áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)

1. PROF. NILO

2. As matrizes foram utilizadas
pela primeira vez pelo
matemático e advogado
inglês James Sylvester que
definiu Matriz como “arranjo
oblongo de termos”.
Seu colega também inglês
Arthur Cayley instituiu
algumas operações básicas
entre as matrizes, em
“Memoir on the Theory of
Matrices”, em 1858.
A multiplicação matricial
deveu-se ao matemático
alemão Gotthold Eisenstein,
considerado por Gauss, um
matemático do mesmo nível
que Newton e Arquimedes.

3. São tabelas retangulares
de valores dispostos
ordenadamente em linhas
e colunas.
Dentre suas
aplicações podemos
citar:
armazenamento e
manipulação de
informações
tabuladas e as
ferramentas para
transmissão de
imagens e sons
digitalizados pela
internet.

4. *
i,j,m,nÎN
São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em
m linhas e n colunas.
ij mxn
A (a )=
As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto
latino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplas
barras laterais.
n – número de colunas da matriz
m

–

n
ú
m
e
r
o


d
e


l
i
n
h
a
s


d
a


m
a
t
r
i
z
i – número da linha da matriz,
onde 0 £ i £ m.
j – número da coluna da matriz,
onde 1 £ j £ n.
éù
ëû ()

5. linha n
linha 3
linha 2
linha 1
ij m x n
A (a )=
n – número de colunas da matriz
m

–

n
ú
m
e
r
o


d
e


l
i
n
h
a
s


d
a


m
a
t
r
i
z
j – número da coluna da
matriz, onde 0 < j < n.
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3nij m x n
m1 m2 m3 mn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... aA (a )
... ... ... ... ...
a a a ... a
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
= =
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
i – número da linha da
matriz, onde 0 < i < m.
coluna 1 coluna 2
coluna 3 coluna m

6. EXEMPLO 01EXEMPLO 01
Dada a matriz A = (a
ij
)
3x2
através de sua lei de
formação, escreva essa matriz.
ij
i j , se i j
a
i j , se i > j
+ £ì
ï
=í
ï-î
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
11 12
ij 3 x 2 21 22
31 32
a a 2 3
A (a ) a a 1 4
a a 2 1
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú= = =
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë ûë û

7. EXEMPLO 02EXEMPLO 02
Uma indústria automobilística produz três modelos
de veículos empregando diferentes peças para a
montagem do motor. Na matriz abaixo, cada
elemento a
ij representa a quantidade de peças
do tipo j utilizada na fabricação de um veículo
modelo i.
a) Quantas peças do tipo 1 serão utilizadas para
fabricar um veículo do modelo 2?
b) Quantas peças de cada tipo são necessárias para
fabricar oito veículos modelo 1, três veículos
modelo 2 e dois veículos modelo 3?
15 10 12
A 10 11 13
14 12 11
é ù
ê ú
ê ú=
ê ú
ê ú
ë û
Resposta: 312 do tipo 1; 99 do tipo 2 e 72 do tipo 3.

8. Matriz Linha – É toda matriz com apenas 1 linha,
ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n.
3 2 0-é ù
ë û1 4-é ù
ë û 0 3 2é ù p
ë û
matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4
Matriz Coluna – É toda matriz com apenas 1
coluna, ou seja, é toda matriz do tipo n x 1.
4
0
7
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
-
ë û
3
5
é ù
ê ú
ê ú-ë û
6
2
1
3
é ù
ê ú
ê ú-
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë ûmatriz 2 x 1 matriz 3 x 1 matriz 4 x 1

9. Matriz Nula – É toda matriz em que todos os
elementos são iguais a zero.
0 0 0é ù
ë û0 0é ù
ë û 0 0 0 0é ù
ë û
matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4
0 0 0
0 0 0
é ù
ê ú
ê ú
ë û
0 0
0 0
0 0
0 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
0 0 0
0 0 0
0 0 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
matriz 2 x 3 matriz 4 x 2 matriz 3 x 3

10. Matriz Quadrada de ordem n – É toda matriz do
tipo n x n, isto é, que possui igual número de
linhas e colunas.
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3nij m x n
n1 n2 n3 nn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... aA (a )
... ... ... ... ...
a a a ... a
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
= =
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
Diagonal Principal Diagonal
Secundária
( i = j )
( i + j = n + 1 )

11. 2 1
4 3
-é ù
ê ú
ê ú
ë û
3 2 0
5 1 3
6 0 2
-é ù
ê ú
ê ú -
ê ú
ê ú
-
ë û
6 2 1 5
0 3 2 3
5 1 2 4
2 3 4 0
- -é ù
ê ú
ê ú -
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
-ê úë û

