Métodos numéricos - Interpolación

Métodos numéricos - Interpolación

1. Interpolación

Tecnológico Nacional de
México
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL
Ingeniería Eléctrica
Materia: Métodos Numéricos
U.3 Interpolación.
“investigación”.

Alumnos:
Baxin López David Alberto
Carrillo Santos Alejandro
4
to.
Semestre Grupo “B”
PERIODO: Enero-Junio2020
25 marzo de 2020

2. Interpolación
Introducción ____________________________________________________ 3
Interpolación lineal. _______________________________________________ 4
Ejercicio ____________________________________________________ 5
Fórmula de interpolación de Lagrange.___________________________________ 7
Ejercicio ____________________________________________________ 8
Método de interpolación de mínimos cuadrados. _____________________________ 9
Ejercicio ___________________________________________________ 11
Aplicaciones de la interpolación. ______________________________________ 12
Uso de herramientas computacionales. __________________________________ 15
Ejercicio ___________________________________________________ 15
Ejercicio 2 __________________________________________________ 16
Conclusión ____________________________________________________ 18
Bibliografía ____________________________________________________ 19

3. Interpolación
Introducción
Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingeniería
es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”) de la que se conoce una
serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las
observaciones realizadas en un determinado experimento en el que se relacionan dos o más
variables e involucran valores de una función y/o de sus derivadas. El objetivo será determinar una
función que verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su sencillez
y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones interpolantes.
En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma
de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones
que no hemos medido directamente.
• La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos
los valores en los extremos.
• La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero
debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es
muy fiable el resultado obtenido.
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la
cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

4. Interpolación
El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de xn o a
la izquierda de xo.
Se desea, por tanto, encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que nos sirva
para estimar los valores deseados.
El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios
“interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los
extremos.
Interpolación lineal.
La interpolación lineal es un proceso que permite deducir un valor entre dos valores bien
definidos, que pueden estar en una tabla o en un gráfico lineal.
Por ejemplo, si se sabe que 3 litros de lechen valen 4 $ y que 5 litros valen 7 $, pero se quiere saber
cuál es el valor de 4 litros de leche, se interpola para determinar ese valor intermedio.
Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi
proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y
usar para estimar los valores la interpolación lineal..
Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación
del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1.
Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

5. Interpolación
obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

Para que una interpolación sea lineal, es necesario que el polinomio de interpolación sea de
grado uno (n = 1), para que se ajuste a los valores de x
0 y x
1.
La interpolación lineal está basada en semejanza de triángulos, de tal manera que, derivando
geométricamente de la expresión anterior, se puede obtener el valor de «y», que representa el valor
desconocido para «x».

Ejercicio
El número de bacterias por unidad de volumen existentes en una incubación después de x
horas es presentado en la siguiente tabla. Se desea saber cuál es el volumen de bacterias para el
tiempo de 3,5 horas.

6. Interpolación
La tabla de referencia no establece un valor que indique la cantidad de bacterias para un
tiempo de 3,5 horas, pero sí se tienen valores superiores e inferiores correspondientes a un tiempo
de 3 y 4 horas, respectivamente. De esa forma:
x
0 = 3 y
0 = 91
x = 3,5 y =?
x
1 = 4 y
1 = 135
Ahora, se aplica la ecuación matemática para encontrar el valor interpolado, que es la
siguiente:
y = y
0+(y
1 – y
0)
* [(x – x
0) ÷ (x
1 – x
0)].
Luego se sustituyen los valores correspondientes:
y = 91 + (135 – 91)
* [(3,5 – 3) ÷ (4 – 3)]
y = 91 + (44)
* [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44
* 0,5
y = 113.
Así se obtiene que, para un tiempo de 3,5 horas, la cantidad de bacterias es 113, que
representa un nivel intermedio entre el volumen de bacterias existentes en los tiempos de 3 y 4
horas.

7. Interpolación
Fórmula de interpolación de Lagrange.
El problema de la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo siguiente:
Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi , i = 0, 1, · · · ,n de un
intervalo [a,b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado no superior a n, que coincida
con la función f en estos n + 1 puntos, es decir,
Pn (xi) = f (xi), para i = 0, 1, · · · ,n.
El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomio de grado menor o igual
que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma
Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0, y,
para determinarla, habrá que hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · · , an. En el caso
que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n. La existencia y unicidad del
polinomio de interpolación Pn (x) se prueba en el siguiente resultado, además se determina una
primera forma de construirlo.
Teorema (Formula de interpolación de Lagrange)
Sean f : [a, b] → R y {x0, x1, · · · , xn}, n+1 puntos distintos del intervalo [a,b]. Entonces,
existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que n, que verifica
Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · · , n.
A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los nodos {x0, x1, · · ·
, xn} y viene dado por

8. Interpolación

donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n},


Ejercicio
Se desea interpolar f(x)= Tan(x) en los puntos

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir,
la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.

9. Interpolación
La base polinómica es:

Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los
y los valores de las abscisas:

Método de interpolación de mínimos cuadrados.
Supongamos que al realizar una serie de mediciones de dos variables (x, y) , se ha obtenido
una distribución de pares de valores o puntos: (x1, y1) , (x2, y2) , … , (xi, yi) , … , (xn, yn) .

