Logica y conjuntos

1. ASIGNATURA: Matemática aplicada a la
Medicina
2010
JEFE DEL CURSO:
Dr. Félix Peña Palomino

2. 2
CONTENIDO
Lógica y Conjuntos
Análisis combinatorio y probabilidades
Sistema de números reales
Relaciones y funciones.
Logaritmos y exponenciales.
Mediciones y magnitudes.

3. 3
Lógica Proposicional
Enunciado abierto
Son expresiones que contienen variables y que no
tienen propiedad de ser verdaderos o falsos.
Ejemplo: x+3 = 8 ; El tiene 20 años
Enunciado:
Es toda frase u oración que se emite. Algunos enunciados
indican expresiones imperativas, exclamativas,
interrogativas; otros en cambio pueden ser verdaderos o
falsos.
Ejemplo:
¿Qué hora es? , ¡Arriba Perú!
La matemática es fácil. x + 4 = 6

4. 4
Proposición:
Es toda expresión que tiene la propiedad de ser
verdadera o falsa.
Ejemplo:
Notación.
Generalmente a las proposiciones se les denota por letras
minúsculas tales como: p, q, r, ..
Así : P: Luis estudia ; q : Luis trabaja
Juan estudia medicina en la USMP.
2 + 5 = 8
Si estudio matemática, entonces apruebo el examen.
Mario Vargas Llosa nació en Arequipa.

5. 5
Conectivos lógicos:
p : Luis estudia
q : Luis trabaja
: Luis estudia “y” trabaja
""Ù
Son expresiones que enlazan dos o más proposiciones
Entre estas , se tiene: “o”; “y” ; “entonces”, “implica”; “ si
y solo si”, etc.
Los conectivos lógicos que usaremos son:
La Conjunción
Enlaza dos o más proposiciones con la palabra “y”,
denotado por
Ejemplo:
qpÙ

6. 6
Ù
F F F
F V F
F F V
V V V
p q q p
Su tabla de verdad es:
La conjunción sólo es verdadera, cuando las
dos proposiciones son verdaderas

7. 7
•La Disyunción:
Relaciona dos o más proposiciones con la palabra “0”;
que se denota por “ “
Su tabla de verdad es:
Ú
F F F
V V F
V F V
V V V

p q

q p
Ú
La disyunción sólo es falsa, cuando ambas
proposiciones son falsas.

8. 8
La disyunción exclusiva o diferencia
simétrica
La disyunción exclusiva, sólo admite que es verdadera,
si una de las proposiciones es verdadera y la otra es
falsa. Se denota por: DÚporo
Ú
F F F
V V F
V F V
F V V

p q q p
Se lee: “p o q pero no ambos”
:qΛp
“ o es p o es q”
p: Víctor Raúl nació en Trujillo.
q: Víctor Raúl nació en
Lima.
“ o Víctor Raúl nació en Trujillo
o en Lima”
:qΛp

9. 9
La negación:
La negación de una proposición “p”, es otra
proposición , denotado por “ ~p”, que se lee: “no p” ,
o “no es cierto que”, cuya verdad o falsedad queda
determinada por la siguiente tabla:
VF
FV
~pp
Ejemplo:
P: Pedro es estudioso
~p: Pedro no es estudioso, o también: No es
cierto que Pedro es estudioso

10. 10
El condicional:
En el condicional: p q
“p” se llama antecedente
“q” se llama consecuente

Þ
Denotado por el símbolo: se lee: “Entonces” o “implica”,
etc.
Por lo tanto, este conectivo une dos o más proposiciones con
la palabra “entonces”
Ejemplo: p: Juan estudia
q: Juan aprueba el examen
p q : Si Juan estudia, entonces aprueba el examen.
Þ
Þ

11. 11
V F F
V V F
F F V
V V V

p ⇒ q q p
Su tabla de verdad es:
Nota: En el condicional:
Sólo, es falso, cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso; en todo los demás casos es verdadero.
p qÞ

12. 12
Al condicional se le asocia tres expresiones
lógicas importantes:
Sea el condicional: p⇒q
La proposición Recíproca es: q ⇒ p
La proposición inversa es: ~p ⇒ ~ q
La Contrarrecíproca es: ~q ⇒ ~p
Construyendo la tabla de verdad, se tiene:
qpÞ pqÞ qp-Þ- pq-Þ-
Directo

