LinearAlgebra - skripta iz matematike pdf

Gradimir V. Milovanovi´c
RadosavˇZ. Dˉordˉevi´c
LINEARNA ALGEBRA

Predgovor
Ova knjiga predstavlja udˇzbenik iz predmetaLinearna algebrakoji se stu-
dentima Elektronskog fakulteta u Niˇsu predaje u I semestrupoˇcev od ˇskolske
2004/2005. godine. Knjiga je nastala na osnovu viˇse puta objavljivanih udˇz-
benika istih autora, pod naslovom :Matematika za studente tehniˇckih fakul-
teta, I i II deo.
UdˇzbenikLinearna algebrasastoji se iz ˇsest glava.
U glaviOsnovi algebreizloˇzeni su algebra skupova, matematiˇcka indukcija
i elementi teorije o apstraktnim strukturama. Posebna paˇznja je posve´cena
kompleksnim brojevima.
GlavaLinearni prostori, linearni operatori i matrice, sastoji se iz dela u
kojem su uvedeni osnovni pojmovi teorije linearnih prostora, sa posebnim
osvrtom na prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija, kao i teorije linearnih ope-
ratora i dela u kojem je detaljno izloˇzena teorija matrica ideterminanata.
Sistemi linearnih jednaˇcinaje glava u kojoj su izloˇzeni osnovni metodi
reˇsavanja sistema linearnih jednaˇcina i u vezi sa tim i osnovni pojmovi o
ekvivalentnim sistemima vektora i matrica.
U glaviAlgebarski polinomi i racionalne funkcije, ukratko ali u dovoljnoj
meri, izloˇzena je teorija o algebarskim polinomima, teorija o reˇsavanju al-
gebarskih jednaˇcina, kao i izvesni pojmovi o polinomskim funkcijama viˇse
promenljivih i racionalnim funkcijama.
GlavaSpektralna teorija matrica i operatoratretira problem sopstvenih
vrednosti, invarijantne potprostore i strukturu linearnih operatora.
I na kraju, u glaviElementi analitiˇcke geometrijeukratko je izloˇzena ana-
litiˇcka geometrija u trodimenzionalnom prostoru.
Svaka glava je podeljena na poglavlja, a poglavlja na odeljke.
Numeracija objekata (formula, teorema, deﬁnicija i sl.) u okviru jednog
odeljka izvrˇsena je pomo´cu tri broja od kojih prvi ukazujena poglavlje, drugi
na odeljak i tre´ci na redni broj tog objekta u posmatranom odeljku. Tako, na
primer, Teorema 3.2.4 predstavljaˇcetvrtuteoremu udrugomodeljkutre´ceg
poglavlja odgovaraju´ce glave. Na ovaj naˇcin je uspostavljena jednoznaˇcna
numeracija objekata u okviru jedne glave.

vi SADRˇZAJ
Sva teorijska izlaganja propra´cena su odgovaraju´cim primerima.
Kao novina u naˇsoj udˇzbeniˇckoj literaturi, na kraju svake glave je poglav-
ljeZadaci za veˇzbu, ˇciji je cilj da korisnicima ove knjige omogu´ci samostalno
uveˇzbavanje prethodno izloˇzene teorije.
Kako je knjiga pisana u skladu sa najnovijim planom i programom studija
na Elektronskom fakultetu u Niˇsu, ona je, pre svega, namenjena studentima
elektronike i elektrotehnike, ali i studentima drugih tehniˇckih fakulteta, kao
i studentima matematike i ﬁzike na prirodno-matematiˇckimfakultetima.
Niˇs, 30. septembra 2004.
G. V. Milovanovi´c / R.
ˇ
Z. Dˉordˉevi´c

Sadrˇzaj
IG L A V A
Osnovi algebre
1. SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 1
1.1. Elementi matematiˇcke logike 1
1.2. Skupovi i osnovne osobine skupova 3
1.3. Relacije 9
1.4. Preslikavanja 17
1.5. Mo´c i ekvivalencija skupova 24
2. MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 28
2.1. Matematiˇcka indukcija 28
2.2. Faktorijelne funkcije i binomna formula 32
2.3. Osnovi kombinatorike 38
3. ALGEBARSKE STRUKTURE 51
3.1. Binarna operacija, osnovne strukture i morﬁzmi 51
3.2. Podgrupe 57
3.3. Algebarske strukture sa dve operacije 61
3.4. Polje realnih brojeva 62
3.5. Polje kompleksnih brojeva 67
3.6. Vektori i operacije sa vektorima 83
4. ZADACI ZA VE ˇZBU 89
IIG L A V A
Linearni prostori, linearni operatori i matrice
1. LINEARNI PROSTORI 93
1.1. Struktura linearnog prostora i baza prostora 93
1.2. Izomorﬁzam linarnih prostora 102

viii SADRˇZAJ
1.3. Linearni prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija 104
1.4. Normirani prostor 108
1.5. Skalarni proizvod i unitarni prostor 110
1.6. Konstrukcija ortogonalne baze 115
1.7. Ortogonalni potprostori 119
2. MATRICE I DETERMINANTE 121
2.1. Pojam matrice 121
2.2. Linearni operatori 125
2.3. Matrica linearnog operatora na
konaˇcno-dimenzionalnim prostorima 134
2.4. Operacije sa matricama 138
2.5. Transponovana matrica 143
2.6. Neke klase matrica 148
2.7. Stepenovanje kvadratne matrice 150
2.8. Determinanta matrice 155
2.9. Osobine determinanata 160
2.10. Razlaganje determinante 164
2.11. Adjungovana i inverzna matrica 171
2.12. Blok matrice i operacije sa njima 176
3. ZADACI ZA VE ˇZBU 180
IIIG L A V A
Sistemi linearnih jednaˇcina
1. METODI RE ˇSAVANJA 189
1.1. Cramerove formule 189
1.2.LRfaktorizacija kvadratne matrice 192
1.3. Gaussov metod eleiminacije 197
1.4. Primene na inverziju matrice 201
2. EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 202
2.1. Ekvivalentni sistemi vektora 202
2.2. Zavisnost matrice operatora od baze 205
2.3. Rang matrice 208
2.4. Elementarne transformacije i ekvivalentne matrice 212
2.5. Linearna zavisnost vrsta i kolona matrice 220
2.6. Kronecker-Capellieva teorema 226
3. ZADACI ZA VE ˇZBU 237

SADRˇZAJ ix
IVG L A V A
Algebarski polinomi i racionalne funkcije
1. ALGEBARSKI POLINOMI 239
1.1. Prsten polinoma 239
1.2. Deljivost polinoma 244
1.3. Najve´ci zajedniˇcki delilac 246
1.4. B´ezoutov stav i Hornerova ˇsema 249
1.5. Osnovni stav algebre i faktorizacija polinoma 253
1.6. Vi`eteove formule 257
1.7. Nule realnih polinoma polinoma 258
1.8. Broj realnih nula 261
2. ALGEBARSKE JEDNA ˇCINE 266
2.1. Reˇsavanje algebarskih jednaˇcina 266
2.2. Kvadratna jednaˇcina 268
2.3. Kubna jednaˇcina 269
2.4. Jednaˇcina ˇcetvrtog stepena 270
3. POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH 273
3.1. Simetriˇcni polinomi 273
3.2. Rezultanta i diskriminanta polinoma 279
4. HURWITZOVI POLINOMI 284
4.1. Deﬁnicija Hurwitzovih polinoma 284
4.2. Schurov metod 285
4.3. Primena na polinome sa realnim koeﬁcijentima 289
5. RACIONALNE FUNKCIJE 291
5.1. Racionalna funkcija 291
5.2. Rastavljanje prave racionalne funkcije
na parcijalne razlomke 293
6. ZADACI ZA VE ˇZBU 298
VG L A V A
Spektralna teorija matrica i operatora
1. PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI 303
1.1. Sopstveni vektori i sopstvene vrednosti 303
1.2. Karakteristiˇcni polinom 307
1.3. Cayley-Hamiltonova teorema 314

x SADRˇZAJ
1.4. Minimalni polinom 316
2. STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 317
2.1. Invarijantni potprostori 317
2.2. Jordanov kanoniˇcki oblik 326
3. ZADACI ZA VE ˇZBU 335
VIG L A V A
Elementi analitiˇcke geometrije
1. VEKTORSKA ALGEBRA 339
1.1. Koordinatni sistemi 339
1.2. Projekcija vektora na osu 343
1.3. Vektorski proizvod dva vektora 345
1.4. Meˇsoviti proizvod tri vektora 350
1.5. Dvostruki proizvod tri vektora 352
2. RAVAN I PRAVA 353
2.1. Razni oblici jednaˇcine ravni 353
2.2. Razni oblici jednaˇcina prave 359
2.3. Uzajamni odnos prave i ravni 365
3. POVRˇSINE DRUGOG REDA 366
3.1. Kvadratne forme i hiperpovrˇsine drugog reda 366
3.2. Povrˇsi drugog reda uR
3
368
4. ZADACI ZA VE ˇZBU 374
Literatura379
Indeks imena 381
æ

IG L A V A
Osnovi algebre
1. SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA
1.1. Elementi matematiˇcke logike
Kao i u svakodnevnom ˇzivotu, i u matematici se operiˇse i opˇsti reˇcenicama.
Naravno, u matematici, one moraju biti takve da imaju smisla, a pri tom mogu
biti samo istinite ili neistinite. Za takve reˇcenice kaˇzemo da suiskaziilisudovi.
Dakle, jedan iskaz moˇze imati samo jednu vrednost istinitosti, tj. iskaz je iliistinit
ilineistinit.
Vrednost istinitog iskaza oznaˇcavamo sa⊤ili sa 1, a neistinitog sa⊥ili sa 0.
Simbol⊤ˇcitamo kaoistinitoilitaˇcno, a simbol⊥kaoneistinitoilinetaˇcno.
Dakle, ako sapoznaˇcimo neki iskaz, onda njegova vrednost istinitostiτ(p) moˇze
biti
τ(p) =

⊤,ako jepistinit iskaz,
⊥,ako jepneistinit iskaz.
Koriˇs´cenjem izvesnih operacija nad iskazima mogu´ca je konstrukcija i sloˇzenijih
iskaza. Ovim se bavi poseban deo matematiˇcke logike koji senazivaiskazni raˇcun
iliiskazna algebra.
Nad iskazima mogu´ce je uvesti slede´ce operacije:
(1)Negacijaiskazap, u oznaci¬p, je istinit iskaz ako i samo ako je iskazp
neistinit.
(2)Konjunkcijaiskazapiq, u oznacip∧q, je sloˇzen iskaz koji je istinit ako
i samo ako su oba iskazapiqistinita. Alternativno, za konjunkciju se koristi i
terminoperacija i, tako da sep∧qˇcita kaopiq.
(3)Disjunkcijaiskazapiq, u oznacip∨q, je sloˇzen iskaz koji je istinit ako je
bar jedan od iskazapiqistinit. Drugim reˇcima,p∨qje neistinit iskaz ako i samo
ako su oba iskazapiqneistinita. Za disjunkciju se koristi i terminoperacija ili,
tako da sep∨qˇcita i kaopiliq.
(4)Implikacijap⇒qje sloˇzen iskaz koji je neistinit ako i samo ako jepistinit
aqneistinit iskaz. Implikacijap⇒qse ˇcita i na jedan od slede´cih naˇcina:
– izpsledujeq,
–qje posledica iskazap,
– akoptadaq,
–pje dovoljan uslov zaq,
–qje potreban uslov zap.

2 OSNOVI ALGEBRE
(5)Ekvivalencijap⇔qje sloˇzen iskaz koji je istinit ako i samo ako oba iskaza
imaju istu istinitosnu vrednost. Ekvivalencijap⇔qse ˇcita i kao:
–pje ekvivalentno saq,
–pje ako i samo ako jeq,
–pje potreban i dovoljan uslov zaq.
(6)Ekskluzivna disjunkcijap∨qje sloˇzen iskaz koji je istinit ako i samo ako
iskazipiqimaju razliˇcite istinitosne vrednosti. Dakle, ekskluzivna disjunkcija
predstavlja negaciju ekvivalencije, tj.¬(p⇔q).
U slede´coj tabeli, tzv. tablici istinitosti, dat je pregled vrednosti istinitosti za
prethodno uvedene operacije:
τ(p)τ(q)τ(¬p)τ(p∧q)τ(p∨q)τ(p⇒q)τ(p⇔q)τ(p∨q)
⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥
⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤
⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤
⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥
ˇCesto se mogu sresti i reˇcenice poput slede´ce:Brojxje manji od brojay. Uko-
liko nisu speciﬁcirane vrednosti zaxiy, nije mogu´ce utvrditi istinitost navedene
reˇcenice. Medˉutim, ako uzmemox= 2 iy= 3, reˇcenica daje istinit iskaz. Dakle,
reˇcenice ovog tipa sadrˇze izvesnepromenljive. Daju´ci konkretne vrednosti ovim
promenljivama, reˇcenice postaju iskazi (istiniti ili neistiniti). Za takve reˇcenice
kaˇzemo da suiskazne funkcije. Za odnos izmedˉu promenljivih koristi se termin
predikat. Tako u prethodnom primeru predikat. . .je manji od. . .povezuje
promenljivexiy. Prema tome, ako ovaj predikat oznaˇcimo saP, reˇcenica deﬁniˇse
iskaznu funkciju od dve promenljiveP(x, y). U opˇstem sluˇcaju, iskazna funkcija
moˇze zavisiti od jedne ili viˇse promenljivih.
Na kraju ovog kratkog pregleda osnovnih elemenata matematiˇcke logike pomenimo
joˇs i tzv.kvantiﬁkatorekoji se primenjuju na promenljive u iskaznim funkcijama.
Postoje dva kvantiﬁkatora:
(1) univerzalni kvantiﬁkatorsvaki(iliza svaki) sa oznakom∀;
(2) egzistencijalni kvantiﬁkatorneki(ilipostoji) sa oznakom∃.
Primena kvantiﬁkatora na sve promenljive u iskaznoj funkciji prevodi iskaznu
funkciju u iskaz.
Primer 1.1.1.Iz prethodno pomenute iskazne funkcijeP(x, y) moˇzemo formi-
rati iskaz
(∀y) (∃x)P(x, y),
koji znaˇci:Za svaki brojy, postoji brojxtakav da jexmanji ody.△
Napomena 1.1.1.
ˇ
Cesto kvantiﬁkatore upotrebljavamo u jednom ograniˇce-
nom smislu, tj. promenljive ograniˇcavamo na elemente izvesnih skupovaX, Y, itd.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 3
Na primer, uzimamo (∀x∈X) ili (∃y∈Y), itd. U takvim sluˇcajevima kaˇzemo da
radimo sa kvantiﬁkatorima ograniˇcenog opsega.
Primer 1.1.2.Neka jeP(x) data iskazna funkcija na skupuX. Iskaz
(∀x∈X)P(x),
sa kvantiﬁkatorom ograniˇcenog opsega, moˇze se protumaˇciti na slede´ci naˇcin
(∀x)
`
x∈X⇒P(x)
´
.△
Konaˇcnom upotrebom kvantiﬁkatora i iskaznih funkcija, uzuvedene ope-
racije nad iskazima, dobijamo sloˇzene iskaze.
U cilju konciznijeg pisanja, ˇcesto ´cemo, kada ne moˇze do´ci do zabune, u
daljem izlaganju koristiti
P(x, y, . . .) (x∈X, y∈Y, . . .),
umesto
(∀x∈X) (∀y∈Y). . . P(x, y, . . .).
1.2. Skupovi i osnovne osobine skupova
U svim naukama ima pojmova koji se ne deﬁniˇsu. To su za svaku nauku
osnovni i, u skladu sa prirodom nauke, potpuno ili dovoljno jasni poj-
movi. U matematiciskupje jedan od pojmova koji je osnovni. Neki drugi
su, na primer, broj, taˇcka, prava,. . .Prema tome, skup se ne deﬁniˇse.
Oznaˇcava´cemo ga saA, B, C, . . .ili na neki drugi naˇcin, ˇsto ´cemo posebno
naglasiti.
Skup se sastoji od elemenata, koje ´cemo oznaˇcavati uglavnom saa, b, c, . . .
ˇ
Cinjenicu da jeaelement skupaAoznaˇcava´cemo saa∈A. Oznakua∈A
ˇcitamo:aje element skupaA,apripada skupuA,aje iz skupaAiliaje u
skupuA. Akoanije element skupaA, pisa´cemoa6∈A. Naravno, oznaku
a6∈Aˇcitamo:anije element skupaA,ane pripada skupuA,anije iz skupa
Ailianije u skupuA.
Razumljivo, ne moˇze vaˇziti istovremenoa∈Aia6∈A.
Ako se skupAsastoji iz elemenataa, b, c, . . ., pisa´cemoA={a, b, c, . . .}.
Ukoliko se skupAsastoji iz elemenataxkoji imaju odredˉenu osobinu
P(x), oznaˇcava´cemoA={x|P(x)}. To, zapravo, znaˇci da akoynema
osobinuP(y), tadaynije element skupaA, tj.y6∈A.
Posmatrajmo sada dva skupaAiB.

4 OSNOVI ALGEBRE
Mogu´ci su slede´ci sluˇcajevi:
Sluˇcaj 1.Svi elementi skupaAsu i elementi skupaB. Tada kaˇzemo
da je skupApodskupskupaBili da je skupBnadskupskupaA. Ovo
respektivno oznaˇcavamo saA⊂BiliB⊃A. Dakle,
A⊂B⇐⇒(∀x) (x∈A⇒x∈B).
Primetimo da vaˇziA⊂AiA⊃A, tj. da je svaki skup, u trivijalnom
sluˇcaju, svoj podskup, ali i svoj nadskup. To oznaˇcavamo ina naˇcinA⊆A
iliA⊇A.
Primer 1.2.1.SkupA={a, b}je podskup skupaB={a, b, c, d}. Naravno,
skupBje nadskup skupaA.△
Napomena 1.2.1.Ponekad se za nadskup skupaAkaˇze da je opseˇzniji skup
od skupaA.
Napomena 1.2.2.
ˇ
Cinjenicu da skupAnije opseˇzniji od skupaBoznaˇcavamo
saA⊆B. Naravno da i oznakaB⊇Apredstavlja istu ˇcinjenicu.
Napomena 1.2.3.Bez dodatnih ograniˇcenja ne postoji najopseˇzniji skup, tj.
ne postoji skup koji je nadskup svih mogu´cih skupova.
Sluˇcaj 2.Svi elementi skupaAsu elementi skupaBi svi elementi skupa
Bsu elementi skupaA, ˇsto obeleˇzavamo saA⊂BiB⊂A, ali i saA⊆Bi
B⊆A. Ovaj sluˇcaj nastupa kada se skupoviAiBsastoje iz istih elemenata.
Tada kaˇzemo da su skupoviAiBjednaki oznaˇcavaju´ci to saA=Bili
B=A. Dakle,
A=B⇐⇒(∀x) (x∈A⇔x∈B).
Primer 1.2.2.SkupoviA={a, b, c}iB={c, a, b}su jednaki, tj. vaˇzi jed-
nakostA=B.△
Sluˇcaj 3.Neki elementi skupaAsu elementi i skupaB. Ovo je sluˇcaj
kada skupoviAiBimaju elemente koji pripadaju i jednom i drugom skupu.
Ti elementi su njihovi zajedniˇcki elementi i oni ˇcine skupCza koji jeC⊂A
iC⊂B.
Primer 1.2.3.Za skupoveA={1,2, a, b}iB={2,3, a, c}skupCje odredˉen
saC={2, a}.△
Sluˇcaj 4.Ni jedan element skupaAnije element skupaB, ˇsto je isto
kao i da ni jedan element skupaBnije element skupaA. To je sluˇcaj kada
skupoviAiBnemaju zajedniˇckih elemenata. Za takve skupove kaˇzemo da
sudisjunktni.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 5
Primer 1.2.4.SkupoviA={a, b, c}iB={1,2,3,4}su disjunktni.△
Ova ˇcetiri sluˇcaja ukazuju da medˉu skupovima postoje izvesni odnosi koje
valja izuˇciti. Smatra´cemo, pre svega, da su svi skupovi koje ´cemo nadalje
razmatrati podskupovi jednog datog skupaE, ˇcija nam priroda nije bitna,
ali tako da bilo kakvo tretiranje jednog, dva ili viˇse skupova uvek dovodi do
skupa koji je podskup skupaE.
Kao ˇsto smo videli, oznakeA⊆BiA⊂Bse formalno razlikuju. U
prvoj je eksplicitno naglaˇsena i mogu´cnost jednakosti skupovaAiB. Ako
insistiranje na jednakosti nije bitno, pisa´cemo jednostavnoA⊂B.
Deﬁnicija 1.2.1.Skup ˇciji elementi pripadaju bar jednom od skupovaA
iliBzovemounijaskupovaAiB, u oznaciA∪B.
Dakle,
A∪B={x|x∈A∨x∈B}.
Oˇcigledno, vaˇziA∪B=B∪A, tj. unija skupova ima osobinukomutativnosti.
Primetimo da je:A∪A=A,A⊂A∪B,B⊂A∪B.
Primer 1.2.5.Neka jeA={1,2, a, b}iB={2,3, a, c}. Tada je njihova unija
skupC=A∪B={1,2,3, a, b, c}.
Deﬁnicija 1.2.2.Skup ˇciji elementi pripadaju i skupuAi skupuBzovemo
presekskupovaAiB, u oznaciA∩B.
Prema tome, presek skupovaAiBje skup
A∩B={x|x∈A∧x∈B}.
Oˇcigledno vaˇzi jednakostA∩B=B∩A, tj. i presek skupova ima osobinu
komutativnosti.
Napomenimo da je:A∩A=A,A⊃A∩B,B⊃A∩B.
Primer 1.2.6.Presek skupovaA={1,2, a, b}iB={2,3, a, c}je skupC=
{2, a}.△
Ranije navedeni opˇsti zahtev da tretiranje skupova treba uvek da dovede
do skupa upu´cuje nas na slede´ce razmatranje:
Unija dva skupa uvek postoji kao skup, tj. uvek ima elemenatakoji pri-
padaju bar jednom od skupova koji ˇcine uniju. Medˉutim, moˇze se desiti da
skupoviAiBnemaju zajedniˇckih elemenata. To je sluˇcaj kada su skupovi
AiBdisjunktni. Ali, zahtev da i u tom sluˇcajuA∩Bpredstavlja skup
navodi nas na zakljuˇcak da postoji, ili da bi bilo dobro da postoji, skup

6 OSNOVI ALGEBRE
koji nema elemenata. To je skup bez elemenata. Zva´cemo gaprazanskup i
oznaˇcava´cemo ga sa∅.
Uveli smo, dakle, prazan skup kao skup koji nema elemenata. Ponekada
´cemo, da bismo istakli da nije prazan, svaki drugi skup zvatineprazanskup.
Oˇcigledno, prazan skup je podskup svakog skupa, tj. za svaki skupAvaˇzi
∅ ⊂A.
Isto tako, vaˇze i jednakostiA∪ ∅=AiA∩ ∅=∅.
Slede´ca dva tvrdˉenja navodimo bez dokaza:
Teorema 1.2.1.Vaˇze jednakosti
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C iA∩(B∩C) = (A∩B)∩C.
Ove jednakosti predstavljaju redom tzv. osobinuasocijativnostiza uniju
i presek skupova. Teorema 1.2.1 pokazuje da redosled uniranja i presecanja
skupova nije od znaˇcaja, pa se obiˇcno izostavljaju zagrade i piˇse seA∪B∪C
umesto (A∪B)∪C, tj.A∩B∩Cumesto (A∩B)∩C.
Teorema 1.2.2.Vaˇze jednakosti
(1.2.1)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C),
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Ovo tvrdˉenje predstavlja osobinudistributivnostiunije u odnosu na presek
i preseka u odnosu na uniju.
Napomenimo da osobina obostrane distributivnosti nije uobiˇcajena. Na
primer, mnoˇzenje brojeva je distributivno u odnosu na sabiranje brojeva, ali
sabiranje nije distributivno u odnosu na mnoˇzenje.
Deﬁnicija 1.2.3.Skup ˇciji elementi nisu elementi skupaAzovemokomple-
mentskupaAu odnosu na skupEi oznaˇcavamo ga saA
′
, tj.
A
′
={x|x∈E∧x6∈A}.
Komplement skupaEje prazan skup. Komplement praznog skupa je
skupE.
Iz ove deﬁnicije neposredno sleduju jednakosti
(1.2.2)A∩A
′
=∅, A∪A
′
=E,(A
′
)
′
=A,∅
′
=E, E
′
=∅.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 7
Naravno, mogu´ce je govoriti i o komplementu skupaAu odnosu na neki
drugi skup, na primer skupF, ali samo ako jeA⊂F. SaA
′
F
oznaˇcavamo
komplement skupaAu odnosu na skupF.
Napomenimo da i u ovom sluˇcaju vaˇze jednakosti koje odgovaraju jed-
nakostima (1.2.2).
Naravno, kada se radi o viˇse skupova i njihovim komplementima u odnosu
na isti skup, nije potrebno naglaˇsavati za komplemente u odnosu na koji se
skup oni odnose.
Bez dokaza navodimo i slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 1.2.3.Vaˇze jednakosti
(1.2.3) (A∪B)
′
=A
′
∩B
′
i(A∩B)
′
=A
′
∪B
′
.
Jednakosti (1.2.3) su u literaturi poznate pod imenomDe Morganovi
1)
obrasci.
Bez dokaza navodimo slede´ca uopˇstenja prethodnih teorema:
Teorema 1.2.4.Vaˇze jednakosti
A0∪
n
[
i=1
Ai
≡
=
n
[
i=0
Ai, A 0∩
n
\
i=1
Ai
≡
=
n
\
i=0
Ai.
Teorema 1.2.5.Vaˇze jednakosti
A∪
n
\
i=1
Bi
≡
=
n
\
i=1
(A∪Bi), A∩
n
[
i=1
Bi
≡
=
n
[
i=1
(A∩Bi).
Teorema 1.2.6.Vaˇze jednakosti
n
[
i=1
Ai
≡
′
=
n
\
i=1
A
′
i,
n
\
i=1
Ai
≡
′
=
n
[
i=1
A
′
i.
1)
Augustus De Morgan (1806–1871), ˇskotski matematiˇcar i logiˇcar.

8 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 1.2.4.Skup{x|x∈A∧x6∈B}, u oznaciA\B, zovemorazlika
skupovaAiB.
Primer 1.2.7.Ako jeA={a, b, c, d}iB={b, d}, sledujeA\B={a, c}.△
Naravno, ako jeA⊂B, tada vaˇziA\B=∅, ali iB\A=A
′
B
. Isto tako
je iA\A=∅.
Deﬁnicija 1.2.5.Skup (A\B)∪(B\A) nazivamosimetriˇcna razlikaskupova
AiBi oznaˇcavamo ga saA÷B.
Oˇcigledno je da vaˇziA÷B=B÷A.
Primer 1.2.8.Kako je za skupoveA={1,2, a, b}iB={2,3, b, c}
A\B={1, a} iB\A={3, c},
sleduje
A÷B={1,3, a, c}.△
Kao ˇsto smo videli, za dva skupa, ili za viˇse njih, uvek je mogu´ce odrediti
skup koji je njihova unija. I naravno, odredˉivanje unije skupova uvek je
jednoznaˇcno. Obrnuti problem, u opˇstem sluˇcaju, nije jednoznaˇcno reˇsiv.
Primer 1.2.9.SkupX={1,2, a, b, α, β}predstavlja uniju skupovaX1=
{1,2, a}iX2={b, α, β}, ali i skupovaX3={1,2, a, b}iX4={a, b, α, β}. Na-
ravno, ima i drugih mogu´cnosti.△
Deﬁnicija 1.2.6.Za disjunktne podskupove skupaX, ˇcija je unija ˇcitav
skupX, kaˇzemo da ˇcineparticijuskupaX.
Primer 1.2.10.Jednu particiju skupa{1,2,3,4,5,6,7}ˇcine skupovi{1,3,4},
{2,7},{5,6}.△
Napomena 1.2.4.U opˇstem sluˇcaju, jedan skup ima viˇse particija.
U vezi sa prethodnim, postavlja se pitanje odredˉivanja svih podskupova
datog skupa, tj. skupa svih podskupova jednog skupa.
Deﬁnicija 1.2.7.Skup svih podskupova skupaAzovemopartitivniskup
skupaAi oznaˇcavamo ga saP(A).
Napomenimo da su prazan skup∅i sˆam skupAuvek elementi skupa
P(A).
Dakle,
P(A) ={B|B⊆A}.
Primer 1.2.11.Ako jeA={a, b, c}, njegov partitivni skup je
P(A) =
˘
∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}

.△

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 9
Na kraju ovog odeljka naveˇs´cemo uobiˇcajene oznake za neke standardne
skupove brojeva:
N– skup svih prirodnih brojeva,
N0– skup svih prirodnih brojeva uz ukljuˇcivanje nule, tj.N0=N∪ {0},
Z– skup svih celih brojeva,
Q– skup svih racionalnih brojeva,
I– skup svih iracionalnih brojeva,
R– skup svih realnih brojeva,
R
+
– skup svih pozitivnih realnih brojeva,
R
+
0
– skup svih nenegativnih realnih brojeva, tj.R
+
0
=R
+
∪ {0}.
O oznakama nekih drugih skupova bi´ce reˇci docnije.
1.3. Relacije
Posmatrajmo neprazne skupoveXiY. Elementuxiz prvog skupaX
pridruˇzi´cemo neki elementy∈Y. Na taj naˇcin dobijamo jedan par eleme-
nataxiykoji nazivamouredˉeni pari oznaˇcavamo sa (x, y). Dakle, uredˉeni
par (x, y) je okarakterisan svojstvom da je prvi elementxiz prvog skupa, a
drugiyiz drugog skupa. Zato elementxnazivamoprva komponentailiprva
koordinata, aydruga komponentailidruga koordinatauredˉenog para (x, y).
Po deﬁniciji, dva uredˉena para (x, y) i (x
′
, y
′
) su jednaka, tj. (x, y) =
(x
′
, y
′
), ako i samo ako jex=x
′
iy=y
′
.
Napomena 1.3.1.S obzirom da je (x, y) dvoˇclani skup (sa uredˉenim elemen-
tima), mogu´ce je deﬁnisati uredˉeni par i na formalan naˇcin kao skup
(x, y) =
˘
{x},{x, y}

.
Ako je deﬁnicija uredˉenog para uvedena na ovakav formalni naˇcin, tada se moˇze
dokazati da je (x, y) = (x
′
, y
′
)⇔x=x
′
∧y=y
′
.
Pojam uredˉene trojke (x, y, z) elemenatax∈X,y∈Y,z∈Zmoˇze se
uvesti na slede´ci naˇcin
(x, y, z) =
−
(x, y), z
∆
.
Naravno, mogu´ce je deﬁnisati i uredˉenun-torku elemenatax1∈X1,x2∈X2,
. . .,xn∈Xn, pomo´cu jednakosti
(x1, x2, . . . , xn−1, xn) =
−
(x1, x2, . . . , xn−1), xn
∆
,
pri ˇcemu vaˇzi slede´ca ekvivalencija
(x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn)⇔xi=yi(i= 1,2, . . . , n).

10 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 1.3.1.Skup
X×Y={(x, y)|x∈X∧y∈Y}
zovemoDekartov
2)
iliCartesiusov proizvodskupovaXiY.
Prema tome, Dekartov proizvod skupovaXiYpredstavlja skup svih
uredˉenih parova (x, y) elemenataxiy, pri ˇcemu je prvi element u paru iz
skupaX, a drugi iz skupaY. Naravno, u opˇstem sluˇcaju ne vaˇzi jednakost
X×Y=Y×X, osim ako jeX=Y.
U smislu deﬁnicije 1.3.1, Dekartov proizvod skupovaX1, X2, . . . , Xnje
skup
X1×X2× ×Xn={(x1, x2, . . . , xn)|xi∈Xi(i= 1,2, . . . , n)}.
Dakle, elementi Dekartovog proizvoda skupovaX1, X2, . . . , Xnsu uredˉene
n-torke (x1, x2, . . . , xn) elemenataxi∈Xi(i= 1,2, . . . , n).
Ako jeY=X, tada piˇsemoX×Y=X×X=X
2
. Isto tako, i oznaka
X
3
znaˇci proizvodX×X×X. Naravno, ako jeX1=X2=∆ ∆ ∆=Xn=X,
piˇsemo
X1×X2× ×Xn=X
n
.
Neka su i sadaXiYneprazni skupovi.
Deﬁnicija 1.3.2.Skupρ⊂X×Yzovemobinarna relacijau skupuX×Y.
Ako (x, y)∈ρ, kaˇzemo da suxiyu relacijiρoznaˇcavaju´ci to i saρ(x, y)
ilixρy. Ako (x, y)6∈ρ, kaˇzemo daxiynisu u relacijiρi to oznaˇcavamo sa
xnonρ y.
Ako jeY=X, tada za binarnu relaciju u skupuX×Y=X×X=X
2
kaˇzemo jednostavno da je binarna relacija u skupuX.
Deﬁnicija 1.3.3.Ako jeρbinarna relacija u skupuX, uredˉeni par (X, ρ),
u oznaciΓ= (X, ρ), nazivamograf. Za elemente skupaXkaˇzemo da su
ˇcvorovi, a za elemente skupaρda sugrane grafa.
Graf se obiˇcno predstavlja crteˇzom na kome su ˇcvorovi grafa predstav-
ljeni taˇckama.
ˇ
Cinjenica da (a, b)∈ρoznaˇcava se orijentisanom linijom
koja spaja taˇckeaib, tj. koja spaja ˇcvoroveaib, i usmerena je odakab.
Ta linija je jedna grana grafa. Naravno, ako je (a, a)∈ρto simbolizujemo
2)
Ren´e Descartes (Cartesius) (1596–1650), veliki francuski ﬁlozof i matematiˇcar.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 11
Sl. 1.3.1 Sl. 1.3.2
malim, takodˉe orijentisanim, lukom povuˇcenim od taˇckeado iste taˇckea.
Za taj luk kaˇzemo da predstavljapetlju grafa.
Na primer, ako jeX={a, b, c, d}i ako je
ρ=
⊕
(a, a),(b, b),(a, b),(b, a),(a, c),(c, b),(c, d),(d, c)

,
tada grafΓ= (X, ρ) izgleda kao na slici 1.3.1.
U daljim razmatranjima izuˇci´cemo neke osobine relacija uskupuX.
Deﬁnicija 1.3.4.Relacijaρjereﬂeksivnaako jexρxza svakox∈X.
Primer 1.3.1.Neka jeX={a, b, c}iρ={(a, a),(b, b),(c, c)}. Relacijaρje
reﬂeksivna relacija u skupuX.△
Napomena 1.3.2.Ako je relacija reﬂeksivna, tada je na grafu oko svakog
ˇcvora opisana petlja. Lako se moˇze utvrditi da relacija predstavljena grafom na
slici 1.3.1 nije reﬂeksivna.
Deﬁnicija 1.3.5.Relacijaρjesimetriˇcnau skupuXako za svakox, y∈X
za koje je (x, y)∈ρsleduje da je i (y, x)∈ρ.
Primer 1.3.2.1
◦
Skupρ={(a, a),(b, c),(c, b)}je simetriˇcna relacija u skupu
X={a, b, c}.
2
◦
Relacija normalnost pravih je simetriˇcna relacija u skupusvih pravih u
jednoj ravni.△
Napomena 1.3.3.Graf koji odgovara simetriˇcnoj relaciji je takav da, ako
postoji grana grafa od ˇcvoraaka ˇcvorub, tada mora postojati i grana grafa
od ˇcvorabka ˇcvorua. Za graf koji odgovara simetriˇcnoj relaciji kaˇzemo da je
simetriˇcni graf.
Deﬁnicija 1.3.6.Relacijaρjeantisimetriˇcnau skupuXako za svako
x, y∈X, za koje je (x, y)∈ρi (y, x)∈ρ, sledujex=y.

12 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 1.3.7.Relacijaρjetranzitivnau skupuXako za svakox, y, z∈
X, za koje je (x, y)∈ρi (y, z)∈ρ, sleduje da je i (x, z)∈ρ.
Primer 1.3.3.Skupρ={(a, a),(b, a),(b, c),(c, a)}je tranzitivna relacija u
skupuX={a, b, c}. GrafΓ= (X, ρ) predstavljen je na slici 1.3.2.△
Napomena 1.3.4.Tranzitivnost relacijeρmoˇze se uoˇciti i na grafuΓ=
(X, ρ). Naime, ako postoje grane grafaΓod ˇcvorabka ˇcvoruci od ˇcvorac
ka ˇcvorua, tada mora postojati i grana od ˇcvorabka ˇcvorua, ˇsto se moˇze lepo
videti na slici 1.3.2.
Deﬁnicija 1.3.8.Relacijuρu skupuXkoja je reﬂeksivna, simetriˇcna i
tranzitivna zovemorelacija ekvivalencijeu skupuX.
Sl. 1.3.3 Sl. 1.3.4
Primer 1.3.4.1
◦
Relacija
ρ={(a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(a, c),(b, a),(b, c),(c, a),(c, b)}
je relacija ekvivalencije u skupuX={a, b, c}. Njen graf je prikazan na slici 1.3.3.
2
◦
U skupu{1,2,3,4,5}relacija
ρ={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}
je relacija ekvivalencije, a njen graf je predstavljen na slici 1.3.4.△
Primer 1.3.5.1
◦
Relacija sliˇcnost trouglova je, takodˉe, relacija ekvivalencije
u skupu svih trouglova.
2
◦
Relacija paralelnost pravih je relacija ekvivalencije u skupu svih pravih u
jednoj ravni.△
Neka jeρrelacija ekvivalencije u skupuXi neka jex∈X. Oznaˇcimo sa
Cxskup svih elemenataz∈Xkoji su u relacijiρsa elementomx, tj. neka je
Cx={z∈X|zρx}.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 13
Deﬁnicija 1.3.9.Za skupCx⊂Xkaˇzemo da jeklasa ekvivalencijeskupa
Xkoja, u odnosu na relacijuρ, odgovara elementux.
Napomenimo daCxnije prazan skup jer mu pripada bar elementx. Isto
tako, akoCxsadrˇzi viˇse elemenata, moˇze se smatrati da jeCxklasa ekviva-
lencije koja odgovara svakom od tih elemenata.
Neka suCxiCydve klase ekvivalencije skupaXkoje, u odnosu na istu
relaciju ekvivalencijeρ, odgovaraju elementimaxiy, respektivno.
Teorema 1.3.1.Klase ekvivalencijeCxiCyskupaXse ili poklapaju ili su
disjunktne.
Dokaz.Za svakox, y∈X, klaseCxiCynisu prazni skupovi jer im,
svakako, pripadaju elementixiy, respektivno. Ako skupoviCxiCynisu
disjunktni dokaza´cemo da se poklapaju.
Pretpostavimo, dakle, daCx∩Cynije prazan skup, ˇsto znaˇci da postoji
z∈X, tako daz∈Cxiz∈Cy, tj. da jezρxizρy. Kako je relacijaρ
simetriˇcna i tranzitivna imamo
zρx∧zρy⇒xρz∧zρy⇒xρy,
odakle zakljuˇcujemo dax∈Cy. S obzirom daxmoˇze biti bilo koji element
izCxsledujeCx⊆Cy. Isto tako moˇze se pokazati da jeCy⊆Cx. Dakle,
vaˇzi jednakostCx=Cy.∗
Neposredna posledica teoreme 1.3.1 je tvrdˉenje koje sleduje:
Teorema 1.3.2.Unija svih klasa ekvivalencije skupaX, u odnosu na rela-
cijuρ, je sˆam skupX.
Prema tome, svaka relacija ekvivalencijeρu skupuXje jedna particija
skupaXna disjunktne podskupove.
Deﬁnicija 1.3.10.Ako suaibceli brojevi, kaˇzemo da jeakongruentno
sabu odnosu na modulm(∈N), oznaˇcavaju´ci to saa≡b(modm), ako je
razlikaa−bdeljiva sam.
To, zapravo, znaˇci da jeakongruentno sabako i samo ako postojik∈Z
tako da jea=b+km. Naravno, u smislu deﬁnicije 1.3.10, oznakaa≡
0 (modm) znaˇci da jeadeljivo sam.
Teorema 1.3.3.Kongruencija celih brojeva po modulumje relacija ekvi-
valencije.
Dokaz.Prvo,a≡a(modm) za svakoa∈Zjer jea−a= 0∆mi 0∈Z.

14 OSNOVI ALGEBRE
Drugo, ako jea≡b(modm), tj. ako jea−b=km(k∈Z), tada je
b−a=k
′
m, gde jek
′
=−k∈Z, tj.b≡a(modm).
I najzad, neka jea≡b(modm)∧b≡c(modm), tj. neka postoje celi
brojevik1ik2tako da jea−b=k1mib−c=k2m. Tada jea−c=
(k1+k2)m=km, gde jek=k1+k2∈Z. Prema tome, zakljuˇcujemo da je
a≡c(modm).
Dakle, relacija kongruencije po modulumje reﬂeksivna, simetriˇcna i
tranzitivna.∗
SkupZje relacijom ekvivalencije kongruencija po modulumizdeljen na
disjunktne podskupove.
Posmatrajmo kongruenciju po modulum(m∈N). Klase ekvivalencije,
njihmna broju, su oni podskupovi skupa celih brojeva koji, respektivno,
sadrˇze brojeve 0,1, . . . , m−1. Ako saZi(i= 0,1, . . . , m−1) oznaˇcimo klasu
ekvivalencije skupaZkojoj pripada broji, tada da se u klasi ekvivalencije
Zinalaze oni celi brojeviakoji pri deljenju samdaju ostataki. Svakako je
Z0∪Z1[ ∆ ∆ ∆ [Zm−1=Z.
Deﬁnicija 1.3.11.Za skup svih klasa ekvivalencije skupaX, u odnosu na
neku relaciju ekvivalencijeρ, kaˇzemo da jeskup–koliˇcnikskupaXu odnosu
na relaciju ekvivalencijeρ, u oznaciX/ρ.
Napomena 1.3.5.
ˇ
Cesto se relacija ekvivalencije oznaˇcava simbolom∼.
Posmatrajmo sada novu relaciju u skupuX, odredˉenu slede´com deﬁnici-
jom:
Deﬁnicija 1.3.12.Ako jeρreﬂeksivna, antisimetriˇcna i tranzitivna relacija
u skupuX, kaˇzemo da jeρrelacija delimiˇcnog poretka.
Za relaciju delimiˇcnog poretka kaˇzemo, isto tako, da jerelacija parcijalnog
poretkaili da jerelacija delimiˇcnig uredˉenja, ili da jerelacija parcijalnog
uredˉenja.
Primer 1.3.6.Neka je u skupu prirodnih brojevaNdeﬁnisana relacijaρ, kao
deljivost brojeva izN, tj. neka je (m, n)∈ρako i samo ako jemdeljivo san,
tj. ako i samo ako postojik∈Ntako da jem=kn. Oˇcigledno,ρje reﬂeksivna
i tranzitivna relacija. Ova relacija nije simetriˇcna jer iz ˇcinjenice (m, n)∈ρne
sleduje i (n, m)∈ρu opˇstem sluˇcaju. Na primer, (4,2)∈ρ, ali (2,4)6∈ρ.
Medˉutim, iz ˇcinjenice da je brojmdeljiv sani brojndeljiv sam, oˇcigledno
sleduje da jem=n, ˇsto znaˇci da je relacijaρantisimetriˇcna. Relacijaρje, dakle,
jedna relacija delimiˇcnog uredˉenja u skupuN.△
Deﬁnicija 1.3.13.Za skup u kome je deﬁnisana relacija delimiˇcnog poretka
kaˇzemo da jedelimiˇcno uredˉenskup.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 15
Deﬁnicija 1.3.14.Za relaciju delimiˇcnog poretkaρ, koja ima osobinu da
je (x, y)∈ρili (y, x)∈ρ, za svakox, y∈X, kaˇzemo da jerelacija totalnog
poretkailirelacija totalnog uredˉenja.
Skoro uvek, relaciju totalnog poretka zva´cemo jednostavnije:relacija po-
retkailirelacija uredˉenjailiuredˉajna relacijailirelacija ispred, a oznaˇcava-
´cemo je sa≺.
Primer 1.3.7.U skupu realnih brojevaRrelacija≤je relacija poretka.△
Deﬁnicija 1.3.15.Za skupXu kome je deﬁnisana relacija poretka≺
kaˇzemo da jeuredˉen skup.
Primer 1.3.8.Relacijom poretka≤uredˉen je skup realnih brojeva.△
Deﬁnicija 1.3.16.Za skupX, koji je uredˉen relacijom poretka≺, kaˇzemo
da jegustako za svakoaibiz skupaX, za koje jea≺b, postojic∈X
takvo da jea≺cic≺b.
Primer 1.3.9.Skup racionalnih brojeva je gust jer za svakoa, b∈Q, za
koje jea≤b, sleduje da postoji racionalan brojckoji je, na primer, odredˉen sa
c= (a+b)/2, takav da jea≤cic≤b.△
Neka je skupXuredˉen relacijom poretka≺i neka jeAjedan njegov
neprazan podskup. Ako jeα∈Xu relaciji≺sa svim elementima izA,
simbolizova´cemo to oznakom (α, A)∈ ≺. Ako su svi elementi izAu relaciji
≺saβ∈X, oznaˇcava´cemo to sa (A, β)∈ ≺.
Deﬁnicija 1.3.17.Za svaki elementα∈Xza koji je (α, A)∈ ≺, kaˇzemo
da jeminorantaskupaA⊂X.
Deﬁnicija 1.3.18.Za svaki elementβ∈Xza koji je (A, β)∈ ≺, kaˇzemo
da jemajorantaskupaA⊂X.
Deﬁnicija 1.3.19.Ako jeAskup svih minoranata skupaAi ako jeα0∈ A
minoranta skupaAza koju je (A, α0)∈ ≺, kaˇzemo da jeα0donja medˉa
skupaAili da jeα0inﬁmumodA, u oznaciα0= infA.
Deﬁnicija 1.3.20.Ako jeBskup svih majoranata skupaAi ako jeβ0∈ B
majoranta skupaAza koju je (β0,B)∈ ≺, kaˇzemo da jeβ0gornja medˉa
skupaAili da jeβ0supremumodA, u oznaciβ0= supA.
Oˇcigledno, vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 1.3.4.Ako je skupXuredˉen relacijom≺,A⊂Xi ako postoje
infAisupA, tada jeinfA≺supA.

16 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 1.3.21.Ako donja medˉaα0skupaA, tj. infA, pripada skupu
A, kaˇzemo da jeα0minimumskupaA, u oznaciα0= minA.
Ako gornja medˉaβ0skupaA, tj. supA, pripada skupuA, kaˇzemo da je
β0maksimumskupaA, u oznaciβ0= maxA.
Naravno, vaˇzi i slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 1.3.5.Ako jeA⊂Xi ako je skupXuredˉen relacijom≺, tada,
ako postojeminAimaxA, vaˇziminA≺maxA.
Posmatrajmo sada skup realnih brojevaR, koji je relacijom poretka≤
uredˉen. Na osnovu ovog uredˉenja, slede´cim dvema deﬁnicijama uveˇs´cemo
neke pojmove vezane za skup realnih brojeva.
Deﬁnicija 1.3.22.Skup{x∈R|a < x < b}, u oznaci (a, b), zovemo
interval, a skup{x∈R|a≤x≤b}, u oznaci [a, b], zovemosegment.
Deﬁnicija 1.3.23.Skup{x∈R|a≤x < b}, u oznaci [a, b), kao i skup
{x∈R|a < x≤b}, u oznaci (a, b], zovemopolusegmentilipoluinterval.
Brojeviaibsu njihovi krajevi. Nije teˇsko proveriti da je
a= inf(a, b) = inf(a, b], b= sup(a, b) = sup[a, b),
a= min[a, b) = min[a, b], b= max(a, b] = max[a, b].
Ako za skupA⊂Rne postoji nijedna minoranta, piˇsemo infA=−∞.
Sliˇcno, ako za skupA⊂Rne postoji nijedna majoranta, tada piˇsemo
supA= +∞. Naravno, uvek ´cemo pisati: infR=−∞i supR= +∞.
Primer 1.3.10.1
◦
inf(0,1) = 0,sup(0,1) = 1;
2
◦
min(0,1) ne postoji, min[0,1) = 0, max(0,1] = 1, max(0,1) ne postoji;
3
◦
infN= 1, supN= +∞.△
1.4. Preslikavanja
Posmatrajmo neprazne skupoveXiYi relacijuρ⊂X×Ytakvu da za
svaki elementx∈Xpostoji samo jedan elementy∈Ytakav da (x, y)∈ρ.
Za takvu relacijuρkaˇzemo da jepreslikavanjeilifunkcijasa skupaXu skup
Yi umesto (x, y)∈ρobiˇcno piˇsemoy=ρ(x).
ˇ
Staviˇse, umestoρnajˇceˇs´ce se
koristi oznaka
3)
f.
3)
Oznakafdolazi od reˇcifunkcija(ilifunctionna engleskom jeziku). U upotrebi su,
takodˉe, i oznakeg,h,. . .,ϕ,ψ,. . ., itd.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 17
Dakle, funkcija ili preslikavanje je pravilo ili zakon pridruˇzivanja (kore-
spondencije) kojim se svakom elementux∈Xpridruˇzuje jedan element
y∈Y, ˇsto se oznaˇcava saf:X→Yili saX
f
→Y. Pri ovome kaˇzemo
da se elementxpreslikava u elementy=f(x)∈Yi to simbolizujemo sa
x7→y=f(x) ili kra´cex7→f(x). Elementxzovemooriginal, dok za
elementy=f(x) koristimo terminslika elementaxpri preslikavanjufili
vrednost funkcijeu taˇckix. U sluˇcaju kadaxpredstavlja proizvoljan ele-
ment izXkaˇzemo da jexargumentilinezavisno promenljiva, ay(=f(x))
zavisno promenljiva. Skup slika svih elemenatax∈Xobeleˇzavamo saf(X).
Oˇcigledno je da jef(X)⊆Y.
SkupXkoji preslikavamo zovemooblast deﬁnisanostiilidomenfunkcije
f, a skup slikaf(X) nazivamoskup vrednostiilikodomenfunkcijef.
Napomena 1.4.1.Za preslikavanjex7→f(x) (x∈X, f(x)∈R), tj. za
funkcijuf:X→R, kaˇzemo da jefunkcionela. Medˉutim, ako suXiYproizvoljni
apstraktni skupovi, za funkcijufˇcesto kaˇzemo da jeoperator.
Na osnovu prethodnog moˇzemo dati formalnu deﬁniciju funkcije:
Deﬁnicija 1.4.1.Za relacijuf⊂X×Ykaˇzemo da je funkcijaf:X→Y
ako
(1) (∀x∈X) (∃y∈Y) (x, y)∈f,
(2) (x, y)∈f∧(x, z)∈f⇒y=z.
Osobina (1) poznata je pod imenomdeﬁnisanost, a osobina (2)jednozna-
ˇcnost.
Primer 1.4.1.1
◦
Relacija{(1,2),(2,2)}je funkcija deﬁnisana na skupuX=
{1,2}, pomo´cuf(x) = 2. Skup slika, tj. skup vrednosti funkcijef, sastoji se samo
od jednog elementaf(X) ={2}.
2
◦
Relacija{(1,2),(1,3),(2,2)}nije funkcija naX={1,2}jer se kao njeni
elementi pojavljuju parovi (1,2) i (1,3).
3
◦
Relacija
˘
(x, x
2
+x+ 1)|x∈R

⊂R
2
je funkcija jer izx=usleduje
x
2
+x+ 1 =u
2
+u+ 1
i za svakox∈Rpostojix
2
+x+ 1∈R. Dakle, ovde se radi o funkcijix7→f(x) =
x
2
+x+ 1 koja preslikavaRuR. Skup slika jef(R) = [3/4,+∞).
4
◦
Neka jeX={1,2,3}. Relacija{(1,2),(2,2)} ⊂X
2
nije funkcija naXjer
za element 3∈Xnije deﬁnisana slika.
5
◦
Neka jeA={0,1,2}iX=A
2
={(x, y)|x, y∈A}. Relacija
˘
((0,0),0),((0,1),1),((0,2),4),((1,0),1),((1,1),2),((1,2),5),
((2,0),4),((2,1),5),((2,2),8)

⊂X×R

18 OSNOVI ALGEBRE
je funkcija koja preslikava elemente skupaX=A
2
u skupR. Ovo preslikavanje
f:A
2
→Rse moˇze izraziti simboliˇcki, na primer, pomo´cu
(x, y)7→f((x, y)) =x
2
+y
2
.
Skup vrednosti funkcije je skupf(A
2
) ={0,1,2,4,5,8} ⊂R.
6
◦
Neka je dat segmentS= [0,1],X=S
3
={(x, y, z)|x, y, z∈S},Y=R
2
.
Relacijaf⊂S
3
×R
2
, deﬁnisana pomo´cu
f((x, y, z)) = (x
2
+y
2
+z
2
,3xyz) (x, y, z∈S),
je funkcija saS
3
uR
2
. Dakle, svakoj uredˉenoj trojki (x, y, z) (∈S
3
) pridruˇzuje se
uredˉeni par (x
2
+y
2
+z
2
,3xyz) (∈R
2
).△
Navedimo sada dva jednostavna preslikavanja:
1
◦
Neka jec∈Y. Preslikavanjef:X→Y, deﬁnisano pomo´cuf(x) =c
za svakox∈X, naziva sekonstantnopreslikavanje. Takodˉe, kaˇze se i da je
funkcijafkonstanta.
2
◦
Neka jeY=X. Preslikavanjef:X→X, deﬁnisano pomo´cuf(x) =x
za svakox∈X, naziva seidentiˇckopreslikavanje uX.
Deﬁnicija 1.4.2.Za dve funkcijef:X→Yig:U→Vkaˇzemo da su
jednake ako jeX=U,Y=Vi
(1.4.1) ( ∀x∈X)f(x) =g(x).
Ako je, medˉutim,X⊂Ui ako vaˇzi (1.4.1), re´ci ´cemo da jefsuˇzenje
ilirestrikcijafunkcijeg(sa skupaUna skupX), tj. da jegproˇsirenjeili
ekstenzijafunkcijef(sa skupaXna skupU).
Primer 1.4.2.1
◦
Neka su funkcijef:R
+
0
→R,g:R
+
→R,h:R→R,
ϕ:N→R,ψ:{−1,0,1} →R, deﬁnisane redom pomo´cu
f(x) =x
2
, g(x) =x
2
, h(x) =x
2
, ϕ(x) =x
2
, ψ(x) =x
2
.
Medˉu ovim funcijama nema jednakih jer su im domeni medˉu sobom razliˇciti
skupovi. S obzirom na inkluzije
{−1,0,1} ⊂N⊂R
+
⊂R
+
0
⊂R,
vidimo da je funkcijahekstenzija ostalih funkcija (ψ,ϕ,gif), kao i da jeψ
restrikacija funkcijaϕ,g,fih.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 19
Primetimo da jefekstenzija funkcijeg, sa skupa pozitivnih realnih brojeva
R
+
na joˇs jednu taˇcku (x= 0), tj. na skup svih nenegativnih realnih brojeva
R
+
0
= [0,+∞).
2
◦
Neka je dat segmentS= [0,2] i funkcijag:S
2
→R, deﬁnisana pomo´cu
z=g((x, y)) =x
2
+y
2
. Ova funkcija predstavlja ekstenziju funkcijef:A
2
→Riz
primera 1.4.1 (videti 5
◦
). Za funkcijugkaˇzemo da je funkcija od dve promenljive
xiyi umestog((x, y)) piˇsemo jednostavnog(x, y).△
SkupΓ(f) ={(x, f(x))|x∈X} ⊆X×Ynaziva segraﬁkfunkcijef.
Ako suX⊂Rif(X)⊂R, graﬁk funkcije se moˇze predstaviti kao skup
taˇcaka u Dekartovoj ravni
4)
Oxy.
Primer 1.4.3.1
◦
Deo graﬁka funkcijeh:R→R, deﬁnisane pomo´cuy=
h(x) =x
2
(videti prethodni primer), predstavljen je na slici 1.4.1.Takodˉe, na
istoj slici, prikazan je i deo graﬁka funkcijeϕ:N→Riz primera 1.4.2, koji se
sastoji iz niza taˇcaka. Naime, na slici su prikazane samo prve ˇcetiri taˇcke, tj. deo
graﬁka{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)} ⊂Γ(ϕ).
-4 -2 1 2 3 4
x
5
10
15
y
0
1
2
x
0
1
2
y
0
4
8
z
0
1
x
Sl. 1.4.1 Sl. 1.4.2
2
◦
Funkcija od dve promenljive iz primera 1.4.2, deﬁnisana na [0,2]×[0,2]
pomo´cuz=g(x, y) =x
2
+y
2
, moˇze se, takodˉe, graﬁˇcki prikazati. Njen graﬁk je
dat na slici 1.4.2, zajedno sa graﬁkom njene restrikcijefiz primera 1.4.1 (sluˇcaj
5
◦
). Primetimo da se graﬁk funkcijefsastoji iz devet taˇcaka.△
Napomena 1.4.1.Funkcijef:X→Ysa kojima se najˇceˇs´ce sre´cemo su real-
ne, tj. takve da jeY=R, aX⊂R
n
, gde jen≥1. Kada jen= 1 imamo
sluˇcaj realnih funkcija jedne realne promenljive, ˇcije ´ce osnovne osobine biti raz-
matrane u slede´cem poglavlju. Sluˇcajn >1 dovodi nas do tzv. realnih funkcija
4)
Za ovaj naˇcin predstavljanja dovoljno je znanje iz srednjeˇskole. Inaˇce, Dekartov
pravougli koordinatni sistem, kao i neki drugi koordinatnisistemi, precizno ´ce biti tretirani
u odeljku 1.1, glava VI.

20 OSNOVI ALGEBRE
viˇse promenljivih, taˇcnije realnih funkcijanpromenljivih. Dakle, uredˉenojn-torci
(x1, . . . , xn)∈Xpridruˇzuje se vrednosty=f((x1, . . . , xn))∈R, pri ˇcemu piˇsemo
jednostavnoy=f(x1, . . . , xn). Takve funkcije bi´ce predmet razmatranja u VIII
glavi (III deo ove knjige).
Kod preslikavanjaf:X→Yrazlikova´cemo slede´ca dva mogu´ca sluˇcaja:
f(X) =Yif(X)⊂Y. U prvom sluˇcaju kaˇzemo da je skupXpreslikanna
skupY, a u drugom da je skupXpreslikanuskupY. Postoje, dakle, sa
tog stanoviˇsta dve vrste preslikavanja: preslikavanjenaskup i preslikavanje
uskup. Za preslikavanjenaskup kaˇze se da jesurjekcijailisurjektivno
preslikavanje.
Ako je preslikavanjef:X→Ytakvo da iz jednakostif(x1) =f(x2)
sledujex1=x2, kaˇze se da jefinjekcijailiinjektivnopreslikavanje. Prema
tome, kod ovog preslikavanja, ukoliko su slike jednake moraju biti jednaki i
originali. Za ovo preslikavanje koristimo i termin preslikavanje 1–1.
Za svako preslikavanje koje je istovremeno surjekcija i injekcija kaˇze se
da jebijekcijailibijektivnopreslikavanje. Takodˉe, za takvo preslikavanje
kaˇzemo da jebiunivokoiliobostrano jednoznaˇcnopreslikavanje.
Primer 1.4.4.Neka jeR
2
=R×R={(x, y)|x, y∈R}i neka jeMskup
svih taˇcakaMu ravni koordinatnog sistemaOxyˇciji je poloˇzaj odredˉen koordi-
natamaxiy. PreslikavanjeR
2
→ M, odredˉeno sa (x, y)7→M(x, y) je obostrano
jednoznaˇcno preslikavanje.△
Deﬁnicija 1.4.3.Neka suX,YiZneprazni skupovi i neka su data pres-
likavanjaf:X→Yig:Y→Z. Funkcijuh:X→Zdeﬁnisanu pomo´cu
(∀x∈X)h(x) = (g◦f)(x) =g(f(x))
zovemosloˇzena funkcijaod funkcijafigilikompozicija preslikavanjafig.
Kao ˇsto vidimo, sloˇzena funkcijahpreslikava elementexskupaXu ele-
mentey=f(x) skupaYkoje, zatim, funkcijagpreslikava u elementez=
g(y) skupaZ. Dakle, na jedan posredan naˇcin, vrˇsi se preslikavanje skupa
Xu skupZ. Preslikavanjafigsu, u stvari, medˉupreslikavanja.
Naravno, jedno sloˇzeno preslikavanje moˇze biti realizovano i sa viˇse medˉu-
preslikavanja. Ponekad se kaˇze da sva ta medˉupreslikavanja ˇcinelanac pre-
slikavanja, a ona sˆama sukarike lanca.
Teorema 1.4.1.Neka suX,Y,Z,Wneprazni skupovi i nekaf:X→Y,
g:Y→Z,h:Z→W, tj.X
f
→Y
g
→Z
h
→Z. Tada je
(1.4.2) ( h◦g)◦f=h◦(g◦f).

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 21
Dokaz.Pre svega, uoˇcimo da funkcije
x7→((h◦g)◦f)(x) ix7→(h◦(g◦f))(x)
imaju isti domenXi da im slike pripadaju skupuW. Kako je, za svako
x∈X,
((h◦g)◦f)(x) = (h◦g)(f(x)) =h(g(f(x)))
i
(h◦(g◦f))(x) =h((g◦f)(x)) =h(g(f(x))),
zakljuˇcujemo da vaˇzi jednakost (1.4.2).∗
Napomenimo da, ako su sva medˉupreslikavanja jednog sloˇzenog preslika-
vanja biunivoka preslikavanja, tada je i sloˇzeno preslikavanje biunivoko.
Primer 1.4.5.1
◦
Funkcijax7→log 3xje sloˇzena funkcija.ˇCine je preslika-
vanja
x7→y= 3xiy7→logy.
2
◦
Preslikavanjex7→2 sin(3x
2
+ 1) je sloˇzeno preslikavanje.
ˇ
Cine ga, na primer,
slede´ca preslikavanja:
(a)y7→2 sinyix7→y= 3x
2
+ 1, ili
(b)z7→2 sinz,y7→z=y+ 1 ix7→y= 3x
2
.△
Iz ovih primera se vidi da lanac jednog sloˇzenog preslikavanja nije jed-
noznaˇcno odredˉen. Ali, iz jednog lanca sloˇzenog preslikavanja jednoznaˇcno
se dobija sloˇzeno preslikavanje.
Primer 1.4.6.Za funkcijeg:R→Rif:R→R, date pomo´cu
g(x) = 2x
2
+x−1, f(x) =
1
1 +x
2
,
imamo
(g◦f)(x) =g(f(x)) = 2f(x)
2
+f(x)−1 =
2−x
2
−x
4
(1 +x
2
)
2
i
(f◦g)(x) =f(g(x)) =
1
1 +g(x)
2
=
1
1 + (2x
2
+x−1)
2
.
Oˇcigledno, (g◦f)(x)6≡(f◦g)(x).△
Primer 1.4.7.Neka su funkcijef:R
+
0
→Rig:R→Rdeﬁnisane pomo´cu
f(x) =
√
xig(x) =x
2
.
Kompozicija funkcijafig, tj. (g◦f):R
+
0
→R, odredˉena je sa
(∀x∈R
+
0
) (g◦f)(x) =g(f(x)) = (
√
x)
2
=x.

22 OSNOVI ALGEBRE
Kako je skup slikag(R) =R
+
0
(⊂R), funkcijugmoˇzemo tretirati kao preslika-
vanjeRnaskupR
+
0
, pa je onda mogu´ce deﬁnisati i kompoziciju funkcijagif,
tj.
(∀x∈R) (f◦g)(x) =f(g(x)) =
√
x
2
=|x|.
Dakle, funkcijux7→ |x|dobili smo kao kompoziciju funkcijax7→x
2
ix7→
√
x.
Primetimo da se oblasti deﬁnisanosti kompozicijag◦fif◦grazlikuju. Funkcija
f◦gje ekstenzija funkcijeg◦f.△
Teorema 1.4.2.Neka jef:X→Ybiunivoko preslikavanje. Tada postoji
jedno i samo jedno biunivoko preslikavanje
ˉ
f:Y→X, za koje vaˇzi
(1.4.3) ( ∀x∈X)
−
ˉ
f◦f
∆
(x) =x
i
(1.4.4) ( ∀y∈Y)
−
f◦
ˉ
f
∆
(y) =y.
Dokaz.Na osnovu uˇcinjene pretpostavke, preslikavanjef:X→Yje bi-
univoko, tj. takvo da je
(a) preslikavanje na skupY,
(b) 1–1 preslikavanje.
Na osnovu (a), za svakoy∈Ypostojix∈Xtakvo da jef(x) =y, a, na
osnovu (b),xje jedinstven element izXza koji jef(x) =y.
Dakle, svakom elementuy∈Ypridruˇzuje se na ovaj naˇcin jedinstven
elementx∈X, pa je mogu´ce uspostaviti preslikavanje
ˉ
f:Y→X, tako da
je
ˉ
f(y) =x. Uoˇcimo da je preslikavanje
ˉ
ftakodˉe biunivoko. Tada, za svako
x∈X, imamo
−
ˉ
f◦f
∆
(x) =
ˉ
f
−
f(x)
∆
=
ˉ
f(y) =x,
a za svakoy∈Y
−
f◦
ˉ
f
∆
(y) =f
−
ˉ
f(y)
∆
=f(x) =y,
ˇcime smo pokazali da za preslikavanje
ˉ
fvaˇzi (1.4.3) i (1.4.4).
Da bismo dokazali da je preslikavanje
ˉ
fjedinstveno pretpostavimo suprot-
no, tj. pretpostavimo da postoji joˇs jedno biunivoko preslikavanje
˜
f:Y→X
koje zadovoljava uslove (1.4.3) i (1.4.4).
Ako je
˜
f6=
ˉ
f, to mora postojati bar jedan elementy∈Yza koji je
˜
f(y)6=
ˉ
f(y), odakle, zbog osobine (b), sledujef
−
˜
f(y)
∆
6=f
−
ˉ
f(y)
∆
, tj.
−
f◦
˜
f
∆
(y)6=
−
f◦
ˉ
f
∆
(y),
pa, na osnovu (1.4.4), zakljuˇcujemo da jey6=y, ˇsto je nemogu´ce.∗
Primetimo da uslovi (1.4.3) i (1.4.4) pokazuju da su kompozicije
ˉ
f◦fi
f◦
ˉ
fidentiˇcka preslikavanja uXiY, respektivno.
Na osnovu prethodnog mogu´ce je dati deﬁnicijuinverznefunkcije:

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 23
Deﬁnicija 1.4.4.Neka jef:X→Ybiunivoko preslikavanje. Za preslika-
vanjef
−1
:Y→X, za koje jef
−1
◦fidentiˇcko preslikavanje uXif◦f
−1
identiˇcko preslikavanje uY, kaˇzemo da je inverzno preslikavanje zaf.
Napomena 1.4.3.Prema teoremi 1.4.2, inverzno preslikavanjef
−1
biuni-
vokog preslikavanjafpostoji, jedinstveno je i, takodˉe, biunivoko.
Dakle, preslikavanjaf:X→Yif
−1
:Y→Xsu biunivoka i za njih vaˇzi
f
−1
(f(x)) =x, f(f
−1
(y)) =y (x∈X, y∈Y).
Napomenimo, na kraju, da je inverzno preslikavanje zaf
−1
sˆamo pres-
likavanjef.
1.5. Mo´c i ekvivalencija skupova
Neka suXiYdva neprazna skupa i neka jefobostrano jednoznaˇcno
preslikavanje skupaXna skupY. Poznato je da u tom sluˇcaju postoji
inverzno preslikavanjef
−1
i da se skupoviXiYpreslikavanjemf, tj.f
−1
,
mogu biunivoko preslikati jedan na drugi.
Deﬁnicija 1.5.1.Za dva skupa koji se mogu biunivoko preslikavati jedan
na drugi, kaˇzemo da imaju istumo´c.
Primer 1.5.1.1
◦
SkupoviA={a, b, c}iB={1,2,3}imaju istu mo´c, jer
postoji preslikavanjef:A→B, deﬁnisano, na primer, saf(a) = 1,f(b) = 2,f(c) =
3, i njemu inverzno preslikavanjef
−1
kojima je mogu´ce uspostaviti biunivoku
korespondenciju izmedˉu skupovaAiB.
2
◦
SkupoviN={1,2, . . . , n, . . .}iM={2,4, . . . ,2n, . . .}imaju istu mo´c jer
postoji bijekcijaf, zadata saf(m) = 2m(m∈N), i njoj inverzna bijekcijaf
−1
,
f
−1
(k) =k/2 (k∈M), koje obostrano jednoznaˇcno preslikavaju skupoveNiM
jedan na drugi, respektivno.△
Za skupoveXiYkoji, u smislu deﬁnicije 1.5.1, imaju istu mo´c, kaˇzemo
da imaju istikardinalni broj. Mo´c jednog skupaX, tj. kardinalni broj skupa
X, oznaˇcavamo sa cardX, a ˇcinjenicu da skupoviXiYimaju istu mo´c
oznaˇcava´cemo sa cardX= cardY.
Primer 1.5.2.SkupoviAiB, kao i skupoviNiMiz primera 1.5.1, imaju isti
kardinalni broj.△
Za skupoveXiYkoji imaju istu mo´c, tj. za skupove koji imaju isti
kardinalni broj, kaˇzemo da suekvivalentnii to oznaˇcavamo saX∼Y.
Deﬁnicija 1.5.2.Za skup koji je ekvivalentan nekom svom pravom delu
kaˇzemo da jebeskonaˇcan. U suprotnom kaˇzemo da je skupkonaˇcan.

24 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 1.5.3.Mo´c konaˇcnog skupa jednaka je broju njegovih eleme-
nata.
Prirodno je uzeti da je mo´c praznog skupa jednaka nuli.
Primer 1.5.3.SkupNje beskonaˇcan jer je, prema primeru 1.5.1, ekvivalentan
svom pravom deluM={2n|n∈N}.△
Iz izloˇzenog se moˇze zakljuˇciti da je svaki skup ekvivalentan sebi samom.
Takodˉe, nije teˇsko proveriti da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 1.5.1.Ekvivalencija skupova je relacija ekvivalencije.
Deﬁnicija 1.5.4.Za skupove koji su ekvivalentni skupuNkaˇzemo da su
prebrojiviili da imaju mo´c prebrojivog skupa.
Naravno, i sˆam skupNje prebrojiv.
U stvari, jedna vaˇzna i veoma jednostavna karakteristika prebrojivog
skupa je da je njegove elemente mogu´ce poredˉati u niz, jedan element za
drugim. Na primer, ako jefjedno biunivoko preslikavanje skupaNna pre-
brojiv skupA, tada je skupAmogu´ce identiﬁkovati kao skup
A={f(1), f(2), . . . , f(n), . . .}.
Mo´c prebrojivog skupa, tj. njegov kardinalni broj, oznaˇcavamo saℵ0i
ˇcitamo alef
5)
nula.
Primer 1.5.4.SkupM={2,4, . . . ,2n, . . .}(n∈N) je prebrojiv skup.△
Primer 1.5.5.Skup celih brojevaZje prebrojiv jer se njegovi elementi mogu
poredˉati u niz 1,−1, 2,−2, 3,−3,. . ..△
Primer 1.5.6.Skup svih racionalnih brojeva iz polusegmenta (0,1] je prebro-
jiv skup.
Da bismo ovo pokazali, primetimo, najpre, da su ovi brojevi oblikax=p/q,
gde supiqceli brojevi takvi da je 0< p≤q.
Sve racionalne brojeve iz polusegmenta (0,1] moˇzemo poredˉati u niz ako, za
svakoq= 1,2, . . ., uzimamo redom vrednosti zapiz skupa{1, . . . , q}, izostavlja-
ju´ci pritom one vrednosti zappri kojima se ponavljaju racionalni brojevi u ovom
nizu. Na taj naˇcin dobijamo niz
1 ;
1
2
;
1
3
,
2
3
;
1
4
,
3
4
;
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
;. . . .△
Naveˇs´cemo sada nekoliko tvrdˉenja koja se odnose na mo´c skupova:
5)
Alef, tj.ℵ, je prvo slovo hebrejskog pisma.

SKUPOVI, RELACIJE I PRESLIKAVANJA 25
Teorema 1.5.2.Ako suAiBneprazni skupovi, tada je
1
◦
card(A∪B)≤cardA+ cardB,
2
◦
card(A∩B)≤cardA+ cardB,
3
◦
cardA <cardP(A),
4
◦
cardP(A) = 2
cardA
.
Napomena 1.5.1.Nejednakost 3
◦
, tj. nejednakost cardA <cardP(A), kazu-
je, u stvari, da ne postoji najve´ci kardinalni broj, jer svaki skup ima svoj partitivni
skup:AimaP(A),P(A) imaP(P(A)), itd. Ovo, zapravo, znaˇci da nema skupa
koji je najopseˇzniji.
Za prebrojive skupove vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 1.5.3.Unija dva prebrojiva skupa je prebrojiv skup.
Dokaz.Neka suAiBprebrojivi skupovi. Tada je mogu´ce zapisati ih na
naˇcin
A={a1, a2, . . . , an, . . .}iB={b1, b2, . . . , bn, . . .}.
Uniju ova dva skupa ˇcini skup koji se moˇze predstaviti, na primer, sa
A∪B={a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn, . . .},
odakle zakljuˇcujemo da je skupA∪Bprebrojiv skup.∗
Vaˇzi i opˇstije tvrdˉenje. Navodimo ga bez dokaza.
Teorema 1.5.4.Unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiv
skup.
Primer 1.5.7.Kako je skup racionalnih brojeva iz polusegmenta (0,1] pre-
brojiv, na osnovu teoreme 1.5.4 zakljuˇcujemo da je skup svih racionalnih brojeva
prebrojiv skup.△
Kao ˇsto smo videli, ima skupova, naravno beskonaˇcnih, ˇcija je mo´cℵ0.
Od znaˇcaja je utvrditi da li postoje beskonaˇcni skupovi ˇcija je mo´c efektivno
ve´ca od mo´ci prebrojivog skupa. U tom smislu vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 1.5.5.Skup svih realnih brojeva iz intervala(0,1)ima mo´c koja
je ve´ca od mo´ci prebrojivog skupa.
Dokaz.Svaki brojx∈(0,1) moˇze se napisati u obliku beskonaˇcnog deci-
malnog razlomka
x= 0. x1x2. . . xn. . . ,
gde jexi(i= 1,2, . . .) jedna od cifara 0,1, . . . ,9. Naravno, za nekox∈(0,1)
mogu´ce je da su, poˇcev od nekogi, sve cifrexijednake nuli.

26 OSNOVI ALGEBRE
Pretpostavimo da je skup (0,1) prebrojiv, ˇsto, zapravo, znaˇci da se svi
realni brojevi iz (0,1) mogu poredˉati u jedan niz. Neka je to niz
a1= 0. a11a12. . . a1n. . . ,
a2= 0. a21a22. . . a2n. . . ,
.
.
.
an= 0. an1an2. . . ann. . . ,
.
.
.
gde su cifreaijelementi skupa{0,1, . . . ,9}.
Neka jearealan broj odredˉen saa= 0. x1x2. . . xn. . .i takav da je, za
n∈N, na primer,
xn=
æ
2,ako jeann= 1,
1,ako jeann6= 1.
Broja, oˇcigledno, pripada skupu (0,1). Medˉutim, brojase razlikuje od
svakogan(n∈N) iz navedenog niza jer se oda1razlikuje u prvoj decimali,
oda2u drugoj decimali, oda3u tre´coj, itd.
Nije, dakle, taˇcno da posmatrani niz sadrˇzi sve realne brojeve iz (0,1), ˇsto
predstavlja kontradikciju sa pretpostavkom da je skup (0,1) prebrojiv.∗
Deﬁnicija 1.5.5.Za skup svih realnih brojeva iz intervala (0,1) kaˇzemo da
imamo´c kontinuuma.
Mo´c kontinuuma obeleˇzavamo sacili saℵ1. Oˇcigledno, na osnovu teo-
reme 1.5.5, vaˇzi nejednakostℵ0<c, tj.ℵ0<ℵ1.
Naravno, svaki skup koji je ekvivalentan skupu realnih brojeva iz intervala
(0,1) je, takodˉe, skup mo´ci kontinuuma.
Primer 1.5.8.Skup svih realnih brojeva iz intervala (a, b) ima mo´c kontinu-
uma jer je skupove (0,1) i (a, b) mogu´ce preslikati jedan na drugi, na primer, biu-
nivokim preslikavanjemx7→f(x) =a+ (b−a)xi njemu inverznim preslikavanjem
f
−1
.△
Primer 1.5.9.SkupRima mo´c kontinuuma jer postoji biunivoko preslikavanje
f:R→(0,1). Jedno takvo preslikavanje je, na primer, dato sa
f(x) =
8
>
>
<
>
>
:
2x+ 1
2x+ 2
(x≥0),
1
2(1−x)
(x <0).△

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 27
Za beskonaˇcne skupove koji nisu prebrojivi kaˇzemo da su neprebrojivi.
Skupovi mo´ci kontinuuma su neprebrojivi skupovi. Takvi su, na primer,R
i (a, b).
Navodimo bez dokaza slede´ca tvrdˉenja:
Teorema 1.5.6.Za kardinalne brojeveℵ0icvaˇze jednakosti
ℵ0+ℵ0=ℵ0,2
ℵ0
=c,c+c=c,c
2
=c.
Mnogi pokuˇsaji da se dokaˇze postojanje makar jednog skupaˇcija bi mo´c
bila ve´ca od mo´ci prebrojivog skupa i manja od mo´ci kontinuuma nisu doveli
do rezultata. Pretpostavka da ne postoji takav skup poznataje kao hipoteza
o kontinuumu.
Napomena 1.5.2.Nedavno je Cohen
6)
dokazao da hipoteza o kontinuumu ne
moˇze biti ni dokazana ni opovrgnuta u okviru postoje´ce aksiomatike teorije skupova
(videti:P. J. Cohen,Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New
York, 1966).
Na kraju ovog odeljka treba ista´ci ˇcinjenicu da postoje skupovi ˇcija je
mo´c ve´ca od mo´ci kontinuuma.
2. MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA
2.1. Matematiˇcka indukcija
Metod matematiˇcke indukcije je jedan od osnovnih i najˇceˇs´ce prime-
njivanih metoda za dokazivanje tvrdˉenja koja zavise od prirodnog brojan.
Neka je T(n) tvrdˉenje koje zavisi od prirodnog brojan. Metod matema-
tiˇcke indukcije sastoji se u slede´cem:
Neka su ispunjeni uslovi:
1
◦
TvrdˉenjeT(1)je taˇcno;
2
◦
Iz pretpostavke da je tvrdˉenjeT(k)taˇcno za svakok≥1sleduje
taˇcnost tvrdˉenjaT(k+ 1).
Tada tvrdˉenjeT(n)vaˇzi za svaki prirodan brojn.
Jezikom matematiˇcke logike, ovo se moˇze iskazati na slede´ci naˇcin:
−
T(1)∧
−
(∀k≥1) T(k)⇒T(k+ 1)
∆∆
⇒(∀n≥1) T(n).
6)
Paul Joseph Cohen (1934– ), ameriˇcki matematiˇcar.

28 OSNOVI ALGEBRE
Ponekad je potrebno dokazati da tvrdˉenje T(n) vaˇzi zan≥m >1. Tada
se metod matematiˇcke indukcije moˇze sliˇcno iskazati:
−
T(m)∧
−
(∀k≥m) T(k)⇒T(k+ 1)
∆∆
⇒(∀n≥m) T(n).
TvrdˉenjeT(k) zove seinduktivna pretpostavka.
Takodˉe, jedna varijanta metoda matematiˇcke indukcije moˇze se iskazati
na slede´ci naˇcin:
−
T(1)∧
−
(∀k≥1) T(1)ˆ ∆ ∆ ∆ ˆT(k)⇒T(k+ 1)
∆∆
⇒(∀n≥1) T(n).
U daljem tekstu, primenom metoda matematiˇcke indukcije, dokaza´cemo
neka osnovna tvrdˉenja.
Teorema 2.1.1.Ako jex >−1i ako jenprirodan broj, tada je
(2.1.1) (1 + x)
n
≥1 +nx.
Dokaz.U ovom sluˇcaju, tvrdˉenje T(n) je nejednakost (2.1.1).
Zan= 1 nejednakost (2.1.1) se svodi na jednakost (1 +x)
1
= 1 + 1∆x.
Pretpostavimo sada da nejednakost (2.1.1) vaˇzi zan=k≥1, tj. da je za
x >−1
(2.1.2) (1 + x)
k
≥1 +kx.
Mnoˇzenjem nejednakosti (2.1.2) sa 1 +x >0 dobijamo
(1 +x)
k+1
= (1 +x)(1 +x)
k
≥(1 +x)(1 +kx) = 1 + (k+ 1)x+kx
2
.
Kako jekx
2
≥0, imamo
(1 +x)
k+1
≥1 + (k+ 1)x.
Dakle, (2.1.1) vaˇzi za svakon.∗
Nejednakost (2.1.1) poznata je kaoBernoullieva
7)
nejednakost.
7)
Jakob Bernoulli (1654–1705), ˇsvajcarski matematiˇcar.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 29
Teorema 2.1.2.Ako sua1, a2, . . . , anpozitivni brojevi ˇciji je proizvod jed-
nak jedinici, tada je
(2.1.3) a1+a2+∆ ∆ ∆+an≥n,
pri ˇcemu jednakost vaˇzi ako i samo ako jea1=a2=∆ ∆ ∆=an= 1.
Dokaz.Primenimo metod matematiˇcke indukcije.
Zan= 1 nejednakost (2.1.3) vaˇzi. Zapravo, ona se, u ovom sluˇcaju, svodi
na jednakosta1= 1.
Zan= 2 moˇzemo direktno dokazati datu nejednakost. Naime, ako je
a1a2= 1 ia1=a2= 1, sleduje jednakosta1+a2= 2. Vaˇzi i obrnuto, tj.
iza1a2= 1 ia1+a2= 2 sledujea1=a2= 1. Medˉutim, ako bar jedan od
brojevaa1ia2nije jednak jedinici, na primera1>1, zboga1a2= 1, sleduje
da jea2<1 i, takodˉe, iz identiˇcnosti
(2.1.4) a1+a2=a1a2+ 1 + (a1−1)(1−a2),
nejednakosta1+a2>2.
Pretpostavimo, sada, da zakproizvoljnih pozitivnih brojeva, ˇciji je pro-
izvod jednak jedinici, vaˇzi nejednakost
a1+a2+∆ ∆ ∆+ak≥k
u kojoj se jednakost postiˇze ako i samo ako jea1=a2=∆ ∆ ∆=ak= 1, a
zatim razmotrimok+ 1 pozitivnih brojeva ˇciji je proizvod, takodˉe, jednak
jedinici.
Ako nisu sviaijednaki jedinici, medˉu njima mora biti onih koji su ve´ci, ali
i onih koji su manji od jedinice. Ne umanjuju´ci opˇstost razmatranja, moˇze se
pretpostaviti da je, na primer,a1>1 ia2<1. Tada, na osnovu pretpostavke
zakpozitivnih brojevaa1a2, a3, . . . , ak+1, ˇciji je proizvod jednak jedinici,
vaˇzi
(2.1.5) a1a2+a3+∆ ∆ ∆+ak+1≥k,
sa jednakoˇs´cu ako i samo ako jea1a2=a3=∆ ∆ ∆=ak+1= 1.
Sabiranjem (2.1.4) i (2.1.5), dobijamo da je
a1+a2+∆ ∆ ∆+ak+1≥k+ 1 + (a1−1)(1−a2)> k+ 1.
Ako su sviai(i= 1,2, . . . , k+ 1) jednaki jedinici, nejednakost (2.1.3) se
svodi na jednakost. Vaˇzi i obrnuto, tj. iz
k+1Q
i=1
ai= 1 i
k+1P
i=1
ai=k+ 1 sleduje
a1=∆ ∆ ∆=ak+1= 1.
Ovim je dokaz zavrˇsen.∗
Neka sux1, x2, . . . , xnpozitivni brojevi i neka jex= (x1, x2, . . . , xn).

30 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 2.1.1.Za broj
An(x) =An(x1, x2, . . . , xn) =
x1+x2+∆ ∆ ∆+xn
n
kaˇzemo da jearitmetiˇcka sredinapozitivnih brojevax1, x2, . . . , xn.
Deﬁnicija 2.1.2.Za broj
Gn(x) =Gn(x1, x2, . . . , xn) =
n√
x1x2∆ ∆ ∆xn
kaˇzemo da jegeometrijska sredinapozitivnih brojevax1, x2, . . . , xn.
Deﬁnicija 2.1.3.Za broj
Hn(x) =Hn(x1, x2, . . . , xn) =
n
1
x1
+
1
x2
+∆ ∆ ∆+
1
xn
kaˇzemo da jeharmonijska sredinapozitivnih brojevax1, x2, . . . , xn.
Slede´ca teorema daje vezu izmedˉu aritmetiˇcke, geometrijske i harmonijske
sredine pozitivnih brojeva:
Teorema 2.1.3.Za pozitivne brojevex1, x2, . . . , xnvaˇze nejednakosti
min{x1, x2, . . . , xn} ≤Hn(x)≤Gn(x)≤An(x)≤max{x1, x2, . . . , xn}.
Jednakosti vaˇze ako i samo ako jex1=x2=∆ ∆ ∆=xn.
Dokaz.Kako je
x1
Gn(x)
∆
x2
Gn(x)
∆ ∆ ∆
xn
Gn(x)
=
θ
Gn(x)
Gn(x)
⊇
n
= 1,
na osnovu teoreme 2.1.2, zakljuˇcujemo da je
x1
Gn(x)
+
x2
Gn(x)
+∆ ∆ ∆+
xn
Gn(x)
≥n,
tj.
x1+x2+∆ ∆ ∆+xn
Gn(x)
≥n,
ili
n√
x1x2∆ ∆ ∆xn≤
x1+x2+∆ ∆ ∆+xn
n
.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 31
Vaˇzi, dakle, nejednakost
(GA) Gn(x)≤An(x).
Naravno, u (GA) vaˇzi jednakost ako i samo ako je
x1
Gn(x)
=
x2
Gn(x)
=∆ ∆ ∆=
xn
Gn(x)
= 1,
tj. ako i samo ako jex1=x2=∆ ∆ ∆=xn.
Posmatrajmo, sada, pozitivne brojeve 1/x1,1/x2, . . . ,1/xn. Za njih vaˇzi
dokazana nejednakost (GA), tj. vaˇzi nejednakost
(2.1.6)
n
r
1
x1
1
x2
∆ ∆ ∆
1
xn
≤
1
x1
+
1
x2
+∆ ∆ ∆+
1
xn
n
.
Kako je
n
r
1
x1
∆
1
x2
∆ ∆ ∆
1
xn
=
1
Gn(x)
i
1
x1
+
1
x2
+∆ ∆ ∆+
1
xn
n
=
1
Hn(x)
,
nejednakost (2.1.6) je, u stvari, nejednakost
(HG) Hn(x)≤Gn(x).
Naravno, u nejednakosti (HG) vaˇzi jednakost ako i samo ako je 1/x1=
1/x2=∆ ∆ ∆= 1/xn, tj. ako i samo ako jex1=x2=∆ ∆ ∆=xn.
Sada ´cemo dokazati da je min{x1, x2, . . . , xn} ≤Hn(x). Ne umanjuju´ci
opˇstost, moˇzemo pretpostaviti da jex1≤x2ˇ ∆ ∆ ∆ ˇxn. Tada se nejed-
nakost koju dokazujemo svodi na nejednakostx1≤Hn(x), tj. na nejednakost
x1
x1
+
x1
x2
+∆ ∆ ∆+
x1
xn
≤n,
koja je oˇcigledno taˇcna jer je, prema pretpostavci,x1/xk≤1 za svakok=
1,2, . . . , n.
Sliˇcno se dokazuje i nejednakostAn(x)≤max{x1, x2, . . . , xn}.∗
Napomena 2.1.2.Kao ˇsto smo i uˇcinili, uobiˇcajeno je da se nejednakost
izmedˉu geometrijske i aritmetiˇcke sredine oznaˇcava sa (GA), a izmedˉu harmonijske
i geometrijske sredine sa (HG).

32 OSNOVI ALGEBRE
2.2. Faktorijelne funkcije i binomna formula
U ovom odeljku izuˇci´cemo izvesne funkcije celobrojnih argumenata i jednu
veoma vaˇznu formulu.
Deﬁnicija 2.2.1.Funkcijun7→n! (n∈N0), odredˉenu sa
n! =
⊂
1, n = 0,
n(n−1)!, n∈N,
zovemofaktorijelbrojanili kra´cen-faktorijel.
Nije teˇsko proveriti da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.2.1.Za funkcijun7→n!vaˇzi jednakost
n! =n∆(n−1)∆ ∆ ∆2∆1 =
n
Y
i=1
i(n≥1).
Deﬁnicija 2.2.2.Za funkcijun7→n!! (n∈N0), odredˉenu pomo´cu
n!! =
⊂
1, n = 0 ilin= 1,
n(n−2)!!, n∈N\ {1},
kaˇzemo da je dvostruki faktorijel brojanili da je dvostrukin-faktorijel.
Takodˉe bez dokaza, navodimo slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.2.2.Za funkcijun7→n!! (n∈N)vaˇze jednakosti:
1
◦
(2n)!! =n!∆2
n
,
2
◦
(2n)!! = (2n)∆(2n−2)∆ ∆ ∆2 =
nQ
i=1
(2i),
3
◦
(2n+ 1)!! = (2n+ 1)(2n−1)∆ ∆ ∆1 =
nQ
i=0
(2i+ 1).
Neka suniknenegativni celi brojevi i neka jek≤n.
Deﬁnicija 2.2.3.Funkcija(n, k)7→
−
n
k
∆
(k≤n) odredˉena je sa
θ
n
k
⊇
=



1, k = 0,
n(n−1)∆ ∆ ∆(n−k+ 1)
k!
, k∈N.
Za funkciju(n, k)7→
−n
k
∆
kaˇzemo da je binomni koeﬁcijent i ˇcitamonnad
k. Opravdanje za naziv binomni koeﬁcijent na´ci ´cemo neˇstokasnije, kada
budemo izuˇcili binomnu formulu.
Nije teˇsko proveriti da je
−
n
k
∆
prirodan broj.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 33
Teorema 2.2.3.Ako suniknenegativni celi brojevi, vaˇze identiteti:
1
◦

n
k
!
=
n!
k!(n−k)!
(k≤n),
2
◦

n
k
!
=

n
n−k
!
(k≤n),
3
◦

n
k
!
+

n
k+ 1
!
=

n+ 1
k+ 1
!
(k < n).
Dokaz.1
◦
Kako je
`
n
k
´
=
n(n−1)∆ ∆ ∆(n−k+ 1)
k!
=
n(n−1)∆ ∆ ∆(n−k+ 1)
k!
∆
(n−k)!
(n−k)!
=
n!
k!(n−k)!
,
tvrdˉenje 1
◦
je dokazano.
2
◦
Ako se na
−n
n−k
∆
primeni osobina 1
◦
, tvrdˉenje sleduje neposredno.
3
◦
Kako je
`
n
k
´
=
n!
k!(n−k)!
i
`
n
k+ 1
´
=
n!
(k+ 1)!(n−k−1)!
,
imamo
`
n
k
´
+
`
n
k+ 1
´
=
n!
k!(n−k)!
+
n!
(k+ 1)!(n−k−1)!
=
n!
(k+ 1)!(n−k)!
−
(k+ 1) + (n−k)
∆
=
(n+ 1)!
(k+ 1)!(n−k)!
=
`
n+ 1
k+ 1
´
.∗
Teorema 2.2.4.Neka suniknenegativni celi brojevi. Ako jek≤n, vaˇzi
identitet
(2.2.1)
`
n
k
´
+
`
n−1
k
´
+∆ ∆ ∆+
`
k
k
´
=
`
n+ 1
k+ 1
´
.

34 OSNOVI ALGEBRE
Dokaz.Dokaz ´cemo izvesti matematiˇckom indukcijom u odnosu nan.
Neka jen=k. Tada se (2.2.1) svodi na jednakost
−
k
k
∆
=
−
k+ 1
k+ 1
∆
,koja je
taˇcna jer su obe strane jednake 1, pa tvrdˉenje teoreme vaˇzi zan=k.
Pretpostavimo da je tvrdˉenje taˇcno i zan=m≥k, tj. pretpostavimo da
vaˇzi θ
m
k
´
+
θ
m−1
k
´
+∆ ∆ ∆+
θ
k
k
´
=
θ
m+ 1
k+ 1
´
.
Tada je

m+ 1
k
!
+

m
k
!
+

m−1
k
!
+∆ ∆ ∆+

k
k
!
=

m+ 1
k
!
+

m+ 1
k+ 1
!
=

(m+ 1) + 1
k+ 1
!
,
gde smo primenili rezultat 3
◦
iz teoreme 2.2.3.
Prema tome, za ﬁksiranoktvrdˉenje teoreme je taˇcno i zan=m+ 1, ˇsto,
zapravo, znaˇci da je tvrdˉenje teoreme taˇcno za svakon.∗
Pod pretpostavkom da sum,niknenegativni brojevi, bez dokaza navo-
dimo i slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.2.5.Vaˇze identiteti:

n
0
!
+

n
1
!
+∆ ∆ ∆+

n
n
!
= 2
n
,

n
0
!
−

n
1
!
+∆ ∆ ∆+ (−1)
n

n
n
!
= 0 (n >0),

n
k
!
m
0
!
+

n
k+ 1
!
m
1
!
+∆ ∆ ∆+

n
k+m
!
m
m
!
=

m+n
n−k
!
,
gde jek+m≤n.
Zak= 0 tre´ci identitet se svodi na

n
0
!
m
0
!
+

n
1
!
m
1
!
+∆ ∆ ∆+

n
m
!
m
m
!
=

m+n
n
!
(m≤n).
Napomena 2.2.1.Funkciju(n, k)7→
−n
k
∆
mogu´ce je deﬁnisati i za necelobrojne
vrednosti zan. Tako, zaa∈R, imamo

a
k
!
=
a(a−1)∆ ∆ ∆(a−k+ 1)
k!
.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 35
Na primer,

1/2
3
!
=
1
2
(
1
2
−1)(
1
2
−2)
3!
=
1
16
.
Kao ˇsto je poznato, zaa, b∈Rvaˇze identiteti:
(a+b)
1
=a+b,
(a+b)
2
=a
2
+ 2ab+b
2
,
(a+b)
3
=a
3
+ 3a
2
b+ 3ab
2
+b
3
,
(a+b)
4
=a
4
+ 4a
3
b+ 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+b
4
.
Medˉutim, sada ih je mogu´ce pisati i na slede´ci naˇcin:
(a+b)
1
=
θ
1
0
´
a+
θ
1
1
´
b,
(a+b)
2
=
θ
2
0
´
a
2
+
θ
2
1
´
ab+
θ
2
2
´
b
2
,
(a+b)
3
=
θ
3
0
´
a
3
+
θ
3
1
´
a
2
b+
θ
3
2
´
ab
2
+
θ
3
3
´
b
3
,
(a+b)
4
=
θ
4
0
´
a
4
+
θ
4
1
´
a
3
b+
θ
4
2
´
a
2
b
2
+
θ
4
3
´
ab
3
+
θ
4
4
´
b
4
.
Vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.2.6.Za svakon∈Nvaˇzi jednakost
(2.2.2) ( a+b)
n
=
n
X
i=0
θ
n
i
´
a
n−i
b
i
.
Dokaz.Kao ˇsto smo videli, jednakost (2.2.2) je taˇcna zan= 1,2,3,4.
Pretpostavimo da je ona taˇcna zan=k≥1, tj. pretpostavimo da vaˇzi
(a+b)
k
=
k
X
i=0
θ
k
i
´
a
k−i
b
i
(k∈N).

36 OSNOVI ALGEBRE
Tada je
(a+b)
k+1
= (a+b)
k
X
i=0

k
i
!
a
k−i
b
i
=
k
X
i=0

k
i
!
a
k+1−i
b
i
+
k
X
i=0

k
i
!
a
k−i
b
i+1
=
k
X
i=0

k
i
!
a
k+1−i
b
i
+
k+1
X
i=1

k
i−1
!
a
k+1−i
b
i
=

k
0
!
a
k+1
+
k
X
i=1

k
i
!
+

k
i−1
!!
a
k+1−i
b
i
+

k
k
!
b
k+1
.
Kako je
−k
0
∆
=
−k+ 1
0
∆
,
−k
k
∆
=
−k+ 1
k+ 1
∆
i
−k
i
∆
+
−k
i−1
∆
=
−k+ 1
i
∆
, zakljuˇcujemo
da je
(a+b)
k+1
=

k+ 1
0
!
a
k+1
+
k
X
i=1

k+ 1
i
!
a
k+1−i
b
i
+

k+ 1
k+ 1
!
b
k+1
=
k+1
X
i=0

k+ 1
i
!
a
k+1−i
b
i
,
tj. da je jednakost (2.2.2) taˇcna i zan=k+ 1.
Prema tome, tvrdˉenje teoreme je taˇcno za svakon∈N.∗
Jednakost (2.2.2) je poznata kaoNewtonova
8)
binomna formula.
Binomni koeﬁcijenti
−n
0
∆
,
−n
1
∆
, . . . ,
−n
n
∆
mogu se generisati pomo´cu tzv.
Pascalovog
9)
trougla
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
ˇcija se konstrukcija zasniva na primeni jednakosti 3
◦
iz teoreme 2.2.3.
8)
Isac Newton (1643–1727), veliki engleski matematiˇcar i ﬁziˇcar.
9)
Blaise Pascal (1623–1662), francuski matematiˇcar.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 37
Napomena 2.2.2.Iz binomne formule (2.2.2) neposredno sleduju prva i druga
jednakost u teoremi 2.2.5 ako se stavia=b= 1 ia=−b= 1, respektivno.
Napomena 2.2.3.Moˇze se dokazati da vaˇzi i opˇstija, tzv.trinomna formula
(a+b+c)
n
=
n
X
i=0
n−i
X
j=0

n
i
!
n−i
j
!
a
i
b
j
c
n−i−j
.
2.3. Osnovi kombinatorike
U ovom odeljku razmotri´cemo samo izvesne elemente kombinatorike i to:
permutacije, kombinacije i varijacije.
1. Permutacije.Neka jeSn={a1, a2, . . . , an}konaˇcan skup ip
obostrano jednoznaˇcno preslikavanje skupaSnna skupSn.
Simboliˇcki to preslikavanjep:Sn→Snmoˇze se predstaviti u obliku
(2.3.1) p=
θ
a1a2. . . an
ai1
ai2
. . . ain
´
,
koji omogu´cava da se uoˇci slikaaik
svakog elementaak(k= 1,2, . . . , n).
Zapravo vidi se da jeaik
=p(ak), gde suai1
,ai2
,. . .,ain
razliˇciti elementi
skupaSn.
Deﬁnicija 2.3.1.Svako obostrano jednoznaˇcno preslikavanje skupaSnna
skupSnzovemopermutacijaelemenataa1, a2, . . . , anskupaSn.
Pokaza´cemo da broj takvih preslikavanja, tj. broj permutacija, zavisi od
broja elemenata skupaSn. Oznaˇcimo, zbog toga, taj broj saP(n).
Oˇcigledno, ako jeS1={a1}, tada je preslikavanjea17→p1(a1) =a1, tj.
identiˇcno preslikavanje, jedino obostrano jednoznaˇcnopreslikavanje skupa
S1na skupS1. Dakle,P(1) = 1.
Za skupS2={a1, a2}, pored identiˇckog preslikavanja
x7→p1(x) =x(x=a1, a2)
i preslikavanjep2, odredˉeno sa
a17→p2(a1) =a2ia27→p2(a2) =a1,

38 OSNOVI ALGEBRE
je biunivoko preslikavanje skupaS2na skupS2. U skladu sa prethodno
uvedenom notacijom (2.3.1) imamo
p1=
θ
a1a2
a1a2
´
ip2=
θ
a1a2
a2a1
´
.
Prema tome,P(2) = 2.
Nije teˇsko utvrditi da za skupS3={a1, a2, a3}postoji ˇsest obostrano
jednoznaˇcnih preslikavanja skupaS3na skupS3:
p1:a17→p1(a1) =a1, a27→p1(a2) =a2, a37→p1(a3) =a3;
p2:a17→p2(a1) =a1, a27→p2(a2) =a3, a37→p2(a3) =a2;
p3:a17→p3(a1) =a2, a27→p3(a2) =a1, a37→p3(a3) =a3;
p4:a17→p4(a1) =a2, a27→p4(a2) =a3, a37→p4(a3) =a1;
p5:a17→p5(a1) =a3, a27→p5(a2) =a1, a37→p5(a3) =a2;
p6:a17→p6(a1) =a3, a27→p6(a2) =a2, a37→p6(a3) =a1,
tj. preslikavanja:
p1=
„
a1a2a3
a1a2a3
«
, p2=
„
a1a2a3
a1a3a2
«
, p3=
„
a1a2a3
a2a1a3
«
,
p4=
„
a1a2a3
a2a3a1
«
, p5=
„
a1a2a3
a3a1a2
«
, p6=
„
a1a2a3
a3a2a1
«
.
To znaˇci da jeP(3) = 6.
Kako jeP(1) = 1 = 1!,P(2) = 2 = 2! iP(3) = 6 = 3!, intuitivno se
moˇze pretpostaviti da jeP(n) =n!. Matematiˇckom indukcijom dokaza´cemo
da je ova pretpostavka taˇcna.
Pre formulisanja odgovaraju´ce teoreme, ukaza´cemo na slede´ce: Oˇcigledno,
permutacija
p1=
θ
a1a2. . . an
a1a2. . . an
´
je identiˇcko preslikavanje skupaSnna skupSn. Tu permutaciju zva´cemo
osnovna permutacijailipolazna permutacija. Naravno, svaka druga permu-
tacija se moˇze identiﬁkovati sa zapisom
ai1
ai2
. . . ain
,
ˇsto, u stvari, predstavlja drugi red u notaciji (2.3.1).
U daljem tekstu ˇcesto ´cemo koristiti ovakav naˇcin pisanja permutacija.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 39
Teorema 2.3.1.Broj permutacija skupa odnelemenata jeP(n) =n!.
Dokaz.Kao ˇsto smo videli, tvrdˉenje je taˇcno zan= 1,2,3. Pretpostavimo
da je tvrdˉenje taˇcno za nekon=k≥1, tj. pretpostavimo da jeP(k) =k!.
Da bismo odrediliP(k+ 1), posmatrajmo skupSk+1, tj. skup eleme-
nataa1, a2, . . . , ak, ak+1. Kako je broj permutacija elemenataa1, a2, . . . , ak
prema induktivnoj hipotezi jednakP(k) =k!, broj permutacija elemenata
skupaSk+1dobi´cemo na slede´ci naˇcin:
Za svaku permutaciju elemenata skupaSkodredi´cemo one permutacije
elemenata skupaSk+1za koje je elementak+1na poslednjem mestu u re-
dosledu. Na primer, za permutacijua1a2a3. . . akimamoa1a2. . . akak+1; za
permutacijua1a3a2a4. . . akpermutacijua1a3a2a4. . . akak+1. Takvih per-
mutacija elemenata skupaSk+1ima onoliko koliko ima permutacija eleme-
nata skupaSk, ˇsto znaˇcik!.
Zatim ´cemo, za svaku permutaciju elemenata skupaSk, odrediti one per-
mutacije elemenata skupaSk+1za koje je elementak+1na pretposlednjem,
k-tom mestu. Naravno, i takvih permutacija skupaSk+1imak! i sve su one
nove, tj. razliˇcite od prethodnihk! permutacija.
Produˇzuju´ci ovaj postupak odredˉivanja novihk! permutacija elemenata
skupaSk+1za svako novo mesto elementaak+1u redosledu, dobijamo da je
broj permutacija elemenata skupaSk+1odredˉen sa
P(k+ 1) =P(k)(k+ 1) =k!(k+ 1) = (k+ 1)!.
Dakle, za svakon∈NvaˇziP(n) =n!.∗
Napomena 2.3.1.Ovaj dokaz teoreme 2.3.1 je konstruktivan jer ukazuje na
postupak za dobijanje permutacija. Postupak se sastoji u slede´cem:
Zadrˇzi se elementa1i njemu se sa desne strane dopiˇsu sve permutacije od
preostalihn−1 elemenata. Dopisuju se, dakle, (n−1)! permutacija od elemenata
a2, a3, . . . , an. Na taj naˇcin dobijaju se prvih (n−1)! permutacija elemenata
a1, a2, . . . , an.
Zatim se zadrˇzi elementa2, pa se njemu dopiˇsu zdesna svih (n−1)! permutacija
od elemenataa1, a3, . . . , an. Ovako dobijene permutacije predstavljaju narednih
(n−1)! permutacija odnelemenataa1, a2, . . . , an.
Na kraju, elementuandopiˇsu se sve prethodno dobijene permutacije od eleme-
nataa1, a2, . . . , an−1. Ovih (n−1)! permutacija ˇcine poslednju grupu permutacija
od elemenataa1, a2, . . . , an.
Napomena 2.3.2.Ovaj postupak ukazuje na mogu´cnost utvrdˉivanja redosle-
da dobijanja permutacija. To, zapravo, znaˇci da se skup svih permutacija uoˇcenih

40 OSNOVI ALGEBRE
elemenata moˇze urediti tako da svaka permutacija ima svoj indeks koji ukazuje na
njeno mesto u tako uredˉenom skupu permutacija. Dakle, ako saPnoznaˇcimo skup
svih permutacija odnelemenata, tada imamo
Pn=
˘
p1, p2, . . . , p
n!

