Livro Bianchini - 9º Ano.pdf

Livro de matemática

1. MATEMÁTICA
BIANCHINI
Componente curricular:
MATEMÁTICAEdwaldo Bianchini
MANUAL DO
PROFESSOR
9
o
ano
material
de
divulgação
.
versão
submetida
à
avaliaç ão
.

3. MANUAL DO PROFESSOR
9
a
edição
São Paulo, 2018
Componente curricular: MATEMÁTICA
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino
de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia,
Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP).
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo,
no ensino fundamental e médio, por 25 anos.
MATEMÁTICA
BIANCHINI
o
ano
9

4. Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição: Glaucia Teixeira
Edição de conteúdo: Dário Martins de Oliveira, Patrícia Furtado
Assistência editorial: Juliana R. de Queiroz
Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Andreza Moreira
Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto
Foto: Corredor cruzando a linha de chegada, 2009.
Crédito: Paul Bradbury/Getty Images
Coordenação de arte: Aderson Assis
Editoração eletrônica: Marcel Hideki
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani
Revisão: Lygia Roncel, Míriam dos Santos, Salvine Maciel
Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi
Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento:
“Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas
de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.”
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
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Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
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2018
Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Bianchini, Edwaldo
Matemática - Bianchini : manual do professor /
Edwaldo Bianchini. – 9. ed. – São Paulo : Moderna,
2018.
Obra em 4 v. de 6
o
ao 9
o
ano.
Componente curricular: Matemática.
Bibliografia.
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16785 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

5. IIICONHE?A SEU MANUAL
41BIMESTRE 1
Potências nas
medidas
astronômicas,
subatômicas e
informáticas
Antes de trabalhar o quadro
apresentado nesta página,
retome com os alunos as po-
tências de base 10 com ex-
poente natural e expoente
negativo. É um bom mo -
mento para verificar os
conhecimentos que eles
já construíram sobre esse
assunto e sobre a notação
científica.
Aproveite o momento e ex-
plique que o prefixo “quilo”
(ou “kilo”) indica que de-
vemos multiplicar a unida-
de tomada por 1.000, por
exemplo:
• 1 quilômetro 5
5 1.000 8 1 metro
• 1 quilograma 5
5 1.000 8 1 grama
• 1 quilolitro 5 1.000 8 1 litro
Sendo assim, não devemos
usar a palavra “quilo” como
sinônimo de “quilograma”,
como usualmente se faz.
Pergunte aos alunos se já
conheciam alguma unidade
expressa com esses prefixos.
É possível que alguns já te-
nham ouvido falar dos pre-
fixos micro (1 micrometro 5
5 10
26
metro) ou de giga e
mega (nas unidades de in-
formática, como megabyte
e gigabyte).
Complemente os estudos com
a Sequência didática 2 –
Potência com expoente
fracionário e radicais,
disponível no Manual
do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Dados obtidos em: Inmetro. Disponível
em: <http://www.inmetro.gov.br/
consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf>.
Acesso em: 20 jun. 2018.
côvado
passo
pé
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
41CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Quando apontado para determinado
ponto ou objeto, o medidor digital
calcula a distância até ele.
VICTOR DE SCHWANBERG/
SCIENCE PHOTO
LIBRARY/LATINSTOCK
1
Potências nas medidas astronômicas,
subatômicas e informáticas
O Sistema Internacional de Unidades (SI) tem uma história recente, se comparada à his-
tórica necessidade humana de medir, que vem desde a origem das civilizações. Antes, cada
povo tinha seu próprio sistema de medidas, muitas vezes com unidades imprecisas, tendo por
base o corpo humano (palmo, pé, côvado, jarda, passo etc.), o
que criava muitos problemas, principalmente para o comércio.
O SI, sistema atual desenvolvido a partir do Sistema Métrico
Decimal (SMD, França, 1799) e consolidado apenas em 1960
com suas sete unidades de base, é mais complexo e diversifi-
cado do que o SMD.
Visando atender a uma extensa gama de medidas para vá-
rias grandezas, há muitos prefixos no SI. Veja a tabela a seguir.
Nome Símbolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada
yotta Y 10
24
= 1.000.000.000.000.000.000.000.000
zetta Z 10
21
= 1.000.000.000.000.000.000.000
exa E 10
18
= 1.000.000.000.000.000.000
peta P 10
15
= 1.000.000.000.000.000
tera T 10
12
= 1.000.000.000.000
giga G 10
9
= 1.000.000.000
mega M 10
6
= 1.000.000
kilo ou quilo k 10
3
= 1.000
hecto h 10
2
= 100
deca da 10
deci d 10
21
= 0,1
centi c 10
22
= 0,01
mili m 10
23
= 0,001
micro u 10
26
= 0,000.001
nano n 10
29
= 0,000.000.001
pico p 10
212
= 0,000.000.000.001
femto f 10
215
= 0,000.000.000.000.001
atto a 10
218
= 0,000.000.000.000.000.001
zepto z 10
221
= 0,000.000.000.000.000.000.001
yocto y 10
224
= 0,000.000.000.000.000.000.000.001
Medida materializada.
Metro padrão.
IZAAC BRITO
VVOEVALE/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES
112
Pense mais um
pouco...
Uma resolução possível para
a questão proposta consiste
em determinar quantos por
cento 12 é de 10, ou seja,
calculamos a razão entre
essas duas alturas. É impor-
tante que os alunos perce-
bam, inicialmente, que 12 é
mais de 100% de 10, já que
12 .  10. Fazer estimativas
de resultados ajuda a detec-
tar valores inadequados.
12 10
5
120 100
5 120% (ou 1,2)
Logo, 12 é 120% de 10. Por-
tanto, devemos programar uma cópia com 120% de ampliação.
Discuta com os alunos o fato
de que o acréscimo aplica-
do na altura de 10 cm para
12 cm é 2 cm, o que corres-
ponde a 20% de 10 cm. Por
isso, 120% correspondem à
altura obtida após o acrés-
cimo.
Os alunos podem comprovar
esses percentuais utilizando
uma calculadora para fazer
120% de 10 e 2% de 10.
Explore também o cálculo
mental, tomando por base
que calcular 10% de um va-
lor equivale a dividir esse va-
lor por 10 e calcular 50% de
um valor equivale a dividir o
valor por 2. Assim, os alunos
podem facilmente concluir
que 10% de 10 é igual a 1
(10 : 10 5 1) e como 20% é
o dobro de 10%, 20% de 10
deve ser 2.
Complemente os estudos com
a Sequência didática 4 –
Semelhança de triângulos
e a Sequência didática 5 –
Casos de semelhança de
triângulos, disponíveis no
Manual do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
112 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Foto ampliadaFoto original
FOTOS: A. PAES/SHUTTERSTOCK
Cachoeira do Prata, localizada na Chapada
dos Veadeiros, Cavalcante (Goiás). (Foto de
2017.)
Foto reduzida
SIDNEY MEIRELES
Ampliando ou reduzindo figuras
em uma fotocopiadora, obtemos
figuras semelhantes às originais. Figuras
congruentes também são semelhantes.
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma, mas
não necessariamente o mesmo tamanho.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Em uma foto, a altura da imagem de João cor responde a 10 cm. Qual deve ser a porcentagem que
devemos programar na fotocopiadora para que a altura de João, na cópia ampliada, seja de 12 cm?
Devemos programar uma cópia com 120%, isto é, 100% do original mais 20% de ampliação.
1
Figuras semelhantes
Quando uma imagem é projetada em uma tela de televisão, de cinema, de celular etc., o
tamanho da imagem projetada geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no
entanto a forma é mantida. Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhan-
te à original.
Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determi­
nada imagem; nesse caso, também se mantém a forma do original.
Para obter uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos programar essa máquina para
fazer uma cópia de 150%, pois a ampliação deverá ser igual ao original (100%) aumentado
de 50%. Se quisermos uma redução de 25%, devemos programar a máquina para 75%, que
corresponde ao original (100%) diminuído de 25%.
62
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Resolver problemas envol-
vendo cálculos com núme-
ros reais.
• Determinar a razão en-
tre duas grandezas de es-
pécies diferentes, como:
gramatura de papel, velo-
cidade média, densidade
demográfica, entre outras.
• Resolver problemas envol-
vendo razões entre gran-
dezas de espécies diferen-
tes.
• Reconhecer relações de
proporcionalidade entre
duas grandezas.
• Resolver e elaborar proble-
mas envolvendo grandezas
direta e inversamente pro-
porcionais.
• Resolver e elaborar proble-
mas por meio da regra de
três.
• Aplicar a relação de pro-
porcionalidade na obten-
ção da medida de arcos de
circunferência.
• Comparar gráficos de bar-
ras envolvendo cálculo de
razões.
• Construir gráficos de bar-
ras e de colunas com base
em pesquisa sobre expec-
tativa de vida.
Orientações gerais
Este capítulo trata do estu-
do de razões entre grande-
zas de naturezas diferentes
e da proporcionalidade en-
tre grandezas. Trabalhamos
com estratégias de resolu-
ção de problemas envolven-
do grandezas diretamente
proporcionais, grandezas
inversamente proporcio-
nais e suas aplicações, com
procedimentos para proble-
mas que tenham a mesma
estrutura e que envolvam a
variação entre duas ou mais
grandezas dependentes.
Exploramos a construção e a
comparação de gráficos de
barras e de colunas.
Sugestões de leitura
Aproveite o tema da abertura e discuta sobre grafites e pichações. Para a ampliação desse tema, sugerimos:
<https://sao-paulo.estadao.com.br/blogs/caminhadas-urbanas/pichacao-e-grafite-e-possivel-negar-veementemente-a-depredacao-
ilegal-e-abracar-incondicionalmente-a-arte-urbana/>;
<https://vestibular.uol.com.br/resumo-das-disciplinas/atualidades/afinal-qual-e-a-diferenca-entre-grafite-e-pichacao.htm>. Acessos em:
30 ago. 2018.
Material Digital Audiovisual
• Videoaula: Ângulo inscrito e
central na circunferência
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital Audiovisual
62 CAPÍTULO 3
3
Capítulo
Grandezas
proporcionais
EBER EVANGELISTA
Surgido nos anos 1970
em Nova York (Estados
Unidos), o grafite é uma
forma de manifestação
artística em espaços
públicos com adeptos em
vários países. O grafite
brasileiro é considerado
um dos melhores do
mundo.
Se dois grafiteiros
levam 10 dias para
concluir um grande painel,
com a ajuda de outros dois
grafiteiros, igualmente
hábeis, em quantos dias
eles terminariam essa
arte?
Em Soweto (África do Sul), grafiteiros produzem um retrato de Winnie
Madikizela-Mandela, ex-esposa do presidente sul-africano Nelson Mandela.
Ela faleceu em 2 de abril de 2018, com 81 anos. (Foto de 2018.)
MUJAHID SAFODIEN/AFP/GETTY IMAGES
275BIMESTRE 4
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer e utilizar os ele-
mentos e as relações métri-
cas nos polígonos regulares.
• Aplicar o teorema de Pitá-
goras na determinação de
elementos de polígonos
regulares inscritos em uma
circunferência.
• Resolver e elaborar proble-
mas de aplicação do teore-
ma de Pitágoras envolven-
do polígonos regulares.
• Descrever algoritmo por
escrito e por meio de flu-
xograma para a construção
de um polígono regular.
• Relacionar arcos de uma
circunferência e ângulos
centrais de polígonos re-
gulares inscritos nessa cir-
cunferência.
• Resolver problemas envol-
vendo área de um polígono
regular, números reais, cál-
culo de áreas e volume, re-
lações de proporcionalidade
no cálculo da área de um se-
tor circular, área de um cír-
culo, de uma coroa circular
e de um setor circular.
• Analisar gráficos com ele-
mentos que induzem a
erros de leitura e de inter-
pretação.
Orientações gerais
Ampliamos o trabalho sobre
polígonos regulares e seus
elementos ao apresentar
as relações métricas entre
elementos de um polígono
regular e a circunferência a
que ele está inscrito.
Desenvolvemos o estudo de
polígonos regulares com o
uso da linguagem algébri-
ca, e questões de construção
geométrica de figuras. Nas
demonstrações mostramos a
aplicação do teorema de Pitá-
goras e da proporcionalidade.
Tratamos da área de um po-
lígono regular, de um círculo
e de suas partes; e do volu-
me de alguns sólidos geomé-
tricos.
Amplie o trabalho da abertura perguntando aos alu-
nos que figuras geométricas podem ser lembradas no
logotipo do Patrimônio Mundial. Espera-se que eles
indiquem o quadrado e a circunferência (ou o círculo).
Peça aos alunos uma pesquisa sobre Patrimônio
Mundial e outros Patrimônios Mundiais no Brasil.
Sugestões de leitura
Para enriquecer a pesquisa, sugerimos:
<http://portal.iphan.gov.br/pagina/detalhes/24>;
<http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/culture/world-heritage/
list-of-world-heritage-in-brazil/>. Acessos em: 10 set. 2018.
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Áudio: Algoritmo para
polígonos regulares
275CAPÍTULO 12
Logotipos, imagens onde vicejam criatividade e simplicidade, identificam
instituições e empresas públicas ou privadas. Em muitos deles vemos circunferências
e polígonos regulares.
O logotipo de Patrimônio Mundial (na parte inferior da imagem acima), desenhado pelo
artista belga Michel Olyff e adotado como emblema oficial em 1978, demarca regiões ou
áreas que a comunidade científica considera de fundamental importância para a humanidade.
12
Capítulo
Baía dos Porcos, em Fernando de Noronha. O arquipélago, pertencente ao estado de Pernambuco, foi declarado
Patrimônio Mundial pela Unesco em 2001, como indica o logotipo reproduzido acima. (Foto de 2016.)
Polígonos regulares
e áreas
ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS
REPRODUÇÃO
Este Manual do Professor está organizado em:
Orientações gerais – apresenta a visão geral da proposta desenvolvida e os fundamentos teórico ‑metodológicos da
coleção.
Orientações específicas – traz a distribuição das seções especiais do livro do estudante, comentários sobre cada um
dos capítulos e quadros com a correspondência entre conteúdos desenvolvidos, objetos de conhecimento e habilidades
da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Ao final, encontram‑se sugestões de atividades e, quando possível, textos
complementares.
Orientações página a página – reproduz as páginas do livro do estudante em formato reduzido, acompanhadas de
orientações, sugestões didáticas e comentários nas laterais e na parte inferior, em formato semelhante à letra U.
A estrutura permite localizar facilmente as orientações referentes aos assuntos da página e os recursos disponíveis
no Manual do Professor – Digital. Veja a seguir.
Livros e sites são
indicados para
aprofundar ou
complementar o
tema em estudo.
No início da página
de abertura,
encontram‑se
os Objetivos
do capítulo e
Orientações
gerais sobre o
desenvolvimento
dos conteúdos
trabalhados.
Sempre que
oportuno, ícones
sugerem os
momentos para
a utilização das
Sequências didáticas
e das Propostas de
Acompanhamento
da Aprendizagem,
oferecidas
no Manual do
Professor – Digital.
As habilidades da
BNCC trabalhadas
são reproduzidas ao
final da página.
A cada bimestre, um
marcador sinaliza
os Materiais Digitais
Audiovisuais disponíveis
no Manual do Professor
– Digital. Esses materiais
são acompanhados
de uma ficha com
orientações para o
desenvolvimento da
proposta com os alunos.
Na parte inferior da
dupla de páginas,
um marcador indica
o bimestre sugerido
para o trabalho
com os capítulos.
Essa organização
bimestral está
de acordo com
os Planos de
desenvolvimento
propostos no
Manual do
Professor – Digital.

6. IVIVIV
Orientações gerais V
Apresentação ............................................................................................................V
Visão geral da proposta da coleção ..........................................................................V
Objetivos gerais da coleção
...................................................................................................VI
Fundamentos teórico-metodológicos ...................................................................... VI
A importância de aprender Matemática
............................................................................VI
A Matemática como componente curricular do Ensino Fundamental
......................VIII
BNCC e currículos
.....................................................................................................................X
Unidades Temáticas
.................................................................................................................XII
Propostas didáticas
.................................................................................................................XIII
Apresentação da coleção .........................................................................................XV
Estrutura da obra
......................................................................................................................XV
Organização geral da obra
.....................................................................................................XVI
Avaliação ...................................................................................................................XVI
A avaliação e as práticas avaliativas
..................................................................................XVI
Instrumentos de avaliação nas aulas de Matemática
...................................................XVIII
Formação continuada e desenvolvimento profissional docente .............................. XX
Instituições de estudos e pesquisas em Educação Matemática
que mantêm publicações na área
........................................................................................XX
Sugestões de leitura
................................................................................................................XXI
Sugestões de sites
...................................................................................................................XXIV
Documentos oficiais
................................................................................................................XXIV
Bibliografia consultada .............................................................................................XXIV
Orientações específicas XXVII
Capítulo 1 – Números reais .......................................................................................XXVIII
Capítulo 2 – Operações com números reais .............................................................. XXXI
Capítulo 3 – Grandezas proporcionais.......................................................................XXXII
Capítulo 4 – Proporcionalidade em Geometria ......................................................... XXXIV
Capítulo 5 – Semelhança ...........................................................................................XXXV
Capítulo 6 – Um pouco mais sobre Estatística ......................................................... XXXVI
Capítulo 7 – Equações do 2
o
grau ..............................................................................XXXIX
Capítulo 8 – Triângulo retângulo ...............................................................................XL
Capítulo 9 – Razões trigonométricas nos triângulos retângulos ............................. XLII
Capítulo 10 – Estudo das funções ............................................................................XLIII
Capítulo 11 – Circunferência, arcos e relações métricas ......................................... XLIV
Capítulo 12 – Polígonos regulares e áreas ................................................................ X LV
Sugestões de atividades XLVII
Livro do estudante – Orientações página a página 1SUM?RIO

7. V
Apresentação
Professor(a),
Como material de apoio à prática pedagógica, este
Manual traz, de maneira concisa, orientações e sugestões
para o uso do livro do aluno como texto de referência, com
o objetivo de subsidiar seu trabalho em sala de aula. Espe­
ramos que este material o(a) auxilie a melhor aproveitar e
a compreender as diretrizes pedagógicas que nortearam
a elaboração dos quatro livros desta coleção.
Este Manual também discute a avaliação da aprendi ­
zagem sob a luz de pesquisas em Educação e Educação
Matemática e em documentos oficiais. Além disso, oferece
indicações de leituras complementares e sites de centros de
formação continuada, na intenção de contribuir para a am­
pliação de seu conhecimento, sua experiência e atualização.
As características da coleção, as opções de abordagem,
os objetivos educacionais a alcançar são também expostos
e discutidos aqui.
Visão geral da proposta da
coleção
Esta coleção tem como principal objetivo servir de
apoio ao professor no desenrolar de sua prática didático­
­pedagógica e oferecer ao aluno um texto de referência
auxiliar e complementar aos estudos.
Com base nos conteúdos indicados para a Matemática
dos anos finais (6
o
ao 9
o
anos) do Ensino Fundamental e
suas especificidades de ensino, a obra procura possibilitar
ao aluno a elaboração do conhecimento matemático, visan­
do contribuir para a formação de cidadãos que reflitam e
atuem no mundo, e subsidiar o trabalho docente, compar­
tilhando possibilidades de encaminhamento e sugestões
de intervenção. Nesse sentido, atribui especial importância
ao desenvolvimento de conceitos de maneira precisa e
por meio de linguagem clara e objetiva, com destaques
pontuais para as noções de maior importância.
As ideias matemáticas são apresentadas e desenvolvi­
das progressivamente, sem a preocupação de levar o aluno
a assimilar a totalidade de cada conteúdo, isto é, sem a
pretensão de esgotar o assunto na primeira apresentação.
Ao longo da coleção, oferecemos constantes retomadas,
não apenas visando à revisão, mas à complementação e
ao aprofundamento de conteúdos. Acreditamos que, por
meio de diversos contatos com as ideias e os objetos ma­
temáticos, o aluno conseguirá apreender seus significados.
Em relação à abordagem, a apresentação de cada
conteúdo procura ser clara e objetiva, buscando situações
contextualizadas e problematizadoras que possibilitem
ao aluno uma aprendizagem significativa, assim como
estabelecer relações da Matemática com outras áreas do
saber, com o cotidiano, com sua realidade social e entre
os diversos campos conceituais da própria Matemática.
Essa contextualização abarcou situações comuns, viven­
ciadas pelos jovens em seu cotidiano, e informações mais
elaboradas, que costumam aparecer nos grandes veículos de
comunicação. Assim, a obra tem por objetivo contribuir para a
formação integral do aluno, de modo que, enquanto assimila
e organiza os conteúdos próprios da Matemática, coloque
em prática, sempre que possível, suas capacidades reflexiva
e crítica, inter ­relacionando tanto os tópicos matemáticos
entre si quanto estes com os de diferentes áreas do saber.
O intento é colaborar de maneira eficaz para a solidificação
do conhecimento matemático e com o preparo do exercício
da cidadania e da participação positiva na sociedade.
Na perspectiva mundial da permanente busca por me­
lhor qualidade de vida, a Matemática, sobretudo em seus
aspectos essenciais, contribui de modo significativo para
a formação do cidadão crítico e autoconfiante, com com­
preensão clara dos fenômenos sociais e de sua atuação na
sociedade, com vistas a uma formação integral e inclusiva.
[...] a BNCC afirma, de maneira explícita, o seu compro‑
misso com a educação integral . Reconhece, assim, que a
Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento
humano global, o que implica compreender a complexidade
e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com
visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual
(cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir
uma visão plural, singular e integral da criança, do adoles‑
cente, do jovem e do adulto – considerando ‑os como sujeitos
de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu
acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas
suas singularidades e diversidades. [...]
(Base Nacional Comum Curricular, 2017, p. 14.)
A ideia de educação inclusiva sustenta ‑se em um movi‑
mento mundial de reconhecimento da diversidade humana
e da necessidade contemporânea de se constituir uma escola
para todos, sem barreiras, na qual a matrícula, a permanên‑
cia, a aprendizagem e a garantia do processo de escolarização
sejam, realmente e sem distinções, para todos.
(SÃO PAULO. Currículo da Cidade, 2017, p. 25.)
Na sequência, os conceitos teóricos são trabalhados
entremeados por blocos de exercícios e, algumas vezes,
por atividades de outra natureza em seções especiais. A
distribuição das atividade em diferentes seções procura fa­
cilitar e flexibilizar o planejamento do trabalho docente, bem
como possibilitar ao aluno desenvolver habilidades diversas.ORIENTA??ES GERAIS

8. VIVI
As atividades também foram pensadas de acordo com
o mesmo viés da exposição teórica, intercalando ­se aos
exercícios convencionais, importantes para formalizar e
sistematizar conhecimentos, aqueles que associam os
contextos matemáticos aos de outras áreas do conheci­
mento, que contemplam temas abrangendo informações
de Biologia, Ecologia, Economia, História, Geografia, Políti­
ca, Ciências e Tecnologia.
A constante recorrência a imagens, gráficos e tabelas,
muitos deles publicados em mídias atuais, tem por objeti­
vo estimular os alunos a estabelecerem conexões com o
mundo em que vivem.
A obra procura trazer atividades que possibilitam a
sistematização dos procedimentos e a reflexão sobre
os conceitos em construção. Elas procuram abordar
diferentes aspectos do conceito em discussão por meio
de variados formatos, apresentando, quando possível,
questões abertas, que dão oportunidade a respostas
pessoais, questões com mais de uma solução ou cuja
solução não existe. Da mesma maneira, há exercícios
que estimulam a ação mental, promovendo o desenvol­
vimento de argumentações, a abordagem de problemas
de naturezas diversas e as discussões entre colegas e em
grupos de trabalho. O professor tem, então, uma gama
de questões a seu dispor para discutir e desenvolver os
conceitos matemáticos em estudo.
É importante reafirmar que, ao longo de toda a co­
leção, houve preocupação com a precisão e a concisão
da linguagem. A abordagem dos conteúdos procurou ser
clara, objetiva e simples, a fim de contribuir adequada­
mente para o desenvolvimento da Matemática escolar
no nível do Ensino Fundamental. Além do correto uso
da língua materna e da linguagem propriamente mate­
mática, procuramos auxílio da linguagem gráfica, com
ilustrações, esquemas, diagramas e fluxogramas que
auxiliem a aprendizagem pelas mudanças dos registros
de representação.
Objetivos gerais da coleção
• Apresentar a Matemática, em seus diversos usos,
como uma das linguagens humanas, explorando suas
estruturas e seus raciocínios.
• Introduzir informações que auxiliem a apreensão de
conteúdos matemáticos, com vistas à sua inserção
em um corpo maior de conhecimentos e à sua apli­
cação em estudos posteriores.
• Possibilitar ao aluno o domínio de conteúdos ma­
temáticos que lhe deem condições de utilização
dessa ciência no cotidiano e na realidade social,
oportunizando o desenvolvimento do letramento
matemático
1
.
• Propiciar, com o auxílio do conhecimento matemático,
o desenvolvimento das múltiplas competências e
habilidades cognitivas do aluno, preparando ­o como
pessoa capaz de exercer conscientemente a cidada­
nia e de progredir profissionalmente, garantindo uma
formação integral e inclusiva.
• Desenvolver hábitos de leitura, de estudo e de or­
ganização.
Fundamentos teórico­
­metodológicos
Vamos apresentar alguns temas relativos ao ensino
de Matemática que norteiam as escolhas curriculares da
coleção e se alinham às proposições da Base Nacional
Comum Curricular (BNCC).
A importância de aprender Matemática
Partimos da proposição de que uma característica da
Matemática é ser uma linguagem humana que, como forma
linguística, tem o poder de decodificar, traduzir e expressar
o pensamento humano, o que contribui para a formação
integral do estudante.
O conhecimento matemático é necessário para todos os
alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na
sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades
na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsa‑
bilidades sociais.
(BNCC, 2017, p. 263.)
A palavra matemática vem do grego mathematike. Em
sua origem, estava ligada ao ato de aprender, pois signifi­
cava “tudo o que se aprende”, enquanto matemático, do
grego mathematikos, era a palavra usada para designar
alguém “disposto a aprender”. O verbo aprender era origi­
nalmente, em grego, manthanein; mas hoje o radical math,
antes presente nas palavras ligadas à aprendizagem, pare­
ce ter perdido essa conotação e daí talvez resulte a ideia
geral de que a Matemática é uma disciplina que lida apenas
com números, grandezas e medidas e que se aprende na
escola de forma compulsória.
1 Segundo a Matriz de Avaliação de Matemática do Pisa 2012 (disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/
marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>; acesso em: 2 maio 2018):
Letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos.
Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e
predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos,
engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.
VI

9. Na realidade, a Matemática fornece ao indivíduo, além
de uma linguagem para expressar seu pensamento, ferra­
mentas com as quais ele pode gerar novos pensamentos
e desenvolver raciocínios, ou seja,
[…] a Matemática não é simplesmente uma disciplina,
mas também uma forma de pensar. É por isso que a Mate‑
mática, assim como a alfabetização, é algo que deveria ser
tornado disponível para todos […].
(NUNES; BRYANT, 1997, p. 105.)
A Matemática, portanto, é algo que deve estar disponí­
vel a todo ser humano, para que
possa fazer uso dela como
uma de suas fe
rramentas de sobrevivência e convívio
social
, promovendo uma formação inclusiva.
Um ponto crucial a considerar é que as formas de pensar
características da Matemática podem expandir ­se para
outros raciocínios, impulsionando a capacidade global de
aprendizado. Ao lidar com a Matemática, fundamentamos o
pensamento em um conjunto de axiomas, na geração e va­
lidação de hipóteses, no desenvolvimento de algoritmos e
procedimentos de resolução de problemas — ferramentas
aplicáveis a um conjunto de situações similares —, esta­
belecendo conexões e fazendo
estimativas. Analisando
situações particulares e inserindo ­as na estrutura global,
é possível construir estruturas de pensamento também
úteis em situações não matemáticas da vida em sociedade.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de
fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos,
grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com
as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de
fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas
abstratos, que organizam e inter ‑relacionam fenômenos do
espaço, do movimento, das formas e dos números, associados
ou não a fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm
ideias e objetos que são fundamentais para a compreensão
de fenômenos, a construção de representações significativas
e argumentações consistentes nos mais variados contextos.
(BNCC, 2017, p. 263.)
Ao construir sua história, o ser humano tem modifi­
cado e ampliado constantemente suas necessidades,
individuais ou coletivas, de sobrevivência ou de cultura.
O corpo de conhecimentos desenvolvido nesse longo
trajeto ocupa lugar central no cenário humano. No que
diz respeito
aos conhecimentos matemáticos, muitos
continuam
atravessando os séculos, enquanto outros
já caíram em desuso. Há, ainda, outros que estão sendo
incorporados em razão das necessidades decorrentes
das ações cotidianas, como é o caso da Educação Fi­
nanceira. As novas práticas solicitam a ampliação e o
aprofundamento desses conhecimentos.
Até algumas décadas atrás,“saber” Matemática impli­
cava basicamente dominar e aplicar as operações básicas:
adição, subtração, multiplicação e divisão. Na atualidade,
contudo, as pesquisas educacionais, as diretrizes peda­
gógicas oficiais e, em especial, a BNCC apontam para a
necessidade de que em todos os anos da Educação Básica
a escola trabalhe conteúdos organizados nas cinco Unida­
des Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas
e medidas e Probabilidade e estatística, tendo como refe­
rência o desenvolvimento das competências e habilidades
descritas pela BNCC.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização
de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades
(práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores
para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do
pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.
(BNCC, 2017, p .8.)
Para entender a real importância da Matemática, basta
pensar em nosso cotidiano. É fácil fazer uma longa lista de
ações nas quais precisamos mobilizar os
conhecimentos
desse campo: calcular uma despesa para efetuar seu paga­
mento; examinar diferentes alternativas de crédito; estimar
valores aproximados; calcular medidas e quantidades com
alguma rapidez; compreender um anúncio ou uma notícia
apresentados por meio de tabelas e gráficos; analisar
criticamente a validade de um argumento lógico; avaliar
a razoabilidade de um resultado numérico ou estatístico;
decidir a sequência de passos necessários para resolver um
problema; orientarmo ­nos no espaço (para deslocamentos
ou indicações de trajetórias), entre tantas outras situações.
Hoje sabemos da importância de o indivíduo aprender
continuamente, durante toda a vida, para assimilar as in­
cessantes inovações do mundo moderno e, desse modo,
realimentar seu repertório cultural. Em um ambiente mun­
dial cada vez mais competitivo e desenvolvido do ponto de
vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as
pessoas as vantagens desses avanços. E é responsabilida­
de também da educação escolar levar o aluno a perceber
criticamente a realidade, cuja interpretação depende da
compreensão de sua estrutura lógica, do entendimento
da simbologia adotada no contexto, da análise das infor­
mações veiculadas por dados numéricos, imagens, taxas,
indexadores econômicos etc. Um indivíduo com poucos
conhecimentos matemáticos pode estar privado de exer­
cer seus direitos como cidadão, por não ter condições de
opinar em situação de igualdade com os demais membros
da sociedade, nem de definir seus atos políticos e sociais
com base em uma avaliação acurada da situação.
No ensino da Matemática, assumem grande importân­
cia aspectos como o estímulo a relacionar os conceitos
matemáticos com suas representações (esquemas,
diagramas, tabelas, figuras); a motivação para identificar
no mundo real o uso de tais representações; o desafio à
interpretação, por meio da Matemática, da diversidade das
informações advindas desse mundo.
Podemos afirmar que a maior parte das sociedades de
hoje depende cada vez mais do
conjunto de conhecimento
produzido pela humanidade, incluindo de maneira notável as
contribuições da ciência matemática. Ao mesmo tempo,
esse arcabouço cultural revigora ­se
incessantemente, com
grande diversidade e
sofisticação. Os apelos de um mundo
VII

10. VIIIVIII
que se transforma em incrível velocidade, em uma cres­
cente variedade de domínios, constituem uma das razões
mais significativas para o maior desafio dos educadores:
preparar os jovens para uma atuação ética e responsável,
balizada por uma formação múltipla e consistente.
Matemática acadêmica
3 Matemática escolar
No âmbito específico da Matemática, há muito mais
conhecimento já estabelecido do que o que chega à sala
de aula. A seleção desses conhecimentos ­conteúdos e
a maneira
de apresentá ­los aos estudantes exigem bom
senso e uma série de estudos e adaptações.
Em sua formação inicial, na universidade, o futuro
professor de Matemática
tem contato simultâneo com
a Matemática acadêmica e a Matemática escolar
. No en­
tanto, em seu
exercício profissional, o destaque será para
a
Matemática escolar; daí a relevância de procurarmos
entender a distinção entre ambas.
De acordo com Moreira e David (2003), a Matemática
acadêmica, ou científica, é o corpo de conhecimentos
produzido por matemáticos profissionais. Nesse caso, as
demonstrações, definições e provas de um fato e o rigor
na linguagem utilizada ocupam papel relevante, visto que
é por meio deles que determinado conhecimento é aceito
como verdadeiro pela comunidade científica.
No caso da Matemática escolar, há dois aspectos fun­
damentais que modificam significativamente o papel do
rigor nas demonstrações. O primeiro refere ­se ao fato de a
“validade” dos resultados matemáticos, que serão apresen­
tados aos estudantes no processo de ensino ­aprendizagem,
não ser colocada em dúvida; ao contrário, já está garantida
pela própria Matemática acadêmica. O segundo aspecto diz
respeito à aprendizagem; neste caso, o mais importante é o
desenvolvimento de uma prática pedagógica que assegure
a compreensão dos conteúdos matemáticos essenciais,
assim como a construção de justificativas que permitam
ao jovem estudante utilizá ­los de maneira coerente e con­
veniente, tanto na vida escolar quanto na cotidiana, propi­
ciando o desenvolvimento das competências e habilidades
para ele exercer a cidadania plena e atuar no mundo.
O pensador Jules Henri Poincar também discute a dife­
rença entre o rigor necessário e
conveniente à Matemática
científica e o rigor adequado a um processo educativo. Para
ele,
uma boa definição é aquela que pode ser entendida
pelo
estudante.
Nesse contexto, a coleção procura harmonizar o uso da
língua materna com a linguagem matemática, promovendo
uma leitura acessível e adequada aos alunos dos anos
finais do Ensino Fundamental.
A Matemática como componente
curricular do Ensino Fundamental
A importância de ensinar Matemática no Ensino Funda­
mental, conforme indica a BNCC, decorre também da con­
tribuição que a área representa na formação do cidadão.
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o
desenvolvimento do letramento matemático, definido como
as competências e habilidades de raciocinar, representar, co‑
municar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer
o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução
de problemas em uma variedade de contextos, utilizando
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas.
É também o letramento matemático que assegura aos alunos
reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamen‑
tais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o
caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que
favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico,
estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinse‑
camente relacionado a algumas formas de organização da
aprendizagem matemática, com base na análise de situações
da vida cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da
própria Matemática. [...]
(BNCC, 2017, p. 264.)
Diversos pesquisadores e profissionais ligados à Edu­
cação Matemática têm procurado sintetizar o papel social
do ensino dessa área do conhecimento. Na literatura,
segundo Ponte (2002), cabem ao ensino da Matemática
quatro diferentes papéis:
• instrumento da cultura científica e tecnológica,
fundamental para profissionais como cientistas,
engenheiros e técnicos, que utilizam a Matemática
em suas atividades;
• filtro social para a continuação dos estudos e seleção
para as universidades;
• instrumento político, como símbolo de desenvolvi­
mento e arma de diversas forças sociais que utilizam
as estatísticas do ensino da Matemática para seus
propósitos;
• promotora do desenvolvimento dos modos de pensar
a serem aplicados na vida cotidiana e no exercício da
cidadania.
É evidente que cada um desses papéis serve a diferen­
tes interesses e finalidades. Contudo, considerando os
indivíduos seres sociais, é o último desses papéis o mais
importante e o que mais nos interessa. Como explica Ponte:
Incluem ‑se aqui os aspectos mais diretamente utilitários
da Matemática (como ser capaz de fazer trocos e de calcular
a área da sala), mas não são esses aspectos que justificam
a importância do ensino da Matemática. São, isto sim, a
capacidade de entender a linguagem matemática usada na
vida social e a capacidade de usar um modo matemático de
pensar em situações de interesse pessoal, recreativo, cultural,
cívico e profissional. Em teoria, todos reconhecem que esta é
a função fundamental do ensino da Matemática. Na prática,
infelizmente, é muitas vezes a função que parece ter menos
importância.
(Ibidem)
VIII

11. A função de promotora dos modos de pensar, porém,
não se concretiza na prática somente por estar explicitada
no currículo e nos programas.
O sistema de avaliação, os manuais escolares e a cultura
profissional dos professores podem influenciar de tal modo
as práticas de ensino que as finalidades visadas pelo currículo
em ação, muitas vezes, pouco têm a ver com aquilo que é
solenemente proclamado nos textos oficiais.
(Ibidem)
Ao discorrer sobre esses papéis, Ponte analisa em parti­
cular a função de filtro social – “a verdade é que este papel
de instrumento fundamental de seleção tem pervertido a
relação dos jovens com a Matemática” (ibidem) –, que pas­
sam a enxergá ­la como obstáculo a ser transposto para a
conquista de objetivos, em vez de entendê ­la como aliada
nesse processo. O pesquisador enfatiza a importância de
identificar os fatores que originam o insucesso dos alunos em
Matemática. Para ele, tais fatores estão relacionados com:
• a crise da escola como instituição, que se reflete na
aprendizagem em geral e na Matemática em particular;
• aspectos de natureza curricular — tradição pobre de
desenvolvimento curricular de Matemática;
• insuficiente concretização prática e caráter difuso
das finalidades do aprendizado;
• o próprio fato de a Matemática constituir ­se em ins­
trumento de seleção, o que, de imediato, desencanta
e amedronta o aluno;
• questões ligadas à formação dos professores.
Em contrapartida, de acordo com a BNCC, podemos
destacar que:
[...] Os processos matemáticos de resolução de proble‑
mas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da
modelagem podem ser citados como formas privilegiadas
da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo
tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de
todo o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendiza‑
gem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de
competências fundamentais para o letramento matemático
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação)
e para o desenvolvimento do pensamento computacional.
(BNCC, 2017, p. 264.)
As atuais e inúmeras discussões na área educacional
têm nos alertado sobre mudanças na forma de conceber a
Educação Básica no mundo. No que diz respeito à Educação
Matemática, podemos dizer que ela tem atravessado um
grato momento de revitalização:
Novos métodos, propostas de novos conteúdos e uma
ampla discussão dos seus objetivos fazem da Educação
Matemática uma das áreas mais férteis nas reflexões sobre o
futuro da sociedade.
(D’AMBRÓSIO, 2000.)
A BNCC preconiza a inclusão e a discussão de temas
contemporâneos, como é o caso dos “direitos da criança e
do adolescente” e “educação em direitos humanos”.
Por fim, cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como
às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e compe‑
tência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas
a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida
humana em escala local, regional e global, preferencialmente
de forma transversal e integradora.
(BNCC, 2017, p. 19.)
A orientação de introduzir e interligar no âmbito esco­
lar temas dessa natureza traz efetivas possibilidades de
expansão dos currículos, para além dos conteúdos das
disciplinas tradicionais. Esses temas também podem ser
abordados de acordo com a necessidade dos estudantes
e da comunidade em que estão inseridos.
O importante é ter em vista que, por meio do trabalho
com esses temas, é possível incluir as questões sociais
nos currículos escolares. Dessa perspectiva, os conteúdos
trabalhados ganham novo papel; o aprendizado da Mate­
mática, entre outras abordagens, concorre para a formação
da cidadania e, consequentemente, para um entendimento
mais amplo da realidade social.
Por compreender a importância desse trabalho, esta co­
leção procura, na medida do possível, incorporar e discutir al­
guns conteúdos matemáticos em contextos diversificados.
O papel do livro didático
Entendemos que, em geral, os recursos presentes em
salas de aula não são suficientes para fornecer todos
os elementos necessários ao trabalho do professor e
à aprendizagem do aluno. Nesse caso, o livro didático
desempenha um papel importante, assessorando nesse
processo, como organização e encaminhamento da teoria
e propostas de atividades e exercícios. Assim, o livro di­
dático contribui para o processo de ensino ­aprendizagem
e atua como mais um interlocutor na comunicação entre
educador e educando.
Mas é preciso considerar que o livro didático, por mais
completo que seja, deve ser utilizado intercalado com
outros recursos que enriqueçam o trabalho do professor.
Concordamos com Romanatto (2004) quando diz que,
partindo do princípio de que o verdadeiro aprendizado
apoia ­se na compreensão, não na memória, e de que so­
mente uma real interação com os alunos pode estimular o
raciocínio e o desenvolvimento de ideias próprias em busca
de soluções, cabe ao professor aguçar seu espírito crítico
perante o livro didático.
Na organização desta coleção, os conceitos e ativida­
des foram concebidos e dispostos em uma sequência que
garanta a abordagem dos conhecimentos matemáticos
relativos aos anos finais do Ensino Fundamental, visando à
IX

12. XX
ampliação dos conhecimentos básicos tratados nos anos
iniciais do Ensino Fundamental, apresentando ­os em capí­
tulos específicos e, depois, retomando ­os e ampliando ­os
em volumes posteriores. Assim, os alunos podem resgatar
os conhecimentos trabalhados anteriormente, ampliar os
conceitos ao longo de seus estudos em Matemática do 6
o
ao
9
o
anos e preparar ­se para a continuidade no Ensino Médio.
As orientações deste Manual pretendem esclarecer
intenções, objetivos e concepções das atividades que
podem auxiliar o trabalho pedagógico do professor em
seus encaminhamentos, intervenções e na ampliação e
enriquecimento de seus conhecimentos matemáticos.
Caracterização da adolescência
Segundo o Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei
n
o
8.069/1990: “Considera ­se criança, para os efeitos
desta Lei, a pessoa até doze anos de idade incompletos,
e adolescente aquela entre doze e dezoito anos de idade.”
De acordo com a BNCC:
Os estudantes dessa fase inserem ‑se em uma faixa etária
que corresponde à transição entre infância e adolescência,
marcada por intensas mudanças decorrentes de transfor‑
mações biológicas, psicológicas, sociais e emocionais. [...]
ampliam ‑se os vínculos sociais e os laços afetivos, as possi‑
bilidades intelectuais e a capacidade de raciocínios mais abs‑
tratos. Os estudantes tornam ‑se mais capazes de ver e avaliar
os fatos pelo ponto de vista do outro, exercendo a capacidade
de descentração, “importante na construção da autonomia
e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010).
(BNCC, 2017, p. 58.)
Esta coleção procura uma aproximação com os estudan­
tes dessa fase, seja na linguagem utilizada, seja na escolha
de assuntos que possam despertar seu interesse. Um des­
ses momentos pode ser observado nas aberturas dos ca­
pítulos, nas quais são apresentadas situações que buscam
aguçar a curiosidade dos alunos para o tema a ser tratado.
Além disso, a coleção busca também facilitar a passagem
de um ano para outro no processo de ensino ­aprendizagem
em Matemática, retomando conceitos, revisitando conheci­
mentos – como as quatro operações fundamentais e o es­
tudo das figuras geométricas –, ampliando e aprofundando
conteúdos com novos aspectos, a fim de que os alunos se
apropriem dos conceitos com a compreensão dos processos
neles envolvidos, caso da ampliação do campo numérico
(dos números naturais aos números reais).
Objetivos da formação básica para o Ensino
Fundamental
Segundo o Parecer 11/2010 do Conselho Nacional de
Educação/Câmara de Educação Básica sobre Diretrizes
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9
(nove) anos, os objetivos para a formação básica relativos
ao Ensino Infantil e Ensino Fundamental são:
• o desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo como
meios básicos o pleno domínio da leitura, da escrita e do
cálculo;
• a compreensão do ambiente natural e social, do sistema
político, das artes, da tecnologia e dos valores em que se
fundamenta a sociedade;
• a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação
de atitudes e valores como instrumentos para uma visão
crítica do mundo;
• o fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de
solidariedade humana e de tolerância recíproca em que
se assenta a vida social.
(Parecer 11/2010, p. 32.)
BNCC e currículos
A BNCC e os currículos estão em concordância com os
princípios e valores que norteiam a Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional (LDB) e as Diretrizes Curriculares
Nacionais da Educação Básica (DCN).
A BNCC relaciona algumas ações que visam adequar
suas proposições à realidade dos sistemas ou redes de
ensino e das instituições escolares, considerando o con­
texto e as características dos alunos:
• contextualizar os conteúdos dos componentes curri‑
culares, identificando estratégias para apresentá ‑los,
representá ‑los, exemplificá ‑los, conectá ‑los e torná ‑los
significativos, com base na realidade do lugar e do tempo
nos quais as aprendizagens estão situadas;
• decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos
componentes curriculares e fortalecer a competência
pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias
mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à
gestão do ensino e da aprendizagem;
• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático‑
‑pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferen‑
ciados e a conteúdos complementares, se necessário, para
trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de
alunos, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades,
seus grupos de socialização etc.;
• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para
motivar e engajar os alunos nas aprendizagens;
• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa
de processo ou de resultado que levem em conta os contex‑
tos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros
como referência para melhorar o desempenho da escola,
dos professores e dos alunos;
• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e
tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;
• criar e disponibilizar materiais de orientação para os
professores, bem como manter processos permanentes
de formação docente que possibilitem contínuo aper‑
feiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;
• manter processos contínuos de aprendizagem sobre ges‑
tão pedagógica e curricular para os demais educadores,
no âmbito das escolas e sistemas de ensino.
(BNCC, 2017, p. 16 ­17.)
X

13. Competências da BNCC
Visando assegurar as aprendizagens essenciais a que todo estudante da Educação Básica tem
direito, a BNCC propõe o desenvolvimento de competências que vão além dos conteúdos mínimos a
serem ensinados.
As competências, já definidas anteriormente, são apresentadas como competências gerais – para
nortear os currículos e as ações pedagógicas – e explicitadas pelas competências específicas de área,
a serem desenvolvidas pelas diferentes áreas do currículo ao longo das etapas da escolarização.
COMPETÊNCIAS GERAIS
COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA
O ENSINO FUNDAMENTAL
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o
mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade,
continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade
justa, democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria
das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a
imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar
hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive
tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais
às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção
artístico ‑cultural.
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual ‑motora, como Libras,
e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos
das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e
partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes
contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e
comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas
práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e
disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e
exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar ‑se de
conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações
próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício
da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia,
consciência crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis,
para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões
comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência
socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e
global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo,
dos outros e do planeta.
8. Conhecer ‑se, apreciar ‑se e cuidar de sua saúde física e emocional,
compreendendo ‑se na diversidade humana e reconhecendo suas
emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar
com elas.
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto
das necessidades e preocupações de diferentes culturas,
em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva,
que contribui para solucionar problemas científicos e
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções,
inclusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação
e a capacidade de produzir argumentos convincentes,
recorrendo aos conhecimentos matemáticos para
compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra,
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à
própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos
matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança
na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos
e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais,
de modo a investigar, organizar, representar e comunicar
informações relevantes, para interpretá ‑las e avaliá ‑las crítica
e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de
conhecimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações ‑problema em múltiplos contextos,
incluindo ‑se situações imaginadas, não diretamente
relacionadas com o aspecto prático ‑utilitário, expressar
suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes
registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de
texto escrito na língua materna e outras linguagens para
descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo,
questões de urgência social, com base em princípios éticos,
democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais,
sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando
coletivamente no planejamento e desenvolvimento de
pesquisas para responder a questionamentos e na busca de
soluções para problemas, de modo a identificar aspectos
consensuais ou não na discussão de uma determinada
questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e
aprendendo com eles.
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação,
fazendo ‑se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos
humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e
de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades,
sem preconceitos de qualquer natureza.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade,
flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em
princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
(Fonte: BNCC, 2017, p. 9 ­10, 263.)
Ao longo dos conteúdos, são oferecidas diferentes oportunidades para o aluno interpretar, refletir,
analisar, discutir, levantar hipóteses, argumentar, concluir e expor resultados de diversas maneiras,
contribuindo para o desenvolvimento das competências. Esse trabalho é realizado em vários momentos
da coleção, como nas secões Diversificando e Trabalhando a informação.
XI

14. XIIXII
Para garantir o desenvolvimento das competências
específicas, unidades temáticas organizam diferentes
objetos de conhecimento que, por sua vez, propõem um
conjunto de habilidades a serem trabalhadas com os alu ­
nos. As principais habilidades relacionadas ao conteúdo em
estudo são indicadas nas páginas do Manual do Professor
em formato U.
Unidades Temáticas
De acordo com a BNCC:
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os
estudantes se deparam com desafios de maior complexida-
de, sobretudo devido à necessidade de se apropriarem das
diferentes lógicas de organização dos conhecimentos relacio‑
nados às áreas. Tendo em vista essa maior especialização, é
importante, nos vários componentes curriculares, retomar
e ressignificar as aprendizagens do Ensino Fundamental –
Anos Iniciais no contexto das diferentes áreas, visando ao
aprofundamento e à ampliação de repertórios dos estudantes.
Nesse sentido, também é importante fortalecer a autonomia
desses adolescentes, oferecendo ‑lhes condições e ferramentas
para acessar e interagir criticamente com diferentes conhe‑
cimentos e fontes de informação.
(BNCC, 2017, p. 58.)
A BNCC propõe cinco Unidades Temáticas: Números,
Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade
e estatística. Dessa forma, procura garantir o trabalho com
a variedade de conhecimentos matemáticos ao longo do
ano e orientar a formulação de habilidades a serem desen­
volvidas durante o Ensino Fundamental.
Com base nos recentes documentos curriculares bra‑
sileiros, a BNCC leva em conta que os diferentes campos
que compõem a Matemática reúnem um conjunto de
ideias fundamentais que produzem articulações entre eles:
equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependên-
cia, representação, variação e aproximação. Essas ideias
fundamentais são importantes para o desenvolvimento do
pensamento matemático dos alunos e devem se converter, na
escola, em objetos de conhecimento. A proporcionalidade,
por exemplo, deve estar presente no estudo de: operações com
os números naturais; representação fracionária dos números
racionais; áreas; funções; probabilidade etc. Além disso, essa
noção também se evidencia em muitas ações cotidianas
e de outras áreas do conhecimento, como vendas e trocas
mercantis, balanços químicos, representações gráficas etc.
(Ibidem, p. 266.)
A proposta presente nesta coleção, aliada ao trabalho
do professor em sala de aula, propicia a articulação das
diferentes Unidades Temáticas, estabelecendo conexões
entre elas e as outras áreas do conhecimento. A seguir,
são apresentadas algumas possibilidades:
• conexões internas às próprias Unidades Temáticas de
Matemática, relacionando seus diferentes campos. Por
exemplo: unidades de medida, objeto de conhecimento
da Unidade Temática Grandezas e medidas, podem
estar articuladas com números racionais e porcen­
tagem, apresentados na Unidade Temática Números
(nas atividades propostas no capítulo 11 do 6
o
ano) e
com relações algébricas, estudadas na Unidade Temá­
tica Álgebra (na seção Para saber mais , sob o título
”A temperatura e a Álgebra”, no capítulo 5 do 6
o
ano);
• conexões que se referem a articulações possíveis com
diversas áreas do conhecimento contempladas na cole­
ção. Situações desse tipo podem ser encontradas em “O
RPG e os poliedros de Platão” na seção Diversificando
(capítulo 10 do 7
o
ano) e em “O trapézio no telhado” na
seção Para saber mais (capítulo 9 do 8
o
ano).
Apresentamos, a seguir, as principais ideias relaciona­
das a cada Unidade Temática que nortearam a organização
da coleção.
Números
As noções matemáticas fundamentais vinculadas a
essa Unidade Temática são as ideias de aproximação,
proporcionalidade, equivalência e ordem.
Nos anos finais do Ensino Fundamental são explorados
diferentes campos numéricos, de modo que os alunos re­
solvam problemas com números naturais, números inteiros
e números racionais, envolvendo as operações e fazendo
uso de estratégias diversas, reconheçam a necessidade
dos números irracionais e tomem contato com os núme­
ros reais, comparando, ordenando e relacionando esses
números com pontos na reta numérica. Espera ­se também
que os alunos dominem cálculos com porcentagens, juros,
descontos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias
digitais. O pensamento numérico se completa, é ampliado
e aprofundado com a discussão de situações que envolvem
conteúdos das demais Unidades Temáticas.
Outro aspecto que se quer desenvolver nessa Unidade Te­
mática é o estudo de conceitos ligados à educação financeira
dos alunos, como conceitos básicos de economia e finanças.
Álgebra
O foco dessa Unidade Temática é o desenvolvimento
do pensamento algébrico, essencial na compreensão, re­
presentação e análise da variação de grandezas e também
no estudo das estruturas matemáticas. Nos anos finais
do Ensino Fundamental, os estudos de Álgebra retomam,
aprofundam e ampliam a identificação de regularidades e
padrões em sequências (numéricas ou não) e o estabeleci­
mento de leis matemáticas que expressem a interdependên­
cia entre grandezas e generalizações. Espera ­se que o aluno
crie, interprete e transite entre as diversas representações
gráficas e simbólicas para resolver equações e inequações,
desenvolvidas para representar e solucionar algum tipo de
problema. É necessário que o aluno estabeleça conexões
entre variável e função e entre incógnita e equação.
As ideias matemáticas fundamentais que os alunos
precisam desenvolver nessa Unidade Temática são: equi­
valência, variação, interdependência e proporcionalidade.
XII

15. Além disso, a aprendizagem da Álgebra, assim como
as de outros campos da Matemática, pode contribuir
para o desenvolvimento do pensamento computacional.
Destaca ­se, assim, a importância da presença de algorit­
mos e fluxogramas como objetos de estudo nas aulas de
Matemática nessa fase do aprendizado.
Geometria
O desenvolvimento do pensamento geométrico, ne­
cessário para avançar nas habilidades de investigação
de propriedades, elaboração de conjecturas e produção
de argumentos geométricos convincentes, está ligado
ao estudo da posição e dos deslocamentos no espaço,
das formas de figuras geométricas e relação entre seus
elementos, temas dessa Unidade Temática. Além disso, o
aspecto funcional também deve estar presente por meio
do estudo das transformações geométricas, em especial a
simetria, com ou sem o recurso de softwares de Geometria
dinâmica.
Estão associadas a essa Unidade Temática as seguintes
ideias matemáticas fundamentais: construção, represen­
tação e interdependência.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, o ensino de
Geometria deve consolidar e ampliar os conhecimentos
construídos anteriormente – enfatizando ­se a análise
e produção de transformações, ampliações e reduções
de figuras geométricas – para o desenvolvimento dos
conceitos de congruência e semelhança. O raciocínio
hipotético ­dedutivo é outro ponto importante a se desta­
car; a realização de demonstrações simples pode contribuir
para a construção desse tipo de raciocínio. Além disso, a
articulação da Geometria com a Álgebra também deve ser
ampliada com propostas que envolvam o plano cartesiano,
objeto de estudo da Geometria analítica.
Grandezas e medidas
O estudo das medidas e das relações entre elas é o
foco dessa Unidade Temática. Os anos finais do Ensino
Fundamental devem retomar, aprofundar e ampliar as
aprendizagens já realizadas. O estudo das relações mé­
tricas favorece a integração da Matemática com diversas
áreas do conhecimento, assim como a articulação com as
demais Unidades Temáticas, consolidando e ampliando a
noção de número e promovendo a aplicação de noções
geométricas e a construção do pensamento algébrico.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera ­se que
os alunos reconheçam comprimento, área e abertura de
ângulo como grandezas associadas a figuras geométricas,
resolvam problemas com essas grandezas e obtenham
grandezas derivadas como densidade e velocidade. Além
disso, deve ­se introduzir medidas de capacidade de ar­
mazenamento de computadores ligadas a demandas da
sociedade moderna, ressaltando ­se o caráter não decimal
das relações entre elas.
Probabilidade e estatística
O intuito dessa Unidade Temática é desenvolver habi­
lidades necessárias para o exercício pleno da cidadania:
coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados;
descrever, explicar e predizer fenômenos com base em
conceitos e representações.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, em Estatística
espera ­se que o aluno seja capaz de planejar e elaborar
relatórios com base em pesquisas estatísticas descritivas,
incluindo medidas de tendência central, construir tabelas
e tipos variados de gráfico.
Quanto ao estudo de Probabilidade, deve ser ampliado e
aprofundado. Espera ­se que os alunos façam experimentos
aleatórios e simulações para comprovar resultados obtidos
com o cálculo de probabilidades.
Propostas didáticas
Os tópicos a seguir destinam ­se a oferecer suporte
à discussão sobre as atuais tendências de ensino – que
priorizam a globalidade da formação educacional, no sen­
tido de capacitar os jovens a atuar de forma positiva na
sociedade – alinhadas à proposta da coleção e auxiliadoras
do trabalho em sala de aula.
Conhecimentos prévios
Ao passar de um ano para outro de escolaridade, o
aluno traz experiências, interpretações e conhecimentos
acumulados sobre os conteúdos e temas tratados no ano
anterior. Torna ­se relevante considerar essa bagagem no
processo de aprendizagem. Há algum tempo, pesquisas na
área da educação reforçam a importância de considerar
os conhecimentos prévios como forma de encaminhar o
processo de aprendizagem para torná ­lo significativo.
Para o desenvolvimento das habilidades previstas para o
Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar
em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já
vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam
fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e
qualitativos da realidade, estabelecendo inter ‑relações entre
eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações
precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteú‑
dos, visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da
matemática, como equivalência, ordem, proporcionalidade,
variação e interdependência.
(BNCC, 2017, p. 296.)
A coleção apresenta momentos privilegiados para essa
finalidade na abertura de cada capítulo. Os pequenos
textos e as imagens selecionadas permitem discussões e
troca de ideias que possibilitam levantar conhecimentos
e experiências anteriormente elaborados sobre o tema.
XIII

16. XIVXIV
Resolução de problemas
O trabalho com a resolução de problemas é um dos
destaques do ensino matemático contemporâneo. Para
atender aos pressupostos de uma educação globalmen­
te formadora, o problema matemático deve, sempre que
possível, ser apresentado em um contexto desafiador, que
faça sentido ao aluno. Ele possibilita a mobilização dos
conteúdos estudados em busca de soluções e, sobretudo,
abre espaço para a criação de estratégias pessoais e para
a produção de novos conhecimentos.
Um problema matemático é visto como uma situação
desafiadora que tem significado para o aluno e se define
como tal não por sua forma, mas sim por sua relação com
os saberes e o nível de conhecimento do aluno que deve
pensar sobre ele.
Na resolução de problemas, é importante que o aluno:
• elabore um ou vários procedimentos de resolução
(por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas,
formular hipóteses);
• compare seus resultados com os de outros alunos;
• valide seus procedimentos.
Nesta coleção, procuramos diversificar as atividades
e propor problemas variados, distribuídos entre os capítu­
los e, em especial, nas seções Pense mais um pouco... e
Diversificando.
Uso de tecnologias
Os alunos estão inseridos na era digital e fazem uso
frequente de tecnologia. Assim, a escola não pode ignorar
esses importantes recursos e precisa trazê ­los para a edu­
cação escolar. Para isso, o professor precisa se apropriar
dessas ferramentas de modo que possa identificar tipos
de software e formas de utilizá ­los com os alunos. Vamos
destacar a calculadora e o uso de softwares e aplicativos,
entre as diversas possibilidades.
É importante salientar que, como instrumento de apoio
ao processo de ensino ­aprendizagem, a calculadora é
somente mais um recurso auxiliar, não um substituto do
exercício do raciocínio ou da capacidade analítica. O que
propomos é o uso da calculadora de maneira consciente,
de modo a contribuir para a reflexão dos conteúdos ma­
temáticos.
O uso da calculadora é sugerido na coleção como auxiliar
na resolução de problemas. Das tecnologias disponíveis na
escola, a calculadora é, sem dúvida, uma das mais simples
e de menor custo. Ela pode ser utilizada como instrumento
motivador na realização de atividades exploratórias e in­
vestigativas e, assim, contribuir para a melhoria do ensino.
Podemos tomar como orientação para o uso da calcu­
ladora em atividades matemáticas os seguintes aspectos:
• é um instrumento que possibilita o desenvolvimento
de conteúdos pela análise de regularidades e padrões
e pela formulação de hipóteses;
• é um facilitador da verificação e da análise de resul­
tados e procedimentos;
• sua manipulação e utilização são, em si, conteúdos
a serem aprendidos.
Sugerimos que, inicialmente, o professor verifique o
conhecimento que os alunos têm sobre o funcionamento
da calculadora. O ideal é que a escola disponha de calcu­
ladoras simples, que ofereçam as funções básicas. Caso
não seja possível disponibilizar uma calculadora para cada
aluno, pode ­se trabalhar em duplas ou de outra forma a
critério do professor.
As atividades sugeridas pressupõem um uso simples da
calculadora, o que poderá ser ampliado de acordo com as
necessidades e os interesses de cada turma.
Outra possibilidade de aprofundar os conhecimentos ma­
temáticos com o auxílio de tecnologia é o uso de softwares
e aplicativos, conforme a disponibilidade da escola. Por
exemplo, no campo geométrico, softwares de Geometria
dinâmica permitem a construção de retas paralelas e de
retas perpendiculares, a investigação e a verificação de
propriedades geométricas, entre outras possibilidades.
Trabalho em grupo
Quando orientado e praticado adequadamente, além
de contribuir para o desenvolvimento da habilidade de
interação e participação sociais, o trabalho em grupo
auxilia no desenvolvimento de habilidades que depen­
dem do confronto e da partilha de ideias, pois oferece a
oportunidade de provar resultados, testar seus efeitos,
comparar diferentes caminhos de resolução e validar ou
não o pensamento na busca de soluções.
Além de reforçar a aprendizagem conceitual, o trabalho
em grupo contribui para o aprimoramento da evolução de
procedimentos e atitudes, tanto em relação ao pensar
matemático quanto em relação à dinâmica grupal.
Pesquisas acerca dos processos de aprendizagem indi­
cam que, mesmo com o exercício em grupo, acaba prevale­
cendo o aprendizado individual, o qual apenas se enriquece
com as múltiplas contribuições geradas pelo trabalho grupal,
pela interação entre diferentes formas de pensar.
De qualquer modo, reforçamos que o sucesso do tra­
balho em grupo depende notavelmente do planejamento
e da supervisão pedagógica, respeitados os diferentes
tipos de aprendiz. No intuito de colaborar com a atuação do
professor em sala de aula, esta coleção preocupou ­se em
indicar, pontualmente, as atividades que mais possibilitam
a exploração em grupo.
Outras possibilidades de trabalho
Como já exposto, entendemos o livro didático como
apoio do trabalho pedagógico. Nessa perspectiva, o conhe­
cimento, a experiência e a autonomia profissional fazem
do docente um coautor do material publicado. Assim, a
XIV

17. despeito das propostas explícitas da coleção, o professor
sempre poderá ampliar, complementar e inovar no de­
senvolvimento e nas discussões dos temas e atividades
sugeridos, aproveitando as novas questões que emergem
em sala de aula no desenrolar do estudo.
É sempre bom lembrar que o estímulo à imaginação e
ao interesse dos alunos conta com uma gama de recursos
didáticos, como: o trabalho com jogos ou com materiais ma­
nipulativos, vídeos e ferramentas da informática; a pesqui­
sa em livros paradidáticos, dicionários, periódicos (jornais,
boletins, revistas de informação geral e especializada) e
internet; ou a realização de feiras, gincanas e exposições.
Apresentação da coleção
Estrutura da obra
A coleção é composta de quatro livros do estudante e
respectivos manuais do professor. O Manual do Professor
de cada ano reúne livro impresso e materiais digitais com
conteúdo complementar: Planos de desenvolvimento
bimestrais, Sequências didáticas, Propostas de Acompa­
nhamento da Aprendizagem e Material Digital Audiovisual.
Cada livro do estudante é organizado em 12 capítulos.
Cada capítulo enfatiza conteúdos que compõem os obje­
tos de conhecimento referentes a uma Unidade Temática
descrita pela BNCC.
Sempre que possível, o capítulo traz conteúdos relacio­
nados a mais de uma Unidade Temática, como em proble­
mas de contagem relacionados a polígonos, no capítulo 10
do 7
o
ano em “Combinatória dos polígonos”.
Um mesmo conceito é abordado por meio de diferentes
enfoques, possibilitando que os alunos se apropriem dele,
como no caso do conceito de frações e seus múltiplos
significados, no capítulo 7 do 6
o
ano (fração como parte/
todo, como quociente e como razão), ou ainda o conceito
de ângulo, no capítulo 6 do 6
o
ano (como reunião de duas
semirretas de mesma origem e como giro).
Os capítulos de cada volume são compostos de:
• Desenvolvimento teórico
O desenvolvimento dos conteúdos propostos é acom­
panhado de diversificação de estratégias. Apresenta­
­se intercalado com atividades e seções especiais que
ampliam e enriquecem o tema estudado.
• Blocos de atividades
As atividades presentes na coleção – distribuídas en­
tre Exercícios propostos, Exercícios complementares
e atividades diferenciadas nas seções especiais –
possibilitam o trabalho com as Unidades Temáticas
e permitem integrações entre elas. Têm o intuito de
estimular o raciocínio lógico, a argumentação e a
resolução de problemas, além de propor temáticas
atuais relevantes à faixa etária.
• Seções especiais
Distribuídas ao longo do capítulo, as seções de variados
tipos complementam, ampliam e enriquecem o tema trata­
do e desafiam os alunos por meio das atividades propostas.
Há pelo menos um tipo dessas seções em cada capítulo.
A seguir, apresentamos os principais elementos que
compõem os capítulos e descrevemos as seções especiais
que aparecem ao longo de cada volume da coleção.
• Abertura de capítulo: compreendida por uma imagem
e pequeno texto motivadores do tema do capítulo.
• Exercícios propostos: aparecem ao longo do desen­
volvimento teórico, trabalham aspectos importantes
de cada conteúdo de maneira variada. Por exemplo,
nos exercícios com indicação Hora de criar, os alunos
são convidados a usar sua criatividade, imaginação,
capacidade de argumentação e colaboração traba­
lhando em duplas ou em grupos.
• Exercícios complementares: ao final do capítulo,
podem ser explorados de diversas maneiras pelo pro­
fessor, de acordo com suas necessidades didáticas.
Podem servir de base para uma discussão em duplas
ou em grupos, sintetizar o tema abordado, ser utiliza­
dos para autoavaliação ou ainda aproveitados como
tarefa extraclasse ou como fonte de exercícios para
uma recuperação paralela, entre outras aplicações.
• Seção Pense mais um pouco...: atividades e desafios
de aprofundamento dos conteúdos desenvolvidos
no capítulo, que solicitam do aluno um pensamento
mais elaborado, exigindo a criação de estratégias
pessoais de resolução.
• Seção Para saber mais: conteúdos e atividades que,
fundamentados em contextos diversos, integram a
Matemática a outras áreas do saber ou aos diferentes
campos dela própria, como a História da Matemática.
Geralmente é finalizada por Agora é com você!, que
traz uma proposta de questões relacionadas ao tema
exposto.
• Seção Trabalhando a informação: são trabalhados
conteúdos de Probabilidade e Estatística, como
interpretação e construção de tabelas e gráficos e
cálculo de probabilidades.
• Seção Diversificando: atividades que relacionam o
conteúdo trabalhado no capítulo a outros contextos,
como jogos, aplicações e desafios.
Essa estrutura pretende ser organizadora do trabalho
docente sem, contudo, tornar ­se um entrave para alunos
e professores. Por isso, os capítulos contemplam aspectos
fundamentais a serem trabalhados com os alunos, mas
permitem maleabilidade e flexibilidade em sua abordagem,
na tentativa de facilitar o trabalho do professor no momen­
to em que ele precisar fazer as adaptações necessárias
a cada turma.
XV

18. XVIXVI
Organização geral da obra
No quadro a seguir apresentamos a configuração dos doze capítulos em cada ano
desta coleção:
6
o
ano 7
o
ano 8
o
ano 9
o
ano
Capítulo 1
Números Números inteiros Potências e raízes Números reais
Capítulo 2
Operações com números
naturais
Números racionais
Construções geométricas
e lugares geométricos
Operações com números
reais
Capítulo 3
Estudando figuras
geométricas
Operações com números
racionais
Estatística e probabilidade Grandezas proporcionais
Capítulo 4 Divisibilidade Ângulos Cálculo algébrico
Proporcionalidade em
Geometria
Capítulo 5 Um pouco de Álgebra Equações
Polinômios e frações
algébricas
Semelhança
Capítulo 6
Um pouco de Geometria
plana
Inequações
Produtos notáveis e
fatoração
Um pouco mais sobre
Estatística
Capítulo 7
Números racionais na
forma de fração
Sistemas de equações Estudo dos triângulos
Equações do 2
o
grau
Capítulo 8
Operações com números racionais na forma de fração
Simetria e ângulos
A Geometria demonstrativa
Triângulo retângulo
Capítulo 9
Números racionais na forma decimal e operações
Razões, proporções e porcentagem
Estudo dos quadriláteros
Razões trigonométricas nos triângulos retângulos
Capítulo 10 Polígonos e poliedros Estudo dos polígonos
Sistemas de equação do 1
o
grau com duas
incógnitas
Estudo das funções
Capítulo 11 Comprimentos e áreas Sobre áreas e volumes Área de regiões poligonais
Circunferência, arcos e relações métricas
Capítulo 12
Outras unidades de medida
Estudo da circunferência e do círculo
De áreas a volumes
Polígonos regulares e áreas
Avaliação
A avaliação e as práticas avaliativas
O cenário de ampla discussão sobre metodologias e práticas pedagógicas que se
estabeleceu nos últimos anos de nossa história trouxe à tona pontos vitais para o
surgimento de novas formas de pensar a educação: as concepções de avaliação da
aprendizagem.
Quanto à importância da avaliação, tomamos emprestadas as palavras de Regina
Pavanello e Clélia Nogueira:
Se há um ponto de convergência nos estudos sobre a avaliação escolar é o de que ela é es‑
sencial à prática educativa e indissociável desta, uma vez que é por meio dela que o professor
pode acompanhar se o progresso de seus alunos está ocorrendo de acordo com suas expectativas
ou se há necessidade de repensar sua ação pedagógica. Quanto ao aluno, a avaliação permite
que ele saiba como está seu desempenho do ponto de vista do professor, bem como se existem
lacunas no seu aprendizado às quais ele precisa estar atento.
XVI

19. […] Acreditamos que poucos educadores e educandos
têm consciência de que a avaliação é um processo contínuo
e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam
constantemente, nas mais diversas situações, diante da ne‑
cessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as
mais complexas.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 30, 36.)
As divergências, contudo, têm início quando se pretende
redefinir a avaliação escolar e os modos e graus de exigên­
cia desse processo. Podemos dizer que, por longo tempo,
na maior
parte da história da Educação Matemática, o
que vigorou foi a chamada avaliação informativa:
Na prática pedagógica da
Matemática, a avaliação tem,
tradicionalmente, centrado ‑se nos conhecimentos especí‑
ficos e na contagem de erros. É uma avaliação
somativa, que
não só seleciona os
estudantes, mas os compara entre si e os
destina a
um determinado lugar numérico em função das
notas obtidas. Porém, mesmo quando
se trata da avaliação
informativa, é possível ir além da resposta final, superando,
de
certa forma, a lógica estrita e cega do “certo ou errado”.
(Ibidem, p. 36 ­7.)
Alguns autores, porém, concordam que mesmo na
avaliação
tradicional há algum espaço para uma busca
mais consciente do processo formativo do aluno. As
mesmas pesquisadoras,
por exemplo, fazem a seguinte
consideração:
Mesmo numa avaliação tradicional, na qual é solicitada
ao aluno apenas a resolução de exercícios, é possível avançar
para além da resposta final, considerando:
• o modo como o aluno interpretou sua resolução para
dar a resposta;
• as escolhas feitas por ele para desincumbir ‑se de sua
tarefa;
• os conhecimentos matemáticos que utilizou;
• se utilizou ou não a Matemática apresentada nas aulas; e
• sua capacidade de comunicar ‑se matematicamente, oral‑
mente ou por escrito.
(BURIASCO, 2002, apud PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.)
Uma concepção de avaliação que tem se configurado
nos últimos anos é a que se refere à avaliação formativa.
Principalmente a partir da década de 1980, muitos es­
tudiosos têm
feito importantes contribuições ao enten­
dimento
que devemos ter sobre avaliação como processo,
ação contínua
. Entre esses pesquisadores, destacamos o
trabalho de Luckesi (2001). Segundo o autor, a avaliação
deve ser tomada como
instrumento para a compreensão
do estágio em que se
encontra o estudante, tendo em
vista a tomada de decisões,
suficientes e satisfatórias,
para avançar no processo de aprendizagem.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), divulgados
desde fins dos anos 1990, colaboraram para a ampliação
do olhar
sobre as funções da avaliação. Destacam, por
exemplo, a dimensão social e a dimensão pedagógica da
avaliação.
No primeiro caso, a avaliação tem a função de, para os
estudantes, informar acerca do desenvolvimento das
potencialidades que serão exigidas no contexto social,
garantindo sua
participação no mercado de trabalho e na
esfera
sociocultural. Para os professores, a avaliação deve
auxiliar na identificação dos objetivos alcançados, com
a intenção de reconhecer as
capacidades matemáticas
dos educandos.
No segundo caso, a avaliação tem a função de informar
os
estudantes sobre o andamento da aprendizagem pro­
priamente
dita, isto é, dos conhecimentos adquiridos, do
desenvolvimento de raciocínios, dos valores e hábitos
incorporados e do domínio de
estratégias essenciais.
A BNCC, homologada em 2017, também preconiza
uma avaliação formativa:
[...] construir e aplicar procedimentos de avaliação
formativa de processo ou de resultado que levem em conta
os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais
registros como referência para melhorar o desempenho da
escola, dos professores e dos alunos; [...]
(BNCC, p. 17.)
Os instrumentos de avaliação (provas, trabalhos e re­
gistros de
atitudes, entre outros) devem ser capazes de
fornecer informações ao professor sobre as condições de
cada
estudante com relação à resolução de problemas,
ao uso adequado da linguagem
matemática, ao desenvol­
vimento
de raciocínios e análises e à integração desses
aspectos em seu
conhecimento matemático. Devem
também
contemplar as explicações, justificativas e
argumentações orais, uma vez que estas revelam aspec­
tos do raciocínio que muitas vezes não se evidenciam
em
avaliações escritas.
Para Charles Hadji (2001, p. 21), a avaliação formativa
implica, por parte do professor, flexibilidade e vontade de
adaptação e de ajuste. O autor ressalta que a avaliação que
não é seguida da modificação das práticas pedagógicas
tem pouca capacidade de ser formativa. Posição seme­
lhante é defendida pelas educadoras Pavanello e Nogueira:
É preciso reconhecer […] que o professor deve selecionar,
dentre as informações
captadas, apenas o que é realmente
importante […]. Para isso, existem indicadores que, segun‑
doVergani (1993, p. 155), podem nortear a observação pelo
professor, entre
os quais poderiam ser citados:
• o interesse com que o aluno se entrega às atividades
matemáticas;
• a confiança que tem em suas possibilidades;
XVII

20. XVIIIXVIII
• sua perseverança, apesar das dificuldades encontradas;
• se formula hipóteses, sugere ideias, explora novas pistas
de pesquisa;
• se avalia criteriosamente a adequação do processo que
adotou ou a solução que encontrou;
• se reflete sobre a maneira de planificar uma atividade e
de organizar seu trabalho;
• se pede ajuda em caso de dúvida ou de falta de conhe‑
cimentos; e
• se comunica suas dificuldades e descobertas aos colegas,
de maneira adequada.
No entanto, para que essas atitudes possam ser cultivadas
pelo aluno, a prática
pedagógica não pode mais se centrar
na exposição e reprodução de conteúdos que
só privilegiam
a memorização e não o
desenvolvimento do pensamento.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 38 ­39.)
Afinal, o que deve ser avaliado: conteúdos, habilidades,
atitudes?
Tudo deve ser avaliado. O fundamental, porém, é saber
como olhar, o que olhar e como analisar as coletas. Para
isso, o professor pode recorrer a diversificados instrumen­
tos de coleta de informações, selecionando aqueles que
permitam compor o melhor panorama da aprendizagem
matemática de seus alunos.
Desse modo, as avaliações precisam ser planejadas,
assim como qualquer situação de ensino. É fundamen­
tal estar sempre atento ao processo de avaliação sem
perder de vista os objetivos e as expectativas para cada
ano. Portanto, durante o uso de instrumentos avaliati­
vos, é importante considerar as habilidades propostas
nos documentos curriculares, nos planos de ensino e os
trabalhados na coleção.
Diante das diferentes concepções sobre como avaliar
e com base nas ideias que a coleção assume, entende ­se
que a avaliação deve ser um processo contínuo durante o
ano letivo, e não apenas momentos estanques, como ao
final de cada bimestre, de modo que o desenvolvimento
dos alunos seja acompanhado pelo professor e por ele
próprio, e que intervenções possam ser feitas ao longo
do caminho.
A organização da coleção em capítulos e o bloco de
Exercícios complementares podem ser indicativos ou
funcionar como ferramentas iniciais para a construção
de momentos avaliativos.
Porém, ressalta ­se
a importância de complementar as
atividades do livro com
outros instrumentos para acom­
panhar os alunos em seu processo de aprendizagem.
Desse modo, destacam ­se a seguir elementos a se
considerar no processo avaliativo:
• o caráter processual, formativo e participativo da
avaliação e sua forma contínua, cumulativa e diag­
nóstica;
• a avaliação como oportunidade para professor e
aluno refletirem e ajustarem o desempenho;
• as diferentes estratégias e oportunidades para
avaliação, não deixando de considerá ­las também
situações de aprendizagem;
• a importância de registros constantes dos avanços
e dificuldades de observação e acompanhamento
diário;
• diferentes propostas de avaliação de aprendizagem
coerentes com visões atuais de avaliação (mediadora
e dialógica, diagnóstica e formativa);
• instrumentos para registros como relatórios, portfó­
lios, tabelas, fichas, entre outros com critérios para
avaliação.
Instrumentos de avaliação nas aulas
de Matemática
Ao diversificar os instrumentos de avaliação e autoa­
valiação, o professor pode produzir momentos de apren­
dizagem e atender o maior número de alunos do grupo.
Como sugestão, vamos apresentar aqui, resumidamente,
um leque de modalidades de avaliação.
Autoavaliação: em primeiro lugar, o professor deve auxi­
liar os alunos a compreenderem os objetivos da autoavalia­
ção, fornecendo ­lhes para isso um roteiro de orientação. Os
alunos devem ser motivados a detectar suas dificuldades
e a questionar as razões delas.
Prova em grupo seguida de prova individual: nesta
modalidade, as questões são resolvidas em grupo e, em
seguida, cada aluno resolve questões do mesmo tipo indivi­
dualmente. O intuito é colaborar para a metacognição, para
que o aluno tenha consciência do próprio conhecimento,
de suas potencialidades e dificuldades.
Testes ‑relâmpago: os
testes ­relâmpago normalmen­
te
propõem poucas questões, uma ou duas apenas. Têm
por objetivo não permitir que os alunos mantenham ­se sem
estudo durante
longos períodos, de modo que se acumule
uma grande quantidade de conteúdos. Esse recurso,
além
de manter os alunos atentos aos assuntos contemplados
em aula, ajuda ­os na familia
rização com os processos
avaliativos.
Testes e/ou provas cumulativas: este instrumento
de avaliação traz à tona conteúdos trabalhados em
momentos anteriores. Tal prática contribui para que os
alunos percebam as conexões entre os conteúdos e a
importância de usar os conhecimentos matemáticos de
forma contínua.
Testes em duas fases: este tipo de teste, ou prova, é
realizado em duas
etapas:
XVIII

21. 1
a
) a prova é realizada em sala de aula, sem a interfe­
rência
do professor;
2
a
) os alunos refazem a prova dispondo dos comentários
feitos pelo professor.
O sucesso desse instrumento depende de alguns
fatores,
como:
• a escolha das questões deve ser norteada pelos
objetivos do teste;
• o conteúdo dos comentários formulados pelo profes­
sor entre as duas fases;
• a consciência, por parte dos alunos, de que a segun­
da fase não consiste em mera correção do que está
errado, mas em uma oportunidade de aprendizagem.
As questões devem ser de dois
tipos:
• as que requerem interpretação ou justificação, e
problemas de resolução relativamente breve;
• as abertas, e problemas que exijam alguma investi­
gação e respostas mais elaboradas.
Resolução de problemas: chamamos de “problema ma­
temático”
aquele que envolve um raciocínio matemático
na busca por solução. Pode ser resolvido individualmente
ou em grupo. A atividade de resolução de problemas deve
envolver, entre outros fatores:
• a compreensão da situação ­problema por meio de
diferentes técnicas (leitura, interpretação, drama­
tização etc.);
• a promoção da criação de estratégias pessoais (não
haver solução pronta);
• a identificação do problema e a seleção e mobilização
dos conhecimentos matemáticos necessários para
sua resolução;
• a avaliação do processo para verificar se, de fato, os
objetivos estão sendo atingidos;
• a interpretação e verificação dos resultados, para
que se avaliem sua razoabilidade e validade.
Mapa conceitual: durante a fase formal de avaliação,
o professor pode solicitar aos
alunos que construam o
mapa conceitual sobre um tema já discutido e explorado
em aula. Este
tipo de instrumento propicia a verificação
da aprendizagem mais aberta e pode ser usado como
autoavaliação.
Trabalho em grupo: para que o grupo trabalhe de fato
como grupo, são
fundamentais a orientação e o auxílio
do professor no sentido de estimular os alunos a desem­
penharem
novas funções em sala de aula, em colaboração
com os colegas. Um incentivo para isso é o
grupo receber
uma única folha de papel com as atividades propostas, para
que todos resolvam
em conjunto. A questão a ser respon­
dida deve ser desafiadora, despertando a curiosidade e
a
vontade de resolvê ­la.
Diálogos criativos: a proposta é que os alunos produzam
diálogos
matemáticos em que estejam inseridos concei­
tos e propriedades de determinado
conteúdo.
Histórias em quadrinhos: nesta modalidade, os alunos
criam histórias em quadrinhos
para explorar os assuntos
estudados em sala de aula. Esse é um recurso que, além
de
intensificar o interesse pela Matemática, permite ao
professor a avaliação do
conhecimento assimilado pelos
alunos em contextos
diversificados.
Seminários e exposições: são atividades que oferecem
oportunidade para os alunos organizarem seu conhe­
cimento matemático
e suas ideias sobre os assuntos
explorados em aula,
além de promover a desinibição e a
autonomia dos
alunos.
Portfólios: são coletâneas dos melhores trabalhos, que
podem ser escolhidos pelos próprios estudantes. O pro­
fessor deve orientá ­los e sugerir que selecionem, durante
um período, as atividades de Matemática que preferirem
e que justifiquem as suas escolhas.
É importante reforçar que um processo fecundo de ava­
liação deverá considerar, além
dos instrumentos apropria­
dos, o
estabelecimento de critérios de correção alicerçado
em
objetivos claros e justos. Chamamos a atenção para
o
tratamento que devemos dar ao “erro” nas atividades
de
Matemática. Ele deve ser analisado criticamente, de
modo que
forneça indícios de sua natureza e da correção
do percurso pedagógico, para o
(re)planejamento e a
execução
das atividades em sala de aula.
Encarados com naturalidade e racionalmente tratados,
os erros passam a ter importância pedagógica, assumindo
um papel
profundamente construtivo, e servindo não
para produzir no aluno um sentimento de fracasso, mas
para
possibilitar ‑lhe um instrumento de compreensão de
si próprio, uma motivação para superar suas dificuldades e
uma atitude positiva para seu futuro pessoal.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.)
Por fim, a observação atenta e a percepção aguçada do
professor também são relevantes no processo de avalia­
ção, no sentido de detectar as aprendizagens, que muitas
vezes não são reveladas pelos instrumentos avaliativos
escolhidos.
Seja qual for o instrumento utilizado, é fundamental
que o professor estabeleça critérios de avaliação da
aprendizagem matemática dos alunos para cada ano,
tomando como referência as habilidades de Matemática
para os anos finais do Ensino Fundamental. Desse modo,
os objetivos de aprendizagem destacados no planeja­
mento do professor precisam ser explicitados para o
aluno, para que ele compreenda aonde se quer chegar,
tomando o cuidado de usar uma linguagem compatível
com o seu entendimento.
XIX

22. XXXX
Formação continuada e
desenvolvimento profissional
docente
Assim como os estudantes precisam desenvolver
habilidades e
competências diversificadas, em sintonia
com a época em que vivem, nós, professores, mais que
outros profissionais, temos a máxima urgência e necessi­
dade de cuidar da
continuidade de nossa formação e do
consequente desenvolvimento profissional.
O que aprendemos na universidade e a experiência que
adquirimos com a prática
pedagógica não são suficientes
para nos manter longe de atividades de formação. Pesqui­
sas e estudos
no campo da Educação Matemática e áreas
afins têm nos auxiliado a
encontrar as respostas para as
muitas dúvidas e angústias inerentes à profissão: “O que
ensinar?”, “Por que ensinar?”, “Como ensinar?”…
O
desenvolvimento profissional do professor deve ser
entendido como um
processo contínuo, que se dá ao longo
de toda a vida profissional, não ocorre ao acaso, tampouco
é
espontâneo, mas resultado do processo de busca que
parte das necessidades e dos
interesses que surgem no
percurso.
Na realidade, a formação profissional docente tem
início na experiência como aluno e na
formação acadê­
mica específica, do período de iniciação à docência, até
edificar ­se com a
experiência profissional e os processos
de formação continuada
.
Lembramos que as ações de formação continuada po­
dem ser desenvolvidas por múltiplas modalidades, como
leituras atualizadas, cursos, palestras, oficinas, seminários,
grupos de estudos, reuniões e encontros com colegas na
própria escola.
Para ampliar essa proposta, indicamos instituições de
educação e algumas de suas publicações, organizamos su­
gestões de livros, sites e documentos oficiais que possam
contribuir para um aprofundamento do conhecimento do
professor e auxiliá ­lo na ampliação das atividades propos­
tas no livro.
Instituições de estudos e pesquisas
em Educação Matemática que mantêm
publicações na área
• Associação de Professores de Matemática (APM/
Portugal). Promove anualmente encontros nacionais
como o ProfMat e o Seminário de Investigação em
Educação Matemática (Siem).
• Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática
(Caem/USP). Promove a Virada Malba Tahan e publica
a revista Malba Tahan .
• Centro de Ensino de Ciências e Matemática (Cecimig/
UFMG)
• Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação
Matemática (Cempem/Unicamp)
• Departamento de Matemática do Instituto de Geo­
ciências e Ciências Exatas (IGCE) da Unesp/Rio Claro
• Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Mate­
mática (Gepem/RJ)
• Grupo de Pesquisa em Epistemologia e Ensino de
Matemática (GPEEM/UFSC)
• Programa de estudos e pesquisas no ensino de Ma­
temática (Proem/PUC ­SP)
• Laboratório de Ensino de Matemática da Universidade
Federal de Pernambuco (Lemat/UFPE)
• Laboratório de Estudos de Matemática e Tecnologias
da Universidade Federal de Santa Catarina (Lemat/
UFSC)
• Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)
– regionais São Paulo, Minas Gerais, Bahia, Espírito
Santo, Rio Grande do Sul, Rio de Janeiro etc. (A maioria
das regionais mantêm publicações para professores.)
• Sociedade Brasileira de História da Matemática
(SBHMat)
• Sociedade Brasileira de Matemática (SBM)
• Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional
(SBMAC)
Algumas publicações de associações e centros
de Educação Matemática
• Bolema (Boletim de Educação Matemática) – publi­
cado pelo Departamento de Matemática do Instituto
de Geociência e Ciências Exatas da Universidade Es­
tadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (IGCE ­Unesp),
campus de Rio Claro. Disponível em: <http://www.
periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema>.
Acesso em: 06 set. 2018.
• Boletins do Gepem – publicados pelo Grupo de
Estudos e Pesquisas em Educação Matemática da
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ).
Disponível em: <http://r1.ufrrj.br/gepem/>. Acesso
em: 30 abr. 2018.
• Educação Matemática em Revista – publicada pela
Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Dis­
ponível em: <http://www.sbem.com.br>. Acesso em:
30 abr. 2018.
XX

23. • Revemat: Revista Eletrônica de Educação Matemática
– publicada pelo Grupo de Pesquisa em Epistemolo­
gia e Ensino de Matemática (UFSC). Disponível em:
<https://periodicos.ufsc.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Revista Educação e Matemática e Revista Quadran‑
te – publicadas pela Associação de Professores de
Matemática de Portugal. Disponível em: <h t t p s : //
wordpress.apm.pt/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Revista de História da Educação Matemática – publi ­
cada pela Sociedade Brasileira de História da Mate­
mática. Disponível em: <http://histemat.com.br/>.
Acesso em: 30 abr. 2018.
• Revista do Professor de Matemática (RPM) – publicada
pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível
em: <http://www.rpm.org.br/>. Acesso em: 30 abr.
2018.
• Revista Zetetiké – publicada pelo Centro de Estu­
dos Memória e Pesquisa em Educação Matemática
(Unicamp). Disponível em: <https://www.cempem.
fe.unicamp.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
Sugestões de leitura
Números
• A compreensão de conceitos aritméticos: ensino e
pesquisa. Analúcia Schliemann; David Carraher (Orgs.).
Campinas: Papirus,
1998.
• Materiais didáticos para as quatro operações. 5. ed.
Virgínia Cardia Cardoso. São Paulo: Caem/USP, 2002.
• Números: linguagem universal. Vânia Maria P. dos
Santos; Jovana Ferreira de Rezende (Coords.). Rio
de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto
Fundão, 1996.
• Repensando adição e subtração. Sandra
Magina; Tâ­
nia
M. M. Campos; Terezinha Nunes; Verônica Gitirana.
São Paulo: Proem,
2001.
• Sobre a introdução do conceito de número fracionário.
Maria José Ferreira da Silva. 1997. Dissertação (Mes­
trado) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
Álgebra
• Álgebra: das variáveis às equações e funções. Eliane
Reame de Sousa; Maria Ignes Diniz. São Paulo: IME­
­USP, 1994.
• Aplicações da matemática escolar. D. Bushaw; M. Bell;
H. O. Pollack. São Paulo: Atual, 1997.
• Aprenda Álgebra brincando. I. Perelmann. Curitiba:
Hemus, 2001.
• Erros e dificuldades no ensino da Álgebra: o tratamen­
to dado por professoras de 7
a
série em aula. Renata
Anastacia Pinto. 1997. Dissertação (Mestrado) –
Unicamp, Campinas.
• Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século
XXI. Rômulo Campos Lins; Joaquim Gimenez. Campi­
nas: Papirus, 1997.
• Ressonâncias e dissonâncias do movimento pendular
entre Álgebra e Geometria no currículo escolar brasi­
leiro. Ângela Miorin; Antonio Miguel; Dário Fiorentini.
Zetetiké. Campinas: Unicamp, n. 1, 1993.
• Um estudo de dificuldades ao aprender Álgebra em
situações diferenciadas de ensino em alunos da 6
a

série do Ensino Fundamental. Nathalia Tornisiello
Scarlassari. 2007. Dissertação (Mestrado) – Unicamp,
Campinas.
Geometria
• A Matemática das sete peças do Tangram. 3. ed.
Eliane Reame de Souza; Maria Ignez S. V. Diniz; Rosa
Monteiro Paulo; Fusako Hori Ochi. São Paulo: Caem/
USP, 2003.
• Aprendendo e ensinando Geometria. Mary M. Lind­
quist; Albert P. Shulte (Orgs.). São Paulo: Atual, 1994.
• Aprendendo e ensinando Matemática com geoplano.
Gelsa Knijnik; Marcus Vinícius Basso; Renita Klüsener.
Ijuí: Unijuí Editora, 1996.
• Ensino de Geometria no virar do milênio: investigações
em Geometria na sala de aula. Eduardo Veloso; Helena
Fonseca; João Pedro da Ponte; Paulo Abrantes (Orgs.).
Lisboa: Defcul, 1999.
• Espaço e forma. Célia Maria C. Pires; Edda Curi; Tânia
Maria M. Campos. São Paulo: Proem, 2000.
• Experiências com Geometria na escola básica: narrati­
vas de professores em (trans)formação. Adair Mendes
Nacarato; Adriana A. M. Gomes; Regina Célia Grando.
São Carlos: Pedro & Editores, 2008.
• Geometria na era da imagem e do movimento. Maria
Laura M. Leite Lopes; Lílian Nasser (Coords.). Rio de
Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto
Fundão, 1996.
• O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas
e consequências. Regina Maria Pavanello. Zetetiké.
Campinas: Unicamp, n. 1, p. 7 ­17, mar. 1993.
• O uso de quadriculados no ensino da Geometria. 4. ed.
Fusako Hori Ochi; Rosa Monteiro Paulo; Joana Hissae
Yokoya; João Kazuwo Ikegami. São Paulo: Caem/USP,
2003.
• Por que não ensinar Geometria? Sérgio Lorenzato.
Educação Matemática em Revista. Florianópolis:
SBEM, n. 4, 1
o
sem. 1995.
Grandezas e medidas
• Medida e forma em Geometria: comprimento, área,
volume e semelhança. Elon Lages Lima. Rio de Janeiro:
SBM, 2011.
• Temas e problemas elementares. Eduardo Wagner;
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Augusto
Cezar de Oliveira Morgado. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
XXI

24. XXIIXXII
Probabilidade e estatística
• A Probabilidade e a Estatística no Ensino Fundamen-
tal: uma análise curricular. Celi Aparecida Espasandin
Lopes. 1998. Dissertação (Mestrado) – Unicamp,
Campinas.
• Encontro das crianças com o acaso, as possibilida-
des, os gráficos e as tabelas. Anna Regina Lanner;
Celi Aparecida Espasandin Lopes (Orgs.). Campinas:
Unicamp, 2003.
• Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental
e Médio. Irene Maurício Cazorla; Eurivalda dos Santos
Santana. Itabuna/Ilhéus: Via Litterarum, 2006.
• Tratamento da Informação: explorando dados es‑
tatísticos e noções de probabilidade a partir das
séries iniciais. Maria Laura M. Leite Lopes (Org.). Rio
de Janeiro: UFRJ, 2005.
Resolução de problemas
• A arte de resolver problemas: um novo aspecto do
método matemático. George Polya. Rio de Janeiro:
Interciência, 1995.
• A resolução de problemas na Matemática escolar.
Stephen Krulik; Robert E. Reys (Orgs.). São Paulo:
Atual, 1997.
• Didática da resolução de problemas de Matemática.
Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática, 1991.
• Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para
as aulas de Matemática. 5. ed. Júlia Borin. São Paulo:
Caem/USP, 2004.
• Ler, escrever e resolver problemas: habilidades bási‑
cas para aprender Matemática. Kátia Stocco Smole;
Maria Ignez Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2001.
Educação matemática
• A Matemática e os temas transversais. Alexandrina
Monteiro; Geraldo Pompeu Junior. São Paulo: Moder‑
na, 2001.
• A Matemática na escola: aqui e agora. Délia Lerner de
Zunino. Porto Alegre: Artmed, 1995.
• Aplicações de Vygotsky à educação matemática.
Lúcia Moysés. Campinas: Papirus, 1997.
• Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas.
Cecília Parra; Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed,
1996.
• Educação matemática. Maria Aparecida Viggiani Bi‑
cudo (Org.). São Paulo: Centauro, 2005.
• Educação matemática, leitura e escrita: armadilhas,
utopias e realidade. Celi Espasadin Lopes; Adair Men‑
des Nacarato (Orgs.). Campinas: Mercado de Letras,
2009.
• Ensinar e aprender Matemática. Luiz Carlos Pais. Belo
Horizonte: Autêntica, 2006.
• Ensino de Matemática na escola de nove anos: dú‑
vidas, dívidas e desafios. Vinício de Macedo Santos.
São Paulo: Cengage Learning, 2014.
• Escritas e leituras na Educação matemática. Adair
Mendes Nacarato; Celi Espasandin Lopes (Orgs.). Belo
Horizonte: Autêntica, 2005.
• Etnomatemática: currículo e formação de professo‑
res. Gelsa Knijnik; Fernanda Wanderer; Cláudio José
de Oliveira (Orgs.). Santa Cruz do Sul: Edunisc, 2004.
• Etnomatemática: elo entre as tradições e a moderni‑
dade. Ubiratan D’Ambrosio. Belo Horizonte: Autêntica,
2001.
• Fundamentos da didática da Matemática. Saddo Ag
Almouloud. Curitiba: UFPR, 2007.
• Histórias e investigações de/em aulas de Matemáti-
ca. Dario Fiorentini; Eliane Matesco Cristovão (Orgs.).
Campinas: Alínea, 2006.
• Investigações matemáticas na sala de aula. João
Pedro da Ponte; Joana Brocardo; Hélia Oliveira. Belo
Horizonte: Autêntica, 2003.
• Letramento no Brasil: habilidades matemáticas. Maria
da Conceição F. R. Fonseca (Org.). São Paulo: Global,
2004.
• Matemática e atualidade. Christiane Rousseau; Yvan
Saint ‑Aubin. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2015.
• Matemática em projetos: uma possibilidade. Celi
Espasandin Lopes (Org.). Campinas: FE/Cempem/
Unicamp, 2003.
• Matemática escolar e Matemática da vida cotidiana.
José Roberto B. Giardinetto. Campinas: Autores As‑
sociados, 1999.
• Matemática, estupefação e poesia. Bruno D’Amore.
São Paulo: Livraria da Física, 2012.
• Múltiplos olhares: Matemática e produção de conhe‑
cimento. Jackeline Rodrigues Mendes; Regina Célia
Grando (Orgs.). São Paulo: Musa, 2007.
• Para aprender Matemática. Sérgio Lorenzato. Campi‑
nas: Autores Associados, 2006.
• Sala de aula: um espaço de pesquisa em Matemática.
Cristina Maranhão; Stella Galli Mercadante. São Paulo:
Vera Cruz, 2006.
História da Matemática
• Análise histórica de livros de Matemática. Gert Schu ‑
bring. Campinas: Autores Associados, 2003.
• História concisa das matemáticas. Dirk J. Struik. Lis‑
boa: Gradiva, 1998.
• História da Matemática. Carl B. Boyer. São Paulo:
Edgard Blücher, 1996.
XXII

25. • História na educação matemática: propostas e de­
safios. Antônio Miguel; Maria Ângela Miorim. Belo
Horizonte: Autêntica, 2004.
• História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo
mitos e lendas. Tatiana Roque. Rio de Janeiro: Zahar,
2012.
• História universal dos algarismos. Georges Ifrah. São
Paulo: Nova Fronteira, 1997.
• Introdução à história da Educação matemática. An­
tonio Miguel; Maria Ângela Miorim. São Paulo: Atual,
1998.
• Introdução à história da Matemática. Howard Eves.
Campinas: Unicamp, 1997.
• Os números: a história de uma grande invenção.
Georges Ifrah. São Paulo: Globo, 1989.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala
de aula: Álgebra. John K. Baumgart. São Paulo: Atual,
1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala de
aula: Geometria. Howard Eves. São Paulo: Atual, 1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala
de aula: Números e numerais. Bernard H. Gundlash.
São Paulo: Atual, 1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala
de aula: Trigonometria. Howard Eves. São Paulo:
Atual, 1992.
Jogos
• Aprender com jogos e situações ‑problema. Lino de
Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto
Alegre: Artmed, 2000.
• Jogos de matemática de 6
o
ao 9
o
ano. Kátia Stocco
Smole; Estela Milani Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2007.
• O jogo como espaço para pensar: a construção de
noções lógicas e aritméticas. Rosely Palermo Brenelli.
Campinas: Papirus, 1996.
• O jogo e a Matemática no contexto da sala de aula.
Regina Célia Grando. São Paulo: Paulus, 2004.
• Os jogos e o lúdico na aprendizagem escolar. Lino de
Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto
Alegre: Artmed, 2005.
Tecnologia
• A influência da calculadora na resolução de proble­
mas matemáticos abertos. Katia Maria de Medeiros.
Educação Matemática em Revista. São Paulo: SBEM,
n. 14, 2003.
• Ensinando com tecnologia: criando salas de aula
centradas nos alunos. Judith H. Sandholtz; Cathy
Ringstaff; David C. Dwyer. Porto Alegre: Artmed, 1997.
• Informática e Educação matemática. Marcelo de
Carvalho Borba; Miriam G. Penteado. Belo Horizonte:
Autêntica, 2003.
• Informática educativa: dos planos e discursos à sala
de aula. Ramon de Oliveira. Campinas: Papirus, 1997.
• Prática pedagógica: ambientes informatizados de
aprendizagem, produção e avaliação de software
educativo. Celina Couto Oliveira; José Wilson Costa;
Mércia Moreira. Campinas: Papirus, 2001.
• Projetos de trabalho em informática: desenvolvendo
competências. Sônia Petitto. Campinas: Papirus,
2003.
• Uso didático da calculadora no ensino fundamental:
possibilidades e desafios. Juliana de Alcântara S.
Rubio. 2003. Dissertação (Mestrado) – Unesp, Marília.
Avaliação
• Análise de erros: o que podemos aprender com as
respostas dos alunos. Helena Noronha Cury. Belo
Horizonte: Autêntica, 2007.
• Avaliação da aprendizagem escolar. Cipriano Carlos
Luckesi. São Paulo: Cortez, 2001.
• Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Mate‑
mática: métodos alternativos. Vânia Maria Pereira
dos Santos (Coord.). Rio de Janeiro: UFRJ – Projeto
Fu n d ã o, 1997.
• Avaliação: da excelência à regulação das aprendiza­
gens. Philippe Perrenoud. Porto Alegre: Artmed, 1999.
• Avaliação desmistificada. Charles Hadji. Porto Alegre:
Artmed, 2001.
• Avaliação mediadora: uma prática em construção da
pré ­escola à universidade. Jussara Hoffmann. Porto
Alegre: Mediação, 2000.
• Currículo e avaliação: uma perspectiva integrada.
Maria Palmira Castro Alves. Porto: Porto, 2004.
• Desafios reais do cotidiano escolar brasileiro: 22
dilemas vividos por diretores, coordenadores e pro­
fessores em escolas de todo o Brasil. Katherine K.
Merseth (Coord.). São Paulo: Moderna, 2018.
• O erro como estratégia didática: estudo dos erros
no ensino da Matemática elementar. Neuza Bertoni
Pinto. Campinas: Papirus, 2000.
• Sobre avaliação em Matemática: uma reflexão. Re­
gina Buriasco. Educação em Revista. Belo Horizonte:
UFMG, n. 36, 2002.
XXIII

26. XXIVXXIV
Sugestões de sites
• Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação
Matemática (Cempem/FE/Unicamp).
Disponível em: <https://www.cempem.fe.unicamp.
br>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Sociedade Brasileira de Educação matemática (a
partir desse site é possível acessar as instituições e
publicações sobre Educação Matemática no Brasil).
Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/
sbembrasil/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Sociedade Brasileira de Matemática.
Disponível em: <http://www.sbm.org.br>. Acesso em:
30 abr. 2018.
• Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Com­
putacional.
Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/>. Acesso
em: 30 abr. 2018.
• Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de
Matemática, Estatística e Ciência Computacional da
Unicamp.
Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/lem>.
Acesso em: 30 abr. 2018.
• Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de
Matemática e Estatística da USP.
Disponível em: <http://www.ime.usp.br/lem/> Acesso
em: 06 set. 2018.
Documentos oficiais
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO – CONSELHO NACIONAL DE
EDUCAÇÃO
• Base Nacional Comum Curricular (BNCC), 2017.
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11/2010
• Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Edu­
cação Básica
• Parecer CNE/CEB n
o
07/2010
• Decreto n
o
9.099/2017
• Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – terceiro
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(cidadania, concepções de áreas, temas transversais,
organização/gestão do trabalho escolar, adolescên­
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• Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
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Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.
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• Estudo comparativo das versões da base – Consed
e Undime.
Disponível em: <http://cnebncc.mec.gov.br/docs/
BNCC_Estudo_Comparativo.pdf> . Acesso em: 28
maio 2018.
• Indagações sobre o currículo – Currículo e Avaliação.
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/
arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf>. Acesso em: 28
maio 2018.
• Currículo da cidade – São Paulo (Conceitos na parte
Introdutória de todos os cadernos e caderno especial
para tecnologias para aprendizagem).
Disponível em: <http://portal.sme.prefeitura.sp.gov.
br/Portals/1/Files/47272.pdf>. Acesso em: 06 set.
2018.
• Site de comunicação e mobilização social voltado
para a educação brasileira (indicação do MEC em
Reunião Técnica sobre materiais digitais).
Disponível em: <http://porvir.org/>. Acesso em: 28
maio 2018.
XXVI

29. XXVIIORIENTA??ES ESPEC?FICAS
O livro do 9
o
ano é composto de doze capítulos em que se desenvolvem as cinco Unidades Temá-
ticas propostas pela BNCC: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e
estatística, intercaladas e, sempre que possível, integradas, exploradas no corpo do texto explicativo
e nas atividades.
Com o intuito de complementar, ampliar e enriquecer o conteúdo desenvolvido, aparecem ao longo
do livro as seções especiais: Para saber mais, Trabalhando a informação e Diversificando. A seguir,
apresentamos a distribuição dessas seções no livro do 9
o
ano.
Para saber mais
Capítulo Título
Capítulo 1 (p. 21, 37)
O problema dos coelhos de Fibonacci e o número áureo
Espiral de Teodoro, Pitágoras ou Einstein
Capítulo 2 (p. 47) A história dos números irracionais
Capítulo 3 (p. 76, 83)
Medida de arcos de uma circunferência
Resolvendo problemas com o auxílio de um quadro
Capítulo 4 (p. 95, 101, 105)
Uma razão de ouro
Um pouco da história de Tales
Rumo ao teorema das bissetrizes dos ângulos internos de
um triângulo
Capítulo 5 (p. 116, 127)
Construindo figuras semelhantes por homotetia
Construindo um pantógrafo
Capítulo 6 (p. 139) A Matemática e os jogos
Capítulo 7 (p. 157) Número de ouro
Capítulo 8 (p. 175) Triângulos pitagóricos
Capítulo 9 (p. 202, 206)
Ângulos da cidade maravilhosa
O teodolito
Capítulo 10 (p. 223, 234, 237, 250,
252)
Função, um longo caminho na história da Matemática Uso do computador: retas Proporcionalidade na função linear
Uso do computador: parábolas
Sistema de equações do 2
o
grau
Capítulo 12 (p. 289) Construção de polígono regular de n lados
Trabalhando a informação
Capítulo Título
Capítulo 1 (p. 22) Analisando uma reportagem com porcentagens múltiplas
Capítulo 2 (p. 59) Construindo e interpretando gráfico de linha
Capítulo 3 (p. 67, 84)
Comparando gráficos de barras Construindo gráficos de barras e de colunas
Capítulo 4 (p. 108) Cartograma do Índice de Vulnerabilidade Social (IVS)
Capítulo 5 (p. 129) Um gráfico chamado pirâmide etária
Capítulo 6 (p. 140) Juros compostos
Capítulo 7 (p. 166) A leitura de um mapa, anamorfose geográfica
Capítulo 8 (p. 185) A representação de um relevo
Capítulo 9 (p. 211) Gráficos com distorção
Capítulo 11 (p. 272) Semicoroa circular
Capítulo 12 (p. 293) Atenção ao ler gráficos

30. XXVIII
Diversificando
Capítulo Título
Capítulo 1 (p. 39) Jogo do enfileirando
Capítulo 5 (p. 132) Câmara escura de orifício
Capítulo 8 (p. 192) Uma quase circunferência!
Capítulo 10 (p. 256) Cercando
Capítulo 12 (p. 303) Jogo do desenhe ou responda
Cada capítulo aborda objetos de conhecimento, entendidos como conteúdos, conceitos, processos,
com a intenção de desenvolver as habilidades relacionadas a eles. Esses conhecimentos são articulados,
retomados e ampliados a fim de proporcionar sua apropriação pelos alunos, considerando a aprendiza-
gem um processo contínuo e integrado.
Os conteúdos matemáticos são desenvolvidos de modo que as habilidades, as Unidades Temáti-
cas, as competências e outras áreas do conhecimento se articulem e se relacionem e são tratados na
perspectiva das aprendizagens dos anos anteriores e posteriores. Assim, no livro do 9
o
ano do Ensino
Fundamental, levamos em conta os objetivos de aprendizagem para o 8
o
ano, conforme proposto na
BNCC, visando preparar os alunos para se apropriarem dos conhecimentos previstos para o Ensino Médio.
A seguir, são feitos comentários sobre cada capítulo e o que se pretende que os alunos desenvol-
vam neles. Os conteúdos trabalhados são relacionados aos objetos de conhecimento e às habilidades
da BNCC.
Há ainda textos complementares e sugestões de atividades, que possibilitam a ampliação do co-
nhecimento.
CAPÍTULO
CAPÍTULO 1
O que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro O Sacramento da
Última Ceia, de Salvador Dalí, as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos
têm em comum?
É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum um certo número [...] o
número áureo.
O número áureo ou número do ouro, representado pela letra grega ò [fi], é um número real não
racional, a sua escrita decimal nunca termina e nunca se repete,
ò 5 1,6180339887... [...]
Fonte: LIVIO, Mario. Razão áurea. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 13.
1
Números reais
Capítulo
Estrutura interna em espiral de uma concha de Nauti lus.
11
DIMITRI OTIS/PHOTOGRAPHER’S
CHOICE/GETTY IMAGES
1
Números reais
Neste capítulo, são desenvolvidos objetos de conhecimento da Unidade Temática Números. Nos
conteúdos e atividades propostos, foram consideradas as aprendizagens dos anos anteriores, em es-
pecial do 8
o
ano (EF08MA03), relativas aos conjuntos numéricos estudados.
Esse é um momento de ampliação dos conhecimentos desenvolvidos sobre números para apresentar
os números irracionais e o conjunto dos números reais, na perspectiva de que a continuidade desse
processo leve os alunos à apropriação da noção de número real. Para isso, apresentam-se conceitos e
atividades que os conduzem nessa aprendizagem.
Ao ampliar os conhecimentos que eles já têm sobre os números, espera-se prepará-los para a apro-
priação de outros tipos de número e para a ampliação dos conjuntos numéricos que serão estudados
no Ensino Médio, como os números complexos.
Ainda na Unidade Temática Números, desenvolvem-se atividades que envolvem cálculos com porcen-
tagens e problemas que trabalham porcentagens com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos
e a determinação de taxas percentuais.
Promove-se a articulação com a Unidade Temática Geometria ao apresentar uma verificação ex -
perimental do teorema de Pitágoras e aplicando esse teorema na localização de números irracionais

31. XXIX
dados por raízes quadradas não exatas na reta real e na construção da espiral de Teodoro, Pitágoras
ou Einstein.
A conexão com a Unidade Temática Probabilidade e estatística ocorre em atividade na qual se
explora a interpretação de gráfico de colunas, retomando conhecimentos construídos em anos
anteriores.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 1 – Números reais
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Reconhecimento de que,
uma vez escolhida uma
unidade de medida de
comprimento, existem
segmentos de reta cujo
comprimento não é expresso
por número racional
• A sequência de Fibonacci e o
número áureo
• Reconhecimento de números
irracionais e de números reais
• Localização de números
irracionais na reta real
Necessidade dos números reais para medir
qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e
localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez
fixada uma unidade de comprimento,
existem segmentos de reta cujo
comprimento não é expresso por número
racional (como as medidas de diagonais
de um polígono e alturas de um triângulo,
quando se toma a medida de cada lado
como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número
irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não
periódica, e estimar a localização de alguns
deles na reta numérica.
• Revisão dos números
racionais e ampliação dos
conjuntos numéricos
• Números racionais na forma
de fração e na forma decimal
• Números quadrados
perfeitos e o cálculo de raiz
quadrada
• Raiz quadrada com
aproximação decimal
Potências com expoentes negativos e
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números
reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
• Resolução e elaboração
de problemas envolvendo
números reais
• Construção da espiral de
Teodoro, Pitágoras ou
Einstein
Números reais: notação científica e
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas
com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
• Cálculo de porcentagens
sucessivas
Porcentagens: problemas que envolvem
cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar
problemas que envolvam porcentagens,
com a ideia de aplicação de percentuais
sucessivos e a determinação das taxas
percentuais, preferencialmente com o uso
de tecnologias digitais, no contexto da
educação financeira.
• Verificação experimental do
teorema de Pitágoras
• Aplicação do teorema de
Pitágoras na localização de
números irracionais na reta
real
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais:
teoremas de proporcionalidade e
verificações experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas
do triângulo retângulo, entre elas o
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive,
a semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas
de aplicação do teorema de Pitágoras
ou das relações de proporcionalidade
envolvendo retas paralelas cortadas por
secantes.

32. XXX
Texto complementar
Fibonaccis Áureos
Examine novamente a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ..., e
desta vez vamos observar as razões dos números sucessivos (calculados aqui até a sexta casa decimal):
1
1

5 1,000000
2 1

5 2,000000
3 2

5 1,500000
5 3

5 1,666666
8 5

5 1,600000
13
8

5 1,625000
21 13

5 1,615385
34 21

5 1,619048
55 34

5 1,617647
89 55

5 1,618182
144
89

5 1,617978
233
144

5 1,618056
377
233

5 1,618026
610
377

5 1,618037
987
610

5 1,618033
Você reconhece esta última razão? À medida que avançamos na sequência de Fibonacci, a razão entre dois
números sucessivos de Fibonacci oscila em torno da Razão Áurea (sendo alternadamente maior e menor), mas se aproxima cada vez mais dela. Se denotamos o n-ésimo número de Fibonacci como F
n
e o seguinte como F
n 1 1
,
então descobriremos que a razão
F
n 1 1

F
n
se aproxima da Razão Áurea ò quando n aumenta. Essa propriedade foi
descoberta em 1611 (embora possivelmente um anônimo italiano o tenha feito antes) pelo famoso astrônomo
alemão Johannes Kepler; entretanto mais de cem anos se passaram antes que a relação entre os números de Fibonacci e a Razão Áurea fosse provada (e, mesmo assim, não totalmente) pelo matemático escocês Robert Simson (1687-1768). Kepler, aliás, aparentemente topou com a sequência de Fibonacci por conta própria e não lendo o Liber abaci.
Mas por que os termos de uma sequência derivada do acasalamento de coelhos se aproximariam de uma
razão definida por meio da divisão de uma linha? Para entender essa conexão, temos de voltar às espantosas frações contínuas [...]. Lembre-se de que vimos que a Razão Áurea pode ser escrita como:
ò 5 1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 ...
Em princípio, poderíamos calcular o valor de
ò por uma série de aproximações sucessivas, na qual inter-
romperíamos as frações contínuas mais e mais adiante. Suponha que tentássemos fazer exatamente isso. Iríamos
encontrar a série de valores lembrete:1sobreé iguala
:
b
a
a
bcm
1 5 1,00000
1
1
1
1
2
2,00000155
1
1
1
,0000
12
3
151
1
55
1
1
11
1
1
3
5
1,666661
1
1
55
1
1
1
11
1
1
1
5
8
1,600001
1
1
1
55
1
1
1
1
11
1
1
1
1
8
13
1,625001
1
1
1
1
55

33. XXXI
Em outras palavras, as aproximações sucessivas que encontramos para a Razão Áurea são exatamente
iguais às razões dos números de Fibonacci. Não é de espantar então que, à medida que vamos para termos
cada vez maiores na sequência, a razão tende para a Razão Áurea. Esta propriedade é descrita de maneira
admirável no livro On Growth and Form (Sobre crescimento e forma), do famoso naturalista sir D’A r c y
Wentworth Thompson (1860-1948). Ele escreve sobre os números de Fibonacci: “Sobre esses números
famosos e fascinantes, um amigo matemático me escreve: ‘Todo o romance das frações contínuas, relações
de recorrência linear, [...] recai sobre eles, e eles são uma fonte de curiosidade inesgotável. Como é inte-
ressante vê-los se esforçando para atingir o inatingível, a Razão Áurea, por exemplo; e esta é apenas uma
entre centenas de relações desse tipo’.”. A convergência para a Razão Áurea, aliás, explica o truque mágico
que descrevi [...]. Se você define uma série de números pela propriedade de que cada termo (começando
com o terceiro) é igual à soma dos dois anteriores, então, independentemente dos dois números com os
quais você tenha começado, desde que você avance suficientemente na sequência, a razão de dois termos
sucessivos sempre se aproxima da Razão Áurea.
Os números de Fibonacci, como a “aspiração” de suas razões – a Razão Áurea –, têm algumas propriedades
realmente assombrosas. A lista de relações matemáticas que envolveu os números de Fibonacci é literalmente
sem fim. Aqui apresentamos apenas um punhado delas.
LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente. Trad.
Marco Shinobu Matsumura. Rio de Janeiro: Record, 2007.
CAPÍTULO
Reza a lenda que a descoberta dos irracionais causou tanto escândalo entre os gregos que o
pitagórico responsável por ela, Hípaso, foi expulso da escola e condenado à morte. Não se sabe de
onde veio essa história, mas parece pouco provável que seja verídica. [...]
Na verdade, a descoberta da incomensurabilidade representou uma nova situação que motivou
novos desenvolvimentos matemáticos.
Fonte: ROQUE, Tatiana. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos.
Rio de Janeiro: Zahar, 2012. p. 124-26.
2
Capítulo
Detalhe de Escola de Atenas (1509-1511), de Rafael Sanzio. Pintura em reboco. 5 m 3 7,7 m. Na imagem,
Pitágoras, sentado à esquerda, é observado por Parmênides, em pé, e Hipatia, ao fundo.
Operações com
números reais
AKG IMAGES/FOTOARENA –
MUSEUS DO VATICANO, VATICANO
40 CAPÍTULO 2
2
Operações com números
reais
Neste capítulo, serão aprofundados os conhecimentos acerca das operações com os conjuntos
numéricos, ampliando-as para o cálculo com radicais, com foco na Unidade Temática Números. Esse
trabalho amplia e consolida conhecimentos construídos ao longo dos anos anteriores, em especial no
8
o
ano (EF08MA01 e EF08MA02). Espera-se que as situações envolvendo tais conhecimentos possam
subsidiar os que serão explorados no Ensino Médio, entre eles a história dos números irracionais e as
propriedades de radicais.
O capítulo apresenta também articulação com temas das Unidades Temáticas Grandezas e medidas,
no reconhecimento e emprego de unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito
pequenas, e Probabilidade e estatística, na construção e interpretação de gráficos de linhas.Capítulo 2 – Operações com números reais
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Surgimento do número
irracional na história
• Reconhecimento de um
número irracional
Necessidade dos números reais para
medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e
localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez
fixada uma unidade de comprimento,
existem segmentos de reta cujo
comprimento não é expresso por número
racional (como as medidas de diagonais
de um polígono e alturas de um triângulo,
quando se toma a medida de cada lado
como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número
irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não
periódica, e estimar a localização de alguns
deles na reta numérica.

34. XXXII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculo com potências de
expoentes naturais e inteiros
negativos
• Determinação de potências
com expoente fracionário
• Cálculo com radicais
Potências com expoentes negativos e
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com
expoentes fracionários.
• Propriedades de radicais
• Operações envolvendo
radicais
• Resolução de problemas
envolvendo radicais
Números reais: notação científica e
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar
problemas com números reais, inclusive
em notação científica, envolvendo
diferentes operações.
• Reconhecimento e emprego
de unidades usadas para
expressar medidas muito
grandes ou muito pequenas
• Emprego de unidades
de medida utilizadas na
informática
Unidades de medida para medir distâncias
muito grandes e muito pequenas
Unidades de medida utilizadas na
informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar
unidades usadas para expressar medidas
muito grandes ou muito pequenas, tais
como distância entre planetas e sistemas
solares, tamanho de vírus ou de células,
capacidade de armazenamento de
computadores, entre outros.
• Construção e interpretação
de gráfico de linha
Leitura, interpretação e representação de
dados de pesquisa expressos em tabelas
de dupla entrada, gráficos de colunas
simples e agrupadas, gráficos de barras e
de setores e gráficos pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico
mais adequado (colunas, setores, linhas),
com ou sem uso de planilhas eletrônicas,
para apresentar um determinado conjunto
de dados, destacando aspectos como as
medidas de tendência central.
CAPÍTULO
62 CAPÍTULO 3
3
Capítulo
Grandezas
proporcionais
EBER EVANGELISTA
Surgido nos anos 1970
em Nova York (Estados
Unidos), o grafite é uma
forma de manifestação
artística em espaços
públicos com adeptos em
vários países. O grafite
brasi leiro é considerado
um dos melhores do
mundo.
Se dois grafiteiros
levam 10 dias para
concluir um grande painel,
com a ajuda de outros dois
grafiteiros, igualmente
hábeis, em quantos dias
eles terminariam essa
arte?
Em Soweto (África do Sul), grafiteiros produzem um retrato de Winnie
Madi kizela-Mandela, ex-esposa do presidente sul-africano Nelson Mandela.
Ela faleceu em 2 de abri l de 2018, com 81 anos. (Foto de 2018.)
MUJAHID SAFODIEN/AFP/GETTY IMAGES
3
Grandezas proporcionais
Os conceitos e as atividades envolvendo o estudo de proporcionalidade entre grandezas são o
foco deste capítulo, desenvolvendo a Unidade Temática Álgebra com os temas razão entre gran -
dezas de espécies diferentes, grandezas direta ou inversamente proporcionais e regra de três,
ampliando os conhecimentos construídos em anos anteriores e em especial no 8
o
ano (EF08MA12
e EF08MA13).
As articulações são feitas com a Unidade Temática Números por meio de cálculos e proble-
mas envolvendo números reais, com a Unidade Temática Geometria na seção Para saber mais,
que trata de medida de arco de uma circunferência, e com a Unidade Temática Probabilidade e
estatística na comparação de gráficos de barras e na análise de texto e construção de gráficos
de barras e de colunas, temas das seções Trabalhando a informação, ampliando o trabalho feito
em anos anteriores.

35. XXXIII
Capítulo 3 – Grandezas proporcionais
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos com números reais
Potências com expoentes negativos e
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com
expoentes fracionários.
• Resolução de problemas
envolvendo cálculos com
números reais
Números reais: notação científica e
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar
problemas com números reais, inclusive
em notação científica, envolvendo
diferentes operações.
• Determinação da razão
entre duas grandezas de
espécies diferentes, como por
exemplo: gramatura de papel,
velocidade média, densidade
demográfica, entre outros
• Resolução de problemas
envolvendo razões entre
grandezas de espécies
diferentes
• Cálculo de razões na
comparação de gráficos de
barras
Razão entre grandezas de espécies
diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que
envolvam a razão entre duas grandezas
de espécies diferentes, como velocidade e
densidade demográfica.
• Reconhecimento de relações
de proporcionalidade entre
duas grandezas
• Resolução e elaboração
de problemas envolvendo
grandezas direta e
inversamente proporcionais
• Resolução e elaboração
de problemas por meio da
regra de três
Grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa
de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
• Aplicação da relação de
proporcionalidade na
obtenção da medida de
arcos de circunferência
Relações entre arcos e ângulos na
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio
do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos
na circunferência, fazendo uso, inclusive,
de softwares de geometria dinâmica.
• Construção de gráficos de
barras e de colunas com
base em pesquisa sobre
expectativa de vida
Planejamento e execução de pesquisa
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa
amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por
meio de relatório contendo avaliação
de medidas de tendência central e da
amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas
eletrônicas.

36. XXXIV
CAPÍTULO
91
4
Capítulo
Proporcionalidade
em Geometria
CAPÍTULO 4
Paralelas e transversais, cruzando em feixes, compõem um cenário harmonioso
nas construções humanas. E a perspectiva oferece aos nossos olhos a ideia de
proporcionalidade e uma representação de infinitude.
Estação de trem em Washington D.C. (Estados Unidos). (Foto de 2015.)
SEPEHR GHASSEMI
4
Proporcionalidade em
Geometria
O foco deste capítulo é a Unidade Temática Geometria ampliando-se o trabalho feito com propor-
cionalidade no capítulo anterior para o campo da Geometria. Esse estudo envolve também demonstrar
e aplicar relações simples entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal,
explorando demonstrações feitas no 8
o
ano (EF08MA14), e resolução de problemas de aplicação das
relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Além desses conteúdos, abordam-se em seções especiais cálculos com números reais e porcenta-
gens, articulando-se com a Unidade Temática Números.
Na articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística, utiliza-se a leitura de texto e
cartogramas, e com a Unidade Temática Álgebra, exploram-se situações que envolvem razões e rela -
ções de proporcionalidade.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 4 – Proporcionalidade em Geometria
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos com números reais
Potências com expoentes negativos e
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com
expoentes fracionários.
• Resolução de problemas
envolvendo cálculos com
números reais
• Resolução de problemas
envolvendo porcentagens e
análise de cartograma
Números reais: notação científica e
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar
problemas com números reais, inclusive
em notação científica, envolvendo
diferentes operações.
• Resolução de problemas
envolvendo razões entre
duas grandezas
• Determinação da razão entre
dois segmentos de reta
• Reconhecimento e
construção de retângulos
áureos
• Resolução de problemas
envolvendo segmentos
proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa
de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
• Demonstração e aplicação
de relações entre ângulos
formados por retas
paralelas cortadas por uma
transversal
Demonstrações de relações entre os
ângulos formados por retas paralelas
intersectadas por uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples
entre os ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal.

37. XXXV
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Aplicação do teorema de
Tales e de propriedades que
decorrem desse teorema
• Resolução e elaboração
de problemas que
aplicam as relações
de proporcionalidade
envolvendo retas paralelas
cortadas por secantes
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais:
teoremas de proporcionalidade e
verificações experimentais
(EF09MA14) Resolver e elaborar
problemas de aplicação do teorema
de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas
paralelas cortadas por secantes.
CAPÍTULO
111CAPÍTULO 5
Uma mão desenha a outra, semelhante, que desenha a outra, igualmente semelhante...
Criador e criatura: quem é quem na obra de Escher?
Também na natureza, a semente gera o fruto que gera a semente, que carrega em si as
características de seu fruto: um ciclo a perpetuar a semelhança da espécie.
5
Capítulo
M. C. Escher. Drawing hands. 1948. Litografia. 33,2 cm 3 28,2 cm.
Semelhança
© 2017 THE M.C. ESCHER COMPANY-THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS RESERVED.
WWW.MCESCHER.COM – COLEÇÃO PARTICULAR
5
Semelhança
Situações que desenvolvem a proporcionalidade também são o foco deste capítulo, que trata de
semelhança e suas aplicações na Unidade Temática Geometria e que amplia e aprofunda os conheci -
mentos abordados no capítulo anterior. Esses temas são desenvolvidos visando dar suporte e garantir
a continuidade dos estudos em Matemática para temas que serão trabalhados no Ensino Médio, como
a Trigonometria.
A articulação com as Unidades Temáticas Números e Álgebra é feita, respectivamente, com a pre-
sença de cálculos com números reais e porcentagens e com relações de proporcionalidade.
Além disso, promove-se ainda a articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística
na seção Trabalhando a informação, que explora pirâmides etárias, ampliando o trabalho com gráficos
dos anos anteriores, em especial o do 8
o
ano (EF08MA27).
Capítulo 5 – Semelhança
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos com números reais
Potências com expoentes negativos e
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com
expoentes fracionários.
• Resolução de problemas
envolvendo cálculos com
números reais
• Resolução de problemas
envolvendo porcentagens
Números reais: notação científica e
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar
problemas com números reais, inclusive
em notação científica, envolvendo
diferentes operações.
• Resolução de problemas
envolvendo relações
de proporcionalidade,
ampliação e redução de
figuras
• Determinação da razão
de semelhança entre dois
polígonos
Grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa
de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.

38. XXXVI
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Aplicação de relações entre
ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma
transversal
Demonstrações de relações entre os
ângulos formados por retas paralelas
intersectadas por uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples
entre os ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal.
• Reconhecimento de
polígonos semelhantes,
em particular de triângulos
semelhantes
• Construção de figuras
semelhantes por homotetia
• Definição de semelhança de
triângulos
• Estudo e aplicação dos casos
de semelhança de triângulos
• Resolução de problemas
envolvendo semelhança de
triângulos
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições
necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
• Interpretação de pirâmides
etárias
Planejamento e execução de pesquisa
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa
amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por
meio de relatório contendo avaliação
de medidas de tendência central e da
amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas
eletrônicas.
CAPÍTULO
133CAPÍTULO 6
Lembrando esse ditado popular inglês, a BB C (British Broadcasting Corporation) propõe um
desafio sobre a probabilidade de o pastor de ovelhas acertar a previsão meteorológica com base no céu
pela manhã, prevendo uma tempestade quando o céu está vermelho e nenhuma tempestade quando o
céu está claro.
Dados obtidos em: BBC Brasil. Disponível em: <http://www.bbc.com/portuguese/geral-42286388>. Acesso em: 27 fev. 2018.
6
Capítulo
Rebanho de ovelhas pastando em colina durante o pôr do sol.
MIHAI_TAMASILA/SHUTTERSTOCK
Um pouco mais
sobre Estatística
Céu vermelho à noite,
alegria do pastor...
Céu vermelho pela
manhã, alerta para
o pastor.
6
Um pouco mais sobre
Estatística
Este capítulo amplia e aprofunda os conhecimentos sobre as medidas estatísticas tratadas no 8
o

ano (EF08MA25), assunto relativo à Unidade Temática Probabilidade e estatística.
Os conhecimentos trabalhados neste capítulo constituem subsídios para a compreensão da conti-
nuidade dos estudos de Estatística no Ensino Médio.
Além disso, ainda nessa Unidade Temática, trabalha-se o cálculo de probabilidade na seção Para
saber mais, ampliando conhecimentos desenvolvidos no 8
o
ano (EF08MA22).
Promove-se também a articulação com a Unidade Temática Números ao apresentar o cálculo de
juros compostos envolvendo taxas percentuais.

39. XXXVII
Capítulo 6 – Um pouco mais sobre Estatística
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos de porcentagens
no contexto de juros
compostos
Porcentagens: problemas que envolvem
cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar
problemas que envolvam porcentagens,
com a ideia de aplicação de percentuais
sucessivos e a determinação das taxas
percentuais, preferencialmente com o uso
de tecnologias digitais, no contexto da
educação financeira.
• Resolução de problemas
envolvendo cálculo de
probabilidade
Análise de probabilidade de eventos
aleatórios: eventos dependentes e
independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos
aleatórios, eventos independentes e
dependentes e calcular a probabilidade de
sua ocorrência, nos dois casos.
• Escolha do gráfico mais
adequado para apresentar
determinado conjunto de
dados, destacando a análise
de medidas estatísticas de
tendência central
Leitura, interpretação e representação de
dados de pesquisa expressos em tabelas
de dupla entrada, gráficos de colunas
simples e agrupadas, gráficos de barras e
de setores e gráficos pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico
mais adequado (colunas, setores, linhas),
com ou sem uso de planilhas eletrônicas,
para apresentar um determinado conjunto
de dados, destacando aspectos como as
medidas de tendência central.
• Reconhecimento e
determinação de medidas
estatísticas
• Análise de tabelas e gráfico
pictórico
• Resolução e elaboração
de problemas envolvendo
medidas estatísticas
Planejamento e execução de pesquisa
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa
amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por
meio de relatório contendo avaliação
de medidas de tendência central e da
amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas
eletrônicas.
Texto complementar
Educação Estatística no ensino básico: uma exigência do mundo do trabalho
[...]
Estatística e histórico
A Estatística é um segmento da Matemática Aplicada surgida nas questões de estado e governo. Daí o nome
Estatística ser originário do termo latino status. Situações ocasionais como número de habitantes, quantidade
de óbitos e nascimentos, quantidades produzidas e quantitativos das riquezas formaram os primórdios dos
problemas que deram início ao pensamento estatístico.
Inicialmente, no século XVI, pensada pelos ingleses como uma ciência política, destinava-se a
descrever características de um país, tais como população, área, riquezas e recursos naturais. Deste
papel histórico, origina-se a sua função de caracterização numérica de uma série de informações
populacionais. Com esta abordagem, o termo é utilizado no plural, como as “estatísticas de saúde”,
as “estatísticas de mortalidade”, as “estatísticas do registro civil”, entre outras. (2)
A Estatística vista enquanto ciência só ocorreu a partir do século XVIII, nos registros do alemão Godofredo
Achenwall**, ainda como catalogação não regular de dado. (3)
Os modelos estatísticos, enquanto modelos matemáticos aplicados, reúnem características de precisão na
linguagem, adequados ao ambiente de informações rápidas.
A necessidade de expressar o grau de incerteza na ocorrência dos experimentos e de explicar o
fato de duas experiências iguais poderem ter resultados diferentes leva ao reconhecimento da ra-
cionalidade probabilística em eventos da natureza. A pesquisa em probabilidade no século XVIII
culmina com o notável trabalho de Pierre-Simon de Laplace, “Theorie Analitique de Probabilités”.
À luz da concepção do cientificismo, rapidamente amplia-se o domínio de abrangência do cálculo probabi-
lístico. Este se torna indispensável para lidar com dados relativos a temas de interesse social e econômico, como
administração das finanças públicas, saúde coletiva, conduta de eleições e seguro de vida. Surgem as primeiras
ideias do positivismo e Condorcet propõe uma “ciência natural da sociedade”, isto é, uma “matemática social”
baseada no cálculo das probabilidades. (2)

40. XXXVIII
Ao abrirmos uma revista ou um jornal é quase impossível não encontrarmos alguma representação Estatística/
Matemática complementar aos textos, ilustrando ou sintetizando a comunicação, tornando a leitura mais atrativa
e objetiva. Em muitos casos, os modelos estatísticos/matemáticos assumem a importância maior, ficando o texto
como complemento ou restrito a observações.
Estatística e linguagem
Vale destacar que a simbologia matemática foi, e ainda é, um fator de evolução das ideias matemáticas que
se desenvolveram lentamente ao longo de séculos. Essa evolução tomou por base dois objetivos permanentes:
1. tornar possível a comunicação matemática entre as pessoas, independentemente das nacionalidades e culturas;
2. simplificar a expressão das ideias e pensamentos matemáticos. Assim, a Matemática, como nenhuma ou-
tra ciência, conseguiu construir um conjunto universal de signos, moldando uma linguagem com códigos que
atravessam idiomas e culturas. Dessa forma é possível, por exemplo, um matemático chinês escrever equações
ou proposições que um matemático brasileiro entenderá com facilidade. Essa propriedade é utilizada pela Esta-
tística e passa a ser apropriada largamente pela informática, permeando as comunicações no mundo cibernético.
A evolução da Matemática fez surgir aplicações específicas, com linguagens e símbolos próprios, como foi o
caso da matemática financeira, com sua constante evolução, e também da Estatística.
Com o avanço tecnológico, as exigências de sofisticadas competências para o mundo do trabalho e a facili-
dade oferecida pela informática, as pesquisas deixaram de acontecer apenas em ocasiões para se tornarem parte
integrante e inseparável de nossas vidas em todos os instantes.
A partir dos anos 40, a pesquisa Estatística se volta para solucionar problemas envolvendo variados
aspectos da inferência, cada um tendo a sua aplicação a situações específicas. Os testes de hipó-
teses para médias, variâncias e proporções, a teoria dos testes uniformemente mais poderosos, o
processo de inclusão (exclusão) de variáveis nos modelos de regressão são algumas das formas de
inferência de uso consagrado. (2)
O mundo corporativo*** passou a adotar a linguagem Estatística em suas rotinas operacionais exigindo dos
profissionais conhecimentos e competências numéricas para o correto entendimento e produção de relatórios,
tabelas, gráficos, diagramas e fluxogramas.
Na comunicação de massa, os programas de televisão com maior índice de audiência, além de serem totalmente
direcionados a institutos de pesquisa, passaram a ter obrigatoriamente pesquisas interativas em suas pautas, na
busca de uma permanente aproximação com o público. Contudo, diante desse ambiente saturado de informações,
poucas pessoas questionam a forma como esses dados foram coletados, tratados e trabalhados até chegarem no
formato “acabado” em que são apresentados. Isto é, o público tem sido consumidor de resultados de pesquisas da
forma como se apresentam, sem a devida interpretação crítica e um entendimento do que se está “consumindo”.
Os meios de comunicação refletem também a facilidade que os modelos estatísticos oferecem para sintetização
de informações. Por exemplo: uma medida de tendência central pode representar bem o perfil de uma popu-
lação, ou um histograma pode melhor apresentar um universo de dados. Existe um ditado em Matemática que
diz: “Um gráfico bem construído equivale a mil palavras”. Essa nova linguagem passa a demandar das pessoas o
entendimento e o domínio de novos códigos diferentes do “ler e escrever” tradicionais****. É nessa perspectiva
que o mundo moderno caminha, com tecnologias voláteis, otimizando espaços, tempo, recursos, e fazendo uso
intenso dos argumentos estatísticos.
Nesse contexto, a escola não pode ignorar essas novas linguagens tão presentes no mundo dos educandos.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o trabalho com Estatística [grifo do autor]
com a finalidade de que o estudante construa procedimentos para coletar, organizar, comunicar
e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações, e que seja capaz de descrever e
interpretar sua realidade, usando conhecimentos matemáticos. (4)
É fundamental que as práticas e os conteúdos ministrados em aula estejam em sintonia com as novas exigências
do mundo em que vivemos, para que a educação não seja algo distante da vida dos alunos, mas, ao contrário,
seja parte integrante de suas experiências para uma existência melhor.
** Godofredo Achenwall é considerado o pai da Estatística Moderna.
*** Mundo das organizações onde atuam os profissionais.
**** Referência à leitura escrita somente sem levar em conta o atendimento dos signos matemáticos e estatísticos.
(2) SZWARCWALD, Celia L.; CASTILHO, Euclides A. de. The paths of statistics and its incursions through epidemiology. Cadernos
Saúde Pública, Rio de Janeiro, v. 8, n. 1, p. 5-21, jan./mar. 1992. ISSN 0102-311X.
(3) CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil . São Paulo: Saraiva, 2002.
(4) LOPES, Celi Aparecida Espasandin; MORAN, Regina Célia Carvalho Pinto. A estatística e a probabilidade através das atividades
propostas em alguns livros didáticos brasileiros recomendados para o ensino fundamental. In: CONFERÊNCIA INTERNACIONAL,
EXPERIÊNCIAS E PERSPECTIVAS DO ENSINO DA ESTATÍSTICA: DESAFIOS PARA O SÉCULO XXI, 1, 1999, Florianópolis. Anais...
Florianópolis: UFSC/PRESTA/ IASE, 1999. p. 167-174.
ROSETTI JÚNIOR, Hélio. “Educação Estatística no ensino básico: uma exigência do mundo do trabalho”.
Revista Capixaba de Ciência e Tecnologia, Vitória, n. 2, p. 35-37, 1. sem. 2007.

