Libro de Texto Matemáticas 9no Grado - 2019 MINED NICARAGUA

Libro de Texto Matemáticas 9no Grado - 2019 MINED NICARAGUA

Nuevo libro de texto o de trabajo a utlizar éste 2019, en las aulas de clase

16. Unidad 1: Productos Notables y Factorización

Contenido 4: Cuadrado de la suma de dos términos (x-+a)*

P [Efectúe el producto (+3).

S

Dado que (x-+3)*= (+-+3)(x+3), entonces (x+3)* se puede calcular
utlizando el producto indicado de la forma (x-+a)(x+b) suponiendo (Cg の eg
que a=b=3.
(et 3)F= (++)
O
=x4+6x+9

El producto (x-+3) es el rinomio +61 +9 que se obtiene elevando al cuadrado a x, luego el
término lineal (2)(3)x=6x y el producto (3)(3)=(3)"=9.

El producto (x-+a)? se desarrolla de la siguiente forma:
Fórmula 3 (x+aY=x"+2ax+a"
(+a)? se conoce como cuadrado de un binomio.

Efectúe los siguientes productos aplicando la fórmula 3:

기 (to o (erh)
Aplicando la fórmula 3 del cuadrado de un binomio se tiene:
ty tye 인
의 (el (x4 $f = +5} + (3)
=P 10r+25 A
Stats
Efectie os siguientes productos aplicando la formula 3:
a) (+4)? 5 (x+2) 9 (x+6)*
9 (etm) a (e+ 1) ? (++ 3)

ーーーーーーーーーー ベ ーーーーーーーーー 一

22. 3
+
3
-
3 3
3 3
3 3
3 3
x+ x- +
x1
3
+ x2
3
- x3
3
+ 2
3
-
x x x x
x x x x

23. 2
2
2
! !
2
+
2
-
2
+
2 2 2
2
-
2 2 2
2 2
+
+
-
-

24. Unidad 1: Productos Notables y Factorización

Conter

P

lo 9: Racionalización del denominador

Rates el denominador dea traccion a de Va + VB es Ja — VF

wee Elconjgado de Ya — V5 ee Ja + VF

$

ir = (gee BEB) se mutotcannumentery denominator por 8

232 Se inian oe productos de os numeradoesy
= EHEN TE) —_denominadoes de as raccones
の の) の Se ala I propiedad dista on ol produc
A indicado del numerador yla mul Sen el producto
ドー イヤ ド ャ ンス
„28-22
“7372
„25-208
一 T
=2/3-2/2

Si el denominador de una fracción es un binomio formado por la suma o diferencia de las

raices cuadradas de enteros positives, su racionalización se lleva acabo en los siguientes

pasos:

1.Se multiplica el numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador.

2. Se aplica la propiedad distributiva en el producto indicado del numerador y la fórmula 5
en el producto indicado del denominador.

3. Se efectúan las operaciones indicadas y se simplifica la fracción resultante.

Racionalce el denominador de a facción 5273,

2 2 5+V3) 25+VS) _ 20/5 + 9) _ 21/5 + v3) _
= Sen

Racionalice el denominador de las siguientes fracciones:

1 1 2

제 e+e a 3-2 = art
3 a a

나 Bes ca

——————_ ———————…—

25. 2
+
2
-
+
+
-
2
+
2
-
-
2
+
2
-
+
2
+
2
-
-

29. Sección 3: Factorzacion
Contenido 4: Diferencia de cuadrados

P. (ractonoe el binomio 4 estableciendo relación con uno de os productos notables.)

5

‘Se ha visto en un contenido anterior que aplicando a distibutvidad al producto indicado (x-+2)(+=2)
resulta la igualdad:
e+ の 2

Esto nos sugiere que para encontrar los factores de xz 一 4, se extrae las raíces cuadradas de
x y 4, que resultan ser x y 2; luego se forman los binomios x+2 y x=2 y se escriben como el
producto indicado (x-+2)(x—2). Asi se tiene

24=(@+2)e-2)

€

Los factores de la diferencia do cuadrados x*—a? se encuentran extrayendo las raíces
¡cuadradas de x* y a, formando a continuación el producto notable (x+a)(x—a), es decir:

2-e=(x+ax—a)
Si el término en x de la diferencia de cuadrados tiene coeficiente con raíz cuadrada
exacta, se procede similarmente.

Factorice las siguientes diferencias de cuadrados:

a デー オオ Dax

3) Se observa que el pri
es el cuadrado de x y

b) El primertérmino de 9:74 es el cuadrado de
3x y el segundo término es el cuadrado de 2,

Soie CH
4 45 (3xP-2
-() CET)
1
+)
Factoria ls siguientes cierencia de cuadrados:
a) 0-9 日 2-16 9 デー す
qué var

ーーーーーーーーーー?ーーーーーーーーーー

34. Unidad +: Productos Notables y Factorizacon

Contenido 9: Trinomio de la forma ax?-+bx-+e (1)

CES )

に

Para factorizar el trinomio 2x*-+7x-+3 se siguen los siguientes pasos:
1. Sedescomponen en factores el coeficiente deltérmino cuadrático y eltérmino independiente,

e+7x+3

2. Se colocan en forma vertical, los factores obtenidos, se multiplican en cruz, se suman estos
productos y se comprueba si el número obtenido es igual al coeficiente del término lineal del
linomio. Si eso no ocurre, se cambian de posición los factores hasta obtener el resultado.

e+7x+3 e+7x+3

set),

> e

527
3. Se forman los binomios 2x-+1 y x-+3 a partir de los números que están en forma horizontal
Porlo tanto,
2x24 7x43 = (2x4 1)e+3)

C

Para factrizar el rinomio de la forma ax*-+bx-+c, con a >1 se realizan los siguientes pasos:

1. Se descomponen en factores a y c.

2. Se colocan los factores de a y c en dos columnas.

3. Se mulipican en cruz los factores encontrados y se suman los dos productos obtenidos. Si elresultado
es igual ab, los coeficientes de los factores serán los números que están de forma horizontal,

4. Se escribe la factorización con lo factores del paso anterior.

Factorice el tinomio 3x%+7x+2.

고 Se forman los binomios 3x+1_ y x+2_a partir de los números
À met que están de forma horizontal, Por lo tanto,

1 28

ーー ミー キー

E

Factorice cada uno de los siguientes trinomios:

a) auz+Bx+5 by T+ 10x+3 의 4e+Sz+1

9 2+7x+6 이 ae+Bx+4 0 effx+3

38. 2 2 3 3
+
2 2 3 3
-
x x x x+ x-
x x x x- x+ -
x x x x x x
x
1 1 1 1 1
1
x x
x x x
x x
x x x
1 1
1 1

40. Unidad 2: Ecuaciones de Segundo Grado

Sección 1: Introducción a las ecuaciones de segundo grado
Contenido 1: Ecuaciones de primer grado

À ropero Basen pepita aa
a) 2x+ b) —3x-5=10 e)

Se ranspone el +3

Se divide por 2

Se transpone el —5

9) = 713) Se muliplica por 3
==21

Para resolver una ecuación de primer grado en una variable se realizan los siguientes pasos:

1. Si algún término con la variable x aparece en el lado derecho, se transpone al lado
izquierdo; si hay constantes en este se transponen al lado derecho.

2. Sereduoen términos semejantes hasta convertirla ecuación alla forma ax = bo x = b.
3. Siax=b, se dividen ambos lados de la ecuación, por a obteniendo la solución x = D,
+, se mutipican ambos lados pora, obteniendo x = ab.

1. Complete los espacios en blanco.

a) 3x+7 ニ 1 b) -5x-3=12 9 %-2=3
ae=13- 口 | キー ロロ
ax= 口 -ix= 口
a 4-0
*= , > x= 口 人
口 z= x=0
2. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) x+5=6 b) 2x-8=4 9 ¿+7

SST

41. ¡Sección 1 Introducción a as ecuaciones de segundo grado

Conter

lo 2: Ecuaciones con términos de segundo grado

de su propiedad que tiene un área 64 m?. Escriba la — Area= F, donde Les la

P (Bon Pere quer izar maiz on un erers cuadrado — Elvadelondadn ss 2
ecuación que represent e área del terreno, Von della del eundrao,

S

Sea x la longitud de un lado del cuadrado, que tiene un área de 64 mí,
entonces la ecuación referida es

P= 64
Si se transpone 64 al lado izquierdo, se obtiene otra expresión de la
ecuación original:

デー64=0

C

Sia>0, la ecuación x = a se puede expresar en la forma x?—
‘segundo grado o cuadrática.

La forma general de la ecuación de segundo grado es a+ bx +.

que es una ecuación de

con a0.

Identifique las ecuaciones que representan una ecuación de segundo grado.
a) デニ 25 b) x+5=8 9 e+2x 一 15=0

Las ecuaciones delosincisos a) y c) son de segundo grado, por tener una variable con exponente
dos (elevada al cuadrado). La ecuación del inciso b) es de primer grado.

E

1. Don René tiene tres terrenos con áreas 36m”, 80m? y 20m* para cultivar únicamente maíz en
el primero, fioles en el segundo y tomates en eltercero. Escriba una ecuación que represente
el área de cada terreno.

