M12. Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea..pptx

M12. Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea.

1. Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea. Módulo 12 Matemática Básica 2020-2 Semana 13

2. Motivación Las utilidades anuales de cierta empresa fueron expresadas como millones de soles, t años después de su formación en el 2010. ¿A qué razón de cambio promedio crecieron las utilidades anuales con respecto al tiempo desde el 2013 hasta el 2015?. ¿Cuál fue la razón de cambio instantánea de las utilidades de la empresa en el año 2017? Interprete dicho resultado.   Caso ¿Cómo la idea de incremento, puede ayudarnos a resolver este caso?

3. Saberes previos ¿ Cuál es la variación del tiempo, entre los puntos B y E? 3 millas 22 min 2,5 millas 16 min ¿Con qué otro nombre se le conoce al aumento o disminución que experimenta la variable? Recordemos:

4. Al finalizar la sesión, el estudiante resolverá ejercicios y problemas en los que calculará la razón de cambio promedio e instantánea de una función, siguiendo un proceso lógico fundamentado. Logro Tema: Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea

5. Tema: Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea Sub temas

6. 1. Incremento Incremento de   Si es la variable independiente de la función , y su valor cambia desde hasta , donde , con ; el aumento o disminución que experimenta dicha variable se llama incremento de y se denota por . Así tenemos:     Cuando la variable independiente 𝒙 en experimenta un incremento , generalmente la función también experimenta un aumento o disminución de su valor, el cual se denomina incremento de la función y se denota por , esto es:     Incremento de  

7. 1. Incremento Algebraicamente El incremento de una función real está dado por:   Además: Donde:   Geométricamente x x 1 f ( x 1 ) f ( x ) * * f  f  x  

8. Dada la función real , determina:     Al reemplazar los valores reales y en la función f, respectivamente resulta:   Ejemplo 1 Solución:   y El incremento de la función en el intervalo de hasta . El incremento de la función en el intervalo de hasta , donde es el incremento de x ( ).   Si se tiene que:   , y , considerando   Luego:   Por tanto, el incremento de la función en el intervalo es   El incremento de la función en el intervalo de hasta .  

9. Entonces, al sustituir y en           Nótese que y , ya que     Por lo tanto, el incremento de la función en el intervalo es     Considerando:   b) El incremento de la función 𝑓 en el intervalo de 𝑥 hasta 𝑥+∆𝑥 , donde ∆𝑥 es el incremento de x (∆𝑥 ).  

10. Hallamos :     Por tanto, se tiene   Entonces, Sabemos que:       Ejemplo 2 Dada la función real , determinar el incremento de la función en términos de   Solución: Si se sabe que:  

11. Definición: La razón de cambio promedio de una función cuando varía de a , se define por:   Nótese que se puede expresar por:     Forma algebraica Donde y .   DEBES SABER QUE La razón de cambio promedio indica que cambia en una cantidad cuando x cambia de a   2 . Razón de cambio promedio

12. x x 1 f ( x 1 ) f ( x ) * f  f  x DEBE SABER QUE La expresión algebraica representa la pendiente de la recta secante a la gráfica de en los puntos y   Forma geométrica 2 . Razón de cambio promedio

13.   Solución Al visualizar el gráfico, se tiene que para : Análogamente para: .   se tiene que   2.5 -- Luego, al reemplazar en:     Entonces se tiene: Por tanto, la razón promedio es   Ejemplo 3 El siguiente gráfico corresponde a la función , determine las razones de cambio promedio, cuando varía de:   f 2,5 -------

14. Ahora tú sigues ... Resuelve el ítem b)   f 2,5 -------

15. Solución: Del mismo modo: a) Al utilizar , se tiene que:   Si     Al sustituir en y en :     Se consigue:   Por tanto, la razón promedio es   Ejemplo 4 Dada la función real , definida por: , determine las razones de cambio promedio, cuando varía de:    

16. Solución   Ahora tú sigues ... Resuelve el ítem b)

17. Recordamos que para una función , el incremento de y la razón de cambio promedio son:       Al reemplazar (1) en (2), se obtiene: (1) (2)   Forma algebraica 3. Razón de cambio instantánea   Al hacer = se tiene que:  

18.   Cuando , se tiene la razón de cambio instantánea de f en el punto dado por:   Definición: Si es una función, la razón de cambio instantánea de “ ” con respecto a “ ” cuando es el limite como en (1) (si existe) de la razón de cambio promedio en el intervalo , cuando se aproxima a cero.   (1) ¿Que pasaría si  

19. Cuando   Forma geométrica x y h h x ) ( x f f ( x + h ) x + h h x + h f ( x + h ) Recta Tangente 3. Razón de cambio instantánea

