Mapa mental todas as materias

Matemática

1. REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS




































Estudo dos Sinais

)()()(+=+⋅+
)()()(+=−⋅−

)()()(−=−⋅+
)()()(−=+⋅−

Ordem de Cálculo

Primeiro são resolvidas as operações que estiverem dentro de:
PARÊNTESES ( ) → COLCHETES [ ] → CHAVES { }

Antes
de serem efetuadas adições e subtrações, são resolvidas:
DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES

Adição
SomaParcelas
cba
↓↓↓
=+

Propriedades
Comutativa →
abba
+=+ 83553=+=+⇒

Associativa →
)cb(ac)ba(
++=++ 10)52(35)23(=++=++⇒
Elemento Neutro (0) → a0a=+ 303=+⇒
→ Subtração é a Adição de parcelas negativas
O resultado tem o sinal da maior parcela:
131532051055105510
−=+−−+−−=+−+=−+
Subtração
SomaParcelas
cba)b(a
↓↓↓
=−=−+

Multiplicação
ProdutosFatores
cba
↓↓↓
=⋅

Multiplicação é a Adição de parcelas iguais: 1555553
5fatorovezes3
=++=⋅
43421
Propriedades
Comutativa →
abba
⋅=⋅

153553=⋅=⋅⇒

Associativa →
)cb(ac)ba(
⋅⋅=⋅⋅ 30)52(35)23(=⋅⋅=⋅⋅⇒
Elemento Neutro (1) →
a1a
=⋅ 313=⋅⇒

Distributiva →
caba)cb(a
⋅+⋅=+⋅ 165232)53(2=⋅+⋅=+⋅⇒

acaba)cb( ⋅+⋅=⋅+ 9)3(2)3(1)3()21( −=−⋅+−⋅=−⋅+⇒
Divisão
c
b
a
=
Numerador = Denominador × Quociente + Resto
Lembre-se: Não existe divisão por zero → b ≠ 0 !1

2. FRAÇÕES
Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais →

Definição 2: Divisão de dois números inteiros →






Adição e Subtração de Frações


Mesmo Denominador


Denominadores Diferentes
m.m.c.


Multiplicação de Frações Divisão de Frações
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅

9
10
9
10
33
5)2(
3
5
3
)2(
−=
−
=
⋅
⋅−
=⋅
−
Mantém a Primeira Fração e Inverte a Segunda
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
21
⋅==÷
↓↓
oo
15
17
53
72
5
7
3
2
7
5
3
2
7
5
3
2
=
⋅
⋅
=⋅==÷⇒

NÚMEROS DECIMAIS

Adição e Subtração
“Vírgula sob vírgula”



Multiplicação
Obtém-se o produto e somam-se
as casas decimais de cada fator



Divisão

Numerador e denominador devem ter
o mesmo número de casas decimais

Fração Decimal: Denominador com Potências de 10 (10
n
)
b
a
b
a
b
a
−=
−
=
−
2
1
2
1
2
1
−=
−
=
−
⇒
b
ca
b
c
b
a ±
=± 1
5
5
5
23
5
2
5
3==
+
=+⇒
d
c
b
a
±
5
7
5
7
15
103
3 2
5
1
−=
−
=
−
=−⇒
Menor número que é múltiplo
de todos os denominadores
Evite trabalhar com números decimais!
Se o número for racional, é melhor
escrevê-lo na forma de fração!
8
10
1
;
1000
x
;
100
3
;
10
2
−
Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do traço de fração 2

3. POTÊNCIA

Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro
































Para “n” inteiro e 1n>

a.....aaa
n
⋅=

273333
3
=⋅⋅=

11......111
20
=⋅⋅=

9
4
3
2
3
2
3
2
2
=⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
16
1
44
1
4
1
4
1
2
2
=
⋅
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Lembre-se!
Base “a” negativa e expoente “n” par → resultado (+) () ()() 4222
2
+=−⋅−=−

Base “a” negativa e expoente “n” ímpar → resultado (-) () ()()() 82222
3
−=−⋅−⋅−=−
Propriedades
Mesma Base “a” Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes
nmnm
aaa
+
=⋅ 2433333
53232
===⋅
+

0a,aaa
a
a
aa
nmnm
n
m
nm
≠=⋅==÷
−−

4
1
2
1
2222
2
2
222
26464
6
4
64
====⋅==÷
−−−

() 0a,aa
nm
n
m
≠=
⋅

() 64222
632
3
2
===
⋅

Mesmo Expoente “n” Conserva a operação das bases (× ou ÷) e mantém o expoente
()
nnn
baba⋅=⋅ () 225155353
2222
==⋅=⋅
0b,
b
a
b
a
ba
n
n
n
nn
≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==÷
273
5
15
5
15
515
3
3
3
3
33
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==÷
)0a(
a
1
a
n
n
≠
=
−
n
mn
m
aa=

33
23
2
933==
222
2
12
1
== ()
4
1
2
1
1024
1
32
1
32
1
32
5
10
5
55
2
5
2
5
2
===⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−
−

Perceba a diferença!
256222
82222
3
===
⋅⋅
()() 644222
33
3
2
==⋅=
() 4222
2
−=⋅−=−
() ()() 4222
2
+=−⋅−=−
Para “n” inteiro e 1n≤

aa
1
=

22
1
=⇒


1a
0
=
1100
0
=⇒

125
1
555
1
5
1
53
3
=
⋅⋅
==⇒
−


4
9
2
3
2
3
2
3
3
2
22
=⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
−


4
9
2
3
2
3
2
3
3
2
22
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇒
−

)0a(
a
1
a
n
n
≠
=
−
Expoente Racional
O expoente “n” é uma Fração Irredutível com 0n≠ e 1n≠ 3

4. RADICIAÇÃO Raiz n-ésima de
n
a é o número “x” tal que, para 1n>

24=

)2n,2x,4a(===⇒

ax
n
=⇒ 42
2
=⇒

5125
3
=

)3n,5x,125a(===⇒ ax
n
=⇒ 1255
3
=⇒

2
1
16
1
4
=
)4n,
2
1
x,
16
1
a(===⇒

ax
n
=⇒
16
1
2
1
4
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒



























Propriedades
()
m
m
1
m
1
m
1
mm
babababa⋅=⋅=⋅=⋅

2040016251625==⋅=⋅
Para ()0b≠

636
10
360
10
360
10360 ====÷
mm
1
m
1
m
1
m
m
mm
b
a
b
a
b
a
b
a
ba =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
===÷

n
pn
p
p
n
1
p
n
aaaa==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
33
23
2
2
3
1
2
3
42222===
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

mnmn
1
m
1
n
1m
n
1
mn
aaaaa
⋅⋅
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
6
6
1
23
1
2
1
3
1
3
1
3
333333===
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
⋅


Índice da Raiz “n”
Par Ímpar
Radicando
“a”
Positivo
Duas Raízes Reais Simétricas

⎩
⎨
⎧
→=
→+=
⇒
Par2n
Positivo9a
9

()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=−
+=+
⇒±=
93
93
39
2
2

Uma Raiz Real e Positiva

⎩
⎨
⎧
→=
→+=
⇒
Ímpar3n
Positivo27a
27
3


()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+≠−=−
+=+
⇒+=
27273
273
327
3
3
3
Negativo
Não existe Raiz Real

⎩
⎨
⎧
→=
→−=
⇒−
Par2n
Negativo9a
9

()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≠+=−
−≠+=+
⇒∉−
993
993
R9
2
2

Uma Raiz Real e Negativa

⎩
⎨
⎧
→=
→−=
⇒−
Ímpar3n
Negativo27a
27
3


()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
−≠+=+
⇒−=−
273
27273
327
3
3
3
ax
n
=
Lembre-se: É melhor transformar Radicais em Potências antes de efetuar as operações!
Estudo das Raízes 4

5. Transformar uma fração que possui
no denominador raiz, não possível de
simplificação, em outra equivalente ,
eliminando a raiz do denominador
Racionalização de denominadores
Regra Geral: Se a fração for
nm
b
a
com n
m<, multiplica-se o numerador e o denominador por
n mn
b
−
b
ba
b
ba
b
ba
bb
ba
b
b
b
a
b
a
n mn
nn
n mn
n mnm
n mn
n mnm
n mn
n mn
n mn
nmnm
−−
−+
−
−
−
−
−
===
⋅
=⋅=

Exemplos:

2
23
2
23
2
23
22
23
2
2
2
3
2
3
2
32
1
121
12
12
12
12
12
2
1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=⋅==
−+
−
−
−
−
−

5
5
5
5
55
51
5
5
5
1
5
1
5
3
5
5
5
3
5
32
5
3
5
25
5
25
5
2
5
2
==
⋅
⋅
=⋅=
−
−
Dica!
Transformar Radicais em Potências ajuda a visualizar melhor as operações!
O mesmo resultado é obtido transformando a raiz do denominador em potência e
eliminado a fração desta
5
5
5
5
5
5
5
5
55
51
5
5
5
1
5
1
5
3
1
5
3
5
5
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
3
5
25
2
====
⋅
⋅
=⋅=
+

Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais
Exemplos
:
a)
4
1
7
1
4
7
7
4
77
4
3
7
3
1
4
9
73
4
973
4
1
2
7342
3
8
3
8
3
8
33
8
33
8
33
8
333
8
333
8
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
==
⋅
=

3
278
3
38
3
38
3
38
3
3
3
8
44
3
4
4
4
3
4
3
4
1
4
3
4
3
4
3
4
1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=⋅=
+

b)
3
3
1
3
2
1
3
2
3
2
2
1
3
4
3
4
3
13
55555
5
5
5
5
5
5
55
5
55
5
===⋅==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
⋅
=
−−
5

6. PRODUTOS NOTÁVEIS
Para quaisquer valores de “a” e “b” tem-se
()()()
22222
bab2abbaababababa++=+++=+=+⋅+

() () () 62526232232323
222
+=++=+⋅⋅+=+

()()()
22222
bab2abbaababababa+−=+−−=−=−⋅−

() () 24622442222222
222
−=+−=+⋅⋅−=−

()()
2222
babbaabababa−=−−+=−⋅+

() () () 231313131
22
−=−=−=+⋅−

()()()
322332
bab3ba3abababa+++=+=+⋅+

() 8x12x6x22x32x3x2x
2332233
+++=+⋅⋅+⋅⋅+=+

()()()
322332
bab3ba3abababa−+−=−=−⋅−

()
322332233
yyx3yx3xyyx3yx3xyx−+−=−⋅⋅+⋅⋅−=−
















Não Esqueça!
()
222
bab2aba++=+
()
222
bab2aba+−=−
()() bababa
22
−⋅+=−
Fique Atento!
()
222
baba+≠+ e ()
222
baba−≠−

()
333
baba+≠+ e ()
333
baba−≠−

O produto notável ()() bababa
22
−⋅+=− é utilizado para racionalizar frações que contenham
no denominador operações de adição ou subtração com radicais de índice dois.
()
()
()
()
( )( ) ( )
5
612
5
612
61
612
61
612
61
61
61
2
61
222
−
−=
−
−
=
−
−
=
−
−⋅
=
−
−
⋅
+
=
+

()
()
()
()
()
525
1
525
45
525
25
255
25
25
25
5
25
5
2
22
+=
+
=
−
+
=
−
+⋅
=
+
+
⋅
−
=
−
()
()
()
() ()
5
27
27
27
27
271
27
27
27
1
27
122
−
=
−
−
=
−
−⋅
=
−
−
⋅
+
=
+

Importante!
6

7. REGRA DE TRÊS












Regra de Três Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvam
quatro valores para as duas grandezas, onde três desses valores são conhecidos. O quarto valor é
determinado a partir dos três já conhecidos
Exemplo: Um Pacote de ração alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de ração serão
necessários para alimentá-los por um período de 75 dias?