,
gde smo sapνoznaˇcili permutaciju ˇciji je indeksν.
U prethodnom razmatranju permutacijua1a2. . . ansmo uzimali za polaznu ili
osnovnu permutaciju. Uobiˇcajeno je da se za osnovnu permutaciju uzima ona per-
mutacija kod koje su elementi poredˉani na leksikografski naˇcin, tj. sliˇcno naˇcinu
kako su poredˉane reˇci u reˇcniku. Ako su elementi slova, tada se za osnovnu per-
mutaciju uzima njihov azbuˇcni ili abecedni redosled, u zavisnosti od toga da li se
radi o ´ciriliˇcnim ili latiniˇcnim slovima. Ako su, pak, elementi prirodni brojevi, tada
se u osnovnoj permutaciji oni redˉaju po veliˇcini.
U opˇstem sluˇcaju, kada imamo skup odnproizvoljnih elemenata, tada uvodˉe-
njem jedne relacije uredˉenja≺taj skup postaje uredˉen. Njegovi elementi se tada
mogu preimenovati ua1,a2,. . .,an, tako da je
(2.3.2) a1≺a2≺ ≺an.
Saglasno prethodnom, permutacijap1=a1a2. . . anje polazna ili osnovna permu-
tacija. Ponekad piˇsemop1= (a1a2. . . an).
Na primer, neka jeS5={α,1,∗, r,◦}. Ako uvedemo relaciju poretka≺tako da
je 1≺r≺α≺ ◦ ≺ ∗i izvrˇsimo preimenovanje: 1→a1,r→a2,α→a3,◦ →a4i
∗ →a5, polazna permutacija u skupuS5jep1= (1r α◦ ∗).
Za dve permutacijepν=ai1
ai2
. . . ain
ipμ=aj1
aj2
. . . ajn
, u skladu sa uve-
denim uredˉenjem elemenata, mogu´ce je utvrditi njihov uzajamni poredak. Ako je
i1< j1 ili i1=j1, . . . , i
k−1=j
k−1, i
k< j
k (k≤n),
tada kaˇzemo da je permutacijapνispred permutacijepμ.
Za redosled elemenata u osnovnoj permutaciji kaˇzemo da je normalan.
Naravno, u svakoj drugoj permutaciji taj normalni redosledje naruˇsen. Ako
jedna permutacija nastaje iz neke druge tako ˇsto dva elementa zamene svoja
mesta, kaˇzemo da je ta permutacija nastalatranspozicijomtih elemenata.
Neka je skupSnuredˉen relacijom≺tako da vaˇzi (2.3.2). Za elementeaik
iaim
u permutaciji
ai1
. . . aik
. . . aim
. . . ain
kaˇzemo da obrazujuinverzijuako jeik> im. Ako je u nekoj permutaciji
broj parova elemenata koji obrazuju inverzije jednakj, tada kaˇzemo da ta
permutacija imajinverzija.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 41
Deﬁnicija 2.3.2.Za permutaciju kaˇzemo da jeparnaili da jeparne klase
ako ima paran broj inverzija.
Za permutaciju koja ima neparan broj inverzija kaˇzemo da jeneparnaili
da jeneparne klase.
Osnovna permutacija je parna.
Teorema 2.3.2.Permutacije koje nastaju jedna iz druge transpozicijom
dva elementa pripadaju razliˇcitim klasama parnosti.
Dokaz.Ako su elementi ˇcijom transpozicijom nastaje nova permutacija
susedni elementi, tada se broj inverzija u ovim permutacijama razlikuje za je-
dinicu. U tom sluˇcaju se posmatrane permutacije zaista razlikuju u parnosti,
tj. pripadaju razliˇcitim klasama.
Pretpostavimo sada da se izmedˉu elemenata ˇcijom je transpozicijom na-
stala nova permutacija nalaziselemenata. Nova permutacija je, u stvari,
nastala tako ˇsto je jedan od tih elemenata izvrˇsiosuzastopnih transpozi-
cija sa susednim elementima, a drugis+ 1 transpoziciju sa sebi susednim
elementima. Prema tome, izvrˇseno je ukupno 2s+ 1 transpozicija susednih
elemenata, ˇsto znaˇci da je broj inverzija promenjen za neparan broj.
Dakle, i u ovom sluˇcaju ove dve permutacije pripadaju razliˇcitim klasama
parnosti.Λ
Primer 2.3.1.Neka jeS5={a1, a2, a3, a4, a5}. Odredi´cemo broj inverzija u
permutacijia4a1a2a5a3u odnosu na osnovnu permutacijua1a2a3a4a5.
Kako inverzije obrazuju slede´ci parovi elemenata:
(a4, a1),(a4, a2),(a4, a3),(a5, a3),
zakljuˇcujemo da je broj inverzija u permutacijia4a1a2a5a3jednak ˇcetiri. Dakle,
ova permutacija je parne klase.△
Primer 2.3.2.Ako sai(p
k) oznaˇcimo broj inverzija u permutacijip
kskupa
S3={a1, a2, a3}, imamo
i(p1) =i(a1a2a3) = 0, i(p2) =i(a1a3a2) = 1
i(p3) =i(a2a1a3) = 1, i(p4) =i(a2a3a1) = 2
i(p5) =i(a3a1a2) = 2, i(p6) =i(a3a2a1) = 3.
Dakle, permutacijep1,p4ip5su parne klase, dok sup2,p3ip6neparne
klase.△
Napomenimo da se sa permutacijama mogu izvoditi izvesne operacije kao,
na primer, mnoˇzenje permutacija. Ilustrova´cemo to na skupu svih permuta-
cija od elemenata 1,2,3.

42 OSNOVI ALGEBRE
Posmatrajmo, dakle, skupP3={123,132,213,231,312,321},tj. skup
æ`
1 2 3
1 2 3
´
,
`
1 2 3
1 3 2
´
,
`
1 2 3
2 1 3
´
,
`
1 2 3
2 3 1
´
,
`
1 2 3
3 1 2
´
,
`
1 2 3
3 2 1
⊇⊃
.
Ako, kao i ranije, uvedemo oznake
p1=
`
1 2 3
1 2 3
´
, p2=
`
1 2 3
1 3 2
´
, p3=
`
1 2 3
2 1 3
´
,
p4=
`
1 2 3
2 3 1
´
, p5=
`
1 2 3
3 1 2
´
, p6=
`
1 2 3
3 2 1
´
,
skupP3je odredˉen saP3={p1, p2, p3, p4, p5, p6}.
Napomena 2.3.3.Nije teˇsko proveriti da permutacije
`
1 2 3
2 3 1
´
,
`
1 3 2
2 1 3
´
,
`
2 1 3
3 2 1
´
,
`
2 3 1
3 1 2
´
,
`
3 1 2
1 2 3
´
,
`
3 2 1
1 3 2
´
predstavljaju jednu istu permutaciju, jer u svakoj od njih 1prelazi u 2, 2 prelazi
u 3 i 3 prelazi u 1. U stvari, svako od ovih pisanja jedne iste permutacije moˇze se
dobiti iz bilo kog drugog permutovanjem kolona
1
2
,
2
3
,
3
1
.
Deﬁnisa´cemo sada uP3mnoˇzenje permutacija.
Uoˇcimo dve permutacije iz skupaS3, na primer permutacije
p3=
`
1 2 3
2 1 3
´
ip5=
`
1 2 3
3 1 2
´
,
i neka je njihov proizvodp3∆p5permutacija

1 2 3
x y z
!
.Dakle, neka je
p3∆p5=
`
1 2 3
2 1 3
´
∆
`
1 2 3
3 1 2
´
=
`
1 2 3
x y z
´
.
Kako su

1 2 3
3 1 2
!
i

2 1 3
1 3 2
!
jedna ista permutacijap5, imamo
p3∆p5=
`
1 2 3
2 1 3
´
∆
`
1 2 3
3 1 2
´
=
`
1 2 3
2 1 3
´
∆
`
2 1 3
1 3 2
´
.
Za ovako napisane permutacijep3ip5uoˇcavamo da je gornji red cifara u
permutacijip5istovetan donjem redu cifara u permutacijip3.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 43
Kada su permutacijep3ip5tako napisane, tada za permutacijup3∆p5
kaˇzemo da je permutacija ˇciji se gornji red cifara poklapasa gornjim redom
u permutacijip3, a donji red sa donjim redom cifara u permutacijip5.
Prema tome, imamo
p3∆p5=
θ
1 2 3
2 1 3
⊇
∆
θ
2 1 3
1 3 2
⊇
=
θ
1 2 3
1 3 2
⊇
,
tj.p3∆p5=p2. Takodˉe,
p3∆p4=
θ
1 2 3
2 1 3
⊇
∆
θ
1 2 3
2 3 1
⊇
=
θ
1 2 3
2 1 3
⊇
∆
θ
2 1 3
3 2 1
⊇
=
θ
1 2 3
3 2 1
⊇
=p6,
p5∆p4=
θ
1 2 3
3 1 2
⊇
∆
θ
1 2 3
2 3 1
⊇
=
θ
1 2 3
3 1 2
⊇
∆
θ
3 1 2
1 2 3
⊇
=
θ
1 2 3
1 2 3
⊇
=p1,
p4∆p3=
θ
1 2 3
2 3 1
⊇
∆
θ
1 2 3
2 1 3
⊇
=
θ
1 2 3
2 3 1
⊇
∆
θ
2 3 1
1 3 2
⊇
=
θ
1 2 3
1 3 2
⊇
=p2.
Dakle, ako su
pi=
θ
1 2 3
i1i2i3
⊇
ipj=
θ
1 2 3
j1j2j3
⊇
permutacije za koje treba odrediti proizvodpi∆pj, tada permutovanjem po
kolonama, prvo permutacijupjdovodimo na oblik
pj=
θ
1 2 3
j1j2j3
⊇
=
θ
i1i2i3
k1k2k3
⊇
,
a zatim zakljuˇcujemo da je proizvodpi∆pjodredˉen sa
pi∆pj=
θ
1 2 3
i1i2i3
⊇
∆
θ
1 2 3
j1j2j3
⊇
=
θ
1 2 3
i1i2i3
⊇
∆
θ
i1i2i3
k1k2k3
⊇
=
θ
1 2 3
k1k2k3
⊇
=pk.
Ovim smo deﬁnisalimnoˇzenjepermutacija u skupuP3.
Naravno, ako posmatramo skupPn, tj. skup svih permutacija od eleme-
nata 1,2, . . . , n, na isti naˇcin je mogu´ce deﬁnisati mnoˇzenje permutacijapi
ipjizPn, tj. permutacija
pi=
θ
1 2. . . n
i1i2. . . in
⊇
ipj=
θ
1 2 . . . n
j1j2. . . jn
⊇
.

44 OSNOVI ALGEBRE
Naime, ako permutovanjem po kolonama permutacijupjdovedemo na
oblik
pj=
θ
1 2 . . . n
j1j2. . . jn
´
=
θ
i1i2. . . in
k1k2. . . kn
´
,
proizvodpi∆pjdeﬁniˇsemo kao permutacijupkkoju odredˉujemo na slede´ci
naˇcin:
pi∆pj=
θ
1 2. . . n
i1i2. . . in
´
∆
θ
1 2 . . . n
j1j2. . . jn
´
=
θ
1 2. . . n
i1i2. . . in
´
∆
θ
i1i2. . . in
k1k2. . . kn
´
=
θ
1 2 . . . n
k1k2. . . kn
´
=pk.
Napomena 2.3.4.Mnoˇzenje permutacijapiipj, u stvari, predstavlja kom-
poziciju ta dva preslikavanja.
O nekim osobinama mnoˇzenja permutacija bi´ce reˇci u odeljku 4.1.
2. Kombinacije.Posmatrajmo sada skupSn={a1, a2, . . . , an}i sve
njegove neprazne podskupove ukljuˇcuju´ci i sˆam skupSn, pretpostavljaju´ci
pri tom uredˉenje (2.3.2).
Deﬁnicija 2.3.3.Za svaki podskup skupaSn(k≤n), u oznaci
ai1
ai2
. . . aik
(i1, i2, . . . , ik∈ {1,2, . . . , n}),
kaˇzemo da jekombinacijaklasekodnelemenataa1, a2, . . . , an.
Za kombinaciju klasekkaˇzemo i da je kombinacijak-te klase.
Napomena 2.3.5.Kao ˇsto ´cemo videti, pretpostavka o leksikografskom ispi-
sivanju ovih podskupova omogu´cava lakˇse dobijanje kombinacija odredˉene klase, a
naroˇcito odredˉivanje njihovog broja.
Primer 2.3.3.Neka jeS4={a, b, c, d}. Kombinacije druge klase su
ab, ac, ad, bc, bd, cd,
a kombinacije tre´ce klase
abc, abd, acd, bcd.
Kombinacije prve klase sua, b, c, d, a jedina kombinacija ˇcetvrte klase jeabcd.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 45
Napomenimo da je, na primer, kombinacijuabcmogu´ce pisati na bilo koji od
slede´cih naˇcina:acb,bac,bca,cab,cba, ako bi se izostavila pretpostavka o uredˉenju
skupaS4. Svih ˇsest pisanja, u stvari, predstavljaju jednu istu kombinaciju.△
Za skupSn={a1, a2, . . . , an}kombinacije prve klase su svi elementi
a1, a2, . . . , anuzeti ponaosob, tj. kombinacije prve klase sua1, a2, . . . , an.
Njih je, naravno,nna broju.
Sve kombinacije druge klase dobi´cemo ako svakom elementuai(i=
1,2, . . . , n−1) pridodamo zdesna, tj. ako mu dopiˇsemo sa desne strane,
svaki od elemenataai+1, ai+2, . . . , an. Prema tome, ukupan broj kombi-
nacija druge klase jednak je broju elemenata koje na ovaj naˇcin dodajemo
elementimaai(i= 1,2, . . . , n−1). Kako je za svaki elementainjihov broj
n−i, ukupan broj kombinacija druge klase odnelemenata je
(n−1) + (n−2) +∆ ∆ ∆+ 1 =
θ
n−1
1
´
+
θ
n−2
1
´
+∆ ∆ ∆+
θ
1
1
´
=
θ
n
2
´
.
Do ovog ukupnog broja kombinacija druge klase odnelemenata, mogli
smo da dodˉemo i na naˇcin koji ´cemo izloˇziti za utvrdˉivanje broja kombinacija
tre´ce klase.
Naime, broj kombinacija tre´ce klase odnelemenata, u kojima je element
a1na prvom mestu, jednak je broju kombinacija druge klase od elemenata
a2, a3, . . . , an. Kako tih kombinacija ima
−
n−1
2
∆
, broj kombinacija tre´ce
klase, u kojima je elementa1na prvom mestu, jednak je
−
n−1
2
∆
.
Isto tako, broj kombinacija tre´ce klase, u kojima je elementa2na prvom
mestu, jednak je broju kombinacija druge klase od elemenataa3, a4, . . . , an,
tj. jednak je broju
−n−2
2
∆
.
Naravno, broj kombinacija tre´ce klase, u kojima je elementa3na prvom
mestu jednak je
−n−3
2
∆
.
I na kraju, broj kombinacija tre´ce klase, u kojima je elementan−2na
prvom mestu, jednak je jedinici, jer se radi o jednoj jedinojkombinaciji
an−2an−1an. Broj tih kombinacija je, dakle, jednak jedinici, tj. njihov broj
je
−
n−(n−2)
2
∆
=
−
2
2
∆
.
Prema tome, ukupan broj kombinacija tre´ce klase odnelemenata jed-
nak je
θ
n−1
2
´
+
θ
n−2
2
´
+∆ ∆ ∆+
θ
2
2
´
=
θ
n
3
´
.

46 OSNOVI ALGEBRE
Kao ˇsto smo videli, broj kombinacija prve klase je
−
n
1
∆
, klase dva je
−
n
2
∆
i
tre´ce klase
−n
3
∆
.
Broj kombinacija klasekodnelemenata zavisi, dakle, i od brojani od
brojak. Ako taj broj oznaˇcimo saC
k
n
, tada je, oˇcigledno,
C
1
n=
θ
n
1
⊇
, C
2
n=
θ
n
2
⊇
, C
3
n=
θ
n
3
⊇
.
Prirodno, name´ce se pretpostavka da jeC
k
n=
−n
k
∆
. Metodom matematiˇcke
indukcije dokaza´cemo da je ova pretpostavka taˇcna.
Teorema 2.3.3.Broj kombinacija klasekodnelemenata(1≤k≤n)
odredˉen je saC
k
n=
θ
n
k
⊇
.
Dokaz.Dokaz ´cemo izvesti matematiˇckom indukcijom, naravno, u odnosu
nak, pretpostavljaju´ci da jenﬁksirani prirodan broj.
Kao ˇsto smo videli, tvrdˉenje teoreme je taˇcno zak= 1,2,3. Stoga ´cemo
pretpostaviti da je teorema taˇcna i zak=m≥1.
Broj kombinacija klasem+ 1, od elemenataa1, a2, . . . , an, u kojima je
elementa1na prvom mestu, jednak je broju kombinacija klasemod ele-
menataa2, a3, . . . , an. Taj broj je, prema induktivnoj pretpostavci, jednak
−
n−1
m
∆
.
Naravno, broj kombinacija klasem+ 1 od elemenataa1, a2, . . . , an, u
kojima je elementa2na prvom mestu, jednak je broju kombinacija klasem
od elemenataa3, a4, . . . , an. Prema tome, njihov broj iznosi
−n−2
m
∆
.
Najzad, broj kombinacija klasem+1, u kojima je elementan−mna prvom
mestu, iznosi
−n−(n−m)
m
∆
=
−m
m
∆
, tj. ravan je jedinici.
Kako nema drugih kombinacija klasem+1 odnelemenata, zakljuˇcujemo
da je njihov ukupan broj
C
m+1
n=
θ
n−1
m
⊇
+
θ
n−2
m
⊇
+∆ ∆ ∆+
θ
m
m
⊇
=
θ
n
m+ 1
⊇
.
Tvrdˉenje teoreme je, prema tome, taˇcno i zak=m+ 1. Dakle, za svako
k= 1,2, . . . , n, vaˇzi jednakostC
k
n=
−
n
k
∆
.∗
3. Varijacije.Smatraju´ci svaku kombinaciju klasekodnelemenata kao
osnovni poredak odgovaraju´cihkelemenata, mogu´ce je elemente te kombi-
nacije permutovati, tj. menjati im poredak u kombinaciji.

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 47
Deﬁnicija 2.3.4.Za bilo koju permutaciju kombinacije klasekodnele-
menata kaˇzemo da jevarijacijaklasekod tihnelemenata.
Primer 2.3.4.Varijacije druge klase od elemenataa, b, c, dsu sve permutacije
kombinacija druge klase, tj. kombinacija
ab, ac, ad, bc, bd, cd.
Prema tome, sve varijacije druge klase od elemenataa, b, c, dsu
ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
Dakle, ima ih ukupno 12.
Sve varijacije ˇcetvrte klase su, u stvari, sve permutacijejedine kombinacijeabcd.
Kako je broj tih permutacija jednak 24, zakljuˇcujemo da je ukupan broj varijacija
ˇcetvrte klase od ˇcetiri elementa, takodˉe jednak 24.△
Kao ˇsto vidimo, i broj varijacija klasekodnelemenata zavisi i odni od
k, gde je, naravno, 1≤k≤n. Ako taj broj oznaˇcimo saV
k
n, pokaza´cemo
da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.3.4.Broj varijacija klasek(1≤k≤n)odnelemenata odredˉen
je sa
V
k
n
=
n!
(n−k)!
.
Dokaz.Kako se sve varijacije klasekodnelemenata, prema deﬁniciji
2.3.5, dobijaju permutovanjem elemenata svih kombinacijaiste klasek, za-
kljuˇcujemo da ih jek! puta viˇse od svih kombinacija klasek.
Ima ih, dakle,V
k
n=k!C
k
n, tj. ima ih
V
k
n=k!C
k
n=k!
θ
n
k
´
=
n!
(n−k)!
.∗
4. Permutacije, kombinacije i varijacije sa ponavljanjem.Pret-
postavimo, sada, da medˉu elementima skupaSnima jednakih medˉu sobom.
Na primer, neka se elementa1ponavljai1puta, i neka su ostali elementi
a2,. . .,am(i1+m−1 =n) medˉu sobom razliˇciti. Naravno,moznaˇcava
broj razliˇcitih elemenata u skupuSn. Tada se permutacije koje nastaju
transpozicijama jednakih elemenata ne razlikuju jedna od druge. Dakle,
u ovom sluˇcaju, stvarni broj permutacija je manji odP(n). Oznaˇcimo sa
P
(i1,1,... ,1)
(n) taj broj. U tom sluˇcaju, tj. u sluˇcaju kada medˉu elementima

48 OSNOVI ALGEBRE
skupaSnima jednakih, tj. kada se neki od njih ponavljaju, za permutacije
kaˇzemo da su permutacije odnelemenata sa ponavljanjem.
Primer 2.3.5.Permutacije sa ponavljanjem od elemenataa, a, a, b, csu slede´ce
permutacije:
aaabc, aaacb, aabac, aabca, aacab,
aacba, abaac, abaca, abcaa, acbaa,
acaba, acaab, baaac, baaca, bacaa,
bcaaa, caaab, caaba, cabaa, cbaaa.
Dakle, njih jeP
(3,1,1)
(5) = 20 ukupno.△
Medˉutim, moˇze se desiti da se u skupuSnpored elementaa1, koji se
ponavljai1puta, ponavlja i elementa2, na primer,i2puta, a da su ostali
elementia3,. . .,am(i1+i2+m−2 =n) medˉu sobom razliˇciti. Tada ´cemo
ukupan broj takvih permutacija oznaˇcavati saP
(i1,i2,1,... ,1)
(n).
Primer 2.3.6.Od elemenataa, a, b, b, cdobijaju se slede´cihP
(2,2,1)
(5) = 30
permutacija sa ponavljanjem:
aabbc, aabcb, aacbb, ababc, abacb, abbac,
abbca, abcab, abcba, acabb, acbab, acbba,
baabc, baacb, babac, babca, bacab, bacba,
bbaac, bbaca, bbcaa, bcaab, bcaba, bcbaa,
caabb, cabab, cabba, cbaab, cbaba, cbbaa. △
Bez ikakvih ograniˇcenja, moˇze se pretpostaviti da se skupSnsastoji od
mrazliˇcitih elemenata, ali tako da se elementakponavljaikputa (k=
1,2, . . . , m), pri ˇcemu je, naravno,
i1+i2+∆ ∆ ∆+im=n.
Ako saP
(i1,i2,... ,im)
(n) oznaˇcimo ukupan broj permutacija sa ponavlja-
njimai1, i2, . . . , imodnelemenata vaˇzi slede´ce tvrdˉenje koje navodimo bez
dokaza:
Teorema 2.3.5.Ukupan broj permutacija odnelemenata sa ponavljanjima
i1, i2, . . . , im(i1+i2+∆ ∆ ∆+im=n)jednak je
P
(i1,i2,... ,im)
(n) =
n!
i1!i2!∆ ∆ ∆im!
.
Ako medˉu elementima nema jednakih, tada je oˇcigledno
P
(1,1,... ,1)
(n)≡P(n).

MATEMATI ˇCKA INDUKCIJA I KOMBINATORIKA 49
Neka su sada, opet, elementia1, a2, . . . , anmedˉu sobom razliˇciti. Dakle,
neka imamonrazliˇcitih elemenata. Pretpostavimo da se svaki od ovih ele-
menata moˇze uzimati barkputa.
Sada ´cemo formirati kombinacije klasekod elemenataa1, a2, . . . , an, ali
tako da se svaki od ovih elemenata u tim kombinacijama pojavljuje najviˇse
kputa, dakle,kputa,k−1 puta,. . ., jednom ili nijednom.
Za takve kombinacije kaˇzemo da su kombinacije sa ponavljanjem, klasek
odnelemenata.
Primer 2.3.7.Kombinacije sa ponavljanjem, druge klase od elemenataa, b, c
su:
aa, ab, ac, bb, bc, cc.
Ukupno ih je 6.△
Primer 2.3.8.Kombinacije sa ponavljanjem, tre´ce klase od elemenataa, b, c
su:
aaa, aab, aac, abb, abc, acc, bbb, bbc, bcc, ccc.
Ima ih, dakle, 10.△
Primer 2.3.9.Kombinacije sa ponavljanjem, ˇcetvrte klase od elemenataa, b, c
su:
aaaa, aaab, aaac, aabb, aabc,
aacc, abbb, abbc, abcc, accc,
bbbb, bbbc, bbcc, bccc, cccc.
Kao ˇsto vidimo, ukupno ih je 15.△
Ako ukupan broj kombinacija sa ponavljanjem, klasekodnelemenata,
oznaˇcimo saC
k
n
, moˇze se dokazati da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.3.6.Ukupan broj kombinacija sa ponavljanjem, klasekodn
elemenata, odredˉen je saC
k
n
=
θ
n+k−1
k
´
.
Naravno, sada se moˇze govoriti i o varijacijama sa ponavljanjem. Naime,
permutacije sa ponavljanjem svih kombinacija sa ponavljanjem, klasekod
nelemenata su, u stvari, varijacije sa ponavljanjem, klasekodnelemenata.
Primer 2.3.10.Permutovanjem svih kombinacija iz primera 2.3.8 dobijamo
varijacije sa ponavljanjem, tre´ce klase od elemenataa, b, c,
aaa, aab, aba, baa, aac, aca, caa, abb, baa,
bba, abc, acb, bac, bca, cab, cba, acc, caa,
cca, bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc.
Kao ˇsto se vidi, ima ih ukupno 27.△
Ako saV
k
noznaˇcimo broj svih varijacija sa ponavljanjem, klasekodn
elemenata, tada vaˇzi slede´ce tvrdˉenje, koje takodˉe navodimo bez dokaza:

50 OSNOVI ALGEBRE
Teorema 2.3.7.Broj svih varijacija sa ponavljanjem, klasekodneleme-
nata, odredˉen je saV
k
n
=n
k
.
3. ALGEBARSKE STRUKTURE
3.1. Binarna operacija, osnovne strukture i morﬁzmi
Neka jeGneprazan skup ifpreslikavanje skupaG
2
u skupG. Dakle,
neka elementiaibizG, kao uredˉeni par (a, b)∈G
2
, odredˉuju preslikavanjem
fjedan elementcizG, tako da jec=f(a, b).
ˇ
Cini se, kao da elementia
ibizG, na odredˉeni naˇcin, proizvode, odredˉuju, tre´ci elementc, takodˉe iz
G. ElementiaibizGstupaju u jednu operaciju kojom se dobija elementc
izG.
Deﬁnicija 3.1.1.Preslikavanje (a, b)7→c=f(a, b) (a, b, c∈G), u oznaci
a∗b=c, zovemobinarna operacija.
Nadalje ´cemo sa∗, ili na neki drugi naˇcin, na primer sa◦,⋄, ⋆, . . ., ozna-
ˇcavati binarnu operaciju u smislu deﬁnicije 3.1.1. Tada kaˇzemo da je skup
Gsnabdeven operacijom∗. Tu ˇcinjenicu ´cemo simbolizovati sa (G,∗).
Naravno, mogu´ce je u istom skupu deﬁnisati viˇse operacija, na primer, u
skupuGoperacije∗i◦. Tada bismo imali oznaˇcavanje (G,∗,◦).
Za (G,∗) kaˇzemo da jealgebarska struktura. Ta je struktura bogatija
ako operacija∗obiluje ve´cim brojem osobina. Bilo koja uvedena binarna
operacija ima izvesne osobine. Prirodno je ispitivati da lita operacija ima
bar neke od osobina koje imaju, na primer, nama dobro poznateoperacije
sabiranje i mnoˇzenje u skupu realnih brojeva. Medˉutim, valja ispitati da li
uvedena operacija ima i neke druge osobine.
Stoga ´cemo, pre nego ˇsto pristupimo detaljnijem ispitivanju nekih alge-
barskih struktura, deﬁnisati osnovne osobine binarnih operacija.
Neka je binarna operacija∗deﬁnisana u nepraznom skupuG.
Deﬁnicija 3.1.2.Kaˇzemo da je binarna operacija∗asocijativnaako za
svakoa, b, c∈Gvaˇzi
a∗(b∗c) = (a∗b)∗c.
Dakle, ako je operacija∗asocijativna, mogu´ce je pisati
a∗(b∗c) = (a∗b)∗c=a∗b∗c.

ALGEBARSKE STRUKTURE 51
Deﬁnicija 3.1.3.Binarna operacija∗jekomutativna, ako za svakoa, b∈G
vaˇzi jednakost
a∗b=b∗a.
Deﬁnicija 3.1.4.Ako u (G,∗) postoji elemente, takav da je za svakoa∈G
a∗e=e∗a=a,
kaˇzemo da jee∈Gneutralniilijediniˇcnielement za operaciju∗.
Ponekada, za jediniˇcni element se kaˇze da jejedinica.
Teorema 3.1.1.Ako u(G,∗)postoji neutralni element, onda je on jedin-
stven.
Dokaz.Pretpostavimo suprotno, tj. da u skupuGpostoje dva elementa
eif(e6=f), takva da je za svakoa∈G
a∗e=e∗a=a(3.1.1)
i
a∗f=f∗a=a.(3.1.2)
Kako jeaproizvoljan element izG, stavimoa=fu (3.1.1) ia=eu
(3.1.2). Tada dobijamo
f∗e=e∗f=f ie∗f=f∗e=e,
odakle sledujee=f, ˇsto je u kontradikciji sa pretpostavkome6=f.∗
Deﬁnicija 3.1.5.Ako u (G,∗) postoji neutralni elementei ako zaa∈G
postoji elementa
−1
∈G, takav da je
a
−1
∗a=a∗a
−1
=e,
kaˇzemo da jea
−1
inverzniilisimetriˇcnielement zaa∈G, u odnosu na
operaciju∗.
Naravno, ako, u smislu deﬁnicije 3.1.5, postojia
−1
∈G, tada jea∈G
inverzni element zaa
−1
. Vaˇzi, dakle, (a
−1
)
−1
=a.
Umesto oznakea
−1
za inverzni element koristimo i oznakua
′
.

52 OSNOVI ALGEBRE
Teorema 3.1.2.Neka u(G,∗)postoji neutralni elementei neka je∗aso-
cijativna operacija. Ako za elementa∈Gpostoji inverzni elementa
−1
∈G,
tada je on jedinstven.
Dokaz.Pretpostavimo suprotno, tj. neka zaa∈Gpostoje dva medˉu
sobom razliˇcita inverzna elementaa
−1
1
ia
−1
2
. Tada vaˇzi
a
−1
1
=a
−1
1
∗e=a
−1
1
∗(a∗a
−1
2
) = (a
−1
1
∗a)∗a
−1
2
=e∗a
−1
2
=a
−1
2
,
ˇsto je u suprotnosti sa uˇcinjenom pretpostavkom.∗
Izuˇci´cemo sada neke algebarske strukture. Neka je∗jedna binarna ope-
racija deﬁnisana u nepraznom skupuG.
Deﬁnicija 3.1.6.Za algebarsku strukturu (G,∗) kaˇzemo da jegrupoid.
Deﬁnicija 3.1.7.Ako je operacija∗asocijativna, za strukturu (G,∗) kaˇze-
mo da jeasocijativni grupoidilipolugrupa(ilisemigrupa).
Primer 3.1.1.Kako je operacija sabiranja u skupu prirodnih brojevaNaso-
cijativna, struktura (N,+) je asocijativni grupoid.△
Deﬁnicija 3.1.8.Ako u grupoidu (G,∗) postoji neutralni element, tada
kaˇzemo da je grupoid (G,∗) sa jedinicom.
Primer 3.1.2.Strukture (N0,+) i (N,∆) su grupoidi sa jedinicom. Neutralni
elementi u ovim strukturama su 0 i 1, respektivno.△
Deﬁnicija 3.1.9.Neka je binarna operacija∗, deﬁnisana u skupuG. Za
grupoid (G,∗) kaˇzemo da jegrupaako su ispunjeni slede´ci uslovi:
1
◦
Operacija∗je asocijativna;
2
◦
U skupuGpostoji neutralni element za operaciju∗;
3
◦
Za svaki element izGpostoji uGnjemu inverzni element u odnosu
na operaciju∗.
Primer 3.1.3.Neka jeS={1, i, j, k,−1,−i,−j,−k}i neka je uSdeﬁnisana
binarna operacija∗na slede´ci naˇcin:
1
◦
Za svakox∈Sje 1∗x=x∗1 =x;
2
◦
Za elementei, j, k∈Svaˇze jednakosti:
(a) i∗i=j∗j=k∗k=−1,
(b)i∗j=k, j∗k=i, k∗i=j,
(c)j∗i=−k, k∗j=−i, i∗k=−j;

ALGEBARSKE STRUKTURE 53
3
◦
Za svakox, y∈Sje
(−x)∗y=x∗(−y) =−(x∗y),
(−x)∗(−y) =x∗y.
Jednostavno se proverava da je ovako deﬁnisana operacija∗asocijativna, da u
skupuSpostoji neutralni elemente= 1 i da za svaki elementx∈Spostoji u
Sinverzni elementx
−1
=−xu odnosu na operaciju∗. Prema tome, struktura
(S,∗) je grupa.△
Slede´ci primer se odnosi na skup svih permutacijaP3od elemenata 1,2,3.
Uoˇcimo operaciju mnoˇzenje permutacija, u oznaci∆(videti odeljak 2.3).
Primer 3.1.4.Dokaza´cemo da je (P3,∆) grupa. Nije teˇsko proveriti da se svi
proizvodi permutacijapi∆pj(i, j= 1,2, . . . ,6) mogu predstaviti slede´com tzv.
Cayleyevom
10)
tablicom:
∆p1p2p3p4p5p6
p1p1p2p3p4p5p6
p2p2p1p4p3p6p5
p3p3p5p1p6p2p4
p4p4p6p2p5p1p3
p5p5p3p6p1p4p2
p6p6p4p5p2p3p1
Iz ove tablice moˇze se konstatovati:
1
◦
Operacija mnoˇzenje permutacija je, oˇcigledno, unutraˇsnja operacija;
2
◦
Operacija mnoˇzenje permutacija je asocijativna operacija;
3
◦
Neutralni element za operaciju mnoˇzenje permutacija je osnovna permuta-
cijap1;
4
◦
Za svaku permutacijupipostoji uP3njoj inverzna permutacijapi
−1
, takva
da jepi∆pi
−1
=pi
−1
∆pi=p1.
Prema tome, (P3,∆) je grupa.△
Bez dokaza navodimo slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.1.3.Ako jePnskup svih permutacija odnelemenata i∆mno-
ˇzenje permutacija, tada je(Pn,∆)grupa.
Za grupu (Pn,∆) kaˇzemo da je grupa permutacija odnelemenata. Isto
tako, kaˇzemo da je grupa (Pn,∆) simetriˇcna grupa stepenan.
10)
Arthur Cayley (1821–1895), engleski matematiˇcar.

54 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 3.1.10.Za grupu (G,∗) kaˇzemo da jekomutativnailiAbelova
11)
,
ako operacija∗ima osobinu komutativnosti.
Ako skupGsadrˇzi konaˇcan broj elemenata, na primern, za grupu (G,∗)
kaˇzemo da je konaˇcnog redan.
Primer 3.1.5.Neka jeS={0,1,2,3}. Uvedimo binarnu operaciju⊕tako
da je
a⊕b=c⇔a+b≡c(mod 4).
Nije teˇsko pokazati da je (S,⊕) komutativna grupa.△
Napomena 3.1.4.Kada se radi o grupi (G,∗), u sluˇcajevima kada je binarna
operacija∗prepoznatljiva ili kada ne moˇze da dodˉe do zabune o kojoj je binarnoj
operaciji reˇc, umesto grupa (G,∗), govori´cemo i pisa´cemo samo grupaG.
Deﬁnicija 3.1.11.Neka su (G1,∗) i (G2,◦) grupe i neka jefpreslikavanje
skupaG1uskupG2takvo da je, za svakoa, b∈G1,
f(a∗b) =f(a)◦f(b).
Za preslikavanjefkaˇzemo da jehomomorﬁzamgrupe (G1,∗)ugrupu
(G2,◦). Ako jefpreslikavanjena, za grupu (G2,◦) kaˇzemo da jehomo-
morfna slikagrupe (G1,∗).
Primer 3.1.6.Ako jeZskup svih celih brojeva iG={1,−1}, tada su (Z,+)
i (G,∆) grupe. Preslikavanjef:Z→G, dato sa
f(x) =

1, x= 2k(k∈Z),
−1, x= 2k+ 1 (k∈Z),
je homomorﬁzam grupe (Z,+) na grupu (G,∆).△
Deﬁnicija 3.1.12.Ako su (G1,∗) i (G2,◦) grupe istoga reda i ako jefbi-
univoko preslikavanje skupaG1na skupG2takvo da je, za svakoa, b∈G1,
f(a∗b) =f(a)◦f(b),
kaˇzemo da je preslikavanjefizomorﬁzam grupe(G1,∗) na grupu (G2,◦).
Primer 3.1.7.Funkcijax7→f(x) = logxje jedan izomorﬁzam grupe (R
+
,∆)
na grupu (R,+).△
11)
Niels Henrik Abel (1802–1829), norveˇski matematiˇcar.

ALGEBARSKE STRUKTURE 55
Teorema 3.1.4.Ako je preslikavanjefizomorﬁzam grupe(G1,∗)na grupu
(G2,◦), tada je inverzno preslikavanjef
−1
izomorﬁzam grupe(G2,◦)na
grupu(G1,∗).
Dokaz.Neka suxiybilo koji elementi izG2. Tada suf
−1
(x) if
−1
(y)
njima odgovaraju´ci elementi izG1.
Kako jefizomorﬁzam grupe (G1,∗) na grupu (G2,◦), vaˇzi jednakost
f
−
f
−1
(x)∗f
−1
(y)
∆
=f
−
f
−1
(x)
∆
◦f
−
f
−1
(y)
∆
=x◦y,
odakle neposredno sleduje
f
−1
(x◦y) =f
−1
−
f(f
−1
(x)∗f
−1
(y))
∆
=f
−1
(x)∗f
−1
(y).
Prema tome, preslikavanjef
−1
je izomorﬁzam grupe (G2,◦) na grupu
(G1,∗).∗
Dakle, ako postoji izomorﬁzam grupe (G1,∗) na grupu (G2,◦), postoji
i izomorﬁzam grupe (G2,◦) na grupu (G1,∗). Zbog toga, za takve grupe
kaˇzemo da su izomorfne, tj. kaˇzemo da je svaka od njih izomorfna onoj
drugoj.
Primer 3.1.8.Neka su dati skupoviS={0,1,2,3}iQ={1, i,−1,−i}. U
primeru 3.1.5 uvedena je operacija⊕, za koju je (S,⊕) grupa. U skupQuvedimo
operaciju∆na slede´ci naˇcin:
∆ 1i−1−i
11i−1−i
ii−1−i1
−1−1−i1i
−i−i1i−1
Nije teˇsko proveriti da je (Q,∆) grupa, ˇciji je neutralni element 1.
U skupuQdeﬁniˇsimo stepenovanje elementaapomo´cu
a
0
= 1, a
k
=a∆a
k−1
(k∈N).
Grupe (S,⊕) i (Q,∆) su izomorfne jer je preslikavanjef:S→Q, deﬁnisano
pomo´cuf(k) =i
k
, izomorﬁzam.△
Deﬁnicija 3.1.13.Ako je preslikavanjefizomorﬁzam grupe (G,∗) na samu
sebe, za preslikavanjefkaˇzemo da jeautomorﬁzamgrupe (G,∗).
Primer 3.1.9.Neka jeS={1,−1, i,−i}. Obostrano jednoznaˇcno preslika-
vanje skupaSna skupS, deﬁnisano sax7→f(x) =ix(x∈S), je jedan izomorﬁ-
zam grupe (S,∆) na samu sebe.
To znaˇci da je preslikavanjefjedan automorﬁzam grupe (S,∆).△

56 OSNOVI ALGEBRE
3.2. Podgrupe
Neka je (G,∗) grupa i neka jeH⊂G. Pretpostavimo da za sve elemente
skupaHvaˇzi
(i) ako sux, y∈H, tada je ix∗y∈H,
(ii) ako jex∈H, tada je ix
−1
∈H.
Ako u skupHuvedemo binarnu operaciju◦tako da je, za svakox, y∈H,
x◦y=x∗y,
nije teˇsko pokazati da je (H,◦) grupa.
Naime,
1
◦
Operacija◦je asocijativna, jer je za svakox, y, z∈H
x◦(y◦z) =x∗(y∗z) = (x∗y)∗z= (x◦y)◦z .
2
◦
Ako jeejediniˇcni element grupeG, on pripada i skupuHjer je,
prema (ii), za svakox∈H
e=x∗x
−1
=x◦x
−1
∈H ie=x
−1
∗x=x
−1
◦x∈H.
Jediniˇcni elemente∈Gje, takodˉe, jediniˇcni element i u (H,◦).
3
◦
PodskupHje tako izabran da je, prema (ii), za svakox∈Hi
x
−1
∈H, tj. za svaki elementxizHpostoji uHi u odnosu na
operaciju◦njemu inverzni elementx
−1
.
Prema tome, (H,◦) je grupa.
Deﬁnicija 3.2.1.Za grupu (H,◦) kaˇzemo da jepodgrupagrupe (G,∗).
Bez bojazni da moˇze do´ci do zabune, operaciju◦mogu´ce je identiﬁkovati
kao operaciju∗, pa ´cemo, nadalje, umesto (H,◦) pisati (H,∗).
Primer 3.2.1.Grupa
`
{1,−1},∆
´
je podgrupa grupe
`
{1,−1, i,−i},∆
´
.△
Oˇcigledno, ({e},∗) i (G,∗) su podgrupe grupe (G,∗) za koje kaˇzemo da
su trivijalne.
Teorema 3.2.1.Ako je(G,∗)grupa konaˇcnog redani(H,∗)njena pod-
grupa redam, brojnje deljiv brojemm.
Dokaz.Neka jeH={a1, a2, . . . , am}i neka jea1neutralni element, tj.
e=a1.

ALGEBARSKE STRUKTURE 57
Ako jem= 1 ilim=n, onda jeHtrivijalna podgrupa grupeGi, naravno,
u oba sluˇcaja tvrdˉenje teoreme je taˇcno.
Ako je 1< m < n, tada u skupuGpostoji bar jedan element, na primer
α1, takav daα16∈H. Pokaza´cemo da, u tom sluˇcaju, u skupuG\Hpostoji
barmelemenata.
Oznaˇcimo saα1∗Hskup{α1∗a1, α1∗a2, . . . , α1∗am}, tj. neka je
α1∗H={α1∗a|a∈H}. Oˇcigledno, skupα1∗Hje podskup skupaG.
Zai6=jelementiα1∗aiiα1∗ajsu razliˇciti elementi. Da bismo ovo
dokazali, pretpostavimo suprotno, tj. da jeα1∗ai=α1∗ajzai6=j. U tom
sluˇcaju vaˇzi
α
−1
1
∗(α1∗ai) =α
−1
1
∗(α1∗aj) (i6=j),
odakle, zbog asocijativnosti operacije∗i postojanja neutralnog elementa,
sleduje
(α
−1
1
∗α1)∗ai= (α
−1
1
∗α1)∗aj (i6=j),
tj.ai=e∗ai=e∗aj=ajzai6=j, ˇsto je nemogu´ce.
Isto tako, nijedan od elemenataα1∗ai(i= 1,2, . . . , m) ne pripada skupu
H, jer ako bi biloα1∗ai∈H, znaˇcilo bi da jeα1∗ai=aj, tj. vaˇzilo bi
α1=aj∗ai
−1
∈H, ˇsto je suprotno pretpostavci daα16∈H.
Prema tome, skupα1∗Hje skup odmrazliˇcitih elemenata i nijedan
od tih elemenata ne pripada skupuH. Znaˇci, skupG, pored elemenata iz
H, sadrˇzi i elemente iz skupaα1∗H. Dakle, skupGima najmanje 2m
elemenata.
Ako jen= 2m, tvrdˉenje teoreme je taˇcno.
U sluˇcaju 2m < n, u skupuGpostoji bar jedan elementα2, takav da
α26∈H∪(α1∗H).
Neka jeα2∗H={α2∗a1, α2∗a2, . . . , α2∗am}. Kao i u sliˇcaju elementa
α1, nijedan od elemenataα2∗ai, gde jei= 1,2, . . . , m, ne pripada skupu
Hi svi su oni medˉu sobom razliˇciti.
Medˉutim, nijedan od elemenataα2∗ai(i= 1,2, . . . , m) ne pripada ni
skupuα1∗H. Zaista, ako bi, za nekoii nekoj, biloα2∗ai=α1∗aj, onda
bi to znaˇcilo da je
α2= (α1∗aj)∗ai
−1
=α1∗(aj∗ai
−1
)∈α1∗H,
ˇsto je suprotno pretpostavci daα2ne pripada skupuα1∗H.

58 OSNOVI ALGEBRE
Prema tome, i skupα2∗Hje skup odmrazliˇcitih elemenata, pri ˇcemu
ni jedan od njih ne pripada ni skupuHni skupuα1∗H.
SkupG, prema tome, sadrˇzi bar 3melemenata.
Naravno, ako jen= 3mtvrdˉenje teoreme je dokazano.
Ako to nije sluˇcaj, produˇzuju´ci ovaj postupak, zakljuˇciva´cemo da u skupu
Guvek ima novihmelemenata. Medˉutim, kako jenkonaˇcan broj, mora
postojati prirodan brojk, takav da jen=km, ˇsto, zapravo, znaˇci da je broj
ndeljiv brojemm.∗
Teorema 3.2.1 je poznata kaoLagrangeova
12)
teorema.
Napomena 3.2.1.Iz teoreme 3.2.1 neposredno sleduje da grupa prostog reda
nema nijednu podgrupu koja nije trivijalna.
Neka jenred grupeG, gde jensloˇzen broj, tj. neka jen=km(k, m∈N).
Kao ˇsto smo videli, ako grupaGima netrivijalne podgrupe, njihov red mora
biti ˇcinilac brojan.
Medˉutim, vaˇzi i slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.2.2.Neka jeGkonaˇcna grupa redani neka jem∈Nˇcinilac
brojan. GrupaGne mora da sadrˇzi podgrupu redam.
Dokaz.Dokaz teoreme ´cemo sprovesti tako ˇsto ´cemo na´ci jednu takvu
grupuG, ˇciji je red sloˇzen broj.
Neka je (P4,∆) grupa permutacija od elemenata 1,2,3,4. Jedna njena
podgrupa je (G,∆), gde je
G=
⊕
p1, p4, p5, p8, p9, p12, p13, p16, p17, p20, p21, p24

i
p1=

1 2 3 4
1 2 3 4
!
, p4=

1 2 3 4
1 3 4 2
!
, p5=

1 2 3 4
1 4 2 3
!
, p8=

1 2 3 4
2 1 4 3
!
,
p9=

1 2 3 4
2 3 1 4
!
, p12=

1 2 3 4
2 4 3 1
!
, p13=

1 2 3 4
3 1 2 4
!
, p16=

1 2 3 4
3 2 4 1
!
,
p17=

1 2 3 4
3 4 1 2
!
, p20=

1 2 3 4
4 1 3 2
!
, p21=

1 2 3 4
4 2 1 3
!
, p24=

1 2 3 4
4 3 2 1
!
.
Naravno, (G,∆) je grupa. Njen red je 12, dakle, sloˇzen broj. Medˉu
ˇciniocima broja 12 je i broj 6.
12)
Joseph Louis Lagrange (1736–1813), francuski matematiˇcar.

ALGEBARSKE STRUKTURE 59
Medˉutim, grupaGnema nijednu podgrupu reda 6.∗
Napomena 3.2.2.Ovaj primer kojim je dokazano tvrdˉenje teoreme 3.2.2, ob-
javljen je u knjizi:B. R. GelbaumandJ. M. H. Olmsted,Theorems and Coun-
terexamples in Mathematics, Springer-Verlag, New York – Berlin – Heidelberg,
1990 (Primer 1.2.3.1, str. 3).
Napomena 3.2.3.Oˇcigledno, netrivijalne podgrupe jedne grupe beskonaˇcnog
reda su, takodˉe, beskonaˇcnog reda.
Napomena 3.2.4.Iz dokaza teoreme 3.2.1 sleduje da skupovi
H, α1∗H, α2∗H, . . . , αm−1∗H
ˇcine jednu particiju skupaG.
Deﬁnicija 3.2.2.Ako je (H,∗) podgrupa grupe (G,∗), skupovi
e∗H, α1∗H, α2∗H, . . . , αm−1∗H
predstavljaju levo, a skupovi
H∗e, H∗α1, H∗α2, . . . , H∗αm−1
desno razlaganje grupeGpomo´cu podgrupeH.
Deﬁnicija 3.2.3.Ako je (H,∗) podgrupa grupe (G,∗) i ako za svakoa∈G
vaˇzia∗H=H∗a, za podgrupuHkaˇzemo da jenormalnailiinvarijantna
podgrupa grupeG.
Prema tome, podgrupaHje normalna podgrupa grupeGako se leva i
desna razlaganja grupeG, pomo´cu podgrupeH, poklapaju.
Napomena 3.2.5.Oˇcigledno, trivijalne podgrupe grupeGsu njene normalne
podgrupe. Zovemo ih trivijalne normalne podgrupe.
Napomena 3.2.6.Za grupu koja, sem trivijalnih normalnih podgrupa, nema
drugih normalnih podgrupa kaˇzemo da jeprostagrupa.
Napomena 3.2.7.Sve podgrupe Abelove grupe su njene normalne podgrupe.
Neka je (G,∗) grupa i neka jea∈G. Ako saa
2
oznaˇcimo proizvoda∗a,
oˇcigledno je ia
2
∈G, ali ia
3
, a
4
, . . .∈G.
Deﬁnicija 3.2.4.Neka je (G,∗) grupa redani neka jea∈G. Ako je broj
k(0< k < n) najmanji prirodan broj za koji jea
k
=e, kaˇzemo da jekred
elementaa.
U sluˇcajuk=n, za elementakaˇzemo da jegeneratornielement grupeG
ili da generiˇse grupuGili da je proizvodi.
Naravno, ako jek < n, elementaizGje generatorni element podgrupe
grupeG. Red te podgrupe jek. Zak= 1 ik=ndobijaju se trivijalne
podgrupe.
Oˇcigledno, brojkje ˇcinilac brojan.

60 OSNOVI ALGEBRE
Deﬁnicija 3.2.5.Za grupu koja ima generatorni element kaˇzemo da je
cikliˇcnagrupa.
Vaˇze slede´ca tvrdˉenja koja navodimo bez dokaza:
Teorema 3.2.3.Svaka prosta Abelova grupa je cikliˇcna grupa.
Teorema 3.2.4.Svaka cikliˇcna grupa prostog reda je Abelova grupa.
Teorema 3.2.5.Svaka konaˇcna grupa je izomorfna nekoj grupi permuta-
cija, tj. jednoj podgrupi neke simetriˇcne grupe.
Teorema 3.2.5 poznata je kaoCayleyeva teorema.
3.3. Algebarske strukture sa dve operacije
Neka jeSneprazan skup i neka su u njemu deﬁnisane dve binarne ope-
racije∗i◦. Samim tim, (S,∗) i (S,◦) su izvesne algebarske strukture.
Medˉutim, mogu´ce je posmatrati novu strukturu koju ˇcini skupSsnabdeven
obema operacijama.
Pre nego ˇsto izuˇcimo neke od ovih struktura, deﬁnisa´cemoosobinu distri-
butivnost jedne operacije u odnosu na drugu operaciju.
Deﬁnicija 3.3.1.Kaˇzemo da je binarna operacija∗distributivnau odnosu
na binarnu operaciju◦ako za svakoa, b, c∈Svaˇze jednakosti
a∗(b◦c) = (a∗b)◦(a∗c),(a◦b)∗c= (a∗c)◦(b∗c).
Naravno, ako za svakoa, b, c∈Svaˇze jednakosti
a◦(b∗c) = (a◦b)∗(a◦c),(a∗b)◦c= (a◦c)∗(b◦c),
kaˇzemo da je binarna operacija◦distributivna u odnosu na operaciju∗.
Primer 3.3.1.Mnoˇzenje realnih brojeva je distributivna operacija u odnosu
na sabiranje realnih brojeva. Obrnuto, sabiranje nije distributivna operacija u
odnosu na mnoˇzenje realnih brojeva.△
Deﬁnicija 3.3.2.Neka su u skupuSdeﬁnisane dve binarne operacije∗i◦.
Ako su ispunjeni slede´ci uslovi:
1
◦
(S,∗) je komutativna grupa;
2
◦
Operacija◦je asocijativna;
3
◦
Operacija◦je distributivna u odnosu na operaciju∗,

ALGEBARSKE STRUKTURE 61
kaˇzemo da skupSˇciniprstenu odnosu na operacije∗i◦, oznaˇcavaju´ci ga
sa (S,∗,◦).
Primer 3.3.2.(Z,+,∆) je prsten. Zaista, ovde je (Z,+) Abelova grupa, ope-
racija∆je asocijativna i, najzad, operacija∆je distributivna u odnosu na operaciju
sabiranja + .△
Posmatrajmo, sada, prsten (S,∗,◦). Kako je (S,∗) grupa, u odnosu na
operaciju∗u skupuSpostoji neutralni elementeza operaciju∗.
Deﬁnicija 3.3.3.Ako je (S\ {e},◦) grupa, za prsten (S,∗,◦) kaˇzemo da je
telo.
Deﬁnicija 3.3.4.Ako je (S\ {e},◦) Abelova grupa, za prsten (S,∗,◦)
kaˇzemo da jepolje.
Primer 3.3.3.(Q,+,∆) je polje.△
Deﬁnicija 3.3.5.Ako skupoviS1iS2imaju istu mo´c, ako (S1,+,∆) i
(S2,⊕,⊙) imaju strukturu polja i ako jefobostrano jednoznaˇcno preslika-
vanje skupaS1na skupS2, za koje je
f(a+b) =f(a)⊕f(b) i f(a∆b) =f(a)⊙f(b) (a, b∈S1),
kaˇzemo da jefizomorﬁzam polja(S1,+,∆) na polje (S2,⊕,⊙).
Deﬁnicija 3.3.6.Ako je preslikavanjefizomorﬁzam polja (S,∗,◦) na polje
(S,∗,◦), za preslikavanjefkaˇzemo da jeautomorﬁzam polja(S,∗,◦).
3.4. Polje realnih brojeva
Iako se moˇze smatrati da nam je skup realnih brojevaRdovoljno poznat,
zbog izuzetnog znaˇcaja koji ovaj skup ima u matematiˇckoj analizi, u ovom
odeljku ukaza´cemo na njegove osnovne osobine.
Skup realnih brojevaRsnabdeven je binarnim operacijama:sabiranjem,
u oznaci +, i operacijom∆koju zovemomnoˇzenje, kao i binarnom relacijom
manje ili jednako, u oznaci≤, na slede´ci naˇcin:
Deﬁnicija 3.4.1.Za svakox, y, z∈Rvaˇzi:
(A1) (x+y) +z=x+ (y+z),
(A2) (∃0∈R) (∀x)x+ 0 = 0 +x=x,
(A3) (∀x) (∃(−x)∈R)x+ (−x) = (−x) +x= 0,

62 OSNOVI ALGEBRE
(A4)x+y=y+x;
(B1) (x∆y)∆z=x∆(y∆z),
(B2) (∃1∈R\ {0}) (∀x)x∆1 = 1∆x=x,
(B3) (∀x∈R\ {0}) (∃x
−1
∈R\ {0}x∆x
−1
=x
−1
∆x= 1,
(B4)x∆y=y∆x;
(C1)x∆(y+z) =x∆y+x∆z;
(D1) (x≤y)∧(y≤z)⇒x≤z,
(D2) (x≤y)∧(y≤x)⇒x=y,
(D3) (x≤y)∨(y≤x),
(D4) (x≤y)⇒(x+z≤y+z),
(D5) (0≤x)∧(0≤y)⇒(0≤x∆y).
Na osnovu aksioma (A1) – (A4) zakljuˇcujemo da vaˇzi:
Teorema 3.4.1.(R,+)je komutativna grupa.
Na osnovu aksioma (B1) – (B4) iz deﬁnicije 3.4.1 vaˇzi slede´ci rezultat:
Teorema 3.4.2.(R\ {0},∆)je komutativna grupa.
Na osnovu algebarskih osobina iskazanih u prethodnim teoremama i ak-
siome (C1) moˇze se zakljuˇciti da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.4.3.(R,+,∆)je polje.
Deﬁnicijom 3.4.1 uvedena je i relacija totalnog uredˉenja≤aksiomama
(D1) – (D5). Za takvo polje, u oznaci (R,+,∆,≤), kaˇzemo da jeuredˉeno
polje.
Najzad, napomenimo da je za uvodˉenje osnovnih pojmova analize neop-
hodno dodeﬁnisati uredˉeno polje (R,+,∆) slede´comaksiomom supremuma:
(E1) Svaki skupA⊂Rkoji ima majorantu ima supremum uR.
ˇ
Cesto se, medˉutim, ova aksioma zamenjuje njoj ekvivalentnom, tzv.ak-
siomom neprekidnosti:
(E1
′
) Ako suA, B⊂Rtakvi da jex≤yza svakox∈Ai svakoy∈B,
tada postojiz∈Rtakvo da jex≤z≤y(x∈A, y∈B).
U tom sluˇcaju, moˇze se dokazati da vaˇzi iskaz, dat aksiomom supremuma,
koji se tada nazivateorema supremuma.

ALGEBARSKE STRUKTURE 63
U naˇsim daljim razmatranjima, posebno kada se radi o graniˇcnim vredno-
stima, neprekidnosti i sliˇcno, pod poljem realnih brojevapodrazumeva´cemo
uredˉeno polje (R,+,∆), uz prisustvo jedne od pomenutih aksioma. Kada ne
postoji mogu´cnost zabune, to polje oznaˇcava´cemo jednostavno saR, dok
´cemo za elemente skupaRre´ci da su realni brojevi.
Uobiˇcajeno je da se u skupRuvode joˇs dve operacije: oduzimanje i
deljenje realnih brojeva.
Neka je−ysimetriˇcni element zayu odnosu na operaciju sabiranje realnih
brojeva. Tada se oduzimanje deﬁniˇse kaox−y=x+(−y). Brojx−ynaziva
se razlika brojevaxiy.
Sliˇcno, ako jey
−1
simetriˇcni element zay(6= 0) u odnosu na mnoˇzenje
realnih brojeva, deljenje se deﬁniˇse kaox/y=x∆y
−1
. Brojx/ynaziva se
koliˇcnik brojevaxiy. Umesto oznakex/ykoriste se i oznake
x
y
ix:y.
Zato, umestoy
−1
ˇcesto piˇsemo 1/y. Takodˉe, proizvodx∆yoznaˇcavamo
jednostavnoxy, izostavljaju´ci oznaku operacije.
U skupRmogu´ce je uvesti i operacijustepenovanjerealnog broja celim
brojem, kao preslikavanje skupaR×Zu skupR. Naime, uredˉenom paru
(x, n)∈R×Zmoˇzemo pridruˇziti realan brojy=x
n
, pri ˇcemu je
x
0
= 1, x
n
=x∆x
n−1
(n≥1), x
n
= (1/x)
−n
(n <0;x6= 0).
Za svaki realan brojx∈Rmoˇze se deﬁnisatiapsolutna vrednostbrojax,
u oznaci|x|, pomo´cu
|x|= max{x,−x}=
⊂
x,zax≥0,
−x,zax <0.
Oˇcigledno, za svakox, a∈Ri svakoε >0 vaˇzi:
|x−a| ≤ε⇐⇒a−ε≤x≤a+ε,
|x−a|< ε⇐⇒a−ε < x < a+ε.
Teorema 3.4.4.Za svakox, y∈Rvaˇzi:
|x| ≥0,|x|= 0⇔x= 0;
|x+y| ≤ |x|+|y|,

|x| − |y|

≤ |x−y|;
|xy|=|xj ∆ jy|,|x/y|=|x|/|y|(y6= 0).

64 OSNOVI ALGEBRE
Napomenimo, dalje, da skup realnih brojevaRˇcine: skup racionalnih
brojevaQi skup iracionalnih brojevaI. Vaˇzi, naime, jednakostR=Q∪I.
Kako suQiIdisjunktni skupovi, oni ˇcine jednu particiju skupa realnih
brojevaR.
Naravno, postoje i druge particije skupaR. Na primer, skup svih alge-
barskih brojeva i skup svih transcendentnih, tj. nealgebarskih brojeva. Za
realan brojxkaˇze se da je algebarski ako postoji algebarska jednaˇcina
a0x
n
+a1x
n−1
+∆ ∆ ∆+an= 0 (ak∈Z, k= 0,1, . . . , n),
ˇcije je reˇsenje brojx.
Primer 3.4.1.Iracionalan broj
√
2 je algebarski broj. Na primer,
√
2 je jedno
reˇsenje jednaˇcinex
2
−2 = 0.△
Napomena 3.4.1.Prvi dokaz da je broj
π= 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288. . .
iracionalan dobio je Lambert
13)
1766. godine. Medˉutim, njegov dokaz nije bio
sasvim korektan. Stotinak godina kasnije Legendre
14)
je ispravio tu nekorekt-
nost. Medˉutim, transcendentnost brojaπutvrdio je Lindemann
15)
1882. godine
koriˇs´cenjem jednog metoda Hermitea
16)
, koji je devet godina ranije dokazao da je
osnova prirodnih logaritama
e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249. . . ,
takodˉe, transcendentan broj.
ˇ
Cinjenicom da jeπtranscendentan broj deﬁnitivno je dokazana nemogu´cnost
kvadrature kruga. Problem da se samo pomo´cu lenjira i ˇsestara konstruiˇse kvadrat
ˇcija ´ce povrˇsina biti jednaka povrˇsini datog kruga, poznat kao problem kvadrature
kruga, vekovima je zaokupljao generacije i generacije matematiˇcara. Na primer,
kada je polupreˇcnik kruga jednak jedinici, odgovaraju´castranica kvadrata je
a=
√
π= 1.77245 38509 05516 02729 81674 83341 14518. . . .
Napomenimo da se pomo´cu lenjira i ˇsestara mogu konstruisati samo duˇzi ˇcije su
duˇzine izraˇzene brojevima iz nekog skupa algebarskih brojeva.
13)
Jochan Henrich Lambert (1728–1777), nemaˇcki matematiˇcar, ﬁziˇcar i astronom.
14)
Adrien Marie Legendre (1752–1833), francuski matematiˇcar.
15)
Carl Luis Ferdinand Lindemann (1852–1939), nemaˇcki matematiˇcar.
16)
Charles Hermite (1822–1901), veliki francuski matematiˇcar.

ALGEBARSKE STRUKTURE 65
Napomena 3.4.2.U ˇcasopisuQuarterly Journal of Pure and Applied Math-
ematics,45(1913/14), str. 350, Ramanujan
17)
je postavio hipotezu da jee
π
√
163
ceo broj, pri ˇcemu je, rade´ci ,,ruˇcno‘‘, naˇsao da je
e
π
√
163
≈262 53741 26407 68743.99999 99999 99.
Kako njegov metod nije omogu´cavao dobijanje slede´ce decimale, on je pretpostavio
da se cifra 9 stalno ponavlja, i da je ondae
π
√
163
= 262 53741 26407 68744.
Danas, medˉutim, postoji ve´ci broj programskih sistema koji mogu da koriste
aritmetiku takore´ci prozvoljne preciznosti
18)
. Koriˇs´cenjem poznatog programskog
sistemaMathematicadobijamo
e
π
√
163
= 262 53741 26407 68743.99999 99999 99250 07259 71981 85688 87935. . . ,
ˇsto ukazuje da je hipoteza Ramanujana bila pogreˇsna.
Kako je skup racionalnih brojeva prebrojiv (videti primer 1.5.6), a skup
Rima mo´c kontinuuma (videti primer 1.5.8), zakljuˇcujemo da je skup svih
iracionalnih brojeva neprebrojiv skup. Mogu´ce je, takodˉe, pokazati da je
skup svih algebarskih brojeva prebrojiv, a da skup svih transcendentnih
brojeva ima mo´c kontinuuma.
Radi jednostavnijih formulacija mnogih rezultata u analizi, pogodno je
proˇsiriti skupRsimbolima−∞i +∞. U tom sluˇcaju se operacije sabiranje
i mnoˇzenje, kao i uredˉenje, kada u njima uˇcestvuju simboli−∞i +∞, moraju
posebno deﬁnisati:
Deﬁnicija 3.4.2.Akox∈R, tada je
(+∞) + (+∞) = +∞,(−∞) + (−∞) =−∞,
(+∞)∆(+∞) = +∞,(−∞)∆(−∞) = +∞,
(+∞)∆(−∞) =−∞,(−∞)∆(+∞) =−∞,
x+ (+∞) = +∞, x+ (−∞) =−∞,
x∆(+∞) = +∞, x∆(−∞) =−∞ (x >0),
x∆(+∞) =−∞, x∆(−∞) = +∞ (x <0).
Uredˉenje≤se proˇsiruje stavljaju´ci da je−∞< x <+∞za svakox∈R.
17)
Srinivasa Ramanujan (1887–1920), indijski matematiˇcar.
18)
Jedino ograniˇcenje je memorija raˇcunara.

66 OSNOVI ALGEBRE
Za skupR=R∪{−∞,+∞}kaˇze se da predstavlja proˇsireni skup realnih
brojeva.
Na kraju ovog odeljka, napomenimo da je infR=−∞i supR= +∞
(videti odeljak 1.3).
Napomena 3.4.3.Izrazi
∞
∞
, ∞ − ∞, 0∆ 1,
0
0
nemaju smisla u skupuR.
3.5. Polje kompleksnih brojeva
Posmatrajmo sada skup uredˉenih parova realnih brojeva
R
2
=R×R={(x, y)|x, y∈R}.
Uvedimo uR
2
dve operacije: sabiranje uredˉenih parova, u oznaci +, i
mnoˇzenje uredˉenih parova, oznaˇceno sa∆.
Deﬁnicija 3.5.1.Zbir dva uredˉena para (x1, y1) i (x2, y2) izR
2
odredˉen je
sa
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2).
Deﬁnicija 3.5.2.Proizvod dva uredˉena para (x1, y1) i (x2, y2) izR
2
odre-
dˉen je sa
(x1, y1)∆(x2, y2) = (x1x2−y1y2, x1y2+y1x2).
Iz deﬁnicije 3.5.1 neposredno sleduje:
1
◦
Operacija sabiranje uredˉenih parova je komutativna operacija jer za
bilo koja dva uredˉena para (x1, y1) i (x2, y2) izR
2
je
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
= (x2+x1, y2+y1)
= (x2, y2) + (x1, y1).
2
◦
Operacija sabiranje uredˉenih parova je asocijativna operacija jer za
bilo koja tri para (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) izR
2
je
(x1, y1) +
−
(x2, y2) + (x3, y3)
∆
= (x1, y1) + (x2+x3, y2+y3)
= (x1+x2+x3, y1+y2+y3)
= (x1+x2, y1+y2) + (x3, y3)
=
−
(x1, y1) + (x2, y2)
∆
+ (x3, y3).

ALGEBARSKE STRUKTURE 67
3
◦
Za operaciju sabiranje uredˉenih parova postoji uR
2
neutralni element.
To je par (0,0) jer za svaki uredˉeni par (x, y)∈R
2
je
(x, y) + (0,0) = (x, y).
Napomenimo da zbog komutativnosti operacije + nije potrebno proveravati
jednakost (0,0) + (x, y) = (x, y).
Uredˉeni par (0,0) je jedinstveni neutralni element (videti teoremu 3.1.1).
4
◦
Za svaki par (x, y)∈R
2
, u odnosu na operaciju sabiranje uredˉenih
parova, postoji jedan jedini par (−x,−y)∈R
2
, takav da je
(x, y) + (−x,−y) = (0,0).
Prema tome, vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.5.1.(R
2
,+)je komutativna grupa.
Isto tako, iz deﬁnicije 3.5.2 za proizvoljne uredˉene parove vaˇzi:
1
◦
Operacija mnoˇzenje uredˉenih parova je komutativna operacija jer je
(x1, y1)∆(x2, y2) = (x1x2−y1y2, x1y2+y1x2)
= (x2x1−y2y1, x2y1+y2x1)
= (x2, y2)∆(x1, y1).
2
◦
Operacija mnoˇzenje uredˉenih parova je asocijativna operacija jer je
(x1, y1)∆
−
(x2, y2)∆(x3, y3)
∆
= (x1, y1)∆(x2x3−y2y3, x2y3+x3y2)
=
−
x1(x2x3−y2y3)−y1(x2y3+y2x3),
x1(x2y3+y2x3) +y1(x2x3−y2y3)
∆
=
−
(x1x2−y1y2)x3−(x1y2+y1x2)y3,
(x1y2+y1x2)x3+ (x1x2−y1y2)y3
∆
= (x1x2−y1y2, x1y2+y1x2)∆(x3, y3)
=
−
(x1, y1)∆(x2, y2)
∆
∆(x3, y3).
3
◦
Za komutativnu operaciju mnoˇzenje uredˉenih parova postoji neutralni
element. To je uredˉeni par (1,0) jer je za svaki par (x, y)∈R
2
(x, y)∆(1,0) = (x, y).

68 OSNOVI ALGEBRE
Uredˉeni par (1,0) je jedinstveni neutralni element.
4
◦
Za svaki uredˉeni par (x, y)∈R
2
, sem za par (0,0), u odnosu na
komutativnu operaciju mnoˇzenje uredˉenih parova, postoji jedan i samo jedan
inverzni uredˉeni par
(x, y)
−1
=
⊆
x
x
2
+y
2
,−
y
x
2
+y
2
⊇
∈R
2
,
takav da je
(x, y)∆
⊆
x
x
2
+y
2
,−
y
x
2
+y
2
⊇
= (1,0).
Prema tome, vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.5.2.Struktura(R
2
\ {(0,0)},∆)je komutativna grupa.
Na osnovu deﬁnicija 3.5.1 i 3.5.2 moˇzemo dokazati da je operacija mnoˇze-
nje uredˉenih parova distributivna prema operaciji sabiranje uredˉenih parova.
Zaista, imamo
(x1,y1)∆
−
(x2, y2) + (x3, y3)
∆
= (x1, y1)∆(x2+x3, y2+y3)
=
−
x1(x2+x3)−y1(y2+y3), x1(y2+y3) +y1(x2+x3)
∆
=
−
(x1x2−y1y2) + (x1x3−y1y3),(x1y2+y1x2) + (x1y3+y1x3)
∆
= (x1x2−y1y2, x1y2+y1x2) + (x1x3−y1y3, x1y3+y1x3)
= (x1, y1)∆(x2, y2) + (x1, y1)∆(x3, y3).
Na osnovu dokazanih teorema 3.5.1 i 3.5.2 i distributivnosti mnoˇzenja
prema sabiranju, zakljuˇcujemo da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.5.3.Struktura(R
2
,+,∆)je polje.
Izuˇci´cemo ovo polje predstavljaju´ci njegove elemente,tj. uredˉene parove
(x, y), na naˇcin koji je pogodniji za rad sa njima. Naime, svaki seuredˉeni
par (x, y), u skladu sa operacijom sabiranje uredˉenih parova, moˇze napisati
na slede´ci naˇcin
(x, y) = (x,0) + (0, y).
Medˉutim, kako je, za svakoy∈R,
(0, y) = (0,1)∆(y,0),

ALGEBARSKE STRUKTURE 69
moˇzemo pisati
(x, y) = (x,0) + (0, y) = (x,0) + (0,1)∆(y,0),
tj.
(x, y) = (x,0) +i(y,0),
gde smo uveli oznaku (0,1) =ii izostavili znak za operaciju mnoˇzenje
uredˉenih parova.
Interesantno je da je (0,1)
2
= (0,1)∆(0,1) = (−1,0).
Posmatrajmo sada skup uredˉenih parova oblika (x,0), tj. skup
R
2
0
={(x,0)|x∈R}.
Oˇcigledno,R
2
0
je podskup skupaR
2
.
Nije teˇsko proveriti da (R
2
0
,+,∆), takodˉe, ima strukturu polja. Naglasimo
da je ovo polje izomorfno polju realnih brojeva (R,+,∆). Naime, preslika-
vanjef:R→R
2
0
, deﬁnisano sax7→f(x) = (x,0) je izomorﬁzam polja
(R,+,∆) na polje (R
2
0
,+,∆). Zaista,fje bijekcija i, za svakox, y∈R,
imamo
f(x+y) = (x+y,0) = (x,0) + (y,0) =f(x) +f(y)
i
f(x∆y) = (x∆y,0) = (x,0)∆(y,0) =f(x)∆f(y).
Stoga ´cemo, imaju´ci u vidu pomenuti izomorﬁzam, svesno praviti greˇsku
piˇsu´ci umesto (x,0) samox. To, zapravo, znaˇci da ´cemo poistove´civati
uredˉeni par (x,0) i realan brojx.
Naravno, tada moˇzemo pisati
(x, y) = (x,0) +i(y,0) =x+iy.
Navedena nekorektnost u pisanju omogu´ci´ce nam da operacije sa uredˉe-
nim parovima obavljamo jednostavnije, a da, pri tome, formalno nekorektno
pisanje ne moˇze dovesti do pogreˇsnog zakljuˇcka.
Dakle, svaki uredˉeni par (x, y) je mogu´ce predstaviti brojevimaxiyi
koriˇs´cenjem oznakeiza uredˉeni par (0,1).

70 OSNOVI ALGEBRE
Bilo bi zgodno da onda i uredˉeni par (x, y) smatramo brojem. U tu svrhu
uvedimo oznakuz= (x, y). Umesto uredˉenog para (x, y) posmatra´cemo
z, kao broj, i zva´cemo gakompleksan broj. Tada i oznakainije viˇse samo
oznaka, ve´c kompleksan broj kojim smo oznaˇcili uredˉeni par (0,1). Taj broj
nazivamoimaginarna jedinica. Uredˉeni par (1,0) zovemorealna jedinicai,
saglasno izomorﬁzmu, oznaˇcavamo sa 1. Takodˉe, par (0,0) nazivamonulai
oznaˇcavamo sa 0.
Napomena 3.5.1.Sada se za kompleksan brojimoˇze re´ci da je to broj ˇciji
je kvadrat jednak−1. Dakle,i
2
=−1.
Naravno, medˉu realnim brojevima nema takvog broja.
Napomena 3.5.2.Nije teˇsko proveriti da jei
3
=−i, i
4
= 1, pa zbogi
2
=−1,
zakljuˇcujemo da, zak∈N, vaˇzi
i
4k
= 1, i
4k+1
=i, i
4k+2
=−1, i
4k+3
=−i.
Kako je (α,0)∆(x, y) = (αx, αy), proizvod (α,0)z, u stvari, znaˇciαz=
αx+iαy.
Neka jeC={z|z=x+iy, x, y∈R}skup svih kompleksnih brojeva.
Oˇcigledno je da operacije u polju (R
2
,+,∆) induciraju odgovaraju´ce ope-
racije uC. Naime, za proizvoljna dva kompleksna brojaz1=x1+iy1i
z2=x2+iy2imamo
z1+z2= (x1+x2) +i(y1+y2)
i
z1∆z2= (x1x2−y1y2) +i(x1y2+y1x2).
Moˇze se lako pokazati da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.5.4.(C,+,∆)je polje.
To ´cemo polje oznaˇcavati saC, a zva´cemo ga polje kompleksnih brojeva.
Napomena 3.5.3.Polje realnih brojevaRje potpolje polja kompleksnih bro-
jevaC.
Videli smo, dakle, da se kompleksan brojz, odredˉen uredˉenim parom
(x, y), moˇze predstaviti u obliku
z=x+iy(x, y∈R).
Za ovaj oblik kaˇzemo da jealgebarski oblikkompleksnog brojaz. Realni
brojxzovemo realni deo kompleksnog brojaz, u oznaci Rez, a realni broj
yzovemo imaginarni deo kompleksnog brojazi oznaˇcavamo ga sa Imz.

ALGEBARSKE STRUKTURE 71
Dakle,
z=x+iy= Rez+iImz.
Sabiranja i mnoˇzenja kompleksnih brojeva, napisanih u algebarskom ob-
liku, izvode se kao sa binomima. Pri tome, kod mnoˇzenja uvektreba voditi
raˇcuna da jei
2
=−1.
Primer 3.5.1.Ako jez1= 2−3i, z2=−1 +i, vaˇze jednakosti
z1+z2= (2−3i) + (−1 +i) = (2−1) +i(−3 + 1) = 1−2i,
z1z2= (2−3i)(−1 +i) =−2 + 2i+ 3i−3i
2
=−2 + 3 + 2i+ 3i= 1 + 5i.△
Za broj−z=−x−iykaˇzemo da je suprotni broj brojuz=x+iy, a za
broj
1
z
=z
−1
=
x
x
2
+y
2
+i
−y
x
2
+y
2
da je reciproˇcan brojuz=x+iy6= 0.
Imaju´ci u vidu sabiranje i mnoˇzenje kompleksnih brojeva,mogu´ce je, kao
i kod realnih brojeva, uvesti operacije: oduzimanje i deljenje kompleksnih
brojeva. Tako, za kompleksne brojevez1=x1+iy1iz2=x2+iy2imamo
z1−z2=z1+ (−z2) = (x1−x2) +i(y1−y2)
i
z1
z2
=z1∆
1
z2
=
x1x2+y1y2
x
2
2
+y
2
2
+i
−x1y2+y1x2
x
2
2
+y
2
2
.
Ako jezkompleksan broj koji odgovara uredˉenom paru (x, y), tada kom-
pleksan broj koji odgovara uredˉenom paru (x,−y) zovemo konjugovano–
kompleksan broj kompleksnom brojuzi oznaˇcavamo ga saz. Prema tome,
ako jez=x+iy, tada jez=x−iy. Naravno, vaˇziˉ ˉz=z. Isto tako je
Rez=
1
2
(z+z) i Im z=
1
2i
(z−z).
Nije teˇsko proveriti slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.5.5.Vaˇze jednakosti
z1+z2=z1+z2,z1−z2=z1−z2,
z1z2=z1z2,z1/z2=z1/z2(z26= 0).
Naravno, matematiˇckom indukcijom je mogu´ce dokazati opˇstije tvrdˉenje:

72 OSNOVI ALGEBRE
Sl. 3.5.1 Sl. 3.5.2
Teorema 3.5.6.Vaˇze jednakosti
n
X
k=1
zk
≡
=
n
X
k=1
zk i
n
Y
k=1
zk
≡
=
n
Y
k=1
zk.
Kako je izmedˉu skupaR
2
=R×Ri taˇcaka jedne ravni, uvodˉenjem koordi-
natnog sistema, mogu´ce uspostaviti obostrano jednoznaˇcnu korespondenciju,
to je mogu´ce uspostaviti korespondenciju i izmedˉu skupa svih kompleksnih
brojevaCi skupa svih taˇcaka jedne ravni. Prema tome, svaki kompleksan
brojzje mogu´ce identiﬁkovati sa jednom jedinom taˇckomMu ravni (slike
3.5.1 i 3.5.2). Tu ravan zovemokompleksna ravaniliz-ravan,x-osu zovemo
realna osa, ay-osuimaginarna osa.
U slobodnijem izraˇzavanju, za taˇckuMkompleksne ravni koja odgovara
kompleksnom brojuzgovori´cemo da je kompleksan brojz.
Deﬁnicija 3.5.3.Broj|z|=
p
x
2
+y
2
zovemomodulilimoduokompleks-
nog brojaz.
Sl. 3.5.3 Sl. 3.5.4

ALGEBARSKE STRUKTURE 73
Oˇcigledno je|z|=|z|, kao izz=|z|
2
. Takodˉe, vaˇze i nejednakosti:
Rez≤ |z|i Imz≤ |z|.
Na slici 3.5.3 predstavljeni su kompleksni brojeviz,z,−zi−z. Svi ovi
brojevi imaju isti moduo. Duˇzinar=OMna slici 3.5.4 predstavlja moduo
kompleksnog brojaz. Za duˇzOMˇcesto kaˇzemo da je poteg taˇckeM.
Geometrijske interpretacije sabiranja i oduzimanja dva kompleksna broja
date su na slikama 3.5.5 i 3.5.6, respektivno.
Sl. 3.5.5 Sl. 3.5.6
Teorema 3.5.7.Ako suz1iz2kompleksni brojevi, tada je
1
◦
|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|;
2
◦

|z1| − |z2|

≤ |z1−z2|;
3
◦
|z1z2|=|z1j ∆ jz2|.
Dokaz.Kako je
|z1+z2|
2
= (z1+z2)( z1+z2) = (z1+z2)(z1+z2)
=|z1|
2
+|z2|
2
+ 2 Re(z1z2)
i Re(z1z2)≤ |z1z2|=|z1||z2|=|z1||z2|, zakljuˇcujemo da je
|z1+z2|
2
≤ |z1|
2
+|z2|
2
+ 2|z1||z2|= (|z1|+|z2|)
2
,
odakle sleduje nejednakost 1
◦
.
Stavljaju´ciw1=z1−z2iw2=z2, nejednakost|w1+w2| ≤ |w1|+|w2|
se svodi na|z1| ≤ |z1−z2|+|z2|, tj.
|z1| − |z2| ≤ |z1−z2|.

74 OSNOVI ALGEBRE
Kako suz1iz2proizvoljni kompleksni brojevi, zakljuˇcujemo da vaˇzi i
nejednakost
|z2| − |z1| ≤ |z2−z1|=|z1−z2|.
Poslednje dve nejednakosti daju
−|z1−z2| ≤ |z1| − |z2| ≤ |z1−z2|,
tj. nejednakost 2
◦
.
Najzad, za dokaz jednakosti 3
◦
dovoljno je primetiti da je
|z1z2|
2
= (z1z2)(z1z2) = (z1z2)(z1z2) = (z1z1)(z2z2) =|z1|
2
|z2|
2
.∗
Napomena 3.5.4.Stavljaju´ci−z2, umestoz2, nejednakosti 1
◦
i 2
◦
svode se
na
|z1−z2| ≤ |z1|+|z2|i
˛
˛
|z1| − |z2|
˛
˛
≤ |z1+z2|.
Napomena 3.5.5.Odgovaraju´com geometrijskom interpretacijom, moˇzemo
videti da su nejednakosti 1
◦
i 2
◦
u prethodnoj teoremi, u stvari, poznate nejed-
nakosti za trougao.
Matematiˇckom indukcijom lako se dokazuju generalizacijenejednakosti
1
◦
i 3
◦
za sluˇcajnkompleksnih brojeva:
Teorema 3.5.8.Ako suzk(k= 1,2, . . . , n)kompleksni brojevi, tada je

n
X
k=1
zk

≤
n
X
k=1
|zk|i

n
Y
k=1
zk

=
n
Y
k=1
|zk|.
Ugaoθkoji zaklapa potegOMsa pozitivnim delom realne oseOxzovemo
argumentkompleksnog brojaz(videti sliku 3.5.4).
Oˇcigledno vaˇze jednakosti
x=|z|cosθiy=|z|sinθ,
ali i jednakost
(3.5.1)
y
x
= tanθ.
Zbog periodiˇcnosti funkcijaθ7→cosθiθ7→sinθ, vaˇze i jednakosti
x=|z|cos(θ+ 2kπ) i y=|z|sin(θ+ 2kπ) (k∈Z),

ALGEBARSKE STRUKTURE 75
pa se kao argument kompleksnog brojazmoˇze uzeti bilo koja vrednostθ+
2kπ, koju ´cemo oznaˇcavati sa Argz.
Za vrednost argumenta kompleksnog brojaz, za koji je
(3.5.2) −π <Argz≤π,
kaˇzemo da jeglavna vrednostargumenta kompleksnog brojazi oznaˇcavamo
je sa argz. Tako imamo
Argz= argz+ 2kπ (k∈Z).
Prirodno je da se glavna vrednost argumenta kompleksnog brojazodre-
dˉuje iz jednakosti (3.5.1). Naime, iz (3.5.1) sleduje
argz=θ= arctan
y
x
+kπ (k∈Z).
Ovdektreba izabrati tako da arctan(y/x) +kπzadovoljava uslov (3.5.2).
Naravno, odredˉivanje glavne vrednosti uslovljeno je poloˇzajem taˇckezu
kompleksnoj ravni, ˇsto, zapravo, znaˇci vrednostima realnih brojevaxiy. U
stvari, moˇze se zakljuˇciti da je
θ= argz=

























arctan
y
x
(x >0),
arctan
y
x
+π(x <0, y >0),
arctan
y
x
−π(x <0, y <0),
π/2 ( x= 0, y >0),
−π/2 ( x= 0, y <0),
π (x <0, y= 0).
Primer 3.5.2.Za kompleksne brojeve
z1= 1 +i, z2=−1 +i
√
3, z3=−1−i, z4= 1−i
√
3,
imamo
argz1=π/4,argz2= 2π/3,argz3=−3π/4,argz4=−π/3.△
Oˇcigledno, za kompleksan brojz= 0 vaˇzi|z|= 0. Medˉutim, njegov argu-
ment je neodrediv. Ta ˇcinjenica nam ne smeta da sa kompleksnim brojem

76 OSNOVI ALGEBRE
z= 0 operiˇsemo kao sa bilo kojim drugim kompleksnim brojem. Naravno,
tek pri pokuˇsaju da se za kompleksne brojevez=a(6= 0) iz= 0 odredi
koliˇcnika/0, nailazimo na odredˉene teˇsko´ce. Naime, nije teˇsko zakljuˇciti da
je moduo tog koliˇcnika neograniˇcen broj, ali odredˉivanje njegovog argumenta
je nemogu´ce. Koliˇcnika/0, tj. kompleksan brojz=a/0, obeleˇzava´cemo sa
∞. Pisa´cemo, dakle,z=∞. Pravo razumevanje brojaz=∞mogu´ce je
tek sa deﬁnisanjem tzv.stereografskog preslikavanja
19)
z-ravni naRieman-
novu
20)
sferu.
Sada uvodimo neke operacije sa kompleksnim brojemz=∞.
Deﬁnicija 3.5.4.Za kompleksne brojevez=a(6= 0,∞) iz=∞vaˇze
slede´ce jednakosti:
∞ ±a=a± ∞=∞, 1 ∆a=a∆ 1=∞, 1 ∆ 1=∞,
a
∞
= 0,
∞
a
=∞,
a
0
=∞.
Izrazi
∞ ± ∞,0∆ 1,
0
0
,
∞
∞
nemaju smisla u polju kompleksnih brojeva.
Kompleksna ravan koja sadrˇzi i taˇckuz=∞zove se proˇsirena kompleksna
ravan.
Na osnovu prethodnog razmatranja, za kompleksan brojzˇciji je moduo
|z|=ri ˇciji je argument argz=θ, moˇze se pisati
z=r(cosθ+isinθ).
Ovo je tzv.trigonometrijski oblikkompleksnog brojaz.
Takodˉe, u upotrebi je ieksponencijalniiliEulerov
21)
oblikkompleksnog
brojaz
z=re
iθ
,
gde jeeosnova prirodnih logaritama. Pravo objaˇsnjenje ovog oblika kom-
pleksnog broja zahteva znanje iz kompleksnih funkcija.
Iz trigonometrijskog i eksponencijalnog oblika kompleksnog broja sleduje
jednakost
e
iθ
= cosθ+isinθ.
19)
Stereografsko preslikavanje se izuˇcava uKompleksnoj analizi.
20)
Bernhard Riemann (1826–1866), veliki nemaˇcki matematiˇcar.
21)
L´eonhard Euler (1707–1783), veliki ˇsvajcarski matematiˇcar.

ALGEBARSKE STRUKTURE 77
Napomenimo da je moduo kompleksnog broja cosθ+isinθjednak jedinici,
tj.
|cosθ+isinθ|= 1.
Za ovaj broj kaˇzemo da jeunimodularnibroj. Pored pomenute eksponen-
cijalne notacijee
iθ
, za unimodularan broj se koristi i oznaka cisθ. Tako se
svaki kompleksan brojzmoˇze predstaviti kao proizvod modulari unimodu-
larnog broja cisθ. Dakle,z=rcisθ.
Oˇcigledno, izz=r(cosθ+isinθ) sleduju jednakosti
Rez=rcosθi Imz=rsinθ.
Takodˉe, imamo
z=r(cosθ−isinθ) =r(cos(−θ) +isin(−θ)).
Ovo znaˇci da je argz=−argz.
Kao ˇsto ´cemo videti, za neka razmatranja trigonometrijski oblik komp-
leksnog broja pogodniji je od njegovog algebarskog oblika.
Neka su kompleksni brojeviz1iz2odredˉeni sa
(3.5.3) z1=r1(cosθ1+isinθ1) iz2=r2(cosθ2+isinθ2).
Tada je
z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)∆r2(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2
−
(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2) +i(sinθ1cosθ2+ cosθ1sinθ2)
∆
=r1r2
−
cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)
∆
.
Dakle, proizvod dva kompleksna broja, ˇciji su modulir1ir2i ˇciji su
argumentiθ1iθ2, je kompleksan broj ˇciji je moduor=r1r2i ˇciji je argument
θ=θ1+θ2.
Posmatrajmo opet unimodularan broj cisθ= cosθ+isinθ.
Kako je (cisθ)(cisθ) = 1 icisθ= cis(−θ), zakljuˇcujemo da je
(cosθ+isinθ)
−1
=
1
cosθ+isinθ
=cosθ+isinθ,

78 OSNOVI ALGEBRE
tj.
(3.5.4) (cos θ+isinθ)
−1
= cos(−θ) +isin(−θ).
Koriˇs´cenjem ove jednakosti moˇzemo deﬁnisati deljenje kompleksnih bro-
jeva u trigonometrijskom obliku.
Dakle, neka su kompleksni brojeviz1iz2(6= 0) dati pomo´cu (3.5.3). Tada
imamo
z1
z2
=
r1
r2
∆
cisθ1
cisθ2
=
r1
r2
cisθ1cis(−θ2).
Prema tome,
z1
z2
=
r1
r2
−
cos(θ1−θ2) +isin(θ1−θ2)
∆
,
ˇsto znaˇci da je moduo koliˇcnikar=r1/r2, a argumentθ=θ1−θ2.
Napomenimo da, kada suθ1iθ2glavne vrednosti argumenata komplek-
snih brojevaz1iz2, to ne znaˇci da je iθ1+θ2glavna vrednost argumenta
kompleksnog brojaz1z2, tj. ne mora da vaˇzi
arg(z1z2) = argz1+ argz2,
ali je uvek
Arg(z1z2) = Argz1+ Argz2.
U stvari, vaˇzi slede´ce tvrdˉenje koje navodimo bez dokaza:
Teorema 3.5.9.Ako jez1z26= 0, tada je
arg(z1z2) =





argz1+ argz2+ 2π(−2π <argz1+ argz2≤ −π),
argz1+ argz2 (−π <argz1+ argz2≤π),
argz1+ argz2−2π(π <argz1+ argz2≤2π).
Primer 3.5.3.Zaz1= 1 +iiz2=iimamo
argz1=π/4,argz2=π/2, z1z2=−1 +i,arg(z1z2) = 3π/4.
Dakle, ovde je arg(z1z2) = argz1+ argz2. Medˉutim, zaz1=−1 +iiz2=i
je
argz1= 3π/4,argz2=π/2, z1z2=−1−i,arg(z1z2) =−3π/4.
Prema tome, arg(z1z2)6= argz1+ argz2.△
Naravno, matematiˇckom indukcijom je mogu´ce dokazati da je za kom-
pleksne brojevezk=rk(cosθk+isinθk),k= 1,2, . . . , n, uvek
z1z2∆ ∆ ∆zn=r1r2∆ ∆ ∆rn
“
cos(θ1+θ2+∆ ∆ ∆+θn) +isin(θ1+θ2+∆ ∆ ∆+θn)
”
.
Dokaza´cemo slede´ce tvrdˉenje:

ALGEBARSKE STRUKTURE 79
Teorema 3.5.10.Ako jez= cosθ+isinθ, vaˇzi jednakost
(3.5.5) z
n
= (cosθ+isinθ)
n
= cosnθ+isinnθ
za svakon∈N.
Dokaz.Zan= 1, jednakost je taˇcna.
Pretpostavimo sada da je ona taˇcna i zan=k≥1. Tada je
(cosθ+isinθ)
k+1
= (cosθ+isinθ)
k
(cosθ+isinθ)
= (coskθ+isinkθ)(cosθ+isinθ)
= cos(k+ 1)θ+isin(k+ 1)θ.∗
Jednakost (3.5.5) poznata je pod imenomMoivreova
22)
formula.
Moivreova formula vaˇzi i u sluˇcaju kada jennegativan ceo broj. Da bismo
ovo dokazali stavimon=−k, gde jek∈N. Stepenovanjem jednakosti (3.5.4)
i primenom prethodno dokazane formule (3.5.5), dobijamo
(cosθ+isinθ)
−k
= (cos(−θ) +isin(−θ))
k
= cos(−kθ) +isin(−kθ),
tj.
(cosθ+isinθ)
n
= cos(nθ) +isin(nθ).
Na kraju ovog odeljka razmotri´cemo problem odredˉivanja kompleksnog
brojaz, za koji je
(3.5.6) z
n
=a,
gde jea(6= 0) dati kompleksan broj in∈N. Drugim reˇcima, razmotri´cemo
problem reˇsavanja binomne jednaˇcine (3.5.6).
Naravno, zan= 1 postoji jedno jedino reˇsenjez=a. Zan= 2 ia >0,
poznato je, postoje dva reˇsenja:z0=
√
aiz1=−
√
a.
Neka je kompleksan brojadat u trigonometrijskom obliku
a=R(cosϕ+isinϕ).
Reˇsenja jednaˇcine (3.5.6) potraˇzimo, takodˉe, u trigonometrijskom obliku
z=r(cosθ+isinθ).
22)
Abraham de Moivre (1667–1754), engleski matematiˇcar.

80 OSNOVI ALGEBRE
Tada imamo
r
n
(cosθ+isinθ)
n
=R(cosϕ+isinϕ),
tj.
r
n
(cosnθ+isinnθ) =R(cosϕ+isinϕ),
odakle zakljuˇcujemo da mora biti
r
n
=R∧nθ=ϕ+ 2mπ(m∈Z).
Dakle,
r=
n√
R≥0 ∧ θ=θm=
ϕ+ 2mπ
n
(m∈Z).
Prema tome, sva reˇsenja jednaˇcine (3.5.6) data su pomo´cu
zm=
n√
Rcis
ϕ+ 2mπ
n
(m∈Z).
Lako je, medˉutim, videti da skup reˇsenja{zm|m∈Z}ima samon
razliˇcitih taˇcaka, na primer,
(3.5.7) {z0, z1, . . . , zn−1}.
Zaista, akom /∈ {0,1, . . . , n−1}, tada se takvommoˇze predstaviti u
oblikum=pn+k, gde jep= [m/n], akodgovaraju´ci ostatak pri deljenju
msan. U tom sluˇcaju imamo
θm=
ϕ+ 2mπ
n
=
ϕ+ 2kπ
n
+ 2pπ=θk+ 2pπ,
gdek∈ {0,1, . . . , n−1}. Kako je cosθm= cosθki sinθm= sinθk,
zakljuˇcujemo da je, za svakom∈Z,zm=zk, gde sup= [m/n] ik=
m−pn. Dakle,
zk=
n√
Rcis
ϕ+ 2kπ
n
(k= 0,1, . . . , n−1).
Prema tome, vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:

ALGEBARSKE STRUKTURE 81
Teorema 3.5.11.Ako jea=R(cosϕ+isinϕ)6= 0, sva reˇsenja binomne
jednaˇcine(3.5.6)odredˉena su pomo´cu
(3.5.8)zk=
n√
R
“
cos
ϕ+ 2kπ
n
+isin
ϕ+ 2kπ
n
≡
(k= 0,1, . . . , n−1).
Geometrijska interpretacija ovog rezultata pokazuje da susvi kompleksni
brojevizkrasporedˉeni na krugu polupreˇcnika
n√
Rtako da predstavljaju
temena pravilnog poligona odnstrana. Sluˇcajn= 8 prikazan je na slici
3.5.7.
Ako saεnoznaˇcimo unimodularan broj sa argumentom 2π/n, tj.
εn= cis
2π
n
= cos
2π
n
+ sin
2π
n
,
formule (3.5.8) mogu se iskazati u obliku
(3.5.9) z0=
n√
Rcis
ϕ
n
, z k=z0ε
k
n
(k= 0,1, . . . , n−1).
Geometrijski posmatrano, rotacijomz0za ugao 2π/nu pozitivnom smeru,
dobija sez1. Uopˇste, rotacijomzk−1za isti ugao 2π/ndobija sezk.
Sl. 3.5.7 Sl. 3.5.8
Primer 3.5.4.Neka jez
3
=−1−i.
Kako jeR=| −1−i|=
√
2 iϕ= arg(−1−i) =−3π/4, imamo
z
k=
6√
2 cis
„
−
π
4
+
2kπ
3
«
(k= 0,1,2),

82 OSNOVI ALGEBRE
tj.
z0=
6√
2
h
cos
“
−
π
4
”
+isin
“
−
π
4
”i
=
1−i
3√
2
,
z1=
6√
2
»
cos
5π
12
+isin
5π
12
–
,
z2=
6√
2
»
cos
13π
12
+isin
13π
12
–
.
Ako stavimoε3= cis(2π/3) = (−1 +i
√
3)/2, na osnovu (3.5.9), imamo
z1=z0ε3=
√
3−1 +i(
√
3 + 1)
2
3√
2
, z2=z1ε3=−
√
3 + 1 +i(
√
3−1)
2
3√
2
.
Koreniz0, z1, z2prikazani su na slici 3.5.8. Napomenimo da dobijeni argu-
ment 13π/12 kod korenaz2nije glavna vrednost argumenta. Naime, argz2=
−11π/12.△
3.6. Vektori i operacije sa vektorima
Medˉu osnovnim pojmovima koji se javljaju u ﬁzici, mehanici i elektroteh-
nici su sila, brzina, ubrzanje, elektriˇcno polje i sliˇcno. Sve ove veliˇcine se,
pored intenziteta, karakteriˇsu i pravcem i smerom. Nas ´ceovde interesovati
geometrijski analogon takvih pojmova.
Ne upuˇstaju´ci se u razmatranje nekih osnovnih geometrijskih pojmova
kao ˇsto su prava, ravan, prostor, translacija i sliˇcno, koristi´cemo slede´ca oz-
naˇcavanja:Eza skup svih taˇcaka prostora koji opaˇzamo;Rza proizvoljnu
ravan uE;pza proizvoljnu pravu uE. Proizvoljne taˇcke izEoznaˇcava´cemo
velikim slovima latinice:A,B,C,M,O, itd.
Neka suAiBdve razliˇcite taˇcke izE. One oˇcigledno, na jedinstven
naˇcin, odredˉuju jednu duˇz ili odseˇcakABkao skup taˇcaka koje se nalaze na
pravoj izmedˉu taˇcakaAiB. Ako pri tom deﬁniˇsemo jednu od tih taˇcaka
kao poˇcetnu, a drugu kao krajnju, dobi´cemo tzv. orijentisanu duˇz. Ako je,
recimo,Apoˇcetna, aBkrajnja taˇcka, duˇz je orijentisana od taˇckeAka taˇcki
B. Za tako orijentisani odseˇcak kaˇzemo da jevektor, koji deluje u taˇckiA.
ˇ
Cesto se kaˇze da je to vektor vezan za taˇckuA. Ako je neophodno nagla-
siti poˇcetnu i krajnju taˇcku vektora, koristi se notacija
−→
AB. U protivnom,
dovoljno je za vektor koristiti notaciju~ailia(videti sliku 3.6.1).
Rastojanje izmedˉu taˇcakaAiBnaziva seintenzitetvektora ilinorma
vektora i oznaˇcava se sa|
−→
AB|ili|~a|ili|a|. Ponekad se umesto|a|koristi

ALGEBARSKE STRUKTURE 83
Sl. 3.6.1 Sl. 3.6.2
samo oznakaa. Za vektor ˇciji je intenzitet jednak jedinici kaˇzemo da je
jediniˇcni vektoriliorti oznaˇcavamo ga obiˇcno sa indeksom nula, na primer,
a0.
Pravapkoja prolazi kroz taˇckeAiBodredˉuje pravac vektora
−→
AB. Za
pravupkaˇzemo da je nosaˇc vektora
−→
AB.
Najzad, kaˇzemo da vektor
−→
ABima smer odApremaB.
Vektor ˇciji je intenzitet jednak nuli nazivamonula-vektori oznaˇcavamo
ga sao. To je, zapravo, vektor ˇcija se poˇcetna i krajnja taˇcka poklapaju.
Pravac i smer takvog vektora nisu odredˉeni.
Posmatrajmo skup svih mogu´cih vektoraV=V(E) ={
−→
AB|A, B∈E}
i njegov podskup
(3.6.1) VA=VA(E) ={
−→
AB|B∈E}.
Oˇcigledno,
V=
[
A∈E
VA.
U radu sa vektorima veoma je vaˇzno koje ´cemo vektore tretirati kao jed-
nake, ˇsto zavisi od uvedene relacije jednakosti uV.
Deﬁnicija 3.6.1.Za dva vektora
−→
AB,
−→
CD∈Vkaˇzemo da su jednaki, tj.
(3.6.2)
−→
AB=
−→
CD,
ako i samo ako postoji translacija takva da taˇckuAprevede u taˇckuCi
istovremeno taˇckuBu taˇckuD.
Pomenuta translacija predstavlja tzv.paralelni prenosvektora
−→
ABu taˇcku
C(slika 3.6.2). Ako se pritom taˇckaBpoklopi sa taˇckomDvaˇzi´ce jednakost

84 OSNOVI ALGEBRE
(3.6.2). Jasno je, iz ove deﬁnicije, da jednaki vektori imaju i jednake inten-
zitete. Pri ovako uvedenoj deﬁniciji jednakosti vektora, za vektore iz skupa
Vkaˇzemo da su slobodni vektori
23)
.
S obzirom da uvedena relacija jednakosti poseduje osobine:reﬂeksivnost,
simetriˇcnost i tranzitivnost, zakljuˇcujemo da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 3.6.1.Relacija jednakosti dva vektora izVje relacija ekvivalen-
cije.
Uvedenom relacijom ekvivalencije, izvrˇsena je particijaskupaVna klase
ekvivalencije, koje se veoma lako mogu opisati. Naime, posmatrajmo proiz-
voljan vektor
−→
AB. Paralelnim prenosom ovog vektora u svaku taˇcku prostora
Edobijamo skup vektora
(3.6.3) W−→
AB
={a∈V|a=
−→
AB},
koji predstavlja jednu klasu ekvivalencije. Dakle, svi vektori izW−→
AB
su
medˉusobom jednaki, pri ˇcemu u svakoj taˇcki prostora deluje jedan i samo
jedan od njih.
Imaju´ci u vidu dobijene klase ekvivalencije, za naˇse dalje tretiranje vek-
tora dovoljno je uzeti samo po jedan vektor iz svake klase ekvivalencije,
takozvanog predstavnika klase, pri ˇcemu se moˇzemo opredeliti tako da svi
oni deluju u istoj taˇcki, tj. da imaju isti poˇcetak.
Dakle, ako uzmemo jednu proizvoljno ﬁksiranu taˇcku prostora, na primer
O∈E, traˇzeni skup vektora (predstavnika svake klase ekvivalencije) bi´ce,
saglasno notaciji (3.6.1),
(3.6.4) VO=VO(E) ={
−−→
OM|M∈E}.
Primetimo da nula-vektoro=
−→
OOpripada ovom skupu.
Napomena 3.6.1.Neka suOiO
′
dve ﬁksirane taˇcke prostoraE. Saglasno
deﬁniciji 3.6.1 o jednakosti dva vektora, prostoriV
O
′(E) iV
O(E) mogu se tretirati
kao ekvivalentni. ProstorV
O
′(E) nastaje iz prostoraV
O(E) translacijom.
23)
U naˇsem daljem razmatranju iskljuˇcivo ´cemo raditi sa slobodnim vektorima. Me-
dˉutim, ˇcesto u primenama u ﬁzici, mehanici i elektrotehnici, vektorske veliˇcine su vezane
za taˇcku ili pravu. U tom sluˇcaju imamo tzv. vektore vezaneza taˇcku ili vektore vezane
za pravu. Na primer, kod vektora vezanih za taˇcku, za jednakost dva vektora, pored
deﬁnicije 3.6.1, zahteva se da oba vektora deluju u istoj taˇcki. Naravno, kod vektora
vezanih za pravu, dodatni zahtev, u deﬁniciji jednakosti dva vektora, je da oba vektora
imaju isti nosaˇc.

