LINGKARAN-XI-Madrasah Tsanawiyah WAJIB -4 Siswa-17.ppt

Lingkaran Kelas XI

2. Titik tertentu disebut titik pusat Lingkaran.
P
r
Lingkaran adalah garis
lengkung yang kedua
ujungnya bertemu pada
satu titik. Dimana titik-
titik pada garis lengkung
tersebut mempunyai
jarak yang sama
terhadap titik tertentu.
Jarak yang sama disebut jari- jari

3. 1. Roda Kendaraan
2. Uang Logam ( Coin )
3. Jam Dinding
4. Permukaan alas Kerucut
5. Permukaan alas dan atap Tabung
6. Permukaan bidang iris Kerucut atau Tabung dengan

bidang datar secara tegak lurus
7. Permukaan atau tutup alat – alat kebutuhan rumah

tangga
8. Tutup botol
9. Compac Disk ( CD), Keping DVD
10. Dll.

4. 1. Lingkaran dengan Pusat O (0,0) dan jari-jari r
Dari gambar didapat
Jarak antara titik O(0,0)
dan P (x, y) adalah :

22
00  yxOP
22
yxr 
Sehingga diperoleh :
OPr
22
yxr 
222
yxr 
Karena P (x, y) sembarang titik yang terletak pada
Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan berjarak OP atau r,
sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di titik
O (0,0) dan berjari – jari r adalah : 222
yxr 

5. Contoh :
1.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan
a. mempunyai jari – jari 2 satuan
b. melalui titik P(4, 3)
Jawab :

6. 2. Lingkaran dengan Pusat P(a, b) dan jari-jari r
Dari gambar terlihat, misalnya titik Q
(x, y) terletak pada lingkaran yang
berpusat di P (a, b) maka jarak dua
titik PQ sama dengan jari – jari ( r )
lingkaran adalah :
rPQ
222
)()( rbyax 
Karena Q (x, y) sembarang titik yg
terletak pada Lingkaran dengan
Pusat P(a, b) dan berjari – jari r,
sehingga persamaan lingkarannya
adalah :

222
rbyax 

5
4
3
2
1
-4-3-2-101234
-1
-2
-3
-4
x
y
r
P(a,b)

Q(x,y
)

rbyax 
22
 
222
,, rbyaxyxL 

7. Contoh :
1.Tentukan persamaan lingkaran yang :
a. berpusat di P (2, 3) dan jari – jari 4 satuan
b. berpusat di P (2, -1) dan melalui titik Q(5, 3)
Jawab :

8. Jika persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a, b) dan
jari-jari r di jabarkan, maka di peroleh :
222
)()( rbyax  
22222
22 rbbyyaaxx 
 022
22222
 rbabyaxyx
0
22
 CByAxyx

9. Dari bentuk persamaan Lingkaran
Dapat diubah menjadi :
222
)()( rbyax 
0
22
 CByAxyx
Jadi dari bentuk umum Persamaan Lingkaran
diperoleh :
Pusat (- ½ A , - ½ B )
Jari - jari
Cbar 
22 CBAr 
22
4
1
4
1
0
22
 CByAxyx
CBAr 
22
4
1
4
1

10. Contoh : 1.
Tentukan titik pusat dan jari – jari lingkaran yang
persamaannya :

Jawab :
0364
22
 yxyx

11. Terdapat 3 (tiga) kedudukan titik terhadap lingkaran, yaitu
titik di dalam lingkaran, titik pada lingkaran dan titik di
luar lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar
berikut ini !

12. 0
22
 CByAxyx

13. Soal :
1. Gambarlah grafik yang persamaannya :
0986
22
 yxyx
2. Tentukan kedudukan titik A(2,2), B(4,-2), C(7,4)
Terhadap Lingkaran yang persamaannya
0828
22
 yxyx
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di

P (-2,3) dan
a. Menyinggung sumbu x
b. Menyinggung sumbu y

14. Terdapat 3 (tiga) kedudukan titik terhadap lingkaran, yaitu
titik di dalam lingkaran, titik pada lingkaran dan titik di
luar lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar
berikut ini !

15. 0
22
 CByAxyx

16. Diketahui titik A(2,1), B(3,1) dan C(1,1).
Tentukan kedudukan titik A, B, dan C
terhadap lingkaran !

17. Terdapat 3 (tiga) kedudukan garis terhadap
lingkaran, yaitu
1. Garis memotong lingkaran,
2. Garis menyinggung lingkaran
3. Garis tidak memotong dan tidak menyinggung
lingkaran.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
ini !

18. Terdapat 3 (tiga) kedudukan garis terhadap
lingkaran, yaitu garis memotong lingkaran, garis
menyinggung lingkaran dan garis tidak memotong
dan tidak menyinggung lingkaran. Untuk lebih
Jelasnya perhatikan gambar berikut ini !