Ração (pacotes) Período (dias)
1 25
x 75
Regra de Três Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relação de
proporção de cada grandeza separadamente.
Exemplo: Uma obra é construída em 200 dias por 20 operários trabalhando 6 hor as por dia. Quantos
operários serão necessários para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia?
Operários (nº) Período de trabalho (horas) Duração da Obra (dias)
20 6 200
x 8 100
Relação de Proporção Para Duas Grandezas Variáveis
Direta
→ Quando aumentando ou diminuindo uma delas
em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra
também aumenta ou diminui para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Garrafas de Refrigerante (unidade) Quantidade (litros) Queijo (kg) Preço (R$)
1 2 1 8,40
2 4 1/2 4,20
Inversa → Quando aumentando ou diminuindo uma delas
em duas, três ou “x” vezes, o valor da
outra diminui ou aumenta para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Pedreiros (nº) Execução do muro (dias) Máquina (nº) Produção de 100 velas (horas)
1 2 4 3
2 1 2 6
↑
↑ ↓ ↓
↑ ↑ ↓↓

Procedimentos Encontrar as grandezas Montar o raciocínio Comparar as grandezas
↑ ↑
raçãodepacotes3x
25
75
x
25
75
1
x=⇒=⇒=
30x
100
200
8
6
20
x=⇒⋅=Operários
↑ ↓↓
Operação onde se calcula proporções envolvendo duasou maisgrandezas
Proporção é a igualdade entre duas frações e as grandezas podem ser
direta ou inversamente proporcionais
Regra de três pode ser simples ou composta
Proporção
d
c
b
a
=

“a” está para “b” assim
como “c” está
para “d”7

8. PORCENTAGEM













Porcentagem
ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo (%) e indica a
divisão de um número por cem.

Exemplo:
Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o
equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preço percentual ao longo do período?

O resultado pode ser obtido através de uma regra de três simples:
Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%)
1994 8000 100
2006 13000 x
↑
↑
%5,621x
8
1300
x
8000
13000
100
x=⇒=⇒= O aumento percentual de preço no período foi de 62,7%
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
























UUnniiddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddoo SSII
NNoommee SSíímmbboolloo
CCoommpprriimmeennttoo mmeettrroo ]m[
MMaassssaa qquuiillooggrraammaa ]kg[
TTeemmppoo sseegguunnddooss ]s[
IInntteennssiiddaaddee ddee CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaaaa aammppèèrree ]A[
TTeemmppeerraattuurraa TTeerrmmooddiinnââmmiiccaa KKeellvviinn ]K[
IInntteennssiiddaaddee LLuummiinnoossaa ccaannddeellaa ]cd[
AAllgguunnss PPrreeffiixxooss ddoo SSII
FFaattoorr PPrreeffiixxoo SSíímmbboolloo
1
10
− ddeeccii d
2
10
−
cceennttii c
3
10
−
mmiillii m
6
10
−
mmiiccrroo μ
9
10
−
nnaannoo n
3
10 kkiilloo k
6
10 mmeeggaa M
Exemplos de conversão de unidades
Sistema Internacional de Medidas (SI) Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar
todas as espécies de grandezas, possibilitando ainda a operação com seus múltiplos e submúltiplos.
Conversão de m30 em mμ, mm, cm, dm e km
mμ mm cm dm km
Conversãoa

321
m
66
m101030
μ
−
××

321
mm
33
m101030
−
××
321
cm
22
m101030
−
××
321
dm
11
m101030
−
××

321
km
33
m101030××
−
Valor m10.3
7
μ mm000.30 cm000.3 dm300 km03,0
Outras Grandezas
Massa Tempo Velocidade Área Volume
Valor original kg5 h3 h/km60
2
cm120
37
mm10
Converter para ]g[ ]s[ ]s/m[
2
]m[
3
]m[
Conversão g105
3
× s36003×
s3600
m1060
3
×

22
)m10(120
−
×
337
)m10(10
−
×
Valor convertidovv g000.5 s800.10 s/m67,16
2
m012,0
3
m01,0 8

9. REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO
































Triângulo Retângulo é todo
triângulo que tem um ângulo reto
Catetos São os lados que formam o ângulo reto
Hipotenusa É o lado oposto ao ângulo reto
A soma dos ângulos internos em um triângulo vale 180 graus
oo
180βα90 =++
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo Retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa
222
cba+=
Exemplo: Determine o Valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:


Relações Trigonométricas Em Um Triângulo Retângulo
Cateto oposto Lado oposto ao ângulo (“lado em frente ao ângulo”)
Cateto adjacente Lado junto ao ângulo que não é a hipotenusa (“lado ligado ao ângulo”)
H
CO
Hipotenusa
OpostoCateto
(ângulo)sen ==

H
CA
Hipotenusa
AdjacenteCateto
(ângulo)cos ==
CA
CO
AdjacenteCateto
OpostoCateto
(ângulo)tg ==
x5a=

m6b=

x4c=

222
cba+=

() ( ) ()
222
x4m6x5+=⇒
222
x16m36x25+=
222
m36x16x25=−⇒
2222
m4xm36x9=⇒=⇒
m2xm4x
2
=⇒=
Dicas!
Exemplo:Determine os valores dos catetos para o triângulo retângulo
Cálculo do cateto “b”
m5b
m10
b
2
1
H
CO
)30(sen =⇒=⇒=
o ou
m5b
m10
b
2
1
H
CA
)60cos( =⇒=⇒=
o


Cálculo do cateto “c”
m
2
35
b
m10
c
2
3
H
CO
)60(sen =⇒=⇒=
o ou
m
2
35
b
m10
c
2
3
H
CA
)30cos( =⇒=⇒=
o
9

10. V
ALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS





















Função
Valores Notáveis
π→
o
180

6
30
π
=
o
4
45π
=
o

3
60π
=
o
Seno
2
1

2
2

2
3

Cosseno
2
3

2
2

2
1

Tangente
3
3

1

3


Estudo dos Sinais
Máximos e Mínimos das
Funções seno e cosseno
10

11. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º)


Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (30º) com as retas horizontai
s
tracejadas, assim, a tangente do triângulo superior é igual à razão entre
“1
-
y” e “x”
!
11

12. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (45º)





Â
ngulo de 45º indica a diagon al de um quadrado, portanto
“x” deve ser
igual a “y” ! 12

13. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (60º)





Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (60º) com as retas
horizontais tracejadas, formando um triângulo equilátero, logo,
“x” é igual a 1/2 ! 13

14. ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS





















Dois Lados Congruentes
(Dois Lados e Dois Ângulos Iguais)
Triângulo Isósceles


Três Lados e Três Ângulos Iguais

Triângulo Equilátero




Dois Lados Congruentes
(Dois Lados Iguais)

Trapézio
Isósceles






Dois Ângulos Retos

Trapézio
Retângulo
14

15. REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES































Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação de A em B é
função se cada elemento x de A possui somente um único correspondente em y.
Esta relação deve atender duas condições:
Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B
Cada elemento x de A deve ter um único correspondente y em B

Conjuntos Numéricos

Conjuntos dos Números Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos

IN = {0, 1, 2, 3, ... }


Conjuntos dos Números Inteiros: Inclui números inteiros negativos

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Conjuntos dos Números Racionais: Todo número que pode ser escrito na forma de fração

Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... }

Conjuntos dos Irracionais: É dízima não periódica

I = {..., COS 45º , ...., π , ... } COS 45º = 0,7071067 ...
π = 3,1415926 ...

Conjuntos dos Reais
: União dos números Racionais e Irracionais

R = Q ∪ I
Intervalos
Indica Inclusão
Indica Exclusão
∪ =
∩ =
Fechado:Inclui todos os números reais do intervalo,
incluindo os extremos ⇒ }7x3/Rx{≤≤−∈
→

Aberto:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo os extremos ⇒ }1x6/Rx{<<−∈ →

Semi-Abertos:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo um dos extremos ⇒ }9x5/Rx{<≤∈
→

Reta orientada que representa os Reais
Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. À direita da origem estão os
números positivos e à esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se
abscissa do ponto:

Reta Real
Função
Não função Função Não Função
15

16. Sistema Cartesiano Ortogonal
O sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relação. Este sistema
divide o plano em quatro quadrantes:


Gráfico de Uma Relação


Crescimento e Decrescimento de Uma Função
x aumenta e y aumenta: a função é crescente ⇒ [0, 2] e [7, 10]
x aumenta e y diminui: a função é decrescente ⇒ [2, 7]

Raiz ou Zero da Função
São os pontos onde o gráfico corta o eixo x. São cham ados raízes ou zero da
função, este último pelo fato de suas ordenadas serem nulas
São raízes ou zeros da função ⇒ 0, 4 e 10

Sinal de Uma Função
Se o gráfico estiver acima do eixo x: a função é positiva ⇒ ]0, 4[
Se o gráfico estiver abaixo do eixo x: a função é negativa ⇒ ]4, 10[
⇒ O ponto de interseção dos eixos é a origem do sistema
⇒ O ponto (x, y) são números reais e representam as ordenadas do ponto
⇒ Onde x é a abscissa e y a ordenada desse ponto
16

17. Classificação de Uma Função

Função Par e Função Ímpar
Uma função f: A → B é Par se, para cada x∈A, tem-se )x(f)x(f−=
Exemplo:
1x)x(f
4
+=

1x1)x()x(f
44
+=+−=−

ParFunção)x(f)x(f−=

Uma função f: A → B é Ímpar se, para cada x∈ A, tem-se )x(f)x(f−=−

Exemplo:
xx)x(f
3
+=

)xx(xx)x()x()x(f
333
+−=−−=−+−=−

ÍmparFunção)x(f)x(f−=−
O conjunto A é chamado de domínio de f: D= {1,2,3}
Cada elemento do domínio é representado pela letra x e é a
variável independente da função

O conjunto B é chamado de contradomínio de f: B= {1,2,3,4,5}
Cada elemento do contradomínio é representado pela letra y ou
f(x) , que é a variável dependente da função

O subconjunto de B que possui os elementos de y que estão
associados com x é chamado de conjunto imagem da função e
indicado por Im: Im= {2,3,4}

A função f possui domínio em A com imagens em B , ou seja,
f:A→B (lê-se f de A em B) e a expressão de correspondência
do exemple é:
y = f(x) = x + 1
17

18. REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU































Função Linear
Definição: Se 0b= a função )x(fy= é denominada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa
pela origem.
Exemplo: 0be1ax)x(fy=−=⇒−==