41. XXXIX
CAPÍTULO
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
143CAPÍTULO 7
Oficialmente, o tablado de um ringue de boxe deve ser quadrado, com medida dos
lados variável de 4,9 m a 7,0 m, mais uma borda mínima de 0,6 m.
Se uma academia de esportes dispõe de uma superfície quadrada de 36 m
2
para
construir um ringue de boxe, o construtor deve resolver uma equação do 2
o
grau para
determinar a medida dos lados desse ringue.
7
Capítulo
Anthony Joshua enfrenta Carlos Takam em luta de boxe realizada no Reino Unido. (Foto de 2017.)
Equações do
2
o
grau
STEPHEN MCCARTHY/
SPORTSFILE/ GETTY IMAGES
7
Equações do 2
o
grau
Este capítulo tem foco em objetos de conhecimento da Unidade Temática Álgebra e amplia o estudo
das equações, visando preparar os alunos para a continuidade de estudos de Álgebra neste volume,
no capítulo 10, e para os estudos do Ensino Médio.
Os conteúdos e as atividades propostos exploram tipos variados de equações do 2
o
grau e sistemas
do 2
o
grau, com base nos conhecimentos construídos no 8
o
ano (EF08MA08 e EF08MA09).
Neste capítulo, explora-se a Unidade Temática Geometria quando são utilizadas figuras geométricas
para contextualizar os conceitos algébricos e a Unidade Temática Grandezas e medidas quando utiliza-
-se o cálculo de área e de volume nesses mesmos contextos em diversos momentos, como na seção
Pense mais um pouco... da página 154.
Além disso, a articulação com a Unidade Temática Números é promovida na seção Diversificando,
que envolve cálculo de porcentagem na leitura e análise de mapas.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 7 – Equações do 2
o
grau
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas
que envolvem relações
de proporcionalidade que
podem ser representados
por uma equação polinomial
do 2
o
grau
• Cálculo de porcentagens na
leitura e análise de mapas
Grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa
de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
• Resolução de equações do
2
o
grau
• Resolução e elaboração de
problemas que podem ser
representados por equações
polinomiais do 2
o
grau
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis
Resolução de equações polinomiais do 2
o

grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos
de fatoração de expressões algébricas,
com base em suas relações com os
produtos notáveis, para resolver e elaborar
problemas que possam ser representados
por equações polinomiais do 2
o
grau.
• Resolução de problema
envolvendo volume de cubo e equação do 2
o
grau
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar
problemas que envolvam medidas de
volumes de prismas e de cilindros retos,
inclusive com uso de expressões de
cálculo, em situações cotidianas.

42. XL
CAPÍTULO
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
169
8
Capítulo
Triângulo retângulo
Monumento a Pitágoras, i lha de Samos, Grécia. (Foto de 2017.)
Na i lha de Samos,
na Grécia, há um
monumento de
bronze construído
em homenagem a
Pitágoras, fi lósofo
reconhecido por
inúmeras contri buições
à Matemática.
Edificada de modo a
lembrar um triângulo
retângulo, a figura de
Pitágoras representa
um de seus catetos.
PIXELCI/SHUTTERSTOCK
CAPÍTULO 8
8
Triângulo retângulo
Este capítulo tem foco na Unidade Temática Geometria, tratando do estudo do triângulo retângulo,
aprofundando o teorema de Pitágoras, sua demonstração e variadas aplicações, assim como apresenta
outras relações métricas existentes nesse triângulo.
O trabalho com este capítulo visa também embasar estudos que serão tratados no Ensino Médio.
Capítulo 8 – Triângulo retângulo
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas
que envolvam semelhança
de triângulos e triângulos
retângulos
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições
necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
• Reconhecimento dos
elementos de um triângulo
retângulo
• Demonstração das relações
métricas do triângulo
retângulo
• Demonstração e aplicação
do teorema de Pitágoras
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais:
teoremas de proporcionalidade e
verificações experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações
métricas do triângulo retângulo, entre
elas o teorema de Pitágoras, utilizando,
inclusive, a semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar
problemas de aplicação do teorema
de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas
paralelas cortadas por secantes.
• Descrição de algoritmo por
escrito para a construção de
um quadrado com régua e
compasso
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por
meio de um fluxograma, um algoritmo
para a construção de um polígono
regular cuja medida do lado é conhecida,
utilizando régua e compasso, como
também softwares.
• Determinação da distância
entre dois pontos no
plano cartesiano e das
coordenadas do ponto
médio de um segmento de
reta
Distância entre pontos no plano
cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio
de um segmento de reta e a distância
entre dois pontos quaisquer, dadas as
coordenadas desses pontos no plano
cartesiano, sem o uso de fórmulas, e
utilizar esse conhecimento para calcular,
por exemplo, medidas de perímetros e
áreas de figuras planas construídas no
plano.
• Representação gráfica de
um relevo
Vistas ortogonais de figuras espaciais
(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais
de figuras espaciais e aplicar esse
conhecimento para desenhar objetos em
perspectiva.

43. XLI
Texto complementar
De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda “ideal”
Tome uma corda esticada, unindo um ponto A de São Paulo a um ponto B do Rio de Janeiro. Suponha que
a distância entre estes pontos A e B seja de exatamente 400 km. Tome outra corda com um metro a mais que
a anterior, ou seja, com 400.001 metros, e fixe também suas extremidades nos pontos A e B. Ela ficará bamba.
Levante esta corda pelo seu ponto médio formando um triângulo, conforme a figura 1:
A B
São Paulo Rio de Janeiro
a 5 400 km
h
a 1 1
2
figura 1
a 1 1
2

Pergunta-se:
i) A altura h deste triângulo formado será maior ou menor que um metro?
ii) O que ocorreria com a altura, se o triângulo formado fosse como o da figura 2?
a
A B
b
figura 2
b 1 c 5 a 1 1
c
Por mais absurdo que possa parecer, caberia dentro do triângulo, no caso i), um prédio de forma retangular
com 126 andares de altura e 50 quarteirões de comprimento!
Ao fazermos as contas, vemos que a altura h será aproximadamente 447 metros no caso i) e 0,99999 metros
no caso ii), que são valores bem diferentes do imaginado.
Vejamos as soluções:
i) Pelo teorema de Pitágoras temos:
2
1
24
1
(2 1)h
aa
a5
1
25 1
2
2 2
88 BB
Logo,
2
1
21ha51
Sendo a 5 400.000 m, temos .
2
800 001
1
h5 q 447 m.
A B
São Paulo Rio de Janeiro
50 quarteirõ es
126 andare s
ii) Neste caso temos as relações
b
1 c 5 a 1 1 (1)
b
2
1 a
2
5 c
2
(2)
De (1) temos c 5 a 2 b 1 1, que, aplicado com (2), dá:
b
2
1 a
2
5 b
2
1 a
2
1 1 1 2a 2 2ab 2 2b
ou seja, 2ab 1 2b 5 2a 1 1. Logo, b 5
2a 1 1
2a
1 2
Sendo a 5 400.000 m, temos b
5
800.001
800.002
0,999999 m.
Fazendo os gráficos de h e b como funções de a, temos:
ADILSON SECCO ADILSON SECCO ADILSON SECCO

44. XLII
Para nossa surpresa:
h " Ü quando a " Ü,
b " 1 quando a " Ü.
Perplexos com a solução, ficamos a imaginar
por que falha a nossa intuição.
a
h(a)
1
2
a
b
1 2
1
DUARTE JÚNIOR, G. G. De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda “ideal”.
Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v. 22, n. 1, p. 1-3. 1992.
CAPÍTULO
193CAPÍTULO 9
Construído no início do século XX, terceiro teleférico do mundo, o bondinho do Pão de
Açúcar, no Rio de Janeiro, já transportou dezenas de mi lhões de pessoas.
O passeio tem duas etapas. Da praia Vermelha ao morro da Urca, com extensão
de 575 m, eleva-se a 220 m de altitude. Deste ao morro Pão de Açúcar, com extensão de
750 m, eleva-se a 396 m de altitude.
Aplicando-se as razões trigonométricas, podemos obter o ângulo de inclinação dos
cabos de aço em cada etapa.
9
Capítulo
Teleférico do Pão de Açúcar, Rio de Janeiro. (Foto de 2016.)
GMBH/ALAMY/
FOTOARENA
Razões trigonométricas
nos triângulos
retângulos
9
Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos
Este capítulo dá continuidade ao anterior, desenvolvendo agora as relações trigonométricas nos
triângulos retângulos e suas aplicações na resolução das atividades, vinculadas à Unidade Temática
Geometria, tendo como base a proporcionalidade e a semelhança de triângulos, tópicos já estudados
em capítulos anteriores neste livro.
Os conhecimentos tratados neste capítulo constituem-se como subsídios para a compreensão de
estudos a serem desenvolvidos no Ensino Médio.
Faz-se conexão com a Unidade Temática Probabilidade e estatística, por meio da análise de gráficos
de linhas com distorção na seção Trabalhando a informação.
Capítulo 9 – Razões trigonométricas nos triângulos retângulos
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Aplicação da semelhança
de triângulos para obtenção
das razões trigonométricas
em um triângulo retângulo
• Resolução de problemas
que envolvem semelhança
de triângulos e razões
trigonométricas no
triângulo retângulo
• Utilização da tabela de
razões trigonométricas
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições
necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
• Aplicação do teorema de
Pitágoras na determinação
das razões trigonométricas
dos ângulos de 30°, 45° e 60°
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais:
teoremas de proporcionalidade e
verificações experimentais
(EF09MA14) Resolver e elaborar
problemas de aplicação do teorema
de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas
paralelas cortadas por secantes.
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

45. XLIII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Análises de gráficos com
distorção
Análise de gráficos divulgados pela mídia:
elementos que podem induzir a erros de
leitura ou de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar,
em gráficos divulgados pela mídia, os
elementos que podem induzir, às vezes
propositadamente, erros de leitura, como
escalas inapropriadas, legendas não
explicitadas corretamente, omissão de
informações importantes (fontes e datas),
entre outros.
CAPÍTULO
216 CAPÍTULO 10
Um corpo projeta-se no espaço em lançamento oblíquo!
Desprezada a resistência do ar, sob a ação de seu peso, ele fica sujeito à aceleração da
gravidade e sua trajetória em relação à Terra é uma parábola.
O estudo desse fenômeno tem dois movimentos:
ƒhorizontal, descrito por uma função polinomial do 1
o
grau;
ƒvertical, descrito por uma função polinomial do 2
o
grau.
10
Capítulo
Fotocomposição de giro com motocicleta realizado por Travis Pastrana em Londres (Inglaterra). (Foto de 2017.)
PETE SUMMERS/REX/SHUTTERSTOCK
Estudo das
funções
10
Estudo das funções
Os conceitos e as atividades ligados à Unidade Temática Álgebra, foco deste capítulo, utilizam como
base os conhecimentos já construídos no capítulo 3 deste livro e nos anos anteriores, em especial no
8
o
ano (EF08MA12). Exploram-se situações e resoluções de problemas que envolvem a variação de
duas grandezas e a noção de função, estudando mais profundamente as funções polinomiais do 1
o
e
do 2
o
graus.
O estudo de funções é ferramenta fundamental para a continuidade do trabalho com Matemática
e outras áreas do conhecimento. Desse modo, espera-se que os conteúdos deste capítulo propiciem
embasamento necessário para esse instrumental no Ensino Médio.
Ainda na Unidade Temática Álgebra, o capítulo trata da representação gráfica das funções estudadas,
explorando a análise e a construção de seus gráficos no plano cartesiano, e de problemas envolvendo
valores máximos e valores mínimos de uma função polinomial do 2
o
grau.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 10 – Estudo das funções
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Conceituação e
reconhecimento de
função como relação de
dependência unívoca entre
duas grandezas
• Determinação da lei de
formação de uma função
e obtenção de valores que
uma função assume
• Representação gráfica de
uma função
• Estudo das funções
polinomiais do 1
o
grau e do
2
o
grau
Funções: representações numérica,
algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções
como relações de dependência unívoca
entre duas variáveis e suas representações
numérica, algébrica e gráfica e utilizar
esse conceito para analisar situações que
envolvam relações funcionais entre duas
variáveis.

46. XLIV
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Identificação das relações
de proporcionalidades em
funções
Grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa
de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
• Resolução de problemas
envolvendo equações do 2
o
 grau no cálculo dos zeros
de uma função quadrática
• Resolução de problemas
envolvendo sistemas de equações do 2
o
grau
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis
Resolução de equações polinomiais do 2
o
grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos
de fatoração de expressões algébricas,
com base em suas relações com os
produtos notáveis, para resolver e elaborar
problemas que possam ser representados
por equações polinomiais do 2
o
grau.
CAPÍTULO
257CAPÍTULO 11
Revelada pela lente fotográfica do artista, uma circunferência imaginária, espelhada na
água tranqui la do lago, pode surgir da simetria do arco da ponte.
11
Capítulo
Ponte do Diabo, Parque Kromlau, distrito de Görlitz Gablenzgasse, Alemanha. (Foto de 2017.)
LIUBOMIR PAUT-FLUERASU/
ALAMY/FOTOARENA
Circunferência,
arcos e relações
métricas
11
Circunferência, arcos e
relações métricas
Neste capítulo, serão aprofundados os estudos relativos à Unidade Temática Geometria envolvendo
relações com arcos de circunferência.
A Unidade Temática Números também está presente com atividades que abordam o reconhecimento
do número irracional π e cálculo de porcentagens na seção Trabalhando a informação.
A conexão com a Unidade Temática Álgebra se concretiza por meio da resolução de problemas
que envolvem a razão entre duas grandezas e a noção de proporcionalidade. Com a Unidade Temática
Probabilidade e estatística, a conexão se dá por meio da seção Trabalhando a informação, que trata
da análise de gráficos associados a semicoroas circulares.
Capítulo 11 – Circunferência, arcos e relações métricas
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Reconhecimento e
determinação do número
irracional
π
Necessidade dos números reais para
medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e
localização de alguns na reta numérica
(EF09MA02) Reconhecer um número
irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não
periódica, e estimar a localização de alguns
deles na reta numérica.
• Resolução de problemas
envolvendo a razão entre
duas grandezas
Razão entre grandezas de espécies
diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que
envolvam a razão entre duas grandezas
de espécies diferentes, como velocidade e
densidade demográfica.

47. XLV
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas
envolvendo relações de
proporcionalidade no
cálculo da medida de arcos
Grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa
de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
• Determinação do
comprimento de uma
circunferência
• Relação entre arcos de
circunferência e ângulos
centrais
• Determinação do
comprimento de arcos de
circunferência e de sua
medida angular
• Reconhecimento e
aplicação das propriedades
entre arcos e cordas de
uma circunferência e das
relações métricas em uma
circunferência
Relações entre arcos e ângulos na
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio
do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos
na circunferência, fazendo uso, inclusive,
de softwares de geometria dinâmica.
• Análise de gráfico com
semicoroa circular
• Comunicação de resultados
de pesquisa por meio de
tabela e gráfico
• Resolução de problemas
envolvendo porcentagens e
determinação de ângulos de
setores circulares
Planejamento e execução de pesquisa
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa
amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por
meio de relatório contendo avaliação
de medidas de tendência central e da
amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas
eletrônicas.
CAPÍTULO
275CAPÍTULO 12
Logotipos, imagens onde vicejam criatividade e simplicidade, identificam
instituições e empresas públicas ou privadas. Em muitos deles vemos circunferências
e polígonos regulares.
O logotipo de Patrimônio Mundial (na parte inferior da imagem acima), desenhado pelo
artista belga Michel Olyff e adotado como emblema oficial em 1978, demarca regiões ou
áreas que a comunidade científica considera de fundamental importância para a humanidade.
12
Capítulo
Baía dos Porcos, em Fernando de Noronha. O arquipélago, pertencente ao estado de Pernambuco, foi declarado
Patrimônio Mundial pela Unesco em 2001, como indica o logotipo reproduzido acima. (Foto de 2016.)
Polígonos regulares
e áreas
ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS
REPRODUÇÃO
12
Polígonos regulares e áreas
Os conhecimentos abordados neste capítulo referem-se à Unidade Temática Geometria, ampliando
o estudo dos polígonos regulares iniciado no livro do 8
o
ano (EF08MA16).
Além disso, o capítulo desenvolve assuntos vinculados à Unidade Temática Grandezas e medidas,
oportunidade para que seja ampliado o trabalho com medidas de área (com a área de polígono regular
e área de partes de um círculo) e medidas de volume, de modo a consolidar e aprofundar os conheci-
mentos construídos em anos anteriores, em especial no 8
o
ano (EF08MA19 e EF08MA21)
As conexões com as demais Unidades Temáticas estão presentes nas diversas atividades propostas
no capítulo. A relação com a Unidade Temática Números se dá nos cálculos com números reais utilizados
na determinação de volumes de prisma e de cone; a conexão com a Unidade Temática Álgebra aparece
ao utilizar relações de proporcionalidade no cálculo da área de um setor circular; e a articulação com a
Unidade Temática Probabilidade e estatística ocorre na seção Trabalhando a informação.

48. XLVI
Capítulo 12 – Polígonos regulares e áreas
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas
envolvendo números reais e
cálculo de áreas e volume
Números reais: notação científica e
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar
problemas com números reais, inclusive
em notação científica, envolvendo
diferentes operações.
• Resolução de problemas
envolvendo relações de
proporcionalidade no
cálculo da área de um setor
circular
Grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa
de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
• Relação entre arcos de uma
circunferência e ângulos
centrais de polígonos
regulares inscritos nessa
circunferência
Relações entre arcos e ângulos na
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio
do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos
na circunferência, fazendo uso, inclusive,
de softwares de geometria dinâmica.
• Aplicação do teorema de
Pitágoras na determinação
de elementos de polígonos
regulares inscritos em uma
circunferência
• Resolução e elaboração de
problemas de aplicação
do teorema de Pitágoras
envolvendo polígonos
regulares
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais:
teoremas de proporcionalidade e
verificações experimentais
(EF09MA14) Resolver e elaborar
problemas de aplicação do teorema
de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas
paralelas cortadas por secantes.
• Descrição de algoritmo
por escrito e por meio de
fluxograma para construção
de um polígono regular
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por
meio de um fluxograma, um algoritmo
para a construção de um polígono
regular cuja medida do lado é conhecida,
utilizando régua e compasso, como
também softwares.
• Cálculo de áreas e volumes Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar
problemas que envolvam medidas de
volumes de prismas e de cilindros retos,
inclusive com uso de expressões de
cálculo, em situações cotidianas.
• Análise de gráficos com
elementos que induzem
a erros de leitura e
interpretação
Análise de gráficos divulgados pela mídia:
elementos que podem induzir a erros de
leitura ou de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar,
em gráficos divulgados pela mídia, os
elementos que podem induzir, às vezes
propositadamente, erros de leitura, como
escalas inapropriadas, legendas não
explicitadas corretamente, omissão de
informações importantes (fontes e datas),
entre outros.

49. XLVII
Capítulo 1
Raiz quadrada aproximada
1. Sabendo que ,11331- , calcule o valor aproximado
de:
a) 44 b) 176 c) 396 d) .1 100
Respostas:
a) 44 5 4118 5 4 8 11 5 2 8 3,31 5 6,62
b) 176 5 16 118 5 11168 5 4 8 3,31 5 13,24
c) 396 5 36 118 5 11368 5 6 8 3,31 5 19,86
d) .1100 5 100 118 5 111008 5 10 8 3,31 5 33,1
2. Jogo do bingo das raízes
Número de participantes: 4 jogadores
Material necessário:
• 50 fichas de mesmo tamanho, numeradas de 1 a 50
• 1 lápis
• 4 cartelas do tipo
• Cada jogador deve montar sua cartela, sem que o outro
veja, com nove números diferentes escolhidos dentre
estes:
1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 2,65 2,83 3 3,16
3,32 3,46 3,61 3,74 3,87 4 4,12 4,24 4,36 4,47
4,58 4,69 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,29 5,39 5,48
5,57 5,66 5,74 5,83 5,92 6 6,08 6,16 6,24 6,32
6,4 6,48 6,56 6,63 6,71 6,78 6,86 6,92 7 7,07
Regras:
• Colocar as fichas sobre a mesa com as faces numeradas
viradas para baixo.
• Os participantes combinam a ordem dos jogadores.
• Cada jogador, na sua vez, pega uma ficha e a coloca sobre
a mesa para que todos vejam o número sorteado.
• Em seguida, cada jogador calcula a raiz quadrada com
aproximação de até duas casas decimais e procura esse
valor na sua cartela para riscar.
• Se o jogador não tiver na cartela dele o valor obtido ou se
ele errar o cálculo, não marca nada e aguarda a próxima
rodada.
• As rodadas continuam até que alguém risque todos os
números da sua cartela. Esse jogador será o vencedor.
Pensando na estrutura do jogo, respondam:
Entre as fichas numeradas, existe algum número que não
pode ser utilizado no jogo?
Resposta: Não, pois todos os números das fichas são racionais
positivos e, portanto, têm raiz quadrada.
NELSON MATSUDA
Capítulo 2
Cálculos com números reais
1. Números cruzados
4
1 23
5
10
6 7 8
9
11 12 13
14 15
,
,
Horizontais:
1. 10
2
2.
625
5. menor número primo entre 40 e 50
7. 20
2
1 15
2
9. 5,39 8 10
3
11. número decimal resultante da expressão:
5 1 4 8 10
22
12.
1.024 1212
14. Quantos anos da chegada dos portugueses ao Brasil
comemorou-se no ano 2000?
15. (3 1 4)
2
1 2
3
Verticais: 1. Está entre
100e121
3. número com três algarismos iguais
4. (14 2 1)
2
6. Ano da chegada dos portugueses ao Brasil
8. 5
2
8 3
4
10. 20 8 289
11. (231,35) 9 (25, 7) 13. É o número que adicionado a 8 elevado ao quadrado re-
sulta em 9 elevado ao quadrado.
Resposta:
Horizontais:
1. 10
2
5 100
2.
625 5 25
5. números primos entre 40 e 50 p 41, 43 e 47; portanto,
o menor número primo entre 40 e 50 é 41
7. 20
2
1 15
2
5 400 1 225 5 625
9. 5,39 8 10
3
5 5.390
11. 5 1 4 8 10
22
5 5 1 0,04 5 5,04
JOSÉ LUÍS JUHASSUGEST?ES DE ATIVIDADES

50. XLVIIIXLVIII
12. 1.0241 21 2 5 32 2 11 5 21
14. 2.000 2 1.500 5 500
15. (3 1 4)
2
1 2
3
5 7
2
1 8 5 49 1 8 5 57
Verticais:
1.
100 10e 1215 5 11 p número entre 10 e 11
3. 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 ou 999 4. (14 2 1)
2
5 13
2
5 169
6. 1.500 8. 5
2
8 3
4
5 25 8 81 5 2.025
10. 20 8
289 5 20 8 17 5 340
11. (231,35) 9 (25, 7) 5 5,5
13. x 1 8
2
5 9
2
] x 5 9
2
2 8
2
]
] x 5 81 2 64 ] x 5 17
Assim, temos:
4
1
1
01
4
5
5
0
1
5
0
0
0
3
4
0
2
26
90
2
5
5
5
5
1
7
23
5
10
,
,
6 7 8
9
11 12 13
14 15
2. Jogo dos resultados alinhados
Número de participantes: 2 jogadores
Material necessário:
• 2 canetas de cores diferentes
• papel sulfite
Regras:
• Os jogadores devem fazer dois tabuleiros em uma folha
de papel sulfite.
• Cada tabuleiro é formado por um retângulo dividido em 9
retângulos menores (casas).
• Um dos tabuleiros deve ser preenchido conforme o modelo
a seguir:
Subtraia
Extraia a raiz
de índice
Multiplique
por
Multiplique
por
Multiplique
por 1
Eleve ao
expoente
Divida por Divida por Adicione
• Juntos, os dois jogadores devem escolher um único número
para colocar em cada operação, assim como foi feito com
o número 1 no retângulo do meio (que é valor fixo).
Esses números devem ser todos diferentes e escolhidos de
250 a 50, do seguinte modo:
JOSÉ LUÍS JUHAS
91 número inteiro negativo
92 números irracionais em forma de radical
91 número racional negativo
91 número quadrado perfeito
93 números naturais quaisquer diferentes dos demais
• Cada jogador pega uma das canetas coloridas, escolhe
outro número de
250 a 50 e escreve no papel sulfite. Tiram
par ou ímpar para ver quem começa o jogo.
• Depois, um de cada vez escolhe uma casa do tabuleiro
das operações (ainda não selecionada) e efetua a conta,
na folha de sulfite, com o seu número. A seguir, escreve
o resultado no outro tabuleiro, na casa correspondente à
operação realizada.
• O quociente que não é inteiro deve ser expresso na forma
de fração.
• A partir da segunda jogada de cada um, as operações
são efetuadas com o resultado da operação anterior do
próprio jogador.
• O jogador que errar a operação perde a vez e não pode
marcar nada na casa.
• Vence o jogo quem primeiro conseguir alinhar três resulta-
dos na horizontal, na vertical ou na diagonal.
• Caso nenhum jogador consiga alinhar três resultados numa
rodada, outros números devem ser escolhidos e o jogo
reinicia com o mesmo tabuleiro das operações.
Pensem na estrutura do jogo e analisem a seguinte situação:
Lucas e Luana montaram um tabuleiro para jogar:
Subtraia

5
Extraia a raiz
de índice
2
Multiplique por
3
Multiplique por
2
Multiplique
por
1
Eleve ao
expoente
3
Divida por
20,5
Divida por
1,44
Adicione
210
a) Esse tabuleiro está dentro das especificações do jogo?
Justifique.
b) Luana escolhe o número 8 e Lucas, o 213. Ele joga na pri-
meira vez. Depois de algumas jogadas, veja como está o
jogo:
Luana Lucas
Início 8 213
1
a
jogada 8 1 (210) 5 22 1331 3328 52
2
a
jogada 21,44
2
1,44
25
18
29 52 52 29 25133(0,5) 263
3
a
jogada 23 52
25
18
1
25
18
ainda vai jogar
XLVIII

51. 2133
Lucas
25
18
2
Luana
263
Lucas
25
18
2
Luana
22
Luana
É a vez de Lucas jogar. O que ele deve fazer? Na situação
apresentada, Luana já ganhou o jogo? Justifique.
Respostas:
a) Sim, pois ele segue o modelo dado. Além disso, os oito
números colocados foram escolhidos conforme as regras:
um número inteiro negativo (
210), dois números irracionais
diferentes em forma de radical (
e
32 ), um número racional
negativo (
20,5), um número quadrado perfeito (1,44) e outros
três números naturais diferentes dos demais (5, 3 e 2).
b) Para impedir Luana de ganhar o jogo, Lucas deve escolher a
casa “subtraia 5”, pois a casa ”extraia a raiz de índice 2” Luana
não pode escolher (a raiz quadrada de um número negativo
não é um número real).
Capítulo 3
Razão entre grandezas de naturezas
diferentes
1. Neste ano, a produção de peixes de certa região foi estimada
em 84.416 toneladas, distribuídas em 30.639 hectares.
a) Determine uma razão que expresse a produção estimada,
em tonelada por hectare (t/ha).
b) Segundo essas informações, quantas toneladas de peixes
foram produzidas em cada 10 hectares?
Respostas: a) 2,76 t/ha; b) 27,6 t
2. Uma folha de papel sulfite tamanho A4 tem lados medindo
21 cm e 29,7 cm, respectivamente. Sabendo que a gramatura
dessa folha é 90 g/m
2
, responda:
a) Qual é a massa de uma dessas folhas de papel sulfite?
b) Qual é a massa de uma resma de folhas como essa?
Respostas: a) 5,6133 g; b) 2.806,65 g
Uma resma corresponde a 500 folhas de papel. Caso os alunos
não saibam, peça a eles que pesquisem antecipadamente e
socializem as informações coletadas.
Grandezas proporcionais
1. Ao preparar a ração para as cabras que cria, Rodolfo mistura
sementes de soja com feno na razão de 1 para 2. Para 60 kg
dessa mistura, quantos quilogramas de semente de soja serão
utilizados?
Resposta: Devemos obter uma fração equivalente a
2
1
cuja
soma dos termos seja 60:
..
.
2
1
4
2
20
10
40
20
5 555 Logo, serão utilizados 20 quilogra-
mas de semente de soja.
Outra maneira de pensar seria montar o sistema:
y
x
xy
2
1
60
5
15
*
Regra de três
1. Toda semana, os veículos de uma empresa transportam para
o aeroporto da cidade uma carga composta de pequenos
volumes. Três furgões iguais precisam fazer, cada um deles,
duas viagens ao dia, durante quatro dias, para que esse tra-
balho seja realizado. Recentemente, essa empresa adquiriu
mais um furgão, idêntico aos outros três, para auxiliar nesse
serviço. Sabendo que, atualmente, cada um dos furgões faz
três viagens ao dia, calcule em quantos dias eles realizam
todo o transporte.
Resposta: 2 dias
Capítulo 4
Aplicação do teorema de Tales
1. Verifique se as retas a, b e c são paralelas. Justifique sua
resposta.
a
b
64
96
c
Resposta: Como
6
4
9
6
3
2
55, temos que as retas a, b e c
são paralelas.
2. Na figura, a // b // c, e as retas r, s e t são transversais.
12
20
30 x
r s t
c
b
a
y
24
Qual é o valor de x e de y?
Resposta: x
5 18 e y 5 36
Capítulo 5
Triângulos semelhantes
1. O :ABC e o :MNP abaixo são semelhantes.
C
NI
P
M
BHA
ILUSTRAÇÕES: ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
XLIX

52. LL
Determine a razão entre:
a) os lados AB e MN;
b) os lados AC e MP;
c) as alturas CH e PI;
d) as áreas dos triângulos ABC e MNP.
Respostas: a)
2
3
; b)
2
3
; c)
2
3
; d)
4
9

2. Considere a figura:
A BD
E
C
Se BC 5 20 cm, AC 5 24 cm, AD 5 12 cm e AE 5 12,6 cm,
determine o perímetro do quadrilátero BCED.
Resposta: 54,6 cm
3. (UFRN) Considerando-se as informações constantes no
triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura
PR desse triângulo mede:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
3
3
3
4
R
P Q
Resposta: alternativa b
4. No triângulo abaixo, DE // AC e DF // BC. Sabendo que
AB 5 27 cm, BE 5 6 cm e EC 5 12 cm, calcule, se possível,
BD, DF e AC .
B
D
A C
E
F
27
6
12
Resposta: BD 5 9 cm; DF 5 12 cm. Não é possível determi-
nar AC, apenas podemos dizer que 9
, AC , 45 para que o
triângulo ABC exista.
5. (Mackenzie-SP) Na figura, MNPQ é um losango. Se MT 5 12 e
MS 5 6, o lado do losango mede:
a) 3.
b) 4.
c) 2.
d)
2
5
.
e)
2
7
.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
T
P
S
Q
M
N
Resposta: alternativa b
6. O perímetro do polígono ABCDE é 150 cm e o lado
AB mede
20 cm. Determine o perímetro do polígono MNPQR, semelhan -
te ao primeiro e cujo lado MN, correspondente de AB, mede
30 cm.
Resposta: 225 cm
Capítulo 6
Medidas estatísticas
1. Foi feita uma pesquisa com os moradores de uma rua sobre
o número de pessoas que moram em cada casa. Observe o
resultado no quadro abaixo.
3 8 5 2 3
4 3 2 3 4
3 2 1 4 5
3 5 4 2 5
Organize esses dados em ordem crescente e determine a
média, a moda, a mediana e o desvio médio absoluto dessa
distribuição.
Respostas: média 5 3,55; moda 5 3; mediana 5 3; desvio
médio absoluto 5 1,205
Capítulo 7
Equações do 2
o
grau incompletas
1. Faça um desenho que descreva cada situação e obtenha uma
equação correspondente a cada uma.
a) Um retângulo tem área de 243 cm
2
e a medida de seu lado
maior é o triplo da medida do lado menor.
b) Um trapézio tem área de 384 cm
2
. A altura desse trapézio
é o dobro da medida da base menor e é igual à medida da
base maior.
c) Um triângulo de área 100 cm
2
tem base e altura de mesma
medida.
d) A área de um quadrado é numericamente igual ao dobro
da medida de seu lado.
Respostas:
a) Desenhamos o retângulo:
243 cm
2x
3x
NELSON MATSUDA
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
L

53. Encontramos a equação correspondente a essa situação:
3x
8 x 5 243
3x
2
5 243
b) Desenhamos o trapézio:
384 cm
2
x
2x
2x
Encontramos a equação correspondente a essa situação:
()xx x
384
2
22
5
18
xx
2
2
384
38
5
x
2
384
6
5
2
3x
2
5 384
c) Desenhamos o triângulo:
x
x
100 cm
2
Encontramos a equação correspondente a essa situação:
xx
2
100
8
5
x
2
1005
2
x
2
5 200
d) Desenhamos o quadrado:
x
x
Encontramos a equação correspondente a essa situação:
x
8 x 5 2x
x
2
5 2x
2. Resolva cada equação do exercício anterior e determine o
valor desconhecido na situação correspondente.
Respostas: Como x é medida de lado ou de altura, x deve ser
maior do que zero.
a) 3x
2
5 243
x
2
5 81
x 5
69
Logo, nessa situação x 5 9 e 3x 5 27.
b) 3x
2
5 384
x
2
5 128 5 64 3 2
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
x 5 642
86
x 5 826
Logo, nessa situação x 5 82 e 2x 5 216.
c) x
2
5 200
x
2
5 100 8 2
x 5
102068
x 5 2106
Logo, nessa situação x 5 120.
d) x
2
5 2x
x
2
2 2x 5 0
x(x
2 2) 5 0
x 5 0 ou x
2 2 5 0
x 5 0 ou x 5 2
Logo, nessa situação x 5 2.
Capítulo 8
Relações métricas em um triângulo retângulo
1. Observe o triângulo MNP a seguir.
6 cm
H
M
P
4,5 cm
7,5 cm
N
Escreva no caderno todas as relações métricas para esse
triângulo.
Resposta:
• 6
2
5 7,5 8 (MH)
• (4,5)
2
5 7,5 8 (NH)
• (PH)
2
5 (MH) 8 (NH)
• 6 8 4,5 5 7,5 8 (PH)
• (7,5)
2
5 6
2
1 (4,5)
2
2. Considere o triângulo do exercício anterior e determine:
a) a medida da projeção do cateto
MP sobre a hipotenusa;
b) a medida da altura relativa à hipotenusa;
c) o perímetro do triângulo;
d) a área do triângulo.
Respostas: a) 4,8 cm; b) 3,6 cm; c) 18 cm; d) 13,5 cm
Capítulo 9
Relações trigonométricas no triângulo
retângulo
1. Para substituir uma lâmpada queimada em uma luminária
presa a uma parede, um eletricista apoiou nessa parede
uma escada de 5 m de comprimento formando um ângulo
de 40° com o chão. Represente a situação com um desenho
e responda: a lâmpada que será trocada está a que altura
aproximada do chão? (Se necessário, consulte a tabela de
razões trigonométricas.)
Resposta: A lâmpada está a uma altura de aproximadamente
3,214 m do chão.
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
LI

54. LIILII
2. Um observador, com 1,64 m de altura, vê uma luz no alto de uma
torre de televisão sob um ângulo de 60°. Esse observador se
encontra a 20 m do centro da base da torre, conforme mostra
a figura abaixo. Determine a altura aproximada dessa torre.
60°
Resposta: aproximadamente 34,6 m
Capítulo 10
Função polinomial do 1
o
grau
1. Represente graficamente as funções dadas por:
a) y 5 x
b) y 5 2x
c) y 5 3x
Em seguida, responda:
I. Os gráficos têm um ponto em comum. Qual?
II. Comparando esses gráficos e considerando um valor real
qualquer para a abscissa x, o que você pode afirmar a respeito
das ordenadas dos pontos (x, x), (x, 2x) e (x, 3x)?
Respostas:
a)
y
x
b)
y
x
c)
x
y
I. O ponto (0, 0).
II. Exemplo de resposta:
NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Em (x, 2x), a ordenada é o dobro da ordenada em (x, x).
Em (x, 3x), a ordenada é o triplo da ordenada em (x, x).
2. Represente os gráficos das funções dadas por:
a) y 5 –x
b) y 5 x
Em seguida, responda:
I. Os gráficos têm um ponto em comum. Qual?
II. Comparando os dois gráficos, é possível observar uma
característica importante de simetria. Descreva-a.
Respostas:
a)
y
x
b) y
x
I. O ponto (0, 0). II. Exemplo de resposta: Os dois gráficos são simétricos em
relação ao eixo das abscissas.
3. Faça o esboço dos gráficos das funções cujas leis são:
a) y 5 x
b) y 5 x 1 1
c) y 5 x 1 2
Em seguida, responda:
I. O que você pode afirmar sobre as retas que são os gráficos
das três funções?
II. Comparando os gráficos e considerando um valor real qual-
quer para a abscissa x, o que é possível afirmar a respeito das
ordenadas dos pontos (x, x), (x, x
1 1) e (x, x 1 2)?
Respostas:
a)
y
x
b) y
x
c)
y
x
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
LII

55. I. São retas paralelas.
II. Exemplo de resposta: Em ( x, x 1 1), a ordenada tem uma
unidade a mais que a ordenada em (x, x). Em (x, x 1 2), a or-
denada tem duas unidades a mais que a ordenada em (x, x).
4. Observe os passos para construir o gráfico de y
5 3x 2 4 a
partir de y
5 x:
y
y = x
x
(bissetriz do 1
o
quadrante)
y
y = x
y = 3x
x
y
y = x
y = 3x
y = 3x 2 4
x
Agora, faça o mesmo para as funções:
a) y
5
3
1
x 1 1
b) y
5 22x 1 2
2
3
Respostas:
a)
y
y = x
x

y
y = x
x
y = x
1
3

y
y = x
x
y = x
1
3
y = x 1 2
1
3
b)
y
y = x
x

y
y = x
y = 22xy
x
xy = 22x
y
y = x
x
y = 2 2x2
3
2
5. Considerando que M 5 600 8 0,03t 1 600 expressa o montante
de uma aplicação de determinado capital a uma dada taxa em
função do tempo t, em meses, determine:
a) o montante após 3 meses de aplicação;
b) o tempo de aplicação para se obter um montante de
R$ 690,00;
c) o gráfico dessa função.
Respostas:
a) M 5 600 3 0,03 3 3 1 600 5 654
O montante após 3 meses de aplicação é R$ 654,00.
b) 690 5 600 3 0,03t 1 600
690 2 600 5 18t
90 5 18t
t 5
18
90
t 5 5
O tempo de aplicação será 5 meses.
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
LIII

56. LIVLIV
c)
600
618
123
636
654
Montante (em reais)
Tempo (em meses)
Função polinomial do 2
o
grau
1. Considere funções do tipo y 5 (x 1 m)
2
. Por exemplo, vamos
comparar os gráficos das funções definidas por:
y 5 x
2
, y 5 (x 1 1)
2
e y 5 (x – 2)
2

0
212
x
y
y 5 (x 1 1)
2
y 5 x
2
y 5 (x 2 2)
2
Em y 5 (x 1 1)
2
o valor de x 5 21 exerce o mesmo papel que
x 5 0 em y 5 x
2
, ou seja, torna y 5 0. Algo análogo acontece
com x 5 2 em y 5 (x 2 2)
2
. Analisando todos os outros valores
das abscissas, em comparação ao gráfico da função mais sim-
ples y 5 x
2
, podemos perceber que o gráfico de y 5 (x 1 1)
2

sofreu uma translação horizontal de 21 unidade (isto é, de 1
unidade para a esquerda), enquanto o gráfico de y 5 (x 2 2)
2

sofreu uma translação horizontal de 1 2 unidades (ou seja,
de 2 unidades para a direita). Evidentemente, para qualquer
outro valor de m, a análise é semelhante.
Esboce o gráfico das funções abaixo, em papel milimetrado,
explicando a maneira pela qual você obteve o gráfico, em
comparação ao de y 5 x
2
:
a) y 5 (x 1 4)
2
b) y 5 2 3(x 1 4)
2
c) y 5 2 3(x 2 4)
2
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Respostas:23242526272829 22
22
23
24
25
26
27
28
29
456789221
21
31
0
4
5
6
7
8
9
3
2
1
x
y
y 5 3(x

1 4)
2

a) y 5 (x

1 4)
2
y 5 x
2

c) y 5 23(x

2 4)
2
b) y 5 23(x

1 4)
2
2. Vejamos como construir o gráfico de, por exemplo,
y 5 22
5
2
x2
2
cm 1 3 (construindo vários gráficos interme-
diários a fim de entender os movimentos ocorridos) a partir
do gráfico da função mais simples y 5 x
2
.
0 x
y
y
5 2x 2
2
5
y 5 x 2
2 5
2
2
y 5 x
2
y 5 22 1 3x 2
2 5
2
y 5 22 x 2
2 5
2
• Primeiro, construímos o gráfico da função mais simples
y 5 x
2
.
• Em seguida, o gráfico de y 5
5
2
x2
2
cm , a partir do gráfico
de y 5 x
2
, realizando uma translação horizontal de
5
2
à
direita.
• Depois, o gráfico de y 5 2
5
2
x2
2
cm , em que é possível vi-
sualizar a mudança de inclinação da curva provocada pelo
fator 2, obtendo uma parábola “mais fechada”.
• Então, o gráfico de y 5 22
5
2
x2
2
cm , em que é possível
visualizar a reflexão no eixo horizontal em relação ao
gráfico anterior.
LIV

57. • Finalmente, o gráfico de y 5 2
5
2
x2
2
cm 1 3, por meio de
uma translação vertical de 13 unidades, ou seja, uma trans-
lação vertical de 3 unidades para cima do gráfico anterior.
a) Construa o gráfico de y 5 22(x 2 1)
2
1
2
3
a partir do gráfico
de y 5 x
2
.
b) Construa o gráfico de y 5 x
2
2 4x 1 4 a partir do gráfico
de y 5 x
2
.
c) Construa o gráfico de y 5 x
2
2 4x 1 5 a partir do gráfico de
y 5 x
2
. Reescreva a expressão da função de outro modo,
completando os quadrados.
Respostas:
a) x
y
42
1
51
51
567315253
52
3
2
4
5
6
y = x
2
y = (x 5 1)
2
y 1 52(x 5 1)
2
y = 2(x 5 1)
2
y 1 52(x 5 1)
2
ò
2
3
b) Podemos escrever y 5 x
2
2 4x 1 4 da seguinte maneira:
y 5 (x
2 2)
2
. Depois, seguir estes passos:
x
y
42
1
21
21 5673122
22
3
2
4
y 5 x
2
y 5 (x 2 2)
2
y 5 (x 2 1)
2
c) Escrevendo y 5 x
2
2 4x 1 5 de outro modo, temos:
y 5 x
2
 2 4x 1 41 1. Então, podemos expressar y
2
5 (x 2 2)
2
1
1 1.
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
x
y
42
1
21
21 312223
2
y 5 x
2
y 5 (x 2 2)
2
y 5 (x 2 1)
2
y 5 (x 2 2)
2
1 1
Capítulo 11
Propriedades entre arcos e cordas
1. Observe o quadrilátero inscrito na circunferência a seguir.
Sabendo que ,AB BC CD DArr r
% % % %
podemos afirmar que
ABCD é um quadrado? Justifique.
O
C
B
D
A
Resposta: Sim, porque as cordas AB, BC, CD e DA determi-
nadas, respectivamente, pelos arcos AB ,CBC DA,D e
%%% %
são
congruentes (pela 1
a
propriedade entre arcos e cordas).
2. Observe a figura:
O
A B
D
E
Classifique os triângulos AEO e BEO quanto aos ângulos,
sabendo que AD BDr
% %
.
Resposta: Como AO 5 BO (medidas do raio da circunferên-
cia), temos que o triângulo AOB é isósceles. Desse modo, os
ângulos da base desse triângulo são congruentes. Pela con-
gruência dos arcos, podemos concluir que os ângulos centrais
AÔE e BÔE correspondentes a esses arcos, respectivamente,
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
ILUSTRAÇÕES: ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
LV

58. LVILVI
também são congruentes. Ou seja, os triângulos AEO e BEO
são congruentes pelo caso ALA. Sendo assim, concluímos
que AE 5 EB. Logo, pela 2
a
propriedade entre arcos e cordas,
concluímos que o diâmetro que contém
DO é perpendicular
à corda AB pelo seu ponto médio E. Portanto, os triângulos
AEO e BEO são ambos triângulos retângulos.
Capítulo 12
Cálculo de áreas
1. As áreas de dois círculos estão relacionadas entre si assim
como 3 está para 2. O diâmetro do círculo menor mede 6 cm.
Calcule:
a) a razão entre os diâmetros desses círculos;
b) a medida do diâmetro do círculo maior.
Respostas:
a) Indiquemos por D e d as medidas dos diâmetros dos círculos
maior e menor, respectivamente. As áreas dos dois círculos
estão relacionadas entre si assim como 3 está para 2, logo:
πR
2
πr
2
5
3
2
,
em que R e r são os raios dos círculos maior e menor, respec-
tivamente. Logo, podemos escrever:
ÆÆ ,
r
R
d
D
d
D
2
3
2
2 3
2 32
55 5
2
2
2
2
2
2
c
cm
m

sendo D e d os diâmetros dos círculos maior e menor, res-
pectivamente.
Portanto, ÆÆ .
d
D
d
D
d
D
2
3
2
3
2
6
55 5
2
2
b) Sabendo que o diâmetro do círculo menor mede 6 cm,
podemos calcular a medida D do diâmetro do círculo maior
do seguinte modo:
Æ
.
D
D
2
6
6
6
2
6
55
Logo, o diâmetro do círculo maior mede 36 cm.
2. Na circunferência a seguir, o raio mede 5 cm. O segmento BC é
tangente à circunferência e OD é perpendicular a AC. Calcule:
a) a medida de BC;
b) a área do triângulo ABC;
c) a medida da circunferência;
d) a área do círculo.C
B
D
A
O
Respostas:
a) Como OD é perpendicular a AC, sendo BC tangente à cir-
cunferência, então os segmentos BC e OD são paralelos.
Os triângulos :AOD e :ACB são semelhantes (AAA), pois:
• CAB é comum;
• AOD e AC B são correspondentes;
• ADO e AB C são correspondentes.
O triângulo :AOD é isósceles, pois AO 5 OD (raios da cir-
cunferência). Então o triângulo :ACB também é isósceles,
com AC 5 BC. Como AC 5 AO 1 OC 5 10 (diâmetro da
circunferência), então BC 5 10 cm.
b) Área do triângulo ABC:
A
t
5
BC AC
2
8
Æ A
t
5 Æ
2
10 108
A
t
5 50 cm²
c) Medida da circunferência: C
5 2πr Æ C 5 2 8 3,14 8 5 Æ
Æ
C 5 31,4 cm
d) Área do círculo: A
C
5 πr
2
Æ A
C
5 3,14 8 5
2
Æ A
C
5 78,5 cm²
REINALDO VIGNATI
LVI

59. 1
LIVRO DO ESTUDANTE — ORIENTAÇÕES PÁGINA A PÁGINA
Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
BIANCHINI
9
a
edição
São Paulo, 2018
o
ano
9
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino
de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia,
Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP).
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo,
no ensino fundamental e médio, por 25 anos.

60. 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição: Glaucia Teixeira
Edição de conteúdo: Dário Martins de Oliveira
Revisão técnica: Kauan Pastini Paula Leite
Assistência editorial: Francisco Mariani Casadore
Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Everson de Paula, Adriano Moreno Barbosa
Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto
Foto: Corredor cruzando a linha de chegada, 2009.
Crédito: Paul Bradbury/Getty Images
Coordenação de arte: Aderson Assis
Editoração eletrônica: Grapho Editoração, Marcel Hideki
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani
Revisão: Clara Altenfelder, Daniela Uemura, Erika Nakahata, Kátia Godoi, Lilian Xavier, Luciana Baraldi,
Patricia Cordeiro
Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi
Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria, Paula Dias
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Denise Feitoza Maciel, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória
Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento:
“Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas
de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.”
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
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2 018
Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Bianchini, Edwaldo
Matemática - Bianchini / Edwaldo Bianchini. – 9. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.
Obra em 4 v. para alunos de 6
o
ao 9
o
ano.
Componente curricular: Matemática.
Bibliografia.
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16603 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Iolanda Rodrigues Biode – Bibliotecária – CRB-8/10014

61. 3
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
APRESENTAÇÃO
Caro estudante,
Este livro foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de
facilitar sua aprendizagem.
Para tornar mais simples o entendimento, a teoria é apresentada
por meio de situações cotidianas. Assim, você vai notar o
quanto a Matemática faz parte do nosso dia a dia e nos permite
compreender melhor o mundo que nos rodeia.
Por isso, aproveite ao máximo todo o conhecimento que este livro
pode lhe oferecer. Afinal, ele foi feito especialmente para você!
Faça dele um parceiro em sua vida escolar!
O autor

62. 4
CONHEÇA SEU LIVRO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
82 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
26 Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00, então:
a) quanto custam 12,5 m desse tecido?
b) quantos metros é possível comprar com
R$ 109,20?
27 Uma usina produz 350 litros de álcool com
5  toneladas de cana-de-açúcar. Para produzir
8.750 litros de álcool, são necessárias quantas
toneladas de cana-de-açúcar ?
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Um navio zar pou para uma viagem car regando alimentos suficientes para 30 dias. Entre passagei-
ros e tripulantes, havia 250 pessoas a bordo. Passados 6 dias, o navio atracou em um porto, onde
10  passa geiros desembarcaram, desistindo da viagem. Para quantos dias foram suficientes os ali-
mentos restantes?
28 No rio que atravessa certa cidade, foram en-
contradas 3 toneladas de peixes mortos, em decor rência de um grande vazamento de uma indústria química. A prefeitura da cidade con- tratou 45 funcionários de uma empresa de limpeza urbana, que, em 4 dias, retiraram do rio todos os peixes mortos.
a) Supondo que a prefeitura tivesse contratado
mais 15 funcionários, de mesma produtivi-
dade, quantos dias seriam necessários para
retirar do rio aquela quantidade de peixes?
b) Para evitar desastres ambientais como esse,
que atitudes você acha que as empresas
devem tomar ?
c) Não jogar lixo na r ua, separar materiais
recicláveis e evitar o uso de automóvel para
percor rer pequenas distâncias são peque-
nas atitudes que podem preser var o meio
ambiente. Troque ideias com os colegas
e façam uma lista de outras atitudes que
podem ser tomadas para ajudar o planeta.
29 Uma padaria produz 400 pães com 10 kg de
farinha de trigo.
a) Quantos pães ela produzirá com uma saca
de 60 kg de farinha?
b) Quantos quilogramas de farinha são neces-
sários para a produção de 750 pães?
30 Para constr uir uma roda dentada com deter-
minada máquina, perdem-se 30 gramas de
material. Depois de 10 dias utilizando essa
máquina, que produz 150 rodas dentadas por
dia, quantos quilogramas de material serão
perdidos?
31 Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas
com velocidade média de 80 km/h, consumin-
do 1 litro de etanol a cada 12 quilômetros.
a) Se a velocidade média fosse 90 km/h, esse
percurso seria feito em quanto tempo?
b) Desejando-se fazer esse percurso em 5 ho-
ras, qual deve ser a velocidade média do
automóvel?
32 Uma torneira fornece 24 litros de água por
minuto e enche um tanque em 45 minutos.
a) Duas torneiras iguais a essa encheriam o
tanque em quantos minutos?
b) Para encher o tanque em 15 minutos, se-
riam necessárias quantas dessas torneiras,
sabendo que agora ele tem um vazamento?
33 Em uma cidade, 600 ônibus transportam
240.000 pessoas por dia. Para reduzir os gas-
tos, a prefeitura propôs retirar 200 ônibus de
circulação.
a) Supondo que os usuários desses 200 ônibus
passem a usar automóveis e que cada auto-
móvel transporte 4 pessoas por dia, quantos
automóveis serão necessários?
b) O que você acha que acontecerá com o
trânsito e o meio ambiente da cidade se a
prefeitura de fato tomar essa medida?
34 Hora de cr iar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre regra de três.
Depois de cada um resolver o problema elabo-
rado pelo outro, destroquem para cor rigi-los.
32 m
10 m
8 m
4 km
2 km
5 km
4 km
JB 12
60 passos
A
B
30 passos
25 passos
X
Y Z
C2
C1
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
131CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
1 Classifique cada sentença abaixo em verdadei-
ra ou falsa e justifique as falsas.
a) Todos os triângulos congr uentes são seme-
lhantes.
b) Todos os triângulos semelhantes são con-
gr uentes.
c) Dois triângulos isósceles que têm os ângulos
do vértice congr uentes são semelhantes.
3 (Enem) A sombra de uma pessoa que mede
1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo mo -
mento, a seu lado, a sombra projetada de um
poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra
do poste diminuir 50 cm, a sombra da pessoa
passará a medir:
a) 30 cm.
b) 45 cm.
c) 50 cm.
d) 80 cm.
e) 90 cm.
4 Os lados AB ACe
de um triângulo medem,
respectivamente, 35 cm e 42 cm. No lado AB,
distante 10 cm de A, marca-se um ponto D.
Por D traça-se uma paralela a BC, que encon-
tra AC no ponto E.
a) Constr ua uma figura que ilustra a situação.
b) Deter mine as medidas de .AEECe
Qual é o inteiro mais próximo da largura do rio, medida em metros?
2 (Covest-PE) A figura abaixo representa um rio
cujas margens são retas paralelas.
Deter mine o comprimento da estrada JB 12.
5 O esquema abaixo representa a relação entre
quatro estradas.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
6 Os lados de um triângulo medem 15 cm, 20 cm
e 25 cm. Calcule a medida dos lados de um
triângulo semelhante a ele que tenha 45 cm
de perímetro.
7 Veja na figura abaixo o procedimento usado
por Marcos para descobrir a distância entre
as ár vores A e B próximas do lago.
Sabendo que a medida do passo de Marcos
é 80 cm, deter mine a distância entre essas
ár vores, em metro.
9 Uma pessoa sobe uma rampa que tem 4 m
de altura na parte mais alta. Após caminhar
12,3 m sobre a rampa, ela nota que está a 1,5 m
de altura em relação ao solo. Calcule quantos
metros a pessoa ainda deve caminhar para
atingir o ponto mais alto da rampa.
10 Na figura, o raio da cir cunferência menor
me de 6 cm e o da maior mede 10 cm. Se
XC
1
 5 12 cm e
YC
1 ⁄  ⁄ ZC
2, deter mine a distân-
cia C
1
C
2
.
8 Os perímetros de dois triângulos semelhantes
são 48 cm e 60 cm. As áreas deles são, res-
pectivamente, 96 cm
2
e 150 cm
2
. O maior lado
do triângulo maior mede 25 cm. Deter mine a
medida do maior lado do triângulo menor.
Seu livro está organizado em 12 capítulos. A estrutura de cada capítulo é muito simples e
permite localizar com facilidade os assuntos estudados, os exercícios e as seções enrique-
cedoras. Veja a seguir.
Página de abertura
O tema do capítulo é introduzido
por meio de uma imagem
motivadora e um breve texto.
Exercícios
O livro traz exercícios variados, organizados após os conteúdos na seção Exercícios
Propostos e, ao final de cada capítulo, na seção Exercícios Complementares.
Hora de criar – Atividades
em que você elabora um
problema com base no
assunto estudado.
Apresentação
dos conteúdos
Os conteúdos são
apresentados
em linguagem
clara e objetiva e
acompanhados
de exemplos
e ilustrações
cuidadosamente
elaborados.
257CAPÍTULO 11
Revelada pela lente fotográfica do artista, uma circunferência imaginária, espelhada na
água tranquila do lago, pode surgir da simetria do arco da ponte.
11
Capítulo
Ponte do Diabo, Parque Kromlau, distrito de Görlitz Gablenzgasse, Alemanha. (Foto de 2017.)
LIUBOMIR PAUT-FLUERASU/
ALAMY/FOTOARENA
Circunferência,
arcos e relações
métricas
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
112 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Foto ampliadaFoto original
FOTOS: A. PAES/SHUTTERSTOCK
Cachoeira do Prata, localizada na Chapada
dos Veadeiros, Cavalcante (Goiás). (Foto de
2017.)
Foto reduzida
SIDNEY MEIRELES
Ampliando ou reduzindo figuras
em uma fotocopiadora, obtemos
figuras semelhantes às originais. Figuras
congruentes também são semelhantes.
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma, mas
não necessariamente o mesmo tamanho.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Em uma foto, a altura da imagem de João cor responde a 10 cm. Qual deve ser a porcentagem que
devemos programar na fotocopiadora para que a altura de João, na cópia ampliada, seja de 12 cm?
1
Figuras semelhantes
Quando uma imagem é projetada em uma tela de televisão, de cinema, de celular etc., o
tamanho da imagem projetada geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no
entanto a forma é mantida. Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhan-
te à original.
Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determi-
nada imagem; nesse caso, também se mantém a forma do original.
Para obter uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos programar essa máquina para
fazer uma cópia de 150%, pois a ampliação deverá ser igual ao original (100%) aumentado
de 50%. Se quisermos uma redução de 25%, devemos programar a máquina para 75%, que
corresponde ao original (100%) diminuído de 25%.
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
258 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
1
Circunferência e arcos de circunferência
Em muitas culturas agrícolas é empregado um sistema de irrigação chamado pivô central.
Nesse sistema, a água é distribuída de maneira controlada, com economia e eficiência, por meio de uma tubulação que, apoiada em torres sobre rodas, dá voltas completas em torno de um dispositivo central.
Wassily Kandinsky. Círculos em um círculo. 1923.
Óleo sobre tela. 98,7 cm 3 95,6 cm.
WASSILY K ANDINSKY – PHILADELPHIA MUSEUM OF ART, ESTADOS UNIDOS
NATIONAL GEOGRAPHIC CREATIVE/ALAMY/FOTOARENA
LEONARDO CONCEIÇÃO
LEONARDO CONCEIÇÃO
Plantação com sistema de irrigação com pivô central. (Foto de 2015.)
Algumas figuras
utilizadas nesta obra de
arte também dão ideia
de circunferência.
Os desenhos na
plantação, feitos
pelas torres sobre
rodas, dão ideia de
circunferência.
trânsito e o meio ambiente da cidade se a
prefeitura de fato tomar essa medida?
34 Hora de cr iar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre regra de três.
Depois de cada um resolver o problema elabo
rado pelo outro, destroquem para cor rigi-los.
trânsito e o meio ambiente da cidade se a
prefeitura de fato tomar essa medida?
34 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre regra de três.
Depois de cada um resolver o problema elabo
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

63. 5
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
DIVERSIFICANDO
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
39CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA
Jogo do enfileirando
Número de participantes: 2 a 4 jogadores
Material:
• Vinte cartões numerados confeccionados com os números: 0, 2, 6, 7, 9, 28, 27, 24, 23,
21, ,,,,, ,, ,, .
2
1
3
1
3
2
8
7
8
3
123 16 25
• Quatro cartas de ação: uma de “ordem crescente”; uma de “ordem decrescente”; uma de
“adição dos números”; e uma de “multiplicação dos números”.
• Dois saquinhos não transparentes: um para guardar os cartões numerados, outro para guar-
dar as cartas de ação.
• Papel e lápis para resolver as operações.
Regras:
• Sem olhar os números, cada jogador pega cinco cartões numerados de dentro do saquinho.
• Depois, um dos jogadores tira uma carta de ação e deve colocá-la em cima da mesa para
que todos a vejam e façam o que ela indica. Por exemplo, se sair a carta “ordem crescente”,
cada jogador colocará em ordem crescente os cartões que pegou. Suponha que um dos jo-
gadores tenha os cartões 2, 23, 2
,
2
1
e 9; ele deverá colocá-los nesta disposição: 23, ,
2
1

2, 2 e 9. Então, anota-se o nome de quem terminou a tarefa em primeiro lugar e retira-se
outra carta.
• Para os cálculos com 2 e 3, devem ser usados os valores aproximados 1,4 e 1,7, respec-
tivamente. Exemplo: 2 1 (23) 1 2 1
2
1
1 9 5 9,9.
• Vence o jogo aquele que ganhar o maior número de rodadas, isto é, concluir mais vezes as tarefas antes dos outros colegas. Caso nenhum jogador consiga executar as tarefas, reinicia- -se o jogo.
1 Obser ve a ilustração ao lado
e responda à questão. Quem
ganhou esta rodada? Justifique.

2 For mem gr upos de 3 ou 4 colegas, modifiquem uma regra do jogo e troquem com outro gr upo. Depois
de jogar com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro gr upo.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
Diversificando
Esta seção oferece a você a
oportunidade de entrar em
contato com temas variados,
em diferentes contextos e
áreas do saber.
Para saber mais
É uma seção que
traz textos sobre
Geometria e
História da
Matemática
para enriquecer
e explorar diversos
conteúdos
matemáticos
estudados.
Ícones da coleção
Atividade em dupla ou em grupo
Cálculo mental
Calculadora
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
B
A
A’ B’
E’ C’
D’
C
E
I G
H
J F
D
B
A
A’ B’
E’ C’
D’
C
E D
10 cm
B
H
C
DE
A
Pense mais um pouco...
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
205CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
1. Considerando que a figura ABCDE é um
pentágono regular e H é o ponto médio
da diagonal AC, calcule:
a) as medidas ()ABCm
W
e ();ABHm
W

b) as medidas aproximadas de ,AH AC
e .AD
DANILLO SOUZA
NELSON MATSUDA
2. No início do capítulo 8 – Tr iângulo retângulo – vimos que o emblema da sociedade secreta
for mada pelos pitagóricos era um pentagrama.
a) Na figura abaixo, podemos perceber que as diagonais do pentágono regular for mam o penta-
grama. Sendo AB 5 10 cm, calcule, a razão
AB
AC
.
b) Tendo por base o pentágono ABCDE do item
a, também podemos obter o pentagrama, se
prolongar mos os seus lados.
Considerando o pentagrama ao lado, calcule:
• AJ • JE •
AJ
JE
c) Na figura do item b, podemos traçar
,FG ,GH ,HI IJ e JF e obter um novo
pentágono regular.
A partir da constr ução deste novo pen-
tágono, calcule: JF, JH e
JF
JH
d) Copie a figura do item b e siga estes passos:
• trace o pentágono FGHIJ ;
• prolongue os lados do pentágono FGHIJ para obter
um pentagrama;
• trace as diagonais do pentágono A’B ’C ’D ’E ’ para
obter um pentagrama.
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
e) Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
As razões ,
AB
AC
AJ
JE
JF
JH
e
são iguais a um mesmo número ir racional, conhecido como número
de ouro, do qual vocês já obtiveram um valor aproximado. Pesquisem a respeito desse número e
façam um resumo de sua pesquisa.
Pense mais um pouco...
Propõe atividades desafiadoras
que permitem aprofundar
conteúdos ao longo do
capítulo.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
84 85 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
BRASIL
IDH: 0,754
Expectativa de vida
ao nascer: 74 anos
Mor talidade infantil
(mor te/mil nascidos): 17,5
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
1.030 km
Construindo gráficos
de barras e de colunas
Fred observou o infográfico ao lado e resol-
veu fazer um gráfico de barras para comparar a
taxa de mortalidade infantil (dados estimados
para 2017) dos países em destaque. Ele usou
os dados de uma morte para cada mil nascidos.
Para o gráfico não ficar muito grande, Fred
estabeleceu 10 cm de comprimento para a
barra correspondente à maior porcentagem
( Paquistão – 52,1 mortes/mil nascidos). A seguir,
ele calculou o comprimento das outras barras
por meio da regra de três. Observe dois cálculos
que ele fez.
País
Mortalidade infantil
(morte/mil nascidos)
Comprimento
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Bangladesh 31,7 y
País
Mortalidade infantil
(morte/mil nascidos)
Comprimento
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Indonésia 22,7 x
Assim, as barras referentes à Indonésia e a Bangladesh ficaram com
4,4 cm e 6,1 cm, respectivamente.
,
,
y317
52110
5 ] 52,1y 5 317 ] y 5
,521
731
q 6,1
,
,
x227
52110
5 ] 52,1x 5 227 ] x 5
,521
227
q 4,4
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/librar y/publications/
resources/the -world-factbook/rankorder/2102rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/librar y/publications/
resources/the -world-factbook/rankorder/2091rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
A POBREZA NO MUNDO
O IDH (Índice de
Desenvolvimento Humano)
é uma medida que classifica
os países pelo seu nível
de desenvolvimento com
base em três dimensões:
renda, educação e saúde.
Veja no mapa o IDH e a
situação de alguns países
relativa a outros dois índices:
a expectativa de vida ao
nascer e a mor talidade
infantil por mil nascidos.
PAQUISTÃO
IDH: 0,550
Expectativa de
vida ao nascer:
68,1 anos
Mor talidade
infantil (mor te/
mil nascidos): 52,1
QUÊNIA IDH: 0,555
Expectativa de vida ao nascer: 64,3 anos Mor talidade infantil (mor te/ mil nascidos): 37,1
BANGLADESH IDH: 0,579
Expectativa de vida ao nascer: 73,4 anos Mor talidade infantil (mor te/ mil nascidos): 31,7
CHINA IDH: 0,738
Expectativa de vida ao nascer: 75,7 anos Mor talidade infantil (mor te/ mil nascidos): 12,0
ÍNDIA IDH: 0,624
Expectativa de vida ao nascer: 68,8 anos Mor talidade infantil (mor te/ mil nascidos): 39,1
INDONÉSIA IDH: 0,689
Expectativa de vida ao nascer: 73 anos Mor talidade infantil (mor te/ mil nascidos): 22,7
ETIÓPIA IDH: 0,448
Expectativa de vida ao nascer: 62,6 anos Mor talidade infantil (mor te/ mil nascidos): 49,6
Baixo
Médio
Alto
Muito alto
IDH
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/librar y/publications/
resources/the -world-factbook/rankorder/2102rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
1 Calcule o comprimento das bar ras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o
mesmo gráfico que Fred fez.

2 Elabore um gráfico de colunas comparando a expectativa de vida ao nascer desses países. (Sugestão:
deixe a coluna maior com 10 cm de altura.)

3 Comparando os países destacados no infográfico, responda: o país com a maior taxa de mortalidade
infantil é o que tem o menor IDH? Escreva uma explicação para isso.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Trabalhando a informação
Esta seção permite que você
trabalhe com informações
apresentadas em diferentes
linguagens.
Reprodução proibida. Ar t. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
289CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Seguindo as etapas descritas por Lizandra, escolha um número n de lados e constr ua em uma
folha avulsa um polígono regular com lados medindo 6 cm.
2 Constr ua novamente o polígono da atividade 1 mudando o item 8 para “Girar no sentido
anti-horário a
e
graus e voltar para o item 5.”
PARA SABER MAIS
Construção de polígono regular de
n lados
Lizandra precisa programar um tear eletrônico para compor contornos de polígonos
regulares na fabricação de tecidos.
Veja as etapas do programa que ela elaborou para a máquina seguir, também descritas
no fluxograma.
1. Definir o comprimento L cm do lado do polígono.
2. Definir o número n de lados do polígono, n > 3.
3. Definir o número k 5 1.
4. Calcular a medida
°
a
n
360
5
e
do ângulo externo.
5. Bordar em linha reta caminho com L cm.
6. Fazer k 5 k 1 1.
7. Se k . n, desligar a máquina.
8. Girar no sentido horário a
e
graus e voltar para o
item 5.
Fluxograma
Definir L cm; n > 3; k 5 1.
Bordar L cm em linha reta.
Fazer k 5 k 1 1.
Fazer a
n
360°
5
e
.
Desligar a
máquina.
não
sim
k . n?
NELSON MATSUDA
MIKE DOTTA/SHUTTERSTOCK
Girar a
e
no sentido horário.
Tear eletrônico
usado na indústria
têxtil para a
produção de
tecidos com
padrões criados por
computador.

64. 6
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 Números reais 11
1. A história dos números ................................................................................................ 12
Números naturais
............................................................................................................ 12
Números inteiros
............................................................................................................. 13
Números racionais
.......................................................................................................... 14
Representações dos números racionais
................................................................ 16
Da forma decimal para a forma de fração
............................................................. 18
Para saber mais – O problema dos coelhos de Fibonacci
e o número áureo
.................................................................................................................... 21
Trabalhando a informação – Analisando uma reportagem
com porcentagens múltiplas
............................................................................................ 22
2. Números quadrados perfeitos
.................................................................................. 24
3. Raiz quadrada de números racionais não negativos
...................................... 26
Cálculo da raiz quadrada pela decomposição em fatores primos
............... 27
Raiz quadrada aproximada
.......................................................................................... 29
Raiz quadrada com aproximação decimal
............................................................. 30
4. Números irracionais e números reais
.................................................................... 32
5. Reta real
............................................................................................................................. 33
Localização exata de alguns números irracionais na reta real
..................... 34
Para saber mais – Espiral de Teodoro, Pitágoras ou Einstein ............................ 37
Diversificando – Jogo do enfileirando ........................................................................... 39
CAPÍTULO 2 Operações com números reais 40
1. Potências nas medidas astronômicas, subatômicas e informáticas ...... 41
2. Potência com expoente fracionário e radicais
.................................................. 45
Para saber mais – A história dos números irracionais .......................................... 47
3. Propriedades dos radicais
.......................................................................................... 48
1
a
propriedade .................................................................................................................. 48
2
a
propriedade .................................................................................................................. 49
3
a
propriedade .................................................................................................................. 50
4
a
propriedade .................................................................................................................. 50
4. Adição algébrica com radicais
.................................................................................. 52
1
a
forma ............................................................................................................................... 52
2
a
forma ............................................................................................................................... 52
5. Multiplicação e divisão com radicais
..................................................................... 53
Multiplicação com radicais
.......................................................................................... 53
Divisão com radicais
....................................................................................................... 54
6. Potenciação e radiciação com radicais
................................................................. 56
Potenciação
....................................................................................................................... 56
Radiciação com radicais
................................................................................................ 56
Racionalização de denominadores
........................................................................... 57
Trabalhando a informação – Construindo e interpretando gráfico de linha
......................................................................................................................... 59
DIMITRI OTIS/
PHOTOGRAPHER’S
CHOICE/GETTY IMAGES
AKG IMAGES/FOTOARENA –
MUSEUS DO VATICANO,
VATICANO

65. 7
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CAPÍTULO 3 Grandezas proporcionais 62
1. Razão entre grandezas de naturezas diferentes ............................................. 63
Gramatura de um papel
................................................................................................ 63
Velocidade média
............................................................................................................ 63
Densidade demográfica
................................................................................................ 64
Consumo médio
............................................................................................................... 64
Densidade absoluta de uma matéria
...................................................................... 64
Trabalhando a informação – Comparando gráficos de barras ......................... 67
2. A proporcionalidade entre grandezas
................................................................... 69
3. Grandezas diretamente proporcionais
.................................................................. 72
Para saber mais – Medida de arcos de uma circunferência .............................. 76
4. Grandezas inversamente proporcionais
............................................................... 78
5. Regra de três simples
................................................................................................... 80
Para saber mais – Resolvendo problemas com o auxílio
de um quadro
........................................................................................................................... 83
Trabalhando a informação – Construindo gráficos de
barras e de colunas
............................................................................................................... 84
6. Regra de três composta
.............................................................................................. 86
CAPÍTULO 4 Proporcionalidade em Geometria 91
1. Razão entre dois segmentos ..................................................................................... 92
Para saber mais – Uma razão de ouro .......................................................................... 95
2. Feixe de paralelas
........................................................................................................... 97
3. Teorema de Tales
............................................................................................................ 99
Para saber mais – Um pouco da história de Tales .................................................. 101
Consequências do teorema de Tales
...................................................................... 102
Para saber mais – Rumo ao teorema das bissetrizes dos
ângulos internos de um triângulo
.................................................................................. 105
Trabalhando a informação – Cartograma do Índice de
Vulnerabilidade Social (IVS)
............................................................................................... 108
CAPÍTULO 5 Semelhança 111
1. Figuras semelhantes .................................................................................................... 112
Polígonos semelhantes
................................................................................................. 113
Para saber mais – Construindo figuras semelhantes por homotetia .......... 116
2. Semelhança aplicada a triângulos
.......................................................................... 118
Teorema fundamental da semelhança
................................................................... 119
3. Casos de semelhança de triângulos
...................................................................... 121
Caso ângulo-ângulo (AA)
.............................................................................................. 122
Caso lado-ângulo-lado (LAL)
....................................................................................... 123
Caso lado-lado-lado (LLL)
............................................................................................. 124
SEPEHR GHASSEMI
© 2017 THE M.C. ESCHER
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COLEÇÃO PARTICULAR
MUJAHID SAFODIEN/AFP/GETTY IMAGES

66. 8
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Para saber mais – Construindo um pantógrafo ....................................................... 127
Trabalhando a informação – Um gráfico chamado pirâmide etária .............. 129
Diversificando – Câmara escura de orifício ................................................................ 132
CAPÍTULO 6 Um pouco mais sobre Estatística 133
1. Recordando as medidas de tendência central .................................................. 134
2. Medida de dispersão – desvio médio absoluto
.................................................. 136
Para saber mais – A Matemática e os jogos .............................................................. 139
Trabalhando a informação – Juros compostos ....................................................... 140
CAPÍTULO 7 Equações do 2
o
grau 143
1. Equações do 2
o
grau com uma incógnita ............................................................. 144
Raízes de uma equação do 2
o
grau .......................................................................... 146
2. Resolvendo equações do 2
o
grau ............................................................................ 148
Equações do 2
o
grau incompletas ............................................................................ 148
Equações do 2
o
grau completas ............................................................................... 150
3. A fórmula resolutiva de uma equação do 2
o
grau ............................................ 155
Para saber mais – Número de ouro ................................................................................ 157
4. Estudando as raízes de uma equação do 2
o
grau ............................................. 160
Relações de Girard
.......................................................................................................... 162
Composição de uma equação do 2
o
grau .............................................................. 164
Trabalhando a informação – A leitura de um mapa,
anamorfose geográfica
....................................................................................................... 166
CAPÍTULO 8 Triângulo retângulo 169
1. Um pouco de História ................................................................................................... 170
2. Teorema de Pitágoras
.................................................................................................. 170
Elementos de um triângulo retângulo
.................................................................... 170
Enunciando o teorema de Pitágoras
....................................................................... 172
Demonstrando o teorema de Pitágoras
................................................................. 172
Para saber mais – Triângulos pitagóricos ................................................................... 175
3. Aplicações do teorema de Pitágoras
..................................................................... 177
Relacionando as medidas da diagonal e do lado de um quadrado
.............. 177
Relacionando as medidas da altura e do lado de um
triângulo equilátero
........................................................................................................ 178
4. Relações métricas em um triângulo retângulo
................................................. 180
Projeções ortogonais
..................................................................................................... 180
Relações métricas
.......................................................................................................... 181
Outra demonstração do teorema de Pitágoras
.................................................. 183
Trabalhando a informação – A representação de um relevo ............................ 185
5. O teorema de Pitágoras no plano cartesiano
..................................................... 187
Diversificando – Uma quase circunferência! ............................................................. 192
MIHAI_TAMASILA/
SHUTTERSTOCK
Céu vermelho à noite,
alegria do pastor...
Céu vermelho pela
manhã, alerta para
o pastor.
STEPHEN MCCARTHY/
SPORTSFILE/ GETTY IMAGES
PIXELCI/SHUTTERSTOCK

67. 9
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos
193
CAPÍTULO 9
1. Primeiras razões trigonométricas ........................................................................... 194
Seno de um ângulo agudo
........................................................................................... 195
Cosseno e tangente de um ângulo agudo
............................................................ 196
2. Tabela de razões trigonométricas
.......................................................................... 199
Para saber mais – Ângulos da cidade maravilhosa ............................................... 202
3. Resolução de problemas que envolvem triângulos retângulos
................. 202
Para saber mais – O teodolito .......................................................................................... 206
4. Razões trigonométricas dos ângulos de 45°, 30° e 60°
................................. 208
Razões trigonométricas do ângulo de 45°
............................................................ 208
Razões trigonométricas do ângulo de 30°
............................................................ 209
Razões trigonométricas do ângulo de 60°
............................................................ 209
Trabalhando a informação – Gráficos com distorção ........................................... 211
CAPÍTULO 10 Estudo das funções 216
1. Conceito de função ....................................................................................................... 217
Para saber mais – Função, um longo caminho
na história da Matemática
................................................................................................. 223
Gráfico de uma função
.................................................................................................. 224
Como reconhecer o gráfico de uma função
......................................................... 226
2. Função polinomial do 1
o
grau .................................................................................... 229
Gráfico de uma função polinomial do 1
o
grau ...................................................... 230
Variação de uma função polinomial do 1
o
grau ................................................... 233
Para saber mais – Uso do computador: retas .......................................................... 234
Estudo do sinal de uma função polinomial do 1
o
grau ..................................... 235
Para saber mais – Proporcionalidade na função linear ........................................ 237
3. Função polinomial do 2
o
grau .................................................................................... 238
Gráfico de uma função polinomial do 2
o
grau ...................................................... 239
Zeros de uma função polinomial do 2
o
grau ......................................................... 243
Coordenadas do vértice da parábola
...................................................................... 245
Valor máximo e valor mínimo de uma função polinomial do 2
o
grau .......... 246
Construção do gráfico de uma função polinomial do 2
o
grau ....................... 248
Para saber mais – Uso do computador: parábolas ................................................. 250
Estudo do sinal de uma função polinomial do 2
o
grau ..................................... 251
Para saber mais – Sistema de equações do 2
o
grau ............................................. 252
Diversificando – Cercando .................................................................................................. 256
GMBH/ALAMY/
FOTOARENA
PETE SUMMERS/REX/
SHUTTERSTOCK

68. 10
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CAPÍTULO 11 Circunferência, arcos e relações métricas 257
1. Circunferência e arcos de circunferência ............................................................ 258
Comprimento de uma circunferência
...................................................................... 259
Arco de circunferência
.................................................................................................. 262
Propriedades entre arcos e cordas de uma circunferência
........................... 265
2. Triângulo retângulo inscrito em uma circunferência
..................................... 266
3. Relações métricas em uma circunferência
......................................................... 268
Trabalhando a informação – Semicoroa circular ..................................................... 272
CAPÍTULO 12 Polígonos regulares e áreas 275
1. Relações métricas nos polígonos regulares ....................................................... 276
Retomando o estudo de polígonos regulares
...................................................... 276
Quadrado inscrito
............................................................................................................ 277
Hexágono regular inscrito
............................................................................................ 280
Triângulo equilátero inscrito
....................................................................................... 283
2. Área de um polígono regular
..................................................................................... 285
3. Área de um círculo
.......................................................................................................... 287
Para saber mais – Construção de polígono regular de n lados ........................ 289
Área de uma coroa circular
.......................................................................................... 290
Área de um setor circular
............................................................................................. 291
Trabalhando a informação – Atenção ao ler gráficos .......................................... 293
4. Volume de alguns sólidos
........................................................................................... 295
Calculando a área total da superfície de alguns sólidos
................................. 295
Fazendo experiências com volumes
........................................................................ 297
Diversificando – Jogo do desenhe ou responda ...................................................... 303
Respostas .................................................................................................................................. 304
Lista de siglas .......................................................................................................................... 311
Sugestões de leitura para o aluno ................................................................................ 311
Bibliografia ................................................................................................................................ 312
LIUBOMIR PAUT-FLUERASU/
ALAMY/FOTOARENA
ANDRE DIB/
PULSAR IMAGENS

69. 11BIMESTRE 1
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Retomar os números ra-
cionais e reconhecer a am-
pliação dos conjuntos nu-
méricos.
• Representar números ra-
cionais na forma de fração
e na forma decimal.
• Identificar e determinar dí-
zimas periódicas.
• Identificar números qua-
drados perfeitos.
• Calcular raiz quadrada
exata de um número racio-
nal não negativo.
• Calcular raiz quadrada
com aproximação decimal.
• Reconhecer números irra-
cionais e números reais.
• Verificar experimentalmen-
te o teorema de Pitágoras.
• Localizar números irracio-
nais na reta real.
• Resolver e elaborar proble-
mas de contagem envol-
vendo números reais.
• Calcular porcentagens su-
cessivas.
• Analisar texto de reporta-
gem e gráfico de barras.
Orientações gerais
Este capítulo retoma e am-
plia a evolução da ideia de
número ao longo da história
e sua aplicação para aten-
der às necessidades do ser
humano no que se refere
à sua organização social e
à compreensão dos fenô-
menos da natureza. Desse
modo, o capítulo revisa os
números racionais e apre-
senta os números irracionais
e o conjunto dos números
reais; trata da reta real e da
localização de números irra-
cionais nela com o auxílio de
triângulos retângulos e do
teorema de Pitágoras; res-
gata a noção de quadrados
perfeitos e explora cálculos
com raízes quadradas de nú-
meros racionais não negati-
vos (exatas e com aproxima-
ção). Além disso, o capítulo
também explora o cálculo
de porcentagens sucessivas.
O tema motivador da aber-
tura do capítulo é o núme-
ro áureo, que será explo-
rado no desenvolvimento
do capítulo no contexto da
sequência de Fibonacci.
Material Digital Audiovisual
• Áudio: Racionais ou
irracionais? Quem tem mais?
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital Audiovisual
CAPÍTULO 1
O que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro O Sacramento da
Última Ceia, de Salvador Dalí, as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos
têm em comum?
É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum um certo número [...] o
número áureo.
O número áureo ou número do ouro, representado pela letra grega ò [fi], é um número real não
racional, a sua escrita decimal nunca termina e nunca se repete,
ò 5 1,6180339887... [...]
Fonte: LIVIO, Mario. Razão áurea. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 13.
1
Números reais
Capítulo
Estrutura interna em espiral de uma concha de Nautilus.
11
DIMITRI OTIS/PHOTOGRAPHER’S
CHOICE/GETTY IMAGES

70. 12
A história dos
números
Para introduzir o trabalho
com este capítulo, proponha
atividades em grupo que
motivem os alunos a mo-
bilizar seus conhecimentos
acerca dos números naturais
e das características do siste-
ma de numeração decimal.
Eles podem:
• elencar as características
do sistema de numeração
decimal;
• dizer de onde ele surgiu,
como foi difundido e o
motivo de sua supremacia
em relação aos demais sis-
temas das civilizações an-
tigas;
• dizer qual o uso de um nú-
mero natural;
• caracterizar o conjunto dos
números naturais;
• discutir as limitações das
operações com números na-
turais; entre outras coisas.
Em seguida, cada grupo
apresenta suas conclusões
aos demais. No final, faça um
fechamento com os alunos,
em uma roda de conversa.
Complemente os estudos com
a Sequência didática 1 –
Raiz quadrada, disponível no
Manual do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Sugestões de
leitura
Para ampliar o trabalho da abertura
com os alunos, sugerimos:
<http://pt.wahooart.
com/@@/5ZKEQ2-Salvador-Dali-
O-Sacramento-da-%C3%9Altima-
Ceia>;
<http://www.portal.famat.ufu.br/
sites/famat.ufu.br/files/Anexos/
Bookpage/Famat_revista_11_
artigo_05.pdf>;
<https://escolakids.uol.com.br/
numero-de-ouro.htm>. Acessos em:
20 ago. 2018.
Para enriquecer o trabalho com
números reais, sugerimos o livro:
GUELLI, Oscar.
A invenção dos
números
. São Paulo: Ática, 2010.
(Coleção Contando a história da
Matemática).
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
12 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
1
A história dos números
Desde a invenção da escrita, há cerca de 4 mil anos, o ser humano começou a usar símbolos
para representar quantidades como resultado da contagem de objetos: quantidade de aves
que criava, de peixes que pescava, de cereais que colhia etc.
Os babilônios, por exemplo, muitos
séculos antes de Cristo, empregavam
símbolos em forma de cunha para re­
presentar números:
ƒUma cunha “em pé” (
) representa­
va o número 1 e podia ser repetida até nove vezes.
ƒUma cunha “deitada” (
) repre­
sentava o número 10 e podia ser repetida até cinco vezes.
Esses símbolos eram impressos em
tábuas de argila, como a da foto ao lado.
Números naturais
Números naturais são números que expressam o resultado de uma contagem.
O conjunto dos números naturais, representado por N, pode ser indicado por:
Com os números naturais, efetuamos qualquer adição ou multiplicação. As subtrações, no
entanto, só serão possíveis quando o minuendo for maior ou igual ao subtraendo, e as divisões,
quando o dividendo for múltiplo do divisor.
Veja exemplos de operações impossíveis de ser realizadas só com números naturais:
a) a subtração 6 2 7 (não há número natural que adicionado a 7 resulte em 6);
b) a divisão exata 8 9 5 (não há número natural que multiplicado por 5 resulte em 8).
Os números naturais não são suficientes para representar todas as situações do dia a dia.
Com eles, não é possível representar, por exemplo, temperaturas abaixo de zero grau Celsius
nem a medida do comprimento do nosso palmo em metro.
Para atender a situações como essas, foram criados os números racionais. Veja exemplos.
23;
5
1
; 20,7; 0,333...; 2
2
9
N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Outros povos, como os egípcios e os romanos, tinham seus próprios símbolos e suas próprias
regras para registrar quantidades.
Atualmente, a maioria dos povos adota o sistema de numeração decimal, composto de
dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), denominados algarismos indo-arábicos.
Tábua de argila da civilização babilônica, do período entre 1800 a.C.
e 1600 a.C. Universidade Columbia, Nova York (Estados Unidos).
PLIMPTON CUNEIFORM 322, RARE BOOK & MANUSCRIPT LIBRARY.
UNIVERSIDADE COLUMBIA, NOVA YORK

71. 13BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Para este bloco de exercí-
cios, os alunos podem se
reunir em duplas. A troca
de ideias favorece o levan-
tamento de hipóteses e a
argumentação. Socialize as
respostas, validando-as com
os alunos.
Os exercícios abordam as li-
mitações matemáticas das
subtrações e da divisão com
números naturais e, assim,
antecipam o próximo tópico
no qual essas limitações são
superadas com a ampliação
dos conjuntos numéricos.
Converse com os alunos so-
bre alguns exemplos coti-
dianos em que os números
naturais não podem ser apli-
cados.
Pense mais um
pouco...
Nesta seção, os alunos en-
contram questionamentos
que requerem o uso de no-
ções intuitivas sobre análi-
se combinatória. Convém
avaliar se há necessidade de
abordá-los de maneira con-
creta, usando objetos físicos,
confeccionados por eles,
para representar os objetos
fictícios que contextualizam
os enunciados. É importante
pedir a eles que façam re-
presentações esquemáticas
das resoluções. Depois, caso
nenhuma das representa-
ções se aproxime da árvore
de possibilidades, apresen-
te-a como outra opção de
resolução para a primeira
questão e sugira aos alunos
que a utilizem nas demais.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
13CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
1 Identifique, entre as operações a seguir, quais
não podem ser realizadas apenas com números
naturais.
alternativas b, e, g, h
a) 3 1 7 c) 0 2 0 e) 3 9 7 g) 8 9 3
b) 5 2 235 d) 7 2 0 f) 3 8 7 h) 7 9 10
2 Responda às questões abaixo.
a) Por que é impossível efetuar a divisão
exata 7 9 3 dispondo apenas de números
naturais?
b) E 3 2 7? Por que é impossível efetuá-la?
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
1. Uma sorveteria oferece 4 sabores de sorvete e 2 tipos de cobertura, todos dietéticos, que
podem ser servidos em 2 tipos de pote. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode
escolher um sabor de sorvete dietético, uma cobertura dietética e um pote?
16 maneiras
2. Paola esqueceu os dígitos que formam a placa de seu carro. A única informação que consegue
lembrar é que a placa é formada por quatro algarismos distintos. Quantas possibilidades dife-
rentes de placas Paola pode formar?
5.040 possibilidades (10 8 9 8 8 8 7 5 5.040)
Números inteiros
Os números inteiros foram os primeiros números relativos (positivos ou negativos) criados
pelo ser humano, em decorrência de necessidades impostas pelo comércio e de situações
cotidianas que exigiram a representação de quantidades em relação ao referencial zero.
a) porque não há número natural que multiplicado
por 3 dê 7
b) porque não há número natural que adicionado
a 7 dê 3
125 wC
(25 graus Celsius
acima de zero)
225 wC
(25 graus Celsius
abaixo de zero)
FOTOS: EDUARDO SANTALIESTRA
Veja exemplos em que recorremos aos números inteiros.
a) Nos termômetros, para indicar temperaturas abaixo de zero grau Celsius (números ne­
gativos) ou acima de zero grau Celsius (números positivos). O referencial é 0 °C.

72. 14
Orientações
Peça aos alunos que listem
outros exemplos de utiliza-
ção de números positivos e
de números negativos. Po-
dem surgir, por exemplo:
nos painéis de elevadores,
para registrar dívidas ou sal-
dos negativos em extratos
bancários, altitude de mon-
tes e profundidades (con-
siderando o nível do mar
como referência), gols mar-
cados e gols sofridos por um
time em uma partida, entre
outros.
O trabalho com os números
inteiros pode ser semelhan-
te ao sugerido com os nú-
meros naturais. Proponha
aos alunos que caracterizem
o conjunto dos números in-
teiros antes da leitura do
texto desta página. Retome
as ideias de antecessor e de
sucessor, de oposto e de mó-
dulo de um número inteiro,
além da inclusão dos núme-
ros naturais no conjunto dos
números inteiros.
Sugira também que discu-
tam sobre as limitações das
operações com os números
inteiros, retomando a po-
tenciação com expoente in-
teiro negativo.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
14 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Com a criação do conjunto dos números inteiros, tornou­ se possível efetuar subtrações em
que o minuendo é menor que o subtraendo. Por exemplo: (6 2 7 5 21) e (0 2 3 5 23).
Os números inteiros, no entanto, não são suficientes para representar o resultado de qual­
quer divisão. Por exemplo: (10 9 3) e [(25) 9 7].
Z 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
números naturais
Números racionais
Observe os números abaixo.
1,25 0,777... 213 20,75
Eles são exemplos de números racionais, pois podem ser escritos na forma de fra ção
b
a

com um número inteiro no numerador e um número inteiro não nulo no denominador. Veja.
1,25 =
4
5
0,777... =
9
7
213 = 2
1
13
    2 0,75 = 2
4
3
b) Para descrever a movimentação bancária de uma conta, se o saldo é credor (números
positivos) ou devedor (números negativos). O referencial é o saldo zero (nem credor nem
devedor).
O titular dessa conta tinha, ao final do dia 22 de março, saldo devedor de R$ 30,00, isto é,
devia ao banco R$ 30,00.
O conjunto dos números inteiros, representado por Z, pode ser indicado por:
Z 5 {..., 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, ...}
Movimentação de conta-corrente (valores em reais)
Dia Histórico Débito Crédito Saldo
22/3 saldo anterior 170,00
22/3 cheque 900392 2200,00 2130,00
22/3 depósito 1100,00 230,00
Dados fictícios.
Os sinais
1 e 2 à esquerda dos números passam a indicar a posição que eles ocupam em
relação ao zero, quando organizados em ordem crescente ou decrescente: os números me­ nores do que zero são negativos e os maiores do que zero, positivos.
Como os números inteiros não negativos (0, 11, 12, 13, …) comportam­ se como os números
naturais, tanto na ordenação como nas operações, esses números passarão a ser indicados simplesmente por 0, 1, 2, 3, 4, …
Por esse motivo, podemos dizer que qualquer número natural é um número inteiro:

73. 15BIMESTRE 1
Orientações
Explore a necessidade dos
números racionais em situa-
ções de medição. Proponha
na lousa uma ampliação do
quadro apresentado no livro
do estudante para identifi-
carem onde marcar o “X”.
Retome a reta numérica e
proponha a localização de
números naturais, números
inteiros negativos e núme-
ros racionais na forma de
fração. Se julgar necessário,
mostre alguns exemplos an-
tes de pedir aos alunos que
façam atividades sobre esse
tema.
Exercícios propostos
Aproveite o exercício 5 para
explorar a noção de contra-
exemplo, esclarecendo que
é útil para corroborar a fal-
sidade das sentenças, mas
não serve como prova das
sentenças verdadeiras.
No exercício 6, destaque a
diferença das expressões
“de 1 a 9” e “entre 1 e 9”:
• de 1 a 9, inclui o 1 e o 9: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;
• entre 1 e 9, exclui o 1 e o 9:
2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
15CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Observe o quadro abaixo, com alguns exemplos de números racionais.
Número natural Número inteiro Número racional
3 X X X
28 X X
3
1
X
20,3 X
NELSON MATSUDA
Agora, veja como podemos representar alguns números racionais na reta numérica.
Q
b
a
ab b0,comeinteirose5%) 3
21 0 1 2
—
3
4
2 —
1
2
2 — —
1
5
8
5
Com os números racionais podemos representar o resultado da divisão de quaisquer dois
números inteiros, com o divisor não nulo. O conjunto dos números racionais, representado
por Q, pode ser indicado por:
5 Identifique as sentenças falsas e justifique com
um exemplo.
a) Todo número natural é inteiro.
verdadeira
b) Todo número inteiro é racional.
c) Todo número natural é racional.
d) Todo número que pode ser escrito na forma
de fração de inteiros é racional.
verdadeira
e) Todo número natural é um número inteiro
positivo.
f) Todo número inteiro é natural.
g) Todo número racional é inteiro.
verdadeira
verdadeira
Falsa, pois zero não é um número
inteiro positivo.
3 Enquanto um avião sobrevoa a uma altitude de
5,8 km, um submarino está a uma profundidade
de 0,24 km.
a) Represente essas medidas com números
relativos e explique qual foi o referencial
utilizado.
15,8 km; 20,24 km; nível do mar
b) Os números que aparecem no enunciado
(5,8 e 0,24) são números racionais? Eles
estão escritos na forma de fração?
sim; não, eles estão escritos na forma decimal
4 Entre os números a seguir, quais são inteiros?
NELSON MATSUDA
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2
20
10
2
4
12
1 3
2
3 2
1
12
4
6 Junte-se a um colega e respondam quantos
números inteiros existem:
a) entre dois números inteiros consecutivos;
b) entre 1 e 9, entre 21 e 1, entre 29 e 9;
c) entre 0 e 10, entre 0 e 100, entre 0 e
1.000.000.
9; 99; 999.999
nenhum
7; 1; 17
10
20
4
12
e21
5. f) Falsa, pois, por exemplo, 21 não é um número natural.
g) Falsa, pois, por exemplo, 0,5 não é número inteiro.

74. 16
Pense mais um
pouco...
A seção pretende retomar o
conceito de média aritméti-
ca (que será visto novamen-
te no capítulo 6) para tratar,
de maneira informal e pro-
pedêutica, de um conceito
fundamental no estudo dos
conjuntos numéricos: o con-
junto dos números racionais
é um conjunto denso.
Explore as diferentes repre-
sentações de um número ra-
cional e a conversão de uma
para a outra: a forma de
fração e a forma decimal. Se
julgar adequado, retome a
forma percentual, associada
a frações centesimais.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
16 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Número racional Algumas representações
22
9
18
2 22,0
4
1
16
4
0,25
11
4
22
8
0,3636…
25,3
10
53
2 25,300
15
32
2
15
2
2,1333…
6
2
12
6,000
JOSÉ LUÍS JUHAS
No quadro a seguir, há algumas representações fracionárias e decimais de alguns números
racionais.
Muitos números racionais podem ser representados por uma fração decimal, isto é, de
denominador 10, 100, 1.000 etc., como os números abaixo.
Representações dos números racionais
Com essa breve retomada sobre a necessidade de ampliar os conjuntos numéricos, pode­
mos constatar que os algarismos indo­arábicos servem para representar todos os números
que constituem esses conjuntos.
Notamos, também, que há mais de uma representação possível para todos os números
racionais: a fracionária, mais antiga, e a decimal, bem mais recente.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
a) Calculem os números racionais:
• a, que é a média aritmética de 3 e 7;
5
• b, que é a média aritmética de 3 e a ; 4
• c, que é a média aritmética de 3 e b; 3,5
• d, que é a média aritmética de 3 e c. 3,25
b) Representem os números racionais 3, a, b, c, d e 7 em uma mesma reta numérica.
c) As médias aritméticas de dois números obtidas no item a estão entre esses dois números?
sim
d) É possível calcular os números e, f, g, h, …, que sejam as médias aritméticas, respectivamente,
de 3 e e, de 3 e f, de 3 e g, de 3 e h e assim por diante?
• Considerando os itens acima, use sua intuição para dizer quantos números racionais existem
entre 3 e 7 e quantos números racionais existem entre dois números racionais distintos quaisquer.
Pense mais um pouco...
NELSON
MATSUDA
3
3,5
3,25
4 5 7
b)
frações decimais
2
10
20
252
4
1
100
25
5 ,53
10
53
25 2 ,
.
.
6000
1 000
6 000
5
Espera-se que os alunos
respondam afirmativamente.
Espera-se que os alunos respondam que existem infinitos números racionais.

75. 17BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Os exercícios 7 e 8 articu-
lam-se para levar os alunos a
elaborarem, com suas pala-
vras, um regra prática para
escrever frações decimais na
forma decimal.
No exercício 10, eles devem
perceber que, no item a,
obterão a dízima periódica
7,55555..., já que em 2,444...
haverá sempre 4 na parte
decimal, indefinidamente, e
em 5,111... haverá sempre 1,
levando a parte decimal da
soma desses dois números
ser sempre 5, indefinida-
mente.
Nos exercícios 11 e 12, usa-
mos a calculadora para ex-
plorar a dízima periódica.
O texto teórico anterior
explica as duas representa-
ções dos números racionais:
a decimal (em particular a
dízima periódica) e a fracio-
nária.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
17CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Já os números
11
4
e
15
32
não podem ser representados por uma fração decimal. No entanto,
eles podem ser escritos na forma decimal.
Note que nas representações 0,3636… e 2,1333… as reticências indicam infinitas casas
decimais e periódicas. Por exemplo: em 0,3636…, as reticências indicam que 36, chamado
de período, continua se repetindo para sempre. Já em 2,1333…, temos uma representação
decimal periódica de período 3.
A representação decimal periódica recebe o nome de dízima periódica.
Uma dízima periódica pode ser escrita abreviadamente, colocando­se um traço sobre o
período. Veja a representação abreviada de algumas dízimas periódicas.
a) 2,555… 5 ,25 c) 1,2777… 5 ,127 e) 28,612612… 5 ,86122
b) 20,1313… 5 ,0132   d) 0,21888… 5 ,0218 f) 4,0979797… 5 ,4097
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8
Observando os resultados do exercício an-
terior, estabeleça a relação existente entre a
quantidade de zeros do denominador de uma
fração decimal e a quantidade de casas após
a vírgula na representação decimal dessa
fração.
7 Escreva a representação decimal das frações
a seguir.
a)
10
35
3,5 c)
100
7
2 e)
100
542
b)
100
28
0,28 d)
.10 000
321
2 f)
.1000
12
20,07
20,0321
5,42
0,012
8. A quantidade de zeros no
denominador de uma fração
decimal é igual à quantidade
de casas após a vírgula na
representação decimal dessa fração.
10 Adicionando os dois números de cada item,
obtemos outro número na forma de dízima
periódica. Determine em cada caso essa dízima
periódica na forma abreviada.
a) 2,444… e 5,111…
,
75
b) 2,5 e 3,222… ,572
11 Em uma calculadora, aperte as teclas mostra-
das abaixo.
a) Para o último algarismo do número que
aparece no visor, sua calculadora faz algum
arredondamento?
b) Represente o número obtido na forma de
fração.
22
3
A resposta depende
da calculadora utilizada.
12 Usando uma calculadora, faça o que se pede.
a) Escreva o número que aparece no visor
após apertar estas teclas:
3,66666...
b) Reserve esse resultado na memória aditiva,
apertando a tecla M
 
.
c) Escreva o número que aparece no visor
após apertar estas teclas:
1,66666...
d) Para subtrair o resultado do item c do re-
sultado do item a, basta apertar as teclas
M
 
da memória subtrativa e MRC, que
recupera o último resultado da memória.
Escreva o número que aparece no visor.
2
e) Efetue
9
20
9
47
2
e, em seguida, com uma
calculadora, confira o resultado.
23
f) Calcule o valor da expressão: 5,222… 2 2,222…
3
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
9 Represente cada fração na forma decimal.
a)
5
2
0,4 c)
3
11
3,666... e)
90
11
2
b)
6
5
d)
8
45
2 25,625 f)
25
52
0,8333...
20,1222...
2,08
0,13636...2 234 5
3 93 4 5
5 91 4 5

76. 18
Da forma decimal
para a forma de
fração
Esta página pode ser traba-
lhada com os alunos organi-
zados em duplas. Algumas
duplas podem fazer a leitura
do 1
o
caso, enquanto outras
leem o 2
o
caso. Depois, sor-
teie um aluno do grupo de
duplas que trabalhou com
um dos casos e outro do gru-
po do outro caso para irem à
lousa explicar o que foi dis-
cutido em sua dupla. Nesse
momento, as demais duplas
que exploraram o caso apre-
sentado podem ajudar na
explicação do colega.
Em seguida, proponha ati-
vidades a cada dupla, re-
lativas ao caso que não foi
trabalhado, para determina-
rem a forma fracionária de
números racionais dados na
forma decimal pelo processo
explicado na lousa.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
18 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
2
o
caso: Quando o número tem infinitas casas decimais, como o número 0,55555…, proce­
demos do seguinte modo.
ƒPrimeiro, chamamos o número 0,55555… de x, obtendo a igualdade:
x 5 0,55555…
ƒEm seguida, multiplicamos os dois membros por 10, chegando a uma nova igualdade:
10x 5 5,5555…
ƒE, finalmente, subtraímos a primeira igualdade da segunda, membro a membro, obtendo:
Logo: 0,55555... 5
9
5
Nesse caso, os dois membros da primeira igualdade foram multiplicados por 10. De modo
geral, eles devem ser multiplicados por uma potência de 10 conveniente (10, 100, 1.000, …),
a fim de se deslocar a vírgula para a direita do primeiro período.
10x 2 x 5 5,555… 2 0,555…
9x 5 5
x
9
9
9
5
5
x
9
5
5
Note no segundo membro
da equação que, ao multiplicar
0,55555 por 10, a vírgula se
deslocou para a direita do
primeiro período. Assim, a parte
decimal permaneceu a mesma.
Da forma decimal para a forma de fração
Já trabalhamos com a transformação de um número escrito na forma de fração para a forma
decimal. Para isso, basta efetuar o algoritmo da divisão, como neste exemplo.
SIDNEY MEIRELES
Agora, vamos ver como transformar um número na forma decimal para a forma de fração.
1
o
caso: Quando o número tem finitas casas decimais, a leitura dele fornece uma boa indi­
cação de como expressá­lo na forma de fração.
Veja alguns exemplos.
a) 0,2 5 dois décimos 5
10
2
leitura
um zero
uma casa decimal
b) 5,325 5 cinco inteiros, trezentos e vinte e cinco milésimos 5
.
5
1000
325

leitura
três casas decimais três zeros
10
0
5
0,2
5
1
5 1 9 5 5 0,2

77. 19BIMESTRE 1
Orientações
Reproduza o exemplo na
lousa, explorando os passos
com os alunos. Peça a eles
que antecipem o que deve
ser feito e por quê. A justifi-
cativa do processo mostra o
grau de entendimento que
os alunos têm do procedi-
mento.
Sugestão de leitura
Para enriquecer o trabalho com
frações geratrizes, sugerimos:
<http://matematicamentecontando.
blogspot.com/2010/04/fracao-
geratriz-e-uma-pergunta-0999-e.
html>. Acesso em: 20 ago. 2018.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
19CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Logo: 2,3737... 5
99
235
100x 2 x 5 237,3737... 2 2,3737...
99x 5 235
x
99
99
99
235
5
x
99
235
5
ƒSubtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos:
Note no segundo membro que,
ao multiplicar 2,373737 por 100, a
vírgula se deslocou para a direita
do primeiro período. Assim, a parte
decimal permaneceu a mesma.
A fração irredutível
que gera uma dízima
periódica é chamada de
fração geratriz.
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
Veja outro exemplo com o número 2,373737…
ƒChamando 2,373737… de x, obtemos a igualdade x 5 2,373737…
ƒMultiplicando os dois membros dessa igualdade por 100, obtemos uma nova igualdade:
100x 5 237,3737…
Agora, veja o caso da dízima composta 6,8424242... com um algarismo (8) após a vírgula,
além do período 42.
ƒA partir da igualdade x 5 6,8424242... devemos obter duas outras igualdades em que, no
segundo membro, as partes decimais sejam iguais. Dessa forma, na subtração de uma
pela outra, essas partes decimais se anulam.
ƒComo há um algarismo (8) após a vírgula que não faz parte do período, multiplicamos
ambos os membros por 10 e depois por 1.000:
10x 5 68,424242... e 1.000x 5 6842,424242...
ƒSubtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos:
1.000x 2 10x 5 6.842,424242... 2 68,424242...
990x 5 6.842 2 68 5 6.774
990x 5 6.774
x 5
.
990
6774

  x 5
.
165
1129
fração geratriz
Portanto, temos: 6,8424242... 5
.
165
1129
.
As partes decimais
são iguais e
se anulam.

78. 20
Exercícios propostos
No exercício 16, comente
com os alunos o significado
de números primos entre si:
aqueles cujo máximo divi-
sor comum é 1, ou seja, não
há fatores primos comuns a
esse grupo de números. Se-
gue uma possível resolução
desse exercício:
• Note que se
x
y
5 2,555...,
x y
é uma geratriz da dízi-
ma 2,555... .
• Além disso, como x e y são
primos entre si, a fração
x
y

é irredutível, ou seja, não
pode ser simplificada.
• Assim, para determinar x e
y, precisamos determinar a
fração geratriz irredutível
dessa dízima. Fazendo:
2,555... 5 a, temos:
a 5 2,555...
10a 5 25,555...
10a 2 a 5
5 25,555... 2 2,555...
9a 5 23
a 5
23
9
(que é uma fração
irredutível)
• Logo, x 5 23 e y 5 9.
Pense mais um
pouco...
Aparentemente despreten-
siosa, a seção tem um aspec-
to interessante e lúdico que
pode ser explorado: o nú-
mero de ouro (1,618033...)
e a sequência de Fibonacci.
A sequência de expressões
dada converge para o nú-
mero de ouro. Apresen -
te também aos alunos a
sequência de Fibonacci (1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
...) e mostre que o valor de
cada expressão é uma fra-
ção cujo numerador e deno-
minador são números conse-
cutivos dessa sequência:
3 2
,
5 3
,
8 5
,
13
8
, ...
Sugestão de leitura
Um bom livro para consulta sobre o assunto é:
LIVIO, Mario.
Razão áurea. Rio de
Janeiro/São Paulo: Record, 2007.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
16 Dividindo um número x por um número y,
obtém-se 2,555… Determine o valor de x e
de y, sabendo que eles são números primos
entre si.
x 5 23 e y 5 9
17 Hora de criar – Escreva o número 7 como:
a) a soma de dois números racionais na forma
de fração;
b) a diferença de dois números racionais na
forma decimal, cada um com duas casas
decimais;
c) a soma de duas dízimas periódicas.
18 Em uma caixa, há sete bolas numeradas de
1 a 7. Márcio retira três bolas consecutivas,
sem recolocá-las na caixa, para representar
um número A. O número retirado na primeira
bola representará as unidades de A; o número
da segunda bola representará os décimos de
A; e o da terceira bola, os centésimos.
a) Márcio retirou os números 6, 4 e 2, nessa
ordem. Qual é o número A formado nesse
caso? Indique-o por uma fração irredutível.
b) Se, em seguida, Márcio retirar mais três
bolas, qual é o maior número A possível que
poderá ser formado com a retirada dessas
bolas? E o menor?
7,53; 1,35
ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA
13 Escreva as frações irredutíveis que represen-
tam: o número 0,36, o número 0,04 e a adição
0,36 1 0,04.
;;
25
9
2
1
5
2
5
14 Expresse os números abaixo na forma de fração.
a) 3,444…
9
31
b) ,1252
9
113
2
c) ,045
11
5
d) 20,31222...
900
281
2
15 Determine a fração irredutível que representa
o valor de cada expressão a seguir.
a) ,,02 031
15
8

b) ,,027231
18
47
c) ,,0381451
45
83
d) ,818
17
2

9
2
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
respostas possíveis: a)
2
13
2
1
1; b) 9,42 2 2,42; c) ,,48211
6,42;
50
321
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Observe as expressões abaixo.
Calcule o valor das expressões dadas e, seguindo o padrão, escreva a quarta expressão e calcule
seu valor.
1
2
1
1 1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
8
13
1
1
1
1
5
2
3
3
5 5
8
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

79. 21BIMESTRE 1
Para saber mais
A seção explora a sequência
de Fibonacci. A questão 3
do Agora é com você! pro-
picia aos alunos ligar a se-
quência ao número de ouro,
ampliando o trabalho da se-
ção Pense mais um pouco...
anterior.
Se julgar conveniente, peça
previamente aos alunos que
pesquisem sobre a sequên-
cia de Fibonacci e suas apli-
cações, o que poderá contri-
buir com o desenvolvimento
dessa seção na sala de aula.
Sugestões de leitura
Para enriquecer seu trabalho,
sugerimos também:
<http://www.rc.unesp.br/biosferas/
Art0075.html>;
<http://www.uel.br/cce/mat/
geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf>.
Acessos em: 20 ago. 2018.
Um homem pôs um par de coelhos em um lugar cercado por todos os lados por um muro.
Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo
mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês?
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
21CAPÍTULO 1
NÚMEROS REAIS
O problema dos coelhos de Fibonacci e o número áureo
Leonardo de Pisa (c. 1170­ 1240), conhecido como Fibonacci, publicou em 1202 o famoso
livro Liber Abaci (Livro do ábaco ), em que explicou a notação indo­arábica que usamos hoje.
No capítulo XII, ele propôs o seguinte problema, que originou a sequência de Fibonacci:
O que nos interessa apresentar aqui é a sequência de Fibonacci. Por isso, vamos apenas
iniciar a resolução dos primeiros passos do problema.
Observe a figura na qual um coelho grande representa um par de coelhos maduros (fér­
teis) e um coelho pequeno representa um par de coelhos jovens (que não procriam).
• Vamos começar com um par de coelhos jovens.
• Esse par amadurece durante o 1
o
mês.
• Após o 1
o
mês, o 1
o
par dá à luz outro par, assim
ficamos com 2 pares.
• Após o 2
o
mês, o par maduro dá à luz outro par
jovem, enquanto o par de filhotes amadurece.
Assim ficam 3 pares.
• Após o 3
o
mês, cada um dos 2 pares maduros dá
à luz outro par, e o par de filhotes amadurece.
Temos agora 5 pares.
• Após o 4
o
mês, cada um dos 3 pares maduros dá
à luz outro par, e os 2 pares de filhotes crescem.
Agora temos 8 pares.
• Após o 5
o
mês, temos 1 par de filhotes de cada
um dos 5 pares adultos, mais 3 pares crescendo.
Total: 13 pares.
PARA SABER MAIS
Já podemos observar a sequência de números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Dados obtidos em: LIVIO, Mario. Razão áurea. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 116.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Compare a soma de dois números consecutivos da sequência com o número seguinte.
2 Quais são os próximos quatro números da sequência?
3 Com os onze números (n
1
, n
2
, n
3
, n
4
, ...) da sequência agora conhecidos, calcule a razão de um
número pelo termo anterior com aproximação até a terceira casa após a vírgula. Consulte a
abertura do capítulo e diga de qual número os quocientes obtidos se aproximam.
Espera-se que o aluno obtenha 21, 34,
55 e 89.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
amadurece
procria
n
n12
5 1,000;
n
n23
5 2,000;
n
n34
5 1,500;
n
n45
5 1,667;
n
n56
5 1,600;
n
n67
5 1,625;
n
n78
5 1,615;
n
n89
5 1,619;
n
n910
5 1,618;
n
n1
10
1
5 1,618. Aproximam-se do número áureo.
Espera-se que o aluno perceba que a soma é igual ao próximo número da sequência.
Agora é com você!
Habilidade trabalhada: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e
não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

80. 22
Trabalhando a
informação
A seção trata da análise e
interpretação de textos vei-
culados pela imprensa, que
constituem habilidades es-
senciais para o exercício ple-
no da cidadania.
Explore os elementos desta-
cados na reportagem. Res-
salte a inserção de imagens
e gráficos (entre outros ele-
mentos) tão comum nesses
textos, que também podem
ser usados para comunicar
as informações. Outro ele-
mento frequente nessas no-
tícias são as porcentagens.
Saber interpretá-las e lidar
com elas é outra habilidade
fundamental.
Leia o texto com os alunos e
pergunte: “Por que essa dis-
crepância tão grande entre
os índices porcentuais que
indicam a elevação do preço
das tarifas?”.
Interprete com eles o gráfi-
co de colunas duplas. Como
obter esses “19 pontos
porcentuais acumulados”?
Qual o seu significado? Em
princípio, os alunos podem
pensar em adicionar as por-
centagens de cada órgão e
determinar a diferença. Dei-
xe que eles verifiquem isso,
com o auxílio de uma calcu-
ladora, e observem que não
obtêm a diferença de “19
pontos”.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a
determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Aeroporto Internacional de Guarulhos (São Paulo). (Foto de 2017.)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
22 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Analisando uma reportagem com porcentagens múltiplas
A imprensa independente e livre é muito importante para a construção de uma sociedade de­
mocrática e justa. Porém, esse papel vai além da elaboração e divulgação de matérias jornalísticas.
Ele só se completa quando o receptor compreende a informação.
Essa compreensão se dá com uma leitura atenta de todas as formas que um jornalista usa
para veicular a notícia (texto, foto, ilustração, tabela, gráfico etc.). Além de compará­la com outras
fontes sobre o mesmo tema, é preciso analisar a sua coerência interna, se uma das formas citadas
não contradiz outra.
E a Matemática
ajuda a
compreender uma
notícia de jornal?
Sim. A seguir,
vamos analisar uma
matéria veiculada em
um
site da internet.
Ao contrário do que se esperava quando a Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) permitiu que as com­
panhias aéreas passassem a vender passagens que não dão direito a despachar bagagem, o preço das tarifas
tem subido desde que as empresas começaram a adotar a prática. Entre junho e setembro, essa alta chegou a
35,9%, segundo dados da FGV. De acordo com levantamento do IBGE, entretanto, a elevação foi mais mo­
derada, de 16,9%. [...]
WERTHER SANTANA/ESTADÃO CONTEÚDO/AE
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
Após cobrança por bagagem, preço das passagens aéreas sobe no País
Título
Texto
De acordo com índice de preços da FGV, tarifas aumentaram 35,9% entre junho e setembro; dados do IBGE indicam alta de 16,9%; Ministério da Justiça vai averiguar pesquisa da Abear que mostra queda nos valores
Subtítulo

81. 23BIMESTRE 1
Orientações
Reproduza na lousa o cál-
culo de um aumento de
6,9% e de um decréscimo de
15,2%. Discuta com eles a
porcentagem que se obtém
de cada valor inicial em re-
lação ao montante. No caso
do acréscimo, esse montan-
te deve ser uma porcenta-
gem maior do que 100%
(ou na forma decimal, deve
ser maior do que 1). No caso
do decréscimo, o montante
corresponde a uma parte
menor do que o valor inicial,
ou seja, uma porcentagem
menor do que 100% (ou um
valor menor do que 1). Espe-
ra-se que eles compreendam
também que o percentual
negativo indica que houve
um decréscimo.
Desse modo, peça aos alu-
nos que mostrem como ob-
ter o percentual relativo ao
montante de cada mês e re-
gistrá-los na forma decimal,
obtendo os fatores do pro-
duto indicado para fornecer
o percentual acumulado de
junho a setembro. Assim,
no caso do IBGE, eles devem
compreender que:
• em junho houve acréscimo
de 6,9%, ou seja, 0,069,
que significa que deverão
obter índice maior do que
1 (ou um percentual maior
do que 100%): 1,069;
• em julho houve acréscimo
de 5,7%, o que significa
que também deverão ob-
ter índice maior do que 1,
isto é: 1,057;
• em agosto, o percentual
215,2% indica que houve
um decréscimo de 15,2%,
o que significa que deve-
rão obter índice menor
do que 1, isto é: 0,848
(1 2 0,152);
• em setembro houve acrés-
cimo de 21,9%, o que sig-
nifica que deverão obter
índice maior do que 1, isto
é: 1,219.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
23CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Os números da FGV e do IBGE,
porém, mostram queda apenas em
agosto, de 2,07% e 15,16%, respecti­
vamente. A divergência de 13 pon­
tos porcentuais entre os índices de
agosto revela a complexidade que
as enti d ades enfrentam para cal­
cular o preço médio das passagens
e as diferentes metodologias ado­
tadas por cada uma – é também
sobre a metodologia adotada que
o Ministério da Justiça questionou
a Abear. [...]
Como vemos, o próprio texto se encarrega de explicar que há divergência por conta de diferentes
metodologias adotadas pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) e pelo Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística (IBGE). Afora essa questão, podemos analisar se, para cada uma dessas instituições,
a porcentagem total é coerente com as porcentagens parciais.
Por exemplo, o IBGE diz que entre junho e setembro houve uma alta de 16,9%, para as variações
percentuais mensais e sucessivas de 16,9%, 15,7%, 215,2% e 121,9%.
Sabemos que um aumento de 6,9% sobre um valor x leva a um novo valor (montante) igual a
(100% 1 6,9%)x = (106,9%)x = 1,069x
E que um decréscimo de 15,2% sobre um valor y leva a um novo valor (montante) igual a
(100% 2 15,2%)y = (84,8%)y = 0,848y
Para saber a variação referente aos dois primeiros meses, basta multiplicar 1,069 por 1,057 e
temos aproximadamente
1,13 = 1 1 0,13 = 100% 1 13%,
ou seja, as altas sucessivas de 6,9% e 5,7% representam uma alta de 13%.
Logo, para os quatro meses, calculamos:
1,069 8 1,057 8 0,848 8 1,219 = 1,168 = 100% 1 16,8%
Comparando o nosso resultado aproximado 16,8% com o total 16,9% dado no subtítulo, pode-
mos considerar a matéria como sendo coerente.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Verifique se há coerência entre o total divulgado pela FGV com as variações entre junho e setembro de
2017.
35,8% é próximo de 35,9%; logo, os dados da FGV são coerentes
ARTE ESTADO/ESTADÃO CONTEÚDO/AE
Gráfico Texto
Divergentes
Diferença entre índices de preços de passagens chega a 19 pontos
porcentuais no acumulado de junho a setembro
Fonte: DYNIEWICZ, Luciana. Após cobrança por bagagem, preço das passagens aéreas sobe no País. Estadão,
12 out. 2017. Disponível em: <http://economia.estadao.com.br/noticias/geral,apos­ cobranca­ por­bagagem­
preco­ das­passagens­ aereas­ sobe­no­pais,70002041735>. Acesso em: 05 maio 2018.
FONTES: IBGE E FGV INFOGRÁFICOS/ESTADÃO
Inflação das passagens
IBGE
FGV
EM PORCENTAGEM
6,9
5,7
JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO
–15,2
21,9
13,0
8,8
–2,1
12,8

82. 24
Números quadrados
perfeitos
Retome com os alunos a no-
ção de quadrado perfeito
e a fatoração de números
naturais. Para decidir se um
número é ou não quadrado
perfeito, eles devem com-
preender que o algarismo
das unidades do número
pode dar pistas. Ressalte
que:
1
2
5 1 6
2
5 36
2
2
5 4 7
2
5 49
3
2
5 9 8
2
5 64
4
2
5 16 9
2
5 81
5
2
5 25 10
2
5 100
Assim, um número quadra-
do perfeito só pode termi-
nar em 1, 4, 9, 6, 5 e zero.
Os quadrados perfeitos com
final:
• 1 se obtêm apenas com ba-
ses terminadas em 1 ou 9
(1
2
5 1 e 9
2
5 81);
• 4, apenas com bases termi-
nadas em 2 ou 8 (2
2
5 4 e
8
2
5 64);
• 5, apenas com bases termi-
nadas em 5 (5
2
5 25);
• 6, apenas com bases termi-
nadas em 4 ou 6 (4
2
5 16 e
6
2
5 36);
• 9, apenas com bases termi-
nadas em 3 ou 7 (3
2
5 9 e
7
2
5 49);
• zero, além do próprio
zero, são potências de
base 10 com expoente par:
100 5 10
2
, 10.000 5 (100)
2

etc., ou são produtos de
quadrados perfeitos por
essas potências de base 10:
900 5 9 8 100;
160.000 5 16 8 10.000 etc.
Também é importante reco-
nhecerem os quadrados per-
feitos de 1 a 100: 1, 4, 9, 16,
25, 36, 49, 64, 81 e 100. A
identificação de quadrados
perfeitos ou dos mais próxi-
mos de um número natural
dado é a base para o cálculo
de raízes quadradas.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
24 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
2
Números quadrados perfeitos
Se um número natural é a segunda potência de outro número natural, ele é chamado de
quadrado perfeito. Então, um quadrado perfeito pode ser escrito como quadrado de outro
número natural.
Observe alguns exemplos.
a) 4 é quadrado perfeito, pois 4 5 2
2
.
b) 81 é quadrado perfeito, pois 81 5 9
2
.
O número 32 não é quadrado perfeito, pois ele não é quadrado de nenhum número natural.
Observe que 32 está entre dois quadrados perfeitos:
25 , 32 , 36,
em que 25 5 5
2
, 36 5 6
2
, e entre 5 e 6 não há nenhum número natural.
Assim, é muito simples produzir quadrados perfeitos; basta escolher um número natural
e elevá­lo ao quadrado. Por exemplo, 12 é um número natural; então, 12
2
5 144, que é um
quadrado perfeito.
Veja o que acontece quando decompomos 12 e 144 em fatores primos.
Observe que 144 tem o dobro de fatores primos de 12:
ƒ12 tem 2 fatores iguais a 2 e 1 fator igual a 3;
ƒ144 tem 4 fatores iguais a 2 e 2 fatores iguais a 3.
Podemos verificar se um número é quadrado perfeito decompondo­o em fatores primos e
verificando se a quantidade de cada um desses fatores é par.
Note que todos os expoentes dos fatores são pares. Então, 324 é um quadrado perfeito.
12
6
3
1
2
2
3
2 fatores iguais a 2
1 fator igual a 3
144
72 36 18
9 3 1
2 2 2 2 3 3
4 fatores iguais a 2
2 fatores iguais a 3
O número 324 é
quadrado perfeito?
Vamos verificar. Decompondo 324
em fatores primos, temos:
324 5 2
2
8 3
4
324
162
81
27
9
3
1
2
2
3
3
3
3
2 fatores iguais a 2
4 fatores iguais a 3
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES

83. 25BIMESTRE 1
Orientações
Explore com os alunos a de-
composição em fatores pri-
mos como mais um processo
de reconhecimento de qua-
drados perfeitos, principal-
mente para números maio-
res que 100.
A associação de um núme-
ro quadrado perfeito com
a possibilidade de obter
um quadrado com a mes -
ma quantidade de quadra-
dinhos dá significado ao
aprendizado desse tema.
Forneça malhas quadricula-
das e peça aos alunos que
representem os quadrados
perfeitos de 1 a 100 pelo
respectivo quadrado que
pode ser formado.
Exercícios propostos
O exercício 21, ao propor
aos alunos que imaginem
uma figura e apliquem a
reversibilidade da potencia-
ção, antecipa o cálculo da
raiz quadrada que será visto
a seguir.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
25CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Veja como podemos encontrar o número que gerou o quadrado perfeito 324:
324 5 2
2
8 3
4
5 2
2
8 (3
2
)
2
5 (2 8 3
2
)
2
5 18
2
Então, podemos dizer que 324 é quadrado perfeito, porque existe o número natural 18, que
elevado ao quadrado resulta em 324.
Note que 72 tem um número ímpar de fatores iguais a 2. Então, 72 não é um quadrado
perfeito.
Podemos representar geometricamente um número quadrado perfeito. Por exemplo, com
36 quadradinhos iguais é possível formar um quadrado maior, porque 36 é um número qua­
drado perfeito.
E o número 72, é
quadrado perfeito?
Vamos verificar. Decompondo
72 em fatores primos, temos:
ímpar
72 5 2
3
8 3
2
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Veja que, com 8 quadradinhos iguais, não é possível formar um quadrado maior, pois 8 não
é quadrado perfeito.
6 linhas
6 quadradinhos em cada linha
total de quadradinhos: 6 8 6 5 6
2
5 36
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
19
Determine os quadrados perfeitos entre 100
e 200.
121, 144, 169 e 196
20 Efetuando a decomposição em fatores primos,
verifique entre os números a seguir quais são
quadrados perfeitos.
alternativas a, c, e, f
21 Com 144 quadradinhos iguais e justapostos,
Fernando pode cons truir um quadrado maior.
Quantos quadradinhos há em cada linha desse novo quadrado?
12 quadradinhos
a) 225 b) 360
c) 441 d) 480
e) 576 f) 784
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES

84. 26
Exercícios propostos
No exercício 23, proponha
outros grupos de números:
333, 33
3
, (3
3
)
3
e 3
33
.
Nesse caso, nenhum deles é
quadrado perfeito porque
não há como expressá-los
como uma potência de ex-
poente 2:
• 333 tem final 3, logo não é
quadrado perfeito;
• 33
3
5 (3 8 11)
3
não dá para
ser expresso como potên-
cia de expoente 2;
• (3
3
)
3
5 3
9
5 3
8
8 3 não dá
para ser expresso como po-
tência de expoente 2 por
causa do fator 3;
• 3
33
5 3
3
8
11
não dá para ser
expresso como potência de
expoente 2.
Raiz quadrada de
números racionais
não negativos
Estendemos a relação de po-
tências de expoente 2 com a
formação de quadrados para
bases racionais positivas, asso-
ciando agora à noção de área
do quadrado.
Inicialmente, retome com
os alunos o cálculo de raízes
quadradas exatas de núme-
ros inteiros não negativos,
usando como base o que foi
visto anteriormente sobre
os quadrados perfeitos. Por
exemplo:
• 144 é um quadrado perfei-
to porque 12
2
5 144; então,
podemos dizer que a raiz
quadrada de 144 é 12, isto
é, o número que elevado ao
quadrado resulta em 144 é
o 12.
• 200 não é um quadrado
perfeito (200 5 2 8 100,
mas 2 não é quadrado per-
feito). Isso significa que
não há número natural
que elevado ao quadrado
dê 200, ou seja, 200 não
tem raiz quadrada exata.
• 400 é quadrado perfei-
to, pois é 4 8 100, ou seja,
pode ser expresso por
(2 8 10)
2
. Isso significa que
o número 20 elevado ao
quadrado resulta em 400;
então, podemos dizer que
a raiz quadrada de 400 é
20, isto é, o número que
elevado ao quadrado re-
sulta em 400 é o 20.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
26 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
Com três algarismos iguais a 2, obtemos os
números:
Agora, respondam:
a) Qual é o maior desses números?
b) Quais destes números são quadrados
perfeitos: 2
22
, (2
2
)
2
ou 22
2
? Justifiquem a
resposta.
24 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre quadrados
perfeitos. Depois de cada um resolver o pro-
blema elaborado pelo outro, destroquem para
corrigi-los.
Resposta pessoal.
22 Com quantos quadradinhos iguais posso cons-
truir um quadrado maior que tenha 8 quadra-
dinhos justapostos em cada linha?
23 Junte-se a um colega e leiam o texto a seguir.
Vamos usar três algarismos iguais para formar alguns números. A única operação que pode ser utilizada é a potenciação. Ao usar três al-
garismos iguais a 1, obtemos os números:
3
Raiz quadrada de números racionais
não negativos
Quando calculamos o quadrado de um número natural, estamos determinando um número
quadrado perfeito. Por exemplo:
15
2
5 225
Nesse caso, podemos dizer:
ƒ225 é o quadrado de 15;
ƒ15 é a raiz quadrada de 225, que indicamos da seguinte maneira: 15 5 225
Isso ocorre com qualquer número racional não negativo. Observe alguns exemplos.
b) ,144 5 1,2, pois (1,2)
2
5 1,44
c) 13
2
5 169; então, 13 5 169
222 22
2
2
22
^2
2
h
2
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
a)
5
2
25
4
5
2
eo
25
4
é o quadrado de
5
2
5
2
é a raiz quadrada de
25
4
, isto é,
25
4
5 2
5
É fácil verificar que o maior desses números
é 111, pois (1
1
)
1
5 1
1
5 1; 11
1
5 11 e 1
11
5 1.
1
11
111
^1
1
h
1
11
1
Da mesma maneira que representamos os números quadrados perfeitos pela quanti dade de
quadradinhos que formam um quadrado maior, também podemos relacionar o quadrado de um
número racional não negativo à área de uma região quadrada cujo lado tem a medida repre­
sentada por esse número (em determinada unidade de medida).
64 quadradinhos
2
22
5 4.194.304
Todos, pois 2
22
5 (2
11
)
2
, (2
2
)
2
5 2
4
 
e 22
2
já está na forma de quadrado perfeito.

85. 27BIMESTRE 1
Orientações
Para o cálculo de raiz qua-
drada, podemos usar o
procedimento de situar o
número dado entre quadra-
dos perfeitos terminados
em zero (para facilitar) e
descobrir possibilidades de
números para serem as raí-
zes. Calculando o quadrado
dessas possíveis raízes, com-
provamos qual é o número
procurado, caso ele exista
(ou seja, se a raiz quadrada
for exata). Por exemplo:
• Qual é a raiz quadrada de
576? O problema se resu-
me a procurar um número
que elevado ao quadrado
dê 576.
Vamos situar o 576 entre
dois quadrados perfeitos
(terminados em zeros para
facilitar):
400 , 576 , 900
^ ^
20
2
30
2
Então, se a raiz quadrada
de 576 for exata, ela é um
número entre 20 e 30. Mas
como 576 tem final 6, as
únicas possibilidades de isso
ocorrer é termos bases com
final 4 ou 6, isto é, temos
as possibilidades 24 ou 26.
Como 400 é mais próximo
de 576, vamos testar primei-
ro o 24: 24 8 24 5 576. Pode-
mos concluir que 24 elevado
ao quadrado dá 576, isto é,
a raiz quadrada de 576 é 24.
Comente com os alunos
que, caso a raiz quadrada
procurada seja de um núme-
ro racional positivo expresso
na forma de fração, pode-
mos trabalhar com o nume-
rador e o denominador se-
paradamente para depois
montar a fração que será a
raiz quadrada procurada. Se
esse número racional estiver
expresso na forma decimal,
fazemos sua representação
na forma de fração e segui-
mos o que já foi exposto.
Sugestão de leitura
Sugerimos o vídeo a seguir para ampliar esse procedimento:
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/calculando-raiz-quadrada-um-numero.htm>. Acesso em: 20 ago. 2018.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
27CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
NELSON MATSUDA ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES
Uma região quadrada com área igual a 144 m
2
tem o lado medindo
12 m, pois 12
2
5 144.
Então, 12 5 144
.
Assim, para encontrar a medida c do lado de um quadrado, sabendo
que sua área é A, basta encontrar a raiz quadrada de A.
c 5 A, pois c
2
5 A
Acompanhe as situações a seguir.
CCNo estudo que faremos, vamos sempre nos referir à área da região poligonal simplesmente
por área do polígono. Por exemplo, a área de uma região quadrada será denominada área do
quadrado.
Observação
Situação 1
A área de uma plantação, que tem a forma de um qua­
drado, é 256 m
2
. Para determinar a medida do lado dessa
plantação, temos de encontrar 256
, pois c
2
5 256.
Como o número c gera o quadrado perfeito 256, ele
pode ser encontrado ao decompor 256 em fatores primos.
Assim, podemos escrever:
Portanto, o lado da plantação mede 16 m.
256 5 2
8
5 (2
4
)
2
5 16
2
c
Situação 2
144 m
2
12 m
Cálculo da raiz quadrada pela decomposição
em fatores primos
Já vimos que, para identificar um número quadrado perfeito, verificamos se ele tem uma
quantidade par de cada um de seus fatores primos.
Isso também nos permite encontrar o número que gerou o quadrado perfeito. Esse número
gerador é a raiz quadrada do quadrado perfeito dado.
Veja um exemplo.
225 é quadrado perfeito, pois 225 5 3
2
8 5
2
5 (3 8 5)
2
5 15
2
número par de fatores
Então, 225 5 15
2
e, portanto, 15 5 225.
Esse procedimento constitui um meio de determinar a raiz quadrada de um número qua­
drado perfeito.

86. 28
Orientações
Apresente o procedimento
da decomposição em fatores
primos como outro modo
de determinar as raízes qua-
dradas exatas de números
racionais envolvidos. Por
exemplo:
•
12
1
5 ?
Veja que 1 5 1
2
e 25 5 5
2
.
Assim, podemos concluir
que
1
25
5
5
1
2
`j
. Logo:
25
1
5
1
5
• ,0 2116 5 ?
Como o número racional
está na forma decimal, va-
mos expressá-lo na forma de
fração:
0,2116 5
2.116
10.000
. Assim,
precisamos procurar o nú-
mero que elevado ao qua-
drado resulta em
2.116
10.000
.
Sabemos que 10.000 5 (100)
2
.
Então, precisamos decom-
por o número 2.116 como
fatores primos e expressá-lo
com uma potência de expo-
ente 2, se possível.
2.116 5 4 8 529 5 4 8 23 8 23 5
5 2.116 5 2
2
8 23
2
5
5 (2 8 23)
2
5 46
2
Fazendo a verificação, te-
mos:
46 8 46 5 2.116 (pode ser fei-
to na calculadora)
Sendo assim, podemos con-
cluir que
2.116
10.000
5
100
46
2
cm
.
Logo:
,0 2116
5
.
.
10 000
2 116
5
5
46
100
5 0,46
Fazendo a verificação final:
0,46 8 0,46 5 0,2116 (pode
ser feito na calculadora)
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
28 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Agora, para dar mais um exemplo, vamos determinar 576. Ao decompor 576 em fatores
primos, obtemos:
576 5 2
6
8 3
2
5 (2
3
8 3
1
)
2
5 24
2
Como 576 5 24
2
, concluímos que
576 5 24.
Observe que 24 decomposto em fatores primos (24 5 2
3
8 3
1
) apresenta metade dos fatores
primos de 576.
Assim, de modo prático, podemos dizer
que, para extrair a raiz quadrada de números
quadrados perfeitos, primeiro decompomos
o número em fatores primos; em seguida,
dividimos cada expoente por 2; e, finalmente,
efetuamos a multiplicação obtida.
Veja mais alguns exemplos.
a)
88
625
36
5
23
5
23
25
6
555
4
22
2
b)
8 8
888
,
.
,12 96
100
1296
25
23
25
23
10
49
10
36
3655 55 55
22
44 22
Nesse caso,
decompomos o numerador
e o denominador em
fatores primos e, em
seguida, calculamos a raiz
quadrada de cada um deles.
E para calcular
a raiz quadrada
de números
fracionários?
26 Extraia a raiz quadrada de cada número a
seguir pela decomposição em fatores primos.
a) 256
16 d) 729 27
b) 196 14 e) 1.600 40
c) 484 22 f) 1.024 32
25 Justifique cada igualdade abaixo.
a) ,064
5 0,8 (0,8)
2
5 0,64
b) 823
021
5 2
5
8 3 (2
5
8 3)
2
5 2
10
8 3
2
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
NELSON MATSUDA
27 (Unirio-RJ) O valor de
15 32 25 8121 2 é: alternativa c
a) 1. c) 3. e) 5.
b) 2. d) 4.
28 Um paliteiro de base quadrada tem a forma da
figura abaixo. Sabendo que a soma das áreas
das faces laterais do paliteiro é igual a 162 cm
2

e que a área de todas as faces é 202,5 cm
2
,
determine a medida a do lado da base desse
paliteiro.
a 5 4,5 cm
a
Dizemos “extrair a raiz
quadrada” porque, nesse
procedimento, é como se
extraíssemos do radical as
bases das potências com
expoente dois.
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES

87. 29BIMESTRE 1
Exercícios propostos
O exercício 27 pode ser feito
em duplas, pois a troca de
experiências aumenta o re-
pertório de estratégias dos
alunos. Comente que devem
resolver primeiro as raízes
quadradas. Assim, devem
começar por
81:
15 32 25 8121 25
15 32 25 952 12 5
15 32 1652 15
15 32 452 15
15 3652 5
15 652 5
5 9 5 3 (alternativa c)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
29CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
30
Ivan vai construir uma pipa colorida na forma
de quadrado. Para isso, ele recortou um qua-
drado de papel azul com área igual a 2.500 cm
2
,
três quadrados de papel amarelo de área igual
a 900 cm
2
cada um, e dois retângulos de papel
vermelho de 20 cm por 30 cm. Qual será a
medida do lado dessa pipa?
80 cm
29 Usando a decomposição em fatores primos,
calcule a raiz quadrada de:
a)
576
25
;
24
5
c)
.1225
64
;
35
8
b) 0,01; 0,1 d) 19,36. 4,4
NELSON MATSUDA
31 O piso de um salão na forma de um quadrado
é coberto com 10.800 lajotas retangulares de
40 cm por 30 cm. Determine:
a) a área do salão;
1.296 m
2
b) as dimensões do salão. 36 m por 36 m
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Raiz quadrada aproximada
Os números quadrados perfeitos têm como raiz quadrada um número natural que ele va do
ao quadrado reproduz o número dado.
Veja o que acontece quando queremos extrair a raiz quadrada de um número que não é
quadrado perfeito. Para exemplificar, vamos calcular a raiz quadrada do número 31.
O número 31 está compreendido entre os números quadrados perfeitos 25 e 36.
25 , 31 , 36
Então, 31 deve estar compreendida entre 25 e 36.
25 31 36,,
Como 25 5 5 e 36 5 6, temos:
53 16,,
Dizemos, então, que:
ƒ5 é a raiz quadrada aproximada por falta, a menos de uma unidade, do número 31;
ƒ6 é a raiz quadrada aproximada por excesso, a menos de uma unidade, do número 31.
Em geral, considera­ se raiz quadrada aproximada de um número não quadrado perfeito a raiz
quadrada aproximada por falta, a menos de uma unidade. Indica­se que 5 é a raiz quadrada
aproximada por falta de 31, escrevendo­se:
31 57
(Lemos: “a raiz quadrada do número trinta e um é aproximadamente igual a cinco”.)
32 Considerando o número 110, responda.
a) Entre quais números quadrados perfeitos ele está compreendido?
100 e 121
b) A raiz quadrada desse número está com preendida entre quais números naturais? 10 e 11
c) Qual é a raiz quadrada por falta, a menos de uma unidade? 10

88. 30
Exercícios propostos
O exercício 35, além do uso
da calculadora, tem como
objetivo o experimento da
estimativa.
Apresentar métodos dife-
rentes para fazer cálculos ou
resolver problemas é uma
estratégia enriquecedora.
Sugestão de leitura
Para um procedimento diferente que
pode ser trabalhado com os alunos,
veja o
site:
<https://waldexifba.wordpress.
com/material-de-apoio/ensino-
medio/potenciacao-e-radiciacao/
calculo-de-raizes-quadradas-
aproximadas/>. Acesso em: 20 ago.
2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
30 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Raiz quadrada com aproximação decimal
A seguir, vamos aprender a calcular a raiz quadrada de um número que não é quadrado
perfeito com aproximação decimal.
Como exemplo, vamos considerar o número 2. Qual é o número racional que elevado ao
quadrado resulta em 2? Veja.
1 não pode ser, pois 1
2
5 1
2 não pode ser, pois 2
2
5 4
Dessa forma, 2
é um número compreendido entre 1 e 2 12 2,,`j .
Como não existe nenhum número inteiro cujo quadrado dê 2, dizemos que 1 é a raiz qua­
drada aproximada do número 2.
Vamos procurar um número com uma casa decimal cujo quadrado seja mais próximo de 2.
(1,1)
2
5 1,21 , 2
(1,2)
2
5 1,44 , 2
(1,3)
2
5 1,69 , 2
(1,4)
2
5 1,96 , 2
(1,5)
2
5 2,25 . 2
33 Qual é o menor número natural que deve­
mos subtrair de 640 para obter um número
quadrado perfeito? E qual é a raiz quadrada
aproximada de 640 por falta, a menos de uma
unidade?
15; 25
34 No século XX, qual foi o único ano represen­
tado por um número quadrado perfeito? E no
século XXI, qual será o ano?
1936; 2025
Como também não existe número com uma casa decimal cujo quadrado seja igual a 2,
concluímos que 2 é um número compreendido entre 1,4 e 1,5.
Nesse caso, dizemos que a raiz quadrada aproximada do número 2 com uma casa decimal
é igual a 1,4 e escrevemos 2 7 1,4.
35 Faça estimativas para obter o valor aproxi­
mado de:
a) 51 q 7
b) 50 8 51 q 350
c) 200 8 51 q 1.400
Como você pode comprovar os resultados que
obteve?
resposta possível:
com uma calculadora
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
21
2
1 < < 22
21
2
1,4 1,5
1,4 , , 1,52

89. 31BIMESTRE 1
Orientações
Reproduza os exemplos na
lousa, destacando as etapas
com os alunos. Verifique se
eles compreendem os passos
de cada etapa.
Amplie o trabalho propon-
do outros exemplos. Depois,
peça a alguns alunos que ve-
nham à lousa mostrar o pro-
cedimento que utilizaram.
Incentive o uso de estraté-
gias próprias e a descrição
do processo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
31CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
NELSON MATSUDA
Vamos tentar uma aproximação maior, com duas casas decimais, para 2.
(1,41)
2
5 1,9881 , 2
(1,42)
2
5 2,0164 . 2
Logo, 2
é um número compreendido entre 1,41 e 1,42.
Então, podemos dizer que a raiz quadrada aproximada do número 2 com duas casas deci­
mais é igual a 1,41 e escrevemos 2 7 1,41.
Se prosseguirmos, encontraremos a raiz quadrada aproximada de 2 com quantas casas
decimais desejarmos, sem, entretanto, encontrar um número decimal cujo quadrado dê 2.
Veja outros exemplos.
a) Calcule a raiz quadrada do número 58 com duas casas decimais.
Assim, a raiz quadrada de 58 com duas casas decimais é 7,61. Escrevemos 58 7 7,61.
7 é a raiz quadrada aproximada de 58.
7,6 é a raiz quadrada aproximada com uma casa decimal do número 58.
21
1,41 1,42
2
1,41 , , 1,422
7
2
5 49 , 58
8
2
5 64 . 58
Então, 7 , 58 , 8.
(7,61)
2
5 57,9121 , 58
(7,62)
2
5 58,0644 . 58
Então, 7,61 , 58 , 7,62.
(7,1)
2
5 50,41 , 58
(7,2)
2
5 51,84 , 58
(7,5)
2
5 56,25 , 58
(7,6)
2
5 57,76 , 58
(7,7)
2
5 59,29 . 58
Então, 7,6 , 58 , 7,7.
b) Calcule a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal.
O número 7,2 está compreendido entre os quadrados perfeitos 4 e 9. Então:
,47 29,, , ou seja, 2 , ,72 , 3
A raiz quadrada de 7,2 é um número compreendido entre 2 e 3.
Vamos começar testando 2,5.
(2,5)
2
5 6,25 , 7,2
(2,6)
2
5 6,76 , 7,2
(2,7)
2
5 7,29 . 7,2
Assim, a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal é 2,6. Escrevemos
,72 7 2,6.

