Logaritmos 4� eso

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promociones

1. LOGARITMOS

2. Se define la función logaritmo como:
Log
ab=n
abncuando: =
Y dicha expresión se lee: « logaritmo en
base “a” de “b” ».
Nota:Si no se escribe la base del logaritmo,
se considera que la base es 10. Este
logaritmo es muy utilizado, pues lo podemos
hallar con la calculadora. Es decir:5454
10LogLog
Base 10
Otro logaritmo muy usado es el logaritmo en
base “e”, al cual se lo llama logaritmo
neperiano, y se escribe: Ln

3. Ejemplos:8
2Log
3, porque82
3
 81
3Log
4, porque813
4
 
3
55Log
–3, porque33
55


(Nos preguntamos: ¿A qué número tenemos
que elevar el 2 para que nos de 8?)
45
3
3Log 4
5
porque454
5
33 01,0Log 2
porque01,010
2

 





2
1
e
Ln 2
porque2
21
e
e

10

4. Es decir:a
alog
nn
(Veamos más ejemplos)





8
1
2Log 





32
2
1
Log 
3
22Log 








9
3
3
Log 








2
2
1
3
3
3
Log 
2/3
33Log 








3
5
2,0
5
Log 










3
5
5
1
5
Log 









3
15
5
5
Log 
3/4
55Log
–3
–3/2
4/3

5. 





3
25,0
4
4
Log 








3
1
4
1
4
4
Log 




3
2
4
14Log 






3/2
4
1
4
1
Log Ejercicio:Calcula los siguientes logaritmos








3
2
16
82
log)a 6
7 










4
3
1
39
273
log)b 4
1
  
3
504,0log)c 3
2
 





3
1,0
10
10
log)d 3
2

–2/3

6. PROPIEDADES DE
LOS
LOGARITMOS

7. 1) La suma de logaritmos es el
logaritmo del producto.  )(baLogbLogaogL 
Ejemplo:  84
22 LogogL 5
Porque: 2
2
= 4 y 2
3
= 8
2+3 =)84(
2Log )32(
2Log
Porque: 2
5
= 32
5

8. 2) La resta de logaritmos es el
logaritmo del cociente.  






b
a
LogbLogaogL
Ejemplo:  101000LogogL 2
Porque: 10
3
= 1000 y 10
1
= 10
3–1 =





10
1000
Log )100(Log
Porque: 10
2
=100
2

9. 3) Logaritmo de una potencia aLognaogL
n

Ejemplo:
5
39ogL 10  95
3Log 
2
335Log 
5
2
3
3ogL 
10
33ogL 25 10

10. 4) Logaritmo de una raiz

n
aLog
aogL
n

Ejemplo:125
5ogL 2
3 

2
125
5
Log 

2
5
3
5Log 
3
5
5ogL 




2
3
5
5ogL 2
3
2
Recuerda

11. 5) Logaritmo de uno01
aogL
Porque:1
0
a
6) Logaritmo de cero o negativos
Por que “a” elevado a cualquier número siempre es
mayor que cero.
7) Cambio de un logaritmo a base 10bogL
a
No existe si:0b aLog
bLog
bogL
a

Base 10

12. Con estas propiedades también podemos calcular
los logaritmos. Veamos un ejemplo.








4
3
27
33
Log
Ejemplo: 
4
33 2733 LogLog   
4
333 2733 LogLogLog 
 

4
27
2
3
3
33
3
LogLog
Log 
4
3
2
1
1 

4
324 4
3

13. ECUACIONES
LOGARITMICAS

14. •Son ecuaciones en las que aparecen
logaritmos.
•Resolverlas, consiste en hallar el valor o valores
de X que hace ciertas dichas ecuaciones.
•Para resolverlas hay que lograr dejar un
logaritmo solo a cada lado.
•Por último, hay que comprobar si la solución
vale o no, porque puede que no exista el
logaritmo (si es de un número negativo o de
cero).

15. Ejemplos:1)13log( x
1º ponemos a ambos lados un solo
logaritmo (en este caso en base 10)10log)13(log x
10
10
1
Tachamos los logaritmos de ambos
lados y nos queda:1013x
Resolvemos normalmente93x
Y por último comprobamos si la
solución es válida110log)133log( 
Correcto, pues el logaritmo sí existe.3x

16.   52log3log21log  xx    52log9)1(log  xx 10
10
Tachamos los logaritmos de
ambos lados y nos queda5299  xx
Resolvemos normalmente147x
Por último comprobamos
si la solución es válida)5)2(2log(3log2)12log( 
Falso, pues el logaritmo
de negativos no existe.
Aplicamos propiedades  52log3log1log
2
 xx
ESTA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCIÓN
Ejemplos:2x

17. Ejercicio:Resuelve las siguientes ecuaciones 4log26loglog)  xxxa 8:xSolución
Sí vale  13log229log)  xxb 1:xSolución
Sí vale
3
log6log3log21)
222
x
xxc  2
3
:xSolución
No vale porque: log(3/2-3) es
negativo  13log221log)
3
2
3  xxd 3
4
:xSolución
Sí vale

18. Ejercicio:Resuelve los siguientes sistemas




25
loglog2
1log3log
)
xy
yx
a 1,101:  yxSolución
Sí vale




0log3log
100
)
42
yx
yx
b 101,1000:  yxSolución
Sí vale

19. ECUACIONES
EXPONENCIALES

20. •Son ecuaciones en las que aparecen la x en el
exponente.
•Resolverlas, consiste en hallar el valor o valores
de X que hace ciertas dichas ecuaciones.
•Para resolverlas:
–Si podemos, tenemos que expresar como potencias
en la misma base a ambos lados para luego igualar
los exponentes.
–Si no, tomaremos logaritmos en base 10 (que es lo
que halla la calculadora) a ambos lados y aplicamos
la propiedad 3 para “bajar” los exponentes
multiplicando.

21. Ejemplos:393
15

x
Expresamos como potencias en
base 3 a ambos lados2
5
15
2
1
215
33
333




x
x
Tachamos los treses e
igualamos los exponentes2
5
15x
Resolvemos normalmente10
7
2
7
5


x
x
Solución

22. Ejemplos:142
35


xx
No podemos expresar como
potencias en igual base a ambos
lados. Luego tomamos logaritmos en
base 10 a ambos lados. 142
3log5log


xx
Hallamos los logratimos con
la calculadora.  48,0170,042  xx
Resolvemos normalmente56,3
28,392,0
48,048,08,24,1



x
x
xx
Solución
Aplicamos las propiedades
de los logaritmos  3log15log42  xx

23. Ejercicio:Resuelve las siguientes ecuacionesx
x
a 







8
1
2)
10
2 5,2:
21 xxSoluciones 15
2
9
3
1
)
2







 x
x
b 10,0:
21 xxSoluciones 13
54)


xx
c 25:xSolución