ALGEBARSKE STRUKTURE 85
Kao ˇsto smo videli, skupW−→
AB
, dat sa (3.6.3), predstavlja skup vektora ko-
ji su jednaki sa datim vektorom
−→
AB. U mnogim razmatranjima od interesa su
i drugi podskupovi odV, na primer, skup kolinearnih ili skup komplanarnih
vektora.
Za sve vektore ˇciji je nosaˇc data pravap, ili prava koja je paralelna sap,
kaˇzemo da sukolinearnivektori. Koriste´ci paralelni prenos vektora u taˇcku
O∈pi notaciju (3.6.1), skup kolinearnih vektora moˇze se predstaviti u
obliku
VO(p) ={
−−→
OM|M∈p}.
Sl. 3.6.3 Sl. 3.6.4
Sliˇcno, za sve vektore koji leˇze u datoj ravniR, ili u bilo kojoj ravni
paralelnoj saR, kaˇzemo da sukomplanarnivektori. U ovom sluˇcaju to je
skup
VO(R) ={
−−→
OM|M∈R}.
Na slikama 3.6.3 i 3.6.4 prikazani su proizvoljni elementi skupovaVO(p)
iVO(R).
Oslanjaju´ci se na tzv. slaganje sila u mehanici, ˇsto se ogleda kroz delovanje
rezultante za dve sile, mogu´ce je uvesti sabiranje vektora.
Neka su data dva vektoraa=
−→
ABib=
−→
CDi neka se, paralelnim preno-
som vektoraau taˇckuO, krajnja taˇckaBvektoraaprevodi u taˇckuM.
Tako dobijamo ekvivalentni vektor
−−→
OM. Sada, paralelnim prenosom vek-
torabu taˇckuM, dobijamo ekvivalentni vektor
−−→
MN, pri ˇcemu je taˇckaD
prevedena u taˇckuN(videti sliku 3.6.5). Za vektorc=
−−→
ONkaˇzemo da je
zbir vektoraaib, tj.
c=a+b.
Drugim reˇcima, ako paralelnim prenosom vektoreaibdovedemo u taˇcku
Otako da je
−−→
OM=ai
−→
OQ=b, a zatim nad njima konstruiˇsemo paralelo-
gramOMNQ(slika 3.6.6), tada ´ce vektorc=
−−→
ONpredstavljati zbira+b.

86 OSNOVI ALGEBRE
Ovakav naˇcin sabiranja dva vektora poznat je kao pravilo paralelograma.
Dakle, oba vektora se dovedu na isti poˇcetak i konstruiˇse se paralelogram
nad njima kao susednim stranicama. Zbir vektora se, zatim, dobija kao di-
jagonala paralelograma usmerena od zajedniˇckog poˇcetka. Iz ovoga proizilazi
da je sabiranje vektora komutativna operacija, tj.a+b=b+a.
Sl. 3.6.5 Sl. 3.6.6
Na ovaj naˇcin, vektore prvo svodimo na vektore skupaVO, koji je dat
pomo´cu (3.6.4), a zatim dobijamo zbir koji je vektor iz istog skupa.
Teorema 3.6.2.Neka je+sabiranje vektora. Struktura(VO,+)je komu-
tativna grupa.
Dokaz.Pre svega treba uoˇciti da je operacija sabiranja vektora komuta-
tivna i asocijativna, tj. da je
a+b=b+a (a,b∈VO)
i
(a+b) +c=a+ (b+c) (a,b,c∈VO).
Za asocijativnost operacije videti sliku 3.6.7.
Kako je, za svakoa∈VO,
a+o=o+a=a,
zakljuˇcujemo da je nula-vektoroneutralni element za sabiranje vektora.
Najzad, za svaki vektora∈VOpostoji vektora
′
∈VOtakav da je
(3.6.5) a+a
′
=a
′
+a=o.
Za vektora
′
kaˇzemo da je suprotni vektor vektoruai oznaˇcavamo ga sa−a
(videti sliku 3.6.8). Ovaj vektor je, u stvari, inverzni element zaa.

ALGEBARSKE STRUKTURE 87
Sl. 3.6.7 Sl. 3.6.8
Prema tome, (VO,+) je Abelova grupa.∗
Jednakost (3.6.5), napisana u obliku
a+ (−a) = (−a) +a=o,
sugeriˇse uvodˉenje operacije oduzimanje vektora:
a−b=a+ (−b).
Dakle, razlikaa−bje vektor koji se dobija kao zbir vektoraai suprotnog
vektora odb(slika 3.6.9).
Za zbira+apiˇsemo 2a. Naravno, zaa+a+a= 2a+apiˇsemo 3a. U
opˇstem sluˇcaju, zanjednakih vektora, piˇsemo
a+a+∆ ∆ ∆+a=na.
Vektornaje kolinearan sa vektoroma. Njegov pravac i smer se poklapaju sa
pravcem i smerom vektoraa, dok mu je intenzitetnputa ve´ci od intenziteta
vektoraa.
Zan= 0 in= 1 imamo
0a=o i 1a=a.
Formalno, zan=−1, dobijamo suprotni vektor vektorua, tj. imamo
(−1)a=−a.
Na sliˇcan naˇcin moˇzemo uvesti, na primer, vektor−ma, gde jem∈N.
To ´ce biti vektor suprotan vektoruma, tj. ima´ce pravac vektoraa, smer
suprotan ovom vektoru, dok ´ce mu intenzitet bitimputa ve´ci od intenziteta
vektoraa.

88 OSNOVI ALGEBRE
Na osnovu prethodnog, moˇzemo uvesti operaciju mnoˇzenje vektora pro-
izvoljnim realnim brojemλ, koji nazivamo skalar. Dakle,λaje vektor ˇciji
se intenzitet dobija mnoˇzenjem intenziteta vektoraasa|λ|, pravac mu se
poklapa sa pravcem vektoraa, a smer zavisi od znaka skalaraλ. Naime,
ako jeλ >0, smer se poklapa sa smerom vektoraa, dok je, zaλ <0, smer
suprotan smeru vektoraa. Naravno,aiλasu kolinearni vektori.
Navedena operacija mnoˇzenja vektora skalarom moˇze se tretirati kao pres-
likavanje skupaR×VOna skupVO. Za razliku od operacije sabiranja vektora
uVO, koja je interna binarna opracija uVO, jer se radi o preslikavanju skupa
VO×VOna skupVO, ovde je reˇc o jednoj eksternoj operaciji.
Sl. 3.6.9 Sl. 3.6.10
Nije teˇsko dokazati slede´ci rezultat:
Teorema 3.6.3.Za mnoˇzenje vektora skalarima imamo
1
◦
λ(μa) = (λμ)a,
2
◦
(λ+μ)a=λa+μa,
3
◦
λ(a+b) =λa+λb,
4
◦
1a=a,
za sve vektorea,bi sve skalareλ, μ.
Oˇcigledno, pri ﬁksiranoj taˇckiO∈E, svakoj taˇckiM∈Eodgovara jedan
i samo jedan vektor
−−→
OM, koji je usmeren od taˇckeOprema taˇckiM.
Deﬁnicija 3.6.2.Za vektor
−−→
OMkaˇzemo da je radijus vektor ili vektor
poloˇzaja taˇckeMu odnosu na taˇckuO.
Za radijus vektor
−−→
OMkoristimo oznakurili~r(videti sliku 3.6.10).
Napomena 3.6.2.Preslikavanjef:E→VO, dato pomo´cuM7→
−−→
OM, je
biunivoko.

ALGEBARSKE STRUKTURE 89
4. ZADACI ZA VE
ˇ
ZBU
4.1.Neka jeα=
3
√
2 iβ= 1 +
3
√
2 +
3
√
4 . Ako sufigpreslikavanja
deﬁnisana pomo´cu
f(a, b, c) =a+βα+cα
2
(a, b, c∈Q),
g(a
′
, b
′
, c
′
) =a
′
+b
′
β+c
′
β
2
(a
′
, b
′
, c
′
∈Q),
dokazati da se skupovif(Q
3
) ig(Q
3
) poklapaju.
Uputstvo.Dovoljno je dokazati da za svaku uredˉenu trojku (a, b, c) racionalnih brojeva
a, b, cpostoji takodˉe uredˉena trojka (a
′
, b
′
, c
′
) racionalnih brojevaa
′
, b
′
, c
′
takva da vaˇze
jednakosti
f(a, b, c) =g(a
′
, b
′
, c
′
) (a, a
′
, b, b
′
, c, c
′
∈Q).
4.2.Neka su deﬁnisana preslikavanja:
1
◦
f:Z−→Z
2
tako da jef(p) = (p,1) (p∈Z),
2
◦
g:Z
2
−→Rtako da jeg(p, q) =p+q
√
2 (p, q∈Z),
3
◦
h:R−→Ztako da jeh(x) = [x] (x∈R),
kao i kompozicije
f◦g, g◦h, h◦g, f◦g◦h, g◦h◦f, h◦f◦g.
Utvrditi koja su od svih ovih preslikavanja surjektivna, a koja injektivna
preslikavanja ?
Rezultat.Preslikavanjehje surjekcija, a preslikavanja:f, g, f◦g, f◦g◦hsu injektivna
preslikavanja.
4.3.Neka je dato preslikavanjef:R−→Rpomo´cu
f(x) =a|x+ 1|+b|x−1|+ (b−a+ 1)x−a−b(x∈R),
gde suaibrealni parametri.
Ispitati za koje je vrednosti parametaraaibdato preslikavanje bijekcija,
a zatim eksplicitno odrediti analitiˇcki izraz za inverznopreslikavanjef
−1
da-
ju´ci tom izrazu formu koju ima prslikavanjef.
Rezultat.Preslikavanjefje bijekcija ako jea6= 1/2 ib6=−1/2.

90 OSNOVI ALGEBRE
4.4.Ako jex7→f(x) =
1 +x
1−x
−
x∈R\ {1}
∆
, dokazati da je preslikavanje
finjektivno preslikavanje.
4.5.Neka jemﬁksirani prirodan broj, neka jen∈Ni neka jeffunkcija
deﬁnisana sa
n7→f(n) =
⊂
m−n (n < m),
m+n (n≥m).
1
◦
Odrediti skupf(N).
2
◦
Ako jefobostrano jednoznaˇcno preslikavanje, odrediti funkciju
f
−1
:f(N)−→N.
Rezultat.1
◦
f(N) =N\ {m, m+ 1, . . . ,2m−1}, 2
◦
Inverzna funkcijaf
−1
postoji
i odredˉena je pomo´cu
n7→f
−1
(n) =
⊂
m−n (n < m),
n−m (n≥2m).
4.6.Ako jenprirodan broj i ako je
an=
1
4
√
2

−
3 + 2
√
2
∆
n
−
−
3−2
√
2
∆
n
≡
,
dokazati da jeanprirodan broj.
4.7.Neka jeS={a, b, c}skup u kome je deﬁnisana binarna operacija∗sa
osobinama predstavljenim tzv.Cayleyevom tablicom:
∗a b c
aa b c
bb c a
cc a b
Proveriti tvrdˉenje: (S,∗) je komutativna grupa.
4.8.Neka jemprirodan broj i neka jeS={0,1,2, . . . , m−1}.
Ako je za svakoa, b∈Sdeﬁnisana operacija∗pomo´cu
a∗b=
⊂
a+b (a+b < m),
a+b−m (a+b≥m),

ALGEBARSKE STRUKTURE 91
dokazati da je operacija∗unutraˇsnja operacija, a zatim dokazati da (S,∗)
ima strukturu komutativne grupe.
4.9.Neka jeSskup ˇciji jeajedini element. Ako su u skupuSdeﬁnisane
unutraˇsnje operacije sabiranje, u oznaci + , i mnoˇzenje, uoznaci∆, ispitati
strukture (S,+,∆) i (S,∆,+).
Rezultat.Obe strukture, i (S,+,∆) i (S,∆,+), imaju strukturu prstena.
4.10.Neka jeR
2
={(a, b)|a∈R, b∈R}, tj. neka jeR
2
=R×Rskup
uredˉenih parova realnih brojeva.
Ispitati strukturu (R
2
,+,×), ako se zna da je
1
◦
(a, b) = (a
′
, b
′
)⇐⇒a=a
′
ib=b
′
,
2
◦
(a, b) + (a
′
, b
′
) = (a+a
′
, b+b
′
),
3
◦
(a, b)×(a
′
, b
′
) = (ab
′
+ba
′
, bb
′
).
Rezultat.
−
R
2
,+,×
∆
ima strukturu prstena sa jedinicom.
4.11.Odrediti kompleksan brojw=
z
2
+z+ 1
z
4
−1
,ako jez= 2 + 3i.
4.12.Odrediti sve vrednostizza koje je (
√
3−i)z
8
= 1 +i.
4.13.Neka jez=
e
−πi/3
(1 +i
√
3)
7
i
. Odrediti: Rez,Imz,|z|,i argz.
4.14.Ne koriste´ci se trigonometrijskim oblicima kompleksnih brojeva, odre-
diti kompleksne brojeve:
1
◦
u=
√
3 + 4i ,2
◦
v=
√
−7 + 24i 3
◦
w=
4
√
7 + 24i .
Rezultat.1
◦
u=±(2 +i), 2
◦
v=±(3 + 4i) , 3
◦
w=±(2 +i) iw=±(1−2i).
4.15.Reˇsiti jednaˇcinu
z
2
−2(2 +i)z+ 7 + 4i= 0.
Rezultat.2 + 3ii 2−i.
4.16.Uz-ravni odrediti sve taˇcke koje odgovaraju kompleksnim brojevima
zako se zna da jew=

z−1
z+ 1
≡
2
realan broj.
Rezultat.Traˇzeni skup ˇcine taˇcke pravez= ˉz, tj. taˇcke realne ose i tˇcke kruga|z|= 1.

92 OSNOVI ALGEBRE
4.17.Dokazati da je
tan 5θ=
5 tanθ−10 tan
3
θ+ tan
5
θ
1−10 tan
2
θ+ 5 tan
4
θ
,
a zatim proveriti jednakost
tan
π
5
∆tan
2π
5
∆tan
3π
5
∆tan
4π
5
= 5.
4.18.Izraˇcunati zbir
Sn= 1 +
sinx
sinx
+
sin 2x
sin
2
x
+
sin 3x
sin
3
x
+∆ ∆ ∆+
sinnx
sin
n
x
∆
Uputstvo.Posmatrati uporedo i zbir
Cn=
cosx
sinx
+
cos 2x
sin
2
x
+
cos 3x
sin
3
x
+∆ ∆ ∆+
cosnx
sin
n
x
∆

IIG L A V A
Linearni prostori, linearni
operatori i matrice
1. LINEARNI PROSTORI
1.1. Struktura linearnog prostora i baza prostora
U prvoj glavi ove knjige razmatrali smo algebarske strukture sa jednom bi-
narnom operacijom (grupa) ili sa dve binarne operacije (prsten, telo, polje).
Medˉutim u odeljku 3.6, glava I, gde smo uveli pojam vektora i razmatrali
neke operacije sa vektorima, videli smo da se pored operacije sabiranja vek-
tora u skupuVO=VO(E), koja jeunutraˇsnja(interna) operacija uVO, uvodi
i jednaspoljaˇsnja(eksterna) operacija, tzv. mnoˇzenje vektora skalarom, kao
preslikavanje skupaR×VOna skupVO. Tom prilikom dokazali smo da skup
VOsnabdeven operacijom sabiranja vektora ˇcini Abelovu grupu (teorema
3.6.2), dok je mnoˇzenje vektora skalarom takvo da vaˇze jednakosti:
λ(μa) = (λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b) =λa+λb,1a=a,
za sve vektorea,b∈VOi sve skalareλ, μ∈R(teorema 3.6.3).
Imaju´ci u vidu navedene osobine, za skupVO=VO(E) kaˇzemo da je
vektorski prostorprostoraEpridruˇzen taˇckiO. U opˇstem sluˇcaju, vektorski
ililinearni prostoruvodi se na slede´ci naˇcin:
Deﬁnicija 1.1.1.SkupX={u, v, w, . . .}naziva sevektorskiililinearni
prostornad poljemKako je:
(1) U skupuXdeﬁnisana jedna binarna operacija + u odnosu na koju
skupXˇcini Abelovu grupu;
(2) Ako je svakom paru (u, λ) (u∈X;λ∈K) dodeljen po jedan element,
u oznaciλu, skupaXtako da su ispunjeni uslovi:
1
◦
λ(μu) = (λμ)u,
2
◦
(λ+μ)u=λu+μu,
3
◦
λ(u+v) =λu+λv,
4
◦
1u=u,

94 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
za sve elementeu, v∈Xiλ, μ∈K, gde je 1 jediniˇcni element poljaK.
Elementi skupaXnazivaju se vektori (taˇcke), elementi poljaKskalari,
operacija + u skupuXvektorsko sabiranje (unutraˇsnja kompozicija) i ope-
racija (u, λ)7→λumnoˇzenje vektora skalarom (spoljaˇsnja kompozicija).
Najˇceˇs´ce se kao poljeKuzima polje realnih ili polje kompleksnih brojeva. U
tim sluˇcajevima kaˇzemo da je reˇc o realnom, tj. kompleksnom vektorskom
prostoru. U naˇsim razmatranjima uvek ´cemo pretpostavljati da jeK=Rili
K=C.
Iz jednakosti 2
◦
, zaλ= 1 iμ=−1, dobijamo da je za svakou∈X
0u=u+ (−u) =θ,
gde jeθneutralni element skupaXza operaciju vektorskog sabiranja. Osim
toga, ako u 3
◦
stavimov=−u, dobijamo da je za svakoλ∈K
λθ=θ.
Za elementθkaˇzemo da jenula-vektorprostoraX.
Deﬁnicija 1.1.2.Za vektoreui(i= 1, . . . , n) linearnog prostoraXkaˇze
se da sulinearno zavisniako u poljuKpostoje skalariλi(i= 1, . . . , n), koji
istovremeno nisu svi jednaki nuli, tako da je
(1.1.1) λ1u1+∆ ∆ ∆+λnun=θ.
Vektoriui(i= 1, . . . , n) sulinearno nezavisniako je jednakost (1.1.1) taˇcna
samo zaλi= 0 (i= 1, . . . , n).
Za levu stranu u (1.1.1) kaˇzemo da je linearna kombinacija vektoraui(i=
1, . . . , n). Napomenimo da, ako je bar jedan od vektorau1, . . . , unnula-
vektor, tada su ti vektori linearno zavisni. Tako na primer,ako jeu1=θ,
tada je
1u1+ 0u2+∆ ∆ ∆+ 0un=θ,
tj. (1.1.1) vaˇzi, pri ˇcemu jeλ1= 16= 0. Inaˇce, ako se radi o skupu nenula-
vektora, tada su oni linearno zavisni ako i samo ako se neki odnjih moˇze
izraziti kao linearna kombinacija ostalih vektora iz tog skupa.
Deﬁnicija 1.1.3.Za beskonaˇcno mnogo vektora kaˇzemo da su linearno
nezavisni ako je svaki konaˇcan podskup tih vektora linearno nezavisan.

LINEARNI PROSTORI 95
Deﬁnicija 1.1.4.Ako u vektorskom prostoru postojinlinearno nezavisnih
vektora i ako je svaki skup odn+ 1 vektora linearno zavisan, kaˇzemo da je
prostorn–dimenzionalan. Za brojnkaˇzemo na jedimenzija prostora.
Ako u vektorskom prostoru postoji beskonaˇcno mnogo linearno nezavisnih
vektora, za taj vektorski prostor kaˇzemo da jebeskonaˇcno–dimenzionalan.
Deﬁnicija 1.1.5.Neka jeA={u1, . . . , um}, gde suuk(k= 1, . . . , m)
vektori prostoraX. Skup svih linearnih kombinacija ovih vektora naziva se
linearni omotaˇcililinealnadAi oznaˇcava se saL(A).
Dakle,
L(A) =
⊕
u|u=λ1u1+∆ ∆ ∆+λmum(λ1, . . . , λm∈K)

.
Deﬁnicija 1.1.6.SkupBlinearno nezavisnih vektora prostoraXobrazuje
algebarskuiliHamelovu
24)
bazuprostoraXako jeL(B) =X.
Teorema 1.1.1.Svaki vektor linearnog prostoraXmoˇze se na jedinstven
naˇcin izraziti kao linearna kombinacija vektora algebarske baze tog prostora.
Dokaz.Neka jeB={u1, . . . , un}. Kako jeL(B) =X, svaki vektor
u∈Xmoˇze se predstaviti kao linearna kombinacija vektora bazeB. Da
bismo pokazali jedinstvenost ovog predstavljanja, pretpostavimo da postoje
dve reprezentacije
u=λ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λnuniu=μ1u1+μ2u2+∆ ∆ ∆+μnun.
Tada je
(λ1−μ1)u1+ (λ2−μ2)u2+∆ ∆ ∆+ (λn−μn)un=θ,
odakle, zbog linearne nezavisnosti bazisnih vektora, sleduje
λ1=μ1, λ2=μ2, . . . , λn=μn.∗
Napomenimo da linearni prostor, u opˇstem sluˇcaju, ima beskonaˇcno mno-
go razliˇcitih baza, medˉutim, sve one imaju isti broj elemenata, tj. iste su
kardinalnosti. Kodn-dimenzionalnog prostora baza sadrˇzi taˇcnonvektora.
Prema tome, svaki skup odm(> n) vektora un-dimenzionalnom prostoru
je linearno zavisan. S druge strane, svaki linearno nezavisan skup vektora je
ili baza prostora ili je deo neke baze tog prostora.
24)
Georg Karl Wilhelm Hamel (1877–1954), nemaˇcki mehaniˇcari matematiˇcar.

96 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Vratimo se opet vektorskom prostoruVO(E). Neka je u prostoruEdata
pravapi ravanR. Skupovi
VO(p) ={
−−→
OM|M∈p}iVO(R) ={
−−→
OM|M∈R},
snabdeveni operacijom sabiranje vektora i operacijom mnoˇzenje vektora ska-
larom, ˇcine takodˉe vektorske prostore. Prvi od njih, vektorski prostor prave
ppridruˇzen taˇckiO, naziva seprostor kolinearnih vektora. Za vektorski pro-
stor ravniRpridruˇzen taˇckiOkaˇzemo da jeprostor komplanarnih vektora.
ProstorVO(p) je jednodimenzionalan. Svaki vektora6=ovektorskog
prostoraVO(p) je njegova baza. Proizvoljni vektorb∈VO(p) moˇze se jed-
noznaˇcno predstaviti u oblikub=λa, ˇsto je, u stvari, karakterizacija koli-
nearnih vektora. Ako poslednju jednakost napiˇsemo u oblikuλa+(−1)b=o,
zakljuˇcujemo da su vektoriaiblinearno zavisni. Dakle, dva vektora u
jednodimenzionalnom prostoru su linearno zavisni.
Prostor komplanarnih vektoraVO(R) je dvodimenzionalan. Bilo koja dva
linearno nezavisna vektoraaibprostoraVO(R) ˇcine njegovu bazu, tako
da se proizvoljan vektorc∈VO(R) moˇze jednoznaˇcno predstaviti u obliku
(videti sliku 1.1.1)
c=λa+μb.
Iz poslednje jednakosti, koja karakteriˇse komplanarne vektore, moˇze se za-
kljuˇciti da su vektoria,biclinearno zavisni.
Sl. 1.1.1 Sl. 1.1.2
ProstorVO(E) je trodimenzionalan. Kao njegova baza moˇze se uzeti bilo
koji skup od tri linearno nezavisna vektora, na primer,B={a,b,c}. Tada
se svaki vektord∈VO(E) moˇze jednoznaˇcno predstaviti u obliku (videti
sliku 1.1.2)
(1.1.2) d=λa+μb+νc.
ˇ
Cetiri proizvoljna vektora uVO(E) su uvek linearno zavisna. Napomenimo
da su vektori baze uVO(E) tri nekomplanarna vektora.

LINEARNI PROSTORI 97
Deﬁnicija 1.1.7.Svaka baza prostora naziva sekoordinatni sistemtog pro-
stora.
Neka jeB={u1, . . . , un}jedna baza prostoraX. Tada se, na osnovu
teoreme 1.1.1, svakou∈Xmoˇze predstaviti u obliku
u=x1u1+∆ ∆ ∆+xnun,
gde sux1, . . . , xnpotpuno odredˉeni skalari. Dakle, ako je zadata bazaB,
vektoruje potpuno odredˉen skalarimax1, . . . , xni moˇze se koriˇs´cenjem
matriˇcne
25)
notacije opisati pomo´cu tzv.koordinatne reprezentacije
x= [x1. . . xn]
T
.
Skalarix1, . . . , xnnazivaju sekoordinate vektora.
ˇ
Cesto se, ako to ne dovodi
do zabune,uixpoistove´cuju.
Posmatrajmo prostorVO(E) sa bazomB={a,b,c}. Vektori bazeB
odredˉuju jedankoordinatni sistemprostoraVO(E). TaˇckuOnazivamoko-
ordinatni poˇcetak. Neka su
−→
OA=a,
−→
OB=bi
−→
OC=c. Bazisni vektori
odredˉuju tri ose, u oznacix,yiz, respektivno (videti sliku 1.1.3). Na osnovu
(1.1.2) vidimo da je vektordpotpuno odredˉen skalarima, tj. koordinatama
λ, μ, ν.
Sl. 1.1.3 Sl. 1.1.4
Ako su vektori baze izabrani tako da su im pravci uzajamno upravni, a
intenziteti jednaki jedinici, tada kaˇzemo da je zadat pravougli koordinatni
sistem. U tom sluˇcaju, bazisne jediniˇcne vektore oznaˇcavamo redom sai,j
25)
Teorija matrica se razmatra u slede´cem poglavlju.

98 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
ik. Uoˇcimo proizvoljnu taˇckuM∈Ei radijus vektorr=
−−→
OM. Tada se
vektor
−−→
OMmoˇze predstaviti pomo´cu
(1.1.3)
−−→
OM=xi+yj+zk,
gde su koordinatex,yizjednoznaˇcno odredˉene vektorom
−−→
OM, tj. taˇckom
M(videti sliku 1.1.4). Za koordinatex,yizkaˇzemo da su redomapscisa,
ordinataiaplikatataˇckeM. S druge strane, svakoj uredˉenoj trojki realnih
brojeva (x, y, z) jednoznaˇcno se moˇze pridruˇziti vektor
−−→
OM, tj. taˇckaM,
tako da vaˇzi (1.1.3). Dakle, preslikavanjeg:E→R
3
, dato pomo´cu (1.1.3), je
biunivoko. Istu ˇcinjenicu smo konstatovali i za preslikavanjef:E→VO(E),
dato pomo´cuM7→
−−→
OM(videti napomenu 4.6.2, glava I). Imaju´ci sve ovo
u vidu, ˇcesto identiﬁkujemo taˇckuMsa uredˉenom trojkom (x, y, z), piˇsu´ci
M= (x, y, z) ili, pak,r= (x, y, z). Nije teˇsko videti da skupR
3
, snabdeven
unutraˇsnjom i spoljaˇsnjom kompozicijom
(x, y, z) + (x
′
, y
′
, z
′
) = (x+x
′
, y+y
′
, z+z
′
), λ(x, y, z) = (λx, λy, λz),
za svako (x, y, z),(x
′
, y
′
, z
′
)∈R
3
i svakoλ∈R, ˇcini vektorski prostor nad
poljemR. Nula-vektor ovog prostora je uredˉena trojka (0,0,0).
Napomenimo joˇs da se unutraˇsnja i spoljaˇsnja kompozicija u prostoru
VO(E), kada su vektori izraˇzeni pomo´cu
r=
−−→
OM=xi+yj+zk ir
′
=
−−→
OM
′
=x
′
i+y
′
j+z
′
k,
svode na
r+r
′
= (x+x
′
)i+ (y+y
′
)j+ (z+z
′
)k, λr= (λx)i+ (λy)j+ (λz)k.
Primer 1.1.1.Neka jeR
n
={(x1, . . . , xn)|xi∈R(i= 1, . . . , n)}. Ako u
ovaj skup uvedemo unutraˇsnju i spoljaˇsnju kompoziciju pomo´cu
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn),
λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn),
on postaje vektorski prostor.
Kao jedna baza ovog prostora moˇze se uzeti skup{e1, e2, . . . , en}, gde su
(1.1.4) e1= (1,0, . . . ,0), e2= (0,1, . . . ,0), . . . , en= (0,0, . . . ,1).

LINEARNI PROSTORI 99
Ukoliko drugaˇcije nije reˇceno, uvek ´cemo u daljem tekstupodrazumevati da
je u prostoruR
n
zadata pomenuta baza (1.1.4), koja se naziva i prirodna baza.
Saglasno prethodnom, za taˇcke ovog prostora, pored oznakeu= (x1, . . . , xn),
koristi´cemo i koordinatnu reprezentaciju
x= [x1. . . xn]
T
.
Primetimo da je prirodna baza (1.1.4) privilegovana u smislu da se taˇckau=
(x1, . . . , xn)∈R
n
i njena koordinatna reprezentacijax=
ˆ
x1. . . xn
˜
T
opi-
suju pomo´cu istih skalarax1, . . . , xn∈R. Zato ´cemo ˇcesto koristiti i notaciju
x= (x1, . . . , xn).△
Primer 1.1.2.Neka jeX=Cskup kompleksnih brojeva, aK=Cpolje
kompleksnih brojeva. SkupCje linearni prostor nad poljemCpri standardno
uvedenim operacijama sabiranja i mnoˇzenja kompleksnih brojeva:
z1+z2= (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) (z1, z2∈C),
λz= (α, β)∆(x, y) = (αx−βy, αy+βx) ( z∈Ciλ∈C).
Ovaj linearni prostor je jednodimenzionalni jer se za proizvoljne taˇckez1iz2izC
(z16=z2) mogu odrediti kompleksni skalariλ1iλ2, tako da je
λ1z1+λ2z2= (0,0),
ˇsto znaˇci da su taˇckez1iz2linearno zavisne. Takve vrednosti skalara su, na
primer,λ1=z2iλ2=−z1.
Medˉutim, ako za poljeKuzmemo polje realnih brojevaR, tada je odgovaraju´ci
linearni prostor dvodimenzionalan.△
Primer 1.1.3.Posmatrajmo stepene funkcijet7→t
k
(k= 0,1, . . . , n) deﬁni-
sane naR. Kako je
(∀t∈R)c01 +c1t+c2t
2
+∆ ∆ ∆+cnt
n
= 0
samo ako jec0=c1=∆ ∆ ∆=cn= 0, zakljuˇcujemo da je skup (sistem) funkcija
{1, t, t
2
, . . . , t
n
}linearno nezavisan. Lineal nad njim je skup svih polinoma
26)
stepena ne viˇseg odn, u oznaciPn,
Pn=
˘
u|u(t) =c0+c1t+∆ ∆ ∆+cnt
n
, ci∈R(i= 0,1, . . . , n)

.
Ako u skupPnuvedemo unutraˇsnju i spoljaˇsnju kompoziciju (sabiranjedva
polinoma i mnoˇzenje polinoma skalarom) pomo´cu
(u+v)(t) =u(t) +v(t) i (λu)(t) =λu(t),
26)
Teorija polinoma bi´ce razmatrana u ˇcetvrtoj glavi. Za razumevanje ovog primera
dovoljno je znanje iz srednje ˇskole.

100 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
tadaPnpostaje vektorski prostor nad poljemR. Nula–vektor ovog prostora je
polinom koji je identiˇcki jednak nuli. Sliˇcno sePnmoˇze tretirati i kao vektorski
prostor nad poljem kompleksnih brojeva.
Kako baza prostora{1, t, t
2
, . . . , t
n
}sadrˇzin+ 1 elemenata (vektora, funkcija),
prostorPnje dimenzijen+ 1.△
Primer 1.1.4.Prostor svih polinoma stepena ne viˇseg od dva, tj. prostor svih
kvadratnih trinoma
P2={u|u(t) =c0+c1t+c2t
2
, c0, c1, c2∈R}
je trodimenzionalan.
Naravno, umesto bazeB={1, t, t
2
}mogu´ce je uzeti i neku drugu bazu, na
primer,B
′
={1, t−1, t
2
+t}. Trinomu(t) = 5 + 3t−2t
2
u novoj baziB
′
ima
reprezentaciju
u(t) = 10 + 5(t−1)−2(t
2
+t).
Dakle, odgovaraju´ce koordinatne reprezentacije ovog elementauu bazamaBi
B
′
su
ˆ
5 3−2
˜
T
i
ˆ
10 5−2
˜
T
, respektivno.△
Deﬁnicija 1.1.8.Neprazan skupY⊂Xjepotprostor vektorskog prostora
Xnad poljemKako jeYvektorski prostor nad istim poljemK.
Lako je pokazati da jeY⊂Xpotprostor prostoraXako i samo ako vaˇze
slede´ca dva uslova:
(1)u, v∈Y⇒u+v∈Y;
(2)u∈Y, α∈K⇒αu∈Y.
Drugim reˇcima, potrebno je i dovoljno daYsadrˇzi vektorαu+βv(α, β∈K)
kad god on sadrˇzi vektoreuiv.
Primer 1.1.5.Neka je u prostoruEdata pravapi ravanR. ProstoriVO(p) i
VO(R) su potprostori vektorskog prostoraVO(E).△
Neka jeXvektorski prostor iUskup svih njegovih potprostora. Prime-
timo da su{θ}iXdva trivijalna potprostora prostoraX. Na skupuU
moˇzemo deﬁnisati dve algebarske operacije koje omogu´cavaju konstrukciju
drugih potprostora na osnovu datih potprostoraY1iY2.
Deﬁnicija 1.1.9.NekaY1, Y2∈U. Suma linearnih potprostoraY1iY2, u
oznaciY1+Y2, je skup vektora oblikaw=u+v, gdeu∈Y1, v∈Y2, tj.
Y1+Y2={w|w=u+v, u∈Y1, v∈Y2}.

LINEARNI PROSTORI 101
Deﬁnicija 1.1.10.NekaY1, Y2∈U.Presek linearnih potprostoraY1iY2,
u oznaciY1∩Y2, je skup svih vektora koji istovremeno pripadaju potprosto-
rimaY1iY2, tj.
Y1∩Y2={u|u∈Y1∧u∈Y2}.
Primetimo da suma i presek dva potprostora uvek sadrˇze nula-vektor
prostoraX. Moˇze se dokazati da su i oni potprostori prostoraX. Takodˉe,
za bilo koji potprostorYvaˇzi
Y+{θ}=Y, Y ∩X=Y.
Bez dokaza navodimo slede´cu teoremu:
Teorema 1.1.2.Za dva proizvoljna konaˇcno-dimenzionalna potprostoraY1
iY2vaˇzi jednakost
(1.1.5) dim(Y1+Y2) + dim(Y1∩Y2) = dimY1+ dimY2,
gde jedimoznaka dimenzije prostora.
Na kraju ovog odeljka uvodimo i pojam direktne sume potprostora.
Deﬁnicija 1.1.11.NekaY1, Y2∈U, neka jeY=Y1+Y2i neka je
w=u+v (w∈Y, u∈Y1, v∈Y2).
Ako su vektoriu∈Y1iv∈Y2jednoznaˇcno odredˉeni vektoromw, tada se
sumaYs takvim svojstvom nazivadirektna sumai oznaˇcava sa
Y=Y1
˙+Y2.
Ako jeY=Y1
˙+Y2, napomenimo da je tadaY1∩Y2={θ}. Takvi
potprostoriY1iY2ˇcesto se nazivaju komplementarni potprostori.
Prethodna deﬁnicija se moˇze proˇsiriti na sluˇcaj viˇse potprostora.
Deﬁnicija 1.1.12.Neka suY1, Y2, . . . , Ym∈U. Ako je za svakow∈Y
reprezentacija
w=u1+u2+∆ ∆ ∆+um (u1∈Y1, u2∈Y2, . . . , um∈Ym)
jedinstvena, suma potprostora je direktna i oznaˇcava se sa
Y=Y1
˙+Y2
˙+∆ ∆ ∆˙+Ym.

102 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Razlaganjem prostoraXna direktnu sumu potprostora ˇcesto je mogu´ce
pojednostaviti problem koji se tretira i izbe´ci glomazan raˇcun.
Neka jeXlinearan prostor dimenzijensa bazomB={u1, u2, . . . , un}.
Ako deﬁniˇsemo jednodimenzionalne potprostoreYkkao lineale nadBk=
{uk}(k= 1,2, . . . , n), tj.
Y1=L(B1), Y2=L(B2), . . . , Yn=L(Bn),
tada je, oˇcigledno,X=Y1
˙+Y2
˙+∆ ∆ ∆˙+Yn. Naravno, prostorXse moˇze
razloˇziti na direktnu sumu potprostora i na druge naˇcine,uzimaju´ci potpro-
store razliˇcitih dimenzija. U vezi s tim, navodimo slede´cu teoremu koju nije
teˇsko dokazati.
Teorema 1.1.3.Neka suY1,Y2,. . .,Ympotprostori linearnog prostoraX.
Jednakost
X=Y1
˙+Y2
˙+∆ ∆ ∆˙+Ym
vaˇzi ako i samo ako je
dimX= dimY1+ dimY2+∆ ∆ ∆+ dimYm.
Dakle, ako suB1, B2, . . . , Bmbaze potprostoraY1, Y2, . . . , Ym, respek-
tivno, tada unija ovih baza predstavlja bazu prostoraX.
1.2. Izomorﬁzam linearnih prostora
Posmatrajmo skup svih linearnih prostoraXnad istim poljemK. Svaki
od posmatranih linearnih prostora sadrˇzi konkretne elemente – vektore tog
prostora, ˇcija priroda ˇcesto nije bitna. Daleko znaˇcajnije su uvedene ope-
racije (unutraˇsnja i spoljaˇsnja kompozicija), kao i njihova svojstva koja su
nezavisna od prirode elemenata. U vezi s tim, uveˇs´cemo pojam izomorfnih
prostora.
Deﬁnicija 1.2.1.Za dva vektorska prostoraXiX
′
kaˇzemo da suizomorfni
prostoriako postoji biunivoko preslikavanjef:X→X
′
takvo da je za svako
u, v∈Xi svakoλ∈K
(1.2.1) f(u+v) =f(u) +f(v), f(λu) =λf(u).
Za funkcijufkaˇzemo da je izomorﬁzam prostoraXna prostorX
′
.
Napomenimo da se za prvo svojstvo funkcijefu (1.2.1) kaˇze da jeadi-
tivnost, a da se njena druga osobina u (1.2.1) nazivahomogenost.

LINEARNI PROSTORI 103
Neka jeu
′
=f(u) (u∈X, u
′
∈X
′
). Ako saθiθ
′
oznaˇcimo nula-vektore
u prostorimaXiX
′
respektivno, tada, na osnovu (1.2.1), imamo
(1.2.2) f(θ) =f(0u) = 0f(u) = 0u
′
=θ
′
.
Dakle, nula-vektor prostoraXpreslikava se u nula-vektor prostoraX
′
.
Joˇs vaˇznije svojstvo izomorfnih prostora odnosi se na preslikavanje skupa
linearno nezavisnih vektora.
Teorema 1.2.1.Neka jeA={u1, . . . , un}skup linearno nezavisnih vek-
tora uXi neka jef:X→X
′
izomorﬁzam prostoraXna prostorX
′
. Tada
jeA
′
=f(A) ={f(u1), . . . , f(un)}skup linearno nezavisnih vektora u pros-
toruX
′
.
Dokaz.Posmatrajmo linearnu kombinaciju vektora iz skupaA
′
, koja je
jednakaθ
′
. Tada, s obzirom na (1.2.1) i (1.2.2), imamo
θ
′
=λ1f(u1) +∆ ∆ ∆+λnf(un) =f(λ1u1+∆ ∆ ∆+λnun) =f(θ),
odakle sleduje
λ1u1+∆ ∆ ∆+λnun=θ.
Kako su vektoriu1, . . . , unlinearno nezavisni, iz poslednje jednakosti za-
kljuˇcujemo da svi skalariλk(k= 1, . . . , n) moraju biti jednaki nuli.∗
Teorema 1.2.2.Dva konaˇcno-dimenzionalna prostoraXiX
′
, nad istim
poljemK, imaju jednake dimenzije ako i samo ako su izomorfna.
Dokaz.Na osnovu prethodne teoreme moˇze se zakljuˇciti da izomorfni vek-
torski prostori imaju jednake dimenzije.
Pretpostavimo sada obrnuto, tj. da je dimX= dimX
′
, i dokaˇzimo da su
XiX
′
izomorfni. U prostorimaXiX
′
izaberimo proizvoljne baziseB=
{u1, . . . , un}iB
′
={u
′
1
, . . . , u
′
n}, respektivno, i deﬁniˇsimo preslikavanje
f:X→X
′
pomo´cu
(1.2.3) f(u) =λ1u
′
1+∆ ∆ ∆+λnu
′
n,
gde je
(1.2.4) u=λ1u1+∆ ∆ ∆+λnun.
Preslikavanjefje biunivoko jer su razlaganja (1.2.3) i (1.2.4) jedinstvena
(videti teoremu 1.1.1). Da bismo dokazali da su prostoriXiX
′
izomorfni,

104 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
izaberimo dva proizvoljna vektorau, v∈Xi proizvoljni skalarλ∈K. Neka
su koordinatne reprezentacije vektorauivdate sa
u=λ1u1+∆ ∆ ∆+λnun, v=μ1u1+∆ ∆ ∆+μnun.
Tada imamo
f(u+v) =f
−
(λ1+μ1)u1+∆ ∆ ∆+ (λn+μn)un
∆
= (λ1+μ1)u
′
1
+∆ ∆ ∆+ (λn+μn)u
′
n
= (λ1u
′
1+∆ ∆ ∆+λnu
′
n) + (μ1u
′
1+∆ ∆ ∆+μnu
′
n)
=f(u) +f(v)
i
f(λu) =f
−
(λλ1)u1+∆ ∆ ∆+ (λλn)un
∆
= (λλ1)u
′
1
+∆ ∆ ∆+ (λλn)u
′
n
=λ(λ1u
′
1+∆ ∆ ∆+λnu
′
n) =λf(u).∗
Na osnovu prethodne teoreme zakljuˇcujemo da je za proizvoljann-di-
menzionalni vektorski prostor nad poljemK, sa algebarske taˇcke glediˇsta,
dovoljno poznavati vektorski prostorK
n
(za prostorR
n
videti primer 1.1.1).
Za vektorski prostorK
n
ˇcesto kaˇzemo da jekoordinatniiliaritmetiˇckipros-
tor.
Deﬁnicija 1.2.2.Ako je preslikavanjefizomorﬁzam vektorskog prostora
(X,+,∆) na vektorski prostor (X,+,∆), za preslikavanjefkaˇzemo da jeau-
tomorﬁzam prostora(X,+,∆).
1.3. Linearni prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija
U primeru 1.1.2 naveli smo da jeClinearni dvodimenzionalni prostor nad
poljem realnih brojevaR. Uobiˇcajena baza u tom prostoru sastoji se od
realne i imaginarne jedinice, tj.B={1, i}. Kao ˇsto je poznato, svaki vektor
z∈C, tj. svaki kompleksan brojz= (x, y), moˇze biti predstavljen u obliku
z=x∆1 +y∆i=x+iy,
gde suxiykoordinate (realni i imaginarni deo kompleksnog broja).
Za zadati ﬁksni pozitivan brojω, posmatrajmo skup funkcijat7→u(t) =
Acos(ωt+ϕ), deﬁnisanih naR, gde jeA≥0 i−π < ϕ≤π, tj.
Xω=
n
u

u(t) =Acos(ωt+ϕ), A≥0,−π < ϕ≤π
o
.

LINEARNI PROSTORI 105
Takve funkcije su periodiˇcne sa periodomT= 2π/ωi u ﬁzici i tehnici su
poznate kaoprosto-periodiˇcne oscilacije. Pri tome, za nenegativni param-
etarAkaˇze se da jeamplituda, dok se zaϕkaˇze da jepoˇcetna faza. Ako je
amplitudaAjedanka nuli, odgovaraju´ca funkcija se svodi na nulu i tu funk-
ciju ´cemo oznaˇcavati sau0=u0(t) = 0. Razumljivo, zbog periodiˇcnosti,
dovoljno je ove funkcije posmatrati kada proizvodωt∈[−π, π].
Neka suu1(t) =A1cos(ωt+ϕ1) iu2(t) =A2cos(ωt+ϕ2) dve bilo koje
funkcije izXω. Ako uXω, na uobiˇcajeni naˇcin, uvedemo operaciju sabiranja,
tada je
(u1+u2)(t) =u1(t) +u2(t)
=A1cos(ωt+ϕ1) +A2cos(ωt+ϕ2)
= (A1cosϕ1+A2cosϕ2) cosωt−(A1sinϕ1+A2sinϕ2) sinωt,
tj.
u(t) = (u1+u2)(t) =Acosωtcosϕ−Asinωtsinϕ=Acos(ωt+ϕ),
gde smo stavili
(1.3.1)A1cosϕ1+A2cosϕ2=Acosϕ, A1sinϕ1+A2sinϕ2=Asinϕ,
pri ˇcemu suA≥0,−π < ϕ≤π.
Kvadriranjem jednakosti (1.3.1), a zatim sabiranjem, nalazimo
A
2
=A
2
1
+A
2
2
+ 2A1A2cos(ϕ1−ϕ2),tanϕ=
A1sinϕ1+A2sinϕ2
A1cosϕ1+A2cosϕ2
.
Primetimo da je (A1+A2)
2
≥A
2
≥(A1−A2)
2
≥0, tj. da se zaista moˇze
uzeti da jeA≥0, kao i da postoji jedinstvenoϕiz intervala (−π, π] za koje
vaˇzi (1.3.1). Ovo je potpuno analogno odredˉivanju modula i glavne vrednosti
argumenta kompleksnog broja
z= (A1cosϕ1+A2cosϕ2) +i(A1sinϕ1+A2sinϕ2),
koji je, inaˇce, zbir kompleksnih brojevaz1=A1e
iϕ1
iz2=A2e
iϕ2
. Moduo
zbiraz=z1+z2je, evidentno, jednakA, dok je glavna vrednost njegovog
argumentaϕ. Dakle,
z=z1+z2=A(cosϕ+isinϕ) =Ae
iϕ
.
Na osnovu prethodnog zakljuˇcujemo da zbiru∈Xω. Nije teˇsko dokazati
slede´ce tvrdˉenje:

106 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Teorema 1.3.1.(Xω,+)ima strukturu Abelove grupe.
Oˇcigledno je da je uvedena operacija sabiranja komutativna i asocijativna.
Neutralni element jeu0= 0, dok je zau=Acos(ωt+ϕ) simetriˇcni element
u
′
=−u=Acos(ωt+ϕ
′
), pri ˇcemu je poˇcetna faza
(1.3.2) ϕ
′
=
æ
ϕ+π,−π < ϕ≤0,
ϕ−π,0< ϕ≤π.
Primer 1.3.1.Neka su
u1= cos(ωt−π/6) iu2=
√
3 cos(ωt+ 2π/3),
tj.A1= 1,ϕ1=−π/6,A2=
√
3,ϕ2= 2π/3. Kako su, na osnovu prethodnog,
A
2
= 1 + 3 + 2∆1∆
√
3 cos(−π/6−2π/3) = 1,
A1sinϕ1+A2sinϕ2= 1,A1cosϕ1+A2cosϕ2= 0, zakljuˇcujemo da jeA= 1 i
ϕ=π/2, tj.
u(t) = (u1+u2)(t) = cos(ωt+π/2) (=−sinωt).
Graﬁci funkcijau1(isprekidana linija),u2(linija tipa taˇcka–crta) i zbirau(puna
linija), kadaωt∈[−π, π], prikazani su na slici 1.3.1.
Sl. 1.3.1 Sl. 1.3.2
S druge strane, odgovaraju´ci kompleksni brojeviz1=e
−iπ/6
iz2=
√
3e
i2π/3
prikazani su na slici 1.3.2. Njihov zbir jez=z1+z2=i, tj.z=e
iπ/2
. Dakle,
moduo jeA= 1, a glavna vrednost argumenta jeϕ=π/2.
Primetimo da je znatno lakˇse obaviti operaciju sabiranja uskupu kompleksnih
brojeva, nego sabrati dve prosto-periodiˇcne oscilacije.△

LINEARNI PROSTORI 107
Ako uvedemo mnoˇzenje prosto-periodiˇcne oscilacijeu(t) =Acos(ωt+ϕ)
skalaromλ∈R, pomo´cu
(λu)(t) =λu(t) =
⊂
λAcos(ωt+ϕ), λ≥0,
−λAcos(ωt+ϕ
′
), λ <0,
gde jeϕ
′
odredˉeno sa (1.3.2), moˇzemo lako zakljuˇciti da, za svakou, v∈Xω
i svakoλ, μ∈R, vaˇze slede´ce jednakosti:
λ(μ u(t)) = (λμ)u(t), (λ+μ)u(t) =λu(t) +μu(t),
λ(u(t) +v(t)) =λu(t) +λv(t),1u(t) =u(t).
Dakle, na osnovu prethodnog zakljuˇcujemo da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 1.3.2.Skup prosto-periodiˇcnih oscilacijaXωsnabdeven operaci-
jom sabiranja+i operacijom mnoˇzenja realnim skalarom ˇcini vektorski pro-
stor nad poljemR.
I ovaj vektorski prostor, kao i vektorski prostor kompleksnih brojeva nad
poljemR(pomenut na poˇcetku ovog odeljka), je dvodimenzionalan. Bilo
koje dve linearno nezavisne ne-nula prosto-periodiˇcne oscilacije
27)
mogu se
uzeti za bazu linearnog prostoraXω.
Teorema 1.3.3.Linearni prostoriCiXω(nad istim poljem skalaraR)su
izomorfni.
Dokaz.Neka jezproizvoljan kompleksni broj predstavljen u Eulerovom
oblikuz=Ae
iϕ
, gdeAiϕpredstavljaju njegov moduo i glavnu vrednost nje-
govog argumenta, respektivno. Uoˇcimo preslikavanjef:C→Xω, deﬁnisano
pomo´cu
f(Ae
iϕ
) =Acos(ωt+ϕ),
koje je oˇcigledno biunivoko.
Neka suz1=A1e
iϕ1
iz2=A2e
iϕ2
dva proizvoljna kompleksna broja, ˇcije
su slikeu1(t) =A1cos(ωt+ϕ1) iu2(t) =A2cos(ωt+ϕ2), respektivno. Kako
jez=z1+z2=Ae
iϕ
, au(t) =u1(t) +u2(t) =Acos(ωt+ϕ), imamo
f(A1e
iϕ1
+A2e
iϕ2
) =f(Ae
iϕ
) =Acos(ωt+ϕ)
=A1cos(ωt+ϕ1) +A2cos(ωt+ϕ2)
=f(A1e
iϕ1
) +f(A2e
iϕ2
),
27)
Ne-nula prosto-periodiˇcne oscilacije sa poˇcetnim fazamaϕ1iϕ2su linearno zavisne
(kolinearne) ako su te faze jednake (ϕ1=ϕ2) ili ako se razlikuju zaπ, tj. ako jeϕ1=ϕ2±π
(videti (1.3.2)).

108 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
ˇsto znaˇci da jefaditivna funkcija (prvi uslov u (1.2.1)).
Neka je sadaz=Ae
iϕ
proizvoljan kompleksan broj,ϕ
′
deﬁnisano sa
(1.3.2) i neka jeλproizvoljan realan broj.
Zaλ≥0 imamof(λAe
iϕ
) =λAcos(ωt+ϕ) =λf(Ae
iϕ
), dok je u sluˇcaju
λ <0,
f(λAe
iϕ
) =f(−λAe
iϕ
′
) =−λAcos(ωt+ϕ
′
) =λAcos(ωt+ϕ) =f(Ae
iϕ
).
Dakle, i drugi uslov u (1.2.1) je zadovoljen.
Ovim smo dokazali da jefizomorﬁzam prostoraCna prostorXω, tj. da
su ovi prostori izomofni.∗
Zahvaljuju´ci izomorﬁzmu prostoraCna prostorXω, analiza linearnih
sistema sa prosto-periodiˇcnim oscilacijama se znaˇcajnopojednostavljuje.
Naime, sva izraˇcunavanja se mogu sprovesti u prostoruC, a zatim je potreb-
no samo interpretirati rezultate u prostoruXω. Tipiˇcan primer se pojavljuje
u elektrotehnici kod analize linearnih elektriˇcnih kola sa naizmeniˇcnom stru-
jom.
1.4. Normirani prostor
Deﬁnicija 1.4.1.Linearni prostorXnad poljemK(CiliN) jenormiran
ako postoji nenegativna funkcijau7→ kuk, deﬁnisana za svakou∈X, takva
da je
(1)kuk= 0⇔u=θ (deﬁnisanost),
(2)kλuk=|λj ∆ kuk (homogenost),
(3)ku+vk ≤ kuk+kvk (relacija trougla),
gde suu, v∈Xiλ∈K. Za ovakvu funkcijuu7→ kukkaˇzemo da je norma
elementau.
U normirani prostor uvodi se metrika pomo´cu
d(u, v) =ku−vk.
Napomena 1.4.1.Metrika na skupuXje funkcijad:X
2
→[0,+∞) sa svojst-
vima datim u deﬁniciji 5.1.1, glava I.
Primer 1.4.1.Vektorski prostorVO(E) je normiran jer je za svaki vektorr
deﬁnisan intenzitet ili norma vektorakrk=|r|=r, pri ˇcemu su ispunjeni svi
uslovi iz deﬁnicije 1.4.1.

LINEARNI PROSTORI 109
Ako bismo deﬁnisali pravougli koordinatni sistem sa bazomB={i,j,k}, tada
se intenzitet vektorar=xi+yj+zkmoˇze izraziti u obliku
(1.4.1) |r|=r=
p
x
2
+y
2
+z
2
.△
Primer 1.4.2.Vektorski prostorR
n
se moˇze normirati uvodˉenjem norme ele-
mentax= (x1, . . . , xn) pomo´cu
kxk
p
=
„n
X
k=1
|x
k|
p
«
1/p
(1≤p <+∞)(1.4.2)
ili
kxk
∞
= max
1≤k≤n
|x
k|.
Od svih normi (1.4.2), najˇceˇs´ce se koriste norme zap= 1 ip= 2, tj. norme
kxk
1
=
n
X
k=1
|x
k|ikxk
2
=
„n
X
k=1
|x
k|
2
«
1/2
.
Norma zap= 2 poznata je kao euklidska norma i ˇcesto se oznaˇcava sakxk
E
.
Specijalno, u prostoruR
3
euklidska norma vektora svodi se na (1.4.1).△
Primer 1.4.3.Linearni prostor polinomaPnna segmentu [a, b] moˇze postati
normiran ako za svakou∈ Pnuvedemo normu, na primer, pomo´cu
kuk= max
a≤t≤b
|u(t)|.
Za ovu normu kaˇzemo da je uniformna norma.△
Postojanje norme u linearnom prostoru omogu´cuje nam da razmatramo
problem konvergencije niza taˇcaka uX.
Deﬁnicija 1.4.2.Neka je{uk}k∈Nniz taˇcaka u normiranom prostoruXi
neka jeu∈Xtakvo da je lim
k→+∞
kuk−uk= 0. Tada kaˇzemo da ovaj niz
konvergira po normika taˇckiu.
S druge strane, kao ˇsto je poznato iz prethodne glave (odeljak 2.1), niz
{uk}k∈Nza koji je lim
k,n→+∞
kuk−unk= 0 naziva se Cauchyev niz.
Deﬁnicija 1.4.3.Normiran vektorski prostor jekompletan prostorako u
njemu svaki Cauchyev niz konvergira.
Deﬁnicija 1.4.4.Za kompletan normirani prostor kaˇzemo da je Bana-
chov
28)
prostor.
28)
Stefan Banach (1892–1945), poznati poljski matematiˇcar.

110 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
1.5. Skalarni proizvod i unitarni prostor
Deﬁnicija 1.5.1.Vektorski prostorXnad poljem kompleksnih brojevaC
naziva seprostor sa skalarnim proizvodomiliunitarni prostorako postoji
funkcija (∆,∆):X
2
→Ckoja za svakou, v, w∈Xiλ∈Czadovoljava slede´ce
uslove:
(1) (u, u)≥0,
(2) (u, u) = 0⇔u=θ,
(3) (u+v, w) = (u, w) + (v, w),
(4) (λu, v) =λ(u, v),
(5) (u, v) =(v, u).
Funkcija (u, v) se nazivaskalarni proizvod.
Teorema 1.5.1.Za skalarni proizvod vaˇzi:
1
◦
(u, λv) =
ˉ
λ(u, v),
2
◦
(u, v1+v2) = (u, v1) + (u, v2),
3
◦
|(u, v)|
2
≤(u, u)(v, v).
Dokaz.Tvrdˉenja 1
◦
i 2
◦
se jednostavno dokazuju. Da bismo dokazali
tvrdˉenje 3
◦
, koje je poznato kao Bunjakowsky–Cauchy–Schwarzova nejed-
nakost (videti odeljak 5.1, glava I), uzmimo taˇckuw=u+t(u, v)v, gde jet
realno iu, v∈X. Kako je, na osnovu (1) iz deﬁnicije 1.5.1,
(w, w) = (u+t(u, v)v, u+t(u, v)v)≥0,
koriˇs´cenjem osobina (3)–(5) iz deﬁnicije 1.5.1 i osobina1
◦
i 2
◦
zakljuˇcujemo
da je
(u, u) + 2|(u, v)|
2
t+|(u, v)|
2
(v, v)t
2
≥0,
odakle sleduje da diskriminantaDdobijenog kvadratnog trinoma mora biti
manja ili jednaka nuli, tj.
D
4
=|(u, v)|
4
− |(u, v)|
2
(u, u)(v, v)≤0.
Iz poslednje nejednakosti sleduje nejednakost 3
◦
.∗
Unitaran vektorski prostor moˇze se normirati uvodˉenjem norme pomo´cu
(1.5.1) kuk=
p
(u, u),

LINEARNI PROSTORI 111
s obzirom da funkcijau7→
p
(u, u) ispunjava sve uslove iz deﬁnicije 1.4.1.
Za tako uvedenu normu kaˇzemo da izvire iz skalarnog proizvoda. S obzirom
na (1.5.1), nejednakost 3
◦
u teoremi 1.5.1 moˇze se predstaviti u obliku
(1.5.2)
|(u, v)|
kuk ∆ kvk
≤1 (u, v6=θ).
Ako umesto kompleksnog vektorskog prostora imamo realni vektorski
prostor, tada skalarni proizvod (∆,∆):X
2
→R, umesto osobine (5) u deﬁniciji
1.5.1, treba da poseduje tzv. osobinu simetrije
(5
′
) (u, v) = (v, u).
U tom sluˇcaju za prostorXkaˇzemo da je Euklidov ili euklidski prostor.
Posebno ´cemo sada razmotriti uvodˉenje skalarnog proizvoda u trodimen-
zionalni vektorski prostorVO(E).
Pretpostavimo da je u prostoruVO(E) zadata bazaB={i,j,k}. Neka
su dalje
a=
−→
OA=a1i+a2j+a3kib=
−→
OB=b1i+b2j+b3k
dva proizvoljna vektora uVO(E).
Teorema 1.5.2.Funkcija(∆,∆):VO(E)
2
→R, deﬁnisana pomo´cu
(1.5.3) ( a,b) =a1b1+a2b2+a3b3,
je skalarni proizvod.
Dokaz.Direktno ´cemo proveriti osobine (1)–(4) iz deﬁnicije 1.5.1. Kako
jeVO(E) vektorski prostor nad poljemR, potrebno je da vaˇzi uslov (5
′
), tj.
(a,b) = (b,a), ˇsto je oˇcigledno taˇcno na osnovu (1.5.3).
Kako je (a,a) =a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
, zakljuˇcujemo da je (a,a)≥0, pri ˇcemu je
(a,a) = 0 ako i samo ako jea1=a2=a3= 0, tj.a=o. Takodˉe, za tri
vektoraa,bic(=c1i+c2j+c3k), imamo
(a+b,c) = (a1+b1)c1+ (a2+b2)c2+ (a3+b3)c3
= (a1c1+a2c2+a3c3) + (b1c1+b2c2+b3c3)
= (a,c) + (b,c).

112 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Najzad, za svakoλ∈Ri svakoa,b∈VO(E) vaˇzi jednakost
(λa,b) = (λa1)b1+ (λa2)b2+ (λa3)b3
=λ(a1b1+a2b2+a3b3) =λ(a,b).∗
Umesto oznake (a,b), za skalarni proizvod (1.5.3) ˇceˇs´ce se koristi oznaka
a∆bili joˇs jednostavnijeab.
Norma koja izvire iz skalarnog proizvoda (1.5.3) je euklidska norma, de-
ﬁnisana pomo´cu (1.4.1). Dakle, ovde imamo
|a|
2
= (a,a) =a
2
=a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
,
tj.
|a|=a=
q
a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
.
Koriˇs´cenjem geometrijske interpretacije vektora, mogu´ce je skalarni pro-
izvod dva vektora uvesti i na jedan drugaˇciji naˇcin. Neka vektoria=
−→
OAi
b=
−→
OBzaklapaju ugaoϕ(videti sliku 1.5.1).
Sl. 1.5.1 Sl. 1.5.2
Primenom kosinusne teoreme na trougaoOABdobijamo

−→
BA

2
=

−→
OA

2
+

−→
OB

2
−2

−→
OA

∆

−→
OB

∆cosϕ,
tj.
(1.5.4) |a−b|
2
=|a|
2
+|b|
2
−2|a||b|cosϕ
jer je
−→
BA=a−b.
S druge strane imamo
|a−b|
2
= (a−b,a−b) = (a,a)−(a,b)−(b,a) + (b,b),

LINEARNI PROSTORI 113
tj.
(1.5.5) |a−b|
2
=|a|
2
+|b|
2
−2(a,b).
Poredˉenjem (1.5.4) i (1.5.5) dobijamo jednakost
(1.5.6) ( a,b) =ab=|a||b|cosϕ,
koja se moˇze uzeti za deﬁniciju skalarnog proizvoda dva vektora. Nije teˇsko
pokazati da su deﬁnicione formule (1.5.3) i (1.5.6) ekvivalentne.
Na osnovu (1.5.6), zakljuˇcujemo da je skalarni proizvod dva vektoraai
bskalar, ˇcija se vrednost nalazi izmedˉu−abi +ab. Oˇcigledno, iz uslova
ab= 0 sleduje da je
a=o∨b=o∨ϕ=π/2.
Dakle, skalarni proizvod dva vektoraaibjednak je nuli ako je bar jedan
od vektora jednak nula-vektoru ili ako su vektoriortogonalni, tj. ako je
ϕ=π/2. Na slici 1.5.2 prikazani vektoriaibsu ortogonalni.
Kako za bazisne (jediniˇcne) vektore imamo
i∆i= 1, i∆j= 0, i∆k= 0,
j∆i= 0, j∆j= 1, j∆k= 0,
k∆i= 0, k∆j= 0, k∆k= 1,
zakljuˇcujemo da su oni medˉu sobom ortogonalni. Za takvu bazu{i,j,k}
kaˇzemo da jeortogonalna baza.
ˇ
Staviˇse, koristi se terminortonormirana
baza, ukazuju´ci time da su u pitanju jediniˇcni bazisni vektori. Ako formiramo
skalarne proizvode vektora
a=a1i+a2j+a3k,
redom sa bazisnim vektorimai,j,k, dobijamo
ai=a1,aj=a2,ak=a3.
S druge strane, na osnovu (1.5.6), imamo
ai=acosα,aj=acosβ,ak=acosγ,

114 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
gde suα, β, γuglovi koje vektorazaklapa redom sa vektorimai,j,k. Dakle,
vektorase moˇze predstaviti u obliku
(1.5.7) a=a(cosαi+ cosβj+ cosγk).
Kako je|a|=a, zakljuˇcujemo da je
cos
2
α+ cos
2
β+ cos
2
γ= 1.
Kosinusi uglovaα, β, γmogu se odrediti pomo´cu
cosα=
a1
a
,cosβ=
a2
a
,cosγ=
a3
a
.
U opˇstem sluˇcaju, koriˇs´cenjem skalarnog proizvoda dvavektora mogu´ce
je odrediti ugaoϕkoji oni zaklapaju. Tako imamo
cosϕ=
ab
ab
=
a1b1+a2b2+a3b3
p
a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
p
b
2
1
+b
2
2
+b
2
3
.
Primer 1.5.1.Neka su u prostoruVO(E) dati vektoria= 2i+kib=
4i+j−3k. Kako je njihov skalarni proizvod
ab= (2i+k)(4i+j−3k) = 2∆4 + 0∆1 + 1∆(−3) = 5,
a intenziteti
a=|a|=
p
2
2
+ 0
2
+ 1
2
=
√
5 i b=|b|=
q
4
2
+ 1
2
+ (−3)
2
=
√
26,
zakljuˇcujemo da jeϕ= arccos(
p
5/26).△
Posmatrajmo sada proizvoljni euklidski prostor. Nejednakost (1.5.2) svodi
se na
−1≤
(u, v)
kuk ∆ kvk
≤1,
ˇsto daje ideju da se i ovde, kao i u trodimenzionalnom euklidskom prostoru,
uvede jedan geometrijski pojam, ugao uzmedˉu dva vektorauiv, pomo´cu
(1.5.8) cos ϕ=
(u, v)
kuk ∆ kvk
.

LINEARNI PROSTORI 115
Primer 1.5.2.Vektorski prostorR
n
postaje euklidski ako se skalarni proizvod
uvede pomo´cu
(x,y) =
n
X
k=1
x
ky
k,
gde sux= (x1, . . . , xn) iy= (y1, . . . , yn). Vektori baze{e1, e2, . . . , en}, dati sa
(1.1.4), medˉu sobom su ortogonalni. Dakle, ovo je ortonormirana baza uR
n
.
Norma koja izvire iz skalarnog proizvoda, u ovom sluˇcaju
kxk=
p
(x,x) =
q
x
2
1
+∆ ∆ ∆+x
2
n,
je, u stvari, euklidska normakxk
E
(videti primer 1.4.2). Na osnovu (1.5.8), ugao
izmedˉu vektoraaibodredˉen je sa
cosϕ=
x1y1+∆ ∆ ∆+xnyn
q
x
2
1
+∆ ∆ ∆+x
2
n
q
y
2
1
+∆ ∆ ∆+y
2
n
.
Sliˇcno, ako razmatramo kompleksan vektorski prostorC
n
, skalarni proizvod je
mogu´ce uvesti pomo´cu
(x,y) =
n
X
k=1
x
ky
k.
Primetimo da se koordinate vektoraypojavljuju kao konjugovane vrednosti.
Bunjakowsky–Cauchy–Schwarzova nejednakost uC
n
ima oblik
˛
˛
˛
˛
n
X
k=1
x
ky
k
˛
˛
˛
˛
≤
„n
X
k=1
|x
k|
2
«
1/2„n
X
k=1
|y
k|
2
«
1/2
.△
Deﬁnicija 1.5.2.Unitaran vektorski prostor sa normom (1.5.1) naziva se
pred-Hilbertov
29)
prostor. Ukoliko je ovaj prostor kompletan naziva seHilber-
tov.
1.6. Konstrukcija ortogonalne baze
Neka je dat linearan prostorXsa skalarnim proizvodom (∆,∆). U prethod-
nom odeljku pominjali smo ortogonalnu i ortonormiranu bazuu prostorima
VO(E) iR
n
.
29)
David Hilbert (1862–1943), veliki nemaˇcki matematiˇcar.

116 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Deﬁnicija 1.6.1.Skup vektoraU={u1, u2, . . . , un}u unitarnom prostoru
Xje ortogonalan ako je (ui, uk) = 0, za svakoi6=k. Ukoliko je ikukk= 1
(k= 1,2, . . . , n), kaˇzemo da je skupUortonormiran.
Neka jeU={u1, u2, . . . , un}proizvoljan skup ortogonalnih nenula vek-
tora. Pokaˇzimo, najpre, da je ovaj skup linearno nezavisan.
Ako podˉemo od jednakosti
λ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λnun=θ
i obrazujemo skalarni proizvod sa proizvoljnim vektoromuk(1≤k≤n),
dobijamo
λ1(u1, uk) +λ2(u2, uk) +∆ ∆ ∆+λn(un, uk) = (θ, uk) = 0,
ˇsto se, zbog ortogonalnosti, svodi naλk(uk, uk) = 0. Kako je (uk, uk) =
kukk
2
6= 0 ikproizvoljno, sledujeλk= 0, ˇsto znaˇci da je posmatrani skup
vektora linearno nezavisan.
Jedan ortonormiran skupB={u1, u2, . . . , un}predstavlja bazu uXako
se svaki vektoru∈X, na jedinstven naˇcin, moˇze da predstavi linearnom
kombinacijom
(1.6.1) u=x1u1+x2u2+∆ ∆ ∆+xnun.
Oˇcigledno, ovo je mogu´ce ako je dimX=n. Za takvu bazu kaˇzemo da je
ortonormirana. Obiˇcno se vektori ortonormirane baze oznaˇcavaju sau
∗
k
(k=
1,2, . . . , n). Ukoliko imamo ortogonalnu bazuB={u1, u2, . . . , un}, tada
se vektori ortonormirane bazeB
∗
={u
∗
1, u
∗
2, . . . , u
∗
n}jednostavno dobijaju
pomo´cu
u
∗
k
=
uk
kukk
(k= 1,2, . . . , n).
Skalarex1, x2, . . . , xn, tj. koordinate vektorauu ortonormiranoj baziB,
moˇzemo dobiti formiranjem skalarnog proizvoda (u, uk). Tada iz (1.6.1)
sleduje
xk= (u, uk) (k= 1,2, . . . , n).
Napomenimo, takodˉe, da se skalarni proizvod dva vektorauivpredstav-
ljenih u obliku (1.6.1)
u=x1u1+x2u2+∆ ∆ ∆+xnun, v=y1u1+y2u2+∆ ∆ ∆+ynun,

LINEARNI PROSTORI 117
svodi na
(u, v) =x1ˉy1+x2ˉy2+∆ ∆ ∆+xnˉyn.
Naravno,
(u, u) =kuk
2
=|x1|
2
+|x2|
2
+∆ ∆ ∆+|xn|
2
.
Zbog jednostavnosti u primenama, ortogonalna baza ima prednosti nad
algebarskom bazom u unitarnom (ili Hilbertovom) prostoru.Zato je od
interesa prouˇciti postupak za konstrukciju ortogonalne baze.
Neka je dat skup linearno nezavisnih vektora{v1, v2, . . .}un-dimenzional-
nom unitarnom prostoruX. Postupak kojim se ovom skupu vektora moˇze
pridruˇziti ortogonalni sistem vektora{u1, u2, . . .}, tako da se lineali nad
ovim skupovima poklapaju, poznat je kaoGram
30)
–Schmidtov
31)
postupak
ortogonalizacijei on se moˇze iskazati na slede´ci naˇcin:
Uzmimo najpreu1=v1, a zatimu2predstavimo u obliku
u2=v2+λ21u1,
gde jeλ21nepoznati parametar koji odredˉujemo iz uslova da je vektoru2
ortogonalan sau1. Tada je
(u2, u1) = (v2, u1) +λ21(u1, u1) = 0,
odakle sleduje
λ21=−
(v2, u1)
(u1, u1)
i
u2=v2−
(v2, u1)
(u1, u1)
u1.
Pretpostavimo sada da smo konstruisali skup vektora{u1, u2, . . . , uk−1}.
Vektorukpredstavimo u obliku
uk=vk+λk1u1+λk2u2+∆ ∆ ∆+λk,k−1uk−1.
Tada nepoznate parametreλki(i= 1,2, . . . , k−1) odredˉujemo iz uslova
ortogonalnosti vektorauksa svim prethodno konstruisanim vektorimau1,
u2,. . .,uk−1. Dakle,
(uk, ui) = (vk, ui) +
k−1
X
j=1
λkj(uj, ui) = 0 (i= 1,2, . . . , k−1).
30)
Jorgen Pedersen Gram (1850–1916), danski matematiˇcar.
31)
Erhard Schmidt (1876–1959), nemaˇcki matematiˇcar.

118 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Kako iz ovih jednakosti sleduje
λki=−
(vk, ui)
(ui, ui)
(i= 1,2, . . . , k−1),
imamo
(1.6.2) uk=vk−
k−1
X
i=1
(vk, ui)
(ui, ui)
ui.
Dakle, u opˇstem sluˇcaju, vektori ortogonalnog sistema{u1, u2, . . .}mogu
se konstruisati pomo´cu formule (1.6.2). Odgovaraju´ci ortonomirani sistem
vektora je{u
∗
1, u
∗
2, . . .}, gde su
u
∗
k
=
uk
kukk
(k= 1,2, . . .).
Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije transformiˇseskup linearno
nezavisnih vektora{v1, v2, . . . , vn}u ortogonalan, a samim tim i linearno
nezavisan skup vektora{u1, u2, . . . , un}. Ako ovaj skup ne predstavlja bazu
uX, on se uvek moˇze uvodˉenjem novih ortogonalnih vektora proˇsiriti do
baze.
Primer 1.6.1.Neka su u prostoruVO(E) dati vektori
a= 2i+k,b= 4i+j−3k,c=−i+ 2j+ 2k.
Gram–Schmidtovim postupkom ortogonalizacije odredi´cemo ortogonalnu bazu
{u1,u2,u3}.
Stavimo, najpre,u1=a= 2i+k.
Kako jeu1u1= 4+0+1 = 5 ibu1= 8+0−3 = 5, imamoλ21=−5/5 =−1,
pa je
u2=b+λ21u1= 4i+j−3k−(2i+k) = 2i+j−4k.
Kako je, dalje,u2u2= 4 + 1 + 16 = 21,cu1=−2 + 0 + 2 = 0 icu2=
−2 + 2−8 =−8, dobijamoλ31=−0/5 = 0 iλ32=−(−8)/21 = 8/21. Tada je
u3=c+λ31u1+λ32u2=−i+ 2j+ 2k+
8
21
(2i+j−4k),
tj.
u3=
5
21
`
−i+ 10j+ 2k
´
.
Odgovaraju´ca ortonormirana baza je

1
√
5
`
2i+k
´
,
1
√
21
`
2i+j−4k
´
,
1
√
105
`
−i+ 10j+ 2k
´
ﬀ
.△

LINEARNI PROSTORI 119
1.7. Ortogonalni potprostori
Sem ortogonalnih vektora u prostoruX, mogu´ce je razmatrati i tzv.orto-
gonalne skupove vektora. Za dva skupa vektoraY1iY2(Y1, Y2⊂X) kaˇzemo
da su ortogonalna ako je svaki vektoru∈Y1ortogonalan sa svakim vektorom
v∈Y2. Ovu ˇcinjenicu oznaˇcavamo saY1⊥Y2. Ako skupY1sadrˇzi samo
jedan vektor, na primerY1={u}, tada se moˇze govoriti o ortogonalnosti
vektorauna skupY2. Dakle,u⊥Y2ako je vektoruortogonalan sa svakim
vektorom skupaY2. Nije teˇsko dokazati slede´ci rezultat:
Teorema 1.7.1.Da bi vektoru∈Xbio ortogonalan na potprostorY(Y⊂
X)potrebno je i dovoljno da je on ortogonalan sa svim vektorimaproizvoljne
baze potprostoraY.
Dokaz.Neka je{v1, v2, . . . , vm}proizvoljna baza potprostoraY. Ako je
u⊥Y, tada jeuortogonalan sa svim vektorima izY, pa i sa vektorima
baze.
Obrnuto, pretpostavimo da je (u, vk) = 0 zak= 1,2, . . . , mi neka jev
proizvoljan vektor izY. Tada sevmoˇze, na jedinstven naˇcin, predstaviti
pomo´cu linearne kombinacije bazisnih vektora
v=λ1v1+λ2v2+∆ ∆ ∆+λmvm,
odakle dobijamo
(u, v) = (u, λ1v1+λ2v2+∆ ∆ ∆+λmvm)
=
ˉ
λ1(u, v1) +
ˉ
λ2(u, v2) +∆ ∆ ∆+
ˉ
λm(u, vm) = 0.
Dakle,u⊥Y.∗
Na osnovu prethodnog, zakljuˇcujemo da su dva potprostoraY1iY2or-
togonalna ako i samo ako su im proizvoljne baze ortogonalne.
Za sumu razliˇcitih potprostoraY1,Y2,. . .,Ymkaˇzemo da jeortogo-
nalnaako su svaka dva potprostora medˉu sobom ortogonalna. Takvu sumu
oznaˇcavamo sa
(1.7.1) Y=Y1⊕Y2⊕ ⊕Ym.
Teorema 1.7.2.Ortogonalna sumaYnenula potprostoraY1,Y2,. . .,Ym
je uvek direktna suma.
Dokaz.Ako u svakom od potprostoraYk(k= 1,2, . . . , m) izaberemo
ortonormiranu bazuBk, onda se svaki vektor iz ortogonalne sume (1.7.1)

120 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
moˇze na jedinstveni naˇcin izraziti kao linearna kombinacija vektora iz unije
bazisa, tj. iz skupaB=B1∪B2[ ∆ ∆ ∆ [Bm. Skup vektoraBje baza uY
jer su, zbog ortogonalnosti, svi vektori izBlinearno nezavisni.∗
Pretpostavimo da je prostorXortogonalna suma svojih potprostoraY1,
Y2,. . .,Ym, tj. da je
X=Y1⊕Y2⊕ ⊕Ym.
Kako se vektoriu, v∈X, na jedinstven naˇcin, mogu predstaviti u obliku
u=u1+u2+∆ ∆ ∆+um, v=v1+v2+∆ ∆ ∆+vm,
gde jeuk, vk∈Yk(k= 1,2, . . . , m), skalarni proizvod (u, v) moˇze se izraziti
jednostavno kao
(u, v) = (u1, v1) + (u2, v2) +∆ ∆ ∆+ (um, vm).
Na kraju ovog odeljka razmotri´cemo sluˇcaj dva potprostora koji su kom-
plementarni (videti odeljak 1.1).
Deﬁnicija 1.7.1.Neka jeY(6={θ}) potprostor unitarnog prostoraX. Za
skup svih vektorau∈Xkoji su ortogonalni naY, tj.
Y
⊥
={u∈X|u⊥Y},
kaˇzemo da jeortogonalni komplement potprostoraY.
Teorema 1.7.3.Ortogonalni komplementY
⊥
potprostoraYje, takodˉe, pot-
prostor.
Dokaz.Akou, v∈Y
⊥
, tada jeu⊥Yiv⊥Y. Takodˉe,αu+βv⊥Yza
svakoα, β∈K, ˇsto znaˇciαu+βv∈Y
⊥
.∗
Teorema 1.7.4.Neka jeYpotprostor unitarnog prostoraX. Tada vaˇzi
jednakost
X=Y⊕Y
⊥
.
Dokaz.U potprostorimaYiY
⊥
izaberimo ortogonalne bazeB1iB2, re-
spektivno. Tada je skup vektoraB=B1∪B2, zbog ortogonalnosti, linearno
nezavisan. Potrebno je dokazati da je skup vektoraBbaza prostoraX.
Pretpostavimo suprotno, tj. daBnije baza, a zatim dopunimo ovaj skup
ortogonalnim vektorima do baze. Oznaˇcimo sae(∈X) jedan od tih dopun-
skih vektora. Tada iz ˇcinjenice da jee⊥B1sledujee⊥Y, tj.e∈Y
⊥
. Isto

MATRICE I DETERMINANTE 121
tako, ize⊥B2sledujee⊥Y
⊥
. Dakle, vektoreistovremeno pripadaY
⊥
i
ortogonalan je naY
⊥
, ˇsto je mogu´ce jedino ako jee=θ. Kako nula-vektor
ne moˇze biti bazisni vektor, zakljuˇcujemo da je skupBbaza.∗
2. MATRICE I DETERMINANTE
2.1. Pojam matrice
U mnogim problemima nauke i tehnike veoma je ˇcest sluˇcaj dase po-
javljuju izvesne ,,veliˇcine‘‘ opisane konaˇcnim ili beskonaˇcnim nizom brojeva,
na primer,
a1, a2, . . . , an ilia1, a2, . . . , an, . . . ,
ili pak nekom pravougaonom ˇsemom brojeva, na primer,
a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn
u kojoj se pojavljujemvrsta inkolona. Napomenimo da, ponekad, broj
vrsta i kolona ne mora biti konaˇcan. Jasno je da svaki niz moˇze biti tretiran
kao pravougaona ˇsema sa jednom vrstom (m= 1). Obiˇcno, brojeviai, ili
aij, pripadaju nekom brojnom poljuK. U naˇsim razmatranjima uvek ´cemo
pretpostavljati da jeK=RiliK=C. U opˇstem sluˇcaju, kao elementi
pravougaone ˇseme mogu se pojavljivati i drugaˇcije ,,veliˇcine‘‘.
Deﬁnicija 2.1.1.Za pravougaonu ˇsemu brojevaaij∈K(i= 1, . . . , m;
j= 1, . . . , n), predstavljenu u obliku
(2.1.1) A=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn





,
kaˇzemo da jematricatipam×nnad poljemK, a za brojeveaijkaˇzemo da
su elementi matriceA.
U zavisnosti od toga da li je poljeRiliC, za matrice kaˇzemo da surealne
ili kompleksne matrice.

122 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Umesto oznake (2.1.1) u upotrebi su i oznaˇcavanja

a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn

,




a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn




.
Elementi matriceAsa istim prvim indeksom ˇcine jednu vrstu matrice.
Na primer, elementi
ai1, ai2, . . . , ain
ˇcinei-tu vrstu matriceA. Sliˇcno, elementi sa istim drugim indeksom ˇcine
jednu kolonu matrice. Prema tome, prvi indeks odredˉuje pripadnost vrsti,
a drugi indeks pripadnost koloni matrice. Elementaijpripadai-toj vrsti
ij-toj koloni matriceA, tj. on se nalazi u presekui-te vrste ij-te kolone
matrice, pa se za njega kaˇze da se nalazi na mestu (i, j) u matriciA. Kod
oznaˇcavanja elementa matriceaij, indekseiijobiˇcno ne odvajamo zapetom,
tj. ne piˇsemoai,j, sem u sluˇcajevima kada je to neophodno radi identiﬁkacije.
Na primer,a2i−1,j+1je element koji se nalazi na mestu (2i−1, j+1) u datoj
matriciA.
Umesto oznake (2.1.1) ˇcesto se koristi kra´ci zapis
A= [aij]m×n,
pri ˇcemuaijpredstavlja opˇsti element matriceA, koja imamvrsta in
kolona. Dakle, prvi indeksiuzima redom vrednosti iz skupa{1,2, . . . , m},
a drugi indeksjiz skupa{1,2, . . . , n}.
Ako su dve matrice istog tipa, za elemente na mestu (i, j) kaˇzemo da su
odgovaraju´ci elementi. Na primer, za matriceA= [aij]m×niB= [bij]m×n
elementiaijibijsu odgovaraju´ci.
Deﬁnicija 2.1.2.Za dve matriceAiBkaˇzemo da sujednake matriceako
su istog tipa i ako su im odgovaraju´ci elementi jednaki.
To znaˇci da su matriceA= [aij]m×niB= [bij]p×qjednake ako i samo
ako jem=p,n=qiaij=bij(i= 1,2, . . . , m;j= 1,2, . . . , n).
Napomenimo da je jednakost matrica, uvedena deﬁnicijom 2.1.2, jedna
relacija ekvivalencije u skupu matrica.

MATRICE I DETERMINANTE 123
Deﬁnicija 2.1.3.Matricu tipam×nˇciji su svi elementi jednaki nuli nazi-
vamonula-matricai oznaˇcavamo saOmn.
U sluˇcajevima kada ne moˇze do´ci do zabune, nula-matricu oznaˇcava´cemo
jednostavno saO.
Matricu tipa 1×nnazivamomatrica-vrstai tada pri pisanju elemenata
izostavljamo prvi indeks. Na primer, matrica-vrsta je
[a1a2. . . an].
Sliˇcno, matricu tipan×1 nazivamomatrica-kolona. U ovom sluˇcaju,
koristi se i terminvektor-kolona, ili prostovektor, i pri tom se oznaˇcava sa
a=




a1
a2
.
.
.
an




.
U ovom sluˇcaju za elementea1, a2, . . . , ankaˇzemo da sukoordinateili
komponente vektoraa.
ˇ
Cesto zai-tu koordinatu vektoraakoristimo oznaku
ai={a}i.
Ako su svi elementi vektora jednaki nuli, govori´cemo da je tonula-vektor
i oznaˇcava´cemo ga saon, ili jednostavno sao, kada ne moˇze do´ci do zabune.
Deﬁnicija 2.1.4.Za matricu tipa
(2.1.2) A= [aij]n×n=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann





kaˇzemo da jekvadratna matricaredannad poljemK.
Umesto oznake [aij]n×n, koriˇs´cene u (2.1.2), za kvadratne matrice redan
ˇcesto se koristi oznaka [aij]
n
1
, koja ukazuje da oba indeksa (iij) uzimaju
redom vrednosti od 1 don.
Svi elementi kvadratne matriceA, kod kojih su oba indeksa jednaka, tj.
elementia11, a22, . . . , ann, obrazujuglavnu dijagonalu matriceA. Sliˇcno,
elementia1n, a2,n−1, . . . , an1obrazujusporednu dijagonalu matriceA.

124 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Kvadratnu matricuD, formiranu samo od dijagonalnih elemenata matrice
A, tj. od elemenata na glavnoj dijagonali, oznaˇcava´cemo sadiagA. Dakle,
D= diagA=




a11
a22
.
.
.
ann




,
ali i
D= diagA= diag(a11, a22, . . . , ann).
Svi elementi van glavne dijagonale matriceD= diagAsu jednaki nuli.
Dakle, u opˇstem sluˇcaju, ako su elementi kvadratne matriceD= [dij]
n
1
takvi
da jedij= 0 za svakoi6=j, a bar jedan element na glavnoj dijagonali razliˇcit
od nule, za matricuDkaˇzemo da jedijagonalna.
Deﬁnicija 2.1.5.Dijagonalna matrica redanˇciji su svi elementi na dija-
gonali jednaki jedinici naziva sejediniˇcna matricai oznaˇcava se saIn.
Prema tome vaˇzi jednakostIn= diag(1,1, . . . ,1).
U sluˇcajevima kada je jasno koga je reda, jediniˇcnu matricuInoznaˇcava-
mo samo saI.
UvodˉenjemKroneckerove
32)
delte, pomo´cu
δij=
⊂
1, i=j,
0, i6=j,
jediniˇcna matricaInmoˇze se predstaviti kao
In= [δij]
n
1
.
Na kraju, uvedimo i pojam tzv. trougaone matrice:
Deﬁnicija 2.1.6.Ako za kvadratnu matricuR= [rij]
n
1vaˇzi
i > j⇒rij= 0,
kaˇzemo da jeRgornja trougaona matrica.
Ako za kvadratnu matricuL= [lij]
n
1
vaˇzi
i < j⇒lij= 0,
32)
Leopold Kronecker (1823–1891), nemaˇcki matematiˇcar.

MATRICE I DETERMINANTE 125
kaˇzemo da jeLdonja trougaona matrica.
Dakle, gornja i donja trougaona matrica redanimaju slede´ce oblike:
R=




r11r12. . . r1n
r22 r2n
.
.
.
.
.
.
rnn




, L=




l11
l21l22
.
.
.
.
.
.
ln1ln2. . . lnn




.
Primetimo da su svi elementi ispod glavne dijagonale u matriciR, kao i
svi elementi iznad glavne dijagonale u matriciL, jednaki nuli.
2.2. Linearni operatori
Neka suXiYlinearni prostori nad istim poljem skalaraK. Pod opera-
toromA:X→Ypodrazumeva se preslikavanje
(2.2.1) u7→g=Au
koje svakom elementuu∈Xpridruˇzuje samo jedan elementg∈Y.
ProstorXse nazivaoblast deﬁnisanosti operatoraA. Elementgiz (2.2.1)
naziva se slika elementau, a sam elementuoriginal. Skup svih slika, tj.
{Au|u∈X}, naziva se oblast vrednosti operatoraAi oznaˇcava se saA(X).
U sluˇcaju, kada svakom elementug∈ A(X) odgovara samo jedan original,
za operator se kaˇze da jeobostrano jednoznaˇcan, tj. da je preslikavanjeA
bijekcija prostoraXnaA(X).
U daljem razmatranju interesuju nas samo tzv.linearni operatori, koji
imaju znaˇcajnu ulogu u opˇstoj teoriji operatora. Posebnosu interesantni
linearni operatori na konaˇcno-dimenzionalnim prostorima jer su oni u uskoj
vezi sa teorijom matrica.
Pre nego ˇsto deﬁniˇsemo linearni operator, deﬁnisa´cemo aditivni operator
i homogeni operator.
Deﬁnicija 2.2.1.OperatorA:X→Yjeaditivanako je
A(u+v) =Au+Av
za svakou, v∈X.
Deﬁnicija 2.2.2.OperatorA:X→Yjehomogenako je
A(λu) =λAu
za svakou∈Xi svakoλ∈K.

126 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Deﬁnicija 2.2.3.OperatorA:X→Yjelinearanako je istovremeno adi-
tivan i homogen, tj. ako je za svakou, v∈Xi svakoλ, ∈K
A(λu+ˉv) =λAu+ˉAv.
Deﬁnicija 2.2.4.Za operatorI:X→X, za koji jeIu=uza svakou∈X,
kaˇzemo da jeidentiˇcki operator.
Primer 2.2.1.Neka jeαﬁksirani skalar iz poljaKi neka je operatorA:X→X
deﬁnisan pomo´cuAu=αuza svakou∈X. OperatorAje linearan jer je
A(λu+ˉv) =α(λu+ˉv) = (αλ)u+ (ˉ)v= (λα)u+ (ˉ)v,
tj.
A(λu+ˉv) =λ(αu) +ˉ(αv) =λAu+ˉAv.
Ovako deﬁnisan operatorAnaziva seskalarni operator. U specijalnom sluˇcaju,
kada jeα= 0, operatorAse svodi na tzv.nula-operatorO, dok se zaα= 1
operatorAsvodi na identiˇcki (jediniˇcni) operatorI.
Primetimo da nula-operatorOpreslikava svakou∈Xna neutralni element
θ∈X, tj. da jeOu=θ. Primetimo, takodˉe, da se nula-operator moˇze deﬁnisati i
kao operator koji preslikava svaku taˇcku prostoraXna neutralni element prosto-
raY.△
Skup svih linearnih operatora koji preslikavaju prostorXu prostorY,
oznaˇci´cemo saL(X, Y).
Teorema 2.2.1.Neka jeA ∈L(X, Y). Tada jeAθ=θ.
Dokaz.Kako je
Aθ=A(θ+θ) =Aθ+Aθ,
zakljuˇcujemo da jeAθ=θ.∗
Na samom poˇcetku ovog odeljka pomenuli smoA(X) kao oblast vrednosti
operatoraA. Za linearni operatorAsaTAoznaˇcimo ovu oblast. Nije
teˇsko utvrditi da jeTApotprostor prostoraY. Zaista, ako jeg=Aui
h=Av, vektorαg+βhje slika vektoraαu+βv, za svakoα, β∈K. Dakle,
αg+βh∈TA.
Deﬁnicija 2.2.5.Rang operatoraA ∈L(X, Y), u oznacirAili rangA, je
dimenzija potprostoraTA, tj.
rA= rangA= dim(TA).
U vezi sa potprostoromTAmoˇze se razmatrati i skup vektorau∈Xkoji
zadovoljavaju jednakostAu=θ.

MATRICE I DETERMINANTE 127
Deﬁnicija 2.2.6.Jezgro operatoraA ∈L(X, Y), u oznaciNAili kerA, je
skup
NA= kerA={u∈X| Au=θ}.
Dimenzija jezgranaziva se defekt operatoraAi oznaˇcava se sanAili
defA.
Jezgro operatora kerA ⊂Xje potprostor prostoraX, s obzirom na imp-
likaciju
u, v∈kerA ⇒ (∀α, β∈K)αu+βv∈kerA.
Rang operatora i defekt operatora nisu nezavisne karakteristike linearnog
operatora. O tome govori slede´ca teorema:
Teorema 2.2.2.Neka jedimX=niA ∈L(X, Y). Tada je
(2.2.2) rang A+ defA=n.
Dokaz.RazloˇzimoXna direktnu sumu
(2.2.3) X=NA
˙+MA,
gde jeNAjezgro operatoraA, aMAbilo koji njemu komplementaran pot-
prostor. Za svaki elementg∈TApostojiu∈Xtakav da jeg=Au. Kako
seu∈Xmoˇze predstaviti u obliku zbira
u=uN+uM,
gdeuN∈NAiuM∈MA, imamo
g=Au=A(uN+uM) =AuN+AuM=AuM
jer jeAuN=θ. Drugim reˇcima, proizvoljan vektorg∈TAje slika jednog
vektora izMA. Moˇze se dokazati da je takav vektoruM∈MAjedinstven.
Naime, ako pretpostavimo postojanje dva vektorauM∈MAiu
′
M
∈MA, za
koje je
g=AuM=Au
′
M
,
tada imamo
A(uM−u
′
M) =θ,
tj.uM−u
′
M
∈NA.

128 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
S druge strane,uM−u
′
M
∈MAjer jeMApotprostor. Kako je, medˉutim,
NA∪MA={θ}, zakljuˇcujemo da mora bitiuM=u
′
M
.
Prema tome, linearni operatorApredstavlja biunivoko preslikavanje vek-
tora iz potprostoraMAnaTA, tj.Aje izomorﬁzam, odakle zakljuˇcujemo
da je dim(MA) = dim(TA) =rA. Tada, na osnovu (1.1.5) i (2.2.3), imamo
dim(X) = dim(NA) + dim(MA),
tj. (2.2.2).∗
Na osnovu (2.2.2) imamo
(2.2.4) rang A= dimTA≤dimX=n,
ˇsto znaˇci da dimenzija oblasti vrednosti operatora ne moˇze biti ve´ca od
dimenzije oblasti deﬁnisanosti operatora.
U daljem tekstu neka suA,B ∈L(X, Y).
Deﬁnicija 2.2.7.Zbir operatoraAiB, u oznaciA+B, je operatorC
odredˉen pomo´cu
Cu= (A+B)u=Au+Bu (∀u∈X).
Deﬁnicija 2.2.8.Proizvod operatoraAi skalaraλiz poljaKje operator
Codredˉen pomo´cu
Cu= (λA)u=λ(Au) (∀u∈X).
Interesantan sluˇcaj je zaλ=−1. Odgovaraju´ci operator−Anazivamo
suprotan operatoroperatoruA. Primetimo da jeA+ (−A) =Onula-
operator. Naime,Ou=θ(∀u∈X).
Sl. 2.2.1

MATRICE I DETERMINANTE 129
Deﬁnicija 2.2.9.Proizvod operatoraA:Y→ZiB:X→Yje operator
C=AB:X→Z, deﬁnisan pomo´cu
Cu=ABu=A(Bu) (∀u∈X).
Na slici 2.2.1 prikazan je proizvod dva operatora ukljuˇcuju´ci i odgo-
varaju´ce oblasti vrednosti operatora. Interesantno je pitanje o odnosu ranga
operatoraC=ABi ranga operatoraA, tj.B.
Kako je (videti sliku 2.2.1)TC=TAB⊂TA⊂Z, imamo
dimTC= dimTAB≤dimTA≤dimZ,
tj.
rangC= rang(AB)≤rangA ≤dimZ.
Primetimo, takodˉe, da je rangB= dimTB≤dimY.
S druge strane, ako posmatramo operatorAkao preslikavanjeTBuZ(tj.
naTAB) imamo, saglasno (2.2.4),
rang(AB) = dimTAB≤dimTB= rangB.
Dakle, vaˇzi slede´ca teorema:
Teorema 2.2.3.Za operatoreA:Y→ZiB:X→Yvaˇzi
(2.2.5) rang( AB)≤min
−
rangA,rangB
∆
.
Moˇze se dati i donje ograniˇcenje za rang(AB).
Teorema 2.2.4.Neka suX, Y, Zkonaˇcno-dimenzionalni prostori. Za op-
eratoreA:Y→ZiB:X→Yvaˇzi
(2.2.6) rang A+ rangB −dimY≤rang(AB).
Dokaz.Primena formule (2.2.2) na operatorA:Y→Zdaje
(2.2.7) rang A+ defA= dimY,
gde je defAdimenzija jezgra operatoraA, tj. dimenzija potprostora{v∈
Y| Av=θ}.

130 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
S druge strane, posmatraju´ci operatorAkao preslikavanjeTBuZ(tj. na
TAB) imamo
(2.2.8) rang( AB) +d= dimTB= rangB,
gde jeddimenzija jezgra{v∈TB| Av=θ}. Imaju´ci u vidu da jeTB⊂Y,
zakljuˇcujemo da jed≤defA, ˇsto zajedno sa (2.2.7) i (2.2.8) daje (2.2.6).∗
Nejednakost (2.2.6) je poznata kaoSylvesterova
33)
nejednakost.
Ako za svakou∈X⇒ Au∈X, tada se moˇze deﬁnisati iterirani operator
A
n
(n-ti stepen operatoraA) kao
A
n
=A(A
n−1
) (n∈N),
pri ˇcemu jeA
0
=Iidentiˇcki operator.
Za operatoreA
n
iA
m
(n, m∈N0) vaˇzi jednakost
A
n
A
m
=A
n+m
.
U daljem tekstu izuˇci´cemo algebarsku strukturu skupaL(X, Y) u odnosu
na prethodno uvedene operacije sabiranja operatora, mnoˇzenja operatora
skalarom i mnoˇzenja dva operatora.
Neka suX, Y, Zlinearni prostori nad poljem skalaraK. Nije teˇsko
pokazati da su operatori uvedeni deﬁnicijama 2.2.7, 2.2.8 i2.2.9, takodˉe,
linearni operatori.
Teorema 2.2.5.Vaˇze implikacije
(1)A,B ∈L(X, Y)⇒ A+B ∈L(X, Y),
(2)A ∈L(X, Y), λ∈K⇒λA ∈L(X, Y),
(3)A ∈L(Y, Z),B ∈L(X, Y)⇒ AB ∈L(X, Z).
Uvedena operacija sabiranje operatora obezbedˉuje da skup linearnih ope-
ratora koji preslikavajuXuYima strukturu Abelove grupe. Naime, vaˇzi
slede´ci rezultat:
Teorema 2.2.6.Za svakoA,B,C ∈L(X, Y)imamo:
(1)A+ (B+C) = (A+B) +C,
(2)A+O=O+A=A,
33)
James Joseph Sylvester (1814–1897), engleski matematiˇcar.

