Livro fundamentos da matemática elementar 1

GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI

FUNDAMENTOS DE

MATEMATICA
ELEMENTAR

CONJUNTOS FUNÇÔES

75. Exerefelos resolvidos
326 Exercícios propostos — com resposta
272 Testes de Vestibulares — com resposta

3? edigäo

Dan
EDITORA

1

Capa

Roberto Franklin Rondino

Sylvio

Uthoa Cintra Filho

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Composicáo e desenhos

AM Pr
Rua Ce

Artes
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'oducdes Gráficas Lada,
astro Alves, 136 — S. Paulo

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Fotolitos

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Fotolitos Lida

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APRESENTAGAO

"Fundamentos de Matemática Elementar” & uma colecfo em dez volumes
elaborada com a pretensäo de dar ao estudante uma visio global da Matemática,
20 nivel da escola de 2° grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
© curso colegial, os “Fundamentos” visam aos alunos em preparativos para exames
vestibulares, 205 universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é ébvio, áqueles alunos de colegial mais interessados na “rainha
das cléncias”.

No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de “Fundamentos”
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentacáo de concaitos e propriedados.
Salvo algumas exceçôes bem conhecidas da Matemática Elementer, as proposigüss
+ tuoremas estio sempre acompanhados das respectivas demonstragöes,

Na estruturacdo das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenagio
crescante de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questóes
‘que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma reviso. A
seqüéncia do texto sugere uma dosagem para teoria e exerescios. Os exercícios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicado
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar s
resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu raforço positivo ou partir à
procura do erro cometido.

A última parte de cada volume é constituída por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma reviso da matéria
estudad:

¡Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear
esta colegäo alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vides e sua obras.

Finalmente, como há sempre uma enorme distáncia entre o anselo dos autores
e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores um
ciaçéo sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os que
decemos.

Os autores

CAPÍTULO 1 — NOCOES DE LOGICA

. Proposigäo composta — conectivos .
/ Condicionais

Tautologias . ins
Proposiobes logicamente falsas u...

|. Relaçäo de implicacio.

Flac de equivalénca
Spfeengasaberas
Commis negar proposiçôes

CAPITULO II — CONJUNTOS

1, Könuno, ment, er

nla.

11:Déscricäo de um conjunto.

mu
iv.
v
VI. Sube

vil
vi
Ix,
x,

xf. Complementar de B em A

vi
vit

vii.

enlumto uritério, conjunto vazio .
Énjunto universo. «0000000.
Conjuntos iguais
unido de conjuntos
Interseceño de conjuntos

ropriedades

iferengs de conjumos.

CAPITULO II — CONJUNTOS NUMÉRICOS
L

".
un, ci
Ww.
v.

Cobfunto dos números naturas
gijunto dos números inteiros.

junto dos números racionais
Goñiunto dos números reais
Intervalos
Confinto dos números complexos
Ren. nt
Prinepig indo finita

CAPITULO IV — RELAÇOES

1. Par ordenado E 58
ll. Sistema cartesiano ortogonal” - 60-À
IIL, Produto cartesiano 62-8
IV. Relagfo bindrie. 65-A
V. Domínio e imagem 68-A
VI. Relegio inversa 70-A

Vil. Propriedades na

CAPITULO V — FUNGOES

1. Conceito de fungo ....... A
11. Definido. eee nn 74-8
NL Notagfo das tungdes «LL... aca
IV. Dominio e imagem 2 BOA
V. Funçôes iguais area BEA

APÉNDICE SOBRE INEQUAGOES .. IS 86-A

CAPITULO VI — FUNGOES DO 19 GRAU

1. Fungo constante 93-8
11. Fungo identidade 94-0
INN. Fungdo linear 94-8
IV. Funcáo afim 96-À
V. Gráfico
VI. Imagem . 2. 100-4

VII. Goefcientes da funglo afim ee... TOA

VU, Zero da fungáo afim.... ia PS
IX. Fungöes cretcentes e decrescentes 103-8
X. Teorema . . 105-4
XI, Sinal de uma fundo . 106-A.

XII. Sinal da funcáo afim - 108-8

XL. Inequagdes simultáneas TA

XIV. Inequagdes-produto . . LA
XV. Inequagdes-quociente i 120-8

CAPITULO VII - FUNÇAO QUADRATICA

1. Definiedo .. 123-0
IL. Pardbola +. 123-4
III. Concavidade, 125-4
IV. Forma canónica 125-4,
V. Zeros 126-0

VI. Máximos € MÍNIMOS ee
VII. Vértice da parábola . .
VIII. Imagem + 7

IX. Eco de simetria
x. Gráfico

XI. Sinal
XII. Inequacóes do 29 grau
XUN. Teorema ‘
XIV. Comparagio de um número real com as

raizes da equacio do 29 grau.
XV. Sinais das raizes da equacio do 29 grau

CAPITULO VIII — FUNGAO MODULAR
1, Fungäo definida por várias sentengas abertas
HL. Médulo
I. Funçäo modular +
IV. Equagées modulares
V. Inequacdes modulares

CAPITULO IX — OUTRAS FUNCOES ELEMENTARES
1. Fungdo fle) =x?
II. Fungi recíproca
MN. Fungéo máximo inteiro

130-8
131-4
133-A

- 136-A

136-A

- 140-4

144-A

BA

180-A

2 185-A

159-8
161-A
161-A
166-A
168-A

171-A
172-A
177-8,

CAPITULO X — FUNCAO COMPOSTA — FUNÇAO INVERSA

1. Fungäo composta
1. Fungdo sobrejetore
HIN. Funçäo injetora mea :
IV. Funçäo bijetora ate SnD
V. Funcdo inversa > Be

APENDICE |

Equacdes irracionais

APÉNDICE I!

Inequacóes irracionais

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

TESTES
RESPOSTAS DE TESTES.

ABLA

187-8

2. 188-8,
2189-8

195-4

208-A

217-8

2225-0

269-0,

315A,

Johann F. C. Gauss
(1777 - 1855)

De plebeu a principe

donann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanhe. De família
humilde mas com o incentivo de sua mäe obteve brilhantismo em sua carreica

Estudendo em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que
05 alunos somassem os números de 1 2 100, imediatamente Gauss achou a resposta
— 5050 — aparentemente sem cálculos. Supde-se que já af houvesse descoberto a
fórmula de uma soma de uma progressäo aritmética

Gauss foi para Göttingen sempre contando com o auxilio financsiro do duque
de Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de marco de 1796, quando se
tornou o primeiro a construir um poligono regular de dezessere lados somente com
© auxitio de régua e compasso.

Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de Helmstädt e sua tese foi a
demonstracio do “Teorema fundamental da Álgebra”, provando que toda equacio
ppolinomial fix}=0 tem palo menos uma raíz real ou imaginária e para isso baseau:
se em consideragdes geométricas

Devese a Gauss a representacdo gráfica dos números complexos pensando
(Nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano.

Seu livro “Disquisitiones Arithmeticas”” (Pesquisas Aritméticas) 6 o principal
responsável pelo desenvolvimento e notacdes da Teoria dos Números, nele apresen:
tando a notacáo b=c (mod al, para relacio de congruéncia, que & uma relacáo
de equivaléncia

Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classif-
cada por ele como a ‘iéia da aritmética” e demonstrando 0 teorema segundo o
Qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto
de primos.

Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciéncias e à Ari
mética como a rainha da Matemática.

No comego do sée. XIX abandonou a Aritmética para dedicerse à Astrono-
mia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélite, usado até hoje,
e isto the proporeionou em 1807, o cargo de diretor do observatörio de Göttingen,
onde passou 40 anos,

Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoría das funçôes e Geometria
aplicada à teoria de Newton.

Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meio
de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou 0 magnetómetro bifiliar e o
telégrafo elétrico.

Sua única ambiedo era o progresso da Matemática pelo que lutou até o
‘momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatagáo cardíaca,

Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe de Matemática”.

CAPÍTULO I

NOGOES DE LÓGICA

PROPOSIÇAO

1. Definigéo

Chamase proposigäo ou sentenca toda oraçäo declarativa que pode ser
clasificade de verdadeira ou de falsa.

Observemos que toda proposiçäo apresenta trás características obrigatórias:
12) sendo oracdo, tem sujeito e predicado;
22) 6 declarativa (ndo € exciamativa nem interrogativa)
3%) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou à verdadeira
{Vi ou 6 falsa (F1.

Exemplos

‘So proposigdes:

a) 9 #5 {Now & diferente de cinco)

b)7>3 (Sete maior que très)

02€ Z (Dois 6 um número inteiro)

913111 (Très é divisor de 11)

e) Z CO (0 conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos
racionais}

Dessas proposigöes, todas slo verdadeiras exceto a.
Näo sdo consideradas proposi¢des as frases

11 3:5+1 (onde falta predicado)
9) V2€ 02 (que 6 orardo interrogativa)
A 3x-1=11 (que no pode ser clasificada am verdadeira ou falsa)

TA

tl, NEGAÇAO

3 A partir de uma proposicéo p qualquer sempre podemos construir
outra, denominada negacáo de p e indicada com o símbolo ~p

Exemplos
d p 945 bhp 7>3
<p 9-8 ~p 763
d p2ez a) op: sin
ni 262 ze An
zca
: z#0

4. Para que =p seja realmente uma proposigäo devemos ser capazes de
classlicá-la em verdadeira {V) ou falsa (Fi. Para isso vamos postular (decretar)
© seguinte critério de classficacio:

A proposicdo ~p tem sempre O valor oposto de p,
isto 6, —p & verdadoira quando p é tala o ~p 6 falsa
quando p é verdadeira,

Este critério está resumido na tabela 30 lado, p | +
denominada tabelaverdade da proposicio ~p.
v F
F v

Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que ~p é verdadeira
no exemplo de ~p 4 falsa nos demais

exercicios
A1 Guais das sentengas absixo so proposicdes? No caso das praposigdes quais so
Verdadairn?
5 864020 w5-423
d 2473-5445 a) 5+ 1) 5634509
1432146 TES
93+4>0 DATÉE

2A

AZ Qual # 3 nage de cado uma das seguintes proporgbes? Que negogóer ado verdaderas?

ar.” CENT ET
3214 157-255:
our<ir n vz<i
a-ha 27 „al,

Mt, PROPOSIGÄO COMPOSTA — CONECTIVOS

A partir de proposiçües dadas podemos constrir novas proposicóes mediante
© emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo A. (lé se
el e o conectivo V (löse: ou)
5. Conectivo A

Colocando o conectivo A entre duas proposicées p « q, obtemos uma
nova proposicio, p A g, denominada conjuncáo das sentengas p e q.

Exempios
19) pi 2>0
a: 241

pAg 2>0 e 2#1
2) m -2<-1
o Ra an

PAG -2<-1 a a

3°) pr um quadrado de lado a tem diagonal medindo 23
a: um quadrado de lado a tem área a?
PA a: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 22 e área

49} p: 215 (2 6 divisor de 5)
a: 315 (3 é divisor de 5)
PAq:215 e 315 (2 e 3 sdo divisores de 6)

6. Vamos postular um critério pora estabelecer o valor lógico (V ou Fi
de uma conjunçéo a partir dos valores lógicos (conhacidos) des. proposiçües
peo

EN

A conjungio p A q à verdadeim se p e q sio ambas 8, Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F} de uma

vordadairo;_30 30 menos ume delas for fala, ano pA a disjungío a partir dos valores lógicos (connecidos} das proposigdes p e q:
6 tia.
A dijundo p V q € verdadoia se ao menos uma das pro-
posigies p ou q à verdedoira; so. pe q slo ambas fal
Este critéio está resumido na e Ta [eva sas, entlo p va 6 fais
tabela ao lado, onde sio aminades
todas as possibilidades para p e a IR =
Esta tabela é denominada tabela-ver: STE Este critrio está resumido na ve [a [ova
dade da proposicdo pA a. Be) E tabela ao ledo, denominada Labels: lets
| verdade da proposigáo. pV
proposa p Va vey x
Fivi| ov
Reexaminando os exemplos anteriores, tomos Flel or
1) pé V ead V, ent PAG 6 V
Bi pa Y eat Ff endo pA ê F Revendo os exemplos anteriores, tomos
3%) pe F eqé V emo pAg 6 F o)
Moor Foo pAq 6 F sy ee Vee oe oa
. DI pé Vege F mio p ya é V
3%) pé Feaé Y entio pya é V
7. Conectivo Y 4) pé Fegé F, mi p Va 6 F
Colocando o conectivo V entre duos proposigdes p a 9, obtemos uma
nova proposieio, p V a, denominada disjuncdo das sentengas p e @ Renee,
ae AB Clasica om verddere où fle cada uma dm seguis propias compas
d 321 0 4>2
19) p:5>0 5 321 ou gat
ei ol.
u Bene
BN ee teow ah <3 sin
m p3=3 zea ll
32 abatir Se
ava 203 a VAE: 6 où macia, 7
eva
3) p: 10 6 número pri
no IV. CONDICIONAIS
PV & 10.8 número primo ou número composto
cr Ainda a partic de proposkäes dadas podemos construir novas proposicdes
Gate ta através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:
PC où P< (3 © condicional se .. ento .. (símbolo: +) © 0 condicional. se e somente s
Pva #<2 où a (símbolo: =)
+A

Condicional —

Colecando o condicional + entre duas proposigóes pe q, obtemos
uma nova proposicio, p > q, que se ld: “se p entäo q”, “p & condicdo
necessária para q", “q é condicio suficiente para p.

Exemplos
19) p: 214

a 4112

pa 214-4112
2) p: 10-5-2

a: 3110

p+a:10-5:2- 3110
2%) pi 5<2

a 2€Z

poa 5<2-+2€Z
4) p 763

a: 326-2

pra 753436662

10. Vamos postular um critério de classficagio para a proposigdo p > a
baseado nos valores lógicos de p eg:

O condicional p+ q à falso somente quando p é ver
dadaire e q é falsa; caso contrário, p-» q à verdodeiro.

Este oritério está resumido na ep [a | psa
tabela ao lado, denominada tabelawer- y y
dade da proposigdo p =
proposigdo p> 9 wie 7
ely v
Fie v
Revendo os exemplos dados, temos:
19) pé Ve qé V, eno pq é V
2) pé Ve qé F, emo p>q 6 F
3) pé Fe qé Y entio p+q é V
41 pé Fe qé F, emo p>qé V

A

11. Condicional —

Colacando 0 condicional <r entre dues proposictes p © a, obtemos
uma nova proposée, p«->q, que se lá: “p se e somente se 9”, "p & candi-
cio nacesária o suficiente para q”, “9 é condicóo necessiria € suicieme
purs p” ou" p endo q e reciprocamente”
Exemples
19 m 2112
© 22711227
pa: 2112» 2-7112-7
moet. 8
ra 4
a 3446-2
2.6
Dale sas.
porros
39) pi 6 = 12:3
a: 3-6 = 18
perdi 6=12 3e 3.6.

@) paca
a 4563-5
Derg ACB 4563-58

12 Vamos postuler pare o condicional p «+ q o seguinte critério de clas
sificac

O condicional «+ & verdadairo somente quando p e

a so ambas verdadeiras ou ambas falsas; se iso ndo >
contecer © condicional -— & falso.

Assim, a tabelowerdade da pro: ma ee
—a 6a que está o lado. [2
pa cam vty .
vir F
Flv F
Fir v

TA

Revendo os exemplos dados, temos:

19) pé Ve aë vn pa à V
29) pé Ve qé F eme pra é F
3) pé Fe gé V, ent pa é F
4) pé Fe qé Remo pg é V
exencicios

A Clomilicar om verdadoira ou fa cada uma das proposlgäer abaixo
2-4-4 + 537
ES
A 58701210 + 3:3=9
9) mdefa, 6) - 1 + 4 6 número primo
0 218 > mme (2, 8)- 2
D6<2 > 6-270

222
ai <Bsa7-25

2.4

AS Admitndo que pe a Ho verdaceives er 6 fo, determine o valor (V ou F)
de cade proposiclo abeine
do
dea
ao
d EVn++a
9 p+ lan
nouvo
a pra
Nor

V. TAUTOLOGIAS

13. Seja v uma proposicio formada a partir de outras (p, q, r, ..), mediante
emprego de conectivos (VouA} ou de modificador (~) ou de condicionais
(+ ou =>}. Dizemos que v é uma tautolagla ou logicamente
verdadeira.quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos.
valores lógicos de p, a, ete

Assim a tabela-verdede de uma tautologia v aprasenta só V na colune
ev.

eA

Exemplos
12) pA =} > (a Y p) € yma wutologia pois

p | a | -r | pA-p | avr | pa ave)
vive F v y
viele F v v
F|viv F v v
elelv F F v

29) Ap A ql V ai é uma tautologia pois

e la Ipna|-waa|-o ~pV~a| (9 Ag) + Lp Val
vlvi v F lFle F v
viel v jelyv v v
e|lv| volvle v v
FF] E vlvlvl v Y

VI. PROPOSIGÓES LOGICAMENTE FALSAS

14, Seja f uma proposigio formada a partir de outras (p, q, , ..), mediante
emprego de conectivos (Wou/A) ou de modificador (+) ou de condicionais
(> ou «ol. Dizsmos que f é uma proposigdo logicamente falsa quando
F tem o valor fógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de
Pg, ote.

Assim, e tabolawerdade de uma proposigäo logicamente falsa Y apresenta
só F ma coluna de f.

Exemplos
19) pA~p € proposigäo logicamente falsa pois:

MENE

2) Ip V¥~q es ep A qi

<
2

Aa | PV tp Aq)

eern

ane<l>
CPEPIE
nenn

VII. RELACAO DE IMPLICAÇAO

15. Dadas as proposiçôes p e q, dizemos que "p implica q” quando na
tabela de p 0 q nän ocore VF em nenhuma linha, isto 6, quando nio
temos simultaneamente p verdadeira e q falsa.

Quendo p implica a, indicamos p = à

16. Observagies

1%) Notemos que p implica q quando. condicional pq é verdadero.
2%) Todo teorema é uma implicacio da forma

hipótese = tese

de
ipdtese cor verdadeica oa tose fa

17. Exemplos
19) 214=214-5

significa dizer que o condicional "se 2 # divisor de 4, entäo 2 6 divisor de
4-5" à verdadeiro,

2) pli positivo e primo > mde in. pi = à
quer dizer que 0 condicional. "se p 4 número primo « positivo, emáo o máximo
divisor comum de pe p? & 9”, & vordadeiro

10-8

VII, RELAGÄO DE EQUIVALENCIA

18. Dacks as proposigdes p e q, dizemos que "p é equivalente a a” quando
pe q tóm tabelosverdades iguals, isto &, quando p e q tém sempre o.
mesmo valor lógico,

Quando p é equivalente a q, indicamos: p == q.

19. Observapdes

1%) Notmos que p equivale # q quando o condicional p <-> q
é verdadero.

2%) Todo worema, cujo recíproco também 6 verdadeiro, # uma eguivalin

ETES
20. Exemplos

19 (pod oe (a+ pl

> [a [esa > [2%
viv v role v
vir E vol F
elv v F v v
pr] v v jv v

29) 218 ex» mdc(2, Bl = 2 significa dizer que & verdadeiro o bi
condicional “2 & divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de
20862”

EXERCICIO

AG Verificar, através das tobetoserdados, a validado das equivaincias aba:

5) da comtuncio. I de disingio
p Aa + a AP pvam=ava
BA DAT = PAGAN VIVIR Vta VA
PA =p PVp ep
Avon PY
pAtat Yen

ta

el o conjunedo relativamente à disjungäo di de rogacio
PAYO = BAG V HAN up
avaAn = bvaamyn io aa = Pa
PAVO =>» Y = PA a
PV ipAa «= o

onde 9, @, 1 sio proposicdes quaisquer, y é uma tautaiogia e Y uma propoticso
Toaicamenre fale

IX. SENTENGAS ABERTAS, QUANTIFICADORES

21. Há expresses como:
a x+17
dx > 2
=
que contém variáveis e cujo valor lógico fuerdadei
olor atribuido à variével

ou falsa) vai depender do

Nos examplos citados temos

a} x + 1 = 7 & verdadoira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro
valor dado a x:

bi x > 2. 6 verdadeica, por exemplo, para

x’ Dé é verdadeira se trocarmos x por 0 (= 2-0") ou 2(2°=2+ 2%)
© € falsa para qualquer outro valor dado a x

22. Sentengas que contém varié

is sio chamadas fungóes proposicionais ou
sentences abertas. Tais sentengas ndo sio proposigdes pois seu valor lógico
(V ou FI à discutivel, dependem do valor dado ás variéveis.

Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentencas abertas em pro-
posigóes:

19 atribuir valor ds voriéveis

2%) utilizar quantificadores

23. O quantificador universal

O quantificador universal, usado para transformar sentengas abertas em
sicôes, & indicado pelo símbolo Y que se lá: “qualquer que seja”, “para
“para cada"

12-8

Exemplos

19) (xix +1 71 que se le
“qualquer que seja o número x, temos x + 1

(alsa)

29) WA. 2x7) que se le:
"para todo número x, x = 250% (Falsa)

30) (varia + NP = a? + 28 + 1) que se ib a
“qualquer que seja o número a, temos la + 1 = a + 2a + 1”. (Verdadeiral

40) (YA? + 1 > OÙ que se les
“para todo número y, temos 4° + 1 positwo”. (Verdadeira)
24. O quantificador existencial

O quantificador existencial
“existe pelo menos um“

ingicado pelo símbolo 4 que se 18: “existo”,

Exemples

19) ERIK + 1 = 7) que se le
existe um número x tal que x +
2) (ax = 20%) que se I

“existe um número x tal que x? « 2x?” (Verdadeira)

39) (zal? +1<0) que se le

"existe um número a tal que a? +1 € ndo positivo”. (Falsa).

7. (Verdadeira)

49) (amltmtm +1) # m! + m) que sel

“existe pelo menos um número m tal que mim + 1) # mi ın“. (Falsab

25. Algumas vezes utilizamos também outro quentificador: 3 que se là
“existe um único, “existe um e um só”, “existe só um”.
Exemplos
19) GH 17) que se
“existe um só múmero x tal que x + 1 = 7". [Verdadeica)

2) (30H? = 26) que se le
iste um só número x tal que x

20 (Fatal
3 in +2 >D que se fe
Pexiste um sb número x tal que x +2> 3". (Falsa)

13-A

EXERCICIO
AT Transforme a sequintes sentengas abertas om proposicóos verdadeiras usando quan
tifieadores:
ar bh w+ Ma =
ap porro POELE
then nassen
a Ve

X. COMO NEGAR PROPOSIGÖES
Ja vimos o que & a negacño de uma proposicdo simples, no item Il deste
capítulo,

Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercicio A.6, os quais cons:
tituem processos para negar proposicdes compostas e condicionais.

26. Negagiio de uma conjunçäo

Tendo em vista que Ip A a) = -p Va podemos estabelecer que
a negocio de p A q és proposigóo ~pV a.

Exemples
19 pat
a b#0
p Aq 2#0 e bro
mip Aqh a= 0 ob 0

2 p: 214
a 319
eng: 214 e 319
IP A qù 244 où 379
27. Negacdo de uma disjungéo
Tendo em vista que ~(p V gi = (=p À ~a), podemos estabelece:

que a negagio de p Va éa proposiço ~p A ~a.

wa

Exemplos

19) pi o wièngulo ABC € isösceles
a: © triángulo ABC 6 equilátero

PV qi © triángulo ABC 6 isósceles ou equilétero

dp V ql: o wiängulo ABC ndo é isósceles e ndo $ equilátero.

2) pi a=0
a b=0

PVa a=0 où b=0
lp Y q 240 e b#0

28. Negarño de um condicional simples

dé que + dm p À ~a
e pa éa proporiglo p Aa
Exemples
mM vw 2EZ
a 2€0
pa 2ez>2€0
pr q:26Z e 2¢0

Zip: = (5%
@: 8--5
poa Be (ge 5e 5
wip gd: P= 1-5) e S#-5

Negacio de nroposipdes quantificadas

al Uma sentenga quantificada com 0 qua

(axllpb}, 6 negada assi

Exemplos

19) sentenca: (lx + 3 = 5)
negacio: {axlix + 3 # 5)

29) sentenca: (wall + 1) = x? + x)
regard: (axiale + 1) # x? + x)

icador universal, do tipo
: substituise © quantificador pelo existencial e
nega-se pl, obtendo: (3x)<plx))

15-A

30) sentonga: (XV TT 2 x + 1)
megapdo: (AVATAR + N)
49) sentenca: Todo losengo 6 um quadrado
negaçäo: — Existe um losango que nfo $ quadrado

b) Uma sentenca quantificada com o quentificador existencial, do tipo
(3xMpbo), € negada. assim: substi. icador pelo universal e
negase p(x), obtendo: (x)(—plXh

Exemples
19) sentenca: {Axlix = x)
megagdo: XII # x)

P) sentença: (alle + 1 >

<

l= +
= ale

repo: {alle +
32) sentenga: (Ballen)

regaño: (watt ¢ A)

EXERCICIO

AB Dizer qual à a negacdo de cado proposiclo abaxo:
a) mde (2, 3) = 1 où mme (2, 3 #6

3,6
md © ou 2-1046-5
nh E or

dare 227

arta Ya?
var

0 2543 Er

gate >2 2 9 > 371

NANO

1) Todo número inteco primo $ Impar
Todo wiingulo isbsomias 6 oquiltoro

1 Exit um Josengo que nfo & quadrado

1} Existe um número cuja raiz quadrada 4 zero
al Todo tridmgulo que tom trbs ángulos congruentes, tem tis ados congruentes

AS Closfcar em V ou F as nogujdes consul no exeretcio anaror.

16-A

Criado um novo paraiso

Geoig Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a
maior parte de sus vide na Alemanha. Seus pais eram cristáos de ascendéncia
judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da
Teologia medieval.

Estudou em Zürich, Göttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia,
Físico e Matemáti

Possuindo grande imaginacio, em 1887 obteve seu doutoramento em Berlim,
com uma tese sobre Teoria dos Números.

Muito auaído pela Anälise, sua preocupaçéo estava voltada para a idéia de
“infinito”, que até 1872 foi muito discutida tanto em Teología como em Matomá.
tica mas sem se chegar a uma concluséo precisa.

Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo
‘que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia" reconhecido a proprie
dade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeu
‘que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos
¡conforme suas poténcias

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a magma poténcia
‘que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondéntia biunivoca;
provou que o conjunto de todas as fragócs & contável ou enumerävel e que 2 po-
téncia do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à poténcia
do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário.

Alquns destes resultados eram to paradoxais que o própio Cantor, certa vez
escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas no acredito”, e pediu ao seu

migo que verificasse a demonstracio. Seus i

belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática comple-
tamente desenvolvida, de profundos efeitos no ensino,

resultados levaram ao esta

Os matemáticos da época duvidavam
da teoria da infinidade completa de Cantor,
mas este, juntando as provas, construiu
oda uma aritmética transfinita

Cantor passou a maior parte de sua
carreica na Universidade de Halle, de pouca
importáncia, nunca conseguindo realizar
uma de suas grandes aspiracdes que era a
de ser professor na Universidade de Berlim,
devido à perseguigäo de Kronecker.

© reconhecimento de suas realizagdes

mereceram a exclamagäo de Hilbert: “Nin:

Georg F. L. P. Cantor guém nos expulsará do paraíso que Cantor
(1845 — 1918) criou para nós”.

CAPÍTULO II

CONJUNTOS

Faremos aqui uma reviso das principais nogóes de teoria dos conjuntos,
naquilo que importa à Matemática Elementar, Em seguida usaremos estas nogóes
para apresantar os principais conjuntos de números.

1, CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA

30. Na teoria dos conjuntos très nogóes so aceitas sem definigdo, isto &
slo consideradas nogdes primitivas

fa) conjunto

b) elemento

el pertinénela entre elemento e conjunto.

À nogo matemática de conjunto 6 praticamente a mesma que se usa na
inquagem comum: & © mesmo que agrupamento, classe, caleçäo, sistema. Els
alguns exemplos:

1) conjunto das vogais

2) conjunto dos algarismos romanos

3) conjunto cios números Ímpares positivos

4) conjunto dos planetas do sistema solar

5} conjunto dos números primos positivos

6) conjunto dos naipes das cartas de um Baralho

7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias

Cade membro ou objeto que entra na formacio do conjunto & chamado
elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:

Nae io, u

21, V. XL, C D, M

3138791,

4) Mercúrio, Venus, Terra, Marts, .

5) 2, 3, 8,7, 11, 13,

8) paus, curo, copes, espada

7) janeiro, marco, mio, julho, agosto, autubre, dezembro

19-0

No exemplo 3, cada número impar é elemento do conjunto dos números
impares, isto 6, pertence 20 conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto
dos números impares e 2 näo pertence.

Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome,
etc. É importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunta.
Por “exeripla, 0 Conjunto das secó: que disputan um campeonato mundal
Je Tutabol & Um conjunto Tormado por equipes que, por sua vez, so conjuntos
de Jogadores

31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maidscula A, 8, C,
8 um elemento com uma letra minúscula a, b, €, d, x, Yu -

Sejam A um conjunto a x um elemento. Se x pertence a0 conjunto
A, escrevemos

xEA

Para indicar que x nfo é elemento do conjunto A eserevemos
xÉA

32. habitual representar um conjun-
to pelos pontos interiores a uma linha
fechada e näo entrelacada. Assim, na
tepresentapio ao lado temos:

AEADEA 0 AGA.

oa
No caso de usarmos um círculo “
para representar um conjunto, estaremos
usando of assim chamado diagrama de,
Euler-Venn,
fy

DESCRIGAO DE UM CONJUNTO

Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus
elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou
damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto.

20-8

33. Quando um conjunto é dado pela enumeraçäo de seus elementos devemos
indicé lo escravendo seus elementos entre chaves.

Exemples

1) conjunto das vogais {a, », |, 0, u}

2) conjunto dos algarismos romanos {1 V, X, L, C, D, M}

3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias

(janeiro, margo, mato, i

Iho, agosto, outubro, dezembro}

Esta notagäo também € empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos
alguns elementos que evidenciem a lei de formado e em seguida colocamos
reticóncias.

Exemplos
1) conjunto dos números impares positivos
(1,3,5,7,9, 11, 18, ..}
2) conjunto dos números primos positivos
(2,3, 5,7, 11, 13,..)
3) conjunto dos múltiplos inteiros de 3
(0, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ...)
A mesma notag3o também é empregada quando o conjunto & finito com

grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos re
ticóncias e indicamos o último elemento,

Exemplos
1) conjunto dos números in

s de O a 500
{0, 1, 2, 3, ..., 500}

2) conjunto dos divisores positivos de 100
11,2, 5, 10, ..., 100)

34. Quando queremos deserever um conjunto A por meio de uma proprieda:
de característica P de sous elementos x, escrevemos

A = {x|x tem a propriedade P}
€ lemos: “A 6 0 conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”.

21-A

Exemplos
1) (x1x 6 estado da regiño sul do Brasil} $ uma maneira de indicar
© conjunto:
(Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul)

2) (xx 6 divisor inteiro de 3) & uma maneira de indicar o conjunto:

11, -1, 3, -3)

3) {x1 x é inteiro e 0% x < 500} pode também ser indicado por
£0, 1, 2, 3, ... 500)

Hi, CONJUNTO UNITARIO. CONJUNTO VAZIO

35. Definicio
Chamaso conjunto unitário aquele que possui um único elemento,

Exemplos
11 conjunto dos divisores de 1, intros e positivos: {1}
2) conjunto das solugdes da equapdo 3x+1=10: {3}

3) conjunto dos estados brasileiros que fazer frontaira com o Uruguai

{Rio Grande do Sul) a

Chams-s conjunto vario aquela que nio possul elemento algum. O símbolo
usual para o conjunto vazio D.

Obtomos um conjunto vazio quando descrovemos um conjunto através de
“ma propriedade P logicamente falsa

Exemplos
D{xbx# x} =D
2) {x Lx 6 impor e múltiplo de 2) = ©

3{xlx>0 e x<0 =0

22-A

IV. CONJUNTO — UNIVERSO

37. Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos
à existéncia de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados.
no tal assunto, Esse conjunto U recebe 0 nome de conjunto universo.

Assim, se procuramos as soluçôes reais de uma equacáo, nosso conjunto-
universo 6 IR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um
problema cuja solugáo vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universo
é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema de
¡Geometria Plana, nosso conjuntouniverso é um certo plano a.

38, Quase sempre a resposta para algumas questôes depende do universo U
em que estamos trabalhando. Consideramos a questdo: “qual é o conjunto dos
pontos P que ficam a igual distáncia de dois pontos dados A e B, sendo
aye”

1)Se U é@ reta AB, o con
junto procurado & formado só por P;

2)Se U é um plano contendo
A e B, o conjunto procurado é a
reta mediatriz do segmento AB;

3) Se U 6 0 espaço, o conjunto
procurado é o plano mediador do segmen-
to AB (pleno perpendicular a AB
no seu ponte médio).

39. Portanto, quendo vamos descrever um conjunto A através de uma
propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto-universo U em que estamos
wabalhando, escrevendo

A2 (x € Ulx tem a propriedade P}

EXERCÍCIOS

A.10 DA os elementos dos ssguintes conjuntos:
An {xls € teta do polawe “motamática")
B= {xx 6 cor de bandeira brasileira)
© = {xIx & nome de estado que comics com “9")

Solugo
Anfmetei,ce)
8 = (bronco, pzul, emorelo, verde}
€» {amszones, amaps, acre, lagos)
ANT Descrevo através de uma propriedide carscteristion dos elementos cada um dot
conjuntos sogulmes:
A= 10,2, 4.6, 8...)
B= (0.1.2 8)
© = [brasía,rio ce jansro, salvador]

Solugdo

Am (ale 6 insiro, par e nfo negativo?

8 = (xl x 6 algarismo abi}

© = {xIx 4 nome de cidade que j foi capital do Brasil}

AZ Escreva com símbolos:
al conjunto dot múltiplos ineivos de 3, entre -10 © +10
BI conjunto dos divisores iniros de 42
©) conjunto dos múltiplos intiros de 0
dl conjunto dus fragdes com numerador a denominador compreandidos entre © e 3
e) conjunto dos names das capitais d regio contro-caste do Brasil

A13 Descreve por meio de uma propriedace dos elementos
Ae [r1, -1, 42, -2, +3, -3, +6, -6) — 8 = (0,-10, -20, -30, -40, ...)
c= (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...) D = ftw)

A4 Quai dos conjuntos absixo slo uniios?
Antli< Se x> E) B= delos 2)
O) B= felon ete 7)

ALS. Quis dos conjuntos sbsixo sdo varios?

Ar (xlowx =o}
exch}
poleo Se x<$)
© = Gale 4 divisor de 200)
D Lal 6 diva por coro)

24-8

V. CONJUNTOS IGUAIS

40, Definigio

Dois conjuntos A e B s80 iguais quando todo elemento de A pertence
a Be, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:

An Bee (Vale CA x €

Exemples
D {a,b ed} = {d, €. b,a)

25 (1, 3.6, 7, 9, ..) = {xix é inteiro, positivo e impar)
3) {xl 2x #1 = 5} = (2)

Observemos que na definido de igualdade entre conjuntos näo intervém
a nogäo de ordem entre os elementos, nortanto:

la, b, e, d} « {d, e, b,a) = lb, a, e, d}

Observemos ainda que a repeticdo de um elemento na descrigdo de um
conjunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo:

a,b, ¢, d} = {a, a, b, b, b, e, d, d, d, d}

(para conferir basta usar a definic8o). Assim, preferimos sempre a notagdo mais
simples.

41. Se A néo é igual a B, escrevemos À # 8. É evidente que A 6 dife-
rente de se existe um elemento de A ndo pertencente a B ou existe em 8
um elemento nfo pertencente 8 A.

Exemplo

(a,b, d} # <a, b,c, 0)

25-8

VI. SUBCONJUNTO

42. Definigio

Um conjunto A & subconjunto
de um conjunto 8 se, e somente se,
todo elemento de A pertence também
28

Com a notacáo ACB indicamos
que “A & subconjunto de BY ou "A
está contido em BY ou "A & parte de 8”.

O símbolo © & denominado sina de incluso.

Em símbolos, a definigáo fica assim:

ACB am (Wall E À + x E B)

Exemplos
1) {a, b} € (a,b, e, d)
2 {a} C {a,b}

3 la, b}C (a db)

4) {xx € inteiro e par} © {xl x 6 inteiro}

43. Quando ACB, também podemos
escrever BDA que se lé “8 contimA”,

Com a notagäo AZ B indicamos
que “A näo está contido em 8”, isto
6. a negaçño de ACB,

É evidente que AZ B somente
se existe 20 menos um elemento de A
‘que ndo pertence a B.

Assim, por exomplo, temos:

1 (a, b, 0) ¢ (b, ¢, d, e)

2) {a,b} % ie, de}

age
ade

Six ix & inteiro e par) ¢ {X x € inteiro e primo}

44. Vimos anteriormente o conesito de igualdade de conjuntos:
A2 B — (yx CA x EB)

Nesta definigäo está explícito que todo elemento de A 4 elemento de
B e vice-versa, isto &, ACB e BC A, portanto, podemos escrever:

AsBom (ACB e BCA)
we ACB e BCA,

Assim, para provermos que A =B_devemos provar

45. Propriedades da inclusdo

Sendo A, Be C trás conjuntos arbiträrios, valem as seguintes propriedades:
m BCA
2) ACA (reflexiva)
3) (ACBLBCAJ=A+B (antisimétrica)
4) (ACBRBCCOIALC (transitive)
A demonstragäo dessas propriedades liata com excegdo da 14 que
passamos a provar. Para todo x, a implicacio

xe
AED 4 falsa. Entio,

de subconjunto, D CA,

46. Conjunto das partes

Dado um conjunto A, chamase conjunto das partes de À — notaçäo
GAA) — aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em simbolos:

Fa = (KI KT a)

Exomplos
19) Se À 2 {a} os elementos de FIA) so $ e (a), isto à
NOS

2) Se A= {a,b} os elementos de ÍA) sio 6, {a}, (b) e {a,b},
isto é
BA = (8, ta). <b}, (a, 9)
31 Se A La, b, c} os elementos de fía) sio J, (a), (b), ¿0),
{a,b}, La, e) (b,0) e {ab,ch isto é
Poy - (9, {a}, (o), ic), (a, b), £b, 0), (0, a}, La, b, el)
Provaremos mais adiante [capítulo III) que se A 6 um conjunto fini
com n elementos, entäo GHIA) tem 2° elementos.

2-A

an

ae

am

A20

an

28-8

cicios.

Du Ae (1.2.34) © 8-12.42 podes
al meer com 0 sino a to dos cojos a spite seen
18) 3 deemento de A 2) 1 nfo eth em B

A 8 4 parte de À #18 igual À
5 à pertence a 8

D) clanitiear as sentencas anteriores em falsa ou verdadeira,

Solugio
1) 3CA m

CRETE]

a BECA wh

a ee)

$ 468 wh

Sendo Ae 11,21. 82 ,2,3).C2 it, 3,4} © D - it, 2, 3, 4). clicar am
Vos F cade sentence axe e justia

a ACD pace ace

PEN ceo wave

Solugio

MV pos TEA 1 E0,25A 0 260
BF pou TEA 6 120
ch pois 268 © 26€
Sl V por 268,26 0,38 0 36D
elf pm 2E0 e 2ÉC
MV pos 25 A 8 286

Quai das igualdados absino sEo verdadairas?
mia. 0.0.d,0) (0,0)

DENT ER rial #0 6 9 0}
aller 7 1) - 12)

ob ixle<o e x>0).$

Dir se 6 verdadeira (VI ou falsa (F) cada uma des sentengas abaixo.

a 0€l0.1.2,3,4) “Et 0)
De nice
ERS |
a0eg . 9 Bei
peers) n etes)

Fazer um diagama de Venn que simbolze e situa saguinte: A, B,C, D sio conjun-
tot nfo vation, DC CC BCA

Construir o conjunto ase partes do conjunto À = ‘a,b, €, al.

Vil. REUNIAO DE CONJUNTOS

47. Definicio

Dados dois conjuntos A e B, chamase reunido de A e B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

AUB=(xIx EA ou x€B}

O comjomo AUB (lise “A
reunido 8“ cu "A u 8”) 4 formado
pelos elementos que pertencem 2 pelo
menos um dos conjuntos A e 8,

Notemos que x é elemento de
AUB se ocorrer ao menos uma das
condigdes seguintes:

EA où x 68.

Exemples
1) {a b}U se, d} , b, €, d}

Dia DU ia b, @ 6} = {a bed}
3) (a,b, e} U (cd, ej = 1a, b €, del
4) ‘a, b,c] U B= (a,b, c}

gud

an

48. Propriedados de reur

Sendo A, Be C conjuntos quaisquer, valem as sequintes propriedades:

12) AUA=A lidempotente)
2) AU D = À (elemento neutro)
3) AUB=BUA (comutatival
} (AUBIUC=AU(BUO) (associative)

Demonstragio
Fazendo A = |x| x tom a propriedade p} ou, simplesmente
A= ‘xl pta) e, ainda: B= (xl), C= {xl rid} e B=
onde fé proposiefo logicamente falsa, temos
AU As ixlobd ou pid} = {xl ot) A
Analogamente, as demais decorram das propriedades das proposisdes vistas
feio AS.

x fod)

VII. INTERSECGÄO DE CONJUNTOS

49. Definigio

Dados dois conjuntos A e B, chamase intersscpdo de A e B 0 con.
junto formado pelos elementos que pertencem 2 A 9 a B,

ANB=(xIxEA e x€8)

O conjunto ANB (lbs "A
inter 8") é formado pelos elementos A
que pertencem aos dois conjuntos (A e
B) simultaneamente.

