Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso Lunavo

Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso Lunavo

1. Formandos da Escola Profissional de Estaquinha
em uma visita à Escola Agrária de
Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ
Formandos da Escola Profissional de Estaquinha _Bùzi
uma visita à Escola Agrária de Gorongosa
Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ

2. Filipe Mathusso Lunavo Página 2
Logaritmo e Função Logarítmica
Ficha Técnica: Matemática Real - 10ª Classe/ Logaritmo e Função logarítmica.
Autor: Filipe Mathusso Lunavo
Revisão dos Exercícios: Domingos Joaquim
Estaquinha, Búzi - Sofala/ Moçambique/ Setembro de 2014

3. INTRODUÇÃO
Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por
John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561
A sua origem é grega e significa a razão dos números
e “aritmo”, número. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos
no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o
uso dos logaritmos.
Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação
em soma, de divisão em subtração, entre outras
Contudo, pode-se dizer que o nome
para expoente, conforme veremos a seguir.






APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS NO QU
Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano.
Na Física é utilizado para medir a intensidade do som
Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH
(potencial hidrogeniônico) de uma solução.
Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar
dígitos de informação (bits).
Na geologia, os logaritmos permitem medir a
de algum abalo sísmico através da Escala Richter
Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de
indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para
calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemo


John Napier ( 1550-1617),
barão de Marchiston
(Escócia)
Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por
e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630).
A sua origem é grega e significa a razão dos números – “logos” significa razão
Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos
no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o
se transformar as operações de multiplicação
em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis.
se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação
, conforme veremos a seguir.


DOS LOGARITMOS NO QUOTIDIANO
úmeras aplicações no cotidiano.
Na Física é utilizado para medir a intensidade do som;
Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH
(potencial hidrogeniônico) de uma solução.
Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar

Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”)
de algum abalo sísmico através da Escala Richter.
Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de
indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para
calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemológicos.
Para não ter problemas na
resolução ou na percepção dos
Logaritmos, vamos lembrar alguns
casos de potências, como os
seguintes:
2
5
=
m
a´
m
a:
2
=
-
a
2
1
2
1
-



=






ou
2
1






-

3
0
=
a 0 o seu resultado é 1.
a=
1
125=
Vamos decompor o 125.
125
Henry Briggs (1561-
1630) - Inglês
5
25
1


RECORDE
Para não ter problemas na
resolução ou na percepção dos
Logaritmos, vamos lembrar alguns
casos de potências, como os
seguintes:
3222222 =´´´´=

nmn
aa
+
= ´

nmn
aa
-
=

2
1






=
a

( ) 642
42
4
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
--+-
--
-






=








´





=´
642424
2
22222 ==´=´
+
-
1 porque qualquer nº elevado
a 0 o seu resultado é 1.
a
ou
aa=

3
5=
porque:
Vamos decompor o 125.



Logo:
3
5125=
5
5
5

4. CONCEITO DE LOGARITMO
Dados os números reais b M a temeM á ic, N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao número x que
é necessário elevar a b para se obter N, isto é, o logaritmo que satisfaz a relação b
x
= N, dizemos que x é o logaritmo de N
na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma:
logbN = x.
Onde: N- é o logaritmando ou antilogaritmo;
b- é a base do logaritmo e;
x- é o logaritmo.
Exemplos:
M
532log
2
= porque
5
232= . Aqui podemos observar o seguinte: logbN = x 32-N; 2-b e 5-x e como
sabemos que
32222222
5
=´´´´=
M
12log
2
= porque
1
22=
M 01log
5
= porque 15
0
=
Nota 1: Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação
simbólica escrevemos somente logN ao invés de log
10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo
que foi exposto, que 10
x
= N.
a) log10=1 porque 10
1
= 10.
b) log100= 2 porque 10
2
= 100

Nota 2: Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático
escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo
pelo símbolo ln. Assim, MM
e
lnlog= . Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos
naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
a)
1ln
=e b) 4log4ln
e
e=

5. Filipe Mathusso Lunavo Página 5
Logaritmo e Função Logarítmica
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os logaritmos devem sempre obedecer.
1ª Condição: 01log=
b
. Quando o logaritmando é igual a 1 a solução é sempre nula, pois de acordo com a fórmula b
x
=
N, qualquer número elevado a 0 tem como soulção 1.

