AS
tenemos: abet cee so Bar
Se anula; luego, a — 5° es siempre divisible por ab. , me Co Ea nee
2) aa br es divisible por a4 b sin es impar. r = =
Siendo n impar, a" + 6" será divisible por a+b si se anula al susti- |
tuir a por ~b. DIVISIBILIDAD DE
Sustituyendo a por —b en a* + br, EDS (DDD
ASA i a à his
Se anula; luego, a*+0% es divisible por a+b siendo m impar. siempre es divisible, 2) EE es dvisible si n es impo
o
ponente
b* porque n es impar y toda cantidad negativa elevada a un ex. |
ıpar da una cantidad negativa.
IT es divisible sin es par 41
9 a bn es divi
Siendo n par, ar
va por —b.
le por a 4-b sin es par.
" será divisible por a+ si se anula al sustituir
(min canoe © 123
La igualdad y*—5y=~6 es una ecuación porque es
una igualdad que sólo se verifica para y=2 € y=3. En efec
to, sustituyendo la y por 2, tenemos; 4
Si hacemos y=0, tenemos: 3*—5(3)=~6
9-15 =-6
- 6=-6
Si damos a y un valor distinto de 2 6 à, la igualdad no se verifica.
105) IDENTIDAD ¢ una igualdad que se verifica para cualesquiera valo.
ves de las letras que entran en el
Asi, (e-bP=(a-b)(a-b)
@-m=(atm){a-m)
o de a Öpece helen don son iden 1 se verifican para cualesquiera valores de las Jetras
ite, canteens de ds ctr, Onn E o £ ay b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.
Dennis "dominó la Autonema durante El signo de identidad es =, que se ee “idémtico a". (FRI
Así, la identidad de {x +) con x°+2xy-+y# se escribe”
y se lee (x+y)? idéntico a x84 2xy 4-38
06) MIEMBROS
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la
expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y se:
gundo miembro, a la expresión que está a la derecha.
Asi, en la ecuación
ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
(103) IGUALDAD es la expresión de que dos
gebraicas tienen el mismo valor,
Ejemplos |
(104) ECUACION es una igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera
para determinados valores de Jas incógnitas.
Las incógnitas se representan: por las últimas letras del alfabeto:
HE WD
Asi, er
ee e
que hay una incégnita, la x, y esta igualdad sólo. á a
vi o me ie sólo nd para cl 5(3)+2=17, 0 sea: 17
En efecto, si sustituimos la x por 3, |
¡dades 0 expresiones al-
AS
el primer miembro es 3x=5 y el segundo miembro 2x 3.
+e JE = 4x4 15,
TERMINOS son cada una de las cantidades que están conectadas con
otra por el signo + o —, o la cantidad que está sal
Asi, en la ecuación
nun miembro,
52-3
los términos son ax, —5, 2x y —3.
No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos
de la misma, error muy frecuente en los alumnos.
Miembro ¥ término son equivalentes sólo e
una ecuación hay una solo cantidad
A
os que 3x es el primer miembro de Ja ecuación y también es un
nino de la ccvación.
indo en un miembro de
Así, en la ecuación
tenemo
Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es
verdadera
122
La igualdad y*—5y=~6 es una ecuación porque es
una igualdad que sólo se verifica para y=2 € y=3. En efec
to, sustituyendo la y por 2, tenemos; 4
Si hacemos y=0, tenemos: 3*—5(3)=~6
9-15 =-6
- 6=-6
Si damos a y un valor distinto de 2 6 à, la igualdad no se verifica.
105) IDENTIDAD ¢ una igualdad que se verifica para cualesquiera valo.
ves de las letras que entran en el
Asi, (e-bP=(a-b)(a-b)
@-m=(atm){a-m)
o de a Öpece helen don son iden 1 se verifican para cualesquiera valores de las Jetras
ite, canteens de ds ctr, Onn E o £ ay b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.
Dennis "dominó la Autonema durante El signo de identidad es =, que se ee “idémtico a". (FRI
Así, la identidad de {x +) con x°+2xy-+y# se escribe”
y se lee (x+y)? idéntico a x84 2xy 4-38
06) MIEMBROS
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la
expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y se:
gundo miembro, a la expresión que está a la derecha.
Asi, en la ecuación
ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
(103) IGUALDAD es la expresión de que dos
gebraicas tienen el mismo valor,
Ejemplos |
(104) ECUACION es una igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera
para determinados valores de Jas incógnitas.
Las incógnitas se representan: por las últimas letras del alfabeto:
HE WD
Asi, er
ee e
que hay una incégnita, la x, y esta igualdad sólo. á a
vi o me ie sólo nd para cl 5(3)+2=17, 0 sea: 17
En efecto, si sustituimos la x por 3, |
¡dades 0 expresiones al-
AS
el primer miembro es 3x=5 y el segundo miembro 2x 3.
+e JE = 4x4 15,
TERMINOS son cada una de las cantidades que están conectadas con
otra por el signo + o —, o la cantidad que está sal
Asi, en la ecuación
nun miembro,
52-3
los términos son ax, —5, 2x y —3.
No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos
de la misma, error muy frecuente en los alumnos.
Miembro ¥ término son equivalentes sólo e
una ecuación hay una solo cantidad
A
os que 3x es el primer miembro de Ja ecuación y también es un
nino de la ccvación.
indo en un miembro de
Así, en la ecuación
tenemo
Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es
verdadera
122
124 @ avan
CLASES DE ECUACIONES
Una ecuación numérica es una ecuación MA
que no tiene más letras que las incógnitas, como __/
donde la tinica letra es la incógnita x.
Una ecuación literal es una ecuación ni
que además de las incógnitas tiene otras letras, (BYE ASUS
que representan cantidades conocidas, como.
Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene de-
nominador como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando al.
gunos o todos sus términos tienen denominador, como
ya sola
GRADO de una ecuación con di
icógnita cs el mayor exponente que 4x=6=üx=1 y an
tiene la incógnita en la ccuación. Así, /
son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1.
BEL
es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2.
Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.
La ecuación
'AICES O SOLUCIONES de una ecuación son los valores de las in-
cógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustiui-
dos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad.
Así, en la ecuación
la raíz es 7 porque haciendo
5(7)—6=8(7) +8, o sea 29=29,
donde vemos que 7 satisface la ccuaciôn.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz.
(119) RESOLVER UNA ECUACIÓN es hallar sus raíces, o sea el valor o los
valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.
A AE
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultar
des serán iguales.
Ecuaciones mirenas oF carr arapo © 125
REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA
1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma canti.
dad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
2) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma canti
dad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una mis.
ma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma
cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
13) Si los dos miembros de una ecuación se clevan a una misma po:
tencia 0 si a los dos miembros se extrac una misma rai, In igualdad subsiste.
13)LA TRANSPOSICION DE TERMINOS consiste en cambiar los térmis
nos de una ecuación de un miembro al otto.
REGLA
Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a
indole el signo,
1 efecto:
1) Sea la ecuación ax =2a~ 6.
Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste
Regla D, y o py ep yp
y como — b 4 b =0, qued:
We sed de
donde vemos que —b, que estaba-en el segundo miembro de la ecu,
dada, la pasado al primer miembro con
2) Sea la ecuación Bx + b
Restando & a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste
(Regla 2), y tendremos:
Ixtb-b=2a—b
y como b=b=0, queda al
donde vemos que +4, que estaba en el primer miembro de la ecuación
dada, ha pasado al segundo miembro con signo —.
CLASES DE ECUACIONES
Una ecuación numérica es una ecuación MA
que no tiene más letras que las incógnitas, como __/
donde la tinica letra es la incógnita x.
Una ecuación literal es una ecuación ni
que además de las incógnitas tiene otras letras, (BYE ASUS
que representan cantidades conocidas, como.
Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene de-
nominador como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando al.
gunos o todos sus términos tienen denominador, como
ya sola
GRADO de una ecuación con di
icógnita cs el mayor exponente que 4x=6=üx=1 y an
tiene la incógnita en la ccuación. Así, /
son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1.
BEL
es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2.
Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.
La ecuación
'AICES O SOLUCIONES de una ecuación son los valores de las in-
cógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustiui-
dos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad.
Así, en la ecuación
la raíz es 7 porque haciendo
5(7)—6=8(7) +8, o sea 29=29,
donde vemos que 7 satisface la ccuaciôn.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz.
(119) RESOLVER UNA ECUACIÓN es hallar sus raíces, o sea el valor o los
valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.
A AE
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultar
des serán iguales.
Ecuaciones mirenas oF carr arapo © 125
REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA
1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma canti.
dad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
2) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma canti
dad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una mis.
ma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma
cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
13) Si los dos miembros de una ecuación se clevan a una misma po:
tencia 0 si a los dos miembros se extrac una misma rai, In igualdad subsiste.
13)LA TRANSPOSICION DE TERMINOS consiste en cambiar los térmis
nos de una ecuación de un miembro al otto.
REGLA
Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a
indole el signo,
1 efecto:
1) Sea la ecuación ax =2a~ 6.
Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste
Regla D, y o py ep yp
y como — b 4 b =0, qued:
We sed de
donde vemos que —b, que estaba-en el segundo miembro de la ecu,
dada, la pasado al primer miembro con
2) Sea la ecuación Bx + b
Restando & a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste
(Regla 2), y tendremos:
Ixtb-b=2a—b
y como b=b=0, queda al
donde vemos que +4, que estaba en el primer miembro de la ecuación
dada, ha pasado al segundo miembro con signo —.
126 © mima
14) Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una
canada) pueden apres
à ‘on |
Pe reer re
suprimirse, quedando
porque equivale a restar b a los dos miembros.
En la ecuación
DRA 04
tenemos el término
Podemos supriminlo, y queda
Sx ade,
porque equivale a sumar xa los dos miembros,
'on signo-x en los dos miembros.
(115) CAMBIO DE SIGNOS
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar
sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros
de la ecuación por —1, con lo cual la igualdad no varia. (Regla 3).
Asi, si en la ecuación yey seas)
jultiplicamos ambos miembros por —1, para lo cual hay que multi:
plicar por —1 todos los términos de cada miembro, tendremos:
2+3
que es la ecuación dada con los siguos de todos sus términos cambiados,
eh
RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
(116) REGLA GENERAL
1) Se efectitan las operaciones indicadas, si las hay.
2) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro
todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas
las cantidades conocidas.
3) Se reducen términos semejantes en cada miembro,
4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación
por el cocticiente de la incógnita.
FCUACIONES ENTERAS DE Paura GRADO @ 127
11) Resolver la ecuación x 5= x +3,
Posondo x al primer miembro y~ 5 al segundo, com
biöndoles los signos, tenemos, 3x—x=3++5,
Reduciendo términos semejentos:
2-8
Despejando x para lo cual dividimos los dos
miembros de la ecuación por 2, tenemos:
N
VERIFICACION: pr
Lo verificación slo prob de que ol nor benido paro la incóglo oi
correa
lo verificación so reoliza susituyondo. en les dos miembros de la ccucción
dada la incógnita por el volor obrenido, y si éxto es correcto, la. ecuación
dada se convert en idonfidad.
az
A
dada, tonemas: D |
El volor x = 4 salstaco la cevaciôn.
12) Resolver la ecuoción: 35 — 22 + 6= 18x = 14 — 30x + 32.
Fosondo — 30x ol primor miembro y 35 y 6 al sogundo:
= 2k Vx 30e= 14+ 2-35 ~6,
Reden: 1-5.
Diviiendo por — 5: 2
Despejando x para fo cual di “u
-vidimos ombos miembros por 2. atl 7 =
VERIFICACION
Haciendo x=—3 en In ecuación dado, se tiene:
352214) + 6~ 18|— 3) = 4—30(— 4) +92
BS MGI = 144 15492
EJERCICIO 78
Resolver las ecuaciones;
0. BeH9—-12e=tx—13—5x,
10, by +6) =SI=1)+102465).
UL 1647x—-5bx=Mx—3—x.
32. Ax-+101—4y~33=108—16x—100.
18. 14—120409:—I8x=256-60x—657%
14 Bx 1GX= 30x HL =5BCHTX—172,
1.
2
ES
4
5
6
7
14) Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una
canada) pueden apres
à ‘on |
Pe reer re
suprimirse, quedando
porque equivale a restar b a los dos miembros.
En la ecuación
DRA 04
tenemos el término
Podemos supriminlo, y queda
Sx ade,
porque equivale a sumar xa los dos miembros,
'on signo-x en los dos miembros.
(115) CAMBIO DE SIGNOS
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar
sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros
de la ecuación por —1, con lo cual la igualdad no varia. (Regla 3).
Asi, si en la ecuación yey seas)
jultiplicamos ambos miembros por —1, para lo cual hay que multi:
plicar por —1 todos los términos de cada miembro, tendremos:
2+3
que es la ecuación dada con los siguos de todos sus términos cambiados,
eh
RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
(116) REGLA GENERAL
1) Se efectitan las operaciones indicadas, si las hay.
2) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro
todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas
las cantidades conocidas.
3) Se reducen términos semejantes en cada miembro,
4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación
por el cocticiente de la incógnita.
FCUACIONES ENTERAS DE Paura GRADO @ 127
11) Resolver la ecuación x 5= x +3,
Posondo x al primer miembro y~ 5 al segundo, com
biöndoles los signos, tenemos, 3x—x=3++5,
Reduciendo términos semejentos:
2-8
Despejando x para lo cual dividimos los dos
miembros de la ecuación por 2, tenemos:
N
VERIFICACION: pr
Lo verificación slo prob de que ol nor benido paro la incóglo oi
correa
lo verificación so reoliza susituyondo. en les dos miembros de la ccucción
dada la incógnita por el volor obrenido, y si éxto es correcto, la. ecuación
dada se convert en idonfidad.
az
A
dada, tonemas: D |
El volor x = 4 salstaco la cevaciôn.
12) Resolver la ecuoción: 35 — 22 + 6= 18x = 14 — 30x + 32.
Fosondo — 30x ol primor miembro y 35 y 6 al sogundo:
= 2k Vx 30e= 14+ 2-35 ~6,
Reden: 1-5.
Diviiendo por — 5: 2
Despejando x para fo cual di “u
-vidimos ombos miembros por 2. atl 7 =
VERIFICACION
Haciendo x=—3 en In ecuación dado, se tiene:
352214) + 6~ 18|— 3) = 4—30(— 4) +92
BS MGI = 144 15492
EJERCICIO 78
Resolver las ecuaciones;
0. BeH9—-12e=tx—13—5x,
10, by +6) =SI=1)+102465).
UL 1647x—-5bx=Mx—3—x.
32. Ax-+101—4y~33=108—16x—100.
18. 14—120409:—I8x=256-60x—657%
14 Bx 1GX= 30x HL =5BCHTX—172,
1.
2
ES
4
5
6
7
128 @ aucmr
RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON SIGNOS DE AGRUPACION
(1) Resolver Be 12 11 = 7x 1950 + (= x + 28)
Suprimiendo los signos de agrupación:
IRA A SII + Sex,
Tronsponiondos — 3°—2x—7x—Sxbx=—34+24—1,
Reduciendo: 10x =20
Par R
(2) Rosolvor Sr} — 2e + (= x 46) | = 18— | — ID +61 — ax 24) 4
Suprimiend los paréntesis inrioros
Set Da 046 81-7002}
Sapriiendo los Haves
Ge Ox a 62 WHI HG 24
78 = 16+6— 24 —6
Mulilicando por
Dividiendo por 2:
E EJERCICIO 79
Resolver fay siguientes ecuaciones;
1. (Bt 1)=8-(Be43)-
5106 (4-2) #3).
BR) 1x5) (+11) C 0.
A (BB).
A4 BD} (1428) +82).
ON
Te 16x—[B—(6—-9e]]=304|—Ce2) (43)
DR RTE (5H)
D. (ed) 28 (a 5) HO
10. TB IS) (49).
A 154BR (Be)
2
3
4
5
&
Ecuaciones exrenas oe rama © 129
(17) RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON PRODUCTOS INDICADOS
1) Resolve lo ecuación
Ejemplos Wie 9/9 15— 6612 2 x= UF 5114281.
Efoctuondo los productos indicados:
10% — 90 — 45 + 54x = Bx — 22 5+ 10x.
primiendo 10x en ambos
iembros por ter camidados
iguales con signos. iguales en
distintos miembros, quedo: —/
VERIFICACION:
10/3 ~9) ~ 915 ~ 18) =2(12—1) +511 +4)
Haciendo x=3 en la 10-41-1131 = 20111-4517)
ecuación dado, 10 lleno: > 417 = 22435
57 = 57,
solislace lo ecuación.
(2) Resolver 4x— (2x 3 Be 512 49 — 16x —1) [x21
I (c+ IDA — 51 = 6 = x = 15
Elechondo los productos indicados — (kenn D,
El signo — delante de los productos indicados en cada miembro de la acuo:
«ción nos dice que hoy que efectuar los productos y cambiar el signo o coda
uno de sus términos, luego una vez ofociuados los productos los introducimos
en poréntoss procadidos del signo — y tendremos que la ecuación dado se
convierto om
At
15) = 49 (6 — 13x +2]
imiondo los paréntesis —
43) Resolver fet 1x —21— lr 1) Be 5) 62 Bu 1x31 Le 47,
Ffectuando los productos indicados:
A = 9) 6 = Bk MU + eT
Soptimiendo lor parént
A1=2 128174 5 6 2 Bu Vat — dd + 291
En el primer miembro tone- —x—2— 17x+5—6
mos a? y — 1252 que teduci x Wx Bach der
dos don — 1138, y como en el
segundo. miembro. hay obo
Ha, los suprimimon y
quedo: — 7
RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON SIGNOS DE AGRUPACION
(1) Resolver Be 12 11 = 7x 1950 + (= x + 28)
Suprimiendo los signos de agrupación:
IRA A SII + Sex,
Tronsponiondos — 3°—2x—7x—Sxbx=—34+24—1,
Reduciendo: 10x =20
Par R
(2) Rosolvor Sr} — 2e + (= x 46) | = 18— | — ID +61 — ax 24) 4
Suprimiend los paréntesis inrioros
Set Da 046 81-7002}
Sapriiendo los Haves
Ge Ox a 62 WHI HG 24
78 = 16+6— 24 —6
Mulilicando por
Dividiendo por 2:
E EJERCICIO 79
Resolver fay siguientes ecuaciones;
1. (Bt 1)=8-(Be43)-
5106 (4-2) #3).
BR) 1x5) (+11) C 0.
A (BB).
A4 BD} (1428) +82).
ON
Te 16x—[B—(6—-9e]]=304|—Ce2) (43)
DR RTE (5H)
D. (ed) 28 (a 5) HO
10. TB IS) (49).
A 154BR (Be)
2
3
4
5
&
Ecuaciones exrenas oe rama © 129
(17) RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON PRODUCTOS INDICADOS
1) Resolve lo ecuación
Ejemplos Wie 9/9 15— 6612 2 x= UF 5114281.
Efoctuondo los productos indicados:
10% — 90 — 45 + 54x = Bx — 22 5+ 10x.
primiendo 10x en ambos
iembros por ter camidados
iguales con signos. iguales en
distintos miembros, quedo: —/
VERIFICACION:
10/3 ~9) ~ 915 ~ 18) =2(12—1) +511 +4)
Haciendo x=3 en la 10-41-1131 = 20111-4517)
ecuación dado, 10 lleno: > 417 = 22435
57 = 57,
solislace lo ecuación.
(2) Resolver 4x— (2x 3 Be 512 49 — 16x —1) [x21
I (c+ IDA — 51 = 6 = x = 15
Elechondo los productos indicados — (kenn D,
El signo — delante de los productos indicados en cada miembro de la acuo:
«ción nos dice que hoy que efectuar los productos y cambiar el signo o coda
uno de sus términos, luego una vez ofociuados los productos los introducimos
en poréntoss procadidos del signo — y tendremos que la ecuación dado se
convierto om
At
15) = 49 (6 — 13x +2]
imiondo los paréntesis —
43) Resolver fet 1x —21— lr 1) Be 5) 62 Bu 1x31 Le 47,
Ffectuando los productos indicados:
A = 9) 6 = Bk MU + eT
Soptimiendo lor parént
A1=2 128174 5 6 2 Bu Vat — dd + 291
En el primer miembro tone- —x—2— 17x+5—6
mos a? y — 1252 que teduci x Wx Bach der
dos don — 1138, y como en el
segundo. miembro. hay obo
Ha, los suprimimon y
quedo: — 7
130 @ area
(4) Resolver {9e— 1? 2 + AU + 42 2 2x] x 5) MA
Dosorrollando los cuadrexos de los binomios:
O)
Suprimiondo los paréntesis
Pet = xh 112? 261 — 27 + 42
— be — 6 Ve = Be
‘Ste
EN
> EJERCICIO 80
Resolver las siguientes ecuaciones:
HART MO ED).
Be) HERNE.
ON
O deel rea
BDO Tre DET
en e
O
(BEER HMR asd) (NAPE.
RP eb HOT
DD De A) ASFA.
Blt e+ DO A2) 10 = 0.
(8) 142) 4319-25)
O
10. Ter ot De 1)2.
20. Sao ED da #52,
RERESse2orpepe
1
i
® EJERCICIO 81
MISCELANEA:
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 14x—(38—2)-[5x42—(e-1)]=0.
ES D et).
Dre ETS
Se Me)
Be DCI) —[—{ A+) +10)
DASS):
CADEADE VAD HAH
LH {ax 5)
3
Sprtprse
RIT)
(TO (225-409 D, C.} Famoso, matemático
lencionte a là Excucla de Alejondrin, Se
tie Noy get he bots y ets
a sabe. hoy ‚ur los babilonios y cldees
fain "niguna de lt prodtemas que abordó
CAPITULO. I)
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE
PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
(11) La suma de las edades de A y 1 cs 64
que A, Hallar ambas cdades.
x= edad de 4.
ños, y B tiene 8 años menos.
Como B tiene $
nos que A: _
La sma de ambas edades es M aos; PEREA
Nyon, tenemos la ee
Resolviendo:
15 años, edad de A, R.
lad de 1 ser
(icación en los problemas consiste en ver si los resultados óbte-
ren las condiciones del problema.
este caso, hemos obtenide que la edad de B ev 38
s; luego, se cumple la condición dada en el problen
ños. R.
131
(4) Resolver {9e— 1? 2 + AU + 42 2 2x] x 5) MA
Dosorrollando los cuadrexos de los binomios:
O)
Suprimiondo los paréntesis
Pet = xh 112? 261 — 27 + 42
— be — 6 Ve = Be
‘Ste
EN
> EJERCICIO 80
Resolver las siguientes ecuaciones:
HART MO ED).
Be) HERNE.
ON
O deel rea
BDO Tre DET
en e
O
(BEER HMR asd) (NAPE.
RP eb HOT
DD De A) ASFA.
Blt e+ DO A2) 10 = 0.
(8) 142) 4319-25)
O
10. Ter ot De 1)2.
20. Sao ED da #52,
RERESse2orpepe
1
i
® EJERCICIO 81
MISCELANEA:
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 14x—(38—2)-[5x42—(e-1)]=0.
ES D et).
Dre ETS
Se Me)
Be DCI) —[—{ A+) +10)
DASS):
CADEADE VAD HAH
LH {ax 5)
3
Sprtprse
RIT)
(TO (225-409 D, C.} Famoso, matemático
lencionte a là Excucla de Alejondrin, Se
tie Noy get he bots y ets
a sabe. hoy ‚ur los babilonios y cldees
fain "niguna de lt prodtemas que abordó
CAPITULO. I)
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE
PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
(11) La suma de las edades de A y 1 cs 64
que A, Hallar ambas cdades.
x= edad de 4.
ños, y B tiene 8 años menos.
Como B tiene $
nos que A: _
La sma de ambas edades es M aos; PEREA
Nyon, tenemos la ee
Resolviendo:
15 años, edad de A, R.
lad de 1 ser
(icación en los problemas consiste en ver si los resultados óbte-
ren las condiciones del problema.
este caso, hemos obtenide que la edad de B ev 38
s; luego, se cumple la condición dada en el problen
ños. R.
131
132 © ua PROOLIMAS tonne ECUACIONES enrnas @ 133
B tiene 8 años menos que A y ambas edades suman 46-+38= 84 años, que
es la otra condición dada en el problema. > noes
Luego los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema. 4: La suman de don aéero a 100,7. mayor ecc al ros e BANN
los números.
(19) Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero, El sombrero cos: 2 La suma de dos números es 510 y su diferencia 32. Hallar los números.
16 $5 más que el libro y 520 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por 3 Ente 4 5 B tienen 1154 bollvars y Biene 500 menos que À: ¿Cato
cada cosa? tiene cada unk
ividir e n ales que la mayor me
BGs preg det he 4. Dividir e número 106 en dos partes tales que La mayor exceda a la me
Como el sombrero costó 55 IR 5 = precio del sombrero. | D. 4 tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 36 años. ¿Qué edad
más que elllibte 4 Gene cada uno? E
El sombrero costó $20 menos que & Repair 2080 sl cused y B de modo que A ein 1014 más que
el trajes luego el traje costó $20 mis |XESFWER 25 = precio del traje. 7. Hallar dos nümeros enteros consecutivos cuya suma sea 10%
que cabreo A ln! “Tres mimeros emos comtes suman 201. Halla Jos mien
0). Hallar cuatro números enteros consecutivos
10, Hallar dos números enteros pares consect
ya su
vos cuya suma sea 194.
Como todo costó $87, la suma de los precios nat
del libro, traje y sombrero tiene que ser igual RSS AXIS ET ;
À au 11. Hallar tres mimeros enteros consecutivos cuya suma sea 186
Rd 2 14. Page Ss por un caallo, un coche y mu aries, Ll caballo cn $8)
Resolviendo: tie que el coche y los arreos $25 menos que el coche. Hallar los precios
87-30 respectivos.
= 18. La suma de tres mümeros es 200. El mayor excede al del medio en 3%
yal menor en 65. Hallar los mimetos
=$19, precio del libro. R. o tic? Bene tes 40 mae
$24, precio del sombrero. R. de que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en
$44, precio del traje. R. da ceo? i y
10. Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 16 unidades menor
Cr suma de tres nümeros enteros consecutivos es 106. Hallar los nú- que la del medio y 70 unidades menor que la mayor. :
meros. 10 Repartir 339 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 20
re menos que la primera y 40 más que la tercera,
=> 5 o 1%. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20
#1 teo nO años más que la menor y la del medio 18 años menos que la major,
+ 2 = némero mayor. LE Tee
Como la suma de los tres números xl +2=166. 1. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.
es 156, se tiene la ecuación £ ag
Resolviende 8x+3= (121) La edad de A es doble que la de B, y ambas edades suman 36 años.
2 Hallar ambas edades.
Sea x= edad de Ba
51, nümero menor. R. Como, según las condiciones, la edad de A axe edad de
#41=61 41262, número intermedio. R. es doble que la de B, tendremos: 2
ae 268, Amero mayor.) Re | lomo la suma de ambas edades es 36 años e
Si designamos por x el nümero mayor, el número intermedio. sería basal a
1 y el menor x= 2. Resolviendo:
designamos por x el número intermedio, el mayor sería x41 y et
menor x=1.
B tiene 8 años menos que A y ambas edades suman 46-+38= 84 años, que
es la otra condición dada en el problema. > noes
Luego los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema. 4: La suman de don aéero a 100,7. mayor ecc al ros e BANN
los números.
(19) Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero, El sombrero cos: 2 La suma de dos números es 510 y su diferencia 32. Hallar los números.
16 $5 más que el libro y 520 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por 3 Ente 4 5 B tienen 1154 bollvars y Biene 500 menos que À: ¿Cato
cada cosa? tiene cada unk
ividir e n ales que la mayor me
BGs preg det he 4. Dividir e número 106 en dos partes tales que La mayor exceda a la me
Como el sombrero costó 55 IR 5 = precio del sombrero. | D. 4 tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 36 años. ¿Qué edad
más que elllibte 4 Gene cada uno? E
El sombrero costó $20 menos que & Repair 2080 sl cused y B de modo que A ein 1014 más que
el trajes luego el traje costó $20 mis |XESFWER 25 = precio del traje. 7. Hallar dos nümeros enteros consecutivos cuya suma sea 10%
que cabreo A ln! “Tres mimeros emos comtes suman 201. Halla Jos mien
0). Hallar cuatro números enteros consecutivos
10, Hallar dos números enteros pares consect
ya su
vos cuya suma sea 194.
Como todo costó $87, la suma de los precios nat
del libro, traje y sombrero tiene que ser igual RSS AXIS ET ;
À au 11. Hallar tres mimeros enteros consecutivos cuya suma sea 186
Rd 2 14. Page Ss por un caallo, un coche y mu aries, Ll caballo cn $8)
Resolviendo: tie que el coche y los arreos $25 menos que el coche. Hallar los precios
87-30 respectivos.
= 18. La suma de tres mümeros es 200. El mayor excede al del medio en 3%
yal menor en 65. Hallar los mimetos
=$19, precio del libro. R. o tic? Bene tes 40 mae
$24, precio del sombrero. R. de que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en
$44, precio del traje. R. da ceo? i y
10. Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 16 unidades menor
Cr suma de tres nümeros enteros consecutivos es 106. Hallar los nú- que la del medio y 70 unidades menor que la mayor. :
meros. 10 Repartir 339 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 20
re menos que la primera y 40 más que la tercera,
=> 5 o 1%. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20
#1 teo nO años más que la menor y la del medio 18 años menos que la major,
+ 2 = némero mayor. LE Tee
Como la suma de los tres números xl +2=166. 1. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.
es 156, se tiene la ecuación £ ag
Resolviende 8x+3= (121) La edad de A es doble que la de B, y ambas edades suman 36 años.
2 Hallar ambas edades.
Sea x= edad de Ba
51, nümero menor. R. Como, según las condiciones, la edad de A axe edad de
#41=61 41262, número intermedio. R. es doble que la de B, tendremos: 2
ae 268, Amero mayor.) Re | lomo la suma de ambas edades es 36 años e
Si designamos por x el nümero mayor, el número intermedio. sería basal a
1 y el menor x= 2. Resolviendo:
designamos por x el número intermedio, el mayor sería x41 y et
menor x=1.
134 @ Accu
(122) Se ha comprado un coche, un caballo y sus arreos por $960, EI coche
costó el triplo de los arreos, y el caballo, el doble de lo que costó el
coche, Hallar el costo de los arveos, del coche y del caballo.
Sea x=costo de los arreos.
Como el coche costó el triplo de los arreos: 3x =costo del coche.
Como el caballo costó el doble del coche: 6x = costo del caballo.
Como los arreos, el coche y el caballo EHRE
costaron $360,se tiene la ecuación:
Resolviendo:
costo de los arreos. R.
5, costo del coche. R.
costo del caballo. R.
Repartir 180 bolívares entre A, B y G de modo que la parte de A sea
la mitad de la de B y un tercio de la de C.
Si la parte de A es la mitad de la de B, la parte de B es doble que
la de A; y si la parte de A es un tercio de la de €, la parte de € es el tie
plo de la de A. Entonces, sea: “
parte de A.
2x=parte de B.
Be=parte de €.
Como la cantidad repartida es bs. 180, la soma
de las partes de cada uno tiene que ser igual a ¥+2e+ ae 2180)
bs. 180; luego, tendremos la ecuación: 4
Resolviendo: — 6x=180
A =0s,30, parte de A. R.
dx =bs.60, parte de B. R.
Be abs. 90, parte de C. R.
[> EJERCICIO 83
1. La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40
años. Mallar ambas edades.
do un caballo y sus arrcos por $600. Si el caballo: costó
4 veces los arreos, ¿cuámo costó el caballo y cuánto los arreos?
n un hotel de 3 pisos hay 48 habitaciones, Si ls habitaciones del segundo
iso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada
4. Repartir 300 colones entre A, By G de modo que la parte de B sea
doble que la de À y la de € el wiplo de la de 4.
6. Repartir 193 sucres entre 4, By G de modo que
mitad de la de B y la de € doble de la de B,
parte de À sea la
promtemas sone ecuaciones unten @ 135
GEL mayor de os nämeros es 6 veces el menor y ambos ndıneros sun
41. Hallar los nümeros. mee
Repartir 149 quetzales entre A, B y € de modo que la parte de Ay la
aa de lade À y um cun de e
$. Dividir cl mómero 860 en ses partes de modo que la primera sea el
cuarto de la segunda y el quinto de Ja tercera.
EI duplo de un mimero equivale al número m
10. La edad de María es el triplo de ln de Rosa mis quince años y ambar
dados suman 59 años. Hallar am edades
11. Si un admero se multiplica por 8 el resultado cs cl número aumentado,
1. Hallar el ime.
12. Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendria 100 años. ¿Qué edad tengo?
1. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el upto de Ja segunda
En terera Igual aa suma dea primera y a sun 3
dad de Enrique es la mitad de la de Pedo; ta dk
de la de Enrique y la de Eugenio el doble de Ja de Juan
Talon, ¿qué edad lene en
‚ntado en 111. Hallar el
van el rip
de has cu de
(23) ta suma de las edades de A, B y G es 69 años. La edad de A es doble
«e la de B y 6 años mayor que la de C. Hallar las edades.
Sea edad de B.
edad de 4.
Si la edad de À es 6 años mayor que la de C, la edad de € es 6 años
menor que la de A; luego, 2x —6=edad de C.
Como las tres edades suman 68 años,
tendremos la: ecuación
Resolviendo:
69
+6
5 años, edad de BR.
30 años, edad de A. R.
24 años, edad de C. R,
1 s partes tales que la segunda sea el triple de la primera
yor que la tercera
2 ren 130 balboas, € tiene el doble de lo que tiene 4 y
balboas menos que #. ¿Cuánto tiene cada uno?
3 11 primero excede al duplo del segundo
4 traje, um bastón y un sombrero por $269, El traje
lo que cl sombrero y el bastón $30 menos que el traje,
los. precios respectivos.
(122) Se ha comprado un coche, un caballo y sus arreos por $960, EI coche
costó el triplo de los arreos, y el caballo, el doble de lo que costó el
coche, Hallar el costo de los arveos, del coche y del caballo.
Sea x=costo de los arreos.
Como el coche costó el triplo de los arreos: 3x =costo del coche.
Como el caballo costó el doble del coche: 6x = costo del caballo.
Como los arreos, el coche y el caballo EHRE
costaron $360,se tiene la ecuación:
Resolviendo:
costo de los arreos. R.
5, costo del coche. R.
costo del caballo. R.
Repartir 180 bolívares entre A, B y G de modo que la parte de A sea
la mitad de la de B y un tercio de la de C.
Si la parte de A es la mitad de la de B, la parte de B es doble que
la de A; y si la parte de A es un tercio de la de €, la parte de € es el tie
plo de la de A. Entonces, sea: “
parte de A.
2x=parte de B.
Be=parte de €.
Como la cantidad repartida es bs. 180, la soma
de las partes de cada uno tiene que ser igual a ¥+2e+ ae 2180)
bs. 180; luego, tendremos la ecuación: 4
Resolviendo: — 6x=180
A =0s,30, parte de A. R.
dx =bs.60, parte de B. R.
Be abs. 90, parte de C. R.
[> EJERCICIO 83
1. La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40
años. Mallar ambas edades.
do un caballo y sus arrcos por $600. Si el caballo: costó
4 veces los arreos, ¿cuámo costó el caballo y cuánto los arreos?
n un hotel de 3 pisos hay 48 habitaciones, Si ls habitaciones del segundo
iso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada
4. Repartir 300 colones entre A, By G de modo que la parte de B sea
doble que la de À y la de € el wiplo de la de 4.
6. Repartir 193 sucres entre 4, By G de modo que
mitad de la de B y la de € doble de la de B,
parte de À sea la
promtemas sone ecuaciones unten @ 135
GEL mayor de os nämeros es 6 veces el menor y ambos ndıneros sun
41. Hallar los nümeros. mee
Repartir 149 quetzales entre A, B y € de modo que la parte de Ay la
aa de lade À y um cun de e
$. Dividir cl mómero 860 en ses partes de modo que la primera sea el
cuarto de la segunda y el quinto de Ja tercera.
EI duplo de un mimero equivale al número m
10. La edad de María es el triplo de ln de Rosa mis quince años y ambar
dados suman 59 años. Hallar am edades
11. Si un admero se multiplica por 8 el resultado cs cl número aumentado,
1. Hallar el ime.
12. Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendria 100 años. ¿Qué edad tengo?
1. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el upto de Ja segunda
En terera Igual aa suma dea primera y a sun 3
dad de Enrique es la mitad de la de Pedo; ta dk
de la de Enrique y la de Eugenio el doble de Ja de Juan
Talon, ¿qué edad lene en
‚ntado en 111. Hallar el
van el rip
de has cu de
(23) ta suma de las edades de A, B y G es 69 años. La edad de A es doble
«e la de B y 6 años mayor que la de C. Hallar las edades.
Sea edad de B.
edad de 4.
Si la edad de À es 6 años mayor que la de C, la edad de € es 6 años
menor que la de A; luego, 2x —6=edad de C.
Como las tres edades suman 68 años,
tendremos la: ecuación
Resolviendo:
69
+6
5 años, edad de BR.
30 años, edad de A. R.
24 años, edad de C. R,
1 s partes tales que la segunda sea el triple de la primera
yor que la tercera
2 ren 130 balboas, € tiene el doble de lo que tiene 4 y
balboas menos que #. ¿Cuánto tiene cada uno?
3 11 primero excede al duplo del segundo
4 traje, um bastón y un sombrero por $269, El traje
lo que cl sombrero y el bastón $30 menos que el traje,
los. precios respectivos.
136 @ Mora
5 La suma de es números es 72, El segundo cs $ del trcro y el primero
excede al tercero en 6. Hallar Jos numeros.
©. Entre A y B tienen 99 bolívares. La parte de B excede al triplo de la
de 4 en 19. Hallar la parte de cada tno.
7. Una varilla de 74 cm de Jongitud se ha pintado de azul y blanco.
La parte pintada de azul excede en 14 cm al duplo de la parte pintada
de blanco. Hallar la Tongitud de la parte pintada de cada color.
8 Repartir $152 entre A,B y G de modo que la parte de B sea $8 menos
que el duplo de la de 4 y $32 más que la de
9. El exceso de un múmero sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el
duplo del número. Hallar el numero,
10, Si me pagaran 60 sucres tendria el doble de Jo que tengo ahora más 10
sucres, ¿Cuánto tengo?
11. EI asta de una bandera de 9.10 m de altura se ha partido en dos, La
parte separada tiene BO cm menos que la otra parte. Hallar Ia longitud
de ambas partes del asta.
1% Las edades de un padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre
excede en à anos al triplo de la etlad del hijo. Hallar ambas edades,
13. En una elección en que había 3 candidatos A, E y € se emitieron 9000
votos, 1! obtuvo 500 votos menos que À y 800 votos máx que € ¿Cuántos
yotos obtuvo el candidato triunfante?
14. El exceso de 8 veces un mimeto sobre (0 equivale al exceso de 60 sobre
7 veces el número. Hallar el número.
15. Preguntado un hombre por su edad, responde: Si al doble de mí edad
se quitan 17 años se tendría lo que ime falta para tener 100 añor. ¿Qué
edad tiene el hombre?
Dividir 85 en dos partes tales que el triplo de la parte menor equi
valga al duplo de la mayor.
Sea x=la parte menor,
Tendremos: 85-x=la parte mayor.
El problema me dice que el triplo de la parte
menor, 3%, equivale al duplo de la parte mayor,
285 — x); luego, tenemos la ecuación 0
Resolviendo:
Eis),
34, parte menor. R.
51, parte mayor. R.
Entre A y B tienen $81. Si A pierde $96, el duplo de lo que le que-
da equivale al triplo de lo que tiene B ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?
Sea x =niimero de pesos que tiene À,
$1—x'=número de pesos que tiene B.
de esta cantidad 2x —30) equivale al wiplo de lo que
iene B ahora, o sea, al triplo de 81 —x; luego, tenemos
rontemas somme ecuaciones seras @ 137
Si A pierde $36, se queda con $(*—30) y el duplo
SS
la ecuación:
Resolviendo:
=$63, lo que tiene 4. Re
$18, lo que tiene B. Ro
EJERCICIO 85
La suma de dos números es 100 y el duplo del mayor equivale al wiplo
del menor. Hallar los numeros,
Las edades de un padre y su hi 60 años. Si la edad del padre
se disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar
¡cs ales que la mayor disminuida en 159 el
da cn 100
n 150 sols. Si À pierde 46, lo que le queda equivale
1. ‚Cuinto dene cada uno?
Dos Angus suman 1809 y el duplo del menor excede en 45° al mayor
Hallar In delos.
La suma de dos mimeros es 510 y el mayor excede al triplo del
en 88. Hallar los números. ie E
La dilerencia de dos nämeros es 26. Si el mayor se disminuye cu 12
se tiene el ewidruplo del menor. Hallar los mümeros.
Un perro y su collar han comado S54, y el pero comó 8 veces lo que
el collar. ¿Cuámio costó el perro y auänio el eo 3
2 ienen 591, Si pide $16 y 2 gana $20, ambos tienen I
lave hay 60 alumnos entre Jóvenes y señoritas. EI numero de
señoritas excede al duplo de los jóvenes, ¿Cuántos jóvenes hay en
la clase y cuántas señoritas?
nor
160 en dus partes tales que el triplo de La parte n
en Ja parte mayor cquivalga a 18.
La suma de dos mimeros es 506 y el triplo del menor excede en 50 at
‘mayor aumentado en 100. Hallar os nuevos
Uva esilográfica y un fapicero han costado 18 bol
a costado 4 bolívares menos y el lapicero
» lo mismo, ¿Cuánto costó cada uno? 4
la de Bt 6 mgitud está. pintada de rojo y negro. La
or que la. parte pintada de nego. Hallar 1a
es. Si la estilográlica
bolívares más, habrian
ud de cada parte,
5 La suma de es números es 72, El segundo cs $ del trcro y el primero
excede al tercero en 6. Hallar Jos numeros.
©. Entre A y B tienen 99 bolívares. La parte de B excede al triplo de la
de 4 en 19. Hallar la parte de cada tno.
7. Una varilla de 74 cm de Jongitud se ha pintado de azul y blanco.
La parte pintada de azul excede en 14 cm al duplo de la parte pintada
de blanco. Hallar la Tongitud de la parte pintada de cada color.
8 Repartir $152 entre A,B y G de modo que la parte de B sea $8 menos
que el duplo de la de 4 y $32 más que la de
9. El exceso de un múmero sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el
duplo del número. Hallar el numero,
10, Si me pagaran 60 sucres tendria el doble de Jo que tengo ahora más 10
sucres, ¿Cuánto tengo?
11. EI asta de una bandera de 9.10 m de altura se ha partido en dos, La
parte separada tiene BO cm menos que la otra parte. Hallar Ia longitud
de ambas partes del asta.
1% Las edades de un padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre
excede en à anos al triplo de la etlad del hijo. Hallar ambas edades,
13. En una elección en que había 3 candidatos A, E y € se emitieron 9000
votos, 1! obtuvo 500 votos menos que À y 800 votos máx que € ¿Cuántos
yotos obtuvo el candidato triunfante?
14. El exceso de 8 veces un mimeto sobre (0 equivale al exceso de 60 sobre
7 veces el número. Hallar el número.
15. Preguntado un hombre por su edad, responde: Si al doble de mí edad
se quitan 17 años se tendría lo que ime falta para tener 100 añor. ¿Qué
edad tiene el hombre?
Dividir 85 en dos partes tales que el triplo de la parte menor equi
valga al duplo de la mayor.
Sea x=la parte menor,
Tendremos: 85-x=la parte mayor.
El problema me dice que el triplo de la parte
menor, 3%, equivale al duplo de la parte mayor,
285 — x); luego, tenemos la ecuación 0
Resolviendo:
Eis),
34, parte menor. R.
51, parte mayor. R.
Entre A y B tienen $81. Si A pierde $96, el duplo de lo que le que-
da equivale al triplo de lo que tiene B ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?
Sea x =niimero de pesos que tiene À,
$1—x'=número de pesos que tiene B.
de esta cantidad 2x —30) equivale al wiplo de lo que
iene B ahora, o sea, al triplo de 81 —x; luego, tenemos
rontemas somme ecuaciones seras @ 137
Si A pierde $36, se queda con $(*—30) y el duplo
SS
la ecuación:
Resolviendo:
=$63, lo que tiene 4. Re
$18, lo que tiene B. Ro
EJERCICIO 85
La suma de dos números es 100 y el duplo del mayor equivale al wiplo
del menor. Hallar los numeros,
Las edades de un padre y su hi 60 años. Si la edad del padre
se disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar
¡cs ales que la mayor disminuida en 159 el
da cn 100
n 150 sols. Si À pierde 46, lo que le queda equivale
1. ‚Cuinto dene cada uno?
Dos Angus suman 1809 y el duplo del menor excede en 45° al mayor
Hallar In delos.
La suma de dos mimeros es 510 y el mayor excede al triplo del
en 88. Hallar los números. ie E
La dilerencia de dos nämeros es 26. Si el mayor se disminuye cu 12
se tiene el ewidruplo del menor. Hallar los mümeros.
Un perro y su collar han comado S54, y el pero comó 8 veces lo que
el collar. ¿Cuámio costó el perro y auänio el eo 3
2 ienen 591, Si pide $16 y 2 gana $20, ambos tienen I
lave hay 60 alumnos entre Jóvenes y señoritas. EI numero de
señoritas excede al duplo de los jóvenes, ¿Cuántos jóvenes hay en
la clase y cuántas señoritas?
nor
160 en dus partes tales que el triplo de La parte n
en Ja parte mayor cquivalga a 18.
La suma de dos mimeros es 506 y el triplo del menor excede en 50 at
‘mayor aumentado en 100. Hallar os nuevos
Uva esilográfica y un fapicero han costado 18 bol
a costado 4 bolívares menos y el lapicero
» lo mismo, ¿Cuánto costó cada uno? 4
la de Bt 6 mgitud está. pintada de rojo y negro. La
or que la. parte pintada de nego. Hallar 1a
es. Si la estilográlica
bolívares más, habrian
ud de cada parte,
(38 @ acciona
23) ta estad de A es doble que la de B y hace 16 años la edad de A era é
el wiplo de la de B. Hallar las edades actuales.
Sea 3 =mimero de años que tiene B ahora.
2x=múmero de años que tiene À ahora, 7
Hace 15 años, la edad de À cra 2x = 15 años y la ES
dad de B era(x — 15)años y como el problema me dice
wc la edad de À hace 15 a al EI »
jpla de la edad de B hace 15 años o sea el triplo
lex —15, tendremos la ecuación: 4
/
años, edad actual de BR. u
o 38
Hallar las edades actuales.
Sea
x=número de
3x =número de
s que tiene ao
os. que tiene A ahora
Dentro de 20 años, la edad de A será(ix —20)años a
la de B serd(x + 20jaños. El problema me dice que la
de À dentro de 20 años, ON
le la edad de B dentro de 20 años, o sea, igual al doble
le x-1:20: luego, tendremos la ecuación
A
Resolviendo: a+
3-2 = 40-20
PROBLEMAS zone ecuacion tree @ 139
En een
tenía el padre hace 5 años era el duplo de ta edad que tendré au lujo
dentro de 10 ados. Hallar las edades actuales
La suma de dos números es 85 y cl mimeto senor aumentado cn 36
equivale al doble del mayor dlsminuido en 20. Hallar los wmetos,
Enrique tiene 3 veces lo que tiene su hermano, Si Enrique le diera a
su hermano 50 ts ambos tendrían lo mismo. ¿Cuámo Une Cada. uno?
Un colono tiene 1400 sucre en dos holas, Si de la bolsa que tiene más
dinero sea 200 y Los pone en a otra bole, ambas tendrian ual canta
de dinero. duo Une cada bola?
El número de días que ha trabajado Pelo es 4 veces el número de
dias que ha trabajado Enrique. Si Pero hubiera tabajado 15 diay
y Eovique 21 das mis, ambos habrian rabajado igual
¿Cuántos alas trabajo cada unor
Hace 14 añor la edad de un padre era el tiplo de la edad de su hijo
y ahora es el doble. Hallar las edades tespectivas hace 14 años.
Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su fijo y actual
mente el tripo, Hella las 2dados scales
Ente 4 y A tienen S61. Si A gana $80 y B gana $4, A tendrá el tiplo
de lo que tenga D, ¢Cudmto Gene ca unde
(29) Un hacendado ha comprado doble número de vacas que de bueyes.
For cada vaca pagó S70 y por cada buey 586, Si el importe de la come
pra fue de $2700, ¿cuántas vacas compró y cuántos bueyes?
Sea
¡úmero de bueyes.
2x =nümero de vacas.
Si se han comprado x bueyes y cada bucy costó $85,
los x bueyes costaron $85x y si se han comprado 2x vacas
y cada vaca costó $70, las 2x vacas costaron $70%2x=SLitlx,
85x + 140x = 270
Como orte total pra ha sido $2700, te
20 años, edad actual de B, Re en a El $2700, to 2
3x =60 años, edad actual de A: R. ae =
@ EJERCICIO 86
1. La edad actual de des doblequela de B, y hace 10 años la edad de A
cía el tsiplo de la de D. Halla las edades actuales. |
2 La edad de A es triple que la de By demo de 5 años seri el doble,
Hala las ens aca
1 tiene doble dinero que 2. Si À pierde $10 y B pierde $9, AtendráS20
inde que Be > tne cada
4 à tiene la wit de lo que tine. Si
doble de Jo que le quede
i colones y B pierde 30,
Se han comprado 96 aves entre ga
16 80 cts, y cada paloma 05 cts. Si el importe de la compra ha sido
300.30, ¿cuántas gallinas y cuántas palomas se han comprado?
Sea xem
x= ZS =12, número de bueyes. R.
2=2X12=24, número de vacas. R.
as y palomas. Cada gallina cos-
0 de gallinas.
90—x=número de palomas.
se han comprado x gallinas y cada gallina costó 80 cts, las x gall
nas costaron 80x ets,
23) ta estad de A es doble que la de B y hace 16 años la edad de A era é
el wiplo de la de B. Hallar las edades actuales.
Sea 3 =mimero de años que tiene B ahora.
2x=múmero de años que tiene À ahora, 7
Hace 15 años, la edad de À cra 2x = 15 años y la ES
dad de B era(x — 15)años y como el problema me dice
wc la edad de À hace 15 a al EI »
jpla de la edad de B hace 15 años o sea el triplo
lex —15, tendremos la ecuación: 4
/
años, edad actual de BR. u
o 38
Hallar las edades actuales.
Sea
x=número de
3x =número de
s que tiene ao
os. que tiene A ahora
Dentro de 20 años, la edad de A será(ix —20)años a
la de B serd(x + 20jaños. El problema me dice que la
de À dentro de 20 años, ON
le la edad de B dentro de 20 años, o sea, igual al doble
le x-1:20: luego, tendremos la ecuación
A
Resolviendo: a+
3-2 = 40-20
PROBLEMAS zone ecuacion tree @ 139
En een
tenía el padre hace 5 años era el duplo de ta edad que tendré au lujo
dentro de 10 ados. Hallar las edades actuales
La suma de dos números es 85 y cl mimeto senor aumentado cn 36
equivale al doble del mayor dlsminuido en 20. Hallar los wmetos,
Enrique tiene 3 veces lo que tiene su hermano, Si Enrique le diera a
su hermano 50 ts ambos tendrían lo mismo. ¿Cuámo Une Cada. uno?
Un colono tiene 1400 sucre en dos holas, Si de la bolsa que tiene más
dinero sea 200 y Los pone en a otra bole, ambas tendrian ual canta
de dinero. duo Une cada bola?
El número de días que ha trabajado Pelo es 4 veces el número de
dias que ha trabajado Enrique. Si Pero hubiera tabajado 15 diay
y Eovique 21 das mis, ambos habrian rabajado igual
¿Cuántos alas trabajo cada unor
Hace 14 añor la edad de un padre era el tiplo de la edad de su hijo
y ahora es el doble. Hallar las edades tespectivas hace 14 años.
Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su fijo y actual
mente el tripo, Hella las 2dados scales
Ente 4 y A tienen S61. Si A gana $80 y B gana $4, A tendrá el tiplo
de lo que tenga D, ¢Cudmto Gene ca unde
(29) Un hacendado ha comprado doble número de vacas que de bueyes.
For cada vaca pagó S70 y por cada buey 586, Si el importe de la come
pra fue de $2700, ¿cuántas vacas compró y cuántos bueyes?
Sea
¡úmero de bueyes.
2x =nümero de vacas.
Si se han comprado x bueyes y cada bucy costó $85,
los x bueyes costaron $85x y si se han comprado 2x vacas
y cada vaca costó $70, las 2x vacas costaron $70%2x=SLitlx,
85x + 140x = 270
Como orte total pra ha sido $2700, te
20 años, edad actual de B, Re en a El $2700, to 2
3x =60 años, edad actual de A: R. ae =
@ EJERCICIO 86
1. La edad actual de des doblequela de B, y hace 10 años la edad de A
cía el tsiplo de la de D. Halla las edades actuales. |
2 La edad de A es triple que la de By demo de 5 años seri el doble,
Hala las ens aca
1 tiene doble dinero que 2. Si À pierde $10 y B pierde $9, AtendráS20
inde que Be > tne cada
4 à tiene la wit de lo que tine. Si
doble de Jo que le quede
i colones y B pierde 30,
Se han comprado 96 aves entre ga
16 80 cts, y cada paloma 05 cts. Si el importe de la compra ha sido
300.30, ¿cuántas gallinas y cuántas palomas se han comprado?
Sea xem
x= ZS =12, número de bueyes. R.
2=2X12=24, número de vacas. R.
as y palomas. Cada gallina cos-
0 de gallinas.
90—x=número de palomas.
se han comprado x gallinas y cada gallina costó 80 cts, las x gall
nas costaron 80x ets,
140
a5—
CE
Si se han comprado 96—x palomas y cada paloma costó 65 ets, las
x palomas costaron 65(96—a) cts.
Como el importe total de la compra fue ‘80x + 65(06 — x)= 6990.
559.30, o sea 6980 eis., tendremos la ecuación:
1
Resolviendo: 80x + 6240 — 65x = 6930
10
46, número de gallinas. R.
50, mimero de palomas. R.
EJERCICIO 87
Compré doble nimero de sombreros que de jes por 702 balboss. Cada
sombrero costó 2 y cala traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes
compres
Un hacendado compró caballos y vacas por 40000 holivares. Por cada ca
ballo pagó 600 y por cada vaca 800. St compró 6 vacas menos que caballos,
¿cuántas vacas y cuántos caballos compró?
Un padre pone 16 problemas 3 su hijo con la condición de que por cda
problema que resuelva el muchacho Tecibirá 12 ets. y por cada problema
Que no vewuelva perderá 5 ets, Después de trabajar en los 16 problemas
© muchacho recibe 73 ets. ¿Cuántos problepias resolvió y cuántos no
resolvig?
Un capataz contrata un obrero por 50 dias pagándole $3 por cada dia
de trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de
sis al trabajo perderá $2. Al cabo de los 50 dias el «brezo 1ecibe 590.
¿Cmos dias trabajó y cuímos no trabajó?
Un comerciante compró 35 trajes de a 30 quetzales y de a 25 quetzales,
parano por todos Q, 1015. ¿Cuántos trajes de cada” precio compro?
Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 balboas. De la
calidad mejor compro 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje
‘de la mejor calidad le coté 7 balboas más que cada traje de Ja calidad.
inferior, ¿cuál era el precio de un traje de cada calidad
Un muchacho compró triple mimero de lápices que de cuadernos. Cada
épis le costó à 5 cs. y cada cuaderno 6 ets. St por todo pagó SLAT, ¿cuántos
Lápices y cuántos cuadernos compró
Pagué $082 por cierto número de sacos de amicar y de frijoles. Por cada
saco de anicar pagué 83 y por cada saco de frijoles $6. Si el número de
sacos de frijoles es el riplo del nümero de sacos de aziiear más 5, ¿cuántos
Sacos de azúcar y cuántos de frijoles compré?
Se han comprado 80 pies cúbicos de madera por $6840, La madera com-
prada es cedro y caoba, Gala pie chien de ero cos 75 cls y cada
pie cúbico de caoba 90 ct. ¿Cuántos pies cúbicos he comprado de cedro
Y cuántos de caoba?
Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triplo de la pa
disminuido en el duplo de la parte menor equivalga a 1825.
16
PROBLEMAS souRe ECUACIONES ENTERAS A]
EJERCICIO 88
MISCELANEA.
Dividir 196 entres parts tales que fa segunda sea el duplo de la primera
y la suma de las dos primeras exccda ala tecera en 20 7
La edad de À es triple que la de B y hace 5 años era el cuádruplo
de 3. Hallar Inf edades actuales. ¡druplo de la
Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pates de zapatos 1 ie
Gi a co el able de L que dad Ete par de pat ds le
Malar ef puedo de un tage y de un par de zp
6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales
pero dos de ells deihtieron del negocio y entonces cad una de ly
Fotante tuvo. que poner 2000 Voliarc más. Cal era el valor de
La suma de dos mimeros es 108 y el doble del mayor excede al wiplo del
menor en 156. Hallar los “números. A uN
a oe et me.
A A
salle am e ee Cl ie besa, ee
wi de que sal nme ae Feet at Et
Un hacendado compró 35 caballos, Si hubicra comprado 5 caballos más
por e mismo precio, cada caballo le habrá costado $10 menos. ¿Cuáno
le costó cada caballo?
El exceso del tiplo de un número sobre 55 equivale al exceso de 29
sobre el número. Hallar el número. = rn
Hallar tes números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor
más el wiplo del mediano mis el cuádruplo del mayor equivalga a 110.
mine a ecorido 160 Lime, En auto record wna dai
ple que a caballo y a pie, 20 Kilómetsos menos que a caballo. Custos
Kilómetros recomió de cada mado? h =
Un hombre deja una herencia de 16500 colones para repartir e
hijos y 2 Mas, y manda que cada hija reciba 2000 más que cada hij
ia parte de cada hijo y de cada aj
La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 11.
Hallar. los números
La edad de 4 es el triplo de la de B, y la de Z 5 veces la de €. B tiene
12 años más que G. ¿Qué edad tiene cada uno?
a5—
CE
Si se han comprado 96—x palomas y cada paloma costó 65 ets, las
x palomas costaron 65(96—a) cts.
Como el importe total de la compra fue ‘80x + 65(06 — x)= 6990.
559.30, o sea 6980 eis., tendremos la ecuación:
1
Resolviendo: 80x + 6240 — 65x = 6930
10
46, número de gallinas. R.
50, mimero de palomas. R.
EJERCICIO 87
Compré doble nimero de sombreros que de jes por 702 balboss. Cada
sombrero costó 2 y cala traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes
compres
Un hacendado compró caballos y vacas por 40000 holivares. Por cada ca
ballo pagó 600 y por cada vaca 800. St compró 6 vacas menos que caballos,
¿cuántas vacas y cuántos caballos compró?
Un padre pone 16 problemas 3 su hijo con la condición de que por cda
problema que resuelva el muchacho Tecibirá 12 ets. y por cada problema
Que no vewuelva perderá 5 ets, Después de trabajar en los 16 problemas
© muchacho recibe 73 ets. ¿Cuántos problepias resolvió y cuántos no
resolvig?
Un capataz contrata un obrero por 50 dias pagándole $3 por cada dia
de trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de
sis al trabajo perderá $2. Al cabo de los 50 dias el «brezo 1ecibe 590.
¿Cmos dias trabajó y cuímos no trabajó?
Un comerciante compró 35 trajes de a 30 quetzales y de a 25 quetzales,
parano por todos Q, 1015. ¿Cuántos trajes de cada” precio compro?
Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 balboas. De la
calidad mejor compro 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje
‘de la mejor calidad le coté 7 balboas más que cada traje de Ja calidad.
inferior, ¿cuál era el precio de un traje de cada calidad
Un muchacho compró triple mimero de lápices que de cuadernos. Cada
épis le costó à 5 cs. y cada cuaderno 6 ets. St por todo pagó SLAT, ¿cuántos
Lápices y cuántos cuadernos compró
Pagué $082 por cierto número de sacos de amicar y de frijoles. Por cada
saco de anicar pagué 83 y por cada saco de frijoles $6. Si el número de
sacos de frijoles es el riplo del nümero de sacos de aziiear más 5, ¿cuántos
Sacos de azúcar y cuántos de frijoles compré?
Se han comprado 80 pies cúbicos de madera por $6840, La madera com-
prada es cedro y caoba, Gala pie chien de ero cos 75 cls y cada
pie cúbico de caoba 90 ct. ¿Cuántos pies cúbicos he comprado de cedro
Y cuántos de caoba?
Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triplo de la pa
disminuido en el duplo de la parte menor equivalga a 1825.
16
PROBLEMAS souRe ECUACIONES ENTERAS A]
EJERCICIO 88
MISCELANEA.
Dividir 196 entres parts tales que fa segunda sea el duplo de la primera
y la suma de las dos primeras exccda ala tecera en 20 7
La edad de À es triple que la de B y hace 5 años era el cuádruplo
de 3. Hallar Inf edades actuales. ¡druplo de la
Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pates de zapatos 1 ie
Gi a co el able de L que dad Ete par de pat ds le
Malar ef puedo de un tage y de un par de zp
6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales
pero dos de ells deihtieron del negocio y entonces cad una de ly
Fotante tuvo. que poner 2000 Voliarc más. Cal era el valor de
La suma de dos mimeros es 108 y el doble del mayor excede al wiplo del
menor en 156. Hallar los “números. A uN
a oe et me.
A A
salle am e ee Cl ie besa, ee
wi de que sal nme ae Feet at Et
Un hacendado compró 35 caballos, Si hubicra comprado 5 caballos más
por e mismo precio, cada caballo le habrá costado $10 menos. ¿Cuáno
le costó cada caballo?
El exceso del tiplo de un número sobre 55 equivale al exceso de 29
sobre el número. Hallar el número. = rn
Hallar tes números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor
más el wiplo del mediano mis el cuádruplo del mayor equivalga a 110.
mine a ecorido 160 Lime, En auto record wna dai
ple que a caballo y a pie, 20 Kilómetsos menos que a caballo. Custos
Kilómetros recomió de cada mado? h =
Un hombre deja una herencia de 16500 colones para repartir e
hijos y 2 Mas, y manda que cada hija reciba 2000 más que cada hij
ia parte de cada hijo y de cada aj
La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 11.
Hallar. los números
La edad de 4 es el triplo de la de B, y la de Z 5 veces la de €. B tiene
12 años más que G. ¿Qué edad tiene cada uno?
142 © Mora
18, Dentro de 5 años la edad de À será el wiplo de la de By y 15 años des
pues la edad de À será el duplo de la de B. Hallar las edades actuales.
1 martes gané el doble de lo que gané el lunes; cl miércoles el doble
de lo que gané el martes; el jueves ef doble de lo que gané el miércoles;
fl viernes 390 menos que el jueves y el sähado SID más que el viernes.
Si en los 6 días he ganado S411, ¿cuánto gané cada día?
20. Hallar dos mémeros cuya diferencia es 18 y cuya suma es el wiplo de
su diferencia,
21. Entre 4 y B tienen $36. Si A perdiera $16, lo que tiene B sería el wiplo
de lo que le quedaría a 4. ¿Cuánto tiene cada uno?
22. A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de €. Si 4 pierde
SL y B pierde $3, la dilerencia de lo que les queda a 4 y a B cs el doble
de fo que tendría G si ganara $20. ¿Cuánto tiene cada uno?
25.3 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales
Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado 800 bolivares
menos. ¿Cuánto costé la tienda?
24 Un colono compró dos caballo, pagando por ambos $120. Si et cballo
peor hubiera ado 91g máx. el mejor habria costado. able que él.
Fun costs cada. caballos
28.4 y B empiezan a jugar con 80 quetzales cada uno. ¿Cuánto ha perdido 4
äh tiene! ahora el tipto de lo que tiene A?
26,4 y B empiezan a jugar teniendo A doble dinero
dance B tiene! ef doble de Io que tiene sl.
Jugar cada ono?
21. Compré cuidruple mimero de caballos que de vacı
prado. 5 caball más y 3 vacas mds tendía triple
{tue de vacas. ¿Cuántos caballos yeas vacas compre?
28 En cada dia, de lunes a jueves, gané $6 mis que lo que
Anterior, Si cl Jueves gané el cuidiuplo de lo que gané el lunes, ¿nino
amé cada dl
29 Tenía cierta suma de dinero, Ahoré una suma igual a lo que tenía y
pasé 30 soles; luego ahorıd una suma igual a) doble de Vo que me
Guedaba y gane 200 soles. SÍ ahora no tengo’ nada, ¿cuánto tenia al
pine
30. Uns sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en Gm
y el ancho sc aumenta cn 4 m, la superficie de la sala no verla. Hallar
as dimensiones de la sala
9. Hace 5 años la edad de un padre era tres veces I;
de 5 años será el doble. ¿Qué edades tienen aho
3%. Dentro de 4 años Ja edad de A será el wiplo de
ea el quintuple, Hallar las edades actuales
19,
ue B. A pierde $400
‘on Gino emperó a
Si hubiera com
de su hijo y dentro
el padre y el hijo?
de B, y hace 2 años
YPATIA 370-415 D. CA Un enceeoal m
del Hôsote y matemite
her, por su elocuencia y
bris, Vis à Ate
capiruLo )
DESCOMPOSICION FACTORIAL
rom
— Se Mama factores o divisores de una expresión algebraica a las expre:
«iones algebraicas que imultiplicadas entre dl dan como products ta pele
ta expresión
As
|, multiplicando à por a+b tenemos
Ve Uae da
a y a+b, que multiplicadas entre si dan como producto a+ab, son
factores o divisores de al + ab,
Del propio mado.
Ea
luego, x +2 y x48 son factores de x
+ 8x +6.
(132) DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR una expresión alge
~ braica es convertirla eo el producto indicado de sus factores.
(33) racroran un MONOMIO
Les
‘ores de un monomio se pueden hallar por simple inspeccid
Asi, los actores de ISab son 3, 5,4 y 1. Por tato:
ab = 3,5 a +.
143
18, Dentro de 5 años la edad de À será el wiplo de la de By y 15 años des
pues la edad de À será el duplo de la de B. Hallar las edades actuales.
1 martes gané el doble de lo que gané el lunes; cl miércoles el doble
de lo que gané el martes; el jueves ef doble de lo que gané el miércoles;
fl viernes 390 menos que el jueves y el sähado SID más que el viernes.
Si en los 6 días he ganado S411, ¿cuánto gané cada día?
20. Hallar dos mémeros cuya diferencia es 18 y cuya suma es el wiplo de
su diferencia,
21. Entre 4 y B tienen $36. Si A perdiera $16, lo que tiene B sería el wiplo
de lo que le quedaría a 4. ¿Cuánto tiene cada uno?
22. A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de €. Si 4 pierde
SL y B pierde $3, la dilerencia de lo que les queda a 4 y a B cs el doble
de fo que tendría G si ganara $20. ¿Cuánto tiene cada uno?
25.3 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales
Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado 800 bolivares
menos. ¿Cuánto costé la tienda?
24 Un colono compró dos caballo, pagando por ambos $120. Si et cballo
peor hubiera ado 91g máx. el mejor habria costado. able que él.
Fun costs cada. caballos
28.4 y B empiezan a jugar con 80 quetzales cada uno. ¿Cuánto ha perdido 4
äh tiene! ahora el tipto de lo que tiene A?
26,4 y B empiezan a jugar teniendo A doble dinero
dance B tiene! ef doble de Io que tiene sl.
Jugar cada ono?
21. Compré cuidruple mimero de caballos que de vacı
prado. 5 caball más y 3 vacas mds tendía triple
{tue de vacas. ¿Cuántos caballos yeas vacas compre?
28 En cada dia, de lunes a jueves, gané $6 mis que lo que
Anterior, Si cl Jueves gané el cuidiuplo de lo que gané el lunes, ¿nino
amé cada dl
29 Tenía cierta suma de dinero, Ahoré una suma igual a lo que tenía y
pasé 30 soles; luego ahorıd una suma igual a) doble de Vo que me
Guedaba y gane 200 soles. SÍ ahora no tengo’ nada, ¿cuánto tenia al
pine
30. Uns sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en Gm
y el ancho sc aumenta cn 4 m, la superficie de la sala no verla. Hallar
as dimensiones de la sala
9. Hace 5 años la edad de un padre era tres veces I;
de 5 años será el doble. ¿Qué edades tienen aho
3%. Dentro de 4 años Ja edad de A será el wiplo de
ea el quintuple, Hallar las edades actuales
19,
ue B. A pierde $400
‘on Gino emperó a
Si hubiera com
de su hijo y dentro
el padre y el hijo?
de B, y hace 2 años
YPATIA 370-415 D. CA Un enceeoal m
del Hôsote y matemite
her, por su elocuencia y
bris, Vis à Ate
capiruLo )
DESCOMPOSICION FACTORIAL
rom
— Se Mama factores o divisores de una expresión algebraica a las expre:
«iones algebraicas que imultiplicadas entre dl dan como products ta pele
ta expresión
As
|, multiplicando à por a+b tenemos
Ve Uae da
a y a+b, que multiplicadas entre si dan como producto a+ab, son
factores o divisores de al + ab,
Del propio mado.
Ea
luego, x +2 y x48 son factores de x
+ 8x +6.
(132) DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR una expresión alge
~ braica es convertirla eo el producto indicado de sus factores.
(33) racroran un MONOMIO
Les
‘ores de un monomio se pueden hallar por simple inspeccid
Asi, los actores de ISab son 3, 5,4 y 1. Por tato:
ab = 3,5 a +.
143
144 © aa
à) FACTORAR UN POLINOMIO
No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distin
tos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay nümeros primos que
sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que
sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el pro-
¿ducto de otras expresiones algebraicas. Así a + 0 no puede descomponerse en
dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por 1.
En este capitulo estudiaremos la manera de descomponer polinomios en
dos 0 más factores distintos de 1
CASO 1
CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO
TIENEN UN FACTOR COMUN
a) Factor comin monomio
1. Descomponer en factores a+ 2a.
a y 2a contienen el factor común a. Escribimos
el factor comin a como coeficiente de un paréntc
“dentro del parémtesis escribimos los cocientes de dividi
y 2 , y tendremos. — —
2. Descomponer 100 ~ 3062.
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. To:
mamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras
único Factor comin es b porque está en los dos términos de la expresió
dada y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 100. Lo escribimos
como coeficiente de un paréntesis y dentro 55), a0ape= 100(1=3ab)
Peas las cocientes de dividir 10610051 COURIER BR
Y Sat 10b= Gb y tendremos: —_#
3. Descomponer 104 —5a + 150%,
EX factor común es 5a, Tendremos:
10a? 5a+ 150*=5a(2o —1 + da). R
4. Descomponer 18x)? —SAmexty? + 36my?.
EI factor común es 18 my". Tendremos:
1Smxy" — Bmx? 4-26)? =18my"(x — Bmx + 2) Re
5. Factorar 6xy"—Snx%y? + Ty? — nto
Factor común Bay
GAIA may =
n= at +2). Re
is Hansa), Re
oncouresicion racroniat © 145
PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES
En cualquiera de tos diez casos que estudiaremos, la prucba consiste en
nultiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser iti
la expresión que se factors,
© EJERCICIO 89
Factorar o descomponer en dos factores:
> b+b2. F4 dz
HERA erg y
bts Re oe
1 ab=be. 22. 14x*y?@—2BxF +564, 120424 m9 16m tn
a 2). axe fa 68e lent
tt 28. Gnome 3
2 mn nr
i e à De A
b) Factor común polinomio
1. Descomponer la 4 614 mia + b 1
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el bino:
mio (a+ 0).
= Escribo (a +b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del parén:
tesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada
entre el factor común (a+), 0 sea:
xfa+b) _ (a+b)
(Y
xfa b) + mat 6) =(a + bem Re
my tendre
2 Descomponer 2x(a—
-ya-).
Factor común (a~1}, Dividiendo los dos términos de la expresión
dada entre el factor común (a—1), tenemos:
à) FACTORAR UN POLINOMIO
No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distin
tos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay nümeros primos que
sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que
sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el pro-
¿ducto de otras expresiones algebraicas. Así a + 0 no puede descomponerse en
dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por 1.
En este capitulo estudiaremos la manera de descomponer polinomios en
dos 0 más factores distintos de 1
CASO 1
CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO
TIENEN UN FACTOR COMUN
a) Factor comin monomio
1. Descomponer en factores a+ 2a.
a y 2a contienen el factor común a. Escribimos
el factor comin a como coeficiente de un paréntc
“dentro del parémtesis escribimos los cocientes de dividi
y 2 , y tendremos. — —
2. Descomponer 100 ~ 3062.
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. To:
mamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras
único Factor comin es b porque está en los dos términos de la expresió
dada y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 100. Lo escribimos
como coeficiente de un paréntesis y dentro 55), a0ape= 100(1=3ab)
Peas las cocientes de dividir 10610051 COURIER BR
Y Sat 10b= Gb y tendremos: —_#
3. Descomponer 104 —5a + 150%,
EX factor común es 5a, Tendremos:
10a? 5a+ 150*=5a(2o —1 + da). R
4. Descomponer 18x)? —SAmexty? + 36my?.
EI factor común es 18 my". Tendremos:
1Smxy" — Bmx? 4-26)? =18my"(x — Bmx + 2) Re
5. Factorar 6xy"—Snx%y? + Ty? — nto
Factor común Bay
GAIA may =
n= at +2). Re
is Hansa), Re
oncouresicion racroniat © 145
PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES
En cualquiera de tos diez casos que estudiaremos, la prucba consiste en
nultiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser iti
la expresión que se factors,
© EJERCICIO 89
Factorar o descomponer en dos factores:
> b+b2. F4 dz
HERA erg y
bts Re oe
1 ab=be. 22. 14x*y?@—2BxF +564, 120424 m9 16m tn
a 2). axe fa 68e lent
tt 28. Gnome 3
2 mn nr
i e à De A
b) Factor común polinomio
1. Descomponer la 4 614 mia + b 1
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el bino:
mio (a+ 0).
= Escribo (a +b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del parén:
tesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada
entre el factor común (a+), 0 sea:
xfa+b) _ (a+b)
(Y
xfa b) + mat 6) =(a + bem Re
my tendre
2 Descomponer 2x(a—
-ya-).
Factor común (a~1}, Dividiendo los dos términos de la expresión
dada entre el factor común (a—1), tenemos:
146 © aucuns ‘oeseonrosicion FACTOMAL @ 147
3. Descomponer mix +2} 2. 10. gramm). 2 ero:
Esta expresión podemos escribirla: m(x-+9)+(++2)= mix 4-2): 1x4 2) a Sen. oe a
Factor común (#42). Tendremos: = ey. ie Sea a
n(x + 2) 166-42) (+2 Om I) Re A D neh 3 a Soe
4. Descomponer aix +141, = CT CE
Inwoduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido 5
del signo — se tiene: caso 1
Hr = 12 1) (Header R. REN,
5. Factorar 2e + y+ pe
Tendremos:
11) Doscomponer ax + be ++ oy + by.
Los dos primeros Iéeminos tienen
Bele ty ha) x ne ty 2) (xb yt z)alxty heller. R.
6. Factorar (x— aby 42) + bip +2). el factor comin x y los. fe oh
Factor común (y Dividiendo los dos 1érminos de la expresión poet a laste un, a. A ext UE
dada mr (42) tenes arten Keen
en otra precedido del signo +
porque al tercor término ene el. „,
+2)
Cr) ; ek) weve
ER la egiuocin pete tocas omnia mia ion ER
ADAL ADA) Re {ok Oo tinct qu 3 on Igo lpi or conte Gear IS
los contidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor
7. Descomponer lx + Bix 1) (Mix. aca i se dei ce fey putes dass de Sa
ividiendo entre el factor común (x — 1) tenemos: grarlo la expresión dade no se puede descomponer por este método.
(= 3 Asi en el ejemplo anterior podemos
Lee y e ‘ograpor el Y y der. términos que ox + be + oy by = (or toy) (bel
E» kan a factor común 0 y al 2 y 4 AMO
se 5 que ene Fedor comin by ler, Zen pilot
(842) -1)— om resultado idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente,
ión = (NET) Re (2) Federer 30% ón + dn =
8. Factorar xia E Lor dos prier mins li Bm? + dm — B= [30 nn =
xfa 1) + y(a—1)=a+1==x(a— 14 yla 1) (01 Di+I= Re pasad eo le
4, Agrupando, tenemos: — /"
m. MERGKIO "SU 13) Descomponer 245 — Guy — Ax + 6.
Factorar o descomponer en dos factores: Los dos primeros términos
1 7. LUE cran later común x y es E len
2 18 Amate nee: cl factor comin 2, I we
3 H I ae ome pao, invoducins los des 28 y = da + dy = (et do Men
4 20 18 (pm D). Simos lérminos en un paréntesis RCE EURE
5. 1 1%. (DBA: o ESSENER a
E anda. 12 18, (ar) Mer), Hans (al de, Marian. m. = poe
no y tendremos:
3. Descomponer mix +2} 2. 10. gramm). 2 ero:
Esta expresión podemos escribirla: m(x-+9)+(++2)= mix 4-2): 1x4 2) a Sen. oe a
Factor común (#42). Tendremos: = ey. ie Sea a
n(x + 2) 166-42) (+2 Om I) Re A D neh 3 a Soe
4. Descomponer aix +141, = CT CE
Inwoduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido 5
del signo — se tiene: caso 1
Hr = 12 1) (Header R. REN,
5. Factorar 2e + y+ pe
Tendremos:
11) Doscomponer ax + be ++ oy + by.
Los dos primeros Iéeminos tienen
Bele ty ha) x ne ty 2) (xb yt z)alxty heller. R.
6. Factorar (x— aby 42) + bip +2). el factor comin x y los. fe oh
Factor común (y Dividiendo los dos 1érminos de la expresión poet a laste un, a. A ext UE
dada mr (42) tenes arten Keen
en otra precedido del signo +
porque al tercor término ene el. „,
+2)
Cr) ; ek) weve
ER la egiuocin pete tocas omnia mia ion ER
ADAL ADA) Re {ok Oo tinct qu 3 on Igo lpi or conte Gear IS
los contidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor
7. Descomponer lx + Bix 1) (Mix. aca i se dei ce fey putes dass de Sa
ividiendo entre el factor común (x — 1) tenemos: grarlo la expresión dade no se puede descomponer por este método.
(= 3 Asi en el ejemplo anterior podemos
Lee y e ‘ograpor el Y y der. términos que ox + be + oy by = (or toy) (bel
E» kan a factor común 0 y al 2 y 4 AMO
se 5 que ene Fedor comin by ler, Zen pilot
(842) -1)— om resultado idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente,
ión = (NET) Re (2) Federer 30% ón + dn =
8. Factorar xia E Lor dos prier mins li Bm? + dm — B= [30 nn =
xfa 1) + y(a—1)=a+1==x(a— 14 yla 1) (01 Di+I= Re pasad eo le
4, Agrupando, tenemos: — /"
m. MERGKIO "SU 13) Descomponer 245 — Guy — Ax + 6.
Factorar o descomponer en dos factores: Los dos primeros términos
1 7. LUE cran later común x y es E len
2 18 Amate nee: cl factor comin 2, I we
3 H I ae ome pao, invoducins los des 28 y = da + dy = (et do Men
4 20 18 (pm D). Simos lérminos en un paréntesis RCE EURE
5. 1 1%. (DBA: o ESSENER a
E anda. 12 18, (ar) Mer), Hans (al de, Marian. m. = poe
no y tendremos:
1480 aucuns
Tombién_podiomos haber
sono Ty quels Det Sey — Art by = (ait Al (Bay)
mer 6 foot comin 2e y el ON
Ty e que taney of for ai
‘comin 3y y tendemos: 7
ur 28 201 Da = [et 23) (ox + 2022)
[et 22) Date +2)
BEEN À
— 20x) + (28 202%)
{1 = 20) + 251120)
Molle tz Re
w
wot 20x Daz. —
sk 8 Dox do
Agrupando
Wy 3,2 y 4° lenomoss— +
Seu DA dy — day = ar
Bele
El ati
15) Factorar Box — dx 4y — day.
Obsérvese que en lo segunda laca del ejemplo anterior lo binomios fa — 1)
PTOS donee tos signos ditintoss pora hoxarlos igvles cambiamos los
Zagnosal binomio (1 8) comáiiéndolo en [a — 11, pero poro que ol pra:
AT Un] no variate de sigo le combiomos el siga ol otto lector Ay
Cominiéndalo en — y. De este modo, como hemos combiadolos signo a un
mimero por de Teciores, el signo del producto no vara.
n al ejemplo anterior, agru: Box — 3 + Ay — doy,
En ol eemplo gotea oa
(ax — day) — (3 — 49)
rye EE ET Er
a N Cp (a
ore amy tor-bx—y tes lox oy doll yd
Fe i EA 2)
on er
(1) Descomponer cx = ant Daly + Dany += y.