90. 32
Exercícios propostos
Neste bloco, espera-se que
os alunos mobilizem os co-
nhecimentos construídos
acerca de raiz quadrada
aproximada. Ele pode ser
proposto para os alunos re-
solverem em duplas. Sociali-
ze as diferentes estratégias
que surgirem.
Os exercícios 41 e 42 pro-
põem o udo da calculadora
como instrumento de pes-
quisa e de validação de re-
sultados.
Pense mais um
pouco...
Nesta seção, incentive os
alunos a obterem o resul-
tado apenas com base na
observação da igualdade
informada, sem efetuar ou-
tros cálculos. Espera-se que
eles percebam (mentalmen-
te) que:
• como 745,29 5
74.529
100
e
.74 529 5 273, temos
que: ,74529 5
273
10
5
5 27,3
• como 7.452.900 5 74.529 8
8 100 e .74 529 5 273,
temos que: ..7 452 900 5
5 273 8 10 5 2.730
Números irracionais e
números reais
Ainda nesta página, inicia-
mos a apresentação dos nú-
meros irracionais, por meio
da análise da forma decimal
de números com vírgula que
não sejam dízimas periódicas.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
32 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
36 Verifique se 1,7 pode ser considerado uma raiz
aproximada de 3.
sim
37 Entre os números 3,87 e 3,88, qual deles se
aproxima mais de 15
? 3,87
38 Qual é o número com uma casa decimal que
representa a raiz quadrada aproximada de 265?
16,2
39 Calcule a raiz quadrada aproximada com uma
casa decimal de:
a) 572
23,9 c) 42,55 6,5
b) 28,19 5,3 d) 12,6 3,5
40 Com uma calculadora, encontre a raiz quadra­
da aproximada com duas casas decimais de:
a) 88
9,38 b) .8800 93,80
41 Com uma calculadora, mas sem usar a tecla
, encontre a raiz quadrada aproximada com
duas casas decimais: a) 410
20,24
b) .1715 41,41
c) .1999 44,71
d) .3500 59,16
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4
Números irracionais e números reais
Considere o número 0,101112…
Observando a formação desse número, vamos supor que podemos dar continuidade à
sua parte decimal do seguinte modo: 0,10111213…; 0,1011121314…; e assim por diante.
Como a representação decimal desse número tem infinitas casas decimais e não é pe rió­
di ca, não podemos obter sua forma de fração; logo, esse número não é racional.
Imagine que, para continuar escrevendo esse número, devemos acrescentar sempre um
algarismo 5 aos grupos de 5 separados por 2:
0,525525552555525555525555552...
seis cincos
cinco cincos
42 Agora, usando a tecla da calculadora,
determine as raízes quadradas do exercício
anterior e verifique se os resultados obtidos
nele estão de acordo com os novos resultados.
c) ..6000 000 e) .1000 31,62
d) 6 2,44 f) .100 000 316,22
2.449,48
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Sabendo que 273
2
= 74.529, calcule:
a) ,745 29 27,3 b) ..7452 900 2.730
quatro cincos
três cincos
dois cincos
um cinco
Agora, veja este outro número: 0,52552555255552...
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

91. 33BIMESTRE 1
Orientações
Ressalte aos alunos que o
conjunto dos números reais
é composto de todos os nú-
meros racionais (incluindo-se
aí todos os números inteiros)
e por todos os números irra-
cionais. Por isso, não há nú-
mero racional que não seja
número real, assim como
não há número irracional
que não seja número real;
então todo número real ou
é um número racional ou é
um número irracional.
Para ampliar esse assun-
to, trabalhe com os alunos
questões deste tipo:
• Cite um número inteiro
que seja real e outro que
não seja número real.
Espera-se que os alunos
percebam que qualquer
número inteiro será um
número real e que não há
número inteiro que não
seja também número real.
• Cite um número real que
não seja inteiro. Neste
caso, espera-se que os
alunos percebam que há
“muitos” números reais
que não são inteiros. Po-
dem considerar qualquer
número racional não in-
teiro (como 0,5 por exem-
plo) ou qualquer número
irracional (como
5, por
exemplo).
• Cite um número real que
não seja inteiro nem racio-
nal. Neste caso, os alunos
devem perceber que somen-
te os números irracionais sa-
tisfazem essa condição.
• Cite um número real que
não seja racional mas seja
inteiro. Espera-se aqui que
eles percebam que não
existe um número real nes-
sas condições, já que todo
número inteiro é também
número racional.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
33CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
A representação desse número também não é decimal exata nem periódica. Portanto, esse
número não pode ser escrito na forma de fração. Logo, não é um número racional.
Com esses exemplos, percebemos que existem números que não são representados nem
por uma forma decimal exata (com um número finito de casas decimais), nem por uma dízima
periódica. Portanto, não podem ser escritos na forma de fração, isto é, na forma
b
a
com a e b
inteiros e b i 0; logo, não são números racionais. Esse tipo de número é chamado de número
irracional.
Agora, veja a representação decimal dos números 2 e 3 com sete casas decimais.
2 7 1,4142135 e 3 7 1,7320508
Por maior que seja o número de casas decimais usadas para representar esses números,
nunca vamos encontrar para eles uma representação decimal exata ou periódica. Portanto,
não há frações que os representem. Por isso, dizemos que 2 e 3 são números irracionais.
Também é irracional toda raiz quadrada de um número natural que não seja quadrado perfeito, assim como toda raiz quadrada de fração positiva irredutível cujo numerador e denominador não seja quadrado perfeito.
Além do número π, que já conhecemos do cálculo do comprimento da circunferência, e do
número ò, visto na abertura deste capítulo, também são irracionais raízes cúbicas, quartas,
quintas etc. cujos radicandos não podem ser escritos como potências de expoentes respec­
tivamente iguais a três, a quatro, a cinco etc.
Como exemplo de números irracionais, temos:
,, ,, ,56 8
10
3
29
35
A união do conjunto dos números racionais (no qual estão contidos o conjunto dos números
naturais e o conjunto dos números inteiros) com o conjunto dos números irracionais forma um novo conjunto chamado conjunto dos números reais, representado por R.
5
Reta real
Já vimos como representar números inteiros em uma reta.
025 24 23 22 21 1 2 3 4
20,5 021 1 1,51
8
—
1
4
—
1
2
—
Da mesma forma, vimos como representar números racionais em uma reta. Na reta abaixo,
repre sen ta mos alguns números racionais.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

92. 34
Orientações
A completude da reta real
precisa ser compreendida
pelos alunos. Trace uma reta
numérica na lousa e pergun-
te: “Associando cada núme-
ro natural a um ponto dessa
reta, sobram pontos sem as-
sociação?”. Espera-se que os
alunos percebam que sim,
pois há os números inteiros
negativos que também po-
dem ser associados a pon-
tos da reta numérica e não
estão contemplados no con-
junto dos números naturais.
Localize alguns números
inteiros negativos na reta
numérica desenhada e per-
gunte: “Associando cada
número inteiro (o zero, os
positivos e os negativos) a
um ponto dessa reta, so-
bram pontos sem associa-
ção?”. Nesse caso, eles po-
dem perceber que sim ao
recordar que também asso-
ciamos os números racionais
não inteiros (como 1,5 e
20,5) a pontos da reta nu-
mérica e esses números não
estão contemplados no con-
junto dos números inteiros.
Localize, então, alguns nú-
meros racionais não intei-
ros (na forma de fração e
na forma decimal) para que
eles percebam que a reta
numérica não estava com-
pleta e pergunte: “E agora,
associando cada número
racional (inteiros e não in-
teiros) a um ponto dessa
reta, sobram pontos sem
associação?”. Como sabem
da existência dos números
irracionais (como o caso de
2), devem intuir que esses
números têm pontos da reta numérica associados a eles.
Comente que os “buracos”
na reta numérica ao repre-
sentarmos todos os núme-
ros racionais são totalmente
preenchidos quando faze-
mos a representação dos nú-
meros irracionais. Por isso,
essa reta numérica completa
será chamada de reta real.
Isso ficará mais evidente
quando os alunos verificarem
a localização exata dos nú-
meros irracionais dados por
raízes quadradas não exatas
de números racionais positi-
vos, que veremos a seguir.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e
não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
34 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Vamos representar na reta real o número irracional 2.
Já vimos que 2 é um número que está entre 1,4 e 1,5; logo, sua localização aproximada
na reta real é:
Assim, sabendo a aproximação decimal de uma raiz quadrada não exata, podemos deter­
minar sua posição aproximada na reta real.
Localização exata de alguns números irracionais
na reta real
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
22 21 2
1,51,4
10
2
Observação
CCQualquer ponto da reta real tem um único número real correspondente e todo
número real tem um único ponto correspondente na reta.
cateto
hipotenusa
cateto
Os triângulos retângulos têm uma propriedade muito especial: com quadrados construídos
sobre os catetos, sempre é possível construir quadrado sobre a hipotenusa.
A representação de todos os números racionais e irracionais, isto é,
dos números reais, preenche a reta numérica. A essa reta chamamos
de reta real.
O teorema que estudaremos a seguir vai nos ajudar a determinar a posição exata de 2
e
de outros números irracionais na reta real.
Você já sabe que o triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo interno reto. O maior
lado desse triângulo é chamado de hipotenusa, e os demais, de catetos.
Como sabemos, é impossível representar todos eles, pois, entre dois números racionais,
existe uma infinidade de outros números racionais. Mesmo que isso fosse possível, os pontos que representariam esses números não seriam suficientes para cobrir toda a reta numérica. Faltariam ainda os pontos correspondentes aos números irracionais para completá­la.

93. 35BIMESTRE 1
Orientações
Apresentamos de maneira
informal e lúdica o teorema
de Pitágoras.
Providencie modelos das pe-
ças que montam o quadrado
sobre a hipotenusa. Reúna
os alunos em duplas e pro-
ponha a atividade antes de
mostrar a solução apresen-
tada no livro do estudante.
Destaque os elementos de
um triângulo retângulo:
• ângulo interno reto com
lados chamados de cate-
tos;
• o lado maior, oposto ao ân-
gulo reto, é a hipotenusa.
Depois de concluírem a
montagem do quadrado so-
bre a hipotenusa, combine
com os alunos que o triân-
gulo retângulo usado para o
“quebra-cabeça” tem cateto
menor medindo c, cateto
maior medindo b e hipote-
nusa medindo a. Então, per-
gunte:
• Quanto mede o lado do
quadrado roxo, colocado
sobre o cateto menor? E o
lado do quadrado verde, so-
bre o outro cateto?
Espera-se que os alunos
identifiquem a medida do
lado de cada quadrado com
a respectiva medida do ca-
teto onde foram colocados.
Assim, o quadrado roxo tem
lado de medida c (e área
c
2
), e o quadrado verde tem
lado de medida b (e área b
2
).
• Quanto mede o lado do
quadrado montado sobre
a hipotenusa?
Os alunos devem identificar
que o lado desse quadrado
tem mesma medida que a
hipotenusa do triângulo, ou
seja, mede a e tem área a
2
.
• O que podemos dizer sobre
a área do quadrado mon-
tado sobre a hipotenusa?
Espera-se que eles percebam
que, como esse quadrado
foi montado com peças dos
quadrados roxo e verde, a
área do quadrado maior
deve ser a soma das áreas
dos quadrados roxo e verde,
ou seja: b
2
1 c
2
5 a
2
.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo
comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando
se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a
semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
35CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Note que a área do quadrado formado sobre a
hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos.
Então, ao indicar por c e b as medidas dos catetos
e por a a medida da hipotenusa, podemos escrever:
Essa relação, chamada de teorema de Pitágoras,
vale para qualquer triângulo retângulo e será usada
para determinar a posição de alguns números irracio­
nais na reta real.
Área de cada
quadrado construído
sobre os catetos.
Área do quadrado
construído sobre
a hipotenusa.
a
2
5 b
2
1 c
2
2
1
3
4
5
1
2
3
5
4
a
b
c
Na primeira figura a seguir, temos um quadrado (pintado de roxo) sobre um cateto e outro
(pintado de verde) sobre outro cateto. Vamos decompô­los de modo conveniente para formar
um quadrado sobre a hipotenusa. Observe.

94. 36
Orientações
Se julgar necessário, relem-
bre a construção de uma
reta perpendicular a uma
reta dada passando por um
ponto dessa reta. Depois,
reproduza a construção do
segmento de medida
2 na
lousa, pedindo aos alunos que justifiquem cada pas-
so. Por exemplo, pergunte o que garante que o tercei-
ro lado do triângulo mede
2, quando tomamos 1
como medida dos dois la- dos perpendiculares desse
triângulo. Espera-se que os
alunos citem a relação tra-
balhada anteriormente, co-
nhecida como teorema de
Pitágoras.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem
segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de
um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar
a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
36 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
O valor procurado é um número positivo que elevado ao quadrado resulta em 2. Esse nú­
mero é 2. Logo: a 5 2.
Então, para representar 2 na reta, basta construir um triângulo retângulo de catetos
medindo 1 unidade e transferir a medida da hipotenusa para a reta. Veja.
3. Com centro em O e abertu­
ra OB, marcamos o ponto C.
1. Por A, traçamos BAr=,
tal que BA 5 1.
2. Unimos O com B e obte­
mos OB 5 2.
1
1
O A r
B
r
1
1
O A
B
rA
1
1
B
C
2
2
2
O
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Por exemplo, se quisermos representar 2
na reta real, construímos um triângulo retângulo
com a hipotenusa medindo 2. Observe.
1
1
a
a
2
5 b
2
1 c
2
a
2
5 1
2
1 1
2
a
2
5 1 1 1
a
2
5 2
NELSON MATSUDA
Agora, vamos representar 3
na reta numérica. Para isso, basta construir um triângulo
retângulo de catetos 2 e 1. A hipotenusa medirá 3 unidades de comprimento.
1
y
2
y
2
5 2
2
`j 1 1
2
y
2
5 3
y 5 3
Aproveitando o segmento que representa 2, construímos na reta numérica o segmento
que mede 3.
Na calculadora, obtemos 3 q 1,73. Repare que 3 fica entre 2 e o ponto médio do seg­
mento de extremos 1 e 2.
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
1
1 1
–1 10 2
2
2
3
3
Basta transportar
sobre a reta para a
esquerda, a partir
do zero, o segmento
que mede 3.
Como eu faço
para encontrar o
–3 na reta?
NELSON
MATSUDA

95. 37BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Possível figura para o exer -
cício 44.
1
0 1 2 5√
Para o exercício 48:
• construção de 20 u: triân-
gulo retângulo de catetos
medindo 4 u e 2 u, e hipo-
tenusa 20 u;
4 u
2 u
20 u√
• construção de 27 u: triân-
gulo retângulo de catetos
5 u e 1 u , hipotenusa 26
u; triângulo retângulo de
catetos 26 u e 1 u, hipo-
tenusa 27 u.
5 u
1 u
26 u√
27 u√
• retângulo de 20 u por
27 u:
20 u√
27 u√
• construção de 3u: triân-
gulo retângulo de catetos
1 u e 1 u; triângulo retân-
gulo de catetos 2 u e 1 u:
1 u
1 u2 u√ 3 u√
• construção de 5 u: análoga ao
exercício 44.
• retângulo de 25 u por 33 u.
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
5 u2√
3 u3√
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
37CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) Encontre o valor de x. 17
b) Esse número é racional ou irracional?
c) Usando uma calculadora, represente esse
número na forma decimal aproximada, com
duas casas decimais.
4,12
b) irracional
45 Considere o triângulo retângulo abaixo, cujas
medidas dos lados estão indicadas em uma mesma unidade de comprimento.
4
1
x
ILUSTRAÇÕES: NELSON

MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON

MATSUDA
46 Na figura abaixo, foi representado o número
10
na reta numérica. Explique por que essa
construção está correta.
Resposta pessoal.
0 21 3
O
A
1
B C
10
a) Qual é o número irracional que representa o comprimento desse escorregador?
13
b) Qual é o comprimento aproximado desse escorregador em centímetro?
360 cm
48 Com régua e compasso, trace um segmento
de 20u e outro de 27u, sendo u 5 2 cm.
Construa um retângulo que tenha essas me-
didas. Construa outro retângu lo que tenha
por medidas 25u e 33u. Por sobreposição,
compare as áreas dos retângulos encontrados e
compare os produtos 20 8 27 e 52 8 33.
construção de figura; os produtos são iguais
47 A figura abaixo representa um escorregador
cujo comprimento, em metro, foi indicado
por x.
2 m
3 m
x
43 Escreva o número irracional que está repre-
sentado na reta pela letra m.
22
021
1
m
44 Construa, com auxílio de régua e compasso,
um triângulo retângulo com um cateto de 2  unidades de comprimento sobre uma reta numérica e outro cateto de 1 unidade de com-
primento. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo e localize na reta numérica o número que expressa a medida da hipotenusa desse triângulo.
5
; construção de figura
Espiral de Teodoro, Pitágoras ou Einstein
Uma das mais famosas espirais, construída
com triângulos retângulos, é conhecida pelos
nomes de três grandes personalidades: Teodo-
ro de Cirene, Pitágoras e Albert Einstein.
Sua construção tem início com um
triângulo retângulo isósceles com catetos
de 1 unidade, prossegue com outros triân-
gulos retângulos que têm um cateto de 1
unidade e outro cateto com a medida da
hipotenusa do triângulo anterior. Com ela,
obtemos segmentos de medidas iguais a
,, ,,
,23 42 565 ...
Veja como fica a construção de uma des-
sas espirais até 17.
PARA SABER MAIS
ADILSON SECCO
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
34
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

96. 38
Agora é com você!
Veja a seguir uma possível
figura para a questão desta
seção:
3 u
1 u
1
11
1
1
1
1
1
9√
8√
7√
6√
5√
4√ 3√
2√
1√
Exercícios
complementares
Este bloco de exercícios ex-
plora os principais concei-
tos estudados no capítulo.
Espera-se que os alunos mo-
bilizem os conhecimentos
construídos, percebendo se
ainda têm alguma dificul-
dade.
Uma possível figura para o
exercício 14 é a que segue:
1
0
2
22
2
5
5
29√
52√
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
38 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
1 Identifique as sentenças falsas e dê um exem­
plo para justificá­las.
a) Todo número inteiro é natural.
b) Todo número racional é inteiro.
c) Todo número racional é real.
d) Todo número irracional é real.
2 Considere A 5
3
2
2 ,14 e B 5 0,7 2 0,777...
Determine A 9 B.
10
3 Dadas as dízimas periódicas 2,555… e 0,222…,
determine:
a) a soma delas, escrevendo o resultado na
forma abreviada;
,27
b) o produto delas, escrevendo o resultado na forma de fração.
81
46
4 Justifique por que ,484 5 2,2. (2,2)
2
5 4,84
6 Qual é o menor número pelo qual devemos
multiplicar 2
5
 8 34 8 5
3
8 7 para obter um núme­
ro natural que seja quadrado perfeito?
595
7 Sendo A 5 3
3
8 5 8 7 e B 5 3 8 5 8 7, calcule a
raiz quadrada de A 8 B.
315
8 Um terreno tem a forma de um quadrado, e sua
área é igual a 231,04 m
2
. Calcule o perímetro
desse terreno.
60,8 m
9 (PUC­RJ) O valor de ,...2777
é:
a) 1,2. d) um número entre
2
1
e 1.
b) 1,666... e) 3,49. c) 1,5.
alternativa b
10 (PUC­RJ) O valor de
,...
,...
0111
1777
é:
a) 4,444... c) 4,777... e)
3
4
.
b) 4. d) 3.
alternativa b
a) Falsa, 21 não é natural.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1. b ) Falsa,
2
1
não é número inteiro.
5 Sendo x 5 2
8
8 5
2
, calcule a raiz quadrada de x.
80
11 Os catetos de um triângulo retângulo medem
12 cm e 5 cm.
a) Calcule a medida da hipotenusa.
13 cm
b) Essa medida é um número racional ou irra­
cional?
racional
12 Os catetos de um triângulo retângulo medem
6 cm e 2 cm.
a) Calcule a medida da hipotenusa.
40
cm
b) Essa medida é um número racional ou irra­
cional?
irracional
c) Determine a medida da hipotenusa com
uma casa decimal.
6,3 cm
13 Qual número irracional está representado na
reta pela letra a?
26
14 Represente na reta real os números 29 e 25.
construção de figura
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Com régua e esquadro, construa uma espiral como essa até obter 9. Depois, confira se essa me­
dida se iguala de fato a 3 unidades usadas por você.
construção de figura
3 m
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
15 Para saber a altura de um poste, Alexandre
encostou nele uma escada de 15 m de com­ primento, de modo que ela ficou apoiada no chão a 3 m do poste. Qual a altura aproximada desse poste?
14,6 m
Agora é com você!
0
1
5
a

97. 39BIMESTRE 1
Diversificando
Veja uma variação do jogo
proposta nesta seção. No
material, mudamos as cartas
de ação, que passam a ser:
“quadrado da soma”, “soma
dos quadrados”, “multiplica-
ção dos números” e “adição
dos números”. Nas regras,
alteramos a quantidade de
cartões numerados que cada
jogador deve pegar: em vez
de quatro, inicialmente cada
jogador pega apenas dois
cartões numerados.
Um dos objetivos dessa va-
riação do jogo é levar os
alunos a perceber a diferen-
ça entre quadrado de uma
soma [(a 1 b)
2
] e soma de
dois quadrados (a
2
1 b
2
).
Na questão 2 do Agora é
com você!, peça aos alu-
nos que escrevam a nova
regra de forma clara e ob-
jetiva para que os colegas
consigam entendê-la, pois
o representante terá de ex-
plicá-la a todos no final da
atividade.
DIVERSIFICANDO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
39CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA
Jogo do enfileirando
Número de participantes: 2 a 4 jogadores
Material:
• Vinte cartões numerados confeccionados com os números: 0, 2, 6, 7, 9, 28, 27, 24, 23,
21, ,,,,, ,, ,, .
2
1
3
1
3
2
8
7
8
3
123 16 25
• Quatro cartas de ação: uma de “ordem crescente”; uma de “ordem decrescente”; uma de
“adição dos números”; e uma de “multiplicação dos números”.
• Dois saquinhos não transparentes: um para guardar os cartões numerados, outro para guar­
dar as cartas de ação.
• Papel e lápis para resolver as operações.
Regras:
• Sem olhar os números, cada jogador pega cinco cartões numerados de dentro do saquinho.
• Depois, um dos jogadores tira uma carta de ação e deve colocá­la em cima da mesa para
que todos a vejam e façam o que ela indica. Por exemplo, se sair a carta “ordem crescente”,
cada jogador colocará em ordem crescente os cartões que pegou. Suponha que um dos jo­
gadores tenha os cartões 2, 23, 2
,
2
1
e 9; ele deverá colocá­los nesta disposição: 23, ,
2
1

2, 2 e 9. Então, anota­se o nome de quem terminou a tarefa em primeiro lugar e retira­se
outra carta.
• Para os cálculos com 2 e 3, devem ser usados os valores aproximados 1,4 e 1,7, respec­
tivamente. Exemplo: 2 1 (23) 1 2 1
2
1
1 9 5 9,9.
• Vence o jogo aquele que ganhar o maior número de rodadas, isto é, concluir mais vezes as tarefas antes dos outros colegas. Caso nenhum jogador consiga executar as tarefas, reinicia­ ­se o jogo.
1 Observe a ilustração ao lado
e responda à questão. Quem
ganhou esta rodada? Justifique.

2 Formem grupos de 3 ou 4 colegas, modifiquem uma regra do jogo e troquem com outro grupo. Depois
de jogar com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro grupo.
A menina, pois colocou os
cinco números na ordem
certa, como pedia a carta
de ação.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!

98. 40
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Compreender o surgimento
dos números irracionais, re-
conhecê-los e manipulá-los.
• Representar geometrica-
mente números irracionais
usando régua e compasso.
• Explorar potências de 10 e
a notação científica.
• Reconhecer e empregar uni-
dades usadas para expressar
medidas muito grandes ou
muito pequenas.
• Empregar unidades de me-
dida utilizadas na infor-
mática.
• Resolver problemas envol-
vendo cálculos com potên-
cias de expoentes naturais
e inteiros negativos.
• Determinar potências com
expoente fracionário.
• Efetuar cálculos com nú-
meros reais.
• Estudar e aplicar as pro-
priedades de radicais.
• Simplificar radicais.
• Efetuar operações envol-
vendo radicais.
• Racionalizar expressões
contendo radicais no de-
nominador.
• Resolver e elaborar pro-
blemas com números re-
ais envolvendo diferentes
operações.
• Construir e interpretar grá-
fico de linha.
Orientações gerais
Neste capítulo, ampliamos o
trabalho com números reais
iniciado no capítulo ante-
rior, com o foco nas opera-
ções potenciação e radicia-
ção. O conceito de número
irracional é complexo para
os alunos. O contato com
ele em situações variadas
amplia o conhecimento já
construído sobre números
irracionais e, assim, consoli-
da a aprendizagem dos nú-
meros reais.
Sugestões de leitura
Para ampliar a discussão da abertura deste capítulo, sugerimos:
<https://rmu.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/27/2018/03/n47_Artigo02.pdf>;
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/incomens.htm>. Acessos em: 15 ago. 2018.
Reza a lenda que a descoberta dos irracionais causou tanto escândalo entre os gregos que o
pitagórico responsável por ela, Hípaso, foi expulso da escola e condenado à morte. Não se sabe de
onde veio essa história, mas parece pouco provável que seja verídica. [...]
Na verdade, a descoberta da incomensurabilidade representou uma nova situação que motivou
novos desenvolvimentos matemáticos.
Fonte: ROQUE, Tatiana. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos.
Rio de Janeiro: Zahar, 2012. p. 124-26.
2
Capítulo
Detalhe de Escola de Atenas (1509-1511), de Rafael Sanzio. Pintura em reboco. 5 m 3 7,7 m. Na imagem,
Pitágoras, sentado à esquerda, é observado por Parmênides, em pé, e Hipatia, ao fundo.
Operações com
números reais
AKG IMAGES/FOTOARENA –
MUSEUS DO VATICANO, VATICANO
40 CAPÍTULO 2

99. 41BIMESTRE 1
Potências nas
medidas
astronômicas,
subatômicas e
informáticas
Antes de trabalhar o quadro
apresentado nesta página,
retome com os alunos as po-
tências de base 10 com ex-
poente natural e expoente
negativo. É um bom mo -
mento para verificar os
conhecimentos que eles
já construíram sobre esse
assunto e sobre a notação
científica.
Aproveite o momento e ex-
plique que o prefixo “quilo”
(ou “kilo”) indica que de-
vemos multiplicar a unida-
de tomada por 1.000, por
exemplo:
• 1 quilômetro 5
5 1.000 8 1 metro
• 1 quilograma 5
5 1.000 8 1 grama
• 1 quilolitro 5 1.000 8 1 litro
Sendo assim, não devemos
usar a palavra “quilo” como
sinônimo de “quilograma”,
como usualmente se faz.
Pergunte aos alunos se já
conheciam alguma unidade
expressa com esses prefixos.
É possível que alguns já te-
nham ouvido falar dos pre-
fixos micro (1 micrometro 5
5 10
26
metro) ou de giga e
mega (nas unidades de in-
formática, como megabyte
e gigabyte).
Complemente os estudos com
a Sequência didática 2 –
Potência com expoente
fracionário e radicais,
disponível no Manual
do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Dados obtidos em: Inmetro. Disponível
em: <http://www.inmetro.gov.br/
consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf>.
Acesso em: 20 jun. 2018.
côvado
passo
pé
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
41CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Quando apontado para determinado
ponto ou objeto, o medidor digital
calcula a distância até ele.
VICTOR DE SCHWANBERG/
SCIENCE PHOTO
LIBRARY/LATINSTOCK
1
Potências nas medidas astronômicas,
subatômicas e informáticas
O Sistema Internacional de Unidades (SI) tem uma história recente, se comparada à his-
tórica necessidade humana de medir, que vem desde a origem das civilizações. Antes, cada
povo tinha seu próprio sistema de medidas, muitas vezes com unidades imprecisas, tendo por
base o corpo humano (palmo, pé, côvado, jarda, passo etc.), o
que criava muitos problemas, principalmente para o comércio.
O SI, sistema atual desenvolvido a partir do Sistema Métrico
Decimal (SMD, França, 1799) e consolidado apenas em 1960
com suas sete unidades de base, é mais complexo e diversifi-
cado do que o SMD.
Visando atender a uma extensa gama de medidas para vá-
rias grandezas, há muitos prefixos no SI. Veja a tabela a seguir.
Nome Símbolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada
yotta Y 10
24
= 1.000.000.000.000.000.000.000.000
zetta Z 10
21
= 1.000.000.000.000.000.000.000
exa E 10
18
= 1.000.000.000.000.000.000
peta P 10
15
= 1.000.000.000.000.000
tera T 10
12
= 1.000.000.000.000
giga G 10
9
= 1.000.000.000
mega M 10
6
= 1.000.000
kilo ou quilo k 10
3
= 1.000
hecto h 10
2
= 100
deca da 10
deci d 10
21
= 0,1
centi c 10
22
= 0,01
mili m 10
23
= 0,001
micro u 10
26
= 0,000.001
nano n 10
29
= 0,000.000.001
pico p 10
212
= 0,000.000.000.001
femto f 10
215
= 0,000.000.000.000.001
atto a 10
218
= 0,000.000.000.000.000.001
zepto z 10
221
= 0,000.000.000.000.000.000.001
yocto y 10
224
= 0,000.000.000.000.000.000.000.001
Medida materializada.
Metro padrão.
IZAAC BRITO
VVOEVALE/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES

100. 42
Orientações
Explore as unidades apre-
sentadas. Proponha aos
alunos que pesquisem mais
sobre elas. Ressalte que o
parsec é uma unidade de
referência na Astronomia,
mais frequente que o ano-
-luz. No entanto, sua expli-
cação não é intuitiva.
Se julgar adequado, promo-
va uma discussão sobre os
conteúdos pesquisados pe-
los alunos.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho, sugeri-
mos os
sites:
<http://www.iag.usp.br/siae98/
astroleis/estrelas.htm>;
<http://www.observatorio.iag.usp.
br/index.php/mencurio/curiodefin.
html>;
<http://astro.if.ufrgs.br/dist/>.
Acessos em: 15 ago. 2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários. (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. (EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
1 metro
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
42 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
O tema medidas é muito amplo; por isso vamos nos restringir aqui à medida de comprimento
cuja unidade de base é o metro (m), definido como o comprimento do trajeto percorrido pela
luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo.
O metro, como as demais unidades de base, tem múltiplos e submúltiplos dados por prefi-
xos. Por exemplo: “quilo-” (do grego khílioi,ai,a ‘mil, milhar

’

): um quilômetro (1 km) 5 mil metros
(10
3
m); “mili-” (do francês Millième, milésimo): um milímetro (1 mm) 5 um milésimo de metro
(10
23
m).
No entanto, os prefixos da tabela conjugados com as unidades de base ainda são insufi-
cientes ou inconvenientes para determinadas situações.
Na Astronomia e na Astrobiologia, o estudo do Universo indica a necessidade de outras
unidades de medida fora do SI, que são:
ƒUnidade Astronômica (UA): a distância média entre a Terra e o Sol, 1 UA = 1,5 8 10
11
m;
ƒano-luz (AL): a distância que a luz percorre em 1 ano, 1 AL q 9,5 8 10
15
m q 63.241 UA;
ƒparsec (pc): a unidade astronômica de distância que equivale a uma paralaxe anual estelar
de um segundo; assim, 1 pc = 3,26 anos-luz q 206.165 UA.
Exoplaneta descoberto recentemente
tem mais água do que a Terra
Cientistas afirmam que o planeta é diferente
de tudo o que já foi estudado
Os astrônomos confirmaram que o exoplaneta GJ 1214b,
encontrado em 2009, é formado em grande parte por água,
assim como a Terra. Chamado de “Super Terra” pelos cientistas,
a água e as altas temperaturas de sua superfície podem criar um
ambiente propício à vida. O exoplaneta (está fora do Sistema
Solar) GJ 1214b está relativamente perto da Terra, localizado
a 40 anos-luz de distância. [...]
Fonte: EXOPLANETA descoberto recentemente tem mais água do que a Terra. Galileu, s/d. Disponível em:
<http://revistagalileu.globo.com/Revista/Common/0,,ERT295972-17770,00.html>. Acesso em: 07 maio 2018.
NASA/SCIENCE PHOTO LIBRARY/
LATINSTOCK
IZAAC BRITO
Representação artística do exoplaneta
GJ 1214b transitando na frente de sua
estrela. Elementos sem escala e fora de
proporção. Cores-fantasia.

101. 43BIMESTRE 1
Orientações
Contrapondo com o traba-
lho anterior, de medidas
muito grandes, explore ago-
ra com os alunos a utilização
de medidas extremamente
pequenas.
Tratamos ainda nesta pá-
gina as unidades ligadas à
área de informática, sobre
as quais provavelmente os
alunos têm maior conheci-
mento.
Sugestões de leitura
Para enriquecimento e ampliação
desse estudo, sugerimos:
<http://www.poli.usp.br/fr/comu
nicacao/noticias/destaques/arquivo-
em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-
face-da-moeda.html>;
<https://meuartigo.brasilescola.
uol.com.br/fisica/nanociencia-nano
tecnologia-manipulacao-materia-
atomo-atomo.htm>. Acessos em:
15 ago. 2018.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
43CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Na outra ponta das atividades científicas está a nanotecnologia.
Certa vez, o físico Eric Drexler disse: “A próxima grande revolução na ciência será tão pequena
que você não vai enxergá-la nem com microscópio. Os efeitos, porém, serão devastadores”.
Nela, como o próprio nome sugere, são trabalhadas medidas extremamente pequenas, para
o desenvolvimento de produtos com tamanho inferior a 100 nanômetros.
Veja o prefixo nano na tabela da página 41: 1 nanômetro é a unidade de comprimento equi-
valente à bilionésima parte de um metro, ou 10
29
m (símbolo: nm).
Diferentemente da Astronomia, a nanotecnologia não criou novas unidades de medida.
Pesquisadores em Sergipe testam
a nanotecnologia para cura do câncer
O câncer é a segunda principal causa de morte no Brasil.
É  uma doença de grande incidência, alta mortalidade e de
difícil tratamento, havendo um constante interesse social na
busca por terapias mais eficientes. Com o objetivo de desen-
volver uma formulação mais eficaz, pesquisadores estão de-
senvolvendo em Sergipe um estudo que propõe o tratamento
inovador através da nanotecnologia.
Fonte: SOARES, José Rivaldo. Pesquisadores em Sergipe testam a nanotecnologia para cura do câncer.
Comunicação VIP, 13 mar. 2017. Disponível em: <http://comunicacaovip.com.br/pesquisadores-em-
sergipe-testam-nanotecnologia-para-cura-do-cancer/>. Acesso em: 13 nov. 2017.
Hoje vivemos no mundo da informática.
A informática tem unidades próprias, mas empresta do SI a nomenclatura dos prefixos:
ƒbyte (B) é a menor unidade de armazenamento;
ƒkilobyte (KB) equivale a 2
10
ou 1.024 bytes; 1 KB = 2
10
B;
ƒmegabyte (MB) equivale a 2
10
ou 1.024 kilobytes; 1 MB = 2
10
KB = 2
20
B;
ƒgigabyte (GB) equivale a 2
10
ou 1.024 megabytes; 1 GB = 2
10
MB = 2
30
B;
ƒterabyte (TB) equivale a 2
10
ou 1.024 gigabytes; 1 TB = 2
10
GB = 2
40
B;
CONEYL JAY/SCIENCE PHOTO
LIBRARY/LATINSTOCK
WHITEMOCCA/SHUTTERSTOCK
Representação artística de microsseringa em
glóbulo vermelho do sangue. Elementos sem
escala e fora de proporção. Cores-fantasia.
Representação de um código de programação de software.

102. 44
Orientações
Amplie o trabalho com po-
tências de 10 envolvendo
expressões que contenham
tais potências, por exemplo:
• 5,4 8 10
2
1 3,5 8 10
3
5
5 5,4 8 10
2
1 3,5 8 10 8 10
2
5
5 5,4 8 10
2
1 35 8 10
2
5
5 (5,4 1 35) 8 10
2
5
5 40,4 8 10
2
5 4.040
• 0,002 8 10
5
8 25 8 10
22
5
5 2 8 10
23
8 10
5
8 25 8 10
22
5
5 (2 8 25) 8 (10
23
8 10
5
8 10
22
) 5
5 50 8 10
0
5
5 50 8 1 5 50
•
24 8 10
2

1,2 8 10
3
5
24 8 10
2

12 8 10
21
8 10
3
5
5
2 8 10
2

1 8 10
2
5 2
•
0,5 8 10
22

0,005 8 10
3
5
5
5 8 10
21
8 10
22

5 8 10
23
8 10
3
5
5 10
23
5 0,001
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
44 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Os fatores de conversão que definem os prefixos no SI são potências de 10:
ƒ10 ou 10
21
para os três primeiros múltiplos e para os três primeiros submúltiplos.
Por exemplo:
a) para transformar 75 m em dam, fazemos 75 m 5 75 8 10
21
dam 5 7,5 dam;
b) para transformar 75 cm em mm, fazemos 75 m 5 75 8 10 mm 5 750 mm.
ƒ10
3
(1.000) ou 10
23
(0,001) para os demais prefixos.
Por exemplo:
a) para transformar 41.852 metros em terâmetro (Tm), fazemos:
41.852 m = 41.852 8 10
23
8 10
23
8 10
23
8 10
23
Tm = 4,1852 8 10
28
Tm;
b) para transformar 0,29 metro em nanômetro, fazemos:
0,29 8 10
3
8 10
3
8 10
3
m = 0,29 8 10
9
nm = 290.000.000 nm = 2,9 8 10
8
nm
Os fatores de conversão que definem os prefixos na informática são potências de base 2:
ƒ2
10
(1.024) para transformar uma unidade para a unidade imediatamente inferior;
ƒ2
210
(1.024
21
) para transformar uma unidade para a unidade imediatamente superior.
Fonte: FREIRE, Raquel. Disco de vidro pode guardar arquivos com até 360 TB “para sempre”. Techtudo,
17 fev. 2016. Disponível em: <http://www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2016/02/disco-de-vidro-
pode-guardar-arquivos-com-ate-360-tb-para-sempre.html>. Acesso em: 13 nov. 2017.
Note que 10
3
q 2
10
, pois 10
3
= 1.000 e 2
10
= 1.024 q 1.000.
Por estarem mais acostumadas a trabalhar e a fazer estimativas com potências de base 10,
na prática, é comum as pessoas arredondarem 1.024 para 1.000 e dizerem que 1 GB = 1.000 MB.
Mas observe que arredondamentos acumulados geram erros grandes.
Por exemplo, ao arredondar 1 ZB por fatores 10
3
, obtemos:
1 ZB = 10
24
B = 1.000.000.000.000.000.000.000.000 B
Porém, o valor correto é quase 21% maior:
1 ZB = 2
80
B = 1.208.925.819.614.629.174.706.176 B
Disco de vidro pode guardar arquivos
com até 360 TB “para sempre”
Pesquisadores da Universidade de Southampton, no
Reino Unido, anunciaram uma unidade de disco que pode
armazenar dados, como documentos e obras de arte, ‘para
sempre’. O dispositivo, que consiste em um pequeno vidro
nanoestruturado e tem gravação a laser, é capaz de guardar
360 TB por até 13,8 bilhões de anos.
OPTOELECTRONICS RESEARCH
CENTRE (ORC)/UNIVERSITY OF
SOUTHAMPTON, INGLATERRA
ƒpetabyte (PB) equivale a 2
10
ou 1.024 terabytes; 1 PB = 2
10
TB = 2
50
B;
ƒexabyte (EB) equivale a 2
10
ou 1.024 petabytes; 1 EB = 2
10
PB = 2
60
B;
ƒzettabyte (ZB) equivale a 2
10
ou 1.024 exabytes; 1 ZB = 2
10
EB = 2
70
B;
ƒyottabyte (YB) equivale a 2
10
ou 1.024 zettabytes; 1 YB = 2
10
ZB = 2
80
B.
Disco digital criado na Universidade de
Southampton, no Reino Unido. (Foto de 2016.)

103. 45BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Apresentamos a seguir a
resolução do exercício 5,
em que vamos utilizar as se-
guintes relações:
• 1 AL q 63.241 UA
• 1 ano-luz q 9,5 8 10
15
m
• Como 1 m 5 10
23
km, te-
mos que:
• 1 ano-luz q
q 9,5 8 10
15
8 10
23
km
• 1 ano-luz q 9,5 8 10
12
km
Desse modo:
Via Láctea
• 100 mil anos-luz 5
5 100 8 10
3
anos-luz 5
5 10
5
anos-luz
10
5
AL q 10
5
8 9,5 8 10
12
km
10
5
AL q 9,5 8 10
17
km
• 10
5
AL q 10
5
8 6,32 8 10
4
UA
10
5
AL q 6,32 8 10
9
UA
Andrômeda
• 22 8 10
4

AL q 22 8 10
4
8 9,5 8 10
12
km
22 8 10
4
AL q 209 8 10
16
km
22 8 10
4
AL q 2,09 8 10
18
km
• 22 8 10
4

AL q 22 8 10
4
8 6,3241 8 10
4
UA
22 8 10
4
AL q 1,39 8 10
10
UA
• 2,9 milhões AL 5
5 2,9 8 10
6
AL 2,9 8 10
6

AL q 2,9 8 10
6
8 9,5 8 10
12
km
2,9 8 10
6

AL q 2,755 8 10
19
km
• 2,9 8 10
6

AL q 2,9 8 10
6
8 6,3241 8 10
4
UA
2,9 8 10
6
AL q 1,83 8 10
11
UA
Grande Nuvem de Maga -
lhães
• 7 8 10
4
AL q 6,65 8 10
17
km
• 7 8 10
4
AL q 4,43 8 10
9
UA
• 2 8 10
5
AL q 1,9 8 10
18
km
• 2 8 10
5
AL q 1,26 8 10
10
UA
Pequena Nuvem de Maga -
lhães
• 1,4 8 10
4
AL q 1,33 8 10
17
km
• 1,4 8 10
4
AL q 8,85 8 10
8
UA
• 1,68 8 10
5
AL q 1,6 8 10
18
km
• 1,68 8 10
5
AL q 1,06 8 10
10
UA
Raio da órbita
r 5 0,05 nm
Órbita do
elétron
Elétron:
carga 2e
massa m
velocidade v

v
r
Próton:
carga 1e
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
45CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 Usando uma calculadora, dê a distância
aproximada, em quilômetro, entre a Terra e o
exoplaneta GJ 1214b, que está fora do Sistema
Solar.
aproximadamente
380.000.000.000.000 km
2 No átomo de hidrogênio de Bohr, o elétron
anda ao redor de um próton central, em uma
órbita circular com aproximadamente 0,05 nm
de raio. Qual é a medida desse raio em metro?
5 “A constelação em que vivemos, a Via Láctea, [...]
tem a forma de espiral achatada com cerca de
100 mil AL de diâmetro e 200 bilhões de estrelas
3 Até quantos megabytes um disco de vidro pode
guardar?
até 3,6 8 10
8
MB
4 Considere o erro cometido ao se praticar ar-
redondamentos da base 2 para a base 10 nas unidades usadas na informática.
a) Qual é o erro percentual que se comete ao
arredondar 1 KB para 1.000 B, substituindo
2
10
por 10
3
? 2,4%
b) Qual é o erro percentual que se comete, subs-
tituindo-se 2
80
por 10
24
, ao arredondar 1 ZB
para 1.000.000.000.000.000.000.000.000 B?
• Andrômeda – 220 mil AL de diâmetro e a uma
distância de 2,9 milhões AL.
• Grande Nuvem de Magalhães – 70 mil AL de
diâmetro e a uma distância de 200 mil AL.
• Pequena Nuvem de Magalhães – 14 mil AL de
diâmetro e a uma distância de 168 mil AL.”
Fonte: Almanaque Abril 2015. São Paulo:
Abril, 2015. p. 171.
Use uma calculadora e escreva em notação
científica, na unidade quilômetro e na Unidade
Astronômica, as medidas aproximadas descri-
tas no texto anterior.
5. Via Láctea: 9,5 8 10
17
km; 6,32 8 10
9
UA; Andrômeda: 2,09 8 10
18
km; 1,39 8 10
10
UA; 2,76 8 10
19
 km;
1,83 8 10
11
UA; Grande Nuvem de Magalhães: 6,65 8 10
17
km; 4,43 8 10
9
UA; 1,9 8 10
18
km; 1,26 8 10
10
 UA;
Pequena Nuvem de Magalhães: 1,33 8 10
17
km; 8,85 8 10
8
UA; 1,6 8 10
18
km; 1,06 8 10
10
UA
6 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre medidas
de comprimento (de Astronomia ou de na-
notecnologia). Depois de cada um resolver o
problema elaborado pelo outro, destroquem
para corrigi-los.
Resposta pessoal.
7 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre medidas de armazenamento no campo da informática. Depois de cada um resolver o problema elabo-
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
5 8 10
211
m
aproximadamente 20,9%
Resposta
pessoal.
2
Potência com expoente fracionário e radicais
Já estudamos potência com expoente fracionário tendo por base números racionais, em
que relacionamos potenciação e radiciação.
Consideramos a definição: se b
n
= a, então b =
a
n
, com n natural não nulo e b > 0.
[...], faz parte do Grupo Local. Três das galáxias
do Grupo Local são visíveis a olho nu:  
Em outras palavras, dizemos que
um número
b, não negativo, é igual à
raiz enésima de um número
a quando
esse número
b elevado a n, número
natural e não nulo, é igual ao número
a.
Esta é uma boa
hora para recordar a
nomenclatura.
SIDNEY MEIRELES
THATREE THITIVONGVAROON/
GETTY IMAGES
ADILSON SECCO
Representação
da Via Láctea.

104. 46
Orientações
Se julgar necessário, retome
o cálculo de raízes exatas e
as propriedades da poten-
ciação com expoente inteiro.
Para ampliar o trabalho com
os exemplos do boxe Ob-
servação, peça aos alunos
que expressem os resultados
obtidos em forma de uma
única potência, como no pri-
meiro item. Assim, espera-se
que eles utilizem a igualda-
de:
aa5
mn
n
m
(com a real
positivo, m inteiro e n natu-
ral não nulo). Desse modo, temos:
•
22
22
55
55
3 5
2
3
1
5
2
3 1
15
2
8
5 2
^ ^h h
•
2
10 10
10
55
55
1
17
2 2
822
2 7
2
2
7
22
7
4
^ ^
c
h h
m
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
46 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Como já estudamos, (7
3
)
2
= 7
6
. Então, pela definição acima, podemos dizer que 7
3
é a raiz
quadrada de 7
6
, isto é, 7
3
= 7
62
. Como 3 5
2
6
, temos 7
2
6
62
75 .
Também observamos que (7
2
)
3
= 7
6
. Portanto, podemos dizer que 7
2
é a raiz cúbica de 7
6
,
isto é, 7
2
= 7
63
. Como 2 5
3
6
, temos 775
3
6
63
.
As relações que estabelecemos nos exemplos
acima se referem apenas aos expoentes das
potências e aos índices das raízes. Ou seja, no
lugar da base 7, podemos considerar qualquer
número real positivo.
Assim, podemos ampliar esse estudo para potência com expoente fracionário tendo por
base números reais. Veja.
ƒ(s
3
)
2
5 s
6
Aplicando a definição para raiz quadrada, s
3
5 s
62
ou s5 s
2
6
62
.
ƒ555
3
4
12
``jj: D
Aplicando a definição para raiz quarta, temos 555
31 2
4
``jj ou 555
4
12
12
4
``jj .
Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número
natural não nulo, temos: aa5
n
m
mn
.
Observações
CCDando nome aos símbolos:
CCab5
n
(lemos: “raiz enésima de a é igual a b ”)
CCO sinal é chamado de radical. No entanto, usamos esse mesmo sinal para indicar a raiz
quadrada de um número a.
ab5
n
radicando
índice
raiz
Observação
CCAs propriedades válidas para as potências de expoente inteiro são válidas para as potências
de expoente fracionário que tenham base positiva. Por exemplo:
•
8ss 5s 5s
3
2
4
1
3
2
4
1
12
11
1
• 22 255
8
3 3
25
3
3 3
2
5
3
3 5
2
`` `jj j< F
• 910 10 10 1055
2
3
5
2
3
5
2
7
22
`` ``jj jj
SIDNEY MEIRELES
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

105. 47BIMESTRE 1
Exercícios propostos
No exercício 12, espera-se
que os alunos percebam que,
na prática, basta dividir o ín-
dice do radical e o expoente
do radicando por um divisor
comum. Essa é uma oportu-
nidade para anteciparem in-
formalmente a propriedade
dos radicais.
Para saber mais
A seção destaca a importân-
cia histórica da descoberta do
número irracional
2 no cál-
culo da medida da diagonal de um quadrado de lado 1.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo
comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar
a localização de alguns deles na reta numérica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
47CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8 Escreva na forma de potência com expoente
fracionário.
a) ,81
45
,81
5
4
c)
7
1
6
4
eo
7
1
6
4
eo
b) s
3
s
2
3
d) 8
9
3
`j 8
9
3
`j
9 Represente na forma de radical.
a) s
2
1
s c) 3
4
1
`j 3
4
b) ò
5
6
ò
65
d) (5)
0,5
555
12
10 Reduza a uma só potência, usando as proprie-
dades das potências.
a) 877
3
1
4
1
``jj 7
12
7
`j
b) 977
3
1
4
1
``jj 7
12
1
`j
c) 10
3
12
9
`j< F
10
2
3
`j
d) s
16
1
2
1
eo
s
4
1
11 Calcule.
a) 2
4
ak 2 c) s
105
s
2
b) ,0512
3
1
0,8 d) 27
3
2
`j 3
12 Reúna-se com um colega e façam o que se
pede.
• Representem cada radical abaixo na forma
de potência com expoente fracionário.
• Simplifiquem, se possível, a fração do ex-
poente da potência obtida.
• Representem a potência com expoente sim-
plificado na forma de radical.
• Comparem cada radical dado com o res-
pectivo radical obtido. Escrevam uma regra
prática para simplificar um radical, quando
possível.
a) s
6
12
s c)
5
13
6
9
eo e)
2
s
24
8
eo
b) ,17
714
,17 d) ò
1218
ò
23
f) s
1812
5
13
3
2
eo 2
s
3
s
3
A história dos números irracionais
O conceito de número real passou por transformações significativas até chegar à forma
como o conhecemos hoje. Em sentido mais prático, pode-se dizer que a ideia de medida
implica noção de número real. Para tentar compreender a motivação que desencadearia a
noção de número real, precisamos pensar quando surgiu a necessidade da ideia de números
irracionais
fnúmeros que não podem ser expressos na forma
q
p
, com p e q inteiros e q % 0 p.
Essa ideia teve origem, provavelmente, em contextos geométricos na Grécia antiga.
Para os pitagóricos, o conceito de número era o que para nós são os números naturais, e
as razões eram, então, somente estabelecidas entre números naturais.
Não se tem certeza a respeito da descoberta de razões irracionais, mas é certo que, para
os gregos clássicos, foi muito difícil aceitá-las.
O filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.) provou, no século IV a.C., que a diagonal do
quadrado com seu lado estabelece uma razão irracional, ou seja, um número irracional.
Essa é a prova mais antiga que se conhece para a característica irracional da diagonal
do quadrado em relação ao seu lado. Ela envolve, teoricamente, números irracionais e,
portanto, amplia a ideia original grega de número.
PARA SABER MAIS

106. 48
Para saber mais
Para enriquecer o trabalho
com a seção, apresente al-
guns números irracionais
notáveis: retome o número
π e o número de ouro e co-
mente sobre o número de
Euler (e).
Sugestões de leitura
Para complementar o trabalho, su­
gerimos: <http://www.teses.usp.
br/teses/disponiveis/48/48134/
tde­23082012­092642/pt­br.php>.
Acesso em: 15 ago. 2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem
segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar
a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
48 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Do ponto de vista geométrico, dois segmentos estabelecerão uma razão, represen tada
por um número racional, se for possível encontrar um pequeno segmento que meça am-
bos os segmentos dados, ou seja, que caiba um número inteiro de vezes em cada um dos
segmentos dados originalmente.
Por exemplo, considere os segmentos AB, CD e EF abaixo.
Note que o segmento EF cabe 8 vezes no segmento AB e 3 vezes no segmento CD, o
que implica que os segmentos AB e CD estabeleçam uma razão de 8 para 3, ou, em termos
numéricos, o número racional
3
8
.
Inicialmente, os gregos não concebiam a existência de segmentos
para os quais tal medida não existisse, o que resultaria numerica-
mente em nú meros irracionais, como no quadrado ao lado, em que
a razão entre a diagonal e seu lado é 2.
Essas razões irracionais foram descobertas provavelmente por
algum pitagórico, entre 500 a.C. e 375 a.C. Uma vez que na escola pitagórica os números naturais e suas razões formavam a essência de todas as coisas, uma descoberta dessa natureza deve ter gerado grande crise.
Tudo isso constituiu um importante passo na formação do número real.
Essas razões irracionais refletiram-se posteriormente no que viriam a ser os números
irracionais, ampliando o conceito de número na Grécia e contribuindo para a construção da
ideia de número real, que foi sendo gra dual mente esclarecida.
3
Propriedades dos radicais
1
a
propriedade
Considerando o radical 5
33
, temos: 55 5555 5
33
3
3
1
.
Da mesma maneira: 555
44
e ()52
33
5 25, mas ()52
44
5 5, pois:
(25)
4
5 (25) 8 (25) 8 (25) 8 (25) 5 625 e
625
4
5 5.
Ao calcular ()52
33
, extraímos uma raiz de índice ímpar de um número negativo, ou seja,
1252
3
. O resultado é um número negativo, 25, pois (25)
3
5 2125.
A
B
u u u u u u u u
C
u u u
D E
u
F
1
1
2

107. 49BIMESTRE 1
Orientações
Para trabalhar com as pro-
priedades de radicais, or-
ganize a turma em grupos.
Cada grupo estudará uma
das propriedades (haverá
grupos trabalhando com
a mesma propriedade).
Depois, escolha um repre-
sentante para explicar a
propriedade aos demais,
criando novos exemplos. Ao
final, faça um fechamento
coletivo na lousa.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
49CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
2
a
propriedade
Observe o cálculo abaixo.
Entretanto, ao calcular ()52
44
, extraímos a raiz de índice par de um número positivo, isto
é, 625
4
, que é 5, pois 5
4
5 625.
De modo geral:
ƒse n é um número natural ímpar, então a
nn
5 a, sendo a um número real;
ƒse n é um número natural par não nulo, então a
nn
5 OaO, sendo a um número real.
Veja alguns exemplos.
a) 2
33
5 2
b) ()22
33
5 22
c) 5
2
5 o5o 5 5
d) ()52
2
5 o25o 5 5
Observação
CCQuando o radicando for uma potência de expoente par que tenha na base uma expressão
literal que represente um número real, vamos admitir que o radicando assume apenas valores
reais iguais a zero ou maiores que zero.
Assim:
•
xx5
44
Admitindo que x > 0.
• ()x352
2
5 3x 2 5 Admitindo que 3x 2 5 > 0, ou seja, x >
3
5
.
Assim: 33 355
99812 84124 23
Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior
que zero, o valor do radical não se altera, ou seja:
aa5
9
9
mn mp
np
sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não nulo
e p divisor de m e n.
Essa propriedade nos permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-los em radicais
mais simples e equivalentes aos radicais dados.
3
812
5 3
12
8
5 3
3
2
5 3
23
Escrevemos a expressão
na forma de raiz.
Escrevemos a expressão
na forma de potência.
Simplificamos a
fração do expoente.

108. 50
Orientações
É importante os alunos per-
ceberem que as proprieda-
des desenvolvidas têm por
base a definição de expoen-
te fracionário e as proprie-
dades da potenciação.
Se julgar necessário, amplie
os exemplos na lousa, pe-
dindo a alguns alunos que
apliquem a propriedade
envolvida, em situações va-
riadas:
•
3
2
6
6
^h 5 |23| 5 3
• 3
77
5 3
• 3
66
5 |3|
•
32
7
7
^h 5 23
• 55 555
14 221422 7||
Do mesmo modo, podemos
escrever:
55 555
22 214887 17
Assim, os alunos se prepa-
ram para a redução dos ra-
dicais ao mesmo índice.
•
35
35
35
85 85
58 5
42 42
22 2
^h
5 3
2
8 5 5 45
•
512045
12 50 45
3422559
32 5325
58 5
58 85
58 88885
58 85
5 555
33 3
3
3
33 33
33 33 33
5 3 8 2 8 5 5 30
Desse modo, é possível eles
perceberem que podem
aplicar mais de uma proprie-
dade, o que os auxiliará na
obtenção do resultado das
operações envolvidas.
Outra atividade que pode
ser desenvolvida com os alu-
nos é a apresentação de ex-
pressões para escreverem na
forma de um único radical,
aplicando as propriedades
estudadas, como nos exem-
plos:
•
21 03858
33 3

60210358 85
33
•
10
23
10
238
5
8
5
3
33
3

10
6
5
3
55
33
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
50 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Como exemplo, vamos simplificar os radicais a seguir.
c) 125
6
5 5
36
5 5
99 3363
5 5
Decompomos 125
em fatores primos.
Dividimos o índice e
o expoente por 3.
3
a
propriedade
Observe os cálculos abaixo.
ƒ 88 88()35 35 35 3555 5
2
1
2
1
2
1
ƒ 88 88,, (,),
3
7
65
3
7
65
3
7
65
3
7
6555 5
4
4
1
4
1
4
1
4 4
ee oo
Veja os exemplos.
a) 88,,5835 835
33 3
b) 887
4
5
7
4
5
5
5 5 5
Veja os exemplos.
a)
7
2
7
2
5 b)
5
3
5
3
5
3
3
3
4
a
propriedade
Observe o cálculo abaixo.
3
2
3
2 2
3
2
55 5
2
1
2
1
2
1
3
eo
a)
2
1
2
1
2
1
55
9
912
99 3
123
3
4
ee eoo o Dividimos o índice e o expoente por 3, que é divisor de 12 e de 9.
b) ,, ,37 37 3755
991520 155205 34 Dividimos o índice e o expoente por 5, que é divisor de 20 e de 15.
Em geral, sendo a e b números reais positivos e n um número natural não nulo, temos:
8ab
n
5 8ab
n n
radical de
um produto
produto dos
radicais
Em geral, sendo a e b números reais positivos, com b i 0, e n um número natural
não nulo, temos:
b
a
n
5
b
a
n
n
radical de um
quociente
quociente
dos radicais

109. 51BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, os
alunos têm a oportunidade
de aplicar as propriedades
de radicais e verificar sua
utilização.
Apresentamos a seguir a re-
solução dos itens do exercí-
cio 13.
a)
10 10 10 1055 5
33 1
3
3
b) ,17 1755
44
4
4

5 1,7
1
5 1,7
c)
6
5
6
5
55
2
2
2
``jj
6
5
6
5
55
1
`j
d) 22 2255 5
144
4
4
Aproveite o exercício 15
para verificar se os alunos
ainda têm alguma dificulda-
de com relação à fatoração.
Segue uma possível resolu-
ção para esse exercício:
a)
32
10
5 2
510
5 2
b) 27
6
5 3
36
5 3
c) A maneira mais direta
seria perceber que 0,36 5
5 (0,6)
2
. No entanto, há ou-
tros caminhos, como:
,036
4
5 36 108
24 2
5
5 6108
224 2
5
5 61 08
24 224
5
5
6
8 10
21
5 6108
12
5
5 ,06
d) Uma maneira possível
seria escrever
0,216 5 216 8 10
23
, fatorar
o número 216 e proce-
der como no item c. Mas
também podemos escrever
0,216 na forma de fração:
,0 216
6
5
.1 000
216
6
5
5
8 125
827
8
8
6
5
125
27
6
5
5
5
3
3
3
6
5
5
3
3
6
cm 5
5
5
3
5 ,06
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
51CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Com base nas propriedades que acabamos de estudar, é possível simplificar certos radicais
tirando fatores do radicando.
Como exemplo, vamos simplificar os radicais a seguir.
a) 88850 25 25 25 5255 55
22
b) 88 88 8824 23 22 32 23 26 2655 55 5
32 2
c)
88
64
625
64
625
2
55
2
55
4
55
55 55
3
3
3
63
33
2
33 33
Da mesma forma que podemos tirar fatores do radicando, podemos fazer o inverso, ou seja,
introduzir fatores externos no radicando. Veja alguns exemplos.
a) 825 255
2
b) 835 355
3 33
c) 82182 185
4 44
d) 877 77 755
23 323 53
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
13
Calcule:
a) 10
3
3
10 c)
6
5
2
eo
6
5
b) ,17
44
1,7 d) 2
44
2
14 Simplifique os radicais.
a) 5
69
5
23
c) 11
36
11
b) 3
2015
3
43
d) 7
218
7
9
15 Decomponha o radicando em fatores primos
e simplifique os radicais.
a) 32
10
2
b) 27
6
3
c) ,036
4
,06
d) ,0216
6
,06
16 Simplifique os radicais, sa bendo que a > 0,
x > 0, y > 0 e m > 0.
a) a
3
6
a c) y
69
y
23
b) x
1520
x
34
d) m
1012
m
56
17 Transforme em um produto de radicais.
a) 845 845
b) 823
3
823
33
c) 8710
4
8710
44
20 Introduza nos radicais os fatores externos em
cada caso.
a) 25 825
2
d)
3
2
5
8
3
25
2
2
b) 32
3
832
33
e) ,022
3
(,)802 2
33
c) 8823 102
3
f) 23
4
823
44
()8823 102
333
19 Simplifique os radicais.
a) 8 22 d) 8823 5
75 44
b) 8275
3
35
3
e) 162
3
36
3
c) 2
75
24
5
f) 834
31 26
16 27
6
30 24
4
18 Represente como um quociente de radicais.
a)
5
2

5
2
b)
5
18
3

5
18
3
3
c)
9
2
5
9
2
5
5

110. 52
Adição algébrica com
radicais
Comente com os alunos que
radicais que têm mesmo ín-
dice e mesmo radicando são
conhecidos como radicais
semelhantes. Assim, eles po-
dem perceber que a adição
algébrica com radicais só é
possível entre radicais seme-
lhantes (fazendo um parale-
lo com adição algébrica de
termos semelhantes em ex-
pressões algébricas). Por isso,
é necessário simplificar cada
radical envolvido na adição
algébrica para obter termos
com o mesmo radical.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
52 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Isso me lembra
da propriedade
distributiva.
4
Adição algébrica com radicais
Acompanhe duas formas de efetuar a adição algébrica com radicais.
1
a
forma
Substituímos as raízes por seus valores e fazemos os cálculos indicados. Por exemplo:
a) 49 161 5 7 1 4 5 11
b) 81 62
3 4
5 2 2 2 5 0
c) ,,501252 16921
3
5 25 8 0,5 1 2 8 1,3 5 22,5 1 2,6 5 0,1
2
a
forma
Se houver vários radicais iguais, podemos colocá-los em evidência. Por exemplo:
fator comum
Colocando em evidência
o fator comum.
a) ()
1024 22 1041 213212 51 25
3333 3
b) () ()35 27 55 74 73 55 21 47 25 7712 11 52 11 15 21
A expressão 25 7721 não pode mais ser reduzida, porque seus termos não têm
radicais iguais. Mas é possível encontrar um valor aproximado para ela.
Como 5 7 2,2 e 7 7 2,6, temos:
25 7721 7 22 8 2,2 1 7 8 2,6
25 7721 7 13,8
c) 8818 50 23 25 32 52 8215 15 15
22
d) 88 882275 122752 33 52 32 3512 51 25
22 2
88 82335 23 2536 3103 1036 351 25 12 5
SIDNEY MEIRELES
21 Calcule:
a) 25 27 8111
3 4
11
b) 64 64 6421 1
36
6
c) ,,244132562 20,6
d) ,,11443 03435
3
8,1
22 Efetue:
a) 35 56 512 252
b) 42 63 22 9312 1 22 15 31
c) 23 23 33 3321 1
55
53 31
5
d) 32 75 211 2 10422

111. 53BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Apresentamos a seguir uma
possível resolução para o
exercício 25:
2
125
14
5
3
25
11
1
3 5
5
125
14
25
4
1
3 5
5
5
4
5
2
12
1
1
3 5
5
5
4
5
2
12
1
1
3
5
5
125
64
3
5
5
4
3
3
`j 5
5
4
Multiplicação e
divisão com radicais
Na multiplicação de dois ou
mais radicais, é necessário
apenas que os radicais te-
nham mesmo índice. Desse
modo, espera-se que os alu-
nos percebam que devem
utilizar as propriedades de
radicais para obter radicais
de mesmo índice antes de
efetuar essas operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
53CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
25 (Puccamp-SP) Efetuando-se
125
14
5
3
25
11
12
3 , obtém-se: alternativa d
a)
5
1421
3
. d)
5
4
.
b)
5
114
3
. e)
5
3
.
c)
5
6
.
a)
24 Determine o perímetro das figuras, cujas
medidas dos lados são dadas em uma mesma
unidade de medida de comprimento.
23 Reduza os radicais a uma expressão na forma
ab, com a e b inteiros.
a) 20 451 55
b) 46372 117
c) 50 98 7212 62
d) 12 75 10811 133
23
33
188
32
P10 35
P925
5
Multiplicação e divisão com radicais
Multiplicação com radicais
Para multiplicar radicais de mesmo índice, aplicamos a 3
a
propriedade dos radicais:
88ab ab5
n n n
sendo n um número natural não nulo e a e b números reais positivos.
Portanto, para multiplicar radicais de mesmo índice, mantemos o índice e multiplicamos os
radicandos, simplificando, sempre que possível, o resultado obtido.
Veja alguns exemplos.
a) 8828 28 16 2255 55
44 44 44
b) 88 8()53 32 53 32 15 625 25 2
b)
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
c) 822 24 22 22 215 15 1`j
d) 8857 27 52 57 27 71 05 72 77 33 712 52 12 52 12 52
2`` jj

112. 54
Divisão com radicais
Assim como na multiplica-
ção, na divisão de dois ou
mais radicais é necessário
que os radicais tenham índi-
ces iguais. Ressalte aos alu-
nos também que as expres-
sões numéricas envolvendo
as operações com radicais
estudadas seguem a mesma
ordem utilizada para ex-
pressões numéricas com nú-
meros racionais.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
54 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da multiplicação reduzimos esses radi-
cais a um mes mo índice. Veja, por exemplo, como fazemos a redução dos radicais 2
23
e 3
4

a um mesmo índice.
Então, multiplicando esses dois radicais, obtemos:
888 .23 23 23 691255 5
23 4 812 312 8312 12
Observe que, no desenvolvimento acima, os números considerados são positivos. Mas
também poderíamos ter números negativos. Por exemplo:
a) 88,( ),50 25 02 1125 25 252
3 3 3 3
b) 88 () ()27 82 78 216622 52 25 5
33 3 3
Divisão com radicais
Para dividir radicais de mesmo índice, aplicamos a 4
a
propriedade dos radicais:
Escrevemos os radicais
na forma de potência.
Determinamos, no expoente, frações
equivalentes de mesmo denominador.
Escrevemos as potências
na forma de radical.
2
23
2
3
2
2
12
8
2
812
5 5 5
3
4
3
4
1
3
12
3
3
312
5 5 5
b
a
b
a
5
n
n
n
sendo n um número natural não nulo e a e b números reais positivos, com b % 0.
Logo, para dividir radicais de mesmo índice, conservamos o índice e dividimos os radicandos,
simplificando o resultado obtido, sempre que possível.
Veja alguns exemplos.
a) 9920 10 20 10 255
33 33
b) 992872 87 4255 5
c) 99 9()1530 53 305153 6555
d) 99 91262 35 2126 52 23 52
5
12
3
5
2
2
3
25 25 2`` jj

113. 55BIMESTRE 1
Exercícios propostos
No exercício 33, verifique
se alguma dupla associa os
produtos indicados com o
produto notável da soma
pela diferença de dois ter-
mos e, se utilizarem, como
procedem ao efetuar a po-
tenciação com radicais que
surgirá nesse caso. Socialize
os diferentes procedimen-
tos, validando-os com os
alunos.
Se julgar conveniente, apre-
sente a resolução desse
exercício aplicando o produ-
to notável e incentivando os
alunos a estenderem a de-
finição de quadrado de um
número a para os radicais:
a
2
5 a 8 a. Como exemplo,
apresentamos a resolução
para o primeiro produto
proposto:
(
201 1 199) 8
8 (201 2 199) 5
5 (201)
2
2 (199)
2
5
5 201 8 201 2 199 8
8 199 5
5
201201
8 219919985
5
201
2
^h 2 199
2
^h 5
5 201 2 199 5 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
55CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da divisão reduzimos esses radicais a
um mesmo índice. Por exemplo:
a) 99
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
55
2
3
3
66 6
eeoo
b) 99 942 42 22 255 5
34 412 312 8312 512
26 Efetue as multiplicações.
a) 856
33
30
3
b) 828 4
c) 8826 3 6
d) 8510 52
e) 846
33
23
3
f) 825
3
200
6
29 Efetue as divisões.
a) 9123 2 c) 9126322
33

b) 9502 5 d) 963
3

3
4
6
432
3
30 Calcule o valor das expressões.
a) 918 98 2002 2811 1`` jj 5
b) 9150 24 28 3222`` jj 33
c) 910 27 1031031` j 4
d) 920 10 10 18 221` j 105151
31 (Uece) Se p 5 3 1 2 e q 5 2 2 2, então
p 8 q 2 p é igual a:
alternativa a
a) 1 2
22.
b) 1 2 2.
c) 1 1 2.
d) 1 1 22.
32 (Fuvest-SP) Se a 5 2 e b 5 2
4
, então o valor
de a 8 b é:
alternativa a
a) 8
4
.
b) 4
4
.
c) 8.
d) 4.
e) 4
8
.
33 Junte-se a um colega e façam o que se pede.
a) Calculem:
• 8201 199 201 19912`` jj 2
• ,, ,,83142 94 3142 9412`` jj 2
• 889 82 89 8212`` jj 7
b) Cada um de vocês pensa em dois núme-
ros positivos e substitui as figuras : e M
na  expressão 812::MM`` jj
para que o outro faça o cálculo. Discutam
os resultados obtidos e elaborem uma regra
para o resultado desse tipo de expressão.
Espera-se que os alunos concluam que o resultado
sempre será a diferença entre os radicandos.
27 Aplicando a propriedade distributiva, calcule:
a) 851 51
` j 551
b) 832 22 321`` jj 72
c) 832 231`` jj 64 31
28 Calcule a área e o perímetro das figuras, cujas
medidas são dadas em uma mesma unidade
de medida de comprimento.
a)
b)
3
1 1 2
1010
2 2
2 2
4 2
P 5 2 1 22 231
A 5 361
P 5 62 2101
A 5 12

114. 56
Potenciação e
radiciação com
radicais
Ressalte aos alunos que efe-
tuar uma potenciação de
um radical equivale a elevar
o radicando à potência in-
dicada. Assim, no caso de o
radicando ser formado por
uma expressão, toda essa
expressão deve ser elevada
à potência. Por exemplo:
•
125
2
^h 5 ()125
2
•
125
64
3
21
cm 5
125
64
1
3
2
cm
• abab 22 252
4 8
4
8
^ ^h h
Para saber mais
Nesta seção, a intenção é
que os alunos dessa fai-
xa etária não utilizem um
material concreto, no caso
cubos, para encontrar as
respostas, pois devem usar
conceitos numéricos e geo-
métricos.
Por outro lado, podem for-
mar duplas para que regis-
trem coletivamente as reso-
luções e depois troquem e
comparem essas resoluções.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
56 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
DANILLO SOUZA
34 Calcule:
a) 15
2
`j 15 d) 33
4
4
`j 243
b) 3
3
3
`j 3 e) 10
3
`j 1010
c) 37
2
`j 63 f) 23
3
4
`j 48 3
3
35 Efetue:
a) 731
2
` j b) 372
2
` j
36 Qual é o valor da expressão A 5 x
4
1 x
2
1 2,
para x 5 32? 14
102211 16672
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Bruno tem 30 cubos cuja aresta mede 27 cm.
a) Quantos desses cubos ele deve usar para formar
o maior cubo possível?
27 cubos
b) Calcule o volume do cubo formado.
.1 5127cm
3
6
Potenciação e radiciação com radicais
Potenciação
Observe o cálculo abaixo.
88 88883 3333 3333 355 5
5
4
5555 5 45
`j
Então: 335
5
4
45
`j
Para potenciação com radicais, basta elevar o radicando à potência indicada. Veja como
podemos fazer para simplificar algumas expressões.
a) 822 22 2255 5
3
32`j
b) 8()93 33 33 3355 55 5
3
2
23
2
223 43 33 3
` `j j
c) 88 8845 45 6455 6455 320555 55
3
33 2`j
d) 8823 22 23 32 26 35 2615 11 51 15 1
22 2
`` `jj j
Radiciação com radicais
Observe como podemos proceder para simplificar as expressões a seguir e reduzi-las a um
radical, utilizando os conceitos estudados.
a) 6
235
5 6
3
2
5
5 6
5
3
2
5 6
15
2
5 6
215
5 3 3

115. 57BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Ao tratar de radiciação com
radicais, ressalte aos alunos
os casos nos quais é neces-
sária a inclusão de um fator
dentro de um radical para
que se obtenha radical de
radical, como é o caso dos
itens f e h do exercício 37:
•
22
43
5 228
43
Nesse caso, primeiro deve-
mos introduzir o fator 2 na
raiz quadrada, para depois
efetuar a radiciação de radi-
cais. Relembre que o fator 2
é colocado dentro do radical
como 2
2
, já que 2 5
2
2
e
2
4
8 2
2
5 228
42
.
Assim:
22
43
5 822
423
5
5 228
426
5 2
66
5 2
53
4
5 538
24
5
5 598
8
5 45
8
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
57CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Para extrair a raiz de um radical, devemos multiplicar os índices desses radicais e conservar
o radicando, simplificando o radical obtido sempre que possível (considerando o radicando um
número real positivo e os índices números naturais não nulos).
b) 7
54
3
5 7
4
5
3
5 77 7755 5
2
4
5
3
8
5
3
3
8
5
24
5
5 7
524
3 3 2 3 4
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
38 Verifique qual das sentenças a se guir é falsa.
a) 11 115
3 6
verdadeira
b) 225
32 5
falsa
c) .1024 25
54
verdadeira
d) 81 35
3
23
verdadeira
37 Reduza estas expressões a um único radical e
simplifique-as se possível.
a) 10 10
4
e) 5
3
6
5
4
b) 3
3
3
6
f) 22
4
3
2
c) 2 2
8
g) 15
4
15
d) 3
33
3
18
h) 35
4
45
8
Veja outros exemplos.
a) 77 755
832 36
b) 55 5555 5
882
3
223 2 212 6
c) 8825 25 85 4055 5
8834
33
4
42 3 24
d) 8825 25 25 25 6453 2055 55 5
8 834 234 64
664 46 24
e) 8822 22 22 22 22 22 2255 55 55
823 4
34
26 4
34
21 0324
21 064
12 1064
2224 1112
Racionalização de denominadores
Considere o quociente de 2 por 3. Ele pode ser indicado por
3
2
.
Um quociente não se altera quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo
número não nulo. Veja, por exemplo, o que acontece quando multiplicamos os dois termos da
expressão
3
2
por 3:
8
8
3
2
3
23
3
23
3
23
3
55 5
2
`j
Com essa multiplicação, obtemos uma expressão com denominador racional. Esse proce-
dimento é chamado de racionalização de denominadores.
É mais fácil efetuar cálculos com radicais quando eles não estão no denominador. Por isso,
quando necessário, racionalizamos o denominador de uma expressão fracionária.

116. 58
Orientações
Sugerimos que seja reto-
mado o produto notável da
soma pela diferença de dois
termos, caso ele não tenha
aparecido anteriormente.
Exercícios propostos
Como o exercício 42 exige
que os alunos busquem um
recurso mais conveniente
para fazer os cálculos, é im-
portante destacar que ter
um número irracional apro-
ximado por racional no de-
nominador pode tornar a
divisão mais complicada. Po-
rém, se esse número estiver
no numerador, os cálculos
poderão ser mais simples.
Esse é, então, um exercício
em que os alunos podem co-
locar em prática a raciona-
lização de denominadores
para facilitar os cálculos.
Para complementar o exer-
cício 44, peça aos alunos que
escrevam entre que núme-
ros naturais encontra-se o
valor de x.
Para fazer a demonstração
no exercício 45, basta rea-
lizar os cálculos a seguir,
lembrando que o inver -
so de
2 2 1 é dado por
21
1
2
.
21
1
2
5
5
21
1
2
8
21
21
1
1
5
5
121 21
12 1
28
81
^
^
^h
h
h
5
5
21
21
2
1
2
2
^h
5
21
21
2
1
5
5
2
1
11
5 2 1 1
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
58 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
b) Vamos racionalizar o denominador da expressão
7
2
25
.
Para multiplicar os dois termos da expressão, convém escolher um número que multipli-
cado por 7
25
resulte em 7
55
, isto é, em 7. Esse número é o quociente 977 75
55 25 35
.
Portanto, multiplicando os dois termos da expressão por 7
3
5
, obtemos:

8
8
8
88
7
2
7
27
7
2
7
27
7
27
7
2343
77
7
55 55 5
25 25
35
235
35
55
35 35 5
35c) Vamos racionalizar o denominador da expressão
7
1
32
.
Neste caso, convém aplicar o produto notável: (a 1 b) 8 (a 2 b) 5 a
2
2 b
2
Multiplicando os dois termos da expressão por
731 , obtemos:

8
8
7
1
7
17
7
7
73
7
4
7
3 37 3
3
3
33 3
55 5
2
5
2 21
1
2
11 1
2 2
`
`
` ` `j
j
jj j
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
40 Para racionalizar o denominador da expressão
5
10
3
, devemos multiplicar seus dois termos por
qual radical?
resposta possível: 5
23
41 Racionalize o denominador das expressões a
seguir.
a)
3
6
23 d)
23
3

2
3
b)
2
1

2
2
e)
5
5
3
5
23
c)
35
2

15
25
f)
2
4
58
22
38
39 Qual é o número pelo qual devemos multiplicar
os dois termos da expressão
43
15
para obter
uma expressão cujo denominador seja um
número racional?
resposta possível: 3
NELSON MATSUDA
42 Sabendo que 5 com três casas decimais é
2,236, calcule o quociente
5
3
:
a) substituindo 5 por 2,236; 1,341
b) racionalizando o denominador e depois
substituindo 5 por 2,236. 1,341
43 Sabendo que 10 com três casas decimais é
3,162, calcule da maneira mais conveniente o
quociente
10
2
32
.
respostas possíveis:
12,324 e 12,345
44 Sabendo que a área da região retangular abaixo
é 10 cm
2
, calcule o valor de x. x 5 2
cm
x
52 cm
45 Demonstre que o inverso de 2 2 1 é 2 1 1.
demonstração
Veja outros exemplos.
a) Vamos racionalizar o denominador da expressão
32
2
.
Multiplicando os dois termos dessa expressão por 2, obtemos:

8
8
8
832
2
32
22
32
22
32
22
3
2
2
55 55
2
`j

117. 59BIMESTRE 1
Trabalhando a
informação
Nesta seção, os alunos de-
vem interpretar o gráfico de
linha apresentado, construir
outros e fazer comparações
dos resultados obtidos.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas),
com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
59
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
59CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Variação do PIB brasileiro (em %)
Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
PIB 4,4 1,4 3,1 1,1 5,8 3,2 4,0 6,1 5,1
Variação do PIB brasileiro (em %)
Ano 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
PIB 20,1 7,5 4,0 1,9 3,0 0,5 23,5 23,5
Construindo e interpretando gráfico de linha
Observe a tabela abaixo, que mostra a variação do PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro, em
porcentagem, de 2000 a 2016.
O gráfico que melhor comunica a variação de valores no decorrer do tempo é o gráfico de linha.
Já estudamos a construção de um gráfico de linha com base em um gráfico de colunas. Lá, cons-
truímos um gráfico de colunas usando os valores da tabela. Nesse gráfico, antes de apagar as
colunas, marcamos o ponto médio do lado superior do retângulo de cada coluna e traçamos uma
linha de segmentos consecutivos cujas extremidades são esses pontos assinalados.
Porém, podemos construir o gráfico de linha sem passar pelo de colunas; basta traçar os eixos
vertical e horizontal com as respectivas escalas e localizar os pontos dados pelas coordenadas
(ano, PIB), por exemplo (2000; 4,4), (2001; 1,4) etc. É como se reduzíssemos as colunas a linhas
verticais tracejadas e destacássemos o “ponto de cima”.
Nesse gráfico de linha, os únicos pontos confiáveis são os das extremidades dos segmentos;
os outros só compõem o segmento que indica se, naquele intervalo de tempo, há acréscimo ou
decréscimo do PIB. Observe.
Dados obtidos em: IBGE. Disponível em: <https://ww2.ibge.gov.br/home/
estatistica/indicadores/pib/defaultcnt.shtm>. Acesso em: 10 maio 2018.
ADILSON SECCO
Dados obtidos em: IBGE. Disponível em: <https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/
pib/defaultcnt.shtm>. Acesso em: 10 maio 2018.
2001 2005 2007 2009 2011 2013 2014 2015 20162000 2002 20042003 2006 2008 2010 2012
4,4
1,4
3,1
1,1
5,8
5,1
Variação do PIB (%)
Ano
2,0
–2,0
–4,0
–6,0
0
4,0
6,0
8,0
10,0
–0,1
3,2
4,0
6,1
7,5
4,0
1,9
3,0
0,5
–3,5 –3,5
Variação do PIB brasileiro

118. 60
Agora quem trabalha
é você!
Na questão 1, uma dife-
rença observada pode ser
o fato de que o gráfico re-
construído contenha menos
detalhes relativos a essa
variação, por ter sido feito
com base apenas nos anos
pares. Do ano 2002 para o
ano 2004, por exemplo, ve-
rificamos um crescimento na
variação do PIB brasileiro, o
que pode levar à conclusão
de que nesse período a va-
riação do PIB só cresceu. No
entanto, no gráfico original
(que já estava construído),
observamos que de 2002
para 2003 a variação do PIB
diminuiu, o crescimento se
dá de 2003 para 2004, ou
seja, no período de 2002
a 2004 não houve apenas
crescimento.
Exercícios
complementares
Este bloco de exercícios é
mais uma oportunidade
de os alunos revisitarem os
principais conceitos tratados
no capítulo e mobilizarem
os conhecimentos construí-
dos, identificando possíveis
dúvidas.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
60 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS60
1 Com base no gráfico anterior, responda.
a) Em qual ano o índice percentual foi maior? Em que ano ele foi menor?
2010; 2015 e 2016
b) Há algum ano em que o PIB não cresceu nem diminuiu? Qual? não
c) Usando as mesmas unidades, reconstrua o gráfico em papel vegetal e considere apenas os pontos
de ano par. Depois, sobreponha-o ao gráfico anterior e escreva que diferenças você observa entre
os dois gráficos.
construção de gráfico
2 Considere a tabela a seguir.
Dados obtidos em: IBGE. Contas Nacionais Trimestrais. Rio de Janeiro: IBGE, out./dez. 2016. Disponível em:
<https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/2121/cnt_2016_4tri.pdf>. Acesso em: 03 jul. 2018.
a) Em qual ano o índice percentual foi maior? Em qual ano esse índice foi menor? 2010; 2015
b) Há algum ano em que o PIB não cresceu nem diminuiu? Qual? sim; 2001
c) Construa o gráfico de linha do PIB per capita brasileiro. construção de gráfico
Variação do PIB brasileiro per capita (em %)
Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
PIB 2,9 0,0 1,7 20,2 4,4 2,0 2,8 4,9 4,0
Variação do PIB brasileiro per capita (em %)
Ano 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
PIB 21,2 6,5 3,0 1,0 2,1 20,4 24,6 24,4
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1
Em 1995, Dave Wineland e Chris Monroe constroem o primeiro transmissor do tamanho de um áto-
mo, ou seja, 1 milhão de vezes menor do que 1 milímetro. Use o prefixo do SI mais adequado para expressar essa medida em metro.
1 nanômetro
2 “Quando o Sol se for – Na fase gigante vermelha, daqui a 5 bilhões de anos, o diâmetro do Sol engolirá a
atual órbita da Terra. Já quando virar uma anã branca, o Sol deve ficar com um diâmetro parecido com o do nosso planeta – cerca de 1 centésimo do diâmetro que a estrela tem hoje.”
Fonte: Almanaque Abril 2015. São Paulo: Abril, 2015. p. 173.
Pesquise as medidas dos diâmetros da Terra e do Sol e verifique se a informação do texto acima tem coerência.
Diâmetros: Terra = 1,28 8 10
4
km; Sol = 1,4 8 10
6
km. 1 centésimo de 1,4 8 10
6
km = 1,4 8 10
4
km,
que é próximo de 1,28 8 10
4
km. Podemos considerar que a informação tem coerência.
3 Ontem, o celular de Andréa tinha 1,2 GB disponível para armazenamento quando Caio lhe enviou
vários vídeos. Eles tinham 21,5 MB, 33.450 KB, 318 MB, 104 MB, 43.500 KB, 99,5 MB e 110,55 MB.
a) O celular de Andréa tinha capacidade para receber todos os vídeos enviados por Caio?
sim
b) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, quantos MB o celular dela ainda poderia receber?
469,5 MB
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!

119. 61BIMESTRE 1
Exercícios
complementares
A seguir, apresentamos uma
possível construção para o
exercício 5:
1
0 2
5√
6√
No exercício 6, uma possível
representação é:
3
20 13√
No exercício 7, uma repre-
sentação pode ser:
0 4
1
17√
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Distância média ao Sol dos planetas do Sistema Solar
Planeta
Distância média
ao Sol em UA
Distância média
ao Sol em km
Diâmetro em UA Diâmetro em km
Mercúrio 0,4 4,8 8 10
3
Vênus 1,08 8 10
8
1,2 8 10
4
Terra 1 1,5 8 10
8
1,35 810
29
Marte 1,5 7,16 8 10
210
Júpiter 7,8 8 10
8
1,43 8 10
5
Saturno 9,5 1,2 8 10
5
Urano 19,1 5,1 8 10
4
Netuno 4,5 8 10
9
5,16 8 10
29
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
61CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
4 No caderno, complete a tabela com as distâncias médias dos planetas do Sistema Solar ao Sol e com
o diâmetro.
5,8 8 10
7
5,05 8 10
210
0,7 1,26 8 10
29
1,28 8 10
4
2,3 8 10
8
6,8 8 10
3
5,2 1,5 8 10
28
1,43 8 10
9
1,26 8 10
28
2,87 8 10
9
5,37 8 10
29
30 4,9 8 10
4
7 Com régua e compasso, represente o número 17
em uma reta numérica. construção de figura
(2 1 ) cm2
(1 1 ) cm2
2 cm
9 O passo de um robô mede exatamente 503 cm. Quantos passos ele deverá dar para percorrer
18,53 m? 37 passos
10 Racionalize o denominador de cada uma das expressões abaixo.
a)
2
8
42 b)
3
10
12
53 11`j c)
5
53 51
531
11 Por volta dos anos 1800, a expressão
8
100
26 146
foi usada como um valor aproximado do número π.
Usando uma calculadora simples, verifique até que casa decimal a expressão dada coincide com o
valor de π conhecido atualmente: π 5 3,1415927…
Até a 5ª casa decimal.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
NELSON MATSUDA
8 Considere o paralelepípedo a seguir.
6 Com régua e compasso, represente o número 13 na reta numérica. construção de figura
5 Use uma régua para traçar uma reta numérica e, com o auxílio de um compasso, represente nela os
números 5 e 6. construção de figura
Dados obtidos em: Planetário UFSC. Disponível em: <http://planetario.ufsc.br/o-sistema-solar>. Acesso em: 10 maio 2018.
Determine:
a) a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo;
12 12
2cm1`j
b) a soma das áreas das faces laterais; 62 8cm1
2`j
c) o volume desse paralelepípedo. 42 6cm1
3`j

120. 62
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Resolver problemas envol-
vendo cálculos com núme-
ros reais.
• Determinar a razão en-
tre duas grandezas de es-
pécies diferentes, como:
gramatura de papel, velo-
cidade média, densidade
demográfica, entre outras.
• Resolver problemas envol-
vendo razões entre gran-
dezas de espécies diferen-
tes.
• Reconhecer relações de
proporcionalidade entre
duas grandezas.
• Resolver e elaborar proble-
mas envolvendo grandezas
direta e inversamente pro-
porcionais.
• Resolver e elaborar proble-
mas por meio da regra de
três.
• Aplicar a relação de pro-
porcionalidade na obten-
ção da medida de arcos de
circunferência.
• Comparar gráficos de bar-
ras envolvendo cálculo de
razões.
• Construir gráficos de bar-
ras e de colunas com base
em pesquisa sobre expec-
tativa de vida.
Orientações gerais
Este capítulo trata do estu-
do de razões entre grande-
zas de naturezas diferentes
e da proporcionalidade en-
tre grandezas. Trabalhamos
com estratégias de resolu-
ção de problemas envolven-
do grandezas diretamente
proporcionais, grandezas
inversamente proporcio-
nais e suas aplicações, com
procedimentos para proble-
mas que tenham a mesma
estrutura e que envolvam a
variação entre duas ou mais
grandezas dependentes.
Exploramos a construção e a
comparação de gráficos de
barras e de colunas.
Sugestões de leitura
Aproveite o tema da abertura e discuta sobre grafites e pichações. Para a ampliação desse tema, sugerimos:
<https://sao-paulo.estadao.com.br/blogs/caminhadas-urbanas/pichacao-e-grafite-e-possivel-negar-veementemente-a-depredacao-
ilegal-e-abracar-incondicionalmente-a-arte-urbana/>;
<https://vestibular.uol.com.br/resumo-das-disciplinas/atualidades/afinal-qual-e-a-diferenca-entre-grafite-e-pichacao.htm>. Acessos em:
30 ago. 2018.
Material Digital Audiovisual
• Videoaula: Ângulo inscrito
e ângulo central em uma
circunferência
Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual
62 CAPÍTULO 3
3
Capítulo
Grandezas
proporcionais
EBER EVANGELISTA
Surgido nos anos 1970
em Nova York (Estados
Unidos), o grafite é uma
forma de manifestação
artística em espaços
públicos com adeptos em
vários países. O grafite
brasileiro é considerado
um dos melhores do
mundo.
Se dois grafiteiros
levam 10 dias para
concluir um grande painel,
com a ajuda de outros dois
grafiteiros, igualmente
hábeis, em quantos dias
eles terminariam essa
arte?
Em Soweto (África do Sul), grafiteiros produzem um retrato de Winnie
Madikizela-Mandela, ex-esposa do presidente sul-africano Nelson Mandela.
Ela faleceu em 2 de abril de 2018, com 81 anos. (Foto de 2018.)
MUJAHID SAFODIEN/AFP/GETTY IMAGES

121. 63BIMESTRE 1
Razão entre
grandezas de
naturezas diferentes
Retome a noção de razão e,
em particular, razão centesi-
mal e a noção de porcenta-
gem, o que contribuirá para
o desenvolvimento deste e
de outros capítulos.
Destaque a razão entre duas
grandezas. O foco de traba-
lho com esse tema tem sido
a determinação da razão
entre grandezas de mesma
natureza, mas no cotidiano
eles devem ter contato com
razões que envolvem gran-
dezas de naturezas diferen-
tes, como é o caso da velo-
cidade.
Explore com os alunos os ti-
pos de razão apresentados.
Na gramatura de um papel,
por exemplo, pergunte: “Em
que se diferenciam duas fo-
lhas de papel sulfite do ta-
manho A4 com gramaturas
diferentes, como 75 g/m
2
e
90 g/m
2
?”. Ressalte o signifi-
cado dessas informações:
• 75 g/m
2
significa que cada
metro quadrado do papel
tem 75 g de massa;
• 90 g/m
2
significa que cada
metro quadrado do papel
tem 90 g de massa.
Espera-se que os alunos per-
cebam que, se a gramatura
do papel aumenta, ele fica
mais pesado, ou seja, a folha
fica mais grossa.
Aproveite o tema da velo-
cidade média para tratar
sobre velocidades máximas
permitidas. Proponha aos
alunos uma pesquisa sobre
a legislação de trânsito com
relação à velocidade e suas
multas.
Complemente os estudos com
a Sequência didática 3 –
Razão entre grandezas
de naturezas diferentes,
disponível no Manual
do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
63CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
1
Razão entre grandezas de naturezas diferentes
Já estudamos como determinar a razão entre duas grandezas de mesma natureza. Nessas
razões, usamos apenas os números que expressam as medidas dessas grandezas.
Agora, vamos conhecer algumas razões com grandezas de naturezas diferentes.
Gramatura de um papel
Observe, ao lado, um pacote de papel
usado para impressão.
Na parte inferior da embalagem, está
escrito 75 g/m
2
. Isso significa que cada
metro quadrado desse papel tem 75 g
de massa.
A esse tipo de razão chamamos de
gramatura.
Note que as grandezas massa e área são de naturezas diferentes. Por isso, a razão não é
expressa só por um número, mas por um número acompanhado da unidade de medida cor-
respondente.
Nesse exemplo, a razão (gramatura) é dada por 75 g/m
2
(lemos: “setenta e cinco gramas
por metro quadrado”).
Velocidade média
Um carro parte da cidade A para a cidade B. A distância entre elas é 140 km, e o carro leva
2 horas (2 h) para fazer esse trajeto.
Vamos calcular a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la.
Observe que essas grandezas são de naturezas diferentes. Então:
2
140
h
km
5 70 km/h (lemos: “setenta quilômetros por hora”)
A esse tipo de razão chamamos de velocidade média.
FÁBIO EUGÊNIO
gramatura 5
áreadopapel
massa dopapel
velocidade média 5
â
tempogasto
dist nciapercorrida

122. 64
Densidade
demográfica
Aproveite a situação pro-
posta para conversar com os
alunos sobre a concentração
populacional nas grandes
cidades do país e sobre as
consequências desse fato.
Paralelamente ao conceito
de razão (densidade demo-
gráfica), há outras questões
a serem abordadas: a polí-
tica da prioridade histórica
dos meios de transporte
privados e particulares em
detrimento do transpor-
te público; a especulação
imobiliária que causa aden-
samento populacional em
bolsões mais valorizados dos
centros urbanos; a falta de
planejamento estrutural das
cidades, entre outras.
Sugestões de
leitura
Para auxiliar a discussão, sugerimos:
<https://cidades.ibge.gov.br/>;
<https://brasilemsintese.ibge.gov.
br/territorio/densidade-demografica.
html>. Acessos em: 30 ago. 2018.
Para ampliar o assunto tratado neste
capítulo, sugerimos:
JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo
Cestari; IMENES, Luiz Márcio.
Proporções. São Paulo: Atual,
2007. (Coleção Pra que serve
Matemática?).
_________.
Estatística. São Paulo:
Atual, 2002. (Coleção Pra que serve
Matemática?)
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
64 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Densidade demográfica
O estado da Bahia tem uma área aproximada de
564.733,1 km
2
e, em 2017, sua população era
de 15.344.447 habitantes.
Dividindo o número de habitantes pela área,
vamos obter o número de habitantes por quilôme-
tro quadrado (hab./km
2
):
.,
..
564 733 1
15 344 447
km
hab.
2
, que é
cerca de 27,17 hab./km
2
(lemos: vinte e sete vírgula
dezessete  habitantes por quilômetro quadrado).
A esse tipo de razão chamamos de densidade
demográfica.
RUBENS CHAVES/PULSAR IMAGENS
Largo do Pelourinho, no centro histórico de
Salvador, Bahia. (Foto de 2017.)
Densidade absoluta de uma matéria
O que pesa mais:
1 kg de chumbo ou
1 kg de algodão?
Ah, o chumbo
pesa mais que o
algodão, não é?
O que você acha dessa conversa?
A densidade absoluta, ou massa específica, de uma matéria é dada pela razão entre a massa
e o volume que ela ocupa, pois mede a sua concentração.
densidade demográfica 5
áreadaregião
númerodehabitantes
consumo médio 5
volume de combustível consumido
distânciapercorrida
densidade 5
volume
massa
Consumo médio
Um carro percorreu 444 km e gastou 37,5 c de combustível. Dividindo o número de qui-
lômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumido, temos o número
de quilômetros que esse carro percorreu com 1 c de combustível. Observe.
,37 5
444km
c
= 11,84 km/c (lemos: onze vírgula oitenta e quatro quilômetros por litro)
A esse tipo de razão chamamos de consumo médio.
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES

123. 65BIMESTRE 1
Orientações
Para trabalhar o conceito de
densidade de um material,
retome a noção de volume
que os alunos já construíram
em anos anteriores.
Exercícios propostos
O exercício 1 pode ser am-
pliado pedindo aos alunos
que expressem a velocidade
média obtida em quilôme-
tros por hora e em metros
por segundo, com o auxílio
de uma calculadora:
• velocidade média 5
5
48.478 km
312 dia
q 155,4 km/dia
• km/dia para km/h
155,4 km/dia 5
155,4 km
1 dia
5
5
155,4 8 1.000 metros
86.400 segundos
q
q 6,5 km/h
• km/dia para m/s
155,4 km/dia 5
155,4 km
1 dia
5
5
155,4 8 1.000 metros
86.400 segundos
q
q 1,8 m/s
Para comprovar suas respos-
tas, os alunos podem fazer
transformações ao contrá-
rio, obtendo (aproximada-
mente) valores já calculados.
Por exemplo:
• m/s para km/h
1,8 m/s 5
1,8 metro
1 segundo
5
5
1,8 8
1
1.000
km
1 8
1
3.600
hora
5
5 1,8 8
1
1.000
8
3.600
1
km/h q
q 6,48 km/h
Ou seja: q 6,5 km/h (como já
obtido).
25 cm
12 cm
10 cm
Barco a vela
de Robin Knox-
-Johnston, em
1969, durante seu
percurso ao redor
do mundo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
65CAPÍTULO 3
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a densidade é expressa com a massa medida
em quilograma e o volume medido em metro cúbico, mas em geral é dada em grama por cen-
tímetro cúbico.
A densidade da água pura, em estado líquido, a uma temperatura próxima de 4 °C, é 1
cm
g
3
.
Mas a densidade da água
muda com a temperatura?
Sim. Por exemplo, o gelo
tem densidade menor do
que a água líquida. Por isso,
o gelo flutua nela.
E a água salgada tem
densidade maior do que a
água pura. É mais fácil boiar
na água do mar. Pesquise nos
livros de Ciências.
Ah, 1 kg de algodão tem
a mesma massa de 1 kg
de chumbo. Logo, as duas
porções têm o mesmo peso!
Assim, podemos responder o problema a seguir.
Um caminhão que transporta até 8 toneladas
será usado para um carregamento de paralelepípe-
dos retos de granito com 10 cm de altura, 12 cm de
largura e 25 cm de comprimento. Considerando que
a densidade do granito é 2,7 g/cm
3
, esse caminhão
conseguirá levar mil blocos?
Inicialmente, vamos calcular o volume de cada
bloco de paralelepípedo reto:
V = 10 8 12 8 25 = 3.000 ou v = 3.000 cm
3
Como a densidade é a razão entre a massa e o
volume, temos:
2,7 5
.
m
3000
, ou seja, m = 2,7 8 3.000 ou m = 8.100 g = 8,1 kg.
A quantidade de blocos que cabe na capacidade igual a 8 t ou 8.000 kg do caminhão é dada
pelo quociente 8.000 9 8,1 7 987.
Portanto, o caminhão não conseguirá levar mil blocos de paralelepípedo.
ZCW/SHUTTERSTOCK
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1
Entre 1968 e 1969, Robin Knox-Johnston
foi a primeira pessoa a dar a volta ao
mundo em um barco a vela, sozinho e
sem aportar, isto é, sem parar em lugar
nenhum. Percorreu um total de 48.478 km
em 312 dias. Qual foi sua velocidade média
em quilômetros por dia?
aproximadamente 155,38 km/dia
BETTMAN/GETTY IMAGES

124. 66
Exercícios propostos
Aproveite o contexto do
exercício 7 para falar sobre
a necessidade de consumo
consciente da água, abor-
dando hábitos na escola e
em casa. Proponha aos alu-
nos a análise de situações de
economia de água, como:
• Se uma pessoa escova os
dentes em cinco minutos
com a torneira não muito
aberta, gasta 12 litros de
água. No entanto, se mo-
lhar a escova e fechar a
torneira enquanto escova
os dentes, além de enxa-
guar a boca com um copo
de água, consegue econo-
mizar mais de 11,5 litros
de água. Considerando
que uma pessoa costuma
ficar 7 minutos com a tor-
neira não muito aberta
enquanto escova os den-
tes, quantos litros de água
são gastos nesse período?
Quantos litros de água
essa pessoa economizaria
se adotasse o hábito de fe-
char a torneira enquanto
escova os dentes e, ainda,
enxaguasse a boca com um
copo de água? (16,8 litros;
16,1 litros)
• Ao lavar o rosto durante
um minuto, com a torneira
meio aberta, uma pessoa
gasta 2,5 litros de água.
Quantos litros de água se-
rão gastos se a pessoa ficar
3 minutos com a torneira
meio aberta? (7,5 litros)
Proponha aos alunos uma
pesquisa sobre outras dicas
para a economia de água.
Promova uma discussão com
toda a turma sobre as infor-
mações encontradas.
Aproveite o exercício 9 para
trabalhar a importância de
avaliar campanhas publici-
tárias de promoção usando
a proporção, como foi feito
no exercício, promovendo,
assim, a educação para o
consumo e evidenciando a
importância da proporcio-
nalidade no dia a dia.
Habilidades trabalhadasnesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
66 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
4 Em um leilão de obras de arte, um colecionador
comprou uma coroa de prata. Para verificar
se a coroa tinha de fato a densidade da prata,
10,5 g/cm
3
, ele mediu a massa e obteve 840 g.
Depois colocou-a em uma cuba com 1.000 cm
3

de água. Veja quanto a água subiu.
2 A distância rodoviária entre Jericoacoara e
Fortaleza é de aproximadamente 300 km.
Vista aérea de Jericoacoara (Ceará).
(Foto de 2017.)
TALES AZZI/PULSAR IMAGENS
Qual é a velocidade média de um ônibus que
faz esse percurso em 5 horas e 30 minutos?
A diferença das medidas, em centímetro cúbi-
co, é o volume da coroa.
A densidade da coroa, calculada pelo cole-
cionador, coincide com a densidade da prata?
leitura anterior: 5.907 m
3
leitura atual: 5.973 m
3
7 Por causa de um vazamento, a conta de um ser-
viço de água e esgoto apresentou os seguintes
dados, referentes ao consumo de água em uma
residência no mês de junho.
JOSÉ LUÍS JUHAS
Determine o consumo médio diário de água,
em litros por dia (L/dia), dessa residência nesse
mês.
2.200 L/dia
3 A área do estado do Rio Grande do Sul é
281.731,445 km
2
. Segundo o IBGE, em 2017,
a densidade demográfica desse estado era,
aproximadamente, 40,19 hab./km
2
. Determine
a população aproximada que o estado do Rio
Grande do Sul tinha naquele ano.
6 Enchi de gasolina o tanque do carro e percorri
392 km em uma rodovia. Parei para abastecê-
-lo novamente, e foram necessá rios 35 litros
de gasolina para encher o tanque. Qual foi o
consumo médio do carro nesse trajeto?
5 A densidade do mármore é de 2,6 g/cm
3
.
Quantos quilogramas tem uma pedra de már-
more com 12,40 dm
3
? 32,24 kg
CLÁUDIO CHIYO
8 Em um condomínio, há uma piscina com estas
dimensões: 15 m de comprimento, 5 m de lar -
gura e 2 m de profundidade. Ela está cheia de
água até a borda. Para a limpeza dos azulejos,
é preciso esvaziá-la usando uma bomba que
retira a água à razão de 2.000 litros por hora.
Quanto tempo é necessário para esvaziar
completamente essa piscina?
75 horas
a) Rodrigo decidiu comprar a embalagem
menor, pois considerou-a mais vantajosa.
Ele tem razão? Como ele pode ter chegado
a essa conclusão?
b) Troque ideias com um colega, e redijam um
texto que justifique a decisão de Rodrigo.
c) Se a embalagem menor não tivesse os
200 gramas gratuitos, ela ainda seria a mais
vantajosa? Justifiquem a resposta.
d) Você costuma fazer comparações entre
embalagens e preços de produtos de mesma
qualidade? Qual é a importância de ter essa
atitude?
Resposta pessoal.
9 Rodrigo foi ao supermercado comprar sabão
em pó e encontrou duas opções de embalagens da marca que costuma usar.
JOSÉ LUÍS JUHAS
9. c) Não, pois, o preço pago por quilograma seria R$ 11,40, e o da embalagem
maior seria R$ 9,70, pois 43,65 9 4,5 q 9,70.
aproximadamente 54,5 km/h
11.322.787 habitantes
sim
11,2 km/L
9. a) Sim, pois a embalagem maior deveria custar R$ 42,75, se seguisse a mesma
relação (preço pago por quilograma) da menor, pois (11,40 9 1,2) 8 4,5 5 42,75.
10 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre razão entre
grandezas diferentes. Depois de cada um resol-
ver o problema elaborado pelo outro, destro-
quem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
b) Resposta pessoal; Na embalagem maior o preço por
quilograma é de R$ 9,70
e na embalagem menor
o preço por quilograma
é de R$ 4,27.

125. 67BIMESTRE 1
Pense mais um
pouco...
A seção tem foco na renda
per capita e propicia um tra-
balho em conjunto com o
professor de Geografia para
explorar mais esse assunto.
O termo é muito utiliza-
do na área de economia e
também de política, pois
serve como medidor de
desenvolvimento de um
país. Renda
per capita sig-
nifica renda por cabeça 2
per capita é uma expres-
são do latim, que significa
exatamente por cabeça.
A renda
per capita mede
a renda de cada indivíduo
dentro de uma determinada
população, calculando uma
média geral desse valor. É
possível, portanto, medir a
sua renda com relação ao
seu país, ao seu estado e à
sua cidade.
Disponível em: <http://www.
politize.com.br/renda-per-
capita-o-que-e/>. Acesso em:
30 ago. 2018.
Renda per capita é o
nome de um indicador que
auxilia o conhecimento so-
bre o grau de desenvolvi-
mento de um país e consis-
te na divisão do coeficiente
da renda nacional (produto
nacional bruto subtraído
dos gastos de depreciação
do capital e os impostos in-
diretos) pela sua população.
Por vezes o coeficiente de-
nominado produto interno
bruto é usado.
No original em latim, a
expressão “per capita” sig-
nifica “por cabeça”, portan-
to trata-se de uma renda
por cabeça, ou seja, con-
siderando-se membros da
população em particular e
sua participação na renda
total do país.
Disponível em: <https://www.
infoescola.com/economia/
renda-per-capita/>. Acesso
em: 30 ago. 2018.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
67CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Dados para calcular a renda per capita
País Produto Interno Bruto (em dólares) Número de habitantes
A 300.000.000 250.000
B 450.000.000 400.000
C 530.000.000 800.000
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
O Produto Interno Bruto (PIB) é o total de bens e serviços produzidos por um país durante um ano.
A razão entre o PIB e o número de habitantes de um país é chamada de renda
per capita. A renda
per capita de um país equivale à quantia, em dólar, que cada habitante receberia caso o PIB fosse
dividido igualmente por toda a população.
Considere os dados da tabela a seguir e calcule a renda per capita de cada um destes países.
Agora, responda:
a) Comparando as rendas per capita calculadas acima, qual dos países é mais rico?
A
b) O fato de a renda per capita de um país ser alta significa que todos os habitantes vivem bem?
Justifique sua resposta.
Não, pois esse valor é uma média.
A: 1.200 dólares/hab.; B: 1.125 dólares/hab.; e C: 662,50 dólares/hab.
Comparando gráficos de barras
Em quase todos os países, a localização geográfica dos profissionais de saúde se dá nas áreas
urbanas mais ricas. No Brasil, não é diferente. Esse fato gera distorções, de modo que há lugares
com excesso de médicos, enquanto nas áreas mais vulneráveis dos municípios brasileiros a po-
pulação não recebe atendimento médico.
Em outubro de 2013, o Programa Mais Médicos (PMM) foi instituído pela lei n
o
12.871, na qual
o artigo 1
o
prevê:
I – diminuir a carência de médicos nas
regiões prioritárias para o SUS, a fim
de reduzir as desigualdades regionais
na área da saúde; [...]
Entre outros objetivos, o PMM
visava aumentar o índice de densi-
dade demográfica dos médicos no
Brasil que era, segundo a Organi-
zação Mundial de Saúde (OMS), de
1,8  médicos por 1.000  habitantes
em 2012, para 2,7 médicos por
1.000 habitantes até 2026.
LWA/DANN TARDIF/GETTY IMAGES
Dados fictícios.

126. 68
Trabalhando a
informação
Esta seção explora a com-
paração de gráficos de bar-
ras envolvendo o cálculo da
razão entre o número de
médicos por grupo de 1.000
habitantes de determinada
região.
Proponha aos alunos uma
discussão sobre o tema, a
partir de pesquisas prévias
para fundamentar suas co-
locações.
Sugestões de leitura
Para ampliar e enriquecer essa
discussão, sugerimos:
<https://g1.globo.com/educacao/
guia-de-carreiras/noticia/n-de-
habitantes-por-medico-no-norte-e-
quase-3-vezes-o-do-sudeste-veja-o-
raio-x-da-carreira.ghtml>;
<https://jornal.usp.br/wp-content/
uploads/DemografiaMedica2018.
pdf>.
Acessos em: 30 ago. 2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
Númer o de h abitantes (milhares)
População estimada por re gião (2017)
Regiã o
N
0 20 40 60 80 100
17.930
NE 56.442
CO 15.871
SE 87.035
S 29.527
Númer o de médicos (mil)
Númer o de médicos ativos (2017)
Regiã o
N
0 50 100 150 200 250 30 0
21.917
NE 86.698
CO 39.970
SE 261.721
S 72.789
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
68 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Dados obtidos em:
Conselho Federal
de Medicina.
Disponível em:
<http://portal.
cfm.org.br/index.
php?option=com_
estatistica>. Acesso
em: 21 nov. 2017
Dados obtidos em: AGÊNCIA
de notícias IBGE. Disponível em:
<https://agenciadenoticias.ibge.
gov.br/agencia-detalhe-de-midia.
html?view=mediaibge&catid=2103
&id=2188>. Acesso em: 31 jul. 2018.
Comparando os dois gráficos, podemos ter rapidamente uma ideia sobre a ordem de grandeza
do índice de densidade de médicos nessas regiões, dada pela razão entre o número de médicos e
o número de habitantes (em mil).
Para simplificar a comparação, podemos trabalhar com valores aproximados.
Vamos tomar como exemplo a região Nordeste, que tinha em 2017 cerca de 87.000 médicos
e uma população estimada em 57 milhões (ou 57.000 grupos de mil) de habitantes.
Região Nordeste &
.grupsdemil
.
5000
87 000
6h abitantes
médicos
q
q 1,55 médicos/1.000 habitantes
Portanto, na região Nordeste havia cerca de 1,55 médicos para cada 1.000 habitantes.

1 Apenas observando os gráficos, responda: o índice de densidade de médicos da região Norte era
maior do que o da região Centro-Oeste?
não
2 Com uma calculadora, obtenha os valores aproximados dos índices de 2017 da densidade de médicos
das regiões N, CO, SE e S.
(N) 1,22; (CO) 2,51; (SE) 3,01; (S) 2,43
3 Calcule o índice da densidade de médicos no Brasil. Quanto faltava, em 2017, para que esse índice
chegasse aos 2,7 esperados para 2026?
o índice para o Brasil em 2017 era de 2,33; então faltava 0,37
ADILSON SECCOADILSON SECCO
Veja nos gráficos a seguir a quantidade de médicos ativos e a população estimada por região
geográfica brasileira.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
SIDNEY MEIRELES
Note que
56 milhões de
pessoas equivalem
a 56 mil grupos de
mil pessoas.

127. 69BIMESTRE 1
A proporcionalidade
entre grandezas
A noção de proporcionali-
dade é um dos temas fun-
damentais em Matemática
e em diversas outras áreas
do conhecimento. Ela está
presente na natureza, no
cotidiano (como em receitas
culinárias), nas Artes, na Ar-
quitetura, entre outros. Os
alunos têm construído esse
conceito ao longo de seus
estudos. Neste livro, desen-
volvemos nosso trabalho vi-
sando ampliar e consolidar
a aprendizagem dos alunos
sobre proporcionalidade.
Explore a situação 1 e peça
aos alunos que exemplifi-
quem outros tipos de gran-
dezas dependentes que, na
opinião deles, variam na
proporção direta (possível
resposta: distância percorri-
da e tempo que se leva para
fazer o percurso, mantendo-
-se as mesmas condições).
Ressalte que o fato de duas
grandezas terem seus valo-
res aumentados (ou diminu-
ídos) quando comparadas,
não garante que elas sejam
grandezas diretamente pro-
porcionais. Para isso, elas
devem aumentar (ou dimi-
nuir) do “mesmo jeito”, isto
é: se uma tem seu valor do-
brado, a outra também deve
dobrar de valor; se uma tem
seu valor triplicado, a outra
também deve triplicar de
valor; e assim por diante.
Habilidade trabalhada: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
69CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Situação 1
Situação 2
Não desperdice água. Se
a torneira estiver vazando,
conserte-a. Assim, você contribuirá
para a preservação de nosso
planeta. Cada gota de água que se
economiza é um ponto a favor para
o futuro da humanidade!
2
A proporcionalidade entre grandezas
Entendemos como grandeza tudo o que pode ser medido ou contado. Assim, o comprimento,
a superfície, a temperatura, a massa e o tempo são exemplos de grandeza.
Veremos a seguir algumas situações que envolvem uma relação de dependência entre
duas grandezas.
Gabriel percebeu que a torneira da cozinha estava vazando.
Para medir o vazamento por minuto, colocou um recipiente graduado sob a torneira. Veja
o que ele observou.
Tempo
(em minuto)
1 2 3 4 5
Volume de água
(em mL)
5 10 15 20 25
Note que:
ƒquando duplicamos o número de minutos, o volu-
me de água também duplica;
ƒquando triplicamos o número de minutos, o volu-
me de água também triplica; e assim por diante.
Nesse caso, dizemos que as grandezas tempo e
volume de água estão em uma relação de proporcio-
nalidade direta, ou seja, são grandezas diretamente
proporcionais.
CLÁUDIO CHIYOLEONARDO CONCEIÇÃO
Suponha que, em uma doceria, um funcionário faça certa quantidade de bolos em 6 horas.
Com a proximidade das festas de fim de ano, o proprietário da doceria precisa produzir a
mesma quantidade de bolos em um tempo menor. Para isso, aumenta a quantidade de funcio-
nários, com igual produtividade e trabalhando nas mesmas condições, conforme a necessidade.

128. 70
Orientações
Trabalhe a situação 2 de ma -
neira análoga ao que foi fei-
to na situação anterior.
Peça aos alunos que citem
outros exemplos, como a ve-
locidade média com que se
faz um percurso e o tempo
que se leva para isso.
A situação 3 possibilita aos
alunos complementarem
seu entendimento da noção
de grandezas proporcionais
na medida em que reconhe-
cer “o que não é” amplia a
compreensão “do que é”.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais
grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras
áreas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
70 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Situação 3
Veja a relação entre o número de funcionários e o tempo gasto para a produção desses bolos.
Número de funcionários 1 2 3 4
Tempo (em hora) 6 3 2 1,5
ƒQuando duplicamos o número de funcionários, o número de horas fica reduzido à metade.
ƒQuando triplicamos o número de funcionários, o número de horas fica reduzido à terça
parte; e assim por diante.
Nesse caso, dizemos que as grandezas número de funcionários e tempo estão em uma
relação de proporcionalidade inversa, ou seja, são grandezas inversamente proporcionais.
Observe, no quadro abaixo, a relação entre a idade e a altura média dos alunos de 1 a 5 anos
da Escola Pequenitos.
Idade
(em ano)
1 2 3 4 5
Altura média
dos alunos
(em cm)
73,2 84,1 91,9 99,1 105,9
Note que, quando a idade é duplicada, a altura nem dobra nem se reduz à metade. A altura
simplesmente aumenta sem respeitar nenhuma proporção em relação à idade. Então, altura
e idade não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais. Nesse caso, dizemos que altura e idade são grandezas não proporcionais.
Neste capítulo, vamos estudar detalhadamente as grandezas diretamente proporcionais
e as grandezas inversamente proporcionais.
CLÁUDIO CHIYOILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
Contudo, sabemos que na
realidade isso é impossível, pois há
um tempo mínimo para a produção
de um bolo, e há também a
limitação do espaço físico da
doceria, entre outros fatores.
Ao lidar com grandezas
proporcionais aplicadas a uma
situação real, devemos ter o
cuidado de analisar até que
ponto a proporcionalidade
existe nessa situação.
Por exemplo, poderíamos
pensar em aumentar muito
o número de funcionários,
de modo que a produção
dos bolos acontecesse
em segundos.

129. 71BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Se julgar necessário, retome
com os alunos a propriedade
fundamental das proporções.
Ao finalizar este bloco de
exercícios, organize os alu-
nos em duplas e proponha
uma conversa sobre os três
exercícios, qual acharam
mais fácil e qual foi o mais
difícil. Depois, peça a eles
que redijam um texto com
as justificativas de suas opi-
niões. Cada dupla apresen-
ta seu texto para a turma e
um aluno registra na lousa
os resultados, para ao final
verificarem a opinião da tur-
ma. De acordo com as difi-
culdades levantadas, faça as
intervenções necessárias.
Apresentamos a seguir uma
possível resolução para o
exercício 12.
a) À medida que aumenta
a quantidade de maçãs, a
quantidade de água tam-
bém aumenta o mesmo
número de vezes. Logo, as
grandezas são diretamente
proporcionais.
De 100 g para 200 g, a mas-
sa de maçãs foi dobrada; as-
sim, a massa de água corres-
pondente também deve ser
o dobro: 168 g.
De 100 g para 1 kg, que é
1.000 g, a massa de maçãs
foi multiplicada por 10; o
mesmo deve ocorrer com a
massa de água correspon-
dente: 840 g.
De 100 g para 5 kg, temos:
100
5.000
5
84
x
Æ
Æ 100x 5 5.000 8 84 Æ
Æ
100x
100
5
420.000
100
Æ
Æ x 5 4.200
Em 5 kg de maçãs há 4.200 g,
ou seja, 4,2 kg de água.
d) 168 9 200 5 0,84
840 9 1.000 5 0,84
4.200 9 5.000 5 0,84.
Habilidade trabalhada: (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como
velocidade e densidade demográfica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
71CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
MONITO MAN
13 O quadro abaixo mostra a velocidade média
de um automóvel e o tempo que ele leva para
percorrer determinado trajeto. Responda às
questões.
Velocidade
(em km/h)
120 80 60 48
Tempo
(em hora)
1 1,5 2 2,5
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11. a) inversamente proporcionais
b) diretamente proporcionais
a) Qual é a velocidade média do automóvel quando percorre esse trajeto em 2 horas e meia?
48 km/h
b) Quantas horas o automóvel levará para percorrer esse trajeto, se a velocidade média for de 80 km/h?
1 hora e meia
c) As grandezas “velocidade” e “tempo” são direta ou inversamente proporcionais?
d) Multiplique cada velocidade com o respecti- vo tempo. O que acontece com os produtos obtidos?
são iguais a 120
13. c) inversamente proporcionais
Pense mais um pouco...
O relógio de Márcio está com defeito. Ele atrasa 4 minutos a cada 2 dias.
Nos últimos 14 dias, Márcio
esqueceu de acertar o relógio
e, por esse motivo, chegou
atrasado ao encontro com a
namorada.
a) Construa uma tabela que indique o tempo de atraso, em minuto, correspondente a cada 2 dias que Márcio esqueceu de acertar seu relógio.
construção de tabela
b) Quantos minutos o relógio atrasa em 10 dias? 20 minutos
c) Quantos minutos Márcio chegou atrasado ao encontro? 28 minutos
d) As grandezas apresentadas (tempo de atraso e número de dias) são direta ou inversamente
proporcionais?
diretamente proporcionais
e) Supondo que o defeito continue, quantos minutos o relógio estará atrasado no 22
o
dia?
f) Quantos dias serão necessários para que o relógio registre 1 hora (60 minutos) de atraso?44 minutos
30 dias
11 Classifique as grandezas de cada situação a
seguir como diretamente proporcionais, inver-
samente proporcionais ou não proporcionais.
a) Velocidade média e tempo gasto para per-
correr determinado trajeto.
b) Número de pães e quantidade de farinha de
trigo necessária para fazer esses pães.
c) Idade e massa de uma pessoa.
d) Número de máquinas de um mesmo modelo
e tempo gasto para a execução de certo
trabalho com essas máquinas.
11. c ) não proporcionais d) inversamente proporcionais
12 Considerando que 100 g de maçã contêm 84 g
de água, responda.
a) Quantos gramas de água há em 200 g de
maçã? E em 1 kg? E em 5 kg?
b) Identifique as grandezas envolvidas nessa
situação.
massa de maçã e massa de água
c) Essas grandezas são direta ou inversamente
proporcionais?
diretamente proporcionais
d) Divida cada quantidade (em grama) de água
da maçã com a respectiva massa da maçã.
O que acontece com os quocientes obtidos?
a) 168 g; 840 g; 4.200 g
são iguais a 0,84

130. 72
Grandezas
diretamente
proporcionais
Peça que os alunos, em du-
plas, leiam e acompanhem
a situação desenvolvida,
registrando no caderno as
considerações sobre o que
leram. Depois, em uma roda
de conversa, estimule-os a
expor suas observações.
Verifique se os alunos obser-
varam que se as grandezas
são diretamente propor-
cionais temos que a razão
entre dois valores de uma
grandeza é igual à razão en-
tre os valores corresponden-
tes da outra.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
72 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
MONITO MAN
3
Grandezas diretamente proporcionais
Mariana pesquisou a produção de uma usina de açúcar e anotou o número de sacas produ-
zidas no decorrer de cinco dias, montando o quadro abaixo.
Tempo de produção
(em dias)
Produção de açúcar
(em número de sacas)
1 5.000
2 10.000
3 15.000
4 20.000
5 25.000
Para montar o quadro, Mariana trabalhou com duas grandezas: tempo e produção. Ela mediu
o tempo em número de dias e a produção em sacas de açúcar. Então, as unidades de medida
empregadas para o tempo e para a produção são, respectivamente, dias e sacas de açúcar.
Sabendo que cada saca de açúcar tem 50 kg, Mariana apresentou, também, a produção
dessa usina em quilograma e, dessa forma, obteve os seguintes dados:
Tempo de produção
(em dias)
Produção de açúcar
(em kg)
1 250.000
2 500.000
3 750.000
4 1.000.000
5 1.250.000
Não confunda grandeza com unidade de medida. No segundo quadro, as grandezas con-
tinuam sendo tempo e produção, mas a unidade para medir a produção foi o quilograma, e
não a saca de açúcar.
Ao examinar esses quadros, observe que:
ƒduplicando o número de dias, duplica-se a produção de açúcar;
ƒtriplicando o número de dias, triplica-se a produção de açúcar, e assim por diante.
Por isso, as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais.
Note também que, de duas em duas, as razões entre o tempo de produção (em dias) e a
produção de açúcar (em número de sacas ou em quilograma) são iguais. Veja, por exemplo,
essas razões para os valores referentes ao primeiro quadro.
Escreva as
mesmas razões
para os valores
referentes ao
segundo quadro.
.
.
3
1
15 000
5000
5
.
.2
15 000
10 000
3
5
.
.3
000
15 000
420
5
.
.
4
1
20 000
5000
5
.
.
4
2
20 000
10 000
5
.
.3
25 000
1000
5
5
5
.
.
2
1
10 000
5000
5
.
.
5
1
25 000
5000
5
.
.
5
2
25 000
10 000
5
.
.4
25 000
20 000
5
5
SIDNEY MEIRELESMONITO MAN
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.