Se x € AMB, isto significa

que x pertence a A e também x
pertence a B. O conectivo e colocado
entre duas condigdes significa que elas

devem ser obedecidas ao mesmo tempo.

Exemplos
11 {a, b, e} M(b,c, d, e) = ib, e}
b} Mía, b, c, d} = (a, b)
b,c 9 (a, b,c) = ia, b, e)

4 {ab} nc, d}=
Shb}ng-g

50. Propriedades da intersecgáo

Sendo A, 8 e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1) ADA=A tidempotente)
2) ANU = A (elemento neutro)
M ANB =BAA (comutativa)
4% ANIB NC) = (A N BAC (associ
‘Como mostramos para a operaçäo de reuniäo, estas propriedades +30 também
demonstréveis com auxilio do exercicio A.6.

a

Soviet,

Quando AMB =D, isto é, quando os conjuntos A eB nio tim
elemento comum, A e 8 säo denominados conjuntos disjuntos.

IX. PROPRIEDADES

52. Sendo A,BeG conjuntos quaisquer, valem as segui
que interselacionam a reunio e a interseccáo de conjuntos:

1) AYIANB)=A

2) ANIAUBJ=A

#) AU B A © - (AU 8} N {AU C
(disriburiva da reunigo em relagio à interseccéo)

4%) ANIBUCI-(ANB)U(ANC
(distributive da interseego em relagio à reuniäo).

Demonstremos, por exemplo, a 12 ¢ a 32:

AU A D 8) = (xl plo V (pb Aal} = (xp) = A
AUBMO = {x pl) V Lab A ri} = Ext (pb V atx A (pled V ro} =
{x1 pbd Vato} À (el pb V rx} = (AU 8) N (A U C)

ves propriedades,

ExERGICIOS

A72 Dados or comjumor À = {e,b, €), 8 - Le, 4} e C= {ee}, determinar AUB,
AUGBUC © AUBUC,

A23 Prom que AC (AUB) A,

Solo
xEA— x EA où x68
4 ume implicacio verdadie, Y x, pomante: AC (AUB)

A24 Clificar em V où Fi

»óciaUa bE CA
d AG(AUB) d AU CA US
schaun D AUBCRUBUC

sdrmitindo que A, 8 e C60 conjuntos qusisque.

A2S Determinar a ceuilo dos clrulos de raie Y, corridos num plano @ 8 que tim
um porto comum 0 € a.

rey

am

a2

az

am

am

as

as

Determinar u reunido des retas de um piano @ quo so paraolos a ume dodo ret
wa

Dacos os comumos An {2, b, €, 4}, 8 = {bc de} 0 Ce {e.e, 6}, pedese
or ANB ANC BNC e ANBNIE.

Provar que AN BIC AWA,

Solugto

REA NBI MEA o x Es «Ca

6 um implicacio verdadeire, x, portamo (AN BIC A.

Cie em V où F
a SCIAN BI b AC A NBI
d AGANS a ta Ne Cia)

dance MANADANENO

admitindo que A. BC sde conjuntos qualsquer.

Consideramos oF conan
K = conjunto dot alariteros planos

P= {x EK Lx tem todos 202 poele}

L- [x EK] x tem 4 tados congruentes)

Ru {xEKklx tom 4 anguios retos]

Qa ix EKkÍx tem 2 lados paralelos » 2 ángulos retos

Podese detarminar ot conjuntos
aude a Lar “ina
san Sana PUG

Dedos os conjuntor A = {1. 2, 9), 8 = (3,4) e C-(1,2,4), determinar
o conjumo X tal we KUS-AUCE xN8- 0,

Solugio
al X UB = (1,2, 3, 4) antfo os possivsis olnmentos de X sfo: 1,2, 3 0 4.
mxo. Do 3¢x 0 4x

Conclusto X= 11,27
Determiner o conjunto X tol que
fated) Ux- (0,0, de}, Le, a} U x » (a, 0, 0,0) e

do. ed} OX = le)

Assinalar no diagrama 20 lado, um de
cada vez, 05 soguintes conjuntos

a ANSNC a auiene
b'ANBUG a AUBUC

32-8

x. DIFERENÇA DE CONJUNTOS

53. Definigfo

Dados dois conjuntos A e B, cha
mese diferenca entre Ae Bo con
junto formado pelos elementos de A
que náo pertencem a B.

(xIxEA 0x4 8)

Exemplos
1) (a, b, e) - {b, e, d, e) = {a}
2) (a, b,c} - (b, 0) = {a}

3) {a,b} - (e, d, e, 1) = {a,b}
4) (a,b) -la,b,c,d,0) =

XI. COMPLEMENTAR DE B EM A

54. Dofinigdo

Dados dois conjuntos A e B, tais
que BC A, chamase complementar de
B em relacio a A o conjunto A-B,
Isto &, © conjunto dos elementos de A
que náo pertencem à B.

© bee

Com o símbolo.
ps
Ua

indicamos o complementar de B em relacio a A.

ou À

Wotamos aus (3 +6 definido paro. 8 CA

Chao

AJS Provar que (A- BI C A VA

io
1)Se Ar=:abcde e B= {cde}, entáo: Bolueño.
(3-40) A implicagio kE IA-Bl ete € À ex É 8) »x€ A
mienne
2)Se À = {a,b,c, dj = B, 1täo:
Cè-#
. A Sec te
dE Anished} © B=G, ende 20-098 (4-6) U ta 8) -
ye Arabe a gam HE PEE
CS = {abc d}= À ins que EEES is a,
A.37 Dados os conjuntos A - (1,2,3,4,5), 8 = {1,2,4,6,8} e C-(2,4,5,7),
u: rc a crm e a ARAS, fas
a pedis easier
ondo: B {a7 E oop sito A. ele OS Ania no daar e at, 7
m Ons-@e (us-a unse
a C dau (
Nn ane m
m (2-0 (R-a à AU
an
m Cat CBee van
m Po Cu Cg A er RNR OT
an mu. (rad Ce
sm CP Can Ci Sotacio
ie
Provemos, por exemplo, a 29 e a 42: XE EA o x Baer x GA o ein

KE ADD vordadtre, Px, portant, ath prove
CAs EAIx eal -@
‘AAO Cianiticar em V ou Fs seguintes sontngas

Dele Ye }= 8) (A-B1 U (B-A) - (AUB) - (AB)
CR CESAR REA be ACB ==( CB Ci CAD

9 ace et ÇA
CEM Real ÉBNC)- RE AIRES où x fc). JADE EN

XEAIXÉB)UREAIXÉC

eu pe
Cru Ci

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

[At Dumas os mens dos conjuros saxo

Ar (x la? -5x-6 = 0}
8 = {ka à lea de pala “enerciio"}

exeneicios

A34 Sejam os conjuntos A =

bed. Beigdetgh e cba

Determiner C-ixi-9=0 où 2-1 = 9}
was 00-8 ana Orlaimo roo e atento
SS SALUT NN E + {ele 6 algorumo do númaro 234 543}

as

Asa

rer

Aus

ass

Seja E - (a, {ul}. Dizer quais das proposicóes abaixo s%0 verdaderas

nee
ble es
dace

agi Ce

agce

noce

Sam Av 8 dei conjumos fritos. Prove que
AUB ATO MAND

O simbolo ny represents o número de elementos do conjunto X.

Em uma escolo que tem 415 alunos, 221 astusam Inglés, 163 ostudam Francis e 52 es
tudor aros 36 lingués. Quantos alunos extudarn Inglés ou Francés? Quotes alunos
née entucam nenhura dus duas?

Sendo A,8.8C conjuntosfinitoresabelecer uma färmuta por calcular MAUBUE:

ms populecio consome trás marcas de sab em pé: A, 8.6 C. Falta uma pesquisa
do mercado, colheram se oF rosltacos tabatador abaixo:

a | A Ta Te ]aes|ssc] con] 0.800] nenume das ès

número de
consumidores

109 | 203 [162 | 26 | a | 28 | 5 ns

as

Aaa

Prose:

9) numero de passons consultados
BI número de pessoss que só consomem a marca A

©) número de pessoas que nfo consomem as marcas A ov ©
di número de pessoss que consomem 20 menos duas marcas

Detarminar os conjuntos A, 8 # © que satistazam as seguintes sis condigäes:
MAUBUC=[2x.00,08000)

U AN Be (1.)

menc-is x)

mena (0)

SY AUC-{parstu vx)

BAU 82 {pa 8 tx 2)

Em carta comunidade há individuos de tbs cacas branca, preta e amore, Sabondo que
OX so brancos e 210% náo sin pretos e 50% sio amurelos, perguntase

+) quamos individuos tem » comunidodo?
DI quotes sio os individuos amaselos?

as

Aso

Dados dois conjuntos A e #, chomose diferonga siméica de A com 8 a con
junto AAS. tal que

ADE - {a-8) U (8-01
Poderes

al determinar Ka, b, €. d} A (deta

DI provar que ALD = A, para todo À

©) provar que ABA > 2, para odo A

4) prowr que ADB - BAA, para Ae 8 quskauer
e) esinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AAS:

CO © OO

Ossanher um diagrams de Venn epresintande quatro conjuntos A, 8, € e D nfo
vazlos de modo que setenta

AE BRA CIAUE © OC IAN B

EN

CAPÍTULO IM

CONJUNTOS
NUMÉRICOS

1. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS

56. Chamase conjunto dos números naturais — símbolo N — o conjunto forma-
do pelos números O, 1, 2, 3,

N= (0,1,2,3,.

87. Neste conjunto 30 definidas dues operagóes fundamentais a adicto e a mul

tiplicagáo, que apresentam as seguintes propriedades:
[A.1] associativa da adi
&@+bi+e

atta
pora todos, a, b, c EW.
[4.21 comutativa de adicáo
a+b=bra

para todos a,b EN.

[4,3] elemento neutro da adi
ato

para todo a EN
[M.1]associativa de muitiplicopäo
(able = aloe)
para todos a,b,c € N
[m.2leomutative de multipticacáo
ab = ba
para todos a, bE N

[M.3]elemento neutro da multipticacio
a-l=a
para todo à € N
1D] Distributive da multiplicagäo relativamente à adigáo
alb +c) = ab + ac
para todos a, b, e € N

SB. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados sio
empliaçées de N, isto 6, contém N, tim uma adigáo e uma multiplicacáo com as
propriedades formais jé apresentadas e outras mais, que constituem justamente o
‘motivo determinante da ampliaçäo.

Assim, dado um natural a % 0, 0 simétrico de a nio existe em Al:
EM. O resultado disso $ que o símbolo a - b nio tem significado em N
para todos a, LEN, isto 6, em N a subtragäo näo 6 uma operaçäo, Venceremos

il. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

59. Chamase conjunto dos números inteiros — símbolo Z — o seguinte conjunto:
¿53 -2,-1,0,1,2,3..

60. No conjunto 2 distinguimos trés subconjuntos notévels:

2,-01,2,3..)-0
{chamado conjunto dos inteiros näo negativos)
2. = (0, -1, -2, -3,.

(chamado conjunto dos inteiros náo positives)
/3,-2,-11,23...)
Ichamado conjunto dos intelros näo nulos)

$1. No conjunto Z sio definidas também as operacóes de adigáo e multiplicacio
que apresentam, além de [A1] [A2], [A3], (M1), (M2), [M3] e D, a propr
dade:

MA

[AA] simétrico ov oposto para a adipio
Para todo a EZ
at (a) = 0

te o EZ tal que

Devido à propriedade [A4], podemos definir em Z a operaçäo de sub-
trago, estabelecendo que a=b=a+(=b) paratodos a,b € Z.

62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada
através do seguinte procedimento:

a) sobre a reta estabelecemos um sentido positiva e um ponto © {origem)
que representa o inteiro O (zero)

°

b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário
u # O cuja extremidade passará a representar o inteiro 1

os à

+) pata cada inteiro positivo 1, a partir de O, marcamos um segmento de
medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um
segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o
inteiro -n.

O resultado é este:
“4

63. Uma importante moco que devemos ter sobre números inteiros é o con:
sito de divisor.

Dizemos que o intelro a é divisor do intelro 6 — símbolo a1b— quando
existe um inteiro € tal que ca = b.

alber(30EZ lca bl

Exemplos
21 12
2 31-18
3-51 20
4) -21-14
5) 410
6) 010

ara

$4, Quando a é divisor de b dizemos que “b 6 divisivel por a ou “b é
múltiplo de 4”.

Para um inteiro 2 qualquer, indicamos com Día) o conjunto de seus di
visores e com Mía) o conjunto de seus múltiplos.

MI. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Exemplos
OU (1,-1,2,-2) MM

0,42, £4, 26...)

2) D(-3) = (1, -1, 3, -3) M(-3) = {0, #3, 46, 29, ...} 66. Dado um número inteiro q # 1 e =1, 0 inverso de q nio existe em
3) DI) =z MO = 10} 2: #2. Poriso näo podemos definir em 2 a aperacio de dviio, dando
significado a0 símbolo ES ‘Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme

65. Dizemos que um número inteiro p & primo quando p # 0,1 e -1 e ros rcionais

Of) = (1, -1, p. -p}
Exemplos
2,-2,3, -3, 5,-5,7 0-7 sio primos,

67. Chamase conjunto dos números racionais ~ símbolo Q - o conjunto dos

pares ordenados (ou fragóes) 2, onde aEZ e bEZ", para os qu

b
adotamse as sequintes definigdes:

ExERCICIOS y .
(i) igualdade: À be
ASI. Quais dat proposicóos abuixo 430 verdadeiras? b
“ocn b 2-9 EW ance i da: 27
num -® aang -D nımnez NE ee ig
PREISE ER noez a 8-mez Per
AS2 Descrever os seguintes conjuntos: O16), DI-181, DI-24) M O11), MIA), MITO) e El Sa” a
Mia A Me),
A53 Ousis dos seguimos elementos de Z no sio primos: 12, -19, 0, 5, 21,1. 2,-4.1,
oe 3 68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:

©, = conjunto dos racionss no negativos
ASA Sendo à 8 dois números intro, pergunta:
el Dial e Díb] padem ser disjuntos? Q_ = conjunto dos racionais näo positivos
3) Que nome db num mire m jas Di 1 OID) = Dim?
©) Quo Dla) Clb) = (1,1), ual ario exento ene = e bP Oo scarp’ de ina UE
Em ave cao ccoo Mal © MILI?
© Em que cco come Mle) D MB) = Mat?
N Que nome se bur iteira n al que Mia) N Mio) + Mini?

60, Nacio À, + 6ommuadore © odemomindor Se eb do
56 Deiner 0 mps núms ina: "
3 mace, Y meca primos ones tod, e mic.» 1. daemon + 6 una or id
à ict re a A
de RUEDA 2 rn ve ssim, as fraçôes 7, y e ¡ sio irredutíveis mas =~ näo
a i id tivel, Assim, as frapdes 3. 7 8 35 dur zo rt:

70. Consideremos o conjunto O° formado pelos nümeros racionais com de-

nominador unitário: @ + (1x & 2). Temos:

2.8

7-1

24h. 28 aromas
pt bearb
a bl ard
Ab ape ad
VTT iS

Portanto, os raclonals com denominador igual a 1 comportamse para a igualdace,
a ediçäo e & multiplicacio como se fossem números inteiros. Assim, fazendo ©

racionat % coli cam © into», dore au:

@=Z, log, ZC 0

TA. Podese verificar que à adiçäo e a multiplica
seguintes propriedades

lo de racionais apresentam as

5 2 ño roms que, porto, so vids ss mesmas pro
prides forms vistas pure números incon, All des, tomos mai à

seguinte

an

1M.] simétrico ou inverso para a multiplicazáo
Le a
para todo LEO © 240, existe

bea wae Pob

bia
Devido à propriedade [M.4

2,8 ad a £ e
eg eS pus eS racionais qusisquer

podemos definir em Q*, a operacdo dedi

viso, estabelecendo que

72, Notenos firmante ue todo mao ion À pode e monnaie

por um número decimal. Na passagern de uma notacáo para outra podem ocorrer
dois casos:

19) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, $
uma decimal exata.

Exemplos

3 1

i. E
gr 08 = 0.08, 5606 7 0.027

20) o número decimal tem ume quantidade infinita de algarismos que se ce
petem periodicamente, iste é, 8 uma dizima periódica

Exemplos

1
37 038.

2 casses

EXERCICIOS

‘ASG uals das sequintes proposicdes so verdadeiras?

suce mec aoca
a see a oa7era7... € à of Bee
91.0. mie az » Meaz
EP ES NE

AST Colocar na forma de uma frogáo irredutivel os sequintes números raclonal: 0,4;
DARA. ..: 032 082282... : 542 5420423023
1 wa
ASE Colocer em ordem crescento of números racionais seguimos: À B28
2
+

ASS Mostrar que se ri 0 52 slo melon a ry < ta, ento existe um racional r
wlan <<

ASO Representar sobre ums reta Orientada of números racionais seguintos:

.2.1.£
ae

2
O z

IV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

74 Dxloumnimarerainal À eumnimeronal n > 2, nem sempre

6 racional. Por exemplo, V2 £ Q o que é provado facilmente assim:

(i) admitamos que a ragäo iredutivel 2 soja tal que V2

DE ge Via Pew oe épar = a é par

fazendo a

2m, com mEZ, temos:
a = 2b? — (2m)? = 267 me b= 2m? mb? épar — b à par
e isto 6 absurdo pois mdc(s, b) = 1.

Vamos aor ifrodure um conjanto numérico que conim Qe onde a
radiciaçäo pode ser definida.

74. Chamase conjunto dos números reais R — aquele formado por todos os

V2 = 1414216...
= 3,1418926
a = 1.010010001 .

chemados números irracionais.

+ cos tra mera cin podernos bia, por ame,
através da expressio Vp onde p é primo e positivo. Säo irracionais:
V3, V5, V7, eto

Outro recurso para construçäo de irracionais 6 usar o fato de que se a é

ircional © r à sasional nfo nula, eo: a + 1, a E ño tos
Exemples
Vie a Va VE, La oralen.

2 Vs

75. Além de O, destacamos em R trás outros subconjuntos
R, = conjunto dos reais no negativos
R. = conjunto dos reais náo positivos
IR? = conjunto dos reals ndo nulos.

76. As operagöss de adigéo e multiplicado em A gozam das mesmas pro-
priedades vistas para o conjunto O. Em R & também definida a operaçäo
de subtragdo e em A" 6 definida a divisio. Com a introdugio dos números
racionais, a radiciacáo é uma operagio em R,, isto é, Va ER para todo
sen,

77. dé vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de
uma reto

4 23 2 1 0 1 2 2 4 5

„Rümeros com representacäo decimal, Isto &, as decimals exatas où periódicas
(que sio números racionais) e as decimals náo exatas e cas (chamadas

Assim, todo racional 6 número real.
ace

e, além dos racionais, esto em R números como:

48-A

=

Analogamente, os números racionais náo inteiros também podem. Se qui-

pre per engl: ct 0 née ar er um

tir de O um segmento de medi

Au no anio pasivo. A extremado dese

47-A

segmento representa}. Na figura abaixo representamos sobre a reta varios

$444 1 FFE

Os números racionals, entretanto, no preenchem completamente a rete,
isto é, há pontos da reta que no representam racional algum, Por exemplo, entre
os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto que representa V2 = 1,414215...
(irracional.

números racional,

Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada
ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irra-
cional (portanto, real), isto & os reais preenchem completamente a reta,

1444 Yb ae
#

Esta reta, que representa A,

chamada reta real ou reta numérica.

78, Na reta real os números estáo orde-
nados, Um número a & menor que qual
quer número x colocado à sua direi

BZ
maior que qualquer número x à sus es GER) ERD)

querda.

EXERCICIOS

1. Oui ds proposicdes sbaixo so verdadelra?

usen such ozca
ajena aviena 9 Vienna

a 12-343 m-a

A62 Provar que 58 9,b,c, d so racone

‘Solugio
atovp-erave eo tb-diVp-c-8

Como €- a 6 racional, a últime igueldade +6 subsiste quendo (b - d) Ve
isto 6, se b= d= 0, Neste exo, € - à = 0, provando a ese

ASS Mostrar que Va + 23-104 V3
AGA Mostrar queeximem a @ b raciomstoisque 18-82 - » + 5 V2.

ASS, Dados dois números x e y res e pasitos, chamese média ariemática de x com.

ty
vor ar
7

e chama-se média geométrica o red g = xy. Mostrar
que a> 9 paratodor xy E,

AGS Aopresenor sobre reta re, cada um dos seines conjuntos
A-{xERIT € x < 2)
5-(WEmIo< xc 3}
Ge RERIXEO où x>2)
D-RERIA<x<0 m x23}

V. INTERVALOS

79, Dados dois números resis a eb, com a € b, definimos
al intervalo aberto de extremos ae b & o conjunto
Jab(= Ris € x < b)
que também pode ser indicado por a—b.
bi intervalo fachado de extremos à € b 6 0 conjunto
labl= ER la € x <b)
que também pode ser indicado por ab.
e) imervalo techado à esquerda (ou aberto à dieita) de extremos a 6 b
€ 0 conjumo
labl = ERla<x <b}
ur também pode ser indicado por s1—b.

di intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b
é 0 conjunto

Jab] = €Rla<x <b)
que também pode ser indicado por a—ab,

80. Os números reais a e b slo denominados, respectivamente, extremo in-

ferior e extremo superior do intervalo.

1. Exemplos
19) 12, 51 = (x ERI2< x < 6} &intervalo aberto,

20) 1-1, 4] = (x E RI-1< x < 4) éintervalo fechado

T= RSR ID à <7) im eto qa

VB) =e ERI Lex € V3}

82. Também consideramos intervalos lineares os “intervalos infinitos”. assim

definidos.
alo al = KER <a)
que podemos tambéin indicar por - — à
ble, al = x ER ix <a}
que também podemos indicar por - a
où Ja + ool = WE RIx > a}
que também podemos indicar por a—+ =.
alla tole we Rix > à)
que também podemos indicar por ai-— + =
lo, + of +R
‘que também podemos indicar por ss

183. On intervalos têm uma representagäo geométrica sobre a reta real como segue:

Je ol OR:
[ol — mnt
lo of + sm
le) Sm a
J. 2] mn und _—

Ja. o

tervalo fechado à direia,

exeRcicios.

a0

x68

100

0

un

Duscreer, conforme 3 notacio da teoria dos conjuntos, os soquintes Intervalos:

(1. aj. fo. 2[. 1-3, 4[. Je, 6[ 0 (1. + oof

Utilizando a representario gráfico dor intervalos sobre a reta real, determinar

ANB e AUB undo A- (03) © 82 {1 4]

soucie
A 4

p .
8 4 mé
ane 4 2
aus E A
mie ADS [o] © AO (04)

Descrever es seguintes conjuntos

2120 ba}
& (0,2) Jt, 31
ent jest

ar Jeo, 2] N [o, + oof
dre of OF. 21

12010910 (14)

Detarminr os gunas cojumos

a Et 10 (0.4

oy 12118 Jo sf
dues

Sando A= ost © = Jal, demon CE

SIA

VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Va ER, qualquer que

y AT
seja o real 2 mio negativo. Assim, por exemplo, V2, VE, YE, </> e

34. Em Ri a radiciagdo $ uma operagäo, isto

Va sio números reals.

Desde que 0 indice da raiz seja impar, os radicais de forma Ya,
gnde a © A, também representam números reais, E 0 caso, por exemplo, de
Va Vem oe Ya

Se o radicando é negativo e o indice da raiz 6 par, entretanto, o radical
a elemento de IA. Por exemplo, V-1 nioéreal, pois

Ya

do repre

e isto & impossível pois se x € R, entdo x? > 0,

85, Resolveremos definitivemente © problema de dar significado ao símbolo
VE, para todo número a, introduzindo no volume F desta cole
junto © dos números complexos do qual IR é um subconjunto.

VII. RESUMO

86. Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pela
figura abaixo:

Observemos que NCZCACACE
Notemos também que

2 - N = conjunto dos números inteiros negativos
Q - 2 = conjunto dos números racionais nio.
R - @ = conjunto dos números reais irracionais.

Finalmente lembremos das princípais operagdes definidas em cada conjunto:
A: adiçäo e multi
2: adigio, multiplicacdo e subtragio

Qt: adiçäo, multiplicagäo, subtracio e divisäo

A adicdo, multiplicaco, subtragäo, divisio e ragiciacáo (para reais näo ne-
gativos)

VIII, PRINCIPIO DA INDUÇAO FINITA

87. A indugäo vulgar (generalizacio de propriedade após veriticagéo de que 3
Propriedade é válida em alguns casos particulares) pode conduzir a sérios enganos
na Matemática. Vejamos dois exemplos:

19) Consideremos a relagáo y = 2" + 1 definida para n EM.
Temos:

SO ye Merete 13

nt y Mere Peres

2 y Mere 7

Samy = 212 1 287

4 y 241 2 1e 65697

Os números y encontrados sáo números primos, Fermat (1601-1665) acre-
ditou que a fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valor
inteiro positivo atribuido a 2. Esta indugio & falsa pois Euler (1707-1783)
mostrou que para n= 6 resulta y = 2% + 1= 2% + 1 = 4204067207 =
= 641 X 6700417, isto 6, resulta um número divisivel por 641 e que, portanto,
lo & primo,

29) Dada à go ve, ao pr toto
new, temas

= 3

me s

6

_ 784+ 144- 58-418

% 7

Poderfamos tirar a conclusio precipitada: "y é número primo, Y n € N°.
Esta indugdo também & falsa pois:

5

8

nes sys

ica que permita

88, € necessério, portanto, dispor de um método com base 16
decidir sobre a validade ou náo de uma indugäo vulgar.

Consideremos, por exemplo, a igualdade:
1+3+5+..+{n-tent (EN
que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros números impares positivos
en

Vamos verificar se ela é verdadei

aii." (v

n.2—1+3 2 m
ndo 113+5-9-P (Y)

ne 10 >1+3+5+..+19=100=10% (V)

Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificagio atá n = 1000000
ño estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existir
um n> 1000000 em que a fórmula falha.

54a

89. Para provarmos que a relacio & válida para todo n E N” empregamos o
principio da indugáo finite (P.1.F.) cujo enunciado segue:

Uma proposicio Pin}, aplichvel aos números naturais 0, & verdadeira
para todo nEN, n > no, quando:
19) Ping) é verdadeira, isto 6, a propriedade é válida para n = no, €

20) Se kEN,k Dm 9 Plk) éverdadeira, entio Pik + 1) também
6 verdadeira.

90. Provemos, par exemplo, que:
THD 454.4 nthe nt Un EN)
19) Verifiquemos que P(1) 6 verdadeira
nio tl

20) Admitamos que Pikl, com kE NY, soja vordad
1+3+5 +... + (2-1) = K? (hipötese de inducdo)

e provemos que decorre a validade de P{k + 1), isto é:
1434544 (204 (2 4 1] (KA
Temos: D
1+3+5+...+(2K-1)+(2k + ek + (2K +1) = KE 4247 m (Kr?
u

EXERCICIOS

Ba a a fia,
aoe) Dye us

Are 14223... ne Lt

Ara 2+5+8+ ses Ji nen

7
A Ds 242 ren

an were. en Meme ver

am penis. E nee

AT Ya we

Sous
191 PINT 6 verdadeira pois 8 (3 = 1)
29) Admiamos que PIN, k EM", gojoverdadoira

2113-1) Chinese de indundo)
e ooo que a + an
PU Ly gts ne ae te Beat en
tte
ak
sia? ak +
A ee a LEE
ai. 1)

ATE Glas dint 2 Ve Ea
Am 21 + nl Ve EN
am 31 + 2), Vn € à.

Weg
ameno rar to

1 5
= ran teen

1 n

en Yen nee

OS

nia + tin #2)

i voeu

ASD 1242234344 point D

Ags man. Yow
Solo
191 PU 6 verdadoira pois 2212 11
29 Admitamos que Piel, k EW, sje verdure
2k Bk +1 Ihipbtese da induciol

8 provemar que 2k +1) > kr inet
Tomos:
MANILA MZA Re

as 2 >a VaEN

EEE Ev,

Ag ea Tema nar Va EA 0 > -

56-A

As

O número de disgonai de um polígono consexo ie m Inden € dy = Y

Solugio
19) PIS) 6 verdadera pal

naa LIE Eon

+ ito 6 verdade porque um triángulo no vom diagonais

29) Supandawäl » fórmula pera um polígono de k lados tk > 3)
klk =9)

ES {ninétese ca induräo)
Provamen que aa vale para um poligono de + 1 ados
FERN ERBE ks EN

ri a y

Quand passamos de um polígono com K vértices pora um de k + 1 vértices acres:
contando mate um vértic, ocorra o sguinte

{il todas as diagonals do primelra polígono continuam seno diagonas do segundo;
Ki) um lado do primuiro se Sranstorma em diagonal do segundo;

il) no segundo há «-2 novas diagonal (as que partem do novo vértice,

Vejsmos, por exemple, a passagem de um quaddlite para um pentägono

aso

as

AG e BD sodiagonsis — AC E BD continuum disgonsis
AD blado — AD se transtocma em disgonst
EB e EC do diagonals

aroma E coy, Dr | (ele 2)
Okt = ok ke)» He 4 7

A soma des medidas dos ángulos internes de um polígono convexo de n lados &
Sa = (0-21 > 180°,

Se A 6 um conjunto finito com n elementos, entio SAN, conjunto dos partes
de A, tem 2" elementos

57-8

Desvendado mistério da continuidade

Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatre filos de uma foma Jutraro de
Erounsehweia, Alınanha, Entrou em Göttingen os dezenov anos 0008 vite dois obteve seu
doutoremente com uma ose sobre Céleulo, slegida até por Gauss. For aluno de Dirientet e
dedicawss 30 onino secundario em Bruntwick eté os Últimos anos de sua vida

Preocupado com a natureze des lungbes e dos nimeros, concentrouse no problema
os números leracionals dexde 1858 quando dave aulas de Cátulo, publicando seu vo mals
titre, “A Continuidede @ as Números irrcionas”.

‘Uma de sus grandes dévidas era sobre © que hi na reta geométrica continue que ©
distingue dos números racionai, pois, Galileo e Leibniz havlam concluido que entre dois
pomor quoliquer sempre existe um tercero €, atm, 0% números racionais formam um
coniunto denso mas ao contínuo,

Relendo, Dedekind observou que 2 esincia da continuidode do reto ndo esta ligada à
¿ensidade mas à nature do divisdo da rea em duas partes, que chamou class, através de win
nico porto sobre a eta, A ets vio ca reto chumou "schnitt” QU “corte”, que passar aser
0 apolo da Andlise, pois com era abservardo "0 eegredo da coninuidade sora revelado”.

Deki vis tambén que oz pontos de uma reto podem ser postos em correspondre
biunivors com os números asis, o que consepuis ampliando & conjunto dos racionaix Esta
conctusio € conhecida por nbs como Axioma de Cantor Dedekind

Mois uma de suas omensgöss tol sobre ©
eorems fundamental dos limites, achando quo
pera abterse uma demonstracio riorosa desta
onesie era nrcosáro desenvolvéo somente ara
N da Ariimétic, tera imerterócia de mátocos
eométricos embora cris ténham sds tesponsá
Yes por teus brihantes resultados

Em 1979 fol o primeira à dor uma getiigóo
explicita de corno numérico como sende uma co.
Iegiio de números que formam um grupo abelian
Icomvtativo) am relagéo à adiedo e mulilicacio,
o qual multplicacao # distribute em relacio à
Sirio, Este conceto, que fol fundamental para o
esenvolvimento de Álgebra, tambäm 6 responsive!

(9 teorema dos imeios SIgábricos, bem como.
inroduriu na Aritmética o Conceno de "cea!"

Dedekind viveu tantos amos depois de sun
cálebre introcugio des “cortes” que a lamen
editora Tebner deu come data de sua morte 4 de
setembro de 1899. Iso dweriv Dedekind que
vivra mais doze anos € escsevou 20 editor que
Julius W. R. Dedekind pastora 9 dota em questo em converse esti

11831 — 1916) ta com seu amigo Georg Cantor.

CAPÍTULO IV

RELAGOES

1. PAR ORDENADO

91. Chamase par todo conjunto formado por dois elementos. Assim (1, 2),
43, -1}, @, b) indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de con
juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos náo produz um novo par:

1,2 = (2,1), (3,1) © (1,3). (a,b) = {bya}. ..

Em Matemática existem situaçôes, onde há necessidade de distinguir dois
pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equacées

x+y=3
yet

x=2 e y=1 6soldoaopasoque x= 1 e y=2 nâo é solucdo.
Se representéssemos por um conjunto teriamos: {2, 1) seria soluçäo e {1,2}
nie seria soluçäo. Há uma contradigäo, pois sendo {2,1} = (1,2), o mesmo con-
junto é e näo & solugäo. Por causa disso dizemos que a solucio 6 o por ordenado
(2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnita
x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita. y.

92. Admitiremos a nogéo de par ordenado como conceito primitivo!*), Para ca
da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existénci de um tercsiro
clemento (a,b) que denominamos par ordenado. de modo que se tenho

fab) = (ed) raze e bed

(+) Poderiamos definir par ordenado como Kuratowski fez:
fa, bi = {fa}, {a,b} }
mas isto ficaria fora do nivel deste curso.

11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

93. Consideremos dois eixos x e y
perpendiculares em 0, os quais deter | Y
minam o plano a

Dado um ponto P qualquer, PE a.
conduzamos por ele duas retas:

Kix 0e y ly

Danominemos P, a intersecsdo de
x com y" e Pz a intersecgáo de y com

a

Nostas condicóes definimos:

al abscissa de P & 0 número real xp representado por Pi

b) ordenada de Pé o nümero real yp representado por P;

e) coordenadas de P sio os números reais Xp e Vp, geralmente ind
cados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde Xp & 0 primeiro termo.

di eixo das abscissas 6 0 elxo x (ou Ox)
e) eixo das ordenadas 6 o eixo y (ou Oy)

9 sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular)
& 0 sistema x0y

el origem do sistema & o ponto 0

hi plano cartesiano & 0 plano a:

94. Exemplo
Vamos localizar os pontos q =
AZ, O), 810, -3), C12, 5), DI-3, 4) Ht | feed
se

ea, 4-3, a De [ f +
5.2 neue

ws, :

vo plano carte lembrando que, no HEE

par ordenado, o primero número repre E 1

fenta à abschsa © 0 segundo a ordenada

do ponte

on

Teorema

Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos
pares ordenados (xp, yp) de números resis existe uma correspondéncia biunivo-

Demonstragáo

18 Parte

As definigdes dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P € a,
corresponde um único par de pontos (Pi, Pa) sobre os cixos x e y res
pectivamente e, portanto, um único par ordenado de números reais (Xp, Yp)
is que xp e yp sio representados por P, ¢ Pa, respectivamente.

Esquema: P— (PL Pa) — Wp, Yo)

2 Parte
Dado o par ordenado de números reais (Xp. Yph axistum Pı Ex e

PE y tolsque Py representa Xp © P represente Y, conforme vimos

no item 77.

Se construirmos x'Fx por Py e y’#y por Py, estas retas vo concorrer

fem. Assim, a todo par (Xp. ¥p) Corresponde um único ponto P, P € a

Esquema: (xp, vo) — (Pt, Pal — P

Ez > H
q H a ®
SE
E
+H -
Ha
TT 111

A92 Assinslar no plano cartesiano of pontos: Al2, -3), BIO, =A), CI-4, -5), DI-1. Ol,

5

El, DPI, 4), G18 01, MES, 2. u

II, PRODUTO CARTESIANO

96, Definigio

Seam A @B dois conjuntos náo vazios, Denominamos produto cartesiano
de A por B © conjunto A X B cujos elementos sio todos pares ordenados
bx. y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

AXB-{RNIxE À 0 yes)
Osímbolo A X B lèse "A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por 8"
inimos © produto cartesiano de A

Se A ou B for o conjunto vazio, de
por B como sendo o conjunto vazio.

AXp-0 BXB=-D GxD-0

97. Exemplos

19) Se A=(1,2,3) e B=(1,2) temos
AX Be (i, 1, (1, 2) (2,1), (2,2), (3, 1), (8, 2)
BX A= (1,1, 0,2, (1,3), (2,1, 2,2, (2,3)
e as representagöes no plano cartesiano säo as sequintes:

axa

20) Se A= {2,3} entáooconjunto A X A (que também pode ser
indicado por A? e löse "A dois”) &

AXA =((2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}

A representagio gráfica de AX B dá
como resultado o conjunto de pontos
do segmento paralelo ao eixo dos x da
figura 20 lado.

49) Se A=(XERI1<x <3} e B=(KERIISx <5) te
mos AXB=( y ER7/1<x <3 0 1% y < 5) representado gra:
ficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retángulo. Note:
mosque BX A= f(x, y} € RP 16x <5 € 1<y < 3) érepresenta

do por um retángulo distinto do anterior,

Axe v 8Xa

98. Observasóes

1)Se A#B entio AX B#BX A, isto 6, o produto cartesiano

de dois conjuntos ndo goza da propriedade comutativ
2)Se AeB so conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente,

entio AX B éumconjunto finito com mn elementos.
AXE sum

3) Se A.ouB for infinito e nanhum deles for vazio ent
conjunto infinito

Exencícios

Aga

Ass

297

ase

as

Duos os conjuntos

A-(134) 812.1} © -¿-1,0,2)
representar pelos elementos e pelo rico carteiono os seguintes produtos:
a A 8 #8 x À daxe
OC eA oe no

Dados os conjuntos
acen 6463}
BLE 2)
comicos 1)
represento grficomente 05 saints produtor:

maso BAKE dsxe
acxs a À na
Dados os conjuntos A =(1,2,3,4 0 8e (x E RAI << 4} mprmontr
srafcamente s conjuntos:

are

maxa

Samus xa

Sojem os conjuntas A,B eC tasque À € CC, Estabclecorosrelacóes de in
luso entra os conjuntos AX ALA X B,A X GB x AB x 8,8 OO XA
exe e exe

Sobendy que {09,21 (DC AT a Mad -
Les a conjunto AP

represente pelos lemon

mentos de A? à igual 30 qualrado do número de elementos de A, por

MAS = LA e [MA 9 > MA) = 2,

Se A fuga estemo deman. 12 EAN a (4,21 EA}, contas ue
De

Asien sn,
A A 2 13, 1), (1, 29, EM, 2, M, @, 2, 12, 0.14, 1, 4,2, (a

Se (M2, 0} CA © MAR) à 16 entio represeme A palos sous elemen»
Considerando AC 8, (10,8), (1,2), (2,1) CA X 8 € mA x) = 2e

presento Ax & pelos feu elementos

IV. RELAGAO BINARIA

99, Consideremos os conjuntos A = {2,3,4}
e B = (2,3, 4, 5,6). O produto cartesiano
de A por B éoconjumo

AX8 = iy IxEA e y EB}
formado por 2+ 5 = 15. elementos represes
tados na figura ao lado. Se agora considerarmos
© conjunto de pares ordenados [xy] de
AX B tals que xy (lése: x é divisor de
y), teremos

R= (xy E AX BIxiy) =

= ((2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), 13, 6), (4, 41)
que é chamado relacio entre os elementos
de Aede8 ou, mais simplesmente, uma rela
do bindria de A em B.

© conjunto R está contido em A X 8
e é formado por pares (x, y) em que o ele-
mento x de A 6 “asociado” ao elemento y de
B mediante um certo eritörio de “relaciona:
mento” ou “correspondéncia”.

Será bastante útil à represemtagáo da rele
ño por meio de flechas, como na figura 20 lado,

100. Definicio

Dados dois conjuntos Ae B, chamase rofacdo bindrie de A em B todo

subconjunto R de AX B.

R 6 relaçäo binaria de AemB > RC A X B.

Se, eventualmente, os conjuntos A e B_ forem iguais, todo subconjunto de

A X A échamado rolaydo bindria om A.

R 6 relacio binária em Acm RC AX A

65-A

Utiizaremos as sequintes nomenclaturas já consagradas
A = conjunto de partida da relaçäo R
B = conjunto de chegada ou contra dominio da relagáo A.
Quando o par (x, y) pertence a relagáo R, escrevemos x Ry (ése:
erre y)

buy ER me xRy

e seo par (x, yl náo pertence a relacio R escrevemos x Ay llése: "x nfo
ente y

tx, y) Rx A y

101. Exemplos

19) Se A-(1,2,3,4,5) e B = (1,2,3,4) quais sio os elementos da
relagdo R =i(x,y) 1x < y) de AemB?

