Métodos para obtener los coeficientes y/o el desarrollo de un polinomio elevado a una potencia entera n

Tres métodos novedosos para obtener el desarrollo y/o los coeficientes de un polinomio de r elementos, elevado a la potencia entera n

1. Métodos para obtener los coeficientes de un
polinomio elevado a una potencia entera

??????:(??????
�+??????
�+⋯+??????
�)
�
=∑
(




�
�
�
�
⋮
�
�)




??????
�
�−�
??????
�
�−�
…�=�,�,..,�
�=�,�,…,�
�=�,�,…,�
⋮
�=�,�,…,�
�=�,�,…,�
??????
�−�
�−�
??????
�
�

B:Particiones discretas de un entero n, en un número siempre de r cifras y
permutaciones con repetición

??????:(??????
�+??????
�)
�
??????
� (??????
�+??????
�+??????
�)
�
??????
� (??????
�+??????
�+??????
�+??????
�)
�
??????
� ……


Desarrollo en forma newtoniana del teorema Multinomial,
Particiones discretas, y cadena multidimensional

Enrique Acosta Ramos
24/01/2021
COMPENDIO DE LA VINCULACIÒN EXPEDITA ENTRE LOS DIVERSOS MÈTODOS YA EXPUESTOS EN
TRABAJOS ANTERIORES

2. Con anterioridad, hemos desarrollado diversos métodos para obtener el desarrollo de un
polinomio de r elementos o monomios, elevado a la potencia entera n, como puede
observarse en diferentes trabajos publicados en este mismo medio (ver referencias
bibliográficas,[R.B]), pero en vista de numerosas solicitudes recibidas, hemos decidido
realizar este breve compendio, como un intento de clarificación y vinculación expedita de
los diversos métodos anteriormente ya expuestos.
Aquí intentaremos explicar o poner en evidencia, la relación de equivalencia entre cada
uno de ellos, sin entrar en la sustentación teórica necesaria ya desarrollada en dichos
trabajos anteriores, sino enfocarlos desde un punto de vista práctico, de forma que
podamos considerar la conveniencia de elegir uno u otro método, según sea el caso.
Para tratar de ser breves y sintéticos, vamos a desarrollar el tema en base a ejemplos
ilustrativos, sin que ello le reste la generalización necesaria a los métodos que se
exponen.
A. Para el ejemplo del desarrollo del teorema Multinomial en forma newtoniana, (R.B 1),
se desarrollará el caso de un trinomio elevado a la potencia 5, (??????
�+??????
�+??????
�)
�
(R.B.2)
B. Para el ejemplo de particiones discretas de n elementos en un número fijo de cifras r,
que sumen n,( R.B. 3,4,5), se utilizara el mismo caso de (??????
�+??????
�+??????
�)
�
, donde n=5, y
r=3.
C. Para el ejemplo de ampliación multidimensional, (R.B.6) se partirá de un polinomio de
dos elementos o monomios, (un binomio), elevado a la potencia 5, para extendernos a los
casos de un trinomio, y un tetranomio (R.B.7), elevados a la misma potencia entera 5.
Damos por sentado, que nuestros lectores conocen que cada línea o fila del triángulo de
Pascal o triángulo Aritmético (R.B.8), está constituido por los coeficientes del desarrollo
de un binomio elevado a una potencia igual al mismo valor del entero asignado a la fila,
siempre que comencemos con una fila inicial correspondiente al valor cero (0).
Para el triangulo de Pascal que se muestra en la siguiente figura, tendremos:
FILAS n
1 0
1 1 1
1 2 1 2
1 3 3 1 3
1 4 6 4 1 4
1 5 10 10 5 1 5

Figura 1: Triangulo de Pascal de 6 filas

Las filas de dicho triangulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo del binomio
(??????
1+??????
2)
??????
, con ??????=0,1,2,3,4,5, donde hemos resaltado en amarillo los valores de la última
fila, o sea los valores correspondientes al desarrollo de (??????
1+??????
2)
5
, la sencillez de su
obtención mediante dicha construcción triangular, hace innecesario o trivial aplicar el
teorema Multinomial para dicho caso.