Agrupando 1° y 3,2 y 4,5 y 6, tenemos:
oie or y + Deny + — Daly = [ae —2ay) = ont = Dany e? Zu)
NEN a alee leap)
Senat R
Agrupondo de oto. modo: de
Le of? —2aty + Zany de ~ 2aty = ox — on? +92) (20% — Dory +: 2)
© Re HA +) — Ayla on +)
Er ral EN
m EJERCICIO 91
Factorar o descomponer en dos factores:
ce pue BE
u E e le nel
rscomosicion racrouat 0.149
ax-2by-2dx bit ay A,
Bar dar),
Aa thin
SBESSB
DA aman ams n—
CASO 1
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
(36) Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra can:
tidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, da® es cundrado perfecto porque es el cuadrado de 2a.
En efecto: (2a)! =2a x 2a=4e! y 2a, que multiplicada por sí misma
da dat, cs la raíz cuadrada de a?
Obsérvese que (~2a}#=(— 2a) x (2a) = dus luego, — 2e es también
la raiz cuadrada de dat.
son Le anterior nos dice que a rar cuadrada deuna canidad.posidva tene
dos signos, +y
En este capitulo nos referimos sólo a la ratz positiva.
17) RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIO
~~ Para extraer la raiz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadras
da de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.
Asi, la raie cuadrada de 9a%b* cs 3ab* porque {Aa
ar
La raíz cuadrada de 86x%)* es 6x¥yt.
(138) Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un bino:
2 mio, o sea, el producto de dos binomios iguales.
Así, a+ 2ab + D? es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a+b
En efecto: a arre,
Del propio mode, (2x 4:3y
ex un trinomio cuadrado perfecto.
det + 12xy +99" luego 4x? + 12%)
(39) REGLA PARA CONOCER 51 UN TRINOMIO
ES CUADRADO PERFECTO
Un irmomio ordenado con relación à una letra es cuadrado perfecto
cuando el primero y tercer: té
nos son enadrados perfectos (o tionen e
segundo término es el doble
onadrnda: exacta) y positivos. y €
mus raicen cuadradas,
Tombién_podiomos haber
sono Ty quels Det Sey — Art by = (ait Al (Bay)
mer 6 foot comin 2e y el ON
Ty e que taney of for ai
‘comin 3y y tendemos: 7
ur 28 201 Da = [et 23) (ox + 2022)
[et 22) Date +2)
BEEN À
— 20x) + (28 202%)
{1 = 20) + 251120)
Molle tz Re
w
wot 20x Daz. —
sk 8 Dox do
Agrupando
Wy 3,2 y 4° lenomoss— +
Seu DA dy — day = ar
Bele
El ati
15) Factorar Box — dx 4y — day.
Obsérvese que en lo segunda laca del ejemplo anterior lo binomios fa — 1)
PTOS donee tos signos ditintoss pora hoxarlos igvles cambiamos los
Zagnosal binomio (1 8) comáiiéndolo en [a — 11, pero poro que ol pra:
AT Un] no variate de sigo le combiomos el siga ol otto lector Ay
Cominiéndalo en — y. De este modo, como hemos combiadolos signo a un
mimero por de Teciores, el signo del producto no vara.
n al ejemplo anterior, agru: Box — 3 + Ay — doy,
En ol eemplo gotea oa
(ax — day) — (3 — 49)
rye EE ET Er
a N Cp (a
ore amy tor-bx—y tes lox oy doll yd
Fe i EA 2)
on er
(1) Descomponer cx = ant Daly + Dany += y.
Agrupando 1° y 3,2 y 4,5 y 6, tenemos:
oie or y + Deny + — Daly = [ae —2ay) = ont = Dany e? Zu)
NEN a alee leap)
Senat R
Agrupondo de oto. modo: de
Le of? —2aty + Zany de ~ 2aty = ox — on? +92) (20% — Dory +: 2)
© Re HA +) — Ayla on +)
Er ral EN
m EJERCICIO 91
Factorar o descomponer en dos factores:
ce pue BE
u E e le nel
rscomosicion racrouat 0.149
ax-2by-2dx bit ay A,
Bar dar),
Aa thin
SBESSB
DA aman ams n—
CASO 1
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
(36) Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra can:
tidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, da® es cundrado perfecto porque es el cuadrado de 2a.
En efecto: (2a)! =2a x 2a=4e! y 2a, que multiplicada por sí misma
da dat, cs la raíz cuadrada de a?
Obsérvese que (~2a}#=(— 2a) x (2a) = dus luego, — 2e es también
la raiz cuadrada de dat.
son Le anterior nos dice que a rar cuadrada deuna canidad.posidva tene
dos signos, +y
En este capitulo nos referimos sólo a la ratz positiva.
17) RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIO
~~ Para extraer la raiz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadras
da de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.
Asi, la raie cuadrada de 9a%b* cs 3ab* porque {Aa
ar
La raíz cuadrada de 86x%)* es 6x¥yt.
(138) Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un bino:
2 mio, o sea, el producto de dos binomios iguales.
Así, a+ 2ab + D? es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a+b
En efecto: a arre,
Del propio mode, (2x 4:3y
ex un trinomio cuadrado perfecto.
det + 12xy +99" luego 4x? + 12%)
(39) REGLA PARA CONOCER 51 UN TRINOMIO
ES CUADRADO PERFECTO
Un irmomio ordenado con relación à una letra es cuadrado perfecto
cuando el primero y tercer: té
nos son enadrados perfectos (o tionen e
segundo término es el doble
onadrnda: exacta) y positivos. y €
mus raicen cuadradas,
150 scree
Asi, add 440% es cuadrado perfecto porque:
da de a
Raiz cuadrada de 40%
2
Doble producto de estas raices: 2 X ax 2b = Hab, segundo término,
Gx? — 18xy44 49% no es cuadrado perfecto porque:
Raiz cuadrada de ax? à 2 à
2 cuadrada de Ay
üx
a
xy. que no es el
Doble. producto de estas raices 2% fx x
29 término.
(149) REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
Se extrae la raiz cuadrada al primero y tercer términos del tr
y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio asi
formato, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo
0 sc eleva al cuadrado.
UD) Faciopar m? + 2m + 1
md = on + Ml 7) =
(21 Destomponer del 2572 = 2017.
Ordenando el linomie, tenemos:
Aa? = Day + 25y? = [2x Sy = Sy = (2x SHR
IMPORTANTE
Cualquiera de tas dos tnízes puedo ponerse de minvendo. Asi, en el ejem
plo anterior 5e tondrá lombién:
Day + 257° = Sy — Dal 5) 20) = 15) = 2
porque desarrallando este binomio se tere:
(Sy = Da) = 2572 = Ay de te?
‘oxprosién idéntica a dx? —20xy+25)* ya que tiene los mismos contidades
con los mismos signos.
13) Descomponer 1—160x + 64a.
1 Nox? ie!
prscomposicion ractonat 0 151
a
(4) Factorar wrote.
eben ts? yaaa mn i eC
leg ero a (tt)? e
10,8
45) Focorar ¿q Hg
Es cuadrado perfecto porque: Raiz cuadrada de „=>; raíz cuadrada de
pe
472
Dee
CASO ESPECIAL
16) Descomponer a +2a(a—bJ+1o—b)
La reglo anterior puedo aplicarse a casos en que el primero o tercer Iérmino,
del inomio © ambos son expresiones compuestos.
Así, en este coso se tene:
+ 2ala—b)+(a— br
"=
(a+ lo—b)F=lo-+a—bF=(2—b À
(1) Foctorar (+ 7F 2x yla + x) lot xP,
fet yE 2 yla abt lo bal [let y) fe TE
een Re,
yal =
= EJERCICIO 92
Factorar o descomponer en dos factores:
ab baie
mimo, 16 Mare.
il. IT. dome Tone Sein,
FORTE 18. 100x1e-G0e Sy" ylé,
es, 18 Hate
Sorts. D. Ronit te
1StAOst Fast Se ES 29, añ42afa+b)+(a+b)
TS om
E asp, 3 een erm),
10 Igo. 3 32 (m—n)4-6(e—
Lorean, 33. (a+ abc) HOt
u 34 (menp—2la—mmen) +
14 BS rare it
in 30 y y)
Asi, add 440% es cuadrado perfecto porque:
da de a
Raiz cuadrada de 40%
2
Doble producto de estas raices: 2 X ax 2b = Hab, segundo término,
Gx? — 18xy44 49% no es cuadrado perfecto porque:
Raiz cuadrada de ax? à 2 à
2 cuadrada de Ay
üx
a
xy. que no es el
Doble. producto de estas raices 2% fx x
29 término.
(149) REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
Se extrae la raiz cuadrada al primero y tercer términos del tr
y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio asi
formato, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo
0 sc eleva al cuadrado.
UD) Faciopar m? + 2m + 1
md = on + Ml 7) =
(21 Destomponer del 2572 = 2017.
Ordenando el linomie, tenemos:
Aa? = Day + 25y? = [2x Sy = Sy = (2x SHR
IMPORTANTE
Cualquiera de tas dos tnízes puedo ponerse de minvendo. Asi, en el ejem
plo anterior 5e tondrá lombién:
Day + 257° = Sy — Dal 5) 20) = 15) = 2
porque desarrallando este binomio se tere:
(Sy = Da) = 2572 = Ay de te?
‘oxprosién idéntica a dx? —20xy+25)* ya que tiene los mismos contidades
con los mismos signos.
13) Descomponer 1—160x + 64a.
1 Nox? ie!
prscomposicion ractonat 0 151
a
(4) Factorar wrote.
eben ts? yaaa mn i eC
leg ero a (tt)? e
10,8
45) Focorar ¿q Hg
Es cuadrado perfecto porque: Raiz cuadrada de „=>; raíz cuadrada de
pe
472
Dee
CASO ESPECIAL
16) Descomponer a +2a(a—bJ+1o—b)
La reglo anterior puedo aplicarse a casos en que el primero o tercer Iérmino,
del inomio © ambos son expresiones compuestos.
Así, en este coso se tene:
+ 2ala—b)+(a— br
"=
(a+ lo—b)F=lo-+a—bF=(2—b À
(1) Foctorar (+ 7F 2x yla + x) lot xP,
fet yE 2 yla abt lo bal [let y) fe TE
een Re,
yal =
= EJERCICIO 92
Factorar o descomponer en dos factores:
ab baie
mimo, 16 Mare.
il. IT. dome Tone Sein,
FORTE 18. 100x1e-G0e Sy" ylé,
es, 18 Hate
Sorts. D. Ronit te
1StAOst Fast Se ES 29, añ42afa+b)+(a+b)
TS om
E asp, 3 een erm),
10 Igo. 3 32 (m—n)4-6(e—
Lorean, 33. (a+ abc) HOt
u 34 (menp—2la—mmen) +
14 BS rare it
in 30 y y)
152 © aucuns
CASO IV
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.
(a Jos productos notables (89) se vio que ta
suma de dos cantidades multiplicadas por su di.
ferencia es igual al cuadrado del minvendo menos el
‘lo del sustraendo, o sea, (a + b) da — by
4 — 1°: luego, recíprocamente, A
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA
DE CUADRADOS
Se extrac la
In sum de estas raíces cuadradas por la
y la del sustracndo.
(1) Factorar 1 — 02.
La raiz cuadrada de 1 es 1; lo raiz cuodrada de 0% os 0, Multi
de estes roices (1 -+.0) por la diferencio (1 —o) y tendremos.
CETTE TC
12) Descomponer 16x! — 2544,
La raíz euadroda de 161% es As; la raiz cuadrada de 25y1 es Sy?.
Muliplico la suma de estas roices (4x + 5y2] por su diferoncia (4x — 573] y
tendremos:
Nox? — 254 = [dx + Sy? ida 599 Re
(3) Factorar 49x8pt10 — gi,
49x82! OF = AR
a be {a+ bab)
5 oo L CS
Lo sí coodrode de 7 es 5 yl roi cuado do 5" es 3» Tendıeman
ob, ob
ats) Gos) &
(5) Factorar 02% — 964
CET
LE oe Se
= EJERCICIO 93
Factorar o descomponer en dos factores:
Lota 8. 15
2 al 3 16.
a a4. 10. 17.
4 9-0 il 18 admin,
3. mame, 12, 19. 19Gx%yt—2052t2,
8. 16-m. 13 20, 268-2
1 as En 21. Barbee,
Discomrosicion ractoRtat 0153
22. sox, 92. at pasta
ase ES
zu. Lom tm E
1 ari
24 20. 160mnt- Lis 34.
16
2 30 aoe, a
20. 3 Am 36,
CASO ESPECIAL
1. Factorar (a+ 0,
mplos anteriores cs aplicable a las dife
La regla empleada en los
10 0 ambos cuadrados son expresiones
rencias de cuadrados en que
compuestas.
Así, en este caso, tenemos:
La raíz cuadrada de (a+b) es (ab)
La raíz cuadrada de € cs e.
aices (a + DF —e8= [la +b) + dla
+b+0latb=0. I
Multiplico la suma de estas
{a+ 04e por la diferencia (a+ b)—e |
y tengo: —— /
2% Descomponer 4x*— {x 4-3}.
La raíz cuadrada de 4x? es 2x.
La raie cuadrada de (x+y)? es (x+y).
Ex fx + (2 = (à)
CRC Er)
Be tyiie—y). R
Multiplico la suma de estas rai ts! — (xb
ses 2x+(x+9) por la diferencia
Ex = {x 43) y tenemos: 7
a
torar (at x) {x 42%
La raíz cuadrada de (a+ x) es (a+ x).
La ralz cuadrada de (x-+2)? es (x +2),
[a+ a) {x + 23) (a+ x) — (x 42)
Slate tx+2Q(@Fx—x—2)
+42 ad. Re
Multiplico la suma (a+ x} (x +29
de estas ralces {a+ x)+
(42) por la diferencia
(tx) (542) y tengo:
CASO IV
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.
(a Jos productos notables (89) se vio que ta
suma de dos cantidades multiplicadas por su di.
ferencia es igual al cuadrado del minvendo menos el
‘lo del sustraendo, o sea, (a + b) da — by
4 — 1°: luego, recíprocamente, A
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA
DE CUADRADOS
Se extrac la
In sum de estas raíces cuadradas por la
y la del sustracndo.
(1) Factorar 1 — 02.
La raiz cuadrada de 1 es 1; lo raiz cuodrada de 0% os 0, Multi
de estes roices (1 -+.0) por la diferencio (1 —o) y tendremos.
CETTE TC
12) Descomponer 16x! — 2544,
La raíz euadroda de 161% es As; la raiz cuadrada de 25y1 es Sy?.
Muliplico la suma de estas roices (4x + 5y2] por su diferoncia (4x — 573] y
tendremos:
Nox? — 254 = [dx + Sy? ida 599 Re
(3) Factorar 49x8pt10 — gi,
49x82! OF = AR
a be {a+ bab)
5 oo L CS
Lo sí coodrode de 7 es 5 yl roi cuado do 5" es 3» Tendıeman
ob, ob
ats) Gos) &
(5) Factorar 02% — 964
CET
LE oe Se
= EJERCICIO 93
Factorar o descomponer en dos factores:
Lota 8. 15
2 al 3 16.
a a4. 10. 17.
4 9-0 il 18 admin,
3. mame, 12, 19. 19Gx%yt—2052t2,
8. 16-m. 13 20, 268-2
1 as En 21. Barbee,
Discomrosicion ractoRtat 0153
22. sox, 92. at pasta
ase ES
zu. Lom tm E
1 ari
24 20. 160mnt- Lis 34.
16
2 30 aoe, a
20. 3 Am 36,
CASO ESPECIAL
1. Factorar (a+ 0,
mplos anteriores cs aplicable a las dife
La regla empleada en los
10 0 ambos cuadrados son expresiones
rencias de cuadrados en que
compuestas.
Así, en este caso, tenemos:
La raíz cuadrada de (a+b) es (ab)
La raíz cuadrada de € cs e.
aices (a + DF —e8= [la +b) + dla
+b+0latb=0. I
Multiplico la suma de estas
{a+ 04e por la diferencia (a+ b)—e |
y tengo: —— /
2% Descomponer 4x*— {x 4-3}.
La raíz cuadrada de 4x? es 2x.
La raie cuadrada de (x+y)? es (x+y).
Ex fx + (2 = (à)
CRC Er)
Be tyiie—y). R
Multiplico la suma de estas rai ts! — (xb
ses 2x+(x+9) por la diferencia
Ex = {x 43) y tenemos: 7
a
torar (at x) {x 42%
La raíz cuadrada de (a+ x) es (a+ x).
La ralz cuadrada de (x-+2)? es (x +2),
[a+ a) {x + 23) (a+ x) — (x 42)
Slate tx+2Q(@Fx—x—2)
+42 ad. Re
Multiplico la suma (a+ x} (x +29
de estas ralces {a+ x)+
(42) por la diferencia
(tx) (542) y tengo:
I EJERCICIO 94
Descomponer en dos factores y simplilicar, si es posible:
18. (Write 2 Bae —CA bP.
E e 2 En
18 Getta.
16 36x —(at3x)*
A
IA
BL fear a
32
res
(abby (esd.
Me
E
y
2
=
29.
80. Ext
3.
34,
CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS 111 Y IV
Estudiamos a continuación la descomposic
puestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos
se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perlectos y descomponiendo estos
trinomios (Caso 111) se obtiene una diferencia de cuadrados (Caso IV),
2, Factorar et ab + 02-1.
Aqui tenemos que a?+2ab+* es un trinomio cuadrado perlecto;
Le rar
(factorando el wir
(factorando la diferencia de cundrados)=a+b+Tía+b=1 Re
2. Descomponer @#-+:m?—Ab?—2am,
Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a? —2am + m
vemos que a A
* es un trinomio cuadrado perfecto; Inego:
ae Bam 4+? — Ab
(factorando el trinomio) = (a- m)
(factorando ta diferencia de cuadrados) = wm +20 ía —=m=201 R.
3. Factorar 90° + 2-1,
Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido
del signo — para que x? y 1 se hagan positives, tendremos:
Sa? xP de er)
(factorando el (x1
(factorando la diferencia de cı +(— 1) {sa (<=
Ba+x—1)a=x+1) R.
idrados)
Kuna men]
otscomvasieron sacromiar © 185
% Descomponer 4x?— a? + 9*—4xy + Zub — be
El término 4x) nos sugiere que es el segundo término de un trinom:
cuadrado perfecto cuyo primer término tiene x? y cuyo tercer término tie:
ne y? y el término 2ab nos sugiere que es el segundo término de un trino.
mio cuadrado perfecto cuyo primer término tiene a? y cuyo tercer término
tiene 6% pero como —a® y — 0% son negativos, tenemos que introducir este
último trinomio en un paréntesis precedido del signo — para hacerlos po
sitivos, y tendremos:
4x? a+ y" day + ab — 0
(factorando los trinomios)
(descomp. la diferencia, de cuadrados
(4x9 Any +99 (ar ab 08)
Be — 9)? (a D
(2x 9) + (a — B))[2x 9) (a=)
xy hab ya br Re
5. Faciorar 0° On? = Omen + Wa 4 2508 = me,
El término 10ab nos sugiere que es el segundo término de un tino:
mie cuadrado perfecto cuyo primer término tiene @ y cuyo tercer término
tiene 6%, y Gm nos sugiere que es el 22 término de un trinomio cuadrado.
perfecto cuyo primer término tiene m? y cuyo tercer término tiene nis
luego, tendremos:
4 —9n?—6mn + 100 + 250° — mi
{descomponiendo los trinomios)
(descomp. la diferencia de cuadrados)
+ 10ab + 250%) — (mE Gn DM
n+ ne
(a+ 5b): (on 30) [Ca 150) = (ua LUN
+5b A mamar ähm. |
E EJERCICIO 95
torar o descomponer en dos factores:
20. BR,
21 prada.
nan. 2
ada bis, 2
mern, 24
at Dax 4
art.
een
Een
FC
92-14 100°-2lax,
T+ BI dab.
BE 2e,
ER mE à Dr
24-402 ea
SEHE 10 y 25H],
Lam 4 done 0x.
ba
1641 10m + 9x3:
ina 200
24412.
DATÉE Bar.
Descomponer en dos factores y simplilicar, si es posible:
18. (Write 2 Bae —CA bP.
E e 2 En
18 Getta.
16 36x —(at3x)*
A
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(abby (esd.
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2
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29.
80. Ext
3.
34,
CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS 111 Y IV
Estudiamos a continuación la descomposic
puestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos
se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perlectos y descomponiendo estos
trinomios (Caso 111) se obtiene una diferencia de cuadrados (Caso IV),
2, Factorar et ab + 02-1.
Aqui tenemos que a?+2ab+* es un trinomio cuadrado perlecto;
Le rar
(factorando el wir
(factorando la diferencia de cundrados)=a+b+Tía+b=1 Re
2. Descomponer @#-+:m?—Ab?—2am,
Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a? —2am + m
vemos que a A
* es un trinomio cuadrado perfecto; Inego:
ae Bam 4+? — Ab
(factorando el trinomio) = (a- m)
(factorando ta diferencia de cuadrados) = wm +20 ía —=m=201 R.
3. Factorar 90° + 2-1,
Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido
del signo — para que x? y 1 se hagan positives, tendremos:
Sa? xP de er)
(factorando el (x1
(factorando la diferencia de cı +(— 1) {sa (<=
Ba+x—1)a=x+1) R.
idrados)
Kuna men]
otscomvasieron sacromiar © 185
% Descomponer 4x?— a? + 9*—4xy + Zub — be
El término 4x) nos sugiere que es el segundo término de un trinom:
cuadrado perfecto cuyo primer término tiene x? y cuyo tercer término tie:
ne y? y el término 2ab nos sugiere que es el segundo término de un trino.
mio cuadrado perfecto cuyo primer término tiene a? y cuyo tercer término
tiene 6% pero como —a® y — 0% son negativos, tenemos que introducir este
último trinomio en un paréntesis precedido del signo — para hacerlos po
sitivos, y tendremos:
4x? a+ y" day + ab — 0
(factorando los trinomios)
(descomp. la diferencia, de cuadrados
(4x9 Any +99 (ar ab 08)
Be — 9)? (a D
(2x 9) + (a — B))[2x 9) (a=)
xy hab ya br Re
5. Faciorar 0° On? = Omen + Wa 4 2508 = me,
El término 10ab nos sugiere que es el segundo término de un tino:
mie cuadrado perfecto cuyo primer término tiene @ y cuyo tercer término
tiene 6%, y Gm nos sugiere que es el 22 término de un trinomio cuadrado.
perfecto cuyo primer término tiene m? y cuyo tercer término tiene nis
luego, tendremos:
4 —9n?—6mn + 100 + 250° — mi
{descomponiendo los trinomios)
(descomp. la diferencia de cuadrados)
+ 10ab + 250%) — (mE Gn DM
n+ ne
(a+ 5b): (on 30) [Ca 150) = (ua LUN
+5b A mamar ähm. |
E EJERCICIO 95
torar o descomponer en dos factores:
20. BR,
21 prada.
nan. 2
ada bis, 2
mern, 24
at Dax 4
art.
een
Een
FC
92-14 100°-2lax,
T+ BI dab.
BE 2e,
ER mE à Dr
24-402 ea
SEHE 10 y 25H],
Lam 4 done 0x.
ba
1641 10m + 9x3:
ina 200
24412.
DATÉE Bar.
156 © arcos
CASO Y
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION
Y SUSTRACCION
1. Factorar xt42%2 plo
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raiz cuadrada de xt
es x; la raíz cuadrada de y! es y" y el doble producto de estas raices es
233% luego, este trinomio no es cuadrado perlecto.
Para que sca cuadrado perfecto hay que lograr que el 22 término x%y"
se convierta en 2x%, lo cual se consigue sumándole xy, pero para que el
trinomio no varie bay que restarle la misma cantidad que se suma, xy%, y
tendremos:
xt xt yt
+R eee
REE Be pe ays (xt RE) xy?
(factorando el trinomio cuadrado perfecto) = {x+y ad x
(factorando la diferencia de cuadrados) = (x24 349) (+ 3° ky)
(ordenando) eg. Re
2. Descomponer dat Bao + DD...
La raíz cuadrada de da es 2%; la raíz cuadrada de 90% es üb? y el do
ble producto de estas raices es 2x 2a x 8h =124%03 luego, este trinomio
no es cuadrado perfecto porque su 22 término es Bat? y para que sea cua
drado perfecto debe ser 124%b*
Para que 84th? se convierta en 1242b* le sumamos 4a%b* y para que el
trinomio no varie le restamos 4a%b? y tendremos:
fat Sab? + 964
+ daté aa
Fal IDD DD be
(fact, el trinomio cuadrado perfecto)
(fact. la diferencia de cuadrados) =
(ordenando)
(lat + 120°? + 90%) abs
(2a + 3b") — dab?
(a? + 30° + Qab)(2a* 4 3b — 2ab)
Dat + 2ab +30) 2a? = 2ab D) Ro
3. Descomponer at — 16a%0 + 860%.
La raiz cuadrada de at es a%; la de 30b* es 6b%. Para que este trinomio
Inera cuadrado perlecto, su 20 término debía ser — 2 x 4° x Gi 2
y es — 16a*b*; pero — 16 ce en — 120%0* sumándole 4a%b%,
rscomposicion racroniat, @ 157
tendremos: — 1640 +4020 =— 122%, y para que no varie le restamos
42°b*, igual que en los casos anteriores y tendremos:
at — 60°07 + abe
datos — 40°62
at — 120262 + 3664 — fab!
(at = 12420 + 366%) ~ 4a?
= (ai Gb — 40d?
‘a? ~ 6b? + 2abi( a? ~ 6b? — Bad)
+ 2ab — GU at 2ab — 60%, R.
4. Factorar 49m 151mnt + Sin.
La raíz cuadrada de 49m* es 7m
la de 8in* es 9n%. EI 29 término
debía ser —2X Tin? x Ont=—126mênt y es —151mênt, poro — 1lmint de
convierte en —12%Gm*n* sumändole 2ámin*, pues se tiene: — 15lmint +
min‘ = —126mént, y para que no varie le restamos 25mint y tendremos:
Am 15m! + Sin
+ Sim nent
Dir! — 126m nt Bao — ZEN (49m! — 126m + 81") — Dent
(im? — On) = 25mênt
Tm? — Int Gm (Im! — Ont — mnt)
Toms San? — nt, TmE — Gant Ont) Re
M EJERCICIO 96
Factorar 0 descomponer en dos factores:
er, Minen a.
mein, iso 2
rary m ae
cios, D Pame ma
Aa —530 144908, 25. 1-126a®bt+169atb®,
‘Ht Soon oi Pacey
eta. Beraten 31 as Arce on
Here o EN Bat Se nn te
Saye tiger j
Tint oto ae ta ap.
CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS
144) En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en
factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay su-
de cuadrados que, sumándoles y restándoles una m
den llevarse al caso anterior y descomponerse,
CASO Y
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION
Y SUSTRACCION
1. Factorar xt42%2 plo
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raiz cuadrada de xt
es x; la raíz cuadrada de y! es y" y el doble producto de estas raices es
233% luego, este trinomio no es cuadrado perlecto.
Para que sca cuadrado perfecto hay que lograr que el 22 término x%y"
se convierta en 2x%, lo cual se consigue sumándole xy, pero para que el
trinomio no varie bay que restarle la misma cantidad que se suma, xy%, y
tendremos:
xt xt yt
+R eee
REE Be pe ays (xt RE) xy?
(factorando el trinomio cuadrado perfecto) = {x+y ad x
(factorando la diferencia de cuadrados) = (x24 349) (+ 3° ky)
(ordenando) eg. Re
2. Descomponer dat Bao + DD...
La raíz cuadrada de da es 2%; la raíz cuadrada de 90% es üb? y el do
ble producto de estas raices es 2x 2a x 8h =124%03 luego, este trinomio
no es cuadrado perfecto porque su 22 término es Bat? y para que sea cua
drado perfecto debe ser 124%b*
Para que 84th? se convierta en 1242b* le sumamos 4a%b* y para que el
trinomio no varie le restamos 4a%b? y tendremos:
fat Sab? + 964
+ daté aa
Fal IDD DD be
(fact, el trinomio cuadrado perfecto)
(fact. la diferencia de cuadrados) =
(ordenando)
(lat + 120°? + 90%) abs
(2a + 3b") — dab?
(a? + 30° + Qab)(2a* 4 3b — 2ab)
Dat + 2ab +30) 2a? = 2ab D) Ro
3. Descomponer at — 16a%0 + 860%.
La raiz cuadrada de at es a%; la de 30b* es 6b%. Para que este trinomio
Inera cuadrado perlecto, su 20 término debía ser — 2 x 4° x Gi 2
y es — 16a*b*; pero — 16 ce en — 120%0* sumándole 4a%b%,
rscomposicion racroniat, @ 157
tendremos: — 1640 +4020 =— 122%, y para que no varie le restamos
42°b*, igual que en los casos anteriores y tendremos:
at — 60°07 + abe
datos — 40°62
at — 120262 + 3664 — fab!
(at = 12420 + 366%) ~ 4a?
= (ai Gb — 40d?
‘a? ~ 6b? + 2abi( a? ~ 6b? — Bad)
+ 2ab — GU at 2ab — 60%, R.
4. Factorar 49m 151mnt + Sin.
La raíz cuadrada de 49m* es 7m
la de 8in* es 9n%. EI 29 término
debía ser —2X Tin? x Ont=—126mênt y es —151mênt, poro — 1lmint de
convierte en —12%Gm*n* sumändole 2ámin*, pues se tiene: — 15lmint +
min‘ = —126mént, y para que no varie le restamos 25mint y tendremos:
Am 15m! + Sin
+ Sim nent
Dir! — 126m nt Bao — ZEN (49m! — 126m + 81") — Dent
(im? — On) = 25mênt
Tm? — Int Gm (Im! — Ont — mnt)
Toms San? — nt, TmE — Gant Ont) Re
M EJERCICIO 96
Factorar 0 descomponer en dos factores:
er, Minen a.
mein, iso 2
rary m ae
cios, D Pame ma
Aa —530 144908, 25. 1-126a®bt+169atb®,
‘Ht Soon oi Pacey
eta. Beraten 31 as Arce on
Here o EN Bat Se nn te
Saye tiger j
Tint oto ae ta ap.
CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS
144) En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en
factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay su-
de cuadrados que, sumándoles y restándoles una m
den llevarse al caso anterior y descomponerse,
158 @ aroma
11) Fectorar ot + bt,
Lo reiz evodrada de of es af; la de 4b* es 2b#. Para que esto expresión sea
un tinomio, cuadrado perfecto hoce Íallo que sv segundo témino sea
2x a? XZ? = do%b, Entonces, igual que en los casos anteriores, 0 la
+ Abt le sumanies y restomos 4a? y tendremos
at
lot + doo? abt) — 4
[ot + DEEE debe
10° + 268+ Pablo 26° ~ Zeb
le? Dab Dollie? = 2ob 42871.
m EJERCICIO 97
ictorar 0 descomponer en dos factores:
L xt 4 Amis sant. 7d
2 as OS E Gene
3 arado Er © Sathodbt,
CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA x! + bx + e
45) Trinomios de la forma x? + bx +6
AGE 6 mm
es, jp +16
las condiciones siguientes:
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma Tetra que el primero con ex-
ponente 1 y su cocficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa,
4. EI tercer término es independiente de Ja letra que aparece en el
19 y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer
ver
bescourostcion sacromar © 159
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo
término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el
siguo que resulta de multiplicar el signo del 29 término del trinomio por
cl signo del tercer término del trinomi
3) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos jguales se
buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término
del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del
mio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distinton 46
buscan dos nümeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo tér-
ino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término
del trinomio. EI mayor de estos números es el segundo término del pri.
mer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
Esta regla práctica, muy sencilla en su aplicación, se aclarará con los
mes
Ejemplos |
(1) Foctoror 2+ 5x4 6.
El trinomio ze descompone en dos binomios cuyo primer léemino es lo raiz evo
rado de x! 0 sea x:
BASS Le dx)
En el ptimor binomio después de x se pone signo + porque el segundo tétmi:
no del winomio +Sx tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, 1e
serbe el signo que resulta de multiplicar el signo do + 5% por el signo do
+6 y so tiene que de por + da + 0 toa:
Peso Lt lock |
Ahora, como en estos binomies tenemos signos iguales buscamos dos números.
que cuya sumo sen 5 y cuyo producto sea 6, Esos nomeios son 2 y 3, luego
++ HA xt À
(2) Factoror x8 = 74 +12.
Tendremos: IN)
En el primer binomio se pone — porque —7x tene signo —
En el segundo binomio se pono — porque multiplicando el signo de —7x por
sl signo do + 12 se tiene que: — por + da =.
Ahora, como en les binomios tenemos signos. iguoles buscamos, dos números
cuyo soma sea 7 y coyo producto sea 12. Estos números son 3 y 4, luego:
IRIS
11) Fectorar ot + bt,
Lo reiz evodrada de of es af; la de 4b* es 2b#. Para que esto expresión sea
un tinomio, cuadrado perfecto hoce Íallo que sv segundo témino sea
2x a? XZ? = do%b, Entonces, igual que en los casos anteriores, 0 la
+ Abt le sumanies y restomos 4a? y tendremos
at
lot + doo? abt) — 4
[ot + DEEE debe
10° + 268+ Pablo 26° ~ Zeb
le? Dab Dollie? = 2ob 42871.
m EJERCICIO 97
ictorar 0 descomponer en dos factores:
L xt 4 Amis sant. 7d
2 as OS E Gene
3 arado Er © Sathodbt,
CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA x! + bx + e
45) Trinomios de la forma x? + bx +6
AGE 6 mm
es, jp +16
las condiciones siguientes:
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma Tetra que el primero con ex-
ponente 1 y su cocficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa,
4. EI tercer término es independiente de Ja letra que aparece en el
19 y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer
ver
bescourostcion sacromar © 159
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo
término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el
siguo que resulta de multiplicar el signo del 29 término del trinomio por
cl signo del tercer término del trinomi
3) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos jguales se
buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término
del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del
mio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distinton 46
buscan dos nümeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo tér-
ino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término
del trinomio. EI mayor de estos números es el segundo término del pri.
mer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
Esta regla práctica, muy sencilla en su aplicación, se aclarará con los
mes
Ejemplos |
(1) Foctoror 2+ 5x4 6.
El trinomio ze descompone en dos binomios cuyo primer léemino es lo raiz evo
rado de x! 0 sea x:
BASS Le dx)
En el ptimor binomio después de x se pone signo + porque el segundo tétmi:
no del winomio +Sx tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, 1e
serbe el signo que resulta de multiplicar el signo do + 5% por el signo do
+6 y so tiene que de por + da + 0 toa:
Peso Lt lock |
Ahora, como en estos binomies tenemos signos iguales buscamos dos números.
que cuya sumo sen 5 y cuyo producto sea 6, Esos nomeios son 2 y 3, luego
++ HA xt À
(2) Factoror x8 = 74 +12.
Tendremos: IN)
En el primer binomio se pone — porque —7x tene signo —
En el segundo binomio se pono — porque multiplicando el signo de —7x por
sl signo do + 12 se tiene que: — por + da =.
Ahora, como en les binomios tenemos signos. iguoles buscamos, dos números
cuyo soma sea 7 y coyo producto sea 12. Estos números son 3 y 4, luego:
IRIS
160.@ aucema
(8) Foctoror 242718.
Tenenos: RAIS bok ee
En el primer binomio se pone + porque + 2+ iene signo +
En e Segundo Binomio so pone — parque multiplicando el signo de + 2x por
lana de = 13 0 tiene que + por = da. :
Bite, omo ene noma eos sos ines bucones dor nor
cuyo diferencia sea 2 y cuyo producto no ni
Eos números son 5 y 3. EI mayor 5, se escribo en el primer binomio, y
tendremos
BHD stes. R
(4) Fodorar x? — 5x4.
Tenemos»
En al primer binoso se pane — porque — Sr tiene signo — de
En el segundo binomio se pone + porque mulipicand el signo de ~ 5x por
dl signo de —14 +0 lene que — por — da +. 3
Ahora como en les binomio enemos signs distintos se buscan dos números
cuya dierendo sea 5 y cuyo producto zen 14, ÿ
Estos números son 7 y 2. El mayor 7, se osrihe en el primer binomio y se
tons
di et |
ee ea
45) Factorar ot 130 ++ 40.
+0
oo &
(6) Factors m? Tim 12
Mm 12= im tm VR
(7) Faclorar n° + Zn — 2.
nf +222 IHR Re
(8) Factor 284 6x = 216.
Ebr it Ve |
Necesitamos dos números cuya diferoncia sea 6 y cuyo producto sea 216.
Éstos números no se ven Hécllmente. Para hallas, descomponemos on sus
factores primos el tercer termine:
21612. Ahera, formamos con esos factores primos dos products
00.3 Peron, vara ls acts de cdo pedicle, obtenemos
St 2 Tos dor admoros que buscamos, A
713
q
313
1
a 19, no nes seve
1S, no nes sven
6, sven
2x2x2
2X2X 2x3
2x2K3=12 2x3X3=1B 18-12
18 y 12 son los nimeros que buscamos porque su diferencio es 6 y sv producto
necsariomente es 216 ya que pora obtener estos números hemos empleado
Todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216, Por tonto:
v4 6x 216 be 18) le 12L Re
m
8
10
11
12
escourasicton racronia @ 161
(9) Factoror e — ¿da + 1080.
66a +1080 [o o= )
"Necesitamos dos números cuya suma soa 66 y cuyo producto seo 1080.
Descomponiendo 1080, tendremos:
1080 (2
40 |?
2012
13513, 2X2X2= 8 3X3X3XS:
45[3 2x2%2x3=2 3X3X5
1513 2XIXS=M 2X2X3%3.
55
Los números que necesitamos son 30 y 36 porque su suma es 66 y su producto.
necesoriamonto es 1000 ya que para obtener culos números hemos empleado.
lodos los factoros que obtuvimos en la descomposición de 1080, luego:
do + 1000 =l0 —36llo— 30) R
OS 1054 B= 119, vo sew
45 45424= 49, m M
% 994-96 = 66, siren
EJERCICIO 98
Factorar o descomponer en dos factores:
Set. y 2. 97. mm oh,
14 12-Intm. 20. 3B oc
15. Hl. 27 Mina. 30, mitm 4400)
16, «+ 7a18. 29, métlim=a0. 40. 08-30,
29. 18014. A1. 204
90. «+ 15x+56. 42. und 4480
3. Behr 43. m2-30m-076
32 44. 9245074996,
ES 45. x2=2x 50
3 Be 46. 2434412,
ee 85. AT. 64030.
2A. x56. 36. 48. m2 8m 1008
CASOS ESPECIALES
El procedimiento anterior es aplicable a la factoración de trinomios
ie siendo de la forma x? + bx + ¢ difieren algo de los estudiados an-
nie.
(1) Fackoror xt 58 — 50.
El primor término de coda factor binomio será la role
cuodiada de xt o sea 7:
er
Buscomos dos nömeros cuya diferencia [signos distintos en los binomio) seo
5 y cuyo producto sea $0. Esos númoros son 10 y 5. Tendremos:
ds NOS) R
(8) Foctoror 242718.
Tenenos: RAIS bok ee
En el primer binomio se pone + porque + 2+ iene signo +
En e Segundo Binomio so pone — parque multiplicando el signo de + 2x por
lana de = 13 0 tiene que + por = da. :
Bite, omo ene noma eos sos ines bucones dor nor
cuyo diferencia sea 2 y cuyo producto no ni
Eos números son 5 y 3. EI mayor 5, se escribo en el primer binomio, y
tendremos
BHD stes. R
(4) Fodorar x? — 5x4.
Tenemos»
En al primer binoso se pane — porque — Sr tiene signo — de
En el segundo binomio se pone + porque mulipicand el signo de ~ 5x por
dl signo de —14 +0 lene que — por — da +. 3
Ahora como en les binomio enemos signs distintos se buscan dos números
cuya dierendo sea 5 y cuyo producto zen 14, ÿ
Estos números son 7 y 2. El mayor 7, se osrihe en el primer binomio y se
tons
di et |
ee ea
45) Factorar ot 130 ++ 40.
+0
oo &
(6) Factors m? Tim 12
Mm 12= im tm VR
(7) Faclorar n° + Zn — 2.
nf +222 IHR Re
(8) Factor 284 6x = 216.
Ebr it Ve |
Necesitamos dos números cuya diferoncia sea 6 y cuyo producto sea 216.
Éstos números no se ven Hécllmente. Para hallas, descomponemos on sus
factores primos el tercer termine:
21612. Ahera, formamos con esos factores primos dos products
00.3 Peron, vara ls acts de cdo pedicle, obtenemos
St 2 Tos dor admoros que buscamos, A
713
q
313
1
a 19, no nes seve
1S, no nes sven
6, sven
2x2x2
2X2X 2x3
2x2K3=12 2x3X3=1B 18-12
18 y 12 son los nimeros que buscamos porque su diferencio es 6 y sv producto
necsariomente es 216 ya que pora obtener estos números hemos empleado
Todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216, Por tonto:
v4 6x 216 be 18) le 12L Re
m
8
10
11
12
escourasicton racronia @ 161
(9) Factoror e — ¿da + 1080.
66a +1080 [o o= )
"Necesitamos dos números cuya suma soa 66 y cuyo producto seo 1080.
Descomponiendo 1080, tendremos:
1080 (2
40 |?
2012
13513, 2X2X2= 8 3X3X3XS:
45[3 2x2%2x3=2 3X3X5
1513 2XIXS=M 2X2X3%3.
55
Los números que necesitamos son 30 y 36 porque su suma es 66 y su producto.
necesoriamonto es 1000 ya que para obtener culos números hemos empleado.
lodos los factoros que obtuvimos en la descomposición de 1080, luego:
do + 1000 =l0 —36llo— 30) R
OS 1054 B= 119, vo sew
45 45424= 49, m M
% 994-96 = 66, siren
EJERCICIO 98
Factorar o descomponer en dos factores:
Set. y 2. 97. mm oh,
14 12-Intm. 20. 3B oc
15. Hl. 27 Mina. 30, mitm 4400)
16, «+ 7a18. 29, métlim=a0. 40. 08-30,
29. 18014. A1. 204
90. «+ 15x+56. 42. und 4480
3. Behr 43. m2-30m-076
32 44. 9245074996,
ES 45. x2=2x 50
3 Be 46. 2434412,
ee 85. AT. 64030.
2A. x56. 36. 48. m2 8m 1008
CASOS ESPECIALES
El procedimiento anterior es aplicable a la factoración de trinomios
ie siendo de la forma x? + bx + ¢ difieren algo de los estudiados an-
nie.
(1) Fackoror xt 58 — 50.
El primor término de coda factor binomio será la role
cuodiada de xt o sea 7:
er
Buscomos dos nömeros cuya diferencia [signos distintos en los binomio) seo
5 y cuyo producto sea $0. Esos númoros son 10 y 5. Tendremos:
ds NOS) R
1620
(2)
13)
(5)
15)
m
Ascona
Foclorar x 4: 73% — 44.
El primer téemino de cada binomio será la raíz cuodiade de xt o sea x.
Aplicando los reglas tendremos:
RATE ME
Factorar ath — ob — 42,
El primer término de coda factor serä la raíz cvodiade de 0263 o 200 ob:
ab lob— Mob |
Buscomos dos números cuya diferencia sen 1 [que es el coeficiente de ab) y
cuyo producto sea 42. Esos números son 7 y 6. Tendremos:
fb? ab —42 = (ob —7llob +61 R.
Factorar (Sxl? —915x) +8.
Llamamos la atencién sobro se ejemplo porque usoremos esta descomposi-
ción en el caso siguiente,
El primer término de cada binomio soré la raíz cuadrado de 15x o seo Se
IST (se Món )
Dos números cuya sumo [signos iguales en los binamios es 9 y cuyo producto
es B son 8 y 1. Tendremos:
(SP 5] + 8= (Se
Factorar a ~ Sox — Mal.
ES Len Met)
El cosficionte de x en el seguado término es Sa. Buscomos dos contidados
cuya diferencia sea Sa [que es el corliiente de x en el segundo término]
y cuyo producto sea 340%, Esos cantidades son Pa y 40. Tendremos:
3 —Sox— 3608 = (x = Valle + dol. R
AS
Se TLR
Foctoror [o+ bl? — 121a + b} + 20.
À ir Me oa Bomb a ae code de EDF Ge
(ooh).
fo+bF—120+b1+20 Ilatbl— labs) )
Buscomos dos números cuyo suma aso 12 y cuyo producto sea 20, Esos ni
moros son 10 y 2. Tendremos:
(o+bP=1210+b)+20=Il0+6)—1Olllo+b1=21
(a+ 610 + BA. R
Foctorar 28 4 3x = x8,
Ordenando en orden descendento respocto de x, lememos:
ac.
Pora eliminar el signo — de — 32 introducimos el trinomio en un porénteis
precedido. del signe —:
== de 28)
ptscomrosicion sacromial © 163.
Foctorando 3° — Sx — 28 = (x —7](x +4), pero como al trinomio está prece.
dido de — su descomposición también debe ir precedida de — y tendemos:
7144)
Pora que desaparezca of signo — del producto — lx—7}[x + 41 0 sea, para
convertie en hasta combierl el sigh à un focior, por ejemplo, a [x 7]
vedas
bee Mb — P= — alle AL R
18) rociera y =
We +51=(6-y21h2 +9)
jm EJERCICIO 99
Faaorar:
1 13 sta
3 ot ker)
Fe N 16 (ma D ei,
(sg ie HE BBO,
(Bax) dy etic
0. do IR ait also, 30. onda
me 10 erred sale.
Ape 2. xe Hn). Be ae
(AI . aa AS. x ao]
Pr 22. pete 18D. 3% dal
u. steno, Eee AT
¡ree ed rc | oe Cee
caso vi
TRINOMIO DE LA FORMA ax? + bx + €
48) Son trinomios de esta for
+e +5
a+ Ta = 6
mn 2
Tm? — 23m 4 6
que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que
L ¡jemplos |
(15) DISCOMPOSICION EN FACTORES: DE UN TRINOMIO
DE LA FORMA ax? + bx she
(1) Foctorar dx?
Mulipliquemos el tinomio por el coeficiente de x? que es
4 y dejando indicado ol producto de 6 por 7x se tone:
bx? — Gal 18,
Paro 1 = (6xJ? y 617x)=716x) luego podemos escibir [6x]? ~7(6x) — 18.
(2)
13)
(5)
15)
m
Ascona
Foclorar x 4: 73% — 44.
El primer téemino de cada binomio será la raíz cuodiade de xt o sea x.
Aplicando los reglas tendremos:
RATE ME
Factorar ath — ob — 42,
El primer término de coda factor serä la raíz cvodiade de 0263 o 200 ob:
ab lob— Mob |
Buscomos dos números cuya diferencia sen 1 [que es el coeficiente de ab) y
cuyo producto sea 42. Esos números son 7 y 6. Tendremos:
fb? ab —42 = (ob —7llob +61 R.
Factorar (Sxl? —915x) +8.
Llamamos la atencién sobro se ejemplo porque usoremos esta descomposi-
ción en el caso siguiente,
El primer término de cada binomio soré la raíz cuadrado de 15x o seo Se
IST (se Món )
Dos números cuya sumo [signos iguales en los binamios es 9 y cuyo producto
es B son 8 y 1. Tendremos:
(SP 5] + 8= (Se
Factorar a ~ Sox — Mal.
ES Len Met)
El cosficionte de x en el seguado término es Sa. Buscomos dos contidados
cuya diferencia sea Sa [que es el corliiente de x en el segundo término]
y cuyo producto sea 340%, Esos cantidades son Pa y 40. Tendremos:
3 —Sox— 3608 = (x = Valle + dol. R
AS
Se TLR
Foctoror [o+ bl? — 121a + b} + 20.
À ir Me oa Bomb a ae code de EDF Ge
(ooh).
fo+bF—120+b1+20 Ilatbl— labs) )
Buscomos dos números cuyo suma aso 12 y cuyo producto sea 20, Esos ni
moros son 10 y 2. Tendremos:
(o+bP=1210+b)+20=Il0+6)—1Olllo+b1=21
(a+ 610 + BA. R
Foctorar 28 4 3x = x8,
Ordenando en orden descendento respocto de x, lememos:
ac.
Pora eliminar el signo — de — 32 introducimos el trinomio en un porénteis
precedido. del signe —:
== de 28)
ptscomrosicion sacromial © 163.
Foctorando 3° — Sx — 28 = (x —7](x +4), pero como al trinomio está prece.
dido de — su descomposición también debe ir precedida de — y tendemos:
7144)
Pora que desaparezca of signo — del producto — lx—7}[x + 41 0 sea, para
convertie en hasta combierl el sigh à un focior, por ejemplo, a [x 7]
vedas
bee Mb — P= — alle AL R
18) rociera y =
We +51=(6-y21h2 +9)
jm EJERCICIO 99
Faaorar:
1 13 sta
3 ot ker)
Fe N 16 (ma D ei,
(sg ie HE BBO,
(Bax) dy etic
0. do IR ait also, 30. onda
me 10 erred sale.
Ape 2. xe Hn). Be ae
(AI . aa AS. x ao]
Pr 22. pete 18D. 3% dal
u. steno, Eee AT
¡ree ed rc | oe Cee
caso vi
TRINOMIO DE LA FORMA ax? + bx + €
48) Son trinomios de esta for
+e +5
a+ Ta = 6
mn 2
Tm? — 23m 4 6
que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que
L ¡jemplos |
(15) DISCOMPOSICION EN FACTORES: DE UN TRINOMIO
DE LA FORMA ax? + bx she
(1) Foctorar dx?
Mulipliquemos el tinomio por el coeficiente de x? que es
4 y dejando indicado ol producto de 6 por 7x se tone:
bx? — Gal 18,
Paro 1 = (6xJ? y 617x)=716x) luego podemos escibir [6x]? ~7(6x) — 18.
epsepaeny
(2)
@)
4a2+15049.
3411
acceso
Descomponiendo este tinomio según so vio en el caso anterior, ol er, término.
de cada factor será la roiz cuadrado de [6x]? o soa 6x: léx— liéxt I.
Dos números cuya difarencia soa 7 y cuyo producto sea 18 son y 2. Ten
demos: (61916142).
Como al principio multiplicames el trinomio dado por $, ahora tenemos que
on CE tee
é
juno de los binomios os divisible por 6, descomponemos 6 en
dividir por 6, para no olleror el trinomio, y tendremos:
DA y dvidiondo (6x —9] ent 3 y 16x + 2] onr 230 lends
CEE)
LINE ETAPE)
zus PERTE
Luego: 68-76-35 ze ie e,
Factorar 20x! 4 7x —6.
Motipficande el Kinomio por 20, tendromos: (20x]# + 7{20x1 — 120.
Descomponiendo esto trinomio, tenemos: 120x+ 15] {20x — 9)
Para cancelar lo multiplicación por 20, tonomos que dividir por 20, pero como
ninguno de los dos binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en
54 y dividiendo ol factor (20x + 151 ontre 5 y (20% — 8 entre 4 tendremos
[20 0x — 8)
ee)
5x4
Luego += (AH 3) 2), Re
Factoror 180% — 120 — 5.
sado por 18: (180P 12(180)--90.
Factorando este trinomio: {180 — 18) {Ba + 5.
Divide por 18, pre lo cu, como el primer binomio 18a = 18 es dis
Be por 18 bosta ii ee facor otr 18, tendromas
Ba —18) 1186 45)
Luego
m—54 158,
150%—80—12.
QI
AA 4200515,
Umz-31m-i0.
2x2 209x490.
16m+13m*—15,
Data +2.
41062,
ES
brscomrosicron sacromas © 165
CASOS ESPECIALES
1. Factorar 19x — 11-18.
Multiplicando por 15: (15x)? —11(15x")—190.
Descomponiendo este trinomio, el primer término.
de cada factor será la raíz cuadrada de (1óx*P, o sea 15%: /
Dividido pr ae CEET +0
= (Dx -4)Bx 43) R
2, Factorar 12424 xp ~20.
Multiplicando por 12: (12x))*+ 1(12xy) ~ 240,
Factorando este trinomio: (12xp 1: 16)(12x)=15).
(12x) + 16)(12x)—15)
Taxe + + 4) 6) Re
Dividiendo por 12:
3. Factorar Gx? — Tax = 194%,
Multiplicando por 6: (6x) — Lai) ~ Nat.
Factorando este trinomio: (6x — 13) (6x 4-40).
ms (6x — 15a)(6x + 4a)
Dividiendo por 6: == = x Ga)Gx +2} Re
4. Factorar 20—ax - xt.
Ordenado el trinomio en orden descendente respecto de x: Sx x}
Introduciéndolo en un paréntesis precedido del signo ~:~ (8x! x Al)
Multipticando por 9: — [(9x)*+3(9x) — 180].
Factorando este trinomio: — (9x + 15)(9x — 12),
= (0x +15)(9x—19)
axe Eben
Para que desaparerca el signo ~ de este
producto, 0 sea para convertirlo en +, bay
five cambiar et signo a un factor, por IAE
=H), que se comverara ch dl
Wilendremos: en
M EJERCICIO 101
1 a
3 is
3 i
À darte an, 2
bBo a, a
ee a
Y Moni, =
dae. E
(2)
@)
4a2+15049.
3411
acceso
Descomponiendo este tinomio según so vio en el caso anterior, ol er, término.
de cada factor será la roiz cuadrado de [6x]? o soa 6x: léx— liéxt I.
Dos números cuya difarencia soa 7 y cuyo producto sea 18 son y 2. Ten
demos: (61916142).
Como al principio multiplicames el trinomio dado por $, ahora tenemos que
on CE tee
é
juno de los binomios os divisible por 6, descomponemos 6 en
dividir por 6, para no olleror el trinomio, y tendremos:
DA y dvidiondo (6x —9] ent 3 y 16x + 2] onr 230 lends
CEE)
LINE ETAPE)
zus PERTE
Luego: 68-76-35 ze ie e,
Factorar 20x! 4 7x —6.
Motipficande el Kinomio por 20, tendromos: (20x]# + 7{20x1 — 120.
Descomponiendo esto trinomio, tenemos: 120x+ 15] {20x — 9)
Para cancelar lo multiplicación por 20, tonomos que dividir por 20, pero como
ninguno de los dos binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en
54 y dividiendo ol factor (20x + 151 ontre 5 y (20% — 8 entre 4 tendremos
[20 0x — 8)
ee)
5x4
Luego += (AH 3) 2), Re
Factoror 180% — 120 — 5.
sado por 18: (180P 12(180)--90.
Factorando este trinomio: {180 — 18) {Ba + 5.
Divide por 18, pre lo cu, como el primer binomio 18a = 18 es dis
Be por 18 bosta ii ee facor otr 18, tendromas
Ba —18) 1186 45)
Luego
m—54 158,
150%—80—12.
QI
AA 4200515,
Umz-31m-i0.
2x2 209x490.
16m+13m*—15,
Data +2.
41062,
ES
brscomrosicron sacromas © 165
CASOS ESPECIALES
1. Factorar 19x — 11-18.
Multiplicando por 15: (15x)? —11(15x")—190.
Descomponiendo este trinomio, el primer término.
de cada factor será la raíz cuadrada de (1óx*P, o sea 15%: /
Dividido pr ae CEET +0
= (Dx -4)Bx 43) R
2, Factorar 12424 xp ~20.
Multiplicando por 12: (12x))*+ 1(12xy) ~ 240,
Factorando este trinomio: (12xp 1: 16)(12x)=15).
(12x) + 16)(12x)—15)
Taxe + + 4) 6) Re
Dividiendo por 12:
3. Factorar Gx? — Tax = 194%,
Multiplicando por 6: (6x) — Lai) ~ Nat.
Factorando este trinomio: (6x — 13) (6x 4-40).
ms (6x — 15a)(6x + 4a)
Dividiendo por 6: == = x Ga)Gx +2} Re
4. Factorar 20—ax - xt.
Ordenado el trinomio en orden descendente respecto de x: Sx x}
Introduciéndolo en un paréntesis precedido del signo ~:~ (8x! x Al)
Multipticando por 9: — [(9x)*+3(9x) — 180].
Factorando este trinomio: — (9x + 15)(9x — 12),
= (0x +15)(9x—19)
axe Eben
Para que desaparerca el signo ~ de este
producto, 0 sea para convertirlo en +, bay
five cambiar et signo a un factor, por IAE
=H), que se comverara ch dl
Wilendremos: en
M EJERCICIO 101
1 a
3 is
3 i
À darte an, 2
bBo a, a
ee a
Y Moni, =
dae. E
166 © acc
CASO VIII
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
+ Babe + bt
sab? — BP,
(a+b) = at +30!
(eb) =a — 30!
(50) En los productos notables (90) se vio q
Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica orde-
nada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que
cumplir. las siguientes condiciones:
4. Tener cuatro términos.
2. Que el primero y el último términos scan cubos perfectos.
3. Que el 22 término sea más o menos el triplo del cuadrado de la
raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último
término.
%. Que el Jer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer
término por el cuadrado de la raíz cúbica del último,
todos los términos de ka expresión son positivos, la expresión dada
es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término,
y si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión
dada cs el cubo de la diferencia de dichas raices,
(E) ratz cunıca DE un monomio
La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica
de su cocficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
‘As, la vaa cúbica de alt ex Pb. En eft
HALLAR St UNA EXPRESION DADA ES EL CUBO
DE UN BINOMIO
KU) Holla si 838 + 12x? + 6x +1 es ol cubo de un binomio.
cumplo las condiciones expuestos enter.
iön llene cuatro términos.
Lo roíz cúbica do ax? 05 2x.
La tale cúbica de 1 es 1.
32 P(1) = 12, segundo término.
BIN 6%, torcer término.
Cumple las condiciones, y como todos aus términos son positivos, la expresión
dada es el cubo de (2411, o de otto modo, [2x +1] es la raíz cúl
de la oxpresión.
mrscomrosicion ractomar @ 167
(2) Hallar si 8x* + S4xiy* — 277° — 36xty es el cubo de un binomio.
Ordenando la expresión, se tiene: 8x*— 36xty* + Saxty*® — 27y?,
La raiz cúbica los bee 2.
rasée ono cuatro términos. | La role cibico ca
a Ron eee AAA) = dry, segundo término
31248) [3/7 = 569 tercer min
y tomo los féminos son alemotivomente postivos y negativos, la expresión
Ueda es el cubo de 120 Pl.
FACTORAR UNA EXPRESION QUE ES EL CUBO
DE UN BINOMIO
(1) Factorar 14 126 | Bat + 610!
Aplicando al procedimiento anterior vomos que esto a}
presiôn es el cubo de | 1 + dal luego:
V4 Va Me? + 640" = (1-44). Br
12) Factorar 0? — ah 4 108%!" — 216b"*,
‘Aplicando el procedimiento anterior, vemos que esta expresión os ol cubo de
(01685), ego:
ol — 1804S? + 1080"
M EJERCICIO 102
Factorar por el método anteri
brdenándotas. previamente:
e
AS
si es posible, las expresiones siguientes,
1 alargado 19
3 13
À mt 1
in 16. Se DT,
ÿ. 16. ix m0 Di
a x. YT. 2161665. sat ae.
7 kat sbebsegaane arte, 18. OO 512y 1%
E aloha,
D épis 20. mi Hamin Batman.
0. hth 80%, 21. 14-1802h'4-108 tb" 42160
1
AS =.
SUMA © DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
(58) sabemos 190) ques una y EE arab +0
y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divi-
sor por el cociente, tendremos:
at RDS kb) ab he) A)
at = ht Gb) tab Fh) a
CASO VIII
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
+ Babe + bt
sab? — BP,
(a+b) = at +30!
(eb) =a — 30!
(50) En los productos notables (90) se vio q
Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica orde-
nada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que
cumplir. las siguientes condiciones:
4. Tener cuatro términos.
2. Que el primero y el último términos scan cubos perfectos.
3. Que el 22 término sea más o menos el triplo del cuadrado de la
raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último
término.
%. Que el Jer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer
término por el cuadrado de la raíz cúbica del último,
todos los términos de ka expresión son positivos, la expresión dada
es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término,
y si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión
dada cs el cubo de la diferencia de dichas raices,
(E) ratz cunıca DE un monomio
La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica
de su cocficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
‘As, la vaa cúbica de alt ex Pb. En eft
HALLAR St UNA EXPRESION DADA ES EL CUBO
DE UN BINOMIO
KU) Holla si 838 + 12x? + 6x +1 es ol cubo de un binomio.
cumplo las condiciones expuestos enter.
iön llene cuatro términos.
Lo roíz cúbica do ax? 05 2x.
La tale cúbica de 1 es 1.
32 P(1) = 12, segundo término.
BIN 6%, torcer término.
Cumple las condiciones, y como todos aus términos son positivos, la expresión
dada es el cubo de (2411, o de otto modo, [2x +1] es la raíz cúl
de la oxpresión.
mrscomrosicion ractomar @ 167
(2) Hallar si 8x* + S4xiy* — 277° — 36xty es el cubo de un binomio.
Ordenando la expresión, se tiene: 8x*— 36xty* + Saxty*® — 27y?,
La raiz cúbica los bee 2.
rasée ono cuatro términos. | La role cibico ca
a Ron eee AAA) = dry, segundo término
31248) [3/7 = 569 tercer min
y tomo los féminos son alemotivomente postivos y negativos, la expresión
Ueda es el cubo de 120 Pl.
FACTORAR UNA EXPRESION QUE ES EL CUBO
DE UN BINOMIO
(1) Factorar 14 126 | Bat + 610!
Aplicando al procedimiento anterior vomos que esto a}
presiôn es el cubo de | 1 + dal luego:
V4 Va Me? + 640" = (1-44). Br
12) Factorar 0? — ah 4 108%!" — 216b"*,
‘Aplicando el procedimiento anterior, vemos que esta expresión os ol cubo de
(01685), ego:
ol — 1804S? + 1080"
M EJERCICIO 102
Factorar por el método anteri
brdenándotas. previamente:
e
AS
si es posible, las expresiones siguientes,
1 alargado 19
3 13
À mt 1
in 16. Se DT,
ÿ. 16. ix m0 Di
a x. YT. 2161665. sat ae.
7 kat sbebsegaane arte, 18. OO 512y 1%
E aloha,
D épis 20. mi Hamin Batman.
0. hth 80%, 21. 14-1802h'4-108 tb" 42160
1
AS =.
SUMA © DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
(58) sabemos 190) ques una y EE arab +0
y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divi-
sor por el cociente, tendremos:
at RDS kb) ab he) A)
at = ht Gb) tab Fh) a
168 @ actors
La fórmula (1) nos dice que:
REGLA à
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
19 La suma de sus raíces cúbicas, 2° El cuadrado de la primera raíz,
menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula (2) nos dice que:
REGLA 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
19 La diferencia de sus raíces cúbicas. 2° El cuadrado de la primera
raie, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
FACTORAR UNA SUMA © UNA DIFERENCIA
DE CUBOS PERFECTOS
= AU) Fodorer 2 +1.
Ejemplos Le tote cúbico de x es x la role cúbico de | of 1.
Según la Regla le
Ml HT
(2) Factorar of ~ 8,
La roiz cúbica de oF os 0; la de 8 es 2, Según lo Regla 2:
P=0=la—2)lo*+210)+21=(0—2)10*+20 +41 R
(3) Factorar 276° 4e 6,
La roíz cúbica de 2704 es 30; la do bY os 6% Según le Rogla 1 tendremos:
130 + b*)L{Sa}? — 3o{b4} + (6414) = (0 + 62/90! — Job + bY) Ra
La raíz cúbica de 8x es 2x la de 125 es 5. Según la Regle 2 tendremos:
8x — 125 = (24 — SAUI2 + 5120) +51 = 12x51 Ae + WO +26). Ro
(5) Factorar 27m° + 6100.
m 40 =| Sr? + Ao nt — Vo + 1609). Ro
- EJERCICIO 103
Descomponer en 2 factores:
Abad. TPL 3 19. tome,
Ia, a 80-1, Er 20. 1434358,
os D 18% 16 21. 640-729.
La, 10x27. 16 22 ab
] IL 0427. 17 2.
4 12 Beh, 18 En
rscomosicion ractontat, 0 169
25. 14729. 29. Ba. ay, 97. Baron
28. HOPE. 0, BE 1-270%b% 98 Tb BAN,
BT Br BI 35, xt, 30. 216,
28. a m 35, aF48b',
CASOS ESPECIALES
1. Factorar (a+bP+1.
La raíz cúbica de (a +6) es (a de 1 es 1, Tendremos:
(a+b) +1=[(a+D)+1][la + bj? (a + b)(1) +14]
a+ D +1)(a? 420 + bah +1
Factorar 8= {x 3}.
La raíz cúbica de 8 es 2; la de (xy)! es (xy). Tendremos:
SPB] Nee y)
=D + A+ 2x y HA NA Re
3. Factorar (x +1)°+ (x 2).
LA (lt IDA 2) (2)
E 2x dx td)
(reduciendo)= (2x —1)(x*~x +7). Ry
4 Factorar (ab) {a + bp.
(a= bp (a+b D) (a+ bla — UF + (a = b}(a+ 6) + (a+ bj")
ba b)(a*—2ab +? + a? ~ b24 0% + 2ab + bi)
(Ra +b) R.
= EJERCICIO 104
Descomponer en dos factores:
Licey 0. man iL 16.
Leb 1 a 13 m
Melmenp 8 Bea 18. i 38.
(8. fie pee) ae aes)
PEL 10: Get 15 Gee ton
CASO x
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
(E x be de nati plas race nema
(102), probamos que:
dan bo, es: divi
1 arabe es d
LIL dv De es d
IV. ahah
ble por e—b siendo n par o impar,
ible por 24h siendo n impor,
ible por ath cuando nes par.
unica es divis
Y vimos el modo de hallar el cociente cuando la división era exacta.
La fórmula (1) nos dice que:
REGLA à
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
19 La suma de sus raíces cúbicas, 2° El cuadrado de la primera raíz,
menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula (2) nos dice que:
REGLA 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
19 La diferencia de sus raíces cúbicas. 2° El cuadrado de la primera
raie, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
FACTORAR UNA SUMA © UNA DIFERENCIA
DE CUBOS PERFECTOS
= AU) Fodorer 2 +1.
Ejemplos Le tote cúbico de x es x la role cúbico de | of 1.
Según la Regla le
Ml HT
(2) Factorar of ~ 8,
La roiz cúbica de oF os 0; la de 8 es 2, Según lo Regla 2:
P=0=la—2)lo*+210)+21=(0—2)10*+20 +41 R
(3) Factorar 276° 4e 6,
La roíz cúbica de 2704 es 30; la do bY os 6% Según le Rogla 1 tendremos:
130 + b*)L{Sa}? — 3o{b4} + (6414) = (0 + 62/90! — Job + bY) Ra
La raíz cúbica de 8x es 2x la de 125 es 5. Según la Regle 2 tendremos:
8x — 125 = (24 — SAUI2 + 5120) +51 = 12x51 Ae + WO +26). Ro
(5) Factorar 27m° + 6100.
m 40 =| Sr? + Ao nt — Vo + 1609). Ro
- EJERCICIO 103
Descomponer en 2 factores:
Abad. TPL 3 19. tome,
Ia, a 80-1, Er 20. 1434358,
os D 18% 16 21. 640-729.
La, 10x27. 16 22 ab
] IL 0427. 17 2.
4 12 Beh, 18 En
rscomosicion ractontat, 0 169
25. 14729. 29. Ba. ay, 97. Baron
28. HOPE. 0, BE 1-270%b% 98 Tb BAN,
BT Br BI 35, xt, 30. 216,
28. a m 35, aF48b',
CASOS ESPECIALES
1. Factorar (a+bP+1.
La raíz cúbica de (a +6) es (a de 1 es 1, Tendremos:
(a+b) +1=[(a+D)+1][la + bj? (a + b)(1) +14]
a+ D +1)(a? 420 + bah +1
Factorar 8= {x 3}.
La raíz cúbica de 8 es 2; la de (xy)! es (xy). Tendremos:
SPB] Nee y)
=D + A+ 2x y HA NA Re
3. Factorar (x +1)°+ (x 2).
LA (lt IDA 2) (2)
E 2x dx td)
(reduciendo)= (2x —1)(x*~x +7). Ry
4 Factorar (ab) {a + bp.
(a= bp (a+b D) (a+ bla — UF + (a = b}(a+ 6) + (a+ bj")
ba b)(a*—2ab +? + a? ~ b24 0% + 2ab + bi)
(Ra +b) R.
= EJERCICIO 104
Descomponer en dos factores:
Licey 0. man iL 16.
Leb 1 a 13 m
Melmenp 8 Bea 18. i 38.
(8. fie pee) ae aes)
PEL 10: Get 15 Gee ton
CASO x
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
(E x be de nati plas race nema
(102), probamos que:
dan bo, es: divi
1 arabe es d
LIL dv De es d
IV. ahah
ble por e—b siendo n par o impar,
ible por 24h siendo n impor,
ible por ath cuando nes par.
unica es divis
Y vimos el modo de hallar el cociente cuando la división era exacta.
170 @ aucun prscoweosicion racromiat © 171
FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS M EJERCICIO 105
IMPARES IGUALES Factorar:
L 5 mien Liat, an, je
= (1) Foctorar m8 4 3. 2 5 m4. Tayi, 18, 1H
Ejemplos Diviicndo ente m-+. (96, 49) los signos del cocan- $ 7. gm. br, y
ro son alometivamento + y a Se, Tirer.
RÉ cl = mnt Be EJERCICIO 106
CET
luego mt +08 = (+ nf — min + mnt aa Re MISCELANEA SOBRE LOS 10 CASOS DE DESCOMPOSICION EN FACTORES
Descomponer en factores:
(2) Foctoror +32. Sette 20 Lea Doa.
Esta oxprosión puede escribirse x! + 2. Dividiendo por x +2, tenemos: A hr Pr = a
2. Busen 3. 151
Ese AAA) (28) 424 de abs 15atby. M aura
x da, Se
2+2 ‘ Gama nn. © nkmün=n) tan
© se He et et te 41. Blade. Bela
5 a) are “en. = Ian nn
luego 22 322 IK H2IK 2 AE Be + . BO bm tn.
A ds Saab, bo.
(31 Factorar ob BF, Pepe a bod
a oa se Sa a Ed
= 5 LB. a4 G01,
Sel a a Came Se a en
AD tabl. FREE
Lot HOHEN here Fear)
finery 88. a (Oey TS
13 BO. 160 —24ab:4902. 58. (ma Gene De aran
a expresión equivale a 311. Dividendo ante x—1, e lena La. Terna. abad.
Sd us E EN SL deta. o
wa UE] oped 1 axati. . 1-4
A a Me sitaxs-n. IÓN 99. Biot 64D
Bast Ge Tonus .
A 3 aizabbi-me, 05. br,
o wo ere ren) FL Bi à BOL. one
Par 4 Tarr
ei Serie ne 8 u oh (eno
do. o.
Nora a 70.
Expresiones que coresponden al cato anton "Hy" 0 x" -=y" en que p Rath ab. Th Dube aon,
impor y mio de 3, como CEA O, LV Pye, wy E
ss 0 pueden descomponetso porel método enlerirmonteoxpesso o como Amen, RE nn,
somo © diferencia de cubos. Genaroimante es más expedto sto ino DB DUAL Th A
ds expresiones de lo formo a = y en que m er par, como À — yl, xp, PRES 6 }
7 son divisible por x + y 0 — y, y pueden descomponesse por el mé. CRU 10 12 Mat
‘sis mateo, aro mato ls Gdl ob teens tone lero de cor M rss Ti en
on (a2) Cat) 24,
thot » m 110. 1.100088.
FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS M EJERCICIO 105
IMPARES IGUALES Factorar:
L 5 mien Liat, an, je
= (1) Foctorar m8 4 3. 2 5 m4. Tayi, 18, 1H
Ejemplos Diviicndo ente m-+. (96, 49) los signos del cocan- $ 7. gm. br, y
ro son alometivamento + y a Se, Tirer.
RÉ cl = mnt Be EJERCICIO 106
CET
luego mt +08 = (+ nf — min + mnt aa Re MISCELANEA SOBRE LOS 10 CASOS DE DESCOMPOSICION EN FACTORES
Descomponer en factores:
(2) Foctoror +32. Sette 20 Lea Doa.
Esta oxprosión puede escribirse x! + 2. Dividiendo por x +2, tenemos: A hr Pr = a
2. Busen 3. 151
Ese AAA) (28) 424 de abs 15atby. M aura
x da, Se
2+2 ‘ Gama nn. © nkmün=n) tan
© se He et et te 41. Blade. Bela
5 a) are “en. = Ian nn
luego 22 322 IK H2IK 2 AE Be + . BO bm tn.
A ds Saab, bo.
(31 Factorar ob BF, Pepe a bod
a oa se Sa a Ed
= 5 LB. a4 G01,
Sel a a Came Se a en
AD tabl. FREE
Lot HOHEN here Fear)
finery 88. a (Oey TS
13 BO. 160 —24ab:4902. 58. (ma Gene De aran
a expresión equivale a 311. Dividendo ante x—1, e lena La. Terna. abad.
Sd us E EN SL deta. o
wa UE] oped 1 axati. . 1-4
A a Me sitaxs-n. IÓN 99. Biot 64D
Bast Ge Tonus .
A 3 aizabbi-me, 05. br,
o wo ere ren) FL Bi à BOL. one
Par 4 Tarr
ei Serie ne 8 u oh (eno
do. o.
Nora a 70.
Expresiones que coresponden al cato anton "Hy" 0 x" -=y" en que p Rath ab. Th Dube aon,
impor y mio de 3, como CEA O, LV Pye, wy E
ss 0 pueden descomponetso porel método enlerirmonteoxpesso o como Amen, RE nn,
somo © diferencia de cubos. Genaroimante es más expedto sto ino DB DUAL Th A
ds expresiones de lo formo a = y en que m er par, como À — yl, xp, PRES 6 }
7 son divisible por x + y 0 — y, y pueden descomponesse por el mé. CRU 10 12 Mat
‘sis mateo, aro mato ls Gdl ob teens tone lero de cor M rss Ti en
on (a2) Cat) 24,
thot » m 110. 1.100088.
172 © mio
116, Mar xt-9pt Oy.
Lit. te
LR. ab.
110. ax.
125.
126,
127.
198.
120,
130.
131.
182.
188.
134,
aos
Sari 0)
117-000,
TAB 10m.
OS
729-1255".
Capac.
4(a7409420b,
y
ta.
ay “Bat teil
COMBINACION DE CASOS DE FACTORES
(58) vescowvosiciow DE UNA EKPRESION ALGEBRAICA
EN TRES FACTORES
Lo primero que debo hocersa es vor si hay olgôn fac:
Ejemplos (1) Descomponer en tres factores Sa — 5.
“Aah, en este coso, tenemos of factor comin 5, luego:
Sat = 5
tor conn, y si lo hoy, sacor dicho factor comin.
Slot 1)
pero el factor fa? —1)= (6+ 11 {a 1), luego:
ÉCART ENS
donde vomas que 505
ss descompuesto en tros factores.
(2) Doscomponer en tres faclores De? — 1Bxéy + 271%,
Second el factor comön 3x:
30 Bey + Bay? =
pero el factor
puesto da (x? — bay + 97%
Belt — Sey + 999)
3b Bety sh Way? = Be ER
(3) Descomponer en tres factores xt = ÿ*
peo ya (x + y)lx yl, Juegos
y y oy Re
Hay)
(4) Descomponer en tros factores 603% + 12x — 90a.
Sacando el factor común 60:
‘ax? + 120 = 900 = bala? + 2x — 151
poro (He 19=Ic+SM=3), luego,
Got Vex 90 = oie +50) R
(5) Descomponer en tros factores del — 2617 —9.
Factorendo esta oxpresión: Je! — 26%
(6) Deicomponer en tres factores Bx +8.
Ba + = +1)
(+9)
COTÉES
ZH patty R
Lu AIG 36.
otcourosicion ragromat @ 173
of Bobo! B= (ot — Go} + fo? —
(TI Descomponer en tres fac- (ot — 8} + (0? — 8)
toros a! — Sot GB, 7 la + 111098)
lo + Vila 2)lat + 2054)
PA 0
hen)
(0) oso! oies factors
ha aber. Net 4)
mdm te,
EJERCICIO 107
Descomponer en tres factores:
2. m'Bm£-16m-48.
2B. x°—Gxty + 1dxy2—By9, xx) Bey)
24 (ab yae—b2)—(a2—b arab po
sn al
a Ben.
E
:
es
SL. errata
32. 3abmi-3ab,
33. Sixty+ Bayt
Ga alar
PRRSEPFERPESEAREEE
(5) pescomrosicion DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA
EN CUATRO FACTORES
(0 Pa retro al oH
| Ejemplos | Den eat
2122 + Aix? — 4)
ERA R
(2) Descomponor an cuatro factoros a —b°.
Esto expresién puede foctorarse como diferencia do cuadrados o como dile:
tencia de cubos. Por los dos métodos obtenemos resultados idénticos
Factorando como diferencia de cuadrados:
8 = jo + blo? — D)
Hocoiends 8% 488 y 01091 = ja + bio? = ob + bio — {ot + ab Ab),
== Metal = 2))
ds 86 a GA
ST ami Tami4I2am. na
Da 3 dats pS
ne) Er
16a%b—56a%0% a
30. By axthaxty ax 2
. 40. day
o Al. xt BFR, 61 (x49)
GTR, 42. 18 + 60 +50). CRETE
116, Mar xt-9pt Oy.
Lit. te
LR. ab.
110. ax.
125.
126,
127.
198.
120,
130.
131.
182.
188.
134,
aos
Sari 0)
117-000,
TAB 10m.
OS
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4(a7409420b,
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COMBINACION DE CASOS DE FACTORES
(58) vescowvosiciow DE UNA EKPRESION ALGEBRAICA
EN TRES FACTORES
Lo primero que debo hocersa es vor si hay olgôn fac:
Ejemplos (1) Descomponer en tres factores Sa — 5.
“Aah, en este coso, tenemos of factor comin 5, luego:
Sat = 5
tor conn, y si lo hoy, sacor dicho factor comin.
Slot 1)
pero el factor fa? —1)= (6+ 11 {a 1), luego:
ÉCART ENS
donde vomas que 505
ss descompuesto en tros factores.
(2) Doscomponer en tres faclores De? — 1Bxéy + 271%,
Second el factor comön 3x:
30 Bey + Bay? =
pero el factor
puesto da (x? — bay + 97%
Belt — Sey + 999)
3b Bety sh Way? = Be ER
(3) Descomponer en tres factores xt = ÿ*
peo ya (x + y)lx yl, Juegos
y y oy Re
Hay)
(4) Descomponer en tros factores 603% + 12x — 90a.
Sacando el factor común 60:
‘ax? + 120 = 900 = bala? + 2x — 151
poro (He 19=Ic+SM=3), luego,
Got Vex 90 = oie +50) R
(5) Descomponer en tros factores del — 2617 —9.
Factorendo esta oxpresión: Je! — 26%
(6) Deicomponer en tres factores Bx +8.
Ba + = +1)
(+9)
COTÉES
ZH patty R
Lu AIG 36.
otcourosicion ragromat @ 173
of Bobo! B= (ot — Go} + fo? —
(TI Descomponer en tres fac- (ot — 8} + (0? — 8)
toros a! — Sot GB, 7 la + 111098)
lo + Vila 2)lat + 2054)
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(0) oso! oies factors
ha aber. Net 4)
mdm te,
EJERCICIO 107
Descomponer en tres factores:
2. m'Bm£-16m-48.
2B. x°—Gxty + 1dxy2—By9, xx) Bey)
24 (ab yae—b2)—(a2—b arab po
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es
SL. errata
32. 3abmi-3ab,
33. Sixty+ Bayt
Ga alar
PRRSEPFERPESEAREEE
(5) pescomrosicion DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA
EN CUATRO FACTORES
(0 Pa retro al oH
| Ejemplos | Den eat
2122 + Aix? — 4)
ERA R
(2) Descomponor an cuatro factoros a —b°.