Função de Primeiro Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma bax)x(fy+== onde “a” e “b” são números reais,
com
0a≠, chama-se função
de primeiro grau.
Exemplos:
5be2a5x2)x(f==⇒+=
0be
3
2
ax
3
2
)x(f =−=⇒−=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 1be2a1x2)x(fy==⇒+==



O gráfico da função bax)x(fy+== é uma reta
x
)x(fy= )y,x(Par
-2 -3 (-2, -3)
-1 -1 (-1, -1)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)

3141)2(2)2(f−=+−=+−=−
1121)1(2)1(f−=+−=+−=−
1101)0(2)0(f=+=+=
3121)1(2)1(f=+=+=
5141)2(2)2(f=+=+=

x )x(fy= )y,x(Par
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 -1 (1, -1)

1)1()1(f=−−=−
0)0()0(f=−=
1)1()1(f −=−=
Como o gráfico de uma função

de 1º grau é uma reta são,
necessários somente dois pontos para representá-lo!
Se b = 0, a função é linear e seu gráfico
passa pela origem! 18

19. Taxa de Variação Média (TVM)

Para a função
1be2a1x2)x(fy
==⇒+== tem-se:






Função Constante
Definição: Se 0a=, a função )x(fy= é denominada de função constante e seu gráfico é uma reta
paralela ao eixo x.
Exemplo: 2be0a2)x(fy==⇒==




x
)x(fy=
)y,x(Par
-1 2 (-1, 2)
0 2 (0, 2)
1 2 (1, 2)

2)1(f=−
2)0(f=
2)1(f=
Se a = 0, a função é constante e seu
gráfico é paralelo ao eixo x
Função constante “não é” uma função
de primeiro grau!
x )x(fy= )y,x(Par
-2 -3 (-2, -3)
-1 -1 (-1, -1)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)

3141)2(2)2(f−=+−=+−=−
1121)1(2)1(f−=+−=+−=−
1101)0(2)0(f=+=+=
3121)1(2)1(f=+=+=
5141)2(2)2(f=+=+=

Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a
razão entre a diferença de dois valores quaisquer é constante: 2
1
2
x
y
12
35
01
13
)1(0
)1(1
)2
)3(1
==
Δ
Δ
=
−
−
=
−
−
=
−−
−−
=
−−−
−−−

A esta razão chama-se taxa de variação média. Sendo
1
x e
2
x
elementos do domínio de
)x(fe
12
xx>, tem-se:
12
12
12
12
xx
yy
xx
)x(f)x(f
x
y
TVM
− −
=
−
−
=
Δ
Δ
=

Para uma função do tipo
bax)x(fy
+== a TVM é:

12
12
12
12
12
12
xx
axax
xx
)bax()bax(
xx
)x(f)x(f
x
y
TVM
− −
=
−
+−+
=
−
−
=
Δ
Δ
=


a
xx
)xx(a
xx
axax
TVM
12
12
12
12
=
− −
=
−
−
=
Para uma função de 1º grau, a taxa de variação média (TVM) é igual a “a”!
A constante “a” é
chamada de
coeficiente
angular 19

20. Coeficiente Angular da Reta






Notar que:
aTVM
x
y
tag ==
Δ
Δ
=α

A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo
x fornece a taxa de variação média da função
ou Coeficiente Angular da reta!
Coeficiente Linear da Reta
A constante “b” é chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em 0x=.






Em x igual a zero (x = 0), o
gráfico corta o eixo y em “b”.
A constante “b” indica o
Coeficiente Linear da reta!
Estudo do Sinal de Uma Função de Primeiro Grau
Para analisar o sinal de uma função deve-se obter a raiz ou zero da função, ou seja, o valor da abscissa do
ponto onde o gráfico corta o eixo x, em 0y=. Assim:








20

21. Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Primeiro Grau
A função )x(f é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam.
Assim, para
xΔ e yΔ maiores que zero:
0a
x
y
>=
Δ
Δ
A função
)x(f é decrescente
se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem.
Assim, para
xΔ ou
yΔ menores que zero:
0a
x
y
<−=
Δ
Δ
Exemplo
:
a)
1be1a1x)x(fy==⇒+== b) 1be1a1x)x(fy
=−=⇒+−==
A função é crescente se 0a>
A função é decrescente se 0a<
x )x(fy= )y,x(Par
-2 -1 (-2, -1)
-1 0 (-1, 0)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 3 (2, 3)

11)2()2(f−=+−=−
01)1()1(f=+−=−
11)0()0(f=+=
21)1()1(f=+=
31)2()2(f=+=

x
)x(fy
= )y,x(Par
-2 3 (-2, 3)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, -1)

31)2()2(f
=+−−=−
21)1()1(f=+−−=−
11)0()0(f=+−=
01)1()1(f=+−=
11)2()2(f−=+−=

crescenteé)x(f0a⇒> edecrescenté)x(f0a⇒ < 21

22. REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU































Concavidade da Parábola







Função de segundo Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma cbxax)x(fy
2
++== onde “a”, “b” e “c” são
números reais, com
0a≠, chama-se função
de segundo grau ou função quadrática.
Exemplos:
2ce3b,1a2x4x)x(f
2
===⇒++= 0ce4b,1ax4x)x(f
2
==−=⇒+−=
1ce3b,2a1x3x2)x(f
2
=−==⇒+−= 4ce0b,10a4x10)x(f
2
==−=⇒+−=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 6x5x)x(fy
2
+−==

6be5b,1a
=−==


O gráfico da função

cbxax)x(fy
2
++==

é uma parábola

x )x(fy= )y,x(Par
-3 30 (-3, 30)
-2 20 (-2, 20)
-1 12 (-1, 12)
0 6 (0, 6)
1 2 (1, 2)
2 0 (2, 0)
3 0 (3, 0)

3061596)3(5)3()3(f
2
=++=+−−−=−
2061046)2(5)2()2(f
2
=++=+−−−=−
126516)1(5)1()1(f
2
=++=+−−−=−
66006)0(5)0()0(f
2
=++=+−=
26516)1(5)1()1(f
2
=+−=+−=
061046)2(5)2()2(f
2
=+−=+−=
061596)3(5)3()3(f
2
=+−=+−=


Como o gráfico de uma função

de 2º grau é
uma parábola é necessário determinar as
raízes e seu vértice para representá-lo!
Se a > 0 ⇒ Parábola com
concavidade voltada
para cima
Se a > 0 ⇒ Parábola com
concavidade voltada
para baixo
22

23. Raízes ou Zeros da Função de Segundo Grau
Definição: Os pontos onde o gráfico cbxax)x(fy
2
++== corta o eixo x (em 0y=) são chamados
raízes ou zeros da função. Para determinar as raízes usa-se a fórmula de Bháskara ou o método da soma e
produto de raízes.



Fórmula de Bháskara Soma e Produto de Raízes
Através da soma e produto das raízes é
possível determinar as raízes (geralmente
inteiras) de algumas expressões.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−
+
+−
=+=
2a
Δb
2a
Δb
xxSoma21

a
b
a2
b2
a2
bb
S −=
−
=
Δ+−Δ+−
=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ+−
==
a2
b
.
a2
b
x.xProduto21

2
22
2
22
a4
ac4bb
a4
)ac4b(b
Produto
+−
=
−−
=
a
c
a4
ac4
P
2
==
Exemplo
: 6x5x)x(fy
2
+−==
6c5b1a=−==
5
1
)5(
a
b
S =
−
−=−=
6
1
6
a
c
P ===
Quais são os números cuja soma é igual
a 5 e o produto igual a 6?
Os números são 2 e 3, pois:

532Soma
=+=
632Produto=×=

Assim:
3xe2x
21
==
cbxax)x(fy
2
++==
a2
b
x
Δ±−
=

ac4b
2
−=Δ
a2
b
xe
a2
b
x
21
Δ−−
=
Δ+−
=

Exemplo : 6x5x)x(fy
2
+−==
6c5b1a=−==
)6()1(4)5(ac4b
22
−−=−=Δ
12425=−=Δ
1.2
1)5(
a2
b
x
±−−
=
Δ±−
=

2
15
x
±
=

3
2
15
x
1
=
+
=

2
2
15
x
2
=
−
=
As raízes são 2 e 3
6x5x)x(fy
2
+−==
6)2(52)2(fy
2
+−==
0)2(fy==
6)3(53)3(fy
2
+−==
0)3(fy== 23

24. Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto de mínimo, se 0a>, ou o ponto de máximo, se 0a<, da função.







Para
0a=, tem-se que ccbxaxy
2
=++=, isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada “c”.
Por simetria, existe outro valor de x que resulta em
cy
=:







Como o ponto onde
a
b
x−=
é simétrico
em relação ao vértice:
2
a
b
x
v
−
=




Para
a2
b
x
v
−=
a4a4
)ac4b(
a4
ac4b2b
c
a2
b
a4
b
c
a2
b
b
a2
b
ay
222222
v
Δ−
=
−−
=
+−
=++=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=



Para cy=:
a
b
x
0x
0)bax(x
0bxax
ccbxax
2
1
2
2
−=
=
=+
=+
=++


a2
b
x
v
−=
a4
y
v
Δ
−=24

25. Estudo do Sinal de Uma Função de Segundo Grau
Para 0>Δ 0=Δ 0<Δ

Duas raízes reais
e
distintas
Duas raízes reais
e
iguais (raiz dupla)
Não possui raiz
real
(raízes imaginárias)
0a>


0a<



Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Segundo Grau
A função cbxax)x(f
2
++= é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y
aumentam. Caso contrário, a função é decrescente. O ponto onde a parábola passa de decrescente para
crescente ou vice-versa é o vértice.
Exemplo: 6c5b1a6x5x)x(fy
2
=−==⇒+−==
x
)x(fy= )y,x(Par
0 6 (0, 6) Corta o eixo y
1 2 (1, 2)
2 0 (2, 0) x 1
5/2 -1/4 (5/2, -1/4) Vértice
3 0 (3, 0) x 2
5 6 (5, 6)

66)0(5)0()0(f
2
=+−=
26)1(5)1()1(f
2
=+−=
06)2(5)2()2(f
2
=+−=
4/16)2/5(5)2/5()2/5(f
2
−=+−=
06)3(5)3()3(f
2
=+−=
66)5(5)5()5(f
2
=+−=
25

26. REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
































Funções Exponenciais
Definição: Uma função exponencial é definida como
x
a)x(f=, onde 1a≠ e 0a>.
Exemplos:
x
5)x(f=
x
2)x(f=
x
3
1
)x(f⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 1:
x
2)x(f=



1a2a>⇒=







Em
0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0(
Analisando a tendência
dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
0yx
yx

