Logaritmos(teoria)

Teoria y propiedades basicas con ejemplos.

1. Profesor: Martín H. P. 1




COMPETENCIA: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
INDICADOR: Resuelve ecuaciones logarítmicas aplicando las diferentes propiedades de los logaritmos.



I. Definición de Logaritmo:
El logaritmo de un número real positivo “N” en base “b” positiva diferente de uno, es el exponente “x” al que hay que
elevar a la base “b” para obtener el número “N”.
x
b
Potenciación
Logaritmación
Log N x b N  

 Donde:
 N = es el número. (N > 0)
 b = es la base. (b > 0  b  1)
 x = es el logaritmo de “N” en base “b”. (x  IR)

 Ejemplos:
a) 2
6
log 36 2 6 36   c) 1
3
1
log 243 243
3
x
x

  


b) 3
2
log 8 3 2 8   d) 4
3
log 81 4 3 81  

II. Propiedades de los Logaritmos:

A. Identidad Fundamental del Logaritmo:
log
b
N
bN
∀ b > 0  b  1; N > 0

 Ejemplos:
a) 5
log 9
59 b) 3
log 5
35

B. Logaritmo de la Unidad:
log 1 0
b

∀ b  IR
+
 b  1

 Ejemplos:
a) 5
log 1 0 b) 1
3
log 1 0


C. Logaritmo de la Base:
log 1
b
b
∀ b  IR
+
 b  1

 Ejemplos:
a) 5
log 5 1 b) 1
2
1
log 1
2

D. Logaritmo de un Producto:
log . log log
b b b
M N M N


∀ b > 0  b  1; ∀ M,N  IR
+


 Ejemplo:
a)  
3 3 3
log 27.81 log 27 log 81 3 4 7    


ÁREA: MATEMÁTICA
GRADO: CUARTO GRADO

2. Profesor: Martín H. P. 2


E. Logaritmo de un Cociente:
log log log
b b b
M
MN
N






∀ b > 0  b  1; ∀ M,N  IR
+


 Ejemplo:
a) 2 2 2
32
log log 32 log 2 5 1 4
2

    



F. Logaritmo de una Potencia:
log log
a
bb
N a N


∀ b > 0  b  1; ∀ N  IR
+
; ∀ a  IR

 Ejemplo:
a) 5
44
log 64 5log 64 5.3 15  

G. Logaritmo de una Raíz:
1
log log
a
bb
NN
a



∀ b > 0  b  1; ∀ N  IR
+
; ∀ a  IR - {0}

 Ejemplo:
a) 3
66
1 1 2
log 36 log 36 .2
3 3 3
  


III. Artificios de Cálculo:

A.
log log log
a a
a a
b bb
N N N


∀ b > 0  b  1; ∀ N  IR
+
; ∀ a  IR

 Ejemplos:
a) 25 8 25
log 64 log 64 log 5
b) 3
2
3
28
log 5 log 5 log 125

B.
log
a
b
ba
∀ b > 0  b  1; ∀ a  IR

 Ejemplos:
a) 3
55
log 5 3log 5 3
b) 4
log10 4log10 4


C.
log .log
q
p
bb
p
NN
q



∀ b > 0  b  1; ∀ p,q  IR
 Ejemplos:
a) 2
3
36 6 6
3
log 125 log 5 log 5
2

b) 2
9
93 3
9
log 512 log 2 log 2
2

D.
log
q
p
b
p
b
q




∀ b > 0  b  1; ∀ p,q  IR

 Ejemplo:
a) 2
4
6
4
log 6 2
2

b) 7
10
128 2
10
log 1024 log 2
7