Esto expresién puede foctorarse como diferencia do cuadrados o como dile:
tencia de cubos. Por los dos métodos obtenemos resultados idénticos
Factorando como diferencia de cuadrados:
8 = jo + blo? — D)
Hocoiends 8% 488 y 01091 = ja + bio? = ob + bio — {ot + ab Ab),
== Metal = 2))
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Da 3 dats pS
ne) Er
16a%b—56a%0% a
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1740 names Descomposición pox rvatvacion © 175
Fi nd ALEA de oss DESCOMPOSICION DE UN FOLINOMIO EN FACTORES
EEE am POR EL METODO DE EVALUACION
= la #bilo-bllot tab + bi}lot—ab +6. R. En la Divisibilidad por x —a (101) hemos demostrad i un poli
ee iS i i ‚nos demostrado que si un poli.
at, = ae ‚bt se doscompone como trinomio cuadrado perfecto por adiciôr nomio entero y racional en x se anula para x = a, el polinomio es divisibli
Evo ablando parc ole a dun At yo que dl chan poza Ape exe pineda 3 1r.deoompaticion en a
a hace ok ccs ‘en factores por el lo de Evaluación.
43) Descomponer en cuatro factores x' = 13x 4: 36.
ELENA)
Atromdn 9 ran = let = Dl 2020. Re
(4) Descomponor on cuatro factores 1 — 18x -8lxt. (1} Descomponer por evalvación x3 + 235 2,
REN Los volores que deremos a x son los falores del término indopandiante 2 que
eco 129 HR — 3 sont 1,—1,+2y —2. Veonos si ol polinomio so anula para x = 1,x= 1,
SN à xn x= Aya anda prs ooo de ne een el HAS a
Be divisible por x monos ese valor.
(5) Descomponer en cuatro fcores 40 — + 32 8, Aplicando lo diiiér siméico explicado en el número [100] y 101, e. 3)
HE BA veremos si el polinemio se anulo para estes valores de x y simi» +
lee ae somente hllemos los cooficentes del colonie de lo division, En tse cot
frotando 4 = ya = nob Ve Tt ZI = 2 6). Ro o
(8) Descomponer en cuotro factores x — 250° — 5432. Cortina pires 1 +2 150
A 2500 — 5447 UNE = 26 — 54] 1 3 2x1= eo
eh? = 2718 +21 Cash cociente + 7 a
cando Seal HH NRZ) R a RE :
®- EJERCICIO 108 Maer ge Ho so oa pare er ZUNSEE
Descomponer en cuatro factores Dividiendo x34 2x? — x —2 entre x =1 el cociente será de 2° grado y we
sus. a sg Line dez TO
Im
#1. 15. Beto x 108. À ual pa eal den Ear losis ol
os. A nid Er erica cel aca,
be ES Ec ES
SD, 18. at+oei-et2e. aus dure. {tonte à Mon) Ua MER Meer LR
E En CL (2) Descomponer por cvolvación x — 3x2 — Ax 4: 12.
28, PT 25
rot ÓN over - Babs? —12ab-+3bxt—120. Los foctores de 12 son 4 ),2,3,4, 6,12).
ey. OA Sam + Jam 30m +34 + 0-30, ans
2axt+ 33x90. PARADA ab.
. PR A Ste | 1
ab) axe).
=
24. Ga-01%5.
35. (ea 22-420)
BO. areas dein,
m
El rasiduo es 6 , luego el polinomio no se anula para x = 1,y no 0 di
ble por [x= 1). ” 7 a
6. at—202—ta?~2atb2 ab 40, 1 = +9] Zi ae
7. xe4ax'—Bixt—soss. Vx (Waa) (SRA OXI Ol
ere 1 +12
Teer. El residuo er 12, lego el polnomio no se anuto 1 y m0 08 dv
steps. de ene eres meee ee
Descomponer en seis factores: à E = 412 42 x=2
aie: Pee 1x2=+2 (-x2=—2 (~6)x2=—12 |
12 juttbxt—a924-1200. Sa aan Se 0
Fi nd ALEA de oss DESCOMPOSICION DE UN FOLINOMIO EN FACTORES
EEE am POR EL METODO DE EVALUACION
= la #bilo-bllot tab + bi}lot—ab +6. R. En la Divisibilidad por x —a (101) hemos demostrad i un poli
ee iS i i ‚nos demostrado que si un poli.
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Evo ablando parc ole a dun At yo que dl chan poza Ape exe pineda 3 1r.deoompaticion en a
a hace ok ccs ‘en factores por el lo de Evaluación.
43) Descomponer en cuatro factores x' = 13x 4: 36.
ELENA)
Atromdn 9 ran = let = Dl 2020. Re
(4) Descomponor on cuatro factores 1 — 18x -8lxt. (1} Descomponer por evalvación x3 + 235 2,
REN Los volores que deremos a x son los falores del término indopandiante 2 que
eco 129 HR — 3 sont 1,—1,+2y —2. Veonos si ol polinomio so anula para x = 1,x= 1,
SN à xn x= Aya anda prs ooo de ne een el HAS a
Be divisible por x monos ese valor.
(5) Descomponer en cuatro fcores 40 — + 32 8, Aplicando lo diiiér siméico explicado en el número [100] y 101, e. 3)
HE BA veremos si el polinemio se anulo para estes valores de x y simi» +
lee ae somente hllemos los cooficentes del colonie de lo division, En tse cot
frotando 4 = ya = nob Ve Tt ZI = 2 6). Ro o
(8) Descomponer en cuotro factores x — 250° — 5432. Cortina pires 1 +2 150
A 2500 — 5447 UNE = 26 — 54] 1 3 2x1= eo
eh? = 2718 +21 Cash cociente + 7 a
cando Seal HH NRZ) R a RE :
®- EJERCICIO 108 Maer ge Ho so oa pare er ZUNSEE
Descomponer en cuatro factores Dividiendo x34 2x? — x —2 entre x =1 el cociente será de 2° grado y we
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#1. 15. Beto x 108. À ual pa eal den Ear losis ol
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SD, 18. at+oei-et2e. aus dure. {tonte à Mon) Ua MER Meer LR
E En CL (2) Descomponer por cvolvación x — 3x2 — Ax 4: 12.
28, PT 25
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ey. OA Sam + Jam 30m +34 + 0-30, ans
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24. Ga-01%5.
35. (ea 22-420)
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El rasiduo es 6 , luego el polinomio no se anula para x = 1,y no 0 di
ble por [x= 1). ” 7 a
6. at—202—ta?~2atb2 ab 40, 1 = +9] Zi ae
7. xe4ax'—Bixt—soss. Vx (Waa) (SRA OXI Ol
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Teer. El residuo er 12, lego el polnomio no se anuto 1 y m0 08 dv
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Descomponer en seis factores: à E = 412 42 x=2
aie: Pee 1x2=+2 (-x2=—2 (~6)x2=—12 |
12 juttbxt—a924-1200. Sa aan Se 0
160
(ED
El residuo es 0 luego el polinomio dado se anula para x=2 y es divi
ble por 1x2}
El cociente de dividir el polinomio dado x? = Sx? = 4x 4 12 entre x ~2 será
de 2 grado y sus cooficiones son 1, —1 y —6, lvego el cocionto sor
Axé.
Por k
ee)
¿locus a simio] = x2] (x=) ch2|, Re
Doscomponer por evaluación xt — 11x? — 18x— 8.
Les factores de 8 son a (1 2° 4, 8
Al escribir los coeficinls del polinomio dedo hoy que poner cero en el Iugor
conespondiente a ls témino: que fallen. En este coso, ponemos cero an el
lugar correspondiente al término en x® que falla.
PRUEBAS
Gute 10 11 —18
del polinomio. #1 + 10
T + -10 =»
oo e
1 10
ee TI =$ Ot
Se onula para x=—1, luego el polinomio dado es divisible por
psc
am
E cociente de dividir x Mx? —18x—8 entro x41 serú de Jer grado y
sus coeliciontos son 1, 1, —10 y —B, luego el cocionto será xx —10% —
Por tonto: MA 10 = (OHIO VO 0 CM
Ahora vamos a descomponer x! x? — 106 —8 por el mismo método.
El valor x=", que no anulé ol polinemio dodo, no so pruebo porque ng pue-
de anular à ¿sto polinomio.
El valor «==, que anuló ol polinomio dado, so pruebo nuevomento. Ten-
dremos:
| -10
21 +2 +8 Lo
T == 0
Se anula para x= —1, lvogo xt = a? — 10x —8 es divisible por x +1, El co-
ciento ser = 2x —B, luego
1008 = (x + Tf 26-8)
Sestituyendo en (1) esto valor, tenemos:
st Ma? = 1008 = (e+ Le + 11430 = 2x BL
Uneornds el winono) = fet Ife Ve) LE
Sin + What Axa
OS
Descomponee por evaluación xi — xt = 7x —7)
Los factors de 24 son + (I, 2,3, 4, 6,8, 12, 24)
Descomrosicion ron rvaLuacioN @ 177
PRUEBAS
Gestes 1 21 27 7 +2 44
Mes oT Zu +6
DD 7 M FE F3] vos om
ton) 27 27 +2 +m) 1
dass 1 +2 46 #2 Sl
Meat. 2. 8 = HM ©
Se emule para x=—1, luego es divisible por x+1. El cociente rd
EEE DH Nager
TE US AR (N)
‘Ahora descomponomos x -201- St =26-+24. Se pruebo nuera
Coston
Spain
bo se am,
+2) 082
Costes EA 1
Sn 1 6 + ö
So onulo para x=2, logo xt — 21 Set 26424 os diible por x—2,
E cociente es 2 — 5x12, legos
2-50 244-6200 5-12
Sustituyendo esta descomposición on (1), tonomos:
AI — Ta de 2x be 24 = ft 1) (2) 10 Sx— 52) (2)
‘Ahora descomponemes x — 5x - 12, Se proabo nueromento x=2, poniendo,
cero en el lugar correspondiente à x", que falta, Tendremos:
Costes 1 0 -5 1) +2 %x-2
pres +2 “à 3 |
+2 7 Ti
1 9 -5 -2
m2 +4 +2
7 STO] no se ana
1 0-5 -m| +2 8-3
#9 #9 412
+ Fr 0]
nt ocio
Se anvlo pora x=3, luego x!—5x—12 es divisiblo por x— 3. EI cociente os
4 Bu +4, luego:
A 122 (= MEH Be +41
Susituyondo esta descomposición an (2), tonomos:
III Da P= nc 2) Le 3) (PFDA Re
(El tinomio x + 3x +4 no tiene descomposiciónt:
(ED
El residuo es 0 luego el polinomio dado se anula para x=2 y es divi
ble por 1x2}
El cociente de dividir el polinomio dado x? = Sx? = 4x 4 12 entre x ~2 será
de 2 grado y sus cooficiones son 1, —1 y —6, lvego el cocionto sor
Axé.
Por k
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¿locus a simio] = x2] (x=) ch2|, Re
Doscomponer por evaluación xt — 11x? — 18x— 8.
Les factores de 8 son a (1 2° 4, 8
Al escribir los coeficinls del polinomio dedo hoy que poner cero en el Iugor
conespondiente a ls témino: que fallen. En este coso, ponemos cero an el
lugar correspondiente al término en x® que falla.
PRUEBAS
Gute 10 11 —18
del polinomio. #1 + 10
T + -10 =»
oo e
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ee TI =$ Ot
Se onula para x=—1, luego el polinomio dado es divisible por
psc
am
E cociente de dividir x Mx? —18x—8 entro x41 serú de Jer grado y
sus coeliciontos son 1, 1, —10 y —B, luego el cocionto será xx —10% —
Por tonto: MA 10 = (OHIO VO 0 CM
Ahora vamos a descomponer x! x? — 106 —8 por el mismo método.
El valor x=", que no anulé ol polinemio dodo, no so pruebo porque ng pue-
de anular à ¿sto polinomio.
El valor «==, que anuló ol polinomio dado, so pruebo nuevomento. Ten-
dremos:
| -10
21 +2 +8 Lo
T == 0
Se anula para x= —1, lvogo xt = a? — 10x —8 es divisible por x +1, El co-
ciento ser = 2x —B, luego
1008 = (x + Tf 26-8)
Sestituyendo en (1) esto valor, tenemos:
st Ma? = 1008 = (e+ Le + 11430 = 2x BL
Uneornds el winono) = fet Ife Ve) LE
Sin + What Axa
OS
Descomponee por evaluación xi — xt = 7x —7)
Los factors de 24 son + (I, 2,3, 4, 6,8, 12, 24)
Descomrosicion ron rvaLuacioN @ 177
PRUEBAS
Gestes 1 21 27 7 +2 44
Mes oT Zu +6
DD 7 M FE F3] vos om
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dass 1 +2 46 #2 Sl
Meat. 2. 8 = HM ©
Se emule para x=—1, luego es divisible por x+1. El cociente rd
EEE DH Nager
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‘Ahora descomponomos x -201- St =26-+24. Se pruebo nuera
Coston
Spain
bo se am,
+2) 082
Costes EA 1
Sn 1 6 + ö
So onulo para x=2, logo xt — 21 Set 26424 os diible por x—2,
E cociente es 2 — 5x12, legos
2-50 244-6200 5-12
Sustituyendo esta descomposición on (1), tonomos:
AI — Ta de 2x be 24 = ft 1) (2) 10 Sx— 52) (2)
‘Ahora descomponemes x — 5x - 12, Se proabo nueromento x=2, poniendo,
cero en el lugar correspondiente à x", que falta, Tendremos:
Costes 1 0 -5 1) +2 %x-2
pres +2 “à 3 |
+2 7 Ti
1 9 -5 -2
m2 +4 +2
7 STO] no se ana
1 0-5 -m| +2 8-3
#9 #9 412
+ Fr 0]
nt ocio
Se anvlo pora x=3, luego x!—5x—12 es divisiblo por x— 3. EI cociente os
4 Bu +4, luego:
A 122 (= MEH Be +41
Susituyondo esta descomposición an (2), tonomos:
III Da P= nc 2) Le 3) (PFDA Re
(El tinomio x + 3x +4 no tiene descomposiciónt:
178 © aucuns
(5) Descomponer por evaluación 65 194 — Sx? — 1604 — du + 48.
os factores de 48: son (1, 2,3, 4, 6, 8,12, 16, 24, 40)
robando pora x= 1,
Probando para x=
Cortinas E
Gé 6 +19 59 160 —4 +48
1, x=2, veríamos que el polinomio no se anu.
2
Em =u +146 | a
7 = 4
Cortines
Gel acento
Se emula, luego:
GEH AD SD — 160 = Auch AB = x + 2) [at 708 73 = De + 24}, (1)
‘Ahora descomponemos 6x1 473° — 733% — Lx 1:24. Probando x = —2, ve=
Homos que no se onvla, Probando x= 3.
6 +7 -7n
é
Se emule, luego:
SET TIO — Ne ch 242 (x — 31609 2502 2 Bl.
Sustiuyendo esta descomposición en (1):
nd AP — Sa — 1600 — deh 40 = (+ 2] Le BI a + 250 +2 8). (2)
Ahora descomponemos dx? 4-25 + 2x — 8.
=3 no se pruebo, aunque anuló ol polinomio anterior, porque 3 no es factor
del lármino independiente 8.
Si probamos x = 4, veriomor quo no onula a este polinomio. Probando x
6 +25 +2 -8 | 4
448
¢ +1 -2 ©
So onule, luego:
609 +258 +2 —8= (x4 4) 6x8 x 2)
Susituyende esto descomposición en (2), tenemos:
6004190 — 5998 — 1604 — 4 4B = Ich ZUR 3) (x AE 4 x — 2)
ecard ai lea BD. Ra
(6) Descomponer por evaluación 3a — 474° — 210% + 0.
AL escribir los coeficintes tonomos que poner cero como couficiente de los
érminos en oF, en oF y en 0, que fallon.
2 veríamos que el polinomio no se
10.
1
1a.
1
14
16
16.
betcanrosicion vor EVALUACION: — @ 179,
Probando a = 4:
a 0-2 0-2 0 +00 | kk
+12 +48 +4 +16 20 80 |
342 +1 +4 —5 -% 01
Se onula, luego:
ene ee
Pos ton et ii e
Pense
Ls ee
a I
DORA
Se anula, lvogo:
2% Va + ar + do — So —20= [a +4) [Jot + oF — 5},
Susituyendo en (1
30-4701 Ne: 4: 80 = (a= Alle 41 (Ga! 40% 51. Ra
IE trinomio 30 +08 —5 no tiene descomposición)
EJERCICIO 110
Descomponer por cvaluación:
alo 17. xt 9876
PERRET 16. 1x8 94y9—Sx™— 16400.
alada +1. 10. 02La9+16:%4-108x 144.
191216. 20. 2306041120496.
Detox O 10802527 52204860,
ada 28. 22 n'—dOn*—25n?—36n—180.
ON IN
Mär,
26. 2a5-Bat--3a—12.
26. 4 rc.
A —{
xa 14424, 28. 008201418014 247a*—1020—900.
as 1671002. TT
21190. 30. Qx8—10x°—B4xt4-146394 204x249
aa 140. St a--fañ.-Gat-109a1--B440%4 900-144.
Bat--18a9-750%4-46a+-190. 82. O GATO 128.
(5) Descomponer por evaluación 65 194 — Sx? — 1604 — du + 48.
os factores de 48: son (1, 2,3, 4, 6, 8,12, 16, 24, 40)
robando pora x= 1,
Probando para x=
Cortinas E
Gé 6 +19 59 160 —4 +48
1, x=2, veríamos que el polinomio no se anu.
2
Em =u +146 | a
7 = 4
Cortines
Gel acento
Se emula, luego:
GEH AD SD — 160 = Auch AB = x + 2) [at 708 73 = De + 24}, (1)
‘Ahora descomponemos 6x1 473° — 733% — Lx 1:24. Probando x = —2, ve=
Homos que no se onvla, Probando x= 3.
6 +7 -7n
é
Se emule, luego:
SET TIO — Ne ch 242 (x — 31609 2502 2 Bl.
Sustiuyendo esta descomposición en (1):
nd AP — Sa — 1600 — deh 40 = (+ 2] Le BI a + 250 +2 8). (2)
Ahora descomponemos dx? 4-25 + 2x — 8.
=3 no se pruebo, aunque anuló ol polinomio anterior, porque 3 no es factor
del lármino independiente 8.
Si probamos x = 4, veriomor quo no onula a este polinomio. Probando x
6 +25 +2 -8 | 4
448
¢ +1 -2 ©
So onule, luego:
609 +258 +2 —8= (x4 4) 6x8 x 2)
Susituyende esto descomposición en (2), tenemos:
6004190 — 5998 — 1604 — 4 4B = Ich ZUR 3) (x AE 4 x — 2)
ecard ai lea BD. Ra
(6) Descomponer por evaluación 3a — 474° — 210% + 0.
AL escribir los coeficintes tonomos que poner cero como couficiente de los
érminos en oF, en oF y en 0, que fallon.
2 veríamos que el polinomio no se
10.
1
1a.
1
14
16
16.
betcanrosicion vor EVALUACION: — @ 179,
Probando a = 4:
a 0-2 0-2 0 +00 | kk
+12 +48 +4 +16 20 80 |
342 +1 +4 —5 -% 01
Se onula, luego:
ene ee
Pos ton et ii e
Pense
Ls ee
a I
DORA
Se anula, lvogo:
2% Va + ar + do — So —20= [a +4) [Jot + oF — 5},
Susituyendo en (1
30-4701 Ne: 4: 80 = (a= Alle 41 (Ga! 40% 51. Ra
IE trinomio 30 +08 —5 no tiene descomposición)
EJERCICIO 110
Descomponer por cvaluación:
alo 17. xt 9876
PERRET 16. 1x8 94y9—Sx™— 16400.
alada +1. 10. 02La9+16:%4-108x 144.
191216. 20. 2306041120496.
Detox O 10802527 52204860,
ada 28. 22 n'—dOn*—25n?—36n—180.
ON IN
Mär,
26. 2a5-Bat--3a—12.
26. 4 rc.
A —{
xa 14424, 28. 008201418014 247a*—1020—900.
as 1671002. TT
21190. 30. Qx8—10x°—B4xt4-146394 204x249
aa 140. St a--fañ.-Gat-109a1--B440%4 900-144.
Bat--18a9-750%4-46a+-190. 82. O GATO 128.
(LGEBRISTAS DE LA INDIA, (Sales Y. VI y
NE) Tres nombres se pueden etal cams
Sotnta'yBskara” Ayabhara, del dilo Ÿ, co:
in Tall completa dala ceusion de se
MAXIMO COMUN DIVISOR
FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN de dos o más expresiones al-
gebraicas es toda expresión algebraica que está contenida exactamen-
teencada una de las primeras.
Asi, x cs divisor común de 2x y a? Sad es
y Lat.
‘Una expresión algebraica es prima cuando sólo es divisible por ella
misma y por la unidad.
Asi, a, b, a+ y 2x1 son expresiones primas.
Dos o más expresiones algebraicas son primas entre sí cuando el úni-
eo divisor común que tienen es la unidad, como 2 y 3b; a+b y ax.
isor común de 100%?
2) MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más expresiones algebraicas es
la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor
grado que esta contenida exactamenteencada una de ellas.
‘Asi, el m.c.d. de 104% y 204% es 100% el m.c.d. de fan, Ban" y
Aan'p es Sant.
180
maxıno conun ovison @ 181
1. M.C.D, DE MONOMIOS
(sa) REGLA
Se alla el m.c.d. de los coeficientes y a continuación de Gte se es
criben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que ten
ga en las expresiones dadas.
(1) Hallar el m. ed. de ads? y Sax.
Elm. 6d, de los cocficientes es 1. Los letras comunes son a y x. Tomomoy
‘a con su menor exponente: a y x con su menor exponente: x) la b no se toma
porque no es comin, Elm. cd sé o’x. R
421 Hallar cl m. e. d de 360%, 4Ba'h' y Glotbim.
Descomponiendo an factores primos las coc, Yeathte
Pose Da
PR
AB
2350tblm,
El me. d. de los cooficiantos os 2.3. Les letras comunos son a y b. Toma
os © con su menor exponente; e y b con su menor exponente: BY, € y m 00
se lemon porque no son comunes, Tendremos:
m EJERCICIO 111
Hallar el m. cd. dé:
1. ax, ax. 8. tee, 18%, De.
2. able, abe 9. Zee, Barbie, sBatbict,
2 2, xp. 10. Toxyhet, O6xzy22%, 100% AT,
4. Ge, 160804, 11. 42amen, S6mintx, Tménty.
5. Bamtn, 20x42. 12. Tab, 150a4IX?, 225002.
6 18min, amont. 13, 40%, at”, Bate, 10400,
7. Wate, Qab x, 26h. 14. BBatxty', Try! gar.
I M.C D. DE POLINOMIOS
Al hallar el m.c.d. de dos o más polinomios puede ocurrir que los
polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no se
iilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios
dados; en el segundo caso se halla el m. c.d por divisiones sucesivas.
NE) Tres nombres se pueden etal cams
Sotnta'yBskara” Ayabhara, del dilo Ÿ, co:
in Tall completa dala ceusion de se
MAXIMO COMUN DIVISOR
FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN de dos o más expresiones al-
gebraicas es toda expresión algebraica que está contenida exactamen-
teencada una de las primeras.
Asi, x cs divisor común de 2x y a? Sad es
y Lat.
‘Una expresión algebraica es prima cuando sólo es divisible por ella
misma y por la unidad.
Asi, a, b, a+ y 2x1 son expresiones primas.
Dos o más expresiones algebraicas son primas entre sí cuando el úni-
eo divisor común que tienen es la unidad, como 2 y 3b; a+b y ax.
isor común de 100%?
2) MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más expresiones algebraicas es
la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor
grado que esta contenida exactamenteencada una de ellas.
‘Asi, el m.c.d. de 104% y 204% es 100% el m.c.d. de fan, Ban" y
Aan'p es Sant.
180
maxıno conun ovison @ 181
1. M.C.D, DE MONOMIOS
(sa) REGLA
Se alla el m.c.d. de los coeficientes y a continuación de Gte se es
criben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que ten
ga en las expresiones dadas.
(1) Hallar el m. ed. de ads? y Sax.
Elm. 6d, de los cocficientes es 1. Los letras comunes son a y x. Tomomoy
‘a con su menor exponente: a y x con su menor exponente: x) la b no se toma
porque no es comin, Elm. cd sé o’x. R
421 Hallar cl m. e. d de 360%, 4Ba'h' y Glotbim.
Descomponiendo an factores primos las coc, Yeathte
Pose Da
PR
AB
2350tblm,
El me. d. de los cooficiantos os 2.3. Les letras comunos son a y b. Toma
os © con su menor exponente; e y b con su menor exponente: BY, € y m 00
se lemon porque no son comunes, Tendremos:
m EJERCICIO 111
Hallar el m. cd. dé:
1. ax, ax. 8. tee, 18%, De.
2. able, abe 9. Zee, Barbie, sBatbict,
2 2, xp. 10. Toxyhet, O6xzy22%, 100% AT,
4. Ge, 160804, 11. 42amen, S6mintx, Tménty.
5. Bamtn, 20x42. 12. Tab, 150a4IX?, 225002.
6 18min, amont. 13, 40%, at”, Bate, 10400,
7. Wate, Qab x, 26h. 14. BBatxty', Try! gar.
I M.C D. DE POLINOMIOS
Al hallar el m.c.d. de dos o más polinomios puede ocurrir que los
polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no se
iilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios
dados; en el segundo caso se halla el m. c.d por divisiones sucesivas.
182 @ acciona
(64) M. c. D. DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICION
EN FACTORES
REGLA
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. +El
m. c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente,
11) Hallar cl m ca d. de ete dab y 2at— 20%,
Foctorando éstas expre-
12) Hallar of m. cs de de 84, IÓ y Bb ae 4,
== [26-2
Factorandos A 6= be 342)
Ra +AZ [eb OF
El factor común es (x +2) y se tomo con su menor exponente, luego:
EZ
43) Holler el m. cd. de Jada" 1 92, Gata? — Vota? — Bor”, date + 20H 5%.
John? + 9x? = 9e7Lo8 41) Pto + Wot at 1}
tot? — 120°x" — Bor? = 6ox"|a?§ — 2a — 3) =23ac(0—3){a + 1}
Cote + Boks + 150% =3atx(20" +70 +5) =3o*xl2a + 5)lo + 1}
Los factores comunos son 3, x y (a+ 1), luego:
LAMENTA
14) Hallar el m € de de al, A y Da Det 2D
woran] TT EU
Bode A ten) = D HI
ae N= D = MN)
M) he dc)
® EJERCICIO 112
Hallar, por descomposición en factores, el m. €. d. de:
1 2a%42ab, 4a2—4eb. D. 3x%+15xt, axt4 Sax,
E 10. 080%, a® Babb?
5. 120209, darla-dathe. 11. mito, Bam-+dan.
4 ab+b, aa. 12x84, Pt
Ge ox, staat, I partidos, ston or,
8. Maxi-16x%, 10axy*—20e2y8, 3-1, ON 6d
A
A 16. 3x B800, 6x?—18x—24.
maxino conviorvnon @ 183
AT. By}, daria.
19, QeP—1a°b4-18ab*, ax —Dabs.
19. actad-2be-2bd, 2c%+4ed-+2d8.
20. Jam Get ber, Gana} Mamx30ax.
22. duty, ER.
22 Bets, 0w-de
23, tab, abi, arpas
Bh, Bars, dede, dd,
26. KDE, Kine, xt
26. aibr2eilägabe, abat.
BEAR, 2, BOR.
48. ox*—2os?~Box, ax*—ar~Ga, ax?—~2atx?—100%.
20. Lan'—16an432e, Pont, Dat 100%,
30. 4a*4-80—12, 2a?—Ga+4, Ga*+180—24.
31. Munde, Baldo, dat Hab-42?.
92. xt, rd, x9-9x%420x.
33. athe, use, ato.
JA S497, 206x418, wider.
30. hax, sea dur, act
30. 51874250, 18ax*—500, 604-6034 18
Sf (AI), ar
18. datar, BAT, ari Liar,
10. 3a—6a, a'—4a, a2b—2ab, a? —a—2.
40. ex, DPT, BeBe, Bar—0 ts.
Ai, at- aH+atatl, extaistaxtz, ara.
42, 2m 4doun-2n?, ms menden, mins, memo,
A3. 8430-1, bal, amo, ada,
44, ots, Mater Hart 903, a
A0. GF, AY, exp tay, YP
40. 2e*—am-44a~25n, Pan, Ge-+Sam—Am?, 16024 T2om—A0m.
41. Y20x—Gay+240x—12by, '3a*4-240%, Ja Dab—18b?, 120*4+24ab.
WW. 5024x4549, 1609 160x150") —15x%), 200"=200)* 420082039,
e tsaxy,
He.
Bax, Date La 102%
(63) M.c.D. DE DOS POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS
= Cuanao se quiere hallar el m.c.d. de dos polinomios que no pueden
nponerse en factores fácilmente, se emplea el método de divisiones
¡cesivas, de acuerdo con la siguiente:
REGLA
Se ordenan ambos polinomios con relación a una misma letra y se die
vide el polinomio de mayor grado entre el de grado menor, Si
del mismo grado, cualquiera puede tomarse como dividendo.
(64) M. c. D. DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICION
EN FACTORES
REGLA
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. +El
m. c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente,
11) Hallar cl m ca d. de ete dab y 2at— 20%,
Foctorando éstas expre-
12) Hallar of m. cs de de 84, IÓ y Bb ae 4,
== [26-2
Factorandos A 6= be 342)
Ra +AZ [eb OF
El factor común es (x +2) y se tomo con su menor exponente, luego:
EZ
43) Holler el m. cd. de Jada" 1 92, Gata? — Vota? — Bor”, date + 20H 5%.
John? + 9x? = 9e7Lo8 41) Pto + Wot at 1}
tot? — 120°x" — Bor? = 6ox"|a?§ — 2a — 3) =23ac(0—3){a + 1}
Cote + Boks + 150% =3atx(20" +70 +5) =3o*xl2a + 5)lo + 1}
Los factores comunos son 3, x y (a+ 1), luego:
LAMENTA
14) Hallar el m € de de al, A y Da Det 2D
woran] TT EU
Bode A ten) = D HI
ae N= D = MN)
M) he dc)
® EJERCICIO 112
Hallar, por descomposición en factores, el m. €. d. de:
1 2a%42ab, 4a2—4eb. D. 3x%+15xt, axt4 Sax,
E 10. 080%, a® Babb?
5. 120209, darla-dathe. 11. mito, Bam-+dan.
4 ab+b, aa. 12x84, Pt
Ge ox, staat, I partidos, ston or,
8. Maxi-16x%, 10axy*—20e2y8, 3-1, ON 6d
A
A 16. 3x B800, 6x?—18x—24.
maxino conviorvnon @ 183
AT. By}, daria.
19, QeP—1a°b4-18ab*, ax —Dabs.
19. actad-2be-2bd, 2c%+4ed-+2d8.
20. Jam Get ber, Gana} Mamx30ax.
22. duty, ER.
22 Bets, 0w-de
23, tab, abi, arpas
Bh, Bars, dede, dd,
26. KDE, Kine, xt
26. aibr2eilägabe, abat.
BEAR, 2, BOR.
48. ox*—2os?~Box, ax*—ar~Ga, ax?—~2atx?—100%.
20. Lan'—16an432e, Pont, Dat 100%,
30. 4a*4-80—12, 2a?—Ga+4, Ga*+180—24.
31. Munde, Baldo, dat Hab-42?.
92. xt, rd, x9-9x%420x.
33. athe, use, ato.
JA S497, 206x418, wider.
30. hax, sea dur, act
30. 51874250, 18ax*—500, 604-6034 18
Sf (AI), ar
18. datar, BAT, ari Liar,
10. 3a—6a, a'—4a, a2b—2ab, a? —a—2.
40. ex, DPT, BeBe, Bar—0 ts.
Ai, at- aH+atatl, extaistaxtz, ara.
42, 2m 4doun-2n?, ms menden, mins, memo,
A3. 8430-1, bal, amo, ada,
44, ots, Mater Hart 903, a
A0. GF, AY, exp tay, YP
40. 2e*—am-44a~25n, Pan, Ge-+Sam—Am?, 16024 T2om—A0m.
41. Y20x—Gay+240x—12by, '3a*4-240%, Ja Dab—18b?, 120*4+24ab.
WW. 5024x4549, 1609 160x150") —15x%), 200"=200)* 420082039,
e tsaxy,
He.
Bax, Date La 102%
(63) M.c.D. DE DOS POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS
= Cuanao se quiere hallar el m.c.d. de dos polinomios que no pueden
nponerse en factores fácilmente, se emplea el método de divisiones
¡cesivas, de acuerdo con la siguiente:
REGLA
Se ordenan ambos polinomios con relación a una misma letra y se die
vide el polinomio de mayor grado entre el de grado menor, Si
del mismo grado, cualquiera puede tomarse como dividendo.
1840 aucuns
sión es exacta, el divisor es el m.c. de; si no es exacta, se divide el divisor
por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente has-
ta llegar a una división exacta. El último divisor es el m.c.d. buscado.
‘Todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término
del residuo sea de grado inferior al primer término del divisor,
Hallar por divisiones sucesivos el m. c,d, do 16x + 36% — 12x — 18 y Be 2x3.
169436812919. [BE 23
“Ambos polinamios astán ordene- a a
À con age ee Digas E Pie Bas
Gl rier, que es do tee e
do, entro el segundo que es de
segundo. grade
Aquí dotenomos la división porque el primer término dol residuo, 4x, es de grado
inferior al primer término del divisor Ar’,
atomos [tea
TC]
3
«+3
‘Ahora dividimos el divisor rt 2-3 entre of
tesidvo 4x— 3: ES à
Como esta división es exacto, el divisor 4x — 3 es el mc, d. buscado, R.
REGLAS ESPECIALES
En la práctica de este método hay que tener muy en cuenta las si-
guientes reglas:
1) Cualquiera de los polinomios dados se puede dividir por un fac»
tor que no divida al otro polinomio, Ese factor, por no ser Factor común
de ambos polinomios, no forma parte del m. c.d.
2) El residuo de cualquier división se puede dividir por un factor
que no divida a los dos polinomios dados.
3) Si el primer término de cualquier residuo es negativo, puede cam
biarse el signo a todos los términos de dicho residuo.
4) Si el primer término del dividendo o el primer término de algín
residuo no es divisible por el primer término del divisor, se multipli
todos los términos del dividendo o del residuo por la cantidad necesaria
para hacerlo divisible,
(2)
maximo comun oivion — @ 185
por divisionos sucesivas, el m. e di de
120 26404 20% — 12 y 200 — x — In,
Dividend el primer polinomio por 2 y el segundo por x queda:
GB 198 +1026 y 209,
Dividiondor a MES
ét Bit 9 was
10241 6
Ws? — 15
16-21
Dividiendo el residuo 14x=—21 entro 7 queda 2x—3.
Ms [a
Een “+
Ahora dividimos el divisor 2x = x — 3 entre a
ol residuo 2x— 3 A ae
23
Como asta división os exacta, el divisor 2x3 es el m.c.d. R
iones sucesivas, el m. cd de Ga 1264 Sr y
Como 3x9 no es divisible entre 25, mulplicamos el primer polinomio: por 2
pora hacerlo divisible y quedarás
A y Ta,
endo: 68 — 262+ 100-8 | 26
Hehe tI
= ser
= 5? no es divisible por 2. Cambiando el signo al residuo tenemos
5:2” 224 +8 y mulilicando ese reskduo por 2, paro que su primer Término
10 divisible por 2x3, queda 1e — 44x +16.” [Ambos operaciones equivalen
© mulliplicor el residuo por — 2. Este expresión la dividimos entro 2° = 7 = Ai
Ehe | zen
— 100 +350+20 5
= +
Combiondo el signo el reideo: 9x 36, dividiendo por 9: x— 4. (Ambos
opetociones equivalen a dividir por — 9).
aerea | a
E]
xd
+.
Ahora dividimos 2x? 7x — 4 entre x = 4:
Como esta divsién es exacia, el m, €. dies x—4 R
sión es exacta, el divisor es el m.c. de; si no es exacta, se divide el divisor
por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente has-
ta llegar a una división exacta. El último divisor es el m.c.d. buscado.
‘Todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término
del residuo sea de grado inferior al primer término del divisor,
Hallar por divisiones sucesivos el m. c,d, do 16x + 36% — 12x — 18 y Be 2x3.
169436812919. [BE 23
“Ambos polinamios astán ordene- a a
À con age ee Digas E Pie Bas
Gl rier, que es do tee e
do, entro el segundo que es de
segundo. grade
Aquí dotenomos la división porque el primer término dol residuo, 4x, es de grado
inferior al primer término del divisor Ar’,
atomos [tea
TC]
3
«+3
‘Ahora dividimos el divisor rt 2-3 entre of
tesidvo 4x— 3: ES à
Como esta división es exacto, el divisor 4x — 3 es el mc, d. buscado, R.
REGLAS ESPECIALES
En la práctica de este método hay que tener muy en cuenta las si-
guientes reglas:
1) Cualquiera de los polinomios dados se puede dividir por un fac»
tor que no divida al otro polinomio, Ese factor, por no ser Factor común
de ambos polinomios, no forma parte del m. c.d.
2) El residuo de cualquier división se puede dividir por un factor
que no divida a los dos polinomios dados.
3) Si el primer término de cualquier residuo es negativo, puede cam
biarse el signo a todos los términos de dicho residuo.
4) Si el primer término del dividendo o el primer término de algín
residuo no es divisible por el primer término del divisor, se multipli
todos los términos del dividendo o del residuo por la cantidad necesaria
para hacerlo divisible,
(2)
maximo comun oivion — @ 185
por divisionos sucesivas, el m. e di de
120 26404 20% — 12 y 200 — x — In,
Dividend el primer polinomio por 2 y el segundo por x queda:
GB 198 +1026 y 209,
Dividiondor a MES
ét Bit 9 was
10241 6
Ws? — 15
16-21
Dividiendo el residuo 14x=—21 entro 7 queda 2x—3.
Ms [a
Een “+
Ahora dividimos el divisor 2x = x — 3 entre a
ol residuo 2x— 3 A ae
23
Como asta división os exacta, el divisor 2x3 es el m.c.d. R
iones sucesivas, el m. cd de Ga 1264 Sr y
Como 3x9 no es divisible entre 25, mulplicamos el primer polinomio: por 2
pora hacerlo divisible y quedarás
A y Ta,
endo: 68 — 262+ 100-8 | 26
Hehe tI
= ser
= 5? no es divisible por 2. Cambiando el signo al residuo tenemos
5:2” 224 +8 y mulilicando ese reskduo por 2, paro que su primer Término
10 divisible por 2x3, queda 1e — 44x +16.” [Ambos operaciones equivalen
© mulliplicor el residuo por — 2. Este expresión la dividimos entro 2° = 7 = Ai
Ehe | zen
— 100 +350+20 5
= +
Combiondo el signo el reideo: 9x 36, dividiendo por 9: x— 4. (Ambos
opetociones equivalen a dividir por — 9).
aerea | a
E]
xd
+.
Ahora dividimos 2x? 7x — 4 entre x = 4:
Como esta divsién es exacia, el m, €. dies x—4 R
186 @ actora
(3) Hallo, por does assis, ln. dk de Gt FIFA y
Bese oe Bern
¿Cuando ls polinomios dados nen un mme Toto común, debo case ee
facer comin, que er e fodor del md. bando. Se hallo im. € d
Ailes expreines que quden dead de sca el factor común y exe md
malice porel fair comin st el me. à. de ls exponen dedos.
Ms en one Lau, artes poinonios enen ol for comén x. Sacando cto
fecir en coda polnemie, queda:
Gxt — 3x8 42 y Da — Gx? + 107 — 2x +3,
at Get +2 [Bm Eau
a 2
Pas ID Bem 4
‘Ahora dividimos el dvi
dor ene el resi, pero
‘como det no es diviblo + put + 12
for soy ae mai a
foro dvr por y on
remos: 7
re =
DEP TEE
corte em aan RER 1
Dividiendo el residue por —19 queda 3 +1.
DE BA | HE
a ones dre %
Ahora dividimos el divisor entre Te
A ES]
tesiduo. We of
it 4 1 es el m. € d. de las expresionos que quedaran después de socar of
factor comin x.. Entonces, hoy que muliplicar 344 1 por x y el m. c. d. de
los expresiones dados ser
CO
po EJERCICIO 113
os
Hallar, por divisiones sucesivas, el m. €. d. de:
1 Vetj8xtl y 20-503.
2. Gat-2a-20 y Dan.
3. Bat—Gate-tex? y delata,
A Beta? det y tated.
5. Bat-batsHatt-gaxt y Datta
6
7
8
y.
Aast=dex"42Gaxt- ax + 10n y Int d din 16.
A xy ADO y ET
axteBax'—2axsGax—Ba O
| Pme + GS y See? —Gmt-8me—1Om2-+ OM.
PANDA DE bet | DA ND De — 4
10-0 +27 [RE
maximo comu owner — @ 187
10. Bat—Gat4-1da*—20"+6a y Ta? 14at+-Dd09440*—100.
11. A5ax'+ióax"— 180x300 y Pax! +40ax"— 300350.
12 Paie Das 12a y 1ÓxI4Lax*4 1005 40%
13. d+ lara da y 120942 1ax* 0%
14. Bath ita bande y 1900 —18090%4-19028%=(
15. an? 33 RT y Dan ban
16. B-Bettaita y aiabtatel,
Platon.
Mari 18ax48ax 21e,
D. DE TRES O MAS POLINOMIOS POR
DIVISIONES SUCESIVAS
En este caso, igual que en Aritmética, hallamos el m. c. d, de dos de
los polinomios dados; luego el m.c, d. de otro de los polinomios dados y
el m.c.d. hallado anteriormente, y ast sucesivamente. El último m.c.d.
es el m.c.d. de las expresiones dadas.
Hallar, por divisiones sucesivas, ol m. ed. de 24 — 11x24 10x
+8, DH 8x4 y Con Hox + 4.
DEMORA [e a
Hallemos ol m c.d. de loz dos 3 lante
primeras expresiones: 27 Tai EA
2 HARZ
Dt ña [2
Dividiondo el residuo por —6 queda = 20+ 3x +2x x42
2ER
esta exprosión:
Dividiendo el divisor por
_—_
Elm. e, d de los dos primeras expresionos es 2x? — 3x2, Ahoca hallamos em. €.
dl del tercer polinomio dado dan? + Tax +40 y de este m. c.d.
ieee dg OREN (zea
Iidlendo Ga + Max: one o quedo GE eh 4 8
GA Minha Tendremos os TEE
201-410
2682 (ti
“rx x
Dividiondo el residuo por 10 queda 2 1:7 er
act?
Elm. dde los es expesiones dados es 2x4 1. Re
EJERCICIO 114
Hallar, por divisiones sucesivas, el m. d. c. de
PARIO, DEEE On y Dx ibm.
Bet —ny—Dey84 98, Brody y ge
MOOR es
EE text ut
ARMM y Er Pre
Aa ata 2x8
x,
(3) Hallo, por does assis, ln. dk de Gt FIFA y
Bese oe Bern
¿Cuando ls polinomios dados nen un mme Toto común, debo case ee
facer comin, que er e fodor del md. bando. Se hallo im. € d
Ailes expreines que quden dead de sca el factor común y exe md
malice porel fair comin st el me. à. de ls exponen dedos.
Ms en one Lau, artes poinonios enen ol for comén x. Sacando cto
fecir en coda polnemie, queda:
Gxt — 3x8 42 y Da — Gx? + 107 — 2x +3,
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‘Ahora dividimos el dvi
dor ene el resi, pero
‘como det no es diviblo + put + 12
for soy ae mai a
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remos: 7
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Dividiendo el residue por —19 queda 3 +1.
DE BA | HE
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Ahora dividimos el divisor entre Te
A ES]
tesiduo. We of
it 4 1 es el m. € d. de las expresionos que quedaran después de socar of
factor comin x.. Entonces, hoy que muliplicar 344 1 por x y el m. c. d. de
los expresiones dados ser
CO
po EJERCICIO 113
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Hallar, por divisiones sucesivas, el m. €. d. de:
1 Vetj8xtl y 20-503.
2. Gat-2a-20 y Dan.
3. Bat—Gate-tex? y delata,
A Beta? det y tated.
5. Bat-batsHatt-gaxt y Datta
6
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Aast=dex"42Gaxt- ax + 10n y Int d din 16.
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PANDA DE bet | DA ND De — 4
10-0 +27 [RE
maximo comu owner — @ 187
10. Bat—Gat4-1da*—20"+6a y Ta? 14at+-Dd09440*—100.
11. A5ax'+ióax"— 180x300 y Pax! +40ax"— 300350.
12 Paie Das 12a y 1ÓxI4Lax*4 1005 40%
13. d+ lara da y 120942 1ax* 0%
14. Bath ita bande y 1900 —18090%4-19028%=(
15. an? 33 RT y Dan ban
16. B-Bettaita y aiabtatel,
Platon.
Mari 18ax48ax 21e,
D. DE TRES O MAS POLINOMIOS POR
DIVISIONES SUCESIVAS
En este caso, igual que en Aritmética, hallamos el m. c. d, de dos de
los polinomios dados; luego el m.c, d. de otro de los polinomios dados y
el m.c.d. hallado anteriormente, y ast sucesivamente. El último m.c.d.
es el m.c.d. de las expresiones dadas.
Hallar, por divisiones sucesivas, ol m. ed. de 24 — 11x24 10x
+8, DH 8x4 y Con Hox + 4.
DEMORA [e a
Hallemos ol m c.d. de loz dos 3 lante
primeras expresiones: 27 Tai EA
2 HARZ
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Dividiondo el residuo por —6 queda = 20+ 3x +2x x42
2ER
esta exprosión:
Dividiendo el divisor por
_—_
Elm. e, d de los dos primeras expresionos es 2x? — 3x2, Ahoca hallamos em. €.
dl del tercer polinomio dado dan? + Tax +40 y de este m. c.d.
ieee dg OREN (zea
Iidlendo Ga + Max: one o quedo GE eh 4 8
GA Minha Tendremos os TEE
201-410
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Dividiondo el residuo por 10 queda 2 1:7 er
act?
Elm. dde los es expesiones dados es 2x4 1. Re
EJERCICIO 114
Hallar, por divisiones sucesivas, el m. d. c. de
PARIO, DEEE On y Dx ibm.
Bet —ny—Dey84 98, Brody y ge
MOOR es
EE text ut
ARMM y Er Pre
Aa ata 2x8
x,
JELA DE BAGDAD (Sister IK al XID) Les cnibió el primer libro
cron los verdaderos cistomatiradores del Alc esta ciencia. Al Data
‘A lines de Siglo Vil Moree la Escuto ‘gebra à problemas
1 pertenecían
dayyane A Dual, pora del tila 1K, nr
MINIMO COMUN MULTIPLO
168) COMUN MULTIPLO de dos o más expı
presión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las
expresiones dadas.
Asi, Ba? es común múltiplo de 2a? y 4e'b porque 8a%%* cs divisible
exactamente por 2a? y por 4a'b; 3x?—9x + 6 es común múltiplo de x—2 y
ble exactamente por x~2 y por
MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más expresiones algebraicas
la expresión algebraica de menor cocficiente numérico y de menor
grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas,
Así, el m.c.m. de da y Ga? es 120°; el m.c.m. de 23°, 6x7 y Dx! cs 18%.
La teoría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y
ecuaciones.
I. M.C.M. DE MONOMIOS
en
(170) REGLA a
“7 Se halla el m.¢.m, de los coeficientes y a continuación de Éste se es-
exiben todas las letras distintas, scan o no comunes, dando a cada letra el
mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
188
‘nano comun mutrine 0 189
(1) Hallar em cm. de ant of
Tomamos 0 con su mayor exponento oy x con su mayor
cxponente y fondremos: mo me RO
Dobie
Vo = Po,
Elm. e. m do los coofiientes es 203, A continvaci6n excbinos à con su
‘mayor exponente ©, con su mayor exponente be y € unser
10e
(3) Holler ef mc m. de > dome
oats, Bote? y 24m, Mme
(2) Hallar el mec m. de Bobte y 126
MR = IA, A
@ EJERCICIO 115
Hallar el m. com, de:
Lat, ab 14, axe, atey, ana,
En Th da cor oe
3. adhe athe, 18. Axt, Gxt, De
4 abet abe, 1%. Bath, 12M, 1800185,
5. Gun, dm. 18 10m 15m, Bor
8. ere, Tex, 10. 1800, 240%, Nabe,
Tay abi, ob 20. 20m'n, Dion, don
gi M. abe, bé, ara, bie
9. Zube, dad, Bat. 22. Bey, Ba daten, 1908,
10. Beh, acy, Ge 29 Gus Où le Add.
31. Gm Om, 1emtn. 28. Lon’ 100%, 200 Sonn,
RES 2, Deren, Dont 40
Bx?) 102), Lat, 20. at, Bab, 100%, 12003, 160%,
Il, MC. M. DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
171) REGLA
Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El
Am, € m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con
mayor exponente.
(1) Hallar el mc m. de 6, 3-3,
Doscomponiendo:
(2) Hollor el mc: m. de Vo, 7:21.
Descomponiendo:
cron los verdaderos cistomatiradores del Alc esta ciencia. Al Data
‘A lines de Siglo Vil Moree la Escuto ‘gebra à problemas
1 pertenecían
dayyane A Dual, pora del tila 1K, nr
MINIMO COMUN MULTIPLO
168) COMUN MULTIPLO de dos o más expı
presión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las
expresiones dadas.
Asi, Ba? es común múltiplo de 2a? y 4e'b porque 8a%%* cs divisible
exactamente por 2a? y por 4a'b; 3x?—9x + 6 es común múltiplo de x—2 y
ble exactamente por x~2 y por
MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más expresiones algebraicas
la expresión algebraica de menor cocficiente numérico y de menor
grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas,
Así, el m.c.m. de da y Ga? es 120°; el m.c.m. de 23°, 6x7 y Dx! cs 18%.
La teoría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y
ecuaciones.
I. M.C.M. DE MONOMIOS
en
(170) REGLA a
“7 Se halla el m.¢.m, de los coeficientes y a continuación de Éste se es-
exiben todas las letras distintas, scan o no comunes, dando a cada letra el
mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
188
‘nano comun mutrine 0 189
(1) Hallar em cm. de ant of
Tomamos 0 con su mayor exponento oy x con su mayor
cxponente y fondremos: mo me RO
Dobie
Vo = Po,
Elm. e. m do los coofiientes es 203, A continvaci6n excbinos à con su
‘mayor exponente ©, con su mayor exponente be y € unser
10e
(3) Holler ef mc m. de > dome
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(2) Hallar el mec m. de Bobte y 126
MR = IA, A
@ EJERCICIO 115
Hallar el m. com, de:
Lat, ab 14, axe, atey, ana,
En Th da cor oe
3. adhe athe, 18. Axt, Gxt, De
4 abet abe, 1%. Bath, 12M, 1800185,
5. Gun, dm. 18 10m 15m, Bor
8. ere, Tex, 10. 1800, 240%, Nabe,
Tay abi, ob 20. 20m'n, Dion, don
gi M. abe, bé, ara, bie
9. Zube, dad, Bat. 22. Bey, Ba daten, 1908,
10. Beh, acy, Ge 29 Gus Où le Add.
31. Gm Om, 1emtn. 28. Lon’ 100%, 200 Sonn,
RES 2, Deren, Dont 40
Bx?) 102), Lat, 20. at, Bab, 100%, 12003, 160%,
Il, MC. M. DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
171) REGLA
Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El
Am, € m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con
mayor exponente.
(1) Hallar el mc m. de 6, 3-3,
Doscomponiendo:
(2) Hollor el mc: m. de Vo, 7:21.
Descomponiendo:
190 @ aura
(3) Hallar el mcm. de 15%, 108 45x AS
Como 1543 está contenido en 45x, prescindimos de 13%.
Doscompaniando: Bath = ath
40% = ka = Halo? — 1]
bot = 12946 ao —1F
men=2330'b(0—1Plo +1)
(5) Hallar lm. e. m..da 240%, 184, 20 + 2x? —40%, Bxt — 20042,
Lal = 2930s
lo +1lo—1)
lc Hölle 4)
ASS)
= EJERCICIO 116
Hallar el m. cm. der
Y a des 1 a un,
ADA, abe 18 a8 58, Sat,
3 is BEI Saison.
4 16. 10, 65%, Says.
5 IT de ad, ys)
& 18 28 Omi ibm, Sm-21-
7. 19, 22469, dax 3a, x—18.
8 20, e, sd
©. 10. 5 Bh. Gab, ANY ED, Dat Tea.
10. Sa", dax 1207. 22. Dr, 9130 lx, del Bet
IN al dit t ns xt.
12. mn, M$, mn m BA Bet, y, DEA.
90. ant, Qn, MS, ax
26, Bed, eat Ox, Det Brin, AF BIH x,
AT. 30, PHD, Bete, Gto,
2G aji, Bed, ah Dab+DA, as—at bob,
20. 2 ib, Garb, 120*—2ab +121, Sad? 50%.
30. De, REND. CL THAAD, Abla
II. M,C.M, DE POLINOMIOS
(172) La regla es la misma del caso anterior.
(1) Halo ot mec. m. de dant —Boxy + oy? Ohr — by
2otbla = 1F(o +11.
minima conun Mucrinio) @ 19]
(2) Hallar ef m. com. de x% ch 2bx#, xy = db, xy" 4 bay? > ABE,
re)
ay te 48) (+ 2 Ix —
Py edb A PA + o RN >
22 R |
(3) Hallar ol m. m. do mn, mn 408 à nt 92,
aim nl
(m nin =}
Bele Gl bail A
(4) Hollor el mem. de [= BF, o? —6%, (a+ D} dt + be
El olumno debe notar que no es lo mismo coodrado de uno diferencia
do de cuadrados nf os lo mi dans sm ad
deren de curas ies lo mismo cuodado de un umo que ma de
CE
= [e+ Blob}
lets = (04+ bP
ote bt (ot kb
malo FSM SSOP HEAT RT)
(5) Halor ol mem. de (4 1P, +1, 23.
El lomo debo rotor que no e I mimo suma de cubos que cubo de u
Iria
Al)
EN]
SS
(6) Hallar of m.c.m. de (x= y, 2, ya? à Box + ol,
El olomo debo notar que no es lo mismo cubo de una diferencia
E chores au jsmo cubo de una diferencia que die
by
ny? tay ty)
EE
E
ler)
+ y
Tab + 1800+ De
O +)
TEE RTL ET PET)
Var RD. Re
(3) Hallar el mcm. de 15%, 108 45x AS
Como 1543 está contenido en 45x, prescindimos de 13%.
Doscompaniando: Bath = ath
40% = ka = Halo? — 1]
bot = 12946 ao —1F
men=2330'b(0—1Plo +1)
(5) Hallar lm. e. m..da 240%, 184, 20 + 2x? —40%, Bxt — 20042,
Lal = 2930s
lo +1lo—1)
lc Hölle 4)
ASS)
= EJERCICIO 116
Hallar el m. cm. der
Y a des 1 a un,
ADA, abe 18 a8 58, Sat,
3 is BEI Saison.
4 16. 10, 65%, Says.
5 IT de ad, ys)
& 18 28 Omi ibm, Sm-21-
7. 19, 22469, dax 3a, x—18.
8 20, e, sd
©. 10. 5 Bh. Gab, ANY ED, Dat Tea.
10. Sa", dax 1207. 22. Dr, 9130 lx, del Bet
IN al dit t ns xt.
12. mn, M$, mn m BA Bet, y, DEA.
90. ant, Qn, MS, ax
26, Bed, eat Ox, Det Brin, AF BIH x,
AT. 30, PHD, Bete, Gto,
2G aji, Bed, ah Dab+DA, as—at bob,
20. 2 ib, Garb, 120*—2ab +121, Sad? 50%.
30. De, REND. CL THAAD, Abla
II. M,C.M, DE POLINOMIOS
(172) La regla es la misma del caso anterior.
(1) Halo ot mec. m. de dant —Boxy + oy? Ohr — by
2otbla = 1F(o +11.
minima conun Mucrinio) @ 19]
(2) Hallar ef m. com. de x% ch 2bx#, xy = db, xy" 4 bay? > ABE,
re)
ay te 48) (+ 2 Ix —
Py edb A PA + o RN >
22 R |
(3) Hallar ol m. m. do mn, mn 408 à nt 92,
aim nl
(m nin =}
Bele Gl bail A
(4) Hollor el mem. de [= BF, o? —6%, (a+ D} dt + be
El olumno debe notar que no es lo mismo coodrado de uno diferencia
do de cuadrados nf os lo mi dans sm ad
deren de curas ies lo mismo cuodado de un umo que ma de
CE
= [e+ Blob}
lets = (04+ bP
ote bt (ot kb
malo FSM SSOP HEAT RT)
(5) Halor ol mem. de (4 1P, +1, 23.
El lomo debo rotor que no e I mimo suma de cubos que cubo de u
Iria
Al)
EN]
SS
(6) Hallar of m.c.m. de (x= y, 2, ya? à Box + ol,
El olomo debo notar que no es lo mismo cubo de una diferencia
E chores au jsmo cubo de una diferencia que die
by
ny? tay ty)
EE
E
ler)
+ y
Tab + 1800+ De
O +)
TEE RTL ET PET)
Var RD. Re
192 © avcrona
(8) Hollor el mem.
Brees
== 28° 4) = Daho + 21002)
But + Bel 1 = Bela? + x — 6)
224104 Me =20(0 + 548
Eee en
nem = 60
o lo que es igual 23
mE
EJERCICIO 117
Hallar el m. cm. de:
1. Bed, 6-6. 2
2 Bet, 10940. 13
3. by, oe, a
Lo ate, te, 15
5 das abs, deL EDO, 16 et dan dax
e o
e 18. E EN
E Be Naeh, 10. Bann, hen
D. Gal 20. aim)”, zit
10. Gall wenn, a. Bae, 0
iL Bae, Gey Ba e a, Po
2 Laa, tax
2 2046, Bob Tat, A+ 120
de. 10410, Lox 15, Sab
25. aorta y S439,
2. soda, ©
28 2-35, 01
29. Bab abs, al Ged™4Gabi, ab? bi,
30. Smét2rn, deb, Gon doar.
A 0, 15), TUR
30. eee) A aoe, uE
OA, SEI, Bas IDE di.
Gn 0-de, 19-126.
Bs. Anc, 195010, o,
30 Bomb,
31. 180°} 00%0-450x, Bex 20a, 1baPR 4 Tax 1502s
3% Wat, 16H, 168 a,
3. Let (La 140%,
30. Breed, BONE Em, 100116.
31. Gat pab= 2, 1502+ab-FAUS, 1004 gab
$2) ccoo 252, Ita h 298, O
30. O Sate dates) 1
de rie a Raa, Dan,
Bere Heid, he
46. 100 Ima, 10d 12,
4% As lab 63), Matta.
48 AT
de 20-8, Bett Se BE, 2012
FRACCIONES ALGEBRAICAS. REDUCCION DE FRACCIONES
(173) FRACCION ALGEBRAICA es el cociente indicado de dos expresiones
algebraicas
© es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la
expresión a (dividendo) entre la expresión b (divisor).
El dividendo a se llama numerador de la fracción algebraica, y el di
visor b, denominador, EI numerador y el denominador son los términos
de la fracción.
(ma) Expresión algebraica entera cs la que no tiene denominador literal
y
Ash a xy. mem, a+ Ed son expresiones entras.
Una expresión entera puede considerarse como una fracción de deno-
aaa
Een
b
Ast, a4 y eS son expresiones mixtas.
193
(8) Hollor el mem.
Brees
== 28° 4) = Daho + 21002)
But + Bel 1 = Bela? + x — 6)
224104 Me =20(0 + 548
Eee en
nem = 60
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EJERCICIO 117
Hallar el m. cm. de:
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FRACCIONES ALGEBRAICAS. REDUCCION DE FRACCIONES
(173) FRACCION ALGEBRAICA es el cociente indicado de dos expresiones
algebraicas
© es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la
expresión a (dividendo) entre la expresión b (divisor).
El dividendo a se llama numerador de la fracción algebraica, y el di
visor b, denominador, EI numerador y el denominador son los términos
de la fracción.
(ma) Expresión algebraica entera cs la que no tiene denominador literal
y
Ash a xy. mem, a+ Ed son expresiones entras.
Una expresión entera puede considerarse como una fracción de deno-
aaa
Een
b
Ast, a4 y eS son expresiones mixtas.
193
194 @ — accrara
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS FRACCIONES
Los siguientes principios demostrados en Aritmética se aplican igual-
mente a las fracciones algebraicas y son de capital importa
1) Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide
por una cantidad, la fracción queda multiplicada en el primer caso y divi-
dida en el segundo por dicha can
2) Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o di-
vide por una cantidad, la fracción queda dividida en el primer caso y mul-
üplicada en el segundo por dicha cantidad.
3) Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se
multiplican o dividen por una misma cantidad, la fracción no se altera.
SIGNO DE LA FRACCION Y DE SUS TERMINOS
En una fracción algebraica hay que considerar tres signos: El signo
de la fracción, el signo del numerador y el signo del denominador.
El signo de la Fracción es el signo + o — escrito delante de la raya de
la fracción. Cuando delante de la raya no hay ningún signo, se sobren-
tiende que el signo de la fracción es +.
Asi, en la fracción <> el siguo de la fracción es
rador es + y el signo del denominador +.
En la fracción — © el signo de la fracción es —, el signo del nume-
rador — y el signo det denominador +,
+ el signo det nume-
CAMBIOS QUE PUEDEN HACERSE EN LOS SIGNOS DE UNA
FRACCION SIN QUE LA FRACCION SE ALTERE
Designando por m el cociente de divi-
a entre b se tendrá según la Ley de los
Signos de la división:
md)
ele
y por tanto,
Cambiando el signo a los dos miembros
de estas dos últimas igualdades, tenemos: 7
Como (1), (2), (3) y () tienen el segundo
miembro igual, los primeros miembros son iguales q
y tenemos: E,
Lo anterior nos dice que
1) Si se cambia el signo del mumerador y el signo del denominador
de una fracción, la fracción no se altera.
rancctones. campos estemos: @ 195
2) Si se cambia el signo del numerador y el signo de la fracción, la
fracción no se altera,
3) Si se cambia el signo del denominador y el signo de la fracción
la fracción no se altera.
En resumen: Se pueden cambiar dos de los tres signos que hay que
considerar en una tracción, sin que ésta se altere.
((80) cambio DE SIGNOS CUANDO LOS TERMINOS
DE LA FRACCION SON POLINOMIOS
Cuando el numerador o denominador de la fracción es un polinomio,
para cambiar el signo al mumerador o a] denominador hay que cambiar el
signo a cada uno de los términos del polinomio.
mon
Asi, Si en la frac
Tay Gmbiumos el signo al mnt} A
denominador la fracción no varia, pero para cambiar el signo a m—n hay
que cambiar el signo de m y de —n y quedará — m n= nm, y para cam
biar el signo a x—y hay que cambiar el signo de x y de —y y quedará
=x-by=y—x y tendremos:
ago
Si en la fracción “> cambiamos el signo del
numerador y de 13 fracción, ésta no se altera y
tendremos: 2
Del propio modo, si en la fracción
Te
ambiamos el signo al denominador y a la
Iracción, ésta no varía y tendremos: 2
(En Ja práctica, el paso intermedio se suprime).
_ ¿De acuerdo con lo anterior, la fracción
puede escribirse de los cuatro modos
ns etes de”
(181) cAmnio DE SIGNOS CUANDO EL NUMERADOR
— © DENOMINADOR SON PRODUCTOS INDICADOS
Cuando uno o ambos términos de una fracción son productos indica:
dos, se pueden hacer los siguientes cambios de signos, de acuerdo con las
¡lx anteriores, sin que la fracción se altere:
1) Se puede cami
signo de la fracción.
el signo a un número par de factores sin Can:
bi
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS FRACCIONES
Los siguientes principios demostrados en Aritmética se aplican igual-
mente a las fracciones algebraicas y son de capital importa
1) Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide
por una cantidad, la fracción queda multiplicada en el primer caso y divi-
dida en el segundo por dicha can
2) Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o di-
vide por una cantidad, la fracción queda dividida en el primer caso y mul-
üplicada en el segundo por dicha cantidad.
3) Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se
multiplican o dividen por una misma cantidad, la fracción no se altera.
SIGNO DE LA FRACCION Y DE SUS TERMINOS
En una fracción algebraica hay que considerar tres signos: El signo
de la fracción, el signo del numerador y el signo del denominador.
El signo de la Fracción es el signo + o — escrito delante de la raya de
la fracción. Cuando delante de la raya no hay ningún signo, se sobren-
tiende que el signo de la fracción es +.
Asi, en la fracción <> el siguo de la fracción es
rador es + y el signo del denominador +.
En la fracción — © el signo de la fracción es —, el signo del nume-
rador — y el signo det denominador +,
+ el signo det nume-
CAMBIOS QUE PUEDEN HACERSE EN LOS SIGNOS DE UNA
FRACCION SIN QUE LA FRACCION SE ALTERE
Designando por m el cociente de divi-
a entre b se tendrá según la Ley de los
Signos de la división:
md)
ele
y por tanto,
Cambiando el signo a los dos miembros
de estas dos últimas igualdades, tenemos: 7
Como (1), (2), (3) y () tienen el segundo
miembro igual, los primeros miembros son iguales q
y tenemos: E,
Lo anterior nos dice que
1) Si se cambia el signo del mumerador y el signo del denominador
de una fracción, la fracción no se altera.
rancctones. campos estemos: @ 195
2) Si se cambia el signo del numerador y el signo de la fracción, la
fracción no se altera,
3) Si se cambia el signo del denominador y el signo de la fracción
la fracción no se altera.
En resumen: Se pueden cambiar dos de los tres signos que hay que
considerar en una tracción, sin que ésta se altere.
((80) cambio DE SIGNOS CUANDO LOS TERMINOS
DE LA FRACCION SON POLINOMIOS
Cuando el numerador o denominador de la fracción es un polinomio,
para cambiar el signo al mumerador o a] denominador hay que cambiar el
signo a cada uno de los términos del polinomio.
mon
Asi, Si en la frac
Tay Gmbiumos el signo al mnt} A
denominador la fracción no varia, pero para cambiar el signo a m—n hay
que cambiar el signo de m y de —n y quedará — m n= nm, y para cam
biar el signo a x—y hay que cambiar el signo de x y de —y y quedará
=x-by=y—x y tendremos:
ago
Si en la fracción “> cambiamos el signo del
numerador y de 13 fracción, ésta no se altera y
tendremos: 2
Del propio modo, si en la fracción
Te
ambiamos el signo al denominador y a la
Iracción, ésta no varía y tendremos: 2
(En Ja práctica, el paso intermedio se suprime).
_ ¿De acuerdo con lo anterior, la fracción
puede escribirse de los cuatro modos
ns etes de”
(181) cAmnio DE SIGNOS CUANDO EL NUMERADOR
— © DENOMINADOR SON PRODUCTOS INDICADOS
Cuando uno o ambos términos de una fracción son productos indica:
dos, se pueden hacer los siguientes cambios de signos, de acuerdo con las
¡lx anteriores, sin que la fracción se altere:
1) Se puede cami
signo de la fracción.
el signo a un número par de factores sin Can:
bi
196 @ ararora
Así, dada la fracción ** podemos escribir:
5
ab io ajo
= E En
ab ay a
EN
a Een
a
En los cuatro primeros ejemplos cambiamos el signo a dos factotes;
en el último, a cuatro factores, número par en todos los casos, y el signo
de la fracción mo se ha cambiado,
2) Se puede cambiar el signo a un número impar de factores cum-
biando el signo de la fracción.
Así, dada la fracción = podemos escribir:
ab yo ab ab
ey >. AN
a tb ab (a
D TI y en
En los dos primeros ejemplos cambiamos el signo a un factor; en los
dos ültimos ejemplos cambiamos el signo a tres factores, número impar en
todos los casos, y en todos los casos cambiamos el signo de la fracción.
(82) Ant los principi |
pliquemos los principios anteriores a I facción >.
Como estos factores son binomios, para cambiar el signo de cualquie-
ra de ellos hay que cambiar el signo a sus dos términos.
Tendremos:
(ADA) _ 0 (Da _ Aa)
(=e) Gt AYE) we
(@-N@-2) (aa) laa) BO
o
Estos principios son de suma importancia para simplificar fracciones
y efectuar operaciones con ellas.
smeuneacion br rracciomes © 197
REDUCCION DE FRACCIONES
GE) asoucin una FRACCION ALGEBRAICA à am
cambiar su valor.
su forma sin
1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
(Dsmeunican una accion acta cree Au
fracción equivalente cuyos términos scan primos entre sí.
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción
es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expre-
sión o a su mínima expresión,
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS
TERMINOS SEAN MONOMIOS
REGLA
Se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes
hasta que scan primos entre si.
Ejemplos | (1) Sim en
R
A be 2b
Tondhemos m To. Som
Hamas dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; a y at entro o y obtuvimos
los cocientes 1 y ay bY y B? ante bi y obtuvimos los cocientes bt y 1. Como.
28% y 3am no tenen ningún factor común, esta fracción que reslla ei
irreducible.
Dy?
(2) Simplficar
Dividimos 9 y 36 entre 9 x* y x% entre x4; y? 0 y? entre y.
Obsörvese que cuando al simplificar desaparecen todos los factores del nu
marodor, queda en el numerador 1, que no puedo suprimirso. Si desaporecen
todos los factores del denominador, queda en éste 1, que puedo. suprimir,
El resultado os una expresión entera.
= EJERCICIO 1
Simplificar o reducir a su más simple expr
a y de rl ax
5 DD Nele
os
dey
Así, dada la fracción ** podemos escribir:
5
ab io ajo
= E En
ab ay a
EN
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a
En los cuatro primeros ejemplos cambiamos el signo a dos factotes;
en el último, a cuatro factores, número par en todos los casos, y el signo
de la fracción mo se ha cambiado,
2) Se puede cambiar el signo a un número impar de factores cum-
biando el signo de la fracción.
Así, dada la fracción = podemos escribir:
ab yo ab ab
ey >. AN
a tb ab (a
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En los dos primeros ejemplos cambiamos el signo a un factor; en los
dos ültimos ejemplos cambiamos el signo a tres factores, número impar en
todos los casos, y en todos los casos cambiamos el signo de la fracción.
(82) Ant los principi |
pliquemos los principios anteriores a I facción >.
Como estos factores son binomios, para cambiar el signo de cualquie-
ra de ellos hay que cambiar el signo a sus dos términos.
Tendremos:
(ADA) _ 0 (Da _ Aa)
(=e) Gt AYE) we
(@-N@-2) (aa) laa) BO
o
Estos principios son de suma importancia para simplificar fracciones
y efectuar operaciones con ellas.
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REDUCCION DE FRACCIONES
GE) asoucin una FRACCION ALGEBRAICA à am
cambiar su valor.
su forma sin
1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
(Dsmeunican una accion acta cree Au
fracción equivalente cuyos términos scan primos entre sí.
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción
es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expre-
sión o a su mínima expresión,
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS
TERMINOS SEAN MONOMIOS
REGLA
Se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes
hasta que scan primos entre si.
Ejemplos | (1) Sim en
R
A be 2b
Tondhemos m To. Som
Hamas dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; a y at entro o y obtuvimos
los cocientes 1 y ay bY y B? ante bi y obtuvimos los cocientes bt y 1. Como.
28% y 3am no tenen ningún factor común, esta fracción que reslla ei
irreducible.
Dy?
(2) Simplficar
Dividimos 9 y 36 entre 9 x* y x% entre x4; y? 0 y? entre y.
Obsörvese que cuando al simplificar desaparecen todos los factores del nu
marodor, queda en el numerador 1, que no puedo suprimirso. Si desaporecen
todos los factores del denominador, queda en éste 1, que puedo. suprimir,
El resultado os una expresión entera.
= EJERCICIO 1
Simplificar o reducir a su más simple expr
a y de rl ax
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198 @ acciona
sms 2x Box Poren
7 oy 10. . 16.
Bante u A Gun Co
mayas ron oot Isso
Etica i. ap ae
Y aya atan MM ioe pane
120 days Marine Gata
3 15 5.
Ge DT Gebe Tonesmtnt”
Cd simeuricacion DE FRACCIONES CUYOS
TERMINOS SEAN POLINOMIOS
REGLA
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se supri-
men los factores comunes al numerador y denominador. 1
(1) Simplilicar ag
Factorando el denominador, so fono:
20 Zur a
40? —40b dojo —b) 210 Dj
Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y 0? y o entre a.
sep
I Spor Sat
Fectorande:
ep ane 1
Uy 60 LI)
esté
al
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ox be
bot +27
AR
80 +7
WERNER?
13) Simplificar
(4) Simplificas
ola + Ste~5)
summuinicacion ox rmaccionts 0199
By -+3-37
Tee 1 = 6x"
Bay =D +3 Hy Dry) M2 ysl
CHE Ali) Be 7M2e 9) Det]
(6) Simpllicor
ey
ARE
Be = VR dy RAR]
(7) Simplificor
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Pd? ER A REN
re lo? — 10? + 20-3)
taa ela a
ser 204 Ila? + da #3
{a — 1)lo® + 20 — 3) da+1{a— a+ 3)e—1) |
lo? — 2a + 1 (a + 40 +3} lo—1P{o+3le+1]
ct AAN SK +3
(9) San er
Detcomposiendo por exolación ae Hen:
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AA ze F3
EJERCICIO 119
Simpliicar o reducir a su más simple expresión:
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OS NET ón Der
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5397 Ay TOS
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5 Jay+6by 2125 mnt
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TERMINOS SEAN POLINOMIOS
REGLA
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se supri-
men los factores comunes al numerador y denominador. 1
(1) Simplilicar ag
Factorando el denominador, so fono:
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Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y 0? y o entre a.
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Fectorande:
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13) Simplificar
(4) Simplificas
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(9) San er
Detcomposiendo por exolación ae Hen:
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EJERCICIO 119
Simpliicar o reducir a su más simple expresión:
ab a. Ibn Gob in. Petty dba
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5397 Ay TOS
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swruirteacion oe rracciomts © 20]
Ga) simeuiricacion DE FRACCIONES. CASO EN QUE HAY
QUE CAMBIAR EL SIGNO A UNO O MAS FACTORES
Ejemplos | (1) Simp TT.
a
a
a
%
20-26 Zlob) __2la—b)_ 2
Bde Mb ob 3
AN descomponer vemos que no hay simplificación porque el lector a b) del
numerador es disimo del focor (ba) del denominador, pero combi
el signo à {b—a) se convierto on lo— bl y este lactor se cancele con al
{ob} del numerador, paro como le hemos cambiado ol signo a un foco
(námero impor} hoy que cambior ol signo de a fracción, pato que ésto no
varie y por eso ponemos — delente de lo facción
ot Va
Boye ty
aa MO) all) wir
RP ay Bab MM x
Le combiamos el signo al factor [3 ~ 4 convitiéndolo on (x — 3 que se can
cela con el (x3) del numerador, y también le cambiemos el signo al factor
Is) quo so convieto en = x. Como le hemes cambiado el sigh 0
dos Factores [ndmoro par} ol signo de la frocción no se cambia,
Si lo combiomos ol signo solamente a [3—21 hay que cambiarl
la fracción, y tendremos:
ode al)
Y ARA
Ambas soluciones son legtimas.
Descomponiendo:
Simplificor
el sono al
al) a
oa A
2a boa
ar
240-3 Modo} _ Mose) | 249
Te "notre eurer Thora
implicar LA #4
eo
act ae ee > har ae
Am a re rem | Uh
Aqui le combiomos el signo al factor {2—x) y a la fracción.
También, como la descomposición del trinomio cuadrado perfecto. x? — 4x + 4
puedo oscíbino (x—2F o x, usando esto última formo, tondremos:
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Ga) simeuiricacion DE FRACCIONES. CASO EN QUE HAY
QUE CAMBIAR EL SIGNO A UNO O MAS FACTORES
Ejemplos | (1) Simp TT.
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20-26 Zlob) __2la—b)_ 2
Bde Mb ob 3
AN descomponer vemos que no hay simplificación porque el lector a b) del
numerador es disimo del focor (ba) del denominador, pero combi
el signo à {b—a) se convierto on lo— bl y este lactor se cancele con al
{ob} del numerador, paro como le hemos cambiado ol signo a un foco
(námero impor} hoy que cambior ol signo de a fracción, pato que ésto no
varie y por eso ponemos — delente de lo facción
ot Va
Boye ty
aa MO) all) wir
RP ay Bab MM x
Le combiamos el signo al factor [3 ~ 4 convitiéndolo on (x — 3 que se can
cela con el (x3) del numerador, y también le cambiemos el signo al factor
Is) quo so convieto en = x. Como le hemes cambiado el sigh 0
dos Factores [ndmoro par} ol signo de la frocción no se cambia,
Si lo combiomos ol signo solamente a [3—21 hay que cambiarl
la fracción, y tendremos:
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Ambas soluciones son legtimas.
Descomponiendo:
Simplificor
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Aqui le combiomos el signo al factor {2—x) y a la fracción.
También, como la descomposición del trinomio cuadrado perfecto. x? — 4x + 4
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(88) SIMPLIFICACION DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS
NO PUEDEN FACTORARSE FACILMENTE
ora sie
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Splice Peer
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Ahora dividimos los dos términos de la fracción por su m.
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Dt + 6x9 — DE + Se
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B EJERCICIO 121
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y pata o
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y Beets asta? oxida y. Sestat—dat—202 11006
Bax dex paras da ME
a SRH 10. LOA,
OEIL ID | Be GT
Fe PP mue
AA TA
a atra eats 19 ERA Rotor —50 8
Case ren Reha" HOA daa 16
ll, REDUCIR UNA FRACCION A TERMINOS MAYORES
(189) Se trata de convertir una fracción en otra fracción equivalente de nu.
~~ merador o denominador dado, siendo el nuevo numerador o denomi-
nador múltiplo del numerador o denominador de la fracción data,
(1) Roduce 2 0 race equivalent de numerdr ot
Bu
=
ora que 20 se covista en 60% hoy que mulilicarlo por 6st-+ 20d,
luego para que la fracción no varie hoy que multiplicar el denominador por
3a: 2h X 3a = ob, luego El
20 _ do
3 Ge
La fracción obtenida os equivalente a la fracción dada porque una fracción
no varía si sus dos términos so muliplican por uno misma cantidad.
(2) Convenir on frcción equivalent de denominador 200
Pora que dy! se convierta en 200%)! hay que multiplieatlo por 20a%y*~+ Ay) = aby,
luego pera que la fracción no varie hoy que muliplicor el numerador. por Sa?
5X Saty = 280%, lvego
5 2e
CET
@ EJERCICIO 120
Kor
OFF
Saab
bd-ad-be+ac"
a
en 15.
GF
si
Me
e en a
ate on Beate
© aya a Di
Ds à À go, BOA BOE
> pra cosy
8e y et op, Benton
Tas Br an BD
tot „ao ap, Crea).
8 aja 1 Gr Boy
ayi Pe) mn ey
0% 10. = Some
o Gant 3b gp, FED)
Wii Ceres CETTE)
(88) SIMPLIFICACION DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS
NO PUEDEN FACTORARSE FACILMENTE
ora sie
Hällese el m. c.d. del numerador y denominador por divisiones suce-
vas y dividanse numerador y denominador por su m. ¢.d.
R A St — 84208 — 5
Splice Peer
Hollando el m. c. d. del numerador y denominador por divisones suces
50 hallo que ol m. c. d. os x(x? —2x + 5) = 38 — 2a? 4 5x.
Ahora dividimos los dos términos de la fracción por su m.
tendremos
2 DEA 5x8 — x + Da? — 5x
Dt + 6x9 — DE + Se
IN
FEAPS ETT
Ejemplo
de BES
[ee
He
Swptiricacion oF pmacciones @ 203
B EJERCICIO 121
‚Simplificar Ins fracciones siguientes hallando el m.c.d. de los dos
un
Y erh y Tort
AS rae
y pata o
AS Bm imitans
y Beets asta? oxida y. Sestat—dat—202 11006
Bax dex paras da ME
a SRH 10. LOA,
OEIL ID | Be GT
Fe PP mue
AA TA
a atra eats 19 ERA Rotor —50 8
Case ren Reha" HOA daa 16
ll, REDUCIR UNA FRACCION A TERMINOS MAYORES
(189) Se trata de convertir una fracción en otra fracción equivalente de nu.
~~ merador o denominador dado, siendo el nuevo numerador o denomi-
nador múltiplo del numerador o denominador de la fracción data,
(1) Roduce 2 0 race equivalent de numerdr ot
Bu
=
ora que 20 se covista en 60% hoy que mulilicarlo por 6st-+ 20d,
luego para que la fracción no varie hoy que multiplicar el denominador por
3a: 2h X 3a = ob, luego El
20 _ do
3 Ge
La fracción obtenida os equivalente a la fracción dada porque una fracción
no varía si sus dos términos so muliplican por uno misma cantidad.
