Álgebra de Mancil tomo 2

M. O. GONZALEZ / J.D. MANCILL

Algebra
Elemental

ÍNDICE

Capituro 14

Exponentes y radicales. Números compléjos.

Exponentes enteros
Notación científica E
Operaciones con números en notación científica

Raíces
Radicalos

Exponentes fraccionarios

Leyes de los radicales

Simplificación de expresiones con radicales

Extracción de factoros da un radical

Reducción del indice’ el radical

Racionalización de, expresionás, monomias

Adición y sustracción de radicales

Reducción de radicales d'un índice común
Multiplicación de radicales

División de radicales

Otras operaciones con radicales

Raíz qudrada de un polinomio

Aplicaciones de la raíz cuadrada

Algúnas propiedades de los irra áticos. Raíz cuadrada
Le un iffacional cuadrático

Ecuaciones con radicales

Resolución de ecuaciones con radicales

Nimeres complejos

Tgusldad de números complejos

Suma de números complejos

Multiplicación de número, complejos

Forma binómica del número complejo

Cuadrado de la unidad imaginaria

Multiplicación de números complejos en forma binómica

Representación geométrica de los números complejos
Sustracción y división de números complejos
Potenciación de números complejos

Raíces de los números complejos.

Test 14

Carituro 15

Inducción matemática. Fórmula del binomio.

Método de inducción matemática
Fórmula del binomio

Triángulo de Pascal

Factoriales. Su notación

Fórmula del término general
Demostración de la förmula/del binomio
La serie del binomio

Test 15

CAríruLo 16.

Ecuaciones de segundo grado.

Definicion
Resolución de ecuaciones incompletas

Resolución/de ecuaciones de segundo grado por descomposición en
factores.

Resolución por el mátodo de completar un cuadrado perfecto
Fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones fraccionarias

Ecuaciones literales

Ecuaciones con radicales

Carácter de las raices

Resolución gráfica de las ecuaciones de segundo grado

Relaciones entre las raíces y los cooficientes

Problemas a

Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado

Sistemas cuadı

Test 16

CAPÍTULO 17.

Progresiones

Introducción
Progrosiones aritméticas

mino n-simo de una progresión aritmética
Suma de los términos de una progresión aritmética
Medios aritméticos es
Elementos de una progresión aritmética. Problemas
Progrosiones geométricas

"Término n-simo de una progresión geométrica

Suma de los términos de una progresión geomátrica

Medios geométricos

Elementos de una progresión geométricas. Projitmas
Progresiones geométricas decrecientes con infinitos términos
Progresiones armónicas

Método general de sumación

Test 17

Carituro 18

Logaritmos

Potencias de efponénte irracional

La función exponencially, = =

Cálculo cof potencias de 10

Logaritmos

La función logaritmica y su gráfico

Propiedades de los logaritmos

Catactorística y mantisa

Propiedades de la característica. Su determina
Propiedad de la mantisa

Determinación de la mantisa. Uso de las tablas
Antilogaritmos

Cologaritmo

[Operaciones con logaritmos

Cálculo de una expresión por medio de logaritmos
Aplicaciones de los logaritmos

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Conversión de logaritmos de una base a otra. Logaritmos naturalós
Escalas logaritmicas. La regla de cálculo. Papel logaritmico.
Test 18

CaríruLo 19

Elementos de Álgebra financiera,

Interés simple
Iiterés compuesto
Fórmula del interés compuesto
Valor actual de un capital
'órmulas del tanto por uno y del tiemipo,
Caso en que n no es entero
Comparación gráfica del monto én el interés simple y en el com-
puesto
Tasas equivalentes
Periodicidades. Anualidades
Tmposiciones

Amortizacio

Cariruro 20

Combinatoria. Probabilidades.

Définiciones. Principio fundamental
Permutaciones

Variaciones

Número de variaciones de orden p que se pueden formar con n
objetos

Combinaciones

Número de las combinaciones

Probabilidades

La definición clásica de la probabilidad

Inconvenientes de la definicién clásica

Frecuencias relativas. Probabilidades empíricas

xn

Phe,
Esperanza matemática 372
Probabilidad de sucesos que se excluyen mutuamente 37
Principio general de aditividad 374
Sucesos independientes y sucesos dependientes. Sucesos compuestos 1376
"Teorema de la multiplicación de las probabilidades 377
Probabilidad en pruebas repetidas > 381
Seguros y 383
Renta vitalicia inmediata y 383

Soguro temporario à. 4 388
Seguro de vida entera é 390
Capital diferido 392
Seguro dotal E 393
Test 20 397

Carirufo 21.

Elementos de Estadística .

La Estadística. Problemad) fundamentales
Distribuciones

Distribuciones de frecuencias,

Representación gráfica: de distribuciones de frecuencias
Curva de frecuoicias

Tipos fundamentales de curvas de frecuencias

Tabla cumulativa dé) frecuencias

Promedios,

Dispersión o variabilidad

Asimetr

Distribución binomial. Curva normal

Números índices

Correlación

Inferöneia estadística. Muestreo

Test 21

Repaso eumulativo. Capítulos 14-21
Repaso general. Capítulos 1-21
Test general

Respuestas a los ojercicios

CapituLo 14.

EXPONENTES Y RADICALES.
NÚMEROS COMPLEJOS.

123, Exponentes enteros,

En $$ 15 y 16 (capítulo 2) se han dadoflllg definiciones siguien-
tes para las potencias de exponente entero Positivo, cero y entero
negativo:

Como consecuencia, de estas definiciones se puede comprobaf
la validez, pará exponentes enteros cualesquiera, de las siguientes
leyes (en las cuales Se supone a +0, 50, en caso de que el
exponente correspondiente sea cero o negativo):

Leyes EJEMPLOS
Ca”)
an

=e,

(ab)" = amb"

=

Estas leyes se establecieron en el capítulo 2 únicamente para
el caso de exponentes naturales. Sin embargo, las definiciones
adoptadas para los exponentes cero y entero negativo son tales,
que las leyes anteriores se conservan válidas para exponentes
enteros cualesquiera.

Por ejemplo, la ley 123-2

any =a

subsiste cuando m=0, pues el miembro de la izquierda vale

@y=r=1

y el miembro de la derecha

Análogamente, se ve que la ley subsiste si n=0 y también
sim=n=0.

Del mismo modo se comprueba que cualquiera de las cinco
leyes se conserva cuando el exponente es negativo. Desde luego,
la definición adoptadá de exponente negativo tiene por objeto
mantener la validez de 123:3. ‚Para comprobar, por ejemplo, la
validez de 123-5, pongamos m=— p, en donde p representa
un entero positivo. El primer miembro de 123-5 da

o. 1
5 ay?
y >
y el segundo ef da
o _ Ve
a VE
¡ad pos emos son iguales
De la misma manera, se puede comprobar fácilmente la con-
servación de las leyes restantes.
Otros ejemplos.
1. -Yx(23*=(-2=

e que Por
una parte, x+y 242 fon tanto que
xy

1. Hallar el valor delas expresiones siguientes o simplificarlas, y expresar
la respuesta con exponegtes positivos

19) 334350 2) a4
39) aa 4.20), 4) (945)
s2x4
xs

br 0
aros
axe
Grass 10) 2439/0243)"
Pure 129 su
er 14) (a
16°) (abo)/arto-te)
18°)

8°)

20»)

229)

239)

259)
26°)

27)

299)
Fa

IL. Las expresiones siguientes son incorrectas. NIMES la ley que so ha
vulnerado en cada caso, y escribir correctamente el segundo miembro de
cada expresión

19) #8 2) a)? = 30

3°) 2 Scene 0,

5) m 28-38 = 64

m” 8

99) a y
» (57 1)

124. Notación ciéhtifica,

La definición de potencia con exponente entero (positivo, cero
o negativo) / permite! escribir números muy grandes o muy peque-
ños en una forma muy concisa, llamada notación científica.

Estaffiotación no solamente abrevia la expresión aritmética del
número, sing que además es muy útil en ciertos cálculos,

Se dice que un número está expresado en notación científica
cuando se escribó en la forma

A. 108

emidonde A es un número mayor o igual que 1, pero menor que
10, y k es un entero (positivo, cero o negativo),

Ejemplos. El número 327,2 expresado en notación científica
se escribe

3,272 - 10°

El número 0,000 638 se escribe
6,38 - 10

La regla para expresar un número en notación científica es
bien sencilla,

REGLA. Muévase la coma decimal a la posición: inmediata a
lá derecha de la primera cifra significativa (para/obtener un núme-
To entre 1 y 10), y multipliquese por una potent de Mlhue com.
pense la operación anterior. Esta potencia de 10 tiene ssn exponente
que es igual en valor absoluto al número de lugares que la coma
decimal ha sido movida, y es positivo si la coma decimal se ha mo-
vido a la izquierda, negativo si se ha movido ala derecha, cero si
no ha habido necesidad de moverla.

La posición de la coma decimal inmedfafáinente a la derecha
de la primera cifra significativa se, llama posición normal o
“standard” del punto decimal.

Esta notación se llama científica porque su uso se ha genera-
lizado modernamente en muchas ciencias, tales como Física, Qui-

mica, Astronomía, Biología y otras,

La velocidad de la luz, las.distancias de unas estrellas a otras,
las deudas públicas de algunos países, son cantidades que requieren
grandes números para su representación (en términos de unidades
usuales). El peso de,un átomo, la longitud de una onda luminosa,
el diámetro de_la Órbita, de un electrón, son cantidades que, por
lo contrario, fequiéren números muy pequeños para su represen-
tación.

Ejemplös 1. La distancia que la luz recorre en un año
(un año-luz) es aproximadamente \
5870 000 000 000 millas = 5,87 - 10* millas,
2. La masa de una molécula de agua es
0,000 000 000 000 000 000 000 03 gramos = 3 - 10-** gramos.

Nötese la brevedad del segundo modo de representación (no-
tación científica) en comparación con el primero (notación usual).

3. La masa de la Tierra es de 6,6. 10°: toneladas.

4. El diámetro promedio de un glóbulo rojo de la sangre
es de 8.10cm

Ejercicio 115.
1. Expresar en notación científica los siguientes números!

19) 0,0025 2) 62000 000 3% 00000767.
4) 4228 $9) 923 100 000 6%) 0,000 0004
79) La distancia de la Tierra al Sol: 149000000 km
8%) La longitud de onda de luz amarilla: 0,000 059 em

9) El diámetro de la órbita del olectrón en ellitsino de hidrógeno:
0,000 000 000 53 em

10%) Distancia de la estrella más cercóña: 4690 000 000 000 millas

119) El grueso de una película dé aceite: 0,000 000 45 cm

129) El número de átomos enCK00B, gramós de hidrógeno:
1606 000 000.000 000.000 000 000

13°) La velocidad de la lust 1209 770 000 km/s

149) La masa del #lestesn:
0,000 000 009,000 000,000 000 000 000 000 91 kg

15°) La edad de Já Tierra: 700 000 000 000 días
II. Expresar los siguientes fiómeros utilizando la notación usual:

19) 32.10: 29) 841-10 3) 61-104
4) 12:40 5%) 9,65 +10 6) 76.10
79) Velocidad múxima de crecimiento de una planta: 3-10-? mm/s
8°) ¿Múmero de Avogadro: 6,023 -10%% mot

9) la 667 -10-* dina em*/gm'

109) )Carge del electrón: 1,602-10-! culombio

125. Operaciones con números en notación científica.

No solamente la notación científica es útil por la brevedad
que introduce en la escritra de ciertos números. Su uso es tam-
bién conveniente porque con ella puede mostrarse claramente
cuáles son las cifras exactas o fidedignas, es decir, no afectadas
por los errores (de observación o de cómputo) de los números

7

grandes o pequeños. * Por otra parte, la multiplicación, elevación
a potencia y radicación con esos números se hace cómodámente
cuando se expresan en notación científica

Por ejemplo, cuando se dice que la distancia de JA Tierta, al
Sol es de 149000000 de km sólo son cifras exactas'las, tres pri-
meras 1, 4 y 9, ya que los ceros se escriben únicamente Para dar
a dichas cifras su valor relativo. Escribiendo 1,49. 10> la not
ción indica que son cifras exactas todas las que figuran en el pri-
mer factor. Si el cero que sigue al 9 fuese una Cifra exacta esto
podría fácilmente indicarse mediante la notáción ciéhtífica escri-
biendo 1,490 . 10°

Para ver cómo se opera con números expresádos en notación

científica consideremos los siguientes problemas

1. El diámetro de una molécula de hidfégeno es de 5,8 - 10-*
cm. Si fuese posible disponer consecutivamente en fila 200.000 000
de estas moléculas, ¿qué largogténdtia la fila?

tiene

58-10 10° = 116. 10° = 11,6 em

2. La estrella Polar está a una distancia aproximada de
4,40 . 10'* km de la(Tierra, ¿Cuántos años tarda la luz en llegar
de la estrella Polar a la Tierra?

Tomando 300,000 km, por segundo como velocidad de la luz,
tendríamos que en/un año la luz recorre

(3 - 10°) (365 10%)(2,4 . 10) (6 - 10)(6 - 10) = 9,46 : 10° km
Por ¡fanto, la luz de la Polar tarda
4,40. 10
946.10

hos enbllegaría la Tierra.

0,465 . 10° = 46,5

Se pueden resumir las ventajas de la notación científica en la
formal sigui

19. Brevedad de la representación de los grandes y pequeños
números.

2%. Facilidad de su lectura.

32. El exponente del 10 indica claramente el orden de magni-

tud del número.

4%. Como coeficiente de la potencia de 10 se/éscribe, solamente
un número compuesto de cifras fidedignas (exénta de errores de
observación o de cálculo).

5%. Facilidad para efectuar ciertas opéraciones.
Eyercicio 116.

Efectuar las operaciones siguientes domienzayd@ppor expresar los datos
en notación científica:

19) 43.000.000 x 6 200 000

2%) 750.000 000 x 240 000

3°) _ 0,000 006 x 0,000 000 25 .

4%) 83.000.000 : 21,400,

5°) 0,000 000 027 : 0,000 600 46%

6°) 2700 000 : 0,000001 8

79) 0,000 055: 94 0,0021

8°) El radio de la' partícula visible más pequeña es de 2,5-10-? em.
Suponiendo esféricapla partícula, ¿cuál.es su volumen?

99) Hallar, en kilómetros, la distancia de la Tierra a la estrella Alde-
barán, sabiendo due su Juz tarda 21,7 años en llegar a la Tierra.

10°) El diámelto de Saturno es de 1,2:10km. ¿Cuál es su volumen?
126. Raíces.
Si ab se dice que a es una raíz cuadrada de b;
D se dice que a es una raíz cúbica de b;
al =b se dice que a es una raíz cuarta de b;
en general, si n > 1 es un entero y se tiene
a =b

dice que a es una raíz n-sima de b.

Ejemplos.
Puesto que 4*= 16, 4 es una raíz cuadrada de 164

Puesto que (— 4)?= 16, — 4 es también unaffaiz cuadrä-
da de 16.

Puesto que (—2)"=—8, — 2 es una raiz cúbica ide — 8.

Puesto que 3'= 81, 3 es raíz cuarta dé)81; "también — 3
es raíz cuarta de 81, ya que (—3)'=81

Puesto que

3/4 es también una raíz cúbica “de 27/64.

Se observa en los ejemplos anteriores que algunos números

tienen más de una raíz msim&» Así, por ejemplo, 16 tiene dos
raíces cuadradas, + 4 y — 4.

En cambio hay otros nüffléros que no tienen ninguna raíz
real n-sima para ciertospvalores de n. Por ejemplo, —9 no
tiene raíz cuadrada real, es decir, no hay ningún número real
cuyo cuadrado sea 9, ya que el cuadrado de todo número
real diferentesde»cero “(positivo o negativo) es positivo. Asi,
(+ 3)? = 409 y (93)? = + 9, de modo que en ninguno de los
dos casos es posible obtener — 9

Más/ adelante veremos que mediante una nueva generalización
del concepto de número se puede resolver el problema de la
extracción, de raíces de índice par de los números negativos. En
el sistema de los nuevos números, llamados complejos, se demues-
tra, aunque aquí no lo haremos, que todo número complejo tiene
exactamente n raíces n-simas.

Por el momento excluiremos de nuestras consideraciones el caso
en que b es negativo y n es par, y para evitar ambigüedad en
la notación que introduciremos en el parágrafo siguiente, procede-
remos a definir el concepto de raíz principal de b en los demás
casos.

Si b tiene una raíz positiva o cero ésta es la raíz pfifici-
pal de b”.

Si b no tiene raíz positiva o cero, pero tiene una faiz Hega-
tiva, ésta será la raíz principal de b

Ejemplos.

Las raíces cuadradas de 25 5 y —6. La raíz prin-
cipal es + 5

La raíz cúbica principal de 27 es +3)
La raíz cúbica principal de — 27 es —&

La raíz principal de un número fécibe también el nombre de
raíz aritmética del número.

127. Radicales,

La raíz n-sima principal (de, b se representa por el símbolo
VE

El signo X Se llama radical.” Propiamente hablando el radi-
cal es sólo el signo WY La raya horizontal sirve para indicar
la expresión abarcada por él, radical y hace el papel de vínculo
o paréntesis. Algúnos, autores suprimen la raya cuando el radical
afecta a un monomio, Así, por ejemplo, V2a. Sin embargo, es
imprescindiblé conservarla cuando se trata de un polinomio.
Ejemplo: Ya FB +

El número nátural n se denomina índice del radical. Tam-
bién se llama corrientemente radical a la expresión WB, aunque
esta expresión, propiamente hablando, debería llamarse raíz +*
El número: b se denomina número subradical o radicando.

Cuañido n= 2, el índice no se escribe, sobrentendiéndose el
2, de modo que VB indica la raíz cuadrada de b. Un radical
de lasforma yb se dice que es un radical cuadrático.

+ Es claro que un número no p fos meimas positives diferentes, pues de
e rer i fn. Anélogamente, un número no puede tener
* Así, por ejemplo, se habla del producto de dos radicales cuando debería decirse producto
de dos races, er VA VB.

1

De acuerdo con la definición que acabamos de dar, él Sim-
bolo 49 significa +7, y no — 7, aunque — 7 sea también
una raíz de 49. Si quisiéramos indicar la raíz negativa de 49,
escribiríamos — y/ 49

Cuando se desea considerar ambas raíces o cualquiera, de las
dos raíces cuadradas de 49, es escribe + 49, y serle: más o
menos raíz cuadrada de 49

En virtud de la definición de raíz principal dada/en $ 126 se
sigue que, excepto en el caso de que n seal par y b sea negativo,

el símbolo VB tiene significado único bien definido.
Conviene notar que, en vista de lo dicho Anteriormente,
x sb x À

pero

VÁ = — asi <0

ya que ha de tomarse como faiz principal el valor positivo (obsér-
vese que si x es negativo, Xbes entonces positivo; por ejemplo,
si x 5, — x —s)

Ambos resultados pueden condensarse escribiendo

Ve = |x

en donde las rayas Verticales designan, como explicamos en $ 10,
el valor absolutopde x.) La fórmula anterior también incluye el
caso x=0

Representación ¿geométrica de la función y = Vx = |x|.

Es (instructivo construir el gráfico de esta función. He aquí
una abla que contiene algunos pares de valores y el gráfico
correspondiente.

12

Representación geométrica de un radical cuadrático.

Se demuestra en Geometría que el segmento de perpendicular
bajada desde un punto de la circunferencia a un diámetro es
medio proporcional entre los dos
segmentos en que queda, dividido
el diámetro. Asi,en.la figura se
tiene: x/m=n/x, de donde
Vmn En la fi-
gura se ha representado gráfica
mente y 3 para lo cual se tomó
m=1cm, n=3em. Resulta,
entonces:

Toa

Eyercicio 117.

I. Escribir la raíz definida por,cada uno We los radicales siguientes:

ny Var

A

109)
100

11. En TBs ejercicios siguientes se supone que los factores literales que
aparece en los radicandos representan números positivos:

19)

13

IIL. En los ejercicios siguientes los factores literales del radicando pueden
representar números reales cualesquiera:

1) yr 2) y

4) ya $) Wr

128. Exponentes fraccionarios.

La definición de potencia, que en Aritmética” elémental se
establece sólo para exponente natural, la hefnos extendido a expo-
nentes enteros cualesquiera y en $ 123 vimos que aún así se siguen
cumpliendo las leyes del cálculo con potencias;

Vamos ahora a extender todaviagmäs eb concepto de poten-
cia, definiendo las de exponente fracciondtig? ¿Qué significado
convendría atribuir a símbolos talés como a”?

Claro es que conviene adoptár ina definición que conserve, si
es posible, todas las leyes mencionadas én $ 123. En particular, si ha
de permanecer válida la ley 123-2, a saber:

Kar)"

tendremos, pata el caso

lo cual requiére ques a" se interprete como una de las raíces
cuadradas dea, esto es, Va, o bien, — Va (suponiendo
a= 0). ¿Escogiendo la raíz principal, tendríamos, por definición,

ar=ya.
Andlogamente, puesto que
(any =a
si se supone 123-2 válida, se adopta la definición
uy = Ve

en donde el radical indica, como hemos dicho en § 127, la raiz
n-sima principal de a y tiene, por consiguiente, significado único.

14

La definición anterior excluye, por el momento, el caso en
que n sea par y a negativo. Más adelante, al final del pfeseñte
capítulo, consideraremos este caso.

Para ver ahora el significado que conviene atribuir al Sím-
bolo a"/", en donde m es un entero cualquiera y n.&s un entero

positivo, supongámosle sujeto a obedecer la ley 123-2. Selobtiene
entonces

ann (an (Ya
y, Por otra parte,
a (any = Va
Por tanto, al menos provisionalmente, hasta ver si subsisten

las demás leyes del cálculo con Potenciäk, estableceremos la
definición

[2]

VT)
(48)0 = (0Y—8)° = (
(16) (no definido)

(— 1 (no definido)

Enel último ejemplo y en todos los casos en que la base

| (Sea negativa y el exponente sea una fracción reducible a otra

E fracción con denominador impar, se le puede dar un sentido a
la potencia correspondiente, adoptando la siguiente definición:

13] ein

15
en la cual se supone que k es un entero distinto de cero, y que
nes impar si la base a es negativa.

Con esta definición adicional tendríamos, en el caso del ejem-
plo 5 considerado anteriormente:

ED = (194=Y=1=-1
Nótese que la aplicación directa de las formulas [2] a este
caso conduciría a contradicción, ya que se tendría
(1D"=(Y=1)> (He definido)
y, por otra parte,
Enr=yET=yT=1
Por eso se ha excluido expresaménte def definición [2] de

exponente fraccionario el caso de base negativa y exponente con
denominador par.

Observaremos que en los démás casos, esto es, cuando la base a
es positiva o nula, o negativa con el denominador nk del expo-
nente impar, se cumple, lá) igualdád [3]; es decir, el número
am" es el mismo número a"’". En efecto, si ponemos

wy Nr =,

se obtiene
ae,

y elevando ambos miembros a la potencia k,

Resulta entonces que c es la raíz principal de indice nk de
ar; Por itanto,

Veamos ahora si la definición adoptada para el exponente
fraccionario deja subsistentes las leyes de cálculo con potencias.

128-1. (ar/nyr/a = anni

La definición adoptada para el exponente fraccionario (supone,
validez de esta ley cuando uno de los exponentes esgéñtero y.
otro es fraccionario de la forma 1/n. Verifiquemos ahora)que
ley se conserva para exponentes racionales cualesquiera.

Primer caso: a>0

Pongamos

a] (jr = [ap

Nótese que el número c definido por ésta, igualdad es positivo.
Elevando ambos miembros a la potencia "ng y aplicando la
ley para el caso en que uno de los exponentgs es entero, o los dos,

16
=)

Puesto que c es positive, será la raíz principal de indice nq
de a”; por tanto,

12]
lo que prueba qúe
(a
Segundo cáso: | a < 0

Supóñidremos # y q impares, pues el caso de exponente con
denominador par queda excluído de la definición cuando la base
es negativa, a menos que el exponente con denominador par sea
reducible una fracción más simple con denominador impar. En
éste último caso supondremos la reducción ya efectuada.

Si alguno de los números m o p es par, c resulta positivo en
[pero entonces también ha de serlo en [2], ya que entonces
mp es par y la cantidad subradical es positiva.

Si ambos números m y p son impares, c resulta negativo en
[1] y éste es el mismo signo que hay que dar a la raíz en [2],

17
puesto que entonces mp es impar y la cantidad subradicéllies
negativa,

En el caso trivial a — 0 ambos miembros de la igúaldad, se
reducen a cero,

1282. a
En efecto,
avr aa — ana/na anim = (ays (al

= (an) men = ado)

128-3.