36m

Maiz Frjoles Tomates

2. Identfique las ecuaciones que son de segundo grado.
a #=16 日 x+3=7 9 46—100=0
9 3-5=10 9 2+8-18- D 12-522

42. Unidad 2: Ecuaciones de Segundo Grado

Contenido 3: Soluciones de una ecuacién de segundo grado

P. (Determine mediante susttución cuáles de los números, —2, —1, y2 satisfacen cada una
de las siguientes ecuaciones:

a) xt4art1=0 D) #-x-2=0

S

a) Al sustituir 一，

—1 y 2 en el lado izquierdo de la ecuación se obtien

El único número que satisface la ecuación 42 +2x+1=0 es —1.

D)Al sustituir —2, —1 y 2 en el lado izquierdo de la ecuación se tiene:

Parax=2
ーー2=(②"ー22

Los números —1 y 2 satisfacen la ecuación de segundo grado x*—x—2=0 porque anulan la
expresión デー ドー

Un número que al sustituirlo en la expresión au 十 bx 十 c da cero se llama solución de la
ecuación ax*+bx+c=0.

Determine mediante sustitución cuáles de los números —3,—2, 2 y satisfacen cada una de las
siguientes ecuaciones:

a) e-9=0 日 20-8=0 9 -er+9=0 の æ+4r+4=0

43. ¡Sección 1 Introducción a as ecuaciones de segundo grado

Contenido 4: Solu
axt-c:

nes de una ecuación de segundo grado de la forma
), con a>0 y c>0

P. (Dom Pedro tiene un terreno cuadrado con área de im? para culivar 10109. Determine la
longitud del lado del terreno

En la figura se representa el terreno con un área de 81m* y con x la longitud
de uno de sus lados, entonces se puede plantear la ecuación, x°= 81 el
Para determinar el valor de x se encuentran las dos raíces cuadradas de 81, | “” | x
es decir, x= +9. E i

Por tanto, como x>0la longitud de! lado del terreno que Don Pedro tiene es Sm.

ON
ee ae eee ee ae ae ee ee
BE nn no eo on en
을
有

Ejemplo) Resuelva la ecuación de segundo grado. 3x*—48=0

Se transpone —48
Se divide por 3 ambos lados.

Se simplifica
Se extrae raíz cuadrada

x=+4
Las soluciones de la ecuación 3 一 48 一

sonx=4,x=

1. Luis quiere cercar con alambre un terreno cuadrado que tiene un área de 64m*. Encuentre la
longitud de un lado del terreno.

2. Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) P-9=0 日 P=5=0 9 20-32=0

=:

44. Unidad 2: Ecuaciones de Segundo Grado

Contenido 5: Soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma
Qc+p)*=q con q >0

P (Resuelva la ecuación de segundo grado (x+2)"=9,

S

Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación asi,
x+2=+3

° x+2 x42

ke

La ecuación (x+2)*=9 tiene las soluciones x=1, ェ ニ ー5.

€

Para resolver ecuaciones de segundo grado de la forma (x+p)*=q, con q>0 se realizan
los siguientes pasos:

1. Se extras raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación anterior, obteniendo

x+o=/qyx+p=-/q
2. Se resuelven las ecuaciones anteriores obteniendo las soluciones.

x=-p+Vayx=-p-Va

Resuelva la ecuación de segundo grado (一 人 一

(1 19=2 Se transpone —2 al lado derecho
(neu, Se trae ir curada

a a

+B, x= 1-V2 semmwwpeww —1 alla derecho

Las soluciones de la ecuación (x—1}—2=0 son x=1+/2, x=1-/2

E

Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) G+=4 b) Ge-2*=9 9 e+5*=3

이 (x3) 16=0 의 (+4) -25=0 0 G@-67-5=0

46. Unidad 2: Ecuaciones de Segundo Grado

Sección 2: Solución de ecuaciones de segundo grado
Contenido 1: Completación de cuadrados en polinomios de la forma x’+bx+c

他 (Transtome el polinomio e+6r+ 10 ala foma TD )
ext10 = (tex) +10 ‘Se agrupan os términos x y x
lá @Y|-( Se suma y resta el cuadrado de la mitad del
Preis seems
=(e+or+9)=0+10 Se agrupan los términos que forman el rmomo
cuadrado perfecio .+6x.+0
= (error: Se factriza el tinomio cuadrado perfecto
Prot
= (es
Recuerdo
Por lo tanto, x*+6x-+-10= (e+9)+1. Starters (eta)
axes = (ea)?

C

Para transformar polinomios del tipo +*+bx-+c a la forma (x+ の "の

1. Se guar fs dos Mine dl mori bres que oer arabe

ュー に に コー
ーー

3. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto que está dentro del paréntesis.

ee

A este proceso se le conoce como completación de cuadrados.

‘Transforme los siguientes polinomios a la forma (x + p}°+ a utlizando completación de cuadrados:

a) av+S DE Zu 9 Part の Per

ST

49. ¡Sección 2: Solución de ecuaciones de segundo grado

lo 4: Solución de ecuaciones de segundo grado por completación
de cuadrados (2)

ee segundo grado 24 6-8 0 por completan de cdas

Ss

Se dviden ambos lados de la ecuación por 2, el coetciente de x, 2x4 $x-$=0, luego
resulta w+2x—3=0.
Se resuelve la ecuación anterior ulizando compleación de cuadrados,
고 +20-3=0
axes
E 2yl_(2y = suma y rota (2)
[e+2+(3)]-(G)=> So suma y rosa (3)
(421) =3 ‘Se simplifican las fracciones.
2x キ 1= 341
e+"=4 efacreaelnomo cuadrado parco +2 +1

xti=42 Se extras raiz cuadrada

Se separan las dos ecuaciones de primer grado

Para resolver una ecuación de la forma ax?-+bx-+e=0, con a>1, se dividen ambos lados
Por ay se resuelve la ecuación resultante por completación de cuadrados,

Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados:

a) 26+@e—10=0 日 AcH12x-38=0

9 2-284

—— =

=0 9 seー10xー1

51. ¡Sección 2: Solución de ecuaciones de segundo grado

Contenido 5: Solución de ecuaciones de segundo grado, utilizando la
fórmula general

Fórmula General:
Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma ax?+bx+c=0 con 070, se puede
uilzar fa fórmula: Pipa

= 20
‘Aesta fórmula sele conoce como fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado,
Para encontra las soluciones de una ecuación de segundo grado se susituyen ls valores de a,b
ye, en la fórmula general

Resuelva la ecuación x*+5x-+5=0 utlizando la fórmula general:

De la ecuación a=1, b=5 y c=5, sustituyendo estos valores en la fórmula general,

RO - 58 PT „8:8

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación x*-+Sx +5:

son:

E Resvoiva as siguentes ecuaciones de segundo grado uiizando rma genera
a) -5x+5 by 47x42
9 2ー5r+1=0 DEE
Observación

‘Se puede resolver la ecuación en el ejemplo utlizando completacién de cuadrados.
Sr+5 ニ 0

‘il, förmula general
0 completación de
cuadrados?

¿Cub manera es más
E

52. 
!
2
2
+
2 2
2
2
=
2! !
!
!
!

56. !
- -
4-
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!

61. Sección 3 Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado
Contenido 5: Aplicación de las ecuaciones de segundo grado (2)

Un número entero positivo es el triple de 000 y la diferencia de sus cuadrados es 72.
¿Cuáles son los números?

Sea x uno de los números, entonces su cuadrado es x?; el otro número es x y como es un
‘entero positivo, x debe ser positive.

Dado que la diferencia de sus cuadrados es igual a 72, podemos plantear la ecuación de segundo
‘grado siguiente:

x=+3

‘Como los números buscados son enteros y positivos entonces el número menores 3, y el otro es
(8)(3) =9. Por lo tanto, los números son 3 y 9

Se observa que se ha descartado el valor 一 3 para x por que se está tratando con enteros
positivos.

E, 3 un número enter postive es el doble de oo yl rencia de sus cuadrados es 48, ¿Cul
es este número?
b) Halle dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 145,

}) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
ile 2) hace 13 años. Calcule la edad actual de Pedro

Sx 081 edad actual de Peo, dena de 1 años su dad erá +11 y hac 13 años tenia x 13
tonces

«19%
¿Eur
(139

2x+22=x"-26x+169
26% 2x+ 16022
マー28x+147 ニ 0
(207)

x-21= x-7=0

x 7

1,

=7 no es solución. Por lo tanto, la edad de Pedro es 21 años.

Por as condiciones del problema,

E 2) a suma do ds números posivos es 10 y I suma de sus cuadrados os 68. all ambos
números.
b) Si al cuadrado de la edad de una persona se le resta el triple de la misma, se obtiene nueve
veces su edad. ¿Cuántos años tiene la persona?

-KK—_—_———.

64. Unidad 3: Funciones de Segundo Grado

Sección 1: Introducción a las funciones de segundo grado

P Dados los puntos A, B, C y D en el plano cartesiano,
determine sus coordenadas e indique el signo que
toma cada una de ellas.

Recuerde que:
Un punto P del plano tiene

¡coordenadas (x.y). Ax se le lama
abscisa y a y se le llama ordenada.

Las coordenadas del punto A son (3, 5). Ambas coordenadas son positivas.
Las coordenadas del punto B son (—1, 2). Su abscisa —1 es negativa y su ordenada 2 es positiva
Las coordenadas del punto C son (-4, —4). Ambas coordenadas son negativas.