3. A: Comencemos con la forma newtoniana del teorema Multinomial propuesta en la
referencia (1), para el siguiente trinomio: (??????
1+??????
2+??????
3)
5
, donde la potencia corresponde
a n=5, y el número de elementos es r=3
(??????
�+??????
�+??????
�)
�
=∑ (
�
�
�
)??????
�
�−�
??????
�
�−�
??????
�
�
�=�,�,…,�
�=�,�,…,�
=

(
5
0
0
)??????
1
5
??????
2
0
??????
3
0
+
(
5
1
0
)??????
1
4
??????
2
1
??????
3
0
+(
5
1
1
)??????
1
4
??????
2
0
??????
3
1
+
(
5
2
0
)??????
1
3
??????
2
2
??????
3
0
+(
5
2
1
)??????
1
3
??????
2
1
??????
3
1
+(
5
2
2
)??????
1
3
??????
2
0
??????
3
2
+
(
5
3
0
)??????
1
2
??????
2
3
??????
3
0
+(
5
3
1
)??????
1
2
??????
2
2
??????
3
1
+(
5
3
2
)??????
1
2
??????
2
1
??????
3
2
+(
5
3
3
)??????
1
2
??????
2
0
??????
3
3
+
(
5
4
0
)??????
1
1
??????
2
4
??????
3
0
+(
5
4
1
)??????
1
1
??????
2
3
??????
3
1
+(
5
4
2
)??????
1
1
??????
2
2
??????
3
2
+(
5
4
3
)??????
1
1
??????
2
1
??????
3
3
+(
5
4
4
)??????
1
1
??????
2
0
??????
3
4
+
(
5
5
0
)??????
1
0
??????
2
5
??????
3
0
+(
5
5
1
)??????
1
0
??????
2
4
??????
3
1
+(
5
5
2
)??????
1
0
??????
2
3
??????
3
2
+(
5
5
3
)??????
1
0
??????
2
2
??????
3
3
+(
5
5
4
)??????
1
0
??????
2
1
??????
3
4
+(
5
5
5
)??????
1
0
??????
2
0
??????
3
5


Vemos que cuando n=0, i toma solo el valor 0, pero cuando n=1, i toma los valores 0 y 1,
y cuando n=2, i toma los valores 0, 1, y 2, y así sucesivamente, i tomará los valores
desde 0, hasta el valor de n correspondiente, (en este caso particular, hasta el valor
máximo de n=5), como se recoge en la tabla 1 (T:1)





Tabla 1, variación de los índices para el caso de n=5


n i
0 0
1 0,1
2 0,1,2
3 0,1,2,3
4 0,1,2,3,4
5 0,1,2,3,4,5

4. Cada trinomial (R.B.9), (
5
??????
??????
) viene dado por el producto: (
5
??????
??????
)=(
5
??????
)(
??????
??????
), y el desarrollo
total del polinomio nos lleva a la siguiente expresión :
(??????
�+??????
�+??????
�)
�
=??????
1
5
+5??????
1
4
??????
2+5??????
1
4
??????
3+10??????
1
3
??????
2
2
+20??????
1
3
??????
2??????
3+10??????
1
3
??????
3
2
+10??????
1
2
??????
2
3
+30??????
1
2
??????
2
2
??????
3+30??????
1
2
??????
2??????
3
2
+10??????
1
2
??????
3
3
+5??????
1??????
2
4
+20??????
1??????
2
3
??????
3+30??????
1??????
2
2
??????
3
2
+20??????
1??????
2??????
3
3
+5??????
1??????
3
4
+??????
2
5
+5??????
2
4
??????
3+10??????
2
3
??????
3
2
+10??????
2
2
??????
3
3
+5??????
2??????
3
4
+??????
3
5

De aquí, podemos contabilizar cuales son los coeficientes de este caso, así como la
cantidad de veces en que aparecen en todo el desarrollo, como se muestra en la tabla
número 2 (T:2)

Coeficiente n° de veces
1 3
5 6
10 6
20 3
30 3
Tabla 2. Coeficientes y su número de veces
Este método es el más apropiado, cuando el objetivo es el desarrollo completo del
trinomio, o del polinomio considerado.

B: Obtención de los coeficientes y su número de veces como permutaciones con
repetición de particiones discretas de un numero entero n, (n≥0), en un n° siempre
de r cifras.
Consideremos el caso correspondiente al trinomio (??????
�+??????
�+??????
�)
�
, donde n=5, y r=3.
Podemos obtener los distintos coeficientes de su desarrollo, a partir de las permutaciones
con repetición de 3 cifras, que sumen siempre 5.Para ello consideremos todas las
posibles particiones discretas de 5 en 3 cifras :
1.) Grupos de tres números enteros que contengan al menos una cifra distinta de cero, y
que sumen 5
Un solo caso: 0,0,5
2.) Grupos de 3 números enteros que contengan al menos 2 cifras distintas de cero, y
que sumen 5
Dos casos: 0,1,4 y 0,2,3
3.) Grupos de 3 números enteros que contengan al menos 3 cifras distintas de cero, y
que sumen 5:

5. Dos casos: 1,1,3 y 1,2,2
Entonces podemos obtener los coeficientes respectivos como las permutaciones con
repetición de n=5, con respecto a cada grupo de cifras de la partición de r=3 elementos
que suman 5
CASO 1: ????????????,5,0,0,5=
5!
0!0!5!
=1

