Lugar geométrico. Elipse

Ecuaciones de la elipse en coordenadas rectangulares

1. Elipse Con centro en el origen Equipo

2. Definición y Ecuación

3. Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 es constante. Esos dos puntos fijos son los focos de la elipse.

4. Si los focos están sobre el eje de las x , y si el origen es el centro de la elipse; entonces se tiene el diagrama que sigue, en el que: y x + = 2a   Y así se obtiene:

5. Si el eje y es el eje focal de la elipse, y si el origen es el centro de la elipse; entonces se tiene el diagrama que sigue, en el que: Y así se obtiene: y x

6. Elementos De la elipse

7. El segmento F 1 F 2 que tiene por extremos a los focos F 1 y F 2 se llama línea focal o segmento focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2 c . Por lo que, la distancia del centro C de la elipse a cada uno de los focos es igual a c . Los puntos de intersección de la elipse con la línea recta que pasa por los focos, se llaman vértices de la elipse, y se les denota como V 1 y V 2 . El segmento V 1 V 2 que tiene por extremos a los vértices V 1 y V 2 se llama eje mayor o eje focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2 a . La cuerda B 1 B 2 perpendicular al eje focal por el centro C de la elipse, se llama eje menor o eje no focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2 b . Segmentos y puntos notables de una elipse F 1 F 2 V 1 V 2 B 2 B 1 C P Q Cada cuerda PQ perpendicular al eje focal por alguno de los focos de una elipse, se llama lado recto de la elipse.

8. Longitud del lado recto de una elipse Cada una de las cuerdas perpendiculares al eje focal por los focos de una elipse, se llama lado recto de la elipse. En la figura adjunta, el segmento PQ es lado recto de la elipse, y se calcula como sigue: F 1 F 2 Q P

9. Excentricidad Razón entre el diámetro focal de la elipse y su eje mayor. Donde La excentricidad de las elipses satisfacen 0 < e < 1  

10. Directrices Cada foco F de la elipse está asociado con una línea paralela al semieje menor llamada directriz. D =  

11. Lado Recto LR= Excentricidad e = Directrices D=  

12. Ejemplo

13. Deducir la ecuación de la elipse con focos en y excentricidad , y trace su gráfica.   SOLUCIÓN. Los datos son y c = 8 . Entonces: = (Excentricidad e = ) a = 10 Para calcular b aprovecharemos que b=6 La ecuación de la elipse es  

14. Gráfica Para trazarla calcularemos las intersecciones, es decir, los vértices de los ejes menor y mayor, así como los demás elementos. Vértices Eje Mayor= V(0,a) y V’(0,-a) V(0,10) y V’(0,-10) Vértices Eje Menor= A(-b,0) y A’(b,0) A(-6,0) y A’(6,0) Lado Recto= u Directrices = = = y = 12.5  

15. Para los demás puntos Despejar a una literal Y = Se le asignan valores a la variable, en este caso x, y se obtienen las coordenadas.