MATRICE I DETERMINANTE 131
(3)Za svaki operatorA ∈L(X, Y)postoji jedinstven njemu suprotan
operator−A ∈L(X, Y)takav da je
A+ (−A) = (−A) +A=O,
(4)A+B=B+A.
Dakle, struktura (L(X, Y),+) je Abelova grupa. Neutralni element je
nula-operatorO.
Takodˉe, bez dokaza navodimo i slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.2.7.Za svakoA,B ∈L(X, Y)i svakoλ, ∈Kvaˇzi
(1)λ(ˉA) = (λ)A,
(2) (λ+ˉ)A=λA+ˉA,
(3)λ(A+B) =λA+λB,
(4) 1A=A.
Deﬁnicijom 2.2.8 uvedeno je mnoˇzenje operatora skalarom.Na osnovu
teorema 2.2.6 i 2.2.7 zakljuˇcujemo da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.2.8.SkupL(X, Y), snabdeven operacijom sabiranja kao un-
utraˇsnjom kompozicijom i mnoˇzenjem operatora skalarom kao spoljaˇsnjom
kompozicijom, obrazuje linearni prostor nad poljem skalaraK.
Imaju´ci u vidu deﬁniciju 2.2.9, u vezi sa mnoˇzenjem dva operatora, moˇze
se dokazati slede´ca teorema:
Teorema 2.2.9.Neka suX, Y, Z, Wlinearni prostori nad poljemK. Tada
vaˇzi:
(1)A(BC) = (AB)Cza svakoA ∈L(Z, W),B ∈L(Y, Z),C ∈L(X, Y),
(2)A(B+C) =AB+ACza svakoA ∈L(Y, Z),B,C ∈L(X, Y),
(3) (A+B)C=AC+BCza svakoA,B ∈L(Y, Z),C ∈L(X, Y).
Dokaz.Dokaz asocijativnosti mnoˇzenja sleduje iz ˇcinjenice da za svako
u∈Ximamo:
−
A(BC)
∆
u=A(BCu) =A
−
B(Cu)
∆
,
−
(AB)C
∆
u=AB(Cu) =A
−
B(Cu)
∆
.

132 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Za dokaz distributivnosti mnoˇzenja operatora prema sabiranju operatora
podˉimo, opet, od proizvoljnog vektorau∈X. Tada imamo redom
−
A(B+C)
∆
u=A
−
(B+C)u
∆
=A(Bu+Cu) =A(Bu) +A(Cu)
= (AB)u+ (AC)u= (AB+AC)u,
odakle sleduje jednakost (2). Dokaz poslednje jednakosti izvodi se na sliˇcan
naˇcin.∗
Za skup linearnih operatora koji preslikavajuXuX, u oznaciL(X, X),
na osnovu prethodnog zakljuˇcujemo da vaˇzi slede´ci rezultat:
Teorema 2.2.10.(L(X, X),+,∆), gde je+sabiranje operatora, a∆mnoˇze-
nje operatora, ima algebarsku strukturu prstena.
U skupu linearnih operatora koji preslikavajuXuX, za koje obiˇcno
kaˇzemo da deluju uX, mogu´ce je odrediti neki podskup operatora koji ima
strukturu grupe u odnosu na operaciju mnoˇzenja operatora.Da bi se odredio
takav podskup potrebno je uvesti pojam regularnog operatora.
Deﬁnicija 2.2.10.Za linearni operatorA:X→Xkaˇzemo da jeregularan
ili da jenesingularanako se njegovo jezgro sastoji samo od nula-vektoraθ.
Za operator koji nije regularan kaˇzemo da je singularan ilida jeneregu-
laran operator.
Primer 2.2.2.Skalarni operatorA, uveden u primeru 2.2.1, je regularan ope-
rator za svakoα6= 0. Na primer, identiˇcki (jediniˇcni) operatorIje regularan
(α= 1), ali je nula-operatorOsingularan (α= 0).△
Regularni operatori poseduju viˇse interesantnih osobina:
1
◦
Defekt regularnog operatoraA:X→Xjednak je nuli, odakle je
rang(A) = dimX;
2
◦
TA=X;
3
◦
Za svakog∈Xpostoji jedinstvenou∈Xtakvo da jeAu=g
(jedinstvenost originala);
4
◦
Proizvod konaˇcnog broja regularnih operatora je regularan operator.
Osobina 3
◦
je izuzetno vaˇzna. Da bismo je dokazali pretpostavimo da za
nekog∈Xpostoje dva vektorau, u
′
∈Xtakva da je
Au=g iAu
′
=g.

MATRICE I DETERMINANTE 133
Tada jeA(u−u
′
) =θ. Kako se, s druge strane, jezgro regularnog ope-
ratoraAsastoji samo od nula-vektora, zakljuˇcujemo da jeu−u
′
=θ, tj.
u=u
′
. Napomenimo da se ˇcesto za deﬁniciju regularnog operatorauzima
osobina 3
◦
.
Osobine 2
◦
i 3
◦
kazuju da je regularan operatorAbijekcija prostoraX
naX.
Ranije smo videli da za proizvod operatora generalno vaˇzi asocijativni
zakon, ˇsto znaˇci da i na podskupu regularnih operatora koji preslikavajuX
naXovaj zakon vaˇzi.
Vidimo, takodˉe, da vaˇzi
(∀ A:X→X)AI=IA=A,
gde jeIidentiˇcki operator uX, za koji smo ve´c videli da je regularan
operator.
Da bi skup svih regularnih operatora koji deluju uXˇcinio grupu u odnosu
na mnoˇzenje operatora, dovoljno je joˇs pokazati da za svaki regularan ope-
ratorApostoji regularan operatorA
−1
, takav da je
AA
−1
=A
−1
A=I.
Saglasno osobinama 2
◦
i 3
◦
da svakom vektorug∈Xodgovara jedan i
samo jedan vektoru∈X, moˇze se za svaki regularan operatorAdeﬁnisati
inverzan operatorA
−1
.
Deﬁnicija 2.2.11.Neka jeA:X→Xregularan operator. Za preslikavanje
A
−1
, za koje vaˇzi
A
−1
(Au) =u (∀u∈X),
kaˇzemo da jeinverzan operatorodA.
Teorema 2.2.11.Neka jeA:X→Xregularan linearni operator. Tada je
inverzan operatorA
−1
, takodˉe, regularan linearni operator.
Dokaz.Neka suAu1=g1iAu2=g2, tj.A
−1
g1=u1iA
−1
g2=u2,
i neka suc1ic2proizvoljni skalari iz poljaK. S obzirom da jeAlinearan
operator, imamo
A
−1
(c1g1+c2g2) =A
−1
(c1Au1+c2Au2)
=A
−1
A(c1u1+c2u2)
=c1u1+c2u2
=c1A
−1
g1+c2A
−1
g2.

134 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Dokaˇzimo da je iA
−1
regularan operator.
Za svakog∈kerA
−1
imamo
A
−1
g=θ.
Primenom operatoraAna levu i desnu stranu poslednje jednakosti dobijamo
A(A
−1
g) =Aθ,
tj.g=θ, jer jeAθ=θ. Dakle, jezgro operatoraA
−1
sastoji se samo od
nula-vektora, tj. operatorA
−1
je regularan operator.∗
Dakle, skup svih regularnih operatora ˇcini grupu u odnosu na mnoˇzenje
operatora. Ova grupa nije komutativna. Medˉutim, mogu´ce je izabrati jedan
podskupSkregularnih operatora tako da (Sk,∆) ima strukturu komutativne
grupe.
2.3. Matrica linearnog operatora na
konaˇcno-dimenzionalnim prostorima
Neka suXiYkonaˇcno-dimenzionalni vektorski prostori, dimX=n,
dimY=m, i neka je u prostoruXzadata bazaBe={e1, e2, . . . , en}. Neka
je, dalje,A:X→Ylinearan operator.
U prostoruXuoˇcimo proizvoljan vektoru. Tada se on moˇze na jedinstven
naˇcin prikazati kao linearna kombinacija vektora bazeBe, tj.
(2.3.1) u=x1e1+x2e2+∆ ∆ ∆+xnen.
Primenom operatoraAna (2.3.1) dobijamo
Au=A(x1e1+x2e2+∆ ∆ ∆+xnen)
=A(x1e1) +A(x2e2) +∆ ∆ ∆+A(xnen)
=x1Ae1+x2Ae2+∆ ∆ ∆+xnAen.
Lako je uoˇciti da je linearan operatorApotpuno odredˉen ako su poznate
slike bazisnih vektoravj=Aej(j= 1,2, . . . , n). Tada je, naime,
Au=x1v1+x2v2+∆ ∆ ∆+xnvn.
U prostoruYuoˇcimo bazu
Bf={f1, f2, . . . , fm}

MATRICE I DETERMINANTE 135
i razloˇzimo vektoreAei(i= 1,2, . . . , n) po vektorima bazeBf. Tada imamo
(2.3.2)
Ae1=a11f1+a21f2+∆ ∆ ∆+am1fm,
Ae2=a12f1+a22f2+∆ ∆ ∆+am2fm,
.
.
.
Aen=a1nf1+a2nf2+∆ ∆ ∆+amnfm.
Na osnovu (2.3.2) formirajmo matricu
A=Af e=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn





.
Deﬁnicija 2.3.1.ZaAf ekaˇzemo da jematrica operatoraA:X→Yu
odnosu na bazeBeiBf, tim redom.
Napomenimo da broj vrsta u matrici operatora odgovara dimenziji pros-
toraY, a broj kolona dimenziji prostoraX. Kolone matriceAsu, u stvari,
koordinate vektoraAej(j= 1,2, . . . , n) u odnosu na izabranu bazuBf.
Dakle, da bismo odredili elementaijpotrebno je primeniti operatorAna
vektorej, i u sliciAejuzetii-tu koordinatu
34)
, ˇsto ´cemo oznaˇciti sa
(2.3.3) aij={Aej}i.
Posmatrajmo sada proizvoljne vektoreu∈Xiv∈Y, ˇcije su koordinatne
reprezentacije, u bazamaBeiBf, date redom sa
u=x1e1+x2e2+∆ ∆ ∆+xnen,
v=y1f1+y2f2+∆ ∆ ∆+ymfm.
Neka je
(2.3.4) v=Au,
tj.
m
X
i=1
yifi=A
θn
X
j=1
xjej
⊇
=
n
X
j=1
xjAej.
34)
Matrica operatora je nad istim poljem skalaraKkao i prostoriXiY.

136 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Koriˇs´cenjem (2.3.2) imamo
m
X
i=1
yifi=
n
X
j=1
xj
θm
X
i=1
aijfi
⊇
,
odakle, promenom redosleda sumiranja na desnoj strani, dobijamo
m
X
i=1
yifi=
m
X
i=1
θn
X
j=1
aijxj
⊇
fi.
Kako je sistem vektoraBflinearno nezavisan, dobijamo vezu izmedˉu
koordinata vektorauiv
yi=
n
X
j=1
aijxj (i= 1,2, . . . , m),
tj.
(2.3.5)
y1=a11x1+a12x2+∆ ∆ ∆+a1nxn,
y2=a21x1+a22x2+∆ ∆ ∆+a2nxn,
.
.
.
ym=am1x1+am2x2+∆ ∆ ∆+amnxn.
Dakle, kod preslikavanja vektorauu vektorvpomo´cu linearnog operatora
A, pri ﬁksiranim bazama u prostorimaXiY, veze izmedˉu koordinata ovih
vektora date su sistemom jednaˇcina (2.3.5). Koeﬁcijenti ovog sistema jed-
naˇcina su oˇcigledno elementi matrice operatora. Prema tome, pri ﬁksiranim
bazama uXiY, postoji uzajamno jednoznaˇcna korespondencija izmedˉu
operatorske jednaˇcine (2.3.4) i sistema jednaˇcina (2.3.5). Drugim reˇcima,
operatorski pristup i matriˇcni pristup
35)
su potpuno ravnopravni i dovoljno
je tretirati samo jedan od njih. Naime, uvek se iz (2.3.4) moˇze pre´ci na
(2.3.5) i, obrnuto, iz sistema jednaˇcina (2.3.5) na oblik (2.3.4). Po pravilu,
matriˇcni pristup je jednostavniji za rad.
Promenom bazisa u prostorimaXiYdo´ci ´ce do promene matrice ope-
ratora. Ovaj problem bi´ce tretiran kasnije. Razmoti´cemosada nekoliko
primera koji daju konstrukciju matrica nekih operatora.
35)
Koristi koordinatne reprezentacije vektora i matricu operatora.

MATRICE I DETERMINANTE 137
Primer 2.3.1.Kod nula-operatoraO:X→Y(videti primer 2.2.1) imamo
(∀i, j)aij={Oej}i={θ}i= 0.
Dakle, ako je dimX=ni dimY=m, matrica nula-operatoraOje nula-matrica
tipam×n.△
Primer 2.3.2.Kod identiˇckog operatoraI:X→Ximamo
aij={Iej}i={ej}i=

1,ako jei=j,
0,ako jei6=j,
ˇsto znaˇci da je matrica ovog operatora jediniˇcna matricaI, ˇciji red odgovara di-
menziji prostoraX.△
Primer 2.3.3.Dijagonalnoj matrici
D=
2
6
6
6
4
d1
d2
.
.
.
dn
3
7
7
7
5
odgovara linearni operatorD:X→X, ˇcije je delovanje takvo dai-tu koordinatu
vektorau∈Xmnoˇzi sadi.△
Primer 2.3.4.U primeru 1.1.3 razmatrali smo vektorski prostor svih polinoma
stepena ne viˇseg odn, u oznaciPn. Dimenzija prostoraPnjen+1. Prirodna baza
ovog prostora je{1, t, t
2
, . . . , t
n
}. Deﬁniˇsimo sada linearni operatorD:Pn→ Pn−1
pomo´cu slika bazisnih elemenata
Dt
k
=kt
k−1
(k= 0,1, . . . , n).
Ovo je, u stvari, operator diferenciranja, koji jedan polinom iz prostoraPn(di-
menzijen+ 1) preslikava na neki polinom u prostoruPn−1(dimenzijen). Naˇs
zadatak je da odredimo matricuD= [dij]
n×(n+1)ovog operatora.
Kako jeej=t
j−1
(j= 1, . . . , n+ 1) i
Dej= (j−1)t
j−2
= (j−1)ej−1,
imamo, zai= 1, . . . , n,
dij={Dej}i={(j−1)ej−1}i=

i,ako jej−1 =i,
0,ako jej−16=i.
Uzimaju´ci i u prostoruPn−1prirodnu bazu, za matricu operatoraDdobijamo
D=
2
6
6
6
4
0 1 0 . . .0
0 0 2 0
.
.
.
.
.
.
0 0 0 n
3
7
7
7
5
.△

138 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
2.4. Operacije sa matricama
U odeljku 2.2 uveli smo operacije sa linearnim operatorima tako da moˇze-
mo odrediti:
1
◦
zbir dva operatora;
2
◦
proizvod operatora skalarom;
3
◦
proizvod dva operatora.
U prethodnom odeljku pokazali smo da je, pri ﬁksiranim bazisima u pros-
torimaXiY, linearni operatorAjednoznaˇcno odredˉen svojom matricom
A= [aij]m×n, gde sum= dimY,n= dimX, a elementi matrice dati sa
(2.3.3).
Imaju´ci u vidu ove ˇcinjenice, mogu´ce je uvesti i odgovaraju´ce operacije
sa matricama, uspostavljaju´ci na taj naˇcin dva ekvivalentna pristupa u tre-
tiranju problema: operatorski i matriˇcni pristup.
1
◦
Razmotrimo najpre sabiranje dve matriceAiB. Ideja za uvodˉenje
zbiraC=A+Bsastoji se u tome da matriceAiBbudu, u stvari, matrice
dva linearna operatoraAiBi da zbirCbude matrica operatoraC=A+B.
Kako je zbir operatora uveden za operatore u prostoruL(X, Y), to proizilazi
da matriceAiBmoraju biti istog tipa, recimom×n, gde sum= dimY
in= dimX.
Dakle, neka suA= [aij]m×niB= [bij]m×n. Na osnovu (2.3.3) i
deﬁnicije 2.2.7 za elemente matriceC= [cij]m×nimamo
cij={Cej}i={Aej+Bej}i,
tj.
cij={Aej}i+{Bej}i=aij+bij.
Ovo sugeriˇse slede´cu deﬁniciju za sabiranje matrica:
Deﬁnicija 2.4.1.Zbir matricaA= [aij]m×niB= [bij]m×nje matrica
C= [cij]m×n, gde je
cij=aij+bij.(i= 1, . . . , m;j= 1, . . . , n).
Primer 2.4.1.Neka su
A=
»
3−5 3
0 4 −7
–
iB=
»
−2 0 4
1−2 3
–
.

MATRICE I DETERMINANTE 139
Tada je
C=A+B=
»
1−5 7
1 2 −4
–
.△
2
◦
Razmotrimo sada proizvod matrice skalarom. Neka jeA= [aij]m×n
matrica operatoraA:X→Y. SaC= [cij]m×noznaˇcimo matricu operatora
C=λA. Tada, na osnovu (2.3.3) i deﬁnicije 2.2.8, imamo
cij={Cej}i={λAej}i=λ{Aej}i=λaij.
Deﬁnicija 2.4.2.Proizvod matriceA= [aij]m×ni skalaraλje matrica
C= [cij]m×n, gde je
cij=λaij.(i= 1, . . . , m;j= 1, . . . , n).
Primer 2.4.2.Za matricuAiz prethodnog primera imamo
3A=
»
9−15 9
0 12 −21
–
, −A=
»
−3 5 −3
0−4 7
–
, 0A=O.△
Za matricu (−1)A=−Akaˇzemo da jesuprotna matricamatriciA. Zbir
Ai−Adaje nula matricu. Koriˇs´cenjem suprotne matrice moˇze seuvesti
oduzimanje matrica istog tipa na slede´ci naˇcin:
Deﬁnicija 2.4.3.Razlika matricaA= [aij]m×niB= [bij]m×nje matrica
C= [cij]m×n, gde je
cij=aij−bij.(i= 1, . . . , m;j= 1, . . . , n).
Dakle, vaˇzi
A−B=A+ (−B).
3
◦
Razmotrimo sada najsloˇzeniji sluˇcaj – proizvod dve matriceAiB,
koji treba da odgovara proizvodu operatoraA:Y→ZiB:X→Y. Neka su
prostoriX,Y,Zsa dimenzijaman, m, pi bazama
{e1, e2, . . . , en},{f1, f2, . . . , fm},{g1, g2, . . . , gp},
respektivno, i neka je proizvodC=AB:X→Zdat deﬁnicijom 2.2.9.

140 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Najpre treba ustanoviti dimenzije odgovaraju´cih matricaA,B,C. Na
osnovu deﬁnicije 2.3.1, ove matrice su redom tipap×m,m×n,p×n.
Dakle, imamo:
A= [aij]p×m, B = [bij]m×n, C = [cij]p×n.
U skladu sa (2.3.3) za elemente matriceCimamo
cij={Cej}i={A(Bej)}i.
Na osnovu (2.3.2), za operatoreAiBimamo
Afk=
p
X
ν=1
aνkgν (k= 1,2, . . . , m)
i
Bej=
m
X
k=1
bkjfk (j= 1,2, . . . , n),
odakle sleduje
cij=
⊂
A
m
X
k=1
bkjfk
⊃
i
=
⊂m
X
k=1
bkjAfk
⊃
i
,
tj.
cij=
m
X
k=1
bkj
⊕
Afk

i
.
Najzad, kako je
⊕
Afk

i
=aik, dobijamo
cij=
m
X
k=1
aikbkj.
Ovaj rezultat sugeriˇse slede´cu deﬁniciju za mnoˇzenje matrica:

MATRICE I DETERMINANTE 141
Deﬁnicija 2.4.4.Proizvod matricaA= [aij]p×miB= [bij]m×nje matrica
C= [cij]p×n, ˇciji su elementi dati sa
cij=
m
X
k=1
aikbkj (i= 1,2, . . . , p;j= 1,2, . . . , n).
Dakle, moˇzemo zakljuˇciti:
1
◦
Proizvod matricaC=ABdeﬁninisan je samo ako je broj kolona u
matriciAjednak broju vrsta u matriciB;
2
◦
Broj vrsta u matriciCjednak je broju vrsta u matriciA;
3
◦
Broj kolona u matriciCjednak je broju kolona u matriciB,
ˇsto je predstavljeno i na slede´coj ˇsemi:
Ako izdvojimo iz matriceAelementei-te vrste i formiramo vektor-vrstu
[ai1ai2. . . aim],
a iz matriceBelementej-te kolone i formiramo vektor-kolonu




b1j
b2j
.
.
.
bmj




,
tada se elementcijmoˇze izraziti kao proizvod
cij= [ai1ai2. . . aim]∆




b1j
b2j
.
.
.
bmj




,
ˇsto, u stvari, predstavlja skalarni proizvod (videti primer 1.5.2)i-te vrste
matriceAij-te kolone matriceB.

142 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Primer 2.4.3.Neka su
A=
»
1 3
0 4
–
iB=
»
2 1−1
1 3−2
–
.
ProizvodABje matrica tipa 2×3. Dakle,
AB=
»
1∆2 + 3∆1 1∆1 + 3∆3 1∆(−1) + 3∆(−2)
0∆2 + 4∆1 0∆1 + 4∆3 0∆(−1) + 4∆(−2)
–
=
»
5 10−7
4 12−8
–
.△
Ako uvedemo vektorexiykao koordinatne reprezentacije vektorau∈X
iv∈Yu bazamaBeiBf, respektivno (videti prethodni odeljak),
x=




x1
x2
.
.
.
xn




iy=




y1
y2
.
.
.
ym




,
sistem jednaˇcina (2.3.5) moˇze se predstaviti u matriˇcnom obliku
(2.4.1) y=Ax,
gde jeA=Af ematrica operatoraA:X→Y. Formula (2.4.1) je analogon
operatorskoj formuli (2.3.4).
Osobine koje vaˇze za operacije kod operatora vaˇze i za odgovaraju´ce ope-
racije sa matricama. Tako, na primer, osobina asocijativnosti vaˇzi i kod
sabiranja i kod mnoˇzenja matrica. Dakle, jednakosti
A+ (B+C) = (A+B) +C iA(BC) = (AB)C
vaˇze, naravno, pod uslovom da naznaˇcene operacije imaju smisla.
Operacija sabiranja je komutativna, tj.A+B=B+A. Medˉutim,
mnoˇzenje dve matrice nije komutativno. Pre svega, ako postoji proizvod
AB, ne mora postojati proizvodBA.
ˇ
Cak i u sluˇcajevima kada postojeAB
iBA(na primer, kada su matrice istog reda), u opˇstem sluˇcaju je
AB6=BA.
Da bismo se uverili u to, posmatrajmo jednostavan primer
A=
ˇ
2 2
1 1
λ
, B =
ˇ
1 1
−1−1
λ
.

MATRICE I DETERMINANTE 143
Tada je
AB=
≤
0 0
0 0
λ
=O, BA =
≤
3 3
−3−3
λ
.
Dakle,AB6=BA. Iz ovog primera se moˇze izvu´ci joˇs jedan vaˇzan za-
kljuˇcak:
AB=O;A=O∨B=O .
Imaju´ci ovako deﬁnisane operacije sa matricama, skup matrica se moˇze
posmatrati kao neka algebarska struktura. Tako, na primer,slede´ci rezultat
predstavlja analogon teoremi 2.2.6:
Teorema 2.4.1.Neka jeMm,nskup svih matrica tipam×n. Struktura
(Mm,n,+)je Abelova grupa.
Sliˇcno se, kao analogon teoremi 2.2.8, moˇze formulisati slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.4.2.Skup matricaMm,n, snabdeven operacijom sabiranja mat-
rica i operacijom mnoˇzenja matrice skalarom, obrazuje vektorski prostor nad
poljem skalaraK.
Postavlja se pitanje ˇsta se moˇze uzeti kao baza u ovom prostoru, kao i to
kolika je dimenzija ovog prostora. Nije teˇsko uoˇciti da sekao baza u prostoru
Mm,nmoˇze, na primer, uzeti skup matrica
n
E
pq

E
pq
=
×
e
pq
ij
∗
m×n
, p= 1, . . . , m;q= 1, . . . , n
o
,
ˇciji su elementi, koriˇs´cenjem Kroneckerove delte, datipomo´cue
pq
ij
=δipδjq.
Oˇcigledno, dimMm,n=mn. Kako je prostorMm,nanalogon prostoru
L(X, Y), to je i dimL(X, Y) =mn, gde sun= dimXim= dimY.
Najzad, kao analogon teoremi 2.2.10 imamo slede´ci rezultat:
Teorema 2.4.3.Neka jeMnskup svih kvadratnih matrica redan, snab-
deven operacijom sabiranja+i operacijom mnoˇzenja matrica, u oznaci∆.
Tada je struktura(Mn,+,∆)prsten sa jedinicom.
2.5. Transponovana matrica
Deﬁnicija 2.5.1.Ako u matrici
A= [aij]m×n=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn






144 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
zamenimo vrste kolonama i obrnuto, dobijamo matricu
A
T
= [aji]n×m=





a11a21. . . am1
a12a22 am2
.
.
.
a1na2n amn





,
koja se zovetransponovana matricamatriceA.
Primer 2.5.1.Ako jeA=
»
1−3−1
−2 7 2
–
,njena transponovana matrica je
A
T
=
2
4
1−2
−3 7
−1 2
3
5.△
Primer 2.5.2.Transponovanjem vektora
a=
2
6
6
6
4
a1
a2
.
.
.
an
3
7
7
7
5
,
dobija se matrica-vrsta
a
T
=
ˆ
a1a2. . . an
˜
.△
Primer 2.5.3.Skalarni proizvod vektoraxiy, gde su
x
T
=
ˆ
x1x2. . . xn
˜
iy
T
=
ˆ
y1y2. . . yn
˜
,
moˇze se predstaviti u obliku (videti primer 1.5.2)
(x,y) =
n
X
k=1
x
ky
k=y
T
x.
Ako se radi o kompleksnim vektorima, tada je
(x,y) =
n
X
k=1
x
kˉy
k=y
∗
x,
gdey
∗
oznaˇcava vektor koji se dobija transponovanjem vektorayi konjugovanjem
njegovih koordinata.△
Za operaciju transponovanje vaˇze osobine iskazane slede´cim teoremama:

MATRICE I DETERMINANTE 145
Teorema 2.5.1.1
◦
(A
T
)
T
=A; 2
◦
(λA)
T
=λA
T
(λ∈C).
Teorema 2.5.2.Ako suAiBmatrice istog tipa tada je
(A+B)
T
=A
T
+B
T
.
Teorema 2.5.3.Za matriceAiB, za koje je deﬁnisan proizvodAB, deﬁ-
nisan je i proizvodB
T
A
T
i vaˇzi jednakost
(2.5.1) ( AB)
T
=B
T
A
T
.
Dokaz.Neka suA= [aij]m×niB= [bij]n×p. Tada je element na mestu
(i, j) u matriciAB=C= [cij]m×pjednak
cij=
n
X
k=1
aikbkj (1≤i≤m; 1≤j≤p).
Elementcijnalazi se uj-toj vrsti ii-toj koloni matrice (AB)
T
, koja je tipa
p×m.
S druge strane, proizvod matricaB
T
iA
T
, tj.
B
T
A
T
=





b11b21. . . bn1
b12b22 bn2
.
.
.
b1pb2p bnp





∆





a11a21. . . am1
a12a22 am2
.
.
.
a1na2n amn





,
takodˉe je tipap×m, pri ˇcemu na mestu (j, i) imamo element
b1jai1+∆ ∆ ∆+bnjain=
n
X
k=1
bkjaik=
n
X
k=1
aikbkj,
ˇsto je, u stvari, elementcij.∗
Matematiˇckom indukcijom moˇze se dokazati slede´ci opˇstiji rezultat:
Teorema 2.5.4.ZammatricaA1, . . . , Am, za koje je deﬁnisan proizvod
A1∆ ∆ ∆Am, vaˇzi jednakost
(A1∆ ∆ ∆Am)
T
=A
T
m∆ ∆ ∆A
T
1.

146 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Ako su elementi matriceaijkompleksni brojevi, tada se moˇze deﬁnisati
tzv.konjugovano-transponovana matrica, u oznaciA
∗
, pomo´cu
A
∗
= [ˉaji]n×m=





ˉa11ˉa21. . .ˉam1
ˉa12ˉa22 ˉam2
.
.
.
ˉa1nˉa2n ˉamn





.
Primer 2.5.4.Ako je
A=
2
4
1−i2i
−3 7 + 2i
−1 2 +i
3
5,
konjugovano-transponovana matrica je
A
∗
=
»
1 +i−3 −1
−2i7−2i2−i
–
.△
Teoreme 2.5.1 – 2.5.4 ostaju u vaˇznosti ako se transponovanje zameni sa
konjugovanim-transponovanjem. Na primer, analogon jednakosti (2.5.1) je
(AB)
∗
=B
∗
A
∗
. Naravno, kod matrica nad poljemRvaˇziA
∗
=A
T
.
Primer 2.5.5.Neka je u prostoru matricaM2,2zadata baza (videti teoremu
2.4.1)
B=
»
1 0
0 0
–
,
»
0 1
0 0
–
,
»
0 0
1 0
–
,
»
0 0
0 1
–ﬀ
=
n
E
11
, E
12
, E
21
, E
22
o
.
Odredi´cemo: (a) matricu operatora transponovanjaT:M2,2→M2,2; (b) mat-
ricu operatoraF:M2,2→M2,2, deﬁnisanog pomo´cu
FX=AX+XB,
gde suA, B∈M2,2konstantne matrice.
(a) Kako su
TE
11
=E
11
,TE
12
=E
21
,TE
21
=E
12
,TE
22
=E
22
,
na osnovu (2.3.3), za matricu operatora transponovanja u datoj baziB, dobijamo
T=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
3
7
7
5
.

MATRICE I DETERMINANTE 147
(b) Neka su
A=
»
a11a12
a21a22
–
iB=
»
b11b12
b21b22
–
.
Kako su
FE
11
=AE
11
+E
11
B=
»
a11+b11b12
a21 0
–
,
FE
12
=AE
12
+E
12
B=
»
b21a11+b22
0 a21
–
,
FE
21
=AE
21
+E
21
B=
»
a12 0
a22+b11b12
–
,
FE
22
=AE
22
+E
22
B=
»
0 a12
b21a22+b22
–
,
tj.
FE
11
= (a11+b11)E
11
+ b12E
12
+ a21E
21
,
FE
12
= b21E
11
+ (a11+b22)E
12
+ a21E
22
,
FE
21
= a12E
11
+ (a22+b11)E
21
+ b12E
22
,
FE
22
= a12E
12
+ b21E
21
+ (a22+b22)E
22
,
za matricu operatoraFu baziBdobijamo
F=
2
6
6
4
a11+b11 b21 a12 0
b12 a11+b22 0 a12
a21 0 a22+b11 b21
0 a21 b12 a22+b22
3
7
7
5
.△
Napomena 2.5.1.Koriˇs´cenjemKroneckerovog proizvodamatrica (videti deﬁ-
niciju 2.12.2), matricaFmoˇze se predstaviti u kondenzovanom obliku
F=A⊗I+I⊗B
T
,
gde jeIjediniˇcna matrica drugog reda.

148 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
2.6. Neke klase matrica
U ovom odeljku izuˇci´cemo nekoliko vaˇznih klasa kvadratnih matrica.
Deﬁnicija 2.6.1.Kvadratna matricaAjesimetriˇcnaako jeA
T
=A.
Deﬁnicija 2.6.2.Kvadratna matricaAjekoso-simetriˇcnaako jeA
T
=−A.
Kod simetriˇcnih matrica imamo da jeaij=aji, a kod koso-simetriˇcnih
aij=−aji. Iz poslednje jednakosti sleduje da su kod koso-simetriˇcnih mat-
rica elementi na glavnoj dijagonali jednaki nuli, tj. da jeaii= 0.
Za kvadratne matrice nad poljemCmogu se uvesti klase hermitskih i
koso-hermitskih matrica pomo´cu slede´cih deﬁnicija:
Deﬁnicija 2.6.3.Kvadratna matricaAjehermitskaako jeA
∗
=A.
Deﬁnicija 2.6.4.Kvadratna matricaAjekoso-hermitskaako jeA
∗
=−A.
Deﬁnicija 2.6.5.Ako za kvadratnu matricuAvaˇziA
∗
A=I, gde jeI
jediniˇcna matrica, matricaAse nazivaunitarna matrica.
Deﬁnicija 2.6.6.Ako za kvadratnu matricuAvaˇziA
T
A=I, gde jeI
jediniˇcna matrica, matricaAse nazivaortogonalna matrica.
Neka jeVnskup svih kompleksnih vektora
36)
x= [x1x2. . . xn]
T
.
Koriˇs´cenjem skalarnog proizvoda dva vektora
x= [x1x2. . . xn]
T
iy= [y1y2. . . yn]
T
,
deﬁnisanog pomo´cu
(x,y) =y
∗
x=
n
X
k=1
xkˉyk,
uslov za hermitsku matricu (A=A
∗
) moˇze se predstaviti u ekvivalentnom
obliku
(∀x,y∈Vn) (Ax,y) = (x, Ay).
Sliˇcno, uslov za koso-hermitsku matricu (A=−A
∗
) moˇze se predstaviti
u obliku
(∀x,y∈Vn) (Ax,y) + (x, Ay) = 0.
36)
Moˇze se uzeti da jeVn=C
n
.

MATRICE I DETERMINANTE 149
Deﬁnicija 2.6.7.Neka jec= [c1c2. . . cn]
T
ﬁksni vektor uVn. Pres-
likavanjeL:Vn→Cdeﬁnisano pomo´cu
L(x) = (x,c) =c
T
x=
n
X
k=1
ckxk
naziva selinearna funkcionelaililinearna forma.
Ako jeA= [aij]n×n, primetimo da je
(Ax,y) = [ ˉy1ˉy2. . .ˉyn]∆





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann





∆




x1
x2
.
.
.
xn




,
tj.
(2.6.1) ( Ax,y) =
n
X
i=1
n
X
j=1
aijxjˉyi.
Neka je
(2.6.2) B(x,y) = (Ax,y).
Deﬁnicija 2.6.8.PreslikavanjeB:V
2
n→Cdeﬁnisano pomo´cu jednakosti
(2.6.1)−(2.6.2) naziva sebilinearna funkcionelailibilinearna forma.
Posebno su interesantne bilinearne forme kod kojih je kvadratna matrica
A= [aij]n×nhermitska.
Deﬁnicija 2.6.9.PreslikavanjeF:Vn→Cdeﬁnisano pomo´cu
(2.6.3) F(x) = (Ax,x),
gde je matricaAhermitska, naziva sekvadratna funkcionelailikvadratna
forma.
U skladu sa (2.6.1) i (2.6.3), kvadratna forma ima reprezentaciju
(2.6.4) F(x) =
n
X
i=1
n
X
j=1
aijxjˉxi.

150 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Teorema 2.6.1.Kvadratna forma ima samo realne vrednosti.
Dokaz.Konjugovanjem (2.6.4) dobijamo
F(x) =
n
X
i=1
n
X
j=1
aijxjˉxi
≡
=
n
X
i=1
n
X
j=1
aijxjˉxi=
n
X
i=1
n
X
j=1
ˉaijˉxjxi.
Kako je za hermitsku matricu ˉaij=aji, zamenom indeksaiiju prethod-
noj formuli, zakljuˇcujemo da jeF(x) =F(x), tj. da kvadratna formaF(x)
ima realnu vrednost.∗
Na osnovu ovog tvrdˉenja, deﬁnicija 2.6.9 moˇze se precizirati u smislu da
je kvadratna funkcionela preslikavanje saVnnaR.
Deﬁnicija 2.6.10.Hermitska matricaAnaziva sepozitivno deﬁnitnaako
je za svakox6=oispunjen uslov
(2.6.5) ( Ax,x) =x
∗
Ax=
n
X
i=1
n
X
j=1
aijxjˉxi>0.
Na osnovu (2.6.5) zakljuˇcujemo da je za pozitivno deﬁnitnematrice potre-
ban uslovaii>0 (i= 1, . . . , n).
Deﬁnicija 2.6.11.Simetriˇcna pozitivno deﬁnitna matrica naziva senor-
malna matrica.
Deﬁnicija 2.6.12.Za matricu [aij]
n
1
kaˇzemo da jepozitivna(nenegativna)
ako jeaij>0 (aij≥0) za svakoi, j∈ {1,2, . . . , n}.
Deﬁnicija 2.6.13.Za matricu [aij]
n
1
kaˇzemo da jedijagonalno dominantna
ako je
|aii|>
X
j6=i
|aij|
za svakoi∈ {1,2, . . . , n}.
2.7. Stepenovanje kvadratne matrice
Deﬁnicija 2.7.1.Neka jeAkvadratna matrica.Stepen matriceAdeﬁniˇse
se pomo´cu
A
0
=I, A
1
=A, A
n
=A A
n−1
(n= 2,3, . . .).
Jednostavno se dokazuje slede´ce tvrdˉenje:

MATRICE I DETERMINANTE 151
Teorema 2.7.1.Ako sukimnenegativni celi brojevi, vaˇze formule
A
k
A
m
=A
k+m
,(A
k
)
m
=A
km
.
S obzirom na stepenovanje, mogu´ce je uvesti joˇs dve specijalne klase
kvadratnih matrica:
Deﬁnicija 2.7.2.Ako jeA
m
=Oza nekom∈N, tada za matricuA
kaˇzemo da jenilpotentna. Najmanji brojk∈Nza koji jeA
k
=Onaziva se
stepen nilpotentnosti.
Deﬁnicija 2.7.3.Ako jeA
2
=Aza matricuAkaˇzemo da jeidempotentna.
Deﬁnicija 2.7.4.Ako jeA
2
=Iza matricuAkaˇzemo da jeinvolutivna.
Primer 2.7.1.Neka jeA=
»
2 3
0 2
–
. Tada je
A
2
=A∆A=
»
2 3
0 2
–
∆
»
2 3
0 2
–
=
»
4 12
0 4
–
=
»
2
2
3∆2∆2
1
0 2
2
–
,
A
3
=A∆A
2
=
»
2 3
0 2
–
∆
»
4 12
0 4
–
=
»
8 36
0 8
–
=
»
2
3
3∆3∆2
2
0 2
3
–
.
Moˇze se naslutiti da je
(2.7.1) A
n
=
»
2
n
3n2
n−1
0 2
n
–
.
Da bismo dokazali (2.7.1) koristi´cemo metod indukcije.
Tvrdˉenje je taˇcno zan= 1.
Pretpostavimo da formula (2.7.1) vaˇzi zan=k, tj. da je
A
k
=
»
2
k
3k2
k−1
0 2
k
–
(k∈N).
Tada imamo
A
k+1
=A∆A
k
=
»
2 3
0 2
–
∆
»
2
k
3k2
k−1
0 2
k
–
,
tj.
A
k+1
=
»
2
k+1
3(k+ 1)2
k
0 2
k+1
–
.△

152 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Napomena 2.7.1.Kada su svi elementi na glavnoj dijagonali matriceAmedˉu-
sobno jednaki, za nalaˇzenje stepenaA
n
moˇze se koristiti binomna formula. Metod
je posebno eﬁkasan ako je matricaAtrougaona. Za matricuAiz primera 2.7.1
imamo
A
n
= (2I+B)
n
= 2
n
I+

n
1
!
2
n−1
B+

n
2
!
2
n−2
B
2
+∆ ∆ ∆,
gde jeB=
»
0 3
0 0
–
. Kako jeB
2
=O, dobijamo
A
n
= 2
n
I+

n
1
!
2
n−1
B=
»
2
n
3n2
n−1
0 2
n
–
.
Primetimo da je matricaBnilpotentna sa stepenom nilpotentnosti dva.△
Napomena 2.7.2.U opˇstem sluˇcaju, binomna formula
(C+B)
n
=
n
X
k=0

n
k
!
C
n−k
B
k
vaˇzi samo ako matriceCiBkomutiraju.
Primer 2.7.2.Neka jeA=
»
−1 0
2 3
–
. Tada redom imamo
A
2
=A∆A=
»
−1 0
2 3
–
∆
»
−1 0
2 3
–
=
»
1 0
4 9
–
,
A
3
=A∆A
2
=
»
−1 0
2 3
–
∆
»
1 0
4 9
–
=
»
−1 0
14 27
–
,
A
4
=A∆A
3
=
»
−1 0
2 3
–
∆
»
−1 0
14 27
–
=
»
1 0
40 81
–
.
Moˇze se naslutiti da je
A
n
=
»
(−1)
n
0
a21(n) 3
n
–
,
pri ˇcemu je teˇsko identiﬁkovati izraz zaa21(n).△
Napomena 2.7.3.Pokaza´cemo kako se za proizvoljnu kvadratnu matricu dru-
gog reda
37)
A=
»
a b
c d
–
moˇze na´cin-ti stepen
(2.7.2) A
n
=
»
a11(n)a12(n)
a21(n)a22(n)
–
.
37)
Metod je opˇsti i vaˇzi za matrice proizvoljnog reda, ali se komplikuje sa porastom
reda matrice.

MATRICE I DETERMINANTE 153
Primetimo da je
(2.7.3) a11(0) =a22(0) = 1, a12(0) =a21(0) = 0
i neka je
(2.7.4) a11(1) =a, a12(1) =b, a21(1) =c, a22(1) =d.
Kako jeA
n+1
=A∆A
n
, na osnovu (2.7.2) imamo
»
a11(n+ 1)a12(n+ 1)
a21(n+ 1)a22(n+ 1)
–
=
»
a b
c d
–
∆
»
a11(n)a12(n)
a21(n)a22(n)
–
,
odakle sleduje
a11(n+ 1) =aa11(n) +ba21(n), a21(n+ 1) =ca11(n) +da21(n),
a12(n+ 1) =aa12(n) +ba22(n), a22(n+ 1) =ca12(n) +da22(n).
Ovaj sistem jednaˇcina, uz uslove (2.7.3) i (2.7.4), deﬁniˇse elemente matrice
A
n
. Kako su prve dve jednaˇcine sistema, evidentno, nezavisneod poslednje dve
jednaˇcine, to ´cemo ih posebno razmatrati.
Sabiranjem prve dve jednaˇcine, uz prethodno mnoˇzenje prve jednaˇcine sad, a
druge sa−b, dobijamo
(2.7.5) da11(n+ 1)−ba21(n+ 1) = (ad−bc)a11(n).
S druge strane, pove´cavanjem indeksanza jedinicu u prvoj jednaˇcini, nalazimo
(2.7.6) a11(n+ 2) =aa11(n+ 1) +ba21(n+ 1).
Najzad, eliminacijoma21(n+ 1) iz (2.7.5) i (2.7.6), dobijamo
a11(n+ 2)−(a+d)a11(n+ 1) + (ad−bc)a11(n) = 0.
Dakle, dobili smo tzv. diferencnu jednaˇcinu oblika
38)
(2.7.7) z(n+ 2)−2αz(n+ 1) +βz(n) = 0,
gde su 2α=a+diβ=ad−bc.
Nije teˇsko videti da ´cemo i za ostale elemente matriceA
n
imati istu jednaˇcinu
(2.7.7). Naravno, reˇsenja ´ce se razlikovati s obzirom na poˇcetne uslove (2.7.3) i
(2.7.4).
38)
Jednaˇcine ovog oblika nazivaju sediferencne jednaˇcine. Ovde se radi o tzv.
homogenoj linearnoj diferencnoj jednaˇcini drugog reda sakonstantnim koeﬁcijentima.

154 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Pokaza´cemo sada kako se na jedan formalan naˇcin moˇze na´ci reˇsenje jednaˇcine
(2.7.7).
Pretpostavimo reˇsenje jednaˇcine (2.7.7) u oblikun7→z(n) =λ
n
. Tada imamo
da je
λ
n+2
−2αλ
n+1
+βλ
n
= 0.
Kako trivijalno reˇsenjeλ= 0 nije od interesa, zakljuˇcujemo da ´ceλ
n
biti reˇsenje
jednaˇcine (2.7.7) ako je
(2.7.8) λ
2
−2αλ+β= 0.
Za kvadratnu jednaˇcinu (2.7.8) kaˇzemo da jekarakteristiˇcna jednaˇcina diferencne
jednaˇcine(2.7.7).
Neka suλ1iλ2koreni karakteristiˇcne jednaˇcine (2.7.8). Razlikova´cemo dva
sluˇcaja:
Sluˇcajλ16=λ2.Ovaj sluˇcaj se pojavljuje kada jeα
2
6=β. Tada suλ
n
1iλ
n
2
reˇsenja jednaˇcine (2.7.7). Takodˉe je i njihova linearna kombinacija,
(2.7.9) z(n) =C1λ
n
1+C2λ
n
2,
reˇsenje jednaˇcine (2.7.7), pri ˇcemu suC1iC2proizvoljne konstante.
Moˇze se pokazati da reˇsenje (2.7.9) sadrˇzi sva reˇsenja jednaˇcine (2.7.7) kada je
α
2
6=β. Zato se reˇsenje (2.7.9) nazivaopˇste reˇsenje diferencne jednaˇcine(2.7.7).
Napomenimo da je za nalaˇzenje opˇsteg reˇsenja dovoljno poznavati dva linearno
nezavisna reˇsenja jednaˇcine (2.7.7), ˇsto su, u naˇsem sluˇcaju, upravo reˇsenjaλ
n
1i
λ
n
2. Linearna kombinacija dva takva reˇsenja daje opˇste reˇsenje jednaˇcine (2.7.7).
Koreni karakteristiˇcne jednaˇcine (2.7.8) mogu biti i konjugovano-kompleksni
brojevi, na primer,λ1=̺e
iθ
iλ2=̺e
−iθ
. Tada je
z(n) =C1λ
n
1+C2λ
n
2=̺
n
“
C1e
inθ
+C2e
−inθ
”
=̺
n
`
(C1+C2) cosnθ+i(C1−C2) sinnθ
´
,
tj.
z(n) =̺
n
(D1cosnθ+D2sinnθ),
gde suD1iD2proizvoljne konstante.
Sluˇcajλ1=λ2.Ovaj sluˇcaj nastupa kada jeα
2
=β. Pored reˇsenjaλ
n
1, koje
je evidentno, mogu´ce je pokazati da je inλ
n
1reˇsenje diferencne jednaˇcine (2.7.7).
Zaista, zamenomz(n) =nλ
n
1, leva strana u (2.7.7), u oznaciL[z(n)], postaje
L[nλ
n
1] = (n+ 2)λ
n+2
1
−2α(n+ 1)λ
n+1
1
+βnλ
n
1
=nL[λ
n
1] + 2λ
n+1
1
(λ1−α).

MATRICE I DETERMINANTE 155
Kako jeL[λ
n
1] = 0 iλ1=α, zakljuˇcujemo da jeL[nλ
n
1] = 0.
Dakle, u ovom sluˇcaju, opˇste reˇsenje je
z(n) =C1λ
n
1+C2nλ
n
1=λ
n
1(C1+C2n),
gde suC1iC2proizvoljne konstante.
Koriˇs´cenjem opˇsteg reˇsenja jednaˇcine (2.7.7) i poˇcetnih uslova (2.7.3) i (2.7.4),
nalazimo elemente matriceA
n
.
Primer 2.7.3.Za matricuAiz primera 2.7.2 karakteristiˇcna jednaˇcina (2.7.7)
postaje
λ
2
−2λ−3 = 0,
ˇcija su reˇsenjaλ1= 3 iλ2=−1. Opˇste reˇsenje odgovaraju´ce diferencne jednaˇcine
z(n+ 2)−2z(n+ 1)−3z(n) = 0
je dato sa
(2.7.10) z(n) =C13
n
+C2(−1)
n
,
gde suC1iC2proizvoljne konstante.
Da bismo, na primer, odredilia21(n), primetimo najpre da jea21(0) = 0 i
a21(1) = 2. Stavljaju´ci redomn= 0 in= 1 u (2.7.10), zaz(n) =a21(n),
dobijamo
C1+C2=a21(0) = 0 i 3 C1−C2=a21(1) = 2,
odakle sledujeC1= 1/2, C2=−1/2.
Prema tome,
a21(n) =
1
2
`
3
n
−(−1)
n
´
.
Sliˇcno se mogu na´ci i ostali elementi matriceA
n
. Tako imamo da je
A
n
=
»
(−1)
n
0
1
2
(3
n
−(−1)
n
) 3
n
–
.△
2.8. Determinanta matrice
Neka jeMnskup svih kvadratnih matrica redannad poljemC. Deﬁ-
nisa´cemo i izuˇciti jedno preslikavanje, u oznaci det, skupaMnu skupC.
Preslikavanje det :Mn→Cdeﬁnisa´cemo postupno, najpre zan= 1,n= 2
in= 3.

156 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Sluˇcajn= 1.Neka jeA= [a11] kvadratna matrica reda jedan. Presli-
ka´cemo ovu matricu u kompleksan broja11, piˇsu´ci
detA=|a11|=a11.
Sluˇcajn= 2.Matricu drugog redaA=
ˇ
a11a12
a21a22
≥
preslika´cemo u
kompleksan broja11a22−a12a21, simbolizuju´ci to sa
detA=

a11a12
a21a22

=a11a22−a12a21.
Sluˇcajn= 3.Kvadratnoj matrici
A=


a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33


pridruˇzi´cemo kompleksan broj detA, odredˉen sa
detA=

a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33
+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31.
Kao ˇsto moˇzemo primetiti, u svim sluˇcajevima, u deﬁniciji detAimamo
n! sabiraka i to svaki sa ponfaktora, koji predstavljaju elemente matrice.
Na primer, prin= 3 imamo 3! = 6 sabiraka i to svaki sa po tri faktora.
Primetimo, dalje, da svaki sabirak sadrˇzi jedan i samo jedan element iz
svake vrste i svake kolone matrice. Prvi indeksi elemenata usvakom sabirku
poredˉani su na istovetan naˇcin u tzv. normalnom redosledu. Na primer,
zan= 1 : (1);
zan= 2 : (1,2);
zan= 3 : (1,2,3).
Drugi indeksi elemenata u svakom sabirku ˇcine po jednu permutaciju
osnovnog skupa. Tako imamo,
zan= 1 : (1);
zan= 2 : (1,2),(2,1);
zan= 3 : (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1).

MATRICE I DETERMINANTE 157
Najzad, primetimo da su neki sabirci kompleksnog broja detAsa pozi-
tivnim, a neki sa negativnim predznakom. Isto tako, moˇze seuoˇciti da sabirci
kod kojih drugi indeksi elemenata obrazuju permutaciju parne (neparne)
klase imaju pozitivan (negativan) predznak, tj. predznak sabirka je (−1)
j
,
gde jejbroj inverzija u permutaciji drugih indeksa elemenata u sabirku u
odnosu na osnovnu permutaciju.
Primer 2.8.1.Za matricu
A=
»
2 1
3 4
–
imamo
detA=
˛
˛
˛
˛
2 1
3 4
˛
˛
˛
˛
= 2∆4−1∆3 = 5.△
Primer 2.8.2.Ako je
A=
2
4
3 2 1
−1 0 3
1−5−2
3
5,
imamo
detA=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
3 2 1
−1 0 3
1−5−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
tj.
detA= 3∆0∆(−2)−3∆3∆(−5)−2∆(−1)∆(−2)
+ 2∆3∆1 + 1∆(−1)∆(−5)−1∆0∆1 = 62.△
Proˇsiruju´ci prethodni koncept mogu´ce je deﬁnisati preslikavanje detAza
matrice proizvoljnog reda.
Neka je matricaA∈Mndata sa
A=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann





.
PreslikavanjeA7→detAdeﬁnisa´cemo pomo´cu
detA=

a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann

=
X
(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆anjn
,
gde se sumiranje izvodi preko svih permutacijaPν= (j1, j2, . . . , jn) skupa
{1,2, . . . , n}, dok jejbroj inverzija u permutacijiPνu odnosu na osnovnu
permutacijuP1= (1,2, . . . , n).

158 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Deﬁnicija 2.8.1.BrojD= detAzovemodeterminanta matriceA.
DeterminantaDima red, koji je jednak redu kvadratne matriceA. Sim-
boliˇcki je predstavljamo sliˇcno matrici, navode´ci elemente matrice izmedˉu
dve vertikalne crte, pri ˇcemu su elementi, vrste, kolone, dijagonale,. . .mat-
riceAsada elementi, vrste, kolone, dijagonale,. . .determinante detA.
Analizom zbira
(2.8.1)
X
(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆anjn
zakljuˇcujemo slede´ce:
1
◦
Broj sabiraka u (2.8.1) jen! jer je to ukupan broj permutacija skupa
indeksa{1,2, . . . , n};
2
◦
Svaki sabirak u (2.8.1) predstavlja proizvod odnelemenata matrice
A, pri ˇcemu se iz svake vrste i svake kolone matriceApojavljuje jedan i
samo jedan element;
3
◦
Sabircima sa parnim (neparnim) permutacijamaPν= (j1, j2, . . . , jn)
odgovara pozitivan (negativan) predznak;
4
◦
Svaki element matriceAjavlja se kao ˇcinilac u (n−1)! sabiraka.
Napomenimo da se kao prvi indeksi elemenata u svim sabircimau (2.8.1)
ne mora uzeti osnovna permutacijaP1= (1,2, . . . , n). Naime, moˇze se
ﬁksirati bilo koja permutacija, na primerPμ= (i1, i2, . . . , in). Ako je njen
broj inverzija u odnosu naP1jednaki, tada se zbir (2.8.1) moˇze izraziti u
obliku
(2.8.2)
X
(−1)
i+j
ai1j1
ai2j2
∆ ∆ ∆ainjn
,
gde se sumiranje opet izvodi preko svih permutacijaPν= (j1, j2, . . . , jn)
skupa{1,2, . . . , n}i gde jejbroj inverzija u permutacijiPνu odnosu na
osnovnu permutacijuP1= (1,2, . . . , n).
Dakle, u zbiru (2.8.2) permutacijaPμ= (i1, i2, . . . , in) je ﬁksna. Poz-
navaju´ci osobine permutacija, nije teˇsko uoˇciti da su zbirovi (2.8.1) i (2.8.2)
identiˇcni. Naime, preuredˉenjem elemenata u svakom sabirku
(2.8.3) ai1j1
ai2j2
∆ ∆ ∆ainjn
u smislu da prvi indeksi elemenata budu redom 1,2, . . . , n, tj. da se od
permutacijePμdodˉe do permutacijeP1, niˇsta se ne´ce promeniti u vrednosti
sabirka (2.8.3), ali ´ce drugi indeksi elemenata u sabirku obrazovati novu

MATRICE I DETERMINANTE 159
permutacijuPν
′= (j
′
1
, j
′
2
, . . . , j
′
n
), koja ´ce se od one u (2.8.3) razlikovati
upravo zaiinverzija. Drugim reˇcima, broj inverzija u permutacijiPν
′, u
odnosu na osnovnu permutacijuP1, jednak jej
′
=j+i. Dakle, (2.8.2)
postaje
X
(−1)
j
′
a
1j
′
1
a
2j
′
2
∆ ∆ ∆anj
′
n
,
ˇsto je ekvivalentno sa (2.8.1).
Predznak (−1)
i+j
svakog sabirka (2.8.3) zavisi samo od broja inverzijai
iju permutacijamaPμiPν, respektivno.
Primer 2.8.3.Neka jen= 3. Izaberimo permutacijuP3= (2,3,1), ˇciji je
broj inverzijai= 2. Na osnovu (2.8.2) imamo
detA=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= (−1)
2
`
a21a32a13−a21a33a12−a22a31a13
+a22a33a11+a23a31a12−a23a32a11
´
.
Preuredˉenjem svakog sabirka u smislu da prvi indeksi budu uredˉeni po veliˇcini,
dobijamo
detA=a13a21a32−a12a21a33−a13a22a31+a11a22a33+a12a23a31−a11a23a32,
ˇsto je ekvivalentno sa ranije uvedenom deﬁnicijom (videtisluˇcajn= 3).△
Na osnovu prethodnog moˇze se zakljuˇciti da zbir (2.8.2) predstavlja detA
i u sluˇcaju kada ﬁksiramo permutaciju (j1, j2, . . . , jn), a sumiranje sprovede-
mo preko svih permutacijaPμ= (i1, i2, . . . , in) skupa{1,2, . . . , n}.
Prema tome, vaˇzi opˇsti rezultat:
Teorema 2.8.1.Neka je matricaA∈Mndata sa
A=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann





.
Tada sedetAmoˇze izraziti u obliku
detA=
X
(−1)
i+j
ai1j1
ai2j2
∆ ∆ ∆ainjn
,
gde se sumiranje izvodi preko svih permutacija prvih(drugih)indeksa eleme-
nata, dok su drugi(prvi)indeksi elemenata ﬁksirani.

160 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
2.9. Osobine determinanata
U ovom odeljku izuˇci´cemo neke osobine determinanata.
Teorema 2.9.1.detA
T
= detA.
Dokaz.Neka jeA= [aij]n×n. Kako jeA
T
= [aji]n×n, po deﬁniciji, imamo
detA
T
=
X
(−1)
j
aj11aj22∆ ∆ ∆ajnn,
odakle, na osnovu teoreme 2.8.1, sleduje detA
T
= detA.∗
Na osnovu teoreme 2.9.1, zakljuˇcujemo da sve osobine determinanata koje
se odnose na njene vrste, vaˇze i ako se u tim iskazima reˇc vrsta zameni reˇcju
kolona. Prema tome, u iskazima koji tretiraju osobine determinanata vaˇzi
dualizam: vrsta – kolona. Zbog toga ´cemo, u daljem tekstu, sve osobine
determinanata dokazivati u formulacijama koje se odnose navrste, znaju´ci
da se te iste osobine mogu formulisati i dokazati i za kolone.
Teorema 2.9.2.Ako se svi elementi jedne vrste matriceApomnoˇze nekim
brojemλi dobijenu matricu obeleˇzimo saB, tada jedetB=λdetA.
Dokaz.Neka jeA= [aij]n×ni neka je matricaBdobijena iz matriceA
mnoˇzenjem njenei-te vrste skalaromλ. Tada, na osnovu deﬁnicije determi-
nante, imamo
detB=
X
(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆(λaiji
)∆ ∆ ∆anjn
=λ
X
(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆aiji
∆ ∆ ∆anjn
=λdetA.∗
Teorema 2.9.3.Neka su elementii-te vrste matriceA= [aij]n×ndati u
obliku zbira
aij=a
′
ij+a
′′
ij (iﬁksno;j= 1,2, . . . , n).
Ako suA
′
iA
′′
matrice koje se dobijaju izAtako ˇsto se ui-toj vrsti elementi
aijzamene saa
′
ij
ia
′′
ij
, respektivno, tada je
detA= detA
′
+ detA
′′
.
Dokaz.Na osnovu deﬁnicije determinante, imamo
detA=
X
(−1)
j
a1j1
∆ ∆ ∆(a
′
iji
+a
′′
iji
)∆ ∆ ∆anjn
=
X
(−1)
j
a1j1
∆ ∆ ∆a
′
iji
∆ ∆ ∆anjn
+
X
(−1)
j
a1j1
∆ ∆ ∆a
′′
iji
∆ ∆ ∆anjn
= detA
′
+ detA
′′
.∗

MATRICE I DETERMINANTE 161
Teorema 2.9.4.Ako su elementi jedne vrste matriceAjednaki nuli, tada
jedetA= 0.
Dokaz.Tvrdˉenje teoreme sleduje na osnovu zakljuˇcka navedenog pod 2
◦
u analizi zbira (2.8.1).∗
Teorema 2.9.5.Ako su u matriciAelementi jedne vrste jednaki odgo-
varaju´cim elementima neke druge vrste, tada jedetA= 0.
Dokaz.Neka sui-ta ik-ta vrsta u matriciAjednake, tj. neka je
(2.9.1) aip=akp (p= 1,2, . . . , n).
Uoˇcimo proizvoljan sabirak determinante detA
(2.9.2) ( −1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆aiji
∆ ∆ ∆akjk
∆ ∆ ∆ankn
.
Takodˉe, uoˇcimo sabirak koji se razlikuje od ovog samo po jednoj transpoziciji
indeksaji↔jk. Takav sabirak je
(2.9.3) −(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆aijk
∆ ∆ ∆akji
∆ ∆ ∆ankn
.
Njegov predznak je suprotan predznaku sabirka (2.9.2) s obzirom da je trans-
pozicijom promenjena parnost u permutaciji indeksa.
S obzirom na (2.9.1), sabirak (2.9.3) se svodi na
−(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆akjk
∆ ∆ ∆aiji
∆ ∆ ∆ankn
,
ˇsto u zbiru sa (2.9.2) daje nulu. Za ovakva dva sabirka re´ci´cemo da su
odgovaraju´ca.
Kako za svaki uoˇceni sabirak postoji njemu odgovaraju´ci sabirak u pret-
hodnom smislu, zakljuˇcujemo da je detA= 0.∗
Slede´ce tvrdˉenje je posledica teorema 2.9.2 i 2.9.5.
Teorema 2.9.6.Ako su u matriciAelementi jedne vrste proporcionalni
odgovaraju´cim elementima neke druge vrste, tada jedetA= 0.
Takodˉe, na osnovu teorema 2.9.2, 2.9.3 i 2.9.6 vaˇze i slede´ci rezultati:
Teorema 2.9.7.Determinanta matrice ne menja vrednost ako se elemen-
tima jedne vrste dodaju odgovaraju´ci elementi neke druge vrste, prethodno
pomnoˇzeni istim skalarom.

162 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Teorema 2.9.8.Ako je u matriciAjedna vrsta linearna kombinacija os-
talih vrsta, tada jedetA= 0.
Teorema 2.9.9.Ako odgovaraju´ci elementi dve vrste matriceApromene
svoja mesta i dobijenu matricu obeleˇzimo saB, tada vaˇzi jednakost
(2.9.4) det B=−detA.
Dokaz.Neka odgovaraju´ci elementi ui-toj ik-toj vrsti matriceApromene
mesta. Tada je
A=












a11a12∆ ∆ ∆a1n
.
.
.
ai1ai2 ain
.
.
.
ak1ak2 akn
.
.
.
an1an2 ann












, B =












a11a12∆ ∆ ∆a1n
.
.
.
ak1ak2 akn
.
.
.
ai1ai2 ain
.
.
.
an1an2 ann












.
Da bismo dokazali (2.9.4), koristi´cemo se teoremom 2.9.7.
Podˉimo od detA. Njena vrednost se ne menja ako elementimai-te vrste
dodamo odgovaraju´ce elementek-te vrste. Tako imamo
detA=

a11 a12 ∆ ∆ ∆a1n
.
.
.
ai1+ak1ai2+ak2 ain+akn
.
.
.
ak1 ak2 akn
.
.
.
an1 an2 ann

.
Ako, sada, elementimak-te vrste dodamo odgovaraju´ce elemente novofor-
miranei-te vrste, prethodno pomnoˇzene faktorom−1, dobijamo
detA=

a11 a12 ∆ ∆ ∆a1n
.
.
.
ai1+ak1ai2+ak2 ain+akn
.
.
.
−ai1 −ai2 −ain
.
.
.
an1 an2 ann

.

MATRICE I DETERMINANTE 163
Najzad, dodavanjemk-te vrstei-toj vrsti i izvlaˇcenjem faktora−1 izk-te
vrste, dobijamo
detA=−detB.∗
Teorema 2.9.10.Neka su date kvadratne matriceA= [aij]n×niB=
[bij]n×n. Tada je
(2.9.5) det( AB) = (detA)(detB).
Dokaz.Neka jeC=AB= [cij]n×n, gde je
cij=
n
X
k=1
aikbkj (i, j= 1,2. . . . , n).
Podˉimo od detC, tj. od
X
(−1)
j
c1j1
. . . cnjn
=

nP
k=1
a1kbk1
nP
k=1
a1kbk2. . .
nP
k=1
a1kbkn
nP
k=1
a2kbk1
nP
k=1
a2kbk2
nP
k=1
a2kbkn
.
.
.
nP
k=1
ankbk1
nP
k=1
ankbk2
nP
k=1
ankbkn

,
i potraˇzimo izraz za svaki sabirakc1j1
. . . cnjn
ove determinante. U tom cilju,
stavimo:c1j= 0 (tj.a1j= 0) zaj6=j1;. . .;cnj= 0 (tj.anj= 0) zaj6=jn.
Tada je
detC=
X
(−1)
j
c1j1
. . . cnjn
=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a1j1
bj11a1j1
bj12. . . a1j1
bj1n
a2j2
bj21a2j2
bj22 a2j2
bj2n
.
.
.
anjn
bjn1anjn
bjn2 anjn
bjnn
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=Qj
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
bj11bj12. . . bj1n
bj21bj22 bj2n
.
.
.
bjn1bjn2 bjnn
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
gde jeQj=a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆anjn
.
Ako su neki od brojevaj1, j2, . . . , jnjednaki, tada je determinanta na
desnoj strani poslednje jednakosti jednaka nuli, s obziromda ima bar dve

164 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
jednake vrste. Ako su, medˉutim, svi brojevij1, j2, . . . , jnmedˉu sobom ra-
zliˇciti, tada je desna strana ove jednakosti
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆anjn
(−1)
j
(detB),
gde jejbroj inverzija u permutaciji (j1, j2, . . . , jn) u odnosu na osnovnu
permutaciju (1,2, . . . , n).
Prema tome,
detC=
X
(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆anjn
(detB) = (detA)(detB).∗
Kako je determinanta matrice jednaka determinanti njene transponovane
matrice, na osnovu (2.9.5) zakljuˇcujemo da je
detC= det(AB) = det(AB
T
) = det(A
T
B) = det(A
T
B
T
),
ˇsto znaˇci da kao matricuC= [cij]
n
1
moˇzemo uzeti bilo koju od slede´ce ˇcetiri
matrice:AB,AB
T
,A
T
B,A
T
B
T
. Drugim reˇcima, proizvod dve determi-
nante moˇze se predstaviti kao determinanta|cij|
n
1, uzimaju´ci za elementecij
(i, j= 1, . . . , n) bilo koji od slede´ca ˇcetiri izraza:
cij=
n
X
k=1
aikbkj, cij=
n
X
k=1
aikbjk, cij=
n
X
k=1
akibkj, cij=
n
X
k=1
akibjk.
2.10. Razlaganje determinante
Prilikom izraˇcunavanja determinante tre´ceg reda, moˇzemo postupiti tako
ˇsto ´cemo izdvojiti iz svih sabiraka elemente samo jedne vrste, ili samo jedne
kolone. Izaberimo, na primer, prvu vrstu. Tako imamo
D= detA=

a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31) +a13(a21a32−a22a31).
Ako izraze u zagradama protumaˇcimo kao determinante drugog reda, imamo
D=a11

a22a23
a32a33

−a12

a21a23
a31a33

+a13

a21a22
a31a32

,

MATRICE I DETERMINANTE 165
tj.
(2.10.1) D=a11D11−a12D12+a13D13,
gde smo saDijoznaˇcili determinante, koje se dobijaju iz determinanteD
izostavljanjemi-te vrste ij-te kolone. U naˇsem sluˇcaju imamo da jei= 1.
Za determinantuDijkaˇzemo da jeminorilisubdeterminantaelementaaij
date determinante. Za formulu (2.10.1) kaˇzemo da jerazlaganjeilirazvoj
determinantepo elementima prve vrste.
Mogu´ce je dati razvoj determinanteDi po elementima bilo koje vrste, tj.
bilo koje kolone. Tako imamo razvoje
D=−a21D21+a22D22−a23D23
=a31D31−a32D32+a33D33
=a11D11−a21D21+a31D31
=−a12D12+a22D22−a32D32
=a13D13−a23D23+a33D33.
Na osnovu dobijenih razlaganja determinante tre´ceg reda,zakljuˇcujemo
da uz neke elemente u razvoju stoji predznak +, a uz neke predznak−.
Primetimo da uz elementaijuvek stoji (−1)
i+j
. Dakle, ovaj predznak je
iskljuˇcivo odredˉen pozicijom elementaaiju determinanti, pa se zato i naziva
predznak mesta (i, j).
Sliˇcno, moˇze se razmatrati i sluˇcaj determinanten-tog reda. Razvijaju´ci
takvu determinantu po elementima bilo koje vrste, tj. bilo koje kolone, do-
bijamo linearnu kombinaciju odndeterminanata (n−1)-og reda.
Deﬁnicija 2.10.1.Ako se u determinantin-tog reda
(2.10.2) D= detA=

a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann

izostave elementii-te vrste ij-te kolone (i, j= 1,2, . . . , n), za dobijenu
determinantu (n−1)-og reda, u oznaciDij, kaˇzemo da je minor ili subde-
terminanta elementaaij.
Za proizvod predznaka mesta (i, j) i minora elementaaij, u oznaciAij,
kaˇzemo da jekofaktor elementaaij.

166 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Dakle,
Aij= (−1)
i+j
Dij (i, j= 1,2, . . . , n).
Da bismo razvili determinantu (2.10.2), na primer, po elementima prve
vrste, podˉimo od deﬁnicione formule
(2.10.3) D= detA=
X
(−1)
j
a1j1
a2j2
∆ ∆ ∆anjn
,
gde se sumiranje izvodi preko svih permutacijaPν= (j1, j2, . . . , jn) skupa
{1,2, . . . , n}, dok jejbroj inverzija u permutacijiPνu odnosu na osnovnu
permutacijuP1= (1,2, . . . , n).
Da bismo odredili koeﬁcijent uza11u izrazu (2.10.3), posmatrajmo sve
one permutacijePνkoje poˇcinju sa 1, tj. one kod kojih jej1= 1. Tada je
koeﬁcijent uza11, upravo, zbir
(2.10.4)
X
(−1)
k
a2j2
a3j3
∆ ∆ ∆anjn
.
Sumiranje se izvodi preko svih permutacija (j2, j3, . . . , jn) osnovnog skupa
{2,3, . . . , n}, akje odgovaraju´ci broj inverzija u permutaciji (j2, j3, . . . , jn).
Naravno, po deﬁniciji determinante, zbir (2.10.4) predstavlja determinantu
D11=

a22a23. . . a2n
a32a33 a3n
.
.
.
an2an3 ann

.
Dakle, koeﬁcijent uz elementa11je minorD11= (−1)
1+1
D11=A11.
Odredimo sada koeﬁcijent uz elementa12. Taj sluˇcaj se svodi na pret-
hodni. Naime, permutacijom prve i druge kolone u (2.10.2), dolazimo do
determinante koja je po znaku suprotna determinantiD. Dakle,
(2.10.5) D=−

a12a11a13. . . a1n
a22a21a23 a2n
.
.
.
an2an1an3 ann

.
Na osnovu prethodnog, izostavljanjem prve vrste i prve kolone u determi-
nanti na desnoj strani u (2.10.5), dobijamo koeﬁcijent uza12u razvoju ove
determinante, ˇsto je, u stvari, minor
D12=

a21a23. . . a2n
.
.
.
an1an3 ann

.

MATRICE I DETERMINANTE 167
Dakle, koeﬁcijent uza12u razvoju determinate (2.10.2) je
−D12= (−1)
1+2
D12=A12.
U opˇstem sluˇcaju, za odredˉivanje koeﬁcijenta uz elementa1kpotrebno je
k-tu kolonu u determinantiDredom permutovati sa (k−1)-om, (k−2)-
gom,. . ., i, najzad, sa prvom kolonom, dovode´ci na taj naˇcin elementa1k
na poziciju (1,1). Kako se, pri ovome, ˇcinik−1 permutacija kolona, to je,
saglasno prethodnom, koeﬁcijent uza1ku razvoju determinante D jednak
(−1)
k−1
D1k= (−1)
1+k
D1k.
Prema tome, determinantuDmoˇzemo razviti na slede´ci naˇcin
D=a11D11−a12D12+∆ ∆ ∆+ (−1)
1+k
a1kD1k+∆ ∆ ∆+ (−1)
1+n
a1nD1n,
ili, koriˇs´cenjem kofaktora,
D=a11A11+a12A12+∆ ∆ ∆+a1nA1n.
Naravno, kao i u sluˇcaju determinante tre´ceg reda, mogu´ce je opˇstu de-
terminantun-tog reda razloˇziti po elementima bilo koje vrste, tj. bilokoje
kolone. Tako, u stvari, imamoLaplaceove
39)
formule, date slede´com teore-
mom:
Teorema 2.10.1.DeterminantaD, odredˉena sa(2.10.2), moˇze se pomo´cu
kofaktora njenih elemenata razloˇziti na slede´ce naˇcine:
D=
n
X
k=1
aikAik (i= 1,2, . . . , n),(2.10.6)
D=
n
X
k=1
akjAkj (j= 1,2, . . . , n).(2.10.7)
Napomena 2.10.1.Determinanta tre´ceg reda moˇze se izraˇcunati koriˇs´cenjem
tzv.Sarrusovog
40)
pravilakoje se sastoji u proˇsirenju determinante, dopisivanjem
prve dve kolone, i uzimanju svih proizvoda po silaznim dijagonalama sa pozitivnim
39)
Pierre Simon de Laplace (1749–1827), veliki francuski matematiˇcar.
40)
Pierre Fr´ed´erique Sarrus (1798–1861), francuski matematiˇcar.

168 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
predznakom i svih proizvoda po uzlaznim dijagonalama sa negativnim predznakom.
Dakle,
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a11a12
a21a22
a31a32
=
`
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
´
−
`
a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12
´
.
Primer 2.10.1.Pri reˇsavanju mnogih problema javlja se potreba za izraˇcuna-
vanjem determinante
Vn≡Vn(x0, x1, . . . , xn) =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1x0x
2
0. . . x
n
0
1x1x
2
1 x
n
1
1x2x
2
2
x
n
2
.
.
.
1xnx
2
n x
n
n
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
, x i6=xj(i6=j),
koja je poznata kaoVandermondeova
41)
determinanta. Red ove determinante je
n+ 1. Pokaza´cemo sada da je
(2.10.8) Vn=
Y
0≤i<j≤n
(xj−xi),
gde se mnoˇzenje obavlja po svim indeksimai, j, za koje je 0≤i < j≤n.
Ako elementima (k+ 1)-ve kolone determinanteVndodamo odgovaraju´ce ele-
mentek-te kolone, prethodno pomnoˇzene sa−x0, redom zak=n, n−1, . . . ,1,
dobijamo
Vn=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1 0 0 . . . 0
1x1−x0x
2
1
−x0x1 x
n
1
−x0x
n−1
1
1x2−x0x
2
2−x0x2 x
n
2−x0x
n−1
2
.
.
.
1xn−x0x
2
n−x0xn x
n
n−x0x
n−1
n
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
.
Razvijaju´ciVnpo elementima prve vrste, determinanta se svodi na slede´cu
determinantun-tog reda
Vn=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
x1−x0(x1−x0)x1. . .(x1−x0)x
n−1
1
x2−x0(x2−x0)x2 (x2−x0)x
n−1
2
.
.
.
xn−x0(xn−x0)xn (xn−x0)x
n−1
n
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
41)
Alexandre Th´eophile Vandermonde (1735–1796), francuskimatematiˇcar.

MATRICE I DETERMINANTE 169
odakle, izvlaˇcenjem zajedniˇckih faktora iz prve, druge,. . .,n-te vrste, dobijamo
Vn= (x1−x0)(x2−x0)∆ ∆ ∆(xn−x0)
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1x1. . . x
n−1
1
1x2 x
n−1
2
.
.
.
1xn x
n−1
n
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
tj.
Vn(x0, x1, . . . , xn) = (x1−x0)(x2−x0)∆ ∆ ∆(xn−x0)Vn−1(x1, x2, . . . , xn).
Ovim smo dobili rekurzivnu formulu, ˇcijom primenom nalazimo redom
Vn−1(x1, x2, . . . , xn) = (x2−x1)∆ ∆ ∆(xn−x1)Vn−2(x2, . . . , xn),
.
.
.
V1(xn−1, xn) = (xn−xn−1).
Iz dobijenih jednakosti neposredno sleduje (2.10.8).△
Primer 2.10.2.Neka je
s
k=x
k
1+x
k
2+∆ ∆ ∆+x
k
n (k≥0),
gde suxi(i= 1,2, . . . , n) dati brojevi.
Odredi´cemo determinantun-tog reda
D=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
s0s1. . . sn−1
s1s2 sn
.
.
.
sn−1sn s2n−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
.
Neka jeVn−1≡Vn−1(x1, x2, . . . , xn) Vandermondeova determinantan-tog
reda razmatrana u prethodnom primeru. Na osnovu teoreme 2.9.10 i komentara
koji sledi ovu teoremu, imamo
V
2
n−1=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1 1 . . .1
x1 x2 xn
.
.
.
x
n−1
1
x
n−1
2
x
n−1
n
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
∆
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1x1. . . x
n−1
1
1x2 x
n−1
2
.
.
.
1xn x
n−1
n
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,

170 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
tj.
V
2
n−1=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
s0s1. . . sn−1
s1s2 sn
.
.
.
sn−1sn s2n−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=D.
Najzad, koriˇs´cenjem rezultata iz prethodnog primera dobijamo
42)
D=
Y
1≤i<j≤n
(xj−xi)
2
.△
U vezi sa Laplaceovim formulama mogu´ce je postaviti jedan opˇstiji prob-
lem. Naime, ako u razvoju (2.10.6) umesto kofaktoraAik, koji odgovaraju
elementimai-te vrste, uzmemo recimo kofaktoreAjk, koji odgovaraju el-
ementimaj-te vrste, ˇsta ´ce biti sa ovim zbirom? Sliˇcno pitanje moˇze se
postaviti i za formulu (2.10.7). Odgovor na ova pitanja dajeslede´ca teo-
rema:
Teorema 2.10.2.Za svakoi, j= 1, . . . , nvaˇze identiteti:
n
X
k=1
aikAjk=Dδij,(2.10.9)
n
X
k=1
akiAkj=Dδij,(2.10.10)
gde jeδijKroneckerova delta.
Dokaz.Dokaza´cemo samo formulu (2.10.9).
Zaj=iformula (2.10.9) postaje (2.10.6).
Pretpostavimo sada da jej6=i. Ako determinantuDrazvijemo po
elementimaj-te vrste, imamo
(2.10.11)
n
X
k=1
ajkAjk=D .
S druge strane, ako stavimoajk=aik(k= 1, . . . , n), odgovaraju´ca deter-
minanta jednaka je nuli jer su dve vrste identiˇcne, tako da (2.10.11) implicira
(2.10.9).
Formula (2.10.10) dokazuje se analogno.∗
42)
VeliˇcinaDpredstavlja tzv.diskriminantu moniˇcnog polinoma, o ˇcemu ´ce biti reˇci
u ˇsestoj glavi.

MATRICE I DETERMINANTE 171
2.11. Adjungovana i inverzna matrica
NekaMnoznaˇcava skup svih kvadratnih matrica redan.
Deﬁnicija 2.11.1.Neka jeAijkofaktor elementaaijmatrice
A= [aij]n×n=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann





.
Tada se matrica
adjA= adj [aij]n×n=





A11A21. . . An1
A12A22 An2
.
.
.
A1nA2n Ann





nazivaadjungovana matricamatriceA.
Primetimo da se kofaktori, kao elementi matrice adjA, pojavljuju u tzv.
transponovanom obliku, tj.Aijse nalazi uj-toj vrsti ii-toj koloni, dakle,
na poziciji koja odgovara elementuaiju transponovanoj matriciA
T
.
Teorema 2.11.1.Za matriceAiadjAvaˇzi jednakost
(2.11.1) A∆(adjA) = (adjA)∆A= (detA)I .
Dokaz.Neka jeC= [cij]n×n=A∆(adjA). Tada se elementi matriceC
cij=
n
X
k=1
aikAjk,
na osnovu (2.10.9), mogu izraziti u oblikucij= (detA)δij, gde jeδijKro-
neckerova delta. Dakle,C= (detA)I. Sliˇcno se, koriˇs´cenjem (2.10.10),
dokazuje da je (adjA)A= (detA)I.∗
Teorema 2.11.2.Za matricuA∈Mnvaˇzi jednakost
(2.11.2) det(adj A) = (detA)
n−1
.
Dokaz.Primenom teoreme 2.9.10 na (2.11.1) dobijamo
(detA) det(adjA) = (detA)
n
.
Ako je detA6= 0, na osnovu prethodne jednakosti, dobijamo (2.11.2). Medˉu-
tim, ova formula ostaje u vaˇznosti i u sluˇcaju kada je detA= 0.∗
Za determinantu adjungovane matrice koristi se i terminadjungovana
determinanta.

172 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Deﬁnicija 2.11.2.NekaA∈Mn. Za matricuX∈Mnkaˇzemo da je
inverzna matricamatriceAako je
(2.11.3) AX=XA=I.
Kada postoji matricaXkoja zadovoljava (2.11.3), primenom teoreme
2.9.10, zakljuˇcujemo da mora biti (detA)(detX) = detI= 1, tj. da se
potreban uslov za egzistenciju inverzne matrice svodi na uslov detA6= 0.
Naravno, tada je detX= 1/detA. Jednostavno se pokazuje da je ovaj uslov,
detA6= 0, istovremeno i dovoljan uslov za egzistenciju inverzne matriceX,
za koju ´cemo, nadalje, koristiti oznakuA
−1
.
Teorema 2.11.3.Ako jedetA6= 0, tada inverzna matricaA
−1
postoji,
jedinstvena je i moˇze se predstaviti u obliku
A
−1
=
1
detA
adjA .
Dokaz.Pretpostavimo da je detA6= 0. Deljenjem jednakosti (2.11.1) sa
detA, dobijamo
A
θ
1
detA
adjA
⊇
=
θ
1
detA
adjA
⊇
A=I ,
odakle, poredˉenjem sa (2.11.3), zakljuˇcujemo da je matrica
X=
1
detA
adjA
inverzna matrica zaA.
Za dokaz jedinstvenosti inverzne matrice pretpostavimo dapostoje dve
inverzne matriceXiY, tj. pretpostavimo da je
AX=XA=I iAY=Y A=I.
Mnoˇzenjem prve jednakosti saYsa leve strane, a druge saXsa desne strane,
dobijamo
Y AX=Y I=Y iY AX=IX=X,
odakle sleduje da jeX=Y.∗

MATRICE I DETERMINANTE 173
Primer 2.11.1.Neka je
A=
2
4
1−3−1
−2 7 2
3 2 −4
3
5.
Kako je
detA= 1∆7∆(−4) + (−3)∆2∆3 + (−1)∆(−2)∆2
−(−1)∆7∆3−(−3)∆(−2)∆(−4)−1∆2∆2 =−16= 0,
zakljuˇcujemo da postoji inverzna matricaA
−1
.
Odredi´cemo najpre adjungovanu matricu adjA, pri ˇcemu je pogodno po´ci od
transponovane matrice
A
T
=
2
4
1−2 3
−3 7 2
−1 2 −4
3
5.
Tada redom nalazimo
A11=D11=
»
7 2
2−4
–
=−32, A 21=−D21=−
»
−3 2
−1−4
–
=−14,
A31=D31=
»
−3 7
−1 2
–
= 1, A 12=−D12=−
»
−2 3
2−4
–
=−2,
A22=D22=
»
1 3
−1−4
–
=−1, A 32=−D32=−
»
1−2
−1 2
–
= 0,
A13=D13=
»
−2 3
7 2
–
=−25, A 23=−D23=−
»
1 3
−3 2
–
=−11,
A33=D33=
»
1−2
−3 7
–
= 1.
Prema tome,
adjA=
2
4
−32−14 1
−2−1 0
−25−11 1
3
5.
Najzad, dobijamo
A
−1
=
1
detA
adjA=
2
4
32 14−1
2 1 0
25 11−1
3
5.△

174 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Deﬁnicija 2.11.3.Ako za matricuA∈Mnpostoji inverzna matrica kaˇze-
mo da je matricaAregularnailinesingularna matrica.
U protivnom, za matricuAkaˇzemo da jesingularnailineregularna.
Napomena 2.11.1.Ako jeAmatrica operatoraA:X→X(dimX=n) u
odnosu na neku ﬁksiranu bazuB, tada je matrica inverznog operatoraA
−1
, ukoliko
postoji, upravo, matricaA
−1
. Kao ˇsto je poznato samo regularni operatori imaju
inverzni operator. Dakle, matrice regularnih operatora suregularne matrice.
Primer 2.11.2.Neka jeMn(x, α) skup kvadratnih matrican-tog reda oblika
A=A(x, α) =
2
6
6
6
6
6
4
x+α x x . . . x
x x+α x x
x x x +α x
.
.
.
x x x x +α
3
7
7
7
7
7
5
.
Za odredˉivanje determinante matriceApostupimo na slede´ci naˇcin:
1
◦
Elementima druge, tre´ce,. . .,n-te vrste determinante, redom dodajemo
odgovaraju´ce elemente prve vrste, prethodno pomnoˇzene sa−1. Tada dobijamo
detA=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
x+α x x . . . x
−α α 0 0
−α0α 0
.
.
.
−α0 0 α
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
.
2
◦
Elementima prve kolone dodajmo redom odgovaraju´ce elemente druge, tre´ce,
. . .,n-te kolone determinante. Tako dobijamo trougaonu determinantu
detA=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
nx+α x x . . . x
0 α0 0
0 0 α 0
.
.
.
0 0 0 α
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=α
n−1
(nx+α).
Dakle, matricaAje regularna ako jeα6= 0 inx+α6= 0. U tom sluˇcaju,
inverzna matrica postoji. Pokaza´cemo da jeA
−1
istog oblika kao i matricaA, tj.
da jeA(x, α)
−1
=A(y, β), gde suyiβparametri koje ´cemo odrediti u funkciji
parametaraxiα.
Ako saUoznaˇcimo matricun-tog reda, ˇciji su svi elementi jednaki jedinici,
tada se matricaAmoˇze jednostavno izraziti u oblikuA=xU+αI.

MATRICE I DETERMINANTE 175
Pretpostavimo da jeA
−1
=yU+βI. Tada imamo
AA
−1
= (xU+αI)(yU+βI)
=xyU
2
+αyU+βxU+αβI
= (nxy+αy+βx)U+αβI
jer jeU
2
=nU.
Kako jeAA
−1
=I, na osnovu prethodnog, mora biti
nxy+αy+βx= 0 i αβ= 1,
odakle sleduje
y=−
x
α(nx+α)
iβ=
1
α
.
Dakle,A(x, α)
−1
=A(y, β).△
Za regularne matrice moˇze se deﬁnisati stepen matriceA
k
i za negativno
celok. Naime, ako jekprirodan broj, moˇzemo uzeti da je
A
−k
= (A
−1
)
k
,
ili, ˇsto je isto,
A
−k
= (A
k
)
−1
.
Teorema 2.11.4.Za regularnu matricuAvaˇzi
(2.11.4)
−
A
−1
∆
T
=
−
A
T
∆−1
.
Dokaz.Kako jeAregularna matrica, to je iA
T
, takodˉe, regularna mat-
rica. Transponovanjem jednakostiAA
−1
=Idobijamo
−
AA
−1
∆
T
=
−
A
−1
∆
T
A
T
=I ,
odakle sleduje (2.11.4).∗
Teorema 2.11.5.Za regularne matriceAiBvaˇzi jednakost
(2.11.5) ( AB)
−1
=B
−1
A
−1
.
Dokaz.Kako je
(AB)(B
−1
A
−1
) =A
−
BB
−1
∆
A
−1
=AIA
−1
=AA
−1
=I
i
(B
−1
A
−1
)(AB) =B
−1
−
A
−1
A
∆
B=B
−1
IB=B
−1
B=I,
zakljuˇcujemo da jednakost (2.11.5) vaˇzi.∗
Matematiˇckom indukcijom moˇze se dokazati da vaˇzi slede´ce tvrdˉenje:
Teorema 2.11.6.Za regularne matriceA1, . . . , Amvaˇzi jednakost
(A1∆ ∆ ∆Am)
−1
=A
−1
m∆ ∆ ∆A
−1
1
.

176 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
2.12. Blok matrice i operacije sa njima
Deﬁnicija 2.12.1.Ako se matricaAtipam×nmreˇzom horizontalnih i
vertikalnih pravih razloˇzi na viˇse matrica, kaˇze se da jematrica razbijena na
blokove.
Blokovi matriceAsu matriceAijtipami×nj, gde su
p
X
i=1
mi=m i
q
X
j=1
nj=n.
Operacije sa matricama razbijenim na blokove su formalno iste sa ope-
racijama kod obiˇcnih matrica. Naime, vaˇze slede´ci rezultati:
Teorema 2.12.1.Neka su matriceAiBrazbijene na blokove, tj. neka je
A=





A11A12. . . A1q
A21A22 A2q
.
.
.
Ap1Ap2 Apq





iB=





B11B12. . . B1q
B21B22 B2q
.
.
.
Bp1Bp2 Bpq





,
gde suAijiBijmatrice istog tipa. Tada je
λA=





λA11λA12. . . λA1q
λA21λA22 λA2q
.
.
.
λAp1λAp2 λApq





(λ∈K)
i
A+B=




A11+B11A12+B12. . . A1q+B1q
A21+B21A22+B22 A2q+B2q
.
.
.
Ap1+Bp1Ap2+Bp2 Apq+Bpq




.
Teorema 2.12.2.Neka su
A=





A11A12. . . A1q
A21A22 A2q
.
.
.
Ap1Ap2 Apq





, B =





B11B12. . . B1s
B21B22 B2s
.
.
.
Bq1Bq2 Bqs





,

MATRICE I DETERMINANTE 177
i neka su blokovi takvi da je broj kolona blokaAijjednak broju vrsta bloka
Bjk(i= 1, . . . , p;j= 1, . . . , q;k= 1, . . . , s). Tada je
AB=





C11C12. . . C1s
C21C22 C2s
.
.
.
Cp1Cp2 Cps





,
gde jeCik=
qP
j=1
AijBjk(i= 1, . . . , p;k= 1, . . . , s).
Primer 2.12.1.Neka su
A=
2
6
6
4
5 2 0 0
2 1 0 0
0 0 8 3
0 0 5 2
3
7
7
5
, B =
2
6
6
4
1−2−1 0 0
−2 5 2 0 0
0 0 0 2 −3
0 0 0 −5 8
3
7
7
5
.
Ako stavimo
A11=
»
5 2
2 1
–
, A22=
»
8 3
5 2
–
, B11=
»
1−2−1
−2 5 2
–
, B22=
»
2−3
−5 8
–
,
imamo
AB=
»
A11B11 O
O A 22B22
–
.
Kako je
A11B11=
»
5 2
2 1
–
∆
»
1−2−1
−2 5 2
–
=
»
1 0−1
0 1 0
–
i
A22B22=
»
8 3
5 2
–
∆
»
2−3
−5 8
–
=
»
1 0
0 1
–
,
dobijamo
AB=
2
6
6
6
6
4
1 0 −1|0 0
0 1 0 |0 0
−− −− −− − −− −−
0 0 0 |1 0
0 0 0 |0 1
3
7
7
7
7
5
.△
Neposrednim mnoˇzenjem moˇze se dokazati slede´ci rezultat:

178 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
Teorema 2.12.3.Neka je
A=
ˇ
A11A12
A21A22
≥
regularna matrica, gde suA11iA22kvadratne matrice. Ako je matricaA22
regularna, tada je
A
−1
=
ˇ
X11X12
X21X22
≥
,
gde su
X11= (A11−A12A
−1
22
A21)
−1
, X 12=−X11A12A
−1
22
,
X21=−A
−1
22
A21X11, X 22=A
−1
22
(I−A21X12).
Primer 2.12.2.Za matricu
A=
2
6
6
4
0 0 1 −1
0 3 1 4
2 7 6 −1
1 2 2 −1
3
7
7
5
odredi´cemoA
−1
. Neka su
A11=
»
0 0
0 3
–
, A12=
»
1−1
1 4
–
, A21=
»
2 7
1 2
–
, A22=
»
6−1
2−1
–
.
Na osnovu teoreme 2.12.3, imamo redom:
X11= (A11−A12A
−1
22
A21)
−1
=
1
6
»
−1 3
−7−3
–
,
X12=−X11A12A
−1
22
=
1
6
»
−7 20
5−10
–
,
X21=−A
−1
22
A21X11=
1
6
»
9 3
3 3
–
,
X22=A
−1
22
(I−A21X12) =
1
6
»
−3 6
−3 6
–
.
Dakle,
A
−1
=
1
6
2
6
6
6
6
4
−1 3 | −7 20
−7−3| 5−10
−− −− − −− − − −
9 3 | −3 6
3 3 | −3 6
3
7
7
7
7
5
.△

MATRICE I DETERMINANTE 179
Deﬁnicija 2.12.2.Neka suAiBpravougaone matrice dimenzijam×ni
p×q, respektivno. Za matricu
C=A⊗B=




a11B a12B . . . a1nB
a21B a22B a 2nB
.
.
.
am1B am2B a mnB




,
tipamp×nq, kaˇzemo da jeKroneckerov proizvod matricaAiB.
Moˇze se pokazati da za proizvoljne matriceA, B, C, D, za koje naznaˇcene
operacije imaju smisla, i svakoλ∈K, vaˇze slede´ce jednakosti:
(1) (λA)⊗B=A⊗(λB) =λ(A⊗B);
(2) (A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C;
(3)A⊗(B+C) =A⊗B+A⊗C;
(4) (AB)⊗(CD) = (A⊗C)(B⊗D).
Neka jeAkvadratna matrica redanpodeljena na blokove na slede´ci naˇcin
(2.12.1) A=





A11A12. . . A1p
A21A22 A2p
.
.
.
Ap1Ap2 App





(p≥2),
tako da su dijagonalni blokoviA11, A22, . . . , Appkvadratne matrice.
Deﬁnicija 2.12.3.Ako su svi vandijagonalni blokoviAij=O(i6=j),
za matricuA, datu sa (2.12.1), kaˇzemo da jekvazidijagonalna matricai
oznaˇcavamo je sa
(2.12.2) A=A11
˙+A22
˙+∆ ∆ ∆˙+App.
Dijagonalni blokovi matriceA, koji se pojavljuju u formuli (2.12.2), ˇcesto
se oznaˇcavaju izostavljanjem drugog indeksa. Tako, formula (2.12.2) postaje
(2.12.3) A=A1
˙+A2
˙+∆ ∆ ∆˙+Ap.
Primer 2.12.3.Matrica
A=
2
6
6
6
6
6
6
4
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 1 2 0
0 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0 1
3
7
7
7
7
7
7
5

180 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
je kvazidijagonalna i moˇze se predstaviti u obliku
A=
»
1 0
0 1
–
˙+
ˆ
2
˜
˙+
2
4
1 2 0
0 1 3
0 0 1
3
5.△
Na kraju ovog odeljka naveˇs´cemo dve teoreme koje se odnosena operacije
sa kvazidijagonalnim matricama.
Teorema 2.12.4.Ako jeλskalar ikprirodan broj, za kvazidijagonalnu
matricuA, oblika
A=A1
˙+A2
˙+∆ ∆ ∆˙+Ap,
gde su matriceAi(i= 1, . . . , p)istoga reda, vaˇze jednakosti
λA=λA1
˙+λA2
˙+∆ ∆ ∆˙+λAp,
A
T
=A
T
1
˙+A
T
2
˙+∆ ∆ ∆˙+A
T
p
,
A
∗
=A
∗
1
˙+A
∗
2
˙+∆ ∆ ∆˙+A
∗
p,
A
k
=A
k
1
˙+A
k
2
˙+∆ ∆ ∆˙+A
k
p.
Teorema 2.12.5.Za kvazidijagonalne matrice
A=A1
˙+A2
˙+∆ ∆ ∆˙+Ap iB=B1
˙+B2
˙+∆ ∆ ∆˙+Bp,
gde su matriceAiiBi(i= 1, . . . , p)istoga reda, vaˇze jednakosti
A+B= (A1+B1)˙+ (A2+B2)˙+∆ ∆ ∆˙+ (Ap+Bp)
i
AB=A1B1
˙+A2B2
˙+∆ ∆ ∆˙+ApBp.
3. ZADACI ZA VE ˇZBU
3.1.Neka su u prostoruR
4
dati vektori
x1= (1,1,2,1),x2= (1,−1,0,1),x3= (0,0,−1,1),x4= (1,2,2,0),
y1= (1,1,2,1),y2= (−1,1,0,−1),y3= (0,0,−2,−2),y4= (1,2,2,0).

MATRICE I DETERMINANTE 181
Dokazati da svaki od skupova vektora
Bx={x1,x2,x3,x4}iBy={y1,y2,y3,y4}
ˇcini vektorsku bazu prostoraR
4
, a zatim izraziti vektoru= (1,1,1,1) po-
mo´cu vektora svake od ovih baza.
3.2.Neka jeMskup svih kvadratnih matrica oblika
Mx=


1 0 x
−x1−x
2
/2
0 0 1

 (x∈R).
Ako je operacija∆mnoˇzenje matrica, ispitati strukturu (M,∆).
3.3.Neka jeMakvadratna matrica redanoblika
Ma=




a a . . . a
a a a
.
.
.
a a a




(a∈R).
Ako jeM={Ma|a∈R, a6= 0}, ispitati strukturu (M,∆), gde je∆
mnoˇzenje matrica.
3.4.Ako jeMskup svih matrica oblika
M(a, α) =


a0 0
0 1α
0 0 1

 (a >0, α∈R),
ispitati strukturu (M,∆). Koje osobine ima preslikavanjef:M →C, deﬁn-
isano pomo´cu
f(M(a, α)) =ae
iα
.
3.5.Dokazati: Ako jeAunitarna matrica, tada su i matriceA
T
,
ˉ
AiA
∗
unitarne matrice.
3.6.Proveriti jednakosti

7 6 3 7
3 5 7 2
5 4 3 5
5 6 5 4

=−10,

27 44 40 55
20 64 21 40
13−20−13 24
46 45 −55 84

= 1.

182 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
3.7.Proveriti jednakosti

3 6 5 6 4
5 9 7 8 6
6 12 13 9 7
4 6 6 5 4
2 5 4 5 3

= 5,

24 11 13 17 19
51 13 32 40 46
61 11 14 50 56
62 20 7 13 52
80 24 45 57 70

= 100.
3.8.Dokazati jednakost
D(x) =

1 2 3 . . . n
1x+ 1 3 n
1 2 x+ 1 n
.
.
.
1 2 3 x+ 1

= (x−1)(x−2)∆ ∆ ∆(x−n+ 1).
Uputstvo.Konstatovati prvo da vaˇze jednakostiD(k) = 0 (k= 1,2, . . . , n−1).
3.9.Proveriti jednakost
D(x, z) =

1 +x1 1 1
1 1−x1 1
1 1 1 + z1
1 1 1 1 −z

=x
2
z
2
.
Uputstvo.Zakljuˇciti prvo da vaˇze jednakosti:
D(−x, z) =D(x, z), D(x,−z) =D(x, z), D(0, z) =D(x,0) = 0,
kao i da jeD(x, z) deljivo i sax
2
i saz
2
.
3.10.Dokazati jednakosti
1
◦

1 2 3 . . . n
x1 2 n−1
x x1 n−2
.
.
.
x x x 1

= (−1)
n
−
(x−1)
n
−x
n
∆
,
2
◦

x+ 1x x . . . x
x x+ 2x x
x x x + 3 x
.
.
.
x x x x +n

=n!
−
1 +x+
x
2
+
x
3
+∆ ∆ ∆+
x
n
∆
.

MATRICE I DETERMINANTE 183
3.11.Odrediti vrednosti determinanata
A=

1a a
2
a
4
1b b
2
b
4
1c c
2
c
4
1d d
2
d
4

, B=

1a
2
a
3
a
4
1b
2
b
3
b
4
1c
2
c
3
c
4
1d
2
d
3
d
4

, C=

1a a
3
a
4
1b b
3
b
4
1c c
3
c
4
1d d
3
d
4

.
Uputstvo.Svaku od determinanataA, B, Cuporediti sa Vandermondeovom determi-
nantom
V5(a, b, c, d, x) =

1a a
2
a
3
a
4
1b b
2
b
3
b
4
1c c
2
c
3
c
4
1d d
2
d
3
d
4
1x x
2
x
3
x
4

.
3.12.Dokazati jednakost
Dn(λ, a1, a2, . . . , an) =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
λ0∆ ∆ ∆0a1
0λ 0a2
.
.
.
0 0 λ an
a1a2 anλ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=λ
n−1
(λ
2
−a
2
1−a
2
2` ´ ´ ´ `a
2
n).
Uputstvo.Dokazati prvo da vaˇzi rekurentna jednakost
Dn+1(λ, a1, a2, . . . , an+1) =λDn(λ, a2, a3, . . . , an+1)−λ
n−1
a
2
1
(n≥1).
3.13.Proveriti jednakost
Dn(a, b) =

a1b1a1b2a1b3. . . a1bn
a1b2a2b2a2b3 a2bn
a1b3a2b3a3b3 a3bn
.
.
.
a1bna2bna3bn anbn

=a1bn
n−1
X
i=1
(ai+1bi−aibi+1).
Uputstvo.Dokazati da vaˇzi rekurentna jednakost
Dn(a, b) =
bn
bn−1
−
anbn−1−an−1bn
∆
Dn−1(a, b) (n= 2,3, . . .).
3.14.Ako jeDn(a, b) determinanta redanzadata sa
Dn(a, b) =

0a a . . . a
b0a a
b b0 a
.
.
.
b b b 0

,

184 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
odrediti njenu vrednost.
Rezultat.Dn(a, b) = (−1)
n−1
ab
a
n−1
−b
n−1
a−b
.
3.15.Odrediti sve kvadratne matriceA, reda dva, za koje jeA
2
=A.
Rezultat.Traˇzene matrice su
≤
0 0
0 0
λ
,±
≤
1 0
0 1
λ
,±
≤
0 0
α1
λ
,±
≤
1α
0 0
λ
,±
≤
1 0
α0
λ
,±
≤
0α
0 1
λ
(α∈R).
3.16.Odrediti sve kvadratne matriceA, reda dva, ˇciji je kvadrat jediniˇcna
matrica.
Rezultat.Traˇzene matrice su:
≤
1 0
0 1
λ
,
≤
−1 0
0−1
λ
i
≤
a b
c−a
λ
(a
2
+bc= 1).
3.17.Ako jeA=
≤
0−1
1 0
λ
, odreditiA
n
(n∈N).
3.18.Neka je
A=


−1a a
1−1 0
−1 0 −1

 (a∈C).
1
◦
Odrediti (A+I)
3
.
2
◦
IzraˇcunatiA
n
(n∈N).
3.19.Odrediti sve matriceMkoje su komutativne sa matricom
A=


3 1 0
0 3 1
0 0 3

,
a zatim odrediti matriceM
n
, gde jenprirodan broj.
3.20.Neka je u prostoru matricaM2,2zadata baza
B=
⊂≤
1 0
0 0
λ
,
≤
0 1
0 0
λ
,
≤
0 0
1 0
λ
,
≤
0 0
0 1
≥⊃
=
⊕
E
11
, E
12
, E
21
, E
22

.