Rcíproco

V V V VF F
V F F VF V
F V V FV F
V V V VV V
p q
Inversa Contrarecíproco

13. 13
El Bicondicional o Doble implicación
Denotado por: Se lee: “Sí y sólo sí”.
Relaciona dos o más proposiciones mediante la
palabra “sí y sólo si”. Su tabla de verdad es:
Û

qpÛ
V F F
F V F
F F V
V V V
q p p: Londres está en Inglaterra
q: París está en Francia.
Londres está en Inglaterra
si, y solamente si,
París está en Francia.
qpÛ

14. 14
Cálculo de valores de verdad de fórmulas lógicas
Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden
combinar cualquier número finito de fórmulas lógicas para
obtener el valor de verdad de otras expresiones más
complejas.
Tener en cuenta que el número de combinaciones de
valores de verdad de una proposición, está supeditado al
número de variables o proposiciones simples que
intervienen. Para esto basta aplicar la fórmula: 2
n
,
donde “n” indica el número de variables que hay en la
proposición compuesta.

15. 15

[ ] qpqp -ÛÙÞ- )(
V F F F V F F
V F F V F V F
F V F V V F V
F V V F F V V

q

p
Ejemplo:
Construir la tabla de vedad de las siguientes
expresiones lógicas:
[ ]
[ ] [ ]qrprqpb
qpqpa
ÙÚÞÚÙ-
-ÛÙÞ-
)()(.)
(.)
Solución: [ ] qpqpa -ÛÙÞ- (.)

16. 16
[ ] [ ]qrprqpb ÙÚÞÚÙ- )()(.)

[ ] [ ]qrprqp ÙÚÞÚÙ- )()(
FF FV V F F F F F
FF VF V V V V F F
VF FF V V V F V F
VV VV V V V V V F
FF VV F F F F F V
FF V V F F V V F V
VV VV F F V F V V
VV VV F F V V V V
r q p

17. 17
Proposiciones equivalentes :
Se dice que dos proposiciones son equivalentes, si
tienen iguales valores de verdad.
Ejemplo:
,qpyqp Ù-Þ
Construyendo su tabla de verdad:
qpÞ
V V F F
V V V F
F F F V
V V V V
~p ∨ q q p
Son equivalentes

18. 18
Tautologías, contradicciones y contingencias:
• Una expresión proposicional se llama Tautología, si
los valores de su tabla de verdad todos son verdaderos

• Una expresión proposicional se llama Contradicción,si
los valores de su tabla de verdad, todos son falsos.
• Una expresión proposicional se llama Contingencia,
si los valores de su tabla de verdad hay valores
verdaderos y falsos

19. 19
Determinar si el siguiente esquema es tautológico,
consistente o contradictorio.
p p)]~ q(~ q) (p [~ ÚÙÛÚ
V F V V V V V F F F
F V V F F V V F

V F
F V V V F F V V F V
F V V F F F V V V V

q

p
pp)]~q(~q)(p[~ ÚÙÛÚ

20. 20
Dada las proposiciones :
p: 18 es un número primo
q: 4 es un número cuadrado perfecto.
r: 13 es un número par
Determinar el valor de verdad del siguiente
esquema:
r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [( ÙÛ®
r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [( ÙÛ®
V(p)= F
V(q)= V
V( r )= F
Solución:
= V
V V
V
V
VV

21. 21
INFERENCIA LÓGICA Y CUANTIFICADORES
La inferencia lógica, llamado también razonamiento lógico, es
un par ordenado de la forma:
Donde es un conjunto finito de proposiciones, llamadas
premisas y ”q”, otra proposición, llamada conclusión.
Es decir, si p
1
, p
2
, p
3
….., p
n
, son proposiciones llamadas
premisas y q la conclusión, entonces la implicación: Es una
tautología
Por lo tanto:
-Si la implicación es una tautología, entonces, se tiene un
Argumento válido.
-Si la implicación es Falsa, entonces, se tiene una Falacia.
{ }
ip
{ }( )qp
i,
qpppp
nÞÙÙÙÙ ).....(
321