La introducción de los exponentes, negativos hace que esta
ley no difiera esencialmente de 128.2... Se, tiene

PT — am/n-i
128-4. (ab)""

Pongamos

0]

Elevando/ ambos miembros a la potencia n y aplicando
123-4 y 128-1, $e obtiene

E E CR E ab” = (ab)"

Esffäcil ver, considerando los distintos casos que pueden presen-
tarse segúmbel signo de a y b, que c, que representa en [1] el
psóducto, de dos raíces principales, representa en [2] la raíz
dima principal de (ab)". Por tanto,

fi c= Vaby"= (ab)”/
Comparando [1] y [3] se deduce 128-4.

ss. | )

18

En efecto,

Eyercicio 118.

1. Hallar el valor de las expresiones siguientes, © simplificarlas
29) 81 En
se) 10078 Gey) 125%
8°) 64 (am

16174 — 16-97
8

367? — 36

(ys

6x")

a ail

Cara pr

(16)

an

IL. Efecttar las operaciones indicadas, dejando las respuestas con
nentes racionales:

19) q De
229 (all? + 0/2) (al? — 61/

3°) all pa

40) 14 20727074

5°) 434 Rx)

6) PO) GEN YU ya)

7) Caï/4 08/2 + 29/3 + a) (a%/4 ars)

8°) DEN)

99) eR? $b) (a) BA)

100) + an/2 + 1) Camm + a hal

U) G1): G1).

12) Gey): (By)

13°) Get y) iy)

149) (Oa— 12a/ — 2 ÿ 443) YE Ga — 2 — an)

159) (ara 9 a HART) à (all? — DV)

16) (tte CREER

179) (av — 25 (A/A — 2a-4/4 3/8 40-2804)
189) (wi — 2x Bal): (x? — 4x +2)

190) (x + ERE) GA tt
209) (am dar Of Dpantı — 2am+ (5/2) + 4am

(at 2a + 272)

fallar el valor de cada una de las expresiones siguientes para el
o de

20

ZEV 4 4x13 — 16x-1/2 HS 60,

IH De +

Ox — 8x1/) 4.529 rar, para x= — 64

wha 42 BM ESM,

para x=16

Expresar mediante exponentes fraccionarios:

we.

War

sae

129. Leyes de los radicales.

Hemos visto en el parágrafó añterior cómo las potencias de expo-
nente fraccionario se pueden definir mediante la raíz principal
(o aritmética) de la base. Esto/es, hemos definido el símbolo
ann como equivalentéa (Wa)", o bien, a Va”, en donde la
fracción m/n se supone simplificada, n positivo y se excluye el
caso en que n es par y a negativo.

En los cálculos con faices, especialmente si son complicados
o largos, es preferible la representación mediante exponentes frac-
cionarios pues,las reglas correspondientes son más fáciles de recor-
dar y de aplicar. "En casos sencillos es más frecuente la represen:
tación por radieales, Por este motivo, trataremos ahora sobre las
leyes de las operaciones con radicales *. Estas leyes de los radi-
cales Son consecuencias inmediatas de las leyes de los exponentes
y tienen, por: consiguiente, los mismos casos de excepción

En las/expresiones siguientes las letras m y p representan ente-
FOS cualesquiera y las letras n, q y k enteros positivos.

LEYES DE LOS RADICALES

= Vas.

= Como ya hemos advertido, sería más correcto, pero nada usual, decir “leyes de las opera

129.2
129-3

129-4
129-5

129-6

La ley 129-1 se deduce inmediatamente de 128-4 (para
m=1).

La ley 129-2 es otra forma de expresar la ley 128-2 sobre adi-
tividad de exponentes fraccionarios;, puesto, que

equivale a
va
es otra forma de)expresar 128-5 (para m= 1)
es equivalente a la [3] del $ 128.
no 8 otra cosa que la [2] del $ 128. En particular,
se tiene

(Way = Ÿ

de acuerdo con la definición de raíz n-sima.
Pafa justificar la 129-6 basta tener en cuenta que

DA = ant = Var,

en virtud de la definición de exponente fraccionario y de 128-1.

Ejemplos.

Eyencicio 119,
Aplicar las leyes de los radicales a los ejemplos, siguientes

19) YZV3. 22) EVE 3°)

0) YEYS > As

7) yaya > YZ
ig 5
10) Yar ya

13°)

16°)
19°)

229)

130. Simplificación de expresiones con radicales

Uná Expresión que contenga un radical de indice n se dice
que se ha reducido a su forma más simple, o que se ha simplifi-
cad, si

8), el radicando no contiene factores que sean potencias n-simas
perfectás,

b) el índice del radical no puede reducirse (por aplicación
de 129-4),

©) no hay fracciones bajo el signo radical,

d) el radical no figura en algún denominador.

23

En los parágrafos siguientes estudiaremos las operaciones que es
necesario realizar para lograr la simplificación de las expresiones
con radicales.

131. Extracción de factores de un radical,

Si el radicando contiene uno o más factores que'$éám, potenicias
de exponente igual al índice del radical, estos’ factores pueden
extraerse o “sacarse” del radical, escribiendo delante del radical
(como factores) las bases de dichas potencias.

En efecto, se tiene, aplicando 129-1,
(Qi
Ejemplos.
Va b=avb.
YA = YF .2=3 V2

500 = \/100 55 = 10/5,

VOTE UE = \/Px'y' (x Dy) = 2*x’y? \/x—2y -

Reciprocamente, invittiendo la [1] se ve que todo factor de
un radical puede introdueirse,en el radicando sin más que elevarlo
a una potencia de/exponente igual al indice del radical.

Ejemplos.

Vis.
xy
EJERCICIO 120,
T. “Simiplificar los radicales siguientes por extracción de factores:
2) VA 39
5°) 6°)
8°) 9°)

109) W375 119) 129) VE

24

139) 159) WAR

CTN
169) 5 18°)
Wey

199) 219) wabCa RE
22) YAGO". CHE 24)

25°) 7. 2
289) 2 30)

IL Introducir bajo el radical
ejemplos siguientos

19)
3°)
5°)
79)

9°)

19)

132. Reducción del índice del radical.

En virtud de la Propiedad 129-4, a

a Val
se puede“suprimif el factor común k en el índice y en el expo-
nente (del radicando.

Si elhradicando es un monomio cuyos factores tienen distintos
exponentes, se puede dividir el índice y cada uno de estos expo-
nentes ¡por ell)m.c.d. de todos ellos.

Para verlo, consideremos el radical

Vara

y supongamos n=kn', m=km', p= kp’
k=m.c.d. (n, m, p, q):

a=kqg

Resulta entonces

VERT NETTER = TY ARA,

Ejemplos.
VE = VF = V5
= VE.

VGaby = Tab

DRY = any = ar Vy

Eyercicio 121.

Simplificar los siguientes radicales por reducción Me sus índices. En los
casos en que sea posible, sacar factores fuera del radical.

2) VF 2) VA. 39
59 Aye 6)
29, Wary 9)

109) y) um, Er 129)

133. Racionalización de expresiones monomias.

Si un radical “afecta a una expresión fraccionaria o si en el
denominador desuna fracción hay algún radical, se llama raciona-
lización de la/expresión al procedimiento mediante el cual se logra
que el denominador sea racional, es decir, que no esté afectado
por radical alguno,

Ejemplos. He aquí algunos ejemplos de expresiones no racio-
3

nalizadas:
EN 5
Ve Y MES

Enjla primera expresión el radicando es fraccionario. En los
otros dos casos el denominador es irracional.

En este párrafo sólo trataremos de la racionalización de las
expresiones de los dos primeros tipos (expresiones monomias),
dejando la racionalización de expresiones con denominadores bino-

mios o polinomios para cuando tratemos sobre la división dé éxpre-
siones con radicales; v. $ 137.

Para racionalizar una expresión de la primera forma se multi-
plican ambos términos del quebrado por un número tal que con-
vierta el denominador en potencia msima perfecta (m= indice
del radical), de modo que en la fracción resultante, sea posible
extraer la raíz n-sima del denominador.

Así, en el caso de

Va

se tendría, multiplicando ambos termlinos pay 3 :

[2
3

Si se tratase de

se tendria, multiplicando ambos términos por 3*
1
[

2.9 18 wis

Se ve, pues, que siempre es posible obtener la racionalización
multiplicando ambos términos del quebrado por la potencia de
orden n— 1 del denominador. Sin embargo, en muchos casos
puede usarse como multiplicador un número más sencillo. Lo im-
portante es tener presente que lo que se busca es convertir el
denominador en potencia n-sima perfecta.

Por ejemplo, si se tratase de
VE
18
>astaría dia ambos términos del quebrado por 2:
E
Vs Te ~ V 18-2 = 36 6

En general, si el denominador se compone” de vatiés factores
basta multiplicar por los números o expresiones algebraicas que
sean necesarios para que los factores (primos) del nuevo deno-
minador tengan sus exponentes múltiplos del índice del radical.
Así, en el caso anterior 18 — 2 . 3°, luego basta multiplicar por 2

Otros ejemplos.

Sa Dey

LEY y

VIEH OV 9GFD-3G+1)

3G6—DG4+D* Y3G—DGA+D
3°(x + 1)° 3(x+1)
Las expresiones de la forma 5/\/2 y, más generalmente, de

la forma Ayy/b, en donde A puede ser una expresión racional
o irracional”, se racionalizan multiplicando numerador y deno-

+ Esti esfresiones se pueden escribir como raíz de una fracción, en virtud de 129-3, a saber

y, POr tanto, les es aplicable el procedimiento estudiado antes. Sin embargo, debe proferine
3 método que se describe’ on el texto, pues Conduce más rapidamente a un Ferultada
Simplificado.

28
minador por un radical del mismo indice que contenga los faétores
necesarios para obtener en el denominador un radicando con facto?

res cuyos exponentes sean múltiplos del índice.

Ejemplos.

UTILIDAD DE LA RACIONALIZACIÓN. Si fuésemos a calcular direc-
tamente el valor num&ricö)de 3/4/85, tendríamos que empezar por
hallar /3 con cierta aproximación, dependiente de la aproximación
con que quisiéramos el resultado; por ejemplo, tomariamos /3
con error menor qué la milésima, a saber, 2,236, y luego tendría-
mos que dividir 3 entr@)2,236, operación esta última un poco
laboriosa.

En cambió) Siscomenzásemos por racionalizar la fracción dada
obtendríamós
3V5_ 65
5 7
y bastaría multiplicar 2,236 por 6 y correr la coma un lugar a la
izquierda, operación mucho más breve que la descrita anteriormente.
En el primer caso obtendriamos* >
3 3

V5 2,236

= 1,3412

y en el segundo

345

5

6 x 2,236 ~ 1,3416.

29

Ambos resultados tienen exactas las tres primeras cifras deci-
males, de modo que 1,341 es correcto hasta las milésimas. La
cifra de las diezmilésimas es errónea en el primer cómputo, mo
así en el segundo. Las cifras verdaderas hasta las millonésimas
son las siguientes: 1,341 640

Es fácil ver que el error que se cometo calculando del primettmodo es
siempre algo mayor que el que se obtiene por el segundo método. En efecto,
si Vb=r+e, en donde r es el valor aproximado de la raíz y el error
cometido al tomar esta aproximación, se tiene en el primer caso

ve
y, en el segundo caso,
avb

b

La diferencia entre los erroréslcorrespondientes es

ae ae b—r(r+e)

GC+9 pp ap ea +e)

ya sea €>0 6 e <0. Empla discusión anterior se supone b
entero mayor que Uy äbpositivo.

Observaremos,/sin embargo, que si para efectuar el cálculo se
usan logaritmos (cap18), una regla de cálculo o una máquina
de calcular, no/häy»gran ventaja de un procedimiento sobre el otro.

Aun disponiendo/ de una simple tabla de raíces, si la aproxi-
mación que se pidé en el resultado es inferior a la aproximación
que da,läntabla, puede ser ventajoso en algunos casos hacer el
cálculo! directamente. Por ejemplo, si se trata de 417/\/850 es
más ¿breve calcular

s 417
v850

que“ nó mediante la expresión racionalizada

la cual requiere mayor número de operaciones.

30

EJERCICIO 122.

31

XL. Calcular los valores aproximados de le jones siguientes, dando
el resultado con dos cifras decimales exactas *:
s 3
1) 3°) y =
yr 5

6)

NE

134. Adición y sustracción de radicales.

Dos términos o monomios que contengan cada uno un radical
como factor se dicen semejantes Cuando estos radicales tienen el
mismo indice y el mismo radicando**, Claro es que aquí la seme-
janza de los monomios se establece atendiendo al radical que con-
tienen y prescindiendo del carácter de los demás factores.

Ejemplos.
Son semejantes 2/B,y —5 WT.

Son semejantes. Wa’b\x y 3abYxX.
No son sémejantes Ÿ 4\/2 y 62
Tampoco son sémejantes 8/2 y 8V3

Und suma algebraica de términos que contengan radicales
puede! reducirsé a un monomio siempre que se trate de términos
semejantes, pues basta entonces aplicar la propiedad distributiva,
sacando factor común el radical. Como coeficiente de la suma

+ Se. dice que un número aproximado tiene dos cifeag decimales exactas cuando el error
comido en (ón ca menor que una, cemtsima Ce 001). ¿En los. ejercicios

32

resultará la correspondiente suma algebraica de los factores exte-
riores a los radicales en los diversos términos.

Ejemplos.
1. 2454+6/5-3V5=(24+6-—3)V5=5Y8

2. aVE—bV¥+eV¥=(a—b +0) Me

La suma algebraica de términos no semejantes solamente

puede ser indicada.

Ejemplos.

1. 7VT+3/5-4yM

2aV5x+ 3bW7y .

A veces sucede que términos que no parecen semejantes pue-
den reducirse a otros que lo son, si) previamente se reducen los
radicales que contienen a su forma más simple, por extracción de
factores del radical, ¿reducción del índice o por racionalización
(ver $$ 131, 132 y 133).

Ejemplos.

1 318 ~2y8 + 4 V50 =
=8VF2—2VT2+4 V2 =
S6V2—6V2+20V2 =
=20 2.

5 5 = i
AVS — 2135 + 3/600 — 157/37 =

Eyerctcio 123.

Efectuar las sumas algebr

23 VAT.

SYI3YE+IVZ.

CRE LEON LES S/T.
235748 NT.
7 Va + 2 VE 4 fs VB
4-3 04 VB.

NN
IAB + 2 9/108 + 2/50
2 V5 ya? 7

Yi + Vals 2 YH

4.2 AD 3 \/500 + 4 1/5006

Pia = 4 Fa

23.2. 38
VER Dm

135. Reducción de radicales a un índice común.

Teniendo en cuenta que, según 129-4,

es fácil reducir varios radicales a otros que tengan el mismo índice,
pues basta multiplicar cada índice y el exponenté de la, cantidad
subradical por un número apropiado.

Por ejemplo, si se trata de los radicales
Vit y WF
basta multiplicar el índice del primer radical yl exponente del
número subradical por 3, y los del segundo radical por 2. Así se
obtiene
VE y
que son dos radicales de indicou6y

En general, es conveniete adoptar como. índice común el
m.c.m. de los índices de los, radicales dados, para lo cual se utiliza
en cada uno como múltiplicador k el cociente de dicho m.c.m.
por el índice correspondiente,

Ejemplo. Reducié 168, radicales

WT, Ss
a otros del mismo índice,

Puesto que mic. (3, 4, 6)=12, para el primer radical
utilizaremos elyfnultiplicador 12 4, para el segundo radical
el multiplicador 12:4 — 3 y para el tercer radical el multipli-
cador 1062.

Résultan así los radicales

VF, VF y VE
los» cualeg tienen el mismo índice (y es el menor índice común
posible).

Otro método. Utilizando la notación del exponente fracciona-
rio los radicales dados se escriben :

as

36

y el problema se reduce ahora a transformar las fraccionesi/l/3,
1/4 y 5/6 en otras de denominador común. Ello requiere el
mismo cálculo desarrollado arriba, obteniéndose las fracciones
equivalentes
4 10
2 m
y resultan las potencias

esto es,

VT, VS y VB
que es el mismo resultado obtenido/áhtes

El proceso descrito puede resumirse, brevemente a

*=y5

YE == 27

Evidentemente, es preferible el primer método estudiado pues
se ahorran los pasos, intermedios.

La reducción "de radicales a un índice común es de utilidad
en la multiplicación ly, división de expresiones con radicales, como
veremos en log pártalos siguientes.

También se aplica esta operación cuando se trata de compa-
rar numéricamente varios radicales sin hacer las correspondientes
extrácciones de raíces,

Ejemplo. ¿Disponer los radicales \/F, WS y Yen orden cre-
ciente, Se tiene

Por tanto, el orden pedido es
VT< WT< YS.

EJERCICIO 124.
1. Reducir los radicales de cada grupo a otros con el mismo indice:
2)
>
5°)
m)
9)

10°)

IL. Disponer los radicales siguientes en órden numérico creciente

1) YE WF.

136. Multiplicación de radicales.

136-1. Múltiplicación de expresiones monomias.

Primer caso, Si/las expresiones dadas contienen radicales del
mismo índice, se halla el producto de los coeficientes en la forma
usual y para multiplicar los radicales se tiene en cuenta que el
produéto de dos radicales del mismo índice es otro radical de igual
indice cuyo, radicando es el producto de los radicandos de los fac-
toresiesto es:

en virtud de 129-1

Ejemplos.
1. 4y3.5y7=20y0.

2. abV/x- (—3ab*) Vy = — 3a°b* Vxy
3. — 25.425 = — 8 W125 = — 40

Segundo caso. Si los radicales contenidos en las (exprésiones
monomias dadas tienen índice diferente, es preciso réducirlos pri-
mero a otros con el mismo índice (ver $ 135). Una vez hecho
esto se procede como en el primer caso.

Ejemplos.

1. 245.6y2=2Y5.6y
2. aV2x.3bW8x =a Yi.
Gabx W2x

Siempre que sea posible debe feducirse 1# respuesta a su forma
más simple, como hemos hecho en el segundo de los ejemplos
anteriores.

136-2. Multiplicación de expresiones polinómicas.

Para multiplicar /dóg expresiones polinómicas que contengan
radicales se procede como'en la, multiplicación de dos polinomios
cualesquiera (cap. S)incuidando solamente de multiplicar los radi-
cales de acuerdo don las)reglas dadas más arriba, 136-1. Es con-
veniente expresaf el resultado en su forma más reducida posible.

Ejemplos:

1. Multiplicar) 8 V3—5VZ por 3V3+ 4 VI.
Digpondremos la operación en la forma siguiente:
SVT SVT
3V3+ 4V2
AT 158
+32 46-20 VF
24 .3-17/0-20-2
=32— 1148

(Vx +2 + Vx—2)?.
Aplicando el producto notable 64-3 (cuadrado de una suma)
tendremos:
ARE 1x2)" = (Vx+F2)* + 2 /x42 + 1x2 $ (Yx-2Y
VGFDG 2) +00

Nótese que la expresión cuyo cuadrado se pide tiene solamente
dos términos: \/x+2 forma el primer término y \/x—2 el
segundo término.

Esercicio 125.
Efectuar las siguientes multiplicaciones indicadas:
1) AVE 29)
3) 45-26
OVENC
VEVIVE
VAE Ma 109)
2746 129)
VIVE: 140)
EN LER; 16°)
VAN 18°)
VIVE 209)
C+YDO—VD 22) GQ/3— VS T4 VB)

BVT-7VD BVT+7V3)

GVR+3 VB (2\fa— 3/5)
ays-au 3-10)
a- ya:

AyT-4DOy5

+ VO

ETES VD GTS V5

A2 V5:

VAT VE VE VS
VE-2 VD 7 + 5-56)

AVR +4V 2V5 49/5

ays- V5 +36 VF4+2VE 420

7,
+ VB —2/5) 0 1/7 + BESO

ES
3

CA

WEB — 2 T8 + 5 A)
YF YH + VP PAD,
CE +H By Jao)

ie

VER VIS [TB
FB [GRES
VEFIVE (EEE
VENT. ENT
(5421/33 — 10(5 42/3) +13
(43 1/3)? +6(4 3/3) +8

Hallar el valor de x?—6x+7 para x

53°)
549)
55%) Hallar el valor de x? +6x—19 para x=y

137. División de radicales.
137-1. División de expresiones monomias.

Primer caso. Si las expresiones dadas cóntienen, radicales del
mismo indice, se dividen los coeficientes de los radicales en la
forma usual y para dividir los radicales se apliéa la ley 127-
la saber:

_ Fe
UE ar

esto es, el cociente de dos radicales del mismo índice es un radi-
cal de igual índice cuyopradicando,es el cociente de las cantidades

subradicales del dividendo y del divisor. Si es necesario se racio-
naliza el resultado, teniendo émcuénta lo estudiado en $ 133

También se pued cómenzar por efectuar la racionalización,
multiplicando numerador y denominador por un radical apropiado
(factor racionalizante)», Véase más abajo el ejemplo 3.

Ejemplos.

vi
/16, [10 EN
eV, u vs

2 VTS y 15

35

En este ejemplo conviene comenzar por la racionalización,
multiplicando ambos términos de la fracción por \/6:

3V3 _3VEVE _ 3/3 v5
ve VE
BaibVry _ 4a
Gab Var 3b
Segundo caso. Si las expresiones monomids dadas contienen

radicales de índice diferente, se comienza por, convertir estos radi-
cales en otros con el mismo indice y una vez hecho esto se

procede como en el caso anterior.

Ejemplos.

Otra manera de proceder consiste en sustituir el cálculo con
radicales por¿ún cálculo con potencias de exponente fraccionario.

Así, en el ejemplo último tendríamos:

137-2. División de expresiones polinömicas,

El cociente de dos expresiones polinémicas cuyos términos con-
tengan radicales puede expresarse en forma entera, con respecto
a los radicales, mediante la racionalización del denominador.

Si el denominador de la fracción es de la forma Ya + vB,

43
se puede racionalizar multiplicando ambos términos de la fráéción
por Va— VB, puesto que
(Va + VB) (ya — vB) =a—b
Si el denominador fuese de la forma \/a—./B s@)racio-

nalizaría entonces multiplicando por la suma Ya YB. Cada
una de estas expresiones

Va+ VE y Va—NB

se llama conjugada de la otra. Para racionalizar un) denominador
de una de estas formas basta, pues, multiplicar ambos términos de
la fracción por su expresión conjugada,

La discusión anterior se aplica igualmente/al caso en que una
de las cantidades subfadicales sea cuadrado perfecto y el binomio
se reduzca a una de las formas,

VT — VS
Multiplicando ambos términos de la fraccién por
se tiene
20/7 + V3) 2(VT + V3)
(VT- V3I)V7T + V3) 7-3

1
3V + V3).

a-VDa-1V7 1-2y2
(+ V2) — V2) 1-2

3-1YT vi-s

Si el denominador es un trinomio de la fofma a +

+V6, se pueden agrupar sus dos primeros tÉfiminos]Y escribirlo
; multiplicando por laf'expresión conjugada
se obtiene

VB) + Val (Va + VB) — Ven=
= (Va+ VB)? — = a 42 Vab+b— c=
(a+b—c) Ma,

expresión que contiene todaylahun fádical. Si a+b—c%0
esta expresión se racionaliga multiplicando por su conjugada;
si a+b—c=0 basta multiplicarla, por \/ab para raciona-
lizarla.

Ejemplos.
4(V2 + V3+V5)
V2+ EM (v2+ v3— VS (124 V3+ VS)
AVENA _ A+ VS + Vs)
“iy 5 7
2Q7+ V3 + VS) VE
ES

1 cr
=F 37+ V30).

-VE+YT _ A= VE+ VD + VE VD
+4V5=V7 — (1+V5-VDU+vV5+vV7)
34+2VT B+2VDQVE+1)
2V5-1 [CAVE 1)(2V5 +1)

346542 V7+ 44/35
20-1

Fp B46 VE+2 VT+ 4 VB).

El procedimiento estudiado anteriormente se puede extender
de una manera evidente a denominadores polinómicos conimás de
tres términos que contengan radicales. Estas expresiones se presen-
tan muy raras veces por lo que no nos ocuparemos de,ellas.

Por último consideraremos denominadoreg binomiös que conten-
gan radicales cúbicos, es decir, denominadores de la forma

Vax,
Puesto que
(Ya + WB) Wi — ab Py) = a+b,
CPE YE) (REE VOB WE) = a —b,
se ve que el factor racionalizante)de,
Va — Yab+ YE
y el de dd és
Wak + Wab + We
Ejemplos
1 YT YB + VIE
WW LT + VD
VB + 2 V7

5-2

En general, se puede demostrar que toda expresión algebraica entera que
contenga solamente radicales simples, esto es, radicales cuyas cantidades subra-

46

dicales sean racionales, admite un factor racionalizante. Por tanto, toda,expre-
sión irracional de la forma A/B en la cual B sólo contiene radicales simplespse
puede reducir a una expresión equivalente pero con denominador racional.
multiplicando A y B por el factor racionalizante de B. En la mayoría de
los casos se puedo evitar mucho trabajo innecesario al operar con expresiones
irracionales si primero se racionalizan los denominadores.