Exemplos: * 01log
3
= *
01log
2
1
= * 01log
1000000
=
2ª Concição: 1log=b
b
. Quando a o valor do logaritmando for igual ao valor da base, a solução será 1. Porque pela
fórmula b
x
= N, teremos bb=
1

Exemplos: *
1
3
1
log
3
1
= *
17log
7
= *132log
32
=
3ª Condição: Se mb
m
b
=log, então pela fórmula teremos
mm
bb=
Exemplos: *
35log
3
5
= * 43log81log
4
33
== *
3
4
1
log4log64log
3
4
1
3
4
1
4
1
-=





==
-

4ª Condição:
Se aab
b
=log ou seja: b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a. Porque? Porque: aab
b
=log
então
ab
a
b
=log
Exemplos: *
34log3log4
3
44
== * 255log25log5
25
55
==
5ª Condição
: Se caca
bb
=Û=loglog. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo
equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
Exemplos: * 55loglog
2
1
2
1
=Û= aa * 27log27log
33
=Û=cc

PARTICULARIDADES NO USO DE LOGARITMO
O uso dos logaritmos tem algumas restrições tais como:
1. Para que o logaritmo exista, é necessário que o logaritmando não seja negativo, isto é, > 0.
Exemplo: ()x=-25log
5
, pela definição de logaritmo, teremos: ()
x
525=-, logo é impossível calcular o
logaritmo (valor de x), pois qualquer potência de base positiva o resultado é sempre positivo.

6. Filipe Mathusso Lunavo Página 6
Logaritmo e Função Logarítmica
2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja 1¹b.
Exemplo:
x=4log
1
vamos mostrar porque não é possível. Observa a tabela:
Vamos agora tomar os valores da tabela, substituindo no lugar de x, para melhor sustentarmos a nossa
explicação de porque não é possível achar o logaritmo.
Se x=1 pela fórmula teremos:
411
1
¹=
Se x= 2 41111
2
¹=´=\
Se x=3 411111
3
¹=´´=\
Logo é impossível calcular o valor de x nesta equação, porque qualquer potência de 1 é sempre igual a 1.

3. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base não seja nula nem negativa ou seja M a temeM á il
Exemplo:
( )
()
x
x 32727log
3
-=⇒=
-
, neste contesto é impossível calcular o valor de x, pois não nehuma
potência de base negativa (-3) é igual a 27.
Embora em alguns casos pode-se calcular, mas quando se trata de logaritmo, de acordo com a definição, não se
pode calcular ( veja a conclusão a seguir).
Ex 2:
( )
()
x
x 41616log
4
-=⇒=
-
Ex 3:
( ) ()
x
x 6216216log
6
-=⇒=
-


Conclusão sobre as particularidades de uso de logaritmos:
Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo.


PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
1ª Propriedade:Logaritmo de um Produto


Exemplos:
Ex 1:
( )
( ) 64242
3
1
log
3
1
log3log3log81log9log819log
4
3
1
2
3
1
4
3
1
2
3
1
3
1
3
1
3
1
-=--=-+-=






+





=+=+=´
--
ou

( ) 6
3
1
log3log729log819log
6
3
1
6
3
1
3
1
3
1
-=





===´
-

Ex 2:
( ) 6423log3log81log9log819log
4
3
2
3333
=+=+=+=´
ou
x 1 2 3
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.
Simbolicamente:() nmnm
bbb
logloglog +=´