Os elementos de R so todos os paras ordenados de A X B nos quais o
primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, sdo os pares formados pela
“associagdo de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal que
x< y"

Temos entáo

R= G2), 0,9, (1,4), (2,3), (2,4), (3,49)

29) Se A=¡1,2,3,4,5) e 8 - (1,2,3,4,5,6), quais so os elemen:
os da relagdo bináris A do AemB assimdefinida: x Ry — y = x + 27

Fazem parte da relaçäo todos os pares ordenados (x, y) tais que x A,
yEB e y=x+2

Utilizando as representaçôes gráficas

30) Se A = (-1, 0, 1, 2} quais säo os elementos da relacio
Ro iby € A Dee Vi?
Fazendo a representacio gráfica notamos que
R= 110,0), (1,0, (1,1 NT (LN, (2,20)

49) Se A= ERI1<x <3! e B=WyERIT<y <2) pe

de-se a representagio cartesiana de AXB e R [In y) AXBiy = x}

rer

67-0,

EXERCÍCIOS

100 Pada:

1 enumerar pores ordenados.
IN! eepeesentar por meio de flechas
INN) fazer o gráfico carteiano.

das rlacóos Bináris de À = Í-

1,0,1,2) em B= 4,1,2,3,4) de

finidas por
dv de vo? be xSy — tay,
ax ty e lela hi Oxy ome ety 32

Peer

A101 Dado o conjunto A = {1. 2, 3, 4, 5, 6). Enumerar os pares ordenados constr
© gráfico cartesiano do reacio R em À dade por:
Re {ix vi € AP | mae tx, y) = 2)

A102 Seja o conjumo A = {1, 2,2, 4, 5, 6) Const
Rem A definida por

© grálico cartesiano da relacio
AR Y + x e y sho primor ante si
A103 Dado 0 conjumo A= {m € | -7 Sm & 7}. Constan o grafico cartesiano de

relacio binário am À detinide por:
x Ry ome tt yt 26,

V. DOMINIO E IMAGEM.
102. Dafinigäo

Scie R uma relacio de A em 8.

Shamese dominio de Ao conjunto D de todos os primeiros element

dos pares orderados geriengen

—
XED — 3 YCBI (KIER

Chamase imagern de R 0 conjunto Im de todos os segundos elementos dos
pares ordenados pertencentes a R.

VEIM ee 3x, XEAÏ (x WER

Decorre da definicio que OCA, e Im € B.

103. Exemples

19) Se A=(0,2,3,4) e B= (1,2, 3, 4,5, 6} qual é o domi
e a imagem da relagáo R= ((x, y) € AX BI y € múltiplo de x}?
Utilizando o esquema das flechas &
fácil perceber que Dé 0 conjunto dos
elementos de A dos quais partem flechas
e que Im é o conjunto dos elementos de
B aos quais chegam flechas, portanto:
R = ((2, 2), (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4))
D=(2,3,4) — Im=(2,3,4,6)

2) Se A- KER I 1S «<3; e B=(VEIRI1<Y<4), quel
40 dominio e a imagem da relagdo R= {(x, y E À X B | y = 2x)?

Utilizando a representaçäo cartesiana
temos DER 1 16x52} e Im= (y E RI2Gy a)

Ps axe

EXERCÍCIOS

2.108 Estabelecor a dominio ea imagem das sopuints rlacóes

EN (244,1, 6-70

siena aya 2D 0-30
CIA

9 6, 0.150

1.105 Estabelscer o dominio # à imagem das relagSes bináris do exercício A.100.

A106 Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 9, 4,8]. B=(2,-1,0,1,2) e Ra
rein binéris de A um 8 definida por
Ry o oy
Pedese:
sl enumerar os paras ordenados de R
bl enumerar of elementos do dominio e da imegem de A
e) over 0 gráfico cartesiano de R

A107 Se Re relacio bináriade A- (RER | 1 € x <6} em B- WCRI 1 Ky <a
¿etinida por B

MR ey

Pedose:

a) 3 raprosentagso cortsiana de À x 8

I a represenagia curtesiana de R

© @ dominio ® a imayem de A

AO Se POS sio ot reçus binarias ve À = (EZ | 2% x € 5) om
Be (CZ 1-2 VS) definidas por

x Ry — 2 divide tx y}
Sy — hi y 2

Podem se

A) as regrasentagóes cartesanas de R e de $
bl © dominio 0 à imagem de Re de S
ans,

VI. RELACAO INVERSA

104, Definigio

Dada uma relacio binérie R de A em B, consideremos o conjunto
RU (ly, 6 8 X ALO ERD

Como RA” à subconjunto de 8 X A, entio A”! 6 uma relacio binéria de
E em À à quai daremos o nome de relaie inverse de A

DER oo YER

Decora dessa definicäo que A”! 6 o conjunto dos pares ordenados obtidos
a partir dos pares ordenados de R invertendo-se u ordem dos termos em cada par.
105. Exemplos

12) Se A= (2,3, 4,6} e B= {1, 3, 5, 7} quais sio os elementos de
Roi OAK BI XL y) € de RY

Utilizando © esquema das Hechas

70-8

=

A .

4

17

temos R= (12, 3), (2, 5), (2, 7), (3,5), (3, N. (4. 5), (4, 71, (5, 7);

eR 2 {(8, 21, 6, 21,17, 21, (5, 3, 7, 3), 6, 4), 0, 4), (2, 5)
2) Se AR {xCRITSxS4) e Be VE RIZGY SB) re
presentar no plano cartesiano as eelapdes RU ME AXBly- 2x) »
sua inversa A
A ñ
o
4
al.
; 1
Tap ie

Vil. PROPRIEDADES

Süo evidentes as sequintes propriedades
1) DIR“) + ImiR)
isto & à dominio de A”? é iguel à imagem de R.

2) Im(R“} = DIR)
ito 6, a imagem de A"! iqual ao dominio de R.

SRT R
isto é, a relacio inversa de A"! 6 5 relacio R.

TIA

EXERCICIOS

2.109 Enumerar os elementos de R-L, retagío inversa de A, nos sequin
a) Re 144,21, 13, 11, 2,3)
DIA {41-12 (2,0, (8, 0), (2, 10)

2,1, 3), 6-2, -B), (8,

mentos € bogen oF gráficos de Re RI, sralsgdes bindris em
A= EN x 10°, nos seguimes cesos

a Re fix EAT] x ty 0)

bi R= fix, vi GAB I x + 2y - 10}

Re (ix EAT | ys mes}

a) R= {Ox yh E AP Ly = Oe}

AN Dados os conjuntos Ax («GR | 1x6), 8 - (y Ein 12 Sy S10} eos requin
tes relagbes Bias
ah Re tix aX lx y)
bi ss {i WE AX BI y= 2x}
ch Te {i AX Bly et ay
Vai COAX Bl xt y= 7}

pain o gráfico cartesian densas relscdes e das rospoctivas rlagdes inversas

TA

CAPÍTULO V

FUNGÖES

1. CONCEITO DE FUNÇAO

106. Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos
Av 1,23) e B- 4,0, 1,2,3)
© as sequintes relaçôes binárias de A em B:

Re {ix SAX Bl y= xt th
S= {i EAXB I v =x}

T= {KR WEAX Bly exe

Ve (YN EAXB yola IF 1)
We i EAX Bly = 2)

Analisando cada uma das relagóis temos:

ab R= (10, 1), (1, 2), (2, 3))

Para cada elemento x © A, com
excegdo do 3, existe um só elemento
yEB tal que (x NE R

Para o elemento 3€ A, näo exis:
te yEB tal que (3, ER,

bi S = (0, 0), (1, 1 (1, 5,
(2, 2, (3, 9)

Para cada elemento x E A, com
exceso do 1, existe um só elemento
y E B tal que (x y) ES. Para o el
mento 1 € A existem dois elementos de
Bo leo-t tis que (i, NES e
es.

73-A

e) T = 10,0), (1, 1), (2.2), (3, 3))

Para todo elemento x C A, sem
excecio, existe um só elemento y E B
tal que (x, y) ET.

a) V~ (10,0), (1,=1), (2,01, (3, 91;

Para todo elemento x E A, sem
excuçño, existe um só elemento y & B
tal que (x, y) E Vo

a w: {10, 2), 1,2), (2, 21.63, 2)
Para todo elemento x € A, sem
existe um só elemento y CB
tal que (xy) € W,

As relaçôes T, V, W, que apresentam a particularidade: “para todo x € A
existe um só y © B tal que (x, y) pertence a relaçäo”, recebem o nome de
aplicago de A em B ou fungdo definida em A com imagens em B.

11. DEFINIGAC

107. Dados dois conjuntos A e 8l"), nao vazios, uma relagio { de A em B
recabe o nome de aplicagio de A om 8 ou fungio definida em A com imagens
em B 59, e somente se, para todo x A existe um só y E B tal que (x.y Ef.

Fé aplicasio de AemB == (¥xEA, ByYEBI x VEN

421 Em todo o mosso estudo de fungdes, fica establecido que A e 8 +50 conjuntos formo
dos de nümeros resis, ito 4, À e 8 contidos em A.

74-8,

108, Vejamos agora com o suxito do esquema das flechas, que condi
satisfazer uma relacáo f de A em B para ser aplicaçäo {ou funcio).

12) $ necessirio que todo elemento x E A participe de pelo menos um par
(& 1 ET, ito & todo elemento de A deve servi como ponte de partida de He
cha

deve

22) & necessirio que cada elemento x € A participe de apenas um nico por
lx yet, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma
única Hecha

Une relacio 1, náo é aplicacio (ou funcio) se näo satisfazer uma das con.
‚Sees acim isto 6

do qual abo porta flecha slauma ou ina :
2 se existe um elemento de A es €)
i A a (J
re ung

109. Podemos verificar através da rupresentacio cartesiana da relacio 1 de A em
B se 1 ¿ou nio fungdo: basta verificarmos se a reta paralela 20 eixo y condu-
zida pelo ponto (x, 0}, onde xC A, encontra sempre o gráfico de tem um só
ponte.

110. Exemplos

19) A relacio 1 de A em R, com

ALLE RIAD,
representada ao lado à funcáo, pois toda
reta vertical conduzida pelos pontos de
abscissa x E A encontra sempre 0 gré
fico de Y num só ponte.

22) A rolacáo de A em IR repre
sentada ao lado, onde
ALRERI2<x< 2}
n30 & funcdo, pois há retas verticais que
encontram O gráfico de f em dois pon:
tos.

3%) A relagáo ft de A em AR, re-
presentade ao lado, onde

A- (xe RIOR % <4)
no 6 funcio de A am IR pois a reta
vertical conduzida pelo ponto (1, 0) no
encontra 0 gráfico de f. Observemos que
1 é fungi de B em R onde

8. {ke RI 26x <4),

EXERcICIOS

A112 Extabolecer se cada um dos esquemas des ralagdes abelxo define au ndo uma funcio.
de As (21,0,1,2) em B- ©. 1,2, 3). Justfiear.

ED |

A113 Quis dos esquemas aboino detinam uma funcio de A= {0,1,2) em 8 - £1,0,1, 2}?

+) ED
ŒE) Gb)

76-A

A 118 Ouais dat otages da IR em IR cujos gráficos sparacam absixo, do funçôes? Jusiicor

a

u
y FA Ft

IN. NOTAGAO DAS FUNGOES

111, Toda fungdo 6 uma relagdo binária de A em B, portanto, toda funcio é
um conjunto de pares ordenados.

Geralmente, existe uma sentenga aberta y = fix) que expresse a lei me:
diante a qual, dado x E A, determinsse y E B tal que ix, yi Ef, entáo
fa lO y IEA y EB ey thd}.

Isto significa que, dados os conjuntes A eB, a fungáo tem a lei
correspondencia. y = 1(x)

de

Para indicarmos uma tungio 1, definida em A com imagens em B se
undo a lei de correspondéncia y = fix), usaremos uma das seguintes notagées

HA —8 as
x fod x Hh)

TIA

112. Exemplos
1) FA —8
x > 2%
é uma fungáo que associa a cada x de A um y de B tal que y = 2x.
2 ERR
6 uma funcio que leva a cada x de IR um y de IR tal que y = x.

MR
x VK

6 uma funcio que faz corresponder a cada x ER, um y E IR tal que y=Vx.

113. Se (a, b} € f, como jé dissemes anteriormente, o elemento 6 & chama
do imagem de a pela aplicacio f ou valor de f no elemento a e indicamos:

Ma) = b
que sel “f de a & igual a D

114, Exemplo

Seja a funcio
ER R
x 2x +1 entio

a) a imagem de O pela aplicacio f é 1, isto é:
NO) -2-0+1=1

DI a imager de -2 pela aplicacáo 1 à -3, isto é:
42) =2 0 (2412-3 R Ei

e) anslogamente

=
M2
UD 2 2241

10,7) 22: 0741-24

78-A

EXERCICIOS.

A115 Qual 6 a notapdo dos seguintes funedes ce IR em IR?
al # omocia cada número reat 20 seu oposto
b) 4 asocia cada número reat 20 seu cubo,
cl Rasen caca número reel o seu cuadrado menos 1
8) K asocia cade número real 90 número 2

AB Quai 6 a nowedo dos seguintes (uned?
a) 16 funcio de @ em Q que associa cada número racional ao seu oposto adicionado,
ba 0.8 fungio de Z om © que asocia cada númoro inteivo À poténcia de base 2
e) Ni 6a fango de IR* em IR que associa coda número 1

ATT Soja fungi de IA em IR celinida por fix) = 92 = 3x + 4, Calcular
’ x a
oz 2 te o

oa v2,

a ted

AMO Soja 1 fungio deZ amZ definida por fix} ~ 3x - 2, Callar
sa a Ho)
E] alt

4118 Soja 1 a funglo de I om IR assim definica

a, e
240) aa
ORNE) 3-0 nos

us! & 0 elemento do

A120 Sela a fungdo f de IR om IR detinds por thx) = À

3

do dominio que tem À como imagem?

Solugdo

Queramos determinar o valor de x tol que fn) -
su, portamo,resolvor a equacio 2233

beste, por 1 oi --3

Resolvendo a equacio:

2 3
= ax - 3) 5 Be 12-15 xed

a
Resposta: o elemento € x = - À

79-8

A2 Saa tana 1 de M- {ih em dans por 100 > LE. out à 0 temen

40 dominio que tem imagom 27

A122 Queis so os valores do dominio da funcio real definida por fix = x2 -5x +9 que
produzem imagem igual a 97

IV. DOMINIO E IMAGEM

115, Definigio

Considerando que toda funçäo f de A em B & uma relaçäo bindria, entio
E tem um dominio e uma imagem,

Chamamos de dominio o conjunto D dos elementos x € A para os quais
existe y € B tal que (x, yl E 1. Como, pela definigso ce funcio, todo elemento
de A tem essa propriedade, temos nas fungdes:

domínio = conjunto de partida

0 6,
D-A

Chamamos de imagem 0 conjunto Im dos elementos y € B para os quais
existe x € A tal que (x, y) Ef, portanto:
imagem & subconjunto do contradomínio

isto &,
ImcB

contredominio

80-8

Notemos, que, feita a representaçäo cartesiana da fungdo 1, temos:

Dominio

(D) 6 o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticals condu-
idas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto 6, 6 0 conjunto formado
por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f

Imagem

(Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais
conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico def, isto &, é o conjunto for-
‘mado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.

116. Exemplos

19)

o

O-{ERI26x<1} Da (ER! 26x63)
Im=(yER1OSy <4} im. YER! -16y 64}

D-HERI x40} D= KEIRI 2<x<2)
Im a (yERi-2<y<0 Im= {1,2}
ou 1<y <2}

SIA

117. As funçôes que apresentam maior interesse na Matemática so as funcdes exencicios
numéricas, isto &, aquelas em que o dominio A e o contradominio B so subcon- x

juntos de R. As funçôes numöricas säo também chamadas fungdes resis de varié 128 Estabelocer © dominio e a imager «as fungdes obaixo:
vel real

Observemos que uma fungáo f fica completamente definida quando so
¿dados o seu daminio D, o seu contradomínio e a lei de correspondencia y - (x),

Quando nos referirmos à funcio fe dermos apenas a sentença aberta
y © fix) que a define, subentendemos que D € o conjunto dos números reais x

ujas imagens pela aplicagio F s3o números reas, isto & .
xED — WER es
“ m

118. Exemplos A124 Nos graficos cartsianot dos funds abaixe representadas, determi
oem.

inemos o seu dominio.

Tomemos algumas fungdes e deter

apy

19) y= 2x
votando que 24 € M pars todo x GM, tomos HE

Mr
notando que x7 € R para todo x € A, tomes:

D=-R. “|

1 E

y= =

1
notemos que € IR se, e somente se,

en au
EEE
yo VE ,
notemos que Vx E IR se, e somente se, x é real e náo negativo, entäo Er of
o- A. {
m Zune
ye [ | E
rotando que UTE R purs todo x EM, tamos: a p y
Dn cit coi I
ea

A125 Considerando que os gráficos abaixa sho gréticos de funcdes, estabelezer o dominic
ea imam,

ay 7 si ar T

bi

pal

og a

A426 Dar © dominio des seguintes lunes esi:

a 6d 3 + m.
CE Baba» hy
ES DE.)
e ay na. Nat?
oh 00 = VTT mao at
aun Y

V. FUNGÖES IGUAIS

119. Definigáo

Duas funcdes, f de A em B e g de C em D sio iguais se, e somente se,
A=C,B=0D e fx) =glx) para todo x € À

Ba

120, Exemplos

19) Se A=¿1,2,3) e B=(2,-1,0,1,2) ento as fungóes de A

sio iguais, pois

kot me f= oe at

e 92

x-2— £12) -

3— ae

+2 e 08

9) As funçües f(x) = Vx? © glx) = Ixl de Rem R sio iguais, pois
VE, Fre.

3%) As funçôes fix) = x e gix) = lx] de Rem R näo säo iguais, pois
xe xl para x <0.

EXERCICIOS

AE aj os tunes fg en de M am deli pot MD
ee lz} = 23. Quais delas sdo iguais entre si?

BAR As tungen: 1 de R om IR detinida por thx) = VIF e g de Rem A detinids
por glk) = x 630 igus? Justiiesr.

ADP tease 1 cui de ompondh ue
Veni

© aint E podem er igual? Juin.

Hd =

“ri

AO As función fog de A= RER 141 AGO où x>1hemR, definidas por

wa JET à ae VE 0 jui sun,
ABH une
ik oR a gik-{i} —R so igueis? Justificar.
Rat 2-1

APENDICE SOBRE INEQUACOES

Vamos ver aquí algumas técnicas úteis para os próximos capítulos.

121. Definigio

Sejom as funçôes f(x) e g(x) cujos domínios so respectivamente Dy CR
e D: CIR. Chamamos inequapdo na incógnita x, a qualquer uma das sentengas.
abertas, abaixo

#09 > abd
109 < abd
109 2 be)
fx) < be)
Exemplos
P12) 2x -4> x é ums inequaçäo onde fix) = 2x-4 e glx) = x.
29) 3x - 5 <2 6 uma inequeçäo onde f(x) = 3x -5 0 glx) = 2

2002 dune into onde 1 8-3 © a

4% Vx=2% I, 6 uma inequagdo onde f(x) = Vx=2 e glx) =

122, Domínio de validade

Chamamos de domfnio de validade da inequaçäo f{x} < g(x) o conjunto
D =D, ND3, onde Dy $0 dominio da funcio f e Dz & 0 domínio da funçäo
9. É evidente que para todo xy ED, estáo definidos f(x) e g(x), isto é:

X ED mmr MED € xy EDs) = fflxol E Re glxo) E RI
Nos exempios anteriores, temos:
1) D-ROR=R

2 O- RARER

DRM

MD-KERIKDINKERIxEH-
= KER I xa 20 x43}

88-A

123, Solugio

O número real xo & solucdo da inequagäo f(x) > g(x) se, e somente
se, é verdadeira a semtenga (xa) > 900).

Exemplo
O nümero real 3 & solucio da inequagdo 2x + 1 > x + 3, pois
2.3+1>3+3
e Ta
wa a

& uma sentenca verdadeira

124. Conjunto-solugäo

O conjunto S de todos os números reais x tals que fix) > gtx) ¿uma
sentenga verdadeira, chamamos de conjunto-solupio de inequacio.

Exemplo

A inequacio 2x 41> x +3 tem o conjuntosolugdo S = {xe R 1 x> 2),
isto 6, para qualquer Xp GS a sentenga 2x9 + 1 > xo +3 6 verdadei

Se nfo existir o número real x tal que a sentenga fx) > 96x) sein
verdadelra, diremos que a inequagdo f(x) > g(x) € impossivel e indicaremos ©
conjunto solugie por S = $.

Exemplo
O conjunto-solugio da inequagio x + 1> x +2 6 S=—, pois náo
existe x E R tal que a sentença xy 4 1 > xp + 2 seja verdadeira,

Resolver uma inequago, significa determinar o seu conjunto-soluéo. Se
xo € Ré solugio da inequacáo fx) > glx), entáo, xo étal que Mx) ER
e gle) ER, Isto 6, xo € D {dominio de validade da inequacáo). Assim sendo,
temos ,

MES — HED

où sis, o conjuntosolucio $ sempre subconjunto do dominio de validade da
inequagäo,

87-8

125, Inequsgäes equivalentes

_ Duns inequagdes sio equivalentes em D A se 0 conjunto-solugio de
primeira é igual ao conjunto soluçéo da segunda

Exemplos
19) 3x+6>0 e x+2>0 sio equivalentes em R, pois © conjunto-
solugáo de ambas é $= {x R | x > 2}

2) x<1 en <1 náo sáo equivalentes em IR, pois xy = -2 6 solu:
‘elo da primeira mas ndo o & da segunda,

126, Principios

Na resolugäo de uma inequaçäo procuramos sempre transformá-la em outra
equivalente e mais “simples”, em que o conjunto-solugäo passa ser obtido com

lidad. Surge, entäo, a pergunta: “que transformagdes podem ser feitas
:quapio para obter-se uma inequagdo equivalente?”. A resposta a esta
pergunta slo os dois princípios seguintes:

P-1) Sejar as fungóes f(x) e glx) definidas em D, e Os, respectivamente. Se
a funcéo h(x) é definida em D, N Dj, as inequacées

Hd < glx) e fx) + ix) < gl) + ALO
sio equivalentes em Di N Os,

Exemplo
Seja a inequacio
Be-1> 243
3 O)
m a

adicionemos h(x) = -2x + 1 aos dois membros:

WB + (2x #1) > (2x43) + (2x +1)

ER ghd + hé

portato, como (D & enuivaente a (2), temos:
S- {xe RI x> 4}.

Na prática, aplicamos 8 propriedade P-1 com o seguinte enunciado:
em uma inequicdo podemos transpor um termo de um membro para outre
trocendo 0 nal d termo considerado”.

fin) + hb gd — 100 < gl = Ni
Assim, no exemplo amero, terfama
3x-1>2x+3 — 3Bx-1-2x>3 =>» xO Stl — x>4

2 1d e glx) definidas em D e Ds, respectivamente. Se
definida em Di N D; a tem sinal constante, entäo:

P-2) Sejam as tun
a funcio Hd)

a) se h(x) > 0, as inequaches fx) < glx) e
Mx) > Ox) < girl + Rod so equivalentes em Di N Ds.
b) se n(x) < 0, as inequagdes fir) < glx) e
16x) + Mix) > gx) = hix) so equivalentes em Di N Da.

Exemples
x ag À
9%-2> le 6 so equivalentes em R, pois a segunt
1) 2-3 > y 0 6x 9>4 ado equivatemes em R, pois a segunda
inequaçéo toi obtida a partir da primeira através de uma multilicagdo por 12.

20) ax + 3x > 1 0 Ax? - 3x € -1 so equivalentes em R, pois a
segunda foi obtida da primeira através de uma multiplicagäo por -1 e inversäo
do sentido da desigualdade.

3) 322 >0 0 46-3>0 so equivalentes em A. Notemos que a
segunda foi obtida da primeira através da multiplicaçäo por +10, YxER.

Na prática, aplicamos a propriedada P-2 com o seguinte enunciado:
“em uma inequacáo podemos multiplier os dois membros pela mesma expresso,
mantendo ou invertendo o sentido da deviuoldade, conforme essa expresso sofa
positiva ou negativa, respectivamente”

exencicios

A.132 Resolver as inecuacóos am

a) +5 >2x-3
b) Six +3) - 2m + 1) € 2x + 3
©) Sie + ZAS = 1) = 312K = D

89-A

ASS Resolver em i, 3 inequagso

122 o.

one Familia serve a ciéncia por 100 anos
A iran pops € ao 3 mau que abba

Zur 23 2 aie Den

Nenhuma familie na história do Matemática produziv tantos moteméticos célebres
Eretvando as opmragdes, tomos:

‘quanto & familia Burnouli. Oriundo dos Países Baixos euros, eta família emigrau em

ont 720% 1583 pare Ban, na Sul, land da gue, Cera de ume dri de mmbros da famila
où aio corsegaa renom na Motemétca © na Flak, endo qual ele its como os
a ‘Sirangvor de Academia dor Cdn, da Fran.
Dividindo ambos oF membros por -7 = lembxendo que demos Inverter a sic Nicolaus
dae, tomos (9623-1708)
<ı — — —
+. portant, Fr rg)
s-kerlıcı) (1654-1705) (9662-1716) (1667-17481
‘ si _
A138 Rein em as inequags: Micol 1 Nils in Dali 1 on
Y ld (1687-1750) 11696-1726) (9700-1782) (1710-1780)
5-5 1 dealt Damen en
» ic. * -
3 7 (746-1807) (751-1834) (1759-1780)
NEN ES
di (Ox = 28 = Ex DH En VA 19782-1869)
€ SUK = 2) = (x + 21> 8x = 6 = Ale = 1)
Ole + 21 2 2x DRAKE on Cana
nent -188si

2.135 Resolver em, à inequacio

2-3 (Os Bernoulli matemáticos: drvore genoalien
a1 02 Ds primes Bernoulli que se destecarem cm Matemática foram Jacques 0 Jenn,
Solugdo respectivarante quinto e décimo fihor de Nicolaus.

Jacques visjou muito poro encontrar cientisias de outros palses. Destacouse por
seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de Tungúes publicados
ra revista “Acta Eruditorum" ¡Anotacóos dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinies

A inequasto proponte $ aquvatente a

que, ruso so mesmo cenorinador, ten Lo em que aparece o estado cótbr combecido como “desguidade de Bernau”: + > +
Tyas ele € tante atribuido demonsacio de que à die armónica $ vivemete
Novemos que à He “1 vec ser ndo pasivo; como o numerador 1 6 mee Jacques unta uma verdadera fascina por corr, tendo eitudach sóras deus: à

parábola semsúbica, lemniseaa, a catendia, à ibcron à espia! logarítmica, et.

Jeon Bernoulli segundo à vortade do seu poi deveria ser médico, poréin indo ostudor
em Paris, demarrou para Matemática, exerawndo em 1691-1692 dois iwos de Cálculo que
foram publicados muita mais tarde, Em 1592, pazsou a ontinar Cálculo a um jovem marque
de L'Hospital e, em t10ca de um sitio reyular, concordou em enviar an sobre Hai aus
Hesoobiriae mntemáticas, pora serem usados como o marquis o deseas, A eontaqühnei foi
que uma das mais importantes descobertas de Jean passou à História com nome "ragra de
UHospita” se fx) e glx) so funedos dierencióves em x - a, Hal. 00 lal O,

EE] vs 4-3 emo existe tan Lo m 29 jm FR
an ES er 74 92°" Moto © US abr” o

tivo, entio © denominador x - 1 deverá sur positive. Lembrando que o denomina
o mio poder ser nulo.

ES

e, portanto,
s-kemlx>1)

A.136 Resolver em R, as insquacdes:

90-8 sa

Os ics Jean € Jocques mantinhem Intense correspondnca com Leibniz.
pora a mesma reve, "Acu Ecuditorum |
or do clásico “Arte de coniscturar”, comia

CAPÍTULO VI
Jean fol pal de Nicolas, Daniel a Jan I. Nicola foi profesor de Matemática am
$, Peerdurgo e Dane e Jean Il foram protestors sm Ami. Outro Barnaul, Niclas I

Soo cael paces nas De eal see D oa FUNGOES

Da geraeio mes jovern fol Daniel que mais se destacou com seus resultados em nigro-
“indica e probabilidad.

PR em q ia et DO 1° GRAU

1. FUNÇAO CONSTANTE

127, Definicdo
Uma aplicagéo f de IR em IR if
recebe o nome de fungäo constante quen:

do a cada elemento x € IR associa

0.0
sempre o mesmo elemento GE IR
Iso 6:
HR —R
x—€ ig
Jean Bernoulli Jacques Bernoulli el . 1
(1667 — 1748) 11654 — 1708) © gráfico da fungáo constante é uma reta paralela ao sixo dos x passando

pelo ponto (0, ch.

À imager é o conjunto Im

ich

128. Exemplos

Construir os gráficos das aplicapdes de IR em IR definida por:
vy=3 ay. 1
yy y

DE]

Daniel Bernoulli +

(1700 — 1782)

«Y

92A

11. FUNGÄO IDENTIDADE

129. Dofinigio

Uma aplicacio 1 de IR em IR
recebe o nome de fungäo identidade
quando a cada elemento x E Ras
socia o proprio x, isto &
LR R
Xe x

O gráfico da fungáo identidade $ uma rete que contém as bissetrizes do
19 e 39 quadrantes,

A imagem & Im = IR,

MI. FUNÇAO LINEAR

130. Definiggo

Uma aplicagdo de IR em IR re
œbe © nome de fungáo linear quando v
a cada elemento x E IR associa o
elemento ax E IR onde a #0 é
um número real dado, isto &
f: ROR
van a #0 (mn ei

Demonstrase que o gráfico da fun-
‘edo linear & ume reta que passa pela
coigem.{*°)

A imagem 6 Im = IR.

De fato, qualquer que seja o y © IR, existe x=

que

len Lay,

(4) Oberve que se 8 = 0, teramas a fungio constante y = 0.
(re) Essa demonstragdo será lora para um coso mais geral e se encontra na página 96.

94-A

131. Examplos

19) Construir o gráfico da funcio
y = 2x, Considerando que dois pontos y
distintos determinam uma reta e no caso
da fungdo linear um dos pontos & a
origem, basta atribuir a x um valor
no nulo e calcular O correspondente
y= 2%

0.2

Pelos pontos PIO, 0) e Q(1, 2)
tragamos a reta PQ que 8 precisamente
gráfico da fungo dada.

291 Construir o gráfico da Fungäo
Y = -2x, Analogamente, temos:

—
x y. 2%

1 2

Exencicios

A137 Consuuir o gráfico dus fungBes de IR em IR:
aye? ve
vv dyso

A138 Construlr, num mesmo sintoma cartesiano, of gráficos das funcóas de IR em A:

DE NA ve

A129 Coattruir, num mesmo sistema cortslano, oF gráficos dis funcóes de Rem Ri:

DU dy

95-A

IV. FUNÇAO AFIM

132. Definigäo

Uma aplicacdo de IR em IR recebe o nome de fungáo afim quando a
cada x € IR estiver associado 0 elemento (ax +b) E IR com 8 #0, isto é:

ER—R
x axtb, 2#0

133, Exemplos

aly=3x+2 onde 43 e
bhy=-2k+1 onde a= -2 0
cly=x-3 onde a=1 0
dy = 4x onde 3-4 e b-0

Notemos que para b = 0 a funcio afim y = ax + b se transforma
na funcio linear y podemos, entáo, dizer que a funcio linear é uma
particular fungio afim.

V. GRÁFICO

134, “O grático cartesiano da funcio fx) = ax + b (a #0) 6 uma reta

Demonstragáo

Sejam A, Be C trás pontos quaisquer, distintos dois a dois, do gráfico
cartesiano da fungdo y = ax + b (a # 0) e Lu, val, Ona, Ya) © (Xa, yal, re
pectivamente, as coordenadas cartesianas desses pontos.

Para provarmos que os pontos A,
8 e C pertencem = mesma reta, mos
tremos, inicialmente que os triángulos
retángulos ABD e GCE sio seme-
Ihantes.

De faro
NT O)

O)

PO)

Subtraindo membro a membro, temos:

Yo = Ya = aba a)
von. Ya

Va Yr ala mal

Os triángulos ABD e BCE söo retángulos e tém lados proporcionais, entäa
slo semelhantes e, portanto, a = B. Seque-se que os pontos A,B eC estäo
alinhados.

135. Aplicagdes

19) Construir 0 gráfico da funçäo y = 2x + 1

Considerando que © gráfico da fun
80 afim é uma rota, vamos atribuir a x
dois valores distintos e calcular os cor.
respondentes valores de y.

x yeast
o 1
1} 3

O gráfico procurado & a ret

que passa palos pontos (0, 1) e (1,3)

2%) Construir o gráfico da funçéo y
De modo análogo, temos

x ye-xt3
o 3
1 2

exencicios

‘A140 Construir o gráfico cartesiano das fungóos de A am IR:

Mya! Dy-x+2

Aya ay. 2d
7

er Bed Dyextt

dv--x+3 my. Le

A.141 Resolver analitica # graticaments 9 sitema de aqua:

ey -3
E
Solueto Analítica

Existom diversos procisos analíticos pelos quate podernos resolver um sistema de
quogies. Vamos apresentr doi gels.

191 processo: Substitugo

Esto processo, consiste am subttituir O voler de ume das incógnitas, obrido @ pert:
de ume cas aqungöer. na cutra

Fesolvendo, por exemple, a primeira equacío na incógnita x, tomos:

xd e y 3
* substitulmos x por ete valor na segunda aquagio:
E Bad + ve?
que lovamos à primera equaeSo, encontrando:
*-2
ma 6 0 par ordengdo (1, 21

ax

A solugio do

22) proceso: Adicio
Esto procamo batons nas saguintes propridacht:

1. "Num sistema de equestos, sa multilicarmos todos ox coticiontes de um equagéo
or um número nio nulo, o sistoma que obtemas 4 equivalento 90 anstrir (+)

print (ere «zo

ane + bave aa + Dav = 2

l "Num sistema de equages, se subetiulrmos uma das equapden, pelo sun soma
com uma oUite equgso do sistema, © novo sistema 6 equivalente 20 anterior”.

ayn + Dy =e lay + sabe + (by + Bly cite

Loan + may = er ten

(Sistemas de aquagdes Ho aquivlentes quondo apresantam as mesmes solucBes.

© tundemento do proceso da adigfo, consiste no saguinte: oplicando 8 primeira
Proprisdede, multiplicamon cada tquicio por números convenientes, de modo que,
où confciantas da doterminads incógnita sam opostos e pela Segunón Propriednda,

Seale ot ane Sees eee
sain re {RUE :

maltiplicamos » primeira equagie por 3

Bay -
Laat dyed

Subttituindo o primeira aqusgSo pele soma das duos sauacden, tomos:

substituindo x = -1 am 2x + dy = 4, encontramos
Dead myn?
À solugo do sistema & o par ordenado (-1, 2)
Solugio Gritica
© sistema proposto
Lives 3
PRET)

€ equivalente a

Construtmes os gráficos de
ctxt

verte ya

A solucio do sistema So as coordemdas do ponto de intorseccio das rela, nortanto

4,2).

A142 erolver analitics e graicsmence os sistemas de oquacios

“eyes SX - 27 = 14
«a Der
a [See fee?
DEP De ya
mt 2 +820
NE sayo

2.163 Resolvor os sistemas de equagdes:

Boyes

A144 Obter 2 oquacto da reta que pass pelos pontos (1, 21 0 (8,

Solo
Sein y = ax +b wequagfo procurada. O problema esaráresovido sa detorminarmos o
valores de ae be

Considerando que o ponto (1, 2), pertence a ret de equayio y =ax + D. a
substinirmos x= 1 © y 2 am y ax +b, tomos a enga vicdadsic

Dearieb ito: atba2
Anslogamente, pars o ponto (3, -2), obtemor:

eo dtn moi Jorba 2
Resolvendo o sistema

arb-2
Serbs -2

oncontamos a= -2 0 bad.

‘Assim, a equagfo da reta 6 y = -2x + 4.

A145 Obter a equaco da reta que pares polos pontos:

a 0,9 + 3,5) bh, @ (1, 2)
d 6-20 6-8 CRE)

VI. IMAGEM

136, O conjunto imagem da funcio afim fi IR > IR definida por fix) = ax +1
com a#0 en.

YP ER na

De fato, qualquer que seja y SIR existe x =
y-b

toy = 022) +b=y,

100-0

VII. COEFICIENTES DA FUNÇAO AFIM

137. O coeficiente 3 da funcio fx) = ax +b é denominado coeficiente
angular ou deciividade da reta representada no plano cartesiano.

O coeficiente b da fungño y =

x +b 6 denominado coeficiente linear.

138. Exemplo

Na fungio y = 2x +1 o coeficieme angular 6 2 e o coeficiente linear
6 1. Observe que se x = 0 temos y= 1. Portento, O coeficiente linear €
a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y,

exeRcicios.
A146 Obter a equacie da reta que pesa pelo ponte: (1, 3) a wm coefci
iguala 2.
Sole
A equaclo procurada & da forma y » ax +b.
Se o copficiene angular 6 2, enti a= 2
Substiuings x= 1,y=3 € a
Be21eb + bat
A aqua procurado 6 y= 2x + 1

2 0m ys ax tb, vom

147 Obtor a equaglo de rat que passa pelo ponto 1-2. 4) 0 tam eoeticonte angular
Igual a -3.

A148 Obter » oquigdo ch reta com coeticiote ongular igual a - © pasando polo
pomo (-3, 1)

A149 Obter a aquapdo da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tam coefiiants linear igual
24

‘A180 Obter 2 equacio de rete com coeficiente ner iguol a -3 e pest pelo ponte
13, 2),

101-4

AST Dados os yiticos das fungies de Rom. IR, obter a ii de conpondincia desear

fungi,
2 ETA >” FE
i
E ER ine}
9 gr TE os FT
FRE

VII. ZERO DA FUNGAO AFIM

139. Detinicio

Zero de uma funedo é todo número x cuja imagem 6 nula, ite 6, x) = 0

x 6 zero de y= fod — fh) <0

Assim, para determinarmos o zero da tung afim, basta resolver a equaçäc
do 19 grau
eb

A" 5
que apresenta uma Única solucio x = =>
De faro, resolvendo ax + b = 0, a0, temos

ren me x=

Exemplo

O zero da funedo fix) = 2x -1 6 x= L pois, fazendo 2x-1=(
1 2
2

102-A

140. Podemos interpretar O zero da funcño afim, como sendo a abscissa do ponto
onde o gráfico corta © wixo dos x

Exomplo
4

Fazendo o gráfico da funçäo
y = 2x - 1, podamos notar que a reta
mercepta 0 eixo xem xe À
intercept dos a

isto 6, no ponto (7. Ol

IX. FUNGGES CRESCENTES OU DECRESCENTES

141. Definicáo

Afungio fi A — B dofinida por y = fx} é crescemte no conjunto
Ay CA se, para dois valores quaisquer x, e xj pertencentes a Ay, com
xa <x, termes He < fe).

Em símbolos: fé crescente quando
(Pda Sq > NES CN)

+ isto também pode ser posto assim:

0)

>

(ORAN

Na linguagem prática (no matemá.
tical, isto significa que a funcio & cres
cente no conjunto A, se, a0 aumentar.
mos o valor atribuido a x, 0 valor de
y também aumenta,

103-0

142. Exemplo EXERCICIO.

A162 Cam baso nos gráficos abi, de fungdes de IR am IR, especificar oF imeralos

A tunçdo f(x) = 2x & crescente em IR, pois: onde a funcio 8 crescante où decrescente

MÍ? By <2eq para todo x, EIR e todo xy E IR. a à
Les
fou) that
a 1
143. Definigáo g 2 Ex
Afungio #: A —+ B definida por y = f(x) é decrescente no conjunto
Ay € A se, para dois valores quaisquer x, e x; pertencentes a Aj, com
x < xq, temse fe) > fla).
Em simbolos: £ 6 decrescente quando ==”

Wal Sn = Hy) > Mb)
+ isto também pode ser posto assim:

(Wa, xa dr >

X. TEOREMA

Na linguagem prática, {no mate-

mática) isto significa que a funçäo 6

decrescente no conjunto Ay se, a0 au

mentarmos © valor atribuido 3 x, 0
valor de y diminui

146. “A funcio afim 6 crescente (decrescente) se, e somente se, 0 coeficiente
angular for positive (negutivo)”.
Demonstracáo

100 wax rod crescente Pr me

144. Exemplo En
. rl tan tb) 0 fus # x) > 9 (x, HG) oe
A funçäo fix) = -2x & decrescente em R, pois i MX
MX -2x) > -2x para todo x, € R e todo x; € iA, —:>0
o ea Fica como oxercício provar que f(x} = ax + D decrescente equiale a
a<a.

Notemos que uma mesma funcio
y = flx), pode nio ter o mesmo com-
Portamento (crescente ou decrescente) EXERCÍCIOS

em todo o seu dominio,
A153 Espocficar para cade uma das Tungdes abalxo, se 6 crescante ou dcrescante em IR:

+3

€ bastante comum que uma fun nes ue
soja erescente em cortos subconjuntos

de D e decrescante em outros. O gré
fico 90 lado representa uma fungio cres-
cente em Rye decrescente em R..

Serie

x 3) E cretcamte, pois o cost
BI € decrosceme, pois © coefici

ame angular positivo. (a » Al
ie angular & negative (a = 41,

1044 105-A

A154 Especificar para cada uma das fungi: abaixo, e # crascente ou decrescante em IR.
9 verts Dir--3-2x
Oyler? ay-3
d ven D vs

(ABB Estucor segundo os valores do porámero m, a vario (eescente, decrescante ou
contame) da fungdo y= Im = x + 2
Solo
Se m-120, to 8, m 31, antho e fungio ta coeficiente argular positivo e,
Se m-1<0, 04, m <1, entio u funcio tera coeticien
Portanto, deerescente em IR.
Se m-1.0 id m=
Y= 2 que 6 constan em IR.

gular negative 6,

Aro será fungdo y= (t= tik 2, ou win,

A156 Estuchr segundo os velores do parámetro m, e variráo (crescent, decrescente ou
constante) ds funcóos abaine

Dry (8 = mix +2
D ve d= Um 1 3x De med

XI. SINAL DE UMA FUNGÄO

146. Sejo a funcio f: A» B definida por y = 1(x), Vamos resolver o problema
“para que valores de x temos fx) > 0, f(x) = 0 cu fx) <0?”