19. Terdapat 3 (tiga) kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu garis
memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran dan garis tidak
memotong dan menyinggung lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan
gambar berikut ini !
Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

20. Terdapat 3 (tiga) kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu
garis memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran dan
garis tidak memotong dan menyinggung lingkaran. Untuk
lebih jelasnya perhatikan gambar berikut ini !
Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

21. Terdapat 3 (tiga) kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu
garis memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran dan
garis tidak memotong dan menyinggung lingkaran. Untuk
lebih jelasnya perhatikan gambar berikut ini !
Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Dengan mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan
lingkaran, kemudian disusun dalam bentuk persamaan kuadrat, maka :

22. Tentukan kedudukan garis terhadap lingkaran
dengan cara menghitung nilai diskriminan dan
dengan cara melukis !

27. Hubungan antara gradien garis dengan garis lain umumnya
ada 2 yaitu saling tegak lurus dan saling sejajar.
Dari kedua hubungan tersebut, kita dapat menentukan
gradien garis singgung.
3 Bentuk Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran
1. Persamaan garis singgung lingkaran L: x² + y² = r²
2. Persamaan garis singgung lingkaran L: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= r
2
3. Persamaan garis singgung lingkaran L: x²+y²+ Ax + By + C = 0

28. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran L: x²+ y²= r²
Jika Titik P (x
1
,y
1
) terletak pada lingkaran L : x²+ y²= r²
maka
x
1² + y
1² = r² . . . . (1)
Gradien MP = m
MP =
1
1
x
y

29. Karena garis singgung lingkaran (g) tegak lurus
jari-jari yang melalui titik singgungnya, maka
m
g . m
MP = -1
m
g
=
MPm
1

1
1
y
x


30. Gradien garis singgung g adalah
maka
persamaan garis singgungnya adalah
y - y
1
= m (x-x
1
)
y - y
1 = (x-x
1)

y
1
y- y
1
²= - x
1
x + x
1
²
y
1
y + x
1
x= x
1
² + y
1
²
x
1x + y
1y= r²
1
1
y
x

1
1
y
x


31. 1.Tentukan persamaan garis singgung yang melalui
titik (2,2) pada lingkaran x
2
+ y
2
= 8
Contoh :
Jawab :

32. ax
by


1
1
ax
by


1
1
by
ax



1
1
by
ax
m
g



1
1
Jadi, gradien garis
Singgungnya adalah :

33. Persamaan garis singgung g,
dengan gradien
yang melalui Q( x
1
, y
1
)

adalah :
y - y
1
= m
g
(x - x
1
)
by
ax
m
g



1
1
 
1111 xxaxbyyy 
 
1
2
111
2
11 axxaxxxbyybyyy 
1
2
111
2
11
axxaxxxbyybyyy 
0
1
2
111
2
11  axxaxxxbyybyyy
)1(...
2
1
2
11111 yxaxaxxxbybyyy 

1
1
1
1 xx
by
ax
yy 



Karena titik Q( x
1
, y
1
)
terletak pada lingkaran
L: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= r
2
Maka :

22
1
2
1 rbyax 
22
1
2
1
2
1
2
1
22 rbbyyaaxx 
)2(...22
22
1
2
1
2
1
2
1 rbbyaaxyx 
Dari persamaan ( 1 ) & ( 2 )
diperoleh :
22
1
2
1
1111
22
..
rbbyaax
bybyyyaxaxxx


22
11
2
11 .. rbbybyyyaaxaxxx 

2
11
rbybyaxax Jadi persamaan garis singgung
lingkaran di Q ( x
1
, y
1
)

adalah :

34. CONTOH SOAL :
1. Tentukan persamaan garis singgung di titik A(-2,-4)
pada lingkaran (x – 2)
2
+(y + 1)
2
= 25
JAWAB:
13

35. 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
L: (x – 2)
2
+ (y + 1)
2
= 17
di titik potongnya dengan garis x = 3
Contoh :
Jawab :

36. b. Untuk T
2
(3,-5), maka persamaan garis
singgungnya adalah

37. CBABByyAAxx 












222222
4
1
4
1
4
1
4
1
CBAByAx 












22
22
4
1
4
1
2
1
2
1
CBAByAx 












22
22
4
1
4
1
2
1
2
1

38. Persamaan garis singgung titik Q(x
1
,y
1
) pada
lingkaran Adalah :

CBAByByAxAx 
























22
11
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
CBABByByyyAAxAxxx 
222
11
2
11
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
.
4
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
.
2
1
2
1
1111
 CByByyyAxAxxx
   0
2
1
2
1
1111  CyyByyxxAxx

40. CONTOH :
1. Tentukan persamaan garis singgung di titik A(1 , 3)
pada lingkaran L = x
2
+ y
2
+ 6x - 2y - 10 = 0
Jawab :
13