131. 73BIMESTRE 1
Orientações
Continue o trabalho de ex-
ploração dos alunos, pedin-
do a eles que acompanhem
o primeiro exemplo desta
página e que determinem os
valores de x , y e z (para com-
pararem depois com os valo-
res apresentados no livro).
Sugestões de leitura
Para ampliar esse estudo, sugerimos:
<https://www.somatematica.com.
br/fundam/grandir.php>;
<https://matika.com.br/grandezas-
diretamente-e-inversamente-
proporcionais/grandezas-
diretamente-proporcionais>.
Acesso em: 30 ago. 2018.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
73CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Repare ainda que as razões entre os valores da
primeira coluna e os valores correspon dentes da se-
gunda coluna são iguais.
.. ...5000
1
10 000
2
15 000
3
20 000
4
25 000
5
55 55
Todas essas frações são redutíveis à mesma fra-
ção, ou seja,
.5000
1
.
Dizemos, então, que os números da sequência 1, 2,
3, 4 e 5 são diretamente proporcionais aos números
da sequência 5.000, 10.000, 15.000, 20.000 e 25.000.
Então, obtemos as seguintes proporções:

.
xr
24 0001
5
.
y r
27 0001
5
.
zr
30 0001
5
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos:
x 5 24.000r y 5 27.000r z 5 30.000r
Substituindo x por 24.000r, y por 27.000r e z por 30.000r em x 1 y 1 z 5 32.400, calcu-
lamos o valor de r .
x 1 y 1 z 5 32.400
24.000r 1 27.000r 1 30.000r 5 32.400
81.000r 5 32.400

.
.
.
.r
81 000
81 000
81 000
32 400
5
r 5 0,4
LEONARDO CONCEIÇÃO
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores da
primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda.
Acontece o mesmo
com os números
1, 2, 3, 4 e 5 em
relação aos números
250.000, 500.000,
750.000, 1.000.000
e 1.250.000?
Sim, os
números dessas
sequências são
diretamente
proporcionais.
Acompanhe mais alguns exemplos.
a) Para montar uma pequena empresa, Márcia, Cláudio e Ricardo formaram uma socieda-
de. Márcia entrou com R$ 24.000,00, Cláudio entrou com R$ 27.000,00, e Ricardo, com
R$ 30.000,00. Depois de seis meses, a empresa obteve um lucro de R$ 32.400,00, que
foi dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais à quantia que cada um
investiu.
Vamos calcular a parte que coube a cada sócio.
Representaremos a parte do lucro de Márcia por x, a parte de Cláudio por y e a de Ricardo
por z. Assim, podemos escrever:
(Nesse caso, r é o valor correspondente a essas razões.)
x 1 y 1 z 5 32.400
.. .
x
y z
r
24 0002 7000 30 000
55 5
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES

132. 74
Orientações
Reproduza o segundo exem-
plo na lousa e peça aos alu-
nos que identifiquem os
passos que devem ser feitos
no desenvolvimento da reso-
lução da situação proposta.
Exercícios propostos
Apresentamos a seguir uma
possível resolução para o
exercício 14, montando um
quadro para nos auxiliar:
Quantidade
de
tambores
Número de
litros
armazenados
2 360
x 720
10 x
21,5 z
Se 2 tambores armazenam
360 litros de detergente, te-
mos que:
• 4 tambores armazenam
720 litros (valores dobra-
dos nas duas grandezas);
• 6 tambores armazenam
1.080 litros (valores tripli-
cados nas duas grandezas);
• 1 tambor armazena 180
litros (valores reduzidos à
metade nas duas grande-
zas); e assim por diante.
Desse modo, podemos
concluir que as grandezas
“quantidade de tambores”
e “número de litros arma-
zenado” são grandezas di-
retamente proporcionais e,
assim, a razão de quaisquer
dois valores de uma dessas
grandezas é igual à razão
entre os valores correspon-
dentes da outra grandeza.
De acordo com os valores do
quadro, vamos montar pro-
porções convenientes para
obter os valores faltantes:
•
2
x
5
360
720
Æ
2
x
5
6
12
Æ
Æ
2
x
5
1 2
Æ x 5 4 tambores
•
2
10
5
360
y
Æ
1 5
5
360
y
Æ
Æ y 5 1.800 litros
•
2
21,5
5
360
z
Æ
Æ
1
10,75
5
360
z
Æ
Æ z 5 3.870 litros
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
74 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
b) Vamos determinar x e y, de modo que a sequência de números 2, 8 e y seja diretamente
proporcional à sequência de números 3, x e 21.
2 8 y
3x21
Para que as sequências sejam diretamente proporcionais, as razões entre os números
correspondentes devem ser iguais, isto é:
x
y
3
28
21
55
Assim:
15 Um concurso para a escolha das melhores
fotos de monumentos oferecia um prêmio de
Não se esqueça da
observação feita no item 2
sobre a aplicação de
grandezas proporcionais
em situações reais!
Portanto, para que as duas
sequências sejam diretamente
proporcionais, devemos ter
x 5 12 e y 5 14.
Com o valor encontrado para r, calculamos os valores de x, y e z.
Portanto, Márcia recebeu R$ 9.600,00, Cláudio recebeu R$ 10.800,00, e Ricardo,
R$ 12.000,00.
x 5 24.000 8 r
x 5 24.000 8 0,4
x 5 9.600
y 5 27.000 8 r
y 5 27.000 8 0,4
y 5 10.800
z 5 30.000 8 r
z 5 30.000 8 0,4
z 5 12.000
14 Em uma fábrica, determinado tipo de detergen-
te é armazenado em tambores. Sabendo que
todos os tambores são iguais e que 2 tambores
armazenam 360 litros desse detergente, deter-
mine:
a) o número de tambores necessários para
armazenar 720 litros;
4 tambores
b) o número de litros de detergente armaze-
nado em 10 desses tambores;
1.800 litros
c) o número de litros armazenado em 21 tam-
bores e meio.
3.870 litros
16 Determine o valor das letras do quadro abaixo,
de modo que as sequências de números sejam
diretamente proporcionais.
R$ 3.600,00. Esse prêmio foi dividido entre os
dois primeiros colocados, em partes direta-
mente proporcionais aos pontos obtidos por
eles . Sabendo que o primeiro colocado atingiu
10 pontos e o segundo, 8, qual foi o prêmio de
cada um?
R$ 2.000,00 e R$ 1.600,00
4 6 8 a 20
10 15 b 25 c
a 5 10, b 5 20 e c 5 50
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
x3
28
5
2x 5 3 8 8
2x 5 24
x
2
2
2
24
5
x 5 12
y
3
2
21
5
3y 5 2 8 21
3y 5 42
y
3
3
3
42
5
y 5 14

133. 75BIMESTRE 1
Exercícios propostos
No exercício 18, depois de
encontrar os valores de x, y
e z (no item a), temos:
x 5 4,5 cm, y 5 6 cm e
z 5 7,5 cm. Assim, podemos
fazer as construções solicita-
das no item b.
A’
C’
B’
A
C
B
3 cm
x 5 4,5 cm
y 5 6 cm
z 5 7,5 cm
4 cm
5 cm
Pense mais um
pouco...
Nesta seção, temos a seguin-
te resolução:
a)
Medida do
lado
(em cm)
2 4 6 8
Perímetro
(em cm)
8 16 24 32
Observando a tabela, per-
cebemos que, ao duplicar
(triplicar etc.) a medida do
lado, o perímetro dupli-
ca (triplica etc.); logo, são
grandezas diretamente pro-
porcionais.b)
Medida do
lado
(em cm)
2 4 6 8
Área
(em cm
2
)
4 16 36 64
Observando a tabela, veri-
ficamos que a área e a me-
dida do lado não se alteram na mesma razão; logo, não
são grandezas diretamente
proporcionais.
c) Seguindo a mesma lógica
da área do quadrado, que
depende do quadrado da
medida do lado, o volume
de um cubo, que depende do
cubo da medida da aresta,
nos mostra que o volume e
a aresta de uma cubo não se-
rão grandezas proporcionais.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
75CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
JOSÉ LUÍS JUHAS
19 Márcia adora doces. Sabendo disso, uma amiga
lhe passou uma receita de queijadinha cujos
ingre dien tes são:
LIGIA DUQUE
17 Em um banho de ducha, são gastos 135 litros
de  água em 15 minutos. Para economizar
água, é preciso fechar o registro enquanto se
ensaboa, reduzindo para 5 minutos o tempo
de banho com o registro aberto.
a) Quantos litros de água são economizados
dessa maneira?
90 litros
b) Vamos imaginar que toda a água do mun-
do coubesse em uma garrafa de 1 litr o. Se
tirássemos da garrafa toda a água salgada,
a porção de água doce seria suficiente
apenas para encher um copinho de café.
Porém, a porção de água doce disponível
para consumo direto não representa mais
do que algumas gotinhas retiradas desse
copinho. Pouco, não é? Por esse motivo,
é importante adotarmos certas atitudes
como fechar o registro de água enquan-
to nos ensaboamos durante o banho.
Você conhece outras atitudes?
Troque ideias com seus colegas e façam
uma lista de atitudes que podemos tomar
para fazer um uso racional da água.
20 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre grandezas diretamente proporcionais. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Reúna-se com um colega e troquem ideias sobre as questões a seguir.
a) O perímetro de um quadrado e a medida de seus lados são grandezas diretamente proporcio-
nais? Justifiquem a resposta.
b) A área de um quadrado e a medida de seus lados são grandezas diretamente proporcionais?
Justifiquem a resposta.
Não, pois a área e a medida do lado não se alteram na mesma razão.
c) E a medida da aresta de um cubo é proporcional a seu volume? Expliquem a resposta.
Sim, pois, ao duplicar (triplicar, e assim sucessivamente) a medida do
lado, o perímetro também duplica (triplica etc.).
Não, pois o volume e a medida da aresta não se alteram na mesma razão.
a) Com base nessa receita, Márcia quer fazer
uma quantidade maior de queija di nhas.
Para isso, aumentará proporcionalmente
a quantidade de todos os ingredientes da
receita. Quantos ovos serão necessários se
ela utilizar 4 colheres de sopa de farinha? E
quantas colheres de sopa de farinha serão
necessárias se ela utilizar 9 ovos?
6; 6
b) Se Márcia quiser fazer quatro dessas recei-
tas, quantas colheres de sopa de farinha
serão necessárias? E quantos ovos?
8; 12
18 O perímetro de um triângulo (soma das me-
didas dos lados) cujos lados, em centímetro,
medem x, y e z é 18 cm.
a) Sabendo que
x
yz
34 5
55 , calcule x, y e z.
b) Usando régua e compasso, desenhe dois
triângulos.
construção de figura
• Triângulo ABC com AB 5 3 cm,
BC 5 4 cm, AC 5 5 cm.
x 5 4,5 cm, y 5 6 cm
e z 5 7,5 cm
• Triângulo A eB

eC e com AeB

e 5 x cm,
B

eC e 5 y cm, A eC e 5 z cm.
c) Usando um transferidor, meça os ângulos
dos triângulos do item b. O que acontece
com as medidas de
A
W
, B
W
e C
W
, respectiva-
mente, em relação às medidas de Ae
W
, Be
W

e Ce
W
? As medidas são respectivamente iguais.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Queija dinha
• 3 ovos
• 1 lata de leite condensado
• 1 xícara (chá) de leite
• 2 colheres (sopa) de farinha de trigo
• 1 colher (sobremesa) de fermento em pó
• 1 pacote de coco ralado
• 1 xícara (chá) de queijo ralado
• 1 colher (sopa) de manteiga
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO

134. 76
Para saber mais
Esta seção explora a relação
de proporcionalidade direta
entre a medida do ângulo
central e o comprimento do
arco de circunferência cor-
respondente.
É importante destacar a dis-
tinção entre a medida an-
gular e a medida linear (o
comprimento) de um arco.
Essa questão pode ser tra-
balhada atentamente nesta
seção.
Retome a razão que deter-
mina o número irracional π,
o cálculo do comprimento
C de uma circunferência de
raio r dada por C 5 2 8 π 8 r
e a medida em grau associa-
da a um giro de uma volta
completa, verificando que
uma circunferência corres-
ponde a um arco de 360°.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
12
3
12
3
4
12
3
30˚
4
12
3
1
2
3 h 10 min
12
3
3 h
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
76 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Medida de arcos de uma circunferência
Nos relógios com ponteiros, a circunferência está dividida em 12 partes iguais (horas),
e cada uma dessas 12 partes está dividida em 5 partes iguais (minutos). Portanto, nesses
relógios aparecem, no mínimo, dois ponteiros: o que indica as horas e o que indica os minutos.
Enquanto o ponteiro dos minutos dá uma volta completa na circunferência, isto é, descreve
um arco correspondente a um ângulo central de 360°, o ponteiro das horas descreve um
arco correspondente a um ângulo central de
°
12
360
, ou seja, a um arco de 30°.
Vamos descobrir a medida do arco que o ponteiro das horas descreve em 1 minuto.
Se em 1 hora o ponteiro das horas descreve um arco de 30°, em 1 minuto descreve um
arco de
60
30°
, ou seja, um arco de 0,5°, que corresponde a 30e.
Agora, vamos calcular o menor arco formado pelos ponteiros (horas e minutos) do relógio
quando são 3 h 10 min.
Quando o relógio marca 3 h, os ponteiros determinam um arco de 90°. Em cada minuto, o
ponteiro das horas se desloca 0,5°. Assim, em 10 minutos ele se desloca 10 8 0,5°, ou seja, 5°.
A cada minuto, o ponteiro dos minutos se desloca 6°. Assim, em 10 minutos ele se des-
loca 10 8 6°, ou seja, 60°.
No deslocamento do ponteiro das horas, o arco aumenta 5° e, no deslocamento do pon-
teiro dos minutos, diminui 60°. Assim, o arco procurado é dado por 90° 1 5° 2 60°, ou seja,
é um arco de 35°. Logo, o menor arco às 3 h 10 min mede 35°.
Já aprendemos que o número irracional π é obtido pela razão:
medidado diâmetro
comprimentodacircunferência
ILUSTRAÇÕES: PAULO MANZI
PARA SABER MAIS

135. 77BIMESTRE 1
Orientações
Enfatize aos alunos que
a medida de um arco, em
grau, é sempre a mesma em
qualquer circunferência. No
entanto, o comprimento do
arco, em centímetro, muda
de acordo com a medida do
raio da circunferência.
A seguir, apresentamos al-
gumas possíveis resoluções
do Agora é com você! desta
seção.
Na questão 1, em 1 hora, ou
seja, em 60 minutos o pon-
teiro dos minutos descreve
um arco de 360° (uma volta
completa), em 1 minuto des-
creve um arco de medida x.
60
1
5
360
x
Æ 60x 5 360 Æ
Æ x 5 6°
Na questão 2, os relógios
(analógicos) têm 12 núme-
ros igualmente espaçados.
Então, cada arco formado
por dois números conse-
cutivos corresponde a 30°
(360° : 12). Analisando um
desenho da situação, pode-
mos verificar que os pontei-
ros determinarão novamen-
te um menor arco de 120°
com o ponteiro dos minutos
no 12 às 8 horas.
12
9
10
11
3
2
1
6
5
4
7
8
30º
120º120º
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
77CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Assim, o comprimento de uma circunfe rência (C ) é obtido pelo produto da medida de
seu diâ metro (d ) pelo número π, ou seja, C 5 d 8 π. Como a medida do diâmetro de uma cir -
cunferência é igual ao dobro da medida de seu raio, temos:
C 5 2πr
É por isso que, em um relógio, quando o ponteiro dos minutos gira 360°, sua extremidade
faz um percurso de 2πr, ou seja, percorre todo o comprimento da circunferência.
Nos relógios das fotos a seguir, os ponteiros têm diferentes medidas. Vamos considerar
a circunferência determinada pela extremidade do ponteiro dos minutos.
1 comprimento do
ponteiro: 14 cm
3 20 cm
Quando o ponteiro dos minutos descreve um ângulo a, sua extremidade per corre um
arco cujo comprimento é diretamente proporcional a a.
Assim, por exemplo, em um relógio, quando o ponteiro dos minutos gira 60°, sua extremi-
dade percorre
6
1
da circunferência, isto é, um arco de comprimento
88r
6
2s
ou, ainda,
r
3
s
.
Observe que o relógio 1 tem ponteiro de 14 cm. Quando o ponteiro dos minutos gira 60°,
sua extremidade percorre um arco de
8
3
14s
cm, ou seja, aproximadamente 14,65 cm.
Já a extremidade do ponteiro dos minutos do relógio 2, quando gira 60°, percorre um
arco de
8,
3
125s
cm, ou seja, aproximadamente 13,08 cm.
WILLIAM CASEY/SHUTTERSTOCK
ROBERTO CERRUTI/SHUTTERSTOCK
LUCIACASAIS/SHUTTERSTOCK
2 12,5 cm
1 Descubra a medida do arco que o pon-
teiro dos minutos descreve em 1 minuto.
2 Às 4 h os ponteiros de um relógio de-
terminam um menor arco de 120°. A
que horas eles determinarão novamente
um arco de 120° quando o ponteiro dos
minutos estiver no 12?
às 8 horas
3 Lembrando que um giro de 30° corres-
ponde a
12
1
da circunferência, deter-
6°
a) q 10,47 cm
b) q 15,7 cm
c) q 31,4 cm
d) q 94,2 cm
e) q 62,8 cm
mine qual é a fração da circunferência
correspondente a cada giro.
a) 20°
18
1
c) 90°
4
1
e) 135°
8
3
b) 45°
8
1 d) 180°
2
1 f) 270°
4
3
4 Observe o relógio 3 e, usando π 5 3,14,
calcule, em centímetro, a medi da dos ar-
cos descritos pelo ponteiro dos minutos
correspondentes a um giro de:
a) 30°; c) 90°; e) 180°.
b) 45°; d) 270°;
Agora é com você!
WLAMIR MIASIRO

136. 78
Grandezas
inversamente
proporcionais
Peça aos alunos que, em du-
plas, leiam e acompanhem a
situação desenvolvida, regis-
trando no caderno as con-
siderações sobre o que le-
ram. Depois, proponha que
comparem com as situações
que envolvem grandezas di-
retamente proporcionais já
vistas.
Verifique se os alunos obser-
varam que se as grandezas
são inversamente propor-
cionais temos que a razão
entre dois valores de uma
grandeza é igual à razão
inversa entre os valores cor-
respondentes da outra.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
78 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
MONITO MAN
4
Grandezas inversamente proporcionais
Antes de estudar as grandezas inversamente proporcionais, veremos o conceito de razões
inversas.
Ao trabalhar com números racionais, você já se deparou com números inversos. Por exemplo,
os números
3
4
e
4
3
são inversos, assim como os números 3 e
3
1
.
Vamos considerar as razões
4
3
e
3
4
. Note que o produto delas é igual a 1, pois:
8
4
3
3
4
12
12
155
Nessas condições, dizemos que as razões são inversas. Portanto,
4
3
é a razão inversa de
3
4
, e
3
4
é a razão inversa de
4
3
.
Veja outros exemplos.
a) A razão inversa de
6
5
é
5
6
, e a razão inversa de
5
6
é
6
5
.
b) A razão inversa de
7
1
é
1
7
, e a razão inversa de
1
7
é
7
1
.
Agora, observe uma situação que envolve as grandezas velocidade e tempo.
Fernando tem um jogo de videogame que simula uma corrida de motos. Algumas vezes, ele
percorreu o mesmo trajeto com velocidades diferentes e anotou o tempo que levou a cada vez.
Velocidade (em km/h) Tempo (em minuto)
30 12
60 6
90 4
120 3
Analisando o quadro, temos que:
ƒduplicando a velocidade da moto, o tempo fica reduzido à metade;
ƒtriplicando a velocidade, o tempo fica reduzido à terça parte, e assim por diante.
Por isso, as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Veja ainda que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são
iguais ao inverso das razões que indicam o tempo.
inverso da razão
6
12
60
30
12
6
5
inverso da razão
4
12
90
30
12
4
5
inverso da razão
3
12
120
30
12
3
5
inverso da razão
3
4
120
90
4
3
5
inverso da razão
3
6
120
60
6
3
5
inverso da razão
4
6
90
60
6
4
5

137. 79BIMESTRE 1
Orientações
Explore com os alunos os
exemplos apresentados.
Ressalte o fato de que no
caso das grandezas inver-
samente proporcionais o
produto entre os valores de
uma grandeza pelos valores
correspondentes da outra se
mantém constante.
Sugestões de leitura
Para ampliar esse estudo, sugerimos:
<https://www.somatematica.com.
br/fundam/graninv.php>;
<https://matika.com.br/grandezas-
diretamente-e-inversamente-
proporcionais/grandezas-
inversamente-proporcionais>;
<https://matika.com.br/grandezas-
diretamente-e-inversamente-
proporcionais/grandezas-
diretamente-proporcionais>.
Acessos em: 30 ago. 2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais
e de outras áreas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
79CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre
dois valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores
correspondentes da segunda.
Note também que a multiplicação dos valores da primeira coluna do quadro pelos valores
correspondentes da segunda é igual.
30 8 12 5 60 8 6 5 90 8 4 5 120 8 3
Todos esses produtos são iguais a 360.
Dizemos, então, que os números da sequência 30, 60, 90 e 120 são inversamente propor-
cionais aos números da sequência 12, 6, 4 e 3.
Acompanhe mais alguns exemplos.
a) Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com essas informa-
ções, podemos supor que:
• o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto
é, em 18 dias;
• o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo,
isto é, em 12 dias.
Então, concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente
proporcionais.
b) Vamos determinar x e y de modo que a sequência de números 4, x e 8 seja inversamente
proporcional à sequência de números 20, 16 e y.
Para que as duas sequências sejam inversamente proporcionais, os produtos dos números
correspondentes devem ser iguais, isto é:
4 8 20 5 x 8 16 5 8 8 y
Assim:
Portanto, para que
as duas sequências
sejam inversamente
proporcionais, devemos
ter
x 5 5 e y 5 10.
4x8
20 16 y
x 8 16 5 4 8 20
16x 5 80
x
16
16
16
80
5
x 5 5
8 8 y 5 4 8 20 8y 5 80
y
8
8
8
80
5
y 5 10
SIDNEY MEIRELES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
21
Cinco iogurteiras iguais produzem certa quan tidade de iogurte em 28 dias. Nessas condições, responda.
a) O dobro do número dessas iogurteiras produz essa mesma quantidade de iogurte em quantos dias?
b) O quádruplo do número de iogurteiras faz esse mesmo trabalho em quan tos dias?
7 dias
c) As grandezas quantidade de iogurteiras e tempo são diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais?
inversamente proporcionais
a) 14 dias

138. 80
Exercícios propostos
No exercício 22, é interes-
sante chamar a atenção dos
alunos para o fato de que,
se aumentamos o número
de torneiras, o tempo para
encher o tanque tende a di-
minuir. Desse modo:
a) com 2 torneiras abertas o
tempo se reduziria à meta-
de, ou seja, 2 torneiras aber-
tas encheriam o tanque em
4 horas;
b) com 3 torneiras abertas o
tempo se reduziria à terça
parte, ou seja, 3 torneiras
abertas encheriam o tanque
em
8
3
horas ou, ainda,
160 minutos
(
1 8
8 60 minutos
)
;
c) em 1 hora, uma única
torneira aberta encheria
1 8

do tanque, ou seja, seriam
necessárias 8 torneiras para encher o tanque em 1 hora.
Regra de três simples
Aplicando as relações de proporcionalidade direta
e inversa na resolução de
problemas que envolvem
a variação de duas ou mais
grandezas dependentes, de-
senvolvemos um processo
de resolução denominado
regra de três.
Ela é simples quando há
apenas duas grandezas en-
volvidas, que são direta ou
inversamente proporcionais.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
80 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
22 Para encher um tanque, são usadas três tornei-
ras iguais. Com apenas uma torneira aberta,
enche-se o tanque em 8 horas.
a) Em quantas horas duas torneiras abertas
encheriam o tanque?
4 horas
b) Em quantos minutos as três torneiras aber-
tas encheriam o tanque?
160 minutos
c) Quantas torneiras iguais a essa seriam ne-
cessárias para encher o tanque em 1 hora?
23 Os dados do quadro a seguir referem-se ao
número de máquinas (iguais) e ao tempo
necessário para a produção de 36 litros de
sorvete.
a) Determine os valores de a, b e c.
b) Com apenas uma máquina, em quanto tem-
po seriam produzidos 108 litros de sorvete?
c) Para produzir 72 litros de sorvete em 30 mi-
nutos, seriam necessárias quantas máquinas?
24 Divida o número 132:
a) em três partes iguais;
44
b) em partes diretamente proporcionais a 2,
4 e 6;
22, 44 e 66
c) em partes inversamente proporcionais a 2,
4 e 6.
72, 36 e 24
Número de máquinas 1 2 b 6
Tempo (em minuto) 60 a15 c
25 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre grandezas inversamente proporcionais. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
5
Regra de três simples
Os problemas que envolvem duas grande-
zas direta ou inversamente proporcionais po-
dem ser resolvidos por meio de um processo
prático chamado de regra de três simples .
Para enten der tal processo, considere as si-
tuações a seguir.
O problema envolve duas grandezas: distância percorrida e consumo de etanol. As unidades
empregadas para medir essas grandezas são, respectivamente, quilômetro e litro.
Toda proporção tem quatro
termos, dois extremos e dois
meios. Aplicamos a regra
de três quando queremos
obter um desses termos e
conhecemos os outros três
termos. Daí o nome regra
de três!
MONITO MAN
O automóvel da senhora
consome 1 litro de etanol
a cada 15 quilômetros
percorridos.
Com quantos litros de
etanol devo abastecer o
carro, se vou percorrer
240 quilômetros?
8 torneiras
a) a 5 30; b 5 4 e c 5 10 b) 3 horasc) 4 máquinas
SIDNEY MEIRELES
Situação 1
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade
direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes
proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras
áreas.

139. 81BIMESTRE 1
Orientações
Peça aos alunos que façam
a leitura e acompanhem o
desenvolvimento da situa-
ção 1. Espera-se que eles ob-
servem que a montagem do
quadro organiza os dados
fornecidos pelo problema,
destaca o valor desconhe-
cido e facilita a análise da
relação entre as grandezas
envolvidas, para verificar se
elas são grandezas direta-
mente proporcionais ou in-
versamente proporcionais.
Depois disso, aplicamos as
condições estudadas para o
respectiva relação de pro-
porcionalidade: direta ou
inversa.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
81CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Situação 2
As grandezas distância percorrida e consumo de etanol são diretamente propor cio nais,
pois, se a distância percorrida aumenta, o consumo de etanol aumenta proporcionalmente,
ou seja, se a distância dobra, triplica…, o consumo de etanol também dobra, triplica… etc.
Logo, a razão entre as distâncias percorridas é igual à razão entre os correspondentes
consumos de etanol.
Assim, temos a proporção
x210
180 15
5 , que nos leva ao valor de x.
180x 5 15 8 210
.x
180
180
180
3150
5
x 5 17,5
Portanto, esse automóvel gastaria 17,5 litros de etanol para percorrer 210 km.
Velocidade média (em km/h) 60 80
Tempo (em hora) 4 x
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao se aumentar
a velocidade, o tempo de percurso diminui proporcionalmente. Se, por exemplo, a velocidade for duplicada, o tempo de percurso será reduzido à metade.
Assim, os produtos dos valores de cada velocidade média e
dos tempos de percurso correspondentes são iguais:
80x 5 60 8 4
Resolvendo a equação, obtemos o valor de x :
x
80
80
80
240
5
x 5 3
Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h, o tempo
que ela levou para percorrer o mesmo trajeto foi de 3 horas.
Ao viajar de automóvel, à velocidade média de 60 km/h, Vânia leva 4 horas para fazer de-
terminado percurso. Certo dia, ela aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/h. Vamos calcular o tempo que ela levou para percorrer o mesmo trajeto.
O problema envolve duas grandezas: velocidade, em quilômetro por hora, e tempo, em hora.
Indicando por x o número de horas, montamos este quadro:
Distância percorrida (em km) 180 210
Consumo de etanol (em litro) 15 x
Ao indicar por x o número de litros de etanol que serão consumidos, podemos montar o
seguinte quadro:
MONITO MAN

140. 82
Exercícios propostos
Apresentamos uma possível
resolução para o exercício
27. Sabemos que 5 tonela-
das de cana-de-açúcar pro-
duzem 350 litros de álcool,
ou seja, cada 5.000 kg (1 t 5
5 1.000 kg) de cana pro-
duzem 350 litros de álcool.
Então:
• 10.000 kg de cana produ-
zem 700 litros de álcool;
• 2.500 kg de cana produ-
zem 175 litros de álcool;
• 12.500 kg de cana produ-
zem 875 litros de álcool.
Podemos organizar em uma
tabela os dados obtidos:
Quantidade de
cana-de-açúcar
5.000
kg
12.500
kg
?
Produção de
álcool
350 L 875 L
8.750
L
Essas grandezas são direta-
mente proporcionais. Ob-
servando a tabela, notamos
que 8.750 5 10 8 875; logo, a
quantidade de cana-de-açú-
car procurada é dada por
10 8 12.500 kg 5 125.000 kg
ou 125 toneladas.
Aproveite o exercício 28
para conversar com os alu-
nos sobre atitudes para a
preservação do meio am-
biente, como a diminuição
do lixo descartável.
Pense mais um
pouco...
Peça aos alunos que organi-
zem os dados em um quadro.
Quantidade de pessoas250 240
Número de dias de
duração dos alimentos
24 x
A resolução do problema
pode ser encaminhada do
seguinte modo: as grande-
zas “quantidade de pesso-
as” e “número de dias” (de
duração dos alimentos) são
inversamente proporcionais;
ao diminuir a quantidade de
pessoas, o número de dias
que os alimentos duram au-
menta:
x
24
5
250 240
240x 5 24 8 250
x 5 25 dias
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
82 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
26 Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00, então:
a) quanto custam 12,5 m desse tecido?
b) quantos metros é possível comprar com
R$ 109,20?
8,4 m
27 Uma usina produz 350 litros de álcool com
5 toneladas de cana-de-açúcar. Para produzir
8.750 litros de álcool, são necessárias quantas
toneladas de cana-de-açúcar ?
125 toneladas
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Um navio zarpou para uma viagem carregando alimentos suficientes para 30 dias. Entre passagei-
ros e tripulantes, havia 250 pessoas a bordo. Passados 6 dias, o navio atracou em um porto, onde
10 passa geiros desembarcaram, desistindo da viagem. Para quantos dias foram suficientes os ali-
mentos restantes?
25 dias
26. a) R$ 162,50
28 No rio que atravessa certa cidade, foram en-
contradas 3 toneladas de peixes mortos, em decorrência de um grande vazamento de uma indústria química. A prefeitura da cidade con- tratou 45 funcionários de uma empresa de limpeza urbana, que, em 4 dias, retiraram do rio todos os peixes mortos.
a) Supondo que a prefeitura tivesse contratado
mais 15 funcionários, de mesma produtivi-
dade, quantos dias seriam necessários para
retirar do rio aquela quantidade de peixes?
b) Para evitar desastres ambientais como esse,
que atitudes você acha que as empresas
devem tomar ?
Resposta pessoal.
c) Não jogar lixo na rua, separar materiais
recicláveis e evitar o uso de automóvel para
percorrer pequenas distâncias são peque-
nas atitudes que podem preservar o meio
ambiente. Troque ideias com os colegas
e façam uma lista de outras atitudes que
podem ser tomadas para ajudar o planeta.
Resposta pessoal.
18,75 kg
29 Uma padaria produz 400 pães com 10 kg de
farinha de trigo.
a) Quantos pães ela produzirá com uma saca
de 60 kg de farinha?
2.400 pães
b) Quantos quilogramas de farinha são neces-
sários para a produção de 750 pães?
30 Para construir uma roda dentada com deter-
minada máquina, perdem-se 30 gramas de
material. Depois de 10 dias utilizando essa
máquina, que produz 150 rodas dentadas por
dia, quantos quilogramas de material serão
perdidos?
45 kg
31 Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas
com velocidade média de 80 km/h, consumin-
do 1 litro de etanol a cada 12 quilômetros.
a) Se a velocidade média fosse 90 km/h, esse
percurso seria feito em quanto tempo?
b) Desejando-se fazer esse percurso em 5 ho-
ras, qual deve ser a velocidade média do
automóvel?
72 km/h
4 horas
32 Uma torneira fornece 24 litros de água por
minuto e enche um tanque em 45 minutos.
a) Duas torneiras iguais a essa encheriam o
tanque em quantos minutos?
22,5 minutos
b) Para encher o tanque em 15 minutos, se-
riam necessárias quantas dessas torneiras,
sabendo que agora ele tem um vazamento?
não é possível calcular o número de torneiras
33 Em uma cidade, 600 ônibus transportam
240.000 pessoas por dia. Para reduzir os gas-
tos, a prefeitura propôs retirar 200 ônibus de
circulação.
a) Supondo que os usuários desses 200 ônibus
passem a usar automóveis e que cada auto-
móvel transporte 4 pessoas por dia, quantos
automóveis serão necessários?
b) O que você acha que acontecerá com o
trânsito e o meio ambiente da cidade se a
prefeitura de fato tomar essa medida?
20.000 automóveis
Resposta pessoal.
34 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre regra de três.
Depois de cada um resolver o problema elabo-
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
3 dias

141. 83BIMESTRE 1
Para saber mais
Nesta seção, exploramos a
organização e a análise dos
quadros montados como
estratégia de resolução de
situações que envolvem re-
lações de proporcionalidade
direta ou inversa.
Sugerimos que as questões
do Agora é com você! sejam
desenvolvidas em duplas,
para propiciar a troca de ex-
periências e a socialização
de estratégias de resolução.
Ao final, um representante
de cada dupla pode mostrar
na lousa o procedimento
feito na resolução de algu-
ma questão.
Apresentamos a seguir uma
possível resolução do item
d da questão 2. A monta-
gem do quadro propicia aos
alunos pensarem em que
porcentagem corresponde
ao valor integral do relógio
(550 reais). Espera-se que
eles concluam que esse va-
lor corresponde a 100%, en-
quanto 38% corresponderá
ao valor do desconto.
Valor
(em reais)
Porcentagem
550 100%
x 38%
Como a relação envolvida é
de proporcionalidade dire-
ta, obtemos a proporção:
550
x
5
100
38
100x 5 550 8 38
x 5 209
Logo, o valor do desconto é
R$ 209,00.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
PARA SABER MAIS
Agora é com você!
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
83CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Como as grandezas massa e
preço são diretamente proporcionais,
se eu dividir a massa por 2, também
tenho que dividir o preço por 2...
... E usando esse mesmo
raciocínio, descubro o preço
de 1 kg, dividindo os resultados
obtidos por 10.
Assim, Juca descobriu que o preço de 1 kg de cebola é R$ 1,60.
Miriam também fez um quadro para organizar seus cálculos na resolução de um problema.
Em um estádio de futebol existem 8.600 lugares disponíveis. Em certo dia de jogo, 62%
dos lugares estavam ocupados. Quantos lugares estavam ocupados?
Miriam descobriu que 5.332 lugares estavam ocupados.
1 Reúna-se com um colega para responder às questões.
a) Como ficaria o quadro de Juca se ele inicialmente dividisse a massa e o preço por 4?
b) Qual foi o raciocínio de Miriam para elaborar o quadro e obter o número de lugares ocu-
pados no estádio?
2 Faça como Juca e Miriam para resolver os problemas a seguir.
a) Se 18 kg de banana custam R$ 45,00, calcule o preço de 1 kg de banana.
R$ 2,50
b) Um automóvel gasta 4 litros de gasolina para percorrer 60 km. Calcule quantos litros de
gasolina ele gastará ao percorrer 150 km.
10 litros
c) Em um estádio de futebol existem 24.500 lugares. Em um dia de jogo, 48% dos lugares
desse estádio estavam ocupados. Calcule a quantidade de lugares ocupados nesse dia.
d) Um relógio que custava R$ 550,00 em determinada loja estava na promoção com um
desconto de 38%. Calcule o valor do desconto.
R$ 209,00
c) 11.760
3 69 10
3 29 100
Percentual 100 10 60 1 2 60 1 2 5 62
Número de lugares 8.600 860 5.160 86 172 5.160 1 172 5 5.332
LEONARDO CONCEIÇÃO
Resolvendo problemas com o auxílio de um quadro
Juca resolveu o problema a seguir usando um quadro para organizar seus cálculos.
Em um supermercado que vende por atacado, 20 kg de cebola custam R$ 32,00. Calcule
o preço de 1 kg de cebola.
Massa (em kg) 20 10 1
Preço (em real)32 16 1,6
9 2
9 2
9 10
9 10
1. a )
9 4
9 4
9 5
9 5
Massa (em kg)20 5 1
Preço (em real)32 8 1,6
1. b) resposta possível: Inicialmente,
Miriam associou o total de lugares
disponíveis a 100%. Depois,
calculou o número de lugares
correspondente a 60%, dividindo o percentual e o número de lugares por 10
e, em seguida, multiplicando os resultados obtidos por 6. Como o percentual
pedido é 62%, Miriam teve
de calcular o número correspondente a 2%.
Ela optou por, primeiro, descobrir o número de lugares correspondente a 1% (dividindo por 100 os valores da
primeira coluna do quadro) e, em seguida, o número correspondente a 2% (multiplicando os resultados obtidos
por 2). Para finalizar seus cálculos, Miriam adicionou os números correspondentes a 60% e 2%.

142. 84
Trabalhando a
informação
Esta seção apresenta uma
boa oportunidade para pro-
mover uma discussão inter-
disciplinar de temas como o
da pobreza e da distribuição
de renda. Nesse sentido, se
julgar adequado, promova
um trabalho conjunto com
os professores de História,
Geografia e Ciências, cha-
mando a atenção dos alunos
para o desempenho dos paí-
ses também em outros anos.
Sugestão de leitura
Para complementar as informações,
consulte o
site do IBGE, que
disponibiliza um banco de dados
com diversas informações, entre elas
os indicadores sociais dos países:
<https://ww2.ibge.gov.br/
paisesat_25112014/main.php>.
Acesso em: 30 ago. 2018.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
84 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
BRASIL
IDH: 0,754
Expectativa de vida
ao nascer: 74 anos
Mortalidade infantil
(morte/mil nascidos): 17,5
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
1.030 km
Construindo gráficos
de barras e de colunas
Fred observou o infográfico ao lado e resol-
veu fazer um gráfico de barras para comparar a
taxa de mortalidade infantil (dados estimados
para 2017) dos países em destaque. Ele usou
os dados de uma morte para cada mil nascidos.
Para o gráfico não ficar muito grande, Fred
estabeleceu 10 cm de comprimento para a
barra correspondente à maior porcentagem
( Paquistão – 52,1 mortes/mil nascidos). A seguir,
ele calculou o comprimento das outras barras
por meio da regra de três. Observe dois cálculos
que ele fez.
País
Mortalidade infantil
(morte/mil nascidos)
Comprimento
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Bangladesh 31,7 y
País
Mortalidade infantil
(morte/mil nascidos)
Comprimento
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Indonésia 22,7 x
Assim, as barras referentes à Indonésia e a Bangladesh ficaram com
4,4 cm e 6,1 cm, respectivamente.
,
,
y317
52110
5 ] 52,1y 5 317 ] y 5
,521
731
q 6,1
,
,
x227
52110
5 ] 52,1x 5 227 ] x 5
,521
227
q 4,4
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/
resources/the-world-factbook/rankorder/2102rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/
resources/the-world-factbook/rankorder/2091rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
A POBREZA NO MUNDO
O IDH (Índice de
Desenvolvimento Humano)
é uma medida que classifica
os países pelo seu nível
de desenvolvimento com
base em três dimensões:
renda, educação e saúde.
Veja no mapa o IDH e a
situação de alguns países
relativa a outros dois índices:
a expectativa de vida ao
nascer e a mortalidade
infantil por mil nascidos.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas
de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o
apoio de planilhas eletrônicas.

143. 85BIMESTRE 1
Agora quem trabalha
é você!
Na questão 2, devemos pri-
meiro organizar os dados
em uma tabela consideran-
do a altura da coluna cor-
respondente ao país que
tem a maior expectativa de
vida (a China) igual a 10 cm
e, assim, determinar as altu-
ras das demais colunas pro-
porcionalmente aos anos de
expectativa de vida dos de-
mais países.
Expectativa de vida ao nascer
País
Expectativa
de vida
(em anos)
Altura da
coluna
(em cm)
Brasil 74 9,8
Paquistão 68,1 9,0
Quênia 64,3 8,5
Etiópia 62,6 8,3
Bangladesh 73,4 9,7
Índia 68,8 9,1
China 75,7 10,0
Indonésia 73 9,6
Dados obtidos em: CIA. Disponível
em: <https://www.cia.gov/library/
publications/resources/the-world-
factbook/rankorder/2102rank.
html>. Acesso em: 09 out. 2018.
De acordo com os dados da
tabela, construímos o gráfi-
co a seguir.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Ano
Países
74 73,4
68,8
75,7
73
64,3
62,6
68,1
Expectativa de vida ao nascer
Brasi l
Paquistão
Quênia
Etiópia
Bangladesh
Índia
China
Indonésia
Dados obtidos em: CIA. Disponível
em: <https://www.cia.gov/library/
publications/resources/the-world-
factbook/rankorder/2102rank.
html>. Acesso em: 09 out. 2018.
85CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
PAQUISTÃO
IDH: 0,550
Expectativa de
vida ao nascer:
68,1 anos
Mortalidade
infantil (morte/
mil nascidos): 52,1
QUÊNIA IDH: 0,555
Expectativa de vida ao nascer: 64,3 anos Mortalidade infantil (morte/ mil nascidos): 37,1
BANGLADESH IDH: 0,579
Expectativa de vida ao nascer: 73,4 anos Mortalidade infantil (morte/ mil nascidos): 31,7
CHINA IDH: 0,738
Expectativa de vida ao nascer: 75,7 anos Mortalidade infantil (morte/ mil nascidos): 12,0
ÍNDIA IDH: 0,624
Expectativa de vida ao nascer: 68,8 anos Mortalidade infantil (morte/ mil nascidos): 39,1
INDONÉSIA IDH: 0,689
Expectativa de vida ao nascer: 73 anos Mortalidade infantil (morte/ mil nascidos): 22,7
ETIÓPIA IDH: 0,448
Expectativa de vida ao nascer: 62,6 anos Mortalidade infantil (morte/ mil nascidos): 49,6
Baixo
Médio
Alto
Muito alto
IDH
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/
resources/the-world-factbook/rankorder/2102rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
1 Calcule o comprimento das barras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o
mesmo gráfico que Fred fez.

2 Elabore um gráfico de colunas comparando a expectativa de vida ao nascer desses países. (Sugestão:
deixe a coluna maior com 10 cm de altura.)
construção de gráfico
3 Comparando os países destacados no infográfico, responda: o país com a maior taxa de mortalidade
infantil é o que tem o menor IDH? Escreva uma explicação para isso.
Brasil: 3,6 cm; China: 2,3 cm; Etiópia: 9,5 cm; Índia: 7,5 cm; Quênia: 7,1 cm.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Não, porque o IDH é composto também de outras variáveis.
WLAMIR MIASIRO

144. 86
Regra de três
composta
Aplicando as relações de
proporcionalidade direta
e inversa na resolução de
problemas que envolvem
a variação de mais de duas
grandezas dependentes, o
processo de resolução de-
senvolvido, nesse caso, será
uma regra de três compos-
ta. No entanto, a avaliação
entre as grandezas é feita
de duas em duas, conside-
rando as demais com valores
constantes, para determinar
quais das grandezas são di-
retamente proporcionais e
quais são inversamente pro-
porcionais.
Trabalhe com a situação 1
na lousa, pedindo aos alu-
nos que auxiliem e justifi-
quem cada etapa desen -
volvida. A montagem dos
quadros passo a passo mos-
tra a estratégia utilizada e
possibilita verificar a pro-
priedade concluída ao final.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
86 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Situação 1
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
80 120 5.000
150 100 x
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
80 120 5.000
150 120 z
Fixando o número de dias em 120, temos número de fun cionários e preço como grandezas.
Assim, é possível determinar o preço em reais que essa empresa pagaria para fornecer o café
da manhã para 150 funcionários durante 120 dias. Vamos indicar esse preço por z.
As grandezas número de funcionários e preço são diretamente proporcionais. Então, po-
demos escrever a proporção abaixo e determinar o valor de z.
6
Regra de três composta
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, direta
ou inversamente proporcionais, é chamado de regra de três composta.
Considere as situações a seguir, que envolvem três grandezas.
Uma empresa fornece café da manhã
para 80 funcionários, gerando-lhe um
custo de R$ 5.000,00 para um período
de 120 dias. Vamos calcular quanto
essa empresa gastaria para fornecer o
mesmo café da manhã para 150 funcio-
nários, durante 100 dias.
Vamos chamar de x o preço em reais
desse café da manhã para 150 funcio-
nários durante 100 dias. Para facilitar,
vamos dispor em um quadro os dados
das grandezas.
Agora, fixando o número de funcionários em 150, temos as grandezas tempo e preço.
Então, vamos encontrar o valor de x, que é o preço do café da manhã para 150 funcio ná rios
durante 100 dias.
LEONARDO CONCEIÇÃO
.
z150
80 5 000
5
80z 5 150 8 5.000
.z
80
80
80
750000
5
z 5 9.375
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade
direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes
proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras
áreas.

145. 87BIMESTRE 1
Orientações
Analise com os alunos o de-
senvolvimento da mesma
situação com a aplicação
da propriedade concluída
anteriormente. Ao analisar
duas grandezas de cada vez,
estamos considerando men-
talmente os quadros feitos
passo a passo.
Sugestão de leitura
Para ampliar este trabalho, sugerimos:
<https://mundoeducacao.bol.uol.
com.br/matematica/regra-tres-
composta.htm>.
Acesso em: 30 ago. 2018.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
87CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
80 120 5.000
150 100 x
As grandezas tempo e preço são diretamente proporcionais. Então, podemos escrever a
proporção abaixo e determinar o valor de x.
.
x100
1209 375
5
120x 5 100 8 9.375
.x
120
120
120
937500
5
x 5 7.812,5
Portanto, o preço que a empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcio-
nários durante 100 dias é R$ 7.812,50.
Observe que a grandeza preço é diretamente proporcional à grandeza tempo e à grandeza
número de funcionários. Essa relação conduz a outra forma de resolução desse problema,
por meio da aplicação da seguinte propriedade:
Se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então ela é proporcional ao produto dessas outras grandezas.
Observe o quadro abaixo com os dados iniciais dessa situação.
Vamos resolver esse problema aplicando a propriedade apresentada acima.
.
.
.
x
5000
15 000
9 600
5
9.600x 5 5.000 8 15.000
.
.
.
..x
9600
9600
9 600
75 000 000
5
x 5 7.812,5
Número de funcionários Tempo (em dias) Preço (em reais)
150 120 9.375
150 100 x
LEONARDO CONCEIÇÃO
A razão entre os preços é
igual ao produto da razão entre o
número de funcionários pela razão
entre o número de dias.
razão entre o número
de funcionários
razão entre o número de diasrazão entre
os preços
8
.
x
5000
150
80
100
120
5

146. 88
Orientações
Inicialmente, proponha a si-
tuação 2 na lousa para que
os alunos, reunidos em du-
plas, possam resolvê-la no
caderno. Depois, peça a eles
que acompanhem a resolu-
ção apresentada no livro e
comparem com as estraté-
gias que usaram para veri-
ficar se precisam modificar
alguma coisa. A discussão
entre colegas é importante
para a exposição de ideias,
a busca de justificativas para
procedimentos e a análise
e a comparação com o de-
senvolvimento do livro. Ao
final, organize uma roda de
conversa para discutir as di-
ficuldades que encontraram
e para socializar as estraté-
gias utilizadas pelas duplas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
88 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Em uma indústria, 5 máquinas iguais produzem
600 peças em 5 dias.
Vamos calcular quantas dessas máquinas pro-
duziriam 720 peças em 3 dias.
Vamos dispor os dados em um quadro e chamar
de x o número de máquinas que produziriam 720 peças em 3 dias.
Fixando o número de dias em 5, temos as grandezas número de máquinas e número de
peças. Então, vamos determinar o número de máquinas que produziriam 720 peças em 5 dias,
indicando-o por z.
As grandezas número de máquinas e número de peças são diretamente proporcionais.
Então, podemos escrever a proporção abaixo e determinar o valor de z.
As grandezas número de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. Então, a razão
entre o número de máquinas é igual ao inverso da razão entre o número de dias.
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
5 600 5
x 720 3
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
5 600 5
z 720 5
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
6 720 5
x 720 3
Fixando o número de peças em 720, vamos agora trabalhar com as grandezas número de
máquinas e tempo. Então, encontramos o valor de x, que é o número de máquinas que pro-
duziriam 720 peças em 3 dias.
z
5
720
600
5
600z 5 5 8 720
.z
600
600
600
3 600
5
z 5 6
x
6
5
3
5
3x 5 30
x
3
3
3
30
5
x 5 10
Portanto, o número de máquinas que produziriam 720 peças em 3 dias é 10.
LEONARDO CONCEIÇÃO
3
5
é o inverso de
5
3
.
Situação 2
SIDNEY MEIRELES
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.

147. 89BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Neste bloco, os exercícios
também podem ser resolvi-
dos em duplas, o que pro-
piciará a ampliação de re-
pertório de estratégias de
resolução dos alunos.
Na correção, convide um re-
presentante de cada dupla
para apresentar na lousa
possíveis resoluções, envol-
vendo toda a turma no de-
senvolvimento de cada reso-
lução.
No exercício 41, o desafio
é que os alunos compre-
endam que devem obter o
valor a ser acrescido corres-
pondente aos novos fun-
cionários, pois o contrato
anterior já engloba os 72
funcionários que a empresa
possuía. Assim, precisamos
descobrir que valor será
cobrado para fornecer re-
feições para 8 funcionários
por 40 dias (tempo que falta
para completar o contrato).
Montamos o quadro corres-
pondente a essa situação:
Número de
funcionários
Tempo
(em dias)
Valor
(em reais)
72 60 dias 13.824
8 40 dias x
Analisando as grandezas do
quadro em relação ao valor
(grandeza que contém a in-
cógnita), temos:
• “número de funcionários”
e “valor” são diretamente
proporcionais (duplicando
o número de funcionários,
o valor cobrado é duplica-
do etc.);
• “tempo” e “valor” tam-
bém são grandezas dire-
tamente proporcionais
(duplicando o tempo de
fornecimento, o valor é
duplicado etc.).
Assim, obtemos:
13.824
x
5
72
8
8
60
40
13.824
x
5
9 1
8
3 2
27x 5 13.824 8 2
x 5 1.024
Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original:
Valor novo 5 13.824 1 1.024 5 14.848
Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
89CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Vamos resolver novamente esse problema aplicando a propriedade estudada.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
37 Uma gráfica tem 5 máquinas iguais que
imprimem 36.000 panfletos em duas horas.
Considerando que duas dessas máquinas não
estejam funcionando, calcule em quanto tempo
as restantes imprimiriam 27.000 exemplares do
mesmo panfleto.
2 h 30 min
35 Em um restaurante, 150 fregueses consomem
3.000 esfirras em 5 dias. Calcule quantas es-
firras 200 fregueses vão consumir em 30 dias,
admitindo que todos esses fregueses tenham
hábitos iguais.
24.000 esfirras
As grandezas número de máquinas e número de peças são diretamente propor cionais. No
entanto, as grandezas número de máquinas e tempo são inversamente proporcio nais. Assim,
temos:
Número de máquinas Número de peças Tempo (em dias)
5 600 5
x 720 3
.
.
x
5
3600
1 800
5
1.800x 5 5 8 3.600
.
.
.
.x
1800
1800
1800
18 000
5
x 5 10
razão entre o número de peças
razão inversa entre o número de dias
razão entre o número de máquinas
8
x
5
720
600
5
3
5
38 Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para
isso, levaram alimento suficiente, calculando
4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 ami-
gos e o grupo fizesse 3 refeições diárias, a quan-
tidade de alimento que levaram inicialmente
seria suficiente para quanto tempo?
6 dias
36 Uma jovem percorreu 320 km em 10 dias,
andando, a pé, 8 horas por dia. Quantos
quilômetros ela poderia percorrer em 8 dias,
na mesma velocidade, se andasse 12 horas
por dia?
384 km
39 Se 4 tratores iguais realizam um serviço em
10 dias, trabalhando 8 horas por dia, calcule
em quantos dias esse serviço seria realizado
com 2 tratores trabalhando 10 horas por dia.
40 Em 4 horas, 9 pessoas colhem uma quanti-
dade de laranjas que preenche um total de
360 caixas. Quantas pessoas, que trabalham
no mesmo ritmo das demais, colhem a quan-
tidade necessária para preencher 510 caixas
em 3 horas?
17 pessoas
41 Uma empresa foi contratada para fornecer
refei ções a 72 funcionários, durante 60 dias,
por R$ 13.824,00. Vinte dias depois, foram
contratados mais 8 funcionários. Qual é o valor
do novo contrato?
R$ 14.848,00
42 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre regra de
três composta. Depois de cada um resolver o
problema elaborado pelo outro, destroquem
para corrigi-los.
Resposta pessoal.
16 dias

148. 90
Exercícios
complementares
No bloco, os alunos têm a
oportunidade de revisitar os
principais conceitos traba-
lhados neste capítulo. Veri-
fique se ainda apresentam
dificuldade em algum deles
e, se for o caso, sugira que
refaçam atividades referen-
tes a tais assuntos.
No exercício 8, vamos indi-
car a idade do pai por x e
a idade de cada um de seus
dois filhos por y e z, respec-
tivamente. Sendo assim, sa-
bemos que:
• x, y e z são diretamente
proporcionais a 27, 14 e 11
• x 1 y 1 z 5 104
Então, temos:
x
27
5
y
14
5
5
z
11
5 r. Daí, obtemos:
•
x
27
5 r Æ x 5 27r
•
y
14
5 r Æ y 5 14r
•
x
11
5 r Æ z 5 11r
• x 1 y 1 z 5 104
27r 1 14r 1 11r 5 104
52r 5 104
r 5 2
Substituindo o valor de r
nas expressões encontradas
para cada idade, temos:
• x 5 27r
x 5 27 8 2
x 5 54
• y 5 14r
y 5 28
• z 5 11r
z 5 22
No Manual do Professor –
Digital poderão ser
acessadas Propostas de
Acompanhamento da
Aprendizagem dos alunos
com sugestões de questões,
abertas e de múltipla escolha,
e fichas para registro do
desempenho deles neste
bimestre.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
90 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
5
Trabalhando 8 horas por dia, 3 pedreiros cons-
truíram metade de um muro em 15 dias. Como
um pedreiro saiu da equipe, os outros passa-
ram a trabalhar 9 horas por dia para terminar
o serviço. No total, o muro foi construído em
quanto tempo?
35 dias
3 Sabendo que 1.200 frangos consomem 90 kg
de ração diariamente, calcule quantos quilo-
gramas de ração 2.000 frangos consumirão
por dia.
150 kg
1 Uma moto percorreu 225 km em 2,5 h.
a) Qual foi a velocidade média da moto, em
km/h, nesse percurso?
90 km/h
b) Nessa mesma velocidade, em quanto tempo
essa moto percorreria 270 quilômetros?
c) Qual é o consumo médio dessa moto se,
percorrendo 259 km, ela gastou 14 litros
de combustível?
18,5 km/L
3 horas
2 Caatinga (que em tupi-guarani significa “mata
branca”) é um sistema ambiental exclusiva-
mente brasileiro, encontrado no Nordeste e
em uma pequena parte de Minas Gerais.
A caatinga abriga a mais povoada região
semiárida do planeta. São aproximadamente
24 milhões de pessoas distribuídas em uma
superfície de 844 mil km
2
. Qual é a densidade
demográfica dessa região?
28,44 hab./km
2
4 Em uma exposição de equipamentos, foi
apresentada uma máquina que, segundo o
fabricante, varre, lava e enxuga uma área de
5.100 m
2
em 6 horas. Em iguais condições, em
quantas horas a máquina executará a mesma
operação em uma área de 11.900 m
2
?
14 horas
8 (UFU-MG) As idades de um pai e seus dois
filhos são diretamente proporcionais aos núme-
ros 27, 14 e 11, respectivamente. Se a soma de
suas idades é de 104 anos, então, as idades
de cada um deles, na mesma ordem, são:
a) 54 anos, 28 anos e 22 anos.
b) 50 anos, 28 anos e 26 anos.
c) 56 anos, 26 anos e 22 anos.
d) 59 anos, 23 anos e 22 anos.
e) 55 anos, 27 anos e 22 anos.
alternativa a
6 A reciclagem de uma única latinha de alumínio
economiza energia suficiente para manter um
televisor ligado por três horas. Quantas lati-
nhas reci cladas são necessárias para manter
um televisor ligado por um dia inteiro?
8 latinhas
9 (Unifor-CE) Dividindo-se o número 204 em
partes diretamente proporcionais aos números
4 e
4
1
, a menor das partes será: alternativa b
a) 8. b) 12. c) 34. d) 48. e) 68.
10 Uma rede de televisão fez uma pesquisa entre
os habitantes de uma cidade cuja popula-
ção é 21.000 pessoas. Foram entrevistadas
7.500 pessoas, e descobriu-se que 3.000 delas
assistem aos programas dessa rede. Supondo
que os resultados da pesquisa sejam propor-
cionais aos que seriam obtidos se todos os
moradores fossem entrevistados, quantas
pessoas dessa cidade assistem aos programas
dessa rede de televisão?
8.400 pessoas
11 Para preservar uma área de floresta equivalente
a 18 campos de futebol, a cada mês 1.000.000
de pessoas deveriam usar o verso das folhas de
papel. Para que a área preservada fosse pelo
menos a de um campo de futebol, quantas
pessoas, aproximadamente, deveriam usar o
verso do papel?
55.556 pessoas
12 (Unifor-CE) Um texto ocupa 6 páginas de 45 li-
nhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em
cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-
-se para 30 o número de linhas por página e
para 40 o número de letras (ou espaços) por
linha. Nas novas condições, o número de pá-
ginas ocupadas pelo texto será:
alternativa c
a) 24. b) 21. c) 18. d) 12. e) 9.
13 (UFRGS-RS) Se foram empregados 4 kg de
fios para tecer 14 m de fazenda com 80 cm
de largura, quantos quilogramas serão neces-
sários para produzir 350 m de fazenda com
120 cm de largura?
alternativa b
a) 130 c) 160 e) 250
b) 150 d) 180
7 Uma editora utilizou 6.510 kg de papel para
produzir 5.000 livros de 280 páginas cada um.
Se cada livro fosse reduzido a 240 páginas,
quantos quilogramas de papel seriam consu-
midos na produção de 4.000 desses livros?
4.464 kg

149. 91BIMESTRE 2
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Determinar a razão entre
dois segmentos de reta.
• Resolver problemas envol-
vendo razões entre duas
grandezas.
• Resolver problemas envol-
vendo cálculos com núme-
ros reais.
• Reconhecer e construir re-
tângulos áureos.
• Apresentar o teorema de
Tales.
• Aplicar o teorema de Tales
e propriedades que decor-
rem dele.
• Resolver problemas envol-
vendo segmentos propor-
cionais.
• Demonstrar e aplicar rela-
ções entre ângulos forma-
dos por retas paralelas cor-
tadas por uma transversal.
• Resolver e elaborar proble-
mas que aplicam as rela-
ções de proporcionalidade
envolvendo retas paralelas
cortadas por secantes.
• Resolver problemas envol-
vendo porcentagens e aná-
lise de cartograma.
Orientações gerais
Neste capítulo, ampliamos
as noções de razão e de pro-
porção ligadas à Geometria.
As atividades buscam inicial-
mente familiarizar os alunos
com o assunto e depois apli-
car os resultados estudados
(por exemplo, o teorema de
Tales) em situações contex-
tualizadas. Além disso, abor-
damos também a análise de
cartograma.
A abertura usa como motivação a presença de paralelas e transversais em construções humanas, ressaltan-
do a noção de proporcionalidade. Amplie a discussão apresentando outras imagens que traduzam essa
ideia. É possível mostrar, por exemplo, a presença desse tipo de perspectiva em obras de arte, como nas
obras Avenue of poplars at sunset, do pintor holândes Vincent van Gogh, ou Le pont de l’Europe, do fran-
cês Gustave Caillebotte. Se julgar conveniente, promova uma atividade em conjunto com Arte, para mos-
trar como os artistas trabalham a ideia de paralelas e transversais em suas obras.
91
4
Capítulo
Proporcionalidade
em Geometria
CAPÍTULO 4
Paralelas e transversais, cruzando em feixes, compõem um cenário harmonioso
nas construções humanas. E a perspectiva oferece aos nossos olhos a ideia de
proporcionalidade e uma representação de infinitude.
Estação de trem em Washington D.C. (Estados Unidos). (Foto de 2015.)
SEPEHR GHASSEMI

150. 92
Razão entre dois
segmentos
Retome o conceito de razão
e proporção entre números
e entre grandezas, mos-
trando a ligação entre essas
duas Unidades Temáticas da
Matemática: a Geometria e
a Álgebra.
Inicialmente, peça aos alu-
nos que exponham o que
entendem sobre razão e
proporção. Estimule-os a
trocarem ideias entre si e
citarem exemplos. Em se-
guida, explore com eles as
situações 1 e 2 do livro do
estudante.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
4 cm
A B C D
5 cm
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
92 CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
1
Razão entre dois segmentos
Neste capítulo, vamos retomar o conceito de razão entre dois números e o conceito de
razão entre grandezas de mesma natureza, estudados anteriormente.
Considere a situação a seguir.
A razão entre o número de braçadas de Leo e o número de braçadas de
Márcio é dada por:
56
48
7
6
5
Isso significa que 6 braçadas de Leo equivalem a 7 braçadas de Márcio.
Considerando que Leo tenha 1,80 m de altura e Márcio tenha 1,71 m,
a razão entre suas alturas é:
,
,
171
180
171
180
19
20
altura de Márcio
altura de Leo
m
m
55 5
ILUSTRAÇÕES: LÉO FANELLI
Situação 1
Em um campeonato de natação, na prova de 50 metros nado livre, Leo precisou dar
48  braçadas para atravessar a piscina, enquanto Márcio deu 56 braçadas.
Agora, vamos analisar outras duas situações que tratam de razão entre dois segmentos.
Situação 2
Observe os segmentos a seguir.
A razão entre eles é:

CD
AB
5
4
5
4
cm
cm
55
A razão entre dois segmentos é a razão entre suas medidas tomadas
em uma mesma unidade.
NELSON MATSUDA

151. 93BIMESTRE 2
Orientações
Peça aos alunos que leiam
a situação 3, verificando a
proporção formada. Modifi-
que as razões tomadas des-
ses segmentos e proponha
a eles que verifiquem nova-
mente se elas formam uma
proporção. Por exemplo:
•
CD
AB
e
GH
EF
CD AB
5
3 2
e
GH
EF
5
6 4
5
3 2
Logo:
CD AB
5
GH
EF
•
EF
AB
e
GH
EF
EF
AB
5
4 2
5 2 e
GH
CD
5
6 3
5 2
Logo:
EF
AB
5
GH
CD
•
EF
CD
e
GH
AB
EF
CD
5
4 3
e
GH
AB
5
6 2
5 3
Como
4 3
i 3, temos que as
razões
EF
AB
e
GH
CD
não for-
mam uma proporção.
Relembre a propriedade
fundamental das propor-
ções e apresente algumas
situações para que os alunos
possam aplicá-la. Se julgar
necessário, retome também
a resolução de equações po-
linomiais do 1
o
grau.
Em seguida, explore o con-
ceito de segmentos propor-
cionais e a situação apresen-
tada no livro do estudante.
Habilidade trabalhada: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais
e de outras áreas.
2 cm
A B
3 cm
C D
4 cm
E F
6 cm
G H
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
93CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Com o auxílio do conceito de segmentos proporcionais, podemos resolver problemas como
o seguinte.
Para fazer uma tela mosquiteiro com moldura retangular cujas medidas dos lados estão
na razão 3 9 2 (3 para 2), Zildo tem uma ripa com 5 m de comprimento.
Que medidas devem ter os pedaços da ripa serrados por Zildo, sem haver sobra?
Situação 3
Considere os segmentos ,,ABCDEFGHe.
Dizemos que quatro segmentos, ,, ,ABCDEFGHe nessa ordem, são
segmentos proporcionais quando suas medidas, tomadas na mesma
unidade, formam uma proporção, isto é, quando
CD
AB
GH
EF
5 .
Vamos calcular as razões:
CD
AB
3
2
5 e
GH
EF
6
4
3
2
55
Como as razões são iguais, ,, ,ABCDEFGHe nessa ordem, são proporcionais, isto é:

CD
AB
GH
EF
5 ou

3
2
6
4
5
Vamos representar essas medidas por x e y.
Assim, podemos escrever:
y
x
2
3
5 ou x 5
y
2
3
e 2x 1 2y 5 5
Substituindo x por
y3
2
em 2x 1 2y 5 5, temos:
2 8
y3
2
1 2y 5 5
3y 1 2y 5 5 y 5 1
Logo, x 5
8
2
31
5 1,5.
Portanto, a ripa deve ser serrada em pedaços de 1 metro e 1,5 metro.
x
y

152. 94
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, os
alunos aplicarão o conceito
de segmentos proporcionais.
No exercício 8, acompanhe
a resolução dos alunos e
faça as interferências neces-
sárias a fim de que cheguem
à resposta esperada. Após
a resolução, é interessante
que substituam os valores
encontrados no problema
original e verifiquem se es-
tão de acordo com as con-
dições dadas. Apresentamos
uma possível resolução.
Considerando as informa-
ções desse exercício, temos:
AB 1 BC 1 CD 1 AD 5 63 cm
AB 5 12 cm
BC 5 15 cm
Como as medidas dos lados
AB, BC, CD e AD formam,
nessa ordem, uma propor-
ção, temos:
AB
BC
5
CD
AD
V
12 15
5
CD
AD
V
Æ
4 5
5
CD
AD
Æ CD 5
4CD
5
Como AB 1 BC 1 CD 1 AD 5
5 63 cm, temos:
12 1 15 1
4AD
5
1 AD 5 63 V
V
4AD 1 5AD
5
5 36 V
V 9AD 5 180 Æ AD 5 20
Como CD 5
4AD
5

CD 5
4 8 20
5
Æ CD 5 16
Portanto, os outros dois la-
dos do quadrilátero medem
16 cm e 20 cm.
No exercício 9, retome o
exercício 8 e faça uma com-
paração entre eles com os
alunos discutindo por que
no 9 é possível chegar às res-
postas com menor número
de informações. Espera-se
que os alunos observem que
a informação estabelece a
diferença entre esses exer-
cícios: em um deles, temos
um quadrilátero cujos lados
possuem diferentes medi-
das; no outro, o quadrilá-
tero é um retângulo, isto é,
nos garante implicitamente
mais relações entre as medi-
das de seus lados.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais
grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras
áreas.
3 cm
A B C D
3,5 cm 4 cm
B C
A
u
u
u
u
u
uuuu
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
94 CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
1 Observe a figura.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9 Hélio possui um terreno retangular cujas
dimensões estão na razão 2 9 3. O perímetro
desse terreno mede 1.500 m. Responda às
perguntas no caderno.
a) Quais são as dimensões desse terreno?
b) Qual é a área desse terreno?
135.000 m
2
6 Os segmentos ,,ABMNCDPQe
formam,
nessa ordem, uma proporção. Calcule a me-
dida de CD e PQ sabendo que AB 5 12 cm,
MN 5 15 cm e CD 1 PQ 5 45 cm.
NELSON MATSUDA
LÉO FANELLI
2 No triângulo abaixo, determine a razão entre:
a) AB BCe
;
4
3
b) AC ABe;
c) BC ABe.
3
4
Considerando as medidas indicadas, determine
a razão entre:
a) AB CDe;
4
3
b) AC ADe;
c) AB BDe;
5
2
d) BC ADe.
21
13
3
1
3
2
3 Sendo AB um segmento de medida x, calcule
essa medida nos seguintes casos:
a)
AB
51 0
14
5 7
b)
,
AB
34
18
12
5 5,1
c)
,
,
,
AB
05
09
35
5 6,3
d)
,
,,
AB32
24 15
5 2
4 (PUC-MG) Se o ponto M divide um segmen-
to AB de 18 cm na razão
7
2
, as medidas de
AM e MB são, respectivamente, em cm:
a) 4 e 14.
b) 7 e 11.
c) 8 e 10.
d) 10 e 8.
e) 14 e 4.
alternativa a
5 Uma foto foi im pressa no tamanho 10  15
(lemos: “10 por 15”), ou seja, um lado mede
10 cm e o outro, 15 cm. Para ampliá-la de modo
que o lado menor tenha 13 cm, qual deve ser
a medida do lado maior?
19,5 cm
CD 5 20 cm;
PQ 5 25 cm
7 Considere dois triângulos: o triângulo ABC,
cujo lado AB
mede 20 cm e a altura CH
relativa a esse lado mede 18 cm; e o triân-
gulo MNP, cujo lado MN mede 30 cm e a
altura PG relativa a esse lado mede x cm.
Se
MN
AB
PG
CH
5 , determine:
a) o valor de x ;
27 cm
b) a área do triângulo MNP. 405 cm
2
8 Um quadrilátero ABCD tem 63 cm de perí -
metro. As medidas dos lados
,AB ,BC CD
e AD formam, nessa ordem, uma proporção.
Se AB 5 12 cm e BC 5 15 cm, quais são as me-
didas dos outros dois lados desse quadrilátero?
A proporcionalidade entre segmentos é muito usada em Geometria e na vida prática.
Por exemplo, para fazer a ampliação de uma fotografia, é necessário que os lados da foto
ampliada sejam, respectivamente, proporcionais aos lados da foto original.
CD 5 16 cm e AD 5 20 cm
300 m e 450 m

153. 95BIMESTRE 2
Para saber mais
Esta seção explora a razão
áurea e a construção de re-
tângulos áureos.
Sugestão de leitura
Para enriquecer esse trabalho,
sugerimos:
<https://www.superprof.com.br/
blog/as-relacoes-entre-a-algebra-a-
geometria-e-a-beleza/>. Acesso em:
25 ago. 2018.
PARA SABER MAIS
A
F
B E
G
J H
C D
I
espiral no
sentido horário
espiral no sentido
anti-horário
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
95CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
Uma razão de ouro
Estudando o pentágono regular estrelado, os gregos descobriram, mais de 500 anos
antes de Cristo, um número irracional determinado pelas razões entre os segmentos desse
pentágono.
Na figura ao lado, por exemplo, temos:
,
AJ
AC
AF
AJ
5
2
1618
1
55
2
7
Cerca de 2.000 anos depois, esse número, que já vimos
representado pela letra grega fi (ò) e que tem infinitas casas
decimais sem período, pas sou a ser chamado de número áureo
ou número de ouro.
Observando a natureza, a arquitetura, algumas razões entre
medidas do corpo humano etc., encontramos razões que se
aproximam do número de ouro.
Veja a seguir o exemplo do girassol.
A estrutura central do girassol é formada por um grande número de pequenas sementes
dispostas em espirais, algumas no sentido horário e outras no sentido anti-horário.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
TEERASAK/SHUTTERSTOCK
PHOTOSSEE/SHUTTERSTOCK
Chamamos de retângulo áureo ou
retângulo de ouro todo retângulo cuja
razão entre as medidas dos lados maior e menor é o número de ouro (q 1,618)
.
6,5 cm
númerodeespiraisnosentidohorário
númerodeespiraisnosentido antihorário-
Outro exemplo é o desenho da fachada do Partenon (templo da deusa Atena, da mitologia
grega, construído em Atenas no século V a.C.), que pode ser inscrito em um retângulo cuja razão entre a largura e a altura é:
,
,
,
medidada alturamedidadalargura
40
65
1657
4,0 cm

154. 96
Agora é com você!
Peça que os alunos, em du-
plas, leiam e acompanhem a
construção de um retângulo
áureo por meio de dobradu-
ras (1
a
maneira). Depois, eles
devem realizar esse proces-
so, reproduzindo em uma
folha o retângulo dado. Se
julgar conveniente, traga
retângulos ampliados para
que os alunos façam essa
atividade.
Em seguida, eles devem
acompanhar a construção
com régua e esquadro (2
a

maneira) e, depois, efetuá-la.
Enquanto os alunos fazem
as construções, percorra a
sala acompanhando o tra-
balho das duplas e faça as
intervenções necessárias,
caso perceba procedimentos
equivocados.
Ao final, faça novamente as
construções indicadas pro-
pondo aos alunos que indi-
quem cada etapa a ser feita.
Alerte-os de que as constru-
ções sempre apresentam um
pouco de imprecisão, com
cálculo aproximado. Para
minimizar esse problema, é
preciso caprichar nas figuras.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
D F C
A E B
c
c b
C
BEA
FD
C B
F E
D C
BA
D
F
C
BA E
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
96 CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
Para todo retângulo áureo, vale a seguinte pro priedade: se dele retirarmos o maior qua-
drado possível, o retângulo restante também será um retângulo áureo, isto é, a proporção
entre os lados se manterá.
Considerando c 5 1 em
c
cb1
, temos:
b
b1
1 11
5 ou b
2
1 b 2 1 5 0.
Chegamos a uma equação do 2
o
grau, cuja resolução será vista no capítulo 7.
Resolvendo a equação, obtemos
2
512
como um dos valores de b; logo:
,
b
1
5
2
1618
1
57
2
1 3
2 4
Observe os passos abaixo e construa retângulos áureos de duas maneiras diferentes.
1
a
maneira: com dobradura
• Copie, em uma folha em branco, o retângulo ABCD.
• Recorte o retângulo e, com dobradura, encontre o quadrado AEFD (veja as figuras a seguir).
• Recorte o quadrado e encontre um novo retângulo áureo.
Retirando do retângulo ABCD o quadrado AEFD
(maior possível), obtemos o retângulo EBCF de
modo que:
c
cb
b
c1
5
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDANELSON MATSUDA

155. 97BIMESTRE 2
Orientações
Os alunos podem elaborar
diferentes estratégias para
descobrir que as folhas de
formatos A4 e carta não
são retângulos áureos. Por
exemplo, dobrando cada fo-
lha e extraindo o maior qua-
drado, para depois calcular
a razão das medidas dos
lados. Eles podem também
utilizar o retângulo áureo
copiado e recortado como
molde para verificar se as
diagonais das folhas são
proporcionais à diagonal do
retângulo áureo.
Uma atividade interessante
para os alunos constatarem
que o número de ouro pode
aparecer em razões entre
medidas do corpo humano é
formar duplas e pedir a um
aluno que meça a altura do
outro, além de medir a dis-
tância dos pés ao umbigo do
colega. Depois, a dupla deve
calcular a razão entre a al-
tura da pessoa e a distância
dos pés ao umbigo.
Para ampliar o conhecimento
dos alunos sobre o número
de ouro, solicite uma pesqui-
sa, que pode ser apresentada
à turma em seminários.
D C
BA
D
F
C
A
E
B
G
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
c
d
t
D C
BA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
97CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
EDSON GRANDISOLI/PULSAR IMAGENS
Com os retângulos áureos que construiu, descubra se uma folha de papel de formato A4 (21 cm por
29,7 cm) e uma de formato carta (21,59 cm por 27,94 cm) são retângulos áureos.
2
a
maneira: com régua e esquadro
• Copie, em uma folha em branco, o retângulo ABCD.
• Trace, com o auxílio de uma régua, uma semirreta com origem em A que passe por C. AC é uma
diagonal do retângulo.
• Com o auxílio de um esquadro, trace retas perpendiculares ao lado AB (ou à reta-suporte) e
determine outros retângulos áureos (veja as figuras abaixo).
2
Feixe de paralelas
Um conjunto de três ou mais retas paralelas de um plano
(como as retas a, b, c e d da figura abaixo) chama-se feixe
de paralelas.
Uma reta que corta um feixe de paralelas (como a reta t)
é chamada de transversal.
1
2
3
As cordas do violão lembram um feixe
de paralelas cortado pelos trastes
transversais.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
NELSON MATSUDA
As folhas de formatos A4 e carta não são retângulos áureos.

156. 98
Orientações
Retome os casos de congru-
ência de triângulos e as re-
lações entre ângulos forma-
dos por paralelas cortadas
por uma transversal para
que os alunos possam apli-
cá-los em novas demonstra-
ções que serão feitas.
Ressalte o fato de que as re-
lações entre as medidas dos
oito ângulos formados por
duas retas cortadas por uma
transversal somente são váli-
das quando essas duas retas
são paralelas.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
a
b
c
ts
A M
B N
C P
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
98 CAPÍTULO 4
PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
Considere a figura abaixo, com a ⁄ ⁄ b ⁄ ⁄ c, em que as retas s e t são transversais e .ABBC&
R
S
a
b
c
ts
A M
B N
C P
4
2
3
1
ƒDemonstração
Por M traçamos MR ⁄ ⁄ s. Com isso, obtemos o paralelogramo ABRM. Nele: ABMR& . 1
Por N traçamos NS ⁄ ⁄ s. Assim, obtemos o paralelogramo BCSN, em que: BCNS& . 2
De 1 e 2, temos ,MR NS& pois .ABBC&
Comparando os triângulos MRN e NSP, temos: • MR NS&
(já provado)
• 12&
UU
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
• 34&
VV
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre
uma transversal, então esse feixe determina segmentos congruentes
sobre qualquer outra transversal.
Queremos provar que
.MN NP&
Assim, pelo caso LAA
o
, os triângulos MRN e NSP são congruentes. Como MNNPe são lados
correspondentes em triângulos congruentes, então .MN NP&
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

157. 99BIMESTRE 2
Teorema de Tales
Reproduza as demonstra-
ções apresentadas no livro
do estudante, pedindo aos
alunos que justifiquem cada
etapa.
Apresente na lousa a figura
do exemplo dado e sugi-
ra aos alunos que propo-
nham maneiras de se obter
o valor de x. Espera-se que
indiquem a aplicação do
teorema de Tales. Caso não
percebam que o teorema de
Tales pode ser aplicado, pro-
ponha que façam isso e ve-
rifique se montam a propor-
ção corretamente. Escolha
alunos que fizeram a resolu-
ção correta para mostrarem
seu procedimento na lousa,
promovendo uma discussão
com toda a turma.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo
diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais
grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras
áreas.
a
b
c
ts
A M
B N
C P
x
vezes
y vezes .
.
.
.
.
.
u
u
u
u
u
u
u
v
v
v
v
v
v
v
a
b
c
ts
A M
B N
C P
.
.
.
.
.
.
a
b
c
x x 1 4
2015
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
99CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
3
Teorema de Tales
Considere a figura abaixo, em que a, b e c formam um feixe de retas paralelas e as retas s e t
são transversais.
Com o auxílio do teorema de Tales, vamos
calcular, como exemplo, o valor de x da figu-
ra ao lado, sendo a ⁄ ⁄ b ⁄ ⁄ c.

xx
15 20
4
5
1
20x 5 15(x 1 4)
Resolvendo a equação, encontramos:
x 5 12.
Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais.
Hipóteses:
a ⁄ ⁄ b ⁄ ⁄ c
s e t são transversais
Tese: 5
BC
AB
NP
MN
)
Queremos provar que ,, ,ABBCMN NPe nessa ordem, são segmentos proporcionais.
ƒDemonstração
Admitindo que exista um segmento u que
caiba x vezes em AB e y vezes em ,BC
com x e y sendo números inteiros, temos:
AB 5 xu e BC 5 yu.
Logo:
BC
AB
yu
xu
BC
AB
y
x
ou55 1
Traçando pelos pontos de divisão de ABBCe
retas paralelas ao feixe, elas dividirão MN e
NP em segmentos congruentes.
Indicando por v a medida desses segmentos
(com v i 0), temos MN 5 xv e NP 5 yv e,
portanto:
NP
MN
yv
xv
N
MN
y
x
P
ou55 2
Comparando as igualdades 1 e 2, temos:
BC
AB
NP
MN
5
A partir dessa demonstração, podemos enunciar o teorema de Tales:
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

158. 100
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios,
caso observe que os alunos
estejam com dificuldade em
resolver o exercício 13, peça
a eles que façam o esboço
da situação para evidenciar
as relações existentes.
A
B
C
D
E
F
Considerando AB 5 4,2 cm,
BC 5 5,4 cm, DE 5 6,3 cm,
temos que o maior segmen-
to determinado pelas três
paralelas é o segmento DF.
Para calcular a medida desse
segmento, os alunos deve-
rão determinar, inicialmen-
te, a medida do segmento
EF, usando a seguinte rela-
ção de proporcionalidade:
4,2
5,4
5
6,3
x
Æ
Æ x 5
6,3 8 5,4
4,2
5
34,02
4,2
Æ
Æ x 5 8,1
Como EF 5 8,1 cm, temos
DF 5 14,4 cm.
O exercício 14 traz uma boa
oportunidade para comen-
tar com os alunos sobre a
expressão “ruas paralelas”
em situações nas quais es-
sas ruas não são, necessa-
riamente, representações
de retas paralelas, pois a
distância entre elas nem
sempre é constante. Esse pa-
ralelismo só é real em cida-
des planejadas, nas quais as
ruas foram construídas em
conjunto e não surgiram de
acordo com o crescimento
urbano. Proponha aos alu-
nos uma pesquisa sobre ci-
dades planejadas, integran-
do com Geografia.
NELSON MATSUDA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
a
12
b
c
x
1819,5
15
x
10 20
cba
a
b
c
21
x9
5
c
b
a
x
812
33
x 264
y9
x
y
4
10
21
a
b
9
c
x
12x 1 2
a
b
c
x
x 1 2
x 2 2
x 1 5
A B C
Alameda das Magnólias
Alameda dos Jasmins
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
100 CAPÍTULO 4
PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
O proprietário do terreno resolveu dividi-lo em
três lotes menores, traçando sobre ele duas
paralelas perpendiculares à alameda das Mag-
nólias. O terreno A ficou com 40 m de frente
para essa alameda, e o terreno B, com 30 m
de frente para a mesma alameda. Com base
nessas informações, responda.
a) Quanto mede a frente do terreno C para a
alameda das Magnólias?
20 m
b) Quanto medem as frentes dos três terrenos
para a alameda dos Jasmins?
x 5 10
x 5 6
x 5 13,5
x 5 7, 5
x 5 22
x 5 6
y 5 15
x 5 8
y 5 18
x 5 13
10 Sendo a ⁄ ⁄ b ⁄ ⁄ c, calcule o valor de x em cada
item.
a) a)
a)
b) b)
b)
c)
d)
11 Determine os valores de x e de y nos seguintes
feixes de paralelas:
12 Sendo a ⁄ ⁄ b ⁄ ⁄ c, calcule x aplicando o teo rema
de Tales.
13 Três retas paralelas determinam sobre uma
transversal segmentos de 4,2 cm e 5,4 cm.
Calcule a medida do maior segmento que o
feixe determina sobre outra transversal, sa-
bendo que o segmento menor mede 6,3 cm.
14,4 cm
14 A figura a seguir representa um terreno com
fren te para duas alamedas. A frente para a
alameda das Magnólias tem 90 m, e a frente
para a alameda dos Jasmins, 135 m.
terreno A: 60 m; terreno B: 45 m; terreno C: 30 m

159. 101BIMESTRE 2
Para saber mais
Explique aos alunos que
o teorema de Tales é base
para outro importante as-
sunto do estudo de Geome-
tria: a semelhança de triân-
gulos, que embasa o estudo
de Trigonometria. Esses te-
mas serão vistos adiante ain-
da neste livro (nos capítulos
5 e 9), e de modo mais apro-
fundado no Ensino Médio.
PARA SABER MAIS
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
101CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
Para tratar de semelhança, é imprescindível retomar os estudos do filósofo e matemá-
tico grego Tales de Mileto (cerca de 624-547 a.C.), cujo nome está associado ao teorema:
Um pouco da história de Tales
Esse teorema, que provém diretamente da ideia de seme-
lhança entre triângulos, é conhecido como teorema de Tales.
Sabe-se pouco a respeito da vida e da obra de Tales.
Acredita-se que ele tenha sido o primeiro filósofo e geô-
metra da Grécia conhecido e o primeiro de seus sábios.
Acredita-se também que tenha sido o criador da Geo-
metria demonstrativa.
Nenhum escrito de Tales chegou até nós, o que
dificulta determinar precisamente suas ideias e suas
descobertas matemáticas. Muito do que sabemos a res-
peito dele vem do chamado Sumário eudemiano, escrito
pelo matemático, filósofo e comentarista grego Proclus
(411-485 d.C.).
Essa obra é um breve resumo do desenvolvimento da Geometria
grega desde os primeiros tempos até a época de Euclides e é, ainda hoje, o principal registro
histórico do início dessa ciên cia na Grécia.
Muitos dos conhecimentos de Tales resultaram de viagens que ele empreendeu, espe-
cialmente ao Egito. Tales morou por um tempo no Egito, onde teria aprendido Geometria
com os sacerdotes egípcios e, também, aplicado a seme lhança de triângulos.
Segundo o Sumário eudemiano, Tales introduziu a Geometria na Grécia após essas
viagens. Utilizando metodologias gerais e empíricas, o filósofo grego descobriu muitas
proposições, algumas delas envolvendo semelhança.
Além de Proclus, outras fontes fazem menção a Tales. O grego Eudemo de Rodes (350-
-290 a.C.), primeiro grande historiador da Matemática, por exemplo, afirma que Tales mediu
a distância de uma torre a um navio.
Hierônimo, um discípulo de Aristóteles (384-322 a.C.), afirmou que Tales teria medido a
altura da grande pirâmide de Quéops, no Egito, por meio da observação e da comparação
da própria sombra com a sombra da pirâmide. Tales teria chegado à conclusão de que,
quando sua sombra tivesse o mesmo comprimento de sua altura, a sombra da pirâmide
teria o mesmo comprimento da altura dela.
O matemático e filósofo grego Plutarco (cerca de 46-119 d.C.) também o menciona em
sua obra, ao dizer que Tales mediu a altura da pirâmide fincando verticalmente uma vara
no chão e comparando as razões entre os dois triângulos formados.
H
U
L
T
O
N

A
R
C
H
I
V
E
/
G
E
T
T
Y

I
M
A
G
E
S
Se um feixe de paralelas é inter ceptado por duas retas
transversais, então os segmentos determinados pelas
paralelas sobre as transversais são proporcionais.
Tales de Mileto.

160. 102
Consequências do
teorema de Tales
Comente com os alunos que
algumas propriedades rela-
tivas a segmentos propor-
cionais em figuras geométri-
cas decorrem do teorema de
Tales. Aqui veremos como 1
a

consequência desse teorema
uma propriedade que envol-
ve triângulos.
A determinação de novas
propriedades com base em
teoremas (ou propriedades)
já demonstrados é a base
das demonstrações mate-
máticas em Geometria (e
em outras áreas da Mate-
mática), pois com elas é pos-
sível comprovar novas teo-
rias e proposições e, assim,
avançar no conhecimento
matemático, ferramenta
para tantas áreas do conhe-
cimento.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação,
em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
A
E
D
B
C
r
B
C
E
D
A
r
r
A
B
C
D
E
A
E
D
s
r
B
C
B
C
E
D
A
r
s
s
r
A
B
C
D
E
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
102 CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
Em todos eles, podemos considerar outra reta s, paralela a r, que passe pelo vértice A do
triângulo, e a reta BC.
Consequências do teorema de Tales
1
a
consequência
Observe os triângulos ABC sobre os quais foi traçada a reta r, paralela a um de seus lados.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Com base nesses relatos, percebemos que as
ideias de proporcionalidade e de semelhança, em
particular entre triângulos, estão estreitamente
associadas ao nome de Tales. Adicionando a
isso a grande importância que a Arquitetura e a
Agrimensura tiveram no Egito antigo, bem como
o fato de ele ter sido o fundador da Geometria
demonstrativa na Grécia e quem primeiro organi-
zou a Matemática dedutiva, é razoável a hipótese
de que a primeira sistematização da Geometria
tenha ocorrido na época de Tales.
Pirâmides no Egito.
(Foto de 2011.)
NATIONAL GEOGRAPHIC CREATIVE/ALAMY/FOTOARENA

161. 103BIMESTRE 2
Exercícios propostos
O exercício 16 tem uma
diferença de enfoque do
exercício 15, pois exige uma
compreensão maior da pro-
priedade demonstrada, já
que não é uma aplicação
direta. Estimule a troca de
ideias entre os alunos sobre
que estratégia podem usar
e qual a justificativa encon-
trada.
Eles devem perceber que
precisam montar as razões
entre os segmentos de um
mesmo lado de cada tri-
ângulo, na mesma ordem,
e verificar se essas frações
são iguais, ou seja, se elas
formam uma proporção. Se
formarem uma proporção,
os segmentos considerados
são proporcionais, o que
nos permite concluir que os
segmentos NM
e GF são pa-
ralelos; caso contrário, se as
razões obtidas não forem
iguais, os segmentos consi-
derados não são proporcio-
nais, logo os segmentos NM
e GF não são paralelos.
A
C
ED
B
A B
A
N BM
D
C
E
A
M N
x
CB
3
2
5
G
3
N
FMA4,5 6
4
B C
ED
A
10 x
15 x 1 3
A
M
G F
N
2,4 2,7
2
1,7
A
CB
D E
x3
6
12
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
103CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
16 Verifique, em cada caso, se o segmento NM é paralelo ao lado GF do triângulo. Justifique sua resposta.
a)
Observe que a recíproca desse teorema é verdadeira: se no
triângulo ABC vale a relação
,
DB
AD
EC
AE
5 então DE ⁄ ⁄  .BC
Acompanhe um exemplo de aplicação dessa propriedade.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Vamos dividir o segmento AB abaixo em três partes iguais.
Pelo ponto A traçamos uma semirreta oblíqua a AB sobre a
qual, a partir de A, marcamos os pontos C, D e E, de modo que
AC 5 CD 5 DE, e traçamos o segmento .BE Pelos pontos C e D,
com o auxílio de uma régua e de um esquadro, traçamos para-
lelas a .BE Como AC  5 CD 5 DE, então AM 5 MN 5 NB.
15 Calcule o valor de x nas figuras a seguir.
a) MN ⁄ ⁄  BC x 5
2
15
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
b)
c) DE ⁄ ⁄  BC x 5 6
sim, pois:
,
4
3
6
45
5 não, pois:
,
,
,
2
24
17
27
%
b) DE ⁄ ⁄  BC x 5 4
Pelo teorema de Tales, nos três casos, temos:
DB
AD
EC
AE
5
Podemos expressar essa consequência do teorema de Tales do seguinte modo:
Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intercepta os outros lados em dois pontos distintos, ela determina sobre esses lados segmentos proporcionais.

162. 104
Exercícios propostos
Ao resolver o exercício 21,
os alunos poderão interpre-
tar uma situação bastante
comum e importante nas
cidades brasileiras: a adap-
tação de construções para
o deslocamento de pessoas
que apresentam dificulda-
des de locomoção, como as
que se utilizam de cadeiras
de rodas.
Nesse contexto, solicite aos
alunos que identifiquem lo-
cais conhecidos onde essa
adaptação já tenha sido rea-
lizada e outros onde ela seja
fundamental para garantir
o acesso de todos. Um dos
locais que podem ser ob-
servados é a própria escola,
criando oportunidade para
uma discussão sobre o exer-
cício da cidadania e os direi-
tos do cidadão.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Av. Andorinha
80 m 64 m 60 m
Av. Rolinha
y x
Rua Canário
Rua Pardal Rua Colibri
75 m
0,80 m1,20 m 1,60 m
C
E
D
A F G B
1 m
4,5 m
3 m
3,6 m
A
40 m
48 m
45 m
E
D
B
C
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
104 CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
18 Na planta abaixo, as ruas Colibri, Pardal e Ca-
nário são paralelas. Determine as distâncias
x e y.
x 5 80 m e y 5 100 m
Sabendo que essa câmera fotográfica mantém
uma boa resolução até 5,5 metros, a imagem
do menino da direita ficará prejudicada?
NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
JOSÉ LUÍS JUHAS
19 Determine a medida do lado AC
no triângulo
a seguir.
4,5 m
21 O proprietário de uma loja, preocupado em
oferecer a seus clientes um acesso mais seguro e confortável, vai construir uma rampa ao lado dos degraus da escada da entrada da loja.
20 É hora de fazer o retrato da turma e todos
querem aparecer. Ana, a primeira menina da esquerda, está a 3 metros da câmera; Bete, a última da direita, está a 3,6 metros. Nessa disposição, todas as meninas ficam enquadra-
das, mas os meninos, não.
CLÁUDIO CHIYO
Então, o fotógrafo pediu a todos que se afas-
tassem, mantendo a mesma posição na fila,
de modo que Ana ficasse distante 4,5 metros.
Veja o esquema.
Não, pois o menino
da direita ficará
a 5,4 metros da
câmera fotográfica.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
17 Para calcular o comprimento da ponte a ser
construída, um engenheiro elaborou o esque-
ma abaixo, em que o segmento CE representa
a ponte. Sabe-se que DE ⁄ ⁄  .BC Calcule o
comprimento dessa ponte.
54 m

163. 105BIMESTRE 2
Pense mais um
pouco...
Apresentamos a seguir a
demonstração solicitada na
questão 1.
a) Considerando o triângulo
ABC e o ponto médio M de
AB
.
B
M N
A
C
r
Por A, traçamos a reta r
paralela a BC; e por M , o
segmento MN, também pa-
ralelo a BC . Pelo teorema
de Tales, temos
AM
MB
5
AN
NC
.
Como M é ponto médio de
AB, ou seja, AM 5 MB, te-
mos
AM
MB
5 1.
Logo,
AN
NC
5 1, o que mos-
tra que N é ponto médio de
AC. Como AC 5 10 cm, en-
tão AN 5 5 cm.
Na questão 2, seguindo as
instruções do texto, temos a
seguinte figura:
A
Q
4
Q
3
Q
2
Q
1
P
5
P
4
P
3
P
2
P
1
C
B
Fazendo a verificação, com
o compasso, confirmamos
que:
AQ
1
5 Q
1
Q
2
5 Q
2
Q
3
5
5 Q
3
Q
4
5 Q
4
B
FERNANDO JOSÉ FERREIRA WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada: (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma
transversal.
A
B C
M N
10 cm
60 cm 50 cm
0,55 m
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
105CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
1. Em um triângulo ABC, foi traçado um segmento paralelo ao lado BC
pelo ponto M, ponto médio de .AB
Esse segmento tem o outro extremo no lado ,AC no ponto N.
Provem que N é ponto médio de .AC demonstração
2. Aprendam a dividir um segmento qualquer em 5 partes iguais sem usar a escala da régua.
No caderno, executem os seguintes passos:
construção de figura
• tracem um segmento
AB e uma semirreta ,AC de modo que B não pertença à reta ;AC
• com um compasso, marquem os pontos P
1
, P
2
, P
3
, P
4
e P
5
em ,AC de maneira que
AP
1
 5 P
1
P
2
 5 P
2
P
3
5 P
3
P
4
5 P
4
P
5
;
• tracem a reta;PB
5
• com o esquadro deslizando ao lado da régua, tracem, por P
4
, P
3
, P
2
e P
1
, paralelas a PB
5
que
cortam AB nos pontos Q
4
, Q
3
, Q
2
, Q
1
;
• verifiquem com o compasso que: AQ
1
5 Q
1
Q
2
5 Q
2
Q
3
5 Q
3
Q
4
5 Q
4
B.
3. Justifiquem a construção acima.
No exercício 2, foi construído um feixe de retas paralelas, cortado por dois segmentos transversais
.AP ABe
5
ak Como o feixe divide AP
5
em partes de medidas iguais, pelo
teorema de Tales o feixe também divide AB em partes iguais.
Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam
ângulos alternos internos congruentes.
Rumo ao teorema das bissetrizes dos ângulos
internos de um triângulo
Vamos provar o seguinte teorema:
PARA SABER MAIS
r ⁄ ⁄ s
t é transversal
aV e b
V
são ângulos alternos internos
Hipótese TeseaV & b
V
22 Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, sobre aplicação do teorema
de Tales. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Para a construção dessa rampa, deverão ser
instaladas três vigas de sustentação: uma a
10 cm do início, outra a 60 cm da primeira e
a terceira a 50 cm desta última. Observando
o esboço feito pelo dono da loja, determine o
comprimento, em metros, da rampa que está
destacada em azul.
1,32 m
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

164. 106
Para saber mais
Esta seção explora a de-
monstração de que ângulos
alternos internos determi-
nados por duas retas parale-
las cortadas por uma trans-
versal são congruentes.
O item b do Agora é com
você! é base para a demons -
tração do teorema das bisse-
trizes dos ângulos internos
de um triângulo, que é a 2
a

consequência do teorema
de Tales, trabalhado na se-
quência desta seção.
A seguir, apresentamos uma
resolução para os itens pro-
postos.
a) Como AD
é bissetriz do
ângulo BÂC, que mede 82°,
temos que m 5 n 5 41°.
Como as retas CE e AD
são paralelas cortadas pela
transversal AC, temos que n
e q são medidas de ângulos
alternos internos em retas
paralelas, ou seja, q 5 n 5
5 41°. Considerando agora
a reta BE, transversal dessas
mesmas retas paralelas, te-
mos que p e m são medidas
de ângulos correspondentes
em retas paralelas (que são
congruentes também), isto
é, p 5 m 5 41°.
b) O triângulo ACE tem os
ângulos internos de medi-
das q e p congruentes, pois
q 5 p 5 41°. Sendo assim,
o triângulo ACE é isósceles,
pois tem os ângulos da base
congruentes.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação,
em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
E
p
q
n
m
A
B D C
E
p
q
n
m
A
B D C
AP
B
M
M
2
Q
t
r
s
M
1
a
b
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
106 CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Na figura ao lado, temos:
AD é bissetriz do ângulo BAC
W
do triângulo ABC
CE ⁄ ⁄ AD
°mBAC 825`jW
a) Calcule o valor de m, n, p e q. 41°, 41°, 41°, 41°
b) Mostre que o triângulo ACE é isósceles.
Comparando os triângulos AMP e BMQ , temos:
1. AM MB& (M é ponto médio)
2. MM&12
XX
(ângulos opostos pelo vértice)
3. PQ&
WW
(ângulos retos)
Logo, pelo caso LAA
o
, os triângulos AMP e BMQ são congruentes. Portanto, ,
ab&
VV pois
são ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
como p = q, o triângulo ACE é isósceles
2
a
consequência
Considere o triângulo ABC e a bissetriz AD relativa
ao ângulo .A
W
Traçamos pelo vértice C uma semirreta
paralela a ,AD que cruza a semirreta BA em um ponto
que chamamos de E.
Pelo teorema de Tales, temos:
DC
BD
AC
AB
5 ou
AB
BD
A
DC
C
5
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ƒDemonstração
Construção auxiliar: pelo ponto M, ponto médio de ,AB traçamos o segmento ,PQ
perpendicular às retas r e s.
Agora é com você!

165. 107BIMESTRE 2
Exercícios propostos
No exercício 25, espera-se
que os alunos construam
uma figura parecida com
a que segue, resolvendo o
exercício.
A B
C
D
7,2 cm
8 cm
4,8 cm
Logo, teremos:
BD 1 DC 5 8 Æ
Æ BD 5 8 2 DC
4,8
BD
5
7,2
DC
Substituindo BD 5 8 2 DC
em
4,8
BD
5
7,2
DC
, teremos
a medida DC em centímetro:
4,8
8 2 BD
5
7,2
DC
Æ 4,8DC 5
5 57,6 2 7,2DC
12DC 5 57,6 Æ DC 5 4,8
Voltando à primeira equa-
ção, encontraremos a medi-
da BD em centímetro:
BD 5 8 2 DC Æ
Æ BD 5 8 2 4,8 5 3,2
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
A
C
x
12
18
21D
B
CDB
A
x25
15 12
D
B
A C4x 2 8
3x
35
42
C
B
D
x
15
y
18
A
yx
CDB
A
12
16
14
y
x
CDB
A
10 12
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
107CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
24 Calcule x e y nos triângulos, sabendo que AD é bissetriz relativa ao ângulo A
W
.
a) x 1 y 5 55
x 5 30 e y 5 25
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
25 Construa um triângulo ABC, em que AB 5 4,8 cm, AC 5 7,2 cm e BC 5 8 cm. Trace a bissetriz
.AD
Calcule BD e DC e depois verifique os valores obtidos, medindo com a régua a figura construída.
26 Considere um triângulo ABC. A bissetriz
AD determina sobre BC dois segmentos BC e ,DC de me-
didas 2 cm e 2,4 cm, respectivamente. Sabendo que AB 5 5 cm, determine AC .
6 cm
BD 5 3,2 cm e DC 5 4,8 cm
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
23
Calcule x nos triângulos, sabendo que AD
é bissetriz relativa ao ângulo .A
W
x 5 14 x 5 20 x 5 20
a) b)
b)
x 5 6 e y 5 8
c)
c) x 1 y = 22
x 5 10 e y 5 12
Dessa forma:
ƒp 5 m (medidas de ângulos correspondentes em retas paralelas)
ƒm 5 n (AD é bissetriz)
ƒn 5 q (medidas de ângulos alternos internos em retas paralelas)
Concluímos, então, que p 5 q.
Logo, o triângulo CAE é isósceles. Portanto, .AC AE&
Substituindo AE por AC em ,
AB
BD
A
DC
E
5 temos:
AB
BD
AC
DC
5
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto
em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

166. 108
Trabalhando a
informação
Esta seção trata da análise
do cartograma do Índice de
Vulnerabilidade Social (IVS).
Sugestão de leitura
Para amplie a discussão com os alu-
nos sobre esse tema, sugerimos:
<http://ivs.ipea.gov.br/index.php/pt/
sobre>. Acesso em: 25 ago. 2018.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
 substantivo masculino
quadro ou mapa em que se representa graficamente, por meio
de linhas e figuras, a ocorrência quantitativa ou a intensidade de diversos
fenômenos (índices de natalidade, distribuição de populações etc.)
MUITO BAIXA
0 1
0,200 0,300 0,400 0,500
M U I TO A LTABAIXA MEDIA A LTA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
108 CAPÍTULO 4
PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
Cartograma do Índice de Vulnerabilidade Social (IVS)
No dicionário, o verbete cartograma é definido como:
Com a produção de informações cada vez mais crescente e diversificada, a alfabetização de
uma pessoa não pode mais ficar restrita a textos. Atualmente, é necessário nos alfabetizar em
linguagens diversas, por exemplo ler e interpretar um cartograma.
Vamos analisar o tema vulnerabilidade social por meio da comparação de cartogramas elabora-
dos pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) com dados do IBGE de 2000 e de 2010.
O Índice de Vulnerabilidade Social (IVS), construído a partir de indicadores do Atlas do Desenvolvimento
Humano (ADH) no Brasil, procura dar destaque a diferentes situações indicativas de exclusão e vulnerabilidade
social no território brasileiro, numa perspectiva que vai além da identificação da pobreza entendida apenas como
insuficiência de recursos monetários. [...]
Como ler o IVS
O IVS é um índice que varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo a 1, maior é a vulnerabilidade social de um
município. [...]
Como é construído o IVS
O IVS é o resultado da média aritmética dos subíndices: IVS Infraestrutura Urbana [saneamento básico e de
mobilidade urbana], IVS Capital Humano [saúde e educação] e IVS Renda e Trabalho [renda domiciliar per capita,
desocupação de adultos, trabalho infantil], cada um deles entra no cálculo do IVS final com o mesmo peso. [...]
O IVS no Brasil
Em 2000, o Brasil apresentava IVS igual a 0,446. Este valor indica que o país encontrava-se na faixa da alta
vulnerabilidade social. Passados dez anos, a vulnerabilidade social é reduzida a 0,326, trazendo o país para a faixa
do médio IVS, num avanço equivalente a 27% em direção a níveis mais baixos de vulnerabilidade social.
Veja a seguir os dois cartogramas. Em cada mapa, leia a legenda e identifique pela cor a situação de cada região.
AUTORIA COLETIVA/IPEA
Fonte: HOUAISS, Antonio; VILLAR, Mauro de Salles (Ed.). Dicionário Houaiss da
Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2009.

167. 109BIMESTRE 2
Orientações
Auxilie os alunos no traba-
lho de localização do mu-
nícipio onde moram nos
cartogramas e em uma pes-
quisa que possa ajudá-los
nas respostas aos demais
itens. Amplie o trabalho de
leitura fornecendo outros
cartogramas para análise.
Sugestões de leitura
Para enriquecimento, sugerimos:
<http://www2.fct.unesp.br/
docentes/geo/raul/cartografia_
tematica/leitura%203/Le_Ca_II_
A05_MZ_GR_260809.pdf>;
<http://www.ebah.com.br/content/
ABAAAANBcAE/introducao-a-
estatistica?part53>;
<http://www.csr.ufmg.br/
geoprocessamento/publicacoes/
LUCIANA.pdf>;
<https://ww2.ibge.gov.br/webcart/>.
Acessos em: 25 ago. 2018.
IVS (2000)
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
530 km
NE
LO
SE
S
N
NO SO
530 km
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
109CAPÍTULO 4 PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
Fonte: IPEA. Atlas da
vulnerabilidade social nos
municípios brasileiros. Brasília: IPEA,
2015. Disponível em: <http://ivs.
ipea.gov.br/images/publicacoes/
Ivs/publicacao_atlas_ivs.pdf>.
Acesso em: 22 nov. 2017.
Tente localizar o seu município em cada cartograma. Respostas pessoais.
a) Em qual situação ele se classificava em 2000? E em 2010?
b) Quais eram os maiores problemas do seu município em 2000? E em 2010?
c) Eles foram resolvidos?
d) Discuta com seus colegas o que poderia ser feito para resolver os problemas do seu município.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
AUTORIA COLETIVA/IPEAAUTORIA COLETIVA/IPEA
IVS (2010)

168. 110
Exercícios
complementares
Este bloco de exercícios pro-
picia aos alunos revisitarem
os temas desenvolvidos no
capítulo, ampliando e soli-
dificando os conhecimentos
que já construíram. Além
disso, é possível perceberem
dúvidas que ainda persistam
e saná-las com o auxílio do
professor e dos colegas.
Para o exercício 4, uma pos-
sível construção é:
• Desenhamos primeiro um
segmento de reta (AB
) de
11 cm (com o auxílio de
uma régua) e traçamos
a semirreta de origem
na extremidade A desse
segmento. Depois, mar-
camos com o compasso
quatro pontos (C’, D’,
E’, B’) nessa semirreta (a
partir de sua origem),
de modo que se tenha:
AC’ 5 C’D’ 5 D’E’ 5 E’B’.
• Traçamos o segmento B‘B
e, por C’, D’e E’, traçamos
segmentos paralelos a B‘B
com o outro extremo em
AB (com o auxílio de ré-
gua e esquadro, sem usar
a graduação dos instru-
mentos), obtendo assim
os pontos C, D e E, que
dividem o segmento AB
em quatro partes iguais:
AC 5 CD 5 DE 5 EB
• Uma figura que podemos obter dessa maneira é:
A
C D E B
C
D
E
B
Na resolução do exercício 6,
é importante verificar se os alunos interpretaram ade-
quadamente a informação “o lado do quadradinho do
quadriculado como unida-
de de medida”, pois apenas
com base nessa informa-
ção eles podem saber que
AD 5 4 e BD 5 3 e, assim,
usar as relações existentes
para chegar à medida de EC,
ou seja, o valor de x:
AD
DB
5
AE
EC
Æ
4 3
5
5
x
Æ
Æ 4x 5 15 Æ x 5 3,75
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidades trabalhadas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
r
s
t
xy
6
8
3
9
r
s
t
14y33
8x
D
E
C
B
A
2,4
3,5
2
6
C
6
9
NM
A H
P
B
x
5
AA
E
D B
C
A
B
C
D
B’
C’
D’
A
B
C
D
E
x
x
4
9
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
110 CAPÍTULO 4
PROPORCIONALIDADE EM GEOMETRIA
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
8
(Unicamp-SP) A figura mostra um segmen-
to AD
dividido em três partes: AB 5 2 cm,
BC 5 3  cm e CD 5 5 cm. O segmento 'AD
mede 13 cm e as retas 'BB e 'CC são paralelas
a '.DD Determine as medidas dos segmentos
',AB '',BC ''.CD
7 A bissetriz relativa ao ângulo A
W
do :ABC
de termina sobre o lado BC segmentos de
15 cm e 20 cm. Sabendo que o perímetro do
:ABC é 84 cm, calcule as medidas dos lados
desse triângulo.
21 cm, 28 cm e 35 cm
1 Sendo r ⁄ ⁄ s ⁄ ⁄ t, calcule x e y.
2 Calcule a medida de
BD na figura, sabendo
que AB ⁄ ⁄ .DE 6,6
3 Calcule a medida da altura ,CH relativa ao
lado AB do triângulo :ABC, sabendo que
MN ⁄ ⁄ .AB CH 5 10
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
4 Construa um segmento de 11 cm e divida-o
em quatro partes iguais sem usar a escala da régua.
construção de figura
6 Na figura, DE
⁄ ⁄ .BC Considerando o lado do
quadradinho do quadriculado como unidade de medida, calcule o valor de x.
x 5 3,75
a)
b)
9 No triângulo, DE
⁄ ⁄ .BC
Calcule o valor de x.
5 As medidas dos lados de um :ABC são:
AB 5 21 cm, AC 5 18 cm e BC 5 26 cm. Cal-
cule as medidas dos segmentos determinados
no lado BC
pela bissetriz relativa ao ângulo .A
W
x 5 12 e y 5 21
x 5 12 e y 5 2
14 cm e 12 cm
10 Construa um triângulo ABC de modo que
AB 5 4,2 cm, AC 5 5,6 cm e BC 5 7 cm. Trace
a bissetriz relativa ao ângulo .A
W
Chame de D o
ponto de encontro dessa bissetriz com .BC
Determine as medidas de BD e .DC
Em seguida, meça esses segmentos com a régua e compare os valores encontrados com as respectivas medidas obtidas pelo cálculo.
BD 5 3 cm e
CD 5 4 cm
AB’ 5 2,6 cm, B’C’ 5 3,9 cm e
C’D’ 5 6,5 cm
x 5 6

169. 111BIMESTRE 2
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Resolver problemas envol-
vendo relações de propor-
cionalidade.
• Identificar e efetuar amplia-
ção e redução de figuras.
• Resolver problemas envol-
vendo cálculos com núme-
ros reais.
• Desenvolver a noção de fi-
guras semelhantes.
• Determinar a razão de se-
melhança entre dois po-
lígonos semelhantes.
• Aplicar as relações entre
ângulos formados por re-
tas paralelas cortadas por
uma transversal.
• Reconhecer polígonos se-
melhantes, em particular
triângulos semelhantes.
• Construir figuras seme-
lhantes por homotetia.
• Definir semelhança entre
triângulos.
• Estudar e aplicar os casos de
semelhança de triângulos.
• Resolver problemas envol-
vendo semelhança de tri-
ângulos.
• Interpretar pirâmides etá-
rias.
Orientações gerais
Apresentamos neste capítu-
lo o conceito de semelhança
entre figuras e, em particular,
a semelhança entre polígo-
nos, ampliando o estudo so-
bre proporcionalidade trata-
do no capítulo 4 deste livro.
O trabalho com triângulos
semelhantes, é fundamental
para o desenvolvimento dos
assuntos dos próximos capí-
tulos, como razões métricas
e trigonométricas em um
triângulo retângulo.
A abertura apresenta como
motivação uma obra do ar-
tista holandês Maurits Cor-
nelis Escher (1898-1972), que
utiliza em seus desenhos
perspectiva e transforma-
ções geométricas. Proponha
aos alunos uma pesquisa
sobre as obras de Escher e
promova a apresentação das
informações obtidas.
001-i-PROJMAT9-MD-SD -
9-3BIM-2020
111CAPÍTULO 5
Uma mão desenha a outra, semelhante, que desenha a outra, igualmente semelhante...
Criador e criatura: quem é quem na obra de Escher?
Também na natureza, a semente gera o fruto que gera a semente, que carrega em si as
características de seu fruto: um ciclo a perpetuar a semelhança da espécie.
5
Capítulo
M. C. Escher. Drawing hands. 1948. Litografia. 33,2 cm 3 28,2 cm.
Semelhança
© 2017 THE M.C. ESCHER COMPANY-THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS RESERVED.
WWW.MCESCHER.COM – COLEÇÃO PARTICULAR
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital AudiovisualMaterial Digital Audiovisual
• Áudio: Sombras que revelam
alturas

170. 112
Pense mais um
pouco...
Uma resolução possível para
a questão proposta consiste
em determinar quantos por
cento 12 é de 10, ou seja,
calculamos a razão entre
essas duas alturas. É impor-
tante que os alunos perce-
bam, inicialmente, que 12 é
mais de 100% de 10, já que
12 . 10. Fazer estimativas
de resultados ajuda a detec-
tar valores inadequados.
12 10
5
120 100
5 120% (ou 1,2)
Logo, 12 é 120% de 10. Por-
tanto, devemos programar
uma cópia com 120% de
ampliação.
Discuta com os alunos o fato
de que o acréscimo aplica-
do na altura de 10 cm para
12 cm é 2 cm, o que corres-
ponde a 20% de 10 cm. Por
isso, 120% correspondem à
altura obtida após o acrés-
cimo.
Os alunos podem comprovar
esses percentuais utilizando
uma calculadora para fazer
120% de 10 e 2% de 10.
Explore também o cálculo
mental, tomando por base
que calcular 10% de um va-
lor equivale a dividir esse va-
lor por 10 e calcular 50% de
um valor equivale a dividir o
valor por 2. Assim, os alunos
podem facilmente concluir
que 10% de 10 é igual a 1
(10 : 10 5 1) e como 20% é
o dobro de 10%, 20% de 10
deve ser 2.
Complemente os estudos com
a Sequência didática 4 –
Semelhança de triângulos
e a Sequência didática 5 –
Casos de semelhança de
triângulos, disponíveis no
Manual do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
112 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Foto ampliadaFoto original
FOTOS: A. PAES/SHUTTERSTOCK
Cachoeira do Prata, localizada na Chapada
dos Veadeiros, Cavalcante (Goiás). (Foto de
2017.)
Foto reduzida
SIDNEY MEIRELES
Ampliando ou reduzindo figuras
em uma fotocopiadora, obtemos
figuras semelhantes às originais. Figuras
congruentes também são semelhantes.
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma, mas
não necessariamente o mesmo tamanho.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Em uma foto, a altura da imagem de João corresponde a 10 cm. Qual deve ser a porcentagem que
devemos programar na fotocopiadora para que a altura de João, na cópia ampliada, seja de 12 cm?
Devemos programar uma cópia com 120%, isto é, 100% do original mais 20% de ampliação.
1
Figuras semelhantes
Quando uma imagem é projetada em uma tela de televisão, de cinema, de celular etc., o
tamanho da imagem projetada geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no
entanto a forma é mantida. Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhan-
te à original.
Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determi­
nada imagem; nesse caso, também se mantém a forma do original.
Para obter uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos programar essa máquina para
fazer uma cópia de 150%, pois a ampliação deverá ser igual ao original (100%) aumentado
de 50%. Se quisermos uma redução de 25%, devemos programar a máquina para 75%, que
corresponde ao original (100%) diminuído de 25%.

171. 113BIMESTRE 2
Polígonos
semelhantes
A malha quadriculada é
um importante recurso no
trabalho com ampliação/re-
dução e semelhança. Apro-
veite a figura e destaque os
elementos correspondentes
(ângulos e lados) nos dois
polígonos da malha. Desta-
que o fato de que os ângu-
los internos corresponden-
tes nos dois polígonos são
congruentes entre si.
Peça aos alunos que verifi-
quem nos dois quadriláte-
ros, do menor para o maior,
o que ocorreu com as me-
didas dos lados correspon-
dentes, usando para isso os
elementos da malha. Assim,
indicando por L a medida do
lado do quadradinho da ma-
lha e por d a medida de sua
diagonal, verificamos que:
A’B’ 5 10L 5 2 8 5L 5 2 8 AB
A’D’ 5 2L 5 2 8 L 5 2 8 AD
B’C’ 5 6d 5 2 8 3d 5 2 8 BC
C’D’ 5 4d 5 2 8 2d 5 2 8 CD
Desse modo, os alunos ve-
rificam que as medidas dos
lados do polígono maior
correspondem ao dobro das
medidas dos lados corres-
pondentes no polígono me-
nor. Retome, então, a noção
de segmentos proporcionais
para continuar o desenvolvi-
mento teórico.
Explore o segundo par de
figuras, que mostra uma re-
dução, da mesma maneira
que foi feito na ampliação.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho com semelhança, sugerimos os seguintes livros:
JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo Cestari; IMENES, Luiz Márcio.
Semelhança. São Paulo: Atual, 2002. (Coleção Pra que serve Matemática?)
MACHADO, Nilson José.
Semelhança não é mera coincidência. São Paulo: Scipione, 2006. (Coleção Vivendo a Matemática)
ROSA NETO, Ernesto.
Saída pelo triângulo. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A Descoberta da Matemática)
A
D
C
B
D’
A’ B’
C’
E
A B
CD C’D’
E’
A’ B’
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
113CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Polígonos semelhantes
O uso de papel quadriculado torna mais simples o trabalho de ampliação ou de redução
de figuras. Veja, por exemplo, como foi obtida a ampliação em 100% do polígono ABCD, que
resultou no polígono A’B ’C ’D ’.
Os pares de ângulos A
W
e A
W
’, B
W
e B
W
’, C
W
e C
W
’, D
W
e D
W
’ são
chamados de ângulos correspondentes. Observe que eles
são congruentes:
A
W
& A
W
’, B
W
& B
W
’, C
W
& C
W
’ e D
W
& D
W
’
Os pares de lados ,ABABe’’ ,BCeBC’’ ,CDCDe’’ DA e
DA’’ são chamados de lados correspondentes. Observe que
eles são proporcionais:
Agora, vamos reduzir o polígono ABCDE em 50%, obtendo o polígono A’B

’C

’D

’E ’. Veja.
NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes são
proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
Assim, concluímos que o polígono A’B ’C ’D ’ é semelhante
ao polígono ABCD e indicamos por ABCD ∏ A’B ’C ’D ’.
Como qualquer lado do polígono ampliado (A’B ’C ’D ’) tem por medida o dobro da medida do
lado correspondente no polígono original (ABCD), dizemos que a razão de semelhança entre o
polígono ampliado e o polígono original é 2. Isso significa que qualquer lado do polígono A’B ’C ’D ’
tem por medida o dobro da medida do lado correspondente no polígono ABCD.
SIDNEY MEIRELES SIDNEY MEIRELES
Note que ângulos
correspondentes são formados
por lados correspondentes.
Lados correspondentes
são comuns a dois ângulos
correspondentes.
AB
AB
BC
B
CD
CD
DA
DA
1
2’’ ’ ’
55 55
C ’’’’
Observe que os ângulos
correspondentes são congruentes
e os lados correspondentes são
proporcionais. Então, os polígonos
ABCDE e A’B

’C

’D

’E ’ são
semelhantes.

172. 114
Orientações
Explore com os alunos os
exemplos apresentados.
Ressalte que as duas condi-
ções devem ocorrrer simul-
taneamente para que as
figuras consideradas sejam
semelhantes:
• ter ângulos corresponden-
tes congruentes;
• ter lados correspondentes
proporcionais.
Exercícios propostos
No exercício 1, peça aos alu-
nos que expliquem o pro-
cedimento utilizado para
obter essa razão de seme-
lhança.
Para ampliar uma figura fei-
ta em um papel quadricula-
do, um procedimento é mul-
tiplicar o comprimento dos
segmentos do contorno da
figura original (em quanti-
dade de lados ou diagonais
dos quadradinhos da malha)
de acordo com o fator de
ampliação que se quer.
No exercício 2, como a razão
de semelhança é 3 para 1,
devemos triplicar tais com-
primentos. Abaixo apresen-
tamos essa ampliação, na
qual à esquerda temos a
figura original e à direita a
figura ampliada na razão 3.
No exercício 3, proponha
aos alunos mostrem um con-
traexemplo com desenhos.
WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
D
C
BA 3 3,5
0,8
1,5
E
D’
C’
B’A’
E’
4,6
2
3
4
2,3
1CD
A
B
C’
D’
A’
B’
1,5
2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
114 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
1 Qual é a razão de semelhança entre a figura
reduzida (à direita) e a figura original (à esquer­
da) na ilustração abaixo?
A medida de qualquer lado do polígono A’B ’C ’D ’E ’ tem metade da medida do lado correspon­
dente no polígono ABCDE. Nesse caso, dizemos que a razão de semelhança entre o polígono
reduzido (A’B ’C ’D ’E ’) e o polígono original é .
2
1
Então:
AB
AB
BC
B
CD
C
DE
D
EA
EA
2
1’’ ’
55 55 5
CD E’’ ’’ ’’ ’
Observe agora o par de polígonos.
Os polígonos acima têm os ângulos correspondentes congruentes, mas seus lados corres­
pondentes não são proporcionais. Logo, eles não são semelhantes.
Veja estes outros polígonos.
Esses polígonos têm os lados correspondentes proporcionais, mas seus ângulos correspon­
dentes não são congruentes. Logo, eles não são semelhantes.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Não, porque é necessário também que os
ângulos correspondentes sejam congruentes.
,AB
AB
35
3
7
6
’
55
’
AE’ ,
,AE
08
15
8
15
55
’
AB
AB
4
2
2
1
’
55
’
B ,
,
C
BC
46
23
2
1
55
’’
CD
CD
2
1
’
5
’
,
DA
DA
3
15
2
1
’
55
’
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2
1
2 Em um papel quadriculado, amplie esta figura
na razão .
1
3
construção de figura
3 Os lados correspondentes de dois polígonos
são proporcionais. Podemos dizer que eles são
semelhantes? Por quê?

173. 115BIMESTRE 2
Exercícios propostos
Para o exercício 4, vale des-
tacar que, no caso dos re-
tângulos, se as medidas dos
4 ângulos internos não fo-
rem alteradas, a figura con-
tinuará a ser um retângulo,
mesmo que o aumento ou
a redução das medidas dos
lados não sejam proporcio-
nais. Nesse caso, não basta
que os alunos respondam
que os dois retângulos são
semelhantes por serem re-
tângulos, pois isso garan-
te apenas que não houve
alteração nas medidas dos
ângulos; é necessário que
apresentem argumentos so-
bre as medidas dos lados.
Pergunte: “Qualquer par de
retângulos são figuras seme-
lhantes? Por quê?”. Espera-
-se que eles percebam que
não, pois, apesar de os ân-
gulos sempre serem retos,
nem sempre dois retângulos
terão lados proporcionais.
Um contraexemplo que
pode ser discutido é apre-
sentado a seguir, no qual
visivelmente os retângulos
não são semelhantes:
2 cm 2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
1 cm 1 cm
Amplie o questionamento
perguntando: “Dois qua-
drados são sempre figuras
semelhantes?”.
No exercício 5, depois de
identificarem a figura D
como a semelhante à figura
A, peça aos alunos que jus-
tifiquem por que as demais
figuras não são semelhan-
tes à figura A. Uma possível
justificativa é falar sobre o
“bico”: como nas figura B e
C ele permaneceu do mes-
mo tamanho da figura origi-
nal, as demais partes dessas
figuras também não pode-
riam ter sido modificadas.
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
A B
C
D
6
8 4
3
5
12
10
x
C’
A’ B’
C
A B
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
115CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
6 Sabendo que os polígonos a seguir são seme­
lhantes, calcule x.
6
a) Qual é a razão entre a medida da base do re­
tângulo vermelho e a medida da base do
retângulo verde?
3
2
b) Qual é a razão entre a medida da altura do retângulo vermelho e a medida da altura do retângulo verde?
3
2
c) Esses retângulos são semelhantes? Por quê?
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
5 Indique a figura semelhante à figura A.
8 Marcos desenhou em um papel quadriculado,
de 1 cm por 1 cm, um triângulo retângulo. Usou
12 lados do quadradinho para a base e 8 para
a altura.
Pedro também desenhou um triângulo retângu­
lo com 12 lados do quadradinho para a base e
8 para a altura, mas em um papel quadriculado
de 0,5 cm por 0,5 cm.
Considere que os triângulos desenhados por
Marcos e Pedro são semelhantes.
a) Qual é a razão de semelhança entre os
lados do triângulo de Marcos e os lados do
triângulo de Pedro?
1
2
b) Qual é a razão de semelhança entre o perí­
metro do triângulo de Marcos e o perímetro do triângulo de Pedro?
1
2
c) Qual é a razão entre a área do triângulo de Marcos e a área do triângulo de Pedro?
1
4
7 Considere os triângulos semelhantes ABC e
A’B ’C ’. 4 Com uma régua, meça a base e a altura dos
retângulos a seguir e, com o auxílio de um
transferidor, meça os ângulos de ambos.
4. c) Sim, pois, além de os lados correspondentes serem
proporcionais, os ângulos
medem 90° e, portanto, os
ângulos correspondentes
são congruentes.
figura D
Com uma régua, determine a medida dos lados
e das alturas relativas a .ABABe’’
Conside­
rando as razões, sempre do triângulo ABC para
o triângulo A’B ’C ’, responda às perguntas.
a) Qual é a razão entre as medidas de dois
lados correspondentes?
1,2
b) Qual é a razão entre as medidas de duas
alturas relativas a lados correspondentes?
c) Qual é a razão entre os perímetros?
1,2
d) Qual é a razão entre as áreas? 1,44
1,2
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!

174. 116
Pense mais um
pouco...
Na questão desta seção, os
alunos devem obter a razão
da ampliação feita (as di-
mensões foram dobradas).
Logo, a largura na foto am-
pliada também deve estar
dobrada, ou seja, é 14,4 cm.
Para saber mais
Nesta seção, apresentamos
a homotetia, que é um pro-
cedimento para se obter fi-
guras semelhantes, fazendo
ampliações e reduções.
Peça a alguns alunos que
expliquem oralmente o sig-
nificado dessa palavra, pes-
quisando no dicionário ou
na internet.
Reproduza essa constru-
ção na lousa e discuta cada
etapa dela com os alunos.
Em seguida, entregue uma
folha de papel sulfite com
desenhos de polígonos (pre-
viamente preparados) para
que eles façam as homote-
tias indicadas.
Percorra a sala e acompanhe
a resolução das atividades
propostas para avaliar se
compreenderam o significa-
do de homotetia, já que é
um conceito novo e até mes-
mo diferente daquilo que
já conhecem, apesar de seu
significado não estar distan-
te do que estão estudando.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
O
A
B
C
DE
E’
A’
B’
C’
D’
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
116 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Monumento Tortura Nunca Mais, na Praça Padre Henrique
em Recife (Pernambuco). (Foto de 2016.)
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Um grupo de amigos fez uma viagem para
Re cife (PE).
Lá tiraram muitas fotos, que foram reveladas
no tamanho 10 # 15 cm.
A foto tirada do Monumento Tortura Nunca
Mais ficou excelente. Resolveram, então,
fazer uma cópia ampliada no tamanho
20 # 30 cm para cada um.
Na foto original, o monumento tem 7,2 cm
de largura.
Qual é a medida, em centímetro, dessa lar­
gura na cópia ampliada?
14,4 cm
Construindo figuras semelhantes por homotetia
A homotetia é um exemplo de transformação geométrica que preserva a forma da figura
original, mas não necessariamente seu tamanho, que pode ser ampliado ou reduzido. Desse
modo, a figura original e a figura obtida são semelhantes. Essas figuras são chamadas de
figuras homotéticas.
Veja como ampliar o pentágono ABCDE, na razão 1,5, por ho motetia.
• Fixamos um ponto O (centro de homotetia).
• Traçamos, a partir do ponto O, semirretas que passam pelos vértices desse pen tágono.
Obtemos o pentágono A’B ’C ’D ’E ’, fazendo OA’ 5 1,5 8 OA, OB ’ 5 1,5 8 OB e assim por diante.
O pentágono A’B ’C ’D ’E ’ é semelhante ao pentágono ABCDE na razão de semelhança 1,5.
PARA SABER MAIS
NELSON MATSUDA
CHICO PELLINCA

175. 117BIMESTRE 2
Para saber mais
Peça aos alunos que anali-
sem os exemplos apresen-
tados. Espera-se que eles
percebam que, se a razão
da homotetia é igual a 1, a
figura obtida é a própria fi-
gura original, ou seja, uma
homotetia de razão 1 (para
qualquer centro) leva a figu-
ra original nela mesma.
Aproveite para relembrar o
que são figuras congruentes.
Ressalte que são um caso par-
ticular de semelhança, quan-
do essa razão é 1.
Seguem construções do
Agora é com você!.
a) Com esquadro e régua,
desenhamos o triângulo re-
tângulo isósceles ABC . De-
pois, marcamos o ponto O,
distante do triângulo ABC.
Em seguida, traçamos três
semirretas de origem em O
passando pelos vértices A ,
B e C, respectivamente. Em
cada semirreta, a partir de
O, com o auxílio do com-
passo, demarcamos segmen-
tos que tenham o dobro do
comprimento do lado do
triângulo, obtendo os pon-
tos A’, B’ e C’, respectiva-
mente, que serão os vértices
do triângulo homotético de
razão 2, pois OA ’ 5 2 8 OA,
OB’ 5 2 8 OB e OC’ 5 2 8 OC.
Observe que, quando a ra-
zão é positiva e maior que
1, o triângulo homotético
está na mesma posição em
relação ao triângulo original
e os vértices do triângulo
original pertencem aos res-
pectivos lados do triângulo
homotético.
A’
C
C’
B
B’
O
A
b) O procedimento é análogo ao do item a , mas como
a razão é negativa os vértices do triângulo original não pertencem aos lados do triângulo homotéti-
co, que estará na posição invertida em relação ao original. Assim, traçamos retas, pois os vértices do triângulo homotético estão na respectiva semirreta
oposta daquela que contém cada lado do triângulo original. Sendo a razão um número entre 21 e 0, o
triângulo homotético é uma redução do triângulo original na razão indicada. Assim: OA’ 5 0,5 8 OA,
OB’ 5 0,5 8 OB e OC’ 5 0,5 8 OC’
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
C’
B’ O
A’
A
C
B
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
Q
P
Q’
P’
O
Q
P
P’
O
Q’
© 2017 THE M.C. ESCHER COMPANY-THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS
RESERVED. WWW.MCESCHER.COM – COLEÇÃO PARTICULAR
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
117CAPÍTULO 5
SEMELHANÇA
M. C. Escher. Limite do
círculo com borboletas.
1950. Tesselação.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Veja outros exemplos de figuras homotéticas.
a) A figura original foi invertida por homotetia de centro O e razão 21.
Nesse caso, as figuras são congruentes.
b) A figura original foi reduzida por homotetia de centro O e razão .
2
1
c) Por meio da homotetia, podemos formar uma sequência de figuras homotéticas.
Desenhe um triângulo retângulo isósceles. Fixe um ponto O e, por homotetia de centro O, construa
o triângulo homotético ao que você desenhou aplicando a razão:
construção de figuras
a) 2 b)
2
1
2

176. 118
Semelhança aplicada
a triângulos
Para ilustrar os resultados
que serão destacados no
boxe Observação, inicial-
mente apresente pares de
polígonos semelhantes (po-
dem ser desenhados em ma-
lha quadriculada em tama-
nho grande) de modo que
os alunos possam verificar
esses resultados, obtendo a
razão de semelhança pela
proporcionalidade dos la-
dos, a razão entre os perí-
metros e a razão entre as
áreas.
Exercícios propostos
O exercício 9 chama a aten-
ção para a identificação dos
lados correspondentes en-
tre polígonos semelhantes,
um dos procedimentos es-
senciais para a aplicação de
semelhança na resolução de
problemas.
Os alunos devem compreen-
der e assimilar que os lados
correspondentes em polígo-
nos semelhantes são aqueles
que estão opostos a ângu-
los congruentes. Nos dois
triângulos do exercício, por
exemplo, para determinar
os lados correspondentes
devemos observar que:
• como o lado AB
é oposto
ao ângulo interno C do tri-
ângulo ABC, devemos en-
contrar no outro triângulo
o lado oposto ao ângulo
congruente a C, que é o
ângulo H, oposto ao lado
FG do triângulo FGH. As-
sim, podemos concluir que
AB e FG são lados corres-
pondentes em triângulos
semelhantes.
• De maneira análoga, de-
terminamos que AC e FH,
assim como BC e GH, tam-
bém são lados correspon-
dentes em triângulos se-
melhantes.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
A B D E
C
F
3
6 5
2,5
60°
30°
60°
30°
2
5
3
33 ——
B
F
C
A
G
H
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
118 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9
Indique quais são os lados correspondentes
nestes triângulos semelhantes.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Esses triângulos são semelhantes, pois:
ƒos ângulos correspondentes são congruentes:
,AD BE CFe&& &
WWWWWV
ƒos lados correspondentes são proporcionais:
DE
AB
DF
AC
EF
BC
5
6
55 5 (razão de semelhança)
BCGHe
AC FHe
ABFGe
Observações
CCPara saber quais lados se correspondem, observamos os ângulos opostos a eles. Assim:
• o lado AB corresponde ao lado ,DE pois são opostos a ângulos congruentes (CF&
WV
);
• o lado AC corresponde ao lado ,DF pois são opostos a ângulos congruentes (BE&
WW
);
• o lado BC corresponde ao lado ,EF pois são opostos a ângulos congruentes (AD&
WW
).
CCSe dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança é k, então:
• a razão entre duas alturas correspondentes é k ;
• a razão entre duas medianas correspondentes é k ;
• a razão entre duas bissetrizes correspondentes é k ;
• a razão entre seus perímetros é k ;
• a razão entre suas áreas é k
2
.
2
Semelhança aplicada a triângulos
Já vimos que triângulos são polígonos. Então, podemos dizer que para dois triângulos
serem semelhantes deve ser possível estabelecer uma correspondência entre os lados por
proporcionalidade e entre os ângulos por congruência.
Considere os triângulos ABC e DEF a seguir.

177. 119BIMESTRE 2
No exercício 13, com régua
e compasso, desenhamos
um triângulo escaleno qual-
quer (três lados de medidas
diferentes) e determina-
mos triângulos semelhantes
segundo as razões dadas.
Abaixo, apresentamos uma
possível situação na qual
utilizamos homotetia para
construir os triângulos se-
melhantes: o triângulo ABC
é o triângulo escaleno ori-
ginal, o triângulo A ’B’C’ é
o triângulo homotético ao
triângulo ABC na razão 3 (é
uma ampliação) e o triângu-
lo A’’B’’C’’ é o homotético de
razão
3 4
(é uma redução).
C
A” m A’ m A B”
C”
C’
B B’
WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
C
C’A’
A y
15
x
B B’
10
20
12
B CR
15
PSN
A
M21
10,5
H
C
12
A
B R P
9
M
N
6
A 6B C
D
E
F
4
32
B
D
A
E
C
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
119CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
10 Considere o seguinte par de triângulos seme­
lhantes e determine os valores de x e de y.
x = 6
y = 9
11 Sabendo que :ABC ∏ :MNP, calcule a me­
dida da mediana
MS do :MNP. MS 5 7, 5
12 Sabendo que :ABC ∏ :MNP, calcule a me­
dida da altura AH do :ABC. 8
13 Construa com régua e com passo um triângulo
escaleno qualquer. Depois, construa um triân­
gulo semelhante a esse na razão 3 e outro na
razão
4
3
. construção de figuras
14 Os lados de um triângulo medem 12 cm, 18 cm
e 20,4 cm. O maior lado de um triân gulo se­
melhante ao primeiro mede 15,3 cm.
a) Qual é o perímetro do segundo triângulo?
b) Calcule a área do segundo triângulo, saben­
do que a área do primeiro é ,.23 04 11cm
2
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
37,8 cm
,1296 11 cm
2
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Na figura, BD ⁄ ⁄ CE e .AEBAFC&
W W
Determine a medida, em centímetro, de .AF 12812cm1`j
Teorema fundamental da semelhança
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que cruza os outros lados em dois
pontos distintos determina um triângulo semelhante ao primeiro.
Observe a figura a seguir, em que DE ⁄ ⁄ .BC
Vamos provar que os triângulos ADE e ABC são
semelhantes.
Para a demonstração formal de um teorema,
indicaremos, como de outras vezes, a hipótese
(proposição aceita como verdadeira) e a tese (pro­
posição cuja verdade se quer provar).

178. 120
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios tem
o objetivo de proporcionar
a aplicação do teorema fun-
damental da semelhança.
Durante a resolução, verifi-
que se os alunos entende-
ram as condições desse teo-
rema e quando ele pode ser
aplicado.
No exercício 16, os alunos
devem identificar o para-
lelismo entre os segmentos
que determinam as alturas
do pinheiro e do bastão, já
que ambos estão perpendi-
culares ao solo. Assim, eles
terão um triângulo e um
segmento paralelo a um dos
lados desse triângulo, cujos
extremos (pontos distintos)
pertencem aos outros dois
lados, respectivamente, hi-
pótese para concluir que o
triângulo determinado pelo
segmento paralelo é seme-
lhante ao primeiro triângu-
lo. Determinando os lados
correspondentes (opostos a
ângulos congruentes), e in-
dicando a altura do pinheiro
por x, podemos montar a se-
guinte proporção:
2
16
5
1,5
x

2x 5 16 8 1,5
x 5
16 8 1,5
2
x 5 8 8 1,5
x 5 12
Logo, a altura dessa árvore
é 12 m.
A B
E
D C
3,6
4,8 4,2
7,2
2 m
1,5 m
16 m
A
D E
B F C
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
120 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
15 Os prolongamentos dos lados não paralelos do
trapézio ABCD encontram­se em um ponto E.
Determine:
a) a medida de ;AE 9,6
b) a medida de .CE 4,2
16 Para medir a altura de um pinheiro, fiz o seguin­
te: peguei um bastão de 1,5 m e verifiquei que
ele projetava uma sombra de 2 m. No mesmo
momento, percebi que o pinheiro projetava
uma sombra de 16 m. Qual é a altura dessa
árvore?
12 m
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Hipótese {DE ⁄ ⁄ BC
Tese {:ADE ∏ :ABC
ƒDemonstração
Construção auxiliar: traçamos, por E, EF ⁄ ⁄ .AB
Observe atentamente os passos abaixo para acompanhar a demonstração.
1 DE ⁄ ⁄ BC (por hipótese)
2
AB
AD
AC
AE
5 (pelo teorema de Tales)
3 AA&
WW
(ângulo comum)
4 BD&
WW
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
5 CE&
WW
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
6
AC
A
BC
BFE
5 (pelo teorema de Tales)
7 BFDE& (lados opostos de um paralelogramo)
8
AC
AE
BC
DE
5 (de 6 e 7)
9
AB
AD
AC
AE
BC
DE
55 (de 2 e 8)
10 :ADE ∏ :ABC (de 3, 4, 5 e 9)
Portanto, ADE e ABC são triângulos semelhantes, como queríamos demonstrar.
NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com
números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.

179. 121BIMESTRE 2
Exercícios propostos
No exercício 19, os alunos
devem observar que no tri-
ângulo FDG, o segmento CE
é paralelo ao lado DG. Logo,
os triângulos FDG e FCE são
semelhantes (pelo teorema
fundamental da semelhan-
ça). Em seguida, eles devem
verificar que conhecem a
medida dos outros segmen-
tos da figura. Incentive-os
a reproduzir a figura no
caderno e a marcar nela os
valores conhecidos:
8
2 cm8 cm
6 cm 2 cm
E
F
CD
G
A B
Da semelhança entre os tri-
ângulos FDG e FCE, temos a
seguinte proporção:
2
10
5
CE
6
10 8 CE 5 2 8 6
10 8 CE 5 12
CE 5
12
10
CE 5 1,2
NELSON MATSUDA
M
B C
N
x
4
A
y
6
10
15
12
8
21
20
B x CA
y
E
D
4
x
2,4
2,4 2,2
2,2
A
6
x
4
4
M
B C
N
y
5
x
9 cm
8
E
F
CD
G
A B
30 m
50 m
16 m
sombra
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
121CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
20 (Unirio­RJ) Numa cidade do interior, à noite,
surgiu um objeto voador não identificado, em
forma de disco, que estacionou a 50 m do solo,
aproximadamente. Um helicóptero do Exérci­
to, situado a aproximadamente 30 m acima do
objeto, iluminou­ o com um holofote, conforme
mostra a figura a seguir.
alternativa a
18 Calcule x nos seguintes triângulos:
b)
a)
19 Na figura, ABCD é um quadrado e CF 5 AG 5 2.
Calcule CE.
1,2
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
17 Determine o valor de x e de y em cada caso.
a)MN
⁄ ⁄ BC
b)MN ⁄ ⁄ BC
c)EB ⁄ ⁄ DC
x 5 10
y 5 6
x 5 8
y 5 3
x 5 18
y 5 14
21 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre semelhança
de triângulos. Depois de cada um resolver o
problema elaborado pelo outro, destroquem
para corrigi­los.
Resposta pessoal.
x = 2
x = 4,5 cm
Sendo assim, pode­se afirmar que o raio do disco voador mede, em m, aproximadamente:
a)3,0. b) 3,5. c) 4,0. d) 4,5. e) 5,0.
3
Casos de semelhança de triângulos
SIDNEY MEIRELES
Você já viu que dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes
congruentes e lados correspondentes proporcionais. No entanto, podemos
reconhecer dois triângulos semelhantes pelos casos a seguir.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!

180. 122
Caso ângulo-ângulo
(AA)
Retome com os alunos que
para saber quais são os lados
proporcionais em dois triân-
gulos semelhantes devemos
primeiro identificar os ân-
gulos internos congruentes
(ângulos correspondentes
de mesma medida). Os lados
correspondentes, também
chamados de homólogos,
serão os lados opostos ao
ângulos congruentes corres-
pondentes. No entanto, as-
sim como foi feito no estudo
da congruência de triângu-
los, algumas situações já nos
garantem que temos dois
triângulos semelhantes (sem
verificar os demais elemen-
tos necessários para recair
na definição de semelhança
entre dois triângulos). São
os casos de semelhança: AA
(dois ângulos corresponden-
tes congruentes), LAL (dois
lados correspondentes pro-
porcionais e o ângulo com-
preendido entre eles res-
pectivamente congruentes)
e LLL (três lados correspon-
dentes proporcionais). Den-
tre eles, o mais comumente
utilizado é o caso AA.
Reproduza na lousa a de-
monstração do caso ângulo-
-ângulo, pedindo aos alunos
que justifiquem a congruên-
cia de cada item elencado.
Amplie a aplicação desse
caso apresentando outros
exemplos para os alunos
identificarem quais são os
ângulos correspondentes
congruentes.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal.

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
B C
A
A’
B’ C’
D E
CB
A
A
B
C
D
E
y
x
4
3
5,4
9C
1
C2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
122 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Hipótese
AA
BB
’&
&’
*
W
WW
W
Tese {:ABC ∏ :A’B ’C ’
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes respectivamente
congruentes, esses triângulos são semelhantes.
Caso ângulo–ângulo (AA)
Nesses triângulos, temos:
ƒAD&
WW
(ângulos correspondentes
formados por duas retas paralelas e uma transversal)
ƒ
CC&
12
WW
(ângulos opostos pelo
vértice)
Portanto, os triângulos ABC e DEC
são semelhantes pelo caso AA.
SIDNEY MEIRELES
Observe a seguir um exemplo de aplicação do
caso de semelhança AA. Vamos calcular o valor de
x e de y nos triângulos, sabendo que
AB // DE.
ƒDemonstração
Supondo que AB . A’B ’, vamos marcar sobre AB um
ponto D, tal que ’’.ADAB& Por D traçamos //.DEBC
Assim, temos:
1 DB&
WW
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
2 AA’&
WW
(por hipótese)
3 ADAB’& ’ (por construção)
4 ’DB&
WW
(pois ’BB&
WW
e DB&
WW
)
Logo, de 2, 3 e 4 sabemos que os triângulos ADE e A’B ’C ’ são congruentes pelo caso ALA.
Pelo teorema fundamental da semelhança, :ABC ∏ :ADE.
Se :ABC ∏ :ADE e :ADE r :A’B ’C ’, então :ABC ∏ :A’B ’C ’, como queríamos provar.

181. 123BIMESTRE 2
Caso lado-ângulo-
-lado (LAL)
Esse caso de semelhança
precisa ser diferenciado do
caso de mesmo nome para
triângulos congruentes. Res-
salte que, enquanto os casos
de congruência envolvem
congruência entre os lados,
nos casos de semelhança
consideramos a proporcio-
nalidade entre os lados. Se
houver congruência entre os
lados, haverá também pro-
porcionalidade (de razão 1).
Por isso, dois triângulos que
são congruentes também
são triângulos semelhantes.
Peça aos alunos que acom-
panhem no livro o desevol-
vimento da demonstração
desse caso. Depois, converse
com eles sobre o que enten-
deram.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais
grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras
áreas.
B C
A
A’
B’ C’
B
D E
C
AReprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
123CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Assim, os lados correspondentes são proporcionais:
Hipótese
AA
AB
AB
AC
AC
’ ’
’
5
&
’ ’
*
WW
Tese {:ABC ∏ :A’B ’C ’
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais, e
os ângulos compreendidos por esses lados são congruentes, então
esses triângulos são semelhantes.
AB
DE
CB
CE
5
x
34
9
5
x 5
4
27
5 6,75
DC
AC
EC
BC
5
,
y
54 9
4
5
y 5
,
9
21 6
5 2,4
e
Portanto, os valores de x e de y são, respectivamente, 6,75 e 2,4.
Caso lado-ângulo-lado (LAL)
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ƒDemonstração
Supondo que AB . A’B ’, vamos marcar sobre AB um ponto
D, tal que ’’.ADAB& Por D traçamos DE ⁄ ⁄ .BC Pelo teorema
fundamental da semelhança, :ABC ∏  :ADE.
Vamos mostrar, pelo caso LAL de congruência de triângu­
los, que :ADE r :A’B ’C ’.
Já sabemos que ADAB’& ’ (por construção) e que AA’&
WW

(por hipótese). Resta provar que .AEAC’& ’
Da conclusão acima (:ABC { :ADE), podemos escrever
AD
AB
AE
AC
5 ou, ainda,
AB
AB
AE
AC
’
5
’
,
pois .ADAB’& ’
Comparando
AB
AB
AE
AC
’
5
’
com
AB
AB
AC
AC
’ ’
5
’ ’
(hipótese), temos: .AEAC’& ’ Então: ,ADAB’& ’
AA’&
WW
e .AEAC’& ’
Logo: :ADE r :A’B ’C ’ (pelo caso LAL de congruência de triângulos).
Se :ABC { :ADE e :ADE r :A’B ’C ’, então :ABC { :A’B ’C ’, como queríamos provar.

182. 124
Caso lado-lado-lado
(LLL)
Apresente esse caso de se-
melhança ressaltando a
diferença entre o caso de
congruência de mesmo
nome. Reproduza na lousa a
demonstração com algumas
lacunas e verifique se os alu-
nos conseguem completá-
-las antes de acompanharem
o desenvolvimento no livro.
Pergunte a eles por que
não é citado o caso ângulo-
-lado-ângulo (ALA) de seme-
lhança. Espera-se que eles
observem que se já temos
dois ângulos corresponden-
tes congruentes recaímos no
caso AA e com apenas um
lado correspondente a outro
não formamos proporção.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
A
12
20
50°
CB B’ C’
9
A’
50°15
B C
A
A’
B’ C’
B C
D E
A
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
124 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais,
então esses triângulos são semelhantes.
Hipótese
BAB
AB
AC
AC
C
BC
’ ’’
55
’ ’’
)
Tese {:ABC 8 :A’B ’C ’
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Observe agora um exemplo de aplicação do caso de semelhança LAL.
Vamos verificar se estes triângulos são semelhantes.
SIDNEY MEIRELES
Nesses triângulos, temos:
ƒAA’&
WW
(dado)
ƒ
AB
AB
AC
AC
’ ’
5
’ ’
, pois:
9
12
15
20
5
Portanto, os triângulos ABC e A’B ’C ’ são semelhantes pelo caso LAL.
Caso lado-lado-lado (LLL)
ƒDemonstração
Supondo que AB . A’B ’, vamos marcar sobre AB um ponto D,
tal que .ADAB’& ’ Por D traçamos DE ⁄ ⁄ .BC Pelo teorema funda­
mental da semelhança, :ADE 8 :ABC.
Vamos mostrar, pelo caso LLL de congruência de triângulos,
que :ADE r :A’B ’C ’.
Como sabemos que ADAB’& ’ (por construção), resta provar
que AEAC’& ’ e que .DEBC&’’
Da conclusão acima (:ABC ∏ :ADE ), podemos escrever:
•
AD
AB
AE
AC
5 ou, ainda,
AB
AB
AE
AC
’
5
’
, pois .ADAB’& ’
Comparando
AB
AB
AE
AC
’
5
’
com
AB
AB
AC
AC
’ ’’
5
’
(hipótese), temos: .AEAC’& ’

183. 125BIMESTRE 2
Exercícios propostos
Se julgar necessário, retome
as relações entre ângulos já
estudadas, que apareceram
nos problemas envolvendo a
aplicação dos casos de seme-
lhança de triângulos, como
é o caso de ângulos opostos
pelo vértice e das relações
entre os ângulos formados
por duas paralelas e uma
transversal.
Comente com os alunos o
quanto é importante nesses
problemas a análise da figu-
ra e a identificação da con-
gruência dos ângulos e da
proporcionalidade dos lados
com suas respectivas justifi-
cativas embasadas nos con-
ceitos, nas propriedades e
nos teoremas já estudados.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
10
15
20
4
A
B C C’B’
A’
6
8
A
B
C
E D
C
A B
D
E
y
x
18 14
16
27
H
C
B x
y
4,8
6
10
A
8B
y
x
M
A
C D
3
6
4
8
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
125CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
22 Prove que o :ABE e o :CBD são semelhan­
tes, sabendo que AE ⁄ ⁄ .CD (Para facilitar a
visualização, desenhe marcando os ângulos
congruentes ou mudando a posição de um dos
triângulos.)
b)
a)
c)
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
BB&1 2
WW
(o.p.v.)
AC&
WW
(ângulos
alternos internos)
x 5 2
y 5 4
x 5 3,6
y 5 6,4
x 5 21
y 5 24
•
AD
AB
DE
BC
5 ou, ainda,
’’
,
AB
AB
DE
BC
5 pois .ADAB’& ’
Comparando
AB
AB
DE
BC
’
5
’
com
BAB
AB
C
BC
’ ’
5
’ ’
(hipótese), temos: .DEBC&’’
Então: ,ADAB’& ’ AEAC’& ’ e .DEBC&’’
Logo: :ADE & :A’B ’C ’ (pelo caso LLL).
Se :ABC 8 :ADE e :ADE & :A ’B ’C ’, então :ABC 8 :A’B ’C ’, como queríamos provar.
Observe um exemplo
de aplicação do caso de
semelhança LLL. Vamos
verificar se os triângulos
ao lado são semelhantes.
SIDNEY MEIRELES
Nesses triângulos, os lados correspondentes são proporcionais:
BAB
AB
C
BC
AC
AC
’ ’’
55
’ ’’
, pois:
6
15
4
10
8
20
55
Portanto, os triângulos ABC e A’B ’C ’ são semelhantes pelo caso LLL.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
23 Calcule x e y em cada caso.