EyERcICIO 126,
Efectuar las siguientes operaciones indicadas
19)

39)

373 5 WTS

VA ET
VAT
VE: V3

48

138. Otras operaciones con radicales,

La elevación a potencia y la extracción de raíces de radicales

se realiza teniendo en cuenta las propiedades 129-5 y"129-6 a
saber:

Way

La primera propiedad nos dice que pata elevár,a potenci
radical basta elevar a dicha potencia la expresión subradical;
segunda, que extraer una raíz de otra raíz equivale a extraer
una sola raíz cuyo índice es el producto de Jos indices de las raíces
consideradas.

En casos muy complejos en que figuren varias operaciones su-

perpuestas es preferible expresar los, radicales como potencias de
exponente fraccionario.

Ejemplos.

Eyercicio 127,

Efectuar las siguientes operaciones indicadas. Expresar los resultados en
su forma más/simple:

109) yaya

ue) VY 129 y/2y2
139) 19) (V/Y yan.

15°)

139. Raíz cuadrada de un polinomio,

139-1. Puesto que
(a+b)? =a? + 2ab +B)

una raíz cuadrada de un trinomio de la forma a’ + 2ab + b*
es a+b’, Esta raíz puede hallarse sistématfeamente, por un pro-
cedimiento extensible a polinomios de más de“tres términos, de la
siguiente manera:

El primer término a de la/raíz es la raíz cuadrada del primer
término del trinomio dado, Si, se resta a’ de dicho trinomio
queda 2ab + b°, y sefyeíque éliysegundo término b de la raíz

puede ser hallado dividiendo el primer término de este resto, o

sea 2ab, por el duplo del)término ya determinado, esto es:
2ab/2a=b. Además, puesto que

Ca +b)b= 2ab
si el segundo término de'la raíz se añade al duplo del primero y
el resultado sé multiplica por dicho segundo término, se obtendrá

2ab + bi, lo cúal restado del primer resto parcial da cero, lo
que indica_que elstfinomio dado es cuadrado perfecto.

El conjunto: de estas operaciones se dispone en la forma
siguiente:

8 Ida Fais que en todo caso puedo ser hallada ineediatamente, sin más que cam

Ejemplo.

6xy + 9y"]x + 3y
(2x + 3y) Gy) ©

Oxy + 9y'
+ 6xy + 9y*
0 |

Consideremos ahora un polinomio P(x)» ordenado según las
potencias descendentes de x, y supongamos que a, 6, c sean los
términos de su raíz cuadrada, también (ordenados según la
tencias descendentes de x. El problema desiällar la raíz
drada de P(x) consiste en la determinación de dichos términos
a, b, c. Puesto que E

PG)= (a+ b + c)° = (a “byt 2(a+ b)e
aia Db)b + [2(a + b) + ee

se ve que puede procederse en esté caso del mismo modo que
antes, es decir, utilizando, la Siguiente

REGLA GENERAL: El primer término a de la raíz es la raíz cua-
drada del primer término del' polinomio dado.

El segundo término Byde la raíz se encuentra dividiendo el
primer término de lo que queda después de suprimir a® (primer
resto parcial) por el duplo de la raíz hallada,

Una vez determinado b se forma la expresión (2a+b)b y

se resta del primer resto parcial, obteniéndose el segundo resto
parcial,

El término, de mayor grado en el segundo resto parcial deberá
ser dguel a 2 ac; por tanto, el tercer término c de la raíz se hallará
dividiendo(el primer término del segundo resto parcial por 2a
(duplo,del primer término de la raíz)

Si al duplo de la raíz hallada anteriormente se le suma c y
eljresultado se multiplica por c, la expresión obtenida, a saber,
[2(a + b) + elo restada del segundo resto parcial, dará el tercer
resto parcial, y así sucesivamente, hasta que se encuentre un resto
de grado menor que a

Si se llega a un resto cero el polinomio dado es cuadrado per-

51
fecto. Si el último resto no es cero, el polinomio dado se pödrd
expresar en la forma
P=(a+b+ Y+R,
en donde R es un resto de grado menor que el de a
Ejemplos.
1. Hallar la raíz cuadrada de 4x'—12x'425x' —24x+ 16.
La operación se dispone en la forma siguiénte.
a+ bic
Vax 12x F16 | 2x:—3x+4
APP
6 =(2a+b)b

6x4) (4)
[2(a+b)+eJe

La raíz cuadrada pedida és, pues, 2x’ — 3x + 4

2. Hallar la raíz euadfada de x’ + 2x
21x +4

En este casogse, tiené:

Se ve que el polinomio dado no es un cuadrado perfecto. Se le
puede expresar en la forma

(04 — 4x4 3)* + (3x—5)

52

La regla dada es también aplicable a la extracción d8>raíz
cuadrada de polinomios que contengan más de una letra, En este
caso es preciso escoger una de las letras como letra ofdenatriz y
si el polinomio dado no es cuadrado perfecto, su descomposición
en un cuadrado y un residuo, en la forma P = Pf -HR, depen-
derá, en general, de la letra ordenatriz que se escoja. La'regla es
también aplicable a polinomios que contengan/poteneias de expo-
nente negativo de la letra ordenatriz. Ambos (casos quedarán ilus-
trados con el siguiente

Ejemplo.

Hallar la raíz cuadrada de
12x 59 3y

Sy | 25" 5% 4x

Ordenando el polinomio(Según» las potencias descendentes de
x, asaber: x’, x, x", 1/x°, se tiene:

\ [= 12x
y Sy
4x

y

Por consiguiente, la raíz cuadrada del polinomio dado es

2x,3, y

FT SO
En la práctica no suelen escribirse todos los términos de los

53

restos parciales sucesivos sino que se van bajando términos a me-
dida que se necesitan,

139-2, La misma regla se puede aplicar a la obtención, de

raíces cuadradas aproximadas, con un cierto número de, términos,
de expresiones algebraicas que no sean cuadrados perfectos,

Ejemplos.

1. Hallar los dos primeros términos dela Taiz cuadrada
aproximada de al +b.

Se tiene

Por tanto,

y aproximadamente,

Esta regla para extraer la raíz cuadrada aproximadamente era
conocida: de los. babilonios y posteriormente fué utilizada por los
mátemáticos griegos (Arquímedes, Herón).

Ejemplo numérico.

3 625
ja

2. Hallar los tres primeros términos de la raíz cuadrada
aproximada de I+x

Se tiene

VIFx

Esta reglapuede Séryir para hallar aproximadamente las raíces
cuadradas dé números próximos a 1. Por ejemplo,

Gi + 0,005 = 1,095

139-3. La) regla dada en Aritmética para extraer la raíz cua-
drada de un número de varias cifras es una consecuencia de la
regla estudiada anteriormente para obtener la raíz cuadrada de
un polinomio,

He aqui la operación de extracción de la raíz cuadrada del
"número 273 529 cuya raíz cuadrada 523 aparece descompuesta en
forma polinómica, a saber, 500 + 20 + 3. A la derecha se presen-
ta la misma operación en forma algo más abreviada suprimiendo
ceros innecesarios y utilizando el valor relativo de las cifras, tal
como usualmente se efectúa

a+b+
500-+20+
(100020)20°
[710004404333
|

LJERCICIO 128.

1. Hallar la raíz cuadrada de los polinomios siguientés:

19) at — 2ab + b
2) x + day + dy:
30) 9a? + 12ab + 48%
49) 25x! — 30xy + Oy
5) xi— 4x8 + 6x2 — 4x +
6°) xt + 6x + 131 iad
79) 31a? — 10a + at +9802
) dy! — 165 + 20/26 +
9) 9x! — Gay 400: y" Bey" + Oy!
109) 44x29? + 167 E BO y + 25x! + 16xy
119) 061 fe pas $420" — 300
12°) 36at (ABA + de + 10a + 4
139) PEGA ALO + 4x — 5x? — 2x4 1
149) 987 x? A2 — 2622 + x + 9 — 30x+ 14x!
150) as, 12x 15% + x° + 40

16%) 4x

17) x

9x:
189)
3

56
á 1 1
199) a
Qe 4 à a
200) 25 —10x-1 + 12x-5 + 26x-% 4 980 — Bt at?
IL. Hallar los tres primeros términos de la raíz aproximada de cada Una
de las expresiones siguientes:
19) 142% 2) ab y 24
49) 1—2y 5°) “tar 6) 1

I. Hallar las raíces cuadradas de los siguientés números
19) 322624 2%) 690561 39) 345,96
4) 0,110 889 5%) 626,5009 60) 82,0836 .

140. Aplicaciones de la raíz cuadrada.

La importancia de los radiéáles:se debe en parte a la relación
que existe entre los lados dé un triángulo rectángulo.

Como se sabe, triángilo réctángulo es aquél que tiene un
ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman
catetos (en la figura AB y
AC); el lado opuesto al
ángulo recto se denomina
hipotenusa.

Según el teoféma de Pi:
tágoras (siglo Via. C,) el
área del cuadtado/ cons-
truido sobre la hipotenusa
es igual a la suma de las
áreas, de los cuadrados
construidos sobre los cate- |
tos. La figura ilustra el E
teorema en el)caso AB

= 3, AC — # y BC=

Se tiene efectivamente,

Sa 443

25

En general, si se supone AB=c, AC=b, BC =a, résulta
#=b+e

que es la expresión algebraica del teorema de Pitágoras! De aquí
se deduce que

1) La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada delalSuma de los
rados de los catetos, a saber

[63] a=vb’+e

2) Cada cateto es igual a la rar cuadfada dela dilerencia
entre el cuadrado de la hipotenusa y él cuadrado Al otro cateto
Esto e

Dl bev T =
grande de casos, tanto en matemática pura como en matemática
aplicada.

Ejemplos. 1. En el triángulo rectángulo ABC (A = 90°) se
tiene b= 4, c= 6. Hallar a
Aplicando la fórmula [1]bse encuentra
a = VPF FUISTE = /87=2 VIE
En el triángúlo rectángulo ABC (A = 90°) se tiene a = 15,
10. Hallar c

Aplicando da segünda de las fórmulas [2] resulta
Vis 230: = V7 TO

3. Hällär la altura de un triángulo
equilátero de lado igual a 8cm

EA undtriängulo equilätero los tres la-
dos:son, iguales y la altura h divide la base
ef dos segmentos iguales. Puesto que la
altura forma dos triángulos rectángulos
iguales/de los cuales h es un cateto común,
se tiene, utilizando uno cualquiera de di-

4. Hallar la longitud de la diagonal de
un cuadrado que tiene 3m de lado,
Se ve que la diagonal es lafhipotenusa
de un triángulo rectángulo de catetos igua-
3 m lesa 3m. Por tanto,

d=vFFS=
5. Calcular la alfura BD
triángulo A B C cuyos lados son AB = 9 m,
BC = 12my CAS15m.
Pongamos AD = x. Puesto que el lado AC completo vale 15 m,
tendremos entonces DC = 15 — x

8

A D ©
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABD se obtiene
[3] Ht = 9 — x
y aplicándoló al triángulo BCD:
[4] f= 12? — (15 — x}.

Por élcarácter transitivo de la igualdad, de [3] y [4] se
deduce:

[5] B1— x = 144 — (15 — x)

Esta ecuación nos permitirá calcular x. Una vez obtenido x
podremos hallar A fácilmente. Resolviendo la ecuación [5] ten-
diremos:

81 — x’ = 144 — 225 + 30x — x
30x 162
x=54.

Llevando este valor de x a la [3] resulta

= VTP VSTA = 72 m
Cálculo rápido de hipotenusas.
Cuando el cateto c es pequeño en comparación con by se

puede calcular aproximadamente la hipotenusa afutilizändo una
fórmula aproximada del tipo de las estudiadas en 139-2,

Una fórmula práctica es la siguiente:

PTE ©
a= VETO ~b +e,

es decir: para obtener la hipotenusa (aproximadamente) agréguese
al cateto mayor el cuadrado del cateto menor liidido por el duplo
del mayor.

El error de esta aproximación es, menor, que c'/8b’.

Ejemplo. Una rampa subg 0,5 m en 4m horizontales. ¿Cuál
es su longitud?

Aplicando la fórmula anterior se tiene inmediatamente

a 4,03 m

Eyercicio 129,

En los problémas 19 a 6% se supone que a es la hipotenusa y b, €
los catetos de uf triánguló rectángulo.

19) Calcul dado b = c
2°) iletlan a dados

394 Calcular à dados

49) Calkulär b dados

5°) Calcular'o dados

6%) Goleular e dados a=18 y b=12

PY") Hattar 1a altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 m
89) Hallar la altura de un triängulo equilátero cuyo lado mide 5 m
9%) Hallar la altura del triángulo equilätero cuyo lado es 1

109) Dar una fórmula para hallar el área del triángulo equilátero cuyo
lado es I

60

119) Calcular la tiagonal de un cuadrado cuyo lado tiene 15 pied
129) Calcular la diagonal de un cuadrado de lado

139) En el triángulo cuyos lados son AB=10, BC=24 y CAB30,
calcular la longitud de la altura que parte de B

149) Una rampa sube Im en 3m, ¿cuál es su longitud aproximada?
159) Un tejado cae 1,50m en 6m, ¿cuál es su lóngitud apkoximada?

169) Hallar la longitud de la diagonal de un restängulöhgde tiene 50 va-
ras de largo y 20 varas de ancho,

179) La diagonal de un rectángulo mide 181m y; un lado 10m. Há
el otro lado y el área del rectángulo

18) En un campo de juego de “baséibgll” by 90 pies de una base a
otra y el cajón del “pitcher” esta a 60 pios dol “hol ¿Qué distancia hay del
cajón del “pitcher” a la primera base?

199) Hallar el área de un triánguloyisóscelés sabiendo que sus lados igua
les miden 9 cm y el lado desigual 6m. (Comiéncese por calcular la altura
relativa al lado desigual. La altura divide este lado en dos segmentos iguales.)

20°) EI lado del pentágono regular
inscripto en una circunferencia de radio
res igual a la hipotenusa de un trián-
gulo rectángulo cuyos catetos son el lado
del hexágono y el lado del decágono re-
gular inscriptos en la misma circunforen-
cia. Sabiendo que ,=r y que I,
= (r/2)CVS—1) hallar 1,. (La nota-
ción 1, significa lado del hexágono, 1,
lado del decágono y 1, lado del penté-

ly gono.)

141. Algunas propiedades de los irracionales cuadréticos
Raíz cuadrada de un irracional cuadrätico.

14121, Un Vracional cuadrático es un número irracional definido por una
expresión reducible a la forma

atbye

donde a representa un número racional cualquiera (cero inclusive), b un

número racional distinto de cero y c un entero positivo que no es cuadrado

perfecto ni contiene factores cuadrados perfectos (es decir, supondremos el
ical reducido a su expresión más simple).

Ejemplos.

5
aa v

Demostraremos las siguientes propiedades de los irracionalós cuadráticos

con objeto de justificar el método que expondremos en 141-2 paras hallar la

raíz cuadrada de un irracional de la forma a+b VE.

1, El producto de dos irracionales cuadráticos ditérentes VE y y
(exe) es un irracional cuadr

En efecto, se tiene

VEVE= VE
lo cual es un irracional cuadrático, aunque, posiblemiéñte, no en su más
simple expresión. Es claro que el producto ce’ no puede ser un cuadrado
perfecto, pues, por hipótesis, e y c son énteros ii no contienen factores

cuadrados perfectos y, además, al menos, uno de lg) factores de c no está
contenido ene” (o viceversa).

Ejemplo.
vo. 1/30 /300=310 à

2. La suma o diterentia GS dos irracionales cuadráticos distintos 1/8 y
VE es un irracional

+ En efecto, no se puede. tener
Wer ve=r,

en donde r es un número, racional, pues elevando al cuadrado resultaría

o bien

pero estoés imposible ya que el primer miembro de esta igualdad es irracio-
nal (en virtud del teorema 1), en tanto que el segundo miembro representa
un nániero racional
3. SRE =» + VE, entonces aa y exe’
"Transponiendo términos en la igualdad supuesta se obtiene
VE-VE=a-a,

pero esto es imposible, a menos que YE- V2 —0 ya'—a=0, puesto
que de lo contrario 1/8—1/% sería irracional (en virtud del teorema 2),
en tanto que a'—a representa un númoro racional.

VE y8=0 implica c=0 y —a=0 implica a

VEL VI, y es x>y, se verifica y,

Elevando al cuadrado la igualdad dada se tiene
byé=x+2 37 +y
por tanto, en virtud del teorema anterior,
m
2 bVE=2VT
Restando la segunda igualdad de la primera se/@peuentra
a-bye=x—2 yar Hy
= (yF- VD
Extrayendo ahora la raíz cuadrada erambonfimiembros y ter
a que x>y, de modo que \/¥ —/¥ es PagMleo, resulta
VE VE VEN

cuadrada de im ierltionsl cuadrático de la forma

de obtener la raíz

n algunas aplicaciofidi(se preseñta el problema
Hs, one

cuadrada (principal) de una expresión irracional binomia de
a+bx/8. Esta raíz se puede expresar en ciertos casos en la for
ma VE + VF en donde £6 y son números racionales. Supongamos

«>

VB Ve= VE + Y

En virtud delsteoremäh4 se tendrá también

Multipk
af
y, comb según la ecuación [1], deberá tenerse
a
fesolviendo ef sistema lineal [3] [4] por adición y sustracción se obtiene
a+ Ve=Be VE
2 2
Solamente cuando la expresión a*—b%e sea un cuadrado perfecto, los
números x é y dados por las fórmulas anteriores serán racionales y el
radical doble \/a-+b Ve se podrá expresar como la suma V2. YY de

63

dos radicales simples. En algunos casos uno de los números x 6 y puede

ser un cuadrado perfecto

Ejemplo. Hallar la raíz cuadrada de 37 + 20/5.
VAT VE = Vr+ VF,
luego pi
VAT = Vi V5
Multiplicando se encuentra

12, luego
+20 Y3= y + M5

Con el mismo cálculo queda gétablecidd, que

ce problema puede der fesuelto por aplicación de las fórmulas [5] pero

es preferible resolverlo directaménte,/sin recurrir a fórmula alguno

forma expuesta arriba

Ejercicio 130.
ri) Eiiparada” de cada una de las expresiones irracionales

Hallar

142. Ecuaciones con radicales.

llaman ecuaciones con radicales aquéllas que contienen

Se
radicales.

alguna incógnita bajo uno o m:

64

Ejemplos. Son ecuaciones con radicales las siguientes:
VIFI=24yA=8.
En la primera ecuación la incógnita aparece bajo un radic:

y, además, fuera del radical. En la segunda ecuación la incógnita
figura en dos radicales diferentes,

En cambio, la ecuación
2x + VS = \/204

no cae dentro de la definición dada arriba, puesto que la incógnita
no figura en ningún radicando. Las ecuaciones de este tipo (con
radicales independientes de la incégnita)@se resuelven por las
mismas reglas estudiadas en los capituloM@/y 11, cuidando sola-
mente operar con los radicales em la forma expuesta en los
parágrafos anteriores del presente,capitülo.

Asi, en el ejemplo últinio, tendríamos

2x = 20 NES? V5 — v5,
2x = UN
x SEL

En el parägfäfo, siguiente nos ocuparemos de la resolución de
algunas ecuaciones séncillas que contienen la incógnita bajo uno
o varios radicales,

143. Resolución de ecuaciones con radicales,

Para resolver una ecuación con radicales se sigue el procedi
miento general siguiente:

19)Se rationaliza la ecuación.

29 Se resuelve la ecuación resultante.

3% Se verifica si la raíz o raíces encontradas satisfacen la
ecuación propuesta, desechando aquellas raíces que no la satisfagan
(éstas son raíces extrañas introducidas por el proceso de racio-
nalizaciön)

65

Racionalizar una ecuación con radicales es obtener, a partir
de ella, una nueva ecuación que no contenga la incógnita en nin?
gún radicando.

La racionalización se puede lograr de dos maneras:

1) Elevando una o varias veces ambos miembros de lähecua-
ción a potencias convenientes.

2) Multiplicando la ecuación por un factor facionalizante.

En el Álgebra elemental generalmente sé prefieré utilizar el
primer método.

Ejemplos.
1. Resolver la ecuación Vx F 433 =p

Para racionalizar esta ecuación basta transponer el 3 al segun-
do miembro (con objeto de aislar,el radical) y proceder entonces
a elevar al cuadrado ambos miembros.

‘Transponiendo: Var Y
Elevando al cuadrado: (Vx +4)

6 At 4=9
de donde x=5.

Verificación. Sustituyendo este valor en la ecuación de parti-
da se obtiene

V5F4—3=0,
6 3—3=0.

Por tanto, x= 5 es raíz de la ecuación propuesta

Otro método. Puesto que (A—B)(A+B)=A*—B* es
claro que un factor racionalizante de la ecuación VI F4—3=0
#3. Multiplicando por este factor se obtiene

FA 3NVIF4+3)=0
x+4-3=0,
x=5,

que es el mismo resultado hallado anteriormente.

66

Se ve que ambos métodos son equivalentes.
2. Resolver la ecuación x13 —\/xe—2=3.

Transponiendo el segundo radical al miembro de la derétha
se obtiene
VFB =3+y7=2

y elevando ahora al cuadrado (teniendo en cuenta que el segundo
miembro es un binomio):

x+13=94+6yx—2 fy 2)

Este resultado es más simple que el que sezobtendría elevando
al cuadrado la ecuación de partida. Simplificando se deduce

6=6VxF 2,
ó 1=/4%
Elevando de nuevo al cuádrado se encuentra
15x „2 ó =3
Verificación. Sustituyendo x= 3 en la ecuación dada resulta
ar BE V35-3=3
ó D—1=3

Luego x =3. es efectivamente raíz de la ecuación propuesta

3. Resolver la ebuacién W/3x F 3 as.

Elevando al cubo ambos miembros se obtiene
3x4+3=-27,

de donde — 10.

Verificación, Sustituyendo x= — 10 en la ecuación dada se
encuentra

Y=MT=-3,
lo que prueba que x=— 10 es faíz de dicha ecuación.

Hay ecuaciones con radicales que no tienen solución. Por ejemplo,
m

67

es evidentemente imposible puesto que en el primer miembro debe title,
la raíz positiva, de acuerdo con el convenio establecido en $ 127, y, por tanto,

no puede ser igual al segundo miembro que es un número negative, >

Sin embargo, si se elevan al cuadrado ambos miembros de la [1]'se
obtiene

valor que no satisface a la ecunci z x=1/fes, por tanto, una
raíz extraña introducida por la elovació

Para ver cómo, en general, esta operación puedesihtrodueinifaices extra.
ñas, consideremos una ecuación cualquiera

2 A=B
Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene
BI A=B
La ecuación [3] admite todas las rides de [27 (si [2] tiene raíces)
pero puede admitir también otras raíces. En)efecto, la ecuación [3] equi-
vale a
AP BES (ASB)(A+B) =0,
la cual se desdobla en dos ecuaciones
A-BZ0, 6 A=B
A+B=0 67 A=-B

La primera es la ecuación do partida. La segunda es una nueva ecuación.
Todo valor que haga A/=B satisfará a [3], pero también satisfaré a [3] todo
valor que haga A==B,) Estos valores que satisfacen a A=—B son las
raíces extrañas desh=B. En algunos casos mo aparecen raíces extrañas
sencillamente porque en' tales casos la ocuación asociada A=—B carece de

raíces. Asi, en bl ejemplo Y la ecuación propuesta es \/F-F4=3 y la ecua-
ón asociada es /xFA=—3, la cual no tiene raíces.

Eyercicio 181.
Refolver. las ecuaciones siguientes:

1 FB

Witla yrs.
VIFI=14 VF

Vint — yr=- Vr- via ave
VEFI+ yx VIT - Vem
VIFS + V2 VS.

2VR3= VEP2+ ERs.
VB TRS = yFF2

VIE VE + y 22 VER VE

VE HD + VD = 0

veal
vr-2_ ver
ver? vr-3

27)

289) Vx—20+ y,

299) 20 AVE
309) 6a(x+ 3a U: pra = nr

144, Números complejos.

En lo que/va del presente capítulo hemos excluido sistemáti
camente,del estudio de los radicales el caso de indice par y radi
cando negativo, o bien, las potencias de base negativa cuyo expo-
nente'es una fracción irreducible de denominador par. Es decir,
hasta ahöra/simbolos tales como

Tim vez, oy,

han'Sido exceptuados de un modo explícito de muestras considera-
ciones debido a que es imposible atribuirles significado alguno en
el sistema de los números reales (enteros, fraccionarios e irracio-
nales).

Del mismo modo que la introducción de los números negativos

69

permite efectuar la sustracción en todos los casos, dando significado
a expresiones tales como 2 — 5, y la introducción de los números
fraccionarios permite efectuar la división en todos los casos: (excep-
to cuando el divisor es cero), dando significado a expresiones tales
como 3 : 4, la introducción de nuevos números nos vá a permitir
ahora dar significación a los símbolos del tipo /=2, completando
así lo estudiado en este capítulo sobre operaciones on radicales
(o con potencias de exponente fraccionario).

