MAIA-1-FUNCION VECTORIAggggggggggffL.pdf

Interés

1. ALFREDO V. F. 1

2. ALFREDO V. F. 2
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES VECTORIALES
??????
??????
��=��,��
��=��,��,��
�:
�=��
�∈??????
�=��
�:
�=��
�=���∈??????
�=��
Ecuaciones paramétricas
En el plano
Ecuaciones paramétricas
En el espacio

3. ALFREDO V. F. 3
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
EjemploGrafique la curva que define la función:
+3k
Grafique la curva que define la función:Ejemplo
EjemploGrafique la curva que define la función:0≤�≤??????
�=cos�;�=����
Entonces
�
2
+�
2
=1
�=0→�0=1,0
�=
??????
2
→�
??????
2
=0,1
�=??????→�??????=−1,0
0≤�≤2??????
�=cos�;�=����;z=3
Entonces
�
2
+�
2
=1
�=0→�0=1,0,3
�=
??????
2
→�
??????
2
=0,1,3
�=??????→�2??????=1,0,3
�=cos�;�=����;z=3
Entonces
�
2
+�
2
=1
�=0→�0=1,0,3
�=
??????
2
→�
??????
2
=0,1,3
�=??????→�2??????=1,0,3
�=cos�;�=����;z=t
Entonces
�
2
+�
2
=1
�=0→�0=1,0,0
�=
??????
2
→�
??????
2
=0,1,
??????
2
�=??????→�2??????=1,0,2??????
0≤�≤2??????

4. ALFREDO V. F. 4
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Definición
F:I⊂�→�
??????
;
�→??????�=�
1�,�
2�,…,�
??????�
Una función vectorial es una correspondencia que a cada
número �∈??????⊂�le asigna un único vector ??????�en �
??????
.
Las funciones �
??????son llamadas funciones coordenadas
Función vectorial
lim
??????→??????
0
??????�=lim
??????→??????
0
�
1�,lim
??????→??????
0
�
2�,…,lim
??????→??????
0
�
??????�
Dominio ���??????=�∈??????:����
1∩����
2∩⋯∩���(�
??????)
Rango ���??????=�
1�,�
2�,…,�
??????�∈�
??????
:�∈���(??????)
Límite
Sea �
0un punto de acumulación del ���??????.El límite de la función F cuando �tiende a �
0es L, si
∀&#3627409152;>0,∃&#3627409151;>0&#3627408481;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408478;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408477;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408481;∈??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;0<&#3627408481;−&#3627408481;
0<&#3627409151;→|??????&#3627408481;−??????|<&#3627409152;
Equivalentemente:
??????

5. ALFREDO V. F. 5
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Continuidad
F es continua en &#3627408481;
0∈&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;??????si
∀&#3627409152;>0,∃&#3627409151;>0&#3627408481;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408478;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408477;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408481;∈??????&#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408481;−&#3627408481;
0<&#3627409151;→|??????&#3627408481;−??????&#3627408481;
0|<&#3627409152;
Equivalentementesi &#3627408481;
0∈&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;??????y esun punto de acumulación del &#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;??????;
F es continua en &#3627408481;
0∈&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;??????si y solo si lim
??????→??????0
??????&#3627408481;=??????(&#3627408481;
0)
Derivabilidad
F es derivable en &#3627408481;
0si cada una de sus funciones coordenadas,
&#3627408485;
??????:??????=1,2,…&#3627408475;, es derivable en &#3627408481;
0.
??????
′
&#3627408481;=&#3627408485;
1′&#3627408481;,&#3627408485;
2′&#3627408481;,…,&#3627408485;
??????′&#3627408481;
Definición

6. ALFREDO V. F. 6
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

7. ALFREDO V. F. 7
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Integrabilidad
La integral indefinida de la función F está dada por la integral indefinida de cada una de sus
Funciones coordenadas
??????&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;= &#3627408485;
1&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;, &#3627408485;
2&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;,…, &#3627408485;
??????&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;
F es integrable en [&#3627408462;,&#3627408463;]si cada una de sus funciones coordenadas,
&#3627408485;
??????:??????=1,2,…&#3627408475;, es integrable en [&#3627408462;,&#3627408463;].