Exemplo 2:
x
2
1
)x(f⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=


1a05,02/1a<<⇒==








Em 0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0(
Analisando a tendência
dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞→⇒−∞→
→⇒+∞→
yx
0yx

x
)x(fy= )y,x(Par
-3 1/8 (-3, 1/8)
-2 1/4 (-2, 1/4)
-1 1/2 (-1, 1/2)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
x
2)x(f=
8/1)2()3(f
3
==−
−
4/1)2()2(f
2
==−
−
2/1)2()1(f
1
==−
−
1)2()0(f
0
==
2)2()1(f
1
==
4)2()2(f
2
==
8)2()3(f
3
==
x
)x(fy= )y,x(Par
-3 8 (-3, 8)
-2 4 (-2, 4)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 1/2 (1, 1/2)
2 1/4 (2, 1/4)
3 1/8 (3, 1/8)
x
)2/1()x(f=
8)2/1()3(f
3
==−
−
4)2/1()2(f
2
==−
−
2)2/1()1(f
1
==−
−
1)2/1()0(f
0
==
2/1)2/1()1(f
1
==
4/1)2/1()2(f
2
==
8/1)2/1()3(f
3
==
Função exponencial
crescente
Função exponencial
decrescente 26

27. Gráfico de Uma Função Exponencial











Exemplo 3
: Faça o gráfico da função
x
31)x(f+=

A base que tem o expoente x vale 3
crescentefunção1a3a⇒>⇒=
Em
0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )2,0(
21131)0(fy31)x(fy
0x
=+=+==⇒+==

Exemplo 4
: Faça o gráfico da função
1x
51)x(f
+
+=

A base que tem o expoente x vale 5
crescentefunção1a5a⇒>⇒=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em
0x
=)
65151)0(fy51)x(fy
101x
=+=+==⇒+==
++



Exemplo 5 : Faça o gráfico da função
2x
32)x(f
+
+=

A base que tem o expoente x vale 3
crescentefunção1a3a⇒>⇒=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em
0x
=)
119232)0(fy32)x(fy
202x
=+=+==⇒+==
++

Gráfico de Uma Função Exponencial













Outros Exemplos

Exemplo 1
: Faça o gráfico da função
x
31)x(f+=


Em 0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )2,0(
21131)0(fy31)x(fy
0x
=+=+==⇒+==
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
1yx
yx

x
31y+=
+∞→⇒∞+=+=+∞→
+∞
y131y:xPara
1y01
1
1
3
1
131y:xPara →⇒+=
∞
+=+=+=−∞→
∞+
∞−





Se a > 1 ⇒ Função
exponencial crescente
Se 0 < a < 1 ⇒ Função
exponencial decrescente
Para
x
a)x(f=

Para
x
a)x(f=
27

28. Gráfico de Uma Função Exponencial

Exemplo 2: Faça o gráfico da função
x2
21)x(f−=


Em 0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )0,0(
01121)0(fy21)x(fy
0x2
=−=−==⇒−==
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→⇒−∞→
−∞→⇒+∞→
1yx
yx

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→⇒−=
∞
−=−=−=−=−∞→
−∞→⇒∞−=−=−=+∞→
−=
∞+
∞−−∞×
∞++∞×
1y01
1
1
2
1
12121y:xPara
y12121y:xPara
21y
)(2
)(2
x2









Exemplo 3
: Faça o gráfico da função
1x
51)x(f
+
+=


Em 0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )6,0(
65151)0(fy51)x(fy
101x
=+=+==⇒+==
++

Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
1yx
yx

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→⇒+=+=+=+=−∞→
+∞→⇒∞+=+=+=+∞→
+=
∞+
∞−+∞−
∞++∞+
+
1y01
5
1
15151y:xPara
y15151y:xPara
51y
1
1
1x








28

29. Gráfico de Uma Função Exponencial

Exemplo 4: Faça o gráfico da função
x1
23)x(f
−
+−=


Em 0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0(−
12323)0(fy23)x(fy
01x1
−=+−=+−==⇒+−==
−−

Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞→⇒−∞→
−→⇒+∞→
yx
3yx

x1
23y
−
+−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+∞→⇒∞+−=+−=+−=+−=−∞→
−→⇒+−=
∞
+−=+−=+−=+−=+−=+∞→ ∞+∞+−∞−
∞+
∞−∞−+∞−
y3232323y:xPara
3y03
1
3
2
1
3232323y:xPara
1)(1
1)(1








Exemplo 5
: Faça o gráfico da função
2x
32)x(f
+
+=


Em 0x=, o gráfico corta o eixo y no ponto )11,0(
11923232)0(fy32)x(fy
2202x
=+=+=+==⇒+==
++

Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
2yx
yx

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→⇒+=+=+=+=−∞→
+∞→⇒∞+=+=+=+∞→
+=
∞+
∞−+∞−
∞++∞+
+
2y02
3
1
23232y:xPara
y23232y:xPara
32y
2
2
2x




29

30. O Número Neperiano (ou de Napier) ou Número exponencial
Também chamado de número de Euler ou de Néper, a constante matemática “ e” tem grande
importância, pois está presente na formulação de vários fenômenos naturais (desintegração radioativa,
crescimento populacional, etc.). É um número irracional e tem valor:



Associada ao número neperiano, a função exponencial de base “
e” é uma das mais importantes funções
da matemática:


... 459 828 281 2,718e=
x
ef(x)=
Equações Exponenciais
Definição: Uma equação exponencial possui expoentes como incógnita. São equações exponenciais:
82
x
=

3433
5x
=
−

25525
3xx
=×+
+









Para resolver equações exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade:








Antes: Lembretes de Potenciação e Radiciação
nmnm
aaa
+
=⋅
0a,a
a
a
nm
n
m
≠=
−

() 0a,aa
nm
n
m
≠=
⋅

()
nnn
baba⋅=⋅ 0b,
b
a
b
a
n
n
n
≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= n
mn
m
aa=
Se duas potências têm a mesma base, então os
expoentes são iguais. Assim, para a > 0 e a ≠ 0:
nmaa
nm
=⇔=
30

31. Equações Exponenciais
Exemplo 1: Resolva a equação 322
x
=
Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se:
5xx
22322=⇒=
Se a equação exponencial tem a mesma base, é possível igualar os expoentes:
5x22
5x
=⇔=

Exemplo 2
: Resolva a equação 255
4x
=
+

Reduzindo a mesma base:
24x4x
55255=⇒=
++

Igualando os expoentes:
2x42x24x55
24x
−=⇒−=⇒=+⇒=
+


Exemplo 3
: Resolva a equação
x32x
2
3
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+


Reduzindo a mesma base: x32x
x3
12xx32x
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
2
−+−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Igualando os expoentes:
5
2
x2x5x32x
3
2
3
2
x32x
−=⇒−=⇒−=+⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+


Exemplo 4
: Resolva a equação
27
1
3
2
xx2
=
−


Reduzindo a mesma base: 3xx2
3
xx2xx2
33
3
1
3
27
1
3
222
−−−−
=⇒=⇒=

Igualando os expoentes: 03x2x03xx23xx233
2223xx2
2
=++−⇒=+−⇒−=−⇒=
−−


Resolvendo a equação de 2º grau 03x2x
2
=++−:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−=
−===−=
==−=
3xe1x
3
a
c
Produtoe2
a
b
Soma
3c2b1a
21


Exemplo 5
: Resolva a equação
5
x32x
82=
−


Reduzindo a mesma base: () ()
5
x9
2
2x
5
x3
32
2x
5
x3
2
1
2x
5
x32x
22228282 =⇒=⇒=⇒=
− −
−−


Igualando os expoentes: ()()
13
10
xx1810x5x922x5
5
x9
2
2x
22
5
x9
2
2x
−=⇒=−⇒=−⇒=
−
⇒=
−
31

32. Equações Exponenciais
Exemplo 6: Resolva a equação
9
11
333
1x1xx
=−+
−+

Primeiramente, reduzir a equação a um membro em cada lado da igualdade:
9
11
3
3
3.33
9
11
33333
9
11
333
x
xx1x1xx1x1xx
=−+⇒=−+⇒=−+
−−+

Colocando em evidência
x
3: 1xxxx
x
xx
3
3
1
11
3
9
11
3
3
11
9
11
3
9
11
3
11
3
9
11
3
1
313
9
11
3
3
333
−
==×=⇒=⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⇒=−×+
Com a mesma base, é possível igualar os expoentes:
1x33
1x
−=⇒=
−


Exemplo 7
: Resolva a equação
x
x
2
5
44
=
+
() () 042520425225442
5
44
x
2
xx
x
2xxx
x
=+×−⇒=+×−⇒×=+⇒=
+
Fazendo uma mudança de variável do tipo
x
2m
= e substituindo na equação:
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==⇒===−=
=−==
=+−⇒=+×−
4me1m4
a
c
odutoPre5
a
b
Soma
4c5b1a
04m5m04252
21
2x
2
x

Fazendo novamente a troca da variável
x
2m
=:
0x22212m1mPara
x0xx
=⇒=⇒=⇒=⇒=
2x22242m4mPara
x2xx
=⇒=⇒=⇒=⇒=

Exemplo 8 : Resolva a equação 0ee
1xx2
=−
+

() 0eee0ee
x1
2
x1xx2
=×−⇒=−
+

Fazendo uma mudança de variável do tipo
x
em= e substituindo na equação:
() ⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
==⇒===−=
=−==
=⇒=−=⇒=−⇒=−
=−⇒=×−
eme0m0
a
c
Produtoee
a
b
Soma
0ceb1a
ou
em0emou0m0e)(mm0mem
0mem0eee 21
2
2x1
2
x

Fazendo novamente a troca da variável
x
em=:
IRxe0em0mPara
xx
∉⇒=⇒=⇒=
}1{spRe1xeeeeememPara
x1xx
−⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= 32

33. Logaritmos
Definição: O logaritmo de um número b na base a, com 0a>, 0b> e 1a≠, é um número x tal que:



Onde:
b indica o logaritmando

a indica a base

x indica o logaritmo

Exemplo 1
: Calcule o logaritmo 8log
2

O logaritmo de 8 na base 2 é:
3x2228x8log
x3x
2
=⇒=⇒=⇒=
Exemplo 2
: Calcule o logaritmo 3log
3

O logaritmo de 3 na base 3 é:
3
1
x3333x3log
x1/2x
3
=⇒=⇒=⇒=
Exemplo 3 : Calcule o logaritmo 63log
6

O logaritmo de 36 na base 6 é: () () 4xx
2
1
266663x63log
x
1/22
x
6
=⇒=⇒=⇒=⇒=
Exemplo 4
: Calcule o logaritmo 5log
5

O logaritmo de 5 na base 5 é:
1x5555x5log
x1x
5
=⇒=⇒=⇒=






Exemplo 5
: Calcule o logaritmo 100log
O logaritmo decimal de 100 é:
2x101001100x100log
x2x
=⇒=⇒=⇒=




baxblog
x
a
=⇔=

1alog
a
=
Logaritmos decimais são aqueles cuja base é 10. Nos logaritmos
decimais normalmente a base é omitida:
blogblog
10
=
Logaritmos neperianos ou naturais são aqueles cuja base é “e”.
Os logaritmos naturais são representados da seguinte forma:
bnlblog
e
= 33

34. Propriedades dos Logaritmos Resultantes da Definição
Para 0a>, 0b> e 1a≠:



Exemplo 1
: Calcule o logaritmo
4
2
2log
O logaritmo de
4
2 na base 2 é: 4x22x2log
x44
2
=⇒=⇒=