(2) Convenir on frcción equivalent de denominador 200
Pora que dy! se convierta en 200%)! hay que multiplieatlo por 20a%y*~+ Ay) = aby,
luego pera que la fracción no varie hoy que muliplicor el numerador. por Sa?
5X Saty = 280%, lvego
5 2e
CET
u
3
lara que x-3 se convierto en x?—x—6 hoy que mulipliearlo por
LÉ=x—6)=Ix—3)=10+2, luego el numerador hoy que muliplicarlo por
x2, y tendromos:
#22 (x= 2x +2) _
x=3 ré
EJERCICIO 122
Completa:
a= D Sp RTE
whee re
a ee
CR anes
ch D nur ze
en Am
REDUCIR UNA FRACCION A EXPRESION
ENTERA O MIXTA
e)
mixta aplicamos la siguient
del residuo no sea di
Como una fracción representa la división indicada del numerador en-
tre el denominador, para reducir una fracción a expresión entera o
REGLA
Se divide el mumerador entre el denominador.
Si la división es exacta, la fracción equivale a una expresión enter
Si la división no es exacta, se continúa hasta que el primer térmi
ble por el primer término del divisor y se añáde
Rrpuccion a roma mixra 0 205
al cociente una fracción cuyo numerador es el residuo y cuyo denominador
es el divisor.
(3) Reducir opreión ner FE,
Dividiendo cada término del numerador por el denominador, so tiene:
42) Reducir a expresión mixta
Dividiendo ol numerador por ol denominador:
Bon | 3
30 ade
1204
mor
30! 120 — 4 = 0 — a +
Combiondo el signo al numerador — 4 y cambiando el signo a la fracción,
tendremos:
Cambiando al signo ol numerador (a cado uno de sus términos) y a la frac:
ción, tendremos:
m EJERCICIO 123
Reducir a expresión entera o mixta:
ee +3 y eHse-e
1 >
Za EN x Ga
3
lara que x-3 se convierto en x?—x—6 hoy que mulipliearlo por
LÉ=x—6)=Ix—3)=10+2, luego el numerador hoy que muliplicarlo por
x2, y tendromos:
#22 (x= 2x +2) _
x=3 ré
EJERCICIO 122
Completa:
a= D Sp RTE
whee re
a ee
CR anes
ch D nur ze
en Am
REDUCIR UNA FRACCION A EXPRESION
ENTERA O MIXTA
e)
mixta aplicamos la siguient
del residuo no sea di
Como una fracción representa la división indicada del numerador en-
tre el denominador, para reducir una fracción a expresión entera o
REGLA
Se divide el mumerador entre el denominador.
Si la división es exacta, la fracción equivale a una expresión enter
Si la división no es exacta, se continúa hasta que el primer térmi
ble por el primer término del divisor y se añáde
Rrpuccion a roma mixra 0 205
al cociente una fracción cuyo numerador es el residuo y cuyo denominador
es el divisor.
(3) Reducir opreión ner FE,
Dividiendo cada término del numerador por el denominador, so tiene:
42) Reducir a expresión mixta
Dividiendo ol numerador por ol denominador:
Bon | 3
30 ade
1204
mor
30! 120 — 4 = 0 — a +
Combiondo el signo al numerador — 4 y cambiando el signo a la fracción,
tendremos:
Cambiando al signo ol numerador (a cado uno de sus términos) y a la frac:
ción, tendremos:
m EJERCICIO 123
Reducir a expresión entera o mixta:
ee +3 y eHse-e
1 >
Za EN x Ga
o. nee
„Minen wae
rés nues ne
4 date Gant
u Re nn
IV. REDUCIR UNA EXPRESION MIXTA
A FRACCIONARIA
© : inador; producto se
Se multiplica la parte entera por el denominador; a este producto
le suma o rest el numerador, según que el signo que haya dette de la
fraccién sea + o —, y se parte todo por el denominador.
La fracción que resulta se simplifica, si es posible.
Ejemplos ] (9) Reduci 24
3 M2 +3 DHT ot
7
a hracción.
®
x24
ot +b
(2) Reducir a +b— a fracción.
A 0-5 ob cary
IMPORTANTE
Observoso que como la fracción tiene signo — dolonto, para restar el mu
merader 0% 4.62 hoy que combirle ol signo a cado uno de su términos y
¿sto se indica incluyendo «+b en un paréntesis precodido dol signo ~
4 518
det A a tracción
(3) Reduce otr ng
py RESET IO Uo NDE Se 610845210)
FE Fre
D Ge 4 Ma 6m MZA BIS) tO
ware AEREO ERIN) ur
a dl _
mepuecion A nacion © 207
D- EJERCICIO 124
Reducir a fracción:
ee EA
a 15 ara UN
+2
1 ern,
wear
10. 1h ig
a. 18. sag et
1
201
ES os HR,
1
V. REDUCCION DE FRACCIONES AL MINIMO
COMUN DENOMINADOR
2) REDUCIR FRACCIONES AL MINIMO COMUN DENOMINADOR es
couvertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denoml-
mador y que éste sex el menor posible,
Para reducir fracciones al mínimo común denominador se sigue la sie
guiente regla, idéntica a la que empleamos en Arirmét
REGLA
1) Se simplifican las fracciones dadas, si es posible.
2) Se halla el minimo común múltiplo de los denominadores, que
será el denominador común.
3) Para hallar los numeradores, se divide el m. com. de los denomi-
nadores entre cada denominador, y el cociente se multiplica por el nume-
tador respectivo
5
E a Minimo comin denominador.
Hallomes el m. € m. de a, 201 y Ar? que es dali". Este es el denomincdor
‘Ahora dividimos 4o"x" entre los donominadores o, 208 y 4x2 y codo
lolo mulliplicamos por su numerados tespectivo, y tendremos:
404i? à a = fox? TBE Lors
a
„Minen wae
rés nues ne
4 date Gant
u Re nn
IV. REDUCIR UNA EXPRESION MIXTA
A FRACCIONARIA
© : inador; producto se
Se multiplica la parte entera por el denominador; a este producto
le suma o rest el numerador, según que el signo que haya dette de la
fraccién sea + o —, y se parte todo por el denominador.
La fracción que resulta se simplifica, si es posible.
Ejemplos ] (9) Reduci 24
3 M2 +3 DHT ot
7
a hracción.
®
x24
ot +b
(2) Reducir a +b— a fracción.
A 0-5 ob cary
IMPORTANTE
Observoso que como la fracción tiene signo — dolonto, para restar el mu
merader 0% 4.62 hoy que combirle ol signo a cado uno de su términos y
¿sto se indica incluyendo «+b en un paréntesis precodido dol signo ~
4 518
det A a tracción
(3) Reduce otr ng
py RESET IO Uo NDE Se 610845210)
FE Fre
D Ge 4 Ma 6m MZA BIS) tO
ware AEREO ERIN) ur
a dl _
mepuecion A nacion © 207
D- EJERCICIO 124
Reducir a fracción:
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a 15 ara UN
+2
1 ern,
wear
10. 1h ig
a. 18. sag et
1
201
ES os HR,
1
V. REDUCCION DE FRACCIONES AL MINIMO
COMUN DENOMINADOR
2) REDUCIR FRACCIONES AL MINIMO COMUN DENOMINADOR es
couvertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denoml-
mador y que éste sex el menor posible,
Para reducir fracciones al mínimo común denominador se sigue la sie
guiente regla, idéntica a la que empleamos en Arirmét
REGLA
1) Se simplifican las fracciones dadas, si es posible.
2) Se halla el minimo común múltiplo de los denominadores, que
será el denominador común.
3) Para hallar los numeradores, se divide el m. com. de los denomi-
nadores entre cada denominador, y el cociente se multiplica por el nume-
tador respectivo
5
E a Minimo comin denominador.
Hallomes el m. € m. de a, 201 y Ar? que es dali". Este es el denomincdor
‘Ahora dividimos 4o"x" entre los donominadores o, 208 y 4x2 y codo
lolo mulliplicamos por su numerados tespectivo, y tendremos:
404i? à a = fox? TBE Lors
a
208 @ aucuns
(2
(6)
daly? = 2a? = 2
A
Estas frocciones son equivalentes a los fracciones dadas porque no hemos he:
cho més que multplior los dos términos de cada fracción por el cociente de
dividir el m. €. m. onre 20 denominador respoctivo, con lo cual las fracciones.
no so altoran (176).
1x1 2
lr + al mínimo co inador.
Rodud <q zn al m min denominada!
Elm cm, de 3%, 6x y Pat es 184% Esto os ol denominador común.
DCR
BF me me
Tendromos: 188° Bet = 6
18046 = 38
Were
ob 2 de
Br Ar
Hollemos ol m. c.m. de los denominadores, factorando los binomios:
ob=ob
cb+b=b(0+b)
tob=alarb]
‘Ahora dividimos el m. e. m. ab (a+b) entre cada denominador o lo que es
lo mismo, entre la descomposición do cada denominador:
Reducir al mínimo común denominador.
sblotbl_ yy arb (embiletb) ob
ab ab ab(a+b)
abla+bl es
blo Fo) ob(o+b)"
oblo-b) % ee eee
ele +b) rc ablo+b) Tablarb)
AEOUCCION AL MINIMO conun DENOMINATOR - © 209
> x+4
== GS dl mínimo comin denominador.
Far? a ie
Hallemos el m. e. m. factorando los denaminadores:
2x1)
Dividiondo ol m. e. m.(x +1) [x= 11(x ++ 2) entre lo descomposición de coda
denominador, tendremos:
Bebe V2)
+3 ICE) O
=x+2 = = sant
ENV ETA A Let lee pera
(et Met 2) 2x E I ER
a Fra NN AN
Debe y A CCR RSA
TRE EN] res Sires res TNA
= EJERCICIO 125
Reducir al minimo común denominador: P
PA 2
é 2 5x+15 10x#00
Mi dti AnH
Mr 28 at a ON
15. 27. Es > a =
ue
x42
‘cin we. REA BHO" Oe
ats ba
RY e ra Ta
ath
Ta i Alc a tle
ae ae FAT
pu de ara NET
m ee FT ran al
min mn 1 gg Be tt A.
mn" 10n* + x-1 2-1 «1 9-1
ab amb ei 2 De
302 "MA e man Batt2ab" axtabx"
wo, MH, mi nn, es
MEL we re
23. br air art 1 a+l Sarl)
re UE a at QG (ad)!
Be et 1 di
o
(2
(6)
daly? = 2a? = 2
A
Estas frocciones son equivalentes a los fracciones dadas porque no hemos he:
cho més que multplior los dos términos de cada fracción por el cociente de
dividir el m. €. m. onre 20 denominador respoctivo, con lo cual las fracciones.
no so altoran (176).
1x1 2
lr + al mínimo co inador.
Rodud <q zn al m min denominada!
Elm cm, de 3%, 6x y Pat es 184% Esto os ol denominador común.
DCR
BF me me
Tendromos: 188° Bet = 6
18046 = 38
Were
ob 2 de
Br Ar
Hollemos ol m. c.m. de los denominadores, factorando los binomios:
ob=ob
cb+b=b(0+b)
tob=alarb]
‘Ahora dividimos el m. e. m. ab (a+b) entre cada denominador o lo que es
lo mismo, entre la descomposición do cada denominador:
Reducir al mínimo común denominador.
sblotbl_ yy arb (embiletb) ob
ab ab ab(a+b)
abla+bl es
blo Fo) ob(o+b)"
oblo-b) % ee eee
ele +b) rc ablo+b) Tablarb)
AEOUCCION AL MINIMO conun DENOMINATOR - © 209
> x+4
== GS dl mínimo comin denominador.
Far? a ie
Hallemos el m. e. m. factorando los denaminadores:
2x1)
Dividiondo ol m. e. m.(x +1) [x= 11(x ++ 2) entre lo descomposición de coda
denominador, tendremos:
Bebe V2)
+3 ICE) O
=x+2 = = sant
ENV ETA A Let lee pera
(et Met 2) 2x E I ER
a Fra NN AN
Debe y A CCR RSA
TRE EN] res Sires res TNA
= EJERCICIO 125
Reducir al minimo común denominador: P
PA 2
é 2 5x+15 10x#00
Mi dti AnH
Mr 28 at a ON
15. 27. Es > a =
ue
x42
‘cin we. REA BHO" Oe
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RY e ra Ta
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Ta i Alc a tle
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pu de ara NET
m ee FT ran al
min mn 1 gg Be tt A.
mn" 10n* + x-1 2-1 «1 9-1
ab amb ei 2 De
302 "MA e man Batt2ab" axtabx"
wo, MH, mi nn, es
MEL we re
23. br air art 1 a+l Sarl)
re UE a at QG (ad)!
Be et 1 di
o
‘le. Se detscaren como traduetoret
Ep gue pono an late de, tao do
de
OPERACIONES CON FRACCIONES
L SUMA
REGLA GENERAL PARA SUMAR FRACCIONES
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador,
si son de distinto denominador,
9 Se efectian las multiplicaciones indicadas.
2) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se par:
te esta suma por el denominador común,
6) Se reducen términos semejantes en el numerador.
© Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Hoy que seducir los Ktacciones al mínimo. comin denominador
210
suma ne factions 0:211
Elm. €. m. de los denominadores os 60%, Dividiendo 603 ontre los denomino:
dores, tenemos: 6a? + u = 3a y dat doi =1, Estos cocientes los mullipli
‘comes por los muneradores respoctivos y tendíemos
3 972. 3%) 02% 0-2
mE at | bat at at
Va + a—2
mando los nwmeradores) =
fumando los numeradores)
ms 250-1)
tsimplificondo} = R.
do
(21 implicar 2
pliicar TT +
El mc. m. de los denominadores es 10sx%. Dividiondo 100% entre coda de-
nominador y muliplicando los cociontos por el numerador eespectivo, tenemos
Alo jar, 1 Sin dol+2atx2)+on
20x ER Wax® z
Si = ox + 20040 4 on
Iliad] = a
[recuciondo términos semejantes]
M EJERCICIO 126
Simpliticar:
2-2, Bet PE
1 f
TNT S ”
rye ee % 2
En
rat ee 1, Bea, aba
a a, a 1. A Boat abi
lóa 2 ae abs ab
A 2,212 ee ta “3, im,
ot ae ae
6. 10 RAA ae
5
(195) SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS
Ejemplos | (1) Simpliior > a
Ep gue pono an late de, tao do
de
OPERACIONES CON FRACCIONES
L SUMA
REGLA GENERAL PARA SUMAR FRACCIONES
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador,
si son de distinto denominador,
9 Se efectian las multiplicaciones indicadas.
2) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se par:
te esta suma por el denominador común,
6) Se reducen términos semejantes en el numerador.
© Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Hoy que seducir los Ktacciones al mínimo. comin denominador
210
suma ne factions 0:211
Elm. €. m. de los denominadores os 60%, Dividiendo 603 ontre los denomino:
dores, tenemos: 6a? + u = 3a y dat doi =1, Estos cocientes los mullipli
‘comes por los muneradores respoctivos y tendíemos
3 972. 3%) 02% 0-2
mE at | bat at at
Va + a—2
mando los nwmeradores) =
fumando los numeradores)
ms 250-1)
tsimplificondo} = R.
do
(21 implicar 2
pliicar TT +
El mc. m. de los denominadores es 10sx%. Dividiondo 100% entre coda de-
nominador y muliplicando los cociontos por el numerador eespectivo, tenemos
Alo jar, 1 Sin dol+2atx2)+on
20x ER Wax® z
Si = ox + 20040 4 on
Iliad] = a
[recuciondo términos semejantes]
M EJERCICIO 126
Simpliticar:
2-2, Bet PE
1 f
TNT S ”
rye ee % 2
En
rat ee 1, Bea, aba
a a, a 1. A Boat abi
lóa 2 ae abs ab
A 2,212 ee ta “3, im,
ot ae ae
6. 10 RAA ae
5
(195) SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS
Ejemplos | (1) Simpliior > a
2120 arcana
Hallemos al m. c. m. de los denominadores, factorando los binomios:
+1)
EN EEE
Mi (+1 1)
OEL
ade ae ee De oe
Nee ee ieee
1,1 ,1 tient ate ts
TA)
LAIA
Los EN
BE a Sek?
Cr E
9-2 ats
ead ia | Fre
(2) Simpllicar
Hollomos el m.c.m. de los denominadores:
@-4=(0+21lo-2)
Dividiendo el denominador común (o + 2110 —2](a—3) entro la descom-
posición de cada denominador, y mulilicando los cocientos por los nume-
adores respectivos, lendromos:
onl, 0-2 até _lo-1)lo—3)+(0—-2P+l0+210+61
Pat Fr (o+2)(o-2)0—3)
lat 3# 0% dab a-ha Ba 12
(a+21lo-21la-3)
muliplicando) =
raduciondo términos semojontes) =
Me=37
D- EJERCICIO 127
Siwpliicar
open Ao aa
tee ced M os
a a ate
tose tee > Lt
suma ox maccoms @ 213
1. bo, e ag, HL, a8 ane
10 ‘0 2
2. sant
ESSONNE STATE)
a en
LD Lee 2 ne
BHF" HF A
wi,
aii "an "ar
Batted
Bene eo ae
Pl et REEL
entente
mL 1 xt
=i ery ne)
1 a ats, » 2 x 2x1
as e RT Boe Bae À
m3, 2,150 go. 22,048, att
aa as tat
RESTA
REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador,
si tienen distinto denominador.
3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas,
4) Se restan los mumeradores y la diferencia se parte por el denomi-
nador común,
1) Se reducen términos semejantes en el numerador,
©) Se simplifica el resultado si es posible.
(E ner ain ol ti ions
LU Be
Elm. c.m. do los donominadores es 6a%b. Dividiendo éa*b entre cada deno-
‘minador y multiplicando codo cociente por el numerador respectivo, tenemos:
2b dob'-3_2oblo-+2b) _4ab™—9
ET ieh
Hallemos al m. c. m. de los denominadores, factorando los binomios:
+1)
EN EEE
Mi (+1 1)
OEL
ade ae ee De oe
Nee ee ieee
1,1 ,1 tient ate ts
TA)
LAIA
Los EN
BE a Sek?
Cr E
9-2 ats
ead ia | Fre
(2) Simpllicar
Hollomos el m.c.m. de los denominadores:
@-4=(0+21lo-2)
Dividiendo el denominador común (o + 2110 —2](a—3) entro la descom-
posición de cada denominador, y mulilicando los cocientos por los nume-
adores respectivos, lendromos:
onl, 0-2 até _lo-1)lo—3)+(0—-2P+l0+210+61
Pat Fr (o+2)(o-2)0—3)
lat 3# 0% dab a-ha Ba 12
(a+21lo-21la-3)
muliplicando) =
raduciondo términos semojontes) =
Me=37
D- EJERCICIO 127
Siwpliicar
open Ao aa
tee ced M os
a a ate
tose tee > Lt
suma ox maccoms @ 213
1. bo, e ag, HL, a8 ane
10 ‘0 2
2. sant
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a en
LD Lee 2 ne
BHF" HF A
wi,
aii "an "ar
Batted
Bene eo ae
Pl et REEL
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=i ery ne)
1 a ats, » 2 x 2x1
as e RT Boe Bae À
m3, 2,150 go. 22,048, att
aa as tat
RESTA
REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador,
si tienen distinto denominador.
3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas,
4) Se restan los mumeradores y la diferencia se parte por el denomi-
nador común,
1) Se reducen términos semejantes en el numerador,
©) Se simplifica el resultado si es posible.
(E ner ain ol ti ions
LU Be
Elm. c.m. do los donominadores es 6a%b. Dividiendo éa*b entre cada deno-
‘minador y multiplicando codo cociente por el numerador respectivo, tenemos:
2b dob'-3_2oblo-+2b) _4ab™—9
ET ieh
214 @ auccens
2otb + dob? dab?
Gab ba
2er + tab? 3)
60%
Dott dab? — tab? +3
a 60%
206.43
(multiplicando) =
(restando los numeradores] =
(avitondo el porémess
reduciendo)
Sai
IMPORTANT
Obrérveso que para restar 4ob?—3 del primer numerador hay que combier
el signo a cada uno de sus lérmiros y esta operación la indicamos intlayondo
4ob*—3 en un poréntesis precedido. del signo —
(2)
Elm. «m. de los denominadoros es 3x8, que será cl denominador común,
2 a 2)
ne E
Sé
mitiplican re
| muttipticondo } =
{restando los mumarodores}
Lavitando el paréntesis),
reduciendo]
a +5
(3) Simplficar LE =
En le pröcien suelen cbrevirse algo los patos anteriors, como incomes à
Elm.c.m.0s4x%.
A E)
ae ae 4 3
IRA
I mtipcondo = 2 *
ete) FE
Obsirvete que al oe el producto (2x2 51 hoy que one wo ef
signa — de lo x y decimos: |x) 2x= ZH (a GOD
mista ox maccions @ 215
m EJERCICIO 128
Simplific
ler Pan We PS MES us
478 Sab Gabe er}
y ated 0-8 METRE 3 2atl dated
ab 4 Ba 57100 20a”
Pos ene cud o Ly 3 xd vil
Er 202 Bay CT
1. 24h 8
a Gab GaN
RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS
10.
Ejem] 5 wie 29
jemplos | Gsm <2).
einai ot ee tr
Benth
= oo
Ce yee
Heroes
£ k
bla=b) bla—b] a-b
a
(2) Simplificar 2 E =
RER
Hallemos el denominador comin:
Palla
Dividiendo x(1 4 xJ{1-— x} entro la descomposición do coda denominador,
2111-1140) 1130)
FETT
= ha =
ae [Taal
Al reducir los términos semejantes en el numerador, se anulan todos los té.
Minos, luego queda cero en el numerador y coro partido por cualquier con.
vidad equivolo a caro.
0, &
2otb + dob? dab?
Gab ba
2er + tab? 3)
60%
Dott dab? — tab? +3
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(multiplicando) =
(restando los numeradores] =
(avitondo el porémess
reduciendo)
Sai
IMPORTANT
Obrérveso que para restar 4ob?—3 del primer numerador hay que combier
el signo a cada uno de sus lérmiros y esta operación la indicamos intlayondo
4ob*—3 en un poréntesis precedido. del signo —
(2)
Elm. «m. de los denominadoros es 3x8, que será cl denominador común,
2 a 2)
ne E
Sé
mitiplican re
| muttipticondo } =
{restando los mumarodores}
Lavitando el paréntesis),
reduciendo]
a +5
(3) Simplficar LE =
En le pröcien suelen cbrevirse algo los patos anteriors, como incomes à
Elm.c.m.0s4x%.
A E)
ae ae 4 3
IRA
I mtipcondo = 2 *
ete) FE
Obsirvete que al oe el producto (2x2 51 hoy que one wo ef
signa — de lo x y decimos: |x) 2x= ZH (a GOD
mista ox maccions @ 215
m EJERCICIO 128
Simplific
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478 Sab Gabe er}
y ated 0-8 METRE 3 2atl dated
ab 4 Ba 57100 20a”
Pos ene cud o Ly 3 xd vil
Er 202 Bay CT
1. 24h 8
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RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS
10.
Ejem] 5 wie 29
jemplos | Gsm <2).
einai ot ee tr
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bla=b) bla—b] a-b
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(2) Simplificar 2 E =
RER
Hallemos el denominador comin:
Palla
Dividiendo x(1 4 xJ{1-— x} entro la descomposición do coda denominador,
2111-1140) 1130)
FETT
= ha =
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Al reducir los términos semejantes en el numerador, se anulan todos los té.
Minos, luego queda cero en el numerador y coro partido por cualquier con.
vidad equivolo a caro.
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216 @ momen
ME OIE ta
DEAR ETS
Hollemos el denominador comin:
2 4) =2|x+2)[4—2)
de da (x +2
x —2= [x 2)
Dividiendo 2x4 21° (x 2] entre la descomposición de cado denominador,
tenemos:
(3) Simplficar
[ERS 3
ARMA 2 2x + 2F( x2]
2 DER RNA N= 20228 De 2 + AIO 9]
e+ 2F x —2)
AS Bx? x 2- Da Be 2) 2 a TE Me #12)
= 20x42 0x2)
AR BE 2 Hr 28 MI 2
2x +2F(x—2)
ML AA
RA A
[reduciendo|
M EJERCICIO 129
1 DeL vetas 6 remar E deL
2 De BP pesar MER, 1 Rentar Er
Dr A rg aaa
A Route tt
5 De PA rer PE. 10. Rentar Ei de Set
Simplificar:
ar ee are
Een De a en
1 NA sI
roars Bi rab” aha a Bar
BREITE 1) 2 — 2) bet P= 2) F439)
sma y asta comoimaoas © 217
3 st. 10
Lar ee)
oo, SHE ath
A Bank
aa Te,
a TPF aya
oe
Tee Sons Fea)
oy, 203 _etl ga
100 +10 50 500450"
IN. SUMA Y RESTA COMBINADAS DE FRACCIONES
gl nest
CETTE Er)
(1) Simplificar
Hollemos el común denominador:
ob =ola—b)
Eo (mc ob (a ET
~ ob? able? 6?) =ablo+bHa— bh,
Tendremos:
1 fai 1_ tb _bla+bl+latblla-b bi (oh +69),
mob ab ma able+bjle-b)
a abt bao
Ie inlcondo: abla +Fbla—bJ
i ES
lie)
blo—) 1
eblo+bila E
cor 22 AEB A IA 16
AAA Er]
(2) Simpl
Hollemos el donominador común:
mala 1)
PR 4= (KH)
ME OIE ta
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Hollemos el denominador comin:
2 4) =2|x+2)[4—2)
de da (x +2
x —2= [x 2)
Dividiendo 2x4 21° (x 2] entre la descomposición de cado denominador,
tenemos:
(3) Simplficar
[ERS 3
ARMA 2 2x + 2F( x2]
2 DER RNA N= 20228 De 2 + AIO 9]
e+ 2F x —2)
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= 20x42 0x2)
AR BE 2 Hr 28 MI 2
2x +2F(x—2)
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M EJERCICIO 129
1 DeL vetas 6 remar E deL
2 De BP pesar MER, 1 Rentar Er
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5 De PA rer PE. 10. Rentar Ei de Set
Simplificar:
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100 +10 50 500450"
IN. SUMA Y RESTA COMBINADAS DE FRACCIONES
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CETTE Er)
(1) Simplificar
Hollemos el común denominador:
ob =ola—b)
Eo (mc ob (a ET
~ ob? able? 6?) =ablo+bHa— bh,
Tendremos:
1 fai 1_ tb _bla+bl+latblla-b bi (oh +69),
mob ab ma able+bjle-b)
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Ie inlcondo: abla +Fbla—bJ
i ES
lie)
blo—) 1
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cor 22 AEB A IA 16
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(2) Simpl
Hollemos el donominador común:
mala 1)
PR 4= (KH)
218 © acciona
Tendremos:
MEP HS AMAN ad Ae 2 NP x 16
a re TENTE)
ADR = Bu BE V2 HG
{milano nen
$ act 16
Verde) a
pepe de dert ia
ed a OTT À
- EJERCICIO 130
Simpliicar:
2,3 01 sty yy
padi sp A
a ap ayy hy
o 1, a we) oe ‘a
Tare Gente Tevet tee ar
Pree ener eae
at, ad ant 1, se
+
At Baie dat ath wats
ab path a ‘i Bets Get
wah eb ae Fiera ich
x „2 Gel de
MT ES
= mo ts 3
Fear CEE en
get etd nts ms
Fa A a ars Grp a
ESE 2 wt ix
Des pa es CNET ET TT
A IE RE
Be a ee ET
1.1,» 2 ta a
Ls : nr ies
mota TT
2, 4206 ad, 24 daa
a ES À ee
3043 Ga-6 Dar—9 > 204+10 * 400+20 600430
1 2 a 2 1 3
Pa FE ue A Bet oa
„or @ 219
alee 1 x
ar. E ae
CT Le TT
2480 Bea go eee
Baa Bra Br a ce nue
a
(cases ve senos Ex LA SUMA Y nesra
DE FRACCIONES
Los cambios de signos en las fracciones se usan en la suma y resta de
fracciones cuando los denominadores no están ordenados en el mismo
orden,
UN ES
41) Simpliicar —— ES.
te
Cambiando el signo al denominador de to última fracción 1 —x queda x? 1,
Peto para que exe combio no altere ol volor de la loción hay que cambiar
el signo de la fracción, y tendremos:
2,3 ts
En
IK HUN. Tondremos:
2,3 ES Meda (ett
me eT ei CAEN
Lara ets
AE
Wr Sx bt)
CMe) EN
x Amato «Be
FR E
Descómponiendo x? —Sx-+6=Ix- 3){x—21. Entonces le combiomos cl
Signo o 2—x quedando x —2, combiamos el sigao de lo frocción y combo:
mor el signo de los dos factores del freer denominador [3 x)(1 —x} que.
dando [x—3J(x—1) y como son dos loclores [número par de factores)
no hoy que cambiar ol signo de la úllima tracción y tendremos:
x al Dix 3) 2xlx 2)
PDA m2 GT) L=Db=2x=31
La de 3 = Da de
ANDA
Ss
DM)
(2) Simpliicor
Tendremos:
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ADR = Bu BE V2 HG
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- EJERCICIO 130
Simpliicar:
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DE FRACCIONES
Los cambios de signos en las fracciones se usan en la suma y resta de
fracciones cuando los denominadores no están ordenados en el mismo
orden,
UN ES
41) Simpliicar —— ES.
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Cambiando el signo al denominador de to última fracción 1 —x queda x? 1,
Peto para que exe combio no altere ol volor de la loción hay que cambiar
el signo de la fracción, y tendremos:
2,3 ts
En
IK HUN. Tondremos:
2,3 ES Meda (ett
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CMe) EN
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Descómponiendo x? —Sx-+6=Ix- 3){x—21. Entonces le combiomos cl
Signo o 2—x quedando x —2, combiamos el sigao de lo frocción y combo:
mor el signo de los dos factores del freer denominador [3 x)(1 —x} que.
dando [x—3J(x—1) y como son dos loclores [número par de factores)
no hoy que cambiar ol signo de la úllima tracción y tendremos:
x al Dix 3) 2xlx 2)
PDA m2 GT) L=Db=2x=31
La de 3 = Da de
ANDA
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DM)
(2) Simpliicor
220 © atomos
> EJERCICIO 131
Simplilicars
1, m do da, 2
Let titi
BR ECN
Poy y ya FRA
sf x PC
8 poet eo a te
ath, a Sey
+ Kate Mn a Boa
HAUTE ie, a 2
Fe at a
1 1 2 ee, 1
Sms Gane Sate A
CNE INE He KH | Aber
petite a ag sera ern
IV. MULTIPLICACION DE FRACCIONES
God) REGLA GENERAL PARA MULTIPLICAR FRACCIONES
1) Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las
Fracciones que se van a multiplicar,
2) Se simplifica, suprimiendo Jos factores comunes en los numerado-
res y denominadores.
3) Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los nume-
radores después de simplificar, y este producto se parte por el producto de
las expresiones que queden en los denominadores.
decos 20 SEE at
(1) Motipticar D e gar
DE, #_ EOI x
abi be Dal 3K AKI GX BX
a MOO yg, Hebd
(2 Maipo EI por BEA,
Factrando, tendremos:
3-3 bach MXN) da 3021 JOR
Baa x CURA el) À
Hemos simplicado [x 1) dl primo numerador con [x= 1} del segundo
dede y (FF ande monroe con D à 2) dir de
(simplificando) = R.
(3) Mobil
Foctorando, tendremos:
ULTIPLICACION DE FRACCIONES © 22)
1 06 data
SH ART td Ars
Pl, doré dada
Pida ITA dat
Jet lon 31(a +2
olo+2) (oF I(30+ Y
tm EJERCICIO 132
Simplifcar
zur gb? 5x495 tei? Dao, ahah
Lu fs
ab da oe “ieee eo tt
xy 100 min ane de
ay 100% 0m RL eA, Se
mana me En “ri
DD Ray ty? PASS. 6900
3 a 2 à 1
te in
: “MES =
4 re. AS
y a armer in
Bere we 27 opel
a ey 12,
Tat y ra oe Be LA
Ta 3m, Sm eabteb 8 eHtab Hib) Bald
0 ee a :
e a a TE Ra
Bix 8 CG att 12
pee A 1 a a.
5 “pe Gy aa
og, HD Be, man aut, 0
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(mens (mapas eg a x
le LEA te qu LU SON
Wa atenas Ha a a
DARDO? mx x Maxie? Border? Gabbe
x 2 .
a “HE ET m arten arta ET
an, PH „Hl „Bad, at
BaF 100“ an * Da 10” Dar)
go, SETHI, aaa
a as
go, SH ath 1
woes o qe
> EJERCICIO 131
Simplilicars
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IV. MULTIPLICACION DE FRACCIONES
God) REGLA GENERAL PARA MULTIPLICAR FRACCIONES
1) Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las
Fracciones que se van a multiplicar,
2) Se simplifica, suprimiendo Jos factores comunes en los numerado-
res y denominadores.
3) Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los nume-
radores después de simplificar, y este producto se parte por el producto de
las expresiones que queden en los denominadores.
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(1) Motipticar D e gar
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(2 Maipo EI por BEA,
Factrando, tendremos:
3-3 bach MXN) da 3021 JOR
Baa x CURA el) À
Hemos simplicado [x 1) dl primo numerador con [x= 1} del segundo
dede y (FF ande monroe con D à 2) dir de
(simplificando) = R.
(3) Mobil
Foctorando, tendremos:
ULTIPLICACION DE FRACCIONES © 22)
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220
Goi) MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES MIXTAS
REGLA,
Se reducen las expresiones mixtas a fracciones y se multiplican estas
fracciones.
por 24
ot 28
5 __ (a 21(o+41#5 ters tod
ST ote ets
ane hi
(ie) Ett ea ee,
lo+4)lo-2} te +3la=ı)
7-1 até
m EJERCICIO 133
Simplificar:
(a)
© (SEE) Og)
leer) ‘
3 (De a (m)
tbe?
Division Dx maccionss — @ 223
V. DIVISION DE FRACCIONES
REGLA
Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.
2ax
(19 Die LE tro 2,
ge is Ua
(ert) 0) 2.
lo) a ax
)
(est 28) (4 Me). an (O)
MES a (aa) ae) OH
)-
Beer)
»
I 20xt=30x , da—6
Bere" an
A 2420-35,
456 aaa
à 26x15 , GA INS
Teo ei
ie Ple, ote
o wT
: PS
wat
a a aa.
3 are ada
sot tee un ED | Poth
a Gs “o crs. : 56
, „oe Pe aan
a a TT a
sio dió ata
+ ETS DT er
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Fr Se ST
Goi) MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES MIXTAS
REGLA,
Se reducen las expresiones mixtas a fracciones y se multiplican estas
fracciones.
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m EJERCICIO 133
Simplificar:
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V. DIVISION DE FRACCIONES
REGLA
Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.
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Fr Se ST
224 @ restora
OL Tet Tet er,
a + .
a A AS
2mx—Bmy-mx—my Zur Tab-150R | a?—Sab—A0b%
22 6m 3
Bay Smt te aan a
(3) poison or exenesones xvas
REGLA
Se reducen a fracciones y se dividen como tales.
Ejemplo | Divi 14
Reduciendo estas expresiones a fracciones, tenemos:
mee Oe
CE
Lea x
mt) (ri) 429 ty Y
m EJERCICIO 135
Simpl
1 (+): 5 (abr) + (1
2 Ch) ES) (are
ee A
le (mM) (mt
VI. MULTIPLICACION Y DIVISION COMBINADAS
Cuando haya que efectuar operaciones en las que se combinen mul-
tiplicaciones y divisiones se procederá a convertir los divisores en
factores, invirtiéndolos, y procediendo según la regla de la multiplicación.
UETIPLICACION Y DIVISION conn
pat @ 225
jemplo | cita, at
pl Se SS gE EA
Convertimos la división en multiplicacién invitiondo al divisor y tendremos:
0-3 „4904 , lé _ 03 oth 904+20,, 2620
40-4 a+? dado 40-4 at—6at+9 arme
a-3 lo+S)lo+4) 2ala-ı] afo+5)
x— x =
=4lo-)) la=3% fo Fa)(o— 4) 20-3) 4)
a
eo FA
= EJERCICIO 136
Simplilieae:
dat aa
en = SS
x ar * e aa
= y ER, 220410, AO
= A A Ni
é a SEL, (atte tty
Bene laa 3-8
‘ Giat—81b% | (x—9)* :, Bat +9ab n a Re ru
er GRE xx x
+ 2 re Mg, (HE, (ete) „erbte,
Sa rt
5 TT
o Tm
MS
)-
VIL FRACCIONES COMPLEJAS
(God) FRACCION COMPLEJA es un:
merador o el denominador, 0
braicas o expresiones mixtas, como
fracción en la
OL Tet Tet er,
a + .
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2mx—Bmy-mx—my Zur Tab-150R | a?—Sab—A0b%
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Bay Smt te aan a
(3) poison or exenesones xvas
REGLA
Se reducen a fracciones y se dividen como tales.
Ejemplo | Divi 14
Reduciendo estas expresiones a fracciones, tenemos:
mee Oe
CE
Lea x
mt) (ri) 429 ty Y
m EJERCICIO 135
Simpl
1 (+): 5 (abr) + (1
2 Ch) ES) (are
ee A
le (mM) (mt
VI. MULTIPLICACION Y DIVISION COMBINADAS
Cuando haya que efectuar operaciones en las que se combinen mul-
tiplicaciones y divisiones se procederá a convertir los divisores en
factores, invirtiéndolos, y procediendo según la regla de la multiplicación.
UETIPLICACION Y DIVISION conn
pat @ 225
jemplo | cita, at
pl Se SS gE EA
Convertimos la división en multiplicacién invitiondo al divisor y tendremos:
0-3 „4904 , lé _ 03 oth 904+20,, 2620
40-4 a+? dado 40-4 at—6at+9 arme
a-3 lo+S)lo+4) 2ala-ı] afo+5)
x— x =
=4lo-)) la=3% fo Fa)(o— 4) 20-3) 4)
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= EJERCICIO 136
Simplilieae:
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x ar * e aa
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= A A Ni
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o Tm
MS
)-
VIL FRACCIONES COMPLEJAS
(God) FRACCION COMPLEJA es un:
merador o el denominador, 0
braicas o expresiones mixtas, como
fracción en la
2260 acia
Una fracción compleja no es más que una división indicada; la raya
de la fracción equivale al signo de dividir y ella indica que hay que divi
dir'lo que está encima de Ja raya por lo que está debajo de ella.
N
Asi, la fracción anterior rea equivale a (2—2)= (144) 1
ED simeuricacion DE FACCIONES COMPLSAS
E
1) Se efectiian las operaciones indicadas en el numerador y denoml-
nador de la fracción compleja.
2) Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el
resultado que se obtenga en el denominador.
Eiccluondo ef numerador:
Ein dni 14 Em EE
[dividiendo el numerador _. Sat x
contre el denominador) CA or ote
2
(2) Simplificor ——*—?,
(2) Simpli Zz
x46
Numetader:
+212 10
“2 =?
DUREE 2416 _ + te ENTER tat
1-1 #2 «x? 12
reaccromes couriuas © 227
=2_ 1-2
2 2-0 ee a,
16 rat Ea A Lx me
ee ane + ES
Obsérvese que como la fracción del numerador y la fración del denominador
tenian el mismo denominador x—2 lo hemos suprimido porque al dividir ©
oa al multiplicar ol numerados por el denominador invertido, tendriamos
ARNO, x-2 O
re da
dende vemos que se concelo el factor x~2.
= EJERCICIO 137
Simplificar:
10.
u.
12
Una fracción compleja no es más que una división indicada; la raya
de la fracción equivale al signo de dividir y ella indica que hay que divi
dir'lo que está encima de Ja raya por lo que está debajo de ella.
N
Asi, la fracción anterior rea equivale a (2—2)= (144) 1
ED simeuricacion DE FACCIONES COMPLSAS
E
1) Se efectiian las operaciones indicadas en el numerador y denoml-
nador de la fracción compleja.
2) Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el
resultado que se obtenga en el denominador.
Eiccluondo ef numerador:
Ein dni 14 Em EE
[dividiendo el numerador _. Sat x
contre el denominador) CA or ote
2
(2) Simplificor ——*—?,
(2) Simpli Zz
x46
Numetader:
+212 10
“2 =?
DUREE 2416 _ + te ENTER tat
1-1 #2 «x? 12
reaccromes couriuas © 227
=2_ 1-2
2 2-0 ee a,
16 rat Ea A Lx me
ee ane + ES
Obsérvese que como la fracción del numerador y la fración del denominador
tenian el mismo denominador x—2 lo hemos suprimido porque al dividir ©
oa al multiplicar ol numerados por el denominador invertido, tendriamos
ARNO, x-2 O
re da
dende vemos que se concelo el factor x~2.
= EJERCICIO 137
Simplificar:
10.
u.
12
2280 cm
ES) Ahora trabajaremos fracciones complejas más complicadas.
Dhs
3) Simplificar =
FT
Numerador:
1 1 RD roer 2
TOS (ADE) RD Gre
Denominador:
x 1 Erlen
A Cine)
xed
Tendremos:
4) Simplificar
Numerador:
+20 arb alar2b)-(arbje-b) a+ 2ab (eb)
a-b @ ‘ala—b) ala by
+ 2ab— oF + OF | Bab +
a(a—d) ala)"
Denominador:
D_ Lab bla-b)+(a—b)@a-b) dal D? + 2ur— dab + 6°
a=5 tab CCE) (a= bye)
tab
(@—b)(4a—b)
reaccronss comidas @ 229
Tendremos:
ar ab — 2ab-+0?
aba ab) bb (a—b)(4a—b)
db M-b Bartab da-b)” Baitab
aa ai)
cae E lA we
e =
5) Simplificar
Las fracciones de esta forma se llaman continuas y se simplifican elec:
tuando las operaciones indicadas empezando de abajo hacia arriba. Ast,
en este caso, tendremos:
m EJERCICIO 138
Simplificars
ett 248 _xH wt CET
x1 ae Pomel ery do SE 2
PET ENEE FREE
=A xe i
ME mi min 2.
en ale ve,
wea Bete mann De "a
x Yan nm errs a lat
a ax ex e
8. 2 EN
ES) Ahora trabajaremos fracciones complejas más complicadas.
Dhs
3) Simplificar =
FT
Numerador:
1 1 RD roer 2
TOS (ADE) RD Gre
Denominador:
x 1 Erlen
A Cine)
xed
Tendremos:
4) Simplificar
Numerador:
+20 arb alar2b)-(arbje-b) a+ 2ab (eb)
a-b @ ‘ala—b) ala by
+ 2ab— oF + OF | Bab +
a(a—d) ala)"
Denominador:
D_ Lab bla-b)+(a—b)@a-b) dal D? + 2ur— dab + 6°
a=5 tab CCE) (a= bye)
tab
(@—b)(4a—b)
reaccronss comidas @ 229
Tendremos:
ar ab — 2ab-+0?
aba ab) bb (a—b)(4a—b)
db M-b Bartab da-b)” Baitab
aa ai)
cae E lA we
e =
5) Simplificar
Las fracciones de esta forma se llaman continuas y se simplifican elec:
tuando las operaciones indicadas empezando de abajo hacia arriba. Ast,
en este caso, tendremos:
m EJERCICIO 138
Simplificars
ett 248 _xH wt CET
x1 ae Pomel ery do SE 2
PET ENEE FREE
=A xe i
ME mi min 2.
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wea Bete mann De "a
x Yan nm errs a lat
a ax ex e
8. 2 EN
Vil. EVALUACION DE FRACCIONES
God) inrenraeracion DE LA FORMA ©
La forma 2 que representa una fracción
cuyo numerador’ es cero y cuyo denominador a-
es una cantidad Finita cualquiera, se interpreta as A
En efecto: Sabemos que toda fracción representa el cociente de la di
visión de su n
menador entre su denominador; luego, „; representa el co-
ciente de la división de 0 (dividendo) entre a (divisor) y el cociente de esta
división tiene que ser una cantidad tal que multiplicada por el di
reproduzea el dividendo
será 0 porque Oxa=0.
Sustiuyendo x por 3, tendremos:
e? $9 _ 9-9 0
WOFFA FET
Evauuacion be maceiomts @ 231
INTERPRETACION DE LA FORMA à
Sea la fracción ©, en que a es una ciao EA
Ic. Cuanto menor sea x, mayor es el valor de la fracción. En efecto:
Para x= 1
Para x= À
axe De
1
Para x= ne
Para x=
1
aa 0004, ete.
Veinos, pues, que haciendo al denominador x sulici
ño, d
ntemente peques
alor de la fracción © será tan grande como queramos, © sea, que
siendo a constante, a medida ue el denominador x se aproxima al Kumite 0
el valor de la fracción aumenta indefinidamente.
Este principio se expresa de este mode
El símbolo = se Man
es una cantidad
infinito y no tiene un valor determinado; =
sino el símbolo que usamos para expresar, abreviadamonte
el principio anterior.
Entiéndase que la expresión == no puede tomarse en un sentido
aritmético fieral, porque siendo 0 la ausencia de cantidad, la división de
à entre 0 es inconcebible, sino como la expresión del principio de que si el
humerador de una fracción es una cantidad constante, a medida que el de-
nominador disminuye indefinidamente, acercándose
a valer 0, el valor de la fracción aumenta sin límite.
Ej ipo | Hi i ae RL
Sustiuyendo x por 2, erdremos:
+4 DE TE
P42 F-32)42 4642 0
a
1 limite 0 pero xin Megas
God) inrenraeracion DE LA FORMA ©
La forma 2 que representa una fracción
cuyo numerador’ es cero y cuyo denominador a-
es una cantidad Finita cualquiera, se interpreta as A
En efecto: Sabemos que toda fracción representa el cociente de la di
visión de su n
menador entre su denominador; luego, „; representa el co-
ciente de la división de 0 (dividendo) entre a (divisor) y el cociente de esta
división tiene que ser una cantidad tal que multiplicada por el di
reproduzea el dividendo
será 0 porque Oxa=0.
Sustiuyendo x por 3, tendremos:
e? $9 _ 9-9 0
WOFFA FET
Evauuacion be maceiomts @ 231
INTERPRETACION DE LA FORMA à
Sea la fracción ©, en que a es una ciao EA
Ic. Cuanto menor sea x, mayor es el valor de la fracción. En efecto:
Para x= 1
Para x= À
axe De
1
Para x= ne
Para x=
1
aa 0004, ete.
Veinos, pues, que haciendo al denominador x sulici
ño, d
ntemente peques
alor de la fracción © será tan grande como queramos, © sea, que
siendo a constante, a medida ue el denominador x se aproxima al Kumite 0
el valor de la fracción aumenta indefinidamente.
Este principio se expresa de este mode
El símbolo = se Man
es una cantidad
infinito y no tiene un valor determinado; =
sino el símbolo que usamos para expresar, abreviadamonte
el principio anterior.
Entiéndase que la expresión == no puede tomarse en un sentido
aritmético fieral, porque siendo 0 la ausencia de cantidad, la división de
à entre 0 es inconcebible, sino como la expresión del principio de que si el
humerador de una fracción es una cantidad constante, a medida que el de-
nominador disminuye indefinidamente, acercándose
a valer 0, el valor de la fracción aumenta sin límite.
Ej ipo | Hi i ae RL
Sustiuyendo x por 2, erdremos:
+4 DE TE
P42 F-32)42 4642 0
a
1 limite 0 pero xin Megas
232@ arcima
Cd INTERPRETACION DE LA FORMA ©
Consideremos la fracción €, en que a es constante y x vari
Cuanto m
for sea x, menor será el valor de la fracción.
En efecto: Para x= 1
Para x= 10,
Para x=100,
Vernos, pues, que haciendo al denominador x suficientemente grande,
«1 valor de la fracción À será tan pequeño como queramos, o sea que a
medida que el denominador aumenta indefinidamente, el valor de
ción disminuye indefinidamente, acercándose al limi
a valer 0,
frac
©, pero sin llegar
Ese principio se expresas
a
Fate resultado no debe tomarse
'ampoco en un sentido literal, sino.
expresión del principio anterior
Suslityyenda x por 3, lenemos:
=3
Gi) INTERPRETACIÓN DE LA FORMA: À
considerando eta forma como el cociente de la división
dendo entre 0 (divisor), tendremos que el cociente de esta di
que ser una cantidad tal que mulíplicada por el divisor 0 reprodurca el
dividendo 0, pero cualquier cantidad muluplicada por cero da «ero; Ie:
°
#0, 5 Puede ser igual a cualquier cantidad. Asi, pues, el simbolo.
valor indeterminado.
Fvaauacion ve raciones @ 233
Li a i lr == pra
A tor nen
a mn
La indotorminoción del valor de esto fracción us aparente y es debido 0 lo pro:
fencia de un factor común ol numerador y donominador,quo los anule. Foro
suprimir one factor, se simplifico la [rección dado y tendremos:
#4 _ 22) 2
ES
x+2
“+3
2
0
ach =2 = y. imdetermi
sea 141-5430 ÓN
Esto indeterminación es aparente. Ella desoparece suprimiendo: ol foclor con
mön af numcrador y denominador que les anula.
Simpliicando lo freccién | el deneminador se foctora por evalvación | 0 heno:
Be Ile) Bet?
PCT IM) fa ery)
Entonces, haciendo x=
no élime acción, ston
IES
Tee NU +3 0x4
Luego el verdadero voor de la fracién dada para à = À 6 0. R
m EJERCICIO 139
Mallas el verdadero valor de:
Cd INTERPRETACION DE LA FORMA ©
Consideremos la fracción €, en que a es constante y x vari
Cuanto m
for sea x, menor será el valor de la fracción.
En efecto: Para x= 1
Para x= 10,
Para x=100,
Vernos, pues, que haciendo al denominador x suficientemente grande,
«1 valor de la fracción À será tan pequeño como queramos, o sea que a
medida que el denominador aumenta indefinidamente, el valor de
ción disminuye indefinidamente, acercándose al limi
a valer 0,
frac
©, pero sin llegar
Ese principio se expresas
a
Fate resultado no debe tomarse
'ampoco en un sentido literal, sino.
expresión del principio anterior
Suslityyenda x por 3, lenemos:
=3
Gi) INTERPRETACIÓN DE LA FORMA: À
considerando eta forma como el cociente de la división
dendo entre 0 (divisor), tendremos que el cociente de esta di
que ser una cantidad tal que mulíplicada por el divisor 0 reprodurca el
dividendo 0, pero cualquier cantidad muluplicada por cero da «ero; Ie:
°
#0, 5 Puede ser igual a cualquier cantidad. Asi, pues, el simbolo.
valor indeterminado.
Fvaauacion ve raciones @ 233
Li a i lr == pra
A tor nen
a mn
La indotorminoción del valor de esto fracción us aparente y es debido 0 lo pro:
fencia de un factor común ol numerador y donominador,quo los anule. Foro
suprimir one factor, se simplifico la [rección dado y tendremos:
#4 _ 22) 2
ES
x+2
“+3
2
0
ach =2 = y. imdetermi
sea 141-5430 ÓN
Esto indeterminación es aparente. Ella desoparece suprimiendo: ol foclor con
mön af numcrador y denominador que les anula.
Simpliicando lo freccién | el deneminador se foctora por evalvación | 0 heno:
Be Ile) Bet?
PCT IM) fa ery)
Entonces, haciendo x=
no élime acción, ston
IES
Tee NU +3 0x4
Luego el verdadero voor de la fracién dada para à = À 6 0. R
m EJERCICIO 139
Mallas el verdadero valor de:
4. E para easy.
sey
ack
6.
para x= 2,
52
PN
e pa xe.
para x=2
jm EJERCICIO 140
MISCELANEA:
Simplificar:
1) Etetôe as operaciones ficas primer,
it E pan
+2
Eee
e
para x=.
para x=3.
para x 22.
se reg
pa #2.
As HE
En u nes
FR
EA
Res
O
EE
Det Bel
qu SEB a
Bee PA
para
TR Pt
30. cesto (15) para x=2.
SOBRE FRACCIONES
Descom;
«ciones simples irreducibles:
MISCELANEA sosme acciones @ 235
poner las expresiones siguientes en la suma o resta de tres frac.
AS mas
ee ER
Me Bee que
A Probar que
2 Probar que 4
+
Simpliticar
E Seren en ay
tarte
PRE ES y
et 2
Pe | es
Gt
10 as y,
ad ==
the CANE Ne +. A
Gard (Gat sis area):
19 m A
a. Sen
m. en
A]
euer.
1 ar
A Fan o
TO a
De TEE
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jm EJERCICIO 140
MISCELANEA:
Simplificar:
1) Etetôe as operaciones ficas primer,
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para x=3.
para x 22.
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30. cesto (15) para x=2.
SOBRE FRACCIONES
Descom;
«ciones simples irreducibles:
MISCELANEA sosme acciones @ 235
poner las expresiones siguientes en la suma o resta de tres frac.
AS mas
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2 Probar que 4
+
Simpliticar
E Seren en ay
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Gt
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Gard (Gat sis area):
19 m A
a. Sen
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A]
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1 ar
A Fan o
TO a
De TEE
RAIMUNDO LULIO (1235-1315) Llamado cl
ter Hlaminado. par au dedicación à In propagación |
de la fo." Cullivá com oxcclonte éxito las cienc
de sa tiempos (ue of primero que sa propuso co
‘Wot uns matemica uno, Publico dense ab
arme Y
miedos. matemáticos
ECUACIONES NUMERICAS FRACCIONARIAS DE
PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Una ecuación es fraccionaria cuando algunos de sus términos o todos
tienen denominadores, como
SUPRESION DE DENOMINADORES
Esta es una operación importantísima que consiste en convertir una
ecuación fraccionaria en una ecuación equivalente entera, es decir, sin de-
nominadores.
La supresiôn de denominadores se funda en la propiedad, ya conoci-
da, de las igualdades: Una igualdad no varía si sus dos miembros se mul-
típlican por una misma cantidad,
REGLA
Para suprimir denominadores en una ecuación se multiplican todos
los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los de-
nominadores.
236
a
muy
ecunctonts seaccionantas or 11m, expo @ 237
(1) Suprimi denominedores en la ecucción $
El m. €. m. de los denominadores 2, 6 y 4 05 12. Muli-
plicamos todos los términos por 12 y tendremos:
y simplificando estos facciones, queda
O]
ecuación equivalente a la ecuación dada y entero que es lo quo buscäbamon,
porque la resolución de ocuaciones enteros ya la hemos estudiodo,
Ahora bien, la operación que hemos ofoctuado, de multiplicar lodos los rie
mos do la ccuación por el m. c. m. de los denominadores equivale o dividir el
m. €. m. de los donominadares onto cada denominador y multiplicar cada co
<ionte por el numerador respectivo.
En efectos En lo ecvacién anterior 2
2
874
el m. cm. de les denominadoros es 12. Dividiando 12 entre 2, 6 y 4 y mule
filicando codo cociente por su numerador respectivo, tenemos:
léntico a la que obluvimos antes en (1),
Podemos decir entonces que
Para suprimir donominadores en una ecuación:
1]. So hall ol m. e, m. de los denominadores
2)_ So divide oste m. c. m. onto codo denominador y codo cociente 10 mul
plico por el numerador respectivo.
Kl 2-1 6-5
na ë
m. de 4, 8 y 40 05 40, El primer término 2 equivale a $ Entoncet,
40 y este cociente 40 lo mulliplie por 2; 40 + 40 = 1 y esla
cociente 1 lo mulipico por x — 1; 40-+4=10 y osto cociente 10 lo multiple
Por =; 40-+8=5 y eto cociente 5 lo maliplico por 4x—S y lendiemon
= 2(40)—{x~1)= 10128 1) {de — 5)
Suprimir denominadores en 2=
Eacuand os” moilcaciones incicodos y quitondo. parinesh, quedo:
RD TES 20e 10 20425)
ecuación que yo es entra
IMPORTANTE
Cuando uno fracción cuyo numerador es un polinomio está precadide del signo
= como 222 y 22 am la ecuación onto, hoy que lens cuidado
a a
cambiar el signo u cada una de loz lérminos de su numerador al quites el
denominador, Por eso hemos puesto x—I entre un pardntasis procedido del
signe — © 100 —[x—1) y ol quitar este poréntess queda = x +1 y an
cuanto a la Glime fracción, al eleciuar el producto —5(4x — 5] decimos
(5A) == 208 y (=5)x{—5)= +25, quedando — 20x +25,
ter Hlaminado. par au dedicación à In propagación |
de la fo." Cullivá com oxcclonte éxito las cienc
de sa tiempos (ue of primero que sa propuso co
‘Wot uns matemica uno, Publico dense ab
arme Y
miedos. matemáticos
ECUACIONES NUMERICAS FRACCIONARIAS DE
PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Una ecuación es fraccionaria cuando algunos de sus términos o todos
tienen denominadores, como
SUPRESION DE DENOMINADORES
Esta es una operación importantísima que consiste en convertir una
ecuación fraccionaria en una ecuación equivalente entera, es decir, sin de-
nominadores.
La supresiôn de denominadores se funda en la propiedad, ya conoci-
da, de las igualdades: Una igualdad no varía si sus dos miembros se mul-
típlican por una misma cantidad,
REGLA
Para suprimir denominadores en una ecuación se multiplican todos
los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los de-
nominadores.
236
a
muy
ecunctonts seaccionantas or 11m, expo @ 237
(1) Suprimi denominedores en la ecucción $
El m. €. m. de los denominadores 2, 6 y 4 05 12. Muli-
plicamos todos los términos por 12 y tendremos:
y simplificando estos facciones, queda
O]
ecuación equivalente a la ecuación dada y entero que es lo quo buscäbamon,
porque la resolución de ocuaciones enteros ya la hemos estudiodo,
Ahora bien, la operación que hemos ofoctuado, de multiplicar lodos los rie
mos do la ccuación por el m. c. m. de los denominadores equivale o dividir el
m. €. m. de los donominadares onto cada denominador y multiplicar cada co
<ionte por el numerador respectivo.
En efectos En lo ecvacién anterior 2
2
874
el m. cm. de les denominadoros es 12. Dividiando 12 entre 2, 6 y 4 y mule
filicando codo cociente por su numerador respectivo, tenemos:
léntico a la que obluvimos antes en (1),
Podemos decir entonces que
Para suprimir donominadores en una ecuación:
1]. So hall ol m. e, m. de los denominadores
2)_ So divide oste m. c. m. onto codo denominador y codo cociente 10 mul
plico por el numerador respectivo.
Kl 2-1 6-5
na ë
m. de 4, 8 y 40 05 40, El primer término 2 equivale a $ Entoncet,
40 y este cociente 40 lo mulliplie por 2; 40 + 40 = 1 y esla
cociente 1 lo mulipico por x — 1; 40-+4=10 y osto cociente 10 lo multiple
Por =; 40-+8=5 y eto cociente 5 lo maliplico por 4x—S y lendiemon
= 2(40)—{x~1)= 10128 1) {de — 5)
Suprimir denominadores en 2=
Eacuand os” moilcaciones incicodos y quitondo. parinesh, quedo:
RD TES 20e 10 20425)
ecuación que yo es entra
IMPORTANTE
Cuando uno fracción cuyo numerador es un polinomio está precadide del signo
= como 222 y 22 am la ecuación onto, hoy que lens cuidado
a a
cambiar el signo u cada una de loz lérminos de su numerador al quites el
denominador, Por eso hemos puesto x—I entre un pardntasis procedido del
signe — © 100 —[x—1) y ol quitar este poréntess queda = x +1 y an
cuanto a la Glime fracción, al eleciuar el producto —5(4x — 5] decimos
(5A) == 208 y (=5)x{—5)= +25, quedando — 20x +25,
238 © accenna
15) RESOLUCION DE ECUACIONES FRACCIONARIAS
CON DENOMINADORES MONOMIOS
Elm. cm. de 5, 10 y 4 es 20.
À A0 y 4 y mime cn pr ol rade van. Ten
n= Be
VERIFICACION
2
Senyore x por — Ten la eevocién dade y donó idenidod.
1
423 Revolver In omociée 2 Et
CE)
CERN EEE + st
KRISE
El m.c mode 3, 24 y 8 es 24 Di
vidiendo 24 entre 3,24, 1 y By mul-
tiplicando los cocientes por el nume-
rador respectivo, tendremos: —
1 2
43) Resolver lo ecuoción ¿le 2)—12%—31 ETUIS CRU
842 247,
— 3 ©:
61x -21- 3012: —31= 1018 +2) - 51247)
x 12— 60 + 90 = BOx + 20 — 10x 35
x 60x — BO + 10% = 12 — 90 + 20 — 35
Efectuando los multilicaciones „
indicadas, tenemos: 2
Em. cm. de 5,3y 60530, »
Quitando denominadores:
+ EJERCICIO 141
10,
u.
„el
1.
4
1
FCUACIONIS MACCIONARIAS mu 118, GRADO © 239
1 1
16. 26-63) JADE
xt] llx-2 1
Bulan (8x ~2)=2 (6x41),
axt1_1
10
19. AS we
Sets
Bet BP) date
3 15x
=
= “pe
eE a Ea Lee (2)
15) RESOLUCION DE ECUACIONES FRACCIONARIAS
CON DENOMINADORES MONOMIOS
Elm. cm. de 5, 10 y 4 es 20.
À A0 y 4 y mime cn pr ol rade van. Ten
n= Be
VERIFICACION
2
Senyore x por — Ten la eevocién dade y donó idenidod.
1
423 Revolver In omociée 2 Et
CE)
CERN EEE + st
KRISE
El m.c mode 3, 24 y 8 es 24 Di
vidiendo 24 entre 3,24, 1 y By mul-
tiplicando los cocientes por el nume-
rador respectivo, tendremos: —
1 2
43) Resolver lo ecuoción ¿le 2)—12%—31 ETUIS CRU
842 247,
— 3 ©:
61x -21- 3012: —31= 1018 +2) - 51247)
x 12— 60 + 90 = BOx + 20 — 10x 35
x 60x — BO + 10% = 12 — 90 + 20 — 35
Efectuando los multilicaciones „
indicadas, tenemos: 2
Em. cm. de 5,3y 60530, »
Quitando denominadores:
+ EJERCICIO 141
10,
u.
„el
1.
4
1
FCUACIONIS MACCIONARIAS mu 118, GRADO © 239
1 1
16. 26-63) JADE
xt] llx-2 1
Bulan (8x ~2)=2 (6x41),
axt1_1
10
19. AS we
Sets
Bet BP) date
3 15x
=
= “pe
eE a Ea Lee (2)
240 @ aora FSCUACIONIS MACCIONARIAS où it. enano @ 241
@lé) RESOLUCION DE ECUACIONES-DE PRIMER GRADO E a Ng
CON DENOMINADORES COMPUESTOS Lis ne 3 6-9 2-43
D Hallemos el mcm. +e 3= (x + 3){x— 1)
Ejemplos fe ee CR 2 e de los denomina: 9 = le +39) moco mo (x— M(x + 3) [n=
DT rer den a eV
Elm. €, m. de los denominador Diviiondo (x = x {x 9)
e axe porque 4x? — 1 oe nie à de cada. RER dt DANSE
HIRE THY equi ves on E 'ominador y mulipliconde ca Zr (8 = 1) =
que conne a lor chet dos de 341) 4) fx + 2)=0 da cociente por el numerdor AN
neminadores. Dividiondo 122 + 11 PPS ET respectivo, tendromos — 7
(eet aie en weak une en
y mulliplicando cada cociente por -9%=5
1 numerador respective, lan. Supriniendo los x? y Hosponiendo: —
(mio SPS BAB A, m- EJERCICIO 142
15 MA 5 Resolver las siguientes ecuaciones:
Como 5 está contenido en 15, el m. c. m. de los denominadores es 15 {3x 4 A. 1 3 2 + 8
Dividiendo: á 4x8 TL
1S(3x +4) Ge-1 24D) _ 148
TURE Al Lu à à este cocoate lo mulílco por 6 +,
15 PEN vides ” 18 5x6 9
15138 + 4) A = 8
ER L 5, ete cocento to muliplico por 5x +2. eee A
44 a ER Ate ee Jam a
151374 4) CASADA 12x 12
aus, este cocente lo mulliplico por 2x: ee o IE
5 san s ted N 2 xl al an 143% de
153% 4 4) Set8_ Bet? PSE DE
SETA 164304 4h; este cociont lo muliplico por 1. 5. E =
7 Latah ven Be BE M en a Gera
Tandremos (3x + 4)( 6x + $)— 151 5x-+2)=319e 44) 1204311513: 44). o RE
Efeciuando: 1822 4 394 + 20 — 754 —30= 185" + Slx 36 45% — 60. ST En
Dx 754 — Sx + 45x = — 20430436 —60 Gg dE à
Suptimiendo 182 on ambos x mn van me RS
miembros y Honsponiendes sn
Maa
i a 28 gets
26 8x7
Hollamos el m. € m. do los. Pre)
denominadas dí. aa e od
Dividiendo BIx=3) eme Io 4121-514 1612 1) =3( D, Se
viendo 8[x—3) entre Y 121) =3(x .
des ión de cado de- Bx—20+16x— 5 2-10
nominador y múliplicando. Gx 148 = Sr 120 ARE RE UN
los cocieater por los nume TUE DT A
dores, tendremos:
@lé) RESOLUCION DE ECUACIONES-DE PRIMER GRADO E a Ng
CON DENOMINADORES COMPUESTOS Lis ne 3 6-9 2-43
D Hallemos el mcm. +e 3= (x + 3){x— 1)
Ejemplos fe ee CR 2 e de los denomina: 9 = le +39) moco mo (x— M(x + 3) [n=
DT rer den a eV
Elm. €, m. de los denominador Diviiondo (x = x {x 9)
e axe porque 4x? — 1 oe nie à de cada. RER dt DANSE
HIRE THY equi ves on E 'ominador y mulipliconde ca Zr (8 = 1) =
que conne a lor chet dos de 341) 4) fx + 2)=0 da cociente por el numerdor AN
neminadores. Dividiondo 122 + 11 PPS ET respectivo, tendromos — 7
(eet aie en weak une en
y mulliplicando cada cociente por -9%=5
1 numerador respective, lan. Supriniendo los x? y Hosponiendo: —
(mio SPS BAB A, m- EJERCICIO 142
15 MA 5 Resolver las siguientes ecuaciones:
Como 5 está contenido en 15, el m. c. m. de los denominadores es 15 {3x 4 A. 1 3 2 + 8
Dividiendo: á 4x8 TL
1S(3x +4) Ge-1 24D) _ 148
TURE Al Lu à à este cocoate lo mulílco por 6 +,
15 PEN vides ” 18 5x6 9
15138 + 4) A = 8
ER L 5, ete cocento to muliplico por 5x +2. eee A
44 a ER Ate ee Jam a
151374 4) CASADA 12x 12
aus, este cocente lo mulliplico por 2x: ee o IE
5 san s ted N 2 xl al an 143% de
153% 4 4) Set8_ Bet? PSE DE
SETA 164304 4h; este cociont lo muliplico por 1. 5. E =
7 Latah ven Be BE M en a Gera
Tandremos (3x + 4)( 6x + $)— 151 5x-+2)=319e 44) 1204311513: 44). o RE
Efeciuando: 1822 4 394 + 20 — 754 —30= 185" + Slx 36 45% — 60. ST En
Dx 754 — Sx + 45x = — 20430436 —60 Gg dE à
Suptimiendo 182 on ambos x mn van me RS
miembros y Honsponiendes sn
Maa
i a 28 gets
26 8x7
Hollamos el m. € m. do los. Pre)
denominadas dí. aa e od
Dividiendo BIx=3) eme Io 4121-514 1612 1) =3( D, Se
viendo 8[x—3) entre Y 121) =3(x .
des ión de cado de- Bx—20+16x— 5 2-10
nominador y múliplicando. Gx 148 = Sr 120 ARE RE UN
los cocieater por los nume TUE DT A
dores, tendremos:
2 Pr AN
cary E
1% TOA go, HL 6 a
ETS GA de
2_ oe ed hy _ 5)
m: E O ED
a CM) ace
EE,
j
1
APA IES
2 eh a
TA a
3 _2 Mem)
es I mil
CH amt Art)
CFT ae
ghee
en tee Pav
iin te pire dent a
lar customs cdbicas
ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
ECUACIONES LITERALES son ecuaciones en las que algunos o todos
los coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas que {je
ran en la ecuación están representados por letras.
Estas letras suelen ser a, be, d,m y» según costumbre, representan:
lo x la incógnita.
Las ecuaciones literales de primer grado con una incógnita se resuel.
indo las mismas reglas que hemos empleado en las ecuaciones nu
méricas.
(DEEP
Ejemplos | AU Resolver la ecuadiin a(x Hl x = 0f6 + 1)# 1.
Efectuondo las oparacioms indicados: ax + 0? —
Tronponiendo: an x = + a 4-1 — 0,
Reduciendo términos semojontes ox x
Factorando: x(o—1]= +1. atl
Despejando x, paro lo cual dividimos a "Tan
ambos miembros por [a — 1), quedo:
243
cary E
1% TOA go, HL 6 a
ETS GA de
2_ oe ed hy _ 5)
m: E O ED
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EE,
j
1
APA IES
2 eh a
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3 _2 Mem)
es I mil
CH amt Art)
CFT ae
ghee
en tee Pav
iin te pire dent a
lar customs cdbicas
ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
ECUACIONES LITERALES son ecuaciones en las que algunos o todos
los coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas que {je
ran en la ecuación están representados por letras.
Estas letras suelen ser a, be, d,m y» según costumbre, representan:
lo x la incógnita.
Las ecuaciones literales de primer grado con una incógnita se resuel.
indo las mismas reglas que hemos empleado en las ecuaciones nu
méricas.
(DEEP
Ejemplos | AU Resolver la ecuadiin a(x Hl x = 0f6 + 1)# 1.
Efectuondo las oparacioms indicados: ax + 0? —
Tronponiendo: an x = + a 4-1 — 0,
Reduciendo términos semojontes ox x
Factorando: x(o—1]= +1. atl
Despejando x, paro lo cual dividimos a "Tan
ambos miembros por [a — 1), quedo:
243
244 @ sarna
(2) Resolver la ecuación x{3—2b)—1= x(2—36)~ 8%.
Efectuondo los operaciones indicados: 3x — 2bx
Tronsponiendos Be — 2bx — 2x + abx = 1 — BF
Reduciendo términos semejontes; x bx = 1 — Be,
Factorando ambos miembros: x{1-+b)=(1+6)(1—b).
Dividiendo ambos miembros por (1 + b}, quedo:
E EJERCICIO 143
Resolver las siguientes ecuaciones:
2. ( .
12. x—a+2=20x—Ma+x)-2a5)
3 15.
tara. Er 4 EAN
set bye >: 16. (a4 5)-3-ala- Yell) lab).
—a (x +a)=a(a—1x) 16. (m+äx amt 2)=(2x-m)*+mtlöx—m).
ala by x (La) 17. aa) aer) WIV al ra).
ka) by) 18 (m RAD) bar (T2).
Hab) Ge 20) 19. (xa)? —(a4)*=0.
(a2) +a 20. (atm) am mp2.
Hrai=(as}*ea~t.
(EN RESOLUCION DE ECUACIONES LITERALES FRACCIONARIAS
mplos ] (1) oser la ecuación = Bo
y que suprimir denominadores. EI m. e. m. de los denominadores es 2%,
Dividiendo 2m entro coda denominador y multiplicando cado cociente po!
el numerador respeciivo, tendremos: mx —2(3— dix] —2m(2x)=0.
Efeciuando les operaciones indicados: mx — 6-1: 6 mx = 4mx =D,
Transponiondo: mx dm — dene
mx
Dividiendo por 3: ax
9-1 folo-1)__ 2
Ke re
El m. e. m. de las denominadores es x*—a?=|x-hal|x—a). Dividiondo
2% =? enire coda denominados y rulliplicande code cociente por el nume-
tador respectivo, tendremos: [O1 }1x +0) 2ula 11= — 2alx- 0).
Electuando los operaciones indicadas: ax — x + 0° — a 20? 4 2 = — 2ax + 20?
Transponiendo: ax — x + 2ax = — 0% +0 4 ut 2a 4 208,
Reduciendo: Jox — x = 30? — 0
Factorando ambos miembros: x (3a = 1}= a {30 1}.
Dividiendo ambos miembros por (Ja — 1] quedo, finalmente
ko. R
12) Resolver
Ww
10.
u
12
[CUACIONGS FRAECIONARIAS De tee mano 0 241
EJERCICIO 144
Resolver las siguientes ecuaciones:
13.
ARRON RED)
Ce ER aa re,
2 ed tb.
ba I 12a
Gar Baba
ea
Ayx_xy , 04190
sl
a ab a
stm chm _ ment atBxtab).
Ex y cata à
ate _ 2(6x—a) gg, ets) Hohe) _ 000)
wha dxta b HR
a 2 m(n—x)—(m—n)(m+x)=n!—> (mnt Bin!
(2) Resolver la ecuación x{3—2b)—1= x(2—36)~ 8%.
Efectuondo los operaciones indicados: 3x — 2bx
Tronsponiendos Be — 2bx — 2x + abx = 1 — BF
Reduciendo términos semejontes; x bx = 1 — Be,
Factorando ambos miembros: x{1-+b)=(1+6)(1—b).
Dividiendo ambos miembros por (1 + b}, quedo:
E EJERCICIO 143
Resolver las siguientes ecuaciones:
2. ( .
12. x—a+2=20x—Ma+x)-2a5)
3 15.
tara. Er 4 EAN
set bye >: 16. (a4 5)-3-ala- Yell) lab).
—a (x +a)=a(a—1x) 16. (m+äx amt 2)=(2x-m)*+mtlöx—m).
ala by x (La) 17. aa) aer) WIV al ra).
ka) by) 18 (m RAD) bar (T2).
Hab) Ge 20) 19. (xa)? —(a4)*=0.
(a2) +a 20. (atm) am mp2.
Hrai=(as}*ea~t.
(EN RESOLUCION DE ECUACIONES LITERALES FRACCIONARIAS
mplos ] (1) oser la ecuación = Bo
y que suprimir denominadores. EI m. e. m. de los denominadores es 2%,
Dividiendo 2m entro coda denominador y multiplicando cado cociente po!
el numerador respeciivo, tendremos: mx —2(3— dix] —2m(2x)=0.
Efeciuando les operaciones indicados: mx — 6-1: 6 mx = 4mx =D,
Transponiondo: mx dm — dene
mx
Dividiendo por 3: ax
9-1 folo-1)__ 2
Ke re
El m. e. m. de las denominadores es x*—a?=|x-hal|x—a). Dividiondo
2% =? enire coda denominados y rulliplicande code cociente por el nume-
tador respectivo, tendremos: [O1 }1x +0) 2ula 11= — 2alx- 0).
Electuando los operaciones indicadas: ax — x + 0° — a 20? 4 2 = — 2ax + 20?
Transponiendo: ax — x + 2ax = — 0% +0 4 ut 2a 4 208,
Reduciendo: Jox — x = 30? — 0
Factorando ambos miembros: x (3a = 1}= a {30 1}.
Dividiendo ambos miembros por (Ja — 1] quedo, finalmente
ko. R
12) Resolver
Ww
10.
u
12
[CUACIONGS FRAECIONARIAS De tee mano 0 241
EJERCICIO 144
Resolver las siguientes ecuaciones:
13.
ARRON RED)
Ce ER aa re,
2 ed tb.
ba I 12a
Gar Baba
ea
Ayx_xy , 04190
sl
a ab a
stm chm _ ment atBxtab).
Ex y cata à
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wha dxta b HR
a 2 m(n—x)—(m—n)(m+x)=n!—> (mnt Bin!
Agata van ciencia Paramente uni, y compas
18 denaroll de Ta Trigonameta "do clone
CAPITULO XVIL
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES FRACCIONARIAS
DE PRIMER GRADO
20) La suma de ta tercera yla carta pare de un número equiva al du
plo del mero disminuido cn 17. Halr el mimeo,
nee
Tendre ta teem pate del mero
=
Eon am pare del número
Iuplo del número.
De ner con ls condiciones dl problema, aan
tend ay ecuación a
Resolviendo: Ax dx
Ax ob De =
2, el número buscado. R.
PROBLEMAS SOORE ECUACIONIS FRAGGIONANIAS @ 247)
[> EJERCICIO 145
1. Hallar el número que disminuido en sus À equivale a su duplo dis
minuido en 11.
2 Hallar el mümero que aumentado en sus À equivale à su triplo di
sudo en 14.
3. ¿Qué mimero hay que restar de 22 para que la diferencia equivalya 4
la mitad de 22 aumentada en los E del numero que se resta?
de ¿Cuál es el múmero que tiene 30 de diferencia entre sus Ey sus 2
5. El exceso de un número sobre 17 equivale a la diferencia entre los E
del número, Hallar el número.
& La suma de la quinta parte de un mimero con los À del número excede
diferencia entre
en 49 al doble de y À del mümero. Hallar el mimero,
To La edad de Be los 2 de la de 4, y sl ambas edades se suman, la sua
excede en 4 años al doble de la edad de 2, Hallar ambas edades.
1 tiene los 3 de lo que tiene A. Si À recibe $40, entonces tiene el doble
de lo que Vene ahora, ¿Cuámo tiene cada uno?
®. Después de vender los À de una pieza de tela quedan 40 m. ¿Cuil
cra la longitud de Ja piesa?
10. Después de-gastar 4
enka?
2 de lo que tenfa me quedan 39 bolívares, udnto
El criplo de un múmero excede en 19 al tercio del: mismo número.
Hallar el número.
12, El cuádeuplo de un número excede en 19 a la mitad del
tada en 30. Hallar el nümero.
1, El exceso de 80 sobre la mitad de un número equivale al exceso del
nümero sobre 10. Hallar el número.
nero
14. allay el mero cayos 2 excedan à wus Men 2!
16. El largo de un buque que cs 800 ples excedo en 744 pie los
anche. Haller el ancho.
del
ai) Hallar. tres mtimeros enteros consecutivos tales que la suma de tos
del mayor con los $ del número intermedio equivalga al número
menor di
Sea enor
Entonces
lermedio,
mero mayor
18 denaroll de Ta Trigonameta "do clone
CAPITULO XVIL
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES FRACCIONARIAS
DE PRIMER GRADO
20) La suma de ta tercera yla carta pare de un número equiva al du
plo del mero disminuido cn 17. Halr el mimeo,
nee
Tendre ta teem pate del mero
=
Eon am pare del número
Iuplo del número.
De ner con ls condiciones dl problema, aan
tend ay ecuación a
Resolviendo: Ax dx
Ax ob De =
2, el número buscado. R.
PROBLEMAS SOORE ECUACIONIS FRAGGIONANIAS @ 247)
[> EJERCICIO 145
1. Hallar el número que disminuido en sus À equivale a su duplo dis
minuido en 11.
2 Hallar el mümero que aumentado en sus À equivale à su triplo di
sudo en 14.
3. ¿Qué mimero hay que restar de 22 para que la diferencia equivalya 4
la mitad de 22 aumentada en los E del numero que se resta?
de ¿Cuál es el múmero que tiene 30 de diferencia entre sus Ey sus 2
5. El exceso de un número sobre 17 equivale a la diferencia entre los E
del número, Hallar el número.
& La suma de la quinta parte de un mimero con los À del número excede
diferencia entre
en 49 al doble de y À del mümero. Hallar el mimero,
To La edad de Be los 2 de la de 4, y sl ambas edades se suman, la sua
excede en 4 años al doble de la edad de 2, Hallar ambas edades.
1 tiene los 3 de lo que tiene A. Si À recibe $40, entonces tiene el doble
de lo que Vene ahora, ¿Cuámo tiene cada uno?
®. Después de vender los À de una pieza de tela quedan 40 m. ¿Cuil
cra la longitud de Ja piesa?
10. Después de-gastar 4
enka?
2 de lo que tenfa me quedan 39 bolívares, udnto
El criplo de un múmero excede en 19 al tercio del: mismo número.
Hallar el número.
12, El cuádeuplo de un número excede en 19 a la mitad del
tada en 30. Hallar el nümero.
1, El exceso de 80 sobre la mitad de un número equivale al exceso del
nümero sobre 10. Hallar el número.
nero
14. allay el mero cayos 2 excedan à wus Men 2!
16. El largo de un buque que cs 800 ples excedo en 744 pie los
anche. Haller el ancho.
del
ai) Hallar. tres mtimeros enteros consecutivos tales que la suma de tos
del mayor con los $ del número intermedio equivalga al número
menor di
Sea enor
Entonces
lermedio,
mero mayor
problema, tendremos la ecuación: os
248 @ aucwra
Los 2 del múmero mayor serin 2+ 2).
Los À del número intermedio serán 24+ 1).
