Libro de Matemáticas 7mo Grado _ Secundaria.

MATEMATICA 7

Libro de Texto

Educación Secundaria

COORDINACIÓN GENERAL
Profesora Maria Elsa Guillén

Profesora Melba López Montenegro
Profesor Julio César Canelo Castillo

AUTORES REVISIÓN Y ASESORÍA TÉCNICA CIENTÍFICA
Melissa Lizbeth Velásquez Castillo Sociedad Matemática de Nicaragua

Nubia Aracelly Barreda Rodriguez. Profesora Gloria Parilla Rivera.

Humberto Antonio Jarquin López Profesor Jorge Alberto Velásquez Benavidez.

Gregorio Isabel Ortiz Hemández

COLECTIVO DE AUTORES

MINED UNAN- MANAGUA UNAN- LEON
Francisco Emilio Diaz Vega Nubia Aracely Barreda Rodríguez. Anastacio Benito González Funes
Humberto Antonio Jarquin López. Melissa Lizbeth Velásquez Castillo. Domingo Felipe Aráuz Chévez.
Juan Carlos Caballero Lépez Armando José Huete Fuenies Célfda del Rosario López Sánchez
Gregorio Isabel Ortiz Hemändez Primitivo Herrera Hemera Orlando Antonio Ruiz Álvarez

Alberto Leonardo Garcia Acevedo Marlon José Espinoza Espinoza Hilario Emesto Gallo Cajina

INSTITUTOS QUE PARTICIPARON EN LA VALIDACION
Colegio Clementina Cabezas, Managua, Managua Instituto Juan José Rodriguez, Jinotepe, Carazo

Colegio Femando Gordillo, Managua, Managua San Benito #1, Chinandega, Chinandega
Colegio Tomas Borge, Mateare, Managua Instituto Nacional Rubin Dario, Posoltega, Chinandega.
Colegio San Cayetano, San Rafael del Sus, Managua Thon F. Kenedy, León, León

Instituto Nacional LaSalle, Diiamıba, Carazo. Salomón de la Selva, León, León

EQUIPO DE DIAGRAMACIÓN
Lissette Margina Serrano Vallecillo. - Maribel del Socorro Cuarezma López

+

Primera Edición, 2019

Derechos reservados. Prohibida su venta y/o reproducción con fines comerciales por cualquier medio, sin
previa autorización del Ministerio de Educación (MINED), de la República de Nicaragua.

¡Cooperación Técnica de Japón através de la Agencia de Cooperación Intemacional del Japón (ICA)

La presente publicación ha sido reproducida con el apoyo de la Agencia de Cooperación Intemacional del
Japón (ICA) através del Proyecto para el Aprendizaje Amigable de Matemática en Educación Secundaria
(NICAMATE)

PRESENTACION

Estimado estudiante:

El texto que tienes en tus manos es un esfuerzo realizado en el marco del
“Proyecto para el Aprendizaje Amigable de Matematica en Educación
Secundaria” (NICAMATE), implementado por el Ministerio de Educación
en coordinación con la UNAN — MANAGUA, UNAN — LEÓN, y el apoyo
técnico de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (CA).

La matemática es una herramienta potente en el desarrollo de cada una
de nuestras vidas; nos ayuda a resolver problemas complejos con mayor
facilidad, a contar con un razonamiento matemático capaz de ser crítico,
analítico y práctico. En definitiva, a vivir con éxito, en un mundo cada vez
mas desafiante ante los cambios sociales y los avances tecnológicos.

Cada contenido de este libro, es abordado de manera que resulta fácil
de comprender, y con el apoyo de tu docente lograrás adquirir conceptos
y procedimientos matemáticos, necesarios para el desarrollo de
conocimientos y habilidades que favorecen tu formación integral.

Tenemos la certeza que tu encuentro con estos saberes será muy
satisfactorio, ya que este libro ha sido elaborado por un equipo altamente
calificado que nos plantea una metodología amigable, retadora y exigente,
con el propósito de que los conocimientos matemáticos te enriquezcan,
sean mejor entendidos y puedan integrarse en tus quehaceres cotidianos
con mayor facilidad

Mucho ánimo ya que contamos contigo para desarrollar una mejor
Nicaragua.

Atentamente,

Ministra de Educación
Miriam Soledad Raudez

INTRODUCCION

En cada página del libro de texto se presentan los momentos de una clase de 45 minutos:

Representa

el problema
Inicial, el cual se
debe leer y analizar
identificando las
condiciones que
plantea y lo que se
pregunta

Representa la

solución del
problema inicial
explicada paso a
paso.

Representa
la conclusión
de la clase, donde
se propone el
esquema de solución
del problema
inicial, en algunos
casos también se
presentan conceptos
importantes usados
en el problema,

Cam St e pis en

E]
a |

c

|

E

rm —_

Los ejemplos
que se presentan
son variantes del
problema inicial.

Representa
los ejercicios
propuestos, es
importante que
intenten resolver
los ejercicios por
ustedes mismos,

En Comprobemos lo aprendido se presentan una serie de ejercicios representativos de
contenidos anteriores, el objetivo de estas clases es asegurar un tiempo de ejercitación que
permita afianzar los conocimientos adquiridos y aclarar cualquier duda que puedan tener de los

contenidos estudiados.

En [DEsajio] se presentan casos especiales contents de mayor compleja

indice

Socciôn 1: Operaciones con números
naturales

Sección 2: Operaciones con fracciones
y decimales.

Unidad 2: Números Positivos y Negativos .

Socciôn 1: Los números positivos, negativos
y ol cero.

Sección 2: Adición y sustracción con
números positivos y negativos.

Sección 3: Multiplicación y división con

Sección 4: Operaciones combinadas.

15

16

2

38
48

Sección 1: Ex

jones algobraicas.

Sección 2: Operaciones con expresiones
algebraicas.

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Sección 1: Ecuaciones de primer grado.

Sección 2: Solución de ecuaciones de
primer grado

ss

65

1a

79

vneaa e: Modiesinatn
our: Han ae
Sección 2: Área de triángulos y

— 02

Unidad 1
Operaciones con Numeros
Naturales, Fracciones y Decimales

Sección 1 : Operaciones con números

naturales

Sección 2 : Operaciones con fracciones y

i decimales

Unidad 1: Operaciones con Números Naturales, Fracciones y Decimales

Sección 1: Operaciones con números naturales
Contenido 1: Adición de números naturales

P (Er ts siguientes adiciones
a) 13445 by 20454

Se ubican los números de forma vertical alineando las unidades (U) y las decenas (D)

3 DU p>Sesumaniasundades: 1) DU [Se suman las unidades
1028 ram
+48 + 3% | Como 13>0,sellvacit

ala columna D.

DU [”Se suman las decenas: DU [”Se suman las decenas:
14425. 1 1424528.
dlls 29
+ 45 +54
Por lo tanto, 13+45=58 Por lotanto, 29+54 = 83
1, Efectúe las siguientes adiciones:
a) 6+2 b) 8+9 9 11+7 d36+5 e 20+35
9 474138 9 33418 h) 40470 1234356) 386+251

2. Resuelva los siguientes problemas planteando en cada caso la operación adecuada.
a) Juan tiene 24 córdobas y Maria tiene 45 córdobas. ¿Cuántos córdobas tienen entre los
dos?

b) En una granja hay 12gallinas, luego llevan 19 gallinas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja
ahora?

¡Sección 1: Operaciones con números naturales

Contenido 2: Sustraccién de números naturales

P (ere as siguientes susaccones

a) 47-25 b) 73:
S

Se ubican los números de forma vertical alineando las unidades (U) y las decenas (D)

3) DU ¡-Como7>5.serestanlas D) DU ¡> Como 3<5, se presta
unidades: 7—5: 6 una decena (10 unidades)
Fa | paraobtener10+3=13,
= 735 | luego, 13—
DU Como 4>3, se estan as DU (+ Como 6>4, se restan las
decenas: 4-3=1 6 decenas 6-4=2
73
45
E
Porlotanto, 47-35=12 Por lo tanto, 73-45 = 28
1. Efectielas siguientes sustracciones:
a 9-7 b) 35-2 o #1-4 4) 63-50 90-18
9 31-16 9 47-28 m 40-23 ) 980-45 292-180

2. Resuelva los siguientes problemas planteando en cada caso la operación adecuada

a) En una venta hay 52 mangos maduros y 10 verdes. ¿Cuántos mangos maduros hay más
que verdes?

b) En un estante de la biblioteca de una escuela hay 47 libros, Si se prestan 29 de estos,
¿Cuántos libros quedaron en el estante?

qx.Ix>>>>>————————————————__—_—__—_—

Unidad 1: Operaciones con Números Naturales, Fracciones y Decimales

Contenido 3: Multiplicación de números naturales

Pf Etecue ls siguentes mulipicacions
a) 12x3 b) 43x6 9 2x18

‘Se ubican los números de forma vertical alineando las unidades (U), las decenas (D) y las

centenas (0)
a D)
© D U¡*Semulipican | CDU ¡"Se mation las Se mutica 8 por
Tas unidades: unes. 6x3 =18 22 08 dec
12) 3x2=6 | 4 3| Como 18>9. Se ubica 8x32 = 256
x À 4 os orm core
E Uy selena tala
colimnaD.
© D Up-Semuttpican! CD U ¡"SemulipicaSpora. Se multiplen 1
las decenas. es decir 6x4 =24 por 32. es decir
12 | 3x1=3 4 | Y se suma ett que 12200 y este
i Ne x Ve | selevé:24+ se coloca debajo
2 : de 26 hacia la

izquierda

Por lo tanto, 12x3

Seefectiala suma.
indicada,

Por lo tanto, 32 x 1

576

E

¡Sección 1: Operaciones con números naturales

1. Efectúe las siguientes mullilicaciones:
a) 10x5 b) 14x2 ©) 21x8 a) 25x3 e) 16x4

D 19x6 9) 129x2 h) 1x18 D 27x81 D 37x45

2. Resuelva los siguientes problemas planteando en cada caso la operación adecuada.
a) Un obrero acarrea 4 sacos de maiz en una hora. ¿Cuántos sacos acarrea en 12 horas?

b) Sila capacidad máxima de un bus es 74 pasajeros, ¿cuál seria la capacidad máxima de
6 buses iguales?

À Actividad

Copie en su cuaderno la siguiente tabla y realice lo que se le indica

Llene la tabla multiplicando
x|1|2|3|4|5|6|7|8|9|- cada número rojo, de la primera

columna de la izquierda por cada
1 número negro, de la primera fia
de la parte superior y escriba el
2 resultado en el cuadrito. donde
Er se interceptan la columna y la fila
3 12 que se toman
Por ejemplo, si se multiplica el 3
4 dela primera columna por el 4 de
la primera fia resuta
2 3x4=12
6
7
8
9

Unidad 1: Operaciones con Números Naturales, Fracciones y Decimales

Contenido 4: División de números naturales

Pe. D
a) 12 b) 25+6 e) 72+4 dividendo=-8 L3—divisor
no
a
a) 12+4=0 b) 25+6=0]

6x1=6

siendo este el 6x5=30 Sepasade 25

cociente y O el residuo.

Por lo tanto, al efectuar 25-6 el cociente

es 4y el residuo es 1

e) 72L4_ Se encuentra el cociente de 7-+4,

7 2L4_ Se multiplica 4x1 y el resultado se resta al 7. Luego, se baja el 2 y se
-4 1 coloca al lado del 3.

32
7 2L4_ Seencuentra el cociente de 32
=4_ 18
32
7 2L4_ Se multiplica 4x8 y el resultado se resta al 32, El resultado es 0,
4-18
37
=32
0

Por lo tanto, al efectuar 72 + 4 el cociente es 18 y el residuo es 0.

E

1. Efectue las siguientes divisiones:
a) b) 45+5 9 8627 d) 2253 e) 70:8
) 3959 9) 9056 h) 3852 ) 5923 D 85+4

2. Resuelva el siguiente problema planteando la operación adecuada.

Maria compró 48 flores para repartiias equitativamente en 3 floreros. ¿Cuántas lores se
colocarán en cada florero?

(._———————

¡Sección 1: Operaciones con números naturales

Contenido 5: Operaciones combinadas

P [seco as sigietes operaciones

Se efectúa 5x4
Se efectúa 20+2

Se efectúa 4-2
Se efectúa 8 +2

(Orden de prioridad de las operaciones.

1. Las que están en paréntesis

2. Las muliplicaciones y divisiones de izquierda
a derecha.

3. Las sumas y restas de izquierda a derecha.

E

1. Efectúe las siguientes operaciones:
a) 12+8+2 b) 35-4x3 ©) 3+(9-6)
d) 5x(3+4) e) 12-2x(8-3) D 8+36+(0—5)

2. Resuelva el siguiente problema planteando la operación adecuada

En un tanque que contiene 4S Itros de agua se conecta una manguera que agrega 9
lios por minuto, ¿cuántos ltros de agua habrá en el tanque después de 7 minutos?

Unidad 1: Operaciones con Números Naturales, Fracciones y Decimales

Sección 2: Operaciones con fracciones y decimales
Contenido 1: Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

P [ a) Escriba los múliplos de 2 y 3 que sean menores o iguales que 30.

b) Utiicelos resultados de a) para encontrarlos múltiplos comunes de 2 y 3 menores iguales
que 30, ¿Cuál de ellos es el menor?

S

3) Mútiplos de 2: 2, 4/6,8, 10, 42 14, 16, 18) 20, 22,24, 26, 28,80

Múliplos de 3: 3,6,9,42 15.18 21,24, 27,50

b) Los múltiplos comunes de 2 y 3 menores o iguales que 30 son 6, 12, 18, 24 y 30, Dentro
de estos, 6 es el menor múltiplo comin,

C

El menor de los múltiplos comunes de dos números se llama mínimo común múltiplo
(mem) de estos números.

Encuentre el mem. de 9y 12

Format Forma?
Matipos des: 9,18 27,68, 46,54, 63,72... 912 aa
Milos de 12 12, 24,38, 40, 60, 72 304 Rego eno comunes,
Por lotanto, el mom de 9 y 12e 36, a Fes
acer
men,

3x3x2x2=36

Por lo tanto, el mcm. de 9 y 12 es 36.

Encuentre el mínimo común múltiplo de cada pareja de números, por cualquiera de las formas,

a) 2y5 b) 2y7 9 4y6 9 5y15

e 7y12 ) 8y12 9 7y21 hy toy 12

Sección 2 Operaciones con raccones y decimales

Contenido 2: Adición y sustracción de fracciones

P. [Feten tas siguientes operaciones:
4,3 7_3 3--Numerador %*
aged D £- 3 5—Denominador

Se suman los Dz Se restan los
numeradores 4 y numeradores 7 y
3 y se mantiene 3 y se mantiene
el denominador =4 el_ denominador
5 E 5

Efectüe las siguientes operaciones:

à 842 Ge ad 6 94-2 1-2
ESE art 17-7 9 5-8
P, [ etectie as siguientes operaciones:
dq $24
a) ats »i-3
3+5= 15 * 15 otras fracciones equivalentes con un mismo | ‘5 3 _ 6
5.46 “enominador uilzando el mom de 3y 5que 3 = 15 $45
= Fie ss ES
ait ‘Sesumanlosnumeradores $ y 6 y se mantiene — =
= el denominador 15.
Se convierten las fracciones 3 y fen
ares fracciones equivalentes ooh un fismo |<
denominador utlizando el mom de 4y 8que 3=$
es8. CH
=

Se restan los numeradores 6 y 1 y se escribe
el denominador 8

Realice las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones:

a $+» $44

Unidad 1: Operaciones con Números Naturales, Fracciones y Decimales

Contenido 3: Multiplicación de fracciones

tue ultiplic x5.
P (cacao

S,

3x $= 3X5 ‘Se multiplica 3 por 5 para obtener el numerador 15 y se escribe el
7-7 mismo denominador 7.
15
7

C,

Para multiplicar un número natural por una fracción se multiplica el natural por el
"numerador de la fracción y se escribe el denominador.

E

Efectúe las siguientes multilicaciones y simplfique el resultado,

3 2 3 5 1
a) 2x3 b ax§ ox d 2x8 2) 12x4

Se simplfica el producto indicado de los numeradores 10 y 3 y
denominadores 7 y 5.

Efectúe las siguientes multiplicaciones de fracciones y simplfique el resultado,

1x2 254 5x1 154 3
2 7x8 Dx, 38x} 3x4 10%

Es

Sección 2 Operaciones con raccones y decimales

Contenido 4: División de fracciones

5
P [cnn]

‘Se multiplica 4 por 5, cuyo resultado 20 es el nuevo denominador y
‘se mantiene el numerador.

una fracción por un número natural se multiplica el natural por el
"denominador de la fracción y se mantiene el numerador.

Efectúe las siguientes divisiones y simpliique el resultado.

a $+2 9 $

Se cambia a isin por a mule men visos $

Si es posible, se simplifican numeradores y denominadores

=2 ‘Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y
denominador.

Para dividir fracciones:
1. Se cambia la división por una multiplicación invirtiendo la fracción divisor.
2. Se realizan los pasos de la multiplicación de fracciones.

Efectúe las siguientes divisiones de fracciones y simplifique el resultado,

at 2-3 34 CEE 3:2

Unidad 1: Operaciones con Números Naturales, Fracciones y Decimales

Contenido 5: Adición y sustracción de decimales

Efectúe las siguientes operaciones: unidad <4, 23--centésimas

a) 13435 b) 63-24
décimas

Se alinean los números,
haciendo corresponder en
78 Solumna las unidades 1 y 3 y

las décimas 3 y 5. Luego se
suman,

Por lo tanto, 1,3+3,5

‘Se alinean los números, haciendo
corresponder en columna las
unidades 6 y 2 y las décimas 3 y
4, Luego se restan

y

8 Por lo tanto, 63-24;

E

coincidir en una misma columna las unidades y las décimas y después se suman o.

Para sumar o restar números con una cifra decimal se ubican los números haciendo
se restan

E,

Efectúe las siguientes operaciones con decimales:
a) 13431 b) 28+63 9 34-21 9) 75-19

Efectúe las siguientes operaciones:

a) 11354356 by 738-243
a 135 5 738
+356 -243
4,91 4,95

Por lo tanto, 1,35+3,5

491 Por lo tanto, 7,38—2,43-

1. Efectúe las siguientes operaciones con decimales.
a) 3544215 BI 517+454 c) 438-213 d) 536-419
2. Resuelva los siguientes problemas planteando en cada caso la operación adecuada.

a) Doña Maria compra en una pulpería una galleta en CS5,50 y una golosina en CS3,25.
¿Cuánto gasta doña Maria en la compra?

b) Enunrecipiente hay 3.52ky de azúcar. Sise usa 2,34ky para endulzar refrescos. ¿Cuántos
kg de azúcar quedan en el recipiente?

(OA RL —_—_—_—_—_—_——

Sección 2 Operaciones con raccones y decimales

Contenido 6: Multiplicación de decimales

P. [Eteainta matpicaón 328)
q

1 3,2 + 1 cifra decimal
x 3

9,6 + 1 cifra decimal

Porlo tanto, 3,2x:

as

* para multiplicar un número con una cifta decimal por un natural de una fra

1. Se multiplican los dos números como naturales,
2. Se coloca la coma en el resultado de manera que haya una cifra decimal

8

E,

Efectúe las siguientes multiplicaciones:
a) 24x3 b) 18x4 9) 35x6

P. [ ttectúo a mutilación: 92x23

2 3,2 + 1 aia decimal
x 23 2 1 ita decimal

=: Er
tas OE

Por lo tanto, 322;

736

+ Para multiplicar dos números con una cifra decimal cada uno:

1. Se multiplican los dos números como naturales.
2. Se coloca la coma en el resultado de manera que haya dos cifras decimales.

6

Efectúe las siguientes multiplicaciones:
a) 13x22 b 1,5X1,4 0) 37x29

2. Resuelva el siguiente problema planteando la operación adecuada,

Si tm de alambre pesa 2,39, ¿cuánto pesan 2,2m de alambre?

(AHH MIM1

Unidad 1: Operaciones con Números Naturales, Fracciones y Decimales

Contenido 7: División de un decimal por un natural

nn O)

S,

7.2L4— Sediide 72 entre 4. El cociente tiene el mismo número de decimales del
=4_ 18 dividendo,

32
2

o

Por lo tanto, 72+

Ce
Para vid un decimal pr un natura de una it
1. Sa hace actin namal como all dando yl ve fuen trios

2. Se escribe una coma en el cociente cuando se baja la siguiente cifra a la coma
decimal.

t,

Efectúe las siguientes divisiones:
2 » 5:

97,

a)

P aa
A

S,

2.412 Como 2 es menor que 3, se escribe el O en el cociente y se divide 24+3,

0 0,8 Elcocientetiene la misma cantidad de decimales del dividendo.
24
-24
0
Porlotanto, 2,4+3=0,8

Para dividir un decimal por un número natural de una cifra que sea mayor:

1. Se escribe O en el cociente y se coloca la coma decimal
2. Se efectúa la división como si el dividendo fuera un número natural.

2 Efectúe las siguientes divisiones:
a) 2733 b) 45+

o ns

9 8.

Unidad 2

Numeros Positivos y Negativos

Sección 1 : Los números positivos,

negativos y el cero
Sección 2 : Adición y sustracción con
números positivos y negativos
Sección 3 : Multiplicación y división con
números positivos y negativos

Sección 4

Operaciones combinadas

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Sección 1: Los números positivos, negativos y el cero
Contenido 1: Concepto de números positivos y negativos

P [ observe lostermómetos donde se muestra la temperatura de Managua y Moscú (Rusia) en
un día de enero, ¿Cómo se leen las temperaturas marcadas en los termómetros?