12. 3 2 5
0 1 3
0 0 2
-é ù
ê ú
ê ú -
ê ú
ê ú
ë û
Matriz Triangular – É toda matriz quadrada
composta apenas de zeros nos elementos acima
ou abaixo da diagonal principal.
3 0 0
4 1 0
2 5 6
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
-
ë û
Triangular Superior Triangular Inferior

13. Matriz Diagonal – É toda matriz quadrada em que
os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero.
2 0
0 3
é ù
ê ú
ê ú
ë û
4 0 0
0 2 0
0 0 5
é ù
ê ú
ê ú-
ê ú
ê ú
ë û
5 0 0
0 2 0
0 0 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
0 0
0 0
é ù
ê ú
ê ú
ë û

14. Matriz Identidade ( ou Unitária ) – É toda matriz
diagonal, com ordem igual ou superior a 2, em
que os elementos da diagonal principal são iguais
a 1.
2
1 0
I
0 1
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
é ù
ê ú
ê ú=
ê ú
ê ú
ë û
4
1 0 0 0
0 1 0 0
I
0 0 1 0
0 0 0 1
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
=
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û

15. Dadas duas matrizes A = (a
ij
)
mxn
e B = (b
ij
)
pxq
,
essas matrizes serão iguais quando as matrizes
forem da mesma ordem e todos os elementos
correspondentes de uma e outra forem iguais.
5 1 3 5 1 3
0 4 2 0 4 1
2 3 1 2 3 1
- -é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú¹
ê ú ê ú
ê ú ê ú
- -
ë û ë û
4 2 4 2
1 3 1 3
é ù é ù
ê ú ê ú=
ê ú ê ú- -ë û ë û
ambas são 2 x 2
ambas são 3 x 3
são iguais
não são iguais

16. EXEMPLO 03EXEMPLO 03
Determine x, y, z e t, para que se tenha:
2
x y 25 4
10 3z 10 9
4x t 20 t
é ù
-é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú=
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
-ê ú ë û
ë û
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora
fazer a igualdade entre os termos correspondentes.
2
x 5
x 25 x 25 5
x 5
=ì
ï
= Þ =± =± í
ï=-î
y 4=- ; 10 10= ; 3z 9 z 3= Þ =
; 4x 20 x 5= Þ =
; t t 2t 0 t 0=- Þ = Þ =

17. Soma de Matrizes – É uma
operação de soma dos
elementos correspondentes
de duas matrizes de
mesma ordem, gerando
uma nova matriz de mesma
ordem.
EXEMPLO 04EXEMPLO 04
Calcule a soma de
matrizes abaixo.
6 3 2 4
10 4 1 0
5 1 10 1
-é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú+ -
ê ú ê ú
ê ú ê ú
-
ë û ë û
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
As duas matrizes são de ordem
3 x 2. Então a soma é
8 1
9 4
15 0
-é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û

18. I ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
II ) A + B = B + A
III) A + 0 = 0 + A
IV) A + (-A) = -A + A = 0
Enfermeira, estou
com febre !

19. Multiplicação de Escalar por Matriz – É uma
operação similar a uma soma de matrizes, onde
todas essas matrizes são iguais. Portanto, basta
multiplicar o escalar por cada elemento da matriz.
EXEMPLO 05EXEMPLO 05
Calcule o resultado
da multiplicação de
escalar por matriz
indicada abaixo.
2 1 3
5.
6 4 2
-é ù
ê ú
ê ú -ë û
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
2 1 3 10 5 15
5.
6 4 2 30 20 10
- -é ù é ù
ê ú ê ú =
ê ú ê ú- -ë û ë û

20. I ) ( l. m ).A = l.(m.A)
II ) ( l + m ).A = l.A + m.A
III) ( l - m ).A = l.A - m.A
IV) l.( A + B ) = l.A + l.B
V) 1 A = A

21. Oposta de Matriz – É obtida multiplicando o escalar
-1 pela matriz dada.
EXEMPLO 06EXEMPLO 06
Calcule o resultado
da oposta da matriz
indicada abaixo.
3 1
4 2
5 0
2 3
-é ù
ê ú
ê ú-
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
-ê úë û
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
3 1 3 1
4 2 4 2
( 1).
5 0 5 0
2 3 2 3
- -é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú- -
ê ú ê ú
- =
ê ú ê ú
-
ê ú ê ú
ê ú ê ú
- -ê ú ê úë û ë û