El menor disminuido en 8 será x 8.
o o a ane
Resolviendo: 2442) 20841)
13 Deg
Si x=50, x:+1=61 y x-+2=58; luego, los mimeros buscados son 50,
51y52 R
@ EJERCICIO 146
Hallar dos nimeros consec
al menor disminuido en 4.
Hallar dos números consecutivos tales que los 2 del menor excedan en
17 à los 2 del mayor
tales que los + del mayor equivalgan
|. Hallar: dos múmeros consecutivos tales que el menor exceda en 81 a
la diferencia ente los À del menor y los 2 del mayor,
Se tienen dos números consecutivos tales que la su
de 2d inayor
con 3; del menor excede en 8 a los À del mayor. Hallar fos mimeros
La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324.
Hallar los números.
4 tiene $1 más que B. Si B gastara SS, tendría $4 menos que los £ de
lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?
Hoy gané $1 más que ayer, y lo que he ganado en los dos días cs $25
más que los 2 de lo que gané ayer. ¿Cuínto gané hoy y cuinto ayer?
| Hallar tres múmeros consecutivos tales que si el menor se divide entre
20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41 la suma de los cocients es 9.
| Halle tres números consecutivo tales que la suma de los © del menor
con los £ del mayor exceda en 31 al del medio,
ROMEMAS SOBRE ECUACIONES FRACCIONARIAS @ 249
10, Se tienen tres mimeros consecutivos tales que la diferencia enue los À
del mediano y los 5; del menor excede en 1a + del mayor. Hallar los
números.
11, A tiene 2 años más que Æ y éste 2 años más que C. Si Ins edades de
By G se suman, esta suma excede en 12 años a los 2 de la edad de A.
Hallar tas edades respectivas.
12, A tiene 1 año menos que B y B 1 año menos que €. Si del cuadrado
de la edad de © se resta el cuadrado de la edad de B la diferencia ex
4 años menos que los Y de la edad de A. Hallar las edades respectivas,
La suma de dos números es 77, y si el mayor se divide por el menor,
el cociente es 2 y el residuo 8. Hallar los números.
Sea
Sel número mayor.
Entonces
el múmero menor
De acuerdo con las condiciones del problema, al dividir el
mayor x entre el menor 77 ~ x el cociente es 2 y el residuo 8, pero
xB entre 77—x es exacta y da de cociente 2; luego, tendremos
la ecuación: ,
Resolviendo:
Si el número mayor es 54, el menor será 77 —
Luego, los múmeros buscados son 54 y 23. Re
m EJERCICIO 147
1. La suma de dos mimeros es 59, y a el mayor se divide por el menor, el
cociente 03 y el residuo 3. Hallar los mimeros.
2. La suma de dos múmeros es 496, y al el mayor se divide por el menor,
cele yl vio 2. Hal ls met
2. La diferencia de dos mömeros ez 44, y i el mayor se divide por el menor,
el cocieme es 3 el residuo 2. Hallar los maneras. 7
4. Un nümero excede a otro en 36. Si el mayor ve divide por el menor, el
ociente es 3 y el residuo $. Hallar los micros
Dividir 200 en dos partes tales que cl duplo de la mayor di
el triplo de Ta menor dé 2 de cociente y 40 de residue
8. Repartir 196 soles entre À y de modo que si los 2 de la parte de À
se dividen:
aiduo.
re el quinto de la de B se obtiene 1 de cociente y 16 de
248 @ aucwra
Los 2 del múmero mayor serin 2+ 2).
Los À del número intermedio serán 24+ 1).
El menor disminuido en 8 será x 8.
o o a ane
Resolviendo: 2442) 20841)
13 Deg
Si x=50, x:+1=61 y x-+2=58; luego, los mimeros buscados son 50,
51y52 R
@ EJERCICIO 146
Hallar dos nimeros consec
al menor disminuido en 4.
Hallar dos números consecutivos tales que los 2 del menor excedan en
17 à los 2 del mayor
tales que los + del mayor equivalgan
|. Hallar: dos múmeros consecutivos tales que el menor exceda en 81 a
la diferencia ente los À del menor y los 2 del mayor,
Se tienen dos números consecutivos tales que la su
de 2d inayor
con 3; del menor excede en 8 a los À del mayor. Hallar fos mimeros
La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324.
Hallar los números.
4 tiene $1 más que B. Si B gastara SS, tendría $4 menos que los £ de
lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?
Hoy gané $1 más que ayer, y lo que he ganado en los dos días cs $25
más que los 2 de lo que gané ayer. ¿Cuínto gané hoy y cuinto ayer?
| Hallar tres múmeros consecutivos tales que si el menor se divide entre
20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41 la suma de los cocients es 9.
| Halle tres números consecutivo tales que la suma de los © del menor
con los £ del mayor exceda en 31 al del medio,
ROMEMAS SOBRE ECUACIONES FRACCIONARIAS @ 249
10, Se tienen tres mimeros consecutivos tales que la diferencia enue los À
del mediano y los 5; del menor excede en 1a + del mayor. Hallar los
números.
11, A tiene 2 años más que Æ y éste 2 años más que C. Si Ins edades de
By G se suman, esta suma excede en 12 años a los 2 de la edad de A.
Hallar tas edades respectivas.
12, A tiene 1 año menos que B y B 1 año menos que €. Si del cuadrado
de la edad de © se resta el cuadrado de la edad de B la diferencia ex
4 años menos que los Y de la edad de A. Hallar las edades respectivas,
La suma de dos números es 77, y si el mayor se divide por el menor,
el cociente es 2 y el residuo 8. Hallar los números.
Sea
Sel número mayor.
Entonces
el múmero menor
De acuerdo con las condiciones del problema, al dividir el
mayor x entre el menor 77 ~ x el cociente es 2 y el residuo 8, pero
xB entre 77—x es exacta y da de cociente 2; luego, tendremos
la ecuación: ,
Resolviendo:
Si el número mayor es 54, el menor será 77 —
Luego, los múmeros buscados son 54 y 23. Re
m EJERCICIO 147
1. La suma de dos mimeros es 59, y a el mayor se divide por el menor, el
cociente 03 y el residuo 3. Hallar los mimeros.
2. La suma de dos múmeros es 496, y al el mayor se divide por el menor,
cele yl vio 2. Hal ls met
2. La diferencia de dos mömeros ez 44, y i el mayor se divide por el menor,
el cocieme es 3 el residuo 2. Hallar los maneras. 7
4. Un nümero excede a otro en 36. Si el mayor ve divide por el menor, el
ociente es 3 y el residuo $. Hallar los micros
Dividir 200 en dos partes tales que cl duplo de la mayor di
el triplo de Ta menor dé 2 de cociente y 40 de residue
8. Repartir 196 soles entre À y de modo que si los 2 de la parte de À
se dividen:
aiduo.
re el quinto de la de B se obtiene 1 de cociente y 16 de
250 @ ascos
ganó el er: día, o sen los À de x; luego”
aida de x
el 39 din, o sea los} de =: luego 7
tendremos la ecuación:
En tres días un hombre ganó 185 sucres. Si cada día ganó los < de
lo que ganó el día anterior, ¿cuánto ganó en cada uno de los tres días?
Sea x
lo que ganó el 1er dia.
El 29 día ganó los $ de lo que ax
lo que ganó el 2
El 8er día ganó los ? de lo que ganó to que ganó el Ser dia.
E
Como entre los 3 días ganó 185 sucres,
ZP
10% + 12x +95
Six
Resolviendo:
80 sucres, lo que ganó
el primer dia, Ro
ps ata a AO ds ok,
a" 4
4 fx IX
EI 3% día ganó: Dm PA = 45 sucres. R.
EJERCICIO 148
En ares días un hombre ganó $175, Si cada día ganó la mitad de lo que
and el dia anterior, comino ganó cada dia?
EI jueves peral Ts. de lo que perl el miércoles y el viernes os & delo
¿que perdi el jueves. Si en los eres días perdí S252, ¿cuámo perdí cada dis?
lena 2 ae qu dese y 62 de lo qué tine lee A entre os
aros tienen 218 sucres, ¿cuánto dene cada uno?
La edad de B cs los 2 de la de 4 y la de G los 2 de In de 3, Si las tes
edades suman 73 años, hallar las edades respectivas.
En 4 días un hombre recorrió 120 Km. Si cada día recorrió + de lo que
socorrió el dia anterior, ¿cuántos Km. recorrió en cada dla?
En cuatro semanas un avión recorrió 4641 Km. Si cada semana recorrió
los # de lo que recorrió la semana anterior, ¿cuámos Km recorrió en
cada semana?
PROBLEMAS sosne ECUACIONS MRACCIONANIAS @ 251
Una herencia de 230500 colones se ha repartido, entre cinco. persona.
La segunda recibe la mitad de lo que recibe la primera; la tercera L de lo.
que recibe la segunda; la cuarta + de lo que secibe la tercera y la quinta
de lo que recibe la cuarta. ¿Cuánto recibió cada personas
8 Un hombre viajó 9602 Km por barco, tren y avión. Por tren recorrió
dos + de lo que recorrió en barco y en avión los ~ de lo que secorió
en ten, ¿Cuántos Kon recorrió de cada modo?
A tenía cierta suma de dinero, Gastó 530 en libros y los + de lo que
le quedaba después del gasto anterior en ropa. Si le queda
¿cuánto tenía al principio? Fi Su
Sea ax =l0 que tenia al principio.
Después de gastar $20 en libros, le quedaron S{x—30).
En ropa gastó + de lo que le quedaba, o sea É{x— 30).
Como aún le quedan $30, la diferencia entre lo
que le quedaba después del primer gasto, x—30, y lo
que gastó en ropa, “+(x—30), será igual a $30; luego,
tenemos la ecuación —
Resolviendo:
Luego, A tenía al p
M EJERCICIO 149
1 Tenia cierta suma de dinero. Gasté $20 y presté los À de Jo que me
quedaba. Si ahora tengo $10, gcuénto tenia al principio?
Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo
que me quedó, tengo 21 queues ¿Cuimo tenia al pu
Tengo cierta suma de dinero, Si me pagan $7 que me debe», puedo
pasar los de mi nuevo capital y me quedaran $20. ¿Cuánto tengo ahora?
4
de Gasté tos À de Jo que tenía y presté los ® de lo que me quedó. Si ain
enge 500 olivares, ¿cuánto tenía al principie?
a son palomas; tor 2 del sexo gallinas
y las 4 aves restantes gallon ¿Cuántas aves hay en la gran
ü Los
de las aves de una gy
EN
ganó el er: día, o sen los À de x; luego”
aida de x
el 39 din, o sea los} de =: luego 7
tendremos la ecuación:
En tres días un hombre ganó 185 sucres. Si cada día ganó los < de
lo que ganó el día anterior, ¿cuánto ganó en cada uno de los tres días?
Sea x
lo que ganó el 1er dia.
El 29 día ganó los $ de lo que ax
lo que ganó el 2
El 8er día ganó los ? de lo que ganó to que ganó el Ser dia.
E
Como entre los 3 días ganó 185 sucres,
ZP
10% + 12x +95
Six
Resolviendo:
80 sucres, lo que ganó
el primer dia, Ro
ps ata a AO ds ok,
a" 4
4 fx IX
EI 3% día ganó: Dm PA = 45 sucres. R.
EJERCICIO 148
En ares días un hombre ganó $175, Si cada día ganó la mitad de lo que
and el dia anterior, comino ganó cada dia?
EI jueves peral Ts. de lo que perl el miércoles y el viernes os & delo
¿que perdi el jueves. Si en los eres días perdí S252, ¿cuámo perdí cada dis?
lena 2 ae qu dese y 62 de lo qué tine lee A entre os
aros tienen 218 sucres, ¿cuánto dene cada uno?
La edad de B cs los 2 de la de 4 y la de G los 2 de In de 3, Si las tes
edades suman 73 años, hallar las edades respectivas.
En 4 días un hombre recorrió 120 Km. Si cada día recorrió + de lo que
socorrió el dia anterior, ¿cuántos Km. recorrió en cada dla?
En cuatro semanas un avión recorrió 4641 Km. Si cada semana recorrió
los # de lo que recorrió la semana anterior, ¿cuámos Km recorrió en
cada semana?
PROBLEMAS sosne ECUACIONS MRACCIONANIAS @ 251
Una herencia de 230500 colones se ha repartido, entre cinco. persona.
La segunda recibe la mitad de lo que recibe la primera; la tercera L de lo.
que recibe la segunda; la cuarta + de lo que secibe la tercera y la quinta
de lo que recibe la cuarta. ¿Cuánto recibió cada personas
8 Un hombre viajó 9602 Km por barco, tren y avión. Por tren recorrió
dos + de lo que recorrió en barco y en avión los ~ de lo que secorió
en ten, ¿Cuántos Kon recorrió de cada modo?
A tenía cierta suma de dinero, Gastó 530 en libros y los + de lo que
le quedaba después del gasto anterior en ropa. Si le queda
¿cuánto tenía al principio? Fi Su
Sea ax =l0 que tenia al principio.
Después de gastar $20 en libros, le quedaron S{x—30).
En ropa gastó + de lo que le quedaba, o sea É{x— 30).
Como aún le quedan $30, la diferencia entre lo
que le quedaba después del primer gasto, x—30, y lo
que gastó en ropa, “+(x—30), será igual a $30; luego,
tenemos la ecuación —
Resolviendo:
Luego, A tenía al p
M EJERCICIO 149
1 Tenia cierta suma de dinero. Gasté $20 y presté los À de Jo que me
quedaba. Si ahora tengo $10, gcuénto tenia al principio?
Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo
que me quedó, tengo 21 queues ¿Cuimo tenia al pu
Tengo cierta suma de dinero, Si me pagan $7 que me debe», puedo
pasar los de mi nuevo capital y me quedaran $20. ¿Cuánto tengo ahora?
4
de Gasté tos À de Jo que tenía y presté los ® de lo que me quedó. Si ain
enge 500 olivares, ¿cuánto tenía al principie?
a son palomas; tor 2 del sexo gallinas
y las 4 aves restantes gallon ¿Cuántas aves hay en la gran
ü Los
de las aves de una gy
EN
252 @ arctuna
6. Gase los À de lo que tenía; perdí los 2 de lo que me quedó; se me
perdieron 8 soles y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía al principio?
7. Tenia cierta suma. Gasté À de lo que tenía; cobré $42 que me debian
y ahora tengo $2 más que al principio, ¿Cuánto tenia al principio?
8 de gar la mid de lo que tenia y $15 mi, me quedan 300
Como, tend al: principio?
9. Gasté los À de lo que tenía y después recibi 1300 sucre
100 ms ás que alpino, ¿uno tna al rin
20. Tenía cita suma. Gast los À en tas Jo À de lo que me quedó
en libros. Si lo que tengo ahora es $38 menos que los É de to que tenia
al principio, geuänto tenía al principio?
(23) La ad cal de A a mi dea de hc 10 ao In ad
era los + de'la edad de B. Hallar las edades actuales.
Sea x = edad actual de A.
aora tengo
Si la edad actual de A es la mitad de lade , 2N ed
B, la edad actual de B es doble de la de A; luego,
Hace 10 años, cada uno tenia x-10=edad de À hace 10 años.
10 años menos que ahora; luego, __/ 2x—10=edad de B hace 10 años
vin las condiciones del 2, la edad de A hace (5
dd
sea E de 2x—10; luego, tendremos la ceuación: —*——/
Resolviendo: 7x-70=6x -30
Te 6x =70 30
x=40 años, edad actual de A. R.
2x =80 años, edad actual de BR.
(220) Hace 10 años In edad de A era los & de la edad que tendrá dentro
de 20 años. Hallar la edad actual de A.
de A.
Sea x=edad act
Hace 10 años la edad de A era x—10.
Dentro de 20 años la edad de À será x4-20.
PRONLIMAS sonaE ECUACIONES rracciomantas © 253
Según las condiciones, la edad de A hace 10 años,
X~10, era los 2 de la edad que tendrá dentro de 20 años, mao
es decir, los $ de x+20; luego, tenemos la ecuación —
Resolviendo: 5x 50= 3x +00
2x=H0
30-55 años, edad actual de A. Ro
M EJERCICIO 150
1. La edad de A es de la de B y hace 15 años la edad de A era 2
de B. Hallar las ¿dades actuales,
aad de 4 es el tipo de a de By dent de 20 años será el doble
Hallar las edades actuales,
® La edad de A hace 5 años era los 2 de la edad que tendrá dentro de 6
años. Hallar la edad actual de 4.
Hace 6 años la edad de A era la mitad de la edad que tes
21 años. Hallar la edad actual de 4.
5: La edad de un hijo es Í de la edad de su padre y dentro de 16 años
será la mitad. Hallar las edades actuales,
La edad de un hijo es los 3 de la de su padre y hace 8 años La edad del
hijo era los 4 de la edad del padre. Hallar las edades actuales.
La suma de las edades actuals de À y 2 es 65 años y dentro de 10 alloy
la edad de 8 sera los & de la de A. Hallar las edades actuales.
® La diferencia de las edades de un padre y su hijo es 25 años. Hace 1
años la edad del hijo era los E de la del padre. Hallar las edades actuales
le la
Irá dentro de
1.
® Hace 10 años la edad de un padre era doble que la de su hijo y dentro
de 10 años la edad del padre será los À de la del hijo. Hallar las cdades
actuales,
10.
A tiene 19 años más que B. Hace 18 años la edad de À era lox À de la
de B. Hallar las edades actuales.
JE La edad de A es el triplo de la de B y hace 4 años la suma de ambas
dades era igual a la que tendrá B dentro de 16 años. Hallar las edades
actuales,
(222) A ene doble dinero que B. Si A le da a B 34 soles, A tendrá los ¿-
de lo que tenga B. ¿Cuánto tiene cada uno?
Sea += lo que tiene A
Entonces 2x=lo que tiene A.
Si A le da a B 84 soles, A se queda con 2x—34 soles y B tendrá en.
tonces x +34 soles.
6. Gase los À de lo que tenía; perdí los 2 de lo que me quedó; se me
perdieron 8 soles y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía al principio?
7. Tenia cierta suma. Gasté À de lo que tenía; cobré $42 que me debian
y ahora tengo $2 más que al principio, ¿Cuánto tenia al principio?
8 de gar la mid de lo que tenia y $15 mi, me quedan 300
Como, tend al: principio?
9. Gasté los À de lo que tenía y después recibi 1300 sucre
100 ms ás que alpino, ¿uno tna al rin
20. Tenía cita suma. Gast los À en tas Jo À de lo que me quedó
en libros. Si lo que tengo ahora es $38 menos que los É de to que tenia
al principio, geuänto tenía al principio?
(23) La ad cal de A a mi dea de hc 10 ao In ad
era los + de'la edad de B. Hallar las edades actuales.
Sea x = edad actual de A.
aora tengo
Si la edad actual de A es la mitad de lade , 2N ed
B, la edad actual de B es doble de la de A; luego,
Hace 10 años, cada uno tenia x-10=edad de À hace 10 años.
10 años menos que ahora; luego, __/ 2x—10=edad de B hace 10 años
vin las condiciones del 2, la edad de A hace (5
dd
sea E de 2x—10; luego, tendremos la ceuación: —*——/
Resolviendo: 7x-70=6x -30
Te 6x =70 30
x=40 años, edad actual de A. R.
2x =80 años, edad actual de BR.
(220) Hace 10 años In edad de A era los & de la edad que tendrá dentro
de 20 años. Hallar la edad actual de A.
de A.
Sea x=edad act
Hace 10 años la edad de A era x—10.
Dentro de 20 años la edad de À será x4-20.
PRONLIMAS sonaE ECUACIONES rracciomantas © 253
Según las condiciones, la edad de A hace 10 años,
X~10, era los 2 de la edad que tendrá dentro de 20 años, mao
es decir, los $ de x+20; luego, tenemos la ecuación —
Resolviendo: 5x 50= 3x +00
2x=H0
30-55 años, edad actual de A. Ro
M EJERCICIO 150
1. La edad de A es de la de B y hace 15 años la edad de A era 2
de B. Hallar las ¿dades actuales,
aad de 4 es el tipo de a de By dent de 20 años será el doble
Hallar las edades actuales,
® La edad de A hace 5 años era los 2 de la edad que tendrá dentro de 6
años. Hallar la edad actual de 4.
Hace 6 años la edad de A era la mitad de la edad que tes
21 años. Hallar la edad actual de 4.
5: La edad de un hijo es Í de la edad de su padre y dentro de 16 años
será la mitad. Hallar las edades actuales,
La edad de un hijo es los 3 de la de su padre y hace 8 años La edad del
hijo era los 4 de la edad del padre. Hallar las edades actuales.
La suma de las edades actuals de À y 2 es 65 años y dentro de 10 alloy
la edad de 8 sera los & de la de A. Hallar las edades actuales.
® La diferencia de las edades de un padre y su hijo es 25 años. Hace 1
años la edad del hijo era los E de la del padre. Hallar las edades actuales
le la
Irá dentro de
1.
® Hace 10 años la edad de un padre era doble que la de su hijo y dentro
de 10 años la edad del padre será los À de la del hijo. Hallar las cdades
actuales,
10.
A tiene 19 años más que B. Hace 18 años la edad de À era lox À de la
de B. Hallar las edades actuales.
JE La edad de A es el triplo de la de B y hace 4 años la suma de ambas
dades era igual a la que tendrá B dentro de 16 años. Hallar las edades
actuales,
(222) A ene doble dinero que B. Si A le da a B 34 soles, A tendrá los ¿-
de lo que tenga B. ¿Cuánto tiene cada uno?
Sea += lo que tiene A
Entonces 2x=lo que tiene A.
Si A le da a B 84 soles, A se queda con 2x—34 soles y B tendrá en.
tonces x +34 soles.
254
aB
de lo que tiene B, o sea, los 7 de #434 soles; luego,
tenemos la ecuación
|. Ay B empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando 3 ha pı
© ausm
Según las condiciones del problema, cuando A le da
34 soles, lo que le queda a A, 2x—84 soles, es los À
Resolviendo:
5x +170
744170
32 soles, lo que tiene B. R.
2x= 64 soles, lo que tiene 4. R-
EJERCICIO 151
4 tiene doble dinero que B. Si A le diera a B 20 bolívares, tendria
dos 4 de lo que tendría 8. ¿Cuimo tiene cada uno
A tiene la mitad de lo que tiene 8, pero si B le da a À 24 colones.
ambos tendrán lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?
B tiene el doble de lo que tiene A, pero si B le da a À $6 À tendrá fos
de lo que le quede a B. ¿Cuánto tiene e
una?
B tiene los À de lo que tiene A, Si B le gana a d $30, B tend
de lo que le quede a A. ¿Cuánto tiene cada uno?
A y B empiezan a jugar con igual suma de dinero, Cuando A ha per
ida 30 sucres tiene la mitad de lo que tiene B, ¿Con cuánto empezó
à jugar cada uno?
+
À y.B empieran a jugar teniendo B los & de lo que tiene A. Cuando B
ha ganado $22 tiene los À de lo que le queda a À, ¿Con cuinto empers
a jugar cada uno?
4 tiene los É de lo que tiene B.
tendrían lo mismo. ¿Cuámio ti
A gama $13 y B pierde $5, ambos
ne cada uno?
1 tiene la mitad de lo que tiene À. Si B le gana a A una suma igual
à À de lo que tiene 4, B tendrá $5 mis que A. ¿Cuánto tiene cada uno?
A Y B empiezan a jugar con igual suma de dinero, Cuando B ha perdido
los 2 del dinero con que emperó a jugar, À ha ganado 24 balboas.
Com cuánto empezaron a jugar?
ido
del dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado À es 24 soles
más que la tercera parte de lo que le queda a B. ¿Con cuánto
a jugar?
mperaron
PROMLEMAS SOURE eevacionis FRAEcIONARIAS W255
Ormes N...
del hijo será los + de la del padre?
Sea x el número de años que tiene que pasar para que la edad del
hijo sea los $ de la del padre.
Dentro de x años, la edad del padre será 40-+x años, y la del hijo,
154 x años.
dentro de x años, 15+, será los! de la edad del padre
dentro de x años, o sea los 4 de 40+x; luego, tenemos la
ecuación: PO RAN el pt
8
Según las condiciones del problema, la edad del hijo
Resolviendo:
Dentro de 5 años. R.
EJERCICIO 152
4 tiene 88 años y 1 28 años: ¿Dentro de cuántos años la edad de J
será los E de la de a?
1 viene 25 años y À 30, ¿Dentro de a
los Í de la edad de B}
A tiene 52 años y B 48. ¿Cuántos años hace que la edad de B em
los & de la de A?
Rosa
intos años la edad de A werk
ne 27 años y María 18. ¿Cuántos años hace que la edad de N
de la de Rosa?
Enrique tiene $60 y Ernesto $22, Si ambos recibes
dinero, Emesto tiene los À de lo de Enrique. ¿G
misma suma de
il es esa suma?
Pedro tenía Q 90 y su hermano Q 50. Ambos gastaron igual suma y
ahora el hermano de Pedro tiene los 2 de lo que tiene Pedro, ¿Cuánto
gastó cada uno?
Una persona tiene Jos dela edad de su hermano. Dentro de un número
de años igual la edad actual del mayor, la sumo. de ambas edades sr
76 años, Hallar las edades actuales, "y :
A enla S54 y 0 §
js ma delo que te
I que gan cada uno. 7
A tenía 183 bolívares y 8'19, 4 le dio a B eierta suma y ahora A tiene 2.
de lo que tiene B. ¿Cuámo le dio Aa me
Ambos ganaron wna misma cantidad de dinero.
mbos ahora excede en $66 al cuddruplo de
o ganó cada und?
aB
de lo que tiene B, o sea, los 7 de #434 soles; luego,
tenemos la ecuación
|. Ay B empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando 3 ha pı
© ausm
Según las condiciones del problema, cuando A le da
34 soles, lo que le queda a A, 2x—84 soles, es los À
Resolviendo:
5x +170
744170
32 soles, lo que tiene B. R.
2x= 64 soles, lo que tiene 4. R-
EJERCICIO 151
4 tiene doble dinero que B. Si A le diera a B 20 bolívares, tendria
dos 4 de lo que tendría 8. ¿Cuimo tiene cada uno
A tiene la mitad de lo que tiene 8, pero si B le da a À 24 colones.
ambos tendrán lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?
B tiene el doble de lo que tiene A, pero si B le da a À $6 À tendrá fos
de lo que le quede a B. ¿Cuánto tiene e
una?
B tiene los À de lo que tiene A, Si B le gana a d $30, B tend
de lo que le quede a A. ¿Cuánto tiene cada uno?
A y B empiezan a jugar con igual suma de dinero, Cuando A ha per
ida 30 sucres tiene la mitad de lo que tiene B, ¿Con cuánto empezó
à jugar cada uno?
+
À y.B empieran a jugar teniendo B los & de lo que tiene A. Cuando B
ha ganado $22 tiene los À de lo que le queda a À, ¿Con cuinto empers
a jugar cada uno?
4 tiene los É de lo que tiene B.
tendrían lo mismo. ¿Cuámio ti
A gama $13 y B pierde $5, ambos
ne cada uno?
1 tiene la mitad de lo que tiene À. Si B le gana a A una suma igual
à À de lo que tiene 4, B tendrá $5 mis que A. ¿Cuánto tiene cada uno?
A Y B empiezan a jugar con igual suma de dinero, Cuando B ha perdido
los 2 del dinero con que emperó a jugar, À ha ganado 24 balboas.
Com cuánto empezaron a jugar?
ido
del dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado À es 24 soles
más que la tercera parte de lo que le queda a B. ¿Con cuánto
a jugar?
mperaron
PROMLEMAS SOURE eevacionis FRAEcIONARIAS W255
Ormes N...
del hijo será los + de la del padre?
Sea x el número de años que tiene que pasar para que la edad del
hijo sea los $ de la del padre.
Dentro de x años, la edad del padre será 40-+x años, y la del hijo,
154 x años.
dentro de x años, 15+, será los! de la edad del padre
dentro de x años, o sea los 4 de 40+x; luego, tenemos la
ecuación: PO RAN el pt
8
Según las condiciones del problema, la edad del hijo
Resolviendo:
Dentro de 5 años. R.
EJERCICIO 152
4 tiene 88 años y 1 28 años: ¿Dentro de cuántos años la edad de J
será los E de la de a?
1 viene 25 años y À 30, ¿Dentro de a
los Í de la edad de B}
A tiene 52 años y B 48. ¿Cuántos años hace que la edad de B em
los & de la de A?
Rosa
intos años la edad de A werk
ne 27 años y María 18. ¿Cuántos años hace que la edad de N
de la de Rosa?
Enrique tiene $60 y Ernesto $22, Si ambos recibes
dinero, Emesto tiene los À de lo de Enrique. ¿G
misma suma de
il es esa suma?
Pedro tenía Q 90 y su hermano Q 50. Ambos gastaron igual suma y
ahora el hermano de Pedro tiene los 2 de lo que tiene Pedro, ¿Cuánto
gastó cada uno?
Una persona tiene Jos dela edad de su hermano. Dentro de un número
de años igual la edad actual del mayor, la sumo. de ambas edades sr
76 años, Hallar las edades actuales, "y :
A enla S54 y 0 §
js ma delo que te
I que gan cada uno. 7
A tenía 183 bolívares y 8'19, 4 le dio a B eierta suma y ahora A tiene 2.
de lo que tiene B. ¿Cuámo le dio Aa me
Ambos ganaron wna misma cantidad de dinero.
mbos ahora excede en $66 al cuddruplo de
o ganó cada und?
256 © cea
223) 1a longitud de un rectángulo excede al ancho en 8 m. Si cada die
mensión se aumenta en 8 metros, el área se aumentaría en 57 m’.
Hallar las dimensiones del rectángulo,
Sea =ancho del rectángulo,
Entonces x+8=longitud del rectángul
Cómo el área de un rectángulo se
obtiene multiplicando su longitud por su
ancho, tendrem
“x(x +8)=área del rectángulo dado. |
Si cada dimensión se aumenta en 3 metros, el ancho será ahora x+3
metros y la longitud (++-8)+3=x-+11 metros.
El Área será ahora (x+3)(x +11) m?.
Según las condiciones, esta nueva superficie
+3) (+11) mE tiene 57 m* más que la su- (<P) (4D) =57 (x + 8)
perficie del rectángulo dado x(x +8); luego, se
tiene la ecu pet I A
Resolviendo; 24 1x + 33 97 = 3? + 8x
Mx Be = 57 88
62
x=4 m, ancho del rectángulo dado R.
x:+8=12 m, longitud del rectángulo dado, R.
> EJERCICIO 153
1. La longitud de un rectángulo excede al ancho en 3 m. Si cada dimen
sión se aumenta en 1 m la superficie se aumenta en 22 mé, Hallar las
mensiones del rectángulo,
2. Una de las dimensiones de una sala ‘rectangular es el dolle de la otra.
Si cada dimensión se aumenta en 5 m el ärca se aumentaría en 160 mi.
Hallar las dimensiones del rectángulo.
3. Una dimensión de un rectángulo excede a la otra en 2 m. Si amb
dimensiones se disminuyen en 5 m el área se disminuye en 115 m’
Hallar las dimensiones del rectángulo.
4. La longitud de un rectángulo excede en 24 m al lado del cuadrado
équivalente al rectángulo y su ancho cs 12 m menos que el lado de dicho
cuadrado, Hallar las dimensiones del rectángulo.
5. La longitud de un rectángulo es 7 m mayor y su ancho G m menor
que el lado del cuadrado equivalente al rectángulo. Hallar las dimen:
stones del rectángulo.
6. La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 m. $i
la longitud se disminuye en 20 m y el ancho se aumenta en 15 m, el
área se disminuye en 160 m?. Hallar las dimensiones del. rectángulo.
1. La longitud de una sala excede a su ancho en 10 m. Si la longitud se
lsminuiye en 2 m y el ancho se aumenta en 1 m el Área no varia,
Hallar las dimensiones de la sala.
PROMEMAS sonne ECUACIONES seaccionanias @ 257
El denominador de una fracción excede al numerador en 5. Si el des
nominador se aumenta en 7, el valor de la fracción es À Hallar la
fracción.
Sea x=numerador de Ja fracciôn.
Como el denominador excede al númerador en
dor de la fracción.
ecuación
fracción es #, Hallar la fracción.
|. El numerador de una fracción excede al denon
rador se ‘entre la fracción primiuva y Ja mu
La fracción será, por lo tanto,
#45
Según las condiciones, si el denominador de esta fracción se
Resolviendo:
x+12
12, numerador de la fracción.
17, denominador de la fracción.
Luego, la fracción buscada es
EJERCICIO 154
El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el deno
iinador se aumenta en 7 el valor de la fracción es 4. Hallar la fracción,
FR
El denominador de una fracción excede al mumerador en 1. Si el de
minador se aumenta en 15, el valor de la fracción es À. Hallar la [ración
El numerador de una fracción es 8 unidades menor
dos términos de la ración sc suma 1 ef valor de a acción 0
Hallar la facción
EI denominador de una fracción excede al duplo del mumerador en 1
Si al numerador se resta 4, el valor dela fracción es. Hal
EI denominador de una ración excede al duplo del n
Si el numerador se aumenta en 19 y el denominador se dan
el valor de la fración es 4, Hallar la fracción
Et denominador de una Facción excede al numerador en 1. Si al devo:
simador se añade 4, Ia fracción que rex. es 2 unidad menor que
& triplo de la facción primitiva. Hallar In faced
EI denominador de una fracción es 1 menos que el wiplo del munetador
Si el numerador se mumenta en 8 y el denominador en el valor de la
in. primitiva,
223) 1a longitud de un rectángulo excede al ancho en 8 m. Si cada die
mensión se aumenta en 8 metros, el área se aumentaría en 57 m’.
Hallar las dimensiones del rectángulo,
Sea =ancho del rectángulo,
Entonces x+8=longitud del rectángul
Cómo el área de un rectángulo se
obtiene multiplicando su longitud por su
ancho, tendrem
“x(x +8)=área del rectángulo dado. |
Si cada dimensión se aumenta en 3 metros, el ancho será ahora x+3
metros y la longitud (++-8)+3=x-+11 metros.
El Área será ahora (x+3)(x +11) m?.
Según las condiciones, esta nueva superficie
+3) (+11) mE tiene 57 m* más que la su- (<P) (4D) =57 (x + 8)
perficie del rectángulo dado x(x +8); luego, se
tiene la ecu pet I A
Resolviendo; 24 1x + 33 97 = 3? + 8x
Mx Be = 57 88
62
x=4 m, ancho del rectángulo dado R.
x:+8=12 m, longitud del rectángulo dado, R.
> EJERCICIO 153
1. La longitud de un rectángulo excede al ancho en 3 m. Si cada dimen
sión se aumenta en 1 m la superficie se aumenta en 22 mé, Hallar las
mensiones del rectángulo,
2. Una de las dimensiones de una sala ‘rectangular es el dolle de la otra.
Si cada dimensión se aumenta en 5 m el ärca se aumentaría en 160 mi.
Hallar las dimensiones del rectángulo.
3. Una dimensión de un rectángulo excede a la otra en 2 m. Si amb
dimensiones se disminuyen en 5 m el área se disminuye en 115 m’
Hallar las dimensiones del rectángulo.
4. La longitud de un rectángulo excede en 24 m al lado del cuadrado
équivalente al rectángulo y su ancho cs 12 m menos que el lado de dicho
cuadrado, Hallar las dimensiones del rectángulo.
5. La longitud de un rectángulo es 7 m mayor y su ancho G m menor
que el lado del cuadrado equivalente al rectángulo. Hallar las dimen:
stones del rectángulo.
6. La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 m. $i
la longitud se disminuye en 20 m y el ancho se aumenta en 15 m, el
área se disminuye en 160 m?. Hallar las dimensiones del. rectángulo.
1. La longitud de una sala excede a su ancho en 10 m. Si la longitud se
lsminuiye en 2 m y el ancho se aumenta en 1 m el Área no varia,
Hallar las dimensiones de la sala.
PROMEMAS sonne ECUACIONES seaccionanias @ 257
El denominador de una fracción excede al numerador en 5. Si el des
nominador se aumenta en 7, el valor de la fracción es À Hallar la
fracción.
Sea x=numerador de Ja fracciôn.
Como el denominador excede al númerador en
dor de la fracción.
ecuación
fracción es #, Hallar la fracción.
|. El numerador de una fracción excede al denon
rador se ‘entre la fracción primiuva y Ja mu
La fracción será, por lo tanto,
#45
Según las condiciones, si el denominador de esta fracción se
Resolviendo:
x+12
12, numerador de la fracción.
17, denominador de la fracción.
Luego, la fracción buscada es
EJERCICIO 154
El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el deno
iinador se aumenta en 7 el valor de la fracción es 4. Hallar la fracción,
FR
El denominador de una fracción excede al mumerador en 1. Si el de
minador se aumenta en 15, el valor de la fracción es À. Hallar la [ración
El numerador de una fracción es 8 unidades menor
dos términos de la ración sc suma 1 ef valor de a acción 0
Hallar la facción
EI denominador de una fracción excede al duplo del mumerador en 1
Si al numerador se resta 4, el valor dela fracción es. Hal
EI denominador de una ración excede al duplo del n
Si el numerador se aumenta en 19 y el denominador se dan
el valor de la fración es 4, Hallar la fracción
Et denominador de una Facción excede al numerador en 1. Si al devo:
simador se añade 4, Ia fracción que rex. es 2 unidad menor que
& triplo de la facción primitiva. Hallar In faced
EI denominador de una fracción es 1 menos que el wiplo del munetador
Si el numerador se mumenta en 8 y el denominador en el valor de la
in. primitiva,
258 © Acıona
La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 3 a la
cifra de las unidades, y si el número se
el cociente es 7. Hallar cl número.
Sea x= la cifra de las unidades.
Entonces x+3=la cifra de las decenas.
El miimero se obtiene multiplicando por 10 la cifra de las decenas y
sumándole la cifra de las unidades; luego:
DOG + DIE 10x + 304 x =11x +30=el número. "|
Según las condiciones, el número 11x +30 dividido por la
suma de sus cifras, o sea por x + x +3= 2x +9, da de cociente 7:
Juego, tenemos la ecuación:
Resolviendo;
, la cifra de las unidades.
la cifra de las decenas.
Luego, el número buscado es 69. Re
E EJERCICIO 155
La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede a la cilta de
las unidades en 2. Si el múmero se divide entre la suma de sus cifras,
el cociente es 7. Hallar el número,
2. La cifra de las unidades de un número de dos cifras excede en 4 a la
dia de las decenas y si el nümero se divide por la suma de sus cifras el
cociente es 4. Hallar el número.
3. La cilra de tas decenas de un múmero de dos cifras es el duplo de la
cifra de las unidades y si el número, d lo en 9, se dívide por la
suma de sus cifras el cocieme es 6. Hallar el número.
e a de em Sieg la
las unidades, Si el número se multiplica por 3 este producto equivale
a2 veces la suma de sus cifras, Hallar el mémero. | =
5. La suma de la cifra de las decenas y la eifra de Jas unidades de un número
de dos cifras es 7. Si el número, aumentado en 8, se divide por el duplo
de la cilra de las decenas el cociente es 6. Hallar el múmero.
9. La cilra de las decenas de un número de dos cifras excede en 2 a la cifra
de las unidades y cl múmero excede en 27 a 10 veces la cifra de las uni.
dades. Hallar el número.
La cifra de las decenas de un nümero de dos cifras es el duplo de la cifta
de las unidades, y si el múmero dismimido en 4 se divide por la diferen
cia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades el cociente
cs 20. Hallar el número.
1.
ide por la suma de Sus cifras,
Das mé tom
Prouicaas sone tcuncionis sraccionamas © 259
(2) A puede hacer una obra en 3 días y B en 5 días. ¿En cuánto tiempo
pueden hacer la obra trabajando los dos juntos?
Sea x el múmero de días que tardarían en hacer Ja obra trabajando
Jos dos juntos.
Si en x días los dos juntos hacen toda la obra, en 1 día harán
obra.
AA, trabajando solo, hace la obra en 3 días; luego, en un día hace +
la obra.
B, trabajando solo, hace la obra en 5 dias; Juego, en un día hace + de
Los dos juntos harán en un día (2-43) de la obra; per
como en un día los dos hacen À de la obra, tendremos:
Resolviendo: fx 4 3x = 15
Be 15
NET
EEE
x= =1r días. Ro
PE NA]
® EJERCICIO 156
A puede hacer una obra en 3 días y B on 6 dias. ¿En cute. tiempo
pucden hacer la obra los dos tralrajando juntos?
2 Una llave puede llenar un depósito en 10 minutos y otra en 20 minutos
¿EN enamig tempo pueden Nenar el depósito las dos Haves juntas?
» A puede hacer una obra en 4 dias, B en 6 días y C en 12 días. ¿En cuánto
po pueden hacer la obra los eres juntos?
6 días y G en 22 dls. al
uede Henat un depósito cn 5 minutos, otra en 6 minus y
Pininutos. ¿En cute tiempo Menardn el depónico. ly ea
imino tiempos
puede Henar un depósito en 4 minos, oa llave en 8 minuten
puedo er cuando lleno, en 20 minuten ¿En CAN
Sstando vacio y abierto el de
re las 4 y las B están opuestas
las agujas del reloj?
En los problemas sobre el reloj, el alumno debe
hacer siempre un grálico como el adjunto.
En el gráfico está representada la posición del
rio y el minutero a las 4. Después representa
Ws la posición de ambas agujas cuando están opues,
119, el horario en G y el minutero
La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 3 a la
cifra de las unidades, y si el número se
el cociente es 7. Hallar cl número.
Sea x= la cifra de las unidades.
Entonces x+3=la cifra de las decenas.
El miimero se obtiene multiplicando por 10 la cifra de las decenas y
sumándole la cifra de las unidades; luego:
DOG + DIE 10x + 304 x =11x +30=el número. "|
Según las condiciones, el número 11x +30 dividido por la
suma de sus cifras, o sea por x + x +3= 2x +9, da de cociente 7:
Juego, tenemos la ecuación:
Resolviendo;
, la cifra de las unidades.
la cifra de las decenas.
Luego, el número buscado es 69. Re
E EJERCICIO 155
La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede a la cilta de
las unidades en 2. Si el múmero se divide entre la suma de sus cifras,
el cociente es 7. Hallar el número,
2. La cifra de las unidades de un número de dos cifras excede en 4 a la
dia de las decenas y si el nümero se divide por la suma de sus cifras el
cociente es 4. Hallar el número.
3. La cilra de tas decenas de un múmero de dos cifras es el duplo de la
cifra de las unidades y si el número, d lo en 9, se dívide por la
suma de sus cifras el cocieme es 6. Hallar el número.
e a de em Sieg la
las unidades, Si el número se multiplica por 3 este producto equivale
a2 veces la suma de sus cifras, Hallar el mémero. | =
5. La suma de la cifra de las decenas y la eifra de Jas unidades de un número
de dos cifras es 7. Si el número, aumentado en 8, se divide por el duplo
de la cilra de las decenas el cociente es 6. Hallar el múmero.
9. La cilra de las decenas de un número de dos cifras excede en 2 a la cifra
de las unidades y cl múmero excede en 27 a 10 veces la cifra de las uni.
dades. Hallar el número.
La cifra de las decenas de un nümero de dos cifras es el duplo de la cifta
de las unidades, y si el múmero dismimido en 4 se divide por la diferen
cia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades el cociente
cs 20. Hallar el número.
1.
ide por la suma de Sus cifras,
Das mé tom
Prouicaas sone tcuncionis sraccionamas © 259
(2) A puede hacer una obra en 3 días y B en 5 días. ¿En cuánto tiempo
pueden hacer la obra trabajando los dos juntos?
Sea x el múmero de días que tardarían en hacer Ja obra trabajando
Jos dos juntos.
Si en x días los dos juntos hacen toda la obra, en 1 día harán
obra.
AA, trabajando solo, hace la obra en 3 días; luego, en un día hace +
la obra.
B, trabajando solo, hace la obra en 5 dias; Juego, en un día hace + de
Los dos juntos harán en un día (2-43) de la obra; per
como en un día los dos hacen À de la obra, tendremos:
Resolviendo: fx 4 3x = 15
Be 15
NET
EEE
x= =1r días. Ro
PE NA]
® EJERCICIO 156
A puede hacer una obra en 3 días y B on 6 dias. ¿En cute. tiempo
pucden hacer la obra los dos tralrajando juntos?
2 Una llave puede llenar un depósito en 10 minutos y otra en 20 minutos
¿EN enamig tempo pueden Nenar el depósito las dos Haves juntas?
» A puede hacer una obra en 4 dias, B en 6 días y C en 12 días. ¿En cuánto
po pueden hacer la obra los eres juntos?
6 días y G en 22 dls. al
uede Henat un depósito cn 5 minutos, otra en 6 minus y
Pininutos. ¿En cute tiempo Menardn el depónico. ly ea
imino tiempos
puede Henar un depósito en 4 minos, oa llave en 8 minuten
puedo er cuando lleno, en 20 minuten ¿En CAN
Sstando vacio y abierto el de
re las 4 y las B están opuestas
las agujas del reloj?
En los problemas sobre el reloj, el alumno debe
hacer siempre un grálico como el adjunto.
En el gráfico está representada la posición del
rio y el minutero a las 4. Después representa
Ws la posición de ambas agujas cuando están opues,
119, el horario en G y el minutero
260 © seien
Mientras el minutero da una vuelta completa al reloj, 60 divisiones
de minuto, el horario avanza de una hora a la siguiente, 5 divisiones de
minuto, o sea 4 de lo que ha recorrido el minutero; luego, el horario
avanza siempre À de las divisiones que avanza el minutero.
Sea x= el número de divisiónes de 1 minuto del arco ARCD que ha
recorrido el minutero hasta estar opuesto al horario.
Entonces 4= mimero de divisiones de 1 minuto del arco BC que
recorrido el horario.
En la figura 20se ve que el arco ABCD =x equivale al
arco AB=20 divisiones de 1 minuto, más el arco BC =>, más
el arco CD=30 divisiones de 1 minuto; luego, tendremos la
ecuación: &
i 2
Resolviendo: = 5042
= 5045
CPC .
xa Masi divisiones de 1 mino.
Luego, entre las 4 y las 5 las manecillas del reloj están opuestas a las
4 y ME minutos. R.
(839) cA qué hora, entre las 5 y las 6, las agujas del reloj forman ángulo
recto?
Entre las 5 y las 6 las agujas están en ángulo recto en 2 posiciones:
una, antes de que el minutero pase sobre el horario, y otra, después.
1) Antes de que el minutero pase sobre el ho-
a
A las 5 el horario está en Cy el minutero en A,
Representemos ¡la posición en que forman ángulo
recto antes de pasar el minutero sobre el horario: el
minutero en E y el horario en D (figura 2).
Sea x=el arco AB que ha recorrido el minute
ro; entonces = el arco CD que ha recorrido el ho-
PRoaLeMas sonar Ecvacionts maccionantas @ 261
En la figura adjunta se ve que;
arco AG+arco CD, pero arco A}
AC=25 y arco CD=5; luego:
Resolviendo: 12x + 1802 300 x
arco AB arco BD=
siones de 1 minuto.
Luego, estarán en ángulo recto por primera vez a las 5 y 10% mi.
nutos. Ra
2) Después que el minutero ha pasado sobre
el horario.
A las 5 el horario está en B y el minutero en A.
Después de pasar el minutero sobre el horario, cuan-
do forman ángulo recto, el horario está en C y el
minutero en D.
Sea x = el arco ABCD que ha recorrido el minu-
Xl arco BG que ha recorrido el horario,
En la figura se ve que: arco ABCD = arco AB +
arco BG + arco CD, o sea,
Resolviendo: 12% = 00 + x + 180
Lx = 480.
aL ane aa
Luego, formarán ángulo recto por segunda vez a las 5 y dag; mi
muitos. Ra
m EJERCICIO 157
1. 2A qué hora, entre la 1 y las 2, están opuestas las agujas del reloj?
2. 3A qué horas, entre las 10 y Jas 11, las agujas del reloj forman ángulo
Hector
3 ¿A qué hora, entre las 8 y las 9, están opuestas las agujas del reloj?
% (A qué hora, entre las 12 y la 1, están opuestas las agujas del reloj?
5: ¿A qué hora, ene las 2 y Las 3, forman ángulo recto las aguas del
feloj
0. ¿A qué hora, entre lay 4 y las 5, coinciden las agujas del reloj?
Mientras el minutero da una vuelta completa al reloj, 60 divisiones
de minuto, el horario avanza de una hora a la siguiente, 5 divisiones de
minuto, o sea 4 de lo que ha recorrido el minutero; luego, el horario
avanza siempre À de las divisiones que avanza el minutero.
Sea x= el número de divisiónes de 1 minuto del arco ARCD que ha
recorrido el minutero hasta estar opuesto al horario.
Entonces 4= mimero de divisiones de 1 minuto del arco BC que
recorrido el horario.
En la figura 20se ve que el arco ABCD =x equivale al
arco AB=20 divisiones de 1 minuto, más el arco BC =>, más
el arco CD=30 divisiones de 1 minuto; luego, tendremos la
ecuación: &
i 2
Resolviendo: = 5042
= 5045
CPC .
xa Masi divisiones de 1 mino.
Luego, entre las 4 y las 5 las manecillas del reloj están opuestas a las
4 y ME minutos. R.
(839) cA qué hora, entre las 5 y las 6, las agujas del reloj forman ángulo
recto?
Entre las 5 y las 6 las agujas están en ángulo recto en 2 posiciones:
una, antes de que el minutero pase sobre el horario, y otra, después.
1) Antes de que el minutero pase sobre el ho-
a
A las 5 el horario está en Cy el minutero en A,
Representemos ¡la posición en que forman ángulo
recto antes de pasar el minutero sobre el horario: el
minutero en E y el horario en D (figura 2).
Sea x=el arco AB que ha recorrido el minute
ro; entonces = el arco CD que ha recorrido el ho-
PRoaLeMas sonar Ecvacionts maccionantas @ 261
En la figura adjunta se ve que;
arco AG+arco CD, pero arco A}
AC=25 y arco CD=5; luego:
Resolviendo: 12x + 1802 300 x
arco AB arco BD=
siones de 1 minuto.
Luego, estarán en ángulo recto por primera vez a las 5 y 10% mi.
nutos. Ra
2) Después que el minutero ha pasado sobre
el horario.
A las 5 el horario está en B y el minutero en A.
Después de pasar el minutero sobre el horario, cuan-
do forman ángulo recto, el horario está en C y el
minutero en D.
Sea x = el arco ABCD que ha recorrido el minu-
Xl arco BG que ha recorrido el horario,
En la figura se ve que: arco ABCD = arco AB +
arco BG + arco CD, o sea,
Resolviendo: 12% = 00 + x + 180
Lx = 480.
aL ane aa
Luego, formarán ángulo recto por segunda vez a las 5 y dag; mi
muitos. Ra
m EJERCICIO 157
1. 2A qué hora, entre la 1 y las 2, están opuestas las agujas del reloj?
2. 3A qué horas, entre las 10 y Jas 11, las agujas del reloj forman ángulo
Hector
3 ¿A qué hora, entre las 8 y las 9, están opuestas las agujas del reloj?
% (A qué hora, entre las 12 y la 1, están opuestas las agujas del reloj?
5: ¿A qué hora, ene las 2 y Las 3, forman ángulo recto las aguas del
feloj
0. ¿A qué hora, entre lay 4 y las 5, coinciden las agujas del reloj?
262
7.
8
a
10.
u.
10
u.
12
© nou
2A qué horas, entre las 6 y las 7, las agujas del reloj forman ángulo recto?
¿A qué hora, entre las 10 y las 11, coinciden las agujas del reloj?
SA QuE hora, entre las 7 y las 7 y 20, eatin en ángulo recto las agujas
el reloj?
ZA qué hora, entre las 3 y las 4, el minutero dista exactamente § divi
siones del horario, después de haberlo. pasado?
¿A qué horas entre las 8 y las 9, cl minutero dista exactamente del
horario 10. divisiones?
EJERCICIO 158
MISCELANEA.
SOBRE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES DE 1e. GRADO
La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10
a los E del menor, Hallar los números.
A tenía $120 y B $90. Después que 4 le dio a B cierta suma, tiene los
Bde lo que le queda a 4. ¿Cuiámo le dio 4 a BF
Un número se aumentó en 6 unidades; esta
al cociente se le sumó 5 y esta nueva suma se di
4 de caciente. Hallar el” número,
Se ha repartido una herencia de 45000 soles entre dos personas de modo
que la parte de la que recibió menos equivale a los © de la pane de
la persona favorecida. Hallar la parte de cada uno.
Divi
dela
Dividi
sas.
Un hombre gasta la mitad de au sueldo mensual en el alquiler de la
casa y alimentación de su familia y = del sueldo en otros gastos. Al
cabo de 13 meses ha ahorrado $300. ¿Cuál es su sueldo. mensual
Un hombre gastó + de lo que tenía en ropa; 2 en libros; prestó $102
Gun Amigo y se quedó sin nada. ¿Cuánto gastó en topa y cuimto en
ma se dividió entre $:
idió entre 2, obteniendo
94 en dos pares tales que 2 de la parte mayor equisaga a 2
120 en dos partes tales que la menor sea a la n
yor como 3
La edad de B es 2 de ta de Ayla de CE de la de B. Si entr los es
tienen 25 años geil la edad de cate une?
Vendi un automóvil por 8000 bolivares mis la tercera parte de lo que
me había costado, y en esta operación gané 2000 bolívares.
había costado el auto?
Compré cierto nümero de libros a 2 por $5 y los vendi a 2 por $1,
¿amando en esta operación $8. ¿Cubs libros compre?
Compré cierto número de libros a 4 por $3 y un n
à los 2 del nünero de
a 2 por $3 gané $64. ¿C
ero de libros igual
0 anterior a 10 por $7. Vendiéndolos todos
ntos libros compré?
13,
1
16.
16.
17
18,
19.
20,
a
22
ai.
20
MmscrLanen oe raooLenas @ 263
Dividir 150 en cuatro partes, tales que la segunda sea los © de ta pr
meras la tercera los 2 de la segunda y la cuarta + de In torera
2A qué hora, entre las 9 y las 10 coinciden las agujas del reloj
A es 10 años mayor que By hace 15 años la edad de B era Jos de la
de A. Hallar las edades actuales.
A y D trabajando juntos hacen una obra en 6 días, B solo puede hacerla
en 10 días. ¿En cuántos días puede hacerla Ar
ir 690 en dos parts tale que sila mayor se divide ene 5 y la
sf immo en 0, tos Houltados son al
La edad actual de À 0s
cdndes ace
Hala dos mómeros conccutivos tales que la diferencia de sus cuadrados
exceda en 43 a 2 del número, menor
Un capataz contrata un obrero olreciendole un sucido anual de 4000
sucres y una sortija, Al cabo de 7 meses el obrero es despedido y recibe
1500 sucres y la sortija, ¿Cuál era el valor de la sortija?
Una suma de $120 se reparte por pares iguales entre certo número de
personas. Si el nümero de personas hubiera sido 4 mis de las que habia,
cada persona hubiera recibido $2 menos. ¿Entre cuántas personas ve
Teparud el dinero?
Un hombre compró cierto. número de libros por $400. Si hubiera. com
prado À más del mimero de libros que compró. por el mismo incio,
‘ada libro le habría costado $2 menos. ¿Cuántos libros compró y cuánto
pagó por cada uno?
Se ha repartido cierta suma entre 4, By C. À recibió 30 men que
la mitad de la suma; B $20 más que los 2 de la suma y C el resto, que
eran $30. ¿Cuánto recibieron 4 y B7
de la de B; hace 10 años era 2. Hallar las
Compré certo número de libros a 5 libros por $6. Me quedé con À
de los libros y vendiendo el resto a 4 libros por $9 gané 39. ¿Cuántos
libros compré? E
Un hombre dejó la mitad de su fortuna a sus jo: E à sus hem
os: a un amigo y el reso, que eran 2500 colones, un ail, ¿Cuál
era a fora?
Un padre de tamil
sa cam; 2 en ropa
asta los À de su sueldo anual en atenciones de
is © pasgos y ahorra $10 balboas al año. ¿Cuál es
Un Hombre ganó el año antepasado los E de sus ahonos; el año pasado
de sis ahorros iniciales; ete año 2 de lo que le quedaba y ain tiene
F400. ¿A co ascendían sus ahorras?
7.
8
a
10.
u.
10
u.
12
© nou
2A qué horas, entre las 6 y las 7, las agujas del reloj forman ángulo recto?
¿A qué hora, entre las 10 y las 11, coinciden las agujas del reloj?
SA QuE hora, entre las 7 y las 7 y 20, eatin en ángulo recto las agujas
el reloj?
ZA qué hora, entre las 3 y las 4, el minutero dista exactamente § divi
siones del horario, después de haberlo. pasado?
¿A qué horas entre las 8 y las 9, cl minutero dista exactamente del
horario 10. divisiones?
EJERCICIO 158
MISCELANEA.
SOBRE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES DE 1e. GRADO
La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10
a los E del menor, Hallar los números.
A tenía $120 y B $90. Después que 4 le dio a B cierta suma, tiene los
Bde lo que le queda a 4. ¿Cuiámo le dio 4 a BF
Un número se aumentó en 6 unidades; esta
al cociente se le sumó 5 y esta nueva suma se di
4 de caciente. Hallar el” número,
Se ha repartido una herencia de 45000 soles entre dos personas de modo
que la parte de la que recibió menos equivale a los © de la pane de
la persona favorecida. Hallar la parte de cada uno.
Divi
dela
Dividi
sas.
Un hombre gasta la mitad de au sueldo mensual en el alquiler de la
casa y alimentación de su familia y = del sueldo en otros gastos. Al
cabo de 13 meses ha ahorrado $300. ¿Cuál es su sueldo. mensual
Un hombre gastó + de lo que tenía en ropa; 2 en libros; prestó $102
Gun Amigo y se quedó sin nada. ¿Cuánto gastó en topa y cuimto en
ma se dividió entre $:
idió entre 2, obteniendo
94 en dos pares tales que 2 de la parte mayor equisaga a 2
120 en dos partes tales que la menor sea a la n
yor como 3
La edad de B es 2 de ta de Ayla de CE de la de B. Si entr los es
tienen 25 años geil la edad de cate une?
Vendi un automóvil por 8000 bolivares mis la tercera parte de lo que
me había costado, y en esta operación gané 2000 bolívares.
había costado el auto?
Compré cierto nümero de libros a 2 por $5 y los vendi a 2 por $1,
¿amando en esta operación $8. ¿Cubs libros compre?
Compré cierto número de libros a 4 por $3 y un n
à los 2 del nünero de
a 2 por $3 gané $64. ¿C
ero de libros igual
0 anterior a 10 por $7. Vendiéndolos todos
ntos libros compré?
13,
1
16.
16.
17
18,
19.
20,
a
22
ai.
20
MmscrLanen oe raooLenas @ 263
Dividir 150 en cuatro partes, tales que la segunda sea los © de ta pr
meras la tercera los 2 de la segunda y la cuarta + de In torera
2A qué hora, entre las 9 y las 10 coinciden las agujas del reloj
A es 10 años mayor que By hace 15 años la edad de B era Jos de la
de A. Hallar las edades actuales.
A y D trabajando juntos hacen una obra en 6 días, B solo puede hacerla
en 10 días. ¿En cuántos días puede hacerla Ar
ir 690 en dos parts tale que sila mayor se divide ene 5 y la
sf immo en 0, tos Houltados son al
La edad actual de À 0s
cdndes ace
Hala dos mómeros conccutivos tales que la diferencia de sus cuadrados
exceda en 43 a 2 del número, menor
Un capataz contrata un obrero olreciendole un sucido anual de 4000
sucres y una sortija, Al cabo de 7 meses el obrero es despedido y recibe
1500 sucres y la sortija, ¿Cuál era el valor de la sortija?
Una suma de $120 se reparte por pares iguales entre certo número de
personas. Si el nümero de personas hubiera sido 4 mis de las que habia,
cada persona hubiera recibido $2 menos. ¿Entre cuántas personas ve
Teparud el dinero?
Un hombre compró cierto. número de libros por $400. Si hubiera. com
prado À más del mimero de libros que compró. por el mismo incio,
‘ada libro le habría costado $2 menos. ¿Cuántos libros compró y cuánto
pagó por cada uno?
Se ha repartido cierta suma entre 4, By C. À recibió 30 men que
la mitad de la suma; B $20 más que los 2 de la suma y C el resto, que
eran $30. ¿Cuánto recibieron 4 y B7
de la de B; hace 10 años era 2. Hallar las
Compré certo número de libros a 5 libros por $6. Me quedé con À
de los libros y vendiendo el resto a 4 libros por $9 gané 39. ¿Cuántos
libros compré? E
Un hombre dejó la mitad de su fortuna a sus jo: E à sus hem
os: a un amigo y el reso, que eran 2500 colones, un ail, ¿Cuál
era a fora?
Un padre de tamil
sa cam; 2 en ropa
asta los À de su sueldo anual en atenciones de
is © pasgos y ahorra $10 balboas al año. ¿Cuál es
Un Hombre ganó el año antepasado los E de sus ahonos; el año pasado
de sis ahorros iniciales; ete año 2 de lo que le quedaba y ain tiene
F400. ¿A co ascendían sus ahorras?
264 © ac
28. Dividir 350 en dos parts, tales que la diferencia entre la parte menor
y los À dela mayor equivalga a la dierenen etre Ia parte mayor y los 2
de la menor.
20. Se ha repartido cierta suma entre A, B y GC. 4 recibió $15; 8 tanto
como A más los 2 de lo que recibió C y € tanto como A y B juntos
¿Cuál fue la suma. repartida?
50. Tengo $960 en pesos, pieras de 20 centavos y 10 centavos respectiva:
mente, EL mimero de pieras de 29 centavos es los ® del número de pesos
y el número de piezas de 10 centavos es los 4 del mimero de pieras de
20 centavos. ¿Cuiámtas monedas de cada clas’ tengo?
31. Un comerciante perdió el primer año £ de su capital; el segundo año
rand una cantidad igual a Jos E de lo que le quedaba: cl tercer ate
and los + de lo que tenía al terminar el segundo año y entonces tiene
18312 quetzales, ¿Cuál era su eapital primitive?
32. 4 y 8 tienen la misma edad. Si A tuviera 10:añ08 menos y B'S años
más, a edad de À sería los À dela de A Hallar la edad de 4.
3%. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que
le quedan fuera 96 hombres, Entonces pone un hombre was ot cin
lado del cuadrado y ve que le faltan 13 hombres paro, cp
sacado. ¿Cuántos 'hombres había. en dl lado. del primo Pis
y winter Nombres hay en la tropa?
34 Gasté los $ de lo que tenía y $20 más y me quedé con la cuanta pane
de lo que tenia y SIG más, ¿Cuánto tenia?
35. 4 empiera a jugar con cier suma. Primero ganó una cantidad igual
A. lo que tenia al empezar a jugar; después perdió 60 lempiras, mis tale
perdió 3 de lo que le quedaba y perdiendo nuevamente una cantidad
igual a los $ del dinero con que empezó a jugar, se quedó sin nada.
¿Con cuánto empeaó a jugar?
36. Un número de dos cilras excede en 18 à ses veces la suma de sus
cifras. Si la cilra de lus decenas excede en 5 a la dira de las unidades,
¿cuál es el número?
97. La suma de las cifras de
se le resta 27 las cifras se
húmero menor que 100 es 9. Si al número
avierten. Hallar el nimero,
38. En un puesto de rutas habia certo nämero de mangos. Un cliente com.
bed de los mangos que tabla. mis 4 mangos: oto cliente compró &
de los que quedaban y 6 mis, un tercer cliente compró la mitad de Ios
que quedaba y Y más, y sé acabaron los mangos, ¿Cuántos mangos
había en el puestos
30, tenia $80 y B $50, Ambos ganaron igual suma de dinero y ahora 2
tiene los de to que tiene A. à
Into ganó cada 4
a.
43.
a
45.
48,
49.
MISCILANIA DE Promtimas © 265
Compré una plumafuente y un lapicero, pagando por éste los 2 de lo
que pagué por la pluma. Si la pluma me hubiera costado 20 cts. menos
y el lapicero 30 ets. más, el precio del lapicero habría sido los 2 del
precio de la pluma. ¿Cuánto costó la pluma y cuánto el lapicero?
El lunes gasté la mitad de lo que tenía y $2 mis; cl martes la mitad de
lo que me quedaba y $2 más; el miércoles la mitad de lo que me que
daba y $2 más y me quede sin nada. ¿Cuánto tenia el lunes antes de
gastar nada?
Un hombre ganó el primer
la mitad. del capital con qu
10 de sus negocios una cantidad igual à
pré sus negocios y gastó $000; el
2 ao gund unt ania gual Ta mad delo que sea pal
36000 pura gastos; el Jo. año ganó una cantidad igual a la mitad de lo
«que tenia y Separó $6000 para gastos. SÍ su capital es entonces de $32260,
cuál era su capital primitivo?
Un hombre compró un bascón, un sombrero y un traje. Por el bastón
pasó S15. El sombrero y el bastón le costaron los & del precio del traje
y el traje y el bastón $5 más que el doble del Sombrero, ¿Cuánto le
Costs cada “cosa?
Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja
inicial de" de su saltos al perd. El conejo da 5 salon mientas Ll
perro da 2, peso el perro en 3 talos avants tanto Como el cone en
3 sahos. <Gututon saltos debe dar el perro para alcancar al conejoe
Una liebre leva una ventaja inicial de 60 de sus salt a vn perso. La
licbre da 4 salos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 salts Avanıa
tanto como la licbre en 8, ¿Cuántos saltos debe dar el perro para MIO
zur a la ibe?
ZA qué hora, enue las-10 y las 11, est el minutero exactamente à à
inten del horano?
À yB emprenden un negocio aportando B los del capital que aporta 4.
El primer año A pierde + de su capital y B gana 3000 bolívares; el
segundo año A gana 1600 bolívares y B pierde 4 de su capital. Sil lin.)
¿tel segundo año ambos socios denen cl mismo" dinero, ¿con Cuánto ci,
¡vendió cada uno el negocio
Un padre tiene 60 años y sus dos hijos 16 y 14 años. ¿Dentro de cuántos
la edad del padke será igual à la suma de las edades de los jos)
Un hombre que está en una ciudad dispone de 13 horas libres ¿Qué
istancia podrá. recomer hacia el campo" en un auto que va. a 60
por hora si el viaje de vuelta. debe hacerlo en un caballo que anda
A0 Km por hora?
Compre
n caballo, un perro y un buey. El buey
costó $80. El
buey me costaron el doble
ue el caballo y el caballo y el
28. Dividir 350 en dos parts, tales que la diferencia entre la parte menor
y los À dela mayor equivalga a la dierenen etre Ia parte mayor y los 2
de la menor.
20. Se ha repartido cierta suma entre A, B y GC. 4 recibió $15; 8 tanto
como A más los 2 de lo que recibió C y € tanto como A y B juntos
¿Cuál fue la suma. repartida?
50. Tengo $960 en pesos, pieras de 20 centavos y 10 centavos respectiva:
mente, EL mimero de pieras de 29 centavos es los ® del número de pesos
y el número de piezas de 10 centavos es los 4 del mimero de pieras de
20 centavos. ¿Cuiámtas monedas de cada clas’ tengo?
31. Un comerciante perdió el primer año £ de su capital; el segundo año
rand una cantidad igual a Jos E de lo que le quedaba: cl tercer ate
and los + de lo que tenía al terminar el segundo año y entonces tiene
18312 quetzales, ¿Cuál era su eapital primitive?
32. 4 y 8 tienen la misma edad. Si A tuviera 10:añ08 menos y B'S años
más, a edad de À sería los À dela de A Hallar la edad de 4.
3%. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que
le quedan fuera 96 hombres, Entonces pone un hombre was ot cin
lado del cuadrado y ve que le faltan 13 hombres paro, cp
sacado. ¿Cuántos 'hombres había. en dl lado. del primo Pis
y winter Nombres hay en la tropa?
34 Gasté los $ de lo que tenía y $20 más y me quedé con la cuanta pane
de lo que tenia y SIG más, ¿Cuánto tenia?
35. 4 empiera a jugar con cier suma. Primero ganó una cantidad igual
A. lo que tenia al empezar a jugar; después perdió 60 lempiras, mis tale
perdió 3 de lo que le quedaba y perdiendo nuevamente una cantidad
igual a los $ del dinero con que empezó a jugar, se quedó sin nada.
¿Con cuánto empeaó a jugar?
36. Un número de dos cilras excede en 18 à ses veces la suma de sus
cifras. Si la cilra de lus decenas excede en 5 a la dira de las unidades,
¿cuál es el número?
97. La suma de las cifras de
se le resta 27 las cifras se
húmero menor que 100 es 9. Si al número
avierten. Hallar el nimero,
38. En un puesto de rutas habia certo nämero de mangos. Un cliente com.
bed de los mangos que tabla. mis 4 mangos: oto cliente compró &
de los que quedaban y 6 mis, un tercer cliente compró la mitad de Ios
que quedaba y Y más, y sé acabaron los mangos, ¿Cuántos mangos
había en el puestos
30, tenia $80 y B $50, Ambos ganaron igual suma de dinero y ahora 2
tiene los de to que tiene A. à
Into ganó cada 4
a.
43.
a
45.
48,
49.
MISCILANIA DE Promtimas © 265
Compré una plumafuente y un lapicero, pagando por éste los 2 de lo
que pagué por la pluma. Si la pluma me hubiera costado 20 cts. menos
y el lapicero 30 ets. más, el precio del lapicero habría sido los 2 del
precio de la pluma. ¿Cuánto costó la pluma y cuánto el lapicero?
El lunes gasté la mitad de lo que tenía y $2 mis; cl martes la mitad de
lo que me quedaba y $2 más; el miércoles la mitad de lo que me que
daba y $2 más y me quede sin nada. ¿Cuánto tenia el lunes antes de
gastar nada?
Un hombre ganó el primer
la mitad. del capital con qu
10 de sus negocios una cantidad igual à
pré sus negocios y gastó $000; el
2 ao gund unt ania gual Ta mad delo que sea pal
36000 pura gastos; el Jo. año ganó una cantidad igual a la mitad de lo
«que tenia y Separó $6000 para gastos. SÍ su capital es entonces de $32260,
cuál era su capital primitivo?
Un hombre compró un bascón, un sombrero y un traje. Por el bastón
pasó S15. El sombrero y el bastón le costaron los & del precio del traje
y el traje y el bastón $5 más que el doble del Sombrero, ¿Cuánto le
Costs cada “cosa?
Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja
inicial de" de su saltos al perd. El conejo da 5 salon mientas Ll
perro da 2, peso el perro en 3 talos avants tanto Como el cone en
3 sahos. <Gututon saltos debe dar el perro para alcancar al conejoe
Una liebre leva una ventaja inicial de 60 de sus salt a vn perso. La
licbre da 4 salos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 salts Avanıa
tanto como la licbre en 8, ¿Cuántos saltos debe dar el perro para MIO
zur a la ibe?
ZA qué hora, enue las-10 y las 11, est el minutero exactamente à à
inten del horano?
À yB emprenden un negocio aportando B los del capital que aporta 4.
El primer año A pierde + de su capital y B gana 3000 bolívares; el
segundo año A gana 1600 bolívares y B pierde 4 de su capital. Sil lin.)
¿tel segundo año ambos socios denen cl mismo" dinero, ¿con Cuánto ci,
¡vendió cada uno el negocio
Un padre tiene 60 años y sus dos hijos 16 y 14 años. ¿Dentro de cuántos
la edad del padke será igual à la suma de las edades de los jos)
Un hombre que está en una ciudad dispone de 13 horas libres ¿Qué
istancia podrá. recomer hacia el campo" en un auto que va. a 60
por hora si el viaje de vuelta. debe hacerlo en un caballo que anda
A0 Km por hora?
Compre
n caballo, un perro y un buey. El buey
costó $80. El
buey me costaron el doble
ue el caballo y el caballo y el
266 0 mama
(235) PROBLEMA DE LOS MOVILES
a
Scan los móviles m y m’ animados de movimiento uniforme, es deci
que la velocidad de cada uno es constante, los cuales se mueven en la wi
ma dirección y en el mismo sentido, de izquierda a derecha, como indican
las Mechas.
Suponemos que el móvil m pasa por el punto A en el mismo instante
en que el móvil m“ pasa por el punto B, Designemos por « Ja distancia
entre el punto A y el punto B.
Sea v la velocidad del móvil m y v la velocidad del mó
pongamos que v>2".
Se trata de hallar a qué distancia del punto A el móvil m alcanzará
al móvil mé,
Sea el punto E cl punto de encuentro de tos móviles, Lan
a la distancia del punto A al punto E (que es lo que se busca); entonces
la distancia del punto B al punto E será x—a,
El móvil m pasa por À en el mismo instante en que m’ pasa por I
y m alcanza a m'en E: luego, es evidente que el tiempo que emple:
móvil m en ir desde À basta Æ es igual al tiempo que emplea el n
en ir desde B hasta E. Como el movimiento de los móviles es uniforme,
el tiempo es igual al espacio partido por la velocidad; luego:
EI tiempo empleado por el móvil m en ir desde A hasta £ será igual
al espacio que tiene que recorrer x partido por su velocidad u, 0 sea
nos x
El tiempo empleado por el móvil m' en ir desde B has
ta E será igual al espacio que tiene que recorrer x—a par
tido por su velocidad v', o sea E. Pero, según se
antes, estos tiempos son iguales; luego, tenemos la ecuació
Resolviendo:
PROBLEMA DF 105 moves @ 267
Cambiando signos a todos los términos: ux —u'x:
fórmula que da la distancia del punto 4 al punto de encuentro £ en fun:
ción de a, la distancia entre À y B, cantidad conocida y de las velocidades y
y v' de los móviles, también conocidas.
DISCUSION
La discusión de esta fórmula x=—% consiste en saber qué valores
toma x de acuerdo con los valores de a, U y 4” en cuya función viene dada y.
Consideraremos cinco casos, observando la figura:
) V1. EI numerador av es positivo y el denominador v=4 es
positivo por ser el minuendo v mayor que el sustraendo +’; luego, x cs po:
sitiva, lo que significa que el móvil m alcanza al móvil m’ en un punto
situado a la derecha de B.
2) <0". EL numerador av es positivo y el denominador vu! 64
¡cgativo por ser el minuendo v menor que el sustracudo v's luego, x € 1
gativa, lo que significa que Jos möviles,si se encontraronfuéen un punto si
tuado a la izquierda de A, y a partir de ese momento, como la velocidad de
m es menor que la de m’, éste se apartó cada ver más de m, hallándose
ahora a una distancia a de.ö), distancia que continuará aumentando.
3) V=V. La fórmula x= > se convierte en x = = 0, lo que
significa que los móviles se encuchivas en el infinito; ast se Expresa el ho:
cho de mantenerse siempre a la misma distancia a, ya que la velocidad de m
es igual a la velocidad de m’,
4) V=V y a=0, La fórmula se convierte en x=
indeterminado, lo que signitica que la distancia del punto dal punto de
encuentro es cualquiera. En efecto, siendo a=0, los puntos À y B coinci-
den: luego, los mó juntos y como sus velocidades son iguales, a
cualquier distancia de À estarán juntos. :
5) 1° es negativa. (EI móvil m’ va de derecha a izquierda). La for
mula se convierte en x=" =
Fay "Tag El mumerador es positivo y
el denominador también; luego” x es positiva, pero menor que a.
En efecto; La fracción que es el valor de x, puede escribirse
a rap donde el facu
vel
Zu © una fracción menor que 1 por te
rador menor que’ et denon
ador y al multiplicar a por uni
(235) PROBLEMA DE LOS MOVILES
a
Scan los móviles m y m’ animados de movimiento uniforme, es deci
que la velocidad de cada uno es constante, los cuales se mueven en la wi
ma dirección y en el mismo sentido, de izquierda a derecha, como indican
las Mechas.
Suponemos que el móvil m pasa por el punto A en el mismo instante
en que el móvil m“ pasa por el punto B, Designemos por « Ja distancia
entre el punto A y el punto B.
Sea v la velocidad del móvil m y v la velocidad del mó
pongamos que v>2".
Se trata de hallar a qué distancia del punto A el móvil m alcanzará
al móvil mé,
Sea el punto E cl punto de encuentro de tos móviles, Lan
a la distancia del punto A al punto E (que es lo que se busca); entonces
la distancia del punto B al punto E será x—a,
El móvil m pasa por À en el mismo instante en que m’ pasa por I
y m alcanza a m'en E: luego, es evidente que el tiempo que emple:
móvil m en ir desde À basta Æ es igual al tiempo que emplea el n
en ir desde B hasta E. Como el movimiento de los móviles es uniforme,
el tiempo es igual al espacio partido por la velocidad; luego:
EI tiempo empleado por el móvil m en ir desde A hasta £ será igual
al espacio que tiene que recorrer x partido por su velocidad u, 0 sea
nos x
El tiempo empleado por el móvil m' en ir desde B has
ta E será igual al espacio que tiene que recorrer x—a par
tido por su velocidad v', o sea E. Pero, según se
antes, estos tiempos son iguales; luego, tenemos la ecuació
Resolviendo:
PROBLEMA DF 105 moves @ 267
Cambiando signos a todos los términos: ux —u'x:
fórmula que da la distancia del punto 4 al punto de encuentro £ en fun:
ción de a, la distancia entre À y B, cantidad conocida y de las velocidades y
y v' de los móviles, también conocidas.
DISCUSION
La discusión de esta fórmula x=—% consiste en saber qué valores
toma x de acuerdo con los valores de a, U y 4” en cuya función viene dada y.
Consideraremos cinco casos, observando la figura:
) V1. EI numerador av es positivo y el denominador v=4 es
positivo por ser el minuendo v mayor que el sustraendo +’; luego, x cs po:
sitiva, lo que significa que el móvil m alcanza al móvil m’ en un punto
situado a la derecha de B.
2) <0". EL numerador av es positivo y el denominador vu! 64
¡cgativo por ser el minuendo v menor que el sustracudo v's luego, x € 1
gativa, lo que significa que Jos möviles,si se encontraronfuéen un punto si
tuado a la izquierda de A, y a partir de ese momento, como la velocidad de
m es menor que la de m’, éste se apartó cada ver más de m, hallándose
ahora a una distancia a de.ö), distancia que continuará aumentando.
3) V=V. La fórmula x= > se convierte en x = = 0, lo que
significa que los móviles se encuchivas en el infinito; ast se Expresa el ho:
cho de mantenerse siempre a la misma distancia a, ya que la velocidad de m
es igual a la velocidad de m’,
4) V=V y a=0, La fórmula se convierte en x=
indeterminado, lo que signitica que la distancia del punto dal punto de
encuentro es cualquiera. En efecto, siendo a=0, los puntos À y B coinci-
den: luego, los mó juntos y como sus velocidades son iguales, a
cualquier distancia de À estarán juntos. :
5) 1° es negativa. (EI móvil m’ va de derecha a izquierda). La for
mula se convierte en x=" =
Fay "Tag El mumerador es positivo y
el denominador también; luego” x es positiva, pero menor que a.