= [Fa EI termómetro es un
u En CET

+10 ‘temperatura.

de

x

2 a

= Ei grado Celsius (°C) es una

7] Unidad de mocida "para la

temperatura

+ La temperatura de Managua es de +30%C, se lee “más 30 grados centígrados”, o
‘simplemente “30 grados centígrados”

¥ La temperatura de Moscú es de -10°C, se lee
grados bajo cero”.

igrados’ o 10

jenos 10 grados cer

Para medir temperaturas se cuenta a partir de 0°. Las temperaturas arriba de O representan
nümeros como +30 (se lee "más 307), y las temperaturas bajo O representan números
‘como —10 (se lee ‘menos 10"). Los números +30, +15, +7 con el signo + de primero,
se llaman números positivos, mientras —10, —3, —28 con el signo — de primero se
denominan números negativos,

1. Escriba las temperaturas que señalan los termómetros con números positivos o negativos,

a) 9

2. Exprese las siguientes temperaturas con números positivos o negativos:
a) 26°C arriba de cero b) 14°C bajo cero
©) 8°C bajo cero d) 35°C arriba de cero

(O —— —_a——_—_————————

Sección 1: Los números positivos, negatives y el cero

Losnúmeros positivos y negativos se pueden utilizar paraindicar posiciones respectoa un
punto de referencia. Observe la siguiente figura y responda: ¿Qué número corresponde
al escalón de Andrés? Qué significa que los escalones de Julia y Fernando sean +3 y
—4 respectivamente?

A A
7 ew ciara
ros

Escriba el número positivo o negativo que corresponde al escalón donde se encuentra
Fernando y Julia respecto a la posición de Andrés.

Femando

"à

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 2: Números enteros positivos y negativos

P

E

Escriba el número positivo o negativo que representa cada una de las siguientes situaciones:

a) Carlos ganó C$25 en la kermés del colegio.
b) Marcia debe C$30.

©) Sobran 20 botellas de jugo.

4) Faltan 12 libros en la biblioteca de una escuela

a) La ganancia de Carlos se expresa con el número positivo +25,

b) La deuda de Marcia se simboliza con el número negativo —30.

©) La cantidad de botellas sobrantes de jugo se registra con el número positivo +20.

4) El nimero de libros faltantes en la biblioteca de la escuela corresponde al número negativo
12.

Los números +1, +2, +3,...se laman números naturales o enteros positivos,
y “1, ~2, -3... se laman números enteros negativos.

Números enteros positivos.

Números enteros (Cero

Números enteros negativos
Los números enteros negativos se utizan para representar pérdidas, deudas,
disminución, ete; en cambio los enteros positives representan excesos,
ganancias, aumento, et.

Losnúmeros enteros positivos se
pueden escribir sin el signo +.
Porejemplo, +3=3,

La tabla siguiente presenta la matricula inicial y final de estudiantes de 7mo a 11mo grado
de un colegio de secundaria. Complete el resto de la tabla con la información proporcionada.

¡Grado | Matricula inicial | Matricula final | Variación Número
7mo 120 100 Disminuyó 20 =20
avo EJ 97 Aumentó 7 +7
EN El ES

ome 75 60
timo. 72 70

ees

Sección 1: Los números positivos, negatives y el cero

Contenido 3: La recta numérica

P [Unaescuela e encuentra a 5m aleste e lacasa de Fernando, que será lpuntode referencia
O. y un supermercado esta a Zem al este de O. Si convenimos en que las posiciones al este
de 0 se representan con + y al este con —, exprese con un entero positivo o negativo la
posición del supermercado ya escuela con respecto a la casa de Femando.

Supermercado Casa de Escuela
Fernando

Y La posición de la escuela es Skm al este del punto de referencia y se expresa con +5.

Y Como la posición del supermercado es 2km al oeste respecto del punto de referencia O,
sta se expresa con —2,

Los números enteros se pueden representar en una recta llamada recta numérica,
Larecta numéricaes una rectadotadade un punto dereferencia llamado origen quele
corresponde al nimero cero, una distribución de marcas ala derecha de este donde se
ubicanlosnimerospostvosyotraalaizquierdadondese ubicanlosnimerosnegativos.
ee —-
=4-3-2-1 012 3 4
mers otros negavos

La casa de Andrea se encuentra a 3km al este de la casa de Fernando, que representa el

punto O, y una farmacia se sitúa a 4km al oeste de O,

a) Escriba el número positivo o negativo que indique la posición de la casa de Andrea y la
farmacia con respecto a la casa de Fernando.

b) Ubique en la recta un punto que represente una pulperia que se encuentra a 1km al oeste
de la casa de Fernando y escriba el número correspondiente con el signo + o —

©) Ubique otro punto que represente una casa que se encuentra a 24m al este de la casa de
Fernando y escriba el número correspondiente,

Casado Casa de
ati Farmacia Femando Andres sl
e yA e
Sm y om

Bm fa

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 4: Ubicación de números en la recta numérica

PP [Unique los siguientes números en la recta numérica
2) 2y5 D =1y=3

S

2) Los números 2 y 5 se ubican en la recta numérica contando dos y cinco unidades a la
derecha del origen.
b) Los números —1 y —3 se ubican recorriendo una y tres unidades a la izquierda del origen.

En la recta de abajo se resume lo dicho en a) y b)

SF FIT IHRER HH

‘Cada número puede ser localizado en exactamente un punto de la recta numérica,

Larecta numérica es un recurso geométrico que sirve para representar los números
negativos, el cero y los números positivos.

Ubique los siguientes números en la recta numérica:

At Bt 0-25 03

Ss trazala recta numérica con O como punto de retreci. colocando 4 ala derecha y —
sto cquetas de o

Pata door 26 se cuentan dos unades y meda ala quieta de O; aiment, como
31.5 se cuenta un unidad y media ala derecha de O

co Bo 0 A
OT Ed E

5

23

E ma ran nner nos ra

A2 Bd c1s os ej

=

TOT ES 1 18 6

2. Escriba el número que corresponde a cada uno de los puntos señalados A, B, C y D de
la recta de abajo,
A 8 e D
4 = Oat BEE} 3578

es

5

Sección 1: Los números positivos, negatives y el cero

Contenido 5: Valor absoluto de números positivos y negativos. Números opuestos

P (ntareca numérica
2) Cala la distancia que y el al #3. 1) Cale distancia que ay del al

a) La distancia del O al +3 se calcula — b) La distancia del O al —3 se calcula
contando las unidades que separan a contando las unidades que separan a O
cero de +3, esto es, 3 unidades, de —3. Se observa en la grâfica que hay

3 unidades.

E 48 16

5

La distancia de 0 al +3 se llama valor absoluto de +3, y la distancia entre O y ~3 es el valor
absoluto de —3. Como la distancia del O al +3 es el mismo número de unidades que separan
a 0 de —3, entonces +3 y —3 se llaman números opuestos.

Se llama valor absoluto de un número a la distancia que hay en la recta numérica entre el
origen y dicho número, El valor absoluto de un número es positivo o cero y se representa
escribiendo el número dentro de | |. Por ejemplo, |+3|=3 y |—31=3.

Los números que están a la misma distancia del origen se llaman números opuestos.

Encuentre el valor absoluto de los siguientes números:
a) +2 b) -4 9 +15 d) -25
‘Como el valor absoluto de un número es la distancia de este al cero, entonces;

DT]

E

1. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números:
a +6 Er ze d+25 e-

2. Complete el espacio en blanco con el número que corresponda.
a) = b) 1-91= _ oLus7
d) —8es el opuesto de €) ___ es elopuesto de +12

°F

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 6: Relación de orden en los números enteros positivos y negativos

P (a) Ubique +2 y +6 en la recta numérica. ¿Cuál de los dos números está a la derecha del
oto?

b) Ubique —1 y ~4 en la recta numérica. ¿Cuál dels dos números eta ala derecha del
oto?

E ES EE 14 186

a) Se puede ver en la recta numérica que +6 está a la derecha de +2. Se dice entonces

que +6 es mayor que +2, y se escribe +6>+2, También se escribe +2<+6 y se lee
+2es menor que +6,

b) —1 está a la derecha de —4 en la recta numérica. Se dice entonces que —1 es mayor
que —4 y se escribe —1>—4, También se puede escribir —4<=1, y se dice que —4 es
menor que —1

Se dice que un número es mayor que otro si al ubicarlos en la recta numérica el
primero se encuentra a la derecha del segundo, De otra forma, un número es
‘menor que otro si el primero está a la izquierda del segundo,

jomplete el espacio en blanco con < o > según corresponda

o b) 5-2
54 == INE 4 wer wer

a) En la recta numérica se observa que un número Un nümero negativo es menor que

negativo es menor que 0, Entonces, —3<0, ‘cero, cero esmenor que un numero

positvo, y un número negativo es
b) —S está a la izquierda de —2, por lo cual, —5<—2. | menor que un positvo.

dene de menor a mayor los siguientes números: +6, +4, —1

Se dibuja la recta numérica y se ubican los números dados.

66S 2 Ÿ 0 1 13 13 4 86

Se observa que —1<+4, +4<+6 y —1<+6, lo que permite escribir
—1<+4<+0 se lee "—1 es menor que +4, y +4 es menor que +6"

1. Escriba en el espacio vacio < o > según corresponda.

a) 4346 b)-8_+7 CA 9 0 +8 e) +2 _+5

2. Ordene de menor a mayor los siguientes nümeros:
a) +7,43,-6 D) +4,-1,-9 ©) 45.842 4) 3,47, 1,4

PrKúÉKK- HH AMM

Sección 1: Los números positivos, negatives y el cero

Contenido 7: Relación de orden en las fracciones positivas y negativas

Escriba < o > en el espacio en blanco según corresponda
D -4_-$

a) Se convierten las fracciones a decimales, obteniendo

3 =0.0 y J = 14. A ubicar estos números enla recta
"umérea seen laura de a izquierda, Como $ está ala

7 3.1
izquierda de 7, entonces à < 7.

b) Se convierten a fracciones equivalentes con el mismo denominador,

rae reer eee
$3--8 -- 4-4

En el inciso anterio se observó que es mayor la raciónque ene 4

mayo numerade. Como —8 > —15, entonces — > — 48 i

Enconsecuencia, — 4 > - 3 >

Y Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga mayor numerador.

Y Si dos fracciones tienen distinto denominador, se convierten a fracciones con el mismo
denominador y luego se comparan los numeradores.

Escriba < o > en el espacio en blanco según corresponda,

eo 3 9
25 D 8 —2

2) Unnimero posto es mayor que un ngatno: $ > — $

ee © |

Complete el espacio en blanco con < o > según corresponda

+} 9% o -3_-¢
2 4 53 12
9 $—3 D -3—s 37

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 8: Comprobemos lo aprendido 1

E

1

Escriba en cada inciso el número entero positivo o negativo que representa cada una de
las siguientes situaciones:

El nivel del mar corresponde|
al punto de referencia,

Número

a) Un pez se encuentra a 50m bajo el nivel del mar.
8) Sobran 1219 de arroz.

©) Carlos perdió 3 lapiceros.

d) Mariana ganó C$150 en la kermés de su escuela,
Ubique los siguientes números en a recta numérica

5 D -3 93 at

Ta Sar Oo ae ES

Escriba el número que corresponde a cada uno de los puntos A, B, C, D y Ede la recta
numérica.

a -

AB G D E
377 TT dt 373%

a) 1-3 —,
9 1-8

Liat Lt

Compare los números de cada inciso completando los espacios en blanco,
972 2<1 b -1,-3

95-9 _<_

9) -4,6.0 _<_<

Ordene de menor a mayor los siguientes números:
a) 5,-1,0 D 2,4, 1 9 3-80

Ordene de mayor a menor los siguientes números:
.9,-7 b) 4,-6,1,-9

a -

SS

Sección 2: Aion y sustracción con números postivos y negatives

Sección 2: Adición y sustracción con números positivos y negativos
Contenido 1: Adición de dos números positivos o dos negativos

P,, [arena sale de su casa, camina 2km hacia el este, descansa un poco y avanza Sim más
1 ”
hacia el est. ¿Cuáles la posición actual de Carolina con respecto à su casa

'1 "La casa de Carolina se toma como punto de referencia

= Primero avanza 2km al este, es decir
'£ +2, luego avanza 3km en la misma
6 dirección, esto es +3,

Carolina está a Skm al este de su casa.
(DAD RED = ES,

À, (Golam se on Dee de soc reos Tim ade on desata un pa y
2 | camina otros 2km hacia el oeste. ¿Cuál es su posición actual con respecto a su casa?

El primer avance es 1km al oeste, es
decir —1; el segundo avance en la misma
q dirección es 2km, esto es —2.

Guillermo está a 3km al oeste de su casa.
CN 2=-0142)=-3

Al sumar dos números del mismo signo:
1. Se conserva el signo.
2. Se suman los valores absolutos de los números.

Efectúe las siguientes sumas indicadas sin utilizar la recta numérica

a) (+4+(+2) b) (-3)+(-8)
Mismo signo_ Sumar Mismo signo Sumar
Tod Ed Edo tet,
+42 ») (-3)+(-8)=-G+8)
+6 -8
E Efectúe las siguientes sumas:
a) (-7)+(-2) by (-3)+(-6) 9 (-4+(-5
9) (+8)+(+12) IHN (+11) +(+8)
9) (~12)+(~18) hy (+1)+(+17) D (-24)+(—10)

Bm AA --——

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 2: Adición de números con signos diferentes

P

ä

@) Parasumar +7 y —3se avanza desde el rigen
7 unidades a la derecha y luego se retrocede +
3 unidades. El resultado es el número que OS
corresponde al punto alcanzado en la recta
Por lo tanto (+7)+(—3)=+4 T=

Observe que (+7)+(3)=+(7-3)=

71> 1-3)

b) Para sumar +2 y —5 se recorre desde el origen
2 unidades a la derecha y luego se retrocede
5 unidades. El resultado es el número que
corresponde al punto alcanzado en la recta
Luego (+2)-+(~5)=—3,

Observe que (+2)+(-5)=-(5=:

1511421

‘Al sumar dos números con signos diferentes:
1, Se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
2. De los valores absolutos, al mayor se le resta el menor.

Siambos números tienen igual valor absoluto y signos diferentes, su suma es igual a cero,

Efectúe la suma indicada (+6) +(~6)

Con aux de la recta numérica, se recorre 6 unidades +6

alla derecha del origen y luego se retrocede el mismo =6

número de unidades, hasta regresar al origen.

Es decir (+6) +(—6)=0. STOTT Te

‘Se dice que +6 y ~6 son números opuestos.

Efectúe las siguientes sumas:

a) (+6)+(-5) by) (+7)+(—4) o) (+9)+(-9)
d (+5)+(-8) 2) (-9)+(+3) 9 (-3)+(+8)
9 C++) N (+2)+(1) D (-8+(+18)

ees

Sección 2: Aion y sustracción con números postivos y negatives

Contenido 3: Propiedad conmutativa y asociativa de la adición

E [ Compare el resultado de (+2)-+(-9) y (-9)+(+2)

5

1 Se desarrollan ambas expresiones por separado:
(42)+(-9)= (0-2)
-7

2+(-9
Se observa que el orden de los sumandos no altera el resultado final

P, (compare etresutado de [(+5)+(— +48) y (19 +CO HO)
S,

‘Se desarrollan ambas expresiones por separado:

[+5)+(-8)1+(4+8)=[-@-5)]+(+8) (+5) +[(8)+(+8)

Se ha encontrado que el resultado es el mismo:
(+5) +(-8)1+(+8)=(+5)+1(-8)+(+8)]

Se observa que dados los sumandos +5, ~8 y +8 no importa el orden en el que se sumen,
el resultado es el mismo.

E

Propiedad conmutativa de la adición
La suma de dos números a y b no resulta afectada si se hace en orden diferente, es decir
a+b=b+a

Propiedad asociativa de la adición

La suma de tres números a, b, e no se afecta si se suman dos cualesquiera de

ellos y el resultado se suma al número restante, es decir
(atb)+e=a+(b+e)

E

Efectúe las siguientes sumas utlizando la propiedad asociativa de la adición:
a) (H8)+(-D+(47) 6) (HO+(—3) ++) ©) (+9)+(—18+ (+5)

d) (-13)+(48)+(—5) e) (—14)+(418)+ (44) 9 (-27)+(—18)+(427)

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 4: Sustracción de números positivos y negativos con sustraendo
positivo

a Efectue la resta (+7) (+3).

S,

Como (+7)-(+3)=
(+3

(+7)-(43)=7-3
>

Minuense Susraendo
Por tanto, (+7)—(+3)=4.

(Compare el resultado anterior con el de (+7)+(—3).

Como (+7)+(—3) es una suma de números con signos diferentes, resulta que:

no

‘Signo de numero

on mayer valor
Scout lar
GD+(-3)= 10-3)

4
El resultado es el mismo, entonces (+7) —(+3)=(+7)+(-3).

Para restar un número posttivo de otro número cualquiera se escribe el minuendo, el signo +
y luego el sustraendo con el signo cambiado, efectuando finalmente la suma indicada,

Efectúe la sustracción indicada (—8)—(+2)

Se aplica la conclusión anterior

Efectúe las siguientes sustracciones:

à (42-45) D (+9)-(+2) 9 (-6)-(+4)
a) (-3)-(+8) e) (-4)-(+7) 2 (—16)—(+3)
9 (+19)-(47) m (D-(+18) » 42-419

ee

Sección 2: Aion y sustracción con números postivos y negatives

Contenido 5: Sustraccién de números positivos y negativos con sustraendo
negativo

8 Utilice la recta numérica para efectuar (+ 4)— (2).
S,

Para efectuar esta resta en la recta numérica, recuerde que sumar —2 significa retroceder dos.
unidades, asi que restar —2 es avanzar dos unidades.

nommen pale
partir del origen, y luego avanza dos unidades, como ¡2
rude so | me
an ES)
Portanto, (+4)—(—2)=+6 i
Peu )
S,
Haciendo uso de las ilustraciones de la derecha +4 à t
se tiene que (+4)+(+2)= +6, y también en la Laz!
Solución del problema aterra encontoque pp
oo E DEERE ER
a 2

En consecuencia, (+4)—(—2)=

+++

Mismo signo Sumar

(49442 = +(4+2)
6

Para restar un número negativo de otro número cualquiera se escribe el minuendo,
el signo + y luego el sustraendo con el signo cambiado, efectuando finalmente la
suma indicada,

¿Cuál es el resultado de (-7)-(-8)?

Se aplica la conclusión anterior.

er tra manera
Ens=n [IT ENS =7+
-0-5) pres
-2
ía Efectúe las siguientes sustracciones:
a) (+8)-(-4) ») (+9)-(-7) 9 (-9-(-2
SS) 9 3-9 DES

9) (+19)-(-2) hy (-18)-(-4) » -3)-(-16)

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 6: Adición y sustracción con el cero

Efectúe las siguientes operaciones:

a) (-6)+0 b) 0+(4)

‘Como el cero indica que no hay desplazamiento, en la gráfica de cada inciso solo se muestra
la flecha que indica el desplazamiento que corresponde al otro número, esto es:

3) Del origen se desplaza 6 unidades b) Del origen se desplaza 4 unidades
hacia la izquierda. hacia la izquierda,
8 : 4
Fa aT OT =a

(-6)+0=-6 0+(-4=-4

©) Del origen se desplaza 2 unidades
hacia la izquierda

2

29-0

Efectüe las siguientes sustracciones:

7 FIT sere
0-(-5)=0+(+5)

‘Se observa que al restar 3 y -5 de O resulta -3y +5, es decirlos opuestos de 3 y -5.

Al sumar o restar O a un número cualquiera el resultado es el mismo número.
Al restar un número cualquiera al O sólo se cambia el signo al número.

Efectúe las siguientes operaciones:
a (-8)+0 b) 040-9) 9 (+7)+0
9 0-(+9) 9 0-(-7) 9 0-(-19)
9 (+15)-0 hy (-9-0 ) (-17)-0

Sección 2: Aion y sustracción con números postivos y negatives

Contenido 7: Adición y sustracción combinadas (1)

P_ (recto as operaciones en a expresión (+5) (+7) +3) -(9)

$

CES) (A+) 9) = (+5) +(=7)+(3) + (+8) Se convierten las restes en sumas
+5)+(+9)-+(—7)+(—3) Se usa la conmutatividad de la suma
(+14) + (10) — Se efectian las sumas (4594049)

yn
= +(14-10)

+4

4 Se omite el signo

Por tanto, (+5) —(+7)+(-3)-(-9)=4.

Para calcular el resultado de expresiones con sumas y restas en paréntesis:
1. Se convierte las restas a sumas.

2. Se suman por separado los números positivos y negativos.

3. Se efectúa la operación resultante.

Efectúe las siguientes operaciones:
a) 9-03 b) (+8) (5) H9)-(+7)

9) (-2-(+6+(-2-(+3)

Efectúe las operaciones (—18) +(+5)—(—3).