Resolver este problema significa estudar o sinal da funcio y = fx)
para cada x pertencente ao seu dominio,

Para se estudar o sinal de uma fungäo, quando à fungäo está representada
no plano cartesiano, basta examinar se 6 positiva, mula ou negativa a ordenada
de cada ponto da curva.

147 Exemplo
Estudar o sinal da funcio y = f(x) cujo gráfico está abaixo representado.

ve tbe

106-4

Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = fx)
20 eixo dos x, ndo importando a posicáo do eixo dos y.

em rel
Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:
yeti
Darm
of? E
7 x
CS

Conctusso:

16d = 0m xe -1 où x=2 où x=4 où x=7
fod > D == -1<x <2 où 2<x<4 où x>7
COX <-1 où 4< x <7,

EXERCICIO.

A167 Estudar © sinal dis tunedes cujos gráficos sto representados aha,

ai v
vorn
2 6
»r v
3 x
veal
a
ws vd
- x -

107-A

XII, SINAL DA FUNGÄO AFIM Colocando os valores de x sobre um sixo, 0 sinal da fungdo fix)
com 4 <0, &

ax+b

Considerando que x =- 2, zero da fungdo afim fix) = ax +b, ma

a
o valor de x para o qual fKk)=0, examinemos, entäo, para que valores
ocre fx) >O ou fix) < 0.

Devemos considerar dois casos.

Podemos analisar o sinal da fungáo fix) = ax + b com a<0, construindo
© gráfico cartesiano, Lembremos que neste caso a fungio decrescente.
148, 19 caso: a >0

10) = ax 1b > 0 m ax >-b ome x>- D
a

fix) = ox #0 <0 ome o o xc À

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da fungSo fix) = ax +b
com a >0, &

2
fla) = ax + D a a
&> 01 - o + 150. Resumo.

Um outro processo pars analisarmos a variaçäo do sinal da fungäo afim o $
6 construir o gráfico cartesiano. 1) A fungáo afim bd = ax + b anulase pare x =~ À

Lembremos que na funcio afim fix) = ax + b 0 gráfico cartesiano é

uma reta 8, se o cosficiente angular a 6 positivo, a funcio & crescente. 2) Para x>- 2, tomos:

Construindo o gráfico de f(x) = ex + b com a>0, e lembrando que

io impona a poso do aso y, tros 8 2>0 amo th)
E Pe AS se a<O entño fix)

=a tb>0
ax +b <0

isto 6, para x >= À a funedo fx) = ax + b temo sinal de a

3) Para x<- À, tomos:

se 2>0 emo fx} eax tb <0
se a <0 emo fix) = ax +b>0

148. 2 caso: a < 0 >

iso 6, para x <= À à fungio tix) = ax +b tam o sinal de a (nal

fh) = ax $b > 0 ee aK > -b me x <- contrério ao de al.

Se colocarmos os valores de x sobre um eixo, a regra dos sinis da fungi
afim, pode ser assim representada,

fix) © ax +O ee a = >

108-A 108-4

«<-> nee IE
A A/A

fix) tem 0 sina! de 100 tem o sinal de à

ou, simplesmente:

10d tem o sinal de -a 9 fa) tem o sinal de a

151. Exemplos

19) Estudar os sinais da fungio Fix) = 2x ~
Temos:

fo) 0=> 2102 x 1

4-2 3>0 8 -a<0

Logo:
para x > E fh) > 0 Gsinal de a= 2 > 01
pare x <q > 1) <0 (nal de à = -2 <1

Fazendo o esquema gráfico, temos

sinal de -
100) = 2x = 1

2) Estudar os sinais de ((x) = -2x + 4.
Temos

Mh = Oe -2K + 4 = D x
a=-2—2<0 0 -a>0

para x > 2 => 16) <0 Gsinal de a
para x < 2 => fx) >0 (inside -a

Fazendo 0 esquema gráfico

Sinai de o =
Ha) 2 -2x à 4

110-4

182. Um outro processo para analisarmos a variacio do sinal da fung3o afim
é construir o gráfico cartesiano.

Lembremos que na funcáo afim fix) = ax + b o gráfico cartesiano &
uma reta e a fungio & crescente (decrescante) se o coeficiente angular a &
positive (negativo)

Assim nos dois últimos exemplos, temos:

y 1022501 y

+

DE

EXERCICIOS

A158 Estudar of sins das fungóes demie em R

muaa Dives?
dra dveser
x we à
dress ny- ges
N 3 7 y
or my

ASO Soja a funcio de Ram IR definiga por Fix) = 4x - 5. Determine os valores
do domínia cu fungi que produzem imagens muioras que 2.
Solugio

Os valores do dominio da funçäo que produzem imagent maiores que 2, sio os
valores m x ER tis que

a-5>2
+, portant,
>

A160 Para que valores do dominio aa Tuncdo de Rem IR definido por fet DE

a imagem 6 manor que 4?

Aver Pra que stc de x EA a tango Hind 2 E à o?

ma

A162 Seiam se tungen Hla) = 2x #3, gdl Za huis
em R. Para que valores de x ER, mm
ab thal > eb? DI 96%) < niet?

ait

definidas

2) the 2 nia?

A.163 Dador 0% grficos das lunçBes [gon

definidas em A. Determinar os valores

de ER, tals qu

a) 160 > asl

Damen pane

©) tha) > nb

a) abd > 6
el 10d Eo X [|

XII. INEQUAGOES SIMULTANEAS

153. A dupla desigualdado f(x) < (x) < hix) se decompüs es

Im duas inequa

(62s simultáneos, isto 6, equivale a um sistema de duas equagôes em x, supa:

radas pelo conectivo 6:

100 < gd ©

100 < gh) < RD = .
aki <b MD

indicando com S; 0 conjuntosclugio de (D eS, o conjunto-olugso de

@, o conjunto-solucko da dupla desigualdade € S = SO Sy.
164. Exemplo

Resolver Bet 2 € -x + 3 € x + 4
Cs

O

‘Temos que resolver duas inequacóes:
O wt2<-x+ 3m < 1m x < À

1

D -x+3%x + 4m -2x € 1 mex -

12-8

A intersecgdo desses dois conjuntos &

1
7

1

EXENCICIOS

A.166 Resolver as inequocies em Fi
8) 2S a1 <4
DELETE or
a -3< 2<x

SN
aK 64 <5 <6
W 2x <aercared

‘ALTOS Resolver os sistemas de inbquacóos em R.
e

de 2> aed D fs-2x<0
CRETE Bett eae 8
x-320

Roma

forza
Bae Saxe

A106 Com base nos gráficos das funcdes $, y y DE
Eh definidas om, determin
0% valores de x ER, tai qu nt
a) Fld < td Gba
BI ola € te) < nad HA
CRETE E
F

XIV. INEQUAGOES-PRODUTO r

165. Sendo f(x) e ix} duas fungdes na varidvel x, as inequagóes
160 + abe) > 0, F0 » gtx) <O, fhe) gle) 30 e Kix) » gix) <0
sio denominadas inequapées produto.

113-4

156. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunte-solugso S da
inequagso fix) + gba > 0.

De acordo com a ragra de sinais do produto de números resis, um número
xo 6 solugdo da inequacd0 f(x) = gtx) > O se, e somente se, Mix) e alkol,
náo nulos, tem © mesmo sinal.

Assim, s3o possiveis dois casos:

19) fx) >0 e ax) >0

Se S, © S; so, respectivamente, os conjuntossolupóes dessas inequacóes
entáo Si MS, 6 0 conjuntosolucio do sistema.

2) tod <0 e 900 <0

Se S, 8 S, s50, respectivamente, os conjuntos-solugées dessas inequacóss,
S¿ Sa é 0 conjumtosolucdo do sistema,

Dai concluimos que © conjunto-sotucdo da inequaçäo do produto
tod) +90) > 0 6
S= (8, NS) U (8, 0 Sa)

Raciocínio análogo seria feito para a inaquagiio,
fix) + abd) < 0.

187. Exemplo

Resolver em R 2 inequacño (x + 22x - 1) > 0.
Analisando os dois casos possiveis

19 coso
Cada um dos fatores 6 positivo, isto &
x+2>0=x>-2 2

a&-1>0—%> À

|

A imterseccio das dues soluçôes &

SMS = ix e mlx> 4}

mua

2 caso
Cada um dos fatores & negativo, isto 6
x12<0=x<-2

>»-1<0=x< 1 O GERNE 3
E 1
A interseosäo das duas solugdes 6: e
SNS = (x € Rix <-2}
© conjuntosolucáo da inequagéo
(422-1 > 0 &
55,08) (8.0 8) = (x € RIx> June Rix <2}
portanto

Sexe RIx<-2 où x > À
2

158. Vejamos, um outro processo, mais prático para resol a
. ra resolvermos a inequacáo
+2): (2x 1) >0 em R.
Fozemos inicialmente o estudo dos sinais das fungóes f(x) = x + 2
gd 2 = 1
: 2 x ! ES x
fix) - o + ain! - 0 +
Com o objetivo de evitar cálculos algébricas no estudo dos sinais do
produto f(x) + gix), usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadro-
produto, no qual figuram os sinais dos fatores e o sinal do produto,

2 2 x
too - oo - | +

ms 5 0 +

find gb) + 0 - oO +

nt —— — roms
- 1

2

Se(x E RIx<-2 où x >

115-4

189. Podemos estender o raciocínio empragado no estudo cos sinais de um
produto de dois fatores para um produto com mais de dois fatores.

Exemplo

Resolver a inequacio (3x - 2x + DB - x) <0 em R.

Analisando os sinais dos fatores, temos

160 = 3x -
ob =x —
hod = 3-x —

Vamos, agora, construir o quadro-produte

O)
IO]

Resolvendo (I) temos S = {x € RIx <- Fo x>

Resolvendo () tomos. 5;

© conjunto-olugio 6:

S-S5 US ={xERIx<- 1 où x> & Eb E
entre. 1 > Bud, By

où wi
= 4 :
2 2 a : Sete Rixe-b ov «> 8}
= - nt Se recorrássemos 80 quadro-produto, teríemos:
ao = m = Fe He ,
B Lo 4
om E u
ATAN CINE = D ae BOE - — -
£ 2 3 ENEE 5 a)
a CET q
Sete RI-1ex< À où x>3)

160. A inequagio f(x) + gx) > D tem por oonjuntosolugäo S a reunido do
conjunto-solugio S, de inequagdo f(x) + glx) > © com o conjunto soluçäo
S, da equapáo fx) » glx) = 0, isto &

Fix) - gb > 0
fix) glx) > 0 — où
A + gtx

Exemplo
Resolver e inequagäo (3x + 1)(2x - 5) >0 em A.

A inequagdo (3x + 12x - 5) > 0 6 equivalente a:

116-4,

S2fxeRixc-1 où x» 5
{ jr

161. Dentre as inequagdes-produto, sio importantes as inequacóes: [fix)]" > 0,
[teal < 0, [fa]? > 0 e [I <0, onde n E N°

Para resolvermos estas inequagöes, vamos lembrar duas proprisdades das
poténcias de base real e expoente inteira:

19) “toda poténcia de base real e expoente impar conserva o sinal da
base", isto &

att >o — a>o

SiO — a<d (MEN)

117-8

29) “toda poténcia de base real @ expoante par é um número real nño

ñ EXERCICIOS.
negative", isto

1.167 Resolver em us inequecdes:

ah (ax + Ex - 312 0 — o 16 8 4 2x1 SO
n 20 Gxt 2 alla + PO + 0) e+ 2 Mix + 61 <0
vase 01 1Ex - 11a + 712 0 1 16-240 O

Dl + MG ML 2 DZ O
A AGE Rosolver mn IR ineavagSos:

Assim sendo, temos as sequintes equivaléncias: aa ea
ao 0-780

in fix) >0 en 6 impar lao So
HOIP > 0 et ga à on dpa ao E

A,169 Resolver em IR a inequacio be 315+ 12m 1 3° < 0.
. 0 sn Eimer
ar < 0 «+ Sousse
tor non Geo : ;
Estucomos separadamente os sat dan fangs fst = Ge = Se gl = (Be af

Ltmorando que » potínia de axpoente lmpar € base mal lem o in bow,
"> MODO sen à impar ano. à sina! de = SIP igual 90 sina! de x = 3, isto &
mir (ooo im ;
tol.
n 100 50 se n° 6 impar A potincin de expoente por bass ral nfo nula # apa ponts emo (x + 31°
Ol <0 oe
(val Mb) =0 se né par sponta sa nt Se ne oe xo 3, inne
2 2
wt
Farmdo o auacro-produto, eos
Exemplos roto, uns
2 3 2
19) (Bx = 2 > 0e k= 2>0—S= (xe Rix> À
3 mm al = o B
2) lar 70 | xe -340—9 Sexe Rix 4 À} oa EL a H a
CT 28 E o E
Pl rro arcos. (rE mis à 3 3
7
eg sembla ewe 3
sm (3 - Sx) >O— 1-0 $ a AITO Resoher em Ros inoquactes
Y (ax = 5? > 0 Se ah (5 + ae x ro
er Der te à ai 20
72) (8 - 2° & 0 — 8 2x =~ Oum S = (4) We

8 Be 1202 4 BIA 6 2 0

119-0,

XV. INEQUACOES-QUOCIENTE

.x»-2
162, Sendo 100. alk) duas fungdes na varivel x, as inequagdes >
bi 109 fhe ll SERIO DAME RIO 2) (ERIN
za 0 god SP

© conjunto sotugio &:
slo denominadas inequagóes quociente. y 5
Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de números a

reals sio andlogas, podemos, antfo, construir © quadro-quociente de modo à ,
. Daremos sempre preferéncia ao método do quadro-quociente, por sua mai
análogo 20 quadro-produto, observando O fato de que o denominador de uma cdi ne ne. a
m: simplicidado.
fracdo no pode ser nulo

163, Exemplo
+ exencicios
Resolver em IR a inequacio MIA <2. Temos: 5
= LAY Resol nanas om

ra ara 4-20 mo. ER

a ea ee ses Ar 20 yr <°
2-0 aa

m Pair 0

Fazendo o quedroqueciente, temos j
52 <>
2 Ñ Vars
be 3-5
Tod = Bx +7 = o = Li = er “
sds =m 2 D =
Tr E ATA Resor us iaquectes om e
si E ; tr au + an y
7 E u Ir Maren <0
B ; aan +
a EN Do

peñas 2m x>n ;

Podemos res a imquacio PIE < 2, mulipiando por nis) - eco cra

2
414% amino di coms: +
Baer mo x<1 apo a
BE co aa crée À iso

Si le Rix < noe als 2j. (ee mix 2}

121-A
120-8

Jovem luta para ser ouvido

Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da peque
ideia de Findo, na Noruega.

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras mateméti-
ces, inclusive as “Disquisitiones” (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conse.
guiu generalizar © teorema binomial que Euler sö havia provado para poténcias

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto
à familie, mas mesmo assim continuou pesquisanco e, em 1824, publicou num
artigo a prova de que se o grau de uma equagdo € maior que quatro, ndo existe
uma fórmula geral em funcio de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era
düvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava
resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas
passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o “Teorema.
de Abel-Ruffini”, um dos mais importantes da Matemático,

Sau nome também está ligado a grupos abelienos, ou comutativos, e alguns
de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de
‘mostrar suas descobertas mas ndo obteve éxito e numa de suas cartas a um amigo
esereveu “Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei
um extenso tratedo sobre certas classes de funcdes transcendentes mas M. Cauchy
nilo se dignou a ol

Abel esperava obter um posto de
professor em alguma Universidade e por
isso deixou suas memórias com Cauchy
para que fossem examinadas mas este logo
as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido à falta de recursos morreu
05 26 anos, de tuberculose, deixando
profundos 8 importantes resultados em
Algebra e Teoria dos Números.

Dois días após sua morte chegou
finalmente a carta informando que havi
sido nomeedo professor na Universidade
de Berlim.

Em 1830, Cauchy achou os manus
ritos de Abel que foram publicados em
1841 pelo Instituto Francés e que Legendre
classificou como “um monumento mi
Niels H. Abel durével que o bronze”, contendo impor
(1802 — 1829) antes generalizacdes sobre fungdes elticas.

122-A

CAPÍTULO VII
FUNGÖES
QUADRÄTICAS

1. DEFINIÇAO

164, Uma aplicagäo € de IR em A recebe © nome de fungio quecrética
ou do 2? grau quando associa a cada x E Ro elemento (ox? + bx +e) € À,
onde a #0. Isto é: RS A

xe att bx te, 2 #0

Exemplos de funçôes quadráticas
ab fox) == 3x +2 onde
b) 00 = 2x? + 4x - onde
-30 + 5x1 onde
wa onde a

2x2 + 5x onde a
a onde a= -3, b

I. PARABOLA

165. O gráfico da funçäo quadrática é uma parábola. (+)

123-0

Exemplos

19)

Conswuir o gráfico de y

29) Construir o gráfico de y = =x? +1
x | y=és1
3 8
2 3
a 0
o 1
1 o
2 a
3 8
EXERCÍCIOS

A175 Constru os grélicos das fangos detiicas am

ALTE Determinar uma funglo queceática £ tal que 1-1

124

402 DET Een

111. CONCAVIDADE

166. A parábola representativa da fun 4
géo quadrática y = ax? + bx + € pode
ter a concavidade voltada para “cima”
‘ou voltada para "baixo”,

Se a > 0, a concavidade da
parábola está voltada para cima p

Se a <0, a concavidade da
parábola está voltada para baixo.

e!

IV. FORMA CANÓNICA

167. A construçäo do gráfico da fungio quadrática y = ax? + bx + ¢ como
auxilio de uma tabala de valores x e y, como foi feito no item anterior,
tornase as vezes um trabalho impreciso, pols na tabela atribuimos a x alguns
valores inteiros e pode acontecer que em determinada fungáo quadrética os valores
de abscissa (valores de x) onde a parábola intercepta o eixo dos x ou a
abscissa do ponte da pardbole de maior ou menor ordenada, nio so inteiros.

Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da fungáo quadritica,
vamos inicialmente transformé-la em outra forma mais conveniente, chamada
forma canónica,

(= an? + bx pe + ah? +B se
fx) = ax? + bx + y bo att ae

= alte + Pix + BE) (PE On alas Be (Be

ae + De By (BS Sw alex + By

Represemando —b* - 4ac por A, também chamado discriminante do
Winömio do segundo grau, temos a forma canónica,

torsos Er 4]

125-A

V. ZEROS

168, Definigäo

Os zeros ou raizes da funcio quadrética f(x) = ax? + bx + e so os valores
dx reais tais que fix) = O e, portanto, as solucdes da equacáo do segundo grau.
att bte 0.

Utilizando a forma canónica, temos:

ada bx te= Oem all + Bt
o ec + EN

mit by.
w+ D

b

xt es

169. Dincussño

a ¿Observe que a existéncia de raízes reais para a equagäo do segundo grau
ax? + bx + ¢ = 0 fica condicionada ao fato de YA E IR. Assim, tamos trés
casos a considerar:

19) A>0, a equaçäo apresentard duos raízes distintas que sio
+VB, 6-Yá
5 =

2

2%) A= 0, a equaçfo apresentará duas raizes iguais que sio
-b

3%) A<O0, considerando que nasse caso VAS IR, diremos que a
equeco no apresenta raies reais,

170. Resumo

A>Osx=

tem

A=0=x

2a
La < 0 = nöo existem raies reis

126-A

171. Interpretando geometricamente, di
amos que os zeros da fungio quadrética
‘fo as abscissas dos pontos onde a pa-
râbole corta 0 elxo dos x.

Exemple
É Consruindo o gráfico da fungáo
y = x? 4x + 3 podemos notar que

parábola corta 0 sixo dos x nos
“pontos de abscisas 1 0.3, que so
as 2s da equagdo x7 - dx + ©.

exencicios
A177 Dotorminae 8 ros rane das fundies:

ae

Dr txt

247-12

à tn + 6 = +
di Hate x2 2x +2

€) thd wt + 4x + 4

D ee dae

@ thd = x - 2x

D fx = x? + 3x - 4

à ae Var y
Bed Ve Va
Wt) 26

M thd = -3x7 + 6
on) fod = a? + 3
2 16 «6

2.178 IMAPOFEI-76) Resolver 0 sistema

127-8

A179 Ontermi

1 os zoros resis da furgo fhe) = a4 - and -

‘Soleeso
Queremos determine x ER
Fazendo a substiuielo 2

cui suche é na où a

AS

Logo, os zeros resis da tuneSo tial = nt 3x2

a mo x2 oa?

A.180 Determinar os 20109 reais das funcdes:

PETER RER +4 D) 160 «oat da 36
J tad xt 6 od = ant + à
©) Had = 2 + os 4 9 fon er a 9
a) tid aut = 128 Dh tbe) Per =

LAB Determinar os valores de m pora que a funclo quadrático
Mad + mel + (am = 1)x + dm 21 tonha dal 28706 rois e distintos.

Solugse
a fungdo fhe) = mal + (2m = tix lo 2, tomos:
Bemba 2m-tcem-2 e Acdm+t

Camsidarando que a fungfo 6 quadrática e oF zeros sio resis e dinintos enel:
2=m40 e A-äm+1>0

meo e m>

1
4

182 Determinar os valores de m para que a funcio quadrática
Had = Im = 10 + (am + 3hx +m toma dois zero reais e distintos.

(A185 Dererminay os valores de m para que a aquecáo do 2? au
n+ 22 + (= 2mbe + fm = 1) = 0 tenha ralzen role.

A.1BA Determina os valores de m pare qua a fungío
ST Mad a mea im 193 + Um 1) toma um zero rel dupla.

¡Dago ono q uo

A180 Determinar os velos dom paro que à funçio
bad = dm 41x? + Var + 3x + Um = 1) ro tenho zeros malt,

128-0

A187 Determiner of vlores de m para que a aquicio
má + Ham = Mx + Um = 2) = O no tenha rafze reas.

ABB Monte que na equecño do 2 grau ax + bx +6 = 0, oe ralzae resis x1 © a,
»

tamos pora e some S desrolzos Su xj +x + Do poraproduto P des ratzas

Por =

AL109 Na equacio do 27 au 2x? 5x1 = 0 de ralees we na, colour

de

CET

1) GP + bg?

xp Sa muagso x? = Sx +P 2 ©

180 Mostre que uma equsgdo do 22 grou de rlzes xy
onde Semıtm © P= x"

‘A191 Obwr uma squacto do segundo grau de rares:
a} 26-3

mie
"2

dose
10-2
avis 1-13

A1925e à quicio ox + bx + €
Xa, tar a oquagäo de rates:

8 £0, admite os

DET
et

»1

em

Dee

2.193 Dawrminse m ne equecio mé 2m Im O pars que setenta

MM ua onde xy € o a rales da eu,

129-8

VI. MÁXIMO E MÍNIMO

172. Definicio

Dizemos que o número ym E Imil) (ym E Im(8) 6 0 valor de máximo
(mínimo) da tungdo y = f(x) se, e somente se, yy > y (ym Sy) para
qualquer y E Imlf) eo valor de x ED) (fm € DIN) tal que yu fra)
Um = fle)? 8 chamado ponto de máximo (mínimo) da funcio.

178. Teorema

“A funcäo quadrática y

ax? + bx + € admite um valor máximo (mínimo)
Fe OT = 22 50, € somente se, 20 (a > 01".

Demonstracáo

Consideremos a fungáo quadrática na forma canónica

+2
E

Considerando que (x + para uma dada

fungäo tem valor constante, entäo y assumirá valor máximo (mínimo) quando
a<0 la>0) ea diferenga

Sabino x + ¿E om N mar

sale by. Ay... A
veal Bs Zr Ale A).

130-4

174, Exemplos
19) Na funçäo real fla) = 4x? - 4x - 8 temos: and, b= -4, 0=-8
e da 144.
Como a=4>0, a fungäo admite um valor mínimo:
1440,
a, io: vm = 9
GH. we v
em a
5 -}

22) Na fungáo real thx) = xt + x + À, tomos

e 4=4

Como a = -1 <0, a funcio admite um valor máximo:
isto é ant
1
- ito és = L
aay SO MT
VII. VÉRTICE DA PARABOLA 3
175. Definigäo
© pono Viz, 22) 6 chamado wirtioe da perábola representativa de

funçäo quadrática.

EXERCÍCIOS
[A194 Determinar o valor móximo ou o valor mínimo, e 0 poro de máximo ou © ponto
de mínimo des fungdes obalxo, definidas um A.
dy 2x8 Bx bh yo de + 1x

atar E
NS aya] d

Ay

131-8

A195 Determinar o valor de m na funeSo real fe) = Sx? - 2x + m pata que o velo
mínimo soja 5
a

A196 Determinar © valor de m na funcio real Für)
‘que o valor máximo ja 2.

30 + im = tx + (m + par

A4197 Determinar © valor de m na Fungo real Abe) = md + (en thx + Um +2) por
que o valor máximo sejo 2,

an

Determine o valor de m ro lungs reat fix) = (m= Nxt + (m+ tix = m pan
Que 0 valor mínimo soja 1

A199 Dentro todos of números reis de soma 8 der

saules cujo produto $ máximo.
Solo
Indicendo por x e 2 esses números e por y © stu produro, temos:

xtra v

Como precisamos ficar com uma só ds variteis x où 2, fezomos
xez-8 ib
e paramo.

Vr de y

Como 0-1 <0, y 6 máximo quando

Substituindo em 28 mx vem 224,
Logo, os números procurados sfo 4 6 4.

A200 Dentre todos os números roule x @ x tale que 2x + 2 =8 determine aqueos cujo
Produto $ máximo.

A201 Dentre todos os rmärgulos de perímetro 20 cm, determine o de éres méxima.

A202 Dentre todos 05 númaros de soma 6 determine aqueles cuja some dos quadrodos à
ánima.

A203 Determine o retangulo de ârea máxima localizado no primelro quadrante, com dois
lados nos eixos eartsionos e um vértice na reta y = -Ax + 5.

A204 É dodo uma folha de cartolina como na

figura so lado. Cortando a folna na A

linha pontinada resoltará um ratánguo,

Determiner esse rängulo sabendo que a

3 dran & máxima, — —

ë

A205 Determine o ratängulo de maior gres contido num triángulo aqilitero de lado 4 em,
estando à base do retingule num lado do triángulo.

132-4

A206 Num triángulo. hósceles de base Gem @ altura 4 em etd imerito um retángulo
Determine o retängulo de Area méxima sabondo que a base do retingulo ext sobre
3 bare do tridngulo.

A207 Determinar os vértices das porábolos:

A ES
a artos a

dat 2 da dard
asi dz

yeoman 2 » 2-2

VII. IMAGEM

176. Para determinarmos a imagem de funcio quadrática, tomemos inicialmente
a funcio na forma canónica:

bp.
wer À
LL omervemos que x + Be 0 para
ou seja f(x) = alx + a) a Obse que b 2° par

qualquer x € IR entäo temos que considerar dois casos:

19) caso
2>0 =aíx+ 220 0, portamo

29) caso
2 <0 mar SO e, poro,

Resumindo:

133-0

177. Provemos agora que a imagem da fungSo quacrática f(x)

Im=iyERiy>=2) pus a>0
.
ims (y E Riva A} pa à <0
Vamos prover só para o caso em que a > 0.

Para provarmos que a imagem da funcio fix) = a + bx + © 6
Im = {ye Rly > À

-) para a > 0, devemos mostrar que qualquer que

a
wie y Elm existe x € R tal que y = ax? + bx + c.
De fato, seja y € Im, entäo podemos escrever

a

“28
sabe + Py

ou sea:

A 4,
>L te +2 20, isto 6, o primeiro membr
Como y > GR, temos y+ 20, isto é, 0 p bro da

igualdade (1) é no negativo, logo o segundo membro também o será, isto 6,
¿br
a+ o

e como à > 0, tamos
wei

>
m.

que é uma inequagfo do segundo grau com solugdo x E R.

178. Exemplos
19} Obter a imagem da fundo f de IR em IR definida por fix) =
= 26 = + 6.
Na funçäo f(x) = 2x2 - 8x + 6, temos:
222 b-8 0 0-6
logo:
Abi dao = (-8)? -4-2-8=16

134A

ALA
e portento: à
ae

6
vi

Como 2=2>0, temos:

22) Obter a imagem da Funde 1 de

oon eS,
fo =-5 +2x- 5
Na fi (CRE
funcio fix) = - À
logo:
a
e portanto:

Como a] <0, ts imi « (VE RIY<

exercicios

Imif = (y € Rly > -2)

Rem Ro definida por

}

wis

A208 Determinar a imagam das funeóos definidas om A:

A208 Determinar m na fungéo 10

A210 Determinar m na funcio 10d == 2 + me

dy

Dye

Aya

dv 48 12
3

syste Bret

1
Wyadateney
vi

so Im (ye Riv 22}

wie Im {ye Rly <7).

De arm defini

em por que à imagers

135-8

IX, EIXO DE SIMETRIA

179. “O gráfico da funcio quadrática
admite um eixo de simetria perpendicular
20 sixo dos x e que passa pelo vértice”,

Os pontos da rete perpendicular ao
eixo dos x e que passa pelo vértice da

parábola obedecem a equaçäo x = 22,
2a

pois todos os pontos dessa reta tem

b
bscisse 2
abscine À

Para provarmos que a parábola tem eixo de simetria na reta x = 2
devemos mostrar que dado um ponto ALS =. yl, com TE IR, pertencente
+

30 gráfico de fungáo, existe BL + r, y) também pertencente a0 gráfico da

2

funeño.
Tomando a funçäo quadrática ne forma canónica

qbot
100 = ale + 2 - À

y) pertence ao gráfico da funçäo tamos

-n alt

= alto? À = alt

provando que Bl 2 +1, y) também pertence ao gréfico da fungáo.

X. GRÁFICO

180. Para fazermos o esbopo do gráfico da fungáo quadrätica f(x) = ax? + bx + 6,
buscaremos, daqui para a frente, informagdes preliminares que sá

136-8

19} O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria 6 a reta x
perpendicular a0 eixo dos x

29 Se a>0 (a € ON. a parábola tem a concavidade voltada para cima
(baixo)

39) Zeros da funcio
Se &>0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos

20

E NEL
a E

Se 4-0, a patois ungen o ie dos x no sone PL, 0.
2
Se 2.0, a au no tem pones e de x.

49) Vértice da parábola & 0 pomo WIG, 21 que é máximo se e <0
a

où é mínimo se à > 0.

a

Seguenvse os tipos de gráficos que poderemos obter:

7 2>0 . a>0
ado ato
1 Ñ
| i
GE |
at |
+ 1
i !
DCE vo 1 =
w i !
y y vt
iv 4
D nm, | ig H
| i | i
2<o a<o <0
ado alo Ako

137-4

Exencicios Grétio

AZ11 Fazer o eibopo do gráfico da Tungdo y = x - 4x + 3.
Saturn
Coneavidac
Como 2 =1>0 a pardbota tom a concavidado voltada para cime.

aros de tuno
Aaa wi a A219 Fase o mbogo do gico dn fung ya Lats xt.
Os pomos 0 sno x sho 1,0) © PO Souto

Concerns
Verte Coreen

1
O, parole tem # coneevidede volada ara cine
Em y - x - 4x +3, temos 2?

Beben case À

m.

2 Ft

Zeros de fango

Lsent =a.
q 1.0 med

<0 o rta caia

A parábola ndo tem pontos no eino dos x.
own $ VI. 1).

Véro

1

ático Em yo Latent tomos:
Gust 3

Obterve que a pardbola sempre ior:
cepts © sixo y. Para determinarmos
‘onde O faz, basta lembrar que © pomo.
situado no dixo y tem abecisa nula,

end. bet e-t oo 4

tow MU-0-4.0+2-2 to
8,0 porto no ano y 6 (0, 3. E
Determinado © ponte onde parábola corta 0
pomo (9,3) do parla, siméuico a (0,9) (
de sms de parto.
AZIZ For o esbogo do gráfico da funcio y rd à 4x = 4
Souçio
Concaridade $
Como à = 1 <0 a parábola am a concavidado voltada pars baxo. ‘
Zoro da tuno \ zie Connruir gráfico cartesiano das Fungdes definidas em R:
eo ne ‘ Benz
A paribole same um único ponte no exo x que 6 P = (2,0) ' ar=otr deed
Vértico \ var
Considerando que a parábola admite um Único pomo no eixe X, ento este ponte :
0 sérico de garden, dl run

138-8 ‘ 139-0,

XI. SINAL

181. Consideremos a Tungdo quadrática
fb) = at tox te ar)
e vamos resolver o problema: “para que valores de x € IR temos:
a) fix) > 0; bi fo) <0; el thx) = 07"

Resolver este problema significa estudar o sinal da fungo quadrática pare
cada x ER

Na determinagäo do sinal da fungáo quadrätica, devemos comegar pele
cálculo do discriminante A, quando trés casos distintos podem aparecer

aa<o ba-0 da>0

Vejamos como prosseguir em cada caso

182. 19 Caso: à < 0

Se A<0 one -à > 0.
Da forma canónica, temos:

ad = tix + By + (Aa) a afd > 0, #x CR
oie nn
EEE Dose
Isto significa que a fungéo f(x) = ax + bx + 6, quando A<O, ten
© sinal de a para todo x © IR, ou melhor:

a>0 =f >0 #xEIR
a<0 = fx) <0, 4x ER

A representacio gráfica da fungdo fix) = ax? + bx + c, quando A<O
vem confirmar a deduçäo algébricz

taco 2

50 SN

140-A

Exempios
12) fhe) = xP 2x + 2 aprosenta A = (2 -4.1.2-4<0 €,
come a= 1 > 0, concluímos que
fd > 0, YX ER,

29) fix) = oP x 1 apresente A= 17-42 (4). (21) = 9 <0
+, como a= -1 <0, concluimos que

100 <0, Mx EIR,

183. 20 Caso: A

Da forma canónica, temos:

b
athe) = attic + be
bd = aloe + À

RATES

entáo a+ fix) #0, WE,

Isto significa que a fungio fx) = ex + bx + €, quando A= 0, tem

9 sinal de a para todo x IR - (xy) sando x, = 2 zero duplo de f(x,
7

où melhor:

2>0 = fh) PO¥ KER
a<0 =f OV KER

A representacio gräfica da funcio fix)
vem confirmar a deducáo algébrica,

ax? + bx +6, quando À + 0,

(PES mo tin >0

1A

Exemples

19) fh) a x + 2x HT apresemta A= 1-27 40

tem um zero duplo x

120, entáo fix)

= - ncluimos:
Bet e como a= 1> 0, concluimos:

100 > 0, YX ER 1}
10d = 0 se xet

22) fhe) = 28 + Be - 8 apresenta A = 8? - 4(-2)+(-8) = 0, entäo
1) tem um zero duplo para xy = 32 = 2 6, como a= -2 < 0, concluimos:

100 < 0, ¥x ER - (2)
000 se x=2

184, 39 caso: À > 0

Da forma canónica, temos:

Ve ae & + YE pa 2. VEY

at = {ie + DU

2 2 2° 2 2a” 2

Lembramos que a fórmula que dá as raízes de uma equagäo do segundo
grau é:

fica evidente que a forma canónica se transforma em:

vs
2

b

ated) © a [Ox Wx = DER = Hx = a)

O sinal de a+ f(x) depende dos si
Admitindo xy < x2, tomos que:

dos fatores [x=x1) e (X= xy).

Mee E tomos

x <0
x< 4 <> em ete >
x €0 su

¢ 6 6

142-4,

Bs x <x <q, tomos:

x-n>0
<< eo EEE SER TEEN ee)
xo 66 6

Gee xg temo

x ex > 0
>> e — ati =a? x) > 0
url oo 6

Isto significa que:
1) O sinal de fix) 6 0 sinal de a para todo x, tal que x € x ou
>
24 0 sinal de fx) 80 sinal de -e para todo x, tal que xy <x < m.

E ais
e Bean: kts >
| I me
rn Bm 2.

© gráfico da fungi fx) = ax? + bx + ¢, quando A > 0, vem confirmar
a deducäo algébrica

fix) >0)
19 <0

Exemplos
19) (bd = xP = x - 6 apresenta A = (N? 4-1: (-6) = 25 > 0,
entáo fix} tem dois zeros reais e distimos;
=
eve
m= -3
. > 2

VA
2a

x

e, como a= 1 > 0, conciuímos que:

143-0

fx) > 0 para x<-2 où x>3
fi) = 0 para x=-2 cu x =3
fod <0 para 2<x<a.

291 thx) = 20 + dx +2 apresenta A= 3 4+ (22) +2 = 26, logo
1(x) tem dois zeros reais e distintos

nye DEVE 345 ex AE,
{ gl Ñ Za a
o, como 3 = -2 € 0, concluimos que A

ii) <0 me neh u 2
(ib 20 pus = “2

Hx) > 0 para

EXERCICIO

A216 Estudar 08 sinis de cada uma des fungdes do exercico 4.214.

XII. INEQUAGAO DO 22 GRAU

185, Se a #0 as inequacóes ax + bx +c>0 ax? + bx to <0,
ads bx +e 0 e axi+bx +c<0 slo denominadas inequagóes do 20
rau.

Resolver, por exemplo, a inequagáo
at tox +e >0

6 responder à pergunta: “existe x real tal que 100

A resposta a esta pergunta se encontra no estudo do sinal de fix), que
pode, inclusive, ser feito através do gráfico da funçäo. Assim, no nosso exemplo,
dapendendo de a e de A podemos ter uma das seis respostas seguintes:

LS

230 + Aco a2>0 4.0

ser Sen | xF a) Se ER | x € x ou x >)
a<0 4>0
s<oea<o x 2<0 08-0 x ars

só

SER IC)

ExERCICIOS

A216 Resolver à inequacdo x2 - 2x + 2 20.

Solugio
Considerando: thx) = x8 = 2x + 2, tomos
0.120 0 A= -8 <0. ao
100 DORE

Como a inequagío 4 fx) > 0, vem:
sm
A217 Resolver a inoquecio x? = 2x + 1 KO.

Solucio

Comiderando fix) = ad = 2x +1
tomos = 1>0, À-0 voz

upto xs À 1, emo
E
mu>o ver)
M 20 e 21
Como a inequecio ¢ fix) <0, vem

8 (1)

A218 Resolver y inoauapdo -2e2 + 3x+ 20.
Sou

Considerando Al) = 2x2 + 94 +2,
tomos a= -2<0, A=25>0 00

Le n= 2, emo
2

fix) <0 pus x<-} où x>2

2

100 = 0 pore x - À où x = 2

no >0 ps =} ex
DEL horca

Como a iq 6 Hx) 30, vom:
senil ara)

A218 Resoivor os inoquecies em Re

xt 42>0 DEP PER ET
ala 350 dr doo
BR - xs 30 Mad 10

di 6x8 >0 N tet + 1x8 >0

TEEN I) Bt 30
0 28-4300 ee
< ote dnd

A220 Resolver a inequacio I x ill + 4x - 3) > O em RL
Solugdo

Analisands of sinsis dos fatores, temo

>o

3 2 x
1d T + y = o E
y N 2 a
ais) ots axed o. + o >
Ferd © arco, vom
A
E t
al ante 4x3 Poe + + 0
ab eye HR)

RER I -1<x<1 où 2¢x<3}

148-A

‘A221 Resolver em IR os inequasóer:
a) (1 48) 122 + Sal > 0
bb (2a? = 7H + TC
ES
de O
eat 290
N 2d 2 +x -3<0

A222 (MAPOFE!-71) € cado a fungi y
Determinar

TO

ma

3) 08 pontot de interseccio do gráfico da fungio com o eixo dat abelian.

I 0 conjunto dos valores de x para os quals y <0.

Azza Root a moque BELL Go um R
setveo

Analisango 05 sinis do nur

rador © do denominador, teas:
a+

Wd Ber rary +

o 2 x
Farendo o quasro-auocinte, vom u

i; o 2 2 A

+ +

CEE + 0 - = +
CRE ES - 0 + o
TRES =
a
s

RERIXE-1 où 0x0 x>2}

A224 Resolver on IR as inoquacies

y as PE
aa 7° Mara ©
sem 2-3

meer E

D ants

Mare

<2

y et
MES

ATA

*

+

A225 Resolver ar inquncöne
PET
PP 3€ Sn
SOG a 266

DL

ESE]

DAN

A226 Resolver os sistemes do ing

: fre
Anco
11230

A Lads bx 3<0

eue
BE

“as
lat 250

A227 Resolver a ineguagio x - Sx? 4450 om IR

Solusdo
Forendo 2 xl tomos
Rosreapo

won wma

021 ov O où O

DA ERA où x 6-2

ou x 32

logo $= ine MIR où ar ov 22}

2228 Hesoiver um as images
RL
aaa aco
q Te BO

xl

TEOREMA

186, A condicio necessária e suficiente para que o trinômio do 2° grau
Hd = ax? + bx + © tenha sinal constante em R 4 que A < 0.
Este teorema & uma consegúéncia das propriedades de sinal de

pots
@) Int tat 4 <0
Woot se sao

fit © ae + bx + e Já estudadas, Observemos que:

aA<0 6 2>0
DaA<0 6 3<0 =

148-8,

fil 20, ¥ KER
fil < 0, # x € R

187. Exemplo

Determinar m de modo que a funçäo quadrática
Hod = mx? + (2m «Thx + {m 41) seja positiva para todo x real

Devemos ter simultaneamente à < 0 € a> 0. portanto
1) A bP = dae = (2m =~ deme ims 1) =
A mic mn]

2) aem>O-rm>o

Como 25 condigdes sio simultäneas, concluimos que

1
(070, ER co mol,
# ) >4

Execicios

A229 Determina m para que se vena para Y x € I.

