MÉTODO DE NEWTON RAPHSON ... Metod1.pptx

Apuntes

1. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MÉTODOS NUMÉRICOS 2024

2. INTRODUCCIÓN Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es , entonces se puede trazar una tangente desde el punto . Por lo común, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz. El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación geométrica (un método alternativo basado en la serie de Taylor se describe en el cuadro. Se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente.  

3. EJERCICIO

4. DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones donde se comporta de manera deficiente. Por ejemplo, en el caso especial de raíces múltiples que se analizará más adelante en este capítulo. Sin embargo, también cuando se trata de raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguiente ejemplo

5. De manera que no hay un criterio general de convergencia para el método de Newton-Raphson. Su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial. La única solución en estos casos es tener un valor inicial que sea “suficientemente” cercano a la raíz. ¡Y para algunas funciones ningún valor inicial funcionará! Los buenos valores iniciales por lo común se predicen con un conocimiento del problema físico o mediante el uso de recursos alternativos, como las gráficas, que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la solucióN

6. ALGORITMO DEL MÉTODO Un algoritmo para el método de Newton-Raphson se obtiene fácilmente al sustituir la ecuación por la fórmula predictiva. Observe, sin embargo, que el programa también debe modificarse para calcular la primera derivada. Esto se logra incluyendo simplemente una función definida por el usuario

7. EJERCICIOS

8. RAICES MÚLTIPLES Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero, como en: o, multiplicando los términos, . Advierta que la representación gráfica (figura 6.13b) indica otra vez que la función es tangente al eje en la raíz, pero que en este caso sí cruza el eje. En general, la multiplicidad impar de raíces cruza el eje, mientras que la multiplicidad par no lo cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en la figura 6.13c no cruza el eje  

9. Las raíces múltiples ofrecen algunas dificultades a muchos de los métodos numéricos expuestos en la parte dos El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados, que se analizan. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no sólo f(x), sino también ƒ′(x) se aproxima a cero en la raíz. Tales problemas afectan los métodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas (o su aproximación) en el denominador de sus fórmulas respectivas. Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca de la raíz. Es posible demostrar que el método de Newton-Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples (Ralston y Rabinowitz , 1978). Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar este problema.