18) +(+5)+(+3)
18) +(+8)
(18-8)

Efectúe las siguientes operaciones:
a) (—10)+(+2)—(—7) D) (+5)+(-3)-(-9) 9 (+12) (3) +(-8)

eb —

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 8: Adición y sustracción combinada (2)

P_ (Erectuetas operaciones en 5-9-3+4,

S

La expresión dada tiene sumas y restas combinadas, sin paréntesis, Para calcular su valor se
agrupan los números de acuerdo a su signo:

‘Se agrupan números positives 5 y , ylos negativos —8y -3
Se efectian 5+4y -9-3

Para calcular el resultado de expresiones con sumas y restas indicadas sin paréntesis:

Tan Giese ela
ere 5

3, Se efectúa la última suma o resta indicada.

Efectúe las siguientes operaciones:
a) 3-8+2-9 b) -2+4+8-5 9 -6+9-447

Efectúe las operaciones en 6—9+5.

6+5-9 ‘Se agrupan los términos positivos.
=11-9 Se efectúa la suma 6+5
2 Se efectúa la sustracción 11-9

Efectúe las siguientes operaciones:
a) 7-943 b) -8+3-6 9 -5+7-2

Sección 2: Aion y sustracción con números postivos y negatives

Contenido 9: Adición de decimales

PP”. [ Etectuelas siguientes sumas:
a) (3.1) +(-6,2) 193
à) (47.9) +(-25) parte entera. parte decimal

0) (+3,7)+(—186)

a) Para efectuar esta suma, se escribe
el signo común — y la suma de los
valores absolutos de los números.

b) Como |+7,9/=7,9, |-2.51=25 y
1+7,91>|- 251, se escribe el signo
+ seguido de 7.925.

©) Como |+3,7|=3,7, |-18.6/=18,6 y
1-18,61>1+3,7], se escribe el signo
= seguido de 1863 7.

Para sumar números decimales se toma en cuenta los signos y luego se suman
co restan los valores absolutos de los sumandos.

Efectúe las siguientes sumas:

à (1940-42) b) (+5)+(-23) 9894470)
9 (-25)+(+9.) ©) (1204450 n (-37)+(-05)
N 72435 ) 29461

9 -27+59

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 10: Adición de fracciones

P [recio siguentes somos

E

3

a) Para efectuar la suma de + y -2 se
antepone el signo — ala suma de sus valores,

=
=-4
$

ES E |

summer man} (23)
-+2

x4 _
xa =F
5=+18y-2=-8
FER S ET

asi que para efectuar la suma se antepone el
signo + a la diferencia delos valores absolutos.

Para sumar fracciones se toman en cuenta los signos y luego se suman o restan los
valores absolutos de los sumandos,

Efectúe las siguientes sumas:

HD SS)
A AS

_ —

Sección 2: Aion y sustracción con números postivos y negatives

Contenido 11: Sustracciôn de decimales

P [Greta os sientes susvaccionss:
a) (439-414) b) (+7

1,2) 9 (+27-(+

5

Narr (RT
luegeseefectialasumadenimeras Co CE HM [as
‚con signos diferentes. +(3,9-1,4)

b) Como se está restando un negativo, — (+7,5)—(~11,2)=(+7,8) (411.2) [75
la resta se transforma en una suma. q + 112
de números positivos. as) 18,7

=187

©) El cálculo es similar alinciso a). (+27) -(+6,1)=(+2,7)+(-6,1) a]

=-(61-27) =27
4 EXE]

Para restar un número decimal de otro se convierte en una suma, cambiändole
el signo al sustraendo, resultando una suma o diferencia que se efectúa
"normalmente.

Efectúe las siguientes sustracciones:

a) (+89-(+31) b) (+68)-(-5.4) 9 (+49-(+93)
d (H1n-(-52) 9 (-7,9-(-26) 9 19-39

9) (+99)-(+24) hy (-39)-(+82) D) (-65)-(-2,7)

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 12: Sustracción de fracciones

P [recetas sures annee

AE)

at curs inc coria. A
aoe 69)
(249)
woe
$
A O E!

ston condo|+8]>|- |

Primero se transforma la resta en una suma, (-3)
-1=-5 y 42-48, para 3)
y como -4=-35 y +3= +2. par
efectuar esta suma se antepone el signo + a

la diferencia de los valores absolutos.

Para restar fracciones se toman en cuenta los signos y luego se suman o restan los
valores absolutos de los sumandos,

Efectúe las siguientes sustracciones:

3-69) >) 9-63
2-9 o (03-43 o 3-03)

Sección 2: Aion y sustracción con números postivos y negatives

Contenido 13: Comprobemos lo aprendido 2

E

1. Efectúe las siguientes operaciones:

a) (-6)+(+4) b) (+7)+(-9) 9 (-5)+(-2)
a 49-439) 9 4-47 9 42)-(-6)
9) (+6)-(-13) h) (19)-(-19) D (58)+(+9,2)
» (-29-(-89) À (43)+(-3) > (48)-(-2)

2. Efectúe en cada inciso las siguientes operaciones indicadas:
a) HIN) b) (-6)+(-2)-(-5)

9 167-1447 d) 8-12-(-4)

Unidad 2: Números Positives y Negativos

Sección 3: Multiplicación y división con números positivos y negativos
Contenido 1: Multiplicación (1)

Ricardo se dirige hacia el este a 20m por minuto. Sabiendo que en este momento se encuentra
en el punto de referencia, complete la siguiente tabla

Tiempo e oreja | velocidad X tiempo —) posición
Después de 2 min (+2) | 40m al este (+40) (+20) x (+2)
Después de 1 min (+1) [20maleste (—) ET
‘Ahora (o) | om o ET
Hace tin (1) [20m aloeste(_) O
Hace 2 min (2) [40m aloeste(__) ET

S Bemus ge

Como se dirige al este a 20m por minuto, Hace2min Año 2mn

+20 representa la velocidad. Luego, la
tabla ya completada con la información

solicitada es la siguiente: =

Tiempo ee | velocidad x tempo — posición
Después de 2 min (+2) [40m aleste (+40) (+20), x +2) = +40
Después de 1 min (+1) [20m al este_(+20) (C20) x (En) = +20
Ahora ©| om 7) (+20) x 0 o
Hace 1 min (—1) [20m al oeste (-20) (+20) x= 20
Hace 2 min (2) [40m al oeste (40) (+20) x 22) = =40

C Al multiplicar un número positivo por otro número:
1. Se determina el signo del producto de acuerdo al siguiente criterio:
IS O)
2. Se multiplican los valores absolutos de los números.
Efectúe las siguientes multplicaciones:
a) (+5) x(+7) D) (HOx(-8)
a) (+5)x(4+7)= + (6x7) b) (+6)x (|
=+35
E mme
a) (+3)x(-5) b) (+6)x(—2) o) (+4)x(-9) 9) (+7)x(-8)
e) (+9)x(+6) 9 (+10) x(-3) 9) (+2)x(-11) hy) (+13)x(-2)

——— ———

Sección 3: Mulilicación y visión con nümeros postvos y negatives
Contenido 2: Multiplicación (2)

P (Ricardo se dige haca el sete a 20m por mino, atiendo que en este momento se
encuentra enel punto de referencia, complete la siguente ata

Posición respecto m
> ai punto de referencia Serer essa)

Después de 2 min (+2) [40m al oeste (—40) x 42)

Después de 1 min (+1) [20m aloeste (—)
‘Ahora (0) om o)
Hace 1 min (1) |20maleste (—)
Hace 2 min (2) [40m aleste ( )

s

Como se dirige al oeste a 20m por minuto, Desputsde 2mn Ahora
—20 representa la velocidad. Luego, la
tabla ya completada con la información
solicitada es la siguiente
Posición respecto :
Tiempo ahaa Pee, | velocidad X tiempo =} posición

Después de 2 min (+2) [40m al oeste (—40) (C20) x (42) = 40
Después de 1 min (+1) [20m aloeste (20) ENEE

Ahora © | om O Ex 0

Hace 1 mn (1) [20maleste (+20) (20) XE)

Hace 2 mn (2) [40m aleste (+40) (C20) x C2)

C

Al multiplicar un numero negativo por otro numero:

1. Se determina el signo del producto de acuerdo con el siguiente criterio:
ADA, (x
2. Se multiplica el valor absoluto de ambos números,

(-20)x(+2)= -(0x2)= 40 (2x

+(20x 1)= +20

Efectúe las siguientes mutplicaciones:
a) (-5)x(+4) b) (-8)x0 9 (-3x(-1)

a) (9x (+02 (6x1) b) (-8)x0=0

-5

E

Efectúe las siguientes multiplicaciones:
(IX) D) (—9)x(+5) 9 (-4)x(+6) 4) (-7)x(-2)
AN n (-9)x0 9) (=13)x(+2) (10) (+7)

IE — Je

Unidad 2: Números Positives y Negativos

Contenido 3: Propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación

P Observe que
2, [Compare el resultado de 7x(-9) y (-9)x7. TINO

1 Se desarrollan ambas expresiones por separado:
7x(-9)=—(7x9) 9x
83

7x-9=
Se observa que el orden de los factores no atera el resultado final

P, Compara estado do [COCO y COCA )

S,

‘Se desarrollan ambas expresiones:

1-8 x2] x(—3)=[-6x2)}x(-3) (-8)x[2x(-3)1=(-8)x1-(2x3)]
16)x(-3) 8) x(—6)
+(16x3) = +(8x6)

=48
Se ha encontrado que el resultado es el mismo:
[(-8)x2}x(—3)

(—8)x[2x(-3)]

Cc

Propiedad conmutativa de la multiplicación

La multiplicación de dos números a y b no resulta afectada si se hacen en orden diferente,
es decir
axb=bxa

só
La malen de we nées. Dj ei ea dé 5

cualesquiera de ellos y el resultado se multiplica al número restante, es decir

(axb)xe=ax(bx0)

Efectúe (—5) x9x(—2) utilizando la propiedad asociativa,

(Es)xex(-2

(5) x9}x(—-2)
—(6x9)1x(—2)
48) x (2)
(5x2)

(-8)x9x(-2)=9xI(-5)x(-2)]

xL+6x2)
(+10)
(9x10)

Efectie las siguientes operaciones utlizando la propiedad asociativa:
a) (-8)x{(—3) x2] b) [4x(-5)]x(-2) 9 (-Hx2x(-8)
4) (-4)x3x(-8) 2) XX) (HO) x(-3) x6

Sección 3: Mulilcación y división con números postes y negativos

Contenido 4: Multiplicación con más de dos números

Repaso

Un número entero positivo es par si al dividirlo por 2 el residuo es cero o de otra manera la
división es exacta.

y 8 es un número par porque 6;
y 24 es un número par porque 24

3 y el residuo es 0.
12 y el residuo es 0.

Un número entero positivo es impar si al dvidilo por 2 el residuo es 1, en otras palabras la
division no es exacta.

Y 9 es un número impar porque al dividirlo por 2 el cociente es 3 y residuo es 1

Y 15 es un número impar porque si se divide por 2 el cociente es 7 y el residuo 1

Escriba cada número en la casilla correspondiente.
7, 4,12, 18, 27, 29

Número par Número impar

P (Eicie os suites reduce
a) (-2)x5x(-3) b) 4x(—1)x(—6)x(—2)

“vn

a) (=2)x8x(=3)==10x(=3) b) Ax (AX) X= = 4x(=6)x(-2)
30 24x (-2)
Hay tres factores: dos negativos y =
uno positivo Hay tres factores negativos y uno positivo,
Resulta un producto positivo, El resultado es un número negativo.

‘Al multiplicar mas de dos números, el producto es positivo si el número de factores"
negativos es par y negativo si el número de factores negativos es impar.

¿Cuál es el resultado de (~3)x2x(—1)x4?

Como la cantidad de factores negativos es 2 (número par), el resultado es un número positivo.
Muttiplicando los números:

(3) x2x(—1)x4= + (8x 2x 1x4)

=24
E arneses

a) (-4)x2x(-6) by (-3)x(-8)x(-3) 9 7x3x(-2)

d (AX (DAS e) 7x3x(-3)x2 D 8x(—2)x(-3)x(-2)

o ns

Unidad 2: Números Positives y Negativos

Contenido 5: Multiplicación con decimales

P_( Eleatie os siguientes productos:
a) (42)x¢ D (13.2)

1)x (42,5)

a) Para efectuar este producto se (+2)x(—1,3)
escribe el signo — y luego el producto
de los valores absolutos. =-26

-(2x13) 15

b) Se escribe el signo + y luego el (-132)X(-04)=+(132x04) [4

precie ones a 3.2
" 52 8
©) El cálculo es similar a a). (4,1) x (42,5) = —(4,1x2,5) a
om
CEA 798
DE

Para multiplicar decimales se toma en cuenta la ley de los signos y luego se multiplican
los valores absolutos de los factores.

Efectüe los siguientes productos:

a) (+3)x(-21) by (-43)x(-02) 9 (-3.1)x(-2.2)

d (—4)x(+1,8) e) (+27)x(-03) D (-14xX(-23)

a

Sección 3: Mulilcación y división con números postes y negativos

Contenido 6: Multiplicación con fracciones

Efectúe los siguientes productos

a) Para efectuar este producto se 23) did
escribeel signo — yluego el producto € Dx 3) (0x3)
de los valores absolutos 3x2

7
8
==?

b) Para efectuar este producto se
escribe el signo + y luego el
producto de los valores absolutos.
Se simplfica siempre que sea
posible,

©) Para efectuar este producto se
escribeelsigno — yluego el producto
de los valores absolutos.

Para multilicar fraociones se tora en cuenta la ley de los signos y luego se multiplican
los valores absolutos de los factores.

Efectúe los siguientes productos:

ae aca) CBC)

IE IE (D A

Unidad 2: Números Positives y Negativos

ión

Contenido 7: Potenci

a
N

¿Existe una manera reducida de expresar los productos?
a) 4x4 b) axaxa

8) El producto 4% significa que el número 4 se multiplica por si mismo 2 veces, Esto puede
resumirse escribiendo 4x 4=4%, y se lee "cuatro al cuadrado".

b) De manera análoga, el producto indicado 4X4X4 puede escribirse de manera breve
como 4x 4X 4=4>, y se lee "cuatro al cubo"

Potencia de un número es el resultado que se obtiene
al multiplicar este consigo mismo cierta cantidad de
veces. El número se llama base y la cantidad de veces
que se multiplica se llama exponente.

¿Cuáles el resultado delas siguientes SES
Potencias? par elresalado es postive,
a Cr CRE rentado sega
a) (=2)'= (-2)(—-2)x(-2) 5 (-2)-(-2)x(-3
cance ar
= (3x3)
_3x3
4x4
a
16
9 = ES)
+axıxıxı) Chen

1

(Ejemplo 2) Calcule el resultado de (-3): y 3:
(9) = (3) x (3)
+(3x3)

Los resultados son distintos porque en el primer caso el signo es de la base y en el segundo
caso el — afecta a la potencia,

Efectie las siguientes operaciones

ae DES 9-7
ay à -4 0-3
g y » ay y

et. ——

Sección 3: Mulilicación y visión con nümeros postvos y negatives
Contenido 8: División con números positivos y negativos

P, (Etecue la visión indicada (9 +(+2)

S

El resultado de la división (—8) + (4-2) es un número que cumple la igualdad:

x(+2)=-8 Recuerde que:
Se observa que (—4)X(+2) = —8. Esto significa: 8: +
(-D+(+2=-4 pero 4x2=8,

Aldividit —8 por +2, números con signos distintos, resulta el número negativo —4.
E Efectúe la división indicada (—6) + (3)

El resultado de la división (—6)-

3) es un número que cumple:
x(-9=-6
6. Esto significa
(-0)3(-3)= +2
A dividir ~6 por —3, números con signos iguales, da como resultado el número positvo +2

‘Se observa que (+2)x(-3)

Al dividir dos números con signos distintos el resultado es un [Sano sine
número negativo que se obtiene al diviir los valores absolutos | 3,
de los números.

Y Al dividir dos números con el mismo signo el resultado es un | — Mismosigno
húmero positivo que se obtiene al dividir los valores absolutos
de los números. (9 +(-3)=4(6+3)
=+2

Efectúe las siguientes divisiones:

HEHE) b)(-39+(-7) à 637 (9)

Ley de los signos para la división
FHC): EIA
AAA: EA

Efectúe las siguientes divisiones:
CHEM EME 9 (-48+(+8 a) (454) (+6)

e) 453 (-5) 9 9137 9) (-89+(-4 Mm (+78)

aa —

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos
Contenido 9: División con fracciones positivas y negativas

D, nia pao Goat PoP
Pe
a 2x ja o (xo

S; 2) Etespacio en blanco se tena con e número $ porque

2 2x8
5 3x2

b) En este caso el espacio en blanco se llena con

3 porque
2x5
CH 55721

Cı
Un número distinto de cero es el recíproco de otro si el producto de ambos es 1

O |)

12. Se desarrollan ambas expresiones por separado:

Co1e)x(-§) = (8x4)
73 Elreciproco de —3
- e

Resa qu 18 (-3)=18x(-4)

Para dividir un número por otro se multiplica el primero por el recíproco del segundo.

Sección 3: Mulilcación y división con números postes y negativos

Contenido 10: Multiplicación y división combinadas

P (Erect as operaciones 9 + (-P)xi=2) )

92(-9)xt-2 Se conviene la in en multiplicación
Se ese sign + porque ay dos negation

Se indica la multpicacion de fracciones

Para calcular el valor de expresiones con multiplicaciones y divisiones combinadas:

1. Se convierten las divisiones en multiplicaciones.

2. Se encuentra el signo del resultado tomando el cuenta la ley de los signos para la
multiplicación, se efectúan los productos indicados y se simpliica, si es posible.

Efectúe las siguientes operaciones:

a) a 8x(-9)

a=Bx-9= ax bes
= +(x gos)
¢ 4 )

2x5x3
MES

E

Efectúe las siguientes operaciones:

a 3+(-3)xe7 D 7x(-2) +2) 9 ensox(-4

$
TES ox 3) 9 CAS

IE É— eee n

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Sección 4: Operaciones combinadas

Contenido 1: Expresiones con operaciones combinadas sin signos de agrupación

PP. [Etectúe as operaciones en 4+6x (3)

S

446x(—3)=44(—18) Se efectia al producto 8x (3)

- (184)

14

Para calcular el valor de expresiones numéricas con operaciones combinadas
sin signos de agrupación que indiquen el orden de ejecución de las operaciones,
primero se efectúan las muliplicaciones y divisiones y después las sumas y restes,

Efectúe las siguientes operaciones:
by (-5-(-21)+3 9 6x(-2)+8

a) (-19)+549=-340 Se feta indian (-19)+5

D) (-9-(-21)43 =(-5)-(-7) se etecuata avión (-21)+3

JODA =(—12)+8, Se fect a mutiicacón0x(-2)
4

Efectúe en cada inciso las operaciones combinadas:

a) 2+3x(-5) b) -6+3+7 9 8+-9x(-2)
d) (-21)+7-2 e) (-4)x3+10 N 9-28)+(4)
9) 15-(-9)+3 h) 1245x(-3) i) (-7)-8x(-3)

—— ——

Sección 4: Operaciones combinadas

Contenido 2: Operaciones combinadas con signos de agrupación

PF Sr de agrupación
¿Cuál es el resultado de 5x [9-(17-6)]? Paréntesis
L 1: Corchetes
Sx[9—(17-6)] =5x19-11] Se efectúa 17-8
=5x(-2) Se efectua 8-11

10

En las expresiones numéricas con operaciones combinadas y con signos de agrupación, se
efectúan primero las operaciones dentro de paréntesis y luego las operaciones que quedan
indicadas dentro de corchetes.

Efectúe las siguientes operaciones:
b) (2)x14-(21+7+12]

a) 6-G2+8+5x3)

— (4+ 15) Se efectúa 3228 y 5x3
-19 Se efectúa 44-15

13
D (-2)xf4—(217412)1
2x 14-6412] Se efectúa 2127
2) x 1415] Se efectúa 34-12
3) x(11) Se efectúa 4-15
=2

Efectúe en cada inciso las siguientes operaciones:

a) §x[1-(7-3)] b) 2x[8-(15-4)]
©) 9-(14+2+4x3) 4) (-3)x[6—2+4—7)]
9 (-3)+-91 (2) x(-9)]

| ——

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos
Contenido 3: Propiedad distributiva

PP [ Etectuo las operaciones indicadas (—3)x15+(-7)1 y (—3)x5+(—3)x(—7) y compare
los resultados obtenidos.

Se efectúan las operaciones por separado en ambas expresiones.

(-3)x15+(-7)15 (-3)x(-2) ESAS) = (15) +21
=6 =6

Ha dado el mismo resultado:

(-3)x[5+(-7)]}:

(—3) x5+(—3) x(-7)

6

La propiedad distributiva del producto respecto a la suma establece que:
ax(b+o =axbtaxe
para números cualesquiera a, bye.