7. Filipe Mathusso Lunavo
Logaritmo e Função Logarítmica
32
3
22=

( ) 729log819log
33
=´

2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente




Ex 1: log64log
16
64
log
444-=





14log
16
64
log
44==





Prova:
Ex 2: log64log
4
64
log
22-=






log16log
4
64
log
22==





EX 3:
81log
3
81
log
33
-=








log81log
3
81
log
333-=








Prova:
3
99
3
3
81
3
1 ´
=Û=





O logaritmo de uma fração
numerador da fração e do denominador
Simbolicamente:
n
m
blog


63log
6
3
==

m Quociente
1234log4log16
2
4
3
4 4 =-=-= ou
Prova: 44
16
64
4
1
=Û




=
4262log2log4
log
2
2
6
22
=-=-= ou
42
log
4
2
= Prova:
16
4
64
2
4
Û




=
( )
3log3log3log3log3log
3
2
33
4
33
-=-=
( )
2
4
3log33log3log3
)1(
3
2
4
33
4
3
-=-=-= lo
33
3
33
3 =Û
´
=Û

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do
numerador da fração e do denominador.
nm
n
m
bbloglog-=


Página 7
1616=
1123 =-= ou
1
2
2
2
24
2
)2(
==
-
=
ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do

8. Filipe Mathusso Lunavo Página 8
Logaritmo e Função Logarítmica
3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência




Exemplos:
Ex 1:
53log53log243log
3
5
33===
Ex 2:
( )
2
3
4
1
log
2
3
4
1
log4log4log64log
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
4
1
4
1
-=





-=





===
-

Prova
( )6444
4
1
32
3
2
3
===





-

Ex 3: 8422log216log
4
2
2
2
=´== Podemos comprovar que está certo pela fórmula de logaritmo 2562
8
= ,
como nós sabemos que
25616
2
= .

4ª Propriedade: Mudança de Base



Exemplos:
Ex 1
: 32:62log2log4log64log64log
2
2
6
2224
==¸=¸= Prova: 6464644
3
=Û=
Ex 2: 3266log6log36log1296log1296log
2
6
6
66636
=¸=¸=¸=



O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
Ou Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente
irá multiplicar o resultado desse logaritmo.
Simbolicamente: xmx
b
m
b
loglog=
Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a,
essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo
com a fórmula :
bxx
mmb
logloglog
¸=

9. Filipe Mathusso Lunavo
Logaritmo e Função Logarítmica
Nb
aN
a
b
=
=log

5ª Propriedade: ba
b
a
=
log

Exemplos:
Ex 1: 344log44
3
4
64log
4
=´==
6ª Propriedade:
a
N
ba
b
log
log =
Exemplos:
Ex 1:
log
3
49log
49log
73
7
==
Ex 2: ( ) log8127log
3
1
3
3
1
=¸
6
9
3
4
2
3
3
4
2
3
)2()3( +-=+-=




---



1. Calcule o valor de:
a) log
9
81log81log
39
¸=
b) log3
c) 225,0log
2 Û=a
d)
5
125
5
125
5
log =Û
x

12=
a
N
b

3
2
3
7log
2
7
=
2
3
1
log
3
81log
2
27log
81log27
3
1
3
1
3
1
3
3
1



=-=-
6
1
6
8
-=+
Exercícios Resolvidos
Calcule o valor de:
29log81
2
9
== ou
2243log3log9log
2
3
4
33
=-=¸=
¸
32log
2
1
3
22
-==
-

22
2
1
2
4
1
2
100
25
2
2
2
=Û=Û=Û=
-aaaa
25
1
5
25
1
5
125
5
5
125
5


=Û=Û=Û
xxx
Página 9
3
3
1
log
3
1
4
3
1
3 --






-




2-=Ûa
2
1
22
1
55
´-
=Û


x

10. Filipe Mathusso Lunavo Página 10
Logaritmo e Função Logarítmica
1
2
2
55
2
2
-=Û-=Û=Û
-
xx
x

e) 1
3
3log
3
3
9
log
3
9
log
3
3
3
3
===
f)
4,0
5
2
5
4log
5
16log
16log
2
445
4
====
g)
6,0
5
3
5
6log
6log
3
65 3
6
===
h)
7
4
7
4
7
2
1
log
7
2log
7
16log
16log
4
2
1
4
2
1
2
1
7
2
1
-=
-
=