O28 4 dm = thx m = 21 0 Bam aha à (mé ao
à 2 2 m8 m oO lm tks moo
Omen men 8 tm mE = dim 2 Mn à m 30
4 mi m2 mo Mm me Stn + m 300
Dime TE Qi Ne atm = OB mt = ae à 2m He

A230 Determinar m pare que se tunha 324 ds 1 all pare VxE &

eres
suce
Comiderando que a2 + x + 1 posi pure cuele x real, multiplica
pos os membros de ZEN MEET SZ por Gad à à 4 M, merde à
desacato
Em
Pl o
ES TS
em IO REA
Dam ter <0, portant
Aimar 20 mca

esporas 1 € m <3,

E 1804

A231 Determinar_m para que se ena para x €

Lom emt?
oer <? DETTE
dh > ate as< Gm <2
we? waned

X XIV. COMPARAÇAO DE UM NUMERO REAL COM AS RAIZES
DA EQUAGAO DO 29 GRAU

Comparar o número real a as rafzes resis xy <x; da equacño do 20
grau ax? + bx +0= 0 6 verificar se:

Ma<x<x (a está à esquerda de x}

2m <a<x la está entre as rafzes)

3x a (a está à direita de x2)

Ma=xı où a= x; la & uma das raízes)

sem calcular 95 raize

Sendo f(x) = ax? + bx +e uma funçäo quadrática, cuja regra de sinal jé
discutimos neste capítulo, temos que

al ea es esquerda de x, ou à direita de x2, 0 produto a+ fa)
6 positivo, isto 6: a (coeficiente de x*) e fla) = sa? + ba+c temo mesmo
sinal,

.>0
ta) >o

fat <o
a<o

bi se a estiver entre as raízes x, € % lx xa) o produto a+ fla)

é negativo, isto é: a e fía) tem sinais contrários.
2>0
nal <o
Zi # x xf a, Nu
y = a <o

a >0

el se a 6 zero de tx), ento a+ fla) = 0, pois fla) = 0.

150-A

Conhecendo a posigäo de a em relacáo ds raízes reals x) e x de
fix) = 0, temos que:

Dax ix = a (>0

Du<a<x = a-fla) <0

BxSx<a =» arta) >0
BA da ou a= x2 = ar fla)

Observemos que nos casos 1, 3 © 4 o discriminante é A >0 enquanto
que no caso 2 temos À > 0.

Inversamente, conhecendo o simal do produto a+ flal, que conclusio
podemos tirar da existéncia de raízes reais da equacáo fix) = O © qual a pasigän
de a em relagdo as mesmas raizes?

€ o que veremos em seguida,

190. Teorema 1

Se a-flal <0, o tinómio f(x) = ax + bx + € tem zeros resis e dis
tintos e a está compreendido entre eles.

Alas fía) <0 TÍA>0 e x<a<xw

Demonstragáo

19) Se fose À <0, terfamos: a+ fla) >0,Y 0, «ER
o que é absurdo, pois contraria a hipótese a - Ha) < 0.

Concluímos, entdo, que A> 0, isto 6, Fix) tem dois zeros x1 € x,
reais e distintos,

29) Seo real a estiver à esquerda de xı ou à direita de xz ou for
um zero de fix), teremos a fla) > 0, 0 que contraria a hipótese a fía) < 0.

Concluímos, entáo que a está comprendido entre xy e xa.

Exemplo

Comparar o número 1 ds raízes da equaçäo 3x2 - 5x +1
Tomos a=3, a= 1 0 fix) = Sx? - 8x +1, entáo
fa) = 3- (1) © 3+ B+ 1- 5-14 1 3 <0.
Conclusio: A>O 0 x € 1€ %

161-4

191. Teorema 2

Se afle)>0 e 430, emo a está à esquerda de x, ou à diraita
de x
3. oi > 0 aL
H jou T Jou
apo sende
Demonstragio

Se A>0 e x<a<x, onto a+ fal GO, o que contradiz a
hipétese a Fla} > 0.

Se A=0 e a - x; 2x2, ento a-flal - 0, o que também contradic
8 hipótese a fla) > 0.

Concluimos que a < x € x où x, & x € a

Notemos que, se a- f(a) > 0 © A > 0, o teorema 2 garante que
2% Lx, x2], mas mio indica se à esta esquerda desse intervalo (<x, "© x;)
où à direita dele (x, © x; < al. Pera verificarmos qual dessas duas situagdes
está ocorrendo, devemos comparar a com um número qualquer que esteja entre

mero 3 = tH,
as raízes. Para facilitar os cólculos vamos utilizar o número $ = Kt 2 22,
llas 27 7 °%
que é a média aritmética das raizes x, e x2, pois:
nn > 15 9 2 ox >< Seg
2

Ss.
Cateulando $ =

1 se 0 Semin a en à cert de 5» constqdonarente
e e

CN NÓ:

2) se a> S, emáo, a está à direita de © e, consegüentemente,
à direita de x: 3 A 2

a> = neue — a
12a

Exemplos

19) Comparar 9 número 1 ás raízes da equagáo 3x? + 4x - 3 = 0.
Ara na =>
O ne
Sib. 2c,

2° 2° 3

291 Comparar a número O com as raízes da equacdo 4x? - x + 1-0.

As (67-4.4 20>0
ato) = 4-10) = 4-1: 4>0| ocx cm
5.2.3

7 o
2 2a 4°

192. Resumo

Se the) = ax? + bx +e apresenta zeros resis x Ex ea
real que vai ser comparado a x, e x2, temos:

1
date <0 TL me a<x
D a+ Ha) = 0 — a & uma das ralzos

a<méx was
ela-fla)>0 0 4720 =
XE a se a>

EXERCÍCIOS

A232 Determinar m de modo que © número 1 es
ego: ma? # im = Nx =m 0.

compreendido entro at rafzer da

Solucio
Considerando. Ux) = ev + Im = Aix = m

My © ka Ho as raízos reais de

a) <0 => lea? + m= 11 =m) <O
ni
> mem <0 m 0<m<1

Resposta: O<m <1

153-8

A239 Determinar m de modo que o número a estja compreandido entre as rízes de
ECS
ab mé + {2m Sixt m= td 8 aa?
Dh Um = th? + (2m 4 teem = O t
d'mê+im-tx+im+2e0 © a-0
a = 18 + Am RA me 120 a

A234 IMAPOFEI-75) Determinar os vaiores de m nu equagio x? + Im- 2x + 1 m = 0

de modo que 0 número real 2 ostje compreendido entre ue aízes.

A235 (MAPOFEI-79) Determinar m para que a equscSo: {m - 2042 - mx + (m + 21 = 0
enka ume «alz positiva © outra negative,

A226 Determinar m do modo que a equogdo mx? - (2m + 1x +24 m=O tonta
ríes rele ais que 1x1 <a,
Solugso

Considerando. Hx) — mul 2m + 1x + 2 + m.

Para que acomtesa -I << xy <p, ondo x: oxy 580 os rofrés reo de
md (2m + Ve + 2 +m O, devemas tor

>. 270 e S54
anse scudo cada cone:

Warten >0 = ml - ams nee ee mo =
y RA

mim HD = m<-Ë où m>0.

m ADO — mei? -4emirem>0 = amero mel

s m+
mis

> tte = ii po ~
nc} on mao

Represetando os valores encomrados sobre um xo

wm >0) sects

1>0 E —n
1

Spa 40 m

qa HH

Como as wis condigöes sio simultinees, fozendo 0 inverser dos interalos acima

m<-

ov 0m €} ques eon

154-8

eauecio {m = 32 + 2im=2ix + m + 1-0 tema
raees reis is que x <<

A228 Osterminar m de modo que a equario Im - DR = mx - 2m - 2 = 0 tenhe
rales ris tis que 1x1 x

A229 Determinar_m de modo que 0 oquecio do 20 uu med - 2m + xt m+ 5-0
tonha rofzes resis wis que 0x1 Cn <2.

A280 Determinar m pora que a oquagdo do 2° grau mal - Jim + tx tm + 5-0)
tenha caizes reais tals que x CO € x <2,

2.241 Determinar m para que a equacdo do 22 grau 3x? - 2m + 2ix + mi 6m + 8 «0
tonho raízes resis tals que xy << <4.

A242 Dormir m para que a sauagdo do 22 grou (am + D + 2 + met +O
enna raízes ai tals que Oy <p <A

2262 Determinar m na aquigio do 2° gray {Sm - 2x? + 2mx + 3m = O pra que
Hana uma única role entre - 0.

244 Determinar. m a equeséo do 2° grav mx Zim them — 1 O pa que
so tenha uma Única raz entre 1 € 2.

XV. SINAIS DAS RAIZES DA EQUACAO DO 22 GRAU

Estudar os sinais das rafzes de uma equacio do 20 grau é comparar o núme-
ro zero ds saízes x, 0 Xz de equagio dads.

Podem ocorrer trás situagdes:

193. 13)

Neste caso, temos:

0<x<% E A HE a
E — 2 Mu.

De acordo com a teoria anterior, temas:

aro ato>oe S>0

155-8

Notemos que, sendo fix) = ax? + bx + c, emos:

a) 9-0) = a-c> Zu Enz P>0

onde P- + é o produto das raizes da equaçäo do 29 grau.

s
S>o— s>
12 s>0

onde 5-2 da soma das rafzes da equcio do 29 grav.

Assim, sendo, uma equacáo do 20 grau tem raízes positivas somente se
ARO e P>0 + 5>0

isto &, se as rafzes forem reais, com produto positivo e soma positiv.

194, 28) as raizes sio negativas

Neste caso, temos

De acordo com a teoria anterior, temos:

APO e afl) >o e

<o

Isto também pode ser escrito assim:

A>0 0 P>0 © S<0

195. 38) as rafzes tém sinais contrários

Neste caso, temos:
x <0<x
De acordo com a teoria anterior, temos:
al) <0 ou P<O,

156-A

196, Exemplo

Determinar os valores de m na cauaçäo do 29 grau
(om = NE + (2m + x + m = 0
para que as raizes reais sejam distintas e positivas.
Como a equaräo é do 2° grau, devemos ter, inicialmente
m-1%0 = mat
e, se as raizes slo distintas e positivas (0 < x, < xa), ento:

A > 0 (pelo fato de as ralzes serem resis e distintas) e S>0 e P>0
(pelo fato de estas raízes serem positivas).

Analisando cada condigío:

B= [m + 17 d(m- Demo 1
Em+1>0æm>-t a> 3
= im + -m>-1 0 SH m
úl 8
3 1
A me
o
=0<m<1 km

Fazendo a interseopäo das trás condigdes, vem 0 < m <1 que éa resposta.

EXERCICIOS

2248 Determinar m de mado que # equacio do 29 grau {m + xd + Zim + Thx tm
tora raíces negativas

A246 Determine m de modo que 9 equeco do 29 grau Im + thd Zu am. 1-0
era ratzes positivas
.

A247 Determinar m do modo que a squagSo do 2° grau Im - 2b + (am = 1x + Um + th = 0
en rufzeg de sinais conträio,

A248 Determinar m de modo que a equegio do 29 grau (m= Thx? + (2m + 3x + m 0
“acia rafzos negative.

A249 Determinar m de modo que a equicáo do 22 grau Im? - Ad + mx + m3 - 0

amies raízes de sinus contcários

A250 Determinar m de modo que a equecio do 22 grau ma? - (2m 1x + (m=2) + 0
admito raízes positivas.

157-A

As margens dos livros falam

Pierre Simon de Fermat nasceu na Franga e estudou Direito em Toulouse,
af participando do Parlamento, Embora muito ocupado, encontrou tempo pera
estudar Literatura Cléssica, Ciéncias e Matemática, por puro prazer.

Em 1629 iniciou suas descobertas matemáticas depois de terse dedicado
3 restauracto de obras perdidas da Antiguidade,

Baseandose na coleçäo Matemática de Pappus, descobriu o princípio fun
‘damental da Geometria Analítica: sempre que numa equacio se encontram dues
08 pontas que satisfazem à equacio formam uma curva

Em curto tratado, “/ntrodupáo aos lugares planos e sólidos”, dé éntase ao
esbogo de solugtes de equagdes, comegando com uma equaçäo linear e um sistema
de coordenadas arbitrário sobre o qual a esbogou. Como apéndice desta obra
escreve “A solugáo de problemas sólidas por meio de fugares”, observando à solu
ño de equscdes cúbicas e quadráticas

Os trabalhos de Fermat eram muito mais sistemáticos e didáticos do que os
de Descartes e sua Geometria Analftica aproxima-se da atual, tendo em mente à
existéncia de mais de duas ou trés dimensöcs, o que nunca conseguiu provar.

Apesar de no conhecer o conceito de limite, em sua obra “Método pera
achar máximos e mínimos” aproximase bastante do cálculo de hoje. Também
seu método para mudar a variável e considerar valores vizinhos & essencial em And
lise Infinitesimal, usando-o pars achar tangentes de curvas. Ainda em Anälise, con.
tribulu com quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centro de gravidade,

Com a restauragdo do livre “A Arit
métiea”, de Diofante, muito pouco prático
€ com muitos algoritmos, Fermat passou a
desenvolver um importante ramo da Mate-
mática, a Teoria dos Números, da qual é
considerado fundador e onde principalmente
cuidou dos números primos.

Sua matemática estava ascrita em
apontamentos desorganizados, em margens
de livros ou em cartas que ele ndo tinha
intençäo de publicar.

Fermat é considerado o príncipe dos
amadores em Matemática, sempre com
muitas descobertas mas que perderam sua
Pierre S. de Fermat. prioridade pois, devido à sua modéstia

(1601 — 1665) quase nada foi publicado.

CAPITULO vin

FUNGAO MODULAR

I. FUNGAO DEFINIDA POR VARIAS SENTENCAS ABERTAS
Uma fungio f pode ser definida por varias sentencas abertas ceda ume das

quais está ligada a um dominio D; contido no doménio da +.

197. Exemples

19) Soja a fungio RR de

finida, por
fix) =1 para x<o 3
fx) = x +1 para 0 € x <2
fx = 3 para x > 2

que também pode ser indicada por

fi x<o
fod ad xt m ORK <2

3 wx»2 =

2 ri

O seu gráfico está representado ao
lado.

29) Seja a funçéo fi R=IR de
por
fl) = x para x < 1
fla) = x 1 para x > 1
que também pode ser indicada por

xo we KS
22351

O seu gráfico está representado ao

lado,

16

158-4,

ExeRCicios

A261 Consirue o grálico das fungúes detínicdas em IR:

Ts IS

A282 (MAPOFEI-74) Esbosar o qrálico da funca
xt ge xB?
Wa m OS x <2
xl we x <0

M2 0 xP

Aa env tafe A

+1 a
tm emagem 4.

Solusio

Para datermnarmas n valor de x ER tal que Het - A osclvomos 36 oquecios

ar o tt

Ans

logo, os valores do dominio slo x » 2 ou x » 6

s
Baers x?
gett © determine of valores do dominio que

x<o

“+2

2284 No tonto rea Ki {

tm imager 7.

160-A

11. MODULO
198, Detinigao
Sendo x & R, definese módulo ou valor absoluto de x que se indica por
xl, através da relagio
Inl = 0 x30

nm

Isto significa que:

19) o mödulo de um número real

o negativo é igual a0 próprio número;
22) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.

Assim, por exemplo, tomos:

Hal = 42, 1-71 = +7, 101 =0, 1 aya, VB WS

3
+3, vai
: 21

199. Propriedades
Decorrem da dafinicäo as sequintes propriedades:
LáxIP O, YX ER
He lie 0 ome x 2 0
I. dx + ly x y ER
We ik =, ER
Ve ix yl inl + ly ey ER
Vi dx yl Dee lvl x y ER
Vil, <a 0 8>0 — 253x350
Vill, Il a 0 a> 0 — xa où xa

I, FUNCAO MODULAR

200, Definigäo

Uma aplicacio de Rem RI recebe o nome de fundo módulo vu moduler
quando a cada x € IR associa o elemento {xi E R.

Iso & RR
xr— lx

161-4

Utilizando o conceito de módulo

de um número real, a fungío modular v
pode ser definida também da seguinte
forma:
x se x>0
fr à ico

O gráfico da funcio modular & à
reunido de duas sembretas de arigem O,
que s80 as bissetrizes do 19 e 20 qua:
drantes.

A imagem desta funcio é im = H,, isto é, a funcio modular somento

assume valores reais nio negativos.

EXERCICIOS

A286 Construir os gráficos dis fungdes definidos am IR:
a) tha) « axl D) 160 = lal
A256 Construir o guise da tungdo veal definida por 1x) = Ix + 41

‘Solusso
Podemos construir © gráfico de xl; Ix + 11 por dois procesos:

Primeiro Proceso

Notemos que heal Xt? 5 x32

da Sa

máo a funçéo pode ser definida como

uma fungdo a duas sentangat ou si,

ti ee
a

ui gráfico está ropresantaci 20 lado.

Segundo Processo

Para construlrmos o gráfico de

CERTES) y

azamos inicialmente gráfico da Iunedo

atx) = x + 1, que end ropratentado 40.

lado.

Paro obtermos o gráfico de

fox) = Ighadl = be al

162-A

A288 Construir o orition du funedo definida

Primera Etape HT
Se glut 0, vamos ter 10x) = lat = I
= 900), isto 6, o gráfico da funcio 1 m)
coincidirá com o gráfico da funcio y

Segunda Etap
Se gl) <0, vamos ter HI) = 196 = -pie) ito 6, gráfico ca fung será sims.
velo do gráico da funcio 9, relatmamente 20 exe des Abeisen.

Consiruindo os gráficos obtides, nas duas atopu, no mono plano cartesiano temor o
rico de Tunes Hd = Lx +11.

Pip Tr
THE
CH q
A257 Consruir os gráficos des soyaintosfuncdes resis
A] orto = eal thd era
ai 109 ~ [2 ant ol td = Ie + axl a lee = 3x + 21

a) fad = [a= x

fm R por a)» Ix 4132 FF

Socio q

Comruimes iicilmamia © gráfico da cleat

tungio gi) = Ix = 1 jaum. y ab le 11

A) 7

“atx! +2 deslocamor ada ponte de

gráfico da funcio y dues unidades “pa- [TIP Y-

cima" A Ey stain 112

A250-Comnir o rior das squint Suns rei

al tds lla bl fit 12x -11-2 ch xh ax - abet

a) thd = be 11 ob fix) bala de à let + 4x 3d
163-A

A260 Construir o gráfico jo denis am BL tx) = Ix + 21 + x = ° f
So ráfico de fungdo definida em IR tbe) 2 19) quando x <=, tomos 10d = [2x + 11 + Ix ede 12 x «0
Sousse
an 2) quando LER <A, vemos #00 = 12er Hem le xt tente ce 2
wea fit? mx A >
sie WARS 39 quando x21, tomos M » (an + 114 bi 12x41 te dx

Davos, anti considerar dois caros =

ce

19) quando x 2-2, tomos
foo = leo 204 x1 =
AN]

Anotondo a unc Y como uma lune
‘Selina a vérin sontenç vor 5

e
Fa
I

1 -
end

ns

a En mano -

er 2 am er. A205 Construir os gráficos das seguintes Tuncdes resis:

ea ee ns
Braves

2) fxd = Ind + x bi tn) 1x x A206 Constuir o gráfico da Tunes detinida 7

el xt - 12-104 x-2 fl tht la 2d ae 3 tix) = Max - 21 - al de |

g) txt =? de + 3 Wixi? 2el 31 +

ha Construimos inicialmente o gráfico de u =

A262 Comair o grático da farefo fix) PL cetinca um m“ al) - Ide = 21 = 4
Anatisemos as duss possibilidades

BAL aii em 8 {3

A263 Construir o gráfico do funcio. el «

19) Se gle) DO, emos

Tx

fix} = gb = 900 2
A264 Construir o gráfico da fureño definida em A por: 8K. o raies ou noto 1 Sa PET
fix) = zer tl e be 11 ‘com 6 gráfico de fungio 9 14

Sotupio =i 22) 50 ols) SO, tomos
etd se Bed me al
Notemos que 12x + 11 E thx = Iptxil © 960
txt se x € ino 6, 0 gráfico de funco F 6 0 apos A
10 do orien da tung 9. y
da Considerando os dues posuisiidados © A
ERP reoresenardo num mesmo plano crt !
Devamos ento, considerar 3 casos siamo emos: T =

1644 165-A

A267 Consuuir os grálicos das tungBes resis 39) Resolver Ix + 11 = 3x + 2

2) Had Tal Devemos ter inicialmente:

BI fix) ax + a1 = 21 5
2h thd = [het = ah al ax +220 mee x > -

a 169 = Mikal ex al 3

m fix) ba = ala + al econ on posite Stade,
11 fxd = x a 21 = Dee all para que seja possivel a igualdad
fxd 2 lide 2 al Ban + all

nl 2
Sunondo x > -2. temos
onde x>-2 u
Kit x
Tet tl 3x42 — où
IV. EQUAÇOES MODULARES keda (ndo comém)
Lembremos da propriedade do médulo des números resis, para k > 0
Il =k — xk où ne
a, utilizando esse propriedade, vamos resolver aguas equagées modulares.
exeneicios
ESS A268 Resolver s mini aquaches em A
alesana
19) Resowver 12x = 11 = bie the?
© lax sic
Eno a set
20-123 222 a ie
. PEN ou ola
PTE te abras
8-2-1}
289 Musa em Fos spurts quai:
22) Resolver 13x 11 = 12x + al al tae 2 tet)
. bt lar al lax + 31 - 0
Lembrendo da propridade A
lola [bl — ob où a a brea bal
1e 270 Resolver as saguinies aunede em R
Beta x-4 Hess
lox - t= 2x +31 — ou AS
wenn x = -2 ala
5 ma
2 IES
5. (a, ers
167-0

166-4

V. INEQUAGÖES MODULARES

Lembrando das propriedades de médulo dos números resis, para K > 0:

DISK k<x<k
DIR ee x<-k où x > k

+, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequagôes modulares,

202. Exemplos

19) Resolver em Ri 12x #11 € 3
Entáo:

LI BS WHS 2 < 1

Ss ERI 2¢x<1)

29) Resolver em R: lan - 31 > 5
Entáo:

x 31> 5 me (4x -3<-8 où 4x 3 —

1
S&F où > 2

1
pe <-$ où x>2}
SCkenix<-z >2

EXEACICIOS

ATA Resolver em Fos ineauagesabaixo:

a) lax-2l <a CAPES
di aa Ss. ar [dn + al So
al x eal <9 be a1 > 3,
a isu + alma ES
à lx 81 50 i lax = 7) Bat

ETS

A272 Resolvr 36 inequacdes seguintes am R:

ale bl -x-4l>2

CRE oe - 3x - al <6
2x - 3 x+1

a [2=3]>2 DASS

a ll 2d ml ala 2

5 liza lala

168-4

AZ7A Resolver om 8 seguintos inoquacé

2.275 (MAPOFEI-76) Resolver

A276 Resolver inequegóo em m 12x - 61 - lxl <4 -

A273 Resolver em A 9 inequacio 2x - 7 + In + 1130,

Sola

en

ande a nenn {ä 8 520

devemas entio, considerar dois casos:
19) Se x 2-1, emos

DT lest O TANIA PO m x 2

A sotucio Sy &

Sis ER lx PA} N KOMI x2} - KEW) x>2}
29 Se x € 1 tomos

2-7 RO — Te PO xD 8.

A solugio 8 €
Se KER I KSA) N KER InP
A solugto da Inaquagfo proposta &
s-5,US
e portance
S=kCmix>2}

a) leal ar 7 50 a imrilta-m>0
© lx 21+ 2-3 So int ilex +20

Ix = al à 2x 4 1<0 Fo + dal 2 3x +6 < 0
PES

inequacio In? - al <x.

Sotucso
Notando que
O A xoxo

Brunes WAR ET
Conateuimos e tabela

o 2 x
ix-el- | ave | tre | m-o
tie | » [x

CN | a+. | ove

169-4

2-6 we nea
lax 6l= Il “x46 se OG <9
18 we :<0

Devemos considerar ás cats:
19) Se x 3 3, a inequacio proposta é equivalente a
A AO ns
A solugdo Sy à
Ss MERIAIN ERICO KERl ace is)
22) Se Ox <3, a ineauoedo proposta d equivalent =
Sn AR a
A sue Se à
Se RERO: SAGEM I xP I) MER I Ex <a}
B) Se x <O, a inaquseio propos
+64: x BSA que é absurdo. Logo a solucio Sa à

83-2.
A solucio ds inaquagio 12x - 61 - Iki Ka x à
S-5 Us; Us,
Se ER. 35x <5}U KER Ex <H US
© portanto:

Se CR 116445)

az

solvers soguintes inequacdes em
Dix + 21 - ar bh nr al leet >t
delle Giox a lar 2i + O

les ait lan 2Dxss A tl) cae. an
a2 Ine 31> ad 43

AIR (MAPOFEI-7S! Resolver a casigualeads Lx - 21 + Ix = 4. 36.

170-4

CAPÍTULO IX

OUTRAS FUNGOES
ELEMENTARES

FUNGAO fix) = x

203. Fagamos um estudo da funpio f: de R em IR, que associa cada x € R
o elemento x? © R,

lso & RAR

Vamos inicialmente construir a tabela

CTI Poy
x onto i
al
= +y He
A| 7 |
3
= E pr
A E © A1"
1) +
1210
z E ETT Wt | Act)
of 0 E D
La Te
1 1 4 4 =
7| # r
1: 6 /
3 27 2
E +) * [ J Y
2] 8 1 3
Plato] 5
5 | 1s
2 |e 2 =4
sa | x CET
[I L| J

ATA

Observemos que a funçäo f(x) = x?

a) & uma furcáo crescente em A, isto 6:
(Wu EA, Ve E Ra xe — x} € odd

b) tem imagem Im =R pois, qu
tal que y 106, x-Y y.

wer que sejao yE R, existo xe #

EXERCICIO

A279 Fazer © esbogo dos grlices das seguimos furodes definidas em A.
al td det
D 100 = 8
Sr
en
9 tha + 12 =
9 tied = Ga
a) fix) = 240 =x
bh thy = bi

ll, FUNÇAO RECIPROCA

204. Definigäo

Uma aplicagio 1 de R* em R recabe o nome de /ungáo recíproca quando
a cada elemento x R° associa a elemento 1

Ine & RR
1

Vamos inicislmente construir a tabela

1724

* 2 tr fra de
ls at da 9
sonda [a fe eto iele|r
AGT LL
|. bet
| i
I El |
| |
cig a
Bl ; |
D
F |
A

A 1
205. Observemos que a funcdo recíproca y ==

ar € definite ua x= 0
à tem tage me A
one un nb seal tal ave y = Ls

& tem por gráfico uma hipérbole equilterat”!

13 tate ons provado em nor limo de Geometria Araliica ans colegio.

pois, dado um número real y # 0, sempre

1734

EXERCICIOS. A282 Fazer D estogo gráfico dos seguimos funcöes
1

ni. oo =
ot;
A.280 Fazer o esboço do gráfico des funcies dae
où ot =
x ARS Patry bogs pt da fret >
ata =

Solusio

Observamos que

1
1 Fazer o exbogo do gráfico da funcio. tx) =
ABI Pazos o mbors 00 gel a sy E] 1

eT SST act tama

Vomos constuic a tabola da seguinte manaira: atibulmos veloras a x - 1, calcula
1

Sotuplo.

Vamos construir umo tabola da seguinte maneira: atibufmas olores a x 1, calcule

mos 4+ + Finalmente x.
y i
mos a inatmante calcular x
2
33 3 y
> ina :
°F E
A |
A AROS T
3 2 BES
“ 7 x E
$ a
2| 3 4
3|7 bi
GE = i
7|7 2
o 7 2
2 2
1 fa + a
4 4
2] a + #1 4

174A 175-A

A204 Fazer o eıbogo gritico dos seguintes funcdes:

a =

res]

bb thd =

PET ee" a) tint = LE

2

AUS IMAPOFE!-74) Calcular o valor aproximado do ären limitada pela curo y = à

pelo sino Ox e pelos retos x = 1 w x - 4. Use no edlavio tis rapézios de bas

ee

206.

FUNGAO MAXIMO INTEIRO

Definicao.

Uma funcio f de R um R recebe o nome de funcáo máximo inteiro quand

onde

Ito & RoR
x |x}

Ix] 60 maior inteiro que ndo supera x

Assim, por exemplo:

3, 1-07] *

ON

39
13.91 = 155

Para construirmos © gráfico,

notemos que
38x02 — yrixo 3
28x24 — y=lx=-2
EXO — y=lx=-1
0Sx<1 — y=[x}=0
1%x<2 — vel
25x<3 — y-lx)=2
Barca — y-lx]-3
ete, \

176-0

A imagem da funcio máximo inteiro é o conjunto Im - 2.

a

a cada elemento x € Ro elemento [x] que é o maior inteiro qu

EXERCICIOS

A206 Construc o gráfico das sequintes funçBes definidas em IR.

PEN]

A.287 Construir o gráfico de funcio real definida por tx! - [2x]

ut

ij

Sotorso
Vamos contr ura abs de segule mu
mo Leaf e mamona =
= el
2% i SRE)
asa sine
180005 [acc
[-os<x<o |-s<aco | à |
osx<os Jocmer | o
oscx<1 [ice
METIER
iséx<r |sen<a =
2ex<as | aus ~

A288 Consuls os gráficos das sequintes Luncóes definidas am A.

a tia = (EI
ale
thn = OF

1

Bi th = x + x]

»
e
o
>

100 a]
#00 = [be
100 = ID)
toed = x

bd

aribuimos valores a 2x, calcula

177-A

Advogado envolvido com Algebra

Arthur Cayley nasceu na Inglaterra.

Como estudante em Cambridge ganhou muitos prémios em Matemática.
Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que ndo
impediu suas pesquisas matemáticas.

Em 1839 fundou-se na Inglaterra o “Cambridge Mathematical Journal”,
principal veiculo de comunicagio que contou com inúmeros artigos de Cayley
assim como outros jornais científicos, característicos do século XIX

Em 1843 criou a Geometria Analítica no espaço n-dimensional usando
determinantes como instrumento básico e foi o primeiro a estudar matrizes, defi
nindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operagses
sobre elas, Neste aspecto contou com a colaboracáo de Benjamim e Charles Peirce.

Em 1846, Cayley escreveu um artigo para o “Jornal de Crelle” estendendo
© teorema de espace tridimensional para um espago de quatro dimensbes.

No “Philosophical Transaction” (Transacáo Filosófica) em 1868, publicou
um desenvolvimento do plano cartesiano a duas dimensöes como um espaco de
cinco dimensöes cujos elementos so as cónicas.

Em 1854 aceitou o cargo de professor
em Cambridge e em 1881 profeiu uma série
de conferéncias sobre fungdes abelianas €
fungäo theta,

Cayley escreveu muitos artigos sobre
invariantes algébricos e principalmente nesta
teoria teve a ajuda de seu amigo inseparável
Sylvester, tanto que foram chamados “gé
meos invariantes”.

Cayley era essencialmente um alge
brista mas contribuiu também para a Geome-
‘ria e em Análise escreveu “Ensaio sobre as
fungóes elíticas”.

Produziu qduantidade imensa de art
gos e obras durante sua vida, tanto que
Arthur Cayley este aspecto chega a competir com Cauchy
(1821 — 1895) e Euler,

CAPÍTULO X

FUNGAO COMPOSTA
FUNGAO INVERSA

L FUNGAO COMPOSTA

207. Definiçäo

Seja 1 uma fungdo de um conjunto A em um conjunto Be seja g uma
fungáo de 8 em um conjunto C; chams-se fungáo composta de g e f à funçäo
h de À em C definida por
OA alt)

para todo x em A,

indicaremos esta aplicapdo h por got (lése:-9 composta com # ou g cír
culo 1); portanto

(go) = gif)

para todo x em A.

Podemos representar também a com-
posta got pelo diagrama,

oa

208. Exemplos
19) Sejam os conjuntos A= {-1, 0,1, 2), B
C= (1,3, 5,7, 9) e as funcdes:

f. de A em B, definida por f(x) = x?
9. de B em C, definida por glx) = 2x + 1

0,1,2,3, 4) e

179-8

Se Hi) = 9, isto 6, hi) =

= (goth(2) = glft2)) = 914) = 9,
Para obtermos a lei de correspondéncia da funcio composta h = gof,
fazemos assim: gt) € obtida a partir de g(x) trocandose x por 1(x)
No exemplo dado, temos:
bx) = (got bd 9100) = 2 » fled + rt.
Se vamos calcular M2), fazemos deste modo:
ha) =2- 24129

29) Sojam as fungdes reais 1 ey definidas por f(x) = x + 1 0 90d xx

Notemos que a funcáo composta hy = got é definida por:

A EA TD 4 aot + Be + 3.
Notemos, por outro lado, que a funçäo composta hy = fog é definida por:
1200 = (fog) (x) = glad) = god + 1 2 x tH TT + x 42.

209. Observaçües

19) A composta gof só esta definida quando o cantra-dominio da f é
igual ao domínio de 9. Em particular se as fungóss f e g sio de A em A
ento as compostas fog e gof estdo definidas e sio fungées de A em A,

22) Notemos que em geral, fog # gof, isto é, a composicäo de fungóes.
do & comutativa.

Pode acontecer que somente uma das fungóss fog ou gof esteja definida.

180-A

Assim, no primelro exemplo, se tentarmos obter fog verificaremos que é impos:
sivel, pois
9 é fungio de B emC mas f no é fungio de C em A.

To 6 fungi

e

A) As dues composighes fog e gof estáo definidas mas 109 # gof co:
mo nos mostra © segundo exemplo:

WO) = 22 + 3x + 3
Hog bx) = x + x + 2.
210, Teorema

Quaisquer que sejam as funsóes
alot cto
tem

(hoglof = ho(gon.
Demonstracáo
Consideremos um elemento qualquer x de A e coloquemos fix} = y,
aly) = woe haie 2; temos:
(hogiof (x) « thog(FOx)) = (hug (y) = hialyl) = hiw) = 2

e notemos que

tactil = gl) = aly) = w
portanto,

(hotgoMMEx) = hi(got (x)) = hlw) = z

entáo, temos:

((hogofh ix) = (ho(gotil,
para todo x de A.

181-A

EXERCÍCIOS
A289 Sejam as fungñes resis 1 eg, definidas por Hal - x? + 4x - 5 e glx) 2x3.
Podese

al obter as leis que definem 10 e got
Bl calcular (GHZ) e (901)(2)
©) derérminar os valores co dominio de funcio 109 que procuzem imagem 16.

Solugfo

al À lui que define 109 6 obtido a partir da lei de f, mocandase x por gtx)

(0916 = Hago! = [oa] + alaba] - 5 = 12x - 32 + alae - 3) - 5
MONO = ad - ax 8,

A lai que define 90€ & obtido a partir de loi de 9, tocandose x por fl

ONL) = alt= 2 + 160 3 + 262 HARD 3
WON) = 20 + Bx = 13

I Calculemos 107 para x= 2
togh2) = 4422-4. 2-8=0

ceateulemos got para x= 2
WED) 229224821311

©) 0 problema em questo, resume se om resolver a equacdo
Woo = 16
ou se

fd 4x Be — in x

A290 Sejam ar ‘unger resis f o 9, definidos por fx} = 47 - x -2 0 gh = 1 - 2x
Podes
9) obier a lis que detinem 10%
D} calcular (FORM. e (g001-2)
©) determinar or valores do dominio da Juncio. fÜg que produrem imagem 10.

A291 Sajam as funedes resis 1 eg. delinidas por 16d = x
Obter af lei que detinam 09 # 90%,

wet Te glad xt at

A292 Sejam as fungdes riss $0 g, definidos por fbx) «2 0 gtx) = 3x - 1. Obter os
Isis que define £03 e got

3, obreras

A293 Nas fungdes reais 1 eg, definidas por f(a) = xt +2 @ glx) =
leis que deinem:

a 108 br got el tot a gos
A294 Considera a fungéo em IR definido por Hx) = x 3x2 + 2x - 1. Qual da le

ape oie ont © LIB t= a

182-8

‘A296 Dadas as tunes seis definidas por fbx) = 3x + 2 0 glx) = 2x 42, determinar
© valor de 2 ce modo que se teaha Hg = sOf.

A206 Se 162) <2 0 pla) at, monte que (09 = 90.

AZOT Sejam as funpdee fx) = x? + 2x +e glk = a2 + ox +b, Moure que se
109 = eof endo f=.

A298 Sejam as funcdes detinidas por 16x) = Vx e glx) xl - 3x - a. Determinar
05 dominos des unger 109 e 90%

Sotusso
31 og = tp Van « Va
Fare que st Ugh) ER, umemes un PO, to de C1
où x34, Emo
DUO + HER | x <1 où x>a}
PI (OM = gtt69) = [otal - 3 + glx) - 4 = Ix] - SV 4,
Paco que oxta OO ER, devemos er x30, Endo
Dion RER | x DO}

A209 Sajam (ox) = VIT 0 glx) = 2x2 - Ex + 3. Determinar os dominios das fangos
109 e got.

A200 Sejm os funces 100) « 4]

definida ¡ara todo x taal e x72 0 gi

22

x
detinid pora todo x real Pédervae:

8) o dominio e lei que detine 109

©) dominio sa si que

ine got.

A201 Sejm as funedes cents 16) = 2x + 1, gd = AB = 1 € hl = 36 + 2. Obter
a li que define (no glot.

A302 Sejam os lunçdes resis thx) = 1 x, glx) = x2 x +2 lA = 2x +3. Obter
a li que define ho{gor)

A208 Sejam as Fungdes reais tix) = 36-5 e (CI) = 2 - 3, Determinar lei da
tunes 3

Selugio
Se fix) » 3x - 5 entio trocandose x por glad tomos:
Moghixh = fated = 3 + glx) - 5

mas à dedo que: (Og)ta) = x? = 3 enti

3 ghd 5-0-3

ou soja

2 +2
an

183-A

A304 Sejam ae fungges resis 10) = 2x 7 0 MO «x = 2x 4 3. Determinar à A210 Sejam as funcdes resis 1 o 9 definidas por

16 fung 9 wre <a
A
A305 Sejam as fungdos rais glx) = Ix =2 e HOglal » Bx? - dx à 1. Determinar a tah ze A
le de fungso 1 An
sougse CR
Se (fOgMx} = 9x2 - 3x + 1 entdo Hall) « 9x? - 3x + 1 Oller ee I cave din FEU 9 8
Como gle = ax = 2, decor x SEE. enti ASI Seja os funcées reais 1-0 y definidas por
EE wl (3 m x20 ne m xD?
o EA AA da e
Bb +3 + gh +3 logo, = a + x + 3 GRR a ecran 1 CE
A306 Sejm as lunes reis glx) = 26 = 3e MONA] = 2 4 +1. Determinar ASIZ Sajm a8 funge reis 9 e 100 definicas por glx) = 2x - 3 €
(ards unio à ee aia oe
Wom = {ax + 3 mo x<1

A307 Sejam as funçües runs gb) = 2x + 3 ceinide pura todo x rele x #2 u
2x + 5 Obrera oi que define f.

on + ZE denis pra todo rele 3. Deia ai cn
tango 1
2.308 Sajam 1 e y fungóns cos os Il. FUNGAO SOBREJETORA
ets 21
Obte le que dice 109 Das
Ss
Fem dd yoga = to Lina fumño € de A em B 6 sobreetor se,» somante se, par todo
ee y pertencente à B existe um elemento x pertencente a A tal que
fod = y.

ya

ET go Bt nad me es Em símbolos
DT me A +2 ghd + 4 =

ER TER OF eae ede ee PRET
aa 1.6 dobrejetora Y y, YER, 3x, X € Al fin) = y
NET ee gh) St ome x-3<1 a
ver or me

— (og den Notemos que #: A-> B 6 sobrejtora se, a somente se, Imif

mem: toa {SIT m 224

wu se <A, tA +B
# 6 sobrejetors oe Imi = B

A209 Sejam 1 e gas fungi resis definidas por
Bars ce x22
ns et ca Em lugar de dizermos "f é uma funçäo sobrejetora de A em B™ poderemos
Obter os Ins que definem fog e got. dizer “fé uma sobrejepdo de A em 8".

tho + © old er

184-A 185-A

212. Exemplos

19) A fungi # de ;
A=(-1,0,1,2) m 8=(0,1,4
definida pea I lal = x? 6 sobeejetora Y
pois, para todo elemento y E B, existe
o elemento x € À tal que vor N

Observemes que para todo elemen:
10 de B converge pelo menos uma flecha,

29) A funcio F de A= RM em B- {ye Miy 21! definida por
16d = 811 6 sobrejotora pois, para todo y EE, existe x CA tai que
x2 +1, bastando para isso tomar x = ou x= -Vy-1.