Calcule el resultado de 7X(-31)+7X21, primero efectuando directamente las
operaciones indicadas, luego aplicando la propiedad distributiva

Se efectüan las operaciones indicadas: Se aplica la propiedad distributiva
7x(-31)+7x21 = (-217)4147 TX (31) +721 =7x(—31+21)
=-70 7x(-10)
-70

Efectúe las siguientes operaciones,

a) 4x10+4x(-20) b) 5X(-8)+5x(-2)
©) 2x(—7)+2x(—13) d) 6x(-3)+6x(-4)
e) (-2)x(-8)+(-2x13 1 (-3)x25+(-3)x(-17)

PKÉKAA A —MMM¿MS<>

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

Contenido 5: Comprobemos lo aprendido 3

E

1. Efectue en cada inciso las operaciones.

a) (-4)x(+9) b) (-8)x(-5) 6) (-12)x(-7)

a 0x(-6) e) -(-19) 1 Ear

9) (-56)+7 h) 40+(—8) i) (—48)+(—3)
2. Electie en cada inciso las operaciones,

a 5+(-$)x-9) » ex(-3)-6

2
9 ax

3, Efectúe en cada inciso las operaciones.
a) S+6x(-3)-2 by 2x3-(-9)+15

d EYES +axa

4, Efectúe en cada inciso las operaciones.
a) 12+1(0-7)x(S-8)1 b) 2x[7+(8-3x8)]

9 (-4)x12-(18+3+9)] d (19-13) 13x5—(2+7)1

Sección 4: Operaciones combinadas

[Desafío | Aplicación de las operaciones con números positivos ==
y negativos

Femando y Julia comienzan un juego (tomando el lugar donde se encuentran
como el mismo punto de partida) que consiste en lanzar una moneda; si cae

vara" el jugador avanza 3 pasos en linea recta; si es "escudo" retrocede 2
pasos en la misma dirección. Gana el que avanza más pasos después de 7
lanzamientos,

3) ¿Acuántos pasos del punto de parida se encuentra Fernando?
b)_¿Acuántos pasos del punto de parida se encuentra Julia?

©) ¿Quién es el ganador? Pera esta situación:
Losnúmeros
positvos

avance y los.
negatives reroceso,

Punto de partida
>
on

2) Fernando avanzó 4 veces tes pasos desde el punto de parta:
Elavance totales 4X(+3)=+12 pasos donde elsigno + signa avance.

b) Julaavanzó 5 veces tres pasos desde el punto de partida:
Elavance totales 5X(+3)= +15

9) Evidentemente Julia es la ganadora de este juego, pues Jula se encuenta a 11 pasos del
punto de parida +11>+8.

Bf

Unidad 2 Numeros Positivos y Negativos

[Desafío | Aplicación de las operaciones con números positivos ==
y negativos

E

Francisco y Luisa comienzan un juego (tomando el lugar donde se encuentran como el
‘mismo punto de partida) que consiste en lanzar una moneda; si cae "cara" el jugador
avanza 3 pasos en linea recta; si es "escudo" retrocede 2 pasos en la misma dirección.
Gana el que avance más pasos después de 9 lanzamientos.

a) ¿Cuántos pasos avanza Francisco respecto al punto de partida si obtuvo 7 veces
caras?

b) ¿Cuántos pasos retrocede Francisco con 2 veces "escudo"?
e) ¿Acuántos pasos del punto de partida se encuentra Francisco?
€) ¿Cuántos pasos avanza Luisa con 6 veces "cara"?

e) ¿Cuántos pasos retrocede Luisa con 3 veces "escudo"?

1) ¿Acuántos pasos del punto de partida se encuentra Luisa?

9) ¿Quién es el ganador?

Unidad 3
Algebra

Sección 1 : Expresiones algebraicas

Sección 2 : Operaciones con expresiones
: algebraicas

Unidad 3 Algebra

Sección 1: Expresiones algebraicas
Contenido 1: Concepto de expresión algebraica

P

En un puesto de frutas hay cajas con la misma cantidad de
sandías. Si en cada caja hay 6 sandias, ¿cuántas hay en 2

Geer à en Scape? (be que none nee opi à
ÉD ses

Según os das dl problema, ana | Canis
En una caja hay 1X6=6_ sandias de cajas | Nes
En2caas hay 2X6=12 sandias -
En 3cajashay 3x6=18 sandias 1x6
Entonces, 2 2x6
(Cantidad de cajas) x (Cantidad de sandias por caja) = (Total de sandias) 3 3x6
$ ss utza a para denotar la canted desconccida de cajas, la [4 | axe
cantidad ola de sandas en estas a x 6 ;

a | axe

Una variable es una letra que representa una cantidad desconocida.
Unaexpresión formada pornimeros y variables enlazadas por signos de operaciones
se conoce como expresión algebraica.

Escriba la expresión algebraica que representa el total de dinero en x monedas de CSS
y y monedas de CS 1

x monedas de CSS

a aa. >
En x monedas de CSS hay x5 córdobas.
En y monedas de C$1 hay yX1 córdobas.
Se expresa el total de dinero sumando
ambas cantidades y monedas de 051

eee eee O

Escriba en cada inciso la expresión algebraica que se deriva de las siguientes situaciones:
2) Eltotal de jocotes en x bolsas, si en cada una hay 15 jocotes.

b) Elcosto de a chocolates de CS 10 cada uno y b galletas de C$6 cada una.

©) La cantidad de cuadernos que hay en 12 mochilas, si en cada una hay y cuadernos.

d) La cantidad de dinero que resulta de restar x billetes de C$10 a y billetes de C$20.

Sección 1: Expresiones algebraicas.

Contenido 2: Reglas convencionales que se utilizan con expresiones
algebraicas (1)

P (Escrita expresón algeraica que representa l área de las siguientes figuras
a) b)

a) La expresión algebraica que representa b) La expresión algebraica que representa el

él área de un rectángulo como el äreade unparalelogramo como el producto
producto de su base 3 por la atura a es desu base D por la altura h es
3xa bxh

En las expresiones algebraicas se ignorará el signo X para los productos; se escribirán
primero los números y las letras después, respetando en estas el orden alfabético:

3a bxh=bh

(6

Para expresar productos sin utlizar el signo X:

‘Se escribe el número antes de la variable xx8=8x

Si hay más de una variable, se escriben en 3 a

‘orden alfabético. XXSX9=3aY | También se_utliza
‘Silas variables aparecen dentro de un punto "= para
paréntesis, se escriben a la derecha del — (a-5)x8=6(a-5) | expresar productos:
‘numero, 8x

Si se repite una variable, esta se escribe
con un exponente que indica las veces que axa
aparece como factor.

Escriba las siguientes expresiones algebraicas sin utlizar el signo x
231xb D (xD 9 ax(-7) d (-8)xbxa

a) 1xb=8 D (0x o) ax(-D=-Ta 0) (-5)Xbxa:

Escriba las siguientes expresiones algebraicas sin utilizar el signo x,

a) axT b) yx 9 bxax2 9) (xt y)x5

DEE 9 (-8)xa D xXx he

ny

Unidad 3 Algebra

Contenido 3: Reglas convencionales que se utilizan con expresiones algebraicas (2)

P { Eectba a expresión algebraica que representa el res del siguiente tiängub,

En a figura,
‘representa la altura

y bla base del triángulo.

La expresión algebraica que representa el área de un triángulo como el producto de su
base por la altura entre 2 es
on +2
expresión anterior se representará como la fracción Dh
La expr ter presentar lat 4

En las expresiones algebraicas en lugar de a + b se escbia $ 5
Escriba ls siguentes expresiones algebraicas sin ulizar los signos X y
dxt4 Dir à 2x d (axb)+3
ar También:
a) x+4=# py 9+y=$ ds
© a8 Pe
0) 2xars= 2a 9 (axny+3=% EE
ab = Lab

Escriba las siguientes expresiones algebraicas sin utlizar los signos X y
a) a:7 b) S5xa+3 o) (xy)

Escriba las siguientes expresiones algebraicas sin utiizar el signo +
Dai(-2 à (a+b)+

Sección 1: Expresiones algebraicas
Contenido 4: Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico (1)

P (eme sauperarendo a comprar cn bias cn Senna

a) Escriba las expresiones algebraicas que representa el dinero que pagó y lo que recibió de
cambio.
b) ¿Qué representa la expresión 12x?

‘quedandole como cambio
C$200-9x
b) Como x es el precio de una botella de jugo, entonces 12x
representa el precio de 12 botellas de Jugo.

Para traducir expresiones de nuestro lenguaje común al algebraico, que está
constituido por números y signos, se asumen las cantidades desconocidas como.
letras o variables que cumplen con todas las propiedades. Se pueden sumar,
restar, multiplicar, dividi y elevar a un exponente.

a) Si cada botella de jugo cuesta x córdobas, Carolina gastó en la
‘compra de las 9 botellas
CSax 3 H

En una fiesta hay x niños sentados en mesas pequeñas y y adultos sentados en mesas

grandes.

a) Escriba las expresiones algebraicas que representan la cantidad de niños sentados
alrededor de 4 mesas pequeñas y la cantidad de adultos alrededor de 7 mesas grandes.

b) Escriba la expresión algebraica que representa la cantidad total de niños y adultos en 4

mesas pequeñas y 7 mesas grandes.

a) Si en cada mesa pequeña hay x niños, entonces en 4 mesas hay 4xriños.
Si en cada mesa grande hay y adultos, entonces en 7 mesashay 7y adultos.
b) En total hay 4x-+7y personas.

1. Escriba las expresiones algebraicas que representan las siguientes situaciones:
2) El dinero que queda luego de comprar 5 cuademos que valen CS x cada uno con un
billete de C$ 100,
b) El otal de personas en x carros y y motos, si en cada carro hay 4 personas y en cada
moto hay 2 personas.
2, Traslade al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas si a es el precio en
córdobas de un pantalón y b el precio en córdobas de una camisa,

a) Sa+5b b) 300-20 ©) 500—(a+b)

a MMMM

Unidad 3: Algebra
Contenido 5 : Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico (2)

P (a Uncanorecone.xkm en 2horas ¿qué expresión algeratca Lave representa
representa la velocidad del carro? distancia recorrida en una

b) ¿Qué expresión representa la distancia recorrida en y horas Sided de tempo
si el carro va a 60km/h? 60km/h se lee "60km por
hora y sans que

©) ¿Qué expresión representa el tiempo en que se recorren 40 serecome GOkm cada |
km sie! carro va a zkm/h? hora,

2) La velocidad se encuentra dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo en que recorrió
dicha distancia. La expresión que representa la velocidad es:

=$ (km/h)

xt

b) Si el carro avanza 60m cada hora y han transcurrido y horas, entonces la expresión que
representa la distancia recorrida es:

yX60=60y (km)
©) Siel carro va azkm/h, entonces la expresión que representa el tiempo en que recorre 40km es:
40+2=40 (1)

Para representar distancias y velocidades como una expresión algebraica:

(Velocidad) = (Distancia)-+(Tiempo) — (Distancia) = (Velocidad) x (Tiempo)
(Tiempo)= (Distancia) + (Velocidad)

Dependiendo de la unidad de medida de la distancia y el tiempo, asi será la unidad

de medida de la velocidad: 1
km/h seles m/min se lee m/s selee cs
“kilómetro por hora” | “metro por minuto” "metro por segundo”

E

1. Representa con expresiones algebraicas las siguientes cantidades.

a) Lavelocidad de una moto que recorre 9km en x horas.
b) La distancia (en kilómetros) recorrida en 4 horas por un carro, siel carro va a una velocidad

de a km/h.
e) Eltiempo (en horas) en que un bus recorre SSkm, si va a una velocidad de x km/h.
2. Julia camina durante x minutos a una velocidad de 70m/min, pero luego empieza a caminar
a una velocidad de 35 m/min por y minutos. ¿Qué representan las siguientes expresiones?
a) 70x CE ©) 7üx+35y

"ms

Sección 1: Expresiones algebraicas.

Contenido 6: Término algebraico (variable y coeficiente)

PP. [oatata expresión ageraca 2x + Sy identique as vaables y os productos indicados de
"números y variables

5

Las variables son las letras que aparecen en la expresión: x, y
Los productos indicados son 2x y Sy, los cuales se llaman términos, y los números 2 y 5 son
sus respectivos coeficientes,

Término | Variable | Coeficiente
2x x 2
sy y 5

c

y Los términos son expresiones algebraicas que no contienen sumas o restas.
y El coeficiente es el número que mulipica a a variable

¡dentique la variable y el coeficiente de cada término en 3x—y+ à

Observe que: Sx-y+ F=3r+(—y)+ E

Término | Variable | Coeficiente Recuerde que:
a a El 3 nx
D | -» , =

z | … 1
mo : | = 5

E

identique la variably elcceiente de cada término en —4a—0+ $e

Término | Variable | Coeficiente

Unidad 3 Algebra

Contenido 7: Valor numérico de una expresión algebraica (1)

P [fs aner que queda ego de compar on un bite de C5S0 un cuaderno que vale CSx 68
puede posa somo BD Set cadera vale 20, ¿unto ete quede?

S

Si el cuademo vale C$20, significa que

= 20. Si escribimos 20 en vez de x en la expresión, queda:

| se sustuye x
50-20=20

Luego de comprar el cuademo quedan C$30.

El valor numérico de una expresión algebraica en una variable es el número que se obtiene
al susttuir esta variable por un número y efectuar las operaciones indicadas.

Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas con los valores
dados de la variable:

a) 112, six==5 D) a six= 8
Se sustituye x= —5 en la expresión: Se sustiuye x = —8 en la expresión:
x-12=-5-12 ~(-8)
-17 8
“Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas con los valores dados
dela variable:
a) 18-x six=8
©) 25-x six=—10

Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas con los valores
dados de la variable:

2) 2049, sia=3 b) —4a+1,sia=2
Se susttuye a=3 en la Se susttuye a=2 en la A multpicar dos números
expresión: expresión se usarán paréntesis en
da += HA Wear dos
Zen 4x2

7

Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas con los valores dados

dela variable:
a) Sa, sia=9 b) —6a,sia==
©) Artt, six=2 d Sx-7,six=-3

'qg—————— a

Sección 1: Expresiones algebraicas
Contenido 8: Valor numérico de una expresión algebraica (2)

Susttuya en las expresiones algebraicas los valores dados para las variables y realice las
‘operaciones indicadas,

>) fas ©) 2a+5b, sia=3y b=

a) 16. six=8

5

a) Se sustiuyex=8.em b) Sesusttuyex=5em c) Se sustituyena=Syb=—1
2 ñ en:
1636 _ u +56 Es
iF = 0 Te sii 1)

El valor numérico de una expresión con una o más variables se calcula sustituyendo
los números dados, en lugar de las variables y realizando las operaciones indicadas,

Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores
dados de las variables:

a) %a-2b,sia=1yb

b) -a-5b, sia=4yb=3

©) Si, 2 d) —2x7, six=2
2) Sesusttuyea=1 y b=—3en b) Se sustituyea=4 y b=3en
3a-2b= (8)(1)=(2\(-3) -@-66)
3-(-6) 4-15

346

=9
©) Se sustituye x = —2 en: d) Se sustituye x=2.en:
e. Ene,
2-2 Ena
=4

Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores dados
de las variables:

a 1, six=3 D 10, six=-5
z x
© Sa+3b, sia=1yb=2 © 20-Tb, sia=3y b=1
9 30th, si “4 D —4a—3b, sia=-5y0=2

DEE

h) a8, six

ee fm

Unidad 3 Algebra

Contenido 9: Comprobemos lo aprendido 1

E

1

Escriba las siguientes expresiones sin utlizar X y +
a) 3x7 xa 9 62»

-) e) bx5xa D 2x3)

Escriba la expresión algebraica que representa cada una de las siguientes situaciones:

a) Eltotal de latas de jugo que hay en x cajas, sien cada una hay 12 latas.

b) El dinero que queda luego de comprar 7 caramelos que valen C$.x cada uno con un
billete de C$50

©) Eltotal de dinero en una billetera, si hay a billetes de C$20 y b billetes de CS 10.

Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas con los valores
dados de las variables:

a) 21-x six

o b) —3a, si

9) 8a+5, sia=

©) axt7y, six =3 yy N 2a-5b,sia=-7y

9 ¥ six h) 2x3, six

¡Sección 2: Operaciones con expresiones algebraicas

Sección 2: Operaciones con expresiones algebraicas
Contenido 1: Términos semejantes

P (six representa I canta de narans, y canta de piñas y za cani de bananos
que estan an cada bola. Esrba en la Ina corespondient ls irminos del queda que
Tepresentancantdades de naranjas, pias y bananos respechvamente

x 3: Sy Naranjas:
2y & x Piñas:
yo 4 Bananos:

+ Los términos x, 2x, Gx en la variable x representan la
cantidad de naranjas que hay en una, dos y tres bolsas.

y Los términos y, 2y, Sy en la variable y representan la pi... „2
cantidad de piñas que hay en una, dos y cinco bolsas,

Naranjas: 25,3%

+ Los términos 32, 42, 62 en la variable es = representan pin 32, 42,02
la cantidad de bananos que hay en tres, cuatro y seis
bolsas.

Los términos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes se
llaman términos semejantes. No importa que los coeficientes sean diferentes.

Identifique en cada inciso si os términos son semejantes. Justifique.

a) Tay ~3a b) 2xy y Oxy

©) Bb y 130 a) Say Sa

a) Son semejantes porque Ta y —3a b) Son semejantes porque 2xy y Sxy
tienen la misma variable elevada al tienen las mismas variables elevadas a los
‘mismo exponente. mismos exponentes,

©) No son semejantes porque 8b y 13a d) No son semejantes porque Sa y Sa’,
tienen distintas variables. aunque tienen la misma variable, están
elevadas a diferentes exponentes.

Ubique en la fila correspondiente cada uno de los siguientes términos dependiendo de si es
semejante a 12a, 4xy y —5m.
Em, —9a, —m, xy, 3m, Tm,
15a, —Sxy, da, 13m, xy
‘Términos semejantes a:
12a.
xy
Sm:

eed

Unidad 3: Algebra
Contenido 2: Simplificación de términos semejantes

Wi AAA

piezas más del mismo largo.

a) Escriba la expresión algebraica que representa el largo total de las 5 piezas.

b) Si se tuvieran 7 piezas de las mismas y se retiraran 3, escriba la expresión algebraica que
representa la longitud total delas piezas restantes.

a) Las 3 piezas de madera de xem de largo miden en total Sem y las 2 piezas agregadas.
miden en total 2xcm. En la figura se puede ver que de 2

Bet2e= (342) = 8e
Ellargo total es de Sxem.
&

b) Si de 7 piezas de longitud xem se quitan 3 piezas entonces, de acuerdo con la figura, la
longitud total de las piezas restantes es 4x. Es decir

7x

ES

El largo total de las piezas restantes es 4xem.

Para simplificar o reducir términos semejantes se suman los coeficientes con sus
propios signos y se escribe la variable con el mismo exponente.

Encuentre en cada inciso el término que resulta de simplificar la expresión algebraica.

2) 5a-8a b) 2a+7a-a

a) Sa~8a=(5~8)a b) 2a+7a—a=(2+7—1)a
—3a @-1)a
=8a

Encuentre en cada inciso el término que resulta de simplificar la expresión algebraica
a) Sx+2x b) exter 9 Sax
d) 2-7 €) Sete N Tetäctse

9) Art&x-2x h) 9a—2a—4a D -3a-4a-a

¡Sección 2: Operaciones con expresiones algebraicas

Contenido 3: Adición de expresiones algebraicas

P (secta suma do 3047 con 2x6 )

La expresión que representa en forma horizontal la suma es (3x +7)+ (2-8). Para efectuarla
se realiza lo siguiente:
dé Esta suma también se puede escribir de

Genres GES forma vertical
1. Se ubican primero los términos con

= a Variable aindadosvertealmene
RTS 2. Se ainean en ota columna los números.
=6+9x+7-0) acs 7
5-4 #26

Sx+1

Para sumar expresiones algebraicas:

1. Se quitan los paréntesis conservando los mismos signos en cada uno de los términos.
2. Se agrupan términos semejantes.
3, Se simplifican términos semejantes.

Efectúe la adición Sx+ (3-04).

=(5-9)x+3
Ax t3

Efectúe las siguientes operaciones:

a) (2x+5)+(7x—4) b) (Bx—7)+(2x+1) ©) 8x+(4—3x)
4) 2+(8x—7) e) (5:42) +(x+7) N (4x7) +(9x+1)
(Ejemplo 2) Etectie la operación 4-7x-5+x
ATA Stas TO x +45
(-7+1)x+ (4-5)
—6x+(—1)
88-1
Se observa que ~6r—1 no se puede simplficar porque —&x y —1 no son términos

semejantes.

E

Efectúe las siguientes operaciones:
a) 3x-4-9x+5 b) 6-2x+3-Sx ©) 845x—3x+1

o.

Unidad 3 Algebra

Contenido 4: Sustraccién de expresiones algebraicas

PP. [encuentre la expresión que representa restr Restar 8 de Asin efectuar

2x+1 de 3x6. AB
A minuendo B: sustraendo

La expresión que representa en forma horizontal restar 2x + 1 de 3x—6 es (3x—6)—(2x +1).
(Gx—6)~(2x-+1)=(x—6)+(—2x-1) Se cambia de signo a los términos del sustraendo
36211 Se quitan paréntesis.
=ir-2x-6-1 ‘Se agrupan términos semejantes
=(8-2)x+(-6-1) Se reducen términos semejantes

=x-7 Se efectúan operaciones indicadas

Para restar dos expresiones algebraicas:
1. Se cambian los signos de los términos del sustraendo.
2. Se agrupan y reducen términos semejantes.

