Limites de tolerancia

Límites de tolerancia, estimación de la diferencia entre
dos medias y observaciones pareadas

1. L
Í
MITES DE TOLERANCIA
FCC BUAP
Luis Alfredo Moctezuma
5/14/2016
1
L
í
mites de tolerancia

2. Introducci
ó
n
•
En algunos casos, el inter
é
s se centra en saber donde
cae la mayor
í
a de los valores de la poblaci
ó
n
•
Esto es
ú
til para conocer el desempe
ñ
o a largo plazo, no
en la siguiente observaci
ó
n
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
2

3. Introducci
ó
n
P
ermite realizar afirmaciones acerca de la poblaci
ó
n de la
cual proviene tu muestra
•
L
í
mite bilateral
“
Yo tengo _____% confianza de que _____% porciento de la
poblaci
ó
n de la cual provienen mis datos se encuentra entre _____ y
_____.
”
•
L
í
mite unilateral
“
Tengo _____% confianza de que _____% por ciento de la poblaci
ó
n
de la cual provienen mis datos se encuentra en o debajo de _____.
”

5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
3

4. Diferencia entre
l
í
mites de
c
onfianza,
p
redicci
ó
n y de
t
olerancia
•
El
intervalo de confianza
se

usa
cuando
se
est
á

interesado en la media de la poblaci
ó
n
–
Se necesita estimar la
media de la poblaci
ó
n y el intervalo de
confianza produce los l
í
mites apropiados
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
4

5. Diferencia entre
l
í
mites de
c
onfianza,
p
redicci
ó
n y de
t
olerancia
•
El
intervalo de predicci
ó
n
se aplica cuando es
importante determinar un l
í
mite para un solo valor
–
Ni la media ni la ubicaci
ó
n de la mayor
í
a de la poblaci
ó
n son la
cuesti
ó
n clave, s
ó
lo se requiere la ubicaci
ó
n de una sola nueva
observaci
ó
n
–
A partir de una muestra de 50 cr
é
ditos hipotecarios,
c
alcule un
intervalo de predicci
ó
n del 95% para la cantidad del cr
é
dito
del
siguiente cliente
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
5

6. Diferencia entre
l
í
mites de
c
onfianza,
p
redicci
ó
n y de
t
olerancia
•
El
intervalo de tolerancia
est
á

enfocado

en
d
ó
nde cae
la mayor
í
a de las observaciones individuales
–
¿
D
ó
nde estar
á
la mayor parte de los valores de la poblaci
ó
n?
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
6

7. L
í
mites de tolerancia
Al visualizar un muestreo aleatorio de una distribuci
ó
n
normal con media conocida
µ
y varianza
σ
2
; un l
í
mite
que cubre el 95% de la poblaci
ó
n de observaciones es
µ

±
1.96
σ
•
Lo anterior denota un
intervalo de tolerancia
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
7

8. L
í
mites de tolerancia
•
En la pr
á
ctica
µ

y
σ

rara vez se conocen; se debe
aplicar
k se determina de modo que se pueda asegurar con una
confianza de (1 –
ƴ

)100% que los l
í
mites dados contienen
al menos la proporci
ó
n 1–
α
de las mediciones
La tabla de factores de tolerancia para distribuciones
normales da valores de k para 1–
α
= 0.9,0.95,0.99;
ƴ
=0.05,0.01
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
8

9. L
í
mites de tolerancia, ejemplo
•
Un inspector de alimentos
seleccion
ó
aleatoriamente
30 paquetes
de carne de res 95% magra.
•
La muestra dio como resultado una
media de 96.2%

con una
desviaci
ó
n est
á
ndar muestral de 0.8%
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
9

