Libro de álgebra

ejercicios de algebrq

1. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA









ÁLGEBRA




PRIMER SEMESTRE

2. ÁLGEBRA










Autores


Castro Peñaloza Ulises
Durán Muñoz María Alejandra
Felix Robles Maria Cristina
Fernández Corrales Marlen Aida
Gachuz Cuevas Ilyan
Nuñez Inda Elizabeth

3. PRESENTACIÓN

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es
una Institución que asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes,
creando espacios educativos para brindarles educación del nivel superior, con
calidad y en condiciones apropiadas para su formación.

CECyTE BC, oferta a los estudiantes opciones educativas, en donde pueden
encontrar el camino de la superación y el apoyo necesario que les permita, no solo
incursionar en el mercado laboral como profesionales técnicos, sino también, la
posibilidad de planear la continuidad de su formación académica en los espacios
universitarios.

El documento que tienes en tus manos, es producto del esfuerzo realizado entre el
personal docente de nuestro Colegio, para proporcionarte material de calidad para
tu formación.

Con la elaboración de la Guía de Álgebra, reiteramos nuestro compromiso de
continuar esforzándonos por facilitar a nuestros alumnos material didáctico de
calidad, que les permita hacer más ligera y efectiva la continuidad y permanencia
en sus estudios, para llevar a feliz término esta importante etapa de su formación.

4. PROPÓSITO FORMATIVO
1.1. Propósitos formativos de la asignatura
El propósito formativo de la materia de matemáticas es que el estudiante aplique
conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos contextos
(social, natural, científico y tecnológico, entre otros).

Así mismo el propósito formativo de la asignatura de álgebra es que el estudiante
desarrolle el razonamiento matemático y haga uso del lenguaje algebraico en la
resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto
matemático, representados por modelos donde se apliquen conocimientos y
conceptos algebraicos


1.2 Aprendizajes esperados

El estudiante identificará, comprenderá y aplicará potencias, porcentajes y,
razones y proporciones para el uso cotidiano, mediante el razonamiento
matemático, la resolución de problemas y expresarse por medio de formulas.


1.3 Contenidos actitudinales

 Libertad
 Justicia
 Igualdad
 Equidad
 Respeto
 Tolerancia
 Honestidad
 Disciplina
 Responsabilidad
 Lealtad
 Solidaridad
 Colaboración

5. 1.4 COMPETENCIAS QUE SE FAVORECEN
Competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en
cuenta los objetivos que persigue.
1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus
valores, fortalezas y debilidades.
1.2 Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y
reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo
rebase.
1.3 Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y
en el marco de un proyecto de vida.
1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
1.5 Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.
1.6 Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones
para el logro de sus metas.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus
expresiones en distintos géneros.
2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas,
sensaciones y emociones.
2.2 Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la
comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la
vez que desarrolla un sentido de identidad.
2.3 Participa en prácticas relacionadas con el arte.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.
3.1 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico,
mental y social.
3.2 Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de
distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo.
3.3 Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo
humano y el de quienes lo rodean.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,
matemáticas o gráficas.
4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus
interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que
persigue.
4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere
conclusiones a partir de ellas.

6. 4.4 Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.
4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para
obtener información y expresar ideas.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de
métodos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,
comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al
alcance de un objetivo.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y
relaciones.
5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a
una serie de fenómenos.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para
producir conclusiones y formular nuevas preguntas.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,
considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito
específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y
confiabilidad.
6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer
nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al
acervo con el que cuenta.
6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de
conocimiento.
7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y
dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y
obstáculos.
7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos
y su vida cotidiana.
7.4 Trabaja en forma colaborativa.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto
en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas
de manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y
habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

7. 8.4 Participa con responsabilidad en la sociedad.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad,
región, México y el mundo.
9.1 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
9.2 Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo
democrático de la sociedad.
9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de
distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la
participación como herramienta para ejercerlos.
9.4 Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual
y el interés general de la sociedad.
9.5 Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se
mantiene informado.
9.6 Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local,
nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global
interdependiente.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
10.1 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de
igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda
forma de discriminación.
10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y
tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias
circunstancias en un contexto más amplio.
10.3 Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración
y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones
responsables.
11.1 Asume una actitud que favorece la solución de problemas
ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.
11.2 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas,
políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global
interdependiente.
11.3 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y
largo plazo con relación al AMBIENTE.

8. Competencias disciplinares:
Matemáticas:
Las competencias disciplinares básicas de matemáticas buscan propiciar el
desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes.
Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas
puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos.

Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema
matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue
de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar
matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas
mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan
hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases.

Competencias:
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes
enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.

9. ESTRUCTURA DEL CURSO

10. ÍNDICE


UNIDAD 1.- CONCEPTO FUNDAMENTAL ARITMÉTICA Y FUNDAMENTOS DE
ÁLGEBRA.
Conceptos subsidiarios:
1.1 Leyes de los signos.
1.2 Fracciones propias, impropias y mixtas.
1.3 Conversión de fracciones impropias a mixtas.
1.4 Conversión de fracciones mixtas a impropias.
1.5 Operaciones con fracciones.
1.6 Razones
1.7 Simplificación de fracciones.
1.8 Porcentajes
1.9 Identificación de los elementos de una expresión algebraica
1.10 Representación algebraica en lenguaje común
1.11 Evaluación de expresiones algebraicas

UNIDAD 2.- EXPRESIÓN ALGEBRÁICA .
Conceptos subsidiarios:
2.1 Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
2.2 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común.
2.3 Evaluación de expresiones algebraicas.

UNIDAD 3.- OPERACIONES FUNDAMENTALES .
Conceptos subsidiarios:
3.1 Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios
3.2 Adición y sustracción de polinomios
3.3 Multiplicación de polinomios
3.4 División de polinomios


UNIDAD 4.- PRODUCTOS NOTABLES.
Conceptos subsidiarios:
4.1 Binomios conjugados
4.2 Producto de dos binomios cualesquiera
4.3 Binomios al cuadrado (�+�)
2

4.4 Binomios al cubo (�+�)
3

11. UNIDAD 5.- FACTORIZACIÓN.
Conceptos subsidiarios:
5.1 Por factor común a todos los términos
5.2 Por diferencia de cuadrados
5.3 De trinomios de la forma �
2
+��+�
5.4 De trinomios de la forma ��
2
+��+�
5.5 De una suma o diferencia de cubos.
5.6 Por agrupación.


UNIDAD 6.- EXPONENTES Y RADICALES .
Conceptos subsidiarios:
6.1 Exponentes enteros positivos.
6.2 Exponentes enteros negativos.
6.3 Exponente cero.
6.4 Exponentes fraccionarios positivos.
6.5 Exponentes fraccionarios negativos.
6.6 Suma y resta de radicales.
6.7 Multiplicación de radicales.

UNIDAD 7.- FRACCIONES ALGEBRAICAS
Conceptos subsidiarios:
7.1 Simplificación de fracciones algebraicas
7.2 Suma y resta de fracciones algebraicas
7.3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas

12. Evaluación diagnostica

13. Álgebra








Unidad 1

14. Unidad 1: Aritmética y fundamentos de álgebra.
Habilidades y destrezas:
El alumno identifica, comprende y aplica las leyes de los exponentes enteros y
fraccionarios, así como también las potencias y porcentajes para el uso cotidiano.

Conceptos subsidiarios:
 Leyes de los signos.
 Fracciones propias, impropias y mixtas.
 Conversión de fracciones impropias a mixtas.
 Conversión de fracciones mixtas a impropias.
 Operaciones con fracciones.
 Razones
 Simplificación de fracciones.
 Porcentajes
 Identificación de los elementos de una expresión algebraica
 Representación algebraica en lenguaje común
 Evaluación de expresiones algebraicas

15. Leyes de los signos
Las leyes de los signos se aplican según la operación que se realice. A
continuación, se presentan los posibles casos.

1. Suma y resta.

a) Números con mismo signo. El signo resultante es el signo en común.

Ejemplo 1:

5+3+100+3+3=114

Ejemplo 2:

−5−3−100−3−3=−114



b) Números con signo opuesto. Cuando en una expresión hay términos con
diferente signo, los términos se restan y el signo resultante es el signo del
número mayor.

Ejemplo 1:

1−3=−4

Ejemplo 2:

−2−3+7=−5+7=2





2. Multiplicación

16. Al multiplicar dos números cualesquiera, el signo resultante deberá ser acorde a lo
siguiente:

(+�)(+�)=+��
(+�)(−�)= −��
(−�)(+�)=−��
(−�)(−�)=+��


Ejemplo 1: Multiplicación de dos números positivos.
(4)(5)=20

Ejemplo 2: Multiplicación de un número positivo y uno negativo.

(4)(−5)=−20

Ejemplo 3: Multiplicación de un número negativo y uno positivo.

(−4)(5)=−20

Ejemplo 4: Multiplicación de dos números negativos.
(−4)(−5)=20



3. División.

Al dividir dos números cualesquiera, el signo resultante deberá ser acorde a lo
siguiente:


+�
+�
=+
�
�


+�
−�
=−
�
�


−�
+�
=−
�
�

17. −�
−�
=+
�
�



Ejercicio 1. Realice las siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos,
según se indique de forma grupal o individual.


De manera grupal.

1) 4+3+2+100+3+4+3=
2) 5+3+2+1+10+20=
3) −1.27−1.23−0.75=
4) 10+2−3+7=
5) 3.6+4.1+3.7+10.3=
6) −67+78−6+9−4=
7) 6+10−4+9−23=
8) 99−87+34=
9) −5+17+12−3=
10) 5−7+9−9+8=

De manera individual.

1) 4+3+17=
2) 17−35+40−4=
3) −102−87−8−13=
4) −9+33−14+8=
5) 40−13+28+7+5=
6) 10−
10
5
=
7) 12−
15
3
−4+1=
8) 20+
50
2
−110=
9) 18−5+48+100−15=
10) 6−4+9−7+2−1=

18. Ejercicio 2. Realice las siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos y
de acuerdo a la manera indicada.

De manera grupal:

1) (7)(−6)(5)=
2) (−5)(−1)(−10)(6)=
3) (−9)(−
150
10
)=
4) (4)(−6)(9)(−5)(7)=
5) −4(8)=
6) 8(9)(−8)(−5)=
7) (−8)(8)(8)=
8) (−13)(−5)=
9) (1)(8)(−12)=
10) (−5)(−9)(2)=


De manera individual:

1) (−10)(8)=
2) (−5)(7)(−3)(2)(−1)=
3) (−
10
2
)(180)=
4) (−6)(5)(−4)(1)=
5) (−9)(−8)=
6) 8(−9)(−5)=
7) −10(−9)(6)=
8) (4)(−8)(4)=
9) (−9)(−8)(3)(2)=
10) (8)(−340)=

19. Fracciones propias, impropias y mixtas
Una fracción representa una cantidad específica de porciones o de parte de un
todo. Se representa por una línea horizontal (
�
�
) u oblicua (��⁄).

Una fracción se conforma por:
�
�
=
���������
�����??????�����


Existen tres tipos de fracciones:
1. Propias. En el cual el numerador es menor al denominador.

Ejemplo:
2
7


2. Impropias. En el cual el numerador es mayor al denominador.

Ejemplo:
20
9


3. Mixtas. Se conforma por un entero y una fracción propia.

Ejemplo:
6
4
9

20. Conversión de fracciones impropias a mixtas
Para convertir una fracción impropia en una mixta, es necesario que el numerador
sea mayor que el denominador. Si esto se cumple, se debe se divide el numerador
entre el denominador, siendo el cociente el número entero y el residuo pasa a
formar parte del cociente en el numerador. El denominador de la parte fraccionaria
permanece igual.

Ejemplo 1. Convertir
20
3
a fracción mixta:
Al dividir 20÷3 da como resultado 6 (cociente) y el residuo es 2, por lo tanto la
fracción mixta es :
6
2
3


Ejemplo 2. Convertir
38
7
a fracción mixta:
Al dividir 38÷7 da como resultado 5 (cociente) y el residuo es 3, por lo tanto la
fracción mixta es :
5
3
7



Conversión de fracciones mixtas a impropias
El procedimiento para convertir fracciones mixtas a impropias consiste en
multiplicar la parte entera por el denominador de la fracción y el resultado se suma
al numerador de la fracción. El resultado de la suma es el numerador de la
fracción impropia, mientras que el denominador de la fracción mixta se conserva.

Ejemplo 1. Convertir 6
5
8
a fracción impropia.
Se multiplica el número entero por el denominador:

21. (8)(6)=48
Al resultado obtenido se le suma el numerador:
48+5=53
Este resultado se coloca como numerador de la fracción impropia, mientras que el
denominador no cambia:
53
8


Ejemplo 2. Convertir 10
1
7
a fracción impropia:
De la misma forma que el ejemplo anterior, se multiplica el denominador por el
número entero
(7)(10)=70
y al resultado se le suma el numerador:
70+1=71
Este resultado se coloca como numerador de la fracción impropia, mientras que el
denominador no cambia:
71
7


Ejercicio3. Convierta las fracciones impropias a mixtas y viceversa, según se
indica de manera grupal o individual.
De manera grupal.

Fracción impropia Fracción mixta
1. 100
7


2.
6
3
5

3. 9
4

22. 4.
8
9
17

5. 19
3


6.
10
1
5

7. 190
20


8.
2
18
26

9. 89
5


10.
15
4
9



De manera individual.

Fracción impropia Fracción mixta
1. 60
5


2.
9
4
5

3. 18
5


4.
8
109
130

5. 40
3


6.
1
18
25

7. 100
23


8.
3
15
28

9. 93
5


10.
5
7
25

23. Operaciones con fracciones

1. Adición y Sustracción

a) Denominadores iguales. Cuando los denominadores son iguales, los
numeradores se suman o restan, dependiendo de la operación y el
denominador queda igual.



Ejemplo 1.

1
8
+
3
8
=
1+3
8
=
4
8
=
1
2



Ejemplo 2.

4
7
−
3
7
=
4−3
7
=
1
7
=1



b) Denominadores diferentes. En este caso, se busca un denominador común.
Si no existe algún, los denominadores se multiplican.

Ejemplo 1:

7
5
+
2
15
=



En este caso, como los denominadores son múltiplos, se toma el
denominador más grande. Después, se divide el común denominador entre
el denominador de cada cociente, y el resultado se multiplica por el
numerador correspondiente.


(3)(7)+(1)(2)
15


Finalmente, se realizan las operaciones del numerador.

24. 21+2
15
=
23
15



Ejemplo 2.

3
5
−
2
13
=


En este caso, como los denominadores no son múltiplos, éstos se
multiplican. El resultado es el denominador común. Después, se divide el
denominador común entre el denominador de cada cociente, y el resultado
se multiplica por su numerador correspondiente.


(3)(13)−(5)(2)
65
=



Finalmente, se realizan las operaciones del numerador.


39−10
65
=
49
65



2. Multiplicación.

Esta operación es sumamente directa, sólo se debe multiplicar numerador por
numerador y denominador por denominador.


Ejemplo 1: Multiplicar
4
5
por −
3
6


(
4
5
)(−
3
6
)=−
12
30
=−
6
15
=−
2
5



Ejemplo 2. Obtener el producto de
7
8
y
3
4



(
7
8
)(
3
4
)=
21
32

25. 3. División.
Se multiplica el numerador del primer termino por el denominador del segundo
termino y se convierte en el nuevo numerador, luego se multiplica el denominador
del primer termino por el numerador del segundo termino y se convierte en el
nuevo denominador.

�
�
÷
�
�
=
��
��


Ejemplo 1:

3
4
÷
5
3
=
(3)(3)
(4)(5)
=
9
20



Ejemplo 2:
−4
10
÷
6
7
=
(−4)(7)
(10)(6)
=
−28
60
=
−14
30
=
−7
15




Ejercicio 4. Realice las siguientes sumas o restas con fracciones, de forma grupal
o individual, según se indica.

De manera grupal.

1)
1
6
+
3
6
=

2)
1
3
+
1
3
=

3)
2
7
−
3
7
+
5
7
=

4) −1
2
9
+2
1
9
+3
5
9
=

5)
1
7
+
2
7
+
4
7
=

26. 6)
3
5
−
5
8
=

7)
1
4
+
2
5
=

8)
3
4
+
1
5
−
2
3
=

9) 3
2
4
−5
1
5
−
5
3
=

10)
1
8
+
2
4
+
1
2
=


De manera individual.

1.
5
7
+
3
5
−
2
3
=

2. 2
1
5
+3
2
6
=

3. 3
2
5
+5
1
2
+3
4
7
=

4. 3
4
7
−2
1
6
=

5. 3
1
2
+5
3
4
+2
5
6
=

6.
1
10
+
3
10
=

7.
1
8
+
1
8
=

8. −
2
8
−
6
8
+
5
8
=

9.
2
9
+
6
9
+
25
9
=

10.
6
7
−
12
7
+
9
7
=

27. Ejercicio 5. Realice las siguientes multiplicaciones con fracciones, en forma
grupal o individual, según se indique.

De manera grupal.