En efecto; La fracción que es el valor de x, puede escribirse
a rap donde el facu
vel
Zu © una fracción menor que 1 por te
rador menor que’ et denon
ador y al multiplicar a por uni
Phomema DE Los movies @ 269
268 @ serena
cantidad menor que 1, el producto será menor que a. Que x es positiva m EJERCICIO 159
y menor que a significa que los móviles se encuentran en un punto situa- 1, Un corredor que parte de A da una ventaja de 3) m a oo que parte
do a la derecha de A y que este punto dista de A una distancia menor de = me 2 ‘Bice Bat ree, segundo y el 29 5 m por seg, ¿A qué die
que a, o sea, que el punto de encuentro se halla entre A y B. le contarán
3. Un tren que va a 90 Km por hora pasa
2. Dos autos paren de A y Danes entre 160 Kin y von une he
Si en la hipótesis de que w es nega- en
tiva suponemos que w=v, la fórmula se con. ge ze
Pe dee)
en que otro que va a 40 Km pasa por B, ndo ambos hacia ©. Distar
el otro. El que parte de À va a 50 Kin por hora y el que parte de À
al à 30 Kin pot hota. ¿A qué distancia de A e encontiains | À
© sea, que el punto de encuentro es precisamente el punto medio de la Ga entre À y B: 200 Km. ¿A qué distanciasde A y B se encontrarán)
linea AB.
jor A en el mismo instante,
! 4 Un auto que va a 30 Km pas por À en e mismo insta cn que stp
o que va a 70 Km pasa por À y ambos van en el mimo sentido: ¿QUÉ
ÉD APLICACION PRACTICA DEL PROBLEMA DE LOS MOVILES | tiempo tardarán en encontrare iB dista de 4 80 Kur po
| 5. Um tren que va a 100 Km por hora pasa por À en cl mismo instante
que otro tren que va a 120 Km por Nora pasa por 8 y van uno high
Ejemplos : el otro. A dista de D 350 Km, ¿A qué distancia de À se encontrarla
| y ue Wot W la sues foun foc sy Ha Ben
1) Un auto que va a 60 Km por hore pasa por el punto A en el mismo instonte 6. Dos personas, A y B, distantes entre sí 70 Km, parten en el mismo
Gene elec aca: i iat Yo wo hls fo. A 3m pe har SO
ria derecho da A Y que dist de A 80 Km. Ambas siguen ta mime dec. por hora. ¿Qué distancia ha andado cada uno Zuando. e encuenta
ción y van on el mismo sentido. ¿A qué distancia de A se encontrarán? 1. Dos personas, A y B, distantes entre sí 204 Km parten, B, media hora
depués que A y van uno hacia el otro. diva a 5 Km por hora Y Du
Lo mule es x == «En eso coro a 4 Kim por hora. ¿Qué distancia ha recorrido cala uno cuándo de CUA
o=00 km do kn pa hee, | Na 8 Un tren de carga que va a 42 Km por hora es seguido 3 horas después
Y= 40 Km por hove, Wego — pe en de paliers que va 50 Kon por hora. ¿En cubas rat
A seinen O Gh wee pairs alcnzarı al de carga y a que distancia del puni
Pera hall el lempo que trdon en encon 9. Dos autos que llevan la misma velocidad pasan cn el mismo instante
Hrarso no hoy més quo dividir ol espacio por
le velocidad. Si el punto de encuentro está.
a 240 Km de À y ol auto quo considoramos
en A iba a 60 Km por hora, pora alconzer x
al otro necesito; — ©"
por dos puntos, 4 y By distantes entre sí 186 Km y van uno hacia
el otro, ¿A qué distancia de À y B se encontrarán?
{21 Un auto posa por la ciudad A hacia la ciudad 8.0 40 Km por hora y en el
mismo instante otto auto paso por B hacia A a 35 Km por hora, Lo dis.
tunis ore A y Be 200 Km. 1A qué dci de À y 8 se encontrarán y
cuánto tiempo después dol instonto do pasar por ellos
En esto coso @= 300 Km, v=40 Km par hora, v'=35 Km por hora y
como van uno hacia el otro, Yes negativa, luego:
A O O ERRERAEE
Cees
Se oncventta o 160 Km de la ciudad A, Ra
La distancia del punto de encuentro © le ciudod 8 será 300 Km 160 Km
40 Km. R.
100
Eltiempo empleado en encontro ha sido 22 =4 hores. R
268 @ serena
cantidad menor que 1, el producto será menor que a. Que x es positiva m EJERCICIO 159
y menor que a significa que los móviles se encuentran en un punto situa- 1, Un corredor que parte de A da una ventaja de 3) m a oo que parte
do a la derecha de A y que este punto dista de A una distancia menor de = me 2 ‘Bice Bat ree, segundo y el 29 5 m por seg, ¿A qué die
que a, o sea, que el punto de encuentro se halla entre A y B. le contarán
3. Un tren que va a 90 Km por hora pasa
2. Dos autos paren de A y Danes entre 160 Kin y von une he
Si en la hipótesis de que w es nega- en
tiva suponemos que w=v, la fórmula se con. ge ze
Pe dee)
en que otro que va a 40 Km pasa por B, ndo ambos hacia ©. Distar
el otro. El que parte de À va a 50 Kin por hora y el que parte de À
al à 30 Kin pot hota. ¿A qué distancia de A e encontiains | À
© sea, que el punto de encuentro es precisamente el punto medio de la Ga entre À y B: 200 Km. ¿A qué distanciasde A y B se encontrarán)
linea AB.
jor A en el mismo instante,
! 4 Un auto que va a 30 Km pas por À en e mismo insta cn que stp
o que va a 70 Km pasa por À y ambos van en el mimo sentido: ¿QUÉ
ÉD APLICACION PRACTICA DEL PROBLEMA DE LOS MOVILES | tiempo tardarán en encontrare iB dista de 4 80 Kur po
| 5. Um tren que va a 100 Km por hora pasa por À en cl mismo instante
que otro tren que va a 120 Km por Nora pasa por 8 y van uno high
Ejemplos : el otro. A dista de D 350 Km, ¿A qué distancia de À se encontrarla
| y ue Wot W la sues foun foc sy Ha Ben
1) Un auto que va a 60 Km por hore pasa por el punto A en el mismo instonte 6. Dos personas, A y B, distantes entre sí 70 Km, parten en el mismo
Gene elec aca: i iat Yo wo hls fo. A 3m pe har SO
ria derecho da A Y que dist de A 80 Km. Ambas siguen ta mime dec. por hora. ¿Qué distancia ha andado cada uno Zuando. e encuenta
ción y van on el mismo sentido. ¿A qué distancia de A se encontrarán? 1. Dos personas, A y B, distantes entre sí 204 Km parten, B, media hora
depués que A y van uno hacia el otro. diva a 5 Km por hora Y Du
Lo mule es x == «En eso coro a 4 Kim por hora. ¿Qué distancia ha recorrido cala uno cuándo de CUA
o=00 km do kn pa hee, | Na 8 Un tren de carga que va a 42 Km por hora es seguido 3 horas después
Y= 40 Km por hove, Wego — pe en de paliers que va 50 Kon por hora. ¿En cubas rat
A seinen O Gh wee pairs alcnzarı al de carga y a que distancia del puni
Pera hall el lempo que trdon en encon 9. Dos autos que llevan la misma velocidad pasan cn el mismo instante
Hrarso no hoy més quo dividir ol espacio por
le velocidad. Si el punto de encuentro está.
a 240 Km de À y ol auto quo considoramos
en A iba a 60 Km por hora, pora alconzer x
al otro necesito; — ©"
por dos puntos, 4 y By distantes entre sí 186 Km y van uno hacia
el otro, ¿A qué distancia de À y B se encontrarán?
{21 Un auto posa por la ciudad A hacia la ciudad 8.0 40 Km por hora y en el
mismo instante otto auto paso por B hacia A a 35 Km por hora, Lo dis.
tunis ore A y Be 200 Km. 1A qué dci de À y 8 se encontrarán y
cuánto tiempo después dol instonto do pasar por ellos
En esto coso @= 300 Km, v=40 Km par hora, v'=35 Km por hora y
como van uno hacia el otro, Yes negativa, luego:
A O O ERRERAEE
Cees
Se oncventta o 160 Km de la ciudad A, Ra
La distancia del punto de encuentro © le ciudod 8 será 300 Km 160 Km
40 Km. R.
100
Eltiempo empleado en encontro ha sido 22 =4 hores. R
e=27182818..
cx cimalos de los enteras. Al obser
nr itd
FORMULAS
Gi) ronmura es la expresión de una ley o de un principio general por
medio de simbolos o letras
Asi, la Geometria enscña que el área de un triángulo es
igual a la mitad del producto de su base por su altura. Llaman:
do A al área de un triángulo, b a la base y lea la altura, este prio-
cipio general se expresa exacta y brevemente por la Férmula —
que nos sirve para hallar el área de cualquier triángulo
con sólo sustituir D y h por sus valores concretos en el
caso dado. Así, si la base de un tridngulo es 8 m y su,
altura 3 m.
(238) USO Y VENTAJA DE LAS FORMULAS ALGEBRAICAS
Las formulas algebraicas son usadas en las ciencias, como Geometría,
sica, Mecánica, etc, y son de enorme utilidad como apreciará el alumno
ad y ventaja de las fórmulas algebraicas es muy
1) Porque expresan brevemente una ley o un principio general
2) Porque son Fáciles de recordar, 9) Porque su nes muy Fácil,
210
romuuias © 271
pues para resolver un problema por medio de la fórmula adecuada, bas
sustituir las letras por sus valores en el caso dado, 4) Porque una (6
nos dice la relación que existe entre las variables que en el
pues según se ha probado en Aritmética, la variable cuyo valor se da por
medio de una fórmula es directamente proporcional con las variables (fac.
totes) que se hallan en el numerador del segunda miembro € inversamente
proporcional con las que se hallen en el denominador, si las demás peri
hecen constantes.
AL LeNauade VULGAR
entre ellas. Pondremos dos ejemplos:
Y
1) Dar la regla contenida en la fórmula d= 4 (22
representa el área de un trapecio, f su altura, b y b’ sus bases,
La regla cs: El área de un trapecio es igual al producto de su all
por la semisuma de sus bases.
en que A
2) Dar la regla contenida en la fórmula y=, en que v repre
Jn velocidad de un móvil que se mueve con movimiento uniforme y €
espacio recorrido en el tiempo £.
La regla es: La velocidad de un móvil que se mueve con movimiento
forme es igual al espacio que ha recorrido dividido entre el tiempo eno
ado en recorrerlo.
cuanto a la relación de v con e y £, la fórmula me dicta las dos leyes
siguientes:
1) La velocidad es directamente proporcional al espacio (porque ¢
está en el numerador) para un mismo tiempo,
) La velocidad es inversamente proporcional al tiempo (porqu
está cn el denominador) para un mismo espacio.
æ EJERCICIO 160
Dar Ja regla correspondiente a las
Low
idas siguientes
Soh sie
do A el dica de un widngulo, & su base y A sw aleura,
2 e=ut, siendo e el espacio recorrido por un-mövil con movimiento
forn velocidad y € el tiempo.
cx cimalos de los enteras. Al obser
nr itd
FORMULAS
Gi) ronmura es la expresión de una ley o de un principio general por
medio de simbolos o letras
Asi, la Geometria enscña que el área de un triángulo es
igual a la mitad del producto de su base por su altura. Llaman:
do A al área de un triángulo, b a la base y lea la altura, este prio-
cipio general se expresa exacta y brevemente por la Férmula —
que nos sirve para hallar el área de cualquier triángulo
con sólo sustituir D y h por sus valores concretos en el
caso dado. Así, si la base de un tridngulo es 8 m y su,
altura 3 m.
(238) USO Y VENTAJA DE LAS FORMULAS ALGEBRAICAS
Las formulas algebraicas son usadas en las ciencias, como Geometría,
sica, Mecánica, etc, y son de enorme utilidad como apreciará el alumno
ad y ventaja de las fórmulas algebraicas es muy
1) Porque expresan brevemente una ley o un principio general
2) Porque son Fáciles de recordar, 9) Porque su nes muy Fácil,
210
romuuias © 271
pues para resolver un problema por medio de la fórmula adecuada, bas
sustituir las letras por sus valores en el caso dado, 4) Porque una (6
nos dice la relación que existe entre las variables que en el
pues según se ha probado en Aritmética, la variable cuyo valor se da por
medio de una fórmula es directamente proporcional con las variables (fac.
totes) que se hallan en el numerador del segunda miembro € inversamente
proporcional con las que se hallen en el denominador, si las demás peri
hecen constantes.
AL LeNauade VULGAR
entre ellas. Pondremos dos ejemplos:
Y
1) Dar la regla contenida en la fórmula d= 4 (22
representa el área de un trapecio, f su altura, b y b’ sus bases,
La regla cs: El área de un trapecio es igual al producto de su all
por la semisuma de sus bases.
en que A
2) Dar la regla contenida en la fórmula y=, en que v repre
Jn velocidad de un móvil que se mueve con movimiento uniforme y €
espacio recorrido en el tiempo £.
La regla es: La velocidad de un móvil que se mueve con movimiento
forme es igual al espacio que ha recorrido dividido entre el tiempo eno
ado en recorrerlo.
cuanto a la relación de v con e y £, la fórmula me dicta las dos leyes
siguientes:
1) La velocidad es directamente proporcional al espacio (porque ¢
está en el numerador) para un mismo tiempo,
) La velocidad es inversamente proporcional al tiempo (porqu
está cn el denominador) para un mismo espacio.
æ EJERCICIO 160
Dar Ja regla correspondiente a las
Low
idas siguientes
Soh sie
do A el dica de un widngulo, & su base y A sw aleura,
2 e=ut, siendo e el espacio recorrido por un-mövil con movimiento
forn velocidad y € el tiempo.
272 © sica
Be
3. Las letras tienen el significado del caso anterior.
4. T=Fe, siendo T uabajo, F fuerza y e camino recorrido.
5. 4=22% siendo À el área de un rombo y D y D sus diagonales.
6.
kB, siendo Y el volumen de un prisma, h su altura y B el area
de su base,
xB, siendo Y el volumen de una pirámide, % su
rea de su base.
8: A=x0%, siendo A el Area de un cirulo y r el radio. (x es una constante
igual a 31416 03).
2. e=24e, siendo e el espacio recorrido por un móvil que exe libremente
desde cierta altura partiendo del reposo, g la aceleración de la gravedad
(98 m. por seg) y 1 el dempo empleado en ener.
10, 42 VE siendo A el rca de um eriingulo equiltero y 1 mu tado.
mé
u do F la fuerza centrifuga, me la masa del mévil, v u velo-
cidad y r el radio de la circunferencia que deicribe.
EXPRESAR POR MEDIO DE SIMBOLOS UNA LEY
MATEMATICA O FISICA OBTENIDA COMO
RESULTADO DE UNA INVESTIGACION
Cuando por la investigación se ha obtenido una ley matemática o fi
sica, para expresarla por medio de símbolos, o sea para escribir su fórmula,
generalmente se designan las variables por las iniciales de sus nombres y
se escribe con ellas una expresión en la que aparezcan las relaciones obser
vadas entre las variables.
(1) Escribir. o Kenta que expres quo la alto de un
Ejemplos wiöngele es igeal ol depto de su eo iii onto
| ties
Designando lo altura por h, el área por A y lo bose por b, la för-
mula se a
(2) Escribir no fórmula que expreso quelo prsin que ejerce un liquide sobre
cl fondo del ecpinte que lo confine e gual lo sonic del Tondo mul
fplcado por la era del quo y por e densidad.
Designondo la presión por , la spefice de fondo del ceciiento por $, la
tre del avide por y zu deidad por, a emul ers P= Sc
m EJERCICIO 161
Designando las variables por la inicial de su nombre, escriba la fórmula
que expresas
% La suma de dos múmeros multiplicada por su diferencia es igual a la
diferencia de sus cuadrados.
2
ronmnas © 273
El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a Ja
suma de los "cuadrados de los catetos. 5 me ras
La base de un wiängulo es igual al duplo de sw Area dividido entre
La demidu de un cuerpo es igual al peso dividido por et volumen
Y peso de un cuerpo e igual al producto desu volumen por su demi
BY área de un curdrado es ¡pal al cuadrado del ado,
EI volumen de un cubo es igual al cabo, de su ara
EI radio de una circunferenea cs igual a la longitad de Ja eirunfe
feneis divida ence Be oer
EE ewadrad de un cateto de un trimgulo recángulo cs igual al cua
dado de la poten menos cuadro dd O ao ©
Ei fren de on evades Ja: mad del cuadrado de eu diagonal
La fuera de awacelön entre dos cuerpos cs igual al producto de
consumo À por el eocente que ral de divide producto de ls
sue de los clones por & cuadrado de se rames
EX impo que emplea uma pea en caer nement dede la hoc al
ig deu pose ga ba dl ago de a ok
EI ären de wn poligono segur es igual a la mitad del producto de m
apatema por ef pio:
La potencia de una máquina es igual al trabajo que realiza en 1 segundo.
EMPLEO DE FORMULAS EN CASOS PRÁCTICOS
Basta sustituir las letras de la fórmula por sus valores.
(1) Hallar el rea de un trapecio cuya altura mide 3 m
y sus bosos 6 y 8 m respectivamente.
a
2
to fórmula es A
Aqui, b=5 m. b26 m, b'=8 my
luego sustiuyendo: — A
(2) Hollar el volumen do una pirámide siendo sv allure 12 m y ol óreo de la
boro 36m.
1
Lo fórmula es V = 2h X 8.
ghee.
Aqui, b= 12 m, B= 26 m4, luego sustituyendo:
Be
3. Las letras tienen el significado del caso anterior.
4. T=Fe, siendo T uabajo, F fuerza y e camino recorrido.
5. 4=22% siendo À el área de un rombo y D y D sus diagonales.
6.
kB, siendo Y el volumen de un prisma, h su altura y B el area
de su base,
xB, siendo Y el volumen de una pirámide, % su
rea de su base.
8: A=x0%, siendo A el Area de un cirulo y r el radio. (x es una constante
igual a 31416 03).
2. e=24e, siendo e el espacio recorrido por un móvil que exe libremente
desde cierta altura partiendo del reposo, g la aceleración de la gravedad
(98 m. por seg) y 1 el dempo empleado en ener.
10, 42 VE siendo A el rca de um eriingulo equiltero y 1 mu tado.
mé
u do F la fuerza centrifuga, me la masa del mévil, v u velo-
cidad y r el radio de la circunferencia que deicribe.
EXPRESAR POR MEDIO DE SIMBOLOS UNA LEY
MATEMATICA O FISICA OBTENIDA COMO
RESULTADO DE UNA INVESTIGACION
Cuando por la investigación se ha obtenido una ley matemática o fi
sica, para expresarla por medio de símbolos, o sea para escribir su fórmula,
generalmente se designan las variables por las iniciales de sus nombres y
se escribe con ellas una expresión en la que aparezcan las relaciones obser
vadas entre las variables.
(1) Escribir. o Kenta que expres quo la alto de un
Ejemplos wiöngele es igeal ol depto de su eo iii onto
| ties
Designando lo altura por h, el área por A y lo bose por b, la för-
mula se a
(2) Escribir no fórmula que expreso quelo prsin que ejerce un liquide sobre
cl fondo del ecpinte que lo confine e gual lo sonic del Tondo mul
fplcado por la era del quo y por e densidad.
Designondo la presión por , la spefice de fondo del ceciiento por $, la
tre del avide por y zu deidad por, a emul ers P= Sc
m EJERCICIO 161
Designando las variables por la inicial de su nombre, escriba la fórmula
que expresas
% La suma de dos múmeros multiplicada por su diferencia es igual a la
diferencia de sus cuadrados.
2
ronmnas © 273
El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a Ja
suma de los "cuadrados de los catetos. 5 me ras
La base de un wiängulo es igual al duplo de sw Area dividido entre
La demidu de un cuerpo es igual al peso dividido por et volumen
Y peso de un cuerpo e igual al producto desu volumen por su demi
BY área de un curdrado es ¡pal al cuadrado del ado,
EI volumen de un cubo es igual al cabo, de su ara
EI radio de una circunferenea cs igual a la longitad de Ja eirunfe
feneis divida ence Be oer
EE ewadrad de un cateto de un trimgulo recángulo cs igual al cua
dado de la poten menos cuadro dd O ao ©
Ei fren de on evades Ja: mad del cuadrado de eu diagonal
La fuera de awacelön entre dos cuerpos cs igual al producto de
consumo À por el eocente que ral de divide producto de ls
sue de los clones por & cuadrado de se rames
EX impo que emplea uma pea en caer nement dede la hoc al
ig deu pose ga ba dl ago de a ok
EI ären de wn poligono segur es igual a la mitad del producto de m
apatema por ef pio:
La potencia de una máquina es igual al trabajo que realiza en 1 segundo.
EMPLEO DE FORMULAS EN CASOS PRÁCTICOS
Basta sustituir las letras de la fórmula por sus valores.
(1) Hallar el rea de un trapecio cuya altura mide 3 m
y sus bosos 6 y 8 m respectivamente.
a
2
to fórmula es A
Aqui, b=5 m. b26 m, b'=8 my
luego sustiuyendo: — A
(2) Hollar el volumen do una pirámide siendo sv allure 12 m y ol óreo de la
boro 36m.
1
Lo fórmula es V = 2h X 8.
ghee.
Aqui, b= 12 m, B= 26 m4, luego sustituyendo:
274
S
10.
u
12.
(3) Una piedra dejada caer desde la ozotea de un edificio tordo 4 segundos
‘en llegar al suelo. Hallar la allure del edificio.
Lo lua del edifico es 784 m. R.
EJERCICIO 162
Hallar ef rex de un sciámgulo de 10 cm de base y 8 de altura, À = 30h.
Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 9 m. 4= E
¿Qué dis
forme y lleva una velocidad de 9 m por sey? e
¿En qué tiempo el mismo mévil recorrerá 108 m?
Hallie ts hipotenusa a de un triángulo reccingulo siendo sus catetos
ia recorte un móvil en 15 seg, sí se mueve con movimiento
x.
sa de un triingulo sect
eos > m. Hallar el otro cateo. 01 =
Hallar cl deca de un circulo de 5 m de radio, A= zr, =
Wallar ts longitud de una circunferencia de 5 m de radio. €
Hallar el volumen de un cono siendo su altura 9 m y el radio de la
base 2m, v
El volumen de un cuerpo es 8 an’, y
P
D
Hallar el área de un triángulo equilitero cuyo lado mide 4 m.
Hal
s
lo mide 13 m y uno de los
pesa 5:24 €, Hallar su densidad.
y la suma de los ángulos interiores de um exägono regular
ie Re dd
CAMBIO DEL SUJETO DE UNA FORMULA
El sujeto de una formula es la variable cuyo valor se da por medio
de ta formula. ‚Una fórmula es una ecuación literal y nosotros podemos
espe
como
Ejemplos |
derándolo.
cualquiera de los elementos que entran en ella, com
¡cógnita, y con ello cambiamos el sujeto de la fórmula.
(1) Dada la fórmula € = dor hacer
Hoy que despojar ! en esta ecuación liter
Suprimiendo denominados, tenemos:
N
Dospeiondo F+
Exroyando la raiz evadroda a ambos miembros 1=
ol sujeto de lo fórmula.
es lo incógnita.
ropas © 275
(21 Dada la fórmula S=28(N —2] hacer a N el sujeto do lo férmulo.
Hay que despejor N. N es lo incógnita.
Elecluando el producto indicado: S=2NR —AR.
Tronsponiendo: S-+ 4R = 2NR
43) En lo féemulo
El m. €. m. de los denominadores es pp’ f- Quitando denominadores tendremos
pe’ = pitt pl.
Lo incógnita es pl. Tronsponiendo: pp’ —p'
Pet
(A) Despejor a en » = Vas.
Elevando al cuadrado ambos miembros para destuir el radical:
= 200.
Despejando os
Esta operación de combiar el sujeto de una fórmula sorá de incalculable wl
dad paca ol alumno al Matemático y Física.
EJERCICIO 163
En la fórmula eut, despejar wyt. 13
JE 10
ash( AE) acer a he 14 En ecb, despejar Y,
16 at, despejar Uy m
16. En Votes, despejar le y r
xr
17 , despejar 6 Ey Ye
En 4 spejar € 100
En at=bt+-2bxx, despejar x. 18. TR, despejar Ret.
En P=Y rat, despejar Va 0 y de 10. E. despejar v.
En V=V-at, despejar Uy ay te E
à 20 Her, despejar a, ny
En Dap, despejar. Py 1 2L En wart, despejar a y 1
E o
Enatobeve, despejar by a mo 128, depen Qy 4
Ain P=at, despejar a y &
En de Le
1
1
; despejar: y f
peop SE oy
S
10.
u
12.
(3) Una piedra dejada caer desde la ozotea de un edificio tordo 4 segundos
‘en llegar al suelo. Hallar la allure del edificio.
Lo lua del edifico es 784 m. R.
EJERCICIO 162
Hallar ef rex de un sciámgulo de 10 cm de base y 8 de altura, À = 30h.
Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 9 m. 4= E
¿Qué dis
forme y lleva una velocidad de 9 m por sey? e
¿En qué tiempo el mismo mévil recorrerá 108 m?
Hallie ts hipotenusa a de un triángulo reccingulo siendo sus catetos
ia recorte un móvil en 15 seg, sí se mueve con movimiento
x.
sa de un triingulo sect
eos > m. Hallar el otro cateo. 01 =
Hallar cl deca de un circulo de 5 m de radio, A= zr, =
Wallar ts longitud de una circunferencia de 5 m de radio. €
Hallar el volumen de un cono siendo su altura 9 m y el radio de la
base 2m, v
El volumen de un cuerpo es 8 an’, y
P
D
Hallar el área de un triángulo equilitero cuyo lado mide 4 m.
Hal
s
lo mide 13 m y uno de los
pesa 5:24 €, Hallar su densidad.
y la suma de los ángulos interiores de um exägono regular
ie Re dd
CAMBIO DEL SUJETO DE UNA FORMULA
El sujeto de una formula es la variable cuyo valor se da por medio
de ta formula. ‚Una fórmula es una ecuación literal y nosotros podemos
espe
como
Ejemplos |
derándolo.
cualquiera de los elementos que entran en ella, com
¡cógnita, y con ello cambiamos el sujeto de la fórmula.
(1) Dada la fórmula € = dor hacer
Hoy que despojar ! en esta ecuación liter
Suprimiendo denominados, tenemos:
N
Dospeiondo F+
Exroyando la raiz evadroda a ambos miembros 1=
ol sujeto de lo fórmula.
es lo incógnita.
ropas © 275
(21 Dada la fórmula S=28(N —2] hacer a N el sujeto do lo férmulo.
Hay que despejor N. N es lo incógnita.
Elecluando el producto indicado: S=2NR —AR.
Tronsponiendo: S-+ 4R = 2NR
43) En lo féemulo
El m. €. m. de los denominadores es pp’ f- Quitando denominadores tendremos
pe’ = pitt pl.
Lo incógnita es pl. Tronsponiendo: pp’ —p'
Pet
(A) Despejor a en » = Vas.
Elevando al cuadrado ambos miembros para destuir el radical:
= 200.
Despejando os
Esta operación de combiar el sujeto de una fórmula sorá de incalculable wl
dad paca ol alumno al Matemático y Física.
EJERCICIO 163
En la fórmula eut, despejar wyt. 13
JE 10
ash( AE) acer a he 14 En ecb, despejar Y,
16 at, despejar Uy m
16. En Votes, despejar le y r
xr
17 , despejar 6 Ey Ye
En 4 spejar € 100
En at=bt+-2bxx, despejar x. 18. TR, despejar Ret.
En P=Y rat, despejar Va 0 y de 10. E. despejar v.
En V=V-at, despejar Uy ay te E
à 20 Her, despejar a, ny
En Dap, despejar. Py 1 2L En wart, despejar a y 1
E o
Enatobeve, despejar by a mo 128, depen Qy 4
Ain P=at, despejar a y &
En de Le
1
1
; despejar: y f
peop SE oy
capiruto XIX
DESIGUALDADES. INECUACIONES
Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la
diferencia a— b es positiva. Asi, 4 es mayor que — 2 porque la dife-
rencia 4—(2)=442=6 es positiva; —1 es mayor que —3 porque
~1=(-8)==149=2 es una cantidad positiva.
Se dice que una cantidad a ex menor que otra cantidad & cuando la
dilerencia a—b es negativa, Asi, — 1 es menor que 1 porque la diferen-
cía —1—1=-2 65 negativa: —4 cs menor que —3 porque la diferencia
444227 es negativa.
De acuerdo con lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad ne-
gativa.
Asi, 0 es mayor q
© = 1 porque 0 (=1)=0+1=1, cantidad positiva,
G9) DESIGUALDAD es
Los spine engi 5, que e ee neue y < ques
Dean ee
expres
ón que indica que una cantidad es ma-
216
prsicuatoants © 277
ED miennes
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que std
a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del
desigualdad.
Así, en a+b>c=d el primer miembro es a+b y el segundo cdi
TERMINOS de una desigualdad son las cantidades que están separadas
de otras por el signo 4 0 — o la cantidad que está sola en un miembro,
En la desigualdad anterior los términos son a, by € y
Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sen
sido cuando sus primeros miembros son mayores 6 menores, ambos,
que los segundos.
As, a> by > d son desigualdades del mismo sentido,
Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo
sentido cuando sus primeros miembros no son ambos m
que los segundos miembros, Asi, 5>3 y 1<2 son desigualdades de sentido
ario.
(248) PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1), Sia los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una mis
ma cantidad, el signo de la desigualdad no varía,
Asi, dada la desigualdad «0, | FRS)
podemos escribir: 7,
CONSECUENCIA
Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un
Asi, en dad a> b +e podemos pasar ¢ al primer miembro
con signo — y quedará a—c>b, porque equivale a restar € a los dos
miembros.
Ea dad a > podemos pasar b con signo + al segundo
miembro y quedará a>b-+e, porque equivale a sumar b a los dos
misma cantidad positiva, el signo de
Asi, dada la desigualdad a>b y siendo € una
cantidad positiva, podemos escribir:
CONSECUENCIA
Se pueden suprimir denomi
el signo de la desigualdad, porg
aldad, sin qu
Itíplicar todos los 1ér-
DESIGUALDADES. INECUACIONES
Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la
diferencia a— b es positiva. Asi, 4 es mayor que — 2 porque la dife-
rencia 4—(2)=442=6 es positiva; —1 es mayor que —3 porque
~1=(-8)==149=2 es una cantidad positiva.
Se dice que una cantidad a ex menor que otra cantidad & cuando la
dilerencia a—b es negativa, Asi, — 1 es menor que 1 porque la diferen-
cía —1—1=-2 65 negativa: —4 cs menor que —3 porque la diferencia
444227 es negativa.
De acuerdo con lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad ne-
gativa.
Asi, 0 es mayor q
© = 1 porque 0 (=1)=0+1=1, cantidad positiva,
G9) DESIGUALDAD es
Los spine engi 5, que e ee neue y < ques
Dean ee
expres
ón que indica que una cantidad es ma-
216
prsicuatoants © 277
ED miennes
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que std
a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del
desigualdad.
Así, en a+b>c=d el primer miembro es a+b y el segundo cdi
TERMINOS de una desigualdad son las cantidades que están separadas
de otras por el signo 4 0 — o la cantidad que está sola en un miembro,
En la desigualdad anterior los términos son a, by € y
Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sen
sido cuando sus primeros miembros son mayores 6 menores, ambos,
que los segundos.
As, a> by > d son desigualdades del mismo sentido,
Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo
sentido cuando sus primeros miembros no son ambos m
que los segundos miembros, Asi, 5>3 y 1<2 son desigualdades de sentido
ario.
(248) PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1), Sia los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una mis
ma cantidad, el signo de la desigualdad no varía,
Asi, dada la desigualdad «0, | FRS)
podemos escribir: 7,
CONSECUENCIA
Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un
Asi, en dad a> b +e podemos pasar ¢ al primer miembro
con signo — y quedará a—c>b, porque equivale a restar € a los dos
miembros.
Ea dad a > podemos pasar b con signo + al segundo
miembro y quedará a>b-+e, porque equivale a sumar b a los dos
misma cantidad positiva, el signo de
Asi, dada la desigualdad a>b y siendo € una
cantidad positiva, podemos escribir:
CONSECUENCIA
Se pueden suprimir denomi
el signo de la desigualdad, porg
aldad, sin qu
Itíplicar todos los 1ér-
2180 am
minos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m.c.m. de los de-
nominadores.
3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen
por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.
Así, si en la desigualdad «> b multipli- cb,
camos ambos miembros por —6, tendremos: 7
y dividiéndolos por ~c, o sea mul- Les _b
tiplicando por — z ro EU A, E
CONSECUENCIA
Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros
de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a
multiplicar los dos miembros de la desigualdad por —1.
Asi, si en la desigualdad a—b>=c cambiamos el signo a todos los
términos, tendremos: b-a<c.
4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.
Asi, si a>b es evidente que b<a.
5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.
Así siendo a>b se tiene que 2 <<,
5
8) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a
una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Asi, 5> 3. Elevando al eusdrado: $23" o sea 25>9,
7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una
potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Asi, 3 — indo al cubo:( —3)'> (5) 0 sea —27> — 125,
— 2 usa 89 —8
8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma po-
tencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.
Asi, —8>=5. Elevando al cuadrado: (—8)!=9 y (-5P=25 y que:
da 9225,
9) Si un miembro cs positivo y otro negativo y ambos sc cleván a una
misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.
Así, 3>=5. Elevando al cuadrad ¥(-8F=25 y queda 9<25,
Cambia.
8>-2. Elevando al cuadrado: 8 =64 y (2%=4 y queda 6424.
No cambia.
ieuacions 0279,
10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les
extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambin,
Asi, si a > by n es positivo, tendremos: Va > WB.
11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplie
can miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.
Asi, si a>b y cmd, tendremos: a+c>b+d y ac> bd.
12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro
miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo.
signo, pudiendo ser una igualdad.
Así, 10>8 y 6>2 Restando miembro a miembro: 10-5
2=6; luego queda 5<6; cambia el signo.
Si dividimos miembro a miembro las à
10
nemos 22 y [=2; luego queda 2
5
5y
waldades 10>8 y 5>4, te
igualdad,
INECUACIONES
3) UNA INECUACION cs una desigualdad en la que hay una o
cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para deter
ados valores de las incógnitas. inecuaciones se Hawan también
desigualdades de condición.
‘Asi, la desigualdad 2x—3>x-1:5 es una inecuación porque tiene la
incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8,
En efecto: Para x=8 se convertiría en igualdad y para x <6 se con
vertiria en una desigualdad de signo contrario.
GE) RESOLVER UNA INECUACION es Fals ls valores de at Ing
que satisfacen la inecuación.
(253) PRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCION
DE LAS INECUACIONES
La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las
desigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de las
mas se derivan.
632) nesoLucion DE mecuAciones
E 0 41), Rosolver la inocuoción 2e—3 > x
Ejemplos Posando x al primer miembro y 3 al segundo:
[ Ejemplos ] dx 5 +3.
Reduciendo: ER
B es ol limito inferior de x, 6 decir que la dasiguoldad dodo sólo se verilica
pora los volores de x moyoros que 8.
minos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m.c.m. de los de-
nominadores.
3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen
por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.
Así, si en la desigualdad «> b multipli- cb,
camos ambos miembros por —6, tendremos: 7
y dividiéndolos por ~c, o sea mul- Les _b
tiplicando por — z ro EU A, E
CONSECUENCIA
Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros
de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a
multiplicar los dos miembros de la desigualdad por —1.
Asi, si en la desigualdad a—b>=c cambiamos el signo a todos los
términos, tendremos: b-a<c.
4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.
Asi, si a>b es evidente que b<a.
5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.
Así siendo a>b se tiene que 2 <<,
5
8) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a
una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Asi, 5> 3. Elevando al eusdrado: $23" o sea 25>9,
7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una
potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Asi, 3 — indo al cubo:( —3)'> (5) 0 sea —27> — 125,
— 2 usa 89 —8
8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma po-
tencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.
Asi, —8>=5. Elevando al cuadrado: (—8)!=9 y (-5P=25 y que:
da 9225,
9) Si un miembro cs positivo y otro negativo y ambos sc cleván a una
misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.
Así, 3>=5. Elevando al cuadrad ¥(-8F=25 y queda 9<25,
Cambia.
8>-2. Elevando al cuadrado: 8 =64 y (2%=4 y queda 6424.
No cambia.
ieuacions 0279,
10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les
extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambin,
Asi, si a > by n es positivo, tendremos: Va > WB.
11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplie
can miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.
Asi, si a>b y cmd, tendremos: a+c>b+d y ac> bd.
12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro
miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo.
signo, pudiendo ser una igualdad.
Así, 10>8 y 6>2 Restando miembro a miembro: 10-5
2=6; luego queda 5<6; cambia el signo.
Si dividimos miembro a miembro las à
10
nemos 22 y [=2; luego queda 2
5
5y
waldades 10>8 y 5>4, te
igualdad,
INECUACIONES
3) UNA INECUACION cs una desigualdad en la que hay una o
cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para deter
ados valores de las incógnitas. inecuaciones se Hawan también
desigualdades de condición.
‘Asi, la desigualdad 2x—3>x-1:5 es una inecuación porque tiene la
incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8,
En efecto: Para x=8 se convertiría en igualdad y para x <6 se con
vertiria en una desigualdad de signo contrario.
GE) RESOLVER UNA INECUACION es Fals ls valores de at Ing
que satisfacen la inecuación.
(253) PRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCION
DE LAS INECUACIONES
La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las
desigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de las
mas se derivan.
632) nesoLucion DE mecuAciones
E 0 41), Rosolver la inocuoción 2e—3 > x
Ejemplos Posando x al primer miembro y 3 al segundo:
[ Ejemplos ] dx 5 +3.
Reduciendo: ER
B es ol limito inferior de x, 6 decir que la dasiguoldad dodo sólo se verilica
pora los volores de x moyoros que 8.
230 © area
Pex ee eee
(42) 426<(-b}(e45),
ate
(2) Hallar ol limito do x en 7 > à.
277
Suprimiondo donominadoros: 42— x > 10% — 36,
Transponiendo: 1 > 2642,
>
En een
er
Pilea its Se nen ace
6 os ol imito superior de x, es decir, que le dosigualdad dado sólo se verifica
para los volores de x mencres que 6. i
(3) Hallar el límite de x en 1x4 34x14) x 1 +3,
Efectuondo los operaciones indicadas: x24 2x — 3 < x — 2x 4: 1 + In.
Suprimiendo x* en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x — Bec 1 43
<a e
4 as el limite superior de x.
EJERCICIO 164
We de x en las inccuaciones siguientes:
10. G(7+1)—(2e—AV(Ox42)<5e+21).
DATE U (xO) <TH
6221-88, 12 A
AMAIA, ta, 20H, Bets
tr
iM
15.
A). 18.
17, Hallar los múmeros enteros
en 15 sea mayor que su mit
INECUACIONES SIMULTANEAS
INECUACIONES SIMULTANEAS son inccuaciones que tienen solu-
ciones comunes.
mplos ]
(1) Hallar qué valoras de x satisfacen
los inecuneiones:
Resolviendo la primera: 2x> 6-+4
2e> 10
> 5.
Resolviendo la segundo: 32» 14=5
> 9
24
muscuacionis © 281
La primero inacción se sata para x35 y la segndo pora x > 3, Lege
Tomamos cone seulön general de ambos 2-5 yo que cale velo de
2 mayor que 3 sees mayor que.
Luego & le frio de as Soluciones commas es 5.
de los soluciones comunes @ las
Resolviendo la primero: 3x< 16-4
me
x=,
Resolviendo la segunda: —x>
=>
x<2
La solución comén es x < 2, yo que todo valor de x menor que 2
lo es menor q
Luego 2 os el fito superior de los soluciones comunes, R.
B46
2
(31 Hallor el limite superior o inferior de los valores do
x que satisfacon las inecuacionos: —— se
Resolviendo la primero: Sx~3x> —2+10
> 8
x>4
Resolriondo lo segundo: 3x—2x<6—1
x<ä
La primera se satisface para x > 4 y la segunda para x < 5, luego todos los
volores de x que seon a la voz mayores que 4 y menoros que 5, solace
Luego 4 es el lite inferior y $ el límite superior de as soluciones comunes
lo que se expreso 4<x<5. R
EJERCICIO 165
Hallar el límite de las soluciones comunes a:
3-35 y 245217. 4 xa TxA y 8-76 <10 DM,
Ó=x>6 y 2x49>%x. 3
Ox+5>4x+Il y 4-2x>10-5%. 5
Ox
a> Fe y 2s
Hallar el limite superior € inferior de las soluciones comunes a:
PAIS #10 y Orb,
ER sus
Y
ALA) y ARANA.
ate end 95
> ea
xis end) a“
Hallar. los números
d más 4 y cuyo cu
aumentado ‘en 16
cuyo triplo menos 6 sea mayor que su mi-
lo aumentado en deu menor que su tl
Pex ee eee
(42) 426<(-b}(e45),
ate
(2) Hallar ol limito do x en 7 > à.
277
Suprimiondo donominadoros: 42— x > 10% — 36,
Transponiendo: 1 > 2642,
>
En een
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Pilea its Se nen ace
6 os ol imito superior de x, es decir, que le dosigualdad dado sólo se verifica
para los volores de x mencres que 6. i
(3) Hallar el límite de x en 1x4 34x14) x 1 +3,
Efectuondo los operaciones indicadas: x24 2x — 3 < x — 2x 4: 1 + In.
Suprimiendo x* en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x — Bec 1 43
<a e
4 as el limite superior de x.
EJERCICIO 164
We de x en las inccuaciones siguientes:
10. G(7+1)—(2e—AV(Ox42)<5e+21).
DATE U (xO) <TH
6221-88, 12 A
AMAIA, ta, 20H, Bets
tr
iM
15.
A). 18.
17, Hallar los múmeros enteros
en 15 sea mayor que su mit
INECUACIONES SIMULTANEAS
INECUACIONES SIMULTANEAS son inccuaciones que tienen solu-
ciones comunes.
mplos ]
(1) Hallar qué valoras de x satisfacen
los inecuneiones:
Resolviendo la primera: 2x> 6-+4
2e> 10
> 5.
Resolviendo la segundo: 32» 14=5
> 9
24
muscuacionis © 281
La primero inacción se sata para x35 y la segndo pora x > 3, Lege
Tomamos cone seulön general de ambos 2-5 yo que cale velo de
2 mayor que 3 sees mayor que.
Luego & le frio de as Soluciones commas es 5.
de los soluciones comunes @ las
Resolviendo la primero: 3x< 16-4
me
x=,
Resolviendo la segunda: —x>
=>
x<2
La solución comén es x < 2, yo que todo valor de x menor que 2
lo es menor q
Luego 2 os el fito superior de los soluciones comunes, R.
B46
2
(31 Hallor el limite superior o inferior de los valores do
x que satisfacon las inecuacionos: —— se
Resolviendo la primero: Sx~3x> —2+10
> 8
x>4
Resolriondo lo segundo: 3x—2x<6—1
x<ä
La primera se satisface para x > 4 y la segunda para x < 5, luego todos los
volores de x que seon a la voz mayores que 4 y menoros que 5, solace
Luego 4 es el lite inferior y $ el límite superior de as soluciones comunes
lo que se expreso 4<x<5. R
EJERCICIO 165
Hallar el límite de las soluciones comunes a:
3-35 y 245217. 4 xa TxA y 8-76 <10 DM,
Ó=x>6 y 2x49>%x. 3
Ox+5>4x+Il y 4-2x>10-5%. 5
Ox
a> Fe y 2s
Hallar el limite superior € inferior de las soluciones comunes a:
PAIS #10 y Orb,
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Y
ALA) y ARANA.
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Hallar. los números
d más 4 y cuyo cu
aumentado ‘en 16
cuyo triplo menos 6 sea mayor que su mi-
lo aumentado en deu menor que su tl
CONSTANTES Y VARIABLES
Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son cons-
tantes cuando tienen un valor fijo y determinado y son variables cuando
toman diversos valores. Pondremos dos ejemplos,
a cuesta $2, el costo de una pieza de tela depen-
mero de metros que tenga la pieza. Si la pieza tiene 5 metros,
el costo de la pieza será $10 si tiene 8 metros, el costo será S16, etc. Aqui,
€) costo de un metro que siempre es cl mismo, $2, es una constante, y el
húmero de metros de la pieza y el costo de la pieza, que toman diversos
valores, son variables.
¿De qué depende en este caso el costo de la pieza? Del número de
metros que tenga, EI costo de la pieza es la variable dependiente y el mú-
mero de metros Ja variable independiente.
2) Si um móvil desartolla una velocidad de 6 m por segundo, el es.
pacio que recorra dependerá del tiempo que esté andando. Si anda d
rante 2 segundos, recorrerá un espacio de 12 m; si anda durante 3 segun-
dos, recorrerá un espacio de 18 m. Aqui, la velocidad 6 m cs constante
y el tiempo y el espacio recorrido, que toman sucesivos valores, son variables.
282
runciones: 0 283
¿De qué depende en este caso el espacio recorrido? Del tiempo que
ha estado andando el móvil. EI tiempo es la variable independiente y el
espacio recorrido la variable dependiente.
FUNCION
En el ejemplo 1) anterior el costo de la pieza depende del mimero de
metros que tenga; el costo de la pieza es función del número de metros
En el ejemplo 2) el espacio recorrido depende del 4
estado andando cl móvil; el espacio recorrido cs función del
iempre que una cantidad variable depende «de otra se dice que es
función de esta última,
La definición moderna de función debida a Cauchy es la siguiente:
Se dice que y es función de x cuando a cada valor de 1a variable à
corresponden un ados de la variable y.
La notación para expresar que y es fu
Y DE VARIAS VARIABLES
Cuando el valor de una variable y depende solamente del
pira variable x tenemos una función de una sola va
como en los ejemplos anteriores,
ndo el valor de una variable y depende de los valores de dos o más
variables tenemos una función de varias variables independientes.
Por ejemplo, el árca de un triángulo depende de los valores de su
base y de su altura; luego, el área de un triángulo es función de dos varia:
bles independientes que son su base y su altura, Designando por A el rea,
por b la base y por À la altura, escribimos: A = f(b).
El volumen de una caja depende de la longitud, del ancho y de la
altura; luego, el volumen es función de tres variables independientes
Designando el volumen por +, la longitud por L, el ancho por a y la
a por h, podemos escribir: v=/(LaJo)
(65) Lev DE DEPENDENCIA
Siempre que los valores de una variable y dependen de los valores de
otra variable x, y es función de x; la palabra función indica dependencia,
Pero no basta con saber que y depende de x, interesa mucho saber cómo
depende y de x, de qüé modo varía y cuando varía x, la relación que li
1 las variables, que es lo que se Hama ley de dependencia entre las variables.
(258) EJEMPLOS DE FUNCIONES, PUEDA O NO ESTABLECERSE
MATEMATICAMENTE LA LEY DE DEPENDENCIA
No en todas las funcion
matemática o analítica que ti
indepe
preciso la
diente con la variable
Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son cons-
tantes cuando tienen un valor fijo y determinado y son variables cuando
toman diversos valores. Pondremos dos ejemplos,
a cuesta $2, el costo de una pieza de tela depen-
mero de metros que tenga la pieza. Si la pieza tiene 5 metros,
el costo de la pieza será $10 si tiene 8 metros, el costo será S16, etc. Aqui,
€) costo de un metro que siempre es cl mismo, $2, es una constante, y el
húmero de metros de la pieza y el costo de la pieza, que toman diversos
valores, son variables.
¿De qué depende en este caso el costo de la pieza? Del número de
metros que tenga, EI costo de la pieza es la variable dependiente y el mú-
mero de metros Ja variable independiente.
2) Si um móvil desartolla una velocidad de 6 m por segundo, el es.
pacio que recorra dependerá del tiempo que esté andando. Si anda d
rante 2 segundos, recorrerá un espacio de 12 m; si anda durante 3 segun-
dos, recorrerá un espacio de 18 m. Aqui, la velocidad 6 m cs constante
y el tiempo y el espacio recorrido, que toman sucesivos valores, son variables.
282
runciones: 0 283
¿De qué depende en este caso el espacio recorrido? Del tiempo que
ha estado andando el móvil. EI tiempo es la variable independiente y el
espacio recorrido la variable dependiente.
FUNCION
En el ejemplo 1) anterior el costo de la pieza depende del mimero de
metros que tenga; el costo de la pieza es función del número de metros
En el ejemplo 2) el espacio recorrido depende del 4
estado andando cl móvil; el espacio recorrido cs función del
iempre que una cantidad variable depende «de otra se dice que es
función de esta última,
La definición moderna de función debida a Cauchy es la siguiente:
Se dice que y es función de x cuando a cada valor de 1a variable à
corresponden un ados de la variable y.
La notación para expresar que y es fu
Y DE VARIAS VARIABLES
Cuando el valor de una variable y depende solamente del
pira variable x tenemos una función de una sola va
como en los ejemplos anteriores,
ndo el valor de una variable y depende de los valores de dos o más
variables tenemos una función de varias variables independientes.
Por ejemplo, el árca de un triángulo depende de los valores de su
base y de su altura; luego, el área de un triángulo es función de dos varia:
bles independientes que son su base y su altura, Designando por A el rea,
por b la base y por À la altura, escribimos: A = f(b).
El volumen de una caja depende de la longitud, del ancho y de la
altura; luego, el volumen es función de tres variables independientes
Designando el volumen por +, la longitud por L, el ancho por a y la
a por h, podemos escribir: v=/(LaJo)
(65) Lev DE DEPENDENCIA
Siempre que los valores de una variable y dependen de los valores de
otra variable x, y es función de x; la palabra función indica dependencia,
Pero no basta con saber que y depende de x, interesa mucho saber cómo
depende y de x, de qüé modo varía y cuando varía x, la relación que li
1 las variables, que es lo que se Hama ley de dependencia entre las variables.
(258) EJEMPLOS DE FUNCIONES, PUEDA O NO ESTABLECERSE
MATEMATICAMENTE LA LEY DE DEPENDENCIA
No en todas las funcion
matemática o analítica que ti
indepe
preciso la
diente con la variable
284 @ mena
dependiente o función, es decir, no siempre se conoce la ley de depen-
dencia.
En algunos casos sabemos que una cantidad depende de où
conocemos Ja relación que liga a las variables. De ahí la di
funciones en analiticas y concretas.
FUNCIONES ANALITICAS
Cuando se conoce de un modo preciso la relación analítica que liga
a las variables, esta relación puede establecerse matemáticamente por me-
dio de una fórmula o ecuación que nos permite, para cualquier valor de
la vatiable independiente, hallar el valor correspondiente de la funció
Estas son funciones analíticas.
Como ejemplo de estas funciones podemos citar las siguientes:
EI costo de una pieza de tela, función del número de metros de la
pieza. Conocido el coso de un metro, puede calcularse el costo de cual
«quier múmero de metros.
TEI tempo empleado en hacer una obra, función del mümero de obre-
vos. Conocido el tiempo que emplea cierto número de obreros en hacer
la obra, puede calcularse el tiempo que emplearia cualquier otro número
de obreros en hacerla.
EI espacio que recorre un cuerpo en su caida libre desde cióna altura,
función del tiempo. Conocido el tiempo que emplea en caer un móvil,
puede calcularse el espacio recorrido,
FUNCIONES CONCRETAS
Cuando por observación de los hechos sabemos que una cantidad de:
pende de otra, pero no se ha podido determinar la relación analítica que
Pa a las variables, tenemos una función concreta, En este caso, la ley de
dependencia, que no se conoce con precisión, no puede establecerse mate
éticamente por medio de una fórmula o ecuación porque a relación fun-
cional, aunque existe, noes siempre la mism:
‘Como ejemplo podemos citar la velocidad de un cuerpo que se des
liza sobre otro, función del roce o frotamiento que hay entre los dos cuer-
pos. Al aumentar el roce, disminuye la velocidad, pero no se conoce de un
modo preciso la relación anal liga a estas variables, Muchas leyes
físicas, fuera de ciertos límites, son funciones de esta clase.
In los casos dé funciones concretas suelen construirse tablas o gráficas
en que figuren los casos observados, que nos permiten hallar aproximada
meme el valor de la función que corresponde a un valor dado de la va:
riable independiente,
Se dice que A varia directamente a B o que A es directamente propor:
al a B cuando multiph diendo una de estas dos variables
nncions O 285
por uva cantidad, la otra queda multiplicada o dividida por esa
cantidad.
Son cn il coh not nen a
Ejemplo | "n'es 0 mms en 20 magos rears 40 Kn y 6
5 minutos recorrerá 15 Km, luego la variable espacio ae “an
do os direclomente proporcional lo proporcional) ©
ee proportional] la variable
à Si A es propor si i
Gad sia proporcional a B, A es igual a 18 multiplicada por una on
ma
En el ejemplo anterior, la relació e i
ame mel Sis amet rain eee xpacioy ol HE
ane
|
En 10 min el móvil recorre 30 Km; la relación es 22.
0
En 20 min el móvil recorre 60 Km la relación es
EJ
En 5 min el móvil recorre 15 Ku; la relación es 2%
4 se i À cs proporcional a B, la relación
entre A y B es constante; luego, designando esta
Soneto por de
VARIACION INVERSA
dice que À varia inversamente a B i
versamente a B 0 que A es inversamente pr
À and muliplicnss 0 dividiendo wa de à A
ucda dividida en el primer caso y multiplicada
ma cantidad. & E es
Fare rm es
ee
Fa nina de tomes y Wawona,
(262) Si A es inversamente proporcional a B, A es igual a una constante
¡plo anterior, el producto del número de hombres por el
en hacer la obra es constante, En efecto:
10 hombres emplean 6 horas; el
horas: el producto 10x 6
20 hombres emplean 3 horas; el producto 20 x
5 hombres emplean 12 horas; el pro
60.
En general, si À es inversa
4, el producto AB es consta
esta constante por k, tenemc
© proporcional
dependiente o función, es decir, no siempre se conoce la ley de depen-
dencia.
En algunos casos sabemos que una cantidad depende de où
conocemos Ja relación que liga a las variables. De ahí la di
funciones en analiticas y concretas.
FUNCIONES ANALITICAS
Cuando se conoce de un modo preciso la relación analítica que liga
a las variables, esta relación puede establecerse matemáticamente por me-
dio de una fórmula o ecuación que nos permite, para cualquier valor de
la vatiable independiente, hallar el valor correspondiente de la funció
Estas son funciones analíticas.
Como ejemplo de estas funciones podemos citar las siguientes:
EI costo de una pieza de tela, función del número de metros de la
pieza. Conocido el coso de un metro, puede calcularse el costo de cual
«quier múmero de metros.
TEI tempo empleado en hacer una obra, función del mümero de obre-
vos. Conocido el tiempo que emplea cierto número de obreros en hacer
la obra, puede calcularse el tiempo que emplearia cualquier otro número
de obreros en hacerla.
EI espacio que recorre un cuerpo en su caida libre desde cióna altura,
función del tiempo. Conocido el tiempo que emplea en caer un móvil,
puede calcularse el espacio recorrido,
FUNCIONES CONCRETAS
Cuando por observación de los hechos sabemos que una cantidad de:
pende de otra, pero no se ha podido determinar la relación analítica que
Pa a las variables, tenemos una función concreta, En este caso, la ley de
dependencia, que no se conoce con precisión, no puede establecerse mate
éticamente por medio de una fórmula o ecuación porque a relación fun-
cional, aunque existe, noes siempre la mism:
‘Como ejemplo podemos citar la velocidad de un cuerpo que se des
liza sobre otro, función del roce o frotamiento que hay entre los dos cuer-
pos. Al aumentar el roce, disminuye la velocidad, pero no se conoce de un
modo preciso la relación anal liga a estas variables, Muchas leyes
físicas, fuera de ciertos límites, son funciones de esta clase.
In los casos dé funciones concretas suelen construirse tablas o gráficas
en que figuren los casos observados, que nos permiten hallar aproximada
meme el valor de la función que corresponde a un valor dado de la va:
riable independiente,
Se dice que A varia directamente a B o que A es directamente propor:
al a B cuando multiph diendo una de estas dos variables
nncions O 285
por uva cantidad, la otra queda multiplicada o dividida por esa
cantidad.
Son cn il coh not nen a
Ejemplo | "n'es 0 mms en 20 magos rears 40 Kn y 6
5 minutos recorrerá 15 Km, luego la variable espacio ae “an
do os direclomente proporcional lo proporcional) ©
ee proportional] la variable
à Si A es propor si i
Gad sia proporcional a B, A es igual a 18 multiplicada por una on
ma
En el ejemplo anterior, la relació e i
ame mel Sis amet rain eee xpacioy ol HE
ane
|
En 10 min el móvil recorre 30 Km; la relación es 22.
0
En 20 min el móvil recorre 60 Km la relación es
EJ
En 5 min el móvil recorre 15 Ku; la relación es 2%
4 se i À cs proporcional a B, la relación
entre A y B es constante; luego, designando esta
Soneto por de
VARIACION INVERSA
dice que À varia inversamente a B i
versamente a B 0 que A es inversamente pr
À and muliplicnss 0 dividiendo wa de à A
ucda dividida en el primer caso y multiplicada
ma cantidad. & E es
Fare rm es
ee
Fa nina de tomes y Wawona,
(262) Si A es inversamente proporcional a B, A es igual a una constante
¡plo anterior, el producto del número de hombres por el
en hacer la obra es constante, En efecto:
10 hombres emplean 6 horas; el
horas: el producto 10x 6
20 hombres emplean 3 horas; el producto 20 x
5 hombres emplean 12 horas; el pro
60.
En general, si À es inversa
4, el producto AB es consta
esta constante por k, tenemc
© proporcional
286 © suc
VARIACION CONJUNTA
Si A es proporcional a B cuando € es constante y À es proporcional
a © cuando B es constante, À es proporcional a BG cuando B y € varian,
principio que se expres: A KBC,
donde k es constante, lo que se puede expresar diciendo que si una
cantidad cs proporcional a otras varias, lo es a su producto.
El área de un triángulo es proporcional 0 la ara, ia base
(3 comsone y cs proporcional a la boss si la cra es cons-
tanto, Lego lo base y la alluo verlan, ol étea c+ proporcio:
mal at producto de lo bene por la alle. Siendo A al dron,
ble base y h lo alura, tenemos
A= tbh
y lo constonte k= (por Gomera) luego À = Suh.
(59) VARIACION DIRECTA E INVERSA A LA VEZ
Se dice que À es proporcional a B e inversamente proporcional
a C cuando A es proporcional a la relación Z, lo que se expresa:
(ES5) RESUMEN DE LAS VARIACIONES
Si A es proporcional a B...
Si A es inversamente proporcional a 1
Si A es proporcional a B y
Si A es proporcional a Be
proporcional a €.
(1) A es proporcional a 8 y À = 20 cuando à
Hollor A cuando 8:
Siendo A proporcional a B, se tiene: A=40,
Para hollar la constante k, como A=20 cuen-
de B=2, tendramos———— y
Si k= 10, cuondo
6, A voré:
A=K=I0X6= 40. Ro
12) A es inversomante proporcional o 8 y A= 5 cuando 8 = 4.
Follar À cuando B= 10. .
Como A es inversamente proporcional a 8, se tiene: À
Hollemos k, haciendo A=5 y B= 4
5
Siendo k= 20, cuando & = 10, A valde:
runcowss © 287
13) A es proporcionol a B y C A= 6 evondo B=
Hollar 8 cuando A=15 y C=,
Siendo A proporcional a 8 y C, se Here: A=KBC. {1}.
yea
Pare hallar de
A
Para hollor 8 la despejamos en (1): 6= E,
pei a
Susttuyende A= 15, &
cas,
tondeemor:
14) x es proporcional a y e invesamento proporcional a =
Ba 4 sudo y 22, 2d, ola x ande y = 3, 2-18
endo x proporcional @ y e inveciomono proporcional © =,
tendremos: RME an sele
Haciendo x=4, y=2, 2=3,
se tienes Br
Haciendo en (1)
k=6y=
se fe SER
EJERCICIO 166
x es proporcional a y. Si x =9 cuando ÿ 26, hallar x cuando
x 6 paoporcional a y. Si y=3 cuando x =2, hallar y cuando = 21.
4 es proporcional a B y G. Si A=80 cuando B=3 y C=5, hallar À
nano B=5, €
x es proporcional a y y a 2. Si x=4 cuando y= 4 y 2=6, hallar y cuando
eS aed ans 4
A es inversamente proporcional a Zi. Si 4=3 cuando B=5, hallar À
cuando B= 7.
B es inversamente proporcional a 4. Si 4
cuando B
A es proporcional a B € inversamente proporcional a €, Si 4=8 cuando
BSR Cod, hallar À cuando Pet, 02 14 4
x es proporcional a y e inversamente proporcional a 2. Si x=3 cuando
Sa ER hallar 2 cuando. yet Ei
x es proporcional a 321. Si x=48 cuando
3,5 inversamente proporcional a —1.
do y = 5.
+ cuando B=, hallar À
ballar x cuando y = 7.
hallar x
Si x=9 cuando y
Irado es proporcional al cuadrado de su di
cuando la diagonal és 6 m. hallar el Área cu
la diagonal sea 10 m,
El area lateral de
de regular es propor
el rea es 480 M? cua
y el perimetro de la base 50 m. hallar el dv
ny el perímetro de la base 40
mal a su apotema
do el apo
cuando el ap
VARIACION CONJUNTA
Si A es proporcional a B cuando € es constante y À es proporcional
a © cuando B es constante, À es proporcional a BG cuando B y € varian,
principio que se expres: A KBC,
donde k es constante, lo que se puede expresar diciendo que si una
cantidad cs proporcional a otras varias, lo es a su producto.
El área de un triángulo es proporcional 0 la ara, ia base
(3 comsone y cs proporcional a la boss si la cra es cons-
tanto, Lego lo base y la alluo verlan, ol étea c+ proporcio:
mal at producto de lo bene por la alle. Siendo A al dron,
ble base y h lo alura, tenemos
A= tbh
y lo constonte k= (por Gomera) luego À = Suh.
(59) VARIACION DIRECTA E INVERSA A LA VEZ
Se dice que À es proporcional a B e inversamente proporcional
a C cuando A es proporcional a la relación Z, lo que se expresa:
(ES5) RESUMEN DE LAS VARIACIONES
Si A es proporcional a B...
Si A es inversamente proporcional a 1
Si A es proporcional a B y
Si A es proporcional a Be
proporcional a €.
(1) A es proporcional a 8 y À = 20 cuando à
Hollor A cuando 8:
Siendo A proporcional a B, se tiene: A=40,
Para hollar la constante k, como A=20 cuen-
de B=2, tendramos———— y
Si k= 10, cuondo
6, A voré:
A=K=I0X6= 40. Ro
12) A es inversomante proporcional o 8 y A= 5 cuando 8 = 4.
Follar À cuando B= 10. .
Como A es inversamente proporcional a 8, se tiene: À
Hollemos k, haciendo A=5 y B= 4
5
Siendo k= 20, cuando & = 10, A valde:
runcowss © 287
13) A es proporcionol a B y C A= 6 evondo B=
Hollar 8 cuando A=15 y C=,
Siendo A proporcional a 8 y C, se Here: A=KBC. {1}.
yea
Pare hallar de
A
Para hollor 8 la despejamos en (1): 6= E,
pei a
Susttuyende A= 15, &
cas,
tondeemor:
14) x es proporcional a y e invesamento proporcional a =
Ba 4 sudo y 22, 2d, ola x ande y = 3, 2-18
endo x proporcional @ y e inveciomono proporcional © =,
tendremos: RME an sele
Haciendo x=4, y=2, 2=3,
se tienes Br
Haciendo en (1)
k=6y=
se fe SER
EJERCICIO 166
x es proporcional a y. Si x =9 cuando ÿ 26, hallar x cuando
x 6 paoporcional a y. Si y=3 cuando x =2, hallar y cuando = 21.
4 es proporcional a B y G. Si A=80 cuando B=3 y C=5, hallar À
nano B=5, €
x es proporcional a y y a 2. Si x=4 cuando y= 4 y 2=6, hallar y cuando
eS aed ans 4
A es inversamente proporcional a Zi. Si 4=3 cuando B=5, hallar À
cuando B= 7.
B es inversamente proporcional a 4. Si 4
cuando B
A es proporcional a B € inversamente proporcional a €, Si 4=8 cuando
BSR Cod, hallar À cuando Pet, 02 14 4
x es proporcional a y e inversamente proporcional a 2. Si x=3 cuando
Sa ER hallar 2 cuando. yet Ei
x es proporcional a 321. Si x=48 cuando
3,5 inversamente proporcional a —1.
do y = 5.
+ cuando B=, hallar À
ballar x cuando y = 7.
hallar x
Si x=9 cuando y
Irado es proporcional al cuadrado de su di
cuando la diagonal és 6 m. hallar el Área cu
la diagonal sea 10 m,
El area lateral de
de regular es propor
el rea es 480 M? cua
y el perimetro de la base 50 m. hallar el dv
ny el perímetro de la base 40
mal a su apotema
do el apo
cuando el ap
288 © arceann
le es proporcional a su altura y al area de
le, cuya altura cs 8 m y el ärca
sri el volumen de una pirámide
ase 54 m?
13.1 volumen de una
su hase, Si el volumen de una pi
de su base 36 mé, es 96 mi, ¿cuál
cuya altura es 12 m y el área de su
Pb CO ini cle
2 Se Se a Ls
Hallar y cuando x
FUNCIONES EXPRESABLES POR FORMULAS
En general, las funciones son expresables por fórmulas o ecuaciones
‘cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependien-
te o función con las variables independientes, @ sea cuando se conoce la
ley de dependencia. j
En estos casos habrá una ecuación que será la expresión analítica de
Ja función y que define la función.
Así, WH, ya Oe, yx Be 1
son funciones expresadas por ecuaciones o formulas
2x-+1 es una función de primer grado; 2%, de segundo prado:
xi+2x—1, de tercer grado. 5
Los ejemplos anteriores son funciones de la variable x porque a cada
valor de x corresponde un valor determinado de la función.
Para o Je x $151
141
En efecto: Considerando la He A
función 2x +1, que representamos A A
O aa aye
(94
x es la variable independiente e y la
DETERMINACION DE LA FORMULA CORRESPONDIENTE
A FUNCIONES DADAS CUYA LEY DE DEPENDENCIA
SEA SENCILLA
able dependiente.
(1) El costo de una pieza de tela es proporcional al nü-
mero de metros. Determiner la fórmula de la función
costo, sobiendo que uno pieza de 10 metros cuesta $20,
Designando por x lo variable independiente número de
metros y por y la fuación corto, tendremos, por ser y proporcional a x
ya (D
Hollemos la constanle k, sus-
tituyendo y= 20, x = 10,
Entonces, como lo constante es 3, svaityyendo este valor e
en (1), la función costo vendrá dada por la ecuación: . FR
runciones 8 289
{2) El área de un cuadrado es proporcional al cuadrado de su diagonal. Haller
la fórmula del óreo de un cuadrado en función de la diagonal, sabiendo que
el Grea de un cuadrado cuyo diagonal mide 8 m es 32 me.
Designando por A el dien y ASADA, |
por D la diagonal, tendremos;
Hollomos K hocien- Te — rs
do AH y D=8
Susttuyendo k=} on (1), el éree de un cuadrado on
aa
43) La altura de una pirémide os proporcional al volumen si ol área de la base mi
constante y es inversamente proporcional al étea de la bote si el yolumen
es constonte, Determinar la fórmula de la altura de una pirémide en ly
ción del volumen y el área de la base, sabiendo que uno plrámido cuyo
altura es 15 m y el érca de su base 16 mi fiene un volumen de BO m)
Designendo le altura por h, el volumen por
Y y el Grea de la boso por 8, tendremos:
(Obsérvese que la vorioble Y directamente proporcional con h va en el numa
rador y la variable 8, inversamente proporcional con h, va en el denominador |
rm [
Hallemos la constante k haciendo. |
h=15, V=80, 82 16; 7
Haciendo £=3 en (1), la altura de una pirämide on fun.
ción del volumen y el área de lo bose vendré dada por la
Fórmula: 220 A
(4) Determinor lo fórmula correspondiente a una función sobiendo que poro codo.
volor de la variable independiente corresponde un valor de lo función que
es igual ol tiple del valor de la variable independiente aumentado en 5,
Siendo y la función y x lo vario- ‚yes
bie independiente, tendremos:
EJERCICIO 167
Si 4 es proporci
¿que las relaciona.
El espacio recorrido por un
producto de la velo
el espacio en funci
El área de un com
Escribir la £6
a B y A=10 cuando B=5, escribir la fórmula
sévit (mov. uniforme) es proporcional al
iad por el tiempo. Escriba la fórmula que expresa
de la velocidad y y del tiempo u. (k= 1)
es proporcional al producto de sus diagonales.
a del área A de un rombo en función de sus diago.
males D y DY sabiendo que cuando D=8 y D'=G el área es 24 cm,
Sabiendo que A es proporcional a A e inversamente proporcional à
escribir la fórmula de A en función de By €, (k= 3).
le es proporcional a su altura y al area de
le, cuya altura cs 8 m y el ärca
sri el volumen de una pirámide
ase 54 m?
13.1 volumen de una
su hase, Si el volumen de una pi
de su base 36 mé, es 96 mi, ¿cuál
cuya altura es 12 m y el área de su
Pb CO ini cle
2 Se Se a Ls
Hallar y cuando x
FUNCIONES EXPRESABLES POR FORMULAS
En general, las funciones son expresables por fórmulas o ecuaciones
‘cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependien-
te o función con las variables independientes, @ sea cuando se conoce la
ley de dependencia. j
En estos casos habrá una ecuación que será la expresión analítica de
Ja función y que define la función.
Así, WH, ya Oe, yx Be 1
son funciones expresadas por ecuaciones o formulas
2x-+1 es una función de primer grado; 2%, de segundo prado:
xi+2x—1, de tercer grado. 5
Los ejemplos anteriores son funciones de la variable x porque a cada
valor de x corresponde un valor determinado de la función.
Para o Je x $151
141
En efecto: Considerando la He A
función 2x +1, que representamos A A
O aa aye
(94
x es la variable independiente e y la
DETERMINACION DE LA FORMULA CORRESPONDIENTE
A FUNCIONES DADAS CUYA LEY DE DEPENDENCIA
SEA SENCILLA
able dependiente.
(1) El costo de una pieza de tela es proporcional al nü-
mero de metros. Determiner la fórmula de la función
costo, sobiendo que uno pieza de 10 metros cuesta $20,
Designando por x lo variable independiente número de
metros y por y la fuación corto, tendremos, por ser y proporcional a x
ya (D
Hollemos la constanle k, sus-
tituyendo y= 20, x = 10,
Entonces, como lo constante es 3, svaityyendo este valor e
en (1), la función costo vendrá dada por la ecuación: . FR
runciones 8 289
{2) El área de un cuadrado es proporcional al cuadrado de su diagonal. Haller
la fórmula del óreo de un cuadrado en función de la diagonal, sabiendo que
el Grea de un cuadrado cuyo diagonal mide 8 m es 32 me.
Designando por A el dien y ASADA, |
por D la diagonal, tendremos;
Hollomos K hocien- Te — rs
do AH y D=8
Susttuyendo k=} on (1), el éree de un cuadrado on
aa
43) La altura de una pirémide os proporcional al volumen si ol área de la base mi
constante y es inversamente proporcional al étea de la bote si el yolumen
es constonte, Determinar la fórmula de la altura de una pirémide en ly
ción del volumen y el área de la base, sabiendo que uno plrámido cuyo
altura es 15 m y el érca de su base 16 mi fiene un volumen de BO m)
Designendo le altura por h, el volumen por
Y y el Grea de la boso por 8, tendremos:
(Obsérvese que la vorioble Y directamente proporcional con h va en el numa
rador y la variable 8, inversamente proporcional con h, va en el denominador |
rm [
Hallemos la constante k haciendo. |
h=15, V=80, 82 16; 7
Haciendo £=3 en (1), la altura de una pirämide on fun.
ción del volumen y el área de lo bose vendré dada por la
Fórmula: 220 A
(4) Determinor lo fórmula correspondiente a una función sobiendo que poro codo.
volor de la variable independiente corresponde un valor de lo función que
es igual ol tiple del valor de la variable independiente aumentado en 5,
Siendo y la función y x lo vario- ‚yes
bie independiente, tendremos:
EJERCICIO 167
Si 4 es proporci
¿que las relaciona.
El espacio recorrido por un
producto de la velo
el espacio en funci
El área de un com
Escribir la £6
a B y A=10 cuando B=5, escribir la fórmula
sévit (mov. uniforme) es proporcional al
iad por el tiempo. Escriba la fórmula que expresa
de la velocidad y y del tiempo u. (k= 1)
es proporcional al producto de sus diagonales.
a del área A de un rombo en función de sus diago.
males D y DY sabiendo que cuando D=8 y D'=G el área es 24 cm,
Sabiendo que A es proporcional a A e inversamente proporcional à
escribir la fórmula de A en función de By €, (k= 3).
290
6
10.
u.
12
19.
1
15.
16.
17.
|. Escribir Jal
© cm
La longitud G de una circunferencia es proporcional al radio 7. Una
Greunferencia de 21 cm de radio tiene una lomgitud de 132 cm. Mallar
da fórmula que expres la longitud de la circunferencia en función del
radio.
El espacio recorrido por un cuerpo que cae desde cierta altura es
oral al cuadrado del tiempo que emplea en car. Escribir I theta
espacio e en función del tempo 1 sabiendo que un cuerpo que cae
desde una alcura de 10.6 m emplea en su caida 2 seg
La fuerza comrifuga F es proporcional al producto de la masa m por el
ideado de la velocidad y de un cuerpo si el radio r del circulo que
desribe es constante y es inversamente proporcional al radio si la masa
y la velocidad son constantes, Expresar esta relación por medio de una
formula.
mula de una función y sabiendo que para cada valor de
la variable independiente x corresponde un valor de la función que es
el duplo del valor de x aumentado en 3.
El lado de un cuadrado inscrito en un circulo es proporcional al radio
de} civeulo, Expresar la formula del Jado del cuadrado inscrito en funciön
del radio. (k= V2).
Escribir la fórmula de üna función y subiendo que para cada valor de
la variable independiente x corresponde un valor de la función que es
igual a la mitad del cuadrado del valor de x más 2.
Fscribir la ecuación de una función y sabiendo que para cada valor
de x corresponde un valor de y que es igual a la diferencia entre 5 y el
duplo de x, dividida esta diferencia entre 3,
La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto
de las masas de los cuerpos m y m’ si la distancia es constante y es
área y de su base, sabiendo que cuando la base es 4 cm y la altura
paa
volumen es constante, Escribir la fórmula del
la
PA, Hallar la fórmula. que expresa A en función de 8 y €.
las masas no
la base
volumen sí la
la altura si el
rea de la base B de una
cuando
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES
(268) SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS(1)
Dos lineas rectas que se cortan constituyen un sistema de ejes core
i las líneas son perpendiculares entre sí tenemos un sistema
s coordenados rectangulares; si no lo son,
Ja de ejes oblicuos. De los pri
meros nos acuparcmos en este Capítulo, FOSA:
Vracemos dos líneas rectas XOX‘, YOY! om |
1
que se cortan en el punto O formando ángulo ve (ol
yecto. (Figura 24). Estas Iimcas constiayen um à
Altea de ejes coordenados rectangulares.
ca XOX’ sé llama eje de las x 0 eje
sas y la linea YOY" se llamo eje de
1 y à eje delas ordenadas, El punto O se llama
adas
an praia, [mm]
madas cuadrantes. XOY es el
del papel
(9) AM Mamadas en honor del célebre matemático. and D
ARTES (Cartesian,
dado dha Gomera “Abal
291
6
10.
u.
12
19.
1
15.
16.
17.
|. Escribir Jal
© cm
La longitud G de una circunferencia es proporcional al radio 7. Una
Greunferencia de 21 cm de radio tiene una lomgitud de 132 cm. Mallar
da fórmula que expres la longitud de la circunferencia en función del
radio.
El espacio recorrido por un cuerpo que cae desde cierta altura es
oral al cuadrado del tiempo que emplea en car. Escribir I theta
espacio e en función del tempo 1 sabiendo que un cuerpo que cae
desde una alcura de 10.6 m emplea en su caida 2 seg
La fuerza comrifuga F es proporcional al producto de la masa m por el
ideado de la velocidad y de un cuerpo si el radio r del circulo que
desribe es constante y es inversamente proporcional al radio si la masa
y la velocidad son constantes, Expresar esta relación por medio de una
formula.
mula de una función y sabiendo que para cada valor de
la variable independiente x corresponde un valor de la función que es
el duplo del valor de x aumentado en 3.
El lado de un cuadrado inscrito en un circulo es proporcional al radio
de} civeulo, Expresar la formula del Jado del cuadrado inscrito en funciön
del radio. (k= V2).
Escribir la fórmula de üna función y subiendo que para cada valor de
la variable independiente x corresponde un valor de la función que es
igual a la mitad del cuadrado del valor de x más 2.
Fscribir la ecuación de una función y sabiendo que para cada valor
de x corresponde un valor de y que es igual a la diferencia entre 5 y el
duplo de x, dividida esta diferencia entre 3,
La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto
de las masas de los cuerpos m y m’ si la distancia es constante y es
área y de su base, sabiendo que cuando la base es 4 cm y la altura
paa
volumen es constante, Escribir la fórmula del
la
PA, Hallar la fórmula. que expresa A en función de 8 y €.
las masas no
la base
volumen sí la
la altura si el
rea de la base B de una
cuando
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES
(268) SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS(1)
Dos lineas rectas que se cortan constituyen un sistema de ejes core
i las líneas son perpendiculares entre sí tenemos un sistema
s coordenados rectangulares; si no lo son,
Ja de ejes oblicuos. De los pri
meros nos acuparcmos en este Capítulo, FOSA:
Vracemos dos líneas rectas XOX‘, YOY! om |
1
que se cortan en el punto O formando ángulo ve (ol
yecto. (Figura 24). Estas Iimcas constiayen um à
Altea de ejes coordenados rectangulares.
ca XOX’ sé llama eje de las x 0 eje
sas y la linea YOY" se llamo eje de
1 y à eje delas ordenadas, El punto O se llama
adas
an praia, [mm]
madas cuadrantes. XOY es el
del papel
(9) AM Mamadas en honor del célebre matemático. and D
ARTES (Cartesian,
dado dha Gomera “Abal
291
292 © accus
primer cuadrante, YOX" el segundo cuadrante, X’OY" el tercer cuadran-
te, Y'OX el cuarto cuadrante.
El origen O divide a cada eje en dos semi-cjes, uno positivo y otro
negativo. OX cs el semi-eje positivo y OX" el semi-cje negativo del eje
de las x; OY es el semi-cje positivo y OY" el semiceje negativo del eje de las y.
Cualquier distancia medida sobre el eje de las x de O hacia la derecha
es positiva y de O hacia la izquierda es negativa.
Cualquier distancia medida sobre el eje de las y de O hacia arriba es
positiva y de O hacia abajo es negativa,
268) AISCISA Y ORDENADA DE UN PUNTO
La distancia de un punto al eje de I
denadas se Mama abscisa del punto y su di
cía al eje de las abscisas se Mama ordenada det
punto. La abscisa y la ordenada de un punto
son las coordenadas cartesianas del punto.
Sa abrcisa del punto P es BP=04
ida AP OR. BP y dE son las coord
Tats del pin
Las coordenadas de P, son: abscisa BP,
y ordenada
Las coordenadas de Py son: abscisa DPy=04
y ordenada APs=OD.
Las abscisas se represa y las orde-
barrie as por ya
270) SIGNO DE LAS COORDENADAS
Las abscisas medidas del eje YY” hacia la derecha son positivas y ha
la izquierda, negativas. Asi, en la figura anterior BP y DP son positivas;
BP, y DP, son negati
Las ordenadas medidas del eje XX” hacia arriba son positivas y hacia
abajo son negativas. Asi, en la figura anterior, AP y CP, son positivas,
CP. y AP, son negativas,
271) DETERMINACION DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS
© Las coordenadas de un punto determinan el punto, Conociendo las
coordenadas de un punto se puede fijar el punto en el plano.
1) Determinar el punto cuyas coordenadas son 2 y
Siempre, el número que se da primero es la abscisa y
a. La notación empleada para indicar que la aime &
es “punto (2,
segundo la orde
Fa ordenada 3
REPRESENTACIÓN GRAFICA BE LAS FU
ows @ 293
“Tomamos una medida, escogida arbitrariamente, como unidad de me:
dida (Fig.26). Como la abscisa es 2, positiva, tomamos la unidad escogida dos
veces sobre OX de O hacia la derecha.
Como la ordenada 3 cs positiva, levantamos en A una perpendicular
a OX y sobre ella hacia arriba tomamos tres veces
da un
punto P es el punto (2, 9), del primer
cuadrantes
2) Determinar el punto (=3, 4).
Como la abscisa es negativa, —3, tomamos so.
bre OX" de O hacia la izquierda tres veces la unidad
escogidas en B levantamos una perpendicular a OX"
y sobre ella llevamos 4 veces la unidad hacia arriba
Porque la ordenada e positiva 4. El punto Pi cs
el punto (=3, 4), del segundo cuadrante.
3) Determinar el punto (—2, —4).
Llevamos la unidad dos veces sobre OX! de
© hacía la izquierda porque la abscisa es —2 y sobre
la perpendicular, hacia abajo porque la ordenada
4, la tomamos 4 veces. Él punto P, es el punto
(2, +4), del tercer cuadrante. C=)
4) Determinar el punto (4, —2). he +
De O hacia la derecha, porque la abscisa 4 es positiva llevamos la unidad
4 veces y perpendicularmente a OX, hacia abajo porque la ordenada es It
la evamos 2 veces, El punto Pa es el punto (4, —2), del cuarto cuadrante.
estos casos se puede también marcar el valor de la ordenada sobre
OY 0 sobre OY”, según que la ordenada sea positiva o negativa, y sobre OX
1 OX el valor de la abscisa, según que la abscisa sea positiva o negativa, In.
tonces por la última divisién de la ordenada, trazar una paralela al eje de las
abscisas y por última división de la abscisa trazar una paraleia al eje de
Jas ordenadas, y el punto en que se corten es el punto buscado. Es indiferente
usar un procedimiento u otro,
Por lo expuesto anteriormente, se comprenderá fácilmente que:
1) Las coordenadas del origen son (0, 0).
