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1. MATEMÁTICA
Editora Exato 1
LOGARITMOS 
1.DEFINIÇÃO
Dados a, b
*
+
 ∈R e a 1≠.
x
a
log b x a b= ↔ =
2.ELEMENTOS
logb
a
= x
logaritmando
Log
aritmo
base
O log
aritmo representa o expoente da base pa-
ra gerar o logaritmando.
Exemplo 
E.1)
x x 3
2
log 8 x 2 8 2 2 x 3=⇒=⇒=⇒=.
E.2)
3
x x 2
2
3
log 2 2 x 2 2 2 2 2 x
2
=⇒= ⇒=⇒=.
2.2.
 Conseqüências da Definição 
Dados x, b,
a 0> e a 1≠.

a
log 1 0=, pois a
0
=1.

a
log a 1=, pois a
1
=a.

m
a
log a m=, pois a
m
=a
m
.

a
lo
g b
a b=.

a a
log x log b x b= ⇒=
2.3.
 Representações Especiais 
O logaritmo na base 10 é escrito sem a ba-
se, isto é,
10
log b log  b= .
O log
aritmo na base e (número periano) é
escrito como
e
lnb log b=
2.4.
 Propriedades Operatórias 
Satisfeitas as condições de existência, temos:
P1) logb (ac) = alog
b +clog
b;
P2) logb








c
a
= al
og
b − clog
b;
P3) logba
m
= m . alog
b;
P4)
alog
m
1
alog
bm
b
⋅
.
2.5.
 Mudança de Base 
O
a
log b pode ser escrito em qualquer base
( )x x 0 e x 1> ≠ como a divisão de
x
log b e
x
log a, ou se-
ja,
x
a
x
log b
log b
log b
= (com a 0> e a 1≠).
Exe
mplo: 
E.1)
2
3
2
log 5
log 5
log 3
=
E.2)
Calcule o valor de
3
log 2, sabendo que
10
log 2 0,301= e
10
log 3 0, 477= .
Reso
lução: 
Mudando o logaritmo para a base 10, temos:
3
log 2 0, 301
log 2
log 3 0, 477
= =
2.6
. Antilogaritmo e Cologaritmo 
Define-se como antilog de x na base a como o
logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja,
a a
log b x antilog x b= ⇔ = .
Def
ine-se como cologaritmo de b na base a
como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja,
a a
colog b log b= − .
Exe
mplo: 
E.1)
2 2
b antilog 3 log b 3 b 8= ⇔ = ⇒=.
E.2) D
etermine o
2 2
colog 16 log 16 4= − = − .
2.7
. Equações Logarítmicas 
Para resolver as equações logarítmicas da
mesma base, usamos o fato de a função logarítmica
ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais,
então os elementos correspondentes do domínio são
iguais (supondo satisfeitas as condições de existência
dos logaritmos). Em símbolos, temos:
( )
c 1 c 2 1 2 1 2
log x log x x x x , x ,c  e c 1
+ +
= ⇔ = ∈ ∈ ≠ R R .
Exemp
lo: 
E.1) Calcule o valor de x na equação
() ( )log x 3 log 2x 5− = −
Res
olução: 
Usando a propriedade na equação.
() ( )log x 3 log 2x 5 x 3 2x 5 x 2− = − ⇒− = − ⇒=,
como x 2= não satisfaz à condição de existência,
pois
o logaritmando se torna negativo, então o con-
junto solução é vazio.
3.LOGARITMOS DECIMAIS
Denomina-se de logaritmo decimal ou de
Bri
gss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos
podem ser escritos como abaixo.
log b= c + 0, m
Representa a mantissa (parte
fracionária do logaritmo).
Representa a característica (parte
inteira do logaritmo).
3.1. Cálculo da Característica 
Considere o logaritmo logb, em que b está es-
crito na forma decimal.
Centro de Ensino Dias Carneiro
Gov. Eug. Barros - MA 16/09/2014
Professor: José Santos da Silva Turma: "A" Turno: Vespertino
Aluno(a):

2. 2
*Se b 1>, então a característica de log b é
encon
trada subtraindo uma unidade do nú-
mero de algarismos que b apresenta em sua
parte inteira.
Exemplo: 
E.1)
{
4alg
log3478,701 4 1 3⇒− =
E.2)
{
1 a lg
log 2 ,347 c 1 1 0⇒= − =.
*Se b 1<, então a característica de log b é i-
gual
ao oposto do números de zeros que b
apresenta antes do primeiro algarismo não nulo.
Exemplo: 
E.1)
{
2  zeros
log 0,0 31 c 2⇒= −.
E.2)
4
 zeros
log0, 000 345 c 4⇒= −
123