1. (
1
8
)(
7
8
)=

2. (
3
4
)(
1
4
)=

3. (
1
2
)(
3
4
)(
5
6
)=

4. (
3
4
)(
3
4
)(
5
6
)=

5. (1
1
2
)(1
2
3
)=

6. (3
1
2
)(2
2
3
)(5
3
4
)=

7. (2
1
3
)(2
3
4
)(5
5
6
)=

8. (3
1
5
)(
5
8
)=

9. (4)(
5
4
)=

10. (5
2
3
)(3
1
2
)=

28. De manera individual.


1. (
1
8
)(
8
9
)=

2. (
−2
5
)(
11
4
)=

3. (
15
2
)(−
2
4
)(
5
7
)=

4. (
3
5
)(
−3
4
)(
2
6
)=

5. (
1
5
)(1
3
3
)=

6. (3
9
2
)(
2
7
)(
3
4
)=

7. (2
7
3
)(
3
4
)(
8
6
)=

8. (
11
8
)(
−9
8
)=

9. (5)(−
9
4
)=

10. (−
2
3
)(
1
2
)=



Ejercicio 6. Realice las siguientes divisiones con fracciones, en forma grupal o
individual, según se indica.
De manera grupal:

1)
8
9
÷
7
5
=
2)
−6
8
÷
2
5
=
3)
8
5
÷
1
2
=
4)
5
10
÷
−5
9
=
5)
7
9
÷
4
3
=
6) −
6
7
÷
−9
3
=
7)
9
8
÷
6
1
=
8)
6
5
÷6=

29. 9)
−6
9
÷
�
�
=
10)
�
�
÷
�
??????
=




De manera individual:

1)
9
7
÷1
4
5
=
2)
−6
9
÷
4
9
=
3)
8
9
÷
1
3
=
4) 1
1
9
÷
−3
9
=
5)
7
8
÷
8
7
=
6) −
5
8
÷
−4
3
=
7)
2
9
÷
6
8
=
8)
7
5
÷9=
9)
−5
9
÷
3
9
=
10)
4
7
÷
3
9
=


Razones y proporciones

La razón de dos números se obtiene mediante el cociente de ambos. La razón, es
utilizada cuando se desea comparar dos cantidades, y se puede representar de
las siguientes formas:

�
�
, �÷� , �∶�

donde:
�= ������??????�� ������ ����
�= ������??????�� ������,������� ����

30. Ejemplo 1. María asistió a 10 de 45 clases de música. ¿Cuál es la razón de clases
asistidas con respecto al total de las clases?

Solución:
������ � ��� ��� �� ��??????��??????ó
����� �� ������
=
10
45


La razón de clases asistidas con respecto al total de clases es
10
45



Ejercicio7. Resuelva los siguientes problemas según la manera que se indica.

De manera grupal:



1. Hugo, Paco y Luis desean saber quién es el que mejor salió en sus exámenes.
Hugo contestó correctamente 15 reactivos de 20, Paco 4 reactivos de 8 y Luis
12 reactivos de 18. ¿Quién es el que salió mejor en su examen?

2. La razón de ahorro de dinero de Pedro con respecto a su hermano Pablo es de
3:7. Entre los dos, llevan ahorrado $2500.00. ¿Cuánto lleva ahorrado cada
uno?


De manera individual:

1. La razón de dinero que le dan a Miguel con respecto a su hermano es de 5:2.
En total les dan $ 700.00. ¿Cuánto le dan a cada uno?

2. Un alumno asistió puntualmente a 15 de 25 clases en la materia de historia,
mientras que en la materia de biología asistió a 10 de 15 clases. ¿Cuál fue la
materia a la que mas asistió?

31. Simplificación de fracciones
Consiste en expresar una fracción o cociente mediante el numerador y
denominador más pequeños, siempre y cuando se mantenga la misma razón.

Ejemplo 1:
6
8
=
6÷2
8÷2
=
3
4


Ejemplo 2:
10
20
=
10÷10
20÷10
=
1
2


Ejercicio 8. Simplifica las siguientes fracciones. Realiza el ejercicio, ya sea de
forma grupal o individual, según se indica.

De manera grupal.

1)
10
15
=
2)
7
21
=
3)
9
33
=
4)
2
4
=
5)
20
100
=
6)
9
99
=
7)
150
10
=
8)
2
8
=
9)
3
24
=
10)
14
21
=

32. De manera individual.
1)
6
18
=
2)
25
150
=
3)
9
36
=
4)
5
25
=
5)
18
90
=
6)
12
48
=
7)
4
20
=
8)
21
112
=
9)
6
30
=
10)
8
72
=


Porcentajes
Es la razón de un número con respecto a 100, y se representa mediante el
símbolo %. El porcentaje es una operación que siempre va relacionada con alguna
otra cantidad. Para poder realizar operaciones con porcentajes, éste se debe
expresar mediante una facción o cociente, tal como se muestra en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 1. Si deseamos expresar el 15 %, lo hacemos mediante:
15
100
=0.15

El uso de porcentajes en situaciones de nuestra vida diaria es muy variado. A
continuación se presentan algunas situaciones en las que podemos aplicarlos.

33. Ejemplo 2. La mensualidad que debe de pagar Luisa en su escuela de baile es de
$950.00, pero si paga entre el 11 y el 15 de cada mes, le hacen un descuento del
15%. ¿Cuanto pagaría de mensualidad ya con el descuento?

Solución:
Primero, se determina cuánto es el 15% de los $950.00 de la siguiente forma:
950(0.15)=142.5

El 15% es el resultado de dividir 15 entre 100.

Posteriormente, se resta el 15% obtenido a la cantidad de $950.00.

950−142.5 =807.50

Luisa pagaría de mensualidad en su escuela de baile $807.50 ya con el
descuento.


Ejemplo 3. Por el 17vo. aniversario de una tienda departamental se ofrece un
descuento del 17 %. Fernanda fue de compras a la tienda y gastó $4580.75.
Conteste las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto fue lo que ahorro Fernanda?
b) ¿Cuánto fue lo que pagó Fernanda?
Solución:
El 17% de la cantidad gastada es:

34. 4580.75(0.17)=778.72
La cantidad que ahorró Fernanda es de $778.72. Con ello, se determina cuanto
fue lo que pagó:
4580.75−778.72=3802.02
Incluyendo el descuento, Fernanda pagó $3802.02.

Ejemplo 4. En un salón de 50 alumnos, en la materia de matemáticas, reprobó el
60%. De los alumnos reprobados, el 20% son mujeres. ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres reprobados hay?
Solución:
El primer paso, consiste en determinar el total de alumnos reprobados:

50(0.60)=30

De los 30 alumnos, se calcula, de manera individual la cantidad de mujeres y
hombres reprobados. La cantidad de mujeres reprobadas se calcula mediante:

30(0.20)=6
El resto de los alumnos reprobados, que es el 80%, corresponde a los hombres y
se calcula mediante:
30(0.80)=24

De los 50 alumnos en el grupo hay 30 reprobados, de los cuales 6 son mujeres y
24 hombres.

Ejercicio 9. Resuelva los siguientes problemas según la modalidad que se
indique.

35. De manera grupal:

1) María gana semanalmente $957.00, si le dan un aumento de salario del
7%, ¿Cuánto ganará María?

2) Para que un alumno tenga derecho a presentar un examen de geografía,
debe de tener el 80% de asistencia de las horas, en un curso de 45 horas.
¿Cuántas horas como mínimo deberá asistir el alumno para poder
presentar el examen?

3) Laura gana mensualmente $10,960.00. En su trabajo le hacen un
descuento del 15% por un préstamo, 10% por un ahorro y el 5 % por un
seguro. ¿Cuánto dinero le queda a Laura de su sueldo?

4) El sueldo de Enrique está destinado a un 30% en alimentos, 20% en
gasolina, 30% en gastos de vivienda, 10 % en diversión familiar y el 10 % lo
ahorra. En total Enrique gana $17,450.00 ¿Cuánto dinero gasta y cuánto
ahorra?

5) Héctor fue a E.U.A. y gastó en total $25.71 dólares. ¿Cuánto pagó en total
si el impuesto que se aplica es del 8%?

6) Adriana compró una computadora nueva en $5540.00, con un impuesto del
16% ya incluido. ¿Cuál es el precio de la computadora sin el impuesto?




De manera individual:

1. El 58% de los alumnos que asisten a la preparatoria Xochimilco, son mujeres.
¿Qué cantidad de mujeres hay en la preparatoria? según los datos de la
siguiente tabla:

Semestre Primero Tercero Quinto
Cantidad de alumnos 560 480 360

36. 2. Oscar acertó el 65% de las 40 preguntas en su examen de historia. ¿Cuántos
reactivos acertó?

3. Un equipo de futbol ganó el 60% de los juegos en el torneo local. Si en total
tuvieron 15 encuentros deportivos, ¿Cuántos juegos ganaron?

4. Juan compró una computadora a $5,950.00 más el iva del 16%, ¿Cuánto fue el
total que pagó por la computadora?

37. Álgebra









Unidad 2

38. Unidad 2: Expresión Algebraica.

Habilidades y destrezas:

Identifica y representa gráficamente mediante fórmulas los elementos de una
expresión algebraica.


Conceptos subsidiarios:

 Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común.
 Evaluación de expresiones algebraicas.

39. Identificación de los elementos de una expresión algebraica

Una expresión algebraica es la combinación de constantes y variables
combinadas entre si por medio de operaciones matemáticas.

Ejemplo 1:

Expresión algebraica Constante Variable
4� 4 �

Ejemplo 2:

Expresión algebraica Constante Variable
10�
2
10 �


Término algebraico
Es una expresión matemática conformada por signo, coeficiente, variable y
exponente.

Ejemplo 1:
−
2
3
�
2


Ejemplo 2:
5�
5
�
7



De manera general, se pueden expresar los elementos de un término algebraico,
de la siguiente forma

��
�


Un término algebraico puede ser positivo o negativo. El signo, de ser negativo, se
coloca antes del coeficiente. Cuando es positivo, es común que no se escriba.

Ejemplo 1:
−5�

40. Ejemplo 2:
25�


Las variables de un término algebraico se expresan mediante las letras. Por lo
general, se utilizan las últiimas letras del alfabeto para su representación.

Ejemplo 1:
2
3
�

Ejemplo 2:
−5��


El coeficiente de un término algebraico, el cual, se antepone a la variable, puede
ser representado por números o letras minúsculas. Cuando se utilizan letras,
generalmente son las primeras del alfabeto.

Ejemplo 1:
3�

Ejemplo 2:
���


El exponente se coloca en el extremo superior derecho de la variable, el cual
indica el grado de la expresión algebraica.

Ejemplo 1:
10�
2


Ejemplo 2:
3
4
�
2

41. En caso de que una expresión algebraica con un término tenga dos o más
variables, el grado se determina sumando los exponentes de las variables.

Ejemplo 1: Expresión de grado 9.
3�
2
�
7



Ejemplo 2: Expresión de grado 6.
��
2
�
3




Si una expresión algebraica contiene más de un término, el grado lo determina el
término con el grado mayor.

Ejemplo 1: Expresión de grado 7
�
4
�
3
+2�
3
�
3



Ejemplo 2: Expresión de grado 3
3��+2�
2
�


Clasificación de expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la cantidad de términos
que contienen. Estas pueden ser monomios, binomios, trinomios o polinomios.

Monomio: Expresión algebraica que contiene un solo término.

Ejemplo 1:
�

Ejemplo 2:
4�
2
�
3

42. Binomio: Expresión algebraica que contiene dos términos, donde cada término es
separado por un signo de suma o resta.

Ejemplo 1:
4�
2
+�
5


Ejemplo 2:
4�
5
�
7
−10�
2
�


Trinomio: Expresión algebraica que contiene 3 términos.

Ejemplo 1:
�
4
+�
3
−��
3


Ejemplo 2:
�
2
+�−5


Polinomio: Expresión algebraica que contiene 4 o más términos.

Ejemplo 1:
�
4
+6�
2
+3�+10

Ejemplo 2:
�
3
+4�
4
�
2
−�
2
+8�


Ejercicio 1. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas, como monomio,
binomio, trinomio o polinomio, según cada caso y en la manera que se indique.

43. De manera grupal.

Expresión algebraica Clasificación
1.
�
2
2
+�
4


2. 3�
3
−2�
2
�
2
+�
3
−5
3. �
3
+�
4
−3
4. �
5. 5�
5
+
3�
4
−6


De manera individual:

Expresión algebraica Clasificación
1. ��
4
+��
3

2. �+�+�
3. −10�
2
�
5
�
4. �
2
+3�
3
−5
5. �
4
�
2
+�
3
−�
2
−�
2
−1


Ejercicio 2. Identifique cada uno de los términos algebraicos de las expresiones
en la tabla. Realice el ejercicio según la manera que se indica.

De manera grupal.

Término Signo Coeficiente Variable Exponente
1. −4�
3

2. 3�
4
�
2
�
2

3. �
4. 5�
6
2


5. 15

44. De manera individual.

Término Signo Coeficiente Variable Exponente
1. −9�
2
�
6

2. 5��
7
4


3. �
3
�
5
�
2

4. 4
6


5. �



Ejercicio 3. Identifique el grado de las expresiones algebraicas. Realice la
actividad según la manera que se indica.

De manera grupal.


Expresión algebraica Grado
1. �
2
+�
3

2. 4�
2
�
2
+2�
3
�
4

3. �
10
+�
5
�
3
−4�
2
�
2

4. ��
4
+�
4
�
6
−4
5. 5�
5
�
6
−�
2
�
3
�
4
+3�
4
�
7
�
4




De manera individual.

Expresión algebraica Grado
1. �
3
�
4
+�
4

2. 2�
3
�
5
+5�
4
�
6
−4�
4
�
2
�
3

3. 9��
3
�
5
+10�
4
�
5
�
4. 3�
2
�
4
�
3

5. 5�
5
�
5
+3�
4
�
3
−3�
4
�
7

45. Representación algebraica de expresiones en lenguaje común

El lenguaje algebraico consiste en representar por medio de números y letras

Ejemplos:

Lenguaje algebraico Lenguaje común
2� El doble de un número
� Un número cualquiera
�
4

La cuarta parte de un número
�
3
El cubo de un número
�+�+� La suma de tres números diferentes
��
5

La quinta parte del producto de dos números
4�
2
El cuádruplo del cuadrado de un número
√�� La raíz cuadrada del producto de dos números
�+�
2

La semisuma de dos numeros
3�−5 El triple de un número menos cinco



Ejercicio 4. Complete la tabla siguiente, ya sea escribiendo la expresión
algebraica o describiendo la expresión utilizando lenguaje común. Realice la
actividad según la manera que se indica.

De manera grupal.

Lenguaje algebraico Lenguaje común
1. La mitad de la diferencia de dos números
2. �
3
10


3. El triple del producto de tres números
diferentes
4.
�+
�
5


5. El quíntuple de un número al cubo menos
seis
6. √�−�
5

46. 7. El cubo de la suma de dos números
8. (3�)
2

9. El producto de cuatro números diferentes
10. (�+�)
2



De manera individual.

Lenguaje algebraico Lenguaje común
1. El triple de un número más la quinta
parte de otro
2. �
3
−4
3. Cinco veces un número cualquiera
4. √�−�
3

5. La diferencia del doble de un
número y la tercera parte de otro
6. 3
5
(�−2)

7. El cuadrado de numero menos la
décima parte de un numero al cubo
8. �− 7
9. Tres números diferentes cuya suma
da 100
10. ����

47. Símbolos de agrupación

Considere la siguiente expresión:

{
1
3
−1[√25−3(5+4
2
)]}

Las llaves, corchetes y paréntesis que aparecen en ella, se utilizan como símbolos
de agrupación para indicar el orden en que deben realizarse las operaciones.

Reglas de los símbolos de agrupación:

 Cuando el signo de agrupación esta precedido por el signo “+” dicho
símbolo puede ser eliminado sin modificar los términos que contiene.
 Cuando el signo de agrupación esta precedido por es signo “-” dicho
símbolo puede ser eliminado cambiando el signo de cada uno de los
términos que contiene.
 Si una expresión algebraica contiene una o más pares de símbolos de
agrupación, encerrado en otro par, para eliminarlos se comienza con los
símbolos anteriores.
 Si una expresión algebraica contiene signos de agrupación que indican
multiplicación, suma y resta al mismo nivel, la operación que debe
efectuarse es la multiplicación.

Ejemplo 1. Simplifica la expresión [2−4(3+4)]

[2−4(7)]=
[2−28]=
[−26]=
−26

Ejemplo 2. Simplifica la expresión {5+[2−4(7)]}

{5+[2−4(7)]}=
{5+[2−28]}=
{5+[−26]}=
{5−26}=
21

48. Ejemplo 3. Simplifica la expresión {6−1[4+2(4−
10
5
)]}
{6−1[4+2(4−
10
5
)]}=
{6−1[4+2(4−2)]}=
{6−1[4+2(4)]}=
{6−1[4+8]}=
{6−1[12]}=
{6−12}=
−6




Ejemplo 4. Simplifica la expresión {
1
3
−1[√25−3(5+4
2
)]}=

{
1
3
−1[√25−3(5+16)]}=
{
1
3
−1[5−3(21)]}=
{
1
3
−1[5−63]}=
{
1
3
−1[−58]}=
{
1
3
+58}=
58
1
3




Ejercicio 5. Simplifica las siguientes expresiones, según la manera en que se
indica.

De manera grupal.

1. {−1+9[8−
5
3
(3−7)]}=

49. 2. 3{√100−3[
15
3
−(√36−4)]−5}=
3. {3−6[5−1(15−
9
3
)]}+3=
4. −
1
4
{6−1[4+2(4−
10
5
)]}=
5. 5−{
√16
2
−2[7(
20
4
−
1
2
)+3(4−
10
5
)]}=
6. {
3
5
+1[1(5+5
2
)−√625]}+1=
7. {
1
6
−1[√49−
1
2
(2+2
3
)]−
1
6
}=
8. {3−4[6−2(5−
3
4
)
2
]+3}=
9. −5{4−[5(
3
4
−
1
4
)
2
−3(2−
9
3
)
3
]+2}=
10. {
1
4
−1[√64−
1
2
(3+7)]−
1
2
}=





De manera individual.

1. {
1
4
−6[−
1
2
(2+2
3
)−√400]}+1=
2. {
3
9
−3[√16−
1
2
(2+2
3
)]−
1
6
}=
3. {5−5[1−8(1−
1
2
)
2
]−5}=
4. −1{3−[2(
1
4
−
1
4
)
2
−1(3−
9
3
)
3
]+2}=
5. {
1
4
−1[√64−
1
2
(3+7)]−
1
2
}
6. {−1+9[8−
5
3
(3−9)]}=
7. 2{√81−2[
20
5
−(√16−4)]−2}=
8. {1−4[−
6
3
(6−
9
3
)]}+9=
9. −
1
4
{6−1[4+2(4−
10
5
)]}=
10. 2−{
(√4 )
2
2
−2[7(
2
3
−
1
2
)−2(3−
12
3
)]}=

50. Evaluación de expresiones algebraicas

Consiste en sustituir una variable en la expresión algebraica por un valor. Una vez
sustituida esa variable, se realizan las operaciones con ese número.


