Lista 1 - Matrizes e Determinantes.pdf

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1. 1/9

PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
MATRIZES E DETERMINANTES

Teóricas:
T1.01: Se M é uma matriz simétrica, é possível afirmar que M – M
T
é uma matriz nula?
T1.02: Se M é uma matriz triangular superior, é possível afirmar que M
T
é uma matriz
triangular inferior?
T1.03: Se uma matriz “M” com três linhas e cinco colunas. Se o resultado da multiplicação
de “M” por uma matriz “N” resulta em uma matriz de três linhas e sete colunas,
qual é a dimensão de “N”?
T1.04: Se uma matriz “M” com três linhas e cinco colunas. Se o resultado da multiplicação
de uma matriz “N” por “M” resulta em uma matriz de duas linhas e cinco colunas,
qual é a dimensão de “N”?
T1.05: Se D é uma matriz diagonal, é possível afirmar que D = D
T
?
T1.06: Se T é uma matriz triangular superior, que tipo de matriz é T²?
T1.07: Seja uma matriz M. É possível afirmar que ( ─ M)
T
= ─ (M
T
)?
T1.08: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a soma. É Possível afirmar que
(M + N)
T
= M
T
+ N
T
?
T1.09: Seja uma matriz M. Se pudermos efetuar o produto M·M, então M obrigatoriamente
será uma matriz quadrada?
T1.10: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a multiplicação matricial. Sejam
também dois números reais m e n. É possível afirmar que (m∙M)x(n∙N) =
m∙n(MxN)?
T1.11: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a multiplicação matricial. É possível
afirmar que ( ─ M) x ( ─ N) = ─ (MxN)?
T1.12: Suponha que existe uma matriz quadrada A não nula onde M·A = M·B. É possível
afirmar que A = B? Justifique sua resposta por meio de uma demonstração.

T1.13: Seja uma matriz quadrada M. Se det(M) = 1, estão podemos afirmar que M
─1
= M?
T1.14: Se M é uma matriz triangular superior com det(M)≠0, então M
─1
também será uma
matriz triangular superior?
T1.15: Se uma matriz M é quadrada e de ordem n, o seu posto terá valor n se, e somente
se, M admitir inversa?

2. 2/9
T1.16: Sejam duas matrizes M e N com det(M)≠0 e det(N) ≠0, então podemos afirmar
que (AB)
-1
=A
-1
B
-1
?
T1.17: Se M é uma matriz inversível, então a inversa da matriz inversa de M é a própria
matriz M, ou seja, (M
-1
)
-1
= M?
T1.18: Se uma matriz M pode ser escalonada até se transformar na sua matriz identidade
associada, então esta matriz M necessariamente é inversível?
Exercícios:
E1.01: Sejam as matrizes:  
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
7 1 4 1 0 2 3 3 1
2 1 ; ; ; ; ; ;
3 4 0 2 1 1 1 1 2
2 0 1
4 1 7 0 1 1 4 1
; ; ; 0 1 3 ;
3 2 1 5 2 5 3 0
1 0 2
M M M M M M
M M M M
−         
= − = = = = =
         
− − − − −         

− − −      
= = = = −
      
− − −     
−


Executar as operações:
a) ─ 2 M1
b) M2
T

c) M1 + M2
T

d) M3 ─ 2 M4
e) 3 M5 ─ M6
f) M3 + M7
g) ─ 3 M8 + 2 M9
h) 3 M7 ─ I
i) M10 ─ 5I
E1.02: Sejam as matrizes:  
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12
13
1
7 1 4 1 0 2 3 3 1
2 1 ; ; 2 ; ; ; ; ;
3 4 0 2 1 1 1 1 2
4
7 0 1 1 4 1 1 2 3 2 0 1 1 1 0
; ; ; ; ;
1 5 2 5 3 0 2 1 1 3 0 1 0 3 2
M M M M M M M
M M M M M
M
−
−         
= − = = = = = =
         
− − − − −         


− − − −         
= = = = =
         
− − −         
14 15 16 17
1 3 3 4 1 0 4 5 3 2 0 1
0 4 ; 5 0 ; 4 0 ; 5 7 2 ; 0 1 3
2 1 1 2 5 2 3 2 1 1 0 2
M M M M
−         
         
= = = = − = −
         
          − − − −
         

Quando possível, executar as operações:
a) M1 x M2
b) M3 x M2
c) M5 x M4
d) M4 x M6
e) M8 x M3
f) M3 x M9
g) M5 x M10
h) M12 x M7
i) M3 x M13
j) M14 x M12
k) M14 x M13
l) M12 x M13
m) M8 x M15
n) M16 x M17
o) M3 x M17
p) M10 x M11
q) M11 x M15
r) M16 x M3
s) M9 x M17
t) M16 x M10
u) M15 x M17
E1.03: Sejam as matrizes:

3. 3/9 1 2 3 4 5
6 7 8 9
10
1
1 0 2 3 3 1 7 0 1
2 ; ; ; ; ;
2 1 1 1 1 2 1 5 2
4
13
1 4 1 2 0 1 1 1 0
; ; ; 0 4 ;
5 3 0 3 0 1 0 3 2
21
34
50
12
M M M M M
M M M M
M
−
−−       
= = = = =
       
− − − −       



− − −      
= = = =
      
−     




=

11 12
4 5 3 2 0 1
; 5 7 2 ; 0 1 3 ;
3 2 1 1 0 2
MM
−    
    
= − = −
     
      − − −
    

Quando possível, executar as operações:
a) (M7 x M9) x M2
b) M12
T
x M1
c) M11 x M11
T

d) M11 x(M10 x M6)
e) (3I) x M12
f) (M10
T
) x M10
g) {[2M3 x ( ─ 3M4
T
)] x M8
T
} + 25M5
h) M7 x ( M11 + M12
T
) x M9
E1.04: Sejam as matrizes: 1 2 3 4
5 6 7
3 7 9 5 6 4
2 4 0 2
, , 0 4 3 , 4 5 3 ,
1 3 5 9
3 4 2 4 4 1
4 0 7 3 5
1 2 5 2
7 1 1 0 0 2 0 0
0 0 3 0
4 3 0 , , 7 3 6 4 8
2 6 7 5
5 2 8 5 0 5 2 3
5 0 4 4
0 0 9 1 2
M M M M
M M M
−   
−       
= = = − =
       
−   
   −
   
−−
− 
−−  
  = = = −−
 −− 
− − 

 −





Calcule os determinantes:
a) det (M1)
b) det (M2)
c) det (M3)
d) det (M4)
e) det (M5)
f) det (M6)
g) det (M7)
E1.05: Sejam as matrizes: 1 2 3 4
56
3 0 4 2 4 3 0 5 1
22
, 2 3 2 , 3 1 2 , 4 3 0 ,
58
0 5 1 1 4 1 2 4 1
6 3 2 4 0
1 2 5 2
9 0 4 1 0
0 0 3 0
, 8 5 6 7 1
2 6 7 5
3 0 0 0 0
5 0 4 4
4 2 3 2 0
M M M M
MM
−     
−      
= = = = −
      

     −−
     

− 
−
 
 ==
−− 
 




Encontre as matrizes de cofatores:
a) 1
M
b) 2
M
c) 3
M
d) 4
M
e) 5
M
f) 6
M

4. 4/9
E1.06: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5
3 5 8 4
2 3 4 4 3 0 1 3 5
7 4 0 2 3 7
, 4 0 5 , 6 5 2 , 2 1 1 ,
9 3 0 0 1 5
5 1 6 9 7 3 3 4 2
0 0 0 2
M M M M M
−
−      
−−       = = = = =
       

           


Encontre as matrizes Adjuntas:
a) 1
()adj M
b) 2
()adj M
c) 3
()adj M
d) 4
()adj M
e) 5
()adj M
E1.07: Sejam as matrizes: 1 2 3
4 5 6
9 2 2
6 4 1 3
, , 1 4 0 ,
5 2 2 4
0 5 1
4 0 0 0
5 2 4 8 1 6
7 1 0 0
0 3 5 , 4 0 3 ,
2 6 3 0
2 4 7 3 2 5
5 8 4 3
M M M
M M M
−
−−    
= = =
    
−   
 −


−    
−
    = − = =
    
   −−    
−−

Encontre as matrizes inversas:
a) 1
1
M
−
b) 1
2
M
−
c) 1
3
M
−
d) 1
4
M
−
e) 1
5
M
−
f) 1
6
M
−