Así como el número racional está definido or din par de
enteros dados en un cierto orden (llamados numerador y deno-
minador), los nuevos números que ahora vamos a introducir, lla-
mados complejos, están definidos por un par ordenado de números
reales cualesquiera.

DEFINICIÓN. Se llama númeroscomplefalá todo par (a, b)
de números reales tomados en cierto orden.

Los números reales a, b sé llaman componentes del número
complejo. El número a, que/se escribe primero, se llama primer
componente; y el número b, segundo componente.

Ejemplos. He aquí varios ejemplos de números complejos:

AY GDS (VE, 22 à G, 0)

Por convenio, los números complejos cuyos segundos compo-
nentes son nulos Se consideran equivalentes a los números reales,
y se escribe ((a, 0) Sa

Ejemplos,
(3,0)=3 , (V2,0)= V2.
En particular se tiene (0, 0)=0.

Por razones, históricas, a los números complejos no reales se
les llama imaginarios.

Ejemplos. Son imaginarios los números (3, 4), (2, —3),
(0, 5)

En especial, los números imaginarios cuyo primer componente
es nulo, como el (0, 5), se llaman imaginarios puros.

La denominación de imaginarios para designar nümeros_com-
plejos de cierto tipo no es muy apropiada pero está consagrada
por la costumbre. El principiante hará bien en atenerse estricta-
mente a la significación técnica o matemática del término imagina-
rio (número complejo cuyo segundo componente es distinto de cero)
y no intentar trasladar al terreno matemático la connotación usual
de este término (cosa ficticia, producto de la imaginación)

El número imaginario puro (0, 1) desempeña un papel im-
portante en la teoría del número complejo, Se le llama unidad
imaginaria y se acostumbra representar por la letra i, de modo
que i= (0, 1).

En el sistema de los números complejos tenemos, pues, dos
unidades que considerar, la unidad/real yala unidad imaginari
a saber:

Unidad real 1=(1, 0)

Unidad imaginaria ¡=(0, 1)

He aquí un cuadro sinóptico que presenta las distintas cate-
gorías de números qlie»se consideran en Aritmética y en Algebra
elemental:

números énteros
y naturales! negativos /

números
enteros fraccionarios
números

racionales irracionales _)

números

reales imaginarios |
números
complejos.

145. Igualdad de números complejos.

Es preciso completar la definición dada de número complejo
con las definiciones de la igualdad y de las operaciones fufidamen-
tales (suma y multiplicación)

Se dice que los números complejos (a, b) y (c, d) som igua-
les y se escribe

(a, b)=(, d)
cuando se tiene
a=c y bad

y únicamente en este caso.
Ejemplo.
(3, VZ)=(27, 2) ya que 8 = y

Puesto que la igualdad de números reales tiene los caracteres
idéntico, recíproco y transitivo (61 6-3), resultan inmediata-
mente las mismas propiedades/para los números complejos.

Cuando dos números complejos no son iguales se llaman desi-
guales y se escribe (a (BY (c,d).

Ejemplo.
(293) + (3, 2).

El ejemplo anterior. muestra que es importante tener en cuenta
el orden en quese consideran los componentes del número
complejo.

146. Suma de números complejos.

Se llama suma de dos números complejos (a, b) y (c, d)
al núniero, complejo

(a+c, b+d),

cuyos componentes resultan de sumar los componentes correspon-
dientes de los números dados, y se escribe

(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d).

La operación de hallar la suma de dos números se llama suma
o adición.

72
Ejemplos.
1. (3, 5)+@, —-7=(8+2,5
2. (4,146, —1)=(7, 0)=

El segundo ejemplo muestra que la suma de dos números ima-
ginarios puede ser un número real.

En virtud de la definición de suma, se puede escribir
(a, b)=(a, 0) + (0,6),

lo cual prueba que todo número complejo puede considerarse
como la suma de un número real y de ün_nümero imaginario
puro.

Puesto que la suma de números realésftiene las propiedades
uniforme, conmutativa y asociativa, 6-5 y 6-7, y la suma de nú-
meros complejos se define mediante la, suma de sus componentes
respectivos (que son números reales), dichas propiedades subsisten
para los números complejos. Por ejemplo, la comprobación de la
propiedad conmutativa es, inmediata, pues

(a, B)+ ke, d) =(c, d) + (a, b)

o bien

(Fo, bd) = (c+a, d+b)

equivale a
ateScta, b+d=d+b,

lo cual eg cierto, Bor cumplirse la propiedad para los números
reales.

Además, se cumple también la ley de la identidad 6-8, pues
cualquiera que sea (a, b) se tiene

(a, b) + (0, 0)=(0, 0) + (a, b)=(a, b),
y el cero es él único número que tiene esta propiedad.
Eyeñcicio 132
Efectuar las sumas
19) (3, 44 (2, 3) 2) (4, —2)+(-1, 5)

3%) (1, 6) +0, 4) 49 (5, 0) + (0, 4

9) (3, VD o 6 a (2 y
>) (3, Y DH, o P+ (2,4
à Gow i » fara) t (a9

7) (8, 10) + (8, — 10) 8) (3, 2,9 +. 1,8)
9) (VE -9 + 0/8, 5). 10) (6, VD + (A, VID
147. Multiplicación de números complejos.

Se llama producto de dos números complejos (aj,b)/y (c, d)
al nuevo número complejo

(ac— bd, ad + be)

lo cual indicaremos asi:

[1] (a, b)(c, d) = (ac— bd, ad pc)

El hecho de haber adoptado esta definición y ho otra tiene
su motivación en el propósito de Mantener para los números com-
plejos la validez de las leyes fórmales de la multiplicación. En el
$ 150, después de dar la expresión binómica de los números com-
lejos, se mostrará el origen formal de la definición anterior.

La operación de hallar el producto de dos números se lama
multiplicación.

Ejemplos.
1. (2,534) = (6 20, 8+ 15) =(— 14, 23)

2. (4, 238, 05) = (12 +1, 2-6) = (13, —4).
3. (5,.0)(2, oy (10—0, 0 +0) = (10, 0).

La niultiplicacién última equivale a 5 X 2— 10 y muestra
que la definición dada de producto de números complejos es com-
patible con la/definición usual de producto de dos números reales,
es decirs cuando, dos números reales se escriben como complejos
cón segundos componentes nulos y se multiplican de acuerdo con
la regla [1] se obtiene el mismo resultado que operando directa-
mente en el campo real *

+ Comparación: si e multiplican dos esteros como si fueran quebrados se obtiene of resultado

74

Es fácil comprobar, aunque aquí no lo haremos por brévedad,
que la multiplicación de números complejos satisface las mismas
leyes formales que la multiplicación de nümeros reales, 6-9 96-14,
a saber: uniforme, conmutativa, asociativa, distributiva, de identidad.

La unidad real continúa actuando en el campo complejo, como
elemento idéntico (llamado también módulo) cof respecto a la
multiplicación. Es decir, el número (1,0) es el único que, multi-
plicado por cualquier otro número complejo, da este,mismo número.

Veamos ahora a qué es igual el produéto del, número real m
por el número complejo (a, b). Para esto escribiremos m en la
forma compleja (m, 0) y aplicaremos la definición [1]

mía, b) = (m, 0)(a, b) = (ma 0 db, mh 0. a) = (ma, mb)
Por tanto: se obtiene el producto, de ur número real por un
número complejo multiplicando cada componente del número com-
plejo por el número real.
Ejemplos.
1. 7(a, b)=(7a, 7b),
2. —3(1, YET 6).
3. 5i=5(041) = (OS)
En virtud dela propiedad anterior se tiene que
(0, 6) = b(0, 1)=bi,
es decitsstodo número imaginario puro es el producto del segundo
componente por la unidad imaginaria i= (0,1).
EJERCICIO 1;
1. Efectuar: Jos productos siguientes:
19) 108, DG, 3) 29) (7,6)(9, 4)
Y sn, (5, 263,6)
€, 2, —3) (0, 4)(=2, 5)
2, 351,4) (6, 0)(4, 0)
(VB, DI, = 2 (0, 2)(0, 2)

II. Demostrar que el producto de dos números complejos es conmutativo,

TIL. Demostrar que si (a,b) (x,y) = (a,b) entonces x=1,y=0

148. Forma binómica del número complejo.

En $ 146 establecimos la descomposición
(a, b)=(a, 0)+(0, b),

y teniendo en cuenta que (a, 0) =a y que (0, b)=Bi, según
vimos en $ 147, resulta

(a, b)=a + bi,
que es lo que se llama forma binómica del número complejo.

Ejemplos.

1. (2,5) + si.
2. (-3, V2) =-3+ Mi:

El sumando a recibe,el mombre_de parte real del número com-
plejo; y el sumando bi se llama parte imaginaria.

149. Cuadrado de la unidad: imaginaria

Multiplicando for'sí misma la unidad imaginas
se obtiene

2 = (0,4), y= (0—1,0+0)=
esto es
1 =-1

Por tanto; el cuadrado de la unidad imaginaria es el número
real 21

Como veremos en seguida, esta propiedad permite resolver el
problema de la extracción de la raíz cuadrada de un número
negativo.

En particular, de la [1] se deduce

[2]

76

es decir, una raíz cuadrada de la unidad negativa — 1 es elfiime-
ro imaginario ¡=:(0, 1). Una segunda raíz cuadrada de —1 65,
el número (0, —1)—— à

Antiguamente se definía la unidad imaginaria ¡/por medio” de
la fórmula [2], pero esto tenía el grave inconveniente de definir
lo desconocido por lo desconocido, puesto que hastaljese mómento
VTT no había recibido significación alguna./ Simplemente se le
daba el nombre de unidad imaginaria al simbolo)misterioso \/— 1
y con esto se creía haber resuelto la dificultad. “Repudiamos
—decia Cauchy hace más de un siglo el símibolo \/
no sabemos lo que significa”.

150. Multiplicación de números complejos gfiiforma binémica

Hagamos el producto de los ntimeros complejos a+ bi y
e-+ di aplicando las reglasgüisüäles del Algebra:

Teniendo pfesente que F = — 1, el resultado anterior se reduce a
(8 — bd) + (ad + be)i

lo que nos diée que si se multiplican dos números complejos en
forma binómica/útilizando las reglas usuales del Álgebra (propie-
dades/asociativa, distributiva, etc.) y cuidando de sustituir i? por
— 1y se obtiene como producto un número complejo cuyo primer
componente es ac — bd y cuyo segundo componente es ad + be.
Estos son precisamente los componentes del producto según la
definición dada en $ 147. El cálculo anterior justifica así que para
Jos componentes del producto se escojan las combinaciones espe-
ciales ac—bd y ad-+bc y no otras cualesquiera

Byercicio 134

Efectuar los productos siguientes:

1) @+3N07-). 2) (4+D(9-20

(406449 @-(-2 438
a-na-2p. 6498-39

(6451-244) 247-30

4308 aos

151. Representación geométrica de los números complejos

Para representar geométricamente los númiéros Complejos se
hace corresponder a cada número (a, b) el punto del plano cuyas
coordenadas, referidas a un sistema de ejes, rectangulares, son
x=a, y=b. De este modo se establece una correspondencia

biunivoea (uno a uno) entre los números complejos y los puntos
del plano. El plano en donde se representan los números com-
plejos se llama plano complejo (o de Gauss).

Aulos números reales (a, 0) =a corresponden puntos sobre el
eje OX. Por este motivo al eje OX se le llama eje real o eje
de los números reales. A los números imaginarios puros (0, b) =

bi corresponden puntos sobre el eje OY. Por esto se llama
a OY eje imaginario o eje de los números imaginarios.

78

EJERCICIO 135
Representar geométricamente los números complejos siguientes
1) 3,5 2) (1,3) 3°)
4%) (3,0) 5) (2, 2) 6) 4=3, 3)
7) Si 8°) 3-2 90)
109) 224 19) —4i 129)

152. Sustraccién y división de números complejos.

La definición de las operaciones inversas es aquí la misma que
en campos más restringidos, a saber:

Diferencia de dos múmeros complejos (llamados también mi-
nuendo y. sustraendo) es otro número» comlejo cuya suma con el
sustraendo dé el minuendo.

Cociente de dos números complejos (llamados dividendo y divi-
sor) es otro número complejo cuyo'producto por el divisor dé el
dividendo,

Si (a, b) y (cd Som 108 números dados y (x, y) repre-
senta su diferencia, o, cociente; se tendrá, pues, que este número
(x, y) satisfará la condición

a CED (e, d) = (a, b)
en el primer caso, yla condición

[2] &, y)(c, d)= (a, b)
en el segundo/kaso,

La/operación de buscar la diferencia se llama sustracción y
la operación de buscar el cociente, división.

Paraliver cómo se calcula la diferencia efectuemos la opera-
ción'indicada en el primer miembro de [1]; se obtiene

(e+e, y +d)=(a, b)

En virtud de la definición de igualdad de números complejos
resulta

de donde

79

Por tanto, para hallar los componentes del número diferencia
basta restar los componentes correspondientes del minuendo y del
sustraendo.

Utilizando el signo para indicar la diferencia se tiene:

(a,b) — (c, d) =(a—c, b—d)
o bien, si se utiliza la forma binómica:
(a + bi) —(c+di)=(a—c) + (b dpi

Ejemplos.

1. (4,3)

2. (5+6)—(3—1)

Para ver mo se calcula el cociente de Ya, b) por (c, d)
se procede análogamente. Efectuando la operación indicada en el
primer miembro de [2] se obtiene

(ex — dy, di + cy)=

y aplicando la definición dé igualdad
cx Duy a,
di cy =b.

Para hallar los valores de x é y es preciso resolver el siste-
ma anterior.

El determinante del Sistema es

ce —d

eta,
dic

y los deterininantes de las incógnitas x é y son, respectivamente,

= a
=ac+bd ; E be—ad
boc db

Por tanto, resultan los valores siguientes:

ac+ bd

80

Se ve que el cociente existe siempre que c* + d° 0,
es, c%0, d#0. Por consiguiente, es preciso exceptuaf deta
división de complejos el caso en que el divisor es cero.

Utilizando el signo : o bien la raya de quebrado para indicar
el cociente de los números dados, se tiene

(ab) _[actbd bemad
BI (ar): d= E, po
Se puede obtener más fácilmente el resultado anterior multi-
plicando el dividendo y el divisor por el número (©, — d), llamado
conjugado del divisor. Esta operación tiene la ventaja de conver-
tir el divisor en el número real c* + d’ cOnslo que la división
se reduce a la multiplicación por el número real 1/(6* + d°)

Utilizando la forma binómica tendrianfagy

a+bi_ (a+bi)(c— di) "Mac+bd)+(be—ad)i _
e+di (e+di)(c—@i) N ote

act bd. be — ad

Smet”

Este resultado coincide Goh el obtenido en [3]. No es dificil
legitimar el procedimiento usado, pues si © es el cociente de los
números complejos A y Bypse tiene A/B — C, o bien, A = BC;
multiplicando por D+ 0 resulta AD=BCD=(BD)C, luego
AD/BD = Cysjes. decir; el cociente no altera porque se multi-
plique el dividendo; y el divisor por el mismo número complejo
D%0.

Ejemplo.

18 : (8 + )@ — 3i)
2-31 (2+3i)(2—3i)

EJERCICIO 136
XÍ Efectuar las sustracciones siguientes:
19) (8, 2) —(3, —5) 2)
3°) 10-04 40)
5) (1430244) 6)

IL. Efectuar las divisiones siguientes:
1) (8, 1): 4, 2) 2) @,—:4,1)
m (9,2): 4, —D- 4%) (14, — 23) : (8,2)

6)

26
2-55
ri

8)

10°)
1-2

153. Potenciaciön de nümeros complejos.

Las definiciones dadas en $ 15 y $)16 (ase también $ 123)
para las potencias de exponente entefo y base féal, se conservan sin
modificación cuando la base/es un número complejo A

Se tiene, pues, por definición:

A,
(A0)

(By 0) (n natural)

ar

Las leyes 123-1 y 123-5 subsisten cuando las bases son nüme-
ros complejos fya que ‚las definiciones son formalmente las mismas
y las leyes formáles de la multiplicación (de las cuales depende
el cálculo con potenéias) son también las mismas en ambos siste-
mas numéricos, En particular, los productos notables 64-3, 64-4,
64-9 y, 64-10 (cuadrado y cubo de una suma o diferencia) son
aplicables,al cálculo del cuadrado y cubo de un número complejo
escrito en fofma binómica. Para reducir el resultado final a la
fofma Úbinómica, se tendrá en cuenta que À 1 y que
fe PM Ci = — i

Ejemplos.

1. (342i)? = 9412144 = 9+12i-4=5+12i

2. (1-21)? = 1—8(2i)+8(25)— (25) = 1-61-12" —8F
= -1142i

82

3. (a a} 2abi+b'? = (a—b*)4+2abi

Ya hemos visto que À 1 y que i i. He aqui un
cuadro con las potencias sucesivas de i hasta i

Se nota que siendo ya i

ducen los valores encontrados

valores: 1, i, —1 y —i

Eyercicio 137

Calcular las potencias sigtientes
29)
49)
6)
7 8°)

9 ala 109)

154. Rálces de los números complejos.

La definición de raíz de un número complejo tampoco difiere
esencialmente de la dada en $ 126 para los números reales.

Sin Ses entero y se tiene
A=B,
diremos que el número complejo A es una raíz n-sima del número
complejo B.

En particular, si A? = B se dice que A es una raíz cuadrada
de B A’=B, se dice que A es una raíz cúbica de B

Ejemplos.
Puesto que (2—1)*=3— 41, una raíz cuadrada de-3— 41
es 2—i
Puesto que (—2+i)'=3—4i, —2+i es támbién raíz
cuadrada de 3—4i.

Puesto que (1+i)° , una raíz cúbica de 4 2+ 2i
es 1+i.

En cursos más avanzados se demuestrá* que todo número
complejo tiene n raíces n-simas, es decir, dos raíces cuadradas,
tres raíces cúbicas, etc.

El cálculo efectivo de las raíces (de unggierto orden de un
número complejo es una cuestión que tampóc9/abordaremos aquí.
Solamente trataremos el caso, interesante para lo que sigue, de las
raíces cuadradas de los nümeros .negativos:

Para estos números se verifica la proposición siguiente:

Todo número negativo 2a(a)>0) tiene dos raíces cuadradas
que son los números imaginarios puros +i\/a y — iva.

En efecto,

G Vay = ra)
iv (Va) = (— Da=-a

Ejemplos.

Las raíces cuádradas de — 25 son Si y —5i.
Las raíces cuadradas de — 3 son i V3 y —i V3.

Liamaremos raíz cuadrada principal de — a a la raíz + i\/a,
en donde elradical \/a indica, según la definición dada en $ 127,
la faíz principal, de a.

La raíz cuadrada principal de —a la representaremos escri-
biendo/— a, de modo que

Oy]

* Véase M. O. Gonzhuez, Complementos de Aritmética y Algebra, Cap. VI,

La otra raíz cuadrada de — a se indica escribiendo
ambas raíces se indican conjuntamente escribiéndo

Nota importante. Las leyes de los radicales: 129-1 y 129-6 no
son en general aplicables cuando las cantidades subradicales son
números negativos (o más generalmente, nümeros complejos) y
se establece además la limitación, como Jaqui hemos hecho, de
considerar solamente valores principales. Ahora bien, la defini-
ción [1] reduce el radical //— con #adicando negativo a la
expresión i Va en la cual figurayun rad/fcon radicando positivo
y a éste sí le son aplicables las leyes, de los radicales.

Para realizar operacionés con, radicales de la forma Ye
convendrá, pues, escribirlos primero en la forma i Va

Ejemplos.

1. Para efectilál el producto Y/=2/—3 se procede así:
VAV-3=31V7.¡V3=1Y0=-y6,
y no por aplicación directa de 129-1, lo cual daría
YVIV=33=VEDOD = V6,
que es-un resultado incorrecto.

2. Multiplicar: y=16/=25

Corréctamente:

V— T6 \/—25 = 4i.5i— 207 = — 20.

Incorrectamente:

V=16 V= 35 = VO 16) (= 25) =

De acuerdo con lo dicho deberá procederse asi
vis Vv NE vs ive
i —1 à

i a
—3 iv3 i

3

y no en la forma siguiente:

vis
V

EyeRcIcio 138,
1. Escribir la raíz definida por cada uno de los radicales! siguientes:
19) =F 2) y=35 3%) y=

4) y=3 =) = yan
79) V=TA v2 9) =
10) VER

IL. Efectuar las operaciones indicadas

1)

2)

7)

109)

139)

Eyercıcıo 139 (REPASO),
1. Simplificar»
19) ant; 209 2) (Bax)?

an 25 28
442 m 2

39) 2 -
4542

Fr) i
2

abe

ss

10) AIR

IL. Expresar en notación científica los siguientes números:
19) 0,000.45 29) 834.000.000
3°) 0,000 006 8 49) 1320000 000 .
IIL, Expresar los números siguientes en notación usual?

19) 81-101 2) 7,62- 10
3%) 325-104 4) 22-10

IV. Efectuar las operaciones siguientes utilizándo la notacién científica:
19) _ 82 000 000 x 0,000 27 . 2°) 8.400.000 + 0.000 000 9

V. Escribir la raíz definida por cadadano de Ags radicales siguientes.
aquellos que contienen factores literales, se supoddf)que las letras represen-
tan números positivos.

19) VS 3) VER.

RB

Hallar el valor en los Sigúléntes:

16/2 29) 125
642/ Se) 9-1/2
27-48 8) (8)

VIL. Simplificar
27/3427
ON 2)
DAS

Se) es)
3 7 ETATS
VI Efectuar las operaciones indicadas:

1) INIA

20) (at Dall 14a a4 242000)

m ASMA): (22/9 — 32/8 42)

4) (2x2 $x 9072-9 91) 1(2— x

IX. Expresar mediante exponentes fraccionarios:
yr. 2) vor
49) Ware EIBEN 727
X. Simplificar los radicales siguientes
19) 38 29) T6
s eae

199) 20°) $ 219)

N
vz

XI. Dar valores aprosiados hasta las centésimas de las expresiones
guientes:

1)

XII Efectuar lds opéraciones indicadas:

19) 344 42 — 51/9544 /T2

29) ¿8/89 /83—4 Y TIS+2 VRR
1

SD DEA Y TIS — 3 62S + 10
49) 6Y/2— 8/5047 108 + 3 1/80

9) Va

Ga+3 ya

VIVE.

XIII. Calcular con tres cifras decimales exactas el valor de la suma

Demostrar que’ ~ se reduce a gr

Efectuar y implicar:
owe vo

Ve Y Wiex

4)
Hallar la raiz cuadrada de los polinomios siguientes:
Aa 123° + 29%? — 30x 425

2pa*b? — 24a%b + Ont + bi — Bab

xt + 18x° + 652? — 120x + 100
2x

x +4x+

4 -1r

90

XVIII. Hallar los tres primeros términos de la raíz cuadrada: apróximada
de cada una de las expresiones siguientes:

19) Ari +2x 2) 4a
39) 1=x 4) 1 x

XIX. Un rectángulo tiene 36m de largo y 24m de anio: ¿Qué lngitud
tiene su diagonal?

XX. Una calle en pendiente cae 4,50 m en 60 mimedidds:orizontalmente.
¿Cuál es su longitud aproximada?

XXI. Hallar la raíz cuadrada de cada una de las siguientes expresiones
irracionales.

19) 9445 2»)
39) 18-82

XXIL Resolver las ecuaciones/iguientes
1)

39

5°)

6)

XXI. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar
19) CE 35) + (520) — (460)

(2) Q-31)

1 VS

EN

ay»

(V=2- V=9 6 y=
(6 5-8 VB: 2 /=5

AD + Ge 01)

Hallar el valor de x°—2x4+6 si x

Bip x? due =
xy

+b Dh Ta + Va=5 Va
+ WE = Ex

Expresar en notación científica:
a) El diámetro(del Universo: 2.000 000 000 años-luz,
b) EI diámetro de un HISbilo rojo: 0,000 08 cm
7
Pap?
Efectuar: (RP 1271) : (22772

Simplificar:

Simplificar:

Efectuar y simplificar:

AT- V3+ VG VIZ+2 VIE 1/30)

1-y5
19), Raciónalizar ——Y— y hallar su valor aproximado con
TE VF
fnenor que una centésima,
89) Flallar la raíz cuadrada de 9x'—12x + 28x? — 16x + 16.
9%) Resolver la ecuación

109) Efectuar

CaPiTULO 15

INDUCCION MATEMATICA
FORMULA DEL BINOMIO.

155. Método de inducción matemática

En Aritmética, Álgebra, Geometría y otf@ramas de la Mate-
mática hay ciertos teoremas y fórmulas que dependen de una
variable n que toma solamente valores enteros y positivos (valores
naturales). Para establecer la/Validez,de-estas propiedades es muy
eficaz el método llamado de (inducción completa o matemática.

