Método clásico y ruffini ( teorema del resto).

1. ÁREA: TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN III INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PEDAGÓGICO PÚBLICO “AREQUIPA” CARRERA PROFESIONAL: MATEMÁTICA SEMESTRE ACADÉMICO: TERCERO AUTOR(A): DANILO EDUARDO VARGAS JUCHARO Material Didáctico Multimedia 14/07/2014 El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 1

2. NÚMERO, RELACIONES Y FUNCIONES ÁLGEBRA TERCER GRADO El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 2 14/07/2014

3. Un polinomio como es entero porque ninguno de sus términos tiene letras en el denominador y es racional por que ninguna de sus términos tiene raíz inexacta. Éste es un polinomio entero y racional en x y su grado es 3 El polinomio es un polinomio entero racional en a y su grado es 5   Teorema del residuo Polinomio entero y racional El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 3 14/07/2014

4. 4 Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3 División de un polinomio de la forma (x-a) 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 x – 2 - 3x 3 + 6x 2 3x 2 + 4x + 3 4x 2 – 5x - 4x 2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3 3 6 4 8 3 6 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x 2 + 4x + 3) + (-3) El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 14/07/2014

5. 5 División de un polinomio de la forma (x-a) División de P(x) = 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -3 1º operación : 3.2 -2 = 4 2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 Por lo tanto 3.(2) 2 -2.(2) 2 -5.2 -9 = -3 El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 14/07/2014

6. Pasos a realizar E n una división por un polinomio de la forma x - a Reducimos y ordenamos el dividendo. Colocamos en fila los coeficientes del dividendo, incluidos los ceros. Colocamos más abajo a la izquierda de los coeficientes el valor del número a. Se aplica el algoritmo de Ruffini . Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. Se puede comprobar el resultado Dividendo = Cociente x Divisor + Resto El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 6 14/07/2014

7. 1 4 0 - 5 Cociente: x 2 + 7x + 21 Resto: 58 Ejemplo con la regla de ruffini Realiza la división (x 3 + 4x 2 – 5) : (x – 3) 1. Escribo los coeficientes, realizo las líneas para la operación y escribo más abajo, a la izquierda, el número correspondiente al divisor, cambiado de signo. 2. Bajamos el primer coeficiente del dividendo y lo multiplicamos por 3, resultado que se suma al segundo coeficiente. 3. Repetimos el proceso hasta llegar al último coeficiente 4. Todos los coeficientes corresponden al cociente, excepto el último que corresponde al resto de la división 3 1 3 7 21 21 63 58 El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 7 14/07/2014

8. EJEMPLO 1 Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1 .x 2 + 7 .x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5) = (x - 3).(x 2 + 7 .x + 21) + 58 El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 8 14/07/2014

9. EJEMPLO 2 Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1 .x 2 - 1 .x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5) = (x + 5 ).(x 2 - x + 5) + (- 30) El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 9 14/07/2014

10. EJEMPLO 3 Sea ( 4. x 3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4 .x 2 - 8 .x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4. x 3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x 2 - 8.x + 21 ) + (- 45) El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 10 14/07/2014

11. TEOREMA DEL RESTO Recordemos que RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por ‑ a. Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales. El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 11 14/07/2014

12. EJEMPLO_1 Ya hemos visto al hacer la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el r esto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= 3 3 + 4.3 2 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58 EJEMPLO_2 Ya hemos visto al hacer la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-5)= (-5) 3 + 4.(-5) 2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30 EJEMPLO_3 Ya hemos visto al hacer la división: ( 4. x 3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-2)= 4.(-2) 3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45 14/07/2014 El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 12

13. 14/07/2014 El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 13