22. 22
Ejemplo:
Simbolizando, se tiene:
P: El día está frío.
q: El cielo está nublado. Simbolizando la inferencia
Determinar la validez de la siguiente inferencia:
“El día está frío, entonces el cielo está nublado. El día
está frío. Por lo tanto : El cielo está nublado”
Solución:
q
p
qp
\
Þ

23. 23
Desarrollando la tabla de verdad de:
[ ] qpqp ÞÙÞ)(
V F V F F

F F
V V V F F

V F
V F F F V

F V
V V V V V V V
q

p
Es una tautología, por lo tanto, la inferencia es Válida

24. 24
Principales leyes lógicas o Tautologías:
[ ]
qqpb
pqpa
ciónSimplificadeLey
qqpp
PonensModusDelLey
pp
excluidoTerciodelLey
pp
ióncontradiccdeLey
ppypp
identidadde
tieneseestasEntre
ÞÙ
ÞÙ
-
ÞÞÙ
-
-Ú
-
-Ù
-
ÛÞ
-
)
)
:.5
)(
:.4

:.3
)(~
:.2

:.1
:

25. 25
Principales Leyes Lógicas
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]pqpqpb
pqqpa
AbsurdodelLey
qqqp
DisyuntivoismoSidelLey
rprqqp
hipotèticoismoSidelLey
qqqp
TollensModusdeLey
Þ-Þ-ÙÞ-
-Þ-ÙÞ
-
Þ-ÙÚ
-
ÞÞÞÙÞ
-
Þ-ÙÞ
)()()
)()
:.9
)(
:log.8
)()()(
log.7
)(
:..6

26. 26
Equivalencias Notables
)()()
)()()
)()()
:.4
)
)
)
:.3
)
)
:.2
)(
:)(:.1
rqprqpc
rqprqpb
rqprqpa
AsociativaLey
pqqpc
pqqpb
pqqpa
aConmutativLey
pppb
pppa
iaIdempotencdeLey
pp
negaciónDobleinvolucióndeLey
ÛÛºÛÛ
ÚÚºÚÚ
ÙÙºÙÙ
-
ÛºÛ
ÚºÚ
ÙºÙ
-
ºÚ
ºÙ
-
º--
-

27. 27
Equivalencias notables :
Fppc
ppb
Vqpa
oComplementdeLeyes
qpqpb
qpqpa
MorganDdeLey
rpqprqpd
rpqprqpc
rpqprqpb
rpqprqpa
vasDistributiLeyes
º-Ù
º--
º-Ú
-
-Ú-ºÙ-
-Ù-ºÚ-
-
ÞÚÞºÚÞ
ÞÙÞºÙÞ
ÚÙÚºÙÚ
ÙÚÙºÚÙ
-
)
)()
)
:.7
)()
)()
:´.6
)()()()
)()()()
)()()()
)()()()
:.5

28. 28
Principales leyes lógicas
qpqppdqpqppc
pqppbpqppa
AbsorsióndeLey
FFpdpFpc
pVpbVVpa
IdentidaddeLeyes
qpqpqpb
pqqpqpa
nalBicondiciodelLey
pqqpc
qpqpb
qpqpa
onaldelCondiciLeyes
ÚºÙ-ÚÙºÚ-Ù
ºÙÚºÚÙ
-
=Ù=Ú
=Ù=Ú
-
-Ù-ÚÙºÛ
ÞÙÞºÛ
-
-Þ-ºÞ
-ÙºÞ-
Ú-ºÞ
-
)())()
)())()
:.11
))
))
:.10
)()()()
)()()()
:.9
)()
)()
)
:.8

29. 29
Principales leyes lógicas
[ ][ ]
iónContradiccCíaTautoT
CCpdpCpc
TTpbpTpa
NeutrosElementos
rppppprppppb
rqprqpa
nExportaciódeLey
pqqpb
pqqpa
iónTransposicdeLey
nnn
==
ºÙºÚ
ºÚºÙ
-
ÞÞÙÙÙºÞÙÙÙ
ÞÞºÞÙ
-
-Û-ºÛ
-Þ-ºÞ
-
;log
))
))
:.14
)()....()....()
)()()
:.13
)()()
)()()
:.12
321321

30. 30
CUANTIFICADORES
Función Proposicional:
Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse
en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una
constante específica. Se les denota asi:
P(x) ; q(x) ; etc.
Ejemplo:
Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 , la
expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la expresión es
verdadera. Esto escribimos asi:
P(3): 3+5=12 es falsa
P(7): 7+5=12 es verdadera.