Ejemplo 1. Evaluar la expresión algebraica �+�−3�=

Cuando:
�=2
�=1
�=3

�+�−3�=

Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión:
�+�−3�=
2+1−3(3)=

Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando:
2+1−9 =
3−9=
−6

Resultado = -6


Ejemplo 2. Evaluar la expresión algebraica 4�−3�−4�−�
2
=:

Cuando :
�=−1
�=1
�=−5

4�−3�−4�−�
2
=

Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión:

51. 4�−3�−4�−�
2
=
4(−1)−3(1)−4(−5)−(1)
2
=

Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando:
−4−3+20−1=
−7+20−1=
−8+20=
12

Resultado = 12

Ejemplo 3. Evaluar la expresión algebraica
�+�−3�
�−1
=:

Cuando:
�=−1
�=−3
�=−2

�+�−3�
�−1
=

Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión:
−1−3−3(−2)
−3−(−1)
=

Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando:
−1−3+6
−3+1
=

−4+6
−2
=

2
−2
=

−1

Resultado = -1

52. Ejemplo 4. Evaluar la expresión algebraica �+�{�
2
−�(�−�)}+�=:
Cuando:

�=3
�=−3
�=10

�+�{�
2
−�(�−�)}+�=

Se sustituyen los valores de a,b,c y d en la expresión:
�+�{�
2
−�(�−�)}+�=
3−3{(−3)
2
−10(3−(−3))}+3=

Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando:

3−3{9−10(3+3)}+3=
3−3{9−10(6)}+3=
3−3{9−60}+3=
3−3{−51}+3=
3+153+3=
159

Resultado = 159

Ejemplo 5. Evaluar la expresión algebraica
�
2
+�
2
−�
�
+
�
�
=:
Cuando:
�=10
�=3
�=−1

�
2
+�
2
−�
�
+
�
�
=

Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión:

�
2
+�
2
−�
�
+
�
�
=

53. 10
2
+3
2
−(−1)
10
+
3
10
=

Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando:

100+9+1
10
+
3
10
=


110
10
+
3
10
=

113
10


Resultado =
113
10


Ejercicio 6. Resuelve las siguientes expresiones sustituyendo el valor de cada
variable.

De manera grupal:
1) Cuando:
�=−2
�=4
�=6

�
�
+
��
�
=

2) Cuando:
�=2
�=−3
�=−4

�
2
−�
3
+5+3�−�=

3) Cuando :
�=10
�=−9

54. �=−8
�=5

�+�+
��
�
+3�(5�)−�=

4) Cuando:
�=2
�=3
�=−4

(�)(
�
�
)(
4�
�
)(
5
4
)=

5) Cuando:
�=2
�=3
�=−5
�=−3

�+�{
4�
�
(3�−�)}
2
+��+10=

6) Cuando:
�=10
�=−10

4��+
3��
�


7) Cuando:
�=8
�=2
�=−2

2��−4��+�
2
2��
=

8) Cuando :
�=−3
�=−5

55. �=−1

�{4�(3�−10)−3�}+�−��=

9) Cuando :
�=2
�=3
�=6

1
�
+
2
��
+
2�
3�
=

10) Cuando :
�=−5
�=7
�=10

�+��−3�+4�
5�+5�+2
=


De manera individual:

1) Cuando :
�=2
�=3
�=−7

�
2
−3�+4�−3��=

2) Cuando :
�=2
�=3
�=5

4�
2
−�
2
+�−1
−(�
2
+�−�
2
)
=

3) Cuando:
a = 3
b = 10

56. {�+�[�−�(3�)]−4�}+10−��=

4) Cuando:
a = 3
b = 5
c = -4

4��
2
−3��
2
+�
2
�
2
+10=

5) Cuando:
a = 3
b = 5
c = -1
d = -10

−10(
3�
�
)(
�
�
)(
��
�
)=

6) Cuando:
a = -6
b = -4
c = -3

−(�
2
�+4−�
2
+3�
3
)=

7) Cuando:
a = 2
b = -2
c = 3

�+�−2��+�
2
=

8) Cuando:
a = 4
b = -2
c = 1

�
�
+
�
2
�
−
�
�
=

57. 9) Cuando:
a = 3
b = -5
c = 2

(
�
�
)(
3
�
)(
�
2
�
)(
�
�
)=

10) Cuando:
a = 2
b = -3
c = 7

{4�−10�+(10�−�)+
�
�
−10}=

58. Álgebra









Unidad 3

59. Unidad 3: Operaciones fundamentales.
Habilidades y destrezas:
Comprende las operaciones fundamentales y las aplica en la vida cotidiana.

Conceptos subsidiarios:
 Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios
 Adición y sustracción de polinomios
 Multiplicación de polinomios
 División de polinomios

60. Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios
Un exponente es un número utilizado para indicar el número de veces que otro
número (base) será multiplicado por sí mismo, ejemplo:

�
�

�=����
�=���������

Ejemplo 1.

3
4
=(3)(3)(3)(3)=81

Ejemplo 2.

�
4
=(�)(�)(�)(�)



Leyes de los exponentes

Primera ley: Producto de bases iguales con exponentes diferentes.

�
�
�
�
=�
�+�


Ejemplo 1.

�
3
�
6
=�
3+6
=�
9


Ejemplo 2.

(2
2
)(2
3
)=2
2+3
=2
5
=32



Segunda ley: Producto de bases diferentes elevadas a un mismo exponente.

(��)
�
=�
�
�
�

61. Ejemplo 1.

(��)
3
=�
3
�
3


Ejemplo 2.

[(2)(4)]
3
=2
3
4
3
=(8)(64)=512

Tercera ley: Base elevada a un exponente y todo esto elevado a otro exponente.
(�
�
)
�
=�
��


Ejemplo 1.
(�
2
)
3
=�
(2)(3)
=�
6

Ejemplo 2.

(2
3
)
4
=2
(3)(4)
=2
12


Cuarta ley: Una fracción elevada a un exponente.
(
�
�
)
�
=
�
�
�
�


Ejemplo 1.
(
�
�
)
3
=
�
3
�
3

Ejemplo 2.
(
3
2
)
3
=
3
3
2
3
=
(3)(3)(3)
(2)(2)(2)
=
27
8

62. Ejemplo 3.
(
24
6
)
4

Observamos que al dividir 24 entre 6, nos da un número entero, entonces será
más sencillo desarrollar la potencia.
(
24
6
)
4
=(4)
4
=(4)(4)(4)(4)=256

También podemos desarrollar la expresión de acuerdo con la cuarta ley.

(
24
6
)
4
=
24
4
6
4
=
7962624
1296
=256

Obteniendo así, el mismo resultado.

Quinta ley: El cociente de potencias con la misma base, pero cada una elevada a
diferentes exponentes.
�?????? �>�
�
�
�
�
=�
�−�

Ejemplo 1.
�
6
�
3
=�
6−3
=�
3

Ejemplo 2.
5
4
5
2
=5
4−2
=5
2
=25

�?????? � >�

1
�
�−�

63. Ejemplo 1.
�
3
�
7
=
1
�
7−3
=
1
�
4

Ejemplo 2.
2
3
2
5
=
1
2
5−3
=
1
2
2
=
1
4



Sexta ley: Base elevada a un exponente negativo.
�
−�
=
1
�
�

1
�
−�
=�
�

Ejemplo 1.
�
−4
=
1
�
4


Ejemplo 2.
1
5
−2
=5
2
=25

Séptima ley: Base elevada a un exponente cero siempre será igual a uno.
�
0
=1

Ejemplo 1.
(
�
�
)
0
=1
Ejemplo 2.
45
0
=1

64. Ejemplo 3.
(
6
58
6
58
)=6
58−58
=6
0
=1



Ejercicio 19: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las leyes de los
exponentes para la multiplicación, de manera grupal o individual, según se
indique.

Observa el ejemplo resuelto.
(2)
2
(2)
3
=2
2+3
=2
5
=(2)(2)(2)(2)(2)=32

De manera grupal
1) (9
2
)
2
=
2) [(2)(2)(2)]
4
=
3) (3
3
)(3
2
)(3
2
)=
4) (7
3
)
3
=
5) (10
2
)
3
=

De manera individual
1) (4
2
)
3
=
2) [(3)(5)]
2
=
3) (5)
2
(5)
3
=
4) (3
2
)
3
=
5) [(2)(3)(4)]
5
=

65. Ejercicio 20: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las leyes de los
exponentes para la división, y de forma grupal o individual, según se indique.
Observa los ejemplos resultos que se muestran a continuación:

Ejemplos 1.
(
15
20
)
2
= (
3
4
)
2
=
3
2
4
2
=
(3)(3)
(4)(4)
=
9
16


Ejemplos 2.
50
3
50
5
=
1
50
5−3
=
1
50
2
=
1
(50)(50)
=
1
2500


De manera grupal
1) (
600
50
)
2
=
2)
7
5
7
4
=
3)
20000
10
20000
10
=
4) (
4
10
)
4
=
5) (7 777 777)
0
=

De manera individual
1.
5
7
5
4
=
2. (
14
28
)
3

3. (
1564
36
)
0

4.
4
6
4
10
=
5. (
144
36
)
2
=

66. Exponentes fraccionarios
Para obtener la raíz de una potencia, se necesita dividir el exponente del
radicando entre el índice de la raíz. Si la división no es exacta, solo se deja
indicada dando como resultado un exponente fraccionario.
√�
�
�
=�
�
�

Ejemplos de enésima raíz de un número

Radical Exponente
√�
�
1
2
√�
3

�
1
3
√�
4

�
1
4
√�
5

�
1
5
. . . . . .
√�
�

�
1
�


Ejemplos de exponentes fraccionarios:
Radical Exponente Entero
√64
64
1
2
8
√81
81
1
2
9

Cuando el numerador es diferente a 1:






Radical Exponente Resultado
√9
9
1
2
3
√9
2
3
9
2
3
��������� �����??????����??????�
√6
4
8
16
4
8 16
1
2=4
√8
6
8
6
2
8
3
=512
√7
4

7
1
4
��������� �����??????����??????�

67. Ejercicio 21: Expresa en forma fraccionaria (simplificada) los siguientes radicales.
De manera individual
1) √9
8
16
=

2) √6
4
=
3) √3
4
5
=
4) √4
9
3
=
5) √7
18
6
=




Ejercicio 22: Expresa en forma de radical los siguientes exponentes fraccionarios.
Si es posible simplifica el exponente fraccionario.
De manera individual
1) 6
1
2
⁄
=
2) 24
6
4
⁄
=
3) 5
12
6
⁄
=
4) 12
16
12
⁄
=
5) 3
10
4
⁄
=

68. Adición y sustracción de polinomios

ADICIÓN
I) Monomios: Para sumar monomios semejantes se suma n sus coeficientes
numéricos, conservando en el resultado el mismo factor literal.
Ejemplos:
1) 8�+(−7�)+(5�)+(−3�)=
Primero quitamos los paréntesis, realizando la multiplicación de signos
8�−7�+5�−3�=
Después realizamos la reducción de términos semejantes para obtener el
resultado
5�−7�+5�

2) 5�+(−8�)+(7��)+(−5�)+(−9�)=5�−8�−7�−5�−9�=
−2�−13�−9�

II) Polinomios: Para sumar varios polinomios se colocan los polinomios uno
debajo de otro, de tal forma que los términos semejantes queden en columnas, se
realiza la reducción de los términos, separándolos unos de otros con sus propios
signos.
Ejemplos:
1) Sumar las siguientes expresiones: �−�,2�+3�−�,−4�+5�=
�−�
2�+3�−�
−4�+5�
−�+7�−�

69. 2) Sumar: 3�+5�−2�,6�−3�+8�,6�+4�−2�=
3�+5�−2�
6�−3�+8�
6�+4�−2�
15�+6�+4�



3) Sumar: (−3�+4��−2�)+(5�−��+�−3�)
quitamos paréntesis y ordenamos los términos:
−3�+4��−2�
�−��+5�−3�
−2�+3��+3�−3�



4) Sumar: −3�
2
+5�−4,4�
3
−5�
2
+2�+1
−3�
2
+5�−4
4�
3
−5�
2
+2�+1
4�
3
−8�
2
+7�−3

70. 5) Sumar: 9+5�
3
−4�
2
+�,4�
2
−3−2�=



Ejercicio 23: Resuelve las siguientes operaciones indicadas; primero ordena la
expresión.
De manera grupal
1) �
3
– �
2
+ x – 1 + �
2
– x + 1 =
2) 4�
2
+ 6x + 7�
2
– 11x =
3) 7�
2
z – 16xy + 2xy – 3z�
2
=
4)
1
4
�
2
+ 4yz – 3z +
2
3
�
2
−
1
8
yz =
5) (15�
2
+ 12xy + 20) – (9�
2
+ 10xy + 5)=
6)(14�
2
y + 3�
2
– 5y + 14) + (7�
2
y + 5�
2
– 8y + 10)=
7) (4x + 5�
2
w + 7z) – (8x + 3z + 2�
2
w)=
8) (– 3�
3
+ 5�
2
– x) + (7�
2
y + 5�
2
– 8y + 10)=

71. De manera individual
1) 2�+(−3�)−(4�)−(−6�)
2) 12�
2
�
2
+10��+3�
2
�
2
−5��=
3) 4�
2
�−5��+2��−��
2
=
4) – 3x�
2
+ �
2
y –
1
2
�
2
y +
2
3
�
2
y =
5) (2�
2
+ 6x + 5) + (3�
2
− 2x – 1)=
6) (8�
2
+ 4x + 12) + (2�
2
+ 7x + 10)=
7)(−5�
2
– 10x – 7y + 2) + (3�
2
– 4 + 7x)=
8) (3�
2
+ 2xy – 7) + (7�
2
– 4xy + 8)=


SUSTRACCIÓN
I) Monomios: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados y se reduce los términos semejantes.
Ejemplos:
1) Restar −3� de −18�=−18�−(−3�)=−18�+3�=−15�
2) Restar −2�
2
� de −6�
2
�=−6�
2
�−(−2�
2
�)=−6�
2
�+2�
2
�=−4�
2
�

72. II) Polinomios: Cuando se restan polinomios hay que restar del minuendo cada
uno de los términos del sustraendo cambiándoles los signos.
Ejemplos:
1) Restar (−3�+4��−2�) de (5�−��+�−3�)


(5�−��+�−3�)−(−3�+4��−2�)
Ordenamos términos, y realizamos la reducción:


2) Restar (2�−5�−6) de (2�−3�−4�+6)


Sustraendo Minuendo

73. 3) Restar (−3�+4�−5�) de (−3�+3�+�)

4) Restar (−�+2�+2�) de (−2�+4�−5�)

74. 5) Restar (−3�
3
+5�
2
−�) de (5�
3
−6�
2
)



Ejercicio 24: Realiza lo que se te pide.
De manera grupal
1) Resta (3x −4y) de (5x + 2y)=
2) Resta (4�
2
– 10x + 4) de (– 4x + 5 – 3�
2
)=
3) Resta (– 8x + 18xy – 4y) de (– 5y + x)=
4) Resta (4xy + 2y + 2�
2
) de (– 4�
2
– 8xy)=
5) Resta (10�
2
– 2�
3
) de (– 3�
3
+ 18�
2
)=
6) Resta (–5x + 7�
3
– 4 + 2�
2
) de (–9 + 3x – 2�
2
– 5�
3
)=
7) Resta (3�
3
– 5�
2
+ 4x −8) de (–7x + 9�
3
– 8 + 5�
2
)=
8) Resta (
2
3
x −
1
8
y) de (
3
4
y +
1
2
x)=

De manera individual
1) (8x) – (6x) =
2) 38xy – (–8xy) =

75. 3) –17 x – (–3 x) =
4) –8x�
2
– (16 x�
2
) =
5) Restar (4�
2
+ 8�
3
–7) de (–8�
3
+ 3x –2�
2
) =
6) Restar (–3x – 5y + 4z) de (2x – 7y + 4z)=
7) Restar (6�
2
– 6�
3
+ 5x) de (–4 + 6�
2
– 3�
3
)=
8) Restar (4x + 8y – 9z) de (–5x +y –z)=



PRODUCTO

PRODUCTO DE MONOMIOS
Para multiplicar monomios:
I) Se aplica la ley de los signos,
II) Se multiplican los coeficientes,
III) y debes tener en cuenta la ley de los exponentes, bases iguales que se
multiplican los exponentes se suman �
�
∙�
�
=�
�+�

Ejemplos:
1) (−��)(2�)=−2���
2) (3�)(−��)=−3�
2
�
3) (−4��)(−5�
2
)=+20�
3
�
4) (5�
2
�)(−���)=−5�
3
�
2
�
5) (−
2
3
��
3
�
2
)(
4
5
�
2
��
3
)=−
8
15
�
2
�
3
�
4
�
5

76. PRODUCTO DE MONOMIO POR POLINOMIO
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada
uno de los términos del polinomio y se suman los resultados. Recuerda ordenar
los términos.
Ejemplos:
1) (−2�)(5�
2
−3�+4)
Multiplicando el monomio por cada término del polinomio.
(−2�)(5�
2
)=−10�
3

(−2�)(−3�)=6�
2

(−2�)(4)=−8�

Por lo tanto la solución de la multiplicación es:
(−2�)(5�
2
−3�+4)=−10�
3
+6�
2
−8�
Ejemplos;
1) (−5�)(−2�+3��−5�)=10��−15��
2
+25�
2

2) (−3��)(2�−3�+4�
2
�)=−12�
3
�
2
−6�
2
�+9��
2

3) (2��+5��
2
+�
3
)(��
2
)=2�
2
�
3
+5�
2
�
4
+��
5

4) (
3
5
�
2
)(−21�
2
−20�+8)=(−
63
5
�
4
−12�
3
+
24
5
�
2
)