Efectúe las siguientes sustracciones:

a) (1x2) (2x5) b) 3x—(9-5x)

a) (7x—2)—(2x—-8)=(7x—2) +21 +5)

D} ax—(@-Sx)=ax+(—9+5x)
3x+5x—9

Efectúe las siguientes sustracciones:

a) (+2)- @x+7) b) e+3)—(4e+8) ©) Sx-(2-7x)
9) 6-Qr+1) €) Gx+2)—(—3x+2) D @x—4)—(2e+3)
9) Gx-5)-(7x-1) hy @x—1)—(-x +4) D (x+6)-(-2x-5)

SS

¡Sección 2: Operaciones con expresiones algebraicas

Contenido 5: Multiplicación de un número por una expresión algebraica

P

2) A29=(3(2)x Seusalapropledad asociativa Propiedad asociativa:
=6x Se efectua la operación indicada GORE
Propiedad distibutiva

4)(3x)+(4)(2) Se usa la propiedad distributiva alb+e)=ab+ac

1. Para multipicar un número por un término, se mutiplica el número por el
‘coeficiente del término y la variable queda igual.

2. Para multiplicar un número por una expresión algebraica, se multiplica el número
por cada uno de los términos de esta,

Efecto las suenos mutipicaciones de un número or untémino

DES) D 480)
Se usa la propiedad asociativa del producto y se efectúa el producto indicado,
a) 30D D) —4(-8x)= (4-8)

= 18e =32x

Efectúe las siguientes muliplicaciones de un número por un término.
a) 4(6x) b) —5(—2x) 9 4020

Efectúe las siguientes multplicaciones de un número por una expresión algebraica,

2) 3(6x—1) b) ~2(6x-7)

Se usa la propiedad distributiva del producto y se efectúan los productos indicados.
(3)(6x) + (61) by 267) = (-2)(6x)+ (— 2-7)

SN IH CHA)
= 18-3 = 10+ 14

a) 3(6x—1

Efectúe las siguientes muttipicaciones de un número por una expresión algebraica.
a) 6(2e+7) b) 2@x-5) © —-4(6x-8)

——ûñû —

Unidad 3 Algebra

Contenido 6: División de una expresión algebraica por un número

PP [ tseciuetas siguientes aviones
a) 12036 D) t&x+ (-3) 9) (6x+10)+2

S

Se expresa la división como una fracción

Recuerde que:

= Se simplifica

3)= 0% 2
(-3)= (s8x)(- 5) ‘Se usa la definición de división y se simplifica
=-12% Se efectia el producto indicado

Propiedad distibutva:
(a+b)e=actbe

Se usa la definición de división

Se utiliza la propiedad distributiva

‘Se efectúan las multiplicaciones y se simplifica

1. Para dividir un término por un número se divide el coeficiente por el número y
la variable queda igual

2. Para dividir una expresión algebraica por un número se divide cada uno de los
términos por el número.

Efectúe en cada inciso la división indicada,

a) 21x27 b) 16x.

9 &+(-2

d) (14x+8)+2 ©) (12x+6)+(—8) 9 (15x—10)+5

¡Sección 2: Operaciones con expresiones algebraicas

Contenido 7: Simplificación de expresiones algebraicas

P | simpitique la expresión algebraica 3(2x +6) +5(2x~1)

Se eliminan los paréntesis haciendo uso de la propiedad Propiedad Distributive
distributiva: a(b+0)=ab+ace
HEN = 6620 +910)+(9120+(6(—1
Gx+18+10x—5
Gx +10x+18-5
=16r+13

Para simplificar expresiones algebraicas que contienen paréntesis
1. Se efectúan las muttiplicaciones indicadas usando la propiedad distributiva.
2. Se reducen términos semejantes.

‘Simpliique en cada inciso la expresión algebraica dada.
a) 4(3x+5) 2-8) b) 4(x—6)-3(-S:-7)

a) 4(6x+5) 218) = (4)(3x) + (4)(5)— (2) (x) —(2X=8)
2x+20-2x+16
¡2x—2x+20+18

10x+36

4)(x)+(4)(—6) ES)
Ax 244 15x +21

Ax+18x—24+21

(9x3

b) 4x6) -5x—

Simplfique en cada inciso la expresión algebraica dada.
a) 4(6x+3)+5(2—1) — b) (x44) +2(6x—7) 9 2x7) +5(:-4)

d) 6(x+4)—26x+7) e) 2(8x—6)-4(r-2) D 3G—1)—7(-2e+3)

ff

Unidad 3 Algebra

Contenido 8: Comprobemos lo aprendido 2

E

1. Una con una linea los términos que son semejantes,

Sxe dd
120 “150
LA + 8b

36. + ox

Encuentre en cada inciso el término que resulta de simplificar las siguientes expresiones
algebraicas.

a) Bxtör DEN 6) -38-88

9) Artxtar e) Trtax-5x 9 Ax-Tx-0r

Efectúe en cada inciso las operaciones indicadas.

a) (Ga+7)+(6a—2) b) 2a-6+5a—3

©) 9a-(2-30) 9) (4a+9)—(a+7)

Efectúe en cada inciso las operaciones indicadas.

a) Ar) b) 3(6x—2)

©) 189) d) (12:—8)+4

‘Simplifique en cada inciso la expresión algebraica dada.

a) 3(2x+5)+6(x—2) b) S(8x—2)+2(6x—1)

9 Ax+8)- 4841) d) Mx-4)-32x-5)

ee fan

Unidad 4

Ecuaciones de Primer Grado

Sección 1 | Ecuaciones de primer grado

Sección 2 ; Solución de ecuaciones de
: primer grado

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Sección 1: Ecuaciones de primer grado
Contenido 1: Igualdad numérica

Observe las siguientes balanzas que están en equilibrio y escriba las igualdades que se
pueden deducir de cada situación:

Situación 1 Situación 2 Situación 3

Situación 1 Situación 2 Situación 3
3=3 1414

1+1+

‘el mismo valor numérico.

[i ee

‘Complete el recuadro con un número entero que satisfaga la igualdad.

236+[ j= b) —

u -23 DON

2)6+[5

b) —9-[14

-23 ©) (3)(/ 20) =60

‘Complete, en cada inciso, el recuadro con un número entero que satisfaga la igualdad.

a3+[ ]=e b)

d15-

©) (5)(

¡Sección 1: Ecuaciones de primer grado

Contenido 2: Solución de una ecuación de primer grado

P [cra tora oo compra ira carla de pias y un cuaderno por on
ttl de 0834 E prec decade un eos lapins es SC al dau

es C$14. ¿Cuántos lápices se compraron?

Si x es la cantidad de lápices, el costo total de estos más el costo del cuaderno es 5x +14,
formándose la ecuación Sx-+14=34. Para encontrar el valor de x se tantean algunos
enteros razonablemente escogidos que puedan cumplir la igualdad.

OO Coma
SR Pan

1 CUERTERO

z GUIAR)

3 ya) = 29
[a

El valor de x que cumple la igualdad Sx-+14=34 es 4, Por tanto se compraron 4 lápices.
La igualdad de dos expresiones matemáticas que incluye una variable, como Sx +14=34,
se llama ecuación de primer grado. En una ecuación, el valor desconocido se representa
por una variable x (a la que se llama también incógnita) y las expresiones a ambos lados del
signo igual (=) se llaman lados.

variable

al sustituirlo en la ecuación cumpla la igualdad. Ese número se llama solución de

Resolver una ecuación de primer grado con una variable es obtener el número que
la ecuación.

Identifique la ecuación que tiene al número 5 como solución.
a) 3x—-5=10 D 2x+18=20

a) Se sustituye x = 5 en b) Sise susttuye x= 5 en.

Verificandose que, 5 es Se encuentra que, 5 no es
solución de 3x5 = 10 solución de 2x +18=20 "es distnto de”
E nata cuac au ion anime ame shin
a) Ac+10=22 b) -6x+1=17 ©) -AcH1=8-17

fa

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Contenido 3: Propiedades de la igualdad

P- [Encuentros ky de azucar que debe contener la bolsa grande para mantener en equilbrio
1a balanza de la figura,

Sea x el peso desconocido en hy de la bolsa grande de azúcar.
Se sabe que el peso en los dos platilos de la balanza es igual,
por lo que se puede plantear la siguiente ecuación:

x+3

La bolsa grande contiene Skg.

Propiedades de ta igualdad

‘Si se suma el mismo número en ambos lados de una
igualdad esta se mantiene.
‘Sise resta el mismo numero en ambos lados de una
igualdad esta se manten
Si se mulipica el mismo número en ambos lados de
una Igualdad esta se mantiene

a = hb | Sise divide por el mismo número, con e + 0, en ambos
Propiedad 4 Sia=b, entonces € = ¢- _jados de una iqualdadesta se mantiene.
Si se intercambian
igualdad se mantiene,

Propiedad 1

hb, entonces a+

+e

Propiedad 2 Sia=b, entonces a~:

Propiedad 3. Si ab, entonces a

aaa a lado izquierdo y el derecho,

b,entonces b = a

Para resolver una ecuación se busca que sólo la variable quede en el lado izquierdo
aplicando las propiedades de la igualdad.

Resuelva la ecuación x — 4=1, aplicando la propiedad 1

‘Se suma 4 a ambos lados de la ecuación

Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad 1
a) x-9 b) 1-12 =-9 9 1-8

(AH

-10

¡Sección 1: Ecuaciones de primer grado

Contenido 4: Solución de ecuaciones de primer grado utilizando propiedades
de la igualdad

Resuelva la ecuación x + 1

10, aplicando la propiedad 2

412210 Propiodad2
s412-12=10-12 Seres en ombostados delnecuacón Sia = entonces

2

Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado aplicando la propiedad 2:

a) x+7=-1 b) xt4=-1 c) x+6 =9
Resuelva la ecuación À = 4 aplicando la propiedad 3
= Propiedad 3
36 = 6) Se mutica Sen amboslados delaecuación Sia =p entonces
ac = be
x=20
E, Resuelva las siguiente ecuaciones de primer grado aplicando la propiedad 3:
3x=18 Propiedad 4
x = 18 Se dde por 3 en ambos aces dela eœuacn Sia = b, entonces
3773 ab eso,
x=6 ee
3 Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado aplicando la propiedad 4:
2) 4x=0 D) 8x=24 d -x=6
(Ejemplo 4) Resuelva la ecuación 11 =.x + 15, aplicando las propiedades 2 y 5.
M=x415 Propiedad 5
+151 Se intercambian eado izquierdo y el derecho Sia =, entonces

x+15—15=11—15 Se resta 15.en ambos lados de la ecuación b=a.

Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado aplicando las propiedades:
a) 2=x+8 b) 1

x-4 9 —16=-x+5

——— MMMM

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Contenido 5: Comprobemos lo aprendido 1

E

1. Complete con un número el recuadro de los siguientes ejercicios para hacer cumplirla
igualdad:

a 18+[ ]=30 ») -24-[ ]=-2 0 a )=8
a 2-=-2 9-24 ]=8 9 ()m=-2

2. Investigue si el número 3 es solución de algunas de las siguientes ecuaciones:
a) 2x+8=16 b) -Sx+1=-14

9 4x—4= 58-7 0) 3x1

-21

3. Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando la propiedad 1 de la igualdad:

a) x-19=13 b)x—1

-3 9 x

-5 dit

=12

4. Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando la propiedad 2 de la igualdad:
a)xt8=-2 b)x+12=4 9 x+20= 18d) x+30=20

5, Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando la propiedad 3 de la igualdad:

a 4-5 Dé=-s D Æ=-s 93

8. Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando la propiedad 4 de la igualdad!
a) 3x=30 b) 5x=45 9 -x=13 d) 9x=54

7. Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando las propiedades 1 y 5 de la igualdad!
a) 40=x-12 b) -2=x-16 0) 16=x-5 d -18=x-20

Bf

Sección 2: Solución de ecuaciones de primer grado

Sección 2: Solución de ecuaciones de primer grado
Contenido 1: Transposición de términos en una ecuación de primer grado

PP (Resuena ta ecuación x +410 )

Se aplica la propiedad 2 de la igualdad

Se observa que el término que estaba
enelladoizquierdo (+ 4) pasa alado 3).
derecho con el signo cambiado (— 4)

Cuando un término de una ecuación pasa de un lado a otro, su signo cambia
Este proceso se conoce como transposición de términos.

Resuelva la ecuación x —

— 18 por transposición de términos,

Se transpone —6

E

1. Complete con un número el recuadro de los siguientes ejercicios para hacer cumplirla
igualdad:

a) x+2=8

se]

2. Resuelvalas siguientes ecuaciones utilizando transposición detérminos:

a) x+8=15 b) x=

=14 ©) 18=x+7

ee ———JJ——

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Contenido 2: Ecuaciones de la forma ax+b=d+ex

P [Resuenatas siguientes ecuaciones de primer grado

a) 3x+2 b) -2x—

Se transpone —&x y 2 alados contrarios de la igualdad

Se aplica la propiedad 4 dela igualdad

b) —2x-4=14+7x
—2x-7x=14+4 Setranspone 7x y — 4 alados contrarios de la Igualdad
—9r=18

8, Se opicala propiedad 4 del igualdad

Para resolver una ecuación de la forma ax+b
"x" al lado izquierdo de la ecuación y todas las cantidades

1. Se transponen los términos en
conocidas al lado derecho,

2. Se reducen términos semejantes transformando la ecuación a la forma ex=f,

cone #0
3. Se aplica la propiedad 4 para obtener x = É.

Resuelva las siguientes ecuaciones:

E

a) 4x-10=11-3x b) -3x-

1649x

c) 3x+6 d) —3x+8=18+7x

— es its ii ur

Sección 2: Solución de ecuaciones de primer grado

Contenido 3: Ecuaciones con signos de agrupación

P. [ mesuena siguiente ecuación d per grado: te +4)+20=18+:4x

5

2(x+4)420=18+ 4x Propiedad distributiva.
2x+(2)/(4)+20=18+4x Se apliala propiedad dstibuiva Fe) =abtac AS
2048420 =18+4x

2x—4x=18-20—8 Se ransponen 4x. 20y8

-2x=-10

BY Se aplica la propiedad 4

Para resolver una ecuación de primer grado con uno o dos paréntesis

1. Se aplica la propiedad distributiva para eliminarlos paréntesis.

2 Bo bebepense indes ns cantos csrosiiaca lao cerco que nen
incógnita alado zquierdo 5

3. Se transforma la ecuación a la forma a x = c y se aplica la propiedad 4.

Resuelva la ecuación — 5(x + 7)= 4(— 3x +6) —11

sar near =
IM + (— 5)(7) = (4)(— 3x) + (46) — 11
se = 12er
“tse hrm 2411498
er
Zee
—10

Resuelva las siguientes ecuaciones:

2) AX+O)+2=19+3x D) —4(2x+4)=2(4x +1) 14 0) — Sr + 1)=8(— 6x4 7) 2

ee lb

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Contenido 4: Ecuaciones con coeficientes decimales

a) 04x=1,8 b) 02x + 02=47 - 03x

P ( Resuelv ls siguientes ecuaciones de primer grado con coefientes decimales:
N

Antes de resolver las ecuaciones, se multiplican ambos lados por 10:

a) 04x=1,6
0,4x(10) = (1,6110) ‘Se aplica propiedad 3
4x = 16
4, = 16 ‘Se aplica propiedad 4
4x = 16 aplica propi
x=4
b) 02x+02=47-08x
(0,2x + 0,2110) = (4,7 — 0,3x)10) Se aplica propiedad 3
2x+2=47—3x Se transpone —3x y 2
2x+3x=472
Sx=45
5y=% Se aplica propiedad 4
575
x=9

Para resolver una ecuación de primer grado con coeficientes decimales, se convierte
en una ecuación con coeficientes enteros, multiplicando estos por 10 si el mayor

número de cifras decimales es uno, por 100 si el mayor número de cifras decimales.

es dos, etc. Luego se resuelve la ecuación con coeficiente entero.

E

Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 08x

4 b) 05x+0,8=2.6-0,4x

©) 03x=96 4) 06x +0,3=2,5-05x

— ee ——

Sección 2: Solución de ecuaciones de primer grado

Contenido 5: Ecuaciones de la forma %x = 5

ResueWa las siguientes ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios:
ee
Menge

‘Se mutiplican ambos lados por el m.c.m. de 2 y 3 que es 6

Se aplica la propiedad 4

o beh
— Ext =(3)a5) Se multiplican ambos lados por el m.c.m. de 5 y 15 que es 15
or =6
EEE Se aplica la propiedad 4

€

Para resolver una ecuación de primer grado de la forma x = § con b yd distintos de cero

1. Se multiplican ambos lados de la ecuación por elm.c.m. de los denominadores b y d.
2, Se resuelve la ecuación obtenida aplicando la propiedad 4.

E

Resuelva las siguientes ecuaciones:

o de

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Contenido 6: Comprobemos lo aprendido 2

E

1. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado, aplicando transposición de términos:

DES

13 b) 8x7.

3c) -&-

244d) 5-3

2, Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis:

a) 4x3)

=7 b)3x+2(3r—1)=16 ©) —3(4x+2)

3. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con coeficientes decimales:

2) 08x+02=-06 b)OSx-1=02x+2 €) 025x-3=05x+5

a Resueta las sgulentes ecuaciones de primer grado levandols a a forma a = 5, i
fuese necesario

9 gx-2=-¥ b

9

o]

Sección 2: Solución de ecuaciones de primer grado

Contenido 7: Aplicación de ecuaciones de primer grado (1)

P

S

Cc

Un vendedor de refrescos hace un balance de pérdidas o ganancias cada tres
dias. En el primer día ganó C$250, en el segundo perdió C$120 y en los tres

dias logró un total de C$600. ¿Cuánto ganó en eltercer dia?

Sea x la ganancia obtenida en el tercer dia. Se plantea la ecuación

Green) + (are )=
+
io +

otal)

600
600
600-130
470

„nu.

Por tanto, la ganancia en el tercer dia es de C$470,

Para resolver problemas aplicando ecuaciones de primer grado:
1. Se identifica la cantidad que funcionará como variable.
2. Se escribe la ecuación de primer grado utlizando los datos del problema.
3, Se resuelve la ecuación encontrando asi la respuesta del problema.

Andrea compró 4 cuadernos con un billete de C$500 y recibió C$ 180 de cambio,
¿Cuánto vale cada cuaderno?

Sea x el precio de cada cuaderno. El total a pagar por los 4 cuadernos es 4x. Luego se plantea

la ecuación
(sre), (Soo) (came)

envegado)* (Sundemos )=(reabido

500 = ae 180
= ae 180-500

_& = -30

am

x

Por tanto, el costo de cada cuaderno es de C$80,

Resuelva los siguientes problemas aplicando ecuaciones de primer grado:

2) Una persona que vende en el mercado revisa sus cuentas cada tres dias. El primer dia ganó
C$300, el segundo dia perdió CS 170 y en los tres dias obtuvo una ganancia total de C$800,
¿Cuánto ganó el tercer dia?

b) Juan compró 3 libras de carne con un billete de C$500 y recibió C$230 de cambio. ¿Cuánto
Vale una libra de carne?

PK he a

Unidad 4: Ecuaciones de Primer Grado

Contenido 8: Aplicación de ecuaciones de primer grado (2)

P

Ricardo gasta C$930 al comprar un pantalón y una camisa. Sin
‘embargo desconoce el precio de cada prenda, aunque sí sabe que
el pantalón cuesta el doble del precio de la camisa,

¿Cuál es el precio de cada prenda?

Sea x el precio de la camisa, luego el precio del pantalón es 2x. El total gastado es
930 córdobas, por tanto:

(en (pc) (see)

2 + ox = 930
EN = 930
= 80
= +
Precio del pantalón
x = 310 2e=2(310)= 620

Por consiguiente, el precio de la camisa es C$310 y el del pantalón es C$620.

José tiene una cantidad x de córdobas y Pedro tiene C$2 más que José. Si entre ambos
reúnen C$900. ¿Cuántos córdobas tiene cada uno?

Sea x la cantidad de córdobas que tiene Jose.
Sea x + 2a cantidad de córdobas que tiene Pedro.

(Cantidad de ‘Cantidad de Total
córdobas de José ) + ( córdobas de Pedro) = (cordovas,

x + x+2 = 900
x + 2 900
2x = 900-2
898
= = 2.
x = 449

Por consiguiente, José tiene C$449 y Pedro tiene C$451.

Resuelva los siguientes problemas aplicando ecuaciones de primer grado:

a) Maria gasta C5960 al comprar una blusa y una cartera. Se sabe que la cartera vale el doble de
lo que vale la blusa. ¿Cuánto cuesta cada articulo?

b) Roberto gana x córdobas por un día de trabajo y Luis gana CSS más que Roberto. Si juntos
recibieron CS735. ¿Cuántos córdobas ganó cada uno?

— —

Unidad 5

Proporcionalidad

Sección 1! Proporcionalidad directa

Sección 2 : Proporcionalidad inversa

Sección 3 : Aplicaciones de
proporcionalidad directa e
inversa

Unidad 5: Proporionalidad

Sección 1: Proporcionalidad directa
Contenido 1: Concepto de función

F

Sen pla dancin en evo ect por una persona en à Segundo sae conoce que avanza
Deve pr tego.
3 "Campe i tba
sa ett
En] D D] E ES en 5
> (m) ARE
1) serbe pre ropmaen Inn Fs

a) Como a persona avanza 2 metros por segundo, entonces para determinar la distancia recorrida
se multiplican los 2 metros por el numero de segundos:

¿Cómo se podria
sa [| ı [2[:2]2]>s ee
sm) | 2 |#|s|e |» columna?

b) La distancia se encuentra mulipicando los 2 metros que core por cada segundo con el número de
segundos, entonces: y=2x.

Si al dar un valor a x se determina un único valor de y, se dice que y está en función de x.