Para ilustrar la aplicacién del este método consideremos las
siguientes sumas de números pares sucesivos:

P+ 4= 6=2
44+ 6=12=3
6+ 8=20=4.
8

+8+4+10=30=5

2
Da 4
ps4

Se observa que la suma de los dos primeros números pares
(positivos) es igual al producto de dos por el número siguiente a
dos (223); la suma de los tres primeros números pares es igual
a tres poryel nümero siguiente a tres (3.4); la suma de los
gúatro” primeros números pares es igual a cuatro por el número
siguiente la cuatro (4. 5), y así sucesivamente. ¿Será siempre váli-
da, está propiedad? Es decir, para cualquier número natural n,
¿es cierto que

2n=n(n +1)?

La demostracién de esta propiedad por induccién completa se
compone de dos partes:

1% parte. Consiste en comprobar que la propiedad se cum-
ple para algunos valores de n (al menos para n=1, © para
algún otro valor especial de n).

2% parte. Se supone la propiedad válida para n
demuestra que la propiedad es también válida paraín

Estos dos pasos constituyen el método de deifiostración por
inducción completa.

En virtud de la 1% parte de la demostración la, propiedad es
válida, v.gr, para n= 1, pero según la 2% parte, siendo válida
para n=1 lo será también para n=2. (En virtud de la misma
28 parte, siendo válida para n=2, lo serähpafa n=3, y asi
sucesivamente. Por tanto, la propiedad resulta válida para todo
valor de n. Figurativamente hablando, ocäkge aquí una especie
de “reacción en ca que da comienzo ón la primera parte
de la demostración y se mantiene indefinidamente, en virtud de
la segunda parte, en la cual sesestablece)la validez de la propie-
dad para k + 1 como consecuencia de su validez para el valor k

En el ejemplo considerado arriba se vió que la propiedad
24446 ¿F2n=n(n+1)

es cierta para n= 2978, 4 y 5. También es cierta para n=1
puesto que

2=1.2

Vamos ahota a efectuar la demostración que requiere la segun-
da parte del método.

Suponiendo ciefta la propiedad para n=k tendríamos:
103) 24 4464 +2k= k(k+1).

Para m= K + 1 la propiedad se escribe
BI 46 +....42k + 2(k+ 1) = (k+1)(k+2).

Hay que probar la validez de [2] a partir de la supuesta
validez de [1]. Para esto sumamos 2(k-+1) en ambos miem-
bros de [1], con objeto de completar el primer miembro de [2].
Así obtendremos:

244464... 4242 +1) =K(k+ 1) +2(k4 1),

94

y descomponiendo en factores el segundo miembro de esta, igual:
dad resulta:

2+4+46+....+2k+2(k+1)= (k+1)(k 42),

lo cual demuestra que la [2] es cierta. Esto compléta la demos-
tración por inducción matemática.

Observaremos que los dos pasos que comprefide emétodo de
inducción completa son necesarios ya que ninguno de dichos pasos
por sí solo es suficiente para establecer la validez de un teore-
ma o fórmula.

Así, por ejemplo, la igualdad
m + Lin = 6(n +1)

se cumple para n=1, n=2 y n= 3,@8o sería falso inferir
su validez para los demás valofes de n°. De hacerlo así se
realizaría una inducción incompleta © 'empírica, la cual consiste
en inferir una ley general dé la simple observación de una serie
de casos particulares. Este tipo de inducción se practica en las
ciencias experimentales pero las, leyes que de este modo se obtie-
nen sólo poseen un “cierto grado de admisibilidad que depende,
entre otras cosas, del “número de observaciones hechas y de las
comprobaciones quegse, efectúen posteriormente, estando siempre
sujetas dichas leyes a modificaciones que nuevos datos u observa-
ciones puedan introducir.

He aquí otro, ejemplo sencillisimo de la poca confianza que
inspira la induceiön, incompleta en Matemática: la desigualdad
n < 20 se cumple para n=1,n=2,n=3, etc, hasta n=19
Sin embargo, a pésar de verificarse para tantos casos particula-
res, es évidente que no se cumple para ningún otro valor particu-
lar den

En cuanto a la segunda parte del método de inducción com-
pleta; tampoco basta por sí sola. Así, por ejemplo, si se supone
cierto que 1% = 2 siendo k un cierto número natural, de ahí se
deduce, multiplicando por 1 ambos miembros, que 1 =2. Sin
embargo, la propiedad 1*=2 es evidentemente falsa para todo
valor de n. Es preciso, pues, establecer que la propiedad se
cumple al menos para un valor particular de n.

* Compruébese por sustitución directa que la igualdad no es cierta para n=4, 5, e

9%

Observaremos, por último, que la inducción empírica suele ser
empleada por los matemáticos para el descubrimiento de nuevas
propiedades que luego se demuestran por inducción completa ©
por otros métodos.

Así, en el ejercicio 140-4, se pide probar que

143+5+....+(Qn-1)=

A este resultado puede llegarse observando que

ete.
En el problema 2 la fórmulá que se pide establecer es
a(n +
14+2+3 +4 oe ED.

Esta fórmula puede derivarse del resultado
244460... +2n=n(n+1)
sin más que dividir ambos miembros por 2; a este último resul-
tado se llega inductivamente, como vimos antes.

En otros casos la investigación es algo más difícil. Por ejemplo,
¿cómo puede llegarse por inducción empírica al resultado

= tna +1)(Qn+ 1)?

Basta poner,
1+2+43+....+n,
$2434 ....40,
y comparar las sumas correspondientes para distintos valores de n
Así se obtien

Poniendo

BS na 1)(2n +1)

Convertir esta! inducción empírica en inducción completa es
el objeto del problema 8.

Comparc¿éll lector por cociente las sumas
SI

con lasesumas A, =1424+3-+.... + n para los mismos va-
lores de n ¿Qué ley general puede inducirse empíricamente?
EJERCICIO 140

Demostrar. Jos resultados siguientes aplicando el método de inducción
completa

1) 4484124... +4n= 2n0n+ 1)

1
29 142434. =D
3) 3474114... + Gn—10 Sant 1)

109)

156. Fórmula del binomio
Efectuando las multiplicaciofies indicadas por los respectivos

exponentes se obtienen los siguientes resultados:

(a+ b)=a+8

(a+b)? = a’ + 2ab Poel

(a+b) = a’ Ada + Sabi + bi.

(a+b)'=4 da b+ Gaib’ + 4ab’ +

(a + BUSCH Sab + 10a'b* + 10a*b + Sab‘ + bi

Las expresiones correspondientes a (a+ 6)’ y (a+ 5)' ya
fueron estudiadas, bajo el título de productos notables, en 64-3
y 64-9 (cap. 7)

Examinando cuidadosamente los desarrollos escritos arriba se
descubren. ciertas características comunes. Representando por n
el exponente de, (a + b) en cualquiera de los casos anteriores,
tendremos

IE primer término del desarrollo es siempre a". Asi, el
primer término de (a + b)* es a’ y el de (a +b)’ es a’. Análo-
gamente, el último término del desarrollo es siempre b*

b. Asi, por ejemplo, el se-

98

3. Los exponentes de a disminuyen en 1 cuando se pasa, de
un término al siguiente del desarrollo. Por el contrario, los expo.
nentes de van aumentando de 1 en 1. Asi, en el desarrollo de
(a + b)° los exponentes sucesivos de la a en los diversos térmi-
nos, de izquierda a derecha, son: 5, 4, 3, 2, 1, 0; y 168 exponentes
sucesivos de la b son: 0, 1, 2, 3, 4, 5

4. Si se multiplica el coeficiente de un término” cualquiera
por el exponente de a en ese término y el resultado se divide por
el número de orden del término (o bien, por el exponente de b
aumentando en 1), se obtiene el coeficiente del siguiente término
del desarrollo. Asi, por ejemplo, el 4° término de (a+ b)” es
10a*b’ y efectuando la operación indicada seytiene

10x2
4

Ss
que es el coeficiente del término que, sigue en el desarrollo, a
saber: 5ab'.

Las propiedades anterióres, que se verifican fácilmente en
cada uno de los casos particulares, considerados, sugieren la siguien-
te fórmula para cualquier valor natural de n:

n(n — 1)
1-2

(a+ by o

DD am
172.3 i
Estesresultad® constituye la fórmula del binomio o teorema
del binomio, llamada también, incorrectamente, fórmula del bino-
mio de Newton *.

Hemos obtenido la fórmula anterior por inducción empírica,
éstudiando las; propiedades de los desarrollos escritos para los pri-
meros valores de n. En el $ 160 daremos la demostración rigurosa
de,la/ fórmula, para cualquier valor natural de n, aplicando el
método de inducción completa.

méticos. Newton, en 1676, generalizó la fórmula para los casos de exponentes negativo y
Iracconario, indicando las Condiciones en que la fórmula conserva su validez para, cos caso
(lame $161). La demortraciôn general para n Complejo fue dada por Abel em 1825,

Otras propiedades interesantes del desarrollo, que convieneÿse-
ñalar, son las siguientes:

5. En cualquier término del desarrollo la suma de (los &xpo-
nentes de a y b es n. Es decir, el desarrollo es un) polinomio
homogéneo de grado n. Asi, por ejemplo, en el término" 10a'b'*
que pertenece al desarrollo de (a + b)°, se tiene 32 = 5;

6. El desarrollo contiene siempre n+ 1 férminos.) Asi, el
desarrollo de (a+ 5)‘ contiene 4 términos y el de (a + b)*
contiene 5 términos.

7. Los coeficientes de los términos equidistantes de los extre-
mos son iguales. Así, en el desarrollo de (a+ b)f el segundo té
mino tiene coeficiente 4 y el penúltimo término tiene también
coeficiente 4

Ejemplos. 1. Obtener el desarfollo:de (a + 5)”.

Aplicando la fórmula [1] tefiemos:

a’ + 7a°b +21 al? + 35 atb° + 35a°b' + 21a°b° + Tab”

En Id práctica no se indican los cálculos necesarios para deter-
minar Jos coeficientes, sino que se hallan directamente, aplicando
la regla señalada en 4 para determinarlos sucesivamente, a saber:
se multiplica el coeficiente de un término por el exponente de a
em ese término y se divide por su número de orden. Así, por
ejemplo, el coeficiente del tercer término, que es 21, multiplicado
Por 5(exporiente de a) y dividido por 3 (orden del término), da

21x 5

35,
a

que es el coeficiente del cuarto término.

100
2. Desarrollar (2x — y)”
El problema propuesto se puede escribir en la forma,

LED + ENT
y, por tanto, equivale al desarrollo de (a-+b)* con a 52x y
b=—y
Se tiene entonces
(2x—y)"= (E) + OE +
+ 20(2x)*(— y) + 15(2x CN +
+ 6(2x)(—¥)? + DI
y efectuando las operaciones indicadas resulta:
(2x—y)"=64x' —192x'y + 240x y! 2160x'y'+ 60x'y'—12xy"4 y

Obsérvese que cuando/el signo.del segundo término del, bino-
mio es — los signos del desarrollo son alternativamente positivos
y negativos.

3. Hallar los tres primeros términos del desarrollo de
a+x)

En este ca Se tien? a=1, b=x', n=50. Aplicando la
fórmula [1]/se obtiene para los tres primeros términos:

50.49

a ey,

ER soe +

lo cual sösreduce a

4. Hallar el valor de (1,03)* con tres cifras decimales exactas
Cerror < 0,001).

Puesto que (1,03)"° = (1 + 0,03)", aplicando la fórmula del
binomio y escribiendo solamente los primeros términos del des-
arrollo tendremos

101

(1,03) = (1-4 0,03)" = 1" + 1008) + 20-9 100558

10.9.8 10.9.8.7

IE copos) ET 10.00 GM
E a A 1.2.3.4 10.058

= 1 + 0,3 + 0,040 5 + 0,003 24 + 0,000 17014 +.
13439 ... ~ 1,344.

Es claro que los términos siguientes del desarrollo no influyen
ya sobre las tres primeras decimales del resultado.

Es conveniente incrementar en una unidad la última cifra
conservada cuando la cifra siguiente es,5 o mayor que 5. De este
modo el error se hace a lo sumo igual a médik unidad del orden
de la cifra conservada

Eyercicio 141
I. “Desarrollar y, si es posible) simplifica:
19) (ab) 2) az Gay
4) Gar EM a-n
7) (a+8)* 8°) xy G+ant
10) (x+y) AD), (3? + 2) (a—2b)

:

16) (2. 19 ae — 19e tyne
19) IÓ 200 (a? +b) (arq

x aye 1\r
2 N im y we

E >] ( x)
xL Hallar los cuatro primeros términos de los desarrollos de las siguientes

potencias:
19) a+) 2) yy 39) (ax)

Wore ay o m arm

P) Has. 8) CaF By) 9) Gt y)
107) (ay? 0.29%. 119) (IHR aay

102

III. Desarrollar las potencias indicadas de los trinomios siguientes. Comién-
cose por hacer x-+y =a

1) (+y—2) 2) (xty+22) 3°) x 34)
4) Cty +2)
IV. Usese la fórmula del binomio para determinar el valor de las poten-
cias siguientes [escribase, por ejemplo, 99 = 100 — 1]
19) 99: 2) 98 39) 101%
49) 102 5%) (12) 6) a
amt 8°) (9,7) 9) 12
V. En los siguientes hallar, con error mendr que 0,001, el valor de las

potencias indicadas, usando solamente los términos, del ¡desarrollo necesarios
para obtener la aproximación pedida:

19) (1,02% 2) (02€ 3) (1,0)
4) (0,99): 5%) (098) 6°) (1,001)

157. Triéngulo de Pascal

Los coeficientes que apárecen en) la fórmula del binomio, lla-
mados a veces coeficientes binomiales, pueden ser obtenidos, para

los valores sucesivos def, mediänte un ingenioso artificio llamado
triángulo de Pascal *

Las filas de números de componen el triángulo siempre
comienzan y terminan por 1. Sumando dos números consecuti
vos de una fila se obtiene'el número que figura entre ellos, pero
en la fila siguiénte:

(a+b)
b)
+b)
+ By
b)
15
by

b) 1 7 21 35 35

1 descubrió muchas propiedades interesantes de los números contenidos en el triángulo,
Ir dio y conocer en du Traie du triangle arithmétique (1668)
‘de Pascal, el ému figura en In obras de otros matemáticos, tales como Sifl (1544).
Beletier (1549) y Tartaglia (1580) é
EI triángulo aparece por primera vez en Oriente en la obra del matemático chino Chu Shi-Kié

103

El número 1 en el vértice superior se puede considerar como
el valor de (a+5)°=1. La segunda fila da los coeficientes
de (a+)! tercera fila da los coeficientes de
(a+b) =a la cuarta los de (a+ b)'=ai+
+ 3a°b + 3ab' + b", y así sucesivamente,

EJeRcIcio. Continúese la formación del triángulo, hastähobte-
ner los coeficientes de (a + b)'.
158. Factoriales. Su notación.

Se llama factorial de n al producto de todos losjnümeros natu-
rales desde 1 hasta n, ambos inclusive.

Asi, por ejemplo, el factorial de 3 es
1.2.3 387
y el factorial de 5 es
1.2.344-5 2120

Para designar abreviadamente, el factorial de n se emplea la
notación n! que se leet factorial de n.

Por tanto,
208, @—1n=
Aa — 1) 3.2.1

La notación [fi para indicar el factorial, que todavía se ve
en algunos libros’ (ingleses principalmente), ha caído en desuso.

He aquinlos valores de los primeros factoriales:
1=1

2
2.3=6

2.3.4=24
2.3.4.5 = 120
2.3.4.5.6=720

Para evitar excepciones en algunas fórmulas es conveniente
agregar la definición siguiente: 1

104

Obsérvese que en la fórmula del binomio [1] del $ 156gapare-
cen los factoriales sucesivos en los denominadores de los coefi-
cientes. Utilizando la notación que acabamos de introducir, la
fórmula del binomio se escribe:

+ AOD arte: +
1)(n
3!
n(n—1)(n—2)(n—3)
+ 41

ab +
7

EJERCICIO 142

Simplificar las expresiones siguientes:
ar 121

1) — 2 —
e 9

sm at

5) Y

8141

ey ——
171 =D!

109) Demostrar que 6!=5!=5-5!

159. Fórmula del término general.

Paraydar la demostración, en el parágrafo siguiente, de la fórmula
del binomio necesitamos escribir la expresión general de un término
cualquiera del desarrollo. Por otra parte, se presentan algunos pro-
blemas, por ejemplo, en cálculo de probabilidades, en los cuales se
requiere conocer un término particular del desarrollo, por lo que
es convenienté disponer de una fórmula que permita hallarlo rápi
damente (sin tener que escribir todos los términos que le preceden).

examinamos atentamente el desarrollo de (a +b)" escrito
al final del $ 158, y llamamos r el número de orden de un término
cualquiera, observaremos las propiedades siguientes:

1. El exponente de b es r— 1, es decir, uno menos que el

105

orden del término. Asi, por ejemplo, en el 4° término el exp02
nente de b es 3.

2. La suma de los exponentes de a y b es siempre n, de
modo que el exponente de a en el término de orden.r será
n— ( —1). Así, en el 4? término el exponente de a es n= 3.

3. El denominador del coeficiente es (r— 1)! Ejemplo: en
el 5% término el denominador es 4!

4. En el numerador de cada coeficiente“hay tantos factores
como en el denominador. Más precisamente: en el) numerador
hay r— 1 factores consecutivos decrecientes, elspfimero de los
cuales es n. Así en el 5% término, los factores del numerador
son: n(n — 1)(n— 2)(n— 3).

Obsérvese también que el últimio de, los factores-del nume-
rador es de la forma n— (r — en ip+ 2.

Si llamamos, pues T, el férmino de orden r del desarrollo
tendremos:

__n(n—1)(n~2).»,. hasta (r—1) fact.
(=p!

n(n—1) (—2)....(n—r +2)
@—1)!

El término de/orden r + 1 tiene una expresión algo más sen-
cilla, a saber;

art pr

DD (ED,

Multiplicando el numerador y el denominador por (n —r)! con
objeto de completar n! en el numerador, tendríamos:
4 Ta = >
"4 nr)
Esta férmula es aplicable aun en los casos extremos: r—0 y
n, en virtud del convenio 0! = 1, establecido en $ 158.

106

El coeficiente binomial

run

aparece en muchas cuestiones del Algebra y de otras rämas de la
Matemática, y suele representarse abreviadamentespor la notacion
! a)

Con esta notacién la fórmula [4] se éseribe:

15] Ta") ar

y la fórmula [2] se escribiría:
[6] T= SNE >.

Para la demostración que vamos a dar en el apartado siguiente
conviene notar que

\
n n nti
A)
= r r
propiedad que jústifica la Jéy de formación del triángulo de Pascal
Se tiene, efectivamente,
"E=DKRa=r PD! Tin)!
Dal (a
r+D!
Usando el símbolo X (sigma) para indicar una suma de tér-

minos, todos del mismo tipo, la fórmula del binomio se puede
escribir abreviadamente

[8] (a

La notación indica que hay que dar valores sucesivos a r,

107

desde r=0 hasta r=n, y sumar todos los términos asi bt
nidos.
Ejemplos. 1. Hallar el 6? término en el desarrollo (x — 2y)1%
En este caso se tiene
== 5 27, n
y aplicando la fórmula [1] encontramos:

15.14.13.12.11
4.3.2 1

3 003 x” (— 32 y") =— 96,096 x y".

bs

2. Hallar el término que corftiene, x‘ en el desarrollo de
(1 + 2x)"

Como en la formula de T, el segundo término del binomio
aparece elevado a la potencia r—1, en el presente caso tendre-
mos (2x)"'. Para quésel exponéñte de la x resulte igual a 4
deberá tenerse r—1=4, de donde, . Es decir, tendremos
que calcular el 5° término del desarrollo. Se obtiene asi

98-106 pao x)! = 126(16x1) = 2016.
nr = x) =.

Hallar (él término independiente de x en el desarrollo de

Si

Lo primero que se necesita determinar es el número de orden
de ese término que no contiene x

‚Eilfeste caso es a=x', b=x", 12. Como en T, apa-
réce el primer término del binomio elevado a la potencia
n=(r—1) y el segundo término a la potencia r— 1, tendre-
mos, además del coeficiente mumérico, el producto

Ge) [es

que se reduce a

108

Para que este
nente se reduzca

Por tanto, el
de x

Calculando T,

[12
Jo

Eyencıcio 143

1. Hallar el
4° término
6° término

término

término

término no contenga x se necesita que Su éxpo-
a 0, esto es,

27-3r=0 6 r=9

noveno término será el término independiente

por la fórmula [6] tendremos:

121 12. 11:10-9
ri CE E

495

de

de vn
de (14290
de (1—x)

érmino que contiene Y

término que contiene x

término que contiene: y?

20%) término que contiene 215 en (2429)
219) término medio del desarrollo de (a+ 2x)10

229) término medio del desarrollo de (Ya— /b)*

239) término independiente de x en los desarrollos de Idi potencias:
siguientes:

© (xh
o xt
D Gx-x

II. Calcular:

» | 3)

» (à

IIL Compruébese que:

» (5) -(3
> (14 °

es decir, lofféBéticientes de los términos equidistantes de los extremos son
iguales.

160,Demostración de la fórmula del binomio.

Vamos la proceder ahora a demostrar por inducción completa
la fórmula del binomio.

Como hemos visto, la fórmula se escribe:

(a+b)"

110
1) Para n=1 se tiene (a+b)! b. Es también fácil
verificar la fórmula para n=2, 3, etc.
2) Supongamos la fórmula cierta para n=k, es@@ecir,
k(k—1
(a+ Bb} = at + kab + KE à

a]
+ kab + bY,

y vamos a demostrar que la fórmula es@también/ cierta para

n=k+1, esto es
Dx

[2] (a+b) ait 4 («+ 1) ath À te .
D. urnas +0

En efecto, multiplicando ambos miembros de [1] por a+b

se obtiene:

(a+b) =
=, LO

= att + kath +°

ai Th
(e

+ bff

= al! + (K Pets +

=a

+ De + nas

que es,precisamiénte [2]
Obsérvese que

KO 1)

21

k(k—1) + 2k
21

[+=

y, que, en general,
( k

en virtud de la igualdad [7] del $ 159

161. La serie del binomio.

Si en la fórmula del binomio se pone a=1 y b=x

| obtiene

n(n—1)(n22)

Loi See
[11] at

n(n—1)(n—2)
(=D!

Si n es un entero positivo, el desarrollo de la derecha es un
volinomio que termina, como sabemos, con x") Solamente para
este caso es válida la demostración dada en el 160.

Si n es negativo o fraccionario (6 ambos wel desarrollo de la
derecha no termina (véase más abajo: Ejemplos), dando lugar a
[una suma con infinitos sumandos) que es lo que en Análisis se
llama una serie.

¿Qué sentido tiene en, este caso,la fórmula [1]? Se demuestra
ken Análisis Matemático que siempre que sea |x|<1, esto es,
—1<x<1, el miembro de,la izquierda se puede aproximar
anto como se quiera tomando un número suficientemente grande
E de términos en el desarrollo, de la derecha.

|. Este resultado “se Utiliza con frecuencia en el cálculo aproxi-
l mado de las potencias con exponente negativo o fraccionario.

(En el capítulo 18 estudiaremos otro método para resolver este
: problema).

El desäfföllo de la potencia de un binomio cualquiera (a+ b)"
puede siempre reducirse al caso considerado en [1], pues se tiene

i
:

|. do blé | a], puesto que entonces |x| < 1. Si, por lo contrario,
> la], se pone x=a/b y se escribe

(a+b)" ( + y Per).

112

Ejemplos. 1. Hallar los cuatro primeros términos del desarro-
llo de (1+x)* y utilizarlos para evaluar aproximadaménte ‘la
expresión (1-+x)? para x= 1/10.

Tenemos
CS) ;

(4x)*= 1-324 i

(—3)(—4)(— 5)
+ 28
6x? — 10x +

1— 0,3 + 0,06 — ode 0,75

2. Hallar \/28 con tres cifras decimales de aproximación
(error < 0,001)

Se comienza por expresaf el número subradical como una suma
o diferencia, uno de cuyos, términos sea el cuadrado más próximo
a 28. Se obtiene a

V2B=V23 3, VAS + 3/25) = 5(1 + 3/25)" .

Desarrollando ahora por, la serie del binomio tenemos:

= 5[1 40,06 — 0,001 8 + 0,000 108 — ....] ~ 5,292.