Las coordenadas del punto D son (3, —5). Su abscisa 3 es positiva y su ordenada —5 es negativa

El plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes contados en
‘sentido antihoraro a como se muestra en la figura de la derecha.
“Todo punto que se ubique en el:

7 1Cuadrante tiene abseisa y ordenada posliva.

+ 1 Cuadrante tiene abscisa negativa y ordenada positiva.

ll Cuadrante tiene abscisa y ordenada negativa,

7 IV Cuadrante tiene abscisa positiva y ordenada negativa.

Los puntos sobre los ejes x y y no se incluyen en ningún cuadrante,

Determine el cuadrante en el que se ubica cada uno de os siguientes puntos:
2) AS の 日 B1,-4)

8) El punto A está en el Il Cuadrante, porque la abscisa es negativa yla ordenada es positiva
b) El punto B está en el IV Cuadrante, porque la abscisa es posiiva y la ordenada es negativa

E

Determine el cuadrante en el que se ubica cada uno de los siguientes puntos:
AZ 3) 日 B( 一 3, 一 们 9025 901.4)

sers nl) „oa | 배우기

66. Unidad 3: Funciones de Segundo Grado

C

La gráfica de la función de primer grado y = ax-+b, con a0, es una recta que se obtiene al
trasladar la gráfica de y=ax verticalmente b unidades hacia arriba, si 9>0, y 16] unidades
hacia abajo cuando b<0. Dicha recta pasa por el punto (0, 6).

50 <0

E

1. Trace la gráfica de cada función que se propone a partir de la gráfica dada:
a) y=xta D p=2x-2

2. Trace la gráfica que corresponde a cada una de las siguientes funciones de primer grado:

2x+3

9 ?=x-3 CE

———— ST

74. Unidad 3: Funciones de Segundo Grado

C

La función de segundo grado y = ax"-+e, donde a 0, tiene las siguientes características:

1. Su dominio está formado por los números reales.

2. Su rango, o los valores de y, es el conjunto de números mayores o iguales a <, sl g>0 0 el
¡conjunto de los números menores o iguales a csi a<0.

3. La gráfica correspondiente es una parábola con vértice en (0, 0), simétrica respecto al eje
y y cóncava hacia ariba si a>0 o cóncava hacia abajo si a<0. Dicha parábola se obtiene al

trasladarla gráfica de y = aa” verticalmente c unidades hacia arriba si c>0, y | | unidades
hacia abajo cuando € <0.

E

Trace las gráficas de las funciones, encuentre el vértice e identifique la dirección de las parábolas
cóncavas.

a) »=x+2 b) y=21 ©) タニ ー2e+1

75. ¡Sección 2: Función de segundo grado

Contenido 2: Gráfica y características de la función y=a(x—h)*

수 / 그 Compete la siguiente tabla para y =(<—1) a parir de os valores de la función =.

= [eleidelil2ls]
= | 01 4| tloltl4ls
y I

b) Trace la gráfica de las funciones y =x" y y= (x—1)? en el mismo plano cartesiano.
9 Establezca semejanzas y diferencias entre las gráficas obtenidas.

S

9
x ea fea Fs 9 [1 [2 ]s
ERENENENENENEN
Gay [16 Fe ni Fo pa 下 4

‘Se observa que cada valor de la función y = (x— 1)" se obtiene al trasladar 1 unidad a la derecha los

valores de x en la función y= x2
b) Se traza ia gráfica de ambas funciones en el mismo plano cartesiano:
Se observa que cada punto de la función

= (x—1)? se obtiene trasladando cada punto

e y = x" una unidad a la derecha.
Por ejemplo, (4, 9) de la primera función es un
traslado de (3, 9); (—2, 9) lo es de (3,9), etc.

©) A compararias gráficas de ambas funciones se obseva siguente
'Semejanzas: Ambas gráficas son parábolas que abren hacia arriba.
Diferencias: Vértice de y=" es (0, 0) mientras que el de y=(x—1)” es el punto (1, 0). El eje de
simetia de y=x* ex eje y, mientras que y=(<—1) es smética respect ala rctax=1. Además, la
orien ey ニー ei raiacada 1 untada lancha de lara de y="

C

La gráfica de la función de segundo grado » = a(x—#), siendo a:0, es una parábola, con las

siguientes características

1. Vértice es el punto (h, 0).

2. Larectax=h es el eje de simetría de la parábola,

3. Abre hacia arriba si a>0 o hacia abajo sia<0,

4. Su gráfica se obtene trasladando f unidades ala derecha (H>0) o il unidades a la izquierda
(<0), a parir de la grfic de la función y = ax”.

E

‘Trace la gráfica de las siguientes funciones, y escriba en cada caso su vörlce:
(ra) ©) y=2(x-3" dy

79. ¡Sección 2: Función de segundo grado

Contenido 6: Gráfica y características de la función y=ax’+bx-+c con a>0

Pp a) Escriba la función y =x?+2x—3 en la forma y=a(x—h) +k. ]
b) Trace su gráfica e identifique su vértice, eje de simetria e intercepto con el ee y.

a) Se convert la función y =x*+2x—3 ala forma y = a(e—h)?+k mediante la completación de
cuadrados.

Ses a
aos ve beren[e sins (ble
(Ce 十 2x 十 们 一 1 一 3

エー4 (이 (이

Luego, se ha podido expresar la función dada en la forma y = (x 十 1 一 4

b) La gráfica de y=(x+1)*—a se obtiene a partir de la de y=a* (en linea punteada) mediante los
siguientes desplazamientos: 1 unidad hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo:

El intercepto con el eje y
se encuentra sustituyendo
x=0 en la expresión y =x"+2x=3

y=0+2(0)—3:

y=(x+1P4 3

Elintercepto Intercepto con el eje y: (0, —3).
con el eje y

Veri@

ee 27

La transformación de y=x*+2x—3 en y=(x+ 1)°—4 permite identifica el vértice, el eje de
simetria de la parábola, y el intercepto con el eje y.

Eje de

Lagráficadelafunción de segundo grado y=ax*+bx-+e con a>0, se obtiene transformando
esta expresión ala forma y = a(x—h)”+k, para identificar vértice, eje de simetría e intercepto
con el eje y.

Dicha gráfica es una parábola que abre hacia arriba e intercepta el eje y en (0, 0).

Determine el vértice, eje de simetra, intercepto con el eje y y trace la gráfica de las siguientes
funciones:
a) yaxt2r+5 b) y=é-4x-1

80. Unidad 3: Funciones de Segundo Grado

Grafica y características de la función y=ax*+bx+e con a>0 (Continuación)

Determine el vérice, eje de simetría, intercepto con el eje y y trace la gráfica de la
función y=2x*—8x+S,

Se convierte la función y=2x*—8x+5 a la forma y=a(x—h)?+k mediante la
‘completacién de cuadrados.

cuerdo:

artis

E

Ji

Luego, se ha podido expresar la función dada en la forma
El interceplg con el eje y

2x2) 3.

Vértice: (2, —3)

Eje de simetría: x=2

Intercepto con el je: (0.8).
-ze-arts di

etria

Determine el vértice, eje de simetria, intercepto con el eje y y trace la gráfica de las
‘siguientes funciones:

a) y=2e-8x+4 D) = 22+4r+3

——— „SEHE

81. ¡Sección 2: Función de segundo grado
Contenido 7: Gráfica y características de la función y=ax*+bx-+c con a<0

P (a) Escriba la función y =—x*+4x—3 en la forma y = al A +k.
b) Trace la gráfica de esta e identifique vértice, eje de simetria e intercepto con el eje y.

a) Se convierte la función a la forma y =

¡(x—A)*+k mediante la completación de cuadrados.

一 xz+4x 一 3 Pe
가 :

— (4x4) +43 tite
DH

Luego, la función dada es y= —(x—2}+1

b) La gráfica de »= —(e—2)*-+1 se obtiene a partir de la de y= —x* mediante los siguientes
desplazamientos: 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba:

Vértice: (2, 1)
Eje de simetría: x=2
Intercepto con el eje y (0, —3).

La transformación de y=—x*+4x—3 en y= —(x—2)*+1 permite reconocer las siguientes
características de su gráfica: el vértice (2, 1), el eje de simetria, el tipo de concavidad, y el
intercepto con el eje y. Además, es fácil ver que el rango de la función está constituido por todos
los números reales menores o iguales que 1

La transformación algebraica de la función de segundo grado y = ax*+bx+c con a<0, a
la nueva forma y=a(x—h)-+E mediante completación de cuadrados permite que en esta
se pueda identificar las características de su gráfica: las coordenadas de su vértice (h, k),
la ecuación x= de la recta vertical que sive como eje de simetría, el interceplo con y, el
punto (0, e) y su concavidad hacia abaj

Determine el vértice, eje de simetria, intercepto con el eje y y trace la gráfica de las siguientes
funciones:

a) ッ ニ ー ゼ 6xー5 b) ?= 一 2 一 2r+2

—— —

85.  


 

86. 

  

87.  

