Lugares geométricos 8ºano esaic

1. Áurea Azevedo
Ano Lectivo 2009/2010
8ºano
Escola Secundária António Inácio da Cruz

2. Um
lugar geométrico
é uma região do
plano ou do espaço com determinadas
propriedades comuns.
Conceito de Lugar Geométrico
O objectivo desta apresentação é o estudo
mais aprofundado de alguns
lugares
geométricos
de que jáouviste falar.

3. Circunferência e Círculo
Um jardineiro quer construir um canteiro com a forma de
uma circunferência. Para isso coloca uma estaca num
ponto do terreno e prende nela uma corda. Na outra ponta
da corda coloca um objecto e vai fazendo, com a corda
totalmente esticada, um sulco no chão.
O jardineiro está a desenhar
uma
circunferência
sobre o
chão.
Todos os pontos estão
situados à mesma distância
do ponto onde se encontra
espetada a estaca (
centro da
circunferência
).

4. À distância de qualquer ponto
da circunferência ao seu
centro dá-se o nome de
raio
da circunferência.
Na figura, o raio da
circunferência corresponde ao
comprimento do segmento de
recta [PC].
Uma
circunferência
é o lugar geométrico dos
pontos do plano que são equidistantes de um ponto
fixo chamado centro da circunferência.
Circunferência e Círculo

5. Assim, o
circulo
é o lugar
geométrico dos pontos
pertencentes a uma
circunferência ou ao seu
interior.
Os pontos A e B da figura abaixo estão situados no
interior
da circunferência. A distancia destes pontos ao
centro da circunferência émenor do que o raio.
Um
circulo
é formado por todos os pontos interiores à
circunferência e pela circunferência.
Circunferência e Círculo

6. Circunferência e Círculo
Na figura abaixo estão representados os pontos D e E.
A distancia destes pontos ao centro da circunferência é
maior do que
o raio da circunferência. Os pontos D e E
são pontos
exteriores
àcircunferência.
O
exterior de uma
circunferência
é o
lugar geométrico dos
pontos do plano que
distam do centro da
circunferência mais do
que o seu raio.

7. Circunferência e Círculo
Considerando duas circunferências concêntricas
(com o mesmo centro) e raios diferentes, podemos
definir um lugar geométrico do plano situado entre as
duas circunferências, incluindo-as. Essa região do
plano designa-se por
coroa circular
.
A região assinalada a
amarelo representa uma
coroa circular. Os seus
pontos encontram-se a uma
distância do ponto C igual ou
maior do que e igual ou
menor do que .
BC AC

8. Mediatriz de um segmento de recta

9. Mediatriz de um segmento de recta
Propriedades:
Um ponto qualquer da mediatriz de um
segmento de recta éequidistante dos extremos
desse segmento.
O ponto médio do segmento de recta éo ponto
da mediatriz desse segmento que se encontra à
menor distância dos extremos desse segmento
de recta.

10. Mediatriz de um segmento de recta
Pretende-se construir uma estrada que diste
igualmente de duas localidades.
A estrada vai ter de
corresponder à mediatriz
do segmento de recta que
une as duas localidades.
Desta forma, qualquer
ponto da estrada é
equidistante das duas
localidades.
Exemplo 1:

11. Circuncentrode um triângulo
Exemplo 2:
A Câmara de Grândola quer construir uma piscina municipal
que fique à mesma distância das três localidades referidas na
figura. Em que lugar se deve colocar a piscina?
A piscina deve deve ficar
colocado na posição
indicada. O ponto assinalado
chama-se
circuncentro
do
triângulo e corresponde à
intersecção das
mediatrizes
dos lados do triângulo.

12. Bissectrizes de um ângulo
Considerando a recta r e o
ponto P, não pertencente à
recta, a
menor distância
entre
o ponto P e a recta r é dada
pelo comprimento do segmento
de recta [PA], perpendicular á
recta r, no ponto A.
A
bissectriz
de um ângulo é
uma semi-recta que divide o
ângulo em outros dois ângulos
geometricamente iguais.

13. Bissectrizes de um ângulo
Para construíres a bissectriz
de um ângulo
começas por desenhar
o arco [AB], centrando
o compasso no ponto V
(vértice do ângulo)
De seguida, abres o compasso com raio igual ao comprimento
do segmento de recta [AB]. Centras o compasso em A e depois
em B, traçando os arcos que se encontram a verde. Esses
arcos interceptam-se num ponto.
Traçando a semi-recta que passa por esse ponto e pelo vértice
do ângulo, obténs a bissectriz do ângulo.

14. Bissectrizes de um ângulo
Cada um dos pontos da
bissectriz de um ângulo é
equidistante
dos lados
do ângulo.
Por exemplo:
AP BP e CQ DQ
= =
Podemos agora definir a
bissectriz
como o lugar
geométrico dos pontos do plano equidistantes dos la dos
de um ângulo.

15. Bissectrizes de um ângulo
Se pretendermos colocar
candeeiros entre duas
ruas de modo a que
cada um deles esteja a
igual distância de ambas
as ruas, teremos de
determinar a
bissectriz
do ângulo formado pelas
duas ruas (linha a
amarelo)
Como a figura ilustra, os candeeiros deveriam ficar segundo a
bissectriz do ângulo cujos lados são representados pelas duas ruas
A e B.
Exemplo 3:

16. Alguns lugares geométricos especiais

17. Lugares geométricos no espaço
Superfície esférica e esfera
O vidro do qual é feito o abat-jour do
candeeiro de tecto (amarelo) pode
imaginar-se como sendo uma região do
espaço cujos pontos se encontram todos
a igual distância de um ponto central fixo.
Ao lugar geométrico dos pontos do
espaço equidistantes de um ponto fixo
chamado centro, dá-se o nome de
superfície esférica
.
O abat-jour representa uma superfície
esférica.

18. Lugares geométricos no espaço
Superfície esférica e esfera
Se considerares agora todos os pontos
da superfície esférica e todos aqueles
que lhe são interiores, tens um novo
lugar geométrico denominado
esfera.
Assim, a esfera é o lugar geométrico
de todos os pontos do espaço que se
encontram
a igual ou menor
distância
de um ponto fixo chamado centro.
A distância do centro da esfera a um
qualquer ponto da superfície esférica,
chama-se
raio da esfera
.

19. Lugares geométricos no espaço
Plano mediador
Supõe que tens dois candeeiros no
chão da tua sala, como se
representa na figura ao lado.
Pretendes saber quais são os
lugares da sala que estão
equidistantes dos dois candeeiros.
Considerando o segmento de recta
cujos extremos são as bases dos
dois candeeiros, os pontos do
plano representado a verde são
pontos equidistantes das bases.
Exemplo 4:

20. Lugares geométricos no espaço
Plano mediador
O plano representado a verde
denomina-se
Plano Mediador
do segmento de recta.
O
plano mediador
de um
segmento de recta é o lugar
geométrico dos pontos do
espaço
equidistantes
dos
extremos do segmento de recta.
O plano mediador é
perpendicular
ao segmento de
recta e
contém o ponto médio
desse segmento de recta.

21. FIM
Maio de 2010