Método simplex (ejercicios)

ejercicios

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4 5 2 2

MÉTODO SIMPLEX

 OBJETIVO.-Resolver mediante la regla de Gauss.

 REQUISITO.-Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan.

 EJERCICIO N°1

2 3 4 3 (-3) 4/5 1 2/5 2/5
2 3 4 3
7 9 4 4 2/5 0 14/5 9/5
X1 X2 X3

-2/5 0 14/5 9/5 (-3) 4/5 1 2/5 2/5
4/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4
-1/2 0 2/5 2/5 -1/5 0 2/5 2/5



 EJERCICIO N° 2

5 2 2 2 3 25/7 0 10/7 -4/7 17/7
2 3 3 4 2 -1/7 0 15/7 1/7 8/7
4 3 2 2 5 13/7 0 8/7 -13/7 29/7
5 7 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7



 EJERCICIO N° 3

7 2 4 6 5 3 3/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2
4 3 3 5 2 3 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4
5 6 7 8 4 2 5/8 3/4 7/8 1 1/2 1/4
8 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2
4 3 5 2 7 4 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2

EJERCICIO N° 4

3 2 9 7 2
-15/2 -4 0 -1/2 -11/2
-13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3
5 3 8 3 3
7 4 6 5 5
7/6 2/3 1 5/6 5/6
4 3 5 6 7 -11/6 -1/3 0 11/6 17/6









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 EJERCICIO N°5

3 4 2 5 3 2 -5 1 0 0 0 0
4 2 3 6 2 3 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0
2 8 4 7 9 4
3 5 9 8 3 2
8 3 2 5 3 2
-14 2 0 -3 3 0
-33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7
4 3/2 1 5/2 3/2 1


 Pivote.- El Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el
vector saliente.

 Vector Entrante.- Es la columna que contiene el número más pequeño.

 Vector Saliente.- Es aquel número positivo más pequeño que resulta de la
división de los términos independientes para el vector entrante.


Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de
minimización requieren otro tratamiento.
Z = 20A + 30B


2A +2B ≤ 5
S.a.
A + B ≤ 3






Vector Entrante: B
Vector Saliente: H1
Pivote: 2


 EJERCICIO N°6

El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z
sean ≥ 0

Z = 3X1 + 4X2 + 9X3

S.a.

2X1 + 2X2 ≤ 10
2X2 + 5 X3 ≤ 16
3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9
C.T. X1, X2, X3 ≥ 0




Z A B H1 H2 VALOR
Z -20 -30 0 0 0
H1 2 2 1 0 5
H2 1 1 0 1 3

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 Convertir en igualdades
Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2X1+2X2 = 10
2X2 + 5X3 = 16
3X1– 2X2 - 7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3





 Variables Holgura
1. Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0

2. 2X1+2X2 +H1 = 10
3. 2X2 + 5X3 +H2 = 16
4. 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3 ≥ 0















Vector Entrante: X3
Vector Saliente: H3
Pivote: -7


 EJERCICIO N°7



MAX: Z= 3X1 + 2X2
S.a.



2X1 + X2 ≤ 18


2X1 + 3X2 ≤ 42


3X1 + X2 ≤ 24


X1, X2 ≥ 0

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INVESTIGACI
ÓN
OPERATIVA I
QUINTO
SEMESTRE
“A”
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FORMA ESTÁNDAR:




Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3

2X1 + X2 + H1 ≤ 18

2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42

3X1 + X2 + H3 ≤ 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0




FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES




Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0

2X1 + X2 + H1 = 18

2X1 + 3X2 + H2 = 42

3X1 + X2 + H3 = 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

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Z
VA
Z 1 -3 -2 0 0 0 0
0 2 1 1 0 0 18
0 2 3 0 1 0 42
0 3 1 0 0 1 24

