Limites laterales

Limites Laterales

1. CAPÍTULO
3
Límitedeunafunción
1
3.3 Límites laterales
Supongamos quef .x/está definida en un cierto intervalo.a; x0/. Si para númerosxdel do-
minio defsuficientemente próximos ax0y menores quex0, los valores correspondientes de
f .x/están tan próximos a˛1como queramos, decimos que˛1es el límite por la izquierda de
f .x/, cuandoxtiende ax0. Lo anterior se denota mediante
lím
x!x

0
f .x/D˛1I
x!x

0
se lee:xtiende ax0por la izquierda.
Supongamos quef .x/está definida en un cierto intervalo.x0; b/. Si para númerosxdel do-
minio defsuficientemente próximos ax0y mayores quex0, los valores correspondientes de
f .x/están tan próximos a˛2como queramos, decimos que˛2es el límite por la derecha de
f .x/, cuandoxtiende ax0. Lo anterior se denota
lím
x!x
C
0
f .x/D˛2I
x!x
C
0se lee:xtiende ax0por la derecha.
1
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
1

2. 2 Cálculo Diferencial e Integral I
x
y
x0a b
lím
x!x
C
0
f .x/D˛2
lím
x!x

0
f .x/D˛1





x!x
C
0
x!x

0
A los límites lím
x!x

0
f .x/& lím
x!x
C
0
f .x/se les conoce como límites laterales.
Es claro que:
lím
x!x0
f .x/D˛,lím
x!x

0
f .x/D˛Dlím
x!x
C
0
f .x/.
x
y
x0a b
˛
fi
fifi
yDf .x/
Este resultado se usa frecuentemente para probar la no existencia de un límite.
Si no existe alguno de los límites laterales, el límite no existe.
Si los límites laterales existen pero son diferentes, el límite no existe.
Observación: para los límites laterales lím
x!x

0
f .x/& lím
x!x
C
0
f .x/hallamos resultados análogos a los
que hemos enlistado anteriormente para el límite lím
x!x0
f .x/.
Ejemplo 3.3.1Dada la funciónf .x/D
jxaj
xa
, calcular (en caso de existir) cada uno de los límites siguien-
tes:
1.lím
x!a

f .x/. 2.lím
x!a
C
f .x/. 3.lím
x!a
f .x/.
2

3. 3.3 Límites laterales 3
HPor definición de valor absoluto:
jxaj D
(
xa sixa0
.xa/sixa < 0
D
(
xa sixaI
.xa/six < a:
Por lo tanto
1.Six!a

, entoncesx < a&xa < 0, por lo que
jxaj D .xa/&
jxaj
xa
D
.xa/
.xa/
D 1)
)lím
x!a

jxaj
xa
Dlím
x!a
1D 1:
2.Six!a
C
, entoncesx > a&xa > 0, por lo que
jxaj Dxa&
jxaj
xa
D
.xa/
.xa/
D1)
)lím
x!a
C
jxaj
xa
Dlím
x!a
1D1:
3.Ya que lím
x!a

f .x/D 1& lím
x!a
C
f .x/D1entonces lím
x!a

f .x/¤lím
x!a
C
f .x/y por lo tanto
lím
x!a
f .x/no existe.
Observa quef .x/D
jxaj
xa
se obtiene de la funcióng.x/D
jxj
x
desplazándolaaunidades.

Ejemplo 3.3.2Dada la funcióng.x/D





3xC5six <1I
x
2
C1si1 < x < 2I
6xsix > 2;
calcular (en caso de existir) cada uno de los límites siguientes:
1.lím
x!1

g.x/.
2.lím
x!1
C
g.x/.
3.lím
x!1
g.x/.
4.lím
x!2

g.x/.
5.lím
x!2
C
g.x/.
6.lím
x!2
g.x/.
H
1.lím
x!1

g.x/Dlím
x!1

.3xC5/D3.1/C5D 3C5D2.
2.lím
x!1
C
g.x/Dlím
x!1
C
.x
2
C1/D.1/
2
C1D1C1D2.
3.Ya que lím
x!1