===
-

i)
8
3
4
1
2
3
4
2
3
4
2log
4
8log
8log
3
244
4
2
=´====

2. Calcule o valor dos logaritmos
a) 15log5log6log18log
3333
+-- 5log6log15log18log
3333
--+⇒
23log9log33log
56
1518
log56log)1518(log
2
333333
===´=
´
´
=´-´=


b) 27log64log
32
- para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de
cada logaritmo, isto é:
62264log
6
2
=⇒=⇒= aa
a


33627log64
33327log
32
3
3 =-=-\
=⇒=⇒=
lo
bb
b


c)
32log16log
42
-
42216log
4
2
=⇒=⇒= aa
a

2
5
222432log
525
4
=⇒=⇒=⇒= bb
bb

2
3
2
58
2
5
432log16log
)1(
)2(
42
=
-
=-=-\

11. Filipe Mathusso Lunavo Página 11
Logaritmo e Função Logarítmica
d) 36log227log8log
63
2
1 -+
3
2
1
log2log8log
3
2
1
3
2
1
2
1
-=





Û=Û=
-
aa
( ) 443336log227log8log
46log36log2
33log27log
63
2
1
2
2
66
3
33 -=-+-=-+
-=Û=Û=-
=Û=Û=
-
ddd
bbb

e)
( ) 23log9log12108log12618log12log6log18log
2
3333333
===¸=¸´=-+
f)
( )125loglog
5
3
1
Vamos resolver em partes.
355125log
3
5
=Û=Û=aa
a

( ) 1
3
1
3
1
3
3
1
3log125loglog
1
3
15
3
1
-=Û





=





Û=





Û==\
-
bb
bb


g)
( )5log2
102
3
31log2log
+
++ Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo
12log
2
=
( )
( )
46450131log2log
4559333
01log
5log2
102
5log25log2
10
3
33
=++=++
\
=´=´=
=
+
+


h)
( )
2
18
4
2
3
6
4
2
1
log2log
40
2log2log
3log0
8log64log
81log1log
2
3
2
1
6
2
3
2
1
6
2
4
3
2
12
33 -
=




-´
=





´
+
=
´
+
=
´
+
-







9
4
18
8
18
2
4 -=-=





-´=
2
2

12. Filipe Mathusso Lunavo Página 12
Logaritmo e Função Logarítmica
3. Calcule o valor de y.
Lembre-se que caca
bb
=Û=loglog
a)
8
512
loglog
8
1632
loglog8log16log32loglog
44444444=⇒
´
=⇒-+= yyy
6464loglog
44
=\=⇒ yy

b) 3log210log27log27loglog
22222
-++=y ()
30
30loglog9270loglog9log270loglog
3log270loglog3log1027loglog
2222222
2
222
2
222
=⇒
=⇒¸=⇒-=⇒
-=⇒-´=
y
yyy
yy


c)
55loglog
22
=Û= yy
d)
88loglog
1515
=Û= yy
e)
10log10lglog1000log
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
1
=Û=Û= yyy
f)

77loglog
10001000 =Û= yy
g)
44lglg
=Û= yy Lembre-se dos logaritmos de base 10.
h)

2
1
2
1
238log
3
333
=Û





=Û=Û-=
-
--
yyy
y

i)

9933
2
1
3log
2
2
22
1
2
2
1
=Û=Û=Û=Û=
´
yyyy
y

j)

() () 3322623216log
33333
2
=Û´=⇒=Û= yyy
y

k)
1515lglg53lglg5lg3lglg
=Û=Û´=Û+= yyyy
l)

2
7
2
34
2
3
22
2
3
2lg
2
3
lg
)1(
)2(
=Û
+
=Û+=Û=-Û=





- yyyyy
m)