MATRICE I DETERMINANTE 185
Odrediti matricu operatoraF:M2,2→M2,2, deﬁnisanog pomo´cu
FX=
≤
1 2
0 3
λ
X+X
≤
−2 3
−1 1
λ
.
Napomena. Videti primer 2.5.5.
3.21.Neka je (S,+,∆) prostor realnih polinomaPstepena ne ve´ceg od tri
i neka jeB={1, x, x
2
, x
3
}njegova baza.
Odrediti matricu operatoraA:S−→Sdeﬁnisanu pomo´cu
AP= (x−2)P
′
(x) (P∈S),
a zatim na´ci rangA.
3.22.Neka je (P,+,∆) prostor realnih polinomaPstepena ne ve´ceg od tri
i neka je operatorA:R
4
−→ Pdeﬁnisan pomo´cu
A(x1, x2, x3, x4) =x1−x2+ (x2−x3)t+ (x3−x4)t
2
+ (x4−x1)t
3
.
1
◦
Dokazati da je operatorAlinearni operator.
2
◦
Odrediti matricu operatoraAako je baza u prostoru originala za-
data sa
Bo={u1, u2, u3, u4}={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)},
a u prostoru slika
Bs={v1, v2, v3, v4}={1,1 +t, t+t
2
, t
2
+t
3
}.
3.23.Neka jeMn(x, α) skup kvadratnih matrican-tog reda oblika
A=




x+α x x . . . x
x x+α x x
.
.
.
x x x x +α




.
1
◦
Odrediti detA;
2
◦
Ako postojiA
−1
dokazati daA
−1
∈Mn(y, β), gde suyiβparametri
koje treba odrediti u funkciji parametaraxiα.

186 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
3.24.Neka su matriceAiBzadate saA=
≤
1 1
0 1
λ
iB=
≤
7 4
−9−5
λ
.
1
◦
Dokazati da suAiBsliˇcne matrice.
2
◦
Odrediti matriceA
100
iB
100
.
3
◦
Ako jeC=
1
300
(B
100
−A
100
), odrediti matriceC
2
iC
−4
.
3.25.Odrediti sve kvadratne matriceAdrugog reda za koje jeA
2
= 0.
Rezultat.A=±
≤
ab a
2
−b
2
−ab
λ
.
3.26.Neka jeA=
≤
−1 1
1−1
λ
. Odrediti matricuA
n
(n∈N).
Rezultat.A
2n
= 2
n
I, A
2n+1
= 2
n
A.
3.27.Ako je
A=
≤
1 0
0 1
λ
, B=
≤
0 1
0 0
λ
C=
≤
0 0
1 0
λ
,
proveriti jednakosti
BC−CB=A, AB −BA= 2B, CA −AC= 2C.
3.28.Pokazati da skup matrica oblika
A=a
≤
1 0
0 1
λ
+b
≤
1 1
−1−1
λ
(a, b∈C)
ima strukturu prstena sa jedinicom, a zatim odreditiA
n
.
Rezultat.A
n
=a
n
I+na
n−1
b
≤
1 1
−1−1
λ
.
3.29.Ako jeA=
≤
a b
b a
λ
(a, b∈C), proveriti jednakost
A
n
=
1
2
≤
(a+b)
n
+ (a−b)
n
(a+b)
n
−(a−b)
n
(a+b)
n
−(a−b)
n
(a+b)
n
+ (a−b)
n
λ
(n∈N).
3.30.Dokazati da skup matrica oblikaA=
≤
a b
0c
λ
(a, b, c∈C) ima struk-
turu prstena.

MATRICE I DETERMINANTE 187
3.31.Neka jeAkvadratna matrica reda dva. Ako je
M(z) =aI+bA (z=a+bi, a, b∈R),
odrediti matricuA, znaju´ci da je
M(zz
′
) =M(z)M(z
′
) (z, z
′
∈C).
Rezultat.A=
≤
p q
−
1
q
(1 +p
2
)−p
λ
(p, q∈R, q6= 0).
4.32.Proveriti tvrdˉenja: U odnosu na operacije sabiranje i mnoˇzenje mat-
rica, skup matrica oblika
A=
≤
a b
−b a
λ
1
◦
Ima strukturu polja izomorfnog poljuCako jea, b∈R,
2
◦
Ima strukturu komutativnog prstena sa jedinicom ako jea, b∈C.
3.33.Dokazati da skup matrica oblika
M=
≤
x y
−2y x+ 2y
λ
(x, y∈R)
ima strukturu polja.
3.34.Odrediti sve matriceMkoje komutuju sa matricomA=
≤
1 2
3 4
λ
, a
zatim pokazati da skup svih tih matrica ˇcini komutativni prsten u odnosu
na sabiranje i mnoˇzenje matrica.
Rezultat.M=
≤
a 2b
3b a+ 3b
λ
(a, b∈C).
3.35.Date su matrice
A=
≤
1−1
2 4
λ
iB=
≤
−1 2
−5 6
λ
.
Ako jenprirodan broj, odrediti matriceA
n
iB
n
.
Rezultat.A
n
=
≤
2
n+1
−3
n
2
n
−3
n
2∆3
n
−2
n+1
2∆3
n
−2
n
λ
iB
n
=
1
2
≤
5−2
2n+1
2
2n+1
−2
5−5∆2
2n
5∆2
2n
−2
λ
.

188 LINEARNI PROSTORI, LINEARNI OPERATORI I MATRICE
3.36.Neka je (Xω,+,∆) linearni prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija nad
poljemRi neka jeDoperator deﬁnisan pomo´cu
D
−
Acos(ωt+ϕ)
∆
=−ωAsin(ωt+ϕ).
1
◦
Dokazati da jeDautomorﬁzam prostora (Xω,+,∆).
2
◦
Odrediti matricu opearatoraDu baziB={cosωt,−sinωt}.
3
◦
Ako jefizomorﬁzam prostora (Xω,+,∆) i (C,+,∆), odreditif(B).
4
◦
Dokazati da je preslikavanjeDC=fDf
−1
automorﬁzam prostora
(C,+,∆).
5
◦
Odrediti matricu operatoraDCu baziBC={1, i}, a zatim odrediti
f
−1
(BC).
3.37.Neka je (Xω,+,∆) prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija nad poljemR
i neka jeIoperator za koji je
I
−
Acos(ωt+ϕ)
∆
=
A
ω
sin(ωt+ϕ).
1
◦
Dokazati da jeIautomorﬁzam prostora (Xω,+,∆).
2
◦
Odrediti matricu operatoraIu baziB={cosωt,−sinωt}.
3
◦
Ako jefizomorﬁzam prostora (Xω,+,∆) i (C,+,∆), odreditif(B).
4
◦
Ako jeIC=fDf
−1
, dokazati da jeICautomorﬁzam prostora
(C,+,∆) nad poljemR.
5
◦
Odrediti matricu operatoraICu baziBC={1, i}.
3.38.Neka je (Xω,+,∆) prostor prosto-periodiˇcnih oscilacija nad poljemR,
neka suDiIoperatori za koje je
D
−
Acos(ωt+ϕ)
∆
=−ωAsin(ωt+ϕ),I
−
Acos(ωt+ϕ)
∆
=
A
ω
sin(ωt+ϕ)
i neka jefizomorﬁzam vektorskih prostora (Xω,+,∆) i (C,+,∆).
1
◦
Ako jeDC=fDf
−1
iIC=fIf
−1
, dokazati da vaˇze jednakosti
ID=DI=I iICDC=DCIC=IC,
gde suIiICidentiˇcki automorﬁzmi prostora (Xω,+,∆) i (C,+,∆),
respektivno.
2
◦
Odrediti:D
−1
,D
−1
C
,I
−1
iI
−1
C
.

IIIG L A V A
Sistemi linearnih jednaˇcina
1. METODI RE ˇSAVANJA
1.1. Cramerove formule
Posmatrajmo sistem linearnih jednaˇcina
(1.1.1)
a11x1+a12x2+∆ ∆ ∆+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+∆ ∆ ∆+a2nxn=b2,
.
.
.
an1x1+an2x2+∆ ∆ ∆+annxn=bn.
Ako jeb1=b2=∆ ∆ ∆=bn= 0, za sistem jednaˇcina (1.1.1) se kaˇze da je
homogen sistem.
Deﬁnicija 1.1.1.Uredˉenan-torka (ξ1, ξ2, . . . , ξn) jereˇsenje sistema jedna-
ˇcina(1.1.1) ako se svaka jednaˇcina ovog sistema zaxk=ξk(k= 1,2, . . . , n)
svodi na identitet.
Napomenimo da homogeni sistem jednaˇcina uvek ima tzv.trivijalno re-
ˇsenjeξk= 0 (k= 1,2, . . . , n).
Sistem jednaˇcina (1.1.1) moˇze se predstaviti matriˇcno uobliku
(1.1.2) Ax=b,
gde suA,b,x, redom
(1.1.3)A=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann





,b=




b1
b2
.
.
.
bn




,x=




x1
x2
.
.
.
xn




.
U upotrebi je slede´ca terminologija: matricaAjematrica sistema jed-
naˇcina,bjevektor slobodnih ˇclanova, axjevektor nepoznatihilivektor
reˇsenja.

190 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Pod pretpostavkom da je
(1.1.4) D= detA=

a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
an1an2 ann

6= 0,
pokaza´cemo kako se moˇze odrediti reˇsenje sistema jednaˇcina (1.1.1).
Kako je, u ovom sluˇcaju, matricaAregularna, mnoˇzenjem matriˇcnog
oblika sistema jednaˇcina (1.1.2) inverznom matricomA
−1
sa leve strane,
dobijamo
A
−1
Ax=A
−1
b,
tj.
x=
θ
1
D
adjA
⊇
b=
1
D





A11A21. . . An1
A12A22 An2
.
.
.
A1nA2n Ann





∆




b1
b2
.
.
.
bn




.
Odgovaraju´ci elementi vektoraxsu
(1.1.5) xk=
1
D
n
X
i=1
biAik (k= 1,2, . . . , n).
Sada od determinante (1.1.4) formirajmo determinantuDk, tako ˇsto ´cemo
k-tu kolonu zameniti vektoromb,
Dk=

a11. . . a1,k−1b1a1,k+1. . . a1n
a21 a2,k−1b2a2,k+1 a2n
.
.
.
an1 an,k−1bnan,k+1 ann

(k= 1,2, . . . , n).
Kako se suma na desnoj strani u (1.1.5) moˇze interpretiratikao razvoj
determinanteDkpo elementimak-te kolone, zakljuˇcujemo da je
(1.1.6) xk=
Dk
D
(k= 1,2, . . . , n).
Formule (1.1.6) poznate su kaoCramerove
43)
formule. U stvari, ove for-
mule je izveo Leibnitz
44)
joˇs 1678. godine, a Cramer ih je naˇsao tek 1750.
godine.
43)
Gabriel Cramer (1704–1752), ˇsvajcarski matematiˇcar.
44)
Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646–1716), veliki nemaˇcki matematiˇcar.

METODI REˇSAVANJA 191
Prema tome, ako jeD= detA6= 0, sistem jednaˇcina (1.1.1) ima jedin-
stveno reˇsenje dato Cramerovim formulama (1.1.6).
U sluˇcaju kada jeD= 0, a bar jedna od determinanataDkrazliˇcita od
nule, sistem jednaˇcina (1.1.1) jenemogu´c(protivureˇcan). Medˉutim, ako je
D= 0 iDk= 0, za svakok= 1,2, . . . , n, na osnovu Cramerovih formula ne
moˇzemo niˇsta konkretno zakljuˇciti o reˇsivosti datog sistema jednaˇcina. Taj
sluˇcaj bi´ce razmatran kasnije.
Na osnovu Cramerovih formula moˇze se izvesti zakljuˇcak dahomogeni
sistem jednaˇcina, za koji jeD6= 0, ima samo trivijalno reˇsenjexk= 0
(k= 1,2, . . . , n).
Primer 1.1.1.Neka je dat sistem jednaˇcina
4x1−2x2−x3= 1,
2x1+ 2x2+x3= 5,
8x1−x2+x3= 5.
Kako je
D=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
4−2−1
2 2 1
8−1 1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= 18,
sistem ima jedinstveno reˇsenje
x1=
D1
D
=
1
18
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1−2−1
5 2 1
5−1 1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
18
18
= 1,
x2=
D2
D
=
1
18
˛
˛
˛
˛
˛
˛
4 1 −1
2 5 1
8 5 1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
36
18
= 2,
x3=
D3
D
=
1
18
˛
˛
˛
˛
˛
˛
4−2 1
2 2 5
8−1 5
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
−18
18
=−1.△
Napomena 1.1.1. Cramerove formule imaju viˇse teorijski, nego praktiˇcni
znaˇcaj. One zahtevaju izraˇcunavanjen+ 1 determinanatan-tog reda. Ako bismo
vrednost determinanten-tog reda izraˇcunavali po deﬁniciji, potrebno je izvrˇsiti
Sn=n!−1 sabiranja (ili oduzimanja) iMn= (n−1)n! mnoˇzenja, ˇsto ukupno
iznosiPn=Sn+Mn≈n∆n!. Pod pretpostavkom da je za obavljanje jedne raˇcunske
operacije potrebno 10μs, ˇsto je sluˇcaj kod ve´cine raˇcunara, to bi za izraˇcunavanje
vrednosti jedne determinante tridesetog reda bilo potrebno oko
30∆30!∆10∆10
−6
3600∆24∆365
≈2.5∆10
21
godina.

192 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Uopˇsteno govore´ci ovakav postupak je praktiˇcno neprimenljiv ve´c za determinante
redan >4.
1.2.LRfaktorizacija kvadratne matrice
Kod reˇsavanja sistema linearnih jednaˇcina ˇcesto se javlja problem pred-
stavljanja kvadratne matrice u obliku proizvoda dve trougaone matrice.
Ovaj odeljak je posve´cen ovom problemu.
Teorema 1.2.1.Ako su sve determinante
∆k=

a11. . . a1k
.
.
.
ak1 akk

(k= 1, . . . , n−1)
razliˇcite od nule, matricaA= [aij]n×nmoˇze se predstaviti u obliku
(1.2.1) A=LR,
gde jeLdonja iRgornja trougaona matrica.
Dokaz.Trougaone matriceLiRredanimaju oblike:
(1.2.2) L= [lij]n×n (lij= 0 zai < j),
(1.2.3) R= [rij]n×n (rij= 0 zai > j).
Dokaˇzimo najpre tvrdˉenje zan= 2, tj. dokaˇzimo da postoje matrice
L=
ˇ
l110
l21l22
λ
iR=
ˇ
r11r12
0r22
λ
,
obe drugog reda, takve da je
(1.2.4)
ˇ
l110
l21l22
λ
∆
ˇ
r11r12
0r22
λ
=
ˇ
a11a12
a21a22
λ
(a116= 0).
Naravno, jednakost (1.2.4) vaˇzi ako i samo ako je
(1.2.5)l11r11=a11, l11r12=a12, l21r11=a21, l21r12+l22r22=a22.

METODI REˇSAVANJA 193
Kako je iz uslova teoremea116= 0, zakljuˇcujemo da sul11ir11razliˇciti
od nule. Tada, na osnovu (1.2.5), dobijamo
l11=
a11
r11
, l21=
a21
r11
, r12=
a12
l11
=
a12r11
a11
,
l22r22=a22−l21r12=
a11a22−a12a21
a11
.
Prema tome, ako jer116= 0 ir226= 0, faktorizacija (1.2.4) je mogu´ca. Na
primer, ako jer11=r22= 1, imamo faktorizaciju
≤
a11a12
a21a22
λ
=
≤
a11 0
a21(a11a22−a12a21)/a11
λ
∆
≤
1a12/a11
0 1
λ
(a116= 0).
Sliˇcno, ako jel11=l22= 1, vaˇzi
≤
a11a12
a21a22
λ
=
≤
1 0
a21/a111
λ
∆
≤
a11 a12
0 (a11a22−a12a21)/a11
λ
(a116= 0).
Za dokaz opˇsteg sluˇcaja koristi´cemo metod matematiˇckeindukcije.
Pretpostavimo da je faktorizacija (1.2.1) mogu´ca za matricuAkredan=
k(k≥2), tj. da postoje trougaone matriceLkiRktakve da jeAk=LkRk,
a zatim ispitajmo sluˇcaj kada jen=k+ 1.
Razbijmo najpre matricuAk+1na blokove na slede´ci naˇcin:
Ak+1=
≤
Ak u
v
T
[ak+1,k+1]
λ
,
gde su vektoriuivdati sa
u
T
= [a1,k+1. . . ak,k+1],v
T
= [ak+1,1. . . ak+1,k].
Sliˇcno uˇcinimo i sa odgovaraju´cim matricamaLk+1iRk+1. Naime,
stavimo
Lk+1=
≤
Lk o
x
T
[lk+1,k+1]
λ
, R k+1=
≤
Rk y
o
T
[rk+1,k+1]
λ
,
gde su
x
T
= [lk+1,1. . . lk+1,k],y
T
= [r1,k+1. . . rk,k+1],o
T
= [ 0. . .0 ].

194 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Pokaˇzimo sada da je mogu´ce odrediti matriceLk+1iRk+1tako da je
Ak+1=Lk+1Rk+1. Kako je
Lk+1Rk+1=
≤
Lk o
x
T
[lk+1,k+1]
λ
∆
≤
Rk y
o
T
[rk+1,k+1]
λ
=
≤
LkRk Lky
x
T
Rkx
T
y+ [lk+1,k+1rk+1,k+1]
λ
,
zahtevana faktorizacija je mogu´ca ako vaˇze jednakosti
(1.2.6) LkRk=Ak, Lky=u,x
T
Rk=v
T
i
(1.2.7) x
T
y+ [lk+1,k+1rk+1,k+1] = [ak+1,k+1].
Naravno, prva jednakost u (1.2.6) predstavlja induktivnu hipotezu. Dokaz
bi bio kompletan ako bismo iz preostalih jednaˇcina u (1.2.6) i (1.2.7) uspeli
da odredimo vektorexiy, kao i elementelk+1,k+1irk+1,k+1.
Kako je, po pretpostavci, detAk6= 0, iz jednakosti
detAk= det(LkRk) = (detLk)(detRk)
zakljuˇcujemo da su detLki detRkrazliˇcite od nule, tj. da su matriceLki
Rkregularne. Prema tome, na jedinstven naˇcin mogu se odreditixiy:
y=L
−1
k
u,x
T
=v
T
R
−1
k
.
Najzad, ako se za jedan od brojevalk+1,k+1ilirk+1,k+1usvoji izvesna
vrednost razliˇcita od nule, na osnovu (1.2.7) lako je odrediti onu drugu od
njih.∗
Predstavljanje kvadratne matriceAu obliku proizvoda jedne donje i jedne
gornje trougaone matrice naziva seLRfaktorizacija matriceA.
S obzirom na (1.2.2) i (1.2.3) i imaju´ci u vidu da je
aij=
min(i,j)
X
k=1
likrkj (i, j= 1, . . . , n),

METODI REˇSAVANJA 195
elementi matricaLiRmogu se lako odrediti rekurzivnim postupkom ukoliko
se unapred zadaju elementirii(6= 0) ililii(6= 0) (i= 1, . . . , n).
Tako, na primer, neka su dati brojevirii(6= 0) (i= 1, . . . , n). Tada se
elementi trougaonih matrica mogu odrediti slede´cim postupkom:
Najpre se zai= 1 izraˇcunaju elementi
l11=
a11
r11
,
r1j=
a1j
l11
lj1=
aj1
r11



(j= 2, . . . , n),
a zatim redom zai= 2, . . . , nelementi:
lii=
1
rii
“
aii−
i−1
X
k=1
likrki
≡
,
rij=
1
lii
“
aij−
i−1
X
k=1
likrkj
≡
lji=
1
rii
“
aji−
i−1
X
k=1
ljkrki
≡





(j=i+ 1, . . . , n).
Sliˇcno, mogli bismo iskazati i rekurzivni postupak za odredˉivanje eleme-
nata matricaLiRako su unapred dati brojevilii(6= 0) (i= 1, . . . , n).
U primenama, najˇceˇs´ce se uzimarii= 1 (i= 1, . . . , n) ili paklii= 1 (i=
1, . . . , n).
Primer 1.2.1.Razloˇzimo matricu
A=
2
6
6
4
1 4 1 3
0−1 2−1
3 14 4 1
1 2 2 9
3
7
7
5
u obliku (1.2.1), tako da matricaRima jediniˇcnu dijagonalu.

196 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Kako jerii= 1 (i= 1, . . . ,4), na osnovu izloˇzenog rekurzivnog postupka imamo
redom:
(1)l11= 1,
r12= 4, l21= 0, r13= 1, l31= 3, r14= 3, r41= 1;
(2)l22=−1,
r23=−2, l32= 2, r24= 1, l42=−2;
(3)l33= 5,
r34=−2, l43=−3;
(4)l44= 2.
Dakle, dobili smo
L=
2
6
6
4
1 0 0 0
0−1 0 0
3 2 5 0
1−2−3 2
3
7
7
5
, R=
2
6
6
4
1 4 1 3
0 1−2 1
0 0 1 −2
0 0 0 1
3
7
7
5
.
Polaze´ci odlii= 1 (i= 1, . . . ,4) moˇzemo faktorizovati matricuAtako da
jediniˇcnu dijagonalu ima matricaL. Tada imamo redom
(1)r11= 1,
r12= 4, l21= 0, r13= 1, l31= 3, r14= 3, r41= 1;
(2)r22=−1,
r23= 2, l32=−2, r24=−1, l42= 2;
(3)r33= 5,
r34=−10, l43=−3/5;
(4)r44= 2,
tj.
L=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
3−2 1 0
1 2 −3/5 1
3
7
7
5
, R=
2
6
6
4
1 4 1 3
0−1 2 −1
0 0 5 −10
0 0 0 2
3
7
7
5
.
Dakle, u oba sluˇcaja imamoA=LR.△
Na kraju ovog odeljka pokaza´cemo kako seLRfaktorizacija matrice moˇze
iskoristiti za reˇsavanje sistema linearnih jednaˇcina (1.1.1), tj.
(1.2.8) Ax=b,

METODI REˇSAVANJA 197
gde suA,b,xdati pomo´cu (1.1.3).
Ako je mogu´ca faktorizacija matriceAu oblikuA=LR, tada se sistem
jednaˇcina (1.2.8) moˇze napisati u obliku
(1.2.9) LRx=b.
Ako stavimoRx=y, sistem jednaˇcina (1.2.9) postajeLy=b. Drugim
reˇcima, (1.2.9) moˇze se redukovati na dva sistema sa trougaonim matricama
Ly=b, Rx=y,
koji se mogu reˇsiti sukcesivno, najpre sistem sa matricomL, a zatim sistem
sa matricomR.
1.3. Gaussov metod eliminacije
Neka je dat sistem linearnih jednaˇcina
(1.3.1)
a11x1+a12x2+∆ ∆ ∆+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+∆ ∆ ∆+a2nxn=b2,
.
.
.
an1x1+an2x2+∆ ∆ ∆+annxn=bn,
koji ima jedinstveno reˇsenje. Sistem se moˇze predstavitimatriˇcno u obliku
(1.3.2) Ax=b,
gde suA,b,xdati pomo´cu (1.1.3).
Osnovni metod za reˇsavanje sistema linearnih jednaˇcina jeGaussov
45)
me-
tod eliminacije, koji ima viˇse varijanata. U suˇstini, Gaussov metod se zasniva
na redukciji sistema (1.3.2), primenom tzv.elementarnih transformacija, na
trougaoni sistem jednaˇcina
(1.3.3) Rx=c,
gde su
R=




r11r12. . . r1n
r22 r2n
.
.
.
rnn




,c=




c1
c2
.
.
.
cn




.
45)
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), veliki nemaˇcki matematiˇcar.

198 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Elementarne transformacije moraju biti takve da sistem jednaˇcina (1.3.3)
ima ista reˇsenja kao i polazni sistem (1.3.2). Za takve sisteme jednaˇcina
kaˇzemo da suekvivalentni sistemi.
Sistem jednaˇcina (1.3.3) reˇsava se sukcesivno polaze´ciod poslednje jed-
naˇcine. Naime,
xn=
cn
rnn
, x i=
1
rii

ci−
n
X
k=i+1
rikxk
!
(i=n−1, . . . ,1).
Napomenimo da su koeﬁcijentirii6= 0 jer po pretpostavci sistem (1.3.2), tj.
(1.3.3), ima jedinstveno reˇsenje.
Pokaza´cemo sada kako se sistem (1.3.1) moˇze redukovati naekvivalentan
sistem sa trougaonom matricom.
Pod pretpostavkom da jea116= 0, izraˇcunavamo najpre tzv. eliminacione
faktore
mi1=
ai1
a11
(i= 2, . . . , n),
a zatim, mnoˇzenjem prve jednaˇcine u sistemu (1.3.1) sami1i oduzimanjem
odi-te jednaˇcine, dobijamo sistem odn−1 jednaˇcina
a
(2)
22
x2+∆ ∆ ∆+a
(2)
2n
xn=b
(2)
2
,
.
.
.(1.3.4)
a
(2)
n2
x2+∆ ∆ ∆+a
(2)
nn
xn=b
(2)
n
,
gde su
a
(2)
ij
=aij−mi1a1j, b
(2)
i
=bi−mi1b1(i, j= 2, . . . , n).
Pod pretpostavkom da jea
(2)
22
6= 0, primenjuju´ci isti postupak na (1.3.4),
sami2=a
(2)
i2
/a
(2)
22
(i= 3, . . . , n), dobijamo sistem odn−2 jednaˇcine
a
(3)
33
x3+∆ ∆ ∆+a
(3)
3n
xn=b
(3)
3
,
.
.
.
a
(3)
n3
x3+∆ ∆ ∆+a
(3)
nnxn=b
(3)
n,

METODI REˇSAVANJA 199
gde su
a
(3)
ij
=a
(2)
ij
−mi2a
(2)
2j
, b
(3)
i
=b
(2)
i
−mi2b
(2)
2
(i, j= 3, . . . , n).
Nastavljaju´ci ovaj postupak, poslen−1 koraka, dolazimo do jednaˇcine
a
(n)
nn
xn=b
(n)
n
.
Najzad, ako iz svakog od dobijenih sistema uzmemo njegovu prvu jedna-
ˇcinu, dobijamo trougaoni sistem jednaˇcina
a
(1)
11
x1+a
(1)
12
x2+a
(1)
13
x3+∆ ∆ ∆+a
(1)
1n
xn=b
(1)
1
,
a
(2)
22
x2+a
(2)
23
x3+∆ ∆ ∆+a
(2)
2n
xn=b
(2)
2
,
a
(3)
33
x3+∆ ∆ ∆+a
(3)
3n
xn=b
(3)
3
,
.
.
.
a
(n)
nnxn=b
(n)
n,
pri ˇcemu smo, radi jednoobraznosti, staviliaij≡a
(1)
ij
, bi≡b
(1)
i
.
Ovim smo sistem (1.3.2) sveli na trougaoni oblik (1.3.3).
Navedena trougaona redukcija ili, kako se ˇcesto kaˇze,Gaussova elimi-
nacijailiGaussov algoritam, svodi se na izraˇcunavanje koeﬁcijenata
mik=
a
(k)
ik
a
(k)
kk
, a
(k+1)
ij
=a
(k)
ij
−mika
(k)
kj
, b
(k+1)
i
=b
(k)
i
−mikb
(k)
k
,
zai, j=k+ 1, . . . , nik= 1,2, . . . , n−1. Primetimo da su elementi
matriceRi vektoracdati sa
rij=a
(i)
ij
, ci=b
(i)
i
(i= 1, . . . , n;j=i, . . . , n).
Da bi navedena trougaona redukcija egzistirala, potrebno je obezbediti
uslova
(k)
kk
6= 0. Elementia
(k)
kk
su poznati kaoglavni elementiilistoˇzerski
elementi. Pod pretpostavkom da je matricaAsistema (1.3.2) regularna,
uslovea
(k)
kk
6= 0 mogu´ce je obezbediti permutacijom jednaˇcina u sistemu.
Primer 1.3.1.Primenimo Gaussov metod eliminacije na sistem jednaˇcina koji
je posmatran u primeru 1.1.1.

200 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Kako sum21= 1/2 im31= 2, posle prvog eliminacionog koraka dobijamo
3x2+
3
2
x3=
9
2
,
3x2+ 3x3=3.
S obzirom da jem32= 1, posle drugog eliminacionog koraka imamo
3
2
x3=−
3
2
.
Dakle, dobili smo trougaoni sistem jednaˇcina
4x1−2x2−x3= 1,
3x2+
3
2
x3=
9
2
,
3
2
x3=−
3
2
.
Najzad, polaze´ci od tre´ce jednaˇcine, dobijamo reˇsenja
x3=−1,
x2=
1
3
„
9
2
−
3
2
∆(−1)
«
= 2,
x1=
1
4
`
1 + 2∆2 + (−1)
´
= 1.△
Trougaona redukcija obezbedˉuje jednostavno izraˇcunavanje determinante
sistema. Naime, vaˇzi
detA=a
(1)
11
a
(2)
22
∆ ∆ ∆a
(n)
nn
.
Napomena 1.3.1.Za reˇsavanje sistema odnjednaˇcina sannepoznatih, uku-
pan broj raˇcunskih operacija u Gaussovom metodu iznosi
N(n) =
1
6
“
4n
3
+ 9n
2
−7n
”
.
Za dovoljno velikonimamoN(n)≈2n
3
/3. Na primer, za reˇsavanje sistema od
n= 30 jednaˇcina potrebno je 0.18sako se jedna raˇcunska operacija obavlja za
10μs.
Sa numeriˇckog stanoviˇsta, u toku eliminacionog procesa treba vrˇsiti permutacije
jednaˇcina u cilju dobijanja maksimalnog po modulu glavnogelementa u svakom
eliminacionom koraku. O drugim detaljima Gaussovog metoda, kao i o drugim

METODI REˇSAVANJA 201
metodima za reˇsavanje sistema jednaˇcina, moˇze se na´ci uknjizi:G. V. Milo-
vanovi´c,Numeriˇcka analiza, I deo(tre´ce izdanje), Nauˇcna knjiga, Beograd, 1991.
Gaussov metod moˇze biti primenjen i na reˇsavanje sistema
(1.3.5)
a11x1+a12x2+∆ ∆ ∆+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+∆ ∆ ∆+a2nxn=b2,
.
.
.
am1x1+am2x2+∆ ∆ ∆+amnxn=bm,
kod koga je broj jednaˇcina ve´ci od broja nepoznatih, tj.m > n. U tom slu-
ˇcaju, primenom Gaussovog metoda dobijamo ekvivalentni sistem jednaˇcina
a
(1)
11
x1+a
(1)
12
x2+a
(1)
13
x3+∆ ∆ ∆+a
(1)
1n
xn=b
(1)
1
,
a
(2)
22
x2+a
(2)
23
x3+∆ ∆ ∆+a
(2)
2n
xn=b
(2)
2
,
a
(3)
33
x3+∆ ∆ ∆+a
(3)
3n
xn=b
(3)
3
,
.
.
.(1.3.6)
a
(n)
nnxn=b
(n)
n,
.
.
.
a
(n)
mn
xn=b
(n)
m
.
Dakle, sistem (1.3.5) ima´ce reˇsenje ako se iz poslednjihm−n+1 jednaˇcina
u sistemu (1.3.6) dobija ista vrednost zaxn, tj. ako je
xn=
b
(n)
n
a
(n)
nn
=∆ ∆ ∆=
b
(n)
m
a
(n)
mn
.
1.4. Primene na inverziju matrice
Gaussov metod eliminacije moˇze se uspeˇsno primeniti na inverziju mat-
rica.
Neka jeA= [aij]n×nregularna matrica i neka je
X=





x11x12. . . x1n
x21x22 x2n
.
.
.
xn1xn2 xnn





= [x1x2. . .xn]

202 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
njena inverzna matrica. Vektorix1,x2, . . . ,xnsu redom prva, druga,. . .,
n-ta kolona matriceX. Deﬁniˇsimo vektoree1,e2, . . . ,enpomo´cu
e1= [ 1 0. . .0 ]
T
,e2= [ 0 1. . .0 ]
T
, . . . ,en= [ 0 0. . .1 ]
T
.
S obzirom na jednakost
AX= [Ax1Ax2. . . Axn] =I= [e1e2. . .en],
problem odredˉivanja inverzne matrice moˇze se svesti na reˇsavanjensistema
linearnih jednaˇcina
(1.4.1) Axi=ei(i= 1, . . . , n).
Za reˇsavanje sistema (1.4.1) pogodno je koristiti Gaussovmetod elimi-
nacije, s obzirom da se matricaApojavljuje kao matrica svih sistema,
pa njenu trougaonu redukciju treba izvrˇsiti samo jednom. Pri ovome, sve
transformacije koje su potrebne za trougaonu redukciju matriceAtreba
primeniti i na jediniˇcnu matricuI= [e1e2. . .en]. Na taj naˇcin
matricaAtransformiˇse se u trougaonu matricuR, a matricaIu matricu
C= [c1c2. . .cn]. Najzad, ostaje da se reˇse trougaoni sistemi jedna-
ˇcinaRxi=ci(i= 1, . . . , n).
Prema tome, primena Gaussovog metoda moˇze se iskazati kao transfor-
macija matrice [A I] u matricu [R C].
2. EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA
2.1. Ekvivalentni sistemi vektora
Neka su u linearnom prostoruXnad poljemKdata dva konaˇcna skupa
(sistema) vektoraU={u1, u2, . . .}iU
′
={u
′
1
, u
′
2
, . . .}takvi da se lineali
nad njima poklapaju, tj.
(2.1.1) L(U) =L(U
′
) =Y.
Oˇcigledno, svaki vektor izY(⊂X) moˇze biti predstavljen kao linearna kom-
binacija vektora iz sistemaUili vektora iz sistemaU
′
.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 203
Deﬁnicija 2.1.1.Za dva sistema vektoraUiU
′
kaˇzemo da su medˉu sobom
ekvivalentni sistemiako svaki vektor iz sistemaUmoˇze da se izrazi kao
linearna kombinacija vektora iz sistemaU
′
i obrnuto.
Na osnovu prethodnog, sistemiUiU
′
su ekvivalentni ako i samo ako vaˇzi
(2.1.1). Ekvivalentnost sistema je, oˇcigledno, jedna relacija ekvivalencije,
pri ˇcemu osobina tranzitivnosti ove relacije proizilazi neposredno iz osobine
linearne kombinacije vektora. Naime, linearna kombinacija vektora iz jednog
sistema moˇze biti predstavljena kao linearna kombinacijavektora iz drugog
ekvivalentnog sistema.
Neka jeSskup svih sistema vektora u prostoruX. S obzirom na uvedenu
relaciju ekvivalencije, skupSse moˇze razbiti na klase ekvivalencije. Ako su
UiU
′
dva proizvoljna sistema vektora iz jedne klase ekvivalencije, tada se,
evidentno, lineali nadUiU
′
poklapaju. Interesantno pitanje koje se moˇze
postaviti odnosi se na broj vektora u ekvivalentnim sistemima. U vezi s tim,
bitnu ulogu igra linearna nezavisnost vektora u sistemu.
Teorema 2.1.1.Neka jeU={u1, u2, . . . , um}sistem linearno nezavisnih
vektora. Ako se svaki vektor izUmoˇze izraziti kao linearna kombinacija
vektora iz sistemaU
′
={u
′
1, u
′
2, . . . , u
′
n}, tada jem≤n.
Dokaz.Pre svega uoˇcimo da u sistemuUne postoji nula-vektor i pret-
postavimo, suprotno tvrdˉenju teoreme, da jem > n. Takodˉe, radi pregled-
nijeg oznaˇcavanja stavimoU
′
≡U
(1)
.
Pridruˇzimo sistemuU
(1)
vektoru1i posmatrajmo novi sistem vektora
(2.1.2) {u1, u
′
1, u
′
2, . . . , u
′
n},
koji je ekvivalentan sistemuU
(1)
.
Kako se, prema uslovu teoreme, vektoru1moˇze izraziti kao linearna kom-
binacija vektora is sistemaU
(1)
, tj. kako je
u1=
n
X
i=1
λ1iu
′
i,
zakljuˇcujemo da je sistem vektora (2.1.2) linearno zavisan. Ovo, pak, znaˇci
da se, prenumeracijom, neki od vektora sistemaU
(1)
, na primer vektoru
′
1,
moˇze izraziti kao linearna kombinacija preostalihnvektora iz sistema (2.1.2).
Ako sada iskljuˇcimo ovaj vektor iz (2.1.2), dobijamo novi sistem vektora
(2.1.2) U
(2)
={u1, u
′
2, . . . , u
′
n}.

204 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Ranije pomenuta osobina linearne kombinacije omogu´cava da se svaki
vektor sistemaUmoˇze da izrazi kao linearna kombinacija sistemaU
(2)
, ˇsto
znaˇci da se, u uslovu teoreme,U
(1)
moˇze zameniti saU
(2)
.
Nastavljaju´ci ovakav postupak izmene sistemaU
(k)
(k= 1,2, . . .), uvo-
dˉenjem novih vektora iz sistemaU, proizilazi da se vektorima izUmogu
zameniti svi vektori polaznog sistemaU
′
=U
(1)
, svode´ci ga tako na sistem
U
(n+1)
={u1, u2, . . . , un}.
Medˉutim, ovo bi znaˇcilo da se svaki vektor izUmoˇze izraziti kao linearna
kombinacija vektora iz jednog njegovog podsistemaU
(n+1)
(⊂U), ˇsto pro-
tivureˇci ˇcinjenici da jeUsistem linearno nezavisnih vektora. Dakle, ne moˇze
bitim > n.∗
Posmatrajmo sada dva ekvivalentna sistema linearno nezavisnih vektora.
Na osnovu prethodne teoreme svaki od ovih sistema sadrˇzi neviˇse vektora
od drugog, ˇsto znaˇci da se ekvivalentni sistemi linearno nezavisnih vektora
sastoje od istog broja vektora.
S druge strane, ako imamo sistemUlinearno zavisnih vektora, pri ˇcemu
svi vektori nisu istovremeno jednaki nula-vektoru, tada uUpostoji ekviva-
lentni podsistem linearno nezavisnih vektora. Za ovaj podsistem kaˇzemo da
jebaza sistema vektoraU. Naravno, svaki sistem vektora moˇze imati viˇse
baza, ali se sve one sastoje od istog broja vektora. Sve baze ekvivalentnih
sistema su istovremeno ekvivalentni sistemi.
Deﬁnicija 2.1.2.Broj vektora baze jednog sistemaUnaziva serang si-
stemaUi oznaˇcava se sa rangU.
Drugim reˇcima, rangUje maksimalan broj linearno nezavisnih vektora
sistemaU.
Primer 2.1.1.Neka je u prostoruR
4
dat sistem vektoraU={u1, . . . , u4},
gde su
u1= (4,−2,−3,−1), u2= (−7,3,5,3), u3= (1,1,0,−4), u4= (−2,0,1,3).
Kako su, na primer,u3iu4linearno nezavisni vektori iu1=−2u3−3u4,
u2= 3u3+ 5u4, zakljuˇcujemo da je rangU= 2. SistemUje ekvivalentan sa
njegovim podsistemomB={u3, u4}, koji predstavlja bazu. Naravno, ovo nije
jedina baza sistemaU. Na primer, baza je i sistem vektora{u1, u2}. Jedan
praktiˇcan naˇcin za odredˉivanje ranga sistema vektora bi´ce dat kasnije.△

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 205
2.2. Zavisnost matrice operatora od baze
U odeljku 2.3 uveli smo matricu linearnog operatoraA:X→Yna konaˇc-
no-dimenzionalnim prostorima i, pri tom, naglasili da matrica operatora
zavisi od izabranih baza u prostorimaXiY. U ovom odeljku prouˇci´cemo
tu zavisnost.
Razmotri´cemo najpre promenu koordinata proizvoljnog vektora u pros-
toruXdimenzijenpri promeni bazeBe={e1, . . . , en}u bazuBe
′=
{e
′
1
, . . . , e
′
n
}.
Kako se novi bazisni vektorie
′
j
(j= 1, . . . , n) mogu razviti po vektorima
bazeBe, imamo
(2.2.1)
e
′
1=p11e1+p21e2+∆ ∆ ∆+pn1en,
e
′
2
=p12e1+p22e2+∆ ∆ ∆+pn2en,
.
.
.
e
′
n
=p1ne1+p2ne2+∆ ∆ ∆+pnnen.
Na osnovu (2.2.1) moˇzemo formirati matricu
(2.2.2) P=





p11p12. . . p1n
p21p22 p2n
.
.
.
pn1pn2 pnn





,
koju nazivamomatrica transformacije koordinatapri prelasku sa bazeBena
bazuBe
′.
Uoˇcimo sada proizvoljan vektoru∈Xi razloˇzimo ga po vektorima jedne
i druge baze. Tada imamo
(2.2.3) u=
n
X
i=1
xiei=
n
X
j=1
x
′
j
e
′
j
.
Kako jee
′
j
=
nP
i=1
pijei(j= 1, . . . , n), (2.2.3) postaje
n
X
i=1
xiei=
n
X
j=1
x
′
j
θn
X
i=1
pijei
⊇
=
n
X
i=1
θn
X
j=1
pijx
′
j
⊇
ei,

206 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
odakle, na osnovu teoreme 1.1.1, dobijamo
xi=
n
X
j=1
pijx
′
j (i= 1, . . . , n).
Prema tome, ako su odgovaraju´ce koordinatne reprezentacije vektorau∈X
u bazamaBeiBe
′date sa
x= [x1. . . xn]
T
ix
′
= [x
′
1
. . . x
′
n
]
T
,
odgovaraju´ca matriˇcna formula za transformaciju koordinata datog vektora
postaje
(2.2.4) x=Px
′
,
gde je matricaPdata sa (2.2.2). Dakle, ova transformacija je odredˉena
kvadratnom matricomP. Sasvim je jasno da matricaPmora biti regularna
tako da iz (2.2.4) sleduje
(2.2.5) x
′
=P
−1
x.
Sliˇcno, u prostoruYdimenzijemuoˇcimo dve bazeBf={f1, . . . , fm}i
Bf
′={f
′
1
, . . . , f
′
m
}. Neka je odgovaraju´ca matrica transformacije koordi-
nataQ= [qij]m×m. Tada se transformacija koordinata vektorav∈Y, pri
prelasku sa bazeBfna bazuBf
′, saglasno formuli (2.2.4), moˇze predstaviti
u obliku
(2.2.6) y=Qy
′
,
gde su
y= [y1. . . yn]
T
iy
′
= [y
′
1
. . . y
′
n
]
T
.
Razmotrimo sada promenu matrice operatoraA:X→Ypri promeni
bazisa.
Saglasno deﬁniciji 2.3.1, saA=Af eoznaˇcimo matricu operatoraA:X→
Yu odnosu na bazeBeiBf. Ako promenimo baze u prostorimaXiYtako
da su oneBe
′iBf
′, tada odgovaraju´cu matricu istog operatoraAoznaˇcimo
saA
′
=Af
′
e
′.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 207
Teorema 2.2.1.Neka su date bazeBeiBe
′u prostoruXi bazeBfiBf
′
u prostoruY. Ako suPiQodgovaraju´ce matrice transformacija koordinata
pri prelasku sa bazeBenaBe
′i sa bazeBfna bazuBf
′, tada za matrice
operatoraA=Af eiA
′
=Af
′
e
′vaˇzi jednakost
(2.2.7) A
′
=Q
−1
AP.
Dokaz.Posmatrajmo parove baza (Be, Bf) i (Be
′, Bf
′). Tada za matriˇcni
analogon jednakostiv=Au(u∈X, v∈Y) imamo dve jednakosti
y=Af ex=Ax,(2.2.8)
y
′
=Af
′
e
′x
′
=A
′
x
′
.(2.2.9)
Na osnovu jednakosti (2.2.5), (2.2.6) i (2.2.9) dobijamo
y=Qy
′
=QAf
′
e
′x
′
=QAf
′
e
′P
−1
x,
odakle, poredˉenjem sa (2.2.8), nalazimo da je
(2.2.10) Af e=QAf
′
e
′P
−1
.
Kako su matricePiQregularne,A=Af eiA
′
=Af
′
e
′, jednakost (2.2.10)
svodi se na (2.2.7).∗
Na osnovu prethodne teoreme zakljuˇcujemo da jednom linearnom ope-
ratoruA:X→Yodgovara skup njegovih matricaAf e, deﬁnisanih preko
svih mogu´cih parova baza (Be, Bf) u prostorimaXiY.
Neka jeMm,nprostor matrica tipam×ni neka jeMn=Mn,n.
Deﬁnicija 2.2.1.Za dve matriceA, B∈Mm,nkaˇzemo da su ekvivalentne,
u oznaciA
∼
=B, ako postoje regularne kvadratne matriceS∈MmiT∈Mn
takve da je
(2.2.11) B=SAT.
Nije teˇsko uoˇciti da je ekvivalentnost matrica jedna relacija ekvivalencije.
Zaista, relacija
∼
=je reﬂeksivna, tj.A
∼
=A, jer jednakostA=SATvaˇzi, na
primer, ako suSiTjediniˇcne matrice redaminrespektivno. Za dokaz
osobine simetriˇcnosti primetimo da izA
∼
=B, tj. iz ˇcinjenice da postoje
regularne matriceSiTtakve da jeB=SAT, sledujeA=S
−1
BT
−1
, ˇsto

208 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
znaˇci da jeB
∼
=A. Najzad, izA
∼
=BiB
∼
=C, tj. izB=S
′
AT
′
iC=
S
′′
BT
′′
, gde suS
′
, T
′
, S
′′
, T
′′
regularne matrice, sledujeC=S
′′
S
′
AT
′′
T
′
=
SAT, tj.A
∼
=C, gde suS=S
′′
S
′
iT=T
′′
Tregularne matrice, ˇsto znaˇci
da je relacija
∼
=tranzitivna. SkupMm,nse, prema tome, moˇze razbiti na
klase ekvivalentnih matrica.
Na osnovu (2.2.7) zakljuˇcujemo da su matriceAiA
′
, koje odgovaraju
istom operatoruA:X→Y, ekvivalentne. Takodˉe, vaˇzi i obrnuto, tj. ek-
vivalentnim matricama odgovara samo jedan operator, o ˇcemu ´ce biti reˇci
u slede´cem odeljku. Dakle, svakom linearnom operatoruA:X→Yodgo-
vara jedna klasa ekvivalentnih matrica. Moˇze se postavitipitanje za koji
par baza (Be, Bf) matrica operatoraA:X→Yima najprostiju strukturu.
Drugim reˇcima, koja je to matrica sa najprostijom strukturom u jednoj klasi
ekvivalentnih matrica? Odgovor na ovo pitanje bi´ce dat kasnije.
Na kraju ovog odeljka pomenimo i sluˇcaj kada operatorAdeluje u pros-
toruX, tj. kada jeY=X. Tada operatoruA:X→Xodgovara kvadratna
matricaA∈Mn. U tom sluˇcaju, transformacione matricePiQse poklapaju
pa se kao analogon ekvivalentnosti moˇze uvesti pojam sliˇcnosti matrica:
Deﬁnicija 2.2.2.Za dve kvadratne matriceA, B∈Mnkaˇzemo da susliˇcne
matrice, u oznaciA≃B, ako postoji regularna kvadratna matricaP∈Mn
takva da je
(2.2.12) B=P
−1
AP.
Za matricuPkaˇzemo da jematrica transformacije sliˇcnosti.
Relacija sliˇcnost matrica je jedna relacija ekvivalencije u skupu matrica
Mn. U klasi sliˇcnih matrica, problem konstrukcije matrice najprostije struk-
ture je znatno teˇzi nego u klasi ekvivalentnih matrica. Ovaj problem bi´ce
razmatran u ˇsestoj glavi, uvodˉenjem tzv. spektralne teorije matrica.
2.3. Rang matrice
Neka je data matricaA= [aij]m×n∈Mm,n. Izaberimopvrsta iqkolona
ove matrice, sa indeksimai1, i2, . . . , ipij1, j2, . . . , jqrespektivno, pri ˇcemu
je
1≤i1< i2<∆ ∆ ∆< ip≤m, 1≤j1< j2<∆ ∆ ∆< jq≤n.
Deﬁnicija 2.3.1.Za matricu tipap×qdatu pomo´cu
A
j1,j2,... ,jq
i1,i2,... ,ip
=





ai1j1
ai1j2
. . . ai1jq
ai2j1
ai2j2
ai2jq
.
.
.
aipj1
aipj2
aipjq






EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 209
kaˇzemo da jesubmatrica matriceA= [aij]m×n.
Nije teˇsko videti da za jednu matricu tipam×npostoji ukupno
−
m
p
´`
n
q
∆
submatrica tipap×q. U daljem razmatranju za nas ´ce biti od interesa samo
kvadratne submatrice. Shodno prethodnom, za posmatranu matricu tipa
m×npostoji ukupno
−
m
p
´`
n
p
∆
submatrica redap, gde jep≤min(m, n).
Deﬁnicija 2.3.2.Najviˇsi redrregularne submatrice date matriceA=
[aij]m×nnaziva serang matriceAi oznaˇcava se sar= rangA. Rang nula
matrice je 0.
Drugim reˇcima matricaAima rangrako medˉu njenim kvadratnim sub-
matricama redarpostoji bar jedna koja je regularna, dok su sve kvadratne
submatrice viˇseg reda odr, ukoliko postoje, singularne. Za determinante
kvadratnih submatrica kaˇzemo da su minori. Svaki minor redar(= rangA),
koji je razliˇcit od nule, naziva sebazisni minor, a vrste i kolone matrice
Ana kojima je on deﬁnisan nazivaju sebazisne vrsteibazisne kolone.
Napomenimo da mogu da postoje viˇse bazisnih minora.
Na osnovu prethodnog, svaka regularna matricaA∈Mnima rangn, dok
za proizvoljnu matricuA∈Mm,nvaˇzi nejednakost rangA≤min(m, n).
Primer 2.3.1.Data je matrica
A=
2
4
1 2 −1 3
0 1 4 2
−1−1 5 −1
3
5.
Rang ove matrice ne moˇze biti ve´ci od tri jer je min(m, n) = min(3,4) = 3. Ukupan
broj submatrica tre´ceg reda jednak je
−3
3
´`4
3
∆
= 4 i to su:
2
4
1 2 −1
0 1 4
−1−1 5
3
5,
2
4
1 2 3
0 1 2
−1−1−1
3
5,
2
4
1−1 3
0 4 2
−1 5 −1
3
5,
2
4
2−1 3
1 4 2
−1 5 −1
3
5.
Determinante svih ovih submatrica su jednake nuli jer, dodavanjem elemenata
tre´ce vrste odgovaraju´cim elementima prve vrste, prva vrsta u svim ovim deter-
minantama postaje identiˇcna drugoj vrsti. Dakle, sve submatrice tre´ceg reda su
singularne.
Kako je minor drugog reda
˛
˛
˛
1 2
0 1
˛
˛
˛= 16= 0, zakljuˇcujemo da je on bazisan i da je
rangA= 2. Kao bazisne vrste i kolone, koje odgovaraju ovom bazisnom minoru,
pojavljuju se prva i druga vrsta i prva i druga kolona matriceA. Naravno, postoje
i drugi bazisni minori drugog reda.△
Iz osobina determinanata neposredno sleduje:

210 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Teorema 2.3.1.Za proizvoljnu matricuAvaˇzirangA= rangA
T
.
Dokaz.Transponovanjem kvadratnih submatrica matriceAdobijamo sve
kvadratne submatrice zaA
T
. Kako se transponovanjem matrice ne menja
njena determinanata (videti teoremu 2.9.1), zakljuˇcujemo da tvrdˉenje teo-
reme vaˇzi.∗
U odeljku 2.2 uveli smo deﬁniciju ranga linearnog operatora. Slede´ca
teorema daje vezu izmedˉu ranga operatora i ranga njegove matrice.
Teorema 2.3.2.Rang matrice operatoraA:X→Yjednak je rangu ope-
ratoraA.
Dokaz.Kao i u dokazu teoreme 2.2.2, razloˇzi´cemoXna direktnu sumu
X=NA
˙+MA, gde jeNAjezgro operatoraAiMAbilo koji njemu kom-
plementaran potprostor. PotprostoriMAiTAsu izomorfni (videti dokaz
teoreme 2.2.2 i odeljak 1.2), pri ˇcemu jeAjedan izomorﬁzam.
Neka je dimMA= dimTA= rangA=r.
Uoˇcimo jednu bazu uMA:{e1, . . . , er}. Kako je{Ae1, . . . ,Aer}sistem
linearno nezavisnih vektora (videti teoremu 1.2.1), to on predstavlja bazu u
TA. Oznaˇcimo redom vektore ove baze saf1, . . . , fr, tj.
(2.3.1) Aej=fj (j= 1, . . . , r).
S druge strane, na osnovu formule (2.2.2), za potprostorNAvaˇzi
dimNA= defA=n−rangA=n−r.
Izaberimo bazu uNA, tj.n−rlinearno nezavisnih vektora, oznaˇcavaju´ci ih
redom saer+1, . . . , en.
Oˇcigledno,Be={e1, . . . , er, er+1, . . . , en}je jedna baza uX. Primetimo
da je
(2.3.2) Aej=θ(j=r+ 1, . . . , n).
Najzad, bazu potprostoraTAdopunimo linearno nezavisnim vektorima
fr+1, . . . , fmdo baze prostoraY, tako da jeBf={f1, . . . , fr, fr+1, . . . , fm}.
Odredimo matricu operatoraAu bazamaBeiBf. Koriˇs´cenjem stan-
dardne formule (2.3.3), na osnovu (2.3.1) i (2.3.2), za svakoi= 1, . . . , m,
imamo
aij={Aej}i=
⊂
δij (j= 1, . . . , r),
0 ( j=r+ 1, . . . , n),

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 211
gde jeδijKroneckerova delta. Prema tome, matrica operatoraA, izraˇzena
kao blok matrica, ima oblik
(2.3.3) Af e=


Ir |Or,n−r
− − −− − − − − − −
Om−r,r|Om−r,n−r

,
gde jeIrjediniˇcna matrica redar. Ostala tri bloka u matriciAf esu nula
matrice odgovaraju´cih tipova. Oˇcigledno, matricaAf eima rangr.
Dakle, rangAf e= rangA=r.∗
Ubudu´ce, matricuAf eoznaˇcava´cemo saEr.
Na osnovu prethodne teoreme i teorema 2.2.3 i 2.2.4 moˇze se dokazati
slede´ci rezultat:
Teorema 2.3.3.NekaA∈Mm,ni neka suS∈MmiT∈Mnproizvoljne
regularne matrice. Tada je
(2.3.4) rang( SAT) = rangA.
Dokaz.Neka su dati prostoriXiYsa dimenzijamanimrespektivno.
Posmatrajmo, najpre, dva operatoraA:X→YiS:Y→Y, ˇcije su
matrice redomAiS. Na osnovu nejednakosti (2.2.5) i (2.2.6), zakljuˇcujemo
da je
rangS+ rangA −dimY≤rang(SA)≤min(rangS,rangA).
Saglasno teoremi 2.3.2, ove nejednakosti vaˇze i za odgovaraju´ce matrice ope-
ratora, tako da imamo
(2.3.5) rangS+ rangA−dimY≤rang(SA)≤min(rangS,rangA).
Kako je, po pretpostavci teoreme, matricaSregularna, ˇsto znaˇci da je
rangS=m, iz (2.3.5) sleduje
rangA≤rang(SA)≤min(m,rangA),
tj. rang(SA) = rangA, s obzirom da je
min(m,rangA) = rangA≤min(m, n).

212 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Dakle, mnoˇzenje jedne matrice proizvoljnom regularnom matricom s leve
strane ne menja njen rang.
Sliˇcno, razmatranjem operatoraA:X→YiT:X→X, ˇcije su matrice
redomAiT, dolazimo do nejednakosti
rangA+ rangT −dimX≤rang(AT)≤min(rangA,rangT),
odakle sleduje
rangA≤rang(AT)≤min(rangA, n)
jer je rangT=n. Kako je min(rangA, n) = rangA, zakljuˇcujemo da je
rang(AT) = rangA, ˇsto znaˇci da se mnoˇzenjem matriceAproizvoljnom
regularnom matricom s desne strane ne menja njen rang.
Prema tome, imamo
rang(SAT) = rang(S(AT)) = rang(AT) = rangA,
tj. (2.3.4).∗
2.4. Elementarne transformacije i ekvivalentne matrice
Neka je data matricaA= [aij]m×n∈Mm,n.
Deﬁnicija 2.4.1.Podelementarnim transformacijamanad vrstama (kolo-
nama) matriceApodrazumevamo:
1
◦
mnoˇzenjer-te vrste (kolone) matriceAskalaromλrazliˇcitim od nule;
2
◦
dodavanje elemenatas-te vrste (kolone), uz prethodno mnoˇzenje
proizvoljnim skalaromλ, odgovaraju´cim elementimar-te vrste (ko-
lone);
3
◦
zamenur-te is-te vrste (kolone).
Navedene elementarne transformacije mogu se interpretirati i kao mnoˇze-
nje matriceAnekom regularnom matricom, koju ´cemo zvati transformaciona
matrica. Pokaza´cemo to u sluˇcaju elementarnih transformacija nad vrstama
matriceA.
Ako deﬁniˇsemo kvadratnu matricu ∆r(λ) redampomo´cu
∆r(λ) =











1
.
.
.
1
λ
1
.
.
.
1











←r-ta vrsta,

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 213
tj. ∆r(λ) =
×
δ
(r)
ij
∗
m
1
, gde je
δ
(r)
ij
= 0 (i6=j), δ
(r)
ii
= 1 (i6=r), δ
(r)
rr
=λ6= 0,
tada se elementarna transformacija 1
◦
iz deﬁnicije 2.4.1 moˇze iskazati kao
proizvod
∆r(λ)A= ∆r(λ)









a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
ar1ar2 arn
.
.
.
am1am2 amn









=









a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
λar1λar2 λarn
.
.
.
am1am2 amn









.
Za elementarnu transformaciju 2
◦
deﬁniˇsimo matricu
Ers(λ) =











1
.
.
.
1
λ 1
1
.
.
.
1











←r-ta vrsta,
↑
s-ta kolona
tj.Ers(λ) =
×
e
(r,s)
ij
∗
m
1
, gde je
e
(r,s)
ij
=





1, i =j,
λ, i =r, j=s,
0, u ostalim sluˇcajevima.
Tada je
Ers(λ)












a11a12. . . a1n
.
.
.
as1as2 asn
.
.
.
ar1ar2 arn
.
.
.
am1am2 amn












=












a11 . . . a1n
.
.
.
as1 asn
.
.
.
ar1+λas1 arn+λasn
.
.
.
am1 amn












.

214 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Transformacija 3
◦
moˇze se shvatiti kao sukcesivno mnoˇzenje matriceA
saEsr(−1),Ers(1),Esr(−1), ∆s(−1), tj.
∆s(−1)Esr(−1)Ers(1)Esr(−1)A=PrsA,
gde je transformaciona matricaPrsdata sa
Prs=



















1
.
.
.
1
0 1
1
.
.
.
1
1 0
1
.
.
.
1



















←s-ta vrsta
←r-ta vrsta
↑ ↑
s-ta kolona r-ta kolona
Dakle,
Prs












a11a12. . . a1n
.
.
.
as1as2 asn
.
.
.
ar1ar2 arn
.
.
.
am1am2 amn












=












a11a12. . . a1n
.
.
.
ar1ar2 arn
.
.
.
as1as2 asn
.
.
.
am1am2 amn












.
Napomenimo da su u Gaussovom algoritmu koriˇs´cene elementarne trans-
formacije nad vrstama matrice, ukljuˇcuju´ci i vektor slobodnih ˇclanova, sa
strategijom redukcije matrice sistema jednaˇcina na trougaoni oblik.
Primer 2.4.1.Neka je
A=
2
6
6
4
0−3 5 0 −3
4−2 4 1 1
1 0 −2 1 2
2 1 3 −1 0
3
7
7
5

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 215
ir= 2,s= 3. Redom imamo
E32(−1) =
2
6
6
4
1
1
−1 1
1
3
7
7
5
, E 32(−1)A=
2
6
6
4
0−3 5 0 −3
4−2 4 1 1
−3 2 −6 0 1
2 1 3 −1 0
3
7
7
5
,
E23(1) =
2
6
6
4
1
1 1
1
1
3
7
7
5
, E 23(1)E32(−1)A=
2
6
6
4
0−3 5 0 −3
1 0 −2 1 2
−3 2 −6 0 1
2 1 3 −1 0
3
7
7
5
,
E32(−1)E23(1)E32(−1)A=
2
6
6
4
0−3 5 0 −3
1 0 −2 1 2
−4 2 −4−1−1
2 1 3 −1 0
3
7
7
5
i, najzad,
∆3(−1)E32(−1)E23(1)E32(−1)A=
2
6
6
4
0−3 5 0 −3
1 0 −2 1 2
4−2 4 1 1
2 1 3 −1 0
3
7
7
5
.△
Napomena 2.4.1.Za matricuPrskaˇzemo da jepermutaciona matricajer se
dobija iz jediniˇcne matrice razmeˇstanjem jedinica tako da se u svakoj vrsti i svakoj
koloni nalazi jedna i samo jedna jedinica.
U prethodnom primeru direktno imamo
P23A=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
3
7
7
5
∆
2
6
6
4
0−3 5 0 −3
4−2 4 1 1
1 0 −2 1 2
2 1 3 −1 0
3
7
7
5
=
2
6
6
4
0−3 5 0 −3
1 0 −2 1 2
4−2 4 1 1
2 1 3 −1 0
3
7
7
5
.
Odgovaraju´ce transformacije kolona izvode se mnoˇzenjemmatriceAs des-
ne strane regularnim matricama redan.
Teorema 2.4.1.Primenom elementarnih transformacija nad vrstama ili
kolonama matrice ne menja se njen rang.
Dokaz.Kako je det ∆r(λ) =λ6= 0 i detErs(λ) = 1, transformacione
matrice ∆r(λ),Ers(λ) iPrssu regularne, pa dokaz teoreme sleduje direktno
iz teoreme 2.3.3.∗
Slede´ca teorema daje potrebne i dovoljne uslove za ekvivalentnost matrica:

216 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Teorema 2.4.2.Neka suA, B∈Mm,n. Tada je
A
∼
=B⇐⇒rangA= rangB.
Dokaz.Pretpostavimo da jeA
∼
=B, tj. da vaˇziB=SAT, gde suSiT
regularne matrice. Tada, na osnovu teoreme 2.3.3, sleduje rangA= rangB.
Sada ostaje da se dokaˇze implikacija
(2.4.1) rang A= rangB⇒A
∼
=B.
Umesto toga, dokaza´cemo jedan opˇstiji rezultat, tj. da jesvaka matrica
A∈Mm,n, sa rangomr, ekvivalentna blok matriciErkoja je data pomo´cu
(2.3.3). Oˇcigledno, rang matriceErjednak jer.
Neka je data matricaA∈Mm,nsa rangomr. Ona u bazamaBeiBf, u
prostorimaXiYrespektivno, jednoznaˇcno odredˉuje neki linearni operator
A:X→Y, ˇciji je rang, na osnovu teoreme 2.3.2, jednakr. Medˉutim, u
prostorimaXiYmogu´ce je, kao ˇsto smo videli u dokazu pomenute teoreme
2.3.2, izabrati nove bazeBe
′iBf
′, tako da matrica operatoraAima oblik
(2.3.3). Prema tome, matriceAiErsu ekvivalentne jer odgovaraju istom
operatoruA.
Na osnovu ovoga, za matriceAiBistog ranga vaˇzi implikacija
rangA= rangB=r⇒
−
A
∼
=Er∧B
∼
=Er
∆
.
Najzad, kako je
∼
=relacija ekvivalencije, iz prethodnog sleduje implikacija
(2.4.1).∗
Na osnovu dokazane teoreme, zakljuˇcujemo da klasi ekvivalentnih matrica
odgovara samo jedan operator. U toj klasi ekvivalencije, matricaErima
najprostiju strukturu. Svaka matricaAkoja pripada toj klasi ekvivalencije
moˇze se svesti na oblikErza koji kaˇzemo da jeHermiteova kanoniˇcka forma
matriceA.
Na osnovu dokaza teorema 2.3.2 i 2.4.2, jednostavno se mogu konstruisati
bazeBe
′iBf
′, u prostorimaXiYrespektivno, za koje se matrica operatora
A:X→Ysvodi na matricuEr, pri ˇcemu startujemo od proizvoljne baze
Be={e1, . . . , en}u prostoruX. Saroznaˇcimo broj linearno nezavisnih
vektora u skupu{Ae1, . . . ,Aen}. Ne umanjuju´ci opˇstost, pretpostavimo da

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 217
je taj skup vektora{Ae1, . . . ,Aer}
46)
, a zatim izrazimo preostale vektore
{Aer+1, . . . ,Aen}kao linearne kombinacije ovih vektora:
(2.4.2) Aej=
r
X
k=1
cjkAek (j=r+ 1, . . . , n).
Tada se uXmoˇze deﬁnisati nova bazaBe
′={e
′
1
, . . . , e
′
n}na slede´ci
naˇcin:
e
′
j=ej (j= 1, . . . , r),
e
′
j=ej−
r
X
k=1
cjkek(j=r+ 1, . . . , n).
Na osnovu (2.4.2), imamo
Ae
′
j
=A

ej−
r
X
k=1
cjkek
≡
=θ(j=r+ 1, . . . , n).
Stavimo, dalje,
Ae
′
j
=Aej=f
′
j
(j= 1, . . . , r),
gde su{f
′
1, . . . , f
′
r}, po pretpostavci, linearno nezavisni vektori. Dopunimo
ovaj skup vektora do baze uYvektorimaf
′
r+1, . . . , f
′
m. Dakle, sada imamo
novu bazu i u prostoruY
Bf
′={f
′
1
, . . . , f
′
r
, f
′
r+1
, . . . , f
′
m
}.
Kao ˇsto je poznato iz dokaza teoreme 2.3.2, matrica operatoraAza novi
par baza (Be
′, Bf
′) je, upravo, matricaEr.
Za praktiˇcno odredˉivanje ranga matriceA∈Mm,nveoma je pogodno
koriˇs´cenje elementarnih transformacija sliˇcno kao u Gaussovom algoritmu,
pri ˇcemu se ovde izvrˇsavaju elementarne transformacije inad vrstama i
nad kolonama matriceA, sa strategijom dovodˉenja matrice na Hermiteovu
kanoniˇcku formu (2.3.3).
Ukoliko matricaAnije nula matrica (rangOm,n= 0), uvek je mogu´ce,
razmenom vrsta ili kolona (transformacija 3
◦
), dovesti na poziciju (1,1)
46)
Ovo se, jasno, moˇze ostvariti prenumeracijom bazisnih vektora.

218 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
element matrice razliˇcit od nule, koji ´cemo kao i u Gaussovom algoritmu
zvati glavni element. Taj element se moˇze svesti na jedinicu ako se nad
prvom vrstom (kolonom) izvrˇsi elementarna transformacija 1
◦
– mnoˇzenje
prve vrste (kolone) reciproˇcnom vrednoˇs´cu glavnog elementa. Zatim se, na
isti naˇcin kao u Gaussovom algoritmu, anuliraju elementi uprvoj koloni
koji se nalaze ispod ,,dijagonale‘‘. Sliˇcno, primenom transformacije 2
◦
nad
kolonama, anuliraju se svi elementi u prvoj vrsti desno od ,,dijagonale‘‘, do-
davanjem elemenata prve kolone odgovaraju´cim elementimaostalih kolona,
uz prethodno mnoˇzenje pogodnim skalarima. Ovim postupkom, dobijamo
matricu
A
(1)
=


1 |O1,n−1
− − −− − − − −−
Om−1,1| A1

,
koja je ekvivalentna matriciA.
Primenom istog postupka na matriˇcni blokA1, tipa (m−1)×(n−1),
dobijamo
A
(2)
=


I2 |O2,n−2
− − −− − − − −−
Om−2,2| A2

.
Nastavljaju´ci ovaj algoritam dolazimo do ekvivalentne matriceEr, iz koje
se jednostavno identiﬁkuje rang date matriceA.
Primer 2.4.2.Posmatrajmo matricuAiz primera 2.4.1.
Kako je element na poziciji (1,1) jednak nuli, izvrˇsi´cemo najpre razmenu, na
primer, prve i tre´ce vrste, dobijaju´ci tako ekvivalentnumatricu
2
6
6
4
1 0 −2 1 2
4−2 4 1 1
0−3 5 0 −3
2 1 3 −1 0
3
7
7
5
.
U cilju anuliranja elemenata u prvoj koloni ispod ,,dijagonale‘‘, doda´cemo ele-
mente prve vrste odgovaraju´cim elementima druge i ˇcetvrte vrste, uz prethodno
mnoˇzenje sa−4 i−2 respektivno. Tako dobijamo matricu
2
6
6
4
1 0 −2 1 2
0−2 12−3−7
0−3 5 0 −3
0 1 7 −3−4
3
7
7
5
.
Da bismo anulirali i elemente u prvoj vrsti, sem, naravno, elementa na poziciji
(1,1), doda´cemo elemente prve kolone odgovaraju´cim elementima tre´ce, ˇcetvrte i

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 219
pete kolone, uz prethodno mnoˇzenje sa 2,−1 i−2. Tada se prethodna matrica
svodi na matricu
A
(1)
=
2
6
6
4
1 0 0 0 0
0−2 12−3−7
0−3 5 0 −3
0 1 7 −3−4
3
7
7
5
,
koja je ekvivalentna polaznoj matriciA.
Mnoˇzenjem druge vrste u matriciA
(1)
sa−1/2 dobijamo ekvivalentnu matricu
kod koje je element na poziciji (2,2) jednak jedinici:
2
6
6
4
1 0 0 0 0
0 1 −6 3/2 7/2
0−3 5 0 −3
0 1 7 −3−4
3
7
7
5
.
Ponavljaju´ci isti postupak na anuliranje elemenata u drugoj koloni i drugoj
vrsti (ispod i desno od ,,dijagonale‘‘) dobijamo ekvivalentnu matricu
A
(2)
=
2
6
6
4
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0−13 9/2 15/2
0 0 13 −9/2−15/2
3
7
7
5
.
Mnoˇzenjem tre´ce kolone sa−1/13 dobijamo jedinicu na poziciji (3,3). Anulira-
njem elemenata tre´ce kolone i tre´ce vrste (ispod i desno od,,dijagonale‘‘) dobijamo
matricuE3, tj.
A
(3)
=
2
6
6
4
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
3
7
7
5
=E3.
Dakle, rangA= rangE3= 3.△
Napomena 2.4.1.U prethodnom primeru mogli smo da izbegnemo rad sa ra-
zlomcima da smo posle prvog koraka izvrˇsili razmenu druge iˇcetvrte vrste, dovode´ci
tako jedinicu na poziciju (2,2). Anuliranjem elemenata u drugoj koloni i drugoj
vrsti (ispod i desno od ,,dijagonale‘‘) dobili bismo
˜
A
(2)
=
2
6
6
4
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 26 −9−15
0 0 26 −9−15
3
7
7
5
,
ˇsto, nadalje, daje
˜
A
(2)∼
=A
(3)
=E3.

220 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
2.5. Linearna zavisnost vrsta i kolona matrice
Neka su u linearnim prostorimaXiYdate bazeBe={e1, e2, . . . , en}
iBf={f1, f2, . . . , fm}, respektivno, i neka jeMm,nprostor matrica tipa
m×n. Pretpostavimo da jeKpolje realnih brojeva
47)
. Tada je matricom
A=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn





jednoznaˇcno odredˉen linearni operatorA:X→Y, ˇciji je rang jednak rangu
matriceA.
U prostoruXuoˇcimo proizvoljan vektoru. Tada se on moˇze, na jedinstven
naˇcin, prikazati kao linearna kombinacija vektora bazeBe, tj.
u=x1e1+x2e2+∆ ∆ ∆+xnen.
Neka jev=Au=y1f1+y2f2+∆ ∆ ∆+ymfmi neka su
x=




x1
x2
.
.
.
xn




iy=




y1
y2
.
.
.
ym




koordinatne reprezentacije zau∈Xiv∈Y, respektivno. Ako saVn
oznaˇcimo prostor svih vektora oblikax= [x1x2. . . xn]
T
, tj.Vn=
Mn,1
48)
, transformacijay=Axmoˇze se razmatrati kao preslikavanje pros-
toraVnuVm.
Kako jeAu=x1Ae1+x2Ae2+∆ ∆ ∆+xnAen, rang operatoraA, kao
dimenzija potprostoraTA, predstavlja maksimalan broj linearno nezavisnih
vektora u skupuU={Ae1, . . . ,Aen}, tj. rangA= rangU. Potprostoru
TA, u matriˇcnom tretiranju problema, odgovara potprostor{Ax|x∈Vn},
u oznacik(A). Kao ˇsto je poznato (videti odeljak 2.3), kolone matriceAsu
koordinate vektoraAej(j= 1,2, . . . , n) u odnosu na bazuBf, ˇsto znaˇci da
47)
Sliˇcna razmatranja vaˇze i u sluˇcaju polja kompleksnih brojeva.
48)
ProstorVnse moˇze tretirati i kaoR
n
.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 221
jek(A) (⊂Vm)prostor kolona matriceA, tj. skup svih linearnih kombinacija
vektora
aj=




a1j
a2j
.
.
.
amj




(j= 1, . . . , n).
Dakle,
k(A) =
n
a

a=
n
X
j=1
λjaj(λ1, . . . , λn∈R)
o
.
Prema tome, rang operatoraA, tj. rang matriceA, poklapa se sa brojem
linearno nezavisnih kolona matriceA.
Saglasno deﬁniciji 2.2.6, za skup vektorax∈Vnza koje jeAx=om
kaˇzemo da je jezgro matriceA. Oznaˇci´cemo ga saNAili kerA. Na osnovu
teoreme 2.2.2, zakljuˇcujemo da je
(2.5.1) dim k(A) + dimNA=n .
Sliˇcno prethodnom, moˇze se deﬁnisati i prostor vrsta matriceA, u oznaci
v(A), kao
v(A) =
n
a

a=
m
X
i=1
μia
i
(μ1, . . . , μm∈R)
o
,
gde je
a
i
= [ai1ai2. . . ain] (i= 1, . . . , m).
ˇ
Ceˇs´ce se, medˉutim, umestov(A) koristi prostorv
∗
(A) koji se dobija izv(A)
transponovanjem njegovih elemenata. Tako je, u stvari,
v
∗
(A) =k(A
T
) ={A
T
y|y∈Vm}
jer pri transponovanju matriceAnjene vrste postaju kolone matriceA
T
.
Oˇcigledno,v
∗
(A)⊂Vn.
Kako je rangA
T
= rangA(videti teoremu 2.3.1), zakljuˇcujemo da je broj
linearno nezavisnih vrsta matrice, takodˉe, jednak rangu matriceA. Dakle,
vaˇzi
(2.5.2) dim v
∗
(A) = dimk(A) = rangA .
Jezgro matriceA
T
je skup vektoray∈Vmza koje jeA
T
y=on. Naravno,
sada je
(2.5.3) dim v
∗
(A) + dimN
A
T=m .
Na osnovu prethodnog moˇze se formulisati slede´ce tvrdˉenje:

222 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Teorema 2.5.1.Bazisne vrste(kolone)proizvoljnog bazisnog minora mat-
riceAobrazuju bazu vektora vrsta(kolona)matriceA.
Deﬁnicija 2.5.1.Neka matricaA= [aij]m×nsadrˇzir(r≤m) nenula vrsta
i neka su one na poloˇzaju prvihrvrsta u matrici. Ako je
aij=





0 ( j < ki),
1 ( j=ki),
proizvoljno (j > ki),
gde jei≤ki≤niki< ki+1(i= 1, . . . , r−1), tada za matricuAkaˇzemo
da imatrapezoidalnu formu.
Oˇcigledno, za matricu u trapezoidalnoj formi prvihrvrsta su bazisne i
njen rang je jednakr.
Primer 2.5.1.Matrica
A=
2
6
6
6
6
4
0 1 2 4 0 3
0 0 1 2 1 0
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3
7
7
7
7
5
ima trapezoidalnu formu. Njen rang je 3.△
Elementarnim transformacijama nad vrstama matrice, svakamatricaAse
moˇze dovesti na trapezoidalnu formu. Saglasno teoremi 2.5.1, nenula vrste
u trapezoidalnoj formi obrazuju bazu vektora vrsta matriceA.
Koriˇs´cenjem teoreme 2.5.1 mogu´ce je problem nalaˇzenjabaze datog sis-
tema vektoraU={u1, . . . , um}, u linearnom prostoruXdimenzijen, svesti
na problem nalaˇzenja bazisnih vrsta jedne matrice tipam×n, tj. nalaˇzenja
njene trapezoidalne forme.
Oˇcigledno, ako jeUskup linearno nezavisnih vektora, tada on sam pred-
stavlja jednu bazu. Medˉutim, u opˇstem sluˇcaju, dati skup vektoraUne mora
biti linearno nezavisan. U cilju reˇsavanja postavljenog problema, izaberimo
uXbilo koju bazuB={e1, . . . , en}, a zatim razloˇzimo vektore skupaUpo
vektorima bazeB. Tako dobijamo
(2.5.4)
u1=a11e1+a12e2+∆ ∆ ∆+a1nen,
u2=a21e1+a22e2+∆ ∆ ∆+a2nen,
.
.
.
um=am1e1+am2e2+∆ ∆ ∆+amnen.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 223
Na osnovu (2.5.4) formirajmo matricuAtako da koordinate vektora
u1, u2, . . . , umbudu vrste u toj matrici. Dakle,
A=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn





.
Kako, u ovom sluˇcaju, vrste matriceApredstavljaju koordinatne repre-
zentacije vektora iz datog skupaU, problem odredˉivanja baze skupa vektora
Usvodi se na nalaˇzenje baze vektora vrsta matriceA.
Primer 2.5.2.Posmatrajmo skup vektoraUiz primera 2.1.1, gde su
u1= (4,−2,−3,−1), u2= (−7,3,5,3), u3= (1,1,0,−4), u4= (−2,0,1,3).
Ako izaberemo prirodnu bazu u prostoruR
4
, tada odgovaraju´ca matrica koor-
dinata ovih vektora postaje
A=
2
6
6
4
4−2−3−1
−7 3 5 3
1 1 0 −4
−2 0 1 3
3
7
7
5
.
Primeni´cemo sada elementarne transformacije nad vrstamamatriceA, sa strate-
gijom svodˉenja matrice na trapezoidalnu formu.
Najpre, razmenimo prvu i tre´cu vrstu, dovode´ci element 1 na poziciju (1,1), a
zatim anulirajmo elemente u prvoj koloni ispod dijagonale,dodavanjem elemenata
prve vrste odgovaraju´cim elementima druge, tre´ce i ˇcetvrte vrste, uz prethodno
mnoˇzennje sa 7,−4 i 2, respektivno:
A
∼
=
2
6
6
4
1 1 0 −4
−7 3 5 3
4−2−3−1
−2 0 1 3
3
7
7
5
∼
=
2
6
6
4
1 1 0 −4
0 10 5 −25
0−6−3 15
0 2 1 −5
3
7
7
5
.
Sada, mnoˇzenjem druge vrste sa 1/10, element na poziciji (2,2) postaje jednak
jedinici. Najzad, dodavanjem elemenata druge vrste odgovaraju´cim elementima
tre´ce i ˇcetvrte vrste, uz prethodno mnoˇzenje sa 6 i−2, respektivno, dobijamo
A
∼
=
2
6
6
4
1 1 0 −4
0 1 1/2−5/2
0 0 0 0
0 0 0 0
3
7
7
5
.

224 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Dakle, rangU= 2 i za bazu sistemaUmoˇze se uzeti skup vektoraB={v1, v2},
gde su
v1=u3= (1,1,0,−4), v2= (0,1,1/2,−5/2).
Primetimo da je
u1= (4,−2,−3,−1) = 4v1−6v2,
u2= (−7,3,5,3) =−7v1+ 10v2,
u3= ( 1,1,0,−4) = v1,
u4= (−2,0,1,3) =−2v1+ 2v2,
tako da su koordinatne reprezentacije ovih vektora u baziBredom
»
4
−6
–
,
»
−7
10
–
,
»
1
0
–
,
»
−2
2
–
.△
U prostoruXsa skalarnim proizvodom (∆,∆) mogu´ce je, bez razlaganja po
bazisnim vektorima, ustanoviti da li je neki sistem vektoraU={u1, . . . , um}
linearno zavisan ili linearno nezavisan.
Deﬁnicija 2.5.2.Za determinantu
G(U) =

(u1, u1) (u1, u2). . .(u1, um)
(u2, u1) (u2, u2) ( u2, um)
.
.
.
(um, u1) (um, u2) ( um, um)

kaˇzemo da jeGramova determinantasistema vektoraU={u1, . . . , um}.
Teorema 2.5.2.Sistem vektoraU={u1, . . . , um}je linearno zavisan ako
i samo ako jeG(U) = 0.
Dokaz.Pretpostavimo, najpre, da je sistem vektoraU={u1, . . . , um}
linearno zavisan, tj. da postoje skalariλ1, λ2, . . . , λm, koji istovremeno nisu
jednaki nuli, a da je pri tome
(2.5.5) λ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λmum=θ .
Skalarnim mnoˇzenjem (2.5.5) sauj, za svakoj= 1,2, . . . , m, dobijamo
(λ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λmum, uj) = 0,

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 225
tj.
λ1(u1, uj) +λ2(u2, uj) +∆ ∆ ∆+λm(um, uj) = 0 (j= 1,2, . . . , m),
odakle zakljuˇcujemo da su vrste u determinanti zavisne, pajeG(U) = 0.
Pretpostavimo sada obrnuto, tj. da jeG(U) = 0. Tada je rang odgo-
varaju´ce matrice manji odm, ˇsto znaˇci da su njene vrste linearno zavisne,
tj. postoje skalariλ1, λ2, . . . , λmtakvi da istovremeno nisu svi jednaki nuli
i da je
λ1(u1, uj) +λ2(u2, uj) +∆ ∆ ∆+λm(um, uj) = 0 (j= 1,2, . . . , m),
tj. da za svakoj= 1,2, . . . , mvaˇzi jednakost
(λ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λmum, uj) = 0.
Mnoˇzenjem poslednje jednakosti saλjdobijamo
49)
(λ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λmum, λjuj) = 0.
Najzad, sabiranjem ovih jednakosti zaj= 1,2, . . . , m, nalazimo da je
kλ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λmumk
2
= 0,
tj. da je
λ1u1+λ2u2+∆ ∆ ∆+λmum=θ ,
ˇsto znaˇci da su vektori sistemaUlinearno zavisni.∗
Na kraju ovog odeljka vratimo se razmatranju potprostorak(A) iv
∗
(A),
kao i potprostoraNAiN
A
T, uz prisustvo skalarnog proizvoda. Napomenimo
da je
(2.5.6) k(A)⊂Vm, v
∗
(A)⊂Vn, NA⊂Vn, N
A
T⊂Vm.
Neka je u prostoruVmdeﬁnisan skalarni proizvod pomo´cu (videti odeljak
2.6, glava II)
(z,w) =w
T
z=
m
X
k=1
zkwk,
49)
U sluˇcaju kompleksnog prostora treba mnoˇziti sa
ˉ
λj.

226 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
gde su
z= [z1z2. . . zm]
T
iw= [w1w2. . . wm]
T
.
Za proizvoljne vektorex∈Vniy∈Vmvaˇzi
(2.5.7) ( Ax,y) = (x, A
T
y)
jer je
(Ax,y) =y
T
Ax= (A
T
y)
T
x= (x, A
T
y).
Primetimo da su skalarni proizvodi na levoj i desnoj strani jednakosti (2.5.7)
iz razliˇcitih prostora, tj. izVmiVn, respektivno.
Slede´ca teorema pokazuje da se prostoriVniVmmogu izraziti kao orto-
gonalne sume nekih od potprostora iz (2.5.6).
Teorema 2.5.3.Vaˇze jednakosti
(2.5.8) Vn=NA⊕v
∗
(A), V m=N
A
T⊕k(A).
Dokaz.Neka jexproizvoljan vektor iz jezgraNA. Tada jeAx=om,
odakle, na osnovu (2.5.7), zakljuˇcujemo da je
(∀y∈Vm) (x, A
T
y) = (om,y) = 0,
ˇsto znaˇci da je svaki vektorx∈NAortogonalan na skup{A
T
y|y∈Vm},
tj.NA⊥v
∗
(A). Sliˇcno se dokazuje da jeN
A
T⊥k(A).
Najzad, na osnovu jednakosti (2.5.2) i (2.5.1), tj. (2.5.3), zakljuˇcujemo da
vaˇze ortogonalana razlaganja (2.5.8).∗
2.6. Kronecker-Capellieva teorema
U tre´cem poglavlju razmatrani su neki metodi za reˇsavanjesistema line-
arnih jednaˇcina. Koriˇs´cenjem pojma ranga matrice mogu´ce je dati potrebne
i dovoljne uslove pod kojima jedan sistem linearnih jednaˇcina sa pravougao-
nom matricom ima reˇsenje.
Posmatrajmo sistem jednaˇcina
(2.6.1)
a11x1+a12x2+∆ ∆ ∆+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+∆ ∆ ∆+a2nxn=b2,
.
.
.
am1x1+am2x2+∆ ∆ ∆+amnxn=bm,

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 227
sa matricom sistemaAi vektorom slobodnih ˇclanovab:
A=





a11a12. . . a1n
a21a22 a2n
.
.
.
am1am2 amn





,b=




b1
b2
.
.
.
bn




.
Formirajmo matricuB, tipam×(n+1), dodaju´ci vektorbmatriciAkao
(n+ 1)-vu kolonu, tj.
B=




a11a12. . . a1n|b1
a21a22 a2n|b2
.
.
. |
am1am2 amn|bm




.
Za matricuBkaˇzemo da jeproˇsirena matrica sistema(2.6.1).
Kao ˇsto je poznato, svaka uredˉenan-torka (ξ1, ξ2, . . . , ξn) predstavlja reˇse-
nje sistema jednaˇcina (2.6.1) ako se svaka jednaˇcina ovog sistema zaxk=ξk
(k= 1,2, . . . , n) svodi na identitet.
Deﬁnicija 2.6.1.Za sistem jednaˇcina (2.6.1) kaˇzemo da jesaglasanili da
jereˇsivako ima bar jedno reˇsenje.
Teorema 2.6.1.Sistem jednaˇcina(2.6.1)je saglasan ako i samo ako je
rangA= rangB.
Dokaz.Saa1,a2, . . . ,anoznaˇcimo vektore-kolona matriceA. Kako se
rang matrice poklapa sa rangom sistema vektora-kolona, to je, prema tvrdˉe-
nju teoreme, sistem jednaˇcina (2.6.1) saglasan ako i samo ako je
(2.6.2) rang
⊕
a1,a2, . . . ,an

= rang
⊕
a1,a2, . . . ,an,b

.
Pretpostavimo, najpre, da je sistem jednaˇcina (2.6.1) saglasan, tj. da
postoje brojeviξ1, ξ2, . . . , ξntakvi da je
ξ1a1+ξ2a2+∆ ∆ ∆+ξnan=b.
Dakle, vektor-kolonabje linearna kombinacija vektoraa1,a2, . . . ,an. Ovo
znaˇci da je bilo koja baza sistema vektora-kolona matriceA, tj. baza prostora

228 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
kolona, istovremeno i baza za sistem vektora
⊕
a1,a2, . . . ,an,b

. Prema
tome, posmatrani sistemi vektora su ekvivalentni i vaˇzi (2.6.2), tj. rangA=
rangB.
Obrnuto, neka je rangA= rangB, tj. neka vaˇzi (2.6.2). Za sistem vektora
⊕
a1,a2, . . . ,an

izaberimo bazu koju ˇcine neki ili svi
50)
njegovi vektori.
Pod uslovom (2.6.2), ona ´ce, takodˉe, biti i baza za proˇsireni sistem vektora
⊕
a1,a2, . . . ,an,b

, ˇsto znaˇci da sebmoˇze izraziti kao linearna kombinacija
vektora baze. Samim tim,bse moˇze izraziti i kao linearna kombinacija svih
vektora-kolonaa1,a2,. . .,an. Dakle, sistem jednaˇcina (2.6.1) je sagla-
san.∗
Teorema 2.6.1 poznata je kaoKronecker-Capellieva
51)
teorema. Iz dokaza
ove teoreme proizilazi i slede´ca ekvivalentna formulacija:
Teorema 2.6.1
′
.Sistem jednaˇcina(2.6.1)je saglasan ako i samo akob∈
k(A), gde jek(A)prostor kolona matriceA.
Neka je rangA= rangB=r. Tada medˉu vrstama matriceA, tj. matrice
B, postoji taˇcnorlinearno nezavisnih vrsta, ˇsto znaˇci da sem−rjednaˇcina
moˇze odbaciti ako jer < m. Ne umanjuju´ci opˇstost, pretpostavimo da
je jedan bazisni minor matriceAdeﬁnisan pomo´cu prvihrvrsta i prvihr
kolona
52)
matriceA. Ako jer < m, odbacivanjem poslednjihm−rjednaˇcina
dobijamo sistem
(2.6.3)
a11x1+a12x2+∆ ∆ ∆+a1rxr=b1−a1,r+1xr+1− −a1,nxn,
a21x1+a22x2+∆ ∆ ∆+a2rxr=b2−a2,r+1xr+1− −a2,nxn,
.
.
.
ar1x1+ar2x2+∆ ∆ ∆+arrxr=br−ar,r+1xr+1− −ar,nxn,
pretpostavljaju´ci pri tome da jer < n. Za promenljivexr+1,. . .,xn, koje se
nalaze na desnoj strani u sistemu jednaˇcina (2.6.3), kaˇzemo da suslobodne
ilinezavisne promenljive, dok zax1, . . . , xrkoristimo terminbazisneiliza-
visne promenljive. Ako jer=n, u sistemu jednaˇcina ne postoje slobodne
promenljive.
Teorema 2.6.2.Da bi saglasan sistem linearnih jednaˇcina imao jedinstveno
reˇsenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema budejednak broju
nepoznatih.
50)
Ovo ´ce biti sluˇcaj kada se radi o sistemu linearno nezavisnih vektora.
51)
Alfred Capelli (1855–1910), italijanski matematiˇcar.
52)
Ovo se, inaˇce, moˇze posti´ci razmenom vrsta i kolona u matriciA.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 229
Dokaz.Ako jer= rangA=n, na osnovu prethodnog, sistem jednaˇcina
ima jedinstveno reˇsenje dato Cramerovim formulama.
Obrnuto, ako sistem (2.6.3) ima jedinstveno reˇsenje, tadaon ne moˇze
imati slobodne promenljive, ˇsto znaˇci da mora bitir=n.∗
Kod homogenog sistema jednaˇcina (b1=b2=∆ ∆ ∆=bm= 0) oˇcigledno je
rangA= rangB, tako da je ovaj sistem saglasan. Zaista, homogeni sistem
uvek ima tzv. trivijalno reˇsenjeξk= 0 (k= 1,2, . . . , n). Moˇze se postaviti
pitanje pod kojim uslovima homogeni sistem jednaˇcina ima inetrivijalno
reˇsenje.
Teorema 2.6.3.Da bi homogeni sistem linearnih jednaˇcina imao netrivi-
jalno reˇsenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude manji od
broja nepoznatih.
Dokaz.Na osnovu teoreme 2.6.2, homogeni sistem jednaˇcina ima jedin-
stveno (trivijalno) reˇsenje ako i samo ako jer= rangA=n. Suprotno, za
postojanje netrivijalnog reˇsenja homogenog sistema jednaˇcina potrebno je i
dovoljno da jer < n.∗
Ako je matricaAkvadratna, tj. ako je broj promenljivih jednak broju
jednaˇcina u homogenom sistemu, tada se potreban i dovoljanuslov za ne-
trivijalno reˇsenje homogenog sistema svodi na detA= 0. Ako je, medˉutim,
detA6= 0, homogeni sistem ima samo trivijalno reˇsenje.
Vratimo se sistemu (2.6.3), gde jen−rbroj slobodnih promenljivih.
Bazisne promenljivex1,. . .,xrmogu se, primenom Cramerovih formula,
jednoznaˇcno izraziti pomo´cu slobodnih promenljivihxr+1,. . .,xnu obliku
x1=γ1−β1,r+1xr+1− −β1,nxn,
x2=γ2−β2,r+1xr+1− −β2,nxn,
.
.
.
xr=γr−βr,r+1xr+1− −βr,nxn,
gde su
γk=
1
D
r
X
i=1
biAik, βk,j=
1
D
r
X
i=1
aijAik(k= 1,2, . . . , r;j=r+1, . . . , n),
D(6= 0) determinanta (bazisni minor) redariAikkofaktori elemenataaikza
odgovaraju´cu matricu redar. Dakle, u ovom sluˇcaju, slobodne promenljive
se biraju proizvoljno, pa sistem jednaˇcina ima beskonaˇcno mnogo reˇsenja.

230 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Primer 2.6.1.Neka je dat sistem linearnih jednaˇcina
(3 + 2λ)x1+(1 + 3λ)x2+λx3+ (λ−1)x4= 3,
3λx1+(3 + 2λ)x2+λx3+ (λ−1)x4= 1,
3λx1+ 3 λx2+ 3x3+ (λ−1)x4= 1,
3λx1+ 3 λx2+λx3+ (λ−1)x4= 1,
gde jeλproizvoljan realan parametar.
Podˉimo od proˇsirene matrice sistema
B=
2
6
6
4
3 + 2λ1 + 3λ λ λ−1|3
3λ 3 + 2λ λ λ−1|1
3λ 3λ 3λ−1|1
3λ 3λ λ λ −1|1
3
7
7
5
.
Dodavanjem elemenata tre´ce vrste odgovaraju´cim elementima prve, druge i ˇcetvrte
vrste, uz prethodno mnoˇzenje sa−1, dobijamo ekvivalentnu matricu
B1=
2
6
6
4
3−λ 1λ−3 0 |2
0 3−λ λ−3 0 |0
3λ 3λ 3λ−1|1
0 0 λ−3 0 |0
3
7
7
5
.
Sada, dodavanjem elemenata ˇcetvrte vrste odgovaraju´cimelementima prve i druge
vrste, uz prethodno mnoˇzenje sa−1, dobijamo matricu
B2=
2
6
6
4
3−λ 1 0 0 |2
0 3−λ 0 0 |0
3λ 3λ 3λ−1|1
0 0 λ−3 0 |0
3
7
7
5
.
S obzirom na vrednost parametraλ, razlikova´cemo tri sluˇcaja:
Sluˇcajλ= 1. MatricaB2se svodi na
2
6
6
4
2 1 0 0 |2
0 2 0 0 |0
3 3 3 0 |1
0 0−2 0|0
3
7
7
5
.
Mnoˇzenjem prve i druge vrste sa 1/2 i ˇcetvrte vrste sa−1/2, a zatim dodava-
njem elemenata prve vrste odgovaraju´cim elementima tre´ce vrste, uz prethodno
mnoˇzenje sa−3, redom imamo
2
6
6
4
1 1/2 0 0 |1
0 1 0 0 |0
3 3 3 0 |1
0 0 1 0 |0
3
7
7
5
∼
=
2
6
6
4
1 1/2 0 0 |1
0 1 0 0 |0
0 3/2 3 0 | −2
0 0 1 0 |0
3
7
7
5
.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 231
Razmenom tre´ce i ˇcetvrte vrste, a zatim dodavanjem elemenata druge i tre´ce
vrste odgovaraju´cim elementima ˇcetvrte vrste, uz prethodno mnoˇzenje sa−3/2 i
−3, respektivno, redom dobijamo
2
6
6
4
1 1/2 0 0 |1
0 1 0 0 |0
0 0 1 0 |0
0 3/2 3 0 | −2
3
7
7
5
∼
=
2
6
6
4
1 1/2 0 0 |1
0 1 0 0 |0
0 0 1 0 |0
0 0 0 0 | −2
3
7
7
5
.
Iz poslednje matrice zakljuˇcujemo da je rang matriceAdatog sistema jednaˇcina
jednak 3, a rang odgovaraju´ce proˇsirene matrice jednak 4,ˇsto znaˇci da sistem nije
saglasan
53)
.
Sluˇcajλ= 3. Sada se matricaB2svodi na
2
6
6
4
0 1 0 0 |2
0 0 0 0 |0
9 9 3 2 |1
0 0 0 0 |0
3
7
7
5
.
Mnoˇzenjem tre´ce vrste sa 1/9, a zatim sukcesivnom razmenom prve i tre´ce, pa
druge i tre´ce vrste, redom dobijamo ekvivalentne matrice
2
6
6
4
0 1 0 0 |2
0 0 0 0 |0
1 1 1/3 2/9|1/9
0 0 0 0 |0
3
7
7
5
∼
=
2
6
6
4
1 1 1/3 2/9|1/9
0 1 0 0 |2
0 0 0 0 |0
0 0 0 0 |0
3
7
7
5
,
odakle zakljuˇcujemo da je rangA= rangB= 2. Na osnovu Kronecker-Capellieve
teoreme, sistem jednaˇcina je saglasan. U stvari, on je ekvivalentan sistemu jedna-
ˇcina
x1+x2+
1
3
x3+
2
9
x4=
1
9
, x 2= 2,
odakle nalazimo sva reˇsenja:
x1=−
17
9
−
1
3
α−
2
9
β, x2= 2, x3=α, x4=β,
gde skalariαiβuzimaju proizvoljne vrednosti. Napomenimo da su, u ovom
sluˇcaju,x3ix4slobodne promenljive.
Sluˇcajλ6= 1∧λ6= 3. Mnoˇzenjem prve, druge i ˇcetvrte vrste matriceB2sap,p
i−p, respektivno, gde jep= 1/(3−λ), matricaB2se transformiˇse u ekvivalentnu
matricu
B3=
2
6
6
4
1
1
3−λ
0 0 |
2
3−λ
0 1 0 0 |0
3λ3λ3λ−1|1
0 0 1 0 |0
3
7
7
5
.
53)ˇ
Cesto se kaˇze da jesistem protivureˇcanilinemogu´c.

232 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Razmenom tre´ce i ˇcetvrte vrste, a zatim dodavanjem elemenata prve, druge i
tre´ce vrste odgovaraju´cim elementima ˇcetvrte vrste, uzprethodno mnoˇzenje pogod-
nim skalarima, dobijamo
B3
∼
=
2
6
6
4
1
1
3−λ
0 0 |
2
3−λ
0 1 0 0 |0
0 0 1 0 |0
0 0 0 λ−1|
3−7λ
3−λ
3
7
7
5
.
Najzad, mnoˇzenjem ˇcetvrte vrste sa 1/(λ−1), matricaB3se transformiˇse na
ekvivalentnu matricu
2
6
6
6
4
1
1
3−λ
0 0|
2
3−λ
0 1 0 0 | 0
0 0 1 0 | 0
0 0 0 1 |
3−7λ
(3−λ)(λ−1)
3
7
7
7
5
,
odakle zakljuˇcujemo da je rangA= rangB= 4, ˇsto znaˇci da sistem jednaˇcina ima
jedinstveno reˇsenje dato sa:
x1=
2
3−λ
, x2=x3= 0, x4=
3−7λ
(3−λ)(λ−1)
.△
Posmatrajmo sada sistem jednaˇcina (2.6.1) u matriˇcnom obliku
(2.6.4) Ax=b,
kao i odgovaraju´ci homogeni sistem sa transponovanom matricom, tj. sistem
(2.6.5) A
T
y=o,
gde jeonula-vektor dimenzijen. Za homogeni sistem (2.6.5) kaˇzemo da je
konjugovani homogeni sistemjednaˇcina.
Na osnovu teoreme 2.6.1
′
, sistem jednaˇcina (2.6.4) je saglasan ako i samo
akob∈k(A). Skup reˇsenja homogenog sistema je, u stvari, jezgroN
A
T.
Dakle, ako je defekt jezgra jednak nuli, tada homogeni sistem (2.6.5) ima
samo trivijalno reˇsenjey=om.
Koriˇs´cenjem teoreme 2.5.3, u daljem tekstu, prouˇci´cemo izvesne veze koje
postoje izmedˉu nehomogenog sistema jednaˇcina (2.6.4) i konjugovanog ho-
mogenog sistema (2.6.5). Pre svega, napomenimo da je
r= rangA= rangA
T
.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 233
Teorema 2.6.4.Sistem jednaˇcina(2.6.4)je saglasan ako i samo ako je
vektorbortogonalan sa svim reˇsenjima konjugovanog homogenog sistema
jednaˇcina(2.6.5).
Dokaz.Pretpostavimo da je sistem jednaˇcina (2.6.4) saglasan, tj. da vek-
torb∈k(A). Tada je, s obzirom na (2.5.8),b⊥N
A
T, tj. (b,y) = 0, za
svakoy∈Vmza koje jeA
T
y=o.
Pretpostavimo sada obrnuto, tj. neka je (b,y) = 0 za svakoy∈N
A
T.
Tada jeb⊥N
A
T, odakle sledujeb∈k(A).∗
Teorema 2.6.4 poznata je kaoFredholmova
54)
teorema.
Ako su sistemi jednaˇcina (2.6.4) i (2.6.5) sa kvadratnom matricom, tj. ako
jem=n, Fredholmova teorema se moˇze interpretirati u obliku alternative:
Ili sistem jednaˇcina(2.6.4)ima jedinstveno reˇsenje za svaki vektorb, ili
konjugovani homogeni sistem(2.6.5)ima netrivijalna reˇsenja.
Zaista, ako jer=n, tada nastupa prva alternativa jer jek(A) =Vn
iN
A
T={on}. Ako je, medˉutim,r < n, tada jek(A) pravi deo odVn,
pa sistem (2.6.4) ne moˇze biti saglasan za one vektorebkoji ne pripadaju
k(A). U tom sluˇcaju, jezgroN
A
Tsadrˇzi i nenula vektore tako da konjugovani
homogeni sistem (2.6.5) ima i netrivijalna reˇsenja.
Napomena 2.6.1.Za tzv. operatorske jednaˇcine u nekim funkcionalnim pros-
torima postoje veoma znaˇcajna uopˇstenja Fredholmove teorije.
Primer 2.6.2.Neka je data matrica
A=
2
6
6
6
6
4
1 2 0 3 0
0 0 1 4 0
1 2−1−1 0
2 4 1 10 1
0 0 0 0 1
3
7
7
7
7
5
.
Odredi´cemo, najpre, jednu regularnu matricuStako daSAima trapezoidalnu
formu. U tom cilju formirajmo proˇsirenu matricu sistema jednaˇcinaAx=y,
gde jey=
ˆ
y1. . . y5
˜
T
, a zatim primenimo elementarne transformacije nad
vrstama ove matrice sa strategijom dobijanja trapezoidalne forme. Tako redom
54)
Eric Ivar Fredholm (1866–1927), ˇsvedski matematiˇcar.