Sea y el cambio en córdobas recibido después de comprar con un biete de CS 10 un producto
que vale CSx.
a) Complete la tabla

x (CS) fi Zz 3 4 5
y (CS)
b) Escriba la relación entre x y y.
3) Para determinar el cambio recibido y se resta de 10 el precio x del producto comprado.
x (CS) 1 2 3 4 5
sc | e [|e [7 |e [5
b) Se observa que cada valor de x determina un único valor de y, entonces y está en función dex. Esta
relación se expresa con la Igualdad y = 10 — x.

LES posible expresar la cantidad y de camisetas que posee una persona en función del
Rümero x de pantalones que tiene en su guardarropa?

Evidentemente, el número de pantalones de una persona no influye sobre el número de camisas
que pueda tener. Por tanto, no es posible.

E "sem oxpreión que rereent relación xy
a) Sun ei ecoe 4 motos por min, la dial y en metros que recor en x minutos.

b) En una bolsa que contiene 20 jocotes, el número y de jocotes que quedan después de sacar x
de ellos.

2. Identtique en cuáles de las siguientes situaciones y está en función de x:

3) La distancia y en kilömetros recorrida por una carro en x horas, si este avanza 60 kilómetros por
hora,

b) La cantidad y de puertas en una casa, siviven en esta x personas.

e) Eldinero y én córdobas que valen x naranjas, si una de estas vale CS4

—— an

Sección 1: Proporcionalidad directa

Contenido 2: Concepto de proporcionalidad directa

P

Un ciclista avanza 3 metros por segundo. Sean y los metros que recorre en x segundos.
a) Complete la tabla

x=] 1
y (m)
b) ¿Cuántos metros avanza en 4 segundos? ¿Y en 7 segundos?

©) Escriba la expresión que representa la relación entre la distancia y en metros y la
cantidad x de segundos.

3) Siel cicista avanza cada segundo 3 metros, entonces se multiplica por 3 la cantidad de
segundos.

z@] 1 2 5 4 5 é 7
Dim) | D=3 EEE EEE CCE GS) = 15] (6) = EU]
b) Se observa que el ciclista avanza 12 metros en 4 segundos y 21 metros en 7 segundos.

©) De la tabla se obtiene la expresión:
Distancia = (3m por segundos) x (cantidad de segundos)
La igualdad anterior se expresa utilzando las variables x y y en la forma y= 3x.

Se dice que y está en función de x o que y es directamente proporcional ax.

Si dos variables x y y están relacionadas por la igualdad!
y=ax

se dice que y es directamente proporcional a x.

Al número a se le lama constante de proporcionalidad.

Indique en cada situación si y es directamente proporcional a; si ese es el caso, encuentre
la constante de proporcionalidad,

a) La distancia y (en metros) que recorre una moto en x segundos, si avanza 20m por
segundo.

b) La cantidad total y de cuadernos en x cajas, si en cada caja hay 15 cuademos.
©) El costo CS y de comprar galletas a C$10 cada galleta,

€) Elärea y en cm’ de un rectángulo cuya base mide dem y
la altura xem

Recuerda que u.
ringe WE
Área = (Base) Altura)

| QEKEOÓ QQ

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 3: Relación de proporcionalidad directa en forma de ecuación

P

En un supermercado 6 naranjas valen CS 24 é
a) ¿Cuánto vale una naranja? 6° 6

b) Complete la tabla

(naranjas) [0 [112131415 [6 ir
(raras
leat
» (CS) 24 ó de,
©) ¿Es el costo total y en córdobas de las naranjas directamente proporcional a la. ==
Cantidad x de naranjas compradas”, ¿por qué? =
4) Silacanidad de naranjas se duplca, ¿qué pasa cone prego? ¿y sise bplea? ad,

2) Para saber el precio de una naranja se divide el costo total entre la cantidad de naranjas que
se compraron:

nna
y Presas (See) (at)
[x (naranjas)| © 1 a 3 a 5 a

ly (C$) (4)(0) ac (a (4)(3) {(4)(5) = 20](4) (6) = 24]

©) El costo total y en córdobas de las naranjas si es
directamente proporcional a la cantidad x de
naranjas compradas porque y se puede escribir en
función de x mediante la ecuación y=4x,

2
4) Sila cantidad de naranjas se duplica (se multiplica 6 "4 NX
por 2), el costo total también se duplica
fz 211 [273[4
Si la cantidad de naranjas se triplica (se multiplica CED
or 3), el costo total también se triplica. 2468)

Para establecer la ecuación de proporcionalidad directa entre las variables x y y:
1. Se calcula la constante de proporcionalidad a con dos valores dados de las variables.

yy: Doa
x
2. Se sustituye el valor de a en la expresión y=ax

Encuentre la ecuación que indique la relación entre x y y utilizando los valores dados
y complete la tabla en cada caso sabiendo que y es directamente proporcional a x.

a) b E
xTolıl2[s]als] [xTolıl2Is[als] [zTol1l2[sTals
y 15 y 0] [y 18

Qe € yq Q0gQ0Q 0qQ0Q E 0 EE 5 E E E 5

Sección 1: Proporcionalidad directa

Contenido 4: Proporcionalidad directa con a >0

P [Cara compra ene supermercado bolsas de caramelos

con 10 unidades cada una. QT
Six representa la cantidad de bolsas compradas y ar,
elndmero de caramelos en x bolsas ;

a) ¿Se puede establecer una relación de proporcionalidad directa entre x y »?
b) Complete la tabla

zos) | Ot [2,3 [4[s]|6
y (caramelos)

5

2) Cada bolsa comprada tiene 10 caramelos. Entonces:
(Total de caramelos) = (10) (cantidad de bolsas)
Se establece inmediatamente una relación de proporcionalidad directa entr y y x

‘con la ecuación
10x

b) Se sustituye cada valor dado de x en la expresión anterior para completar la tabla.

x (bolsas) afrT2T=T+TsT8
y (caramelos) | o | 10 | 20 | 30 | 40 | so | 60

E

Establezca la relación de proporcionalidad directa entre las variables y complete la tabla
a) La cantidad y de jabones en x paquetes, si cada uno de estos contiene 3 jabones.

(paquetes) | 0 | 11 2] 3[ 4] 5] 6

Ly (abones)

b) Elnúmero y de estudiantes en x grupos de 7 estudiantes cada uno.
x (grupos) ofTt7T2z27Ts [4 [se
y (estudiantes)

e) Elárea y en cm? de un rectángulo de Sem de base y xem de altura.
xem] o[it]2][3]4 ]s5]e6é
y (em)

—————— —_—_

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 5: Proporcionalidad directa con valores negativos

ee
Sie cone estas aoe ane

a) Complete la tabla.

Para este problema convenimos
=e) JJ AE

Eltiempo antes de que Ricardo
Lt) pase por el punto de referencia

b) ¿Aqué distancia se encuentra 3 segundos después — Se considerará negativo. Una
¿e pasar por el punto de referencia? posición al oeste de dicho punto

©) ¿Aqué distancia se encontraba 2 segundos antes — Se1á negativa y al este, positiva.
¿e haber pasado por el punto de referencia?

d) Escriba y en función de x.

e) Si eltiempo se duplica, ¿qué sucede con la distancia recorrida?, ¿y si se triplica?

a) ES

A 2-7
'y(m)|—6|—4[—2| 0] 2] 46 BR
tee

b) Como Ricardo corre 2m cada segundo,
entonces en 3 segundos se encuentra
a 6m al este del punto de referencia, Punto e etrenca

Poe ((+3)=+6.

©) Los 2 segundos antes de haber pasado por el punto de referencia se representan con
—2. Sicorre 2m cada segundo, entonces
@-2=-4
Luego, Ricardo se encontraba a 4m al oeste del punto de referencia.
a) Según los dos incisos anteriores:

(Distancia recorrida en metros) = (Velocidad constante de 2m/s) x (tiempo)
Entonces y se puede expresar en función de x como y=2x. Esto significa que y es
directamente proporcional a x.

e) Se observa en la tabla de abajo que si el tiempo se duplica, la distancia recorrida también
se duplica; si el tiempo se triplica, la distancia también se triplica

ym] -6 | -4 [| -2] 0 [ 2

y
x@]-3[-2[-1] o [1] 2] 3
4
A

Sección 1: Proporcionalidad directa

C

Dos variables directamente proporcionales continúan siéndolo aunque las variables
tomen valores negativos,

Si y es directamente proporcional a x, escriba y en la forma y= ax, después complete
la tabla

x] = =2 CON TN EA E
y 3
De la tabla se tiene que y=3 cuando x=1, y como y es directamente proporcional a x,

entonces se calcula la constante de proporcionalidad

Pudiéndose escribir a y en a forma »= 3x.

Se sustituyen los valores de x en la expresión anterior para encontrar los de y.

E E DE E E EC E E
y] -12] -9 | -6 | 3

Suponiendo que y es directamente proporcional ax, escriba y en la forma y=ax y complete
cada tabla
a)
Y 3 CM EU ES ESS E
A 5
b
x 3 olı][2]3s]a
y a

Unidad 5: Proporonaiad
Contenido 6: Plano cartesiano
Definición

pian cartesiano eun pane ero deu sera de cbr do a retar

está formado por dos rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, llamadas ejes,
que se intersectan en un punto O llamado origen.

La recta horizontal se conoce como eje de las x o de las abscisas y la recta vertical como
ele de las y o de las ordenadas (véase la figura).

Cada punto del plano queda determinado por el par ,

ordenado (x, y), ax sele lama primera coordenada

y a y segunda coordenada | Ferreti)
TP As

Los valores del eje x ubicados:
alla derecha de O son positivos.
ala izquierda de O son negativos.
Los valores del eje y ubicados:
arriba de O son positivos.
debajo de O son negativos.
Puede verse en la figura el punto A (2, 3)
El par ordenado del origen es (0, 0)

Ubique en el plano cartesíano las parejas de valores dados.
a) A,2) 5 B(-2,-3)

a) El punto A(1, 2) queda ubicado si se
desplaza 1 unidad sobre el eje x a la
derecha del origen y a continuación dos
unidades hacia arriba paralelo al eje y.

b) Para ubicar el punto B(-2, —3) se
desplaza 2 unidades sobre el eje x, a la
izquierda del origen, y 3 unidades hacia
abajo de O paralelo aleje y.

Sección 1: Proporcionalidad directa

Otra forma:

€

Para ubicar un punto (x, y) en el plano se ubica horizontalmente el valor de x y de
ese punto se ubica verticalmente el valor de y

E

a) Escriba los pares ordenados que corresponden a los puntos G, H, | y J de la figura

b) Ubique en el mismo plano cartesiano los
puntos: 7

AQ, 5). «|
8-3-1), a
ce. -3),
D(=1, 4),
EG, 0),

FO, -2)

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 7: Grafica de la proporcionalidad directa con a>0

P

Si y es directamente proporcional a x y se puede escribir en la forma y”
y ubique los puntos obtenidos en el plano cartesiano,

¿Qué gráfica originan los puntos?

DEEE
El

‘complete la tabla

[oe 11[2[3

‘Se completa la tabla con los valores encontrados para y mediante sustituciones de x: por
ejemplo, six=2, y= (2)(2)=4, formando el par (2, 4).

x [=3[-2[=1] 074 ]273
»]-s[-a[>[o[2]4[8

‘Se ubican los puntos correspondientes en Se unen todos los puntos mediante una
el plano cartesiano: Tinea recta

ax con a>0 se forma

‘Alun los puntos procedentes de una tabla de valores de
una recta, llamada gráfica de la proporcionalidad directa,

La gráfica de y=ax con a>0 pasa por el origen.

En cada inciso complete la tabla y trace la gráfica
a) y=3x D) y=4x

Ear] =[-3-2-1[o[1[2[3

Sección 1: Proporcionalidad directa

Observació

Gráfica de la proporcionalidad directa con a>0 y valores decimales para x

P [six esarectamenepropeconat a y e puede esrb del forma y= 2x. Compete
latabiayubqueloepunce en piano artesano. ¿Qué Iguravan omandolos puntos?

=25] 215] -1[-o8] 0 [os] + [>] 2 [28] 3

Se completa la tabla con los valores encontrados para y mediante sustituciones de x
en la ecuación y=2x, Por ejemplo:

= (2)(—2):
Six=1,5, y= (2)(1,5)=3, formando el par (1,5, 3).

Six=- 4, formando el par (2, ~ 4)

jsp [os [1 [15] 2 [25
FEIESENEIETEIENENENENENE)

Se ubican los puntos correspondientes Se unen todos los puntos mediante una

en el plano cartesiano: línea recta
D
« seo
4 ess
1 alas
seáis
la
Joes
loo
sine 4 Los», =
ia 4-9
state sa]
he 4

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 8: Proporcionalidad directa con a<0

P” [enunreopanie nivel del agua alcanza una atura de 20m sobre craie de eerenca
Hace 4 minutos se abrió la llave provocando una disminución del nivel del agua de Sem por
minuto, Según la lustración la linea de referencia es la altura del nivel del agua que hay ahora
en el recipiente y se tomará como Dem. La variable x representa el tiempo en minutos y y es
laaltura del nivel del agua (en centimetros) del recipiente con respectoa la linea de referencia,

a) Complete la tabla e]

simo]
siem

©) ¿Cuáles a ara de nivel del agua con respect al Inaa de referencia luego de 3
‘minutos de haber abierto la lave?

©) ¿Es y directamente proporcional a x?

2) Hace 4 minutos (x= — 4) el agua del recipiente alcanzaba una altura de 20cm sobre la
linea de referencia; al abri la llave la altura va disminuyendo Sem cada minuto,

Entonces:
x(min) | —4 [ -3 [ = MEE
sem | 20 | 15 | 10 o [-5 | -10 | -15 [ -20

b) En la tabla x=3, y=—15 significa que dentro de 3 minutos la altura del nivel del agua

estará 15cm debajo de lalinea de referencia
©) Para saber si x y y son directamente proporcionales se calculan los cocientes E (x #0)

x#0selee
x es disinto de cero’

Como todos los cocientes dan ~5, y es directamente proporcional a x. La constante de
proporcionalidad es a= —5. Entonces y se puede escribir en función de x como:

Sección 1: Proporcionalidad directa

E

En la proporcionalidad directa la constante de proporcionalidad puede tomar valores
negativos.

E

1. Resuelva el problema anterior, pero ahora la altura del nivel del agua disminuye 4cm por
minuto cuando la lave está abierta

a) Complete la tabla

x(min) | a
stem) | 16 o

b) Escriba y en función de x mediante una ecuación de la forma y=ax.

2. Complete cada tabla asumiendo que y es directamente proporcional a x y escriba ay
enla forma y= ax.

a)

E a [CHE CIO II EHE EN]
y o [-2
3 =3 | -2 o 11121374
y o [-3

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 9: Gráfica de la proporcionalidad directa con a<0

P [8 y es drectamente proporcional a x y se puede escribir en la forma ®

y=-2x, complete la tabla y ubique los puntos que resulten en el plano
cartesiano. ¿Qué gráfica generan los puntos?

=2]-]0 [4] 273

‘Se completa la tabla con los valores encontrados para y mediante sustituciones de x en la
ecuación y= — 2x. Por ejemplo: six= — 3, y= (—2)(=3)=6; six=1, y=(=2)(1)==2.
Los puntos que se determinan son (~3, 6) y (1, — 2)

= [=s[-2J-1, oT i [273
ytela4{2 {o [-2[-4]-6
‘Se ubican los puntos correspondientes en Se unen todos los puntos mediante una
el plano cartesiano: línea recta

Al unir los puntos que proceden de una tabla de valores para y=ax con a<0 la
gráfica de la proporcionalidad directa que se forma es una recta, que pasa por el
rigen

‘Complete la tabla en cada inciso y trace en el plano cartesiano la gráfica originada por los
puntos encontrados.

a) y=-4x
AE ESTO T2]:
y

D) y=-3%

AE 0 1171213
A

Sección 1: Proporcionalidad directa

Contenido 10: Gráfica de la proporcionalidad directa (a>0 y a<0)
a partir de dos puntos

. Grafique las ecuaciones de las proporcionalidades directas y=3x y y

Se sabe que la gráfica de la ecuación proporcionalidad directa pasa por el origen, asi que
para trazarla solamente se determina otro punto.

Si se hace x= 1, en la primera ecuación Sise hace x;

| en la segunda ecuación

se tiene se obtiene
== y= (a(t) =-4
Luego, la gráfica pasa además por el Por lo tanto, la gráfica pasa por el
punto (1, 3) punto (1, —4)
0

la

C

Para graficar la proporcionalidad directa y=ax
1. Se ubica el origen en el plano cartesiano y cualquier otro punto (x, y) que cumpla
la relación y=ax.
2. Setraza la linea recta que pasa por esos dos puntos.
En la gráfica de y=ax:
Sia>0, la gráfica crece hacia la derecha — Sia<0, la gráfica decrece hacia la derecha

E acota tea de
a) y=85x b) y=6x 9 y=-8x dy

— ——————

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 11: Intervalos numéricos

P

Ubique en la recta numérica los números con las propiedades indicadas

a) mayores que 2
b) menores que —3 O = Sila variable no toma ese valor

«mayores o gules que -1
e Silavaraso ons exe vtr
¿menores uns que 4 *

e) mayores que 1 y menores que 6

a), Enlarecta numérica los números mayores que 2 se encuentran a la derecha del 2:

+

D oies

La expresión "un número x es mayor que 2" se escribe simböllcamente como x > 2.

b) En la recta numérica los números menores que —3 se encuentran a la izquierda del —3:

y

Hm

5 ona

La expresión “un número x es menor que —3" se escribe simbólicamente como x. < —3.

©) Enla recta numérica los números mayores o iguales que —1 se encuentran a la derecha

del —1, incluyendo al —1
HU
32-1 0414249444848

La expresión “un número x es mayor o igual que —1" se escribe simbólicamente como
x2-1

4) Enta recta numérica los números menores o iguales que 4” se encuentran a la izquierda
del 4, incluyendo al 4: 4
MINES
La expresión “un número x es menor o igual que 4” se escribe simbólicamente como x < 4.

e) En la recta numérica los números mayores que 1 y menores que 6 se encuentran ente 1 y 6:
+ +

ii.
SIRIO OE sr ar ae ET E]

La expresión "x es un número mayor que 1 y menor que 6” se escribe simbólicamente
como 1<x<6

Se —

Sección 1: Proporcionalidad directa

Expresiones como x > 2, x < —3, x2 —1, x<, y 1<x<6 representan conjuntos de
números llamados intervalos numéricos.

Observe con atención la siguiente tabla,

Se lee Representacién en la recta numérica

x<1 | x es menor que 1

x>-3 | x esmayor que -3

x<4 | x es menoro igual que 4

x2-2 | x es mayor oigual que —2

—1<x<3 | x es mayor que —1 y menor que 3|

Complete la tabla tomando como pauta el ejemplo anterior.

Se Representación en la recta numérica

x<3

x es mayor o igual que —6

—5<x<9

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 12: Gráfica de la proporcionalidad directa con b<x<e

Psi corona camina 2 km por hora hacia el paraue quese encuenta a km de su
ase

a) Exprese la variable y (kilómetros caminados) en función de la variable
x (horas que camina) de la forma y=ax.

LEN cuántas horas llega al parque desde su casa?
Determine los valores que puede tomar x.

Trace la gráfica

Determine los valores que puede tomar y.

3) Como Carolina camina 2 km cada hora, entonces
ye2e

b) Para saber en cuanto tiempo lega al parque (en este caso y=6) se resuelve a ecuación
2 =6
and
2
x=3

Luego, Carolina llega en 3 horas al parque saliendo desde su casa.

©) Se ha acordado que x representa las horas que Carolina camina, si aún no ha salido de
casa x=0 que es el valor minimo y del inciso b) se sabe que llega al parque en 3 horas,
siendo este el valor maximo (x

9

‘Cuando x

»=20)

obteniendo el punto (0, 0)

Entonces, y"
y cuandox=3:

(23)

Entonces,

6 El otro punto es (3, 6)

El parque se encuentra a 6 km de la casa de Carolina, entonces la distancia que puede

¡caminar está entre O km (no ha salido de casa) hasta 6 km (lega al parque). Esto se puede
expresar como:

0sys6

En la gráfica se puede identificarlos valores que toma y.

—— On

Sección 1: Proporcionalidad directa

El dominio de una función son todos los valores que puede tomar la
variable x.

El rango de una funcién son todos los valores que puede tomar la
variable y.

Para trazar la gráfica de la proporcionalidad directa y=ax cuando
horse:

1. Se determinan los valores de y correspondientes a 1=0 y
2. Se ubican los dos puntos A y B en el plano.
3, Se traza el segmento que une los dos puntos.

Trace la gráfica de y= —5x, con —23.x 31 y determine dominio, rango.

Para determinar los valores que toma la variable y, se (5 jg)
sustituye x==2yx==1 en y==Sx
Si x=-2, y=(-5-2)

Obteniéndose el punto (—2, 10)

Ss x=1. y=(-5)(1)
Obteniéndose el punto (1, —5)

Se ubican los puntos (-2, 10) y (1, —5) en el plano
cartesiano. Luego se traza el segmento que une los dos
puntos.
El dominio de la función son todos los valores que puede
tomar la variable x, es decir,

—25x51

El rango es: —5sys10.

