Método de cuadratura gausseana 1

En 1814 presentó un documento titulado "Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi“ donde introduce las fórmulas de cuadratura con el grado de exactitud mejorado considerablemente en comparación con las fórmulas de Newton-Cotes. Ésta será la cuadratura Gaussiana.

1. CUADRATURA GAUSSEANA
M. C. RAÚL DEL ÁNGEL SANTOS SERENA

2. SEMBLANZADELAUTOR
DESCRIPCIÓNDELMÉTODO
APLICACIÓNNUMERICADELMÉTODO
APLICACIÓNINGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

3. SEMBLANZADELAUTOR
DESCRIPCIÓNDELMÉTODO
APLICACIÓNNUMERICADELMÉTODO
APLICACIÓNINGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

4. Johann Carl Friedrich Gauss
(Brunswick,actualAlemania,1777-1855)
Matemático,FísicoyAstrónomoalemán.Desdemuytemprana
edaddiomuestrasdeunaprodigiosacapacidadparalas
matemáticas.ElduquedeBrunswickproporcionóasistencia
financieraensusestudiossecundariosyuniversitarios,que
efectuóenlaUniversidaddeGotingaentre1795y1798.Sutesis
doctoral(1799)sobreelteoremafundamentaldelálgebra.En
1801GausspublicólasDisquisicionesaritméticas.
SEMBLANZA DEL AUTOR
http://scienceworld.wolfram.com/biography/Gauss.html
«príncipedelosmatemáticos».
Sufamacomomatemáticocrecióconlapredicciónexactadelcomportamientoorbitaldel
asteroideCeresporelMétododemínimoscuadrados,desarrolladoporélmismoen1794.
En1807aceptóelpuestodeprofesordeastronomíaenelObservatoriodeGotinga.
En1814presentóundocumentotitulado"Methodusnovaintegraliumvaloresper
approximationeminveniendi“dondeintroducelasfórmulasdecuadraturaconelgradode
exactitudmejoradoconsiderablementeencomparaciónconlasfórmulasdeNewton-Cotes.
ÉstaserálacuadraturaGaussiana.

5. SEMBLANZADELAUTOR
DESCRIPCIÓNDELMÉTODO
APLICACIÓNNUMERICADELMÉTODO
APLICACIÓNINGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

6. •Ensusinvestigaciones,Gaussencontróqueesfactibledisminuirelerrorenla
integracióncambiandolalocalizacióndelospuntossobrelacurvadeintegración
f(x).
•Enlasiguientefigurasemuestralacurvadelafunciónf(x)quesedeseaintegrar
entreloslímitesayb.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
•a)muestracomoseintegraríausandoun
trapezoide:uniendoelpuntoAde
coordenadas(a,f(a))conelpuntoB
(b,f(b)),medianteunsegmentoderecta
p
1(x).Estoformauntrapezoidedealtura
h=(b-a),cuyaáreaes:
A
B
y
x
x
0
a
x
1
b
p
1(x)
a) Método trapezoidal
??????=
ℎ
2
��+�(�)

7. •EláreadeltrapezoidecalculadaT,aproximaeláreabajolacurvaf(x).
•EnlaaplicacióndelacuadraturadeGauss,enlugardetomarlosdospuntosAyB
enlosextremosdelintervalo,seescogendospuntosinterioresCyD.
•Setrazaunalínearectaporestosdospuntos,seextiendehastalosextremosdel
intervaloyseformaeltrapezoidesombreado.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
A
B
y
x
x
0
a
x
1
b
p
1(x)
b)Método de Gauss con dos puntos

8. •EláreadeltrapezoidecalculadaT,aproximaeláreabajolacurvaf(x).
•EnlaaplicacióndelacuadraturadeGauss,enlugardetomarlosdospuntosAyB
enlosextremosdelintervalo,seescogendospuntosinterioresCyD.
•Setrazaunalínearectaporestosdospuntos,seextiendehastalosextremosdel
intervaloyseformaeltrapezoidesombreado.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
C
D
y
x
a b
f(x)
b)Método de Gauss con dos puntos

9. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
C
D
y
z
F(z)
Derivación del método de integración de Gauss
•Loprimeroquetenemosqueconsiderar,quesedeseaintegrarlafunciónentreloslimites
-1y+1.LospuntosCyDseescogensobrelacurvayseformaeltrapezoideconvértices
E,F,GH.
F(z
1)
F(z
2)F
E H
G
z
1
z
2
-1 1
Seanlascoordenadas
delpuntoC(z
1,f(z
1))y
delpuntoD(z
2,f(z
2)),
Gauss propuso
desarrollarunaformula
deltipo:
??????=�
1�??????
1+�
2�??????
2
Encontrar los valores
de z
1,z
2,w
1y w
2

10. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
•Haycuatroparámetrospordeterminary,porlotantocuatrocondicionesquesepueden
imponer.
•F(z)=1
•F(z)=z
•F(z)=z
2
•F(z)=z
3
Losvaloresexactosde
integrarestascuatro
funcionesentre-1y+1son:
�
1=න
−1
1
1�??????=??????|
−1
1
=1−1−1=2
�
2=න
−1
1
??????�??????=
??????
2
2
|
−1
1
=
1
2
2
−
(−1)
2
2
=0
�
3=න
−1
1
??????
2
�??????=
??????
3
3
|
−1
1
=
1
3
3
−
(−1)
3
3
=
2
3
�
4=න
−1
1
??????
3
�??????=
??????
4
4
|
−1
1
=
1
4
4
−
(−1)
4
4
=0

11. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
•Suponiendoqueunaecuacióndelaforma:
•Funcionaexactamente,setendráelsiguientesistemadeEcuaciones:
�
1=�
11+�
21=2
??????=�
1�??????
1+�
2�??????
2
�
2=�
1??????
1+�
2??????
2=0
�
3=�
1??????
1
2
+�
2??????
2
2
=
2
3
�
4=�
1??????
1
3
+�
2??????
2
3
=0
�
1=�
2�
1+�
2=2
??????
1=−??????
2
Satisfacen la segunda y cuarta ecuación
Entonces se elige:
�
1=�
2=1 ??????
1=−??????
2
Al sustituir en la tercer ecuación se obtiene :
�
1??????
1
2
+�
2??????
2
2
=
2
3
(1)??????
1
2
+(1)(−??????
1)
2
=
2
3
??????
1
2
+??????
1
2
=
2
3
??????
1=±
1
3
??????
1=−0.57735…
??????
2=0.57735…
Con lo que se determina la formula:
න
−�
�
????????????????????????=??????
�????????????
�+??????
�????????????
�

12. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
•Formulasautilizas:
•Engeneral,sisedeseacalcular:׬
�
�
����aplicandolaecuación
׬
−1
1
�??????�??????=�
1�??????
1+�
2�??????
2,secambiaelintervalodeintegraciónconlasiguiente
formula:
??????=
2�−(�+�)
�−�
Entonces x=a,z=-1,y x=b,z=1 nota: solo es aplicable cuando los limites de integración a y b son finitos.
El integrando f(x)dxen términos de la nueva variable queda:
��=�
�−�
2
??????+
�+�
2
��=�
�−�
2
??????+
�+�
2
=
�−�
2
�??????

13. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
•Finalmente
•Laintegralqueda:
න
�
�
����=
�−�
2
න
−1
1
�
�−�
2
??????+
�+�
2
�??????
≈
�−�
2
�
�−�
2
(−0.57735)+
�+�
2
+�
�−�
2
(+0.57735)+
�+�
2
En General el Algoritmo tiene la forma:
න
−1
1
�??????�??????=??????≈�
1�??????
1+�
2�??????
2+�
3�??????
3….+�
??????�??????
??????

14. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
•CoeficientesyabscisasenelmétododelacuadraturadeGaussLegendre

15. SEMBLANZADELAUTOR
DESCRIPCIÓNDELMÉTODO
APLICACIÓNNUMERICADELMÉTODO
APLICACIÓNINGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

16. Pagina 482, Capitulo 6 (Integración y diferenciación numérica), Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería,
Antonio Nieves Hurtado.
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
න
0
5
�
−??????
��Cambiar xa zutilizando la Ec. x =
�−�
2
??????+
�+�
2
=
5−0
2
??????+
0+5
2
=
5
2
??????+
5
2
=
5
2
(??????+1)
z=
5
2
�−1,de modo que si x=0, z=-1 y si x=5, z=1.
El resto de la integral se pone en términos de la nueva variable z:
�
−??????
=�
−5(??????+1)/2
��=�(
5
2
(??????+1)) =
5
2
dz
න
0
5
�
−??????
��=
5
2
න
−1
1
�
−5(??????+1)/2
�??????

17. Pagina 482, Capitulo 6 (Integración y diferenciación numérica), Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería,
Antonio Nieves Hurtado.
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
De modo que las condiciones de aplicación del método de Gauss quedan satisfechas:
5
2
න
−1
1
�
−5(??????+1)/2
�??????
5
2
න
−1
1
�
−5(??????+1)/2
�??????≈
5
2
�
1�−0.57735…+�
2�+0.57735
=
5
2
(1)�
−5(−0.57735+1)/2
+(1)�
−5(0.57735+1)/2
=0.917524
න
0
5
�
−??????
��=0.917524
2 puntos