Mi. FUNGÄO INJETORA -

213. Definigäo

Uma funcio 1 de A em 8 é injotora se, e somente se, quaisquer que
sejem xi 0 xy de A, se % # x2 ento. fKx,) # fx)

Em símbolos

La 8
o Hu) Fa)

Notemos que a definicäo proposta é equivalente a uma funçäo f de A
em BÉ injetora se, © somente se, quaisquer que sejam x, e x, de A, se
flo) = tha) ande x = x2

A8
18 injetora ms (x), x € A, x, a € Alliixı)

fla) = x) = x)

Em lugar de dizermos “4 & uma fungáo injetora de A em B” poderemos
dizer "1 6 uma injegáo de A um B"

186-8

214. Exemplos

19) A fungdo f de A= {0, 1, 2, 3} em B = 11, 3,6, 7, 9) datinida
pola lei ffx) = 2x 41 € injetora
pois, dois elementos distintos de A tém
como imagens dois elementos distintos
de 8, Observemos que nio existem duas
ou mais Flechas convergindo para um
‘mesmo elemento de 8.

A a o

29) Afancio de A=N em BM definida por f(x) = 2x & injetora,
pois, qualquer que sejam x; e x; de N, se xi # x emo 2x, # 2x.

32) A turgio de AIR" em B= IR definida por fx) L € ine

tora, pois, qualquer que sejam x, e x; de RU, se x 4x ento. L

IV. FUNGÄO BIJETORA

215. Definigäo

Uma fungio f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejenora
e injnora.
Em símbolos

AB
# é bijetora = { & sobrojetora o injetora „

A definicäo acima é equivalente a: uma funco + de A em 8 & bijetora
32, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B existe um Único
elemento x pertencente a A tal que fix) ~ y.

LA=8
1 6 bijetora Y y, y EB, 3x, x € Ax) = v

Em fugar de dizermos “I & uma funçäo bijetora de A em 8" poderemos
dizer "1 & uma bijegdo de A em”

197-0

216. Exemples

19) A funçäo f de A = {0, 1,2, 3} em B ={1, 2, 3, 4) definida
por fix) =x +1 6 bijetora

E==3

tora e injetora, isto 6, para todo elemento y E B, existe um
único elemento x E A, tal que y = x + 1. Observemos que para cada ele-
mento de B converge uma só flecha.

29) A funcio f de Am R em B= IR definida por fix) = 3x + 2
& bijetora, pois:

VW qualquer que ses y E IR, existo x @ IR tal que y=3x +2, basta

tomarmos x - 472. Logo, f é sobrejetora;

Uy quaisquer que
isto 6, 1 6

im xy 0 xy de IR, se x, # Xz entdo Ixy + 2 #30 +2,
jetora.

217. Observemos que existem fungdes que näo sdo sobrejetoras nem injetoras.
Assim, por exemplo, a fungdo de IR em IR definida por fix) = Ixl

D dado y E IRE, nio existe x € IR tal que y= [xl portanto f
néo 6 sobrejetora;

IN existem xı € x em IR, xy e x2 opostos (e portanto x, # x3)
tais que Ixıl= 1x2], isto 6, f nfo 6 injerora.

218. Através da representacdo cartesiana de uma funpáo 1 podemos verificar
se f 6 injetora ou sobrejetora ou bijetora, Para isso, basta analisarmos o número
de pontos de intersecçäo das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada
pomo (0, y) onde y€B (contr

188-A

19) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto ou näo
cortar o gráfico, entáo a fungäo & injetora.

Exemplos
IRSA bhi Ry +R
fd = x 100 = x

29) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos entäo
a funcio & sobrejetora.

Exemplos
a EUR +R DER +R
fod = x= 1 fx) = x

30) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, entdo a
funcio 6 bjjetora.

Exemples
atk +R BIER > AR
Hd = 2x 10d = xx

189-0

218. Resumo:

Dada a fund
(O,y) com _y € 8:

49) se nenhuma rera corta o gráfico mais de uma vez, entäo 1 ¢ injetora.

1 de_A em B, consideramse as retas horizontais por

281 se toda reta corta o gráfico, entáo 1 à sobrejerora,

30) se toda reta corta o gré

em um 56 ponto, emdo 1 é bijetora

220. Teorema

Se duas funcées f de A em 8 e g de B em C sio sobrejetoras,
entáo a funçäo composta got de A em C é também sobrejetora,

emonsraeho

A funedo g € sobrejetora antio, para todo z de C, existe y em B
tal que gly) = 2 ea fungdo f é sobrejetora, isto 6, dado y em B existe
x am A tal que tix) = y.

Logo, para todo z em C, existe x em A tal que

2 = gly) = gift = (gob

o que prova que gof é sobrejerora.

221. Teorema

Se duas fungóss # de A em B e g de B em C slo injetoras, entio a
fungäo composta gof de A em C € também injetora,

Demonstracáo
Consideremos x; e x; dois elementos quaisquer de A e suponhamos
que Mori) = (goths), isto & glfle) = gífixa)). Como g à injetora,

da última igualdade resulta que f{x)) = f(x), como f é também injetora
vem, x: = x2; portanto gef & injerora

190-A

EXERCICIOS

A313 Indique qual dos fungBes abeixo 6 injetoro, sobreetora ou bijetora?

A314 Para os fungóes em FL absixo ropresertadas quel $ Inetora? E sobrejetora? E

à i t
po pu es oe

IV) no $ sobrejetora u nem Injetora

aR lave e
Dg RR ua gid eta
AR OR, we Mel
dm Su alae mio = +2
oe oz we o «be

Oo ro at
wR er a
mR OR alten

191-0

A316 Determine o valor de bem B= [y ER ly 2 b) de modo que e funcio 1 de
IR oo B definida por tab 23 -4x # 6 soja sobrejmora.

A317 Determine o meior valor de a am A = ixE Rx <a} de modo que a fungi
fe A em IR definida por Ile) = 2a? = Sx +4 seis inet

A318 Nas fungos sequins classique um
1 injetora 10 sobrejetore

IV) 10 6 injtora a nem sobrejeora

ab Ron eR =m
tae [BO ket epee
ee of aa
et) wen
an on ama a
un. [52 eB? a fée wt
[ir PS
PTE sone
x wo m. [ae sea
E PY pe wein-a
7

ALDO Sciam as lung 1 de A om 8, definido por y = Hi; idemtidhde um A,
erotodo por la de A em A e definida por tale) à x; idontidade em B,
anotods por Ig, de B em 8 e delinida por Iglai = x Prove

Inn foe garen

A320 As fungdes la © Ig do exercicio anterior 450 igus? Justificar.

‘A321 Os comumos A e 8 dm, respectivamente me a elementos. Considerase uma
hunde +: À »B. Oval a conciglo sobre m em para que € poss sr ini!
E para 1 so sobrojetora? E bijetora?

A322 vantas sio as injecóns de À = (9,6) mm B= ice. 1?
A323 Quintat so as sobrmecóes de A = a,b,c} mm B= (av)?

A324 Mostrar com um exemplo que a composta de uma injecdo com uma sobrejecío pode
o ar mum ınjorora nam sobrejetor.

192-A

V. FUNGÄO INVERSA

222, Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 42 e 8 = {1, 3,6, 7! consideremos
a funcio { de À em B definida por f(x) = 2x - 1.

Notemos que a funcáo f &biletora A 8
lormada pelos pares ordenados ‘

F220, 1, 2, 9, 6, 5), (4, 7}
onde Di - A © Imifl = B.

A relagäo 1" = (ly. xb Lx VICE
inversa de f, & também uma funcio num
pois, fé uma bijecdo de A em B,

isto &, para todo y © B existe um 7

único x CA tal que (y, Gi!
A Mundo 1" 6 formada pelos =
pares ordenados 7
fie (1, 1, 48, 2, 45,3), (7, 4} =
onde -

DIF) © Boe Im!) A.

Observemos que a funeo 1 & definida pela sentenca

definida peta semtenga x = 15T, ito 6

Bal que y= 2-1
yet
E

19) leva cada elemento Xx E A até o y

29) Fl leva cada elemento y CB abo xEA tal que x

223, Teorema

Seja $: A—B, Arelacio f" € uma funcio de B em A se, e somente
se, fé bijerora

Domonstracio

1? Parte: se ©! 6 uma funcio de B em A entäo fé bijetora

al para todo y E B existe um x € A tal que Fly
(yx) CPE, ou ainda, (x, vi Ef. Assim 1 & sobrejetora.

193-A

bl dados x GA © m € À, com x, % xo, se tivermos xy) = flea) = y
resultará Fly) = x e FMy) = xa, o que é absurdo pois y só tem uma
imagem em 1. Assim flx,) # fog) e f à injetora

2? Parte: se t & bijetora, entäo (7? $ uma funcio de B em A.

al Como fé sobrejetora, para todo y E 8 existe um x E A tal que
(x y) Ef, portanto, (y, x) EF

b)Se y EB duas imagens x; e x: em 1°

MIE mern
portanto
(WEF e im, WEF

Como 1 4 injetora resulta x, = x3.
224, Definiräo

Se f $ uma fungäo bijetora de A em B, a relaçäo inverse de f & uma
fungäo de B em A que denominamos funcio inversa de f e indicamos por f

225, Obsorvaçses

12) Os pares ordenádos que formam 1”! podem ser obtidos dos pares
ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto 6

met = yer

28) Pela observagäo anterior, temos
Yet yer
Agora, se considerarmos a funcio inversa de FI, teremos:
MIER da yey!
isto é, a inversa de Fl & a própria fungdo f
jet,

Podemos assim afirmar que f 0 f
inverse de outra.

sio inversas entre si, ou melhor, uma é

38) O dominio da funçäo 1"! é B, que 6 a imagem da funcio 4.
A imagem da funçäo fl $ A, que é o dominio da funçäo +.

194-4

oi

B= Imi e 1

226. Vimos no exemplo anterior que se a fundo f & definida pela sentence
yet

aberta y = 2x - 1, ento a funcio inversa 1”! 6 definida pela sentenga x =

Observemos, por exemplo, que x = 2 e y=3 satisfazem a condisäo
y= 2% = 1 etombém x= LE. tato nfo quer dizer que o par ordenado
(2, 3) pertengaa fea ft. De fato

aer. aer

PER

As sentengas abertas y = 2x 3

‘Bo especificam quem
(x? ou y?) € 0 primeiro termo do par ordenado.

Ao construirmos O gráfico cartesiano da funcio f, colocamos x am
abscissas e y em ordenadas, isto

f= [lo VE AXBI y = 2x - 1)

€ a0 representarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de 1
conjunto

vet

q

(ty, EBXA|x=-

devemos ter y em abscissa € x em ordı

ada,

Afim de que possamos convencionar que
19) dada uma sentenga aberta que define uma funcio, x representa
sempre o primeiro termo dos pares ordenados e
29) dois gráficos de funçôes distintes podem ser construídos no mesmo

plano cartesiano com x em abscissas e y em ordenadas, Justitica-se a segui
regra prática.

196-A

227. Regra prática

Dada e funcdo biletora { de A um B, definida pela sentença y = fx},
Para obtermos a sontenga aberta que define 1°”. procedemos do seguinte modo:
19) ma sentenga y = fix) fazemos uma mudanga de variável, isto 6,
trocamos x por y € y por x, obtendo x = (yl
29) transformamos algebricemente a expressfo x = fly), expressando
y em funcio de x para obtermos y = f(x)

Exemplos
19) Quai & a funcio inversa da fur
fix) = 3x + 27
À ungäo dada é thd
Aplicando a reqra prática
1) permutando as variäveis: x = y +2
11} expressando y em funcio de x:
x yt 2 yx 2 y

ES

3 +2

Resposta: É a funeio 1" em iR delinida por 1 (x)

29) Quai é a funcáo inversa da funçäo f bijetora em IR definida por
fod =?

A tunçäo dada $ fh) = y

Aplicando a regra prática, tomos: x

Resposta: É a funcio 17 em IR definida por 1(x)= Ya.

228. Propriedade

Os gráficos cartesianos de f e 1 sio simétricos em relagdo a bissetriz
dos quadrantes 1 € 3 do plano cartesiano,

Observemos inicialmente que so (a, bl E f ento Ib, a) Ef

Para provarmos que os ports Pla, be Qlb, a) sio simétricos em relagic
a reta 7 de equacdo y =x (bissetriz dos quadrantes + e 3), devemos provar
que a rota que passa pelos pontos P e Q 6 perpendicular a reta r e que as
distäncias dos pontos P e Q a reta r sio iguais

germe M pence arta y Como M 4 mio do omen PO, 1 «
MP = M€ r, está entdo provado que os pontos Pe Q equidistam de
rata ro

196-0

Para provarmos que a reta PO € perpendicular a reta r, consideremos o
ponto Ric, c) da reta r, distinto de M e provemos que o triángulo PMA 6
retinguio em M.

Calculardo a medida dos lados do triángulo PMR encontramos.

- rs pb

ath gay ath”
poate ee

aa o

e observemos que

E A eben”
2 2 2
“ar he e # 2e a ht Dae (o = 2ac + 8) + tO

= ape +) da

be 1 2
4 (b= 0? PRE

229, Assim, por exemplo, vamos construir no mesmo diagrama os gráficos de
dus funçées inversas entre si

19) fhd =2%x-4 €

2) M =x Mad «VX
3) fx = x DRAC EI

1) y= 2-4 y
xv x lv a CE
af) [21% ] y
3-0 | [10 | -3 t
2| 4 | 2 n
41% sl BEE
o| 4 “| 0 n
12 21d -
210 o! 2
salıala ! t
Eo of J) Le E 1 OAT Ln 213

197-4

2 yew
xiv
ojo
ria
2,4
3|9
a lu
5125
6 | 36

39)

x lv
-3 | -27
2| 8
aja
o| o
boa
2| 8
3| 22
230, Teorema

Seja f uma fungäo bijetora de A em B. Se f! é à fungio inversa d
£ entdo
ple

NS

Demonstragéo
MEA, ota PU) = Py) à x
ey SB, (fof Hy) = HE YI = fod y

198-0

231, Teorema

Se as fungóes 1 de A em Be g de B em C sio bijetoras antäo

igo"! = Flog

Demonstragóo

Observemos inicialmente: se as fungóes f de A em Be 9 de B em C,
sio biletoras, entéo a fungie composta, gt de A em C é bijetora, logo,
existo a funcio inversa (got)! de C em A

Queremos provar que {got}! = Flog". entio basta provar que
(tog Holucl + la e Igottoltog")
Notemos que

tate la, fot =p, gee - la e 909° = le.
Entáo:

(Pog Melaot) = (og oglof = [Pot toglef = I'olelot =
= Flot 2 la
Gotto(tteg
= 9097 = lo.

D « lgotiot log"! = [gotrori log”! = Ianiglon” =

EXERCICIOS

2.325 Para caca fungáo aboixe pode provar que & biletora © determinar sua inversa;
RA tal que Mn 2725
Murten} tat que ob =
ORR tal que io x

[8.326 Nos fungdes abalxo de IR em R, obter a Ii de correspondencia que define a foncáo
a fiat = 24+ 3
eat
3
eh oad = 922

OF pied ez
ait Vera
naa Ye
aed Yr

A327 A funcio 1 em IR definite por AK] à 92, ad

funçéo Imsa? susie

199-4,

A328 Seja e fungño {de Fi em M,, definido por fix] = x2, Qual 6 a fungio inversa

“rn
Solugso
A tungio dads 6 fh) = y 2 x? com x GO e y 30.
Aplicando 8 regra prática, tomos:
D permutando os voióvis

Key com y 0 e x>0
UW) exprascando. y em fango de x

xy Y où y VE

Considerando que na funcéo imersa 1-1, devemos ¡gr y <0 0 x 0 a lei de

corrosponcióncia da funcáo inverse sé. fla) ==
sponta: Ea fungéo 1 de IR, om IR. definida por 0

ER

A.328 Obter a funglo Inverso nos seguimes fungóes sbaixo

DEA As
fhe) a

DIE Am iy, onde Ae (EMI)
(PEN

dE AM. onde A= (x ER IX 2}
M = te 22

dti a+ M, onde A= {x € Rx Ga)
160 = x 17

BER, one 8-{ERIy> 1]
to) oat ed

B-Wenivce

DR 0, onde B= (YE Rly >-1}

A390 Soja a fango bijerora 1, de IR {2} em IR ~ {1} definida por tix) = 221

Quai & a fango inverse de 17 #2
Solugio
A tuno dads 6 fx) =v CE com x #2 0 y #1
Aplicando a regra prática, tomos
Ly yd ay y der =
eet CESR PET EEE ENTER tome

ati

Resp.: Eo funçüo 1, de IR - {1} em IR - {2}, detinds por Fix) +

200-8

+1

331 Obter à fungSo inversa das seguintes anges

ata (a) > m1) er Ca} EE)
fin - 243 tig - 23

démon. gem (er

tz 5x2

Mn = ;
in « LE tos - E

MO
312
pees

a a fa}

un. 2 sn

A222 Sea a tuncfo 1 de M-{-2} om AR - {4} detinite por tix) = 23. ve!
io de Fl com imagem 57

6. pera iso, basta detarmirar

2203Seja a funcio f de A- se RIGA) om Ba (ye Rly 1} cotinida
por tts) = Vif + 2x 2. Quel 6 0 valor do dominio de 17 com imagem 37

sive Ris 22) es tuno
Sion os coniumot A= RE RIxD1) e Be ive RLY: i
ae de A am B definida por tld) = x? - 2x + 3. Obter a funcio inverse de t.

Solugo
À tungéo dada € fix)
Aplicando » ragra prática temos:
1 perenutando es varie

xo ota com yet exe?

yd ta com xB oe y>2

1 exprescando y em funcio de x u

A yey ete BET PAE
> eVect ey Vd où v-1=-Vr- 2
> ya Va ou y 1 Vx 2

Considerando que na fungi inversa (4, devemos ter y>1 © x22, 6 sentent

ue define fungio inversa 6 Mad + 1 + 2
Reportes MBA
E CEE]

‘A335 Obter à funeño loversa das seguintes fungäes
a A-{kERIxzt) e 8-veriya-)
Lasa
[een
DA MERIxDA e 8-(ERIy>I)
BAS
HO 2+ a

PAGER eka} e Benya
pre
Hd aa
HAE RID
pre
ada

© a-berly>-h

D'AXERIADI © B= iyeRiy<a}
tase
Hd = oad eae +S
HA-MERIxEA} e @-fyenly <o}
tasa
a

5
AstxeRix> 8} + eriveriva-2)
Ya enla). Be iveRiva-2

Lasa
fix) = 2x2 + Ex +2

A390 ch a ln bistora de em et por fos) ft 1 120
wet x<0
Determinar +
Solugio
Notemos que
19) sex 30 emo 10 = y= 52-1, dogo yl
293 se x <O ento fix) > y ogo y <-1.

A funcio proposta à
Yeats m RO yt où y
Aplicando à regra práica

1 com x <0 8 y

1) permutando as voriévei, tomos
Kewl com y RD 6 xD où yd com LO ende
I oxpresando y em Fungo de x, tempos:

Ve rt t com y 20 0 x3-1 où yd com O e x <<
Logo, a fungdo Inverse 171 6 de FL em IR o definido por

atl xc

202-8

Aa he ni uen «fr mar
SPECTRE EEE

TL and? sc

0 x>0 #-2 0 x<4

oti eee ames o
= ES
CITE Nes TAPER we 1K <2
BETEN wt ek ng

x + 21 + Ln 1, admite Fungo inversa?

‘A290 A funcio $ em A definida por 10)

A230 Soja a funcio { om IR detinida por fix) = 2x + Lx + 1) - 12x - Al. Determinar

2 fungéo inversa se 1.
340 Soja a tungio # em M definido por He) = 2 - 3. Constr num mesmo plano
cartesiano os gráficos de $e 1
Soie Ju TE,

ld = +3
0-23
fo) 2x = 3 wae

A301 Nas fungdes aue seguem, construir num mesmo plano cartesiano os gráficos de 1 e FI

Mas ren
100 = 2x #1 st
auna
nas dgugigtrentysd
ef A A= fe Rix 1) ERA
of: Res al)
wana

‘A242 Dados us fungdes 1 0 9 om A definidos por fx) = dx - 2 à gle) = 2x + 5 A346 Sejam os conjumos A= (E lx 3-2), B= {xEMIx>-4} e
torminer 9 Fungdo inversa de got. Ga (E Mix 2-1} © an fungdes 1 de A em B definida por Hl =
= x + 4x e 9 de B em C definida por gie) = 32 - 1. Perguntese: exine

Solve Won sir à report
19 Proceso a :
AIG Sajam os conjuntos As {x € RIx< 2) e dE IR Lx > -1 À wat tungges:
Determinamos inlahmente got © em seguida. (0-1 2
de À em IR. define por 400 = 2-1, 9 de Rom Ry dainde gor als) = 9?
Iwona) O) = 2d #6 = An 2) +8 = x + 1 oo a Roan Boi id
Aplicando 9 rope prática, tot: Roof

xO tt ya

ponente (gotta)

29 Proceso

Detarminamos inicialmente 1-1 0 y
Got = Hog
Aplicando 0 rosa prétiea em f(x) = 3x -2 0 glk = 2x +5 temor

om seguida. 11097 pois

Immer}
ty - 5S

portanto (go!

Resposta: (got
(gor

A342 Dads as funges fe y, daterminar a fungdo inversa de go!
atRoR e
fe) = ax +4

BERR ec gaon
thd 3 od - 2x49

PERK © GRO
ala ab) 4 x

xe mix <4)

3 A 123
ar ER eR I eE RIn S

LA=8 ea

Ho = 98 = 3 oad = 4x +9
SMA MER xd I}, Co (ke RIx 32}
HAR, 6 Re

Miah = 28 21 ote) Vera

2044 205-A

APÉNDICE 1
EQUACOES IRRACIONAIS
Equac3o irracional é uma equagdo em que há incógnita sob um ou mai

radicals

Exemplos

NZEE] VAT TZ, Vitae 2, VITA DAS,

Para resolvermos uma equacio irracional, devemos transtorr
os radicais, bastando para tanto elevála a poténcias convenientes. Näo devemos
esquecer que este procedimento pode introduzir rafzes estranhas à equacáo
proposta inicialmente.

232. Equagño Vx) = glx)

Fagamos o estudo de equecño irracional do tipo WTR) = glx).
Elevando ambos os membros 0 quadrado, obtemos:
#0 labo].
As duas equacóes podem ser escritas
VERF 909 0 e) = Lobo O
VOR ER AM

E claro que toda rar de equacio (1) $ raiz da equacio (2) porque anulando se
V fOd + alx) anularseá o produto (VRR) = gfx) CV Mo) + ald)

Entretanto, a reciproca nio é verdadeir, into d, uma rai da equacdo (2)
pode no ser raiz da equacio (1). On fato, uma raiz de (2 anula um dos fatores,
podendo anular Y fix) + alx) sem anular. Va = gb.

Para verificarmos se «, «aiz da equacio (2), também à raiz da equacio
(1) podemos proceder de dois modos:

19) verificando na equecdo proposta, isto é, substituinde x por a em
(1) e notando se aparece uma igualdade verdadeira;

206-8

291 verificando se gla) > 0.

Mostremos que ela) > 0 = a € raie de (1)

fla) = (g(a)? 1 VHC = afer] LV + slal] = 0
E = V fled

gta) - -V'ffai

Como gla) > D resulta que só glo) = VHal & verdadeira, isto à n
6 raiz da equacto yb) + VAR)

Esquematicamente, temos:

Vid = glx) = ttn

Ib e glx) > 0

exercicios

A346 Resolver ms eauscóes

Vai EEN

Solucáo

a Mio há possibildade de invaduzir calves estranhs 90 avackarmos asta quicio,
GOA
Vai dm té
8 = (14)

o

Antes de quedrarmos esta cquacóo $ conveniente isolarmos a rue cu um cos
memos. Astin, temor:

VAE + 6x +7 +12 2x GE Gx St = Oe ES
AB + Se ee no toe
2389 0 23

x = ndo 4 solucdo pois, Vor + +141 #20
x= 8 6 solucto pois, VA + 5361412203

Para verificar se x = O ou x - 3 sóo ou do solugdns da each propurto podemos
utilizar © segundo procs, como segur:

2
910) 1 <O = x = 0 ndo 4 soluce
AN | SD 0x = 3 6 song

207-A

A352 Revolver a equacio

347 Resolver as equicóes ieraciona

a Vaz ECO a
INFECTA NETA Solusóo

e Vad TI 4-2 a Vies Vara. A equecdo proposte é equivalente a

PENE Mm VER T0 = 17 - pecs Omit ete Veer -2.
var CIN ee un.

w2-x-2VarT-0 El ve? ov yee

o A A mdr, ws y VRTRT ED

Poo v= 2. tomos
Vito xt 9 Vans Vetere net VICIO rr 0m

eee 2 ot

avi

A348 (MAPOFEI-74) Resolver a equogio Vax + 5 - x = 0.

A248 (MAPOFEI-75) Verificar se existem númoros resis x tas que 2- x = Vi 1
Juntficar a resposta. A303 Resolver us equigóes:

DEAN RE
A350 Resolor as uquagder:
a d-3Ve42-0 D Vat avn 1-0 ge Za Y

PEE

oe accio
e oe 564 ont om 24 ua
mu y VE. oyo | eae
A tennt A355 Resolver a equacio.
Vo ao ame Ya VaniiVacte
5.4.90) cata
E Via um Ar e ms ea me Sie pe 0 ote
A Vario Vans Varias Via
ama EEE
reiten AORTA TA eke Pee
man un dane pt
NENE]
A351 Resolver as equapóes: s- {4}
a sy 6-0 o dd 386 Resolver as ecu
NINA D CINE no sys Ne
NE malen en re a Vie vs
ee Tove ava ve CCE EN CERTES LE CETES PESTE)

208-A 208-A

18.257 Resolver as equagies

ayarı- Va bh Vie 3 + Vax et
a Varia aVmrz-Va-i-
OV Va Vas Ver
EEE]
Ass Resolver se equa

a VAIO Vat oe A 2

ELE LEARN ERE
RETINA

a CEE]
NN

A399 Resolver a equacdo:

Vaste VRT VO

Sole
CESEN res VE =

wend RO ee (Vere + Verte =
Dre ro 2 VÍ +
AA av =

av Vs =
PEN EE Er EN SEEN CEE LE

+228 2 2e + x 2 a O 26e 27 mx 0

KENT 6 solo pos
Vide Vit ETES EST

sein}

{A300 Reser os equ
a VETE Vand VETE VE
D Vars Var Vane Va
O Vani + Va tre Vase Vd

CNCESEN CHEFS CITE EEE

A361 Resolver as ecuagóos:

NS

210-8

A362 Resolver a eauagdo:

Solugo
Multiolicanda os termos da primeira #raçäo por x - V/2 2x3 e os da segunda por
K 4 V2, temor

Bix VTA), als VI
pp

YE YN
pr]

Te tent dee
xi? ~~ 0 x-0 où x- V3 où x- VE
x + V3 où x --V3 ada slo solupdes pois devemos ter 2 - x? 3: 0 para que

soja veal a expressdo V/2- x4. Somente x - ésolupdo 8 isto pode ser verificado
facitmant, substituinds x por zero na equecdo propoma.

s- Lo)
A363 Resolver as aquacóes

= - Var

2304 (MAPOFEI-76) Resolver a equagio

1
ee ng
Vire Vis Vi Vs
A365 Resolver à equacto

A366 Resolver à equagio

Ltn-Varn NI va

Thiais 2
A367 Sendo 9 © D números resis, resolver à equagéo:

Ver Vo Varo 2

auı-a

A369 Sondo a 8 b números resis näo negativos, resolver e discutir a equecío:
Vara Vis ve
A370 Sabendo que a E b fo nümeros reals e positives, resolver as equegdas

"vs

Venue

Veneer
y VEZ

ER
SAA
Va even

ASI Sendo a a b números resis ndo nulos, resolve a equacfo:

TANTA xo
A372 Revolver 08 sstamas de equagée

e foros
Vers
wf Vay = N

xty=2

A

A 7

Bean

2.373 Revolver of sitemas de equecdes

aa 8
IN D weave oF

wf A Vaz
{VEE

212-8

233. Equecso Vf = glx)

Fagamos agora o estudo da equagdo do tipo YT = gtx).

Vamos mostrar que ao elevarmos esta equacdo ao cubo no Introduzimos
raízes estranhas, isto &, obtemos uma equardo equivalente.

Vi = 900 em fh = [gba
De fato, considerando estas duas equates, tamos.

VRT = abd € td = Tate)?

VAG) - gd = 0 (Me Hed - fetal? = 0 (2.
Observemos em (2) que
160 = Label? = (8/76) = 200] + LV TIE + bd Fd + (gb)? ] = 0.
Como o fator (VH + 960 + TT + (9601? 6 sempre positivo pois
(YAA 900 VF + lab? = (TES + LI « Lab

resulta que o fator Vi ~ g(x) 6 nulo e a equaçäo (2) tem sempre as mesmas
solupóes de equapdo (1), isto 6, (1) e (2) so equivalentes.

ExERCIEIOS

A 374 Rewer ss equa
ao Vars ow Veda art inet
soucie
RO
8 « {13}
wh VA DRE Te x à tee aa à Où + te ee

tr

Ber PER + + Pad toe Oe
ln 0x = 0 où 8-3 où 2

s+ (0,3,
ATS Amer a cusses
a Verse Ya
a Vines --3 avia?
a Vado DE zer
a Yavin mer ni Vanni 2 20e
RETO p VE 2

213-8

A376 Resolver a sache ¿YA ¿YT - 0

A377 Resower a oquegio Vx +45 - Vx = 48 - 2

Sousse
y y y y y >
awe Va Vr a
BEER am tag 2 8 + Fee ge Tee + x - 49

Saa + a Va 48 - 00 - ome 1 Va = 48 + Va ad - 18 - 0,
Fazndo VX 738 = y, tomos: a
Pay 152 0 yd où yes ms y > Y 4, emo

VTA gx 49 Dm x à 76

y:

s- (78, 16)

E

A378 Resolver a equecto Vx ri -

A379 Resolver a equacio Vx +

A380 Resolver a uquagio V2 Ve 1.
ABB Resolver a equagio Va Va Vox
pen
se circos ora wo ul i
fan Mer Dot = Are eng
a Ya RITTER + i Ye Vow oe
et tn U 6x 0 6x me VERS Se = ee xt - Gx = 23e
e ere es
Æ
;

s- (0. YE,

sta renner equate: Vers Yana = Vie.
A383 Amower a equecio: Var 1 Vea Vie
as raras: VA

214-8

APÉNDICE II

INEQUAGOES IRRACIONAIS

234. Inecuacáo irracional
mais radicais.

uma inequagäo em que há incógnita sob um ou
Exempios
VEFE> 3, VOR FG > x VFI VR SD 2,

Observemos inicialmente que se a e 6 530 números reais näo negativos
onto

a>b ad
a<b es ach
Assim, por exemplo, sio verdadeiras as implicagées
265 =4<2
VI>V3=3>2
4<9 =2<3
mas slo falsas as implicagBes

-3<-2=9<4
2>-5=4>2
2>-3—4>9

235, Teorema
Se fi) > 0 © gx) > 0 em um conjunto de valores x pertancentes
a AC RR, entio sio equivalentes as inequacées fix) > glx) e [tx)] > [900].

Demonstracáo

Seja Si o conjunto das solugdes da inequagdo fix} > glx) * S, 0
conjunto das solugdes da inequagño [fx] > gtx, isto 6,

Si = {x € Al fl) > 960)

S = ix € ALA > foro?)

Para provarmos que as inequagdes fix) > gtx) @ [Hi > lobo?
slo equivalentes, basta provarmos que S, = S)

215-8

De fato, para todo « de S;, temos:

fe) - ala) > 0
ESCA wm Ha) > gai > 0 . =

Hla) + glad > 0
— (lot = fal] > Ita) + fad) > 0 => IM - [gal > 0
= Mal > told — a € 53.

Acabamos de provar que $, © Sy, provemos agora que S; © Sy.
Para todo a de

0 € Sy > [Hal]? > [atedl? > [Hall - lolas]? > 0 >
acs,c a af = Mad + gleil- Into) - alan) > 0
ACA =a) 20 © gla) 20 = fai + ga > 0

> Hla) - gla) > 0 > Ma) > gla) >a ES.

Vejamos agora processos para resolvermos alguns tipos de inequacóss

236, Inequacio Irracional Y Tx) < glx)

© processo para resolvermos esta inaquacdo é:

19). Estabulecemos o dominio de validade, isto 4:
10370 e a) >O0 m

22) Quadramos a inequaçäo proposta # resolvemos
foo Slab u

As condigóes (1) e (IN) podem ser agrupadas da srguinte forma
0% 160 < lab]? e al > 0

Esquematicamente, temos:

VER < gle) < fla) < [GP e gb) > 0

Analogamente, podemos estabelecer para a inequacio TI < glx)

Td < 90) 05 #09) < GIF e gh) > 0

216-0

EXEACICIOS
A206 Resolver on inequsedes iracionais _ 3
a VA <2 bi VRS Gad
Solugons
mp0
a VTA SOS She .
x 3x <a
{ no "So où «33 mM
4 <o EST
9 3
u id -.
4 4
un ame wu
m —— — ie cm
o a 0 3 4
Sala sé 0 où 36K <a}
x11D0
OPEL . .
06m is
x+1>0 ET “> uw
{moe arm en an
skin? Haro 152 ov ZN
'
m = vs
0 — Bir =

a
ne, ee

DD AY) —————— > — il à
s.(Enlx>2)

A387 Rosonor es innauscdes

a) Vea <2

Vaasa <I

217-8

2.388 Rasoir as inequasiós:

a VED <x b) VETE SA
9 Vint 9 <e-9 PACE TES]
Nr ri <a x MVA

REPELER)
DIV Tee 2

INPC

297, Inequaçäo irracional VF > gfx)
© processo para resolucio desta inequacdo consiste em duas partes, que 130
19 Parto
gb) <0 e o
pois sendo g(x) < 0 e Ma} > 0, a inequacio VTR > g(x) está satiseita

2 Parte
a) Estabelecemos o dominio de validade da inequagio,
DO e g)>0

b) Quadramos a inequacáo proposta recaindo em
100 > lobo un

As condigdes (1) e (IN podem ser agrupadas da seguinte forma
Fo > lei? e gi > 0

Esquematicamente, temos:

1h > 0 0 gb) <0
Vita > 400 — { ou
fix) > (gb © ghd > 0

Analogamente, para a inequacio V Tx) > atx), temos:

1020 @ gh) <0
MOT ES { ou
fix) > [ghd]? e gil > 0

218-8

exencicios

A209 Resolver as inaquagins
a V-5>3 D Vita > 4 VII

Salus
à VE D2 o DS
8 -{e€ mix >a}

D VOT TEE m + 2 ROMER < Lou x 72

8. SS ou x >2}

2-10 0 x-2<0 w

21727 6 20 m

|
sui, ne

f

wo (rt un

xine ew

1

7
um $4 a

A x
z 2
nam — m — x

so ixC nl L <<a)
7

Aesolvendo (1, tomos

atar 6e+5<o 1<x<5 M
{? 2>0 x-220 «22 ww

1 A
w — *
2
wo Zu +
2 A
wn — »
Scala <x <sh
À solusto de inequnso propos 4 and por
s=5 US (x Emi E <x<s)
219-8

A200 Resolver as inequacóns

a Vixea>s ONE
a V&ci>-2 a Var 18047 >2
OVER TR IN
PNCEE EEE
A391 Resolver as insquasóes
avaz>x D VEzx>x
Y Vixripi-x VE rx ES)
9 VE TE Da -2 nV rae 4 Bx -2
a VÍA +2 mV = 5x2 Bx -2
Serer eres INTE
2.392 Hesolvor a inaquacto
<2

Sohgio

Pore resolvermos en inequacdo, cvemos multilicar ambos 0% membros por x,
‘do esquecendo que drpendendo do sins de x, O sentido de daskualdade será
ivantido où invertido.

13 Posiolidade > ()

ER VITRO 2x Em

*>0 Le CE an

x <a at 4-370 5 x eS um
o
er ze

0) — ne x
a
ee on x

3

er

dae

mannan —————

see RI 2 Sx ea}

2 Possibiidade x <0 HI

(<0)
<a Va spa Fame m

220-A

w =
3
m à =»
o
avion - a

S- (x ERIx <0}
A solupdo de Ineguació proposta 6 dads por:
Sos Un. Emia<o où À a sl

A293 Hosolvr es inaquagdes

a VO cyt wy VE a
E
o V2 > CERTES

238, Inequaçäo irracional TR} > Val

O processo de resolugio desta

questo 6

10) Estabelecermos o dominio de validade da inequagdo, isto

fod >0 e ob 20 (D
29} Quadramos a inequagdo proposta recaindo em
fod > 9) du
As condigdes (1 e (IN) podem ser agrupadas da seguinte forma
109 > abd > 0

Esquematicamente, temos:

VTL > Y ghd = 100 > gtx) > 0

De modo análogo, para a inequacáo
VA > VaR, temos:

VAG) > Vahl — 10d > gx) > 0

EXERCÍCIOS

A4 Resolver a inequacio

CEN

Solo
VEAS VTT nd nern

.. ID a ferrets

wears Bo Parr 320

{re >

St on x>s m
w a hi
un 4 a
m ai 3

S= (eG Rx <4 où 222)

395 Rosoler us inoquogdes:

PRETECNARES D VER <VR +3
à Val 5-3 Vars 6) Vit Tet 1 CE

VOT Toes BVT ES 0 Va eB <a ern

IVA A RSV

A.396 Resolver as inaquasins:
u VI > VEZ
NES

24387 Rosolvor as insquages

ESA LETS
CNET ES CEE

398 Resolver a inequacio:

VIT <2 Va ca

Solugio
Estabolecamos inicialmente o dominio de voidade da inequesio

x.1»o
e rim
x-4>0

222-8

Nommos que para os valores de x satistazendo (I), embor os membrot de
Inequacio proposta slo positivos, antio podemos qua sam preocupecdns,

VARIA nt Sha NET La ds

severe > Li > Lo > u
3>1 a> ber Sw

A solos do insquizdo proposta

a
m m +
5 x
ES
th " x
A209 Ach .
SES EEE VF -Vrri> +
DV 34 <a a AA
A.408 Restor à nequacio:
Verb VE Ti > VE
A 401 Resolver a inset:
CS LEER PET TT]
za

RESPOSTAS

a

a
m

arg

2
vrai m
EST
n 347 m
ar av
av av
av ae

b (Walle + D ER ER Ze)
SABANA Am +3
D a 4 <1)

Mam

248
mir £ e0-6.s
Ve * 16

0255 e >si
>

il. Exit um triéglo séries e no equiltero

1 Todo número tem raiz quadrado iqual a zero
ml Existe um trlingulo equitngulo e ro navilstwo.

ar ar

CAPITULO I

AN Si roger 0b 6,
o un de 0

Aa nem
Da
asaısam
a 5:7-2>8:6 M

a DY
br or

acy By
oF gy

agar by
ov ay

AT a) (Brio? + 5x + 4e OF
oamg+ pet
a Wan
o

AS met ét mano
ob <t m ac
D 3-9 e VB.
9 Bou >2 + Se
2 Ext um ier nto primo pr
10 Tao ar € unr

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RE ne

av av

CAPITULO II

an

as

au
As
as
419

A20

an

an

BER}

br (81, #2, 48, 46, £7, #14, 220, en}
vor 2 21

Sl q poz?

el (o)

es {eviabs, goin)

À (al e divi de 6}

8 « {xlx miltilo inter positivo de 10)
© de lx quocrado de um intro)

D + [xls salio natural da Tara}

0. (3)

aed
todos
av vr ar oF ar
av av mv av ae

tal = (8, (a), {b}, (e), £a}. Lo, 0), la. e), (a, a). (o, e}, (o, a}, (e, 6),
de, be} (o, b, 4), fe, e, 6}, (o, e, a), A}
AUB= (bcd AUCH {bc

BUC~ Kae. AUBUC- bb,

av WF dF aro nv
circulo de centro © e alo 2r

plano à

ANB-ibedhANC-ic) unMc-fe} s anenc
ay FF dv evo nv
se DR 9 O do oa He

au

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aa
as
aa

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Aso

a) fab} {ete} a 0)

ERS a fa, be) 0 Geeta)
ay vv ar ay

x- (13,5)

ay vv

A> {6-1}.

cuis o-

2.0

3200

PAUBUC-MA IICA MBR NC PNA PANBNC
a) 500 vo a2 am
As(oacnd Belnunz) O 631.0 1.1)
2) 560 bi 250

Dada)

D&D © OO

ni
CAPITULO Ill
AZ Die} - +1,42, £3, t6} DI-18) - +1, #2, #3, #6, £9, 118)
DI-241 1 D116) = (#1, +2, ta, +8) mia) = (0, is, 212.)
mito) = (0, #10, +20, £30, ...) mi-9) M mis = (0, +18, +36, +54, ..}
ce Dont ous

Ass
Ass
as

BI m & um máximo diisor comum de ab: mácla, bl Em
el 2.2 ao primos entre si: acta, b) = #1
a) quando alb

fe) queno 2.0 bo primos entre si
#1 0 4 um minima múltiplo comum de a b: mme {a,b} = Ho
prize) EE £42
cas

2,2 mM. 602
Bom Cin

227-A

2
1 2 ?
a I
3 E
2
>
3
He

as bal {x E | asx <a)

{o,f - {kein 10 €x <2}

Ha dl Em 1-3 <a <4}

oo, Sl» ix mlx <5}

Ui, ed = ik ER Ex Ba}
wald whl ob, 2121 obra 2
d bas) o bal & } Sof

an (Rule sl

ano a) Ls

CAPÍTULO IV
ABI AÍA, 21, B(-8, 6), CI-5, -3), DÍA, -5). E(0, 4), FÍ-3, 0), GIO, -8), HIS, 0), 10, 0

As2

228-0

Ags I Ax B= (0, 22. (1, M, (5, 2), (3,11, 4, 21, 44, 11)
BB Aw (2 111-2, 9, 12,4, 11,1, 40,9, 0, 09)
a AXC- (It, “1, 11,01, (1,21, (3, 21, (2,0), 42,2), (4, -1), (a, 0. (4, 21)
OOK A C4, 1), (1,9, LA. 4. 0, 1, 0, D, @. 4, (2.0.2, 9, 0, 4)
oy BF (2 2,42, M, 22, 0, 0)

RENNEN 1, 2), (0, 1, (0,0), (0,2), (2, -11, (2, OD, 12, 21}
ort bl 7 act
q T
Y] al
y H Y 7
CELLLLE
ui IT ern m1
L u y
Tt h 7

Asa al De a

229-A

ASE a br T
111
= Ie
J CEREIEER
<
exe
exo
EN exa FE
€

A9 AD 1-2, 2), 1-2, ON 4-2, 11, (22, 3), (0, -2), (0, 01,10, 1), 10, 9), 1. 21,
(0,0), (1,1, (1, 3, 48,21, (3,0), 43, 1, 43, 2}

A KB it 0h, (1, 21,
12, 0), (2,21, (2,51)

11, 10,0), (0, 2, 10, 5), 12, =1)

A100 31 B=

62,4), bo, 3,40, 2), 1, 1}

230-8

a Te {Ua 2 62 2, 1 1 1, A, 0, D, 6, 2, 2,2)

COEN

nor A = (12,2, 42, 4), 12, 8), (9,2), 14,6), (6, 21, 16, 41)

aw Ch

231-A

aso FT

coy
CE
aora De {1.2} © im {1,34}
bt D= (-2,-1,9,2) © mena}
2064215) e m2 (1, -2, V3}
00102, 1-13) 0 me WE)
à

3 db
9 Dei oime{l
13.3) e me (1.0)

A050) DIRI- {-2.-1,0, 1j e Im Aie (1.2,5,4)
DI DISI + {-2,-1, 1,2) e Im iS) = 11,4)
©) OT = (22, 1,1, 2} 0 tm (Td 22, -1, 3, 2)
9) DIVE (1,0,1,2) mm -(1,2,9,4)

9 DUM 42, 21, 0, 1,2) © im OW = 4-3, -2, 21, 1,2, 3)
Asa Re (0,01. 61,0, 1, 1, 8-2, 64,29)
5) DRY = (0,1, 4) © tmnt 2 42,1, 01, 2)
3 Ñ
ae y “Coy
al
mn = Er 7
+
1 ] EH
à Día

232-8

MER 12<x <6) 0 mini Elli <y <3}

A108 3) a .

