Limit Fungsi Aljabar.ppt dalam kalkulus i

pembelajaran kalkulus I

3. •Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam
pemecahan masalah
•Menjelaskan secara Intuitif arti limit fungsi
di satu titik dan di takhingga

4. •Limit Fungsi
•Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui
nilai disekitar titik
•Menjelaskan arti limit fungsi di titik tak berhingga
•Menghitung limit aljabar dan trigonemtri di suatu
titik

5. Dasar pemikiran limit atau sering disebut nilai batas adalah
pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi harga
batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga
yang mendekati.
Bentuk umum limit sebuah fungsi f(x)
)x(flim
ax
artinya menghitung nilai fungsi f(x) pada nilai x
mendekati nilai a. Untuk lebih jelasnya perhatikan
contoh berikut ini.

6. Nilai-nilai fungsi terletak di sekitar x = 1, dapat
dilihat pada tabel berikut :
1x
1x
lim
2
1x 


Penulisan limit secara matematika soal di atas sebagai
berikut :
Diketahui : dengan daerah asal Df = { x| x R dan }
Carilah nilai limit fungsi f(x) pada titik x mendekati 1
1x
1x
)x(f
2


  1x
Jawab :
1x
1x
lim
2
1x 



7. x 0,70,80,90,99 0,999  1,0011,011,11,21,3
  1,71,81,91,99 1,999 . . .2,0012,012,12,22,31x
1x
2


00,1
Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika
x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan
1x
1x
)x(f
2



Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang

yaitu :
1x
1x
)x(f
2



1. untuk x = 1 (bentuk tak
tentu dan tidak didefenisikan)
1x
1x
)x(f
2


 
0
0
)1(f
0
0
2.Untuk dapat disederhanakan
dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-
faktornya.
1x
1x
)x(f1x
2



211)1(f
)1x(
)1x)(1x(
)x(f
1x
1x
)x(f
2








8. Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika
x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan
1x
1x
)x(f
2



x 0,70,80,90,99 0,999  1,0011,011,11,21,3
  1,71,81,91,99 1,999 . . .2,0012,012,12,22,31x
1x
2


00,1
Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang

yaitu :
1x
1x
)x(f
2



1. untuk x = 1 (bentuk tak
tentu dan tidak didefenisikan)
1x
1x
)x(f
2


 
0
0
)1(f
0
0
2.Untuk dapat disederhanakan
dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-
faktornya.
1x
1x
)x(f1x
2



211)1(f
)1x(
)1x)(1x(
)x(f
1x
1x
)x(f
2








9. Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang

yaitu :
1x
1x
)x(f
2



Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika
x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan
1x
1x
)x(f
2



x 0,70,80,90,99 0,999  1,0011,011,11,21,3
  1,71,81,91,99 1,999 . . .2,0012,012,12,22,31x
1x
2


00,1
1. untuk x = 1 (bentuk tak
tentu dan tidak didefenisikan)
1x
1x
)x(f
2


 
0
0
)1(f
0
0
2.Untuk dapat disederhanakan
dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-
faktornya.
1x
1x
)x(f1x
2



211)1(f
)1x(
)1x)(1x(
)x(f
1x
1x
)x(f
2








10. 1. untuk x = 1 (bentuk tak
tentu dan tidak didefenisikan)
1x
1x
)x(f
2


 
0
0
)1(f
0
0
Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang

yaitu :
1x
1x
)x(f
2



Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika
x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan
1x
1x
)x(f
2



x 0,70,80,90,99 0,999  1,0011,011,11,21,3
  1,71,81,91,99 1,999 . . .2,0012,012,12,22,31x
1x
2


00,1
2.Untuk dapat disederhanakan
dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-
faktornya.
1x
1x
)x(f1x
2



211)1(f
)1x(
)1x)(1x(
)x(f
1x
1x
)x(f
2








11. 2.Untuk dapat disederhanakan
dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-
faktornya.
1x
1x
)x(f1x
2



211)1(f
)1x(
)1x)(1x(
)x(f
1x
1x
)x(f
2







1. untuk x = 1 (bentuk tak
tentu dan tidak didefenisikan)
1x
1x
)x(f
2


 
0
0
)1(f
0
0
Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang

yaitu :
1x
1x
)x(f
2



Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika
x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan
1x
1x
)x(f
2



x 0,70,80,90,99 0,999  1,0011,011,11,21,3
  1,71,81,91,99 1,999 . . .2,0012,012,12,22,31x
1x
2


00,1

12. Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1
tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit
(dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2
1x
y
x
3
2
1
0 12
1x
1x
2
)x(fy



Pada x = 1 fungsi f(x)
tidak terdefenisi karena
pembagian dengan 0
atau penyebutnya
bernilai 0
Tetapi limit
menghasilkan 2
1x

13. Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1
tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit
(dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2
1x
y
x
3
2
1
0 12
1x
1x
2
)x(fy