77. PRODUCTO DE POLINOMIO POR POLINOMIO
Para poder multiplicar un polinomio por otro.
a) Se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por los términos
del segundo.
b) Al ir multiplicando se acomodan los términos semejantes en columnas.
c) Se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal
En forma vertical

78. En forma horizontal
3) Efectúa la siguiente operación (�
2
−4�+6)(7�
2
−5�−2)
Multiplicamos cada término del primer polinomio por los términos de segundo
polinomio
(�
2
)(7�
2
−5�−2)=7�
4
−5�
3
−2�
2

(−4�)(7�
2
−5�−2)=−28�
3
+20�
2
+8�
(6)(7�
2
−5�−2)=42�
2
−30�−12
Los ordenamos en forma horizontal
7x
4
−5x
3
−2x
2
−28x
3
+20x
2
+8x+42x
2
−30x−12
Realizamos la reducción de términos semejantes
7x
4
−33x
3
+60x
2
−22x−12

79. 4) Realiza la siguiente multiplicación (�
2
+3��+6)(2�
2
+��+2)
(x
2
)(2x
2
+xy+2)=2x
4
+x
3
y+2x
2

(3xy)(2x
2
+xy+2)=6x
3
y+3x
2
y
2
+6xy
(6)(2x
2
+xy+2)=12x
2
+6xy+12
2x
4
+x
3
y+2x
2
+6x
3
y+3x
2
y
2
+6xy+12x
2
+6xy+12=
2x
4
+7x
3
yx+14x
2
+12xy+12

5) Resuelve la siguiente multiplicación (−
2
3
�
2
+
1
5
�−3)(
3
4
�
2
−�+
3
2
)
(−
2
3
�
2
)(
3
4
�
2
−�+
3
2
)=(−
6
12
�
4
+
2
3
�
3
−
6
6
�
2
)
�??????���??????�??????����� (−
2
3
�
4
+
2
3
�
3
−�
2
)
(
1
5
�)(
3
4
�
2
−�+
3
2
)=(
3
20
�
3
−
1
5
�
2
+
3
10
�)
(−3)(
3
4
�
2
−�+
3
2
)=(−
9
4
�
2
+3�−
9
2
)

Reducimos términos semejantes
(−
1
2
�
4
+
2
3
�
3
−�
2
)+(
3
20
�
3
−
1
5
�
2
+
3
10
�)+ (−
9
4
�
2
+3�−
9
2
)
(−
1
2
�
4
+
49
60
�
3
−
69
20
�
2
+
33
10
�−
9
2
)

80. Ejercicio 25: Realiza las siguientes operaciones. Si es posible simplifica las
fracciones en los números racionales.
De manera grupal
1) (��
3
+ 3x − y) (�
3
)
2) (�
3
− 3�
2
+ 1) (x)
3) (2x + 3y) (3x + 2y)
4) (5x −2y) (6x −3y)
5) (4�
2
y− 6x�
2
+ �
3
) (3�
2
y − 2�
3
)
6) (�
2
− 2xy + �
2
) (x − y)
7) (8�
3
– 9�
3
+ 6x�
2
– 12�
2
y) (2x + 3y)
8) (6�
2
+ 2�
2
– 5xy) (3�
2
– 4�
2
+ 2xy)

De manera individual
1) (− 6�
3
�
4
z)(4�
2
y�
3
)=
2) (4�
5
�
2
)(− 2�
7
�)=
3) (−4�
2
�
3
)(6x�
3
)(−
1
6
x)=
4) (−4�
2
�
4
) (− 6x�
2
+ 10�
3
y) =
5) (− 6�
3
+ 4x�
2
– 10) (− 4�
2
y) =
6) (
2
3
�
2
)(−
1
6
�
3
�
2
−
4
9
�
2
+��
2
)=
7 (2�
2
y + 3x�
2
+ �
3
) (5�
2
y − �
3
) =
8) (3�
3
– 4�
2
– x) (− 5�
2
+ 3x – 2) =

81. COCIENTE

Para dividir dos monomios
I) Se aplica la ley de los signos,
II) Dividir los coeficientes,
III) Debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base.
(
�
�
�
�
)=�
�−�


IV) Recuerda que los exponentes siempre deberán expresarse como positivos.
Ejemplos:
1) Divide 24�
4
�
2
�
3
entre 8��
24�
4
�
2
�
3
8��
=
24
8
�
4−1
�
2−1
�
3
=3�
3
��
3




2) Dividir 4�
2
�
4
� entre (−6�
3
�
2
�
4
)
4�
2
�
4
�
−6�
3
�
2
�
4
=
4
−6
∙
�
2
�
3
∙
�
4
�
2
∙
�
�
4
−
4�
4−2
6�
3−2
�
4−1
=
4�
2
6��
3

�??????���??????�??????�����=−
2�
2
3��
3

82. Polinomio entre monomio

Al igual que en la multiplicación, se divide cada uno de los términos del
polinomio entre el monomio y se siguen las mismas reglas de signos y exponentes
que se dieron en la división de monomios.

Ejemplos:
1) Divide (5�
2
+25�
4
−15�
3
) entre (−5�)

a) Ordenamos términos
(25�
4
−15�
3
+5�
2
) entre (−5�)

b) Se escribe cada término en forma de fracción

25�
4
−5�
−
15�
3
−5�
+
5�
2
−5�


Se lleva a cabo la división de coeficientes y signos, y se simplifican los
exponentes.
−5�
4−1
+3�
3−1
−1�
2−1
=−5�
3
+3�
2
−�
2) Dividir (35�
3
��−25�
2
�
3
�−15�
3
�
3
�
3
) entre (5�
3
�
3
�
3
)


35�
3
��
5�
3
�
3
�
3
−
25�
2
�
3
�
5�
3
�
3
�
3
−
15�
3
�
3
�
3
5�
3
�
3
�
3
=

7�
3−3
�
3−1
�
3−1
−
5�
3−3
�
3−2
�
3−1
−3�
3−3
�
3−3
�
3−3
=

7�
0
�
2
�
2
−
5�
0
��
2
−3�
0
�
0
�
0
=

7
�
2
�
2
−
5
��
2
−3

83. Polinomio entre polinomio
Para dividir 2 polinomios es necesario realizar lo siguiente:
a) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se resta el
dividendo (cambiar los signos).
c) Se repiten los pasos (a) y (b) hasta que ya no se pueda dividir.

Ejemplos:
1) Divide (6�
2
−�−15) entre (2�+3)
2�+3√6�
2
−�−15

a) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor

6�
2
2�
=3� (Primer término del cociente)

3�
2�+3√6�
2
−�−15
b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se reduce el
dividendo (cambiando sus signos).
(2�+3)(3�)=6�
2
+9�

84. c) Se repite el paso (a) ahora con el nuevo dividendo que es −10�−15
−
10�
2�
=−5 Segundo término del cociente



Se multiplica el −5 por el divisor y se resta el resultado del dividendo.
(2�+3)(−5)=−10�−15
Cambiando signos =10�+15

85. Ejercicio 26: Realiza las siguientes divisiones. Las fracciones deberán ser
simplificadas.
De manera grupal
1) (12�
3
)÷ (4x)=
2) (18�
6
�
2
�
5
) ÷ (6�
3
��
2
)=
3) (36�
3
�
7
�
4
) ÷ (12�
2
�
2
)=
4) (6�
3
�
4
�
2
) ÷ (3�
2
�
2
�
2
)=
5) (24�
5
�
4
+ 18�
4
�
5
– 48�
10
�
3
) ÷ (6�
2
�
3
) )=
6) (12�
3
�
5
+ 18�
5
�
7
– 48�
12
�
5
) ÷ (3�
2
�
2
)=
7) (1500�
3
�
2
�
4
+ 1000�
4
�
3
�
3
– 500)÷ (− 500�
2
y�
3
) =
8) (400�
3
�
2
+ 200�
2
y – 600x) ÷ (50x) =
9) (2�
4
− 4�
3
+ 3�
2
– x + 1) ÷ (�
2
+ 2) =
10) (6�
4
+2�
3
+ 4)÷ (2�
2
+ 2)=
11) (�
4
− 2�
3
− 11�
2
+ 30x − 20) ÷(�
2
+ 3x – 2 )=
12) (�
6
+ 5�
4
+ 3�
2
− 2x) ÷ (�
2
− x + 3)=

De manera individual
1) (− �
4
) ÷ (�
2
) =
2) (8�
3
�
4
�
2
÷ 2�
2
�
2
�
2
)=
3) (12�
2
) ÷ (− 6y)=
4) (−18�
4
��
2
) ÷ (− 6�
2
yz) )=
5) (− 4�
3
�
4
+ 10�
3
�
4
– 8xy) ÷ (− 2xy) =
6) (24�
5
�
3
�
2
– 6�
3
�
4
�
3
) ÷ (− 3�
2
�
3
z) =
7) (− 4�
5
�
3
�
2
+ 6�
3
�
2
z – 8) ÷ (− 4�
3
�
2
) =

86. 8) (3�
2
�
3
– 6x�
4
+ 9) ÷ (9�
2
�
3
) =
9) (18�
2
+ 12x + 8) ÷ (2x +4)=
10) (2�
2
– 14x + 6) ÷ (2x – 8 )=
11) (4�
3
+ 10�
2
+ 4y – 2)÷ (2y + 6)=
12) (16�
4
– 12�
3
+ 6�
2
– 14x + 32) ÷ (4�
2
+ 6x – 8 )=

87. Álgebra









Unidad 4

88. Unidad 4: Productos Notables

Habilidades y destrezas
Expresa con coherencia los productos notables, utilizando terminología y
notación matemática.

Conceptos subsidiarios:
 Binomios conjugados
 Producto de dos binomios cualesquiera
 Binomios al cuadrado (�+�)
2

 Binomios al cubo (�+�)
3

89. Productos Notables
Es importante que los jóvenes logren entender que tanto en la multiplicación
algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al
resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que se pueden resolver
con una regla práctica y sencilla, además, su aplicación hace más fácil
la obtención del resultado. Estos productos son conocidos como productos
notables.

Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la
multiplicación término a término. A continuación se describen los productos
notables más importantes o que comúnmente son utilizados.


Binomios conjugados
Se les llama binomios conjugados al producto (multiplicación) de la suma de dos
números por su diferencia; esto quiere decir que tienen los mismos términos pero
difieren en un término tiene un signo positivo y el otro signo negativo, por ejemplo:



Para resolver este producto podemos hacerlo de la manera tradicional que es
multiplicar un término por el otro en forma de multiplicación como normalmente se
resuelven las multiplicaciones, por ejemplo:

90. Así mismo, si se desea se puede hacer uso de la siguiente regla que nos dice:
a) El cuadrado del primer término (�)
2
= ( � ) ( � ) = �
2

b) menos el cuadrado del segundo −(�)
2
= − (�) (�)= −�
2




Ejemplo 1:

(x+2)(x−2)=
(�)(�)−(2)(2)=
�
2
−4


Ejemplo 2:

(3x+2y)(3x−2y)=
(3�)(3�)−(2�)(2�)=
9�
2
−4�
2



Ejemplo 3:

(
2�
2
�
2
3�
5
�
+
6�
4
5
)(
2�
2
�
2
3�
5
�
−
6�
4
5
)=
(
2�
2
�
2
3�
5
�
)(
2�
2
�
2
3�
5
�
)−(
6�
4
5
)(
6�
4
5
)

4�
4
�
4

9�
10
�
2
−
36�
8
25

91. Ejemplos adicionales:


BINOMIO CONJUGADO DESARROLLO RESULTADO
(�)(�)−(3)(3) =
(

(2�)(2�) − (6)(6) = 4�
2
− 36
(��
2
�−3�� )(��
2
�+3��) = (��
2
�)(��
2
�)−(3��)(3��) �
2
�
4
�
2
−9�
2
�
2

(
�
2
+
1
7
)(
�
2
−
1
7
) =
(
�
2
)(
�
2
)−(
1
7
)(
1
7
)
�
2
4
−
1
49

(
4�
2
�
2
2�
3
�
+
5�
4
�
10�
)(
4�
2
�
2
2�
3
�
−
5�
4
�
10�
)=

(
4�
2
�
5
2�
3
�
)(
4�
2
�
5
2�
3
�
)−(
5�
4
�
10�
)(
5�
4
�
10�
)
16�
4
�
10

4�
8
�
2
−
25�
8
�
2
100�
2


Ejercicio 1: De acuerdo a la regla de binomios conjugados resuelva los
siguientes ejercicios de manera grupal:

BINOMIO CONJUGADO DESARROLLO RESULTADO
1. (20�
2
�−16�
3
)(20�
2
�+16�
3
)
2. (3� + 9�) (3�− 9�) =
3. (7�
6
+6�
7
)(7�
6
−6�
7
)
4. (15�
6
�
3
−�
9
�
5
)(15��
6
�
3
+�
9
�
5
)
5. (4�
2
�
2
−5)(4�
2
�
2
+5)
6.
7. (8�
4
+13�
5
)(8�
4
−13�
5
)
8. (
9�
2
5�
+
�
7
2�
)(
9�
2
5�
−
�
7
2�
)


9. (
2�
3
�
2
6�
5
+
11�
7
�
2
8�
2
)(
2�
3
�
2
6�
5
−
11�
7
�
2
8�
2
)
10. (
19�
25
�
2
+
5�
4
�
9
�
6
)(
19�
25
�
2
−
5�
4
�
9
�
6
)

92. De manera individual:


BINOMIO CONJUGADO DESARROLLO RESULTADO
1.
2.
3. (2�
3
+6�
2
)(2�
3
−6�
2
)
4. (5��
2
�
4
−8��)(5��
2
�
4
+8��)
5. (10�
2
�
2
−7)(10�
2
�
2
+7)
6. (12�+8)(12�−8)
7.
8.
(
3�
2
2�
+
�
6
)(
3�
2
2�
−
�
6
)

9. (
�
6
�
2
�
+
11�
5
�
4
�
10
)(
�
6
�
2
�
−
11�
5
�
4
�
10
)
10. (
9�
7
�
9
�
2
�
+
13�
5
�
4
�
4
�
2
)(
9�
7
�
9
�
2
�
+
13�
5
�
4
�
4
�
2
)





Productos de dos binomios cualesquiera

Cuando tenemos la multiplicación de dos binomios cualesquiera tenemos dos
términos que son semejantes entre sí, por ejemplo: (��+ ��) � (???????????? +��), su
producto (multiplicación) se obtiene por a través de un procedimiento descrito a
continuación:

93. Se suman ambas términos para obtener su resultado, por lo tanto queda de la
siguiente manera:

���
�
+ ���� + ���� + ���

Nota: Las letras a, b, c y d son constantes (números) por lo tanto se multiplican y
se suman los términos semejantes.

Ejemplo 1:
(10�+2�)(5�+11�)=
(10�)(5�)+(10�)(11�)+(2�)(5�)+(2�)(11�)=
50�
2
+110��+10��+22�
2
=
50�
2
+120��+22�
2
=

Ejemplo 2:
(10�
2
−2�
5
)(3�
3
−5�)=
(10�
2
)(3�
3
)+(10�
2
)(−5�)+(−2�
5
)(3�
3
)+(−2�
5
)(−5�)=
30�
5
−50�
2
�−6�
5
�
3
+10�
6

94. Ejemplo 3:
(
5x
3
y
4
+
7z
8
2w
6
)(
x
4
y
3
+
8z
3w
5
)=
(
5x
3
y
4
)(
x
4
y
3
)+(
5x
3
y
4
)(
8z
3w
5
)+(
7z
8
2w
6
)(
x
4
y
3
)+(
7z
8
2w
6
)(
8z
3w
5
)=
5x
7
y
7
+
40x
3
z
108y
4
w
5
+
7x
4
z
8
2�
6
y
3
+
56z
9
36w
11



Ejemplos adicionales:

BINOMIO
CUALESQUIERA
DESARROLLO RESULTADO
(4�+2�)(5�+3�)= (4�)(5�)+(4�)(3�)+(2�)(5�)+(2�)(3�)
=
20�
2
+12��+10��+6�
2
=
20�
2
+22��+6�
2

(2�+6�)(4�−8�)= (2�)(6�)+(2�)(−8�)+(6�)(4�)
+(6�)(−8�)=
12�
2
−16��+24��−48�
2
=
12�
2
+8��−48�
2

(�−3�)(7�+�)= (�)(7�)+(�)(�)+(−3�)(7�)+(−3�)(�)=
7�
2
+��−21��−3�
2
=
7�
2
−20��+22�
2

(20�−�)(3�−6�)= (20�)(3�)+(20�)(−6�)+(−�)(3�)
+(−�)(−6�)=
60�
2
− 120�� −3��+6�
2

60�
2
−123��+6�
2

(2�
2
−5�
4
)(13�−9�)= (2�
2
)(13�)+(2�
2
)(−9�)+(−5�
4
)(13�)
+(−5�
4
)(−9�)=
26�
2
−18�
2
� −65��
4
+45�
5

26�
2
−18�
2
�−65��
4
+45�
5

(12��−4�)(7��−15�)= (12��)(7��)+(12��)(−15�)+(−4�)(7��)+
(−4�)(−15�)=
84�
2
�
2
−180���−28���+60�
2

84�
2
�
2
−208���
+60�
2



(
3�
2�
−
8�
5�
)(
4�
3�
−
7�
6�
)

(
3�
2�
)(
4�
3�
)+(
3�
2�
)(
−7�
6�
)+(
−8�
5�
)(
4�
3�
)
+(
−8�
5�
)(
−7�
6�
)
12�
2
6�
2
−
21��
12��
−
32��
15��
+
56�
2
30�
2

95. 12�
2
6�
2
−
21��
12��
−
32��
15��
+
56�
2
30�
2






(
2�
6
9�
4
+
10�
8
3�
7
)(
11�
4
2�
3
+
5�
12�
5
)


(
2�
6
9�
4
)(
11�
4
2�
3
)+(
2�
6
9�
4
)(
5�
12�
5
)+(
10�
8
3�
7
)(
11�
4
2�
3
)
+(
10�
8
3�
7
)(
5�
12�
5
)
22�
10
18�
7
+
10�
6
�
108�
4
�
5
+
110�
4
�
8
15�
7
�
3
+
50�
9
36�
14


22�
10
18�
7
+
10�
6
�
108�
4
�
5
+
110�
4
�
8
15�
7
�
3
+
50�
9
36�
14




Ejercicio 2: de acuerdo a la regla de binomios cualesquiera resuelva los
siguientes ejercicios de manera grupal:

BINOMIO CUALESQUIERA DESARROLLO RESULTADO
1. (3�+8�)(6�+7�)=
2. (22�+17�)(4�−9�)=
3. (13�−10�)(25�−12�)=
4. (�+�)(18�+32�)=
5. (8�
2
−4�
3
)(2�
2
−19�
3
)=
6. (12�−�
6
)(16�+5�
6
)=

7. (23�−30�)(42�−14�)=
8. (2�
3
−13�
4
)(3�
3
−9�
2
)=
9.
(
3�
4�
−
6�
5�
)(
4�
13�
−
5�
2�
)


10. (
2�
8
3�
5
+
6�
3
8�
2
)(
7�
3
2�
4
+
10�
2
3�
3
)

96. De manera individual:

BINOMIO CUALESQUIERA DESARROLLO RESULTADO
1. (�−6�)(10�+8�)=
2. (2�+7�)(14�−5�)=
3. (3�+9�)(15�+2�)=
4. (13�+10�)(5�+�)=
5. (8�
2
−�
3
)(6�
2
−2�
3
)=
6. (7�−4�
4
)(11�+9�
4
)=
7. (8�−3�)(14�−16�)=
8. (30�
2
−18�
5
)(�
3
−6�)=
9. (
4�
3�
−
6�
5�
)(
7�
10�
−
11�
4�
)


10.
(
12�
6
7�
4
+
11�
8
5�
2
)(
�
4
2�
3
+
8�
3�
5
)






Binomios al cuadrado

Cuando nos referimos al término binomio cuadrado no es otra cosa más que el
producto de dos binomios iguales, es decir, el primer término y el segundo son
exactamente iguales.

