álgebra de boole

Álgebra de Boole
Logica

1. 1. Defina Álgebra de BOOLE.
Algebra de Boole es un sistema de elementos B= (0,1) y los operadores
Binarios (.) y (+) y (,). A su vez es una estructura algebraica que esquematiza
las operaciones lógicas Y, O, NO y SI, así como el conjunto de operaciones
unión, intersección y complemento
2. Defina variable Booleana.
Una variable Booleana es aquella que posse una naturaleza binaria de tal
forma que únicamente posee los valores binarios “1” ò “0”, o los equivalentes a
“VERDADERO” o “FALSO”.
3. Explique y de Ejemplo de las Operaciones Básicas del Álgebra de
BOOLE.
La suma lógica: Representa la unión de dos conjuntos (AUB).
Supuestas dos variables lógicas A y B.
A + B = 1 A ó B ó A y B = 1
0 A y B = 0
La suma lógica de dos variables vale 1 cuando A ó B ó ambas sean 1.
• Producto lógico: Representa la intersección de dos conjuntos (A Ω B).
Supuestas dos variables lógicas A y B.
A · B 1 A y B = 1
0 A ó B = 0
• Inversión: La inversión se define para una sola variable y se puede
representar como A o A’.
A vale 1 cuando A = 1 es decir cuando A = 0.
A vale 0 cuando A = 0 es decir cuando A = 1.
4. Explique los Postulados del Álgebra de BOOLE.
Operador + _ operador or
Operador • _ operador and
Operador ‘ _ operador not
3 Postulados:
1.- propiedad conmutativa:
A + B = B + A
A • B = B • A
2. Propiedad distributiva:
A•(B+C) = A•B + A•C
A + B•C = (A+B)•(A+C)
3. Elementos neutros diferentes
A + 0 = A
A • 1 = A
4. Siempre existe el complemento de a, denominado a’
A + A’ = 1
A • A’ = 0

2. 5. Explique el Principio de Dualidad.
PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible
de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o
identidad válida sin más que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0. La dualidad
permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su
dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica)
con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.
6. Nombre los Teoremas Básicos del Álgebra de BOOLE.
Teorema 1: Ley interna
Teorema 2: Ley de involución
Teorema 3: Ley de idempotencia
Teorema 4: Ley conmutativa
Teorema 5: Ley asociativa
Teorema 6: Ley distributiva
Teorema 7: Ley de absorción
Teorema 8: Leyes de morgan
7. Explique de que manera se pueden demostrar los Teoremas del
Álgebra de BOOLE.
 Teorema 1: El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones
definidas a variables del sistema booleano es otra variable del
sistema y este resultado es único. Este teorema se llama Ley interna.
• Teorema 2: Ley de involución: una variable doblemente
complementada es ella misma ( A ) = A.
• Teorema 3: Ley de idempotencia: A + A = A ; A · A = A.
• Teorema 4: Ley conmutativa: A + B = B + A ; A · B = B · A.
• Teorema 5: Ley asociativa (A + B) + C = A + (B + C)
(A · B) · C = A · (B · C)
• Teorema 6: Ley distributiva A ·(B + C) = (A · B) + (A · C)
A + ( B · C) = (A + B) · (A + C)
• Teorema 7: Ley de absorción A + AB = A
A · (A + B) = A
• Teorema 8: Leyes de morgan A + B = A · B
A · B = A + B
Todos estos teoremas pueden demostrarse haciendo uso de las tablas
de verdad.
X + 0 = X X + 1 = 1 X + X = 1
X · 0 = 0 X · 1 = X X · X = 0