31. 31
TIPOS DE CUANTIFICADORES
1.- Cuantificador Universal:
Es toda función proposicional presedida por el Prefijo “Para Todo”,
que está denotado por:
Así por ejemplo:
Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x
2
es mayor o igual
a cero”
2.- Cuantificador Existencial
Es toda función proposicional presedida por el prefijo “Existe algún
x”, que está denotado por :
"
0:
2
³Î" xRx
082::
"lg"::
2
=-Î$
$
xRxEjemplo
xúnaExisteleesex

32. 32
Negación de los Cuantificadores:
Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces
si esta función proposicional está cuantificada y se
niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad:
[ ] )(:)(: xpAxxpAx -Î$ºÎ"-
Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces,
si esta función proposicional está cuantificada en forma
existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:
[ ] )(:)(: xpAxxpAx -Î"ºÎ$-

33. 33
Circuitos lógicos
Llamados también redes lógicas. Son como su nombre
indica, redes que representan posiciones lógicas.
Estas redes se presentan como redes en serie o
como redes en paralelo
:qp
CONJUNCIÓNlaconseasociaserieenConexiónUna
Ù
-
/p /q

34. 34
.
:qp
DISYUNCIÓNlaconasociaseparaleloenConexiónUna
Ú
-
P/
q/

35. 35
Circuitos lógicos
Describir simbólicamente el circuito
p
r
~q
q ~r
1. r y ~q están conectados en paralelo : r v ~q
2. P y (r y ~q) están conectados en serie: q)~(rpÚÙ
3. q y ~r están conectados en serie: r~ qÙ
q)~(rpÚÙ y r~ qÙ Están conectados en paralelo,
Luego se simboliza:[ ] r)~(qq)~(rp ÙÚÚÙ

36. 36
Circuitos lógicos
Determinar el circuito equivalente al circuito:
~p
Solución
El circuito se simboliza por:
( )[ ]( )[ ]p~qp~pqp~ ÚÚÙÚÚ
~p
q
p
q
~p

37. 37
Circuitos lógicos
Solución
( )[ ]( )[ ]p~qp~pqp~ ÚÚÙÚÚ
Simplificamos utilizando las leyes lógicas y las equivalencias
notables.
( )[ ]( )[ ]qp~p~qpp~ ÚÚÙÚÚ Asociativa
[ ][ ]qp~qT ÚÙÚ Ley del tercio excluido , Idempotencia.
[][ ]qp~T ÚÙ
qp~Ú Elemento neutro para
la conjunción
El circuito equivalente es:
~p
q

38. 38
CONJUNTO :
Idea Intuitiva:
La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de:

 Grupo
 Colección
 Selección
 Asociación
 Agregado , etc.
NOTACION
Para representar un conjunto se utilizan letras Mayúsculas,
tales como A , B , C .......
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

39. 39
ELEMENTO :
Son los objetos que forman parte del conjunto la propiedad fundamental de un
elemento es la pertenencia ; que se simboliza así
Î : Se lee : “ pertenece a ”
A los elementos se les designa con letras minúsculas , tales como x , y , z
etc.
 Si un elemento x forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento
pertenece a ese conjunto A así denotamos :
x Î A : Se lee: “ x pertenece a A”
 Si un elemento x no forma parte del conjunto A, entonces, ese
elemento no pertenece a ese conjunto A. Así denotamos :
x Ï A : Se lee: “ x no pertenece a A”
Ejemplo: Sea A = {x , y , z}
x Î A y Î A z Î A m Ï A
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

40. 40
Determinación de un conjunto :
Un conjunto se puede determinar:
por extensión y por comprensión
Por extensión :
Nombrando uno a uno los elementos del conjunto
Ejemplo: A = {m , n , p , q}
Por Comprensión :
Enunciando una propiedad o característica común a los elementos del
conjunto.
Ejemplo: A = {x / x es un número par }
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