184. 126
Exercícios propostos
Nesse bloco de exercícios,
peça a alguns alunos que
resolvam na lousa exercí-
cios diferentes, mostrando
a análise da figura, a iden-
tificação dos elementos e as
justificativas. Essa proposta
possibilita ampliar o reper-
tório de estratégias de reso-
lução dos alunos.
Pense mais um
pouco...
Apresentamos uma possível
resolução da questão pro-
posta.
• Analisando os dados, po-
demos montar a seguinte
figura:
12
18 cm 12 cm
x
• Pelas condições do proble-
ma, aplicamos o teorema
fundamental da semelhan-
ça e, assim, concluímos que
os triângulos ABC e AED
são semelhantes. Daí, te-
mos:
18
30
5
12
x
18x 5 360
x 5 20
Perímetro
4 8 20 cm 5 80 cm
Área
20 cm 8 20 cm 5 400 cm
2
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
14
12
4
8
A
D
x
B C
8
A
BC
x
2
D
A EF
DB
C
12 cm18 cm
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
126 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
b) :ADB e :CDA
24 Verifique quais triângulos são semelhantes e
calcule o valor de x. 25 Mostre que estes triângulos são semelhantes e
calcule o valor de x. (Dica: você pode desenhar
cada triângulo separadamente.)
a) :ABC e :ADB
demonstração; x 5 7
26 Verifique quais triângulos são semelhantes,
sabendo que AE
⁄ ⁄ ,BD CE ⁄ ⁄ BF e que F é o
ponto médio de AE. Entre esses pares de triân ­
gulos semelhantes,
quais são triângulos
congruentes?
a)
b)
c)
d)
27 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre semelhança
de triângulos. Depois de cada um resolver o
problema elaborado pelo outro, destroquem
para corrigi­los.
Resposta pessoal.
x 5 12
x 5 7
a) AC
W
B r AB
V
D
A
W
é ângulo comum
Pelo caso AA,
:ABC r :ABD
x 5 3,5
:ACE { :ABF
:ACE { :BCD
:BCD { :ABF
:BCD r :ABF
x 5 4,5
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Na figura ao lado, há dois quadrados. Determine
o perímetro e a área do quadrado maior.
80 cm; 400 cm
2
.
NELSON MATSUDA
10
x
8
8,75
3 3,2
9,6
10,5
x
x
12,5
7,5
10
15
9
9
6
x
12
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
demonstração; x 5 4
b) AD
W
B r CD
W
A, são
ângulos retos.
DA
W
B r DC
W
A,
dado do
problema.
Pelo caso
AA,
:ADB r :CDA .

185. 127BIMESTRE 2
Para saber mais
Nesta seção, é necessário
providenciar com antece-
dência o material para que
os alunos realizem em con-
junto a construção do pan-
tógrafo e o utilizem.
Se não for possível obter
material para a construção
de um pantógrafo por alu-
no, é possível formar du-
plas para usarem o mesmo
instrumento. Acompanhe a
atividade para garantir que
todos tenham oportunidade
de manipulá-lo.
Uma proposta de ampliar é
sugerir aos alunos que pes-
quisem quais profissionais
fazem uso do pantógrafo
em suas atividades.
parafusos com porcas
para dar mobilidade
fixar na
mesa
BAO
lápis lápis
—
1
2
—
1
2
PARA SABER MAIS
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
127CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Construindo um pantógrafo
Pantógrafo é um aparelho usado para ampliar ou reduzir figuras em determinada razão.
Veja como construí­lo.
Materiais:
• 4 ripas de madeira pequenas de mesmo
comprimento, perfuradas nas extremi­
dades e no centro;
• 2 lápis;
• 3 parafusos com porcas.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Pronto, seu pantógrafo está montado.
EDUARDO FELTRE
Pantógrafo.
Com os materiais indicados, vamos montar as ripas de madeira de modo que todas as
conexões fiquem articuláveis. O ponto O deve ficar fixo sobre a mesa. Colocamos em A e B
cada um dos lápis.

186. 128
Agora é com você!
Apresentamos a seguir as
construções solicitadas na
questão proposta, itens a e
b, respectivamente:
A
O
A’
figura original
figura ampliada
A
O
A’
figura original
figura reduzida
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
O
A
A’
B’
B
RP
Q
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
128 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Observe que os triângulos OPA e OQB são semelhantes e a razão de semelhança é
.
OQ
OP
2
1
5 Sendo assim, quando você traçar com o lápis A um segmento ,AA’ o lápis B
traçará um segmento BB’ com o dobro de seu comprimento.
NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
b) k 5
2
1
a) k 5 2
Use o pantógrafo que você construiu para desenhar figuras semelhantes a estas, de acordo com a
razão de semelhança (k) indicada em cada caso.
construção de figuras
Observação
CCPerfurando as ripas em várias posições, você poderá montar e desmontar o pantógrafo,
obtendo a razão de semelhança que desejar.
Por exemplo, se as ripas forem perfuradas em três partes iguais, você poderá triplicar uma
figura ou reduzi­la a um terço.
Agora é com você!

187. 129BIMESTRE 2
Trabalhando a
informação
O tema desta seção pode ser
aprofundado com base em
uma pesquisa sobre a pirâ-
mide etária em outras re-
giões do Brasil, envolvendo
Geografia. Proponha que,
em grupos, os alunos discu-
tam as informações obtidas.
Sugestões de leitura
Para ampliar e aprofundar a discus-
são, sugerimos:
<https://mundoeducacao.bol.uol.
com.br/geografia/piramide-etaria.
htm>;
<https://www.infoescola.com/
geografia/piramide-etaria/>.
Acessos em: 30 ago. 2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os
resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
129CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Pirâmide etária – Região Norte – Brasil – 2010 (%)
4,8%
5,1%
5,4%
5,1%
4,9%
4,7%
4,1%
3,4%
2,8%
2,3%
1,9%
1,5%
1,1%
0,8%
0,6%
0,4%
0,3%
0,1%
0,1%
0,0%
0,0%
5,0%
5,3%
5,6%
5,2%
4,9%
4,6%
4,1%
3,4%
3,0%
2,4%
2,0%
1,5%
1,1%
0,9%
0,6%
0,4%
0,2%
0,1%
0,0%
0,0%
0,0%
0 a 4 anos
5 a 9 anos
10 a 14 anos
15 a 19 anos
20 a 24 anos
25 a 29 anos
30 a 34 anos
35 a 39 anos
40 a 44 anos
45 a 49 anos
50 a 54 anos
55 a 59 anos
60 a 64 anos
65 a 69 anos
70 a 74 anos
75 a 79 anos
80 a 84 anos
85 a 89 anos
90 a 94 anos
95 a 99 anos
Mais de 100 anos
Homens
Mulheres
Um gráfico chamado pirâmide etária
Os gráficos são muito comuns em Matemática e em Física. No entanto, outras ciências, como
a Geografia, também fazem uso desse importante instrumento de informação. Particularmente,
o gráfico de barras duplas conhecido como pirâmide etária é frequente no estudo da distribuição
da população de acordo com a idade e o sexo.
Veja a tabela abaixo.
Distribuição da população na região Norte do Brasil – 2010 (em porcentagem)
Faixa etária Masculina Feminina Faixa etária Masculina Feminina
0 – 4 5,0 4,8 55 – 59 1,5 1,5
5 – 9 5,3 5,1 60 – 64 1,1 1,1
10 – 14 5,6 5,4 65 – 69 0,9 0,8
15 – 19 5,2 5,1 70 – 74 0,6 0,6
20 – 24 4,9 4,9 75 – 79 0,4 0,4
25 – 29 4,6 4,7 80 – 84 0,2 0,3
30 – 34 4,1 4,1 85 – 89 0,1 0,1
35 – 39 3,4 3,4 90 – 94 0,0 0,1
40 – 44 3,0 2,8 95 – 99 0,0 0,0
45 – 49 2,4 2,3 100 anos
ou mais
0,0 0,0
50 – 54 2,0 1,9
Dados obtidos em:
IBGE. Censo 2010.
Disponível em: <https://
censo2010.ibge.gov.br/
sinopse/webservice/
frm_piramide.
php?codigo=1>. Acesso
em: 21 dez. 2017.
Os geógrafos costumam traduzir essas informações em uma pirâmide etária como esta:
ADILSON SECCO
Fonte: IBGE.
Censo 2010.
Disponível
em: <https://
censo2010.
ibge.gov.
br/sinopse/
webservice/
frm_piramide.
php?codigo=1>.
Acesso em:
21 dez. 2017.
Por meio desse gráfico, perceba como fica fácil saber que a maioria da população pesquisada é
constituída por crianças, adolescentes e jovens (até 29 anos). Com esse base nesse gráfico também
é possível traçar um perfil da população, por sexo e por faixa etária, contribuindo na elaboração
de projetos que atendam às suas necessidades, ou seja, indicando ao governo o quanto e em que
setores – educação, esporte etc. – se deve investir.

188. 130
Agora quem trabalha
é você!
Para ampliar as questões
propostas, sugira outras
comparações de pirâmides
etárias, a partir do exemplo
a seguir.
Estrutura etária em paí-
ses desenvolvidos
Nos países desenvolvi-
dos, a estrutura etária é
caracterizada pela presen-
ça marcante da população
adulta e de uma porcenta-
gem expressiva de idosos,
consequência do baixo
crescimento vegetativo e
da elevada expectativa de
vida. Essa situação tem le-
vado às reformas sociais,
particularmente, no sistema
previdenciário em diversos
países do mundo, já que
o envelhecimento da po-
pulação obriga o Estado a
destinar boa parte de seus
recursos econômicos para a
aposentadoria.
Disponível em: <http://
geoconceicao.blogspot.
com/2009/06/piramides-etarias.
html>. Acesso em: 30 ago. 2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os
resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
130 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
1 Observe a pirâmide etária relativa à projeção da população do Brasil em 2050.
a) A maior parte dessa população também é constituída por crianças, adolescentes e jovens?
não
b) Em relação aos dias de hoje, os futuros governos do Brasil deverão destinar à terceira idade uma
parte maior ou menor de seu orçamento? Por quê?
Maior, pois a população terá envelhecido.
c) Pesquise a respeito de previdência social e previdência privada. A mudança prevista no perfil da
população brasileira afetará a atual situação previdenciária brasileira? Por quê?
Que diferenças você observa nessa pirâmide em relação à da região Norte?
Resposta pessoal.
Pirâmide etária – Região Sul – Brasil – 2010 (%)
3,2%
3,5%
4,1%
4,2%
4,2%
4,3%
4,0%
3,7%
3,7%
3,6%
3,1%
2,6%
2,1%
1,5%
1,2%
0,9%
0,6%
0,3%
0,1%
0,0%
0,0%
3,3%
3,6%
4,3%
4,3%
4,3%
4,3%
3,9%
3,6%
3,5%
3,4%
2,9%
2,4%
1,8%
1,3%
1,0%
0,6%
0,4%
0,2%
0,0%
0,0%
0,0%
0 a 4 anos
5 a 9 anos
10 a 14 anos
15 a 19 anos
20 a 24 anos
25 a 29 anos
30 a 34 anos
35 a 39 anos
40 a 44 anos
45 a 49 anos
50 a 54 anos
55 a 59 anos
60 a 64 anos
65 a 69 anos
70 a 74 anos
75 a 79 anos
80 a 84 anos
85 a 89 anos
90 a 94 anos
95 a 99 anos
Mais de 100 anos
Homens Mulheres
Fonte: IBGE. Censo
2010. Disponível
em: <https://
censo2010.ibge.
gov.br/sinopse/
webservice/
frm_piramide.
php?codigo=4>.
Acesso em:
21 dez. 2017.
ADILSON SECCO
2 Agora observe a pirâmide etária relativa à população da região Sul do Brasil em 2010.
80 anos ou mais
70 a 74 anos
75 a 79 anos
65 a 69 anos
55 a 59 anos
45 a 49 anos
35 a 39 anos
25 a 29 anos
15 a 19 anos
5 a 9 anos
60 a 64 anos
50 a 54 anos
40 a 44 anos
30 a 34 anos
20 a 24 anos
10 a 14 anos
0 a 4 anos
Pirâmide etária – Brasil – 2050 (%)
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,07,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 7,0
Homens
Mulheres
Fonte: IBGE.
Diretoria de
Pesquisas. Projeção
da população do
Brasil por sexo
e idade para o
período 2000-2050.
Rio de Janeiro:
IBGE, 2013.
ADILSON SECCO
sim; resposta possível: a aposentadoria, a pensão e a assistência médica e hospitalar aos idosos
serão mais onerosas e terão menos contribuintes para lhes dar suporte

189. 131BIMESTRE 2
Exercícios
complementares
Neste bloco de exercícios, os
alunos têm a oportunidade
de retomar os principais con-
ceitos tratados no capítulo e
verificar possíveis dificulda-
des que ainda tenham. As
atividades podem ser desen-
volvidas em duplas, o que
amplia e enriquece o reper-
tório de estratégias deles e
consolida os conhecimentos
construídos. Proponha que
refaçam atividades anterio-
res sobre os assuntos que
ainda tenham dificuldade.
No item a do exercício 4,
como foram dados apenas
dois lados do triângulo ABC
e não foram mencionados
os ângulos internos, exis-
tem infinitos triângulos que
satisfazem as exigências do
enunciado. Vamos construir
dois triângulos que podem
ilustrar a situação.
C
C’
E’
B
b
b
a
D
E
A10 cm
42 cm
25 cm
Analisando o triângulo ABC e o triângulo ADE, verifica-
mos que eles são semelhan-
tes pelo caso AA, pois A
, de
medida a, é ângulo comum
e os ângulos E e C são ân-
gulos correspondentes em
retas paralelas, ou seja, são
congruentes (de medida b).
Sendo assim, os lados corres-
pondentes desses dois triân-
gulos são proporcionais:
•
AB
AD
5
AC
AE
35
10
5
42
AE
AE 5 12 cm
• AC 5 AE 1 EC
42 5 12 1 EC
EC 5 30 cm
Note que nesses cálculos
não foi usada a medida do
lado BC. Portanto, eles são
válidos qualquer que seja a
medida do lado BC .
WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
32 m
10 m
8 m
4 km
2 km
5 km
4 km
JB 12
60 passos
A
B
30 passos
25 passos
X
Y Z
C2
C1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
131CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
1 Classifique cada sentença abaixo em verdadei­
ra ou falsa e justifique as falsas.
a) Todos os triângulos congruentes são seme­
lhantes.
verdadeira
b) Todos os triângulos semelhantes são con­
gruentes.
c) Dois triângulos isósceles que têm os ângulos
do vértice congruentes são semelhantes.
3 (Enem) A sombra de uma pessoa que mede
1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo mo ­
mento, a seu lado, a sombra projetada de um
poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra
do poste diminuir 50 cm, a sombra da pessoa
passará a medir:
alternativa b
a) 30 cm.
b) 45 cm.
c) 50 cm.
d) 80 cm.
e) 90 cm.
4 Os lados AB ACe
de um triângulo medem,
respectivamente, 35 cm e 42 cm. No lado AB,
distante 10 cm de A, marca­se um ponto D. Por D traça­se uma paralela a
BC, que encon­
tra AC no ponto E.
a) Construa uma figura que ilustra a situação.
b) Determine as medidas de .AEECe
construção de figura
AE 5 12 cm e EC 5 30 cm
Qual é o inteiro mais próximo da largura do rio, medida em metros?
26
2 (Covest­PE) A figura abaixo representa um rio
cujas margens são retas paralelas.
verdadeira
Determine o comprimento da estrada JB 12.
5 O esquema abaixo representa a relação entre
quatro estradas.
2,5 km
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
1. b) falsa. Resposta possível:
Dois triângulos semelhantes com razão de semelhança diferente de 1 não são congruentes.
6 Os lados de um triângulo medem 15 cm, 20 cm
e 25 cm. Calcule a medida dos lados de um
triângulo semelhante a ele que tenha 45 cm
de perímetro.
11,25 cm; 15 cm e 18,75 cm
7 Veja na figura abaixo o procedimento usado
por Marcos para descobrir a distância entre
as árvores A e B próximas do lago.
Sabendo que a medida do passo de Marcos
é 80 cm, determine a distância entre essas
árvores, em metro.
57,60 m
9 Uma pessoa sobe uma rampa que tem 4 m
de altura na parte mais alta. Após caminhar
12,3 m sobre a rampa, ela nota que está a 1,5 m
de altura em relação ao solo. Calcule quantos
metros a pessoa ainda deve caminhar para
atingir o ponto mais alto da rampa.
20,5 m
10 Na figura, o raio da cir cunferência menor
me de 6 cm e o da maior mede 10 cm. Se
XC
1
 5 12 cm e
YC
1 ⁄ ⁄ ZC
2, determine a distân­
cia C
1
C
2
. C
1
C
2
5 8 cm
8 Os perímetros de dois triângulos semelhantes
são 48 cm e 60 cm. As áreas deles são, res­
pectivamente, 96 cm
2
e 150 cm
2
. O maior lado
do triângulo maior mede 25 cm. Determine a
medida do maior lado do triângulo menor.
20 cm
Note que no exercício 8 há dados a mais.

190. 132
Diversificando
Esta seção explora a cons-
trução de uma câmara es-
cura de orifício e a imagem
projetada por meio dela.
As questões propostas no
Agora é com você! podem
ser feitas com os alunos or-
ganizados em duplas.
ESTOURO PG 117
Habilidades trabalhadas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
DIVERSIFICANDO
imagem
do objeto
no papel
vegetal
p
O
h
B
A
q
objeto
raio de luz
câmara escura
raio de luz
orifício
Os triângulos OBA e OB’ A’ são semelhantes.
B’
h’
’A
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
132 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
ILUSTRAÇÕES: CLÁUDIO CHIYO
1 Se um objeto de 10 cm de altura está a 20 cm de distância do orifício, qual será a altura dele no pa ­
pel vegetal?
não é possível calcular, pois as medidas da câmara não são dadas
2 Felipe usou uma caixa de formato cúbico, com aresta de 20 cm, para fazer uma câmara escura e
retratar um quadro pendurado na parede de sua casa. Qual é a distância mínima que esse quadro, de
50 cm # 50 cm, deve ficar do orifício da câmara para aparecer por inteiro no papel vegetal?
NELSON MATSUDA
No esquema acima, h é a medida da altura do objeto, h ’ é a medida da altura da imagem e da
caixa também, p é a distância do objeto até o orifício e q é a distância da imagem até o orifício.
Os triângulos OAB e OA’B ’ são semelhantes, pois os ângulos correspondentes são congruen­
tes: ,AOBA OB’& ’
WW
ABOA B’& O’
WW
e ’.BAOBAO&’
WW
Portanto, por semelhança, vale h 8 q 5 p 8 h ’.
Câmara escura de orifício
A câmara escura de orifício é um objeto óptico muito simples, pois forma imagens apenas selecionando os raios de luz. Ela pode ser feita com uma caixa ou uma lata qualquer, desde que suas paredes sejam opacas. De um lado, deve ter um pequeno orifício e, na parte oposta, um papel vegetal.
Quando apontamos o orifício da câmara escura para
um objeto iluminado, observamos a projeção da ima­
gem invertida desse objeto sobre o papel vegetal. Isso
ocorre em virtude de uma importante propriedade
da luz, que é a de se propagar em linha reta. Veja o
esquema a seguir.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
a distância do quadro até o orifício deve ser de 50 cm

191. 133BIMESTRE 2
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer e determinar
medidas estatísticas: mé-
dia, moda, mediana e des-
vio médio.
• Resolver e elaborar proble-
mas envolvendo medidas
estatísticas.
• Analisar tabelas e gráfico
pictórico.
• Analisar a escolha do grá-
fico mais adequado para
apresentar determinado
conjunto de dados.
• Efetuar cálculo de probabi-
lidade.
• Resolver problemas envol-
vendo cálculo de porcenta-
gens.
Orientações gerais
Este capítulo retoma e am-
plia assuntos tratados no
campo da Estatística ao
longo dos anos anteriores.
Trabalha as medidas de ten-
dência central (média, moda
e mediana) e apresenta o
desvio médio absoluto, uma
medida de dispersão. Além
disso, explora cálculos de
probabilidade e de cálculos
de porcentagem no contex-
to de juro.
Aproveite o tema de abertu-
ra para retomar o conceito
de probabilidade e averi-
guar os conhecimentos que
os alunos já construíram so-
bre esse tema, explorando
informalmente com eles a
situação do ditado popular
inglês apresentado. Ele será
retomado na seção Para sa-
ber mais, no desenvolvimen-
to do capítulo.
Material Digital Audiovisual
• Vídeo: Juros que quero e
juros que não quero
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital Audiovisual
133CAPÍTULO 6
Lembrando esse ditado popular inglês, a BBC (British Broadcasting Corporation) propõe um
desafio sobre a probabilidade de o pastor de ovelhas acertar a previsão meteorológica com base no céu
pela manhã, prevendo uma tempestade quando o céu está vermelho e nenhuma tempestade quando o
céu está claro.
Dados obtidos em: BBC Brasil. Disponível em: <http://www.bbc.com/portuguese/geral-42286388>. Acesso em: 27 fev. 2018.
6
Capítulo
Rebanho de ovelhas pastando em colina durante o pôr do sol.
MIHAI_TAMASILA/SHUTTERSTOCK
Um pouco mais
sobre Estatística
Céu vermelho à noite,
alegria do pastor...
Céu vermelho pela
manhã, alerta para
o pastor.

192. 134
Recordando as
medidas de tendência
central
Se julgar necessário, retome
os conceitos de amostra, vari-
ável estatística e frequência.
Formule situações com os
alunos para levantar dados
do grupo e montar tabelas
de frequências. Envolva vari-
áveis qualitativas e variáveis
quantitativas. Em seguida,
proponha que determinem a
moda em todas as situações
e, nos grupos de dados nu-
méricos, peça a eles que cal-
culem a média e a mediana.
Explore o significado dessas
três medidas de posição (ou
de tendência central). Peça
aos alunos que:
• indiquem quando podem
calcular cada uma dessas
medidas;
• identifiquem as diferenças
dessas três medidas;
• expliquem como se deter-
mina cada uma delas.
Organize-os em duplas e pro-
ponha que elaborem uma
tabela de distribuição de fre-
quências correspondente a
uma situação na qual possam
ser obtidas as três medidas
de tendência central: média,
moda e mediana.
Depois, troque as situações
criadas entre as duplas de
modo que cada uma calcule
as três medidas na situação
criada por outra dupla.
Ao final, faça uma correção
coletiva, em uma roda de
conversa, socializando as si-
tuações criadas e as resolu-
ções.
Complemente os estudos com
a Sequência didática 6 –
Juros compostos, disponível
no Manual do Professor –
Digital. As atividades
propostas permitem
desenvolver de forma gradual
e articulada objetos de
conhecimento e habilidades
da BNCC selecionados para
este capítulo.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e
gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
134 CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
1
Recordando as medidas de tendência central
A necessidade de compreender informações veiculadas por meio de diversas linguagens e
plataformas indica a importância de se habilitar no recolhimento de dados e na análise de infor-
mações por meio de instrumentos como tabelas, gráficos, mapas, esquemas, algoritmos etc.
Igualmente importante é aprender a efetuar cálculos de medidas de tendência central já
estudadas e medidas de dispersão.
Assim, nos capacitamos em resolver e formular problemas, tomar decisões e fazer previ-
sões que determinarão melhores opções para a vida pessoal e até para a comunidade na qual
vivemos.
Vamos recordar alguns conceitos considerando a situação a seguir.
A tabela abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre o número de avós que residem
na mesma casa de cada aluno do 9
o
ano.
Embora essa seja uma situação bastante simples e os valores da variável número de avós
que residem na casa do aluno já estejam organizados na tabela de distribuição de frequências,
ainda podemos observar outros aspectos desse conjunto de valores por meio das medidas de
tendência central: moda, média aritmética e mediana.
Vamos recordar.
Coletar, organizar, ler, interpretar e construir
representações de um conjunto de dados de
uma variável faz parte do que se entende
por tratamento da informação. Por meio da
informação devidamente decodificada é que
entramos em sintonia com o mundo atual.
Em um conjunto de dados, moda é o elemento,
numérico ou não, que se destaca por apresentar
a maior frequência absoluta. Se dois ou mais
elementos desse conjunto tiverem a mesma
frequência absoluta, maior do que os demais,
esses elementos serão as modas do conjunto.
Porém, se todos os elementos tiverem a mesma
frequência, o conjunto não tem moda, é amodal.
A média aritmética de dois ou
mais números é a razão entre
a soma desses números e a
quantidade de números dados.
A mediana de um grupo de valores
ordenados, de modo crescente ou
decrescente, é o termo que ocupa
a posição central (quantidade ímpar
de termos) ou é o valor obtido pela
média aritmética de seus dois termos
centrais (quantidade par de termos).
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
Avós e netos na mesma casa
Número de avós residentes 0 1 2 3 4
Frequência absoluta 19 19 9 2 1
Dados fictícios.

193. 135BIMESTRE 2
Sugestão de leitura
Para ampliar e enriquecer o trabalho
com as medidas estatísticas de
posição, sugerimos:
<http://clubes.obmep.org.br/blog/
tratamento-da-informacao-medidas-
de-tendencia-central/medidas-
de-tendencia-central-passando-a-
limpo-as-ideias/>.
Acesso em: 22 ago. 2018.
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios ex-
plora as medidas estatísti-
cas estudadas e possibilita
aos alunos aplicarem e am-
pliarem sua compreensão
acerca das medidas média,
moda e mediana.
No exercício 3, incentive-os
a analisarem o gráfico apre-
sentado. Verifique se eles
reconhecem o tipo de gráfi-
co 2 um pictograma 2 e se
identificam seus elementos.
Proponha alguns questiona-
mentos sobre o gráfico que
os auxiliem na resolução
das questões propostas, por
exemplo:
• O que significa o símbolo
da caixinha de presente?
(Espera-se que os alunos
reconheçam que ela indi-
ca uma quantidade fixa de
brinquedos distribuídos,
no caso 50 brinquedos.)
• Quantas bonecas foram
distribuídas? (Os alunos
devem interpretar o signi-
ficado da “meia caixinha
de presente”, associando
seu valor à metade do va-
lor de uma caixinha intei-
ra, ou seja, meia caixinha
corresponde a 25 brinque-
dos distribuídos. Assim,
podem concluir que foram
distribuídas 125 bonecas.)
No item b, uma possível ta-
bela é a que segue:
Brinquedos distribuídos
Tipo de
brinquedo
Frequência
absoluta
Carrinho 150
Ursinho de
pelúcia
250
Bola 175
Boneca 125
Dados obtidos pela associação
beneficente.
No item d, os alunos se deparam com a análise do tipo de gráfico mais adequado para comunicar as infor-
mações coletadas. Amplie essa discussão, retomando com eles os diferentes tipos de gráficos já estudados (gráfico de colunas, de barras, de setores etc.).
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
135CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
Na situação anterior, temos:
ƒAs modas do número de avós que residem na casa dos alunos do 9
o
ano, por terem maior
frequência (19), são 0 e 1.
ƒA média aritmética é dada pela expressão: 88 88 8
19 19 92 1
190191 91 4
50
4722 3
11 11
11 11
5 5 0,94
ƒEscrevendo em ordem crescente o conjunto de número de avós que residem na casa dos
alunos do 9
o
ano, isto é, escrevendo o rol, e destacando os dois termos centrais, temos:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4
Como o número de elementos é par, a mediana é dada pela média aritmética desses dois
termos centrais:
2
111
5 1.
Quanto à distribuição dos valores, ainda podemos observar que ela apresenta amplitude
igual a 4, que é a diferença (4 2 0) entre o maior e o menor valor da variável estudada; no caso,
o número de avós que residem na casa dos alunos do 9
o
ano.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Pesquisa do 9
o
ano E
Número
de irmãos
Frequência
absoluta
0 5
1 15
2 10
3 15
4 5
respectivamente?
a) 2 irmãos, 1 e 3 irmãos, 2 irmãos
b) 2,7 irmãos, 4 irmãos, 2 irmãos
c) 1,7 irmão, 1 irmão, 4 irmãos
d) 2,1 irmãos, 3 irmãos, 2 irmãos
e) 1,7 irmão, 1 e 3 irmãos, 3 irmãos
alternativa a
1 A tabela ao lado mos­
tra o número de irmãos de cada aluno do 9
o

ano E. Qual das alternativas representa melhor
a  média aritmética, a
mo da e a mediana do
número de irmãos dos
alunos do 9
o
ano E,
a) Qual é o brinquedo modal?
b) Construa uma tabela de distribuição de
frequência para essa situação.
c) É possível calcular a média para essa si­
tuação?
d) Essa situação seria mais bem apresentada
se estivesse em um gráfico de linha?
3 Uma associação beneficente distribui brinque­
dos para crianças carentes no Dia das Crianças.
Veja a distribuição do último ano.
Não, pois o gráfico de linha é usado principalmente para
representar um fenômeno no decorrer do tempo.
2 Observe as notas obtidas em uma avaliação
de Matemática por um grupo de 5 alunos:
7,0 5,5 4,0 6,0 8,5
a) Calcule a média aritmética das notas obtidas
por esses alunos.
6,2
b) Considerando essas notas, determine a
mediana e a moda.
c) Dos 5 alunos, quantos obtiveram nota abai­
xo da média do grupo?
três
a mediana é 6,0, e a
moda não existe
ursinho de pelúcia
Não, pois a variável (brinquedo)
não é um número.
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
construção
de tabela
Carrinho
Ursinho de pelúcia
Bola
Boneca
Brinquedos distribuídos
corresponde a 50 brinquedos.Cada
Dados obtidos pelos
alunos.
Dados obtidos pela associação beneficente.

194. 136
Medida de
dispersão – desvio
médio absoluto
As medidas de dispersão (ou
de variabilidade) são as me-
didas estatísticas que tratam
dessa caracterização.
Sugestão de leitura
Para ampliar a discussão sobre as
medidas de dispersão, sugerimos:
<https://blogdoenem.com.br/
medidas-de-dispe-variabilidade-dos-
dados/>.
Acesso em: 22 ago. 2018.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e
gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
136 CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
4 (Enem) Depois de jogar um dado em forma de
cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 ve­
zes consecutivas, e anotar o número obti do em
cada jogada, construiu­se a seguinte tabela de
distribuição de frequências.
Número obtido Frequência
1 4
2 1
4 2
5 2
6 1
A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente:
a) 3, 2 e 1.
alternativa b
b) 3, 3 e 1.
c) 3, 4 e 2.
d) 5, 4 e 2.
e) 6, 2 e 4.
5 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre média
aritmética, moda e mediana. Depois de cada
um resolver o problema elaborado pelo outro,
destroquem para corrigi­los. Resposta pessoal.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
2
Medida de dispersão — desvio médio absoluto
Teor de cacau em amostras de achocolatados
Empresa A 43% 47% 49% 49% 49% 50% 51% 54%
Empresa B 43% 46% 48% 49% 49% 51% 52% 54%
Dados obtidos pela rede de lanchonetes.
Para comparar os resultados, foram obtidas as medidas estatísticas de tendência central.
ƒmoda de A 5 49 e moda de B 5 49
As modas são iguais.
ƒmediana de A 5
2
49 491
5 49 e mediana de B 5
2
49 491
5 49
As medianas são iguais.
Veja a situação a seguir. Uma rede de lanchonetes
encomendou uma pesquisa
para se decidir entre duas
empresas fornecedoras de
achocolatados.
A pontualidade na entre-
ga, as condições de paga-
mento e o preço do produto
eram equivalentes, porém a
porcentagem de cacau va-
riava nos diversos lotes em
ambas.
Grãos de cacau e cacau em pó, usado em produtos como o achocolatado.
SEA WAVE/SHUTTERSTOCK
Nessa pesquisa foram examinados ao acaso potes de 8 lotes com o seguinte resultado:

195. 137BIMESTRE 2
Orientações
As medidas de tendência
central de um conjunto de
dados nos dão a ideia da
concentração desses dados
em torno de um valor (mé-
dia, moda ou mediana), no
entanto, elas não nos infor-
mam sobre o quanto esses
dados estão dispersos, ou
seja, não caracterizam a
amostra quanto a variabili-
dade (ou espalhamento) dos
dados.
No cálculo do desvio pa-
drão, utilizamos o desvio
médio absoluto, que trata-
mos neste capítulo. O desvio
padrão e a variância são me-
didas de dispersão estuda-
das no Ensino Médio.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
137CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
ƒmédia aritmética de A 5
8
43 47 49 49 49 50 51 54
8
3921111 11 1
5 5 49
média aritmética de B 5
8
43 46 48 49 49 51 52 54
8
3921111 11 1
5 5 49
As médias aritméticas são iguais.
ƒAs amplitudes de A e de B são iguais a 11 (54 2 43).
As medidas estatísticas e as amplitudes são iguais
para as duas empresas. Como escolher uma delas?
Imagine que você costuma tomar achocolatado
sempre na mesma lanchonete, mas o sabor está variando.
Em alguns dias até está gostoso, mas às vezes está ruim.
Você continuaria a frequentar essa lanchonete?
Quanto menos as porcentagens
de cacau dos lotes se desviarem da
média, mais o padrão será mantido.
Nesses casos, os matemáticos
calculam o desvio médio absoluto.
Para calcular o desvio médio absoluto
de um conjunto de valores da variável
a ser estudada, dividimos a soma
dos módulos das diferenças entre
cada valor e a média aritmética pela
quantidade de valores.
Em uma reunião, os cozinheiros consultados observaram a importância de os lotes de
achocolatado apresentarem regularidade na composição de cacau para manterem o padrão
ao qual os fregueses se acostumaram.
Lembrando: média aritmética de A = 49 e média aritmética de B = 49.
D
mA
5
8
43 49 47 49 49 49 49 49 49 49 50 49 51 49 54 4921212121212121 2
D
mA
5
8
62
8
16
2
000 12 5111111 1
55
ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES
O desvio médio absoluto D
m
de um conjunto de valores de uma variável estudada
mede o grau de dispersão e de concentração dessa variável. Quanto maior o desvio médio absoluto, maior é a dispersão e menor é a concentração. Ou seja, em média, os valores se afastam mais da média aritmética. E vice-versa.

196. 138
Orientações
Para ampliar o trabalho com
o desvio médio absoluto,
enfatize alguns tópicos:
Desvio Absoluto Médio
(DAM) de um conjunto de
dados é a distância média
entre cada valor e a média.
O desvio absoluto médio é
uma maneira de descrever
variações em um conjunto
de dados. Além disso, ele
nos ajuda a entender como
os valores de um conjunto de
dados foram “distribuídos”.
Disponível em: <https://
pt.khanacademy.org/math/
cc-sixth-grade-math/cc-6th-
datastatistics/cc-6-mad/v/
mean-absolute-deviation>.
Acesso em: 22 ago. 2018.
O desvio absoluto médio
de um conjunto de dados é
a média das distâncias en-
tre cada dado e a média.
Ele nos dá uma noção da
variabilidade em um con-
junto de dados.
O desvio absoluto médio
é calculado assim:
Etapa 1: calcule a média.
Etapa 2: calcule a distân-
cia entre cada dado e a mé-
dia usando distâncias positi-
vas. Isso é o que chamamos
de desvios absolutos.
Etapa 3: some todos es-
ses desvios.
Etapa 4: divida a soma
pelo número de dados.
Disponível em: <https://
pt.khanacademy.org/math/
statistics-probability/
summarizingquantitative-data/
other-measures-of-spread/a/
mean-absolute-deviation-mad-
review>. Acesso em: 22 ago.
2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os
resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
138 CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
D
mA
= 2 significa que os valores do conjunto de dados se distanciam, em média, 2 da média
aritmética.
D
mB
= 2,5 significa que os valores do conjunto de dados se distanciam, em média, 2,5 da
média aritmética.
Como o D
mA
é menor do que o D
mB
, as
porcentagens de cacau nos lotes da empresa
A se desviam menos da média aritmética
do que as porcentagens de cacau dos lotes
da empresa B. A empresa A mantém mais o
padrão, portanto ela deve ser a escolhida.
D
mB
5
8
43 49 4494 49 49 49 49 49 5495 49 54 4968 1221212121212 12 12
D
mB
5 ,
8
60 05
8
25
31 23 2011 111 11
55
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6
Os irmãos Caio e Cauê estudam na mesma turma. Ao término do ano letivo, tiveram como resultados
bimestrais os dados da tabela a seguir.
Avaliação bimestral de Caio e Cauê
Bimestre 1
o
2
o
3
o
4
o
Disciplina Caio Cauê Caio Cauê Caio Cauê Caio Cauê
Português 7,0 5,0 7,0 7,5 7,0 7,5 7,0 9,0
Inglês 6,0 4,5 5,5 6,0 6,5 7,5 6,5 6,0
História 7,5 5,5 7,5 7,0 8,0 7,5 8,0 8,5
Geografia 8,0 5,0 7,5 8,0 8,0 7,5 7,5 9,0
Ciências 7,5 6,0 7,5 7,5 7,0 7,5 8,0 8,5
Matemática 9,5 5,5 9,5 8,0 10 7,5 9,5 8,0
SIDNEY MEIRELES
a) Calcule as modas das notas de cada irmão. Caio 7,5; Cauê 7,5
b) Qual é a moda de Caio em Português? E qual é a moda de Cauê no 3
o
bimestre?
c) Qual é a mediana das notas de Caio em Matemática? E de Cauê?
9,5; 7,75
d) Suponha que a média mínima de aprovação em cada matéria seja 6,0 e que todos os bimestres
tenham o mesmo peso. Algum deles foi reprovado em alguma das disciplinas?
não
e) Qual é o desvio médio absoluto de cada um deles em Geografia? E no 1
o
bimestre?
f) Qual dos dois teve aproveitamento mais regular em Geografia? E no 1
o
bimestre? Caio; Cauê
g) Em Português, qual é o desvio médio absoluto de cada irmão? Caio = 0; Cauê = 1,125
h) No 3
o
bimestre, qual é o desvio médio absoluto de cada irmão? Caio = 0,91666...; Cauê = 0
não há moda; idem
7 Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, sobre desvio médio absoluto.
Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi­los.
Resposta pessoal.
e) Geografia: Caio = 0,25, Cauê q 1,1875; 1º bimestre: Caio = 0,777..., Cauê = 0,41666...
Dados obtidos por Caio e Cauê.

197. 139BIMESTRE 2
Para saber mais
Amplie o trabalho da seção
propondo aos alunos outras
atividades que envolvem
probabilidade.
Sugerimos a atividade “Apos-
tas no relógio”:
Este experimento trata
de um jogo muito simples:
sorteamos dois números
de 0 a 59 e, utilizando dois
ponteiros em um relógio,
representamos os números
sorteados como seus minu-
tos. Dessa forma, o relógio
será dividido em duas re-
giões (setores circulares).
Jogaremos com dois ti-
mes: um deles vence se a
marca de 0 min estiver na
maior região e o outro, se
estiver na menor. O que
queremos saber é se algum
dos times tem mais chances
de vencer do que outro.
Disponível em: <http://
m3.ime.unicamp.br/
recursos/1365>. Acesso em:
22 ago. 2018.
Na análise dos resultados do
jogo, proponha que os alu-
nos construam o gráfico que
representa as frequências
relativas dos pontos dos dois
times e um gráfico de dis-
persão para os dados, o que
pode gerar uma discussão
muito interessante com eles.
Habilidade trabalhada: (EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a
probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
139CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
PARA SABER MAIS
A Matemática e os jogos
John von Neumann era um gênio indiscutível. Tanto que em 1927, com apenas 24 anos, esse matemático
húngaro se tornou o mais jovem professor da Universidade de Berlim. Mas Von Neumann tinha uma cisma:
jogar mal pôquer. Resolveu estudar o jogo, e logo concluiu que só a matemática não o salvaria. Porque
no pôquer é fundamental saber blefar. Von Neumann mergulhou no tema e, um ano depois, escreveu
um artigo científico a respeito: Theory of Parlor Games (“teoria dos jogos de salão”, em inglês). Ele estava
inaugurando a Teoria dos Jogos, ramo da Matemática que estuda estratégias de competição e cooperação.
De início, debruçou-se sobre jogos de “soma zero” – aqueles em que um ganha e outro perde, como no
pôquer. Mais tarde, John Nash [cuja história foi contada no filme Uma mente brilhante], outro matemá-
tico, estenderia a teoria aos jogos de “soma não zero”, em que todos podem sair ganhando ou perdendo.
[...]
Suponha que você jogou dois dados. A chance que os dois
têm de cair com o número 6 é mero fruto da sorte, certo?
A huma nidade sempre achou que sim. Até que, no século 16,
o polímata lombardo Girolamo Cardano (1501-1576) resolveu
crackear os dados. Ele anotou todas as 36 combinações possíveis
e, a partir daí, notou que certas combinações tinham bem mais
chance de sair. Cardano não ficou rico. Mas seu estudo foi o
pontapé inicial na Teoria das Probabilidades.
Fonte: HORTA, Maurício, A ciência das apostas.
Superinteressante, São Paulo, ed. 384, jan. 2018. p. 46.
Na experiência descrita acima, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um
deles independe do resultado obtido no outro. Por isso, esses resultados são chamados
de eventos independentes.
Vamos agora retomar a abertura deste capítulo e saber qual é o desafio proposto pela
BBC. Deve-se calcular a probabilidade de o pastor de ovelhas acertar a previsão meteoroló-
gica com base no céu pela manhã, prevendo uma tempestade quando o céu está vermelho
e nenhuma tempestade quando o céu está claro.
Devemos considerar as suposições a seguir. Que haja, em média, uma tempestade a
cada dois dias. E um céu vermelho pela manhã pode ser esperado a cada quatro dias – e
sempre significa tempestade.
Com que frequência o pastor acerta a previsão do tempo?
À luz do ditado, entende-se que se o pastor vê um céu vermelho apenas à noite não há
problema, pois o rebanho já pastou e já está recolhido. Se o pastor vê um céu vermelho pela
manhã, ele deve estar alerta, pois haverá tempestade.
Considerando as suposições do desafio, podemos ter as situações a seguir.
• Céu vermelho e tempestade: 1 de cada 4 dias – o pastor acerta a previsão nesse dia
(25%).
• Céu claro e tempestade: 1 de cada 4 dias – o pastor erra a previsão nesse dia (25%).
• Céu claro e sem tempestade: 2 de cada 4 dias – o pastor acerta a previsão nos 2 dias
(50%).
Portanto, o pastor está correto em 75% das situações.
HAFIEZ RAZALI/SHUTTERSTOCK

198. 140
Agora é com você!
Para a atividade proposta,
organize os alunos em gru-
pos, distribua dois dados de
cores diferentes para cada
grupo e peça a eles que re-
alizem o experimento de
“lançar os dois dados simul-
taneamente” e anotem os
pares de números que apa-
recem nas faces voltadas
para cima.
Dessa maneira, os alunos vi-
venciam a situação e podem
comprovar os resultados
possíveis que foram apre-
sentados. Podem também
perceber a diferença entre
os resultados (2, 3) e (3, 2),
por exemplo.
Em seguida, sugira que fa-
çam outro experimento li-
gado ao lançamento de dois
dados: observar a soma dos
pontos obtidos nas faces su-
periores. Proponha que es-
crevam todos os resultados
possíveis e determinem a
probabilidade de ocorrência
de cada resultado.
Faça o mesmo para a obser-
vação da diferença em mó-
dulo dos pontos obtidos nas
duas faces superiores e para
a observação do produto
dos números das faces supe-
riores.
Depois, proponha as ques-
tões do livro do estudante.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia
de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais,
no contexto da educação financeira.
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua
ocorrência, nos dois casos.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
140 CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
Juros compostos
Fazer pipoca é quase uma mágica! A dinâmica
do processo é fascinante. O milho no óleo quente
dentro da panela. Sem poder ver, apenas imagi-
nar o que está por acontecer lá dentro, até que,
de repente... aflora a primeira pipoca. Logo em
seguida, outro milho estoura! Uns segundos mais
e outro, outro, outro! Agora não demora, lá vem
uma “avalanche” de estouros! Aí é só saborear
aquela delícia.
Outra situação, apesar de bem diferente e nada agradável, tem essa dinâmica, esse estouro.
É a situação dos empréstimos financeiros ou de vendas parceladas em que há um tipo de juro que,
podemos dizer, estoura. É o juro composto.
O juro (

j ) é a quantia com que um devedor remunera um credor pelo uso de seu dinheiro por
um período (t) previamente combinado. Para o empréstimo dessa quantia, chamada de capital (c),
geralmente é estabelecida uma taxa percentual (i ).
juro = capital 8 tempo 8 taxa, ou j = c 8 t 8 i
Há o juro simples, que é calculado apenas sobre o capital, mesmo quando o período do emprés -
timo é renovado. Acompanhe o exemplo a seguir.
Suponha que tomo emprestado R$ 500,00 por 4 meses e combino de pagar juro simples a uma
taxa de juro (i ) de 10% por mês.
THANIT WEERAWAN/SHUTTERSTOCK
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Já vimos que o lançamento simultâneo
de dois dados cúbicos gera um espaço
amostral de 36 pares ordenados.
Carol, Rafael e Sofia brincam de jogar
dois dados como esses. Responda, em
cada item, qual deles tem a maior pro­
babilidade de ganhar e justifique sua
resposta.
a) Na primeira rodada, eles apostaram que a soma dos números das faces de cima seria: Carol (6),
Rafael (7) e Sofia (8).
b) Na segunda rodada, as apostas foram na diferença em módulo entre os números das faces de
cima: Carol (1), Rafael (3) e Sofia (0).
c) Na terceira rodada, eles apostaram que o produto dos números das faces de cima seria: Carol
(número ímpar), Rafael (número primo) e Sofia (número par).
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
a) Rafael, pois a probabilidade de acerto é
6
1
, enquanto a de Carol e a de Sofia é
36
5
.
b) Carol, pois a probabilidade de acerto é
18
5
,
enquanto a de Sofia e a de Rafael é
6
1
.
c) Sofia, pois a probabilidade de acerto é
4
3
, enqu anto a de Rafael é
6
1
e a de Carol é
4
1
.
Agora é com você!

199. 141BIMESTRE 2
Trabalhando a
informação
A seção explora cálculos en-
volvendo porcentagens.
Explore a noção de juro sim-
ples propondo outras ati-
vidades antes de trabalhar
com o juro composto. De-
pois, reproduza na lousa o
cálculo com juro composto,
analisando cada etapa com
os alunos. Em seguida, peça
que eles façam uma compa-
ração entre os dois regimes
para uma mesma situação,
levantando semelhanças e
diferenças.
Para ampliar, proponha no-
vas questões envolvendo ju-
ros compostos.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
141CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
Note que o juro simples
é calculado apenas sobre
o capital inicial.
No juro composto, a cada período,
o juro é calculado sobre o montante,
que passa a ser um novo capital.
Veja como fica o cálculo do montante com juro composto, à taxa de 10% ao mês:
1
o
mês: m = 500 1 1 8 10% de 500 = 500 1 0,10 8 500 = 1,10 8 500 = 550
2
o
mês: m = 1,10 8 1,10 8 500 = (1,10)
2
8 500 = 605
3
o
mês: m = 1,10 8 1,10 8 1,10 8 500 = (1,10)
3
8 500 = 665,5
4
o
mês: m = 1,10 8 1,10 8 1,10 8 1,10 8 500 = (1,10)
4
8 500 = 1,4641 8 500 = 732,05
Veja que o juro composto aumenta rapidamente:
2
o
mês: 605 – 500 = 105 4
o
mês: 732,05 – 500 = 232,05
1
o
mês: 550 – 500 = 50 3
o
mês: 665,5 – 500 = 165,5
Continuando o cálculo do juro composto (

jc ) e arredondando para número inteiro, temos:
Mês 5
o
6
o
7
o
8
o
9
o
10
o
11
o
12
o
jc 306 386 474 572 679 797 927 1.069
Observe que após 1 ano só o juro já é maior do que o dobro do capital inicial. Cresceu rapidamente,
expandiu, estourou como um punhado de milho que virou uma montanha de pipocas! O problema
é que, se não for totalmente amortizado (isto é, pago), o juro composto não para de crescer.
SIDNEY MEIRELES
Após o tempo combinado, devo devolver a soma do capital (500) com o juro (10% de 500 =
5 0,10 8 500 5 50). Essa soma é o montante (m).
montante = capital 1 juro ou m = c 1 j
ou m = c 1 c 8 t 8 i ou m = c 8 (1 1 t 8 i )
Se, após 1 mês, eu resolver quitar o empréstimo, devo devolver ao credor o montante igual aos
500 reais mais a quantia de 10% de 500, referente ao juro de 1 mês. Mas, se eu continuar com o empréstimo, após 2 meses, a dívida será igual aos 500 mais 2 8 (10% de 500). E segue: após 3 me-
ses, os 500 mais 3 8 (10% de 500); após 4 meses, os 500 mais 4 8 (10% de 500).
Cálculo do montante com juro simples, à taxa de 10% ao mês:
1
o
mês: m = 500 1 1 8 10% de 500 = 500 8 (1 1 1 8 0,10) = 500 8 1,10 = 550
2
o
mês: m = 500 1 2 8 10% de 500 = 500 8 (1 1 2 8 0,10) = 500 8 1,20 = 600
3
o
mês: m = 500 1 3 8 10% de 500 = 500 8 (1 1 3 8 0,10) = 500 8 1,30 = 650
4
o
mês: m = 500 1 4 8 10% de 500 = 500 8 (1 1 4 8 0,10) = 500 8 1,40 = 700

200. 142
Agora quem trabalha
é você!
Apresentamos a seguir os
dados para a tabela da ques-
tão 1.
Juro obtido relativo a uma aplicação
de um capital de 500 reais a uma taxa
de 10% ao mês
Mês
Juro
JC
(em
reais)
JS
(em
reais)
Diferença
(em reais)
1
o
50 50 0
2
o
105 100 5
3
o
166 150 16
4
o
231 200 32
5
o
306 250 56
6
o
386 250 86
7
o
474 250 124
8
o
572 400 172
9
o
679 450 229
10
o
797 500 297
11
o
927 550 377
12
o
1.069 600 469
Exercícios
complementares
O bloco de exercícios traz
questões que retomam os
principais conceitos trata-
dos no capítulo, propiciando
que os alunos mobilizem os
conhecimentos construídos
e percebam possíveis dúvi-
das que ainda tenham.
Proponha que eles resolvam
os exercícios individualmente.
Depois, peça que se reúnam
em duplas para comparar
suas respostas e as estratégias
utilizadas. Nesse momento,
eles podem descobrir cami-
nhos inadequados e reorga-
nizar as estratégias utilizadas.
Incentive-os a explicarem
oralmente ao colega de du-
pla como pensaram.
Para finalizar, escolha alunos
de duplas diferentes para
apresentarem a resolução
proposta pela dupla. Apro-
veite o momento e discuta
os procedimentos utilizados,
validando-os com a turma.
142 CAPÍTULO 6 UM POUCO MAIS SOBRE ESTATÍSTICA
Existem outros conceitos empregados no estudo
de distribuição de dados de uma variável, como os
gráficos chamados histogramas e outras medidas
de dispersão como o desvio padrão e a variância,
porém eles serão estudados apenas no Ensino Médio.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
1 Considerando o exemplo anterior, construa uma tabela com a primeira linha para os 12 meses, a
segunda linha para os juros compostos, a terceira linha para os juros simples e a quarta linha para a
diferença entre os juros. A diferença também aumenta cada vez mais?
construção de tabela; sim
2 Carlos fez um empréstimo de 1.000,00 reais a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês. Seria um
exagero dizer que após 4 meses a dívida de Carlos duplicou?
não
SIDNEY MEIRELES
1 (Saresp) Após corrigir as provas de 30 alu­
nos da mesma classe de 8
a
série, a pro­
fessora de Matemática anotou, em ordem
crescente, as notas a eles atribuídas.
Se a professora sortear uma dessas 30 provas, a probabilidade de que a nota a ela atribuída seja maior
do que 6,5 é:
alternativa b
a)
30
3
b)
30
9
c)
30
18
d)
30
24
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2
Considerando as notas da questão anterior, obtenha:
a) a moda;
6,0 b) a mediana; 6,0 c) a média aritmética. 56,166...
3 Colete de você e de mais sete colegas os seguintes dados: massa (em quilograma), idade (em mês) e
altura (em centímetro). Em seguida, obtenha de cada um desses conjuntos de dados:
a) o rol; c) a mediana; e) o desvio médio absoluto.
b) a moda; d) a média aritmética;
Respostas pessoais.
4 Considerando o exercício anterior, em qual das variáveis (idade, massa e altura) o conjunto de dados
é mais regular? Em qual é o menos regular? Justifique.
Resposta pessoal.
5 (Enem) Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram
quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele
trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de
onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício.
Número de pessoas Térreo 1
o
andar2
o
andar3
o
andar4
o
andar5
o
andar
que entram no elevador 4 4 1 2 2 2
que saem do elevador 0 3 1 2 0 6
Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao quinto andar?
alternativa d
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
1,0 – 2,0 – 2,5 – 3,0 – 3,0 – 4,0 – 4,0 – 4,0 – 4,0 – 5,0
5,0 – 5,0 – 5,5 – 5,5 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,5
6,5 – 7,0 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 8,0 – 8,0 – 8,5 – 9,0 – 9,0
Habilidades trabalhadas: (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam
porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das
taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da
educação financeira.
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e
dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade
social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas
de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o
apoio de planilhas eletrônicas.
No Manual do Professor –
Digital poderão ser
acessadas Propostas de
Acompanhamento da
Aprendizagem dos alunos
com sugestões de questões,
abertas e de múltipla escolha,
e fichas para registro do
desempenho deles neste
bimestre.

201. 143BIMESTRE 3
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer uma equação
polinomial do 2
o
grau com
uma incógnita.
• Identificar e determinar as
raízes reais de uma equa-
ção do 2
o
grau com uma in-
cógnita, quando existirem.
• Utilizar as propriedades da
igualdade, na construção
de procedimentos para re-
solver equações do 2
o
grau
por meio de fatorações,
pelo método de completar
quadrados e pelo uso da
fórmula resolutiva.
• Discutir o significado das
raízes de uma equação do
2
o
grau em confronto com
a situação proposta.
• Resolver problemas que
envolvem relações de pro-
porcionalidade que podem
ser representados por uma
equação polinomial do
2
o
 grau.
• Resolver problema envol-
vendo volume de cubo e
equação do 2
o
grau.
• Resolver e elaborar pro-
blemas que podem ser re-
presentados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
• Ler e analisar mapas ana-
mórficos.
Orientações gerais
Ampliamos o estudo de
equações polinomiais sis-
tematizando o tratamento
de uma equação do 2
o
grau
com uma incógnita, anali-
sando procedimentos varia-
dos de resolução de equa-
ções 2
o
grau incompletas ou
completas e suas aplicações
na resolução de problemas.
O desenvolvimento dos te-
mas permitirá que os alunos
desenvolvam habilidades
necessárias ao estudo das
funções polinomiais do 2
o

grau. São empregados no-
vos recursos algébricos e
aplicadas propriedades já
estudadas.
Destacamos também a conexão da Unidade Temática Álgebra, foco deste capítulo, com Geometria e Gran-
dezas e medidas, quando associamos figuras geométricas e utilizamos as noções de área e de volume para
representar situações envolvendo equações do 2
o
grau.
A motivação da abertura traz a associação do tablado quadrado de um ringue de boxe com um problema
envolvendo uma equação do 2
o
grau: dada a área desse tablado, determinar suas dimensões (medida do
lado do quadrado).
Material Digital Audiovisual
• Áudio: A fórmula é de
Bhaskara?
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital Audiovisual
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
143CAPÍTULO 7
Oficialmente, o tablado de um ringue de boxe deve ser quadrado, com medida dos
lados variável de 4,9 m a 7,0 m, mais uma borda mínima de 0,6 m.
Se uma academia de esportes dispõe de uma superfície quadrada de 36 m
2
para
construir um ringue de boxe, o construtor deve resolver uma equação do 2
o
grau para
determinar a medida dos lados desse ringue.
7
Capítulo
Anthony Joshua enfrenta Carlos Takam em luta de boxe realizada no Reino Unido. (Foto de 2017.)
Equações do
2
o
grau
STEPHEN MCCARTHY/
SPORTSFILE/ GETTY IMAGES

202. 144
Equações do 2
o
grau
com uma incógnita
Retome e explore a situação
da abertura, na qual deseja-
mos determinar a medida L de
um quadrado (tablado de um
ringue de boxe) conhecida
sua área: 36 m
2
. Essa situação
pode ser descrita pela equa-
ção 36 5 L
2
, em que o valor de
L deve ser um número real po-
sitivo, ou seja, L 5 6 m.
Proponha a leitura e a ex-
ploração dessa situação em
duplas, o que favorece so-
bremaneira o aprendizado.
Muitos fenômenos (naturais
ou não) são descritos por leis
que envolvem a resolução de
uma equação do 2
o
grau. Esse
tipo de equação aparece no
movimento descrito por uma
bola de futebol no chute ao
gol, no arremesso da bola
em uma partida de basquete,
no lançamento de projéteis,
na construção de uma ponte
pênsil (ponte suspensa, sus-
tentada por cabos) etc.
Incentive os alunos a pesqui-
sarem mais exemplos de fe-
nômenos nos quais aparece
uma equação do 2
o
 grau.
Sugestões de leitura
Para enriquecimento do trabalho,
sugerimos os livros:
GUELLI, Oscar.
Equação: o idioma
da Álgebra. São Paulo: Ática, 2000.
(Coleção Contando a História da
Matemática)
_______ .
História da equação do
2
o
grau. São Paulo: Ática, 1999.
(Coleção Contando a História da
Matemática)
JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo
Cestari; IMENES, Luiz Márcio.
Equação do 2
o
grau. São Paulo:
Atual, 2004. (Coleção Pra que serve
Matemática?)
ROSA NETO, Ernesto.
As mil e
uma equações
. São Paulo: Ática,
2008. (Coleção A Descoberta da
Matemática)
Complemente os estudos com
a Sequência didática 7 –
Equação do 2
o
grau e a
Sequência didática 8 –
Resolvendo equação do
2
o
grau, disponíveis no Manual
do Professor – Digital. As
atividades propostas permitem
desenvolver de forma gradual
e articulada objetos de
conhecimento e habilidades da
BNCC selecionados para este
capítulo.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
144 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
1
Equações do 2
o
grau com uma incógnita
TONKIN IMAGE/SHUTTERSTOCK
Como a área de um retângulo é o produto das medidas da largura e do comprimento, ele
escreveu:
x 8 (x 1 10) 5 144 ou x
2
1 10x 2 144 5 0
Observe que a equação obtida, x
2
1 10x 2 144 5 0, tem uma
só incógnita (a letra x), cujo maior expoente é 2. Ela é um exemplo
de equação do 2
o
grau com uma incógnita.
Toda equação do 2
o
grau com uma incógnita pode ser reduzida
à seguinte forma:
ax
2
1 bx 1 c 5 0 (com a i 0)
forma reduzida de uma equação do 2
o
grau
DANILLO SOUZA
Considere a situação a seguir.
O engenheiro Vítor recebeu uma
encomenda para a construção de
uma  piscina retangular, com duas
exigências:
1
a
) comprimento com 10 m a mais
que a largura;
2
a
) área de 144 m
2
.
Para determinar as medidas da su-
perfície dessa piscina, Vítor represen-
tou a largura por x e o comprimento
por x 1 10.
Os números reais a, b e c são os coeficientes da equação do
2
o
 grau, sendo:
ƒa o coeficiente do quadrado da incógnita (coeficiente de x
2
);
ƒb o coeficiente da incógnita (coeficiente de x);
ƒc o termo independente da incógnita.
Nos exemplos a seguir, as equações do 2
o
grau estão escritas
na forma reduzida, e destacamos seus coeficientes a, b e c.
a) Na equação 5x
2
2 6x 1
5
1
5 0, temos: a 5 5, b 5 26 e c 5
5
1
b) Na equação 2 0,4x
2
1 9x 5 0, temos: a 5 20,4, b 5 9 e c 5 0
c) Na equação
x
2
2
2 10 5 0, temos: a 5
2
1
, b 5 0 e c 5 210
d) Na equação
5
5
2 x
2
5 0, temos: a 5
5
5
2 , b 5 0 e c 5 0
SIDNEY MEIRELES
A equação
0
x
2
1 3x 2 8 5 0,
em que
a 5 0, equivale
a 3
x 2 8 5 0. Então
0
x
2
1 3x 2 8 5 0
não é uma equação do
2
o
grau.

203. 145BIMESTRE 3
Exercícios propostos
O exercício 7 oferece uma
boa oportunidade para re-
tomar alguns conceitos geo-
métricos estudados em anos
anteriores. Organize os alu-
nos em trios para discutirem
as respostas. Outra possibi-
lidade é complementar esse
exercício solicitando aos alu-
nos que escrevam os valores
que x pode assumir. Espera-
-se que eles observem que:
x . 0
x 1 2 . 0
2x 1 1 . 0
Ou seja, para que todas as
condições sejam atendidas,
devemos ter x real positivo.
14
14
x
2x
2x 1 1
x 1 2
x
x
2
2x + 4
2x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
145
CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 Verifique quais das equações a seguir são do
2
o
 grau e identifique os coeficientes a, b e c.
a) 8x
2
1 17x 1 4 5 0 a 5 8; b 5 17; c 5 4
b) 3x 2 5 5 0
c) 0x
2
1 10x 2 8 5 0
d) 2
y
5
2
2 25 5 0 a 5
5
1
2; b 5 0; c 5 225
e ) 4y
2
2 5y 5 0 a 5 4; b 5 25; c 5 0
f ) 29 1 x
2
5 0 a 5 1; b 5 0; c 5 29
2 Escreva as equações do 2
o
grau a seguir na
forma reduzida e classifique-as em completa
ou incompleta.
a) 2x
2
2 5x 5 22
b) x
2
1 6x 5 2x 1 3
c) y
2
5 8y
d) 25x
2
5 30x 1 40
e) 3x 8 (x 2 2) 5 2 8 (2x 2 1)
f ) (x 1 4) 8 (x 2 4) 5 5x 2 16
a) 2x
2
2 5x 1 2 5 0
b) x
2
1 4x 2 3 5 0
c) y
2
2 8y 5 0
d) 25x
2
2 30x 2 40 5 0
e) 3x
2
2 10x 1 2 5 0
f) x
2
2 5x 5 0
3 Dados os coeficientes a, b e c, escreva as equa-
ções do 2
o
grau correspondentes.
a) a 5 5; b 5 27; c 5 0
5x
2
2 7x 5 0
b) a 5 21; b 5 3; c 5 24 2x
2
1 3x 2 4 5 0
c) a 5 2; b 5 0; c 5 4 2x
2
1 4 5 0
d) a 5 2
2
1
; b 5
7
5
; c 5 2
5 Determine os valores de m na equação
(m 1 3)x
2
2 (2m 2 1)x 1 m 1 4 5 0 de modo
que ela:
a) não seja do 2
o
grau em x

; m 5 23
b) seja do 2
o
grau em x

; m i 23
c) seja do 2
o
grau em x e seja completa;
d) seja do 2
o
grau em x e seja incompleta.
4 Para que valor de n a equação
(5n 1 2)x
2
2 4nx 1 n 5 0 não é do 2
o
grau?
6 Considere a figura abaixo.
c) m i 23, m i
2
1
e m i 24
d) m 5
2
1
ou m 5 24
1. alternativas a, d, e, f
2
1
2x
2
1
7
5
x 1 2 5 0
n 5
5
2
2
a) completa
b) completa
c) incompleta
d) completa
e) completa
f) incompleta
NELSON MATSUDA
8 Junte-se a um colega
e façam o que se pede.
Na figura ao lado,
estão indicadas as
áreas, em uma mes-
ma unidade de medi-
da, de três retângulos
adjacentes.
7 A figura abaixo representa uma caixa em forma
de paralelepípedo.
NELSON MATSUDA ADILSON SECCO
7. c) 6x
2
1 6x 2 880 5 0
Uma equação do 2
o
grau é considerada completa quando os coeficientes b e c são diferen-
tes de zero e é incompleta quando b 5 0 ou c 5 0, ou, ainda, b 5 0 e c 5 0.
Observe que nos exemplos anteriores o item a apresenta uma equação completa e os itens
b, c e d apresentam equações incompletas do 2
o
 grau.
a) Determine a expressão da soma das áreas
das faces laterais.
6x
2
1 6x
b) Determine a expressão da área da face
destacada em vermelho.
2x
2
1 5x 1 2
c) Se a soma das áreas das faces laterais for
880, determine a equação correspon dente.
a) Escrevam as medidas dos lados desses
retângulos.
x e x; x e 2; x 1 2 e 2
b) Escrevam uma expressão para a área
do quadrilátero que é a reunião dos três
retângulos.
x
2
1 4x 1 4
c) Classifiquem o quadrilátero citado no item b.
quadrado
a) Determine a área da parte azul.
b) Calcule o valor de x quando a área da parte
azul for 124.
x 5 6
A 5 196 2 2x
2

204. 146
Exercícios propostos
O exercício 10 (Hora de
criar) pode ser ampliado
pedindo aos alunos que
troquem os problemas ela-
borados com os de outros
colegas para analisarem se
a equação x
2
1 x 1 5 traduz
o problema elaborado. Vale
lembrar que, nesse momen-
to, não será necessário que
eles encontrem as raízes
dessa equação.
Se julgar necessário, retome
o conceito de raiz de uma
equação do 1
o
grau, estu-
dado em anos anteriores,
bem como a verificação se
um número é ou não raiz de
equações desse tipo, para
fazer um paralelo com as
raízes de uma equação do
2
o
grau. Sugira aos alunos
que acompanhem os exem-
plos apresentados no livro e
discuta coletivamente as dú-
vidas que surgirem.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
x
x + 10
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
146 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
10 Hora de criar – Elabore um problema que possa ser resolvido por meio da equação x
2
1 x 1 5 5 0.
Resposta pessoal.
9 Sendo x um número desconhecido, vamos representar com símbolos a sentença:
Na forma reduzida, escrevemos x
2
1 3x 2 18 5 0.
Seguindo o modelo acima, represente o número desconhecido por x e escreva a equação do 2
o
grau
na forma reduzida que traduz cada sentença abaixo.
a) O quadrado de um número adicionado ao dobro desse número é igual a 99.
x
2
1 2x 2 99 5 0
b) O triplo do quadrado de um número menos o próprio número é igual a 30. 3x
2
2 x 2 30 5 0
c) Um número é igual ao quadrado desse próprio número menos 42. x
2
2 x 2 42 5 0
d) Três quintos do quadrado de um número é igual a esse número menos 40.
5
3
x
2
2 x 1 40 5 0
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
“o quadrado de um número adicionado a seu triplo é igual a dezoito”
x
2
1 53x 18
Raízes de uma equação do 2
o
grau
Voltando ao problema da construção da piscina do início deste capítulo, podemos obter,
por tentativa, o valor de x da medida da largura.
Vamos recordar que Vítor desenhou a figura e chegou à
equação x 8 (x 1 10) 5 144.
Atribuindo a x, por exemplo:
ƒo número 10, o valor do 1
o
membro da equação é:
10 8 (10 1 10) 5 200, maior que o 2
o
 membro (200 . 144)
ƒo número 7, o valor do 1
o
membro da equação é:
7 8 (7 1 10) 5 119, menor que o 2
o
membro (119 , 144)
ƒo número 8, o valor do 1
o
membro da equação é:
8 8 (8 1 10) 5 144, igual ao 2
o
membro (144 5 144)
ADILSON SECCO
Ao substituir x por 8 na equação x 8 (x 1 10) 5 144, ou na sua equivalente x
2
1 10x 2 144 5 0,
obtemos uma sentença verdadeira. Veja:
8 8 (8 1 10) 5 144 ou 8
2
1 10 8 8 2 144 5 0
Portanto, a largura da piscina deve medir 8 metros e o comprimento, 18 metros.
SIDNEY MEIRELES
Quando substituímos a incógnita de uma
equação por um número e encontramos uma
sentença verdadeira, dizemos que esse número é
raiz da equação. Se a equação for do 2
o
grau, ela
pode ter até duas raízes reais diferentes.

205. 147BIMESTRE 3
Exercícios propostos
Após a resolução dos exer-
cícios deste bloco, é interes-
sante propor um desafio:
cada aluno deverá criar uma
equação do 2
o
grau cujas
raízes ele conheça e, então,
elaborar um exercício simi-
lar a algum desta página.
Revise os exercícios criados
e depois transcreva-os em
fichas individuais, com a
identificação do aluno. A
turma poderá ser organi-
zada em grupos (de 3 ou 4
alunos), de modo que cada
grupo fique com a mesma
quantidade de fichas. Solici-
te a cada grupo que resolva
os exercícios de suas fichas
e, depois, que troquem suas
resoluções com as de outro
grupo. Então, cada grupo
deverá analisar as resolu-
ções de seus colegas. Após
a análise, deverão conversar
sobre as resoluções e as pos-
síveis dificuldades.
Esse trabalho é importante
para proporcionar diferen-
tes movimentos dos alunos
em relação à resolução de
uma equação de 2
o
grau, re-
conhecendo raízes de uma
equação de 2
o
grau e tam-
bém percebendo a possibi-
lidade de conferir respos-
tas quando resolvem uma
equação, sendo este último
muito esquecido quando
eles estudam a fórmula re-
solutiva.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
147CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Veja alguns exemplos.
a) Vamos verificar se os números 23, 22, 2 e 6 são raízes da equação x
2
 1 x 2 6 5 0.
b) Vamos determinar m na equação
(3m 2 1) 8 x
2
2 (m 1 8) 8 x 1 10 5 0
de modo que uma de suas raízes seja 2.
Como 2 deve ser raiz da equação, temos
como verdadeira a  sentença:
(3m 2 1) 8 2
2
2 (m 1 8) 8 2 1 10 5 0
Assim:
(3m 2 1) 8 4 2 (m 1 8) 8 2 1 10 5 0
12m 2 4 2 2m 2 16 1 10 5 0
10m 2 10 5 0

m
10
10
10
10
5
m 5 1
• Para x 5 23, temos:
(23)
2
1 (23) 2 6 5 0
9 2 3 2 6 5 0
9 2 9 5 0 (verdadeira)
Logo, 23 é raiz da equação.
• Para x 5 22, temos:
(22)
2
1 (22) 2 6 5 0
4 2 2 2 6 5 0
4 2 8 5 0 (falsa)
Logo, 22 não é raiz da equação.
• Para x 5 2, temos:
2
2
1 2 2 6 5 0
4 1 2 2 6 5 0
6 2 6 5 0 (verdadeira)
Logo, 2 é raiz da equação.
• Para x 5 6, temos:
6
2
1 6 2 6 5 0
36 1 6 2 6 5 0
36 5 0 (falsa)
Logo, 6 não é raiz da equação.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
12 Verifique, entre os números 2, 25, 9 e 10, quais
são raízes da equação x
2
2 11x 1 18 5 0.
2 e 9
16 Calcule o valor de:
a) p na equação 3x
2
2 14x 1 2p 5 0 para que
uma das raízes seja 4;
p 5 4
b) k na equação (k 2 3)x
2
2 (k 1 4)x 1 6 5 0
para que uma das raízes seja 0.
15 Calcule q de modo que 21 seja raiz da equação
(3q 2 2) 8 x
2
1 (2q 2 1) 8 x 1 5 5 0. q 5 24
14 Dois dos números 210, 10
2 , 10 e 10 são
raízes da equação x
2
2 10 5 0. Quais são eles?
13 Verifique se o número 5 é raiz de cada equação
a seguir.
a) x
2
1 6x 5 0 não
b) 2x
2
2 10x 5 0 sim
c) 3x
2
2 75 5 0 sim
d) x
2
2 7x 1 10 5 0 sim
11 Observe o diálogo entre Júlia e Dora.
Complete a resposta de Júlia para Dora.
CLÁUDIO CHIYO
... substituir x por 7; se a sentença obtida
for falsa, 7 não será a raiz dessa equação.
Zero não é raiz da equação; logo, não existe valor
para k de modo que 0 seja raiz da equação.
Note que no exercício 16 , item b, não é possível obter valor para k.
Júlia, como é possível provar que o
número 7 não é uma das raízes da
equação
x
2
2 3x 1 4 5 0?
É muito
fácil, Dora.
É só…
10 10e2

206. 148
Resolvendo equações
do 2
o
grau
Nesta página, iniciamos o
estudo das estratégias de
resolução de equações do
2
o
grau. Apresentamos as
equações do 2
o
grau incom-
pletas e suas resoluções, al-
gumas das quais os alunos
já se depararam em estudos
anteriores.
Comente com eles que po-
demos denominar de x
1
ou
x
2
qualquer uma das raízes
da equação.
Nesta página, tratamos das
equações do 2
o
grau incom-
pletas com coeficiente b 5 0.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
148 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
2
Resolvendo equações do 2
o
grau
Vamos estudar a resolução de equações do 2
o
grau, considerando que as raízes, quando
existirem, pertencerão ao conjunto dos números reais.
Equações do 2
o
grau incompletas
Quando ax
2
1 c 5 0
Agora, encontramos os números que, elevados ao quadrado, resultem em 64.
x 5 64
2 ou x 5 64, ou seja: x 5 28 ou x 5 8
Logo, as raízes da equação são: x
1
 5 28 e x
2
 5 8
Quando uma equação
do 2
o
grau do tipo
ax
2
1 c 5 0, com a % 0 e
c % 0, admitir raízes reais,
elas serão opostas.
SIDNEY MEIRELES
Vamos aprender a resolver equações do 2
o
 grau
do tipo ax
2
 1 bx 1 c 5 0, com a % 0 e b 5 0.
Considere, por exemplo, a equação x
2
 2 64 5 0.
Ela é uma equação do 2
o
grau incompleta, com
b 5 0. Adicionando 64 a ambos os membros da
equação, temos:
x
2
2 64 1 64 5 0 1 64
x
2
5 64
Veja mais exemplos.
a) Resolver a equação x
2
2 1 5 8,61.
x
2
2 1 5 8,61
x
2
5 8,61 1 1
x
2
5 9,61
x 5 ! ,961
x 5 !3,1
Logo, as raízes são x
1
5 23,1 e x
2
5 3,1.
b) Resolver a equação x
2
1 9 5 0.
x
2
1 9 5 0
x
2
5 29
Como não existe número real que ele-
vado ao quadrado resulte em 29, essa
equação não tem raiz real.
Observações
CCUsamos o símbolo ! (lemos: “mais ou menos”) para representar que algo pode assumir dois
valores opostos. Por exemplo, escrevemos x 5 !7 para indicar que x 5 27 ou x 5 7.
CCAs equações do 2
o
grau do tipo ax
2
1 c 5 0 apresentam sempre duas raízes reais opostas
ou não têm raízes reais.
CCAs equações do 2
o
grau do tipo ax
2
5 0 têm sempre duas raízes reais iguais a zero.

207. 149BIMESTRE 3
Orientações
Apresentamos as equações
do 2
o
grau incompletas com
coeficiente c 5 0. Utilizamos
o caso de fatoração “colocar
em evidência o termo co-
mum”, que sempre envolve-
rá a incógnita (x). Se julgar
necessário, faça uma breve
retomada desse caso de fa-
toração.
Exercícios propostos
Verifique se ainda há alunos
com alguma dificuldade na
obtenção da forma reduzida
de uma equação do 2
o
grau.
O exercício 19 pode ser rea-
lizado coletivamente, com o
sorteio de alguns alunos ou
com voluntários que quei-
ram expor o que pensaram.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
149CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
SIDNEY MEIRELES
Quando ax
2
1 bx 5 0
Vamos aprender a resolver equações do 2
o
 grau do tipo ax
2
1 bx 1 c 5 0, com a % 0 e c 5 0.
Considere a equação 5x
2
 1 6x 5 0. Ela é uma equação do 2
o
grau incompleta, com c 5 0.
Colocando x em evidência, temos: x 3 (5x 1 6) 5 0.
Como o produto dos fatores x e 5x 1 6 é zero, pelo menos
um deles é zero. Assim: x 5 0 ou 5x 1 6 5 0.
Resolvendo a equação 5x 1 6 5 0, encontramos x 5
5
6
2.
Logo, as raízes da equação são x
1
5 0 e x
2
 5
5
6
2.
Toda equação do 2
o
grau do
tipo
ax
2
1 bx 5 0, com a % 0 e
b % 0, tem sempre duas raízes
diferentes, sendo uma delas
igual a zero.
Veja mais exemplos.
a) Vamos resolver a equação 4y
2
1 2y 5 0.
Colocando 2y em evidência, temos: 2y 3 (2y 1 1) 5 0
Como o produto dos fatores 2y e 2y 1 1 é zero, pelo
menos um deles é zero. Assim:
2y 5 0 ou 2y 1 1 5 0
Resolvendo essas equações, encontramos, respectivamente, y 5 0 e y 5
2
1
2.
Logo, as raízes da equação são y
1
5 0 e y
2
5
2
1
2.
b) Vamos determinar as raízes da equação 25z
2
2 0,2z 5 0.
Colocando z em evidência, temos: z 3 (25z 2 0,2) 5 0 Como o produto dos fatores z e 25z 2 0,2 é zero, pelo menos um deles é zero. Assim: z 5 0 ou 25z 2 0,2 5 0
Resolvendo a equação 25z 2 0,2 5 0, encontramos z 5 20,04. Logo, as raízes da equação são z
1
5 0 e z
2
5 20,04.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17
Escreva as equações a seguir na forma redu-
zida. Depois, resolva-as.
a) (3y 2 4) 8 (3y 1 1) 5 14 2 9y
b) (m 1 5) 8 (m 2 4) 5 m 1 16
y 252
1
e y 25
2
m
1
5 26 e m
2
5 6
1 7. a ) y
2
2 2 5 0; b) m
2
2 36 5 0
18 Quais valores de x verificam estas equações?
a) x
2
2 100 5 0
x 5 210 e x 5 10
b) 4x
2
5 81 x
2
9
52
e x
2
9
5
c) (2x 2 1) 8 (x 1 2) 5 3x 2 7x
2
• O que podemos afirmar sobre as raízes des-
sas equações?
São opostas.
19 Encontre mentalmente as raízes reais das
equações abaixo.
a)
x
3
7
025
2
x
1
5 x
2
5 0
b) x
4
9
5
2
x
2
3
5
1
e x
2
3
52
2
c) 24x
2
1 2 5 12 x
1
5 x
2
5 0
d) 2x
2
5 1
x
2
2
5
1
e x
2
2
52
2
x
3
2
52 e x
3
2
5
20 Pensei em um número, elevei-o ao quadrado,
subtraí 60 e obtive 840.
Se pensei em um número negativo, qual é esse
número?
230

208. 150
Exercícios propostos
Com a intenção de retomar
o estudo da linguagem al-
gébrica, apresente aos alu-
nos interpretações incorre-
tas dos exercícios 25 e 26,
para que observem a impor-
tância de uma análise das
informações contidas nos
enunciados.
Por exemplo, se no exercício
25 a tradução algébrica for:
2x
2
1 3x 5 0 (“dobro do
quadrado de um número”:
interpretação correta)
(2x)
2
1 3x 5 0 (“quadrado
do dobro de um número”:
interpretação errada)
E no exercício 26:
x
2
2 2x 5 10x (“quadrado da
idade subtraído do dobro é
igual a dez vezes a idade”:
interpretação correta)
(x 2 2x)
2
5 10x (“idade sub-
traída do dobro da idade
elevada ao quadrado é igual
a dez vezes a idade”: inter-
pretação errada)
Pense mais um
pouco...
Veja a resolução para a ati-
vidade proposta:
2x
2
1 3x 2 14 5
5 2x
2
1 4x 2 18
3x 2 4x 5 218 1 14, ou seja,
x 5 4
Soma: 2 8 4
2
1 3 8 4 2 14 5 30
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
150 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
21 Resolva as equações a seguir.
a) 3x
2
1 15x 5 0 x
1
5 0 e x
2
5 25
b) 2y
2
2
y
3
5 0 y
1
5 0 e y
6
1
5
2
c) 9 8 (2n 2 5) 8 (n 1 2) 5 0
d)
x
x
x
x
6
23
2
31
2
2
5
2
2
(x i 6 e x i 2)
n
2
5
5
1
e n
2
5 22
x
1
5 0 e
x
2
5 12
22 Encontre as soluções das equações e, em se-
guida, responda à questão.
a) 5x
2
1 12x 5 0 0 e
5
12
2
b) 23y
2
5 6y 0 e 22
c) x3
2
1 x 5 0
d) (m 1 3) 8 (m 2 6) 5 218
0 e 3
• O que essas equações têm em comum?
0 e
3
3
2
ções seja igual a zero. Em seguida, troque com
seu colega para que um resolva o problema do
outro. Depois, confiram as resoluções.
Resposta pessoal.
24 Calcule p na equação x
2
2 6x 1 p 1 5 5 0 de
modo que uma das raízes seja nula.
p 5 25
27 Hora de criar – Elabore um problema que pos-
sa ser resolvido por uma equação do 2
o
 grau
que tenha duas raízes reais e iguais.
Resposta
pessoal.
26 Se do quadrado da idade de Luísa subtrairmos
o dobro da idade dela, obteremos 10 vezes a
idade de Lúcia, a irmã gêmea de Luísa. Qual
é a idade de Luísa?
12 anos
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Descubra o valor de x no quadrado mágico ao lado
e encontre o valor da soma das colunas, das linhas e
das diagonais.
Lembre-se de que a soma das colunas, das linhas e das
diagonais em um quadrado mágico é sempre a mesma.
x 5 4; soma 5 30
2x
2
2 20 3 x
2
2 1
3x 1 1 2x 1 2 7
5
x
9
2
1
2
2x
12 15
13 10
17
8
25 O dobro do quadrado de um número negativo
adicionado ao triplo dele é igual a zero. Deter-
mine esse número.
2
3
2
22. são equações do 2
o
grau com duas raízes, sendo
uma delas igual a zero
23 Crie um problema que seja resolvido por uma
equação do 2
o
grau em que uma de suas solu-
Equações do 2
o
grau completas
Vamos aplicar o que já foi estudado sobre fatoração e produtos notáveis para resolver
algumas equações do 2
o
grau completas.
Quando o primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito
Considere, por exemplo, a equação x
2
2 12x 1 36 5 0, que é uma equação do 2
o
grau
completa.
Observe que o 1
o
membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito.
Assim, podemos escrever (x 2 6)
2
5 0.
Como uma potência é nula somente se a base for zero,
então, devemos ter:
x 2 6 5 0, ou seja, x 5 6
Portanto, a equação tem duas raízes reais iguais a 6.
Toda equação do
2
o
grau que pode
ser reduzida
à forma
(
mx 1 n)
2
5 0,
com
m e n reais,
tem duas raízes
reais e iguais.
SIDNEY MEIRELES
x
2
2 12x 1 36 5 (x 2 6)
2
22 3 x 3 6(x)
2
(6)
2
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
NELSON MATSUDA

209. 151BIMESTRE 3
Orientações
Explore os exemplos apre-
sentados no livro do estu-
dante para a resolução de
equações do 2
o
grau comple-
tas que recaem em um trinô-
mio do quadrado perfeito.
Se julgar necessário, retome
esse caso de fatoração.
Discuta com os alunos o fato
de que se o quadrado de
um número (ou de uma ex-
pressão) é igual a zero, isso
só ocorrerá se o número (ou
a expressão) também for
igual a zero. Desse modo,
recaímos em um equação do
1
o
grau e podemos concluir
que a equação do 2
o
grau
dada tem duas raízes reais e
iguais.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
151CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Tábua babilônica BM 13901 (1800 a.C.).
Nessa tábua há 24 problemas que
envolvem equações do 2
o
grau.
Voltando ao problema da abertura deste capítulo, em que a academia de esportes dispõe
de 36 m
2
para a construção do ringue de boxe e o construtor precisa determinar a medida dos
lados do tablado quadrado, que varia de 4,9 m a 7,0 m mais a borda de 0,6 m.
Representando a medida do lado do ringue por x,
a área será representada por (x 1 0,6)
2
.
Então, podemos escrever a equação (x 1 0,6)
2
= 36.
Resolvendo-a, temos: x 1 0,6 =
636
x = 20,6 6 6
x
1
= 5,4 e x
2
= 26,6
Como a medida é positiva, o ringue dessa academia
deve ter 5,4 metros de lado.
SIDNEY MEIRELES
Pelas medidas oficiais, qual é a
área máxima do tablado de um
ringue de boxe? E a mínima?
57,76 m
2
; 30,25 m
2
Veja mais exemplos de resolução de equações.
a) y
2
1 2 3
2 3 y 1 2 5 0
y
2
2 2 3 y 3
2 1
1 2
2
`j 5 0
y 22
2
a k 5 0
y 2 2 5 0
y 5 2
Duas raízes reais iguais
a 2.
b) 4x
2
2 12 3 x 1 9 5 0
(2x)
2
2 2 3 2x 3 3 1 3
2
5 0
(2x 2 3)
2
5 0
2x 2 3 5 0
x 5
2
3
Duas raízes reais iguais a
2
3
.
c)
z
4
2
2 z 1 1 5 0

zz
2
2
2
2
2
eeoo 3 1 1 1
2
5 0

z
2
12
2
eo 5 0

z
2
2 1 5 0
z 5 2
Duas raízes reais iguais a 2.
Quando o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito
As raízes positivas de equações do 2
o
grau já eram deter-
minadas pelos babilônios por volta do ano 1800 a.C. Eles uti-
lizavam seus conhecimentos de Geometria para representar
a equação algébrica e, assim, resolvê-la.
Essa representação consistia em duas etapas: primeiro tra-
çavam uma figura cuja área representasse o primeiro membro
da equação; depois, completavam a figura de modo a formar
uma região quadrada. Com isso, eles conseguiam encontrar uma
equação equivalente à equação inicial cujo primeiro membro
fosse um trinômio quadrado perfeito.
Esse método, conhecido como método de completar
quadrados, também era usado pelos matemáticos árabes
e hindus.
Veja, por exemplo, como resolver a equação x
2
 1 4x 2 21 5 0
aplicando esse método.
Observe que o primeiro membro dessa equação não é um
trinômio quadrado perfeito, mas é possível transformá-lo
em um.
THE TRUSTEES OF THE BRITISH MUSEUM, LONDRES

210. 152
Orientações
O método de completar
quadrados pode ser utiliza-
do se percebermos que, em-
bora o trinômio obtido na
forma reduzida da equação
do 2
o
grau apresentada não
seja um quadrado perfeito,
parte dele pode ser trans-
formado em um quadrado
perfeito, desde que acres-
centemos termos conve -
nientes em ambos os mem-
bros da equação.
Explore o exemplo apresen-
tado, reproduzindo na lousa
a equação e as figuras para
que os alunos acompanhem
cada etapa.
Ressalte que obtivemos
apenas uma raiz pois, no
contexto, x representava
uma medida e, portanto,
um número positivo. Se in-
terpretarmos a equação
(x 1 2)
2
 5 25 com x sendo
um real qualquer, devemos
procurar os números que
elevados ao quadrado resul-
tem 25, ou seja, x 1 2 5 65.
Daí, temos:
x 1 2 5 5 ou x 1 2 5 25
x 5 5 2 2 x 5 25 2 2
x 5 3 x 5 27
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
152 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Dessa forma, para representar algebricamente a área do quadrado da figura 2, devemos
adicionar 2
2
a ambos os membros da equação:
x
2
1 4x 1 2
2
5 21 1 2
2
Observe que a expressão do primeiro membro dessa equação é um trinômio quadra -
do  perfeito.
Fatorando esse trinômio, obtemos:
x
2
1 4x 1 2
2
5 (x 1 2)
2
Assim, obtemos a seguinte equação do segundo grau:
(x 1 2)
2
5 25
Temos que x 1 2 é positivo porque é a medida do
lado de um quadrado. Assim:
x 1 2 5 5
x 5 3
Logo, uma raiz da equação x
2
1 4x 2 21 5 0 é 3.
Observe que a
outra raiz da equação
x
2
1 4x 2 21 5 0
é
x 5 27.
SIDNEY MEIRELES
Dispomos os retângulos em volta
do quadrado, de modo que um dos
lados de medida x de cada retângulo
coincida com um dos lados do quadra-
do (figura 1). Depois, completamos a
figura com um quadrado cuja medida
do lado é 2. Assim, obtemos um qua-
drado maior (figura 2), formado pelas
quatro figuras geométricas.
x 2x
2x
x 2x
2x 2
2
22
Figura 1 Figura 2
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ƒum quadrado com lado de medida x , que
tem área igual a x
2
.
x
x x
2
ƒdois retângulos com um lado de medida x
e o outro de medida 2. Cada retângulo tem área igual a 2x.
x
2 22x 2x
x
Em seguida, representamos os termos algébricos como figuras geométricas. Podemos, por
exemplo, considerar três figuras:
Primeiro isolamos os termos algébricos no primeiro membro da equação:
x
2
1 4x 2 21 1 21 5 0 1 21
x
2
1 4x 5 21

211. 153BIMESTRE 3
Orientações
Peça aos alunos que, em du-
plas, leiam e acompanhem o
desenvolvimento do exem-
plo 1. Proponha a eles que
reproduzam as figuras no
caderno, registrando uma
explicação para cada uma
delas.
Verifique se percebem a di-
ferença da obtenção apenas
da raiz positiva e, no caso
do cálculo, para obter as
duas raízes.
Amplie apresentando novos
exemplos e pedindo às du-
plas que primeiro construam
as figuras representando os
elementos da equação, de-
pois exponham a resolução
algébrica considerando x
um real qualquer.
x
x
x
6
6x 6x
2 • 6x
6
x
x
2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
153CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Do quadrado de lado x , devemos tirar os dois retângulos de lados 6 e x .
Observe que, na figura 1, há um quadrado de lado 6 que deve ser tirado duas vezes, o que
nos leva à figura 2.
O que sobra é só a parte amarela. Note, na figura 2, que, para completar o quadrado de lado
x 2 6, devemos acrescentar um quadrado de lado 6. Isso equivale a dizer que, para obter um
trinômio quadrado perfeito, devemos adicionar 6
2
no primeiro membro.
E, para manter a igualdade, adicionar 6
2
no segundo membro.
x
2
2 12x 1 6
2
5 13 1 6
2
x
2
2 12x 1 36 5 13 1 36
(x 2 6)
2
5 49
(x 2 6) é positivo, pois é medida do lado de um quadrado. Assim: x 2 6 5 7 ou x 5 13.
Caso estivéssemos resolvendo a equação sem o uso de figuras, prosseguiríamos assim:
x 2 6 5 6 49
x 2 6 5 67
ƒPara x 2 6 5 7, temos x
1
5 13. ƒPara x 2 6 5 27, temos x
2
5 21.
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
x
x – 6
x – 6
6
6
x
(x – 6)
2
6
2
x
2
– 12x
6
2
6
2
Figura 1 Figura 2
Vamos ver alguns exemplos. Exemplo 1
Para resolver a equação x
2
2 12x 2 13 5 0, primeiro fazemos x
2
2 12x 5 13. Em seguida,
fazemos as representações geométricas:

212. 154
Exercícios propostos
Para o item a do exercício
33, podemos montar a se -
guinte tabela:
Idade de Daniela
Época
6
anos
atrás
Hoje
Daqui a
6 anos
Expressão
da idade
x 2 6 x
x 1 6 5
5 (x 2 6)
2
Dados obtidos no enunciado do
problema.
Ao final, sugira que os alu-
nos acrescentem uma linha
à tabela com os respectivos
valores das idades em cada
época:
Idade de Daniela
Época
6 anos
atrás
Hoje
Daqui a
6 anos
Expressão
da idade
x 2 6 x
x 1 6 5
5 (x 2 6)
2
Idade
(em anos)
4 10 16
Dados obtidos no enunciado do
problema.
É importante caminhar pela
classe e observar como os
alunos construíram e com-
pletaram a tabela solicitada,
intervindo para que eles fa-
çam os ajustes quando ne-
cessário.
Em seguida, exponha ta-
belas diferentes para que
observem e comparem as
informações presentes, fa-
vorecendo a percepção de
como a tabela traduz os da-
dos do problema a ser resol-
vido.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
154 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
29 Na figura ao lado, das
partes quadradas colori-
das com verde, a maior
tem área x
2
. A soma das
áreas dos retângulos li-
lases é 8x. Determine a
área do quadrado menor. NELSON MATSUDA
28 Resolva cada uma das equações abaixo.
a) x
2
2 14x 1 49 5 0 x
1
5 x
2
5 7
b) 4x
2
2 20x 1 25 5 0
c) 4y
2
5 4y 2 1 yy
2
1
55
12
d) p
2
1 6p 5 16p 2 25 p
1
5 p
2
5 5
xx
2
5
55
12
31 Determine os valores reais de x que verificam
as equações a seguir.
a) 4x
2
2 12x 1 5 5 0 x
1
5
2
1
e x
2
5
2
5
30 Resolva as equações abaixo usando o método
de completar quadrados. a) x
2
1 10x 1 24 5 0 x
1
5 24 ou x
2
5 26
b) y
2
2 4y 1 3 5 0 y
1
5 1 ou y
2
5 3
c) n
2
1 4n 2 12 5 0 n
1
5 26 ou n
2
5 2
d) r
2
2 2r 2 3 5 0 r
1
5 21 ou r
2
5 3
32 Considere três números naturais e consecu-
tivos. O produto dos dois maiores é igual a
10 vezes o menor mais 10 unidades. Calcule
a média aritmética desses três números.
9
34 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, que possa ser resolvido por uma equação do 2
o
grau que
tenha duas raízes reais e iguais. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
33 Daqui a 6 anos, a idade de Daniela será igual
ao quadrado da idade dela há 6 anos. Indique a idade atual de Daniela por x para resolver as
questões que se seguem.
a) Construa uma tabela com as idades de
Daniela: hoje, 6 anos atrás e daqui a 6 anos.
b) Que equação traduz a situação do pro-
blema?
x 1 6 5 (x 2 6)
2
c) Qual é a idade atual de Daniela? 10 anos
construção de tabela
CLÁUDIO CHIYO
Pense mais um pouco...
Leia e resolva o problema.
Um prédio é abastecido por duas caixas-d’água em forma de cubo.
A maior tem 1 m de aresta a mais que a menor.
Conversando com um morador do prédio sobre a capacidade das
caixas-d’água, o síndico disse:
— A diferença entre as capacidades das duas caixas é 91.000 litros.
Qual é a medida, em metro, da aresta de cada uma dessas caixas-d’água?
6 m e 5 m
b) 9y
2
2 3y 2 2 5 0
c) 2n
2
1 7n 1 6 5 0
n
1
5 22 e n
2
5
2
3
2
d) 3x
2
1 8x 2 3 5 0
x
1
5 23 e x
2
5
3
1
y
1
5
3
1
2 e y
2
5
3
2
16
Exemplo 2
Vamos determinar as raízes da equação 4y
2
1 8y 1 3 5 0.
4y
2
1 8y 1 3 5 0
4y
2
1 8y 5 23
4y
2
1 8y 1 2
2
5 23 1 2
2

Como 4y
2
5 (2y)
2
e 8y 5 2 3 (2y) 3 2, adicionamos 2
2

a ambos os membros da equação para obter um
trinômio quadrado perfeito no primeiro membro.
(2y 1 2)
2
5 1
2y 1 2 5 !1
ƒPara 2y 1 2 5 21, temos y 5
2
3
2. ƒPara 2y 1 2 5 1, temos y 5
2
1
2 .
Logo, as raízes da equação são y
1
5
2
3
2 e y
2
5
2
1
2.

213. 155BIMESTRE 3
A fórmula resolutiva
de uma equação do
2
o
grau
Comente com os alunos
que, em algumas regiões do
Brasil, a fórmula para resol-
ver a equação do 2
o
grau é
conhecida como fórmula de
Bhaskara; entretanto, não
foi Bhaskara quem a desco-
briu. Sabe-se que somente
com o matemático francês
François Viète (1540-1603)
passaram a ser usadas fór-
mulas para obter as raízes
de uma equação do 2
o
grau.
Em geral, para aplicar a fór-
mula resolutiva para uma
equação do 2
o
grau, calcula-
mos inicialmente o valor do
discriminante d e, em segui-
da, determinamos o valor
da incógnita (x). No entan-
to, os alunos podem aplicar
a expressão para a incógni-
ta diretamente, fazendo as
substituições nesta forma:
x 5
a
bb ac
2
4226
2
x
x 1 4
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
155CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
3
A fórmula resolutiva de uma equação do 2
o
grau
Assim como os árabes, os matemáticos indianos – entre eles Bhaskara – também se interes-
savam pelas equações do 2
o
grau. Embora não aplicassem as fórmulas que conhecemos hoje,
o processo de resolução dessas equações com base em regras, usado por eles, era bastante
próximo dos procedimentos atuais.
Vamos agora generalizar o método de completar quadrados obtendo uma fórmula para
resolver equações do 2
o
grau.
Considere a equação completa do 2
o
grau ax
2
1 bx 1 c 5 0, com coeficientes reais a, b
e c, e a i 0.
ax
2
1 bx 1c 5 0
ax
2
1 bx 5 2c
Adicionamos 2c a ambos os membros da equação.
4a
2
x
2
1 4abx 5 24ac Multiplicamos ambos os membros por 4a (a i 0).
4a
2
x
2
1 4abx 1 b
2
5 b
2
2 4ac Adicionamos b
2
aos dois membros.
(2ax 1 b)
2
5 b
2
2 4ac Fatoramos o 1
o
membro.
2ax 1 b 5 6ba c42
2
(para b
2
2 4ac > 0)
2ax 5 2b 6ba c42
2
Isolando x, obtemos a fórmula resolutiva:
Na fórmula resolutiva, a expressão b
2
2 4ac é chamada de discriminante da equação, que
geralmente é representado pela letra grega d (lemos: “delta”). Então:
6
x
a
bb ac
2
4
5
22
2
d 5 b
2
2 4ac
Desse modo, se d > 0, podemos escrever a fórmula
resolutiva da seguinte maneira:
6d
x
a
b
2
5
2
Observação
CCQuando d , 0, a equação
não admite raízes reais.
Veja um exemplo.
Vamos calcular a medida da altura do triângulo ao
lado, cuja área é 10,5 cm
2
.
A
2
medida da base medida daaltura
5
#
triângulo
,
() ()
,
xx xx
105
2
4
2
4
105ou5
11
5
NELSON MATSUDA

214. 156
Orientações
Peça aos alunos que acom-
panhem individualmente os
exemplos apresentados. So-
licite que façam, no cader-
no, todas as verificações de
que os valores encontrados,
quando existirem, satisfa-
zem realmente à respectiva
equação. Ressalte a ligação
que existe entre a quanti-
dade de raízes e o valor do
discriminante:
• se d . 0, a equação do
2
o
grau tem duas raízes re-
ais diferentes;
• se d 5 0, a equação do
2
o
grau tem duas raízes re-
ais e iguais;
• se d , 0, a equação do
2
o
grau não tem raízes
reais.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
156 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
()
,
xx
2
2
4
21053
1
53
x(x 1 4) 5 2 8 10,5
x
2
1 4x 5 21
x
2
1 4x 2 21 5 0
Nessa equação, temos a 5 1, b 5 4 e c 5 221.
Resolvendo a equação, temos:
d 5 b
2
2 4ac
d 5 4
2
2 4 8 1 8 (221) 5 16 1 84 5 100
6d
x
a
b
2
5
2
e
6
x
2
410
5
2
x
2
410
35
21
5
1
x
2
410
75
22
52
2
As raízes da equação são x
1
5 3 e x
2
5 27.
Como x representa um comprimento, a
solução não pode ser 27. Logo, x 5 3.
Observação
CCSubstituindo cada um dos valores encontrados na equação x
2
1 4x 2 21 5 0,
obtemos igualdades numéricas verdadeiras. Por exemplo, para x 5 27, temos:
(27)
2
1 4 8 (27) 2 21 5 0
49 2 28 2 21 5 0
49 2 49 5 0 (verdadeira)
Veja outros exemplos de resolução de equações.
a) x
2
1 8x 1 16 5 0
Temos: a 5 1, b 5 8 e c 5 16
d 5 b
2
2 4ac
d 5 (8)
2
2 4 8 (1) 8 (16)
d 5 64 2 64 5 0
Como d 5 0, a equação tem duas raízes
reais e iguais dadas por x
a
b
2
5
2
.
Então, x
1
5 x
2
5
()
2
8
4
21
52.
b) 3x
2
2 2x 1 1 5 0
Temos: a 5 3, b 5 22 e c 5 1
d 5 b
2
2 4ac
d 5 (22)
2
2 4 8 (3) 8 (1)
d 5 4 2 12
d 5 28 , 0
Como os números negativos não têm raiz
quadrada real, dizemos que a equação não
admite raízes reais.
c) 4x
2
2 12x 1 7 5 0
Temos: a 5 4, b 5 212 e c 5 7
d 5 b
2
2 4ac; logo, d 5 (212)
2
2 4 8 (4) 8 (7) 5 144 2 112 5 32

d 32 24 255 5
5

6d
x
a
b
2
5
2
; logo,
6 6 6 6
()
()
x
24
12 42
8
1242
8
43 2
2
32
5
3
22
55 5
2
1`j
Portanto, as raízes são xx
2
32
2
32
e5
2
5
1
12
.

215. 157BIMESTRE 3
Para saber mais
A seção explora a constru-
ção de um retângulo áureo.
Se julgar conveniente, pro-
ponha aos alunos uma pes-
quisa sobre o número de
ouro e sua relação com os
números da sequência de
Fibonacci, verificando os co-
nhecimentos que já construí-
ram anteriormente sobre
esse assunto.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho com essa
seção, sugerimos:
<http://www.uel.br/cce/mat/
geometrica/php/dg/dg_4t.php>;
<https://medium.com/
chocoladesign/geometria-sagrada-
propor%C3%A7%C3%A3o-
%C3%A1urea-50d644deb06d>.
Acessos em: 10 set. 2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
c
c
b
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
157CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
ADILSON SECCO
Fazendo c 5 1, temos:
b
b1
1 11
5
b
2
1 b 2 1 5 0
PARA SABER MAIS
Número de ouro
No texto Uma razão de ouro, na seção Para saber mais do capítulo 4 (p. 95), vimos
que, se retirarmos o maior quadrado possível de um retângulo áureo, o retângulo restante
também será um retângulo áureo, isto é, a proporção entre os lados se manterá.
Veja a figura abaixo.
medidada altura
medidadalargura
c
cb
b
c
5
1
5
Agora, podemos resolver a equação do 2
o
grau obtida. Os coeficientes são 1, 1 e 21.
d 5 1
2
2 4 8 1 8 (21) 5 1 1 4 5 5
d 55
6
b
2
15
5
2
Como a medida do lado é positiva, temos b
2
51
5
2
.
Logo, o número de ouro, que fascinou os matemáticos gregos, instrumentou arquitetos
do Partenon (templo da deusa Atena) e inspirou mestres da pintura como Leonardo da Vinci, é dado por:
medidada alturamedidadalargura
,
b
1
1
1
2
51
16185
1
51
2
7
A partir de um quadrado, é fácil construir um retângulo áureo com régua e compasso.
Veja.
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
Construir um quadrado de lado x.
Obter o ponto M, médio de AB.
Com centro M e raio MC, traçar arco
obtendo o ponto E em AB.
A
D C
Bx
x
A
D C
B EM

216. 158
Agora é com você!
Vamos calcular o valor AE
antes da construção. Obten-
do o retângulo AEHD a par-
tir de um quadrado ABCD
da maneira descrita no tex-
to, sabemos que:
AE
AB
5
EH
BE
5
5
5
2
11
q 1,618
Como AB 5 EH e BE 5 AE 2
2 AB 5 6 cm, devemos ter:
AE
6
5
6
AE 2 6
Æ
Æ AE 8 (AE 2 6) 5 36
Indicando AE por x , com
x . 0 (medida de segmen-
to), temos a equação:
x 8 (x 2 6) 5 36
x
2
2 6x 2 36 5 0
d 5 180 5 36 8 5
x 5
()
2
65
1
36
8
22 68
x 5
2
66 56
x 5 6
2
151
8cm ,
pois x . 0
x q 6 8 1,618
x 5 AE q 9,7 cm
Note que, nesse caso, temos
BE 5 3,7 cm (9,7 2 6), e daí:
AE
AB
5
9,7
6
q 1,62 e
EH
BE
5
6
3,7
q 1,62
Exercícios propostos
No exercício 40, uma estraté-
gia para a discussão e a reso-
lução é escolher dois alunos
e pedir a um deles que leia
pausadamente o enunciado
enquanto o outro faz, na
lousa, a representação geo-
métrica desse enunciado.
À medida que o problema é
lido e registrado, os demais
alunos também podem dar
dicas e sugestões. Ao con-
cluir o desenho, proponha
para a turma uma reflexão
sobre que condição x deve
satisfazer para que o proble-
ma seja exequível (x > 15).
Depois, uma nova dupla de
alunos pode explicar como
chegou à solução do pro-
blema.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis,
para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
158 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Por E, traçar a reta s, perpendicu-
lar a AB. Prolongar DC obtendo o
ponto H em s.
O retângulo AEHD é um retângulo
áureo.
,
AB
AE
BE
EH
2
15
161855
1
7
Seguindo o procedimento anterior, construa um retângulo áureo a partir de um quadrado de lado
6 cm. Depois, com a régua, obtenha as medidas AE e BE.
Com essas medidas, verifique que ,.
AB
AE
BE
EH
161857 demonstração
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
35 Encontre as raízes reais das equações.
a) 3x
2
2 7x 1 4 5 0
b) 2m
2
2 m 2 6 5 0
c) 2x
2
1 3x 1 10 5 0
d) y
2
1 8y 2 4 5 0
e) 9y
2
2 12y 1 4 5 0
f) 5x
2
1 3x 1 5 5 0
a) Escreva a expressão que representa a área
da figura.
x
2
1 14x 1 49
b) Sabendo que a área do quadrado ABCD é
100 cm
2
, determine a medida do lado do
menor quadrado dessa figura.
3 cm
37 Na figura ao lado, ABCD é
um quadrado. As partes lila-
ses também são quadrados.
36 Escreva as equações abaixo na forma reduzida
e resolva-as na sequência.
a) x(x 1 3) 5 5x 1 15
x
1
5 23 e x
2
5 5
b)
yy
2
31
3
11
5
2
2
y
1
5
2
1
2 e y
2
5 5
c) (x 1 4)
2
5 9x 1 22 x
1
5 22 e x
2
5 3
d) (x 2 1)
2
1 3x 5 x 1 26 x
1
5 25 e x
2
5 5
e) (x 1 4) 8 (x 2 1) 5 5x 1 20
x
1
5 24 e
x
2
5 6
40 Uma folha quadrada de cartolina tem x cm de
lado. Recorta-se dessa folha um retângulo que
tem x cm de comprimento e 15 cm de largura.
A parte que restou da folha é um retângulo de
área 1.750 cm
2
. Encontre a área da folha de
cartolina.
2.500 cm
2
39 A diferença entre a terça parte do quadrado
de um número e o próprio número é 60. Qual
é o triplo desse número?
45 ou 236
38 Sendo x um número desconhecido, escreva a
equação do 2
o
grau que expressa as descrições
abaixo.
a) A metade da soma de um número com o
seu quadrado é igual a 210.
xx
2
1
2
5 210
b) O quadrado de um número aumentado de
seus
5
3
é igual a 28. x
2
1
5
3
x 5 28
• Encontre as raízes reais das equações dos
itens a e b.
x
2
49 cm
2
A B
D C
NELSON MATSUDA
a) x
1
5 221 ou x
2
5 20 b) x
1
5 5 ou x
2
5
5
28
2
a) x
1
5 1 e x
2
5
3
4
b) m
1
5
2
3
2 e m
2
5 2
c) x
1
5 22 e x
2
5 5
d) y
1
5 24 1
25 e
y
2
5 24 2
25
e) y
1
5 y
2
5
3
2
f) Não tem raízes reais.
A
D C
s
B E
H
M A
D C
B
x
x
y
E
H
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
Agora é com você!

217. 159BIMESTRE 3
Exercícios propostos
Complemente o exercício 43
sugerindo aos alunos que
reproduzam a figura no ca-
derno e escrevam em cada
um dos retângulos a sua
área. Por fim, peça a eles
que calculem a área total,
verificando se está de acor-
do com o esperado (dados
do problema).
O movimento de resolver
e, em seguida, avaliar a
resposta encontrada é de
extrema importância, pois
propicia perceberem que
podem afirmar se a resolu-
ção está correta, avaliação
que pode e deve ser feita
pelos próprios alunos.
No exercício 49, os alunos
são convidados a pesqui-
sarem antecipadamente
as relações de Girard. Em-
bora no item 4 da página
seguinte essas relações se-
jam demonstradas, convém
alertá-los de que aqui, como
observaram alguns casos
particulares, as suas conclu-
sões devem ser consideradas
apenas conjecturas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
159CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
43 Considere a figura abaixo.
a) Qual é a expressão que representa a área
dessa figura?
3x
2
1 18x 1 10
b) Se a área for 31, qual será a equação cor-
respondente?
3x
2
1 18x 2 21 5 0
c) Quais são as raízes da equação encontrada?
d) Qual dessas raízes será solução se a área
for 31?
1
44 Considere a figura a seguir.
a) Determine a expressão que representa a
área lilás da figura.
b) Indique o valor de x para que essa área
seja 119.
x 5 5
46 (Vunesp) Corta-se um pedaço de arame de
12 dm em duas partes e constrói-se, com
cada uma delas, um quadrado. Se a soma das
áreas é 5 dm
2
, determine a que distância de
uma das extremidades do arame foi feito o
corte.
4 dm ou 8 dm
45 Contornando-se um quadrado com uma faixa
de 2 cm de largura, obtém-se um novo qua-
drado com 56,25 cm
2
de área. Qual é a medida
do lado do primeiro quadrado?
3,5 cm
Resolva o problema que Sueli inventou.
d , 0, não existe número real que satisfaça a equação.
48 Sueli gosta de inventar problemas de Mate-
mática para suas amigas. Outro dia, ela es-
creveu um problema em uma folha de papel e
entregou para Marlene resolver.
47 Para que valor de x o triângulo a seguir tem
95 cm
2
de área? x 5 7,5 cm
x 1 2
2x
1 5x
2
x
3x 4 5
x
x
33
3
x
x
x
x
x 3 x
49 Considere as equações do exercício 35. Para
cada item de a a e, calcule as seis razões possí-
veis entre os coeficientes das equações. Depois
calcule:
a) a soma das raízes e compare-a com as ra-
zões obtidas;
3
7
;
2
1
; 3; 28;
3
4
b) o produto das raízes e compare-o com as
razões obtidas.
3
4
; 23; 210; 24;
9
4
• Há alguma relação entre a o oposto da soma das raízes e alguma das razões obtidas?
• Há alguma relação entre a o produto das raízes e alguma das razões obtidas?
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
50 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, que possa ser re-
solvido por uma equação do 2
o
grau. Depois de
cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
50. Resposta pessoal.
c) x
1
= 27 e x
2
= 1
a) (2x 1 3)
2
2 4 8
x
2
2
eo ou 2x
2
1 12x 1 9
49. • Espera-se que o aluno observe a igualdade, nesses casos, entre o oposto da soma das raízes e a razão
a
b
.
• Espera-se que o aluno observe a igualdade, nesses casos, entre o
produto das raízes e a razão
a
c
.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
O dobro do quadrado de um
certo n úmero sub traído do
quádruplo desse n úmero e
adicion ado a 13 é igual a 10.
Determine uma equação que
represente essa situação.
2x
2
2 4x 1 3 5 0
NELSON MATSUDA
41 A base de um retângulo tem 5 m a mais que
a altura dele. A área do retângulo é 300 m
2
.
Calcule o perímetro desse retângulo.
70 m
42 Sabemos que o número de diagonais de um
polígono convexo é determinado pela fórmu-
la
()8
d
nn
2
3
5
2
, na qual d é o número de
diagonais e n, o número de lados do polígono. Assim, escreva o nome do polígono que tem 35 diagonais.
decágono

218. 160
Estudando as raízes
de uma equação do
2
o
grau
Ressalte aos alunos que para
toda equação do 2
o
grau
(completa ou incompleta)
podemos usar a fórmula re-
solutiva e calcular o valor do
discriminante d, embora no
caso das equações incom-
pletas os procedimentos es-
tudados anteriormente são
mais indicados, por serem
mais simples. Desse modo,
podemos usar o valor do dis-
criminante para estudar as
raízes de qualquer equação
do 2
o
grau.
Amplie apresentando ou-
tros exemplos: sem resolver,
verifique quais são os tipos
de raízes de cada equação
abaixo:
a) x
2
2 1 5 0
Como d 5 0 2 4 8 1 8 (21) 5
5 4 . 0, temos que essa
equação tem duas raízes
reais e diferentes.
b) x
2
2 x 5 0
Como d 5 (21)
2
2 4 8 1 8 0 5
5 1 . 0, temos que essa
equação tem duas raízes
reais e diferentes.
c) x
2
1 9 5 0
Como d 5 0 2 4 8 1 8 9 5
5 236 , 0, temos que essa
equação não tem raízes
reais.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
160 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
4
Estudando as raízes de uma equação do 2
o
grau
Analisando a fórmula resolutiva das equações do 2
o
grau, podemos verificar se uma equação
tem ou não raízes reais e obter uma relação entre os coeficientes e essas raízes.
ƒUma equação do 2
o
grau admite duas raízes reais e diferentes se, e somente se, d . 0.
Nesse caso, as raízes são dadas por:
x
1
5
d
a
b
2
21
e x
2
5
d
a
b
2
22
ƒUma equação do 2
o
grau admite duas raízes reais e iguais se, e somente se, d 5 0.
Nesse caso, as raízes são dadas por:
x
1
5 x
2
5
a
b
2
2
ƒUma equação do 2
o
grau não admite raízes reais se, e somente se, d , 0.
Acompanhe a resolução dos exemplos a seguir.
a) Veja como Gláucia determinou o valor de k para que a equação x
2
2 8x 1 k 5 0 tenha
duas raízes reais e diferentes.
Como queremos que a equação do
2
o
grau tenha duas raízes reais e diferentes,
escrevemos a condição d . 0.
IZAAC BRITO
Observação
• Para k 5 0, temos:
x
2
2 8x 5 0
d 5 64 2 4 8 1 8 0
d 5 64 . 0
• Para k 5 16, temos:
x
2
2 8x 1 16 5 0
d 5 64 2 4 8 1 8 16
d 5 0
• Para k 5 20, temos:
x
2
2 8x 1 20 5 0
d 5 64 2 4 8 1 8 20
d 5 216 , 0
CCPodemos substituir valores possíveis de k na equação para verificar se o valor de d é positivo.
Veja:
Esse procedimento não resolve a questão proposta e serve apenas para verificar valores
particulares.

219. 161BIMESTRE 3
Exercícios propostos
Nos exercícios 51 e 55, é
importante que os alunos
reflitam a respeito das con-
dições para que uma equa-
ção de 2
o
grau tenha ou não
raízes reais.
Pense mais um
pouco...
A seção apresenta uma am-
pliação do exercício 55, que
propicia aos alunos interpre-
tarem os resultados obtidos
no exercício. Proponha ou-
tras discussões como essa.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
161CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
c) Vamos determinar o valor de m na equa-
ção 3x
2
2 7x 1 2m 5 0 para que não
existam raízes reais.
Como queremos que a equação do
2
o
grau não admita raízes reais, devemos
impor a condição d , 0.
Temos: a 5 3, b 5 27 e c 5 2m
b
2
2 4ac , 0
(27)
2
2 4 8 (3) 8 (2m) , 0
49 2 24m , 0
24m . 49

m
24
49
.
b) Vamos determinar o valor de n para que
a equação x
2
2 5x 1 n 5 0 tenha duas
raízes reais e iguais.
Como queremos que a equação do
2
o
grau admita duas raízes reais e iguais,
devemos impor a condição d 5 0.
Temos: a 5 1, b 5 25 e c 5 n
b
2
2 4ac 5 0
(25)
2
2 4 8 (1) 8 (n) 5 0
25 2 4n 5 0
4n 5 25

n
4
25
5
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
55 Considere a equação 9x
2
1 12x 1 2m 5 0. Para
que valores de m essa equação:
a) não admite raízes reais?
m . 2
b) tem duas raízes reais e iguais? m 5 2
c) tem duas raízes reais e diferentes? m , 2
d) tem o número 0,2 como raiz? 21,38
51 Dada a equação 2x
2
1 3x 1 p 5 0, determine:
a) o valor de p para que as raízes sejam reais
e iguais;
p 5
8
9
b) as raízes para o valor de p encontrado no
item anterior;
x
1
5 x
2
5 2
4
3
c) o valor de p para que uma das raízes seja
igual a zero;
p 5 0
d) o valor de p para que uma das raízes seja 2;
e) o valor de p para que a equação não admita raízes reais.
52 Para que valores de k a equação
2x
2
1 4x 1 5k 5 0 tem raízes reais e diferentes?
53 Determine o valor de k na equação
x
2
2 kx 1 9 5 0 para que as raízes sejam reais
e iguais.
k 5 6 ou k 5 26
54 Determine o valor de p na equação
x
2
2 ( p 1 5)x 1 36 5 0 para que as raízes sejam
reais e iguais.
p 5 7 ou p 5 217
p .
8
9
k ,
5
2
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Considere o exercício 55 da série acima.
O que podemos concluir sobre as raízes da equação:
• quando m 5 2,5?
• quando m 5 1,8?
CLÁUDIO CHIYO
9x
2
1 12x 1 2m 5 0
Se
m 5 2,5…?
Se
m 5 1,8…?
Como m 5 2,5 . 2, nesse caso a
equação não admite raízes reais.
Como m 5 1,8 , 2, a equação tem
duas raízes reais e diferentes.
p 5 214

220. 162
Relações de Girard
Nestas páginas, apresenta-
mos as relações de Girard
válidas para um equação do
2
o
grau. Se julgar oportuno,
comente com os alunos que
no Ensino Médio eles estu-
darão equações polinomiais
de grau maior que 2 e ve-
rão essas relações para essas
equações.
Explique também que, co-
nhecendo o produto e a
soma algébrica das raízes,
é possível compor equações
que tenham as raízes dadas,
assunto que verão no próxi-
mo item.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
162 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Relações de Girard
No início do século XVII, houve grande interesse pelos estudos matemáticos em toda a
Europa Ocidental. Muitas pesquisas foram feitas para encontrar soluções às diversas equa-
ções e estabelecer relações entre seus coeficientes e suas raízes. Porém, esses estudos eram
limitados porque os matemáticos da época não consideravam as raízes negativas.
Em 1629, foi publicado o livro Invention nouvelle en l’algèbre (Novas invenções em álgebra),
do francês Albert Girard (1595-1632). Nesse livro, Girard demonstra as relações que há entre
as raízes e os coeficientes de uma equação, admitindo a existência das raízes negativas.
Vejamos agora como aplicar essas relações em uma equação do 2
o
grau.
Consideremos a equação do 2
o
grau ax
2
1 bx 1 c 5 0, sendo x
1
e x
2
suas raízes.
Vamos estabelecer as relações de Girard entre essas raízes e os coeficientes a, b e c dessa
equação.
Já vimos que:
x
1
5
d
a
b
2
21
e x
2
5
d
a
b
2
22
(com d > 0)
1
a
relação: soma das raízes
Considerando S a soma das raízes de uma equação do 2
o
grau, podemos verificar que
S 5
a
b2
.
De fato:
x
1
1 x
2
5
dd dd
a
b
a
b
a
bb
a
b
a
b
22 22
221
1
21
5
21 2
5
2
5
22
Então:
x
1
1 x
2
5
a
b2
ou S 5
a
b2
x
1
8 x
2
5
a
c
ou P 5
a
c
2
a
relação: produto das raízes
Indicando por P o produto das raízes de uma equação do 2
o
grau, podemos verificar que
P 5
a
c
.
De fato:
x
1
8 x
2
5
dd d
8
d
()
a
b
a
b b
aa
b
22 44
21 2 222
55
2
5
2
2
2
2
2
ff
`
pp
j
()
a
bb ac
a
bb ac
a
ac
a
c
4
4
4
4
4
4
5
22
5
21
55
2
22
2
22
2
Então:

221. 163BIMESTRE 3
Orientações
Explore os exemplos com os
alunos, reproduzindo parte
deles na lousa. Peça aos alu-
nos que façam uma leitura
individual dos demais exem-
plos; depois, promova uma
discussão com toda a turma.
O uso de estratégias varia-
das possibilita verificar tam-
bém o traquejo algébrico
que os alunos já consolida-
ram e detectar dificuldades
que ainda eles apresentam.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
163CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
ƒExemplos
a) Vamos determinar a soma e o produto das raízes da equação 3x
2
2 7x 1 2 5 0.
Os coeficientes da equação são: a 5 3, b 5 27 e c 5 2.
Usando a relação S 5 x
1
1 x
2
5 2
a
b
para encontrar a soma das raízes, temos:
S 5 x
1
1 x
2
5
()
a
b
3
7
3
7
25
22
5
Usando a relação P 5 x
1
8 x
2
5
a
c

para encontrar o produto das raízes, temos:
P 5 x
1
8 x
2
5
a
c
3
2
5
Portanto, a soma das raízes é
3
7
e o produto é
3
2
.
LEONARDO CONCEIÇÃO
Para verificar a validade das
respostas encontradas, podemos
calcular as raízes da equação e
comprovar se a soma e o produto
são iguais aos valores indicados.
c) Vamos determinar o valor de p, com
p i 0, na equação px
2
2 5x 1 (p 2 5) 5 0
para que o produto das raízes seja
6
1
.
Temos: a 5 p, b 5 25 e c 5 p 2 5
b) Vamos determinar o valor de k, com
k i 0, na equação kx
2
2 22x 1 20 5 0
para que a soma das raízes seja
3
11
.
Temos: a 5 k, b 5 222 e c 5 20
()
k
22
3
1122
5
k
22
3
11
5
11k 5 66
k
11
11
11
66
5
Portanto, k 5 6.
x
1
1 x
2
5
3
11
a
b
3
112
5
p
p5
6
12
5
6 8 (p 2 5) 5 p
6p 2 30 5 p
5p 5 30
Portanto, p 5 6.
x
1
8 x
2
5
6
1
a
c
6
1
5
d) Vamos calcular o valor de k na equação x
2
2 12x 1 k 5 0 para que uma das raízes seja
o dobro da outra.
Indicando as raízes dessa equação por m e n, temos:

8
()
mn
a
b
mn
a
ck
k
1
12
12
1
15
2
5
22
5
55 5
*
ou
8
mn
mn k
1215
5
)
De acordo com a condição do problema, m 5 2n.
Primeiro, vamos resolver o sistema:
mn
mn
12
2
15
5
)

222. 164
Exercícios propostos
Após a resolução do exercí-
cio 63, sugira aos alunos um
levantamento das estraté-
gias utilizadas para chega-
rem à resposta. Verifique
quantos utilizaram as re-
lações de Girard e quantos
não as utilizaram.
A seguir, apresentamos a re-
solução desse exercício utili-
zando as relações de Girard.
Como a e b são raízes da
equação do 2
o
grau 2x
2
2
2 2x 2 24 5 0, temos
que a 8 b indica o produ-
to P das raízes e a 1 b,
a soma S das raízes. Daí:
a 8 b 5 P 5
224
2
5 212
a 1 b 5 S 5
2(22)
2
5 1
Assim, temos:
a 8 b 2 (a 1 b) 5
5 212 2 1 5 213
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2
o
grau.
α
α
αβ
β
β
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
164CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Substituindo m por 2n na equação m 1 n 5 12, obtemos:
2n 1 n 5 12
n 5 4
Como m 5 2n e n 5 4, temos m 5 8.
Mas k 5 m 8 n, então: k 5 8 8 4 5 32
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
56 Considere x
1
e x
2
como as raízes da equação
x
2
2 6x 1 5 5 0. Sem resolver a equação,
de termine:
a) x
1
1 x
2
; 6 b) x
1
8 x
2
. 5
57 Em cada caso, determine a soma S e o produto
P das raízes das equações e calcule as raízes.
a) x
2
2 8x 1 15 5 0 d) x
2
1 7x 1 12 5 0
b) x
2
1 2x 2 3 5 0 e) 3x
2
2 6x 5 0
c) 5x
2
1 21x 1 4 5 0 f) x
2
2 144 5 0
58 Se m e n são raízes da equação x
2
2 9x 1 20 5 0,
determine o valor da expressão mn(m 1 n).
59 Determine o valor de m na equação
4x
2
2 (m 2 2) 8 x 1 3 5 0 para que a soma das
raízes seja
4
3
. m 5 5
60 Calcule o valor de m na equação
(m 1 10) 8 x
2
1 21x 1 5 5 0 para que a soma
das raízes seja
6
7
2. m 5 8
61 Determine o valor de p na equação
6x
2
2 11x 1 ( p 2 1) 5 0 para que o produto
das raízes seja
3
2
. p 5 5
62 Calcule o valor de p na equação x
2
2 8x 1 2p 5 0
para que uma das raízes seja o triplo da outra.
63 A professora Neusa fez vários cartões com
exercícios para sortear na aula de Matemática.
Felipe pegou este cartão:
Felipe acertou a questão. Que resposta ele deu?
JOSÉ LUÍS JUHAS
Composição de uma equação do 2
o
grau
Conhecidas as relações de Girard, é possível compor uma equação do 2
o
grau quando são
dadas suas raízes. É o que vamos estudar a seguir.
Considere a equação do 2
o
grau ax
2
1 bx 1 c 5 0.
Dividindo todos os termos por a, sendo a i 0, temos:
a
ax
a
bx
a
c
a
0
11 5
2
ou x
a
bx
a
c
011 5
2
De acordo com as relações de Girard, temos:
a
b
S
2
5 ou
a
b
S52 e
a
c
P5
Substituindo
a
b
por 2S e
a
c
por P, em x
a
bx
a
c
011 5
2
, temos:
x
2
2 Sx 1 P 5 0
5 7. a) S = 8; P = 15; x
1
= 3 e x
2
= 5
b) S = 22; P = 23; x
1
= 23 e x
2
= 1
c) S = 2
5
21
; P =
4
5
; x
1
= 24 e x
2
= 2
5
1
d) S = 27; P = 12; x
1
= 23 e x
2
= 24
e) S = 2; P = 0; x
1
= 0 e x
2
= 2
f) S = 0; P = 2144; x
1
= 212 e x
2
= 12
180
p 5 6
213

223. 165BIMESTRE 3
Exercícios propostos
Após a resolução e a corre-
ção do bloco de exercícios,
proponha aos alunos outras
questões que ampliem a re-
flexão deles, como no exem-
plo a seguir.
• Determine, sem usar a fór-
mula resolutiva, as raízes
reais das equações:
• x
2
2 5x 1 6 5 0
• x
2
2 2x 2 120 5 0
Oriente os alunos a usarem
as relações entre os coefi-
cientes e as raízes para rea-
lizar essa atividade.
No item a , por exemplo,
identificando com a equa-
ção x
2
2 Sx 1 P 5 0, obte-
mos soma das raízes 5 e pro-
duto 6. Assim, eles devem
testar alguns valores e ob-
ter os números (raízes) que
satisfazem essas condições.
Ao fazer isso, espera-se que
concluam que as raízes da
equação x
2
2 5x 1 6 5 0 são
2 e 3.
É importante também que
verifiquem se os valores en-
contrados estão corretos,
substituindo cada raiz no lu-
gar de x na equação.
No item b, devem identifi-
car S 5 2 e P 5 2120 e, as-
sim, encontrar as raízes 12 e
210.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
165CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Observe alguns exemplos de composição de equações do 2
o
grau a partir de suas raízes.
a) Vamos compor uma equação do 2
o
grau cujas raízes sejam 3 e 28.
Inicialmente, vamos calcular a soma S das raízes.
S 5 x
1
1 x
2
S 5 3 1 (28)
S 5 25
Agora, vamos calcular o produto P das raízes.
P 5 x
1
8 x
2
P 5 3 8 (28)
P 5 224
Substituindo S por 25 e P por 224 em x
2
2 Sx 1 P 5 0, temos:
x
2
2 Sx 1 P 5 0
x
2
2 (25) 8 x 1 (224) 5 0
x
2
1 5x 2 24 5 0
Logo, x
2
1 5x 2 24 5 0 é a equação procurada.
b) Vamos compor uma equação do 2
o
grau de coeficientes inteiros cujas raízes sejam 2 e
5
3
.
Como os coeficientes devem ser inteiros, temos: 5x
2
2 13x 1 6 5 0
Logo, a equação procurada é 5x
2
2 13x 1 6 5 0.
x
2
2 Sx 1 P 5 0
x
2
2
5
13
x 1
5
6
5 0
S 5 x
1
1 x
2
S 5 2 1
5
3
5
13
5
P 5 x
1
8 x
2
P 5 2 8
5
3
5
6
5
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
66 Determine, por meio de uma equação do
2
o
grau, dois números tais que a soma e o
produto sejam, respectivamente:
a) 2 e 2120;
12 e 210
b) 0,2 e 21,2. 1,2 e 21
65 Escreva uma equação do 2
o
grau em que a
soma das raízes seja 35 e o produto, 300.
Em seguida, calcule as raízes dessa equação.
67 Hora de criar – Troque com um colega
um problema, criado por vocês, sobre soma
e produto de raízes de uma equação do
2
o
 grau. Depois de cada um resolver o pro-
blema elaborado pelo outro, destroquem para
corrigi-los.
Resposta pessoal.
64 Forme uma equação do 2
o
grau de coeficientes
inteiros em que as raízes sejam:
a) x
1
5 28 e x
2
5 5; x
2
1 3x 2 40 5 0
b) x
1
5 2 e x
2
5
5
4
; 5x
2
2 14x 1 8 5 0
c) x
1
5 23 e x
2
5 2
2
1
; 2x
2
1 7x 1 3 5 0
d) x
1
5
3
1
e x
2
5 2
5
2
. 15x
2
1 x 2 2 5 0
x
2
2 35x 1 300 5 0; 15 e 20

224. 166
Trabalhando a
informação
Atividades como a desta se-
ção promovem nos alunos
um olhar e uma ação que
transcendem o campo da
Matemática. Sua execução
instrumentaliza os alunos
em outras linguagens, além
de desenvolver a capacidade
leitora em Geografia.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho com esse
tema, sugerimos:
<http://meioambiente.culturamix.
com/ecologia/anamorfoses-
geograficas>;
<https://www.grupoescolar.com/
pesquisa/anamorfoses-geograficas.
html>;
<https://brasilescola.uol.com.
br/o-que-e/geografia/o-que-e-
anamorfose-geografica.htm>.
Acessos em: 10 set. 2018.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade
direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos
socioculturais, ambientais e de outras áreas.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
166 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria
Lemos. Atlas geográfico: espaço mundial. São Paulo:
Moderna, 2013. p. 14.
Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria Lemos.
Atlas geográfico: espaço mundial. São Paulo:
Moderna, 2013. p. 14.
Veja à esquerda uma anamorfose geográfica
da população do Brasil, por regiões, que é um
tipo de cartograma. Observe que o quadra-
dinho indicado na legenda equivale a 1% da
população brasileira. A superfície referente
ao total da população vale 100%, mas não há
preocupação com a precisão, pois o objetivo
é comunicar visualmente informações gerais
sobre a proporção entre as partes entre si e em
relação ao todo.
Podemos quadricular essa representação
e estimar quantos quadradinhos de 1% tem
cada região.
Sabendo que, em 2013, o Brasil tinha apro-
ximadamente 201.000.000 de habitantes,
aplicamos a porcentagem de cada região e
calculamos a respectiva população. Nesse
mapa, a região Sudeste tem aproximadamente
42,5 quadradinhos, ou seja, sua população em
2013 correspondia a, aproximadamente, 42,5%
de 201.000.000 de habitantes.
População q 0,425 8 201.000.000
População q 85.425.000
A leitura de um mapa, anamorfose geográfica
Quando representamos as superfícies de um país em áreas proporcionais a determinada quan-
tidade, dizemos que construímos uma anamorfose geográfica.
NORTE
CENTRO-
-OESTE
NORDESTE
SUL
= 1%
SUDESTE
BRASIL – POPULAÇÃO POR REGIÕES (2013)
NORTE
CENTRO-
-OESTE
NORDESTE
SUL
= 1%
SUDESTE
BRASIL – POPULAÇÃO POR REGIÕES (2013)
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL CLÁUDIO CHIYO
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

225. 167BIMESTRE 3
Exercícios
complementares
Este bloco traz atividades
que retomam os principais
conceitos tratados no ca-
pítulo, propiciando que os
alunos mobilizem os conhe-
cimentos construídos e per-
cebam possíveis dúvidas que
ainda tenham.
O exercício 5 pode ser am-
pliado pedindo aos alunos
que tracem, em papel qua-
driculado, os terrenos e o
campo de futebol a fim de
comparar visualmente as
áreas das figuras.
Habilidade trabalhada: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações
com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
167CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
1 Já sabemos qual era a população aproximada
do Sudeste. Agora, copie o mapa da população
e termine de quadriculá-lo. Em seguida, estime
quantos quadradinhos de 1% tem cada região e
calcule a população aproximada de cada uma
delas nessa data.