Pada x = 1 fungsi f(x)
tidak terdefenisi karena
pembagian dengan 0
atau penyebutnya
bernilai 0
Tetapi limit
menghasilkan 2
1x

14. Pada x = 1 fungsi f(x)
tidak terdefenisi karena
pembagian dengan 0
atau penyebutnya
bernilai 0
Tetapi limit
menghasilkan 2
Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1
tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit
(dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2
1x
y
x
3
2
1
0 12
1x
1x
2
)x(fy



1x

15. Contoh :
Tentukan nilai dari
Untuk semua fungsi limit tahap pertama yang harus
dilakukan adalah : metode substitusi
)x(flim
ax
Jawab :
)1x3(lim
2
2x


131)2(3)1x3(lim
22
2x


13)1x3(lim,Jadi
2
2x



16. 2.Metode pemaktoran
Atau
Setelah dilakukan substitusi ternyata
bernilai
Maka, Lakukan :


3. Merasionalkan bentuk akar

17. 4. Bagi semua fungsi dengan variabel
yang pangkatnya tertinggi
Jika nilai yang didapat ternyata
bernilai



18. 2.Metode Pemfaktoran
Contoh :
Jawab :
1x
10x9x
lim
2
1x 


1x
10x9x
lim
2
1x 


)1x(
)10x)(1x(
lim
1x 



)10x(lim
1x


)101(
11
11
1x
10x9x
lim,Jadi
2
1x






=

19. 3.Metode merasionalkan bentuk akar dengan cara
mengalikan akar dengan bentuk sekawannya
Contoh :
Jawab :
2x
1x43
lim
2x 


2x
1x43
lim
2x 



1x43
1x43
x
2x
1x43
lim
2x 




)1x43)(2x(
)1x4(3
lim
22
2x 



)1x43)(2x(
)1x4(9
lim
2x 



)1x43)(2x(
x48
lim
2x 




)1x43)(2x(
)2x(4
lim
2x 




=

20. )1x43) (2x(
)2x(4
lim
2x 



)1x43(
4
lim
2x 



1)2(43
4



33
4



6
4


3
2

3
2
2x
1x43
lim,Jadi
2x





21. 4.Metode membagikan dengan pangkat tertinggi,
berguna untuk limit mendekati tak terhingga
Contoh :
Jawab :
3x6x2
1x3x
lim
2
2
x 




Jika digunakan metode substitusi langsung akan
diperoleh (bentuk tak tentu).
Oleh karena itu bentuk dimodifikasi
Terlebih dahulu dengan cara membagi dengan
derajat pangkat tertinggi, dalam hal ini berderajar 2,
maka diperoleh :
3x6x2
1x3x
2
2




=

22. 3x6x2
1x3x
lim
2
2
x 


2
2
2
2
x
3x6x2
x
1x3x
x
lim




2
2
x
3
x
6
x
1
x
3
x2
1
lim




002
001



2
1
3x6x2
1x3x
lim,Jadi
2
2
x





23. Teorema 2 :
Jika f(x) = k, maka
, untuk a bilangan real
Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi
identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya
Teorema 1 :
Jika f(x) = k, maka
, untuk k dan a bilangan real
Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi
konstanta sama dengan konstanta itu
Terdapat 7 (tujuh) teorema atau sifat-sifat limit fungsi aljabar,
yaitu :
kklim
ax


x)x(flim
ax



24. Teorema 5 :
Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali
masing-masing limit fungsi
Teorema 4 :
Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali
masing-masing limit fungsi
Teorema 3 :
Jika f(x) = g(x) + h(x), maka
Limit jumlah atau selisih fungsi-fungsi sama dengan
jumlah atau selisih masing-masing limit fungsi
)x(hlim)x(glim)x(h)x(glim
axaxax 

)x(glim.)x(flim)}x(g).x(f{lim
axaxax 

)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
lim
ax
ax
ax





25. Teorema 6 :
Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil
bagi masing-masing limitnya dengan penyebut limit
tidak sama dengan nol
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
lim
ax
ax
ax




Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh penggunaan
teorema-teorema tersebut dalam contoh soal.

26. Jawab
:
Hitunglah nilai limit berikut :
2x4lim
4x


2x4lim
4x


2limx4lim
4x4x 

2limxlim4
4x4x 

2)4(4
10
2x4lim,Jadi
4x


)x(hlim)x(glim)x(h)x(glim
axaxax 

3Teorema

27. Jawab :
Hitunglah nilai limit berikut :
2x4lim
ax


2x4lim
ax


2limx4lim
4x4x 

2limxlim4
4x4x 

2)4(4
10
2x4lim,Jadi
4x


4Teorema
 )x(glim)x(flim)x(g).x(flim
axaxax 


28. Jawab :
Hitunglah nilai limit berikut :
2x4lim
ax


2x4lim
ax


2limx4lim
4x4x 

2limxlim4
4x4x 

2)4(4
10
2x4lim,Jadi
4x


1 dan 2Teorema
k)x(flimdankklim
axax

