Logaritmo e exponencial

1. Logaritmo e Exponencial
Ana Maria Xavier
Pesquisadora Titular
Comissão Nacional de Energia Nuclear

2. A função f(x) = b
x
é denominada função exponencial de base b, positiva, 
sendo definida para todo número x real. 
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático 
escocês John Napier (1550-1617), motivado pela 
necessidade de simplificar cálculos, tendo sido 
aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). 
Por meio dos logaritmos, podem-se transformar as 
operações de multiplicação em soma e de divisão em 
subtração, entre outras transformações. 
Na realidade, logaritmo é uma nova denominação para 
expoente.

3. Quando se diz que 3  é o logaritmo de 8 na base 2, éo 
mesmo que  dizer que 2
3
= 8, ou seja, 
log
2
8 = 3   ⇒8 = 2
3
Assim, o logaritmo de um número real e positivo N, na base 
b, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve 
elevar b para se obter N.
log
b
N = x     ⇒⇒⇒⇒N =b
x
x – logaritmo de N na base b
Pela definição de logaritmo, infere-se que somente os 
números reais positivos possuem logaritmo.

4. Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são 
números decimais onde a parte inteira é denominada 
característica
e a parte decimal é denominada mantissa
. 
A característica dos logaritmos decimais de números entre 1 
e 10 é 0 (zero); para números entre 10 e 100 é 1 (um); 
para números entre 100 e 1000 é 2 (dois) e assim 
sucessivamente. 
1 = 10
0
10
= 
10
1
100 = 10
2
1000 =10
3
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

5. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
As seguintes propriedades decorrem da própria definição 
de logaritmo:
P1: O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: 
log
b
1 = 0        porque b
0
= 1.
P2: O logaritmo da própria base é sempre igual a 1, ou seja: 
log
b
b = 1 , porque b
1
= b.

6. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
As seguintes propriedades decorrem da própria definição 
de logaritmo:
P3: O logaritmo da própria base elevada a uma potência é igual 
ao valor dessa potência, ou seja,
log
b
b
k
= k ,      porque    b
k
= b
k
.
P4:Se logaritmos na mesma base de dois números reais são 
iguais, esses números são também iguais, ou seja:
Se log
b
M = log
b
N     então      M = N.
P5: Quando o valor da base, b, é elevado ao logaritmo de M na 
base b, o resultado é igual a M. log
b
M
b     = M

7. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
PO1 - Logaritmo de um Produto
O logaritmo de um produto é igual à soma dos 
logaritmos dos fatores, ou seja:
log
b
(M.N) = log
b
M + log
b
N
Exemplo: log 20 = log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 
+ 1 = 1,3010. 
Observe que como a base não foi especificada, é
estipulado que ela seja igual a 10.

8. PO2 - Logaritmo de um Quociente
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a 
diferença entre os logaritmos do numerador da 
fração e do denominador, ou seja:
log
b
(M/N) = logb M - logb N
Exemplo: log 0,02 = log (2/100) = log 2 – log 100 
= 0,3010 – 2,0000 =  - 1,6990. 
Do exposto anteriormente, podemos concluir que, 
sendo log 0,02 = –1,6990, então 
10
-1,6990
= 0,02.

9. PO3 - Logaritmo de uma Potencia
O logaritmo de uma potência pode facilmente ser 
demonstrável como sendo:
log
b
M
k
= k . log
b
M.
uma vez que Mk = M.M.M.......k vezes, e o logaritmo de 
um produto é a  soma dos logaritmos dos fatores.
Exemplo: log 3
4
= log (3 . 3 . 3 . 3) = log 3 + log 3+ log 3 + log 3 =
= log 3 . ( 1 + 1 + 1+ 1) = 4 . log 3

10. PO4 - Mudança de Base
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade 
de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, 
conhecemos o logaritmo de N na base b
e desejamos obter o 
logaritmo de N numa base a
Exemplo: 
log
2
3 = log 3/log 2 = 0,4771/0,3010 = 1,5850

11. O logaritmo é a 
função inversa
da função exponencial.
Os gráficos acima mostram que para a > 1, as funções 
exponencial e logarítmica são crescentes e para  
0 < a <1, são decrescentes.

12. LOGARITMOS DECIMAIS
log(1)= 0
log(0) não existe
log(10) = log(10
1
) = 1
log(1/10) = log(10 -1
) = -1
log(100) = log(10
2
) = 2
log(1/100) = log(10 -2
) = -2
log(1000) = log(10
3
) = 3
log(1/1000) = log(10 -3
) = -3
log(10
n
) = n
log(10
-n
)= -n

13. LOGARITMO NEPERIANO OU LOGARITMO NATURAL
O logaritmo natural ou neperiano tem por base o 
número irracional eeee, o qual é definido como: 
eeee= limn ®¥®¥®¥ ®¥(1 + 1/n)
n 
= 2,7182818......
A notação empregada para o logaritmo neperiano de 
um número N, é ln N  e significa 
o logaritmo, na base eeee, de N, ou seja: 
log
eeee
N = ln N

14. Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de 
zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada 
hipérbole eqüilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no 
primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro 
quadrante. Esta curva tem importantes aplicações em ótica e 
construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, 
estudos em economia, etc.

15. O logaritmo natural (ou neperiano) de um dado número 
real u, ln(u), pode ser definido do ponto de vista 
geométrico, como a área da região plana localizada sob 
o gráfico da curva y = 1/x, acima do eixo y = 0, entre as 
retas x = 1 e x = u, que está no desenho colorido de 
vermelho. 
A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, 
denotado por ln (u) .
ln (u) = área (1,u)

16. Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas 
tomando u = 1, a região se reduzirá a uma linha vertical 
(que não possui área ou seja, possui área nula) e neste 
caso tomaremos ln(1)=área(1,1). Assim:
ln (1) = 0
Quando os valores de u aumentam, esta função de u, 
f(u), também tem seus valores aumentados, o que 
significa que esta função é crescente 
para valores de     u > 0.

17. Os logaritmos neperiano têm as mesmas propriedades 
operacionais que os demais logaritmos.
ln(1) = 0
ln(x.y) = ln(x) + ln(y)
ln(x
k
) = k ln(x)
ln(x/y) = ln(x) - ln(y)

18. Exemplos:
ln (5) + 4 . ln (3) = ln (5) + ln (3
4
) = ln (5 . 3
4
) = 
ln(405)
ln (a) + ln (b) - ln (c) + ln (10) = ln (10a.b/c)