Z 1 0 -1 0 0 1 24
0 0 1/ 1 0 - 2/3 2
0 0 2 1/3 0 1 - 2/3 26
0 1 1/ 0 0 1/ 8

Z 1 0 0 3 0 -1 30
0 0 1 3 0 -2 6
0 0 0 -7 1 4 12
0 1 0 -1 0 1 6



BLE

LOR



VE= X1
VS= H3
PIVOTE= 3


VE= X2
VS= H1
PIVOTE= 1/3


VE= H3
VS= H2
PIVOTE= 4

Z 1 0 0 1 1/4 1/ 0 33
0 0 1 - 1/2 1/ 0 12
0 0 0 -1 3/4 1/ 1 3
0 1 0 3/ - 1/4 0 3


SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 33
VALORES ÓPTIMOS
X1=3
X2=12

H1=0

H2=0

H3=3

 EJERCICIO N°8


MAX: Z= 3000X1 + 4000X2

S.a.


X1 + X2 ≤ 5
X1 - 3X2 ≤ 0
10X1 + 15X2 ≤ 150
20X1 + 10X2 ≤ 160
30X1 + 10X2 ≤ 150
X1, X2 ≥ 0

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SICAS Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5
Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0
H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0
H3 0 10 15 0 0 1 0 1 150
H4 0 20 10 0 1 0 1 0 160

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5

X1 + X2 + H1 ≤ 5
X1 - 3X2 + H2 ≤ 0
10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150
20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160
30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0



FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0










VARIABLES
BÁ
X1 + X2 + H1 = 5
X1 - 3X2 + H2 = 0
10X1 + 15X2 + H3 = 150
20X1 + 10X2 + H4 = 160
30X1 + 10X2 + H5 = 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0

VARIABLES
VALOR








H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150

VE= X2
VS= H1
PIVOTE= 1

VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES

VALOR
Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5
Z
X2
H2
H3
H4
H5
1 1000 0 4000 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 4 0 3 1 0 0 0
0 -5 0 -15 0 1 0 1
0 10 0 -10 1 0 1 0
0 20 0 -10 0 0 0 1
20000
5
15
75
110
100

SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 20000

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VALORES ÓPTIMOS

X1=0 X2=5


H1=0

H2=15

H3=75

H4=110

H5=100



 EJERCICIO N°9


MAX: Z= X1 + X2
S.a.


X1 + 3X2 ≤ 26
4X1 + 3X2 ≤ 44
2X1 + 3X2 ≤ 28
X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3


X1 + 3X2 + H1 ≤ 26
4X1 + 3X2 + H2 ≤ 44
2X1 + 3X2 +H3 ≤ 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0



FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES


Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0

X1 + 3X2 + H1 = 26
4X1 + 3X2 + H2 = 44
2X1 + 3X2 +H3 = 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0



VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z
H1
1
0
-1 -1 0 0 0
3 1 0 0
0
1 26
H2 0 4 3 0 1 0 44
H3 0 2 3 0 0 1 28


VE= X1
VS= H2
PIVOTE= 4

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VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z
H1
X1
1 0
0 0
0 1
- 1/4 0 1/4 0
1 -1/4 0
0 1/4 0
11
13/4 15
3/4 11
H3 0 0 11/2 0 -1/2 1 6


VE= X2
VS= H3
PIVOTE=3/2

VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z
H1
X1
X2
1 0 0 0 1/6 1/6
0 0 0 1 1/3 -11/6
0 1 0 0 1/2 -0,083333
0 0 1 0 -1/3 2/3
12
8
8
4


SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 12
VALORES ÓPTIMOS

X1=8 X2=4


H1=08

H2=0

H3=0



EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICA DE PENALIZACIÓN, TÉCNICA DE VARIABLES
ARTIFICIALES O TÉCNICA DE M

 ≤ + H1 (Si) Max -M
 = + A1 (Ri) Min +M
 ≥ - H1+A1


 EJERCICIO N°10


MAX: Z= 5X1 + 6X2
S.a.


