Lista 3 expressões algébricas

Exercícios para o 8º e 9º ano. Logo após os exercícios temos o gabarito e em seguida a solução. Recomendo que tentem fazer os exercícios para só depois olharem a resposta e solução.

1. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1)Simplifique a fração:
16a
2
b
5
c
8a
3
b
2
2)Simplificar a fração:
355x7yxy
5y
3)(colégio naval/1958) Simplifique a fração:
x
3
−2x
2
−x2
x
2
−1
4)Efetuar, simplificando o resultado:
1
a
2
−ab

1
ab−b
2

5)Assinale a resposta certa.
3
1y
−
4
1−y

8
1−y
2
a)
7
1−y
b)
7
1y
c)
7
1−y
2
d)
−7
y
2
−1
6) Efetuar:
3a
2
b
3
5a
4
x
⋅
10x
2
y
2
6a
3
y
7)Efetuando e simplificando a expressão:
2a−2b
10
÷
a
2
−b
2
5a5b
, obtemos o número:
8)efetue a operação: 
1
ab
−
1
a−b
⋅
a
2
b
2
−1 e marque o resultado correto.
a)
2
b
b) −
2
b
c) a
2
d)
2
a
9)(colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.
[
8x
3
⋅x
2
−4
x
2
4x4⋅x
2
−2x4⋅4−2x
]
5
10)Reduzindo a expressão
a
2
⋅b
3

4
⋅a
3
⋅b
2

3
a
4
⋅b
5

2
a sua forma mais simples
encontraremos:
a) a
4
⋅b
3

2
b) a
4
⋅b
2

2
c) a
3
⋅b
4

2
d) a
9
⋅b
8

PROFESSOR: LIMA

2. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
RESPOSTAS
1)
2b
3
c
a
2)x7
3)x−2
4)
ab
aba−b
5)
7
1y
6)
b
3
x
2
y
a
5
7)1
8)−
2
b
9)−32
10)a
9
⋅b
8
PROFESSOR: LIMA

3. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
RESOLUÇÃO
1) Simplifique a fração:
16a
2
b
5
c
8a
3
b
2
16a
2
b
5
c
8a
3
b
2
=
16
8
⋅
a
2
a
3
⋅
b
5
b
2
⋅c = 2⋅a
2−3
⋅b
5−2
⋅c
= 2⋅a
−1
⋅b
3
⋅c
=
= 2⋅
1
a
1
⋅b
3
⋅c =
2⋅1⋅b
3
⋅c
a
=
2b
3
c
a
→
16a
2
b
5
c
8a
3
b
2
=
2b
3
c
a
OU
Dividir os monômios dos termos da fração pelo seu m.d.c.
Cálculo do m.d.c
Lembrete: m.d.c → fatores comuns elevados aos menores expoentes
16a
2
b
5
c = 2
4
⋅a
2
⋅b
5
⋅c
8a
3
b
2
= 2
3
⋅a
3
⋅b
2
m.d.c (16a
2
b
5
c, 8a
3
b
2
) = 2
3
a
2
b
2
m.d.c (16a
2
b
5
c, 8a
3
b
2
) = 8a
2
b
2
16a
2
b
5
c
8a
3
b
2
→ Dividir numerador e denominador por 8a
2
b
2
16/8⋅a
2
/a
2
⋅b
5
/b
2
⋅c
8/8⋅a
3
/a
2
⋅b
2
/b
2
=
2⋅a
2−2
⋅b
5−2
⋅c
1⋅a
3−2
⋅b
2−2
=
2⋅a
0
⋅b
3
⋅c
1⋅a
1
⋅b
0
=
2⋅1⋅b
3
⋅c
1⋅a
1
⋅1
=
2b
3
c
a
16a
2
b
5
c
8a
3
b
2
=
2b
3
c
a
PROFESSOR: LIMA

4. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
2) Simplificar a fração:
355x7yxy
5y

A simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só
temos adição, por este motivo temos que fatorar para transformar a adição em multiplicação.