Exemplo 2
: Calcule o logaritmo 1log
9

O logaritmo de 1 na base 9 é:
0x9991x1log
x0x
9
=⇒=⇒=⇒=

Exemplo 3
: Calcule
9log
3
3
Fazendo x3
9log
3
= e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equação:
xlog9logxlog3logx3
333
9log
3
9log
33
=⇒=⇒=
9xx3xlog2xlog3logxlog9log
2
33
2
333
=⇒=⇒=⇒=⇒=


Exemplo 4
: Calcule o seguinte logaritmo 5log
5

O logaritmo de 5 na base 5 é:
1x5555x5log
x1x
5
=⇒=⇒=⇒=
Exemplo 4
: Calcule o seguinte logaritmo
3
enl
O logaritmo neperiano de
3
e é: 3xeexegolxenl
x33
e
3
=⇒=⇒=⇒=
Propriedades Operatórias dos Logaritmos







nlogmlog)nm(log
aaa
+ =×

nlogmlog
n
m
log
aaa
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

mlogpmlog
a
p
a
×=
Para
0m>, 0n>, 0a>, 1a≠ e IRp∈:
malog
m
a
= 01log
a
= ba
blog
a
= 34

35. Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Exemplo 1: Dado 0,4773loge0,3012log== calcule 6log
O logaritmo decimal de 6 é:
778,0477,0301,03log2log)32(log6log
=+=+=×=

Exemplo 2: Dado 0,4773loge0,3012log== calcule 4log12log−
0,4773log
4
12
log4log12log==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−

Exemplo 3 : Dado 0,4773loge0,3012log== calcule 36log
556,1477,02301,023log32log23log2log)32(log36log
2222
=×+×=×+×=+=×=

Exemplo 4
: Dado x3plogexnlog,x2mlog=== , calcule
32
25
p
nm
log
() plog
3
2
nlog2mlog5plognlogmlogplognmlog
p
nm
log
3/2253225
32
25
−+=−+=−=
x10x2x2x10x3
3
2
x2x25plog
3
2
nlog2mlog5 =−+=×−×+×=−+







Exemplo 1
: Dado 0,4773loge0,3012log==, calcule 3log
2

O logaritmo de 3 na base 2 é: 585,1
0,301
0,477
2log
3log
3log
2
===

Exemplo 2 : Calcule 5log4log3log8log
2543
×××
2log
5log
5log
4log
4log
3log
3log
8log
5log4log3log8log
2543
×××=×××
Simplificando:
32log32log8log
2log
8log
5log4log3log8log
2
3
222543
=×====×××
Mudança de Base
Para resolver operações que envolvam Logaritmos com bases diferentes.
nlog
mlog
mlog
n
=
35

36. Funções Logarítmicas
Uma função logarítmica é definida como xlog)x(f
a
= , onde 1a≠ e 0a>. A base do logaritmo x é a e
o
domínio
da função logarítmica é composto pelos
*
IR
+.
Exemplos: xlog)x(f
3
= xlog)x(f
3/1
=
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 1: xlog)x(f
2
=


1a2a>⇒=








Em 0y=, o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(

Analisando a
tendência
dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
−∞→⇒→
+∞→⇒+∞→
y0x
yx

Exemplo 2: xlog)x(f
2/1
=


1a02/1a<<⇒=









Em 0y=, o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(

Analisando a
tendência
dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞→⇒→
−∞→⇒+∞→
y0x
yx

x
)x(fy= )y,x(Par
1/8 -3 (1/8, -3)
1/4 -2 (1/4, -2)
1/2 -1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
4 2 (4, 2)
8 3 (8, 3)


Função logarítmica
crescente
Função logarítmica
decrescente
xlog)x(f
2
=
32log)8/1(log)8/1(f
3
22
−===
−
22log)4/1(log)4/1(f
2
22
−===
−
12log)2/1(log)2/1(f
1
22
−===
−
02log1log)1(f
0
22
===
12log)2(f
2
==
22log4log)4(f
2
22
===
32log8log)8(f
3
22
===
x
)x(fy= )y,x(Par
1/8 3 (1/8, -3)
1/4 2 (1/4, -2)
1/2 1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, 1)
4 -2 (4, 2)
8 -3 (8, 3)
xlog)x(f
2/1
=
32log)8/1(log)8/1(f
3
2/12/1
===
−
22log)4/1(log)4/1(f
2
2/12/1
===
−
12log)2/1(log)2/1(f
1
2/12/1
===
−
02log1log)1(f
0
2/12/1
===
12log)2(f
2/1
−==
22log4log)4(f
2
2/12/1
−===
32log8log)8(f
3
2/12/1
−=== 36

37. Gráfico de Uma Função Logarítmica











Outros Exemplos

Exemplo 1
: Faça o gráfico da função )x1(log)x(f
5
+=


Em 0y=, o gráfico corta o eixo x no ponto )0,0(:
0xx11x15)x1(log0)x1(log)x(fy
0
55
=⇒+=⇒+=⇒+=⇒+==
Na função dada, o logaritmando é diferente de
x
(xb≠). Para avaliar os valores que x pode assumir na
função, utiliza-se a condição de que
b
é positivo (0b>). Assim: 1x0x1−>⇒>+
Desta forma, tem-se que
x
pode assumir valores dentro do intervalo: [,1]∞+−
Analisando a
tendência
dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
−∞→⇒−→
+∞→⇒+∞→
y1x
yx

)x1(logy
5
+=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−∞→⇒=⇒=⇒=⇒−=−+=−→
+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→
∞−
∞+
y5505)0(logy)11(log)]1(1[logy:1xPara
y555)(logy)1(logy:xPara
yy
555
yy
55


Se 0 < a < 1 ⇒ Função
logarítmica decrescente
Para xlog)x(f
a
=
Para xlog)x(f
a
=

Se a > 1 ⇒ Função
logarítmica crescente 37

38. Gráfico de Uma Função Logarítmica

Exemplo 2: Faça o gráfico da função xlog1)x(f
3
+=


Rearranjando a função:
)x3(log)x(fxlog3logxlog1)x(f
3333
=⇒+=+=

Em 0y=, o gráfico corta o eixo x no ponto )0,3/1(:
3/1xx31x33)x3(log0)x3(log)x(fy
0
33
=⇒=⇒=⇒=⇒==
Como
0b>, tem-se: 0x0x3>⇒>. Assim, o intervalo
de valores que x pode assumir é [,0]∞+
.

Analisando a
tendência
dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
−∞→⇒→
+∞→⇒+∞→
y0x
yx

)x3(logy
3
=
+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=+∞×==+∞→
+∞
y333)(log)](3[log)x3(logy:xPara
yy
333
−∞→⇒=⇒=⇒=⇒=×=→
−∞
y3303)0(logy)0(log)03(logy:0xPara
yy
333


Exemplo 3
: Faça o gráfico da função )x2(log)x(f
4/1
+=


Em 0y=, o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(−
1xx21x2)4/1()x2(log0)x2(log)x(fy
0
4/14/1
−=⇒+=⇒+=⇒+=⇒+==
Como
0b>, tem-se: 2x0x2−>⇒>+. O intervalo
de valores que x pode assumir é [,2]∞+−
.

Analisando a
tendência
dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞→⇒−→
−∞→⇒+∞→
y2x
yx

)x2(logy
4/1
+=
−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→
+∞−
y44)4/1()(logy)2(logy:xPara
yy
4/14/1
+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−+=−→
−∞−−
y44040)4/1()0(logy)]2(2[(logy:2xPara
yyy
4/14/1





38

39. Gráfico de Uma Função Logarítmica

Exemplo 4: Faça o gráfico da função xlog1)x(f
3
−=

Rearranjando a função:
x
3
logxlog3logxlog1)x(f
3333
=−=−=
)x/3(logxlog3logxlog1)x(f
3333
=−=−=
)3/x(log)1()3/x(log)x/3(log)x(f
3
1
33
×−===
−

Fazendo uma mudança de base:
3log
)3/x(log
)1()3/x(log)1()x(f
3
×−=×−=
1
3log
)3/x(log
3log)1(
)3/x(log
3log
)3/x(log
)1()x(f
−
=
×−
=×−=
)3/x(log
3log
)3/x(log
)x(f
1
31
−
==
−

)3/x(log)x(f
3/1
=
Em
0y=, o gráfico corta o eixo x no ponto )0,3(
3x3/x13/x)3/1()3/x(log0)3/x(log)x(fy
0
3/13/1
=⇒=⇒=⇒=⇒==
Para
0x03/x>⇒>. O intervalo
de valores que x pode assumir é [,0]∞+
.

Analisando a
tendência
dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
+∞→⇒→
−∞→⇒+∞→
y0x
yx

)3/x(logy
3/1
=
−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒+∞=+∞→
+∞−
y33)3/1()(logy)3/(logy:xPara
yy
3/13/1

+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=→
−∞−−
y33030)3/1()0(logy)3/0(logy:0xPara
yyy
3/13/1





39

40. REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES





















Conceito
O conceito de módulo pode ser associado à distância de um ponto na reta dos reais em relação à origem:


Apesar do bloco “A” estar na posição -10 unidades e o bloco “B”, 10 unidades, ambos estão à mesma
distância: 10 unidades.




Módulo ou Valor Absoluto

Definição
: Módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número se este for positivo ou nulo,
e seu oposto, caso seja negativo. Assim:
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0xse,x
0xse,x
|x|

Exemplos
:
5|5|= 5)5(|5|=−−=−

110|110|−=− 46)46(|46|+−=−−=−

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<⇒<−+−=−−
≥⇒≥−−
=−
2x02xse,2x)2x(
2x02xse,2x
|2x|


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<⇒<+−−+−=+−−
≥≤⇒≥+−+−
=+−
3x103x4xse,3x4x)3x4x(
3xou1x03x4xse,3x4x
|3x4x| 222
22
2

Outros exemplos
Somar -4 ⇔ subtrair 4 ⇒
4a)4(a
−⇔−+
-13ºC
⇔ 13ºC abaixo de zero
Lembrar que:
0|x|≥
22
x|x|= |x|x
2
=
Se
0a≥ e a|x|
=, então ax−= ou ax= 40

41. Gráfico de Uma Função Modular
Exemplo 1: |x|)x(f=











Exemplo 2
: |2x|)x(f+=









x
)x(fy= )y,x(Par
-3 3 (-3, 3)
-2 2 (-2, 2)
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 2 (2, 2)
3 3 (3, 3)
|x|)x(f=
3|3|)3(f=−=−
2|2|)2(f=−=−
1|1|)1(f=−=−
0|0|)0(f==
1|1|)1(f==
2|2|)2(f==
3|3|)3(f==

x
)x(fy= )y,x(Par
-5 3 (-5, 3)
-4 2 (-4, 2)
-3 1 (-3, 1)
-2 0 (-2, 0)
-1 1 (-1, 1)
0 2 (0, 2)
1 3 (1, 3)
|2x|)x(f+=
3|3||25|)5(f=−=+−=−
2|2||24|)4(f=−=+−=−
1|1||23|)3(f=−=+−=−
0|0||22|)2(f==+−=−
1|1||21|)1(f==+−=−
2|2||20|)0(f==+=
3|3||21|)1(f==+=