-2X1 + 3X2 = 3
X1 + 2X2 ≤ 5
6X1 + 7X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0

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FORMA ESTÁNDAR

Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2

-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 ≤ 5

6X1 + 7X2 + H2≤ 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0



FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 5X1 - 6X2 + MA1 - 0H1- 0H2 = 0

2MX1 - 3MX2 - MA1 = -3M
Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M
S.a.
-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 = 5

6X1 + 7X2 + H2= 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z
A1
H1
1 2M- 5
0 -2
0 1
(-)3M -6 0 0 0
0 0 1
1 0 0
(-)3M
3 3
2 5
H2 0 6 7 0 1 0 3

VE= X2
VS= H2
PIVOTE=7

VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z
A1
H1
X2
1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+ 6/7 0
0 -44/7 0 0 - 3/7 1
0 - 5/7 0 1 - 2/7 0
0 6/7 1 0 1/7 0
(-)12/7M+18/7
15/7
41/7
3/7

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SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 18/7
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=3/7
H1=41/7 H2=0


 EJERCICIO N°11


MAX: Z= 3X1 + 9X2
S.a.


2X1 + 6X2 = 2
5X1 + 4X2 = 3
4X1 + X2 ≤ 5
X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1

2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M)

5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M)

4X1 + X2 +H1 ≤ 5

X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0



FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1 = 0


-2MX1

- 6MX2

-MA1


= -2M


-5MX1

– 4MX2


-MA2

= -3M

Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1 = -5M

S.a.

2X1 + 6X2 +A1 = 2
5X1 + 4X2 +A2 = 3
4X1 + X2 +H1= 5
X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0

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VARIABLES VARIABLES

BÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5M
A1 0 2 6 1 0 0 2
A2 0 5 4 0 1 0 3
H1 0 4 1 0 0 1 5

VE= X2
VS= A1
PIVOTE=6


VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z

X2

1

0
(-
)11/3M

0 3/2+5/3M 0 0

1 1/6 0 0

3-5/3M
1/3 1/3
A2 0 32/3 0 - 2/3 1 0 12/3
H1 0 32/3 0 - 1/6 0 1 42/3

VE= X1
VS= A2
PIVOTE=32/3

VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z
X2

X1

H1
1 0 0 3/2+2M M 0

0 0 1 5/6 0 0

0 1 0 - 1/5 1/4 0
0 0 0 1/2 -1 1
3

1/5

4/9
21/6


SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 3

VALORES ÓPTIMOS
X1=4/9
X2=1/5

H1=21/6

H2=0

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EJERCICIOS DE MINIMIZACIÓN

 EJERCICIO N°12


MIN: Z= 3/2X1+2X2

S.a.


2X1 + 2X2 ≤ 8
2X1 + 6X2 ≥ 12
X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M)
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z – 3/2X1 - 2X2 - MA1 -0H1 - 0H2 = 0

2MX1

+ 6MX2

+MA1

-MH2

= 12M
Z+ (2M-3/2) X1 + (6M-2) X2 -0H1 –MH2 = 12M (-1)

-Z-(3/2-2M) X1-(2-6M) X2 +0H1+MH2 = -12M

S.a.

2X1 + 2X2 + H1 = 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0



VE= X2
VS= A1
PIVOTE=6
VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR
Z
H1
-1 3/2-2M
0 2
2-6M 0 0 M
0 1 0
(-)12M
2 8
A1 0 2 6 1 0 -1 12

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VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 H1 H2 VALOR
Z
H1
X2
-1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/3
0 11/3 0 - 1/3 1 1/3
0 1/3 1 1/6 0 - 1/6
-4
4
2


SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 4
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=2
H1=4

 EJERCICIO N°13


MIN: Z= 4X1 + 5X2

S.a.

2X1 + 2X2 ≤ 10
2X1 + 6X2 ≥ 18
X1 + X2 = 7
Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10

2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M)

X1 + X2 +A2 = 7 (M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0

2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M
MX1 + MX2 +MA2 = 7M
Z +(3M-4) X1+(7M-5) X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)

-Z- (4-3M) X1-(5-7M )X2 +0H1+MH2 = -25M

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BÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR
Z -1 4-3M 5- 7M 0 0 0 M (-)25M
H1 0 2 2 0 0 1 0 10
H2 0 2 6 1 0 0 -1 18

VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z

-1
7/3-
2/3M
(-
-4
H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3
X2
A2
0
0
1/3 1 1/6 0 0
0 - 1/6 1 0
- 1/6
1/6
4
2/3 2


S.a.