2) La abscisa de cualquier punto situado én el eje de las y es 0.
3) La ordenada de cualquier punto situado en el eje de las x es 0.
4) Los signos de las coordenadas de un punto serán:
Aries — Ordenada
Es el der. cuadrante XO) + +
Kn ef Zo, cuadrame FOX +
Kn eb der. cuadrame XOY — -
En el did. cuadrante VOX +
primer cuadrante, YOX" el segundo cuadrante, X’OY" el tercer cuadran-
te, Y'OX el cuarto cuadrante.
El origen O divide a cada eje en dos semi-cjes, uno positivo y otro
negativo. OX cs el semi-eje positivo y OX" el semi-cje negativo del eje
de las x; OY es el semi-cje positivo y OY" el semiceje negativo del eje de las y.
Cualquier distancia medida sobre el eje de las x de O hacia la derecha
es positiva y de O hacia la izquierda es negativa.
Cualquier distancia medida sobre el eje de las y de O hacia arriba es
positiva y de O hacia abajo es negativa,
268) AISCISA Y ORDENADA DE UN PUNTO
La distancia de un punto al eje de I
denadas se Mama abscisa del punto y su di
cía al eje de las abscisas se Mama ordenada det
punto. La abscisa y la ordenada de un punto
son las coordenadas cartesianas del punto.
Sa abrcisa del punto P es BP=04
ida AP OR. BP y dE son las coord
Tats del pin
Las coordenadas de P, son: abscisa BP,
y ordenada
Las coordenadas de Py son: abscisa DPy=04
y ordenada APs=OD.
Las abscisas se represa y las orde-
barrie as por ya
270) SIGNO DE LAS COORDENADAS
Las abscisas medidas del eje YY” hacia la derecha son positivas y ha
la izquierda, negativas. Asi, en la figura anterior BP y DP son positivas;
BP, y DP, son negati
Las ordenadas medidas del eje XX” hacia arriba son positivas y hacia
abajo son negativas. Asi, en la figura anterior, AP y CP, son positivas,
CP. y AP, son negativas,
271) DETERMINACION DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS
© Las coordenadas de un punto determinan el punto, Conociendo las
coordenadas de un punto se puede fijar el punto en el plano.
1) Determinar el punto cuyas coordenadas son 2 y
Siempre, el número que se da primero es la abscisa y
a. La notación empleada para indicar que la aime &
es “punto (2,
segundo la orde
Fa ordenada 3
REPRESENTACIÓN GRAFICA BE LAS FU
ows @ 293
“Tomamos una medida, escogida arbitrariamente, como unidad de me:
dida (Fig.26). Como la abscisa es 2, positiva, tomamos la unidad escogida dos
veces sobre OX de O hacia la derecha.
Como la ordenada 3 cs positiva, levantamos en A una perpendicular
a OX y sobre ella hacia arriba tomamos tres veces
da un
punto P es el punto (2, 9), del primer
cuadrantes
2) Determinar el punto (=3, 4).
Como la abscisa es negativa, —3, tomamos so.
bre OX" de O hacia la izquierda tres veces la unidad
escogidas en B levantamos una perpendicular a OX"
y sobre ella llevamos 4 veces la unidad hacia arriba
Porque la ordenada e positiva 4. El punto Pi cs
el punto (=3, 4), del segundo cuadrante.
3) Determinar el punto (—2, —4).
Llevamos la unidad dos veces sobre OX! de
© hacía la izquierda porque la abscisa es —2 y sobre
la perpendicular, hacia abajo porque la ordenada
4, la tomamos 4 veces. Él punto P, es el punto
(2, +4), del tercer cuadrante. C=)
4) Determinar el punto (4, —2). he +
De O hacia la derecha, porque la abscisa 4 es positiva llevamos la unidad
4 veces y perpendicularmente a OX, hacia abajo porque la ordenada es It
la evamos 2 veces, El punto Pa es el punto (4, —2), del cuarto cuadrante.
estos casos se puede también marcar el valor de la ordenada sobre
OY 0 sobre OY”, según que la ordenada sea positiva o negativa, y sobre OX
1 OX el valor de la abscisa, según que la abscisa sea positiva o negativa, In.
tonces por la última divisién de la ordenada, trazar una paralela al eje de las
abscisas y por última división de la abscisa trazar una paraleia al eje de
Jas ordenadas, y el punto en que se corten es el punto buscado. Es indiferente
usar un procedimiento u otro,
Por lo expuesto anteriormente, se comprenderá fácilmente que:
1) Las coordenadas del origen son (0, 0).
2) La abscisa de cualquier punto situado én el eje de las y es 0.
3) La ordenada de cualquier punto situado en el eje de las x es 0.
4) Los signos de las coordenadas de un punto serán:
Aries — Ordenada
Es el der. cuadrante XO) + +
Kn ef Zo, cuadrame FOX +
Kn eb der. cuadrame XOY — -
En el did. cuadrante VOX +
294 © aaa
Gr?) rare. CUADRICULADO
En todos los casos de gräficos suele usarse el papel dividido en peque:
ños cuadrados, llamado papel cuadriculado. Se
refuerza con el lápiz una linea horizontal que
4 será el eje XOX" y otra perpendicular a ella
38 que será el eje YOY’. Tomando como unidad
una de las divisiones del papel cuadriculado
(pueden tomarse como unidad dos o más divi-
siones). ta determinación de un punto por sus
coordenadas es muy fácil, pues no hay más que
contar un número de divisiones igual a las w
dades que tenga la abscisa o la ordenada; y tame
bién dado el punto, se miden muy fácilmente
E sus coordenadas.
En la figura 2Testin determinados los pun-
tos P42), Pat 3,1), Pá—3.=3), Psl2,—5), Pal)
[roma ar y Pen.
m EJERCICIO 168
Determinar gráficamente los puntos:
1.0.2 5 (3 4) 13 4,0).
LA 6 ca 1h 710),
a CR À Ca ay 15. (3-1).
«e. 80
16 (2) y Gay. 19.
BAY. 2%
m Ny (4),
20. yo 2
my 24 (8-2 y (2
25. Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 6), (
Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, —5), (A, 3) y (1.3)
27. Dibujar el cuadrado cuyos vértices son (4, 4), (4, 4), (4, —4) y Ch Ah
28. (A, =D (A =. hy
29... Dibujar el rectángulo cuyos vértices son (1, 1). (1, 3). (6, 1) y (6, —2).
30. Dibujar el rombo cuyos vértices son (1, 4), (3, 1). (5. 4) y (3, 7).
BL Dibujar la recta que x (1. 0) y (0, 0) y la recta que pass por (0, 1)
4.29) y talla pate de bencina dos ia D
8% Probar grálicamente que la serie de puntos (—3, 5). (3, 1), (-3, =D),
(29. “ah se hallan en una Nea particle à fa lina que contiene a os
punios ($, —1), (2 0). (2 9), (2
28. Probar gráficamente que la linea que pasa por (=
pendicular a a linea que pase li y Co
0) y (0, 4) es per-
4).
KEPRASENTACION GRAFICA DE Las sunciones 0 295.
GRAFICO DE UNA FUNCION
Sea y= lx). Sabemos que para cada valor de x corresponden uno 0!
varios valores de y. Tomando los valores de x como abscisas y los valores
correspondientes de y como ordenadas, obtendremos una serie de puntos.
El conjunto de todos estos puntos será una linea recta o curva, que es el
gráfico de la función o el gráfico de la ecuación y= f(x) que representa Ja
función.
En la práctica basta obtener unos cuantos puntos y unirlos convenien:
temente (interpolación) para obtener, con bastante aproximación, el gril:
co de la función.
EP) ntrnrsENTACIÓN GRAFICA DE LA FUNCION
<7 LINEAL DE PRIMER GRADO
1) Representar gráficamente la función y=2x.
Dando valores a x obtendremos una serie de valores corréspondien.
tes de yu
Para x= 0, 0, el origen es un punto del gráfico,
1 2
2 4
eh G, ete,
Para x=—1,
4
Representando los valores de x como absehas y Jos valores correspo
dientes de y como ordenadas (Fig. 28), obtenemos la serie de puntos que apart
‘ow en el gráfico. La línea recta MAY que pasa por el origen es el gráfico de yd.
2) Representar gráficamente la función
yaxtı,
Los valores de x y los correspondientes de y
suelen disponerse en una tabla como se indica a
continuación, escribiendo debajo de cada valor
el valor correspondiente de 3:
» Jos [-2 [1] 0 [7
[ata TT
b
Gr?) rare. CUADRICULADO
En todos los casos de gräficos suele usarse el papel dividido en peque:
ños cuadrados, llamado papel cuadriculado. Se
refuerza con el lápiz una linea horizontal que
4 será el eje XOX" y otra perpendicular a ella
38 que será el eje YOY’. Tomando como unidad
una de las divisiones del papel cuadriculado
(pueden tomarse como unidad dos o más divi-
siones). ta determinación de un punto por sus
coordenadas es muy fácil, pues no hay más que
contar un número de divisiones igual a las w
dades que tenga la abscisa o la ordenada; y tame
bién dado el punto, se miden muy fácilmente
E sus coordenadas.
En la figura 2Testin determinados los pun-
tos P42), Pat 3,1), Pá—3.=3), Psl2,—5), Pal)
[roma ar y Pen.
m EJERCICIO 168
Determinar gráficamente los puntos:
1.0.2 5 (3 4) 13 4,0).
LA 6 ca 1h 710),
a CR À Ca ay 15. (3-1).
«e. 80
16 (2) y Gay. 19.
BAY. 2%
m Ny (4),
20. yo 2
my 24 (8-2 y (2
25. Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 6), (
Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, —5), (A, 3) y (1.3)
27. Dibujar el cuadrado cuyos vértices son (4, 4), (4, 4), (4, —4) y Ch Ah
28. (A, =D (A =. hy
29... Dibujar el rectángulo cuyos vértices son (1, 1). (1, 3). (6, 1) y (6, —2).
30. Dibujar el rombo cuyos vértices son (1, 4), (3, 1). (5. 4) y (3, 7).
BL Dibujar la recta que x (1. 0) y (0, 0) y la recta que pass por (0, 1)
4.29) y talla pate de bencina dos ia D
8% Probar grálicamente que la serie de puntos (—3, 5). (3, 1), (-3, =D),
(29. “ah se hallan en una Nea particle à fa lina que contiene a os
punios ($, —1), (2 0). (2 9), (2
28. Probar gráficamente que la linea que pasa por (=
pendicular a a linea que pase li y Co
0) y (0, 4) es per-
4).
KEPRASENTACION GRAFICA DE Las sunciones 0 295.
GRAFICO DE UNA FUNCION
Sea y= lx). Sabemos que para cada valor de x corresponden uno 0!
varios valores de y. Tomando los valores de x como abscisas y los valores
correspondientes de y como ordenadas, obtendremos una serie de puntos.
El conjunto de todos estos puntos será una linea recta o curva, que es el
gráfico de la función o el gráfico de la ecuación y= f(x) que representa Ja
función.
En la práctica basta obtener unos cuantos puntos y unirlos convenien:
temente (interpolación) para obtener, con bastante aproximación, el gril:
co de la función.
EP) ntrnrsENTACIÓN GRAFICA DE LA FUNCION
<7 LINEAL DE PRIMER GRADO
1) Representar gráficamente la función y=2x.
Dando valores a x obtendremos una serie de valores corréspondien.
tes de yu
Para x= 0, 0, el origen es un punto del gráfico,
1 2
2 4
eh G, ete,
Para x=—1,
4
Representando los valores de x como absehas y Jos valores correspo
dientes de y como ordenadas (Fig. 28), obtenemos la serie de puntos que apart
‘ow en el gráfico. La línea recta MAY que pasa por el origen es el gráfico de yd.
2) Representar gráficamente la función
yaxtı,
Los valores de x y los correspondientes de y
suelen disponerse en una tabla como se indica a
continuación, escribiendo debajo de cada valor
el valor correspondiente de 3:
» Jos [-2 [1] 0 [7
[ata TT
b
296@ secar
Representando los valores de x como abseisas
y los valores correspondientes de y como ordenadas,
x Según se ha hecho en la Fig, 29, se obtiene la linea
recta MN que no pasa por el origen. MN es el
grálico de ÿ= x + 2.
Obsérvese que el punto P, donde la recta
corta el eje de las y, se obtiene haciendo x =0,
y el punto Q, donde la recta corta el eje de las x,
se obtiene haciendo y=0, OP se Mama inter.
cepto sobre el eje de las y, y OQ intereepto sobre
el eje de las x. EI segmento OP es la ordenada
en el origen y el segmento OQ la abscisa en el
origen.
Obsérvese también que OP =2, igual que
el término independiente de la función y=x-+2.
MEA
an
3) Representar gráficamente la función y=3x y la función y=2x 44.
En la lunción ÿ 2x, se tiene:
x |-2|-ı] o
Lo [-s|-3| »
El gráfico es la linea
ovigen. (Fig. 30).
En la función y= 2x
=i] 6
sv] 214
grálico es la línea CD que no pasa por
el origen. (Fig. 30).
Los interargtos OP y OQ se obtienen, OF haciendo x=0 y OQ haciendo
y=0. Obsérvese que OP=4, término independiente de y= 2x +3,
Visto lo anterior, podemos establecer los siguientes principios:
1) Toda función de primer grado representa una línea recta y por eso
se Hama función lineal, y la ecuación que representa la función se llama
ecuación lineal.
2) Si la función carece de término independiente, o sea si es de la
forma y= ax, donde a es constante, la linea recta que ella representa pasa
por el origen.
RIAESINTACION GRAFICA DE LAS Funciones © 297
3) Si la función tiene término independiente, o sea si es de la forma
y=ax+b, donde @ y b son constantes, la línea recta que ella representa
no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje de las y es igual al técmi-
no independiente b.
DOS PUNTOS DETERMINAN UNA RECTA
Por tanto, para obtener el gráfico de una función de primer grado,
basta obtener dos puntos cualesquiera y unirlos por medio de una línea
recta.
Si la función carece de término independiente, como uno de los pun:
tos del grálico es el origen, basta obtener un punto cualquiera y uniılo
con el origen.
la Tunción tiene término independiente, lo más cómodo es hallar
los interceptos sobre los ejes haciendo x=0 € 320, y unir los dos puntos
que se obtienen.
Representar gróficomente la función 2 —y = 5 don.
de y os la variable depondiante Jonción
Cuando en una función la variable dependiente
no está despejada, como en este coso, la fonción
se lama implicio y cuando lo verieble dependien-
1e e316 despejada, la función es explicito.
Despejando y, tondromos y = 24 — 3. Ahora la fun.
ción es explícita.
Para. hallor los interceptos sobre los ejes (Fig. 31),
ditemos:
Para x
El gráfico de y =2x=5 os la laca recta AS.
® EJERCICIO 169
Representar gráficamente las funciones:
1 7 18.
4 a
à 0 14
4 10,
6, a.
6 +3, 12 10.
Representar tas funciones siguientes siendo y la variable — dependientes
10 M Hy. 28 deby= BR 2 Gey ad,
m. m dy=dx eo. Mi y ésa 20. Sy
Representando los valores de x como abseisas
y los valores correspondientes de y como ordenadas,
x Según se ha hecho en la Fig, 29, se obtiene la linea
recta MN que no pasa por el origen. MN es el
grálico de ÿ= x + 2.
Obsérvese que el punto P, donde la recta
corta el eje de las y, se obtiene haciendo x =0,
y el punto Q, donde la recta corta el eje de las x,
se obtiene haciendo y=0, OP se Mama inter.
cepto sobre el eje de las y, y OQ intereepto sobre
el eje de las x. EI segmento OP es la ordenada
en el origen y el segmento OQ la abscisa en el
origen.
Obsérvese también que OP =2, igual que
el término independiente de la función y=x-+2.
MEA
an
3) Representar gráficamente la función y=3x y la función y=2x 44.
En la lunción ÿ 2x, se tiene:
x |-2|-ı] o
Lo [-s|-3| »
El gráfico es la linea
ovigen. (Fig. 30).
En la función y= 2x
=i] 6
sv] 214
grálico es la línea CD que no pasa por
el origen. (Fig. 30).
Los interargtos OP y OQ se obtienen, OF haciendo x=0 y OQ haciendo
y=0. Obsérvese que OP=4, término independiente de y= 2x +3,
Visto lo anterior, podemos establecer los siguientes principios:
1) Toda función de primer grado representa una línea recta y por eso
se Hama función lineal, y la ecuación que representa la función se llama
ecuación lineal.
2) Si la función carece de término independiente, o sea si es de la
forma y= ax, donde a es constante, la linea recta que ella representa pasa
por el origen.
RIAESINTACION GRAFICA DE LAS Funciones © 297
3) Si la función tiene término independiente, o sea si es de la forma
y=ax+b, donde @ y b son constantes, la línea recta que ella representa
no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje de las y es igual al técmi-
no independiente b.
DOS PUNTOS DETERMINAN UNA RECTA
Por tanto, para obtener el gráfico de una función de primer grado,
basta obtener dos puntos cualesquiera y unirlos por medio de una línea
recta.
Si la función carece de término independiente, como uno de los pun:
tos del grálico es el origen, basta obtener un punto cualquiera y uniılo
con el origen.
la Tunción tiene término independiente, lo más cómodo es hallar
los interceptos sobre los ejes haciendo x=0 € 320, y unir los dos puntos
que se obtienen.
Representar gróficomente la función 2 —y = 5 don.
de y os la variable depondiante Jonción
Cuando en una función la variable dependiente
no está despejada, como en este coso, la fonción
se lama implicio y cuando lo verieble dependien-
1e e316 despejada, la función es explicito.
Despejando y, tondromos y = 24 — 3. Ahora la fun.
ción es explícita.
Para. hallor los interceptos sobre los ejes (Fig. 31),
ditemos:
Para x
El gráfico de y =2x=5 os la laca recta AS.
® EJERCICIO 169
Representar gráficamente las funciones:
1 7 18.
4 a
à 0 14
4 10,
6, a.
6 +3, 12 10.
Representar tas funciones siguientes siendo y la variable — dependientes
10 M Hy. 28 deby= BR 2 Gey ad,
m. m dy=dx eo. Mi y ésa 20. Sy
GRAFICOS DE ALGUNAS FUNCIONES
DE SEGUNDO GRADO
1) Gráfico de y=x.
Formemos una tabla con los valores de x y los correspondientes de y:
ofa jas] 2 [ass |.)
o | 1 jaa] 4 less] 9 |
1 L
En el gráfico (Fig. 32)
2) Gráfico de «4316.
Despejando y tendremos:
plo, VE==2 porque —
aparecen. representados. los valores de y co
rrespondientes a los que hemos dado a +.
La posición de esos puntos nos indica la
forma de la curva; es una parábola, curva
ilimitada.
El trazado de la curva uniendo entre si
dos pentes que hemos hallado de cada lado del
eje de las y es aproximado, Cuantos más pun-
dos se hallen, mayor aproximación se obtiene,
La operación de wazar la curva habien-
do hallado sólo algunos puntos de ella se
lama interpolación, pues hacemos pasır la
curva por muchos otros puntos que no hemos.
hallado, pero que suponemos pertenecen a la
curva,
6x2: luego, y= = VIE icra
ye de que la
vadrada de una cantidad: posi:
"Por eje à
REPRCIENTACION GRAFICA DE LAS JUNcIONES @ 299)
Por tanto, en este caso, a cada valor de x corresponderán dos valores
de y, uno positivo y otro negative.
Dando valores a x:
x |-a ba La Et fouls 2 |3 |4
y Dofesbadles]a bssloalzo| o
La curva (Fig, 89) es un cócndo cuyo centro está en el origen.
Toda ecuación de la forma x? + y
=1* representa un circulo cuyo radio
esr. Así, en el caso anterior, el radio
es 4, que es la raiz cuadrada de 16.
2) Gráfico de 9x*+ By =225.
Vamos a despejar y. Tendremos:
nn PE
;
Dando valores a x, tendremos:
[= se pepe
EN EE >
[ [bts fora fun joza]_, Jer ene brzaera )
Eu la fig. 34, apurecen seprescutadas los valores de y correspondien
a, or ue hemos dado sss E cura que se obuene 6 ana ds, Gua
Cerrada
# e
“Toda ecuaciön de la forma ax bi =a, o sen E+L=1, repre:
senta una elipse, va
4) Gráfico de xy=5 0
Dando a x valores positivos, tendremos:
Bar
E [0550 [05] 1 [oa [ar ]001.... 0
Marcando cuidadosamente estos puntos obtenemos la curva situada en
el der. cuadrante de la Fig. 95.
DE SEGUNDO GRADO
1) Gráfico de y=x.
Formemos una tabla con los valores de x y los correspondientes de y:
ofa jas] 2 [ass |.)
o | 1 jaa] 4 less] 9 |
1 L
En el gráfico (Fig. 32)
2) Gráfico de «4316.
Despejando y tendremos:
plo, VE==2 porque —
aparecen. representados. los valores de y co
rrespondientes a los que hemos dado a +.
La posición de esos puntos nos indica la
forma de la curva; es una parábola, curva
ilimitada.
El trazado de la curva uniendo entre si
dos pentes que hemos hallado de cada lado del
eje de las y es aproximado, Cuantos más pun-
dos se hallen, mayor aproximación se obtiene,
La operación de wazar la curva habien-
do hallado sólo algunos puntos de ella se
lama interpolación, pues hacemos pasır la
curva por muchos otros puntos que no hemos.
hallado, pero que suponemos pertenecen a la
curva,
6x2: luego, y= = VIE icra
ye de que la
vadrada de una cantidad: posi:
"Por eje à
REPRCIENTACION GRAFICA DE LAS JUNcIONES @ 299)
Por tanto, en este caso, a cada valor de x corresponderán dos valores
de y, uno positivo y otro negative.
Dando valores a x:
x |-a ba La Et fouls 2 |3 |4
y Dofesbadles]a bssloalzo| o
La curva (Fig, 89) es un cócndo cuyo centro está en el origen.
Toda ecuación de la forma x? + y
=1* representa un circulo cuyo radio
esr. Así, en el caso anterior, el radio
es 4, que es la raiz cuadrada de 16.
2) Gráfico de 9x*+ By =225.
Vamos a despejar y. Tendremos:
nn PE
;
Dando valores a x, tendremos:
[= se pepe
EN EE >
[ [bts fora fun joza]_, Jer ene brzaera )
Eu la fig. 34, apurecen seprescutadas los valores de y correspondien
a, or ue hemos dado sss E cura que se obuene 6 ana ds, Gua
Cerrada
# e
“Toda ecuaciön de la forma ax bi =a, o sen E+L=1, repre:
senta una elipse, va
4) Gráfico de xy=5 0
Dando a x valores positivos, tendremos:
Bar
E [0550 [05] 1 [oa [ar ]001.... 0
Marcando cuidadosamente estos puntos obtenemos la curva situada en
el der. cuadrante de la Fig. 95.
300 © icon
Marcando cuidadosamente estos puntos obtenemos Ja curva situada en
el 3er. cuadrante de la Fig, 35. en
La curva sc aproxima indefinidamente a los ejes sin Ilegar a tocarlos
los toca en el infinito
Ya ‘cuire obtenida es una hipérbola rectangular, Toda couación de la
forma xy=a 0 y= donde a es constante, representa una hipérbola de
esta clase. a
La parábola, la elipse y la hipérbola se llaman secciones cónicas o
simplementes cónicas. El círculo es un caso especial de la clipse.
Estas curvas son objeto de un detenido estudio en Geometría
OBSERVACION
En los gráficos no es imprescindible que la unidad sea una división
del papel cuadriculado. Puede tomarse como unidad dos divisiones, tres
divisiones, etc. En muchos casos esto es muy conveniente,
La unidad para las ordenadas puede ser distinta que para las abscisas.
B EJERCICIO 170
Hallar el gráfico de:
a 5 u.
= ns
2 yok, q a
a Hi 18.
3 wie A mn
4 Here. 10.
Woolsthorpe
and pote
‚mente humana, le bastara para ocupar un
nor sobresaliente en la “toda de an mater
GRAFICAS.
APLICACIONES PRACTICAS
G7 UTILIDAD DE Los GRAFICOS
Es muy grande. En Matemáticas, en Física, Estadística, en la indus
tria, en el comercio se emplean muchos los gráficos. Estudiaremos algunos
casos prácticos.
(7) Siempre que una cantidad sea proporcional a otra es igual a esta otra
multiplicada por una constante (260). Asi, si y es proporcional a x,
podemos escribir y = ax, donde a es constante y sabemos que esta ecu:
representa una línea recta que pasa por ef origen (274).
Por tanto, las variaciones de una cantidad proporcional a otra e:
representadas por una lnea recta que pasa por el origen,
Pertenecen a este caso el salario proporcional al tiempo de traba
conto propor número de cosas u objetos comprados; el espacio pro:
porcional al tiempo, si la velocidad es constante, etc.
301
Marcando cuidadosamente estos puntos obtenemos Ja curva situada en
el 3er. cuadrante de la Fig, 35. en
La curva sc aproxima indefinidamente a los ejes sin Ilegar a tocarlos
los toca en el infinito
Ya ‘cuire obtenida es una hipérbola rectangular, Toda couación de la
forma xy=a 0 y= donde a es constante, representa una hipérbola de
esta clase. a
La parábola, la elipse y la hipérbola se llaman secciones cónicas o
simplementes cónicas. El círculo es un caso especial de la clipse.
Estas curvas son objeto de un detenido estudio en Geometría
OBSERVACION
En los gráficos no es imprescindible que la unidad sea una división
del papel cuadriculado. Puede tomarse como unidad dos divisiones, tres
divisiones, etc. En muchos casos esto es muy conveniente,
La unidad para las ordenadas puede ser distinta que para las abscisas.
B EJERCICIO 170
Hallar el gráfico de:
a 5 u.
= ns
2 yok, q a
a Hi 18.
3 wie A mn
4 Here. 10.
Woolsthorpe
and pote
‚mente humana, le bastara para ocupar un
nor sobresaliente en la “toda de an mater
GRAFICAS.
APLICACIONES PRACTICAS
G7 UTILIDAD DE Los GRAFICOS
Es muy grande. En Matemáticas, en Física, Estadística, en la indus
tria, en el comercio se emplean muchos los gráficos. Estudiaremos algunos
casos prácticos.
(7) Siempre que una cantidad sea proporcional a otra es igual a esta otra
multiplicada por una constante (260). Asi, si y es proporcional a x,
podemos escribir y = ax, donde a es constante y sabemos que esta ecu:
representa una línea recta que pasa por ef origen (274).
Por tanto, las variaciones de una cantidad proporcional a otra e:
representadas por una lnea recta que pasa por el origen,
Pertenecen a este caso el salario proporcional al tiempo de traba
conto propor número de cosas u objetos comprados; el espacio pro:
porcional al tiempo, si la velocidad es constante, etc.
301
302 @
a
41) Un obrero gana $2 por hora. Hallar la gréficn del sa
lorio en función del tiempo.
Sobre el ein de las x fig. 36) señolomos al tiempo. Cuatro divisiones re.
presentan una hora y sobre el eje de los y el salario, cada división repre-
senta un peso.
En una hora ol obrero gona
$2 determinomos ol punto A
‘que marco el volor del solos
tio $2 para uno hore y como
‘ol salrio es proporcional al
tiempo, la grélica tiene que ser
une lines recia que paso por
el origen, Unimos A con O y
lo teeta OM es la gráfica del
solari.
Esto toblo gréfice nos da ol
valor dal salario: pora cuol-
quiet número do horas. Paro
saber solar corrospandien-
de a un tiempo dado no boy
ms ave lor el valor de lo ordorada para ese volor de lo abseis. Así sa vo
¿que on 2 haras el salero es Sd; on 7 horas y cuarto 5450; en 3 hares, $6; en
3 horas y 45 minutos © 34 horas, 9.50
Sobiendo que 15 délares equivolen a 225 sucres, formar una table que por:
tes obsciaz zrón dein“
Wig, 27), code dic
Sion es Us § S10, los
Srdenados sures, codo
ión 15 mes Ha
llames al valor de la or
denado coonde la abi
Sig es U, 531500 y te
memos al punto A. Uni
mes esto punto con O y
dendienos la. gráfica
En
Dando: sficionte exten:
sién 0 os ajos, podemos
Saber cuémtos eres son.
<uciquior número de dd.
ia ic ve
U.S. Sl equivale a
Sao, Us 8. $45
onuivaen a 6750 svt,
Os, Wa 125 succes y
US: 818 0 270 sere.
délares en sueres y viceverso.
PETERS
que vo a 40 Km
gréfica que permita hallor a qué distancia se halla del punto de.
GRarica5. APLICACIONES reacricas @ 303
x hora sale de un punto O a las 7 a. m. Cont:
partida en cualquier momento y a qué hora llogorá al punto. Psitvack
pus qu rá al pu lo 0 140
Saliendo e las 7, 0 las 8 habrá andado ya 40 Km. Matcames el punto A
a
y lo unimos con O. La línea OM es la gráfico de lo distoncia,
Midiendo el valor de la ordenada, voremos que por ejemplo, a les 8 y 20 a
halla a 593 Km do! punto de pari
las 9 y 15 a 90 Km. Al punto P
situado a 140 Km llega a las 10 y 20 am.
(4), Un hombre sale de O hacia M, situado a 20 Km de O 6 las 10.0. my va 0
4 Km por hore. Codo vez que anda uno hota, se detiene 20 minvios
para descansor. Hallar gráficamente a qué hora llogorá à M.
Cada división de OX
representa 4 Km
39), representa 10 minutos; cado división de OY
yay aX
a
41) Un obrero gana $2 por hora. Hallar la gréficn del sa
lorio en función del tiempo.
Sobre el ein de las x fig. 36) señolomos al tiempo. Cuatro divisiones re.
presentan una hora y sobre el eje de los y el salario, cada división repre-
senta un peso.
En una hora ol obrero gona
$2 determinomos ol punto A
‘que marco el volor del solos
tio $2 para uno hore y como
‘ol salrio es proporcional al
tiempo, la grélica tiene que ser
une lines recia que paso por
el origen, Unimos A con O y
lo teeta OM es la gráfica del
solari.
Esto toblo gréfice nos da ol
valor dal salario: pora cuol-
quiet número do horas. Paro
saber solar corrospandien-
de a un tiempo dado no boy
ms ave lor el valor de lo ordorada para ese volor de lo abseis. Así sa vo
¿que on 2 haras el salero es Sd; on 7 horas y cuarto 5450; en 3 hares, $6; en
3 horas y 45 minutos © 34 horas, 9.50
Sobiendo que 15 délares equivolen a 225 sucres, formar una table que por:
tes obsciaz zrón dein“
Wig, 27), code dic
Sion es Us § S10, los
Srdenados sures, codo
ión 15 mes Ha
llames al valor de la or
denado coonde la abi
Sig es U, 531500 y te
memos al punto A. Uni
mes esto punto con O y
dendienos la. gráfica
En
Dando: sficionte exten:
sién 0 os ajos, podemos
Saber cuémtos eres son.
<uciquior número de dd.
ia ic ve
U.S. Sl equivale a
Sao, Us 8. $45
onuivaen a 6750 svt,
Os, Wa 125 succes y
US: 818 0 270 sere.
délares en sueres y viceverso.
PETERS
que vo a 40 Km
gréfica que permita hallor a qué distancia se halla del punto de.
GRarica5. APLICACIONES reacricas @ 303
x hora sale de un punto O a las 7 a. m. Cont:
partida en cualquier momento y a qué hora llogorá al punto. Psitvack
pus qu rá al pu lo 0 140
Saliendo e las 7, 0 las 8 habrá andado ya 40 Km. Matcames el punto A
a
y lo unimos con O. La línea OM es la gráfico de lo distoncia,
Midiendo el valor de la ordenada, voremos que por ejemplo, a les 8 y 20 a
halla a 593 Km do! punto de pari
las 9 y 15 a 90 Km. Al punto P
situado a 140 Km llega a las 10 y 20 am.
(4), Un hombre sale de O hacia M, situado a 20 Km de O 6 las 10.0. my va 0
4 Km por hore. Codo vez que anda uno hota, se detiene 20 minvios
para descansor. Hallar gráficamente a qué hora llogorá à M.
Cada división de OX
representa 4 Km
39), representa 10 minutos; cado división de OY
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304
10
u.
ia,
13,
1.
@ am
Come va à 8 Km per hora y sale a los 10.0, m. a las 11 habrá andado yo
8 km; 5e halle en A.
Eltiempo que descanso, de 11 o 11.20 so oxproso con un segmento AB poro:
lolo al eje de las hores, porque el tiempo sigue avanzando. A los 11 y 70
emprende de nuevo su marche y en una hora, de 11.20.0 1220 recorre otros
8 Km, luego se hallará en C que corresponde a la ordenado 16 Km. Descan:
sa otres 20 minutos, de 1220 a 12.40, segmento CO) y a les 12.40 emprende
ra vez lo marche, Ahora le fallen 4 Km para llegor a M, De D 9 M la
ordenada cumento 4 Km y al punto M corresponde en la absche la 1 y 10
poe
EJERCICIO 171
ELA LAS UNIDADES ADECUADAS
Construir una grificr que permita hallar el costo de a
de metros de tela (hasta 10 m) sabiendo que
Sabiendo que 5 mde tela cuestan $6, hallar gráficamente cuámo cuestan
quier número
Sin Dm IS my os menos ze puede
Jo” que ola 19 ere, com permi
anlar ae por dólares ite eal
mente euäntos dólares 50
y 7 délares
Sabiendo que bs. 200 ¿an
imita hallar el interés at
ab 16 al 4n0; construya. una. gráfica. que
Mer cantidad. hata. 1000.
alle gr "is. 200. y be. 925 en un ade
Far Horas de abajo un hombre secbe. 18 soles, Halle gräficamenne
erario de 4 hora 3 borat y 7 horas
Un wen va à 60 Rin por Dora. Hallar gráficamente |
Frida al cabo de 1 hora'y 20 minutos, 2 horas y cuanto,
Hallar 1 pratiea del movimiento uniforme de un móvil
Por segundo has 10 segundos. Halle gralicameme la distancia Tecorra
a te ; E
Un ombre sale de® hacia M, situado a 60 Km de O, a las 6 am.
$'va a 10 Kin por hora. Al cabo de 2 horas dewant 20 mimos y
Feanuda su marcha a La misma velocidad anterior. Hallar grálicamente
qu hora Mega a At
U home sae de O hacia M, situado a 93 Km de O, a las 5 am.
Yan 2 Kin por hora, Cada vez que anda una hora, descnia 10 minutos.
qué Dora lega à M.
de 0 hacia M, 5 63 Km. de 0, à 19 Km por
hora, a las 11 ame y ou sae de AY hacia 0, en el mimo instante a
8 Km por hora, Determinar gráficameme el pas de encuentro $ la
Lee à com
Un lit de un liquido. pesa 800g Hallar gráficamente cuénto pesan
141 2919925 1
1 'kg=22 lo Hallar griticamente
libras son 528 Ke
5 6 yardas = 55 m, hala gräficamente cuántas yardas son 22 m, 185 m
Un auto sale de A hacia situado a 200 Km de d, a las 8 am. y regres
Sin detenense en À, A la ida va a 40 Km por hora ya la vuelta a 50 Km
por hora, Hallar la grafts del viaje de Saad
Ness al pure de parda.
os Kg son 11 Ib y cuántas
Guaricss, aruexcionts marient @ 305
Gri)esranisrica
Las cuestiones de Estadística son de extraordinaria importancia paca
la industria, el comercio, la educación, la salud pública, etc. La Estadisiea
es una ciencia que se estudia hoy en muchas Universidades.
Daremos una ligera idea acerca de estas cuestiones, aprovechando la
oportunidad que nos ofrece la representación gráfica.
G73) METODOS DE REPRESENTACION EN ESTADISTICA
El primer paso para hacer una estadística es conseguir todos los datos
posibles acerca del asunto de que se trate.
Una vez en posesión de estos datos y después de clasificarlos rigurosi:
mente se procede a la representación de los mismos, lo cual puede hacerse
por medio de tabulares y de gráficos.
Ga rasuran
Cuando los datos estadísticos se disponen en columnas que puedan set
leidas vertical y horizontalmente, tenemos un tabular.
En el titulo del tabular se debe indicar su objeto y el tiempo y lugar
a que se refiere, todo" con claridad. Los datos se disponen en columnas
separadas unas de otras por rayas y encima de cada columna debe haber
título que explique lo que la columna representa. Las filas horizontales
tienen también sus dunlos.
Los totales de las columnas van al pie de las mismas y los totales de
las filas horizontales en su extremo derecho, generalmente.
Los tabulares, según su índole, pueden ser de muy diversas formas y
A continuación ponemos un ejemplo de tabular:
VENTAS DE LA AGENCIA DE MOTORES “P.
ENERO-JUNIO
CAMIONES Y AUTOMOVILES POR MESES
“CARACAS
meses. CAMIONES a
le zen
mor Fr
= |
MARZO. er | ~
a ee 12 Ar
MAYO EN 7] “4
UNO. 15 el A
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Come va à 8 Km per hora y sale a los 10.0, m. a las 11 habrá andado yo
8 km; 5e halle en A.
Eltiempo que descanso, de 11 o 11.20 so oxproso con un segmento AB poro:
lolo al eje de las hores, porque el tiempo sigue avanzando. A los 11 y 70
emprende de nuevo su marche y en una hora, de 11.20.0 1220 recorre otros
8 Km, luego se hallará en C que corresponde a la ordenado 16 Km. Descan:
sa otres 20 minutos, de 1220 a 12.40, segmento CO) y a les 12.40 emprende
ra vez lo marche, Ahora le fallen 4 Km para llegor a M, De D 9 M la
ordenada cumento 4 Km y al punto M corresponde en la absche la 1 y 10
poe
EJERCICIO 171
ELA LAS UNIDADES ADECUADAS
Construir una grificr que permita hallar el costo de a
de metros de tela (hasta 10 m) sabiendo que
Sabiendo que 5 mde tela cuestan $6, hallar gráficamente cuámo cuestan
quier número
Sin Dm IS my os menos ze puede
Jo” que ola 19 ere, com permi
anlar ae por dólares ite eal
mente euäntos dólares 50
y 7 délares
Sabiendo que bs. 200 ¿an
imita hallar el interés at
ab 16 al 4n0; construya. una. gráfica. que
Mer cantidad. hata. 1000.
alle gr "is. 200. y be. 925 en un ade
Far Horas de abajo un hombre secbe. 18 soles, Halle gräficamenne
erario de 4 hora 3 borat y 7 horas
Un wen va à 60 Rin por Dora. Hallar gráficamente |
Frida al cabo de 1 hora'y 20 minutos, 2 horas y cuanto,
Hallar 1 pratiea del movimiento uniforme de un móvil
Por segundo has 10 segundos. Halle gralicameme la distancia Tecorra
a te ; E
Un ombre sale de® hacia M, situado a 60 Km de O, a las 6 am.
$'va a 10 Kin por hora. Al cabo de 2 horas dewant 20 mimos y
Feanuda su marcha a La misma velocidad anterior. Hallar grálicamente
qu hora Mega a At
U home sae de O hacia M, situado a 93 Km de O, a las 5 am.
Yan 2 Kin por hora, Cada vez que anda una hora, descnia 10 minutos.
qué Dora lega à M.
de 0 hacia M, 5 63 Km. de 0, à 19 Km por
hora, a las 11 ame y ou sae de AY hacia 0, en el mimo instante a
8 Km por hora, Determinar gráficameme el pas de encuentro $ la
Lee à com
Un lit de un liquido. pesa 800g Hallar gráficamente cuénto pesan
141 2919925 1
1 'kg=22 lo Hallar griticamente
libras son 528 Ke
5 6 yardas = 55 m, hala gräficamente cuántas yardas son 22 m, 185 m
Un auto sale de A hacia situado a 200 Km de d, a las 8 am. y regres
Sin detenense en À, A la ida va a 40 Km por hora ya la vuelta a 50 Km
por hora, Hallar la grafts del viaje de Saad
Ness al pure de parda.
os Kg son 11 Ib y cuántas
Guaricss, aruexcionts marient @ 305
Gri)esranisrica
Las cuestiones de Estadística son de extraordinaria importancia paca
la industria, el comercio, la educación, la salud pública, etc. La Estadisiea
es una ciencia que se estudia hoy en muchas Universidades.
Daremos una ligera idea acerca de estas cuestiones, aprovechando la
oportunidad que nos ofrece la representación gráfica.
G73) METODOS DE REPRESENTACION EN ESTADISTICA
El primer paso para hacer una estadística es conseguir todos los datos
posibles acerca del asunto de que se trate.
Una vez en posesión de estos datos y después de clasificarlos rigurosi:
mente se procede a la representación de los mismos, lo cual puede hacerse
por medio de tabulares y de gráficos.
Ga rasuran
Cuando los datos estadísticos se disponen en columnas que puedan set
leidas vertical y horizontalmente, tenemos un tabular.
En el titulo del tabular se debe indicar su objeto y el tiempo y lugar
a que se refiere, todo" con claridad. Los datos se disponen en columnas
separadas unas de otras por rayas y encima de cada columna debe haber
título que explique lo que la columna representa. Las filas horizontales
tienen también sus dunlos.
Los totales de las columnas van al pie de las mismas y los totales de
las filas horizontales en su extremo derecho, generalmente.
Los tabulares, según su índole, pueden ser de muy diversas formas y
A continuación ponemos un ejemplo de tabular:
VENTAS DE LA AGENCIA DE MOTORES “P.
ENERO-JUNIO
CAMIONES Y AUTOMOVILES POR MESES
“CARACAS
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MARZO. er | ~
a ee 12 Ar
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UNO. 15 el A
Tora i 7 >
306 © nana
GRAFICOS
Por medio de gráficos se puede representar toda clase de datos esta-
disticos. Gräficamente, los datos estadísticos se pueden representar por me-
dio de barras, círculos, líneas rectas o curvas.
BARRAS
Cuando se quieren expresar simples comparaciones de medidas se cm-
plean las barras, que pueden ser horizontales o verticales... Estos gráficos
suelen llevar su escala. Cuando ocurre alguna anomalía, se aclara con una
nota al pie.
PRODUCCION DE CANA DE LA COLONIA “K”
ER por AÑOS 1951 - 57
gráfico con barras MILLONES. DE ARROBAS
horizontales. Lu OUR TRAE
CIRCULACION DE LA REVISTA
cons, POR MESES 0-0.
Ejemplo de pe Experts
gráfico con barras
verticales.
‘eRaricas. aPticAcionss practicas © 307
CIRCULOS
Algunas veces en la comparación de medidas se emplean circulos, de
modo que sus diámetros o sus dreas scan proporcionales a las cantidades
que se comparan,
Co Om
VENTAS EN VENTAS EN VENTAS EN VENTAS EN
LA CAPITAL ELINTERIOR LA CAPITAL EL INTERIOR
$40,000 420,000 ‘$40,000 $ 20000
|
En la figura 42-A se representan las ventas de una casa de comercio.
durante un año, 540000 en la Capital y $20000 cn el interior, por medio de
dos círculos, siendo el diámetro del que representa 510000 doble del que
representa $20000. En la figura 42-B el área del círculo mayor es doble que
la del menor.
Siempre es preferible usar el sistema de áreas proporcionales a las (ai)
lidades que se representan en
vez del de diámetros.
Este sistema no es muy usa-
do; es preferible el de las barras.
Los círculos se emplean
bién para comparar entre sí
las partes que forman un todo,
representando las partes por sec-
{ores circulares cuyas áreas sean
proporcionales a las partes que
ve comparan.
‘Asi, para indicar que de los
530000 de venta de una casa de
tejidos en 1938, el 20% se vendió
al contado y el resto a plazos, se
puede proceder asi:
GRAFICOS
Por medio de gráficos se puede representar toda clase de datos esta-
disticos. Gräficamente, los datos estadísticos se pueden representar por me-
dio de barras, círculos, líneas rectas o curvas.
BARRAS
Cuando se quieren expresar simples comparaciones de medidas se cm-
plean las barras, que pueden ser horizontales o verticales... Estos gráficos
suelen llevar su escala. Cuando ocurre alguna anomalía, se aclara con una
nota al pie.
PRODUCCION DE CANA DE LA COLONIA “K”
ER por AÑOS 1951 - 57
gráfico con barras MILLONES. DE ARROBAS
horizontales. Lu OUR TRAE
CIRCULACION DE LA REVISTA
cons, POR MESES 0-0.
Ejemplo de pe Experts
gráfico con barras
verticales.
‘eRaricas. aPticAcionss practicas © 307
CIRCULOS
Algunas veces en la comparación de medidas se emplean circulos, de
modo que sus diámetros o sus dreas scan proporcionales a las cantidades
que se comparan,
Co Om
VENTAS EN VENTAS EN VENTAS EN VENTAS EN
LA CAPITAL ELINTERIOR LA CAPITAL EL INTERIOR
$40,000 420,000 ‘$40,000 $ 20000
|
En la figura 42-A se representan las ventas de una casa de comercio.
durante un año, 540000 en la Capital y $20000 cn el interior, por medio de
dos círculos, siendo el diámetro del que representa 510000 doble del que
representa $20000. En la figura 42-B el área del círculo mayor es doble que
la del menor.
Siempre es preferible usar el sistema de áreas proporcionales a las (ai)
lidades que se representan en
vez del de diámetros.
Este sistema no es muy usa-
do; es preferible el de las barras.
Los círculos se emplean
bién para comparar entre sí
las partes que forman un todo,
representando las partes por sec-
{ores circulares cuyas áreas sean
proporcionales a las partes que
ve comparan.
‘Asi, para indicar que de los
530000 de venta de una casa de
tejidos en 1938, el 20% se vendió
al contado y el resto a plazos, se
puede proceder asi:
3089 aaa
Es preferible el método de barras B, dada la dificultad de calcular
claramente el ärca del sector circular.
Para expresar que de los $1200DD en mercancías que tiene en existen-
cia un almacén, el 25% es anlcar, el 20% es café y el resto víveres, podemos
proceder asi:
‘seca
Los gráficos anteriores en que las partes de un todo se representan por
sectores circulares son llamados en inglés “pic charts”, (gráficos de pastel)
porque los sectores tienen semejanza con los cortes que se dan a un pastel.
Gute’ nseras 6 EMV BUIESS Fon
EJES COORDENADOS
Cuando en Estadística se quieren expresar las variaciones de una can-
tidad en función del tiempo se emplea la representación gráfica por medio
de ejes coordenados. Las abscisas representan los tiempos y las ordenadas
la otra cantidad que se relaciona con el tiempo.
Cuando una cantidad y es proporcio-
mal al tiempo 1, la ecuación que la liga con
éste es de forma y= at, donde a es cons-
tame, luego el gráfico de sus variaciones será
una Tinea recta a través del origen y si
su selación con el tiempo es de la forma
y=at+b, donde a y D son constantes, el
gráfico seri una línea recta que no pasa
por el origen.
‘Asi, la estadística gráfica de las ganan
cias de un almacén de 1954 a 1957, sabiendo
que en 1954 ganó $2000 y que en cada año
posterior ganó $2000 más que en el inmedia.
lo anterior, está representado por la ll
nea recta OM en la fig. 45.
‘enaricas. Apuicacionss enacricas @ 309
Pero esto no es lo más corriente. Lo usual es que las variaciones de la
cantidad que representan las ordenadas scan más o menos irregulares y en
tonces el linea curva o quebrada.
La fig. 46 muestra las variaciones de
la temperatura mínima en una ciudad del
la 15 al 20 de diciembre, Se ve que cl
día 15 la mínima fue 175% el día 16 de
10°, el día 17 de 13°, el 18 de 25°, el 19
de 290 y el 90 de 15°. La línea quebrada
que se obtiene es la grálica de las varia.
ciones de la temperatura.
En la fig. 47 se representa la produc. aS
ción de una fábrica de automóviles durante ss
los 12 meses del año en los años 1954, 1955, [
1956 y 1957. koa
EL valor de la oraenada correspondiente
a cada mes da la producción en ese
EL grálico exhibe los meses de
y máxima producción en cada año.
a]
En la fig. 48 se exhibe el aumento de
ln población. de una ciudad, desde 1925
Hasta 1960. Se ve que en 1935 la población =
“sa pu
EE
ra de 5000 almas: el aumento d
Inn es, de 20 am, de 140 à 148 de E
000 almas; ete. lación en 1965 es -
de 30000 almas y en 1960 de 47000 almas. u
TH
M EJERCICIO 172
de barras horizontales o. verticales que en 1962 las
‘X produjeron: La colonia A, 2 millones de arrob
Ja colonia 4, 3 millones y medio; la colonia G, un millón y cuarto y la
‘colonia D, 4] millones.
2 Exprese por barras que de los 200 alumnos de un colegio, hay_50 de
10'años, 40 de 11 años, 30 de 13 años, 60 de 14 años y 20 de 15 años
Exprese por medio de scetores circulares y de barras que de los 80000
sac de mercancias que tiene un almacén, el 40% son de arica y el
resto de arrox.
Es preferible el método de barras B, dada la dificultad de calcular
claramente el ärca del sector circular.
Para expresar que de los $1200DD en mercancías que tiene en existen-
cia un almacén, el 25% es anlcar, el 20% es café y el resto víveres, podemos
proceder asi:
‘seca
Los gráficos anteriores en que las partes de un todo se representan por
sectores circulares son llamados en inglés “pic charts”, (gráficos de pastel)
porque los sectores tienen semejanza con los cortes que se dan a un pastel.
Gute’ nseras 6 EMV BUIESS Fon
EJES COORDENADOS
Cuando en Estadística se quieren expresar las variaciones de una can-
tidad en función del tiempo se emplea la representación gráfica por medio
de ejes coordenados. Las abscisas representan los tiempos y las ordenadas
la otra cantidad que se relaciona con el tiempo.
Cuando una cantidad y es proporcio-
mal al tiempo 1, la ecuación que la liga con
éste es de forma y= at, donde a es cons-
tame, luego el gráfico de sus variaciones será
una Tinea recta a través del origen y si
su selación con el tiempo es de la forma
y=at+b, donde a y D son constantes, el
gráfico seri una línea recta que no pasa
por el origen.
‘Asi, la estadística gráfica de las ganan
cias de un almacén de 1954 a 1957, sabiendo
que en 1954 ganó $2000 y que en cada año
posterior ganó $2000 más que en el inmedia.
lo anterior, está representado por la ll
nea recta OM en la fig. 45.
‘enaricas. Apuicacionss enacricas @ 309
Pero esto no es lo más corriente. Lo usual es que las variaciones de la
cantidad que representan las ordenadas scan más o menos irregulares y en
tonces el linea curva o quebrada.
La fig. 46 muestra las variaciones de
la temperatura mínima en una ciudad del
la 15 al 20 de diciembre, Se ve que cl
día 15 la mínima fue 175% el día 16 de
10°, el día 17 de 13°, el 18 de 25°, el 19
de 290 y el 90 de 15°. La línea quebrada
que se obtiene es la grálica de las varia.
ciones de la temperatura.
En la fig. 47 se representa la produc. aS
ción de una fábrica de automóviles durante ss
los 12 meses del año en los años 1954, 1955, [
1956 y 1957. koa
EL valor de la oraenada correspondiente
a cada mes da la producción en ese
EL grálico exhibe los meses de
y máxima producción en cada año.
a]
En la fig. 48 se exhibe el aumento de
ln población. de una ciudad, desde 1925
Hasta 1960. Se ve que en 1935 la población =
“sa pu
EE
ra de 5000 almas: el aumento d
Inn es, de 20 am, de 140 à 148 de E
000 almas; ete. lación en 1965 es -
de 30000 almas y en 1960 de 47000 almas. u
TH
M EJERCICIO 172
de barras horizontales o. verticales que en 1962 las
‘X produjeron: La colonia A, 2 millones de arrob
Ja colonia 4, 3 millones y medio; la colonia G, un millón y cuarto y la
‘colonia D, 4] millones.
2 Exprese por barras que de los 200 alumnos de un colegio, hay_50 de
10'años, 40 de 11 años, 30 de 13 años, 60 de 14 años y 20 de 15 años
Exprese por medio de scetores circulares y de barras que de los 80000
sac de mercancias que tiene un almacén, el 40% son de arica y el
resto de arrox.
310
10.
1
12
1
1
15.
1
19.
|. Exprese por medio de sect
* Autos que produjo tna fabri en 1962 100000 Tucron can
autos Abiertos y el testo cerrados.
+ Expres. par daras horirentales que el ick del pas 4 rene 3 mi
lignes de hombres, el de B un salón
hombres.
Exprese por medio de barras ve
W0 hombres y el de € 600000
des que la circulación de una revista
de marzo a julio de 1962 ha sido: marzo, 10000 ejemplares: abril, 14000:
20000.
ue por medio de haras que un almacén ganó en 1956 $3000 y
después cada año hasta 1962, ganó $1500 más que el año anterior.
Exprese por medio de batas que un hombre tiene invertido en catas
ba. 540000; en valores bs. 400000 y en un Banco bs. 120000.
sn pais exports m
llones de pesos
1559, 22 millones: en 1960 90 millones? en 1962 -
150210 millones,
fico que exprese las temperaturas máximas si :
1, ia 15, 39%: día 16, 38°; día 17, 22°; día 18, 19°; dia 19, 25°.
Haga un gráfico que exprese las siguientes temperaturas de un en
Día 20: a las 12 de la noche, 39%: a las Ban. 39.59; a las 19 del
a las 6 pan, 385 a las 12 de la noche, 38°; a las 6 a.
a las 12 del di las 6 pan. 36°.
Las cotizaciones del dólar han sido: Día 10, 1820 soles: día 11, 1840:
día 12, 19.00; día 13, 18.80; día 14, 1860. Expres gráficamente esta
Un de Algebra todos los meses. En octubre obtuvo.
55 puntos y en cada mes posterior hasta mayo obtuvo 5 puntos mis que
en el mes anterior. Hallar la gráfica de sus calificaciones.
Las calificaciones de un alumno en Algebra han side
90 puntos; oct. 30, 60 puntos: nov. 13, 72 p nov.
die. 15, 95 puntos, Hallar la gráfica de sus calificaciones.
La población udad fue cn 1930. 5000 almas; em 1940, 10000
almas; en 21960, 40000. Hallar Ja gráfica del aumento,
millones y en
octubre 15,
1. 85 puntos!
is de um almacén han sido: 1957, 540000: 1958, 560000;
1959, $35000: 1960 S20000: 196 1, $5000: 1962, SI2500. Hallas la rst
5 ventas.
Las importaciones de un almacén de febrero a noviembre de 1962 han
sido: febrero, 5: marzo, 580000: abril, $9000; mayo, $100000; junio,
'$82000; julio, agosto, $60000: "septiembre, 594000; octubre,
575000 y woviembre, $2000. Hallar la gráfica,
Las cantidades empleadas por una con en salarios de sus obreros
de julio a diciembre de 1962 fueron: julio 325000: agosto, 530000.
sept, S10009: oct, $2000: mov. $12000; dic, S23000. Hallar la gráfica
le los salarios.
Recomendamos a todo alumno como ejerci
una estadística gráfica de sus cal
asignatura,
o muy interesante
VERSALLES
ECUACIONES INDETERMINADAS
(G3 scenic ostra Si Son Bos vain aaa
~~ Consideremos la ecuación 2x-+-3y=12, que tiene dos variables o
a
à |
pence
demos a x obtenemos un vi
Para cada valor or para y Así, para
Todos estos pares de valores, sustituidos en la ecuación dada, la con
vierten en identidad, o sea que satisfacen la ecuación. Dando valores a x
podemos obtener infinitos pares de valores que sat . Esta
es una ecuación indeterminada, Entonces, toda ecu
86) RESOLUCION DE UNA ECUACION DE PRIMER GRADO CON
~~" DOS INCOGNITAS. SOLUCIONES ENTERAS Y POSITIVAS
jue toa ecuación de primer grado con dos incógnitas ea
soluciones; pero fijamos la condición de
an
10.
1
12
1
1
15.
1
19.
|. Exprese por medio de sect
* Autos que produjo tna fabri en 1962 100000 Tucron can
autos Abiertos y el testo cerrados.
+ Expres. par daras horirentales que el ick del pas 4 rene 3 mi
lignes de hombres, el de B un salón
hombres.
Exprese por medio de barras ve
W0 hombres y el de € 600000
des que la circulación de una revista
de marzo a julio de 1962 ha sido: marzo, 10000 ejemplares: abril, 14000:
20000.
ue por medio de haras que un almacén ganó en 1956 $3000 y
después cada año hasta 1962, ganó $1500 más que el año anterior.
Exprese por medio de batas que un hombre tiene invertido en catas
ba. 540000; en valores bs. 400000 y en un Banco bs. 120000.
sn pais exports m
llones de pesos
1559, 22 millones: en 1960 90 millones? en 1962 -
150210 millones,
fico que exprese las temperaturas máximas si :
1, ia 15, 39%: día 16, 38°; día 17, 22°; día 18, 19°; dia 19, 25°.
Haga un gráfico que exprese las siguientes temperaturas de un en
Día 20: a las 12 de la noche, 39%: a las Ban. 39.59; a las 19 del
a las 6 pan, 385 a las 12 de la noche, 38°; a las 6 a.
a las 12 del di las 6 pan. 36°.
Las cotizaciones del dólar han sido: Día 10, 1820 soles: día 11, 1840:
día 12, 19.00; día 13, 18.80; día 14, 1860. Expres gráficamente esta
Un de Algebra todos los meses. En octubre obtuvo.
55 puntos y en cada mes posterior hasta mayo obtuvo 5 puntos mis que
en el mes anterior. Hallar la gráfica de sus calificaciones.
Las calificaciones de un alumno en Algebra han side
90 puntos; oct. 30, 60 puntos: nov. 13, 72 p nov.
die. 15, 95 puntos, Hallar la gráfica de sus calificaciones.
La población udad fue cn 1930. 5000 almas; em 1940, 10000
almas; en 21960, 40000. Hallar Ja gráfica del aumento,
millones y en
octubre 15,
1. 85 puntos!
is de um almacén han sido: 1957, 540000: 1958, 560000;
1959, $35000: 1960 S20000: 196 1, $5000: 1962, SI2500. Hallas la rst
5 ventas.
Las importaciones de un almacén de febrero a noviembre de 1962 han
sido: febrero, 5: marzo, 580000: abril, $9000; mayo, $100000; junio,
'$82000; julio, agosto, $60000: "septiembre, 594000; octubre,
575000 y woviembre, $2000. Hallar la gráfica,
Las cantidades empleadas por una con en salarios de sus obreros
de julio a diciembre de 1962 fueron: julio 325000: agosto, 530000.
sept, S10009: oct, $2000: mov. $12000; dic, S23000. Hallar la gráfica
le los salarios.
Recomendamos a todo alumno como ejerci
una estadística gráfica de sus cal
asignatura,
o muy interesante
VERSALLES
ECUACIONES INDETERMINADAS
(G3 scenic ostra Si Son Bos vain aaa
~~ Consideremos la ecuación 2x-+-3y=12, que tiene dos variables o
a
à |
pence
demos a x obtenemos un vi
Para cada valor or para y Así, para
Todos estos pares de valores, sustituidos en la ecuación dada, la con
vierten en identidad, o sea que satisfacen la ecuación. Dando valores a x
podemos obtener infinitos pares de valores que sat . Esta
es una ecuación indeterminada, Entonces, toda ecu
86) RESOLUCION DE UNA ECUACION DE PRIMER GRADO CON
~~" DOS INCOGNITAS. SOLUCIONES ENTERAS Y POSITIVAS
jue toa ecuación de primer grado con dos incógnitas ea
soluciones; pero fijamos la condición de
an
312 @ sucer
que las soluciones sean enteras y positivas, el número de soluciones puede
cr limitado cn. algunos casos.
pare valores enteros y positivos.
Ejemplos | (1 testers-+y
Despejondo y, tenemos:
El voler de y depende del valor de x; x tione que ser entero y positive según
la condición fido, y para que y sea enlera y posliva, el mayor valor que
podemos dor a x 05.3, porque si x=4, entonces y= 4—x=4—4=0, y six
5 ya se tendía y —1, negativa. Por tanto, las soluciones ente»
os y positivas de la ecuación, son;
=1
(2) Resolver 5x 4 7y = 128 pora valores entero: y positivos.
Despojando x que tiene el menor coeficiote, tendremos:
ag
Ahora descomponemos 128 y —7y en dos sumandos uno de los cuales sea el
mayor múltiplo de 5 que contiene cada uno, y tendremos:
Mrs MS 3
5 y
3-2 3-
Wiege quedo: x= 25—y + y de aqui 25 =
Siendo x e y enteros, [condicién odo) el primer miembro. de este igualdad:
iene que ser entero, logo el segundo miembro será entero y tendremos:
éplicamos el mumerador por un número fol que al dividir of caef.
ciente de y entre 3 nos dé de residuo 1, en este coso por 3,y tendremos:
ERAS
=,
5
5
=
sen entero es necesario que — = entero, La
ey
memos m a este entero:
cuaciones inotrervamanas @ 313
Despejondo y: 4—y=5m
-y=5m-4
y=4-5m m
Susituyendo este valor de y en la ecuación dodo 5x + 7y = 12B, tenemos:
Sc+714- 5m}
‘be + 28 35m
Reuniendo los resultados (1) y (2), tenemos:
EEE sada m m or
‘Ahora, dando volores a m obtendremos valores para x © y. Si algún valor on
negalivo, se desecha la solución.
Asis Pare
15e desecho.
No se prueban més valores positives de m porque dorion la y negativa
Paro m==1 w y=9
& y=14
-3 Y, 50 desecho.
"No so prueban més valores negatives de m porque dorian lo x negativo.
Por tanto, los soluciones eneras y positivas de la ecuación, son:
Despejonde x: 72=17 + 12y +
MARES
que las soluciones sean enteras y positivas, el número de soluciones puede
cr limitado cn. algunos casos.
pare valores enteros y positivos.
Ejemplos | (1 testers-+y
Despejondo y, tenemos:
El voler de y depende del valor de x; x tione que ser entero y positive según
la condición fido, y para que y sea enlera y posliva, el mayor valor que
podemos dor a x 05.3, porque si x=4, entonces y= 4—x=4—4=0, y six
5 ya se tendía y —1, negativa. Por tanto, las soluciones ente»
os y positivas de la ecuación, son;
=1
(2) Resolver 5x 4 7y = 128 pora valores entero: y positivos.
Despojando x que tiene el menor coeficiote, tendremos:
ag
Ahora descomponemos 128 y —7y en dos sumandos uno de los cuales sea el
mayor múltiplo de 5 que contiene cada uno, y tendremos:
Mrs MS 3
5 y
3-2 3-
Wiege quedo: x= 25—y + y de aqui 25 =
Siendo x e y enteros, [condicién odo) el primer miembro. de este igualdad:
iene que ser entero, logo el segundo miembro será entero y tendremos:
éplicamos el mumerador por un número fol que al dividir of caef.
ciente de y entre 3 nos dé de residuo 1, en este coso por 3,y tendremos:
ERAS
=,
5
5
=
sen entero es necesario que — = entero, La
ey
memos m a este entero:
cuaciones inotrervamanas @ 313
Despejondo y: 4—y=5m
-y=5m-4
y=4-5m m
Susituyendo este valor de y en la ecuación dodo 5x + 7y = 12B, tenemos:
Sc+714- 5m}
‘be + 28 35m
Reuniendo los resultados (1) y (2), tenemos:
EEE sada m m or
‘Ahora, dando volores a m obtendremos valores para x © y. Si algún valor on
negalivo, se desecha la solución.
Asis Pare
15e desecho.
No se prueban més valores positives de m porque dorion la y negativa
Paro m==1 w y=9
& y=14
-3 Y, 50 desecho.
"No so prueban més valores negatives de m porque dorian lo x negativo.
Por tanto, los soluciones eneras y positivas de la ecuación, son:
Despejonde x: 72=17 + 12y +
MARES
314 @ arca
Muliplicndo el numerador por 3 [porque 3x 5=y 15 dividido ente 7 de
PA sy
residuo 1] tendremos:
o 500 9415
=
luego quedas
Susituyondo este volor de y en la ecuación dada 7x — 12y =17, se tiene:
Fa 2 17m —2}=
y as sucesivamente, luego ol número de soluciones enteras y posiivos es le
mitodo.
OBSERVACION
i i 6 conectado con el tér
Sen lo acuscién dada el 1Emino que conieno la x está conecta
mino que contene lo y por medio del signo 1. el número de soluciones enteras
Y positivas es limitado y si esó conectado por el signo — es limited.
m EJERCICIO 173
Hallar todas las soluciones enteras y posi
16. 10x-+13y=204.
17. 1ix+8y=900.
16. 2x+25y=708.
IA 000000000
ECUACIONES INotren Minds © 315
Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteron
y positivos de x e y que satisfacen las ecuaciones siguientes:
10. 39-49 2. Bx—Loy=407,
20. 5x- le 26. 20y-23:=411.
BL le en M NS
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES INDETERMINADAS
(a) Un comerciante emplea Q. 64 en comprar lapiceros a Q.3 cada uno
y plumasfuentes a Q.5 cada una. ¿Cuántos lapiceros y cuámias plus
masfuentes puede comprar?
Sea x=niimero de Iapiceros.
número de plumas fuentes,
Como cada lapicero cuesta Q. 3, los x Iapiceros costarán “aya
Q. 2 y como cada pluma cuesta Q, 5, as y plumas costarán
À. 57 Par todo ve pga Qs 66: Inden tence pos ec coi
Resolviendo esta ecuación para valores enteros y positivos, se obtienen
las soluciones siguiente
luego, por Q 64 puede comprar 18 Inpiceros y 2 plumas o 13 lapiceros y
5 plumas u 8 lapiceros y 8 plumas o 3 lapiceros y 11 plumas. R.
B EJERCICIO 174
1, ¿De cuántos modos se pueden tener $42 en billetes de $2 y de $0
2. ¿De cuántos modos se pueden pagar $45 en monedas de $9 y de
3 Hallar dos múmetos tales que si uno se multiplica por 3 y el otto
ra de sus productos sea 62 =
mbre pagó 340 bolivares por sombreros a Is.8.y pares de zapa-
tos a In. 15. ¿Cuetos sombreros y Cuámos pares de zapatın compro
5. Un hombre pagó $42 por tela de lana a $1.50 el meno y de seda a
$2.50 el men6. ¿Cuántos metros de lana y cudntos de soda: comp
9 En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $1. Si cl gasto
total fue de SIT, <enámtos adultos y niños and SE
% Um ganadero compró caballos y vacas por 41000 sucres. Cada caballo
le coté 460 sucres y cada vaca 440 sucres, ¿Cuántos caballos y vacas
compró?
5. El triplo de un múmero aumentado en 3 equivale al qufntuplo de oto
aumentado en 5, Hallar los menores números positivisque. Cuenplon
condición, ae:
9. ¿De cuántos modos se pueden pagar $2.10 con monedas de 25 cts. y
de 10 ets?
Muliplicndo el numerador por 3 [porque 3x 5=y 15 dividido ente 7 de
PA sy
residuo 1] tendremos:
o 500 9415
=
luego quedas
Susituyondo este volor de y en la ecuación dada 7x — 12y =17, se tiene:
Fa 2 17m —2}=
y as sucesivamente, luego ol número de soluciones enteras y posiivos es le
mitodo.
OBSERVACION
i i 6 conectado con el tér
Sen lo acuscién dada el 1Emino que conieno la x está conecta
mino que contene lo y por medio del signo 1. el número de soluciones enteras
Y positivas es limitado y si esó conectado por el signo — es limited.
m EJERCICIO 173
Hallar todas las soluciones enteras y posi
16. 10x-+13y=204.
17. 1ix+8y=900.
16. 2x+25y=708.
IA 000000000
ECUACIONES INotren Minds © 315
Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteron
y positivos de x e y que satisfacen las ecuaciones siguientes:
10. 39-49 2. Bx—Loy=407,
20. 5x- le 26. 20y-23:=411.
BL le en M NS
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES INDETERMINADAS
(a) Un comerciante emplea Q. 64 en comprar lapiceros a Q.3 cada uno
y plumasfuentes a Q.5 cada una. ¿Cuántos lapiceros y cuámias plus
masfuentes puede comprar?
Sea x=niimero de Iapiceros.
número de plumas fuentes,
Como cada lapicero cuesta Q. 3, los x Iapiceros costarán “aya
Q. 2 y como cada pluma cuesta Q, 5, as y plumas costarán
À. 57 Par todo ve pga Qs 66: Inden tence pos ec coi
Resolviendo esta ecuación para valores enteros y positivos, se obtienen
las soluciones siguiente
luego, por Q 64 puede comprar 18 Inpiceros y 2 plumas o 13 lapiceros y
5 plumas u 8 lapiceros y 8 plumas o 3 lapiceros y 11 plumas. R.
B EJERCICIO 174
1, ¿De cuántos modos se pueden tener $42 en billetes de $2 y de $0
2. ¿De cuántos modos se pueden pagar $45 en monedas de $9 y de
3 Hallar dos múmetos tales que si uno se multiplica por 3 y el otto
ra de sus productos sea 62 =
mbre pagó 340 bolivares por sombreros a Is.8.y pares de zapa-
tos a In. 15. ¿Cuetos sombreros y Cuámos pares de zapatın compro
5. Un hombre pagó $42 por tela de lana a $1.50 el meno y de seda a
$2.50 el men6. ¿Cuántos metros de lana y cudntos de soda: comp
9 En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $1. Si cl gasto
total fue de SIT, <enámtos adultos y niños and SE
% Um ganadero compró caballos y vacas por 41000 sucres. Cada caballo
le coté 460 sucres y cada vaca 440 sucres, ¿Cuántos caballos y vacas
compró?
5. El triplo de un múmero aumentado en 3 equivale al qufntuplo de oto
aumentado en 5, Hallar los menores números positivisque. Cuenplon
condición, ae:
9. ¿De cuántos modos se pueden pagar $2.10 con monedas de 25 cts. y
de 10 ets?
316 © mareas
REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION LINEAL
Las ecuaciones de primer grado con dos variables se llaman ecuacioncs
lincales porque representan líneas rectas, En efecto:
Si en la ecuación 2x —3y=0, despejamos y, tenemos:
+
y aquí vemos que y es función de primer grado de x sin término indepen-
diente, y sabemos (274) que toda función de primer grado sin término in-
dependiente representa una línea recta que pasa por el origen.
Si en la ecuación 4x —Sy=10 despejamos y, tenemos:
—5y=10—4x 0 sea =4x-10 + y=: = 05m ye
y aquí vemos que y es función de primer grado de x con término inde.
pendiente, y sabemos que toda función de primer grado con término inde-
pendiente representa una línea recta que no pasa por el origen (274). Por
tanto:
Toda ecuacién de primer grado con dos variables representa una lic
nea recta.
Si la ecuación carece de término independiente, la linea recta que ella
representa pasa por el origen.
Si la ecuación tiene término independiente, la línea recta que ella re-
presenta no pasa por ef origen.
Ejemplos
(1) Ropresomtar gröficamente la ecuación 5x —3y = 0.
Como la ecuación.corece de término independiente el origen es un punto de
la recto. (Fig. 49). Basto hallar otro punto cvalquicra y unirlo con el arigen.
Hallemas of valor de y para un valor cualquiera
de x, por ejemplo: y
Para x=3, y= 5.
El punto (3, 5) un punto de la recto, que uni.
do con el origen determina, lo recta Sx — 3y =0.
x
De]
+++
GRAFICOS be ECUACIONES umeauss © 317
(2) Gráfico de dx+4y=15.
¡Como la ecuación tiene término independiente la
linea recta que ella represento no posa por ol
este. En ee coo lo más cómodo es har
los intrcptos sobre los ejes El intercepta sobre
slp do xx 2 oben haciendo y = Dy ce
tercepto sobre ol eje de las y ze obliene ha ion.
do x=0.
Tenemos:
Por y x=5
x=0, y=,
Marcando les puntos (5,0) y 10,33). (Fig- 50 b
y uniéndolos entre si quedo representado lo sec
la que representa la ecuación An + Ay = 15.
@) Giölieo de x—3=0.
Despejando x, se tiene x=3.
Esta ecuación equivale a Oy +:
Para cuolquier valor do y, el término Oy = 0, Para
y=0, x=3; poro pora y=2,
X53, ele, luego la ocua es el logar
gooméico de lodos Io? puntos cuya abssa es
3,9 eo qe #30 6 19 pcs ma
0 recta poralel al ojo de los y que poso por
el punto (20). Fig. 5.
Del propio modo, x + 2 0 6 x=~2 represen:
do uno Hnca rocta paralel al eje de los y que
posa por el punto (— 2,0). (Fig. SI.
La ecuación x=0, representa ol eje de las or-
denadas, ree
(5) Gráfico de y-2=0,
Despejando y se tiene y =2,
Esta ecuación equivole a Dr-+y=2, 6 sea
poro cualqier vals de x,y = 2 tego y — 20
oy x ga seomávico de tods ls pan
los cuyo ordenado es 2, lego y =2 represento
una linea recto porolela of jo de las que pasa
por el punto (0, 2). Fig. 52.
Del propio modo, y 4 4= 0 6 y=—4 represen:
la una linea recta parole al ejo de las quo
posa por el punto 1, — 4. (Fig 32)
La ecuoción y =0 representa al je do los obs
REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION LINEAL
Las ecuaciones de primer grado con dos variables se llaman ecuacioncs
lincales porque representan líneas rectas, En efecto:
Si en la ecuación 2x —3y=0, despejamos y, tenemos:
+
y aquí vemos que y es función de primer grado de x sin término indepen-
diente, y sabemos (274) que toda función de primer grado sin término in-
dependiente representa una línea recta que pasa por el origen.
Si en la ecuación 4x —Sy=10 despejamos y, tenemos:
—5y=10—4x 0 sea =4x-10 + y=: = 05m ye
y aquí vemos que y es función de primer grado de x con término inde.
pendiente, y sabemos que toda función de primer grado con término inde-
pendiente representa una línea recta que no pasa por el origen (274). Por
tanto:
Toda ecuacién de primer grado con dos variables representa una lic
nea recta.
Si la ecuación carece de término independiente, la linea recta que ella
representa pasa por el origen.
Si la ecuación tiene término independiente, la línea recta que ella re-
presenta no pasa por ef origen.
Ejemplos
(1) Ropresomtar gröficamente la ecuación 5x —3y = 0.
Como la ecuación.corece de término independiente el origen es un punto de
la recto. (Fig. 49). Basto hallar otro punto cvalquicra y unirlo con el arigen.
Hallemas of valor de y para un valor cualquiera
de x, por ejemplo: y
Para x=3, y= 5.
El punto (3, 5) un punto de la recto, que uni.
do con el origen determina, lo recta Sx — 3y =0.
x
De]
+++
GRAFICOS be ECUACIONES umeauss © 317
(2) Gráfico de dx+4y=15.
¡Como la ecuación tiene término independiente la
linea recta que ella represento no posa por ol
este. En ee coo lo más cómodo es har
los intrcptos sobre los ejes El intercepta sobre
slp do xx 2 oben haciendo y = Dy ce
tercepto sobre ol eje de las y ze obliene ha ion.
do x=0.
Tenemos:
Por y x=5
x=0, y=,
Marcando les puntos (5,0) y 10,33). (Fig- 50 b
y uniéndolos entre si quedo representado lo sec
la que representa la ecuación An + Ay = 15.
@) Giölieo de x—3=0.
Despejando x, se tiene x=3.
Esta ecuación equivale a Oy +:
Para cuolquier valor do y, el término Oy = 0, Para
y=0, x=3; poro pora y=2,
X53, ele, luego la ocua es el logar
gooméico de lodos Io? puntos cuya abssa es
3,9 eo qe #30 6 19 pcs ma
0 recta poralel al ojo de los y que poso por
el punto (20). Fig. 5.
Del propio modo, x + 2 0 6 x=~2 represen:
do uno Hnca rocta paralel al eje de los y que
posa por el punto (— 2,0). (Fig. SI.
La ecuación x=0, representa ol eje de las or-
denadas, ree
(5) Gráfico de y-2=0,
Despejando y se tiene y =2,
Esta ecuación equivole a Dr-+y=2, 6 sea
poro cualqier vals de x,y = 2 tego y — 20
oy x ga seomávico de tods ls pan
los cuyo ordenado es 2, lego y =2 represento
una linea recto porolela of jo de las que pasa
por el punto (0, 2). Fig. 52.
Del propio modo, y 4 4= 0 6 y=—4 represen:
la una linea recta parole al ejo de las quo
posa por el punto 1, — 4. (Fig 32)
La ecuoción y =0 representa al je do los obs
318 @ mora
(5) Hollar la intersección de 3x 4- 4y= 10 con 2x +:
Representemos ambas lineas. | Fig. 53).
En 3x4 4y = 10, se tiene
marcando los puntos 10,28) y (34. 9) 3 oni.
en
En ety
Para x
Uniendo el punto (1, =2) con el origen {lo
ecuación carece de término independiente] que-
da representado 2x y =0.
En el gráfico ze ve que los coorlenadas del pun-
16 de intersección do los dos rectos son x = — 2,
4, luego el punto de intersección es [—2, 4).
(6) Hallar a inecsección do 2x + Sy = 4 con dy
En 2 + Sy = 4, se tienes
Para x
y
eeu A
at noo il
En 3x + 2y ==, so llene:
Para x
y
Marcondo estos puntos y unióndolos queda #
presentada la ecuación 3x 2y = — 5. *
Lo intersección de los dos rectos es el punto
1-32) @
m EJERCICIO 175
Representar gráficamente las ecuaciones:
ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO
CON DOS INCOGNITAS
(29) ECUACIONES SIMULTANEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuan
do se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Asi, las ccnaciones
ceca pei
pS porq:
z 3d ECUACIONES EQUIVALENTES som Is que se obtienen una de
& Asi,
a se
= =
E E
E E e te
E E
Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
319
(5) Hollar la intersección de 3x 4- 4y= 10 con 2x +:
Representemos ambas lineas. | Fig. 53).
En 3x4 4y = 10, se tiene
marcando los puntos 10,28) y (34. 9) 3 oni.
en
En ety
Para x
Uniendo el punto (1, =2) con el origen {lo
ecuación carece de término independiente] que-
da representado 2x y =0.
En el gráfico ze ve que los coorlenadas del pun-
16 de intersección do los dos rectos son x = — 2,
4, luego el punto de intersección es [—2, 4).
(6) Hallar a inecsección do 2x + Sy = 4 con dy
En 2 + Sy = 4, se tienes
Para x
y
eeu A
at noo il
En 3x + 2y ==, so llene:
Para x
y
Marcondo estos puntos y unióndolos queda #
presentada la ecuación 3x 2y = — 5. *
Lo intersección de los dos rectos es el punto
1-32) @
m EJERCICIO 175
Representar gráficamente las ecuaciones:
ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO
CON DOS INCOGNITAS
(29) ECUACIONES SIMULTANEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuan
do se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Asi, las ccnaciones
ceca pei
pS porq:
z 3d ECUACIONES EQUIVALENTES som Is que se obtienen una de
& Asi,
a se
= =
E E
E E e te
E E
Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
319
320 © serna
Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución co-
mün son simultáneas.
Así, las ecuaciones x-+y=5 y x—y=1 son independientes porque no
se obtienen una de la otra y simultáneas porque el único par de valores
que satisface ambas ecuaciones es x=3, y=2.
Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independientes que no tie-
‚nen solución común.
‘Asi, las ecuaciones
son incompatibles porque no hay ningún par de valores de x e y que veri-
fique ambas ecuaciones.
SISTEMA DE ECUACIONES es la reunión de dos o más ecuaciones con
dos o más incógnitas.
es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Solución de un sistema de ccuaciones es un grupo de valores de las
incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema; La solución del
sistema anterior es x=2, y
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solu-
ción y es imposible o incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución
«e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER
GRADO CON DOS INCOGNITAS
(à nesoLUCION
Para resolver un sistema de esta clase cs necesario obtener de las dos
ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se
llama Eliminación.
METODOS DE ELIMINACION MAS USUALES
Son tres: Método de igualación, de comparación y de reducción, tam-
bién Hamado este último de suma o resta.
«ecuacion stmuerancas con pos INcOGNITAS @ 321
ELIMINACIÓN POR IGUALACION
ma:
Sx
ay
e
Resolver el siuema À
Despejemos una cualquiera de las
bas ecuaciones.
cögnitas: por ejemplo xen ame
Despejando x en A: 7x
Despejando x en Eh 5x 21942)
Sustimyendo este valor de y en cualquiera de fas ecuaciones ¢
por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más senc
de 4402)
is
fa
RIS
VERIFICACION
Sustituyendo x=3, y==
vierten en identidad.
ones dadas, ambas se con:
m EJERCICIO 176
Resolver por el mútodo de igualación:
+]
Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución co-
mün son simultáneas.