&#3627408462;
&#3627408463;
??????&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;=
&#3627408462;
&#3627408463;
&#3627408485;
1&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;,
&#3627408462;
&#3627408463;
&#3627408485;
2&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;,…,
&#3627408462;
&#3627408463;
&#3627408485;
??????&#3627408481;&#3627408465;&#3627408481;

8. ALFREDO V. F. 8
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
CURVA
CURVA
REGULAR

9. ALFREDO V. F. 9
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Determine el dominio y la derivada de F en t=3 de
la función F definida por
??????&#3627408481;=cos&#3627408481;;
&#3627408481;−2
&#3627408481;
2
−4
;&#3627408481;−2
Halle la derivada de F definida por
??????&#3627408481;=
1
3??????
cos&#3627408487;&#3627408465;&#3627408487;;
4??????
2
4
&#3627408487;+1&#3627408465;&#3627408487;
Ejemplo Ejemplo

10. ALFREDO V. F. 10
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
&#3627408439;&#3627408476;&#3627408474;??????=&#3627408453;
Paso 1 análisis para valores de t diferentes de cero
Si &#3627408481;∈&#3627408453;−0;→??????&#3627408481;=&#3627408481;
8
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
1
??????
4
,&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;
2
+1
??????′&#3627408481;=8&#3627408481;
7
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
1
&#3627408481;
4
−8&#3627408481;
3
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
1
&#3627408481;
4
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;
1
&#3627408481;
4
,2&#3627408481;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;&#3627408481;
2
Esta bien definida, pues cada una de sus funciones
componentes existen para todo &#3627408481;∈&#3627408453;−0
Paso 2 análisis para t= 0
SOLUCIÓN
??????′0=lim
ℎ→0
??????0+ℎ−??????0
ℎ
=lim
ℎ→0
1
ℎ
??????ℎ−0,1
lim
ℎ→0
1
ℎ
ℎ
8
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
1
ℎ
4
,&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;ℎ
2
+1−0,1
lim
ℎ→0
ℎ
7
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
1
ℎ
4
,
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;ℎ
2
ℎ
lim
ℎ→0
ℎ
7
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;
2
1
ℎ
4
,lim
ℎ→0
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;ℎ
2
ℎ
0,0
Así se tiene que , ??????
′
0=0,0
Por lo tanto, ??????es diferenciable en todo su dominio

11. ALFREDO V. F. 11
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Velocidad, rapidez
Aceleración y dirección
del movimiento
Definiciones

12. ALFREDO V. F. 12
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Ejemplo

13. ALFREDO V. F. 13
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Ejemplo

14. ALFREDO V. F. 14
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
a.Parametrice el segmento de recta de
A(1,2,3) hasta B=(-3,0,2)
b. Parametrice lacurvadadapor&#3627408473;&#3627408462;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408464;??????ó&#3627408475;:
4&#3627408485;
2
+2&#3627408486;
2
+4&#3627408486;=12
c. parametricelacurvadadapor&#3627408473;&#3627408462;??????&#3627408475;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408480;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408464;??????ó&#3627408475;&#3627408465;&#3627408466;:
&#3627408454;
1:&#3627408487;=4&#3627408485;
2
+2&#3627408486;
2
−1y &#3627408454;
2:2&#3627408487;+3&#3627408486;+&#3627408485;=6
Parametrización de curvas

15. ALFREDO V. F. 15
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
A practicar

16. ALFREDO V. F. 16
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

17. ALFREDO V. F. 17
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

18. ALFREDO V. F. 18
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

19. ALFREDO V. F. 19
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

20. ALFREDO V. F. 20
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.