41. CONTOH :
2. Tentukan persamaan garis singgung di titik A(4 , -1)
pada lingkaran L = x
2
+ y
2
+ 6x - 4y - 45 = 0
Jawab :
13

42. CONTOH :
3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L = x
2
+ y
2
- 2x - 6y - 8 = 0
dititik potong sumbu X
Jawab :

43. 1. Garis singgung lingkaran dengan gradien m berpusat di (0 , 0)
0
Q(0,b)
Sebuah garis k
1 bergradien m melalui titik
Q(0,b) mempunyai persamaan y = mx + b dan
pers. garis k
2
adalah y = -mx + b
Jika garis tersebut menyinggung lingkaran
x
2
+ y
2
= r
2
, maka nilai b diperoleh dg cara:
Substitusi y = mx + b ke pers. x
2
+ y
2
= r
2
x
2
+ (mx + b)
2
= r
2
x
2 +
m
2
x
2
+ 2mbx + b
2
= r
2
x
2 +
m
2
x
2
+ 2mbx + b
2
- r
2
= 0
(1
+
m
2
)

x
2
+ 2mbx + b
2
- r
2
= 0
Persamaan kuadrat mempunyai akar real jika
diskriminannya = D = 0
(2mb)
2
-4 (1 + m
2
)( b
2
- r
2
) = 0,
k
1
k
2
15

44. Persamaan kuadrat mempunyai akar real jika diskriminannya
= D = 0
(2mb)
2
- 4 (1 + m
2
)( b
2
- r
2
) = 0
4m
2
b
2
– 4( b
2 +
m
2
b
2
– r
2
- m
2
r
2
) = 0
4m
2
b
2
– 4b
2
- 4

m
2
b
2
+ 4r
2
+ 4m
2
r
2
= 0
– 4b
2
+ 4r
2
+ 4m
2
r
2
= 0
– b
2
+ r
2
+ m
2
r
2
= 0
b
2
- r
2
- m
2
r
2
= 0
b
2
= r
2
+ m
2
r
2

1
2
 mrmxy
1
2
 mrb
Jadi persamaam garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= r
2

yang bergradien m
adalah: y = mx + b dengan
diperoleh:
1
2
 mrb

45. Contoh :1.Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
L : x
2
+ y
2
= 9
a. yang bergradien 2.
b. sejajar garis g : 4x + 3y = 6
JAWAB:
Lingkaran L : x
2
+ y
2
= 9 maka
jari – jarinya = 3
a.Garis singgung bergradien 2
adalah :
b. garis g = 4x + 3y = 6
3y = - 4x + 6
Persamaan garis singgungnya
sejajar dengan garis g : 4x + 3y = 6,
maka gradiennya sama, m
1 = m
2

1
2
 mrmxy
1232
2
 xy
Jadi persamaan garis
singgungnya adalah :
1432  xy
532 xy
532532  xydanxy
6
3
4
 xy
3
4
m
1
2
 mrmxy
1
3
4
3
3
4
2






 xy
1
9
16
3
3
4






 xy







9
25
3
3
4
xy
5
3
4
 xy
Jadi persamaan garis singgungnya
adalah : 5
3
4
5
3
4
 xydanxy
15341534  yxdanyxatau

46. 2. Garis singgung lingkaran dengan gradien m berpusat di P(a , b)
   
22
1mrmabc 
   
2
1mrmabc 
  
2
1mrmabc 

47. Dengan mensubstitusikan nilai
ke garis y = mx + c , maka diperoleh :
  
2
1mrmabc 
 
2
1mrmabmxy 
Jadi persamaan garis singgung lingkaran
L: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= r
2
dengan gradien m adalah
:
2
1mrmamxby 
2
1)( mraxmby 
22
1)(1)( mraxmbydanmraxmby 

48. Contoh :
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L : (x - 2)
2
+ (y + 1)
2
= 5
yang bergradien 2.
JAWAB:
17

49. Contoh :
1.Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
L : x
2
+ y
2
+ 2x + 4y - 4 = 0 , yang membentuk sudut 60
0

dengan sumbu X positip
JAWAB :
17

50. CONTOH :
2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L : (x - 4)
2
+ (y + 2)
2
= 20
yang tegak lurus dengan garis g : 2x + y - 5 = 0
Jawab :