Por ejemplo:

(�+�)
�
= (�+�)(�+�)

97. Para resolver esta clase de ejercicios podemos multiplicar término a término,
como se muestra a continuación:

(�+�)
�
= (�+�)(�+�)= (�)(�)+�(�)(�)+(�)(�)= �
�
+���+�
�


Con signo negativo tenemos:

(�−�)
�
= (�−�)(�−�)= (�)(�)+�(�)(−�)+(�)(�)= �
�
−���+�
�


Otra manera de ver este tipo de ejercicios es seguir una regla sencilla y sin
complicaciones, la cual dice:
El primer término al cuadrado
Más el doble del primer término por el segundo
Más el segundo término al cuadrado.

(�)
�
+�(�)(�)+(�)
�


Nota: Cuando son ejercicios que tienen un signo negativo en la parte del medio
cuando dice el doble del primero por el segundo ahí se colocará el signo en
cuestión.

Ejemplo 1:
(� + 7)
2
=
( �)
2
+ 2(�)(7) + (7)
2
=
�
2
+ 14� + 49

Ejemplo 2:


64�
6
−80�
3
�
2
+25�
4

98. Ejemplo 3:
(
5�
4
9�
3
−
10�
5
12�
7
)
2

(
5�
4
9�
3
)
2
+2(
5�
4
9�
3
)(−
10�
5
12�
7
)+(−
10�
5
12�
7
)
2

25�
8
81�
6
−
100�
4
�
5
108�
3
�
7
+
100�
10
144�
14


Ejemplos adicionales:

BINOMIO
CUADRADO
DESARROLLO RESULTADO
(� + 2)
2
= ( �)
2
+ 2(�)(2) + (2)
2
= �
2
+ 4� + 4
(� − 5)
2
= ( �)
2
+ 2(� )(−5) + (−5 )
2
=
(4� + 3�)
2
= (4�)
2
+2(4�)(3�) + (3�)
2
= 16�
2
+ 24��
+ 9�
2


49�
6
−168�
3
�
2

+144�
4

(10�
2
�
5
+ 2�
2
)
2
= (10�
2
�
5
)
2
+ 2(10�
2
�
5
)( 2�
2
) + (2�
2
)
2
= 100�
4
�
10
+40�
2
�
5
�
2
+4�
4


(2�
3
�
4
)
2
+ 2(2�
3
�
4
)( − 2�
7
�
2
) +( − 2�
7
�
2
)
2
= 4�
6
�
8
− 8�
3
�
4
�
7
�
2

+ 4�
14
�
4

(
7�
2
5
+
12�
3
11
)
2
=
(
7�
2
5
)
2
+2(
7�
2
5
)(
12�
3
11
)+(
12�
3
11
)
2

49�
4
25
+
168�
2
�
3
55
+
144�
6
121

99. (
15�
5
2�
3
−
13�
3
9�
4
)
2

(
15�
5
2�
3
)
2
+2(
15�
5
2�
3
)(
−13�
3
9�
4
)+(
−13�
3
9�
4
)
2

225�
10
25�
6
−
390�
5
�
3
18�
3
�
4
+
169�
6
81�
8


Ejercicio 3: de acuerdo a la regla de binomios al cuadrado resuelva los
siguientes ejercicios de manera grupal:

BINOMIO AL CUADRADO DESARROLLO RESULTADO
1. (� + 4)
2
=
2. (� − 7)
2
=
3. (2� + 5�)
2
=
4. (9� + 2�)
2
=
5.
6.
7. (12�
2
�
5
+ 9�
4
)
2
=
8.
=

9. (
5�
7
4
+
8�
2
3
)
2
=

10. (
20�
6
4�
−
16�
4
11�
2
)
2
=




De manera individual:

BINOMIO AL CUADRADO DESARROLLO RESULTADO
1. (7 + �)
2

2. (� − 8)
2

100. 3. (9� + 15�)
2

4. (6� + �)
2

5.
6.
7. (7�
7
�
8
+ 21�
10
)
2

8.
9. (
2�
7
+
13�
3
)
2



10.
(
4�
6
�
−
53�
9
16�
15
)
2



Binomios al cubo

Cuando elevamos un término al cubo se le conoce como binomios al cubo, es
decir, es la repetición de un término tres veces, o bien, el producto de tres
binomios exactamente iguales.

(�+�)
�
= (�+�)(�+�)(�+�)

La regla que se utiliza para su resolución es la siguiente:

El cubo de un binomio es igual a:

El cubo del primer término
Más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo
Más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo
Más el cubo del segundo término.

101. Ejemplo 1:
(x+y)
3
=
(x)
3
+3(x)
2
(y)+3(x)(y)
2
+(y)
3

x
3
+3x
2
y+3xy
2
+y
3


Ejemplo 2:

Cuando tenemos números negativos se expresa:

(x−y)
3
=
(x)
3
+3(x)
2
(−y)+3(x)(−y)
2
+(−y)
3

x
3
−3x
2
y+3xy
2
−y
3

Ejemplo 3:

(
2�
2
�
3
+
�
3
5�
4
)
3


(
2�
2
�
3
)
3
+3(
2�
2
�
3
)
2
(
�
3
5�
4
)+3(
2�
2
�
3
)(
�
3
5�
4
)
2
+(
�
3
5�
4
)
3


8�
6
�
9
+
12�
4
�
3
5�
6
�
4
+
6�
2
�
6
25�
3
�
8
+
�
9
125�
12

102. Ejemplos adicionales:



BINOMIO
AL CUBO
DESARROLLO RESULTADO
(�−�)
3
(�)
3
+3(�)
2
(−�)+3(�)(−�)
2
+(−�)
3
�
3
−3�
2
�+3��
2
−�
3

(�+�)
3
(�)
3
+3(�)
2
(�)+3(�)(�)
2
+(�)
3
�
3
+3�
2
�+3��
2
+�
3


(2�)
3
+3(2�)
2
(−3�)+3(2�)(−3�)
2
+(−3�)
3
8�
3
−18�
2
�+54��
2
−27�
3

(2 + 4�)
3
(2)
3
+3(2)
2
(4�)+3(2)(4�)
2
+(4�)
3
8+48�+96�
2
+64�
3

(10�
2

+ 8�
3
)
3

(10�
2
)
3
+3(10�
2
)
2
(8�
3
)+3(10�
2
)(8�
3
)
2
+(8�
3
)
3

1000�
6
+2400�
4
�
3
+1920�
2
�
6
+512�
9


(
11�
4�
−
5�
12�
)
3


(
11�
4�
)
3
+3(
11�
4�
)
2
(
−5�
12�
)+3(
11�
4�
)(
−5�
12�
)
2
+(
−5�
12�
)
3


1331�
3
64�
3
−
1815�
2
�
192�
2
�
+
825��
2
576��
2
−
125�
3
1728�
3




(
4�
2
3�
3
+
2�
3
5�
4
)
3



(
4�
2
3�
3
)
3
+3(
4�
2
3�
3
)
2
(
2�
3
5�
4
)+3(
4�
2
3�
3
)(
2�
3
5�
4
)
2
+(
2�
3
5�
4
)
3


64�
6
27�
9
+
96�
4
�
3
45�
6
+
48�
2
�
6
75�
3
�
8
+
8�
9
125�
12

103. Ejercicio 4: de acuerdo a la regla de binomios al cubo resuelva los
siguientes ejercicios de manera grupal:

BINOMIO AL CUBO DESARROLLO RESULTADO
1. (2� + 3�)
3

2. (5� − 8�)
3

3.
4. (�+ 5�)
3

5. (� + 6)
3

6. (2� − 10�)
3

7. (14�
3
+15�
5
)
3

8. (2�
2
− 5�
3
)
3

9. (
9�
7�
2
−
6�
2�
3
)
3



10. (
3�
5
4�
4
+
2�
3
5�
2
)
3




De manera individual:

BINOMIO AL
CUBO
DESARROLLO RESULTADO
1. (� + �)
3

2. (� − �)
3

3.
4. (5 + 3�)
3

5. (� − 3)
3

6. (7� + 4�)
3

104. 7. (11�
2
+12�
3
)
3

8. (3�
2
− 2�
4
)
3

9. (
6�
7�
−
2�
8�
)
3


10. (
2�
5
�
4
+
5�
2
�
3
)
3

105. Álgebra









Unidad 5

106. Unidad 5: Factorización
El alumno representa mentalmente y planea problemas de factorización.
Conceptos Subsidiarios
Factorización:
 Por factor común a todos los términos
 Por diferencia de cuadrados
 De trinomios de la forma �
2
+��+�
 De trinomios de la forma ��
2
+��+�
 De una suma o diferencia de cubos.
 Por agrupación.

107. Factorización
El término factor en matemáticas, hace referencia a un elemento que es parte de
un producto o multiplicación. Por lo tanto, el término de factorización hace
referencia a la repreesentación de expresiones matemáticas en forma de
productos o multiplicaciones.
Para poder entender el proceso de factorización de expresiones algebraicas,
veamos primero la factorización de números.
Ejemplo 1. Factorizar el número 8.
Solución 1:
Una forma sencilla de abordar el problema es, primero encontrando 2 números
que multiplicados sean igual a 8.
8= 4 (2)
Solución 2:
El resultado anterior, representa una solución al problema de la factorización. Sin
embargo, una factorización más desarrollada sería factorizando el número 4,
resultando en:
8=(2)(2)(2)
Un ejercicio interesante suele ser la factorización de números utilizando sólo
números primos. No obstante, cuando se trata de expresiones algebraicas, el nivel
de factorización depende de su utilidad para la simplificación de las mismas.

Ejemplo 2. Factorice el número
4
27
utilizando sólo números primos.
4
27
=
(2)(2)
(3)(3)(3)

108. En el caso de expresiones algebraicas, la factorización conserva el mismo
principio, representar la expresión mediante elementos que se multiplican.
Entendiendo como multiplicación, la operación principal en la expresión
algebraica.
La factorización de expresiones algebraicas puede realizarse de diversas formas.
En este capítulo se describen las más comunes.

Factorización por factor común a todos los términos:
El factor común a todos los términos en una expresión algebraica, hace referencia
a un término que se repite en los elementos de la expresión. Para comprender en
mayor medida cuando se puede realizar este tipo de factorización, considere los
siguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Factorice la expresión algebraica 3�+3�+3�.
En este caso, el factor que se encuentra en todos los elementos de la expresión
es el 3. Una vez determinado el factor común entre los términos de la expresión,
aplicamos la propiedad asociativa para expresar los términos mediante un
producto, obteniendo:
3� + 3� + 3� = 3(� + �+ �)
Ejemplo 2. Factorice la expresión algebraica 4�
2
+24�
La expresión anterior puede reescribirse de la siguiente forma:
4�
2
+(4)(6)�
Así, el 24 es factorizado, haciendo evidente la presencia del 4 en ambos términos
de la expresión.
Otro término que se encuentra en ambos elementos de la expresión es la variable
x. Aplicando la propiedad asociativa para todos los factores comunes, se obtiene:
4�(�+6)

109. Ejemplo 3. Factorizar la expresión 4��+4��−
4
5
�
A simple vista, pareciera que el factor común únicamente es la �. Sin embargo,
podemos transformar los coeficientes enteros de la expresión, de tal forma se
hagan presentes más factores comunes.
Si convertimos el 4 y el 3 a fracciones impropias, se obtiene:
20
5
��+
20
5
��−
4
5
�

Ahora se hace evidente otro factor común en la expresión, el
4
5
. Aplicando de
nuevo la propiedad asociativa, se obtiene como resultado:
4
5
(5�+5�−1)

Ejemplo 4. Factorizar la expresión 5�
2
+ 10�
3
− 15�
5
+20�
4

En este caso podemos representar la expresión algebraica de la siguiente forma:
5�
2
+(5)(2)�
2
� –(5)(3)�
3
�
2
+(5)(4)�
2
�
2

Así podemos, notar los factores que se presentan en cada uno de los elementos
de la expresión.
De nuevo, aplicando la propiedad asociativa se obtiene:
5�
2
(1+ 2�−3�
3
+4�
2
)

110. Ejercicio 1. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada.
Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
Ejercicios Factor común Expresión factorizada
1 ��+�
2

2 4�+8�+ 12�

3 24� − 8� + 16� + 12�

4 5�
2
+ 15�
4
−20�
6
+25�
4


5 11�
5
+ 7�
3
− 13�
5
+ 5�
4

6 12�
3
−15�
2
+ 18�
5
− 21�
7

7 18���
3
− 3�
2
�
3
� +6��
2
�
8 44�
4
− 55�
6
− 77�
3
+ 33�
5

9 4�
3
�
2
+2�
2
�
3
−6�
2
�
2

10 4(2�−1)+�(2�−1)

11 3�(2�−1)+4(2�−1)


De manera individual.
Ejercicios Factor común Expresión factorizada
1 ��+��
2

2 3�+6�+ 9�

3 24�� − 8� + 16�� + 12��

4 15�
4
−20�
6
+25�
5


5 11�
5
� + 7�
3
� − 13�
6
�
6 12�
3
� −15�
2
�+ 18�
5
� − 9�
7

7 12���
3
− 3�
2
�
3
� +3� �
2
�
8 28�
4
− 42�
6
− 70�
3
+ 56�
5

9 8�
3
�
2
+4�
2
�
3
−6�
2
�
2

10 5(4�−1)+�(4�−1)

11 2�(2�−1)−4(2�−1)

111. Factorización por diferencias de cuadrados.
Una diferencia de cuadrado se distingue por lo siguiente:
1) Es un binomio
2) Uno de los términos tiene signo negativo
3) Los dos términos deben tener raíz cuadrada.

Ejemplo 1.
�
2
− 4
La expresión anterior cumple con los tres criterios establecidos para la definición
de una diferencia de cuadrados. Es una expresión constituida por dos términos
algebraicos, la cual conocemos como binomio.
Término 1: �
2

Término 2: 4
El segundo término es negativo y, ambos términos tienen raíz cuadrada. Cabe
mencionar que en este último criterio, no se considera la raíz cuadrada de -4, sino
únicamente de 4.
√�
2
=� y
√4= 2

Ejemplo 2.
�
4
−
25
4


En este caso, se cumplen la primeracondición, ya que:
Término 1: �
4

Término 2:
25
4

112. La segunda condición se cumple, debido a que es una diferencia entre los dos
términos, y por último, ambos términos tienen raíz cuadrada.
√�
4
=�
2
y
√
25
4
=
5
2


El procedimiento de factorización de una diferencia de cuadrados se realiza de
manera muy directa. Sabemos que una diferencia de cuadrados es equivalente a
un binomio conjugado, el cual está definido de manera general de la siguiente
forma:
�
�
− �
�
= (√�
�
+√�
�
)(√�
�
−√�
�
)

Ejemplo 3. Factorizar la diferencia de cuadrados definida como �
2
− 4
�
2
− 4= (√�
2
+√4)(√�
2
−√4)=(�+2)(�−2)


Ejemplo 4. Factorizar la diferencia de cuadrados definida como −1 + �
4
.
Cambiando el orden de los términos, obtenemos:
−1 + �
4
= �
4
−1
Obteniendo el binomio conjugado:
(√�
4
+√1)(√�
4
−√1)=(�
2
+1)(�
2
−1)

En este caso, el primer término de cada binomio factor tendrá signo positivo y
negativo o viceversa.

113. Ejercicio 2. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada.
Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.