22. Subtração de Matrizes – É uma operação de soma
de uma matriz com a oposta da segunda.
EXEMPLO 07EXEMPLO 07
Calcule o resultado
da diferença de
matrizes indicada
abaixo.
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
6 3 2 4
10 4 1 0
5 1 10 1
-é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú- -
ê ú ê ú
ê ú ê ú
-
ë û ë û
6 3 2 4 4 7
10 4 1 0 11 4
5 1 10 1 5 2
-é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú- - =
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
- -
ë û ë û ë û

23. Produto de Matrizes – Dadas duas matrizes A
= (a
ij)
m x n e B = (b
ij)
p x q , chama-se produto das
matrizes A e B, a matriz C = (c
ij
)
m x q
, onde só é
possível efetuar essa operação se n = p.
Só é possível efetuar o produto de duas matrizes,
se o número de colunas da primeira for igual ao
número de linhas da segunda.
A ordem da matriz produto é obtida pelo número
de linhas da primeira matriz e o número de
colunas da segunda matriz.

24. I ) ( A.B ).C = A.( B.C )
II ) ( A + B ).C = A.C + B.C
III) C.( A + B ) = C.A + C.B
IV) ( a.A ).B = A .(a.B ) = a (A.B) onde a Î IR
V) A.B ¹ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B
comutam.
VI) Se A.B = 0, não é necessário que A = 0 ou
B = 0, porém se A.B = 0, qualquer que seja B, então
A = 0. Da mesma forma se A.B = 0, qualquer que
seja A, então B = 0.

25. EXEMPLO 08EXEMPLO 08
Calcule o resultado do
produto de matrizes
indicado abaixo.
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
1 1
1 2 3
2 2 .
4 5 1
3 4
-é ù
ê ú é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú-ë û
ê ú
ë û
1 1
1 2 3
2 2 .
4 5 1
3 4
-é ù
ê ú é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú-ë û
ê ú
ë û
3 x 2 2 x 3
=
Matriz
Produto
é 3 x
3
Matriz
Produto
é da
forma:
1
-1
1
4
3
1
1
-1
2
2
1
4
3
4
1
4
1
-1
2
-5
2
2
2
-5
3
4
2
-5
2
2
3
1
3
4
3
1
-3 7 2
10-6 8
19-1413
Produto

possível

26. n
A A.A.A....A=
2
A A.A=
3
A A.A.A=
0
n
A I=
1
A A=

27. EXEMPLO 09EXEMPLO 09
Dada a matriz A abaixo, calcule A
0
, A
2
e A
3
.
SOLUÇÃO SOLUÇÃO4 2
A
1 3
é ù
ê ú=
ê ú-ë û 0
2
1 0
A I
0 1
é ù
ê ú= =
ê ú
ë û
2
4 2 4 2 14 14
A A.A .
1 3 1 3 7 7
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= = =
ê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë û
3 2
14 14 4 2 42 70
A A .A .
7 7 1 3 35 7
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= = =
ê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë û

28. EXEMPLO 10EXEMPLO 10
Dada a matriz A abaixo, calcule A
1
+ A
2
+ A
3
+ ... + A
200
.
SOLUÇÃO SOLUÇÃO1 0
A
1 0
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
2
1 0 1 0 1 0
A A.A .
1 0 1 0 1 0
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= = =
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
3 2
1 0 1 0 1 0
A A .A .
1 0 1 0 1 0
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= = =
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
200
1 0 1 0 1 0
A .
1 0 1 0 1 0
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= =
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
A matriz A é IDEMPOTENTE.
1 2 200
1 0 200 0
A A ... A 200.
1 0 200 0
é ù é ù
ê ú ê ú+ + + = =
ê ú ê ú
ë û ë û

29. EXEMPLO 11EXEMPLO 11
Uma indústria fabrica certa máquina em dois
modelos diferentes, A e B. O modelo A utiliza
4 condensadores, 3 interruptores e 7 válvulas; o
modelo B utiliza 3 condensadores, 2 interruptores e
9 válvulas. Em novembro, foram encomendadas 3
máquinas do modelo A e 2 do modelo B; e em
dezembro, 2 máquinas do modelo A e 1 do modelo
B. Qual o número de condensadores, interruptores e
válvulas em cada um dos meses para fabricar essas
encomendas?
Sugestão: monte primeiramente uma tabela peças x modelos e
posteriormente monte uma tabela modelo x meses.