 

88. Unidad 3: Funciones de Segundo Grado

Valor máximo y mínimo de una función de segundo grado en un intervalo dado cuando
su gráfica os cóncava hacia abajo (continuación)

Encuentre máximos y mínimos de la función y=

Se transforma y
ッ ーqxー が "た

4*ー3 ala forma

El vértice de la parábola es (2, 1), y como h=2
no está en el intervalo dado, se debe evaluar la
función en los extremos de esta; aprovechando
que la función decrece y la única posibilidad son
los extremos de dicho intervalo

Parax=3,y=-(0-2%+
Parax=5,9= (5241

-1+1=0
一 9+1= 一 8

Luego, los valores minimo y máximo son:
Minimo: y= —8, Máximo y”

Encuentre máximos y mínimos dela función y = —2x*+8x—3 en los intervalos siguientes:

a) 3sxs5 b) 1<x<5 9 一 4<xs-1

89. 






90. Unidad 3: Funciones de Segundo Grado

Contenido 5: Aplicación de la función de segundo grado

P (ona Maria desin una porción del reno rectangular de au jardin para sembrar ross,
ya intención es ceca con 12 de mala,

a) Exprese el área del terreno en función de su largo.
b) Determine las dimensiones del terreno que proporcionen la mayor área posible.

5

a) Si Les largo y x es el ancho del terreno, su perimetro P
está dado por
P=21+2x,
de modo que
2l+2x=12 x(m)
2(+x) = 12

Además, si el área del terreno se representa por y, esta se
expresa mediante la fórmula

en
y= ke=(6-x)x

6x

b) La función y= —x?+6x se expresa ahora en la forma y =a(x—h)*+k siguiendo el proceso
acostumbrado:

一 e+ex

= (e=6x)

一 Ce 一 6r+9)+9

= «3749

y

Como el coeficiente del término cuadrático es —1, la parábola abre hacia abajo, de modo
que y=9 es un valor máximo, el cual se alcanza para x=3, Asi, las dimensiones que
proporcionan la mayor área posible del terreno son 3m) de ancho y x=3(m) de
largo.

Joaquin está diseñando los planos de su casa. Si una de las habitaciones de forma rectangular
tiene un perímetro de 16 metros.

a) Exprese el área de la habitación en función de su largo.

b) Determine las dimensiones de la habitación para alcanzar su mayor área posible,

———— SST

93. Sección 1: Razón entre segmentos

Conte:

lo 2: Razón entre segmentos

PP. (Catulo el cociente entre AB y CD, s AB = 2em y CD = Bem )

5

AB y CD con sus medidas se muestran a continuación.

2em acm
Ä B € 5
El cociente entre las longitudes de AB y CD está dado por
AB. 1
CRE

que también puede escribirse como 1:4, y se lee "1 es a4". La longitud del AB es la cuarta parte
del GD y al cociente 1, sele lama razón entre AB y CD

La razón r entre dos segmentos AB y CD se define como el cociente entre sus longitudes,
expresadas con la misma unidad de medida, y se representa por el número
AB
6
que también puede escrbirse como AB:CD, este se lee "AB es a CD".

Calcule la razón entre las parejas de segmentos cuyas longitudes son dadas en cada inciso.
a) AB=SemyCD=15em b) AB=4emyCD=8em © AB=Semy CD=7em
La base y la altura de un rectángulo están en la razón de 5:3. Si la base mide 10cm,

¿cuánto mide la altura del rectángulo? p. ㆍ c
Le
시 8

7000

La razón ene la base AB yla as BE os r= AB =$. Si se sustuy en 10 expresión
enter AB= 10 BC esta

Por lo tanto, la altura del rectángulo es 6 em.

La base y la altura de un rectángulo están en la razón 4:3. Sila
base mide 12cm, ¿cuánto mide la altura del rectángulo?

94. Unidad 4 Proporionaldad Entre Segmentos
Conteni

lo 3: Segmentos propor

P (a) Caleule as razones entre los segmentos cuyas longitudes son A
EF= 180m y GH=24em,

b) Compare las razones obtenidas en a),

区

183
24=4

EF
GH

La
E

Fr En este caso se dice que AB y CD son

5 AB = EE, ana ly son propos a EF y SF. 8

Calcule las razones entre los segmentos con longitudes AB=4cm y CD= 12cm, MN=8em y
PQ=24cm y diga si estos son proporcionales.

Determine si en la pareja de rectángulos
mostrada a la derecha, la base y la altura de
uno son proporcionales a las del otro. dem

mess ef = oceano At = 2 = 2.060070000904094
AB _ AD
Be

ora rte ees ly Baer las shies AD EN

Determine en cada pareja de rectángulos si la base y la altura de uno son proporcionales a las
del otro.

9 0 c »

95. Sección 1: Razón entre segmentos
lo 4: Comprobemos lo aprendido 1

Calcule la distancia entre cada pareja de puntos dados, usando la recta numérica y
mediante la fórmula d = AB = ba.

2) A(S)yB(11) b) A(—3) y B(0) 日 A-2yB() 0) A(-5)yB(—1)

Calcule la razón entre cada uno de los siguientes pares de segmentos, cuyas longitudes.
son dadas.

a) Af

=4emyCD=20em b) AB=3emyCD=Sem c) AB=2emyCD=7em
Calcule las razones indicadas utlizando los datos de la figura:

Al
9 DE

9

9 ｜=-

96. Unidad 4 Proporionaldad Entre Segmentos

Sección 2: División de un segmento
Contenido 1: Cálculo de la razón en la que un punto divide a un segmento

P (a parirao agua, calcule rd BÉ entre is segmentos sende P un punt nro del AB.

P es un punto interior del AB y lo divide en dos segmentos AP y PB, cuyas longitudes son 6 y 3 unidades
respectivamente. La razón entre dichos segmentos está dada por

AP 6
PB 3 2

C

Dado el AB y un punto P en su interior, a como se muestra en a figura:

が ーー 『

Laractn srr Le segmentos AP Y FE on qua P video AB et deve por 5
3
PB

Cal par cada gua, razón 人 ene os segmentos en que el punto P vide al

a) »)
^ ^

a) Se realiza el cálculo b) En este caso,
AP 2
P5 aA 2

E

1. Encada fura, lue tarazon AB ene be segmentos en que el puro P die a A5

»
9
À ^ F
2. Dada la figura
A 8 e

3) Ubique el punto interior M que divide a AB en dos segmentos iguales,
b) Ubique el punto interior N que divide a BC en dos segmentos iguales.
9 Ubique el punto interior P que divide a AB en la razón 2:1.

4) Ubique el punto interior Q que divide a BC en la razón 1:2.

ST

97. ¡Sección 2: División de un segmento
Conte:

lo 2: Coordenada del punto interior

P (Catcuteta coordenada p del punto interior P que divide al AB en la razón m:n, según la figura
m

De acuerdo con la figura los puntos A, B y P tienen coordenadas a,b y p, respectivamente, El punto
interior P divide a AB en AP y PB yl razón entre AP y PB es
pero AP=p-a y PB=0=p, asique

De (1) y (2) se sigue que

(m+n)p=na+mb
p=ratmb
men

‘Sien una recta numérica P(p) es un punto interior del segmento cuyos extremos son A(a) y B(0),
conta condición de que AP y PB estan a razón m:n, entonces la coordenada de Pesta dada por

1a formula
p= nat mb - =
men Na) Po) B{) 8
Sim=n, Pes el punto medio del AB y con p = 25-5.

Sea AB con extremos A(2) y B(8). Calcule la coordenada p del punto interior P tal que:
3) Pdivide a AB enla razón 2:1 b) Pes punto medio de AB
2) Enestecasoa=2,0=8,m=2yn=1, >) Aquí

asique

pa na + mb (D) + (208) _ 18 6

men 24 이
Gráficamente se tiene

06 006 00

AG) PE) B@

Calcule la coordenada p del punto interior P de un segmento, tal que:
8) A(8) y B(4) y P divide a AB en la razón 1:2. 9 D(-5) y F(8) y P es punto medio de DF.
b) C(-2 y DG) y P divide a CD en la razón 3:1.

一

98. Unidad 4 Proporcionalidad de Segmentos
Contenido 3: Coordenada del punto exterior

7 | aparirdeta figura, calcule la coordenada p de punto exterior Pque divide al AB en una razén m:n.

pa

S De ccuerdo con agra ls coordenadas de os puntos A,B y P on a, by prespecivamenta,
El punto exterior P divide al AB en AP y BP y la razón entre AP y BP es

5-2 0
BP

pero AP=p-a y BP=p—b, así que
AP の
ES E

De (1) y(2) se sigue que

Si P(p) es un punto exterior del segmento con extremos A(a) y B(b) tal que P divide al AB en AP y

BP enla razón m:n, entonces su coordenada p está dada por p = = 1a + mb
Cuando mm Cuando msn

A⑦ 80) PU)

OOO)

Sea el AB con extremos A(2) y 8(6). Calcule la coordenada p del punto exterior P tal que P
divide al AB en la razón 3:1.

Eneste caso a=2, b=6, m=3y n=1, asi que Graficamente se tiene

=na + mb — =(2)+ 6) _ 16
3-1

PE men qe. が の Bey PCO)

E

Calcule la coordenada p del punto exterior P de un segmento, tal que
2) AG)y B(5) y P divide aiAB en la razón 2:1 ©) O(-2) y 006) y P divide al 00 en la
b) D(—5) y F(3) y P divide al DF en la razón 3:1. っ

ーーーーーーーーーー ジ ーーーーーーーーー 一

99. ¡Sección 2: División de un segmento

Contenido 4: Longitudes de las partes en las que un punto
en una razón dada

ide a un segmento

7: | sea esegmento da fura y P un punto en su interior, Sita Ing de AB es 16em

yAP y PB están en la razón 3:5, encuentre las longitudes AP y PB.