2 Copie o mapa do PIB ao lado e quadricule-o.
Em seguida, estime quantos quadradinhos de
1% tem cada região e calcule quanto falta para
a soma das porcentagens das regiões atingir
100%.
Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria Lemos.
Atlas geográfico: espaço mundial. São Paulo:
Moderna, 2013. p. 14.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
NORTE
CENTRO-
-OESTE
NORDESTE
SUDESTE
SUL
= 1%
BRASIL – PIB POR REGIÕES (2013)
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
1. Sul: 14%, aproximadamente 28.140.000 hab.; Nordeste: 28%, aproximadamente
56.280.000 hab.; Norte: 8,5%, aproximadamente 17.085.000 hab.; Centro-Oeste: 7%, aproximadamente 14.070.000 hab.
Sudeste: 55% do PIB; Sul: 16% do PIB;
Nordeste: 13,5% do PIB; Norte: 5,5%
do PIB; Centro-Oeste: 10% do PIB.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1 Determine o valor de k na equação
(k 1 5)x
2
1 (k 2 1)x 1 k 5 0, de modo que ela
seja do 2
o
grau. k i 25
2 Escreva as equações a seguir na forma reduzida
e encontre as respectivas raízes.
a) (1 2 x) 8 (5 1 2x) 5 5
b) (3y 2 5) 8 ( y 2 5) 1 y
2
5 0
c) (22x 2 1) 8 (x 2 2) 5 3x 1 5x
2
d) 5x
2
1 7 5 2x
2
2 53x
2
1 12 5 0;
não tem raiz real
2. a) 2x
2
1 3x 5 0; x
1
5 0 e x
2
5 2
2
3
b) 4y
2
2 20y 2 255 0; y
1
5 y
2
5
2
5
c) 7x
2
2 2 5 0; x
1
5 2
7
2
e x
2
5
7
2
x
x 3 cm
3 cm
3 Na figura ao
lado, qual deve
ser o valor de x
para que a área
pintada de azul
tenha 57 cm
2
?
x 5 8 cm
NELSON MATSUDA
4 Dada a equação x
2
2 (m 2 5) 8 x 1 (1 2 m) 5 0,
determine m de modo que:
a) uma das raízes seja nula;
m 5 1
b) as raízes sejam opostas. m 5 5
a) Escreva a equação que corresponde a essa
situação.
3x
2
5 4.800
b) Quais são as raízes dessa equação?
c) Qual dessas raízes representa a medida do
lado de cada terreno quadrado?
40
240 e 40
5 A soma das áreas de três terrenos quadrados de
mesmo tamanho é igual à área de um campo
de futebol com 80 m por 60 m.
JOSÉ LUÍS JUHAS

226. 168
Exercícios
complementares
No exercício 11, uma possí-
vel resolução é apresentada
a seguir:
10x
2
1 33x 2 9 5 0 Æ
Æ] a 5 10, b 5 33 e c 5 29
5 8 x
1
8 x
2
1 2 8 (x
1
1 x
2
) 5
5 5 8
c
a
1 2 8
(
2b
a
)
5
5 5 8
(
29
10
)
1 2 8 (
233
10
)
5
5 2
45
10
2
66 10
5
5 2
111
10
5 211,1
Como 211,1 está entre os
números inteiros 212 e
210, concluímos que dentre
as alternativas apresentadas
o número inteiro mais próxi-
mo é 210 (embora 212 es-
teja mais próximo, mas não
conste nas alternativas).
No exercício 15, indicando
por x a medida do lado do
quadrado e por A a área
antes do aumento, temos
A 5 x
2
. Quando a medida do
lado do quadrado aumenta
em 3 cm, a área aumenta
em 27 cm
2
. Assim, temos:
(x 1 3)
2
5 A 1 27 Æ
Æ x
2
1 6x 1 9 5 A 1 27
Como A 5 x
2
:
x
2
1 6x 1 9 5 x
2
1 27
6x 5 27 2 9
6x 5 18
x 5 3
Habilidade trabalhada: (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações
com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
2 3
3 3
h
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
168 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU
8 Determine o valor de k na equação
kx
2
2 16x 1 5 5 0 para que:
a) uma das raízes seja 3;
k
9
43
5
b) uma das raízes seja
2
1
; k 5 12
c) as raízes sejam reais e distintas; k
5
64
,
d) a soma das raízes seja
3
4
. k 5 12
10 (Unifor-CE) Uma das soluções da equação
xx
11
21
2
5 2x 1 1 é um número inteiro múl-
tiplo de:
alternativa e
a) 2. c) 5. e) 11.
b) 3. d) 7.
11 (Fuvest-SP) Sejam x
1
e x
2
as raízes da equação
10x
2
1 33x 2 9 5 0. O número inteiro mais
próximo do número 5 8 x
1
8 x
2
1 2 8 (x
1
1 x
2
) é:
a) 233. d) 10.
b) 210. e) 33.
c) 27.
alternativa b
12 (Ulbra-RS) O(s) valor(es) de B na equação
x
2
2 Bx 1 4 5 0 para que o discriminante seja
igual a 65 é(são):
alternativa d
a) 0. d) 29 ou 9.
b) 9. e) 16.
c) 29.
9 (UCS-RS) Se uma das raízes da equação
2x
2
2 3px 1 40 5 0 é 8, então o valor de p é:
a) 5. c) 7. e) 27.
b)
3
13
. d) 25. alternativa c
13 (Ufes) O valor de k para que a soma das raízes
da equação (k 2 3)x
2
2 4kx 1 1 5 0 seja igual
ao seu produto é:
alternativa c
a)
2
1
. b)
3
1
. c)
4
1
. d)
3
2
. e)
4
3
.
7 Observe as figuras abaixo.
A área da figura lilás é igual à área do retângulo. Qual é a medida da altura da figura lilás?
43
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
15 (Vunesp) Se aumentarmos em 3 cm o lado de
um quadrado, sua área aumentará 27 cm
2
. A
partir desses dados, podemos dizer que o lado do quadrado mede, em cm:
alternativa a
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.
14 (PUC-MG) O quociente da divisão de 72 por
um número negativo é o dobro desse número.
A metade desse número é:
alternativa a
a) 23. c) 25. e) 27.
b) 24. d) 26.
16 (UFF-RJ) Cortando-se pedaços quadrados
iguais nos cantos de uma cartolina retangular de 80 cm de comprimento por 60 cm de largu-
ra, obtém-se uma figura em forma de cruz. Se a área da cruz for a terça parte da área retangular original, o tamanho do lado de cada quadrado é igual a:
alternativa d
a)
52cm. d) 220cm.
b) 210cm. e) 252cm.
c) 152cm.
17 Ao compor uma equação do 2
o
grau, Fernanda,
por engano, escreveu:
x
2
2 Px 1 S 5 0
Resolveu a equação corretamente e encontrou as raízes 1 e 5. Se Fernanda tivesse usado cor-
retamente as relações de Girard para compor sua equação, quais seriam as raízes?
2 e 3
18 (FGV-SP) Se a soma das raízes da equação
kx
2
1 3x 2 4 5 0 é 10, podemos afirmar que
o produto das raízes é:
alternativa a
a)
3
40
. c)
3
80
. e) 2
10
3
.
b) 2
3
40
. d) 2
3
80
.
19 (Unifor-CE) Um estudante resolve uma equa-
ção do tipo x
2
1 bx 1 c 5 0 e, enganando-se
no valor de c, obtém as raízes 8 e 2. Um colega
seu, resolvendo a mesma equação, engana-
-se no valor de b e obtém as raízes 29 e 21.
Resolvendo-se a equação correta, quanto se obtém somando o triplo da menor raiz com a outra?
12
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
6 Determine os números reais que são soluções
da equação x
2
1 10x 5 11x. x 5 1 ou x 5 0

227. 169BIMESTRE 3
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer os elementos
de um triângulo retângulo.
• Conhecer o teorema de Pi-
tágoras, verificar demons-
trações e algumas aplica-
ções.
• Resolver problemas que
envolvam semelhança de
triângulos e triângulos re-
tângulos.
• Demonstrar as relações
métricas em um triângulo
retângulo.
• Apresentar algoritmo por
escrito para a construção
de um quadrado com ré-
gua e compasso.
• Determinar a distância en-
tre dois pontos no plano
cartesiano e das coordena-
das do ponto médio de um
segmento de reta.
• Explorar a representação
gráfica de um relevo.
Orientações gerais
Nos anos anteriores, os alu-
nos já vinham trabalhando
com triângulos retângulos.
Neste capítulo, retomamos
e ampliamos esses concei-
tos, tratando das relações
métricas em um triângulo
retângulo, com destaque
para o teorema de Pitágoras
e suas aplicações. Além dis-
so, exploramos a distância
entre dois pontos no plano
cartesiano e a representação
gráfica de um relevo.
Na abertura, apresentamos
um monumento em home -
nagem a Pitágoras, que faz
menção à figura de um tri-
ângulo retângulo. Promova
uma discussão e levante os
conhecimentos prévios que
os alunos têm sobre esse
matemático e sobre o tri-
ângulo retângulo. Espera-
-se que eles identifiquem o
triângulo retângulo como
aquele que tem um ângulo
interno reto.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
169
8
Capítulo
Triângulo retângulo
Monumento a Pitágoras, ilha de Samos, Grécia. (Foto de 2017.)
Na ilha de Samos,
na Grécia, há um
monumento de
bronze construído
em homenagem a
Pitágoras, filósofo
reconhecido por
inúmeras contribuições
à Matemática.
Edificada de modo a
lembrar um triângulo
retângulo, a figura de
Pitágoras compõe um
de seus catetos.
PIXELCI/SHUTTERSTOCK
CAPÍTULO 8

228. 170
Um pouco de História
Apresentamos um texto que
apresenta a escola pitagóri-
ca, seu lema e sua contribui-
ção na construção da Mate-
mática, palavra cuja origem
é atribuída a Pitágoras. Su-
gerimos o trabalho de lei-
tura e exploração do texto
com os alunos dispostos em
duplas ou trios.
Sugestões de leitura
Para ampliar e enriquecer a
discussão, sugerimos:
<https://www.ime.usp.br/~leo/
imatica/historia/pitagoras.html>;
<https://www.ebiografia.com/
pitagoras/>;
<https://www.pensador.com/autor/
pitagoras/biografia/>;
<https://www.todamateria.com.br/
pitagoras/>.
Acessos em: 10 set. 2018.
Complemente os estudos com
a Sequência didática 9 –
Triângulo retângulo,
disponível no Manual
do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
A
B C
hipotenusa
cateto
cateto
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
170 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
1
Um pouco de História
O filósofo grego Pitágoras nasceu na ilha de Samos provavel-
mente em 570 a.C., cerca de cinquenta anos depois do nascimento
de Tales de Mileto.
Filho de um rico comerciante, viajou pelo Egito, pela Babilônia
e talvez tenha chegado até a Índia.
Ao voltar para a Grécia, fixou-se em sua terra natal, mas, des-
contente com as arbitrariedades do governo de Samos, mudou-se
para a colônia grega Crotona, situada na Itália. Lá, fundou a escola
pitagórica.
Nessa escola, havia aulas de Religião, Filosofia, Política, Música,
Astronomia e Matemática. Seus alunos eram divididos em duas
categorias: os dos três primeiros anos eram chamados de ouvin-
tes e os dos anos seguintes, de matemáticos, pois somente a
estes eram revelados os segredos da Matemática. Aliás, a origem
da palavra matemática (que significa “o aprendizado da arte, da
ciência”) é atribuída a Pitágoras.
O lema da escola era “Tudo é número”. Nela, procuravam explicar
com números tudo o que existe na natureza.
Os pitagóricos tinham o conhecimento como única aspi ração e
formaram uma sociedade secreta cujo emblema era um pentágono
estrelado — ou pentagrama (figura ao lado).
Os estudos dos pitagóricos trouxeram grandes contribuições
para a Matemática, principalmente para a Geometria. Entre essas
contribuições, a de maior sucesso foi sem dúvida o conhecido
teorema de Pitágoras.
Mesmo depois da morte de Pitágoras, por volta de 500 a.C., a socie-
dade dos pitagóricos continuou a existir por mais de quatro séculos.
Busto de Pitágoras, nos
Museus Capitolinos em Roma,
Itália. Escultura em mármore.
(Foto de 2015.)
Pentágono estrelado ou
pentagrama.
LANMAS/ALAMY/FOTOARENA – MUSEUS CAPITOLINOS, ROMA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
2
Teorema de Pitágoras
Neste capítulo vamos estudar várias relações entre as medidas de comprimento dos ele-
mentos de um triângulo retângulo. Por isso, convém recordar a nomenclatura a ser usada.
Elementos de um triângulo retângulo
Já vimos que um triângulo ABC é denominado triângulo retângulo em A quando o ângulo
reto tem vértice A.
Chamamos de catetos os lados perpendiculares
entre si que formam o ângulo reto em um triângulo
retângulo. Já o lado oposto ao ângulo reto é cha-
mado de hipotenusa.

229. 171BIMESTRE 3
Orientações
Destaque os elementos de
um triângulo retângulo, in-
clusive a determinação dos
lados opostos a ângulos
internos, o que servirá de
apoio para o tema do capí-
tulo seguinte.
Mostre aos alunos também
que, além da altura relativa
à hipotenusa, as outras duas
alturas, relativas respectiva-
mente aos lados menores
(os catetos) desse tipo de
triângulo são um cateto em
relação ao outro. Por isso,
uma das maneiras de obter-
mos a área de um triângulo
retângulo é pelo semiprodu-
to das medidas dos catetos.
M
N
H
P
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
171CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
SIDNEY MEIRELES
NELSON MATSUDA
Nesse triângulo, destacamos as medidas:
ƒa, da hipotenusa
BC;
ƒc, do cateto AB, oposto ao ângulo C
W
;
ƒb, do cateto AC, oposto ao ângulo B
W
;
ƒh, da altura AH, relativa à hipotenusa.
Em relação aos ângulos, sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é 180º. Assim, nos triângulos retângulos, a soma das medidas dos dois ângulos
agudos de cada triângulo é 90º, ou seja, eles são complementares.
Observe o triângulo retângulo ABC da figura abaixo.
Os triângulos HBA
e
HAC são triângulos
retângulos em
H.
() ()
() ()
() () () (),( )( )
AB
BC
AB BC AC AC
90
90
mm °
mm °
mm mm entãom mo u
15
15
15 15 &
1
11 14
W
W W
W
W WW W W W WW
() ()
() ()
() () () (),( )( )
AC BC
AC BC AB
AB
90
90
mm °
mm °
mm mm entãom mo u
15
15
15 15 &
2
22 24
W
W W
W
W W
W W W W W W
1 Considere o triângulo retângulo MNP. Com o auxílio de uma régua, dê a medida:
a) da hipotenusa;
5 cm
b) do cateto oposto ao N
X
; 3 cm
c) do cateto adjacente ao N
X
; 4 cm
d) do cateto oposto ao P
W
; 4 cm
e) do cateto adjacente ao P
W
; 3 cm
f) da altura relativa à hipotenusa; 2,4 cm
g) do segmento PH; 1,8 cm
h) do segmento NH. 3,2 cm
NELSON MATSUDA
Observação
CCSe dois triângulos têm dois pares de ângulos respectivamente congruentes, então eles são
triângulos semelhantes. Chamamos esse fato de caso AA (ângulo-ângulo) de semelhança.
A
B C
h
H
c
b
A1
A2
a

230. 172
Exercícios propostos
No exercício 2, os alunos de-
vem usar as medidas reais
no desenho. Veja um dese-
nho em escala menor, com
medidas proporcionais.
8,4
11,2
A B
C
Na escala real, os alunos de-
vem obter 14 cm.
No exercício 3, temos:
• 2 cm, 4 cm e 5 cm:
2
4
5
A B
C
a
Verificamos que a > 90°, as-
sim, o triângulo ABC é obtu-
sângulo.
Podemos também comparar
o quadrado da medida do
maior lado (25) com a soma
dos quadrados das medidas
dos outros dois lados (4 e
16). Assim: 4 1 16 , 25 in-
dica que o ângulo oposto ao
maior lado é obtuso.
• 3 cm, 3,5 cm e 4 cm:
43
3,5
E F
G
b
Analogamente ao anterior,
verificamos que b , 90°, as-
sim como os demais ângulos
internos. O triângulo EFG é
acutângulo.
Também verificamos
3
2
1 (3,5)
2
. 4
2
9 1 12,25 . 16. Isso ocorre
sempre que o ângulo opos-
to ao maior lado é agudo.
• 4,2 cm, 5,6 cm e 7 cm:
4,2
5,6
7
H I
J
b
Nesse caso, g 5 90° e os demais ângulos internos são agudos, logo HIJ é um triângulo retângulo.
Nesse caso, aqui vale a relação de Pitágoras (4,2)
2
1 (5,6)
2
5 7
2
.
17,64 1 31,36 5 49. Isso indica que temos um triângulo retângulo.
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
172 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
Enunciando o teorema de Pitágoras
Considerando como unidade de medida a área de
cada quadradinho da figura ao lado, notamos que
a área do quadrado maior é igual à soma das áreas
dos quadrados menores, ou seja:
25 5 9 1 16
Como 25 5 5
2
, 9 5 3
2
e 16 5 4
2
, podemos escrever
essa igualdade da seguinte maneira:
5
2
5 3
2
1 4
2
Repare que 5, 3 e 4 são as medidas dos lados dos
quadrados da figura e, consequentemente, as me-
didas dos respectivos lados do triângulo retângulo.
A relação entre os quadrados das medidas dos lados desse triângulo retângulo é válida
para todo triângulo retângulo e é conhecida como teorema de Pitágoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
NELSON MATSUDA
3 Usando régua e compasso, construa os triângulos cujos lados medem: construção de figuras
• 2 cm, 4 cm e 5 cm
• 3 cm, 3,5 cm e 4 cm
• 4,2 cm, 5,6 cm e 7 cm
a) Classifique os triângulos construídos de acordo com as medidas dos ângulos internos.
b) Para cada triângulo, estabeleça uma relação entre o quadrado da medida do maior lado e a soma
dos quadrados das medidas dos outros dois lados.
Demonstrando o teorema de Pitágoras
Existem mais de trezentas demonstrações do teorema de Pitágoras. Vamos apresentar
uma que faz uso da equivalência de áreas.
O livro A Proposição de Pitágoras,
de Elisha Scott Loomis, por exemplo,
contém 370 demonstrações diferentes
do teorema de Pitágoras.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
2 Desenhe um triângulo retângulo cujos catetos meçam 8,4 cm e 11,2 cm. construção de figura
a) Obtenha, com o auxílio de uma régua, a medida aproximada da hipotenusa desse triângulo. b) Verifique se o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
sim
14 cm
a) • obtusângulo
• acutângulo
• retângulo
b) • 25 . 4 1 16
• 16 , 9 1 12,25
• 49 5 17,64 1 31,36
SIDNEY MEIRELES

231. 173BIMESTRE 3
Orientações
Este tema, e outros neste
capítulo, podem propiciar
a manipulação das figuras
envolvidas como aborda-
gem paralela à da leitura do
texto ou da aula expositiva,
o que enriquecerá sobrema-
neira o aprendizado. Para
isso, se possível, confeccione
previamente em cartolina
as peças envolvidas nas fi-
guras 1, 2 e 3, replicando-
-as de modo, em grupos, os
alunos, montem as figuras
como um quebra-cabeça.
Outra possibilidade é pedir
aos alunos que reproduzam,
manualmente ou por foto-
cópia (ampliada ou não), e
recortem as ilustrações que
acompanham o texto. Em
seguida, proponha a eles
que manipulem essas partes
recortadas de modo a com-
pô-las de acordo com as fi-
guras apresentadas no livro
do estudante, além de pes-
quisarem livremente outras
composições.
Habilidade trabalhada: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
b
2
c
2
a
2
b
ac
a
a
a
a
a
2
b
b
b
bc
c
c
c
b
2
c
2
c b
b b
c c
c
b
x
4,8 m
3,6 m
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
173CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando um triângulo retângulo, construímos quadrados sobre a hipotenusa de medida
a e sobre os catetos de medidas b e c, como mostra a figura 1. Nas figuras 2 e 3, construímos
quadrados de lados que medem (b 1 c).
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Figura 1 Figura 2 Figura 3
O quadrado da figura 2 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao
triângulo da figura 1, e pelo quadrado verde. Assim, a área do quadrado de lado de me-
dida (b 1 c) é a soma das áreas dos quatro triângulos com a área do quadrado verde.
O quadrado da figura 3 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao
triângulo da figura 1, pelo quadrado azul e pelo quadrado rosa. Então, a área do quadrado de
lado de medida (b 1 c) é a soma das áreas dos quatro triângulos com as áreas dos quadrados
azul e rosa.
Logo, a área do quadrado verde é a soma da área do quadrado azul com a área do quadrado
rosa, ou seja:
x
2
5 (4,8)
2
1 (3,6)
2
x
2
5 23,04 1 12,96
x
2
5 36
x 5
636
x 5 66
Como x é o comprimento da escada, ele deve ser um número positivo. Portanto, o compri-
mento da escada é 6 m.
Observe um exemplo de aplicação do teorema de Pitágoras.
Precisamos calcular o comprimento x de uma escada que está apoiada em uma parede,
conforme a figura abaixo. Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
a
2
5 b
2
1 c
2

232. 174
Exercícios propostos
No exercício 7, avalie a con-
veniência de comentar com
os alunos que no item a o
valor de x pode ser obtido
por meio de qualquer um
dos dois triângulos. No item
d, note que faltam dados
para calcular o valor de x.
Já no exercício 8 , há dado a
mais.
Sugestões de
leitura
Para ampliar o trabalho com o
teorema de Pitágoras, sugerimos:
<http://www2.unifap.br/
matematicaead/files/2016/03/TCC-
REVISADO.pdf>.
Acesso em: 10 set. 2018.
Sugerimos também o livro:
IMENES, Luiz Márcio.
Descobrindo
o teorema de pitágoras
. São Paulo:
Scipione, 1996. (Coleção Vivendo a
Matemática)
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a
semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
x
14
53
x
x 1 1
7
x
x
10
x
12
15
11 cm
2
25 cm
2
x x 1 2
x 1 4
x
9
12
4x
3
57
x
8
6 6
14
12 m
10 m
20 m
6
x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
174 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8 As diagonais de um losango medem 12 cm e
16 cm. O ângulo menor desse losango mede
aproximadamente 74°.
a) Determine a medida do lado desse losango.
b) Calcule a área desse losango.
96 cm
2
c) Para responder aos itens anteriores foi
necessário usar todas as informações do
enunciado?
não foi necessário usar
a medida do ângulo
a) Determine a área do triângulo laranja.
b) Calcule a medida da hipotenusa desse triân-
gulo.
6 cm
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
4 Calcule o valor de x aplicando o teorema de
Pitágoras:
5 Em um esquadro, os lados perpendiculares
medem 12 cm e
123 cm. Quanto mede o
lado oposto ao ângulo reto desse esquadro?
24 cm
c)
b) d)
a)
7 Aplicando o teorema de Pitágoras, determine,
se possível, a medida x de cada uma das figuras
a  seguir.
a) c)
b)
11 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa me de
35 m e as medidas dos catetos são expressas
por x e x 1 3. Calcule a medida dos catetos.
6 Considere os quadrados coloridos de verde e
de azul representados na figura abaixo e, em
seguida, faça o que se pede.
ILUSTRAÇÕES: CLÁUDIO CHIYO
9 Em um triângulo isósceles, a base mede 12 cm
e cada um dos lados congruentes mede 9 cm.
Faça um esboço desse triângulo e calcule a
medida da altura dele.
35cm
12 Um bambu foi quebrado pelo vento a 4,8 m
de altura. Ele tombou de modo que sua ponta tocou o chão a 3,6 m de sua base. Determine a altura desse bambu.
10,8 m
10 Quantos metros de arame são necessários para
cercar, com 6 voltas, um terreno em forma de trapézio retângulo cujas bases medem 12 m e 20 m e cujo lado oblíquo mede 10 m?
288 m
d)
Faltam dados para
calcular o valor de x.
x 5 15
x 5 6
x 5 9 x 5 11
x 5 3x
525
,2511 cm
2
x335
10 cm
3 m e 6 m

233. 175BIMESTRE 3
Exercícios propostos
No exercício 14, veja a figu-
ra da estrutura maior:
1,5
3,6
7,2
x
Observando essa figura:
x
2
5 1,5
2
1 3,6
2
V x 5 3,9
Veja a figura da estrutura
menor:
0,5
1,2
y
y
2
5 0,5
2
1 1,2
2
V

y 5 1,3
Assim:
2 8 3,9 1 1,5 1 2 8 1,3 5
5 7,8 m 1 1,5 m 1 2,6 m 5
5 11,9 m
Pense mais um
pouco...
Peça aos alunos que cons-
truam o tangram.
T
g
T
m
y
x
x
p
t
t
q
T
g
20 cm
10 cm
Acompanhe as relações:
• triângulo grande
y
2
5 10
2
1 10
2
y 5
2108
2
y 5 10 2 5 14,1
• triângulo pequeno
x
2
5 5
2
1 5
2
x 5
258
2
x 5 25 5 7,05
O perímetro do triângu-
lo grande é 34,1 cm (10 1
1 10 1 14,1), e o do triângu-
lo pequeno é 17,05 cm (5 1
5 1 7,05).
No triângulo médio, os cate-
tos medem 7,05 cm, e a hipo-
tenusa, 10 cm. Assim, o perí-
metro do triângulo médio é
24,1 cm (7,05 1 7,05 1 10).
Os lados do quadrado me-
dem 5 cm. Assim, o períme-
tro desse quadrado é 20 cm
(5 1 5 1 5 1 5).
No paralelogramo, um dos
lados mede 5 cm, o outro
lado, não paralelo, 7,05 cm.
O perímetro desse paralelo-
gramo é 24,1 cm (5 1 5 1
1 7,05 1 7,05).
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO
JOSÉ FERREIRA
1,2 m
7,2 m
0,5 m 1 m
A
B
400 km
300 km
C
20 cm
10 cm
3
4
5
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
175CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Já vimos que o tangram é formado por sete peças:
cinco triângulos retângulos isósce les, sendo dois gran-
des, um médio e dois pequenos; um quadrado e um
paralelogramo.
Com essas sete peças, é possível montar muitas figuras.
Observe, por exemplo, o retângulo ao lado, feito com
as peças do tangram.
Determine o perímetro apro ximado de cada peça desse
tangram. Use para
2 o valor aproximado 1,41.
PARA SABER MAIS
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
14 A figura abaixo representa a estrutura de ma-
deira do telhado de uma residência. A base
tem 7,2  m. Quantos metros de madeira são
necessários para construir as outras partes
dessa estrutura?
11,9 m
15 Um avião sai da cidade A e vai até a cida-
de B, que está à distância de 300 quilômetros.
13 Para reforçar a sustentação de uma placa de
propaganda com formato retangular, que mede
2 m de comprimento por 5 m de largura, foram
colocadas duas ripas de madeira no sentido
das diagonais da placa. Qual é o comprimento
aproximado de cada ripa?
5,38 m
16 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre triângulo
retângulo. Depois de cada um resolver o pro-
blema elaborado pelo outro, destroquem para
corrigi-los.
Resposta pessoal.
24,1 cm
17,05 cm
20 cm
34,1 cm
Triângulos pitagóricos
Triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas
por números inteiros são chamados de triângulos pitagóricos.
Entre eles, o mais famoso é o triângulo cujos lados medem nú-
meros inteiros e consecutivos: 3, 4 e 5.
Pelo caso LLL de semelhança, qualquer triângulo retângulo cujos
lados sejam proporcionais aos números 3, 4 e 5 é um triângulo
pitagórico.
34,1 cm 24,1 cm 17,05 cm
Depois, decola em direção à cidade C, a
400  quilômetros. Se o avião fosse em linha
reta da cidade A para a C, quantos quilômetros
percorreria?
500 quilômetros

234. 176
Para saber mais
Esta seção oferece uma boa
oportunidade de trabalhar
conceitos aprendidos ante-
riormente, como semelhan-
ça de triângulos e propor-
cionalidade. Explore com os
alunos as diferentes estraté-
gias de resolução dos exercí-
cios propostos.
Para ampliar o item d, pro-
ponha aos alunos que cons-
truam os triângulos cujas
medidas obtiveram no qua-
dro elaborado. Em seguida,
peça a eles que verifiquem
com um transferidor se esses
triângulos construídos são
retângulos.
Segue um possível quadro
para o item d:
Ternos pitagóricos
x x 1 2
x 1 (x 1
1 2)
x 8 (x 1
1 2)
x 8 (x 1 2) 1
1 2
1 3 4 3 5
2 4 6 8 10
3 5 8 15 17
4 6 10 24 26
5 7 12 35 37
Agora, vamos verificar a vali-
dade do teorema de Pitágo-
ras para os ternos obtidos:
Validade do teorema
4
2
1 3
2
5 25 5 5
2
6
2
1 8
2
5 100 5 10
2
8
2
1 15
2
5 289 5 17
2
10
2
1 24
2
5 676 5 26
2
12
2
1 35
2
5 1.369 5 37
2
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a
semelhança de triângulos.
4
5
10
15
5k
3
6
9
3k
8 12 4k
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
176 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Reúna-se com um colega, usem uma calculadora e façam o que se pede.
a) Um dos catetos de um triângulo pitagórico mede 15 cm. Determinem dois possíveis pares de
medidas do outro cateto e da hipotenusa desse triângulo.
b) A hipotenusa de um triângulo pitagórico semelhante ao triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm
mede 35 cm. Determinem o perímetro e a área desse triângulo.
84 cm e 294 cm
2
c) O perímetro de um triângulo pitagórico semelhante ao triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm
é 108 cm. Determinem a medida dos catetos e da hipotenusa desse triângulo.
27 cm, 36 cm
e 45 cm
d) Construam um quadro como o do modelo abaixo e atribuam a x cinco números inteiros,
completando-o. Depois, verifiquem que os ternos pitagóricos obtidos, ou seja, os números
das três colunas da direita, satisfazem o teorema de Pitágoras.
construção de quadro
Em outras palavras, os triângulos cujas
medidas dos lados são dadas pelos ternos pi-
tagóricos (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), ...,
(3k, 4k, 5k), sendo k um número inteiro positivo,
são triângulos pitagóricos.
Esse assunto inspirou diversos estudos que
chegaram a resultados bastante curiosos.
Um desses estudos mostra como podemos
obter determinado tipo de terno pitagórico e,
por consequência, um triângulo pitagórico.
Observe:
Consideremos dois números ímpares consecutivos (ou dois números pares consecuti-
vos) x e (x 1 2).
• A medida de um cateto é a soma dos números: x 1 (x 1 2).
• A medida do outro cateto é o produto dos números: x 8 (x 1 2).
• A medida da hipotenusa é o produto dos números, mais 2.
Por exemplo, se x 5 1, temos x 1 2 5 3; então:
• um cateto mede 1 1 3 5 4;
• o outro cateto mede 1 8 3 5 3;
• a hipotenusa mede 1 8 3 1 2 5 5;
Temos aqui o triângulo de medidas 3, 4 e 5.
Veja outro exemplo em que x 5 8 e x 1 2 5 10.
Os catetos medem 18 (8 1 10) e 80 (8 8 10), e a hipotenusa mede 82 (8 8 10 1 2).
Note que 82
2
5 18
2
1 80
2
.
respostas possíveis: 20 cm e 25 cm; 8 cm e 17 cm; 36 cm e 39 cm; 112 cm e 113 cm
x x 1 2 x 1 (x 1 2) x 8 (x 1 2) x 8 (x 1 2) 1 2
ADILSON SECCO
Agora é com você!

235. 177BIMESTRE 3
Aplicações do
teorema de Pitágoras
Uma das aplicações do teo-
rema de Pitágoras é mostrar
outras relações importantes
em figuras geométricas es-
peciais, como na relação da
diagonal e do lado de um
quadrado qualquer: a medi-
da (d) da diagonal pode ser
dada em função da medida
(L) do lado da seguinte ma-
neira: d 5
2L.
Aproveite o momento e re-
tome a ideia de que a dia-
gonal do quadrado e seu
lado estabelecem uma razão
irracional (assunto já trata-
do no capítulo 2 deste livro).
Proponha aos alunos que
acompanhem a construção
do quadrado apresentado
no exemplo c. Depois, sugira
que reproduzam essa cons-
trução no caderno. Em se-
guida, peça a eles que justi-
fiquem por que AD 5 u2.
Espera-se que os alunos per-
cebam que é porque AD é a
medida da diagonal do qua- drado de lado medindo u.
Habilidade trabalhada: (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um
polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também
softwares.
A B
D C
dT T
T
T
A B
u
F
G
D
Ar
s
EB
C
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
177CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
3
Aplicações do teorema de Pitágoras
Relacionando as medidas da diagonal e do lado de um quadrado
Considere o quadrado ABCD, com lado medindo c e diagonal d.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, temos:
NELSON MATSUDA
(AC)
2
5 (AB)
2
1 (BC)
2
d
2
5 c
2
1 c
2
d
2
5 2c
2
d 25c
2
d25c
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
• transportamos AB para uma reta r ;
• por A, traçamos a reta s, perpendicular a r ;
• com abertura do compasso igual a u,
traçamos três arcos: com centro em A,
obtemos o ponto C em s; com centro em
B e depois em C, obtemos o ponto D ;
• com abertura do compasso igual a AD
()AD u25 traçamos três arcos: com
centro em A, obtemos o ponto E em r e o
ponto F em s; com centro em E e depois
em F, obtemos o ponto G;
• traçamos EG e FG e obtemos o quadrado
AEGF, com lado de medida .u2
Portanto, com a expressão d25c é possível calcular a diagonal de um quadrado quando
se conhece a medida de seu lado, e vice-versa.
Veja alguns exemplos.
c) Dado o segmento AB com medida u abaixo, vamos construir um quadrado cujo lado
meça .u2
b) Vamos calcular a medida do lado de um
quadrado cuja diagonal mede 2cm.7
Substituímos d por 72 em .d25c
27 25c
c 5 7
Logo, o lado desse quadrado mede 7 cm.
a) Vamos calcular a medida da diagonal de um quadrado cujo perímetro é 12 cm.
Se P 5 12 cm, então c 5 3 cm.

d25c
d3 25
Logo, a diagonal desse quadrado mede
2cm.3
Usando régua e compasso, podemos seguir estes passos:

236. 178
Exercícios propostos
No exercício 18, solicite aos
alunos que expliquem como
calcular o perímetro do re-
tângulo formado, ou seja,
quais medidas necessitam
para chegar a esse valor.
Eles devem perceber que:
basta conhecer a medida
do lado de cada quadrado;
o contorno desse retângulo
é composto de 8 lados do
quadrado.
No exercício 19, observe que
o segmento AC
, que é a dia-
gonal do quadrado ABCD, é
também o lado do quadra-
do AMNC. Assim:
• AC 5 d
ABCD
5
,225
• A
AMNC
5 (AC)
2
5 ,252
2
^h
A
AMNC
5 2,5 cm 8 2,5 cm 8 2 5
5 12,5 cm
2
Pense mais um
pouco...
Na questão 1, vamos consi-
derar a figura:
3 cm
A B
D
HG
E
C
F
d
2
d
1
Calculamos a medida da
diagonal da base do cubo
(d
1
). Como essa é uma re-
gião quadrada de lado 3 cm
(medida da aresta do cubo):
d
1
5
23 cm.
A diagonal procurada (d
2
) á
a hipotenusa do triângulo retângulo BCG, reto em C.
Assim:
(d
2
)
2
5 3
2
1
32
2
^h Æ
Æ (d
2
)
2
5 9 1 18 Æ
Æ (d
2
)
2
5 27 (d
2
. 0)
d
2
5
27 cm 5 3 3 cm
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
A
2,5 cm
2,5 cm
B
D C
M
N
3 cm
A
b
D
B C
F
E
H
G
a
CB
c c
H
h
A
c
2
––
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
178 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
17 Considere que o lado de um quadrado ABCD
mede 15 cm.
a) Determine a medida de sua diagonal.
b) Calcule a área do quadrado cujo lado tem
a mesma medida da diagonal do quadrado
ABCD.
450 cm
2
18 A diagonal de um quadrado mede
.2cm10
Três quadrados que possuem diagonais com essa medida são colocados um ao lado do outro, de modo que formem um retângulo. Calcule o perímetro desse retângulo.
80 cm
19 Calcule a área do quadrado AMNC, no qual B
é ponto médio de uma de suas diagonais.
12,50 cm
2
2cm15
Reúna-se com um colega e resolvam os exercícios a seguir.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
2. Mostrem que, se ABCD é um quadrado, a
área do quadrado EFGH é igual a (a 2 b)
2
.
demonstração
1. Quanto mede a diagonal do cubo abaixo,
destacada em vermelho?
3cm3
Relacionando as medidas da altura e do lado
de um triângulo equilátero
Considere o triângulo equilátero ABC, com lado medindo c e altura h.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo HCA , temos:
(AH)
2
1 (HC)
2
5 (AC)
2
h
2
1
c
5c
2
2
2eo
h
4
1
c
5c
2
2
2
h
4
5c2
c
22
2
h
4
3c
5
2
2
h
4
3
5
c
2
h
2
3
5
c
NELSON MATSUDA

237. 179BIMESTRE 3
Orientações
Outra relação que obtemos
como aplicação do teorema
de Pitágoras é a que expres-
sa a medida (h) da altura de
um triângulo equilátero em
relação à medida (L) de seu
lado (nesse caso, as três altu-
ras são congruentes):
h 5
2
3L
Note que, desse modo, te-
mos uma relação para a
área de um triângulo equi-
látero de lado L:
A
d(equilátero)
5
5
(medida da base) 8 (medida da altura)
2
A
d(equilátero)
5
L
L
2
2
3
8
5
A
d(equilátero)
5
L3
22
1
8
2
A
d(equilátero)
5
L3
4
2
Pense mais um
pouco...
Permita que os alunos fa-
çam a resolução, inicial-
mente, por tentativa e erro.
Depois, questione como
compor, com dois dos tri-
ângulos recortados, um ân-
gulo reto, que forma um
“canto do quadrado” a ser
obtido. Esse questionamen-
to (ou dica) estimulará uma
reflexão, motivando o redi-
recionamento de novas ten-
tativas, e será um estímulo
àqueles que ainda não che-
garam à resposta.

L
2
2
3
2
A
B C
r
rr
r
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
179CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
A fórmula h
2
3
5
c
permite calcular a medida da altura do triângulo equilátero quando se
conhece a medida do lado desse triângulo, e vice-versa.
Veja os exemplos a seguir.
b) Vamos calcular a medida do lado de um
triângulo equilátero cuja altura mede
63 cm. Substituímos h por 63 em
h:
2
3
5
c
3
2
3
5
c
6
31235c
c 5 12
Logo, o lado desse triângulo mede 12 cm.
a) Vamos calcular a medida da altura de
um triângulo equilátero de 18 cm
de perímetro.
Se P 5 18 cm, então c 5 6 cm.
h
2
3
5
c
h
2
63
3355
Logo, a medida da altura desse triân-
gulo é 33 cm.
20 O lado de um triângulo equilátero mede 3 cm.
Calcule a medida da altura desse triângulo.
NELSON MATSUDA
21 Determine a área de um triângulo equilátero
cuja altura mede
123 cm. 3cm
2
144
22 Com um barbante de 48 cm, contorna-se
exatamente um triângulo equilátero. Qual é a
medida da altura desse triângulo? 3cm8
23 O lado de um triângulo equilátero tem a mesma
medida que a diagonal de um quadrado com
25 cm de lado. Calcule a medida da altura desse triângulo.
2
6
cm
25
24 Na figura abaixo, cada circunferência tem
1,5 cm de raio. Determine a área do triângu- lo ABC.
3cm
2
,225
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
Em papel quadriculado, recortem 20  triân gulos
retângulos congruentes de modo que a medida de
um cateto (x cm) seja o dobro da medida do outro
cateto (2x cm). Disponham os triângulos lado a
lado sobre a carteira formando um quadrado.
Qual é a medida do lado desse quadrado?
5cmx2
DANILLO SOUZA
2
3
cm
3

238. 180
Relações métricas
em um triângulo
retângulo
O teorema de Pitágoras é
a relação métrica mais im-
portante a ser considerada
em um triângulo retângulo,
mas há outras que envolvem
as medidas da hipotenusa e
da altura relativa a ela, além
das medidas das projeções
dos catetos sobre a hipote-
nusa.
Explore com os alunos a no-
ção de projeção ortogonal
de um ponto e de um seg-
mento sobre uma reta (e
sobre outro segmento), con-
ceitos necessários para algu-
mas das relações métricas
que veremos a seguir.
Ao tratar da projeção orto-
gonal de um segmento de
reta sobre uma reta, pro-
ponha a pergunta: No caso
de um segmento CD
ser
perpendicular a uma reta
r, que figura corresponde
à projeção ortogonal desse
segmento sobre essa reta?
Espera-se que os alunos
respondam que a figura
correspondente à projeção
ortogonal do segmento CD

sobre a reta r, nesse caso, é
apenas um ponto.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
P’
P
r
s
A’ r
B’
A
B
C’
C
A
B
BC’ D’A
C
D
A A’ C’ B
C
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
180 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
4
Relações métricas em um triângulo retângulo
Além do teorema de Pitágoras, há outras relações métricas no triângulo retângulo.
Porém, antes de estudá-las, vamos ver alguns conceitos para entender melhor os termos que
serão usados.
Projeções ortogonais
Considere uma reta r e um ponto P externo
a ela.
Vamos traçar por P a reta s, perpendicular
à reta r. No cruzamento das retas r e s obte-
mos o ponto P ’, que é chamado de projeção
ortogonal de P sobre r.
Considere agora a reta r e o segmento AB
da figura abaixo.
Projetando ortogonalmente as extremi-
dades do segmento AB sobre r, obtemos os
pontos A’ e B

’. O segmento
’’AB é chamado
de projeção ortogonal de AB sobre r.
Também podemos projetar ortogonalmente um ponto ou um segmento sobre um segmento.
Veja os exemplos.
C ’ é a projeção ortogonal do ponto C
sobre o segmento .AB
CD’’ é a projeção ortogonal do seg-
mento CD sobre o segmento .AB
AC’’ é a projeção ortogonal do seg-
mento AC sobre o segmento .AB
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
a)
b)
c)

239. 181BIMESTRE 3
Sugestões de leitura
Para ampliar o trabalho com proje-
ções ortogonais, sugerimos:
<https://www.ime.usp.br/~iole/
oteoremadepitagoras.pdf>;
<https://mundoeducacao.bol.uol.
com.br/matematica/projecoes-
ortogonais.htm>.
Acessos em: 10 set. 2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
B C
A
H A B
C
M
A
B C
h
H
c
b
A1
A2
a
n m
A
B
h
c
a
nH Cm
b
H1H2
rP’
P
B
C’ D’A
DC
M M’ N’
N
r
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
181CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
Relações métricas
Observe o triângulo ABC, a seguir, com hipotenusa de medida a e catetos de medidas b e c.
Considerando a altura AH, de medida h, relativa à hipotenusa, temos:
ƒBH, de medida n, é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
ƒHC, de medida m, é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa BC.
Considerando os triângulos retângulos ABC, HBA e HAC, por meio da semelhança de triân-
gulos, podemos estabelecer relações entre as medidas de seus lados.
26 Quais são as projeções ortogonais dos lados
AB e AC sobre o lado BC em cada triângulo?
a) b)
BH HCe
BM CMe
1
a
relação
Considere o triângulo ABC ao lado. Traçando a al-
tura relativa à hipotenusa, obtemos alguns pares de
triângulos semelhantes.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
25
Observe as figuras. Depois, classifique as sentenças em verdadeira ou falsa.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
a) P é a projeção ortogonal do ponto P ’ sobre a reta r. falsa
b)
’’CD é a projeção ortogonal do segmento CD sobre o segmento AB. verdadeira
c) N ’ é a projeção ortogonal do ponto N sobre a reta r. verdadeira
d) MN’’ é a projeção ortogonal do segmento MN sobre a reta r. verdadeira

240. 182
Orientações
Se julgar necessário, retome
o conceito de semelhança
de triângulos e explore os
casos de semelhança, pois
as demonstrações apresen-
tadas tomam por base esse
conceito.
Para cada relação métrica
demonstrada, peça aos alu-
nos que desenhem triângu-
los retângulos (com auxílio
de régua, transferidor ou
compasso), meçam com a ré-
gua as medidas dos elemen-
tos envolvidos e verifiquem
(com auxílio de uma calcu-
ladora) a respectiva relação
métrica para os triângulos
construídos.
Para traçar a altura relativa
à hipotenusa, eles devem
traçar a perpendicular a esse
segmento que passa no vér-
tice oposto, construção tra-
balhada anteriormente.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a
semelhança de triângulos.
A
B
h
c
a
A1
nH Cm
b
H1H2
H2
A
B
h
c
a
nH C
H1
m
b
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
182 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
2. Comparando os triângulos ABC e HAC , temos:
• rAH
WW
2
(ângulos retos)
• rCC
WW
(ângulo comum)
Do mesmo modo, pelo caso AA, os triângulos ABC e HAC são semelhantes. Portanto:
b
a
m
b
5, ou seja, b
2
5 am
1. Comparando os triângulos ABC e HBA , temos:
• rAH
WW
1
(ângulos retos)
• rBB
WW
(ângulo comum)
Logo, pelo caso AA, os triângulos ABC e HBA são semelhantes; portanto, os lados desses
triângulos são proporcionais.
Então, podemos escrever a proporção:
c
a
n
c
5, ou seja, c
2
5 an
O quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da
hipotenusa pela medida da projeção ortogonal desse cateto sobre ela.
O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
2
a
relação
Comparando os triângulos ABH e CAH , temos:
ƒH
W
1
r H
W
2
(ângulos retos)
ƒA
W
1
r C
W
(ambos têm por complemento o ângulo B
W
)
Logo, pelo caso AA, os triângulos ABH e CAH são
semelhantes. Portanto:
m
h
h
n
5, ou seja, h
2
5 mn
O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
3
a
relação
Comparando os triângulos ABC e HAC , temos:
ƒrAH
WW
2
(ângulos retos)
ƒrCC
WW
(ângulo comum)
Logo, pelo caso AA, os triângulos ABC e HAC são
semelhantes. Portanto:
b
a
h
c
5, ou seja, bc 5 ah
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

241. 183BIMESTRE 3
Exercícios propostos
Na resolução do exercício
27, pelos quadrados, temos
a medida de um dos cate-
tos (12 m) e da hipotenusa
(15 m) do triângulo T. Para
determinar a área (A
T
) desse
triângulo retângulo, vamos
determinar a medida (x) do
outro cateto, aplicando o
teorema de Pitágoras:
x
2
1 12
2
5 15
2
x
2
1 144 5 225
x
2
5 225 2 144
x
2
5 81
Como x representa a medi-
da de um cateto, seu valor
deve ser positivo.
Assim, x 5 9 m.
A área de um triângulo re-
tângulo é dada pelo semi-
produto das medidas dos
catetos. Então:
A
T
5
12 8 9
2
5 6 8 9
A
T
5 54 m
2
Para o exercício 28, verifi-
que se os alunos obtêm a
medida OD utilizando co-
nhecimentos já construídos
anteriormente (no capítulo
1, quando estudaram a lo-
calização exata de números
irracionais na reta real) ou
se aplicam novamente o te-
orema de Pitágoras. Ressalte
essa ligação com conheci-
mentos anteriores.
Habilidade trabalhada: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
A
B
h
c
a
n Cm
b
12 m
Q
2
Q1
T
15 m
2
O
1
M
DE
5
x
8
39
6
4,8
8
x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
183CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Outra demonstração do teorema de Pitágoras
Dado um triângulo retângulo ABC, vamos provar que o quadrado da medida da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
ƒDemonstração
Como o quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa
pela medida da projeção ortogonal desse cateto sobre ela, temos:
b
2
5 am e c
2
5 an
Adicionando membro a membro essas duas igualdades, temos:
Desse modo, também provamos o teorema de Pitágoras.
b
2
1 c
2
5 an 1 am
b
2
1 c
2
5 a(n 1 m)
Colocamos a em evidência.
b
2
1 c
2
5 a 8 a Substituímos (m 1 n) por a.
b
2
1 c
2
5 a
2
27 (Saresp) Na figura ao
lado, têm-se os qua-
drados Q
1
 e Q
2
.
A área do triângulo T,
em metros quadrados,
é igual a:
a) 100.
b) 76.
c) 54.
d) 48.
alternativa c
28 Considere a figura abaixo e responda.
a) Qual é o perímetro do :ODM ?
b) Considere um quadrado de lado de medida
OD. Qual é a área desse quadrado?
3
12 311
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
29 Aplique as relações métricas dos triân gulos
retângulos e calcule o valor de x.
a)
b)
x 5 10
x
8
539
5
Hipótese {:ABC é um triângulo retângulo em A.
Tese {b
2
1 c
2
5 a
2

242. 184
Exercícios propostos
Para o exercício 34 , seguem
as demonstrações.
a) Comparando os triân-
gulos PQR e RQH , temos:
PRQ r RHQ (ângulos retos)
R QP r R QH (ângulo co-
mum). Logo, pelo caso AA, os triân-
gulos retângulos PQR e RQH
são semelhantes. Assim:
RQ
HQ

5
PQ
RQ
Æ
Æ
p
x
5
r
p
Æ p 2
5 rx
b) Comparando os triân -
gulos MHN e NHP, temos:
MH
N r NHP (ângulos retos)
HMN r HNP (ambos têm
por complemento o ângulo
P).
Logo, pelo caso AA, os tri-
ângulos retângulos MHN e
NHP são semelhantes. Assim:
HN
HP
5
HM
HN
Æ
u
b
5
a
u
Æ
Æ u
2
5 ab
No exercício 37, uma possí-
vel resolução a seguir:
(
3)
2
5 x 8 (x 1 2)
x
2
1 2x 2 3 5 0
d 5 (2)
2
2 4 8 1 8 (23) 5 16
x 5
22 64
2
1
23 (não serve)
d 5 x 1 x 1 2
d 5 1 1 1 1 2
d 5 4 cm
Habilidades trabalhadas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a
semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
h
n m
8
b27
P
M
Q N
3 cm
H
B C
x
O
A
x T 2
x
12,8
16
x
5 15
9
12
x
M
H
P
N
u
p
a b
m
n
R
p
Q
H
q
P
y
x
r
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
184 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
32 As projeções dos catetos de um triângulo
retân gulo sobre a hipotenusa medem 1,8 cm
e 3,2  cm. Determine a medida dos catetos
desse triângulo.
3 cm e 4 cm
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
30 Aplicando as relações métricas dos triângulos
retângulos, calcule o valor de x.
b)
c)
a)
31 Calcule as medidas indicadas por letras no
triângulo retângulo abaixo.
x 5 20
x 5 10
x 5 16
35 (UFPE) Quanto mede, em cm, a altura relativa
à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos
catetos medem 15 cm e 20 cm?
12 cm
33 (Unifor-CE) Na figura a seguir, tem-se um
retângulo cujos lados medem 8 cm e 6 cm.
Os pontos M , N, P e Q são pontos médios
dos lados.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
O perímetro do quadrilátero MNPQ é:
a) 20 cm. d) 36 cm.
b) 24 cm. e) 52 cm.
c) 32 cm.
alternativa a
a) p
2
5 rx
b) u
2
5 ab
37 Determine a medida do diâ metro da circunfe-
rência da figura abaixo.
4 cm
36 A área do triângulo retângulo RST é 36 cm
2
.
Determine o produto da medida da hipo-
tenusa  pela medida da altura referente à
hipotenusa.
72 cm
2
34 Aplique os casos de semelhança entre triângu-
los para provar que:
demonstração
38 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre relações
métricas no triângulo retângulo. Depois de
cada um resolver o problema elaborado pelo
outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta
pessoal.
b 5 6
m 5 4,5
n 5 3,5
h
2
37
5
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!

243. 185BIMESTRE 3
Trabalhando a
informação
Amplie a discussão do as-
sunto da seção trazendo
material de consulta para
os alunos ou solicitando que
tragam material pesquisado
por eles para o desenvol-
vimento em sala de aula.
Integre essa pesquisa com
Geografia.
Habilidade trabalhada: (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar
objetos em perspectiva.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
50
50
50
100
150
200
100
150
200 250
300
350
URCA
ENSEADA
DE BOTAFOGO
Praia
de Fora
Praia
da Urca
Morro Cara de C
ã o

Morro da
Urca
Praia
Vermelha
OCEANO
ATLÂNTICO
Pão de
Açúcar
0
0 200
A B
Altitude em metros
400 600 800 1.000 1.200 1.600
metros
100
200
300
400
50
50
50
100
150
200
100
150 200 250
300
350
URCA
ENSEADA
DE BOTAFOGO
Praia
de Fora
Praia
da Urca
Morro Cara de C
ã
o

Morro da
Urca
Praia
Vermelha
OCEANO
ATLÂNTICO
Pão de
AçúcarA B
1.400
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
185CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
A representação de um relevo
O estudo topográfico de uma região consiste da descrição exata e pormenorizada de um terreno
com todos os seus acidentes geográficos. O perfil gráfico abaixo, do Pão de Açúcar e do morro da
Urca, no Rio de Janeiro (RJ), foi obtido pelos seguintes passos:
• Imagine os morros sendo cortados por planos horizontais nas altitudes 50 m, 100 m, 150 m, ...,
350 m. Observe as curvas de nível (linhas brancas) na figura I.
• Essas curvas de nível aparecem, vistas de cima, na figura II.
• A figura III é um desenho do contorno da fo-
tografia aérea (II), identificando as curvas de
nível.
• Em IV, traçamos uma semirreta de origem A,
que passa pelo cume dos morros, e as perpen-
diculares a ela, pelos pontos de intersecção
com as curvas de nível. As perpendiculares
são prolongadas para obter a figura V.
• O perfil gráfico (figura V) desses morros é o
gráfico de linha cujo eixo vertical traz a altitu-
de e o horizontal, as distâncias a partir de A.
VANESSA F. MERINO ILUSTRAÇÕES: ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
BASE AEROFOTOGAMETRIA E PROJETOS LTDA.
I
PÃO DE AÇÚCAR
II
V
III IV
MORRO DA URCA
Fonte: FERREIRA, Graça Maria Lemos. Atlas geográfico: espaço mundial. São Paulo: Moderna, 2013. p. 15.

244. 186
Se julgar oportuno, enrique-
ça o trabalho apresentando
as etapas de construção de
um perfil topográfico.
Sugestão de leitura
Para aprofundar o assunto, sugerimos:
<https://mundogeo.com/
blog/2011/09/08/estudo-de-caso-
de-um-levantamento-topografico-
altimetrico-realizado-com-estacao-
total-e-laser-scanning-terrestre/>.
Acesso em: 10 set. 2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar
objetos em perspectiva.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
186 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
1 Observe o perfil gráfico (figura V) e dê a altitude aproximada do Pão de Açúcar e do morro da Urca.

2 (Saresp) A figura indica seis rádios e o desenho de suas vistas superior e lateral.
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
A tabela correta que relaciona cada rádio com suas vistas é: alternativa c
a) c)
Rádio Vista superior Vista lateral
1 B L
2 E J
3 A K
4 C G
5 F H
6 D I
Rádio Vista superior Vista lateral
1 B L
2 E J
3 A H
4 C I
5 D G
6 F K
b) d)
Rádio Vista superior Vista lateral
1 D I
2 C L
3 F H
4 E G
5 A J
6 B K
Rádio Vista superior Vista lateral
1 F L
2 E J
3 A H
4 C I
5 D G
6 B K
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
380 m, 210 m
Rádio 1 Rádio 3Rádio 2
Rádio 4 Rádio 6Rádio 5
Vista superior
A B C
D E F
Vista lateral
G IH LKJ

245. 187BIMESTRE 3
O teorema de
Pitágoras no plano
cartesiano
Se julgar necessário, retome
com os alunos a localização
de pontos no plano carte-
siano dadas as suas coor-
denadas e a identificação
das coordenadas de pontos
demarcados em um plano
cartesiano. Verifique se eles
reconhecem a indicação
(x, y) como 0, as coordena-
das cartesianas associadas
a um ponto do plano e se
identificam o 1
o
elemento
(x) do par ordenado (a abs-
cissa do ponto) como a co-
ordenada relativa ao eixo
horizontal e o 2
o
elemento
(y) do par (a ordenada do
ponto) como a coordenada
relativa ao eixo vertical.
Explore a situação apresen-
tada e sua representação no
plano cartesiano, pergun-
tando aos alunos quais são
as coordenadas do ponto E,
origem do sistema de coor-
denadas cartesianas, e do
ponto P. Espera-se que eles
reconheçam que a origem
do sistema é dada pelas co-
ordenadas (0, 0) e, assim,
temos E 5 (0, 0). Além dis-
so, para identificar as coor-
denadas de P, eles precisam
observar as linhas tracejadas
que partem do 11 e do 34,
e que o cruzamento dessas
linhas é o ponto P, ou seja,
temos P 5 (11, 34).
Assim, os alunos devem
perceber que, nesse caso, a
distância de E a 0 correspon-
de à medida da hipotenusa
de um triângulo retângulo
(ELP) cujos catetos medem
34 e 11.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas
desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de
perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
187CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
5
O teorema de Pitágoras no plano cartesiano
O técnico de um time de futebol é muito exigente nos treinos de cobrança de escanteio.
Ele quer saber a medida exata da distância entre o ponto de esquina do campo de onde se
cobra o escanteio e o ponto da marca do pênalti, lugar onde se posiciona um atacante para
cabecear a bola ao gol. Sabendo que a marca do pênalti fica a 11 m da linha de fundo e a 34 m
da linha lateral do campo, vamos ajudar o técnico a calcular a distância pretendida.
Vamos imaginar a figura do campo em um
plano cartesiano com a origem na esquina de
escanteio (ponto E), com o eixo vertical sobre
a linha de fundo e o eixo horizontal sobre a
linha lateral.
Veja, na ilustração ao lado, que o técnico
quer calcular a distância de E a P, e também
que EL 5 11 e LP 5 34.
No triângulo retângulo ELP, com catetos
medindo 11 e 34, aplicamos o teorema de
Pitágoras:
(EP)
2
= (EL)
2
1 (LP)
2
(EP)
2
= (11)
2
1 (34)
2
EP =
111 34
22

EP = 1.1211156 q 35,74
Não obtivemos a
distância exata, mas talvez
o técnico a considere uma
boa aproximação.
105 m
68 m34
L
E
P
SIDNEY MEIRELESALEX ARGOZINO
MATT WEST/BPI/REX/SHUTTERSTOCK
Portanto, a distância de E a P é, aproximadamente, igual a 35,74
metros.
Note que, no plano cartesiano, temos E = (0, 0) e P = (11, 34);
que a medida EL é dada pela diferença das abscissas:
EL = 11 2 0 = 11;
que a medida LP é dada pela diferença das ordenadas:
LP = 34 2 0 = 34.
Cobrança de
escanteio durante
uma partida de
futebol.

246. 188
Orientações
Explore cada par de pontos
e os segmentos que têm es-
ses pontos como suas extre-
midades apresentados na fi-
gura do livro do estudante.
Reproduza na lousa esse
plano cartesiano e peça a
alguns alunos que venham
demarcar pares de pontos
para outros alunos deter-
minarem a distância entre
eles, com o auxílio de toda
a turma.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou
das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas
desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de
perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
188 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
1) Para calcular a distância entre os pontos E e E ’, podemos:
ƒaplicar o teorema de Pitágoras no :ESE’,
considerando catetos cujas medidas
medidas são 105 e 68:
(EE’)
2
= (ES)
2
1 (SE’)
2
(EE’)
2
= (105)
2
1 (68)
2
EE’ =
1105 68
22
EE’ = 1..11 0254 624
2
q 125,1
A distância da esquina E à esquina E’ é de
aproximadamente 125,1 metros.
ƒaplicar o teorema de Pitágoras no :ESE’,
considerando as coordenadas dos pon-
tos E = (0, 0) e E ’ = (105, 68):
(EE’)
2
= (ES)
2
1 (SE’)
2
(EE’)
2
= (105 2 0)
2
1 (68 2 0)
2
EE’ =
1221056 800
22
`` jj
EE’ = 1..11 0254 624 q 125,1
A distância da esquina E à esquina E’ é
aproximadamente 125,1 metros.
2) Para calcular a distância entre os pontos C e E’, podemos:
ƒaplicar o teorema de Pitágoras no :CTE,
considerando catetos cujas medidas são 52,5 e 34:
(CE’)
2
= (CT)
2
1 (TE’)
2
(CE’)
2
= (52,5)
2
1 (34)
2
CE’ = 1,52
53 4
2
2
`j
CE’ = 1., .2756 25 1 156 q 62,55
A distância do centro C à esquina E’ é igual
a aproximadamente 62,55 metros.
ƒaplicar o teorema de Pitágoras no :CTE,
considerando as coordenadas dos pon-
tos C = (52,5; 34) e E ’ = (105, 68).
(CE’)
2
= (CT)
2
1 (TE’)
2
(CE’)
2
= (105 2 52,5)
2
1 (68 2 34)
2
(CE’)
2
= 221,105525 68 34
22
`` jj
CE’ = 1,5253 4
2
2
`j
CE’ = 1., .2756 25 1 156 q 62,55
3) Quando os pontos estão em um segmento horizontal:
PT = 21 52 52 521051 13 4341 05 11 105 11 94
22 2
`` ` jj j
4) Quando os pontos estão em um segmento vertical:
TE’ = 21 52 52 521051 05 68 34 68 34 68 34 34
22 2
`` ` jj j
Assim, o cálculo anterior fica:
EP = 21 21103 40
22
`` jj
EP = 1.1211156 q 35,74
Agora, vamos explorar mais algumas dis-
tâncias no campo de futebol colocado no
plano cartesiano.
Veja, na ilustração ao lado, os pontos
P = (11, 34), Q = (52,5; 68), C = (52,5; 34) e
E

’ = (105, 68).
105 m
11 52,5 105
68 m
68
34
LR S
Q
E’
PC
T
E
ALEX ARGOZINO

247. 189BIMESTRE 3
Exercícios propostos
Amplie o exercício 40 pedin-
do aos alunos que determi-
nem o perímetro e a área do
losango. Espera-se que eles
reconheçam que:
• o perímetro P do losango é
dado por:
P 5 4 8
210 5 108 q
q 25,3
• a área A do losango é
dada por:
A 5
2
23 16 28
5
5 16 6 q 39,2
No exercício 41, proponha
aos alunos reproduzam a fi-
gura em papel quadriculado
e sugira que determinem a
projeção ortogonal de cada
um desses pontos sobre
cada eixo coordenado.
E
1
C
1
C
2
N
O L
S
B
2
A
2
A
1
D
2
B
1
B
DE
C
A
Peça que determinem as co-
ordenadas dos pontos que
são essas projeções ortogo-
nais.
• Projeções ortogonais sobre
o eixo horizontal de A: A
1
5
5 (3, 0); de B: B
1
5 (6, 0); de
C: C
1
5 (24, 0); de D: B
1
5
5 (6, 0) e de E: E
1
5 (25, 0).
• Projeções ortogonais sobre
o eixo vertical de A: A
2
5
5 (0, 2); de B: B
2
5 (0, 4);
de C: C
2
5 (0, 5); de D: D
2
5
5 (0, 24) e de E: D
2
5
5 (0, 24)
WLAMIR MIASIRO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
189CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
CCAinda na ilustração anterior temos o ponto C como ponto médio do segmento EE’.
Note que: 5
1
5x, ,
2
1050
525
c
ou seja, 5
1
x
xx
2
c
EE ’
5
1
5y,
2
680
34
c
ou seja, 5
1
y
yy
2
c
EE ’
CCA distância entre pontos com mesma ordenada, isto é, pontos de um segmento horizontal
é dada pela diferença de abscissas em módulo.
252PQ xx xx5
PQ PQ
2
a k
CCA distância entre pontos com mesma abscissa, isto é, pontos de um segmento vertical é dada pela diferença de ordenadas em módulo.
52
52PQ yy yy
PQ PQ
2
a k
CCA distância entre dois pontos quaisquer P(x
P
, y
P
) e Q(x
Q
, y
Q
) no plano cartesiano é dada por:
52 21PQ xx yy
PQ PQ
22
aa kk
Observações
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
39
Considere a ilustração da página anterior e calcule, usando as coordenadas dos pontos, a distância entre:
a) E e T
110,4
b) E e Q 85,9
c) P e C 41,5
d) C e T 52,5
e) C e Q 34
40 Desenhe no plano cartesiano o losango de vértices A(0, 0), B(6, 2), C(8, 8) e D(2, 6). Depois calcule:
a) as medidas das diagonais desse losango;
;21622
b) a medida dos lados desse losango. 210
41 Dados os pontos destacados no plano cartesiano, calcule a distância entre cinco pares desses pontos.
L
DE
C
A
B
S
N
O
AB = 13, AC = 58, AD = 53, AE = 10, BC = 101, BD = 8, BE = 185, CD = 220, CE = 82,
DE = 11
NELSON MATSUDA

248. 190
Exercícios
complementares
Neste bloco de exercícios,
os alunos têm a oportuni-
dade de retomar os princi-
pais conceitos tratados no
capítulo e verificar possíveis
dificuldades que ainda te-
nham. Sugerimos que as ati-
vidades sejam desenvolvidas
em duplas, o que ampliará e
enriquecerá o repertório de
estratégias que os alunos já
têm e consolidará os conhe-
cimentos já construídos.
Incentive-os a reproduzir
um esquema das figuras da-
das nos enunciados ou a fa-
zer desenhos que represen-
tem uma situação exposta,
para aplicar as informações
importantes e completar
com outras que forem rele-
vantes para a resolução dos
exercícios.
Estimule a troca das respos-
tas obtidas, de modo que
o debate não se restrinja à
resposta final, mas também
à resolução dos exercícios.
No exercício 2, analisando a
figura, podemos obter o se-
guinte triângulo retângulo:
200 m
150 m
d
A
B
a) Aplicando o teorema de
Pitágoras, obtemos a distân-
cia d percorrida pela balsa:
d
2
5 150
2
1 200
2

d
2
5 62.500 (d . 0)
d 5 250 m
b) d 5 250 m e t 5 5 min
v
média
5
250 m
5 min
5 50 m/min
v
média
5
50 8 1 m
1 min
5
5
50 8
1
1.000
km
1
60
h
v
média
5 50 8
1
1.000
8
60
1
km/h
v
média
5 3 km/h
WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou
das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
A
60 m
80 m 80 m
28 m
C
B
E
D
posição de B
após 10 segundos
O
posição de A
após 10 segundos
50 m
200 m B
A
balsa
200 m
y
6
2
3
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
190 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
a) Determine as medidas CD, EC e AE.
b) Determine as áreas dos :ACE e :BCD.
c) Calcule a área do quadrilátero ABDE.
6 Num triângulo isósceles, cada lado con gruente
mede 15 cm. Determine a área desse triângulo,
sabendo que sua base mede 24 cm.
108 cm
2
10 As dimensões de um retângulo são expres-
sas por x 1 1 e x 2 2. Sabendo que a área é
18 cm
2
, determine a medida da diagonal desse
retângulo.
35cm
9 Um losango tem 60 cm de perímetro. Saben-
do que a diagonal maior desse losango mede 26 cm, calcule a medida da diagonal menor.
414cm
8 Observe a figura abaixo e faça o que se pede:
7 É possível colocar um lápis de 18 cm num es-
tojo retangular de 12 cm por 15 cm? Justifique sua resposta.
Sim, se o lápis for acomodado no
sentido da diagonal, que mede 19,2 cm.
5 A figura abaixo representa a vista frontal de
uma pilha de latas de leite em pó deitadas. Deter mine a medida da altura da pilha, saben-
do que o raio de cada lata mede 4,5 cm.
2
45 3
9cm1
fp
a) 100 m, 128 m e 96 m
b) 6.144 m
2
e 2.400 m
2

c) 3.744 m
2
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
4
Em um trapézio retângulo ABCD, a altura AD

mede 6 m, a base menor DC mede 3,5 cm e a
diagonal maior BD mede 10 cm. Determine:
a) a medida da base maior;
8 cm
b) a medida do lado oblíquo; 7,5 cm
c) o perímetro desse trapézio; 25 cm
d) a área desse trapézio. 34,5 cm
2
2 Uma balsa está fazendo a travessia de veícu-
los e transeuntes, pois a ponte sobre o rio foi
interditada. Ela parte do ponto A, que, por
segurança, fica a 50 metros da ponte, e chega
ao ponto B.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
a) Quantos metros a balsa percorre nessa
travessia?
250 m
b) Se a balsa demorar 5 minutos para fazer a
travessia, qual será a velocidade média em
quilômetro por hora?
3 km/h
1 Dois ciclistas, A e B, partem de um ponto  O
e movem-se perpendicularmente um ao ou-
tro, a velocidades de 16 metros por segundo
e 12  metros por segundo, respectivamente.
Que distância os separará após 10 segundos?
200 m
3 Determine o valor de y na figura. y 695
11 (OM-ABC) No triângulo ABC, a medida do
ângulo A
W
é 90° e AD é a altura relativa ao
lado .BC

249. 191BIMESTRE 3
Exercícios
complementares
No exercício 15, para facili-
tar a resolução, peça aos alu-
nos que representem essa si-
tuação com um desenho e só
então apliquem as relações
métricas necessárias.
12
9
H
A B
C
x
y
Pelo teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo ACH:
x
2
5 9
2
1 12
2
V x 5 15
Pela 2
a
relação métrica:
12
2
5 9 8 HB Æ HB 5 16
Empregando o teorema de
Pitágoras no triângulo ABH:
y
2
5 12
2
1 16
2
V y 5 20
Logo, os catetos desse triân-
gulo medem 15 cm e 20 cm.
No exercício 17, verifique
se os alunos interpretam e
relacionam as informações
do enunciado. Proponha a
resolução com o auxílio de
calculadora.
Utilizando o teorema de Pitá-
goras, obtemos a medida BC:
(BC)
2
5 12,8
2
1 9,6
2
(BC . 0)
BC 5
,,1638492161
BC 5 16 km Pela 3
a
relação métrica, obte-
mos a medida AD:
12,8 8 9,6 5 16 8 AD V AD 5
5
12,8 8 9,6
16
V AD 5 7,68 km
Pela 1
a
relação métrica, de-
terminamos a medida BD: (12,8)
2
5 16 8 BD V BD 5
5
163,84
16
V BD 5 10,24 km
Com a informação de que “P
está a 80 metros de D ”:
DP 5 80 m 5 0,08 km
Sendo assim:
• BP 5 BD 1 DP 5 10,24 km 1
1 0,08 km 5 10,32 km
• PC 5 BC 2 BP 5 16 km 2
2 10,32 km 5 5,68 km
WLAMIR MIASIRO
Adicionamos todas as distâncias percorridas, considerando a sequência do percurso:
A " D " B " A " C " P
AD1 DB 1 BA 1 AC 1 CP 5 7,68 km 1 10,24 km 1 12,8 km 1 9,6 km 1 5,68 km 5 46 km
12,8 km
D
A
9,6 km
PB C
3,9 m
x
1,5 m
1,4 m
B D
3
4
C
A
33 u
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
191CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
A sequência do percurso é:
A

D B A C P
O ponto P está a 80 metros do ponto D. Quan-
tos quilômetros tem esse percurso?
46 km
15 A medida da altura relativa à hipotenusa de
um triângulo retângulo é 12 cm e um dos seg-
mentos determinados por essa altura sobre a
hipotenusa mede 9 cm. Calcule a medida dos
catetos desse triângulo.
15 cm e 20 cm
17 A figura abaixo mostra o esquema do roteiro
de uma prova de ciclismo.
16 O cateto de um triângulo retângulo e a projeção
desse cateto sobre a hipotenusa medem 1 cm e
5
5
cm, respectivamente. Determine a medida
da hipotenusa desse triângulo.
5cm
19 (FEI-SP) Em um triângulo retângulo, a altura
relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triângulo mede:
alternativa d
a) 10 cm. c) 20 cm. e) 30 cm. b) 15 cm. d) 25 cm.
18 (FEI-SP) Se em um triângulo os lados medem
9, 12 e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
alternativa b
a) 8,0 cm. c) 6,0 cm. e) 4,3 cm. b) 7,2 cm. d) 5,6 cm.
21 (UFPE) Um barco navegou 10 km para o
oeste, depois 5 km para o sul, depois 13 km para o leste e finalmente 9 km para o norte. Onde o barco parou relativamente ao ponto de  partida?
alternativa e
a) 5 km ao norte d) 3 km a sudoeste b) 3 km a sudeste e) 5 km a nordeste c) 4 km ao sul
22 (UFPR) Uma corda de 3,9 m de comprimento
conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema abaixo. Obser-
ve que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na direção indicada abaixo, a distância x que o bloco
deslizará será de:
alternativa c
x
C 1
x C 2
x
20 (Ulbra-RS) A área do triângulo a seguir mede
6 m
2
. O valor do perímetro desse triângulo é:
a) 6 m. b) 9 m. c) 10 m. d) 12 m. e) 20 m.
alternativa d
a) 1,0 m. c) 1,6 m. e) 2,1 m. b) 1,3 m. d) 1,9 m.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Se m 5 BD, n 5 DC e L 5 25 8 m 8 n, então L é
igual a:
alternativa d
a) 100. c) 169. e) 225. b) 121. d) 144.
12 Qual é a área da figura a seguir? 20,25 u
2
14 (UEL-PR) As medidas, em centímetro, dos três
lados de um triângulo retângulo são expressas por (x 2 2), x e (x 1 2). A medida, em centí-
metro, da hipotenusa desse triângulo é:
a) 5. c) 10. e) 14.
b) 8. d) 12.
alternativa c
13 (Fuvest-SP) Um trapézio retângulo tem bases
5 e 2 e altura 4. O perímetro desse trapézio é:
a) 13. c) 15. e) 17.
b) 14. d) 16.
alternativa d

250. 192
Exercícios
complementares
(continuação)
No exercício 22, a interpre-
tação das informações é o
principal elemento para a
resolução.
y 2 x x
3,9
1,4
1,5
2,5
y
Sugerimos que seja resolvido com o uso de calculadora.
Observe que o “fio azul” tem
mesmo comprimento que o
“fio laranja”. Assim, a hipo-
tenusa no triângulo formado
depois do movimento mede:
3,9 2 1,4 5 2,5
Aplicamos o teorema de Pi-
tágoras nos dois triângulos.
• y
2
1 1,5
2
5 3,9
2
y
2
5 12,96 (y . 0)
y 5 3,6 m
• (y 2 x)
2
1 1,5
2
5 2,5
2
(3,6 2 x)
2
1 2,25 5 6,25
x
2
2 7,2x 1 8,96 5 0
x 5
7,2 6 4
2
x 5 5,6 ou x 5 1,6
O valor x 5 5,6 não serve
porque é maior do que o
valor de y (5,6 . 3,6), o que
não é possível na situação.
Diversificando
A seção apresenta um pro-
cedimento usando triângu-
los retângulos e papel qua-
driculado para fazer uma
aproximação de uma circun-
ferência.
Na questão do Agora é com
você!, os alunos devem ob -
ter a seguinte figura:
WLAMIR MIASIRO
WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
DIVERSIFICANDO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
192 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
Em um papel quadriculado, para facilitar, desenhe um quadrado cujos lados tenham 24 quadradinhos e
siga as indicações da professora de Aninha para obter uma “quase circunferência”. O que poderia ser feito
para obter uma figura mais próxima de uma circunferência?
dividir os lados em um número maior de pontos
CLÁUDIO CHIYO ADILSON SECCO
Uma quase circunferência!
Aninha ficou admirada quando a professora de Arte disse que,
naquela aula, com paciên cia, os alunos fariam uma “quase
circunferência” usando triângulos retângulos.
A professora então pediu a eles que primeiro desenhassem
no caderno, com régua e esquadro, um quadrado de 12 cm de
lado. Na sequência, eles deveriam:
• em cada lado do quadrado, marcar pontos de 0,5 cm em
0,5 cm, a partir do vértice;
• construir 8 triângulos retângulos com catetos nos lados do
quadrado, sendo que um cateto mede 0,5 cm e o outro mede
6 cm;
• construir grupos de 8 triângulos retângulos com catetos nos lados do quadrado, sendo que,
em cada um, a soma das medidas dos catetos é sempre igual a 6,5 cm.
Veja como Aninha começou o desenho em seu caderno.
Como assim,
linha reta
fazendo curva?

251. 193BIMESTRE 3
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Aplicar a semelhança de
triângulos para a obtenção
das razões trigonométricas
em um triângulo retângu-
lo: seno, cosseno e tangen-
te de um ângulo agudo.
• Resolver problemas que
envolvem semelhança de
triângulos e razões trigo-
nométricas no triângulo
retângulo.
• Utilizar a tabela de razões
trigonométricas.
• Aplicar o teorema de Pitá-
goras na determinação das
razões trigonométricas dos
ângulos de 30°, 45° e 60°.
• Analisar gráficos com dis-
torção.
Orientações gerais
Neste capítulo, ampliamos o
estudo do triângulo retân-
gulo apresentando as razões
trigonométricas seno, cosse-
no e tangente para ângulos
agudos, base do estudo de
Trigonometria a ser desen-
volvido no Ensino Médio.
Usamos como suporte a se-
melhança de triângulos e o
teorema de Pitágoras, já tra-
tados em capítulos anterio-
res deste livro. Como o tra-
balho é feito no triângulo
retângulo, as razões estuda-
das são determinadas ape-
nas para ângulos agudos.
O capítulo trata ainda da
análise de gráficos com dis-
torções, que induzem a con-
clusões equivocadas.
Na abertura, comente com
os alunos que o ângulo de
inclinação dos cabos de aço
do bondinho do Pão de Açú-
car (em cada etapa) será cal-
culado mais adiante, no de-
senvolvimento do capítulo.
Sugestões de leitura
Proponha aos alunos que pesquisem
mais sobre o bondinho do Pão de
Açúcar. Sugerimos:
<http://www.riodejaneiroaqui.com/
pt/historia-do-bondinho.html>;
<https://super.abril.com.br/mundo-
estranho/como-foi-construido-o-
bondinho-do-pao-de-acucar/>.
Acessos em: 10 set. 2018.
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital AudiovisualMaterial Digital Audiovisual
• Vídeo: Trigonometria e o
tamanho da Terra
193CAPÍTULO 9
Construído no início do século XX, terceiro teleférico do mundo, o bondinho do Pão de
Açúcar, no Rio de Janeiro, já transportou dezenas de milhões de pessoas.
O passeio tem duas etapas. Da praia Vermelha ao morro da Urca, com extensão
de 575 m, eleva-se a 220 m de altitude. Deste ao morro Pão de Açúcar, com extensão de
750 m, eleva-se a 396 m de altitude.
Aplicando-se as razões trigonométricas, podemos obter o ângulo de inclinação dos
cabos de aço em cada etapa.
9
Capítulo
Teleférico do Pão de Açúcar, Rio de Janeiro. (Foto de 2016.)
GMBH/ALAMY/
FOTOARENA
Razões trigonométricas
nos triângulos
retângulos

252. 194
Primeiras razões
trigonométricas
Uma maneira de explorar o
tema, antes de apresentar o
texto introdutório desta pá-
gina, é pedir aos alunos que
pesquisem sobre a origem e
o significado da palavra tri-
gonometria e curiosidades
que possam ser relatadas
oralmente. Isso enriquece-
rá o trabalho com o texto
apresentado no livro do es-
tudante.
No desenvolvimento des-
te capítulo, a aplicação do
conceito de semelhança de
triângulos está implícita na
obtenção das razões trigo-
nométricas que serão estu-
dadas.
Sugestão de leitura
Para enriquecer e ampliar o trabalho
com o tema do capítulo, sugerimos
o livro:
GUELLI, Oscar.
Dando corda na
trigonometria
. São Paulo: Ática,
2000. (Coleção Contando a História
da Matemática).
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
194 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
1
Primeiras razões trigonométricas
A figura abaixo mostra o esquema de uma represa. A ponte, representada pelo segmen-
to AB, pode ser medida com auxílio de uma trena.
()ABm 5 164 m
Já o ângulo BAC
W
pode ser medido diretamente com o auxílio de um teodolito (instrumento
de precisão usado para medir ângulos horizontais e verticais): ()BACm
W
5 75°.
Existem, contudo, muitas situações em que não é possível medir diretamente um ângulo
ou a distância entre dois pontos, como na figura acima, quando se deseja obter a distância
entre os pontos A (localizado em um extremo da ponte) e C (localizado na margem oposta da
represa).
Procurando resolver problemas dessa natureza, os matemáticos estabeleceram impor-
tantes relações entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. A área
da Matemática que estuda essas relações é chamada de Trigonometria.
A palavra "trigonometria", de origem grega, significa “medida de triângulos”. Embora não
tenhamos informações precisas sobre a origem dos estudos trigonométricos, há registros de
sua aplicação por babilônios e antigos egípcios, especialmente na Agrimensura e na Astronomia.
Sabe-se que a Trigonometria era usada, por exemplo, para determinar distâncias que não
podiam ser medidas com instrumentos, como a distância entre os planetas. Para tais cálculos,
eram aplicadas relações entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo.
Neste capítulo, estudaremos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um
ângulo agudo.
PAULO MANZI

253. 195BIMESTRE 3
Seno de um ângulo
agudo
Peça aos alunos que des-
crevam as condições neces-
sárias para dois triângulos
serem semelhantes e que
expliquem os casos de se-
melhança de triângulos já
estudados. Como esse tema
foi recordado no capítulo
anterior (sobre as relações
métricas em um triângulo
retângulo), espera-se que
esse assunto seja retomado
sem dificuldades. Aproveite
o momento para verificar se
ainda há dúvidas e interve-
nha quando necessário.
Explore o fato de que os tri-
ângulos semelhantes apre-
sentados têm seus lados au-
mentados (ou diminuídos)
proporcionalmente, pois as
medidas dos ângulos inter-
nos não se alteram, ressal-
tando o fato de que a ra-
zão tomada entre a medida
do cateto oposto a um dos
ângulos internos agudos e
a medida da hipotenusa é
sempre constante e que esse
valor é o seno de a.
O A C E
B
D
F
α
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
195CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida
do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
NELSON MATSUDA
Os triângulos OAB e OEF são semelhantes, portanto os lados correspondentes são propor-
cionais:
Assim, temos:
a
OB
AB
OD
CD
OF
EF
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto a
55 5
Há infinitos outros triângulos retângulos que têm como ângulo interno o ângulo a e que,
por isso, também são semelhantes aos triângulos OAB , OCD e OEF.
Para todos esses triângulos retângulos, a razão entre a medida do cateto oposto ao ân-
gulo a e a medida da hipotenusa é constante. Chamamos essa razão constante de seno do
ângulo a e a indicamos por sen a.
Seno de um ângulo agudo
Considere a figura ao lado.
Os triângulos retângulos OAB, OCD e OEF são
semelhantes pelo caso AA, pois têm em comum
o ângulo de medida a (também chamado de ân-
gulo a) e um ângulo reto.
Como os triângulos OAB e OCD são semelhan-
tes e os lados correspondentes são proporcio-
nais, podemos escrever:
Observe as duas proporções que destacamos acima:
OD
OB
CD
AB
5 e
OF
OB
EF
AB
5
Da propriedade fundamental das proporções, podemos escrever:
OD
CD
OB
AB
5 e
OF
EF
OB
AB
5
Considerando qualquer um desses triângulos, temos:
a
a
sen
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto a
5
OC
OA
OD
OB
CD
AB
55
OE
OA
OF
OB
EF
AB
55

254. 196
Exercícios propostos
Para o exercícios 1, uma pos -
sibilidade de construção é:
C
A
B
30°
56 mm
28 mm
a) Após a construção, a ra-
zão solicitada é dada por:
AB
BC
5
28
56
5 0,5
b) Pelo item a, concluímos
que:
sen 30° 5 0,5
No exercício 2, as medidas
encontradas devem ser indi-
cadas na figura construída,
como no triângulo a seguir.
BC
A
40°
64 mm
10 cm = 100 mm
Pela figura, temos:
AB
BC
5
64
100
5 0,64
Assim, sen 40° q 0,6.
Como variação desse proble-
ma, proponha manter os ân-
gulos do triângulo e alterar
a medida de seu lado, por
exemplo AC 5 8 cm. Desse
modo, os alunos poderão
constatar que, nos dois ca-
sos, as razões não variam.
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
3 cm
25°
7,1 cm
P
M
N
O
ECA
B
D
F
α
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
196 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a
a
cos
medida da hipotenusa
medida do cateto adjacentea
5
NELSON MATSUDA
Acompanhe um exemplo.
No triângulo MNP, vamos calcular o seno do ângulo interno P
W
, que mede 25°.
°
P
25sen
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto a
5
W
,
°
71
3
25sen 5
sen 25° q 0,42
1 Construa um triângulo retângulo com um
dos ângulos internos medindo 30°. Com uma
régua, determine a medida aproximada, em
milímetro, do cateto oposto ao ângulo de 30°
e da hipotenusa.
a) Qual é o valor da razão entre a medida do
cateto oposto ao ângulo de 30° e a medida
da hipotenusa desse triângulo?
0,5
b) Indique o valor de sen 30°. 0,5
2 Construa um triângulo ABC, retângulo em
,B
W

em que se tenha ()Cm
W
5 40° e AC 5 10 cm.
Com uma régua encontre, em milímetro, a
medida aproximada do cateto AB.
Qual é o valor aproximado, com uma casa decimal, de sen 40°?
0,6
3 O valor do seno de um ângulo varia de acordo
com as medidas dos lados do triângulo ou de acordo com a medida do ângulo?
de acordo com a medida do ângulo
Cosseno e tangente de um ângulo agudo
Considere novamente os triângulos retângulos OAB, OCD e OEF.
Como já vimos, os triângulos OAB, OCD e OEF são semelhantes.
De modo análogo ao que fizemos para a razão seno, dessa
semelhança, obtemos:
a
OB
OA
OD
OC
OF
OE
medida da hipotenusa
medida do cateto adjacentea
55 5
Chamamos essa razão constante de cosseno do ângulo a e a indicamos por cos a.
Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida
do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Para qualquer um desses triângulos, temos:
NELSON MATSUDA

255. 197BIMESTRE 3
Orientações
Ressalte que nos casos das
razões trigonométricas cos-
seno e tangente de um ân-
gulo interno agudo em um
triângulo retângulo também
temos um valor constante
para cada uma dessas razões,
para um mesmo ângulo.
Reproduza na lousa as figu-
ras dos exemplos apresen-
tados. No exemplo a, peça
aos alunos que obtenham o
seno, o cosseno e a tangen-
te dos dois ângulos internos
agudos do triângulo. Para
isso, eles devem mobilizar
conhecimentos já construí-
dos anteriormente.
• Devemos determinar a me-
dida do 3
o
ângulo interno,
usando o fato de que os
ângulos internos agudos
de um triângulo retângulo
são ângulos complementa-
res ou, ainda, que a soma
das medidas dos ângulos
internos de um triângulo
(qualquer) é 180°. Desse
modo, obtemos 48°.
• Em seguida, aplicando
o teorema de Pitágoras,
determinamos a medi -
da ST do outro cateto
(q 3,4 cm) e, assim, obtemos:
sen 42° 5
3,4
5,1
q 0,67
cos 42° 5
3,8 5,1
q 0,75
tg 42° 5
3,4 3,8
q 0,89
sen 48° 5
3,8 5,1
q 0,75
cos 48° 5
3,4 5,1
q 0,67
tg 48° 5
3,8 3,4
q 1,12
Diante dos cálculos, aproveite o momento para comentar com os alunos sobre alguns
resultados que podem ser ob-
servados ou verificados:
• o seno e o cosseno de ân-
gulos complementares têm
o mesmo valor;
• os valores da tangente para
ângulos complementares
são números inversos.
Ressalte que os resultados
observados nesse exemplo
são válidos para quaisquer
pares de ângulos comple-
mentares, mas essa conclu-
são geral deve ser demons-
trada.
42°
5,1 cm
S
T
R
3,8 cm
A
C B
9
45
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
197CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Chamamos essa razão constante de tangente do ângulo a e a indicamos por tg a.
Considerando qualquer dos triângulos da figura anterior, temos:
Veja alguns exemplos.
a) No triângulo RST ao lado, vamos calcular o
cosseno do ângulo interno R
W
, que mede 42°.
°cos
R
42
medidadhipotenusa
medida do cateto adjacentea
a
5
W
°
,
,
cos42
51
38
5
cos 42° q 0,74
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
b) Vamos calcular a tangente do ângulo interno B
W
do triângulo ABC abaixo.
Inicialmente, aplicamos o teorema de Pitágoras para calcular AC :
(AC

)
2
1 (BC

)
2
5 (AB

)
2
(AC

)
2
1 45
2
`j 5 9
2
(AC

)
2
1 45 5 81
(AC

)
2
5 36
AC 5 6
B
B
B
tg
medida do cateto a
medida do cateto oposto a
adjacente
5
W
W
W
B
45
6
45
645
45
35
5
256
tg55 5
3
5
W
Portanto: B
5
25
tg5
W
Observações
CCO seno e o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo são números reais
positivos menores que 1.
CCA tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é um número real positivo.
CCOutras razões trigonométricas serão estudadas no Ensino Médio.
Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida
do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
a
a
a
tg
medida do cateto adjacentea
medida do cateto oposto a
5
Da mesma semelhança, também obtemos:
a
a
OA
AB
OC
CD
OE
EF
medida do cateto adjacentea
medida do cateto oposto a
55 5

256. 198
Exercícios propostos
Este bloco explora as razões
trigonométricas seno, cos-
seno e tangente e suas apli-
cações. Ressalte aos alunos
que nesses tipos de exercício
é muito importante verifi-
car os elementos envolvidos
para, então, decidir que ra-
zão trigonométrica usar.
No exercício 4, um possível
triângulo é o que segue:
A
C
B
45º 45º
Medindo com régua, ob -
temos: AB 5 5,7 cm; AC 5
5 BC 5 4 cm. Verifique se os
alunos percebem que nesse
caso o triângulo retângulo é
isósceles.
Há infinitas possibilidades
de construção de um triân-
gulo retângulo que tenha
um ângulo de 45°, como so-
licitado nesse exercício. Po-
rém, é essencial que eles fa-
çam os cálculos solicitados e
depois comparem com os de
outros alunos, para obser-
varem que, seja qual for o
triângulo retângulo em que
um dos ângulos internos
meça 45°, a resposta de cada
item é sempre a mesma.
O exercício 4 pode ser am-
pliado solicitando o valor
aproximado da razão entre
a medida do cateto oposto
ao ângulo de 45° e a medida
da hipotenusa e, em segui-
da, o valor aproximado de
sen 45°.
Para o exercício 6, item a,
uma possível figura é a que
segue:
12 cm
64 cm
No exercício 8, uma possi-
bilidade de exploração con-
siste em pedir aos alunos
que justifiquem a afirmação
oralmente. Como:
sen a 5
5
medida do cateto oposto a a
medida da hipotenusa
cos a 5
5
medida do cateto adjacente a a
medida da hipotenusa
uma possível justificativa seria: como seno e cosseno são razões entre dois comprimentos de segmentos de
reta cujas medidas são necessariamente positivas, as razões serão positivas também; e como em qualquer
triângulo retângulo a medida da hipotenusa é maior que a medida de qualquer cateto, essas razões serão
necessariamente menores que 1.
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
c
6°
B7,5C
A
4
M
Q R
NM
2
P
3
13
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
198 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6 Um brinquedo tem uma rampa de 64 cm de
comprimento, por meio da qual se desloca
um carrinho. A parte mais alta da rampa está
a 12  cm da horizontal que passa pela parte
mais baixa.
a) Faça uma figura representando essa si­
tuação.
construção de figura
b) Calcule o seno do ângulo que a rampa forma
com a horizontal.
q 0,19
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
4 Construa um triângulo retângulo com um
dos ângulos internos medindo 45°. Com uma
régua, determine a medida aproximada, em
centímetro, dos catetos e da hipotenusa.
a) Qual é o valor aproximado da razão entre
a medida do cateto adjacente ao ângulo
de 45° e a medida da hipotenusa desse
triângulo?
0,7
b) Qual é o valor aproximado de cos 45°?
c) Qual é o valor da razão entre a medida do
cateto oposto ao ângulo de 45° e a medida
do cateto adjacente ao ângulo de 45°?
1
d) Qual é o valor de tg 45°? 1
4. construção de figura
0,7
8 Justifique a afirmação: “O seno e o cosseno de
um ângulo agudo são números reais positivos
menores que 1”.
7 Considere um papel retangular com 15,6 cm de
comprimento por 7,2 cm de largura. Traça­se
uma das diagonais desse retângulo. Qual é a
tangente do ângulo que a diagonal forma com
o lado maior do papel? E a tangente que forma
com o lado menor?
q 0,46; q 2,17
5 Considere o triângulo retângulo abaixo e, usan­
do uma calculadora, calcule, com duas casas
decimais:
a) medida de AB
; 8,5
b) cos B
W
; 0,88
c) tg B
W
; 0,53
d) cos A
W
; 0,47
e) tg A
W
. 1,88
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
10 Desenhe um triângulo retân gu lo ABC de modo
que ()Bm
W
5 36°. Determine, com duas casas
decimais, o valor aproxi mado de:
a) sen B
W
; 0,59 b) cos B
W
; 0,80 c) tg B
W
. 0,73
12 Considerando o triângulo MNP, determine,
com duas casas decimais, o que se pede a
seguir.
a) sen M
Y
0,83
b) cos N
X
0,83
c) tg M
Y
1,50
d) cos M
Y
0,55
e) tg N
X
0,66
f ) sen N
X
0,55
11 A tampa retangular de uma caixa de madeira
tem 32 cm de comprimento por 24 cm de lar­
gura. Entre dois cantos diagonalmente opostos
da tampa, prende­se um fio esticado. Qual é o
cosseno do ângulo que o fio forma com o lado
maior da tampa?
0,8
9 No triângulo retângulo MQR, determine:
13 (Etec­SP) O acesso a um edifício é feito por
uma escada de dois degraus, sendo que cada
um tem 16 cm de altura. Para atender a porta­
dores de necessidades especiais, foi construída
uma rampa.
Respeitando a legislação em vigor, a rampa
deve formar, com o solo, um ângulo de 6°,
conforme mostrado na figura.
Dados:
• sen 6° 5 0,10 • cos 6° 5 0,99
A medida c do comprimento da rampa é, em
metro, igual a:
alternativa e
a) 1,8. b) 2,0. c) 2,4. d) 2,9. e) 3,2.
a) a medida aproximada dos lados (use uma
régua);
b) a medida dos ângulos agudos (use um
transferidor);
() ()
MR60 30m° em °55
X W
c) sen M
Y
; q 0,86
d) cos M
Y
; q 0,49
e) tg M
Y
. 1,76
MQ q 2,5 cm, MR q 5,1 cm e QR q 4,4 cm
8. São positivos porque representam razões entre medidas e são menores que 1
porque todo cateto é menor que a hipotenusa.

257. 199BIMESTRE 3
Exercícios propostos
O exercício 14 é uma pro-
posta a ser feita em grupo e
contribui para que os alunos
descubram algumas relações
importantes das razões tri-
gonométricas:
• o seno de um ângulo agu-
do e o cosseno do seu com-
plementar são iguais;
• a tangente de um ângulo
agudo e a tangente do seu
complementar são núme-
ros inversos;
• a razão entre o seno e
o cosseno de um ângulo
agudo é igual à tangente
desse ângulo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
199CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
14 Reúna­se com três colegas e façam o que se pede.
a) Cada um constrói um triângulo ABC, retângulo em A, e passa ao colega que medirá os seus lados
e ângulos.
Respostas pessoais.
b) Com base nas medidas obtidas no item a, calculem o valor das expressões:
2
Tabela de razões trigonométricas
As razões trigonométricas são aplicadas na resolução de uma grande variedade de proble-
mas. Para facilitar, reproduzimos na página seguinte uma tabela dos valores aproximados do
seno, do cosseno e da tangente dos ângulos de 1° a 89°.
Atribui-se ao astrônomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) o estabelecimento das
bases da Trigonometria, e deve-se a ele a construção das primeiras tabelas trigonométricas.
Mais tarde, Cláudio Ptolomeu (85-165 d.C.), astrônomo, matemático e geógrafo grego, am-
pliou o trabalho de Hiparco com sua obra Sintaxe matemática, na qual apresenta um trabalho
sobre Trigonometria.
Os árabes traduziram os treze livros que compunham a obra de Ptolomeu e a chamaram
de Almagesto, que em árabe significa “o maior”.
Atualmente, muitas calculadoras fornecem os valores das razões trigonométricas.
Veja como calculamos o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 45° usando uma cal-
culadora científica como a da foto abaixo:
Em outras
calculadoras, a
sequência de teclas a
serem pressionadas
pode ser diferente.
Muitas calculadoras científicas são
importadas. Nelas, a tecla sin
representa o seno, a tecla cos
representa o cosseno, e a
tecla tan, a tangente.
sen 45°: sin 554 0.707106781
cos 45°: 554cos 0.707106781
tg 45°: 554 1tan
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
15 Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, sobre seno, cosseno ou
tangente. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi­los.
Resposta pessoal.
c) Analisem os valores obtidos em cada expressão do item b e respondam às questões:
• O que ocorre com o seno de um ângulo e com o cosseno do seu complementar?
• O que ocorre com as tangentes de um ângulo e de seu complementar?
têm valores inversos
• O que ocorre com a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo agudo e com a tangente desse
ângulo?
têm o mesmo valor
têm o mesmo valor
• sen B
W
2 cos C
W
0
• sen C
W
2 cos B
W
0
• tg B
W
8 tg C
W
1
•
cosB
B
B
sen
tg2
W
W
W
0
•
cosC
C
C
sen
tg2
W
W
W
0
MAURICE CROOKS/ALAMY/FOTOARENA
SIDNEY MEIRELES

258. 200
Com o auxílio de uma calcu-
ladora científica, disponível
em muitos tipos de celular,
peça aos alunos que verifi-
quem alguns dos valores da
tabela de razões trigonomé-
tricas. Além disso, eles po-
dem verificar com os valores
da tabela os resultados que
sugerimos no exercício 14.
Por exemplo:
• seno e cosseno de ângulos
complementares têm valo-
res iguais:
sen 17° 5 0,2924 5
5 cos 73° (17° 1 73° 5 90°)
sen 70° 5 0,9397 5 cos 20°
(70° 1 20° 5 90°)
• a tangente de um ângulo
agudo e a tangente do seu
complementar são núme-
ros inversos:
tg 83° 5 8,1443
1
8,1443
q
q 0,1228 q tg 7° (83° 1 7° 5
5 90°)
• a razão entre o seno e
o cosseno de um ângulo
agudo é igual à tangente
desse ângulo:
sen 83° 5 0,9925 e
cos 83° 5 0,1219
sen 83°
cos 83°
5
0,9925
0,1219
q
q 8,1419 q 8,1 q tg 83°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
200 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Ângulo Seno Cosseno Tangente Ângulo Seno Cosseno Tangente
1° 0,0175 0,9998 0,0175 46° 0,7193 0,6947 1,0355
2° 0,0349 0,9994 0,0349 47° 0,7314 0,6820 1,0724
3° 0,0523 0,9986 0,0524 48° 0,7431 0,6691 1,1106
4° 0,0698 0,9976 0,0699 49° 0,7547 0,6561 1,1504
5° 0,0872 0,9962 0,0875 50° 0,7660 0,6428 1,1918
6° 0,1045 0,9945 0,1051 51° 0,7771 0,6293 1,2349
7° 0,1219 0,9925 0,1228 52° 0,7880 0,6157 1,2799
8° 0,1392 0,9903 0,1405 53° 0,7986 0,6018 1,3270
9° 0,1564 0,9877 0,1584 54° 0,8090 0,5878 1,3764
10° 0,1736 0,9848 0,1763 55° 0,8192 0,5736 1,4281
11° 0,1908 0,9816 0,1944 56° 0,8290 0,5592 1,4826
12° 0,2079 0,9781 0,2126 57° 0,8387 0,5446 1,5399
13° 0,2250 0,9744 0,2309 58° 0,8480 0,5299 1,6003
14° 0,2419 0,9703 0,2493 59° 0,8572 0,5150 1,6643
15° 0,2588 0,9659 0,2679 60° 0,8660 0,5000 1,7321
16° 0,2756 0,9613 0,2867 61° 0,8746 0,4848 1,8040
17° 0,2924 0,9563 0,3057 62° 0,8829 0,4695 1,8807
18° 0,3090 0,9511 0,3249 63° 0,8910 0,4540 1,9626
19° 0,3256 0,9455 0,3443 64° 0,8988 0,4384 2,0503
20° 0,3420 0,9397 0,3640 65° 0,9063 0,4226 2,1445
21° 0,3584 0,9336 0,3839 66° 0,9135 0,4067 2,2460
22° 0,3746 0,9272 0,4040 67° 0,9205 0,3907 2,3559
23° 0,3907 0,9205 0,4245 68° 0,9272 0,3746 2,4751
24° 0,4067 0,9135 0,4452 69° 0,9336 0,3584 2,6051
25° 0,4226 0,9063 0,4663 70° 0,9397 0,3420 2,7475
26° 0,4384 0,8988 0,4877 71° 0,9455 0,3256 2,9042
27° 0,4540 0,8910 0,5095 72° 0,9511 0,3090 3,0777
28° 0,4695 0,8829 0,5317 73° 0,9563 0,2924 3,2709
29° 0,4848 0,8746 0,5543 74° 0,9613 0,2756 3,4874
30° 0,5000 0,8660 0,5774 75° 0,9659 0,2588 3,7321
31° 0,5150 0,8572 0,6009 76° 0,9703 0,2419 4,0108
32° 0,5299 0,8480 0,6249 77° 0,9744 0,2250 4,3315
33° 0,5446 0,8387 0,6494 78° 0,9781 0,2079 4,7046
34° 0,5592 0,8290 0,6745 79° 0,9816 0,1908 5,1446
35° 0,5736 0,8192 0,7002 80° 0,9848 0,1736 5,6713
36° 0,5878 0,8090 0,7265 81° 0,9877 0,1564 6,3138
37° 0,6018 0,7986 0,7536 82° 0,9903 0,1392 7,1154
38° 0,6157 0,7880 0,7813 83° 0,9925 0,1219 8,1443
39° 0,6293 0,7771 0,8098 84° 0,9945 0,1045 9,5144
40° 0,6428 0,7660 0,8391 85° 0,9962 0,0872 11,4301
41° 0,6561 0,7547 0,8693 86° 0,9976 0,0698 14,3007
42° 0,6691 0,7431 0,9004 87° 0,9986 0,0523 19,0811
43° 0,6820 0,7314 0,9325 88° 0,9994 0,0349 28,6363
44° 0,6947 0,7193 0,9657 89° 0,9998 0,0175 57,2900
45° 0,7071 0,7071 1,0000

259. 201BIMESTRE 3
Pense mais um
pouco...
Segue uma possível resolu-
ção para a questão 1:
a) Como são conhecidas as
medidas do cateto adjacen-
te ao ângulo  e da hipote-
nusa, podemos usar a razão
trigonométrica cosseno:
cos  5
5
6,5
q 0,7692 q 0,77
Consultando a tabela de
razões trigonométricas da
página 200, a medida do ân -
gulo  é 40°
(note que cos 39° q 0,78).
b) Agora são conhecidas as
medidas dos catetos, por
isso usaremos a razão trigo-
nométrica tangente:
tg  5
16
3
4
5
16
3
8
1
4
5
5
4 3
5 1,333333... q 1,33
Consultando a tabela de ra-
zões trigonométricas, a me-
dida do ângulo  é 53°.
c) Nesse caso, temos as me-
didas do cateto oposto ao
ângulo  e da hipotenusa,
então, vamos usar a razão
trigonométrica seno:
sen  5
3,8
4,3
q 0,8837 q 0,88
Consultando a tabela de ra-
zões trigonométricas, a me-
dida do ângulo  é 62°.
Para a questão 2 , tomando
como unidade de medida
o comprimento do lado de
cada quadradinho do qua-
driculado, temos:
x
y
z
C
AM
B
b
6
3
5
Fazendo m(A B C)5 x ,
m(BMC) 5 y e m(BC M) 5 z,
temos:
tg x 5
5
6
q 0,83
Logo, x 5 40°.
Para encontrar o valor de y,
precisamos obter o valor de
b, pois y 1 b 5180°.
tg b 5
5
3
q 1,67
Logo, b 5 59° e, portanto, y 5 121°.
Assim, temos:
x 1 y 1 z 5 180° 40° 1 121° 1 z 5 180° z 5 19°
REINALDO VIGNATI
Habilidade trabalhada: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
AMB
C
B
A C
4
16
3
—
5A B
C
6,5
AC
B
3,8
4,3
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
201CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Pense mais um pouco...
Observe alguns exemplos de utilização da tabela de razões trigonométricas. Vamos consi-
derar os valores aproximados da tabela como se fossem exatos.
b) Vamos descobrir a medida do ângulo cujo cosseno é 0,4695.
Na coluna cosseno, procuramos o
número 0,4695.
Na coluna ângulo, encontramos 62°,
que é a medida do ângulo cujo cosse-
no é 0,4695.
Ângulo Seno Cosseno Tangente
34° 0,5592 0,8290 0,6745
35° 0,5736 0,8192 0,7002
36° 0,5878 0,8090 0,7265
Ângulo Seno Cosseno Tangente
61° 0,8746 0,4848 1,8040
62° 0,8829 0,4695 1,8807
63° 0,8910 0,4540 1,9626
17 Determine x com auxílio da tabela de razões
trigonométricas.
a) sen x 5 0,4695;
28° d) sen x 5 0,9135; 66°
b) cos x 5 0,7771; 39° e) cos x 5 0,1908; 79°
c) tg x 5 0,2867; 16° f ) tg x 5 9,5144. 84°
16 Consulte a tabela de razões trigonométricas
para encontrar o valor de:
a) sen 54°;
0,8090 d) sen 56°; 0,8290
b) cos 36°; 0,8090 e) cos 75°; 0,2588
c) tg 12°; 0,2126 f ) tg 89°. 57,2900
1. Consultando a tabela e sem usar transferidor, determine a medida aproximada do ângulo A
W
.
b)
53°
a)
40°
2. Determine, consultando a tabela e sem usar transferidor,
a medida aproximada, em grau, dos ângulos ABC
W
, BMC
Y

e BCM
W
.
c)
62°
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
()ABCm
W
q 40°
()BMCm
X
q 121°
()BCMm
W
q 19°
a) Vamos procurar na tabela o sen 35° e a tangente de 35°.
Na coluna ângulo, procuramos 35°.
Na coluna seno, encontramos 0,5736
e, na coluna tangente, encontramos
0,7002.
Portanto, sen 35° 5 0,5736

260. 202
Para saber mais
A seguir, uma possível figura
da situação para a resolução
da questão do Agora é com
você!.
220
a 5 22º
750
176
396
575
Urca
nível do mar
Pão de Açúcar
b
Do morro da Urca até o
morro Pão de Açúcar, na se-
gunda etapa, no triângulo
formado temos as medidas
do cateto oposto a b e da
hipotenusa. Sendo assim,
vamos usar a razão trigono-
métrica seno:
sen b 5
176
750
q 0,2347 q
q 0,23
Logo, b 5 13°.
WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
PARA SABER MAIS
a
575
220
x
20° 30 m
1,80 m
Agora é com você!
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
202 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
MÁRIO MATSUDA
KAROL KOZLOWSKI/ALAMY/
FOTOARENA
Ângulos da cidade maravilhosa
Na abertura do capítulo, vimos que na primeira etapa da subida da praia Vermelha para
o morro da Urca, a extensão do cabo é de 575 metros e eleva-se da altitude próxima de
zero para 220 metros. Com esses dados, podemos obter a medida a do ângulo que o cabo
forma com a horizontal. Veja o esquema.
Calculando o sen a, temos:
aq ,
575
220
038sen5 .
Consultando a tabela de razões trigonométricas, obtemos a q 22°.
Releia a abertura deste capítulo e calcule a medida aproximada b do ângulo de inclinação do cabo
do teleférico do Pão de Açúcar da segunda etapa da subida, do morro da Urca ao morro do Pão de
Açúcar. Lembre­se de descontar a altitude do morro da Urca.
13°
3
Resolução de problemas que envolvem
triângulos retângulos
Observe algumas situações envolvendo triângulos retângulos em que podemos aplicar as
razões trigonométricas estudadas.
Situação 1
NELSON MATSUDA
Um homem observa o ponto mais alto de
uma árvore sob um ângulo de 20° em relação
à horizontal, conforme representado na figura
ao lado. Vamos calcular a altura dessa árvore.
No triângulo retângulo da figura, temos:
ƒmedida do cateto adjacente ao ângulo de 20°: 30 m;
ƒmedida do cateto oposto ao ângulo de 20°: x.
a
Teleférico no Rio de Janeiro (RJ). (Foto de 2017.)

261. 203BIMESTRE 3
Exercícios propostos
Para o exercício 18, segue
abaixo o esquema da situa-
ção:
A
x
B
75º
164 m
C
Como os dados envolvidos
são as medidas do cateto
adjacente ao ângulo de 75°
e da hipotenusa, vamos apli-
car a razão trigonométrica
cosseno:
cos 75° 5
164
x
Æ
Æ 0,2588 5
164
x
Æ
Æ x 5
164
0,2588
Æ
Æ x q 633,69 q 634
Logo, a distância aproxima-
da de A até C é 634 m.
WLAMIR MIASIRO
Situação 2
x
75
35°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
203CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Uma bombeira é chamada para tirar um gato de cima
de uma árvore. Ela apoia na árvore uma escada, formando
com o chão um ângulo de 68° e cujo pé está a 1,4 m do
tronco. Qual é o comprimento aproximado dessa escada?
No triângulo retângulo da figura, temos:
ƒdistância do pé da escada ao tronco (cateto adja-
cente ao ângulo de 68°): 1,4 m;
ƒmedida da escada (hipotenusa): x.
Como conhecemos a medida do cateto adjacente
e queremos determinar a medida da hipotenusa, va-
mos aplicar a razão trigonométrica definida por esses dois
lados do triângulo, isto é, o cosseno. Usando o valor apro-
ximado com duas casas decimais, temos cos 68° 5 0,37.
°
,
cos
x
68
14
5
,
,
x
037
14
5
,
,
,x
037
14
3857
ADILSON SECCO
Como conhecemos a medida do cateto adjacente e queremos determinar a medida do
cateto oposto ao ângulo de 20°, vamos aplicar a razão trigonométrica definida por esses dois lados do triângulo, isto é, a tangente. Usando o valor aproximado com duas casas decimais, temos tg 20° 5 0,36.
x
20
30
tg°5
, x
1
036
30
5
x 5 10,8
Altura da árvore 5 x 1 1,80 5 10,8 1 1,80 5 12,60
Portanto, a altura dessa árvore é 12,60 m.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
18
Retome o esquema da represa apresentado no início do
item 1 deste capítulo e calcule a distância aproximada
do ponto A ao ponto C.
aproximadamente 634 m
19 Usando valores das razões trigonomé tricas com duas
casas decimais, calcule o valor aproximado de x no
triângulo retângulo ao lado.
92,59
NELSON MATSUDA
1,40 m
68°
3,50 mx
O comprimento da escada é de aproximadamente 3,8 metros.

262. 204
Exercícios propostos
No exercício 23, verifique se
os alunos interpretam ade-
quadamente a medida 1,60 m
da ilustração. Essa medida
indica a distância dos olhos
do observador ao chão e,
portanto, deve ser conside-
rada para encontrar a altura
aproximada da torre. Veja
uma possível resolução:
40
x
28°
Estão envolvidas a medida do cateto oposto e do ca-
teto adjacente ao ângulo de 28°. Assim, vamos usar a
razão trigonométrica tan-
gente:
tg 28° 5
x
40
Æ
Æ 0,5317 5
x
40
Æ x q 21,3
Fazemos, então: 21,3 1 1,6 5
5 22,9. Portanto, a altura da
torre será de aproximada-
mente 22,9 metros.
Para o exercício 25, apresen-
tamos a seguinte resolução:
sen 17° 5
700
x
Æ
Æ 0,2924 5
700
x
Æ
Æ 0,2924x 5 700 Æ
Æ x 5
700
0,2924
Æ
Æ x q 2.394 m
Logo, o gavião percorre a
distância de aproximada-
mente 2.394 m.
O exercício 26 deve ser re-
solvido em grupo. A pesqui-
sa proposta induz os alunos
à descoberta de uma rela-
ção trigonométrica impor-
tante: a relação fundamen-
tal da Trigonometria:
sen
2
a 1 cos
2
a 5 1
Essa atividade constitui uma
primeira abordagem da re-
lação fundamental da Trigo-
nometria, que será estudada
com mais destaque no Ensi-
no Médio.
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
20°
2,5 cm
A
C
D B
35°
12,6
B
CA
28° 40 m
1,60 m
Avenida das Constelações
35°
70 m
Rua das Estrelas
Rua do Brilho
700 m
17°
17°
x
55°
20
c
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
204 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
21 Para o losango ABCD a seguir, determine:
a) a medida aproximada da diagonal maior;
b) a medida aproximada da diagonal menor;
c) a área aproximada do losango.
4,7 cm
1,7 cm
4 cm
2
22 Considere o triângulo retângulo abaixo e faça
o que se pede.
PAULO MANZI
a) Qual é a medida do ângulo B
W
? 55°
b) Calcule a medida aproximada do ca teto .BC
c) Determine a área aproximada desse triân­
gulo sabendo que os lados são expressos
em centímetro.
37 cm
2
7,182
20 Para determinar a medida aproximada da lar­
gura de um rio, André mediu com um teodolito
o ângulo indicado na figura abaixo.
Qual foi a medida aproximada, em metro, da
largura do rio?
28,562 m
24 Observando a representação a seguir, calcule
quanto mede, aproximadamente, o trecho da
avenida das Constelações entre a rua do Brilho
e a rua das Estrelas.
100 m
25 Um gavião, a 700 m de altura, avista uma presa;
faz uma descida de 17° em relação à horizontal
e consegue capturá­la. Que distância o gavião
percorreu para capturar essa presa?
2.394 m
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
23 Um observador vê o ponto mais alto de uma
torre sob um ângulo de 28°, conforme a figura
a seguir. Calcule a altura aproximada dessa
torre.
22,9 m
26 Reúna­ se com um colega e façam o que se
pede.
a) Cada um escolhe cinco medidas de 1° a 89°
para que o outro calcule, usando a tabela de
razões trigonométricas e uma calculadora, a
soma dos quadrados do seno e do cosseno
de cada uma das medidas escolhidas.
b) Arredondando os resultados obtidos no
item anterior, qual é o valor do quadrado
do seno de um ângulo mais o quadrado do
cosseno do mesmo ângulo?
1
Os valores devem ser próximos de 1.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!

263. 205BIMESTRE 3
Pense mais um
pouco...
Para a questão 2, item d,
a partir da figura do item
b, traçamos o pentágono
FGHIJ e depois prolongamos
os seus lados formando o
pentagrama abaixo:
J
I G
H
F
A C
DE
B
Depois, traçamos as diagonais do pentágono A’B’C’D’E’, for-
mando outro pentagrama, como mostra a figura abaixo:
A’
A C
C’E’
E D
D’
B’
B
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
B
A
A’ B’
E’ C’
D’
C
E
I G
H
J F
D
B
A
A’ B’
E’ C’
D’
C
E D
10 cm
B
H
C
DE
A
Pense mais um pouco...
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
205CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
1. Considerando que a figura ABCDE é um
pentágono regular e H é o ponto médio
da diagonal AC, calcule:
a) as medidas ()ABCm
W
e ();ABHm
W

b) as medidas aproximadas de ,AH AC
e .AD 8,9 cm; 16,18 cm; 16,18 cm
DANILLO SOUZA
NELSON MATSUDA
2. No início do capítulo 8 – Triângulo retângulo – vimos que o emblema da sociedade secreta
formada pelos pitagóricos era um pentagrama.
a) Na figura abaixo, podemos perceber que as diagonais do pentágono regular formam o penta­
grama. Sendo AB 5 10 cm, calcule, a razão
AB
AC
. 1,618
b) Tendo por base o pentágono ABCDE do item
a, também podemos obter o pentagrama, se
prolongarmos os seus lados.
Considerando o pentagrama ao lado, calcule:
• AJ • JE •
AJ
JE
c) Na figura do item b, podemos traçar
,FG ,GH ,HI IJ e JF e obter um novo
pentágono regular.
A partir da construção deste novo pen­
tágono, calcule: JF, JH e
JF
JH
d) Copie a figura do item b e siga estes passos:
• trace o pentágono FGHIJ ;
construção de figuras
• prolongue os lados do pentágono FGHIJ para obter
um pentagrama;
• trace as diagonais do pentágono A’B ’C ’D ’E ’ para
obter um pentagrama.
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
16,18 cm 26,18 cm
1,618
26,18 cm; 42,36 cm; 1,618
e) Reúna­se com um colega e façam o que se pede.
As razões ,
AB
AC
AJ
JE
JF
JH
e
são iguais a um mesmo número irracional, conhecido como número
de ouro, do qual vocês já obtiveram um valor aproximado. Pesquisem a respeito desse número e
façam um resumo de sua pesquisa.
Resposta pessoal.
108°; 54°

264. 206
Para saber mais
Esta seção apresenta o teo-
dolito, instrumento usado
para medição de ângulos.
Descreve um procedimento
para a construção de um teo-
dolito “caseiro”, que pode
ser realizada com os alunos.
Depois, seguindo as indi-
cações do texto, proponha
a eles que experimentem
realizar algumas medições
usando o instrumento cons-
truído.
Sugestão de leitura
Para ampliar e enriquecer o trabalho
com esse assunto, sugerimos:
<http://site.mast.br/multimidia_
instrumentos/teodolito_atualidade.
html>.
Acesso em: 10 set. 2018.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
206 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
PARA SABER MAIS
Medição de
ângulos feita
com teodolito
em uma obra.
DELFIM MARTINS/PULSAR IMAGENS
Vamos aprender a construir um teodolito?
ƒConstrução de um teodolito “caseiro”
Material:
• um pedaço de papelão grosso (o melhor é aquele ondulado em uma das faces) de
aproximadamente 10 cm 3 15 cm
• um pedaço de barbante de aproximadamente 20 cm
• um canudo plástico
• um peso de chumbo (usado em pesca), uma moeda ou uma argola de metal
• um desenho ou cópia xerográfica de um transferidor de 180°
• fita adesiva
• cola
Como construir:
• Com a fita adesiva, prenda o canudo em uma das bordas de 15 cm do papelão.
• Cole o desenho do transferidor logo abaixo do canudo.
• Prenda o peso em uma das extremidades do barbante.
O teodolito
Instrumento de medição de ângulos, o teodolito é usado geralmente por agrimensores
e construtores para calcular grandes distâncias ou alturas inacessíveis. À primeira vista,
o teodolito parece uma máquina fotográfica montada sobre um tripé. Para efetuar as me-
dições com o auxílio desse instrumento, o profissional utiliza-se do conceito de tangente
de um ângulo agudo.

265. 207BIMESTRE 3
Para saber mais
Apresentamos a seguir a
resolução das questões do
Agora é com você!.
Na questão 1, a situação
pode ser representada como
na figura abaixo:
3,5 m
3,5 m
45º
1,25 m
Olhos de
Paulo
Chão
h
torre
x
Como os elementos envolvi-
dos no triângulo retângulo
destacado são as medidas
dos dois catetos, vamos usar
a tangente do ângulo de
45°:
tg 45° 5
x
3,5
Æ 1 5
x
3,5
Æ
Æ x 5 3,5 m
Assim: h
torre
5 3,5 m 1
1 1,25 m 5 4,75 m
Para a questão 2, a situação
pode ser representada pela
figura:
Olhos de
Paulo
1,25 m
7 m
15º
d
d
tg 15° 5
7 2 1,25
d
Æ
Æ 0,2679 5
5,75
d
Æ
Æ d 5
5,75
0,2679
Æ
Æ d q 21,46 q 21,5
Logo, a distância aproxi-
mada de Paulo ao poste é
21,5 m.
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
207CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Teodolito
“caseiro”.
EDUARDO SANTALIESTRA
Como fazer a medição:
Agora, vamos experimentar o instrumento para cálculos de grandes alturas. Para isso,
necessitamos de uma trena (ou de uma fita métrica ou de um metro de carpinteiro).
• Afaste-se de um poste de iluminação, meça sua distância até ele e anote (corresponde
ao cateto adjacente).
• Olhe pelo orifício do canudo até enxergar o topo do poste. A altura do poste corres-
ponderá ao cateto oposto.
• Segure o barbante com o peso na posição em que ele parou.
• Anote a medida do ângulo determinado pelo barbante (na posição horizontal, o ângulo
marcado é de 90°).
• Procure, na tabela de razões trigo no mé tricas, a tangente do seu ângulo de visão, que
é igual a 90° menos o valor anotado.
• Essa tangente será a razão entre a altura do poste, vista pelo observador, e a distância
desse observador até o poste.
Faça os cálculos e determine a altura do poste. Não se esqueça de adicionar a distância
entre o chão e seus olhos à altura que você determinou.
Faça outras experiências semelhantes a essa e procure calcular distâncias a partir de
algum objeto do qual você conheça a altura.
1 Paulo observa uma torre treinando o uso de um teodolito “caseiro”. Calcule a altura da torre,
sabendo que o ângulo de visão de Paulo ao topo dela é de 45°, que ele está a 3,5 m dela e que
seus olhos estão a 1,25 m do chão.
4,75 m
2 Ainda treinando o uso de seu teodolito, Paulo observou o topo de um poste de 7 m, sob um
ângulo de visão de 15°. Qual é a distância aproximada de Paulo até o poste?
q 21,5 m
• Com cuidado, faça um pequeno furo, transpassando o papelão bem no encontro da
linha de fé do transferidor com a linha que marca 90°.
• Passe por esse furo a outra extremidade do barbante, deixando o restante no mesmo
lado onde está o transferidor, e dê um nó bem firme.
Agora é com você!

266. 208
Razões
trigonométricas dos
ângulos de 45
o
, 30
o
e
60
o
Antes de apresentar o texto
do livro do estudante, pro-
ponha aos alunos o cálculo
das razões trigonométricas
do ângulo de 45° sem utili-
zar a tabela de razões trigo-
nométricas, tomando como
base um quadrado de lado
L. Estimule-os a obterem um
triângulo retângulo conve-
niente, que tenha elemen-
tos conhecidos e o ângulo
de 45
o
como ângulo interno.
Espera-se que eles percebam
que o triângulo retângulo
deve ser formado pela dia-
gonal do quadrado e dois
de seus lados. Sendo assim,
verifique se eles usam a re-
lação d 5 L
2, estudada
no capítulo anterior, ou se determinam a medida d da
diagonal aplicando o teore-
ma de Pitágoras.
Ao realizar os cálculos, os
alunos devem perceber que
a medida L do quadrado não
é importante, pois cada ra-
zão trigonométrica sempre
terá o mesmo valor para
qualquer quadrado.
Em seguida, peça a eles que
leiam e acompanhem o de-
senvolvimento apresentado
no livro do estudante para
compararem com o que fi-
zeram.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou
das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
A B
D C
d
 
 
45°
45°
C
A B
2
 
 
 
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
208 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
4
Razões trigonométricas dos ângulos
de 45°, 30° e 60°
Destacando o triângulo ABC, temos:
Razões trigonométricas do ângulo de 45°
Considere o quadrado ABCD, com lado de medida c.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
(AB )
2
1 (BC )
2
5 (AC )
2
c
2
1 c
2
5 d
2
2c
2
5 d
2
c2
5 d ou d 5 c 2
A diagonal AC mede c 2.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA sen 45° 5
2c
c
sen 45° 5
2
1
sen 45° 5
2
2
cos 45° 5
2c
c
cos 45° 5
2
1
cos 45° 5
2
2
tg 45° 5
c
c
tg 45° 5 1
ILUSTRAÇÕES: CLÁUDIO CHIYO
Vimos que os valores das
razões seno, cosseno e tangente
podem ser encontrados na tabela
trigonométrica ou obtidos com
uma calculadora científica.
Mas os valores encontrados
dessas duas maneiras não são valores
exatos, exceto os valores para
sen 30º, cos 60º e tg 45º.
No entanto, os valores exatos
das razões seno, cosseno e tangente
dos ângulos de 30°, 45° e 60°
são facilmente calculados,
como veremos a seguir.

267. 209BIMESTRE 3
Orientações
Para obter as razões tri-
gonométricas dos ângulos
de 30° e 60°, proceda de
modo análogo ao que foi
feito com o ângulo de 45°.
Proponha que os alunos de-
terminem essas razões sem
utilizar a tabela de razões
trigonométricas, tomando
por base um triângulo equi-
látero de lado L. O triângulo
retângulo a ser tomado é
formado por uma das altu-
ras. Nesse caso, os alunos
devem mobilizar conheci-
mentos construídos ante-
riormente sobre as cevianas
de um triângulo, lembrando
que em um triângulo equi-
látero a altura, a bissetriz e
a mediana coincidem.
Verifique se utilizam a rela-
ção h 5
L
2
3
, trabalhada no
capítulo anterior.
A
HB C
h
 
A
H C
30°
 
2
—
2
3   
A
H C
60°
 
2
—
2
 3  
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
209CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
sen 30° 5
2
c
c
sen 30° 5
2
1c
3
c
sen 30° 5
2
1
cos 30° 5
2
3
c
c
cos 30° 5
2
31c
3
c
cos 30° 5
2
3
tg 30° 5
2
3
2
c
c
tg 30° 5
2 3
2c
3
c
tg 30° 5
3
3
sen 60° 5
2
3
c
c
sen 60° 5
2
31c
3
c
sen 60° 5
2
3
cos 60° 5
2
c
c
cos 60° 5
2
1c
3
c
cos 60° 5
2
1
tg 60° 5
2 2
3
c
c
tg 60° 5
2
32c
3
c
tg 60° 5 3
Razões trigonométricas do ângulo de 30°
Observe agora o triângulo equi lá tero ABC, com lado de medida c.
Já aprendemos que a altura AH do triângulo mede .h
2
3
5
c
Destacando do triângulo ABC o triângulo AHC, temos:
Razões trigonométricas do ângulo de 60°
Destacando novamente o triângulo AHC, da figura anterior, temos:
Agora, vamos organizar em um quadro todos os valores encontrados:
Ângulo Seno Cosseno Tangente
30°
2
1
2
3
3
3
45°
2
2
2
2 1
60°
2
3
2
1
3
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

268. 210
Exercícios propostos
No exercício 30, os alunos
devem utilizar o fato de que
as diagonais de um losango
são perpendiculares entre
si e se cortam em seu ponto
médio. Caso julgue necessá-
rio, faça uma breve revisão
das propriedades dos para-
lelogramos.
Veja uma possível resolução
para esse exercício.
30°
6 cm
x
y
6 cm
a) tg 30° 5
x
6
V x3
36
5
x 5 2 3
Logo, a outra diagonal
mede 43 cm.
b) sen 30° 5
x
y
y2
231
5 V y 5 4 3
Logo, o lado do losango
mede 43 cm.
Note que no exercício 31 há
dados a mais do que os que
os alunos deverão selecionar.
No exercício 32, eles podem
usar as razões trigonomé-
tricas ou o teorema de Pitá-
goras, considerando as pro-
priedades de um triângulo
equilátero.
• razões trigonométricas:
x
60°
23
sen 60° 5
x
32
Æ
Æ x 5
23
2
3
Æ x 5 4
• teorema de Pitágoras:
x
23
x
2
—
x
2
5
x
2
231
22
` ^j h Æ x 5 4
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
Habilidade trabalhada: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
30°
1.500 m
A B
P
60°
12
yx
30°
x
y
10
x y
5
10
x
y
2
1
3
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
210 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
27 Usando as razões trigonométricas, calcule o
valor de x e de y nos triângulos retângulos:
b)
d) 31 Um poste cilíndrico cujo diâmetro da base
mede 0,40 m projeta uma sombra de 5,6 m no
momento em que os raios solares determinam
um ângulo de 45° com a vertical. Qual é a
altura desse poste?
5,6 m
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
2
1
α
28 (UFV­MG) O cosseno do ângulo a, assinalado
na figura abaixo, é:
alternativa d
a)
2
1
.
b)
3
2
.
c)
3
23
. d)
2
3
. e)
3
3
.
a)
c)
30 Construa um losango em que uma das diago­
nais meça 12 cm e forme com um dos lados
um ângulo de 30°. Determine:
a) a medida da outra diagonal;
3cm4
b) a medida do lado do losango. 3cm4
29 O lado não perpendicular às bases de um
trapézio retângulo forma com a base maior
um ângulo de 45°. Considerando que as bases
medem 12 cm e 9 cm, determine:
a) a medida da altura;
3 cm
b) a medida do lado não perpendicular às
bases.
2cm3
6
4
2 2
α
A medida do ângulo assinalado é:
a) 60°. c) 30°. e) 15°.
b) 45°. d) 22°30’. alternativa a
34 (UCSal­BA) Na figura abaixo, tem­se um tra­
pézio isósceles cujos lados têm as medidas
indicadas.
32 Uma das alturas de um triângulo equilátero
mede
23cm. Determine a medida do lado
desse triângulo.
4 cm
35 Um paraquedista salta de um avião que voa
a 1.500 m de altura. Devido à ve lo cidade do
avião e à ação do vento, o paraquedista cai con­
forme indica o segmento PA
, na figura abaixo,
inclinado 30° em relação a PB. A que distância
do ponto B o paraquedista cai? 3m500
33 Em um trapézio isósceles, os lados não parale­
los formam com a base maior ângulos de 60°. Se as bases medem 28 cm e 20 cm, então:
a) qual é o perímetro do trapézio?
64 cm
b) qual é a área do trapézio?
3cm
3
96
x1035
y 5 20
x6 35
y 5 6
x 5 60°
y 5 30°
x 5 45°
y 5 45°
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

269. 211BIMESTRE 3
Trabalhando a
informação
A seção explora gráficos que
apresentam algum tipo de
distorção. Amplie o trabalho
propondo a analise de ou-
tros gráficos e discutindo o
que ocorre com eles.
Peça aos alunos que ob-
servem os gráficos 1 a 4 e
registrem conclusões sobre
eles. Por exemplo, podem
comparar os gráficos 1 e 3
e observar que a expectati-
va de anos de estudo ficou
sempre acima da média, em
todos os anos. Além disso,
ainda nessa comparação,
eles podem perceber que o
comportamento no perío-
do foi diferente nas duas
situações: o gráfico 3 mos-
tra que a média de anos de
estudo sempre cresceu ao
longo do período, mesmo
que esse crescimento tenha
sido pequeno; já o gráfico 1
mostra que houve período
de decrescimento e de es-
tagnação da expectativa de
anos de estudo ao longo do
período.
No entanto, o mais impor-
tante é verificar se os alunos
percebem que esses gráficos
apresentam erro de esca-
la, pois no eixo horizontal
utilizam a mesma unidade
para períodos diferentes de
tempo. Note que, até 2010,
cada unidade corresponde a
5 anos (o período é mostra-
do de 5 em 5 anos), mas de
2010 a 2015, o período é de
1 em 1 ano, mantendo-se a
mesma unidade de antes, o
que induz a interpretações
equivocadas.
Habilidade trabalhada: (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir,
às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de
informações importantes (fontes e datas), entre outros.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
211CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Gráficos com distorção
Pela primeira vez na série histórica, o Brasil ficou estagnado (79
a
posição) no Índice de Desen-
volvimento Humano, com o indicador de 0,754.
O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida composta de indicadores de três
dimensões do desenvolvimento humano: longevidade, educação e renda. Ele varia de 0 a 1;
quanto mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano. São quatro classificações:
baixo, médio, alto e muito alto.
Dados dos gráficos 1, 2 e 3 obtidos em: RELATÓRIO do PNUD destaca grupos sociais que não
se beneficiam do desenvolvimento humano. PNUD, 21 mar. 2017. Disponível em: <http://
www.br.undp.org/content/brazil/pt/home/presscenter/articles/2017/03/21/relat-rio-do-
pnud-destaca-grupos-sociais-que-n-o-se-beneficiam-do-desenvolvimento-humano.html>.
Acesso em: 06 out. 2017.
O Relatório de Desenvolvimento Humano 2016 da ONU (Organização das Nações Unidas)
mostra que, em 2015, o Brasil apresentou uma discreta melhora em relação a 2014 em alguns
aspectos como, por exemplo: expectativa de vida (de 74,5 para 74,7 anos) e média de anos de
estudo (de 7,7 para 7,8 anos). Porém, o país estagnou na marca de 15,2 anos na expectativa
de anos de estudo.
Podemos ler essa situação nos gráficos a seguir. Porém, para essa leitura, observe atentamente
estes gráficos.
3. Média de anos de estudo
7,8
1990 1995 2000 2005 2010 2011 2012 2013 2014 2015
3,8
4,6
5,6
6,1
6,97,0
7,27,3
7,7
ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO
1990 1995 2000 2005 2010 2011 2012 2013 2014 2015
12,2
13,3
14,3
13,8
14,0
14,2 14,2
15,2 15,215,2
1. Expectativa de anos de estudo
74,7
1990 1995 2000 2005 2010 2011 2012 2013 2014 2015
65,3
67,6
70,1
71,9
73,373,673,974,274,5
2. Expectativa de vida ao nascer

270. 212
Amplie o trabalho propon-
do a análise de outros grá-
ficos e discutindo o que
ocorre com eles. Reforce a
importância dos gráficos em
nosso dia a dia e o que pode
acarretar a construção incor-
reta deles (propositalmente
ou não).
Se os alunos não percebe-
ram antes a distorção dos
gráficos apresentados, nas
questões do Agora quem
trabalha é você! encoraje-os
a explicar o que ocorre com
a escala do eixo horizontal.
Esse tipo de distorção inter-
fere na resposta à questão 1.
No gráfico 1, por exemplo,
a maior evolução se deu de
2010 a 2015, obedecendo à
escala de 5 em 5 anos, o que
não é percebido ao visuali-
zar o gráfico com a distor-
ção apresentada.
Habilidade trabalhada: (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir,
às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de
informações importantes (fontes e datas), entre outros.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
212 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Dados obtidos em: RELATÓRIO do PNUD destaca grupos sociais que
não se beneficiam do desenvolvimento humano. PNUD, 21 mar.
2017. Disponível em: <http://www.br.undp.org/content/brazil/pt/
home/presscenter/articles/2017/03/21/relat-rio-do-pnud-destaca-
grupos-sociais-que-n-o-se-beneficiam-do-desenvolvimento-
humano.html>. Acesso em: 06 out. 2017.
Os quatro gráficos anteriores podem ser sintetizados no gráfico a seguir.
Dados obtidos em: FORMENTI, Lígia. Brasil se mantém na 79
a
posição
em ranking de IDH. O Estado de S. Paulo, 21 mar. 2017.
1 Em um gráfico de linha que preserva a escala nos eixos, isto é, em que a unidade é uniforme em cada
eixo, ao se caminhar da esquerda para a direita, a maior inclinação da linha indica maior variação na
grandeza do eixo vertical. Identifique, em cada um dos quatro primeiros gráficos, o período em que
houve a maior evolução.

2 Refaça os gráficos dados com espaçamentos horizontais iguais para períodos de tempo iguais, por
exemplo, 1 cm para cada ano. Responda novamente à atividade 1. As suas respostas são as mesmas?
Por quê?

3 Na sua opinião, os gráficos de linha divulgados na mídia (jornais, revistas, internet, TV etc.) devem
aplicar unidades uniformes nos eixos?
Resposta pessoal.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
4. Renda Nacional Bruta per capita (PPS)
1. É provável que o
aluno não tenha
percebido que os
gráficos apresentam
uma distorção: de
1990 a 2010, o
espaçamento que vale
para períodos de 5
anos é o mesmo que
vale para períodos de
1 ano, a partir de 2010.
Isso pode fazer com
que suas respostas
deem maior evolução
no período de 1990 a
2010, o que é errado.
1990 1995 2000 2005 2010 2011 2012 2013 2014 2015
10.746
15.000
10.000
11.250
12.500
13.750
14.580
14.858
14.145
Em reais
0,611
0,730
0,754
Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)
1990 1995 2000 2005 2010 2011 2012 2013 2014 2015
0,600
0,700
0,800
Número índice
ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO
2. O aluno deve perceber que há distorção nos gráficos dados e agora
pode obter respostas corretas. 1.  de 2012 a 2013; 2. de 1995 a 2000
(0,5 por ano); 3. de 2013 a 2014; 4. de 2005 a 2010. As respostas nem
sempre são as mesmas porque as escalas dos eixos horizontais dos
gráficos dados não são uniformes.

271. 213BIMESTRE 3
Exercícios
complementares
Este bloco de exercícios am-
plia as oportunidades de os
alunos retomarem e aplica-
rem os conceitos tratados
no capítulo.
Proponha que eles refaçam
atividades anteriores de as-
suntos que ainda tenham
alguma dúvida. Revisitar con-
ceitos e estratégias já estuda-
das pode contribuir para o
aprendizado dos alunos.
No exercício 6, destaque
que há dados a mais que
aqueles que devem ser se-
lecionados. Já no exercício
7, não há dados suficientes
para o cálculo do volume.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
42
x
l43
x
60°
15,6
x
30°
30
60°
15 cm
60°
16 m
9 m
30°
A
60°
B
C
M
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
213CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1
Construa um triângulo retângulo em que um
dos ângulos meça 55°. Meça os lados desse
triângulo, em milímetro. Calcule as razões
trigonométricas desse ângulo, com uma casa
decimal. Confira os resultados consultando a
tabela ou uma calculadora.
sen 55° 5 0,8; cos 55° 5 0,6; tg 55° 5 1,4
b)
7, 8
c)
30°
3 (Unopar­PR) Se um cateto e a hipotenusa de
um triângulo retângulo medem a e 3a, respec­
tivamente, então o cosseno do ângulo oposto ao menor lado é:
alternativa b
a)
10
10
. d)
3
2
.
b)
3
22
. e) 22.
c)
3
1
.
a)
15
2 Nos triângulos retângulos a seguir, determine
quanto vale x :
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
4 Os ângulos da base de um triângulo isósceles
medem 50°. Calcule a medida aproximada dos lados congruentes, sabendo que a altura em relação à base mede 20 cm.
26,31 cm
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
7 Regina possui um terreno na forma de um
trapézio, conforme a figura abaixo. Quantos metros quadrados de muro, aproximadamente, serão necessários para cercar esse terreno, se o muro tiver 1,80 m de altura? Calcule, se possível, o volume desse muro.
6 Uma escada de 2,80 m de comprimento e
0,65 m de largura está apoiada no topo de um muro, formando com ele um ângulo de 60°. Qual é a altura do muro?
1,40 m
Calcule o comprimento aproximado desse canudinho, sabendo que 8 cm dele estão fora do copo.
(Dado: 3
5 1,73.) 25,3 cm
5 A figura abaixo repre senta um canudinho
dentro de um copo de 15 cm de altura.
83 m
2
; não há
dados suficientes para calcular o volume do muro
8 (UCSal­ BA) Na figura abaixo tem­ se o triân gulo
ABC, cujos ângulos internos têm as medidas
indicadas.
Se M é ponto médio de
AB e AC 5 10 cm, qual
é a medida do segmento AM?
2
3
cm
5

272. 214
Exercícios
complementares
Para o exercício 9, a figura
abaixo representa um es-
quema da situação:
30°
40 mC
A
B
L
a) tg°30
40
5
L
cm3
3
40
L5
b) fazendo 3 5 1,73:
L 5
3
40
8 1,73 q 23
Logo, o valor aproximado
da largura do rio é 23 m.
Para o exercício 14, apresen-
tamos a seguir uma possível
resolução.
19,5 m
18 m
1,5 m
b
tg x 5
19,5 2 1,5
18
tg x 5 1 V x 5 45°
Portanto, o garoto observa a arara sob um ângulo de 45°.
Para o exercício 15, temos:
75°
45°
D
a
M
N
C
A B
45°
AB // CD; ABN r NMD (ân-
gulos alternos internos). Assim, m(NM
D) 5 45°.
Verificamos também que:
75° 1 b 5 180° V b 5 105°.
Então, no triângulo MND:
45° 1 105° 1 a 5 180°
a 5 30°
Desse modo, obtemos:
sen a 5 sen 30° 5 0,5
FERNANDO JOSÉ FERREIRA WLAMIR MIASIRO FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Rua Michelangelo
Rua Galileu
60°
M S
Rua Da Vinci
45°
75°
α
A
C D
B
arara
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
214 CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
11 (Vunesp) Duas rodovias retilíneas, A e B,
cruzam­se formando um ângulo de 45°. Um
posto de gasolina se encontra na rodovia A,
a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma
rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia  B.
A distância do posto de gasolina à rodo­
via B, indo através de C, em quilômetro, é:
a)
8
2
. d) 2.
b)
4
2
. e) 22.
c)
2
3
.
O valor de sen a é:
alternativa c
a)
2
2
. d) 1.
b)
2
3
. e) 0.
c)
2
1
.
NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
16 Dois prédios, A e B, estão situados num mes­
mo plano. Da base do prédio A, avista­ se o
topo do prédio B sob um ângulo de 45° com
a horizontal, e da base do prédio B avista­se o
topo do prédio A sob um ângulo de 60° com a
horizontal. Se a distância entre A e B, medida
em metro, é 34,6, determine a altura do pré­
dio A e do prédio B.
60 m; 34,6 m
10 Ana mora na esquina da rua Da Vinci com a rua
Galileu. A sorveteria que ela frequenta fica a
280 m de sua casa, na esquina da rua Da Vinci
com a rua Michelangelo. Num domingo, de­
pois de tomar sorvete nessa sorveteria, Ana
resolveu retornar por um caminho diferente,
pela rua Michelangelo. Aproximadamente, em
quantos metros aumentou sua caminhada?
(Dado: 3
5 1,73.) 102,2 m
9 Rosana mediu a largura de um rio fixando um
ponto A em uma das margens e um ponto B
na margem oposta, de modo que AB ficasse
perpendicular às margens do rio. Do ponto A,
caminhou 40 m perpendicularmente a AB e
marcou um ponto C. Mediu o ângulo ,BCA
W

obtendo 30°. Assim, ela pôde determinar a
largura do rio.
(Dado: 3 5 1,73.)
a) Determine essa largura, expressa na forma
ba.
3
40
3m
b) Determine o valor aproximado dessa largura.
15 (Mackenzie­ SP) Na figura, AB é paralelo a .CD
14 Uma arara está pousada no ponto mais alto de
uma árvore de 19,5 m de altura. Ela é observa­
da por um garoto cujos olhos estão a 1,50 m de
altura do solo, que se encontra afastado 18 m
da árvore. Determine o ângulo, em relação à
horizontal, sob o qual o garoto observa a arara.
45°
13 Uma escada rolante liga dois andares de uma
loja. Sabendo que essa escada tem 10 m de
comprimento e inclinação de 30°, a medida
de sua altura, em metro, fica entre quais nú­
meros pares consecutivos?
entre 4 e 6
12 De uma folha de cartolina, foi recortado um
triângulo isósceles cujo ângulo do vértice
mede 120°. Cada um dos lados congruentes
do triângulo mede 40 cm. Qual é a área do
triângulo recortado?
3cm
2
400
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
23 m
alternativa e

273. 215BIMESTRE 3
Para o exercício 18, temos a
seguinte resolução:
120°
12 cm
12 cm
8 cm
30°8 cm
h
Pela figura, como h é a me-
dida da altura desse parale-
logramo, temos que: 120° 5
5 90° 1 30°. Desse modo,
no triângulo destacado:
h
°cos30
8
5
h
82
3
5
2h 5 8 3
h 5 4 3
A 5 12 8 4 3
A 5 48 3
A área do paralelogramo é 48
3 cm
2
.
Comente que o exercício 21
é uma questão de vestibular que solicita uma explicação
do raciocínio utilizado, ou
seja, não basta dar a respos-
ta esperada. Então, peça aos
alunos que compartilhem
com os colegas de classe o
raciocínio que fizeram.
Segue um possível esquema
da situação do exercício 24:
x
C
A
30º
d
Como a velocidade é igual a 50 km/h, após 3 horas a dis-
tância d percorrida é:
50 5
d
3
Æ d 5 150 km
Assim, a distância x que o
automóvel estará da reta
que passa pelos pontos A e
C após 3 horas é dada por:
sen 30° 5
x
150
Æ
1
2
5
x
150
Æ
Æ 2x 5 150 Æ x 5 75 km
No Manual do Professor –
Digital poderão ser
acessadas Propostas de
Acompanhamento da
Aprendizagem dos alunos
com sugestões de questões,
abertas e de múltipla escolha,
e fichas para registro do
desempenho deles neste
bimestre.
FERNANDO JOSÉ FERREIRA WLAMIR MIASIRO
60°
B A
praia
mar
ilha
P
I
C
D
B A
12 cm
8 cm
120°
x
50°
3,5 km
A
B C
6
3
30°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
215CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
17 (PUCCamp­ SP) Na praia, mediu­ se a dis tância
de A até B (750 m) e de A até P (620 m), além
do ângulo ABI
W
(60°). Qual é a distância da ilha
até a praia? ()10 75362m2
18 Um paralelogramo tem lados de medida 8 cm
e 12 cm, e um de seus ângulos internos mede
120°. Calcule sua área.
483cm
2
19 Um avião de acrobacias levanta voo formando
um ângulo de 50° em relação à pista. Calcule a que altura o avião estará do solo após percorrer 3,5 km. (Dado: sen 50° 5 0,76.)
2,66 km
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
20 (UFSM­ RS) Uma torre vertical, construída
sobre um plano horizontal, tem 25 m de altura.
Um cabo de aço, esticado, liga o topo da torre
ao plano, fazendo com este um ângulo de 60°.
O comprimento do cabo de aço é:
a) 50 m. d)
2
3
m
50
.
b)
3
3
m
50
. e)
2
3
m
25
.
c)
3
3
m
25
.
alternativa b
21 (Unicamp­SP) Para medir a largura AC de um
rio, um homem usou o seguinte procedimento:
localizou um ponto B de onde podia ver na
margem oposta o coqueiro C, de forma que o
ângulo ABC
W
fosse 60°; determinou o ponto D
no prolongamento de CA, de forma que o ân­
gulo CBD
W
fosse de 90°. Medindo AD 5 40 m,
achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio.
120 m; Resposta pessoal.
22 (Vunesp­ SP) A figura representa o perfil de uma
escada cujos degraus têm todos a mesma ex­ tensão, além de mesma altura. Se AB 5 2 m e
BCA
W
mede 30°, qual é a medida da extensão
de cada degrau?
a) 4. b) 4,5. c) 5. d) 5,5. e) 6.
24 Um automóvel parte de A e segue, numa
direção que forma com a reta AC
um ângulo
de 30°, com velocidade média de 50 km/h.
Após 3 horas de percurso, a distância que o
automóvel estará da reta AC
será de:
a) 75 km. d) 752km.
b) 753km. e) 50 km.
c) 350km.
alternativa a
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
23 A área do triângulo abaixo é: alternativa b
3
3
m

274. 216
real, cujo estudo matemático disseca em dois outros movimentos, horizontal e vertical, cada qual represen-
tado por uma função ideal. E, ao final, a síntese desses estudos nos leva à compreensão do todo.
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Conceituar e reconhecer
função como relação de
dependência unívoca en-
tre duas grandezas.
• Determinar a lei de forma-
ção de uma função.
• Obter valores que uma
função assume.
• Representar graficamente
uma função.
• Estudar as funções polino-
miais do 1
o
e do 2
o
graus.
• Identificar as relações de
proporcionalidade em fun-
ções.
• Resolver problemas envol-
vendo equações do 2
o
grau
no cálculo dos zeros de
uma função quadrática.
• Resolver problemas envol-
vendo sistemas de equa-
ções do 2
o
grau.
Orientações gerais
Neste capítulo, situações
contextualizadas subsidiam
as abordagens dos conceitos
de função, de função poli-
nomial do 1
o
grau e de fun-
ção polinomial do 2
o
grau.
Enfatize o papel das variá-
veis e de suas interdepen-
dências nesse tipo especial
de relação.
Após a definição de função,
comente com os alunos que
há certa diferenciação entre
o representante e o repre-
sentado, isto é, entre o con-
ceito ideal e a situação real
que ele representa. As situa-
ções contextualizadas apre-
sentam limites, restrições,
finitudes e valores aproxima-
dos dentro da realidade em
que elas existem, enquanto
as funções matemáticas po-
dem ter infinitos elementos
e ser representadas grafica-
mente por infinitos pontos
associados inclusive a coorde-
nadas com valores irracionais
exatos. Essa é uma questão
presente na continuidade do
estudo das outras funções
particulares a ser realizado
no Ensino Médio.
A abertura do capítulo é um
exemplo esclarecedor do
que está dito no parágra-
fo anterior: um movimento
real, um fenômeno físico
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital AudiovisualMaterial Digital Audiovisual
• Videoaula: Lançamentos
oblíquos
216 CAPÍTULO 10
Um corpo projeta-se no espaço em lançamento oblíquo!
Desprezada a resistência do ar, sob a ação de seu peso, ele fica sujeito à aceleração da
gravidade e sua trajetória em relação à Terra é uma parábola.
O estudo desse fenômeno tem dois movimentos:
ƒhorizontal, descrito por uma função polinomial do 1
o
grau;
ƒvertical, descrito por uma função polinomial do 2
o
grau.
10
Capítulo
Fotocomposição de giro com motocicleta realizado por Travis Pastrana em Londres (Inglaterra). (Foto de 2017.)
PETE SUMMERS/REX/SHUTTERSTOCK
Estudo das
funções

275. 217BIMESTRE 4
Complemente os estudos com
a Sequência didática 10 –
Função polinomial do
1
o
grau e a Sequência
didática 11 – Gráfico de
função polinomial do
1
o
grau, disponíveis no
Manual do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.
Conceito de função
Nesta primeira situação
problema, o contexto é
bastante simples para real-
çar as variáveis e a relação
de dependência entre elas,
com poucos valores (núme-
ros naturais) possíveis de ser
atribuídos à variável inde-
pendente.
Os cálculos numéricos, feitos
um a um e organizados em
um quadro, induzem à des-
coberta das operações en-
volvidas na relação entre as
variáveis, possibilitando a ge-
neralização delas para a ela-
boração da lei de formação.
Questione os alunos sobre a
impossibilidade de comprar
3,5 programas e reforce que
essa é uma grandeza discre-
ta (não contínua).
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho com
funções, sugerimos os livros:
JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo
Cestari; IMENES, Luiz Márcio.
Álgebra. São Paulo: Atual,
2007.(Coleção Pra que serve
Matemática?).
ROSA NETO, Ernesto.
Em busca
das coordenadas
. São Paulo: Ática,
2008. (Coleção A Descoberta da
Matemática).
Habilidade trabalhada: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas
representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
217CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
1
Conceito de função
Acompanhe as situações a seguir.
Indicando por x o número de programas extras comprados e por y o preço a pagar, podemos
relacio nar essas duas grandezas pela sentença:
y 5 195 1 x 8 9 ou y 5 195 1 9x
Note que, a cada valor atribuído à letra x, obtemos um único valor para y, por exemplo:
ƒpara x 5 0, temos:
y 5 195 1 9 8 0 5 195 1 0 5 195
Isso significa que, quando não se compra programa extra, o preço é R$ 195,00.
ƒpara x 5 1, temos:
y 5 195 1 9 8 1 5 195 1 9 5 204
Ou seja, com a compra de 1 programa extra, o preço sobe para R$ 204,00.
ƒpara x 5 2, temos:
y 5 195 1 9 8 2 5 195 1 18 5 213
Ou seja, com a compra de 2 programas extras, o preço é R$ 213,00.
Nesse caso, podemos dizer que o preço a pagar ( y) é obtido em função do número de pro-
gramas extras comprados (x).
FLYING COLOURS/GETTY IMAGES
Número de
programas extras
Preço (em real)
0 195
1 195 1 1 8 9
2 195 1 2 8 9
3 195 1 3 8 9
4 195 1 4 8 9
Situação 1
Uma empresa de TV a cabo cobra de seus assinantes uma mensalidade de R$ 195,00 e
mais R$ 9,00 por programa extra comprado. Desse modo, o valor a ser pago (preço) no final
de cada mês depende do número de programas extras comprados pelo assinante.
Vamos organizar um quadro que mostre a relação entre o número de programas extras
comprados e o total a ser pago.
Dizemos que a grandeza y é função da grandeza x se há entre elas uma correspondência tal que, para cada valor de x, exista um único valor de y.