234 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
imamo
2
6
6
6
6
4
1 2 0 3 0 |y1
0 0 1 4 0 |y2
1 2−1−1 0|y3
2 4 1 10 1 |y4
0 0 0 0 1 |y5
3
7
7
7
7
5
∼
=
2
6
6
6
6
4
1 2 0 3 0 | y1
0 0 1 4 0 | y2
0 0−1−4 0| −y1+y3
0 0 1 4 1 | −2y1+y4
0 0 0 0 1 | y5
3
7
7
7
7
5
∼
=
2
6
6
6
6
4
1 2 0 3 0 | y1
0 0 1 4 0 | y2
0 0 0 0 0 | −y1+y2+y3
0 0 0 0 1 | −2y1−y2+y4
0 0 0 0 1 | y5
3
7
7
7
7
5
∼
=
2
6
6
6
6
4
1 2 0 3 0 | y1
0 0 1 4 0 | y2
0 0 0 0 1 | y5
0 0 0 0 0 | −2y1−y2+y4−y5
0 0 0 0 0 | −y1+y2+y3
3
7
7
7
7
5
.
Ako je
Sy=
2
6
6
6
6
4
y1
y2
y5
−2y1−y2+y4−y5
−y1+y2+y3
3
7
7
7
7
5
,
imamo
S=
2
6
6
6
6
4
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
−2−1 0 1 −1
−1 1 1 0 0
3
7
7
7
7
5
,
tj.
SA=
2
6
6
6
6
4
1 2 0 3 0
0 0 1 4 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3
7
7
7
7
5
.
Dakle, rangA= dimv(A) = dimk(A) = 3. Kao bazis u prostoru vrstav(A)
moˇzemo uzeti nenula vrste
a1=
ˆ
1 2 0 3 0
˜
,a2=
ˆ
0 0 1 4 0
˜
,a3=
ˆ
0 0 0 0 1
˜
,
tako da je
v(A) =
˘
a|a=λ1a1+λ2a2+λ3a3(λ1, λ2, λ3∈R)

.

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 235
Dakle, svaki vektor-vrstaa=
ˆ
α1α2α3α4α5
˜
koji pripada prostoru
v(A) mora imati oblik
a=
ˆ
λ12λ1λ23λ1+ 4λ2λ3
˜
,
tj. medˉu njegovim koordinatama mora biti slede´ca zavisnost
α2= 2α1, α 4= 3α1+ 4α3.
Dakle, takvi vektori se mogu predstaviti u obliku
(2.6.6)
ˆ
α12α1α33α1+ 4α3α5
˜
,
pri ˇcemu suα1, α3, α5proizvoljni skalari. Na primer, zaα1=α3= 1 iα5= 5,
dobijamo vektor-vrstu
ˆ
1 2 1 7 5
˜
iz prostorav(A). Inaˇce, ovaj prostor je
trodimenzionalan. Koordinatna reprezentacija vektora (2.6.6) u bazi{a1,a2,a3}
je
2
4
α1
α3
α5
3
5.
Pokaza´cemo sada kako se vektora∈v(A) moˇze izraziti pomo´cu matriceA.
Kako je
a=α1a1+α3a2+α5a3=
ˆ
α1α3α50 0
˜
(SA)
=
ˆ
α1α3α50 0
˜
∆
2
6
6
6
6
4
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
−2−1 0 1 −1
−1 1 1 0 0
3
7
7
7
7
5
A,
imamoa=
ˆ
α1α30 0α5
˜
A.
Posmatrajmo sada homogeni sistem jednaˇcinaAx=o. Da bismo opisali pros-
tor reˇsenja, ˇsto, u stvari, predstavlja jezgroNA, posmatrajmo redukovani sistem
(SA)x=o, tj.
x1+ 2x2+ 3x4= 0,
x3+ 4x4= 0,
x5= 0.
Kako jex1=−2x2−3x4,x3=−4x4,x5= 0, prostor reˇsenja sadrˇzi sve vektore
oblika
x=
2
6
6
6
6
4
−2α−3β
α
−4β
β
0
3
7
7
7
7
5
,

236 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
gde suαiβproizvoljni skalari. Kao bazis ovog prostora moˇze se uzetiskup
{x1,x2}, gde su
x1=
2
6
6
6
6
4
−2
1
0
0
0
3
7
7
7
7
5
,x2=
2
6
6
6
6
4
−3
0
−4
1
0
3
7
7
7
7
5
.
Najzad, posmatrajmo nehomogeni sistem jednaˇcinaAx=y. S obzirom da
je rangA= dimk(A) = 3, ovaj sistem jednaˇcina nije saglasan za svakoy∈V5.
Potrebani i dovoljni uslovi pod kojima je sistemAx=ysaglasan mogu se jed-
nostavno dobiti anuliranjem poslednje dve koordinate u vektoruSy. Dakle, to su
uslovi
(2.6.7) −2y1−y2+y4−y5= 0, −y1+y2+y3= 0.
Do ovih uslova moˇzemo do´ci i na osnovu Fredholmove teoreme2.6.4. Najpre,
redukcijom matriceA
T
na trapezoidalnu formu
2
6
6
6
6
4
1 0 1 2 0
1 0 1 2 0
2 0 2 4 0
0 1−1 1 0
0 0 0 1 1
3
7
7
7
7
5
∼
=
2
6
6
6
6
4
1 0 1 2 0
0 1−1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3
7
7
7
7
5
,
nalazimo ekvivalentni konjugovani sistem jednaˇcina
y1+y3+ 2y4= 0,
y2−y3+y4= 0,
y4+y5= 0,
odakle zakljuˇcujemo da prostor reˇsenja sadrˇzi sve vektore oblikay=αy1+βy1
(αiβproizvoljni skalari), gde su bazisni vektori
y1=
2
6
6
6
6
4
−1
1
1
0
0
3
7
7
7
7
5
,y2=
2
6
6
6
6
4
−2
−1
0
1
−1
3
7
7
7
7
5
.
Iz uslova ortogonalnosti vektora slobodnih ˇclanova sa bazisnim vektorima jezgra
N
A
Tsleduje (y,y1) =−y1+y2+y3= 0, (y,y2) =−2y1−y2+y4−y5= 0, ˇsto
je, u stvari, (2.6.7).△

EKVIVALENTNI SISTEMI VEKTORA I MATRICA 237
3. ZADACI ZA VE ˇZBU
3.1.Razliˇcitim metodima (Cramer, Gauss,. . .) reˇsiti sisteme jednaˇcina
1
◦
3x+ 2y−z= 1,
x+y+ 2z= 2,
2x+ 2y+ 5z= 3,
2
◦
2x−y+z= 8,
x−3y−5z= 6,
3x+y−7z=−4.
Rezultat.1
◦
x=−8,y= 12,z=−1, 2
◦
x= 2,y=−3,z= 1.
3.2.Reˇsiti sisteme jednaˇcina:
1
◦
2x−y+ 3z+ 2t= 1,
3x+ 3y+ 3z+ 2t= 1,
3x−y−z+ 2t=−1,
3x−y+ 3z−t=−1,
2
◦
2x+y−3z+ 4t= 1,
3x+ 2y+ 4z−3t=−1,
x−3y−z−2t= 0,
x+ 15y+ 5z+ 9t= 0.
3.3.Reˇsiti sistem jednaˇcina
x−y+z−3u+v= 0,
2x−y+ 2z−u+v= 3,
x+ 3y+z−2u−v=−1,
3x−2y−z+u+ 2v= 12,
x+y−z−2u+v= 5.
Rezultat.x= 2,y= 1,z=−1,u= 1,v= 3.
3.4.Ako sua, b, c, diα, β, γ, δrealni brojevi za koje je
abcd6= 0 i α
2
+β
2
+γ
2
+δ
2
>0,
reˇsiti sistem jednaˇcina
ax+by+cz+du=α,
bx−ay+dz−cu=β,
cx−dy−az+bu=γ,
dx+cy−bz−au=δ.

238 SISTEMI LINEARNIH JEDNA ˇCINA
Posebno razmotriti sluˇcaj kada jeabcd= 0 iα=β=γ=δ= 0.
3.5.U zavisnosti od vrednosti koje uzima parametarα, diskutovati sistem
jednaˇcina
αx+y+z+u= 1,
x+αy+z+u=α,
x+y+αz+u=α
2
,
x+y+z+αu=α
3
.
3.6.Neka jex
2
+y
2
+z
2
+u
2
>0 i neka vaˇze jednakosti
x=by+cz+du, y=ax+cz+du, z=ax+by+du, u=ax+by+cz.
Odrediti zbir:S=
a
a+ 1
+
b
b+ 1
+
c
c+ 1
+
d
d+ 1
(a, b, c, d6=−1).
Uputstvo.Dati skup jednakosti je homogeni sistem jednaˇcina pox, y, z, u.
3.7.Pox, y, ziureˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
x+ay+a
2
z+a
3
u=a
4
,
x+by+b
2
z+b
3
u=b
4
,
x+cy+c
2
z+c
3
u=c
4
,
x+dy+d
2
z+d
3
u=d
4
,
gde sua, b, c, dmedˉu sobom razliˇciti realni ili kompleksni brojevi.
Uputstvo.Oˇcigledno, veliˇcinea, b, c, dsu koreni jednaˇcine
λ
4
−uλ
3
−zλ
2
−yλ−x= 0.
3.8.Odrediti rang svake od matrica
A=



25 31 17 43
75 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48


, B=


47−67 35 201 155
26 98 23 −294 86
16−428 1 1284 52

,
C=



24 19 36 72 −38
49 40 73 147 −80
73 59 98 219 −118
47 36 71 141 −72


, D=





17 28 45 11 39
24−37 61 13 50
25−7 32−18−11
31 12 19 −43−55
42 13 29 −55−68





.
Rezultat.rangA= 3, rangB= 2, rangC= 3, rangD= 2.

IVG L A V A
Algebarski polinomi i racionalne
funkcije
1. ALGEBARSKI POLINOMI
1.1. Prsten polinoma
Neka je (K,+,∆) polje koje ´cemo oznaˇcavati prosto saKi neka su 0 i 1
neutralni elementi u odnosu na operacije + i∆, respektivno
55)
. Umestoa∆b
(a, b∈K) pisa´cemo jednostavnoab. Neka je, dalje, operacija stepenovanja
uvedena na uobiˇcajeni naˇcin pomo´cu
(∀x∈K)x
0
= 1, x
k
=xx
k−1
(k∈N).
Deﬁnicija 1.1.1.Akox∈Kiak∈K(k= 0,1, . . . , n), formalni izraz
(1.1.1) P(x) =a0+a1x+∆ ∆ ∆+anx
n
=
n
X
k=0
akx
k
naziva sealgebarski polinom poxnad poljemK. Za elementeakkaˇzemo da
sukoeﬁcijenti polinomaP(x). Ako je koeﬁcijentan6= 0, za polinomP(x)
kaˇzemo da jestepenani to oznaˇcavamo sa dgP(x) =n. Za koeﬁcijent
an6= 0 kaˇzemo da jevode´ciilinajstariji koeﬁcijentpolinomaP(x).
Dakle, stepen polinomaP(x) je najviˇsi stepen odxkoji se pojavljuje u
izrazu zaP(x) sa nenula koeﬁcijentima.
55)
Dobar deo materijala za ovu glavu preuzet je iz monograﬁje: G. V. Milovanovi´c,
D. S. Mitrinovi´c, Th. M. Rassias,Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities,
Zeros, World Scientiﬁc, Singapore – New Jersey – London – Hong Kong, 1994.

240 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Deﬁnicija 1.1.2.Za polinom
O(x) = 0 + 0x+∆ ∆ ∆+ 0x
n−1
+ 0x
n
kaˇzemo da jenula polinomi oznaˇcavamo ga prosto sa 0.
Stepen nula polinomaO(x) (≡0) se ne deﬁniˇse.
Polinomi stepena nula se nazivaju konstante i to su elementipoljaK.
Elementx∈Kmoˇze se interpretirati kao polinom prvog stepena deﬁnisan
saP(x) =x. Za elementxkoristi se terminneodredˉena. Za polinomP(x)
deﬁnisan sa (1.1.1) kaˇze se da jepolinom po neodredˉenojx.
Deﬁnicija 1.1.3.Za polinom ˇciji je vode´ci koeﬁcijent jednak jedinici kaˇze-
mo da jemoniˇcan.
Dakle, moniˇcni polinom ima oblik
P(x) =a0+a1x+∆ ∆ ∆+an−1x
n−1
+x
n
.
Skup svih polinoma nad poljemKoznaˇcavamo saK[x]. Od interesa je
ˇcesto uoˇciti skup svih onih polinoma ˇciji stepen nije ve´ci odn. Taj podskup
´cemo oznaˇcavati saPn[x] (videti primer 1.1.3, glava III). Proizvoljni polinom
izPn[x] ima oblik
P(x) =
n
X
k=0
akx
k
(ak∈K),
pri ˇcemu ako je dgP(x) =m < nimamo da jeam+1=∆ ∆ ∆=an= 0.
U skupK[x] moˇzemo uvesti relacijujednakostkao i operacije:sabiranjei
mnoˇzenjepolinoma na slede´ci naˇcin:
Deﬁnicija 1.1.4.Polinomi
P(x) =a0+a1x+∆ ∆ ∆+anx
n
iQ(x) =b0+b1x+∆ ∆ ∆+bmx
m
sujednakiako i samo ako jeak=bkza svakok≥0, tj. kada su njihovi
koeﬁcijenti jednaki.
Deﬁnicija 1.1.5.Za dva polinoma
P(x) =a0+a1x+∆ ∆ ∆+anx
n
iQ(x) =b0+b1x+∆ ∆ ∆+bmx
m
zbiriproizvodsu redom
(P+Q)(x) =P(x) +Q(x) =c0+c1x+∆ ∆ ∆+crx
r

ALGEBARSKI POLINOMI 241
i
(P Q)(x) =P(x)Q(x) =d0+d1x+∆ ∆ ∆+dsx
s
,
gde su
ck=ak+bk
−
0≤k≤r= max(n, m)
∆
i
dk=
k
X
i=0
aibk−i(0≤k≤s=n+m).
Dakle, akoP(x)∈ Pn[x] iQ(x)∈ Pm[x], tada (P+Q)(x)∈ Pr[x] i
(P Q)(x)∈ Ps[x], gde sur= max(n, m) is=n+m. Napomenimo da za
nenula polinomeP(x) iQ(x) vaˇzi
dg(P Q)(x) = dgP(x) + dgQ(x).
Takodˉe, akoP(x), Q(x)∈K[x] andP(x) +Q(x)6≡0, tada je
dg(P+Q)(x)≤max
⊕
dgP(x),dgQ(x)

.
Primer 1.1.1.Neka jeK=Ri
P(x) = 2−3x+ 5x
2
iQ(x) = 2x−x
2
+ 2x
3
.
Tada je
S(x) = (P+Q)(x) = 2−x+ 4x
2
+ 2x
3
i
R(x) = (P Q)(x) = 4x−8x
2
+ 17x
3
−11x
4
+ 10x
5
.
Dakle, dgS(x) = 3 i dgR(x) = 5.
Ako je, medˉutim,P(x) = 2−3x+x
2
−2x
3
, tada je (P+Q)(x) = 2−x, ˇsto
znaˇci da je zbir ova dva polinoma polinom prvog stepena.△
Kao specijalan sluˇcaj proizvoda polinoma imamo proizvod polinomaP(x)
skalaromα(∈K), koji se moˇze tretirati kao polinom nultog stepena. Dakle,
αP(x) =α(a0+a1x+∆ ∆ ∆+anx
n
) = (αa0) + (αa1)x+∆ ∆ ∆+ (αan)x
n
.
Nije teˇsko dokazati slede´ci rezultat:

242 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Teorema 1.1.1.SkupK[x]snabdeven sabiranjem i mnoˇzenjem polinoma
ˇcini komutativni prsten sa jedinicom.
Inverzni element odQ(x) =
mP
k=0
bkx
k
−
∈K[x]
∆
u odnosu na sabiranje
je
mP
k=0
(−bk)x
k
, koji ´cemo oznaˇcavati sa−Q(x). Tada moˇzemo deﬁnisati
oduzimanjepolinoma pomo´cu
(P−Q)(x) =P(x) +
−
−Q(x)
∆
.
Napomenimo da za polinome u skupuK[x] ne postoji operacija deljenje,
tj. operacija inverzna operaciji mnoˇzenja (videti slede´ci odeljak).
Sliˇcno prethodnom, moˇzemo deﬁnisatipolinom pomneodredˉenihx1,. . .,
xmnad poljemK:
Deﬁnicija 1.1.6.Neka suk1, . . . , kmnenegativni celi brojevi i
k= (k1, . . . , km),|k|=k1+∆ ∆ ∆+km,x
k
=x
k1
1
. . . x
km
m.
Polinom pomnedredˉenihx1,. . .,xmnad poljemKje izraz oblika
(1.1.2) P(x) =P(x1, . . . , xm) =
X
|k|≤n
akx
k
,
gde suak(∈K) njegovi koeﬁcijenti.
Skup takvih polinoma, u oznaciK[x1, . . . , xm], sa uvedenim odgovaraju-
´cim operacijama sabiranja i mnoˇzenja polinoma, ˇcini, takodˉe, komutativni
prsten sa jedinicom.
Deﬁnicija 1.1.7.Proizvodx
k
=x
k1
1
∆ ∆ ∆x
km
m
se nazivaprimitivni monom
stepena|k|=k1+∆ ∆ ∆+km. Polinom
ax
k1
1
∆ ∆ ∆x
km
m
(a∈K)
se nazivamonom. Ako jeP(x) polinom iz prstenaK[x1, . . . , xm] deﬁnisan
sa (1.1.2) iP(x)6≡0, tada se kaostepenpolinomaP(x) uzima maksimum
stepena monoma koji se pojavljuju u polinomu. (Njihovi koeﬁcijentiaksu
razliˇciti od nule.)
Napomenimo da je stepen polinomaP(x) nula ako i samo ako jeP(x) =
ax
0
1∆ ∆ ∆x
0
m=a(a6= 0).

ALGEBARSKI POLINOMI 243
PolinomP(x1, . . . , xm) pomneodredˉenih moˇze se razmatrati kao po-
linom po jednoj neodredˉenoj, recimox1, sa koeﬁcijentima uK[x2, . . . , xn].
Stepend1takvog polinoma se nazivastepen odP(x1, . . . , xm)pox1. Jasno je
da jed1najve´ci ceo broj koji se pojavljuje kao eksponent odx1u monomima
akx
k
saak6= 0. Sliˇcno se deﬁniˇse stepen polinoma po bilo kojoj neodredˉenoj
xk(k= 1, . . . , m). Naravno, ovi stepenidksu razliˇciti od stepena polinoma
P(x1, . . . , xm), koji se ponekad nazivatotalni stepen.
Primer 1.1.2.PolinomP(x1, x2, x3) =x
3
1
x
2
2
x3+ 2x
4
1
x2ima totalni stepen 6,
dok su 4, 2 i 1 redom stepeni pox1,x2ix3.△
Deﬁnicija 1.1.8.Za polinomP(x1, . . . , xm) kaˇzemo da jehomogeni poli-
nomako i samo ako su njegovi nenula monomi istog stepena. Stepenho-
mogenog polinoma se nazivastepen homogenostipolinoma.
Ako jeP(x1, . . . , xm) homogeni polinom stepena homogenostidtada je
P(tx1, . . . , txm)≡t
d
P(x1, . . . , xm).
Primer 1.1.3.1
◦
Polinom
P(x1, x2, x3) = 2x1x
2
2−5x1x2x3+x
3
3
je homogen stepena 3.
2
◦
Ako jeP(x1, x2, x3) = (x1−x2)
2
(x1−x3)
2
(x2−x3)
2
imamo
P(tx1, tx2, tx3) =t
6
P(x1, x2, x3).
Ovo znaˇci da je posmatrani polinom homogen stepena homogenosti 6.△
Polinomi se, takodˉe, mogu razmatrati nad strukturama koje su jednos-
tavnije od polja, na primer, nad prstenom sa jedinicom. Razmotrimo sada
jedan takav sluˇcaj.
Saglasno teoremi 2.4.3 (glava III), skupMmsvih kvadratnih matrica reda
mnad poljem skalaraK(realnih ili kompleksnih brojeva), snabdeven ope-
racijama sabiranje i mnoˇzenje matrica, predstavlja prsten sa jedinicomI
(jediniˇcna matrica redam). AkoX∈MmiAk∈Mm(k= 0,1, . . . , n),
tada za
(1.1.3) P(X) =A0+A1X+∆ ∆ ∆+AnX
n
=
n
X
k=0
AkX
k
kaˇzemo da jepolinom nadMmili prostomatriˇcni polinom. U sluˇcaju kada
su matriˇcni koeﬁcijentiAkdati kaoAk=akI(k= 0,1, . . . , n), gde suak

244 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
skalari iz poljaK, aIjediniˇcna matrica redam, tada se matriˇcni polinom
(1.1.3) svodi na
P(X) =a0I+a1X+∆ ∆ ∆+anX
n
=
n
X
k=0
akX
k
.
Na kraju ovog odeljka ukaˇzimo na vaˇznu ˇcinjenicu da se polinom moˇze
tretirati i kao funkcija. Naime, na osnovu (1.1.1) moˇze se deﬁnisati preslika-
vanjeP:K→K, pomo´cu
t7→P(t) =a0+a1t+∆ ∆ ∆+ant
n
,
i uoˇciti homomorﬁzamP(x)7→P(t). PreslikavanjePnazivamopolinomska
funkcija. Napomenimo da je ovdexneodredˉena, atpromenljiva. Ne ulaze´ci
dublje u algebarsko tretiranje ovog problema
56)
napomenimo da se moˇze
dokazati slede´ci vaˇzan rezultat:
Teorema 1.1.2.HomomorﬁzamP(x)7→P(t)je izomorﬁzam ako i samo
ako je poljeKbeskonaˇcno.
Dakle, za beskonaˇcna polja jednostavno ne´cemo praviti razliku izmedˉu
polinoma i polinomske funkcije, a za neodredˉenuxkoristi´cemo i termin
promenljiva. Takva beskonaˇcna polja su, na primer,RiC. Medˉutim, u
konaˇcnim poljima iz jednakosti polinomskih funkcija ne sleduje jednakost
polinoma.
Kada ne moˇze do´ci do zabune, umesto termina polinomska funkcijat7→
P(t) koristi´cemo jednostavno termin polinomP. Skup svih polinomskih
funkcija (polinoma) ne viˇseg stepena odnoznaˇcava´cemo saPn.
Sliˇcno se moˇze deﬁnisati i polinomska funkcija sa viˇse promenljivih.
1.2. Deljivost polinoma
Dokaza´cemo, najpre, jednu veoma vaˇznu osobinu polinoma.
Teorema 1.2.1.Za svaki polinomP(x)i svaki nenula polinomQ(x), pos-
toje jedinstveni polinomiS(x)iR(x)takvi da vaˇzi jednakost
(1.2.1) P(x) =S(x)Q(x) +R(x),
56)
Za detalje videti, na primer, knjigu: N. Jacobson,Basic Algebra I, W. H. Freeman
and Company, New York, 1985.

ALGEBARSKI POLINOMI 245
pri ˇcemu jeR(x)nula polinom ilidgR(x)<dgQ(x).
Dokaz.Pretpostavimo daP(x) iQ(x) imaju stepenenim, respektivno,
i da su
P(x) =a0+a1x+∆ ∆ ∆+anx
n
iQ(x) =b0+b1x+∆ ∆ ∆+bmx
m
.
Ako jen < miliP(x) = 0, tada (1.2.1) vaˇzi saS(x)≡0 iR(x) =P(x).
Pretpostavimo zato da jen≥m.
Posmatrajmo polinom
P1(x) =P(x)−
an
bm
x
n−m
Q(x),
ˇciji je stepen, oˇcigledno, manji odn. San1oznaˇcimo taj stepen, a saa
(1)
n1
najstariji koeﬁcijent polinomaP1(x). Ako jen1≥mstavimo dalje
P2(x) =P1(x)−
a
(1)
n1
bm
x
n1−m
Q(x),
i san2ia
(2)
n2oznaˇcimo stepen i najstariji koeﬁcijent ovog polinoma, respek-
tivno. Proces nastavljamo ako jen2≥m.
Jasno je da stepeni polinomaP1(x), P2(x), . . .opadaju i da posle konaˇc-
nog broja koraka dobijamo jednakost
Pk(x) =Pk−1(x)−
a
(k−1)
nk−1
bm
x
nk−1−m
Q(x),
u kojoj jePk(x) nula polinom ili takav da mu je stepennkmanji odm. U tom
sluˇcaju proces prekidamo, aPk(x) se, koriˇs´cenjem prethodnih jednakosti,
moˇze predstaviti u oblikuPk(x) =P(x)−S(x)Q(x), gde smo stavili
S(x) =
an
bm
x
n−m
+
a
(1)
n1
bm
x
n1−m
+∆ ∆ ∆+
a
(k−1)
nk−1
bm
x
nk−1−m
.
Dakle, ovaj polinomS(x) iR(x) =Pk(x) zadovoljavaju jednakost (1.2.1), pri
ˇcemu jeR(x) nula polinom ili je njegov stepen manji od stepena polinoma
Q(x).
Za dokaz jedinstvenosti polinomaS(x) iR(x), pretpostavimo da postoje
i polinomi
ˆ
S(x) i
ˆ
R(x), koji zadovoljavaju jednakost
P(x) =
ˆ
S(x)Q(x) +
ˆ
R(x),

246 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
pri ˇcemu je
ˆ
R(x)≡0 ili dg
ˆ
R(x)<dgQ(x). Tada je
(1.2.2)
−
S(x)−
ˆ
S(x)
∆
Q(x) =
ˆ
R(x)−R(x),
pri ˇcemu je polinom na desnoj strani ove jednakosti nula polinom ili je,
pak njegov stepen manji od stepena polinomaQ(x). S druge strane, ako
jeS(x)−
ˆ
S(x)6≡0, tada polinom na levoj strani u jednakosti (1.2.2) je ne
manjeg stepena od stepena polinomaQ(x). Prema tome, jednakost (1.2.2)
je mogu´ca samo ako je
ˆS(x) =S(x), ˆR(x) =R(x).∗
Kao ˇsto je reˇceno u prethodnom odeljku, za polinome u skupuK[x] ne pos-
toji operacija deljenje, inverzna operaciji mnoˇzenja. Moˇze se, medˉutim, sa-
glasno osobini iz prethodne teoreme, deﬁnisatideljenjepolinoma polinomom
saostatkom.
Deﬁnicija 1.2.1.Za polinomS(x) koji zadovoljava (1.2.1) kaˇzemo da je
koliˇcnikpri deljenju polinomaP(x) polinomomQ(x) (6≡0), a za odgo-
varaju´ci polinomR(x) da jeostatakpri tom deljenju.
Ako je ostatak nula polinom, kaˇzemo da jeP(x) deljivo saQ(x) i polinom
Q(x) zovemodelilacpolinomaP(x).
ˇ
Cinjenicu da jeQ(x) delilac polinomaP(x) simbolizujemo saQ(x)|P(x).
Neke osobine deljivosti polinoma navodimo u slede´coj teoremi.
Teorema 1.2.2.Za proizvoljne polinomeP(x), Q(x), U(x)vaˇze tvrdˉenja:
(a)P(x)|P(x) ;
(b)AkoQ(x)|P(x)iP(x)|Q(x), tada jeP(x) =αQ(x)za nekoα∈K;
(c)AkoU(x)|Q(x)iQ(x)|P(x)tadaU(x)|P(x) ;
(d)AkoU(x)|P(x)iU(x)|Q(x), tadaU(x)|αP(x) +βQ(x)za svako
α, β∈K.
1.3. Najve´ci zajedniˇcki delilac
Deﬁnicija 1.3.1.PolinomD(x) jezajedniˇcki delilacza polinomeP(x) i
Q(x) akoD(x)|P(x) iD(x)|Q(x).

ALGEBARSKI POLINOMI 247
Deﬁnicija 1.3.2.PolinomD(x) jenajve´ci zajedniˇcki delilacza polinome
P(x) iQ(x), tj.D(x) = NZD(P(x), Q(x)), ako je zajedniˇcki delilac za ove
polinome i ako je deljiv sa svim ostalim zajedniˇckim deliocima ovih polinoma.
Primetimo da ako jeD(x) = NZD(P(x), Q(x)), tada je i polinomαD(x)
(α6= 0, α∈K) takodˉe najve´ci zajedniˇcki delilac polinomaP(x) iQ(x).
Teorema 1.3.1.Za svaka dva polinomaP(x)iQ(x)postoji najve´ci za-
jedniˇcki delilacD(x)i on je jedinstven do na multiplikativnu konstantu.
Dokaz.Pretpostavimo da je dgP(x)≥dgQ(x). SaS1(x) iR1(x) oznaˇci-
mo redom koliˇcnik i ostatak pri deljenju polinomaP(x) saQ(x). Ako je
R1(x)≡0 tada jeQ(x) najve´ci zajedniˇcki delilac polinomaP(x) iQ(x).
Medˉutim, akoR1(x) nije nula polinom, tada delimo polinomQ(x) saR1(x),
i odgovaraju´ci koliˇcnik i ostatak pri deljenju oznaˇcavamo saS2(x) iR2(x),
respektivno. Ako jeR2(x)≡0 tada jeR1(x) najve´ci zajedniˇcki delilac za
polinomeP(x) iQ(x). Zaista, iz
(1.3.1)
P(x) =S1(x)Q(x) +R1(x),
Q(x) =S2(x)R1(x) +R2(x),
sledujeP(x) = (S1(x)S2(x) + 1)R1(x) iQ(x) =S2(x)R1(x), tj.R1(x)|P(x)
iR1(x)|Q(x). Da bismo dokazali da jeR1(x) najve´ci zajedniˇcki delilac za
P(x) iQ(x) dovoljno je pretpostaviti da ovi polinomi imaju zajedniˇcki delilac
D(x) i primetiti da iz (1.3.1) sledujeD(x)|R1(x).
Medˉutim, ukolikoR2(x) nije nula polinom, prethodni postupak se nas-
tavlja, saglasno slede´cim jednakostima,
(1.3.2)
R1(x) =S3(x)R2(x) +R3(x),
R2(x) =S4(x)R3(x) +R4(x),
.
.
.
Rk−1(x) =Sk+1(x)Rk(x) +Rk+1(x),
sve do ispunjenja uslovaRk+1(x)≡0. Tada jeRk(x) = NZD(P(x), Q(x)).
Ovo zakljuˇcujemo sliˇcnim rezonovanjem kao u sluˇcajuk= 1.∗
Napomena 1.3.1.U dokazu ove teoreme koriˇs´cen je Euklidov algoritam, pri
ˇcemu su za odredˉivanje najve´ceg zajedniˇckog delioca (NZD) dva polinoma bitni
samo ostaciRν(x), a ne i koliˇcniciSν(x),ν= 1,2, . . .. Imaju´ci na umu jedin-
stvenost NZD do na multiplikativnu konstantu mogu´ce je u svakom koraku Eukli-
dovog algoritma mnoˇziti ostatkeRν(x) pogodnim konstantama razliˇcitim od nule
u cilju dobijanja jednostavnijih izraza pri deljenju.

248 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Deﬁnicija 1.3.3.Ako je najve´ci zajedniˇcki delilac za polinomeP(x) iQ(x)
konstanta, za te polinome kaˇzemo da suuzajamno prosti.
Primer 1.3.1.Za polinome uR[x],
P(x) = 2x
4
+ 4x
3
+x
2
−2x−8, Q(x) =x
3
+x
2
+ 4,
odredi´cemo NZD. Kako je
(2x
4
+ 4x
3
+x
2
−2x−8) : (x
3
+x
2
+ 4) = 2x+ 2
2x
4
+ 2x
3
+ 8x
2x
3
+x
2
−10x−8
2x
3
+2x
2
+ 8
−x
2
−10x−16
imamo
P(x) = (2x+ 2)Q(x)−(x
2
+ 10x+ 16).
Uzmimo da jeR1(x) =x
2
+ 10x+ 16 (pomnoˇzeno sa−1) i podelimoQ(x) sa
R1(x). Dakle,
(x
3
+x
2
+ 4) : (x
2
+ 10x+ 16) =x−9
x
3
+10x
2
+16x
−9x
2
−16x+ 4
−9x
2
−90x−144
74x+ 148
tj.
Q(x) = (x−9)R1(x) + 74x+ 148.
UzmimoR2(x) =x+ 2 (pomnoˇzeno sa 1/74) i podelimoR1(x) saR2(x). Kako je
R1(x) = (x+ 8)R2(x), zakljuˇcujemo da je
NZD(P(x), Q(x)) =R2(x) =x+ 2.△
Teorema 1.3.2.Ako jeD(x) = NZD(P(x), Q(x))tada postoje polinomi
U(x)iV(x)takvi da je
(1.3.3) D(x) =U(x)P(x) +V(x)Q(x).

ALGEBARSKI POLINOMI 249
Dokaz.Na osnovu (1.3.1) i (1.3.2) imamo redom
R1(x) =P(x)−S1(x)Q(x),
R2(x) =−S2(x)P(x) +
−
1 +S1(x)S2(x)
∆
Q(x),
R3(x) =
−
1 +S2(x)S3(x)
∆
)P(x)−
−
S1(x) +S3(x) +S1(x)S2(x)S3(x)
∆
Q(x),
itd. Najzad,D(x) =Rk(x) ima oblik (1.3.3).∗
1.4. B´ezoutov stav i Hornerova ˇsema
Neka jea∈KiP(x) =a0+a1x+∆ ∆ ∆+anx
n
. Tada je
P(a) =a0+a1a+∆ ∆ ∆+ana
n
jedan element u poljuK. ZaP(a) kaˇzemo da jevrednostpolinoma u taˇcki
x=a.
Za elementa∈Kkaˇzemo da jenulapolinomaP(x)∈K[x] ako je vrednost
polinoma u toj taˇcki jednaka nuli, tj.P(a) = 0. U tom sluˇcaju, za polinom
prvog stepenax−akaˇzemo da jelinearni faktor.
Teorema 1.4.1.Ako jeanula polinomaP(x)∈K[x], tada jeP(x)deljiv
linearnim faktoromx−a.
Dokaz.Kako je
x
k
−a
k
= (x
k−1
+x
k−2
a+∆ ∆ ∆+xa
k−2
+a
k−1
)(x−a),
imamo
P(x)−P(a) =a1(x−a) +a2(x
2
−a
2
) +∆ ∆ ∆+an(x
n
−a
n
)
=
×
a1+a2(x+a) +∆ ∆ ∆+an(x
n−1
+∆ ∆ ∆+a
n−1
)
∗
(x−a)
=Q(x)(x−a),
gde jeQ(x) polinom stepenan−1. S druge strane, po pretpostavci je
P(a) = 0, pa imamo da jeP(x) =Q(x)(x−a), ˇsto znaˇci da je polinomP(x)
deljiv linearnim faktoromx−a.∗
Slede´ce tvrdˉenje je poznato kaoB´ezoutov
57)
stav:
57)
Etienne B´ezout (1730–1783), francuski matematiˇcar.

250 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Teorema 1.4.2.Ostatak pri deljenju polinomaP(x)sax−ajednak je
vrednosti polinomaP(a).
Dokaz.Kako jeQ(x) =x−apolinom prvog stepena, na osnovu teoreme
1.2.1, postoji jedinstveni polinomS(x) i konstantaR(polinom stepena nula)
tako da je
(1.4.1) P(x) =S(x)(x−a) +R.
Stavljaju´cix=au (1.4.1) dobijamoR=P(a).∗
Koriˇs´cenjem prethodne teoreme, svaki polinomP(x)∈K[x] stepenan
moˇzemo na jedinstven naˇcin predstaviti (razloˇziti) po stepenima odx−a,
tj.
(1.4.2)P(x) =A0+A1(x−a) +A2(x−a)
2
+∆ ∆ ∆+An(x−a)
n
,
gde suAk,k= 0,1, . . . , nelementi poljaK. Zaista, na osnovu (1.4.1) imamo
(1.4.3) P(x) =A0+P1(x)(x−a),
gde smo staviliA0=R=P(a) iP1(x) =S(x). Ako jeP1(x) polinom
nultog stepena traˇzeni razvoj (1.4.2) je dobijen. U protivnom sluˇcaju, delimo
polinomP1(x) sax−a, dobijaju´ci pritom da je
(1.4.4) P1(x) =A1+P2(x)(x−a),
gde jeA1=P1(a). Na ovaj naˇcin, kombinuju´ci (1.4.3) i (1.4.4), dobijamo
P(x) =A0+A1(x−a) +P2(x)(x−a)
2
.
Nastavljaju´ci ovaj postupak dobi´cemo razvoj (1.4.2).
Deﬁnicija 1.4.1.Ako jeP(x) =a0+a1x+a2x
2
+∆ ∆ ∆+anx
n
proizvoljan
polinom izK[x], tada za polinom
P
′
(x) =a1+ 2a2x
2
+∆ ∆ ∆+nanx
n−1
∈K[x]
kaˇzemo da je (prvi)izvodpolinomaP(x). Za preslikavanjeP(x)7→P
′
(x)
kaˇzemo da jediferenciranjeu prstenuK[x].
Viˇsi izvodiP
(k)
(x) deﬁniˇsu se rekurzivno; na primer, izvod polinoma
P
′
(x) naziva sedrugi izvodpolinomaP(x), itd. Po deﬁniciji,P
(0)
(x)≡P(x).

ALGEBARSKI POLINOMI 251
Napomenimo da je dgP
′
(x) = dgP(x)−1. Takodˉe, za svakok > n=
dgP(x) imamo da jeP
(k)
(x) nula polinom.
Oˇcigledno, kada jeK=R, polinomska funkcijat7→P(t) je realna funk-
cija realne promenljivet. Ona je, kao ˇsto znamo iz glave V, neprekidna i
diferencijabilna za svakot∈R, a za|t| →+∞teˇzi ka +∞ako je stepen
n≥1. Kao ˇsto je reˇceno u odeljku 1.1, za beskonaˇcna polja ne pravimo
razliku izmedˉu polinoma i polinomske funkcije. U tom sluˇcaju, primenom
Taylorove formule (videti odeljak 1.12, glava V), koeﬁcijentiAku razlaganju
(1.4.2) mogu se izraziti pomo´cu
(1.4.5) Ak=
1
k!
P
(k)
(a) (k= 0,1, . . . , n).
Tako dobijamo Taylorovo razlaganje
P(x) =P(a) +
P
′
(a)
1!
(x−a) +
P
′′
(a)
2!
(x−a)
2
+∆ ∆ ∆+
P
(n)
(a)
n!
(x−a)
n
.
Ovi rezultati vaˇze i u sluˇcaju polja kompleksnih brojevaK=C.
Jedan elementaran, ali vaˇzan problem je izraˇcunavanje vrednosti polinoma
za datox=a. Predstavimo polinom po opadaju´cim stepenima
(1.4.6) P(x) =a0x
n
+a1x
n−1
+a2x
n−2
+∆ ∆ ∆+an−1x+an.
Ako bismo izraˇcunavali vrednost polinomaP(a), na osnovu (1.4.6), bilo bi
potrebno 2n−1 mnoˇzenja insabiranja. Medˉutim, ukolikoP(x) predstavimo
u obliku
(1.4.7) P(x) = (∆ ∆ ∆((a0x+a1)x+a2)x+∆ ∆ ∆+an−1)x+an
potrebno je samonmnoˇzenja insabiranja.
Sab0, b1, . . . , bn−1oznaˇcimo koeﬁcijente polinomaS(x) u (1.4.1) i stavimo
bn=R. Tada imamo
a0x
n
+a1x
n−1
+∆ ∆ ∆+an−1x+an
= (b0x
n−1
+b1x
n−2
+∆ ∆ ∆+bn−1)(x−a) +bn,
odakle, uporedˉivanjem koeﬁcijenata uz odgovaraju´ce stepene na levoj i des-
noj strani prethodne jednakosti, dobijamo
a0=b0, a k=bk−bk−1a (k= 1, . . . , n).

252 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Na osnovu ovih jednakosti moˇze se formirati rekurzivni postupak za izra-
ˇcunavanje vrednosti polinoma zax=a:
(1.4.8) b0=a0, bk=ak+bk−1a (k= 1, . . . , n),
koji poslenkoraka daje vrednost polinoma, tj.P(a) =bn. Primetimo da
su koeﬁcijentibk, u stvari, vrednosti u odgovaraju´cim zagradama u (1.4.7)
izraˇcunate zax=a.
Izloˇzeni postupak (1.4.8) poznat je kaoHornerova
58)
ˇsema i moˇze se in-
terpretirati kroz slede´cu ˇsemu:
aa0a1 a2 a3. . . an−1 an
b0a b1a b2a b n−2a b n−1a
b0b1 b2 b3 bn−1 bn=P(a)
Prvu vrstu, dakle, zapoˇcinjemo sa vrednoˇs´cux=aza koju izraˇcunavamo
vrednost polinoma, a zatim piˇsemo koeﬁcijente polinoma (1.4.6), poˇcev od
najstarijeg koeﬁcijenta. U tre´coj vrsti piˇsemo koeﬁcijentebk, koje izraˇcu-
navamo sabiranjem odgovaraju´cih elemenata prve i druge vrste, pri ˇcemu je
b0=a0. Elemente druge vrste formiramo mnoˇzenjem vrednostiasa prethod-
nim elementom iz tre´ce vrste. Elementi tre´ce vrste su, dakle, koeﬁcijenti
polinomaS(x)i ostatak pri deljenjuR=P(a).
Nastavljaju´ci postupak deljenja dobijenog koliˇcnikaS(x)sax−amogu´ce
je dobiti razlaganje(1.4.2). Koeﬁcijenti u tom razlaganjuAksu, upravo,
ostaci pri ovim deljenjima. Na taj naˇcin, Hornerovom ˇsemom i koriˇs´cenjem
(1.4.5), mogu se odrediti svi izvodi polinomaP(x)u taˇckix=a,
(1.4.9) P
(k)
(a) =k!Ak,(k= 1, . . . , n).
Primer 1.4.1.Neka jeP(x) = 4x
4
−4x
3
+ 13x
2
−16x−12∈R[x]. Primenom
Hornerove ˇseme odredi´cemo vrednostP(2):
24−4 13 −16−12
8 8 42 52
4 4 21 26 40
Dakle,P(2) = 40. Koliˇcnik pri deljenju polinomaP(x) sax−2 je polinomS(x) =
4x
3
+ 4x
2
+ 21x+ 26, a ostatak deljenja jeR=P(2) = 40. Navedena ˇsema se
moˇze uprostiti izostavljanjem druge vrste. Na primer, zaa=−1/2 imamo
58)
William George Horner (1773–1827), engleski matematiˇcar.

ALGEBARSKI POLINOMI 253
−1/24−4 13−16−12
4−6 16−24 0
odakle zakljuˇcujemo da jea=−1/2 nula polinomaP(x).
Primenimo sada postupak sukcesivnog deljenja u cilju dobijanja razlaganja poli-
nomaP(x) po stepenima odx−2 i izraˇcunavanja izvoda polinoma u taˇckix= 2.
Postupak je prikazan u slede´coj tabeli:
Prema tome,
P(x) = 40 + 116(x−2) + 85(x−2)
2
+ 28(x−2)
3
+ 4(x−2)
4
.
Na osnovu (1.4.9) imamo redomP
′
(2) =A1= 116,P
′′
(2) = 2A2= 170,P
′′′
(2) =
6A3= 168,P
(4)
(2) = 24A4= 96.△
1.5. Osnovni stav algebre i faktorizacija polinoma
U daljem izlaganju posmatra´cemo polinome na tzv.algebarski zatvorenim
poljima.
Deﬁnicija 1.5.1.Za poljeKkaˇzemo da je algebarski zatvoreno ako svaki
polinomP(x)∈K[x], razliˇcit od konstante, ima bar jednu nulu uK.
Da sva polja nisu algebarski zatvorena ukazuje slede´ci primer.
Primer 1.5.1.Posmatrajmo polinomP(x) = 1 +x
2
nad poljemK. Ako jeK
polje racionalnih brojeva ili polje realnih brojeva,P(x) nema ni jednu nulu uK.
Medˉutim, na poljuCovaj polinom ima dve nulex=iix=−i.△
Slede´ca teorema o algebarskoj zatvorenosti polja kompleksnih brojeva
tradicionalno se nazivaosnovna teorema algebre:

254 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Teorema 1.5.1.Svaki polinomP(x)∈C[x]stepenan≥1ima bar jednu
nulu.
Postoji viˇse razliˇcitih dokaza ove teoreme. Jedan kratakdokaz se moˇze
dati metodimaKompleksne analize. Koriˇs´cenje elementarnog matematiˇckog
aparata zahteva komplikovan dokaz pa ´cemo ga ovde zbog togaizostaviti.
Teorema 1.5.1 se ˇcesto formuliˇse i u obliku:
Teorema 1.5.2.Svaki polinomP(x)∈C[x]stepenan≥1je proizvodn
linearnih faktora.
Oˇcigledno iz teoreme 1.5.2 sleduje teorema 1.5.1. Obrnuto, ako jex1nula
polinomaP(x)∈C[x] koja postoji na osnovu teoreme 1.5.1, tada je, na
osnovu teoreme 1.4.1,P(x) deljiv linearnim faktoromx−x1, tj. vaˇzi
P(x) = (x−x1)P1(x),
gde jeP1(x) polinom stepenan−1. Ako jen≥2, tada ponovo primenom
teoreme 1.5.1, zakljuˇcujemo daP1(x) ima bar jednu nulu, recimox2, tako
da je
P1(x) = (x−x2)P2(x),dgP2(x) =n−2.
Dakle,
P(x) = (x−x1)(x−x2)P2(x).
Nastavljaju´ci ovakav postupak dolazimo do faktorizacije
P(x) = (x−x1)(x−x2)∆ ∆ ∆(x−xn)Pn(x),
gde je dgPn(x) = 0, tj.Pn(x) se svodi na najstariji koeﬁcijent polinoma
P(x).
Dakle, polinom
(1.5.1) P(x) =anx
n
+an−1x
n−1
+∆ ∆ ∆+a1x+a0,
sa kompleksnim koeﬁcijentimaa0, a1, . . . , anian6= 0 imannulax1,x2,. . .,
xn, i vaˇzi
(1.5.2) P(x) =an(x−x1)(x−x2)∆ ∆ ∆(x−xn).
Medˉu kompleksnim brojevimax1,x2,. . .,xnmoˇze biti i jednakih. U
slede´coj deﬁniciji uvodimo pojamviˇsestruke nulepolinomaP(x).

ALGEBARSKI POLINOMI 255
Deﬁnicija 1.5.2.Za nulux1polinomaP(x)∈C[x] kaˇzemo da je viˇsestruka
redak(∈N) ako postoji polinomQ(x) takav da je
(1.5.3) P(x) = (x−x1)
k
Q(x), Q(x1)6= 0.
Ako jek= 1 kaˇzemo da je nulax1prosta ili jednostruka.
Teorema 1.5.3.Ako jex=x1viˇsestruka nula redak >1polinomaP(x)∈
C[x], tada je ona nula redak−1izvodnog polinomaP
′
(x)∈C[x].
Dokaz.Pretpostavljaju´ci da jex=x1viˇsestruka nula redak >1 poli-
nomaP(x)∈C[x], na osnovu prethodne deﬁnicije postoji polinomQ(x)
takav da vaˇzi (1.5.3). Tada je
59)
P
′
(x) =k(x−x1)
k−1
Q(x) + (x−x1)
k
Q
′
(x) = (x−x1)
k−1
Q1(x),
gde jeQ1(x) =kQ(x) + (x−x1)Q
′
(x). Kako jeQ1(x1) =kQ(x1)6= 0,
zakljuˇcujemo da jex=x1viˇsestruka nula redak−1 izvodnog polinoma
P
′
(x).∗
Teorema 1.5.4.Kompleksan brojx1je viˇsestruka nula redakpolinoma
P(x)∈C[x]ako i samo ako je
(1.5.4) P(x1) =P
′
(x1) =∆ ∆ ∆=P
(k−1)
(x1) = 0, P
(k)
(x1)6= 0.
Dokaz.Pretpostavimo da jex=x1viˇsestruka nula redakpolinoma
P(x)∈C[x]. Tada, sukcesivnom primenom prethodne teoreme naP(x),
P
′
(x),. . .,P
(k−1)
(x), dobijamo (1.5.4).
Obrnuto, ako pretpostavimo da vaˇzi (1.5.4), tada se Taylorovo razlaganje
polinoma u taˇckix=x1(videti odeljak 1.4)
P(x) =P(x1) +
P
′
(x1)
1!
(x−x1) +
P
′′
(x1)
2!
(x−x1)
2
+∆ ∆ ∆+
P
(n)
(x1)
n!
(x−x1)
n
svodi na
P(x) = (x−x1)
k
"
P
(k)
(x1)
k!
+
P
(k+1)
(x1)
(k+ 1)!
(x−x1)∆ ∆ ∆+
P
(n)
(x1)
n!
(x−x1)
n−k
#
,
59)
Ne pravimo razliku izmedˉu polinoma i polinomske funkcije i koristimo pravila za
diferenciranje funkcija.

256 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
tj.P(x) = (x−x1)
k
Q(x), gde jeQ(x1) =P
(k)
(x1)/k!6= 0, ˇsto znaˇci da je
x1viˇsestruka nula redakpolinomaP(x).∗
Primer 1.5.2.Da bismo dokazali da je polinom
P(x) = 2x
n+1
−n(n+ 1)a
n−1
x
2
+ 2(n
2
−1)a
n
x−n(n−1)a
n+1
(n∈N)
deljiv sa (x−a)
3
dovoljno je proveriti da li su ispunjeni usloviP(a) =P
′
(a) =
P
′′
(a) = 0. Kako je
P
′
(x) = 2(n+ 1)x
n
−2n(n+ 1)a
n−1
x+ 2(n
2
−1)a
n
,
P
′′
(x) = 2n(n+ 1)x
n−1
−2n(n+ 1)a
n−1
,
nalazimo redom
P(a) = 2a
n+1
−n(n+ 1)a
n−1
a
2
+ 2(n
2
−1)a
n
a−n(n−1)a
n+1
= 0,
P
′
(a) = 2(n+ 1)a
n
−2n(n+ 1)a
n−1
a+ 2(n
2
−1)a
n
= 0,
P
′′
(a) = 2n(n+ 1)a
n−1
−2n(n+ 1)a
n−1
= 0.△
Kao direktnu posledicu teoreme 1.5.2 imamo slede´ci rezultat:
Teorema 1.5.5.Neka sux1,x2,. . .,xmmedˉu sobom razliˇcite nule poli-
nomaP(x)∈C[x]stepenansa redom viˇsestrukostik1,k2,. . .,km, respek-
tivno. Tada vaˇzi faktorizacija
(1.5.5) P(x) =an(x−x1)
k1
(x−x2)
k2
∆ ∆ ∆(x−xm)
km
,
gde jek1+k2+∆ ∆ ∆+km=n, aanje najstariji koeﬁcijent polinomaP(x).
Faktorizacija (1.5.5) se nazivakanoniˇcko razlaganje polinomaP(x)na
faktore.
Teorema 1.5.6.Kanoniˇcko razlaganje(1.5.5)je jedinstveno.
Dokaz.Pretpostavimo da, pored kanoniˇckog razlaganja (1.5.5), postoji
drugo kanoniˇcko razlaganje
P(x) =an(x−y1)
l1
(x−y2)
l2
∆ ∆ ∆(x−xr)
lr
,
gde jel1+l2+∆ ∆ ∆+lr=n. Tada mora vaˇziti jednakost
(1.5.6) (x−x1)
k1
(x−x2)
k2
∆ ∆ ∆(x−xm)
km
= (x−y1)
l1
(x−y2)
l2
∆ ∆ ∆(x−yr)
lr
.

ALGEBARSKI POLINOMI 257
Nije teˇsko videti da se skupovi nula
Xm={x1, x2, . . . , xm}iYr={y1, y2, . . . , yr}
moraju poklapati. Naime, ako to nije sluˇcaj, jednakost nije mogu´ca za svako
x∈C. Na primer, akox16∈Yr, tada zax=x1leva strana u (1.5.6) postaje
nula, dok je pri tome desna strana razliˇcita od nule. Prema tome, ako postoje
dva kanoniˇcka razlaganja onda bi jednakost (1.5.6) eventualno bila mogu´ca
samo kada jeXm=Yr, tj. kada je
(1.5.7) (x−x1)
k1
(x−x2)
k2
∆ ∆ ∆(x−xm)
km
= (x−x1)
l1
(x−x2)
l2
∆ ∆ ∆(x−xm)
lm
.
Pretpostavimo sada da je, na primer,k16=l1i neka jek1> l1. Deobom
(1.5.7) sa faktorom (x−x1)
l1
dobijamo
(x−x1)
k1−l1
(x−x2)
k2
∆ ∆ ∆(x−xm)
km
= (x−x2)
l2
∆ ∆ ∆(x−xm)
lm
,
odakle, stavljaju´cix=x1, zakljuˇcujemo da mora bitik1=l1jer bi u
protivnom sluˇcaju leva strana bila nula, a desna razliˇcita od nule. Na ovaj
naˇcin dokazujemo da mora bitiki=liza svakoi= 1, . . . , m, ˇsto znaˇci da
je kanoniˇcko razlaganje (1.5.5) jedinstveno.∗
Napomena 1.5.1.Na kraju ovog odeljka ukaˇzimo na mogu´cnost da se polinom
sa viˇsestrukim nulama, ˇcije je kanoniˇcko razlaganje dato sa (1.5.5), moˇze redukovati
na polinom sa samo prostim nulamax1,x2,. . .,xm. Pretpostavimo da jeD(x)
najve´ci zajedniˇcki delilac za polinomeP(x) iP
′
(x), tj.D(x) = NZD(P(x), P
′
(x).
Ukoliko jeD(x) konstanta, polinomiP(x) iP
′
(x) su uzajamno prosti, ˇsto znaˇci da
oni nemaju zajedniˇckih faktora, tj. polinomP(x) ima samo proste nule. Medˉutim,
ukoliko je dgD(x)≥1, polinomP(x) ima viˇsestruke nule jer su tada faktori
polinomaD(x), upravo, zajedniˇcki faktori polinomaP(x) iP
′
(x). Zato deljenje
polinomaP(x) saD(x) daje kao koliˇcnik polinom koji ima iste nule kao i polinom
P(x), ali su one sve proste. Dakle, taj polinom ima faktorizaciju
P(x)
D(x)
=c(x−x1)(x−x2)∆ ∆ ∆(x−xm),
gde jecneka konstanta.
1.6. Vi`eteove formule
Posmatrajmo polinomP(x) sa kompleksnim koeﬁcijentima stepenankoji
je dat sa (1.5.1). Neka su njegove nule redomx1,x2,. . .,xn. Iz jednakosti

258 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
polinoma, na osnovu (1.5.1) i (1.5.2), dobijamo tzv. Vi`eteove
60)
formule
x1+x2+∆ ∆ ∆+xn=−
an−1
an
,
x1x2+x1x3+∆ ∆ ∆+xn−1xn=
an−2
an
,
.
.
.
x1x2∆ ∆ ∆xn= (−1)
n
a0
an
.
Oznaˇcimo leve strane u prethodnim jednakostima redom saσ1,σ2,. . .,
σn. Detaljnije razmatranje ovih veliˇcina koje se, inaˇce, nazivajuelementarne
simetriˇcne funkcijebi´ce dato u odeljku 3.1. Nije teˇsko zakljuˇciti da vaˇzi
anx
n
+an−1x
n−1
+an−2x
n−2
+∆ ∆ ∆+a1x+a0
≡an(x−x1)(x−x2)∆ ∆ ∆(x−xn)
≡an(x
n
−σ1x
n−1
+σ2x
n−2
− + (−1)
n
σn).
1.7. Nule realnih polinoma
Neka je
(1.7.1) P(x) =anx
n
+an−1x
n−1
+∆ ∆ ∆+a1x+a0,
gde su koeﬁcijentia0, a1, . . . , anrealni brojevi ian6= 0. Za takav polinom ko-
risti´cemo terminrealni polinom. Nule realnih polinoma su, u opˇstem sluˇcaju,
kompleksni brojevi. Dokaza´cemo da se one javljaju kao parovi konjugovano-
kompleksnih brojeva.
Teorema 1.7.1.Ako jexνkompleksna nula redakνrealnog polinomaP(x),
tada je iˉxνtakodˉe njegova kompleksna nula istog reda.
Dokaz.Na osnovu (1.7.1) imamo
P(x) =anˉx
n
+an−1ˉx
n−1
+∆ ∆ ∆+a1ˉx+a0=P(ˉx).
S druge strane, na osnovu faktorizacije (1.5.5), tj.
P(x) =an(x−x1)
k1
(x−x2)
k2
∆ ∆ ∆(x−xm)
km
−
k1+k2+∆ ∆ ∆+km=n
∆
,
60)
Fran¸cois Vi`ete (1540–1603), poznati francuski matematiˇcar.

ALGEBARSKI POLINOMI 259
zakljuˇcujemo da je
P(x) =P(ˉx) =an(ˉx−x1)
k1
(ˉx−x2)
k2
∆ ∆ ∆(ˉx−xm)
km
,
tj.
P(x) =an(x−ˉx1)
k1
(x−ˉx2)
k2
∆ ∆ ∆(x−ˉxm)
km
,
odakle neposredno sleduje tvrdˉenje teoreme.∗
Na osnovu prthodnog izlaganja moˇzemo zakljuˇciti da realni polinom moˇze
imati realne nule i/ili parove konjugovano-kompleksnih nula. Pretpostavimo
da polinomP(x) ima realne nulex1, . . . , xm, reda viˇsestrukostik1, . . . , km,
respektivno, i parove konjugovano-kompleksnih nulaα1±iβ1, . . . , αl±iβl,
reda viˇsestrukostis1, . . . , sl, takodˉe respektivno. Naravno, mora biti
m
X
ν=1
kν+ 2
l
X
ν=1
sν= dgP(x).
Kako je
(x−αν−iβν)(x−αν+iβν) = (x−αν)
2
+β
2
ν
=x
2
+pνx+qν(p, q∈R),
parovima konjugovano-kompleksnih nula odgovaraju kvadratni faktori
x
2
+pνx+qν
−
pν=−2αν, qν=α
2
ν
+β
2
ν
∆
odgovaraju´ce viˇsestrukostisν.
Prema tome, realni polinomP(x) se moˇze faktorisati u obliku
(1.7.2) P(x) =an
m
Y
ν=1
(x−xν)
kν
l
Y
ν=1
(x
2
+pνx+qν)
sν
,
gde jeannajstariji koeﬁcijent polinomaP(x).
Primer 1.7.1.Neka jeP(x) =x
6
−2x
3
+ 1. Kako je
P(x) = (x
3
−1)
2
=
`
(x−1)(x
2
+x+ 1)
´
2
,
faktorizacija (1.7.2) postajeP(x) = (x−1)
2
(x
2
+x+1)
2
, ˇsto znaˇci da polinom ima
dvostruku realnu nulux= 1 i par konjugovano-kompleksnih nulax=
`
−1±
√
3
´
/2,
ˇciji je red viˇsestrukosti, takodˉe, dva.△

260 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Primer 1.7.2.Jedna nula polinomaP(x) = 4x
4
−4x
3
+ 13x
2
−16x−12 je
−2i. Kako je ovo realni prolinom, on mora imati i konjugovanu nulu 2i. Polinom
P(x) je, dakle, deljiv faktorom (x+ 2i)(x−2i) =x
2
+ 4. Kako je
(4x
4
−4x
3
+ 13x
2
−16x−12) : (x
2
+ 4) = 4x
2
−4x−3 = 4
“
x+
1
2
”“
x−
3
2
”
,
faktorizovani oblik polinomaP(x) je
P(x) = 4
“
x+
1
2
”“
x−
3
2
”
(x
2
+ 4).
Njegove nule su redomx1=−1/2,x2= 3/2,x3=−2i,x4= 2i. Napomenimo da
smo, u primeru 1.4.1, Hornerovom ˇsemom zakljuˇcili da jeP(−1/2) = 0.△
Razmotrimo sada potrebne uslove da jedan realni polinom sa celobrojnim
koeﬁcijentima ima racionalne nule.
Teorema 1.7.2.Neka jeP(x)realni polinom sa celobrojnim koeﬁcijentima,
P(x) =anx
n
+an−1x
n−1
+∆ ∆ ∆+a1x+a0,(ak∈a,j,
bj,
a0an6= 0).
Ako jex1=p/qnula ovog polinoma, gde supiquzajamno prosti celi brojevi,
tadaa0deljivo sapiandeljivo saq, tj. vaˇze relacijep|a0iq|an.
Dokaz.Pretpostavimo da jex1=p/q∈Qnula polinomaP(x), tj. da je
P(x1) =an
“
p
q
≡
n
+an−1
“
p
q
≡
n−1
+∆ ∆ ∆+a1
p
q
+a0= 0.
Ako ovu jednakost pomnoˇzimo saq
n−1
dobijamo da je
an
p
n
q
+an−1p
n−1
+∆ ∆ ∆+a1pq
n−2
+a0q
n−1
= 0,
odakle zakljuˇcujemo daq|anjer supiquzajamno prosti brojevi. Sliˇcno,
mnoˇzenjem poslednje jednakosti saq/pdobijamo
anp
n−1
+an−1p
n−2
q+∆ ∆ ∆+a1q
n−1
+a0
q
n
p
= 0,
odakle zakljuˇcujemo dap|a0.∗
Primer 1.7.3.Na polinom iz primera 1.7.2 moˇzemo primeniti prethodnu teo-
remu. Faktori broja 12 (=−a0) su:±1,±2,±3,±4,±6,±12. Pozitivni faktori
broja 4 (=a4) su: 1, 2, 4. Na osnovu teoreme 1.7.2, racionalne nule polinoma
(ukoliko postoje) pripadaju slede´cem skupu:
n
±1,±
1
2
,±
1
4
,±2,±3,±
3
2
,±
3
4
,±4,±6,±12
o
.
To su, kao ˇsto smo videli u primeru 1.7.2,x1=−1/2 ix2= 3/2.△
Rolleova teorema (videti odeljak 1.11, glava V) moˇze se ovde iskazati u
obliku:

ALGEBARSKI POLINOMI 261
Teorema 1.7.3.Izmedˉu dve uzastopne realne nulex1ix2(x1< x2)realnog
polinomaP(x)nalazi se bar jedna nula izvodnog polinomaP
′
(x).
Takodˉe, za realne polinome vaˇze slede´ci rezultati koji su posledice Rolleove
teoreme:
Teorema 1.7.4.Izmedˉu dve uzastopne realne nulex
′
1
ix
′
2
(x
′
1
< x
′
2
)realnog
izvodnog polinomaP
′
(x)nalazi se najviˇse jedna nula polinomaP(x).
Teorema 1.7.5.Ako su sve nule realnog polinomaP(x)realne, tada su
i sve nule izvodnog polinomaP
′
(x)realne i nule izvodnog polinomaP
′
(x)
razdvajaju nule polinomaP(x).
Teorema 1.7.6.Realni polinomP(x)ne moˇze imati viˇse odk+ 1realnih
nula ako izvodni polinomP
′
(x)imakrealnih nula.
1.8. Broj realnih nula
Ovaj odeljak posve´cujemo pitanju broja realnih nula datogpolinomaP(x)
u intervalu (a, b), u oznaciN(a, b)≡N(a, b;P). Da bismo formulisali os-
novne rezultate koji se odnose na brojN(a, b), potrebno je najpre uvesti
deﬁniciju varijacije (promene znaka) u jednom konaˇcnom nizu realnih bro-
jeva
(1.8.1) {a1, a2, . . . , an},
od kojih nijedan nije nula.
Deﬁnicija 1.8.1.Ako jeakak+1<0 (1≤k≤n−1) kaˇzemo da na mestu
ku nizu (1.8.1) postojivarijacijailipromena znaka.
Primer 1.8.1.Niz brojeva{−4,−2,1,−3,−2,5,2}ima ukupno tri varijacije
koje postoje na drugom (ˇclanovi niza−2 i 1), tre´cem (1 i 3), i na petom mestu (sa
ˇclanovima−2 i 5).△
Napomena 1.8.1.ˇCesto se, radi lakˇseg pra´cenja promene znaka, datom nizu
realnih brojeva pridruˇzuje niz simbola + i−. Tako za niz iz primera 1.8.1 imamo
{−4,−2,1,−3,−2,5,2} 7→ {−,−,+,−,−,+,+}.
Broj varijacija u nizu koji ima i ˇclanove koji su jednaki nuli odredˉuje se
tako ˇsto se takvi ˇclanovi ne uzimaju u obzir.
Primer 1.8.2.Kod odredˉivanja broja varijacija u nizu{0,−2,0,0,3,4,0,1,3}
treba posmatrati niz{−2,3,4,1,3}. Ovaj niz ima samo jednu varijaciju.△

262 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
NekaVoznaˇcava broj varijacija u nizu
(1.8.2) {a0, a1, . . . , an−1, an}(a0>0, an6= 0)
ˇciji su ˇclanovi koeﬁcijenti realnog polinoma
(1.8.3) P(x) =a0x
n
+a1x
n−1
+∆ ∆ ∆+an−1x+an (a0>0).
Slede´ce tvrdˉenje, koje navodimo bez dokaza, poznato je kao Descartesova
teorema:
Teorema 1.8.1.Broj pozitivnih nula polinoma(1.8.3)jednak je broju vari-
jacija u nizu(1.8.2)ili je od njega manji za paran broj2m, tj.N(0,+∞;P) =
V−2m.
Napomena 1.8.2.U prethodnoj teoremi viˇsestruke nule se raˇcunaju onoliko
puta koliki je njihov red viˇsestrukosti.
Napomena 1.8.3.Broj negativnih nula polinoma (1.8.3) mogu´ce je analizirati
primenom teoreme na polinomQ(x) = (−1)
n
P(−x).
Primer 1.8.3.Neka jeP(x) =x
5
−x
3
+ 1. Njegovi koeﬁcijenti ˇcine niz
{1,0,−1,0,0,1}, ˇciji je broj varijacijaV= 2. Na osnovu Descartesove teoreme,
polinomP(x) ima dve ili nijednu pozitivnu nulu. Za analizu broja negativnih nula
posmatrajmo polinomQ(x) =−P(−x) =x
5
+x
3
−1, ˇciji koeﬁcijenti ˇcine niz
{1,0,1,0,0,−1}. Kako ovaj niz ima samo jednu varijaciju, zakljuˇcujemo da poli-
nomQ(x) ima jednu pozitivnu nulu, tj. polinomP(x) ima samo jednu negativnu
nulu.△
Za odredˉivanje taˇcnog broja realnih nula jednog realnog polinoma udatom
intervalu postoji opˇsti metod, zasnovan na Sturmovoj
61)
teoremi. Za poli-
nom bez viˇsestrukih nula moˇze se formirati niz polinoma, tzv.Sturmov niz,
na osnovu koga se moˇze odrediti taˇcan broj njegovih realnih nula u bilo kom
intervalu (a, b). Kao ˇsto je poznato (videti napomenu 1.5.1) polinomP(x)
se uvek moˇze ,,oˇcistiti‘‘ od viˇsestrukih nula, uzimaju´ci umestoP(x) polinom
P(x)/NZD(P(x), P
′
(x)).
Dakle, pretpostavimo da polinomP(x) nema viˇsestrukih nula i formiraj-
mo niz polinoma
s[x] =
⊕
P0(x), P1(x), . . . , Pm(x)

,
startuju´ci sa
P0(x) =P(x) i P1(x) =P
′
(x).
61)
Jacques Charles Fran¸cois Sturm (1803–1855), francuski matematiˇcar.

ALGEBARSKI POLINOMI 263
Sliˇcno kao u Euklidovom algoritmu dalje ˇclanove nizas[x] odredˉujemo po-
mo´cu
P0(x) =P1(x)Q1(x)−P2(x),
P1(x) =P2(x)Q2(x)−P3(x),
.
.
.
Pk−1(x) =Pk(x)Qk(x)−Pk+1(x),(1.8.4)
.
.
.
Pm−2(x) =Pm−1(x)Qm−1(x)−Pm(x),
gde su dgPk+1(x)<dgPk(x) (k= 1, . . . , m−1) i dgPm(x) = 0. Primetimo
da ovde ostatak pri deljenjuPk−1(x) saPk(x) oznaˇcen sa−Pk+1(x).
Od izuzetnog znaˇcaja je prouˇciti osobine Sturmovog nizas[x] i broj vari-
jacija u tom nizu, u oznaciV(s[x]). Preciznije reˇceno, interesuje nas promena
u broju varijacija u nizus[x] kada sexmenja duˇz intervala (a, b). Jasno je,
da promene ne´ce biti ako nijedan ˇclan niza ne menja svoj znak na ovom
intervalu.
Lema 1.8.2.Neka jeP(x)realni polinom sa prostim nulama is[x]njegov
Sturmov niz. Tada vaˇzi:
(a)Uzastopni ˇclanovi nizas[x]nemaju zajedniˇckih nula;
(b)Ako jex=arealna nula polinomaPk(x) (1≤k≤m−1), tada je
(1.8.5) Pk−1(a)Pk+1(a)<0 ;
(c)Ako jex=arealna nula polinomaPk(x) (1≤k≤m−1), tada
postoji okolina ove taˇcke u kojoj se broj varijacija u Sturmovom nizu
ne menja, tj.V(s[x]) = constza svakox∈(a−ε, a+ε);
(d)Ako jex=arealna nula polinomaP(x), tada za dovoljno malo
pozitivnoεimamoV(s[a+ε]) =V(s[a−ε])−1.
Dokaz.(a) Pretpostavimo suprotno, tj. daPk(x) iPk+1(x) imaju za-
jedniˇcku nulux=a. Tada, na osnovu (1.8.4), zakljuˇcujemo da jePk−1(a) =
0. Ovo dalje znaˇci da je iPk−2(a) = 0,. . .,P1(a) = 0,P0(a) = 0, tj. da je
x=aviˇsestruka nula polinomaP(x). Ovo je, medˉutim, u kontradikciji sa
pretpostavkom da polinom nema viˇsestrukih nula.

264 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
(b) Ako jePk(a) = 0 iz (1.8.4) sledujePk−1(a) =−Pk+1(a), tj.
Pk−1(a)Pk+1(a) =−Pk+1(a)
2
.
Kako je, na osnovu (a),Pk+1(a)6= 0, zakljuˇcujemo da vaˇzi (1.8.5).
(c) Na osnovu (a) i (b) zakljuˇcujemo da suPk−1(a) iPk+1(a) (1≤k≤
m−1) razliˇciti od nule i suprotnog su znaka. Zbog neprekidnosti polinomskih
funkcija (videti komentare u odeljku 1.4), postoji okolinataˇckex=au
kojojPk−1(x) iPk+1(x) nemaju nula, tj. konstantnog su znaka za svako
x∈(a−ε, a+ε). Moˇze se pretpostaviti, na primer, da je u toj okolini
Pk−1(x)<0 iPk+1(x)>0. Tada imamo slede´ce mogu´cnosti:
x sgnPk−1(x) sgnPk(x) sgnPk+1(x)
x < a − + +
x > a − − +
x < a − − +
x > a − + +
Dakle, broj varijacija ostaje nepromenjen kada sexmenja duˇz intervala
(a−ε, a+ε).
(d) PolinomP(x) nema viˇsestrukih nula pa jeP
′
(a) =P1(a)6= 0. Ovo
znaˇci da se moˇze izabrati dovoljno maloε >0 tako da se u intervalu (a−
ε, a+ε) izvodP
′
(x) ne anulira i da u tom intervalu polinomP(x) ima samo
jednu realnu nulux=a. Sliˇcno, kao i u sluˇcaju (c), ˇsematski moˇzemo
analizirati mogu´ce sluˇcajeve kadax∈(a−ε, a+ε):
x sgnP(x) sgnP
′
(x)sgnP(x) sgnP
′
(x)
x < a − + + −
x > a + + − −
Kao ˇsto moˇzemo videti, postoji jedna varijacija u nizu{P(x), P
′
(x)}za
x < a, dok zax > aovaj niz ne menja znak. Prema tome, imamo smanjivanje
broja varijacija za jedinicu.∗
Na osnovu prethodne leme jednostavno se dokazuje slede´ca Sturmova teo-
rema:
Teorema 1.8.3.Neka jes[x]Sturmov niz za polinomP(x)bez viˇsestrukih
nula i nekax=aix=bnisu njegove nule, tj. neka jeP0(a)P0(b)6= 0.

ALGEBARSKI POLINOMI 265
Tada je broj realnih nula polinomaP(x)u intervalu(a, b)jednak razlici
broja varijacija u nizovimas[a]is[b], tj.
N(a, b) =V(s[a])−V(s[b]).
Dokaz.Evidentno je da do promene broja varijacija u Sturmovom nizu
moˇze do´ci samo kadaxrastu´ci odadobprolazi kroz neku nulu ˇclanova
Sturmovog niza. Na osnovu leme 1.8.2, pri prolasku kroz nulunekog od
polinomaPk(x) (1≤k≤m−1), broj varijacija u Sturmovom nizu ostaje
nepromenjen. Jedino, pri prolasku kroz jednu nulu polinomaP(x) broj va-
rijacija se smanjuje za jedinicu. Ovo znaˇci da razlika izmedˉu broja varijacija
u Sturmovom nizu zax=ai zax=bdaje taˇcno broj nula polinomaP(x)
koji se nalaze u intervalu (a, b).∗
Primer 1.8.4.Neka je
P(x) = 4x
8
−23x
6
−5x
5
+ 43x
4
+ 20x
3
−24x
2
−20x−4.
Da bismo eliminisali viˇsestruke nule ovog polinoma (ukoliko postoje) potrebno je
odrediti najpre najve´ci zajedniˇcki delilac zaP(x) iP
′
(x) = 32x
7
−138x
5
−25x
4
+
172x
3
+ 60x
2
−48x−20. Euklidovim algoritmom (videti odeljak 1.3) nalazimo
NZD(P(x), P
′
(x)) = 2x
3
+x
2
−4x−2.
Tada, deljenjemP(x) sa 2x
3
+x
2
−4x−2 dobijamo
P0(x) = 2x
5
−x
4
−7x
3
+x
2
+ 6x+ 2.
Dakle, ovaj polinom ima samo proste nule. Pomo´cu Sturmovogniza moˇzemo
odrediti broj njegovih realnih nula u bilo kom intervalu (a, b).
SaP1(x) oznaˇcimo izvod polinomaP0(x), tj.
P1(x) = 10x
4
−4x
3
−21x
2
+ 2x+ 6.
Ako 50P0(x) podelimo
62)
saP1(x) dobijamo koliˇcnik 10x−1, dok je ostatak pri
ovom deljenju uzet sa negativnim znakom
P2(x) = 144x
3
−9x
2
−242x−106.
62)
U cilju dobijanja jednostavnijih izraza, i ovde, kao i kod odredˉivanja najve´ceg
zajedniˇckog delioca za dva polinoma (videti napomenu 1.3.1), u postupku dobijanja Stur-
movog niza mogu´ce je mnoˇziti ˇclanove niza proizvoljnim pozitivnim konstantama. Pozi-
tivnost konstanata je bitna zbog oˇcuvanja znaka ˇclanova niza.

266 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Sada deljenjem 1152P1(x) saP2(x) dobijamo koliˇcnik 80x−27 i odgovaraju´ci
ostatak−5075x
2
+ 4250x+ 4050. Za ˇclanP3(x) u Sturmovom nizu uzimamo ovaj
ostatak, prethodno pomnoˇzen sa−1/25, tj.P3(x) = 203x
2
−170x−162.
Sliˇcno, deljenjem 41209P2(x) saP3(x) dobijamo kao koliˇcnik 29232x+ 22653,
dok je ostatak−1385984x−698368. Za ˇclanP4(x) u Sturmovom nizu uzimamo
prethodni ostatak sa negativnim znakom (uz dodatno deljenje sa 512). Dakle,
P4(x) = 2707x+ 1364.
Najzad, 7327849P3(x)/P4(x) daje koliˇcnik 549521x−737082 i odgovaraju´ci
ostatak−181731690. Za poslednji ˇclan Sturmovog niza moˇzemo uzetiP5(x) = 1.
Na ovaj naˇcin, dobili smo Sturmov niz
s[x] =
˘
2x
5
−x
4
−7x
3
+x
2
+ 6x+ 2,10x
4
−4x
3
−21x
2
+ 2x+ 6,
144x
3
−9x
2
−242x−106,203x
2
−170x−162,2707x+ 1364,1

,
za koji, na primer, imamo
s[−2] ={−30,110,−810,990,−4050,1} 7→ {−,+,−,+,−,+}, V(s[−2]) = 5,
s[−1] ={1,−3,−17,211,−1343,1} 7→ {+,−,−,+,−,+}, V(s[−1]) = 4,
s[0] ={2,6,−106,−162,1364,1} 7→ {+,+,−,−,+,+}, V(s[0]) = 2,
s[1] ={3,−7,−213,−129,4071,1} 7→ {+,−,−,−,+,+}, V(s[1]) = 2,
s[2] ={10,54,526,310,6778,1} 7→ { +,+,+,+,+,+}, V(s[2]) = 0.
Primetimo, takodˉe, da jeV(s[−∞]) = 5 iV(s[+∞]) = 0, s obzirom na
s[−∞]7→ {−,+,−,+,−,+}is[+∞]7→ {+,+,+,+,+,+}.
Sada moˇzemo, na osnovu Sturmove teoreme, da odredimo broj realnih nula
polinomaP0(x) u intervalu (a, b). Oznaˇcavaju´ci taj broj saN(a, b), imamo
N(−∞,−2) = 5−5 = 0, N(−2,−1) = 5−4 = 1, N(−1,0) = 4−2 = 2,
N(0,1) = 2−2 = 0, N (1,2) = 2−0 = 2, N (2,+∞) = 0−0 = 0.
Dakle, polinom petog stepenaP0(x) ima sve realne nule i to jednu u intervalu
(−2−1) i po dve u intervalima (−1,0) i (1,2). Napomenimo da su njegove nule
−1/2,±
√
2, (1±
√
5)/2. Inaˇce, nule−1/2 i±
√
2 su dvostruke za polazni
polinomP(x).△
2. ALGEBARSKE JEDNA
ˇ
CINE
2.1. Reˇsavanje algebarskih jednaˇcina
Jedan od glavnih problema algebre je nalaˇzenjereˇsenjaalgebarskih jed-
naˇcina.

ALGEBARSKE JEDNA ˇCINE 267
Deﬁnicija 2.1.1.Ako jeP(x) polinom stepenan, podalgebarskom jedna-
ˇcinomn-tog stepenapodrazumevamo jednaˇcinu
(2.1.1) P(x)≡a0x
n
+a1x
n−1
+∆ ∆ ∆+an−1x+an= 0.
Koren ili reˇsenje jednaˇcine (2.1.1) je svaka nula polinomaP(x).
Oˇcigledno je da reˇsenje jednaˇcine (2.1.1) zavisi od koeﬁcijenataa0,a1,. . .,
an. Dakle, ako jex=areˇsenje ove jednaˇcine, tada jeafunkcija koeﬁcijenata,
tj.a=F(a0, a1, . . . , an).
Pretpostavimo da je funkcijaFobrazovana konaˇcnom primenom opera-
cija sabiranja, oduzimanja, mnoˇzenja, deljenja i korenovanja nad koeﬁcijen-
timaa0,a1,. . .,an. Reˇsiti jednaˇcinu (2.1.1) pomo´curadikalaznaˇci odrediti
sve takve funkcijeFza koje jeF(a0, a1, . . . , an) reˇsenje jednaˇcine (2.1.1).
Za reˇsenje opˇste kubne jednaˇcine zasluˇzni su italijanski algebristi Scipione
del Ferro, Niccol`o Tartaglia i Gerolamo Cardano iz ˇsesnaestog veka
63)
. U
tom periodu dobijeno je i reˇsenje za opˇstu algebarsku jednaˇcinu ˇcetvrtog
stepena.
Svi napori tokom slede´ca dva veka bili su usmereni na reˇsavanje opˇstih
algebarskih jednaˇcina stepena ve´ceg od ˇcetiri, ali bezuspeˇsno. Jedan od
vaˇznih doprinosa Gaussa u teoriji algebarskih jednaˇcinaje, svakako, kom-
pletno reˇsenje binomne jednaˇcine
64)
(2.1.2) x
n
−1 = 0,
63)
Njihov rad je veoma znaˇcajan za istoriju algebre. Scipionedel Ferro (1465–1526)
nikad nije publikovao svoje reˇsenje, ve´c ga je samo saopˇstio nekim svojim prijateljima.
Gerolamo Cardano (1501–1576) je bio ˇcuveni lekar, astrolog, ﬁlozof i matematiˇcar, koji je
ˇziveo u Milanu. Niccol`o Tartaglia (1500–1557) je, takodˉe, italijanski matematiˇcar, ˇcija je
godina rodˉenja, prema raspoloˇzivim izvorima, nesiguran podatak.
64)
Ova jednaˇcina je usko povezana sa konstrukcijom pravilnogpoligona odnstrana
koji je upisan u dati krug. Starogrˇcki mistik, matematiˇcar i prirodnjak Pitagora (569?–
500? pre naˇse ere) znao je da konstruiˇse pravilne poligonesa 3, 4, 5 i 6 stranica. Njihove
konstrukcije se mogu na´ci i ˇcetvrtoj knjiziEuklidovi elementi. Gauss je bio joˇs na Uni-
verzitetu (1796) kada je otkrio da pravilan poligon sa 17 stranica moˇze biti upisan u dati
krug koriˇs´cenjem samo lenjira i ˇsestara. Kasnije, on je dokazao da pravilann-tougao
moˇze biti konstruisan samo pomo´cu lenjira i ˇsestara ako isamo ako je ispunjen bilo koji
od slede´cih uslova: (1)nje prost broj oblika 2
2
k
+ 1, ili je proizvod razliˇcitih prostih
brojeva ovog oblika; (2)nje neki stepen od 2; (3)nje proizvod brojeva koji zadovoljavaju
uslove (1) i (2). Na osnovu ovoga, pokazano je da mogu biti konstruisani pravilni poligoni
sa 257 i 65537 stranica. Godine 1801. pojavilo se znaˇcajno Gaussovo deloAritmetiˇcka
ispitivanja.

268 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
pomo´cu radikala. Reˇsavanje binomne jednaˇcine razmatrali smo u odeljku
3.5, glava I. Prisetimo se samo da su koreni ove jednaˇcine kompleksni brojevi
rasporedˉeni na jediniˇcnom krugu tako da predstavljaju temena pravilnog
poligona odnstrana koji je upisan u ovaj krug. Dakle, binomna jednaˇcina
(2.1.2), ili kako se drugaˇcije kaˇzen-ti koren iz jedinice, imanreˇsenja koja
odgovaraju tzv.granaman-tog korena, kojih ima taˇcnon.
Za jednaˇcinu (2.1.1) kaˇzemo da jeopˇsta algebarska jednaˇcinaako su njeni
koeﬁcijentia0,a1,. . .,anopˇsti brojevi. Ukoliko su, medˉutim, svi koeﬁci-
jenti dati kao ﬁksne numeriˇcke konstante, tada za jednaˇcinu kaˇzemo da je
numeriˇcka algebarska jednaˇcina. Ruﬃni
65)
, Abel, Galois
66)
, i drugi, dokazali
su da se opˇsta algebarska jednaˇcina stepenan≥5 ne moˇze reˇsiti pomo´cu
radikala. Reˇsenje je, dakle, mogu´ce samo za jednaˇcine stepenan≤4. U
narednim odeljcima dajemo reˇsenja za kvadratne jednaˇcine (n= 2), kubne
jednaˇcine (n= 3) i jednaˇcine ˇcetvrtog stepena (n= 4).
S druge strane, numeriˇcke algebarske jednaˇcine mogu se reˇsiti sa proiz-
voljnom taˇcnoˇs´cu raznim iterativnim metodima
67)
.
Na kraju ovog odeljka napomenimo da je Galois dao kompletan odgovor
na pitanje pod kojim se uslovima neka algebarska jednaˇcinamoˇze reˇsiti
pomo´cu radikala.
2.2. Kvadratna jednaˇcina
Neka sux1ix2koreni kompleksne kvadratne jednaˇcine
(2.2.1) x
2
+a1x+a0= 0
reprezentovani pomo´cu kompleksnih brojevaαiβ,
(2.2.2) x1=α+β, x 2=α−β.
Tada je
(2.2.3) 2 α=−a1, α
2
−β
2
=a0.
Iz (2.2.3) dobijamoα=−a1/2 kao i linearnu jednaˇcinu zaβ
2
iz koje±β
moˇze biti odredˉeno. Dakle,
(2.2.4) x1=−
a1
2
+
1
2
q
a
2
1
−4a0, x 2=−
a1
2
−
1
2
q
a
2
1
−4a0.
Napomena 2.2.1.Grana kvadratnog korena u (2.2.4) moˇze biti izbrana proiz-
voljno. Izbor grane utiˇce samo na redosled reˇsenjax1ix2. Sliˇcna primedba vaˇzi i
za jednaˇcine tre´ceg i ˇcetvrtog stepena.
65)
Paolo Ruﬃni (1765–1822), italijanski matematiˇcar.
66)
Evariste Galois (1811–1832), francuski matematiˇcar.
67)
Ovi metodi se prouˇcavaju u okviru kursaNumeriˇcka matematika.

ALGEBARSKE JEDNA ˇCINE 269
2.3. Kubna jednaˇcina
Posmatrajmo kompleksnu jednaˇcinu tre´ceg stepena, ili tzv. kubnu jedna-
ˇcinu,
(2.3.1) x
3
+a2x
2
+a1x+a0= 0.
Njeni korenix1, x2ix3se mogu predstaviti kompleksnim brojevimaα, βiγ
u obliku
x1=α+q0β+q0γ,
x2=α+q1β+q2γ,(2.3.2)
x3=α+q2β+q1γ,
gde suqk, k= 0,1,2, dati sa
q0= 1, q1=
−1 +i
√
3
2
, q2=
−1−i
√
3
2
.
Tada, na osnovu Vi`eteovih formula
x1+x2+x3=−a2,
x1x2+x1x3+x2x3=a1,(2.3.3)
x1x2x3=−a0,
imamo
3α=−a2,
3α
2
−3βγ=a1,(2.3.4)
α
3
+β
3
+γ
3
−3αβγ=−a0.
Iz jednaˇcina (2.3.4) moˇzemo na´ci sumu 3
3
(β
3
+γ
3
) i proizvod 3
6
(β
3
γ
3
),
pomo´cu kojih se moˇze formirati kvadratna jednaˇcina
(2.3.5) (3 v)
6
+ (2a
3
2−9a1a2+ 27a0)(3v)
3
+ (a
2
2−3a1)
3
= 0,
ˇcija reˇsenja su (3β)
3
i (3γ)
3
.
Ako stavimo
(2.3.6) Q=a
2
2−3a1, R=−2a
3
2+ 9a1a2−27a0,

270 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
iz kvadratne jednaˇcine (2.3.5) sleduje
(2.3.7) (3β)
3
=
R+
p
R
2
−4Q
3
2
,(3γ)
3
=
R−
p
R
2
−4Q
3
2
.
Dakle,
(2.3.8)α=−
a2
3
, β=
1
3
3
s
R+
p
R
2
−4Q
3
2
, γ=
1
3
3
s
R−
p
R
2
−4Q
3
2
.
Grana kubnog korena u drugoj jednaˇcini u (2.3.8) moˇze bitiizabrana
proizvoljno, ali u tre´coj jednaˇcini ona mora biti izabrana tako da jeβγ=
Q/9. Poslednji zahtev proizilazi iz druge jednaˇcine u (2.3.4).
Napomena 2.3.1.U knjizi:D. S. Mitrinovi´c
68)
iD.
ˇ
Z. Dˉokovi´c
69)
,Poli-
nomi i matrice, Nauˇcna knjiga, Beograd, 1966 (str. 121–126) izloˇzen je Cardanoov
metod za reˇsavanje kubne jednaˇcine.
2.4. Jednaˇcina ˇcetvrtog stepena
Neka su korenix1, x2, x3ix4kompleksne jednaˇcine ˇcetvrtog stepena
(2.4.1) x
4
+a3x
3
+a2x
2
+a1x+a0= 0
reprezentovani pomo´cu
(2.4.2)
x1=α+β+γ+δ,
x2=α+β−γ−δ,
x3=α−β+γ−δ,
x4=α−β−γ+δ,
gde suα, β, γ, δkompleksni brojevi. Tada imamo
(2.4.3)
4α=−a3,
6α
2
−2(β
2
+γ
2
+δ
2
) =a2,
4α
3
−4α(β
2
+γ
2
+δ
2
) + 8βγδ=−a1,
α
4
+ (β
2
+γ
2
+δ
2
)
2
−2α
2
(β
2
+γ
2
+δ
2
)
−4(β
2
γ
2
+β
2
δ
2
+γ
2
δ
2
) + 8αβγδ=a0.
68)
Dragoslav S. Mitrinovi´c (1908–1995), poznati jugoslovenski matematiˇcar.
69)
Dragomir
ˇ
Z. Dˉokovi´c (1938– ), poznati jugoslovenski matematiˇcar kojiˇzivi i radi
u Kanadi.

ALGEBARSKE JEDNA ˇCINE 271
Na osnovu (2.4.3) dobijamo
4
2
(β
2
+γ
2
+δ
2
),4
4
(β
2
γ
2
+β
2
δ
2
+γ
2
δ
2
),4
6
β
2
γ
2
δ
2
,
koji su, u stvari, koeﬁcijenti kubne jednaˇcine
(2.4.4)
(16v
2
)
3
−(3a
2
3
−8a2)(16v
2
)
2
+(3a
4
3−16a2a
2
3+ 16a1a3+ 16a
2
2−64a0)(16v
2
)
−(a
3
3−4a2a3+ 8a1)
2
= 0.
Njena reˇsenja su (4β)
2
, (4γ)
2
i (4δ)
2
. Dakle, jednaˇcine (2.4.3) deﬁniˇsu vred-
nost zaα,α=−a3/4, i impliciraju jednaˇcinu tre´eg stepena (2.4.4) za odre-
dˉivanjeβ
2
, γ
2
iδ
2
.
Ako stavimo
(2.4.5)
P=a
3
3−4a2a3+ 8a1,
Q= 12a0+a
2
2
−3a1a3,
R= 27a0a
2
3−9a1a2a3+ 2a
3
2−72a0a2+ 27a
2
1
i
α0=a
2
3−
8
3
a2,
β0=
4
3
3
s
R+
p
R
2
−4Q
3
2
,(2.4.6)
γ0=
4
3
3
s
R−
p
R
2
−4Q
3
2
,
tada su
(2.4.7)
α=−
a3
4
,
β=
1
4
p
α0+β0+γ0,
γ=
1
4
p
α0+q1β0+q2γ0,
δ=
1
4
p
α0+q2β0+q1γ0,

272 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
gde suq1iq2dva ne-realna kubna korena iz jedinice, ˇciji redosled nijebitan.
Bilo koji izbor grane kubnog korena u (2.4.6) za koji je
(2.4.8) β0γ0=
16Q
9
je dozvoljen. Sliˇcno je mogu´c proizvoljan izbor znaka kvadratnog korena u
(2.4.7) za koji je
(2.4.9) βγδ=−
P
64
.
Ograniˇcenje (2.4.9) za izbor znaka veliˇcinaβ, γiδu (2.4.7) proizilazi iz prve
tri jednaˇcine u (2.4.3).
Moˇze se, takodˉe, dokazati slede´ca karakterizacija:
Teorema 2.4.1.Neka je
(2.4.10) x
4
+a3x
3
+a2x
2
+a1x+a0= 0
realna jednaˇcina ˇcetvrtog stepena i neka su
Q= 12a0+a
2
2
−3a1a3,
R= 27a0a
2
3
−9a1a2a3+ 2a
3
2
−72a0a2+ 27a
2
1
,
i
(2.4.11) T= 3a
2
3−8a2+ 8 Re

3
s
R+
p
R
2
−4Q
3
2
!
.
Raˇcunaju´ci viˇsestrukost korena
(1)ako jeR
2
−4Q
3
>0tada su dva i samo dva korena jednaˇcine(2.4.10)
realna;
(2)ako jeR
2
−4Q
3
= 0tada su dva korena jednaˇcine(2.4.10)realna,
dok su preostala dva korena realna, ako i samo ako jeT≥0za sva
tri mogu´ca izbora kubnog korena u(2.4.11);
(3)ako jeR
2
−4Q
3
<0tada su(a)ˇcetiri korena jednaˇcine(2.4.10)
realna ako i samo ako jeT≥0za sva tri mogu´ca izbora kubnog
korena u(2.4.11);i(b)Nijedan koren jednaˇcine(2.4.10)nije realan
ako i samo ako jeT <0za najmanje jedan od mogu´ca tri izbora
kubnog korena u(2.4.11).
Isto tako vaˇze i slede´ca dva tvrdˉenja:

POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH 273
Teorema 2.4.2.1
◦
Kubna jednaˇcina(2.3.1)ima dva jednaka korena ako
i samo ako jeR
2
−4Q
3
= 0i ima tri jednaka korena ako i samo ako je
R=Q= 0, gde su
R=−2a
3
3+ 9a2a3−27a1, Q =a
2
3−3a2;
2
◦
Jednaˇcina ˇcetvrtog stepena(2.4.1)ima dva jednaka korena ako i samo
ako jeR
2
−4Q
3
= 0i ima tri jednaka korena ako i samo ako jeR=Q= 0,
gde su
R= 27a0a
2
3
−9a1a2a3+ 2a
3
2
−72a0a2+ 27a
2
1
,
Q= 12a0+a
2
2
−3a1a3.
Ove teoreme se mogu neposredno dokazati koriˇs´cenjem algebrskih reˇsenja
koja su prethodno data.
Teorema 2.4.3.1
◦
Jednaˇcina ˇcetvrtog stepena(2.4.1)ima dva para jed-
nakih korena ako i samo ako su ispunjeni uslovi
R
2
−4Q
3
= 0 i32R= 27α
3
0
.
2
◦
Jednaˇcina(2.4.1)ima ˇcetiri jednaka korena ako i samo ako jeR=
Q=α0= 0.
3. POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH
3.1. Simetriˇcni polinomi
Sva razmatranja u ovom poglavlju se odnose na polinome nad poljem
realnih ili kompleksnih brojeva.
Polinomska funkcijaP(x1, x2, . . . , xn) se nazivasimetriˇcnipolinom po
x1,x2,. . .,xnako je invarijantna za svaku permutaciju izvrˇsenu nadx1,x2,
. . .,xn. Umesto simetriˇcni polinom koristi se i terminsimetriˇcnafunkcija.
Na primer,
(3.1.1)
P1≡P1(a, b, c) =a
3
+b
3
+c
3
−3abc,
P2≡P2(a, b, c) =a
2
+b
2
+c
2
−ab−bc−ca
su simetriˇcni polinomi, ili simetriˇcne funkcije, promenljiviha, b, c.

274 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Uzimaju´ci sumu svih razliˇcitih ˇclanova (monoma) dobijenih iz tipiˇcnog
ˇclana oblika
x
k1
1
x
k2
2
∆ ∆ ∆x
km
m,
gde suk1, k2, . . . , kmprirodni brojevi, i zamenom indeksa 1, 2,. . .,msa
svim mogu´cim uredˉenjima odm(≤n) brojeva uzetih od 1, 2,. . .,n, dobija
se simetriˇcna funkcija promenljivihx1, x2, . . . , xn, koju oznaˇcavamo sa
X
x
k1
1
x
k2
2
∆ ∆ ∆x
km
m,
ili kra´ce kao [k1, k2, . . . , km].
U opˇstem sluˇcaju, ako jetproizvod stepena odx1, x2, . . . , xn, ˇciji su
eksponenti pozitivni celi brojevi, tada
P
toznaˇcava sumu ovog ˇclanati svih
razliˇcitih ˇclanova dobijenih iztpermutacijom promenljivih. Na primer, ako
imamo samo tri promenljivea, b, c, tada je
X
a
2
b
2
c= [2,2,1] =a
2
b
2
c+b
2
c
2
a+c
2
a
2
b.
Takvi simetriˇcni polinomi se nazivaju Σ-polinomi.
Dva standardna sluˇcaja Σ-polinoma odnpromenljivihx1, x2, . . . , xnsu:
1
◦
Centralne simetriˇcne funkcije(polinomi)
sk=
X
x
k
1= [k] =x
k
1+x
k
2+∆ ∆ ∆+x
k
n(k≥0);
2
◦
Elementarne(osnovne)simetriˇcne funkcije
σk=
X
x1x2∆ ∆ ∆xk= [1,1, . . . ,1
| {z}
kputa
] (1≤k≤n).
Zak= 0 imamos0=niσ0= 1. Takodˉe, uzimamo da jeσk= 0 za
k > n.
U Σ-notaciji, polinomi u (3.1.1) mogu se predstaviti jednostavnije
P1=
X
a
3
−3
X
abc= [3]−3[1,1,1],
P2=
X
a
2
−
X
ab= [2]−[1,1].
Koriˇs´cenjem funkcijaskiσk, imamo
P1=s3−3σ3, P 2=s2−σ2.

POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH 275
Elementarne simetriˇcne funkcije odx1, x2, . . . , xnkoristili smo u odeljku
1.6 u cilju dobijanja Vi`eteovih formula za korene algebarskih jednaˇcina ste-
penan. Naime, tada smo imali
(3.1.2)
P(x) =
n
Y
i=1
(x−xi)
=x
n
−σ1x
n−1
+∆ ∆ ∆+ (−1)
n−1
σn−1x+ (−1)
n
σn.
Posmatrajmo sada polinomQi(x), deﬁnisan sa
Qi(x) =
n
Y
ν=1
ν6=i
(x−xν) =
P(x)
x−xi
(1≤i≤n)
i elementarne simetriˇcne funkcije promenljivihx1,. . .,xi−1,xi+1,. . .,xn.
Stavljaju´ci
σ
(i)
k
= [1,1, . . . ,1
|{z}
kputa
] (1≤k≤n−1), σ
(i)
0
= 1,
imamo
Qi(x) =x
n−1
−σ
(i)
1
x
n−2
+∆ ∆ ∆+ (−1)
n−1
σ
(i)
n−1
.
Na osnovu ovoga i (3.1.2) dobijamo
(3.1.3) σk=σ
(i)
k
+xiσ
(i)
k−1
.
Koriˇs´cenjem (3.1.3) nalazimo
σ
(i)
0
= 1, σ
(1)
1
=σ1−xi, σ
(i)
2
=σ2−xiσ1+x
2
i
.
U opˇstem sluˇcaju, imamo
(3.1.4) σ
(i)
k
=
k
X
ν=0
(−1)
ν
x
ν
iσk−ν (k= 0,1, . . . , n−1).
Veza izmedˉu funkcijaskiσkdata je slede´com Newtonovom teoremom:

276 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Teorema 3.1.1.Za svakok(1≤k≤n−1)vaˇzi jednakost
(3.1.5)
k
X
ν=1
(−1)
ν
sνσk−ν+kσk= 0.
Dokaz.Diferenciranjem (3.1.2) dobijamo
P
′
(x) =
n
X
i=1
P(x)
x−xi
=
n−1
X
k=0
(−1)
k
(n−k)σkx
n−k−1
.
Kako je
n
X
i=1
P(x)
x−xi
=
n
X
i=1
Qi(x) =
n
X
i=1
n−1
X
k=0
(−1)
k
σ
(i)
k
x
n−1−k
=
n−1
X
k=0
(−1)
k
n
X
i=1
σ
(i)
k
≡
x
n−k−1
,
zakljuˇcujemo da je
n
X
i=1
σ
(i)
k
= (n−k)σk (0≤k≤n−1).
Koriˇs´cenjem (3.1.4) nalazimo
n
X
i=1
k
X
ν=0
(−1)
ν
x
ν
iσk−ν= (n−k)σk (k≤n−1),
tj.
k
X
ν=0
(−1)
ν
sνσk−ν= (n−k)σk (k≤n−1).
Kako jes0=n, ova jednakost se svodi na (3.1.5).∗
Napomena 3.1.1.Jednakost (3.1.5) vaˇzi, takodˉe, zak≥n, stavljaju´ci, na-
ravno,σν= 0 zaν > n.

POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH 277
Zak= 1,2, . . ., iz (3.1.5) dobijamo trougaoni sistem linearnih jednaˇcina
s1 = 1σ1,
σ1s1− s2 = 2σ2,
σ2s1−σ1s2+ s3 = 3σ3,
.
.
.
σk−1s1−σk−2s2+σk−3s3− + (−1)
k−1
sk=kσk,
odakle nalazimo slede´cu eksplicitnu formulu
sk= (−1)
k−1

1 1 σ1
σ1 1 2 σ2
σ2 σ1 1 3 σ3
.
.
.
.
.
.
σk−2σk−3σk−4 1 (k−1)σk−1
σk−1σk−2σk−3 σ1 kσk

,
odakle, na primer, zak= 1,2,3,4, imamo
s1=σ1, s2=σ
2
1
−2σ2, s3=σ
3
1
−3σ1σ2+ 3σ3,
s4=σ
4
1−4σ
2
1σ2+ 4σ1σ3+ 2σ
2
2−4σ4.
Vaˇzi i obrnuta formula
σk=
(−1)
k−1
k!

