Lista de exerecicios elipses

Lista de exercícios Elipse

1. Lista 01
Uni-BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia
Cálculo de Várias Variáveis – Lista de Exercícios
Prof. Laurito

1) Determine a equação da elipse:
a) Com focos em (±2 ,0) e eixo maior de comprimento 10
b) Com focos em (±2 ,0) e eixo menor de comprimento 10
c) Com focos em (±2 ,5) e eixo maior de comprimento 10
d) Com focos em (±2 ,5) e eixo menor de comprimento 10
e) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro na
origem e focos no eixo x.
f) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro na
origem e focos no eixo y.
g) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro no
ponto (2,-4) e focos no eixo x.
h) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro no
ponto (2,-4) e focos no eixo y.
i) Com focos em (±5,0) e excentricidade 2/3

2) Considere a elipse 3x
2
+ 5y
2
= 8. Mostre que o ponto (1,1) pertence a
essa elipse. Determine o valor de k para que o ponto (k,3) pertença a
essa elipse.

3) Um ponto P da elipse
�
2
400
+
�
2
100
=1 dista 18 de um dos focos. Qual a
distância de P ao outro foco ?

4) Determine as coordenadas dos vértices do quadrado inscrito na elipse
9x
2
+ 16y
2
= 144.

5) Determine as coordenadas dos pontos de interseção entre a elipse
9x
2
+ 16y
2
= 144 e a reta y = x + 1.

6) Em uma órbita lunar, o ponto mais próximo da superfície da Lua é
chamado de perilúnio e o ponto mais distante da superfície lunar é
chamado de apolúnio. A nave espacial Apolo 11 foi colocada em uma
órbita lunar elíptica com o centro da lua em um dos focos. O perilúnio
era de 110km e o apolunio de 314km (altitude em relação à superfície da
Lua). Sabendo que o raio da Lua é de 1728km, determine a
excentricidade dessa órbita.

7) Uma elipse possui as extremidades do eixo maior nos pontos (±10,0) e
passa pelo ponto (5,2). Determine sua excentricidade.

8) Considere a elipse
�
2
100
+
�
2
64
=1. Chamaremos de F1 ao foco dessa elipse
com abscissa positiva e P é um ponto dessa elipse, do primeiro
quadrante, com abscissa 3. Seja r a reta vertical de equação x = 50/3.
Determine a excentricidade dessa elipse. Chamando de d1 a distância

2. entre P e F1 e chamando de d2 a distância entre P e r, determine o que é
maior: a razão d1/d2 ou a excentricidade da elipse. Refaça esse exercício
considerando que P é um ponto dessa elipse, no quarto quadrante, com
ordenada 3.

9) Uma elipse possui focos nos pontos (3,2) e (9,2). Sabendo que os
pontos P(8,5) e Q(7,K), com K negativo, pertencem a essa curva,
determine o valor de K.


10) A figura abaixo mostra uma elipse representada no plano cartesiano.



Determine:

a) as coordenadas dos extremos do eixo maior
b) as coordenadas dos extremos do eixo menor
c) a medida do eixo maior
d) a medida do eixo menor
e) as coordenadas do centro da elipse
f) a excentricidade dessa curva
g) a distância entre os focos da elipse
h) as coordenadas dos focos
i) a equação dessa curva
j) represente, na figura acima, os focos dessa elipse

11) Uma elipse possui centro no ponto (3,2), um de seus focos é o ponto
(9,12) e seu eixo menor mede 8. Determine
a) As coordenadas do outro foco
b) A medida do eixo maior dessa elipse

3. c) As coordenadas dos extremos do eixo maior
d) As coordenadas dos extremos do eixo menor
e) A equação dessa curva

12) Considere as elipses E1 :
(�−2)
2
36
+
(�+1)
2
4
=1 e E2:
�
2
9
+
(�−3)
2
16
=1.
a) Determine o valor de a
2
e b
2
na elipse E1.
b) A elipse E1 possui eixo maior horizontal ou vertical ?
c) Determine o valor de a
2
e b
2
na elipse E2.
d) A elipse E2 possui eixo maior horizontal ou vertical ?
e) Qual é o centro da elipse E1 ?
f) Qual é o centro da elipse E2 ?
g) Represente essas duas elipses em um mesmo plano cartesiano.