10. L
í
mites de tolerancia, ejemplo,~
•
C
alcul
ar
un intervalo de tolerancia que proporcione
l
í
mites bilaterales del 95% sobre el
90%
de la
distribuci
ó
n de paquetes de carne 95% magra
•
n=30
Ẍ
=96.2
s= 0.8
•
De la tabla se obtiene con n=30, 1-
α
=0.9,
ƴ
=0.05

k=2.14
•
Ẍ

±
ks = 96.2
±
(2.14)(0.8)
–
Limite inferior
96.2 -(2.14)(0.8) =
94.48
–
Limite superior 96.2 +(2.14)(0.8)=
97.91
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
10

11. L
í
mites de tolerancia, ejemplo,~
•
I
ntervalo de tolerancia
con
l
í
mites bilaterales del 95%
sobre el
90%
de la distribuci
ó
n de paquetes de carne
95% magra
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
11
94.48
97.91

12. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
,
d
os
muestras
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
12

13. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
,d
os muestras
•
Comparar el rendimiento promedio de dos tipos de
motor
A y B
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
13

14. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,
d
os muestras
•
Si
se tienen
dos poblaciones con medias
μ
1 y
μ
2, y
varianzas
σ
1
2
y
σ
2
2
, el estad
í
stico que da un estimador
puntual de la diferencia entre
μ
1 y
μ
2 es
Ẍ
1−
Ẍ
2
•
S
e seleccionan dos muestras aleatorias independientes,
una de cada poblaci
ó
n, de tama
ñ
os n1 y n2
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
14

15. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,
d
os muestras
,~
•
La estimaci
ó
n de la diferencia de dos medias de dos
poblaciones
μ
1 –
μ
2, se hace por medio del teorema del
l
í
mite central
, se puede asegurar, con una probabilidad
de 1 –
α
, que la variable normal est
á
ndar Z, caer
á
entre
–Z
α
/2
y Z
α
/2
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
15

16. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,d
os muestras
,~
•
Al sustituir para Z, establecemos de manera equivalente
que:
•
Que conduce al siguiente intervalo de confianza del 100(1 –
α
)%
para
μ
1 –
μ
2
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
16

17. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,d
os muestras
,~
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
17

18. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,d
os muestras
,ejemplo1
•
Se llev
ó
a cabo un experimento donde se compararon dos
tipos de motores A y el B. Se midi
ó
el rendimiento de
combustible en millas por gal
ó
n.
Para el
motor tipo A
se
realizaron 50 experimentos y 75 con el motor tipo B. La
gasolina utilizada y las dem
á
s condiciones se mantuvieron
constantes
•
El rendimiento promedio de gasolina para el
motor A fue de
36 millas
por gal
ó
n y el promedio para el
motor B fue de 42
millas por gal
ó
n
•
Suponga que las desviaciones est
á
ndar de la poblaci
ó
n son 6
y 8 para los motores A y B, respectivamente
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
18

19. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,d
os muestras
,ejemplo1
•
Calcule un intervalo de confianza del 96% sobre
μ
B
–
μ
A
,
donde
μ
A
y
μ
B
corresponden a la media de la poblaci
ó
n del
rendimiento de millas por gal
ó
n para los motores A y B,
respectivamente
•
La estimaci
ó
n puntual de
μ
B
–
μ
A
es
Ẍ
B
-
Ẍ
A
= 42 - 36= 6
•
Con

α
= 0.04, obtenemos z
0.02
= 2.05
. E
l intervalo de
confianza del 96% es
3.43 <
μ
B
–
μ
A
< 8.57
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
19

20. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,~
•
Varianzas desconocidas pero iguales
Si
σ
1
2
=
σ
2
2
=
σ
2
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
20

21. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,~
Estimado agrupado de la varianza
Se puede obtener una estimaci
ó
n puntual de la
varianza com
ú
n desconocida
σ
2
agrupando las
varianzas muestrales. Si se representa con
S
p
2
al
estimador agrupado, obtenemos lo siguiente
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
21

22. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,~
•
Si
Ẍ
1 y
Ẍ
2 son las medias de muestras aleatorias
independientes con tama
ñ
os n1 y n2 respectivamente,
tomadas de poblaciones m
á
s o menos normales con
varianzas iguales pero desconocidas, un intervalo de
confianza del 100(1 –
α
)% para
μ
1–
μ
2 es dado por
–
D
onde
S
p
es la estimaci
ó
n agrupada de la desviaci
ó
n est
á
ndar
de la poblaci
ó
n y t
α
/2
es el valor
t
con v = n1 + n2 – 2 grados de
libertad, que deja una
á
rea de
α
/2 a la derecha
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
22

23. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,~
Consideraciones
–
C
uando
σ
1
=
σ
2
=
σ
pero
é
sta se desconoce, requiere
suponer que las poblaciones son normales
–
Si las varianzas de la poblaci
ó
n son considerablemente
diferentes, a
ú
n obtenemos resultados razonables
cuando las poblaciones son normales, siempre y cuando
n
1
= n
2
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
23

24. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,~
Varianzas desconocidas y distintas
•
Al calcular el estimado de un intervalo de
μ
1–
μ
2 cuando
no es probable que las varianzas de la poblaci
ó
n
desconocidas sean iguales
tiene aproximadamente una distribuci
ó
n t con v grados de libertad
V se redondea al entero menor m
á
s cercano
El estimado de los grados de libertad se denomina
aproximaci
ó
n de Satterthwaite
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
24

25. E
stimaci
ó
n de la diferencia entre
dos medias
,~
•
Intervalo con el estad
í
stico T'
donde t
α
/2
es el valor de la distribuci
ó
n t con v grados de libertad
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
25

26. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
, ejemplo2
•
El Departamento de zoolog
í
a
de una universidad
llev
ó
a
cabo un estudio para
estimar la diferencia en la
cantidad de ortof
ó
sforo qu
í
mico medido en dos
estaciones diferentes
de un rio
.

•
Se reunieron 15 muestras de la estaci
ó
n 1 y 12
muestras de la estaci
ó
n 2
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
26

27. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
, ejemplo2
–
Las 15 muestras de la estaci
ó
n 1 tuvieron un
contenido promedio de 3.84 mg/L y un
a
desviaci
ó
n
est
á
ndar de 3.07 mg/L
–
L
as 12 muestras de la estaci
ó
n 2 tuvieron un
contenido promedio de 1.49 mg/L y una desviaci
ó
n
est
á
ndar de 0.80 mg/L
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
27

28. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
, ejemplo2
•
Calcule un intervalo de confianza de 95% para la
diferencia en el contenido promedio verdadero de
ortof
ó
sforo en estas dos estaciones. Suponga que las
observaciones provienen de poblaciones normales con
varianzas diferentes
•
Para la estaci
ó
n 1
:
Ẍ
1
=3.84, s
1
=3.07 y n
1
= 15
•
Para
la estaci
ó
n 2
:

Ẍ
2
=1.49, s
2
=0.80 y n
2
= 12
Se busca
un intervalo de confianza del 95% para
μ
1 –
μ
2
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
28

29. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
, ejemplo2
•
Grados de libertad
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
29

30. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
, ejemplo2
•
Intervalo
–
I
ntervalo de confianza del 95%
–
α
=0.05 de la tabla A.4(distribuci
ó
n t )
t
0.025
=2.120
0.599<
µ
1
-
µ
2
< 4.100
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
30

31. E
stimaci
ó
n de la diferencia
entre dos medias
, ejemplo2
•
Se tiene
un 95% de confianza
de
que el intervalo de
0.60 a 4.10 miligramos por litro contiene la diferencia del
promedio verdadero del ortof
ó
sforo que contienen estos
dos lugares
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
31

32. Observaciones pareadas
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
32

33. Observaciones pareadas
•
P
rocedimiento de estimaci
ó
n para la diferencia de dos
medias
–
cuando las muestras no son independientes y las varianzas de
las dos poblaciones no son necesariamente iguales
–
L
a intenci
ó
n al parear es reducir
σ
D
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
33