1 s1
s1 2 s2
s2 s1 3 s3
.
.
.
.
.
.
sk−2sk−3sk−4 k−1sk−1
sk−1sk−2sk−3 s1 sk

.
Na primer, zak= 1,2,3,4, imamo
σ1=s1, σ2=
1
2
(s
2
1
−s2), σ3=
1
6
(s
3
1
−3s1s2+ 2s3),
σ4=
1
24
(s
4
1−6s
2
1s2+ 8s1s3+ 3s
2
2−6s4).
Sada moˇzemo da formuliˇsemo tzv.osnovnu teoremu za simetriˇcne funk-
cije:

278 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Teorema 3.1.2.Svaki simetriˇcni polinomP(x1, x2, . . . , xn)moˇze biti izra-
ˇzen kao polinom od elementarnih simetriˇcnih funkcijaσ1,σ2,. . .,σn, tj.
(3.1.6) P(x1, x2, . . . , xn) =p(σ1, σ2, . . . , σn).
ˇ
Staviˇse, koeﬁcijenti ovog polinoma se dobijaju iz koeﬁcijenata simetriˇcne
funkcije samo pomo´cu operacija sabiranje i oduzimanje.
Postoji viˇse razliˇcitih dokaza ove teoreme. Jedan od dokaza dao je Cauchy.
Neka su sadaσ1, σ2, . . . , σnpromenljive. Deﬁniˇsimoteˇzinemonoma
σ
α1
1
σ
α2
2
∆ ∆ ∆σ
αn
n
kao sumuα1+ 2α2+∆ ∆ ∆+nαn. Takodˉe, deﬁniˇsimo i teˇzinu polinoma
p(σ1, σ2, . . . , σn) kao maksimum teˇzina monoma koji se pojavljuju u ovom
polinomu. Ako svaki od ovih monoma ima istu teˇzinu, tada kaˇzemo da je
polinomizobariˇcan.
Teorema 3.1.3.Neka jeP(x1, x2, . . . , xn)simetriˇcni polinom. Ako je poli-
nomp(σ1, σ2, . . . , σn)odredˉen sa(3.1.6), tada je njegov totalni stepen jednak
stepenu polinomaP(x1, x2, . . . , xn).
Teorema 3.1.4.Neka jeP(x1, x2, . . . , xn)homogeni simetriˇcni polinom
stepenad. Ako jep(σ1, σ2, . . . , σn)deﬁnisan sa(3.1.6), tada je on izobariˇcan
polinom teˇzined.
Napomena 3.1.2.Dokazi ovih teorema mogu se na´ci u knjizi:Dˉ. Kurepa
70)
,
Viˇsa algebra I(tre´ce izdanje), Gradˉevinska knjiga, Beograd, 1979 (str. 697–698).
Primer 3.1.1.(a) Neka jeP(x1, x2, x3) = (x1+x2)(x2+x3)(x3+x1). Ovo je
simetriˇcni homogeni polinom tre´ceg stepena. Njegov stepen po promenljivojx1je
d1= 2. Takodˉe,d2=d3= 2. Odgovaraju´ci polinomp(σ1, σ2, σ3) bi´ce izobariˇcni
polinom teˇzine 3 i totalnog stepena 2. S obzirom na prethodnu teoremu, njegov
oblik mora biti
(3.1.7) P(x1, x2, x3) =p(σ1, σ2, σ3) =Aσ1σ2+Bσ3,
gde suAiBkonstante.
Stavljaju´cix1= 0 ix2=x3= 1 imamoσ1= 2,σ2= 1,σ3= 0,P= 2. Tada,
iz (3.1.7) sledujeA= 1. Sliˇcno, zax1=x2=x3= 1 nalazimo da suσ1=σ2= 3,
σ3= 1,P= 8, a zatimB=−1. Dakle,
p(σ1, σ2, σ3) =σ1σ2−σ3.
70)
Dˉuro Kurepa (1907–1993), poznati jugoslovenski matematiˇcar.

POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH 279
(b) Neka jeP(x1, x2, . . . , xn) =
P
x
2
1x2x3. Ovo je simetriˇcni homogeni polinom
stepena 4. Kako je njegov stepen pox1jednak 2 zakljuˇcujemo da odgovaraju´ci
polinomp(σ1, σ2, . . . , σn) ima oblik
(3.1.8) P(x1, x2, . . . , xn) =p(σ1, σ2, . . . , σn) =Aσ1σ3+Bσ
2
2+Cσ4,
gde suA,B,Ckonstante.
Zan= 3 ix1= 0,x2=x3= 1 imamoσ1= 2,σ2= 1,σ3= 0,σ4= 0, iP= 0.
Tada (3.1.8) dajeB= 0. Sliˇcno, zax1=−1,x2=x3= 1 dobijamoσ1= 1,
σ2=−1,σ3=−1, a
P=x
2
1x2x3+x
2
2x1x3+x
2
3x1x2
postajeP=−1. Dakle, (3.1.8) se redukuje na−1 =A∆1∆(−1), tj.A= 1.
Zan= 4 ix1=x2=x3=x4= 1 dobijamo
σ1= 4, σ2= 6, σ3= 4, σ4= 1, P= 12.
Iz (3.1.8) sledujeC=−4.
Dakle, za svakonimamo
X
x
2
1x2x3=p(σ1, σ2, . . . , σn) =σ1σ3−4σ4.
(c) Neka jen >4 iP(x1, x2, . . . , xn) =
P
x
2
1x
2
2x3. Tada je
P(x1, x2, . . . , xn) =p(σ1, σ2, . . . , σn) =σ2σ3−3σ1σ4+ 5σ5.△
3.2. Rezultanta i diskriminanta polinoma
Neka su
P(x) =
n
X
ν=0
aνx
n−ν
iQ(x) =
m
X
ν=0
bνx
m−ν
polinomi stepenanim, respektivno, gde jea0b06= 0. Neka su dalje
x1, x2, . . . , xnkoreni jednaˇcineP(x) = 0. JednaˇcineP(x) = 0 iQ(x) = 0
imaju zajedniˇcke korene ako i samo ako je
Q(x1)Q(x2)∆ ∆ ∆Q(xn) = 0.

280 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Medˉutim, leva strana u ovoj jednakosti je simetriˇcna funkcijakorena jednaˇci-
neP(x) = 0, stepenampo svakom korenu, i kao takva moˇze biti izraˇzena u
obliku polinoma stepenampo elementarnim simetriˇcnim funkcijama
71)
.
Deﬁniˇsimo sada
(3.2.1) R(P, Q) =a
m
0Q(x1)Q(x2)∆ ∆ ∆Q(xn)
kaorezultantu(ilieliminantu) polinomaP(x) iQ(x). To je, oˇcigledno,
funkcija njihovih koeﬁcijenata i moˇze biti predstavljenakao determinanta
redan+mu obliku:
R(P, Q) =

a0a1. . . an
a0a1. . . an
.
.
.
a0a1. . . an
b0b1. . . bm
b0b1. . . bm
.
.
.
b0b1. . . bm








mvrsta







nvrsta
Primer 3.2.1.Za dva kvadratna polinoma (trinoma)
P(x) =a0x
2
+a1x+a2iQ(x) =b0x
2
+b1x+b2
imamo
R(P, Q) =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a0a1a20
0a0a1a2
b0b1b20
0b0b1b2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
tj.
(3.2.2) R(P, Q) = (a0b2−a2b0)
2
−(a0b1−a1b0)(a1b2−a2b1).
Neka suP(x) =x
2
+x−2,Q(x) =x
2
+ 1, iS(x) =x
2
−3x+ 2. Na osnovu
(3.2.2) nalazimoR(P, Q) = 10,R(P, S) = 0,R(Q, S) = 10. Ovo znaˇci da samo
polinomiP(x) andS(x) imaju zajedniˇcku nulu (x= 1).△
Neka suy1, y2, . . . , ymkoreni jednaˇcineQ(x) = 0. S obzirom na (3.2.1)
imamo
R(P, Q) =a
m
0
n
Y
k=1
b0
m
Y
i=1
(xk−yi) =a
m
0
b
n
0
n
Y
k=1
m
Y
i=1
(xk−yi).
71)
Ovo je fundamentalna teorema o simetriˇcnim funkcijama.

POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH 281
Primetimo da jeR(Q, P) = (−1)
nm
R(P, Q).
Deﬁniˇsimo, takodˉe,diskriminantupolinomaP(x) kao izraz
D=D(P) =a
2n−2
0
(x1−x2)
2
∆ ∆ ∆(x1−xn)
2
(x2−x3)
2
∆ ∆ ∆(xn−1−xn)
2
,
gde sux1, x2, . . . , xnnjegove nule ia0najstariji koeﬁcijent. Zbog ˇcinjenice
da je stepen po bilo kojoj nuli jednak 2(n−1), simetriˇcna funkcijaDmoˇze
biti izraˇzena kao polinom oda0,a1,. . .,an. Diferenciranjem
P(x) =a0(x−x1)(x−x2)∆ ∆ ∆(x−xn),
dobijamo
P
′
(x1) =a0(x1−x2)(x1−x3)∆ ∆ ∆(x1−xn),
P
′
(x2) =a0(x2−x1)(x2−x3)∆ ∆ ∆(x2−xn),
.
.
.
P
′
(xn) =a0(xn−x1)(xn−x2)∆ ∆ ∆(xn−xn−1),
odakle sleduje
a
n−1
0
P
′
(x1)∆ ∆ ∆P
′
(xn) =a
2n−1
0
(−1)
n(n−1)/2
(x1−x2)
2
∆ ∆ ∆(xn−1−xn)
2
= (−1)
n(n−1)/2
a0D .
Leva strana je jednaka rezultanti polinomaP(x) iP
′
(x). Dakle,
(3.2.3) D(P) = (−1)
n(n−1)/2
a
−1
0
R(P, P
′
).
Na osnovu prethodnih razmatranja moˇzemo zakljuˇciti dapolinom ima
viˇsestruke nule ako i samo ako je njegova diskriminanta jednaka nuli.
Koriˇs´cenjem funkcijask=x
k
1
+x
k
2
+∆ ∆ ∆+x
k
n
(k≥0), diskriminanta
polinomaP(x) moˇze biti predstavljena u obliku determinante redan
(3.2.4) D=a
2n−2
0

s0s1. . . sn−1
s1s2 sn
.
.
.
sn−1sn s2n−2

(videti primer 2.10.2, glava II).

282 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
U izvesnim sluˇcajevima mogu´ce je na´ci eksplicitne formule za diskrimi-
nantu polinoma. U slede´cim primerima dajemo eksplicitne formule u sluˇcaju
kvadratnog i kubnog polinoma kao i za opˇsti trinom.
Primer 3.2.2.Neka sun= 2,P(x) =ax
2
+bx+c, i neka sux1ix2nule
polinomaP(x). Kako sus0= 2 i
s1=x1+x2=−
b
a
, s2=x
2
1+x
2
2= (x1+x2)
2
−2x1x2=
b
2
−2ac
a
2
,
formula (3.2.4) daje diskriminantu kvadratnog trinoma
D=a
2
(s0s2−s
2
1) =b
2
−4ac.△
Primer 3.2.3.Neka sun= 3,P(x) =a0x
3
+a1x
2
+a2x+a3, ax1,x2i
x3su nule polinomaP(x). Odredi´cemo diskriminantu ovog polinoma koriˇs´cenjem
razvoja homogene simetriˇcne funkcije
F(x1, x2, x3) = (x1−x2)
2
(x1−x3)
2
(x2−x3)
2
po elementarnim simetriˇcnim funkcijamaσ1,σ2,σ3. Kako jeF(x1, x2, x3) ˇcetvrtog
stepena po bilo kojoj nuli, a takodˉe i homogen polinom stepena homogenostid= 6,
ovaj razvoj mora imati oblik
(3.2.5) F=Aσ
2
3+Bσ
3
2+Cσ1σ2σ3+Dσ
3
1σ3+Eσ
2
1σ
2
2,
gde suA, B, C, D, Ekonstante, ˇcije vrednosti treba odrediti. Primetimo da jesvaki
ˇclan u (3.2.5) oblikacσ
α1
1
σ
α2
2
σ
α3
3
, gde jeckonstanta, a (α1, α2, α3)∈N
3
0takvo da
0< α1+α2+α3≤4 iα1+ 2α2+ 3α3= 6.
Uzimaju´cix1= 0,x2=−x3= 1 nalazimoσ1= 0,σ2=−1,σ3= 0,F= 4.
Tada iz (3.2.5) dobijamoB=−4. Sliˇcno, zax1= 0,x2=x3= 1 dobijamoσ1= 2,
σ2= 1,σ3= 0,F= 0, iB+ 4E= 0, tj.E= 1. Dakle, (3.2.5) se predstaviti u
obliku
(3.2.6) σ3(Aσ3+Cσ1σ2+Dσ
3
1) =F+ 4σ
3
2−σ
2
1σ
2
2.
Stavljaju´ci (1,1,−2), (−1,1,1), (1,1,1), umesto (x1, x2, x3), dobijamo
4A= 4(−3)
3
, A+C−D=−5, A+ 9C+ 27D= 25,
respektivno. Reˇsavanjem ovog sistema jednaˇcina nalazimoA=−27,C= 18,
D=−4.

POLINOMSKE FUNKCIJE VI ˇSE PROMENLJIVIH 283
Kako suσ1=−a1/a0,σ2=a2/a0,σ3=−a3/a0, na osnovu (3.2.5) dobijamo
diskriminantu kubnog polinoma
D(P) =a
4
0(x1−x2)
2
(x1−x3)
2
(x2−x3)
2
=a
4
0
h
−27σ
2
3−4σ
3
2+ 18σ1σ2σ3−4σ
3
1σ3+σ
2
1σ
2
2
i
=−27a
2
0a
2
3−4a0a
3
2+ 18a0a1a2a3−4a
3
1a3+a
2
1a
2
2.
Isti rezultat moˇze biti dobijen koriˇs´cenjem (3.2.4) i centralnih simetriˇcnih funkcija
s
k, 0≤k≤4.
U specijalnom sluˇcaju kada sua0= 1,a1= 0,a2=p,a3=q, zakljuˇcujemo da
je diskriminanta polinomaP(x) =x
3
+px+qdata sa
D(P) =−27q
2
−4p
3
.△
Primer 3.2.4.Neka jeP(x) =ax
m+n
+bx
m
+ci neka suμ=m/diν=n/d,
gde jednajve´ci zajedniˇcki delilac brojevamin.
Nule izvodaP
′
(x) = (m+n)ax
m+n−1
+mbx
m−1
su date sa
ξ1=ξ2=∆ ∆ ∆=ξm−1= 0 iξ
m+k=ξmε
k
(k= 0,1, . . . , n−1),
gde suε= exp(2πi/n) iξ
n
m=−mb/
`
(m+n)a
´
.
Kako suP(ξ1) =P(ξ2) =∆ ∆ ∆=P(ξm−1) =ci
P(ξmε
k
) =aξ
m+n
mε
k(m+n)
+bξ
m
mε
km
+c=c+
nb
m+n
ξ
m
mε
km
,
dobijamo rezultantu zaP
′
(x) iP(x) u obliku
R(P
′
, P) = (m+n)
m+n
a
m+n
m−1
Y
k=1
P(ξ
k)
n−1
Y
k=0
P(ξmε
k
)
= (m+n)
m+n
a
m+n
c
m−1
n−1
Y
k=0
„
c+
nb
m+n
ξ
m
mε
km
«
.
S druge strane
n−1
Y
k=0
„
c+
nb
m+n
ξ
m
mε
km
«
=
"
ν−1
Y
k=0
„
c+
nb
m+n
ξ
m
mη
k
«
#d
,
=
»
c
ν
−(−1)
μ+νm
μ
n
ν
b
μ+ν
(m+n)
μ+ν
a
μ
–d
,

284 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
gde jeη= exp(2πi/ν).
Dakle,
R(P, P
′
) =R(P
′
, P) =a
n
c
m−1
ˆ
(m+n)
μ+ν
a
μ
c
ν
−(−1)
μ+ν
m
μ
n
ν
b
μ+ν
˜
d
.
Najzad, na osnovu (3.2.3) dobijamo
D(P) = (−1)
s
a
n−1
c
m−1
ˆ
(m+n)
μ+ν
a
μ
c
ν
−(−1)
μ+ν
m
μ
n
ν
b
μ+ν
˜
d
,
gde jes= (m+n)(m+n−1)/2.
Zam= 1 in= 2 imamoP(x) =ax
3
+bx+cid= 1,μ= 1,ν= 2,s= 3.
Prethodni izraz za diskriminantu se redukuje na−27a
2
c
2
−4ab
3
.△
Na kraju ovog odeljka pomenimo i slede´cu interesantnu formulu
D(P Q) =D(P)D(Q)R(P, Q)
2
,
gde suP(x) andQ(x) proizvoljni polinomi.
4. HURWITZOVI POLINOMI
4.1. Deﬁnicija Hurwitzovih polinoma
U mnogim problemima koji se odnose na stabilnost sistema (elektron-
skih, mehaniˇckih, itd.) pojavljuju se polinomi ˇcije sve nule imaju negativan
realni deo. U ovom poglavlju razmatra´cemo takvu klasu polinoma i dati
potrebne i dovoljne uslove da jedan polinom pripada ovakvojklasi. Jedno
algoritamsko reˇsenje ovog problema iz 1877. godine, koje je nedovoljno poz-
nato u literaturi, potiˇce od Routha
72)
. Elegantno reˇsenje ovog problema u
determinantnom obliku dao je Hurwitz
73)
1895. godine i zato se polinomi iz
ove klase nazivajuHurwitzovi polinomiili kra´ce H-polinomi. Dakle, realan
polinom
(4.1.1) P(x) =a0+a1x+a2x
2
+∆ ∆ ∆+anx
n
(an6= 0)
je H-polinom ako sve njegove nulexk(k= 1, . . . , n) imaju osobinu Rexk<0.
Ne umanjuju´ci opˇstost razmatranja, na dalje pretpostavljamo da je naj-
stariji koeﬁcijent polinoma pozitivan.
72)
Edward John Routh,Stability of given state of motion, London, 1877. Bliˇze
biografske podatke o Routhu ne posedujemo.
73)
Adolf Hurwitz (1859–1919), nemaˇcki matematiˇcar.

HURWITZOVI POLINOMI 285
Teorema 4.1.1.Ako je polinom(4.1.1)saan>0 H-polinom, tada su svi
njegovi koeﬁcijenti pozitivni.
Dokaz.Pretpostavimo da H-polinom (4.1.1) ima konjugovano kompleksne
nule
xk=−αk+iβk, x2m−k+1= ˉxk, k= 1, . . . , m,
i realne nule
x2m+k=−γk, k= 1, . . . , n−2m,
gde suαk, γk>0. Tada se on moˇze faktorisati u obliku
P(x) =an
m
Y
k=1
(x+αk−iβk)(x+αk+iβk)
n−2m
Y
k=1
(x+γk),
tj.
P(x) =an
m
Y
k=1
(x
2
+ 2αkx+α
2
k+β
2
k)
n−2m
Y
k=1
(x+γk).
Kako jean>0 i kako svi kvadratni i linearni faktori imaju pozitivne koeﬁ-
cijente zakljuˇcujemo da polinomPima sve pozitivne koeﬁcijente.△
Napomena 4.1.1.Obrnuto tvrdˉenje vazi zan= 1 in= 2, tj. polinomi
aa+a1xia0+a1x+a2x
2
, saa0, a1, a2>0, su H-polinomi. Ovakvo tvrdˉenje ne
vaˇzi zan≥3. Na primer, 1 +x+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
nije H-polinom. Njegove nule
se mogu odrediti iz faktorizacije
1 +x+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
= (x+ 1)(x
2
+x+ 1)(x
2
−x+ 1).
4.2. Schurov metod
Posmatrajmo proizvoljan kompleksni polinom
(4.2.1) P(x) =a0+a1x+a2x
2
+∆ ∆ ∆+anx
n
(an6= 0).
SaP
∗
(x) oznaˇcimo polinom koji se dobija iz (4.2.1) zamenom koeﬁcijenata
sa odgovaraju´cim konjugovanim vrednostima i promeni znaka koeﬁcijentima
uz neparni stepen odx, tj.
(4.2.2) P
∗
(x) = ˉa0−ˉa1x+ ˉa2x
2
− + (−1)
n
ˉanx
n
.
Primetimo da izP(x) =U(x)V(x) sledujeP
∗
(x) =U
∗
(x)V
∗
(x). Takodˉe,
(P
∗
)
∗
(x) =P(x).

286 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Pretpostavimo da suxk=αk+iβk,k= 1, . . . , nnule polinomaP
∗
(x).
Tada imamo faktorizacije
(4.2.3) P(x) =an
n
Y
k=1
(x−xk),
(4.2.4) P
∗
(x) = ˉan
n
Y
k=1
(−x−ˉxk) = (−1)
n
ˉan
n
Y
k=1
(x+ ˉxk).
Dokaza´cemo sada jedan pomo´cni rezultat:
Teorema 4.2.1.Ako jeP(x) H-polinom, tj.Rexk=αk<0,k= 1, . . . , n,
tada vaˇze nejednakosti
|P(x)|>|P
∗
(x)| ≥0 zaRex >0,
|P
∗
(x)|>|P(x)| ≥0 zaRex <0,
|P(x)|=|P
∗
(x)|>0 zaRex= 0,
Dokaz.Za dokaz ovih nejednakosti dovoljno je za proizvoljnok(1≤k≤
n) uoˇciti razliku
D=|x+ ˉxk|
2
− |x−xk|
2
= (x+ ˉxk)(ˉx+xk)−(x−xk)(ˉx−ˉxk)
= (x+ ˉx)(xk+ ˉxk),
koja, zamenomxk=αk+iβk, postajeD= 4αkRex, odakle zakljuˇcujemo
daDima suprotan znak od Rex. Dakle, imamo
|x−xk|>|x+ ˉxk|za Rex >0,
|x−xk|<|x+ ˉxk|za Rex <0,
|x−xk|=|x+ ˉxk|za Rex= 0,
ˇsto zajedno sa (4.2.3) i (4.2.4) daje tvrdˉenje teoreme.∗
Nejednakosti u teoremi 4.2.1 nazivaju seSchurove
74)
nejednakosti. Koriˇs-
´cenjem tih nejedakosti moˇzemo dokazati slede´ce tvrdˉenje:
74)
Issai Schur (1875–1941), nemaˇcki matematiˇcar.

HURWITZOVI POLINOMI 287
Teorema 4.2.2.Ako suaibproizvoljne kompleksne konstante takve da je
|a|>|b|, tada jeP(x) H-polinom ako i samo ako je
(4.2.5) Q(x) =aP(x)−bP
∗
(x),
H-polinom.
Dokaz.Ako polinomP(x) ima samo nule sa negativnim realnim delom,
tj. ako je on H-polinom, tada na osnovu prethodne teoreme, zaRex≥0
imamo|P(x)| ≥ |P
∗
(x)|.
ˇ
Staviˇse, za|a|>|b|imamo
|aP(x)|>|bP
∗
(x)|(Rex≥0),
ˇsto znaˇci da jeQ(x)6= 0 za svakoxza koje je Rex≥0, tj.Q(x) je H-polinom.
Obrnuto, nekaQ(x) ima samo nule sa negativnim realnim delom. Tada,
na osnovu
Q(x) =aP(x)−bP
∗
(x), Q
∗
(x) = ˉaP
∗
(x)−
ˉ
bP(x),
dobijamo
(4.2.6) P(x) =
ˉa
|a|
2
− |b|
2
Q(x) +
b
|a|
2
− |b|
2
Q
∗
(x).
Kako je koeﬁcijent uzQ(x) u (4.2.6) ve´ci po modulu od koeﬁcijenta uzQ
∗
(x),
na osnovu prvog dela tvrdˉenja, zakljuˇcujemo da jeP(x) H-polinom.∗
Neka jeξproizvoljan kompleksan broj sa negativnim realnim delom. Ako
jeP(x) H-polinom, na osnovu Schurovih relacija imamo da je
(4.2.7) |P
∗
(ξ)|>|P(ξ)|.
Ako stavimoa=P
∗
(ξ) ib=P(ξ), na osnovu prethodne teoreme i (4.2.5)
zakljuˇcujemo da jednaˇcina
(4.2.8) P
∗
(ξ)P(x)−P(ξ)P
∗
(x) = 0
ima samo korene sa negativnim realnim delom. Vaˇzi i obrnuto, ako jednaˇcina
(4.2.8) ima korene u levoj poluravni i (4.2.7) vaˇzi za Reξ <0, tada jeP(x)
H-polinom. Ovim smo dokazali tvrdˉenje:

288 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Teorema 4.2.3.Neka jeξproizvoljan kompleksan broj takav da jeReξ <0.
PolinomP(x)jeH-polinom samo ako je
(4.2.9) Sξ(x) =
P
∗
(ξ)P(x)−P(ξ)P
∗
(x)
x−ξ
H-polinom i|P
∗
(ξ)|>|P(ξ)|.
Poslednja teorema daje rekurzivni postupak, poznat kaoSchurov metod,
za ispitivanje da li je jedan polinom Hurwitzov ili nije. Naime, problem za
polinom stepenanse svodi na odgovaraju´i problem za polinom stepenan−1
uz proveru jedne nejednakosti. Obiˇcno se uzimaξ=−1.
PolinomSξ(x) deﬁnisan pomo´cu (4.2.9) moˇze se razmatrati i kao polinom
po stepenima odξ,
(4.2.10) Sξ(x) =Rx(ξ) =r0(x) +r1(x)ξ+∆ ∆ ∆+rn−1(x)ξ
n−1
,
gde su koeﬁcijentirk(x),k= 0,1, . . . , n−1, polinomi pox, stepena ne viˇseg
odn−1. Kako je
P
∗
(ξ)P(x)−P(ξ)P
∗
(x) = (x−ξ)Rx(ξ)
=xr0(x) +
−
xr1(x)−r0(x)
∆
ξ+ −rn−1(x)ξ
n
,
koriˇs´cenjem (4.2.1) i (4.2.2) i poredˉenjem koeﬁcijenata u prethodnoj jed-
nakosti uzξ
k
, zak= 0 ik= 1, dobijamo
ˉa0P(x)−a0P
∗
(x) =xr0(x),−ˉa1P(x)−a1P
∗
(x) =xr1(x)−r0(x),
odakle sleduje
U(x)P(x)−V(x)P
∗
(x) =x
2
−
r0(x) +r1(x)ξ
∆
,
gde su
U(x) = ˉa0x+ ˉa0ξ−a1xξ, V(x) =a0x+a0ξ+a1xξ.
Moˇze se dokazati i slede´ci rezultat (videti knjigu na bugarskom jeziku:N.
Obreˇskov
75)
,Nule polinoma, BAN, Soﬁja, 1963 (str. 189–191)).
Teorema 4.2.4.Neka jeξproizvoljan kompleksan broj takav da jeReξ <0.
PolinomP(x)jeH-polinom samo ako je
a06= 0,Re(a1/a0)>0
i polinomQ(x) =r0(x) +ξr1(x), stepenan−1,H-polinom.
75)
Nikola Obreˇskov (1896–1963), poznati bugarski matematiˇcar.

HURWITZOVI POLINOMI 289
4.3. Primena na polinome sa realnim koeﬁcijentima
Prethodno izloˇzeni Schurov metod se moˇze uprostiti ako jepolinom
(4.3.1) P(x) =a0+a1x+a2x
2
+∆ ∆ ∆+anx
n
(a0>0).
sa realnim koeﬁcijentima.
Deﬁniˇsimo determinanteD
(n)
k
,k= 1,2, . . . , n, pomo´cu
D
(n)
k
=

a1 a0 0 0 ∆ ∆ ∆0
a3 a2 a1 a0 0
a5 a4 a3 a2 0
.
.
.
a2k−1a2k−2a2k−3a2k−4 ak

,
gde stavljamoaν= 0 zaν > n.
Teorema 4.3.1.PolinomP(x)dat pomo´cu(4.3.1)jeH-polinom ako i samo
ako su sve determinanteD
(n)
k
, zak= 1,2, . . . , n, pozitivne.
Dokaz.Kako se (4.3.1) moˇze predstaviti u obliku
P(x) =G(x
2
) +xH(x
2
),
gde su polinomiG(t) iH(t) dati sa
G(t) =a1+a3t+a5t
2
+∆ ∆ ∆, H(t) =a0+a2t+a4t
2
+∆ ∆ ∆,
imamo
P
∗
(x) =G(x
2
)−xH(x
2
).
Tada se polinomir0(x) ir1(x) u razvoju (4.2.10) mogu izraziti u obliku
(4.3.2) r0(x) = 2a0H(x
2
), xr 1(x) = 2a0H(x
2
)−2a1G(x
2
).
Da bismo primenili teoremu 4.2.4 potrebno je na´ci odgovaraju´ci polinom
Q(x) =r0(x) +ξr1(x) stepenan−1. Na osnovu (4.3.2) imamo
1
2
Q(x) =a0

1 +
ξ
x
≡
H(x
2
)−a1
ξ
x
G(x
2
),Reξ <0.

290 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Ako stavimo
76)
ξ=−a0, prethodna jednakost se svodi na
Q1(x) =
1
2a0
Q(x) =

1−
a0
x
≡
H(x
2
) +
a1
x
G(x
2
),
tj.
Q1(x) =a1+ (a1a2−a0a3)x+a3x
2
+ (a1a4−a0a5)x
3
+a5x
4
+∆ ∆ ∆.
Sada, na osnovu teoreme 4.2.4, sleduje da je polinom (4.3.1)H-polinom
ako i samo ako jeQ1(x) H-polinom ia1>0.
Tvrdˉenje, oˇcigledno, vaˇzi zan= 1. Pretpostavimo da tvrdˉenje vaˇzi za
polinome stepenan−1. Neka su pritom odgovaraju´ce determinanteD
(n−1)
k
,
k= 1,2, . . . , n−1, zaQ1(x) date sa
D
(n−1)
k
=

a1 0 0 ∆ ∆ ∆
a3a1a2−a0a3a1
a5a1a4−a0a5a3
.
.
.

.
Ako elementima druge kolone dodamo odgovaraju´ce elementeprve kolone,
uz prethodno mnoˇzenje saa0, zatim elementima ˇcetvrte kolone dodamo ele-
mente tre´ce kolone, uz prethodno mnoˇzenje saa0, i tako dalje, dobijamo
D
(n−1)
k
=a
p
1
D
(n)
k
, p=
≤
k+ 1
2
λ
−1,
odakle zakljuˇcujemo da su uslovi
D
(n−1)
k
>0, k= 1,2, . . . , n−1, a1>0
ekvivalentni sa uslovimaD
(n)
k
>0,k= 1,2, . . . , n.∗
U specijalnom sluˇcaju kada se radi o polinomima tre´ceg i ˇcetvrtog stepena,
iz teoreme 4.3.1 dobijamo slede´ce rezultate:
Teorema 4.3.2.Polinom sa realnim koeﬁcijentima
a0+a1x+a2x
2
+a3x
3
(a0>0)
jeH-polinom ako i samo ako su ispunjeni uslovi
D
(3)
1
=a1>0, D
(3)
2
=

a1a0
a3a2

=a1a2−a0a3>0,
D
(3)
3
=

a1a00
a3a2a1
0 0 a3

=a3D
(3)
2
>0.
76)
I. Schur je u svom dokazu koristioξ=−1.

RACIONALNE FUNKCIJE 291
Teorema 4.3.3.Polinom sa realnim koeﬁcijentima
a0+a1x+a2x
2
+a3x
3
+a4x
4
(a0>0)
jeH-polinom ako i samo ako su ispunjeni uslovi
D
(4)
1
=a1>0, D
(4)
2
=

a1a0
a3a2

=a1a2−a0a3>0,
D
(4)
3
=

a1a00
a3a2a1
0a4a3

=a1a2a3−a0a
2
3−a4a
2
1>0,
D
(4)
4
=

a1a00 0
a3a2a1a0
0a4a3a2
0 0 0 a4

=a4D
(4)
3
>0.
Primer 4.3.1.1
◦
Koeﬁcijenti polinoma 2 +x+x
2
+x
3
sua0= 2,a1=a2=
a3= 1, pa su odgovaraju´ce determinante redom jednake:
D
(3)
1
= 1>0, D
(3)
2
=−1<0, D
(3)
3
=−1<0.
Ovo znaˇci da dati polinom nije H-polinom.
2
◦
Za polinom 1 +x+ 2x
2
+x
3
odgovaraju´ce determinate su
D
(3)
1
= 1>0, D
(3)
2
= 1>0, D
(3)
3
= 1>0,
odakle zakljuˇcujemo da se radi o H-polinomu.△
5. RACIONALNE FUNKCIJE
5.1. Racionalna funkcija
Neka suP(x) iQ(x) algebarski polinomi takvi da je dgP(x) =ni
dgQ(x) =m, tj.
P(x) =
n
X
k=0
akx
n−k
iQ(x) =
m
X
k=0
bkx
m−k
(a0, b06= 0).

292 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Deﬁnicija 5.1.1.Funkcijax7→R(x) =P(x)/Q(x) naziva seracionalna
funkcijareda [n/m].
Deﬁnicija 5.1.2.Ako su polinomiP(x) iQ(x) relativno prosti, tj. nemaju
zajedniˇcki faktor stepenar≥1, tada se za racionalnu funkcijux7→R(x) =
P(x)/Q(x) kaˇze da jenesvodljiva racionalna funkcija.
Deﬁnicija 5.1.3.Ako je stepen polinomaP(x) manji od stepena poli-
nomaQ(x), tj. ako je dgP(x)<dgQ(x), racionalna funkcijax7→R(x) =
P(x)/Q(x) naziva seprava racionalna funkcija.
U protivnom sluˇcaju radi se onepravoj racionalnoj funkciji.
Svaka neprava racionalna funkcija uvek se moˇze prestavitikao zbir jednog
polinoma i jedne prave racionalne funkcije, ˇsto se postiˇze deljenjem polinoma
P(x) polinomomQ(x).
Primer 5.1.1.Posmatrajmo racionalnu funkciju
R(x) =
x
6
+ 3x
4
+x
3
−5x
2
+ 4x−7
x
4
+ 5x
2
+ 4
.
Deljenjem brojioca imeniocem dobijamo
(x
6
+ 3x
4
+x
3
−5x
2
+ 4x−7) : (x
4
+ 5x
2
+ 4) =x
2
−2
x
6
+ 5x
4
+ 4x
2
−2x
4
+x
3
−9x
2
+ 4x−7
−2x
4
−10x
2
−8
x
3
+x
2
+ 4x+1
tj.
R(x) =x
2
−2 +
x
3
+x
2
+ 4x+ 1
x
4
+ 5x
2
+ 4
.△
U naˇsem daljem razmatranju ograniˇci´cemo se samo na realne racionalne
funkcije, tj. na sluˇcaj kada suP(x) iQ(x) realni polinomi. Najpre ´cemo se
upoznati sa tzv. prostim ili parcijalnim razlomcima, kao i sa odgovaraju´cim
rastavljanjem ili razlaganjem nesvodljive prave racionalne funkcije.
Deﬁnicija 5.1.4.Funkcije
x7→
A
(x−a)
k
ix7→
Mx+N
(x
2
+px+q)
k
(k= 1,2, . . .),
gde suA, M, N, a, p, qrealne konstante ip
2
−4q <0, nazivaju seprostiili
parcijalni razlomci.

RACIONALNE FUNKCIJE 293
5.2. Rastavljanje prave racionalne funkcije
na parcijalne razlomke
U mnogim primenama veoma je vaˇzno rastavljanje prave racionalne funk-
cije na parcijalne razlomke. Sa jednom takvom primenom sreˇs´cemo se kod
integracije racionalnih funkcija (videti odeljak 3.1, glava VII).
Neka jex7→R(x) =P(x)/Q(x) nesvodljiva prava racionalna funkcija.
Rastavljanje takve funkcije na parcijalne razlomke oslanja se na slede´ce dve
leme.
Lema 5.2.1.Neka jearealan koren reda viˇsestrukostirpolinomaQ(x), tj.
neka je
(5.2.1) Q(x) = (x−a)
r
Q1(x) (dgQ1(x) = dgQ(x)−r).
Tada postoji jedinstveno rastavljanje prave racionalne funkcije u obliku
(5.2.2)
P(x)
Q(x)
=
Ar
(x−a)
r
+
P1(x)
(x−a)
r−1
Q1(x)
,
gde jeArrealna konstanta, a drugi ˇclan na desnoj strani jednakosti(5.2.2)
je, takod
-
e, prava racionalna funkcija.
Dokaz.Pretpostavimo da vaˇzi (5.2.2). Tada imamo
(5.2.3) P(x)≡ArQ1(x) + (x−a)P1(x),
odakle zakljuˇcujemo da jeAr=P(a)/Q1(a). KonstantaAregzistira jedin-
stveno jer jeQ1(a)6= 0. Zamenom ove vrednosti zaAru (5.2.3) dobijamo
P1(x) =
P(x)−ArQ1(x)
x−a
.
Oˇcigledno je
dgP1(x)≤max(dgP(x),dgQ1(x))−1≤dgQ(x)−2.
Kako je stepen polinoma (x−a)
r−1
Q1(x), koji se pojavljuje na desnoj
strani u (5.2.2), jednak dgQ(x)−1, zakljuˇcujemo da je ovaj ˇclan, takodˉe,
prava racionalna funkcija.∗

294 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Lema 5.2.2.Neka jex
2
+px+q(p, q∈R;p
2
<4q)faktor viˇsestrukosti
s(s∈N)polinomaQ(x), tj. neka je
(5.2.4)Q(x) = (x
2
+px+q)
s
Q1(x) (dgQ1(x) = dgQ(x)−2s).
Tada postoji jedinstveno rastavljanje prave racionalne funkcije u obliku
(5.2.5)
P(x)
Q(x)
=
Msx+Ns
(x
2
+px+q)
s
+
P1(x)
(x
2
+px+q)
s−1
Q1(x)
,
gde suMsiNsrealne konstante, a drugi ˇclan na desnoj strani u(5.2.5)je,
takod
-
e, prava racionalna funkcija.
Dokaz.Koreni kvadratnog trinomax
2
+px+qsu konjugovano-komplek-
sni brojevi jer jep
2
<4q. Oznaˇcimo ih saα±iβ. Sliˇcno, kao i u dokazu
prethodne leme, pretpostavimo da egzistira (5.2.5). Tada imamo
(5.2.6) P(x)≡(Msx+Ns)Q1(x) + (x
2
+px+q)P1(x).
Stavljaju´cix=a=α+iβix= ˉa=α−iβdobijamo
P(a) = (Msa+Ns)Q1(a), P(ˉa) = (Msˉa+Ns)Q1(ˉa),
tj.
(5.2.7)Msa+Ns=
P(a)
Q1(a)
=w, Msˉa+Ns=
P(ˉa)
Q1(ˉa)
=
θ
P(a)
Q1(a)
⊇
=w.
Napomenimo da suQ1(a) iQ1(ˉa) razliˇciti od nule.
Reˇsavanjem sistema jednaˇcina (5.2.7) nalazimo jedinstvena realna reˇsenja
Ms=
Im(w)
Im(a)
iNs=
Im(aw)
Im(a)
,
jer je Im(a) =β6= 0.
Potrebno je joˇs dokazati da je drugi ˇclan na desnoj strani u(5.2.5) prava
racionalna funkcija. Stavljanjem nadˉenih vrednosti zaMsiNsu (5.2.6)
dobijamo
P1(x) =
P(x)−(Msx+Ns)Q1(x)
x
2
+px+q
,

RACIONALNE FUNKCIJE 295
i tada, jednostavno kao u prethodnoj lemi, dokazujemo da je
dgP1(x)<dgQ(x)−2.∗
Ako lemu 5.2.1 primenimorputa, zakljuˇcujemo da se prava racionalna
funkcijax7→R(x) moˇze predstaviti u obliku
R(x) =
P(x)
Q(x)
=
Ar
(x−a)
r
+
Ar−1
(x−a)
r−1
+∆ ∆ ∆+
A1
x−a
+R1(x),
gde jex7→R1(x), takodˉe, prava racionalna funkcija ˇciji je imenilac polinom
Q1(x), deﬁnisan pomo´cu (5.2.1).
Sliˇcno, primenom leme 5.2.2s-puta, dobijamo
R(x) =
P(x)
Q(x)
=
Msx+Ns
(x
2
+px+q)
s
+∆ ∆ ∆+
M1x+N1
x
2
+px+q
+R2(x),
gde jex7→R2(x) prava racionalna funkcija ˇciji je imenilac polinomQ1(x)
odredˉen pomo´cu (5.2.4).
Pretpostavimo sada da polinomQ(x) ima realne nulea1, . . . , am, reda vi-
ˇsestrukostir1, . . . , rm, respektivno, i parove konjugovano-kompleksnih nula
α1±iβ1, . . . , αl±iβl, reda viˇsestrukostis1, . . . , sl, takodˉe respektivno. Na-
ravno, mora biti
m
X
k=1
rk+ 2
l
X
k=1
sk= dgQ(x).
Parovima konjugovano-kompleksnih nula odgovaraju kvadratni faktori
x
2
+pkx+qk(pk=−2αk, qk=α
2
k
+β
2
k
) odgovaraju´ce viˇsestrukostisk.
PolinomQ(x) se moˇze faktorisati u obliku
(5.2.8) Q(x) =A
m
Y
k=1
(x−ak)
rk
l
Y
k=1
(x
2
+pkx+qk)
sk
,
gde jeAnajstariji koeﬁcijent polinomaQ(x). Ne umanjuju´ci opˇstost moˇze
se uzetiA= 1.
Na osnovu prethodnog izlaganja, prava racionalna funkcijase moˇze ras-
taviti na parcijalne razlomke ˇciji oblik zavisi od oblika faktora u (5.2.8).
Naime, faktoru (x−a)
r
odgovara oblik
A1
x−a
+
A2
(x−a)
2
+∆ ∆ ∆+
Ar
(x−a)
r
,

296 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
a faktoru (x
2
+px+q)
s
oblik
M1x+N1
x
2
+px+q
+
M2x+N2
(x
2
+px+q)
2
+∆ ∆ ∆+
Msx+Ns
(x
2
+px+q)
s
.
Tako imamo slede´ci rezultat:
Teorema 5.2.3.Neka jex7→R(x) =P(x)/Q(x)nesvodljiva prava racio-
nalna funkcija, pri ˇcemu se polinomQ(x)moˇze faktorisati u obliku(5.2.8).
Tada je
(5.2.9) R(x) =
m
X
k=1
rkX
n=1
Akn
(x−ak)
n
+
l
X
k=1
skX
n=1
Mknx+Nkn
(x
2
+pkx+qk)
n
,
gde se nepoznati koeﬁcijentiAkn, Mkn, Nkn, mogu odrediti metodom neo-
dredˉenih koeﬁcijenata.
Primer 5.2.1.Na osnovu (5.2.9), racionalna funkcija
R(x) =
8x
3
+ 21x−11
(x−1)
2
(x
2
+x+ 1)
2
moˇze se predstaviti u obliku
(5.2.10) R(x) =
A1
x−1
+
A2
(x−1)
2
+
M1x+N1
x
2
+x+ 1
+
M2x+N2
(x
2
+x+ 1)
2
.
Nepoznate koeﬁcijenteA
k, M
k, N
k(k= 1,2) odredˉujemo iz identiteta
A1(x−1)(x
2
+x+ 1)
2
+A2(x
2
+x+ 1)
2
+(M1x+N1)(x−1)
2
(x
2
+x+ 1) + (M2x+N2)(x−1)
2
≡8x
3
+ 21x−11,
tj. iz
(A1+M1)x
5
+ (A1+A2−M1+N1)x
4
+(A1+ 2A2−N1+M2)x
3
+ (−A1+ 3A2−M1−2M2+N2)x
2
+(−A1+ 2A2+M1−N1+M2−2N2)x+ (−A1+A2+N1+N2)
≡8x
3
+ 21x−11,
Dakle, traˇzeni koeﬁcijenti su reˇsenja sistema linearnihjednaˇcina

RACIONALNE FUNKCIJE 297
A1 +M1 = 0,
A1+A2−M1+N1 = 0,
A1+ 2A2 −N1+M2 = 8,
−A1+ 3A2−M1 −2M2+N2= 0,
−A1+ 2A2+M1−N1+M2−2N2= 21,
−A1+A2 +N1 +N2=−11,
odakle nalazimo
A1= 1, A2= 2, M1=−1, N1=−4, M2=−1, N2=−8.
Vaˇzi, dakle, rastavljanje
R(x) =
1
x−1
+
2
(x−1)
2
−
x+ 4
x
2
+x+ 1
−
x+ 8
(x
2
+x+ 1)
2
.△
Napomena 5.2.1.KoeﬁcijentiA1iA2u (5.2.10) mogu se odrediti tzv. me-
todom ostataka.
77)
AkoR(x) pomnoˇzimo sa (x−1)
2
, a zatim pustimo dax→1, dobijamo
A2= lim
x→1
(x−1)
2
R(x) = lim
x→1
8x
3
+ 21x−11
(x
2
+x+ 1)
2
= 2.
KoeﬁcijentA1dobija se, na neˇsto komplikovaniji naˇcin, kao
A1= lim
x→1
d
dx
n
(x−1)
2
R(x)
o
= lim
x→1
d
dx

8x
3
+ 21x−11
(x
2
+x+ 1)
2
ﬀ
,
odakle je
A1= lim
x→1
(24x
2
+ 21)(x
2
+x+ 1)−2(2x+ 1)(8x
3
+ 21x−11)
(x
2
+x+ 1)
3
= 1.
U opˇstem sluˇcaju, metod ostataka je pogodan za odredˉivanje koeﬁcijenataA
kn
u razlaganju (5.2.9), pri ˇcemu je
A
k,rk−i=
1
i!
lim
x→ak
d
i
dx
i
˘
(x−a
k)
rk
R(x)

(k= 1,2, . . . , m;i= 0,1, . . . , r
k−1).
77)
Ovaj metod se prouˇcava uKompleksnoj analizi.

298 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Primer 5.2.2.Na osnovu (5.2.9), racionalna funkcija
R(x) =
1
(x+ 1)(x+ 2)
2
(x+ 3)
3
ima razlaganje
R(x) =
A11
x+ 1
+
A21
x+ 2
+
A22
(x+ 2)
2
+
A31
x+ 3
+
A32
(x+ 3)
2
+
A33
(x+ 3)
3
.
Primenom metoda ostataka dobijamo
A11= lim
x→−1
1
(x+ 2)
2
(x+ 3)
3
=
1
8
,
A22= lim
x→−2
1
(x+ 1)(x+ 3)
3
=−1,
A21= lim
x→−2
d
dx

1
(x+ 1)(x+ 3)
3
ﬀ
= lim
x→−2
−4x−6
(x+ 1)
2
(x+ 3)
4
= 2,
A33= lim
x→−3
1
(x+ 1)(x+ 2)
2
=−
1
2
,
A32= lim
x→−3
d
dx

1
(x+ 1)(x+ 2)
2
ﬀ
= lim
x→−3
−3x−4
(x+ 1)
2
(x+ 2)
3
=−
5
4
,
A31=
1
2!
lim
x→−3
d
2
dx
2

1
(x+ 1)(x+ 2)
2
ﬀ
=
1
2
lim
x→−3
12x
2
+ 32x+ 22
(x+ 1)
3
(x+ 2)
4
=−
17
8
.
Dakle, imamo
R(x) =
1
8
∆
1
x+ 1
+
2
x+ 2
−
1
(x+ 2)
2
−
17
8
∆
1
x+ 3
−
5
4
∆
1
(x+ 3)
2
−
1
2
∆
1
(x+ 3)
3
.△
6. ZADACI ZA VE ˇZBU
6.1.Rastaviti na proste ˇcinioce polinom
P(x) = (x+ 1)
100
+ (x−1)
100
.

RACIONALNE FUNKCIJE 299
Rezultat.
P(x) =
99
Y
k=0

x−icot
2k+ 1
100
π
≡
=
49
Y
k=0

x
2
+ cot
2
2k+ 1
100
π
≡
.
6.2.Odrediti najve´ci zajedniˇcki delilac za polinome
(1)
P(x) =x
5
+x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ 2x+ 1,
Q(x) =x
4
+ 4x
3
+ 6x
2
+ 5x+ 2,
i
(2)
P(x) =x
5
+x
4
+ 3x
3
+ 4x
2
+ 4x+ 2,
Q(x) =x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+ 6x
2
+ 6x+ 2.
Rezultat.(1)x
2
+x+ 1, (2)x
3
+ 2x+ 2.
6.3.Ako jenneparan prirodan broj, dokazati da je izraz
(1) ( a+b+c)
n
−a
n
−b
n
−c
n
deljiv izrazom
(a+b+c)
3
−a
3
−b
3
−c
3
.
Uputstvo.Prethodno dokazati da je
(a+b+c)
3
−a
3
−b
3
−c
3
= 3(a+b)(b+c)(c+a),
ˇsto znaˇci da zatim treba pokazati da je izraz (1) deljiv redom saa+b,b+cic+a.
U tom smislu posmatrati polinome
f(x) = (x+b+c)
n
−x
n
−b
n
−c
n
ig(x) = (x+a+c)
n
−x
n
−a
n
−c
n
.
6.4.Odrediti brojevea, b, p, qtako da je
x
3
+ 15x
2
+ 3x+ 5 =p(x−a)
3
+q(x−b)
3
,
a zatim odrediti realan koren jednaˇcine
x
3
+ 15x
2
+ 3x+ 5 = 0.

300 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
Rezultat.x=
3
√
2 +
3
√
3
3
√
2−
3
√
3
.
6.5.Odrediti polinomP(z) ˇsestog stepena, tako da jeP(z) + 1 deljiv
polinomom (z−1)
3
i da je polinomP(z) + 2 deljiv saz
4
.
Rezultat.P(z) = 10z
6
−24z
5
+ 15z
4
−2.
6.6.Odreditipiqtako da jez
2m
+pz
m
+q(m∈N) deljivo saz
2
+z+ 1.
Rezultat.Ako jemdeljivo sa 3, tada je 1 +p+q= 0, a akomnije deljivo sa 3, tada je
p=q= 1.
6.7.Dat je polinom
P(x) =x
4
+ax
3
+bx
2
+cx+d.
Odrediti uslov koji treba da zadovolje koeﬁcijentia, b, c, dda bi postojali
polinomQ(x) i konstantartako da je
P(x) =Q(x)
2
+r.
Primenom ove mogu´cnosti, reˇsiti jednaˇcinu
x
4
+ 2x
3
−2x
2
−3x+ 2 = 0.
Rezultat.Traˇzeni uslov je:a
3
−4ab+8c= 0, a reˇsenja jednaˇcine su: 1,−2,
1
2
(−1±
√
5 ).
6.8.Ako sum, n∈NiP(x) proizvoljni polinom, dokazati da je polinom
P(x)
m
+
−
1−P(x)
∆
n
−1
deljiv polinomomP(x)−P(x)
2
.
6.9.Odrediti realne parametreaibtako da je polinomx
4
+ 3x
2
+ax+b
deljiv polinomomx
2
−2ax+ 2.
Rezultat.1
◦
a= 0, b= 2 i 2
◦
a=±
√
2
4
, b= 3.
6.10.Odrediti koeﬁcijentea, b, ctako da izraz
x
3
+ax
2
+bx+c
x−1
+
x
3
+bx
2
+cx+a
x−2
+
x
3
+cx
2
+ax+b
x−3
bude polinom.

RACIONALNE FUNKCIJE 301
Rezultat.a= 4.2, b=−0.9, c=−4.3.
6.11.Odrediti polinomP(x) stepenan= 7, ako se zna da je
P(1) =P(1/2) =P(1/3) =P(1/4) = 0,
P
′
(1) = 1, P
′
(1/2) =P
′
(1/3) =P
′
(1/4) = 0.
Rezultat.P(x) = (x−1)

x−
1
2
≡
2
x−
1
3
≡
2
x−
1
4
≡
2
.
6.12.Neka je dat polinom
P(x) =x
5
−4x
4
+ 9x
3
−21x
2
+ 20x−5.
Ako sux1, x2, x3, x4, x5nule polinomaPi ako se zna da vaˇzi jednakost
x4x5= 5, odrediti svih pet nula polinomaP.
Rezultat.x1= 1, x2=
3 +
√
5
2
, x3=
3−
√
5
2
, x4=i
√
5, x5=−i
√
5.
6.13.Reˇsiti jednaˇcinu
z
4
+ (1−i)z
3
+ 2iz
2
+ (1 +i)z−1 = 0,
stavljaju´ci da jeu=z+i/z.
Rezultat.Reˇsenja su:z=±
√
2
2
(1−i) iz=
1±
√
3
2
(1−i).
6.14.Odreditiλtako da jednaˇcina
z
4
+z
3
−2z
2
+λz−3 = 0
ima dva suprotna korena, a zatim reˇsiti posmatranu jednaˇcinu.
Rezultat.λ= 1 iλ=−3.
6.15.Neka je
P(z) = 3z
4
−z
3
+ (2 + 3i)z
2
+ (1 + 2i)z+ 1 +i.
Dokazati da polinomiP(z) i
ˉ
P(z) imaju dve zajedniˇcke nule, a zatim
reˇsiti jednaˇcinuP(z) = 0.
Rezultat.Reˇsenja jednaˇcine su:
−1±i
√
2
3
, i ,1−i.

302 ALGEBARSKI POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE
6.16.Neka jearealan i pozitivan broj. Proveriti tvrdˉenje: Sva tri korena
jednaˇcine
z
3
+az
2
+ 4z+a= 0
imaju negativne realne delove.
6.17.Ako jeP(z) =az
2
+bz+c, odreditia, b, c, mtako da je
P(z) =P(mz+ 1).
Rezultat.m=
−1±i
√
3
2
iP(z) =a(z−1)(z−m−1).
6.18.Ako sua, b, ckoreni jednaˇcinez
3
+z
2
+q= 0, odrediti zbir
s=
a
2
+b
2
c
2
+
b
2
+c
2
a
2
+
c
2
+a
2
b
2
.
Rezultat.s=−
2
q
−3.

VG L A V A
Spektralna teorija operatora
i matrica
1. PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI
1.1. Sopstveni vektori i sopstvene vrednosti
Neka jeXkonaˇcno-dimenzionalni linearni prostor nad poljemKi neka je
A:X→Xlinearan operator koji vektoruu∈Xpridruˇzuje vektorv=Au
koji, takodˉe, pripada prostoruX. Od interesa je prouˇciti sluˇcaj kada su
vektoriuivkolinearni.
Deﬁnicija 1.1.1.Skalarλ∈Ki nenula vektoru∈Xse nazivajusopstvena
vrednostisopstveni vektorza operatorA:X→X, respektivno, ako jeAu=
λu.
Pored termina sopstvena vrednost i sopstveni vektor koriste se i termini:
karakteristiˇcna(svojstvena)vrednostikarakteristiˇcni(svojstveni)vektor.
Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore za dati operatorAznaˇci
reˇsiti tzv.problem sopstvenih vrednostiza operatorA.
Na osnovu prethodne deﬁnicije moˇzemo zakljuˇciti slede´ce:
1
◦
Ako jeu(6=θ) sopstveni vektor operatoraAkoji odgovara sopstvenoj
vrednostiλ, tada za svakoα6= 0 vektorαuje, takodˉe, sopstveni vektor koji
odgovara istoj sopstvenoj vrednostiλ.
2
◦
Ako suuivsopstveni vektori operatoraAkoji odgovaraju istoj sop-
stvenoj vrednostiλ, tada jeαu+βv, takodˉe, sopstveni vektor koji odgovara
istoj sopstvenoj vrednostiλ.
3
◦
Skup svih sopstvenih vektora koji odgovaraju istoj sopstvenoj vred-
nostiλne obrazuje linearni potprostor prostoraXjer nula vektorθne
pripada ovom skupu. Ako, medˉutim, proˇsirimo ovaj skup sa nula vektorom,
tada on postaje potprostor, koji se nazivasopstvenipotprostor operatoraA
koji odgovara sopstvenoj vrednostiλ. Ovaj potprostor oznaˇcava´cemo saUλ.
Primer 1.1.1.Posmatrajmo skalarni operator (videti primer 2.2.1, glavaIII)
deﬁnisan pomo´cuAu=αu(u∈X), gde jeαﬁksirani skalar iz poljaK. Ovaj

304 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
linearni operator ima samo jednu sopstvenu vrednostλ=αi jedan sopstveni
potprostor koji se poklapa saX. Napomenimo da su nula-operatorOi identiˇcki
operatorIspecijalni sluˇcajevi posmatranog operatoraA, zaα= 0 iα= 1,
respektivno.△
Primer 1.1.2.Posmatrajmo tzv.projekcioni operatoriliprojektorP:X→X,
za koji vaˇziP
2
=P. Kako je
P(Pu) =P
2
u=Pu= 1∆ Pu,P((I − P)u) = (P − P
2
)u=θ= 0∆(I − P)u,
zakljuˇcujemo da projekcioni operatorPima bar dve razliˇcite sopstvene vrednosti
λ1= 1 iλ2= 0. Odgovaraju´ce sopstvene potprostore ˇcine skupovi vrednosti
operatoraPi operatoraI − P, tj.T
PiT
I−P.△
Primer 1.1.3.Neka je u prostoruVO(R) (videti odeljak 1.1, glava II) deﬁnisan
operator rotacijeR, koji vektorr=r(icosα+jsinα) preslikava na vektor
s=Rr=r
ˆ
icos
`
α+
π
2
´
+jsin
`
α+
π
2
´˜
=r
ˆ
−isinα+jcosα
˜
.
Kako vektoririRrne mogu biti kolinearni, zakljuˇcujemo da operator rotacije
nema sopstvene vektore.△
Neka jeA:X→Xlinearan operator ia0, a1, . . . , anskalari iz poljaK.
Posmatrajmo linearni operatorB:X→X, deﬁnisan pomo´cu tzv. opera-
torskog polinoma
(1.1.1) B=P(A) =a0I+a1A+∆ ∆ ∆+anA
n
.
Kako za dva polinomaP(λ), Q(λ)∈K[λ] vaˇziP(λ)Q(λ) =Q(λ)P(λ), ovo
svojstvo se jednostavno prenosi i na operatorski sluˇcaj. Dakle, imamo
P(A)Q(A) =Q(A)P(A).
Ova osobina bi´ce ˇcesto koriˇs´cena u daljem razmatranju.
Teorema 1.1.1.Ako jeλsopstvena vrednost iusopstveni vektor operatora
A:X→X, tada jeu, takodˉe, sopstveni vektor operatoraB=P(A), koji
odgovara sopstvenoj vrednostiP(λ) =a0+a1λ+∆ ∆ ∆+anλ
n
.
Dokaz.Kako je
Au=λu,
A
2
u=A(Au) =A(λu) =λAu=λ
2
u,
A
3
u=A(A
2
u) =A(λ
2
u) =λ
2
Au=λ
3
u,

PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI 305
moˇze se zakljuˇciti da je
A
k
u=λ
k
u,
tj. da jeusopstveni vektor i za iterirani operatorA
k
, koji odgovara sop-
stvenoj vrednostiλ
k
. Najzad, na osnovu
P(A)u= (a0I+a1A+∆ ∆ ∆+anA
n
)u
=a0Iu+a1Au+∆ ∆ ∆+anA
n
u
=a0u+a1λu+∆ ∆ ∆+anλ
n
u
= (a0+a1λ+∆ ∆ ∆+anλ
n
)u,
zakljuˇcujemo da je tvrdˉenje teoreme taˇcno.∗
Teorema 1.1.2.Neka suu1,u2,. . .,umsopstveni vektori operatoraA,
koji odgovaraju medˉu sobom razliˇcitim sopstvenim vrednostimaλ1,λ2,. . .,
λm. Tada jeU={u1, u2, . . . , um}sistem linearno nezavisnih vektora.
Dokaz.Tvrdˉenje je, oˇcigledno, taˇcno zam= 1 jer sopstveni vektor ne
moˇze biti nula-vektor. Pretpostavimo sada da je tvrdˉenje taˇcno za bilo koji
sistem odm−1 sopstvenih vektora, a da nije taˇcno za sistemU. Dakle,
pretpostavimo da jeUsistem linearno zavisnih vektora, ˇsto znaˇci da postoje
skalariα1,α2,. . .,αmtakvi da je
(1.1.2) α1u1+α2u2+∆ ∆ ∆+αmum=θ,
a da pri tome svi skalari nisu istovremeno jednaki nuli. Na primer, neka je
α16= 0. Kako jeAuk=λkuk(k= 1,2, . . . , m), primenom operatoraAna
(1.1.2) dobijamo
(1.1.3) α1λ1u1+α2λ2u2+∆ ∆ ∆+αmλmum=θ.
S druge strane, mnoˇzenjem (1.1.2) sa−λmi sabiranjem sa (1.1.3), dobijamo
(1.1.4)α1(λ1−λm)u1+α2(λ2−λm)u2+∆ ∆ ∆+αm−1(λm−1−λm)um−1=θ.
Kako je, po pretpostavci, svaki sistem odm−1 sopstvenih vektora linearno
nezavisan, zakljuˇcujemo da svi koeﬁcijenti u (1.1.4) moraju biti jednaki nuli,
pa iα1(λ1−λm) = 0. Ovo, medˉutim, protivureˇci ˇcinjenici da jeλ16=λmi
pretpostavci da jeα16= 0. Dakle, sistem vektoraUje linearno nezavisan.∗
Slede´ci rezultat je neposredna posledica prethodne teoreme:

306 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Teorema 1.1.3.Neka jeX n-dimenzionalni linearni prostor. Linearni ope-
ratorA:X→Xne moˇze imati viˇse odnmedˉu sobom razliˇcitih sopstvenih
vrednosti.
Deﬁnicija 1.1.2.Za linearni operatorA, koji deluje un-dimenzionalnom
linearnom prostoruXi imanlinearno nezavisnih sopstvenih vektora, kaˇzemo
da jeoperator proste strukture.
Neka suu1, u2, . . . , unlinearno nezavisni sopstveni vektori operatora pros-
te struktureA:X→X, koji odgovaraju sopstvenim vrednostimaλ1,λ2,. . .,
λn. Na osnovu prethodnog, takav sistem vektora{u1, u2, . . . , un}moˇze se
uzeti za bazun-dimenzionalnog prostoraX. Kako je
Auj=λjuj (j= 1,2, . . . , n),
zakljuˇcujemo da matrica operatora proste strukture u ovojbazi ima dijago-
nalni oblik (videti odeljak 2.3, glava III)
(1.1.5)




λ1
λ2
.
.
.
λn




.
Vaˇzi i obrnuto, tj. ako je matrica operatoraAu nekoj bazi{u1, u2, . . . , un}
dijagonalna, tada je taj operator proste strukture, pri ˇcemu su bazisni vektori
u1, u2, . . . , un, u stvari, njegovi sopstveni vektori, a dijagonalni elementi
matrice su sopstvene vrednosti tog operatora. Napomenimo da pritom sve
sopstvene vrednosti ne moraju biti medˉu sobom razliˇcite.
Prema tome, za operatore proste strukture problem konstrukcije baze u
kojoj matrica operatora ima najprostiji mogu´ci oblik je veoma jednostavan.
Baza se, dakle, sastoji od sopstvenih vektora, a matrica operatora je dija-
gonalna sa sopstvenim vrednostima na glavnoj dijagonali. Drugim reˇcima,
matrica operatora proste strukture uvek je sliˇcna nekoj dijagonalnoj matrici
(za sliˇcnost matrica videti deﬁniciju 5.2.3, glava III). Medˉutim, klasa ope-
ratora proste strukture ne iscrpljuje skup svih linearnih operatoraL(X, X).
Naˇs glavni cilj u ovom poglavlju bi´ce konstrukcija baze u kojoj matrica
proizvoljnog linearnog operatora na konaˇcno dimenzionalnom prostoru ima
najprostiji mogu´ci oblik, tzv.Jordanov
78)
kanoniˇcki oblik.
78)
Marie Ennemond Camille Jordan (1838–1922), francuski matematiˇcar.

PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI 307
1.2. Karakteristiˇcni polinom
Kao ˇsto smo videli u prethodnom odeljku, moˇze se desiti sluˇcaj da jedan
linearni operator nema sopstvene vektore. Ovaj odeljak posve´cujemo prob-
lemu egzistencije sopstvenih vektora putem karakterizacije ovog problema
pomo´cu algebarske jednaˇcine.
Neka jeX n-dimenzionalan linearni prostor iA:X→Xlinearan opera-
tor. U prostoruXizaberimo proizvoljnu bazuBe={e1, e2, . . . , en}. Tada
jednaˇcini
(1.2.1) Au=λu,
koja deﬁniˇse problem sopstvenih vrednosti za operatorA, moˇzemo pridruˇziti
odgovaraju´cu matriˇcnu jednaˇcinu
(1.2.2) Ax=λx,
gde jeA= [aij]n×nmatrica operatoraAu baziBeix= [x1x2. . . xn]
T
koordinatna reprezentacija vektora
u=x1e1+x2e2+∆ ∆ ∆+xnen.
Matriˇcni analogon problema (1.2.1) je, dakle, deﬁnisan homogenim siste-
mom linearnih jednaˇcina (1.2.2), tj.
(1.2.3) ( A−λI)x=o,
ˇcija nas netrivijalna reˇsenjaxinteresuju. Takva reˇsenja predstavljaju koor-
dinatne reprezentacije sopstvenih vektora operatoraAu baziB. Takodˉe, za
njih kaˇzemo da susopstveni vektori matriceA. Odgovaraju´ce vrednostiλza
koje postoje ova netrivijalna reˇsenja predstavljaju odgovaraju´cesopstvene
vrednosti matriceA, tj. operatoraA.
Kao ˇsto je poznato (videti odeljak 4.6, glava III) sistem jednaˇcina (1.2.3)
ima netrivijalna reˇsenja ako je njegova determinanta jednaka nuli. Dakle,
imamo
(1.2.4) det(A−λI) =

a11−λ a 12 . . . a1n
a21 a22−λ
.
.
.
an1 an2 ann−λ

= 0

308 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Napomena 1.2.1.Uslov (1.2.4) je ekvivalentan uslovu da je operatorA −λI
singularan (videti deﬁniciju 2.2.10, glava III).
Razvijanjem determinante u (1.2.4) dobijamo polinom stepenanpoλ,
ˇciji je vode´ci koeﬁcijent (−1)
n
. Koeﬁcijenti tog polinoma ne zavise odλ
i odredˉeni su pomo´cu elemenata matriceA. Napomenimo ovde da ti ko-
eﬁcijenti ne zavise od izbora baze uX, ve´c samo od osobina operatoraA.
Zaista, uzimaju´ci drugi bazisBe
′={e
′
1, e
′
2, . . . , e
′
n}razliˇcit odB, odgo-
varaju´ca matrica operatora postajeA
′
, koja je sliˇcna sa matricomA(videti
deﬁniciju 4.2.3, glava III). Dakle,A
′
=P
−1
AP, gde jePmatrica transfor-
macije sliˇcnosti. Kako je det(P
−1
) = 1/det(P) imamo redom
det(A
′
−λI) = det
−
P
−1
AP−λP
−1
IP
∆
= det
−
P
−1
(A−λI)P
∆
= det
−
P
−1
∆
det(A−λI) det(P)
= det(A−λI).
Prema tome, polinomλ7→det(A−λI) ne zavisi od izabrane baze u
prostoruXve´c samo od karakteristika operatoraA.
Deﬁnicija 1.2.1.Zaλ7→P(λ) = det(A−λI) kaˇzemo da jekarakteristiˇcni
polinomoperatoraA(ili matriceA). Za moniˇcan polinom
(1.2.5)H(λ) = (−1)
n
P(λ) =λ
n
−p1λ
n−1
+p2λ
n−2
− + (−1)
n
pn
kaˇzemo da jenormalizovani karakteristiˇcni polinomoperatoraA(ili matri-
ceA).
Na osnovu prethodnog, sliˇcne matrice imaju isti karakteristiˇcni polinom.
Napomena 1.2.2.Za odredˉivanje koeﬁcijenatap
k(k= 1,2, . . . , n) karakte-
ristiˇcnog polinoma (1.2.5) postoji ve´ci broj numeriˇckih metoda, o kojima se moˇze
na´ci u knjizi:G. V. Milovanovi´c,Numeriˇcka analiza, I deo(tre´ce izdanje),
Nauˇcna knjiga, Beograd, 1991.
Jedan od metoda za odredˉivanje koeﬁcijenata karakteristiˇcnog polinoma
zasniva se na transformaciji matriceAna tzv.Frobeniusov
79)
oblik
(1.2.6) F=






f1f2. . . fn−1fn
1 0 0 0
0 1 0 0
.
.
.
0 0 1 0






,
79)
Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917), nemaˇcki matematiˇcar.

PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI 309
pri ˇcemu su matriceAiFsliˇcne. S obzirom da sliˇcne matrice imaju identiˇcne
karakteristiˇcne polinome, jednostavno se, na osnovu (1.2.6), dobija karakte-
ristiˇcni polinom matriceA. Naime, ako det(F−λI) razvijemo po elementima
prve kolone dobijamo
P(λ) = (f1−λ)(−λ)
n−1
−f2(−λ)
n−2
+∆ ∆ ∆+ (−1)
n−1
fn,
tj.
P(λ) = (−1)
n
−
λ
n
−f1λ
n−1
−f2λ
n−2
` ´ ´ ´ `fn
∆
.
Dakle, svakom operatoruAodgovara jedinstven karakteristiˇcni polinom ˇciji
su koeﬁcijenti dati sa
pk= (−1)
k−1
fk (k= 1,2, . . . , n).
Obrnuto, svaki polinom oblika (1.2.5) predstavlja karakteristiˇcni polinom
nekog linearnog operatora, ˇcija matrica u nekoj bazi ima oblik (1.2.6), gde
sufk= (−1)
k−1
pk(k= 1, . . . , n).
Na osnovu prethodnog moˇzemo zakljuˇciti da potreban i dovoljan uslov da
λ∈Kbude sopstvena vrednost operatoraAje da takvoλbude reˇsenje tzv.
karakteristiˇcne jednaˇcine
(1.2.7) λ
n
−p1λ
n−1
+p2λ
n−2
` ´ ´ ´+ (−1)
n
pn= 0,
tj. bude nula karakteristiˇcnog polinoma. Napomenimo da, uopˇstem sluˇcaju,
algebarska jednaˇcina (1.2.7), sa koeﬁcijentima iz poljaK, ne mora uvek imati
reˇsenje u poljuK, ˇsto pokazuje slede´ci primer.
Primer 1.2.1.Za operator rotacijeRkoji deluje u realnom prostoruVO(R)
(videti primer 1.1.3), u baziB={i,j}imamo
R=
»
0−1
1 0
–
, H(λ) =P(λ) =
˛
˛
˛
˛
−λ−1
1−λ
˛
˛
˛
˛
=λ
2
+ 1.
Karakteristiˇcna jednaˇcinaλ
2
+ 1 = 0 nema korene na polju realnih brojeva, ˇsto
je u skladu sa ranijim zakljuˇckom u primeru 1.1.3.△
Primer 1.2.2.Neka operatorAdeluje u dvodimenzionalnom prostoru nad
poljemRi neka je njegova matrica u nekoj bazi data sa
A=
»
1 2
2 1
–
.

310 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Na osnovu karakteristiˇcne jednaˇcine
˛
˛
˛
˛
1−λ 2
2 1−λ
˛
˛
˛
˛
= (1−λ)
2
−4 = 0
dobijamo sopstvene vrednosti operatora:λ1=−1 iλ2= 3.
Da bismo odredili sopstvene vektore koji odgovaraju ovim sopstvenim vrednos-
tima, posmatra´cemo odgovaraju´ce homogene sisteme jednaˇcina (1.2.3), tj.
(1.2.8) (1 −λ)x1+ 2x2= 0,2x1+ (1−λ)x2= 0.
Zaλ=λ1=−1, (1.2.8) se svodi na jednu jednaˇcinu 2x1+ 2x2= 0, odakle
sledujex2=−x1. Uzimaju´cix1= 1 nalazimox2=−1, pa je odgovaraju´ci
sopstveni vektor
x1=C1
»
1
−1
–
,
gde jeC1proizvoljna realna konstanta razliˇcita od nule.
Zaλ=λ2= 3, (1.2.8) se, takodˉe, svodi na jednu jednaˇcinu−2x1+ 2x2= 0,
tj. nax1=x2. Dakle, moˇzemo uzeti da jex1=x2= 1. Odgovaraju´ci sopstveni
vektor je
x2=C2
»
1
1
–
,
gde jeC2proizvoljna realna konstanta razliˇcita od nule.△
Samo u algebarski zatvorenom poljuK(videti deﬁniciju 1.5.1) svaki po-
linom sa koeﬁcijentima izKima bar jednu nulu u ovom polju, ˇsto znaˇci da
svaki linearni operatorAkoji deluje u linearnom prostoruXnad algebarski
zatvorenim poljemKima bar jedan sopstveni vektor. Kao ˇsto je poznato,
takvo polje je, na primer, polje kompleksnih brojevaC. U daljem tekstu raz-
matra´cemo linearne operatore koji deluju u kompleksnom linearnom pros-
toru (K=C). U tom sluˇcaju, karakteristiˇcni polinom ima faktorizaciju
(1.2.9) P(λ) = (−1)
n
(λ−λ1)
n1
(λ−λ2)
n2
∆ ∆ ∆(λ−λr)
nr
,
gde suλ1,λ2,. . .,λrmedˉu sobom razliˇcite sopstvene vrednosti, ˇcija je
viˇsestrukost redomn1,n2,. . .,nri pri ˇcemu jen1+n2+∆ ∆ ∆+nr=n.
Na kraju ovog odeljka da´cemo neke dodatne napomene u vezi operatora
proste strukture.
Neka jeAlinearni operator proste strukture koji deluje un-dimenzional-
nom kompleksnom linearnom prostoruX. Saglasno deﬁniciji 1.1.2, opera-
torAimanlinearno nezavisnih sopstvenih vektorau1,u2,. . .,un. Neka

PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI 311
sux1,x2,. . .,xnnjihove koordinatne reprezentacije u nekoj baziB=
{e1, e2, . . . , en}, tj.
uk=x1ke1+x2ke2+∆ ∆ ∆+xnken,xk=




x1k
x2k
.
.
.
xnk




(k= 1,2, . . . , n).
Ako jeAmatrica operatoraAu baziB, tada se na osnovu onoga ˇsto je
reˇceno na kraju prethodnog odeljka i teoreme 4.2.1 (glava III) moˇze zakljuˇciti
da se, pri prelasku sa bazeBna bazu sastavljenu od sopstvenih vektora
{u1, u2, . . . , un}, matricaAtransformiˇse na dijagonalni oblik (1.1.5), pri
ˇcemu je transformaciona matricaPdata pomo´cu
P= [x1x2. . .xn] =





x11x12. . . x1n
x21x22 x2n
.
.
.
xn1xn2 xnn





.
Kako je
P
−1
P=P
−1
[x1x2. . .xn] = [P
−1
x1P
−1
x2. . . P
−1
xn] =I,
dijagonalizacija matriceAmoˇze se, u ovom sluˇcaju, realizovati pomo´cu
P
−1
AP=P
−1
[Ax1Ax2. . . Axn]
=P
−1
[λ1x1λ2x2. . . λnxn],
tj.
P
−1
AP=D=




λ1
λ2
.
.
.
λn




,
gde suλ1,λ2,. . .,λnsopstvene vrednosti operatora proste strukture. Kao
ˇsto je ranije napomenuto sve sopstvene vrednosti ne morajubiti medˉu sobom
razliˇcite.
Primer 1.2.3.OperatorAiz primera 1.2.2 je proste strukture jer ima dva
linearno nezavisna sopstvena vektora. Uzimaju´ci za bazu sopstvene vektore (na
primer, saC1=C2= 1) dobijamo dijagonalnu matricu operatora
D=
»
−1 0
0 3
–
.

312 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Transformaciona matricaP, sastavljena na osnovu koordinatnih reprezentacija
sopstvenih vektora, je
P=
»
1 1
−1 1
–
.
Tada imamo
P
−1
AP=
1
2
»
1−1
1 1
–
∆
»
1 2
2 1
–
∆
»
1 1
−1 1
–
=
1
2
»
−2 0
0 6
–
=D.△
Primer 1.2.4.Neka je data matrica operatora sa
A=
2
4
3−1 1
−2 4 −2
−2 2 0
3
5.
Za odgovaraju´ci karakteristiˇcni polinom dobijamo
P(λ) =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
3−λ−1 1
−2 4−λ−2
−2 2 −λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= (2−λ)
2
(3−λ),
odakle zakljuˇcujemo da su sopstvene vrednosti operatora (tj. matriceA) date sa:
λ1=λ2= 2,λ3= 3.
Kao i u primeru 1.2.2 odredˉujemo sada sopstvene vektore iz slede´ceg homogenog
sistema jednaˇcina
(3−λ)x1− x2+x3=0,
−2x1+(4−λ)x2−2x3=0,(1.2.10)
−2x1+ 2 x2−λx3=0,
uzimaju´ci zaλdobijene sopstvene vrednosti.
Tako za dvostruku sopstvenu vrednostλ=λ1=λ2= 2, sve tri jednaˇcine iz
prethodnog sistema svode se na istu jednaˇcinu
x1−x2+x3= 0,
odakle zakljuˇcujemo da imamo dve slobodne promenljive, naprimerx1ix2, a da
je promenljivax3tada odredˉena sax3=x2−x1. Prema tome, ako uzmemo recimo
x1=x2= 1, dobijamox3= 0. Sliˇcno, zax1= 0,x2= 1, dobijamox3= 1. Na
ovaj naˇcin nalazimo dva linearno nezavisna sopstvena vektora, ˇcije su koordinatne
reprezentacije redom
x1=
2
4
1
1
0
3
5 ix2=
2
4
0
1
1
3
5.

PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI 313
Zaλ=λ3= 3, sistem (1.2.10) se svodi na dve jednaˇcine
−x2+x3= 0, −2x1+x2−2x3= 0,
odakle, uzimaju´ci da jex1slobodna promenljiva, dobijamo
x2=x3=−2x1.
Tako, ako stavimox1=−1, imamox2=x3= 2. Prema tome, sopstveni vektor
koji odgovara sopstvenoj vrednostiλ3= 3 ima reprezentaciju
x3=
2
4
−1
2
2
3
5.
S obzirom da imamo tri linearno nezavisna sopstvena vektora, operator koji
razmatramo je proste strukture, ˇsto znaˇci da se njegova matrica moˇze svesti na di-
jagonalni oblik. Saglasno prethodnom, transformaciona matricaPi njena inverzna
matrica su redom
P=
2
4
1 0−1
1 1 2
0 1 2
3
5, P
−1
=
2
4
0 1 −1
2−2 3
−1 1 −1
3
5,
pa je
(1.2.11) P
−1
AP=D=
2
4
2 0 0
0 2 0
0 0 3
3
5.△
Bez dokaza navodimo slede´ci rezultat:
Teorema 1.2.1.Potrebni i dovoljni uslovi da operatorA:X→Xbude
proste strukture su da svakoj sopstvenoj vrednosti odgovara onoliko linearno
nezavisnih sopstvenih vektora kolika je njena viˇsestrukost.
Napomena 1.2.3. U primeru 1.2.4 dvostrukoj sopstvenoj vrednosti odgo-
varaju dva linearno nezavisna sopstvena vektora.
Napomena 1.2.4.Kod matrica operatora proste strukture veoma je jednos-
tavno odredˉivanje stepena matriceA
k
(k∈N), s obzirom na jednakost
`
P
−1
AP
´
k
=
`
P
−1
AP
´`
P
−1
AP
´
. . .
`
P
−1
AP
´
| {z }
kputa
=P
−1
A
k
P=D
k
,

314 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
odakle sleduje
A
k
=P D
k
P
−1
=P
2
6
6
6
4
λ
k
1
λ
k
2
.
.
.
λ
k
n
3
7
7
7
5
P
−1
,
gde suλ1,λ2,. . .,λnsopstvene vrednosti operatora proste strukture iPtrans-
formaciona matrica.
Primer 1.2.5.Na osnovu (1.2.11) imamo da je
2
4
3−1 1
−2 4 −2
−2 2 0
3
5
k
=P D
k
P
−1
=
2
4
3
k
2
k
−3
k
3
k
−2
k
2(2
k
−3
k
) 2∆3
k
−2
k
2(2
k
−3
k
)
2(2
k
−3
k
) 2(3
k
−2
k
) 3∆2
k
−2∆3
k
3
5,
za svakok∈N.△
1.3. Cayley-Hamiltonova teorema
Teorema 1.3.1.Neka jeP(λ)karakteristiˇcni polinom linearnog operatora
A:X→X. Tada jeP(A)nula-operator.
Drugim reˇcima, ako jeAmatrica operatoraA:X→X, tada jeP(A) =O,
tj. matricaAzadovoljava svoj karakteristiˇcni polinom. Ovaj rezultatje
poznat kaoCayley-Hamiltonova
80)
teorema.
Dokaz teoreme1.3.1.Neka je
P(λ) = det(A−λI) = (−1)
n
×
λ
n
−p1λ
n−1
+p2λ
n−2
` ´ ´ ´+ (−1)
n
pn
∗
karakteristiˇcni polinom operatoraA, tj. matriceA.
Primetimo najpre da se svi elementi matriceB= adj(A−λI) = [bij]
n×n
mogu predstaviti u obliku polinoma ne viˇseg stepena odn−1, tj. kao
(1.3.1) bij=
n−1
X
k=0
b
(k)
ij
λ
k
(i, j= 1, . . . , n),
gde koeﬁcijentib
(k)
ij
ne zavise odλ. Zaista, elementibijse mogu predstaviti
u obliku (1.3.1) jer kao kofaktori elemenata matriceA−λIpredstavljaju
determinante redan−1.
80)
William Rowan Hamilton (1805–1865), irski matematiˇcar i astronom.

PROBLEM SOPSTVENIH VREDNOSTI 315
Sada se matricaBmoˇze predstaviti u obliku
(1.3.2) B=
n−1
X
k=0
Bkλ
k
=B0+B1λ+∆ ∆ ∆+Bn−1λ
n−1
,
gde jeBk=
×
b
(k)
ij
∗
n×n
(k= 0,1, . . . , n).
Kako je, na osnovu teoreme 2.11.1 (glava III),
F= (A−λI)B= det(A−λI)I=P(λ)I,
koriˇs´cenjem karakteristiˇcnog polinoma imamo
F= (−1)
n
×
λ
n
−p1λ
n−1
+p2λ
n−2
− + (−1)
n
pn
∗
I,
tj.
F=
n
X
k=0
(−1)
k
pn−kλ
k
I (p0= 1).
S druge strane, na osnovu (1.3.2) zakljuˇcujemo da je
F= (A−λI)B=AB0+
n−1
X
k=1
(ABk−Bk−1)λ
k
−Bn−1λ
n
.
Uporedˉivanjem dobijenih izraza zaFnalazimo:
AB0=pnI,
ABk−Bk−1= (−1)
k
pn−kI (1≤k≤n−1),
−Bn−1= (−1)
n
p0I= (−1)
n
I,
ˇcijim mnoˇzenjem redom saI,A
k
(1≤k≤n−1),A
n
, a zatim sabiranjem
tako dobijenih jednakosti, dobijamo
(1.3.3)pnI−pn−1A+pn−2A
2
− + (−1)
n−1
p1A
n−1
+ (−1)
n
A
n
=O,
tj.P(A) =O.∗
Na osnovu (1.3.3) stepeni matriceA
k
zak≥nmogu se izraziti kao
linearne kombinacije matricaI,A,. . .,A
n−1
. Tako imamo
(1.3.4)A
n
= (−1)
n−1
×
pnI−pn−1A+pn−2A
2
− + (−1)
n−1
p1A
n−1
∗
.

316 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Mnoˇzenjem saAdobijamo
A
n+1
= (−1)
n−1
×
pnA−pn−1A
2
+pn−2A
3
− + (−1)
n−1
p1A
n
∗
,
odakle, koriˇs´cenjem (1.3.4), nalazimo
A
n+1
= (−1)
n−1
×
p1pnI−(p1pn−1−pn)A+ (p1pn−2−pn−1)A
2
−
+ (−1)
n−1
(p
2
1−p2)A
n−1
∗
.
Ponavljanjem ovog postupka mogu´ce je dobiti matriceA
n+2
,A
n+3
, itd.
Ako je matricaAregularna, tada, mnoˇzenjem (1.3.3) saA
−1
, dobijamo
A
−1
=
1
pn
×
pn−1I−pn−2A+∆ ∆ ∆+ (−1)
n−2
p1A
n−2
+ (−1)
n−1
A
n−1
∗
,
gde jepn= detA=P(0).
1.4. Minimalni polinom
Neka jef(λ) proizvoljan algebarski polinom iAmatrica operatoraA
koji deluje un-dimenzionalnom linearnom prostoruX. Jasno je da postoji
beskonaˇcno mnogo polinoma za koje jef(A) =O, tj.f(A) =O. Jedan takav
polinom je, na primer, karakteristiˇcni polinomP(λ), razmatran u prethod-
nim odeljcima. Moˇze se postaviti pitanje odredˉivanja polinoma najniˇzeg
mogu´ceg stepena sa ovakvom osobinom.
Deﬁnicija 1.4.1.Moniˇcni polinomM(λ) najniˇzeg mogu´ceg stepena za koji
jeM(A) nula-operator naziva seminimalni polinomoperatoraA.
Koristi se i terminminimalni polinom matriceAjer jeM(A) =O.
Teorema 1.4.1.Za svaki operatorA:X→Xpostoji jedinstven minimalni
polinom i on je delilac svakog polinomaf(λ)za koji jef(A)nula-operator.
Dokaz.Neka jeH(λ) normalizovani karakteristiˇcni polinom operatoraA.
Postojanje bar jednog minimalnog polinoma obezbedˉeno je ˇcinjenicom da je
H(A) =O.
Da bismo dokazali jedinstvenost minimalnog polinoma pretpostavimo da
postoje dva razliˇcita minimalna polinomaM(λ) i
f
M(λ) za operatorA
(dgM(λ) = dg
f
M(λ) =m). Tada jer(λ) =M(λ)−
f
M(λ) polinom niˇzeg
stepena odmi za njega vaˇzir(A) =O. Ovo protivureˇci ˇcinjenici da su
M(λ) i
f
M(λ) minimalni polinomi za operatorA.

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 317
Za dokaz deljivostiM(λ)|f(λ) podˉimo od jednakosti
f(λ) =M(λ)p(λ) +q(λ),
gde sup(λ) iq(λ) polinomi niˇzeg stepena od stepena polinomaM(λ). Kako
je
q(A) =f(A)−M(A)p(A) =O,
zakljuˇcujemo da mora bitiq(λ)≡0, tj.M(λ)|f(λ). Naime, u protivnom
sluˇcaju, tj. kadaq(λ) nije nula-polinom, polinomm(λ) ne bi bio minimalan,
ˇsto je, inaˇce, pretpostavka od koje smo poˇsli.∗
Kao posledica prethodne teoreme je slede´ci rezultat:
Teorema 1.4.2.Minimalni polinom operatoraAje delilac njegovog karak-
teristiˇcnog polinoma.
Ova teorema ima i praktiˇcni znaˇcaj kod nalaˇzenja minimalnog polinoma.
Naime, minimalni polinom treba traˇziti samo medˉu polinomima koji su de-
lioci karakteristiˇcnog polinoma.
Primer 1.4.1.Za matricu iz primera 1.2.4 normalizovani karakteristiˇcni poli-
nom jeH(λ) = (λ−2)
2
(λ−3). Delioci polinomaH(λ) su:
λ−2, λ−3,(λ−2)(λ−3),(λ−2)
2
, H(λ).
Kako je
A−2I=
2
4
1−1 1
−2 2 −2
−2 2 −2
3
5, A −3I=
2
4
0−1 1
−2 1 −2
−2 2 −3
3
5,
i (A−2I)(A−3I) =O, zakljuˇcujemo da je minimalni polinomm(λ) odredˉen sa
M(λ) = (λ−2)(λ−3) =λ
2
−5λ+ 6.
Zbog jedinstvenosti minimalnog polinoma nije bilo potrebno nalaˇzenje matrice
(A−2I)
2
jer smo ve´c naˇsli polinom drugog stepena koji se anulira zaA.△
Napomena 1.4.1.Ovaj postupak traˇzenja minimalnog polinoma moˇze se do-
datno uprostiti. U narednom odeljku pokaza´cemo da minimalni i karakteristiˇcni
polinom moraju imati iste skupove nula, ˇsto znaˇci da se onimogu razlikovati samo
u redu viˇsestrukosti ovih nula. Znaju´ci tu ˇcinjenicu, u prethodnom primeru, za
minimalni polinom bili bi kandidati samo polinom (λ−2)(λ−3) i karakteristiˇcni
polinomH(λ).
2. STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA
2.1. Invarijantni potprostori
Neka jeXkompleksan linearni prostor iA:X→Xlinearni operator koji,
na osnovu pretpostavke da jeK=C, ima bar jedan sopstveni vektor.

318 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Deﬁnicija 2.1.1.Za potprostorUlinearnog prostoraXkaˇzemo da jein-
varijantanu odnosu na operatorA:X→X, ili da jeA-invarijantan, ako
za svakou∈Usleduje da iAu∈U.
Dakle, invarijantni potprostori se karakteriˇsu u odnosu na linearni ope-
ratorA:X→X. Napomenimo da svaki linearni operator ima uvek dva
trivijalna invarijantna potprostora:{θ}iX, koji nisu od interesa. U kom-
pleksnom linearnom prostoru, kakav mi razmatramo, uvek postoji i bar jedan
netrivijalan invarijantni potprostor, tzv. sopstveni potprostor, o ˇcemu je bilo
reˇci u odeljku 1.1.
Primer 2.1.1.Neka jeλsopstvena vrednost operatoraA:X→Xi neka
jeU
λsopstveni potprostor operatoraAkoji odgovara ovoj sopstvenoj vrednosti.
Kako za svakou∈U
λimamoAu=λu∈U
λ, zakljuˇcujemo da je potprostorU
λ
invarijantan u odnosu na operatorA.△
Primer 2.1.2.Za polinomf(λ)∈K[λ] i linearni opratorA:X→Xuoˇcimo
operatorski polinomf(A). Neka jeUjezgro operatoraB=P(A) (videti deﬁniciju
2.2.6, glava III), tj.
U=N
B= kerf(A) ={u∈X|f(A)u=θ}.
Dokaza´cemo da jeUjedanA-invarijantni potprostor.
Pretpostavimo dau∈U, tj. da jef(A)u=θ. Kako jeAf(A) =f(A)A, imamo
(∀u∈U)f(A)(Au) =f(A)Au=A
`
f(A)u
´
=Aθ=θ.
Dakle, zakljuˇcujemo daAupripada, takodˉe, jezgru operatoraB=f(A).
Takodˉe se moˇze dokazati da je i oblast vrednosti operatoraf(A), u oznaciT
f,
invarijantni potprostor u odnosu na operatorA. Zaista, akou∈T
f, tada je
u=f(A)vza nekov∈X. Zato je sada
Au=Af(A)v=f(A)(Av)∈T
f.△
U spektralnoj teoriji operatora veoma je znaˇcajno razlaganje prostoraX
na direktnu sumu invarijantnih potprostora. Tada je, pogodnom konstrukci-
jom bazisa u ovim potprostorima, mogu´ce dobiti najprostiji oblik za matricu
operatora, tj. Jordanov kanoniˇcki oblik.
Neka jeUnetrivijalni invarijantni potprostor prostoraXu odnosu na
operatorA:X→X, gde su dimX=ni dimU=m, i neka jeVneki
njemu komplementaran potprostor tako da jeX=U˙+V. Naglasimo da
komplementarni potprostor moˇze da se konstruiˇse na razliˇcite naˇcine, kao i
to da se moˇze desiti da medˉu takvim komplementarnim potprostorima ne

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 319
postoji nijedan invarijantni potprostor. Naravno, ako bi iVbio invariajantni
potprostor tada dobijamo razlaganje prostora na direktnu sumu invarijant-
nih potprostora. Ovakvo razlaganje je veoma vaˇzno jer znaˇcajno uproˇs´cava
analizu dejstva operatora u prostoruX, koje se moˇze nezavisno tretirati na
svakom od invarijantnih potprostora. Umesto operatoraAmoˇze se uzeti
njegova restrikcija na svaki od potprostora. Vaˇzna ˇcinjenica sa poˇcetka ovog
odeljka vaˇzi sada za svaki od invarijantnih potprostora. Dakle, svaki od ovih
potprostora ima bar jedan sopstveni vektor.
Izaberimo sada uXbazuB={e1, e2, . . . , en}tako da prvihmvektora
e1, e2, . . . , empripada invarijantnom potprostoruU, tj. da je{e1, e2, . . . , em}
baza uU. Kako i slike ovih vektora, takodˉe, pripadaju potprostoruU, to ih
je mogu´ce razloˇziti po bazi uUna slede´ci naˇcin:
Ae1=a11e1+a21e2+∆ ∆ ∆+am1em,
Ae2=a12e1+a22e2+∆ ∆ ∆+am2em,
.
.
.
Aem=a1me1+a2me2+∆ ∆ ∆+ammem,
odakle zakljuˇcujemo (videti odeljak 2.3, glava III) da matrica operatoraA
u baziBima oblik














a11 a12. . . a1m |a1,m+1 . . . a1n
a21 a22 a2m |a2,m+1 a2n
.
.
. |
.
.
.
am1 am2 amm |am,m+1 amn
− − − − − − −− − − − − − − −− −− − − −
0 0 . . .0 |am+1,m+1. . . am+1,n
.
.
. |
.
.
.
0 0 0 |an,m+1 ann














,
ˇsto se jednostavnije moˇze izraziti blok matricom
(2.1.1)
≤
A11A12
O A 22
λ
,
gde suA11iA22kvadratne matrice redamin−m, respektivno,A12matrica
tipam×(n−m) iOnula matrica tipa (n−m)×m.

320 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Pretpostavimo sada da je iVinvarijantni potprostor. Izborom bazeB,
tako ˇsto prvihmvektora pripada potprostoruU, a preostalihn−mvektora
potprostoruV, zakljuˇcujemo da se vektoriAem+1,. . .,Aenrazlaˇzu samo po
vektorimaem+1, . . . , en, ˇsto znaˇci da blokA12u (2.1.1) postaje nula-matrica.
Dakle, u ovom sluˇcaju, matrica operatora dobija tzv. kvazidijagonalni oblik
(videti deﬁniciju 2.12.3, glava III)
(2.1.2) Aee=
≤
A11O
O A 22
λ
=A11
˙+A22.
Izloˇzi´cemo sada jedan naˇcin za razlaganje (dekompoziciju) prostora na
direktnu sumu invarijantnih potprostora koriˇs´cenjem faktorizacije polinoma
sa dva faktora ˇciji je najve´ci zajedniˇcki delilac jednakjedinici.
Teorema 2.1.1.Neka jeA:X→Xlinearni operator if(λ)∈K[λ]poli-
nom za koji jef(A) =Oi koji se moˇze razloˇziti na proizvod dva polinoma
f1(λ)if2(λ), ˇciji su stepeni ne niˇzi od jedinice, a njihov najve´ci zajedniˇcki
delilac jednak jedinici. Ako suNf1
= kerf1(A)iNf2
= kerf2(A), tada vaˇzi
razlaganjeX=Nf1
˙+Nf2
.
Dokaz.Dakle, neka jef(λ) =f1(λ)f2(λ), dgf1(λ),dgf2(λ)≥1, i neka
je NZD
−
f1(λ), f2(λ)
∆
= 1.
Na osnovu teoreme 1.3.2 postoje polinomiU(λ) iV(λ) takvi da se najve´ci
zajedniˇcki delilac moˇze predstaviti u obliku 1 =U(λ)f1(λ)+V(λ)f2(λ). Ovo
daje
I=U(A)f1(A) +V(A)f2(A),
tj.
(2.1.3) u=U(A)f1(A)u+V(A)f2(A)u (u∈X).
Kako je
f2(A)
−
U(A)f1(A)u
∆
=U(A)f1(A)f2(A)u=U(A)f(A)u=θ,
zakljuˇcujemo da prvi ˇclan na desnoj strani u (2.1.3) pripada invarijantnom
potprostoruNf2
(videti primer 2.1.3). Sliˇcno pokazujemo da drugi ˇclan
pripada jezgruNf1
. Dakle, prostorXje suma invarijantnih potprostoraNf1
iNf2
.
Da bismo dokazali da je ova suma direktna, potrebno je dokazati da je za
svakou∈Xreprezentacija
(2.1.4) u=u1+u2 (u1∈Nf1
, u2∈Nf2
)

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 321
jedinstvena. Zaista, primenom operatoraU(A)f1(A) na (2.1.4) dobijamo
(2.1.5) U(A)f1(A)u=U(A)f1(A)u2
jer jef1(A)u1=θ. Uzimaju´ci sadau2, umestou, jednakost (2.1.3) se svodi
na
(2.1.6) u2=U(A)f1(A)u2
jer jef2(A)u2=θ. Kombinovanjem (2.1.5) i (2.1.6) vidimo da jeu2jed-
noznaˇcno odredˉeno pomo´cu
u2=U(A)f1(A)u.
Sliˇcno,u1=U(A)f2(A)u.∗
Prethodni rezultat se moˇze proˇsiriti na sluˇcaj kada se polinomf(λ) moˇze
izraziti kao proizvod viˇse faktora. Da´cemo formulaciju takvog rezultata za
sluˇcaj kompleksnog poljaK=C.
Teorema 2.1.2.Neka jeXlinearni prostor nad poljemC,A:X→Xline-
arni operator,f(λ)∈C[λ]polinom takav da jef(A) =Osa faktorizacijom
f(λ) = (λ−λ1)
k1
(λ−λ2)
k2
∆ ∆ ∆(λ−λr)
kr
,
gde suλ1, λ2, . . . , λrmedˉu sobom razliˇcite nule. Ako saNioznaˇcimo jezgro
operatora(A−λiI)
ki
(i= 1,2, . . . , r), tada jeXdirektna suma potprostora
N1,N2,. . .,Nr.
Od posebnog interesa je sluˇcaj kada jef(λ), u prethodnoj teoremi, mini-
malni polinom operatoraA, tj.
(2.1.7) f(λ) =M(λ) = (λ−λ1)
m1
(λ−λ2)
m2
∆ ∆ ∆(λ−λr)
mr
.
Tada razlaganje prostora dato sa
X=N1
˙+N2
˙+∆ ∆ ∆˙+Nr,
gde su jezgraNi= ker(A −λiI)
mi
invarijantni potprostori za koje se ko-
risti nazivkorenski potprostori. Za vektore ovih potprostora kaˇzemo da su
korenski vektori.

322 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Na osnovu prethodnog (videti (2.1.2)), uzimaju´ci bazuBu prostoruX,
kao uniju bazaB1,B2,. . .,Briz potprostoraN1,N2,. . .,Nr, respektivno,
matrica operatoraAdobija kvazidijagonalni oblik
(2.1.8) A=




A11
A22
.
.
.
Arr




=A11
˙+A22
˙+∆ ∆ ∆˙+Arr,
gde suAiikvadratne matrice reda
ni= dimNi= dim{ker(A −λiI)
mi
} (i= 1,2, . . . , r).
Moˇze se dokazati da je determinanta matriceAjednaka proizvodu deter-
minanti dijagonalnih blokova, tako da se karakteristiˇcnipolinom matrice
Amoˇze odrediti kao proizvod karakteristiˇcnih polinoma dijagonalnih blok
matricaAii, tj.
(2.1.9) det( A−λIn) =
r
Y
i=1
det(Aii−λIni
),
gde suIniIni
jediniˇcne matrice redanini, respektivno, pri ˇcemu jen1+
n2+∆ ∆ ∆+nr=n. MatricaAiiodgovara restrikciji operatoraAna potprostor
Ni.
Razmotrimo sada jedan od korenskih potprostoraNi= ker(A −λiI)
mi
.
Pretpostavimo da jeμsopstvena vrednost operatoraA(restrikovanog na
Ni) iuodgovaraju´ci sopstveni vektor. Tada, dejstvom operatoraA −λiI
na ovaj vektor, dobijamo
(A −λiI)u=Au−λiu=μu−λiu= (μ−λi)u,
ˇsto dalje daje
(A −λiI)
mi
u= (μ−λi)
mi
u=θ.
Kako jeu6= 0, poslednja jednakost dajeμ=λi. Prema tome, svi koreni
karakteristiˇcnog polinoma restrikcije operatoraAnaNi, u oznaciAi, se
poklapaju saλi, tako da je karakteristiˇcni polinom operatoraAi:Ni→Ni
(ili matriceAii) dat sa
det(Aii−λIni
) = (λi−λ)
ni
(i= 1,2, . . . , r).
Koriˇs´cenjem (2.1.9), dobijamo karakteristiˇcni polinom operatoraA:X→X
(ili matriceA),
P(λ) = det(A−λIn) = (λ1−λ)
n1
(λ2−λ)
n2
∆ ∆ ∆(λr−λ)
nr
.
Na osnovu ovoga i (2.1.7), zakljuˇcujemo da vaˇzi slede´ci rezultat:

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 323
Teorema 2.1.3.Skup nula minimalnog polinomaM(λ)poklapa se sa sku-
pom nula karakteristiˇcnog polinomaP(λ)za operatorA:X→X. Viˇsestru-
kosti nula u karakteristiˇcnom polinomu odgovaraju dimenzijama korenskih
potprostora.
Dakle, ako suλ1,λ2,. . .,λrmedˉu sobom razliˇcite sopstvene vrednosti,
ˇcija je viˇsestrukost redomn1,n2,. . .,nr, pri ˇcemu jen1+n2+∆ ∆ ∆+nr=n,
normalizovani karakteristiˇcni polinom operatoraAdat je sa
(2.1.10) H(λ) = (λ−λ1)
n1
(λ−λ2)
n2
∆ ∆ ∆(λ−λr)
nr
,
dok minimalni polinom ima oblik
(2.1.11) M(λ) = (λ−λ1)
m1
(λ−λ2)
m2
∆ ∆ ∆(λ−λr)
mr
,
gde jem1+m2+∆ ∆ ∆+mr=mi 0< mi≤ni(i= 1,2, . . . , r).
Na osnovu dosadaˇsnjeg izlaganja, matricu operatoraAuspeli smo da
svedemo na kvazidijagonalni oblik (2.1.8), gde su blokoviAiikvadratne mat-
rice redanii svaka od njih odgovara restrikciji operatoraAna korenski
potprostorNi= kerAi= ker(A −λiI)
mi
.
U cilju dalje redukcije matrice operatora na najprostiji mogu´ci oblik, raz-
motri´cemo detaljnije konstrukciju korenskih potprostora. Pretpostavimo da
u∈Ni. Tada je, u opˇstem sluˇcaju, (A −λiI)
ni
u=θ. Medˉutim, za svaki
konkretni vektoru∈Nimogu´ca je jednakost (A −λiI)
k
u=θi pri nekom
k < ni. Na primer, ako jeusopstveni vektor operatoraA, koji odgovara
sopstvenoj vrednostiλi, ˇciji je red viˇsestrukostinive´ci od jedinice, tada je
(A −λiI)u=θ. Slede´ca deﬁnicija precizira ovu ˇcinjenicu.
Deﬁnicija 2.1.2.Najmanji brojk∈N0za koji je (A −λiI)
k
u=θnaziva
sevisina korenskog vektorau∈Ni.
Dakle, svi korenski vektoriu∈Ni(koji odgovaraju sopstvenoj vrednosti
λi) imaju visine koje nisu ve´ce od viˇsestrukostini. Moˇze se desiti sluˇcaj, kao
kod operatora proste strukture, da visine svih korenskih vektora ne budu
ve´ce od jedinice, bez obzira na viˇsestrukost sopstvenih vrednosti.
Posmatrajmo sada korenski potprostorNi, koji odgovara sopstvenoj vred-
nostiλiviˇsestrukostini. Sahoznaˇcimo maksimalnu visinu korenskih vek-
tora izNi. Napomenimo, joˇs jednom, da jeh≤ni. Nije teˇsko pokazati
da se korenski potprostorNisastoji od vektora svih visina od 0 doh. Ovo
proizilazi iz slede´ce ˇcinjenice: ako jeu∈Nivektor visinek, tada je vektor
Aiu= (A −λiI)uvisinek−1.