La razón entre AP y PB es
AP _3
PE =5
Sise hace AP=x y PB= 16—x, en la expresión anterior, resulta
「 2
1-25
de donde
8x=(16—-x)@)
x= 48-3
Sx+3x=48
ae
e
Bee
=

Luego, se sustituye x = 6 en PB:
PB:

Por lo tanto, AP=6(cm) y PB= 10 (cm).

‘Si se conoce la razón en que el punto interior P del AB, con longitud conocida, divide a este
segmento, es posible conocerlas longitudes de AP y PB,

Sea el AB y P un punto en su interior, Encuentre las longitudes AP y PB:

8) Sila longitud del AB es 27cm y las longitudes de AP y PB están en la razón 2:7.

b) Sila longitud del AB es 25cm y las longitudes de AP y PB están en a razón 4:1

©) Sila diferencia entre las longitudes de AP y PB es 7 y la razón de las longitudes de AP y PB es 4:3.
4) Sila diferencia entre las longitudes de AP y PB es 8 y la razón de las longitudes de AP y PB es 3:1.

ーーーーーーーーーー ツ ーーーーーーーーーー

102. d
d
d
d
d
d
= = =
= = = = = =
= =
d
d
=
d
d
=
d
d
=

103. Sección 1: Cerios de semejanza de tanguios
rio de semejanza Ángulo-Ángulo (AA)

manco
P ADEF, tal que: で Unarecla es paralela

a un segmento si la
recta que contiene

Para la construcción del ADEF se llevan a cabo los siguientes pasos:
1. Se traza el DE de longitud DE=2AB sobre la

línea en la que está AB そ
2. Se traza una recta paralela a AC que pase por
el punto D.Asi 4D= 4A. à
3. Se traza una recta paralela a BC que pase por
el punto E. Asi 4E=4B,
‘Se etiqueta con a letra F el punto donde se intersecan
‘esas rectas

De 2. y 3. se tiene que 4A= 4D y 4E= 48, además en un triángulo la suma de las medidas
delos ángulos es 180°, entonces 4C=4F.

Se otenaenia fou que EF—280 y DF=240, Esto spies ue RE = EE = RE = 2
Enconsenendo,SABO-ADEF.

¿Son semejantes AABC y ADEF?

$

C

Criterio de semejanza Angulo-Angulo (AA)
Dos tiéngulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos corespondientes de igual medida. En
simbolos: 2

호

> OS,

A

Investigue si los triángulos de la derecha i
son semejantes. à È

Como 4A

E= 65 y 4

D= 45", entonces AABCAEDF (por AA).

E

7. Investguesilas pareja de ängulos dados en cada inciso son semejantes, Justique su respuesta.
2. En caso de quelo sean esa la semejanza entre elos relacionándolos con el simbolo ~.

©

EN

a

104. rio de semejanza Lado-Lado-Lado (LLL)

Poet einge de ea cons un DEF, ean reg, compás y narrado, aque

1. DE=2AB で
2. EF=28C
3. DF=2AC
¿Son semejantes AABC y ADEF? as

Ss

La construcción del ADEF es posible con los siguientes pasos:

1. Setraza DE de ongtud DE=2AB sobr la E
linea en laque está AB

2. Se traza unarco de radio 280 y cent E. à

3. Se raza un arco de radio 2AC y centro D.

Se equea con F el punt donde se inersecan

tos arcs. é S

‘Se une el punto F con los extremos de DE y se
forma el ADEF.

Con el transportador se verifica que 4A= 4D, 4B=4E y 4C=4F.
Portanto, AABC~ADEF.

Criterio de congruencia Lado-Lado-Lado (LLL)

5
ae
Carespontores puros En mesos の

MR = BC AO a

F Dr:

Investigue silos triángulos de la derecha M om

son semejantes, en

dem
Bony R
m om Ben
E

MN

Como MN

Æ 1 tros la parce roues dad en cada no on sonore, sue eu respuesta
2. Encaso de quel sea escrivala semejanza entr ellos relaconándolos con el simbolo =
B
9 » ッ

e 12em| \ soem ry sem, em

sem!

AS eo Em F N em

105. ¡Sección 1: Crterios de semejanza de triángulos

Contenido 4: Criterio de semejanza Lado-Angulo-Lado (LAL)

‘Dado el triángulo de la figura de la derecha, construya un ADEF, haciendo uso de regla, compás y
transportador, que cumpla:
248 %

tes AABC y ADEF? ¡AE

La construcción del ADEF es posible con los siguientes pasos:

1. sotaza DE de ang DE=2AB sobr la nea enla que

está AB _
2. Se raza una red paralela a AC que pase por el punto D.
3. Setraza un arco de radio 2AC y centro D.
Se etiqueta con F el punto donde se intersecan estas rectas.
‘Se une el punto F con el punto E y se forma el ADEF.

Se observa en la figura que EF =2BC, entonces AABC~ADEF.

C

Criterio de semejanza Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los.
“ángulos incluidos entre ellos de igual medida. En simbolos:

| = AC, entonces ABAC-AEDF y
s (88-88 LS
(2 주 72

Investigue silos triángulos de la derecha

son semejantes. A

3: BE = 4 = À y4B=4D= 607, entonces AABC~AEDF (por LAL).

1. Investgue sila pareja de triángulos dada en cada inciso son semejantes, justifique su respuesta,
2. Encaso de ser semejantes escriba la semejanza entre ellos utlizando el simbolo ~.

E Sen E » 9 y
ES 00 em
a em 60

イー 300 < 908 Lo

a

108. Unidad 5: Semejanza

Contenido 7: Demostración de la semejanza de

P (~Demueste: silos AABG y ADEF son equidteros, entonces AABG-ADEF )

RY

Pasos Justificación

1) AABCyADEF sonequiläteros Hipötesis.

Detrición e tnguoequitero
» AB = 0-0 pe の
à BABC-ADEF Por el rato de semejanza LUL en paso 3)

Dos triángulos equiláteros son semejantes entre sí

En la figura, si M y N son los puntos medios respectivos de AC y BC
y MN = AB ,erones AABC-AMNC
2) Escala ples y ates

b) Llene los espacios en la tabla de abajo para completar la demostración M N
de la proposición anterior.

Pasos Justificación
Hipótesis
Hipótesis
Hipótesis
|
=
My = NG = ME |
7) AABC-AMNC ss |

109. Contenido

P

¡Sección 1: Crterios de semejanza de triángulos

Demostración de la semejanza de
En la figura, si AE = BE, entonces AAEB~ACED. A B
Complete la demostración.
Pasos Justificación E
AE _ BE Hipôtesi
N GE DE PO
2) 4AEB=4CED Co
50-07 LAL en pasos 1) y 2)
Pasos Justificación
? AE = BE Hipótesis
2) ¿AEB=4CED [Porseropuesios pore vice
> LAL en pasos 1)y2)

‘Si AAEB y ACED tienen los lados AE y BE proporcionales a CE y DE respectivamente y el
vértice común E, entonces ellos son semejantes.

Sientos ángulos de la gr, AC = BC, OF =EF 6 Fr
40 ar demuestre entonces que AAOB-DFE
à) Esciba a hiptensy a tsi
b) Complete la demostración. D E
A à
Pasos Justfcación
DE Hpoess
2) OF =EF ビデ ェ ーー
Ac _ ee
ad —
. O-O Hipstesis
이 | 14065 Por el rt de semejanza
> LAL en pasos 3) y 4)

110. Unidad 5: Semejanza

Sección 2: Semejanza de triángulos rectángulos y paralelismo
Contenido 1: Semejanza de triángulos rectángulos

P (ive tos tinge einge dados son semejantes:

p
で F E

Ss

ABC y ADEF tienen dos pares de ángulos con la misma medida,
sc: 90 y 4B ニ 4

Porlo tanto, por AA, AABC~ ADEF.

Por tanto, dos triángulos rectángulos con un ángulo de 60° cada uno son semejantes.

C

Dos triángulos rectángulos son semejantes si:
Aimenos un par de ángulos agudos ienen igual medida, (Ver figura 1)

거 Sus catetos son proporcionales (LAL). (Ver figura 2)

Y” Las hipotenusas y un par de catetos son proporcionales (LAL). (Ver figura 3)

an =

: a

| N N | |

o à y
re

111. Sección 2: Semejanza de triángulos rectángulos y paraleiamo

Investigue silas siguientes parejas de triángulos rectángulos de cada inciso son semejantes,
utlzando los criierios de semejanza de tängulos estudiados,
p

N
2 »
A A
1000
sen ol as
CTs F 600 à C'Teme ㄷ 600 à
‘calculan las razones AC y BC
2) Se calculan l Sy ES
AC_4_1 BC_3_1
DF=8-2 EF 6-2

‘Como las razones encontradas son iguales, se puede afirmar que los catetos de los triángulos.
rectángulos son proporcionales. Por tanto, AABC ~ ADEF.

d'en O en

Por tanto, AABC- ADEF.