g.x/D2Dlím
x!1
C
g.x/, entonces lím
x!1
g.x/D2.
4.lím
x!2

g.x/Dlím
x!2

.x
2
C1/D2
2
C1D4C1D5.
5.lím
x!2
C
g.x/Dlím
x!2
C
.6x/D62D4.
3

4. 4 Cálculo Diferencial e Integral I
6.Ya que lím
x!2

g.x/D5¤4Dlím
x!2
C
g.x/, entonces lím
x!2
g.x/no existe.
x
y
1 2
2
4
5



yDg.x/

Ejemplo 3.3.3Dada la funciónh.x/D





axC5six <1I
x
2
C1si1 < x < 2I
mxC6six > 2;
determinar los valores de las constantesa,mque aseguran la existencia de los límites: lím
x!1
h.x/&lím
x!2
h.x/.
H
1.lím
x!1
h.x/existe si y sólo si
lím
x!1

h.x/Dlím
x!1
C
h.x/,lím
x!1
.axC5/Dlím
x!1
.x
2
C1/,
,a.1/C5D.1/
2
C1, aC5D1C1, aD25D 3,aD3:
2.lím
x!2
h.x/existe si y sólo si
lím
x!2

h.x/Dlím
x!2
C
h.x/,lím
x!2
.x
2
C1/Dlím
x!2
.mxC6/,
,2
2
C1Dm.2/C6,5D2mC6,2mD56D 1,mD
1
2
:
3.Resumiendo:
ConaD3y conmD
1
2
sucede que lím
x!1
h.x/D2& lím
x!2
h.x/D5Ih.x/sería ahora
h.x/D







3xC5six <1I
x
2
C1si1 < x < 2I

x
2
C6six > 2:
4

5. 3.3 Límites laterales 5
x
y
1 2
2
5


yDh.x/

Ejemplo 3.3.4Dada la función.x/D







3xC5 six <1I
mx
2
Cnsi1 < x < 2I
6
x
2
six > 2;
determinar los valores de las constantesm,nque aseguran la existencia de los límites: lím
x!1
.x/&lím
x!2
.x/.
H
1.lím
x!1
.x/existe si y sólo si
lím
x!1

.x/Dlím
x!1
C
.x/,lím
x!1
.3xC5/Dlím
x!1
.mx
2
Cn/,
,3.1/C5Dm.1/
2
Cn, 3C5Dm.1/Cn,mCnD2:
2.lím
x!2
.x/existe si y sólo si
lím
x!2

.x/Dlím
x!2
C
.x/,lím
x!2
.mx
2
Cn/Dlím
x!2

6
x
2

,
,m.2/
2
CnD6
2
2
,4mCnD5:
3.Debemos resolver el sistema de ecuaciones
(
mCnD2I
4mCnD5:
(
4mCnD5I
mnD 2:
3mD3)mD1&mCnD2)
)nD2mD21D1:
5

6. 6 Cálculo Diferencial e Integral I
4.ConmD1y connD1se cumple que
lím
x!1
.x/D2 & lím
x!2
.x/D5;
donde ahora
.x/D







3xC5six <1I
x
2
C1si1 < x < 2I
6
x
2
six > 2:
x
y
1 2
2
5


yD.x/

Ejercicios 3.3.1Soluciones en la página 8
1.Dadaf .x/D
jxj
x
, calcular:
a.lím
x!0

f .x/; b.lím
x!0
C
f .x/; c.lím
x!0
f .x/.
2.Dadaf .x/D
xa
jxaj
, calcular:
a.lím
x!a

f .x/; b.lím
x!a
C
f .x/; c.lím
x!a
f .x/.
3.Dadag.x/D jx2j xC2, calcular:
a.lím
x!2