E1.08: Sabendo que det 7
a b c
d e f
g h i


=


 , calcule: a) det
5 5 5
a b c
d e f
g h i





c) det
a b c
g h i
d e f




 e) det 2 2 2
a b c
d a e b f c
g h i


+ + +


 b) det 3 3 3
a b c
d e f
g h i





d) det
g h i
a b c
d e f




 f) det
a d b e c f
d e f
g h i
+ + +




E1.09: Encontre o valor de x nas equações:
a) 2 4 3 2
156det det
1 0 2 8
x + = det 0 2 4
3 1 3 5
det det 3 7 1
4 2 1 2
 − −    
   
−    

   

    
   

5. 5/9
b) 2
3 4 6 2
153det det
2 8 3 5
x + x = det 2 2 4
6 4 2 1
det det 3 7 1
2 1 7 2
   − −    
      
      

      

       
−−      
E1.10: Seja a Matriz M: 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
a
b
M







=








a) Se "A=0" e "B=0", qual o valor do determinante de M?
b) Se "A=1" e "B=0", qual o valor do determinante de M?
c) Se "A=0" e"B=1" , qual o valor do determinante de M?
d) Se "A=1" e "B=1", qual o valor do determinante de M?
E1.11: Seja a matriz A:

a) Calcule det(A);
b) Determine Adj(A);
c) Determine A
-1
;
Problemas:
P1.01: Seja 2
2
2 1 0
x
M
x

=
− , calcule o valor de x para que M = M
T
.
P1.02: Sejam 34
51
A
−
=

− e 74
5
B
k

=

 . Quais os valores de k para que A x B = B x A.
P1.03: Sejam 12
36
A

=

 , 38
23
B
−
=

 e 52
12
C

=

− . Verifique que A x B = A x C, apesar
de B ≠ C.
P1.04: Se A é uma matriz quadrada, então A
2
= AxA. Assumindo que esta sentença é
verdadeira, calcule 2
21
32
−

 .

6. 6/9
P1.05: Seja a matriz 5 2 2
7 1 3
4 8 6
xx
M


=−


 , calcule o valor de x para que ��??????(�)=240.
P1.06: Sejam as matrizes 11
23
15
x
Mx
x


=

−
 e 2
2
10
xx
N
x

=
 . Calcule o valor de x para que
��??????(�)=��??????(�).
P1.11: Em 2015, o IBGE realizou uma pesquisa com um grupo de crianças do estado de
Pernambuco e concluiu que o peso médio, em quilogramas, era dado pelo determinante
da matriz: 1 1 1
30
202
3
Mx

−

=−




Sabendo que a variável “x” representa a idade:
a) Em que ano teria nascido uma criança cujo peso é 30 kg?
b) Qual é o peso médio de uma criança que nasceu em 2010?

P1.12: Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes.
Podemos associar as letras do alfabeto aos números, ou seja:
0 = _
1 = A
2 = B
3 = C
4 = D
5 = E
6 = F
7 = G
8 = H
9 = I
10 = J
11 = L
12 = M
13 = N
14 = O
15 = P
16 = Q
17 = R
18 = S
19 = T
20 = U
21 = V
22 = X
23 = Z
Suponhamos que a nossa mensagem seja “Boa Prova". Podemos formar a matriz _
B O A
PR
O V A





e usar sua correspondência numérica 2 14 1
0 15 17
14 21 1
M


=


 . Considere agora a
matriz 1 0 1
1 3 1
0 1 1
C


=−


 . Se nós multiplicarmos a matriz mensagem (M) pela matriz C,
obtemos uma terceira matriz 12 43 17
15 62 32
7 64 36
A M C
−

=  = −

−
 . Então, a matriz A é enviada
como mensagem. Quem recebe a mensagem pode decodificar fazendo uso da matriz

7. 7/9
inversa de C, ou seja, ( )
11
A C M C C M
−−
 =   = . Posteriormente, é realizada a
transcrição dos números para letras. Esta matriz C é chamada Matriz Chave para o
código.
Suponha que você recebeu o código 15 50 20
11 23 28
10 71 42
−