Diferencia de cuadrados Expresión factorizada
1 �
2
− 16
2 4�
2
−�
2

3 25�
2
− 1
4
16�
2
−
25
36


5 49�
8
− 4
6 64�
2
−�
6
�
4

7 −�
4
+ 16
8 25�
8
−9�
6

9 6�
4
−6
10 �
2
− 5


De manera individual.
Diferencias de cuadrado Factorización
1 4�
2
− 16
2 4�
2
− 16�
2

3 36�
2
− 1
4
49�
2
−
16
36


5 81�
8
– 4�
2

6 49�
2
−�
6
�
8

7 −25�
4
+ 16
8 �
8
−9�
6

9 5�
4
−5
10 �
2
− 7

114. Factorización de trinomios de la forma �
�
+��+�
La factorización de este tipo de trinomios se puede representar como:

�
2
+��+�=(�+�)(�+�)

Encontrar los valores de m y n, puede realizarse mediante la búsqueda de � y ,�,
de tal forma que ambos valores cumplan las siguientes condiciones:

�=(�)(�) y � = � + �

Ejemplo 1. Factorizar la expresión �
2
+ 7� + 10.
Primero, deben encontrarse dos números que multiplicados sean igual al valor de
�, que en este ejemplo es 10. Para ello, se tienen las siguientes opciones:
Opción 1: 10=(1)(10)
Opción 2: 10=(2)(5)
De las combinaciones de � y � encontradas, se debe cumplir que �= � + �; es
decir

7 = � + �

De las opciones 1 y 2, sólo la opción 2 cumple con la segunda condición, por lo
que la expresión factorizada se representa mediante:
(�+2)(�+5)
Ejemplo 2. Factorizar la expresión �
2
– 7� – 30.
Siguiendo con el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, se buscan dos
números n y m que cumplan con las condiciones:
−30=(�)(�) y −7 = � + �

Para la primera condición, se tienen las opciones:
1 −30=(−2)(15) 4 −30=(2)(−15)
2 −30=(−3)(10) 5 −30=(3)(−10)
3 −30=(−5)(6) 6 −30=(5)(−6)

115. De las opciones presentadas, sólo la 5 cumple con la condición −7 = � + �. De
esta forma, los valores de m y n son:

�= 3
�=−10

Por lo tanto, la expresión factorizada es (� + 3)(� −10)

Ejercicio 3. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada.
Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
Trinomio Expresión factorizada
1 �
2
+9�+20
2 �
2
−9�+20
3 �
2
−7�+10
4 �
2
+4�−5
5 �
2
+13�−30
6 �
2
+4�−21
7 �
2
−7�+12
8 �
2
+7�+12
9 �
2
−�−12
10 �
2
+14�+45

De manera individual.
Trinomio Expresión factorizada
1 �
2
+9�+8
2 �
2
+2�−8
3 �
2
−13�+40
4 �
2
+11�−26
5 �
2
+5�−24
6 �
2
+7�+6
7 �
2
−19�−20
8 �
2
−4�−12
9 �
2
−�−72
10 �
2
+11�+18

116. Factorización de la Forma ��
�
+ �� + �
La factorización de trinomios de la forma ��
2
+ �� + �, puede realizarse mediante
dos métodos. El primero de ellos se conoce como el método de tanteo. El segundo
método es más directo y se realiza mediante la fórmula general.
Método de tanteo. En este método la expresión ��
2
+ �� + �, queda
representada en factores, mediante:
��
2
+ �� + �=(��+�)(��+�)
Para encontrar los valores de �,�,� y �, se factoriza tanto el primer como el tercer
término del trinomio. Dichas factorizaciones pueden ser representadas mediante:
��
2
=(��)(��)
�=(�)(�)
La combinación de valores de �,�,� y �, debe cumplir con la siguiente condición:
��=(��)(�)+(��)(�)

Ejemplo 1. Factorizar 3�
2
+14�+8
Para el primer término del trinomio, se buscan dos factores de 3�
2

��
2
=3�
2
=(3�)(�)
También se factoriza el tercer término del trinomio:
�=8=(2)(4)
Con los valores propuestos se verifica que (��)(�)+(��)(�) sea igual a �� en el
trinomio.
��=(3�)(4)+(�)(2)=14�
Así, el trinomio es expresado en forma de factores mediante:
(3�+2)(�+4)

117. Ejemplo 2. Factorizar 2�
2
+3�+1
Para el primer término del trinomio, se buscan dos factores de 2�
2

��
2
=2�
2
=(2�)(�)
También se factoriza el tercer término del trinomio:
�=1=(1)(1)
Con los valores propuestos se verifica que (��)(�)+(��)(�) sea igual a �� en el
trinomio.
��=(2�)(1)+(�)(1)=3�
Así, el trinomio es expresado en forma de factores mediante:
(2�+1)(�+1)
De modo que la expresión factorizada de 2�
2
+3�+1 es (2�+1)(�+1)

Método por fórmula general. En este caso, la representación factorizada de un
trinomio de la forma ��
2
+ �� + � es:
�(�−�)(�−�)
Para encontrar los valores de � y �, se resuelve las ecuaciones:
�=
−�+√�
2
−4��
2�

�=
−�−√�
2
−4��
2�


Ejemplo. Factorizar 3�
2
+14�+8
En una primera instancia, asignamos los valores de los coeficientes a las variables
de la fórmula general:
�=3,�=14,�=8

118. Sustituyendo �,� y � se obtiene para �:
�=
−14+√14
2
−4(3)(8)
2(3)
=
−14+√196−96
6
=
−14+√100
6
=
−14+10
6
−4
6

=
−2
3

Sustituyendo �,� y � se obtiene para �:
�=
−14−√14
2
−4(3)(8)
2(3)
=
−14−√196−96
6
=
−14−√100
6
=
−14−10
6
=
−24
6
=−4

De modo que la representación del trinomio, enforma de factores es:
(3�+2)(�+4)


Ejercicio 4. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada.
Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica.

De manera grupal.
Trinomio Expresión factorizada
1 2�
2
+7�+5
2 3�
2
−5�+2
3 4�
2
−17�+15
4 5�
2
+7�−6
5 8�
2
− 2�−3
6 7�
2
−19�−6
7 12�
2
−73�+6
8 8�
2
+2�−3
9 10�
2
−21�−10
10 15�
2
+11�−14

119. De manera individual.

Trinomio Expresión factorizada
1 2�
2
+7�+3
2 6�
2
+21�+9
3 6�
2
−15�+6
4 5�
2
−8�+3
5 4�
2
−2�−2
6 4�
2
−25�−21
7 4�
2
−10�+6
8 2�
2
−�−1
9 3�
2
−10�+8
10 8�
2
+8�+2




Factorización de Trinomios cuadrados perfectos (TCP)
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un binomio.
Ejemplo 1.
(�+3)(�+3)=(�+3)
2
=�
2
+6�+9

Una forma rápida de saber si la expresión que se desea factorizar es un trinomio
al cuadrado perfecto, consiste en obtener la raíz cuadrada del primer y tercer
término. El resultado de ambas raíces se multiplica y posteriormente se multiplica
por dos multiplicarlos. El resultado debe ser igual al segundo términno del
trinomio.

120. Ejemplo 2 Se desea verificar que el trinomio �
2
+6�+9 es un trinomio cuadrado
perfecto.
Se obtiene la raíz cuadrada del primer término:
√�
2
=�
Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término:
√9=3
El doble producto de ambas raíces es:
2(�)(3)=6�
Como el producto coincide con el segundo término del trinomio, se dice que la
expresión es un trinomio al cuadrado perfecto.
El procedimiento de factorización de un trinomio al cuadrado perfecto consiste en
obtener la raíz cuadrada del primer y tercer término y acomodar los productos de
forma tal que:
�
2
+��+�=(�
2
+√�)(�
2
+√�)


Ejemplo 3. Factorizar el trinomio �
2
+4�+4.
Primero se verifica quela expresión sea un trinomio cuadrado perfecto:
Se obtiene la raíz cuadrada del primer término:
√�
2
=�
Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término:
√4=2
El doble producto de ambas raíces es:
2(�)(2)=4�
La factorización se obtiene mediante:
�
2
+��+�=(�
2
+√4)(�
2
+√4)

121. Obteniendo como resultado:
(�
2
+2)(�
2
+2)

Ejercicio 5. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada.
Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
Trinomio Verificación Expresión factorizada
1 �
2
+6�+9
2 �
2
−4�+4
3 4�
2
−12�+9
4 �
4
+6�
2
+9
5 4�
2
− 16�+4
6 9�
2
−12�+1
7 25−30�
2
+9�
4

8 4�
2
−20�+25
9
�
2
+
18�
16
+
81
256


10
4�
2
+
36�
25
+
81
625


11 �
3
−18�
2
+81�

De manera individual.
Trinomio Verificación Expresión factorizada
1 �
2
−2��+�
2

2 4�
2
−8�+4
3 25�
2
−70�+49
4 4�
2
−12��
+9�
2


5 �
2
−18�+49
6 �
2
−2�+1
7 �
2
− 6��+9�
2

8 9�
8
−30�
4
+25
9 �
6
−6�
3
+9
10
9�
2
−
24�
9
+
16
81

122. Factorización por agrupación.
En ocasiones se deben agrupar los términos de un polinomio para que cada grupo
tenga un factor común y de esa manera se pueda factorizar. A este método se le
conoce como factorización por agrupación. Esto se lleva a cabo porque no hay un
factor común para todos los términos, pero si para ciertos grupos.
Ejemplo 1. Factorizar la expresión 3�+12−5�
2
−20+�
3
+�
2

A simple vista se oberva que no existe un factor común para todos los términos.
Sin embargo, si se agrupan los términos de la siguiente forma:
3(� + 4) − 5� (� + 4) + (� + 4)�
2

Se hace evidente que el binomio se encuentra presente en todos los elementos
de la expresión. Factorizando de nuevo, se obtiene:
(� + 4)(3−5�+�
2
)

Ejemplo 2. Factorizar la expresión 3�+3�+��+��
Factorizando por grupos se obtiene:
3(� + �)+ � (� + �)
Factorizando de nuevo:
(� + �) (3 + �)

123. Ejercicio 6. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada.
Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal
Polinomio Expresión factorizada
1 ��+��+��+��
2 10�+10�+��+��
3 −7�+7�−��+��
4 −4�−4�−��−��
5 6�−6�+��−��
6 8�−8�−��+��
7 4��+8��−��−2�
2

8 5��+10��−��−2�
2

9 12�−12�+16−6��+6��−8�
10 6�−3+2�
2
−�


De manera individual
Polinomio Expresión factorizada
1 6��−9�+4�−6
2 6���+4��+9�+6
3 20�+20�+��+��
4 6�
2
�+3��
2
+6�+3�
5 −�−�+4�(�+�)
6 12�����−3���−4��+1
7 −8�+8�−��+��
8 6�
3
−9�
2
+4�−6
9 2�
2
�
2
+2��
3
+3�+3�
10 8�
2
−16��+4�+4��−8�
2
+2�

124. Álgebra








Unidad 6

125. Unidad 6: Exponentes y Radicales
Habilidades y destrezas:
Caracteriza y comprueba los exponentes radicales.

Conceptos subsidiarios:
1. Exponentes enteros positivos.
2. Exponentes enteros negativos.
3. Exponente cero.
4. Exponentes fraccionarios positivos.
5. Exponentes fraccionarios negativos.
6. Suma y resta de radicales.
7. Multiplicación de radicales.

126. Los exponentes de un número son también llamados potencia o índices.

Definición de exponente.
El exponente (n) de un número nos indica cuantas veces debe multiplicarse por
sí mismo la base (x).

Los exponentes pueden ser:
X
n
X
9
Enteros positivos
X
-n
x
-6
Enteros negativos
X
0
X
0
Cero
X
m/n
X
2/7
Fraccionarios positivos
X
-m/n
x
-3/8
Fraccionarios negativos

127. Exponentes enteros positivos


Ejemplos:
1. Desarrollar �
4
∶

Tomamos la base que es "�"

multiplicándola por sí misma, el número de
veces que el exponente nos indica, en este caso es 4.

�
4
= (�)(�)(�)(�)=�
4




Finalmente
�
4
=�
4







2. Desarrollar �
3
:

Tomamos la base que es "�"

y la multiplicamos por sí misma, el número de
veces que el exponente nos indica, en este caso es 3.

�
3
=�
1
�
1
�
1
= �
3


Finalmente:
�
3
=�
3


3. Desarrollar (−3�)
3
∶

Recuerda, cuando las
bases se multiplican los
exponentes se suman.

128. La base es -3x, por lo cual debemos multiplicar por sí mismo cada uno de
los términos, las 3 veces que nos indica la potencia.



Finalmente:
(−3�)
3
= −27�
3

4. Desarrollar

(
2�
3�
)
4
:
En este caso, tenemos una fracción elevada a una potencia, cada uno de
los términos tanto el numerador como el denominador deben elevarse a la
potencia indicada.









Finalmente:
(
2�
3�
)
4
=
16�
4
81�
4


5. Desarrollar. (2�
3
)
2

Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, estas se
multiplican, las bases se desarrollan multiplicándose por si misma las veces
que la potencia lo indique.


Finalmente:

129. (2�
3
)
2
= 4�
6




Ejercici:
Desarrolla las potencias de los siguientes ejercicios de manera grupal.



Desarrolla la potencia de los siguientes ejercicios de manera individual.

Ejercicio Desarrollo Resultado
1. (3�
3
)
2



2. (−5�
2
)
3



3. (
3�
4
2
)
3



4. (
3�
2�
)
5



5. (−2��)
4



Ejercicio Desarrollo Resultado
1. (8�
4
)
2



2. (−5��
4
)
3



3. (
3�
2�
2
)
3



4. (
�
4
2
)
4



5. (−��)
3

130. 2 EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS.
La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número
elevado al mismo exponente positivo.


Ejemplo 1::
1. Desarrollar (−4�)
−2
:
Aplicamos la inversa y nos queda
1
(−4�)
2
, multiplicamos la base, es este
caso es tanto en numerador como el denominador, tantas veces como la
potencia lo indica.
(−��)
−�
=
1
(−4�)
2
=(
1
−4�
)(
1
−4�
)=
1
16�
2


Finalmente:
(−��)
−�
=
1
(−4�)
2
=
1
16�
2


Ejemplo 2:
2. Desarrollar (
�
��
�
)
−�
:
Aplicamos la inversa y nos queda (
��
�
�
)
�
, multiplicamos la base, es este
caso es tanto en numerador como el denominador, tantas veces como la
potencia lo indica.

(
�
��
�
)
−�
=(
��
�
�
)
�
=(
��
�
�
)(
��
�
�
)(
��
�
�
)=
27�
6
8


Finalmente:
�
−�
=
�
�
�
Si �≠0 , ����??????�� ����� ���: (
�
�
)
−�
=(
�
�
)
�

131. (
�
��
�
)
−�
=(
��
�
�
)
�
=
27�
6
8



Ejercicis:
Desarrolla las potencias negativas de los siguientes ejercicios de manera
grupal.

Desarrolla las potencias negativas de los siguientes ejercicios de manera
individual.



Ejercicio Inversa Desarrollo Resultado
1. (
3
2
�
2
)
−2


2. (4�)
−3



3. (
2�
3
3�
2
)
−2


4. (−3�)
−4



5. (
2�
2
�
3
�
2
6�
3
�
5
�
4
)
−2


Ejercicio Inversa Desarrollo Resultado
1. (−
1
2
�
2
)
−3



2. (2�
3
)
−3


3. (
3�
5�
)
−2


4. (
�
�
)
−1


5. −(
�
3�
)
−3

132. 3 EXPONENTE CERO.
Toda base elevada a la cero potencia es igual a 1.


Ejemplo 1:
Desarrolle (−2�
6
)
0
:
Aplicando el teorema �
0
=1 , independientemente de la base si el exponente
es cero la respuesta es 1.
(−2�
6
)
0
=1
Finalmente:
(−2�
6
)
0
=1



Ejemplo 2:
Desarrolle −3(9�
7
)
0
:
Aplicando el teorema �
0
=1; (9�
7
)
0
=1 , por lo tanto:
−3(9�
7
)
0
=−3(1)=−3

Finalmente:
−3(9�
7
)
0
=−3



�
0
=1 ���������??????ó�,
�
�
�
�
=1; ??????��??????����� �� �������
�
�
�
�
=�
�−�
=�
0
=1

133. Desarrolla la potencia cero de los siguientes ejercicios de manera grupal.

Desarrolla la potencia cero los siguientes ejercicios de manera grupal.








Ejercicio Desarrollo Resultado
1. (−
2�
3
3
)
0


2. 7(�
2
�
6
)
0



3. (2�
9
)
0



4. (
�
4
2
)
0



5. −15(��
7
)
0



Ejercicio Desarrollo Resultado
1. (
3
2
�
2
)
0


2. 3 (4�)
0



3. −2(
2�
3
3�
2
)
0


4. (−3�)
0



5. 4(
4�
7
�
3
�
2
7�
3
�
5
�
4
)
0

134. 4 EXPONENTES FRAC CIONARIOS.
Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:
Escriba aquí la ecuación.


Ejemplo 1:
Cambiar a radical �
1
5 :
Aplicamos �
1
� =√�
1
�
, donde �=5:

√�
1
5
=√�

5

Finalmente:
�
1
5=√�
5


Ejemplo 2:
Cambiar a radical �
2
3 :

Aplicamos �
�
� =√�
�
�
, donde �=2 � �=3:
√�
2
3

Finalmente:
�
2
3=√�
2
3


Ejemplo 1:
Cambiar a radical (3�)
4
5 :
�� ���??????� �� ��������� �����??????����??????� ��� ���������� �� ���??????���.
�
1
�=√�
1
�
=√�
�
,����??????�� �������.??????) (�
�
)
1
� =�
�
� =√�
�
�
, ????????????) (
�
�
)
�
�
=
(�)
�
�
(�)
�
�
=
√(�)
�
�
√(�)
�
�

135. Aplicamos �
�
� =√�
�
�
, donde �=4 � �=5:

(3�)
4
5

=√(3�)
4
5
= √(3�)(3�)(3�)(3�)
5
=√81�
4
5


Finalmente:
(3�)
4
5

= √81�
4
5


Ejemplo 2:
Cambiar a radical (
4�
3�
)
2
7
:

Aplicamos (
�
�
)
�
�
=
�
�
�
�
�
�
=
√(�)
�
�
√(�)
�
� , donde �=2 � �=7:

(
4�
3�
)
2
7
=
(4�)
2
7
(3�)
2
7
=
√(4�)
2
7
√(3�)
2
7 =
√16�
2
7
√9�
2
7
Finalmente:
(
4�
3�
)
2
7
=
√16�
2
7
√9�
2
7

Ejemplo 3:
Cambiar a radical (3�+4�)
2
5 :
Aplicamos (�+�)
�
�=√(�+�)
�
�
donde �=2 � �=5;

(3�+4�)
2
5 =√(3�+4�)
2
5
=√(3�+4�)(3�+4�)
5
=√9�
2
+24��+�
2
5

136. Finalmente:
(3�+4�)
2
5=√9�
2
+24��+�
2
5







Ejercicio:
Cambia a radicar y desarrolla siguientes ejercicios de manera grupal.