g.x/; b.lím
x!2
C
g.x/; c.lím
x!2
g.x/.
4.Dadaf .x/D





2 six <1I
x
2
3si1 < x < 2I
2xsix > 2:
Calcular:
6

7. 3.3 Límites laterales 7
a.lím
x!1

f .x/;
b.lím
x!1
C
f .x/;
c.lím
x!1
f .x/;
d.lím
x!2

f .x/;
e.lím
x!2
C
f .x/;
f.lím
x!2
f .x/.
5.Dadag.x/D
(
axC11 six < 3I
x
2
8xC16six > 3:
Determinar el valor de la constanteaque asegura la existencia de lím
x!3
g.x/.
6.La expresiónLDLo
r
1
v
2
c
2
indica la longitud de un objeto en función de su velocidadv,
dondeLoes la longitud del objeto en reposo yces la velocidad de la luz.
¿Qué pasa con la longitud del objeto cuandovse aproxima a la velocidad de la luz?
7.Calcular: lím
x!0
jxj x
x
:
8.Calcular: lím
x!1
x
2
1
jx1j
.
9.Sea la función definida por
f .x/Dn;para cadax2Œn; nC1/;donden2 f: : : ;3;2;1; 0; 1; 2; 3; : : :g DZ:
a.Grafique esa funciónf.
b.Calcular paran2 f: : : ;3;2;1; 0; 1; 2; 3; : : :g DZ.
lím
x!n

f .x/; lím
x!n
C
f .x/; lím
x!n
f .x/& lím
x!a
f .x/, dondea¤n.
10.Considerarf .x/D
(
x
2
C3six1I
xC1six > 1I
y considerarg.x/D
(
x
2
six1I
2six > 1:
Calcular
a.lím
x!1

f .x/g.x/; b.lím
x!1
C
f .x/g.x/; c.lím
x!1
f .x/g.x/.
11.Calcular: lím
x!1
C
p
2xC1
p
3
x1
:
12.Calcular: lím
x!0

jxj
3

xC1
2
x

:
13.Calcular: lím
x!1
f .x/, dondef .x/D







2x
2
C1
x
4
C3
six <1I
x
3
C1
x
2
C6xC5
six >1:
14.Calcular: lím
x!2
C
2x
jx2j
.
15.Calcular: lím
x!3

j j2Cxj 3j 2
x
2
9
:
7

8. 8 Cálculo Diferencial e Integral I
Ejercicios 3.3.1Límites laterales, página 6
1.lím
x!0

f .x/D 1;
lím
x!0
C
f .x/D1;
lím
x!0
f .x/no existe.
2.lím
x!a

f .x/D 1;
lím
x!a
C
f .x/D1;
lím
x!a
f .x/no existe.
3.lím
x!2

g.x/D0;
lím
x!2
C
g.x/D0;
lím
x!2
g.x/D0.
4.lím
x!1

f .x/D 2;
lím
x!1
C
f .x/D 2;
lím
x!1
f .x/D 2;
lím
x!2

f .x/D1;
lím
x!2
C
f .x/D0;
lím
x!2
f .x/no existe .
5.aD
10
3
.
6.lím
v!c

Lo
r
1
v
2
c
2
D0.
7.No existe lím
x!0
jxj x
x
.
8.No existe lím
x!1
x
2
1
jx1j
.
9.
a.
x
y
1
2
3
4
1
2
3
321
1 2 3 4














yDf .x/
b.lím
x!n

f .x/Dn1;
lím
x!n
C
f .x/Dn;
no existe lím
x!n
f .x/;
lím
x!a
f .x/Dnsia2Œn; nC1/.
10.lím
x!1

Œf .x/g.x/D4;
lím
x!1
C
Œf .x/g.x/D4;
lím
x!1
Œf .x/g.x/D4.
11.lím
x!1
C
p
2xC1
p
3
x1
D
1
p
3
.
12.lím
x!0
jxj
3

xC1
2
x

D0.
13.lím
x!1
f .x/D
3
4
.
14.lím
x!2
C
2x
jx2j
D 1.
15.lím
x!3

j j2Cxj 3j 2
x
2
9
D
1
6
.
8