Investigue si las siguientes parejas de triángulos rectángulos son semejantes, utlizando los criterios de
semejanza de triángulos estudiados.

a) »
) o ) ÿ
A
ky に
scm
kr 4cm|
oa F を 02008 Fame
9
p
A Ja cm

112. Unidad 5: Semejanza
Contenido 2: Teorema del cateto

en par sun que
SC es a ara corspordente ale plone RB
Gel rángulorcngulo ABC, entonces
BACO-BABCy AABC-ACED
yen consecuencia

ACI
BK

Demostración”
El ZA ee un ángulo agudo y común para los triángulo rectángulos AACD y
‘ABC, así que AACD~ o

Similarmente, el ZB es ángulo agudo y común para los triángulos rectángulos
AABC y ACBD, por lo tanto AABC~,

(AD)(AB)
(DAB) A 回

Por definición de semejanza en D, AB = I

@

de donde, ac*=(_)(_)

Por definición de semejanza en 2),

38

e

de donde, BOr=(__) ©

区

① AACD-AABC (4) AC*= (AD) (AB)
る AABC~ACBD 5

@ pase © BO*= (8D) (AB)

C

Teorema del cateto e
Si CD es la altura correspondiente a la hipotenusa AB

del triángulo rectángulo ABC, entonces

AACD-AABC y AABC~ACBD

y en consecuencia

114. Unidad 5: Semejanza
Contenido 3: Teorema de la altura

? men
si GDes la allura correspondiente ala hipotenusa
AB del triángulo rectángulo ABC, entonces
AACO-ACBD
y en consecuencia
CDr=(AD)(B0) ” 그 .
Demostración”
Si TD esla altra correspondiente ala hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, entonces
AAcp- ®
AABc- 2
Por D y @, AACD~ACBD. Luego, por defnicion de semejanza.
ap 01
cD) ®
de donde,
ce=C つ C う a
Las respuestas enumeradas a continuación llenan los espacios en blanco que completan la
demostración.
4) AACD-AABC
(2) AABC-ACBD
AD _ Cl
® C= BD
& CD==(AD) (8D)

Teorema de la altura
Si TD es la altura comespondiente a la hipotenusa
AB del triángulo rectángulo ABC, entonces

AAcp-AcBD
y en consecuencia
CD*=(ADXED). ES =

더

116. Unidad 5 Semejanza
Contenido 4: Rectas paralelas y segmentos proporcionales (1)

P (complete ta punis demostración par asegurar que A
sien el AABC, DE Il BC, D está entre B, y E está entreAy C, of, Ne
AD _ AE _ DE
entonces AB = AC — BC. 8,
Demostración:
DadoqueDEI BG, yABes unsegmento transversalaestos, porseránguloscorrespondientes
entre paralelas, A
4ADE o
Además,
sDAE= e D E
Luego, por el rterio de semejanza AA A o
AADE~ o

En consecuencia, por (3, la proporcionalidad entre los lados correspondientes es
AD_LJ_DE
AB = 80 o

À 4ADE= ォ ABGC

4BAC

C

Si en el ABC, D está entre Ay B, E está entre A y C, y DE Il
entonces

AD _ AE _ DE
AB = AC = BC

117. Sección 2: Semejanza de triángulos rectángulos y paraleiamo

SIDE ILE, calcule la longitud de AE.

Dado DE Il BC, entonces AADE~AABC y de acuerdo con la

un. a
AB = 48
Dado que según la figura AD = 3, AB = 5 y AC = 10, se sustituye
ÉD ant rata
sa
510
SAE = (3)(10)
ne=
er

Por lo tanto, la longitud de AE es 6 cm.

DE II BC, calcule el valor de x con los datos
de la figura,

a)

b) SiDE II BC, calcule los valores de x y y con los
datos proporcionados por la figura adjunta.

118. Unidad 5: Semejanza

Contenido 5: Rectas paralelas y segmentos proporcionales (2)

P

Demostración”

C

Complete la siguiente demostración para asegurar que:
en el SABC, si DE Il BC, D está entre Ay B
y E está entre Ay C, entonces

Se traza una recta paralela a AB que pase por E y corte a BC en F.
Como DEl BC y AC es un segmento transversal a estos, por ser ángulos correspondientes

entre paralelas, A
4460: @
De igual manera, como EF II AB
FEC: o p G
Luego, porel criterio de semejanza AA
AADE- ® é F も
En consecuencia, or la semejanza anterior
4-0
er =
Como el cuadrilátero DBFE es un paralelogramo, entonces EF =DB. Así que, se concluye que
AD _ AE
2" 6 =
D 4460=46 야
4FEC=4A
® AADE-AEFC
AD AE
O Bree
AD AE
O wert

En el ABC, si D está entre Ay B, E está entre Ay Cy
DEl BC, entonces,

AD _ AE
DB = EC

119. Sección 2: Semejanza de triángulos rectángulos y paraleiamo

Con los datos de la figura, si DE 1 BC, calcule la longitud x
de EC.

BE NBC, tsi = AE,
Como BE II, entonces por la conclusión anterior se tiene que AD = AE,

pero AD = Sem, DB=3em, AE= 10cm y EC=x, en consecuencia la proporción anterior se
convierte en

(8)x= (8)(10)
Por lo tanto, la longitud de EC es 6 cm.

a) En la figura, si DE Il BC calcule la longitud x de EC.

b) En la figura, si DE Il BC calcule la longitud x de AE.

120. Unidad 5: Semejanza

Contenido 6: Rectas paral

P

's y segmentos proporcionales (3)

“Complete los pasos de la demosiracón propuesta para asegurar la A
siguiente afirmación:
En el AABC de la figura, si se cumple que Ly E
AD - AE 8 e
은 人 = 本
entonces DE IBC.
Demostración”
Se traza en el SABC dado una recta paralela a AB que A
pase por C. Esta corta a la recta DE’ en F asi que
ap 一 一 一 ® » E E
Porla semejanza anterior,
Ap D の
eS 5 で
Por hipótesis,
Ap 0 ®
5 "円
De 2)y @)se sigue que
ADD
B= 2.

S

€

En consecuencia, DB: 回

Como DB =CF y DE 1 05 ‚el cuadrätero DBCF es un paraelogramo.
Asi que DF I BG y por tanto,
DEl o
7 Ap AD

© 4ADE-AcFE o p= a

AD _ AE
® ere 의 De=eE

AD _ AE =
@ BE @ GENE

Si en el AABC se cumple la proporción AB = BE,
entonces
06186

121. Sección 2: Semejanza de triángulos rectángulos y paraleiamo
A

45cm Sem

sem 400

Se caeuaniasrzones AD y BE, ai

6-4 =(0)8)-2

=6-3
EC=4=2
De lo anterior, se puede ratfcar que se cumple la proporción

AD _ AE -3
DB = EC 2:

Por lo tanto, DE Il BC.

Determine si EF o FD es paralelo a uno de los lados del

‘SABC.
45cm gem
o, E
sem 4em
8 4m F sem e

122. Unidad 5: Semejanza

Contenido 7: Teorema de la base media
P | Cameo la siguinte domostación para asegurar que si en ol A
AABC. M y N son puntos medios de AB y AC respectivamente,
entoces “
ES
D MN= 80
a e
Demostración
a) Por ser M punto medio de AB y N punto medio de
AG, se sigue que El punto medio de un segmento
es el punto que 04000 este en
AM _ (dos segmentos de igual
MB medida.
AN _ a
Ne =
de donde, = A
AM
MB |
a “
En consecuencia, MN I 86. Ÿ
日 Come iN Il BC, entonces AAMN-AABC, si que
am -AN -器 1
ABT RC HEA? o 호 8
se
MN= す ーー ©

Las soluciones completas de los numerales anteriores son:

a M _ AN MN
> © 9 © EC
2 ® MN=3%8C

o Baa

123. Sección 2: Semejanza de triángulos rectángulos y paraleiamo

C

Teorema de la base media A
Sien el AABC, My N son puntos medios de AB y AC respectivamente,
" N
entonces, MN IBE y MN= BC.
5 $

En la figura, si M y N son los puntos medios de
AByAC respectivamente, calcule el valor de x,
la longitud del lado MN en la figura,

‘Como M y N son puntos medios de AB y AC en el AABC, entonces por la conclusión anterior

awa ww = Jeo
ょ =3)o
=

Por lo tanto, el valor de x es 2 cm.

En cada AABC de los incisos a) yb), My N son los puntos medios de AB y AC respecivamente
Calcule el valor de x yy, según coresponda

a)

124. Unidad 5: Semejanza
Conteni

lo 8: Teorema de Tales

PP. (Compete siguiente domestración para condi que

‘Silas rectas transversales 7? y % cortan a tres rectas
paralelas, como se muestra en la figura de la derecha,
entonces

Demostración”
Desde el punto A.se taza el AE parallo a FF
que insecte a BG y CH en los puntos D y E
respectivamente.