Así, las ecuaciones x-+y=5 y x—y=1 son independientes porque no
se obtienen una de la otra y simultáneas porque el único par de valores
que satisface ambas ecuaciones es x=3, y=2.
Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independientes que no tie-
‚nen solución común.
‘Asi, las ecuaciones
son incompatibles porque no hay ningún par de valores de x e y que veri-
fique ambas ecuaciones.
SISTEMA DE ECUACIONES es la reunión de dos o más ecuaciones con
dos o más incógnitas.
es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Solución de un sistema de ccuaciones es un grupo de valores de las
incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema; La solución del
sistema anterior es x=2, y
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solu-
ción y es imposible o incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución
«e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER
GRADO CON DOS INCOGNITAS
(à nesoLUCION
Para resolver un sistema de esta clase cs necesario obtener de las dos
ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se
llama Eliminación.
METODOS DE ELIMINACION MAS USUALES
Son tres: Método de igualación, de comparación y de reducción, tam-
bién Hamado este último de suma o resta.
«ecuacion stmuerancas con pos INcOGNITAS @ 321
ELIMINACIÓN POR IGUALACION
ma:
Sx
ay
e
Resolver el siuema À
Despejemos una cualquiera de las
bas ecuaciones.
cögnitas: por ejemplo xen ame
Despejando x en A: 7x
Despejando x en Eh 5x 21942)
Sustimyendo este valor de y en cualquiera de fas ecuaciones ¢
por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más senc
de 4402)
is
fa
RIS
VERIFICACION
Sustituyendo x=3, y==
vierten en identidad.
ones dadas, ambas se con:
m EJERCICIO 176
Resolver por el mútodo de igualación:
+]
322 @ avcuna
ELIMINACION POR SUSTITUCION
2x+5y= 24 a)
= (0)
Despejemos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una
de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1), Tendremos:
Resolver el sistent
Este valor de x se sustituye en la ecuación (21
A
(SS
y ya tenemos una ecuación con una i
Vs
ögnita; hemos eliminado la x.
Resolvamos esta ecuación. Simplificando £ y 2, queda:
1
19
19496
115
-5.
Sustituyendo
plo en (2) se tiene:
VERIFICACION:
Haciendo x
ten en identidad.
5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convier-
= EJERCICIO 177
Resolver por sustitución:
eos
2
eunctonts smunrantas con vos meaontias © 323
IN. METODO DE REDUCCION:
3 Pa 20
ss) Resolver el sistema | Aa ey
En este método se hacen iguales Jos coeficientes de una de las incóg.
nitas.
‘Vamos a igualar los cocficientes de y en ambas ecuaciones, porque es
lo mis sencillo.
El m.c.m. de los coeficientes de y, 6 y 3, cs 6.
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque
2x8=6, y tendremos:
Como los coeficientes de y que hemos igua:
lado tienen signos distintos, se suman estas ectta-
ciones porque con ello se elimina la
Sustituyendo x
en cualquiera de las ecuaciones dadas. por ejem 1
plo en (D, se tiene:
50-234 67 = 20
10 6y=20
by = 80
Nox dy
Revolver el sistema | TY nn
Vamos a igualar los coeticientes de x. El m.
de 10 y 8 es 40: multíplico la primera ecuación por 4 E
porque 45¢10=40 y la segunda por 5 porque 5%
y tendremos:
Como los coeficientes que hemos igualado
Venen signos iguales, se restan ambas ecuaciones
y de ese modo se elimina la x, Cambiando los
signos a una cualquiera de ellas, por ejemplo a
la segunda, ven
ituyendo y
ELIMINACION POR SUSTITUCION
2x+5y= 24 a)
= (0)
Despejemos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una
de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1), Tendremos:
Resolver el sistent
Este valor de x se sustituye en la ecuación (21
A
(SS
y ya tenemos una ecuación con una i
Vs
ögnita; hemos eliminado la x.
Resolvamos esta ecuación. Simplificando £ y 2, queda:
1
19
19496
115
-5.
Sustituyendo
plo en (2) se tiene:
VERIFICACION:
Haciendo x
ten en identidad.
5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convier-
= EJERCICIO 177
Resolver por sustitución:
eos
2
eunctonts smunrantas con vos meaontias © 323
IN. METODO DE REDUCCION:
3 Pa 20
ss) Resolver el sistema | Aa ey
En este método se hacen iguales Jos coeficientes de una de las incóg.
nitas.
‘Vamos a igualar los cocficientes de y en ambas ecuaciones, porque es
lo mis sencillo.
El m.c.m. de los coeficientes de y, 6 y 3, cs 6.
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque
2x8=6, y tendremos:
Como los coeficientes de y que hemos igua:
lado tienen signos distintos, se suman estas ectta-
ciones porque con ello se elimina la
Sustituyendo x
en cualquiera de las ecuaciones dadas. por ejem 1
plo en (D, se tiene:
50-234 67 = 20
10 6y=20
by = 80
Nox dy
Revolver el sistema | TY nn
Vamos a igualar los coeticientes de x. El m.
de 10 y 8 es 40: multíplico la primera ecuación por 4 E
porque 45¢10=40 y la segunda por 5 porque 5%
y tendremos:
Como los coeficientes que hemos igualado
Venen signos iguales, se restan ambas ecuaciones
y de ese modo se elimina la x, Cambiando los
signos a una cualquiera de ellas, por ejemplo a
la segunda, ven
ituyendo y
324 © Aura
El método expuesto, que es el más expedito, se Hama también de suma
0 resta porque segiin se ha visto en los ejemplos anteriores, si los coeficien-
tes que se igualan tienen signos distintos se suman las dos ecuaciones y si
tienen siguos iguales, se restan
Es indiferente igualar los coeficientes de x o de y. Generalmente se
igualan aquellos en que la operación sea más sencilla.
lm EJERCICIO 178
Resolver por suma 0 resta:
11920.
af Sait .
en.
ee
jan
RESOLUCION DE SISTEMAS NUMERICOS DE DOS
ECUACIONES ENTERAS CON DOS INCOGNITAS
Conocidos los métodos de eliminacion, resolveremos sisto
antes de eliminar hay que simplificar las eewaciones.
1 Resolver el sistema 3 O.
Suprimiendo los signos de agrupación: N
*Fratisponiéndo: } sae fal
Reduciendo tér 3 { V
diendo a ta, cación por 2: | %
Vamos a igualar los coeticientes de y. Multiplicamos
la segunda ecuación por 3 y sumamos: 4 E
Sustituyendo x=3 en (1), se tiene:
a+
rcvncionts simucrantas con vos mncomnuras — @ 325
à ja DATE
2 Resolver el sistema $ MX
Ge + By By +2x = Ay — 28
Efectuando las operaciones indicadas: Gar
Gx + By 2y +2x+4y
Transponiendo:
Reduciendo:
i
i
Dividiendo por 3 la 2a, ecuación: Ri
Muliplicando la Ja. ecuación |
por y la 2a. por 8:
Cambiando signos a la Ta, ecuación: |
Susituyendo y==4 en (De
ad)
3x8
E EJERCICIO 179
Resolver los siguientes sistemas:
(cr
=
DRE ur arte
Ela
yaa
12 A
eee AT
El método expuesto, que es el más expedito, se Hama también de suma
0 resta porque segiin se ha visto en los ejemplos anteriores, si los coeficien-
tes que se igualan tienen signos distintos se suman las dos ecuaciones y si
tienen siguos iguales, se restan
Es indiferente igualar los coeficientes de x o de y. Generalmente se
igualan aquellos en que la operación sea más sencilla.
lm EJERCICIO 178
Resolver por suma 0 resta:
11920.
af Sait .
en.
ee
jan
RESOLUCION DE SISTEMAS NUMERICOS DE DOS
ECUACIONES ENTERAS CON DOS INCOGNITAS
Conocidos los métodos de eliminacion, resolveremos sisto
antes de eliminar hay que simplificar las eewaciones.
1 Resolver el sistema 3 O.
Suprimiendo los signos de agrupación: N
*Fratisponiéndo: } sae fal
Reduciendo tér 3 { V
diendo a ta, cación por 2: | %
Vamos a igualar los coeticientes de y. Multiplicamos
la segunda ecuación por 3 y sumamos: 4 E
Sustituyendo x=3 en (1), se tiene:
a+
rcvncionts simucrantas con vos mncomnuras — @ 325
à ja DATE
2 Resolver el sistema $ MX
Ge + By By +2x = Ay — 28
Efectuando las operaciones indicadas: Gar
Gx + By 2y +2x+4y
Transponiendo:
Reduciendo:
i
i
Dividiendo por 3 la 2a, ecuación: Ri
Muliplicando la Ja. ecuación |
por y la 2a. por 8:
Cambiando signos a la Ta, ecuación: |
Susituyendo y==4 en (De
ad)
3x8
E EJERCICIO 179
Resolver los siguientes sistemas:
(cr
=
DRE ur arte
Ela
yaa
12 A
eee AT
326 © aura
Ber ya
2. Resolver el sistema
ei
Ara 7 +2)
fay 265044) = 1100-424)
Ma 2e Ty +14
y= 10x— B= dx + 264
De Ox Ty= 4412
108 xy =2014 8
a
Suprimiendo denominadores: {
Efectusando operaciones:
Reduciendo:
Multiplicando la 1a, ecuación
!
rnit |
À
t
eo arenes DU
Sustituyendo y=10 en (De
ee
ra
2. Resolver el sistema
xy
uprimi lenominadores: | #27 202)
Suprimiendo de ures: | METRE
een
Sety-1= 2x4
Yanpinien | Tx+7y+2x—2y
Transponiendo: gy 4 y—Be-+2y
Reduciendo: {
Electuando operaciones: }
Dividiendo por $ la 2. ceuación: |
FEVACIONES SIMULTANTAS Com 005 INcosMITA? @ 327
Multiplicando por —5 la 2a. ccuac
en ar
Kr 5y= 0
—454:3y
Sustituyendo x
fe EJERCICIO 180
Resolver Jos siguientes sistemas:
Eyyeu.
apt A
$
5
2
3
2
Ber ya
2. Resolver el sistema
ei
Ara 7 +2)
fay 265044) = 1100-424)
Ma 2e Ty +14
y= 10x— B= dx + 264
De Ox Ty= 4412
108 xy =2014 8
a
Suprimiendo denominadores: {
Efectusando operaciones:
Reduciendo:
Multiplicando la 1a, ecuación
!
rnit |
À
t
eo arenes DU
Sustituyendo y=10 en (De
ee
ra
2. Resolver el sistema
xy
uprimi lenominadores: | #27 202)
Suprimiendo de ures: | METRE
een
Sety-1= 2x4
Yanpinien | Tx+7y+2x—2y
Transponiendo: gy 4 y—Be-+2y
Reduciendo: {
Electuando operaciones: }
Dividiendo por $ la 2. ceuación: |
FEVACIONES SIMULTANTAS Com 005 INcosMITA? @ 327
Multiplicando por —5 la 2a. ccuac
en ar
Kr 5y= 0
—454:3y
Sustituyendo x
fe EJERCICIO 180
Resolver Jos siguientes sistemas:
Eyyeu.
apt A
$
5
2
3
2
EUER
a AT y,
6 _10
Sana
so) FD
4x 591)
26. EN
Er
ar. 32,
a
BE Sir
‘usage 38
D
ya”
SISTEMAS LITERALES DE DOS ECUACIONES
CON DOS INCOGNITAS
Ejemplos |
(Gogol ol stone (ion
Vamos a iguoler los coofiientes de la x. Multi
por b y la segunda por o, tenemos:
Rostondo lo 20, ecuación de
la primeras
fobs 4 by
Aobx +0.
N
obx + bly
m
2
ido la primera ecuación
20
@
E)
FCUACIONES SIMULTANCAS con 008 Imcogniras @ 329
Relluciendo términos semeiames:
+ by sot bh,
Sacando el factor común y on el primer miembro. Te
pire
y el factor comin & en el segundo: —__ peek:
Dividiendo por | 6? — 0?) ambos miembros: y=b
sde 726 612, ene
me EE
Dividiendo por b.
Lr=y=e, (2)
Quito denominadores en (1), {be —oy = 68
fos quedas po
icando por 6 lo 20. eue. | bx—oy= Bt
sión y combióndole cl signer |= buck by =— ab
by —oy = bb
¡Sacando factor común y on el primer miembro y b en al segundo:
r(b=0)=b(b=aj
Dividiendo por (bah yeh
Susituyendo on (2) esto valor de y, tenemos:
| x =
aclara ina
(N
h Cat dr
Grito denominadoren | SBE toby
. [abet ob
Muliplicando la 2a, acuoción | tk — aby
por a y sumendo: Sr Woon ERAN
Foctorando ambos: miembros:
Dividiendo por a + bi
a AT y,
6 _10
Sana
so) FD
4x 591)
26. EN
Er
ar. 32,
a
BE Sir
‘usage 38
D
ya”
SISTEMAS LITERALES DE DOS ECUACIONES
CON DOS INCOGNITAS
Ejemplos |
(Gogol ol stone (ion
Vamos a iguoler los coofiientes de la x. Multi
por b y la segunda por o, tenemos:
Rostondo lo 20, ecuación de
la primeras
fobs 4 by
Aobx +0.
N
obx + bly
m
2
ido la primera ecuación
20
@
E)
FCUACIONES SIMULTANCAS con 008 Imcogniras @ 329
Relluciendo términos semeiames:
+ by sot bh,
Sacando el factor común y on el primer miembro. Te
pire
y el factor comin & en el segundo: —__ peek:
Dividiendo por | 6? — 0?) ambos miembros: y=b
sde 726 612, ene
me EE
Dividiendo por b.
Lr=y=e, (2)
Quito denominadores en (1), {be —oy = 68
fos quedas po
icando por 6 lo 20. eue. | bx—oy= Bt
sión y combióndole cl signer |= buck by =— ab
by —oy = bb
¡Sacando factor común y on el primer miembro y b en al segundo:
r(b=0)=b(b=aj
Dividiendo por (bah yeh
Susituyendo on (2) esto valor de y, tenemos:
| x =
aclara ina
(N
h Cat dr
Grito denominadoren | SBE toby
. [abet ob
Muliplicando la 2a, acuoción | tk — aby
por a y sumendo: Sr Woon ERAN
Foctorando ambos: miembros:
Dividiendo por a + bi
300 acciona
Este valor de x puede susurso en cualquier ecuación pora haller y, pero no.
vamos a hacerlo así, sino que vomos a hallar y eliminando la x. Paro eso,
jomamos otra vez el sistema (1) y (2):
Mulliplicando (2) por b y
combisndole el signo:
aby + y
Facloronde ombes miembros: byle+b|=Le-+bI(a—b)
6y=a-b a
sr
PEL
NOTA
El sitema quo hemos empleado te hollar la segundo incógnita eliminendo lo
primero, es muchos vecos más sencillo que el de susi.
9 EJERCICIO 181
Resolver los siste
yma,
8. 15.
yza-b.
mtr.
% 16.
a 10. | te
a a
yale.
u.
y 18,
pd so [romo
19.
13,
y _ eb
27 20.
saab,
ét 18.
ya br,
ECUACIONES sMULTANEAS con Do Incociras @ 331
ECUACIONES SIMULTANEAS CON INCOGNITAS
EN LOS DENOMINADORES
En ciertos casos, cuandó las incógnitas están en los denominadores, el
sistema puede resolverse por un método especial, en que no-se suprimen
los denominadores. A continuación resolvemos dos ejemplos usando este
método,
Ejemplos ]
LD Resolver el sitemo.
Vamos o eliminos la y... Mulilicondo la primero «cuación por 2 y lo soguado.
por 3, lenemes:
Sustituyondo x=2 en (1)
10
E
12) Resalver el sistema,
Este valor de x puede susurso en cualquier ecuación pora haller y, pero no.
vamos a hacerlo así, sino que vomos a hallar y eliminando la x. Paro eso,
jomamos otra vez el sistema (1) y (2):
Mulliplicando (2) por b y
combisndole el signo:
aby + y
Facloronde ombes miembros: byle+b|=Le-+bI(a—b)
6y=a-b a
sr
PEL
NOTA
El sitema quo hemos empleado te hollar la segundo incógnita eliminendo lo
primero, es muchos vecos más sencillo que el de susi.
9 EJERCICIO 181
Resolver los siste
yma,
8. 15.
yza-b.
mtr.
% 16.
a 10. | te
a a
yale.
u.
y 18,
pd so [romo
19.
13,
y _ eb
27 20.
saab,
ét 18.
ya br,
ECUACIONES sMULTANEAS con Do Incociras @ 331
ECUACIONES SIMULTANEAS CON INCOGNITAS
EN LOS DENOMINADORES
En ciertos casos, cuandó las incógnitas están en los denominadores, el
sistema puede resolverse por un método especial, en que no-se suprimen
los denominadores. A continuación resolvemos dos ejemplos usando este
método,
Ejemplos ]
LD Resolver el sitemo.
Vamos o eliminos la y... Mulilicondo la primero «cuación por 2 y lo soguado.
por 3, lenemes:
Sustituyondo x=2 en (1)
10
E
12) Resalver el sistema,
32 © aucun
Vamos 0 ofiminor la x. Mollilicando la primera ecuación por yl ++
a
gundo par 2, tenemos:
Simpliicando y restendos
Quitondo denominador
Sustituyendo y= en (Ni:
+ EJERCICIO 182
Resolver los sist
3_1
7 3
1-4
yor
21
I &
nésotucion ros oerensumanris (© 333
LES
8 10. | *
a
ES
22, 18 |*
a
DETERMINANTE
Si del producto ab restamos el producto ed, tendremos la expresión
ab — ed,
Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación:
#3]
x expresion | El es una determinante.
ah ed
Las columnas de una determinante están constituidas por las cantida:
des que están en una misma linea vertical... En el ejemplo anterior * es
la primera columna y * la segunda columna.
Las filas están constituidas por las cantidades que están en una ml
tua linea horizontal. En el ejemplo dado, a d es la primera fila y e bla
segunda fila.
Una déterminante es cu
Iummas que de filas, Asi, |? (| es una determinante cuadrada porque tie
ne dos columnas y dos filas.
orden de una determinante cuadrada es el múmero de elementos
o columna. Ast, |}
drada cuando tiene el mismo número de co.
de cada
orden,
y |! 2] son determinantes de segundo
En la determinante °°) la tinea que une a con 6 es la diagonal
incipal y la
résine ue bs
lado extends exon eet an
Vamos 0 ofiminor la x. Mollilicando la primera ecuación por yl ++
a
gundo par 2, tenemos:
Simpliicando y restendos
Quitondo denominador
Sustituyendo y= en (Ni:
+ EJERCICIO 182
Resolver los sist
3_1
7 3
1-4
yor
21
I &
nésotucion ros oerensumanris (© 333
LES
8 10. | *
a
ES
22, 18 |*
a
DETERMINANTE
Si del producto ab restamos el producto ed, tendremos la expresión
ab — ed,
Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación:
#3]
x expresion | El es una determinante.
ah ed
Las columnas de una determinante están constituidas por las cantida:
des que están en una misma linea vertical... En el ejemplo anterior * es
la primera columna y * la segunda columna.
Las filas están constituidas por las cantidades que están en una ml
tua linea horizontal. En el ejemplo dado, a d es la primera fila y e bla
segunda fila.
Una déterminante es cu
Iummas que de filas, Asi, |? (| es una determinante cuadrada porque tie
ne dos columnas y dos filas.
orden de una determinante cuadrada es el múmero de elementos
o columna. Ast, |}
drada cuando tiene el mismo número de co.
de cada
orden,
y |! 2] son determinantes de segundo
En la determinante °°) la tinea que une a con 6 es la diagonal
incipal y la
résine ue bs
lado extends exon eet an
334 © acorns
03) DESARROLLO DE UNA DETERMINANTE
DE SEGUNDO ORDEN
Una determinante de segundo orden equivale al producto de los tér
minos que pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los
términos que pertenecen a tx diagonal secundaria.
Ejemplos |
a ae
a)
(2 = ob
PX
3
(a =3x4-6x2=17
5
1-5
1a =-2)- 11-5) =
1 2
2
15) 2915) =3)=18=1
3
®- EJERCICIO 183
Desarrollar las determinantes:
15 +9 E
: “ 1
loa (ie
21 il pa
2| aloe
25 | 10
A
mite E 7
(304) RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA
DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS
a
Sea el sistema | 1
RtotucIoN son ocremmanres — @ 335
Resolviendo este sistema por el método general estudiado antes, se
tiene:
Véase que ambas fracciones tienen el mismo denomi-
nador aba = ab, y esta expresión es el desarrollo de la
determinante -——_ Y
ai
a Ó
formada con los coeficientes de las incógnitas en tas ecuaciones (1) ÿ (2).
Esta es la determinante del sistema.
El numerador de x, crba—=cuby, es el desarrollo de
la determinante — ES
ah
a |
que se obtiene de la determinante del sistema (5) con sólo sustituir en ella
la columna de los coeficientes de x | por la columna de los términos in:
dependientes | de tas ecuaciones (1) y (9.
El numerador de y, ae ae, es el desarollo de , | a
o E 4
q
la: columna: de los cocfícienos de y, [' por la columna de los términos
© se obtiene de la determinante del istema (6) con sólo austituir en nly
independientes |! de las ecuaciones dadas.
Por tanto, los valores de x e y, igualdades (9) y (4), pueden escribirse:
ab a
El 1
E Yi hi]
mal ee
isto lo anterior, podemos decir que para resolver un sistema de dos
«ecuaciones con dos incógnitas por determinantes:
1) El valor de x es una fracción cuyo denominador es la determinan:
te formada con los coeticientes de x e y (determinante del sistema) y cuyo
numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determi
mante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los
términos independientes de las ecuaciones dadas.
2) El valor de y es una fracción cuyo denominador es la determinan:
se del sistema y cuyo numerador es la determinante que se obtiene susti>
03) DESARROLLO DE UNA DETERMINANTE
DE SEGUNDO ORDEN
Una determinante de segundo orden equivale al producto de los tér
minos que pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los
términos que pertenecen a tx diagonal secundaria.
Ejemplos |
a ae
a)
(2 = ob
PX
3
(a =3x4-6x2=17
5
1-5
1a =-2)- 11-5) =
1 2
2
15) 2915) =3)=18=1
3
®- EJERCICIO 183
Desarrollar las determinantes:
15 +9 E
: “ 1
loa (ie
21 il pa
2| aloe
25 | 10
A
mite E 7
(304) RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA
DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS
a
Sea el sistema | 1
RtotucIoN son ocremmanres — @ 335
Resolviendo este sistema por el método general estudiado antes, se
tiene:
Véase que ambas fracciones tienen el mismo denomi-
nador aba = ab, y esta expresión es el desarrollo de la
determinante -——_ Y
ai
a Ó
formada con los coeficientes de las incógnitas en tas ecuaciones (1) ÿ (2).
Esta es la determinante del sistema.
El numerador de x, crba—=cuby, es el desarrollo de
la determinante — ES
ah
a |
que se obtiene de la determinante del sistema (5) con sólo sustituir en ella
la columna de los coeficientes de x | por la columna de los términos in:
dependientes | de tas ecuaciones (1) y (9.
El numerador de y, ae ae, es el desarollo de , | a
o E 4
q
la: columna: de los cocfícienos de y, [' por la columna de los términos
© se obtiene de la determinante del istema (6) con sólo austituir en nly
independientes |! de las ecuaciones dadas.
Por tanto, los valores de x e y, igualdades (9) y (4), pueden escribirse:
ab a
El 1
E Yi hi]
mal ee
isto lo anterior, podemos decir que para resolver un sistema de dos
«ecuaciones con dos incógnitas por determinantes:
1) El valor de x es una fracción cuyo denominador es la determinan:
te formada con los coeticientes de x e y (determinante del sistema) y cuyo
numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determi
mante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los
términos independientes de las ecuaciones dadas.
2) El valor de y es una fracción cuyo denominador es la determinan:
se del sistema y cuyo numerador es la determinante que se obtiene susti>
Tie aoe ee
Seb ay
Tet 7 =5y—10
Quando denominador: À TRS
Tiansponiende y redschnde: | 17T
Tendeemos:
az
15
me del sistema la columna de los coeficientes de y
inos independientes de las ecuaciones dadas.
iii
es
/
usotueson von orrenuinanrts @ 337
i EJERCICIO 184
Resolver por determinantes:
RESOLUCION GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DOS
ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS
Si una recta pasa por un punto, tas coordenadas de este punto satis
facen la ecuación de la recta, Asi, para saber si la recta 2x 45919 pasa
en la ecuación de la recta y tenemos;
luego, la recta 2x + 5y
Recíprocamente, si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación
recta, dicho punto pertenece a la recta.
2x+3y=18
B+ 4y=25. Resolviendo este sistema se encuentra
y=4, valores que satisfacen ambas ecuaciones.
Esta solución x=3, y=4 representa un punto del plano, el pun-
to (3, 1).
‘Ahora bien, x 23, y =4 satisfacen la ccuación 2x ity =18; luego, el
punto (3, 4) pertenece a la recta que representa esta ecuación, y como x= 3,
y 4 satistacen también la ecuación x + 4 el punto (3, 4) pertenece
à ambas rectas; luego , 4) es In intersección de
las dos rectas.
den
Sea el sistema
Seb ay
Tet 7 =5y—10
Quando denominador: À TRS
Tiansponiende y redschnde: | 17T
Tendeemos:
az
15
me del sistema la columna de los coeficientes de y
inos independientes de las ecuaciones dadas.
iii
es
/
usotueson von orrenuinanrts @ 337
i EJERCICIO 184
Resolver por determinantes:
RESOLUCION GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DOS
ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS
Si una recta pasa por un punto, tas coordenadas de este punto satis
facen la ecuación de la recta, Asi, para saber si la recta 2x 45919 pasa
en la ecuación de la recta y tenemos;
luego, la recta 2x + 5y
Recíprocamente, si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación
recta, dicho punto pertenece a la recta.
2x+3y=18
B+ 4y=25. Resolviendo este sistema se encuentra
y=4, valores que satisfacen ambas ecuaciones.
Esta solución x=3, y=4 representa un punto del plano, el pun-
to (3, 1).
‘Ahora bien, x 23, y =4 satisfacen la ccuación 2x ity =18; luego, el
punto (3, 4) pertenece a la recta que representa esta ecuación, y como x= 3,
y 4 satistacen también la ecuación x + 4 el punto (3, 4) pertenece
à ambas rectas; luego , 4) es In intersección de
las dos rectas.
den
Sea el sistema
338 © morena
Por tanto, la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incôg:
nitas representa las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas
que representan las ecuaciones; luego, resolver gráficamente un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar el punto de intersec-
ción de las dos rectas.
HMI Ressher gréficomente el shteme { À
hy qu hole lo ación de en DE y
dos rectas, Representerios ambos ecun- +
eres
+ :
ET ei Bee: cm
yen HT =
Pe que HH
y yaa HH y |
Pate CHE SACP
my à |
es el punto [4, 2) luego Li Sronibiii
sn dei sistema of =,
Ez
421 Resolver gréficomente el siremo {
Hollemos I
des. (ig. 56),
socciön do eros roc-
FE
SEER EEE
El punto de intosacción es (— 3, — 4} ean
luego la soleción del sistema es x=—3, FEU 56
yer R. 2
mesotucion cnaricn @ 339
(3) Resolver gráficamente. *—
Var dy = 5,
Roprasentemos ambas ocuocionos. (Fi.
gua 57)
En x= 2y=650 fiona:
Les lineas son porolelos, no hoy puntos
de intersección, luego ol sstoma no lie
me solución; las ecuociones son incom:
cotbles.
a
[ay
o
a an
Rense ‘bt ecos.
gure 58).
&
Vemos que embas soclos coinciden, Ho-
en infinitos puntos comunes, Los dos
ecuaciones tepresenton lo mismo línea,
laz ecuaciones son equivalentes.
m EJERCICIO 185
Resolver grificamente:
|
A |
Hallar gráficamente el par de valores de
de los grupos de ecuaciones siguientes:
x
Por tanto, la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incôg:
nitas representa las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas
que representan las ecuaciones; luego, resolver gráficamente un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar el punto de intersec-
ción de las dos rectas.
HMI Ressher gréficomente el shteme { À
hy qu hole lo ación de en DE y
dos rectas, Representerios ambos ecun- +
eres
+ :
ET ei Bee: cm
yen HT =
Pe que HH
y yaa HH y |
Pate CHE SACP
my à |
es el punto [4, 2) luego Li Sronibiii
sn dei sistema of =,
Ez
421 Resolver gréficomente el siremo {
Hollemos I
des. (ig. 56),
socciön do eros roc-
FE
SEER EEE
El punto de intosacción es (— 3, — 4} ean
luego la soleción del sistema es x=—3, FEU 56
yer R. 2
mesotucion cnaricn @ 339
(3) Resolver gráficamente. *—
Var dy = 5,
Roprasentemos ambas ocuocionos. (Fi.
gua 57)
En x= 2y=650 fiona:
Les lineas son porolelos, no hoy puntos
de intersección, luego ol sstoma no lie
me solución; las ecuociones son incom:
cotbles.
a
[ay
o
a an
Rense ‘bt ecos.
gure 58).
&
Vemos que embas soclos coinciden, Ho-
en infinitos puntos comunes, Los dos
ecuaciones tepresenton lo mismo línea,
laz ecuaciones son equivalentes.
m EJERCICIO 185
Resolver grificamente:
|
A |
Hallar gráficamente el par de valores de
de los grupos de ecuaciones siguientes:
x
ano XXY
ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO.
CON TRES © MAS INCOGNITAS
306) RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCOGNITAS
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres i
sde de este modo:
icógnitas se pro
1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se climina una de las
incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma o resta) y con ello se ob-
ne una ecuación con dos incógnitas,
2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecua-
s y se elimina entre ellas la misina incógnita que se elimind
intes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas,
3) Se resuelve el sistema Formado por las dos ecuaciones con dos in-
ógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.
4) Los valores de las incógoitas obtenidos se sustituyen en una de las
uaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
340
ecuaciones SIMULTANEAS com TEES imcocuiras © 341
y
Ejemplos | — (1) reseca ne 2
(3)
Combinamos las ecuacionos (1) y (2) y vamos a eliminar lax. Multinlis
¡cando la ecuación (1) por 2, se tiene:
2x+0y — 2 = 12
a+
Restando: YESA (4)
Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera do las otras dos
cionos dados. Vamos a combinorla con (1) pora eliminar la x. Multi
condo (1) por 3 tenemos:
| stty-s= 18
¡ea
== 6
na 4 (9
Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incégrites que homos obtenido
(4) y (5), y formamos un sitema:
14
5)
Resolvamos este sistema, Vamos a eliminarlo z mulipliconde (4) por 2 y
(5) por 5:
or +107 = 22
ese
ay
y=2
Sustiuyendo y =2 on (5) se fener
7(2)-22=
1-22=8
=
Susttvyendo y =2, x = 3 en cuolquiera de los tres oeusciones dodas, por er
plo en (1), 0 tiene:
PTA
re
:RIFICACION
Los valores x=1, y=2, 2=3 tienen que sotisfacor los tes ecvaciones dados,
Hágaso la tustiicién y so varé que las tres ecuaciones dados 30 convierlan
‘en identidad.
ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO.
CON TRES © MAS INCOGNITAS
306) RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCOGNITAS
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres i
sde de este modo:
icógnitas se pro
1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se climina una de las
incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma o resta) y con ello se ob-
ne una ecuación con dos incógnitas,
2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecua-
s y se elimina entre ellas la misina incógnita que se elimind
intes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas,
3) Se resuelve el sistema Formado por las dos ecuaciones con dos in-
ógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.
4) Los valores de las incógoitas obtenidos se sustituyen en una de las
uaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
340
ecuaciones SIMULTANEAS com TEES imcocuiras © 341
y
Ejemplos | — (1) reseca ne 2
(3)
Combinamos las ecuacionos (1) y (2) y vamos a eliminar lax. Multinlis
¡cando la ecuación (1) por 2, se tiene:
2x+0y — 2 = 12
a+
Restando: YESA (4)
Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera do las otras dos
cionos dados. Vamos a combinorla con (1) pora eliminar la x. Multi
condo (1) por 3 tenemos:
| stty-s= 18
¡ea
== 6
na 4 (9
Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incégrites que homos obtenido
(4) y (5), y formamos un sitema:
14
5)
Resolvamos este sistema, Vamos a eliminarlo z mulipliconde (4) por 2 y
(5) por 5:
or +107 = 22
ese
ay
y=2
Sustiuyendo y =2 on (5) se fener
7(2)-22=
1-22=8
=
Susttvyendo y =2, x = 3 en cuolquiera de los tres oeusciones dodas, por er
plo en (1), 0 tiene:
PTA
re
:RIFICACION
Los valores x=1, y=2, 2=3 tienen que sotisfacor los tes ecvaciones dados,
Hágaso la tustiicién y so varé que las tres ecuaciones dados 30 convierlan
‘en identidad.
12) Resolver ol sistema
Ach 8y =
Se 20H 19 =~ Sy
Quitonde denominadoree: 8~ 422
Pine acne | DE
Vamos « oliminar x. Combinamos (1) y (2) y muïilicomos (2) por 6:
+ Sy ss
Sanpete m
Combinonos (2) y (3). | Ar+ay=6r
Matiicndo (2) por 3yj = De 414
combióndol in | ©
Dividends por 2 3)
Continenos (4) y (5): | (Hi
Malipicando (4) por 2
tirent
Sein
Peery
“sien 22 —2 0n (5):
rn
Dy sate
PE
$8.
Sorityondo y=5, 2==2 on (3)
ZH (51 + 417
Lar men
Ri ye
ra 2
n
HB) Resolver el sono | 12)
3)
ECUACIONES SIMULTANEAS COM TRES INcoGNITAS @ 343
En anos cos, no hay regles jos paro resolver el stoma y denande
la hobildad del alumno encentor el modo más edit de resolv. Eso
ejemplo puede resolverse as
Lo ecuación (1) ene x e y. Entonces tengo que buscar oro ecuación de
dos incágados que tongo + 8 y para former con (1) un tono de dos
fcvodones que tengan ombas 0 Y.
Reuniendo (2) y tl (ATI
Sumando: x + 10 (4)
Ya tengo le ecuación que buscoba. Ahoro, formamos un sistemo con (1)
yt
Molipliconde esto dima ecuación por 2 y reslondo:
2-5
-2- 4
8. dx + 4237,
OS
Ach 8y =
Se 20H 19 =~ Sy
Quitonde denominadoree: 8~ 422
Pine acne | DE
Vamos « oliminar x. Combinamos (1) y (2) y muïilicomos (2) por 6:
+ Sy ss
Sanpete m
Combinonos (2) y (3). | Ar+ay=6r
Matiicndo (2) por 3yj = De 414
combióndol in | ©
Dividends por 2 3)
Continenos (4) y (5): | (Hi
Malipicando (4) por 2
tirent
Sein
Peery
“sien 22 —2 0n (5):
rn
Dy sate
PE
$8.
Sorityondo y=5, 2==2 on (3)
ZH (51 + 417
Lar men
Ri ye
ra 2
n
HB) Resolver el sono | 12)
3)
ECUACIONES SIMULTANEAS COM TRES INcoGNITAS @ 343
En anos cos, no hay regles jos paro resolver el stoma y denande
la hobildad del alumno encentor el modo más edit de resolv. Eso
ejemplo puede resolverse as
Lo ecuación (1) ene x e y. Entonces tengo que buscar oro ecuación de
dos incágados que tongo + 8 y para former con (1) un tono de dos
fcvodones que tengan ombas 0 Y.
Reuniendo (2) y tl (ATI
Sumando: x + 10 (4)
Ya tengo le ecuación que buscoba. Ahoro, formamos un sistemo con (1)
yt
Molipliconde esto dima ecuación por 2 y reslondo:
2-5
-2- 4
8. dx + 4237,
OS
1. 19.
120412) —15:=10.
Betty
14
15.
HR,
y
CATA
EMPLEO DE LAS DETERMINANTES EN LA RESOLUCION
DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCOGNITAS
ÉD) oerenvainanre De vencer onven
Ua sacri ce
a how
0 ba cx |
a bh
que consta de tres filas y tres columnas, es una deter
esotucion ron orremananres © 345
(G08) HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE
DE TERCER ORDEN
El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos de ha:
lar el valor de una determinante de cercer orden es aplicando la Regla
de Sarrus. Explicaremos esta sencilla regla práctica con dos ejemplos.
1-2 -3
1) Resolver [—4 % 1 | por la Regla de Sarrus.
5-1 3
Debajo de Ja tercera fila horizontal se repiten las dos pri
horizontales y tenemos;
1-2 -3
74 21 Ahora trazamos 3 diagonales de dere:
5 =1 3 cha a izquierda y 3 de izquierda a de.
1 —2 -3 fecha, como se indica a continuación
4 2 1
Ahora se multiplican entre sí los tres nümeros por que pasa cada
ıgomal.
Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de
izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de os
nümeros que bay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el
signo cambiado, Ast, en este caso. tenemos”
o 0
valor de la determinante dada.
DETALLE DE Los PRODUCTOS
De izquierda a derechas
1X2XB=6 (XXI
De derecha a izquierda:
(-ayxex
12 5X{-2)x
30 cambiándole el signo +30,
1x(-Dx 1 cambländole el signo + 1.
3x(2)x(=9= 24 cambiándole el signo — 4.
| 8 6 1
Sens eed un]
Aplicando el procedimiento explicado, tenemos:
i
HH RR.
120412) —15:=10.
Betty
14
15.
HR,
y
CATA
EMPLEO DE LAS DETERMINANTES EN LA RESOLUCION
DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCOGNITAS
ÉD) oerenvainanre De vencer onven
Ua sacri ce
a how
0 ba cx |
a bh
que consta de tres filas y tres columnas, es una deter
esotucion ron orremananres © 345
(G08) HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE
DE TERCER ORDEN
El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos de ha:
lar el valor de una determinante de cercer orden es aplicando la Regla
de Sarrus. Explicaremos esta sencilla regla práctica con dos ejemplos.
1-2 -3
1) Resolver [—4 % 1 | por la Regla de Sarrus.
5-1 3
Debajo de Ja tercera fila horizontal se repiten las dos pri
horizontales y tenemos;
1-2 -3
74 21 Ahora trazamos 3 diagonales de dere:
5 =1 3 cha a izquierda y 3 de izquierda a de.
1 —2 -3 fecha, como se indica a continuación
4 2 1
Ahora se multiplican entre sí los tres nümeros por que pasa cada
ıgomal.
Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de
izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de os
nümeros que bay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el
signo cambiado, Ast, en este caso. tenemos”
o 0
valor de la determinante dada.
DETALLE DE Los PRODUCTOS
De izquierda a derechas
1X2XB=6 (XXI
De derecha a izquierda:
(-ayxex
12 5X{-2)x
30 cambiándole el signo +30,
1x(-Dx 1 cambländole el signo + 1.
3x(2)x(=9= 24 cambiándole el signo — 4.
| 8 6 1
Sens eed un]
Aplicando el procedimiento explicado, tenemos:
i
HH RR.
46 ©
> EJERCICIO 187
Hallar el valor de las siguientes determinay
ie
4
ane wis oh
ah
03) RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA
DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, pox
letermänantes, se
a la Regla de Kramer, que dice:
El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la de-
mee formada con los coeficientes de las incógnitas (determinante
lel sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustitu-
endo en la determinante del sistema la columna de los cocficientes de la
neógnita que se halla por la columna de los términos independientes de
as ecuaciones dadas,
+ yt
Ejemplos (1) Resolver por delorminontes | 2x = ay
rt
Pare hallor x, aplicando Le Regía de Kramer, tendremos:
4 11
us 905
Vöose que la determinante del denominador |detorminonto del sistema] est
focnade con los coeficientes de los incógmitas en las ecuaciones dadas,
El numerador de x se ha formado sustituyendo on la determinante del ste.
malo men |. 4 Me meine da 5 ra can Te
Inn indopendene de la cane ade
pra
@)
sotucion son orrenmmanres © 347
El denominador es el mismo de antes, la aoterminonte del sistema, EI nu:
inser bla catre en a clr id ates Sa
de y por la columna -$ de tos términos independiontes,
Para hallar 2. tendromos:
El denominador slo deemiane dl ste named 3 ane o
Heron de lo colmo. | de ls coxis de 2 por a colma
=. de los términos independents
Lo solución del sitema os. y
|=
Resolver par determinontes
Tendremos:
> EJERCICIO 187
Hallar el valor de las siguientes determinay
ie
4
ane wis oh
ah
03) RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA
DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, pox
letermänantes, se
a la Regla de Kramer, que dice:
El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la de-
mee formada con los coeficientes de las incógnitas (determinante
lel sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustitu-
endo en la determinante del sistema la columna de los cocficientes de la
neógnita que se halla por la columna de los términos independientes de
as ecuaciones dadas,
+ yt
Ejemplos (1) Resolver por delorminontes | 2x = ay
rt
Pare hallor x, aplicando Le Regía de Kramer, tendremos:
4 11
us 905
Vöose que la determinante del denominador |detorminonto del sistema] est
focnade con los coeficientes de los incógmitas en las ecuaciones dadas,
El numerador de x se ha formado sustituyendo on la determinante del ste.
malo men |. 4 Me meine da 5 ra can Te
Inn indopendene de la cane ade
pra
@)
sotucion son orrenmmanres © 347
El denominador es el mismo de antes, la aoterminonte del sistema, EI nu:
inser bla catre en a clr id ates Sa
de y por la columna -$ de tos términos independiontes,
Para hallar 2. tendromos:
El denominador slo deemiane dl ste named 3 ane o
Heron de lo colmo. | de ls coxis de 2 por a colma
=. de los términos independents
Lo solución del sitema os. y
|=
Resolver par determinontes
Tendremos:
348 © ALGEBRA
> EJERCICIO 188
Resolver por determinantes:
Be TetdOy+4
1
Sx—2y-b62=88.
Sty BL
ei: 2
u
Ge
KOHL.
Peter
Ary amd
Any tz
rave
dry.
Be
5
ee
1
Bey
Ax ty
REPRESENTACION GRAFICA DE PUNTOS
DEL ESPACIO Y PLANOS
Gi) mts coonbananos an m ESPACIO ewe 5)
Si por un punto del espacio O trazamos tres ejes OX, OY, OZ, de
modo que cada eje sea perpendicular a los otros dos, tenemos un sistema
de ejes coordenados rectangulares en el espacio, Si los ejes no son per-
pendiculares entre sí, tenemos um sistema
de ejes coordenados oblicuos. El punto 0
se Hama origen,
Cada dos de estos ejes determinan
un plano.
Los ejes OX y OY determinan el pla-
no XY; los ejes OY y OZ determinan el
J plano YZ, y los ejes OZ y OX determinan
Xe plano ZX. Estos son los planos coorde-
mados.
Estos tres planos, perpendicular cada
uno de ellos a los otros dos, forman un
triedro trirrectängulo.
Cuando los ejes están dispuestos como
se indica en la figura 59, se dice que el
Z
triedro wirtectängulo es inverso, Si el eje
aura 5 OX ocupara la posición del eje OY y vice:
1) Pompa cero como cocticiente de lar incógnitas qué alien. en cada ecuación.
coormenanas eN m mracio @ 349
versa, el triedro sería directo. Nosotros trabajaremos con el triedro
inverso.
Para que el alumno aclare los conceptos anteriores, fíjese en el Angulo
de la izquierda de su salón de clase. El suelo es el plano XF; la pared que
está la imqierda del alumno eel plano YZ; la pared que le queda enfrente
es el plano ZX. El eje OX es la intersección de la pared de enfrente con el
Suelo: el eje OY es la intersceción de la ped de 1 izquierda con el sl,
el eje OZ es la intersección de la pared de la iaquierda con la pared del frente.
El punto donde concurren los tres ejes (la esquina del suclo, a la izquierda)
es el origen.
COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO
DEL ESPACIO
La posición de un punto del espacio queda determinada por sus coor
denadas en el espacio, que son sus distancias a los planos coordenados.
Sea el punto P (figura 60). Las coordenadas del punto P son:
1) La abscisa x, que es la distancia de P ai plano
2) La ordenada y, que es la distancia de P al plano ZX.
3) La cota z, que es la distancia de P al plano XY.
El punto P dado por sus coordenadas se expresa P (x, ys 2). Ask, el
punto (2, 4, 6) es un punto del espacio tal que, para una unidad escogí
su abscisa es 2, su ordenada es 4 y su cota es 5.
{Las coordenadas de un punto del espacio en su salón de clase von;
abscisa, Ja distancia del punto a la pared de la izquierda; ordenada, la dis.
tancia del punto a la pared de enfrente; cota, la distancia del punto al
suelo}.
En la práctica, para representar un punto del espacio, se mide la aby
sobre el eje OX y se trazan lineas que representen la ordenada y la cota
En la figura 61 está representado el punto P (3, 2, 4).
aaa)
Fe
> EJERCICIO 188
Resolver por determinantes:
Be TetdOy+4
1
Sx—2y-b62=88.
Sty BL
ei: 2
u
Ge
KOHL.
Peter
Ary amd
Any tz
rave
dry.
Be
5
ee
1
Bey
Ax ty
REPRESENTACION GRAFICA DE PUNTOS
DEL ESPACIO Y PLANOS
Gi) mts coonbananos an m ESPACIO ewe 5)
Si por un punto del espacio O trazamos tres ejes OX, OY, OZ, de
modo que cada eje sea perpendicular a los otros dos, tenemos un sistema
de ejes coordenados rectangulares en el espacio, Si los ejes no son per-
pendiculares entre sí, tenemos um sistema
de ejes coordenados oblicuos. El punto 0
se Hama origen,
Cada dos de estos ejes determinan
un plano.
Los ejes OX y OY determinan el pla-
no XY; los ejes OY y OZ determinan el
J plano YZ, y los ejes OZ y OX determinan
Xe plano ZX. Estos son los planos coorde-
mados.
Estos tres planos, perpendicular cada
uno de ellos a los otros dos, forman un
triedro trirrectängulo.
Cuando los ejes están dispuestos como
se indica en la figura 59, se dice que el
Z
triedro wirtectängulo es inverso, Si el eje
aura 5 OX ocupara la posición del eje OY y vice:
1) Pompa cero como cocticiente de lar incógnitas qué alien. en cada ecuación.
coormenanas eN m mracio @ 349
versa, el triedro sería directo. Nosotros trabajaremos con el triedro
inverso.
Para que el alumno aclare los conceptos anteriores, fíjese en el Angulo
de la izquierda de su salón de clase. El suelo es el plano XF; la pared que
está la imqierda del alumno eel plano YZ; la pared que le queda enfrente
es el plano ZX. El eje OX es la intersección de la pared de enfrente con el
Suelo: el eje OY es la intersceción de la ped de 1 izquierda con el sl,
el eje OZ es la intersección de la pared de la iaquierda con la pared del frente.
El punto donde concurren los tres ejes (la esquina del suclo, a la izquierda)
es el origen.
COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO
DEL ESPACIO
La posición de un punto del espacio queda determinada por sus coor
denadas en el espacio, que son sus distancias a los planos coordenados.
Sea el punto P (figura 60). Las coordenadas del punto P son:
1) La abscisa x, que es la distancia de P ai plano
2) La ordenada y, que es la distancia de P al plano ZX.
3) La cota z, que es la distancia de P al plano XY.
El punto P dado por sus coordenadas se expresa P (x, ys 2). Ask, el
punto (2, 4, 6) es un punto del espacio tal que, para una unidad escogí
su abscisa es 2, su ordenada es 4 y su cota es 5.
{Las coordenadas de un punto del espacio en su salón de clase von;
abscisa, Ja distancia del punto a la pared de la izquierda; ordenada, la dis.
tancia del punto a la pared de enfrente; cota, la distancia del punto al
suelo}.
En la práctica, para representar un punto del espacio, se mide la aby
sobre el eje OX y se trazan lineas que representen la ordenada y la cota
En la figura 61 está representado el punto P (3, 2, 4).
aaa)
Fe
50 @ Arsen eonrsenracion oiaric © 35)
2) REPRESENTACION DE UN PUNTO CUANDO UNA REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION
O MAS COORDENADAS SON 0 DE PRIMER GRADO CON TRES VARIABLES
Cuando una de las coordenadas es 0 y las otras dos no, el punto está
D ala ean 1) Representar la ccuación 4x 3ÿ 42e 12,
‘Si x 0, el punto está situado en el plano VZ; en la figura, Pa, 2, 9. Para representa gráficamente esta ccuar
Si y=0, el punto está eo el plano ZX; one tea Bel te ap tara a me que
la figura, P43, 0,3). Si ), el punte 5 die Gs E
Sa cado: ae rl UNE IE ONE lo
; en la figura, a Segoe cee a
Paid, 2, 0). demos?
Cuando dos de las coordenadas son 0 aia ve
y la otra no, el punto está situado en uno e is ER
de los ej Se represenia el punto (3. 0, 0).
Si x=0, y=0, el punto está situado La traca sobre el eje. 03 se halla hu
en ol eje OZ; en la figura, PO, 0, 3) gende LUG en a cación dada. Ten.
Si x=0, 2=0, el punto está en el eje a
OY: co la figora, Pad, 2.0). Para x 0 queda ern
si 0, et punto esté en ol eje li
ON: en la figura, Pal. D, 0). Be nn > Ds :
Si as wes coordenadas son 0, el punto ciendo x= 1h, =0 en la ecuación dada. Ten.
ca den yO en la ceuación dada. Ten.
mm EJERCICIO 189 ESO. y=0 queda 2e=12-.2=6.
Representar gráficamente los puntos. siguientes: Se representa el punto (il, 0, 6).
LOL) 4650 DA 104,04. 18 (0.04 Uniendo entre si los tres puntos qué hemos hallado, öhtenen
BELLE. en quese la reproemacken all de la ecuación de Eye
ba GES SUIS 12000 1.080
2) Representar gräficnmente Ix + by + 82220. ¿Figura 65
MARS 3 Representar gráficamente Ix + 5y + 6:=20. {Figura 65),
Toda ecuación de primer grado con
tres variables representa un planos )
e pops ue Tenemos:
Para
Así, toda ecuación de la forma Ax +
er
byt Ge D representa un plano. (Figu- y=0, 250, Punto (5.0.0).
ra 63)- Pai
Los segmentos OA, OB y OC son las A
raras del plano sobre los ejes. vere "
En la figura la traza del plano sobre 9:=0 A Punto (0,4, 0)
‘el eje OX es Od=a; la waza sobre el bes
eje OF es OB=b y la traza sobre el eje OZ
es OC=e. 20.320122 Pomo (0.0.23),
Los puntos 4, B y €, donde el plano
intersects a los ejes, por ser puntos de los
ejes, tienen dos coordenadas mulas.
1). Adultes eo como un primp, a que au demoración 00 ex, a lee de
rr ne
Uniendo estos puntos entre si queda,
lawn plano que es la representación
la ecuación AH Re 220.
2) REPRESENTACION DE UN PUNTO CUANDO UNA REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION
O MAS COORDENADAS SON 0 DE PRIMER GRADO CON TRES VARIABLES
Cuando una de las coordenadas es 0 y las otras dos no, el punto está
D ala ean 1) Representar la ccuación 4x 3ÿ 42e 12,
‘Si x 0, el punto está situado en el plano VZ; en la figura, Pa, 2, 9. Para representa gráficamente esta ccuar
Si y=0, el punto está eo el plano ZX; one tea Bel te ap tara a me que
la figura, P43, 0,3). Si ), el punte 5 die Gs E
Sa cado: ae rl UNE IE ONE lo
; en la figura, a Segoe cee a
Paid, 2, 0). demos?
Cuando dos de las coordenadas son 0 aia ve
y la otra no, el punto está situado en uno e is ER
de los ej Se represenia el punto (3. 0, 0).
Si x=0, y=0, el punto está situado La traca sobre el eje. 03 se halla hu
en ol eje OZ; en la figura, PO, 0, 3) gende LUG en a cación dada. Ten.
Si x=0, 2=0, el punto está en el eje a
OY: co la figora, Pad, 2.0). Para x 0 queda ern
si 0, et punto esté en ol eje li
ON: en la figura, Pal. D, 0). Be nn > Ds :
Si as wes coordenadas son 0, el punto ciendo x= 1h, =0 en la ecuación dada. Ten.
ca den yO en la ceuación dada. Ten.
mm EJERCICIO 189 ESO. y=0 queda 2e=12-.2=6.
Representar gráficamente los puntos. siguientes: Se representa el punto (il, 0, 6).
LOL) 4650 DA 104,04. 18 (0.04 Uniendo entre si los tres puntos qué hemos hallado, öhtenen
BELLE. en quese la reproemacken all de la ecuación de Eye
ba GES SUIS 12000 1.080
2) Representar gräficnmente Ix + by + 82220. ¿Figura 65
MARS 3 Representar gráficamente Ix + 5y + 6:=20. {Figura 65),
Toda ecuación de primer grado con
tres variables representa un planos )
e pops ue Tenemos:
Para
Así, toda ecuación de la forma Ax +
er
byt Ge D representa un plano. (Figu- y=0, 250, Punto (5.0.0).
ra 63)- Pai
Los segmentos OA, OB y OC son las A
raras del plano sobre los ejes. vere "
En la figura la traza del plano sobre 9:=0 A Punto (0,4, 0)
‘el eje OX es Od=a; la waza sobre el bes
eje OF es OB=b y la traza sobre el eje OZ
es OC=e. 20.320122 Pomo (0.0.23),
Los puntos 4, B y €, donde el plano
intersects a los ejes, por ser puntos de los
ejes, tienen dos coordenadas mulas.
1). Adultes eo como un primp, a que au demoración 00 ex, a lee de
rr ne
Uniendo estos puntos entre si queda,
lawn plano que es la representación
la ecuación AH Re 220.
352 @ crono
wm EJERCICIO 190
Representar gráficamente las ecuaciones:
1. dz 6, Wx#10y+62=90.
2 Bet 7. x10; +52=35.
3 ++. 8. HO.
À 1ox-Hby 0. 9. det By-+ae=18.
DEEE 10. Wat 20y 24120
PLANO QUE PASA POR UN PUNTO
Si un plano pasa por un punto del espacio, las coordenadas de ese pun:
to satisfacen la ecuación del plano, Asi, para saber si el plano 2+y + 3x
13 pasa por cl punto (1, 2, 3), hacemos x=1, y=2, 2=3 en la ecuación
del plano y tendremos: 2(1)-+2-48)= 18, o sex, 13=13; luego, el plano
pasa por el punto (1, 2, 3), o de otro modo, el punto pertenece al plano,
($18) SIGNIFICACION GRAFICA DE LA SOLUCION DE UN
SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
[xt ye a=12
(ay y+82=17 Resolviéndolo se halla
[Ax +29 52==8.
Sea el sisten
Esta solución representa un punto del espacio, el punto (3,15). Alio-
ra bien: x=5, y=4, 2=5 satisfacen las tres ecuaciones del sistema; luego,
el punto (34,5) pertenece a los tres planos que representan las ecuaciones
dadas; Juego, el punto (34,3) es un punto por el que pasan los 3 planos,
el punto común a los 3 planos.
(67) nssoLucion Y AEPRESNTACION GHAFICA DE UN
SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
Resolver gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógni
tas es hallar el punto del espacio por el que pasan Jos tres planos.
Para ello, dados los conocimientos que posee el alumno, el procedi-
miento a seguir es el siguiente:
1) Se representan gráficamente los tres planos que representan las
tres ecuaciones del sistema, hallando sus trazas.
2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una
linea recta, 3) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de
los anteriores, que será otra línea recta, 4) Se busca el punto donde se
cortan las dos rectas (intersecciones) halladas y ese será el punto común à
los tres planos. Las coordenadas de este pa del sistema,
nernesmeracion onarıca @ 353
Resolver groficomente
ol sistema,
jetzt x
xt y 2
[Se 27 +52 = 20.
2
FIGURA we
Apliquemos ol procedimian
Represontemos 2e + 2y + = 12,
Pore =0, 2 =0,
o
El plano que representa esta ecuación os of plano ABC,
Ropresonlemos x + y += 8
Poray=0,
x=0 ¿=0,
+0, (750,
El plano que represento esta ecuación es el plano DEF.
Ropresonlamos 3+ 2y + 52 = 30,
Paray
Él pleno que rpresenta et acuoción es l plano GH.
Trozomos la inacción del plomo ABC son el plan DEF que es le line reto MN,
lozomos I intreci6n del plano DEF con el plone GH que est Ins reco RO
Air ug oro eel pa uo ans os pons
coordonne de P que on l figura so vo que om H=2, y 2, 204 son lo
solución del sistema. 2
wm EJERCICIO 190
Representar gráficamente las ecuaciones:
1. dz 6, Wx#10y+62=90.
2 Bet 7. x10; +52=35.
3 ++. 8. HO.
À 1ox-Hby 0. 9. det By-+ae=18.
DEEE 10. Wat 20y 24120
PLANO QUE PASA POR UN PUNTO
Si un plano pasa por un punto del espacio, las coordenadas de ese pun:
to satisfacen la ecuación del plano, Asi, para saber si el plano 2+y + 3x
13 pasa por cl punto (1, 2, 3), hacemos x=1, y=2, 2=3 en la ecuación
del plano y tendremos: 2(1)-+2-48)= 18, o sex, 13=13; luego, el plano
pasa por el punto (1, 2, 3), o de otro modo, el punto pertenece al plano,
($18) SIGNIFICACION GRAFICA DE LA SOLUCION DE UN
SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
[xt ye a=12
(ay y+82=17 Resolviéndolo se halla
[Ax +29 52==8.
Sea el sisten
Esta solución representa un punto del espacio, el punto (3,15). Alio-
ra bien: x=5, y=4, 2=5 satisfacen las tres ecuaciones del sistema; luego,
el punto (34,5) pertenece a los tres planos que representan las ecuaciones
dadas; Juego, el punto (34,3) es un punto por el que pasan los 3 planos,
el punto común a los 3 planos.
(67) nssoLucion Y AEPRESNTACION GHAFICA DE UN
SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
Resolver gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógni
tas es hallar el punto del espacio por el que pasan Jos tres planos.
Para ello, dados los conocimientos que posee el alumno, el procedi-
miento a seguir es el siguiente:
1) Se representan gráficamente los tres planos que representan las
tres ecuaciones del sistema, hallando sus trazas.
2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una
linea recta, 3) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de
los anteriores, que será otra línea recta, 4) Se busca el punto donde se
cortan las dos rectas (intersecciones) halladas y ese será el punto común à
los tres planos. Las coordenadas de este pa del sistema,
nernesmeracion onarıca @ 353
Resolver groficomente
ol sistema,
jetzt x
xt y 2
[Se 27 +52 = 20.
2
FIGURA we
Apliquemos ol procedimian
Represontemos 2e + 2y + = 12,
Pore =0, 2 =0,
o
El plano que representa esta ecuación os of plano ABC,
Ropresonlemos x + y += 8
Poray=0,
x=0 ¿=0,
+0, (750,
El plano que represento esta ecuación es el plano DEF.
Ropresonlamos 3+ 2y + 52 = 30,
Paray
Él pleno que rpresenta et acuoción es l plano GH.
Trozomos la inacción del plomo ABC son el plan DEF que es le line reto MN,
lozomos I intreci6n del plano DEF con el plone GH que est Ins reco RO
Air ug oro eel pa uo ans os pons
coordonne de P que on l figura so vo que om H=2, y 2, 204 son lo
solución del sistema. 2
354 @ merma
ip EJERCICIO 191
Resolver y representar gr
stay
¡camente los sistemas:
(as: 322
a
ie
pres
4
1. {2x +=.
TOS
Bret
ED nesoLucioN DE UN SISTEMA or 4 ECUACIONES
CON 4 INCOGNITAS
tena a | Er, D
HSE à
EE
D ee
ee
A 2-8
yta=w= 7 (6)
Combinando (1) y (4) eliminamas lo x, restondo:
m
3 (5)
6
4 re. m
Vamos a clíninor la z. Combinando 15) y (6), muliplicamos (5) pot 4 y su
(0)
19)
SCUACIONGS simuiTantas com cuarao incocuiras 0 395
Reuniende (8) y (9) tenemos un sistoma de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
1y+20= 6 (sh
- y+ u=- 2 19)
Resolvcmos este soma. Mutiplicarde (9) por 13 y sumando:
We 6
sustilvimos v= 1 en una ecuación de dos incógnitas, por ejemplo en (9)
y 1onomos:
-yri=
pres
Sustiuimes v= 1, y = on una ecuoción de tres incógnitas, por ejemplo en (5) y
tenemos:
3091-2 +61N)=
Ahora, sustivimos v= 1, y =3, 2=4 on cualquiera de las ecuaciones dados, por
eiempio en (1) y tenemos:
eres
m EJERCICIO 192
Resolver los sistemas:
xy
o Jeria
Ê
«E
a
ip EJERCICIO 191
Resolver y representar gr
stay
¡camente los sistemas:
(as: 322
a
ie
pres
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1. {2x +=.
TOS
Bret
ED nesoLucioN DE UN SISTEMA or 4 ECUACIONES
CON 4 INCOGNITAS
tena a | Er, D
HSE à
EE
D ee
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A 2-8
yta=w= 7 (6)
Combinando (1) y (4) eliminamas lo x, restondo:
m
3 (5)
6
4 re. m
Vamos a clíninor la z. Combinando 15) y (6), muliplicamos (5) pot 4 y su
(0)
19)
SCUACIONGS simuiTantas com cuarao incocuiras 0 395
Reuniende (8) y (9) tenemos un sistoma de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
1y+20= 6 (sh
- y+ u=- 2 19)
Resolvcmos este soma. Mutiplicarde (9) por 13 y sumando:
We 6
sustilvimos v= 1 en una ecuación de dos incógnitas, por ejemplo en (9)
y 1onomos:
-yri=
pres
Sustiuimes v= 1, y = on una ecuoción de tres incógnitas, por ejemplo en (5) y
tenemos:
3091-2 +61N)=
Ahora, sustivimos v= 1, y =3, 2=4 on cualquiera de las ecuaciones dados, por
eiempio en (1) y tenemos:
eres
m EJERCICIO 192
Resolver los sistemas:
xy
o Jeria
Ê
«E
a
tot, la iden, de la Enciclopedia. Diipió dicho movi
iénto y vedactó todos los aticlos sobre matemstica
que aparecen on la Famosa Enciclopedia. Fue Secre
tario Perpetuo do la Academia Fr
Here con Rousseau, precumor de la Revolucid
crue XV]
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES
SIMULTANEAS
319) La diferencia de dos números es 14, y 4 de su suma es 18. Hallar
los mimeros.
Sea cl número mayor.
yee ae xo menor,
De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos el sistema:
324 a)
Quitando denominadores y
sumando:
Sustituyendo x
3 en (Dt
aye
y=19
Los números buscados son 33 y 19. R
356
PROBLEMAS sont ECUACIONES SUAULTANEAS © 357
D EJERCICIO 193
4. La diferencia de dos números ex 40 y 4 de su suma es 11, Hallar los
wimeros,
2. La suma de dos números es 190 y 4 de su diferencia es 2. Hallar os
mämeros.
& La suma de dos mineros es 1529 y su diferencia 101, Halla os ni
4. Un cuarto de la suma de dos mimeros es 45 y un tercio de su dilo
© 4. Hallar los números.
5. Los 2 de ta suma de dos múmeros son 74 y los À de su diferencia Y
Hallar los números.
G Los à de
du
uma de dos números exceden
son 1 menos que 26. Hallar los
dado y los à den
7. Un tercio de la diferencia de dos múmeros es 11 y los $ del mayor
equivalen a Jos & del menor. Haller los números.
Dividir 80 co des partes tales que los 2 de Ja pa
a los 2 de In menor.
ayor equivali
O. Hallar dos números tales que
veces el major exceda a E del m
292 y 5 voces el menor exceda a À del mayor en 66,
6 lbs. de café y 6 Ibs. de azúcar costaron $227, y 5 lbs. de café y 4 lin.
de azúcar (a los mismos precios) costaron $1.88, Hallar el precio de
bra de café y una de anicar.
Er
‘y= precio de 1 libra aren cts
Si una libra de café cuesta x, 6 tbs. costarán 6x; si ies
lib, de anácar cuesta 3. 5 lbs. de amer costarán y, y comu et [0%
importe de esta compra fue 5227 6 227 cts. tendremos:
5 lbs, de café cuestan bx, y 4 de azúcar, dy, y como cl (54 = 188) (A
importe de esta compra Tue de $1.85 6 188 cts. tendremos:
“sy = 007. |
Reuniendo las ecuaciones (1) y (2), tenemos el sistema:
fonte @
Iran @)
Sete 1398
ey = = 1198,
y=
y=Ten (2) se tiene «=
eaf6 costó 92 cts, y una Hibs
R.
iénto y vedactó todos los aticlos sobre matemstica
que aparecen on la Famosa Enciclopedia. Fue Secre
tario Perpetuo do la Academia Fr
Here con Rousseau, precumor de la Revolucid
crue XV]
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES
SIMULTANEAS
319) La diferencia de dos números es 14, y 4 de su suma es 18. Hallar
los mimeros.
Sea cl número mayor.
yee ae xo menor,
De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos el sistema:
324 a)
Quitando denominadores y
sumando:
Sustituyendo x
3 en (Dt
aye
y=19
Los números buscados son 33 y 19. R
356
PROBLEMAS sont ECUACIONES SUAULTANEAS © 357
D EJERCICIO 193
4. La diferencia de dos números ex 40 y 4 de su suma es 11, Hallar los
wimeros,
2. La suma de dos números es 190 y 4 de su diferencia es 2. Hallar os
mämeros.
& La suma de dos mineros es 1529 y su diferencia 101, Halla os ni
4. Un cuarto de la suma de dos mimeros es 45 y un tercio de su dilo
© 4. Hallar los números.
5. Los 2 de ta suma de dos múmeros son 74 y los À de su diferencia Y
Hallar los números.
G Los à de
du
uma de dos números exceden
son 1 menos que 26. Hallar los
dado y los à den
7. Un tercio de la diferencia de dos múmeros es 11 y los $ del mayor
equivalen a Jos & del menor. Haller los números.
Dividir 80 co des partes tales que los 2 de Ja pa
a los 2 de In menor.
ayor equivali
O. Hallar dos números tales que
veces el major exceda a E del m
292 y 5 voces el menor exceda a À del mayor en 66,
6 lbs. de café y 6 Ibs. de azúcar costaron $227, y 5 lbs. de café y 4 lin.
de azúcar (a los mismos precios) costaron $1.88, Hallar el precio de
bra de café y una de anicar.
Er
‘y= precio de 1 libra aren cts
Si una libra de café cuesta x, 6 tbs. costarán 6x; si ies
lib, de anácar cuesta 3. 5 lbs. de amer costarán y, y comu et [0%
importe de esta compra fue 5227 6 227 cts. tendremos:
5 lbs, de café cuestan bx, y 4 de azúcar, dy, y como cl (54 = 188) (A
importe de esta compra Tue de $1.85 6 188 cts. tendremos:
“sy = 007. |
Reuniendo las ecuaciones (1) y (2), tenemos el sistema:
fonte @
Iran @)
Sete 1398
ey = = 1198,
y=
y=Ten (2) se tiene «=
eaf6 costó 92 cts, y una Hibs
R.
358 © mecenas
[> EJERCICIO 194
1. 3 urajes y 3 sombreros Cuescan 4150 soles, y 3 trajes y D sombreros BAU,
Mallar el precio de un traje y de un sombrer
n hace
sismos pr
de una vaca y de
2
lu 4 vacas y 7 Caballos por SI y mis tarde, à los
a y Y caballos. pue S913. Hallar el como.
Y de
00 y una
mino y
de aduho,
de Si a à ete el mayor dl lade 7 veces el menu, la
ste os HG, y si a veces nt se peste el cuir plo del mayor, a
Anterenciu & SE Hallar los mime,
8. Los ® de la edad de 4 sumensados en los À de la ela de smi 15
en. y dos © de la esd de 4 disminuidos en los 2 de la de 8 equiva
len à 2 aos: Madlar ambas edades
6. El doble che ta edad de excede =
edad de Jb es 335 aos mens que 1
a fe edad de 8, y à de da
edad de A. Mallar ambas edades
edad de tt
excede en E años a la de Buy el duplo de
estad de J, Hallar ambas estados
A auimenia'en 166 de 18 de By e rel a
1a lod de 8: equivalen a À de la edad de À, Mallo
pibas: dados,
OR el
a los dos términos se resta 1, el valor de la fr
«2. Hallar la fracción.
Sea ve
so
denominada
Entonces Tracción.
Añadiendo 3 a cada término, la frac E
las condiciones del problema el valor de esta Train es {= luego:
dore
la término, la
y según
Restando 1 à 64
Vas condi
Hracción se
5, el valor de esta fracción es 4: luego
y según
pmostonas sount ecuaciones suuucraneas @ 359
xt
Reuniendo las ocuacio- | pg
nes () y (2), tenemos el a
a
sistema:
ya
2x+6
Quitando denominadores: | au 4
Transponiendo
y reduciendo:
=;
sx)
+3
Bey
Sustituyendo
en @):
Luego, la fracción es À. R.
= EJERCICIO 195
1. Si a los dos términos de uma fracción se añade 1, el valor de la Iracción:
y si a los dos té
dar la fracción,
os se resta 1, el valor de la fracción os
2. Si a los dos términos de una fracción se resta 3, el valor de la fracción
es 2, y sitos dos términos se aumentan en 5, el valor de la fracción es 3.
tallar la fracción,
Si al mumerador de una racciôn se añade 5, el valor de la facción es,
y si al numerador se resta 2, el valor de la fracción es 1. Hallar Ja fracción.
4. Si el mumerador de una fracción se aumenta en 26 el valor de la frac
ción € 3 7 sl el denominador se dismimuye en 4, el valor es 1. Hallar
Ja tracción
5; Añadiendo 3 al numerador de ua facón y rando 2 a denominador
la Iracción se convient en pero si se resta § al mumerador y se añade
2 al denominador, la fracción equivale a 2 Hallar a: fra
0. Multplicando. por 3 et mumerador de una acción
dor, cl valor de la fracción es 3, y si el mumerador’se au
[> EJERCICIO 194
1. 3 urajes y 3 sombreros Cuescan 4150 soles, y 3 trajes y D sombreros BAU,
Mallar el precio de un traje y de un sombrer
n hace
sismos pr
de una vaca y de
2
lu 4 vacas y 7 Caballos por SI y mis tarde, à los
a y Y caballos. pue S913. Hallar el como.
Y de
00 y una
mino y
de aduho,
de Si a à ete el mayor dl lade 7 veces el menu, la
ste os HG, y si a veces nt se peste el cuir plo del mayor, a
Anterenciu & SE Hallar los mime,
8. Los ® de la edad de 4 sumensados en los À de la ela de smi 15
en. y dos © de la esd de 4 disminuidos en los 2 de la de 8 equiva
len à 2 aos: Madlar ambas edades
6. El doble che ta edad de excede =
edad de Jb es 335 aos mens que 1
a fe edad de 8, y à de da
edad de A. Mallar ambas edades
edad de tt
excede en E años a la de Buy el duplo de
estad de J, Hallar ambas estados
A auimenia'en 166 de 18 de By e rel a
1a lod de 8: equivalen a À de la edad de À, Mallo
pibas: dados,
OR el
a los dos términos se resta 1, el valor de la fr
«2. Hallar la fracción.
Sea ve
so
denominada
Entonces Tracción.
Añadiendo 3 a cada término, la frac E
las condiciones del problema el valor de esta Train es {= luego:
dore
la término, la
y según
Restando 1 à 64
Vas condi
Hracción se
5, el valor de esta fracción es 4: luego
y según
pmostonas sount ecuaciones suuucraneas @ 359
xt
Reuniendo las ocuacio- | pg
nes () y (2), tenemos el a
a
sistema:
ya
2x+6
Quitando denominadores: | au 4
Transponiendo
y reduciendo:
=;
sx)
+3
Bey
Sustituyendo
en @):
Luego, la fracción es À. R.
= EJERCICIO 195
1. Si a los dos términos de uma fracción se añade 1, el valor de la Iracción:
y si a los dos té
dar la fracción,
os se resta 1, el valor de la fracción os
2. Si a los dos términos de una fracción se resta 3, el valor de la fracción
es 2, y sitos dos términos se aumentan en 5, el valor de la fracción es 3.
tallar la fracción,
Si al mumerador de una racciôn se añade 5, el valor de la facción es,
y si al numerador se resta 2, el valor de la fracción es 1. Hallar Ja fracción.
4. Si el mumerador de una fracción se aumenta en 26 el valor de la frac
ción € 3 7 sl el denominador se dismimuye en 4, el valor es 1. Hallar
Ja tracción
5; Añadiendo 3 al numerador de ua facón y rando 2 a denominador
la Iracción se convient en pero si se resta § al mumerador y se añade
2 al denominador, la fracción equivale a 2 Hallar a: fra
0. Multplicando. por 3 et mumerador de una acción
dor, cl valor de la fracción es 3, y si el mumerador’se au
360 @ mamma
322) Dos mimeros están en la relación de 3 a 4, Si el menor se aumenta
en 2 y el mayor se disminuye en 9, la relación es de 4 a 3. Hallar los
|
Sea E
La relación de dos números es el cociente de dividir uno 88,
por el otro. Según las condiciones, x e y están en la relación
de 3 a 4; luego,
Si el menor se aumenta en 2, quedará x +95 si el
jor se disminuye en 9, quedará y—9; la relación de
estos números, según las condiciones, es de À a 3; luego.
Reuniendo (1) y (2),
amos el sistemas
Resolviendo el sistema se halla x=18,
buscados. R.
estos son los números
EJERCICIO 196
Dos nümeros están en la relación de 5 a 6, Si el menor se aumenta en
2 el mayor se disminuye en 6, la relación es de 9 a 5, Hallar Jos números.
2. La relación de dos numeros es de 2 a 3. SÍ cl menor se aumenta en 8
y el mayor en 7, la aclación es de 3 a 4. Hallar los números,
3, Dos números son entre sí como 9 es a 10. Si el mayor se aumenta en 20
y el menor sc disminuye en 15, el menor será al mayor como 3 es à 7.
Haltar los números.
4 Las edades de A y B están en Et relación de 5 a 7
li relación entre
5. Las edades de À y B están en la relación de 4 à 5. Hace 5
ción exa de 7 à 9, Hallar las edades actuales.
G La edad actual de A guarda con la edad actual de D la relación de
2 a 3, Si la edad que À tenia hace 4 años se divide por la edad que
tendrá Hi dentro de 4 años, el cociente es $. Hallar las exlades actuales.
7. Cwando empiezan a jugar A y 8, la relación de lo que tiene À y lo
© tiene # es de 10 4 13, Después que A le ha ganado" 10 holivares à D,
mentee Jo que tiene A y lo que le queda a À es de
1 cada uno?
Dentro de 2 años
la edad de A y la de A será de 8 a 11. Hallar las edades
os la rela
ras de dos e
perdió 15000 hombres en la hatalla
iclación ahora es de 11 à 13, ¿cuántos
jéxcito antes de la batalla?
dividendo x, queda
viendo Ta división
tenemos el si
PROBLEMAS SOURE ECUACIONES SIMULTANEAS 9 36)
os se divide por el menor, el cociente es 2
y el residuo 9, y si 3 veces el menor se divide por el mayor, el c
te es 1 y el residuo 14. Hallar los números.
Sea E el ane : : i
Según lus condiciones, al dividir x encre y el cocien- |
es 2 y cl residuo 9, peto si el residuo se le resta al >
4 9 y entonces la división entre y
es exacta; lug F
Dividiendo ay entre x, segán las condiciones. el El
exacia; luego —
[==
15
Jos
—=1
Reuniendo (1) y (2.
Quitando denon
|
=
Transponiendo:
Sustituyendo y =23 en (8) se obtiene x 9
AG: luego, x
Los mimeros buscados son 35 y 2% Re
EJERCICIO 197
SUG ei ete
el residue 4, ÿ a 3. veces ei menor se
2 y el raide 17. Hallar los numevos
Bi ef mayor de dos mémo se die por el menor, el cacon y, y
si 10 ees cl menor se divide por el major, el cocine y el HL
duo 19. Hallar los mimeros. E 2 i
Si el duplo del mayor de dos mümeros se divide por el tiple del m
ef cocitte es 1 y el reido Y, y sl § veces el Mer sc di Y
mayor, el cocieme € 3 y el reiduo 1. Mallas tos mere
La edad de À excede cm 28 años a la edad de Ly si la edad de À
de Be tocieme es 1 y el you 12. Hala
el menör, et encieme es 2 y
ide por el mayor, el cocieme es
Seis veces el
y la Jumgitud au
boy ob eso
sala excede en 4 ma ta longitud de la sala,
nuda en 3 m sc divide el cociente
Hallar fay dime
322) Dos mimeros están en la relación de 3 a 4, Si el menor se aumenta
en 2 y el mayor se disminuye en 9, la relación es de 4 a 3. Hallar los
|
Sea E
La relación de dos números es el cociente de dividir uno 88,
por el otro. Según las condiciones, x e y están en la relación
de 3 a 4; luego,
Si el menor se aumenta en 2, quedará x +95 si el
jor se disminuye en 9, quedará y—9; la relación de
estos números, según las condiciones, es de À a 3; luego.
Reuniendo (1) y (2),
amos el sistemas
Resolviendo el sistema se halla x=18,
buscados. R.
estos son los números
EJERCICIO 196
Dos nümeros están en la relación de 5 a 6, Si el menor se aumenta en
2 el mayor se disminuye en 6, la relación es de 9 a 5, Hallar Jos números.
2. La relación de dos numeros es de 2 a 3. SÍ cl menor se aumenta en 8
y el mayor en 7, la aclación es de 3 a 4. Hallar los números,
3, Dos números son entre sí como 9 es a 10. Si el mayor se aumenta en 20
y el menor sc disminuye en 15, el menor será al mayor como 3 es à 7.
Haltar los números.
4 Las edades de A y B están en Et relación de 5 a 7
li relación entre
5. Las edades de À y B están en la relación de 4 à 5. Hace 5
ción exa de 7 à 9, Hallar las edades actuales.
G La edad actual de A guarda con la edad actual de D la relación de
2 a 3, Si la edad que À tenia hace 4 años se divide por la edad que
tendrá Hi dentro de 4 años, el cociente es $. Hallar las exlades actuales.
7. Cwando empiezan a jugar A y 8, la relación de lo que tiene À y lo
© tiene # es de 10 4 13, Después que A le ha ganado" 10 holivares à D,
mentee Jo que tiene A y lo que le queda a À es de
1 cada uno?
Dentro de 2 años
la edad de A y la de A será de 8 a 11. Hallar las edades
os la rela
ras de dos e
perdió 15000 hombres en la hatalla
iclación ahora es de 11 à 13, ¿cuántos
jéxcito antes de la batalla?
dividendo x, queda
viendo Ta división
tenemos el si
PROBLEMAS SOURE ECUACIONES SIMULTANEAS 9 36)
os se divide por el menor, el cociente es 2
y el residuo 9, y si 3 veces el menor se divide por el mayor, el c
te es 1 y el residuo 14. Hallar los números.
Sea E el ane : : i
Según lus condiciones, al dividir x encre y el cocien- |
es 2 y cl residuo 9, peto si el residuo se le resta al >
4 9 y entonces la división entre y
es exacta; lug F
Dividiendo ay entre x, segán las condiciones. el El
exacia; luego —
[==
15
Jos
—=1
Reuniendo (1) y (2.
Quitando denon
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Transponiendo:
Sustituyendo y =23 en (8) se obtiene x 9
AG: luego, x
Los mimeros buscados son 35 y 2% Re
EJERCICIO 197
SUG ei ete
el residue 4, ÿ a 3. veces ei menor se
2 y el raide 17. Hallar los numevos
Bi ef mayor de dos mémo se die por el menor, el cacon y, y
si 10 ees cl menor se divide por el major, el cocine y el HL
duo 19. Hallar los mimeros. E 2 i
Si el duplo del mayor de dos mümeros se divide por el tiple del m
ef cocitte es 1 y el reido Y, y sl § veces el Mer sc di Y
mayor, el cocieme € 3 y el reiduo 1. Mallas tos mere
La edad de À excede cm 28 años a la edad de Ly si la edad de À
de Be tocieme es 1 y el you 12. Hala
el menör, et encieme es 2 y
ide por el mayor, el cocieme es
Seis veces el
y la Jumgitud au
boy ob eso
sala excede en 4 ma ta longitud de la sala,
nuda en 3 m sc divide el cociente
Hallar fay dime
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