355x7yxy
5y
→ O macete é observar que o denominador não admite fatoração e
portanto não deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar
fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação.
O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:
355x7yxy=57xy7x → ainda da para fatorar
57xy7x=7x⋅5y → agora sim concluída a fatoração
355x7yxy=7x⋅5y
A fração ficará assim:
355x7yxy
5y
=
7x⋅5y
5y
→ agora temos uma
multiplicação e podemos efetuar a simplificação dividindo- se os temos (numerador e denominador)
pelo fator comum 5 + y.
355x7yxy
5y
=
7x⋅5y
5y
=
7x⋅5y/1
5y/1
= 7 + x
por uma questão de elegância x7
355x7yxy
5y
=x7
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
x
3
−2x
2
−x2
x
2
−1
Já sabemos que a simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso
em questão só temos subtração, por este motivo temos que fatorar transformando a subtração em
multiplicação.
PROFESSOR: LIMA

5. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
O macete é observar que o denominador admite uma fatoração mais fácil, vejamos:
Lembrete: a
2
−b
2
=ab⋅a−b
Fatoração do denominador
x
2
−1=x
2
−1
2
, logo: x
2
−1
2
=x1⋅x−1
Fatoração do numerador
Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a
simplificação.
O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:
x
3
−2x
2
−x2
colocando - 1 em evidência → −1⋅x−2
colocando x
2
em evidência → x
2
⋅x−2
O numerador fatorado ficará, assim: x
3
−2x
2
−x2=x
2
⋅x−2−1⋅x−2
colocando em evidência ( x – 2) → x−2⋅x
2
−1
Fatorando x
2
−1=x
2
−1
2
, logo: x
2
−1
2
=x1⋅x−1
A fração fica assim:
x
3
−2x
2
−x2
x
2
−1
=
x−2⋅x1⋅x−1
x1⋅x−1
Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta:
x
3
−2x
2
−x2
x
2
−1
=
x−2⋅x1⋅x−1
x1⋅x−1
=x−2
x
3
−2x
2
−x2
x
2
−1
=x−2
PROFESSOR: LIMA

6. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
4) Efetuar, simplificando o resultado:
1
a
2
−ab

1
ab−b
2

Trata-se de uma adição de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as
frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.
Cálculo do m.m.c
a
2
−ab=a⋅a−b
m.m.c (a
2
−ab, ab−b
2
) = ab⋅a−b
ab−b
2
=b⋅a−b
Após o cálculo do m.m.c a fração dada será escrita assim:

1
a
2
−ab

1
ab−b
2
=
1
a⋅a−b

1
b⋅a−b
Resolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado:
1
a
2
−ab

1
ab−b
2
=
1
a⋅a−b/b

1
b⋅a−b/a
=
1⋅b
a⋅a−b

1⋅a
b⋅a−b
=
1⋅b
ab⋅a−b

1⋅a
ab⋅a−b
=
ba
ab⋅a−b
=
ab
ab⋅a−b
1
a
2
−ab

1
ab−b
2
=
ab
ab⋅a−b
5) Assinale a resposta certa.
3
1y
−
4
1−y

8
1−y
2
a)
7
1−y
b)
7
1y
c)
7
1−y
2
d)
−7
y
2
−1
Trata-se de uma operação de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as
frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.
Cálculo do m.m.c
1y=1y
1−y=1−y
PROFESSOR: LIMA

7. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1−y
2
=1
2
−y
2
=1y⋅1−y
m.m.c1y,1−y,1−y
2
=1y⋅1−y
Reduzindo ao mesmo denominador
3
1y
−
4
1−y

8
1−y
2
=
3
1y/1−y
−
4
1−y/1y

8
1−y
2
/1
=
=
3⋅1−y−4⋅1y8⋅1
1−y⋅1y
=
3−3y−44y8
1−y⋅1y
=
=
3−3y−44y8
1−y⋅1y
=
7−7y
1−y⋅1y
Fração reduzida ao mesmo denominador:
3
1y
−
4
1−y

8
1−y
2
=
7−7y
1−y⋅1y
Resolvendo a operação:
=
3−3y−44y8
1−y⋅1y
=
7−7y
1−y⋅1y
=
7⋅1−y
1−y⋅1y
=
=
7⋅1−y
1−y⋅1y
=
7⋅1−y
1−y⋅1y
=
7
1y
3
1y
−
4
1−y