( ) ( ) 9252952lg95lg2lglg95lg -=-Û=+Û=+Û+=+ yyyyyyyy
3
3
9
93 -=Û-=Û-=Û yyy

n)

4
5
3
3 1
5
3
8log2log
yy
=
-
( ) ( ) yy
yy
yyyy
4
3
3
1
3
1
222282
4
3
3
1
3
1
4
1
3
3
1
143 1
=-Û=Û=Û=Û
-
--

5
4
5
12
12
4
12
4
12
5
12
4
12
9
12
4
3
1
4
3
3
1
)4()3()4(
=-Û´=-Û=-Û=-Û=-Û yyyyyyy /-1

13. Filipe Mathusso Lunavo Página 13
Logaritmo e Função Logarítmica
5
4
-=Ûy

o)

2222222
2
3
22log
2
3
2
3
32
3
22
3
2
3
=Û=Û=Û´=Û=Û= yyyyy
y

p)

( ) yyyyyy =Û=Û=Û=








Û=Û= 3222225log
52
5
5
2
1
5
2


4. Calcule:
q)
3100010
1000
1
10001,0lg
3
-=Û=Û=Û=
-
aa
aa

r)
4101010000lg
4
=Û=Û= aa
a

s)

210010
100
1
lg
2
-=Û=Û=
-
aa
a



5. Sendo 3log
3
-=a , 4log
3
=b e 2log
3
=c, determine:
a)
()ab
3
log Resolução : 143loglog
33
=+-=+ ba
b)
23
log
c
ab
Resolução: 341243logloglog
22
333
-=-=-+-=-+ cba
c)
ba
3log
Resolução: 1
2
2
2
46
2
4
3
2
log
3loglog
3
33
-=-=
+-
=+-=+-=+
b
ba


6. Sabendo que 5log=a
b
e 3log-=c
b
determine o valor de :
a)
()ac
b
log Resolução: () () 23535logloglog =-=-+=+= caac
bbb

b) 





a
c
blog Resolução:
853logloglog -=--=-=





ac
a
c
bbb

c)
3
logac
b
Resolução:
()
3
2
3
35
3
loglog
3
log
log
3
=
-+
=
+
==
caac
ac
bbb
b

d)
()
4
logac
b
Resolução: () () 162)35(35logloglog
4444444
==-=-+=+= caac
bbb



7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos
a) ()ba
2
2
log
Resolução:
() bababa
222
2
2
2
2
loglog2logloglog +=+=

14. Filipe Mathusso Lunavo Página 14
Logaritmo e Função Logarítmica
b) 





6
5
4
5
log
p
Resolução:
ppp
555
6
55
6
5log64log5loglog
4
5
log
4
5
log +-=+=





c)
2
log
log2logloglog2log2log
8
888888
g
l
g
l
g
l
++=++=








ppp
g
l
g
l
g
l
2
2log
2
1
2log22log
888
+=´+=¸+´=ppp


FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Considere a função , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1 (,
e definida para todo x real.
Observe que nestas condições, a
x
é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando
o conjunto dos números reais positivos por , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R
+
* ; y = a
x
, 0 < a ≠ 1.
Vamos determinar a função inversa
da função y = a
x
, onde 0 < a ≠ 1.
Permutando x por y, vem:
x = a
y
\ y = logax Portanto, a função logarítmica é então:
f: R
+
* ® R ; y = logax , 0 < a≠ 1 .Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = a
x
) e logarítmica ( y = logax ),
para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação
à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

Exemplos:
xxf
4
log)(= ;
xxg
2
1
log)(
= ; ()2log)(
6
-= xxf ; ( )13log)(
3
1 += xxf
Gráfico da função logarítmica
Vamos fazer o estudo da funçãoxxf
3
log)(= construindo a tabela e respectivo gráfico.
x
ay= 0
〉a
1¹a
+
IR