Ejercicio Desarrollo Resultado
1. �
1
7

2. �
3
8

3. (
2�
3�
)
1
3



4. (5�+2�)
1
2

5. �
4
5

6. (3−4�)
3
5

7. �
1
2

8. 2(�)
3
4

9. (
�
2�
)
1
3



10. (4�+8�)
1
2

137. Desarrolla los siguientes ejercicios de manera individual.












Ejercicio Desarrollo Resultado
1. (2�)
3
4

2. �
1
5

3. (4�−2�)
1
3

4. (2−�)
2
3

5. (
�
�
)
4
3


6. (3��)
1
2

7. 9(�)
1
2

8. (3�)
3
8

9. (
2�
6�
)
1
3



10. (�−�)
2
3

138. Exponentes fraccionarios negativos.
Un exponente fraccionario negativo, nos indica el reciproco de un radical como
significa hacer la raíz n-ésima:


`

Ejemplo 1:
Cambiar a radical �
−
1
2 , donde � ��−1 � � 2
Aplicamos la inversa y nos queda
1
�
1
2
, enseguida cambiamos a forma radical el
exponente fraccionario
1
√�
1
2 y nuestro ejercicio esta en forma radical positivo.
�
−
1
2 =
1
�
1
2
=
1
√�
1
2=
1
√�


Finalmente:
�
−
1
2 =
1
√�



Ejemplo 2:
Cambiar a radical (3�)
−
3
4
Aplicamos la inversa y nos queda
1
(3�)
3
4
, enseguida cambiamos a forma radical
el exponente fraccionario
1
√(3�)
3
4 y nuestro ejercicio esta en forma radical
positivo.
(3�)
−
3
4 =
1
(3�)
3
4
=
1
√(3�)
3
4
Finalmente:
�� ���??????� �� ��������� �����??????����??????� ��� ���������� �� ���??????���.
�
−
1
�=
1
�
1
�
=
1
√�
1

�;��?????? ���� �
−
�
�
1
�
�
�
=� (
�
�
)
−
�
�
=
(�)
�
�
(�)
�
�
=
√(�)
�
�
√(�)
�
�

139. (3�)
−
3
4 =
1
√(3�)
3
4

Ejemplo 3:
Cambiar a radical (2�)
−
3
5
Aplicamos la inversa y nos queda
1
(2�)
3
5
, enseguida cambiamos a forma radical
el exponente fraccionario
1
√(2�)
3
5 y nuestro ejercicio esta en forma radical
positivo.
(2�)
−
3
5=
1
(2�)
3
5
=
1
√(2�)
3
5

Finalmente:
(2�)
−
3
5=
1
√(2�)
3
5


Ejemplo 4:
Cambiar a radical (�)
−
3
2∶
Aplicamos la inversa y nos queda
1
(�)
3
2
, enseguida cambiamos a forma radical
el exponente fraccionario
1
√(�)
3
2 y nuestro ejercicio esta en forma radical
positivo.
(�)
−
3
2=
1
(�)
3
2
=
1
√(�)
3
2
=
1
√�
3

Finalmente:
(�)
−
3
2=
1
√�
3

140. Ejemplo 5:
Cambiar a radical (7�)
−
6
4∶
En este caso se simplifica el exponente -6/4 a -3/2, Aplicamos la inversa y
nos queda
1
(7�)
3
2
, enseguida cambiamos a forma radical el exponente
fraccionario
1
√(7�)
3
2 y nuestro ejercicio esta en forma radical positivo.
(7�)
−
6
4=(7�)
−
3
2=
1
(7�)
3
2
=
1
√(7�)
3
2
=
1
√(7�)
3


Finalmente:
(7�)
−
6
4=(7�)
−
3
2=
1
√(7�)
3


Ejercicios:
Expresa en forma radical los siguientes ejercicios de manera grupal.



Ejercicio Desarrollo Resultado
1. (4�)
−
5
7

2. (3�)
−
1
4

3. (5�)
−
2
6

4. �
−
1
6

5. (9�)
−
3
5

6. �
−
5
7

7. (4�)
−
1
2

8. �
−
4
3

9. �
−
1
5

10. (6�)
−
2
4

141. Desarrolla los siguientes ejercicios de manera individual.



RADICALES

Definición de radicales





6 SUMA Y RESTA DE RADICALES.
Ejercicio Desarrollo Resultado
1. �
−
1
9

2. (3�)
−
7
3

3. (4�)
−
4
10

4. �
−
1
8

5. (6�)
−
2
5

6. (4�)
−
4
6

7. �
−
1
2

8. (7�)
−
2
3

9. �
−
1
7

10. (8�)
−
3
9

Un radical es una expresión de la forma √�
�
, donde √�
�
=�, si y solo si �
�
=�.

142. 6 a) Suma de radicales






Ejemplo 1:
Sumar los siguientes radicales, 5√�
3
+2√�
3
+ √�
3
= observemos que el radicando
es x en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 3,lo cual nos
permite sumar los coeficientes 5,2 y 1,
5√�
3
+2√�
3
+ √�
3
=(5+2+1)√�
3
=8√�
3
,��� �� ����� 5√�
3
+2√�
3
+ √�
3
=8√�
3


Finalmente:
5√�
3
+2√�
3
+ √�
3
=8√�
3


Ejemplo 2:
Sumar los siguientes radicales, 3√�
3
7
+2√�
3
7
+ 8√�
3
7
= observemos que el
radicando es �
3
en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 7,lo
cual nos permite sumar los coeficientes 3,2 y 8,
3√�
3
7
+2√�
3
7
+ 8√�
3
7
=(3+2+8)√�
3
7
=13√�
3
7
,��� �� ����� 3√�
3
7
+2√�
3
7
+ 8√�
3
7
=
13√�
3
7


Finalmente:
3√�
3
7
+2√�
3
7
+ 8√�
3
7
=13√�
3
7


�√�
�
+�√�
�
+�√�
�
=(�+�+�)√�
�

Solamente pueden sumarse dos o más radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son
radicales con el mismo índice e igual radicando.

143. Ejemplo 3:
Sumar los siguientes radicales,
2
3
√�
4
5
+4√�
4
5
+
1
6
√�
4
5
= observemos que el
radicando es �
4
en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 5,lo
cual nos permite sumar los coeficientes
2
3
,4 �
1
6
,siendo necesario encontrar en
mínimo común denominador el cual es 6,(
2
3
+4+
1
6
)=�� ������,(
4
6
+
24
6
+
1
6
)=
29
6

2
3
√�
4
5
+4√�
4
5
+
1
6
√�
4
5
=(
2
3
+4+
1
6
)√�
4
5
=(
4
6
+
24
6
+
1
6
)√�
4
5
=
29
6
√�
4
5
,��� �� �����
2
3
√�
4
5
+4√�
4
5
+
1
6
√�
4
5
=
29
6
√�
4
5


Finalmente:
2
3
√�
4
5
+4√�
4
5
+
1
6
√�
4
5
=
29
6
√�
4
5


Ejercicios:
Suma los siguientes radicales de manera grupal.


Suma los siguientes radicales de manera individual.
Ejercicio Desarrollo Resultado
1. √�
3
4
+9√�
3
4
+ 2√�
3
4
=
2. √�
2
5
+√�
2
5
+ √�
2
5
=
3. √�+√�+3√�=
4.
1
2
√�
2
3
+√�
2
3
+
3
4
√�
2
3
=

5.
2
3
√�
7
5
+4√�
7
5
+
1
6
√�
7
5
=

Ejercicio Desarrollo Resultado
1. √�
5
3
+√�
5
3
+ √�
5
3
=
2. 2√�
6
5
+3√�
6
5
+√�
6
5
=
3. 4√�
2
7
+3√�
2
7
+ 3√�
2
7
=
4.
3
5
√�
3
5
+
2
10
√�
3
5
+
2
5
√�
3
5
=

144. Resta de radicales



Ejemplo 1:
Restar los siguientes radicales, 3√�
4
−2√�
4
− 4√�
4
= observemos que el
radicando es x en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 4,lo
cual nos permite restar los coeficientes 3√�
4
−2√�
4
− 4√�
4
=(3−2−4)√�
4
=−3√�
4

−3√�
4
−2√�
4
− 4√�
4
=(3−2−4)=−3,��� �� ����� 3√ �
4
−2√�
4
− 4√�
4
=− 3√�
4

Finalmente:
3√ �
4
−2√�
4
− 4√�
4
=− 3√�
4


Ejemplo 2:
Restar los siguientes radicales, 9√�
2
5
−3√�
2
5
−1√�
2
5
= observemos que el
radicando es �
2
en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 5,lo
cual nos permite restar los coeficientes 9,-3 y -1,
9√�
2
5
−3√�
2
5
−1√�
2
5
=(9−3−1)=5√�
2
5
,��� �� ����� =9√�
2
5
−3√�
2
5
−1√�
2
5
=
5√�
2
5

Finalmente:
9√�
2
5
−3√�
2
5
−1√�
2
5
=5√�
2
5


Ejemplo 3:
5.
3
4
√�
4
6
+
2
8
√�
4
6
+√�
4
6
=

�√�
�
−�√�
�
−�√�
�
=(�−�−�)√�
�

Solamente pueden restarse dos o más radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son
radicales con el mismo índice e igual radicando.

145. Restar los siguientes radicales, −
3
4
√�
3
7
+
1
3
√�
3
7
−
3
8
√�
3
7
= observemos que el
radicando es �
3
en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 7 ,lo
cual nos permite restar los coeficiente −
3
4
+
1
3
−
3
8
siendo necesario encontrar en
mínimo común denominador el cual es 24, (−
3
4
+
1
3
−
3
8
) �� ��??????��??????���������,
(−
18
24
+
8
24
−
9
24
)√�
3
7
=−
19
24
√�
3
7

−
3
4
√�
3
7
+
1
3
√�
3
7
−
3
8
√�
3
7
=(−
18
24
+
8
24
−
9
24
)√�
3
7
,��� �� ����� −
3
4
√�
3
7
+
1
3
√�
3
7
−
3
8
√�
3
7
=−
19
24
√�
3
7


Finalmente:
−
3
4
√�
3
7
+
1
3
√�
3
7
−
3
8
√�
3
7
=−
19
24
√�
3
7



Ejercicios:
Realiza las operaciones indicadas con los siguientes radicales de manera grupal.
Realiza las operaciones indicadas con los siguientes radicales manera individual.
Ejercicio Desarrollo Resultado
1. −9√�
3
5
+ 2√�
3
5
=
2. 2√�
3
5
−√�
3
5
− √�
3
5
=
3. −3√�−1√�−5√�=
4.
1
2
√�
3
5
−√�
3
5
−
3
4
√�
3
5
=

5.
2
4
√�
7
5
−3√�
7
5
−
1
12
√�
7
5
=

Ejercicio Desarrollo Resultado
1. √�
5
3
−4√�
5
3
− √�
5
3
=
2. 2√�
2
5
−3√�
2
5
−√�
2
5
=
3. −4√�
2
9
+3√�
2
9
− 3√�
2
9
=
4.
1
3
√�
3
5
−
1
2
√�
3
5
+
4
6
√�
3
5
=
5.
1
4
√�
6
−
2
8
√�
6
=

146. 7 Multiplicación y división de radicales.
Multiplicación de radicales con índices iguales.
Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y se
simplifica, de ser posible, el resultado.


Ejemplo 1:
Multiplica los siguientes radicales, (√8�
4
�
3
)(√2��
3
)= , aplicando lo anterior


√(8�
4
�)(2��)
3
=√16�
5
�
2
3


Se realiza la multiplicación de las bases numéricas (8)(2)=16 , y observemos la
aplicación de las propiedades de los exponentes en las literales; cuando las bases
se multiplican los exponentes se suman; (�
4
�)(��)=�
5
�
2
, obteniendo finalmente
como radicando; 16�
5
�
2
,

Finalmente la multiplicación de los radicales queda:
(√8�
4
�
3
)(√2��
3
)=√(8�
4
�)(2��)
3
=√(8)(2)�
4
���
3
=√16�
5
�
2
3

(√8�
4
�
3
)(√2��
3
)=√16�
5
�
2
3


El siguiente paso es verificar si el radical resultante pueda ser simplificado,
√16�
5
�
2
3

 Para el radicando numérico, 16 ; buscar si hay una base que al elevarla al
índice del radical (
3
) de como resultado el radicando numérico, que para
este ejercicio es 16, o descomponer el radicando en factores en donde en
√�
�
√�
�
√�
�
= √���
�

�� ��� ���??????���,�� ���������

147. uno de ellos aplique lo anterior, buscando aplicar las siguientes
propiedades:

√�
�
�
=�
�
�=�
1
=�
����� �
=�,�� ���??????� �� ??????��??????�� �� ��??????� � �� ������??????� ��� ���??????����� �� �� �??????���.
����??????�??????���� ��� �� ���??????����� ����� ����� ��� ���??????���
En este caso, tenemos que:
(2)
3
(2)=[(2)(2)(2)](2)=(8)(2)=16

√(2)
3
(2)�
5
�
2
3

Con lo anterior [(2)
3
(2)�
5
�
2
]
1
3, y aplicando la propiedad de los exponentes,
tenemos: 2
3
32
1
3�
5
3�
2
3
Aplicando la propiedad anterior, 2
1
2
1
3�
5
3�
2
3=2(2
1
3�
5
3�
2
3), cambiando a radical;
2√2�
5
�
2
3


 Para los radicando algebraicos, aplicamos la ley de los exponentes,
recordemos que, un exponente elevado a otra potencia se multiplica,
(�
�
)
�
=�
��
, sabemos también que al multiplicar las bases los exponentes
se suman, �
�
�
�
=�
�+�
, aplicando estas propiedades, buscando
descomponer en factores las potencias buscando que uno de ellos sea
igual a el índice de raíz para extraerlo del radicando.

Descomponemos en factores, buscando dejar una de las potencias que
indica el índice de raíz, en este caso; al cubo para extraerlo del radicando.

�
5
=�
�
�
2
=�
3+2
=�
5


2√2�
5
�
2
3
= 2√2�
3
�
2
�
2
3
=2(2�
3
�
2
�
2
)
1
3=(2)2
1
3�
3
3�
2
3�
2
3=
(2)2
1
3�
1
�
2
3�
2
3=������ ��� ������� �
1
=�,
(2)2
1
3��
2
3�
2
3,����??????���� � ���??????���:

148. (2)2
1
3��
2
3�
2
3= 2� √2�
2
�
2
3



Simplificado el radical:

√16�
5
�
2
3
=√(2)
3
2�
3
�
2
�
2
3
=2�√2�
2
�
2





Una forma de comprobar que nuestro resultado es correcto es:
 Para la base numérica que salido del radicando, elevarla a la potencia que
el índice de raíz indica y si existe una constante dentro como radicando
multiplicarlos y debemos regresar al valor original, para este ejemplo:

√16�
5
�
2
3
= 2� √2�
2
�
2
3
,�� 2 ��� ���� ����� �������� �� ??????�??????��� �� ������??????� ,
2
3
=8,
����??????��??????����� ���� ����� ��� �� ��������� ������ �� �� ��??????�,
(8)(2)=16



 Para las literales, elevar la literal a la potencia que indica el índice de raíz y
si existe como radicando la misma literal multiplicarlas, sumando los
exponentes, para este ejemplo:

√16�
5
�
2
3
= 2� √2�
2
�
2
3
, "�" ��� ���� ����� �������� �� ??????�??????��� �� ������??????� ,
�
3
=�
3
,
����??????��??????����� ��� ����� ��� �� �??????��� �??????����� ������� ��� ����������;

�
3
�
2
=�
3+2
= �
5

149. 1. Multiplica los siguientes radicales, (
1
5
√60�
3
�
3
)(
1
2
√5��
6
)=
En este ejercicio los radicales están multiplicándose con fracciones, multiplicamos
bases por bases y radicales por radicales;
(
1
5
√60�
3
�
3
)(
1
2
√5��
6
)=(
1
5
)(
1
2
)√(60�
3
�
3
)(5��
6
)=

1
10
√(60)(5)�
3
� �
3
�
6
=
1
10
√300�
4
�
9


Finalmente la multiplicación de los radicales queda:
(
1
5
√60�
3
�
3
)(
1
2
√5��
6
)=
1
10
√(60)(5)�
3
� �
3
�
6
=
1
10
√300�
4
�
9


(
1
5
√60�
3
�
3
)(
1
2
√5��
6
)=
1
10
√300�
4
�
9



El siguiente paso es verificar si el radical resultante pueda ser simplificado,
1
10
√300�
4
�
9

 Para el radicando numérico, 300 ; buscar si hay una base que al elevarla al
índice del radical (
2
) de como resultado el radicando numérico, que para
este ejercicio es 300, o descomponer el radicando en factores en donde en
uno de ellos aplique lo anterior, buscando aplicar las siguientes
propiedades:

√�
�
�
=�
�
�=�
1
=�
����� �
=�,�� ���??????� �� ??????��??????�� �� ��??????� � �� ������??????� ��� ���??????����� �� �� �??????���.
����??????�??????���� ��� �� ���??????����� ����� ����� ��� ���??????���
En este caso, tenemos que:
(10)
2
(3)=[(10)(10)](3)=(100)(3)=300,

150. Aunque existen otros factores debe buscarse siempre el mayor factor.


1
10
√(10)
2
(3)�
4
�
9

Con lo anterior [(10)
2
(3)�
4
�
9
]
1
2, y aplicando la propiedad de los
exponentes, tenemos: (10)
2
2(3)
1
2�
4
2�
9
2
Aplicando la propiedad de los exponentes , (10)
1
(3)
1
2�
2
�
9
2 cambiando a
radical; observemos que en (��)
�
� �
�
, las potencias son números enteros, por lo
cual ya no forman parte del radicando, sino factor con el radical.
(
1
10
)10�
2
√3�
9
=(
10
10
)�
2
√3�
9
=1 �
2
√3�
9
=

 Para los radicando algebraicos, aplicamos la ley de los exponentes,
recordemos que, un exponente elevado a otra potencia se multiplica,
(�
�
)
�
=�
��
, sabemos también que al multiplicar las bases los exponentes
se suman, �
�
�
�
=�
�+�
, aplicando estas propiedades, buscando
descomponer en factores las potencias buscando que uno de ellos sea
igual a el índice de raíz para extraerlo del radicando.