CASOS 2: ????????????,5,,0,1,4=
5!
0!1!4!
=5

????????????,5,,0,2,3=
5!
0!2!3!
=10

CASOS 3: ????????????,5,,1,1,3=
5!
1!1!3!
=20

????????????,5,,1,2,2=
5!
1!2!2!
=30

El número de veces en que aparece cada coeficiente en el desarrollo del trinomio
(??????
�+??????
�+??????
�)
�
, corresponde a las permutaciones con repetición de r=3, con respecto a
las veces en que aparece cada una de las cifras en cada partición, lo cual siempre suma
r, así obtenemos:

Para el coeficiente 1 : ????????????,3,,2,1=
3!
2!!1!
=3

Para el coeficiente 5 : ????????????,3,,1,1,1=
3!
1!!1!1!
=6

Para el coeficiente 10 : ????????????,3,,1,1,1=
3!
1!!1!1!
=6

Para el coeficiente 20 : ????????????,3,,2,1=
3!
2!!1!
=3

Para el coeficiente 30 : ????????????,3,,2,1=
3!
1!!2!
=3

6. Podemos comprobar fácilmente, que los coeficientes y el número de veces en que se
repite cada uno, coincide con los valores ya recogidos en la tabla 2.
Este método es apropiado cuando lo que interesa en primer lugar, es determinar los
coeficientes y el número de veces en que aparecen dichos coeficientes en el desarrollo
del trinomio, o en el polinomio considerado.
C. Obtención de los coeficientes a través de la aplicación de la c adena
multidimensional, es decir entre las relaciones que existen entre los coeficientes de un
polinomio n -potenciado, de r elementos, y el polinomio n -potenciado de r+1 elementos.
Consideremos el caso más elemental, como es el de obtener los coeficientes de un
trinomio elevado a la potencia n, (en nuestro caso de ejemplo n=5), a partir del desarrollo
de los casos correspondientes a un binomio elevado a las potencias enteras 0,1,2,…n.
Para ello abordaremos el problema para n=5.

Potencia (n)









Cuadro 1: Obtención de coeficientes Trinomiales (∆
??????), de (??????
�+??????
�+??????
�)
�
, a partir de
los coeficientes binomiales de (??????
�+??????
�)
�
, con n=0,1,2,3,4,5
Los coeficientes obtenidos (∆
??????) ,corresponden a la secuencia:
1,5,5.10.20,10, 10,30,30,10, 5,20,30,20,5, 1,5,10,10,5,1, que es idéntica a la que
obtuvimos en el caso A., desarrollando el trinomio mediante el teorema Multinomial en
forma newtoniana.
Notamos que para obtener los coeficientes de un trinomio elevado a la potencia n=5, es
necesario desarrollar los binomios (??????
1+??????
2)
??????
, desde la potencia 0, hasta la potencia 5 (6
casos), y luego multiplicar cada fila o desarrollo reflejado en el triángulo de Pascal, por el
coeficiente correspondiente de la fila n=5 (fila n x coeficiente de lugar n en la fila 5),
siempre contando de izquierda a derecha, o invirtiendo el sentido, considerando la
simetría existente.
Entonces, de manera análoga, para aplicar la cadena multidimens ional de los
coeficientes Polinómicos, al pasar de un trinomio elevado a la quinta potencia (??????
�+
??????
�+??????
�)
�
, a un tetranomio también elevado a la quita potencia (??????
�+??????
�+??????
�+??????
�)
�
,
deberemos desarrollar los 6 triángulos de coeficientes Trinomiales (∆
??????), correspondientes
a (??????
�+??????
�+??????
�)
�
,


Triángulo de Coeficientes
trinomiales (∆
??????)

1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1

Triángulo de Pascal(∆
�) Factores
1 1
1 1 5
1 2 1 10
1 3 3 1 10
1 4 6 4 1 5
1 5 10 10 5 1 1

0
1
2
3
4
5

7. cuando n varía desde 0, hasta 5, y luego multiplicar todos y c/u de los coeficientes
obtenidos en cada ∆
??????, por el factor multiplicador ubicado en la última fila, del último ∆
??????
obtenido, cuyos elementos se conservan idénticos a los de la fila n=5, del triangulo
aritmético, ya que su factor multiplicador es la unidad.
Entonces los casos de (??????
�+??????
�+??????
�)
�
, con ??????=0,1,2,3,4,5, partiendo de los casos de
(??????
1+??????
2)
??????,
, con ??????=0,1,2,3,4,5 , podemos reflejarlos la siguiente tabla:
n ∆
0 ,hasta la fila n =5
(Coeficientes Binomiales)
Factor Vector
Columna(??????
??????
0
)
Triángulos de Coeficientes Trinomiales (∆
??????)
0 1 1 1