15. Filipe Mathusso Lunavo Página 15
Logaritmo e Função Logarítmica
-1 1 2 3
-3
-2
-1
1
x
y
Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial:
x
yyx 3log
3
=Û=
Tabela da função
x
y3= Tabela da função x
3
log

Gráfico da função logarítmica
Observando o gráfico, concluímos que:
Domínio:
+
=IRDf
Contradomínio:
IRfD=´
Zero da função:
1=x
A função é crescente
A curva da função não intercepta o eixo das
ordenadas.
A função é positiva, isto é:
] [+¥Î> ;1;0)(xxf
A função é negativa, isto é,
] [1;0;0)(Î<xxf

Nota: Esta função a base é positiva e maior que 1.
Vejamos agora o gráfico de uma função logarítmica onde a base é maior que zero e menor que 1 (
10<<a).

Considere a função
xxf
3
1
log)(= . Passando para forma de função exponencial teremos:
x
y 





=
3
1 .

x
x
y3= y

-3
27
1
3
1
33
3
3
=





===
-x
y
27
1

-2
9
1
3
1
33
2
2
=





===
-x
y
9
1

-1
3
1
3
1
33
1
1
=





===
-x
y
3
1

0 133
0
===
x
y 1
1 333
1
===
x
y 3
2 933
2
===
x
y 9
3 2733
3
===
x
y 27
x x
3log y
27
1

3333log
33
3
1
327
1
3
-====
-
x

-3
9
1

2333log
22
3
1
39
1
3
-====
-
x
-2
3
1

1333log
11
3
1
33
1
3
-====
-
x
-1
1 01loglog
33==x 0
3 13loglog
33==x 1
9 23log9loglog
2
333
===x
2
27 33log9loglog
3
333
===x 3

16. Filipe Mathusso Lunavo Página 16
Logaritmo e Função Logarítmica
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
x
y
Tabelas












Gráfico
A partir do gráfico, podemos constatar que:
Domínio:
+
=IRDf
Contradomínio:
IRfD
=´
Zero de função:
1
=x
A função é decrescente.
A curva da função de f não intercepta o eixo das
ordenadas.
A função é positiva, isto é, ][1;0;0)(Î>xxf
A função é negativa, isto é,
][+¥Î< ;1;0)(xxf


x
x
y 





=
3
1
y

-3
273
3
1
3
1
3
3
==





=





=
-x
y

27
-2
93
3
1
3
1
2
2
==





=





=
-x
y
9
-1
33
3
1
3
1
1
1
==





=





=
-x
y
3
0
1
3
1
3
1
0
=





=





=
x
y
1
1
3
1
3
1
3
1
1
=





=





=
x
y
3
1

2
9
1
3
1
3
1
2
=





=





=
x
y
9
1

3
27
1
3
1
3
1
3
=





=





=
x
y
27
1

x xy
3
1
log
= y

27
3
3
3
1
3
1
3
3
1
-





=




«=





yy


-3
9
2
2
3
1
3
1
3
3
1
-





=




«=





yy


-2
3
1
1
3
1
3
1
3
3
1
-





=




«=





yy


-1
1 01log
3
1
=«= yy
0
3
1
1
3
1
log
3
1
=«= yy
1
9
1

yy





=«




=
3
1
3
1
3
1
9
1
2


2
27
1

yy





=«




=
3
1
3
1
3
1
27
1
3


3

17. Filipe Mathusso Lunavo Página 17
Logaritmo e Função Logarítmica
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
x
y
As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial,
e de acordo com as tabelas, com a 1ª função com qual trabalhamos, podemos esboçar os seguintes gráficos.
Vamos denominar a função
x
y3= como
x
xf3)(= a logarítmica mantemos x
3
log
Graficamente teremos












Pela observação dos gráficos, vemos que eles, apresentam uma simetria em relação à bissectriz do primeiro e
do terceiro quadrante y=x.
Portanto a função
x
xf3)(=, é inversa da função x
3log.