2X1 + 2X2 + H1 = 10
2X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18
X1 + X2 +A2 = 7
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
VARIABLES VARIABLES






A2 0 1 1 0 1 0 0 7

VE= X2
VS= H2
PIVOTE=6






0
5/6+7/6M)
0 0 5/6-1/6M






VE= X1
VS= H1
PIVOTE=4/3



VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR
Z
X1
X2
A2
-1 0 0 (-1/4+M) 0
(-

7/4+1/2M) 1/4
0 1 0 - 1/4 0 3/4 1/4
0 0 1 1/4 0 - 1/4 - 1/4
0 0 0 0 1 - 1/2 0

(-22-2M)
3
2
2


El ejercicio no tiene solución

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 EJERCICIO N°14


MAX: Z= 3X1 + 5X2
S.a.


X1 ≤ 4
2X2 ≤ 12
3X1 + 2X2 = 18
Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1

X1 + H1 ≤ 4

2X2 + H2 ≤ 12

3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M)

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 3X1 - 5X2 -0H1 -0H2 +MA1= 0

-3MX1 -2MX2 - MA1= -18M
Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M
S.a.
X1 + H1 = 4
2X2 + H2 = 12
3X1 + 2X2 + A1 = 18
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 (-18M)
H1 0 1 0 1 0 0 4
H2
A1
0
0
0 2 0 1
2 0 0
0
1
12
3 18

VE= X1
VS= H1
PIVOTE=1

17. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINIS TRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA


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VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z
X1
H2
1 0
0 1
0 0
(-2M-5) 3M+3 0 0
1 0 0
0 1 0
(-6M)+12
0 4
2 12
A1 0 0 2 -3 0 1 6

VE= X2
VS= A1
PIVOTE=2



VARIABLES
VARIABLES
BÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 0 0 -4 1/2 0 M+5/2 27
X1 0 1 0 1 0 0 4
H2 0 0 0 3 1 -1 6
X2 0 0 1 -1 1/2 0 1/2 3

VE= H1
VS= H2

PIVOTE=3



VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z
X1
H1
X2
1 0 0 0 1 1/2 M+1
0 1 0 0 - 1/3 1/3
0 0 0 1 1/3 - 1/3
0 0 1 0 1/2 0
36
2
2
6


SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 36


VALORES ÓPTIMOS
X1=2
X2=6

H1=2

H2=0

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 EJERCICIO N°15


MIN: Z= 3X1 + 5X2
S.a.


X1 ≤ 4
2X2 = 12
3X1 + 2X2 ≥ 18
Xi ≥ 0



FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1)

-Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 – 0H2 -MA1 - MA2

S.a.

X1 + H1 ≤ 4

2X2 + A1 ≤ 12(-M)

3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0




FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

-Z + 3X1 + 5X2 +0H1 +0H2 +MA1 + MA2 = 0


-2MX2


-MA1

= -12M

- 3MX1


-2MX2


+MH2


- MA2 = -18M
Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1 +MH2 = -30M

S.a.

X1 + H1 = 4

2X2 + A1 = 12

3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0

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VARIABLES
VARIABLES
BÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z -1 (-3M-3) (-4M+5) 0 M 0 0 (-30M)
H1 0 1 0 1 0 0 0 4
A1 0 0 2 0 0 1 0 12











A2 0 3 2 0 -1 0 1 18

VE= X2
VS= A1
PIVOTE=2

VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z
H1
X2
-1
0
0
(-3M-3) 0 0 M 2M- 5/2 0
0 1 0 0 0
1 0 0 1/2 0
(-6M-30)
1 4
0 6
A2 0 3 2 0 -1 -1 1 6

VE= X1
VS= A2
PIVOTE=3



VARIABLES
BÁSICAS
VARIABLES
Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z
H1
X2
X1
-1 0 0 0 1 M- 3/2 M-1
0 0 0 1 1/3 1/3 - 1/3
0 0 1 0 0 1/2 0
0 1 0 0 - 1/3 - 1/3 1/3
36
2
6
2


SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 36


VALORES ÓPTIMOS
X1=2
X2=6

H1=2

H2=0