Trace la gráfica, determine dominio y rango de las siguientes funciones:

a) y=3x, con 0sxs3 b) y=-2x, con -1<x<4

9 y=2x, con -3<x<1 d) y= Ax, con -2<x<0

se A

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 13: Ecuación de la proporcionalidad directa a partir de la gráfica

PP. (Deter locución qu representa rte ela propre dec dager

La gráfica de la proporcionalidad directa y= ax pasa por el origen (0,0) y por (3, 6), por lo
tanto

+
constante de proporcionalidad,

La ecuación de la proporcionalidad directa es:

vax

Para determinar la ecuación def proporcionalidad direct a part desu ria:
4. Sa lis un punto dot gafa donando eus coomenadas.
2. Se susttuyenen a ecuación 2 = a ls aloes de las coordenadas del punto

elegido para calcular el valor de a.
3. Se sustituye en la ecuación y= ax el valor encontrado de a en el paso 2.

Escribe la ecuación »=ax de cada proporcionalidad
directa a partir de los puntos que aparecen en cada
recta,

Sección 1: Proporcionalidad directa

Contenido 14: Comprobemos lo aprendido 1

E

1. Identifique las situaciones donde y es directamente proporcional a x:
a) El precio y en córdobas de x litros de leche, si cada lo vale CS 18.
b) La cantidad y de mascotas en una casa y la cantidad x de niños que habitan en ella.
©) El total y de galletas que hay en x bolsas, sien cada bolsa hay 6 galletas.
d) La talla y de zapatos de una persona y su edad x.

2. En cada inciso y es directamente proporcional a x. Complete la tabla y escriba a y en
función de x en la forma y

a SAT TT
y 6
» AT =2 © 21314
y
9 FJ =2 © 2,3 ]4
Ly
3. Trace la gráfica de la proporcionalidad directa en cada caso
a) ya 9 y=de o)

4, Escribe la ecuación y=ax de cada proporcionalidad directa a partir de los puntos que
aparecen en cada recta

Unidad 5: Proporionaltad

Sección 2: Proporcionalidad inversa
Contenido 1: Concepto de proporcionalidad inversa

P

§

Para repartir 68 de jugo en x botellas la capacidad de cada botella es de y £. Por ejemplo, si
para repartir en 3 botellas, la capacidad de cada botella debe ser de 22,

Se escribirá

a) Complete la tabla, Mr
xbotellas) | 1 [2 Ts [415
ie) 2
b) ¿Cuántas botellas de 34 de capacidad son necesarias?

e) Escriba la expresión que representa la relación entre las x botellas y los y 2 de

capacidad de cada una,

a) Como para repartir 62 de jugo en 3 botellas, la capacidad de cada botella debe ser de 24
6=3X2, entonces:

(Total de £ de jugo) =(Cantidad de botellas) x (Capacidad de cada botella)
Por lo tanto,

(Capacidad de cada botella) = (Total de 2 de jugo)-+ (Cantidad de botellas)

(botellas) | 1 2 El 5
>) 6:1=6 | 6: 6: + 6:5=12
b) Se observa en la tabla que si la capacidad es de 34 se necesitan 2 botellas.

©) De la tabla se puede concluir que y se puede expresar en función de x como
=>
Se advierte que al multiplicar la cantidad de botellas y la capacidad de cada botella el
resultado siempre es 6 (el total de À de jugo xy=6)

=2

Si dos variables x y y están relacionadas por una expresión de a forma y = ©

se dice que y es inversamente proporcional a x, o de otra manera que x y y son
inversamente proporcionales, Al número a se le llama constante de proporcionalidad.

Indique en cada situación si y es inversamente proporcional a x; siese es el caso, encuentre
la constante de proporcionalidad,
a), La cantidad y de caramelos que reciben x niños, si hay 24 caramelos en total

b) La cantidad y de lapiceros que se puede comprar con C$50, sabiendo que cada lapicero
vale CS x

©) La cantidad y de mandarinas en cada bolsa si se quiere guardar 12 mandarinas en x
bolsas.

— ———

Sección 2: Proporconaldad inversa

Contenido 2: Relación de proporcionalidad inversa en forma de ecuación

Para recorrer 12km se debe avanzar a una velocidad de km/h durante y horas.
Sila velocidad es de km/h, se recorre esa misma distancia en 2 horas.

a), Complete la tabla a partir de los valores dados para x.
x(em/n)| 1 [27314 [5 Te
v(t) 2

b) ¿Eltiempo y en horas en el que se recorre los 12km es inversamente proporcional
a la velocidad km/h con que se avanza? ¿por qué?

©) Sila velocidad a la que se avanza se duplica, ¿qué pasa con el tiempo en que se
recorre los 12km? ¿y si se triplica la velocidad?

$

a) Moviéndose a una velocidad de Gkm/h se recorre los 12km en 2 horas (1
entonces:

(distancia en km)

velocidad en km/h) x (tiempo en horas)

Por lo tanto,
(tiempo en horas)

(velocidad en km/h)

distancia en km)
Esto nos permite completar la tabla
xkmim] 1 2 3 4 5 e

vm | 2-2] Ros [Ra] Pos [Boza] Bo

Observe que:
b) En efecto la cantidad y de horas en que se recorre los 12km es

imersament popotenalalovelzcdadentm/conque so (212
“avanza, porque según la tabla anterior y se puede escrbiren (216)
función de x mediante la ecuación y = 12 OSE
= a =12
624=12
(2) = 12 %
©) Sila velocidad se duplica (se multiplica por 2), el
tiempo en que se recorre los 12km disminuye a a

todo mate D EN

em ias Je
Si la velocidad se triplica (se multiplica por 3), el
plica (se multiplica por 3), Ale las

tempo en que se eco los 12km demnuye a
ue rear pies mulipica gor $ EZ 7

Unidad 5: Proporionaltad

C

Para establecer una proporcionalidad inversa entre las variables x y y mediante una ecuación:

1. Secalcula la constante de proporcionalidad a con dos valores particulares de las variables:
xy=a

TE

Encuentr la expresión que indica la relación entre x y y, y complete la tabla si en cada caso
y es inversamente proporcional a x.

a
x] 1 Bi 3 4
y 8

»)
SE 2 3 4
y 9

o 3
AA A 3 4
A 10

Sección 2: Proporconaldad inversa

Contenido 3: Proporcionalidad inversa con a>0

P

Se debe recorrer 18km a una velocidad de xkm/h durante y horas.
a) Establezca una relación de proporcionalidad inversa entre y y x.
b) Complete la tabla,

za [7 [273] 41516
yh)

5

2) Como se deben recorrer 18km, entonces:
(distancia en km) = (velocidad en km/h) X (tiempo en horas)
Para saber en cuántas horas se recorre los 18m se usa la expresión
(tiempo en horas) = (distancia en km) + (velocidad en km/h)
Haciendo las susiuciones respectivas se tiene:
18
ES

que establece una relación de proporcionalidad inversa entre x y y.

b) Se sustituyen los valores de x en la expresión anterior para obtener los valores de y.

mm] 1 2 El 4 5 5
FT) 18 E G 45 36 3

C

Para establece una relación de proporcionalidad inversa entre las variables xy;
se expresa yen función de x, delaforma y = Lx 40

E

Establezca la relación de proporcionalidad inversa entre las variables indicadas y complete
la tabla,

a) Se recorren 12km en y horas avanzando xkm por hora.

& &m/n) 1 2 5 4 5 E
y 09)

b) Carolina empaca 18 libros en x cajas con y libros en cada caja.
fe (cajas) 1 2 3 é
y (libros)

ny

Unidad 5: Proporionaltad

Contenido 4: Proporcionalidad inversa con valores negativos

P (as variantes y y son iversamento proporcionales relacionadas por la expresión y = 12
a) Complete la tabla siguiente

x%0porque no
Fe EE e puede ddr
porro

b) Cuando x >0, silos valores de x se multipican por 2,3 y 4, ¿qué sucede con los valores de 32

©) Cuando x<0, silos valores de x se multiplican por 2, 3 y 4,
¿qué sucede con los valores de y?

3) Al sustituir cada valor dado en la tabla de x en la expresión Observe que
12 siempre:
y= 12 resulta

x]-e]-s]-4|-3]-2]-1] E E E 41/6
DIE —[ eto] «| s [ole

b) Cuando x>0, silos valores de x se
multiplican por 2, 3 y 4 los valores de y nz q

quedan mutilados por $. $ y 4 Ë
+) Cuando.r<0, silos valores de x se Nb 3a

auedenmatplendenpor $, y 4

Dos variables x y y inversamente proporcionales continúan siéndolo a pesar de que las
variables tomen valores negativos.

Encadainciso se asume que y es inversamente proporcional a, Complete la tabla y exprese
y enlaforma „=.

a =a] CEA an E
6
» -2 ELFTS 4

Sección 2: Proporconaldad inversa

Contenido 5: Gráfica de la proporcionalidad inversa con a>0

P [na tata so presentan algunos valores de ls variables x y y que Cumplen con la
proporciona iversa y= Usque cs putos enel lan canoso,

GENE ap T.

y] [a] a] efe [-e|—] [6 Tale feat
Se ubican en el plano cartesiano los puntos Se unen los puntos ubicados
obtenidos de la tabla, anteriormente formándose la gráfica.

La gráfica de proporcion: & cona>0es lo
una hipérbola como se muestra en la figura de la derecha. =

E compite aaa y grate Is guientes proporconaldadesiveras

a) EEES 911121377
y 6

» = a+
y E

Unidad 5: Proporionaltad

Contenido 6: Proporcionalidad inversa con a<0

P ['asumiendo que se puede esc en unción dex medianelaguakad y =
lab open y ga ambas arabes on mararonte proporderale.
50 O EC CA EA E se

ES MEET Fa

12 complete

Se sustituye cada valor de x en la expresión y ==

Por ejemplo para x=-6,

=5
24

12] 24-2

Para saber si son inversamente proporcionales puede verse que los productos xy de sus
valores particulares son iguales a —12, siendo esta la constante de proporcionalidad,

La constante de proporcionalidad en la proporcionalidad inversa puede tomar valores

negatvos.

Ejemplo) Sixes inersamente proporcional ax. compete la tabla y escriba ay enla foma y
= = ST Ta Tara
5 = [=x

Según la tabla cuando x —24, Para encontrar la constante de proporcionalidad se
multiplican los valores dados de las dos variables, asi tenemos

xy=(1)(-24)=-24,

Como x y y son inversamente proporcionales y —24 es la constante de proporcionalidad,
se puede expresar y en función de x como:
youth

Sustituyendo los valores de x en la expresión anterior, la tabla se completa asi

2

=n SE-B O E Es E
serial faire

Complete las tablas, considerando que y es inversamente proporcional a x. Exprese a y en
la forma y= ©

dE =p
y

o ne =3[-2[-1J eT+ 727s Ts
y

Sección 2: Proporconaldad inversa

Contenido 7: Gráfica de la proporcionalidad inversa con a<0

P [citable se presentan algunos valores de as variables yy que cumplen

con a proporcoralda nern y = 2. ous os puntos enel plano

cartesiano.

=s[-3
2

‘Se ubican en el plano cartesiano los puntos Se unen los puntos ubicados anteriormente
obtenidos de la tabla, formándose la gráfica.

=>
La grfica de proporcionalidad inversa y = © con a<0 es
una hipérbola como se muestra en la figura e la derecha

e

Complete las tablas y grafique las siguientes proporcionalidades inversas:

AREA

Unidad 5: Proporionaltad

Contenido 8: Comprobemos lo aprendido 2

E

1. Determine en cada inciso cuáles de las siguientes parejas de variables son directa o
inversamente proporcionales.

a) Se reparten 24 galletas a x niños, recibiendo y galletas cada niño.

b) La cantidad y de cuademos contenidos en x mochilas, si en cada una de estas se
¡guardan 6 cuadernos.

©) Los yl que hay en x botellas, si en cada botella caben 38.

4) La cantidad y de chocolates que se pueden comprar con C$.48, si cada chocolate
vale CS x.

2. Complete las siguientes tablas considerando que:

a) yes directamente proporcional a x

JT

a E

b) yes inversamente proporcional a x

ln ae

Sección 3 Aplicaciones de propecionalidad directa e inversa
Sección 3: Aplicaciones de proporcionalidad directa e inversa

Contenido

'egla de tres simple directa

En la siguiente tabla x y y son directamente proporcionales, Calcule el valor de d.

Como x y y son directamente proporcionales, el cociente es siempre el mismo para
cualquier valor dels variables, Entonces de est se desprende que

d=8
5-3
los Ss
(Has = (Gon Sema smamen de 515
3d = (015)
34 = 90
soe
a= 10

La regla de tres simple directa es una forma de resolver problemas de proporcionalidad
directa entre tres valores conocidos y uno desconocido, estableciendo una relación de
proporcionalidad directa entre todos ellos,

1. Se plantea la ecuación ad=be. -
2. Se despeja el valor desconocido. 2 8

Encuentre el valor de c en la tabla si las variables x y y son directamente proporcionales
usando el diagrama adjunto.

‘Se observa que el diagrama funciona por la proporcionalidad — (2)(~ 16) = {6e
directa, que da lugar a la igualdad (2)(—16)=(—8)e.

—8e= -32

2.
=8

=4

Unidad 5: Proporionalidad

Calcule el valor desconocido en cada tabla, si se asume que las variables x y y son directa»
mente proporcionales,

a) »)

a d 8
o 9

4 d 3
e 9

8 | -12 =18

Otra manera de calcular el valor de d del problema inicial en este contenido, utilizando la
propiedad de las proporciones:

3esa6 como 5esad
Ea

Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones:

ed, ad=be,

3:6::5:d se puede traducir como la igualdad

3d = (615)
Luego, a 2
a=10

— Al

Sección 3: Aplicaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Contenido 2: Aplicación de la proporcionalidad directa (1)
Gabriela lee una receta de pastel donde se indica que por cada 2 libras de
harina hay que añadir 8 huevos. Si quiere preparar un pastel con 5 libras de
harina, ¿cuántos huevos necesita?

1. Se identifican las variables que describen el problema: =
x: cantidad de Hbras de harina er
Y cantidad de huevos para el pastel A,
2 Es evidente que entre más libras de harina se utlicen para el pastel, més SZ
huevos se necestaran: asi que las variables x y y son directamente
proporcionales. A
Sea d, elnúmero de huevos necesarios para elaborar un pastel de 5 ras.

3. Se aplica regla de tres simple directa:

@d= (86)
2d= 40

Uh: oras 40
d=#
d=20

‘Se necesitan 20 huevos para preparar un pastel con 5 Ub de harina,

€

Para resolver problemas de situaciones prácticas que involucren proporcionalidad directa
entre dos variables:

1. Se identifican las variables.
2. Se comprueba que las variables sean directamente proporcionales.
3, Se aplica la regla de tres simple directa para encontrar el valor desconocido.

Resuelve los siguientes problemas:

a) En una cafetera se vierten 4 cucharadas de café molido para preparar dos tazas de dicha
bebida, Si Andrés quiere preparar 9 de estas, ¿cuántas cucharadas de café necesita?

b) Unatleta recorre 3 veces una pista polideportiva en 9 minutos. ¿Cuánto tardará en recorrerla
5 veces silo hace con la misma velocidad?

©) Si8 lapiceros valen C$40, ¿cuántos lapiceros se pueden comprar con C$75?

d) Fernando preparó 22 de jugo con 12 naranjas. Si ahora tiene 36 naranjas, ¿cuántos # de
jugo puede preparar?

Unidad 5: Proporionaliad
Contenido 3: Aplicación de la proporcionalidad directa (2)

PP. [ bolos 48 estudiantes de un aula de clas, 9 ataron e día de hoy ¿Qué porcenajo de
ausentes hubo lía de hoy?

x: porcentaje de estudiantes
y cantidad de estudiantes que representan ese porcentaje
Los 45 estudiantes representan el 100 %, el aumento en el porcentaje implica un mayor
número de estudiantes, luego las variables x y y son directamente proporcionales:
Sea e, el porcentaje que representan los 9 estudiantes.
Se aplica regla de tres simple directa:

[a 1] ve (10019) = (45)e
Ly (estudiantes) 45 TF9 5c = 900
900
45
20

El dia de hoy faltaron 20 % de los estudiantes,

Para resolver situaciones que involucran porcentaje se aplica la regla de tres simple directa.

En una tienda hay una promoción del 35% de descuento en todos sus productos
sólo por hoy. Si el costo normal de un producto es C$ 60. ¿Cuánto vale con el
descuento?

x (0) 100 35 Precio con Precio
ER que) (me) ons)

60-21

(60)(35)

2100 æ

ao El producto vale C$ 29 dia de hoy.
21

Resuelve los siguientes problemas:

a) En un aula de Séptimo Grado hay 65 estudiantes, de los cuales 26 son mujeres. ¿Cuál es
«el porcentaje de mujeres?

b) Un equipo de fútbol ha jugado 15 partidos, de los cuales ha ganado 9 ¿Qué porcentaje
representan los partidos ganados sobre el total?

e) Unjuguete valia C$50, pero Carlos lo compró en la kermes de la escuela con un 16% de
descuento. ¿Cuánto pagó Carlos por el juguete?

d) Un producto aumentó de precio en un 20%, si antes valia CS64. ¿Cuánto vale después del
aumento?

—— =

Sección 3: Aplicaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Contenido 4: Regla de tres simple inversa

En la siguiente tabla x y y son inversamente proporcionales, Calcule el valor de d.

Como las variables x y y son inversamente proporcionales todos los productos xy
son iguales para cualquier valor dado a las variables. Entonces:
(2110) = (5)d
sd=20
0

La regla de tres simple inversa es una forma de resolver problemas de proporcionalidad
inversa entre tres valores conocidos y uno desconocido, estableciendo una relación de
proporcionalidad inversa entre todos ellos,

1. Se plantea la ecuación ab = ed.
2. Se despeja el valor desconocido. Ls? a7]

Calcule el valor de c en la tabla si las variables son inversamente proporcionales.

(1-8) = e(-2)

Unidad 5: Proporionalidad

Contenido 5: Aplicación de la proporcionalidad inversa

P cabrela guarda cera cantidad de naranjas en bolsas que contenen 12
naranjas cada una, Siquiere usar solamente 4 bolsas para guardarla misma
cantidad de frutas, ¿cuántas naranjas debe guardar en cada bolsa?

1. Se identifican las variables:
x: cantidad de bolsas
y; cantidad de naranjas en cada bolsa
2. Las variables x y y son inversamente proporcionales porque entre menos bolsas utilice
para guardar la misma cantidad de naranjas, Gabriela tendrá que depositar más naranja
en cada bolsa.

Sea d el número de naranjas que caben en 4 bolsas.
3. Se aplica la regla de tres

simple inversa:

[x bolsas | so] 4 (6)(12) = (4) d

[snarnes | 12? [a er
7

a=

Gabriela debe gard 18 naranjas en cada lea ‘=

Para resolver situaciones del entorno que involucren la proporcionalidad inversa:
1. Se identifican las variables.

2. Se comprueba que las variables sean inversamente proporcionales.

3. Se aplica la regla de tres simple inversa para encontrar el valor desconocido.

E

Resuelva los siguientes problemas:

2) Andrés empaca cierta cantidad de libros en 6 cajas con 15 libros en cada una
Si quiere usar 9 cajas para guardar la misma cantidad, ¿cuántos libros debe guardar en
cada caja?

b) Un camión con capacidad de 3 toneladas necesita realizar 15 viajes para transportar
cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes serán necesarios para transportar la misma
arena en un camión con capacidad de 5 toneladas?

e) Cuatro fotocopiadoras del mismo tipo imprimen cierta cantidad de hojas en 6 minutos.
¿En cuántos minutos imprimen la misma cantidad de hojas 8 fotocopiadoras similares?

d) Carolina prepara 12 bolsas, con 3 chocolates cada una para su fiesta de cumpleaños.
¿Cuántas bolsas debe preparar si ahora decide poner 9 chocolates en cada una?

ST

Sección 3: Aplicaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Contenido 6: Comprobemos lo aprendido 3

E

1. Calcule el valor desconocido en cada tabla, si se asume que las variables x y y son
directamente proporcionales.

a) b)
|» | 3 | L = | -12 |

2. Calcule el valor desconocido en cada tabla, si se asume que las variables x y y son
inversamente proporcionales.

a) »)
) ) 7

o 4

A H
i y
i y

3. Resuelva los siguientes problemas:
a) Claudia trabaja los sábados en la tienda de su padre y por 2 horas de labor este le
paga C$ 100. ¿Cuánto dinero recibirá por 5 horas de trabajo?
b) Para envasar cierta cantidad de leche se necesitan 9 botellas de 24 de capacidad
cada una, Si se quiere envasar la misma cantidad de leche en 6 botellas, ¿cuál debe
ser la capacidad de cada una?

e) En un colegio hay 80 estudiantes de séptimo grado de los cuales 36 son niñas, ¿qué
porcentaje de estas hay en séptimo grado?

d) SiS albañiles necesitan 24 dias para realizar una obra, ¿cuántos días necesitaran 18
albañiles para realizarla misma obra trabajando al mismo ritmo?

e) En una bolsa hay 8 caramelos de menta y 12 de fresa. ¿Qué porcentaje representan
los caramelos de fresa?

—— Äh

Unidad 5: Proporionalidad

.

‘Cuando se pide un préstamo, se debe pagar cierto interés por ese dinero. Y cuando se
deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un cierto interés por ese dinero, En
negocios de este tipo:

y El capital es el monto de dinero inicial prestado o depositado.
+. La tasa de interés es el porcentaje de dinero que se paga o se cobra,

+ Elinterés es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante
cierto tiempo.