276. 218
Orientações
Podemos dizer que a situa-
ção 2 não difere, matemati-
camente, da situação ante-
rior. Nesse contexto, a vari-
ável independente também
assume apenas alguns nú-
meros naturais. Com alguns
valores (números naturais)
atribuídos a ela, os cálculos
numéricos organizados em
quadro induzem facilmente
à lei de formação da função
que representa essa situação.
Avançamos um pouco na
abordagem e levantamos
um questionamento atri-
buindo à variável indepen-
dente um valor, ainda com-
patível com o contexto, bem
maior do que os valores do
quadro.
Questione os alunos sobre
a impossibilidade de vender
8,2 revistas e reforce que
essa também é uma grande-
za discreta (não contínua).
Peça a cada aluno que esco-
lha um número natural com
dois dígitos e calcule o salá-
rio do personagem Paulo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
218 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Paulo é vendedor de assinaturas de revistas e seu salário varia conforme o número de as-
sinaturas que ele vende no mês. Ele recebe um valor fixo de R$ 1.800,00, mais comissão de
R$ 40,00 para cada assinatura vendida. Veja no quadro abaixo a relação entre o número de as-
sinaturas vendidas e o salário de Paulo.
ILUSTRAÇÕES: DANILLO SOUZA
Número de
assinaturas vendidas
Salário de Paulo (em real)
0 1.800
1 1.800 1 1 8 40 5 1.840
2 1.800 1 2 8 40 5 1.880
3 1.800 1 3 8 40 5 1.920
4 1.800 1 4 8 40 5 1.960
5 1.800 1 5 8 40 5 2.000
Nesse caso, podemos escrever a lei de função:
f (x

) 5 1.800 1 x 8 40 ou f (x

) 5 1.800 1 40x
Observe que f (x

) representa o salário de Paulo e x, o número de assinaturas vendidas.
Com essas informações, podemos responder, por exem-
plo, às questões a seguir.
a) Se Paulo vender 59 assinaturas em um mês, qual será seu salário?
Nesse caso, substituímos x por 59 na lei da função
f (x

) 5 1.800,00 1 40x

:
f (59) 5 1.800 1 40 8 59
f (59) 5 1.800 1 2.360
f (59) 5 4.160
Logo, se vender 59 assinaturas, Paulo receberá R$ 4.160,00 de salário.
Observe que f (59) corresponde ao salário de Paulo
quando x for igual a 59.
Situação 2
Na função que relaciona o número de programas extras comprados (x) e o preço a pagar ( y),
escrevemos a sentença y 5 195 1 9x. Nesse caso, as letras x e y são chamadas de variáveis
e a sentença y 5 195 1 9x é chamada de lei da função.
Em geral, dizemos que y é uma função de x por y 5 f (x

) (lemos: y é igual a f de x). Então,
para o caso em que a lei da função é y 5 195 1 9x, podemos escrever f (x

) 5 195 1 9x.

277. 219BIMESTRE 4
Orientações
A situação 2 ainda é explo-
rada com outro questiona-
mento, inverso ao anterior.
Neste caso, atribuímos um
valor numérico à variável
dependente e pedimos o
valor respectivo da variável
independente.
Peça a cada aluno que atri-
bua outro valor ao salário
de Paulo e obtenha a quan-
tidade de revistas vendidas
para ele obter esse salário
atribuído. Muito provavel-
mente o número de revistas
obtido nesse cálculo não
será um número natural.
Discuta esse fato com os alu-
nos. Espera-se que eles per-
cebam que, dentro de um
limite razoável ao contexto,
podem atribuir ao número
de revistas qualquer número
natural, porém não podem
fazer o mesmo com o salário
de Paulo.
Na situação 3, as grandezas
comprimento e largura são
contínuas, possibilitando
atribuir à variável indepen-
dente, desde que satisfaçam
as condições do contexto,
quaisquer números reais; no
caso, números reais maio-
res do que zero e menores
do que 16. Apesar de esses
números serem matemati-
camente adequados, discuta
com os alunos o que aconte-
ceria com o galinheiro se o
valor de x fosse igual a 1 cm.
Certamente, esse galinheiro
não teria utilidade prática. É
a esse tipo de discussão e di-
ferenciação que nos referi-
mos nas Orientações gerais.
largura
comprimento
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
219CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
3.600 5 1.800 1 40x
240x 5 1.800 2 3.600
40x 5 1.800
x 5 45
b) Se o salário ao final do mês foi de R$ 3.600,00, quantas assinaturas Paulo vendeu?
Agora, substituímos f (x

) por 3.600 e encontramos o valor de x correspondente.
Portanto, se Paulo receber R$ 3.600,00 de salário, significa que foram vendidas
45  assinaturas.
José tem um sítio e pratica agricultura de subsis-
tência. Como suas galinhas viviam soltas, comiam as
verduras da horta; então, ele resolveu construir um ga-
linheiro retangular com 16 metros de tela que comprou
e aproveitou um muro já existente como um dos lados.
Observe que a soma de duas larguras com
um comprimento resulta em 16 metros. Assim,
se José construir um galinheiro de 3 metros de
largura, o comprimento será de 10 metros.
16 2 2 8 3 5 10, pois 2 8 3 1 10 5 16
Veja no quadro abaixo outros possíveis valo-
res para as dimensões do galinheiro, em metro.
LEONID IKAN/SHUTTERSTOCK
JOSÉ LUÍS JUHAS
Largura (em metro) Comprimento (em metro)
1 16 2 2 8 1 5 14
2 16 2 2 8 2 5 12
3,5 16 2 2 8 3,5 5 9
5 16 2 2 8 5 5 6
6,4 16 2 2 8 6,4 5 3,2
Situação 3
Note que o comprimento y é uma função da largura x, e que ambos se relacionam de acordo
com a lei y 5 16 2 2x, ou seja, para essa situação, podemos considerar a função f dada por
f (x

) 5 16 2 2x, em que x assume valores entre 0 e 8.
Com essas informações, podemos responder às questões a seguir.
a) Para José construir um galinheiro de 7,5 metros de comprimento, qual será a largura?
Basta substituir f (x

) por 7,5 e encontramos o valor de x correspondente.
7,5 5 16 2 2x
2x 5 16 2 7,5
2x 5 8,5
x 5 4,25
Portanto, para o galinheiro ter 7,5 metros de comprimento, a largura deverá ser de
4,25 metros.

278. 220
Orientações
No item b da situação 3, a
Unidade Temática Geome-
tria se integra à Unidade Te-
mática Álgebra com a condi -
ção imposta de o galinheiro
ter o piso quadrado. Discuta
com os alunos se haveria
mais de um valor para x de
modo que o piso fosse qua-
drado. Eles devem concluir
que há um só valor para o
piso quadrado:
16
3
. E, se x é
menor do que esse valor, o
comprimento é maior, logo
o muro é mais aproveitado;
caso contrário, o muro é me-
nos aproveitado.
Exercícios propostos
Explore a diversidade das
atividades propostas neste
início do bloco de exercícios.
O exercício 1 pede cálculo
mental em uma resolução
oral; o exercício 2 não pro-
põe cálculo, por meio da
relação mãe/filho, mas o
entendimento da ideia de
função no que diz respeito
à unicidade da imagem para
cada elemento do domínio;
o exercício 3 se aproxima
das situações problema em-
pregadas como exemplo; e
no exercício 4 pode ser ex-
plorada a proporcionalida-
de entre as duas grandezas.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam
relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
220 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
1 Responda oralmente às questões.
Em certa loja, uma blusa custa R$ 40,00 a
unidade, não importando a quantidade que
se compre.
a) Na compra de 2 blusas, qual será o valor
pago? E na compra de 10 blusas?
b) Para cada quantidade comprada dessa blu-
sa, o preço associado é único?
sim
c) A relação entre a quantidade de blusas com-
pradas e o preço a ser pago é uma função?
d) Determine o preço pago (y), como uma
função do número de blusas compradas (x).
R$ 80,00; R$ 400,00
sim
y 5 40x
PRESSMASTER/SHUTTERSTOCK
3 Em um estacionamento, são cobradas as se-
guintes tarifas:
• pela 1
a
hora: R$ 10,00;
• pela 2
a
hora e seguintes: R$ 2,00 por hora.
Se x representa o número de horas que um
carro permaneceu no estacionamento e y, o
valor a ser pago, qual é a lei da função que
fornece y em função de x?
resposta possível:
y 5 10 1 2 8 (x 2 1)
4 Uma máquina produz 8 litros de sorvete a cada
10 minutos. Assim, a produção p depende da
quantidade t de minutos em que a máquina
produz.
Escreva a lei dessa função, que fornece p em
função de t.
PHOTOFUSION/UNIVERSALIMAGES
GROUP/ GETTY IMAGES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2 Responda:
a) Considerando a relação que associa uma
mãe a cada filho dela, podemos dizer que
essa relação é uma função?
b) Considerando a relação que associa cada
filho à mãe biológica dele, podemos dizer
que essa relação é uma função?
Sim, pois qualquer filho tem uma única
mãe biológica.
G. EVANGELISTA/OPÇÃO BRASIL
b) Se José quiser construir um galinheiro quadrado, qual será a largura?
Nesse caso, a largura x deverá ser igual ao comprimento f (x

). Assim, substituímos f (x

)
por x na lei f (x

) 5 16 2 2x.
x 5 16 2 2x
3x 5 16
x 5
3
16
Logo, se José construir um galinheiro quadrado, ele terá
3
16
metros de largura.
Não, pois pode existir uma mãe que
esteja associada a mais de um filho.
resposta possível: pt
10
8
53

279. 221BIMESTRE 4
Exercícios propostos
Peça aos alunos que resol-
vam o exercício 10 em du-
plas, estimulando a troca
de ideias sobre as diferentes
possibilidades de represen-
tar esse retângulo. Acom-
panhe as resoluções e faça
as intervenções necessárias
para que eles utilizem ade-
quadamente a ideia de fun-
ção nesse contexto.
No item a, é preciso encon-
trar a relação que possibili-
ta calcular a área desse re-
tângulo. Com a afirmação
“com 10 m de comprimento
e a largura com x metros a
menos”, podemos escrever
que:
Largura Comprimento
Área do
retângulo
10 10 2 x 10(10 2 x) 5
5 100 2 10x
Assim, podemos montar o quadro solicitado:
Valor de x Área
1 A 5 100 2 10 8 1 5 90
2 A 5 100 2 10 8 2 5 80
3 A 5 100 2 10 8 3 5 70
4 A 5 100 2 10 8 4 5 60
5 A 5 100 2 10 8 5 5 50
No item b, para chegar à
conclusão de que o valor
de x não pode ser igual ou
maior que dez, os alunos po-
dem atribuir valores para x
na expressão A 5 100 2 10x
ou usar diretamente a afir-
mação de que a largura tem
“x metros a menos que os
10 m do comprimento”.
No item c, temos uma gene-
ralização da relação obser-
vada no item anterior. Vale
comentar com os alunos que
podemos atribuir a x quais-
quer valores que estiverem
nesse intervalo, sejam eles
naturais ou não. Essa res-
salva é importante, pois, no
item a, eles fizeram apenas
“testes” com números natu-
rais e podem acreditar que
só esses números são válidos
na relação.
12
x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
221CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
8 Reúna-se com um colega para resolver a ati-
vidade a seguir.
Certo fabricante de pirulitos tem uma despesa
diária fixa de R$ 27,00, mais R$ 0,30 por pi-
rulito produzido. Ele vende cada pirulito por
R$ 1,20.
a) Represente o custo diário c em função da
quantidade n de pirulitos produzidos.
b) Se em um dia ele vender 200 pirulitos, terá
lucro ou prejuízo? De quanto?
c) Qual é o número mínimo de pirulitos que
esse fabricante deverá vender por dia para
ter lucro?
31 pirulitos
d) Para esse fabricante ter um lucro de R$ 45,00,
quantos pirulitos deverá vender?
e) Quantos pirulitos ele deve vender por dia
útil para que, no fim de um mês com 22 dias
úteis, lucre 6 salários mínimos?
f) Expliquem para a outra dupla como vocês
chegaram às respostas das questões.
lucro; R$ 153,00
f) Resposta pessoal.
6 Considerando a função f cuja lei é f (x) 5 4x 1 9,
determine:
a) f (2);
17
b) f
2
1
eo; 11
c) f (22); 1
d) f (20,3); 7, 8
e) ()f2. 42 91
a) Represente a área desse losango em função
da medida da diagonal menor.
b) Calcule a área desse losango quando a
diagonal menor medir 7 cm.
42 cm
2
c) Quanto deve medir a diagonal menor para
que a área desse losango seja 45 cm
2
?
7,5 cm
5 Faça o que se pede.
a) Represente o comprimento y em função de
x, na figura a seguir.
y 5 x 1 6
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
b) Determine o perímetro y em função de x,
nos polígonos a seguir.
ADILSON SECCO
9 A produção de uma fábrica onde trabalham
121  funcionários é dada por
yx505 , em
que y representa a quantidade, toneladas, de
certo produto fabricado mensalmente e x re- presenta o número de funcionários.
a) Calcule quantas toneladas a mais serão pro-
du zidas, em um mês, com a contratação de
48 novos funcionários.
100 toneladas
b) Se o número de funcionários fosse qua-
druplicado, a produção também seria
quadruplicada? A variação do número de
funcionários é proporcional à variação
da produção?
não, seria duplicada; não
y 5 5x 1 4,5
y 5 4x 1 4
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
7 A diagonal maior de um losango mede 12 cm.
10 Faça um desenho representando um retân gulo
com 10 m de comprimento e a largura com x
metros a menos.
a) Construa um quadro colocando na primeira
linha os valores 1, 2, 3, 4 e 5 para x e, na
segunda linha, a área (A) do retângulo.
b) Pode-se atribuir a x um valor igual a 10 ou
maior que 10? Justifique sua resposta.
c) Escreva uma dupla desigualdade, do tipo
a  x  b, para indicar os valores reais que
x pode assumir.
0  x  10
b) Não, pois a largura seria nula ou negativa.
11 Hora de criar – Troque com um colega um
problema sobre lei de uma função, criado por
vocês. Depois de cada um resolver o proble-
ma elaborado pelo outro, destroquem para
corrigi-los.
Resposta pessoal.
x6
y
3x
2x
4,5
x + 2
x
a) resposta possível: y
x
2
12
5
3
e) A resposta depende do
salário mínimo vigente.
a) c 5 27 1 0,30n
80 pirulitos
construção de quadro

280. 222
Pense mais um
pouco...
Comente com os alunos que,
por convenção cartográfica,
todos os mapas devem ter
rosa-dos-ventos, que indica
a orientação geográfica.
A questão d coloca uma si-
tuação problema recorrente
nos procedimentos das tor-
res de aeroportos em cartas
aeronáuticas para o contro-
le do tráfego aéreo ou nas
cartas náuticas de embarca-
ções marítimas.
A não observância do cál-
culo de distâncias compara-
tivo com a autonomia das
aeronaves, por meio do uso
de escalas, pode ocasionar
desastres.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
222 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Elaborado a partir de: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro, 2012. 6. ed. p. 90.
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Considerando a escala indicada no mapa, resolva as questões.
a) Escreva a lei da função que fornece a distância real y, em quilômetro, entre duas cidades do mapa
em função da distância x, em centímetro, medida no mapa.
y 5 x 8 450
b) Use uma régua para medir a distância entre São Paulo e Florianópolis em linha reta. Em seguida,
calcule a distância real entre essas duas cidades.
495 km
c) Qual capital está a 1.800 km de Brasília? Natal
d) Um pequeno avião tem autonomia de voo igual a 1.350 km. Se ele partisse de Belo Horizonte, a
quais das cidades destacadas no mapa ele conseguiria chegar sem precisar reabastecer?
Brasília, Florianópolis, Curitiba, São Paulo, Rio de Janeiro, Campo Grande,
Goiânia, Palmas, Aracaju, Salvador, Vitória
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Observe o mapa abaixo.
EQUADOR
TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO
OESTE DE GREENWICH60
20
0
70 50 40
0
GUIANA
FRANCESA
(FRA)SURINAME
VENEZUELA
COLÔMBIA
PERU
BOLÍVIA
CHILE
ARGENTINA
PARAGUAI
URUGUAI
GUIANA
DISTRITO
FEDERAL
AMAPÁ
PARÁ
AMAZONAS
MATO GROSSO
MATO GROSSO
DO SUL
TOCANTINS
GOIÁS
BAHIA
PIAUÍ
CEARÁMARANHÃO
MINAS
GERAIS
SÃO
PAULO
RIO DE JANEIRO
PARANÁ
RIO GRANDE
DO SUL
SANTA
CATARINA
ESPÍRITO SANTO
RIO GRANDE
DO NORTE
PARAÍBA
PERNAMBUCO
ALAGOAS
SERGIPE
ACRE
RONDÔNIA
RORAIMA
OCEANO
ATLÂNTICO
OCEANO
PACÍFICO
Teresina
Manaus
Macapá
Belém
São Luís
Fortaleza
Palmas
João Pessoa
Natal
Maceió
Recife
Aracaju
Salvador
Belo
Horizonte
Florianópolis
Porto Alegre
Curitiba
São Paulo
Rio de Janeiro
Campo
Grande
Cuiabá
Porto
Velho
Boa Vista
Rio
Branco
Goiânia
Brasília
Vitória
MAPA POLÍTICO BRASILEIRO
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
450 km

281. 223BIMESTRE 4
Para saber mais
Seja de qual for o compo-
nente curricular, não pode-
mos prescindir do seu espaço
na História. Assim, o texto
desta seção descreve de ma-
neira sucinta a trajetória ob-
servável do conceito função.
Em textos de História da Ma-
temática, é comum a origem
ser citada com cautela, mui-
tas vezes por meio de refe-
rências a registros incomple-
tos de terceiros, ou seja, não
menciona registros originais.
Com o tempo, as informa-
ções tornam-se mais confiá-
veis e mais abundantes.
O objetivo aqui é mostrar
aos alunos que o conheci-
mento matemático apren-
de, reinventa, é fruto do tra-
balho intelectual contínuo e
progressivo de muitas pes-
soas dedicadas à evolução
da ciência.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
223CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
PARA SABER MAIS
Função, um longo caminho na história da Matemática
Não sabemos exatamente quando o conceito de função foi usado pela primeira vez.
Sabe-se que os babilônios, cerca de 2000 a.C., construíram tabelas sexagesimais de qua-
drados e de raízes quadradas, as quais podem ser consideradas tabelas de funções.
Antigos registros mesopotâmicos sobre lunações (espaços entre duas luas novas con-
secutivas) representavam, por meio de tabelas, a relação entre as fases da Lua e o período
de tempo solar. Os babilônios valorizavam essas tabelas, pois elas estabeleciam uma cor-
respondência de valores. Eles as utilizavam não somente para obter as informações que
continham, mas também para avaliar os resultados correspondentes a valores intermediá-
rios, calculados por meio de aproximações por segmentos de reta.
O emprego das aproximações na Antiguidade significa a aplicação de uma relação fun-
cional elementar, pois é uma simples pro por cio nalidade e constituiu o primeiro passo rumo
ao desenvolvimento posterior de noções mais gerais de função.
Novas contribuições, ainda implícitas, para o desenvolvimento do conceito de função
surgiram muito depois, no final da Idade Média, como as do matemático francês Nicole
Oresme (1323-1382).
As ideias mais explícitas de função parecem ter surgido
somente na época de René Descartes (1596-1650), mate-
mático e filósofo francês que adotou equações em x e em
y para introduzir uma relação de dependência entre quanti-
dades variá veis, de modo a permitir o cálculo de valores de
uma delas por meio do valor da outra.
Foi somente a partir dos trabalhos do físico e matemático
inglês Isaac Newton (1642-1727) e do matemático alemão
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) que a palavra
função, na sua forma latina equivalente, parece ter sido
introduzida. Eles fizeram as primeiras contribuições efetivas
para o desenvolvimento desse conceito.
Por volta de 1718, o matemático suíço Johann Bernoulli (1667-1748) chegou a considerar
uma função como uma expressão qualquer, formada de uma variável e algumas constantes.
Usou várias notações para uma função de x, sendo fx a mais próxima da que usamos hoje.
O suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos maiores matemáticos de sua época, também
trabalhou com funções e introduziu a notação f(x), hoje padronizada.
Posteriormente, outros matemáticos, como Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813),
Jean-Baptiste Fourier (1768 -1830) e Johann Dirichlet (1805-1859), contribuíram significa -
tivamente para o desenvolvimento do conceito de função.
A teoria dos conjuntos, criada pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 -1918), am-
pliou o conceito de função até chegar à definição conhecida atualmente.
Retrato de René Descartes
feito por Frans Hals em cerca
de 1649. Óleo sobre tela.
77,5 cm 3 68,5 cm.
MUSEU DO LOUVRE, PARIS

282. 224
Gráfico de uma
função
Gráficos de função consti-
tuem toda uma linguagem
própria e são determinan-
tes na interpretação de fe-
nômenos das ciências em
geral e da própria Matemá-
tica. O local onde “se encon-
tram” é o plano cartesiano.
Os gráficos espelham a fun-
ção por meio de pontos do
plano cartesiano que podem
formar linhas retas ou cur-
vas, intercaladas ou contí-
nuas, limitadas ou ilimitadas.
Nesta página, após atribuir-
mos valores a x e fazermos
os cálculos das ordenadas,
com os pares ordenados or-
ganizados no quadro, temos
o gráfico das funções f e g
dadas pela mesma lei, f(x) 5
5 x 1 1, porém com domí-
nios diferentes: a função f
definida para números in-
teiros e a função g defini-
da para números racionais.
No gráfico de f ,destaca-se o
fato de que os infinitos pon-
tos são alinhados, mas não
formam uma reta.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
224 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Gráfico de uma função
Considere a função f dada pela lei y 5 x 1 1, em que x representa um número inteiro qual-
quer. Vamos construir seu gráfico.
Para isso, atribuímos valores inteiros a x e cal-
culamos os valores de y, determinando os pares
ordenados correspondentes. Esses dados foram
organizados no quadro ao lado.
Para representar graficamente essa função,
vamos marcar, em um plano cartesiano, os pon-
tos determinados por esses pares ordenados. Os
pontos marcados são apenas alguns dos pontos do
gráfico dessa função, pois existem infinitos pares
ordenados (x, y) que satisfazem a lei y 5 x 1 1,
sendo x um número inteiro.
y
x–1
–1
–2 1 2 30
1
2
4
Gráfico de f
ADILSON SECCO
Considere agora uma função g dada pela mesma
lei da função f, y 5 x 1 1, porém com x represen-
tando um número racional qualquer.
Como todo número inteiro é também um número
racional, todos os pontos do gráfico de f também
são pontos do gráfico de g. Além desses pontos,
podemos obter outros. Veja:
x y 5 x 1 1 (x, y)
20,5 y 5 20,5 1 1 5 0,5 (20,5; 0,5)
0,5 y 5 0,5 1 1 5 1,5 (0,5; 1,5)
2
3
y 5
2
3
1
2
5
15 ,
2
3
2
5
eo
2,3 y 5 2,3 1 1 5 3,3 (2,3; 3,3)
Quadro com alguns pontos do gráfico de g
y
x–1–0,50,5
–1
0,5
–2 1 2 2,330
1
2
5
2
—
3
2
––
1,5
4
3,3
Gráfico de g
ADILSON SECCO
Note que há uma reta que passa por
esses pontos, porém nem todos os
pontos da reta são pontos do gráfico.
Por exemplo, no gráfico não há um
ponto de abscissa 0,5, pois 0,5 não é
um número inteiro.
SIDNEY MEIRELES
x y 5 x 1 1 (x, y)
22 y 5 22 1 1 5 21 (22, 21)
21 y 5 21 1 1 5 0 (21, 0)
0 y 5 0 1 1 5 1 (0, 1)
1 y 5 1 1 1 5 2 (1, 2)
3 y 5 3 1 1 5 4 (3, 4)
Quadro com alguns pontos do gráfico de f

283. 225BIMESTRE 4
Orientações
Aqui também destaca-se, no
gráfico de g, o fato de que
os pontos são alinhados e,
embora incluídos outros in-
finitos pontos, não formam
uma reta. A explicação vem
no boxe Observação: infini-
tos não significa todos.
A seguir, temos a função h,
definida pela mesma lei de
f e de g , porém agora com
domínio real. Neste caso,
afirmamos, sem demonstrar,
que o gráfico é uma reta.
Neste nível de estudos, não
é possível demonstrar essa
afirmação. Peça aos alunos
que atribuam um número
real qualquer a x, obtenham
h(x), localizem o ponto
(x, h(x)) e observem que ele
pertence à reta que é gráfi-
co de h.
y
x–1 0,5
–1
zero da
função
–2 1 2 2,330
1
2
5
2
––
3
2
—
1,5
4
3,3
2
2 + 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
225CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Também neste caso não foram marcados todos os pontos do gráfico de g, pois existem
infinitos pares ordenados (x, y

), sendo x um número racional, que satisfazem a lei y 5 x 1 1.
Agora, vamos considerar uma função h dada pela mesma lei da função f, y 5 x 1 1, porém
com x representando um número real qualquer.
Gráfico de h
ADILSON SECCO
Os pontos obtidos para os gráficos das fun-
ções f e g também são pontos do gráfico de  h,
pois os números inteiros e os números racionais
são números reais. Além desses pontos, devemos
considerar aqueles cujos pares ordenados (x, y)
satisfazem a lei y 5 x 1 1, sendo x um número ir-
racional, como x 5 2
q 1,4, ou seja, ,22 11`j .
Novamente, é possível perceber que há uma reta
passando pelo gráfico da função
g. Embora haja nesse
gráfico infinitos pontos dessa reta, nem todos os pontos
dela pertencem ao gráfico de
g, como o ponto de
abscissa
x =
2, pois 2 não é um número racional.
Neste caso, em que x
representa todos os
números reais, podemos
traçar a reta que passa
pelos pontos obtidos.
SIDNEY MEIRELES
SIDNEY MEIRELES
Observação
CCO termo infinitos não significa todos, por isso não podemos traçar a reta que passa pelos
pontos obtidos no gráfico da função g. Imagine esse gráfico como “uma reta com buracos”.
Zero de uma função
No exemplo anterior, observe que a abscissa do ponto que tem y 5 0 é x 5 21. Esse valor
de x é chamado de zero da função.
Zero da função é todo valor de x para o qual y é igual a zero, ou seja, é
a abscissa do ponto onde o gráfico da função cruza o eixo dos x.
Desse modo, para calcular o zero da função do nosso exemplo, basta resolver a equação
x 1 1 5 0. Assim, obtemos x 5 21.

284. 226
Orientações
O zero de uma função, de-
finido na página anterior,
tem papel importante no es-
tudo das funções em geral.
Convém sugerir uma revisão
aos alunos que apresenta-
rem dificuldade na resolu-
ção de equações.
Uma maneira prática de ve-
rificar se um gráfico repre-
senta uma função é usando
régua e esquadro. Posiciona-
mos a régua paralelamente
ao eixo da variável depen-
dente x e encostamos um
dos lados do ângulo reto do
esquadro na reta, fazendo-o
correr por ela. Nesse proce-
dimento, devemos observar
o outro lado do ângulo reto.
Para qualquer valor de x , se
ele cortar o gráfico em mais
de um ponto, o gráfico não
representa função.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
x
y
43212324 2221
21
1
2
3
r s
0 x
y
4321232221
21
1
2
3
r s t
0
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
226 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Como reconhecer o gráfico de uma função
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Em ambos os casos, qualquer reta perpendicular ao eixo dos x interceptará os gráficos
em um único ponto. Logo, cada um desses gráficos representa uma função, pois, para
qualquer valor de x, temos um único valor de y correspondente.
a)
Veja estes outros exemplos em que obtemos o zero da função dada pela lei:
a) y = 4x 1 9
Basta atribuir a y o valor zero: 0 = 4x 1 9 ou 4x 1 9 = 0.
4x = 29 V x =
4
9
2 ou x = 22,25
O zero da função dada por y = 4x 1 9 é 22,25.
b) y = x
2
2 121
Basta atribuir a y o valor zero: 0 = x
2
2 121 ou x
2
2 121 = 0.
x
2
= 121 V x = 11 ou x = 211
Os zeros da função dada por y = x
2
2 121 são 11 e 211.
Já vimos que, quando y é função de x, para cada valor de x existe um único valor de y.
Desse modo, em um gráfico de função, para cada abscissa haverá somente um ponto
correspondente no gráfico. Podemos verificar isso geometricamente, traçando retas perpen-
diculares ao eixo dos x.
Veja alguns exemplos.
Daqui em diante, vamos considerar,
salvo observação em contrário, apenas
as funções que tenham para valores
de
x todos os números reais.
SIDNEY MEIRELES

285. 227BIMESTRE 4
Exercícios propostos
Para o exercício 12, temos os
seguintes gráficos:
a)
22
22
2 321
21
1
1
2
x
y
b)
x
y
32
1
1
21
22
2
2122
Para o exercício 13, apresen-
tamos uma possível resolu-
ção:
a)
x (tempo,
em h)
0 1 2 3 4 5
y (distiancia
percorrida,
em km)
0 80 160 240 320 400
A lei da função que fornece
y em relação a x é: y 5 80x.
b) A variável x não pode
assumir valores negativos
porque representa o tem-
po em que um automóvel
faz determinado percurso a
partir de um instante inicial
(x 5 0).
c) É uma semirreta que tem
um início (origem) no ponto
(0, 0).
d)
543
240
320
400
160
210
80
x
y
REINALDO VIGNATI FERNANDO JOSÉ FERREIRA REINALDO VIGNATI
x
y
321232221
21
22
23
1
2
3
r s
0
r
x
y
4
3
21232221
23
22
21
1
2
3
0
y
x–2 0 1 2 3
2
1
–1–3
y
x0 1
1
–11
2
–—
1
2
—
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
227CAPÍTULO 10
ESTUDO DAS FUNÇÕES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Observe, em cada caso, que a reta r, perpendicular ao eixo dos x, intercepta os gráficos
em dois pontos com ordenadas (

y

) diferentes. Então, esses gráficos não representam
função, pois existe valor de x com dois valores de y correspondentes.
b)
15 Determine o zero das funções dadas por:
a) y 5 x 1 3
23 b) y 5 23x
2
1 6
22e2 c) y 5 3x 1 18 26
13 Um automóvel percorre uma estrada à velocidade constante de 80 km por hora.
a) Indicando por x o tempo transcorrido (em hora) e por y a distância percorrida (em quilômetro),
monte uma tabela com os seguintes valores para x: 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Em seguida, escreva a lei da
função que fornece y em relação a x.
y 5 80x
b) A variável x pode assumir qualquer número real, por exemplo um número negativo? não
c) O gráfico dessa função é uma reta ou uma semirreta?
d) Represente, em uma folha de papel quadriculado, o gráfico correspondente.
construção de gráfico
12 Considere a função dada pela lei y 5 2x 1 1. Construa em uma folha de papel quadriculado o gráfico
dessa função, sendo:
construção de gráfico
a) x um número inteiro qualquer;
b) x um número real qualquer.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
a) 23 b) 1
14 Determine o zero das funções representadas nos gráficos a seguir.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
13. c) Espera-se que o aluno perceba que, como x só pode assumir o valor zero ou maior do que zero,
o gráfico é uma semirreta.

286. 228
Pense mais um
pouco...
Nesta seção, temos como
possíveis respostas:
a)
Preço total das revistas
Número de
exemplares
Preço total
(reais)
0 0
1 6
2 12
3 18
4 24
5 30
6 36
b)
39
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
1 2 3 4 5 6 7
x
y
c) Discuta com os alunos
uma possível resposta em
que número de revistas a
serem compradas só pode
ser um número natural, pois
compramos revistas por in-
teiro e não parte delas.
d) Após ter realizado diver-
sas atividades em que é ne-
cessário encontrar a lei de
formação de uma função, os
alunos farão o mesmo nas
questões a e b, mas o foco
principal será observar por
que essa função não pode
ser representada por uma
reta e o que significa ser uma
grandeza discreta. Levante
com os alunos exemplos de
outras situações que envol-
vem grandezas discretas.
WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
y
x0–1
1
y
x02
y
x01
y
x0
2
y
x0
–2
2
y
x0
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
228 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
a)
c)
b)
d)
16 Observe os gráficos a seguir e identifique aqueles que representam funções. Justifique sua resposta.
e)
f)
As alternativas a, d e f representam funções, pois para cada valor de x existe um único valor de y.
Pense mais um pouco...
Sabendo que o preço de uma revista é 6 reais, faça o que se pede.
a) Construa um quadro que apresente o preço de 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 exemplares dessa revista.
b) Represente em um plano cartesiano os pares ordenados (x, y) do quadro, colocando no eixo dos
x o número de revistas e no eixo dos y o preço a pagar.
construção do gráfico
c) É possível comprar 4,5 revistas? E 3
revistas? Justifique sua resposta.
d) Você pode traçar uma reta por esses pontos para representar o gráfico? Por quê?
construção
de quadro
não; não; Resposta pessoal.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Não, porque a
quantidade de revistas é uma grandeza discreta, ela é representada pelos números naturais e não pelos reais.

287. 229BIMESTRE 4
Função polinomial do
1
o
grau
Verifique se é necessário
fazer uma breve revisão do
que é um polinômio. Ques-
tione os alunos sobre o mo-
tivo da restrição a i 0. Per-
gunte como ficaria a lei de
formação caso a fosse igual
a zero. Eles devem concluir
que a lei não seria dada por
um polinômio do 1
o
grau,
portanto deixaria de ser
uma função do 1
o
grau.
Exercícios propostos
Comente com os alunos que
o exercício 19, item d, pede
para calcular o zero da fun-
ção f e que o procedimento
para obtermos o zero de
qualquer função é resolver a
equação f(x) 5 0.
Explore o exercício 20 soli-
citando aos alunos que res-
pondam: x pode assumir o
valor 1.000.000.000? (Sim.)
Existe x de modo que f(x)
seja igual a 60? (Não.) Como
seria a figura se f (x) fosse
igual a 70? (Seria um seg-
mento de reta.)
x
x
x
25
25
35
x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
229CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
2
Função polinomial do 1
o
grau
Considere o pentágono da figura ao lado. Nele, as medidas são
dadas em centímetro. O perímetro desse polígono depende dos va-
lores que forem atribuídos a x. Indicando o perímetro por y, temos:
y 5 3x 1 50
A função definida pela lei y 5 3x 1 50 é um exemplo de função polinomial do 1
o
grau.
NELSON MATSUDA
Veja outros exemplos de funções polinomiais do 1
o
grau, dos quais destacamos os valores
de a e b.
a) y 5 2x 2 1, sendo a 5 2 e b 5 21.
b) yx
2
3
552 1 sendo a
2
3
52 e b 5 5.
c) y 5 25x, sendo a 5 25 e b 5 0. Em ca-
sos como este, nos quais b 5 0, chama-
mos a função polinomial do 1
o
 grau de
função  linear.
d) y
x
2
5 sendo a
2
1
5 e b 5 0.
Uma função polinomial do 1
o
grau é toda função dada por uma lei de
formação do tipo y 5 ax 1 b, sendo os coeficientes a e b números reais
e a i 0, e é definida para todo x real.
Para simplificar a
linguagem, podemos nos
referir a uma função
diretamente por sua lei de
formação. Assim, diremos,
por exemplo, “a função
y = 8x 2 3” em vez de
“a função definida pela lei de
formação
y = 8x 2 3”.
SIDNEY MEIRELES
17 Identifique as leis que representam funções
polinomiais do 1
o
grau. alternativas a, b, d, f
a) y 5 x 1 3 d) y 5 24x
b) y 5 25x 1 1 e) y 5 x
2
2 5x 1 6
c) y 5 x
2
2 3x f) y 5 2 2 x
18 Dados a e b, escreva a lei de cada função po-
linomial do 1
o
 grau, em que y = ax 1 b.
a) a 5 2 e b 5 21
y 5 2x 2 1
b) a
2
1
5 e b 5 0 y
x
2
5
c) ab2
2
1
e55 2 yx2
2
1
52
d) ab
3
1
3
1
e52 52 y
x
33
1
52 2
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
NELSON MATSUDA
Determine:
a) o perímetro y em função de x

;
b) o perímetro para x 5 12,5;
95
c) o valor de x para que se tenha y 5 90. 10
y 5 2x 1 70
19 Dada a função definida pela lei f (x) 5 5x 2 4
com x real, determine:
a) f (21);
29
20 Considere o retângulo abaixo.
b) f
5
3
2eo 27
c) o valor de x para que se tenha f (x) 5 6; 2
d) o valor de x para que se tenha f (x) 5 0.
5
4

288. 230
Exercícios propostos
Para complementar o exer-
cício 22, peça aos alunos que
façam pesquisas a respeito
de diferentes altitudes en-
contradas no Brasil e, em se-
guida, montem uma tabela
comparando as diferentes
temperaturas de ebulição
da água nessas altitudes.
Essa pesquisa pode ser feita
com o auxílio do professor
de Geografia, promovendo
um trabalho conjunto com
essa área do conhecimento.
Comente com os alunos
que as funções aplicadas
em situações como as dos
exercícios 20 a 23 sofrem
restrição quanto aos valores
(domínio) que a variável (in-
dependente) pode assumir.
Apresentamos a seguir uma
possível resolução para o
exercício 23.
a) A cada 3 minutos, o re-
gistro despeja 25 litros de
água, em um crescimento
diretamente proporcional,
o que nos permite escrever a
seguinte proporção:
t
v
5
3
25
, em que t é o tempo
decorrido para despejar v li-
tros de água na caixa.
Considerando v 5 1.000 li-
tros (caixa cheia), temos:
t
v
5
3
25
.
Então, para v 5 1.000, te-
mos:
t
1.000
5
3
25
Æ t 5
3 8 1.000
25
.5
5 120
A caixa estará cheia após
120 minutos ou 2 horas.
b) Do mesmo modo, aos 15
minutos, podemos escrever:
15
v
5
3
25
Æ v 5
15 8 25
3
5 125
A cada 15 minutos a caixa enche 125 litros.
c) Como a cada 15 minutos,
o registro despeja 125 litros
de água (item b ), podemos
montar o quadro a seguir:
t (tempo, em
minutos)
0 15 30 45 60 75 90 105 120
v
(quantidade
de água, em
litros)
0 125 250 375 500 625 750 875 1.000
a) A lei da função é:
v(t) 5
25
3
t
Pergunte aos alunos por que o gráfico de uma função polinomial do 1
o
grau não pode ser uma reta ver-
tical. Eles devem responder que uma reta vertical não representa o gráfico de função, pois para um único
valor de x corresponderia mais de um valor de y.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
1.000 c
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
230 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Responda:
a) Qual é a temperatura de ebulição da água
a 2.400 m de altitude?
97,6 °C
b) Qual é a temperatura de ebulição da água
ao nível do mar?
100 °C
22 A lei que fornece a temperatura T, em grau
Celsius, de ebulição da água de acordo com a
altitude h, em metro, é: T 5 100 2 0,001h.
21 Considerando um quadrado cujo lado mede
x cm, determine:
a) o perímetro do quadrado em função de x;
b) o perímetro para x 5 10.
40 cm
p 5 4x
DANILLO SOUZA
a) Considerando que a caixa-d’água esteja
vazia, em quanto tempo ela ficará cheia
depois que o registro for aberto?
b) Se o registro permanecer aberto por 15 mi-
nutos, quantos litros de água serão despe-
jados na caixa durante esse tempo?
c) Faça um quadro indicando o volume de
água que haverá na caixa de 15 em 15 mi-
nutos até ela ficar cheia.
d) Qual é a lei da função que representa o
volume de água v em função do tempo t do
registro totalmente aberto?
v
t
25
3
53
120 minutos
ou 2 horas
125 litros
construção de quadro
CLÁUDIO CHIYO
Gráfico de uma função polinomial do 1
o
grau
x y 5 2x 1 1 (x, y)
21 21 (21, 21)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
Quadro com alguns pontos do gráfico da função
a) Vamos representar graficamente a função polinomial do 1
o
grau definida pela lei y 5 2x 1 1.
23 Uma caixa-d’água de 1.000 c de capacidade
é alimentada por um registro que, totalmente
aberto, despeja 25 c de água a cada 3 minutos.
O gráfico de uma função polinomial
do 1
o
grau é sempre uma reta
não perpendicular ao eixo
x.
Veja os exemplos a seguir.
SIDNEY MEIRELES
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!

289. 231BIMESTRE 4
Orientações
Solicite aos alunos que, na
função do exemplo a, atri-
buam a x quatro números
inteiros e consecutivos e
calculem os respectivos valo-
res da função. A seguir, per-
gunte a eles o que acontece
com a variação dos valores
de y cada vez que x aumen-
ta de 1 unidade.
Pergunte também se isso é
uma regularidade para essa
função, isto é, se acontece
sempre. Espera-se que eles
percebam que y aumenta
2 unidades e que, para essa
função, isso é uma regulari-
dade, acontece sempre que
x aumenta 1 unidade.
Solicite que façam o mesmo
para a função do exemplo b.
Espera-se que eles percebam
que y diminui 2 unidades e
que, para essa função, isso é
uma regularidade, aconte-
ce sempre que x aumenta 1
unidade.
Exercícios propostos
Após resolverem o exercício
24, pergunte aos alunos o
que acontece com a variação
dos valores de y cada vez
que x aumenta 1 unidade.
Pergunte também se isso é
uma regularidade para essa
função. Eles devem respon-
der que y diminui 1 unidade
e que, para essa função, isso
é uma regularidade.
x
y
4321–4–3 –2 –1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
00 x
y
4321–4–3 –2 –1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
00
x
y
321–2 –1
1 2
3
4
0
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
231CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Indicação dos pontos
encontrados no quadro Gráfico da função
Como uma reta pode ser determinada por dois pontos distintos, então, para construir o
gráfico de uma função polinomial do 1
o
grau, é suficiente representar apenas dois pontos
no plano cartesiano e traçar a reta que passa por esses pontos.
x y 5 22x (x, y)
0 0 (0, 0)
1 22 (1, 22)
Quadro com dois pontos do gráfico da função
x
y
4321–4–3 –2 –1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
0
1
Gráfico da função
b) Vamos representar graficamente a fun-
ção polinomial do 1
o
grau definida pela lei
y 5 22x.
O gráfico de uma função polinomial do 1
o
grau do tipo y 5 ax é sempre uma
reta, não perpendicular ao eixo
x, que passa pela origem do plano cartesiano.
A função polinomial do 1
o
grau definida pela lei y 5 22x é um exemplo
de função com essa característica.
SIDNEY MEIRELES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
24
Observe o gráfico de uma função para responder às
questões abaixo.
a) Qual é o valor de y quando x 5 2?
0
b) Para que valor de x temos y 5 4? 22
NELSON MATSUDA

290. 232
Exercícios propostos
Para o exercício 25, o gráfi-
co pode ser:
0
1
1
2
2
x
y
34
3
4
Para o exercício 26, o gráfi-
co solicitado pode ser:
1
212223
1
2
2 x
y
345
3
23
22
21
Os dados dos exercícios 25
e 27 para a obtenção da lei
da função são equivalentes,
com enfoque dado à diver-
sidade da linguagem. No
exercício 25 são dados um
ponto por suas coordenadas
e o tipo da lei; no exercício
27, as coordenadas de um
ponto são dadas pelo gráfi-
co que passa pela origem do
plano cartesiano, o que indi-
ca o tipo de função (linear)
e o tipo de lei y 5 ax.
Peça aos alunos que resol-
vam os exercícios 28 e 29 in-
dividualmente e, em segui-
da, solicite que troquem de
caderno com outro colega,
de modo que cada um corri-
ja a resolução do outro.
Comente sobre as posições
relativas das retas que re-
presentam os gráficos de f e
g (concorrentes, no 28) e de
h e i (paralelas).
Pense mais um
pouco...
A seção induz os alunos a
uma antecipação informal
dos conceitos de função
crescente e função decres-
cente e a optar pela de-
nominação adequada às
características da variação,
estimulando-os a se torna-
rem agentes participativos
de seu aprendizado.
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam
relações funcionais entre duas variáveis.
50
40
Volume (cm
3
)
Massa (g)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
232 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
25 O par ordenado (2, 8) representa um ponto do
gráfico de uma função polinomial do 1
o
grau
do tipo y 5 ax.
a) Determine o valor de a da lei dessa função.
b) Determine o valor de y para x 5 3,5.
14
c) Dê o valor de x para que se tenha y 5 0.
d) Represente graficamente essa função em
uma folha de papel quadriculado.
4
0
construção de gráfico
28 Usando uma folha de papel quadriculado,
represente graficamente, em um mesmo plano cartesiano, as funções polinomiais do 1
o
grau dadas pelas leis: f (x) 5 3x 1 1 e
g (x) 5 22x 1 6.
Em seguida, responda:
a) Para que valor de x temos f (x) 5 0?
3
1
2
b) Qual é a abscissa do ponto onde o gráfico
da função g corta o eixo dos x ?
3
c) Qual é a ordenada do ponto onde o gráfico
da função f corta o eixo dos y ?
1
d) Para que valor de x temos f (x) 5 g (x)? 1
NELSON MATSUDA
Determine:
a) a lei da função;
y 5 1,25x
b) a massa (em grama) de 30 cm
3
de álcool.
24 gramas
27 O gráfico a seguir mostra a variação do volume
de álcool em função de sua massa.
29 Ainda no papel quadriculado, construa o
gráfico, em um mesmo plano cartesiano, das
funções polinomiais do 1
o
grau dadas pelas
leis: h (x) 5 23x 1 1 e i (x) 5 23x 1 6.
Em seguida, responda:
a) Quais são as coordenadas do ponto em que
o gráfico de h corta o eixo dos x ? E o eixo
dos y ?
b) Quais são as coordenadas do ponto em que
o gráfico de i corta o eixo dos x? E o eixo
dos y?
(2, 0); (0, 6)
c) Os gráficos de h e de i têm ponto comum?
d) Para que valor de x temos h (x) 5 i (x)?
não
26 Considere a função polinomial do 1
o
grau de-
finida pela lei y 5 x 2 3.
a) Represente graficamente essa função em
uma folha de papel quadriculado.
b) Qual é a abscissa do ponto em que a reta
corta o eixo dos x ?
3
c) Qual é a ordenada do ponto em que a reta
corta o eixo dos y ?
23
construção de gráfico
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Pense mais um pouco...
1. Em folha de papel quadriculado e em um mesmo plano cartesiano para cada item, construa os
gráficos das funções:
construção de gráfico
a) y 5 20,5x 1 3 e y = 0,5x 1 3
b) y 5 2x 1 3 e y 5 x 1 3
c) y 5 22x 1 3 e y 5 2x 1 3
d) y 5 23x 1 3 e y 5 3x 1 3
2. Observando os gráficos das funções y = ax 1 b do exercício anterior, responda:
a) Quando a . 0, ao aumentar o valor atribuído a x, também aumenta (cresce) o valor de y? Se tivesse
que classificar essas funções polinomiais do 1
o
grau com a . 0 entre função crescente ou função
decrescente, por qual delas você optaria?
sim; Espera-se que o aluno opte por função crescente.
b) Quando a  0, ao aumentar o valor atribuído a x, também aumenta (cresce) o valor de y? Se
tivesse que classificar essas funções de 1
o
grau com a  0 entre função crescente ou função
decrescente, por qual delas você optaria?
não; Espera-se que o aluno opte por função
decrescente.
,
3
1
0eo; (0, 1)
não existe valor de x para que se tenha h(x) 5 i(x)

291. 233BIMESTRE 4
Pense mais um
pouco...
A atividade 3 (Hora de criar)
completa, com a participa-
ção ativa dos alunos, a ideia
de função crescente e fun-
ção decrescente.
Variação de uma
função polinomial do
1
o
grau
A página se encerra com a
definição formal de função
crescente e de função de-
crescente. Questione os alu-
nos sobre o que aconteceria
com uma função cuja lei de
formação fosse
f(x) 5 ax 1 b, com a 5 0.
Eles deverão concluir que
ela não seria uma função
polinomial do 1
o
grau.
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
5
5
4
4
6
–1
–1
3
3
2
2
1
0
0
1
x
y
(2, –5)
(0, 1)
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
5
5
4
4
6
–1
–1
3
3
2
2
1
0
0
1
x
y
(–1, 0)
(0, 2)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
233CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
3. Hora de criar – Escreva duas leis de função polinomial do 1
o
grau y = ax 1 b, nas quais os va-
lores de a são opostos. Troque-as com um colega. Depois que cada um construir os gráficos das
funções dadas pelo outro, discutam e identifiquem em qual dos esboços abaixo a inclinação da
reta mais se aproxima dos gráficos em que a . 0 e em qual deles a inclinação mais se aproxima
dos gráficos em que a  0.
Variação de uma função polinomial do 1
o
grau
Observe os gráficos das funções y 5 2x 1 2 e y 5 23x 1 1, em que x pode ser qualquer
número real.
x y Par ordenado
0 2 (0, 2)
21 0 (21, 0)
x y Par ordenado
0 1 (0, 1)
2 25 (2, 25)
Aumentando o valor de x, o valor de y aumenta;
por isso, dizemos que a função é crescente.
Observe que na lei y 5 2x 1 2 temos a 5 2.
Aumentando o valor de x, o valor de y diminui;
por isso, dizemos que a função é decrescente.
Observe que na lei y 5 23x 1 1 temos a 5 23.
ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI
De modo geral, temos:
ƒuma função polinomial do 1
o
grau y 5 ax 1 b é crescente quando
o coeficiente a é maior que zero (a . 0);
ƒuma função polinomial do 1
o
grau y 5 ax 1 b é decrescente
quando o coeficiente a é menor que zero (a , 0).
para a . 0, esboço I;
para a  0, esboço II
zero da função
Esboço I
x
zero da função
Esboço II
x

292. 234
Orientações
O boxe Observação apre-
senta a existência de uma
função constante, em que
o valor da variável depen-
dente não se altera quando
aumentamos ou diminuímos
o valor da variável indepen-
dente. Verifique o entendi-
mento dos alunos quanto à
conclusão de que isso só é
possível quando a 5 0 na lei
f(x) 5 ax 1 b, ou seja, quan-
do a lei da função for f(x) 5
5 b, isto é, uma função
constante.
Neste momento, se possí-
vel, é interessante levar os
alunos ao laboratório de
informática da escola, provi-
denciando que nos compu-
tadores esteja instalado um
software matemático.
Ao manipular o software,
proponha a eles que cli-
quem com o botão direito
do mouse sobre o gráfico e
depois na função “Habilitar
rastro”. Com isso, ao movi-
mentarem os cursores dos
controles deslizantes, po-
derão visualizar os gráficos
obtidos para cada valor dos
coeficientes a e b.
Antes de iniciar as ativi-
dades, proponha que ex-
plorem as possibilidades
oferecidas pelo software, es-
timulando-os a fazerem des-
cobertas por conta própria.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam
relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
234 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Veja mais exemplos.
a) f (x) 5
x
5
2 é decrescente, pois a , 0.
b) g(z) 5 3z é crescente, pois a . 0.
30 Classifique cada função em crescente ou de-
crescente.
a) f (x) 5 22x 1 3
decrescente
b) g

(x) 5 7x 1 1 crescente
c) h(x) 5 x crescente
d) m

(x) 5
x
3
2 decrescente
e) n

(x) 5 5 2 x decrescente
f) p

(x) 5 2 1 6x crescente
31 Responda às questões.
a) A função cujo gráfico passa pelos pon-
tos (23, 4) e (0, 0) é crescente ou decres-
cente?
decrescente
b) A função cujo gráfico passa pelos pontos
(23, 24) e (0, 0) é crescente ou decrescente?
crescente
Observação
CCExistem funções que não são crescentes nem decrescentes. Por exemplo:
a) h (y) 5 210 b) p (k) 5 s
Funções como essas são chamadas de constantes e seu gráfico é uma reta paralela ao
eixo x.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
PARA SABER MAIS
Uso do computador: retas
Na internet, existem softwares matemáticos gratuitos que apresentam muitas ferra -
mentas, entre elas uma que nos auxilia no estudo das funções. É possível, por exemplo,
construir o gráfico de qualquer função digitando a lei correspondente no campo “Entrada”
na tela inicial e, em seguida, teclando “Enter”.
Por meio desse recurso podemos estudar o que acontece com o gráfico de funções do
tipo f

(x) 5 ax 1 b à medida que os coeficientes a e b variam.
1. Ao digitar f

(x) 5 ax 1 b e teclar “Enter” no campo “Entrada” da tela inicial do software,
aparecerá uma janela.
2. Clicando em “Criar Controles Deslizantes”, aparecerão os controles deslizantes cor-
respondentes aos coeficientes a e b de f

(x) 5 ax 1 b, além do gráfico para a 5 1 e
b 5 1.
3. É possível movimentar os cursores dos controles deslizantes para variar os valores
dos coeficientes a e b.
g) q

(x) 5 sx crescente
h) r (x) 5 25 1 0,001x crescente

293. 235BIMESTRE 4
Agora é com você!
Para a construção dos gráfi-
cos da seção, é possível usar
aplicativos para desenhar
gráficos matemáticos em
um sistema de coordena-
das, que permitem visualizar
uma função e fazer alguns
cálculos matemáticos.
A seguir, apresentamos os
gráficos solicitados na ques-
tão 1:
21 1 2 3 4242526 5 62223
x
y
21
1
2
3
4
5
22
23
24
25
21 1 2 3 4242526 5 62223
x
y
21
1
2
3
5
22
23
24
25
4
21 1 2 34242526 5 62223
x
y
21
1
2
3
4
5
22
23
25
24
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
–4
–3
–3
–2
–2
5
4
4
–1
–1
3
3
2
2
1
0
0
1
x
y
f
–4
–3
–3
–2
–2
5
4
4
–1
–1
3
3
2
2
1
0
0
1
x
y
fg
–4
–3
–3
–2
–2
5
4
4
–1
–1
3
3
2
2
1
0
0
1
x
y
f
h
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
235CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
p(x): bissetriz dos quadrantes pares;
q(x): paralela à bissetriz dos quadrantes
pares deslocada de modo a passar pelo ponto (0, 4); t(x): paralela à bissetriz dos quadrantes pares deslocada
de modo
a passar
pelo ponto (0, 25); construção de gráficos
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI
1 Veja como é o gráfico das funções f (x) 5 x, g (x) 5 x 1 2 e h (x) 5 x 2 3.
Bissetriz dos quadrantes
ímpares.
Reta paralela à bissetriz
dos quadrantes ímpares
deslocada de modo a
passar pelo ponto (0, 2).
Reta paralela à bissetriz
dos quadrantes ímpares
deslocada de modo a
passar pelo ponto (0, 23).
Agora, responda: como seria o gráfico das funções p (x) 5 2x, q (x) 5 2x 1 4 e t (x) 5 2x 2 5?
Se for possível, construa esses gráficos usando um software matemático e confira suas respostas.
2 Imagine o que acontece se modificarmos o coeficiente a. Qual o papel do coeficiente a no
gráfico de f (x) 5 ax 1 b?
3 Imagine se modificarmos o coeficiente b. Em seguida, responda:
a) Qual o papel do coeficiente b no gráfico de f (x) 5 ax 1 b?
b) Podemos associar esse coeficiente à ordenada de um ponto. Que ponto é esse?
Estudo do sinal de uma função polinomial do 1
o
grau
Veja dois exemplos.
a) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei: y 5 2x 2 4.
Podemos fazer esse estudo por meio do esboço do gráfico da função. Para isso, calcu-
lamos o valor de x que anula essa função.
Para y 5 0, temos:
2x 2 4 5 0, ou seja, x 5 2
Logo, essa função se anula para x 5 2.
Estudar o sinal de uma função é
determinar os valores reais de
x para que:
• a função se anule (
y 5 0);
• a função seja positiva (
y  0);
• a função seja negativa (
y  0).
SIDNEY MEIRELES
o coeficiente a determina a inclinação do gráfico
o coeficiente b determina a
translação vertical do gráfico
ponto de intersecção do gráfico com o eixo y
Agora é com você!

294. 236
Exercícios propostos
Antes de responderem ao
exercício 34, oriente os alu-
nos a fazerem um esboço
possível do gráfico da fun-
ção referida no enunciado.
O exercício 35 merece uma
atenção especial por possibi-
litar infinitas respostas. Por
isso, é preciso dar condições
para que todos os alunos te-
nham certeza de que a “sua
função” está de acordo com
o enunciado, embora aque-
la não seja a única resposta
possível.
Vale a pena sugerir que eles
confiram as próprias respos-
tas, retomando o enunciado
e testando as condições na
função escolhida. Além dis-
so, a troca com outros co-
legas possibilitará verificar
eventuais erros, assim como
observar de que há outras
possibilidades de resposta.
Habilidade trabalhada: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas
representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre
duas variáveis.
x2
–
+
+
–
x2
–2
0
1
1
23
2
1
–1
3
–2
x
y
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
236 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Observando ainda que na lei dessa função y 5 2x 2 4, a 5 2, portanto a . 0, podemos
esboçar o gráfico e fazer o estudo do sinal.
NELSON MATSUDA
b) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei: y 5 22x 1 4.
Inicialmente, vamos calcular o valor de x que anula essa função.
Para y 5 0, temos:
22x 1 4 5 0, ou seja, x 5 2
Logo, essa função se anula para x 5 2.
Observando ainda que em y 5 22x 1 4, a 5 22, portanto a , 0, podemos esboçar o grá-
fico e fazer o estudo do sinal.
Estudo do sinal
• Para x 5 2, temos: y 5 0
• Para x . 2, temos: y . 0
• Para x , 2, temos: y , 0
Estudo do sinal
• Para x 5 2, temos: y 5 0
• Para x . 2, temos: y , 0
• Para x , 2, temos: y . 0
Responda:
a) Para que valor de x temos y 5 0?
3
b) Para que valores de x temos y . 0? x , 3
c) Para que valores de x temos y , 0? x . 3
33 Estude o sinal das funções polinomiais do
1
o
 grau.
a) y 5 2x 2 8 c) y 5 2x 2 5
b) y 5 23x 1 6 d) y 5 22x 2 1
32 Considere o seguinte gráfico de uma função
polinomial do 1
o
grau.
34 Considere a função do 1
o
grau definida por
y 5 ax 1 b. Sabe-se que a . 0 e que o ponto
determinado pelo par (5, 0) pertence ao gráfico
dessa função. Determine o sinal de y quando:
a) x 5 22;
negativo d) x 5 5,01; positivo
b) x 5 0; negativo e) x 5 10. positivo
c) x 5 4,99; negativo
35 Hora de criar – Crie uma função polinomial
do 1
o
grau de modo que:
• o zero dessa função seja 2;
• o gráfico para x . 2 esteja acima do eixo das
abscissas, ou seja, y . 0.
Quantas funções assim existem?
infinitas
33. a) x 5 4: y 5 0; x . 4: y . 0; x , 4: y , 0
b) x 5 2: y 5 0; x . 2: y , 0; x , 2: y . 0
35. respostas possíveis: y 5 x 2 2,
y 5 1
x
2
2 1; y 5 2x 2 4
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
c) x 5
2
5
: y 5 0; x .
2
5
: y . 0; x ,
2
5
: y , 0
d) x 5 2
2
1
: y 5 0; x . 2
2
1
: y , 0; x , 2
2
1
: y . 0

295. 237BIMESTRE 4
Para saber mais
Pergunte aos alunos, caso a
velocidade não fosse cons-
tante, se poderíamos dizer
que as grandezas “distância
percorrida” e “tempo” são
diretamente proporcionais.
Por quê? Espera-se que eles
respondam que não. Como
a velocidade é a razão entre
a distância percorrida e o
tempo, se a velocidade não
fosse constante, as razões
entre as medidas de distân-
cia e tempo seriam diferen-
tes, ou seja, essas grandezas
não seriam diretamente
proporcionais.
Habilidade trabalhada: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
237CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
–2
21
2
4
0
0
–1 x
y
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Observe que os valores de y são
diretamente proporcionais aos valores
de x, porque, dobrando o valor de x, o
valor de y também dobra; triplicando o
valor de x, o valor de y também triplica,
e assim por diante.
x y
21 22
0 0
1 2
2 4
x y
1 1
2
2
1
3
3
1
4
4
1
x y
21 23
021
1 1
2 30 3 421
1
x
y
1
21 3
1 4
–1
–3
21
2
3
1
4
0
0
–1 x
y
Outras funções apresentam proporcionalidade inversa e algumas não apresentam
proporcionalidade direta nem inversa entre os valores de x e de y. Veja alguns exemplos.
a) y 5
x
1
b) y 5 2x 2 1
Observe que os valores de y são inversamente
proporcionais aos valores de x, porque,
dobrando o valor de x, o valor de y se reduz
pela metade; triplicando o valor de x, o valor
de y se reduz a um terço, e assim por diante.
Observe que não há proporcionalidade
direta nem inversa entre os valores
de x e de y.
Um automóvel percorre certa distância com velocidade constante de 50 km/h.
a) Qual a lei da função que relaciona a distância percorrida (y), em quilômetro, e o tempo (x),
em hora?
y 5 50x
b) Considerando que a velocidade é constante, as grandezas distância percorrida e tempo são
diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não são proporcionais? Por quê?
ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI
Proporcionalidade na função linear
Vamos analisar a função linear dada pela lei y 5 2x.
PARA SABER MAIS
Se há proporcionalidade direta entre os valores reais de  x e y, existe uma função
linear que relaciona as variá veis x e y, ou seja, uma função cuja lei pode ser escrita
na forma y  5 ax, com a real, a % 0, x e y reais. Reciprocamente, se as variáveis x e y
estão relacionadas por uma função linear, então x e y são diretamente proporcionais.
São diretamente proporcionais. Exemplo de resposta: porque estão relacionadas por uma função linear.
Agora é com você!

296. 238
Função polinomial do
2
o
grau
Verifique a necessidade de
revisar com os alunos a re-
solução de equações do
2
o
grau.
Assim como na abordagem
inicial de outros conceitos
importantes, fazemos um
primeiro contato com fun-
ção polinomial do 2
o
grau
por meio de uma situação
contextualizada, na qual
um projeto arquitetônico
apresenta uma medida ge-
neralizada x do lado de um
quadrado e propõe analisar
a construção de um jardim
em torno de uma piscina.
Problemas do cotidiano
muitas vezes podem ser re-
solvidos por meio de equa-
cionamento algébrico seme-
lhante ao desta abordagem.
Em geral, quando trabalha-
mos com área de superfícies
poligonais, recaímos em
uma função polinomial do
2
o
grau.
Para que os alunos enten-
dam melhor as restrições
que um contexto pode im-
por à estruturação da reso-
lução por meio da Álgebra,
discuta com eles as possibili-
dades de x valer 2 ou valer
3. Eles devem concluir que,
se x for igual a 2, a piscina
terá largura igual a zero,
logo não é possível. Se x for
igual a 3, a largura da pisci-
na será 1 e a parte do piso
amarelo será um retângulo
com lados medindo 2 e 3
metros.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
x
x
3
x – 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
238 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
3
Função polinomial do 2
o
grau
Gustavo e Nicole estudam as possibilidades de uso
do quintal de sua casa para a construção de um terraço
com piscina ladeada por um piso amarelo cuja área eles
precisam decidir. Nicole fez o croqui e Gustavo repre-
sentou algebricamente a área do piso em função de x.
Veja abaixo.
Veja outros exemplos de funções polinomiais do 2
o
grau, em que destacamos os valores
de a, b e c.
a) y 5 x
2
2 5x 1 4, sendo a 5 1, b 5 25 e c 5 4
b) y 5 2x
2
1 5x 2 2, sendo a 5 2, b 5 5 e c 5 22
c) y 5 x
2
2 9, sendo a 5 1, b 5 0 e c 5 29
d) y 5 23x
2
1 2x, sendo a 5 23, b 5 2 e c 5 0
e) y 5 x
2
, sendo a 5 1, b 5 0 e c 5 0
37 Sendo f (x) 5 x
2
2 5x 1 6, determine:
a) f (0), f (2), f (3) e f (4);
f(0) 5 6, f(2) 5 0,
f(3) 5 0, f(4) 5 2
b) os valores de x de modo que f (x) seja 0;
c) os valores de x de modo que f (x) seja 20.
36 Se Gustavo e Nicole reservarem para o terraço
(incluindo a piscina) um quadrado de 8 m, no
mínimo, quantos metros de piso amarelo eles
deverão comprar?
46 m
2
NELSON MATSUDA
IZAAC BRITO
A área do quadrado é: x
2
A área da piscina, representada pelo retângulo azul, é: 3(x 2 2)
Então, a área representada pelo piso amarelo é:
x
2
2 3(x 2 2), ou seja, x
2
2 3x 1 6
Indicando essa área por y, temos: y 5 x
2
2 3x 1 6.
A função definida pela lei y 5 x
2
2 3x 1 6 é um exemplo de função polinomial do 2
o
grau
(ou função quadrática).
2 ou 3
22 ou 7
Uma função polinomial do 2
o
grau é toda função do tipo y 5 ax
2
1 bx 1 c,
com a, b e c números reais e a i 0, e é definida para todo x real.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS

297. 239BIMESTRE 4
Exercícios propostos
No exercício 38, peça aos
alunos que, por meio de fa-
torações, encontrem outras
figuras que tenham a mes-
ma área. Por exemplo, no
item b, em que a área do tri-
ângulo é dada por 5x
2
 2 3x,
temos:
5x
2
2 3x 5 x(5x 2 3)
5x
2
2 3x 5 5x x
5
3
2cm
Nesse caso, um retângu-
lo cujas dimensões são x e
(5x 2 3) ou outro que tenha
as dimensões 5x e
x
5
3
2cm
têm a mesma área do triân-
gulo do item b.
Gráfico de uma
função polinomial do
2
o
grau
Ainda neste capítulo, abor-
daremos como calcular as
coordenadas do vértice da
parábola.
x + 2
2x – 1
5x – 3
2x
x + 2
x + 1
2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
239CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
b) os valores de x para que se tenha y 5 0;
c) f (2);
10
d) os valores de x para que se tenha y 5 10.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
39 Sendo f (x) 5 x
2
1 3x, determine:
a) f (0);
0
a)
b)
38 Expresse a área y de cada polígono em função
de x.
40 Sendo f (x) 5 2x
2
1 5, determine:
a) f
()3; 11
b) os valores de x para que se tenha f (x) 5 21.
41 Expresse na forma y 5 ax
2
1 bx 1 c o volume
do paralelepípedo.
y 5 2x
2
1 6x 1 4
y 5 5x
2
2 3x
y 5 2x
2
1 3x 2 2
0 ou 23
25 ou 2
62 2
Para construir o gráfico de uma função desse tipo, procedemos como no caso da função
polinomial do 1
o
grau:
ƒAtribuímos valores a x e obtemos os correspondentes valores de y.
ƒOrganizamos os dados obtidos em um quadro com os pares ordenados.
ƒLocalizamos esses pontos no plano cartesiano.
ƒSe o conjunto de pontos localizados permitir que se perceba a linha que passa por eles,
traçamos essa linha. Caso contrário, devemos obter e localizar mais pontos do gráfico.
Gráfico de uma função polinomial do 2
o
grau
O gráfico de uma função polinomial do 2
o
grau é uma curva chamada parábola.
Fotocomposição da
trajetória parabólica
descrita por uma bola
de basquete.
CHARLIE RIEDEL/AP PHOTO/GLOW IMAGES
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!

298. 240
Orientações
No estudo da construção
dos gráficos, iniciamos por
atribuir a x valores conve-
nientes para serem abscis-
sas de pontos que se situam
próximo do vértice, pois esse
trecho representa a variação
no comportamento da fun-
ção (crescente/decrescente).
Depois de estudar o cálculo
das coordenadas do vértice,
os alunos terão mais auto-
nomia para a escolha dos
valores a serem atribuídos a
x. Esclareça antecipadamen-
te essa opção didática para
os alunos.
Destaque a existência do
eixo de simetria da parábola
nos gráficos das funções po-
linomiais do 2
o
grau, concei-
to que será usado adiante
para a obtenção da fórmula
das coordenadas do vértice.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
240 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Acompanhe alguns exemplos.
a) Vamos representar graficamente a função polinomial do 2
o
grau definida pela lei:
y 5 x
2
2 2x 2 3.
Para x 5 22, temos: y 5 (22)
2
2 2 8 (22) 2 3 5 4 1 4 2 3 5 5
Para x 5 21, temos: y 5 (21)
2
2 2 8 (21) 2 3 5 1 1 2 2 3 5 0
Para x 5 0, temos: y 5 (0)
2
2 2 8 (0) 2 3 5 23
Para x 5 1, temos: y 5 (1)
2
2 2 8 (1) 2 3 5 1 2 2 2 3 5 24
Para x 5 2, temos: y 5 (2)
2
2 2 8 (2) 2 3 5 4 2 4 2 3 5 23
Para x 5 3, temos: y 5 (3)
2
2 2 8 (3) 2 3 5 9 2 6 2 3 5 0
Para x 5 4, temos: y 5 (4)
2
2 2 8 (4) 2 3 5 16 2 8 2 3 5 5
xy 5 x
2
2 2x 2 3(x, y)
22 5 (22, 5)
21 0 (21, 0)
0 23 (0, 23)
1 24 (1, 24)
2 23 (2, 23)
3 0 (3, 0)
4 5 (4, 5)
Quadro com alguns pontos
do gráfico da função
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
y
x0–1
1
2
3
4321–2–3
–1
–2
–3
–4
–4
4
5
Indicação dos pontos
encontrados no quadro
r
y
x0
1
2 3
421–2–3
–3
–4
–4
4 5
3–1
eixo de simetria
Gráfico da função
b) Vamos representar graficamente a função polinomial do 2
o
grau definida pela lei:
y 5 2x
2
1 4x 2 3.
Para x 5 0, temos: y 5 2(0)
2
1 4 8 (0) 2 3 5 0 1 0 2 3 5 23
Para x 5 1, temos: y 5 2(1)
2
1 4 8 (1) 2 3 5 21 1 4 2 3 5 0
Para x 5 2, temos: y 5 2(2)
2
1 4 8 (2) 2 3 5 24 1 8 2 3 5 1
Para x 5 3, temos: y 5 2(3)
2
1 4 8 (3) 2 3 5 29 1 12 2 3 5 0
Para x 5 4, temos: y 5 2(4)
2
1 4 8 (4) 2 3 5 216 116 2 3 5 23
y
r
x
0
–1
1
2
3
4321–2–3
–2
–3
eixo de
simetria
Gráfico da função
Quadro com alguns
pontos do gráfico da função
xy 5 2x
2
1 4x 2 3 (x, y)
0 23 (0, 23)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
3 0 (3, 0)
4 23 (4, 23)

299. 241BIMESTRE 4
Orientações
Neste nível de estudo, não é
possível explicar aos alunos
a relação de a parábola ter
a concavidade voltada para
baixo ou para cima com o
sinal do coeficiente a, do
termo x
2
, mas podemos es-
pecular e discutir com eles
que essas são as únicas pos-
sibilidades.
Solicite que eles imaginem
uma parábola voltada para
a esquerda ou para a direita
e pergunte se tal parábola
representaria uma função.
Espera-se que eles concluam
que não, pois, em um caso
ou em outro, haveria retas
perpendiculares ao eixo x
que cortariam o gráfico em
dois pontos distintos.
Nesta página, apresentamos
e definimos o vértice da pa-
rábola. Esse conceito será
retomado para a obtenção
das fórmulas das coordena-
das do vértice.
y
x
y
x
V
eixo de
simetria
–1
–2
–3
21 3 4
2
3
1
0
0
–1–2 x
y
V
eixo de
simetria
–1
–2
–3
21
2
3
1
0
0
–1–2–3–4 x
y
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
241CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Concavidade da parábola
Conforme observamos nos gráficos dos dois exemplos anteriores, a parábola pode ter a
concavidade voltada para cima ou para baixo.
concavidade para baixoconcavidade para cima
No primeiro exemplo (

y 5 x
2
2 2 x 2 3), o coeficiente a é positivo e a parábola tem a
concavidade voltada para cima.
No segundo exemplo (

y 5 2x
2
1 4x 2 3), o coeficiente a é negativo e a parábola tem a
concavidade voltada para baixo.
Vértice da parábola
Toda parábola tem um eixo de simetria e um vértice (V ).
Observe os exemplos.
O vértice da parábola é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria.
Vértice: V 5 (2, 2) Vértice: V 5 (21, 22)
ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI
b) q(x) 5 x
2
1 2x 2 1
SIDNEY MEIRELES
Considerando a função dada pela lei
y 5 ax
2
1 bx 1 c, temos:
• se
a  0, a parábola tem concavidade voltada para cima;
• se
a  0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
a) p(x) 5 2x
2
1 4x 2 2

300. 242
Orientações
Caso os alunos estranhem as
denominações ponto de má-
ximo ou ponto de mínimo,
comente que tais nomes se
referem a pontos que têm
ordenada máxima (maior do
que a dos demais pontos) ou
que têm ordenada mínima
(menor do que a dos demais
pontos).
Exercícios propostos
Os exercícios desta página
trabalham a verificação do
sinal do coeficiente a da lei
da função.
No exercício 42, os alunos
obtêm esse sinal por meio
da leitura do gráfico, en-
quanto nos exercícios 44,
46, 47 e 48 o sinal é obtido
pela leitura da lei ou por im-
posição de uma condição al-
gébrica que resulta em uma
equação a ser resolvida.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
y
x0–1 4321
–2
–3
–4
1
2
3
V
y
x
0
–1–2–3 321
–1
–2
–3
1
2
V
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
242 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
45 Considerando a parábola a seguir, determine:
a) x quando y 5 23;
22 e 2
b) x quando y 5 2; não existe
c) y quando x 5 2; 23
d) f (1); 0
e) as coordenadas do vértice. (0, 1)
NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
42 Considere a parábola abaixo.
a) Qual é o sinal do coeficiente a ?
positivo
b) Quais são as coordenadas do vértice da
parábola?
(2, 24)
c) Para quais valores de x tem-se y = 0?
d) Identifique o ponto de intersecção entre o
eixo dos x e o eixo de simetria da parábola.0 e 4
(2, 0)
46 Determine os valores de p na função defi-
nida pela lei y 5 (p 2 3)x
2
2 5x 2 24 para
que a pará bola tenha a concavidade voltada
para cima.
p  3
Observação
CCO vértice de uma parábola corresponde ao ponto de máximo dessa pará-
bola quando ela tem concavidade voltada para baixo, e corresponde ao
ponto de mínimo dessa parábola quando ela tem concavidade voltada
para cima.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
43 As medidas das diagonais de um losango são
expressas por (x 1 2) e (2x 1 4). Determine:
a) a área y desse losango em função de x ;
b) para que valor de x esse losango tem
área 25.
3
y 5 x
2
1 4x 1 4
44 O gráfico de cada uma das funções a seguir é
uma parábola. Determine os casos em que a
parábola tem concavidade voltada para cima.
a) y 5 2x
2
2 3x 1 1
b) y 5 2x
2
1 4x 2 4
c) y 5 23x
2
1 x 2 4
d) y 5 x
2
1 5x
e) y 5 x
2
f) y 5 2x
2
1 9
alternativas a, d, e
48 Uma função polinomial do 2
o
grau é definida
pela lei:
y 5 (m 1 2)x
2
1 (m 1 3)x 1 m 1 4.
Responda:
a) Para que valores reais de m o gráfico dessa fun-
ção tem concavidade voltada para baixo?
b) Para que valores reais de m o gráfico dessa
função passa pelo ponto (0, 0)?
m 5 24
m  22
47 Determine os valores de p na função defi-
nida pela lei y 5 (2p 1 1)x
2
2 2x 1 1 para
que a pará bola tenha a concavidade voltada
para  baixo.
p  2
2
1

301. 243BIMESTRE 4
Zeros de uma função
polinomial do 2
o
grau
Relembre aos alunos que,
ao resolver uma equação
do 2
o
grau em R, temos três
possibilidades:
d . 0 (a equação tem duas
raízes reais e distintas, x
1
e
x
2
);
d 5 0 (a equação tem duas
raízes reais e iguais, x
1
5 x
2
);
d , 0 (a equação não tem
raízes reais).
Comente com eles que sem-
pre que o primeiro membro
da equação obtida atribuin-
do 0 a y puder ser fatorado
em quadrado de uma soma
ou de uma diferença, a fun-
ção tem duas raízes reais
iguais ou raiz dupla. Peça a
eles que façam a verificação
desse fato na função dada
no exemplo b.
x–2 5
x21
2
—
x1
2
—
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
243CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Zeros de uma função polinomial do 2
o
grau
Antes de fazer o esboço de uma parábola, devemos determinar os zeros da função e iden-
tificar sua concavidade.
Acompanhe um exemplo. Vamos determinar os zeros da função dada pela lei y 5 x
2
 2 3x 2 10.
x
2
2 3x 2 10 5 0 (a 5 1, b 5 23 e c 5 210)
S 5 b
2
2 4ac
S 5 (23)
2
2 4 8 1 8 (210) 5 9 1 40 5 49
S 5 7
NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
VICENTE MENDONÇA
VICENTE MENDONÇA
NELSON MATSUDA
Portanto, os zeros da função são 22 e 5.
Como a  0, a parábola tem a concavidade voltada para
cima. Desse modo, podemos fazer o esboço do gráfico
da função dada pela lei y 5 x
2
2 3x 2 10.
Veja outros exemplos.
a) y 5 22x
2
1 5x 2 2
22x
2
1 5x 2 2 5 0
S 5 b
2
2 4ac
S 5 (5)
2
2 4 8 (22) 8 (22) 5 9
S
5 3
x 5
a
b
2
2! S
e
b) y 5 4x
2
2 4x 1 1
4x
2
2 4x 1 1 5 0
Como o 1
o
membro dessa equação é um
trinômio quadrado perfeito, podemos
escrever:
(2x 2 1)
2
5 0
Assim, temos:
2x 2 1 5 0
x 5
2
1
Como a 5 22, portanto a  0,
a parábola tem a concavidade
voltada para baixo.
Como a 5 4, portanto a  0,
a pará bola tem a concavidade
voltada para cima.
ex 5
a
b
2
2! S
] x 5
()
21
37
3
22 !
5
37
2
!
x
1
5
2
371
5
2
10
5 5
x
2
5
2
372
5
2
42
5 22
x 5
()
()
22
53
32
22 !
5
4
53
2
2!
x
1
5
4
2
2
2
5
2
1
x
2
5
4
8
2
2
5 2

302. 244
Exercícios propostos
Para o exercício 49, temos:
a) Encontramos como zeros
da função: 2 e 4. Conside-
rando que o coeficiente a
é positivo, a concavidade é
para cima:
2 4 x
b) A equação não tem raízes reais, logo a função dada por y 5 x
2
1 2 não tem ze-
ros. Como a 5 1, a concavi-
dade é voltada para cima:
x
c) Encontramos como ze -
ros da função: 0 e 4. Como a 5 21, a concavidade é vol-
tada para baixo:
4
x
0
d) Encontramos como zero da função: 3. Como a 5 1, a con-
cavidade é voltada para cima:
3 x
e) Encontramos como zero
da função:
2
3
. Como a 5 29,
a concavidade é voltada
para baixo:
2
3
x
f) A equação não tem raízes
reais, logo a função dada por
y 5 2x
2
2 2x 1 1 não tem ze-
ros. Como a 5 2, a concavi-
dade é voltada para cima:
x
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
244 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
c) y 5 23x
2
1 2x 2 1
23x
2
1 2x 2 1 5 0
d 5 b
2
2 4ac
d 5 (2)
2
2 4 8 (23) 8 (21)
d 5 4 2 12 5 28
Como d  0, a equação não tem
raízes reais.
Portanto, a parábola não corta o
eixo dos x.
Como a 5 23, portanto a  0,
a parábola tem a concavidade
voltada para baixo.
NELSON MATSUDA
VICENTE MENDONÇA
No esboço do gráfico de uma função quadrática, podem ocorrer os seguintes casos:
Quadro-resumo da relação entre os zeros da função quadrática e seu gráfico
a . 0 a , 0
S . 0
x
x
1
x
2
x
1
xx
2
S 5 0
x
1
= x
2
x
x
x
1
= x
2
S , 0
x
x
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
49 Determine os zeros (se existentes) das funções
quadráticas e faça um esboço do gráfico de
cada uma.
construção de esboço
a) y 5 x
2
2 6x 1 8 2 e 4
b) y 5 x
2
1 2 não existem
c) y 5 2x
2
1 4x 0 e 4
d) y 5 x
2
2 6x 1 9 3
e) y 5 29x
2
1 12x 2 4
3
2
f) y 5 2x
2
2 2x 1 1 não existem
50 A trajetória de um projétil lançado por um ca-
nhão, em um local plano e horizontal, é dada
por parte do gráfico da função cuja lei é:
y 5
x
32
2
2
1
x
8
Se x representa a distância horizontal do projé-
til em relação ao canhão e y, a distância vertical
do projétil em relação ao canhão, determine a que distância do canhão o projétil caiu, con-
siderando que x e y são distâncias dadas em quilômetro.
4 km
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS

303. 245BIMESTRE 4
Coordenadas do
vértice da parábola
Relembre com os alunos o
conceito de reflexão em re-
lação a uma reta.
Nesta página, retomamos o
conceito de eixo de simetria
para obter a fórmula da abs-
cissa do vértice. Em um pri-
meiro momento, obtemos a
abscissa do vértice de uma
dada função polinomial do
2
o
grau. Em seguida, gene-
ralizamos o procedimento
e desenvolvemos o cálculo
cujo resultado é a fórmula
x
V
 5 2
b
2a

Comente com os alunos
que, na demonstração, fo-
ram considerados dois pon-
tos simétricos quaisquer em
relação ao eixo de simetria e
que, por esse motivo, pode-
mos considerar suas abscis-
sas como x
V
2 2, x
V
1 2 ou
x
V
 2 3, x
V
1 3 etc.
eixo de
simetria
–1
–2
–3
–4
21 3 4
2
3
1
4
5
6
0
–1–2–3 x
y
eixo de
simetria
x
V (x
V
,y
V
)
P Q
(x
V
– 1)
(x
V
+ 1)
y
y
V
x
V
y
1
0
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
245CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Coordenadas do vértice da parábola
Observe o gráfico ao lado correspondente à função
y 5 x
2
2 2x 23.
Note que a abscissa do vértice da parábola (x 5 1)
corresponde à metade da soma das abscissas dos pon-
tos que são simétricos em relação ao eixo de simetria
da parábola. Assim, considerando os pares de pontos
destacados no gráfico, temos:
224
2
2
1
21
55
2
13
2
2
1
21
55
2
02
2
2
1
1
55
Substituindo x por 1 em y 5 x
2
2 2x 23 e efetuando
os cálculos, obtemos a ordenada do vértice:
y 5 (1)
2
2 2(1) 2 3 5 1 2 2 2 3 5 24
Os pontos destacados com a mesma
cor são simétricos em relação ao eixo
de simetria da parábola.
De modo geral, podemos relacionar a abscissa do vértice da parábola (x
V
) que representa
a função quadrática dada por f(x) 5 ax
2
1 bx 1 c aos coeficientes a e b.
SIDNEY MEIRELES
REINALDO VIGNATI
REINALDO VIGNATI
Observe que
os pontos
P e Q são
simétricos em relação
ao eixo de simetria
da parábola.
Por causa da simetria do gráfico, observe, por exemplo, que as abscissas (x
V
2 1) e (x
V
1 1)
estão a uma mesma distância de x
V
e que f (x
V
2 1) 5 f (x
V
1 1) 5 y
1
. Dessa forma, temos:
a(x
V
2 1)
2
1 b(x
V
2 1) 1 c 5 a(x
V
1 1)
2
1 b(x
V
1 1) 1 c
a[(x
V
)
2
2 2x
V
3 1 1 1] 1 b (x
V
2 1) 1 c 5 a[(x
V
)
2
1 2x
V
3 1 1 1] 1 b(x
V
1 1) 1 c
a(x
V
)
2
2 2ax
V
1 a 1 bx
V
2 b 1 c 5 a(x
V
)
2
1 2ax
V
1 a 1 bx
V
1 b 1 c
22ax
V
2 b 5 2ax
V
1 b
24ax
V
5 2b
x
V
5
a
b
4
2
2
, ou seja: x
V
5
a
b
2
2

304. 246
Orientações
Reforce com os alunos que
o vértice é um ponto impor-
tante da parábola porque é
nele que ocorre a inversão
do comportamento da fun-
ção (crescente/decrescente
ou vice-versa).
Essa importância pode ser
reforçada também pelo fato
de que a ordenada do vér-
tice determina o ponto de
maior ordenada do gráfico
da função (ponto de má-
ximo, quando a , 0) ou de
menor ordenada (ponto de
mínimo, quando a . 0).
Habilidade trabalhadanesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam
relações funcionais entre duas variáveis.
x
V (4, –1)
x
3
4
V —, —
7 8
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
246 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Como exemplo, vamos determinar as coordenadas do
vértice da parábola das funções quadráticas dadas por:
a) y 5 x
2
2 8x 1 15
• Abscissa do vértice:
()
()
x
a
b
2 21
8
2
8
45
2
5
3
22
55
V
• Ordenada do vértice:
Substituindo x por 4 na lei da função, temos:
y
V
5 (4)
2
2 8 8 (4) 1 15 5 16 2 32 1 15 5 21
Logo, o vértice da parábola é V (4, 21).
b) y 5 2x
2
2 3x 1 2
• Abscissa do vértice:
()
()
x
a
b
2 22
3
4
3
5
2
5
3
22
5
V
• Ordenada do vértice:
y
V
5 2 8
4
3
2
eo 2 3 8
4
3
eo 1 2 5
5 2 8
16
9
4
9
2eo 1 2 5
16
18
4
9
2 1 2 5
16
18
16
36
16
32
16
14
8
7
52 15 5
Portanto, o vértice da parábola é V ,
4
3
8
7
eo .
VICENTE MENDONÇA
NELSON MATSUDA
VICENTE MENDONÇA
NELSON MATSUDA
Valor máximo e valor mínimo de uma função polinomial do 2
o
grau
Considere as funções polinomiais do 2
o
grau cujos gráficos estão representados abaixo.
y
V (ponto de máximo)
x0
y
V
x
V
a , 0
y
V (ponto de mínimo)
x0
y
V
x
V
a . 0
Conhecida a abscissa do vértice da parábola,
o valor da ordenada é obtido atribuindo o valor
de
x
V
à variável x da função dada.
SIDNEY MEIRELES

305. 247BIMESTRE 4
Orientações
Neste momento do aprendi-
zado, não entendemos ser
necessário desenvolver para
os alunos a fórmula da orde-
nada do vértice, y
V
 5 2
d
4a
.
Exercícios propostos
Neste bloco, iniciamos pelos exercícios de aplicação da
fórmula da abscissa do vérti-
ce para que os alunos adqui-
ram habilidade do cálculo
do valor numérico.
Os exercícios 58 e 59 fecham
o bloco, propondo uma
aplicação da fórmula para
a resolução de situações
problema contextualizadas.
O exercício 58 articula a
Unidade Temática Álgebra
com a Geometria, enquanto
o exercício 59 trabalha no
campo da economia.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
247CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
51 Determine as coordenadas do vér tice da pará-
bola em cada caso.
a) y 5 2x
2
2 8x 1 16 c) y 5 x
2
2 16
b) y 5 2x
2
1 6x V (0, 216)
52 O ponto de vértice da parábola definida pela
lei da função y 5 3x
2
2 px 1 2q é dado por
V (2, 1). Determine os valores reais de p e q.
56 Calcule o valor máximo da função dada pela
lei y 5 2x
2
1 11x 2 18.
4
49
53 Verifique se a função tem ponto de máximo ou
de mínimo. a) y 5 4x
2
2 9x 1 2 ponto de mínimo
b) y 5 x
2
1 3x 2 70 ponto de mínimo
c) y 5 2x
2
1 14x 2 24 ponto de máximo
d) y 5 5x
2
2 6x ponto de mínimo
e) y 5 23x
2
1 9x ponto de máximo
f) y 5 22x
2
2 50 ponto de máximo
Examinando esses gráficos, podemos dizer que:
ƒse a  0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice
é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice, valor mínimo da função;
ƒse a  0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice
é chamado ponto de máximo e a ordenada do vértice, valor máximo da função.
Veja dois exemplos.
a) Para que valor de x o valor de y 5 22x
2
1 6x 1 1 é máximo?
O ponto de máximo de uma função polinomial do 2
o
grau com a  0 é o vértice V. Como
queremos o valor de x, devemos calcular x
V
.

()
()
,x
a
b
2 22
6
4
6
4
6
2
3
155
2
5
32
21
5
2
2
55 5
V
Logo, y tem valor máximo para x 5 1,5.
b) Vamos determinar o valor mínimo da função dada pela lei y 5 x
2
2 10x 1 24.
O valor mínimo de uma função polinomial do 2
o
grau com a  0 é dado pela ordenada y
V

do vértice da parábola. Primeiro, calculamos x
V
:
x
a
b
22
10
55
2
55
V
Agora, calculamos y
V
, substituindo x por 5 na lei da função:
y
V
5 5
2
2 10 8 5 1 24 5 25 2 50 1 24 5 21
Logo, o valor mínimo dessa função é 21.
p 5 12 e q 5
2
13
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
54 Para cada lei da função, calcule o x correspon-
dente ao valor mínimo.
a) y 5 3x
2
2 4x 1 1
3
2
b) y 5 x
2
1 12x 1 11 26
55 Para cada lei da função, calcule o x correspon-
dente ao valor máximo. a) y 5 22x
2
1 11x 2 5
4
11
b) y 5 22x
2
1 25x 2 150
4
25
57 Calcule o valor mínimo da função dada pela
lei y 5 x
2
2 6x 1 8. 21
58 Fernando demarcou uma região retangular
de 100 m de perímetro em um terreno para
construir uma casa.
Calcule as dimensões dessa região para que
Fernando aproveite a maior área possível.
A maior área é obtida por um quadrado de 25 m de lado.
59 O custo C, em real, de um produto é dado por
C (x) 5 x
2
2 80x 1 3.000, sendo x a quantidade
de unidades produzidas.
a) Qual deve ser a quantidade de unidades
para que o custo seja mínimo?
b) Qual é o valor desse custo mínimo?
40 unidades
R$ 1.400,00
,V
2
3
2
9
22
eo
a) V (24, 32)

306. 248
Construção do gráfico
de uma função
polinomial do 2
o
grau
Agora que já apresentamos
uma abordagem inicial so-
bre o gráfico de uma função
polinomial do 2
o
grau (pági-
na 239), estudamos os con-
ceitos concavidade e vértice
da parábola (página 241),
realizamos o cálculo dos ze-
ros de uma função polino-
mial do 2
o
grau acompanha-
do de quadro analítico com
os sinais do coeficiente a e
do discriminante (página
243), demonstramos a fór-
mula da abscissa do vértice
da parábola (página 245),
obtivemos valor máximo e
valor mínimo (página 246),
chegamos à condição de or-
ganizar e utilizar todo esse
cabedal para a construção
do gráfico de uma função
polinomial do 2
o
grau, com
critério e entendimento do
procedimento. Neste mo-
mento, os alunos adquirem
autonomia para saber quais
valores reais devem atribuir
a x para obter pontos conve-
nientes na construção desse
gráfico.
É importante destacar a fala
da personagem sobre o alerta
de que não devemos unir os
pontos obtidos e organizados
no quadro de coordenadas
usando uma régua. Sempre
que necessário, outros valo-
res podem ser atribuídos a x
e acrescentados ao quadro,
obtendo, assim, mais pontos
do gráfico que auxiliarão no
traçado da linha.
Habilidade trabalhadanesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam
relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
248 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
NELSON MATSUDA
Construção do gráfico de uma função polinomial do 2
o
grau
Portanto, V(2, 21) é o vértice da parábola.
Vamos atribuir a x valores próximos de x
V
.
Para x 5 0, temos: y 5 (0)
2
2 4 8 (0) 1 3 5 0 2 0 1 3 5 3
Para x 5 1, temos: y 5 (1)
2
2 4 8 (1) 1 3 5 1 2 4 1 3 5 0
Para x 5 3, temos: y 5 (3)
2
2 4 8 (3) 1 3 5 9 2 12 1 3 5 0
Para x 5 4, temos: y 5 (4)
2
2 4 8 (4) 1 3 5 16 2 16 1 3 5 3
y
x0–1
1
2
3
–2–3
–2
–3
–4
–1
4321
Gráfico da funçãoQuadro com alguns pontos simétricos
ao vértice do gráfico da função
x y 5 x
2
2 4x 1 3 (x, y)
0 3 (0, 3)
1 0 (1, 0)
2 21 (2, 21) V
3 0 (3, 0)
4 3 (4, 3)
a) y 5 x
2
2 4x 1 3
• Coordenadas do vértice:
A parte da parábola que melhor caracteriza o gráfico da função polinomial do
2
o
grau é a parte próxima do vértice. Por isso, seguiremos o procedimento abaixo.
Não podemos usar régua para unir
os pontos, pois a parábola não é
formada por segmentos de reta.
SIDNEY MEIRELES
SIDNEY MEIRELES
ƒDeterminamos as coordenadas do vértice V ;
ƒatribuímos a x valores próximos de x
V
e calculamos os
correspondentes valores de y ;
ƒconstruímos um quadro com os valores encontrados;
ƒmarcamos, no plano cartesiano, os pontos obtidos;
ƒtraçamos o gráfico (a parábola).
Veja alguns exemplos.
valores menores valores maioresx
V
0 1 3 4
2
x
V
5
8()
()
a
b
2 21
4
2
4
2
2
5
22
55
y
V
5 (2)
2
2 4 8 (2) 1 3 5 4 2 8 1 3 5 21
V

(2, 21)

307. 249BIMESTRE 4
Exercícios propostos
Para o exercício 60, temos
os seguintes gráficos:
a)
x
y
4
1
21
23
2
21
31
2223
22
24
25
26
27
28
29
24 2
b)
x
y
1
1
2
3
4
5
2 3 4
5
c)
x
y
42
1
21
23
2
31
22
3
d)
x
y
42
1
2122
2
31
22
21
3
1
2
5 4
e)
x
y
21
22
23
24
1 2
322
21
f)
x
y
1
1
2
7
4
3
4
2–1
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
249CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
b) y 5 2x
2
1 4x 2 4
• Coordenadas do vértice:
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
y
x0–1
1
2
3
–2–3
–2
–3
–4
–1
4321
–4
Gráfico da funçãoQuadro com alguns pontos simétricos
ao vértice do gráfico da função
x y 5 2x
2
1 4x 2 4 (x, y)
0 24 (0, 24)
1 21 (1, 21)
2 0 (2, 0) V
3 21 (3, 21)
4 24 (4, 24)
c) y 5 x
2
2 2x 1 2
• Coordenadas do vértice:
y
x0–1
1
2
3
–2–3
–2
–3
–4
–1
4321
4
5
Gráfico da funçãoQuadro com alguns pontos simétricos
ao vértice do gráfico da função
x y 5 x
2
2 2x 1 2 (x, y)
21 5 (21, 5)
0 2 (0, 2)
1 1 (1, 1) V
2 2 (2, 2)
3 5 (3, 5)
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
x
V
5
8()a
b
2 21
4
2
4
2
2
5
2
2
5
2
2
5
y
V
5 2(2)
2
1 4 8 (2) 2 4 5 24 1 8 2 4 5 0
V

(2, 0)
x
V
5
8()
()
a
b
2 21 2
1
2 22
5
22
55
y
V
5 (1)
2
2 2 8 (1) 1 2 5 1 2 2 1 2 5 1
V

(1, 1)
60 Construa o gráfico das funções quadráticas em uma folha de papel quadriculado.
a) y 5 x
2
1 2x 2 8 d) y 5 2x
2
1 x 1 1
b) y 5 2x
2
1 6x 2 5 e) y 5 2x
2
c) y 5 3x
2
212x 1 9 f) y 5 x
2
2 x 1 2
construção de gráficos

308. 250
Exercícios propostos
A seguir, os gráficos solicita-
dos no exercício 62.
a) A parábola em preto é o
gráfico da função dada por
y 5 x
2
; adicionando 1 a cada
valor dessa função, obtemos
o gráfico da função dada
por y 5 x
2
1 1, a parábola
em azul. Se subtrairmos 1
de cada valor da função ori-
ginal, obtemos o gráfico da
função dada por y 5 x
2
2 1,
cuja parábola está em ver-
melho.
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
21
212223242526
y
x
b) O gráfico da função dada
por y 5 x
2
é a parábola em
azul, já da função dada por
y 5 2x
2
é a parábola em ver-
melho.
y
x
5
4
4
3
3
2
2
1
1
21
21
22
22
23
23
24
25
c) A parábola em preto é o
gráfico da função dada por
y 5 x
2
; multiplicando por 2
cada valor dessa função, ob-
temos o gráfico da função
dada por y 5 2x
2
, parábola
em azul. Se multiplicarmos
por 4 cada valor da função
original, obtemos a parábo-
la em verde, que é o gráfico
da função dada por y 5 4x
2
.
y
7
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
21
2122232425
x
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam
relações funcionais entre duas variáveis.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
250 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
1 Imagine se modificarmos o coeficiente a. Em  seguida, responda:
a) O que acontece quando o valor absoluto de a aumenta?
a abertura da parábola diminui
b) O que acontece quando o valor absoluto de a diminui? a abertura da parábola aumenta
2 Imagine o que acontece se modificarmos o coeficiente c. Em  seguida, responda:
a) Qual o papel do coeficiente c no gráfico de f (x) 5 ax
2
1 bx 1 c?
b) Podemos associar esse coeficiente à ordenada de um ponto. Que ponto é esse?
3 Construa o gráfico de algumas funções quadráticas do tipo f (x) 5 ax
2
1 c. Depois, responda:
a) Em que ponto cada gráfico construído intercepta o eixo y?
vértice
b) Qual é o eixo de simetria de cada gráfico construído? eixo y
o coeficiente c determina a translação vertical do gráfico
ponto de intersecção do gráfico com o eixo y
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Uso do computador: parábolas
Com o auxílio de um software matemático, é possível estudar o que acontece com o
gráfico de funções do tipo f(x) 5 ax
2
1 bx 1 c à medida que os coeficientes a, b e c variam.
1. Ao digitar f(x) 5 ax
2
1 bx 1 c e teclar “Enter” no campo “Entrada” na tela inicial, apa-
recerá uma janela.
2. Clicando em “Criar Controles Deslizantes” na tela inicial, aparecerão os contro-
les deslizantes correspondentes aos coeficientes a, b e c de f(x) 5 ax
2
1 bx 1 c,
além do gráfico para a 5 1, b 5 1 e c 5 1.
3. É possível movimentar os cursores dos controles deslizantes para variar os valores
dos coeficientes a, b e c .
PARA SABER MAIS
62 Reúna-se com um colega para fazer esta ati vidade.
Usando uma folha de papel quadriculado, construam, para cada item, em um mesmo plano cartesiano,
os gráficos das funções dadas pelas seguintes leis:
construção de gráficos
a) y 5 x
2
, y 5 x
2
1 1 e y 5 x
2
2 1
b) y 5 x
2
e y 5 2x
2
c) y 5 x
2
, y 5 2x
2
e y 5 4x
2
Comparando os gráficos em cada plano cartesiano, o que vocês podem observar?
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
61 Construa, em uma folha de papel quadriculado, os gráficos das funções dadas pelas leis y 5 x
2
 2 4
e y 5 2x
2
1 4 em um mesmo plano cartesiano e determine os pontos de cruzamento desses dois
gráficos.
(22, 0) e (2, 0)
a) há uma translação vertical dos gráficos
b) os gráficos são simétricos em relação ao eixo x
c) apenas a abertura das parábolas muda
Agora é com você!

309. 251BIMESTRE 4
Estudo do sinal
de uma função
polinomial do 2
o
grau
Peça aos alunos que obser-
vem que, assim como es-
tudamos o sinal da função
polinomial do 1
o
grau, tam-
bém o fazemos com o sinal
da função polinomial do
2
o
grau, que pode ser usado
em estudos mais avançados
para aplicar em restrições de
situações problema contex-
tualizadas.
Preferencialmente em du-
plas, solicite aos alunos uma
leitura atenta dos exem-
plos do estudo do sinal das
funções apresentadas para
propiciar a troca de entendi-
mentos e de dúvidas. Depois,
verifique se há alguma dúvi-
da sobre esses exemplos.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
251CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Estudo do sinal de uma função polinomial do 2
o
grau
Estudar o sinal de uma função polinomial do 2
o
grau é determinar os valores reais de x que
tornam a função positiva (y  0), negativa (y  0) ou nula (y 5 0). Para isso devemos, quando
houver, determinar os zeros da função (valores de x que anulam a função), observar o sentido
da concavidade (para cima ou para baixo) e esboçar seu gráfico.
Agora, acompanhe alguns exemplos do estudo do sinal de funções do 2
o
grau.
x
–3
– –
Esboço do gráfico
Estudo do sinal
• Para x i 23, temos: y  0
• Para x 5 23, temos: y 5 0
• Não existe valor real de x que torne y  0.
b) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y 5 2x
2
2 6x 2 9.
Como a = 21  0, o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo.
Zeros da função
2x
2
2 6x 2 9 5 0 (a 5 21  0, b 5 26, c 5 29)
d 5 (26)
2
2 4 8 (21) 8 (29) 5 0
0S5
5 0
x 5
()
()
21
6
32
22
5
2
6
2
5 23
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
x2 4
–
++
Esboço do gráfico
a) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y 5 x
2
2 6x 1 8.
Como a = 1  0, o gráfico da função tem concavidade voltada para cima. Zeros da função
x
2
2 6x 1 8 5 0 (a 5 1  0, b 5 26, c 5 8)
d 5 (26)
2
2 4 8 1 8 8 5 4

4S5 5 2
Estudo do sinal
• Para x  2 ou x  4, temos: y  0
• Para x 5 2 ou x 5 4, temos: y 5 0
• Para 2  x  4, temos: y  0
ex
2
62
5
!
x
1
5
2
621
5
2
8
5 4
x
2
5
2
622
5
2
4
5 2

310. 252
Orientações
Solicite aos alunos que com-
parem as expressões que de-
finem as duas funções dos
exemplos c e d. Depois, peça
que respondam qual é a
consequência dessa relação
nos dois gráficos. Eles de-
vem perceber que a expres-
são da função no exemplo d
é a oposta da expressão do
exemplo c e que a consequ -
ência no plano cartesiano é
a reflexão do gráfico de c
em relação ao eixo x.
Exercícios propostos
Após a resolução do exercí-
cio 63, peça a eles que inves-
tiguem o que acontece com
os gráficos e com o resumo
do estudo do sinal das fun-
ções polinomiais do 2
o
grau
cuja expressão da lei que as
define é a oposta de cada
função desse exercício. Eles
devem verificar que cada
gráfico é obtido pela refle-
xão do respectivo gráfico do
exercício e que o resumo do
estudo do sinal traz conclu-
sões respectivamente inver-
sas, exceto para y 5 0.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca
entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis,
para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
x–
Esboço do gráfico
x
+
Esboço do gráfico
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
252 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
63 Estude o sinal das funções dadas pelas leis:
a) y 5 x
2
2 3x 1 2 d) y 5 x
2
1 8x 1 16 x i 24: y  0; x 5 24: y 5 0
b) y 5 6x
2
2 5x 1 1 e) y 5 2x
2
1 12x 2 36 x 5 6: y 5 0; x i 6: y  0
c) y 5 22x
2
2 5x 1 3 f) y 5 3x
2
2 2x 1 1
para qualquer x real a função é
sempre positiva
c) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y 5 x
2
2 3x 1 3.
Como a = 1  0, o gráfico da função tem concavidade voltada para cima.
Zeros da função
x
2
2 3x 1 3 5 0 (a 5 1  0, b 5 23, c 5 3)
d 5 (23)
2
2 4 8 1 8 3 5 23
A função não tem zeros reais.
Estudo do sinal
A função nunca se anula e não existe valor de x real
que a torne negativa, ou seja, para qualquer x real,
a função sempre é positiva.
d) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y 5 2x
2
1 3x 2 3.
Como a = 21  0, o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo.
Zeros da função
2x
2
1 3x 2 3 5 0 (a 5 21  0, b 5 3, c 5 23)
d 5 3
2
2 4 8 (21) 8 (23) 5 23
A função não tem zeros reais.
Estudo do sinal
A função nunca se anula e não existe valor de x real
que a torne positiva, ou seja, para cada x real, a
função sempre é negativa.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
c) 23  x 
2
1
: y  0; x 5 23 ou x 5
2
1
: y 5 0; x  23 ou x 
2
1
: y  0
b) x 
3
1
ou x 
2
1
: y  0; x 5
3
1
ou x 5
2
1
: y 5 0;
3
1
 x 
2
1
: y  0
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
EXERCÍCIO PROPOSTO
Sistema de equações do 2
o
grau
Na linguagem matemática, as situações que relacionam dados por meio de uma igualdade
são expressas por uma equação.
Duas ou mais equações constituem um sistema de equações. Se pelo menos uma delas
é do 2
o
grau, temos um sistema de equações do 2
o
grau.
PARA SABER MAIS
a) x  1 ou x  2: y  0; x 5 1 ou x 5 2: y 5 0; 1  x  2: y  0

311. 253BIMESTRE 4
Para saber mais
A seção traz uma situação
problema cuja solução de-
manda a aplicação de um
sistema de equações, das
quais uma é equação do 2
o

grau.
Questione os alunos se tam-
bém seria possível, para
resolver um sistema como
esse, usar os métodos estu-
dados anteriormente (adi-
ção e comparação). Eles
devem concluir que podem
usar o método da adição
apenas se, na adição mem-
bro a membro, eliminarmos
a incógnita que tem grau
1. É possível usar o método
da comparação apenas se a
incógnita comparada for de
grau 1.
x
x
y
y
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
253CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
3 Na figura ao lado,
a área verde tem
51 cm
2
e a diferença
entre as medidas
dos lados dos qua-
drados é 3 cm. Cal-
cule a área amarela.
49 cm
2
NELSON MATSUDA
DANILLO SOUZA
Como não podemos ter uma idade negativa, então y 5 4.
Portanto, o filho tem 4 anos.
Substituindo y por 4 na equação x 5 38 2 y, encontramos a idade do pai.
x 5 38 2 y 5 38 2 4 5 34
Logo, hoje o filho tem 4 anos e o pai, 34 anos.
1 Determine dois números positivos a e b
de modo que a 1 b 5 2 e a
2
1 b
2
5
.
2
5
2 A diferença entre dois números é 3.
A soma de seus quadrados é 17. Qual é
o maior desses números?
4 ou 21
a 5
2
1
e b 5
2
3
ou a 5
2
3
e b 5
2
1
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Considere a situação a seguir.
Hoje, a soma das idades de um pai e de seu filho é 38 anos. Sabendo que daqui a 2 anos
a idade do pai será igual ao quadrado da idade do filho, calcule a idade de cada um hoje.
Para calcular as idades, vamos chamar de x a idade do pai e de y a idade do filho. Com
os dados fornecidos, podemos montar o seguinte sistema:
()
xy
xy
38
22
15
15 1
2
*
Isolando x na equação x 1 y 5 38, obtemos:
x 5 38 2 y
Substituindo x por 38 2 y na equação x 1 2 5 ( y 1 2)
2
, temos:
x 1 2 5 ( y 1 2)
2
38 2 y 1 2 5 y
2
1 4y 1 4
2y
2
2 y 2 4y 1 38 1 2 2 4 5 0
2y
2
2 5y 1 36 5 0
y
2
1 5y 2 36 5 0
Resolvendo essa equação na incógnita y, temos:
d 5 b
2
2 4ac 5 5
2
2 4 8 1 8 (236) 5 25 1 144 5 169
169S5 5 13
e
y 5
a
b
2
2! S
5
21
513
3
2!
5
2
5132!
y
1
5
513
2
21
5
2
8
5 4
y
2
5
2
51322
5
2
182
5 29
Agora é com você!

312. 254
Pense mais um
pouco...
O desafio pode ser realizado
em duplas ou trios. A discus-
são entre eles favorece a ex-
posição das ideias e amplia
a busca de estratégias de
resolução, enriquecendo o
aprendizado.
Espera-se que notem que:
• a primeira pessoa que
cumprimenta as demais
não cumprimenta ela mes-
ma. Assim, a quantidade
de cumprimentos efetua-
dos por ela foi o total de
pessoas menos 1. Conside-
rando o total de pessoas
indicado por n, temos que
a primeira pessoa efetuou
(n 2 1) cumprimentos;
• a segunda pessoa cumpri-
mentou 2 pessoas a menos
porque não cumprimenta
ela mesma nem cumpri -
menta a primeira pessoa,
que já cumprimentou, ou
seja, efetuou (n 2 2) cum-
primentos;
• seguindo esse raciocínio,
a terceira pessoa efetuou
(n 2 3) cumprimentos etc.
A penúltima pessoa cum-
primentou apenas a última
pessoa, que já foi cumpri-
mentada por todos;
• adicionamos todos os cum-
primentos:
(n 2 1) 1 (n 2 2) 1 (n 2 3) 1
1 ... 1 3 1 2 1 1 5 78.
Vamos avaliar algumas adi-
ções desse tipo, nas quais
cada parcela é a quantidade
de cumprimentos efetuados
por uma pessoa, para verifi-
car quando obtemos total 78:
1 1 2 1 3 1 4 1 5 5 15
(muito longe de 78)
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1
1 8 1 9 1 10 5 55
(próximo de 78)
Veja que:
55 1 11 5 66
55 1 11 1 12 5 78
(a maior quantidade de
cumprimentos feita foi 12)
Concluímos que a primeira
pessoa efetuou 12 cumpri-
mentos, ou seja:
n 2 1 5 12
n 5 13
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam
relações funcionais entre duas variáveis.
x
x – 3
x + 3
2
y
x0
–1
1
2
3
4321–2–3
–1
–2
0
50
Nº de
quilômetros
Ganho mensal
0
50
Nº de
quilômetros
Ganho mensal
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
254 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
1 Considerando a figura abaixo, expresse a área y
da região verde em função de x.
y 5 x
2
1 x 1 6
2 Considerando a função dada pela lei
()fx
x
5
3
4
7
52 , calcule:
() ()ff
15 10
15 10
2
2
.
5
3
Determine:
a) f (23);
22 b) f (0); 1
c) o valor de x para y 5 3; 2
d) o zero da função. 21
• Agora, responda: o gráfico passa pelo ponto
(10, 11)?
sim
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
b)
8 (Saresp) Um motoboy, para fazer entregas ou
retirar documentos de escritórios espalhados
pela cidade de São Paulo, recebe R$ 3,00 por
quilômetro rodado. Suponhamos que ele passe
a receber, mensalmente, um auxílio fixo de
R$ 50,00. O gráfico que representa o seu ganho
mensal, em reais, em função dos quilômetros
rodados é:
alternativa b
7 O gráfico da função dada pela lei y 5 6x 1 p
passa pelo ponto (1, 11). Determine para que
valores reais de x tem-se:
a) y 5 23;
3 b) y  0. x
6
5
,2
6 Dadas as funções definidas pelas leis
f (x) 5 2x 2 6 e g (x) 5 23x 1 6, determine os
valores reais de x para que: a) f (x)  0;
x  3 c) f (x) 5 g (x);
b) g (x)  0;
x  2 d) f (x)  g (x).
x
5
12
5
x
5
12
.
5 Considere a função polinomial do 1
o
grau dada
pela lei y 5 7x 2 4. a) Determine o zero da função.
7
4
b) Construa, em uma folha de papel quadri-
culado, o gráfico dessa função.
b) construção de gráfico
4 Observe este gráfico da função polinomial f do
1
o
grau:
3 Uma função é dada pela lei f (x) 5 10x 1 10.
Calcule f (10) 2 f (0).
100
0
Ganho mensal
Nº de
quilômetros
0
50
Nº de
quilômetros
Ganho mensala) c)
d)
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
c) Para que valor de x tem-se f (x) 5 2?
d) Para que valores de x tem-se y  0? 7
6
x
7
4
.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
DANILLO SOUZA
Logo depois da formatura, a família de Juliana resolveu comemorar
em uma pizzaria. Ao se despedirem, todos os familiares apertaram-
-se as mãos. Juliana reparou que o total de cumprimentos foi 78.
Sabendo que, quando uma pessoa cumprimenta outra, esta outra
também está cumprimentando a pessoa, portanto, conta-se como um
só cumprimento, quantas pessoas foram comemorar nessa pizzaria?
13 pessoas

313. 255BIMESTRE 4
Exercícios
complementares
Para o exercício 21, temos:
a) y 5 23x
2
25x 1 2
23x
2
2 5x 1 2 5 0
d 5 (25)
2
2 4 8 (23) 8 2 5 49
x 5
5 6 7
26
Æ x
1
5 22 e
x
2
5
1
3
x
22
1
3
1
22
• x , 22 ou x .
1
3
Æ y , 0.
• x entre 22 e
1 3
Æ y . 0.
• x 5 22 ou x 5
1 3
Æ y 5 0.
b) y 5 9x
2
2 12x 1 4
9x
2
2 12x 1 4 5 0
x 5
12 6 0
18
5
2 3
x
1 1
2
3
• x 5
2
3
Æ y 5 0.
• x i
2 3
Æ y . 0.
Não existe valor real de x
que torne a função negativa.
c) y 5 4x
2
2 2x 1 3
4x
2
2 2x 1 3 5 0
d 5 (22)
2
2 4 8 4 8 3 5 2 44
A função não tem zeros reais.
x
1
Para qualquer x real, a função é sempre positiva.
d) y 5 2x
2
2 6x
2x
2
2 6x 5 0
2x(x 2 3) 5 0
x
1
5 0 e x
2
5 3
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
x
0 3
1 1
2
• x , 0 ou x . 3 Æ y . 0.
• Para x entre 0 e 3 Æ y , 0.
• Para x 5 0 ou x 5 3 Æ y 5 0.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
255CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
11 A temperatura, em grau Celsius, no interior de
uma câmara frigorífica é dada por uma função
cuja lei é y 5 t
2
2 7t 1 c, em que t indica o
tempo e y indica a temperatura.
a) Sabendo que para t 5 0 a temperatura é de
10 °C, calcule o valor de c.
c 5 10
b) Qual é a lei da função? y 5 t
2
2 7t 1 10
c) Calcule o valor de t para que a temperatura
seja a mínima possível.
3,5 minutos
9 (Unifor-CE) A função f do 1
o
grau é definida por
f (x) 5 23x 1 k. O valor de k para que o gráfico
de f corte o eixo das ordenadas no ponto de
ordenada 5 é:
alternativa e
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
16 (UFRGS-RS) Uma bola colocada no chão é
chutada para o alto, percorrendo uma trajetória
descrita por y 5 22x
2
1 12x, em que y é a al-
tura dada em metro. A altura máxima atingida
pela bola é:
alternativa b
a) 36 m. d) 6 m.
b) 18 m. e) 3 m.
c) 12 m.
15 (PUCCamp-SP) Uma bola é largada do alto
de um edifício e cai em direção ao solo.
Sua altura h em relação ao solo, t segundos
após o lançamento, é dada pela expressão
h 5 225 t
2
 1 625. Após quantos segundos do
lançamento a bola atingirá o solo?
a) 2,5 d) 10
b) 5 e) 25
c) 7
alternativa b
21 Estude o sinal das funções quadráticas.
a) y = 23x
2
2 5x 1 2
b) y = 9x
2
2 12x 1 4
c) y = 4x
2
2 2x 1 3
d) y = 2x
2
2 6x
construção de gráficos
22 O vértice da parábola que representa a função
quadrática y = ax
2
1 bx 1 c será um ponto do
eixo das abscissas se:
alternativa c
a) a 5 0.
b) d  0.
c) d = 0.
d) d  0.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
10 Considere a função definida pela lei
y 5 x
2
2 2x 1 1.
a) Determine o(s) zero(s) dessa função.
1
b) Construa o gráfico da função. c) Para que valores de x temos y 5 1? d) Para que valores de x temos y  0?
x i 1
b) construção de gráfico
x 5 0
ou x 5 2
12 (UCSal-BA) A parábola de equação
y 5 2x
2
2 3x 1 1 corta o eixo das abscissas
nos pontos:
alternativa d
a) (0, 0) e (3, 0). d) (1, 0) e ,
2
1
0
eo.
b) (0, 1) e (0, 2). e) (2, 0) e (1, 0).
c) (0, 1) e ,0
2
1
eo.
13 O custo (C ) de certo produto é obtido pela
função definida pela lei C 5 x
2
2 50x 1 2, em
que x representa a quantidade do produto.
Calcule o valor de x para que o custo desse
produto seja mínimo.
25
14 (PUC-MG) O valor máximo da função
f (x) 5 2x
2
1 2x 1 2 é: alternativa b
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
17 Um engenheiro vai projetar uma piscina em
forma de paralelepípedo retângulo, cujas
dimensões, em metro, são expressas por x,
(20 2 x) e 2. Qual é o maior volume que essa
piscina poderá ter, em metro cúbico?
200 m
3
18 (ESPM-SP) A estrutura do lucro de uma pe-
quena empresa pode ser estudada através da
equação y 5 2x
2
1 120x 2 2.000, sendo y o
lucro em real quando a empresa vende x uni-
dades. Com base nisso, pode-se afirmar que:
a) o lucro é máximo quando x 5 60.
b) o lucro é máximo quando x 5 1.600.
c) o lucro é máximo quando x 5 20 ou
x 5 100.
d) o lucro é máximo quando x  2.000.
e) o lucro é máximo quando x  20 ou x  100.
alternativa a
19 O lucro (L) de uma empresa para certo pro -
duto é obtido pela função definida pela lei
L 5 22x
2
 1 2.000x 2 100, em que x representa
a quantidade do produto. Calcule para quantas
unidades se obtém o lucro máximo possível.
500 unidades
20 (FESPSP) Considere a função quadrática
f (x) 5 (m 1 1)x
2
2 5x 1 5.
a) Para que valores de m o gráfico da função
tem concavidade voltada para baixo?
b) Para que valor de m o gráfico da função
tangencia o eixo das abscissas?
m
4
1
5
m  21

314. 256
Diversificando
No Agora é com você!, para
o item a, temos a seguinte
tabela:
Área máxima
x y A 5 x 8 y
A(x) 5 22x
2
1
1 16x
1 14 14 14
2 12 24 24
3 10 30 30
3,9 8,2 31,98 31,98
4 8 32 32
4,1 7,8 31,98 31,98
5 6 30 30
6 4 24 24
7 2 14 14
8 0 0 0
Dados obtidos no enunciado da
questão.
Para o item c , temos o se-
guinte gráfico:
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
8
6
4
2
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y
WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada: (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas
representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre
duas variáveis.
DIVERSIFICANDO
x
y
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
256 CAPÍTULO 10 ESTUDO DAS FUNÇÕES
Cercando
Você se lembra do José, sitiante que pratica agricultura de subsistência, da situação 3, do
início deste capítulo?
Em seu quintal, ele pretende construir um galinheiro retangular de modo que consiga ter o
melhor aproveitamento possível com os 16 m de tela de arame que comprou. Para isso, José
resolveu usar o muro do quintal como um dos lados do galinheiro. Veja a ilustração a seguir.
JOSÉ LUÍS JUHAS
Podemos representar essa situação com expressões algé bri cas:
(I) a área do galinheiro: A 5 x 8 y
(II) o comprimento da tela: y 1 2x = 16
Vamos isolar y no primeiro membro de (II):
y 5 22x 1 16
Substituindo o valor de y em (I), temos a lei da área em função de x:
A(x) 5 22x
2
1 16x
Reúnam-se em grupo e, consultando o texto e a ilustração acima, façam o que se pede.
a) Atribuindo valores 1; 2; 3; 3,9; 4; 4,1; 5; 6; 7; 8 para x , construam um quadro como este:
construção de quadro
b) Para que valor de x a área é máxima? Qual é essa área? 4; 32 m
2
c) Em papel quadriculado, esbocem o gráfico da função dada pela lei A(x) 5 22x
2
1 16x.
d) Esse gráfico apresenta um ponto de máximo ou de mínimo?
máximo
e) Calculem as coordenadas do vértice da parábola, gráfico da função A, e comparem-nas com a
resposta do item b.
Espera-se que os alunos percebam que a ordenada do vértice é a área máxima.
f) Resolvam o problema de José caso ele tivesse comprado 20 m de tela de arame.
g) Pesquisem o significado de “agricultura de subsistência”.
Resposta pessoal.
construção
de figura
x y A 5 x 3 y A(x) 5 22x
2
1 16x
f ) Os alunos podem resolver esse item substituindo valores (itens a e b) ou algebricamente (lei da função e coordenadas do gráfico). Eles encontrarão x = 5 m e y = 10 m. A área encontrada é 50 m
2
.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!

315. 257BIMESTRE 4
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer e determinar o
número irracional π.
• Resolver problemas envol-
vendo a razão entre duas
grandezas.
• Determinar o comprimen-
to de uma circunferência
e aplicar esse conceito na
resolução de problemas.
• Relacionar arcos de circun-
ferência e ângulos centrais.
• Determinar o comprimento
de arcos de circunferência e
de sua medida angular.
• Resolver problemas envol-
vendo relações de propor-
cionalidade no cálculo da
medida de arcos.
• Reconhecer e aplicar as
propriedades entre arcos e
cordas de uma circunferên-
cia e das relações métricas
em uma circunferência.
• Analisar gráfico com semi-
coroa circular.
• Resolver problemas envol-
vendo porcentagens e de-
terminação de ângulos de
setores circulares.
• Comunicar resultados de
pesquisa por meio de tabe-
la e gráfico.
Orientações gerais
Neste capítulo, tratamos da
circunferência e da determi-
nação de seu comprimento,
das medidas de arcos e rela-
ções métricas em uma circun-
ferência. O conceito de pro-
porcionalidade, frequente no
desenvolvimento de vários
conteúdos abordados ao lon-
go do Ensino Fundamental
e já estudado neste livro nos
capítulos 3 e 4, encontra-se
no item “Arco de circunfe-
rência”. Além disso, amplia-
mos o trabalho com gráficos
explorando os formados por
semicoroas circulares.
A abertura do capítulo traz
uma imagem que revela
uma circunferência ima-
ginária. Em uma roda de
conversa, aproveite para
estimular os alunos a expo-
rem o que sabem sobre essa
figura geométrica, quais são
seus principais elementos,
mobilizando conhecimentos
construídos anteriormente.
Sugestão de leitura
Para enriquecer o trabalho, sugerimos:
<https://pt.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter/area-circumference-circle/a/radius-diameter-circumference>.
Acesso em: 30 ago. 2018.
257CAPÍTULO 11
Revelada pela lente fotográfica do artista, uma circunferência imaginária, espelhada na
água tranquila do lago, pode surgir da simetria do arco da ponte.
11
Capítulo
Ponte do Diabo, Parque Kromlau, distrito de Görlitz Gablenzgasse, Alemanha. (Foto de 2017.)
LIUBOMIR PAUT-FLUERASU/
ALAMY/FOTOARENA
Circunferência,
arcos e relações
métricas

316. 258
Circunferência e arcos
de circunferência
Peça aos alunos que citem
exemplos da presença da
circunferência ou do círculo
no cotidiano. Espera-se que
seja citados: tampos de me-
sas, CDs, pneus, ventilado-
res, moedas, anéis e alian-
ças, pizzas etc.
Peça aos alunos que façam
composições envolvendo
circunferências. Depois, faça
uma exposição na sala para
divulgar os trabalhos elabo-
rados por eles.
Sugestões de leitura
Para enriquecer esse trabalho,
sugerimos:
<https://novaescola.org.br/plano-
de-aula/1496/circunferencia-e-
arte>;
<http://impressionartetavira.
blogspot.com/2013/11/artes-com-
circunferencias.html>.
Acessos em: 30 ago. 2018.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
258 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
1
Circunferência e arcos de circunferência
Em muitas culturas agrícolas é empregado um sistema de irrigação chamado pivô central.
Nesse sistema, a água é distribuída de maneira controlada, com economia e eficiência, por
meio de uma tubulação que, apoiada em torres sobre rodas, dá voltas completas em torno
de um dispositivo central.
Wassily Kandinsky. Círculos em um círculo. 1923.
Óleo sobre tela. 98,7 cm 3 95,6 cm.
WASSILY KANDINSKY – PHILADELPHIA MUSEUM OF ART, ESTADOS UNIDOS
NATIONAL GEOGRAPHIC CREATIVE/ALAMY/FOTOARENA
LEONARDO CONCEIÇÃO
LEONARDO CONCEIÇÃO
Plantação com sistema de irrigação com pivô central. (Foto de 2015.)
Algumas figuras
utilizadas nesta obra de
arte também dão ideia
de circunferência.
Os desenhos na
plantação, feitos
pelas torres sobre
rodas, dão ideia de
circunferência.