−
 , utilizando a chave C, qual é a
mensagem recebida?
Respostas:
T1.01: Sim (realize a demonstração);
T1.02: Sim (realize a demonstração);
T1.03: N5x7;
T1.04: N2x3;
T1.05: Sim (realize a demonstração);
T1.06: Triangular superior;
T1.07: Sim (realize a demonstração);
T1.08: Sim (realize a demonstração);
T1.09: Sim (realize a demonstração);
T1.10: Sim (realize a demonstração);
T1.11: Não (realize a demonstração);
T1.12: Se e somente se M admite inversa, ou seja, det(M)≠0;
T1.13: Não, é possível afirmar apenas que M
─1
= Adj(M);
T1.14: Sim (realize a demonstração);
T1.15: Sim (realize a demonstração);
T1.16: Não, (AB)
-1
=B
-1
A
-1
(realize a demonstração);
T1.17: Sim (realize a demonstração);
T1.18: Sim (realize a demonstração);
E1.01:

a)  42−

b)  73−

c)  94−
d) 14
02
−

−

e) 3 10
45


−

f) 53
12


−−
g) 23 8 5
11 21 6
−

−−

h) 11 3
97
−

−

i) 3 0 1
0 6 3
1 0 3
−

−

−−


E1.02:

a) 17

b) Incompatível;

c) 14
68


−−

f) Incompatível;

g) 1 2 3
0 3 7


−−

h) Incompatível;

i) Incompatível;

l) 11
4 14
−



m) Incompatível;

n) 5 5 5
12 7 22
5 2 1
−

−

−−

q) 32
82
−

−

r) 2
1
3
−





8. 8/9
d) 61
8 12
−

−−

e) 11
19
−


j) 3 9 8
5 5 0
1 5 4


−




k) Incompatível;

o) Incompatível;

p) Incompatível;
s) 3 4 13
10 3 4
−−

−

t) Incompatível;

u) Incompatível;

E1.03:
a) 10 5
15 10
−

−

b) 6
2
13
−

−



c) 50 21 25
21 78 1
25 1 14
−−

−

−

d) 120 106 10
32 144 48
70 42 0
−−


−

e) 6 0 3
0 3 9
3 0 6


−

−

f) 35 14
14 20




g) Incompatível;


h) 20 15
30 15
−


E1.04: a) 10; b) -10; c) -231; d) 29; e) 177; f) -6; g) 6;
E1.05:
a) 1
85
22
M
−
=

−−
b) 2
13 2 10
20 3 15
12 2 9
M
−

= − −

−

c) 3
9 5 11
8 5 12
11 5 14
M
−

= − −

−

d) 4
3 4 19
1 1 5
3 4 20
M
−−

= − −

 −


e) 5
0 42 142 2
0 10 30 0
5 51 161 6
0 20 70 0
M
−

−
=
−−

−

f) 6
0 33 6 24 39
0 24 6 15 21
0 0 0 0 9
3 78 18 45 57
0 54 9 36 36
M
−−

−−

=

−−

 −−
E1.06:
a) 1
34
()
97
adj M
−
=

−
b) 2
5 22 15
( ) 1 32 26
4 13 12
adj M
−−

=−

 −

c) 3
1 9 6
( ) 0 12 8
3 1 2
adj M
−

=−

−−

d) 4
2 14 2
( ) 1 13 9
5 5 5
adj M
−−

= − −

 −


e) 5
4 10 2 22
0 6 18 66
()
0 0 12 30
0 0 0 6
adj M
− − − −

−
=
 −

−
E1.07:

9. 9/9
a) 1
1
11
42
53
84
M
−
−
=
−

b) 1
2
32
5 10
11
5 10
M
−


=
−

c) 1
3
1 2 2
7 7 7
911
28 28 14
5 45 19
28 28 14
M
−
−

−−=

−−

d) 1
4
1 2 2
10 27 25
6 16 15
M
−
−

=−

−

e) 1
5
6 17 3
11 11 11
1 2 0
8 19 4
11 11 11
M
−
−

=−

−


f) 1
6
1 0 0 0
4
49
1 0 0
28
1 2 1 1
4 7 7 7
329 16 41
84 7 21 7
M
−



−

=
 −


− −

E1.08: a) 35; b) 21; c) -7; d) 7; e) 14; f) 7
E1.09: a) 16; b) 2ou -3
E1.10: a) 0; b) 1; c) -1; d) 0;
E1.11: a) 3; b) ()
1 2 2 1
1 1 2 1
2 1 1 2
1 2 1 2
Adj M
−−

− − −
=
−−

−− ; c) 1
1 2 2 1
3 3 3 3
1 1 2 1
3 3 3 3
2 1 1 2
3 3 3 3
1 2 1 2
3 3 3 3
M
−
−−

− − −

=
 −−


−−
 ;
P1.01: x=1;
P1.02: k=9;
P1.03: Realize os cálculos e comprove;
P1.04: 70
07


 .
P1.05: x=1
P1.06: x = -7/20;
P1.07: a) 2004; b) 18 kg;
P1.08: _Perfeito;