Descomponemos en factores, buscando dejar la potencia que indica el índice de
raíz, en este caso; al cuadrado para extraerlo del radicando.
�
9
=(�
4
)
�
�=�
(4)(2)
�=�
8
�=�
9


1�
2
√3�
9
= 1�
2
√3(�
4
)
2
� = 1�
2
[3(�
4
)
2
�]
1
2=1�
2
[3
1
2(�
8
)
1
2

�
1
2]=
1�
2
(3
1
2�
8
2

�
1
2)=1�
2
(3
1
2�
4

�
1
2),
������ ��� ��������� �
4
,����������
1�
2
(3
1
2�
4

�
1
2),����??????���� � ���??????���:

1�
2
(3
1
2�
4

�
1
2),= 1�
2
�
4
√3�=�
2
�
4
√3�

151. Simplificado el radical:

1
10
√300�
4
�
9
=
1
10
√(10)
2
(3)�
4
�
9
= (
1
10
)10�
2
√3�
9
=1�
2
√3(�
4
)
2
�=
�
2
�
4
√3�

1
10
√300�
4
�
9
=�
2
�
4
√3�




Ejercicios:
Multiplica los radicales y simplifica el ejercicio de manera grupal.
Ejercicio
Desarrollo Resultado
simplificado.
1. (√6�
3
�)(√3��
6
)=







2. (√�
3
)(√�)(√�
7
)=







3. (√3��)(√24��)(√2��)=

152. Ejercicios:
Multiplica los radicales y simplifica el ejercicio de manera individual.


4. (
1
2
√3�
4
�
3
)(
2
3
√3��
2
3
)(√9�
5
�
4
3
)=









5. (
1
2
√8�
2
�
3
)(√4��
4
3
)




Ejercicio
Desarrollo Resultado
simplificado.
1. (√�
3
�
3
)(√�
3
�
3
)=







2. (
1
3
√3�
3
�)(
1
2
√2�
5
�
3
)(√6��
4
)=







3. (√8�
7
�
2
5
)(√8�
3
�
5
)=

153. 7 División de radicales
Cuando los índices son iguales en la división de radicales, se dividen los
radicandos y de ser posible se simplifica el resultado.



Ejemplo 1:
Dividir los siguientes radicales
√80�
7
√5�
2
=

Dado que el índice de raíz es el mismo (2), aplicamos la propiedad
anterior.



4. (√2��
2
3
)(√4�
4
�
3
)(√2��
3
)=







5. (√25�
2
�
3
3
)(
1
5
√5�
3
�
2
3
)=






√�
�
√�
�
=√
�
�
�

154. √80�
7
√5�
2
=√
80�
7
5�
2
=
La división se realiza de manera ordinaria tanto en los radicandos numéricos
80
5
=
16, como en los algebraicos,
�
7
�
2
=�
7−2
=�
5
, con lo cual tenemos;
√
80�
7
5�
2
=√16�
(7−2)
=√16�
5

Finalmente la tenemos;
√80�
7
√5�
2
=√
80�
7
5�
2
=√16�
(7−2)
=√16�
5

El siguiente paso es verificar si el radicando resultante puede ser reducido.
√16�
5
=√(4)
2
(�
2
)
2
�=4�
2
√�


1. Dividir los siguientes radicales
√40�
4
�
2
�
4
3
√−135�
3
�
5
�
3 =

Dado que el índice de raíz es el mismo (3), aplicamos la propiedad
anterior.
√40�
4
�
2
�
4
3
√−135�
3
�
5
�
3
=√
40�
4
�
2
�
4
−135�
3
�
5
�
3

La división se realiza de manera ordinaria tanto en los radicandos numéricos
40
−135
=
−
8
27
, como en los algebraicos,
�
4
�
3
=�
4−3
=�,
�
2
�
5
=
1
�
5−2
=
1
�
3
,
�
4
�
=�
4−1
=�
3
con
lo cual tenemos;
√40�
4
�
2
�
4
3
√−135�
3
�
5
�
3
=√
40�
4
�
2
�
4
−135�
3
�
5
�
3
=√−
8�
(4−3)
�
(4−1)
27�
(5−2)
3
=√−
8��
3
27�
3
3

155. Finalmente la tenemos;
√40�
4
�
2
�
4
3
√−135�
3
�
5
�
3
=√
40�
4
�
2
�
4
−135�
3
�
5
�
3
=√−
8��
3
27�
3
3

El siguiente paso es verificar si el radicando resultante puede ser reducido.
√−
8��
3
27�
3
3
=√−
(2)
3
��
3
(3)
3
�
3
3
=−
2�
3�
√�
3




Ejercicios_
Realiza la división y reduce los siguientes radicales de manera grupal.
Ejercicio
Desarrollo Resultado
simplificado.
1.
√300�
6
�
3
�
8
√3�
5
��
2
=







2.
√−81�
8
�
2
��
5
3
√375�
3
�
4
��
6
3 =







3.
√24�
6
�
8
√2�
3
�
=

156. Realiza la división y reduce los siguientes radicales de manera individual.
4.
√72�
12
�
4
�
10
√4�
3
�
9
�
5
=






5.
√32�
3
�
4
�
7
3
√4�
15
�
2
3
�
=





Ejercicio
Desarrollo Resultado
simplificado.
1.
√192�
18
�
9
�
6
3
√3�
4
�
3
�
3
3 =







2.
√8�
6
�
7
�
√2�
5
�
3
�
=

157. 3.
√�
13
�
4
�
15
7
√�
6
�
2
�
4
7 =




4.
√250�
21
�
2
�
4
�
3
√−2�
8
�
13
�
3 =







5.
√20�
15
�
8
�
3
�
7
√45�
6
�
12
�
2
�
5
=

158. Álgebra








Unidad 7

159. Unidad 7: Fracciones algebraicas.

Habilidades y destrezas

El alumno elabora estrategias de solución y expone trabajos.

Conceptos subsidiarios:

 Simplificación de fracciones algebraicas.
 Suma y resta de fracciones algebraicas.
 Multiplicación y división de fracciones algebraicas.

160. Fracciones algebraicas

Definición de una fracción algebraica.

Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones matemáticas que contienen
variables entre sus términos. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas se muestran a
continuación:

Ejemplo 1:

�−3
�

Ejemplo 2:

1
�+2

Ejemplo 3:

�
3
−2�
2
+�−1
3�
2
+2


Ejemplo 4:
�
�
2



Cuando se presenta una fracción algebraica en un problema es deseable buscar su
simplificación. De conseguirlo, se reduce la cantidad de cálculos, y en algunos otros
casos, se consigue dar solución a un problema cuando previamente no era posible.

Ejemplo 5. Fracción algebraica no determinada para �=1.

�=
(�−1)
2
�−1


En este caso, al evaluar �, cuando �=1, la función se indetermina:

�=
(1−1)
2
1−1
=
0
0
=∞

Sin embargo, si simplificamos la fracción algebraica, obtenemos:
�=�−1
Al evaluar la expresión cuando �=1 se obtiene:
�=1−1=0

161. Ahora, que ha sido establecida la importancia de la simplificación de fracciones
algebraicas, se describirá el procedimiento para simplificarlas

Simplificación de fracciones algebraicas
El procedimiento para simplificar fracciones algebraicas es muy similar al que se realiza
cuando se desea simplificar fracciones aritméticas. Se debe factorizar tanto el numerador
como el denominador.

Recordemos como se realiza la simplificación de fracciones aritméticas:
Ejemplo 1: Simplificar la fracción
20
15

20
15
=
5(4)
5(3)
=
5
5
∙
4
3
=
4
3


Ahora, veamos algunos ejemplos de cómo simplificar una fracción algebraica.
Ejemplo 2: Simplificar
�
3
�
4

Si representamos la fracción mediante factores, obtenermos:
�
3
�
4
=
�∙�∙�
�∙�∙�∙�
=
�
�
∙
�
�
∙
�
�
∙�=1∙1∙1∙�=�

Ejemplo 3: Simplificar
�
3
−�
2
�
4
−�
2

�
3
−�
2
�
4
−�
2
=
�
2
(�−1)
�
2
(�
2
−1)
=
�
2
�
2
∙
(�−1)
(�
2
−1)
=
�−1
�
2
−1

Ejemplo 4: Simplificar
4�(�−2)
2
8�
2
(�−2)

4�(�−2)
2
8�
2
(�−2)
=
4
8
∙
�
�
2
∙
(�−2)
2
(�−2)
=
1
2
∙
1
�
∙(�−2)=
�−2
2�

162. Ejemplo 5. Simplificar
�
3
+3�
�
2
+3

�
3
+3�
�
2
+3
=
�(�
2
+3)
�
2
+3
=�∙
�
2
+3
�
2
+3
=�
Ejemplo 6. Simplificar
�
2
+�−2
�
2
+5�+6

En este caso, podemos observar que tanto el numerador como el denominador
son trinomios de la forma ��
2
+ �� + �. Factorizando ambas expresiones
podemos simplificar la expresión.
�
2
+�−2
�
2
+5�+6
=
(�+2)(�−1)
(�+2)(�+3)
=
�+2
�+2
∙
(�−1)
(�+5)
=
�−1
�+3


Ejemplo 7. Simplificar
√�
√�
3

También podemos simplificar expresiones con exponentes racionales, aplicando
las leyes de dichos exponentes.
√�
√�
3
=
�
1
2
�
3
2
=
�
1
2
�∙�
1
2
=
1
�
∙
�
1
2
�
1
2
=
1
�


Ejemplo 8: Simplificar
2�
3
+6√�
�
2
√�+6

2�
3
+6√�
�
2
√�+6
=
2�
3
+6�
1
2
�
2
�
1
2+6
=
2�
1
2(�
5
2+6)
�
5
2+6
=2�
1
2∙
�
5
2+6
�
5
2+6
=2�
1
2

Existen casos en que es deseable que una expresión algebraica entera sea representada
como fracción. Esto se consigue dividiendo la expresión entre 1.

163. Ejemplo 9: Sea � una expresión algebraica definida como:
�=�+2
Podemos representar � como una fracción algebraica dividiendo �/1, de tal forma que la
fracción es:
�
1
=
�+2
1

Ahora veamos como nos puede ser de utilidad la división entre 1.
Ejemplo 10: Simplificar
�
3
+�
�

Factorizando el numerador se obtiene:
�
3
+�
�
=
�(�
2
+1)
�
=
�
�
∙
(�
2
+1)
1
=�
2
+1

Ejemplo 11: Simplificar
�(�+2)
2
�+2

�(�+2)
2
�+2
=
�
1
∙
(�+2)
1
∙
�+2
�+2
=
�
1
∙
(�+2)
1
∙1=�(�+2)

164. Ejercicio 1. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas. Realice la
actividad de forma grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
1.
�
2
−4
3�−6


2.
�
2
−9
�−3


3.
�−4
�
2
−16


4.
�
2
−6�+9
5�−15


5.
�
3
+5
�
4
+2�
3


De manera individual.
1.
6�−18
8�+16


2.
1
2
�
2
+
1
8
�
1
3
�+
1
12


3.
�
3
+6�
2
+12�+8
�
3
+4�
2
+4�


4.
�
2
+10�+25
�
2
−25


5.
�
3
−4�+25
�
3
+2�
2

165. Suma y resta de fracciones algebraicas
La suma y resta de fracciones algebraicas es una operación muy común, que
sigue los mismos principios de la suma y resta de fracciones numéricas. Veamos
algunos ejemplos.
Ejemplo 1:
1
�
+
2
�
=
1+2
�
=
3
�


Ejemplo 3:
�
2
�
3
+
�
�
3
=
�
2
+�
2
�
3
=
2�
2
�
3
=
2
�

Ejemplo 4:
�
2
�
3
+
�
�
2


Simplificando primero cada uno de los términos:
�
2
�
3
+
�
�
2
=
1
�
+
1
�

Posteriormente, se aplica el procedimiento para la suma de fracciones.
�
2
�
3
+
�
�
2
=
1+1
�
=
2
�


Ejemplo 5:
2�−1
�+1
−
�−1
�+1
+
�
�+1
=
(2�−1)−(�−1)+�
�+1
=
2�−1−�+1+�
�+1
=
2�
�+1

166. Ejercicio 2. Realice las operaciones siguientes de manera grupal o individual,
según se indica.
De manera grupal.
1.
�
2
−1
�+1
+
�
�+1
−
�
2
�+1

2. −
9
�
+
�
2
−9
�−3
+
1
3

3.
�−4
�
2
−16
−
�
3
+5
�
4
+2�
3
+
�
�

4.
�
2
−6�+9
5�−15
+
�
2
−6�+9
5�−15

5.
�
3
+5
�
4
+2�
3
+
6�−18
8�+16
−2�

De manera individual.
1.
6�−18
8�+16
−
�
2
+10�+25
�
2
−25

2.
1
2
�
2
+
1
8
�
1
3
�+
1
12
+
�
2
−1
�+1
−
6√�−18
8�+16

3.
�
3
+6�
2
+12�+8
�
3
+4�
2
+4�
+
�
2
+10�+25
√�
2
−25
−
�
3
−4�+25
�
3
+2�
2

4.
�
2
+10�+25
�
2
−25
−
1
2
�
2
+
1
8
�
1
3
�+
1
12

5.
�
3
−4�+25
�
3
+2�
2
+
√�
�+1

167. Multiplicación y división de fracciones algebraicas
La multiplicación de fracciones algebraicas se realiza de la misma forma que una
multiplicación con fracciónes numéricas.
Sea
�
�
∙
�
�
la multiplicación de dos fraaciones algebraicas. El resultado de dicha
operación se obtiene mediante:
(�)(�)
(�)(�)

Ejemplo 1. Obtener la multiplicación de
2�−1
�+1
y
�−1
�+1


2�−1
�+1
∙
�−1
�+1
=
(2�−1)(�−1)
(�+1)(�+1)
=
2�
2
−2�−�+1
�
2
+2�+1
=
2�
2
−3�+1
�
2
+2�+1


Ejemplo 2. Obtener la multiplicación de
3�−
2
5
√� +
6
�
4�
3
+5
y
2�
2
−3�+1
�
2
+4�+4


(
3�−
2
5
√� +
6
�
4�
3
+5
)(
2�
2
−3�+1
�
2
+4�+4
)
Para realizar la multiplicación de los términos, expresamos los radicales en forma
fraccionaria y realizamos la multiplicación término a término.
(
3�−
2
5
√� +
6
�
4�
3
+5
)(
2�
2
−3�+1
�
2
+4�+4
)=
6�
3
−9�
2
+15�−
4
5
�
5
2−6�
3
2+
2
5
�
1
2
−18+
6
�
4�
5
+16�
4
+16�
3
+5�
2
+20�+20

168. También en la división de fracciónes algebraicas se sigue el mismo principio que
en la división de fracciones numéricas.
Sean �,�,�, y � expresiones algebraicas. La división de dos fracciones algebraicas
se realiza de la siguiente forma:
(�)
(�)
÷
(�)
(�)
=
(�)(�)
(�)(�)


Ejemplo 1. Realice la división de
�
4
+8�
�
2
−6
entre
�
3
+8
�
2
+7

�
4
+8�
�
2
−6
÷
�
3
+8
�
2
+7
=
(�
4
+8�)(�
2
+7)
(�
2
−6)(�
3
+8)

Factorizando en el numerador:
�
4
+8�
�
2
−6
÷
�
3
+8
�
2
+7
=
�(�
3
+8)(�
2
+7)
(�
2
−6)(�
3
+8)

Simplificando se obtiene:
�(�
2
+7)
(�
2
−6)

Ejemplo 2. Realice la división de
�
2
−9
6
entre
�−3
�
2
+7

�
2
−9
6
÷
�−3
�
2
+7

Debido a que el numerador de la primera fracción algebraica es un binomio al
cuadrado, este se puede factorizar y representar mediante un binomio conjugado:
(�+3)(�−3)
6
÷
�−3
�
2
+7

Realizando el procedimiento para la división de fracciones, tenemos:
(�+3)(�−3)
6
÷
�−3
�
2
+7
=
(�+3)(�−3)(�
2
+7)
6(�+3)

Simplificando, se obtiene:
(�−3)(�
2
+7)
6

169. Ejercicio 3. Realice las operaciones de las siguientes fracciones algebraicas de
manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
1.
�
2
−4
�−3
÷
�
2
−9
3�−6

2. (
�
2
+5
�−6
)(
�−2
�
2
−4
)
3.
�−4
�
2
−4
÷
�−4
�
2
−4

4. (
�
2
−6�+9
5�−15
÷
5
�−3
)(
1
�−3
)
5. (
√�
3
+5
�
4
+2�
3
)(
√�
5
2
+2�
4
�
3
+5
)

De manera individual.
1. (
6
�
3
+2�
2
)(
�
3
+6�
2
4�
2
+4�
)
2. (
�
2
+�
�+
1
2
)÷(�+
1
2
)
3. (
�
3
+6�
2
√4�
2
+4�
)(
10√�+2
�
2
−7
)
4. (
5
�
2
)÷(
4�+25
�
2
−25
)
5. [(
4�+25
�
3
+2�
2
)(
10�
2
+2
�
2
−7
)]÷(
1
�
3
+2�
2
)