EJERCICIO 144

T. Escribir los cuatro primeros términos de los desarrollos de las poten-
cias siguientes:

1) 40% 2) 4x7
39) Gx) 4) a»

m G+x) m HR.
m arm m an)
9) (+292. 10) +, 1213]
19) +9), Ixl<Irl- 129) (ab), [di < jp
1
(14: 149) (8+ x)
18) (ax). 16%) (1— bx)
II. Usar los cuatro primeros términos de los desarrollos correspondientes

para dar valores aproximados de las siguientes expresiones para los valores
de x que se indica

19) VIFS para x=0,02. a e

f
T5

3°) VIF para x para x = 0,03

TIL. Utilizando los desarrollos apropiados) calcular, con 3 cifras decimales
exactas, valores aproximados de Jas expresiones siguientes
m va 29 VTT.
3) VE 49) VTT
se) (1,089 6) (1,02)-*
1

7 8°
> > A
9°) (0,98): 10°)

119) (1,06) 129)

EJERCICIO 145. (Repaso)

1. Deliostrar las igualdades siguientes aplicando el método de inducción
completa:

19)

Dy 54114174... ón D =
3) 54454454... $4.50 — 50
40) 94 45 + 189 +

5°)

14

II. Obtener el desarrollo de cada una de las potencias siguientes,
resultados reducidos a su más simple expresión

1) (2x43y) 2) (a 20)

39) m an.

59) 6) ern!

7) 4 > «ai

9°) 109) (x? fav)

19 (a+b (=) 12) a

129 (V7+ VB 109 (@

HII, Escribir los tres primeros términos de los des
siguientes:

1) Gp >» @»

39) (12%) 39) (a+ 2m

ate) 6 (1+ 29)

TV. Obtener con tres cifras decimales exactas los valores de las poten-
cias siguientes

19) (01) 2) (1,02) 39) (095)

40) (504) 59) (0.98)* 0 (303)

y. Determinar, (nedianté)ol triángulo de Pascal, los coeficientes del des-
arrollo de (a+ 5)

VI. Simplificar Tas Expresiones siguientes:

124 15

19) 29)
al 5110!

50 rn!
EN 4) D
48121

5)

Gaia
VIE) Prober que:
1) n1+(n+ 11
2) 2:4.6.8.10

VIII. Hallar el
19) 59 término de

29) 49 término de

término (Qr4+ yy
término de (x2 + x)?

79 término de (118

6° término de (ab + 230

129 término de (x— 1)

9 término de (VE+ YD

término medio de (3x — y)10

| ) À

15°) término que contiene #® en (if y2)10
à
3°) WAR?

116

TEST 15

19)

49)
decimales

59)

6°)

7)

8°)
9)

Demostrar por inducción completa que
549413 (4n41) =n(2n+3)

Desarrollar (x? + 2y)?

Hallar los cuatro primeros términos del desadfollo dB (1— x0)20

Aplicando la fórmula del binomio calcular (1,025)* con tres cifras

16! (n+ Ht
Pr

Mediante el desarreilo cortespondiente calcular con 3 cifras decima-

los exactas el valor de“1/\/1+** para x= 0,02

10°)

Calcular con error menór que 0,01: (1,05)~*

CAPÍTULO 16.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO...

162. Definiciones.

Se llaman ecuaciones algebraicas de,segundo grado o ecuaciones
cuadráticas, aquéllas que adoptan la forma tifièx

a] ax + bx Peso,

© que son reducibles a esta formia por transformaciones algebraicas.
En [1] x representa la incógnita y los coeficientes a, b, c son
constantes. Se supone a0, pues, de lo contrario, la ecuación se
reduciría a otra de primter grado (si b 4 0).

Una ecuación cuadrática se'óbtiene igualando a cero un trino-
mio (completo o incómpleto) de segundo grado.

Ejemplos. 1. Somecuationes de segundo grado las siguientes

@-3x+5=0,
4x —02=0,
x +13x=0,

26 =0

2. ¡También es de segundo grado la ecuación
Rx +1) +3)=x + 2x5,
yá que por transformaciones algebraicas se obtiene sucesivamente
62] X +48 +3x=r+2x—s,
4X 4x+5=0,

que es una ecuacién de la forma [1]. En la ecuaciön [2] los
coeficientes valen

118

Como hemos dicho, en una ecuación de segundo grado se supo-
ne siempre a 740. Cuando los coeficientes b o c, o ambOs, son
nulos la ecuación se dice incompleta. Si ningún coeficiente es cero
la ecuación se dice entonces completa.

Las ecuaciones incompletas de segundo grado se £éducen a tina
de las formas siguientes

arq o=0 (b=0) y
+bx=0 (c=0),
ax =0 (b4e=0)

En el ejemplo 1 dado más arriba, la primera ecuaci
pleta pero las tres siguientes son incompletas.

Ejercicio 146

Reducir las ecuaciones siguientes a la forma típica de una ecuación de
segundo grado y dar los valores de lößhcoeficiöntes a, b y €

19) 2x4 3x2 6x5 29) 4x—1=x(2x—3)
3°) G@+DG-—2267 4) x—DG+D

GDS GER 6

8)

11°) Ps
2m 28

163, Resolución de ecuaciones incompletas.

‚Cuand6 una ecuación de segundo grado es incompleta, sus solu-
“ciones 'o raíces se determinan fácilmente, como muestran los ejem-
plos siguientes.

Ejemplos. 1. Resolver la ecuación 9x°— 1

Si se traslada el término constante al segundo miembro, se
tiene

9=1

Despejando x’:

ol

Como demostraremos más adelafite, toda ecuación de segundo grado tiene
dos raíces. Para distinguir estas dos raíces afectaremos con subindices la letra
que designe la incógnita; y escribiremos, por ejemplo, como hicimos arriba, x,
(x subuno) para una de las faíces y x, (x subdos) para la segunda raíz.

2. Resolver la ecuación 3x4 + 2x — 0

En este caso elótérmino constante es nulo. Sacando x, factor
común, se tiene

x(3x+2)=0

Ahora bien, in producto es cero cuando es cero uno cualquiera
de sus factores. Por tanto, la ecuación anterior se satisfará en uno
cualquiefa de los casos siguientes:

3x

La primera ecuación nos muestra que la ecuación propuesta
se sátisface para x, = 0; la segunda que la ecuación propuesta se
satisface para x: = — 2/3

Obsérvese que no es lícito dividir la ecuación por x pues se
perdería la raíz x=0. En general, no debe dividirse una ecua-

120
ción por un factor que contenga la incógnita pues entonces la
ecuación obtenida no será equivalente a la propuesta.

3. Resolver la ecuación 6x=0.

Este caso no ofrece dificultad ninguna. Si se divide por 6)se

ve que la ecuación dada equiv:
la cual admite las raíces x
Las ecuaciones de segundo grado comí coeficientes

pueden admitir raíces irracionales o imaginarias,

Ejemplos. 1. 2x*—5=0

Si se resuelve esta ecuación seMéhcucdfià

ste caso las raícegpson irr
x + 16=0
Aquí ten@mos
16
16=+4i.

ión son imaginarias.

Como se ve, las raíces de esta ecu
Resolver las ecuaciones si

Y-16=0

164. Resolución de ecuaciones dessegundo grado
por descomposición en factores

Ya hemos visto quésufia eóhación incompleta de la form
ax’ + bx =0 se resuelve sacando x factor común. Cuando se
tiene una ecuación completa ded@ forma ax’ + bx +0=0 y el
trinomio que forma elfpfimer miémbro de la ecuación puede
componerse en factofes poralguno de los métodos estudiados en
el capítulo 8, la determinación de las raíces es inmediata, pues
basta igualar a cero unöhde los res encontrados. Como esos
factores son de primer, grado, la resolución de la ecuación de segun:
do grado queda réducida así a la resoltición de dos ecuaciones sim-
ples de primer grado.

Las Áaices encontradas por este procedimiento son las raíces
de la etuacién puesta, puesto que anulando uno de los factores,
anulan el producto, es decir, el primer miembro de la ecu

Ejemplos. 1: Resolver la ecuación x 24 — 0

'Aplicando el método estudiado en el $ 73 para descomponer los
trinomios de la forma x° + px + q, buscaremos dos números que
multiplicados den sumados algebraicamente 5
números son 8 y tanto, la ecuación dada se puede
escribir

122
y resultan las ecuaciones

x+8=0

Resolver la ecuación 6x' —7x— 30,

Por cualquiera de los métodos estudiados@n el $74 se encuentra

(2x — 3)(3x +1)

e igualando a cero cada factor
ax—3=0,

de donde

No siempre es posíble(la descomposición en factores con ientes
racionales de un trinomio con, coeficientes también racionales, como vimos
en el $ 80. Por ejemplo, el tritiomio x? + x-+1 no es descomponible en el
sistema de los números racionales,

Debido a esto plocesitaremños estudiar otros métodos para la resolución
de la ecuación de degundo grado. Sin embargo, siempre que la descompos

ción en factores sea fáGil deberá preferirse este método pues proporcion
las raíces con máyor, rapide que ningún otro.

Ejercicio 148,

ReGolver las ecuaciones siguientes por descomposición en factores

189)

20°)

165. Resolución por el método de completar
un cuadrado perfecto.

\ = stone (lo

a un binomio de la forma x’ + mx/((con m Pésitivo o negativo)
le falta el cuadrado de la mitad de m, Osea, el término

Puesto que

a

para ser un cuadrado pérfécto.

Por ejemplo, a x’ +8x falta agregarle

(a)

a =16

\z

para que el trifómió resultante sea cuadrado perfecto. Análoga-
mente, a x 25x hay que agregar (—5/2)*= 25/4 para obte-
ner el cuadrado perfécto

Larobservación anterior es aprovechada para resolver cualquier
ecliación de segundo grado, completando en el primer miembro
de la ecuación un cuadrado perfecto, en la forma que muestran
os ejemplos siguientes.

Ejemplos. 1. Resolver la ecuación x* + 6x —7=0

Si se pasa el Ultimo término al segundo miembro, se tiene

De acuerdo con lo dicho antes, para completar un oúadrado
perfecto en el primer miembro bastará agregarle (6/2)? =3' =9)
Sumando 9 en ambos miembros resulta

[63] 6x+9=749=16

aíz cuadrada en ambos miemíbros Se encuentra

tome +4 6 16. Resolviendo estas

Estas son las dos raíces de lagecuaciónf propuesta

Comprobación

(

Al extraer raíz cuadrada én [1] se escribe usualmente

p+3=+4

No se obtendria nada nuevo anteponiendo tam-
izquierdo de la ecuación, pues de

3)=

© bien, cambiando los sigı
x+3

que son las mismas ecuaciones obtenidas anteriormente

2. Resolver la ecuación 3x —5x+1=0.

Si se divide por el coeficiente de x’ se tiene:

Para formar un cuadrado perfecto en el prifñier miembro se
necesita agregar

3.4 Resolver la ecuación x

Por él mismo procedimiento se obtiene,
#—4x=-—13,
4x+4=—-13+44=-9,

z-2=+3i
3i

126
Las raíces de la ecuación propuesta son, pues, los nú
complejos

x=24+3 y n=2-3.

Comprobación.
(2% 31) — 4(2 +31) + 13
44 121-987 12141320

EJERCICIO 149,

Resolver las ecuaciones siguientes por el método de completar el
cuadrado

19) x 46x—27=0 2) esx 20=0
39) x+3x+2=0 40) Esx46=0
5%) —4x+1=0 ap — 6x+4=0
x —2x+5=0 8°)
ax 8x 43=0 10°)
3x + 4x 4190) 129)
16y: + 8y — 79 149)
1=0 16°)

166. Fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado.

La ecudeiön con coeficientes literales
[1] Ar +bx+e=0 (a%0),

representa euälquier ecuación de segundo grado. Así, por ejemplo,
[1]óse convierte en la ecuación 4x — 7x O si se toma
AMÉ 7 y c=3

Vamos a resolver la ecuación [1] por el método de completar
el cuadrado perfecto. De este modo obtendremos un resultado
general o fórmula mediante la cual podremos resolver cualquier
ecuación particular de segundo grado, custituyendo simplemente en
esta fórmula los valores de los coeficientes. Nos ahorramos así el
proceso de completar el cuadrado perfecto una vez y otra en los
diversos casos especiales.

127
Para resolver [1] comencemos por dividir ambos miembros de

la ecuación por el primer coeficiente a, que es por hipótesis dis»
tinto de cero:

y pasemos ahora el último término al segundo miemibro?

xy B ©
efoixs——.
a a

De acuerdo con lo dicho en el $ 165 completaremos un cuadrado
perfecto en el primer miembro añadiendo

» B
22) ¿4a
a ambos miembros de la ecuaciönjrasi se obtiene

EN da :
Ta qa

(Fa)
r+) =

2a

Extrayendo la,raiz cuadrada en ambos miembros y antepo-
niendo el doble + a uno de ellos:

VE ae
2a

Ésta es la fórmula de resolución de la ecuación general de

128
segundo grado. El resultado anterior nos dice que una ecuacién

de segundo grado admite siempre dos raíces, las cuales estan dadas
por las expresiones

— b+ VE Tac b— ME — Fae
2a 2a

La fórmula [2] traducida al lenguaje corriénte proporciona la
siguiente

REGLA. En una ecuación de segundo grado de la forma [1] la
incógnita es igual al coeficiente del segundo, término con signo
cambiado, más o menos la raíz cuadrada de la diferencia entre el
cuadrado de este coeficiente y el cuádtuplafilej primero por el ter-
cero, dividido todo por el duplo dél primer ®eficiente.

Ejemplos. 1. Resolver laú ecuación 2x° + 5x —3=0

En este ejemplo se tiene a 55 — 3. Sustitu-
yerrio estos valores eri I formula [2] se encuentra

—5 + Vie)
2(2) u

520/40,

lo que da

2. Resolver la ecuación x’ — 8x + 13

En este caso se tiene a=1, b 8, c= 13. Luego)

By — 43) 8= 64752

y, por tanto,

3. Resolver la ecuación x

Aplicando la fórmula con
encuentra

4(1)85)

Comprobación de ld raíz x
(344908441) + 25 = 9 1241+ 16° —18— 2414 25
Compruebe él lector por sí mismo la raíz x.

Observationes. El primer coeficiente de la ecuación ax" +
bx De =O puede ser positivo o negativo”. Cuando va a apli-
€arse la fórmula de resolución es ligeramente ventajoso tener el
coeficiente a positivo, lo cual puede lograrse, en el caso a < 0
multiplicando la ecuación por — 1

130

Suponiendo a positivo, tendremos que el término — 4acpque
aparece en la fórmula bajo el radical, será negativo o (positivo,
según que sea c > 0 6 c < 0. Por tanto, la cantidad subradical
podrá ser una diferencia (como en los ejemplos 2 y 3) /o una'suma
(como en el ejemplo 1).

Recuérdese que antes de aplicar la fórmula essnecesario, escri-
bir en un solo miembro todos los términos de la ecuación. En la
fórmula a significa el coeficiente de x‘, b el coeficiente de x y c
el término constante (independiente de x).

EJERCICIO 150
Resolver las ecuaciones siguientes usando la fórmúlá general:
19) x 46x48=0 29) xp 7x+10=0
3°) 26—3x+1=0 40) FL 3x—2=0
5%) y: —13y48 60), 2x? +3x+1=0
m) SP+13:-5 SW 48 —112+6=0
m) x(x+4) = 45 10°) 4x79 =
119) x24 129) 25y?—25y +6
139) 149) 4x3
159) 16) y°+2y—22=0
17) 189)

199) y? —4y PA 20°)
219) #4408 P61 229)
239) 249)

259) x} $= 5+16(3—x)

26°) + xx +9)

299) (2x $1) 2x — 3) + x= (x — 5)

289) I 2x + 4) = 2x0 + 1) 8
NEED + Ge +2) = x +6

30) (x + 1) (+ 2) Ce 3) = +0 +5)

167, Ecuaciones fraccionarias.

Como estudiamos en el capítulo 11, para llevar una ecuación
fraccionaria a la forma entera basta multiplicar ämbos miembros

131

de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores de las fraééio
nes simples que aparezcan en la ecuación. En algunos casos la
ecuación obtenida es de segundo grado, y entonces se resuélve, por
la fórmula general o por cualquiera de los procedimientos estudias
dos al comienzo de este capítulo.

Conviene no olvidar que cuando una ecuación seMúltiplica” por
una expresión que contiene la incógnita, la ecuación resultante no
es en general equivalente a la ecuación original. La /operación
realizada puede introducir raíces extrañas que es preciso eliminar
Por sustitución directa en la ecuación dada. Si alguna de las raíces
encontradas anula a algún denominador de la ecuación de partida,
se desechará este valor ya que será una raíz extraña.

Ejemplos. 1. Resolver la ecuación

3 2

it — 4

El m.c.m. de losédefominädofes es el producto (x — 2)
(x—3)(x—4). Multiplicando ambos miembros por este pro-
ducto se halla sucesivamente

3(x—3) (x—4) + 2252) (x—4) = 2(x—2)(x—3) ,
3x°— 21x 364 28° 12x+16= 22 10x+12,
32° —23x+40=0.

Resolviendo esta/ecuaciön de segundo grado por la fórmula,
tenemos:

23 + \/529— 480 23+7
Zr > al

Es fácil comprobar que ambas raíces satisfacen a la ecuación
propuesta.

En efecto, sustituyendo x=5 se obtiene

132

Sustituyendo x = 8/3 se obtiene
3 2 Z
E ó
2
3

TIA
3 3
à, Roiaiver imc
- 3 22
BJ 5 94 x 45
Multiplicando por x— 5 resulta
(2] x — 3 — 8x — 40 + 22,
é x? — 8x +15 = 04
Descomponiendo en factores el primer miembro de [2] se tiene
(x— 3) 5) =0,
luego las raíces de la, ecuación, [2] son
z 32, 2=5,

pero de estos dos yálóres el segundo no satisface a la ecuación [1]
puesto que anulal al binomio x—5; x=5 es, pues, una raíz
extraña.

Comprobación de la raíz x =

Sustituyerído 4 = 3 en la ecuación [1] se encuentra

22
— 8 3=8-—11.
—2

<3
EJERCICIO 151

Resolver las ecuaciones siguientes:

168. Ecuaciones literales.

Las ecuaciones de segundo grado con coeficientes literales se
resuelven de la misma manera que las ecuaciones con coeficientes
numéricos:, por descomposición en factores, completando un cua-
drado perfecto o por la fórmula general. Ya al hacer la deducción
de la fórmula en el $ 166 hemos considerado la ecuación de segundo
grado con coeficientes literales en su forma típica, a saber,
ax’ + bx + c— 0. A continuación vamos a resolver algunas ecua-
ciones de segundo grado que tienen por coeficientes expresiones
algebraicas diversas.

134

Ejemplos. 1. Resolver la ecuación x’ — 2mx = 3m*

Si se pasa 3m' al primer miembro, se ve que la ecuación puede,
escribirse también en la forma

x: — 2mx — 3m'
PRIMER MÉTODO: Por descomposición en factores,

Puesto que el producto de — 3m y m es/— 3m' y su suma
algebraica es — 2m, el primer miembro se descompone así
(x— 3m)(x + m), y resulta la ecuación

(x—3m)(x+m)'=0,
de donde se obtiene

x—3m=0
y, por tanto,
x=3m ,

son raíces de la ecuación propuesta,
SEGUNDO MÉTODO: Completando el cuadrado perfecto.

Sumando m' en ambos miembros de la ecuación dada, se
obtiene

y extrayendo raíz cuadrada

luego

es deciry

x=3m, x=—-m

“Tercer MÉTODO: Por medio de la fórmula general.

En el ejemplo propuesto se tiene a=1, b=— 2m,
— 3m. Por tanto,

2m + \/4m — 4(1)(— 3m 2m + 16m

2 2
f

2m 4m 3m
a 1

En general, en casos sencillos, como es el de la ecuación ante-
rior, es preferible utilizar el primer método o el segundo. En/casos
más difíciles (ecuaciones con coeficientes complicados), es reco-
mendable utilizar el tercer método.

2. Resolver la ecuación
C5 GE — 2p +) (a)

En este ejemplo teriemos a — p°— q*, b= —2(p? +a") y
* — q” . Aplicando la fórmula general ténemos

y resulta:
++ +)
Pd @+De—a)

Paba) ea _
rae (e+ 4)(p— 4)

3. Resolver la ecüaciön

mtn | m—n}+x

A =2.
x+n | m+n+x

Miltiplicando por el m.c.m. de los denominadores se obtiene
2(x+n)(m+n+x).

(En) n+} x) + (54) (m— nx
Desarrollando los productos indicados y simplificando resulta
la ecuación:
x? + 3nx + (20 —mn—m*)=0

Aplicando a esta ecuación la fórmula general con a
— mn— m: se tienc

Vr Ama

2

(n+2m) mÉn

2 | —m San
Ninguno de estos valores anula al m. &m. utilizado, esto es, a
G+n)(m+n+x).
Eyercicio 152
Resolver las ecuaciones siguientes:
19) e —4mx=Sm Kan = 12
+ Thx + 106 =0
pax + Gp dx = pa

ay 1y

ab
BC2ab —x)
Ea) = ae — 1)

PRE +) = (+ a)

(wea)

(m0)
1=mx

BE

279)

28°)

7 x+b
29°) +
axip3bx | ax—3bx

x—2a 4a
Qa—byb x(a

169._Ecuaciönes con radicales.

Daremos ahora algunos ejemplos de ecuaciones con radicales
cuya, racionalización conduce a una ecuación de segundo grado,

‘Como expusimos en el $ 143, la resolución de una ecuación con
radicales requiere tres pasos:

19 Racionalización de la ecuación. Esto se consigue por ele-
vaciones a potencias o mediante factores racionalizantes.

138
29 Resolución de la ecuación obtenida.

3% Verificación de las'raíces encontradas en la ecuación origi:
nal para desechar las raíces extrañas que se hayan podido introducir
en el proceso de racionalización.

Ejemplos. 1. Resolver la ecuación
VIFT7+1=2x

Si se pasa el 1 al segundo miembro para aislár el radical,
se tiene:

y elevando al cuadrado ambos miembros,
x+7=4x eax +
de donde resulta la ecuación de segundo: grado
4x 45x “0

Despejando x se obtiene
n

96, 5 11 2
AN

Verificación. Sustituyendo x= 2 en la ecuación dada, resulta
7+1=4,
6 1=4.

Por tanto, x==2 es raíz de la ecuación propuesta.

Sustituyendo ahora x % encontramos.

1 (3)

Por consiguiente, x 2 extraña.

Resolver la ecuación

Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene
x4442VxF4yx—1+4+x-—1=3x+10
Simplificando y transponiendo, se encuentra
2VxF4yx—=1=x+7.
Elevando otra vez al cuadrado:

AGE + 3x — 4) = x + 14x 449,

de donde resulta

y despejando x,

Verificación. Para x= 5 tenémos
vVSFF+HNS-1=v5FH%,
luego x=5 (es ráíz de'la ecuación dada

13
Para (y ===> tenemos

1 4 E
= +— vai i
3 V8i+ 3 Vii Vs

13
Por tanto, x=—— no es raíz de la ecuación propuesta.

140
Byencicro 183
Resolver las ecuaciones siguientes:
1, YE=T=3
VER
Vrriex-1
VE Fi
VEFER+2=
3- Vi Fi+i=0

NET EN ENLTEE

V3 x

VERFT- VE

Vás=3+1=y/7

33%) Un rectángulo tiene un lado de 12cm de longitud. Si el otro lado
| se aumentase en 4cm la diagonal resultaría aumentadgen 2cm. ¿Cuál es la
longitud de este otro lado?

170. Carácter de las raíces.

En algunos problemas todó lo que se necesita saber acerca

de las raíces de una ecuación de segundo grado es su carácter
lo naturaleza, es decir, saber'si son reales o imaginarias, racionales o
irracionales, iguales o desiguales ‘A Esta información puede obte-
nerse sin necesidad de resolver la ecuación.

En el $ 166 vimos que las taíces de la ecuación
1 x + bx+c=0
BRE das
Za

y ox

El Binomio
13] bi — 4ac,

que aparece en las fórmulas [2] bajo el signo radical, recibe el
nombre de discriminante de la ecuación [1]. Como veremos en
seguida, el valor de esta expresión (conjuntamente con la natura-
leza de los coeficientes) determina el carácter de las raíces.

* Véase la clasificación do los números en el cuadro de la pág. 7

142

Supongamos que los coeficientes a, b y c son números
reales, Si b'—4ac toma un valor positivo, su raíz cúadtada
(aritmética) será un número real (racional o irracional) y las
formulas [2] nos dicen que en este caso las raíces xf y Xy serán
números reales (desiguales).

Si, por lo contrario, b'— 4ac es negativo, su raíz cuadrada
será un número imaginario y las raíces x, ys resultarán nú-
meros complejos (conjugados).

Por último, si b*—4ac= 0, las fórmulas [2]ydan las raíces
reales e iguales x, = x: = — b/2a. Cuando las raíces son iguales
se dice también que la ecu [1] tiene una raíz doble.

