MAIA 1 - TEOREMA DE fgggggggggggGREEN.pdf

Interesante

1. ALFREDO V. F. 1

2. ALFREDO V. F. 2
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
INTEGRAL DE LÍNEA PARA CAMPOS ESCALARES INTEGRAL DE LINES PARA CAMPOS VECTORIALES
APLICACIONES:
Si �=1, la integral de línea representa la longitud de curva C.
Si f es la densidad de una (soga) que tiene la forma de la curva C
entonces la integral de línea nos da la masa total de la soga

??????
���=
??????
���=
�
�
��(�)�
′
���
APLICACIONES:
El resultado de la integral depende del recorrido de la curva
Si �es un campo de fuerzas dicha integral representa el trabajo.
Si �es un campo de velocidades de un fluido dicha integral
representa el flujo(a lo largo de).
Si �es una curva cerrada, la integral se llama circulación: �⋅??????�
Si �=�
1∪�
2…∪�
??????donde cada �
??????es regular entonces

??????
���=
??????1
���+⋯+
????????????
���
Si �=�
1∪�
2…∪�
??????donde cada
�
??????es regular entonces

??????
�⋅��=
??????1
�⋅��+⋯+
????????????
�⋅��

??????
�⋅�??????�=
??????
�⋅??????�=
�
�
���⋅�
′
���=
??????
���+���+??????��
Si �:�⊂�
2
→�o �:�⊂�
3
→�y �⊂�curva regular. Si �:�⊂�
2
→�
2
o �:�⊂�
3
→�
3
y �⊂�curva regular.
CASO PARTICULAR: Si ��,�=��,�;��,�es un campo de
velocidades de un fluido dicha integral representa el flujo.
Flujo a través de
(Flujo)
=
??????
�∙????????????�=
??????
���−���
Flujo a lo largo de
(circulación)
=
??????
�∙���=
??????
���+���
�se recorre en
sentido antihorario
??????
−
�⋅��=−
??????
�⋅��
NOTA La integral de línea de un campo vectorial
depende del recorrido de la curva
* La integral de línea de un campo escalar NO depende del recorrido de la curva

3. ALFREDO V. F. 3
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Ejemplopara el estudiante
Determine la circulación del campo:
��,�=�−�;�
Sobre la curva �
2
+�
2
=2sentido antihorario
Ejemplopara el estudiante
Determine el flujo
(flujo a través ) del campo:
��,�=�−�;�
Sobre la curva �
2
+�
2
=2sentido antihorario
Flujo a través de
(Flujo)
=
??????
�∙????????????�=
??????
���−���
Flujo a lo largo de
(circulación)
=
??????
�∙���=
??????
���+���

4. ALFREDO V. F. 4
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Giro alrededor de un eje: Componente k del rotacional.
Se quiere tener la idea de la forma en que circula un fluido con respecto a
los ejes, localizados en diferentes puntos perpendiculares a la región R.
DEFINICIÓN: La densidad de circulación de un campo vectorial
�=�,�en un punto �,�es la expresión:
����⋅�=
??????�
??????�
−
??????�
??????�
DEFINICIÓN: La densidad de flujo (divergencia) de un campo vectorial
�=�,�en un punto �,�es la expresión:
�??????��=
??????�
??????�
−
??????�
??????�
Densidad de flujo.
Se quiere tener la idea si las líneas de fuerza de un campo en promedio
ingresan o salen de una región encerrada por la curva C

5. ALFREDO V. F. 5
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
TEOREMA DE GREEN
TEOREMA DE GREEN

6. ALFREDO V. F. 6
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
EjemploAplicando el resultado de GREEN
Determine la circulación del campo:
��,�=�−�;�
Sobre la curva �
2
+�
2
=2sentido antihorario
EjemploAplicando el resultado de GREEN
Determine el flujo
(flujo a través ) del campo:
��,�=�−�;�
Sobre la curva �
2
+�
2
=2sentido antihorario
Flujo a través de
(Flujo)
=
??????
�∙??????��=
??????
���−���=
??????
??????�
??????�
+
??????�
??????�
�??????
Flujo a lo largo de
(circulación)
=
??????
�∙���=
??????
���+���=
??????
??????�
??????�
−
??????�
??????�
�??????

