Longitud de curva

Longitud de curva - ejercicio

1. Longitud de Curva

2. Longitud De Curvas La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos .

3. La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C. 

4. Si la primera derivada de una función es continua en [ a,b ] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras ( dL ) 2 =( dx ) 2 +( dy ) 2 .  Si f es suave en [ a,b ], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

5. Puede existir el caso, cuando la curva es definida en su forma paramétrica, es decir, x = x (t) y y = y (t). El tercer caso es cuando la ecuación de la función se describe en forma polar, esto es, r = f ( ), en ese caso, la longitud del arco se puede encontrar por:

6. Existe otra manera de despejar las fórmulas correspondientes para el cálculo de la longitud del arco. De acuerdo con esta, suponga que longitud del arco de la función(x) será determinado.

7. Para encontrar la longitud del arco (denotado como S) en medio de los puntos b y a, una serie de triángulo rectángulo se construye de manera que la hipotenusa del triángulo cubra el arco correspondiente cuya longitud será determinada. Para simplificar, la base del triángulo se considera Δx tal que existe una y correspondiente para cada Δx. Ahora según el teorema de Pitágoras, obtenemos Longitud de la Hipotenusa = 

8. La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado de S. Esto es, Ahora, cuando el radicando es multiplicado por , obtenemos

9. Por tanto, la S puede ser modificada Mientras menor sea el valor de Δx , más precisa será la aproximación. Tenemos S, cuando el límite de Δx se mueve hacia 0.Esto es,

10. Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuación de la curva se da como x = cos (a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π. Diferenciando x e y, obtenemos dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a) Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados ( dx / da)2 + ( dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1 Por tanto, S = 1 da S = 2π.

11.    Longitud de una curva plana Cuando queremos medir una curva, podemos dividir en segmentos cortos y midiendo y sumando cada uno de estos segmentos obtendríamos una longitud muy aproximada de la curva. En la figura siguiente tracemos una curva y luego tratar de conseguir una expresión que nos permita medir con mayor exactitud la longitud de una curva.

12. Ejercicio

13. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX: y = sen x x = 0 x = π

14.  Hallar la longitud del arco de la curva    9 y 2  = 4 x 3     comprendido entre los puntos de la curva de abscisa    x = 0    y    x = 3 Derivando, de manera que

15. Hallar la longitud del arco de curva y = ln ( cos x) comprendido entre los valores    x = 0    y    x = π/2 Empezamos calculando    y'    y su cuadrado :

16. Hallar la longitud del arco de curva de la función comprendido entre los valores    x = - 1    y    x = + 1 Recordamos que de manera que    f '(x) = sh (x),    y resulta que