En resumen, si los coeficientes a, b, € son números reales,
se tiene: £

Discriminante Raícos
reáles y desiguales
b'—4ac=0 | reales e iguales

b'—4ac<0 „| complejas

Si las raices/son r&ales (b°— 4ac > 0) y los coeficientes
a, b, c, además de ser reales, son números racionales, las mismas
fórmulas [2] muestrán, que si b°— 4ac es un cuadrado perfecto,
las raíces x y xyserán racionales; y que si b'— 4ac no es cua-
drado perfecto, entonces las raíces x, y x, serán irracionales.

Estones, si las raíces son reales y los coeficientes a, b, c son
números racionales, se tiene:

Discriminante | Raíces

Fac = cuadrado perfecto | racionales

b* — 4ac = no cuadrado perfecto | irracionales

La discusión anterior se ha hecho suponiendo que los coeficientes a, b, €
son números reales, que es el caso que se presenta con más frecuencia. Pero

6 que los coeficientes sean números

143

complejos. En tal caso, si BY —4ac70 las raíces serán números complejos
desiguales y si b?— 4ac— 0 las raíces serán números complejos iguales. Se,
observa que la anulación del discriminante es la condición para que la ecuación
tenga una raíz doble, cualquiera que sea la naturaleza de sus coeficientes.

Ejemplos. 1.

‘i Diveriminante Carácter de las A} Valdes de
Fos Fine races as races

reales (rácio.
2)?—4(3)(—5)=| nates) 9 desi

=4460=64>0. | guales;

reales (ragio-
sales) edf
Jes;

complejas | 243i , 2-31
(conjugadas);

reales (irra | _y 4 yr

cionales) y
desiguales. ar

En la última éolumna se han insertado los valores de las
raíces a manera de, verificación de los resultados encontrados por
medio del discriminante.

2. Hallar el/valof de k de manera que las raíces de la ecua-
n 3x* dx + K=O sean iguales.

La condición para que una ecuación de segundo grado tenga
sus raíces iguales es
b—4ac=0

En este ejemplo se tiene a=3, b= c=k. Resulta,
Por tanto, E

16—12k=0,
de donde
16

144

Sustituyendo este valor en la ecuación dada, se tiene

36 4x+—
3

9 —12x4+4=0,

la cual admite 2/3 como raíz doble

EJERCICIO 154

1. Sin resolver la ecuación determinar el cáfácter de las raíces de las
ecuaciones siguientes:

19) 2 —3x—5=0 20) (nA 20=0
3°) 4at$4x+1=0 4) eo 4x—1=0
60) BP ax+49=0
8) *-2V3x4+2=0
100)” 25y2+20y +4=0
129) w—05u—0,14=0
149) 42 2=5x
16) 4x8 +5x=5
189) o
209) 12 + 13x—35=0

Determinar k, We modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales
vÓSi+r=0 2) 3x+8x+k=0

3) 2k 6x = 0 49) 25x04 kx+1=0

sx + e+ 1 = 0 6) kx—3x+k=0

III, Determinar m, de modo que cada una de las ecuaciones siguientes
tenga uña, raíz nula (basta igualar a cero el término constante)

19) E m— Dx + (m—2) =0

2) 3024 m=

IV. Averiguar para qué valores de k la ecuación Y — 8x +k
sus raíces reales

V. Averiguar para qué valores de k la ecuación x? + 5x4 k=—0 tiene
ices complejas.

171. Resolución gráfica de las ecuacionés de segundo grado,

Se llama función cuadrática la función
y=ae +bx+o.

Cuando el gráfico de una función de este tipo corta aleje
OX, el valor correspondiente de la ordenada es cerö. Por tanto,
las abscisas de los puntos en los cuales el gráfico cruza)el eje
horizontal son las raíces de la ecuación ax’ bx hc =0. Se
tiene, pues, un método para determinar, exacta/o aproximadamente,
las raíces reales de una ecuación de segundo grado; Cuando las
raíces son imaginarias el gráfico de la función cuadrática no corta
el eje horizontal (véase figura de pág. 147).

Ejemplos. 1. Determinar
gráficamente las raíces de la
ecuación 2x° + x — 6—0 .

Pongamos y = 2x" + x — 6,
y construyamos una tabla de
valores y el gráfico correspon-
diente de la función.

146

Se ve que el gráfico corta el eje de las x en el pufiföhde
abscisa x= —2. También se ve que el gráfico corta el eje
de las x entre 1 y 2, aproximadamente en el punto x 1,5»

Por sustitución directa se comprueba que efectivamente x =1,5
es raíz de la ecuación dada, ya que se tiene

21,5)? + 15 —6=45 + 15—6=0.
Por consiguiente, las raíces buscadas soníx==2 y x:
2. En la figura siguiente se ha construido el gráfico de cada
una de las funciones cuadräticas
a) y=w es
b) y Dax +8.
e) yx 4x+10
El gráfico de la función (a) corta el eje horizontal en dos

puntos. Por tanto, la ecuación x’ — 4x — 5 =0 tiene sus raíces
reales y distintas, /á saber: x, = — 1, 5

El gráfico de la función (b) solamente toca el eje horizontal
en un punto.«Esto indica que la ecuación x' — 4x + 4=0 tiene
sus raíces feales e jiguales, a saber: x, — x: — 2.

El gráfico dela función (c) ni corta ni toca el eje horizontal.
En este caso las raíces de la ecuación x*—4x+10=0 son
imaginarias.

Como comprobación podemos calcular el discriminante de
'cada'una dé las ecuaciones consideradas. Se tiene, respectivamente:

a) BE 4ac=(— 4)? —4(1)(—5)= 36.
b) bt—4ac=(—4)—4(1)(4) =0
©) b°—4ac=(—4)—4(1)(10) = — 24

Esercıcıo (155

172. Relaciones entre las raíces y los coeficientes.
Puesto que en la ecuación de segundo grado
[1] ak + bx+e=0
siempre se supone a 0, se puede dividir la ecuación por este
coeficiente y escribirla en la forma

4

Si por abreviar se pone \/b* — 4 ac =A, las ráíces de la ecua-
ción se escribirán

o

b
1 poet
a

oe b—A
2a

Por tanto, cuando el coeficiente de x° es 1, es decir, cuando
la ecuación de/segundo grado se escribe en la forma [2], la suma
de las raíces es igual al coeficiente de x con signo cambiado; y el
producto de las raíces es igual al término constante.

Si se pone

13]

{4]
se puede escribir la ecuación [2] en la forma

15] Y—s+p=0

149
que permite recordar fácilmente la propiedad estudiada y es tam-
bién útil en la resolución de algunos problemas.

La [5] se puede escribir
Xo (a Ex) + xx, =0

y descomponiendo en factores
[6] G—x)G—x)=0.

Por tanto, si x, y x, son las raíces de [2jf)dichäneeuaciön es
igual al producto de los binomios x — x, yx — x,

De aquí resulta que una ecuación de segundo, gfado sólo puede
tener dos raíces, pues si fuese x; 4x, y x sustituyendo
x =x, en [6] obtendriamos

Gs — x) Lx) 0

luego x; no puede ser raíz de la“éciación.

La relación hallada entre las raíces y los coeficientes de una

ecuación de segundo grado Permite:19) comprobar fácilmente las
raíces obtenidas como Soluciones de una ecuación dada; 2°) cons-
truir una ecuación que tenga por raíces números dados; 3°) cal-
cular dos números cuyá Suma s y producto p sean conocidos (pues
bastará considerar estos números como raíces de la ecuación [5]).

Ejemplos. 1. Las raíces de la ecuación

2 +5x—3=0

Comprobación.

Construir la ecuación que tiene por raíces x;
x=5

Puesto que
=x+=-24+5=3,
p=xx.=(-2)5=-—10,
aplicando [5] resulta la ecuación
x — 3x — 10
Otro método. Aplicando [6] tendriathos
(+2)(1—5)=0,
6 — 3x — 19
igual que antes.
3. Construir la ecuación que tiene por raíces
1

n= VS
"à a

Tenemos

o bien
48 —4x—19=0.

Compruébese, aplicando la fórmula general, que los valores
dados son raíces de la ecuación anterior,

4. Construir la ecuación que tiene por raíces

3+2i y 32 i.

Tenemos

a+ =34+2i43

P= xx = (3 + 2i)(3
y se obtiene la ecuación

-li=
2i)=9-—4P=13,
x'—6x4+13=0

Construir la ecuación que tiene por raíces

5

«=p q
Tenemos

=p+a+p
p= xx = (p + a)(p — a)

Por tanto, la ecuación que se pide eS

q=2p,
d

x — 2px 4 (Pp =qg)=0

6. Hallar dos números cuya'sumá sea 36, y su producto, 315.
Puesto que conocemos s— 36 y p
la ecuación

135 podemos construir

ox} p=0,

x = 36x + 315=0,

cuyas raíces tendrán por suma 36 y por producto 315, es decir,

serán los números büscados. Resolviendo la
obtenemos

ecuación anterior
36 = \/1296 — 12 + 21
2

15
esto_es, los números pedidos son 21 y 15.
7. Uha raíz de la ecuación 3x —11x +k=0, es 3. Hallar
la otra raíz y determinar k

La ecuación dada se puede escribir

152

Si ponemos x,=3 tendremos, en virtud de las relaciones
8] y [4],

Eyercicio 156.

1. Sin resolver la ecuación averiguar si ls, pares de números que se dan
en cada caso son raices de la ecuáción correspondiente:

19)
2)

3°)

49)

5°)

6)

7) 2 GOR 266
8) ar =
9°) 108: —29%-+ 10
109),

TL. ¡Construir las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son:

2) 3y5
4) 5 y1

4

2

6 m -2 y -4

2 8%) —1 y 3/2
109) Oy 5
129) —1 y 1/5

Poker, ave 149) —14V5 y —1- Vf
14V5 y 1-8 169) 24+vV8 y 2- V6.
Ahi y 4-1, 189) 5-21 y 542i
34V2i y 3- Vi 20) my n—m

a+b

és 229)
pla y alo ert

Hallar los números cuya suma s y producto p,se,dan a cóntimuación:
s=23, p=120 29) sl, p=85
s=45, p=374 49) s=66j5p 800

$%) s=23, p=—210 6) s=—16, p=—960

m 9=—33, p=252 30) "2 = Qe = 15/4

9) s=8/3, p=4/3 109) 99=10, p=23

119) h 129) #26, p=10

IV. Una raíz de la ecuación 2x! 7x4 k=0 es 2. Hallar la otra raíz
y determinar k

V. Una raíz de la ecuación 2xi4kx+20=0 es 4. Hallar la otra
ie y determinar k

VI. Determinar k eh la ecuación 4x? +kx+1=0, para que las raíces
sean: a) iguales: x,==x,3 b) opuestas: x,

‘VIL. Determinár k off la ecuación 2x'+Kkx-+9=0, para que una raíz
sea el doble de la otro

VII. Determinar Ken la ecuación x? — 7x + k sabiendo que sus
raices se diferencian en 3 unidades.

IX. Determinar k en la ecuación x!—Skx+2£'=0, subiendo que la
suma, de las raíces es igual a la mitad del producto de las raíces.

173, Problemas.

Estudiaremos ahora algunos problemas que conducen al plan-
teamiento y resolución de una ecuación de segundo grado.

En estos problemas es indispensable verificar si las raíces
encontradas satisfacen ambas a las condiciones del problema, pues,

15

por una parte, el proceso de reducción de la ecuación a 14 forma

pica puede introducir raíces extrañas, como vimos en los $$ 167 y
169; y, además, una o ambas raíces pueden no satisfacer/ciertas con
diciones físicas del problema. Por ejemplo, si se trata de determinar
el número de personas que hay en una habitación o el número
de lados que tiene un polígono, serán inadmisibles, las, raíces, nega-
tivas o fraccionarias que puedan aparecer en la/ecuación reducida.
Hay problemas, pues, para los cuales solaménte son admisibles
raíces de cierto tipo (las positivas y enteras;, o Bien’ las raciona-
les, etc.)

Ejemplos. 1. Hallar dos números impares consecutivos, cuyo
producto sea 323.

1) Representación.

número impa

impar siguiente

producto de ambos!

2) Planteo.

Según el enunciado, el, producto de dichos números impares
consecutivos debé ser 323; por tanto:

x(x + 2) = 323
3) Resolución,

Efectuando operaciones y transponiendo, la ecuación anterior se
escribé

x4 2x—323=0,
y,aplicandó la fórmula obtenemos
2 + V4 + 1292 17
ENS 2 19
Si x= 17, el impar siguiente será x+2=17+2=19
Si x=— 19, el impar siguiente será x4+2=—1942=-17

Por tanto, el problema admite dos soluciones: 17 y 19 6
—19 y —17

4) Comprobación
Los números encontrados son impares y, además,
17 X 19 = 323,
(19) x (17) = 323

2. Un rectángulo tiene de largo 5 m más que/de ancho. Si su
área es de 204 m’, ¿cuáles son sus dimensiones?

1) Representación.

anchura x
longitud xt 5

área Rx +5)

2) Planteo.

Puesto que se dice que el área es de 204 m’, se tiene inme-

diatamente
(Bp 5))= 204
3) Resolución
La ecuación anterior puede escribirse
+ 5x — 204 — 0

Aplicando la/fórmula obtenemos

VIS F 816

2 Ta Aa
Desechándo la solución negativa, tendríamos para la anchura
12m y entonces el largo sería x + 5— 17m.

4) Comprobación.

Se tiene 12m X 17m= 204 m', que es el valor del área
dada.

La solución negativa — 17, obtenida al resolver la ecuación de segundo
grado, conjuntamente con el valor — 17-+ 5=— 12, son susceptibles de inter»
pretarse como medidas, con signo, de los lados de un rectángulo orientado.

156

3. Un cateto de un triángulo rectángulo tiene 7 m más Que el
otro y 2 m menos que la hipotenusa. Hallar las longitudes de los
lados del triángulo.

1) Representación.

cateto mayor x

cateto menor x—7

| _hipotenusa x +27

2) Planteo.
Aplicando el teorema de Pitägoraë,S 140ptendremos:
G— DAG +B.

3) Resolución.
Si se desarrolla y simplifica se obtiene:

+ ra RE x + 4x +4

x A8 45 — 0,
Gl) — 3)

B= 15,

pero la segúnda raiz)no conviene, pues si x = 3, el cateto menor
valdría 3—7= 24, que es un número negativo.»

Tomando x= 15 m resulta:
cateto menor: 15—7=38m
hipotenusa: 15+2=17m.
4) Comprobación.
8415 = 17 64 + 225 = 289
EJERCICIO 157

19) Hallar dos enteros consecutivos cuyo producto sea 552.

29) Hallar dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195

3°) Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 728,
49) Hallar dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 342

5°) Si del cuadrado de un número se resta 54 se obtiene el/friplo, del
número. ¿Cuál es el número?

6°) Si al cuadrado de un número se agrega 1/4 se obtiene & mismo
número. ¿Cuál es éste?

7°) Un número excede a otro en 4 unidades. Si el ¡producto de ambos
es 285, ¿cuáles son los números?

8%) El largo de un rectángulo excede en 6 pies Manche "SI el área es
de 720 pies", ¿cuáles son sus dimensiones?

9%) Un cateto de un triángulo rectángulo tiene Sem más que el otro y
3 cm menos que la hipotenusa. Hallar las longitudes de lof tres lados

10%) Un rectángulo tiene de largo Im níónos quéysu diagonal y el largo
tiene 7m más que el ancho. Hallar su perímetro.

119) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 1em más, que el otro y
8.cm menos que la hipotenusa. Hallar lasplongitudes de los tres lados

129) Una piscina que tiene 20 ri de largo! por 8m de ancho está orillada
por un paseo de anchura uniforme Si el érea del paseo es de 288 m°, ¿cuál
es su anchura?

139) A un cuadro al óleo de 1,50 m de largo por 90 cm de alto se le pone
un marco de anchura constante. Si el-drea total del cuadro y el marco es de
1,6m?, ¿cuál es la anchura del. marco?

149) En un tomeo,de ajedrez'cada maestro juega una vez con cada uno
de los restantes. Si en total so juegan 45 partidas, ¿cuántos jugadores toman
parte en el torneo?

159) En otroítomeo cada maestro juega dos veces con cada adversario.
Si en total se juegan 132 partidos, ¿cuántos jugadores toman parte en el torneo?

. 169) Si a un númefo se suma su recíproco * se obtiene 2,9. ¿Cuál es el

179) ¿Si de un húmero se resta su recíproco se obtiene 4,8. ¿Cuál es el

189) Si a un.número se suma el duplo de su recíproco se obtiene 3,3
¿Cuál 0 el número?

19°) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 113.
Hallar los números

20°) La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es
igual al mayor más 10 veces la suma de ambos. ¿Cuáles son los números?

+ Vénus § 6-15,

1
219) Un polígono de m lados tiene —n(n—3) diagonales. ¿Cuántos

lados tiene un polígono con 27 diagonales?
229) ¿De cuántos lados se compone un polígono que tiene 90 diagonales?
239) Hallar tres números positivos enteros consecutivos tales que la'suma
de sus cuadrados sea 365
249) Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cor-
tando en cada esquina cuadrados de 3 pulgadas de lado y doblando hacia arriba
los rectángulos resultantes (de 3 pulgadas de altura). Si la caja tiene un
volumen de 432 pulgadas cúbicas, ¿de cuántas pulgadas cuadradas de cartón
se disponía al principio?
25%) Laffima » dé los primeros n
números naturales, a saber, 1 + 2 + 3 +
+ está dada por la fórmula

Eco DE Dee mont 6

mulä,antegkor y calcular n cuanda

136

26°) Un círculo tiene 20cm de ra-
dio. ¿En cuánto debe disminuirse el
(dio, para” que el área disminuya en
76 eme ?

279) La sección de un soporte an-
gular tiene las dimensiones que muestra
la figura. Si su área es de 111em°,
¿cuánto mide de ancho?

28%) La base mayor de un trapecio
mide 50cm. La base menor es igual a
la altura, y el área es de 1200
¿Cuánto mide la base menor? [Utilicese

la fórmula A=2 B+b)h]

299) Un jardin de forma rectangular está rodeado por un camino de anchu-
ra constante. El'área/del jardín es igual al área del camino. ¿Cuál es la
anchura del caminoysi el jardín tiene 72 pies de largo por 48 pies de ancho?
4. {Un campesino vendió cierto número de reses por 1200
dólares, Si hubiera pedido la misma suma por 3 reses menos habría

recibido 20 ¿dólares más por cada res. ¿Cuántas reses vendió y a
quérprecio cada una?

1) Representación

número de

precio total| precio por cabeza
reses |

1% operación x 1200 | 1200/x

2% operación | x—3 1200 | 1200/(x—3)

2) Planteo.

Según el enunciado, en la segunda operación el campesino reci-
biría 20 dólares más por cada res. Por tanto, se tiene

1200 1200
x—3 x

20.

3) Resolución.
Simplificando y quitando denominadores se. obtiene,
60(x —x + 3)=x(x —8),
de donde
— 3x — 180,
Esta ecuación admite las raíces
x=15 dan.

Desechando la raíz negativa, dada la naturaleza de la cuestión,

tendremos que el campesino vendió 15 reses. Y el precio de cada
una fue de 1200/15 = 80 dólares.

4) Comprobación.

Si por la misma cantidad vende 3 reses menos, o sea, 12 reses,
recibirá por cada “una, 1200/12 = 100 dólares, esto es, 20 dóla-
res más por cabeza,

5. Un automóvil hace un viaje de 300 km de ida y 300 km
de regreso. en un tiempo total de 11 horas. Si la velocidad del se-
£undo viaje fue de 10 km por hora menos que en el primero, hallar
la velocidad a la ida y al regreso.

1) Representación.

velocidad tiempo

x 300/x
300/(x—10)

160
2) Planteo.
Puesto que el tiempo total empleado en el viaje de ida y vuelta
es de 11 horas, tenemos
rei
3) Resolución.
Suprimiendo los denominadores se obtiene
300(x — 10 + x) =11x(£— 10);
600x — 3000 = 11x: — 110x9
11x — 710x + 3000 30
Esta ecuación admite las raícés
1 = 600, ==]

La segunda solución do conviene, pues daría para la ida un
tiempo superior a 11 horas (y para la vuelta una velocidad
negativa).

Se tiene entoncés quella velocidad a la ida será de 60 km por
hora y a la vuelta de 60 — 10 = 50 km por hora.

4) Comprobación.

El viaje de/Áda tarda 300 : 60 — 5 horas, y el viaje de regreso
300 : 50 — 6 horas, En total son, pues, 11 horas.

Eyercicio 158.

19) “Cierto número de varas de cinta ha costado 180$. Si cada vara hu-
bíéra costado S$:menos se habría podido comprar con el mismo dinero 6 varas
mis. ¿Cuántas yaras se compraron y a qué precio?

2°) Un grupo de escolares alquiló un ómnibus en 80$. Cuatro de ellos
no pudieron ir a la excursión y entonces cada uno de los que fueron tuvo que
pagar 1$ más. ¿Cuántos escolares había al principio en el grupo?

3%) Se yende cierto número de libros en 96$. Si por el mismo dinero
se hubieran vendido 4 libros menos se hubiera obtenido 2$ más por cada uno
¿Cuántos libros se vendieron y a qué precio?

161

4°) Un comerciante compró varias cajas de cierta mercadería por 150S,
Se le echaron a perder 6 cajas y vendió las restantes cargando 2$ mas por
caja sobre el precio de costo. En la operación ganó 185. ¿Cuántas cajas
compró?

5%) Un hombre remó 3m río abajo y regresó al lugar de partida eh
2 horas. La velocidad de la corriente era de 2km por hora. Hallarıla velo.
cidad con que rema en agua tranquila.

6°) Un bote de motor navega río abajo 15 km y regdisa al puñto de par-
tida en 2 horas y 40 minutos. La velocidad del bote en agua tranquila es de
12 km por hora. Hallar la velocidad de la corriente.

79) Un bote de motor navega río arriba 9 km ¥ regresa, al punto de par-
tida en un tiempo total de 1 hora y 15 minutés. Si la velocidad de la
corriente es de 3 km por hora, hallar la velocidad del bote.en agua tranquila

8°) Un automovilista recorre 240 km a velocidad constante. Si la velo-
cidad hubiera sido de 5 km menos por hora hubiera Áfpleado 12 minutos más
fen su recorrido. ¿Cuál fue su velocidad?,

9%) Se contrata el transporte de 60 bultoß)en un cierto número de viajes,
pero se hacen 2 viajes más de lo quess@ había pensado y se carga 1 bulto me-
nos por viaje. ¿En cuántos viajes sé había pensado transportar los bultos?

10%) Una barra de hierro pesa 42, libras. Si la barra se estirase 6 pulga

das, su peso por pie disminúiría en 1/5:dé libra. ¿Cuál es su longitud?

119) Un encerado rectangular tiene: 3 m* de área; otro de la misma forma
y área tiene la base Im mayor y 10cm menos de altura. ¿Cuál es la base
y la altura del primer eficeratlo?

12°) El piso de uf sala tien® 1 500 mosaicos (cuadrados). Si cada mo-
saico tuvieso Sm más de largo y Sem más de ancho bastarían 960 mosaicos
para recubrir el piso, Hallar las dimensiones de los mosaicos que tiene la sala

139) La distancia entro À y B es de 840km. Un automóvil sale de A
hacia B y 2 Horas! después sale de A un segundo automóvil para hacer el
mismo viaje. El segundo automóvil mantiene una velocidad 10km por hora
mayor quoslapdel primer automóvil y llega a B media hora después que el
primer automóvil: ¿Cuál es la velocidad de cada uno?

149) Una persona deposita 3000$ en cuenta de ahorro a un cierto tipo
de interés. Al finalizar el primer año retira 1000$ y el saldo queda ganando
interés: AT finalizar el segundo año tiene 2 101,20 $ en el haber de su cuenta
¿Qué tanto, por ciento de interés paga el banco?

15°) Un avión recorre 600 km a favor del viento y regresa al punto de
partida“en un tiempo total de 76 minutos. Si la velocidad del viento es de
50 lm por hora, ¿cuál es la velocidad del avión en aire tranquilo?

16%) Un aeroplano demora cierto tiempo en hacer un viaje de 2400 km
Este tiempo podría reducirse en 1 hora si la velocidad del aeroplano se aumen-
tase en 80km por hora. Hallar el tiempo que actualmente emplea el aero-
plane en hacer el viaje.

16:

179) Un librero compra un cierto número de libros por 540$. Secle,aw
rían 2 libros y vende los restantes con una ganancia de 5$ por ejemplar,
haciendo en total una ganancia de 120$ en la operación. ¿Cuántos libros
había comprado?

18%) En un certamen de rendimiento corren los equipos blánco y rajo leon
un total de 24 motocicletas y un consumo de 35 litros de nafta por equipo
Si cada corredor del equipo rojo consume un litro menos que cada uno de los
blancos, ¿cuántos corredores forman cada equipo?

199) Un tonel tiene capacidad para 50 galones y eftá lleno dé vino puro
Se saca cierta cantidad de vino y se reemp Se, saca ahora de
la mel a la Si la mezcla que
queda en el tonel contiene 32 galones de vino pufdy ¿cuánibs galones se extra
Jeron cada vor?