8
1−y
2
=
7
1y
6) Efetuar:
3a
2
b
3
5a
4
x
⋅
10x
3
y
2
6a
3
y
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será
facilitada.
Simplificando cada fração separadamente:
PROFESSOR: LIMA

8. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
3a
2
b
3
5a
4
x
⋅
10x
3
y
2
6a
3
y
=
3a
2
b
3
5a
2
a
2
x
⋅
10/5x
3
yy
6/3a
3
y
=
3b
3
5a
2
x
⋅
5x
3
y
3a
3
Agora simplificando cruzado:
3a
2
b
3
5a
4
x
⋅
10x
3
y
2
6a
3
y
=
3b
3
5a
3
x
⋅
5x
3
y
3a
3
y
=
3b
3
5a
2
x
⋅
5x
2
xy
3a
3
=
b
3
a
2
⋅
x
2
y
a
3
=
=
b
3
a
2
⋅
x
2
y
a
3
=
b
3
x
2
y
a
3
⋅a
2
=
b
3
x
2
y
a
32
=
b
3
x
2
y
a
5
3a
2
b
3
5a
4
x
⋅
10x
3
y
2
6a
3
y
=
b
3
x
2
y
a
5
7) Efetuando e simplificando a expressão:
2a−2b
10
÷
a
2
−b
2
5a5b
, obtemos o número:
Primeiro temos que transformar a divisão numa multiplicação.
Lembete: Repetimos a primeira fração invertemos o sinal da operação de divisão para multiplicação
e em seguida invertemos a segunda fração.
2a−2b
10
÷
a
2
−b
2
5a5b
=
2a−2b
10
⋅
5a5b
a
2
−b
2
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será
facilitada. Para isto é preciso fatorar cada termo das frações.
Fatorando:
2a−2b=2a−b
5a5b=5ab
a
2
−b
2
=ab⋅a−b
A expressão ficará assim:
2a−2b
10
÷
a
2
−b
2
5a5b
=
2a−b
10
⋅
5ab
ab⋅a−b
Simplificando cada fração separadamente
PROFESSOR: LIMA

9. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
2a−b
10
⋅
5ab
ab⋅a−b
=
2/1a−b
10/5
⋅
5ab
ab⋅a−b
=
a−b
5
⋅
5
a−b
Agora simplificando cruzado:
a−b
5
⋅
5
a−b
=
a−b
5/1
⋅
5/1
oa−b
=1
2a−2b
10
÷
a
2
−b
2
5a5b
=1
8) efetue a operação: 
1
ab
−
1
a−b
⋅
a
2
b
2
−1 e marque o resultado correto.
a)
2
b
b) −
2
b
c) a
2
d)
2
a
Primeiro resolvemos as operações dentro dos parênteses e para isso temos que reduzir cada fator ao
mesmo denominador:
Está fácil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a – b) e m.m.c (b
2
) = b
2

1
ab
−
1
a−b
⋅
a
2
b
2
−1=
1
ab/a−b
−
1
a−b/ab
⋅
a
2
b
2
−
1
1/b
2
=
=
1⋅a−b
aba−b
−
1⋅ab
aba−b
⋅
a
2
b
2
−
1⋅b
2
b
2
=
a−b
aba−b
−
ab
aba−b
⋅
a
2
b
2
−
b
2
b
2
=
=
a−b−a−b
aba−b
⋅
a
2
−b
2
b
2
=
a−b−a−b
aba−b
⋅
a
2
−b
2
b
2
=
−b−b
aba−b
⋅
a
2
−b
2
b
2
=
=
−2b
aba−b
⋅
a
2
−b
2
b
2
=
A expressão reduzida ao mesmo denominador ficará assim:

1
ab
−
1
a−b
⋅
a
2
b
2
−1=
−2b
aba−b
⋅
a
2
−b
2
b
2

Resolvendo a operação:
Lembrete: a
2
−b
2
=ab⋅a−b
PROFESSOR: LIMA

10. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

1
ab
−
1
a−b
⋅
a
2
b
2
−1=
−2b
aba−b
⋅
a
2
−b
2
b
2
=
−2b
a
2
−b
2
⋅
a
2
−b
2
b
2
=
Simplificando cruzado:
=
−2b
a
2
−b
2
⋅
a
2
−b
2
b
2
=−
2
b

1
ab
−
1
a−b
⋅
a
2
b
2
−1=−
2
b
9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.
[
8x
3
⋅x
2
−4
x
2
4x4⋅x
2
−2x4⋅4−2x
]
−5
Lembrete:
a
2
−b
2
=ab⋅a−b
a
3
b
3
=a−b⋅a
2
ab−b
2

ab
2
=a
2
2abb
2
Primeiro devemos simplificar o máximo possível e para isso precisaremos fatorar o que pudermos,
logo:
8x
3
=2
3
x
3
=2x⋅4−2xx
2

x
2
−4=x
2
−2
2
=x2⋅x−2
x
2
4x4=x2⋅x2=x2
2
4−2x=22−x
Substituindo estes valores na expressão teremos:
[
8x
3
⋅x
2
−4
x
2
4x4⋅x
2
−2x4⋅4−2x
]
−5
=[
2x⋅4−2xx
2
⋅x2⋅x−2
x2⋅x2⋅x
2
−2x4⋅22−x
]
−5
=
Vamos deixar a expressão mais elegante fazendo alguns ajustes:
PROFESSOR: LIMA

11. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
=[
x2⋅x
2
−2x4⋅x2⋅x−2
x2⋅x2⋅x
2
−2x4⋅22−x
]
−5
=
Simplificando:
=[
x2⋅x
2
−2x4⋅x2⋅x−2
x2⋅x2⋅x
2
−2x4⋅22−x
]
−5
=[
x−2
22−x
]
−5
=
Lembrete: x – 2 e 2 – x são simétricos, logo se multiplicarmos o numerador e a fração toda por – 1,
não alteraremos o seu valor.
=[−
−x−2
22−x
]
−5
=[−
−x2
22−x
]
−5
= Deixando o numerador mais elegante e
simplificando teremos:
=[−
2−x
22−x
]
−5
=[−
2−x/1
22−x
]
−5
=[−
1
2
]
−5
=
Lembrete: 
a
b

−2
=
b
a

2
→ invertermos os termos da fração e tornamos o expoente positivo.
=[−
1
2
]
−5
=[−
2
1
]
5
=[−2]
5
=−32
[
8x
3
⋅x
2
−4
x
2
4x4⋅x
2
−2x4⋅4−2x
]
−5
=−32
10) Reduzindo a expressão
a
2
⋅b
3

4
⋅a
3
⋅b
2

3
a
4
⋅b
5

2
a sua forma mais simples encontraremos:
Lembrete:
a⋅b
2
=a
2
⋅b
2
→ potência de um produto, elevamos cada fator da multiplicação ao
expoente.
a
2

3
=a
2⋅3
→ potência de potência, multiplicamos os expoentes.
PROFESSOR: LIMA

12. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Aplicando as propriedades na expressão encontraremos:
a
2
⋅b
3

4
⋅a
3
⋅b
2

3
a
4
⋅b
5

2
=
a
2⋅4
⋅b
3⋅4
⋅a
3⋅3
⋅b
2⋅3
a
4⋅2
⋅b
5⋅2
=
a
8
⋅b
12
⋅a
9
⋅b
6
a
8
⋅b
10
=
Lembrete:
a
3
⋅a
2
=a
32
=a
5
→ multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e
somamos os expoentes.
a
5
a
3
=a
5−3
=a
2
→ divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os
expoentes.
=
a
89
⋅b
126
a
8
⋅b
10
=
a
17
⋅b
18
a
8
⋅b
10
=a
17−8
⋅b
18−10
=a
9
⋅b
8
a
2
⋅b
3

4
⋅a
3
⋅b
2

3
a
4
⋅b
5

2
=a
9
⋅b
8
PROFESSOR: LIMA