ET

anns-&

ara Rt (12, 0, (1,91, 19, 8)
by Re 1h, LT, 2, CA 9, 2)
ORT {2-81 18, 1, 3,21, 0,9)

Aros Ae (10,8), 7), (2.6), 13,5),
LI Ra (0,81, 12,4), 18,3), (6,21. 8,1), 110,01

Av (16,01,(4,2),13,4),12,61,(1,81,10, 101}

Ae “10, 10), (1.5), (2,2). 43, 1). (4,21, (5,5), 16, 101)

Re (110,01,15.1), 42,2), (1,3), (2,4), 15, 81, (10,61)

dl A2 510,1, 05,21, (2,4),45,8))

+ 10,01, 21, 4,2), 6,31)

4.15.91. (6.2). 17,1), (8.08)

Aantal Fi

il
i

233-8

CAPÍTULO Y

ARIZA ndo cation ogo de A am 8, pol odemanta 2EA abo aná cie à
em some de 8
or rb ela treo de A um 8, pa 9
memes e ©.
laut luca de A m8, pol ado somanc de A aná amado &
am ic seer de 8,
Aa omen 1) ok 0 one de parido & A = (0, 1,2) 0.0 mate eg
a
Ames dune.
Di nfo teo de IR am, po igor mt vata ands pelos partos
ix, 0), com x > 0, encontra o gráfico da relagäo em dois pantas.
© ot feo de a A, poe lao ret verte oid palos poros
Do, com er ERS, ndo anton D eli de ro
a uso aro
Th ado fanal oe IR am M, poles sts veri conduits uo pat 12 01
treonim à Ge a alto am mula cut ol Somos 4 et vera cone
Surin pln pomos be 0) com 3 3, no aconvam o fis mc

monto 1 € À está osociado a dois

ANG RS Desa DR R
xx xox wu
ak RoR
eng
Aiea Ga+0 bez Sea
won xo 2 E

AT a) 112) 6 2 CRETE au 2
E NM - V2 a+ Vi
Dan
2) mio tom signiicado pois 3
ouh jgniicad ¿42

EN PETER) oe drat
NA CANCER)
CAVERNE VE HOT = 1

ANDi x= 4

ANz2x +2 ov x= 3

A.1232) DIN = {0, 1, 2} e min = £-1,0,1}

Dig) = {1 0, 1, 2} e mi» (1,2)
el Oth = 4-1, 0,1} 2 Im thy = 2-2)
a DIN) {2.0.1.2} tm ted = (2, «1,0, 2}

AN24ai Im = (-2, 0, 2} by me ER 1-2 Sy <2}
cime ER lv et vy 22) dl ime ih
el im> ER I O Ey <2 uy >4}
Mm ER <1}

12891 0 « (-3, -2, -1,0, 1, 2,3}
bios {xml -26x<3}
doom | -2<x <0)
8 0- {eGR | -26x<5}
8) O~xERI 45x <4)

Im = (1,2, 3,4}

Im-werl-asysz
im = [yeml1<y <5}
ime (y Eli cy <3}
ims vm 1-3 <y <5}

9 D-{xEmI-3<x<3) e im~ (-3,-2,-1,0,1.2)
A126.) DIN = IR
bl Digi = IR = <-2}
©) Othha IR (2, -2}
a ol x ER Ex 1]
er Dials ix Ein |x > 1)
no Kenia e x#2}
a) Di -
mom à)
à ota (a)?
AZ? Toss so igus, pois do todas funcdes de IR em IR a asocia coda número ral
20 wu cubo.

A128 Nio sio iguais, pois pera x <0 temos VÁ 4 x.

A.120 Somante trio igusis sa foram fungSes de A um IR onde A 6 qualquer subcon-
jun de (x Em |e 1}

no JET» YEE me <x <o ov xt

A130 8

AXON Nos us, pos ao 0 mano comino.
Ara s= {x ER | x >-4}
bys = ix GIR bx <-10}
as-kenix>-2}

235-A

Alas {x ER x Ba}
b)$- {xin fx >-3}
a S=(xemlx>7}
as“ (ER | x <0}

08-0
ner

Ara S = (x ERI x > 1)
biseixemlx< +}
os Lemix>-2)

CAPITULO VI
Ara v bi 7
E
a a
4
wo
oa
ae

236-A

ao

Ando}

E

a

0

»

21020
a
”
Anas)

21050)

Ave dx 2

Any

8+ {3,2} bbs = {122,4}
s- (a, -n} as = {6,-2}
sg #8 = 510, 0}
s- {an} bis = (2, 0}
1-3

eme by y= ds
ven » 3
ver-s dye?
al

2° 2

nus es

Aasoy == 2-3

Asa

Aıszo)
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Asa 3)
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2,1 AN
nda Ma
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crecen paro x ER Lx <-2 où x31
ras pre EAS
\

crercente pera x € R 1-1 GAGO où x 21
decrscens para x € Rx St où 0 Ex ST
crscono paro xE RISO cv x >0

eresconte a doerescente
decresconte a) dacrescente
croate M crascente

creseente vorn m > -2
decrescente Dora m <-2

constante poro m = =2

erescente para <a

ecrescemte pora m > 4

constante para m= 4

rescata para m <-3

decrescante para m > -3

onsunte para m= 23

croscente param > 1

ecrescamte param <t

constants pare m= 1

fh) Oe x= -S où 12-3 où x=? où x=6
fh) S09 Bou IA où xO
to) <0 = -8 <x <3 où 2S x <6
odo x=-1 où x 23

ab) > 0 = -3 Lx <A

dd LD x LE u RD ee HD
his) = 0 mex = -2

hil > 0 me x #22

A158 31

versa

»

y= 2x2

v=5 4x

AGO x <3
ax > +
3

Als x >=

A1632) x >2
bx do
d AXE R
Ox <2
ox <3

5 ro.
i
ug:
a=
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o Bir 3,
»
2.2
| PE
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Ls

av ER,

239-8

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3
as (Emb À <x<i} ase bse eRle< 3 wv x> 2)
as-benl-1<uc2
os (remix< 4) ns-kenix>) Hanne eu
ds hEnta. 2m «>. 2
areas (x Rx <-3} Rens. 3m > 4}
bis={xER13 <x Go) Az 5 (x ER lx< To x> 4)
as-D a 3
ms {KER IA <x <1) D} $= {x EIR le -10 où x> 4)
aras (RER 11 <x <a) el REA
D Se ER 1-3 <x 1} ee
o sen Sa <2}
A 1
aora slam la our 2} MARU RE Wile a a
sendos x>2} MATES
as-Wenin<- dos -2 <x<2} ap benles- qa =
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ase (xeml-2 << ov 10) as. ER] b<x<a ov x>5}

Ala) Se :xERI-3<x<4 où x >}
ose alec Lo x
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as-weni- <<} oh S=(xEm 1-4 <x <-2)
2
ate Eonia dot exe 3) ase (ee mind 3 ov 2 <x<-?
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bse emir E) ERIA € <0 Lect e 30)
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ns-(xent=<-1) Asa ME rr
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D x=1+ Z où x=1- Vz

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D x=V2 où xe- V7
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AMO x= 1 où x= -1 où x=? au x=
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axe VS où x= -VT
x= 17 où xe-V2
a) nko oxisw x ER
Mode existe x ER
gx 0 où x=2 où =
M x-2 où x.

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207-8

CAPÍTULO Vii as CTT:

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CAPÍTULO IX
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258-A 250-8

CAPITULO X

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TESTES

LOGICA

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(FE1-87) Dadas as premisas: “Todos os corintlanos 480 fandtcay” — “Exisam fe.
áticos intligentas”, pode rar a conclus segulnt
1do corintiana $ inteligente
todo inteligente € corintiano”

a) “axistem corintios inteligemes” BI "
& “nenhum corintio € inteigent” a)"
€ 180 se pode trar conciso.

(FE1-68) Dadas as proposées.
1 toda muiher 6 bos motors

(2) nenhum homem $ bom motorista

(3) tado os homens 480 maus motoristas

14) pelo manos um hamam d mau motorista

18) todos os homens +30 bons motorstas

0 nequeño de (8) 6

MD A ALM €) venhuma dis anteriores

(EPUSP-86) Dopois de n dis de Tri, um entudente obrero que
(8) choveu 7 vézee, de mann ou à tarde

(2) quando chove de mani ndo chove à tarde

(3) houve 5 tardes sem chute

(a) houve 6 manhés sem chuwa

Entáo n dit

3709 E10 MT) nenhum di roiports anteriores.

LEPUSP-66) Em um baile hé r raperos o m mocas. Um rapaz danca com 5 mogas,
um segundo rapaz dança cam 6 magas, assim sucestiomente. O último rapez dance
com todas as magas. Teme ento:

dre rms drem-4 dem

+) Renhume des resposta anteriores

(FE1-60) Um teste de Literatura, com 6 altornaivas om que uma única à verdadeira
relesindose à data do nascimento de um famoso escritor, apreenta e seguintes alter
(a) sue XIX

{el antes de 1050

(e) nanhuma des anteriores

db seule XX
18) dopois de 1890

Pode ae garantir que a resposta correa 6:
aw ye did 9
.

) nennuma da

TAS IMACK-72) Duss grandezas xe y slo tas que: “se x=3 ento y= 7"
Podes concluir que
où se x #3 onto y 7 bl re y= 7 entio x=3 cl ce y HT mio à #5
di se x6 ento y = Be} nanhuma des conciurdorscima 6 válida

TAT (CESCEM-11) Indique a afirmaggo corre:

a) umo condigio necesito para que um número seja maior do que 2 & que ele se
positivo

I uma condicfo suficiente pare que um número sejo maior do que 2 & que ele sei
pasivo,

© umo condigäo necesario e suficiente para que um número teja maior do que 2
que al seja positivo

di toda condi sutiieme para que um númoro soja positive & também suticien
pars que el sejs malos do que 2

0) nanhuma dos afirmacóes anteriores & correta

TAS (SANTA CASA-771 Dispñoss do alguns Iwros do Fisica do autor A, outros do autor I
8 outros do autor C. Do mesme forms, temos alguns livros de Química do mesm
Autor A, outror de 8 0 outros de C. Todos os liwos devem sor colocados am dus
faixas com o seguinte catdio: na primeira caiaa, devese Colocar todos os Innos qu
satilacam à condicio "se for do autor A, ento ndo pode ser de Física”. Na segund
(ka, somente os Ihros que no saistazam à essa proposico.

À primes cuina deve conter exotamenta

todo 06 lívos da Química do autor A mais todos os los de Física dor autoro-

Bec

Pi todos of los de Física ou de Ouííica dos autores B e C eit todos ot lvoe de
Químico do autor À

© todos os livros de Físico dos autores Be €

1) todos os livios de Física da autor A

2) todos 08 livros de Química dor autores A,

CONJUNTOS

TAS (MACK-73) Sein o conjumo A = (3, (3)) e as proposicóos
D 3€A 2 {}CA OS
onto

al apenas as proposicdos 1) 0 21 so werdadeiras
b) apenas m proporicóos 2) 0 3) «do verdadeiros
«apenas as proposiedos 1) 9 3). sio vordadeiras
3) todos on proposes so versudeires

8) nenhuma proposicdo à verso

TAAO(CESCEM-771 Sendo À » (Dia: {ol}, com (u) #0 #670, ento
a ©. {Ca CROIS) o :@ (he A
u lb) CA 9 {6} ICA

270-8

TA Sendo dedo um conjunto A com n elementos indiquemot por à 0 número de sub
conjuntos de A. Seja B o conjunto que se obtém acrescentando um nove elemente
WA e indiquemos por bo número de subconjuntos de 8. Quel a relagío que liga
wen

deb bh e-2b A beatt lad el rca tb
TAAZIMACK-76) Dado o conjunto € - (0, 1, 2,3), o número de subconjuntos práprics
dee
26 v2 on au
TANSICESCEM-77) Um subconjunto X de números nuturis contém 12 miltiplos de 4,

7 múltiplos de 6, 5 malplor de 12 e 8 números Ímpaer, O numero de elementos
ae Xe

32 DEZ 2 an a 20

TA:14 (MACI-591 Senco À = {fr}. (2), (1,23) pode afirmar que

a lea Don TS
a2EA d flu gles

TAASIGV-72) Selm A, Be C rte conjuntos ndo vacios a consideremos os diagramas:
a a a a

a ONG

é
+ as aanaminagies
HW ACS, ces, anc#ß WD ACBNEHBCE,CHB,AFC
Wace, cca anc-d IMANC=D axe, BNC =D
nión as associer correts so:
a @, IV, 42,0 DER ©) 2,10, GI)
m A

TAAISÍPUC-74) A e B sio subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos de A

‘que pertencem ao conjumo B. Entáo, podese afirmar
2) A subconjumo de Bb} Bésubconjumo de A ci A e B sto dsjuntos
aan? ©) nenhums dar omerires.

TA17(PUC-161 Sendo A a B dois conjuntos qusitouer, entño & verdade que:

maro=ace SA a (ANR CIB- A
BANG) UIB-AI-8 eh AB ANS AUS

2-8

TAABIMACK-74) Saboso que AUBUC~ [1 EN 11 Sn S10}, ANG = {22,8
ANG = (2,7), BC = (2,5,8} + AUG = in EW |1 <n £a}

© conjunto c &
9,10) bi {5,6,9, 10) d 2,6.6,7.9,10)
a 28,67} aus

"TA.19 IMACK-74) entre os seguinesafirmacdes:

N AUB=AUC =0-0
) AUB-AUC — acc
m AUB=AUC = NC #S

BT todas so verdaderas
DI todas 280 fl

© 28 Le 11530 verdedsias
4) 36 11 vordadois.
Dr

TA20(6V-10) A parte Pchurados no gréfco, reprerema
s ANB UA A 8
bi LA NB UC
a (RUB AC
8 AUIBNC)

el nenhums das resposta anteriores. E

TA21(CESCRANRIO-76) Sejam A = lo, 2] e B= [0,409 intervalos de números resi

Entio ANB 6
at) meso due 441,2} loz

TA.22 (PUC-18) Sejam os conjumos A com 2 elementos, B com 3 elementos, C con
4 elementos: onto:
al ANB tem no máximo 1 alemanto
BI AUC tem no mixime 5 alementos
el LA NBI NC ter no möxime 2 elementos
dh (RUB) NC tem no méximo 2 elementos
8} ANG tem 2 elementos pelo menor

‘TA23(CESGRANRIO-76) Em uma univesidade sio dos dois jornaly A € B; exatament
20% dos alunos léem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno 4 alto
Ge pelo menos um dos jornas, © percentual de alunos que Kiem ambos 6:

a) ax Dr © 60% aa DEN}

‘TA24(CESCEA-68) Foi reslizada uma pesquisa nume indúsria X tendo sido fetes & sau
opersrios apenas dues pergunias, Dos optririos, 92 tesponderam sim à prime
80 respondoram sim à segunda, 35 responderam sim a ambas e 23 náo respondaram a
perguntes felts. Podes concluir enti que © número de operrios da indústria £

sm v7 o 208 am 20

ZA

TA25(GV-76) De todos os empregedos de uma firma, 20% optaram por um plano de
assisubncia médica. A firmo tom a maiz na Capital e somente duos fills, uma om
Santos e outra em Campinos, 48% dos empregados trabalham na mate? & 20% dos
“empregados trabalharn na fill de Samos, Sabendose que 20% dos empregados da
Capital optaram pelo plano de seitáncia médico e que 35% dos empregados ot
‘de Santos 0 fizeram, quel a porcentagem dos empregados da fil de Campos que
‘opteram pelo plano?

sa D 32% aa a a0 2

TA25(CESCEA-60) Dados oF conjumor A= (a,0,c), 8+ {b,c, 4) e C= {ac de)
conjunto (A - GI UC - 8) UIA A8 NE 6

lea face) tA a (adel er
TA27ICESCEA-72) Dados os conjuntos A « (1,2,-1,0,4,9,5) e B= {-1.4.2.0,5,7]

sinle a alemnacáo verda:

m AUB- (2,40, DAN

8 ANB. 1,420,579) ol AUB) MA~ (1,0)

ai nenhuma des respostas anteriores

TA28(CESCEA-73) Sejam F 0 conjunto dos números reis, ©
A RER <x <2},
B-xERI-2€x 4),

Ge ERI-5<x <0}.

‘Assinale dentre as afirmacies absixo a corteta
a (ANB) UC- {xER |-2<x<2}
bbe -8« RE RI-S<x<-2)

eh A-18 MC) ~ (ER 1-1 <x SO},
d'AUBUC: KER I-5<x <2}

9) renhume des repostas anteriores

TA29(PUC-75) Sendo À = {x ER 1-1 <x<3} e B=(xER12<x<B) anto:
a ANB« {xEiR |2<x <3}
d AUS: GER 1-1 <<)
eh An B= GER I <x<2)
0-2 ER I9Sx<5)
a (9 Kenia

TA20(0V-14) Considera os conjuntos dados 3
a gráfico, Apenas uma das afırmagäee 8
$ veranda, Qual?
a AUT-S 0
J ANB-D ah
DENT ET

273-8

TA. (GV-751 Cor 3 rar mt nes gamas ande e Ho scorn des
® ® ®
35

> | WH ome
Ty HH (

HB-A MAUB dans ANE lB
Wo na alternativa:

y 15.91, 8.0)
2G, 4, 2a)

As auocineäne eovratat

# 0,8, bi. 8.6
di (1,0, 14,4), 12,81

0.26.8)

TA.2(GV-76) Denotandose por x' o complementar de um conjunto qualquer », ent50
‘auniquer que teja P € Q o conjunto (PUIPOG] à il a:

E PNG a FUQ eB fconjunto nal
TAS2(PUC.1/) Subendose que: An 8 so subconjuntos am U. Ä 0,0, 9,0)
ACR led}, AUR- (ste de, enti:

Observacio: A: complementar de A um reacio a UL

al A in 2 elementos e B tem à elementos
DI A tom 4 clemenror e B tom 2 slememtos
© A tm 3 olementos e B tom 3 elementos

ol A tem 1 elemento 4 & tem § elementos

VA SEVA Duos. NP. subcojuts no vacios de E, same
WMUN- Ma CM
W MON monen
un m Ce PC wor aH:
M CN NA ns
M MON NUQUE
ee o emo de amas cous 6:

at v2 da oa os

CONJUNTOS NUMERICOS

TAJS (CESGRANRIO-77) A interssepho dos très conjuntos
ANC WNZVeE + NUN

ae BB ao um az

zraa

vas

Tam

Tae

razo

Taco

mar

Taaz

tasa

(HUVEST-771 Eu um too de cinco atte nats, cun my única com

A Hacional 1) Inweronal ©) Int DI Ra FI Compro
aA we uc wD me

(CESCEA-GB} Se n e m sho números mavrsis #8 Tm Sin), onde Stni 4 u
suossior de n. entáo, 9 sempre verdade que

amın cums Sia) bim<n dress

nm men e m= Sint

(CFSCFA Ui) Quaisques que sim mn ep de 2 shoe

aotomtee oromimimce

D
Doom MC QUE 2 à à somme ie
dm + n° + PO e p-m-n
ICESGRANRIO-761 Seis Ho comumte fn C12 Sa ag, n

né mul ae 3}, O nummy de clomemtos de H &
an OU 47 aia ae

LFUVEST 734 Seiom a e b números matures 7 pum número primo.
2) se pando 24 pF o p dvi a ent p vice o

D se p nada ab, entáo p unde u € p die à

el se powide ab, anita p dida np dedo bo

di se à divido p. eo 3 & primo

1 se à dance à y snide b, ento y dvide à

(PUC 691 © mmor número intern pos

91 2040 I CE CO 0) gado

10 para que 2940 — MY ande MO un i

LEPUSP-G8I Se 0; 0 x forem números resis nie que x <a <o, ento

dx Lan <0 esa O
MD mas ae <0 +) nenhuma das respostas anteriores

(CESCEA-75) Assinaar dono as afumagdes ssguintes cometo, quisauer que sejam os
húmesos resis A, Dec com À 20,8 #0, CAO

ago —-apec maso —f>1

aas>c ACDC ase te 8<0
Be
erase == AB <-1 se c<o
275-8

TA4A (GV-13) Seams, bee números se
dobra

aunquer, Assinale ©
bho > bet ae >be

irmacio verdade

as
TE yet

TAB (PUC-70) Sendo

a) a>b 9 am>bm ete mei
bebe am <bm eno m<o
abo sm bm endo ml
die <b » am<bm eno m <0
el enhuma das respostas anteriores $ correa,

meros reais qualsquer e m um ren diferente de zero, anto:

TAME (FEES) A ceinatinge À L 3 2 1 verlo

a) quaitquer que ejem os resis x ey D) para x #0

C1 Dora qualquer wu ydemsumpsinai d) para qualquer x € y de sins convrcios

©) menus da anteriores,

AA (CESCEN-66) A desigunicado (x + vit D x2 + y2, sando x e y diferentes de zer

a} à sempre verdadeira
a 56.4 vardadeir se y forem positivos

9 566 verdadeira 28 xa y forum negativos

1) vercadalra ab x 6 y Evorem o mesmo sin!
+) ab 4 verdadeira se x a y Uverem sinals contrarios

TA.48 IEPUSP-66) O número x ndo pertence a0 Imervalo berto de extremos -1 #2. Sabes

que x <O 02 x>3, Podeso onto concluir que:
A E
ax>3 81 neshuma dos respostes anteriores.

TAAS (PUC-76) Se A= {ala= 20-1 e pEB), entio

3) 0 8 um numero natural impar se 8 = I
BI n & um número natural impar Yp EB

cl n 6 um número natural Ímpar se e somante se B = Z

1 0 € um número natural Ímpor so © somente se 8 = N

fi 8 um aúmero natural Ímpar se 2 somente so 8 - N*

TASO (FUVEST-77) Asin

2
ai 05999... <
var
2
a <osse. <2
Yu 3

a 2 <- 2 <os000...
EN

276-A

Tası

Tas

TAR

Tast

TASS

Tas

ICESGRANRIO-77) Considere a expresso

441
5t3

31

DE be ate a d1

ICESCEA-67) Dedos sbsixo grupos de doit números ris, express decimalmen
‘qual dentro ales & conttuiso somente de números racional

s) 1,000,.0. © 790,072172%..721..
8) 0,010010001... © 3590888...
©) 68.01002000300004.. © 1,30892..892...
al 447,50047047..047... e 37,101112131418161718.

9) nada isso

(CESCEA-68) Designamos por A 0 conjunto de todos os números resis da forma

Ee

com a eb intiros nBo negativos e 6 #0, Se 30 doi clemontos quaisquer de A
tome que

at-tea

at Sea

< wesomentese b- 4.

u
cl

{PUG-741 Um número racional qualquer:
al tem sempre um amero linito de ordens cart} decimals
D tem sempre um número infinite de ordens (casa decimal
el o pods exprossare na forma decimal exata

di unco se express na forma de ums decimal inexata

9) nanhuma dar anteriores

(CESCEM-70) Assinolar a alirmacío fla:
3) soma de dois números iracianais pode sr racional

DI some de um racional com um Iracional 6 sempre iracional

©) imeno de um irracional sempre ¡racional

A © produto de dot iracionae # sempre irracional

+) 8 roi quadreda positiva de um número irracional paitvo sempre irracional

IGV-74) Qusisquec que team 0 racioma 0.0 iracional y, podo-e der que:

al x+y dircoral bh y+ éimacena el x + y 6 racional
A x y + V2 6 iacional où x + 2y 8 racional

TAG (CESCEM-711 Dado ums sequáncia do números poriiuos 24, 33, = 2, UM sloritr
utilizado em computadores eletrönicos para saber sa algun dor elementos de sequén.
um quadraco perteito 6.0 spuinte

1. Construir uma nova seguéncia by. ba, by, Obtid de primeira pela extracto dar
usdrada do cada um de anu elementos

2 Consruir ume nova seqUincia cy, 62, … Gy 2 partir da unterior, onde cada e €
menor ineiro contida em by.

3. Constr asequéncia dy, a... dp, obtida de anterior elesongo4e os elemento e;
cuadrado,

4, Comparar ot elementos da sequéncia d, com on respectivos do segiáncio 9, Os e
orem iguit aso quadeados pertelos

"estas condice, dadas s sequineas ebsixo

se

2 as

a 27190

0% dados s30 suficientes para limar que

31 a2 4 quadrado parteno
bl 0 & quadrade parteto

€) somente a € quadrad perteito,
Al somente 33 6 quacrado pertlto
01 num ay mem as 530 quadrados por!

TASA IMACK-74) Où números resis x a y $80 tis que x >1>¥. Stam S- x 0
o P= xy. Mossos condipdes:
2.>”
me>s
©) $ pode sw maior, quai où menor que P
di S pode sar maior ou menor, mat nunce igual a P
el nenhuma das anteriores,

TASS (FCESP-24) O número real + que ndo pode ser escrito sob a forma r="! x rent, à
E E

TASO (PUC-76) Se X= fe Ele + dia) 1), ana
DAR MIR AL AEREA
axom

TAG1 (FE1-58) Sendo x um número real positive qualquer, tome
a) VR + VR ER par olgum x >0
D) VX + VA <1 + x pars auslauer x >0
où Vi + JA D 1.4 x pers qualauer x > 0

8) Vx + Ve = Vi + YR, pare quaiquer x > 0
6) mentum des anteriores.

278-8

RELAGAO BINARIA

TAGZSe à 6 um número neguivo e bo é um número positivo entBo ossinale a cor

8) lo, D) está no 19 quodrante D) (b, al está no 29 quarante
€} tb, -al está no 19 quedrante di, —b1 está no 49 quadrant
© (a, b) está no 39 quadrante

TAGS 25 coordenadas de A e 8 sio respectivamente (-
‘dat de © dos

» 6-0 E
5 Can E
Sa

a (4,2)
oc

HA

TAGS (CESCRANRIO 73) Sendo A~ {1 3} © 8 - (2 4}. 0 produto cartesiano
RXR 6 ao por
9 {6,2 6, 9, 11,0, 12, 9, 0,4, 6, 41)
DEE 68 21 6, a Gi}
o (0.9.0.2, 6, 4 6. a)
aa.)
+ nenhums das exposes amarors

TAGS (CESGRANRIO=74) Sejam F={1.2,3,4] e G=(3,4,7). nego:

9) F XG tem 12 elementos
©) FUG tem 7 elementos
a FUGNF- 2

BEG x F tem 9 elementos
di ENG tem 3 elementos

TAS (UFF-71) Sabendo que A e 8 so dois comuntos ais que
19) (1, 7, (5,21 So eamentos de AXE
2) AM8=11,3)
podemos afirmar com toda sagurenea que
a} AX 8 tem elementos D} A X B tom mais de 8 elementos
2 AXB tem menos de B elementos a) AX ndo pode tor 9 elementos
1) nado se pode afirmar sobre o número de elementos de AX 8

TAS7 (CESCEA-73) Sejom os conjuntos À = (1,2, 3), 8
resiano AX B= (0,0), 1, (0)1.42, al, (2, (9),:1, a, (3, eh}, Env
abalxo, uma e apenas uma, & fala, Astral
a) (0) Eb 0 {a}ce bi (0,00, (a), 0,9) Caxe

a Piaxe a (te, (a), 1, (ab ICA we
<) rennuma das americas

a, {a} } e 0 produto car-

270-8

2) e 3, -1 ent as coorde:

as rolas

‘TAS (GESGRANRIO-73) Dados os conjuntos

at FUER <3) e rica,
© gráico de AX é melhor represento por

e o «
2 2 À —
na [TE T
+ - - TI 4 1
137 3 ta? 3” ras 3
3 ? 7
wy i
1 1 H
Taz 3 34
7 a

“TAS Com base na rapresentardo carte de A XB abaixo podemos concluir:
mao 11,29)
bh A~ (123) B= {eERl1Sx<3}
Aw {xERi1 Sud} e B- (12,3)
a a-8- (Emir)
sl nanhume des resposter anteriores.

TA70 (CESGRANRIO-79) Seja Z o conjunto dos Ineres. Sejam ainda os conjuntos
Aa (xEzl1 SxS 2} 0 8-(9,4,5).

Emo, ss De {in yJEAX Ely >x+4), tomse que

9 DA X8 BI D tem dois alamantos
©) D tem um elemento 0 tem wis elementos
© a quatro sfirmatives anteriores do falsas

TAT (PUG-77) Sendo € = (1,2,3,4,5,6,7,8), pyiv+ 1 <6 0
f= (y E Ely wir pi) tem:
Observagto: F: complementar de F em relaio a E

met EFD de a ENFIUF WE
d Fnger

TA72(PUC-77} O dominio da relagio P = (lx, y ENX MIly=x-8)} €:

sn CES om a {xENIx 26}
a (EN >S}

280-0,

‘TATS{PUC-76) © dominio de relagso

t= (ix y EIR IR)

a iR

a {xER a x#2}
A (ER o 42)

FUNÇAO

TAJA (CESCEM-78) Dizemos quo ume releáo entre dois conjuntos A a 8 4 uma funcio
où aplicacio de A em B quando todo 0 elemento de:
0) Dé Imager de algum elemento em A
bi B 4 imagem de um única elemento de A
el À possui somente uma imagem em 8
3 A posui, no mínimo, ums imagem am 8
‘2A possul somente uma imagem em Be vice-versa

TAJS(CESGRANRIO-77) Soja IH R-R uma funeño. O conjunto dos pontos de
intetacio do gráfico de f com ume rata vertical

al postul exetsmante doit elementos.
bi vario.

el 6 no enumerivel

dl possul, pelo menos, dais elementos.
+) possui um 36 elemento,

TAME Ol rn e
a / N

TATTIPUC-76) Quai dos

EURE TE,
ls ee

TAB {PUC-77) Se x e y so alemantos do conjunto R, quel ds rlaçôes 4 funcio de x7
a [oia ar Loli tv a (only 124
at {iu 1 < y) e anote

los seguines represento una funcio f de A} em A?

281-A

TATS(GV-72) Os diagramos aboixo definem as fungóer 1, ge de A am A, send
A= {1,2,3, 4}

fal

Selm M, N, P as Imagens das fungóes 1. 9 0h respectivamente. Eno MUN UP
onde X'= complementar de X, em relacio A, & 0 conjunto:

ada mia a ft} ag (1293)

TAQDICESCEM-I6) Se HAB 6 unm for
oom CCA, chomamas do image
D pela funcio Y o corjnto ano-
lado 0 definido por
1<0> = (y €0 [existo x ED ea que tn = y)
3 3 4 a turcioda Mam A evo are
ic ent representado a0 lado, ent a
imaging < (3; 9) > do intonaio
tecnado [5:9] 6:

sae Bel eh dm Lara

(CESCEN-68) O enunciado absixo referee aos tert BI w 82 que sequen: Seid fl
ums fungdo cujo dominio 6 o conjumo dor números imairos @ que asocia a tod
Intel par o valor z0ra » a todo Intro Ímper 0 dobro do valor

TABI (2) vate
a) rar) nfo fina Hd

TABZ 1( VASE), 5 imaico, vale:

a 28 bas a vas st 200
el nenhum dos valores cine

TASGÍMACK-7D) A funcio 1 de Rem A 6 tol que, para todo xER, HR = 3 o
Se 119) = 45, en:
OT ES Pe
1111) ndo pode ser coteslaso ne .
(CESCEM-69} O enunciado abalxo raforese aos testes 84 © 85 Sein fin! ume
fungió definida, para todo n Inteiro palas rigen.
HI «2
Hp + a) = fiat + a)
TABSO wor de 110) 4:

so DR] az a Vz
91 nenturme das respostas anteriores

282-8

TABSO volor de 11-2)

1
a -À : a 2
d= 93 40 a

el ronhums das respostas anteriores

TA96(CESCEM=71) E dodo ume funcio real tal que

Mo FO + yd Het vd 2. 10-2 USC
O valor de ar V2) &
d@+V22 b16 am da

+) impossive de ser determinado pois faam ados

TASTÍFEI-O5) Limo fungdo fir), definida ni sende a um

conjunto dos números

moro teal determinado, veriico es propriedsder:
fod fed @ EE ETC)
Ense
8h fle + x = 4-3) EIER) © Ha = x = 10
di Ha = tad 1 menus dos anteriores & corra
TABB(CESGRANRIO-76) Sejam Z o conjunto dos némaror # N = {n EZin >1}. Con
side a tuned f:N—+2 definida por fin) «x1 +... à xp onde x deal,
para cada k = 1,...,m, A imagem de funcio f 4.0 conjunto,
(0,1) 0 do) oz a {10,1} 0 {-1, 0}

FUNGOES DO 19 GRAU

TA (MACK-78) A funcio 1 6 definido por fix) = ax tb. Sabre que NH) + 3 €
MT. Ovorde nal €

so #2 as d-3 PE

TABOIPUC-TS) Na funcio 1 definida por ah = ax + b:
al 0 coeficiente & determing o pont em que » reta corta o slxo das abrcísss
1b) 0 coeficiente a determina 0 ponto om que à reta corta o wixa das ordenadas
el o coeficiente b determina inclino de reto
4) o coeficiane a determina © ponto em que a rota cora eixo das abicisas
“el o cosficlama b determina o ponto em que e rete corta o alto das ordenadas

TASUPUC-TG) A tungio X= x + 1 represent om RX uma rete

al paralela ruta de equipo y + x + 3
b) concorrente à rata de equecño y = 2x +5

©} uni à rota de equado y = x + 2

) que intercepta o eixa das ordenadas no ponte (0, 1)
9} cue intercepta 0 eixa des abacitas no ponto (1, 0)

TASZ(MACK-69) O géfico de opticas definida por
F = (en EPS Rs iv = x} Cn xR,
onde [2.6] = {ER 12 <x <5} ¢
a um conjuntefinito de pomos 8) uma reo

e) uma somite Buen eajmont de rate
8) narhuma des respoctat scime à corres

TA93 MACK-76) Exeminande o gráfico da
fungi f so lado, que # uma reta, po
demos concluir
Ww 160 <0, entio >
D) se x22, mio 10 12)
0 x <0, emio tix) Lo x
also He) <0, emio x <0 0 =
ds x>0, mio fix) >0

Tale (EAESP-0V-27] Uma empres prods vende Gina to de produto. quee
Sade qu la orage vna varia contre prea de sum forme; a um paco
ato con vender x unidades do pot, de coro com nano y = 60-2

Sabendo-se que a rectita Iquantidade vendide vezes o prego de venda) obrida foi d
Cr$ 1.250,00, podese dizer que a quantidade vendida foi de:

2) 26 unidades bi 60 unidades
2) 40 unidades ©) 35 unidades
+) 20 unidades

TAQBICESCEA-74) A equegio (m? + 1)x=2m +5 = 0 odmit ral napativa se, e se

mcd uns amt am»! 0 mm

TAQ (CESCEA-74) À solugdo de insquacto” 9x 51 <-411-x) 6 0 conjunto dos nú

“ “
niet mart arm a a

FAO MAKES A dais Ly > 0 6 as m
en ee ts

e) nanhuma das rspostasacima é correta,

TADA (CESGRANRIO-73) Dada a inequacio (3x 21° - 122 - xx > 0, terme que

a solu de
ah fle < m 2<x<6) bh (a 128 € x < 2 où x < 0}
ci 28 < x <2 as <<

8) diferante das quatro anteriores

284-8

TA9 ICESCEA-75) A solugBo do sates

B+2< 7-2
u < 3x + 10
11 = 2-3) > 1 SA

{60 conjunto de todos oF números rast x ai que:

macro | arent acc?
wwe ame
TANOO(FCESP-74) Sein yen 120 1e 1 € x < 2, mi
dy<2 Dréo dy-0 dy >2 »y>0
TA101PUC-761 O conjunto verdece de insquagto 2S > 0 4 dado por

HREReES< x < a}
bi fk Eme & 510 ike a

a Emel <-3) où > aD

a Remer sd

où Emo [x < 8) ov tx > SID

Ti famed
TA 102(CESCEA-70) O conjumo do toco osx pornos quelo [ET bumaiimero ral

el {x ER/x<-10ux > 2}

» Gea <ı<a
ot kk Em/x # 2)

penser
ai Ema toux > 2}

T
TA 103IPUC-70) O dominio un fungdo y = thd = VTT 6

PESETA
aperos
dx>0

CEST
angası

TA1OA(GV-72 A socio da ehe 5 el 0 6

dx << vee
dro x>t
heed on eet

bix<-1 où o<x<t
dix<o

TRIO AGE) 0 conato malo ce E < 5 4

d (KERIx> 16 6 x < 5}
a {x ER |x > 0}
où GERS < x < 15}

a Emi 18 e x # 3)
d RER IS € » < 15}

285-A

TA.106 (GV-74) Soja D o conjunto dor números reis x pora os quais Entio

6.6 conjunto dos x reoi tir que:

actos Macas
ai dicimas
da

FUNGAO QUADRATICA

‘YA107 (PUG-76) A funcio quacrätica y = {m2 = 4) - {rm +2) =

sá definida quando!

ma b) m4 2
dm 2 Ome -2 où +2
amet

‘TA100(PUC-771 O esboço do grético de funcio quadrático
Vado oe

a o

a Y a y

TA109 (CESCEM-78) Sebesa que o gráfico so
lado representa uma funcio quacrdtic
Esta funcio 6

ag
br

a

a
a

286-A

TAMOIMACK-77) Se yen? tbx+e da 5
‘equacio da parábola da figura 90 lado,
Pode afirmar que:
».<o
by ec > 0
2) be <0
al bi dae € 0 lo x
el no ei

TAIN (PUC-70) O valor máximo do fungdo y=axbrbx+e com a #0 4

waco wba ede dite ward
es an 1 <0 6) oma eet

TA 112 (CESCEM=22) Considere o grico da funcio. y =x1-5x+8, O ponte do gráfico
‘de menor ordenada tem coordenadas

229 DHEA an an,

Do 62,-va

TA113(CESCEA-76) A paräbola de equegio y=-2x2+bx+e perso pelo ponte 11, 0) »
seu vérics € © ponto de coordenades (3, vl. Envie y 4 igual a

os ma 96 5 018

TANIA (CESCEM-€9) Se dois winómios do 29 grau porsuer as memes ralzes, en
4) let so neonssaiamente igs
1) eier assumem necessariomente um mínimo ou um máximo no merma panto
©) olas diferam por uma constente
i suas concavidades tho de mesmo sentido
$) nenhuma das ameriores
(YA HIS (PUG-77) O conjunto imagem de tungdo f= {x y E RXR ly = 2-3} 4
afylyem e y> V3
bi ivivER e y > -3}
dvi ER e y<3)
river © y> 0}
o lylyEr o y < -3}

TA116 (CICE-68) Seja a fungéo y=3x2-12 definida no intenalo 4 € x € 3. A

225152 DIS y<I6 oh By < 36
dy EYES

TAAV7ICESCEA-71) Seje fie) = ax? + bx te. Sabendos que fit) = 4, 162) = 0
#108) = -2, emo oprocuto abe &

220 80-8 ah -70 01 no si

287-8

TALIB(EPUSP-67) Os rinómios y=axt+bx+e tique arbte-

al tom em comum um ponto no eixo dos x
bh tem em comum um ponto no ei dot y
©) tom om comum a oigem

dh ro tam pants em comum

e) menhuma das respostas anteriores

TA.119 EPUSP-GE) O gráfica de fungio y = axt+nxte, sendo D HO ec 0
“gráfico da fungSo obtid da anterio pela mudança de x am =x se Intercaptam

8) em dois pontos, um no ei dot x e outro no exo dos y
b) em um ponte fore dos slxos

©) somente na origem

4) om um ponto do sixo dos y

©) manu das espostas anteriores

TA.120(MACK-761 No grático as Indo est re
presentadas trös parábolas 1. (2), (2),
de equagóes, respectivamente, y : 34,
Vena © y= od. Pogem con

‘YA.121 Dados tris pontos no plano cartesiano, ndo colineares e com abscoas distintas dus
dus, 0 número de funçües quadráticas que podem ser encontradas de maneica au
‘eset pontos partongam aoe seus gráicos 6

ao on a2 sis que dues

TAAZ2CONSART-78) Um die na praia ds 10 horas a temperature
stingy a máximo de 39,2°C. Supondo que nesse dia a temperatura (0 em graus ©
uma fungéo do tempo t medida em horas, dada por HI) = a + Bt + 6, quon
3 << 20, endo pode-se alirmer qu

de 36°C 0 8514 hor

si b=o ba < 0
BERN aa>o
seco

TA123(CESGRANRIO-77) Uma conta perfurada de um colar & anfada em um arame fir
com 0 formato da pardbola y = »2 -6. Do ponto P do coordenadas (4, 10) deb
a conta desizar no arame ath chagar 0 Ponto Q de ordenada- 6 A distincia hrizont
Dercorrida pela conta (diferenga entre as abicsss de P 0 0) 6

a2 Da as as »3

TA.124 (PUC-77) Ar curvos represuntatvas das funge
ve © tect

f
a to pric post stein +
D tim por mana pomos de min 1e 2

e) thm por interteogfo os pontos de abacisas -1 61
fence

41 tom por Inerseopfe os pontos de abscisas

©) ndo se Interceptam,

TAA2SIMACK-75) O gráfico de urna funcio € 6 uma parábola que pass palos pontos (1,0),
13, 0) (2, -1). O gráfico da funcáo g 6 uma rata que passa por (1,0100. 1. A
sertenga 100) = gb

a) flea qualquer que sea I 6 verdadaira e, somente se, x = I
©) Gequivaiente =) au xr ad) implica x = 0
1 Gverdadeira 9, otomano se, x 6 um número intro

‘TA.126 (CESCEM-77) Na figura a0 lado esrño
segresentesos o gricos ds fungi dar
dus por
har bb)

CEE

A coordenadas dos pontos P € Q so:

A 32
Deus oies

3,9 3
aci agian ec

2
ae

=]

2
a ia eta

TANZHIEAESP-GV-77 O menor valor de k para o qual a intrseegdo
‘com a porébots y- 2x? + 3x-2 sia nfo vari &

yraxek

oo em aa ara
TAARNGV.70) Amo me do eo
à ete een o rs edge
a feo fido
Hs N
a (es? d fy-2 20 re y

ints ict ||

el nenhuma dor otero

EQUAÇOES DO 29 GRAU

TA1Z3IPUC-TO) Uma equate do tipo ax? + bx + © O onde a, b, € 130 números resis
al tem sempre das rotzes resis
1b) pode ter uma x6 iz imaginário

€) pode ser uma equacbo de 12 grau
(9) munca ter ratzes gu

©} ranura das anteriors & cometa

TA130 (CESCEM-07) A equagño do segundo grau cujas raus slo -1 0 3 4

dx-x+2-0 bl obe = Nr + 31 - 0,9 #0
RA RN.