51. L ≡ x
2
+ y
2
= r
2
dengan titik P(x
P
,y
P
) di
luar lingkaran, maka:
Garis singgung lingkaran melalui titik:
A(x
A
,y
A
) adalah x
A
x + y
A
y = r
2
. . . 1
B(x
B
,y
B
) adalah x
B
x + y
B
y = r
2
. . . 2
Sehingga diperoleh persamaan garis:
AP ≡ x
A
x
P
+ y
A
y
P
= r
2
. . . . . . . 3
BP ≡ x
B
x
P
+ y
B
y
P
= r
2
. . . . . . . 4
Kedua garis tsb berpotongan di titik P,
Maka
x
A
x
P
+ y
A
y
P
= r
2
x
B x
P + y
B y
P = r
2
(x
A –
x
B) x
P + ( y
A - y
B )y
P =0
(x
A –
x
B) x
P = - ( y
A - y
B )y
P
0
A(x
A ,y
A)
B(x
B
,y
B
)
Tidak ada rumus baku untuk ini, tetapi dapat digunakan rumus
garis polar untuk menemukan persamaan garis singgung melalui titik
di luar lingkaran.
BA
BA
P
P
xx
yy
y
x



P(x
P ,y
P)
17

52. 0
A(x
A ,y
A)
B(x
B
,y
B
)
P(x
P
,y
P
)
Garis Polar
P
P
y
x

Sehingga persamaan garis polar AB
adalah:
y – y
A
=

(x - x
B
)
y
P
y

– y
p
y
A
= - x
P
x +

x
P
x
A

x
P
x + y
P
y = x
P
x
A
+ y
p
y
A
.............5
Dari 3) dan 5) diperoleh:
x.x
P
+ y.y
p
= r
2
Adalah persamaan garis polar lingkaran L
≡ x
2
+ y
2
= r
2
dengan titik P(x
P
,y
P
) di
luar lingkaran.
Persamaan garis polar ini digunakan untuk
menentukan persamaan garis singgung
lingkaran melalui titik di luar lingkaran
dan gradien AB adalah m
AB
=

Maka diperoleh m
AB
=
P
P
y
x

BA
BA
xx
yy



BA
BA
P
P
xx
yy
y
x




53. Misalkan persamaan garis singgung Lingkaran yang
melalui titik P(x
1 ,y
1) di luar lingkaran, adalah :
y – y
1 = m ( x – x
1 )
Persamaan garis singgung lingkaran bergradien m,
berpusat (a , b) dan berjari - jari r adalah :
Titik P(x
1
,y
1
) dilalui oleh garis singgung tersebut
maka :
Ini merupakan persamaan kuadrat dalam variabel
m, sehingga akar – akarnya m adalah :
Dengan menggunakan gradien garis m untuk menentukan persamaan garis
singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran.
•(a,b)
g
1
= m
1
x+n
g
2
= m
2
x +n
P(x
1 ,y
1)
17

2
1mraxmby 

2
11 1mraxmby 

2
11 1mraxmby 
  
2
22
11
1mraxmby 
 
222
11
2
1
22
1 2 mrrmaxbyaxmby 
  02
22
111
2222
1
 rbymaxbymrmax
    
 
22
1
22
1
22
1
2
1111
2,1
.2
.422
rax
rbyraxaxbyaxby
m



   02
22
111
222
1
 rbymaxbymrax

 
22
1
22
1
2
111
2,1
rax
rbyaxaxby
m




54. JADI Persamaan garis bergradien m, berpusat (a , b)
berjari - jari rsinggung lingkaran dan melalui titik
P(x
1
,y
1
) adalah :
17

 
22
1
22
1
2
111
rax
rbyaxaxby
m



y – y
1
= m ( x – x
1
)
Dengan gradien

55. 17
1.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
= 13 yang melalui P (5, 1)
2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
- 20x - 60 = 0, yang melalui (-3,-1)
3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
- 4x - 2y + 4 = 0 di titik (0,-3).
CONTOH :

56. CONTOH :
1.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
= 25 yang melalui P (7, 1)
Jawab :

57. CONTOH :1.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
= 25 yang melalui P (7, 1)
Jawab :

58. CONTOH :
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L : x
2
+ y
2
= 25
yang melalui P (7, 1)
Jawab :

59. Persamaan lingkaran diberikan dalam bentuk baku
(x - 4)
2
+ (y + 2)
2
= 20

60. 2y + 4 = x - 4 – 10
2y = x – 4 – 4 - 10
2y = x - 18
x - 2y - 18 = 0

61. CONTOH :
1.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L: x
2
+ y
2
-8x -4y – 20 = 0 yang melalui P(-3, 4)
Jaw
ab :

62. CONTOH :1.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
= 13 yang melalui P (-3, 4)
Jawab :

63. CONTOH :
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L: x
2
+ y
2
-8x -4y – 20 = 0
yang melalui P (5, 1)
Jawab :

64. CONTOH :
1.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
= 13 yang melalui P (5, 1)
Jawab :

65. CONTOH :1.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
L : x
2
+ y
2
= 13 yang melalui P (5, 1)

66. CONTOH :
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L : x
2
+ y
2
= 13
yang melalui P (5, 1)
Jawab :

67. Thank
you….