324 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Teorema 2.1.4.Ako saUkoznaˇcimo skup svih vektora izNi, ˇcija visina
nije ve´ca odk(≤h), tada jeUkpotprostor odNii pritom vaˇzi
(2.1.12) θ=U0⊂U1⊂ ⊂Uh−1⊂Uh=Ni.
Dokaz.Nekau, v∈Uk. Tada je (A −λiI)
k
u= (A −λiI)
k
v=θ, tj.
(∀α, β∈C) (A −λiI)
k
(αu+βv) =θ,
odakle zakljuˇcujemo da proizvoljna linearna kombinacijaαu+βvpripada
skupuUk, ˇsto znaˇci da jeUkpotprostor. Na osnovu deﬁnicije skupaUk,
oˇcigledno vaˇzi (2.1.12).∗
U daljem tekstu opisa´cemo jedan naˇcin za dobijanje tzv.kanoniˇcke baze
potprostoraUh=Ni. Neka su dimenzije potprostoraUk, koji se pojavljuju
u (2.1.12), redomdk, tako da imamo
0 =d0< d1<∆ ∆ ∆< dh−1< dh=ni.
Postupak ´ce se sastojati izhkoraka.
Korakk= 1.U potprostoruUhuoˇcimop1=dh−dh−1linearno nezav-
isnih vektorae1, . . . , ep1
, ˇciji lineal u direktnoj sumi saUh−1dajeUh, tj.
L(e1, . . . , ep1
)˙+Uh−1=Uh.
Primetimo da su svi korenski vektorie1, . . . , ep1
visinehi da ne postoji
njihova ne-nula linearna kombinacija koja pripada potprostoruUh−1. Ako
jeAi=A −λiI, ovim vektorima pridruˇzimo vektoreA
k
i
e1, . . . ,A
k
i
ep1
(k=
1, . . . , h−1) tako da na dalje posmatramo slede´ci skup vektora
(2.1.13)











e1, . . . , ep1
,
Aie1, . . . ,Aiep1
,
A
2
i
e1, . . . ,A
2
i
ep1
,
.
.
.
A
h−1
i
e1, . . . ,A
h−1
i
ep1
,
za koji ´cemo pokazati da je linearno nezavisan. Zaista, akona linearnu
kombinaciju
p1X
ν=1
α
(0)
νeν+
p1X
ν=1
α
(1)
νAieν+
p1X
ν=1
α
(2)
νA
2
ieν+∆ ∆ ∆+
p1X
ν=1
α
(h−1)
νA
h−1
i
eν=θ

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 325
primenimo operatorA
h−1
i
, sve sume na levoj strani, osim prve, se anuliraju,
tako da dobijamo
A
h−1
i

p1
X
ν=1
α
(0)
ν
eν
!
=
p1
X
ν=1
α
(0)
ν
A
h−1
i
eν=θ,
ˇsto znaˇci da linearna kombinacija vektorae1, . . . , ep1
pripada potprostoru
Uh−1. Ovo je pak mogu´ce samo ako su svi koeﬁcijentiα
(0)
νjednaki nuli. Ako
sada na polaznu linearnu kombinaciju vektora primenimo operatorA
h−2
i
, na
isti naˇcin zakljuˇcujemo da svi koeﬁcijentiα
(1)
νmoraju biti jednaki nuli. Nas-
tavljaju´ci ovakvo rezonovanje dokazujemo da se linearna kombinacija vektora
(2.1.1) moˇze anulirati samo ako su svi koeﬁcijentiα
(k)
ν(ν= 1, . . . , p1;k=
0,1, . . . , h−1) jednaki nuli, ˇsto znaˇci da su ovi vektori linearno nezavisni.
ˇ
Staviˇse, ne postoji ne-nula linearna kombinacija vektoraizν-te vrste u
(2.1.13) koja pripada potprostoruUh−ν.
Korakk= 2.Sistem vektora koji se pojavljuju u drugoj vrsti u (2.1.13)
dopunimo linearno nezavisnim vektorimaep1+1, . . . , ep2
iz potprostoraUh−1,
tako da je
L(Aie1, . . . ,Aiep1
, ep1+1, . . . , ep2
)˙+Uh−2=Uh−1.
Svi vektori iz ovog skupa (ukupno njihp2=dh−1−dh−2) su korenski vektori
visineh−1, ˇcija nijedna ne-nula linearna kombinacija ne pripada potprostoru
Uh−2. Na isti naˇcin, kao i u prethodnom koraku, formirajmo skup vektora
(2.1.14)







ep1+1, . . . , ep2
,
Aiep1+1, . . . ,Aiep2
,
.
.
.
A
h−2
i
ep1+1, . . . ,A
h−2
i
ep2
.
Na sliˇcan naˇcin, sada se za sistem vektoraAie1, . . . ,Aiep1
, ep1+1, . . . , ep2
mogu dokazati iste ˇcinjenice kao i za vektoree1, . . . , ep1
u prethodnom ko-
raku, zamenjiju´cihsah−1.
Koracik=ℓ(2< ℓ≤h).Nastavljaju´ci postupak na isti naˇcin kao
u prethodnim koracima, redom se prelazi na potprostoreUh−2,Uh−3,. . .,
U1, i na taj naˇcin dobijamo sistem od ukupnonilinearno nezavisnih vektora
u korenskom potprostoruNi. Poslednja tablica tipa (2.1.13) – (2.1.14) (za
k=h) sastoji se iz samo jedne vrste
(2.1.15) eph−1+1, . . . , fph
,

326 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
ˇciji vektori pripadaju potprostoruH1, i gde jeph=d1−d0=d1.
Vektori iz tablica (2.1.13) – (2.1.15) mogu se predstaviti ukompaktnijem
obliku uvodˉenjem notacije sa dva indeksae
(k)
j
, gde gornji indeks oznaˇcava
visinu korenskog vektora. Slede´cu tablicu formiramo od vektora iz prethod-
nih tablica, navode´ci ih s leva na desno i ravnaju´ci ih prema poslednjoj vrsti:
(2.1.16)













e
(h)
1
, . . . , e
(h)
p1,
e
(h−1)
1
, . . . , e
(h−1)
p1, e
(h−1)
p1+1
, . . . , e
(h−1)
p2,
.
.
.
e
(1)
1
, . . . , e
(1)
p1, e
(1)
p1+1
, . . . , e
(1)
p2, . . . , e
(1)
ph−1+1
, . . . , e
(1)
ph.
Primetimo da vektori koji se nalaze u prvoj vrsti ove tabliceimaju visinuh,
vektori iz druge vrste imaju visinuh−1, itd. Vektori iz poslednje vrste imaju
visinu 1. Svaka kolona tablice odredˉuje po jedan invarijantni potprostor
operatoraAi, tj. operatoraA. Za takve potprostore kaˇzemo da sucikliˇcki
i oznaˇcavamo ih saCj(j= 1,2, . . . , ph). Dakle, vektori koji se nalaze u
j-toj koloni ˇcine bazu cikliˇckog potprostoraCj. Dimenzija prvihp1cikliˇckih
potprostora jeh, slede´cihp2−p1potprostora jeh−1, itd. Najzad, poslednje
kolone (ukupnoph−ph−1) odredˉuju jednodimenzionalne cikliˇcke potprostore.
Na osnovu prethodnog, dolazimo do slede´ceg rezultata:
Teorema 2.1.5.Direktna sumaphcikliˇckih potprostoraCj, generisanih
pomo´cu kolona tablice(2.1.16), daje potprostorNi.
Vektori iz tablice (2.1.16) ˇcine tzv.kanoniˇcku bazuinvarijantnog potpros-
toraNi.
2.2. Jordanov kanoniˇcki oblik
Neka jeXlinearni prostor nad poljemCiA:X→Xlinearni operator,
ˇcije su sopstvene vrednostiλ1,λ2,. . .,λrmedˉu sobom razliˇcite, sa redom
viˇsestrukostin1,n2,. . .,nr, respektivno, pri ˇcemu jen1+n2+∆ ∆ ∆+nr=
n. Normalizovani karakteristiˇcni polinom i minimalni polinom operatoraA
neka su dati sa (2.1.10) i (2.1.11), respektivno. Za invarijantni potprostor
Ni= ker(A −λiI)
mi
, koji odgovara sopstvenoj vrednostiλi, razmotri´cemo,
najpre, cikliˇcki potprostorC1, generisan bazom (videti prethodni odeljak)
B
(i)
1
=
⊕
e
(1)
1
, e
(2)
1
, . . . , e
(h−1)
1
, e
(h)
1

.

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 327
Kao ˇsto se da primetiti, bazisne vektore smo uzeli iz prve kolone tablice
(2.1.16), polaze´ci od poslednje vrste. Kako za slike bazisnih vektora pomo´cu
operatoraAi=A −λiIvaˇzi
Aie
(1)
1
= 0,Aie
(2)
1
=e
(1)
1
, . . . ,Aie
(h)
1
=e
(h−1)
1
,
zakljuˇcujemo da je
Ae
(1)
1
=λie
(1)
1
,Ae
(k)
1
=λie
(k)
1
+e
(k−1)
1
(k= 2, . . . , h).
Ovo znaˇci da matrica restrikcije operatoraAna cikliˇcki potprostorC1(u
baziB
(i)
1
) dobija jednostavan oblik (videti odeljak 2.3, glava III)
(2.2.1) J
(1)
(λi) =






λi1 0∆ ∆ ∆0 0
0λi1 0 0
.
.
.
0 0 0 λi1
0 0 0 0 λi






.
Matrica redah, oznaˇcena u (2.2.1) saJ
(1)
(λi), naziva seJordanov bloki
najˇceˇs´ce se piˇse u obliku
J
(1)
h
(λi) =







λi1
λi1
λi
.
.
.
.
.
.1
λi







,
prikazuju´ci samo ne-nula elemente. MatricaJ
(1)
h
(λi) je, dakle, dvo-dijago-
nalna, sa istim elementima na dijagonali koji su jednakiλii sa jedinˇcnom
gornjom subdijagonalom. Nije teˇsko ustanoviti da su sve njene sopstvene
vrednosti jednakeλi.
Na potpuno sliˇcan naˇcin mogu´ce je konstruisati Jordanovblok za rest-
rikciju operatoraAna bilo koji cikliˇcki potprostorCj(j= 1,2, . . . , ph).
Oznaˇcimo takav blok saJ
(j)
k
(λi), gdekoznaˇcava dimenziju potprostora
Cj, tj. broj bazisnih vektora uj-toj koloni tablice (2.1.16). U stvari,k
je red matriceJ
(j)
k
(λi). Napomenimo da bazisne vektore treba uzimati

328 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
izj-te kolone, polaze´ci od poslednje vrste. Na taj naˇcin dobijamo bazu
B
(i)
j
=
⊕
e
(1)
j
, e
(2)
j
, . . . , e
(k)
j

.
Ako sada uzmemo kanoniˇcku bazu invarijantnog potprostoraNi, kao uniju
bazaB
(i)
j
(j= 1,2, . . . , ph), tj.
(2.2.2) B
(i)
=
⊕
B
(i)
1
, B
(i)
2
, . . . , B
(i)
ph

,
na osnovu teoreme 2.1.5 i prethodnog razmatranja moˇzemo zakljuˇciti da
restrikciji operatoraAna invarijantni potprostorNi, u baziB
(i)
odgovara
kvazidijagonalna Jordanova matrica redani
(2.2.3) Jni
(λi) =J
(1)
h
(λi)˙+∆ ∆ ∆˙+J
(ph)
1
(λi),
tj.
(2.2.4) Jni
(λi) =



J
(1)
h
(λi)
.
.
.
J
(ph)
1
(λi).


.
Primetimo da su na dijagonali u matriciJni
(λi) poredˉani Jordanovi blokovi,
ˇcije dimenzije (redovi) ˇcine nerastu´ci niz. Neki od Jordanovih blokova niˇzeg
reda odhne moraju se pojavljivati u (2.2.3), tj. (2.2.4), ali red kvazidijago-
nalne matrice mora biti jednak dimenziji potprostoraNi. Dakle, red matrice
Jni
(λi) mora biti jednakni.
Sada smo u situaciji da konstruiˇsemo Jordanov kanoniˇcki oblik bilo koje
kvadratne matriceA, koja se inaˇce, kao ˇsto je poznato, uvek moˇze dovesti
na kvazidijagonalni oblik (videti (2.1.8))
A=




A11
A22
.
.
.
Arr




=A11
˙+A22
˙+∆ ∆ ∆˙+Arr,
gde suAiikvadratne matrice redani= dimNi= dim{ker(A −λiI)
mi
}
(i= 1,2, . . . , r). U prethodnom razmatranju, pokazali smo kako se izborom
kanoniˇckog bazisaB
(i)
svaka od ovih matricaAiimoˇze redukovati na Jor-
danov oblikJni
(λi).

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 329
Na osnovu teoreme 2.1.2, prostorXse moˇze razloˇziti na direktnu sumu
invarijantnih korenskih potprostoraNi. U svakom od ovih potprostora iza-
berimo kanoniˇcke bazeB
(i)
, date pomo´cu (2.2.2), a zatim formirajmo bazu
B, kao uniju ovih baza,
B=
⊕
B
(1)
, B
(2)
, . . . , B
(r)

,
tj.
B=
n
B
(1)
1
, B
(1)
2
, . . . , B
(1)
ph
1
;B
(2)
1
, B
(2)
2
, . . . , B
(2)
ph
2
;. . .;B
(r)
1
, B
(r)
2
, . . . , B
(r)
phr
o
,
gde jehimaksimalna visina korenskih vektora uNi. Na ovaj naˇcin smo
dobili tzv.Jordanovu kanoniˇcku bazuprostoraXu odnosu na operatorA.
Matrica operatoraA, u odnosu na ovu bazu, dobija kvazidijagonalni oblik
(2.2.5) J=Jn1
(λ1)˙+Jn2
(λ2)˙+∆ ∆ ∆˙+Jnr
(λr),
gde su dijagonalni blokovi, upravo Jordanovi blokovi, ˇcije su dimenzije redom
n1,n2,. . .,nr(n=n1+n2+∆ ∆ ∆+nr) i sopstvene vrednostiλ1,λ2,. . .,λr.
Za ovu kvazidijagonalnu matricu
J=




Jn1
(λ1)
Jn2
(λ2)
.
.
.
Jnr
(λr)




kaˇzemo da jeJordanov kanoniˇcki oblikmatrice operatoraA.
Na osnovu prethodnog razmatranja moˇze se zakljuˇciti da jedan linearni
operator u prostoruXdeﬁniˇse klasu sliˇcnih matrica (videti deﬁniciju 4.2.3,
glava III). Dobijeni rezultati pokazuju da se svaka kvadratna matrica moˇze
svesti na Jordanov kanoniˇcki oblik. Naime, vaˇzi slede´cirezultat:
Teorema 2.2.1.Svaka kvadratna matricaAje sliˇcna nekoj Jordanovoj
matriciJ, tj. za svaku kvadratnu matricuApostoji regularna matricaP
(matrica transformacije sliˇcnosti)takva da jeJ=P
−1
AP.
Dakle, dve kvadratne matrice istog reda su sliˇcne ako i samoako se one
svode na isti Jordanov kanoniˇcki oblik, ili prostije na istu Jordanovu matricu.
Primer 2.2.1.Za datu matricu operatora
A=
2
6
6
4
4 1 1 1
−1 2 −1−1
6 1 −1 1
−6−1 4 2
3
7
7
5

330 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
odredi´cemo Jordanovu matricu, kao i odgovaraju´cu kanoniˇcku bazu.
Nadˉimo, najpre, karakteristiˇcni polinom i sopstvene vrednosti. Kako je
P(λ) =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
4−λ 1 1 1
−1 2−λ −1 −1
6 1 −1−λ 1
−6 −1 4 2 −λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
3−λ3−λ 0 0
−1 2−λ −1 −1
6 1 −1−λ 1
0 0 3 −λ3−λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
= (3−λ)
2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1 1 0 0
−1 2−λ −1 −1
6 1 −1−λ 1
0 0 1 1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
tj.
P(λ) = (3−λ)
2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1 0 0 0
−1 3−λ 0 −1
6−5−2−λ 1
0 0 0 1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
,
imamo
P(λ) =−(λ−3)
2
(λ+ 2)
˛
˛
˛
˛
˛
˛
3−λ0−1
−5 1 1
0 0 1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= (λ−3)
3
(λ+ 2),
odakle dobijamo dve sopstvene vrednosti:
λ=λ1= 3 (viˇsestrukostn1= 3),λ=λ2=−2 (n2= 1).
Reˇsavanjem homogenog sistema jednaˇcina
(2.2.6)
(4−λ)x1+ x2+ x3+ x4= 0,
−x1+ (2−λ)x2− x3− x4= 0,
6x1+ x2+ (−1−λ)x3+ x4= 0,
−6x1− x2+ 4 x3+ (2−λ)x4= 0,
odredi´cemo sopstvene vektore koji odgovaraju sopstvenimvrednostimaλ=λ1i
λ=λ2.
Zaλ=λ1= 3, odgovaraju´ci homogeni sistem jednaˇcina se svodi na dve
jednaˇcine
x1+x2+x3+x4= 0,6x1+x2−4x3+x4= 0,
tj.
x1+x2+x3+x4= 0, x1−x3= 0,
odakle nalazimo
x1=x3=α, x2=−2α−β, x4=β,

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 331
gde suαiβproizvoljne konstante koje istovremeno nisu jednake nuli.Kako je
x=
2
6
6
4
α
−2α−β
α
β
3
7
7
5
=α
2
6
6
4
1
−2
1
0
3
7
7
5
+β
2
6
6
4
0
−1
0
1
3
7
7
5
,
zakljuˇcujemo da trostrukoj sopstvenoj vrednostiλ=λ1= 3 odgovaraju dva line-
arno nezavisna sopstvena vektora:
(2.2.7)
ˆ
1−2 1 0
˜
T
i
ˆ
0−1 0 1
˜
T
,
ˇsto znaˇci da je odgovaraju´ci sopstveni potprostor dvodimenzionalan.
Zaλ=λ2=−2, sistem (2.2.6) se svodi na
6x1+x2+x3+x4= 0,
−x1+ 4x2−x3−x4= 0,
−6x1−x2+ 4x3+ 4x4= 0,
odakle dobijamox1=x2= 0,x3+x4= 0. Stavljaju´cix3= 1 nalazimo sopstveni
vektor
ˆ
0 0 1 −1
˜
T
. Ovde je jasno da je sopstveni potprostor jednodimen-
zionalan.
Za odredˉivanje kanoniˇcke baze posmatrajmo homogene sisteme jednaˇcina
(2.2.8) ( A−3I)
2
x=o i (A−3I)
3
x=o.
Kako je
A−3I=
2
6
6
4
1 1 1 1
−1−1−1−1
6 1 −4 1
−6−1 4 −1
3
7
7
5
i
(A−3I)
2
=
2
6
6
4
0 0 0 0
0 0 0 0
−25 0 25 0
25 0 −25 0
3
7
7
5
,(A−3I)
3
=
2
6
6
4
0 0 0 0
0 0 0 0
125 0 −125 0
−125 0 125 0
3
7
7
5
,
sistemi u (2.2.8) su ekvivalentni. Dimenzija jezgraN1(korenskog invarijantnog
potprostora koji odgovara sopstvenoj vrednostiλ1= 3) jen1= 3. Na osnovu
(2.2.8), koordinatna reprezentacija korenskih vektora [x1x2x3x4]
T
moˇze se

332 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
okarakterisati uslovomx1=x3. Maksimalna visina korenskih vektorah= 2,
tako da se (2.1.12), u ovom sluˇcaju, svodi na
θ=U0⊂U1⊂U2=N1,
gde jeU1sopstveni potprostor dimenzijed1= 2. Kako sud0= 0 id2= 3, prema
izloˇzenom postupku (korakk= 1), nalazimo da jep1=d2−d1= 1, ˇsto znaˇci da
u potprostoruU2treba izabrati samo jedan vektor, ˇciji lineal u direktnoj sumi sa
sopstvenim potprostoromU1daje potprostorU2. Ako, na primer, stavimox2=
x4= 0 ix1=x3= 1, korenski vektor (∈N1), ˇcija je koordinatna reprezentacija
e1= [1 0 1 0]
T
, ne pripada potprostoruU1. Zaista, jednostavno je proveriti da
se ovaj vektor ne moˇze izraziti kao linearna kombinacija dva linearno nezavisna
vektora koji su dati u (2.2.7). Napomenimo da jeU1je sopstveni potprostor
dimenzijed1= 2 i da se sopstveni vektori (2.2.7) mogu uzeti za bazisne vektore
potprostoraU1. Dakle, imamo
L(e1)˙+U1=U2
i odgovaraju´ca tablica (2.1.13) postaje
81)
(2.2.9)
(
e1,
(A−3I)e1.
U drugoj vrsti tablice (2.2.9), vektor
e
(1)
1
= (A−3I)e1=
2
6
6
4
1 1 1 1
−1−1−1−1
6 1 −4 1
−6−1 4 −1
3
7
7
5
2
6
6
4
1
0
1
0
3
7
7
5
=
2
6
6
4
2
−2
2
−2
3
7
7
5
ima visinu 1 i pripada potprostoruU1.
Kako jep2=d1−d0= 2, u drugom koraku naˇseg postupka potrebno je drugu
vrstu u (2.2.9) dopuniti vektorome2, tako da jeL(e
(1)
1
,e2) =U1. Primetimo da
jeU0=θ. Za vektore2moˇzemo uzeti, na primer, sopstveni vektor [0−1 0 1]
T
iz (2.2.7), koji linearno nezavisan sa vektorome
(1)
1
.
Ovim smo dobili kompletnu tablicu (2.1.16) koja odgovara korenskom potpros-
toruN1:
8
<
:
e
(2)
1
,
e
(1)
1
,e
(1)
2
,
81)
Vektori su dati u koordinatnoj reprezentaciji.

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 333
gde su
(2.2.10) e
(1)
1
=
2
6
6
4
2
−2
2
−2
3
7
7
5
,e
(2)
1
=e1=
2
6
6
4
1
0
1
0
3
7
7
5
,e
(1)
2
=e2=
2
6
6
4
0
−1
0
1
3
7
7
5
.
Ovi vektori ˇcine kanoniˇcku bazu korenskog potprostoraN1.
Ako vektorima (2.2.10) dodamo sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vred-
nostiλ2=−2 (N2je jednodimenzionalni potprostor) dobijamo Jordanovu kanoni-
ˇcku bazu
(2.2.11) B=
8
>
>
<
>
>
:
2
6
6
4
2
−2
2
−2
3
7
7
5
,
2
6
6
4
1
0
1
0
3
7
7
5
,
2
6
6
4
0
−1
0
1
3
7
7
5
,
2
6
6
4
0
0
1
−1
3
7
7
5
9
>
>
=
>
>
;
,
dok je Jordanov kanoniˇcki oblik matriceAdat sa
J=
2
6
6
4
3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 −2
3
7
7
5
.
Napomenimo da se pomo´cu bazisnih vektora (2.2.11) moˇze konstruisati matrica
transformacije sliˇcnosti
P=
2
6
6
4
2 1 0 0
−2 0−1 0
2 1 0 1
−2 0 1 −1
3
7
7
5
,
ˇcija je inverzna matrica data sa
P
−1
=
1
4
2
6
6
4
1−1−1−1
2 2 2 2
−2−2 2 2
−4 0 4 0
3
7
7
5
.
Najzad, primetimo da jeP
−1
AP=J.△
Na osnovu teoreme 2.12.4 (glava II) za stepenovanje Jordanove matrice
(2.2.5) vaˇzi:
(2.2.12) J
m
= (Jn1
(λ1))
m
˙+ (Jn2
(λ2))
m
˙+∆ ∆ ∆˙+ (Jnr
(λr))
m
,

334 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
tj.
J
m
=




(Jn1
(λ1))
m
(Jn2
(λ2))
m
.
.
.
(Jnr
(λr))
m




,
gde jemnenegativan ceo broj. Za stepen Jordanovog bloka redak
(2.2.13) Jk(λ) =







λ1
λ1
λ
.
.
.
.
.
.1
λ







,
matematiˇckom indukcijom jednostavno dokazujemo da vaˇzi
(2.2.14) (Jk(λ))
m
=









λ
m
−
m
1
∆
λ
m−1
−
m
2
∆
λ
m−2
. . .
−
m
k−1
∆
λ
m−k+1
λ
m
−
m
1
∆
λ
m−1
−
m
k−2
∆
λ
m−k+2
λ
m
−
m
k−3
∆
λ
m−k+3
.
.
.
λ
m









.
Posmatrajmo sada algebarski polinomQ(x) =
mP
ν=0
aνx
ν
∈C[x] i odgo-
varaju´ci matriˇcni polinom
Q(A) =
m
X
ν=0
aνA
ν
,
gde jeAdata kvadratna matrica. Kako je ova matrica sliˇcna nekoj Jor-
danovoj matriciJ, to postoji regularna matricaPtakva da jeJ=P
−1
AP,
tj.A=P JP
−1
.
Koriˇs´cenjem (2.2.12), matricaQ(J) se moˇze izraziti u obliku
Q(J) =
m
X
ν=0
aνJ
ν
=
m
X
ν=0

(Jn1
(λ1))
ν
˙+ (Jn2
(λ2))
ν
˙+∆ ∆ ∆˙+ (Jnr
(λr))
ν
≡
=Q
−
Jn1
(λ1)
∆
˙+Q
−
Jn2
(λ2)
∆
˙+∆ ∆ ∆˙+Q
−
Jnr
(λr)
∆
,

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 335
pa je tada
Q(A) =Q
−
P JP
−1
∆
=
m
X
ν=0
aν
−
P JP
−1
∆
ν
=
m
X
ν=0
aνP J
ν
P
−1
,
tj.
Q(A) =P

m
X
ν=0
aνJ
ν
P
−1
!
=P Q(J)P
−1
.
U sluˇcaju Jordanovog bloka (2.2.13) imamo
Q(Jk(λ)) =










Q(λ)
1
1!
Q
′
(λ)
1
2!
Q
′′
(λ). . .
1
(k−1)!
Q
(k−1)
(λ)
Q(λ)
1
1!
Q
′
(λ)
1
(k−2)!
Q
(k−2)
(λ)
Q(λ)
1
(k−3)!
Q
(k−3)
(λ)
.
.
.
Q(λ)










.
Primetimo da se zaQ(x) =x
m
iz ove jednakosti dobija (2.2.14).
3. ZADACI ZA VE ˇZBU
3.1.Data je matrica
A=


3 1 0
−4−1 0
4−8−2

.
Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matriceA, kao i sop-
stvene vrednosti matricef(A), gde jef(x) =x
5
−x
3
+ 2.
3.2.Neka je
A=


0 0 2
2 1 0
−1−1 3

.
Koriˇs´cenjem Cayley-Hamiltonove teoreme odreditiA
6
−25A
2
+ 112A.
3.3.Neka jeA=


4−2 2
−5 7 −5
−6 6 −4

.

336 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
Odrediti sopstvene vrednosti, sopstvene vektore i minimalni polinom mat-
riceA.
3.4.Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice
A=
≤
3 2
1 4
λ
,
a zatim na´ciA
n
(n∈N).
3.5.Neka je data matrica
A=



7 4 0 0
−12−7 0 0
20 11 −6−12
−12−6 6 11


.
1
◦
Utvrditi da je matricaAnesingularna matrica.
2
◦
Odrediti sopstvene vrednostiλ1, λ2, λ3, λ4matriceA.
3
◦
Odrediti sopstvene vektore matriceA.
4
◦
Dijagonalizirati datu matricu.
5
◦
Odrediti kavadratne matriceM1, M2, M3, M4reda ˇcetiri, tako da
je
A=λ1M1+λ2M2+λ3M3+λ4M4.
6
◦
Ako jeM={M1, M2, M3, M4}, ispitati da li je mnoˇzenje matrica
unutraˇsnja operacija u skupuM.
7
◦
Odrediti matricuA
n
(n∈N).
8
◦
Odrediti matricuA
−1
.
9
◦
Ispitati da li se dokazano razlaganje matriceAmoˇze iskoristiti i za
odredˉivanje matricaA
−n
.
3.6.Odrediti matriceMiM
′
ako je
M
′
≤
−1 0
0 1
λ
M=
≤
−1 0
0 1
λ
.
3.7.Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice
M=


0 a a
2
1/a0a
1/a
2
1/a0

,

STRUKTURA LINEARNOG OPERATORA 337
a zatim odrediti matriceM
n
(n∈N) iM
−1
.
Rezultat.λ1=λ2=−1,λ3= 2,x1= [−a1 0]
T
,x2= [−a
2
0 1]
T
,x3=
[a
2
a1]
T
,
M
n
=−
(−1)
n
3a
2
"
−2a
2
a
3
a
4
a −2a
2
a
3
1 a −2a
2
#
+
2
n
3a
2
"
a
2
a
3
a
4
a a
2
a
3
1a a
2
#
,
M
−1
=
1
2a
2
"
−a
2
a
3
a
4
a−a
2
a
3
1 a−a
2
#
.
3.8.Neka jeA=
≤
3−1
7 1
λ
.
1
◦
Dokazati da svaka matricaBkoja je komutativna sa matricomA
ima oblik
B=
≤
u−4v v
−7v u
λ
.
2
◦
Dokazati da jeA
n
oblika
A
n
=
≤
un−4vnvn
−7vnun
λ
.
3
◦
Odreditiun+1ivn+1pomo´cuunivn
4
◦
Neka jea=α+iβkompleksan broj i neka jewn=un+avn. Odrediti
kompleksan brojatako da je koliˇcnikwn+1/wnkonstanta.
5
◦
Odreditiwn, un, vniA
n
.
3.9.Odrediti minimalni polinom matrice
A=



1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2


.
Rezultat.M(λ) = (λ−1)(λ−2)
2
.
3.10.Proveriti tvrdˉenje: Jordanovi kanoniˇcki oblici matrica
A=



1 1 −2 0
2 1 0 2
1 0 1 1
0−1 2 1


 iB=





1 0 0 1 −1
0 1 −2 3 −3
0 0 −1 2 −2
1−1 1 0 1
1−1 1 −1 2






338 SPEKTRALNA TEORIJA OPERATORA I MATRICA
su, redom, matrice
JA=



1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1


 iJB=





1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 −1





.
3.11.Neka su
A=







4−5 2 0 0 0
5−7 3 0 0 0
6−9 4 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 −4 4 0
0 0 0 −2 1 2







iJ=







0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 2 1
0 0 0 0 0 2







date matrice.
Proveriti tvrdˉenje: MatricaJje Jordanova forma matriceA.
3.12.Odrediti Jordanove kanoniˇcke oblike matrica
A=



3 1 0 0
−4−1 0 0
7 1 2 1
−17−6−1 0


, B=



1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1


, C=





0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0





.
Rezultat.Traˇzeni Jordanovi kanoniˇcki oblici datih matrica su redom
JA=



1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1


, JB=



1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1


, JC=




ε0 0 0 0
0ε
2
0 0 0
0 0 ε
3
0 0
0 0 0 ε
4
0
0 0 0 0 ε
5




,
gde jeε= cos
2π
5
+isin
2π
5
∆

VIG L A V A
Elementi analitiˇcke geometrije
1. VEKTORSKA ALGEBRA
1.1. Koordinatni sistemi
U ovom poglavlju posebnu paˇznju posve´cujemo izomorfnim prostorima
VO(E) iR
3
, koje smo razmatrali u odeljcima 1.1, 1.4 i 1.5 (glava II). Tom
prilikom, uveli smo pravougli koordinatni sistem sa bazisnim jediniˇcnim or-
togonalnim vektorimai,j,k, tako da se svaki vektorr∈VO(E) opisuje
pomo´cu tri koordinate:x,y,zkao
r=xi+yj+zk.
Na taj naˇcin smo uspostavili biunivoku korespondenciju izmedˉu ovih pros-
tora, ukljuˇcuju´ci, naravno, i sam prostorE. Slede´ca ˇsema ukazuje na tu
korespondenciju.
Kao ˇsto je navedeno u odeljku 1.1, taˇcke ovih prostora obiˇcno pois-
tove´cujemo piˇsu´ciM= (x, y, z) ili, pak,r= (x, y, z).
Za pravougli koordinatni sistem koristimo i terminDekartov pravougli
koordinatni sistemiliDekartov ortogonalni trijedar. Jediniˇcni vektorii,ji
k, postavljeni u taˇckiOdeﬁniˇsu trikoordinatne(Dekartove)ose:x-osu,y-
osu iz-osu, respektivno. Pravougli koordinatni sistem oznaˇcavamo saOxyz.
U dosadaˇsnjem izlaganju, medˉusobni poloˇzaj bazisnih (koordinatnih) vek-
tora nije bio bitan. Za naˇs dalji rad, medˉutim, neophodno je precizirati ovaj
poloˇzaj. U upotrebi su dva pravougla koordinatna sistema:desni(engleski)
ilevi(francuski) (slike 1.1.1 i 1.1.2). Kod desnog sistema ili tzv.trijedra
desne orijentacijerotacija vektoraiprema vektorujokoz-ose najkra´cim

340 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Sl. 1.1.1 Sl. 1.1.2
putem, posmatrano sa kraja vektorak, izvodi se u smeru suprotnom kre-
tanju kazaljke na ˇcasovniku. Suprotno, kod levog sistema ili tzv.trijedra leve
orijentacijepomenuta rotacija vektora izvodi se u smeru kretanja kazaljke
na ˇcasovniku.
Trijedar desne orijentacije moˇze biti predstavljen sa triprsta desne ruke,
pri ˇcemu palcu, kaˇziprstu i srednjem prstu odgovaraju vektorii,jik, re-
spektivno. Odgovaraju´cim prstima leve ruke moˇze biti predstavljen trijedar
leve orijentacije. U naˇsem daljem razmatranju uvek ´cemo koristiti trijedar
desne orijentacije.
U odeljcima 1.3 i 1.4 deﬁnisali smo normu ili intenzitet vektora i skalarni
proizvod dva vektora. Ovde ´cemo ukazati na dva jednostavnaproblema:
1. Rastojanje dve taˇcke u prostoru.Neka su date taˇckeM1iM2,
kojima odgovaraju radijus vektorir1= (x1, y1, z1) ir2= (x2, y2, z2), re-
spektivno (slika 1.1.3).
Sl. 1.1.3 Sl. 1.1.4 Sl. 1.1.5
Kako je
−−−−→
M1M2=r2−r1, rastojanje taˇcakaM1iM2moˇze se odrediti kao
d=|
−−−−→
M1M2|=|r2−r1|,

VEKTORSKA ALGEBRA 341
tj.
d=
p
(x2−x1)
2
+ (y2−y1)
2
+ (z2−z1)
2
.
2. Deoba duˇzi u datoj razmeri.Neka je data duˇzM1M
2sa radijus
vektorimar1= (x1, y1, z1) ir2= (x2, y2, z2) taˇcakaM1iM2i neka je
potrebno odrediti radijus vektorr0= (x0, y0, z0) taˇckeM0koja deli duˇz u
datoj razmeri, tj. tako da je
(1.1.1)
M1M
0
M0M
2
=λ (λ >0).
Kako je (videti sliku 1.1.4)
−−−−→
M1M0=r0−r1,
−−−−→
M0M2=r2−r0,
iz kolinearnosti ovih vektora i jednakosti (1.6.1) sleduje
r0−r1=λ(r2−r0),
odakle dobijamo
(1.1.2) r0=
r1+λr2
1 +λ
,
tj.
(1.1.3) x0=
x1+λx2
1 +λ
, y0=
y1+λy2
1 +λ
, z0=
z1+λz2
1 +λ
.
U specijalnom sluˇcaju, kada jeλ= 1, imamo deobu duˇzi na jednake
delove. Tada se (1.1.2) i (1.1.3) svode redom na
r0=
1
2
(r1+r2)
i
x0=
1
2
(x1+x2), y0=
1
2
(y1+y2), z0=
1
2
(z1+z2).
Osim pravouglog koordinatnog sistema u upotrebi su i drugi sistemi, koji
ponekad na jednostavniji naˇcin daju opis taˇcaka u prostoruE. Ovde ´cemo
ukazati na dva takva sistema:polarno-cilindriˇcniisferni.

342 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Polarno-cilindriˇcni koordinatni sistem.Ve´c u prvoj glavi (odeljak
2.2) uveli smo polarni koordinatni sistem za predstavljanje graﬁka funkcija
i uspostavili vezu izmedˉu polarnih i pravouglih koordinata u ravni (videti
sliku 1.1.5). Sada ´cemo deﬁnisati tzv.polarno-cilindriˇcni koordinatni sistem
u prostoruE.
Izaberimo u prostoruEproizvoljnu ravanRi u njoj deﬁniˇsimo polarni
koordinatni sistem, a zatim kroz polOpostavimo osuOznormalno na ra-
vanR(slika 1.1.6). Svaka taˇcka prostoraE, tj. svaki vektor
−−→
OM, moˇze se
potpuno opisati pomo´cu polarnih koordinata̺iϕi aplikatez. Za ove koor-
dinate kaˇzemo da supolarno-cilindriˇcne koordinate. Njihov opseg vrednosti
je slede´ci:
0≤̺ <+∞,0≤ϕ <2π, −∞< z <+∞.
Polarni ugaoϕza taˇcke naz-osi nije odredˉen.
Dakle, polarno-cilindriˇcni sistem je kombinacija polarnog i pravouglog
sistema, sa dve polarne koordinate̺iϕi jednom Dekartovom koordinatom
z. Prema tome, veza izmedˉu koordinata ovih sistema je data sa
(1.1.4) x=̺cosϕ, y=̺sinϕ ,
tj.
̺=
p
x
2
+y
2
,cosϕ=
x
̺
,sinϕ=
y
̺
.
Sl. 1.1.6 Sl. 1.1.7
Sferni koordinatni sistem.Uoˇcimo pravougli koordinatni sistemOxyz
sa odgovaraju´cim polarnim sistemom u ravniOxy. Neka jeMproizvoljna

VEKTORSKA ALGEBRA 343
taˇcka prostora razliˇcita od taˇckeOi neka jeM1ortogonalna projekcija taˇcke
Mna ravanOxy. Ako saroznaˇcimo rastojanje taˇckeMod koordinatnog
poˇcetkaO, tj. intenzitet vektora
−−→
OM, saθugao koji ovaj vektor zaklapa
sa osomOzi, najzad, saϕpolarni ugao taˇckeM1(slika 1.1.7), tada se
pomo´cu trojke (r, ϕ, θ) moˇze potpuno opisati poloˇzaj taˇckeM. Mogu´ci opseg
vrednosti ovih koordinata, koje su poznate kaosferne koordinate, je:
0≤r <+∞,0≤ϕ <2π, 0≤θ≤π .
Koordinatarse nazivaradijus, dok se za koordinateϕiθkoriste termini
duˇzinaiˇsirina, respektivno.
Za sve taˇcke naOz-osi koordinataϕnije odredˉena. TaˇckaOje odredˉena
samo radijusomr= 0.
Veza izmedˉu pravouglih i sfernih koordinata je data sa:
(1.1.4) x=rsinθcosϕ, y=rsinθsinϕ, z=rcosθ .
Napomena 1.1.1.Ponekad se sfereni koordinatni sistem deﬁniˇse tako ˇsto se
umesto uglaθuzima njemu komplementarni ugaoθ
′
, tj. ugao koji zaklapa radijus
vektor
−−→
OMsaOxyravni. U tom sluˇcaju, u (1.1.4) sinθtreba zameniti sa cosθ
′
,
a cosθsa sinθ
′
. Mogu´ci opseg vrednosti takve koordinate je−π/2≤θ
′
≤π/2.
1.2. Projekcija vektora na osu
Neka je dat vektora=
−→
ABi osauorijentisana jediniˇcnim vektoromu0.
Kroz taˇckeAiBpostavimo ravni koje su normalne nau-osu (slika 1.2.1).
Preseci ovih ravni sa osom odredˉuju taˇckeA
′
iB
′
. Vektor
−−→
A
′
B
′
moˇze se
izraziti pomo´cu jediniˇcnog vektorau0
(1.2.1)
−−→
A
′
B
′
=pu0=acosϕu0,
gde jea=|a|=|
−→
AB|iϕugao koji zaklapaju vektori
−→
ABiu.
Sl. 1.2.1 Sl. 1.2.2

344 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Deﬁnicija 1.2.1.Za veliˇcinup=|a|cosϕiz (1.2.1) kaˇzemo da jeprojekcija
vektora
−→
ABna osuui oznaˇcavamo je sa
p= Pru
−→
AB .
Umesto Prukoristi se i oznaka Pru0
.
Iz jednakosti Prua=acosϕzakljuˇcujemo da vaˇzi
−a≤Prua≤a .
Ako vektoraleˇzi u ravni koja je normalna na osuu, tada je Prua= 0 (slika
1.2.2). Oˇcigledno da je Prua>0 ako je ugaoϕoˇstar, dok je u sluˇcaju tupog
ugla projekcija negativna.
Nije teˇsko zakljuˇciti da je preslikavanjea7→Prualinearno, tj. da vaˇzi
slede´ci rezultat:
Teorema 1.2.1.Za proizvoljne vektoreaibi proizvoljni skalarλvaˇzi
jednakost
Pru(a+b) = Prua+ Prub,Pru(λa) =λPrua.
U odeljku 1.4 deﬁnisali smo i razmatrali skalarni proizvod dva vektora iz
prostoraVO(E). Koriˇs´cenjem projekcije vektora na osu, skalarni proizvod
ab=|a||b|cosϕ
moˇze se predstaviti u obliku
ab=|a|Prab=|b|Prba.
Na kraju ovog odeljka naglasimo da su koordinate vektora
a=a1i+a2j+a3k,
upravo, projekcije vektoraana koordinatne ose, tj.
a1= Prxa, a2= Prya, a3= Prza.

VEKTORSKA ALGEBRA 345
1.3. Vektorski proizvod dva vektora
U odeljku 1.4 deﬁnisali smo skalarni proizvod dva vektora izV=VO(E).
Mogu´cno je, medˉutim, deﬁnisati i proizvod dva vektora tako da je rezultat
vektor. Drugim reˇcima, uredˉenom paru (a,b)∈V
2
treba dodeliti tre´ci
vektorc∈V.
Neka su dati vektoria=a1i+a2j+a3kib=b1i+b2j+b3k.
Deﬁnicija 1.3.1.Vektorski proizvodvektoraaib, u oznacia×b, je vektor
(1.3.1)a×b= (a2b3−a3b2)i+ (a3b1−a1b3)j+ (a1b2−a2b1)k.
Vektorski proizvod (1.3.1) moˇze se predstaviti u obliku determinante tre-
´ceg reda
(1.3.2) a×b=

i j k
a1a2a3
b1b2b3

.
Ponekad, umesto oznakea×bkoristi se oznaka [ab].
Iz osobina determinanata sleduje:
Teorema 1.3.1.Za proizvoljne vektorea,b,ci svaki skalarλvaˇze jed-
nakosti
1
◦
a×b=−b×a,
2
◦
a×a=o,
3
◦
a×(b+c) =a×b+a×c,
4
◦
(a+b)×c=a×c+b×c,
5
◦
(λa)×b=a×(λb) =λ(a×b).
Iz osobina 2
◦
i 5
◦
sleduje da je vektorski proizvod dva kolinearna vek-
toraaib=λajednak nula-vektoru. Vaˇzi i obrnuto. Oˇcigledno je da se
kolinearnost vektoraaib, u skalarnom obliku, moˇze iskazati na naˇcin
b1
a1
=
b2
a2
=
b3
a3
=λ .
Za bazisne (koordinatne) vektorei,j,kimamo
i×i=o,j×j=o,k×k=o.

346 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Na osnovu deﬁnicije 1.3.1 imamo
i×j=

i j k
1 0 0
0 1 0

= 0∆i+ 0∆j+ 1∆k=k.
Sliˇcno se moˇze pokazati da suj×k=iik×i=j. Dakle, imamo
i×j=−j×i=k,j×k=−k×j=i,k×i=−i×k=j.
Teorema 1.3.2.Neka jeϕ(0≤ϕ≤π)ugao izmedˉu vektoraaib. Tada
se intenzitet vektorskog proizvodaa×bmoˇze izraziti u obliku
(1.3.3) |a×b|=|a| |b|sinϕ .
Dokaz.Na osnovu (1.3.1) imamo
|a×b|
2
= (a2b3−a3b2)
2
+ (a3b1−a1b3)
2
+ (a1b2−a2b1)
2
=a
2
1(b
2
2+b
2
3) +a
2
2(b
2
1+b
2
3) +a
2
3(b
2
1+b
2
2)
−2a2a3b2b3−2a1a3b1b3−2a1a2b1b2
= (a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
)(b
2
1
+b
2
2
+b
2
3
)−(a1b1+a2b2+a3b3)
2
,
tj.
|a×b|
2
=|a|
2
|b|
2
−(ab)
2
=|a|
2
|b|
2
− |a|
2
|b|
2
cos
2
ϕ
=|a|
2
|b|
2
sin
2
ϕ .∗
Jednakost (1.3.3) pokazuje da je intenzitet vektorskog proizvodaa×b
jednak brojno povrˇsini paralelograma konstruisanog nad vektorimaaib.
Zaista, sa sl. 1.3.1 vidimo da je visina paralelogramah=|b|sinϕ, pa je
odgovaraju´ca povrˇsina
P=|a|h=|a| |b|sinϕ .
Sl. 1.3.1 Sl. 1.3.2

VEKTORSKA ALGEBRA 347
Primer 1.3.1.Neka suaibproizvoljni nekolinearni vektori. Za vektorski
proizvod vektoraa+bia−bimamo
(a+b)×(a−b) = (a×a) + (b×a)−(a×b)−(b×b) =−2(a×b).
Interpretiraju´ci vektorea+bia−bkao vektore dijagonala paralelograma,
konstruisanog nad vektorimaaib(sl. 1.3.2), imamo da je
d1×d2=−2a×b,
odakle sleduje
|d1×d2|= 2|a×b|,
tj. povrˇsina paralelograma ˇcije su stranice dijagonaled1id2nekog drugog para-
lelograma jednaka je dvostrukoj povrˇsini tog drugog paralelograma.△
Da bismo ustanovili pravac i smer vektorskog proizvodac=a×bu
odnosu na vektoreaib, primetimo, najpre, da je skalarni proizvod vektora
ciajednak nuli. Zaista,
ca= (a2b3−a3b2)a1+ (a3b1−a1b3)a2+ (a1b2−a2b1)a3= 0.
Kako je, takodˉe,cb= 0, zakljuˇcujemo da je vektorcortogonalan i na
vektorai na vektorb. Dakle, geometrijski posmatrano, pravac vektorskog
proizvodaa×bje upravan na ravan u kojoj leˇze vektoriaib.
Najzad, ostaje otvoreno pitanje smera vektorskog proizvoda. Od dva
mogu´ca smera, pravi smer je onaj koji obezbedˉuje da vektoria,b,cˇcine
trijedar desne orijentacije. Da je ovo zaista tako, dovoljno je konstatovati
ovu ˇcinjenicu za bazisne vektorei,j,k, koji ˇcine trijedar desne orijentacije.
Na osnovu prethodnog, mogu´ce je vektorski proizvod ekvivalentno deﬁni-
sati i na slede´ci naˇcin:
Deﬁnicija 1.3.2.Vektorski proizvoda×bje vektorctakav da vaˇzi:
1
◦
intenzitet vektoracje brojno jednak povrˇsini paralelograma konst-
ruisanog nad vektorimaaib;
2
◦
pravac vektoracje normalan na ravan ovog paralelograma;
3
◦
vektoriaibi njihov vektorski proizvodcobrazuju trijedar desne
orijentacije.
Na slici 1.3.3 prikazan je vektorski proizvodckao vektor koji je normalan
na ravan paralelograma konstruisanog nad vektorimaaibi sa njima obra-
zuje trijedar desne orijentacije.

348 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Sl. 1.3.3 Sl. 1.3.4
U opˇstem sluˇcaju, svakoj ravnoj ﬁguri moˇze se korespondirati tzv.vektor
povrˇsine. U tom cilju, potrebno je najpre utvrditi smer obilaˇzenja po konturi
ravne ﬁgure (slika 1.3.4). Vektor povrˇsine je tada onaj vektor koji je nor-
malan na ravan ﬁgure i s ˇcijeg kraja se usvojeni smer obilaˇzenja konture vidi
kao suprotan smeru kretanja kazaljke na ˇcasovniku
82)
. Za ovako deﬁnisani
smer vektora povrˇsine kaˇzemo da je saglasan orijentacijikonture.
Vektorski proizvoda×bje, prema tome, vektor povrˇsine paralelograma
konstruisanog nad vektorimaaib, pri ˇcemu se za smer obilaˇzenja po konturi
paralelograma uzima smer prvog vektoraau vektorskom proizvodu.
Deﬁnicija 1.3.3.Vektor povrˇsine ravne ﬁgureje vektor ˇciji je:
1
◦
intenzitet brojno jednak veliˇcini povrˇsine ravne ﬁgure;
2
◦
pravac normalan na ravan ﬁgure;
3
◦
smer saglasan orijentaciji konture ravne ﬁgure.
Primer 1.3.2.Odredi´cemo povrˇsinu trougla ˇcija su temena u nekolinearnim
taˇckamaM
k, sa radijus vektorimar
k= (x
k, y
k, z
k) (k= 1,2,3) (slika 1.3.5).
Kako je povrˇsina trougla△M1M2M3, u oznaciP
△, jednaka polovini povrˇsine
paralelograma konstruisanog nad vektorima
−−−−→
M1M2i
−−−−→
M1M3i kako je
−−−−→
M1M2=r2−r1 i
−−−−→
M1M3=r3−r1,
imamo
P
△=|p|=
1
2
˛
˛
−−−−→
M1M2×
−−−−→
M1M3
˛
˛=
1
2
˛
˛(r2−r1)×(r3−r1)
˛
˛.
Koriˇs´cenjem koordinatnih reprezentacija vektora i jednakosti (1.3.2), dobijamo
P
△=
1
2
˛
˛
det
2
4
i j k
x2−x1y2−y1z2−z1
x3−x1y3−y1z3−z1
3
5
˛
˛
,
82)
U ﬁzici i elektrotehnici se ovo interpretira kaopravilo desne zavojnice. Naime,
okretanjem desne zavojnice u smeru obilaˇzenja po konturi,njeno pravolinijsko kretanje je
u smeru vektora povrˇsine.

VEKTORSKA ALGEBRA 349
tj.
P
△=
1
2
„˛
˛
˛
˛
y2−y1z2−z1
y3−y1z3−z1
˛
˛
˛
˛
2
+
˛
˛
˛
˛
x2−x1z2−z1
x3−x1z3−z1
˛
˛
˛
˛
2
+
˛
˛
˛
˛
x2−x1y2−y1
x3−x1y3−y1
˛
˛
˛
˛
2«
1/2
.
Sl. 1.3.5 Sl. 1.4.1
Ako su sve tri taˇcke, na primer, u ravniOxy, tada jez1=z2=z3= 0, pa se
prethodna formula svodi na
P
△=
1
2
˛
˛(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)
˛
˛
=
1
2
˛
˛x1(y2−y3) +x2(y3−y1) +x3(y1−y2)
˛
˛.△
Napomena 1.3.1.Pomo´cu vektorskog proizvoda veoma ˇcesto se u ﬁzici i
tehnici iskazuju izvesne ﬁziˇcke veliˇcine. Naveˇs´cemo samo neke od njih:
1
◦
Neka silaFdeluje u taˇckiM(Mje tzv. napadna taˇcka). Moment sileF
u odnosu na taˇckuO, u oznacim, izraˇzava se vektorskim proizvodom vektora
poloˇzajar=
−−→
OMi sileF, tj.m=r×F.
2
◦
Kod krivolinijskog kretanja materijalne taˇckeMu ravni sa ugaonom brzinom
ω, njena periferna brzinavse izraˇzava u oblikuv=ω×r, gde jerradijus vektor
r=
−−→
OM.
3
◦
Neka se provodnik nalazi u homogenom magnetskom polju indukcijeB.
Ako struju u provodniku obrazuju pokretna optere´cenjaqkoja se kre´cu srednjom
brzinomv, onda je elektromagnetska sila (po jednom optere´cenjuq) koja dejstvuje
na provodnik jednakaF=qv×B(Lorentzova
83)
sila).
83)
Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928), ˇcuveni holandski ﬁziˇcar, tvorac klasiˇcne
elektronske teorije i dobitnik Nobelove nagrade za ﬁziku 1902. godine.

350 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
1.4. Meˇsoviti proizvod tri vektora
Deﬁnicija 1.4.1.Skalarni proizvod vektorskog proizvodaa×bi vektora
c, u oznaci (a×b)c, naziva semeˇsoviti proizvod vektoraa,b,c.
Neka su dati vektoria,b,c. Konstruiˇsimo paralelopiped nad ovim vek-
torima i stavimoa×b=d(slika 1.4.1).
Kako je
(a×b)c=dc=dPrdc
id=|d|=|a×b|povrˇsina paralelograma konstruisanog nad vektorimaa
ib, tj. povrˇsina osnove prethodno konstruisanog paralelopipeda, i kako je,
u naˇsem sluˇcaju, Prdc=h >0 visina paralelopipeda koja odgovara ovoj
osnovi, zakljuˇcujemo da
(a×b)c=dh
predstavlja zapreminuVparalelograma konstruisanog nad vektorimaa,b,c.
Mogu´ca je, medˉutim, i takva situacija da jeP rdc<0. Tada je meˇsoviti
proizvod vektora jednak−V.
U svakom sluˇcaju, meˇsoviti proizvod tri vektora po apsolutnoj vrednosti
jednak je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad ovimvektorima
|(a×b)c|=V .
Ako su redoma=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,c=c1i+c2j+c3k,
tada se meˇsoviti proizvod moˇze izraziti u obliku
(1.4.1) (a×b)c=

i j k
a1a2a3
b1b2b3

(c1i+c2j+c3k) =

c1c2c3
a1a2a3
b1b2b3

,
s obzirom da je
ic=c1,jc=c2,kc=c3.
Ako u determinanti na desnoj strani jednakosti (1.4.1) zamenimo, najpre,
prvu i drugu, a zatim drugu i tre´cu vrstu, vrednost determinante se ne´ce
promeniti
84)
. Na taj naˇcin, (1.4.1) svodi se na
(1.4.2) ( a×b)c=

a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3

.
84)
Pri ovakvoj permutaciji vrsta, samo je znak determinante dva puta bio promenjen.

VEKTORSKA ALGEBRA 351
Interpretiraju´ci dobijenu determinantu kao meˇsoviti proizvod, na osnovu
(1.4.1) i (1.4.2), zakljuˇcujemo da je (a×b)c= (b×c)a. Dakle, pri ovakvoj
permutaciji vektora, koju nazivamo cikliˇcka permutacija, vrednost meˇsovitog
proizvoda se ne menja. Tako, u stvari, imamo
(1.4.3) ( a×b)c= (b×c)a= (c×a)b.
Primetimo da, na osnovu (1.4.3) i osobine skalarnog proizvoda, vaˇze jed-
nakosti (a×b)c= (c×a)bi (a×b)c=c(a×b), odakle zakljuˇcujemo da
jec(a×b) = (c×a)b, ˇsto kazuje da, u meˇsovitom proizvodu, skalarni i
vektorski proizvod mogu uzajamno da promene mesta.
Medˉutim, ako permutujemo samo dva vektora, iz osobine determinanata
sleduje da meˇsoviti proizvod menja znak. Dakle, imamo
(a×b)c=−(a×c)b=−(b×a)c=−(c×b)a.
Jednostavno se dokazuju i slede´ce osobine meˇsovitog proizvoda:
Teorema 1.4.1.Za proizvoljne vektorea,b,c,di proizvoljne skalareλiˉ,
vaˇze jednakosti
1
◦
λ(a×b)c= (λa×b)c= (a×λb)c= (a×b)λc,
2
◦
(a×b)(c+d) = (a×b)c+ (a×b)d,
3
◦
−
(λa+ˉb)×c
∆
d=λ(a×c)d+ˉ(b×c)d.
Iz osobina determinanata sleduje da je meˇsoviti proizvod tri vektora jed-
nak nuli ako i samo ako postoji linearna zavisnost medˉu vrstama determi-
nante. Poslednji uslov se svodi na linearnu zavisnost vektoraa,b,c, tj.
na njihovu komplanarnost. Prema tome, komplanarnost vektora izraˇzena
pomo´cu (videti odeljak 1.1)c=λa+ˉb(λ,ˉskalari) moˇze se iskazati i
pomo´cu meˇsovitog proizvoda
(a×b)c= 0.
Ovo se, takodˉe, moˇze zakljuˇciti i iz geometrijske interpretacije meˇsovitog
proizvoda. Zaista, zapremina paralelopipeda konstruisanog nad vektorima
a,b,cjednaka je nuli ako i samo ako su vektori komplanarni.
Napomena 1.4.1.Neke skalarne veliˇcine u ﬁzici i tehnici mogu se predstaviti
meˇsovitim proizvodom tri vektorske veliˇcine. Navodimo dva primera:
1
◦
Neka se pravolinijski provodnik duˇzineℓ, orijentisan kao vektorℓ, kre´ce
brzinomvu homogenom magnetskom polju indukcijeB. Tada se na krajevima

352 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
tog provodnika indukuje elektromotorna sila odredˉena meˇsovitim proizvodome=
ℓ(v×B).
2
◦
Pomo´cu meˇsovitog proizvoda vektora osnovne translacijea1,a2,a3, izra-
ˇcunava se zapremina primitivne ´celije kristalne reˇsetke (videti:S. M. Stoilkovi´c,
Materijali za elektroniku, Nauˇcna knjiga komerc, Beograd, 2000).
1.5. Dvostruki proizvod tri vektora
Deﬁnicija 1.5.1.Za vektorski proizvod vektoraai vektorskog proizvoda
b×c, u oznacia×(b×c), kaˇzemo da jedvostruki proizvod vektoraa,b,c.
Za dvostruki proizvod tri vektora koristi se i termindvostruki vektorski
proizvod.
Na osnovu osobine vektorskog proizvoda mogu´ce je zakljuˇciti da su vektori
b,c,a×(b×c) komplanarni, ˇsto znaˇci da je dvostruki vektorski proizvod
mogu´ce izraziti kao linearnu kombinaciju vektorabic, tj.
a×(b×c) =λb+ˉc,
gde suλiˉneki skalari.
Preciznije, vaˇzi slede´ci rezultat:
Teorema 1.5.1.Za tri vektoraa,b,cvaˇzi
(1.5.1) a×(b×c) = (ac)b−(ab)c,
gde suaciabskalarni proizvodi vektoraaic, iaib, respektivno.
Dokaz.Neka su redoma=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,c=
c1i+c2j+c3ki neka jed=b×c=d1i+d2j+d3k.
Kako je
a×(b×c) =a×d=

i j k
a1a2a3
d1d2d3

,
imamo
a×(b×c) = (a2d3−a3d2)i+ (a3d1−a1d3)j+ (a1d2−a2d1)k.
Odredi´cemo, najpre, prvu koordinatu dvostrukog vektorskog proizvoda.

RAVAN I PRAVA 353
Kako je
d=

i j k
b1b2b3
c1c2c3

=

b2b3
c2c3

i−

b1b3
c1c3

j+

b1b2
c1c2

k,
imamo
a2d3−a3d2=a2(b1c2−b2c1)−a3(b3c1−b1c3)
=b1(a2c2+a3c3)−c1(a2b2+a3b3),
odakle, dodavanjem i oduzimanjem ˇclanaa1b1c1, dobijamo
a2d3−a3d2=b1(a1c1+a2c2+a3c3)−c1(a1b1+a2b2+a3b3)
=b1(ac)−c1(ab).
Sliˇcno, nalazimo
a3d1−a1d3=b2(ac)−c2(ab),
a1d2−a2d1=b3(ac)−c3(ab).
Prema tome,
a×(b×c) = (ac)b−(ab)c.∗
Jednakost (1.5.1) moˇze se predstaviti u obliku determinante
a×(b×c) =

b c
ab ac

.
2. RAVAN I PRAVA
2.1. Razni oblici jednaˇcine ravni
Neka je u prostoruVO(E) deﬁnisan pravougli koordinatni sistem. Koor-
dinate taˇcaka koje leˇze u nekoj ravni ne mogu biti proizvoljne, ve´c moraju
zadovoljavati izvesne uslove date tzv.jednaˇcinom ravni.
Pretpostavimo da ravanRprolazi kroz taˇckuM1i da je normalna na
dati vektorn(slika 2.1.1). Odredi´cemo jednaˇcinu skupa svih taˇcakaMkoje
leˇze u ravniR. Neka su radijus vektori taˇcakaM1iMredomr1ir. Kako

354 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Sl. 2.1.1 Sl. 2.1.2
vektor
−−−→
M1M=r−r1leˇzi u ravniRto je on normalan na dati vektorn, pa
je njihov skalarni proizvod jednak nuli, tj.
(2.1.1) ( r−r1)n= 0.
Oˇcigledno, vaˇzi i obrnuto, tj. ako radijus vektorrproizvoljne taˇckeM∈E
zadovoljava jednaˇcinu (2.1.1), tada taˇckaMpripada ravniR.
Ovim smo dobili jednaˇcinu ravni koja prolazi kroz datu taˇckuM1i koja
je normalana na dati vektorn. Za vektornkaˇzemo da jevektor normale.
Ako stavimor1n=−D, (2.1.1) se svodi na tzv.opˇsti oblikjednaˇcine
ravni
(2.1.2) rn+D= 0.
Ako uzmemo da su koordinate vektora normale redomA, B, C, tj.n=
(A, B, C), odgovaraju´ci skalarni opˇsti oblik jednaˇcine ravni je
Ax+By+Cz+D= 0,
ˇsto se dobija iz (2.1.2) stavljanjemr= (x, y, z). Takodˉe, zar1= (x1, y1, z1)
iz (2.1.1) dobijamo odgovaraju´ci skalarni analogon
A(x−x1) +B(y−y1) +C(z−z1) = 0.
Kako je ravan potpuno odredˉena pomo´cu tri nekolinearne taˇckeMk, sa
koordinatamaxk, yk, zk(k= 1,2,3), koriˇs´cenjem (2.1.1) mogu´ce je na´ci
jednaˇcinu te ravniRako se prethodno odredi vektor normalen. Kako
vektori
−−−−→
M1M2=r2−r1 i
−−−−→
M1M3=r3−r1

RAVAN I PRAVA 355
leˇze u ravniR(slika 2.1.2), za vektor normale se moˇze uzeti njihov vektorski
proizvod. Dakle,
n=
−−−−→
M1M2×
−−−−→
M1M3= (r2−r1)×(r3−r1),
pa je odgovaraju´ca jednaˇcina ravni data meˇsovitim vektorskim proizvodom
(2.1.3) ( r−r1)
×
(r2−r1)×(r3−r1)
∗
= 0.
Interpretiraju´ci meˇsoviti vektorski proizvod u (2.1.3)kao determinantu
tre´ceg reda, dolazimo do skalarne jednaˇcine
(2.1.4)

x−x1y−y1z−z1
x2−x1y2−y1z2−z1
x3−x1y3−y1z3−z1

= 0.
Ako taˇckeMk(k= 1,2,3) odaberemo na koordinatnim osama, tj. uzme-
mor1=ai,r2=bj,r3=ck, na osnovu (2.1.3) dobijamo
(r−ai)
×
(bj−ai)×(ck−ai)
∗
= 0,
tj.
(r−ai)(bci+acj+abk) = 0.
Iz ove jednaˇcine, ili direktno iz (2.1.4), sleduje tzv.segmentni oblikjedna-
ˇcine ravni
(2.1.5)
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1,
gde sua, b, codgovaraju´ci odseˇcci na koordinatnim osama (slika 2.1.3). Do
segmentnog oblika moˇzemo do´ci i iz opˇsteg oblika (2.1.2)deljenjem sa−D6=
0. Tako dobijamo
(2.1.6) r∆
n
−D
= 1.
Ako stavimoA/(−D) =a,B/(−D) =b,C/(−D) =c, imamo
n
−D
=ai+bj+ck,
pa se (2.1.6) svodi na (2.1.5). Napomenimo da sluˇcajD= 0 odgovara ravni
koja prolazi kroz koordinatni poˇcetak.

356 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Sl. 2.1.3 Sl. 2.1.4
Od interesa je prouˇciti i tzv.normalni oblikjednaˇcine ravni. Neka jep
odstojanje polaOod ravniR, tj.ON=p >0, i neka jen0jediniˇcni vektor
normale za ravanR(slika 2.1.4). Kako je
−−→
ON=pn0 i|n0|= 1,
imamo
(r−pn0)n0= 0,
tj.
(2.1.7) rn0−p= 0.
Ovo je normalni oblik jednaˇcine ravni.
S obzirom da svaki vektor moˇze da se izrazi pomo´cu kosinusauglovaα,
β,γ, koje ovaj vektor zaklapa redom sa vektorimai,j,k(videti (1.5.7)), to
za jediniˇcni vektorn0imamo
n0= (cosα,cosβ,cosγ).
Kako jer= (x, y, z), iz (2.1.7) sleduje odgovaraju´ci skalarni oblik
xcosα+ycosβ+zcosγ−p= 0.
Normalni oblik jednaˇcine ravni moˇzemo dobiti i iz opˇstegoblika (2.1.2),
deljenjem san=|n|ili sa−n, pri ˇcemu u jednaˇcini
r∆
n
±n
+
D
±n
= 0

RAVAN I PRAVA 357
treba izabrati znak + ili−tako da je
D
±n
=−p <0.
Odgovaraju´ci skalarni analogon ima oblik
(2.1.8)
Ax+By+Cy+D
±
√
A
2
+B
2
+C
2
= 0,
gde je
D
±
√
A
2
+B
2
+C
2
=−p <0.
Normalni oblik jednaˇcine ravni je veoma pogodan za odredˉivanje odsto-
janja neke taˇckeM1od date ravniR, tj. za nalaˇzenje intenziteta vektora
d=|
−−−−→
M2M1|, gde jeM2ortogonalna projekcija taˇckeM1na ravanR. Kako
taˇckaM2pripada ravniR, njen radijus vektorr2zadovoljava jednaˇcinu
(2.1.7), tj. vaˇzi
(2.1.9) r2n0−p= 0.
Vektor
−−−−→
M2M1je kolinearan san0, tako da se moˇze izraziti u obliku
−−−−→
M2M1=
λn0. Kako jer1−r2=λn0(slika 2.1.5), na osnovu (2.1.9) dobijamo
(r1−λn0)n0−p= 0,
tj.
λ=r1n0−p .
Dakle, traˇzeno odstojanje je
d=|λ|=|r1n0−p|.
Ako jer1= (x1, y1, z1), iz skalarnog oblika (2.1.8) sleduje
d=

Ax1+By1+Cy1+D
±
√
A
2
+B
2
+C
2

.

358 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Sl. 2.1.5 Sl. 2.1.6
Na kraju ovog odeljka razmotrimo sluˇcaj dve ravni
(2.1.10) (R1)rn1+D1= 0, (R2)rn2+D2= 0.
RavniR1iR2su paralelne ili se poklapaju ako su im vektorin1in2
kolinearni, tj. ako jen2=λn1, gde jeλskalar. Ovaj uslovparalelnosti
moˇze biti izraˇzen i u obliku
n1×n2=o.
Kada se ravniR1iR2seku (slika 2.1.6), ugaoϕizmedˉu ovih ravni je, u
stvari, ugao izmedˉu vektora narmalan1in2. Dakle,
cosϕ=
n1n2
n1n2
(n1=|n1|, n2=|n2|).
Uslov ortogonalnosti ravniR1iR2moˇze se izraziti u obliku
n1n2= 0.
Ako su ravni date skalarnim jednaˇcinama
(2.1.11)A1x+B1y+C1z+D1= 0, A 2x+B2y+C2z+D2= 0,
tada se uslov ortogonalnosti svodi na
A1A2+B1B2+C1C2= 0,
a uslov paralelnosti na
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
.

RAVAN I PRAVA 359
2.2. Razni oblici jednaˇcina prave
Neka su date ravniR1iR2kao u (2.1.10) i neka jen1×n26=o, tj. neka
se ravni seku. Tada njihov presek odredˉuje pravup, koja se moˇze predstaviti
skupom jednaˇcina
(2.2.1) rn1+D1= 0, rn2+D2= 0.
Za jednaˇcine (2.2.1) kaˇzemo da predstavljajuopˇsti vektorski oblikjednaˇci-
na prave u prostoru. Odgovaraju´ce skalarne jednaˇcine su date sa (2.1.11).
Skup svih ravni koje prolaze kroz presek ravniR1iR2naziva sepra-
men ravni. Svaka ravan koja pripada ovom pramenu moˇze se deﬁnisati
jednaˇcinom
rn1+D1+λ(rn2+D2) = 0,
tj.
(2.2.2) r(n1+λn2) + (D1+λD2) = 0,
i dobija se iz (2.2.2) za neku konkretnu vrednostλ. Napomenimo da se
ravanR2moˇze dobiti iz (2.2.2) deljenjem saλ6= 0, a zatim prelaˇzenjem na
graniˇcnu vrednost kadaλ→+∞(ili−∞).
Pravapse moˇze deﬁnisati i pomo´cu dve proizvoljne ravni pramena (2.2.2).
Pravapse daleko ˇceˇs´ce zadaje pomo´cu taˇckeMkroz koju ona prolazi i
vektoraakome je paralelna.
Neka jeMproizvoljna taˇcka pravepi neka surir1radijus vektori
taˇcakaMiM1, respektivno (slika 2.2.1). Kako su vektoriai
−−−→
M1M=r−r1
kolinearni, imamo da jer−r1=λa, gde jeλskalar. Dakle,
(2.2.3) r=r1+λa
predstavljavektorsku jednaˇcinu prave kroz datu taˇcku. Zaakaˇzemo da je
vektor pravcapravep.
Sl. 2.2.1 Sl. 2.2.2

360 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Kako se uslov kolinearnosti moˇze izraziti i pomo´cu vektorskog proizvoda,
imamo
(r−r1)×a=o,
tj.
(2.2.4) r×a=b,
gde smo stavilir1×a=b.
Ako uzmemor= (x, y, z),r1= (x1, y1, z1),a= (a1, a2, a3), iz (2.2.3)
sleduju tzv.parametarske jednaˇcine prave:
(2.2.5) x=x1+λa1, y=y1+λa2, z=z1+λa3.
Eliminacijom parametraλiz (2.2.5) dobijamo tzv.simetriˇcni oblikjednaˇcina
prave:
(2.2.6)
x−x1
a1
=
y−y1
a2
=
z−z1
a3
.
Simetriˇcni oblik (2.2.6) moˇze se izraziti i u obliku
x−x1
cosα
=
y−y1
cosβ
=
z−z1
cosγ
,
gde suα, β, γuglovi koje zaklapa vektorasa koordinatnim vektorimai,j,
k, respektivno.
Pravapje potpuno odredˉena dvema taˇckamaM1iM2. Neka su radijus
vektori ovih taˇcaka redomr1= (x1, y1, z1) ir2= (x2, y2, z2) (slika 2.2.2).
Kako se vektor
−−−−→
M1M2=r2−r1moˇze uzeti kao vektor pravca pravep, na
osnovu (2.2.3), dobijamo vektorsku jednaˇcinu
(2.2.7) r=r1+λ(r2−r1),
tj.
(r−r1)×(r2−r1) =o,
odakle sleduje
r×(r2−r1) =r1×r2.
Odgovaraju´ci simetriˇcni oblik jednaˇcina prave kroz dvetaˇcke je
x−x1
x2−x1
=
y−y1
y2−y1
=
z−z1
z2−z1
.

RAVAN I PRAVA 361
Primer 2.2.1.Simetriˇcni oblik jednaˇcina prave koja prolazi kroz date taˇcke
(1,−1,3) i (5,−4,3) je
x−1
5−1
=
y+ 1
−4 + 1
=
z−3
3−3
,
tj.
x−1
4
=
y+ 1
−3
=
z−3
0
.
Vektor 4i−3jje vektor pravca ove prave. Odgovaraju´ce parametarske jednaˇcine
prave su:
x= 1 + 4λ, y=−1−3λ, z= 3,
gde jeλproizvoljan skalar.△
Sada ´cemo razmotriti problem svodˉenja jednog vektorskog oblika jedna-
ˇcina prave na drugi. To su, u stvari, oblici (2.2.1), (2.2.3) i (2.2.4).
1.(2.2.3)⇒(2.2.4). Ovo je pokazano ranije, gde jeb=r1×a.
2.(2.2.4)⇒(2.2.3). Ako (2.2.4) pomnoˇzimo vektorski saa, imamo
a×(r×a) =a×b,
odakle, razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda, dobijamo
(aa)r−(ar)a=a×b,
tj.
(2.2.8) r=
a×b
|a|
2
+
ar
|a|
2
a,
ˇsto predstavlja oblik (2.2.3) sa
r1=
a×b
|a|
2
, λ=
ar
|a|
2
.
3.(2.2.1)⇒(2.2.4). Mnoˇzenjem druge jednaˇcine u (2.2.1) san1i prve
sa−n2, a zatim sabiranjem tako dobijenih jednaˇcina, imamo
(rn2)n1−(rn1)n2=D1n2−D2n1.
Koriˇs´cenjem dvostrukog vektorskog proizvoda, poslednja jednaˇcina postaje
(2.2.9) r×(n1×n2) =D1n2−D2n1,

362 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
ˇsto predstavlja oblik (2.2.4), pri ˇcemu je
a=n1×n2,b=D1n2−D2n1.
4.(2.2.3)⇒(2.2.1). Mnoˇzenjem (2.2.3) bilo kojim vektoriman1in2
(n16=n2) koji su ortogonalni naa, dobijamo
rn1=r1n1+λan1 irn2=r1n2+λan2,
tj.
rn1+D1= 0 i rn2+D2= 0,
gde smo staviliD1=−r1n1iD2=−r1n2. Napomenimo da ova
reprezentacija nije jedinstvena. Obiˇcno se kaon1in2uzimaju dva od vek-
tora (a2,−a1,0), (a3,0,−a1), (0, a3,−a2), gde jea= (a1, a2, a3), a ˇsto je u
skladu sa (2.2.6).
Primer 2.2.2.Neka su date dve ravni
(2.2.10) x+ 2y−z+ 1 = 0, x−y+z+ 3 = 0.
Ove ravni se seku jer je
n1×n2= (1,2,−1)×(1,−1,1) =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
i j k
1 2 −1
1−1 1
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= (1,−2,−3)6=o.
Njihov presek odredˉuje pravupˇciji je vektor pravca
a=n1×n2= (1,−2,−3).
Kako je
b=D1n2−D2n1= (1,−1,1)−3(1,2,−1) = (−2,−7,4),
na osnovu (2.2.9), jednaˇcina
r×(i−2j−3k) =−2i−7j+ 4k
predstavlja pravup.
Kako je|a|=
√
14 i
a×b=
˛
˛
˛
˛
˛
˛
i j k
1−2−3
−2−7 4
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=−29i+ 2j−11k,

RAVAN I PRAVA 363
na osnovu (2.2.8), dobijamo
r=
1
14
(−29i+ 2j−11k) +λ(i−2j−3k).
Odgovaraju´ci simetriˇcni oblik jednaˇcina prave je
(2.2.11)
x+ 29/14
1
=
y−1/7
−2
=
z+ 11/14
−3
.
Do simetriˇcnog oblika jednaˇcina prave mogli smo do´ci jednostavnije uzimaju´ci
proizvoljnu taˇcku pravep. Ako, na primer, stavimoz= 0, iz (2.2.10) sleduje
x=−7/3 iy= 2/3, ˇsto znaˇci da taˇcka (−7/3,2/3,0) leˇzi na pravojp, ˇciji je
simetriˇcni oblik
(2.2.12)
x+ 7/3
1
=
y−2/3
−2
=
z
−3
.
Moˇze se pokazati da su jednaˇcine (2.2.11) i (2.2.12) ekvivalentne. Zaista, odgo-
varaju´ce parametarske jednaˇcine
x=−
29
14
+λ, y=
1
7
−2λ, z=−
11
14
−3λ
i
x=−
7
3
+ˉ; y=
2
3
−2ˉ; z=−3ˉ
su ekvivalentne jer se zaˉ=λ+ 11/42 svode jedne na druge.△
Razmotrimo sada sluˇcaj dve prave
(2.2.13) ( p1)r=r1+λa, (p2)r=r2+ˉb.
Za ugaoϕkoji zaklapaju vektoriaibkaˇzemo da je ugao izmedˉu ove dve
prave. Dakle,
cosϕ=
ab
ab
(a=|a|, b=|b|).
Uslov normalnosti pravih moˇze se iskazati pomo´cuab= 0, dok se uslov
paralelnosti iskazuje kolinearnoˇs´cu vektoraaibili pomo´cua×b=o.
Primer 2.2.3.Neka su jednaˇcinama (2.2.13) date dve mimoilazne pravep1
ip2. Odredi´cemo najkra´ce rastojanje izmedˉu ovih pravih.ˇStaviˇse, odredi´cemo
jednaˇcine zajedniˇcke normale, tj. jednaˇcine pravepkoja prolazi kroz najkra´ce
rastojanje pravihp1ip2. Vektor pravca pravepje, oˇcigledno, vektora×b.
Postavimo, najpre, ravanRkoja prolazi kroz pravup2i paralelna je pravojp1,
a zatim konstruiˇsimo dve ravniR1iR2koje su normalne naRi prolaze kroz prave
p1ip2, respektivno (slika 2.2.3).

364 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Vektor normale ravniRje, u stvari, vektor pravca pravep, pa je jednaˇcina ravni
Rdata sa
(2.2.14) ( r−r2)(a×b) = 0.
Kako je ravanR1normalna na ravanRi prolazi kroz pravup1, to se za njen
vektor normale moˇze uzeti vektorn1= (a×b)×a. Sliˇcno, za vektor normale
ravniR2moˇze se uzetin2= (a×b)×b. Imaju´ci u vidu da ove ravni prolaze kroz
pravep1ip2, tj. kroz taˇckeM1iM2sa radijus vektorimar1ir2, respektivno,
jednostavno dobijamo njihove vektorske jednaˇcine:
(R1) (r−r1)[(a×b)×a] = 0, (R2) (r−r2)[(a×b)×b] = 0.
Ovaj skup jednaˇcina predstavlja jednaˇcine zajedniˇcke normaleppravihp1ip2.
Jasno je da je pravapnormalna na ravanRi da seˇce obe pravep1ip2. Rasto-
janje izmedˉu preseˇcnih taˇcaka je, u stvari, najkra´ce rastojanje izmedˉu mimoilaznih
pravih. Ono se, medˉutim, moˇze odrediti i kao odstojanje bilo koje taˇcke pravep1
od ravniRjer je pravap1paralelna sa njom, a pravap2leˇzi u njoj. Prema tome,
ako uzmemo, na primer, taˇckuM1i normalni oblik jednaˇcine (2.2.14), dobijamo
najkra´ce rastojanje
(2.2.15) d=
|(r1−r2)(a×b)|
|a×b|
.△
Na osnovu (2.2.15) zakljuˇcujemo da se uslov preseka dve prave moˇze
iskazati u obliku
(2.2.16) ( r2−r1)(a×b) = 0.
Do ovog uslova moˇze se do´ci i jednostavnije. Naime, ako se pravep1ip2
seku, to su onda vektoria,bi
−−−−→
M1M2=r2−r1komplanarni, pa je njihov
meˇsoviti proizvod jednak nuli.
Sl. 2.2.3 Sl. 2.3.1

RAVAN I PRAVA 365
Uslov (2.2.16) se moˇze predstaviti i u skalarnom obliku

x2−x1y2−y1z2−z1
a1 a2 a3
b1 b2 b3

= 0,
gde smo uzeli da su vektori pravaca pravihp1ip2redoma= (a1, a2, a3) i
b= (b1, b2, b3), kao ir1= (x1, y1, z1) ir2= (x2, y2, z2).
2.3. Uzajamni odnos prave i ravni
Posmatrajmo pravupi ravanRˇcije su jednaˇcine
(2.3.1) r=r1+λa,rn+D= 0.
Ako jean= 0, pravapje paralelna ravniRili leˇzi u njoj.
Ako jea=λn, tj. ako jea×n=o, prava je normalna na ravanR.
U opˇstem sluˇcaju, kada jean6= 0, prava seˇce ravan. Za ugaoθkoji
zaklapa pravapsa svojom projekcijom u ravniRkaˇzemo da je ugao izmedˉu
prave i ravni. To je, u stvari, ugao koji je komplementaran uglu izmedˉu
vektora pravca pravepi vektora normale ravniR(slika 2.3.1). Dakle,
sinθ= cos(π/2−θ) =
an
an
(a=|a|, n=|n|).
Kako radijus vektor taˇcke preseka prave i ravni mora zadovoljavati obe
jednaˇcine u (2.3.1), imamo
(r1+λa)n+D= 0,
tj.
λ=−
r1n+D
an
.
Dakle, radijus vektor taˇcke preseka je
r=r1−
r1n+D
an
a.
Primer 2.3.1.Neka su date pravapi ravanRpomo´cu
(p)
x−1
1
=
y−2
2
=
z−3
3
, (R)x+ 5y−z−10 = 0.

366 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Ovde jea= (1,2,3) in= (1,5,−1).
Kako su parametarske jednaˇcine pravep
(2.3.2) x= 1 +λ, y= 2 + 2λ, z= 3 + 3λ,
iz jednaˇcine ravni dobijamo
1 +λ+ 5(2 + 2λ)−(3 + 3λ)−10 = 0,
tj.λ= 1/4. Sada, zamenom ove vrednosti u (2.3.2), nalazimo
x=
5
4
, y=
5
2
, z=
15
4
.
Dakle, presek pravepi ravniRje u taˇcki (5/4,5/2,15/4).
Kako jea=|a|=
√
14,n=|n|=
√
27 ian= 8, za ugaoθizmedˉu prave i
ravni vaˇzi
sinθ=
an
an
=
4
√
42
63
.△
Primer 2.3.2.Neka je data ravanRpomo´cux+ 2y−z−5 = 0 i taˇckaM1sa
koordinatama (1,2,3). Odredi´cemo pravupkoja je normalna na ravanRi prolazi
kroz taˇckuM1. Za vektor pravca takve prave moˇze se uzeti vektor normale ravni
R, tj.a=n= (1,2,−1). Dakle, simetriˇcni oblik jednaˇcina pravepje
x−1
1
=
x−2
2
=
x−3
−1
.
Prema tome, presek pravepi ravniRje u taˇcki (3/2,3,5/2).△
3. POVRˇSI DRUGOG REDA
3.1. Kvadratne forme i hiperpovrˇsi drugog reda
U odeljku 2.6, glava II, deﬁnisana je kvadratna formaF:Vn→Rpomo´cu
(3.1.1) F(x) = (Ax,x) =
n
X
i=1
n
X
j=1
aijxjˉxi,
gde jeVn=C
n
i matricaA= [aij]
n
1
hermitska.
U daljem izlaganju, uze´cemo da jeAsimetriˇcna realna matrica i da jeVn
skup realnih vektorax= [x1x2∆ ∆ ∆xn]
T
. U tom sluˇcaju, ˉxiu (3.1.1)
treba zameniti saxi.

POVRˇSI DRUGOG REDA 367
Osnovni zadatak vezan za kvadratne forme sastoji se u transformaciji
forme na najprostiji mogu´ci oblik primenom linearne transformacije koor-
dinatax1,x2,. . .,xnuy1,y2,. . .,yn, pomo´cu regularne transformacione
matriceP= [pij]
n
1(videti odeljak 1.2, glava IV).
Dakle, neka jex=Py. Tada je
F(x) = (Ax,x) = (APy, Py) = (P
T
APy,y),
tj.
F(x) = (By,y) =G(y),
gde jeB=P
T
APmatrica transformisane kvadratne formeG(y). Oˇcigledno,
izborom matricePmogu´ce je menjati oblik matrice kvadratne forme.
Matrica kvadratne forme je simetriˇcna i moˇze se predstaviti u obliku
proizvoda
A=Q
T
ΛQ,
gde jeQortogonalna matrica (Q
T
Q=I), a Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λn) dija-
gonalna matrica. Ako stavimoy=Qx, imamo
F(x) = (Ax,x) = (Q
T
ΛQx,x) = (ΛQx, Qx) = (Λy,y),
tj.
(3.1.2) K(y) =λ1y
2
1
+λ2y
2
2
+∆ ∆ ∆+λny
2
n
.
Za dobijenu kvadratnu formu (3.1.2) kaˇzemo da jekanoniˇcka. Svaka
kanoniˇcka kvadratna forma moˇze se dalje svesti na tzv.normalnukvadratnu
formu kod koje koeﬁcijentiλi∈ {−1,0,1}. Takva forma ima oblik
(3.1.3) N(z) =z
2
1+∆ ∆ ∆+z
2
r−z
2
r+1− −z
2
m.
Ne umanjuju´ci opˇstost razmatranja, moˇzemo pretpostaviti da su koeﬁcijenti
λ1,. . .,λru (3.1.2) pozitivni,λr+1,. . .,λmnegativni, a ostaliλm+1,. . .,
λnjednaki nuli. Tada, stavljanjem
zi=





√
λiyi,1≤i≤r,
√
−λiyi, r+ 1≤i≤m,
yi, m + 1≤i≤n,
(3.1.2) se redukuje na (3.1.3).

368 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
Deﬁnicija 3.1.1.Hiperpovrˇs drugog redau prostoruVn=R
n
predstavlja
geometrijsko mesto taˇcaka, ˇcije koordinate zadovoljavaju jednaˇcinu
(3.1.4) ( Ax,x)−2(b,x) +c= 0,
gde jeA= [aij]
n
1realna simetriˇcna matrica,b= [b1b2∆ ∆ ∆bn]
T
realni
vektor icrealna konstanta.
U sluˇcajun= 3, (3.1.4) predstavljapovrˇs drugog reda, a u sluˇcajun= 2
krivu drugog reda.
Kao i u sluˇcaju kvadratne forme, (3.1.4) moˇze se transformisati na kano-
niˇcku formu. Ne ulaze´ci u detalje, ovde dajemo samo pregled kanoniˇckih
formi u sluˇcajun= 2 in= 3.
1
◦
Sluˇcajn= 2.Ovde se (3.1.4) svodi na jedan od kanoniˇckih oblika
85)





λ1x
2
+λ2y
2
+a0= 0,
λ2y
2
+b0x= 0,
λ1x
2
+a0= 0,
pri ˇcemu smo za koordinate uzelixiy.
2
◦
Sluˇcajn= 3.Povrˇsi drugog reda (3.1.4) transformiˇsu se na jedan
od slede´cih kanoniˇckih oblika
(3.1.5)













λ1x
2
+λ2y
2
+λ3z
2
+a0= 0,
λ1x
2
+λ2y
2
+b0z= 0,
λ1x
2
+λ2y
2
+a0= 0,
λ2y
2
+b0x= 0,
λ1x
2
+a0= 0.
U slede´cem odeljku razmatra´cemo kanoniˇcke oblike povrˇsi drugog reda
(3.1.5).
3.2. Povrˇsi drugog reda uR
3
Analizijamo najpre jednaˇcinu
(3.2.1) λ1x
2
+λ2y
2
+λ3z
2
+a0= 0.
85)
Krive drugog reda (elipsa, hiperbola, parabola) izuˇcavaju se u srednjoj ˇskoli.

POVRˇSI DRUGOG REDA 369
Razlikova´cemo viˇse sluˇcajeva:
(1)Sluˇcaja06= 0,sgn(λ1) = sgn(λ2) = sgn(λ3) =−sgn(a0).Tada,
stavljaju´ciλ1a
2
=λ2b
2
=λ3c
2
=−a0, (3.2.1) se svodi na kanoniˇcku
jednaˇcinu elipsoida
(3.2.2)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1.
Povrˇs poznata kaoelipsoidima centar simetrije u koordinatnom poˇcetku
(videti sl. 3.2.1). Brojevia,b,cnazivaju sepoluose elipsoida. Presek elip-
soida sa bilo kojom ravni daje elipsu.
-2
0
2
x
-2
-1
0
1
2
y
-2
-1
0
1
2
z
-2
0
2
x
Sl. 3.2.1
Zaa=b=c=R, (3.2.2) se svodi na jednaˇcinu sfere
x
2
+y
2
+z
2
=R
2
,
ˇciji je polupreˇcnikR. Inaˇce,sferapolupreˇcnikaRi sa centrom u taˇcki (p, q, r)
ima slede´cu jednaˇcinu
(x−p)
2
+ (y−q)
2
+ (z−r)
2
=R
2
.

370 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
(2)Sluˇcaja06= 0,sgn(λ1) = sgn(λ2) = sgn(λ3) = sgn(a0).Standardna
zamena koeﬁcijenata daje
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=−1,
odakle zakljuˇcujemo da nijedna taˇcka izR
3
ne zadovoljava jednaˇcinu.
(3)Sluˇcaja0= 0,sgn(λ1) = sgn(λ2) = sgn(λ3).Ovde dobijamo
jednaˇcinu
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 0,
koju zadovoljava samo jedna taˇcka – koordinatni poˇcetak (0,0,0).
-4
-2
0
2
4
x
-2
0
2
y
-4
-2
0
2
4
z
Sl. 3.2.2
(4)Sluˇcaja06= 0,sgn(λ1) = sgn(λ2) =−sgn(λ3) =−sgn(a0).Stan-
dardna zamena koeﬁcijenata daje jednaˇcinu
(3.2.3)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1,

POVRˇSI DRUGOG REDA 371
koja opisuje povrˇs poznatu kaojednograni hiperboloid(sl. 3.2.2). Presek
(3.2.3) sa ravniz=hdaje elipsu
x
2
α
2
+
y
2
β
2
= 1, z=h,
gde su
α=a
r
1 +
h
2
c
2
, β=b
r
1 +
h
2
c
2
.
-5
0
5
x
-5
0
5
y
-10
0
10
z
Sl. 3.2.3
(5)Sluˇcaja06= 0,sgn(λ1) = sgn(λ2) = sgn(a0) =−sgn(λ3).Ovde
dobijamo jednaˇcinu
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=−1,
koja opisuje tzv.dvograni hiperboloid(sl. 3.2.3). Presek takvog hiperboloida
sa ravniz=hmogu´c je samo za|h| ≥c, i pritom daje elipse
x
2
α
2
+
y
2
β
2
= 1, z=h,

372 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
ˇcije su poluose
α=a
r
h
2
c
2
−1, β=b
r
h
2
c
2
−1.
Za|h|< cne postoji presek. Presek dvogranog hiperboloida sa ravniOxz
iliOyzdaje hiperbole.
-4
-2
0
2
4
x
-2
0
2
y
-5
0
5
z
Sl. 3.2.4
(6)Sluˇcaja0= 0,sgn(λ1) = sgn(λ2) =−sgn(λ3).Ovde imamo
jednaˇcinu
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0,
koja odredˉuje povrˇs poznatu kaoeliptiˇcki konus(sl. 3.2.4). Presek takvog
konusa sa ravniz=hdaje elipsu.
Razmotrimo sada drugu jednaˇcinu u (3.1.5), tj.
λ1x
2
+λ2y
2
+b0z= 0.
Nastavljaju´ci analizu na istovetan naˇcin, dobijamo slede´ce sluˇcajeve:

POVRˇSI DRUGOG REDA 373
-2
0
2
x
-2
-1
0
1
2
y
0
1
2
3
4
z
-2
0
2
x
Sl. 3.2.5
-4
0
4
x
-4
0
4
y
-10
0
10
z
-10
0
10
Sl. 3.2.6

374 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
(7)Sluˇcajsgn(λ1) = sgn(λ2).Ovo daje
(3.2.4) z=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
iliz=−
x
2
a
2
−
y
2
b
2
.
Dovoljno je razmotriti samo prvu jednaˇcinu, koja opisuje tzv. eliptiˇcki
paraboloid (sl. 3.2.5). Preseci ovog paraboloida sa ravniz=h >0 su elipse
x
2
a
2
h
+
y
2
b
2
h
= 1.
Sa porastomh, poluose tih elipsi se pove´cavaju. Presek eliptiˇckog para-
boloida sa ravnimay=hix=hdaje parabole.
Druga jednaˇcina u (3.2.4) se odnosi na eliptiˇcki paraboloid koji je simet-
riˇcan sa prethodnim u odnosu na ravanOxy.
(8)Sluˇcajsgn(λ1) =−sgn(λ2).Kao tipiˇcna jednaˇcina u ovom sluˇcaju
je
z=
x
2
a
2
−
y
2
b
2
,
koja opisuje tzv.hiperboliˇcki paraboloid(sl. 3.2.6).
Presek ovakvog paraboloida sa ravniz=hdaje hiperbolu
x
2
α
2
−
y
2
β
2
= 1 zah >0,
gde suα=a
√
h,β=b
√
h. Zah <0 imamo, takodˉe, hiperbole
−
x
2
α
2
+
y
2
β
2
= 1,
gde suα=a
√
−h,β=b
√
−h.
4. ZADACI ZA VE ˇZBU
4.1.Odrediti ravan (α) koja prolazi kroz taˇckuM(1,−2,3) i upravna je na
ravnima
(β) 2x+y−z−2 = 0 i ( γ)x−y−z−3 = 0.

POVRˇSI DRUGOG REDA 375
4.2.Date su pravep1ip2jednaˇcinama:
(p1) :~r×(2~i+ 4~j+ 3
~
k) =−29~i+ 7~j+ 10
~
k
i
(p2) :~r×(5~i−~j+ 2
~
k) = 3~i−5~j−10
~
k.
1
◦
Da li se pravep1ip2seku?
2
◦
Kroz taˇckuA(4,0,−1) postaviti pravupkoja seˇce date prave.
4.3.Date su pravep1ip2jednaˇcinama:
(p1) :
⊂
x−y−z−7 = 0,
3x−4y−11 = 0
i (p2) :
⊂
x+ 2y−z−1 = 0,
x+y+ 1 = 0.
1
◦
Ne traˇze´ci preseˇcnu taˇcku, dokazati da se pravep1ip2seku.
2
◦
Odrediti preseˇcnu taˇckuApravihp1ip2.
3
◦
Odrediti jednaˇcine ravniα1iα2koje prolaze kroz taˇckuAi normalne
su na pravamap1ip2, respektivno.
4.4.Odrediti pravupkoja prolazi kroz taˇckuM(2,2,−2) i seˇce prave
(q) :
⊂
y+ 3z−5 = 0,
x+ 2z−7 = 0
i (r) :
x+ 2
−3
=
y−1
2
=
z+ 3
−2
∆
4.5.Odrediti taˇckuBsimetriˇcnu taˇckiA(1,3,−4) u odnosu na ravan
3x+y−2z= 0.
4.6.Date su ravniR1iR2i pravapjednaˇcinama
(R1) :x= 0,(R2) :y= 2,(p) :
x−1
1
=
y−2
2
=
z
−1
∆
Ako suP1iP2taˇcke prodora pravepkroz ravniR1iR2, odrediti taˇcku
P3∈R1∩R2tako da povrˇsina trouglaP1P2P3bude minimalna.
4.7.Data je pravapjednaˇcinama
5x−4y+ 3z+ 20 = 0,3x−4y+z−8 = 0
i taˇckaC(2,3,−1). Odrediti jednaˇcinu sfere ˇciji je centar u taˇckiCi koja
na pravojpodseca odseˇcak duˇzined= 16.

376 ELEMENTI ANALITI ˇCKE GEOMETRIJE
4.8.TaˇckeM1(4,0,4),M2(4,4,4),M3(4,4,0) i taˇckaSna sferi
x
2
+y
2
+z
2
= 4,
odredˉuju tetraedarSM1M2M3.
Odrediti taˇckuStako da zapremina tetraedra bude: (a) najve´ca; (b)
najmanja.
4.9.Pravepiqdate su jednaˇcinama
(p) :
x−1
1
=
y−2
2
=
z−3
3
i (q) :
x−3
3
=
y−2
2
=
z−1
1
∆
1
◦
Proveriti tvrdˉenje: Pravepiqse ne seku.
2
◦
Odrediti paralelne ravniαiβtako da ravanαsadrˇzi pravupa da
ravanβsadrˇzi pravuq.
3
◦
Odrediti odstojanje izmedˉu pravihpiq.
4.10.U Descartesovom koordinatnom sistemu, date su pravep1ip2jednaˇci-
nama
(p1) :
⊂
x−y−z+ 8 = 0,
5x+y+z+ 10 = 0
i (p2) :
⊂
x+y+z−2 = 0,
2x+y−3z+ 9 = 0.
Ako jeMtaˇcka njihovog preseka iM1,M2,M3njene projekcije na ko-
ordinatne ose, odrediti zapreminu tetraedraOM1M2M3i povrˇsinu trougla
M1M2M3.
4.11.Ako je taˇcno tvrdˉenje: Sve ravni
(t+ 1)
2
x+ (t
2
−t+ 1)y+ (t
2
+ 1)z= 0
sadrˇze jednu ﬁksnu pravup, odrediti tu pravu.
Uputstvo.Konstatovati da za svakotmora da vaˇzi jednakost
(t
2
+ 1)(x+y+z) +t(2x−y) = 0.
4.12.Od svih sfera koje prolaze kroz taˇcke
A(1,−2,8), B(3,2,−2) iC(−1,0,4),
odrediti onu koja ima najmanji polupreˇcnik.

POVRˇSI DRUGOG REDA 377
4.13.Na kruguK, odredˉenog jednaˇcinama
(K) :x
2
+y
2
= 1 i z= 0,
odrediti taˇcku koja je najbliˇza ravniαˇcija je jednaˇcina
(α) :x+ 2y+ 3z= 12.
4.14.Ako jeABCoˇstrougli trougao, odrediti u njegovoj ravni taˇckuM
tako da zbir
AM+BM+CM
ima najmanju vrednost.

Literatura
1.D. Adnadˉevi´ciZ. Kadelburg:Matematiˇcka analiza, I.Nauˇcna knjiga, Beo-
grad 1990.
2.S. Aljanˇci´c:Uvod u realnu i funkcionalnu analizu.Gradˉevinska knjiga, Beo-
grad 1968.
3.J. Dieudonn´e:Foundations of Modern Analysis.Academic Press, New York
1969.
4.G. M. FIHTENGOLЬC :Kurs differencialьnogo i integralьnogo isqisle-
ni, I.Fizmatgiz, Moskva 1962.
5.F. R. GANTMAHER :Teori matric.Nauka, Moskva 1988.
6.H.D. IKRAMOV:Zadaqnik po lineinoi algebre.Nauka, Moskva 1975.
7.V. A. ILЬINi З. G. POZNνK:Osnovy matematiqeskogo analiza , I.
Nauka, Moskva 1971.
8.V. A. ILЬIN,V. A. SADOVNIQI

I,BL.H.SENDOV:Matematiqeskii
analiz, I.Izd. Moskovskogo universiteta, Moskva 1985.
9.J. D. Keˇcki´c:Algebra I, Elementi linearne algebre i teorije polinoma.Privredni
pregled, Beograd 1973.
10.L. D. KUDRνVCEV:Kurs matematiqeskogo analiza, I.Vysxa xkola,
Moskva 1981.
11.Dˉ. Kurepa:Viˇsa algebra, I.Gradˉevinska knjiga, Beograd 1979.
12.Dˉ. Kurepa:Viˇsa algebra, II.Gradˉevinska knjiga, Beograd 1979.
13.S. Kurepa:Uvod u matematiku, Skupovi – strukture – brojevi.Tehniˇcka knjiga,
Zagreb 1975.
14.S. Kurepa:Uvod u linearnu algebru.ˇSkolska knjiga, Zagreb 1990.
15.P. Lankaster:Theory of Matrices.Academic Press, New York – London
1969.
16.I. I. LνXKO,A. K. BOνRQUK,ν. G. GA

I,A. F. KALA

IDA:Matemati-
qeskii analiz, I.Viwa xkola, Kiev 1983.
17.S. Mardeˇsi´c:Matematiˇcka analiza un-dimenzionalnom realnom prostoru, I
dio, Brojevi – konvergencija – neprekidnost.
ˇ
Skolska knjiga, Zagreb 1988.
18.M. Marjanovi´c:Matematiˇcka analiza I.Nauˇcna knjiga, Beograd 1979.

380 LITERATURA
19.D. Mihailovi´ciR. R. Jani´c:Elementi matematiˇcke analize I.Nauˇcna knjiga,
Beograd 1985.
20.P. M. Miliˇci´c:Matematika I, Linearna algebra i analitiˇcka geometrija – realna
analiza i numeriˇcka analiza.Nauˇcna knjiga, Beograd 1982.
21.G. V. Milovanovi´c:Numeriˇcka analiza, I deo.Nauˇcna knjiga, Beograd 1991.
22.D. S. Mitrinovi´ciD.
ˇ
Z. Dˉokovi´c:Polinomi i matrice.ICS, Beograd 1975.
23.D. S. Mitrinovi´c, D. Mihailovi´ciP. M. Vasi´c:Linearna algebra. Polinomi.
Analitiˇcka geometrija.Gradˉevinska knjiga, Beograd 1973.
24.D. S. Mitrinovi´ciP. M. Vasi´c:Analitiˇcke nejednakosti.Gradˉevinska knjiga,
Beograd 1970.
25.S. M. NIKOLЬSKI

I:Kurs matematiqeskogo analiza, I.Nauka, Moskva
1975.
26.W. Rudin:Principles of Mathematical Analysis.McGraw-Hill, New York 1976.
27.A. M. TER-KRIKOROV i M. I. XABUNIN:Kurs matematiqeskogo ana-
liza.Nauka, Moskva 1988.
28.V. V. VOEVODIN:Lineina algebra.Nauka, Moskva 1974.
29.V. A. ZORIQ:Matematiqeskii analiz, I.Nauka, Moskva 1981.

LinearAlgebra - skripta iz matematike pdf

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

LinearAlgebra - skripta iz matematike pdf

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77