20°) Un cuerpo que cae libremente partiendo dal#eposo recorre aproxi-
madamente 5£% metros en £ segundos, no teniendo en cuenta la resistencia del
aire. Por otra parte, la velocidad del sonido en dlpaire es de 340m por se-
gundo, aproximadamente. Desde la barandilla dé puente se deja caer una
piedra y se oye el sonido del choqueí de la piedrá con el agua 4 segundos
más tarde. Calcular aproximadamente en metros la altura del puente sobre
el agua

174, Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado.

Vamos a considérar algunos ejemplos simples de ecuaciones
de grado superior que sonyréducibles a ecuaciones de segundo
grado de la forma

a+ bv+c—0
en la cual y es unalleierta función de x.
Ejemplos, 4x! —1304+3=0
Haciendo xv se obtiene la ecuación de segundo grado
4v—13v+3=0

Resolviendo esta ecuación tenemos

13 + 16948 — 13+11
8

de donde se obtiene

Estos cuatro valores son todos raíces-de-la ecuación propuesta.
El número de raíces de una ecuación algebraica es siempre igual
al grado de la ecuación.

En general, las ecuaciones de la forma
ax'+ bx + c—0

se llaman bicuadradas. Haciendo x*=v $e reducen a la ecua-
ción cuadrática

+bv+e
la cual da

como fórmula de Ja ecuación bicuadrática

En la práctica“ho suele usarse la fórmula sino el método de
resolución indicado en el ejemplo numérico considerado al principio.

24 oe Pan —12=0.

Haciendo x*= v, de donde x*/ , resulta la ecuación
duadrática
vi+4v—12=0.

Esta ecuación tiene por raíces

164

Elevando al cubo ambas ecuaciones se obtiene
m=8, x 216,

como raíces de la ecuación dada

3. (e+ 2x)? — 230 + 2x) + 120=0

Si hacemos
ty

resultará la ecuación cuadrä

que tiene por raíces
vy, = 15, 8
Sustituyendo estos valores/8H"[1] seVobtienen dos nuevas ecua-
ciones de segundo grado
x 2x
6 + 1580 py x +2x—8=0
Descomponiendo efipfactores los trinomios se encuentra
(+ 9G—320, (x +4)(x—2)=0,

y resultan lastfaices,

Ejercicio 159

Resolver las ecuaciones siguientes:
10) 5 4=0 2)
9) Ir ar +S=0 4)
5) xix o 6°)
‘102 49=0 8)
FA 32/8 1020 10°)
(2408-868 +2) +1250
(82x)? — 1G — 2x) +24 =0

139) 2[x4
\

à 3+x

149) =
3=x

159) 2(x—5) +7Vx=3:

175. Sistemas cuadräticos,

Se llaman sistemas cuadráticos los sistemas,de ecuaciones que
contienen al menos una ecuación de segundo grado y ninguna
ecuación de grado superior al segundo.

El primer sistema contiene unayecuacién de segundo grado y
una de primero. El segundo sistema sé compone de dos ecuacio-
nes de segundo grado.

A continuación darenios éjemplos de resolución de algunos siste-
mas cuadraticos.

1. Resolver el sisféma,
159) 2x — 3p— 15,
[21 2h27 = 11

En este caso las ecuaciones del sistema contienen solamente
los cuadrados delas incógnitas. Estos sistemas se resuelven como
los lineales, resultando al final ecuaciones de segundo grado incom-
pletas de/la forma x — a.

Asis em el ejemplo propuesto, comenzaremos por eliminar x
para lo cual multiplicaremos la segunda ecuación por 2:

(2) 131 2#—3ÿ=15,
(2x2 14] 244 4y=
(0-6) a=

y
de donde sé obtiene y

166

Sustituyendo y= 1 en [2] resulta
é42=0n , *
de donde x=+3 6 x=—3.
Sustituyendo y=—1 en [2] se obtiene otravez x°=9,
x=+3 6 x=-3.
En resumen, el sistema admite las soluciofies que'se indican
en el cuadro siguiente:

y

2. Resolver el sistema
[1] le + y
12] (+2

Los sistemas que se componen de una ecuación de segundo

grado y una de primero,se resuelven por sustitución, despejando
una de las incógnitas en la ecuación de primer grado y sustitu-
yendo su valor en la otra ecuación. Así, en el caso anterior, despe-
jando y en [2] se tiene

[3] y=1-
y sustituyendo en [1]
#4 (x)
K+1-2x+x =
2X 2x -24=0,
#—x—12=0

@-9@+9)=0,
de donde
n=4, 3.

Sustituyendo x, — 4 en [3] se obtiene
y=1-4=-3,

y sustituyendo x, = — 3

Se tienen, pues, las soluciones:

Resolución gráfica. Los sistemas cuadráticos, cómo los lineales,
pueden resolverse representando gráficamente cada una de las
ecuaciones .del sistema y determinando sobre el, papel,1ás coorde-
nadas de los puntos de intersección,

La resolución gráfica, además de su valor prácticó como método
de resolución, permite ver claramente la naturaleza del problema
y es útil en la interpretación y comprobación, de los resultados
obtenidos algebraicamente. Así, por ejemplo IB resolución gráfica
ayuda a comprender por qué alguños sistemas cuadráticos tienen
dos soluciones; otros, cuatro soluciones; otros, ninguna solución
real, etc.

Para representar gráficamente la ecuación [1] del sistema estu-
diado anteriormente, cométizaremos por despejar la y en la forma

a7,

y dando valores a x,construitemos la tabla [1] que aparece junto
con la figura. Márcando los puntos correspondientes se observa
que se disponen,en, una circunferencia de radio 5 y centro en el
origen de coordenadas, Para demostrar que esto es así, necesaria-
mente, basta Escoger un punto cualquiera P(x, y) sobre esta cir-
cunferencia y constrúir el triángulo rectángulo OPQ. El teorema
de Pitágofas aplicado a este triángulo da OQ* + QP = OP”, o bien,
x + y = 25, lo que demuestra que las coordenadas de P satis-
facen da ecuación [1]*.

Para representar la ecuación [2] basta marcar un par de puntos
córrespondientes, puesto que siendo una ecuación de primer grado,
ya sabemos que su gráfico es una línea recta. Sin embargo, siguien-
do muestra costumbre, hemos calculado un tercer par de valores
correspondientes en el cuadro [2], a título de comprobación.

+ Del mismo modo se ve que la ecuación x'+y"=r" representa una circunferencia: de

168

La recta y la circunferencia se intersecan en los puntos
M(— 3, 4) y N(4, — 3). Esto da las mismas soluciones halladas
anteriormente, a saber: x=—3, y=4; 4, y 23

[11 [2]

3!

El método gráfico proporcióna solamente las raíces reales del sistema.
Si en el ejemplo anterior la recta que corresponde a la segunda ecual
del sistema no cortase ala circunferencia, el sistema tende

imaginarias

3. Resolver el sistema
es *+3xy=-8,
12] xy4+y =-4.

En, Jos sistemas de este tipo ambas ecuaciones son de segundo
grado y no contienen ningún término de primer grado, es decir,
los primeros miembros de [1] y [2] son polinomios homogéneos *
de Segundo grado.

Para resolver estos sistemas se emplea uno cualquiera de los
siguientes métodos.

Véase 532 (tomo D)

169

PRIMER MÉTODO. Igualando los términos constantes, pará lo,
cual basta multiplicar la ecuación [2] por 2, obtenemos
1) x +3xy=—8, 13]
[21x 2 2xy+2y = —8, 141
[3] — [4] *+xy-2y=0. [5]

La ecuación obtenida [5] se descompone en factores, o bien, se
resuelve con respecto a una de las incógnitas/usando,1a fórmula
de la ecuación de segundo grado. Usando aquí el primer procedi-
miento tendremos

(e+ 2y) Mx —y)=05
e igualando a cero cada factor:

[6] x+2y=0 6¢x=—29,

ın x— y=0 x =}

Sustituyendo x= — 2y en [1] se encuentra:

ty E3M— 2y)y= — 8,

Sustituyendo estos valores de y en [6] se obtienen los valo-
res correspondientes de x:

x= —2(+2)

de donde

170
Por tanto, el sistema propuesto admite las soluciones siguientes:

v2

SEGUNDO MÉTODO. Sustituyendo y — vx di las ecuaciones [1]
[2] se obtiene

18] Xd +3v)=-8,
[9] x(v+v!)=— 4,

Dividiendo miembro a miembro las efllciones [8] y [9] con
objeto de eliminar x* se tiene:

148%

de vw:

1 Pav 2v + 27%,

27’ -v—1=0,
GE DG—1=0,

Haciendo! v= — %; en [8] resulta:

Para v=1 se obtiene, sustituyendo en [8],

de donde

Hemos hallado así las mismas soluciones encontradas ante-
riormente.

4. Resolver gráficamente el sistema
1 x+y =09,
[2] xy=10

La primera ecuación represenfälüina circunferencia con centro
en el origen de coordenadas y fadio igual a 1/29. Se traza fácil-
mente esta circunferencia observando que pasa por el punto (2, 5)

ya que 2*-+5:=29. /La'ecuación [2] equivale a la proporcio-
nalidad inversa y =10/x y, representa una hipérbola (véase
$ 111-2).

172

En la figura hemos dibujado estas dos curvas, las cualés)se
cortan en los puntos (2, 5), (5, 2), (—2, —5) y (— 5, —2)
El sistema dado admite, pues, las cuatro soluciones;

ZA
2 15 2

Comprobación. Para comprobar las soluciones, obtenidas resol-
viendo algebraicamente el sistema dado, se puede despejar una
de las incógnitas en la ecuación [2] y sustituir en la [1]. Más
elegante es el artificio siguiente: multiplíquese/ la ecuación [2]
por 2 y súmese y réstese, la ecuación resultante, a la [1]; así se
obtiene

x 42xy+y=49 ¿E 2xY4yY=9,

y extrayendo raíz cuadrada resultan cuátro sistemas lineales:

syst jety=€7 lédy=" [2+y=-1

[poy (rés >= -5 =-7=-5,
los cuales proporcionan 183: mísmas soluciones obtenidas anterior-
mente por el método gráfico.

EyERCICIO 160

I. Resolverfällgebraieäinente los sistemas siguientes:

1) 3x84 2 59, 2) +37
ap 2 ss set y

sey) e+ = 20, 4) 28-38
Sut av
6)
8°)

109)

129)

139) xy —3y?=—10,
ae

IL. Resolver gráficamente los sistemas siguientes:

1) 2) +
4x +3y

3°) 4%) aay,
x +2y

9) x=4y, 6) =
x Ly

79) 8) x tyh= 20,

=,
Pp 5

III. El perímetro de un rectánguló es 4846 em y su diagonal es de 17 cm.
¿Cuáles son sus dimensiones?

IV. El área de un terreno réctangúlar/es de 20.000 m° y la cerca que lo
rodea tiene 660 m de largo: ¿Cuáles son sus dimensiones?

V. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 26cm y la suma do
sus catetos es de 34cm. ‚Hallar los catetos.

VI. El área de uf triángulo Foctángulo es de 216 pies cuadrados y su
hipotenusa mide 30 pies. Hallar los catetos.

VII. Un avión vuela cierta distancia a velocidad constante. Si la velo
cidad hubiera sido SOkm/ por hora mayor, en el viaje se habrían invertido
40 minutos menos Si la velocidad hubiera sido SOkm por hora menor, el
viajo hubiese tardado: 1 hora más. Hallar la velocidad del avión y la distan-
cia que voló.

VIE Sobre el lado AB de un cuadrado ABCD se toma un punto P.
La distancia PC/es de 50m y la distancia PD es de 10 V17m. ¿Qué longi-
tud tiene, el lado del cuadrado?

IX. Un bote puede navegar 16km río abajo y regresar en 6 horas,
12 km río arriba y luego retroceder Skm en un tiempo total de 4 horas.
Hallar velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad de la corriente

X. Un número de dos cifras es igual al duplo del producto de los valores
absolutos de sus cifras. Si el número obtenido al invertir el orden de las cifras
se divide por la suma de las cifras, el cociente que resulta es 7. Hallar el

174

XI. Un hombre y su hijo trabajando juntos pueden hacer una obra en
12 días. Trabajando separadamente el hijo tardaría 7 dias más quefelhpadre
en hacer él solo la obra. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno trabajando por

XII. El perímetro de un triángulo isósceles es de 50cm y, du altura (rela-
tiva al lado desigual) es de 15cm. Hallar los lados del triángulo,

XIII. Dos resistencias conectadas en serie dan una,resistencia'total de
25 ohmios y conectadas en paralelo dan una resistencia/efectiva de 6 ohmios.
¿Cuántos ohmios tiene cada resistencia separadamente? [Si £, y r, son los
Ghmios que tiene cada resistencia, R la resistencia total) cuando se conectan
en serie y r la resistencia efectiva cuando se conéétan enparalelo, se sabe
que ry +r,=R y que (Ur) + (Ur,

EJERCICIO 161. (REPASO)

I. Decir de qué grado son las ecuaciones sigfläptes:

1
1) G+ 42843 29) x—-—=2-

3) vers 2 4) x42)

IL. Resolver las sigúlentas ecuaciones. (Utilicese en cada cat el método
más conveniente)

19) 4x2 2)
3°) 49)

50) 6)

7) 8)

9 x2 10°)

119) 129)
196 149)

15) 16°)

17) 189)

Do) 4x +11=0 20°)

219)) y 2 VSy —4 229)

29) x8 + (x3)?

249) (x—2)?4 E DIS 47

28) DA—=3)=G+DG+F2DA+A) 43
29) RIAD

PA A =P Pr

Ba px ly 2a—3x 9

‚u
Six Qaydx 2

176

459)

469)
47)
48°)
499)
50)
519)
529)
539)

54)
550)
56)

IIL. En lnfééuacionésiguientes determinar el carácter de las raíces sin
resolver la ecuación:

19) Ari 2) Ar 12x+9=0
gar 1004 29 = 0 4) xP —6x44=0
5) Arr 6) +245 o
IV. Hallar k de modo que las ecuaciones siguientes tengan sus raíces
iguales
19) Bx+k 2) 2x phx $05 =0

Y. Averiguar para qué valores de m la ecuación mx? —6x+5=
tiene sus raíces reales

VI. Averiguar qué valores de m la ecuación 4x
tiene sus raíces complejas

177
Determinar gráficamente las raíces de las ecuaciones siguientes
2) 24x60.
4) #+2x452=0
Construir las ecuaciones de segundo grado cuyas re

-6y4 2) 1/5 y 3/5

2a y 4) + YT Y 4

6) 24+ ary 2m
IX. Hallar dos números conociendo su suma # y su producto p

19) 9=20, p=91 29), s= 12, p= — 133
3%) s=7/6, p= 1/3 =D

X. Resolver los siguientes problemas:

19) Una raíz de la ecuación 34° — 1024 k=0 es 3. Hallar la otra
y determinar ke

29) Determinar k en lájeciación REL Kx + 12—0 de modo que una
raiz sea el triple de la otra

3%) Construir una ecuación cujas/riices sean la suma y el producto de
las raíces de la ecuación Lat 3x4 5= 0

49) Si al duplo de un número se suma 35 se obtiene el cuadrado del
número. ¿Cuál es éste?

5%) Hallar dosiMúmeros ares consecutivos cuyo producto sea 1 088.

6%) La suma de lod cuadrados de dos números consecutivos es 613.
Hallar los números,

79) Sivapun núBiero se suma su recíproco se obtiene 2,05. ¿Cuál es
Jet número?

89) (En un triángulo rectángulo el triplo del cateto menor excede en
una unidad Al, cateto .mayor pero le falta una unidad para ser igual a la
hipotenusa. Hallar las longitudes de los tres lados.

9) Hallar el'área de un cuadrado cuya diagonal es Sem mayor que
el lado

109): La altura de un triángulo mide 4m más que la base y el área es
de 160m". Calcular las longitudes de la base y de la altura del triángulo.

119) Dos caminos se cortan en ángulo recto. Desde el punto de inter-
sección salen a la vez dos viajeros, uno por un camino a razón de 6km por
hora y el otro por el segundo camino a razón de Bkm por hora. ¿Al cabo
de cuántes horas estarán a 25km de distancia uno de otro (en línea recta)?

178

129) Un terreno rectangular tiene 100m de largo y 80m dov@iitho y
está rodeado por calles de anchura uniforme. Si el área de las calles es de
4000 m’, ¿cuál es su anchura?

139) Un campesino compró cierto número de animales por, 2 800$. Perdió
3 y vendió los restantes con una ganancia de 12$ por cabeda. Si en total
ganó 360$ en la operación, ¿cuántas cabezas compró?

149) So carga un cartucho de escopeta con un ciertd número de municio-
nes, cuyo peso total es de 22,55. Otro cartucho con la misma carga lleva
2 municiones más y el peso de cada munición es de 0,125g menos que las
anteriores. ¿Cuántas municiones tiene cada cartucho?

159) Un hombre al morir deja una herencia de 60 000$ para repartir entre
cierto número de herederos pero 3 de éstos no reclaman/sy parte y entonces
la herencia de cada uno de los demás resulta aumentada’em 1000$. ¿Cuántos
herederos había originalmente?

169) Dos obreros trabajando juntos donstruyeflllim muro en 3 h, 45 min.
“Trabajando separadamente el primero @mplea 4 Wras más que el segundo
¿Cuánto tiempo tarda cada obrero trabajando solo en hacer el muro?

179) Un bote navega Gkm HÓ abajo y régresa al punto de partida en
3 horas. La velocidad del bote en agua) tranquila excede 1,5km por hora
al duplo de la velocidad de la corriente, Hallar la velocidad del bote y la
de la corriente.

18%) Un aeroplano hace un viaje de 540 millas a velocidad constante
Si hubiera mantenido una velocidad/en 20 millas más por hora habría realizado
el viaje en 18 minutosomenos. ¿Cuál fue su velocidad?

199) Un hombre hace Un» viaje de 600km en automóvil. Al regreso
aumenta su velocidad en 15 km por hora y realiza el viaje en 2 horas menos.
¿Cuál fue su velocidad en, el viaje de ida?

20%) Un dnión de actos de forma rectangular tiene capacidad para 800
personas sentadas; dispuestas en filas de igual número de butacas. Si se
amplía en 5 asientos /por fila y se eliminan 8 filas, sin variar la capacidad,
¿cuántas butacas había en cada fila?

219) En tn parque hay un lote rectangular de 80m de largo por 60m
de asícho que está cubierto de yerba. Un obrero empieza a cortar la yerba
paralelamente a los lados del rectángulo, de fuera adentro. ¿Qué anchura
tendrá, la zona cortada cuando quede por cortar aún la mitad de la yerba?

XI. Resolver las ecuaciones siguientes:
1) x 29x + 100=0 2)
3°) 90

5°) + 2x9 8=0

6) (at x)2— 18(8—x) + 722 0.

XII. Resolver, algebraicamente, los siguientes sistemas

xy+áy=

XIII. Resolver, gráficamente, los siguientes:

19)

XIV. Resolver:

19) La diferencia de dos númétos/8$ 3 y la suma de sus cuadrados es
89. ¿Cuáles son los números?

20) El perímetro de un rectáfigulo es de 82m y su diagonal mide 29m
¿Cuáles son las dimensiones, del rectángulo?

3°) La suma delas áreafide dos círculos es de 1361m* y la suma de
las longitudes de ss ciretinferencias es de 32xm. ¿Cuáles son sus radios?

25 pies y su área
es de 150 pios cuadrados!

5°) U señor compra acciones por valor de 60005. Pasado algún tiem-
po las vende todas excepto 20 de ellas con una pérdida de 10$ por acción y
recibe 40003. ¿Cuántas acciones compró y cuánto pagó por cada una?

GP)BUrA iversiön de 2000$ produce al cabo de cierto tiempo 300$ de
ingéfés simple. Si el tipo de interés fuese aumentado en 1% y el tiempo
disminuido en 1 año, produciría 240$. Hallar el tipo de interés y el
tiempo, de la primera inversión

TV La distancia entre A y B es de 120km. Un tren de pasajeros sale
de A hacia B y o tiempo sale un tren de carga de B hacia A. El tren
de pasajeros llega a B 1 hora después de haberse cruzado con el de carga
y el tren de carga llega a A 2 horas y 15 minutos después de haberse cru-
zado con el de pasajeros. Hallar las velocidades de cada uno y la distancia
desde A al punto de encuentro

19) Determinar gráficamente las raíces de la ecuación 2:34
29) Resolver y comprobar:
woe?
3°) Resolver y comprobar:
x—2a

49) Resolver y comprobar:

2VTRF3 = YI 7 + VX

5%) Determinar los valores de k para los cudl@gita ecuación 3x"—6x-
tiene sus raíces reales.

6%) Construir la ecuación de,ségundo grádo que tiene por raíces 6 + 2i
y 625
79) Hallar dos números que sumados dan 9/10 y multiplicados dan 1/5

8°) Se compra cieflöhimero dé libros por 725. Si cada libro hubiera
costado 1$ menos se hubieran, podido comprar 12 libros más por el mismo
dinero. ¿Cuántos libros se compraron y a qué precio?

9%) Un aeroplano vuela, 200 km en contra del viento y regresa al punto
de partida en 50 minutos. La velocidad del aeroplano en aire tranquilo es de
450 km por hora. Hallar la velocidad del viento

109) Resolverngräfichby algebraicamente, el sistema

=

CAPÍTULO 17.

PROGRESIONES.

176. Introducción.

Una sucesión es un conjunto cuyos elementos, están numerados,
esto es, puestos en correspondencia simple (biunivoca, uno a uno)
con los números naturales, de modo que enfel conjunto hay un
primer elemento, un segundo elemento, un téP@pfo, etc.

Los elementos o términos de una sucesión suelen indicarse por
una misma letra afectada con sübindices que indican el número
de orden de cada término.

Así, por ejemplo, se escribe
Uy, WED My, tn,

representando por u, {él primer elemento del conjunto, por u, el
segundo elemento del conjunto, etc; u, representa el elemento
n-simo del conjunto, llamado también término general de la su-
cesión.

Una sucesión que cóntiene solamente n términos se dice finita.
Si a cada término sigue otro y no hay último elemento, la suce-
sión se digerinfinita.

En el presente capítulo consideraremos solamente sucesiones
de nürheros, reales.

Ejemplos. He aquí algunos ejemplos de sucesiones de números:

Sir seg: Det

8

La primera es la sucesión de los números pared La segunda
es la sucesión de los inversos de los números naturales. ¡La terce-
ra contiene las potencias sucesivas de — 3 y sé" eompone de nü-
meros positivos y negativos. Los puntos suspensivos después del
término general de cada una de estas sucesiones, indican que las

en último elemento. La sucesión cuárta es ppor el contrario

mpone de cinco elementos. La $ucesión quinta muestra

que los elementos de una sucesión pueden fépetirse. La sexta es

la famosa sucesión de Fibonacci”, que pogee numerosas e intere-

tes propiedades. En ella cada, términd§@xcepto los dos prime-
ros) es la suma de los dos términos, que 19 preceden.

Ley de formación de ungSucesiól) es la regla que permite
calcular un término cualquiera de la sucesión,

Si el término gengralyse dáyen función de n esta fórmula expre.
sa la ley de formación; v. gr ty = 2n, u, etc

Como acabamos de veriieh la sucesión de Fibonacci la ley de
formación es éstay 10S dos Primeros términos son 0 y 1 y de ahí
en adelante cada término'es la suma de los dos que le preceden

Se llaman progrésiones a ciertas sucesiones cuya ley de forma-
ción es simple, YEn este capítulo estudiaremos las progresiones

aritméticas, geométricas y armónicas, las cuales serán definidas

oportunamente:
1] i, 5 13
108

183

La [1] es una progresión aritmética. En [1] cada término
(después del primero) se obtiene sumando 4 al término precedente;

La [2] es una progresión geométrica. En [2] cadagtérmino
(después del primero) se obtiene multiplicando por 3 el término
precedente,

La [3] es una progresión armónica. Los términos, de Jesta
progresión son los recíprocos de los términos de fa [1]

Se llama serie a la suma indicada de los, términos de una
sucesión, Así, por ejemplo, si la sucesió

la serie correspondiente es

Si la sucesión es finita, la serie correspondiente es un polinomio.
Ya vimos un ejemplo de serie ali/tfatar en'el $ 161 sobre la serie
binómica.

bir los primeres tórmiliod de las sucesiones cuyos términos gene
dan a continuación), En estas fórmulas m representa un número

ualquiera (a= À
b) u,=4n—1
a —1)"3n
D (1-2

by

»

»
dos primeros términos de la sucesién son O y 2; cada término
Gel tercero es la suma de los dos precedentes. Escribir los seis pri-

os términos de la sucesión

Los dos primeros términos son 1 y 2; cada término a partir del
tercero es el producto de los dos precedentes. Escribir los seis primeros

términos de la sucesión

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