Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

1. ( m.d.c . e m.m.c .) Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum

2. Máximo Divisor Comum – é o maior divisor comum entre dois ou mais números Mínimo Múltiplo Comum – é o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números, e que não anula (ou seja, não pode ser o zero) O que são?

3. Para calcularmos tanto um máximo divisor comum como um mínimo múltiplo comum é necessário saber como decompor um números em fatores primos . Para decompor um número em fatores primos, vamos ter que dividi-lo sempre pelo número mais pequeno possível! Decompor em Fatores Primos

4. Exemplo: Queremos decompor em fatores primos o número 96. 96 2 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 Decompor em Fatores Primos 96 é divisível por 2, dando 48 48 é divisível por 2, dando 24 24 é divisível por 2, dando 12 1 não é divisível por nenhum número de modo a dar um número inteiro que não seja ele mesmo 12 é divisível por 2, dando 6 6 é divisível por 2, dando 3 3 não é divisível por 2, mas é divisível por 3, dando 1 Então: 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 96 = 2 5 x 3

5. Agora que já sabemos decompor números em fatores comuns, mais facilmente aprenderemos como obter o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.

6. É o produto dos fatores comuns do maior expoente Isto significa: Perante dois números e a sua decomposição em fatores primos, juntamos todos os números da decomposição que são comuns a ambos os números, quando o número é igual colocamo-lo só uma vez, mas quando têm expoentes diferentes, colocamos o número comum com maior expoente– obtendo assim o máximo divisor comum. Máximo Divisor Comum

7. Exemplo: 96= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2 5 x 3 60 = 2 x 2 x 5 x 3 = 2 2 x 5 x 3 96 2 60 2 48 2 30 2 24 2 15 5 12 2 3 3 6 2 1 3 3 1 Máximo Divisor Comum Conseguimos ver que entre 96 e 60, os números em comum na decomposição de fatores primos são o 2 e o 3. Logo, m.d.c . (96,60) = 2 x 3 Mas... Se olharmos com atenção, o número que temos tanto na decomposição de 96 como na de 60 não é 2 mas sim 2 5 ou 2 2 . Como não podemos colocar dois números iguais, embora tenham expoentes diferentes, colocamos só aquele que tem o maior expoente (neste caso, o 2 5 ). Então, m.d.c . (96, 60) = 2 5 x 3 = 10 x 3 = 30

8. É o produto dos fatores comuns e não comuns do maior expoente Isto significa: Perante dois números e a sua decomposição em fatores primos, juntamos todos os números da decomposição. Quando o número é igual colocamo-lo só uma vez, mas quando têm expoentes diferentes, colocamos o número comum com maior expoente– obtendo assim o mínimo múltiplo comum. Mínimo Múltiplo Comum

9. Exemplo: 96= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2 5 x 3 60 = 2 x 2 x 5 x 3 = 2 2 x 5 x 3 96 2 60 2 48 2 30 2 24 2 15 5 12 2 3 3 6 2 1 3 3 1 Mínimo Múltiplo Comum Conseguimos ver que entre 96 e 60, os números em comum na decomposição de fatores primos são o 2 e o 3 e os não comum são o 5. Logo, m.m.c . (96,60) = 2 x 3 x 5 Mas tendo com base o que já aprendemos antes sobre os expoentes (apenas colocamos o número comum com maior expoente), obtemos: m.m.c . (96, 60) = 2 5 x 3 x 5 = 10 x 3 x 5 = 30 x 5 = 150