©} menhuma das respostes acime à corta.

TANI (MACK-74) Dada a equagdo x + 5 = x2, uma oquagdo eoulvalete à merma 6:
a xk + 6 - 8
te
ft
FES]
PETER FEN

ree

+) todos so equivalentes equagio dads

TAASRIMACK-771 O número de ae ren de que ZIEL u à

ao ot a7 #3 sl ndo ei

TA.133 IFEI-G6) O número de solucdes resis de aquacio Set + x2 - 3e 0 4:
mo on 92 CE u.

TA194(PUC-76) O vinämio 32 +px+q onde pe aE IR tornos um tinbemio quedrade
perlito quando se adiciona o terme constant

as we ae Loa do
E we 2 os Jp 4

TA135(PUC-77) Para que a equasto x?

& necemrio e suficiente que:

ab b=0 de-2% dio “ar

ats
2

TAG (ITA-72) Sojo fix) = x2 + px 4 puma fünsfo real de vorivel real. Os valores de
P para os quais fix} = O. possue raiz duplo postive, so
do<p<a biped peo

) fla) = 0° no pode tar aie dupla positiva
el nenhama dos respostas anteriores

TA-1971P0-75) Saja a fungio quedbtica definida por
tab me = (2m = 2) x + m = 2:

al 1 tam duos rafzes roots e guois pars Ym ER“

ma?
purs jou
m--2

Y tem uae ralzos reis o desiguale para -2 € m <2
designs pars Y m E Ar
Ham duas raltes imegináris para m >2 ou m<-2

DI F tem duos ress resis igu

OF wm dunt raies von

TAABBIMACK-741 As raízas da aquegio (9 -b+ cl? + 4le-bix+(a-b-c)-0 com
a -b+e £0 sio res
2) sempre ©) some m 2 >b>e
<) somente te 9 >> b al somene se ea >b
at mures

TAISOICESCEM-721 O windmio ax? + bx + € tom duns raíz resis a cisma; 0 € 6
‘0 dois números resis ndo nulos. Emo o trinbmio

228 on + afte

a) tom duos rafzes resis e distintas ou nenhuma raiz real, conforme 0 sinal de À.

I pode ter ums, dust ou nanhurns rales ris,

©) tm dues rafzes resis e distintas se a: É foram ambos positivos, nada so pedends
afirmar noe dermis casos.

tem dust rolzes resis o istntos ou nonnume rez rel, conforme o inal o produto
ap

©) tom sempre dues ralzs reais e distintas

TAO MACK-78) A equagdo fo = (1 2x + k= 2 2 0. tom rales racional pa
ot lores deh’ pertareantes 00 conjunto
maria) 8 + (2,4, 6,8, 10)
a © = (2,6, 12, 20, 30] ah D» 11.4.9, 16, 25)
©) € 2 (1,8, 27, 64,81)

TA 161 (CESCEA-72] Concidere o enguinte problema: “determinar o número cujo aufntunlo
excede o wu cuadrado de y unidades”, Para que valores de y, 0 problema edmite
dass solugde reais?

av nr av dye? o

TA142(CESGRANRIO-73) A equagdo do 2° grau cuja menor raiz & 2 - VE e 0 produto
das dues raízes 6 gual a 1 6 express por:

o E

o 1 nonhume das respostes anteriores

+o

d Avast
ame

291-8

‘TA149 (CESCEA-77) As raizes da equacto Zu? - Zus + 3 = 0 elo positivas «ume ı
9 triplo ta outra, Entäo o valor de m

aa bh -2 a2VE 0 a-2V2 no

AAA (FE-68) Sendo a e bas raise da ange Zu? = x + m = 3

Le valor de mé

si mt 42% 00 ©) menus das antriores

TANS(MACK-76) Se re + slo as otess de quicio ant + be 4 € + 0, a e c#C

o valor de re

LE Doe 1? = dae
o ps

yde

TA146 [CESGRANRIO-77) As raies de equecio x2 + bx + 47 - 0 sfo imoiras. Podemo
afirmar que.
al à difererca entre as dus rolzes tom módolo 46
I à soma dus dues rales tom médulo 2
db poto
¿dh o midulo da soma dos dues rolzes & iguat 94
©) b à negative

TA147 (CESGRANRIO-75) Sajam p 0 q mais; se a aquagäo do segundo grau om x
Ba px + a+ 1-0
tem dus rates tesis xy 0 xo, endo.

dm>0e%>0 tg as
diy da XD 6 x <0

TAHABIMAGK-741 O valor de p. para o quel a soma dos quacados das raises de
loro 0
tem o menor valor, $:
22 wo on at m3

TA148 (MACK-74) Dedos as equagdes x? - Sx 4 k= 0 € x? = Tx + 2k= 0, sabosequ:
‘uma des raízes de segundo equacdo 8 0 dobro de uma das rafzes de primeira equacio
Entio © valor de K #0 está no inenalo:

a) les, -2] ia, o bal

a 6,7) 9 Loa)

292-8

INEQUACÓES

TANGO (PUG-77) O windmie x? + du ds
al & postive pura todo número real x
Bl 6 nogativo para todo número real x
el muda de simal quando x percorra o conjunto de todos 0s números res
4) 6 positivo para 1 € x < 4
el 6 posite pare x <1 u x > 4

TAASTIPUC-77) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polindrio
Pla) = mx? + Zim ZI + mé 6 negativo quando x = 17
11<m<2 DIE ma? dema
Ima docmaı

TAISZICESCEM-75) A expremio ax? + bx + €, onde bi-tae > Oe O à
asttamente postive sa x for

a} positive bh mdonulo 0) iqualäsraizes dl exterior ds aires
e) interior Se raies

TA 188 (CESGRANRIO-73) O conjunto dos vtoras dep para os quais a insquacio
22 + 2x p> 10 6 verdadeia pora qualquer x pertencenta a Ft à dado por
ap>2 p< ae>n <A
8) nenhurra des respostes entriores

TA154(MACK-74) A cesigualdado 22 Am + Dis 092 > 0. & verificada para todo mic
mero rel x, sa © somente so
2c m< 1 D-1<m<o do<a<ı
di<n<i 12<m<3

‘TASS (EESCUSP-69) O inámio bx? + 2th + MIx=ik + 1)

a) € negativo para todo valor de x 010do k À 0
DI 6 regutivo pare todo valor de x sek < +2
© € positivo pure todo valor de x e todo k #0

A à aa pa todo lor dante 1 ck € od

o) nonhums das afirmaçäor acima & verdadeire

TASG (CESCEA-741 Uma condicio suficiente para que a expreso y = + VAE-A ee

presente uma fungéo & que

cere? Haies Mesa 133
DEEE PSE aoe
ICE O sono de tu Jar à

Dxk2e 123 RAR ARO
DAT RI AL w edd

‘TA.158 (EPUSP-67) Soja A o conjunto dos nümars inelrot positivos que satisfazem inoque
elo {3e 3) (2x5) < [S- 200%, Ente:
0) Aévario WALZER Art
aa (12) ©) Ranhuma das repostas anteriores

‘TA169(GV-70) Dado o pardbole y = x4, quais sio or valores de x que produzen
Imagem maior quo 5?
dx>0 nx<o d x <-3 ww x > +8
PESE ©) nents das resportas anteriores

TAAGOUTA-S7) Sojo y « [lax?=20x- (8 + 20)]". Em qual dos casos abaixo y é ros
+ diferente de ero?

2.>05>01<x< 25D

MEXES

bha>0b<0x
da? 1<x<1
dao ber

eco bem ac tt

A101 (GV-76) Para que a fofo re Ha) = VII TR onde x e Ko rl, se
ica pars sr vor a, Qed am Nears Soe
ARES Wu dE dk EDD

TA AGZ (6V-76) Para que à ture vee ado por 0) = ei dti
ati Go rd e ciate lin sw ee
aboicc o bro wb >e e c#0 ad ce

aotce ew coro aw See b>o

TAGS [CESCEA-69) A solugdo do insquegio (x= 2) (-x?+ 3x4 10) CO 8
d-2<x<3 u x>6
PIS où x <-2
d-2<x<5
ax>s,
dx<3
TA.164 (CESCEM-75) Os valores de x que satitazem à inoquac
A = 2x +8) be = Bx + 6 e216) < O año:
ac? où > 4
bx <-? où 4<x<5
dALX<2 où 74
ALA où ILLA
dad où 2d où KDE

TA16S(GV-72) O conjumo de todos oF números resis para os auvis
VB ax + 2) oxime 6:
aint où 12 où 20)
Bix<-1 où 2K x < 3 où 3< x}
DEAR où 2€ x € 3}
dx où 1x2 où 8x}
e) nentuma dar onteriares

TA 188 (CESGRANAIO-7) As solugóes de

> 0 siocados por:

EXE
MALLA ow x>2 AL ov xB?
dto x2 Oxo > 2

+) menhums da respostas anteriores

TAIT WAC Tomas 10162, we coma

ese

gt<o ata

dt>0 ego

(GV-73) Assinale a atirmacio verdades

+42
D pom area
by ax? + bx + € > 0, pue todo x real => b?- due < O

2-1
Bvt SO tse

a

> 0e xa > 0

< 00 alle) <0

AN A

MAD où 1<x<2
Dé x 8 où ACC où 123
BSR m 2€ 3

ULA où x > 1

DAS A où Lx < ww 2€x€3

TAT7O(GV-74) A sudo de inequerio gg PO
AC EE)
ES do<x<t

TAL71ICESCEM-68) Quals os valores de x que setistoxem à inaquagÿos 2 € à
Dx A m LAZO
Orc m xD? @) Qustauer valor de x diferont da zero
1 mentum valor de x

286-4

TAIT2(GV-77) Sela IR o conlunto dot números resis. O conjunto solugäo da inequacs:
223

ER
KER 1S x < 2} w ix ERlx > 2) od (x ERI a < 1}
ah (x ER lx 2} a) {x ER |x < 0}

EA
ere arte tee ee mann
EZ, MENS

TA GESGER IS ¿E € AE, ous todo x #0 ene
ac E By Peck
ec à mu

wean 2
warme

deco x<2 bar x>-2 da>z2<ıca
daD2 25 x<2 da>2 x> 2

TA128 {ITA-67) Em quel dos catotabsixo, val desigualdade.

TA196 (CESCEM-68) A solugo do sistema de inaqungden
{ 2x2 + 8 > x? 6x

x+8<0 “
DO<A<S Bee A 4x S-2
axe -2 ears

TA.177(CESCEM-70) A solupio do sistema de insqurció

1

Sweat ado “

do<x<2 AGO. 2€x<3
ALO x>3 a) nemumx a) qualquer x

TAITB FFCLUSP-66) A oué gua de dupla costado. 2 € 323 € 1 4
ate bled
IES r<

9150
3 or

DT

296-A

TATOUITA-TIN O sistema de dmsigualdaces

pes
$e bu + D - 9 < 0

2>0 b>0 b#s
Tem solve para

ax< hebra de> 20 boa

aacecr ml ar ra unn

sl nenhura dos respostas anteriores

TA BO(CESCEA-71) O conjunto de todos of números res x paca os quais a expresso

Perd

th definida 6:
a) {x ER <x < 2}
d {x ER < x < 2}

d'RERlr<e< 2e 241)
a {xEml2cxc2 0 141)
a odos

TAIBI(GV-73) O comjunto {x Em Et? 20} 6 us
were? GER > 1}
weni a We ER tx et}

a {x ERIx <1 où x > 2}

expresso

TAI8216V-72) O canjunto de todo ot números resi x pte os a
td «Vee Vio
cesta num nömaro ro, &
al (x ER [-1 € x < 1} bh {x EMOL O
O ERI x> 0 mac AER
a {x ER] x > 0}
x EIR | xt 4x43 > 0),

Tanz PUCIN Se À «(x ER 132-3492 < 0} e
ento AE À gun a:
at wixeni2<e<3}
a vazio d BR ERII x < 3)
aer

297-8

TA 184 (CESCEA-87) Dado o trindmio do 29 gras Abel = ax? + bx + ce sabendone at
fled < O, pars a um número rel, qual dar afirmegäen bain & verdadera?
8) 0 trinómio ndo tam rafze rest
D pora conclle a existéncia de rates rest precio alada examinarse 3 - ac
©) 0 tindmio se onula para dois valores dex, um menor 6 outro maior que &
a} ando pertence o intervalo cujos extramos slo ss rafzs resi
el nac din

TAIBIGV-70) Dado o viimo fhe) = 7-84 4m o au 4 estero a0 nun &
mee
Arman aan dm>0 oc

6) neha repo nus
A106 CSGGEA 72 on que a au à + (ah O só cm
te tn ne oreo E23} ER
E Maced m 150 docs
dore à en

FUNGÄO MODULAR

TA 87 PUC-76)
al 6 igual 00 valor de x se x 6 rot
1 4 0 malor valor do conjunto formado por x ® 0 opomo de x
Wo velar de x tal que x € N
1 6 oposto do valor de x
4) 6 0 maior intiro contide om x

elinic mbdulo de um número real x pomo der que:

TA 188 CESGRANRIO-COMCITEG-73) Nos gráficos die os pontos do damínio sf
marcados no elxo horizontal e of da imagem no elxo vertical, O gráfico que men.
pode representar a funcio.

fom
x tis) = ll

onde IR* 6 0 conjunto dos resis nfo negativos, &

UF
EN

298-A

TAABBIPUC-77) O exbogo do gráfico de y = lat = 1

TA191 (MACK-771 O grético a0 lado represents a fung:
ad y--lx-olse
bye bals
ay

Bye

DE
Bla mx Do
Ita x <a
©) nie ai

TA192(0ESCEM=70) O rico de y = Il -2 4:

» y N y a Av
}
x * T x
a y » v
299-0

TA 193 (CESCEN-73) O réf va tungúo v = Lx = 11 - lx

a By
1 1

LE! x

#
TA 198 (GV-74) O gráfico de eauagio: y = 2 VAE +» 6

si y »

a

TATBBIMACK 73) O ático cortesiono de funcio detindo por y = =—xÍxl pode ser

“+

=.
E

TA196 (EAESP-78) Sale Y ume tune delinida em A por

AL

© HO) = 0. 0 seu gation 6

a

a v

300-A

a v
Werd ex
y
a

TAIBTIMACK -76) O grático de at. Dels Ina al à

a ity bY a vi e
2 2
2
TA.198 (CESCEM-09) A represomacdo gráfica da tuncdo y = x? - [xl 6:
Y on a Ar a q

"TA199(MACK-74) O grático cantasiano 62 funcio detinida por yels?-4lxl +31 poo
a hrs

Vol, VAN vob

1} nemum dos anteriores.

Mn a a

TA ZOO (CESCEM-71) Dedos dois nümmas reais distintos a o b. podemos defini uma
tango thx que chambremes “distancia ao conjunta. La, BI", da seguinm form
distinela de x vo comumto 8, D) 6.0 menor dos números

Le = al, 1x = dt
1, 0 gâfieo de 100 4

Y

a y »

2 hun dos anteriores

301-A

TAZDIIMACK-76) Soja 1 uma funcio de IR om IR. detiniso por
Md zh abeto

© conjunto image da fungSo + &
a iyemly22} wiyenivss (y Enly>a)
ayenlys) om

TA202(PUC=77) Dedo A= {x EMI bel - 2), tomas
BACH BACH, AAUZ 2, danz-
a Ann dz

‘TA203 (PUC=74) O conjumo 5. dus solugdes da equacio
lx =the -1 &

95-9

lo, 2
as~{o, +7

as = {0,-1}

TA204(GV-72) Seje V o conjunto de todos as solusóns reais da equaeto

Vite Tate

Entdo:
avd ver

Vem eS} à ve ER)
el v= (0)

TA205(CESGRANRIO-771 Où gráficos de fix) = x e glx) = la 11 1óm 2 pom
‘em comm. À soma das abcitss dot ponıos em comum 6:

ave CRI da a-VE #0

TA206 (EPUSP-65) As ralzes da equecto [xl + [xl - 6 = 0
al so positives bl tem soma O cl tm soma 1} tim produto 6
sl nanhuma dos resposts anteriores

TA 207 (COMBITEC-COMBIMED-75) A square
let tl ble art, ER,
a) tem dune solugder dirias cuja soma € 2
bl tem somento at solugdes =1 0 0
‘eno tom sue
d) tem uma infnidade de solurder
8) tem de solucdas distinus cuja some € 4

A208 (FCESP-74) Se x E]. 00 0] entdo a oxpresto:
DCE EN TEE

Par REN Vor due 7x ree.

302-8

TA208 (CESCEA-68) Se à € b sio dois números resis quaisquer, asinatedentre ss afimacBes
abaixo a que 6 sempre verdadera
alarnl>lelell or la rol= dale lol o) las vl lol e dol
arlol-lol>larol er lalo lol £la + ol

TAZIOIGV-74) Sejam x 8 y números resir quisauer. Acsnale a afiemagdo cometa:

ar bee yt tell or byl bi ii
Ile Wl > VENT al Ixy! > lel - ly!

ov lade Wyle 2b ey?

TA211 (CESCRANRIO-75) A intersnefo dot conjuntos (EMI In-21 <4} e
{xEIR| |x- 71 <2} € um intervalo de comprimento

4 um intervalo de comprimanto
a 2 vs at as a 4

TAZIZIMACK-241 O conjunto solucño de 1 € I -31 <a 6 o conjunto dos números x tos
que:
a 4<x <7 0 15x52 DA Lx LI où BKK
SxS? où 22x48 0 <x <4
d 21 Rx 84 où 2 Ex ST

TA212(CESGRANRIO-73) A funeño PL) = |x? + x = 11 4 manor do que 1 para os ve
Tores de x em:

al2-lußı) 8 42,-n un o La, JU o, 1
sand) Ez)

TA214 (MACK-77) O conjuntorolugto de Ix=3l<x + 3 4
Id wWikERlo<x<3} ar dx ERIx>0}
Dre

TA2IS ICESCEA-70) O conjumo de todos oF x para os mois (2e - 31 >= 6

a HERIx <o} bi {xE mlx <0 où x <a}
9 Em <a <a} di ERO <x <4}
akenla<ı où «>8}

TA218 (CESGRANRIO=73) O conjunto solucío da desiqualdade

heraldo 2
0] U la, 73] à pp Ula, sh
EMA ob bles <a <AJU xl x < 7}
EMEA

TAZITIMACK-75) Se I = al € poro todo x wl que fx = 21 1, ent

9) O menar valor pol de N 6 3 el o menor valor pottivel de N 6 5
DI © matar valor possivel de N 6 3 6) o maior vor pomlvel de N 4 5
91 pode asumir qualquer valor

303-8,

TAZIBIPUC-70) Quelquer que see 0 nümoro real nfo nulo x, temas samp:

ailes Liga whee liée aks lige

aber LIS Lo mirta es anteriores
GRÁFICOS

o
ARNO (GT Optica fondo de por thd =] 2 se 02 6
ï

a r » hp ep ad o»

f
bode bn

par x
i i j
TA 220 (CESCEM-74) A tana u gico me
Thor opt o ca rd
a Ro» dx
tho

ER)

Pen

SD 40 = min x EL

©) fea) = min al

‘TAZ21 IMACK-731 O gritca conesiono da fungáo definida por y = ~*2_ pode ser

1
TA222 IMACK-77) O síófco de uno 1 dado por thd © ge Le

6, soroximadamente:

| a

om
PAZ ACK © pr d ue ui pr y Ez pot we
à us L u ES o qu
Ts i 4
i u
E
NE |

raga FUVEST-O7 As cums yb eyo?

2) imarceptam-se em um Único ponto de abscisa positiva.
b) interceptamse em dois ponts

e) oat interenptam

1) intaceptaryee am mais do dois pontos

9) intecoptarvse em um único ponto de abscissa negativo

BETEN
eT

Tazaisscem m As gus de as te

8) no tim ponto ern comum
©) tim xatemonte dos pontos comuns
Ai im oxstamente 4 pontos coman.

1 tiem uma infinidade de pontos comune

1) täm um único ponte comum

TA FEI Chase ponto fx de uma tango Yum número el x a ue
Catala os poros fics de tos tit 1 + L

1245

Deren mee no tem ponte theo

1 tem finitos pomos fixes

thd =

TAZ27 (FE1-79) Considers gráfico de fango
V2 10 o Denjas tuer à baa

nschurad a figura ao lado, Cu um

‘lor sproxmado desta dos, subt

do os cos AB, BC 8 CD por seems

PL

a 295

5 485

Per}

Far}

9 nenhum die reposar arios

TARTBIEPUSP-67) Sendo A a dra tind poo cuve y o po re x =
x=3, y-0, tem: “
DAS MOISALOS a oBcAcIS
dis<a< 1 + nenas root ations

Taz CESEN Aime y <2 wa a
valor da de rio comprendón

some a curva y= x2, do ponte de

abacisa 0 20 ponte de abicisa x eo

sixo das abscisas, conforme indica fi 2

gara 90 lado: Ag 6.

eas can, a ro o lodo inc IES
a t

a /
va

2

añ

ou

1 rar

TAZA0ICESCEM-74) As regidos do plano detinidas por:

17242130
mA D 0
detsrminam um quodrlero, no qual está definida a furgo y = x4 + x.

Subendose que o méximo dera una et num dos vires deste quedo, c

4
an

a 1
at ao a

206-A

FUNÇOES COMPOSTAS

TA231 (PUC-77) Sendo tHe) + x3+1 0 le) = x-2, to ON) 6 quot:
an CE ao 2 an

TAZSZIMACK-75) Dados as füngdes f, ge h, de M em M, delinidas por fix) = x
able 2x1 © Aix) = x42, onto (lhofleg) (21 & igual a
at v2 as aa as

TA223 (CESGRANRIO-73) Soja umo Fungdo de IR em IR tal que 112) «7, f19) = 3,110) =o,

HG) < 16 e 117) = 4; soja g uma outra fungio de IR em R tat que a imagem de
cada ponto x do su dominio seja 2x + 3. Entio, chamando 1e h a funcio com

posta gef, temvse que:
ht = 16 b) nia) = 9
©) nz) = 49 ño exite oss fungäoh

+) naci se pode afirmar pois à li de formado de nfo $ conhocida

TA.234 (CONSART=25) Sef e gsi tungSee definidas em por Ha) = x 2e glx) = 3x45,
AS

en bj 3x? +10 ESAS a) 4x+7 ab total
TAZISICESGRANRIO-70) Se fi) «Tete fal) 6 ones por
1 m2
ah or dx LE cantar ds report

TA238 (MACK-75) Dado a aplicagio 1:00 definida por f(x) = x2-2, o valor de
x tal que fix) = thet 1) ei

a a an o

TAZSTIMACK-78) Dada a funcio the) = a exprendo de 13, am termos de

to, 6

ETA Em] ME EM
E BE Fo Erz
a 00-1

TA299(1TA-77) Considere a fungáo Fix) - «3-11 detinida em IR. Se FoF representa
3 funedo composta de F com F, ent:
al (FoF h(x) = x1x2-11, poro todo x coat
I no existo número real y, tal que (FSF IN) = y
el FoF bua fun injtore
A) (FeFl (x) = 0, apenas para das valores ren dex
©} nanhuma das anteriores

307-0

TAZGSIFEI-GS) Dada a fungóo fe) - VATHT, para qualquer número seal x tal ¢

Tel <2 eme an
BMI = A angi. a

DH nonhuma das anteriores

A240 (CESGRANRIO-76) Considere as funçBes
CE sa
wozu ea
‘onde b ¢ uma constante. Conhecendo-se à composta
genen
at)
podemos afirmar que b & um elemento do conjunto
ar OA ARA Ae

pz 12x+8

1

A241 (PUC-74) Se 162) = entäo We[ter] (5) 6 tu

si 2x bh 3x aa ax De

TA.242 (CESGRANRIO-72) Seam dadas ss funçôes
a 1
m= (19,5), (2.01, 2,2), (12,51, 40,01) «

oi}

nn. mo.

Considere es afirmagdes
1) Ao existe a funcio nem

21 lo existe fango mon

3) mé uma fungió bijetore de IR om IR

4) a fungio mano m rio existe

5) todas os afirmativas anteriores 280 falar

Emo:

2) todas Fo cortas
1) somente dues año corras
©) somente uma £correta
todas so falas

€ somente uhr so correos

TA243{CESCEM-70) Sejom fix) = + YA; gia) = [Kl] e hie) = 2-6;
a) osdominiosde gla) e his) coincide
D} odominio de lz) comm estitamente o dominio de hi2)
©) odomíniode f(x) nao tem pontos em comum som o.domínio de. gla)
) quolquer que ajo 2 real, gía) « fe)
8) nenhuma das anteriores

208-A

TA244ITA-74] Sejam A, 8 © D subconjuntos náo varios do conjunto R dos nümeros runs.
Siam as fungdes 1 À — 6 ly fall, g:D—> A = lu), € 0 funglo composta
Mog: E>K. Entio os conjuntos E e K do tas que:

DECA + KCD
ECE + KDA
SEDO DXE e KCB
deco + «Ce
+) nenhuma dos respostes anteriores

TA245 (MACK-74) Sejam fe g Tungóes el em tai que Abel < ox +b e glx) = exo,
Entdo fog = gel, see somente ss
dare o bed
barbucca
9 @-1edsbe tent)
da
close e boo

TA246 (CESGRANRIO-77) Soja 1: (1,2, 3} —{1, 2, 3} uma tungño tal que o com
Junto solugáo de equagdo fx) ==» & (1,2). Em relacio à fango composte tet
podemos afırmar quer
al paratodox, (efit) + x
bi par todo x, (feb = Ita)
ten 2
a) fo) = 1
©) (oh «2

TA.247 (MACK-75) Dadas us fungdes fe g del emiA, sand 9) = 4x5 e Halal} = 13-86,

onto:
AZ Re Mie 24 3x
Dec A
ote xe
TAZABIMACK-73) Sando af CAST € gone x42
aa 0432 se x < 2
CCE CO

>
a AS
ot toga « ES
done LE LS

el nenhuma das anteriores

+.

FUNGÖES INVERSAS

TA249 (CESCEM-6) Dentre os grficos aix, © que melhor se adapta = uma fun
bietora (injtora o sobrejeroro) com dominio 'R e contracominio M4

1 v o pr oh

TAZ50 (MACK-75) Ao lado est o gráfico
de fungio 1. Um oxeme deste gráfico
os pormite conclu que:

8) 6 injetra

BI f 6 peribdica

el tm <0
dla <o
a = 409)

TA2SI MACK-741£ 4 uma agar de A am 8; 8 GO; 1 6 uma accio sobrino
de Alem 8. Poderes aimer
a) 1 6 ums occ sobre de À em 8
91d unm aplico lara ca À am BF
1) a intoeto dota € Gonrchrl; 1 fo pode sr uma pli de A am
tan nem &
à trite tm A Wan EE
cuite y am @ al que fb = ye verifica para senhum x de A

TAZSZ(MACK-75) A aplicado {2 + N definido por

> owner
CRE s
PRIT
+ 4 impor
a) somente injeora; 15) somente sobrejetor;
© bijetore: di cer injtore © nem sobrejetora;

©) nennums das anterioren.

310-8

A263 (CESGRANRIO-73) Sojo AB um diámetro de umo estere tengento a um plano À
no ponto B. Seja E 0 conjunto dos ponos da superficie eséris que o distintos

par

Considere à fungéo
Her
ET

onde fix! 4 0 ponte de interegio de
roca definida por A e x como piano P.
Dentre as afirmar 3 falta 6

ala funcdo & njetora

bh a funcio # sobrajetors

1 à funcio & bietera

¿la Mune leva cicunterincas em circunteréncias

+) 5 fungko lesa pontos simétricos em relacio so dkimetro AB em pantos simétricos
dm relacdo 20 ponte 8,

TAZ54 (17-76) Considere g: (9,0,c) +(9,b,c) uma funedo tal que glal=b e gibt =a,
Entlo, tamos:
al a equegdo glx) = x tam solucio m, e somemo sa, y 4 in
El 9 6 injetora, mas ndo 4 sobrejetore
©) 9 8 sobrojeora, mes ado € ijerora
ds 9 mio 6 sobreetora, entlo gl] = x pora todo x em
el Danhuma cas resposas antciarer

sb, ch

TA288 (MACK-76) Dada 8 fungdo FIR R, biletora definida por the) «x24 1,
Inverse fl: +R 4 detinida por
Oro TT o Steg tate
a) 1-160 y 0) nenhume das anteriores
Yan

TAZIBUTA-76) Su 100 2 LE caida am Se fee Anglo ini
de 1 o valor de 09 (75 sa

E ia
BE min

©) nanhuma dos reipones anteriores

TA257 (CONSART-75} O gráfico de uma funcio 1 4 0 segmento de rea que une os pontos
19,4) a (8,0), Se Fl 4 a fungko inversa ce 1, ento (112) 6

s 2 a -2 el ndo defi

) 2 wo 13 a-3 ) ráo dafinida
TAZSB(MACK-77) A funglo f definida em IR-{2) por thx) = ZI 6 inverse

O seu contadomínio # IR = {a}. O voler de a 6: =

a2 v2 ot a e bo sal

311-0

TA259 (CESGRANRIO-76) Saja: + fx} 2 fungéo cojo gráfico &

rein à
a w CE a

TA260(ITA-76) Stim A e 8 conjuntos iniitos de números naturais
Se (AB 0 g:8- A slo funcios wis que flgh)) » x, para todo x em
© Old) = x, para todo x om A, entio, temos:
al exito xo om D, tal que fly) = xo, pora todo y em A
8) existe à functo Inversa de 1
©) exi xg 8X1 em A, tai que xo € fol = Hay)
wer a em 8, tal que altlall) Lola
2) ranura cas respostes unriores

TASTICESGRANRIO-77) A imagem da ren y = 2x pelo reflexdo no wixo dos x
rein de equario

aye lad bye tx dys Bye ay x
ny yeh

1
2

TA262 (CESGRANRIO-73) Sendo x 24, o conjunto imagam da funcio y = Vx + Vx =

8 dado por
a (vEnly>0] u VER Lowy <2}
9 yERly>2) di yer ly >a}

9) nonhumo das responas anteriores

EQUAGOES E INEQUAGOES IRRACIONAIS

TA263 (CESCEM-73) Considerese o número x dado peto expresso

Warst
Nestes condice,
al x 2222 mel oh xe2eVE2
ax=2 x ndo 6 quiz de equiclo x? - » 2 + 0

312-A

TA284(PUC-70) O conjunto verdade de equerio VAT = 2-1 &

ata Wi a fo} ai

7 varices
430 enh das an

TA265(GV-75) À equagio VITA RS

a) tem ques ratzas rent D) tem très alzes vie
hbo tom calzes reis 9 no tem ratzes
sl tom ums nie ra reel

TA.266 (PUC-74) O conjunto verdade da aquacio irracian:
Via Van 22 6

a vs (3) b) v= 13,9} ob vol ar v-(4) oF nenuma das anterior

‘TA.267 {FEI-08) Seh V o conjunto dos números reis que slo solugBes da aquagéo irraciona
Va WTI
a Ve (2,18) où v=(2) 0 vit

1 V=B 4) nenhuma des anteriores

TA268 (MACK-76) Todas os rteas da aquacio 2 VX +24 P= 5 extdo no interval:

ala 4) ott. (2.31
ale. a ©) 15,8]

TA2691ITA-79) A respaito da equegto, 3x2 - ae + VTP = ae
2ER o races

= 18. podemos dizer
DIA única riz 6 x= 3

©) A única raie dx 2.9 V10 gl tem 2 raiten resis @ 2 imegindrias
9) rentuma das anteriores

VARIONTA-12 Todo oscar ro o amuse [IE gi 2 ato

dnde, ade pd
mo me VS di ndo tem ravzes reais
2) manu das respost

y y
74) Se 0 mimero x 6 sotucio da equacdo Vxe8-Vx-9

Tazzı macı , mio
en ene:
2) 0025 b125056 066078 d7seos ose 105
TA272 (GV-74) Resor a amiusidado 1 = ox > VTT TR
active Malo dx<r a x>2
313-A

vas
Taz
Taa
Tas
Tas
Tas
TA?
Tas
Tas
Tara
Tate
Tare
Tanı
Tale
Taısa
Taısc
Taıza
TAI.
Tann
Taza
Tarte
raze
Tazıe
Ta24s
TA264
TA 260
Ta27»
TA280
TA290
ers
Tate
TAS2e
YA 324
Tate
Tasse

RESPOSTAS

Tard
Tare
TATI6

Tarse
Tan
wane
TAM
TAI
Tason
Taaıa
Tas2a
TAGS
LT
Tass»
Tassc
Tasıa
Tasse
TA 89e
Tage
Taste
Tasza
Tasıa
Tasın
Tasss
Tascc
TA.970
Tagen
Tags.
TA.1000
Taso»
TA 1024
Lure
TA-104b
LT

TA.106 5
TA107¢
TA1083
A098
TA.1109
TAM
TAN.
Taıııa
TAM
TAMBO
TAGS
LAN
TAI
TA1194
Ta.1204
TAIZ
Taızzn
TA1230
Tarzan
Taızsc
Tanzca
Tanzre
Tara
TAI
Taie
Taste
Taıszd
TA 1300
Tarde
TANSSD
TA 1360
Tanaza
TAB:
TA1396
TA40e

215-A

Taare
Tata
Tanaac
Tame
Tarasn
TA.146a
TA1a7o
TAX

Tans
TA1500
Taısıo
Tans2e
Taısse
TA ISA
TA 1550
TA 1560
TAASTe
TA 584
Tasse
TAG
TA1610
TA1620
TAGS
TA GAS
A154
TA 1669
TAI»
LA
Tas
Ta1700
Tara
TAI
TAN

316-8

Taza
TANI
TAI7%6¢
TAIT?»
1A1788
Taıne
LAC
TAB
Tao
Tanase
ratée
1a1850
TAB e
TA187 5
TAB
TA 1090
Tasse
Taııa
Taıza
TA1934
TA.198b
TA.1980
TA SD
TA 1973
Ta1989

Tareas
TA 200

Tazına
TA202e
TAz03¢
A206
TA 2064
TA2060

Tazoru
Ta208c
rame
Tazıoo
Tazıe
Tazıza
raze
taza
Tazıca
Tazıse
Taare
Tazı0a
Ta2ı9a
taza
TA2214
Ta222c
Tazzın
LT
TA 250
Tazz»
TA2270
Tazzuc
A290
TA2300
Tate
TA 22e
TA2NS
TA 242
TA2350
TA236b
taza
Tazıne
TA294

TA2403
rad
TA 22e
Tasse
Tazanı
Tazıse
A246 5
A287»
TA 2483
A298
A2808
Tasıe
TA2520
TA2539
TA254a
TA 256:
TA 2569
TA2576
TA2584
TA2Ge
TA2600
1Az610
TA 2820
TA2636
TA264 à
Tasse
TA2969
1A 2970
TA2600
TA 2690
Ta270s
Tazrıa
Ta2r2a

FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA ELEMENTAR
Vol 1 — Conjuntos e Fungdor

1. noces de lógica, 2. conjuntos, 3. conjuntos numérico, 4, relasdes, 6. fungóes,
6. fungdes do 19 grau, 7. funçôes do 29 grau, 8, funcio madular, 9. fungi com
posta e funcio inversa,

Vol 2 - Logaritmos.

1. poténcias, 2. funcdo exponencial, 3. funçäo logarítmica, 4. equacies e ine
quasées logaritmicas, 8. logaritmos decimais

Vol 3 ~ Trigonometria
1. ciclo rigonométrico, 2. fungdes citculares, 9. principals identidades, 4. trans
formacdes, 5. equagóes, 6, units circulares inversas, 7. inequacdes, 8. rin.
gules.

Vol 4 - Seqitneias, Matrizes, Determinantes, Sistemas

1. seqléncias e progressdes, 2. matrizes, 3. ropriedades dos determinantes, 4 sis
temas lineares; mátodo do escalonamento

Vol 5 — Combinatbria, Bindmio, Probabilidade

1. prinepios fundamentals de contagem, 2. aranjos, 3. permutacóes, 4. combi
negdes, $, desenvolvimento binomial, 6. probabllidade em espago amostral finito.

Vol 6 — Complexos, Polinómios, Equagdes

1. números complexos, 2. polinómios, 3. eque
bes, 5. raizes múltiplo

es polinomiais, 4, transtorma:

Vol 7 — Geometria Analitica
1.0 porto, 2, a ete, 3. a circunte

ia, 4. as cónicas, 5, lugares geométricos

Vol 8 — Limites, Derivadas, Nogóes de Integral

1. definido de limite, 2. propriededes operatörls, 3. definisäo de derivadas,
4, cálculo de derivadas, 5. estudo de fungóas, 6, nocder de integral definido.

Vol 9 — Geomerria Plana
1. triángulos, 2, prelelsmo, 3. perpendicularismo, 4. circunterénci, 5. seme-
ange, 6. relacbes métricas, 7. áreas das figuras planas

Vol 10 — Geometria Espacial

1. Geomatria de posicio: paralelismo, perpandiculaismo. diedros,tietkos, polio
(os; 2. Geometria Métrica: prism, pirómido, cilindro, cone, sólidos semecihontes,
superficie e sólidos do revolucio, sólidos estéicos.

Livro fundamentos da matemática elementar 1

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