34. Observaciones pareadas
•
Al realizar
una prueba de una nueva dieta con 15
individuos, los pesos
antes
y
despu
é
s
de seguir la dieta
conforman la informaci
ó
n de las dos muestras
•
Las dos poblaciones son “antes” y “despu
é
s”, y la
unidad experimental es el individuo
•
Para determinar si la dieta es efectiva consideramos las
diferencias d1, d2,..., dn en las observaciones pareadas
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
34

35. Observaciones pareadas
•
Estas diferencias son los valores de una muestra
aleatoria D1, D2,..., Dn de una poblaci
ó
n de diferencias,
que supondremos distribuidas normalmente, con media
μ
D =
μ
1 –
μ
2 y varianza
σ
D
2
–
Se estima
σ
D
2
mediante
s
d
2
, la varianza de las diferencias que
constituyen nuestra muestra
•
La i-
é
sima diferencia del par es:
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
35

36. Observaciones pareadas
•
E
legir n pares de sujetos, donde cada par tenga una
caracter
í
stica similar, como el coeficiente intelectual (CI),
la edad o la raza
•
L
uego para cada par seleccionar un miembro al azar
para obtener un valor de X1, el otro miembro
proporcion
a
el valor de X2
opcional
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
36

37. Observaciones pareadas
•
X1 y X2 podr
í
an representar las calificaciones obtenidas
por dos individuos con igual CI
–
Individuo
uno es asignado al azar a un grupo que usa el m
é
todo
de ense
ñ
anza convencional
–
Individuo dos
es asignado al azar a un grupo que utiliza
materiales programados
opcional
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
37

38. Observaciones pareadas
•
Se puede establecer un intervalo de confianza del
100(1–
α
)% para
μ
D
escribiendo
•
Donde, t es un valor de la distribuci
ó
n t con n – 1 grados
de libertad
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
38

39. Observaciones pareadas
•
Si y s
d
son la media y la desviaci
ó
n est
á
ndar,
respectivamente, de las diferencias distribuidas
normalmente de n pares aleatorios de mediciones, un
intervalo de confianza del 100(1 –
α
)% para
μ
D
=
μ
1
–
μ
2
es
•
Donde t
α
/2
es el valor t con v = n – 1 grados de libertad,
que deja una
á
rea de
α
/2 a la derecha
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
39

40. Observaciones pareadas
,
ejemplo
•
Un estudio reporta los niveles de la dioxina TCDD en 20
veteranos de Vietnam, quienes posiblemente estuvieron
expuestos al agente naranja. En la tabla se presentan
los niveles de tcdd en plasma y tejido adiposo
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
40

41. Observaciones pareadas
,
ejemplo
•
Calcule un intervalo de confianza del 95% para
μ
1 –
μ
2,
donde
μ
1 y
μ
2 representen las medias verdaderas de
los niveles de TCDD en plasma y en tejido adiposo,
respectivamente.
•
Suponga que la distribuci
ó
n de las diferencias es casi
normal
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
41

42. Observaciones pareadas
,
ejemplo
•
Como las observaciones est
á
n pareadas,
μ
1 –
μ
2 =
μ
D
•
La estimaci
ó
n puntual de
μ
D
es = – 0.87. La
desviaci
ó
n est
á
ndar s
d
de las diferencias muestrales es
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
42

43. Observaciones pareadas
,
ejemplo
•
Con
α
= 0.05, en la tabla A.4
t
0.025
= 2.093 v =n–1= 19 grados de libertad
Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% es
–2.2634 <
μ
D
< 0.5234
N
o hay diferencia significativa entre el nivel medio de TCDD en plasma
y el nivel medio de TCDD en tejido adiposo
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
43

44. Referencias
•
Walpole,Myers.Probabilidad y estad
í
stica para ingenier
í
a y
ciencias: Pearson
•
Editor de formulas:
www.mathway.com
•
Notaci
ó
n
Ẍ
= media muestral
5/14/2016
L
í
mites de tolerancia
44