1 1 1 1
1 1 1 1 1

2 1 1 1
1 1 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2

3 1 1 1
1 1 3 3 3
1 2 1 3 3 6 3
1 3 3 1 1 1 3 3 1

4 1 1 1
1 1 4 4 4
1 2 1 6 6 12 6
1 3 3 1 4 4 12 12 4
1 4 6 4 1 1 1 4 6 4 1

5 1 1 1
1 1 5 5 5
1 2 1 10 10 20 10
1 3 3 1 10 10 30 30 10
1 4 6 4 1 5 5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1 1 1 5 10 10 5 1

Tabla 3. Coeficientes Trinomiales a partir de coeficientes binomiales para n=5

Una vez obtenidos los 6 triángulos de coeficientes Trinomiales, de los casos
n=0,1,2,3,4,5,
(El último caso, es el que corresponde a (??????
�+??????
�+??????
�)
�
), partimos de ellos para
obtener los coeficientes del tetranomio (??????
�+??????
�+??????
�+??????
�)
�
. Como hemos establecido
anteriormente, los factores multiplicadores, corresponden a los coeficientes 1,5,10,10,5,1,
de la fila n=5, del triangulo de Pascal.

Para obtener los coeficientes de (??????
�+??????
�+??????
�+??????
�)
�
, hemos elaborado la siguiente
tabla:

8. n Triángulos de Coeficientes
Trinomiales (∆
??????) desde n=0,
hasta n=5
Factor Vector
Columna(??????
5
0
)
Coeficientes Tetranomiales
Por nivel del T.Suma. para n=5
0 1 1 1

1 1 5 5
1 1 5 5

2 1 10 10
2 2 20 20
1 2 1 10 20 10

3 1 10 10
3 3 30 30
3 6 3 30 60 30
1 3 3 1 10 30 30 10

4 1 5 5
4 4 20 20
6 12 6 30 60 30
4 12 12 4 20 60 60 20
1 4 6 4 1 5 20 30 20 5

5 1 1 1
5 5 5 5
10 20 10 10 20 10
10 30 30 10 10 30 30 10
5 20 30 20 5 5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1

Tabla 4. Coeficientes Tetranomiales a partir de coeficientes Trinomiales para n=5
Estos coeficientes Tetranomiales, se distribuyen en los distintos vértices y planos de un
tetraedro regular compuesto o tetraedro suma (R.B. 8). Del cual haremos tres
representaciones:
1.) La disposición de los coeficientes en los diversos planos o secciones del
Tetraedro Suma:

Nivel 0. 1 (Vértice del T. Suma)



Nivel 1 5 Nivel 2 10
5 5 20 20
10 20 10

9. Nivel 3 10 Nivel 4 5
30 30 20 20
30 60 30 30 60 30
10 30 30 10 20 60 60 20
5 20 30 20 5

Nivel 5 (base del T.Suma) 1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
Los valores en rojo están contenidos en el tetraedro interno, correspondiente a este caso.

2.) Los coeficientes Tetranomiales distribuidos en un tetraedro regular desplegado
(como 4 triángulos equiláteros)
n Coef. N⁰Veces 1 * Tetraedro secundario
5 1 4 60 60 60
5 12 5 5
10 12 60 60
20 12 10 20 10
30 12 60
*60 4 10 30 30 10
∑= 56
5 20 30 20 5

1 5 10 10 5 1

5 5 20 30 20 5 5

10 20 10 30 30 10 20 10

10 30 30 10 20 10 30 30 10

5 20 30 20 5 5 20 30 20 5

1 5 10 10 5 1 5 10 10 5 1

10. 3.) Por último, coeficientes Tetranomiales distribuidos en un tetraedro regular 3D,
donde la distribución de coeficientes en cada cara externa incluyendo la base,
coincide con la distribución de coeficientes en ∆
?????? para n=5



Nota: Los valores del tetraedro interior, se han resaltado en rojo
Podemos suponer que, para valores de n mayores que 5 el método sigue siendo
práctico, si contamos con un programa informático ad-hoc para construir las tablas
necesarias, pero lo importante es que nos permite obtener todos los coeficientes de un
caso r+1, en base a los coeficientes del caso anterior r.

Referencias Bibliográficas:
[1] Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema
Multinomial y otros tópicos complementarios 2017
[2] Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado
2016
[3] Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017
[4] Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones Matemáticas 2017

11. [5] Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018
[6]Coeficientes Polinómicos y su cadena multidimensional 2019
[7] Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
[8] El Triángulo de Pascal, o Triángulo Aritmético, y sus propiedades o características
clásicas (Actualizando las Fuentes) 2018
[9] Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Todas estas referencias a mis trabajos anteriores, pueden leerse y descargarse
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Enrique Ramón Acosta Ramos
Enero 2021