Função Modular

Definição: É a função real |x|)x(f= onde
⎩
⎨
⎧
<−
≥
= 0xse,x
0xse,x
)x(f

Exemplos:
|x|)x(f= 2|x|)x(f+= |1x|)x(f
2
−= 10|x2|)x(f
+−=
Gráfico de Uma Função Modular
Se a função modular fo r do tipo f(x) = | g(x) | é possível usar o seguinte
procedimento:
1º - Identificar g(x) e fazer seu gráfico
2º - Girar a parte negativa do gráfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x 41

42. Gráfico de Uma Função Modular do Tipo f(x) = | g(x) |
Exemplo 1: |2x2|)x(f−=


2x2)x(g|)x(g|)x(f−=→=









Exemplo 2
: |6x5x|)x(f
2
+−=

6x5x)x(g|)x(g|)x(f
2
+−=→=








Exemplo 3
: |24|)x(f
x1−
+−=

x1
24)x(g|)x(g|)x(f
−
+−=→=









Gráfico de
2x2)x(g−=

Gráfico de |2x2||)x(g|)x(f−==

Gráfico de 6 x5x)x(g
2
+−=

Gráfico de |6x5x||)x(g|)x(f
2
+−==

Gráfico de
x1
24)x(g
−
+−=

Gráfico de |24||)x(g|)x(f
x1−
+−==42

43. Gráfico de Uma Função Modular

Outros tipos de funções modulares e suas representações gráficas:

Exemplo 1: |x|x2)x(f=



⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−=⇒−=⇒<
==⇒=⇒≥
== 2
2
x2)x(x2)x(fx|x|0xPara
x2)x(x2)x(fx|x|0xPara
|x|x2)x(f




Exemplo 2
: |1x||1x|)x(f−++=


321321
21
)x(f)x(f
|1x||1x|)x(f−++=

1xraiz|1x|)x(f
1
−
=⇒⇒+=
1xraiz|1x|)x(f
2
=⇒⇒−=


assim:


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<<−
−≤−
=−++=
1xpara,x2
1x1para,2
1xpara,x2
|1x||1x|)x(f
43

44. Equações Modulares

Definição: São equações que envolvem funções modulares.

Exemplo 1: 1|1x2|=+


É necessário analisar as duas condições. Resolvendo:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=⇒=−−⇒<+
=⇒=+⇒≥+
1x11x201x2Para
0x11x201x2Para

A solução da equação
}0,1{S
−=

Exemplo 2: |5x||3x3|−=−


É necessário analisar as duas condições escolhendo apenas uma das funções modulares para inverter o
sinal.
Resolvendo:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒−=+−⇒<−
−=⇒−=−⇒≥−
2x5x3x303x3Para
1x5x3x303x3Para


A solução da equação }2,1{S
−=

Exemplo 3: 4x|1x2|−=−

É necessário garantir a existência do módulo, pois
0|x|≥, assim:
4x04x≥⇒≥−
Resolvendo:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒−=+−⇒<−
−=⇒−=−⇒≥−
3/5x4x1x201x2Para
3x4x1x201x2Para


A solução da equação
=S∅
Testes
Para 0x=:
1|1|1|102|1|1x2|=⇒=+×⇒=+
Para
1x
−=:
1|1|1|12|
1|1)1(2|1|1x2|
=−⇒=+−
=+−×⇒=+

Testes
Para 1x−=:
|6||6||51||33|
|5)1(||3)1(3||5x||3x3|
−=−⇒−−=−−
−−=−−×⇒−=−

Para
2x
=:
|3||3||3||36|
|52||323||5x||3x3|
−=⇒−=−
−=−×⇒−=−

Testes
Para 3x−=:
0|x|pois,servenão7|7|
7|16|
43|1)3(2|4x|1x2|
≥⇒−=−
−=−−
−−=−−×⇒−=−

Para
3/5x
=:
0|x|pois,servenão3/7|3/7|
3/7|13/10|
43/5|1)3/5(2|4x|1x2|
≥⇒−=
−=−
−=−×⇒−=−
44

45. Equações Modulares

Exemplo 4: x3|4x|
2
=−


É necessário garantir a existência do módulo:
0x0x3≥⇒≥
Resolvendo:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
−=
⇒=+−−⇒=+−⇒<−
⎩
⎨
⎧
=
−=
⇒=−−⇒=−⇒≥− 1x
4x
raízes04x3xx34x04xPara
4x
1x
raízes04x3xx34x04xPara
2
1222
2
1222


A solução da equação }4,1{S=











Exemplo 5
: 02|x||x|
2
=−+


Fazer a|x|= e substituir na equação modular:

⎩
⎨
⎧
=
−=
⇒=−+⇒=−+
1x
2x
raízescomgrauº2doequação02aa02|x||x|2
122

Substituindo novamente:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−=
=−=
=
≥−=
⇒=
1|1|pois,1x
1|1|pois,1x
1|x|
0|x|pois,servenão2|x|
a|x|


A solução da equação }1,1{S
−=
Testes
Para 4x−=:
0|x|pois,servenão12|12|12|416|)4(3|4)4(|x3|4x|
22
≥⇒−=⇒−=−⇒−×=−−⇒=−
Para
1x−=:
0|x|pois,servenão3|3|3|41|)1(3|4)1(|x3|4x|
22
≥⇒−=−⇒−=−⇒−×=−−⇒=−
Para
1x=:
0|x|pois,serve3|3|3|41|13|4)1(|x3|4x|
22
≥⇒=−⇒=−⇒×=−⇒=−
Para
4x=:
0|x|pois,serve12|12|12|416|43|4)4(|x3|4x|
22
≥⇒=⇒=−⇒×=−⇒=− 45

46. Equações Modulares

Exemplo 6: 10|1x||3x|=++−


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=⇒⇒+=
=⇒⇒−=
⇒=++−
1xraiz|1x|)x(f
3xraiz|3x|)x(f
10|1x||3x|
2
1
)x(f)x(f
21
321321





assim, para 10|1x||3x|=++− a solução pode ser:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=−
⇒≠
−=⇒=+−
6x102x2:Casoº3
soluçãotemNão104:Casoº2
4x102x2:Casoº1


A solução da equação }6,4{S
−=

Exemplo 7: 2|1x||3x|−=+−−

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=⇒⇒+=
=⇒⇒−=
⇒−=+−−
1xraiz|1x|)x(f
3xraiz|3x|)x(f
2|1x||3x|
2
1
)x(f)x(f
21
321321




assim, para 2|1x||3x| −=+−− a solução pode ser:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇒−≠−
=⇒−=+−
⇒−≠
soluçãotemNão24:Casoº3
2x22x2:Casoº2
soluçãotemNão22:Casoº1


A solução da equação }2{S=
Testes
Para 4x−=: Para 6x=:
1037
10|3||7|
10|14||34|
10|1x||3x|
=+
=−+−
=+−+−−
=++−

1073
10|7||3|
10|16||36|
10|1x||3x|
=+
=+
=++−
=++−

Teste
Para 2x=:
231
2|3||1|
2|12||32|
2|1x||3x|
−=−
−=−
−=+−−
−=+−−
46

47. REVISÃO: INEQUAÇÕES
































Função de Primeiro Grau
Definição: Uma inequação se caracteriza pela presença dos seguintes sinais de desigualdade:



Exemplos
:


0
1x
3x
1x4)1x(2
x104
5
x
01x2
≥
−
+
−<−+
+<−
≤+



0
3
1
x2x3
01x2x
01x5x6
06x8x2
2
2
2
2
≥++
<−−
≤+−
>+−

Inequações Produto e Quociente




Uma inequação
do tipo produto ou quociente é resolvida através do estudo dos
sinais das funções que fazem parte da inequação. Inicialmente, são
determinados os sinais de cada função, separadamente, na reta dos reais.
Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que
satisfazem a inequação.
≤≥<> ou,,
Inequações do 1º Grau

Produto
0)x32()4x2(<−−
Quociente
0
x2
5x
≥
−
−

Inequações do 2º Grau
47

48. Inequações Produto e Quociente
Exemplo 1: Resolva a inequação 0)8x2()6x3(<−+−
Primeiramente, estudam-se os sinais de cada função
0)8x2()6x3(
21
)x(f)x(f
<−+−
4342143421
separadamente:
Sinal de
1)x(f Sinal de
2)x(f

2x
06x3
6x3)x(f
1
=
=+−
+−=

4x
08x2
8x2)x(f
2
=
=−
−=

Na reta dos reais:

Exemplo 2: Resolva a inequação 0
x1
3x
≥
−
+




Estudando os sinais de
}
{
0
x1
3x
2
1
)x(f
)x(f
≥
−
+ tem-se:
Sinal de
1)x(f Sinal de
2)x(f

3x
03x
3x)x(f
1
−=
=+
+=

1x
0x1
x1)x(f
2
=
=−
−=


Na reta dos reais:




Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o produto )8x2()6x3(−+− seja
menor que zero, são: }4xou2x/IRx{S><∈=
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o quociente de
x1
3x
−
+
seja maior
ou igual à zero, são: }1x3/IRx{S<≤−∈= . O
valor 1 foi excluído da solução, pois torna o
denominador igual à zero:
3313
Muito cuidado com ine quações do tipo quociente! Nunca cancele
o denominador se nele aparecer uma incógnita. Se na inequação
aparecer ≥ ou ≤, lembrar que a raiz da função no denominador
não faz parte da solução, pois não existe divisão por zero!
48

49. Inequações Produto e Quociente
Exemplo 3: Resolva a inequação 0
4x
3<
−
Na inequação, o numerador é positivo. Para que o quociente seja negativo é necessário que o
denominador seja negativo 0)(
)(
)(<−=
−
+
⇒. Assim, determinam-se os valores de x
que tornam o
denominado negativo:

Resolvendo a inequação 04x<
− :

4x
04x
<
<−


Exemplo 4
: Resolva a inequação 1
2x
1x2−≤
+
−















Exemplo 5
: Resolva a inequação 0)5x(
4
≥+
Para qualquer valor real de x a função
4
)5x()x(f+= é positiva. Isso ocorre porque independente do
valor de
)5x(+, essa soma tem expoente
par, fazendo com que )x(f seja sempre positiva ou igual a
zero. Assim:

Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o
quociente
4x
3
−
seja menor que zero, são: }4x/IRx{S<∈=
Sinal de
1)x(f Sinal de
2)x(f
3
1
x
01x3
1x3)x(f
1
−=
=+
+=

2x
02x
2x)x(f
2
−=
=+
+=


Na reta dos reais:
{
0
2x
1x3
0
2x
)2x(1x2
01
2x
1x2
1
2x
1x2
2)x(f
1
)x(f
≤
+
+
≤
+
++−
≤+
+
−
−≤
+
−
876

Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo
com que o
quociente
de
2x
1x2
+
−
seja menor ou igual à
-1, são: { }
3
1
x2/IRxS
−≤<−∈= . O valor -2
foi
excluído da solução, pois torna o denominador nulo.
Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x(
4
≥+, fazendo com
que seu resultado seja
maior
ou igual a zero, são os reais: }IR{S= 49