317. 259BIMESTRE 4
Orientações
Inicialmente, reproduza as
figuras na lousa para que os
alunos as identifiquem. De-
pois, peça a eles que leiam o
texto do livro do estudante
e verifiquem os elementos
que não foram reconheci-
dos. Em seguida, desenhe
na lousa circunferências va-
riadas para que os alunos
tracem raios, cordas, diâme-
tros e destaquem nelas dois
arcos de medidas diferentes.
Se julgar conveniente, pro-
ponha uma pesquisa sobre o
número π.
Sugestões de leitura
Para aprofundar o tema da pesquisa,
sugerimos:
<https://www.matematica.pt/faq/
historia-numero-pi.php>;
<https://guiadoestudante.abril.com.
br/estudo/celebre-o-dia-do-pi/>.
Acessos em: 30 ago. 2018.
Habilidade trabalhada: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e
não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
A B
O
A
B
O
M
Arco AMB: arco maior
A
B
O
Arco AB: arco menor
A
B
O
A
B
C
D
O
E
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
259CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
Vamos recordar um pouco do que já estudamos sobre circunferências.
Quando os dois pontos coincidem com os extremos
de um diâmetro, cada um dos arcos é chamado de
semicircunferência.
Comprimento de uma circunferência
Acompanhe a situação a seguir.
Aline é arquiteta e está fazendo a planta de uma
quadra poliesportiva.
Qual deverá ser o comprimento da circunferência
central dessa quadra, sabendo que o raio deve medir
1,8 metro?
Já vimos que a razão entre o compri mento (C ) de
uma circunferência e a medida de seu diâmetro (d ) é
constante e aproximadamente igual a 3,14. Essa cons-
tante é representada pela letra grega s (lemos: pi). Ou
seja, dada uma circunferência de raio r, temos:
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Na circunferência ao lado:
ƒO é o centro;
ƒAB
é uma corda;
ƒOC é um dos raios;
ƒDE é um dos diâmetros.
Considere dois pontos distintos de uma circunferência. Esses pontos a dividem em duas
partes chamadas de arco.
SIDNEY MEIRELES
Circunferência é a linha formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo desse plano.
ouou
C 5 2sr
d
C
5s
C
r2
5s
LEONARDO CONCEIÇÃO

318. 260
Orientações
Explore com os alunos os
exemplos apresentados. Co-
mente que em geral usamos
a aproximação 3,14 para o
valor de π, mas que podem
ser solicitadas outras aproxi-
mações, como 3,1416.
Exercícios propostos
No exercício 3, os alunos de-
vem perceber, por meio da
ilustração, que a parte de
cima da porta é uma semi-
circunferência de raio me-
dindo 70 cm. Assim, podem
chegar à conclusão de que o
comprimento dessa semicir-
cunferência, em metro, será:
C
semi
5
2πr
2
5 3,14 8 0,7 5
5 2,198
As laterais da porta corres-
pondem a dois segmentos
de reta, sendo que cada
um deles tem comprimen-
to igual a 2,60 m 2 0,7 m,
ou seja, cada um deles tem
1,90  m. Logo, essas duas
laterais têm um total de
3,8 m.
Dessa forma, o acabamento
em vermelho tem:
2,198 m 1 3,8 m 5 5,998 m.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
70 cm
2,60 m
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
260 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3 Um marceneiro construiu uma porta com as
características da figura a seguir.
Determine o com-
primento do acaba-
mento em madeira
destacado em ver-
melho na figura.
Para os exercícios a seguir, adote s 5 3,14.
1 Um ciclista deu 500 pedaladas completas. O
raio da roda da bicicleta desse ciclista mede
25  cm. Determine quantos metros ele per-
correu aproximadamente, supondo que cada
pedalada corresponde a uma volta completa
da roda da bicicleta.
785 m
2 Construa uma circunferência de raio r. Trace
dois diâmetros,
AC e BD, perpendiculares entre
si. Determine a diferença entre o comprimento da circunferência e o perímetro do quadrado ABCD em função de r . (Use 2
5 1,41.) 0,64r
Na situação anterior, como o raio do círculo central da quadra mede 1,8 m, podemos calcular
o comprimento de sua circunferência deste modo:
C 5 2sr q 2 8 3,14 8 1,8
C q 11,3 m
Portanto, o comprimento da circunferência do círculo central da quadra poliesportiva é,
aproximadamente, 11,3 m.
Convém lembrar que o número s, que indica a razão entre o comprimento de uma circunfe-
rência e a medida do seu diâmetro, é um número irracional, isto é, não pode ser representado
na forma decimal exata nem por uma dízima periódica.
s 5 3,141592653…
Veja alguns exemplos de aplicação.
a) Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de 16 cm de diâmetro, considerando
s 5 3,14.
Temos: d 5 16 cm e C 5 sd
Assim:
C 5 3,14 8 16 5 50,24
Logo, a circunferência tem 50,24 cm de comprimento.
b) Vamos calcular a medida do raio de uma circunferência de 37,68 cm de comprimento,
considerando s 5 3,14.
Temos: C 5 37,68 cm e C 5 2sr
Assim:
2sr 5 37,68
2 8 3,14 8 r 5 37,68
6,28 8 r 5 37,68
r 5 6
Logo, a medida do raio da circunferência é 6 cm.
JOSÉ LUÍS JUHAS
NELSON MATSUDA
5,998 m

319. 261BIMESTRE 4
Exercícios propostos
No exercício 4, peça aos alu-
nos que levem para a classe
régua ou trena com escalas
em polegada e em centí-
metro. Providencie pedaços
de canos plásticos, com diâ-
metros diferentes, para que
sejam medidos. Também
podem ser medidas as telas
(na diagonal) de aparelhos
celulares, de monitores de
computador, de televisores.
Explique que é essa medida
que determina as polegadas
da tela desses aparelhos.
Proponha aos alunos que
formem duplas para resolver
o exercício 5 e incentive-os a
fazer um esboço da situação.
Se fizerem os cálculos sem
as transformações necessá-
rias das unidades de medida,
faça intervenções para per-
ceberem que o exercício so-
licita a velocidade em km/h
e que nenhum dado original
está nessa unidade. Vejamos
uma possível resolução.
Se a roda da moto tem diâ-
metro de 70 cm, podemos
calcular seu comprimento:
C 5 π 8 d Æ C 5 3,14 8 70 Æ
Æ C 5 219,8 cm
Logo, em 10 voltas, ela per-
correrá um total de 2.198 cm,
que é equivalente a 21,98 m
ou 0,02198 km. Com essa in-
formação, podemos utilizar
uma regra de três e encontrar
a velocidade, lembrando que
1 segundo é equivalente a
1
3.600
hora.
Distância
(em km)
Tempo
(em horas)
0,02198
1
3.600
x 1
Com relação envolvida é de proporcionalidade direta,
obtemos a proporção:
0,02198
x
5
1
3.600
1
5
1
3.600
x 5 0,02198 8 3.600
x 5 79,128 km/h
Explore as diferentes estratégias de resolução do exercício 9. Os alunos
podem, por exemplo, acrescentar 1 cm à medida do raio e calcular o
comprimento de cada circunferência. Podem também analisar as ex-
pressões: C
1
5 2 8 π 8 3 e C
2
5 2 8 π 8 3 8 3
Pense mais um pouco...
Os alunos devem atentar a que não é necessária a informação sobre a
altura da lata, uma vez que não influencia na quantidade de fita adesi-
va passando pela linha vermelha; o que importa, nesse caso, é o raio da
base dessa lata.
Complemente sugerindo outras questões nas quais seja necessária a
informação de que a lata tem 12 cm de altura.
12 cm
4,2 cm
3 cm
1 cm 1 cm
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
261CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
79,128 km/h
9 Lucila traçou uma circunferência de 3 cm de
raio. Depois traçou outras circunferências,
concêntricas à primeira, aumentando a me-
dida do raio de 1 em 1 centímetro. Quantas
circunferências ela deverá traçar até encontrar
aquela que tenha o triplo do comprimento da
primeira?
6 circunferências
7 Em outra praça circular, Teca e Lia fizeram o
mesmo que Edu e Ari. Quando elas se encon-
traram, Teca havia percorrido 180 m e Lia,
196,8 m. Qual é a medida aproximada do raio
dessa praça?
60 m
4 Uma polegada equivale a cerca de 2,5 cm.
A medida do diâmetro de um cano é de
4
3
de
polegada. Quantos cen tímetros isso represen-
ta, aproximadamente?
1,875 cm
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
5 A roda de uma moto tem 70 cm de diâmetro. Se
ela der 10 voltas completas por segundo, qual será a velocidade aproximada, em quilômetro por hora, dessa roda?
6 O diâmetro de uma praça circular mede 118 m.
Edu e Ari, partindo de um mesmo ponto, correm em torno dela em sentido contrário, e param ao se encontrar. Nesse instante, Edu havia percorrido 192,52 m. Qual dos dois é
mais rápido?
Edu, pois Ari percorreu 178 m
menos do que Edu
LEONARDO CONCEIÇÃO
THANIDA/SHUTTERSTOCK
10 Hora de criar – Troque com um colega um
problema sobre comprimento de uma circun-
ferência, criado por vocês. Depois de cada
um resolver o problema elaborado pelo outro,
destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
8 Uma pista circular de corrida de kart foi cons-
truída a partir de duas circunferências con- cêntricas de comprimentos 1.500 m e 1.200 m.
Determine a largura aproximada dessa pista.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
A figura ao lado representa uma lata de formato cilíndrico.
Calcule quantos centímetros de fita adesiva são necessários,
aproximadamente, para contornar a linha vermelha sobre a lata.
26,4 cm
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
47,77 m

320. 262
Arco de
circunferência
Em duplas, peça aos alunos
que leiam o texto apresen-
tado e elaborem uma ficha
com os principais conceitos,
ilustrando-a com figuras.
Depois, proponha a cada
dupla que exponha seu fi-
chamento. Registre na lousa
uma ficha correspondente
às anotações da turma.
Apresente novos exemplos
e destaque sempre a medi-
da angular dos arcos envol-
vidos. Considere arcos que
correspondem a divisões da
circunferência em partes
iguais:
• medida de um arco que
corresponde a um sexto da
circunferência: 60°
• medida de um arco que
corresponde a um terço da
circunferência: 120°
• medida de um arco que
corresponde a um oitavo
da circunferência: 45°
• medida de um arco que
corresponde a um quarto
da circunferência: 90°
• medida de um arco que
corresponde a metade da
circunferência: 180°
• medida de um arco que
corresponde a três quar-
tos de uma circunferência:
270°
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
A
B
C
D
O
30°
30°
30°
90°
A
B
C
O
30°
30°
60°
30°
Ar
B
C
O
D
E
F
G
LH
KI
J
30°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
262 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
Arco de circunferência
Ana Paula faz projetos de lustres e lumi-
nárias. Ela precisa projetar um lustre com
12 lâmpadas igualmente espaçadas entre si
e do centro do lustre. Para isso, ela desenhou
um esquema: uma circunferência dividida em
12 arcos de mesma medida angular.
ƒUm arco de medida angular de 60° tem
o dobro do comprimento de um arco
de 30°, ou seja, 2 8
r
12
2s
.
ƒUm arco de medida angular de 90° tem
o  triplo do comprimento de um arco
de 30°, ou seja, 3 8
r
12
2s
.
NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Ana percebeu que a soma de todas as medidas angu la res desses arcos é igual à medida
angular de uma circunfe rên cia (360°) e, portanto, cada um deles mede 30° (360° 9 12).
Na circunferência, Ana destacou o arco AB
%
, correspondente ao ângulo central AOB
W
.
Indicamos a medida angular do arco AB
%
por m(AB
%
) 5 30°.
O arco AB
%
da figura é
12
1
da circunferência, então podemos dizer
que o comprimento desse arco, na mesma unidade de medida da
circunferência, é igual a
r
12
2s
.
Observe algumas relações que podemos estabelecer entre a medida angular e o compri-
mento de arcos de uma mesma circunferência.
CLÁUDIO CHIYO
Recordando, a medida angular (em grau) de um arco
é igual à medida do ângulo central correspondente.
SIDNEY MEIRELES

321. 263BIMESTRE 4
Orientações
Explore com os alunos a me-
dida linear de um arco de
circunferência, ou seja, o
seu comprimento. Depois,
peça a eles que a comparem
com a medida angular, ob-
servando a diferença entre
essas medidas.
Se julgar necessário, retome
a noção de grandezas dire-
tamente proporcionais para
a realização dos exemplos
do livro. Amplie, propondo
na lousa outros exemplos.
Sugestão de leitura
Para ampliar, sugerimos:
<http://clubes.obmep.org.br/blog/
sala-de-ajuda-medindo-um-arco/>.
Acesso em: 30 ago. 2018.
A
30°
30°
30°
30° B
C
D
E
O
120°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
263CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
NELSON MATSUDA
Vamos considerar a seguinte terminologia:
ƒL: comprimento de um arco da circunferência (medido em determinada unidade
de comprimento);
ƒa: medida angular do mesmo arco em grau;
ƒr : medida do raio da circunferência (medido na mesma unidade de comprimento de L ).
Lembrando que uma circunferência tem 360°, podemos, por meio da regra de três, montar
o seguinte quadro:
Assim, temos a proporção:
La
°r2 360s
5
Veja dois exemplos.
a) Vamos calcular o comprimento de um
arco de 20° em uma circunferência de
10 cm de raio.
Comprimento do arco Medida angular do arco
2sr 360°
L a
Comprimento
do arco (cm)
Medida angular
do arco (grau)
2s 8 (10) 360°
L 20°
Comprimento
do arco (cm)
Medida angular
do arco (grau)
2s 8 (15) 360°
6s a
b) Vamos calcular a medida em grau de um arco de 6s cm em uma circunferência de
15 cm de raio.
ƒUm arco de medida angular de 120° tem o quádruplo do
comprimento de um arco de 30°, ou seja, 4 8
r
12
2s
.
Em uma mesma circunferência,
o comprimento de um arco em
determinada unidade de medida
é diretamente proporcional à sua
medida angular (em grau).
Considerando π 5 3,14, temos:
L 7
8,
9
10314
7 3,49
Portanto, o arco mede, aproximadamen-
te, 3,49 cm. Portanto, o arco mede 72°.
L °
°20
20
360s
5
L
01
1
9s
5
9L 5 10s
L
L9 10
9
5
s
L
9
10
5
s
a
°
6
30 360
s
s
5
a
°
1
5 360
5
5a 5 360°
a °
5
5
5
360
5
a 5 72°
SIDNEY MEIRELES

322. 264
Exercícios propostos
No exercício 15, peça aos
alunos que discutam com
os colegas o procedimento
utilizado para chegar à res-
posta. É importante que eles
percebam que o “caminho
sinuoso” é sempre mais lon-
go que o “caminho reto”.
Desse modo, será possível
saber que o comprimento
da linha é maior que a dis-
tância em linha reta das
duas extremidades da linha
traçada.
No exercício 22, pode-
mos verificar pelo esboço
abaixo que os raios dos
setores considerados são
25 cm o do menor e 60 cm
(25 cm 1 35 cm) o do maior.
30°
25 cm
30°
120°
25 cm
35 cm35 cm
25 cm
25 cm
Assim, podemos determinar
o comprimento dos arcos de
30° e de 120°:
Comprimento
do arco
(em cm)
Medida
angular
do arco
2 8 π 8 25 360
o
x 30
o
2 8 3,14 8 60
x
5
360
120
x q 125,6 cm
Comprimento
do arco
(em cm)
Medida
angular
do arco
2 8 π 8 60 360
o
y 120
o
2 8 3,14 8 60
y
5
360 120
y q 125,6 cm
Adicionando todas as partes
do arame, obtemos apro-
ximadamente 321,76 cm,
ou seja, cerca de 322 cm ou
3,22 m.
NELSON MATSUDA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas,
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
O
A
6 cm
L
B
30°
25 cm
30°
25 cm
35 cm
O
A
B
C
D
1,8 cm
60°
45°
30°
30 cm
20°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
264 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
arco AB
%
: 0,9 cm
arco BC
%
: 1,4 cm
arco CD
%
: 1,9 cm
18 Calcule em grau a medida de um arco de cir-
cunferência de 9,42 cm, sabendo que o raio
dessa circunferência mede 15 cm.
36°
19 Uma circunferência tem 18 cm de raio. Cal-
cule o comprimento aproximado do arco de
40° contido nessa circunferência.
12,56 cm
20 O pêndulo de um
relógio de parede
tem 30 cm de com-
primento.
A cada movimento,
o pêndulo descreve
um arco de 20°.
Determine o compri-
mento aproximado
desse arco.
10,5 cm
LEONARDO CONCEIÇÃO
22 Alguns adereços das fantasias de Carnaval são
apreciados por sua beleza e pompa.
Veja, no esquema abaixo, a estrutura de um
desses adereços feita com arame grosso.
11 Uma circunferência tem 12 cm de raio. Calcule
a medida aproximada, em centímetro, de um
arco dessa circunferência correspondente a
um ângulo central de 40°.
8,4 cm
12 Construa uma circunferência de 3 cm de raio.
Trace dois diâmetros perpendiculares entre si.
Quantos centímetros mede aproximadamente
cada um dos quatro arcos em que a circunfe-
rência ficou dividida?
4,71 cm
13 Uma circunferência é dividida em 12 arcos
congruentes de medida 3s cm. Determine:
a) o comprimento da circunferência;
36s cm
b) a medida do raio dessa circunferência.
18 cm
14 Calcule o comprimento aproximado dos arcos
AB
%
, BC
%
e CD
$
da circunferência abaixo.
16 Construa uma circunferência de 4 cm de raio.
Trace um de seus diâmetros e apague metade
da circunferência traçada. A figura obtida tem
perímetro de quantos centímetros, aproxima-
damente?
20,56 cm
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
NELSON MATSUDA
Quantos metros de arame, aproximadamente,
são necessários para construir esse adereço?
3,22 m
CLÁUDIO CHIYO
23 Hora de criar – Troque com um colega um
problema sobre comprimento de arco de cir-
cunferência, criado por vocês. Depois de cada
um resolver o problema elaborado pelo outro,
destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
15 Com o auxílio de uma régua, calcule o compri-
mento aproximado da linha representada pela figura abaixo.
aproximadamente 8,95 cm
17 Na figura, considere
que o comprimen-
to do arco AB
%
é de
6,28  cm. Calcule a
medida aproximada
do ângulo AOB
W
.60°
21 Calcule a medida em grau de um arco de
7,85 cm em uma circunferência de 10 cm de raio.
45°

323. 265BIMESTRE 4
Propriedades entre
arcos e cordas de
uma circunferência
Apresente cada propriedade
e peça aos alunos que ela-
borem exemplos de situa-
ções envolvendo a respecti-
va propriedade estudada.
Se julgar conveniente, discu-
ta com eles a demonstração
da recíproca da 1
a
proprie-
dade:
A recíproca é verdadeira, ou
seja, se AB
e CD são cordas
congruentes, então os ar-
cos correspondentes a cada
uma delas são também con-
gruentes.
A
B
O
C
D
Hipótese: AB & CD
Tese: AB
&
& CD
&
Demonstração
Considerando os triângulos
AOB e COD, temos:
• OA r OC (raios)
• OB r OD (raios)
• AB r CD (por hipótese)
Logo, o triângulo AOB e
COD são congruentes pelo
caso LLL. Assim, concluímos
que AO B r CO D.
Portanto, AB
&
r CD
&
.
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
A
B
O
C DM
A
B
O
C
D
C
B
O
A
D
M
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
265CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
Portanto, os lados correspondentes são congruentes, isto é, AB r CD.
2
a
propriedade
Considere a figura ao lado, em que o diâmetro AB é perpendi cular
à corda CD.
Observe que OC r OD (raios) e, portanto, COD é um triângulo
isósceles cuja altura é OM.
Como em um triângulo isósceles a altura relativa à base coincide
com a mediana, então M é ponto médio de CD. Logo, MC r MD.
Com isso, mostramos que:
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Também é verdadeiro que, se uma
corda é cortada perpendi cularmente
ao meio por outra corda, então essa
segunda corda é um diâmetro.
Se CM r MD e AB ª CD, então AB é diâmetro.
Propriedades entre arcos e cordas de uma circunferência
1
a
propriedade
Considere a figura ao lado, em que AB
%
e CD
$
são arcos congruen-
tes de uma circunferência.
Vamos mostrar que as cordas AB e CD subentendidas por esses
arcos são também congruentes.
Hipótese {AB
%
r CD
$
Tese {AB r CD
Observe que:
NELSON MATSUDA
Em toda circunferência, se dois arcos
têm a mesma medida, então as cordas
subentendidas por esses arcos são
congruentes.
Em uma circunferência, todo diâmetro perpendicular a uma corda divide-a ao meio.
Também é verdade
que se as cordas são
congruentes, então os arcos
também são congruentes.
1 OA r OD (raios)
2 AOB
W
r COD
W
(AB
%
r CD
$
) Logo: :AOB r :COD (pelo caso LAL)
3 OB r OC (raios)
SIDNEY MEIRELES
SIDNEY MEIRELES

324. 266
Exercícios propostos
Incentive os alunos a faze-
rem um esboço das situações
propostas neste bloco de
exercícios. No exercício 26,
um possível esboço é o que
segue. Por meio dele, os alu-
nos podem verificar que os
pontos A, B e C, nesse caso,
estão sobre a circunferência.
C
A
M
B
A B C
Após a resolução do exercício 26, questione os alunos sobre
qual posição teriam as me-
diatrizes de AB
e de BC caso
os pontos A, B e C estivessem
alinhados. Existiria o ponto
M? Existiria uma circunferên-
cia passando por A, B e C?
Fazendo um novo esboço,
eles podem verificar que as
mediatrizes desses segmentos
seriam paralelas e, portanto,
não teriam ponto comum.
Assim, não existiria o ponto
M nem uma circunferência
que passasse por esses três
pontos simultaneamente.
Para o exercício 27, com ré-
gua e compasso, construímos
o triângulo com lados nas
medidas indicadas. Como
dois lados desse triângulo se-
rão cordas da circunferência,
cada mediatriz desses dois
lados passará pelo centro da
circunferência (os diâmetros
perpendiculares às cordas di-
videm essas cordas ao meio).
Logo, essas duas mediatrizes
determinarão o ponto M,
centro da circunferência.
M
A
B
C
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
C
B
O
A
B
C
O
A
C
D
A
B
O
65°
80°
40 cm
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
266 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
24 Na figura abaixo, AB 5 1,2 cm e m(AOB
W
) 5 45°.
Calcule:
a) a medida da corda CD; 1,2 cm
b) a medida do ângulo BOC
W
. 155°
25 Considere um ponto P comum ao diâmetro XY
de uma circunferência (de centro O) e a uma
corda AB. Determine a medida do raio dessa
circunferência, sabendo que XY é perpendi-
cular a AB, OP 5 5 cm e AB 5 24 cm. 13 cm
27 Construa um triângulo ABC, em que AB 5 4 cm,
BC 5 3,6 cm e AC 5 5 cm. Trace uma circunfe-
rência que passe pelos vértices desse triângulo.
28 Para confeccionar um chapéu de palhaço, Aline
seguiu o modelo abaixo. Determine a medida
aproximada do arco de circunferência desse
modelo.
55,8 cm
26 Marque sobre uma folha de seu caderno três
pontos: A, B e C, não alinhados. Trace o seg-
mento AB
e o segmento BC. Trace a mediatriz
de cada um desses segmentos. Chame de M o ponto de encontro dessas mediatrizes. Com centro em M e abertura AM, trace uma circun-
ferência. Qual é a posição dos pontos A, B e C
em relação à circunferência?
2
Triângulo retângulo inscrito em
uma circunferência
Considere a figura ao lado.
Nela, destacamos o ângulo inscrito AC
B
W
, ou seja, um ângulo
cujo vértice está sobre a circunferência.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Lembrando que um ângulo inscrito em uma circunferência tem por medida a metade da
medida do ângulo central correspondente e, portanto, a metade da medida do arco compreen-
dido por seus lados, ou seja:
()
()
()
ACB
AB ABO
22
m
mm
55
W
W
%
Nesta outra figura, vemos um triângulo em que um dos lados
é um diâmetro da circunferência. Esse triângulo é retângulo, pois:
()
() °
°C
AB
22
180
90m
m
55 5
W
%
NELSON MATSUDA
Estão situados sobre a circunferência.
construção de figura
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO

325. 267BIMESTRE 4
Exercícios propostos
No exercício 32, os alunos
deverão perceber que, se a
circunferência tem 10π cm
de comprimento, então ela
tem raio igual a:
10π
2π
5 5.
Como o triângulo está inscri-
to na circunferência, a hipo-
tenusa tem medida igual ao
diâmetro dessa circunferên-
cia, que é 10 cm. Note que
a mediana desse triângulo
relativa à hipotenusa é um
raio dessa circunferência e,
portanto, mede 5 cm. Sendo
assim, o menor cateto tam-
bém mede 5 cm. Segue um
esboço da situação:
x
5
5
5 5
mediana
Desse modo, uma possível
resolução para o item a des-
se exercício é:
a) Considerando x a medida
do cateto procurado, basta
utilizar o teorema de Pitá-
goras para achar seu valor:
10
2
5 5
2
1 x
2
Æ x
2
5 75 Æ
Æ x 5 5
3 cm
b) Como o triângulo é retân-
gulo, considerando um dos
catetos como base, a altura
relativa a essa base é o ou-
tro cateto. Logo, a área des-
se triângulo será calculada
por:
A
3
2
55
5
8
Æ
Æ A 5 12,5 3 cm
2
Pense mais um
pouco...
Peça aos alunos que deixem
registrada toda a resolução
da atividade proposta, in-
cluindo explicações e cálcu-
los, para que possam compa-
rar e discutir com os colegas.
A seguir, uma possível explicação.
1. Se a diagonal do quadrado coincide com o diâmetro da circunfe-
rência (40 cm) e L é a medida do lado desse quadrado, temos, pelo
teorema de Pitágoras, que:
40
2
5 L
2
1 L
2
Æ L 5
800 Æ L 5 20 2
2. Se a base quadrada tem lado de medida igual a 20 2L5 , então
a área dessa base é calculada por:
Área 5 220L5
2
2
^h 5 400 8 2 5 800
Proponha aos alunos que calculem também o volume da coluna em
forma de paralelepípedo. Nesse caso, eles poderão dar valores para a
altura dessa coluna ou apenas representá-la por uma letra.
30°
O
A B
C
O
B
C
A
20 cm
toco de árvore
coluna de
base quadrada
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
267CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Deseja-se cortar, de um toco de árvore de raio igual a
20 cm, uma coluna de base quadrada.
1. Determine a medida máxima do lado da base que se
pode obter.
20 2
cm
2. Calcule a área da base quadrada da coluna em centí-
metro quadrado.
800 cm
2
33 Considere o triângulo ABC inscrito em uma
circunferência de raio 3 cm.
31 A mediana relativa à hipotenusa de um triân-
gulo retângulo mede 12 cm. Calcule quantos
centímetros tem o comprimento da circunfe-
rência que o circunscreve.
775,36 cm
29 Determine a medida da mediana, relativa à
hipotenusa, de um triângulo retângulo cujos
catetos medem 20
cm e 4 cm. 3 cm
Observe na figura ao lado que a
mediana relativa à hipotenusa de
um triângulo retângulo é um raio da
circunferência que o circunscreve.
NELSON MATSUDA ADILSON SECCO
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
De modo geral, todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo e,
reciprocamente, todo triângulo retângulo é inscritível em uma semi cir cun fe rência.
SIDNEY MEIRELES
30 A mediana de um triângulo retângulo relativa à
hipotenusa mede 4 cm, e um dos catetos mede
15 cm. Qual é a medida do outro cateto?
7 cm
32 Uma circunferência tem 10s cm de compri-
mento. Determine:
a) a medida do cateto maior de um triângulo
retângulo inscrito nessa circunferência,
sabendo que o menor cateto tem a mesma
medida da mediana relativa à hipotenusa;
b) a área desse triângulo.
2
25 3
cm
2
53cm
triângulo retângulo e escaleno, triângulo obtusângulo
e isósceles, triângulo acutângulo e equilátero
a) Quais são as medidas de AC
B
W
, ABC
W
, BOC
W
,
BCO
W
e AOC
W
? 90°, 60°, 60°, 60° e 120°
b) Quais são as medidas de OB, OC, BC, AB
e AC? 3 cm, 3 cm, 3 cm, 6 cm, 33 cm
c) Classifique, quanto aos ângulos e aos lados,
os triângulos ABC, AOC e OBC.
WLAMIR MIASIRO

326. 268
Relações métricas em
uma circunferência
Iniciamos o estudo das re-
lações métricas em uma cir-
cunferência. A 1
a
relação é
a que envolve duas cordas
que se cruzam em um ponto
interno à circunferência.
Peça aos alunos que mos-
trem situações (com dese-
nhos) em que duas cordas
podem ter um único ponto
em comum. Espera-se que
surja esta situação também:
Discuta com eles por que ela não está nas condições
da hipótese da 1
a
relação.
Espera-se que percebam que
o ponto comum às duas cor-
das não é um ponto interior
à circunferência, mas um
ponto pertencente à circun-
ferência. Destaque que não
são formados 4 segmentos.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
x
5
4
8
2xx
9
8
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
268 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
3
Relações métricas em uma circunferência
1
a
relação
Considerando a figura ao lado, vamos demonstrar que:
Traçando os segmentos AD e CB, obtemos os triângulos APD
e CPB. Nesses triângulos:
ƒos ângulos A
W
e C
W
são congruentes, pois são ângulos inscritos
e determinam na circunferência o mesmo arco BD
%
;
ƒos ângulos B
W
e D
W
são congruentes, pois são ângulos inscritos
e determinam na circunferência o mesmo arco AC
%
.
C
A
P
B
D
C
A
P
B
D
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Veja um exemplo.
Vamos calcular o valor de x nas figuras abaixo.
4 8 x 5 8 8 5
4x 5 40
x 5
4
40
x 5 10
a) b) 2x 8 x 5 8 8 9
2x
2
5 72
x
2
5
2
72
x
2
5 36
x 5 636
x 5 66
Se duas cordas se cortam em um ponto interior a uma
circunferência, então o produto das medidas dos dois
segmentos de uma delas é igual ao produto das medidas
dos segmentos da outra.
Como x é um número positivo, x 5 6.
Hipótese {as cordas
AB e CD se cruzam em um ponto P, interior
à circunferência.
Tese {PA 8 PB 5 PC 8 PD
PA 8 PB 5 PC 8 PD
Logo, pelo caso AA, os triângulos APD e CPB são triângulos semelhantes.
Portanto:
PC
PA
PB
PD
5 , ou seja:
WLAMIR MIASIRO

327. 269BIMESTRE 4
Exercícios propostos
No exercício 35, questione
os alunos a respeito da ne-
cessidade da informação
de que “os passos das duas
garotas têm o mesmo com-
primento”. Espera-se que
eles observem que sem essa
afirmação não seria possível
estabelecer essas relações,
pois não teríamos a garantia
de tal proporcionalidade, já
que cada medida estaria em
uma unidade diferente.
B
D
C
P
A
B
D
C
P
A
B
72
A
D
C
30
20
P
O
A B
D
C
6 cm 6 cm
4 cm
x
9
63
x
10
2
x 1 1

x
3 2x
4x
x
O
4
8
2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
269CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
36 Determine a área
do :ABC ao lado.
35 Uma praça circular é cortada por duas ruas,
como mostra a figura na coluna ao lado. Para
ir de A  até P, Rita dá 30 passos. Luísa dá
72 passos para ir de B a P e 20 passos para ir
de P a D. Calcule quantos passos Rita deve dar
para chegar até C, admitindo que os passos
das duas garotas tenham mesmo comprimento.
37 Uma corda de 6 cm corta perpendicularmente
um diâmetro a 4 cm do centro de uma circun-
ferência. Calcule a área do círculo determinada
por essa circunferência.
25s cm
2
2
a
relação
Considerando a figura a seguir, vamos provar que:
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Hipótese {PB e PD são segmentos secantes à circunferência, com P no exterior.
Tese {PA 8 PB 5 PC 8 PD
Se, de um ponto exterior a uma circunferência,
traçamos dois segmentos secantes, então o
produto das medidas de um segmento secante
e de sua parte externa é igual ao produto das
medidas do outro segmento secante e de sua
parte externa.
Traçando os segmentos
AD e BC obtemos os triân-
gulos PAD e PCB. Nesses triângulos:
ƒos ângulos D
W
e B
W
são congruentes, pois são ân-
gulos inscritos e determinam na circunferência o mesmo arco AC
%
;
ƒo ângulo P
W
é comum.
34 Calcule o valor de x em cada uma das figuras
abaixo.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) 18 c) 6
b) 4 d) 7
54 cm
2
48 passos

328. 270
Orientações
Se julgar adequado, antes
da 3
a
relação, apresente a
situação:
Na circunferência a seguir,
temos que O é o centro,
AB
é um diâmetro e CH
um segmento perpendicu-
lar a AB. Vamos provar que
(HC)
2
5 AH 8 HB.
B
OH
A
C
Hipótese: CH é perpendicu-
lar a AB
Tese: (HC)
2
5 AH 3 HB
Demonstração
Unindo C com A e C com B,
obtemos o triângulo ABC,
que é retângulo (inscrito em
uma semicircunferência).C
B
OH
A
Em um triângulo retângulo,
o quadrado da medida da
altura (relativa à hipotenu-
sa) é igual ao produto das
medidas das projeções dos
catetos (sobre a hipotenu-
sa), isto é: (HC)
2
 5 AH 8 HB.
Segue um exemplo de aplica-
ção dessa relação para repre-
sentar geometricamente 7.
Traçamos uma circunferência
cujo diâmetro é 8 (7 1 1).
Marcamos sobre um dos diâ-
metros um ponto M , distante
7 unidades de um dos extre-
mos. Traçamos por esse ponto
uma perpendicular que en-
contrará a circunferência no
ponto C.
7
O
1
M
C
7
(CM)
2
5 7 8 1 5 7 V CM 5 7
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
LP-132
50 m
94 m
48 m
x
x
56
x 1 3
x
16
4
12
A
C B P
x 4
3
12
x 1 3
12
9
27
x 1 4
x
8
22
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
270 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a)
16 8 x 5 4 8 12
16x 5 48
x 5
16
48
x 5 3
b)
6 8 (6 1 x) 5 5 8 (x 1 8)
36 1 6x 5 5x 1 40
6x 2 5x 5 40 2 36
x 5 4
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Veja exemplos.
Vamos calcular o valor de x nas figuras abaixo.
38 Calcule o valor de x nas figuras a seguir. 39 O canteiro circular de uma rotatória é cortado
por duas estradas, como mostra a figura a
seguir. O comprimento da parte da estrada
LP-132 que corta o canteiro está indicado
por x. Calcule o valor de x.
102 m
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
3
a
relação
Na figura a seguir, PA é tangente à circunferência.
Vamos provar que:
b)
a) c)
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Se, de um ponto exterior a uma circunferência, traçamos
um segmento tangente e um segmento secante a
essa circunferência, então o quadrado da medida do
segmento tangente é igual ao produto das medidas
do segmento secante e de sua parte externa.
PA 8 PB 5 PC 8 PD
Logo, pelo caso AA, os triângulos APD e CPB são triân gulos semelhantes.
Portanto:
PC
PA
PB
PD
5 , ou seja:
1016
12
FERNANDO JOSÉ FERREIRA

329. 271BIMESTRE 4
Orientações
Explore a 3
a
relação com os
alunos. Em seguida peça a
eles que, em duplas, reto-
mem as relações estudadas
e façam um quadro-resumo
delas com desenhos.
Sugestão de leitura
Para enriquecer esse estudo,
sugerimos:
<https://blogdoenem.com.br/
relacoes-metricas-no-circulo/>.
Acesso em: 30 ago. 2018.
Exercícios propostos
No exercício 41, sugira aos
alunos que nomeiem os
pontos nos quais se en-
contram o fotógrafo e o
acrobata em cada foto. Por
exemplo, F para a posição
do fotógrafo e A
1
, A
2
e A
3

para as posições do acroba-
ta nas fotos 1, 2 e 3, respec-
tivamente. Sendo assim, é
necessário perceberem que
os valores escolhidos devem
satisfazer a relação:
(FA
3
)
2
5 (FA
2
) 8 (FA
1
)
Uma possível resposta:
FA
3
5 6 m, FA
2
5 4 m e FA
1
5
5 9 m.
Note que: 4 8 9 5 36 5 6
2
.
6
O
M
N
x
4,5
C B P
A
x
6
O
N
M2
foto 1
foto 2
trajetória
do cavalo foto 3
fotógrafo
x
Q
O
P4
21
8x
9
x
Q
R
P
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
271CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
40 Calcule o valor de x nas figuras a seguir, sendo
PQ tangente à circunferência.
b)
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
41 Um fotógrafo assistia a uma apresentação
circense na qual um acrobata se mantinha em
pé sobre as costas de um cavalo, que descrevia
NELSON MATSUDA
Estime valores para as distâncias entre o acro-
bata e o fotógrafo, nos momentos das fotos, de modo que atendam à 3
a
relação estudada.
a)
Hipótese {
PA e PC são segmentos tangente e secante à circunferência, respectivamente.
Tese {(PA )
2
5 PB 8 PC
Traçando os segmentos
AB e AC, obtemos os triângulos PBA
e PAC. Nesses triângulos:
ƒos ângulos C
W
e A
W
são congruentes, pois são ângulos com vér-
tice na circunferência e determinam nela o mesmo arco AB
%
;
ƒo ângulo P
W
é comum.
Resposta pessoal.
3
10
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
x
2
5 8 8 2
x
2
5 16
x 5 6 16
x 5 64
6
2
5 x 8 (x 1 9)
x
2
1 9x 2 36 5 0
x 5
8
6
21
92252
a) b)
Vamos calcular o valor de x nas figuras abaixo, sabendo que MN é tangente à circunferência.
Como x é um número positivo, x 5 4. Como x é um número positivo, x 5 3.
(PA)
2
5 PB 8 PC
Logo, pelo caso AA, os triângulos PBA e PAC são triângulos semelhantes.
Portanto:
PC
PA
PA
PB
5 , ou seja:
42 Hora de criar – Troque com um colega um
problema, criado por vocês, sobre uma das três propriedades estudadas. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
um movimento circular em torno do picadeiro. Em três momentos distintos, o fotógrafo tirou fotos conforme o esquema abaixo.

330. 272
Trabalhando a
informação
Esta seção aborda gráficos
formados por semicoroa cir-
cular. Explique aos alunos
que coroa circular é a região
do plano delimitada por
duas circunferências concên-
tricas (que têm mesmo cen-
tro) de raios R e r.
rR
O
C
1
C
2
Explore a forma e os ele-
mentos do gráfico dado por
uma semicoroa (metade de
uma coroa) circular.
Para a construção do grá-
fico solicitado na questão
do Agora quem trabalha é
você!, divida os alunos em
duplas. Os dois alunos da
dupla devem fazer juntos a
organização da tabela e a
construção do gráfico rela-
tivo à pesquisa de cada um
deles.
Em seguida, promova uma
apresentação dos gráficos
de cada dupla.
Habilidade trabalhada: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os
resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados,
construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
272 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Semicoroa circular
Observe nesta reportagem um tipo de gráfico, diferente dos que já vimos, cada vez mais usado
em jornais e revistas.
Podemos considerar o gráfico usado na reportagem como uma variação de um gráfico de seto-
res. Porém, em vez de ser composto de setores circulares cujo total forma um círculo, suas partes
compõem uma semicoroa circular, ou seja, uma região limitada por dois semicírculos concêntricos.
Para construir um gráfico com semicoroa circular, uma vez construída a tabela com as frequên-
cias relativas dos dados pesquisados, basta multiplicar as porcentagens por 180° (no gráfico de
setores multiplicamos por 360°) e construir, com um transferidor, setores circulares adjacentes,
de mesmo raio e centro, cujas medidas angulares são os produtos obtidos. A soma desses setores
resulta em um semicírculo do qual retiramos outro semicírculo concêntrico de raio menor.
No exemplo da reportagem, 70% da água doce é destinada à agricultura (tanto no Brasil
como no mundo). Então, o setor que inicialmente devemos desenhar para esse dado deve medir
0,7 8 180°, isto é, 126°.
Faça uma pesquisa com seus colegas de turma sobre a quantidade de água que eles bebem, em média, por
dia. Em seguida, construa uma tabela e um gráfico como o da reportagem acima.
Considere na pesquisa as seguintes quantidades:
• 1 copo;
• 2 copos;
• 3 copos;
• 4 copos;
• 5 copos;
• 6 ou mais copos.
Dados obtidos em: Veja, 29 out. 2014. p. 89.
ADILSON SECCO
construção de tabela e de gráfico
É desperdiçado aos montes
Todos os anos, 730 milhões de toneladas de lixo são despejadas em reservas de
água do mundo, contaminando 1.500 quilômetros cúbicos do líquido. O que fica
imune ao lixo humano, gastamos sem cuidado.
Para onde vai nosso estoque de água doce:
No BrasilNo mundo
70%
70%
22%
8%
13%
17%
Agricultura Indústria Uso doméstico
WLAMIR MIASIRO

331. 273BIMESTRE 4
Exercícios
complementares
Este bloco de exercícios é
mais uma oportunidade
de os alunos revisitarem os
principais conceitos tratados
e mobilizarem os conheci-
mentos construídos ao lon-
go do capítulo, identifican-
do possíveis dúvidas.
No exercício 7, proponha aos
alunos uma pesquisa sobre
como Eratóstenes fez para
calcular a circunferência ter-
restre. Para a apresentação
da pesquisa, sugira a eles
que dramatizem a situação.
Como os raios solares são
paralelos, os raios que ligam
as extremidades de um arco
de 800 km ao centro da Ter-
ra formam um ângulo de
7,2
o
. Essa medida equivale
à quinquagésima parte da
circunferência. Logo, a cir-
cunferência terrestre é igual
a 50 vezes 800 km, ou seja,
40.000 km.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
A
3 m
0,6 m
B
A
B
C
M
D
2x 1 3
x 1 1
2x
x 1 3
raios
solares
A
S7,2°
comprimento
do arco AS
: 800 km
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
273CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
4 O ponteiro grande de um relógio de parede
mede 9 cm. Determine a distância, em centí-
metro, que o extremo desse ponteiro percorre
em 20 minutos.
6s
Se as medidas dos segmentos CM
, MD, AM
e MB são dadas em centímetro, a corda AB
mede, em centímetro:
alternativa a
a) 36. b) 18. c) 15.
d) 14. e) 13.
1 No centro de um jardim retangular, com
45 m 3 32 m, foi construída uma fonte
circular cuja medida do raio é igual a
9
2

do comprimento do maior lado do jardim.
Determine o comprimento da circunferência dessa fonte.
62,8 m
2 Um autorama circular tem duas pistas, A e B,
conforme esquema abaixo.
a) Depois que o carro da pista A der 36 voltas,
quantos metros terá andado?
q 678,24 m
b) Quantos metros terá andado o carro da
pista B depois de dar 24 voltas?
q 542,59 m
5 Um ciclista, em uma pista circular de 24 m de
raio, dá 15 voltas em 160 segundos. Qual é a
sua velocidade média?
14,13 m/s
6 (Unifor-CE) Uma circunferência e duas de suas
cordas, AB
e CD, concorrem no ponto M.
3 Um avião contorna o polo Norte em um
dia, seguindo a trajetória do Círculo Polar Ártico, cujo comprimento é 2.492 km. Qual é a medida aproximada do raio do Círculo Polar Ártico?
396,8 km
7 (Unicamp-SP) Para calcular a circunferên-
cia terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena no Egito
(A e S, respectivamente), situadas no mesmo
meridiano terrestre. Ele sabia que, quan do em Siena os raios solares caíam vertical-
mente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.
40.000 km
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

332. 274
Exercícios
complementares
Após a resolução do exercí-
cio 9, aprofunde a aborda-
gem da questão proposta
relacionando a medida x do
segmento tangente com a
distância d do ponto exte-
rior P ao centro C e com o
raio r. Veja a figura abaixo
e, a seguir, o cálculo do va-
lor de x.
B
C
r d
x
P
T
A
r
PT 5 x; PC 5 d
PA 5 d 2 r
PB 5 d 1 r
(PT)
2
5 (PA) 8 (PB)
x
2
5 (d 2 r) 8 (d 1 r)
x
2
5 d
2
2 r
2
x 5
dr2
22
Substituindo r e d pelos da-
dos do problema:
r 5 3 cm e d 5 8 cm
x 5
832
22
x 5 55
Assim, temos que a medida
do segmento tangente é de
55.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
274 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
O
A
B
xx
1
23
O
M
P
1
Q1
P2
Q2
A
x
x
B
D
C
3
8
O
A
P
D
B
C
A
B
C
D
E
F
G
H
5,7
0,65
3,5
6
C 5 11s
17 Calcule o comprimento da circunferência
abaixo, sendo AB tangente à circunferência.
18 O raio de uma circunferência mede 7 cm. De
um ponto P, exterior a ela, traçamos um seg-
mento tangente de 62 cm e um segmento
secante que passa pelo centro da circunferên-
cia. Determine a medida do segmento secante.
15 (Unifor-CE) A circunferência da figura abaixo
tem centro no ponto O, e M é o ponto de in-
terseção das cordas PP
12
e QQ
12
.
14 Em uma circunferência, duas cordas se cruzam
de modo que, em uma delas, os segmentos medem 4 cm e 32 cm e, na outra, um dos seg-
mentos mede o dobro da medida do primeiro. Calcule a medida do segundo segmento.
16 cm
Se P
1
M 5 4 cm, MP
2
5 (k 1 1) cm, Q
1
M 5 3 cm
e MQ
2
5 (3k 2 7) cm, então a corda
QQ
12
,
em cm, mede:
alternativa c
a) 5. c) 11.
b) 8. d) 14.
16 Determine a medida da altura EH
do triângulo
ABE na figura abaixo.
8,5
12 Em uma circunferência, uma corda é cortada
por um diâmetro que fica dividido em dois segmentos, um de 7 cm e um de 2 cm. Se esse corte é feito a 2,5 cm do centro da circunferên-
cia, quanto mede o raio da circunferência?
13 Construa uma circunferência de 12 cm de diâ-
metro e trace um diâmetro AB
. Marque sobre
ele, distante 11 cm de A, um ponto M. Trace, por esse ponto, uma perpendicular que cruze a circunferência em um ponto P. O segmen- to 
PM é a representação geométrica de qual
número?
11
4,5 cm
11 Considerando a figura abaixo, determine a área
do quadrado ABCD.
96
9 Construa uma circunferência de raio 3 cm.
Por um ponto P exterior a ela, trace um seg-
mento tangente e um segmento secante que passe pelo centro da circunferência. A parte do segmento secante que fica externa à circunfe- rência mede 5 cm. Quanto mede o segmento tangente?
55 cm
10 (USF-SP) Na circunferência abaixo, de centro O
e raio r 5 4, a corda corta o diâmetro CD no
ponto P de tal forma que P é o ponto médio
do raio OA e PC 5 2 8 PD.
Então:
alternativa b
a) CD 5
26 d) CD 5 6
b) CD 5 36 e) CD 5 6
c) CD 5 66
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
8 O diâmetro de uma circunferência mede 10 cm.
De um ponto P exterior a ela, traçamos um seg-
mento tangente, de
53 cm, e um segmento
secante que passa pelo centro da circunferên-
cia. Qual é a medida do segmento secante?
15 cm
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
18 cm
ADILSON SECCO

333. 275BIMESTRE 4
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer e utilizar os ele-
mentos e as relações métri-
cas nos polígonos regulares.
• Aplicar o teorema de Pitá-
goras na determinação de
elementos de polígonos
regulares inscritos em uma
circunferência.
• Resolver e elaborar proble-
mas de aplicação do teore-
ma de Pitágoras envolven-
do polígonos regulares.
• Descrever algoritmo por
escrito e por meio de flu-
xograma para a construção
de um polígono regular.
• Relacionar arcos de uma
circunferência e ângulos
centrais de polígonos re-
gulares inscritos nessa cir-
cunferência.
• Resolver problemas envol-
vendo área de um polígono
regular, números reais, cál-
culo de áreas e volume, re-
lações de proporcionalidade
no cálculo da área de um se-
tor circular, área de um cír-
culo, de uma coroa circular
e de um setor circular.
• Analisar gráficos com ele-
mentos que induzem a
erros de leitura e de inter-
pretação.
Orientações gerais
Ampliamos o trabalho sobre
polígonos regulares e seus
elementos ao apresentar
as relações métricas entre
elementos de um polígono
regular e a circunferência a
que ele está inscrito.
Desenvolvemos o estudo de
polígonos regulares com o
uso da linguagem algébri-
ca, e questões de construção
geométrica de figuras. Nas
demonstrações mostramos a
aplicação do teorema de Pitá-
goras e da proporcionalidade.
Tratamos da área de um po-
lígono regular, de um círculo
e de suas partes; e do volu-
me de alguns sólidos geomé-
tricos.
Amplie o trabalho da abertura perguntando aos alu-
nos que figuras geométricas podem ser lembradas no
logotipo do Patrimônio Mundial. Espera-se que eles
indiquem o quadrado e a circunferência (ou o círculo).
Peça aos alunos uma pesquisa sobre Patrimônio
Mundial e outros Patrimônios Mundiais no Brasil.
Sugestões de leitura
Para enriquecer a pesquisa, sugerimos:
<http://portal.iphan.gov.br/pagina/detalhes/24>;
<http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/culture/world-heritage/
list-of-world-heritage-in-brazil/>. Acessos em: 10 set. 2018.
Orientações para o
professor acompanham o
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Áudio: Algoritmo para
polígonos regulares
275CAPÍTULO 12
Logotipos, imagens onde vicejam criatividade e simplicidade, identificam
instituições e empresas públicas ou privadas. Em muitos deles vemos circunferências
e polígonos regulares.
O logotipo de Patrimônio Mundial (na parte inferior da imagem acima), desenhado pelo
artista belga Michel Olyff e adotado como emblema oficial em 1978, demarca regiões ou
áreas que a comunidade científica considera de fundamental importância para a humanidade.
12
Capítulo
Baía dos Porcos, em Fernando de Noronha. O arquipélago, pertencente ao estado de Pernambuco, foi declarado
Patrimônio Mundial pela Unesco em 2001, como indica o logotipo reproduzido acima. (Foto de 2016.)
Polígonos regulares
e áreas
ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS
REPRODUÇÃO

334. 276
Complemente os estudos com
a Sequência didática 12 –
Área do círculo, disponível
no Manual do Professor –
Digital. As atividades
propostas permitem
desenvolver de forma gradual
e articulada objetos de
conhecimento e habilidades
da BNCC selecionados para
este capítulo.
Relações métricas nos
polígonos regulares
Pergunte aos alunos em que
situações observam formas
que podem associar a po-
lígonos regulares. Espera-se
que identifiquem os favos
hexagonais de uma colmeia
ou os pentágonos em uma
bola de futebol.
Aproveite o momento e ve-
rifique que conhecimentos
eles já têm sobre polígonos
regulares. Peça que deem
exemplos desse tipo de po-
lígono: quadrado, triângulo
equilátero, hexágono regu-
lar etc.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
276 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
1
Relações métricas nos polígonos regulares
Retomando o estudo de polígonos regulares
Ao elaborar um projeto para a construção de mostradores de
relógios de parede feitos com chapas de madeira, Edgard pre­
cisa efetuar cálculos das medidas de um dodecágono regular a
partir da medida do raio da circunferência circunscrita a ele. Em
particular, para saber quanto material comprar, ele necessita
calcular a área desse polígono.
Situações como a de Edgard requerem um estudo sobre as
relações métricas em polígonos regulares, o que faremos neste
capítulo.
Ainda vale recordar
os elementos de um
polígono regular.
Ao retomar o
estudo com polígonos
regulares, agora é
uma boa hora para
relembrar alguns
conceitos.
Por exemplo:
ƒUm polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes entre si e todos os seus ângulos são congruentes entre si.
ƒTodo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência.
Também vimos que, se uma circunferência é dividida em três ou mais arcos congruentes:
ƒas cordas determinadas pelos pontos consecutivos de divisão formam um polígono re­
gular inscrito na circunferência;
ƒas tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circuns­ crito à circunferência.
Veja os exemplos abaixo.
polígonos regulares inscritos polígonos regulares circunscritos
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
SIDNEY MEIRELES
ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES
SIDNEY MEIRELES

335. 277BIMESTRE 4
Orientações
Explore o quadrado inscrito
em uma circunferência de
raio r. Peça aos alunos que
identifiquem os elementos
do quadrado em relação aos
elementos da circunferên-
cia. Espera-se que eles per-
cebam que:
• as diagonais do quadrado
são diâmetros da circun-
ferência e, portanto, que
a medida d da diagonal é
dada por: d 5 2r;
• como o ângulo cen -
tral do quadrado é 90°
°
4
360
cm , cada triângulo
retângulo cuja hipotenusa
é o lado do quadrado (de
medida L) é um triângulo
isósceles cujos catetos me-
dem r. Assim, pelo teore-
ma de Pitágoras determi-
namos que: L 5 r2.
Note que essa relação po-
deria ter sido obtida por
d 5 L 2:
d 5 L 2Æ 2r 5 2 Æ
Æ L 5
r
2
2
2
2
8 Æ
Æ L 5 r2
Habilidade trabalhada: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
M
A B
CF
E D
O
a
c
ai
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
277CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
ƒcentro do polígono: centro da circunferência circunscrita a ele
(ponto O);
ƒraio do polígono: raio da circunferência circunscrita a ele (OC);
ƒapótema do polígono: segmento que une o centro do polígono
ao ponto médio de um de seus lados (OM);
ƒângulo central: aquele cujo vértice é o centro do polígono e
cujos lados são semirretas que contêm dois vértices consecu­
tivos do polígono (COD
W
);
NELSON MATSUDA
A seguir, vamos estudar como calcular a
medida do lado e a medida do apótema de um
polígono regular inscrito em uma circunferência
em função da medida do raio.
A
c
C
BD
O
r
r
ƒCálculo da medida do lado (c)
No :AOB , pelo teorema de Pitágoras, temos:
Quadrado inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r.
Para construir um quadrado ABCD inscrito nessa circunferência, podemos traçar dois diâ­
metros perpendiculares entre si (AC e BD), determinando os vértices do quadrado.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse quadrado em função de r.
(AB )
2
5 (AO )
2
1 (BO )
2
c
2
5 r
2
1 r
2
c
2
5 2r
2
(r . 0)
c 5 6 r2
2
c = 6 r2
Como c é um número positivo, pois é a medida do lado do quadrado, temos:
A soma dos quadrados
das medidas dos catetos
é igual ao quadrado da
medida da hipotenusa.
JOSÉ LUÍS JUHAS
Em um polígono regular, temos:
c 5 r2
SIDNEY MEIRELES
ƒa
c
5
°
n
360
e a
i
5
8() °
n
S
n
n2180
5
2
i
, em que n é o número de lados.

336. 278
Orientações
Verifique se os alunos per-
cebem que o apótema do
quadrado é a altura de um
desses triângulos retângu-
los isósceles relativa à hipo-
tenusa. Há vários caminhos
para determinar a medida
dessa altura, ou seja, do
apótema do quadrado. Os
alunos devem mobilizar seus
conhecimentos anteriores
para usar o fato de que a
altura relativa à base de um
triângulo isósceles coinci-
de com a mediana relativa
a essa mesma base (que no
caso é a hipotenusa).
Desse modo, um dos cami-
nhos para determinar a me-
dida a do apótema do qua-
drado é aplicando o teorema
de Pitágoras OMB, como
feito no desenvolvimento do
livro do estudante.
Outra maneira é usar a rela-
ção métrica no triângulo re-
tângulo COB: o produto da
medida da hipotenusa pela
medida da altura relativa a
ela é igual ao produto das
medidas dos catetos.
• Assim, temos:
L 8 a 5 r 8 r Æ a 5
r
L
2Æ
Æ a 5
r
r2
2
Æ
Æ a 5
r
22
2
8 Æ
Æ a 5
r2
2
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
278 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
ƒCálculo da medida do apótema (a)
No :OMB , pelo teorema de Pitágoras, temos:
A
c
a
C
B
r
D
O
M
NELSON MATSUDA
(OM )
2
1 (BM )
2
5 (BO )
2
a
2
1
2
c
2
eo 5 r
2
a
2
1
r
4
2
2
5 r
2
a
2
5 r
2
2
rr
4
2
4
2
5
22
(r . 0)
a 5 6
r
4
2
2
a 5 6
r
2
2
Como a é um número positivo, pois é a medida do apótema do quadrado, temos:
a 5
r
2
2
JOSÉ LUÍS JUHAS
6
c
a
6
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
c
2
5 6
2
1 6
2
c
2
5 72
c 5 6
72
c 5 6 62
Acompanhe os exemplos a seguir.
a) Vamos calcular as medidas do lado e do apó te ma de um quadrado inscrito em uma
circunferência de 6 cm de raio.
Observe a figura abaixo.
NELSON MATSUDA
Como c é um número positivo,
c 5
62 cm.
Portanto, a 5 32 cm.
a
2
5
c
a
2
62
5
a325
Lá vem o teorema
de Pitágoras...

337. 279BIMESTRE 4
Exercícios propostos
No exercício 1, segue uma
possível resolução. Obtemos
o quadrado dividindo a cir-
cunferência em quatro arcos
de mesma medida. Traçando
duas retas perpendiculares
que passam pelo centro, ob-
temos os arcos desejados.
O 3 cm
a
4
L
4
a) O raio mede 6 cm. Assim,
indicando por L
4
a medida
do lado desse quadrado:
L
4
5
r2 Æ L
4
5 32 Æ
Æ L
4
q 4,2 cm
b) Indicando a medida do
apótema do quadrado por
a
4
, temos:
a
4
5
r2
2
Æ a
4
5
2
32
cm
Ressalte aos alunos que, no
caso do quadrado, a diago-
nal é um diâmetro e o apó-
tema corresponde à metade
do lado. Os cálculos pode-
riam ter sido feitos usando
essas relações.
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
279CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Existe outra
maneira de
resolver?
Pelo enunciado, temos r 5 6 cm.
Assim:
Portanto, c 5 62 cm e a 5 32 cm.
b) Vamos calcular a medida do raio de uma circunferência na qual está inscrito um qua­
drado cujo lado mede 52 cm.
Observe a figura ao lado.
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
r
r
5 2
NELSON MATSUDA
c 5 r2
c 5 62
a
r
2
2
5
a
2
62
5
a325
Como r é um número positivo, r 5 5 cm.
r
2
1 r
2
5 52
2
`j
2r
2
5 25 8 2
r
2
5 25
r 5 625r 5 65
Portanto, r 5 5 cm.
Pelo enunciado, temos c 5 52 cm. Então:
c 5 r2
r52 25
r
2
52
2
2
5
r 5 5
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1
Construa um quadrado inscrito em uma circunferência de 3 cm de raio.
a) Que número irracional representa a medida do lado desse quadrado? A representação decimal
desse número tem infinitas casas decimais e não é periódica. Determine essa representação deci-
mal com uma casa decimal.
,q32 42
b) Que número irracional representa a medida do apótema?
2
32
2 O apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 62 cm. Calcule a medida da
diagonal desse quadrado.
24 cm
Existe outra
maneira de
resolver?
SIDNEY MEIRELES SIDNEY MEIRELES

338. 280
Exercícios propostos
No exercício 4, uma possível
resolução é a que segue.
r r
r r
r
r
O rr
r r
r r
r 2r 2
r 2 r 2
Como a diagonal do qua-
drado inscrito é um diâme-
tro, a medida da diagonal é
2r; assim, a medida do lado
do quadrado é r2. O lado
do quadrado circunscrito é
um diâmetro, então mede
2r. Desse modo:
• perímetro P
1
do quadrado
circunscrito P
1
5 4 8 2r 5 8r
• perímetro P
2
do quadrado
inscrito
• P
2
5 4 8 r2
5 r24
Portanto, a diferença entre
esses perímetros é:
P
1
2 P
2
5 8r 2
r24 5
5 rr4282^h
Para o exercício 5, de acordo
com o enunciado, um pos-
sível esquema da situação é
apresentado abaixo, em que
destacamos a circunferência
circunscrita ao quadrado,
cujo centro O é o centro
dessa circunferência.
r r
O
5 2
Como a diagonal do qua-
drado é um diâmetro da circunferência e mede
d 5
52 cm:
d 5 2r 5 52 Æ
Æ r 5
2
25
cm
A medida a do apótema
de um quadrado inscrito é dada por:
a 5
r
2
2
5
2
2
2
5
28
5
5
5
2
Æ a 5 2,5 cm
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
NELSON MATSUDA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
280 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
4 Construa um quadrado circunscrito e um qua-
drado inscrito em uma mesma circunferência.
Determine a diferença entre os perímetros
desses quadrados em função da medida r do
raio da circunferência.
r84 22
`j
3 O lado de um quadrado circunscrito a uma
circunferência mede 8 cm.
a) Calcule a medida do lado de um quadrado
inscrito nessa circunferência.
42cm
b) Calcule a medida da diagonal do quadrado inscrito nessa circunferência.
8 cm
5 A diagonal de um quadrado mede 52 cm.
Calcule a distância do centro desse quadrado a um de seus lados (medida do apótema).
6 Uma fábrica de chocolates lançou no mercado
a nova caixa de bombons decorada. O desenho da tampa da caixa foi elaborado a partir de dois quadrados, como se vê na figura a seguir.
7 Hora de criar – Troque com um colega um
problema sobre quadrado inscrito em uma circunferência, criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
A medida do lado do quadrado menor é 10 cm. Sabe-se também que os vértices do quadrado menor são os pontos médios dos lados do quadrado maior. Nessas condições, determine:
a) a medida do lado do quadrado maior;
b) o comprimento da faixa vermelha que cobre
os lados dos dois quadrados;
c) a soma das áreas dos quatro triângulos da
tampa.
100 cm
2
Resposta pessoal.
Hexágono regular inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r.
Como o ângulo central do hexágono regular mede
°
6
360
5 60°, podemos construir na circun­
ferência um ângulo central com esse valor, obtendo um arco AB
%
. Com a abertura do compasso
igual a AB, marcamos os outros vértices do hexágono.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em função de r.
ƒCálculo da medida do lado (c) Temos:
O :AOB , sendo equiângulo, é também equilátero, ou seja: AB 5 OA 5 OB.
Logo:
c 5 r
c
A B
CF
E D
O
r r
2,5 cm
102cm
40 402cm1`j
NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA
m(OAB
W
) 5 60°
m(ABO
W
) 5
( °)AE
22
120m
5
%
5 60°
m(BAO
W
) 5
( °)BD
22
120m
5
%
5 60°
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!

339. 281BIMESTRE 4
Orientações
No caso do hexágono regu-
lar inscrito, os alunos devem
perceber que o lado do he-
xágono tem a mesma me -
dida do raio (L 5 r) e que o
apótema é a altura de cada
um dos 6 triângulos equilá-
teros que compõem esse he-
xágono (e que também têm
lado L). Desse modo, a medi-
da a do apótema do hexá-
gono regular pode também
ser obtida pela relação da
medida h da altura em fun-
ção da medida L do lado de
um desses triângulos equilá-
teros, já estudada anterior-
mente. Assim, temos:
h 5
2
3L
Æ a 5
2
3L
No exemplo b, retome com
os alunos que todo triângu-
lo inscrito em uma semicir-
cunferência é um triângulo
retângulo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
281CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
ƒCálculo da medida do apótema (a)
No :OMB , pelo teorema de Pitágoras, temos:
C
A B
F
E D
O
r
a
r
2
––
M
Como a é um número positivo, pois é a medida do apótema, temos: a 5
r
2
3
(OM )
2
1 (MB )
2
5 (BO )
2
a
2
1
r
2
2
eo 5 r
2
a
2
1
r
4
2
5 r
2
a
2
5 r
2
2
r
4
2
a
2
5
r
4
3
2
(r . 0)
a 5 6
r
4
3
2
a 5 6
r
2
3
Veja os exemplos a seguir. a) Vamos calcular a medida do raio de uma circunferência na qual o apótema do hexágono
regular inscrito mede
12 3 cm.
a 5 123

r
2
3
12 35
r 5 24
Portanto, o raio mede 24 cm.
O fato de a medida do lado do hexágono
regular ser igual a
r nos permite marcar
os vértices do hexágono na circunferência,
tomando a abertura do compasso igual a
r.
NELSON MATSUDANELSON MATSUDA
b) Vamos calcular o perímetro do hexágono regular abaixo cuja medida AE é 10 3 cm.
Temos:
• ED 5 r ;
• AD 5 2r ;
• AE 5 103 cm;
• :ADE é retângulo.
DA
B C
F E
O
SIDNEY MEIRELES

340. 282
Exercícios propostos
No exercício 8, o lado do qua -
drado circunscrito à circunfe-
rência mede 60 cm. Logo, o
raio da circunferência mede
30 cm. Temos um hexágono
regular inscrito nessa mesma
circunferência; então, o lado
desse hexágono mede 30 cm,
ou seja, L
6
5 30 cm.
A área do hexágono regu-
lar é igual à de 6 triângulos
equiláteros de lado r. A altu-
ra de cada um desses triân-
gulos equiláteros é o apóte-
ma a
6
do hexágono.
A altura de medida h de um
triângulo equilátero de lado
L
3
é dada por: h 5
2
3L83
Peça aos alunos que deter-
minem a área de um tri-
ângulo equilátero nessas
condições, em função da
medida L
3
de seu lado. Essa
área é dada por:
A
triângulo (equilátero)
5
5
3
4
L83
2
^h
5
4
3308
2
^h

A
triângulo (equilátero)
5
225 3 cm
2
Assim, temos:
A
hexágono (regular)
5 6 8
225 3
A
hexágono (regular)
5
.31350 cm
2
No exercício 11, peça aos
alunos que expliquem como
encontrar a resposta a partir
da medida da menor diago-
nal do hexágono. Espera-se
que eles percebam que a
medida da menor diagonal
é o dobro da medida a
6
do
apótema. Assim, temos:
a
6
a
6
a
6
aea
r
2
3
12 355 66
r
2
3312
2
5 Æ r 5 12
Como no hexágono regular
a medida do lado é igual à
medida do raio da circunfe-
rência que o circunscreve, o
lado mede 12 cm e o períme-
tro é igual a 72 cm (6 8 12).
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
282 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Aplicando o teorema de Pitágoras no :ADE, obtemos:
Como r é um número positivo, pois é a medida do raio, temos r 5 10 cm.
Assim, c 5 10 cm.
Portanto, o perímetro é 60 cm.
(AE )
2
1 (ED )
2
5 (AD )
2
10 3
2
`j 1 r
2
5 (2r)
2
300 5 4r
2
2 r
2
300 5 3r
2
r
2
5 100
r 5 610
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8 Marina é projetista em uma fábrica de lustres.
Ela criou um lustre formado por quatro placas
quadradas de polipropileno translúcido (um
tipo de plástico que deixa passar a luz) com
60 cm de lado cada uma. A figura central des-
sas placas é um hexágono regular, desenhado
a partir de uma circunferência tangente aos
lados das placas. Determine a medida do lado
e a área desse polígono.
30 cm; 1.350 3
cm
2
60 cm
NELSON MATSUDA
10 O apótema de um hexágono regular inscrito
em uma circunferência mede 93 cm. Calcule
a medida do lado do quadrado inscrito nessa circunferência.
182cm
11 A menor diagonal de um hexágono regular
mede 123 cm. Calcule o perímetro desse
hexágono.
72 cm
9 Um hexágono regular é inscrito em uma cir-
cunferência de 3,2 cm de raio. Calcule:
a) a medida dos lados desse hexágono;
b) o perímetro desse hexágono;
19,2 cm
c) a medida do apótema. ,
163cm
3,2 cm
12 Considerando a figura a seguir, determine o
perímetro do quadrado circunscrito à circun- ferência.
40 cm
5 cm
14 Hora de criar – Troque com um colega um
problema sobre hexágono regular inscrito em uma circunferência, criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
NELSON MATSUDA
Resposta pessoal.
13 Divide-se uma circunferência que tem 10 cm
de diâmetro em seis partes iguais. Escolhem-se três pontos alternados dessa divisão, os quais são unidos com segmentos de reta. Determine a medida de cada um desses segmentos.
53cm

341. 283BIMESTRE 4
Triângulo equilátero
inscrito
Apresentamos outra manei-
ra de calcular a medida (L)
do lado e a medida (a) do
apótema de um triângulo
equilátero inscrito em uma
circunferência de raio me-
dindo r.
O ângulo central de um tri-
ângulo equilátero mede
120°.
L
2
r
r
L
C
A
B
30º
120º
30º
M
O
O triângulo BOC é isósceles
e, portanto, os ângulos da
base são congruentes e me-
dem 30° (pois: 30° 1 30° 1
1 120° 5 180°).
O segmento OM é o apóte-
ma do triângulo equilátero
ABC. Sendo assim, é perpen-
dicular à base BC e, portan-
to, OM é a altura relativa a
essa base do triângulo BOC,
que é isósceles. Logo, OM
é também mediana e M é
ponto médio de BC e o tri-
ângulo BMO é retângulo em
M. Daí, temos:
• Cálculo da medida L do lado
cos 30° 5
BM
BO
r
3
2
2
5
L
L 5 r3
• Cálculo da medida a do
apótema
sen 30° 5
OM
BO
1
2
5
a
r
2a 5 r
a 5
r
2
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
283CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Triângulo equilátero inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r.
Para construir um triângulo equilátero ABC inscrito nessa circunferência, dividimos a cir­
cunferência em seis arcos congruentes e, em seguida, unimos alternadamente os pontos de
divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.
ƒCálculo da medida do lado (c)
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
No :ADC, pelo teorema de Pitágoras, temos:
Como c é um número positivo, pois é a medida do lado do triângulo, temos:
c 5 r3
O
r
A
D
CB
r
c
(AC )
2
1 (DC )
2
5 (AD )
2
(c)
2
1 (r)
2
5 (2r)
2
c
2
1 r
2
5 4r
2
c
2
5 3r
2
(r . 0)
c 5 6 r3
2
ƒCálculo da medida do apótema (a)
No :OMC , pelo teorema de Pitágoras, temos:
O
r
B C
A
D
M
a
JOSÉ LUÍS JUHAS
Novamente
o teorema de
Pitágoras!
(OM )
2
1 (M C )
2
5 (OC )
2
a
2
1
2
c
2
eo 5 r
2
a
2
1
r
4
3
2
5 r
2
a
2
5 r
2
2
r
4
3
2
a
2
5
r
4
2
(r . 0)
a 5 6
r
4
2
Como a é um número positivo, pois é a medida do apótema, temos: a 5
r
2
Observe que: • o :ADC é retângulo (inscrito na semicircunferência);
• DC 5 r, pois
DC é lado de um hexágono regular inscrito na
circunferência.

342. 284
Exercícios propostos
Apresentamos a seguir uma
possível resolução para o
exercício 15.
L
2
r
r
L
C
A
B
30º
120º
30º
M
O
Indicando a medida do lado
do triângulo equilátero por
L
3
e a de seu apótema por a
3
,
temos:
O
a
3
a) L
3
5 r33 35
Logo, o lado do triângulo
equilátero inscrito nessa cir-
cunferência mede 33 cm.
b) a
3
5
r
2
5
3
2
5 1,5
Logo, o apótema desse tri-
ângulo mede 1,5 cm.
No exercício 18, a medida
do raio da circunferência cir-
cunscrita a esse triângulo é
r 5 30 cm. Temos o seguinte
esquema da situação:
O
r
r L
a
A medida L do lado é dada
por: L 5
r3 Æ L 5 330 cm
Logo, a área desse triângu-
lo equilátero pode ser dada
por:
A
triângulo (equilátero)
5
4
38L
2
3^h
5
cm cm
4
3033 8
2
^h
5 3675 cm
2
ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA
NELSON MATSUDA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
284 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Veja a aplicação desse cálculo no exemplo a seguir.
O lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 93 cm. Vamos
calcular a medida do raio dessa circunferência. Observe a figura abaixo.
No :ABC, pelo teorema de Pitágoras, temos:
(AC )
2
1 (BC )
2
5 (AB )
2
93
2
`j 1 r
2
5 (2r)
2
81 8 3 1 r
2
5 4r
2
81 8 3 5 3r
2
r
2
5 81
r 5 6 81
r 5 69
r
r
r
93
A
CB
NELSON MATSUDA
Como r é um número positivo, pois é a medida do raio, temos r 5 9 cm.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
15
Trace uma circunferência de 3 cm de raio e
um triângulo equilátero inscrito nela. Calcule:
a) a medida do lado do triângulo;
33
cm
b) a medida do apótema. 1,5 cm
16 Se o apótema de um triângulo equilátero mede
12 cm, determine:
a) a medida do lado do triângulo;
12 cm
b) a medida da altura do triângulo. 63
cm
17 Um triângulo equilátero é inscrito em uma
circunferência de 8 cm de raio. a) Calcule a medida do apótema.
4 cm
b) Adicione a medida do raio com a medida
do apótema.
12 cm
c) Calcule a medida da altura do triângulo
aplicando a fórmula h 5
2
3c
. 12 cm
d) Considerando um triângulo equilátero em
que o lado tem medida c, o raio tem me-
dida r, e o apótema, medida a, e tendo em
vista os resultados dos itens b e c, podemos
dizer que
2
3c
5 r 1 a ? sim
18 Um colégio está divulgando uma campanha
contra o tabagismo. Para isso, promoveu
Sabendo que o raio da circunferência que cir-
cunscreve o triângulo equilátero mede 30 cm, determine a área desse triângulo.
6753 cm
2
FUMAR É
PREJUDICIAL
À SAÚDE.
NELSON MATSUDA
um con curso entre os alunos para a escolha
de  um cartaz para a campanha. O cartaz a seguir foi o vencedor.
19 Em uma mesma circunferência, são inscritos
um quadrado e um triângulo equilátero. O apó-
tema do quadrado mede
,352 cm. Calcule a
medida do apótema do triângulo.
3,5 cm

343. 285BIMESTRE 4
Exercícios propostos
Na resolução do exercício
20, indicando a medida do
lado do triângulo equiláte-
ro por L
3
e a medida do lado
do hexágono regular por L
6
,
temos:
L
3
5
531
r3 5 531
r 5 15 cm
Logo: L
6
5 15 cm
Área de um polígono
regular
Explore a figura inicial com
os alunos, reproduzindo-a
na lousa. Amplie o triângulo
destacado de modo que os
alunos percebam que esse
triângulo é isósceles, cuja
base é o lado do polígono
regular considerado (de me-
dida L), a altura é o apótema
do polígono (de medida a)
e os lados congruentes são
raios da circunferência (de
medida r).
Aproveite o momento e
retome as propriedades
válidas para um triângulo
isósceles, principalmente
que nesse triângulo a altura
relativa à base coincide com
a bissetriz e a mediana rela-
tivas à mesma base.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
285CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
20 Em uma circunferência, é inscrito um
triângulo equilátero cujo lado mede
153 cm. Calcule a medida do lado do
hexágono regular inscrito nessa circun-
ferência.
15 cm
21 Hora de criar – Troque com um colega um pro-
blema sobre triângulo equilátero inscrito em uma
circunferência, criado por vocês. Depois de cada
um resolver o problema elaborado pelo outro,
destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
NELSON MATSUDA
O perímetro do polígono é n 8 c. Indicando o perímetro por 2p, temos:
2
Área de um polígono regular
Considere um polígono regular de n lados.
Indicando por c a medida do lado do polígono e por a a me­
dida de seu apótema, a área do :AOB é dada por:
8a
2
c
Como o polígono tem n lados congruentes, terá também
n triângulos com a mesma área do :AOB .
Portanto, a área A do polígono será:
A 5 n 8
8a
2
c
, ou seja, A 5
88na
2
c
A B
a
O
c
 
c
A 5
8pa
2
2
, ou seja:
A 5 p 8 a
Indicando o perímetro
por 2
p, a fórmula fica
mais simples.
A medida p é chamada de semiperímetro. Acompanhe o exemplo a seguir. Vamos calcular a área de um decágono regular com 12 cm de lado. Considere tg 18° 5 0,32.
ƒCálculo do semiperímetro, em centímetro:
p 5
8
2
10 12
5 60, ou seja, p 5 60 cm
ƒCálculo do ângulo central: a
c
5
°
10
360
5 36°
ƒCálculo do apótema, em centímetro: tg 18° 5
a
6
a 8 0,32 5 6
8
,
,
,
a
032
032
032
6
5
a 5 18,75, ou seja, a 5 18,75 cm
NELSON MATSUDA
6
a
18°18°
12
SIDNEY MEIRELES

344. 286
Exercícios propostos
No exercício 22, o raio da
circunferência que circuns-
creve o hexágono mede r 5
L 5 20 cm. Então, a medida a
do apótema do hexágono é:
a 5
r3
2
5
2
20 3
a 5 130 cm
A área A desse hexágono é:
A 5
2
6208
8 031
A 5 0360 cm
2
No exercício 27, apresenta-
mos o cálculo da área do de-
cágono regular. As demais
áreas são obtidas de manei-
ra análoga.
Ângulo central do decágono
a
c
5
360°
10
Æ a
c
5 36°
2,5
a r
18°18°
5
tg 18° 5
2,5
a
a 5
2,5
0,32
5 7,8125
Assim, temos:
A
decágono (regular)
5 p 8 a 5
5
10 8 5
2
8 7,8125
A
decágono (regular)
q 195,31 cm
2
Desse modo, os alunos de-
vem obter as seguintes áreas:
• octógono regular:
121,95 cm
2
;
• triângulo equilátero:
173 cm
2
;
• hexágono regular:
259,5 cm
2
;
• pentágono regular:
385,27 cm
2
.
Um gráfico para o item a é:
Tipo de polígono regular
triângulo
Área (em cm
2
)
0
173
385,27
259,5
195,31
450
400
350
300
250
200
150
100
50
pentágono hexágono octógono decágono
Área de polígonos regulares
121,95
Dados obtidos pelo cálculo da área
de cada polígono regular.
WLAMIR MIASIRO
NELSON MATSUDA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
286 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
26 Determine a área da base e a área da superfí-
cie lateral de um cubo que tem uma das faces
inscrita em uma circunferência de 3 cm de raio.
3 cm
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
28 Hora de criar – Troque com um colega um
problema sobre área de um polígono regular, criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Resposta pessoal.
27 Observe as figuras a seguir.
a) Represente em um gráfico de colunas as áreas dos polígonos regulares.
(Considere:
3 5 1,73; tg 30° 5 0,58;
tg 36° 5 0,73; tg 22,5° 5 0,41; tg 18° 5 0,32.)
b) Calcule a média das áreas desses polígonos (área média).
227,006 cm
2
construção
de gráfico
A 5 173 cm
2
A 5 259,5 cm
2
A 5 385,27 cm
2
A 5 121,95 cm
2
A 5 195,31 cm
2
25 Este desenho faz parte de um anúncio publi-
citário.
CLÁUDIO CHIYO
Sabendo que o diâmetro da circunferência
da figura mede 3,6 cm, determine a área do
triângulo equilátero impresso nesse anúncio.
5 cm 5 cm
20 cm
10 cm 15 cm
área da base: 18 cm
2
;
área da superfície
lateral: 72 cm
2
,2433cm
2
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
aproximadamente 684,93 cm
2
23 O lado de um pentágono regular mede 20 cm.
Calcule sua área. (Dado: tg 36° q 0,73.)
aproximadamente 922,04 cm
2
24 Um eneágono regular é inscrito em uma cir-
cunferência de 18 cm de raio. Calcule sua área,
sabendo que sen 20° q 0,34 e cos 20° q 0,93.
JOSÉ LUÍS JUHAS
22 O professor de Matemática de uma escola
promoveu um campeonato de pipas entre os
alunos. Para isso, passou a seguinte especifica-
ção: a pipa deverá ter a forma de um hexágono
regular com lados medindo 20 cm. Calcule a
medida do apótema e a área da pipa.
103 600 3cm;c m
2
ƒCálculo da área do polígono, em centímetro quadrado:
A 5 p 8 a
A 5 60 8 18,75
A 5 1.125
Logo, a área do decágono regular é 1.125 cm
2
.

345. 287BIMESTRE 4
Pense mais um
pouco...
Vamos indicar por a
6
e a
5
as
medidas dos apótemas do
hexágono regular e do pen-
tágono regular, respectiva-
mente.
Para o hexágono regular,
temos:
L 5 2 cm 5 r
a
6
5
r
2
3
5
2
23
Æ
Æ a
6
5 3
cm
p
6
5
62
2
8
Æ p
6
5 6 cm
A
hexágono(regular)
5
5
36 cm
2
q 10,38 cm
2
Para o pentágono regular,
pela figura do enunciado,
verificamos que o lado de
cada pentágono regular
mede L 5 2 cm (mesma me-
dida do lado do hexágono).
Então, p
5
5
5 8 2
2
, ou seja,
p
5
5 5 cm.
O ângulo central do pentá-
gono regular tem medida
dada por:
a
c
5
360°
5
Æ a
c
5 72°
Assim, cada triângulo isós-
celes que compõe cada um
desses pentágonos regula-
res tem base medindo 2 cm
e ângulo do vértice de 72°:
1
a
5
36°36°
2
tg 36° 5
1
a
5
0,73 5
1
a
5
a
5
5
1
0,73
NELSON MATSUDA
a
5
q 1,37 cm
A
pentágono(regular)
5 (5 8 1,37) cm
2
q 6,85 cm
2
Área aproximada de madeira utilizada em cada en-
feite:
A
madeira
q (10,38 1 6 8 6,85) cm
2
A
madeira
q 51,48 cm
2
Área de um círculo
Explore com os alunos a determinação da área do
círculo. Sugira a eles que desenhem polígonos regu-
lares inscritos em uma mesma circunferência, cada
vez com maior número de lados, para que perce-
bam a aproximação em relação ao círculo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
287CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
NELSON MATSUDA
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Ângela é proprietária de uma loja de artesanato. No final do ano, ela
pretende oferecer como brinde aos clientes da loja um enfeite con-
feccionado em madeira. O enfeite será uma flor estilizada, formada
por polígonos regulares: um hexágono e seis pentágonos.
Sabendo que o hexágono tem lado de medida igual a 2,0 cm, determi-
ne a área aproximada de madeira que Ângela utilizará para produzir
cada enfeite. Considere tg 36º = 0,73.
51,48 cm
2
3
Área de um círculo
Considere um círculo de centro O e raio de medida r.
Vamos inscrever nesse círculo um polígono regular de n lados,
sendo a a medida do apótema do polígono.
Supondo que o número de lados (n ) cresça indefinidamente,
acontecerá o seguinte:
ƒo perímetro 2p do polígono regular vai se aproximar do com­
primento 2sr da circunferência e, portanto, o semiperímetro
p se aproximará de sr ;
ƒa medida do apótema do polígono regular vai se aproximar da medida do raio do círculo;
ƒa área do polígono regular vai se aproximar da área do círculo.
Então, vamos encontrar uma fórmula que forneça a área de um círculo:
a
O
NELSON MATSUDA JOSÉ LUÍS JUHAS
Observe um exemplo.
Vamos calcular, em metro quadrado, a área de uma praça
circular que tem 35 m de raio. Considere s q 3,14.
A
círculo
5 s 8 r
2
A
círculo
q 3,14 8 (35)
2
A
círculo
q 3,14 8 1.225
A
círculo
q 3.846,50
Logo, a praça tem aproximadamente 3.846,50 m
2
de área.
A
polígono
5 p 8 a
A
círculo
5 sr 8 r
sr rA
círculo
5 sr
2

346. 288
Exercícios propostos
No exercício 32, uma co-
leção de moedas pode ser
formada pelas que estão em
circulação em nosso sistema
monetário. Fazendo as me-
dições dos diâmetros e usan-
do π 5 3,14, podemos mon-
tar a seguinte tabela:
Áreas de moedas
Valor
da
moeda
Diâmetro
(em mm)
Área
(em
mm
2
)
R$ 0,05 22 379,9
R$ 0,10 20 314
R$ 0,25 25 490,6
R$ 0,50 23 415,3
R$ 1,00 27 572,3
Dados obtidos na coleção de
moedas considerada.
No exercício 35, vamos ana-
lisar um dos conjuntos de
quadradinhos que formam
uma parte da área pintada
de verde:
4
1
3
2
Nesse conjunto, a área des-
tacada em amarelo nos
quadradinhos 1 e 3 juntos
é igual à área em verde nos
quadradinhos 2 e 4 juntos.
Isso pode ser verificado por
sobreposição. Trocando nes-
se conjunto a parte em ama-
relo com essas partes em
verde, temos:
1
3
A área em verde correspon-
de à área de 2 quadradi-
nhos. Como no painel há dois conjuntos com regiões
idênticas pintadas de verde,
temos que nele toda a área
pintada de verde correspon-
de à área de 4 quadradinhos
(3 cm de lado). Ou seja:
A
verde
5 (4 8 3
2
) cm
2
A
verde
5 36 cm
2
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
288 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
35 Durante uma aula de Arte, Pedro elaborou um
painel, conforme a figura abaixo.
Esse painel foi feito em um papel quadriculado
cujo quadradinho tem 3 cm de lado. Determine
a área da parte pintada de verde.
36 cm
2
ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES
a) Quanto mede o ângulo central do polígono?
b) Use a tabela de razões trigonométricas da
página 200, com duas casas decimais, para
determinar a medida do apótema e a do
lado desse polígono.
9,70 cm; 5,20 cm
c) Qual é a diferença entre o comprimento da
circunferência e o perímetro desse polígono.
d) Qual é a área desse polígono?
30°
0,4 cm
302,64 cm
2
36 Na figura, r é a medida
do raio da circunferên-
cia em uma unidade u,
e AB
%
r BC
%
r CD
$
r
r DE
%
r EF
%
r FA
$
.
Calcule a área da re-
gião pintada de roxo.
B
E
C
O
A
DF
r
u
r
4
33
2
2
34 Calcule a área
aproximada da parte pintada de verde, sabendo que AB = 4 cm.
6,28 cm
2
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
A B
Se o raio da circunferência mede 1 cm e os ângulos a, b e g são congruentes, então o lado
do triângulo mede:
alternativa e
a) 1,2 cm.
b) 1,3 cm.
c) 2
cm.
d) 1,5 cm.
e) 3 cm.
33 Calcule a área da parte pintada de lilás, consi-
derando 3 5 1,73 e s 5 3,14.
32 Junte algumas moedas de diferentes valores e
calcule a área aproximada de cada uma delas.
Em seguida, construa uma tabela com as áreas
das moedas de todos os valores.
construção de tabela
31 (Unifor-CE) Um triân-
gulo está inscrito em
uma circunferência de
centro O, como mostra
a figura ao lado.
O
ab
g
56,52 cm
2
12 cm
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
29
(Saresp) Juliana colocou
um copo molhado sobre a mesa, e nela ficou a marca da base circular do copo. A área da marca é de 16s cm
2
.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
30 (Fuvest-SP) O triângulo ABC é inscrito em
uma circunferência de raio 5 cm. Sabe-se que A  e B são extremidades de um diâmetro e
que a corda BC
mede 6 cm. Então a área do
triângu lo ABC, em cm
2
, vale: alternativa a
a) 24.
b) 12.
c)
2
53
.
d) 36.
e) 23.
O diâmetro da base do copo é:
alternativa b
a) 4 cm.
b) 8 cm.
c) 16 cm.
d) q 5,7 cm.
37 Retomando a si-
tuação de Edgard
sobre o projeto de
construção de mos-
tradores de relógios
de parede, descrita
no início do capí-
tulo, considere um
polígono regular de 12 lados inscrito em uma
circunferência de 10 cm de raio.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e
ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.

347. 289BIMESTRE 4
Para saber mais
Na questão 1, o fluxograma
para esse caso é:
L 5 6 cm; n 5 5; k 5 1
Bordar 6 cm em linha reta.
Fazer k 5 k 1 1.
a
e
5 360° 9 5
Desligar a
máquina.
não
sim
k . n?
Girar 72º no sentido horário.
Iniciando no ponto A , tra-
çamos um segmento de
6 cm (“bordar 6 cm em linha
reta”), é o primeiro lado;
para k 5 2 (1 1 1), com n 5 5,
obtemos 2 , 5, ou seja, k não
é maior do que n; seguimos o
fluxograma e giramos 72° no
sentido horário; traçamos ou-
tro segmento de 6 cm (segun-
do lado); para k 5 3, temos
k , n, giramos 72
o
; traçamos
outro segmento de 6 cm (ter-
ceiro lado); para k  5 4, temos
que k , n, giramos 72
o
; tra-
çamos outro segmento de 6
cm (quarto lado); para k 5 5,
com n 5 5, temos k , n, gi-
ramos 72
o
; traçamos outro
segmento de 6 cm, (quinto
lado) e voltamos ao ponto
A; para k 5 6, temos k . n,
então desligamos a máquina,
o pentágono está construído.
108º
6 cm A
108º
108º
108º
72º
72º
72º
72º
NELSON MATSUDA
WLAMIR MIASIRO
Habilidade trabalhada: (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um
polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também
softwares.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
289CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Seguindo as etapas descritas por Lizandra, escolha um número n de lados e construa em uma
folha avulsa um polígono regular com lados medindo 6 cm.
construção de figura
2 Construa novamente o polígono da atividade 1 mudando o item 8 para “Girar no sentido
anti-horário a
e
graus e voltar para o item 5.” construção de figura
PARA SABER MAIS
Construção de polígono regular de
n lados
Lizandra precisa programar um tear eletrônico para compor contornos de polígonos
regulares na fabricação de tecidos.
Veja as etapas do programa que ela elaborou para a máquina seguir, também descritas
no fluxograma.
1. Definir o comprimento L cm do lado do polígono.
2. Definir o número n de lados do polígono, n > 3.
3. Definir o número k 5 1.
4. Calcular a medida
°
a
n
360
5
e
do ângulo externo.
5. Bordar em linha reta caminho com L cm.
6. Fazer k 5 k 1 1.
7. Se k . n, desligar a máquina.
8. Girar no sentido horário a
e
graus e voltar para o
item 5.
Fluxograma
Definir L cm; n > 3; k 5 1.
Bordar L cm em linha reta.
Fazer k 5 k 1 1.
Fazer a
n
360°
5
e
.
Desligar a
máquina.
não
sim
k . n?
NELSON MATSUDA
MIKE DOTTA/SHUTTERSTOCK
Girar a
e
no sentido horário.
Tear eletrônico
usado na indústria
têxtil para a
produção de
tecidos com
padrões criados por
computador.
Agora é com você!

348. 290
Pense mais um
pouco...
As únicas duas figuras que
podem ser sobrepostas são
as dos itens c e d. Veja o cál-
culo da área (A
3
) pintada de
verde nesse caso.
A
3
5
π 8 R
2
2 π 8 r
2

2
1
π 8 r
2

2
5
5
π 8 3
2
2 π 8 2
2

2
1
π 8 2
2

2
5
5
5π
2
1 2π 5
9π
2
s A
3
5
9π
2
cm 2
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
290 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Todas as figuras abaixo são formadas por duas circunferências concêntricas cujos raios medem 2 cm
e 3 cm, mas apenas duas delas podem ser sobrepostas. Descubra que figuras são essas e determine
a área da região pintada de verde.
alternativas c, d; área:
2
9s
cm
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Área de uma coroa circular
Na figura ao lado, temos dois círculos concêntricos.
O círculo menor tem raio de medida r, e o círculo maior, raio
de medida R.
A parte da figura pintada de vermelho é chamada de
coroa circular.
Observe que a área da coroa circular é igual à diferença
entre as áreas dos dois círculos, ou seja:
A
coroa circular
5 sR
2
2 sr
2
R
Or
NELSON MATSUDA
A
coroa circular
5 s(R
2
2 r
2
)
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
38 Calcule a área pintada de azul em cada uma das figuras abaixo.
39 Dois círculos concêntricos de raios 6 cm e 2 cm formam uma coroa circular.
Calcule a área dessa coroa.
100,48 cm
2
a) b)
15,70 cm
2
37,68 cm
2
O2 cm
3 cm
O
1 cm
5 cm

349. 291BIMESTRE 4
Pense mais um
pouco...
Nesta seção, temos:
• A
verde
5 (A
C
7
2 A
C
6
) 1
1 (A
C
5
2 A
C
4
) 1
1 (A
C
3
2 A
C
2
) 1 A
C
1
Cálculo da área de cada cír-
culo:
A
C
7
5 π 8 70
2
Æ A
C
7
5 15.386
A
C
6
5 π 8 60
2
Æ A
C
6
5 11.304
A
C
5
5 π 8 50
2
Æ A
C
5
5 7.850
A
C
4
5 π 8 40
2
Æ A
C
4
5 5.024
A
C
3
5 π 8 30
2
Æ A
C
3
5 2.826
A
C
2
5 π 8 20
2
Æ A
C
2
5 1.256
A
C
1
5 π 8 10
2
Æ A
C
1
5 314
Cálculo da área verde:
A 5 (15.386 2 11.304) 1
1 (7.850 2 5.024) 1
1 (2.826 2 1.256) 1 314
A 5 4.082 1 2.826 1
1 1.570 1 314
A 5 8.792
• Como Ac
8
5 π 3 80² 5
5 20.096,
A
amarela
5 Ac
8
2 A
verde
5
5 20.096 2 8.792 5 11.304
Explore a noção de propor-
cionalidade envolvida no
cálculo da área de um se-
tor circular. Comente com
os alunos que esse cálculo
pode ser usado para deter-
minar a área dos setores
circulares de um gráfico de
setores e, assim, construir
gráficos desse tipo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
291CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Área de um setor circular
Todo ângulo central determina em um círculo uma região
chamada de setor circular.
Considerando o setor circular em que a medida do ângulo
central, em grau, é a, podemos calcular a área desse setor
estabelecendo uma proporção. Observe.
O
r
a
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Veja um exemplo.
Vamos calcular a área do setor circular cujo ângulo central mede 30° e cujo raio mede 10 cm.
Pelo enunciado, temos: a 5 30° e r 5 10 cm.
Assim:
30°
10 cm
Área Medida do ângulo central
sr
2
360°
A
setor circular
a
a
°
A
r 360s
5
2
setorcircular
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Adotando s 5 3,14, calcule:
• a área total da parte verde do alvo;
8.792 cm
2
• a área total da parte amarela do alvo. 11.304 cm
2
JOSÉ LUÍS JUHAS
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
NELSON MATSUDA
8
°
°
A
10
30
360s
5
2
setorcircular
A
100
1
12s
5
setorcircular
12 8 A
setor circular
5 100s
A
setor circular
5
3
25s
Portanto, a área do setor circular é
3
25s
cm
2
.
Habilidade trabalhada: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.

350. 292
Exercícios propostos
Para a resolução do exer-
cício 40, vamos considerar
π
q 3,14. Assim, a área do
setor circular é dada por:
π 8 25
2

A
setor circular
5
360°
60°
A
setor circular
5
5
625π
6
m 2
q 327 m
2
No exercício 41, vamos consi -
derar π 5 3,14 e
3 5 1,73.
Na figura, todos os ângulos
demarcados têm mesma me-
dida de 60°, pois são ângulos
internos de um triângulo
equilátero cujo lado mede
L 5 2 cm.
Assim, a figura é composta
de um círculo de raio medin-
do 0,5 cm, dois setores circu-
lares de 60° e raio de 1 cm
e uma região determinada
por um triângulo equilátero
de lado medindo 2 cm.
• Área do círculo
πr
2
5 3,14 8 (0,5)
2

área 5 0,785 cm
2
• Área de cada setor circular
a 8 πr
2

360º
5
60° 8 3,14 8 1
2

360°

área q 0,523 cm
2
• Área do triângulo equilátero
L
2
3
4
238
5
8
22
q
q 1,73 (cm
2
)
A área da figura é dada pela
soma das áreas dos elemen-
tos que a compõem:
A
figura
5 (0,785 1 2 8 0,523 1
1 1,73) cm
2
5 3,561 cm
2
q
q 3,56 cm
2
No exercício 45, a área A
de um semicírculo de raio
130 metros é dada por:
A 5
π 8 r
2

2
5
π 8 130
2

360°
A 5 8.450π m
2
Como admitimos uma ocu-
pação média de 4 pessoas
por metro quadrado, fazen-
do π 5 3,14, temos que:
N
o
de pessoas 5 4 8 8.450 8
8 3,14 q 106.132 (pessoas)
Logo, a melhor estimativa é
cem mil pessoas.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa
entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
292 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
40
Em uma pista de atletismo, o campo de arre-
messo de peso tem a forma de um setor circu-
lar com 60º de abertura e 25 m de raio. Calcule
a área desse campo.
60°
25 m
41 Para fazer um molde, Clarice desenhou a figura
abaixo.
1 cm
1 cm
1 cm
42 Em uma circunferência de 15 cm de raio, o arco
de um setor circular mede 10s cm. Determine:
a) a medida do ângulo central desse setor; b) a área desse setor.
75s cm
2
120°
Calcule a área aproximada da figura desenhada por Clarice.
3,56 cm
2
6
625s
m
2
q 327 m
2
44 Em cada figura, calcule a área da parte colo-
rida. Em seguida, verifique se existem figuras equivalentes. (Adote s 5 3,14.)
46 (Vunesp) Um cavalo se encontra preso em
um cercado de pastagem cuja forma é um qua drado, com lado medindo 50 m. Ele está
amarrado a uma corda de 40 m que está fixada em um dos cantos do quadrado. Considerando
s 5 3,14, calcule a área, em metro quadrado,
da região do cercado que o cavalo não conse-
guirá alcançar, porque está amarrado.
a) 1.244 c) 1.422 e) 1.444
b) 1.256 d) 1.424
alternativa a
45 (Fuvest-SP) Um comício político lotou uma
praça semicircular de 130 m de raio. Admi-
tindo uma ocupação média de quatro pessoas
por m
2
, qual a melhor estimativa do número
de pessoas presentes?
alternativa b
a) dez mil d) um milhão
b) cem mil e) muito mais de um milhão
c) meio milhão
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
23,44 cm
2
as figuras 2 e 4 são equivalentes
50,24 cm
2
23,44 cm
2
23,55 cm
2
5 cm
3 cm
Figura 1
Figura 4
6 cm
2 cm
6 cm
43 (PUC-RJ) Triplicando-se o raio de uma circun-
ferência:
alternativa c
a) a área é multiplicada por 9s. b) o comprimento é multiplicado por 3s. c) a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3.
d) a área e o comprimento são ambos multi-
plicados por 3.
e) a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9.
2 cm
1,82 cm
3 cm
Figura 2
60°
3 cm
Figura 3

351. 293BIMESTRE 4
Trabalhando a
informação
Nesta seção, trabalhamos
com gráficos cujos elemen-
tos induzem a erros de leitu-
ra e interpretação.
Antes de trabalhar o texto
do livro do estudante, apre-
sente apenas os gráficos em
cópia ampliada, fixando-os
na lousa, para que os alunos
explorem cada gráfico. Veri-
fique, por exemplo, se eles
percebem que no gráfico 1
o total é 110% e não 100%.
Eles podem observar esse
fato na própria figura (sem
efetuar a soma das porcen-
tagens), pois os dois setores
de 25% deveriam corres-
ponder à metade do círculo,
mas não é o que acontece.
Para ampliar a discussão,
apresente outros gráficos de
setores.
Habilidade trabalhada: (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir,
às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de
informações importantes (fontes e datas), entre outros.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
293CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
• Em gráficos de colunas ou gráficos de barras, os erros mais comuns ocorrem por não contem-
plarem a proporcionalidade entre os comprimentos das colunas/barras e os valores que elas
representam.
Fonte: Dados fictícios.
Observe que a coluna referen-
te à região SE (Sudeste) não é
proporcional às demais colunas.
Por exemplo, com o compasso
no gráfico, se adicionarmos a
altura da coluna Brasil (22) e a da
coluna S (47), veremos que uma
sobre a outra resulta quase na
altura da coluna SE. No entanto,
a soma dos valores 22 1 47 5 69
que é diferente do valor da co-
luna SE (86). Se o eixo vertical
fosse graduado (não graduá-lo
é um erro), a falta de proporcio-
nalidade dificilmente ocorreria.
Fonte: Dados fictícios.Fonte: Dados fictícios.
Gráfico 1 Gráfico 2
Grau de escolaridade na empresa X
Densidade demográfica das regiões do Brasil
Elementos químicos no Planeta Y
ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
Pós-graduação
47%
25%
25%
13%
Brasil
Densidade demográfica
(hab./km
2
)
N NE SE COS
22
4
34
86
8
47
Atenção ao ler gráficos
Ler um texto ou assistir a um filme requer atenção, assim como acontece com a leitura de um
gráfico, especialmente gráficos duplos em que compará-los é inevitável e desejado.
Há gráficos que apresentam erros em sua construção, outros que apresentam inadequações.
• Em um gráfico de setores, por exemplo, um erro banal é quando a soma das porcentagens
dos setores, exceto nos casos de arredondamento, difere de 100% (ver gráfico 1). Já uma
inadequação é haver uma quantidade muito grande de setores e de cores muito parecidas,
tornando as legendas incompreensíveis (ver gráfico 2).
H
O
C
Fe
N
Na
K
Ca
Mn
Al
P
CI
Mg
Ag
Cu
Zn
Co
Hg
Au
Cd
Pb
2,5%
4%
4,5% 4,8%
5,9%
9,6%
30,3%

352. 294
Trabalhando a
informação
Para analisar os gráficos de
colunas e o de linhas duplas,
retome com os alunos os
conhecimentos construídos
capítulo 9, na seção intitula-
da “Gráficos com distorção”
(página 211).
Analise com eles o gráfico
de colunas da página ante-
rior e verifique se percebem
que nem todas as colunas
têm a altura proporcional
às demais. Espera-se que os
alunos percebam que a co-
luna referente à região SE
(Sudeste) não é proporcio-
nal às demais, pois sua altu-
ra deveria ser quase o dobro
da altura da coluna referen-
te à região S (Sul).
As questões do Agora quem
trabalha é você! podem
ser respondidas em duplas,
pois a discussão enriquece
o aprendizado e amplia o
repertório de estratégias de
resolução dos alunos.
Habilidade trabalhada: (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir,
às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
294 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
• Uma inadequação que por vezes ocorre tanto em gráficos de colunas quanto em gráficos de
linhas duplas é quando a graduação do eixo vertical não inicia do zero. No gráfico de linhas
duplas, por exemplo, esse fato pode induzir o leitor a erros quando compara os valores de
cada linha em uma mesma vertical. Acompanhe no gráfico a seguir.
Observe que os valores do eixo vertical não começam no zero, mas no 15. O fato de a escala
vertical iniciar no valor 15 faz com que em 2010, por exemplo, tenhamos a impressão de que
a porcentagem de empregos mais qualificados (19,9) seja pouco mais do que o dobro (ou seja,
100%) da porcentagem de empregos menos qualificados (17). Mas isso não é verdade: 19,9
é apenas 17% maior do que 17, pois 19,9 9 17 q 1, 17.
Agora observe os valores de 2021. Calculando 22,2 9 15,6 q 1,42. Isso significa que 22,2 é
aproximadamente 42% maior do que 15,6. No entanto, no gráfico, a altura de 22,2 é 10 vezes
maior do que altura de 15,6, ou seja, 1.000% maior.
A compreensão da leitura que obtemos em um gráfico como esse pode nos induzir a conclu­
sões equivocadas. Por isso, é preciso muita atenção na leitura.
Considerando o gráfico “Distribuição do emprego no Brasil”, responda:
a) Em que ano os dois tipos de emprego representavam a mesma porcentagem?
2004
b) Em 2000, o emprego menos qualificado era aproximadamente quantos por cento maior do que o em-
prego mais qualificado?
7%
Fonte: PERRIN, Fernanda. Automação vai mudar a carreira de 16 milhões de brasileiros
até 2030. Folha de S.Paulo, 21 jan. 2018. Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/
mercado/2018/01/1951904-16-milhoes-de-brasileiros-sofrerao-com-automacao-na-
proxima-decada.shtml>. Acesso em: 23 jan. 2018.
EDITORIA DE ARTE/FOLHAPRESS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!

353. 295BIMESTRE 4
Volume de alguns
sólidos
Amplie explorando outros
exemplos, como o prisma
reto de base pentagonal a
seguir.
Planificação da superfície:
2 cm
5 cm
Área de uma das bases (pen-
tágono regular):
a
r
a
2 cm
• Medida a do ângulo cen-
tral
a
c
5 a 5
360°
5
5 72°
• Cálculo da medida do apó-
tema
tg 72° 5
1
a
3,0777 5
1 a
a
q 0,32 cm
• Cálculo da área
A
base
5 A
pentágono (regular)
5 p 8 a
A
base
5
5 8 2
2
8 0,32
A
base
q 1,6 cm
2

Área lateral: corresponde à
área de 5 retângulos idênticos
de dimensões 2 cm por 5 cm.
A
lateral
5 (5 8 2 8 5) cm
2
5
5 50 cm
2
Área total: corresponde à
área da superfície do pris-
ma pentagonal, ou seja, é a
soma das áreas das duas ba-
ses com a área lateral.
A
total
5 2 8 1,6 cm
2
1 50 cm
2
5
5 53,2 cm
2
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas: (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo
diferentes operações.
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
295CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
4
Volume de alguns sólidos
Calculando a área total da superfície de alguns sólidos
Você se lembra de como fazer
a planificação da superfície de um
paralelepípedo? E da superfície de
um cubo? Analisando as planificações,
podemos determinar a área total da
superfície desses sólidos. Veja.
Planificação da superfície de um paralelepípedo
Planificação da superfície de um cubo
Cálculo da área em centímetro quadrado:
A área total da superfície do paralelepípedo é 94 cm
2
.
Cálculo da área em centímetro quadrado:
A área total da superfície do cubo é 54 cm
2
.
A 5 2 8 3 8 4 1 2 8 3 8 5 1 2 8 4 8 5
A 5 24 1 30 1 40
A 5 94
área do
retângulo 1
área do
retângulo 2
área do
retângulo 3
A 5 6 8 3 8 3 A 5 54
área do
quadrado
Do mesmo modo, podemos determinar a área total da superfície de um prisma, fazendo
sua planificação. Veja.
3 cm 1
3
1
2 2 3 5 cm
4 cm
3 cm
3 cm
3 cm
Prisma
5 cm
10 cm
Planificação da superfície de um prisma
10 cm
5 cm
SIDNEY MEIRELES
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA

354. 296
Orientações
Se possível, traga para a
sala de aula modelos de ci-
lindros e de cones (circula-
res e retos) que possam ser
desmontados e remontados
para que os alunos perce-
bam os elementos da plani-
ficação de sua superfície.
Espera-se que eles percebam
que a planificação da super-
fície de um cilindro circular
reto é composta de dois cír-
culos idênticos de raio igual
ao raio da base (r) do cilin-
dro e de um retângulo de
dimensões altura h do cilin-
dro pelo comprimento 2πr
da circunferência da base.
2πr
r
Do mesmo modo, espera-se que observem que a plani-
ficação da superfície de um cone circular reto é com-
posta do círculo da base (de raio r) de um setor circular
de raio de medida g (me-
dida da geratriz do cone) e
comprimento do arco 2πr
(comprimento da circunfe-
rência da base).
r
r
g
g q
2πr
Questione os alunos sobre
como seria a planificação da
superfície esférica. Espera-se
que eles compreendam que
a superfície de uma esfera
não pode ser planificada.
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em
notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
296 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
10 cm
10 cm
13 cm
13 cm
138º
Cálculo da área em centímetro quadrado:
A área total da superfície do prisma é 300 75 31`j cm
2
.
NELSON MATSUDA
5 cm
r
a 5
2
r 83
—
A 5 6 8 10 8 5 1 2 8 A
hexágono
A 5 300 1 2 8 6 8 A
triângulo
A 5 300 1 2 8 6 8
8
2
5
2
53
A 5 300 1 75 3
área do
retângulo
A 7 2 8 s 8 4
2
1 18 8 25,12
A 7 2 8 3,14 8 16 1 452,16
A 7 552,64
área do
círculo
área do
retângulo
Vamos recorrer à planificação da superfície de um cilindro para determinar a área total
de sua superfície.
Cálculo da área em centímetro
quadrado:
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO
A área total da superfície do
cilindro é aproximadamente
552,64 cm
2
.
Vamos recorrer à planificação da
superfície de um cone para determinar
a área total de sua superfície.
Área do setor circular (A
sc
)
Aplicando regra de três:
Cone Planificação da superfície de um cone
s 8 13
2
360°
A
sc
138°
A
sc
q
88
°
,°
360
314169 138
q 203
Cilindro
18 cm
8 cm
Planificação da superfície de um cilindro
4 cm
q 25,12 cm
18 cm
SIDNEY MEIRELES

355. 297BIMESTRE 4
Fazendo experiências
com volumes
Reproduza em escala am-
pliada, para distribuir aos
alunos, as planificações
(das superfícies dos dois
prismas) apresentadas no
livro do estudante. Pro-
ponha a eles que montem
cada prisma e realizem a
experiência 1 na quadra
da escola. Providencie tam-
bém um pouco de areia.
Se não houver possibilida-
de de realizar a experiên-
cia, providencie ao menos
um molde de cada planifi-
cação e faça com eles essa
experiência.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
297CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Agora, veja como podemos
constatar, experimentalmente, o
volume de alguns sólidos.
A área total da superfície do cone é aproximadamente 282 cm
2
.
A 7 s 8 5
2
1
88
°
,°
360
314169 138
A 7 78,5 1 203,5 5 282
área do
círculo
área do setor
circular
Cálculo da área em centímetro quadrado:
ƒExperiência 1
Construímos um modelo de prisma de base retangular a partir da planificação da sua su­
perfície, conforme as figuras. Observe que eliminamos uma das faces, pois nesse modelo
de prisma despejaremos areia até a borda.
Fazendo experiências com volumes
10 cm
10 cm
6 cm
6 cm
9 cm
6 cm 9 cm
6 cm
9 cm
Construímos, também, um modelo de prisma de base triangular a partir da planificação da sua superfície, tendo eliminado uma das faces.
10 cm
12 cm 9 cm 15 cm
12 cm
15 cm
10 cm
12 cm
9 cm
15 cm
Os dois prismas têm mesma altura (10 cm) e bases com áreas iguais (54 cm
2
).
Ao despejar a areia do prisma de base retangular no prisma de base triangular, verificamos que os dois têm mesmo volume. Como já sabemos calcular o volume do primeiro prisma
(V 5 9 3 6 3 10), concluímos que o segundo prisma também tem volume igual a 540 cm
3
.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
SIDNEY MEIRELES

356. 298
Orientações
Para que os alunos possam
vivenciar a experiência 2,
providencie os moldes e
areia.
Ressalte o fato de que, nas
duas experiências, os dois
sólidos considerados têm
mesma altura e área da base
iguais, ou seja, têm bases
equivalentes. Desse modo,
garantimos que os dois sóli-
dos têm mesmo volume.
Amplie o tema citando o
princípio de Cavalieri, tema
que será abordado mais
profundamente no Ensino
Médio.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o assunto, sugerimos:
<
https://novaescola.org.br/
plano-de-aula/1599/principio-de-
cavalieri>;
<
http://m3.ime.unicamp.br/
recursos/1039>.
Acessos em: 10 set. 2018.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de
prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
298 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
ƒExperiência 2
Construímos um modelo de pirâmide de base quadrada e um modelo de prisma de base
quadrada a partir das planificações das suas superfícies, conforme as figuras. Observe
que eliminamos uma das faces para poder enchê-los com areia.
Observe que o prisma e a pirâmide têm mesma área de base e também mesma altura.
Enchendo a pirâmide de areia e despejando seu conteúdo no prisma, é possível repetir
o procedimento três vezes, ou seja, para encher o prisma, precisamos do conteúdo de
três pirâmides.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
Modelo de prisma
10 cm 10 cm
10 cm
10 cm10 cm 10 cm 10 cm
12 cm
10 cm
12 cm
10 cm
Modelo de pirâmide
10 cm
10 cm
10 cm 10 cm
13 cm
5 cm
13 cm
13
2
2 5
2
cm 5 12 cm
10 cm
10 cm
12 cm
O volume da pirâmide corresponde, portanto, a um terço do volume do prisma, ou seja:
V 5
3
1
8 (10 8 10) 8 12
Logo, o volume da pirâmide é igual a 400 cm
3
.

357. 299BIMESTRE 4
Orientações
Na experiência 3, entregue os
moldes do cilindro e do cone
montados para que os alunos
verifiquem que têm mesma
altura e bases circulares idên-
ticas (de mesma área). Ressal-
te essas duas condições nova-
mente: mesma altura e bases
equivalentes.
Peça a eles que desmontem
os sólidos e observem as pla-
nificações obtidas, depois
remontem os sólidos elimi-
nando uma base (no cilindro
uma delas, no cone a única
base do sólido), de modo
que possam realizar a expe-
riência proposta.
Ao final, faça um fechamento
na lousa com as observações
e conclusões dos alunos sobre
as três experiências que reali-
zaram (ou observaram).
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
299CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
ƒExperiência 3
Construímos um modelo de cilindro e um de cone a partir das planificações das suas
superfícies, conforme as figuras. Observe que eliminamos uma das bases, pois nesse
modelo despejaremos areia até a borda.
Generalizando, para uma pirâmide cuja base é um polígono regular, temos:
Modelo de cilindro
Modelo de cone
V 5
3
1
8 (área da base) 8 h
Observe que o cilindro e o cone têm mesma área de base e também mesma altura.
ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO
10 cm
12 cm
12 cm
31,4 cm
10 cm
13 cm
10 cm
12 cm
10 cm
13 cm
138º
10 cm

358. 300
Exercícios
complementares
Este bloco de exercícios ex-
plora os principais conceitos
estudados no capítulo. Espe-
ra-se que os alunos mobili-
zem os conhecimentos cons-
truídos, percebendo se ainda
têm alguma dificuldade.
No exercício 3, dividindo a
circunferência ao meio, ob-
temos duas semicircunfe-
rências que têm cada uma
um triângulo inscrito (ABD e
AFD, idênticos), conforme a
figura abaixo.
D
C B
A
E
gb
a f
F
A circunferência está divi-
dida em seis arcos de 60°.
Assim, o ângulo central de
medida a correspondente
ao arco AB
%
mede 60°. O ân-
gulo BDA inscrito no mesmo
arco desse ângulo central
mede 30°.
O ângulo de medida b é o
ângulo central correspon-
dente a dois dos arcos con-
gruentes: b 5 120°. Assim, o
ângulo BAD inscrito no mes-
mo arco do ângulo central
de medida b, mede 60°.
O triângulo ABD tem ângu -
los internos de medidas 30°,
90° e 60°, cuja hipotenusa
é um diâmetro da circunfe-
rência, ou seja, mede
142

cm . Assim, temos:
• sen 30° 5
AB
142

1
2
5
AB
142

AB 5 72 cm 5 AF
• cos 30° 5
BD
142

2
3
5
BD
142

DB 5 76 cm 5 DF
O perímetro P do quadrilá-
tero ABDF é dado por:
P 5 2 8 72 1 2 8 76
P 5 14 3211^h cm
ILUSTRAÇÕES: WLAMIR MIASIRO
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo
retas paralelas cortadas por secantes.
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
300 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Enchendo o cone de areia e despejando seu conteúdo no cilindro, é possível repetir o
procedimento três vezes, ou seja, para encher o cilindro, precisamos do conteúdo de
três cones.
O volume do cone corresponde, portanto, a um terço do volume do cilindro, ou seja:
V =
3
1
8 s 8 5
2
8 12 q 314
O volume do cone é aproximadamente 314 cm
3
.
Generalizando, para um cone de raio da base medindo r e altura medindo h, temos:
V 5
3
1
8 s 8 r
2
8 h
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
48
Em grupo de três, reproduzam em cartolina as planificações das três experiências anteriores, recortem
as figuras (respeitando as medidas indicadas e tomando o cuidado de deixar abas para colagem onde
for necessário) e montem os sólidos. Em seguida, usando areia ou material similar, comprovem as
relações entre os volumes.
47 Construa a planificação da superfície de um prisma reto de altura 6 cm, cuja base é um octógono com
lados medindo 2 cm.
construção de figura
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1
A medida do lado de um quadrado inscrito
em uma circunferência é
82 cm. Calcule a
medida do apótema do triângulo equilátero
inscrito nessa circunferência.
4 cm
2 O perímetro de um hexágono regular inscrito
em uma circunferência é 42 m. Calcule o pe-
rímetro do quadrado inscrito nessa circunfe-
rência.
28
2m
NELSON MATSUDA
3 A circunferência abaixo tem 72 cm de raio
e está dividida em seis arcos congruentes.
Calcule o perímetro do polígono ABDF.
A
B
FE
C
D
1421 3cm1`j
ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO

359. 301BIMESTRE 4
Exercícios
complementares
Para o exercício 7 , apresen-
tamos a resolução a seguir.
a) O triângulo em branco é
um triângulo retângulo de
lados medindo 3, 4 e 5 cm.
Assim, a área da parte verde
é dada por:
A
verde
5 A
semicírculo
2 A
triângulo
A
verde
5
π 8 (2,5)
2

2
2
3 8 4
2
A
verde
5
3,14 8 6,25
2
2 6
A
verde
5 3,8125 cm
2
b) As regiões destacadas em
amarelo (em branco na figu-
ra dada) e em laranja (em
verde na figura dada) são
idênticas, ou seja, se sobre-
põem. Assim, a parte verde
completa um semicírculo de
raio 4 cm.
4 cm 4 cm
o
4 cm 4 cm
o
Logo, a área verde é dada por:
A
verde
5 A
semicírculo

A
verde
5
3,14 8 (4)
2

2
A
verde
5 25,12 cm
2
c) As duas partes brancas jun-
tas formam um círculo cujo
diâmetro mede 5,2 cm (raio
2,6 cm). Assim, a área da par-
te verde é dada por:
A
verde
5 A
quadrado
2 A
círculo

A
verde
5 (5,2)
2
2 3,14 8 (2,6)
2
A
verde
5 27,04 2 21,2264
A
verde
5 5,8136 cm
2
d) Nesse caso, a área da par-
te verde é dada por:
A
verde
5 A
círculo
2 A
setor (circular)

A
verde
5 πr
2
2
a 8 πr
2

360º
A
verde
5 πr
2
8 1
360°
2
a
`j
A
verde
5 3,14 8 1
2
8
°
°
1
360
30
2cm
A
verde
5 3,14 8
11
12
A
verde
q 2,88 cm
2
WLAMIR MIASIRO
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
301CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
4 Na figura, AD e DC são lados de um qua-
drado inscrito, AB é lado de um hexágono
regular  inscrito, BC é lado de um triângulo
equilátero inscrito. Sabe-se que BC 5 43.
Calcule AB e AD.
AB 5 4 e AD 5
42
A B
C
D
5 Na figura abaixo, ABCD é um retângulo inscrito
em um quadrante de um círculo. Calcule a me-
dida de BD, sendo CD 5 8 cm e BE 5 2 cm.
E
BA
CD
6 Considerando a figura abaixo, calcule:
a) a medida do raio da circunferência;
4 cm
b) a medida de AB
; 4 cm
c) a medida de CD. 43cm
A
B
C
D
90°
60°
90°
42 cm
120°
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
7 Considerando s 5 3,14, determine a área das
figuras pintadas de verde. Nos itens b e d, O é
o centro da circunferência.
a)
b)
c)
d)
8 Qual é a diferença entre os perímetros de dois
quadrados, um circunscrito e outro inscrito em
uma mesma circunferência de 2
cm de raio?
9 Raul deu de presente à sua mãe um relógio
de parede com formato de hexágono regular,
como na figura a seguir.
9
12
6
3
Determine a área do mostrador circular desse relógio, sabendo que o hexágono regular cir-
cunscrito tem 12 cm de lado.
108s cm
2
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
10 cm
25,12 cm
2
3,8125 cm
2
5,8136 cm
2
2,88 cm
2
3 cm
4 cm
4 cm4 cm
O
5, 2 cm
5, 2 cm
1 cm
O
30°
82 1cm2`j

360. 302
Exercícios
complementares
No exercício 10, uma possí-
vel resolução:
a) Considerando que, apro-
ximadamente,
2
3
do qua-
drado é composto de pedras
azul-escuras e
1 3
de pedras
azul-claras, temos:
A
quadrado
5 3 . 3
A
quadrado
5 9 cm
2
2
3
8 9 5 3
Logo, a área estimada ocu-
pada pelas pedras azul-escu-
ras no quadrado é de 6 cm
2
.
b) A
círculo
5 π 8 r
2
Æ
Æ 6 5 3,14 8 r
2
Æ
Æ r
2
5 1,91 Æ
Æ r 5 1,38 cm
1,38 cm
1,38 cm
No exercício 11, assim como
em outros que pedem o cál-
culo da área de parte de um mosaico, discuta com os alu-
nos a possibilidade de, men-
talmente, reunirem as porções
que constituem essa parte e,
feito isso, compararem a parte
composta com o todo. Nesse
exercício, tal procedimento
leva os alunos a perceberem
que a área da superfície pinta-
da de vermelho corresponde à
metade do círculo.
No exercício 14, basta os
alunos visualizarem que
a medida do raio da cir-
cunferência é, na verdade,
metade da medida do lado
desse quadrado. Amplie as
discussões para questões de
aumento ou diminuição da
área desse quadrado e dessa
circunferência à medida que
variamos as medidas do lado
e do raio, respectivamente.
FERNANDO JOSÉ FERREIRA
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
3 cm
3 cm
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
302 CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
410 cm
21
0 cm
Qual é a área desperdiçada, em centímetro
quadrado? (Considere s 5 3,1.)
18 cm
2
a) Faça a estimativa da área, em centímetro
quadrado, ocupada pelas pedras azul-
-escuras do quadrado em destaque na figura
acima.
6 cm
2
b) Considerando que a área estimada da parte
azul-escura no quadrado seja igual à área
de um círculo, faça um desenho de como
ficaria um novo revestimento para esse
calçadão com círculos azul-escuros. Indique
as medidas em seu desenho.
11 Calcule a área aproximada da parte da figura
pintada de vermelho, sabendo que o lado do qua dra dinho do quadriculado mede 0,5 cm.
10 Ao quadricular uma ilustração do calçadão de
uma praia, Lucas notou que a área ocu pada pelas pedras azul-escuras era maior que a ocupada pelas pedras azul-claras.
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
13 (Unifor-CE) Uma indústria utiliza as placas
retangulares de alumínio mostradas na figura,
nas quais toda a região sombreada, que está
fora dos círculos, é desperdiçada.
Resposta pessoal; o círculo terá 1,38 cm de raio.
6,28 cm
2
15 A ferramenta representada na figura é uma cha-
ve L número 10. Sabendo que a circunferência
destacada em verde tem, na realidade, 5 cm de
raio, calcule a medida do lado e do apótema do
hexágono destacado na cor laranja. Explique
por que essa ferramenta tem esse nome.
12 Uma folha de papel tem 18 cm por 12 cm.
a) Qual é o maior número de círculos tangen-
tes entre si com 3 cm de raio que é possível desenhar nessa folha?
6 círculos
b) Se esses círculos forem recortados, qual
é a quantidade de aparas de papel, em centímetro quadrado, que restará? (Adote s 5 3,14.)
46,44 cm
2
14 A situação ilustrada de uma caixa de biscoitos
sugere um quadrado circunscrito a uma cir-
cunferência. Sabendo que o lado do quadrado mede 3,6 cm e que o comprimento da caixa é 20 cm, efetue os cálculos pedidos a seguir.
a) a medida do raio dessa circunferência.
b) o volume da caixa de biscoitos;
259,2 cm
3
c) o volume aproximado da pilha de biscoitos
dessa caixa.
203,5 cm
3
1,8 cm
A chave L
número 10 tem
esse nome
porque tem o
formato da letra L,
e o número 10
corresponde
à medida
aproximada do
diâmetro da
circunferência em
milímetros.
c 5 5 cm; a
p
5
2
53
cm

361. 303BIMESTRE 4
Diversificando
Organize os alunos em du-
plas e estimule-os a jogar.
Depois de algumas partidas,
proponha que as duplas tro-
quem de elementos para
novas partidas. Então, sugi-
ra que as duplas formadas
discutam as questões apre-
sentadas no Agora é com
você!.
Ao final, faça uma roda de
conversa para que os alunos
exponham suas respostas,
dúvidas, observações e con-
clusões.
Pode-se aproveitar o mo-
mento para discutir sobre
ética, honestidade e espírito
colaborativo.
No Manual do Professor –
Digital poderão ser
acessadas Propostas de
Acompanhamento da
Aprendizagem dos alunos
com sugestões de questões,
abertas e de múltipla escolha,
e fichas para registro do
desempenho deles neste
bimestre.
DIVERSIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
303CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Jogo do desenhe ou responda
Número de participantes: 2 jogadores
Material:
• 20 cartas com figuras geométricas (polígono e seus elementos; circunferência e seus elemen-
tos – ângulo, mediatriz, bissetriz etc.), com ênfase em figuras estudadas nos capítulos 11
e 12 deste livro. As figuras devem estar identificadas corretamente.
• Um saquinho não transparente para guardar as cartas confeccionadas.
• Papel e lápis para esboçar as figuras e marcar os pontos.
Regras:
• Após o sorteio, o primeiro a jogar retira uma carta do saquinho, sem mostrá-la.
• O jogador que tira a carta deve dizer ao outro uma característica da figura para que ele
tente adivinhá-la com um desenho ou uma resposta oral. Para cada carta, podem ser dadas
até três dicas, uma a cada tentativa. Por exemplo, se a carta tiver um quadrado, o jogador
poderá dar as seguintes dicas: “é um quadrilátero”, “tem ângulos opostos congruentes” e
“tem todos os lados com medidas iguais”.
• Se um jogador der uma dica errada, perderá 2 pontos.
• Pontuação: ao acertar o nome ou o desenho na 1
a
tentativa, o jogador ganha 3 pontos; na
2
a
tentativa, ganha 2 pontos; e na 3
a
, ganha 1 ponto.
• Após o acerto ou erro na 3
a
tentativa, passa-se a vez.
• Vence aquele que completar primeiro 15 pontos. Caso nenhum jogador consiga atingir os
15 pontos, vence aquele que conseguir a maior pontuação.
1 Observe o diálogo de Rafael e Karina. De acordo com as regras, o que deverá acontecer com a pon-
tuação de Rafael?
Rafael deu uma dica errada e, segundo as regras, ele deve perder 2 pontos.
2 Se um jogador tirasse uma carta com um hexágono regular, que dica ele poderia dar sobre essa figura?
Respostas possíveis: “Você pode encontrar um formato parecido na colmeia de abelhas”, ou “A soma das
medidas dos ângulos internos é 720°

”, ou “Minha figura tem seis lados de mesma medida”.
CLÁUDIO CHIYO
A área dessa figura é
dada pelo produto entre a
medida de sua base e
a medida de sua altura.
Retângulo!

362. 304
RESPOSTAS
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
304
CAPÍTULO 1
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 13
1. 16 maneiras
2. 5.040 possibilidades (10 8 9 8 8 8 7 5 5.040)
Página 16
a) 5; 4; 3,5; 3,25
b)
NELSON MATSUDA
3
3,5
3,25
45 7
c) sim
Página 20
;;;
2
35
5
8
1
1
1
1
2
1
1
1
1
8
13
3
1
1
1
1
5
Página 32
a) 27,3
b) 2.730
PARA SABER MAIS
Página 21
1. A soma é igual ao próximo número da sequência.
2. 21, 34, 55 e 89
3.
n
n
1
2
5 1,000;
n
n
2
3
5 2,000;
n
n
3
4
5 1,500;
n
n
4
5
5 1,667;
n
n
5
6
5 1,600;
n
n
6
7
5 1,625;
n
n
7
8
5 1,615;
n
n
8 9
5 1,619;
n
n
9
10
5 1,618;
n
n
10
11
5 1,618. Aproximam-se do número
áureo.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 23
35,8% é próximo de 35,9%; logo, os dados da FGV
são coerentes
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 38
1. a) Falsa, 21 não é natural.
b) Falsa,
2
1
não é número inteiro.
2. 10
3. a) 2,7
b)
81
46
4. (2,2)
2
5 4,84
5. 80
6. 595
7. 315
8. 60,8 m
9. alternativa b
10. alternativa b
11. a) 13 cm
b) racional
12. a) 40
cm
b) irracional
c) 6,3 cm
13. 26
15. 14,6 m
DIVERSIFICANDO
Página 39
1. A menina, pois colocou os cinco números na ordem
certa, como pedia a carta de ação.
CAPÍTULO 2
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 56
a) 27 cubos
b) 1.512 7 cm
3
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 59
1. a) 2010; 2015 e 2016
b) não
2. a) 2010; 2015
b) sim; 2001
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 60
1. 1 nanômetro
2. Diâmetros: Terra 5 1,28 8 10
4
km; Sol 5 1,4 8 10
6
km.
1  centésimo de 1,4 8 10
6
km 5 1,4 8 10
4
km, que é
próximo de 1,28 8 10
4
km. Podemos considerar que a
informação tem coerência.
3. a) sim
b) 469,5 MB

363. 305
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
305
4.
Distância média ao Sol dos planetas do Sistema Solar
Planeta
Distância média
ao Sol em UA
Distância média
ao Sol em km
Diâmetro em UA Diâmetro em km
Mercúrio 0,4 5,8 8 10
7
5,05 8 10
210
4,8 8 10
3
Vênus 0,7 1,08 8 10
8
1,26 8 10
29
1,2 8 10
4
Terra 1 1,5 8 10
8
1,35 8 10
29
1,28 8 10
4
Marte 1,5 2,3 8 10
8
7,16 8 10
210
6,8 8 10
3
Júpiter 5,2 7,8 8 10
8
1,5 8 10
28
1,43 8 10
5
Saturno 9,5 1,43 8 10
9
1,26 8 10
28
1,2 8 10
5
Urano 19,1 2,87 8 10
9
5,37 8 10
29
5,1 8 10
4
Netuno 30 4,5 8 10
9
5,16 8 10
29
4,9 8 10
4
Dados obtidos em: Planetário UFSC. Disponível em: <http://planetario.ufsc.br/o-sistema-solar>. Acesso em: 10 maio 2018.
8. a) (12 1 12 2
) cm b) (62 1 8) cm
2
c) (42 1 6) cm
3
9. 37 passos
10. a) 42 b) 5(3 1 1) c) 5 1 3
11. Até a 5
a
casa decimal.
CAPÍTULO 3
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 67
A: 1.200 dólares/hab.; B: 1.125 dólares/hab.; e C: 662,50 dólares/hab.
a) A b) Não, pois esse valor é uma média.
Página 71
b) 20 minutos d) diretamente proporcionais f) 30 dias
c) 28 minutos e) 44 minutos
Página 75
a) Sim, pois, ao duplicar (triplicar, e assim sucessivamente) a medida do lado, o perímetro também duplica (tripli-
ca etc.).
b) Não, pois a área e a medida do lado não se alteram na mesma razão.
c) Não, pois o volume e a medida da aresta não se alteram na mesma razão.
Página 82
25 dias
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 68
1. não
2. (N) 1,22; (CO) 2,51; (SE) 3,01; (S) 2,43
3. o índice para o Brasil em 2017 era de 2,33; então faltava 0,37

364. 306
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
306
Página 85
1. Brasil: 3,6 cm; China: 2,3 cm; Etiópia: 9,5 cm; Índia:
7,5 cm; Quênia: 7,1 cm.
3. Não, porque o IDH é composto também de ou -
tras  variáveis.
PARA SABER MAIS
Página 76
1. 6°
2. às 8 horas
3. a)
18
1
d)
2
1

b)
8
1
e)
8
3

c)
4
1
f)
4
3
4. a) q 10,47 cm
b) q 15,7 cm
c) q 31,4 cm
d) q 94,2 cm
e) q 62,8 cm
Página 83
1. a)
9 4
9 4
9 5
9 5
Massa (em kg)20 5 1
Preço (em real)32 8 1,6
2. a) R$ 2,50
b) 10 litros
c) 11.760
d) R$ 209,00
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 90
1. a) 90 km/h
b) 3 horas
c) 18,5 km/c
2. 28,44 hab./km
2
3. 150 kg
4. 14 horas
5. 35 dias
6. 8 latinhas
7. 4.464 kg
8. alternativa a
9. alternativa b
10. 8.400 pessoas
11. 55.556 pessoas
12. alternativa c
13. alternativa b
CAPÍTULO 4
PARA SABER MAIS
Página 95
As folhas de formatos A4 e carta não são retângulos
áureos.
Página 105
a) 41°, 41°, 41°, 41°
b) como p 5 q, o triângulo ACE é isósceles
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 105
3. No exercício 2, foi construído um feixe de retas parale-
las, cortado por dois segmentos transversais (AP
5
 e AB ).
Como o feixe divide AP
5
em partes de medi das iguais,
pelo teorema de Tales o feixe também divide AB em
partes iguais.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 110
1. a) x 5 12 e y 5 21 b) x 5 12 e y 5 2
2. 6,6
3. CH 5 10
5. 14 cm e 12 cm
6. x 5 3,75
7. 21 cm, 28 cm e 35 cm
8. AB’ 5 2,6 cm, B’C’ 5 3,9 cm e C’D’ 5 6,5 cm
9. x 5 6
10. BD 5 3 cm e CD 5 4 cm
CAPÍTULO 5
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 112
Devemos programar uma cópia com 120%, isto é, 100% do original mais 20% de ampliação.
Página 116
14,4 cm
Página 119
1 cm12812`j

365. 307
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
307
Página 126
80 cm; 400 cm
2
.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 130
1. a) não
b) Maior, pois a população terá envelhecido.
c) sim
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 131
1. a) verdadeira
b) falsa
c) verdadeira
2. 26
3. alternativa b
4. b) AE 5 12 cm e EC 5 30 cm
5. 2,5 km
6. 11,25 cm; 15 cm e 18,75 cm
7. 57,60 m
8. 20 cm
9. 20,5 m
10. C
1
C
2
5 8 cm
DIVERSIFICANDO
Página 132
1. não é possível calcular, pois as medidas da câmara não
são dadas
2. a distância do quadro até o orifício deve ser 50 cm
CAPÍTULO 6
PARA SABER MAIS
Página 140
a) Rafael, pois a probabilidade de acerto é
6
1
, enquanto
a de Carol e a de Sofia é
36
5
.
b) Carol, pois a probabilidade de acerto é
18
5
, enquan-
to a de Sofia e a de Rafael é
6
1
.
c) Sofia, pois a probabilidade de acerto é
4
3
, enquanto
a de Rafael é
6
1
e a de Carol é
4
1
.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 142
1. sim 2. não
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 142
1. alternativa b
2. a) 6,0
b) 6,0
c) 56, 166...
5. alternativa d
CAPÍTULO 7
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 150
x 5 4; soma 5 30
2x
2
2 20 3 x
2
2 1
3x 1 12 x 1 27
5
x
9
2
1
2
2x
12 15
13 10
17
8
Página 154
6 m e 5 m
Página 161
Como m 5 2,5 . 2, nesse caso a equação não admite
raízes reais. Como m 5 1,8 , 2, a equação tem duas raí-
zes reais e diferentes.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 166
1. Sul: 14%, aproximadamente 28.140.000 hab.; Nordeste:
28%, aproximadamente 56.280.000 hab.; Norte: 8,5%,
aproximadamente 17.085.000 hab.; Centro-Oeste:
7%, aproximadamente 14.070.000 hab.
2. Sudeste: 55% do PIB; Sul: 16% do PIB; Nordeste: 13,5%
do PIB; Norte: 5,5% do PIB; Centro-Oeste: 10% do PIB.

366. 308
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
308
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 167
1. k i 25
2. a) 2x
2
1 3x 5 0; x
1
5 0 e x
2
5 2
2
3
b) 4y
2
2 20y 2 25 5 0; y
1
5 y
2
5
2
5
c) 7x
2
2 2 5 0; x
1
5 2
7
2
e x
2
5
7
2
d) 3x
2
1 12 5 0; não tem raiz real
3. x 5 8 cm
4. a) m 5 1 b) m 5 5
5. a) 3x ² 5 4.800 b) 240 e 40 c) 40
6. x 5 1 ou x 5 0
7. 43
8. a) k 5
9
43
c) k ,
5
64

b) k 5 12 d) k 5 12
9. alternativa c
10. alternativa e
11. alternativa b
12. alternativa d
13. alternativa c
14. alternativa a
15. alternativa a
16. alternativa d
17. 2 e 3
18. alternativa a
19. 12
CAPÍTULO 8
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 175
20 cm
10 cm
NELSON MATSUDA
24,1 cm 17,05 cm
20 cm
34,1 cm
34,1 cm 24,1 cm 17,05 cm
Página 178
1. 33 cm
Página 179
2x5 cm
PARA SABER MAIS
Página 175
b) 84 cm e 294 cm
2
c) 27 cm, 36 cm e 45 cm
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 185
1. 380 m, 210 m 2. alternativa c
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 190
1. 200 m
2. a) 250 m b) 3 km/h
3. y 5 69
4. a) 8 cm c) 25 cm
b) 7,5 cm d) 34,5 cm
2
5.
2
453
9cm1
fp
6. 108 cm
2
7. Sim, se o lápis for acomodado no sentido da diagonal,
que mede 19,2 cm.
8. a) 100 m, 128 m e 96 m
b) 6.144 m
2
e 2.400 m
2
c) 3.744 m
2
9. 414
cm
10. 35 cm
11. alternativa d
12. 20,25 u
2
13. alternativa d
14. alternativa c
15. 15 cm e 20 cm
16. 5 cm
17. 46 km
18. alternativa b
19. alternativa d
20. alternativa d
21. alternativa e
22. alternativa c
DIVERSIFICANDO
Página 192
dividir os lados em um número maior de pontos
CAPÍTULO 9
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 201
1. a) 40° b) 53° c) 62°
2. ()ABCm
W
q 40°
()BMCm
X
q 121°
()BCMm
W
q 19°
Página 205
1. a) 108°; 54° b) 8,9 cm; 16,18 cm; 16,18 cm

367. 309
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
309
2. a) 1,618
b) 16,18 cm; 26,18 cm; 1,618
c) 26,18 cm; 42,36 cm; 1,618
PARA SABER MAIS
Página 202
13°
Página 206
1. 4,75 m 2. q 21,5 m
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 211
1. Os gráficos apresentam uma distorção: de 1990 a 2010,
o espaçamento que vale para períodos de 5 anos é o
mesmo  que vale para períodos de 1  ano, a  partir de
2010. Isso pode levar à conclusão de que houve uma
evolução maior no período de 1990 a 2010, o  que
é errado.
2. Gráfico 1: de 2012 a 2013; gráfico 2: de 1995 a 2000
(0,5  por ano); gráfico 3: de 2013 a 2014; gráfico 4:
de 2005 a 2010. As respostas nem sempre são as
mesmas porque as escalas dos eixos horizontais dos
gráficos dados não são uniformes.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 213
1. sen 55° 5 0,8; cos 55° 5 0,6; tg 55° 5 1,4
2. a) 15 b) 7,8 c) 30°
3. alternativa b
4. 26,31 cm
5. 25,3 cm
6. 1,40 m
7. 83 m
2
; não há dados suficientes para calcular o volume
do muro
8.
2
53
cm
9. a)
3
40
3m b) 23 m
10. 102,2 m
11. alternativa e
12. 4003 cm
2
13. entre 4 e 6
14. 45°
15. alternativa c
16. 60 m; 34,6 m
17. 10(753 2 62) m
18. 483 cm
2
19. 2,66 km
20. alternativa b
21. 120 m
22.
3
3
m
23. alternativa b
24. alternativa a
CAPÍTULO 10
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 222
a) y 5 x 8 450
b) 495 km
c) Natal
d) Brasília, Florianópolis, Curitiba, São Paulo, Rio de Janeiro, Campo Grande, Goiânia, Palmas, Aracaju, Salvador, Vitória
Página 228
c) não; não
d) Não, porque a quantidade de revistas é uma gran-
deza discreta, ela é representada pelos números naturais e não pelos reais.
Página 232
2. a) sim b) não
3. para a . 0, esboço I; para a , 0, esboço II
Página 254
13 pessoas
PARA SABER MAIS
Página 234
1. p(x): bissetriz dos quadrantes pares;
q(x): paralela à bissetriz dos quadrantes pares deslo-
cada de modo a passar pelo ponto (0, 4);
t(x): paralela à bissetriz dos quadrantes pares deslo- cada de modo a passar pelo ponto (0, 25).
2. o coeficiente a determina a inclinação do gráfico
3. a) o coeficiente b determina a translação vertical do gráfico
b) ponto de intersecção do gráfico com o eixo y
Página 237
a) y 5 50x
b) São diretamente proporcionais.
Página 250
1. a) a abertura da parábola diminui
b) a abertura da parábola aumenta
2. a) o coeficiente c determina a translação vertical
do gráfico
b) ponto de intersecção do gráfico com o eixo y
3. a) vértice b) eixo y
Página 252
1. a 5
2
1
e b 5
2
3
ou a 5
2
3
e b 5
2
1
2. 4 ou 21 3. 49 cm
2

368. 310
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
310
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 254
1. y 5 x
2
1 x 1 6 2.
5
3
3. 100
4. a) 22 c) 2
b) 1 d) 21
• sim
5. a)
7
4
c)
7
6
d) x .
7
4
6. a) x . 3 b) x , 2 c) x 5
5
12
d) x .
5
12
7. a) 3 b) x , 2
6
5
8. alternativa b 9. alternativa e
10. a) 1 c) x 5 0 ou x 5 2 d) x i 1
11. a) c 5 10 b) y 5 t
2
2 7t 1 10 c) 3,5 minutos
12. alternativa d
13. 25
14. alternativa b
15. alternativa b
16. alternativa b
17. 200 m
3
18. alternativa a
19. 500 unidades
20. a) m , 21
b) m 5
4
1
22. alternativa c
DIVERSIFICANDO
Página 256
b) 4; 32 m
2
d) máximo
CAPÍTULO 11
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 261
26,4 cm
Página 267
1. 202 cm 2. 800 cm
2
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 273
1. 62,8 m
2. a) q 678,24 m b) q 542,59 m
3. 396,8 km
4. 6π
5. 14,13 m/s
6. alternativa a
7. 40.000 km
8. 15 cm
9. 55 cm
10. alternativa b
11. 96
12. 4,5 cm
13. 11
14. 16 cm
15. alternativa c
16. 8,5
17. C 5 11π
18. 18 cm
CAPÍTULO 12
PENSE MAIS UM POUCO...
Página 287
51,48 cm
2
Página 290
alternativas c, d; área:
2
9s
cm
2
Página 291
8.792 cm
2
; 11.304 cm
2
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Página 293
a) 2004 b) 7%
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Página 300
1. 4 cm
2. 282 m
3. 142 (1 1 3) cm
4. AB 5 4 e AD 5 4 2
5. 10 cm
6. a) 4 cm b) 4 cm c) 43 cm
7. a) 3,8125 cm
2
c) 5,8136 cm
2
b) 25,12 cm
2
d) 2,88 cm
2
8. 8(2 2 1) cm
9. 108s cm
2
10. a) 6 cm
2
b) o círculo terá 1,38 cm de raio
11. 6,28 cm
2
12. a) 6 círculos b) 46,44 cm
2
13. 18 cm
2
14. a) 1,8 cm b) 259,2 cm
3
c) 203,5 cm
3
15. c 5 5 cm; a
p
5
2
53
cm. A chave L número 10 tem esse
nome porque tem o formato da letra L, e o número 10
corresponde à medida aproximada do diâmetro da
circunferência em milímetros.
DIVERSIFICANDO
Página 303
1. Rafael deu uma dica errada e, segundo as regras, ele deve perder 2 pontos.

369. 311
LISTA DE SIGLAS
SUGESTÕES DE LEITURA PARA O ALUNO
311
Covest-PE — Comissão do Vestibular das Universidades
Federal e Federal Rural de Pernambuco
Enem — Exame Nacional do Ensino Médio
ESPM-SP — Escola Superior de Propaganda e Marketing
Etec-SP — Escola Técnica Estadual
FEI-SP — Faculdade de Engenharia Industrial
FESPSP — Fundação Escola de Sociologia e Política de
São Paulo
FGV-SP — Fundação Getulio Vargas
Fuvest-SP — Fundação Universitária para o Vestibular
Mackenzie-SP — Universidade Presbiteriana Mackenzie
OM-ABC — Olimpíada de Matemática do Grande ABC
PUCCamp-SP — Pontifícia Universidade Católica de
Campinas
PUC-MG — Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais
PUC-RJ — Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro
Saresp — Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar
do Estado de São Paulo
UCSal-BA — Universidade Católica de Salvador
UCS-RS — Universidade de Caxias do Sul
Uece — Universidade Estadual do Ceará
UEL-PR — Universidade Estadual de Londrina
Ufes — Universidade Federal do Espírito Santo
UFF-RJ — Universidade Federal Fluminense
UFPE — Universidade Federal de Pernambuco
UFPR — Universidade Federal do Paraná
UFRGS-RS — Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UFSM-RS — Universidade Federal de Santa Maria
UFU-MG — Universidade Federal de Uberlândia
UFV-MG — Universidade Federal de Viçosa
Ulbra-RS — Universidade Luterana do Brasil
Unicamp-SP — Universidade Estadual de Campinas
Unifor-CE — Universidade de Fortaleza
Unirio-RJ — Fundação Universidade do Rio de Janeiro
Unopar-PR — Universidade Norte do Paraná
USF-SP — Universidade São Francisco
Vunesp — Fundação para o Vestibular da Universidade
Estadual Paulista
ENZENSBERGER, Hans Magnus. O diabo dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 1997.
GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998. (Coleção Contando a história da
Matemática)
______. Dando corda na trigonometria. São Paulo: Ática, 2000. (Coleção Contando a história da Matemática)
______. Equação: o idioma da Álgebra. São Paulo: Ática, 1999. (Coleção Contando a história da Matemática)
______. História da equação do 2
o
grau. São Paulo: Ática, 1999. (Coleção Contando a história da
Matemática)
______. História de potências e raízes. São Paulo: Ática, 2000. (Coleção Contando a história da Matemática)
IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Equação do 2
o
grau. São Paulo: Atual, 2004.
(Coleção Pra que serve Matemática?)
______. Estatística. São Paulo: Atual, 2002. (Coleção Pra que serve Matemática?)
______. Semelhança. São Paulo: Atual, 2002. (Coleção Pra que serve Matemática?)
MACHADO, Nílson José. Lógica? É lógico! São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a Matemática)
______. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo
a Matemática)
______. Semelhança não é mera coincidência. São Paulo: Scipione, 2006. (Coleção Vivendo a Matemática)
ROSA NETO, Ernesto. As mil e uma equações. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática)
______. Em busca das coordenadas. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática)
______. Saída pelo triângulo. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática)
TAHAN, Malba. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2003.

370. 312
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
312
AABOE, A.

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TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
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de la resolución de problemas. Cidade do México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1999. Tercer curso.

372. ISBN 978-85-16-11382-7
9788516113827