20. x y x Recta Tangente f ( x ) Luego, la razón de cambio instantánea en el punto es la pendiente de la recta tangente de la función en  

21. Dada la función f real , definida por: , determine las razones de cambio instantánea en los puntos:     Solución En primer lugar: usando la función, encontramos y esto es:     En segundo lugar: reemplazando las expresiones algebraicas en la definición de RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA:   y   Ejemplo 5

22. Ahora evaluamos en , lo que da   Entonces, la razón de cambio instantánea en el punto x=1 es 4. Esto es:   Entonces      

23. Solución   Ahora tú sigues ... Resuelve el ítem b)

24. 4 . Situaciones significativas Cuando el precio de venta de un libro es de 100 soles se venden al mes 50 libros. Al aumentar el precio a 110 soles se venden al mes 20 libros. Determine y Interprete los incrementos   1     Interpretación: A l existir un aumento de S/10 en el precio de cada libro, entonces las ventas disminuyen en 30 libros al mes.     , representa el incremento del precio de los libros.   , representa el incremento en el número de libros vendidos.   Solución: a) b)

25. Solución: Sea la función utilidad :   Sea el número de toneladas de cierto fertilizante   C osto por semana : dólares   Ingreso :       Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir toneladas de cierto fertilizante está dado por dólares y el ingreso obtenido por la venta de toneladas está dado por . La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Determine el incremento en la función utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas   2

26. Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir toneladas de cierto fertilizante está dado por dólares y el ingreso obtenido por la venta de toneladas está dado por . La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Determine el incremento en la función utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas   2 a) El incremento en la función utilidad cuando cambia de 3100 a 3200 es     )     La utilidad decrece en $300 b) Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas   La utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada con el incremento dado en la producción  

27. Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar a la educación de los niños en edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo estima que después de x años después de iniciado un programa particular , cientos de niños estarán inscritos , donde : , a) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos en el tercer año después de iniciado el programa ? b) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos en el noveno año después de iniciado el programa?   3 Solución: Primero determina y , esto es:         Luego: reemplazando las expresiones algebraicas en la definición de RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA:  

28.           Ahora podremos resolver el problema a) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos en el tercer año después de iniciado el programa? Tercer año indica que x=3, luego   Interpretación: la razón de cambio instantáneo de los inscritos en el programa en el tercer año de iniciado es de 2100 niños. b ) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos en el noveno año después de iniciado el programa? Noveno año indica que x=9, luego   Interpretación: la razón de cambio instantáneo de los inscritos en el programa en el noveno año de iniciado es de 3300 niños.

29. Las utilidades anuales de cierta empresa fueron expresadas como millones de soles, t años después de su formación en el 2010 . ¿A qué razón de cambio promedio crecieron las utilidades anuales con respecto al tiempo desde el 2013 hasta el 2015?. b) ¿Cuál fue la razón de cambio instantánea de las utilidades de la empresa en el año 2017? Interprete dicho resultado.   Caso Solución (a) Datos del problema: t = número de años U(t) = Utilidades anuales (millones de soles) Analizando, se tiene que: El 2010, es El 2013, es El 2015, es  

30.   Aplicando la definición de RCP, se tiene:   Por tanto, la razón de cambio promedio de las utilidades de la empresa de los años 2013 y al 2015 es de 15,8 millones de soles por año .   Interpretación: Las utilidades anuales de cierta empresa fueron expresadas como millones de soles, t años después de su formación en el 2010 . ¿A qué razón de cambio promedio crecieron las utilidades anuales con respecto al tiempo desde el 2013 hasta el 2015?. b) ¿Cuál fue la razón de cambio instantánea de las utilidades de la empresa en el año 2017? Interprete dicho resultado.   Caso R eemplazamos t=3 y t=5 en la función utilidad U(t) respectivamente:  

31. Tema: Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea   Usando la regla, hallamos U(t) y U( t+h ) esto es:   Reemplazando las expresiones algebraicas en la definición de RCI:         Ahora evaluamos en t , tendría     Por tanto la razón de cambio instantánea de las utilidades de la empresa en el año 2017 es de 16,4 millones de soles. Interpretación: Solución (b) Datos del problema : El 2017, es 7  

32. Conclusiones Se identifica la razón de cambio instantánea de una función con la pendiente de una recta tangente. 2 . El límite de la razón de cambio promedio se llama razón de cambio instantánea de f respecto a x cuando x=a, lo cual se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en (a ; f(a )). 1. La razón de cambio promedio de f respecto a x cuando va desde x=a hasta x=b, lo cual se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta secante a la curva y=f(x) en los pares ordenados (a ; f(a )) y ( b; f(b)). Se identifica la razón de cambio promedio de una función con la pendiente de una recta secante.

33. Matemática Básica 2020-2 Semana 13 Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea. Módulo 12