41. 41
Conjuntos Especiales :
 Conjunto Unitario : Ejemplo: M = { x } ; N = { x Î N / 1 < x < 3 }
Conjunto Nulo o Vacío : Denotado por f
Ejemplo: P = { x Î N / 1 < x < 2 } = f
 Conjunto Finito
Ejemplo: M = { x / x es número dígito par menor que 40 }
 Conjunto Infinito
Ejemplo: N = { x Î R / 1 < x £ 5 }
Conjunto Universal
Constituido por todos los elementos de una determinada materia.
El conjunto Universal no está definida en forma única, podemos elegir a
nuestra conveniencia.
Se denota por la letra U
Ejemplo: Sea el universo U = { a , e , i , o , u }
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

42. 42
Diagrama de Veen - Euler :
Consisten en representar a los conjuntos por medio de figuras geométricas
planas y cerradas en cuyo interior se ubican los elementos.
Ejemplo: A = {m , n , p }

.m
.n
.p
A
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

43. 43
Relaciones entre Conjuntos :
LA INCLUSION
Denotado por Í se lee: está incluido o contenido .
Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí ,
todos los elementos de A pertenece a B ; es decir :
Ejemplo: Sea A = {2 , 3 , 5} y B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
BxAxBA ÎÞÎ"ÛÍ
.1
.4
.6
La inclusión denotado por Í da la posibilidad de que A y B
tengan los mismos elementos
.2.3
.5
A
B
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

44. 44
Subconjunto Propio o Parte Propia :
Se dice que un conjunto A es subconjunto propio de o parte propia de B ; sí y
solo si, todos los elementos de A pertenecen a B , existiendo elementos de B
que no pertenecen a A ; se denota así:
A Ì B se lee: A es subconjunto propio de B
Nota: El conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto .
f Ì A ; " A
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

45. 45
Propiedades de la Inclusión:
• Reflexiva :
A Í A ; " A
• Antisimétrica :
Si A Í B Ù B Í A Þ A = B
• Transitiva :
Para los conjuntos A , B y C
Si A Í B Ù B Í C Þ A Í C
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

46. 46
Igualdad de Conjuntos :
A y B son iguales , cuando están formados por los mismos elementos.
Y definimos así:
Ejemplo:
A={x , y } y B= { y , x }
A = B
AB BA B A ÍÙÍÛ=
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

47. 47
Relaciones entre Conjuntos :
Conjuntos Comparables
.b
.d
.f
Tienen algunos elementos en común.
A={a , b , c , d} y B= { a , c , e , f}
.a
.c
A
B
AB BA B a comparable esA ÌÚÌÛ
Conjuntos no comparables
AB BA BA B a comparable es noA ËÙËÙ¹Û
.e
Conjuntos Disjuntos:
f=ÇÛ BA disjuntosson By A
Números
pares
Números
impares
A B
No tienen ningún
elemento en común
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

48. 48
Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos :
Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos.
Ejemplo: A={ {1 , 2 } , { 0 } , { 3 } }
{ }A X / X P(A) Í=
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
Conjunto Potencia
Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de ese
conjunto , incluyendo el mismo y el nulo.
Dado un conjunto A ; el conjunto potencia de A, se denota por P(A)
Luego :
Ejemplo: Sea A = {a , b}
P(A) = { {a } , { b } , { a , b } , f }

49. 49
Nota :
1.Si A tiene “ n” elementos, el número de elementos de la P(A) es igual
a 2
n
elementos.
P(B)P(A)BA Si 4.
P(B)P(A)BA Si 3.
}{ )P( A Si 2.
=Þ=
ÌÞÌ
=Þ= fff
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
El conjunto potencia de A es una familia de conjuntos

50. 50
El Conjunto de Números Naturales ( N)
N = { 1 , 2 , 3 ,4 , .................. }
En este conjunto sólo se puede efectuar operaciones de adición y
multiplicación sin restricciones.
CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
El Conjunto de Números Enteros ( Z )
Son los números naturales precedidos por el signo - o + , incluyendo
el cero.
Z = { ............... – 3 , , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .................. }
Donde N Ì Z
N
Z

51. 51
El Conjunto de Números Racionales ( Q)
Q = { x / x = ; a , b Î Z ; b ¹ 0 }
Es decir el conjunto Q resulta de dividir 2 números enteros , con el
divisor diferente de cero . Y puede obtenerse.
CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
N
Z
b
a
ï
î
ï
í
ì
î
í
ì
mixto Periódico
puro Periódico
inexacto Decimal
exacto Decimal
decimal Número
Q

52. 52
Conjunto de Números Irracionales ( Q¢ )
Son aquellos números que no pueden expresarse en la forma ; b ¹ 0
a , b Î Z , es decir que no presentan periodicidad en sus cifras decimales.

CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
b
a
{ }..........2 , e , , 2 , 3..,..........
3
pQ¢=
Conjunto de Números Reales ( R )
R = Q È Q¢
Nota:
Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto
de números reales y el conjunto de puntos de la recta .
P
i
P
2
P
1
(x
1
)
(x
2
) (x
i
)-¥
+¥

53. 53
GRAFICA CONJUNTISTAGRAFICA CONJUNTISTA
RR
QQ
ZZ
NN
Q’Q’

54. 54
El Conjunto de Números Complejos ( C )
Al resolver la ecuación :
CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
1icon ; 1- si donde,
R1x01 x
2
2
-==
Ï-±=®=+
i
i se llama unidad imaginaria
Por lo tanto :
Un número Complejo podemos escribir en la forma a + bi ; a ,b Î R
Luego :
C = { a + bi ¤ a , b Î R ; i
2
= - 1 }

55. 55
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión o Reunión de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A È B = { x/ x Î A Ú x Î B }
A B
 Si A y B son no comparables , entonces:
A È B gráficamente es:
 Si A y B son comparables , entonces:
A È B es:
 Si A y B son Disjuntos
A È B es:
B
B
A
A

56. 56





OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedades de la Reunión de Conjuntos

n21i
n
1i
A...........AAA 12.
DBCA DC BA Si 11.
BBABA Si .10
B A BA Si 9.
B)(AB B)(AA 8.
UUA 7.
C)(BC)(ABA Si 6.
C ; C)A(B)A(C)B(A 5.
AA 4.
C)B(ACB)(A 3.
ABBA 2.
A ;A AA .1
ÈÈÈ=È
ÈÌÈÞÌÙÌ
=ÈÞÌ
=Ù=Þ=È
ÈÌÙÈÌ
=È
ÈÌÈÞÌ
"ÈÈÈ=ÈÈ
=È
ÈÈ=ÈÈ
È=È
"=È
=
fff
f

57. 57
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Intersección de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A Ç B = { x/ x Î A Ù x Î B }
A B
 Si A y B son no comparables , entonces:
A Ç B gráficamente es:
 Si A y B son comparables , entonces:
A Ç B es:
 Si A y B son Disjuntos
A Ç B es:
B
B
A
A
f=ÇBA

58. 58
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedades de la Intersección de Conjuntos
A...........AAA 13.
AB)(AA ;A B)(AA 12.
C)(AB)(AC)(BA
C)(AB)(AC)(BA 11.
P(B) P(A) B)P(A 10.
CBA DB CA Si 9.
BB)(A A B)(A 8.
CBCABA Si 7.
ABABA Si 6.
A 5.
AUA 4.
C)B(ACB)(A 3.
ABBA 2.
A ;A AA .1
n21i
n
1
ÇÇÇ=Ç
=ÇÈ=ÈÇ
ÇÈÇ=ÈÇ
ÈÇÈ=ÇÈ
Ç=Ç
ÇÌÇÞÌÙÌ
ÌÇÙÌÇ
ÇÌÇÞÌ
ÌÇÞÌ
=Ç
=Ç
ÇÇ=ÇÇ
Ç=Ç
"=Ç
=i
D
ff

59. 59
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Diferencia de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x Î A Ù x Ï B }
Gráficamente , mediante el diagrama
de Veen se tiene:
A B
 Si A y B son no comparables , entonces:
A - B es:
 Si A y B son comparables , entonces:
A - B = f (No hay gráfico)
 Si A y B son Disjuntos
A - B es:
BA
B
A
B – A es:

60. 60
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedades de la Diferencia de Conjuntos
B-C)-A(C-B)-(A 12.
Disjuntosson A -B ; BA ; B-A 11.
C)(AB)(AC)(B-A
C)-(AB)-(AC)(B-A 10.
C , C)-(BC)-(ABA Si 9.
BA BA Si 8.
C)(A-B)(AC)-B(A 7.
B)-(AB 6.
B)(A-AB-B)(A B)-(A 5.
A- 4.
AB-A 3.
AA 2.
A -A .1
=
Ç
-È-=Ç
Ç=È
"Ì®Ì
=-ÞÌ
ÇÇ=Ç
=Ç
Ç=È=
=
Ì
=-
=
f
f
ff
f
f

61. 61
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Complemento de un Conjunto
Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A , denotado por
A¢ O A
c
se define asi :
A
c
= { x/ x Î U Ù x Ï A } = U - A
A
c
Gráficamente:
A
Si el conjunto referencial no es el conjunto universo, tal como B , donde
A Ì B ; entonces el complemento de A con respecto a B , denotado
por C
B
(A) Será :
C
B
(A) = { x / x Î B Ù x Ï A } = B - A
U

62. 62
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedades del Complemento
B)(AU)B(A 12.
B)(A-U)B(A 11.
BA)B(A
BA)B(A 10.
ABBA Si 9.
B (A)C 8.
A-B (A)C 7.
6.
U 5.
U 4.
AA 3.
UAA 2.
A)A( .1
B
B
Ç-=¢Ç
È=¢È
¢È¢=¢Ç
¢Ç¢=¢È
¢Ì¢®Ì
Ì
=
¢Ç=-
=¢
=¢
=¢Ç
=¢È
=¢¢
BABA
f
f
f

63. 63
Diferencia Simétrica
Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A D B se
define así:
A D B = (A – B ) U (B – A)
B
Gráficamente:
A
Ejemplo . Si A = { 2 , 3 , 5 } y B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } Hallar A D B
Solución.
Como A D B = (A – B ) È (B – A) = { 5 } È { 0 , 1 , 8 , 9 }
A D B = { 0 , 1 , 5 , 8 , 9 }

64. 64
Propiedades de la Diferencia simétrica
( ) ( )
( )
CBC A B A Si 9.
) AB ()BA(B ΔA 8.
B)(A-B)A(B ΔA 7.
C)B(A-)BA(CBB) Δ(A 6.
C)B Δ( C)A(C B) Δ(A 5.
BA 4.
A BΔB ΔA 3.
A A 2.
A A .1
=ÞD=D
¢ÇÈ¢Ç=
ÇÈ=
ÇÇÈÈ=DÈ
ÇÇ=Ç
DD=DD
=
=D
=D
C
CBAC
f
f

65. 65
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Número de Elementos de un Conjunto
Al número de elementos de un conjunto se le llama :
Cardinal de un Conjunto y se denota así:
Para un conjunto A se tiene n(A) ó Card (A
Ejemplo . Si A = { a , e , i , o , u }
Þ n(A ) = 5
ó
n [ P(A) ] = 2
5
= 32

66. 66
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Propiedades
C)Bn(A C)n(B-C)n(A - B)n(A - n(C) n(B) n(A) C)B n(A
:entonces , CBA
:que taless,comparable no conjuntosson Cy B ,A Si 4.
B)n(A - n(B) n(A) B) n(A
:entonces s,comparable no conjuntosson By A Si 3.
B)n(A - n(A) B) -n(A
: racualesquie conjuntosson By A Si 2.
n(B) n(A) B)n(A
:entonces , disjuntos conjuntosson By A Si .1
ÇÇ+ÇÇÇ++=ÈÈ
¹ÇÇ
Ç+=È
Ç=
+=È
f

67. 67
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Para la gráfica de A , B y C se tiene:
Las operaciones que representan las regiones:

A B
C
R
1
R
4
R
5
R
7
R
2
R
6
R
3
R
8
U
)BCn(A]BC)n[(A n(B)C)n(AR
)BAn(C)B(An[C B)n(An(C)R
)CAn(B])C(AB n[C)n(An(B)R
)CBn(A])C(Bn[A C)n(Bn(A)R
4
3
2
1
¢ÇÇ=¢ÇÇ=-Ç=
¢Ç¢Ç=¢ÈÇ=È-=
¢Ç¢Ç=¢ÈÇ=È-=
¢Ç¢Ç=¢ÈÇ=È-=

68. 68
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Para la gráfica de A , B y C se tiene:
Las operaciones que representan las regiones:

A B
C
R
1
R
4
R
5
R
7
R
2
R
6
R
3
R
8
U
)CBn(AR
C)Bn(AR
)ACn(B] AC)(B n[n(A)C)n(BR
)CBn(A]C)n[(A n(C)B)n(AR
8
7
6
5
¢ÈÈ=
ÇÇ=
¢ÇÇ=¢ÇÇ=-Ç=
¢ÇÇ=¢ÇÇ=-Ç= B

69. 69
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = { 1 , 2 , 3 , 4} ; B = { 0 , 2 , 5 , 6} y C = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 }
con U ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
Hallar :
Solución:
( ) ( ) ( ) )B'A(CBA 3. B'CA 2. CBA 1. È¢ÈÇÇÇDÇ
¢
È
( ) { } { }{ }{ }{} 71,2,4,6,77,8,9 1,2,4,6,75,60,1,2,3,4, CBA .1 =Ç=Ç
¢
=Ç
¢
È
( ) [ ] {}{ } { }{}66,5,2,0)7,63(BA)(CC)(A BCA .2 =ÇÈ=Ç-È-=Ç
¢
D
{}{ }{ }9,8,7,6,5,3,2,1,09,8,7,6,5,3,1,0 2)BA(C)B(A .3 =È=¢È¢ÈÇÇ

70. 70
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo:
Si los conjuntos A y B tienen los siguientes datos:
n(AÈB) = 60 ; n(A – B) = 24 y n(B Ç A ¢) = 20 Hallar: n(A) + n(B)
Solución:
......(1) 60B)n(A - n(B) n(A) : tieneSe
B)n(A - n(B) n(A) B)n(A :que Sabemos
=Ç+
Ç+=È
......(2).......... 24B)n(A - n(A)
B)n(A - n(A) B)n(A :que Sabemos
=Ç
Ç=-
......(3).......... 20B)n(A - n(B)
A)n(B - n(B) A)n(B A - B AB Como
=Ç
Ç=-Þ=¢Ç
Restando : (1) y (2) se tiene : n(B) = 36
Restando : (1) y (3) se tiene : n(A) = 40
Luego n(A) + n(B) = 40 + 36 = 76

71. 71
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo:
Dado los conjuntos: A = { a , {a , b} } ; B = { a , b , { c } } ; C = A – B
Hallar : a) P(A Ç C) b) P(A) Ç P(B)
Solución:
{ }{ } {}{ } { }{ }
{ }{ } { }{ }{ } , , C)P(A ba,CA a.
entonces , ba,BAC cb,a, B ; ba,a,A :Como
fba=ÇÞ=Ç
=-===
{}{ }{ } { }{ }{ }
{}{}{}{}{ } {}{ } {}{ } {}{ }{ }
{}{ }

, a P(B) P(A)
, ,, ,, ,, ,, , , ,a P(B)
,, , , , a P(A) b.
f
f
f
=Ç
=
=
cbacbcabacb
baaba

72. 72
Ejemplo:
En una encuesta realizada en un centro hospitalario de Lima , conformado
por 60 profesionales de la salud se tiene la siguiente información :
40 profesionales hablan inglés ; 28 hablan el francés , 16 hablan alemán
; 12 hablan el inglés y el francés 5 el inglés y el alemán , los tres idiomas
sólo 2. Si el número de profesionales que hablan sólo el francés es igual al
número de profesionales que hablan el francés y el alemán. ¿Cuántos
hablan únicamente el francés?
Solución:
x )IFn(A
2I)Fn(A 5A)n(I
12F)n(I 16n(A)
28n(F) 40n(I)
=¢ÇÇ
=ÇÇ=Ç
=Ç=
==
I
F
A
25
3
2
10
x
16-(3+2+x)
28-(10+2+x)

73. 73
Solución:
I
F
A
25
3
2
10
x
16-(3+2+x)
28-(10+2+x)
76760
)5(16)12(2832102560
=Þ-=
+-++-+++++=
xx
xxx