Métodos de factorización

Ejercicios de práctica sobre los métodos de factorización

1. ÁLGEBRA I
BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia
Factorización
En matemáticas es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática
(que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación.
Existen métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objeto
es simplificar una expresión o reescribirla en términos de bloques fundamentales que reciben el
nombre de factores, por ejemplo un número en sus números primos o un polinomio en
polinomios irreducibles.

Factorización por Factor común
http://www.youtube.com/watch?v=2Wws2Utly40
Para factorizar, se debe hallar un factor que sea común a todos los términos. El primer paso para
tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común:

Máximo factor común de un polinomio si:
1. “a” es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. “n” es el máximo exponente de x en todos los términos del polinomio.

Ejemplos:


Resuelve los siguientes ejercicios de factorización por factor común.
1. -6y + 12=
2. 10x
2
– 25x
3
=
3. 6x
3
+ 12x
2
+ 18x =
4. 10x
6
– 15x
5
+ 20x
4
+ 30x
2
=
5. 2x
3
+ 4x
4
+ 8x
5
=
6. 6x - 12 =
7. 24a - 12ab =
8. 14m
2
n + 7mn =
9. 8a
3
- 6a
2
=
10. b
4
-b
3
=
11. 4x - 8y =
12. 10x - 15x
2
=
13. 4m
2
-20am =
14. ax + bx + cx =
15. 4a
3
bx - 4bx =
16. 3ab + 6ac - 9ad =
17. 6x
4
- 30x
3
+ 2x
2
=
18. 14a - 21b + 35 =
19. 20x - 12xy + 4xz =
20. 10x
2
y - 15xy
2
+ 25xy =
21. 2x
2
+ 6x + 8x
3
- 12x
4
=
22. m
3
n
2
p
4
+ m
4
n
3
p
5
- m
6
n
4
p
4
+ m
2
n
4
p
3
=
23. 12m
2
n + 24m
3
n
2
- 36m
4
n
3
=
24. 10p
2
q
3
+ 14p
3
q
2
- 18p
4
q
3
- 16p
5
q
4
=

2. ÁLGEBRA I
BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia
Factorización por Diferencia de Cuadrados
http://www.youtube.com/watch?v=tABhBMtBmSY
La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugado:

a
2
– b
2
= (a + b) (a – b)

Así, si se desea factorizar una diferencia de cuadrados debe obtenerse primero la raíz cuadrada de
cada término de la diferencia y, posteriormente, construir con ellas el par de binomios conjugados.

Ejemplo: Factorizar 36x
2
– 9y
4
Descripción

Diferencia
de cuadrados
Se obtiene la
raíz cuadrada de
cada término de
la diferencia
36x
2



6x
-
9y
4



3y
2


Descripción

Binomios Conjugados
Se construyen los
correspondientes
binomios
conjugados

6x + 3y
2


6x - 3y
2


Por lo tanto: 36x
2
– 9y
4
= (6x + 3y
2
) (6x – 3y
2
)

Resuelve los ejercicios por factorización de diferencia de cuadrados.
1. 9a
2
- 25b
2
=
2. 4x
2
- 1 =
3. 36m
2
n
2
- 25 =
4. 169m
2
- 196 n
2
=
5. 
22
36
49
25
9
ba
6. 16x
2
- 100 =
7. 9p
2
- 144q
2
=
8. 49x
2
- 64t
2
=
9. 121 x
2
- 144 k
2
=
10. 
44
16
9
25
1
yx
11. x
4
- y
2
=
12. x
6
– y
6
=
13. 42
xx =
14. 42
25xx =
15. 2
49 36x =
16. 241
49 81
x =
17. 1
2
b
18. 4
2
c =
19. 14
2
b =
20. 25
2
d
21. 
2
1b
22. 164
2
n
23. 
6
3625b
24. 
44
121
81
49
9
yx

3. ÁLGEBRA I
BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia
Factorización por Diferencia de Cubos
http://www.youtube.com/watch?v=LZE5eWFeAo4
Se llama diferencia de cubos a un binomio de la forma a
3
– b
3
y se obtiene del producto de un
binomio y un trinomio.

a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
)

El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término de la diferencia de cubos y el
trinomio es muy semejante a un trinomio cuadrado perfecto, pero el término cruzado no es
multiplicado por dos.