30. Transposição de Matrizes – Dada uma matriz
A = (a
ij)
m x n sua transposta é a matriz A
t
= (a
ji)
n x m.
Na prática é a operação de troca de posição dos
elementos da linha i para a coluna i.
EXEMPLO 12EXEMPLO 12
Obtenha a transposta
da matriz abaixo.
SOLUÇÃO SOLUÇÃO
6 3 2 1
A
2 4 0 4
-é ù
ê ú=
ê ú- -ë û
t
6 2
3 4
A
2 0
1 4
-é ù
ê ú
ê ú-
ê ú
=
ê ú
ê ú
ê ú
-ê úë û

31. Matrizes Simétrica – É uma matriz
em que A = A
t
, isto é, uma
matriz em que os elementos
dispostos simetricamente em
relação à diagonal principal são
iguais.
Matrizes Anti-Simétrica – É uma
matriz em que A = -A
t
, isto é,
uma matriz em que os
elementos dispostos
simetricamente em relação à
diagonal principal são simétricos.
Os elementos da diagonal
principal são iguais a zero.
a b c
a b
; b d e
b d
c e f
é ù
ê úé ù
ê úê ú
ê úê ú
ë û
ê ú
ë û
0 a b
0 a
; a 0 c
a 0
b c 0
é ù
ê úé ù
ê úê ú -
ê úê ú-ë û
ê ú
- -
ë û

32. I ) ( A + B )
t
= A
t
+ B
t
II ) ( l.A )
t
= l.A
t

III) (A
t
)
t
= A
IV) (-A)
t
= -A
t
V) (A.B)
t
= B
t
.A
t
Cuidado com a
Propriedade V,
que ela induz
ao erro !

33. Determinante de uma Matriz – Considerando apenas
as matrizes quadradas M de elementos reais, o
determinante dessa matriz quadrada, representada
por det M, será o número obtido pela operação de
seus elementos da seguinte forma:
11 11 11 11
M a det M=det a a a= Þ = =é ù é ù
ë û ë û
Se a matriz quadrada é de ordem n = 1, temos:
Se a matriz quadrada é de ordem n = 2, temos:
11 12 11 12
21 22 21 22
a a a a
M det M=det
a a a a
é ù é ù
ê ú ê ú= Þ =
ê ú ê ú
ë û ë û
11 12
21 22
a a
a a
= =
+-
11 22 12 21
a .a a .a-

34. Se a matriz quadrada é de ordem n = 3, temos:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a a a a
M a a a det M=det a a a
a a a a a a
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú
= Þ =
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
= =
+++- - -

35. 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a .a .a a .a .a a .a .a= + +
13 22 31 11 23 32 12 21 33
a .a .a a .a .a a .a .a- - -
Pierre Frédéric
Sarrus
(1789-1861)

36. Se a matriz quadrada é de ordem n natural, onde
n ³ 4, aplicaremos o Teorema de Laplace, que
também é válido para determinantes de ordens 1,
2 e 3.
Pierre Simon
Laplace
(1749-1827)
Físico,
Astrônomo e
Matemático
Para tanto, basta escolhermos uma
linha ou coluna do determinante e
calcular os somatórios dos produtos
dos elementos da fila escolhida
pelos respectivos co-fatores.
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
n1 n2 n3 nn
a a ... a ... a
a a ... a ... a
M
... ... ... ... ... ...
a a ... a ... a
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
=
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û

37. 11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
n1 n2 nj nn
a a ... a ... a
a a ... a ... a
M
... ... ... ... ... ...
a a ... a ... a
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
=
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
Vamos escolher uma coluna genérica j, teremos:
j
nj nj
n 1
detM a .A
=
=å
onde :
n j
nj nj
A ( 1) .D
+
= -
Determinante de ordem uma unidade
abaixo, obtido eliminando-se a linha e a
coluna onde se encontra a
nj
.

38. i
in in
n 1
detM a .A
=
=å
Se escolhermos uma linha genérica i, teremos:
11 12 1n
21 22 2n
i1 i1 in
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a
... ... ... ...
M
a a ... a
... ... ... ...
a a ... a
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
=
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
onde :
i n
in in
A ( 1) .D
+
= -
Determinante de ordem uma unidade
abaixo, obtido eliminando-se a linha e a
coluna onde se encontra a
nj
.