13) Considere a elipse



a) Quais são as coordenadas do centro dessa elipse ?
b) Quais são os valores de a e b ?
c) O eixo maior é horizontal ou vertical ?
d) Determine a equação dessa curva.

14) Represente no plano cartesiano as elipses (faça um plano cartesiano
para cada item)

a)
�
2
25
+
�
2
9
=1
b)
�
2
16
+
�
2
36
=1
c)
(�−2)
2
25
+
(�+3)
2
4
=1

4. d)
�
2
9
+
�
2
8
=1
e)
(�+1)
2
5
+
(�−3)
2
7
=1


15) Considere a elipse de equação
�
2
25
+
�
2
16
=1 e a reta de equação x =
25
3
.
a) Represente essa elipse e essa reta em um mesmo plano cartesiano
b) Chame de F ao foco da elipse que está mais próximo da reta. Quais
são as coordenadas de F ?
c) Considere os vértices da elipse. Qual é a razão entre a distância de
cada vértice até F e a distância desse mesmo vértice até a reta ?
d) Determine as coordenadas de um outro ponto P qualquer da elipse.
Determine a razão entre a distância de P até F até a distância de P
até a reta.
e) Qual é a excentricidade da elipse ?

Questões para o trabalho
1) Uma escada de 6m de comprimento está verticalmente apoiada em uma
parede. Em um degrau a 2/3 da altura total da escada está dormindo um
inocente gatinho. O pé da escada começa a escorregar no chão e a
escada desce, sempre apoiada na parede, até ficar totalmente no chão,
ainda com seu ponto mais alto encostado na parede. O gatinho,
dormindo que estava, só acordou quando bateu no chão. Qual é a
trajetória seguida pelo assustado gatinho durante a queda ?
2) Consultada a Wikipédia, descobri que a correta distância mínima da
Terra ao Sol é 147,1 milhões de km e a máxima é 152,1 milhões de km.
Descobri, também, que o Sol pode ser considerado como sendo uma
esfera de raio 6,96 x 10
8
m e que a Terra e uma esfera de raio 6378 km.
Inicialmente, determine as medidas de a, b e c da elipse que caracteriza
a órbita da Terra. Determine, também, a excentricidade dessa órbita. A
seguir, suponha que você quer representar todos esses valores em
escala, em uma maquete. Considerando que a Terra, na maquete, será
uma esfera de raio 1 mm, quais seriam as outras medidas
apresentadas ?

3) Como vimos em sala de aula, qualquer corpo celeste que orbita o Sol o
faz em uma órbita que é uma elipse, com o centro do Sol em um dos
focos dessa curva. A Terra e os outros sete planetas que orbitam o Sol
têm órbitas com excentricidade muito baixa. Já os planetas anões
recebem esse nome não apenas por serem muito menores que os
demais, mas, principalmente, por possuírem órbitas muito mais
excêntricas. Por exemplo, Eris é um planeta anão que orbita o Sol com

5. uma excentricidade e = 0,4418. Eris está muito distante do Sol. Para se
ter uma ideia, no ponto da órbita em que Eris está mais próximo de Sol,
a distância entre eles é de 5,65 bilhões de quilômetros. Qual é a maior
distância entre Eris e o Sol ?

4) Pesquise na internet e diga qual é a excentricidade da órbita dos oito
planetas do nosso sistema solar. A seguir, determine a excentricidade
da órbita de Plutão, que perdeu seu status de planeta. Você acredita que
o valor da excentricidade da órbita de Plutão pode ter contribuído para
sua perda de status ? Justifique.