Como BD Il CE en el AACE,

ap -Q o
BC
Además, los cuadriéteros ADGF y DEHG son
paralelogramos, entonces.
AD=__yDE=__ de
Por o tanto,
®
28 _ AD
oe
AD
28 _ FG
> B= GH

“Teorema de Tales
Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos
transversales, los segmentos de las transversales
determinados por las paralelas, son proporcionales. De

¡acuerdo con la figura de la derecha
AB - FG
= GH

9 10002

125. E

Sección 2: Semejanza de triángulos rectángulos y paraleiamo

En la figura % y $? conan alas tres rectas paralelas. Si
AB=3 cm. BC = 2 cm y EF = 4 cm, calcule la ongiud
de DE

Al cumplirse las condiciones del Teorema de Tales se escribe la proporción
AB _ DE
BC EF

em y EF = 4 cm, de aqui que

3 DE

24
(2)DE= (3)(4)

pero AB=3 cm, BC

26

Por lo tanto, la longitud de DE es 6 cm.

a) En la figura de la derecha, y “$? cortan a las tres rectas
paralelas. SI AB — 6 cm, BC =2 cm y EF=3 cm, calcule la
longitud de DE.

b) En la figura de la derecha, 7? y 4? cortan a las cuatro rectas
paralelas. SIAB=3 cm, CD =6 cm, EF =4 em y FG=12
cm, calcule las longitudes de BC y GH

132. Unidad 6: Teorema de Piägoras
Conteni

lo 3: Cálculo de las longitudes de los catetos e hipotenusa de un triángulo
rectángulo

En la figura, ¿ACB es un ángulo recto, calcule la medida de AB.

Se aplica et Teorema de Ptágras
La longitud de un
segmento es un
nümer postive.

Como A8>0,

_ AB = 700 = 10
Poo tant, alongs de A es 10 om.
nl fgura, el ¿ACE es un ángulo recto, calcul la longitud de AC, ~
Ld dem

Para encontrar AC se susituyen los valores en la fórmula del Teorema de Pitágoras, obteniéndose
AB=6cm, BC = 40m.
ABI=BC*+ AC?
zart
16+A02
AC*=36=16=20

Como AC>0,
AC= /20 =
Por lo tanto, la longitud de AC es 2V5 cm.

5

も

1. Calcule la longitud del tercer lado en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:
9 À » 5

em
dem

Fm 6 ote" ^

2. Complete la siguiente tabla sabiendo que a y b son las longitudes de los catetos, c la longitud
dea hipotenusa de los triángulos rectángulos CD, ©, Oy

4 96 © © ©
. PIC 1 | 2 136
D 4 2
ㅎ |" a

133. Sección 1: Teorema de Plágoras
Contenido 4: Aplicación del Teorema de Pitágoras

P (conto quero concur una rampa we
nda del ee poche de 098 7
PET YY CPIO
ee 7 mn
inrpa Gobo anperara tes dotar ei
Se ce ange dba slap?

S ion E
pr
2. Se apie el Teotema de Págoras, pra clar la medi dllado 1m
{ue nose conoce, que esla pens
AB"=BC-+AC*
ree
+25
2
on distancia os postive entonces AB>0.
AB =/26
Por arto, larampa ene 76 m de argo.

sa

と

Para resolver problemas de situaciones del entorno con ayuda del Teorema de Pitágoras, se

realizan los siguientes pasos:

1. Se representa la situación planteada en el problema mediante un triángulo rectángulo.

2. Se aplica el Teorema de Pitágoras, sustituyendo en la fórmula los datos conocidos y
resolviendo la ecuación de segundo grado resultante.

Æ 3) Un carro avanza 15 km al oeste de la ciudad B y luego 8 Am al norte para llegar ala ciudad
A. ¿Cuál es la distancia (lineal) AB entre las dos ciudades?

jui

aS

ares
b) El extremo superior de una escalera de 4 metros de longitud se apoya sobre el borde superior
de una pared cuya altura es de 2 metros, ¿A qué distancia está el pie de la escalera de la
base de la pared?
4m
2m

トー ター ゴ

135. Sección 2: Aplicaciones del Teorema de Piágoras en geometría

Sección 2: Aplicaciones del Teorema de Pitágoras en geometría

Contenido 1: Cálculo de la altura y volumen de un cono aplicando Teorema de
Pitágoras

P- (catcule ta altura y el volumen del cono mostrado en la — Elvolumen de un cono de radio
figura, de cual se conoce que el radio de la base es Sem, ryattrahes y= fork

7 8

9: generatiz

Se traza la altura del cono para formar el triángulo rectángulo
ABC que muestra en la figura.
2. Para calcular BC se sustituyen en la fórmula AC?=AB*+ BC?
del Teorema de Pitágoras los datos conocidos:
ACI=ABtEBC
s=3+80*
B0*=25-9=16
BO=/16=4 308 0
Siendo BC=4 em la altura del cono.
3. Se calcula el volumen del cono sabiendo que r=AB=3emy
BC=4em

V= dark =}2@() = 127

Por lo tanto, el volumen del cono es 12008,

Para calcular la altura y el volumen de un cono, conocidos el radio y la generatriz de este:
1. Se traza la altura del cono para formar un triángulo rectángulo.

2. Se aplica el Teorema de Pitágoras para calcular la altura del cono.

3. Se calcula el volumen del cono a partir de la fórmula.

Calcule la altura y el volumen de los conos mostrados en las siguientes figuras:
a) 日 9

10cm 10cm

136. Unidad 6: Teorema de Piägoras
Contenido 2: Cálculo de la altura y volumen de una pirámide de base

C

cuadrada aplicando Teorema de Pitágoras

Para la pirámide de base cuadrada mostrada 0 로 El volumen de una pirámide de base
ala derecha, calcule sa ouadrada cuya atra es À es.
a) La longitud de la diagonal del cuadrado

1
V= Ah
que forma la base. 3
b) La longitud dela altura de lapirámido. ALL OE AS
©) El volumen de la pirámide. D"
Se traza la altura de la pirámide para formar el triángulo

rectángulo ABC, del cual solo se conoce la hipolenusa.
a) Se calcula la longitud de la diagonal de la base:
F E

© Cone amas ot agur y a mie 2/2 manco
AE 2/2 y

a0= AE = 22 =

e LE 2 8

Luego, RE mide /Zom _

Ahora se calcula la ongtud e a medida de EB, catto del triángulo rectángulo ABC

y altura da prämide don

ARE
Como CB>0,

Por lo tant, la altura buscada es ¥7em.
9 Para calcular el volumen de la pirámide, se determina primero el área de la base de esta A,
A,= área del cuadrilátero ADEF = 2°= 4

de modo que: v=Jaco=Jun = 2

Porta lvomen dep as A em

Para calcularla altura y el volumen de una pirämide de base cuadrada:

1. Se traza la altura de la pirámide para formar un triángulo rectángulo.

2. Se calcula la longitud de la diagonal de la base de la pirámide, utlizando el Teorema de Pitágoras,
para luego calcula la longitud de uno de los catetos desconocidos en el triángulo rectángulo del
paso anterior

3, Se calcula la altura de la pirámide utlizando el Teorema de Pitägoras.

4, Se calcula el área de la base de la pirámide y posteriormente el volumen de este sólido.

Calcule la altura y el volumen de cada una “A uientes Ni les cuadradas:

137. Contenido 3: Cálculo de la longitud de la

Ss

C

E

Sección 2: Aplicaciones del Teorema de Piágoras en geometría

gonal de un prisma rectangular
aplicando Teorema de Pitágoras

Calcule la longitud de la diagonal EC del prima Unortoedro es un prisma recto cuyas caras.
rectangular sigui Mi forman entre si ángulos rectos y tiene la
JS caracteristica de que las caras opuestas

do FT

AB

1. Se forma el triángulo rectángulo EAC con la diagonal
EC, la arista EA y la diagonal AC del rectángulo ABCD,
el cual es la base del prisma rectangular

2. Se calcula la longitud de la diagonal AC del rectángulo ABCD, utilizando el
Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC. D A
AG? = AB#+BCI= 84-37 = 25 +
Por lo tanto, AC = /34

À 90 8 ^ 50 0
3. Como se conocen las medidas de AC y AE , al utlizar nuevamente el Teorema de Pitágoras en el

iénguio rectángulo EAC, se puede calcular la longitud de EC: E
ECI=ACUEAE?= (/34) + 4° = 34+ 1660
Como EC>0, dem

EC= /50 = 5/2

= Ad 6
Por tanto la longitud de la diagonal EC del prisma rectangular es 6 Zen. al

Para encontrarla longitud de una diagonal de un prisma rectangular:

1. Se forma un tiéngulo rectángulo con la diagonal cuya longitud se quiere >

determina, la diagonal del rectángulo que es la base del prisma reclangular y |
Una aria de este 90100.

2. Secalculalalongitud delaciagonaldelabase del prisma ectangularuiizando. a 』
el Teorema de Pllágoras

3. Se caleuala diagonal del prisma rectangular a partir e a informacion obtenida en el paso anterior,
y UNNzando de nuevo el Teorema de Pitágoras.

Calcule la longitud de la diagonal de cada uno de los siguientes prismas rectangulares:

138. Unidad 6: Teorema de Piägoras
Conteni

lo 4: Cálculo del área de un triángulo equilátero al
Pitágoras

P (aso et tingulo equiátes ABC, 00046: ete

a) La altura AH m ‘con altura AH se cumple:
b) El érea A del AABC. AB=Ac=BC

AH LBC, BH=HC

s

8) La altura h forma en el triángulos equilétero ABC dos triángulos rectángulos : BHA CHA.
En el ABHA, AH es un cateto, y se tiene que AB = 10, BH=5, de modo que sustituyendo
los datos en AB*= BH AH? N A

yconAH=, resulta

sr
100-25=75
h= 75 = 5/8

Area del triángulo ABC
BCXAH) _ (104543) _ (altura)
Yan) _ A _ 2676 A = (base altura)

El área del AABC es por tanto 25/3 em,

C

Para encontrar el area de un triángulo equilätero:

1. Se traza la altura del triángulo equilátero, formando dos triángulos rectángulos.

2. En los triángulos rectángulos del paso anterior, la altura del triángulo equilätero es un
cateto de estos, y la longitud de este se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras.