50. Inequações Produto e Quociente e Sistemas de Inequações
Exemplo 6: Resolva a inequação 0)5x(
3
<+
Para que a função
3
)5x()x(f+= seja negativa
, é necessário que a valor de )5x(+ seja negativo, pois
essa soma tem
expoente
ímpar. Bases negativas de expoente ímpar resultam em valores negativos.
Assim:
5x
05x
−<
<+


Exemplo 7
: Resolva a inequação 137x21≤+<−
Para se resolver inequações do
primeiro
grau do tipo simultânea (com duas desigualdades) deve-se
isolar x na desigualdade:
3x4
2
6
x
2
8
6x28
713x271
137x21
≤<−
≤<−
≤<−
−≤<−−
≤+<−

Exemplo 8
: Resolva a inequação 53x1≤+−<
Isolando x na desigualdade:
2x2
35x31
53x1
≤−<−
−≤−<−
≤+−<





Exemplo 9
: Resolva o sistema
⎩
⎨
⎧
+≤−
+>+
5x1x2
7x10x2

Cada inequação é resolvida separadamente:

3x
107xx2
7x10x2)x(f
1
−>
−>−
+>+=

6x
15xx2
5x1x2)x(f
2
≤
+≤−
+≤−=




Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x(
3
≥+, fazendo com
que seu resultado seja
menor
que zero, são: }5x/IRx{S−<∈= .
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea, fazendo
com que a substituição de “x” em
7x2
+ resulte em um valor
pertencente ao intervalo
]]13,1
− , são: }3x4/IRx{S≤<−∈= .
O sentido da desigualdade é
invertido quando a inequação
é
multiplicada
por (-1).
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea 53x1≤+−< , fazendo
com que seu resultado pertença ao intervalo ]]5,1, são: }2x2/IRx{S<≤−∈= .
Multiplicando por
1)(
−:

2x2
ou
2x2
<≤−
−≥>+

Os valores de x devem satisfazer as
duas inequações do sistema. Para tal,
é feita uma
intersecção
das soluções
encontradas para cada inequação.
Os valores de x que satisfazem o sistema de
inequações, fazendo com que 7x10x2+>+ e
5x1x2+≤− , são: }6x3/IRx{S≤<−∈= . 50

51. Inequações do Segundo Grau
Definição: Qualquer inequação do tipo 0cbxax
2
>++, 0cbxax
2
<++, 0cbxax
2
≥++ ou
0cbxax
2
≤++, onde a, b e c são constantes com 0a≠, é chamada de inequação do segundo grau.
Exemplos:
025x10x
010x3x
2
2
≥+−
≤++−

01x2x
01x2x
2
2
>++
<−−


Uma inequação
do 2º Grau é resolvida através do estudo do sinal da função.

Exemplo 1: Resolva a inequação 02xx
2
<−−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe1x2
a
c
Produtoe1
a
b
Soma
2ce1b1,a
21





Exemplo 2
: Resolva a inequação 010x3x
2
≥++−

Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒<
=−=⇒−===−=
==−=
baixoparaeconcavidadcomParábola0a
5xe2x01
a
c
Produtoe3
a
b
Soma
10ce3b1,a
21





Exemplo 3
: Resolva a inequação 06x5x
2
≥+−

Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe2x6
a
c
Produtoe5
a
b
Soma
6ce5b1,a
21




A solução de 2xx)x(f
2
−−=
deve ser menor que zero:

Os valores de x que satisfazem a inequação
02xx
2
<−−, fazendo com que seu resultado seja
menor que zero, são: }2x1/IRx{S <<−∈=
A solução de 10x3x)x(f
2
++−=
deve ser menor ou igual à zero:

Os valores de x que satisfazem a inequação
010x3x
2
≤++−, fazendo com que seu resultado seja
menor ou igual à zero, são: }5x2/IRx{S≤≤−∈=
A solução de 6x5x)x(f
2
+−=
deve ser maior ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
06x5x
2
≥+−, fazendo com que seu resultado seja maior
ou igual à zero, são: }3xou2x/IRx{S ≥≤∈=51

52. Inequações do Segundo Grau
Exemplo 4: Resolva a inequação 04x4x
2
≤+−

Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe2x4
a
c
Produtoe4
a
b
Soma
4ce4b1,a
21





Exemplo 5
: Resolva a inequação 05x2x
2
≥−+−

Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒<
−−=+−=⇒±−=
±−
=
−±−
=
−±−
=
Δ±−
=⇒−=−=Δ
−
==−=
baixoparaeconcavidadcomParábola0a
i21xei21xi21x
2
i42
2
1162
1.2
162
x
a2
b
x16ac4b
5ce2b1,a
21
2






Exemplo 6
: Resolva a inequação 02x4x3
2
≥+−

Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
−
=
+
=⇒
±
=
±
=
−±
=
−±−−
=
Δ±−
=⇒−=−=Δ
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
6
i22
xe
3
i22
x
3
i22
x
6
i224
6
184
3.2
8)4(
x
a2
b
x8ac4b
2ce4b,3a
21
2


A solução
de 4x4x)x(f
2
+−=
deve ser menor ou igual à zero:

Os valor de x que satisfaz a inequação 04x4x
2
≤+−, fazendo
com que seu resultado seja
menor
ou igual à zero, é: }2{S=
A solução de 5x2x)x(f
2
−+−=
deve ser maior ou igual à zero:


Não existem valores de x que satisfazem a inequação 05x2x
2
≥−+−. Isso
ocorre porque a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função
5x2x)x(f
2
−+−=. Paralelo a isso, a função tem raízes
imaginárias e, portanto,
seu gráfico
não
corta o eixo real x. Sendo assim, a solução é: ou}{S= =S∅.
A solução de 2x4x3)x(f
2
+−=
deve ser maior ou igual à zero:


Os valores de x que satisfazem a
inequação
02x4x3
2
≥+−, fazendo
com que seu resultado seja
maior
ou
igual a zero, são os reais: }IR{S=
Lembrar que:
1i−= 52

53. Inequações do Segundo Grau
Exemplo 7: Resolva a inequação 14x5x0
2
≤−<
Primeiramente, resolve-se o sistema:
⎩
⎨
⎧
−−=
−=
⇒
⎩
⎨
⎧
≤−−
>−
⇒
⎩
⎨
⎧
≤−
>−
14x5x)x(f
x5x)x(f
014x5x
0x5x
14x5x
0x5x
2
2
2
1
2
2
2
2


Solução de
1)x(f: x5x)x(f
2
1
−=
Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
5xe0x0
a
c
Produtoe5
a
b
Soma
0ce5b1,a
21



Solução de
2)x(f: 14x5x)x(f
2
2
−−=
Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−==−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
7xe2x14Produtoe5
a
b
Soma
14ce5b1,a
21


Na reta dos reais e fazendo a intersecção:



Exemplo 8: Resolva a inequação () ( )06x7x7x2x
22
≤+−++
Estudam-se os sinais de cada função
()
( )06x7x7x2x
2
2
1
2
)x(f)x(f
≤+−++
44344214434421 separadamente:
Solução de
1)x(f: 7x2x)x(f
2
1
++=
Gráfico
:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
−=+=⇒±=
±
=
×±−
=
−±−
=
−±−
=
Δ±−
=⇒−=−=Δ
===
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
i61xei61xi61x
2
i622
2
i642
x
2
1242
1.2
242
x
a2
b
x24ac4b
7ce2b,1a
21
2

A solução
de x5x)x(f
2
1
−=
deve
ser maior que zero:

A solução de 14x5x)x(f
2
2
−−=
deve
ser maior que zero:
Os valores de x que satisfazem a
inequação
14x5x0
2
≤−<, fazendo com
que o resultado da função
x5x)x(f
2
−=
pertença ao intervalo ]]14,0, são:
}7x5ou0x2/IRx{S
≤<<≤−∈=
A solução de 7x2x)x(f
2
1
++=
deve
ser menor ou igual à zero:

53

54. Inequações do Segundo Grau
Solução de
2)x(f: 6x7x)x(f
2
2
+−=
Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
6xe1x6
a
c
Produtoe7
a
b
Soma
6ce7b1,a
21


Na reta dos reais e fazendo a intersecção:

Exemplo 9: Resolva a inequação 0
3x2x
xx
2
2
≥
−+
−

Estudando os sinais de cada função
0
3x2x
xx
2
)x(f
1
)x(f
2
2
≥
−+
−
43421
876 separadamente:
Solução de
1)x(f:
2
1
xx)x(f−=

Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒<
==⇒===−=
==−=
aixobparaeconcavidadcomParábola0a
1xe0x0
a
c
Produtoe1
a
b
Soma
0ce1b1,a
21

Solução de
2)x(f: 3x2x)x(f
2
2
−−=

Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe1x3
a
c
Produtoe2
a
b
Soma
3ce2b1,a
21


Na reta dos reais e fazendo a intersecção:



A solução de 6x7x)x(f
2
2
+−=
deve
ser menor ou igual à zero:

Os valores de x que satisfazem a inequação
do segundo grau, fazendo com que o
produto( )( )06x7x7x2x
22
≤+−++ seja menor
ou igual à zero, são: }6x1/IRx{S≤≤∈=
A solução de
2
1
xx)x(f−= deve
ser maior ou igual à zero:
A solução de 3x2x)x(f
2
2
−+=
deve
ser maior ou igual à zero:

Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o
quociente

3x2x
xx
2
2
−+
−
seja maior
ou igual à zero, são:
}0x1ou0x1/IRx{S<≤≤<−∈= . Os
valores -
1
e 3 foram excluídos da solução,
pois tornam o
denominador
nulo. 54

55. Inequações do Segundo Grau
Exemplo 10: Resolva a inequação 0
45x14x
2
2
>
+−
−

Como o numerador
é negativo e o quociente deve ser positivo, é necessário que o denominador também
seja negativo 0)(
)(
)(>+=
−
−
⇒. Assim:
Resolvendo a inequação
045x14x
2
<+−
Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
9xe5x45
a
c
Produtoe14
a
b
Soma
45ce14b1,a
21




Exemplo 11
: Resolva o sistema
⎩
⎨
⎧
<−
<−
0x3x
04x
2
2
Cada inequação deve ser resolvida separadamente:
4x)x(f
2
1
−=
Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−===
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe2x4
a
c
Produtoe0
a
b
Soma
4ce0b1,a
21

Como
0b=, outra forma de se determinar as raízes é:
2x4x04x
2
±=⇒=⇒=−

x3x)x(f
2
2
−=
Gráfico
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe0x0
a
c
Produtoe3
a
b
Soma
0ce3b1,a
21


Como 0c=, outra forma de se determinar as raízes é: 3xe0x0)3x(x0x3x
21
2==⇒=−⇒=−



A solução de 45x14x)x(f
2
+−=
deve ser menor que zero:

Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente
0
45x14x
2
2
>
+−
−
seja maior
que zero, são: }9x5/IRx{S≤<∈= .
A solução de 4x)x(f
2
1
−= deve
ser menor que zero:

A solução de x3x)x(f
2
2
−=
deve
ser menor que zero:

Para determinar os valores de x que satisfazem
as
duas
inequaçõesé feita uma intersecção.
Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo
com que
04x
2
<− e
0x3x
2
<−, são: }2x0/IRx{S<<∈= . 55

56. Inequações Exponenciais
Definição: Qualquer inequação que apresente funções exponenciais.
Exemplos: 06757921333
15
1
5
1
33
xxx1x2x
x2
31x3
>+×−≥+−<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
+++









Exemplo 1
: 82
2x
<
−


Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.

