Métodos numéricos- Métodos de Aproximación

Conoce más de los Métodos de aproximación en métodos numéricos.

1. Universidad Privada Nororiental Gran Mariscal de Ayacucho
Facultad de Ingeniería
Escuela de Mantenimiento Industrial
Núcleo: El Tigre, Estado Anzoátegui
Cátedra: Métodos Numéricos
Facilitador:
Ing. Carlena Astudillo
Realizado por:
Ronny Argeta C.I: 19.143.657
Luis Fernández C.I: 19.939.505
Enero del 2015

2. Los métodos numéricos constituyen procedimientos
alternativos provechosos para resolver problemas
matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de
métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la
única posible solución.
Las aproximaciones son técnicas mediante las cuales un
modelo matemático es resuelto usando solamente
operaciones aritméticas, tediosos cálculos aritméticos.
Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son
aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de
interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se
denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez
más al valor buscado.

4. •Se entiende por aproximación numérica Xuna cifra que
representa a un número cuyo valor exacto es X. En la
medida en que la cifra Xse acerca más al valor exacto
X, será una mejor aproximación de ese número
•Ejemplos:
•3.1416 es una aproximación numérica de ,
•2.7183 es una aproximación numérica de e,
•1.4142 es una aproximación numérica de 2, y
•0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

5. •CIFRAS SIGNIFICATIVAS
•Lasmedicionesserealizannormalmenteatravésdeinstrumentos;por
ejemplo,unvelocímetroparamedirlavelocidaddeunautomóvil,o
unodómetroparamedirelkilometrajerecorrido.
•Elnúmerodecifrassignificativaseselnúmerodedígitost,quese
puedenusar,conconfianza,almedirunavariable;porejemplo,3
cifrassignificativasenelvelocímetroy7cifrassignificativasenel
odómetro.
•Loscerosincluidosenunnúmeronosiempresoncifrassignificativas;
porejemplo,losnúmeros0.00001845,0.001845,1845y184500
aparentementetienen4cifrassignificativas,perohabríaqueconocer
elcontextoenelqueseestátrabajandoencadacaso,para
identificarcuántosycuálescerosdebenserconsideradoscomo
cifrassignificativas.
•Elmanejodecifrassignificativaspermitedesarrollarcriteriospara
detectarquétanprecisossonlosresultadosobtenidos,asícomo
evaluarlosnivelesdeexactitudyprecisiónconquesonexpresados
algunosnúmerostalescomo,eo2.

6. •EXACTITUD Y PRECISIÓN
•Laprecisiónserefierealnúmerodecifrassignificativasque
representaunacantidad.Mientraslaexactitudserefiereala
aproximacióndeunnúmeroodeunamedidaalvalornumérico
quesesuponerepresenta.
•Ejemplo: es un número irracional, constituido por un número infinito
de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de ,
que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las
siguientes aproximaciones de :
= 3.15 es impreciso e inexacto.
= 3.14 es exacto pero impreciso.
= 3.151692es preciso pero inexacto.
= 3.141593es exacto y preciso.
•Losmétodosnuméricosdebenofrecersolucionessuficientemente
exactasyprecisas.Eltérminoerrorseusatantopararepresentarla
inexactitudcomoparamedirlaimprecisiónenlaspredicciones.

7. •CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD
Seentiendeporconvergenciadeunmétodonuméricolagarantía
deque,alrealizarun“buennúmero”deiteraciones,lasaproximaciones
obtenidasterminanporacercarsecadavezmásalverdaderovalor
buscado.
Enlamedidaenlaqueunmétodonuméricorequieradeunmenor
númerodeiteracionesqueotro,paraacercarsealvalordeseado,sedice
quetieneunamayorrapidezdeconvergencia.
Seentiendeporestabilidaddeunmétodonuméricoelnivelde
garantíadeconvergencia,yesquealgunosmétodosnuméricosnosiempre
convergeny,porelcontrario,divergen;estoes,sealejancadavezmásdel
resultadodeseado.
Enlamedidaenlaqueunmétodonumérico,anteunamuyamplia
gamadeposibilidadesdemodeladomatemático,esmásseguroque
converjaqueotro,sedicequetieneunamayorestabilidad.
Escomúnencontrarmétodosqueconvergenrápidamente,pero
quesonmuyinestablesy,encontraparte,modelosmuyestables,perode
lentaconvergencia.

8. •SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS
•El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se
requiere elegir entre:
•Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema
•Varias herramientas tecnológicas
•Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona
y otra, que depende de:
•El nivel de participación en el modelado matemático del problema
•Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo
•La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

9. •Tipo de problema a resolver:
•Raíces de ecuaciones
•Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas
•Interpolación, diferenciación e integración
•Ecuaciones diferenciales ordinarias
•Ecuaciones diferenciales parciales
•Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)
•Equipo:
•Supercomputadora
•Computadora personal
•Calculadora graficadora
•Calculadora científica de bolsillo
•Regla de calculo
Las herramientas de cómputo son
máquinas “tontas” que sólo hacen lo
que se le ordena; sin embargo, los
tediosos cálculos numéricos los hacen
muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.

10. Entre las aproximaciones numéricas para métodos
numéricos tenemos:
Euler
Métodos basados en Taylor
Métodos Runge-Kutta

31. •“Software”
•Desarrollo de programas:
•lenguaje “C”
•“Basic”
•“Fortran”
•Otro.
•Utilización de software matemático:
•“Maple”,
•“MatLab”,
•“MathCad”,
•“Mathematica”.
•El manejo de hojas de cálculo en PC:
•Excel
•Lotus
•Manejo expedito de una calculadora graficadora
Es altamente recomendable
que el ingeniero sepa programar
en por lo menos un lenguaje, sepa
utilizar algún software matemático,
y manejar muy eficientemente una
hoja de cálculo y una calculadora
graficadora

32. Simulaciones en Matlab
LosmétodosdeEuler.Eulermejoradoymétododelpunto
mediosepuedenprogramarfácilmenteenMatlab.ElmétodoRK4está
implementadocomopartedelasfuncionesintrínsecasdeMatlabenel
algoritmoODE45.
Sideseamosencontrarlasoluciónaunaecuaciónde4dígitos
deprecisión(concualmétododescritoanteriormente),nopodemos
garantizarquealgúnmétodoenparticularlogreelcometidoconun
tamañodelpasoescogidoarbitrariamente.Sinembargosihacemosla
pruebaconunh(digamos0.1)yvemoslassolucionesaproximadasy
luegoaproximamosnuevamentelafunciónconh/10,deberíamosver
queciertosdígitosseestabilizanenlassoluciones.Podemosseguircon
esteprocedimiento(reducirelh)hastalograrquelasoluciónse
estabiliceenlosprimeros4dígitossegúnnuestrorequerimiento.

33. •Método numérico: no existe el mejor, pero si los
favoritos
•Amplitud de aplicación
•Amigabilidad
•Estabilidad
•Rapidez de convergencia
•Número de valores iniciales requeridos
•Se ha de tomar en cuenta, además
•Complejidad del modelo
•Turbulencia de los datos
•Ingenio y creatividad