18. Pagina 482, Capitulo 6 (Integración y diferenciación numérica), Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería,
Antonio Nieves Hurtado.
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
De modo que las condiciones de aplicación del método de Gauss quedan satisfechas:
5
2
න
−1
1
�
−5(??????+1)/2
�??????
5
2
න
−1
1
�
−5(??????+1)/2
�??????≈
5
2
�
1�−0.774596…+�
2�0.0+�
3�+0.774596
=
5
2
0.55555�
−
5−0.774596+1
2 +0.88888�
−
50.0+1
2+(0.55555)�
−5(0.774596+1)/2
=0.989408
න
0
5
�
−??????
��=0.989408
3 puntos

19. Pagina 482, Capitulo 6 (Integración y diferenciación numérica), Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería,
Antonio Nieves Hurtado.
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
Comparación :
න
0
5
�
−??????
��=0.99326�����������
න
0
5
�
−??????
��=0.917524??????��������������??????���2������
න
0
5
�
−??????
��=0.989408??????��������������??????���3������

20. SEMBLANZADELAUTOR
DESCRIPCIÓNDELMÉTODO
APLICACIÓNNUMERICADELMÉTODO
APLICACIÓNINGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

21. APLICACIÓN INGENIERIL
Calcularelcalornecesarioparaelevarlatemperaturade1kgdeestematerial,desde-100hasta200°C.
Lanuevaecuaciónquedescribeelcomportamientodeestematerialenfuncióndelatemperaturaesla
siguiente:
∆�=�න
??????
1
??????2
�??????�??????
∆�=�න
??????
1
??????2
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
�??????
Integral:
�න
−100
200
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
�??????

22. Cambiar T a zutilizando la Ec. T =
�−�
2
??????+
�+�
2
=
200−(−100)
2
??????+
(−100)+200
2
=
300
2
??????+
100
2
=
150??????+50=50(3??????+1)
T=50(3??????+1),de modo que si x=-100, z=-1 y si x=200, z=1.
El resto de la integral se pone en términos de la nueva variable z:
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
=0.132+1.56∗10
−4
(503??????+1)+2.64∗10
−7
(50(3??????+1))
2
APLICACIÓN INGENIERILIntegral:
�න
−100
200
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
�??????
0.132+1.56∗10
−4
(150??????+50)+2.64∗10
−7
(22500??????
2
+7500??????+2500)
0.132+0.0234??????+0.0078+0.00594??????
2
+0.00198??????+0.00066
0.14046+0.02538??????+0.00594??????
2
�??????=�(50(3??????+1) )=150dz

23. �න
−100
200
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
�??????
=150න
−1
1
(0.14046+0.02538??????+0.00594??????
2
)dz
APLICACIÓN INGENIERIL
150000׬
−1
1
(0.14046+0.02538??????+0.00594??????
2
)�??????≈150000�
1�−0.57735…+�
2�+0.57735
=150000
10.14046+0.02538(−0.57735)+0.00594(−0.57735)
2
+
(1)(0.14046+0.02538(0.57735)+0.00594(0.57735)
2
=�����.??????????????????��
Integral:
�න
−100
200
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
�??????=42732

24. �න
−100
200
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
�??????
=150න
−1
1
(0.14046+0.02538??????+0.00594??????
2
)dz
APLICACIÓN INGENIERIL
150000׬
−1
1
(0.14046+0.02538??????+0.00594??????
2
)�??????≈150000�
1�−0.774596…+�
2�0.0+�
3�+0.774596
=150000
0.55555(0.14046+0.02538(−0.774596)+0.00594(−0.774596)
2
+
(0.88888)((0.14046+0.025380.0+0.005940.0
2
+(0.55555)((0.14046+0.025380.774596+0.005940.774596
2
=�����.�����
Integral:
�න
−100
200
0.132+1.56∗10
−4
??????+2.64∗10
−7
??????
2
�??????=42732

25. SEMBLANZADELAUTOR
DESCRIPCIÓNDELMÉTODO
APLICACIÓNNUMERICADELMÉTODO
APLICACIÓNINGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

26. LIMITACIONES Y VENTAJAS
Ventajas
Desventajas
Salvoporquesetieneque
calcularelvalordela
funcióndeunvalor
irracionaldez,estan
simplecomolaregla
trapezoidal
trabajaperfectamentepara
funcionescubicas,mientras
quelareglatrapezoidallo
hacesoloparalíneasrectas

27. SEMBLANZADELAUTOR
DESCRIPCIÓNDELMÉTODO
APLICACIÓNNUMERICADELMÉTODO
APLICACIÓNINGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

28. BIBLIOGRAFIAS
Steven C. Chapra, Raymond P. Canale(2015). Métodos numéricos para ingenieros(Séptima
edición ed.). México: McGraw-Hill.
Conte, S. D., & Boor, C. d. (1980). Elementarynumericalanalysis(Tercera Edición ed.). Estados
Unidos de América: McGraw-Hill.
Antonio Nieves Hurtado (2012). Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. Ed. Patria