{
3
)x(f
2x32x
2222 <⇒<
−−

Como a função
2x
2)x(f
−
= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido
.
{
05x32x
)x(g
<−⇒<−
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em
)x(g resulte em um valor negativo, assim:
{5xraizcomgrau1ºdoFunção5xg(x) =⇒−=
Solução:
}5x/IRx{<∈





Se a Inequação Exponencial for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade

Testes
Um valor para 5x< pode ser 3x=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertence3queindicando,Verdadeiro82
828282
1232x
⇒<
<⇒<⇒<
−−

Um valor para
5x> pode ser 6x
=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão6queindicando,Falso816
828282
4262x
⇒<
<⇒<⇒<
−−
56

57. Inequações Exponenciais

Exemplo 2: 008,004,0
2
1x4
<
−


Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.

3
)x(f
1x431x4
3
2
1x4
2
2
1x4
2
1x4
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
1000
8
100
4
008,004,0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒<
−−
−
−
−
43421


Como a função
1x4
10
2
)x(f
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido
.

04x431x4
)x(g
>−⇒>−
321

A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em
)x(g resulte em um valor positivo, assim:
{1xraizcomgrau1ºdoFunção44xg(x) =⇒−=
Solução:
}1x/IRx{>∈








Testes
Um valor para 1x> pode ser 2x=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertence2queindicando,Verdadeiro008,00000128,0
008,0
10
2
008,0
10
2
008,004,0
7
2
7
2
2
124
⇒<
<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒<
−×

Um valor para
1x< pode ser 0x=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão0queindicando,Falso008,05
008,0
10
2
008,0
10
2
008,004,0
1
2
1
2
2
104
⇒<
<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒<
−
−
−×
57

58. Inequações Exponenciais

Outros exemplos:

Exemplo 3: 19
2
xx
2
≥
−

[] 0xx333)3(19
20xx0
2
xx
22
xx
2
2
2
≥−⇒≥⇒≥⇒≥
−
−−

⎩
⎨
⎧
=
=
⇒−=
1x
0x
raízescomgrauº2doFunçãoxx)x(g
2
12

Solução:
}1xou0x/IRx{≥≤∈

Exemplo 4
:
x4xx
26422
2
−−
⋅>⋅


06x5xx46xx2222226422
22x46xxx46xxx4xx
222
>−+−⇒−>+−⇒>⇒⋅>⇒⋅>⋅
−+−−+−−−

⎩
⎨
⎧
=
=
⇒−+−=
3x
2x
raízescomgrauº2dofunção6x5x)x(g2
12

Solução:
}3x2/IRx{<<∈

Exemplo 5
: 9033
x2x
≤+
+


02x2x33
310103310)19(33103939103339033
2x
2x2x2xxx2xx2x
≤−⇒≤⇒≤
⋅≤⋅⇒⋅≤+⇒⋅≤+⋅⇒⋅≤+⋅⇒≤+
+

{2xraizcomgrau1ºdoFunção2xg(x) =⇒−=
Solução:
}2x/IRx{≤∈
Exemplo 6
:
4x2x4
27
8
2
3
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

02x2x14x712x32x4
2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
2
3
27
8
2
3
12x32x4
4x
32x4
4x
32x44x2x4
>+⇒−>⇒−>⇒−−>+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+
+
−+
+
+++

{ 2xraizcomgrau1ºdoFunção2xg(x) −=⇒+=
Solução:
}2x/IRx{−>∈

58

59. Inequações Logarítmicas
Definição: Qualquer inequação que apresente funções logarítmicas.
Exemplos: 1)1x(log)1x(log3xlog)x3(log)1x(log5logxlog
3/13/152/12/122
−>++−−≤−≥+<











Exemplo 1
: 5 logxlog
22
<


Como a função xlog)x(f
2
= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido
.
dedesigualdadasinalomantercrescenteFunção1a2a ⇒⇒>⇒=
Assim, para satisfazer a inequação o valor de “x” deve ser menor que 5 (
5x<). Por outro lado, o
logaritmando “b” deve ser positivo (blog
a
) para que a função )x(f exista (condição de existência)
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒>
=⇒<−⇒<
⇒<
0xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção0x
e
5xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção05x5x
5logxlog
22

Como as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo (
0xe05x>
<− ), um sistema de
inequações deve ser resolvido. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em
)x(f resulte em um valor menor que 5log
2
. Assim:
{
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<−
0x
05x
)x(h
)x(g

Solução:
}5x0/IRx{<<∈
Se a Inequação Logarítmica for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
(a > 1)
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade
(0 < a < 1) 59

60. Inequações Logarítmicas











Exemplo 2
: 3log)1x(log
2/12/1
≥+


Como a função )1x(log)x(f
2
+= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.
dedesigualdadasinalonvertericrescentedeFunção1a02/1a ⇒⇒<<⇒=

Assim, para satisfazer a inequação o valor de “ )1x( +” deve ser menor ou igual a 3 (51x<+ ) e o
logaritmando “b” deve ser positivo para que a função
)x(f exista. Assim:
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒>+
=⇒≤−⇒≤+
⇒≥+
1-xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01x
e
2xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção02x31x
3log1)(xlog
1/21/2


Um sistema de inequações deve ser resolvido, pois duas condições devem ser satisfeitas
simultaneamente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em
)x(f resulte
em um valor maior ou igual a 3log
2/1
.

{
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>+
≤−
01x
02x
)x(h
)x(g


Solução: }2x1/IRx{≤<−∈
Testes
Um valor para 5x0<< pode ser 1x=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertence1queindicando,Verdadeiro322,20
322,22log0
2log
5log
2log5log1log5logxlog
1
0
222222
⇒<
<×⇒<⇒<⇒<
321

Um valor para
5x> pode ser 16x
=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão16queindicando,Falso322,24
322,22log4
2log
5log
2log5log16log5logxlog
1
4
222222
⇒<
<×⇒<⇒<⇒<
321
60

61. Inequações Logarítmicas











Outros exemplos:

Exemplo 3
: ) x3(log)1x(log
3/13/1
−>+


dedesigualdadasinalonverteri1a02/1a⇒<<⇒=

Para satisfazer a inequação o valor de )1x(
+ deve ser menor que o valor de (x3−). Porém, para que as
funções logarítmicas existam, é necessário que e o logaritmando “b” de ambas seja positivo. Se
)x31x(−<+, fazendo )01x(>+ garante um valor positivo para “b” nos lados da desigualdade.

{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=⇒>+
=⇒<−⇒−<+
⇒−>+
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01x
e
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção02x2x31x
)x3(log)1x(log
3/13/1


Resolvendo o sistema:

{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>−
<−
0x3
02x2
)x(h
)x(g
321


Solução: }1x1/IRx{<<−∈
Testes
Um valor para 2x1≤<− pode ser 0x=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertence0queindicando,Verdadeiro585,10
585,11log
)2/1(log
3log
1log3log)10(log3log)1x(log
0
2/12/12/12/12/12/1
⇒−≥
−≥⇒≥⇒≥+⇒≥+
321

Um valor para
2x> pode ser 3x=, substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão3queindicando,Falso585,12
585,1)2/1(log)2(585,1)2/1(log
585,12log
)2/1(log
3log
4log3log)13(log3log)1x(log
1
2
2
2/12/1
2/12/12/12/12/12/1
⇒−≥−
−≥×−⇒−≥
−≥⇒≥⇒≥+⇒≥+
−
43421
61

62. Inequações Logarítmicas

Exemplo 4: 2xlog
3
−≤

dedesigualdadasinalomanter1a3a⇒>⇒=
Rearranjando
9
1
logxlog
3
1
logxlog3logxlog3log)2(xlog2xlog
3333333332
2
1
≤⇒≤⇒≤⇒×−≤⇒−≤
−
321

O sistema de inequações resultante é:
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒>
=⇒≤−⇒≤
⇒≤
0xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção0x
e
1/9xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção09/1x9/1x
9
1
logxlog
33

Resolvendo o sistema:
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤−
0x
09/1x
)x(h
)x(g
321

Solução:
}9/1x0/IRx{≤<∈
Exemplo 5
: 1 )1x(log)1x(log
3/13/1
−>++−

dedesigualdadasinalonverteri1a02/1a⇒<<⇒=
Rearranjando
3log)1x()1x(log)3/1(log)1x()1x(log
)3/1(log)1()1x()1x(log1)1x(log)1x(log
3/13/13/13/1
3/13/13/13/1
1
1
>+−⇒>+−
×−>+−⇒−>++−
−
43421

O sistema de inequações resultante é:
{
{
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=⇒>+
=⇒>−
⎩
⎨
⎧
=
−=
⇒<−⇒<+−
⇒>+−
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01x
e
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01x
e
2x
2x
raízescomgrauº2doFunção04x3)1x()1x(
3log)1x()1x(log
2
12
3/13/162

63. Inequações Logarítmicas

Resolvendo o sistema:

{
{⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>+
>−
<−
01x
01x
04x
)x(i
)x(h
)x(g
2
321


Solução: }2x1/IRx{<<∈

Inequações Modulares

Definição: São inequações que envolvem funções modulares.

Exemplos: 3|x|≤ 2|1x|<+ 3|1x|
2
≥− 4|x|>

Exemplo 1
: 3|x|≤


Os valores de x que satisfaz a inequação são:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤−−⇒≤−
≤
⇒≤
03x3x
ou
3x
3|x|


Solução: }3x3/IRx{≤≤−∈

Exemplo 2
: 4|x|>


Os valores de x que satisfaz a inequação são:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−<⇒>−
>
⇒>
4x4x
ou
4x
4|x|


Solução:
}4xou4x/IRx{ >−<∈ 63

64. Inequações Modulares

Para 0a>









Outros exemplos:

Exemplo 3
: 3|1x|
2
≥−


⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒−≥⇒≥−⇒≥+−
⎩
⎨
⎧
=
−=
⇒≥−⇒≥⇒≥−
⇒≥−
realsoluçãotemNão2x2x31x
2x
2x
raízescomgrauº2doFunção04x4x31x
3|1x|
22
2
1222
2


Solução:
}2xou2x/IRx{≥−≤∈

Exemplo 4
: 5
2
3x
≤
−


⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−≥⇒≤+−⇒≤
+−
≤⇒≤−⇒≤
−
⇒≤
−
7x103x5
2
3x
13x103x5
2
3x
5
2
3x

Solução:
}13x7/IRx{≤≤−∈
Se a Inequação Modular for:
| f(x) | < a ⇒ - a < f(x) <a
| f(x) | > a ⇒ f(x) < - a ou f(x) > a

Lembrar que:
Só é possível multiplicar em cruz se no
denominado não houver a variável “x”. 64