7. ALFREDO V. F. 7
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
EjemploDetermine la integral de línea de:
Donde la frontera de C es el cuadrado dado por:
Use el resultado anterior para calcular el área de la circunferencia unitaria

8. ALFREDO V. F. 8
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
��,�=��+�
�+�
→�
�=�+�
�+�
��,�=�
2
+�
�+�
→�
�=2�+�
�+�
�
�−�
�=�

??????
�∙���=
??????
�
�−�
��??????=
�=0
2

�=�
2
2�
�����=
�=0
2
��
�
2
2�
��=
2�
3
3
−
�
4
4
0
2
=
16
3
−4=
4
3

??????
�∙���=
??????
�∙��=
??????
��(�)∙�
′
���=
??????
���+���=
??????
�
�−�
��??????
������??????�������
Ejercicio
SOLUCIÓN
Y
(0,0)
(2,4)
X
�
1
�
2
•La curva �=�
1∪�
2es una
curva suave por partes,
cerrada y simple.
•Las componentes del Campo
�admiten derivadas
parciales continuas en �
2
,
por ser combinación de
funciones polinómicas y
exponenciales
•Por el TEOREMA DE GREEN,
se tiene
x=2
Ejercicio para el estudiante resolver el ejercicio por definición
Note que si F es un campo de
velocidades de un fluido el resultado
obtenido se interpreta como la
circulación en sentido antihorario.

9. ALFREDO V. F. 9
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
�
1∪�
2es una
curva cerrada
Y
(0,0)
(2,4)
X

??????
�⋅���=
??????
���−���=
??????
�
�+�
��??????
������??????�������
��,�=�+�
�
����→�
�=1+�
�
����
��,�=�+�
�
����→�
�=−�
�
����
�
�+�
�=1

??????
�⋅���=
??????
�
�+�
��??????=
�=0
2

�=�
2
2�
1����=
4
3
Ejercicio
SOLUCIÓN
•La curva �=�
1∪�
2es una
curva suave por partes,
cerrada y simple.
•Las componentes del Campo
�admiten derivadas
parciales continuas en �
2
,
por ser combinación de
funciones polinómicas y
exponenciales
•Por el TEOREMA DE GREEN,
se tiene
Ejercicio para el estudiante resolver el ejercicio por definición
Note que si F es un
campo de velocidades de
un fluido el resultado
obtenido se interpreta
como el flujo hacia
afuera de la región R.

10. ALFREDO V. F. 10
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

??????
�∙���=
??????
�∙��=
2,4
0,0
∇�⋅��=�0,0−�2,4=0−���2���4
Considerando el domino �
2
que contiene a la
curva C.
OJO se puedo tomar otro dominio D mas
pequeño pero que contenga a la curva C tal que:
•D sea conexo.
•D Simplemente conexo.
Además, las componentes del campo F admiten
derivadas parciales continuas en el dominio D.
�����������������������??????�??????��
�������??????�����????????????����??????����??????�����??????���:
????????????
??????�
=��������+�
′
�=��������→�
′
�=0→→��=�,
(0,0)
(2,4)
X
Ejercicio
SOLUCIÓN

��,�=��������→�
�=��������
��,�=��������→�
�=��������
→�
�=�
�
????????????
??????�
=��,�=��������…(I)
????????????
??????�
=��,�=��������…(II)
→��,�=��������+��….(III)Integrando (I) respecto de x
Derivando parcialmente (III) respecto de y e igualando a (II) se tiene
��,�=��������+�Luego su función potencial es:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo para integral de línea:

11. ALFREDO V. F. 11
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

12. ALFREDO V. F. 12
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

13. ALFREDO V. F. 13
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.