LIMITE DE FUNCIONES INDETERMINADAS

ingeniería de sistemas

2. LIMITES INDETERMINADOS E INFINITOS

3. TABLA DE CONTENIDO
•Límites indeterminados.
•Límites infinitos

4. Solución
lim
??????→2
??????−2
??????
2
−4
=
2−2
2
2
−4
=
0
0
LIMITES INDETERMINADOS
Unlímiteindeterminadoesaquelquealserevaluadoenelpuntodadolasoluciónesunaindeterminación,a/0
estáindeterminaciónsedacuandoeneldenominadorelresultadoes0yesunaindeterminacióndebidoquela
divisiónporceronoesposible.
Ejemplo 1.
Halle: lim
??????→2
??????−2
??????
2
−4
Como vemos este límite es una indeterminación por que su resultado es 0/0

5. Parasoluciónindeterminacionesenloslimites,losquesedebeesaplicarelementosalgebraicoscomola
factorizaciónylaracionalización,loscualesvanapermitirtransformarlaexpresiónosimplificarla,detalforma
quealvolveraevaluarellimite,laindeterminaciónyanoexiste.
Solución al ejemplo anterior
lim
??????→2
??????−2
??????
2
−4
=lim
??????→2
??????−2
(??????+2)(??????−2)
Se factoriza el denominador
= lim
??????→2
1
??????+2
Se simplifica la expresión
=
1
2+2
se evalúa el límite
1
4
se halla el límite de la expresión

6. Ejemplo 2.
Halle el limite de la siguiente expresión lim
??????→??????
??????
2
−2??????
??????
Se plantea eliminar la indeterminación por factorización
lim
??????→??????
??????
2
−2??????
??????
=lim
??????→??????
??????(??????−2)
??????
factorizamos el numerador
=lim
??????→??????
??????−2Se simplifica la expresión
= 0 -2 Se evalúa el límite
= -2 se halla el resultado del limite
lim
??????→??????
??????
2
−2??????
??????
=
0
2
−2
0
=
−2
0
Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación

7. Ejemplo 3.
Halle el limite de la siguiente expresión lim
??????→2
??????
2
−4
??????−2
Se plantea eliminar la indeterminación por factorización y racionalización
lim
??????→2
??????
2
−4
??????−2
=lim
??????→2
(??????−2)(??????+2)
??????−2
.
??????−2
??????−2
factorizamos el numerador y se racionaliza el denominador
=lim
??????→2
(??????−2)(??????+2)??????−2
(??????−2)
2
Se multiplican los denominadores
=lim
??????→2
(??????−2)(??????+2)??????−2
??????−2
Se simplifica el radical en el denominador
=lim
??????→2
(??????+2)??????−2Se simplifica la expresión x-2 en el numerador y el denominador
=(2+2)2−2se evalúa el limite
=4( 0) = 0 se halla el resultado del limite
lim
??????→2
??????
2
−4
??????−2
=
2
2
−4
2−2
=
4−4
2−2
=
0
0
=
0
0
Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación

8. Ejemplo 4
Halle el limite de la siguiente expresión lim
??????→3
??????
2
−7??????+12
??????−3
lim
??????→3
??????
2
−7??????+12
??????−3
=
3
2
−7(3)+12
3−3
=
9−21+12
9
=
0
0
lim
??????→3
??????
2
−7??????+12
??????−3
= lim
??????→3
(??????−4)(??????−3)
??????−3
=lim
??????→3
??????−4
= 3 –4
=--1

9. LIMITES INFINITOS
Un límite es infinito cuándo la función crece o decrece infinitamente para un punto de la función
Ejemplo 5
Analizar la función ????????????=
1
??????−2
la cual se analiza para x= 2, de la que se obtiene la siguiente grafica
Grafica realizada con el programa graphmaticapara Windows
Se observa como la función crece sin
limite cuando x tiene a 2 por la derecha y
como decrece sin limite cuando la función
tiene a 2 por la izquierda

10. En la función ????????????=
1
??????−2
se evalúan los limites laterales de
la función en el punto x= 2, de donde tenemos
lim
??????→2
+
1
??????−2
=∞,?????? lim
??????→2
−
1
??????−2
=−∞
Lo que nos indica que este limite no tiene una solución real, por ello es un limite infinito
o indeterminado.

11. Ejemplo 6
Analizar la función ????????????=
1
??????
2
−4
la cual se analiza para x= ±2, de la que se obtiene la siguiente grafica
Grafica realizada con el programa graphmaticapara Windows
Se observa como la función crece o
decrece sin limite cuando x tiene a ±2 por
la izquierda y/o por la derecha.

12. En la función ????????????=
1
??????
2
−4
se evalúan los limites laterales de la
función en el punto x= ±2, de donde tenemos
lim
??????→2
1
??????
2
−4
=
1
2
2
−4
=
1
4−4
=
1
0
lim
??????→−2
1
??????
2
−4
=
1
(−2)
2
−4
=
1
4−4
=
1
0

13. BIBLIOGRAFIA
•Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650,
•Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495
•Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomezy Larios; Ebook: ISBN
9781449227180
•Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433
•Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971