39. EXEMPLO 13EXEMPLO 13
Calcule o valor dos determinantes das matrizes
abaixo.
3 2
a)A
1 4
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
2 1 3
b)B 1 4 2
5 3 1
é ù
ê ú
ê ú=
ê ú
ê ú
ë û
2 4 2 4
0 1 1 0
c)C
1 0 2 3
3 0 1 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
=
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
1 2 3 4 2
0 1 0 0 0
d)D0 4 0 2 1
0 5 5 1 4
0 1 0 1 2
-é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
=
ê ú
ê ú
-ê ú
ê ú
ê ú -ë û

40. Inversão de Matrizes – Se A é uma matriz quadrada
de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se
existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I
n
.
Dada uma matriz
inversível M, chama-se
inversa de A, a matriz M
-1

, que é única, tal que
M. M
-1
= M
-1
.M = I
n
.
Quando uma matriz M
não é inversível, ela é
dita matriz singular.

41. I ) (A
-1
)
-1
= A
II ) A matriz unidade é a sua própria inversa.
III) (a.A)
-1
= (1/a). A
-1

IV) ( a.A ).B = A .(a.B ) = a (A.B) onde a Î IR
Se A e B são matrizes quadradas de mesma
ordem, temos:

42. Lembrando que M. M
-1
= I
n
.
Por meio de determinantes, temos:
( )
t1 1
M . M'
detM
-
=
M
-1
é a matriz M invertida.
det M é o determinante da
matriz M a inverter.
(M’)
t
é a matriz de
cofatores transposta de M.
Por meio de operações elementares.

43. EXEMPLO 12EXEMPLO 12
Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo,
pelos 3 processos.
3 6
b)B
2 4
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
1 0 2
c)C 2 1 3
3 1 0
é ù
ê ú
ê ú=
ê ú
ê ú
ë û
1 4 7
d)D 2 5 8
3 6 9
é ù
ê ú
ê ú=
ê ú
ê ú
ë û
1 2
a)A
3 4
é ù
ê ú=
ê ú
ë û

44. SOLUÇÃO I SOLUÇÃO I
1
2
A.A I
-
= Þ
1
2
1 2
.A I
3 4
-
é ù
ê ú =
ê ú
ë û
2 x 2 2 x 22 x 2
1
x z
A
y w
-
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
1 2 x z 1 0
.
3 4 y w 0 1
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= Þ
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
x 2y z 2w 1 0
3x 4y 3z 4w 0 1
+ +é ù é ù
ê ú ê ú =
ê ú ê ú+ +ë û ë û
AGORA É
SÓ
RESOLVER
OS
SISTEMAS

45. 1 2 x z 1 0
.
3 4 y w 0 1
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= Þ
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
x 2y z 2w 1 0
3x 4y 3z 4w 0 1
+ +é ù é ù
ê ú ê ú =
ê ú ê ú+ +ë û ë û
x 2y 1 z 2w 0

3x 4y 0 3z 4w 1
+ = + =ì ì
ï ï
í í
ï ï+ = + =î î
1 21
3 40
1 20
3 41
-2-3 -21
y = 3/2
x = -2
w = -1/2
z = 1
1
x z 2 1
A
y w 3/2 1/2
-
-é ù é ù
ê ú ê ú= =
ê ú ê ú -ë û ë û

46. SOLUÇÃO II SOLUÇÃO II
1 2
A
3 4
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
1 2
;detA 1.4 2.3 2
3 4
= = - =-
( )
t1 1
M . M'
detM
-
= ( )
t1 1
A . A'
detA
-
=
1 1
11
A ( 1) .4 4
+
= - =
1 2
12
A ( 1) .3 3
+
= - =-
2 1
21
A ( 1) .2 2
+
= - =-
2 2
22
A ( 1) .1 1
+
= - =
t
4 3 4 2
A' (A')
2 1 3 1
- -é ù é ù
ê ú ê ú= Þ =
ê ú ê ú- -ë û ë û
1
4 2 2 1
1
A .
2
3 1 3/2 1/2
-
- -é ù é ù
ê ú ê ú= =
-ê ú ê ú- -ë û ë û

47. SOLUÇÃO III SOLUÇÃO III
1 2
A
3 4
é ù
ê ú=
ê ú
ë û
1 2 1 0
3 4 0 1
é ù
ê úÞ
ê ú
ë û
1 0 2 1
3 4 0 1
- -é ù
ê ú
ê ú
ë û
L1 = 2.L1 - L2
L2 = L2 + 3.L1
1 0 2 1
0 4 6 2
- -é ù
ê ú
ê ú -ë û
L1 = - L1
L4 = L4 : 4
1 0 2 1
0 1 3/2 1/2
-é ù
ê ú
ê ú -ë û
PERCEBERAM QUE
OS RESULTADOS
BATERAM ?

48. Está caindo
uma chuva de
Matrizes e
Determinantes!