3. Se determina el área del triángulo equilátero utiizando la altura encontrada en el paso
anterior yla base correspondiente.

を

Calcule el área de cada triángulo equilátero:

a) 도 b) ia "
u x

139. Sección 2: Aplicaciones del Teorema de Piágoras en geometría

Contenido 5: Cálculo del área de un hexágono regular aplicando Teorema de
Pitágoras
P eeu ol de det pastoreo poder ge ER
recha que todos sus lados tenen igual
longitud, y todos los y
anguosinenoestenen 2
igual medida
た すす
S 1. Secalculalaaltura de uno de os triángulos que forman
el hexágono, la cual es la apotema del poligono, ©
susituyendo los datos proporcionados en a formula
del Teorema de Pitágoras 。 S 7
(OBS ARE Unhexägonoreguaresta
de donde resuita £ formado por 6 trángulos
PEORPE = equiíáteros congruentes.
oG:=z- La perpendicular trazada
desde el 00000 de
A er À
en ‘cualquiera de sus lados,
oe es 0300 recibe el nombre de
2. Se calcula el área del ángulo equiátero ABO. apotema.
A= AB)OG) _ 2) _ 6 En el problema dado la
아자 Tun alura 00 conode con
Luego, 4 = V3. la epotema
Aes VS cm. 때 na
regular

3. El área del hexágono regular es 6 veces el área del AABO.

Area del Hoxágono = (6)(/3) = 6/3
Porlo tanto, el área del hexägono regular es 6/3 cm.

G

Para calcula el área de un hexágono regular.

1. Se descompone el hexágono en 6 triángulos equiléteros congruentes,

2. Se encuentra la altura de uno de los triángulos equilleros del paso ‘(que es la apotema del
polígono) utiizando el Teorema de Pitágoras.

3. Se calcula el área del triánguio del paso anterior

4, El área del hexägono regular es 6 veces el área del triángulo del paso 3.

E rant area de nexigone dela Fors

142. Unidad 7: Circunterencia

Sección 1: Ángulos inscritos
Contenido 1: Elementos y rectas notables de una circunferencia

Identifique los elementos y rectas notables de la siguiente circunferencia.

La circunferencia es
una línea curva cerrada
formada por todos los
puntos del plano que están
a una misma distancia de
‘un punto fio llamado centro

De acuerdo con la figura, los elementos y rectas que se pueden identificar en la circunferencia
son:
Y Centro O; Punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia

y Ratio OP: Segmento que une el entr con un punto de la circunferencia.
Cuenta OD; Segmento que une dos puntos cualesquiera dela circunferencia

Y
Y Diámetro AB: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y su medida es el doble
de la longitud del radio.

y Arco PQ: Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

¥ Recta tangente PT’: Recta que corta a la circunferencia en un único punto, llamado punto
de tangencia. La recta y el radio trazado al punto de tangencia son perpendiculares entre
si

/ Recta Secante ED : Recta que corta a la circunferencia en dos puntos distintos

Dada la siguiente circunferencia, nombre cada uno de sus elementos y rectas notables.

143. Demostracién-

¡Sección 1: Ángulos insertos

inscrito con uno de sus lados como diámetro

Complete la siguiente demostración para asegurar que en una circunferencia cualquiera
se cumple que

Ángulo Central: ángulo que
tiene su verice en el contro de
Penta circunferencia, 4408 es Lio be
“ángulo central y ambos ángulos GADE se in Angie canta
subtienden el mismo AB. corsepondne el AB

De inicio AO = OP, por ser radios de la circunferencia, entonces AOAP es triángulo isósceles.
Luego, por el teorema del triángulo isósceles

AOAP= _ o
Además, por el teorema del ángulo externo en el mismo AOAP,
4AOB= 40AP+ @
As que, 4A0B=2 __ o
Pero, AOPA=AAPB
Portotanto, #APB= ーーー o
© = Se consider los ángulos
asociados a una orounerenia
® 4AOB=40AP+40PA centrales, insertos y seminscritos,
® 4A0B=240PA ¡como la unión de segmentos con
à un fgen común
(4) 4AP8= À 4408

Sea el ZAPB correspondiente al AB, formado por un diámetro PE
de la circunferencia y una cuerda PA cualquiera, y con vértice P en la
circunferencia. Sea además elángulo central 4 AOB correspondiente
al AB. Entonces se cumple la igualdad.

a
AAPB= À 4A0B

Donde el ZAOB es ángulo central y ambos ángulos comparten el
mismo AB.

Es decir, la medida de un ángulo que tiene un diámetro de la circunferencia como uno de
sus lados y el otro es una cuerda, y cuyo vértice está en la circunferencia, es la mitad de la
medida del ángulo central correspondiente.

144. Unidad 7: Circunterencia

A partir de la figura de la derecha, determine el valor de x
aplicando la conclusión anterior

El ZAOB es ángulo central y el ZAPB cumple ls condicions de a conclusión ante y on
correspondiantes al AB. Asi que, SAPB=) AO, s dect

de donde x=44",

145. ¡Sección 1: Ángulos insertos
Contenido 3: Medida de un ángulo inscrito

P Complete la siguiente demostración para asegurar que en una
circunferencia cualquiera si CAPB es un ángulo inserto, 4408. es
el ángulo centra y subtenden el AB, entonces

yo

API

1
34408

Demostractén
Se traza el diámetro PC como se muestra en la figura de la derecha.
Sea SAPC=a, £8PC=b, Como AO=OP=OB, por ser radios de
la cicunferecia entonces AOAP y AOBP son isósceles. Asi que, por

el teorema del triángulo isósceles.
som ーー

4080:
Además, por el teorema del ángulo externo al AOAP,
4AOC= 4 OAP+ =2e

4BOC= 4BPO+.
Por otra parte, 4 app.

2b

+ a+b

4AOB= 4 AOC +4 BOC=2a+2b = 2(a+b),
de donde, $AOB=2.

e @@@ @@

Por lo tanto, 4 APB=.

o

SOAP = 4OPA=a
40BP=40PB=b
4A0C=4.0AP+40PA=24
4BOC= £BPO+40PB=20
AAPB=40PA+40PB=a+b
4A0B=24APB

3 408.

Q@@@@@@

4APB

146. Unidad 7: Circunterencia

C

AL ZAPB se le lama ángulo inscrito correspondiente al AB,
pues su vérice es un punto sobre la circunferencia y sus lados
Son cuerdas de la misma, Su medida está dada por

4APB= } 4A0B

Es decir, la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la
medida del ángulo central correspondiente.

Además, todos los ángulos inscritos correspondientes a un 5
‘mismo arco tienen la misma medida, es decir,

AAPB=4AQB

Calcule haciendo uso de la figura los valores de x y y.

ZAQB y ZAPB son ángulos insertos correspondiente al AB. En consecuencia,
4AQB= 4 APB, de donde x = 50°

Además, el LAOB es central y el ¿AQB es inscrito, ambos correspondientes al AB.
Así que, 4A0B=24.A0B, es decir, y = 2(50°)

Calcule los valores de x y y de acuerdo a la figura dada en cada inciso,

148. Unidad 7: Circunterencia

Sección 2: Aplicaciones de ángulos inscritos

Contenido 1: Ángulo semiinscrito

P

Demostración”

Complete la siguiente demostración para justificar que en una
circunferencia cualquiera se cumple que la medida de un ángulo con
vértice en B, formado por una recta tangente BP a la circunferencia
en el punto B y una cuerda de la misma, es igual a mitad de la
medida del ángulo central 4 AOB. En simbolos

408= } 4208

Sea 4 ABP = a y BP una recta tangente a la circunferencia en

el punto B Así que, OB y BP son perpendiculares, lo cual significa que
4OBP= ~ ®
SABO = 90

Como AO = OB, por ser radios de la circunferencia, entonces el AOAB
es isósceles. En consecuencia e

4ABO= ®

Además, en el AAOB se cumple que
4AOB+4ABO+4BA
4A0B+(80°—a)+_
4AOB+180"-__= 180°

80°

4AOB=20
4A0B=2__
Porlotanto, 4ABP= 5 4A0B

o q...

40BP=90°
4ABO=4BAO=90°—a
4AOB + 4 ABO+ 4 BAO = 180"
4AOB+(90°—a)+ (80°—a).
4AOB + 180°—2a= 180"

180°

ess...

4A0B=

24 ABP

149. ¡Sección 2: Aplicaciones de ángulos insertos

El APB es semiinscrito correspondiente al AB, si su vértice
B es un punto sobre la circunferencia y está formado por una
recta tangente BP a esta y una cuerda AB.

Se cumple que

snap} 4708

Es decir, la medida de un ángulo semiinscrito es la mitad de la
medida del ángulo central correspondiente.

A pari de la figura, calcule el valor de x.

®

Como el ¿ABP es un ángulo seminscrito a la circunferencia, entonces

snop= } 4400

70
x=140°

Calcule el valor de x para cada figura