10. Interpolación
Se trata de buscar un polinomio (grado m) que se ajuste lo mejor posible a esa distribución
de puntos, en la forma:

El método de los mínimos cuadrados busca una curva, como se indica en la gráfica, de tal
manera que se minimice la suma de los cuadrados de los errores, ei , cometidos al sustituir los
puntos por la ordenada y(xi).
Matemáticamente equivale a un problema de hallar un mínimo para una función de m+1
variables:

Nótese que las variables son los coeficientes del polinomio a hallar.
Para aclarar los conceptos apliquemos el método para el caso de un polinomio de grado 2
(función polinómica), es decir, mediante una parábola:
Si observamos la figura de arriba, tenemos en el punto i-ésimo un error:

Por tanto la suma de los cuadrados de los errores es:

Se trata, pues, de minimizar esta función de tres variables, f(a, b, c)
Las condiciones de extremo se dan allí donde se anulan las derivadas primeras de f :

11. Interpolación

Sacando el factor 2, y simplificándolo tenemos las condiciones de mínimo:

Que es un sistema de 3 ecuaciones con e incógnitas, del cual se hallan a, b, c.
Ejercicio
Por medio de cuadratura gaussiana hay que hallar un polinomio de interpolación (de grado
2) para la tabla de datos siguiente:
Solución:
En este caso vamos a tomar para la cuadratura gaussiana un polinomio de grado 2, que tiene
la forma:
Las condiciones de extremo para este caso son las soluciones del sistema:

12. Interpolación

Operando, queda reducido al sistema de ecuaciones lineales:

Cuyas soluciones son: a=5, b=-18.5, c= 18.
El polinomio de interpolación por cuadratura gaussiana es p(x) = 5x 2 -18.5 x + 18.
Aplicaciones de la interpolación.
Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) frecuencia Geología Aeronáutica y automoción
Economía Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de
imágenes) Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas
climáticos, detección de inundaciones,...)

13. Interpolación

14. Interpolación

15. Interpolación
Uso de herramientas computacionales.
* Interpolación de datos 2-D con MATLAB. Sean conocidos una tabla de datos:
x = [1, 1.2, 1.3, 1.5, …] y = [4.254, 3.097, 5.671, …]
El primer punto sería el (1, 4.254), el segundo el (1.2, 3.097), etc.
La manera de realizar la interpolación de estos datos mediante la función interp1 de
MATLAB es:
>> yi = interp1(x, y, xi, método);
>> plot(x, y, 'o', xi, yi);
Donde pondremos en método el método de interpolación deseado:
Por otra parte la ‘o’ en el interior del plot
señala cada punto con un circulito (una ‘o’). Hay
otras opciones que pueden verse en el manual del
MATLAB.
Ejercicio
>> x = 0:10; % se trata del rango 0, 1 2, …, 10
>> y = exp(x);
>> xi = 0:0.2:10;
>> yi = interp1(x, y, xi);

16. Interpolación
>> plot(x, y, 'o‘ , xi, yi);
Observar que al no indicarse el tipo de interpolación en el interp1 se realiza una
interpolación lineal (por defecto).

Ejercicio 2
Hay que interpolar mediante ‘spline’ los datos de la tabla siguiente:

Solución:
>> tab = [2 2.1 2.6 3 3.2 3.7 4 4.3; 5 5.3 5.6 5.4 4.9 4.5 3.8 3.3]

17. Interpolación
>> x = tab(1, :);
y = tab(2, :);
>> xi = 2:0.25:4.5;
>> yi = interp1(x, y, xi, 'spline');
>> plot(x, y, 'o', xi, yi)

18. Interpolación
Conclusión
Los métodos de interpolación no sirven para definir un nuevo punto o dato entre dos datos
o dos puntos, lo cual nos sirve para obtener un resultado aproximado han requerido de manera
práctica durante la interpolación, provocando el desarrollo de la función y como yo el implemento
de las fórmulas a utilizar.
La forma de interpolar en el programa puede ser muy diferente, claro, dependiendo del
método y el grado con el que se interpola.
La forma de la estructuración de una interpolación es muy importante, ya que con ello llega
a una solución coherente y aproximada, ya que si se hace de forma correcta la función puede darte
resultados incorrectos y con ello seguir mal en la interpolación del problema pedido.
La interpolación lineal y la cuadrática son las más sencillas de realizar, ya que utiliza
intervalos de dos y de tres, claro recordando que entre más datos más cercano es el resultado
aproximado al real.

19. Interpolación
Bibliografía
Carlos, J. (s.f.). ehu.eus. Recuperado el 23 de 03 de 2020, de
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/Temas_PDF/interpolacion.pdf
D'Alessio Torres, V. J. (2016). lifeder.com. Recuperado el 25 de marzo de 2020, de
https://www.lifeder.com/interpolacion-lineal/
Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra y trigonometría con geometría analítica. Pearson
Educación.
Harpe, P. d. (2000). Topics in Geometric Group Theory. University of Chicago Press.
Hazewinkel, M. (2001). Linear interpolation», Encyclopedia of Mathematics., J. M. (1998).
Elementos de métodos numéricos para Ingeniería. UASLP.