Ainda, se
10<<a teremos os seguintes gráficos:
Vamos denominar a função
x
y 





=
3
1 como
x
xf 





=
3
1
)( a logarítmica mantemos x
3
1
log

-1 1 2
-1
1
2
3
4
x
yy = (1/3)^x
y = log(1/3,x)
y = x
x
xf 3)(=
x
3log
xy=

18. Filipe Mathusso Lunavo Página 18
Logaritmo e Função Logarítmica
Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira:
a O domínio da função exponencial é o conjunto imagem (contradomínio) da função logarítmica e o
domínio da função logarítmica é o conjunto imagem da função exponencial, isto é,
( )
+
=== IRgDIRDf ´)( e ( )( )
+
=== IRfDIRDg ´ . Isto acontece pelo facto destas
funções serem inversas entre si.
a As funções
)(xf e )(xg são crescentes para 0
>a.
a As funções
)(xf e )(xg são decrescentes para 10
<<a.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO ()bxy
a
±=log
Como já vimos como se adquirem os dados da tabela de uma função logarítmica nos exemplos anteriores, aqui vamos fazer
a demonstração de apenas dois casos.
Dadas as funções:
xxf
2
log)(= ,
()1log)(
2
+= xxg e ()1log)(
2
-= xxh

Como podemos ver, os gráficos das funções ()1log)(
2
+= xxg e ()1log)(
2
-= xxh, surgem através da
translação de b unidades para cima
xxf
2
log)(= , se b for positivo e b unidades para baixo da função
xxf
2log)(= se b for negativo.
Existem elementos comuns, comuns para todas as parábolas, hora vejamos:
As três parábolas são crescentes em todos os seus domínios;
Os seus domínios são iguais.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
x
yy = log(2,x+1)
y = log(2,x-1)
y = log(2,x)
·
·
·

19. Filipe Mathusso Lunavo Página 19
Logaritmo e Função Logarítmica
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
x
yy = log(1/2,x)
y = log(1/2,x+1)
y = log(1/2,x-1)
Os seus contradomínios também são iguais.
Diferenças:
Zero de função: Para a parábola da função
( )1log)(
2
+= xxf, x=0
Para a parábola da função
( )1log)(
2-= xxg, x=2.
Como podemos notar no exemplo que acabamos de mostrar, a base do logaritmo é maior que 1, agora vamos trabalhar com
logaritmo cuja base é positiva, mas menor que 1.

Dadas as funções:
xxf
2
1
log)(= ,
( )1log)(
2
1
+= xxg e
( )1log)(
2
1
-= xxh
A diferença que agora encontramos, é de que
todas as três funções são decrescentes,
diferentemente no exemplo anterior.









Vamos ainda seguir com outros exemplos. Mas queremos chamar atenção de que o valor do logaritmando nas funções que
seguem, não está entre parênteses, daí que a representação gráfica será diferente com a que está acima

20. Filipe Mathusso Lunavo
Logaritmo e Função Logarítmica
Dadas as funções xxf
2
log)(= , g
Para a função (): 2log
2=>+x
Para a função 0 1c: 2log
2
=>-x
As funções ()me0 1c são obtidas através da função
negativas respectivamente.

Agora vamos construir o gráfico da seguinte função




2log)(
2
+= xx g e 2log)(
2
-= xxh
Toda s as funções são crescentes;
As funções são definidas para valores de x > 0,
isto é, o domínio de DgDf,
As funções não intercepta o eixo das ordenadas,
porque não estão definidas para x = 0.
As funções interceptam o eixo das abcissas
quando y = 0 (zeros de função) sendo:
()ª 1 C0,25 e 0
Podemos determinar os zeros da função da seguinte
maneira:
2
1
22log
2
2
2
==>





==>==>-==>
-
xxxx
422log
2
2
==>==>=
=> xxx
são obtidas através da função L 1c pela translação de 2 unidades positivas e