P [ a1nacer el préstamo en el banco de $800 al 5% de interés anual

El interés simp
2) ¿Cuanto interés hay que pagar al banco en un año? CTS
b) ¿y entres años? sobre un capital

€) ¿Cuanto interés hay que pagar al banco en 6 meses? inicial que no. 3%

cambia.

a) Se calcula el dinero que representa el 5% del capital

Aplicando regla de tres simple directa:

Dinero($) 800 | e (80015) = (100Xc)
4000 = 100
Porcentaje (%) | 100 | 5 ve
= 100.
Hay que pagar $40 en un año. =40

b) Si en un año hay que pagar $40, entonces en 3 años hay que pagar (3)(40)
©) En un año hay 12 meses, entonces:

120.

(40 x6) = (1210)
Dinero) DE
2 240 = 12e

Meses #2 [6

Hay que pagar $20 en 6 meses.

Resuelva los siguientes problemas:

8) Alhacer un préstamo en una financiera de $900 al 10% de interés anual, ¿cuánto
interés hay que pagar en dos años?

b) Al hacer un préstamo en el banco de $600 al 5% de interés anual, ¿cuánto interés hay
en 4 meses?

SS —

Unidad 6

Introducción a la Geometría

Sección 1 | Nociones básicas de geometría

Sección 2 : Construcciones con regla y
¿ compás

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Sección 1: Nociones básicas de geometría
Contenido 1: Nociones básicas (punto, recta, segmento, rayo y plano)

Es una representación mental de una marca que
tiene posición en el plano y carece de extensión.
Los puntos se denotan con letras mayúsculas A,
B,C,D, ..., et.

Es una línea que pasa por dos puntos y se
extiende indefinidamente en dos direcciones
Recta — | opuestas. La recta que pasa por los puntos À y
B se denota por 7 (se lee “recta 1) 0 AB’ (se lee
recta AB’)

Esla porción de la recta comprendida entre Ay B,
se denota AB y se lee "segmento AB’

Se expresa la longitud del segmento como

AB = Sem

Es la parte de una recta que tiene origen A y se| à E
extiende indefinidamente en una dirección. Si el

punto B pertenece al rayo, este se denota con
AB" yse lee “rayo AB”.

Para determinar un plano se necesitan tres puntos que no estén
en una misma recta, Un plano se denota con letras griegas como
a, B, 6, entre otras.

Segmento

Rayo

Dados los puntos de la derecha, dibuje los objetos geométricos N, >
pedidos y escriba la notación que los representa
a) La recta que pasa por A y B. € p
b) El segmento que tiene los puntos extremos C y D M a
©) Elrayo con origen el punto E y que pasa por el punto F. E 5
Dibujo Notación
a) —_4 Sl
» [a DP œ
E re er
Dados los puntos de la derecha, dibuje los objetos geométricos A 8
pedidos y escriba la notación que los representa
2) El segmento que tiene los puntos extremos A y B LA oN
b) Eltayo que tiene el origen en el punto M y pasa por N
©) La recta que pasa por los puntos R y S Re +s

Ed

¡Sección 1: Nociones básicas de geometría

Contenido 2: Suma y resta de medidas de segmentos

Pi

a) AC b) BC
pese
S 2) De la gráfica se tiene que b) De la gráfica se tiene que
AC=AB+BO=5+3=8 AC-AB= 6
AC=8(em) stem)
‘Se cumple AC=AB+BC en a) y b) porque el punto B esta entre Ay C.
Besta entre Ay C, siA, By C pertenecen a una recta y AB-+BC= AC. 8

Calcule la medida de los siguientes segmentos:
a) AC

ss
à em

“Dem”

De acuerdo con la figura, calcule la longitud de AB y BC, si AC=15cm.

x+3 .x

Por lo tanto, BC= Gem. Esto nos permite calcular AB: AÉ
Finalmente, hemos determinado que AB=9(em), Bl

Calcule la longitud de AB y BC, si AC=10cm

Unidad 6: Introducción ala Geometría
Contenido 3: Ángulo, medida y clasificación

Definición

Ángulo: Es la figura formada por dos rayos con un origen común
llamado vértice; se denota como: «BAG, 2A, LAB.

Elsimbolo 4 sera utlizado para indicarlamedida z
de un ángulo. Por ejemplo, si utilzáramos Lado,
grados, 4BAC= 40° (a=40'). Vértice
f= 40"
A Lado ©
P [Dado el RC marque ts puntos B, D y Eon plano para
formarlosängulosde 48AC=60", ¿DAC: Ä [3

1. Se dibuja el AC” y se coloca el transportador
sobre este, haciendo coincidir su centro con el
origen A.

2. Se comienza a leer en el transportador desde
0° hasta 60°, se ubica el punto B y se traza
con una regla el AB”. La construcción de los

ángulos de ¿DAC=90" y 4EAC=120° es
idéntica a la anterior: se localizan los puntos E
yD por donde deben pasarlos rayos AE" y AD”
para obtener los ángulos buscados.

El simbolo L. representa

Dado un AC” y un número a expresado en grados se puede encontrar con el transportador un
único punto B en el plano tal que 4BAC= a.
Los ángulos se clasifican según su medida en:

Ángulo agudo: Ángulo recto: Ángulo obtuso:
Medida menor que $0” Medida igual a 90° Medida mayor que

90° y menor que 180°
e 8 A

En la solución del problema se ha encontrado que el ¿BAC es agudo, el ¿DAC es recto y el
ZEAC es obtuso porque miden 60°, 90° y 120° respectivamente.

¡Sección 1: Nociones básicas de geometría

Determine la medida de cada ángulo dado en la figura, escriba su notación y clasificación

b 9

Haciendo uso del transportador se encuentra que:
a) 4A=150°, siendo un ángulo obtuso.

b) 4B=90°, lo que indica que es un ángulo recto.

©) 40=45°, lo cual nos dice que se trata de un ángulo agudo.

1. Dibuje un ángulo de 45° y otro de 130°, utlizando el transportador
2. Determine la medida de cada ángulo dado en la figura, escriba su notación y clasificación,

a » 9 a
o
A
M
P
8 À € 5

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Contenido 4: Rectas perpendiculares en el plano

Dos rectas son perpendiculares sil intersectarse forman
un ángulo de 90° o recto, La relación de perpendicularidad
se denota con el simbolo 1.

Lanotación AB" 1 CD se lee “AB” es perpendicular a
en”.

Dada TiN, dibuje una recta perpendicular a esta
que pase porel punto Aexterior a dicha recta. Use
escuadra y cartabón

Se traza la MIN con ayuda del cartabón

2. Se coloca uno de los lados iguales de la
escuadra sobre la recta trazada, deslizándola
sobre el cartabón hasta que el lado vertical
de la escuadra coincida con el punto A.

3, Se traza una recta que pase por A y corte a
la MN en C. La'AC resulta ser perpendicular
aesta

Para construir una perpendicular PC a la 7 dada,
desde un punto P exterior a esta, se siguen los
siguientes pasos:

+ Se trazala T con el cartabón.

+ Se desliza uno de los lado iguales de la escuadra
hasta que el lado vertical de esta coincida con el
punto P.

+ Setrazala PC con elladovertical de la escuadra.

¡Sección 1: Nociones básicas de geometría

Dada la siguiente figura:

a) Mida con una regla graduada en cm los
segmentos PA, PB, PC, PD y PE
e indique cuál de ellos tiene la menor longitud

b) Mida el ¿PCD,

a) Se determinan las medidas con una regla graduada, encontrando que PA=4cm,
PB=33cm, PO=2,7cm, PD=3cm y PE=37em. El PC es el que tiene la menor
longitud.

b) Usando el transportador se tiene que 4PCD= 80°

C:

Sila PC es perpendicular ala 7',donde C es el punto común de ambas rectas,
entonces la longitud del PC es menor que la de cualquier otro segmento de P
a cualquier otro punto de 7.

2) Utizando escuadra y carabón, dije una recta horizontal PG, un punto exterior Ay la
perpendicular desde este la PQ

b) Mida con una regla los segmentos PA,
segmento perpendicular a la recta

PC y PE. Indique cual de ellos es el

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Contenido 5: Rectas paralelas en el plano

Dora
Dos rectas son paralelas sinotienen puntos en común, + +
La relación de paralelismo se denota con el simbolo | © 5
La notación AB || CD selee"larecta AB es paralela
alarecta ED". A 8

P (ses ecundr y carabén par azar una recta paralaa ?

ala AB y que pase por el punto P exterior a ella

S

1. Se traza la AB con el cartabón y se
coloca la escuadra como indica la
figura

2. Se desliza el cartabón hacia arriba
hasta alcanzar el punto P sobre el
‘cual se traza la paralela a la AB

C:

Dada la AB y un punto P exterior a ella, es posible trazar una única recta paralela
CP a AB que pasa por el punto P.

¡Sección 1: Nociones básicas de geometría

En la figura, 7 y m son paralelas. Determine las longitudes de AF , EG y CH y compare
sus medidas sabiendo que cada cuadricula mide tem.

Las longitudes de los segmentos son: AF=2cm, BG

cm y CH= 2em.

La longitud común de AF, BG y CH, que es igual a 2, es la distancia entre m y 7.

Si T y m son paralelas, la distancia entre cualquier punto de 7 y m es siempre la
misma, esta es la distancia entre 7 y m.

1. Utilizando escuadra y cartabón, trace en la figura una recta paralela a ÄB que pase por E.
E

À 8

2. Dado elrectángulo ABCD de lafigura, establezca la relación que existe entre los siguientes
segmentos, usando uno de los simbolos [| o 4:

a) AB, DC €
») BD P y
e) BC, AD
bh d
A >

Unidad 6: Introducción ala Geometría
Contenido 6: Triángulo y su clasificación según sus ángulos interiores

a

Dados tres puntos A, 8 y C que no pertenecen a una misma
recta, se llama triángulo a la figura geométrica formada por
la unión de los segmentos AB, BC y AC. Se denota por
BARC.

y Cada triángulo tiene 3 lados y 3 vértices

/ El triángulo tiene 3 ángulos interiores y la suma de las
medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180%. veis Lado vecs

Los triángulos, según la medida de sus ángulos, se clasifican en:

a) Triángulo acutángulo: — b) Triángulo rectángulo: — c) Triángulo obtusángulo:
sus tres ángulos interiores tiene un ángulo recto tiene un ángulo obtuso
son agudos (menor que (igual a 90°) (mayor que 90°)

À 1

Clasifique los siguientes triángulos según la medida de sus ángulos:
a yo D © a |
A B A B & u

Después de medir con el transportador los ángulos, se concluye lo siguiente:

a) Es un triangulo b) Es un triángulo acuténgulo c) Esuntriángulo
obtusängulo porque porque las medidas de rectángulo porque
48> 90° los ángulos interiores son 4B=90°

menores que 90°

E

Clastique los siguientes triángulos según la medida de sus ángulos
a À » a 9
4 (] o a 9 _ 7

¡Sección 1: Nociones básicas de geometría

Contenido 7: Comprobemos lo aprendido 1

E

a)
»)

o

a)
b)

9

Dado los puntos A,B y C de la derecha dibuje lo indicado. 8
= A
‚u .
«x
Be .

e
Determine con el transportador la medida de los ángulos indicados.

¿LMN
4NMO
LMP

Clasifique los siguientes triángulos según la medida de sus ángulos:

a) »
e F

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Sección 2: Construcciones con regla y compás
Contenido 1: Circulo y circunferencia

F [ue ro ren co o Som tenants

5

1. Se mide con una regla graduada una
distancia igual a 3cm y se traza el
¡segmento que servirá como un radio de la
circunferencia, tal como puede verse en
la figura.

2. Se coloca la punta de metal del compás — punta
en el punto, la punta graficadora en By graficadora
se hace girar el compás hasta dibujar la Is
cireunferencia paras ra
Una circunferencia queda completamente

determinada si se conoce su centro y su
radio,

Circunferencia: Es un conjunto de puntos de un plano
que están a igual distancia (equidistan) de otro punto
llamado centro, A la región interior y los puntos de la
circunferencia se llama círculo,

Radio de una circunferencia es el segmento que une el
centro con un punto de esta

‘Arco: Porción de la circunferencia comprendida entre dos rare
puntos de esta.

E

otra circunferencia de radio 3em.

Sección 2: Construcciones con regla y compás.

Dibuje una circunferencia de radio Gem y centro A; tomando este mismo centro A, dibuje.

1. Se mide con la regla una distancia
igual a Gem y se traza el segmento
‘que funcionará come radio.

A

2. Se coloca la punta metálica del compas
en el punto A, la punta graficadora en
lotro extremo del segmento y se traza
la circunferencia de radio Gem.

3. Semarcaenelradiodelacircunferencia
anterior 3em a partir del punto A.

4. Se coloca la punta metálica en el
punto A, la punta graficadora en
el otro extremo del segmento y se
hace girar el compás para dibujar la
circunferencia de radio 3cm.

5. Finalmente se tienen las siguientes
circunferencias conoöntricas (tienen el
‘mismo centro A),

a) Dibuje una circunferencia de radio 4em utilizando regla y compás.

b) Dibuje con regla y compás una circunferencia de Sem de radio, con centro en un punto À y

trace un radio, un diámetro y un arco,

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Contenido 2: Definición y construcción de la mediatriz de un segmento
Definición

Mediatriz de un segmento: Es la recta perpendicular al
¡segmento que lo divide en dos partes iguales.

DE es mediatiz del AB si y solosi DE 1 AB yA

MB.

Trace la mediatriz T del AB de longitud 8cm usando regla y compás.

A

4. Se dibuja con a regia eA de longitud Som

2, Se coloca la punta metálica del
compás en el punto A, se abre
este con una abertura mayor
que la mitad de la longitud del
segmento y se traza un arco, Se
repite el mismo procedimiento
con el punto B. Considerando la
misma abertura

3. Se marcan los puntos de intersección de los y
dos arcos y setraza la T que pasa por estos

es la mediatriz del AB. pi 8

‘Se usa el transportador para comprobar que la medida del ángulo que forman la 7 y el AB es
E

Sección 2: Construcciones con regla y compás.

En el dibujo, la DE es mediatiz del AB. Mida o
la longitud de AD y DB. Haga lo mismo con

EA y EB. ¿Qué puede decir de los resultados
obtenidos?

A——+—_} + — 8

‘Se mide en la figura las longitudes de AD y DE y
se obtiene que DA=3,8cm y DB=3,8cm. También
se constata que EA=3,1cm y EB=3,1em. Por
consiguiente, los puntos D y E equidistan de los
extremos del segmento.

Como DE’ es mediatriz del AB, el punto D está a
la misma distancia de A y B; igualmente E equidista
deAyB.

Todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de sus extremos.
Según sugiere la figura con los puntos C, D, M y E.

AC=80
AD=80

AE=BE

E

a) Trace la mediatriz del AB que tiene Gem de longitud. Use regla y compás.

b) Siel TD tene longitud em trace la mediatrz de este segmento, Ubique un punto E sobre
la mediatiz y compruebe que EC y ED son iguales

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Contenido 3: Definición y construcción de la bisectriz de un ángulo

Definición

8
Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que teniendo como origen R
el vértice del ángulo, divide a este en dos ángulos con iguales
medidas,
ns ©

1. Usando una abertura cualquiera del
‘compas, se hace centro en B y se traza
un arco que corte los lados del ángulo en
des puntos D y E,

Dibuje la bisectriz del ¿ABC dado en la figura, utlizando A
regla y compás.
B.
A
5
[3

2, Se abre de nuevo el compás, se coloca su punta metálica primero en D y se traza un arco
en el interior del £ ABC; para E se procede igualmente, conservando la misma abertura
del compas.

y

3, Se construye el BR’, que resulta ser la bisectriz de ¿ABC,
según podemos ver en la última figura. Se comprueba con
un transportador que las medidas de ¿ABR y ¿RBC son
iguales. 8

Sección 2: Construcciones con regla y compás.

C

Todos ls puntos dela piseciz AR del BAG, etána igual
distancia de AB y AC

En la siguiente figura de la derecha
a) Determine 4 ABD. D
b) Dibujelabisectiz BE” del ¿ABD utilizando.

regla y compás.

©) Determine las medidas de los ángulos
que se forman al trazar la bisectriz BE

a) Usando el transportador DJ
ABD = 120"

©) Usando el transportador se verifica que
ABE y ¿DBEtienenla misma medida,
es decir, 4ABE=60" y 5EBD = 60°.

E

1. Dibuje un ángulo de 80° y trace su bisectriz utlizando regla, compás y transportador

2. En figure dela derecha:
a) Determine 4BCA. lA.
») Dibujela bsectiz CD del ¿BCA,

©) Determine la medida de los dos ángulos
que se forman al trazar la bisectriz CD

— —

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Contenido 4: Construcción de triángulos conociendo sus lados

P. [ Uttzando regia y compás, die un AABC cuyos lados midan AB=dem, BC=2en y

1. Se traza uno de los segmentos como
base, en este caso el AB que mide 4cm.

2. Tomando el centro enA, setraza un arco
de radio 3em sobre el AB y después
eligiendo B como centro, se traza un
arco de radio de 2em

3, El punto común de los dos arcos
proporciona el tercer vértice, que se
denota con C.

4, Se unen los extremos A y B con C para
formar el triángulo. =

Se observa que:
ACK< AB+BC (3<4+2), BO<AC+AB (2<3+4) y
AB< BO+AC (4<2+3)

Para construir un triángulo debe cumplirse la condición de que la longitud de uno de sus
lados sea menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

En la figura no se puede formar un triángulo
porque 7 no es menor que 2+3.

Tem =
Y Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:

Triángulo equilätero: Triángulo isésceles: Triángulo escaleno:
Tiene sus tres lados con Dos de sus lados Sus tres lados tienen
igual medida. tienen igual medida ntas medidas.

A AS

Sección 2: Construcciones con regla y compás.

Clasifique ls triángulos en equlätero, isósceles o escaleno y justique.
c ») 9

A 8 E a si H

‘Se utiliza una regla para medir los lados de los triángulos:

a) a b) 9
7 1
A e E F 6 H
El ABC es equilétero El ADEF es escaleno ElAGHI es isésceles
porque tiene 3 lados porque posee 3 lados porque tiene 2
con la misma medida. con medidas desiguales. — lados con la misma
medida

E

Construya los siguientes triángulos utiizando regla y compás:

a) El ABC cuyos lados miden AB = dem, BC

em y AC.

em.

b) El triángulo cuyos lados miden Sem cada uno y clasifiquelo según la medida de sus
lados.

©) El AABC con AB=4em, BC
lados.

cm y AC.

cm. Clasifiquelo según la medida de sus

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Contenido 5: Transformación de figuras (traslación, rotación y reflexión)

Definición
Lessard e menores dense ques aan ral se
ee
// Rotación: Es el giro de una figura plana alrededor de un punto llamado centro de rotación

een

y Reflexión: Es invertir la posición de una figura con respecto a una recta llamada eje de
simetria,

Y Traslación:
determinado.

Es mover una figura geométrica una distancia dada y en un sentido

En los siguientes incisos, clasifique los siguientes movimientos como rotación, reflexión o
traslación.

7 unidades.

Tee e simenia)

a) Se realiza una rotación porque el ABC se rota un ángulo de 60° alrededor del
punto O. Eltriángulo obtenido es el 4 ABC, de igual forma y tamaño que el original

b) Se realiza una reflexión porque el AABC se invierte a través de la 7”, en la figura el
ABC es el reflejo del ABC respecto de la 7

©) Se realiza una traslación del AABC, porque la figura geométrica se mueve
horizontalmente a la derecha una distancia de 7 unidades.

identique en la figura el tipo de
Ejemplo movimiento que se aplicó al AABC A S e
para obtener ADEF, AGHI y AJKL

Sección 2: Construcciones con regla y compás.

El ADEF resulta de una traslación ElAGHI se obtiene a partir de una rotación
horizontal del AABC porque la figura se — aplicada al ABC alrededor del punto O.
movió una distancia de 6 unidades hacia

la izquierda.

Se observa en la figura que el ángulo de
rotación es de 180".

El AKL se obtiene de una reflexión

del AABC respecto de la m

Clasifique los siguientes movimientos como rotación, traslación o reflexión:
a) DJ a 9

Unidad 6: Introducción ala Geometria

Contenido 6: Comprobemos lo aprendido 2

E

1. Trace la mediatriz del siguiente segmento usando regla y compás:

à
r=

2. Construya la bisectriz de los siguientes ángulos; compruebe que la construcción es
correcta encontrando que la medida de los dos ángulos formados es igual:

a) »)
e

120°

3. Con ayuda de una regla y un compás dibuje un triángulo con la medida de sus tres lados
igual a Tem e indique el nombre que recibe según la medida de sus lados.

4. Dibuje un triángulo cuyos lados midan 6, 7 y Sem. ¿Qué nombre recibe el triángulo según
la medida de sus lados?

5. En la figura dada, elja uno de los incisos a) - e) que corresponda a la transformación
realizada.
a) Una reflexión respecto del eje y

b) Una reflexión respecto del eje x
e) Una rotación de 180° en el plano
d) Una traslación horizontal

e) Una traslación vertical

Libro de Matemáticas 7mo Grado _ Secundaria.

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Libro de Matemáticas 7mo Grado _ Secundaria.

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78