3.2.
 Cálculo da Mantissa 
É obtida em tabela conhecida como tábua de
logaritmos.
Propriedade: se as representações decimais de
dois números positivos diferem apenas na posição da vírgula, então os logaritmos possuem a mesma man-
tissa.
Exemplo: 
E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297
E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297
E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Resolva:
625
log 5
Resol
ução:
625
log   5  (lê-se log de  5 na base 625)x=
Fator
ar:
625
125
25
5
1
5
5
5
5
5
4
( )
1
4
2
625
5
1
5 5 4
2
1
8
x
x
x
x
=
/ /= → =
=
2 A soma

2 2
log 8 log 16+ .
Resol
ução:
2
log 8
2
8
2 2
3
x
x
x
x
=
=
=
=
2
4
log1
6
2 16
2 2
4
x
x
x
x
=
=
=
=
3 + 4 = 7
3 Qual o valor da expressão
5 3
log 25 log 81+ ?
Re
sol
ução:
5
2
log2
5
5 25 5 5
2
x
x
x
x
=
=
=
=
3
4
log8
1
3 81
3 3
4
x
x
x
x
=
=
=
=
2 + 4 = 6
EXERCÍCIOS 
1 (PUC) Se

2 2
log 512 x=, então x vale:
a)6
b)
3/2
c) 9
d) 3
e) 2/3
2 (FESP) A e
xpressão
2 4
log 16 log 32− é igual a:
a)
½
b) 3/2
c) 1
d) 2
e) 2/3
3 (CESCEM) O v
alor da expressão
1 0 ,1
2
log 32 log0,001 log 10 10+ − é:
a
) –13
b) 2
c
) –13/2
d) 13/2
e) –19/2
4 A solução da equação ( )
8 8
log x log 3x 2 1+ − = é i-
gual
a:
a) –4/3 b) 1/2 c) –2
d) 2
e) 4/3
3

3. 3
5 S

2
log x a=, então
8
log x é igual a:
a
) a/3.
b) a/4
c) 2a.
d) 3a.
e) 4a.
6 O

9 2 5
log 2 log 5 log 3⋅ ⋅ é
igual a:
a)
0.
b) 1.
c) 1/5.
d) 1/3.
e)1/2.
7 O

3 25
log 5 log 27⋅ é

a) 2/3.
b) 3/2. c)
2.
d) 3. e) 1/3.
8 (
O valor de
( )
3 42
log log 2 log 3⋅ é

a)
2.
b) 1/2.
c) –1/2.
d) –2.
e) 3/2.
9 (
Se
2 2
log b log a 5− = , o quociente
b
a
va
le:
a) 10. b) 25.
c) 32.
d) 64.
e) 128.
10 (
Sendo
4
x
log 25
3
=, podemos afirmar que
2
log 5 é igual a:
a
)
x
3
b)
2x
3
c)

2
x
9
d)
3
x
3
e)

2
3
x
9
11 (
Se
log2 a= e log3 b=, escrevendo
32
log
27
em função de a e b, obtemos:
a
) 2a+b
b) 2a-b
c) 2ab
d)
2a
b
e) 5a-3b
12 (
A solução da equação
7 5
log 10 log 7 log x 4⋅ ⋅ = é:
a
) 625.
b) 2401.
c) 10000.
d) 7
10
.
e) 5
7
.
13 A

a) 2.
b) 1.
c) 0.
d)
1.
e
)
2.
14 (
O logaritmo negativo
10
log a 3,415= −

der
á ser escrito:
a) 3.415.
b)
4,415.
c)3,415.
d)4,585.
e) Ne
nhuma.
15 (
Dado
log3 0,47712= ,

log81 log 2,43+
a
) 2,29408.
b) 1.01476.
c) 2,01002.
d) 3,65432.
e) 2,41784.
16 (
As características, no sistema deci-
mal, de log7, log 0,032, log10
5
e log0,00010, são,
respectivamente:
a) 1, -1, 6, -3.
b) 1, -1, 5, -3.
c)0, -1, 5, -4.
d)0, -2, 5, -4.
e)7, 0, 5, 0.

4. 4
17 S

acha-se para log 12,5 o valor:
a) 0,602.
b) 0,398.
c) 0,903.
d) 0,097.
e) 1,097.
GABARITO 
1 A

2 B
3 C
4 D
5 A
6 E
7 B
8 D
9 C
10 A
11 E
12 A
13 C
14 D
15 A
16 D
17 E