Ejemplo: Factorizar 125x
3
– 27y
6

Descripción

Diferencia
de cuadrados
Se obtiene la
raíz cúbica de
cada término de
la diferencia
125x
3



5x
-
27y
6



3y
2



Descripción

Binomio Trinomio
Se construyen los
correspondientes
binomios y
trinomio

(5x - 3y
2
)

(25x
2
+ 15xy
2
+ 9y
4
)


Por lo tanto: 125x
3
– 27y
6
= (5x - 3y
2
) (25x
2
+ 15xy
2
+ 9y
4
)

Factorización por Suma de Cubos
http://www.youtube.com/watch?v=DjW6Az8huBI
Se llama suma de cubos a un binomio de la forma a
3
+ b
3
la obtención de la factorización de esta
suma se apoya en el hecho de que es divisible entre a + b. Si se realza esa división lo que se
obtiene es:
�
3
+�
3
�+�
=�
2
−��+�
2


Ejemplo: Factorizar 64x
3
+ 8y
6

Descripción

Diferencia
de cuadrados
Se obtiene la
raíz cúbica de
cada término de
la diferencia
64x
3



4x
-
8y
6



2y
2

4. ÁLGEBRA I
BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia
Descripción

Binomio Trinomio
Se construyen los
correspondientes
binomios y
trinomio

(4x + 2y
2
)

(16x
2
- 8xy
2
+ 4y
4
)


Por lo tanto: 64x
3
+ 8y
6
= (4x + 2y
2
) (16x
2
- 8xy
2
+ 4y
4
)

Resuelve los siguientes ejercicios de factorización por suma y diferencia de cubos.
Suma de Cubos Diferencia de Cubos
1. 1 + a
3
=
2. x
3
+ y
3
=
3. y
3
+ 1 =
4. a
3
+ 27=
5. 8x
3
+ y
3
=
6. 64 + a
6
=
7. 8a
3
+ 27b
6
=
8. 1 + 343n
3
=
9. 512 + 27a
3
=
10. 1 + 729x
6
=
11. 27m
3
+ 64n
9
=
12. 343x
3
+ 512y
6
=
13. a
3
b
3
x
3
+ 1 =
14. x
3
+ y
9
=
15. a
6
+ 125b
12
=
16. x
12
+ y
12
=
17. 8x
6
+ 729 =
18. a
3
+ 8b
12
=
19. 27m
6
+ 343n
9
=
20. 125x
15
+ 64y
18
=
1. 1 – a
3
=
2. m
3
– n
3
=
3. a
3
– 1 =
4. y
3
– 1 =
5. 8x
3
– 1 =
6. 1 – 8x
3
=
7. x
3
– 27 =
8. 27a
3
– b
3
=
9. a
3
– 125 =
10. 1 – 216m
3
=
11. x
6
– b
9
=
12. 8x
3
– 27y
3
=
13. 64a
3
– 729 =
14. a
3
b
3
– x
6
=
15. x
6
– 8y
12
=
16. x
3
y
6
– 216y
9
=
17. 1000x
3
– 1 =
18. 1 – 27a
3
b
3
=
19. 8x
9
– 125y
3
z
6
=
20. 216 – x
12
=

5. ÁLGEBRA I
BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia
Factorización forma x
2
+ bx + c
http://www.youtube.com/watch?v=6yIvPIVxQxY
Para factorizar un trinomio de la forma x
2
+ bx + c deben seguirse los siguientes pasos:

 Se obtiene la raíz cuadrada del término que se encuentra elevado al cuadrado
 Se eligen dos número que multiplicados den como resultado el término “c”
 Los dos números multiplicados, al sumarse deben dar como resultado el término “b”

Ejemplo:

x
2
– 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Resuelve los ejercicios por factorización de la forma x
2
+ bx + c.
1. a
2
+ 7a + 10 =
2. x
2
– 5x + 6 =
3. x
2
– 3x - 10 =
4. x
2
+ x – 2 =
5. a
2
+ 4a + 3 =
6. m
2
+ 5m – 14 =
7. y
2
– 9y + 20 =
8. x
2
– x – 6 =
9. x
2
– 9x + 8 =
10. c
2
+ 5c – 24 =
11. x
2
– 3x + 2 =
12. a
2
+ 7a + 6 =
13. y
2
– 4y + 3 =
14. n
2
– 8n + 12 =
15. x
2
+ 10x + 21 =
16. a
2
+ 7a – 18 =
17. m
2
– 12m + 11 =
18. x
2
– 7x + 30 =
19. n
2
+ 6n -16 =
20. a
2
– 21a + 20 =
21. y
2
+ y – 30 =
22. a
2
-11a + 28 =
23. n
2
– 6n – 40 =
24. x
2
– 5x – 36 =
25. a
2
– 2a - 35 =
26. x
2
+ 14x + 13 =
27. a
2
– 14a + 33 =
28. m
2
+ 13m – 30 =
29. c
2
– 13c – 14 =
30. x
2
+ 15x + 56 =
31. x
2
– 15x + 54 =
32. a
2
+ 7a – 60 =
33. x
2
– 17x - 60 =
34. x
2
+ 8x – 180 =
35. m
2
– 20m – 300 =
36. x
2
+ x – 132 =
37. m
2
– 2m – 168 =
38. c
2
+ 24c +135 =
39. m
2
-41m + 400 =
40. a
2
+ a – 380 =
41. x
2
+ 12x – 364 =
42. a
2
+ 42a + 432 =
43. m
2
– 30m - 675 =
44. y
2
+ 50y + 336 =
45. x
2
– 2x – 528 =
46. n
2
+ 43n + 432 =
47. c
2
– 4c – 320 =
48. m
2
– 8m – 1008 =

6. ÁLGEBRA I
BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia
Factorización forma ax
2
+ bx + c
http://www.youtube.com/watch?v=OWjgHm-rzgE
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado () se
encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de
una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

 Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a” por cada termino del trinomio,
dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en el
término “a” de la manera .
 Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz
cuadrada del término la que sería “ax”.
 al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor
del polinomio.
 El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del
segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
 Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del
caso del trinomio anterior.

Ejemplo: (2x
2
+ 11x + 5)(2)
= 4x
2
+ 11x(2) + 10
=
�??????+�� (�??????+�)
� (�)

=(x + 5)(2x + 1)

Resuelve los siguientes ejercicios por factorización de la forma ax
2
+ bx + c.
1. 2x
2
+ 3x – 2 =
2. 3x
2
– 5x – 2 =
3. 6x
2
+ 7x + 2 =
4. 5x
2
+ 13x – 6 =
5. 6x
2
– 5x – 6 =
6. 12x
2
– x – 6 =
7. 4a
2
+ 15a + 9 =
8. 10a
2
– 11a + 3 =
9. 20y
2
+ y – 1 =
10. 2a
2
+ 5a + 2 =
11. 9a
2
+ 10a + 1 =
12. 15m
2
+ m – 6 =
13. 9x
2
+ 37x + 4 =
14. 5x
2
+ 11x + 2 =
15. 4x
2
+ 7x + 3 =
16. 2b
2
+ 7b + 5 =
17. 6x
2
+ 7x - 5 =
18. 5c
2
+ 11cd + 2d
2
=
19. 3m
2
- 7m - 20 =
20. 5x
2
+ 3xy - 2y
2
=
21. 6a
2
- 5a - 21 =
22. 2a
2
- 13a + 15 =
23. 3a
2
+ 10ab + 7b
2
=
24. 4h
2
+ 5h + 1 =
25. 7x
2
- 15x + 2 =
26. 2x
2
+ 5x - 12 =
27. 6a
2
+ 23ab - 4b
2
=
28. 8x
2
- 14x + 3 =
29. 7p
2
+ 13p - 2 =
30. 2x
2
- 17xy + 15y
2
=

7. ÁLGEBRA I
BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia
Factorización por agrupación
http://www.youtube.com/watch?v=kJCPgBwvXv0
Se realiza por medio de factor común, solo que primero deben asociarse en término por grupos
que sean comunes y posteriormente resolverlo por secciones para finalizar uniéndoles en pares de
binomios.

Ejemplo:

= x
2
(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 2)

Resuelve los siguientes ejercicios de factorización por agrupación
1. a
2
+ ab + ax + bx =
2. ab - 2a - 5b + 10 =
3. am - bm + an - bn =
4. 3x
2
- 3bx + xy - by =
5. 3a - b
2
+ 2b
2
x - 6ax =
6. ac - a - bc + b + c
2
- c =
7. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c
2
- 10cd =
8. ax - ay - bx + by - cx + cy =
9. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
10. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
11. ab + 3a + 2b + 6 =
12. 2ab + 2a - b - 1 =
13. 3x
3
- 9ax
2
- x + 3a =
14. 6ab + 4a - 15b - 10 =
15. a
3
+ a
2
+ a + 1 =
16. ax + x + bx + b =
17. 2a + ax – 2 + x =
18. ap + bp + aq + bq =
19. 2am – 4an – bm + 2bn =
20. x
2
+ xy + xz + yz =