3. 8. Defina Función Lógica o Booleana.
Una función lógica es aquella cuyas variables sólo puede tener dos valores
que están relacionadas por uno o varios de los siguientes operadores:
Suma lógica (+)
Producto lógico (·)
Negación (')
Ejemplo:
F = A·B’ + C·(B·D + A·B·D’ ) + (A·C’ + E +A’ ·B’ )’
Una función booleana es un conjunto de variables relacionadas entre sí
mediante los tres operadores lógicos. Una función booleana es también
una variable booleana.
9. Modos de Representación de las Funciones Booleanas.
Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que
podemos destacar las siguientes:
 Algebraica
 Por tabla de verdad
 Numérica
 Gráfica
Algebraica
Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece
un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente
una misma función de tres variables.
a) F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C
b) F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’
c) F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)
d) F = BC’ + AB’
e) F = (A + B)(B’ + C’)
f) F = [(BC’)’(CB)´ (AB’)’]’
g) F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’
La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de
unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el
nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP,
en inglés), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la
c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B
y C) en cada uno de los sumandos o productos.

4. Por tabla de verdad
Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica
dependiendo del valor de sus variables. El número decombinaciones posibles
para una función de n variables vendrá dado por 2
n
. Una función lógica puede
representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver,
pero sólo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la función
lógica del punto anterior.
La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una
expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la
función canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)
F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

Nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que
tendrá por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100
para AB’C’, 101, para AB’C y 110 para ABC’) siendo el resto de combinaciones
0. Con la función canónica de producto de sumas (o forma canónica conjuntiva)
se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la
función será 0 cuando lo sea uno de sus productos
.

Numérica
La representación numérica es una forma simplificada de representar las
expresiones canónicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin
negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el término, ya sea
una suma o un producto, por un número decimal equivalente al valor binario de
la combinación. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos se
representarán del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D
como de mayor a menor peso):
AB’CD = 10112 = 1110
A’ + B + C’ + D’ = 01002 = 410
Para representar una función canónica en suma de productos utilizaremos el
símbolo Σn (sigma) y en producto de sumas Πn (pi), donde n indicará el número

5. de variables. Así, la representación numérica correspondiente a la tabla de
verdad del punto anterior quedará como:
F = Σ3(2, 4, 5, 6) = Π3(0, 1, 3, 7)
Matemáticamente se demuestra, que para todo término i de una función, se
cumple la siguiente ecuación:
F = [Σn (i)]' = Πn(2
n
-1-i )
A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de
sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior:
F = Σ3(2, 4, 5, 6) = [Σ3(2, 4, 5, 6)]' ' = [Σ3(0, 1, 3, 7)]' = Π3(0, 1, 3, 7)

Gráfica
La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas
electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones
algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con
normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas)


10. Explique que son Formas Canónicas y Normalizadas.
Formas Canónicas: Es la mejor manera de representar las funciones.
Une las ventajas de la forma algebraica y de la tabla de verdad. Son
expresiones del tipo suma de productos o producto de sumas
Normalizadas: Son formas que responden al esquema de suma de
productos o producto de sumas. Suelen tener menor número de

6. operaciones que las formas canónicas. Para una función algebraica
concreta, es de menos operaciones siguiendo esos mismos esquemas 
Pueden existir varias formas normalizadas para una misma función
11. Defina Compuertas Lógicas.
Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos
estados lógicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una
calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y
finalmente, te muestra el resultado.
Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un
Símbolo, y la operación que realiza (Operación lógica) se corresponde
con una tabla, llamada Tabla de Verdad, veamos la primera.

12. Explique las Principales Compuertas Lógicas.( Compuertas: AND, OR,
INVERSOR, NOR, NAND,X OR,X NOR).
Compuerta AND:
Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una
salida binaria designada por x.
La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1
si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la
salida es 0.
Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la
compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando
ambas entradas A y B están en 1.
El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el
símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).
Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la
salida es 1 si todas las entradas son 1.
Compuerta NOT
Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si
pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y
viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es
s igual a a invertida
Compuerta OR:
La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la
entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es
0.
El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética
de suma.
Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la
salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta NOT:
El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria.
Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado
para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria.
Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al
valor 1 y viceversa.

7. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un
inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
Compuerta Separador (yes):
Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no
produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la
salida es el mismo de la entrada.
Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo,
un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt
cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es
muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma.
De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que
requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se
encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del
separador.
Compuerta NAND:
Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico,
que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere
decir que invierte la señal).
La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación
más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que
se ha invertido.
Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es
siempre el complemento de la función AND.
Compuerta NOR:
La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo
de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la
señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es
siempre el complemento de la función OR.
13. Defina Circuitos Integrados.
Un circuito integrado (CI), también conocido como chip o microchip, es una
estructura de pequeñas dimensiones de material semiconductor, de algunos
milímetros cuadrados de área, sobre la que se fabrican circuitos electrónicos
generalmente mediante fotolitografía y que está protegida dentro de un
encapsulado de plástico o cerámica. El encapsulado posee conductores
metálicos apropiados para hacer conexión entre el CI y un circuito impreso.El
desarrollo de los circuitos integrados fue posible gracias a descubrimientos
experimentales que demostraron que los semiconductor, particularmente los
transistores, pueden realizar algunas de las funciones de las válvulas de vacío.
La integración de grandes cantidades de diminutos transistores en pequeños
chips fue un enorme avance sobre el ensamblaje manual de los tubos de vacío
(válvulas) y en la fabricación de circuitos electrónicos utilizando componentes
discretos.
La capacidad de producción masiva de circuitos integrados, su confiabilidad y
la facilidad de agregarles complejidad, llevó a su estandarización,
reemplazando circuitos completos con diseños que utilizaban transistores
discretos, y además, llevando rápidamente a la obsolescencia a las válvulas o
tubos de vacío

8. 14. Características de las Familia TTL y CMOS.
Características de la familia TTL.
La familia lógica transistor-transistor ha sido una de las familias de CI más
utilizadas.
Los CI de la serie 74 estándar ofrecen una combinación de velocidad y
disipación de potencia adecuada a muchas aplicaciones. Los CI de esta serie
incluyen una amplia variedad de compuertas, flip-flops y multivibradores
monoestables así como registros de corrimiento, contadores, decodificadores,
memorias y circuitos aritméticos. La familia 74 cuenta con varias series de
dispositivos lógicos TTL(74, 74LS, 74S, etc.).
Estas series utilizan una fuente de alimentación (Vcc) con voltaje nominal de
5V. Funcionan de manera adecuada en temperaturas ambientales que van de
0° a 70°C.
Tensión de alimentación VDD=5V±(5%~10%) dependiendo de la subfamilia.
Valores lógicos. Valores lógicos en las entradas VIL=0V÷0.8V ; VIH=2V÷5V
Valores lógicos a las salidas VOL=0V÷0.4V ; V0H=2.4V÷5V
Características de la familia CMOS
Tensión de alimentación. En general nos movemos con tensiones: 1,5V÷18V.
Valores lógicos a la entrada. En general se cumple que: VIL=0÷1/3*VDD y
VIH=2/3*VDD÷VDD
Valores lógicos a la salida. En general se tiene que: VOL≈0, VOH≈VDD
Inmunidad al ruido. Representa cuanto puede variar la señal a la entrada de
una puerta sin que cambie el valor a la salida. Suele ser del orden de 0,55
VCC, es decir muy inmune al ruido.
Corrientes de entrada y salida
fant-out
Retardos
Consumo
15. Compatibilidad entre las Familia TTL y CMOS.

COMPATIBILIDAD CMOS a TTL
•Igual tensión de alimentación Si observamos los rangos de tensión de salida
de CMOS y los comparamos con los rangos de tensión de entrada de TTL,
vemos que no hay problemas por las tensiones de entrada y salida
•Distintas tensiones de Alimentacion, Se utiliza un circuito adaptador que se
alimenta con dos tensiones, una para la parte CMOS y otra para la parte TTL,
tal como el 4401, el 74109, el 4049, el74901 o el 1450
•Entradas con resistencias de pull-up y de pull-down. Se usan tanto en
tecnología CMOS como en tecnología TTL