Agora vamos construir o gráfico da seguinte função 2log)(
2
1
+= xxf e
log)(
2
1=xg
Todas as funções são decrescentes
As funções são definidas para valores
de 10<<b, isto é, o domínio (
As funções não interceptam o eixo das
ordenadas (yy), porque não estão definidas para
x=0.
As funções interceptam o eixo das
abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo:
4),0(=xf e g


Página 20
s as funções são crescentes;
As funções são definidas para valores de x > 0,
+
=IRDhDg, .
As funções não intercepta o eixo das ordenadas,
porque não estão definidas para x = 0.
As funções interceptam o eixo das abcissas
quando y = 0 (zeros de função) sendo: L ª 1 C i,
ª 1 C o
Podemos determinar os zeros da função da seguinte
25,0
4
1
==>= x
pela translação de 2 unidades positivas e
2
2
1-x
funções são decrescentes
As funções são definidas para valores
, isto é, o domínio (
+
=IRD
f )
As funções não interceptam o eixo das
ordenadas (yy), porque não estão definidas para
As funções interceptam o eixo das
abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo:
4
1
),0(=xg ).

21. Filipe Mathusso Lunavo
Logaritmo e Função Logarítmica
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO
Dadas as funções:
(log)(
2
+= xxf
As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo
maior que zero (0), acontecerá o que vai observar
Dada as funções:
(log)(
2
1
=
xxf
( )21log)(
2
1
-+= xxm

·
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO ( ) cbxy
a
+±=log

)11++
;
( )21log)(
2
++= xxg
;
(log)(
2
= xxh
( )1log)(
2
+= xxm
Observando os gráficos, notamos que
todas as funções são crescentes.
Todas as funções interceptam o eixo das
ordenadas (yy) em: para a função f(x),
g(x), y=3; h(x), y= -1 e
Os zeros de função (onde as funções
interceptam o eixo das abcissas
função f(x),
2
1
-=x ; g(x),
1=x e m(x), 2=x


As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo é maior que 1 unidade mas se for memor que 1 e
á o que vai observar nos gráficos a baixos.
)11++x
;
( )21log)(
2
1
++= xxg
;
(log)(
2
1
=
xxh
Como podemos observar nos gráficos,
constatamos alterações em:
Todos os gráficos são decrescentes;
Os zeros de função (onde as funções
interceptam o eixo das abcissas
função f(x),
1=x; g(x),
2
1
-=x e m(x), x

Página 21
)11-+
e
2-

Observando os gráficos, notamos que
todas as funções são crescentes.
Todas as funções interceptam o eixo das
ordenadas (yy) em: para a função f(x), y= 1;
1 e m(x), y= -2.
Os zeros de função (onde as funções
interceptam o eixo das abcissas-xx): para a
; g(x),
4
3
-=x ; h(x),

mas se for memor que 1 e
)11-+x
e
Como podemos observar nos gráficos,
constatamos alterações em:
Todos os gráficos são decrescentes;
Os zeros de função (onde as funções
interceptam o eixo das abcissas-xx): para a
; g(x), 3=x; h(x),
4
3
-=x

22. Filipe Mathusso Lunavo
Logaritmo e Função Logarítmica
Filipe Mathusso Lunavo
Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala
Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de
Contabilidade Simplificada
no 1º, 2º e
Estaquinha


Para quaisquer reclamação ou sugest
[email protected]

Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala. Formado pela ADPP Escola de
Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de Matemática, Física, Informática
Contabilidade Simplificada na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha
no 1º, 2º e 3º ano. Também leccionou Matemática na Escola Secund
Estaquinha (6ª e 7ª Classes) durante 3 anos.
reclamação ou sugestão na melhoria deste texto, envie um correio electrónico para:
Página 22
. Formado pela ADPP Escola de
Matemática, Física, Informática e
na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha – Búzi,
. Também leccionou Matemática na Escola Secundária São José de
melhoria deste texto, envie um correio electrónico para: