Los Números Primos y la Criba de Eratóstenes

Esta presentación queremos que sirva para motivar a los alumnos al descubrimiento de las particularidades de los números primos, haciendo especial énfasis en la Criba de Eratóstenes

1. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES IITQ4 Ignacio Alonso Hazaña Antonio Javier García Oliveros Paula Monasterio- Huelin Romero Merche Vilaplana Bauset

2. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES Para este trabajo hemos elegido el tema de los números primos . Dentro de este tema se verán distintos enfoques en la forma de explicar este concepto (enfoque tradicional y enfoque mediante herramientas TIC) y una de las herramientas que vamos a utilizar, también con distintas formas de presentarlo, va a ser la Criba de Eratóstenes . El nivel de profundidad y la dificultad de los conceptos que vamos a utilizar para explicar qué es un número primo, dependerá del nivel de nuestro alumnado.

3. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES En un primer enfoque la enseñanza tradicional. Prepararemos un conjunto de conceptos teóricos para explicar qué es un número primo y cómo identificarlos. Ejemplo: definimos un número primo como un número entero positivo mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por sí mismo . Por ejemplo, el número 5 sólo es divisible por 1 y por el propio 5. El proceso de buscar los divisores de un número se denomina factorización (Este último término se utilizará si el alumno está familiarizado con él, aunque es bueno enseñar los términos matemáticos, lo importante es que el alumno se quede con el concepto de número primo).

4. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES También podemos definir algunas características de los números primos que resulten curiosas para el alumnado. Estos conceptos serán útiles o interesantes para alumnos que se encuentren en la secundaria, porque implican otros conceptos como números pares, impares y algunos pensamientos más abstractos. Por ejemplo, algunas características curiosas de los números primos que los han hecho históricamente atractivos para el estudio matemático son : El único número primo par es el 2 . No existen dos números primos consecutivos (uno de ellos sería obligatoriamente par ) Carecen de un orden serial que permita predecir el siguiente número primo a uno dado . Todos los números pares mayores que el dos son suma de dos números primos Todos los números impares mayores que cinco son suma de 3 números primos.

5. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES La explicación que viene a continuación es un poco más complicada y exige el conocimiento por parte del alumno de las raíces cuadradas : “No existe un método directo para obtener sistemáticamente todos los números primos . La forma habitual de calcular un número primo es dividirlo por todos los números naturales que estén entre el 2 y el natural que está después de su raíz cuadrada, teniendo en cuenta que la raíz cuadrada no debe ser entera, pues entonces de entrada no sería primo.” Un ejemplo de aplicación para los alumnos puede ser el uso de los números primos para la encriptación . A nivel de la ESO se puede mencionar que los espías para enviar los mensajes secretos utilizan números primos. Es una anécdota que puede ayudar a que se interesen o a asimilar el concepto de número primo.

6. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES Una variante del método tradicional podría ser la siguiente : Fotocopiar el capítulo de los números primos que aparece en el libro “El diablo de los números” , hacer que los estudiantes se lo lean en casa previamente y en la siguiente clase preguntar a los estudiantes qué han aprendido del libro. Una vez que conocemos el nivel de compresión de lo que han leído procedemos a explicar con más detalle y ayudándonos de las ilustraciones que en él aparecen, el concepto de números primos. Concretamente en el libro utilizan la Criba de Eratóstenes . Lo bueno de este enfoque es que los alumnos tienen una primera aproximación por su cuenta, fomenta el autoaprendizaje y también se fomenta la lectura, que es un requisito importante a la hora de desarrollar una programación docente.

7. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES En este enfoque se han buscado distintos recursos TIC que explican el concepto de número primo y cómo identificarlo por medio de la criba de Eratóstenes. La Criba de Eratóstenes está ampliamente documentada en internet y existen varios recursos que ayudan a comprenderla y emplearla. Por ejemplo, tenemos una presentación en SlideShare que nos habla de Eratóstenes y nos explica el funcionamiento de su algoritmo matemático (en inglés): Otro enfoque podría ser el uso de recursos TIC. Si no lo ves pincha aquí

8. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES También tenemos vídeos en YouTube explicando la criba de Eratóstenes. Si utilizamos este recurso en clase, previamente deberemos haber dado algunos conceptos teóricos sobre los números primos y una introducción a la criba de Eratóstenes. El vídeo va a servir para mostrar de forma más gráfica cómo se calcula. Si no lo ves pincha aquí

9. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES Podemos utilizar la herramienta Prezi si queremos una presentación más dinámica que capte rápidamente la atención del alumno. Si no lo ves pincha aquí

10. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES Otro ejemplo de recurso TIC es ésta página : Con esta actividad se plantea una motivación extra en la que el alumnado se va a relacionar con los números primos, descubriendo sus características/propiedades, sin que sea desde un plano expositivo y el aprendizaje será más significativo. Se plantea una situación problemática que requiere de la observación, el análisis, la extrapolación de ideas y la toma de decisiones. El alumnado partirá del análisis de unos números primos iniciales para ir construyendo la teoría que se expondrá al final de la actividad. Por lo tanto, el enfoque del desarrollo de la secuencia se plantea desde lo experimental a lo teórico. http://www.eskola20.org/sd/6to/mat/primosycompuestos/modulos/es/content_1_1.html

11. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES Para aquellos alumnos que deseen profundizar más en el tema o aquellos alumnos con sobredotación, se les puede plantear una actividad de complemento que es una variación de la criba de Eratóstenes. En primer lugar tenemos la Criba de los Cuadriláteros , cuyo objetivo es encontrar aquellos números enteros cuya raíz cuadrada también es entera: ¿Qué quieren saber más? ¡Pues allá vamos! http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/SquareSieve.shtml

12. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES Otra variación de la Criba de Eratóstenes es la Criba de Sundaram . Se basa en construir una tabla simétrica. En la primera fila y la primera columna colocaremos una serie de números empezando por 4 y sumando 3 para obtener el siguiente número. Para la segunda fila y segunda columna sumamos 5. Para la tercera fila y columna sumamos 7. Quedaría de la siguiente manera: 4 7 10 13 16 19 22 25 28 [phone] 42 47 [phone] 59 66 [phone] 76 85 [phone] 93 104 [phone] 97 110 123 [phone] 112 127 142 [phone] 127 144 161 [phone] 123 142 161 180 +19 +3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 +17 +19 … La tabla resultante tiene la siguiente propiedad: Si n ocurre en la tabla entonces 2 n +1 no es número primo . Si n no ocurre en la tabla, entonces 2 n +1 es número primo . Todos los números pares quedan descartados. Al resto tendríamos que restarle 1 y dividirlos por 2 y comprobar si el resultante está en la tabla. http://cosas.wordpress.com/2010/10/25/la-criba-de-sundaram/

13. LOS NÚMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATÓSTENES ¿Has llegado hasta aquí? Entonces es que lo números primos han conseguido captar tu atención. Sigue investigando. Aun queda mucho por aprender de estos números tan singulares. The End